Квант 1970, №5 · Страницы

Научно-популярный физико-математический
квант
5
1970
укранал
Академии
наук СССР
и
Академии педагогических
наук СССР

1

Главный редактор — академик И. К. КИКОИН,
Первый заместитель главного редактора —
академик А. Н. КОЛМОГОРОВ,

Редакционная
коплегия:

Л. А. Арцимович, академик
М. И. Башмаков
В. Г. Болтянский, член-корреспондент АПН СССР
И. Н. Бронштейн
Н. Б. Васильев
И. Ф. Гинзбург
В. Г. Зубов, член АПН СССР
П. Л. Капица, академик
В. А. Кириллин, академик
Г. И. Косоуров (зам. главного редактора
В. П. Лишевский
А. И. Маркушевич, член АПН СССР
М. Д. Миллюоницков, академик
Н. А. Патрикеева
Н. Х. Розов
А. П. Савин
И. Ш. Слободецкий (зам. главного редактора)
М. Л. Смолянский (доктор физико-математических наук
Я. А. Смородинский, член АПН СССР
В. А. Фабрикант, Я. Е. Шнайдер (ответственный секретарь)

На 1-й стр. обложки: Д. В. Белое
«Измерение длины».

Заведующая редакцией Л. В. Чернова.
Главный художник Е. П. Леонов.
Технический редактор Т. М. Макарова.
Корректоры М. В. Мамулова и Т. А. Панькова.

Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15

Сдано в набор 23/III-1970 г.
Подп. к печати 16/VI-1970 г.
Бумага 70×100 1/16. Физ. печ. 4.
Услови. печ. л. 5, 36 Уч.-изд. Л. 6,11.
Тираж 205055 экз. T-09753.
Цена 30 коп. Заказ 467
Чеховский полигraphкомбинат Главполинграфпрома Комнителя по печати при Совете Министров СССР
г. Чехов, Московской области

1

В НОМЕРЕ:

Что умеют машины 2
Измерение длины 10
Итоги заключительного тура
Весоюзной оптимизации школьников 17
Геометрия столковейный 18
Сравнения по модели и арифметике остатков 27
Элементарная теория полета и волн на воде 34
Задачник «Кваента» 39
Как вырастить кристалл 42
О приемных экзаменах по математике в техническихузах в 1969 г. 45
Кто-то теряет, кто-то находит 48
Телевизор — ваш помощник при подготовке в взз! 52
Кипяток и мороз 54
Цилиндрические шахматы 56
Учебное пособие «Matematический анализ» 58
Ответы, указания, решения 60
Задачи для 5 класса 64
Кроссворд «Geometрический» —

З-я страница обложки

3

машиной человекства следует считать обычной камень, который наш обезьяноподобный предмет использовал, чтобы разбивать орехи (или что-нибудь столь же креплое, например голову зверя), и простую палку, игравшую роль рычага, чтобы сdwинуть с места тяжелый камень, когда из-под него надо было извлечь зверя или съедобный корень.

Герон Александрийский, живший около первого века нашей эры (он придумал формулу для площади треугольника и способ последовательных приближений для извлечения квадратного корня), сделал машину, открывавшую двери. Лифтов в то время не было, но, надо полагать, рассказ о лифте не очень удивил бы Герона. А вот об автоматике или о телефоне рассказать ему было бы гораздо сложнее.

Точно так же инженер триидатых годов нашего столетия не очень удивился бы рассказу об искусственных спутников Земли, летающих в шестидесятые годы, но рассказ о машине, которая ставит диагноз больному, переводит научные тексты с английского языка на русский, доказывает теоремы, играет в шашки и шахматы и сочиняет стихи и музыку, встретил бы с глубоким и естественным недоверием.

Читатель должно быть уже договора, что реч иidet об электронных вычислительных машинах, этом «объикновенном учете» наших дней.

Мыслю о создании «думающих машин» возникла у людей достаточно давно. Ее высказывали и пытались в какой-то мере осуществить испанский монах Раймон Люллий (XIII век н. э.), французский ученый Блез Паскаль (1623—1662), великий немецкий математик и философ Готтфрид Вильгельм Лейбниц (1646—1716). Оdnako в те времена эти попытки не были и не могли быть удачными.

Не прошли эти мысли и много писателей. Вспомните замечатель-ного английского сатирика Джонатана Свифта (1667—1745) и путешествие Гулливера на Лапуту. В числе носителей различных ией, псевдонаучных и подлежащих осмеянию с точки зрения автора*), читатель встретил и некоето профессора, работавшего «…над проектом, цель которого заключается в усовершении умозрительного знания при помощи технических и механических операций… С помощью его изобретения самый нежежственный человек, произведя небольшие издержки и затратив немного физических усилий, может писать книги по философии, позиции, политике, праву, математике и богословию при полном отсутствии эрудиц и таланта**).

Любопытно, что рисунок, который сопровождает описываемый Свифтом «станок», удивительно на

*) Впрочем, несколько лет назад журнал «Техника — молодежи» сделал выборку из этой главы «Путешествия Гулливера». В выборке приводится немало число ией, осмеявшихся Свифтом, но наведших применение в наших годы, вплоть до «постройки домов, начиная с крыши», успешно применяющейся сейчас ленинградскими домостроительными комбинатами.

**) Дж. Св и фт, Путешествия в некооторные отделные страны света Лемюзия Гулливера, сначала хирурга, а потом капитана нескольких кораблей, ГИХЛ, М., 1967, стр. 217.

4

поминает матрицу памятки современной вычислительной машины.
В этом легко убедиться, сравнить заимствованную нами из русского издания 1947 года (и, надо думать, воспроизводу соответствующей свифтовской оригинал) иллюстрацию свифтовского станка с фотографией матрицы памятки, сделанной десятью годами позже.

Но если к «логичским машинам» можно было относиться произвлечи, то необходимость в вычислительных машинах, помогающих человека считать, была ясна, а поэтому они и создавались уже достаточно давно.

По всей видимости, счет взделе начинался «на пальцах», так что пальцы следуют считать первой (или первобытной) вычислительной машиной. Следующим шагом предыдущего вычислительных машин следует считать счетный абак и доведшие до наших дней русские счеты, где числа изображались камешками или косточками, надетыми на спицы. Вычисления на этих устройствах производятся полностью вручную, так что счеты следуют расстатривать как устройство для облегчения вычисления, но не как вычислительной машину.

История вычислительных машин начинается с 1642 года, когда Блез Паскаль изобрел десятиное счетное колесо и механизм автоматического перенаса из разряда в разряд. Идея этого механизма перенаса используется и сегодня в настольных клавишных машинах по существу без всякого изменения. Но тогдаший уровень техники был слишком низким для создания надежно работающих механизмов и приборов. Понадобилось еще около полутораста лет для того, чтобы осуществить эти идеи и создать практические использемые вычислительные машины.

В 1874 году русский инженер В. Т. Однер изобрел и построил аррифометр, в котором для изображения чисел использующий шестерни с переменным числом зубцов. В 1878 году великий русский математик П. Л. Чебышев (1821—1894) изобрел аррифометр с непрерывным механизмом перенаса из разряда в разряд. В 1891 году началось промышленное производство аррифометров Однера. Об удачности этой конструкции свидетельствует хотя бы тот факт, что производство ручных аррифометров «Феликс», прициппально неотличиях от аррифометров Однера, лишь в середине пятыдесятых годов было заменено выпуском электронеханических аррифометров.

Широкое распространение получила также суммирующая машина

5

Бэрроуза, изготовленная в 1885 году. В дальнейшем создавалось и создается большое количество различных вычислительных машин, обеспечивающих механизцию счета, сначала ручных, а затем и сабженных электродвигателей. Однако все они имеют ручное управление: для каждого действия оператор, работающий на машине, должен вести в машину требуемые числа и указать требуемое действие, нажав соответствующее клавишу *).

Другую линию в развитии математических машин представляют так называемые машины непрерывного действия или аналоговые машины. Первыми их представлениями были всем известная логарифмическая линейка и различных планметры и логиметры, предназначенные для нахождения плоских областей и длины плоских кривых. В конце XIX и начале XX века были сконструированы непрерывные машины для выполнения операций дифференцирования и интерровирования. В 1912 году великий русский ученый, математик и кораблестритель А. Н. Крылов (1863—1945) сконструировал машины для решения дифференциальных уравнений. Все они были основаны на механических элементах. С развитием электротехники и электрокики аналоговые машины, построенные с широким использованием электрических и электронных элементов получили очень большое распространение.

Настоящий представление современных электронных вычислительных machines следует считать машины, которые сконструировали около 1830 года профессор Кембриджского университета Чарльз Бэббедж. Идея Бэббеджа оказалась технически неосуществимой в то время, и фактически его машина так никогда и не работала. Но она содержала уже все основные устройства, которые обладает современная вычислительная машина. Наконец, в конце сороковых годов, т. е. немного более двадцати лет назад, появились первые электронные вычислительные машины, использованные электрические лампы.

Для электронных вычислительных machines, существующих две основ-

6

ные характеристики — скорость выполнения арифметических операций и объем памяти. Первые советские электронные вычислительные машины БЭСМ, М-2, Стрела, Ураль имели скорость 200—2000 арифметических операций в секунду и объем памяти 1024—2048 ячеек. Эти машины были ламповыми и имели по несколько тысяч электронных ламп каждая.

Ниболье распространяли машина конца шестидесятных годов является БЭСМ-4, М-220, Минск-22, Раздан-3 со скоростями около 25 000 арифметических операций в секунду и объемом оперативной памяти 8192—32 768 ячеек. Машина БЭСМ-6 при оперативной памяти 32 768 ячеек имеет уже скорость до миллиона арифметических операций в секунду. В этих машинах электронные лампы уже полностью заменены полупроводниковыми элементами (транзисторами), имеющими значительное меньший объем и требующими значительное меньшей мощности.

Применение трансисторов позволило создать малогабаритные настольные электронные клавишные машины, заменяющие электромеханические. Они отличятся большой скоростью и полной безшумность, что очень важно для больших вычислительных laboratorий. Поэтому настольные клавишные электронные машины начинают вытеснять электромеханические. Широкую популярность завоевали у нас машины «Вятка», «Искра», «Орбита» и некоторые другие.

Первые же успехи в создании вычислительных машин позволили использовать их и для новых специальных задач различного рода.

Не очень трудно, по крайней мере теоретически, «достроить» вычислительной машину до управляющей. Рассмотрим задачу об управлении некоторых технологийм процессом, например процессом получения какого-либо химического вещества в специальном реакторе.

Течение процесса определяется состоянием внутри реактора: концентрацией исходных веществ и получающейся вещества, температурой и давлением внутри реактора и т.п. Управление процессом обычно состоит в изменении регулируемых параметров, например скорости поступления исходных веществ и температуры. Приручном управлении оператор по показаниям приборов определяет состояние процесса в данный момент и, определяив навыгоднойшие для данного состояния величины регулируемых параметров, приводит их к требуемым значениям.

Для автоматического управления таким процессом нужно создать вычислительной машину с изменительными приборами, характерными

7

теризуощими состояние процесса, и регулируощими приборами. Получив от изменительных прибов сведения о состоянии процесса, машина расшиита навыгоднейший при данном состоянии режим и переведет в нужные положения регулируощие прибора, причем такой расчет и регулировка могут повторять через определенные процесъутки времени.

Конечно, при практическом осуществлении такой схемы могут встречаться и фактически встречаются самые различные трудности, но их предоление есть уже, как приято выражаться, «дело технически».

Особенно важным является применение быстродействующих электронных вычислительных машин для управления быстродействующими процессами. Многие из таких процессов требуют регулирующего вместешательства десяти и сотни раз в секунду; без учета быстродействующих машин регулирование таких процессов вообще невозможно. Но эта тема заслуживает более подробного обсуждения и мы собираемся это сделать в одном из последующих номеров журнала.

Различные «невычислительные» применения современных вычислительных машин достаточно широки и многообразны. Весьма интересно, например, использование их для перевода текстов с одного языка на другой. Мы сможем дать здесь лишь приближенное описание принципиров работы такой программы. Но и по такому грубому приближению можно представить себе достаточно результаты и имеющиеся трудности.

Представим себе два языка, состоящие из одинакового количества слов, которые не изменяются при склонении или спряжении и все являются значениями (в русском языке практические все слова являются значениями; например, в других европейских языках имеется ряд службных слов, не имеющих самостоятельного значения. К ним относятся, например, der или ein в значении артикля в немецком языке, the — в английском и т.п.). Предположим далее, что каждое слово одного языка имеет точно один перевод на другой язык. В математических терминах это означает, что между словами двух рассматриваемых языков существует взаимно однозначное соответствие.

Если еще предположить, что порядок слов в предложении для обихих языков несуществен (примерно так и объектит дело в русском языке, где слова в предложении можно переставлять достаточно произвольно, в отличие от многих других, где их порядок предписывается грамматической конструкцией и смысл написанной фразы от перестановки слов может измениться), то для таких языков написать программу перевода совсем просто.

Достаточно вести в машину словарь. Это можно сделать, например, таким косвенным путем. Занутерум с слова первого языка каким-либо способом, например по алфавиту. Слова же второго языка занутерум теми же номерами так, чтобы соответствующие друг друг слова двух языков имели один и тот же номер. Теперь остается сделать программу, с помощью которой машина могла бы по введенному слову первого языка находить его номер, затем по номеру — соответствующей слову второго языка, и выдавать его на печать. Тем самым программа перевода будет создана.

Для фактических существующих языков дело обстоятель, конечно, гораздо сложнее. Прежде всего, обычно слова являются изменяющими и порядок слов в предложении не безразличен. Поэтому, кроме словаря, программа необходимо сдать достаточно подробным перечень грамматических правил для обихих языков, которые позволили бы:

1. проанализировать введенное предложение синтаксически, определить подлежащее, сказуемое и

8

Второстепенные члены предложения и выязывать их характер;

2. исследовать каждое слово, выделить его корень и найти основную форму (именительный падеж единственного числа для существительного и т.п.);

3. после перевода каждого слова на другой язык с помощью словааря расставить слова другого языка в переведенном предложении в нужном порядке;

4. изменить каждое слово в соответствии с нужной форму (число, падеж и т.п. или другие граматические формы в зависимости от части речи).

Отсюда видно, что для программы перевода необходимы довольно глобкие знания структуры языка (структура лингвистика), да еще доведенные до такого состояния, чтобы их можно было изложить совершенно формально — для машин. Сейчас мы такими знаниями языков не обладаем.

Но все это, как говорится, еще цветочки. Ягодки же машинного перевода созревают в полную меру тогда, когда мы более подробно подумаем о словаре. До них пор мы предполагали, что между словами двух языков существует взаимно однозначное соответствие. Как мы знаем, на самом деле это далеко не так.

Прежде всего, в каждом языке имеются ономимы — так называются слова, имеющие несколько различных значений. Например, русское слово «коса» может иметь четыре различных значения: коса может быть острая, русая или песчаная или может быть кратким прилагательным (от «косая»). Ясно, что переводить каждое слово в отдельности здесь уже не удается, да и словарь придает страна по сложнее, чем было описано выше; простой нумерацией слов здесь не обойдётся.

Еще больше трудностей вызывает наличие синонимов, т. е. нескольких слов, имеющих одинаковое или, точнее сказать, приближенное одинаковое значение, вроде «замечательно», «превозходно» и «великоленно». Чаще всего они взаимозаменены, но бывают случаи, когда из множества синонимов необходимо выбрать один, а несколько слов другого и собранное грамматических правил нужно пополнять правилами выбора нужного перевода из нескольких, имеющих в словаре, согласовыхая этот выбор с другими словами текста. Такие правила формулировать уже совсем трудно.

К этому можно добавить, что и анализ слов по частям речи может встречаться с необходимыми трудностями. Например, никто из читателей, видимо, не усомнился в том, что «стекло» есть имя существительное среднего рода, стоящее в именительном падеже …до тех пор, пока не встретился с фразой, в которой оно предательски обращится в глагол. Такой фразой может быть, например, следующая: «Масло разлилось по столу и ручейком стекло на пол». Здесь снова при рассмотрении одного слова приходимся прилекать другие.

Таким образом, требующих своего разрешения для создания полноценных программ перевода с одного языка на другой еще достаточно много. Как метко выражился один из специализитов, работающих в этой области, «прежеде всего необходимо научиться хорошо переводить с русского на русский». Однако мы уже имеем довольно многое и еще большеему учимся.

Одним из реальных путей упрощения задач перевода является существие области рассматривающихся текстов. Если ограничиться текстами, относящимися к определенной области знаний, то для их перевода потребуется более простой словарь.

9

В нем может быть меньше слов и меньше разнообразия для перевода каждого слова. Кроме того, синтаксические конструкции предложений в таком случае менее разнообразны, что тоже облегчает работу. Неколько таких «узких» программ для перевода с французского или английского языка на русский у нас уже сделаны.

Неколько позже, чем работы над машинным переводом, начались исследования в области машинного документа, т. е. использование вычислительных машин для документата теорем или, правильнее сказать, вывода одной из других утверждений из других. При этом решила не только об уже известных утверждениях.

На международном симposiumе по эвристическому программированию в февраля 1967 года американский математик Г. Гелернтер расскажал о составлении им программы для документата теорем элементарной геометрии. Работая по этой программе, машина документа

ла теорему, справедливо которой программисту ранее была неизвестна.

Доказанная теорема формируется следующим образом. Из вершины квадрата, не лежащей на его диагонали, проведены два отрезка, соединяющих вершину с серединами протиоположных сторон. Утверждается, что эти отрезки делят диагональ на три равные части (см. рисунок). Конечно, эта теорема не слишком трудна, и, надо думать, читатели сумют самостоять доказать ее. Но это доказательство уже не будет первым — впервые эту теорему доказала электронная вычислительная машина.

В СССР тоже созданы некоторые программы такого рода, в частности, программы доказательства теорем арифметики, умеощая (что должно быть особенно интересно для учащихся девятых классов) пользоваться методом математического индукции.

Еще более интересные программы, с помощью которых электронные вычислительные машины могут играть в карточные игры, домино, шашки и шахmatы. Мы не станем здесь рассказывать об имеющихся в этой области достижениях, предполагая посвятить этим вопросам отдельную статью. Точно так жеаслуживает более подробного, детального разбора применение современных вычислительных машин в задачах узнавания и диагностики. Это мы собираемся сделать несколько позже.

ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИНЫ

«В природаме и вес суть главные ordynя познания. Наука начинается тогда, когда начинают измерять».
Д. И. Менделеев

Потребность измерять протяженность возникла у человека в глубокой древности. Вначале люди удовлетворили субъективные merы, которые установливал правитель данной страны. Это, в частности, отразилось в названнии линейки, на английском языке называемой «рулер», что означает «правитель» (отсюда же — рулетка). Так, например, английский король Генрих I установил ярд как расстояние от кончка носа до конца большого пальца вытянутой руки. Позднее был изготовлен пруток из бронзы, равный ярду, и на него нанесли деления, расположенные на равном расстоянии друг от друга.

В средние века в Европе за единицу измерения длины была принята мера, образцом которого служила длина «цепочка» из шестнадцатей человек, стоящих таким образом, что пятка предыдущего касалась концов пальцев следующего. Одна шестнадцатая длины такой «цепочка» составляла «фут», что по английски означает «ступня». При определении, чем равен фут, меньше значения длины ступни одного человека компенсировалось большей длиной ступни другого, поэтому среднее значение фут в разных географических пунктах мало отличились друг от друга.

Существовали курбезные merы длины. Так, при покупке земли индейцы в качестве единицы измерения принимали территорию, которое человека мог обойти за один день. Поэтому покупатели обычно нанимали для этой цели самого быстроого бегуна.

В России субъективными мерами длины были пядь, шаг, локоть. Большие расстояния измерились полетом стрелы. С развитием торговли и ремесел появились объектные узаконенные merы длины. В России такой мерой стал аршин. При аршина составляли сахень, 500 сахеней — версту (1,0668 км).

В конце восемнадцатого века группа французских учены предложила метрическую систему мер «на все время»

11

мена и для всех народов». Система строиласы на двух основных единицах: метре и килограмме с производными и десятичными подразделениями. Простота метрической системы и удобство ее применения в полне удовлетворяли требованиям того времени. Система была принята многими странами, в том числе и России.

В качестве единицы длины — метра — была принята одна сорокамиллионная часть земного merидина, проходящого через Париж. В конце XVIII — начале XIX веков группа ученых по поручению Французской академии наук произведения длины отрезка merидина от Дюнкерка до острова Форmentуры *). На основании проведенных измерений из платинориидового сплава, наиболее стоякого в то время, был изготовлен

*) Самое первое вычисление длины окружности земного шара принадлежит Эратосфену (276—194 гг. до н. э.). Ему было известно, что в Сиене есть колодец, до которого освещается Солнцем в день летнего солнеctояния, то есть в Сиене в это время Солнце находится в зените. В то же время в Александрии, где жил Эратосфен, Солнце стояло к югу от линии отвеса на 1/50 окружности, то есть на 7°12′. Расстояние между Сиеной и Александрией Эратосфен определял в 5000 стадией. Из этих данных он нашел величины окружности земного шара, которая получалась у Эратосфена равной 39 690 км (в современных единицах), что незначительно отличается от действительного значения.

Рис. 1. Так в средние века установили, чем равен фут.

прототип метра, который до сих пор хранится в Международном бюро мер и весов в Севре близ Парижа.

Метр был задуман как естественная единица длины — одна сорокамиллионная часть земного merидина. Но со временем он перестал быть такой единицей. Уточняласьлина окружности Земли, изменялся платиновый стержень, и теперь образец метра — это не одна сорокамиллионная часть длины окружности земного шара, а просто некоторая фиксированная длина. Поэтому возникла необходимость вернуть к естественному этаlonу, встречающегося в природе и легко воспроизводимому. Иначе возникла ужасная путаница, если вдруг международный этап метра будет по какой-либо причине утерян, почищен или поврежен. Кроме того, существующий этап не обеспечивал измерения длины с точностью, необходимой для нуждающихся науки и техники.

ХI Генеральная конференция по метам и весам (1960 г.) для новое определение метра. Ее резолюция гласит: «…конференция, принимая во внимание, что международный прототип не определяет метр с точностью, достаточно для современных потребностей, и что, с другой стороны, желательно принять естественный и не

12

Рис. 2. Сравнение длины эталонного метра с длиной световой волны производится при помощи прибора, которые называются интерференционными компараторами. Одана из схем такого прибора показана на рисунке. Параллельный лучок световых лучей от источника S падает под углом 45° на посеребренную полупрозрачную стеклянную пластинку П, которая разделяет световой поток на две части. Отраженный луч 1 идет к зеркалу 3₁, отражается от него и, проядя пластинку П₁, падает в зрительную трубу T. Луч 2, проядя пластинку П, отражается от зеркала 3₂, затем отражается от полупрозрачной стороны пластинки П и тоже падает в трубу T. (Для наглядности лучи 1 и 2 изображены разным цветом.) Луч 2 трижды проходит пластинку П, а луч 1 — только один раз. Для компенсации возникшего из-за этого разности хода лучей на пути первого луча ставится произная пластинка П₁, сделанная из того же материалов, что и пластинка П. Пучки света 1′ и 2′ коректны и дают в поле зреня трубы T интерференционную картину. В зависимости от разности хода лучей поле зреня трубы светлое или темное. При перемещении зеркала 3₁ на расстояние, равное четверти длины волны, разность хода обихх лучей увеличивается на половину длины волны и происходит смена освещенности зрительного поля. Вместо трубы можно поставить фотоумножитель, который будет выдавать электрические импульсы при каждой стене освещности. Так можно сосчитать число волн, уменьшился на данной длине.

13

Рис. 3. Метод триангуляции. Зная длину $AB$ и углы $\alpha$ и $\beta$, можно определить расстояние до объекта $C$.

разрушимый этаlon, решает: метр — длина, равная 1 650 763,73 длин волн в вакууме излучения … атома криптона 86». С введением нового этаlonа точно измерения длины повышалась в сто раз.

Итак, человекство вернулось к естественному этаlonу длины. На основании инструкции, приложенной к определению метра, в любой стране можно воспроизвести новый этаlon длины. Для этой цели служит специальный прибор: компаратор. С его помощью можно получить образцовые метры метра.

Как изменяется длина? После того как единца измерения определена, сделать это нетрудно. Надо просто посмотреть, сколько раз метр (или какая-либо его часть) укладывается на измеряемом расстоянии.

А что делать, если нужно измерить расстояние до объекта, расположенного в горах или на сильно пересеченной местности? Тогда на помощь приходит другой метод определения длины, называемый триангуляцией. Из двух точек, расстояние между которых известино, находится на объекте (рис. 3). По известиному расстоянию $L$ и угла $\alpha$ и $\beta$ можно вычислить все элементы треугольника.

Именного метод триангуляции восполizes условия, когда измерили длину меридиана от Дюнкерка до острова Форmentуры. Затем, зная расстояние между этим двумя пунктами в каких-либо единцах длины и в градусах, можно было вычислить длину всего меридиана.

Metод непосредственного измерения длины и метод триангуляции дают одинаковые результаты, когда им полезют на Земле. Поэтому естественно распространить метод триангуляции на измерение расстояния до космических объектов. Так, например, определяется высота полета

14

Рис. 5. Определение расстояния до ближайших звезд метод триангуляции. Известной длиной — базой — служит диаметр орбиты Земли.

искусственный спутника Земли, так было определено в свое время расстояние до Луны, нашего естественного спутника. В последнее время расстояние до Луны было уточнен локцией (сначала радио, а затем лазерной). Так как скорость расстояния радио и световых волн нам известна, то по времени, которое проходит от посыли сигнала до его возврашения после отражения от поверхности Луны, можно определить расстояние до нашего естественного спутника (путь равен скорости, умноженной на время).

Но метод триангуляции отказывал, когда встает вопрос об определении расстояний до планет нашей солнечной системы и самого Солнца. Эти космические объекты расположены так далек от Земли, что с любой точки поверхности нашей планеты они видны практическими под одним и тем же углом. Мы не можем найти расстояние до Солнца и планет, но мы можем определить их взаимное расположение. Найда затем расстояние до небольший планеты Эрос, которая временами близко подходит к Земле, мы можем вычислить абсциссные расстояния до Солнца и всех планет солнечной системы, включая Плутон.

Для определения расстояния до

Рис. 6. Фотография участка неба со спиральной галактикой, подобной нашей. Если предположить, что ее diameter равен диаметру нашей Галактики, то, основываясь на каждшем размере этой галактики, можно вычислить расстояние до нее. Оно оказывается равным 30 миллионам световых лет (3.10²³ м).

ближайших звезд можно спова применить метод триангуляции, восползовавшись годовым движением Земли вокруг Солнца. Если мы направим телесопп на небую звезду один раз зимой, а другой раз летом (рис. 5), то можно с достаточной точностью определить углы, а следовательно, и расстояние до звезды.

А как бы с далекими звездами? Здесь на помощь приходит другой метод, связанный с тем, что чем дальше находится звезда от нас, тем она выглядит более тусклой. Если для близких звезд, расстояние до которых известно, установить зависимости от расстояния, то по степени яркости лобой звезды, пользоваться полученным законом, можно определить, как лобое она от нас расположена.

Данные о диаметре нашей Галактики позволяют определить еще большие межгалактические расстояния. Размеры всех галактик примерно одинаковы. Поэтому, зная угловой размер какой-либо галактики, то есть угол, который она занимает на небесном своде, и ее diameter, можно вычис-

15

Метры

10^28
10^27
10^26
10^25
10^24
10^23
10^22
10^21
10^20
10^19
10^18
10^17
10^16
10^15
10^14
10^13
10^12
10^11
10^10
10^9
10^8
10^7
10^6
10^5
10^4
Расстояние до самых далеких галактик, видимых в телескоп —5 млрд. свет. лет
Расстояние между галактиками
Диаметр нашей Галактики — 100 000 свет. лет
Расстояние от Солнца до центра Галактики
Расстояние от Солнца до Сириуса—8,7 свет. лет
до α Центавра —4,2 свет. года
до границ Солнечной системы —1 свет. год
до Плутона—5929 млн. км
до Юпitera—777,8 млн. км
до Земли—149,55 млн. км
Диаметр Солнца —1,30 млн. км
Расстояние от Земли до Луны—384 тыс. км
Диаметр Земли—12756 км
Условная граница атмосферы Земли
Средняя высота орбит космических кораблей
Нанбольшая глубина океана—11034 м

Высота Джомо-лугтмы (Эвереста) — 8848 м
Высота телебашни в Москве—533 м
Длина кита — до 33 м
Рост человека 1 метр
Диаметры: вишни
горошины
булавочной головки
Длина инфузории
Диаметр «кровяного шарика»
Диаметр броуновской частицы
Длинны волн видимого света
ультрафилолетовых лучей
рентгеновских лучей
γ — лучей
Диаметр atomного ядра

метры
Рис. 7.

16

Рис. 8. Эта фотография вирусов сделана с помощью электронного микрокоппа. «Большая» сфера имеет размеры 2·10⁻⁷ м (2000Å). Она помещена для сравнения.

ЛИТЬ РАСССТОЯНИЕ DO ЭТОЙ ГАЛАКТИКИ. Сейчас полагают, что расстояние до некоторые галактик приблизительно равно 10²⁶ м.

Посмотрим теперь, как определяются малые протяжности.

Метр нетрудно разделить на тысячу частей. Немного труднее разделить миллиметр на тысячу частей. Для этого нужно только хорощей микрокоппоп. Так мы получаем микрон — миллионную часть метра. Но дальнейшее деление произвольить трудно, так как невозможно увидеть объекты меньше, чем длина волны видимого света (около 5·10⁻⁷ м).

С помощью электронного микрокоппа можно увидеть и изменить объекты, имеющие размеры до 10⁻⁸ м. Чем меньше длина волны электронного излучения, тем более мелкие объекты мы можем «увидеть». Так, например, gamma-лучи позволяет «расматривать» объекты, размеры которых не превышает 10⁻¹¹ м.

Для определения ядерных размеров применяются уже совершенное другие методы: измеряется так называемое эффективное поперечное се-

чение ядер. Его можно определить, пропуская пучок частиц высокой энергии через тонкую пластинку вещества и измеряя число частиц, не прошедших сквозь нее. Отношение числа не прошедших частиц ко всем испущенным пропорционально отношению площади, занимаемой ядрами atomов к площади пластинки. Подобные эксперименты показали, что радиус ядер лежат в пределах от 1·10⁻¹⁵ до 6·10⁻¹⁵ м*).

Наконец, расскажем о рисунке 7, на котором показано все размерное многообразие окружающего нас мира. «При решении научных проблем ученому всегда приходится в своей воображении ясно представлять величины… тех физических величины, которые служат для описания изучаемого явления… Поэтому надо приучать смолоду ученых, чтобы символьы в формулах, определяющие физические величины, всегда представляли для них конкретные, количественные значения. Для физика, в отличие от математика, как параметры, так и переменные величины в математическом уравнении должны являться конкретными количествами», — говорит академик П. Л. Капица.

Единица измерения шкалы рисунка 7 — метр. Каждый два соседних деления обозначают размеры, отлично исчерпывается друг от друга в 10 раз. 10° м — один метр, 10¹ м — десять метров, 10² м — сто метров и т. д. Аналогично 10⁻¹ м — десята часть метра (или десять сантиметров), 10⁻² м—сотая часть метра (один сантиметр) и т. д. При помощи логарифмических шкал можно показать на одном графике все размеры, встречающиеся в приодае и технике: от самого маленького до самого большого.

*) Единица длины, равная 10⁻¹⁵ м, называется ферми, в числе известного физика Энрико Ферми (1901—1954).

17

ИТОГИ ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНОГО ТУРА
ВСЕСОЮЗНОЙ ОЛИМПИАДЫ ШКОЛЬНИКОВ

Победители по математике

С 24 по 30 апреля в Симферополе проходил заключительный тур Всесоюзной математической олимпиады, в котором приняли участие 660 победителей областных и ресурсikanских олимпиад.

Победителими среди восьмиклассников стали: Юрий Колмаков из г. Рассказова Тамбовской области, Андрей Коган — ученик школы № 55 г. Пензы, Сергей Куксин — ученик школы № 22 г. Харьков; среди девятиклассников: Алексей Александров — ученик физико-mатематической школы-интерната при Ленинградском государственном университете, Дмитрий Логачев — ученик schools № 2 г. Москвы; среди десятиклассников: Андрей Климов и Андрей Ходулев — ученики физико-mатематической школы-интерната при Московском государственном университете.

31 участвников олимпиады удостоен второй премии, 37 — третьей, еще 140 награжdenы грамотами.

Победители по физике

С 9 по 15 апреля в Свердловске состоялся заключительный тур Всесоюзной физиче-

ской олимпиады. В нем приняли участие 652 победителей областных и ресурсikanских олимпиад.

Соревнования проходили в два этапа. 10 апреля был теоретический тур, а 13 — экспериментальный.

Первые места заняли: восьмиклассники Валерий Маринич — ученик schools № 1 г. Долинска Сахалинской области и Сергей Ахулков — ученик schools № 7 г. Смоленска; девятиклассники Игорь Артюхов — ученик физико-mатематической школы-интерната при Московском государственном университете, Дмитрий Казаковцев — ученик schools № 145 г. Киева, Владимир Назайкинский и Владимир Флейшакер — оба из schools № 2 г. Москвы; девятиклассники Сергей Горбачевский и Алексей Ломakin — ученики физико-mатематической schools-интерната при Ленинградском государственном университете.

16 участвников олимпиады второго места, 40 — третье, 82 — награжdenы грамотами.

Журнал «Квант» поздравляет всех победителей олимпиады и желает им дальнейших успехов.

Более подробный отчет будет опубликован в одном из следующих номеров журнала.

18

ГЕОМЕТРИЯ
СТОЛКНОВЕНИЙ

Я. А. СМОРОДИНСКИЙ,
Е А СУРКОВ

НЕБОЛЬШОЕ ВВЕДЕНИЕ.

Одна из задач, с которой часто приходит встречася в современной физике, это задача об упругом рассеянии. Она обычно ставится так: надо определить скорости (по величины и направлению) двух части после того, как они столкнуты и разлетлись (как говорят, рассеялись), если направления их движения и энергии до столкновения были известны.

Столкновение называется упругим, если оно не сопровождается выделением теплла, и можно считать, что суммы кинетических энергий части до и после столкновения равны. Кроме того, частицы подчиняются закону сохранения количества движения.

Когда столкваются друг с другом две частицы — молекулы газа или два нуклона, то результат столкновения может быть различным. Если частицы прополетают на достаточно большом расстоянии друг от друга,

19

Вверху: фотографика нецентрального удара движущегося шара о такой же неподвижный. Шары разделяются под прямым углом. Неподвижный шар после стокновения движется вправа. Освечение строкосоппическое, частота вспышек — 25 в секунду.

то направления их движения могут почти не измениться и путь частиц лишь слегка отклонится от прямолинейного; в других случаях, когда частицы стalkиваются, так сказать, «в лоб», направление их движения может сильно измениться. Если мы знаем начальное состояние частиц (векторы их скоростей), то скорости частиц после стокновения определяется, если мы зададим угол рассеяния — угол, на которой отклонится одна

Внизу: последовательные стокновения протона с другими протонами, первоначально покоящимся. Фотография получена в пузырьковой камере с жидким водородом. Следы летяших протонов видны в виде цепочки мелчайших пузырьков.

из частиц при стокновении (ниже мы определим это понятие точнее).

Хотя найти связь между скоростями частиц и углом рассеяния задача принципиально нетрудная, тем не менее вычисления надо проводить вправильно последовательности — иначе в них довольно легко запутаться.

Очень наглядный и удобный геометрический метод решения задача на стокновении основан на том, что

20

каждому процессу столковения можно сопоставить четырехугольник, составленный из векторов скоростей. Определение углов и скоростей можно свести при таком методе к известному из тригонометрики решения треугольников. Этот метод удобен еще и тем, что его можно обобщить и на более сложные процессы, например на ядерные реакции, и даже — на решение задач в механике теории относительнойности. Здесь мы рассакаем лишь о простейших задачах.

Для того чтобы воспользоваться геометрическим методом, надо вести понятие о пространстве скоростей. Так как скорости — это векторы, то операции, которые можно с ним проделывать, очень похожи на операции, которые проделываются с векторами перемещений (расстояний). Поэтому, подобно тому как все возможные перемещения образуют (или, если хотите, заполняют) общное пространство (мы будем называть его координатным пространством), так все возможные скорости образуют похожий геометрический объект — пространство скоростей. Именно в пространстве скоростей мы будем строить и решать треугольники.

О свойствах пространства скоростей удобнее всего расссказывать, исходя из аналогии с координатным пространством. Поэтому мы наполним сначала некоторые свойства последнего.

КООРДИНАТНОЕ ПРОСТРАНСТВО.

Рассмотрим двумерное пространство, например пол комнаты, продолженный во все стороны до бесконечности.

Если на плоскости имеется несколько точек (предметов на полу), то для того, чтобы говорить о положении этих точек, нам нужно выбрать тело отсечета — одну из точек, например $O$ (рис. 1). тогда положение любой точки $A$ относительно $O$ задается радиусом-вектором $\vec{OA}$, ищим в эту точку из точки $O$, или, как еще можно сказать, вектор перемещения из точки $O$ в точку $A$.

Если бы мы захотели расссказать комун-нибудь, как найти точку $A$, то нам пришлось бы выбрать, кроме тела отсечета $O$, еще какую-нибудь точку $C$ (рис. 2), для того, чтобы сказать, какой угол $\alpha$ составляет вектор $\vec{OA}$ с направлением $OC$. Этот угол вместе с длиной радиуса-вектора $\vec{OA}$ и определяет точку $A$.

Можно было бы поступить иначе: проведсти через точку $O$ две взаимно перpendикулярные прямые $OX$ и $OY$ (оси координат), одна из которых проходит через точку $C$, и задать два числа $A_x$ и $A_y$ — проекции вектора $\vec{OA}$ на оси координат.

В дальнейшем мы будем рассматривать только те величины, которые не зависит от системы координат, —

21

рассстояния между точками и углы между прямыми. Поэтому нам не нужно будет вводить систему координат.

Если в качестве тела отчета выбрать не точку $O$, а какую-нибудь другую точку плоскости, например точку $B$ (рис. 1), то положение точки $A$ относительно $B$ будет определяться радиусом-вектором $\vec{BA}$, равным сумме векторов $\vec{BO}$ и $\vec{OA}$. Иными словами, если мы переходим к новому телу отчета — точке $B$, которая задается вектором $\vec{OB}$, то для того, чтобы найти радиус-вектор $\vec{BA}$, определяющий положение тела $A$ относительно $B$, нужно к вектору $\vec{OA}$, определяющей положение тела $A$ относительно первого начального тела отчета $O$, прибавить вектор $\vec{BO} = -\vec{OB}$.

Obviously правильное сложение векторов изображается графически несколько иначе. Складываемые векторы рисунется исходящими из одной точки, то есть строй вектор $\vec{BD}$, параллельный вектор $\vec{OA}$ и равный ему по длине (рис. 3). Вектор $\vec{BA}$ считается суммой $\vec{BO} + \vec{BD}$. Но складывать векторы можно и так, как показано на рисунке 1. В дальнейшем нам пона-

добится именно такой способ для сложения скоростей.

Do such pins go horizontally or vertically, определяющих относительные положения тела, лежащих на плоскости. Теперь нас будет интересовать относительные скорости тела, равномерно и прямолинейно движущся по плоскости.

ПРОСТРАНСТВО СКОРОСТЕЙ

Поставим на плоскости точку, обозначим ее $V_0$, и векторы скоростей любых тел, движущихся относительно тела отчета $O$, будем рисовать так, чтобы начала этих векторов были в точке $V_0$. Пусть $V_A$ — точка, в которой приходит конец вектора скоростей тела $A$ (рис. 4). Так как скорость — это вектор перемещения за единицу времени, то векторы скоростей складываются точно так же, как векторы перемещений. Поэтому, если в качестве тела отчета выбрать не точку $O$, а какое-нибудь другое тело, например $B$, вектор скорости которого относительно $O$ — это вектор $\vec{V}_0\vec{V}_B$, то вектор скорости тела $A$ относительно $B$ можно найти, воспользоваться правилом сложения векторов, о котором мы говорили, когда рассматривали координатное пространство. Скорость тела $A$ относительно $B$ равна сумме векторов $\vec{V}_B\vec{V}_O$ и $\vec{V}_O\vec{V}_A$, то есть вектор-

22

ру $V_B V_A$. По существу нам просто нужно проверить вектор из точки $V_B$ в точку $V_A$.

Ясно, что скорости любого тела $C$ на нашей плоскости должна соответствовать некоторая точка $V_c$, являющаяся концом вектора $\vec{V}_o V_c$ — скорость тела $C$ относительно тела $O$. Вектор, проведенный из точки $V_c$ в любую другую точку плоскости, например—в $V_A$, представляется собой вектор скорости тела $A$ относительно тела $C$.

Это позволяет нам изобразать скорости тел не только векторами, но и точками на плоскости в пространстве скорости. Любая точка этой плоскости означает скорость тела, а вектор, идущий из одной точки в другую, — вектор относительной скорости тела. Ясно, какой смысл имеет точка $V_o$, с которой мы начали. Это скорость тела $O$.

Конечно, пользоваться пространством скорости, мы не различаем тел, находящихся в разных точках координатного пространства, но имеющих одинаковые скорости. Всем им в пространстве скоростей соответствует одна и та же точка. Поэтому по рисунку 4 мы не можем сказать, договорет ли тело $C$ тело $O$ или удаляется от него. Это определяется общно условием задачи, которое мы решаем, и положениями тел в координатном пространстве.

КИНЕМАТИЧЕСКАЯ ДИАГРАММА

Перейдем теперь к решению задачи о рассеянии. Пусть частица с массой $m_1$ и скоростью $v_1$ стальвается с другой частицей, имеющей массу $m_2$ и скорость $v_2$, и пусть после стольновения скорости частиц соответствующего равны $v_1'$ и $v_2'$). Задча состоит в том, чтобы найти скорости

*) Мы считаем, что частицы стальваются, как билиардные шары: сам удар длится очень небольшое время, а все остальное время частицы движутся как свободные. Тогда выражения «до стольновения» и «после стольновения» имеют волне понятный смысл.

$v_1'$ и $v_2'$, если векторы $v_1$ и $v_2$ и массы частиц известны.

Скорости $v_1'$ и $v_2'$ не могут, конечно, иметь произвольные значения. Они, во-первых, должны удовлетворять закону сохранения импульса (количества движения):

$$m_1 v_1' + m_2 v_2' = m_1 v_1' + m_2 v_2' ,$$

(1) во-вторых, они должны удовлетворять закону сохранения энергии:

$$\frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{m_1 v_1'^2}{2} + \frac{m_2 v_2'^2}{2} .$$

В том случае, когда частицы до и после удара движутся по одной прямой (такой удар называется центральным), эти уравнения решаютсядовольно проще. Вместо векторного уравнения (1) мы можем написать точно такое же скалярное уравнение для длин векторов. Тогда мы получим два скалярных уравнения с двумя неизвестными: $v_1'$ и $v_2'$. Но гораздо чашце приходится иметь дело с нецентральным ударом, при котором частицы разделяются под разными углами. Спроектировав векторы скоростей частиц на два взаимно перpendикулярных направления, одно из которых удобно выбрать параллельным скорости какой-нибудь из частиц до рассеяния, вместе уравнения (1) можно записать два точных же скалярных уравнения для проекций векторов. Поэтому законы сохранения в случае нецентрального удара должны пригодиться для частиц после рассеяния и двух углов, которые составляют эти векторы с выбранным нами направлением. Если одну из величины задать, то уравнение можно решить.

Столковенная часть в любой системе отчета. Возьмем, например, такую, в которой частица 1 до сударения покопалась (такая система называется лабораторной). В ней $v_1 = 0$, а закон сохранения импульса выглядает так:

$$m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2' .$$

Это означает, что три вектора

23

$m_2v_2, m_1v_1'$ и $m_2v_2'$ образуют треугольник. В плоскости этого треугольника лежат любые относительные скорости частиц (до и после столковения). Поэтому нам достаточно рассматривать лишь двумерное пространство скорости.

Отметим на плоскости скоростей $v_1, v_2, v_1'$ и $v_2'$. Соответствующие точки будем обозначать просто цифрами 1, 2, 1’ и 2’ (рис. 5). Докажем, что эти точки лежат в вершинах равновой трапеции. Для этого введем новую систему отчета: системы центра масс. Она выбирается так, чтобы в ней имплусы стalkивающих частицы были одинаковы по величины и противоположны по направлению. Для частиц 1 и 2 точка $C$ — скорость центра масс — лежит на прямой, соединяющей эти точки, и делит эту прямую на отрезки, обратно пропорциональные массам частиц. Если обозначить величины скоростей частицы в системе центра масс через $u_1$ и $u_2$, то $m_1u_1 = m_2u_2$.

Это равенство похоже на правило равновесия рычага. Точка, которая отвечает легкой частице, находится дальше от центра. Ясно, что суммарный имплусы частицы в системе центра масс равен нулю. В силу закона сохранения количества движения в этой системе и сумма имплусов частицы после рассчета также будет равна нулю. Это означает, что точка $C$ лежит на прямой, соединяющей эти точки, и делит эту прямую на отрезки, обратно пропорциональные массам частиц.

Нетрудно показать, что в силу закона сохранения энергии в системе центра масс не меняются величины имплусов каждой из частиц, а меняются только их направления. Для этого энергии частиц надо выразить через величины их имплусов и, записав закон сохранения энергии в виде

$$\frac{(m_1u_1)^2}{2m_1} + \frac{(m_2u_2)^2}{2m_2} = \frac{(m_1u_1')^2}{2m_1} + \frac{(m_2u_2')^2}{2m_2},$$

заменить в этом уравнении имплусы частицы 2 на равные им по величины имплусов частицы 1 или наоборот. В первом случае мы получим, что $m_1u_1' = m_1u_1$ или $u_1' = u_1$, а во втором, что $m_2u_2' = m_2u_2$ или $u_2' = u_2$. А это и означает, что на рисунке 5 получилась равновой трапеция.

Если массы обиха частицы равны, то эта трапеция превращается в прямогольник. (Так как $m_1 = m_2$, то $u_1 = u_2 = u_1' = u_2'$.)

НЕСКОЛЬКО ЗАДАЧ

Рассмотрим несколько задач, которые можно решать с помощью кинематических диаграмм.

Нанhem со случай нецентрального удара частиц с равными массами (рис. 6). Если точка 1 до столкове-

24

покупать, то угол 212’ есть угол, на который отклоняется траектория частицы 2 при рассеянии. Частца 1 отлетает в направлении 1’. Угол 211’ называют углом отдачи. Из диаграммы видно, что в системе координат, в которой одна из частиц (частица 1) до столковения покупалась, частицы 1 и 2 после удара разлетаются под прямым углом в направлениях 11’ и 12'.

Рассмотрим две системы координат: α — угол рассеяния в системе центра масс, β — угол рассеяния в системе, где частица 1 до сударения покупалась. Из диаграммы видно, что α = 2β, так как α — внешний угол, не смежный с углом β в равноведренном треугольнике 12’C. Угол рассеяния, измененный влабораторной системе, вдвое меньше угла рассеяния в системе центра масс.

Если мы будем врашать отрезки 12 и 12’ вокруг точки C — удобнее, впрочем, оставив отрезок 12 неподвижным, врашать только отрезок 12’, — то мы опишем все возможные случаи рассеяния при заданных энергиях (или, что то же, при заданных величины скоростей) частиц до рассеяния, то есть все возможные случаи сударений.

При этом мы увидим, что угол рассеяния α в системе центра масс изменяется на 360°: на 180° по и 180° против часов стрелки. Так как влабораторной системе угол рассеяния β вдвое меньше угла рассеяния β вдвое меньше угла рассеяния β: v₂’ = v₂cosβ, где v₂—начальная скорость частицы 2 в этой системе.

Рассмотрим теперь задачу о столковении части с неравными массами. Чтобы увеличить все возможные случаи рассеяния, будем опять врашать отрезок 12’ вокруг точки C. Частца 1 более легкая, то точка 1 описывает большую окружность, чем

25

точка $2'$ (рис. 7, а). (Так как $m_1u_1 = m_2u_2$, то при $m_1 < m_2$, $u_1 > u_2$.) Из диаграммы 7, а видно, что в системе отсчета, в которойяжелая часть 2 до рассеяния покоплась, легкая часть 1 может рассеять на любой угол (угол рассеяния — $121'$).

Иначе обстоит дело, если покоплась более легкая часть 1. Так как точка $2'$ лежит на окружности маленького радиуса, то ясно, что отрезок $C2'$ обязаетлено расположен в угле, под которым эта окружность видна из точки 1 (рис. 7, б). Это означает, что максимальный угол рассеяния частицы 2 в системе координат, где частица 1 до рассеяния покоплась (угол $212'$), равен углу, под которым из точки 1 видна поливна окружности, получающейся при выражении отрезка $2'C$ вокруг точки $C$. Из рисунка 8 (это увеличенная деталь рисунка 7, б) найдем, что

$$\sin \alpha_{\max} = \frac{u_2'}{u_1} = \frac{u_2}{u_1} = \frac{m_1}{m_2}.$$

Еслияжелая часть рассеивает на легкой, то она не может отклониться на слишком большой угол. Максимальный угол определяется отношением масс.

Таким образом, надо научиться читать диаграммы, а далее дело свойства к простой тригонометрии, которая дает ответ на любой вопрос. Мы можем теперь не решать каждой раз уравнения, выражающие законы сохранения энергии и импульса, а сразу рисовать в пространстве скоростей kinematического диаграмму (для нее эти законы выполняются автоматически) и рассматривать ее потом с точки зрения наблюдаемой, движущихся с разными скоростями. На рисунке 9 один и тот же процесс столкновения изображен с точки зрения трех разных систем отсчета: a) в системе центра масс, b) вLABораторной системе, в которой до рассеяния покоплась часть 1, b) в произвольной системе отсчета O.

Решите самостояльно следующие задачи.

27

1. ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ

Вы собрались ехать на метро. Стоимость проезда — 5 копеек; контроль при входе автоматический: в ответствие автомата нужно бросить пятак, а если у вас его нет, то обменять в разменной кассе ваши деньги на пятко-пеечные монеты.

Предположим, что у вас есть монета в 20 копеек. Сколько пятаков вы можете получить в кассе? Всякий скажет, что 4.

Ну, а если у вас есть 19 копеек без пятаков? Ясно, что вы можете получить всего 3 пятака и еще 4 копейки сдачи. Запишем так: $19 = 3 \cdot 5 + 4$. Это — запись деления числа 19 на 5 с остатком.

Воображим теперь, что существует монеты любого достоинства, то есть 1 копейка, 2 копейки, 3 копейки, 4 копейки и т. д., и вам нужно разменять $a$-копеечную монету так, чтобы получить наиболее число $b$-копеечных. Спрашиваем, как это сделать?

Ясно, что если вам научут отчитывать $b$-копеечные монеты:

$b, 2b, 3b$ и т. д.,

то в конце концов hastanet момент, когда, получив несколько $b$-копеечных монет, вы уже не сможете получить следующее; вам даут какое-то

28

число $b$-копеечных монет и еще какой-то остаток, скажем $r$ копеек. При этом $r$ будет непреемно меньше, чем $b$ (не исключано, конечно, что $r = 0$).

Результат такого размена можно записать следующим образом:

$$a = kb + r, \quad r < b.$$

В этой формуле числа $a, b$ натуральные, то есть целые положительные, а $k$ и $r$ — целые неотрицательные.

О пределене деления с остатком. Разделить целое число $a$ на натуральное число $b$ — значит представить $a$ в виде

$$a = kb + r,$$

где $k, r$ — целые числа, $b > r \geq 0$.

При этом число $k$ называется частным, а $r$ — остатком от деления $a$ на $b$.

На практике деление с остатком выполняется обычным способом, то есть «делением углом». Например,

$$\frac{175}{14} = \frac{14}{12};$$

$$\frac{28}{7}$$

здесь сразу же находится остаток и частное: $175 = 12 \cdot 14 + 7$.

Заметим, что в данном определении мы не требуем, чтобы $a$ было меньше $b$, и даже не требуем, чтобы $a$ было положительным. Можно, например, разделить

a) 5 на 7: $5 = 0 \cdot 7 + 5 \quad (k = 0, r = 5)$,

b) -13 на 7: $-13 = (-2) \cdot 7 + 1 \quad (k = -2, r = 1)$,

b) -224 на 7: $-224 = (-32) \cdot 7 \quad (k = -32, r = 0)$.

В том случае, если остаток равен нулю, то есть $a = kb$, говоря, что $a$ делится на $b$.

Ясно, что если числа $a$ и $b$ делятся на число $c$, то и $a+b$ и $a-b$, а также $ka, kb$ (к— натуральное) делятся на $c$.

2. СРАВНЕНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ ПО МОДУЛЮ

Часто встречаются задачи, при которых главную роль играют не сами числа, входящие в условие задачи, а остатки от деления этих чисел.

Пример первый. Псезид идет из города $A$ в город $B$ 78 часов. Он выходит из $A$ в 10 часов утра. В котором часу поедет в $B$?

Вспомним, что в сутках 24 часа, поделим число 78 на 24:

$$78 = 3 \cdot 24 + 6$$

Значит, поедет из $A$ в $B$ трое суток и 6 часов. Следовательно, он прибудет в $B$ в 16 часов.

Обратите внимание на то, что точно такой же результат получился бы, если бы поедет из $A$ в $B$ не 78, а 54, 30 или 126, 102 и вообще $24 \cdot k + 6$ часов при любом целом $k$.

Пример второй. Учитель математики проводит в классе контрольные работы по следующей системе, обеспечивающей, по его мнению, необходимости взаимной помощи учеников. Он разделяет им подряд листочки с условиями задачи («варинты»), переменеров их по числу учеников класса, и сообщает, что все варианты — различные. И действительно, ученики, сидящие недалеко друг от друга, решают различные задачи.

На самом деле учитель заготовляет всего 7 различных вариантов: варинты 8 совпадает с варинтом 1, 9 — с 2, …, 14 — с 7, 15 — с 1 и т. д.

30

Введем теперь следующие определение:

Определене. Если целые числа $a$ и $b$ можно, что их разность делится на натуральное число $m$, то говоря, что $a$ и $b$ сравним по модулю $m^*$).

Сравним чисел $a$ и $b$ по модулю $m$ записывается так:

$$a \equiv b \pmod{m}.$$

Понятно, что два числа сравним по модулю $m$ тогда и только тогда, когда они дают при делении на $m$ одинаковые остатки, то есть принадлежат одному и тому же классу.

Например,

$$27 \equiv 7 \pmod{10}, \quad 78 \equiv 6 \pmod{24}, \quad 6 \equiv 0 \pmod{3}, \quad 25 \equiv -1 \pmod{13}.$$

Понятные сравнимости чисел оказывается полезным при решении многих задач.

Задача 1. Для каких натуральных чисел $n$ число $n^2+2$ делится на 3, то есть $n^2+2 \equiv 0 \pmod{3}$?

Решение.

Если $n \equiv 0 \pmod{3}$, то $n^2+2 \equiv 2 \pmod{3}$,

» $n \equiv 1 \pmod{3}$, » $n^2+2 \equiv 0 \pmod{3}$,

» $n \equiv 2 \pmod{3}$, » $n^2+2 \equiv 0 \pmod{3}$.

Итак, $n^2+2 \equiv 0 \pmod{3}$ тогда и только тогда, когда $n$ не делится на 3.

Основные свойства сравнения напомнимют свойства общих равенств. Именно сравнения можно получить складывать, вычитать и перемножать:

если $a \equiv b \pmod{m}$, и $c \equiv d \pmod{m}$, то

$$a + c \equiv b + d \pmod{m}, \quad a - c \equiv b - d \pmod{m}, \quad ac \equiv bd \pmod{m}.$$

Докажем, например, что сравнение можно перемножать. Так как $a \equiv b \pmod{m}$ и $c \equiv d \pmod{m}$, то $a-b$ и $c-d$ делятся на $m$. Из равенств

$$ac - bd = ac - ad + ad - bd = a(c-d) + d(a-b)$$

видно, что $ac-bd$ также делится на $m$, то есть

$$ac \equiv bd \pmod{m}.$$

В качестве упражнения доказите, что сравнение можно складывать и вычитать.

Пусть $a \equiv b \pmod{m}$. Из указанных выше свойств сравнения следует, что $a^k \equiv b^k \pmod{m}$ для любого натурального $k$ (то есть что обе части сравнения можно возводить в степень) и, кроме того, что $ac \equiv bc \pmod{m}$, где $c$ — любое целое число (то есть что обе части сравнения можно умножить на любое целое число).

Задача 2. Какой остаток при делении на 3 дает число $(2^2+1)(3^2+1)(4^2+1) \dots (1000^2+1)$?

Решение. Этот остаток не изменится, если каждое из чисел 2, 3, . . . , 1000 в данной выражении заменить его остатком при делении на 3. Таким образом, интерсующее число по модулю 3 равно $(2^2+1)^{333} (3^2+1)^{333} (1^2+1)^{333} \equiv 5^{333} \cdot 10^{333} \cdot 2^{333} \equiv 2^{333} \cdot 1^{333} \cdot 2^{333} \equiv 2^{2 \cdot 333} \equiv 4^{333} \equiv 1^{333} \equiv 1$, т. е. искомый остаток равен 1.

*) Слово «модуль» (от латинского «modulus»—мера) применяется в различных областях математики и ее приложений; оно присваивается числу, имеющему особо важное значение; например, по отношению к нему ведется счет или измерение.

31

Задание 3. Доказать, что всякое натуральное число $n$ сравним по modulo 9 со своей суммой цифр.

Решение. Пусть

$$\overline{a = a_n a_{n-1} \dots a_0},$$

где $a_0, a_1, \dots, a_n$ — цифры числа $a$. Имеем

$$a = a_n \cdot 10^n + a_{n-1} \cdot 10^{n-1} + \dots + a_0.$$

Запишем теперь следующие оценные сравнения:

$$1 \equiv 1 \pmod{9}, \quad 10 \equiv 1 \pmod{9}, \quad \dots, \quad 10^n \equiv 1 \pmod{9}.$$

Умножая эти сравнения соответственно на $a_0, a_1, \dots, a_n$ и складывая, получаем

$$a_0 + 10 \cdot a_1 + \dots + 10^n a_n = a \equiv (a_0 + a_1 + \dots + a_n) \pmod{9}.$$

Отсюда, кстати, сразу получается известный признак делимости чисел на 9 (и на 3).

3. АРИФМЕТИКА ОСТАТКОВ ПО ДАННОМУ MODУЛЮ

Пусть задано натуральное число $m$ (modulo). Расматривая всевозможные целые числа, мы будем интересовать только остатками их от деления их на $m$. Таким образом, мы не будем отличать друг от друга чисел, сравнимых по modulo $m$. При таком условии у нас остаткой $m$ «разных» объектов — остатков от деления на $m$:

$$0, 1, 2, 3, \dots, m-1,$$

и для них мы можем определить новые правила «сложения» и «умножения»: именно, если $r_1$ и $r_2$ — два остатка, то «суммой» $r_1 + r_2$ мы будем называть остаток, который дает число $r_1 + r_2$ при его делении на $m$, а «произведением» $r_1 \cdot r_2$ — остаток при делении $r_1 \cdot r_2$ на $m$. Например, для $m = 10$ остатком от деления на число 10 является последняя цифра его десятичной записи. Поэтому в.ariphметике остатков по modulo 10 будут верны, например, также равенства

$$7 + 3 = 0, \quad 1 + 2 = 3, \quad 7 + 5 = 2, \quad 7 \cdot 5 = 5, \quad 7 \cdot 6 = 2, \quad 2 \cdot 5 = 0.$$

В.ariphметике остатков по modulo 2 всего два остатка: 0 и 1, так что эта.ariphметика совсем простая:

$$0 + 0 = 0, \quad 1 + 0 = 1, \quad 1 + 1 = 0,$$

$$0 \cdot 0 = 0, \quad 1 \cdot 0 = 0, \quad 1 \cdot 1 = 1.$$

Для $m = 6$ получаем

$$5 + 3 = 2, \quad 4 + 2 = 0, \quad 3 + 3 = 0, \quad 3 \cdot 2 = 0, \quad 3 \cdot 4 = 0$$ и т.п.

Таким образом, какдому modulo $m$ соответствует свой.ariphметик. Для сокращения мы будем называть ее $m$-арiphметикой*).

32

В качестве примера приведем таблицы умножения и сложения в 7-арифметике.

Таблица умножения

| × | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 2 | 2 | 4 | 6 | 1 | 3 | 5 |
| 3 | 3 | 6 | 2 | 5 | 1 | 4 |
| 4 | 4 | 1 | 5 | 2 | 6 | 3 |
| 5 | 5 | 3 | 1 | 6 | 4 | 2 |
| 6 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |

Таблица сложения

| + | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 0 |
| 2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 0 | 1 |
| 3 | 3 | 4 | 5 | 6 | 0 | 1 | 2 |
| 4 | 4 | 5 | 6 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 5 | 5 | 6 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 6 | 6 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |

Таблицы эти устройства так: на пересечении строк и столбцов строят произведение (соответствие — суммы) остатков, стоящих в начале этих строк и столбцов.

Из свойств сравнения и обычных правил действия над числами видно, что в $m$-арифметике выполняются приведенные правила обычной.arифметики, то есть для любых остатков $a, b, c$ будет

$$a+b = b+a \text{ — коммутиативность (переместительность) сложения},$$
$$(a+b)+c = a+(b+c) \text{ — ассоциативность (сочетательность) сложения},$$
$$ab = ba \text{ — коммутиативность умножения},$$
$$(ab)c = a(bc) \text{ — сочетательность умножения},$$
$$a(b+c) = ab+ac \text{ — дистрибутивность (распределительность) умножения относительно сложения}.$$

Таким образом, в наших.arифметиках будут верны, например, такие формулы:

$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,$$
$$(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd.$$

Рассмотрим несколько задач на использование $m$-арифметики.

Задание 4. Найти остаток от деления $2^{1000}$ на 7.

Решение. Мы должны выяснить, чем равно $2^{1000}$ в 7-арифметике. Легко видеть, что $2^{1000} = (2^3)^{333} \cdot 2 = 1^{333} \cdot 2 = 2$.

Задание 5. Найти последнюю цифру числа $7^{7^{1000}}$.

Решение. Мы должны выяснить, чем равно это число в 10-арифметике. Для этого рассмотрим последовательные степени числа 7 в 10-арифметике:

$$7^1 = 7, 7^2 = 9, 7^3 = 3, 7^4 = 1, 7^5 = 7 \text{ и т. д.}$$

Ясно, что

$$7^{4n} = 1, 7^{4n+1} = 7, 7^{4n+2} = 9, 7^{4n+3} = 3.$$

Итак, мы должны узнать остаток от деления числа $7^{1000}$ на 4. Рассмотрим для этого $7^{1000}$ в 4-арифметике. Поскольку $7^{1000} = 3^{1000}$, мы теперь рассмотрим последовательность остатков в 4-арифметике:

$$3^1 = 3, 3^2 = 1, 3^3 = 3, 3^4 = 1, 3^5 = 3, \dots,$$

33

$$3^{2n+1} = 3, \quad 3^{2n} = 1.$$

Но 1000 — четное число; значит, $7^{1000} = 1$, то есть $7^{1000} = 4n+1$. Следовательно, в 10-аррифметике $7^{71000} = 7^{4n+1} = 7^{4n} \cdot 7 = 7$.

Ответ: число $7^{71000}$ оканчивается на 7.

Задача 6. Доказать, что если $a^2+b^2$ делится на 3, то как $a$, так и $b$ делится на 3.

Решение. Переход к остаткам от деления на 3, получаем 3-аррифметическое равенство $a^2+b^2 = 0$. В 3-аррифметике три остатка: 0, 1, 2.

Имеем: $1^2 = 1, 2^2 = 1$. Легко видеть, что при $a \neq 0$ $a^2+b^2 \neq 0$, то есть из равенства $a^2+b^2 = 0$ следует $a = 0$ и $b = 0$. А это изначит, что $a$ и $b$ одновременно делятся на 3.

ЗАДАЧИ *)

1. Деление с остатком
   1.0. Разделите с остатком —297 на 31, —1005 на 98.

2. Докажите, что число делителей любого натурального числа $N$ не превыходит $2\sqrt{N}$.

3. Найдите остатки от деления чисел ($n$ — натуральное): а) $n$ на $(n-1)$ и на $(n-2)$; б) $(n^2+n+1)$ на $(n+1)$ и на $(n+2)$; в) $(n^4+1)$ на $(n+3)$ (при $n \geqslant 80$).

4. Найдите все целые числа $n$, для которых число $\frac{n^2+1}{n-1}$ тоже целое.

5. Докажите, что произведение трех любых последовательных целых чисел делится на 6.

6. Докажите, что если $a+b+c$ делится на 6, то $a^3+b^3+c^3$ тоже делится на 6 ($a, b, c$ — целые).
   7*. 15 простых чисел составляют.arрифметическую прогрессию. Докажите, что ее разность больше 30 000.

7. Сравнение целых чисел по модулю
   8.0. Найдите все натуральные числа $n$, для которых число $n^3+n+1$ делится на 3.
   9.0. Решите сравнение $6n+5 \equiv 0$ (mod 7).

8. Докажите следующее признак делимости на 11:
   $$a = \overline{a_n a_{n-1} \dots a_0} \equiv 0 \pmod{11}$$

тогда и только тогда, когда
$(-1)^n a_n + (-1)^{n-1} a_{n-1} + \dots + a_n \equiv 0 \pmod{11}$.
11. Пользовать тем, что $1000 \equiv -1$ (mod 7), а также $1000 \equiv 1$ (mod 37), получите признаки делимости на 7 и на 37.
12. Докажите, что если числа $A$ и 5$A$ имеют одинаковую сумму цифр, то $A$ делится на 9.
13. Докажите, что уравнение $15x^2-7y^2=9$ не имеет решения в целых числах.
14. Докажите, что ни при каком целом $n$ число $n^2+3n+5$ не делится на 11.
15. Докажите, что числа вида $3n+2, 5n \pm 2, 7n+3, 7n-1, 7n-2$ ни при каком натуральном $n$ не является точным квадратами.
3. Арифметика остатков по данному modулю
16.0. Постройте таблицы сложения и умножения в 4-, 6-, 8-, 11- и 13-аррифметиках.
17. Постройте таблицы квадратов и кубов в 9-аррифметиках.
18. Пользовать таблицу кубов, полученной в задаче 17, докажите, что числа вида $9n+5$ и $9n+4$ нельзя представить в виде суммы кубов трех чисел.
19. Докажать, что в $p$-аррифметике, где $p$ — простое число, из равенства $ab=0$ при $a \neq 0$ следует, что $b=0$.
20. Докажите, что в $m$-аррифметике для любого остатка $a$ существует единственный остаток — $a$ такой, что $a+(-a)=0$. Выведите отсюда, что уравнение $a+x=b$ имеет решение в любой $m$-аррифметике при любых $a$ и $b$.
21. Докажите, что при составном $m$ в $m$-аррифметике существует остатки $a \neq 0$ и $b \neq 0$ также, что $ab=0$.
22. Пользовать 31-аррифметикой, докажите, что $1^{255}+2^{255}+\dots+30^{255}$ делится на 31.

*) Нуликом отмещены легкие задачи, звездочкой — наиболее сложные.

АЛЬБЕРТ ЭЙНШТЕЙН

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ
ТЕОРИЯ
ПОЛЕТА
И ВОЛН
НА ВОДЕ

Почему самолет может держаться в воздухе, теперь знает каждый, но еще шестьдесят лет назад это ка-
полс, затадкой. Тем интереснее

35

посмотреть, как Альберт Эйнштейн — великий ученый, создатель теории относительной объяснения, открыта, открыта берется подъемная сила крыльев самолетов и птиц.

Публикуемая статья взята из сборника научных трудов А. Эйнштейна, изданного «Наукой» в 1967 году (т. 4, стр. 22). Свою работу Эйнштейн написал в 1916 году. Он не был знаком с трудами Н. Е. Жуковского, который еще в 1910 году создал теории полета аппаратов тяжелее воздуха.

Откуда берется подъемная сила крыла наших самолетов и птиц, паряших в воздухе? В этих вопросах парит полная неясность. Должен признаться, что и в специальной литературе я не мог найти на них даже простейшего ответа. Я надеюсь поэтому, что читатель достаточно овольствие, если я попытался воспользоваться этот пробел с помощью следующих несложных рассмотрений из теории движения жидкости.

Несжимаемая жидкость, внутренним тренем которого мы будем пренебрегать, чечет по существующей трубе (рис. 1) в направлении, указанном стрелками. На础дет интересовать распределение давления в трубе. Так как через каждое сечение в единицу времени должно протекать одно и то же количество жидкости, скорость течение $v$ будет наиболее там, где площадь сечения минимальная, и наименьшей там, где площадь сечения максимальная. Поэтому на рисунке 1 скорость части жидкости наименьшая в точке $L$ и непрерывно возрастает по направлению к $R$. Причиной, вызывающей такое ускорение части жидкости, является не что иное, как действующего на них сила давления. Рассмотрим частицу $F$ жидкости, занимающего цилиндрический объем. Чтобы частица жидкости $F$ имела в данный моментускорение, направленное впраvo, давление на ее заднюю поверхность $A$ должно быть больше давления на ее переднюю поверхность $B$. Давление на поверхности $A$ превосходит давление на поверхности $B$. Повторяя эти рассужждения, мы приходим к заключению, что давление в трубе непрерывно падает от $L$ к $R$. Такое же распределение давления (убывание давления от $L$ к $R$) мы получим с помощью аналогичного рассужждения и в том случае, когда направление течения жидкости изменится на обратное.

Обобщая сказанное, мы можем сформировать следующую хорощное известную теорему гидродинамики неявкой жидкости. Если мы проследим за траекторией какой-нибудь частицы жидкости в Staционном потоке, то давление $p$ всегда будет больше там, где скорость его $v$ меньше, и наоборот. Как известно, количество выражения этой теоремы для

36

нескимаемых жидкости имеет вид

$$p = \text{const} - \frac{1}{2} \rho v^2,$$

где $\rho$ — плотность жидкости.

Рассмотрим прежде всего один общизвестный пример, иллюстриующий эту теорему,— истечение жидкости, находящейся под постояным давлением, из отверстия (Торричелли). В точке $J$ (рис. 2) давление больше, а скорость, наоборот, меньше, чем в точке $A$, так что выражение

$$p + \frac{1}{2} \rho v^2$$

постоянно в струе.

В качестве второго примера рассмотрим пульверизатор (рис. 3). Воздуший поток, проходящий по трубке $L$, после выхода из отверстия расширяется во все стороны, уменьшая при этом свою скорость. Поэтому давление в точке $P$ меньше, чем в точке $G$, и, следовательно, меньше, чем в окружающей точку $P$ покоящемся воздухе. Жидкость из сосуда $A$ за счет попеженного давления в точке $P$ поднимается вверх и разрызгается потоком воздуха на мелкие

капельки. (To, что в этом примере мы имеем дело с потоком воздуха, а не с потоком нескимаемой жидкости, в существии ничего не меняет в наших рассуждениях.)

После этих приготовлений обратимся к рассмотрению волн на воде. Пусть $W$ — твердая стенка, имеющая вид волнистого цилиндра и расположенная perpendicularно к плоскости чертежа, с одной стороны граничит с потоком жидкости, текущим слева направо (рис. 4). Нас будет интересовать сила, с которой жидкость действует на стенку. Ясно, что поперечное сечение потока жидкости в точках $B$ больше, чем в точках $T$. Следовательно, влизы точек $B$ жидкость будет течь медленнее, а влизы точек $T$ — быстрее, чем в тех точках внутри жидкости, которые расположены вдали от стенки $W$. Поэтому влизы точек $B$ поток жидкости будет создавать избыточное давление, а влизы точек $T$ будет наблюдаться разрежение. В результате жидкость будет давить на стенку так, как будто она стремится увеличить ее изгиб. Это означает, что поток не мог бы подерживаться,

37

если бы поверхность жидкости была свободной и соответственно если бы стенка могла неограниченно изгибаться и растягивать *).

В этих рассуждениях, как и ранее, мы исходили из предположения, что не существует никаких причины, вызывающих давление, кроме течение жидкости. Если же в направлении стрелки S действует сила тяжесте, то она приводит к появлению в жидкости сны давления, возвращающей сверху вниз. Если бы действовала только одна сны тяжесте, то давление в точках B было бы меньше, чем в точках T.

Итак, течение и сны тяжесте порождают предпосылки к появлению различных разностей давления между точками B и T. Ясно, что можно так подобрать скорость течение жидкости, что обусловленные обменами причина результирующие разности давления между точками B и T будут равны нулю. После этого стенку W можно удалить, не внося при этом никаких возмущений в течение

*) Известно, что эти же сообщения позволяют обьясить, почему флаг положется на ветру.

Рис. 4

Рис. 5

жидкости. В результате мы получим течение жидкости с волнообразно исключенной поверхностью, какую часть можно наблюдать при обтекании потоком какого-нибудь прействия. Такую картину мы наблюдаем, глядя с места в воду, если стоимость над опорой.

Если же мы вздумаем описать весь процесс с точки зрения наблюдаателя, движущогося направо со скоростью потока вдали от стенок, то мы придем к обычным волнам на поверхности воды. Для этого наблюдается в покое, а гребни B и владины T уплывают с постояной скоростью назад.

Следовательно, возможность волнообразовательных процессов основывается на том, что статические и диамические разности давления, возникшие между точками с различной высотой, взаимно погашают друг друга.

Совершенно аналогично выглядит и обьясение приин, обусловленные появление подъемной силы крыла. Пусть в поток жидкости или воздуха вставлена твердая стенка, расположенная паралельно по-

38

ку и перпендикулярно плоскости чертежа (рис. 5), на верхней поверхности которого имеет вид плоскость. Если бы не было этой выпukлости, то на поверхности стенки, если не считать неизбежного трения, не действовать бы никакие силы. Выпukлость же будет влиять на течение жидкости как у верхней, так и нижней поверхности стенки, и, таким образом, создает дополнительное давление.

Для потока, обтекающего стенку сизу, выпukлость создает местное уvelличение поперечного сечения и, следовательно, замедление течения; в результате этого уvelличится давление в точке U. На верхней же поверхности, наоборот, выпukлость означает уменьшение поперечного сечения, а значит, местное повышение скорости потока и тем самым padение давления в точке O. Таким образом, диамические силы давления, произвольного потоком, создают силу, действующего на стенку и направленную вверх. Ясно, что для появления этой силы необходимо лишь, чтобы кусок стенки был настолько велик, насколько это требуется для заметного изгибания потока жидкости. Мы получаем несуществующее крыло самолета или птицы (не машущей крыльями в полете).

Уже из этих простейших рассужdenный видно, что для полета требуется лишь определенная мощность, поскольку необходимо предолеть сопротивление неизбежного трения. Если бы трения не было, птицы могли бы летать на любые расстояния по горизонтали, не затрачивая при этом никакой работы.

ЗАДАЧА

Агент по переписи Смит и агент по опросу населения Джонс одновременно подходит к дому № 900. Каждый хозяй узначает возраст животного дома. Владелец дома (дело проискот в США) сообщает им свой возраст и говорит, что в доме живут еще три жильца, возрасты которых — три различных цельх числа — при переменении дайот число, равное номеру дома. Владелец дома говорит, что он сообщит агенту по переписи возрастного из жильцов. Он шепотом сообщает этот возраст агенту по переписи, который после этого говорит, что он не в состоянии определить возраст двух других жильцов. Тогда Владелец дома говорит, что он сообщит агенту по опросу сумму возрастов старшего из жильцов и одного из двух других. Он шепотом сообщает сумму агенту по опросу, который говорит, что он тоже не в состоянии определить возраст животного.

Владелец дома начинает спрашивать их по очереди. В первый раз агент по переписи ответает, что он может определить эти возрасты. Агент по опросу говорит, что он может определить возрасты. Агент по опросу говорит, что он все еще не знает возрасты жильцов, а агент по опросу заявляет: «Теперя я знаю все возрасты». Каков возраст этих трех жильцов? (В условии задачи содержится все необходимая информация для решения!)

ЗАДАЧНИК
кванта

Ф24. Подставку,
на котором
лежит тело,
подвешенное
наружине,
начинают
опускать
сускорением α.
В начальной
момент
пружина
не растянута.
Через
какое время
тelo оторвется
от подставки?
Do какой
максимальной
длины
растянется пружина?
Масса тела М,
жесткость пружины κ.
Н. И. Гольдфарб

39

40

Ф25. Если потенциаль анода фотоземента выше, чем потенциаль кадада, то через фотоземент идет ток $I=10 \, a$ (так насыщения). В противном случае ток через фотоземент не идет. Пренебрегая внутренними сопротивлениями батарей, найти напряжение на фотозементах в изобравженных на рисунке 1 схемах (величины сопротивления указаны в килюмах).

Ф26. Две горизонтальные полуплоскости, расположенные на высоте $h$ одна над другой, плавано переходят друг в друга, как показано на рисунке 2. По верхней полуплоскости под углом $\alpha$ к направлению на спуск движется со скоростью $U$ небольшой брусок. Как он будет движется по нижней полуплоскости? Считать, что брусок не подпрыгивает, то есть движется, не отрываясь от поверхности спуска. Треннем пренебречь.

Ф27. В полусферический колокол, плотно лежащий на столе, наливают через отверстие вверху воды (рис. 3). Когда вода доходит до отверстия, она приподнимает колокол и начинает вытекать сизу. Найти вес колокола, если радиус его равен $R$, а плотность воды $\rho$.

42

Современная промышленность не может обойтись без самых разнообразных кристаллов. Они используются в часах, трансисторных приемниках, вычислительных машинах, лазерах и много других. Великая laboratorия — природа — уже не может удовлетворить спрос развичайшейся техники, и вот на специальных фабриках выращивают искусственные кристаллы: маленькие, почти незаметные, и большие — весом в несколько kilogramмов.

Существуют различные способы выращивания кристаллов. Чasto этот процесс требует высоких температур и огромных давления (например, для получения искусственных-alмазов), но некоторые кристаллы можно выращивать даже в домашних условиях. Мы рассскажем вам о том, как это можно делать.

Проще всего дома выращивать кристаллы алюмокаливых квасцов — KAl(SO₄)₂·12H₂O. Вещество этого можно купить в любом магазинах химреактивов, и оно абсолотно безвредно (квасцы иногда даже добавляют в питьевую воду, чтобы очистить ее от мути). Но прежде, чем приступить к работе, давайте посмотрим, что представляется собой процесс выращивания кристаллов.

Если в воде при постоянной температуре расторять какое-нибудь вещество, то через некоторым, что представляется собой процесс расторения прекращается. Такой растор называется насыщенным, а максимальное количество вещества, которое можно расторить при данной температуре в 100 °С воды, называется его расторимостью. Obviously с повышением температуры расторимость увеличивается. Поэтому растор, насыщенный промышленность не может обойтись без самых разнообразных кристаллов. Они используются в часах, трансисторных приемниках, вычислительных машинах, лазерах и много других. Великая laboratorия — природа — уже не может удовлетворить спрос развичайшейся техники, и вот на специальных фабриках выращивают искусственные кристаллы: маленькие, почти незаметные, и большие — весом в несколько kilogramмов.

Существуют различные способы выращивания кристаллов. Чasto этот процесс требует высоких температур и огромных давления (например, для получения искусственных-alмазов), но некоторые кристаллы можно выращивать даже в домашних условиях. Мы рассскажем вам о том, как это можно делать.

Проще всего дома выращивать кристаллы алюмокаливых квасцов — KAl(SO₄)₂·12H₂O. Вещество этого можно купить в любом магазинах химреактивов, и оно абсолотно безвредно (квасцы иногда даже добавляют в питьевую воду, чтобы очистить ее от мути). Но прежде, чем приступить к работе, давайте посмотрим, что представляется собой процесс расторения прекращается. Такой растор называется насыщенным, а максимальное количество вещества, которое можно расторить при данной температуре в 100 °С воды, называется его расторимостью. Obviously с повышением температуры расторимость увеличивается. Поэтому растор, насыщенный промышленность не может обойтись без самых разнообразных кристаллов. Ониを使用ются в часах, трансисторных приемниках, вычислительных машинах, лазерах и много других. Великая laboratorия — природа — уже не может удовлетворить需求 развичайшейся техники, и вот на специальных фабриках выращивают искусственные кристаллы: маленькие, почти незаметные, и большие — весом в несколько kilogramмов.

Существуют различные способы выращивания кристаллов. Чasto этот процесс requires high temperatures and large amounts of water, which can cause damage to the crystal structure. Therefore, it is recommended to use a specialized laboratory for growing crystals.

43

шенный при одной температуре, становится недосыщенным при более высокой температуре. Если же насыщенный растор охладить, избыток вещества выпадает в осадок. На рисунке 1 показана зависимость расторимости алюмокаливных квасцов от температуры. Из графика видно, что, например, при охлаждении до 10°С 100 г раствора, который был насыщенным при 30°С, в осадок должен выпасть более 10 г вещества. Следовательно, один способ выращивания кристаллов заключится в том, что надо дать насыщенную растору охладиться.

Можно выращивать кристаллы и выпариванием. Ведь если насыщенный растор испаряется, объем его уменьшается, а количество расторенного вещества остается прежним. Иначе говоря, опять создается избыток вещества, который выпадает в осадок.

Рассмотрим теперь, как происходит выделение избытка вещества.

Возьем насыщенный растор и нагреем его. Сосуд с полученным недосыщенным растором накроем стеклом и даим растору спокойно охладиться до температуры более низкой, чем температура насыщения. При этом осадок может и не выпасть, и мы получим пересыщенный растор. Дело в том, что для образова-

ния кристалла необходимо «затравка». Его может служить маленький кристаллик того же вещества или простой пылинка. Иногда достаточно quickly сосуд с пересыщенным растором или снять прикрывающее его стекло, как начинается мгновенная кристаллизация. При этом обычно образуется множество мелких кристаллов. Для того чтобы вырастить крупный кристалл, необходимо ограничить число «затравок». Лучше всего внести искусственную «затравку», роль которой исполнять один из кристаллов, полученных ранее.

«Затравка» готовится следующим образом. Возьмите две стеклянные банки и тщательно их вымойте. В одну из них налейте теплую воду и насыщите квасцы. Помещая растор, следите за расторением. Когда вещество перестанет расторять, аккуратно слейте растор во вторую банку так, чтобы туда не попало нерасторившееся вещество. Затем накройте банку стеклом. Когда растор охладится, химите стекло. Через некоторое время вы увидите, как в банке образуется множество кристаллов. Дайте им подрасти и отберете самые крупные для «затравок».

Теперь можно приступать к выращиванию кристалла. Прежде всего нужно приготовить посуду. Чтобы уничтожить нежелательные загоды-

44

ши на стенках, пропарьте банки изнутри над носиком кипящero чайника. Затем сделайте снова теплый насыщенный раствор и слейте его в другую чистую банку.

Итак, у вас есть теплый насыщенный раствор квасцов. Нагрейте его еще немного, накройте банку стеклом и поставьте охладиться. Когда температура раствора приблизится к температуре насыщения, опустите в банку приготовленную ранее «заправку». Поскольку раствор еще недосыщен, «заправочный» кристаллик начинает растворяться. Но как только раствор охладится до температуры насыщения, растворение кристаллика прекратиется, а вскоре начинается его рост. (Если кристаллик растворится целиком, можно в раствор новую «заправку».))

Когда раствор перестанет охладаться, выращивание кристалла можно продолжить. Для этого приподнимите стекло так, чтобы вода испарилась, но пылини в раствор не попадали. Рост кристалла продолжается два-три дня.

Выращивая кристалл, стаяйтесь банку не тrorать и не передвигать. Когда кристалл будет готов, достаточно его из раствора и тщательно промакните бумажной салфеткой, иначе он быстро потускнет.

Кристаллы получаются разными по форме в зависимости от того, бросите ли вы «заправку» на дно соуса или подвесите ее на нитке (рис. 2). Таким способом можно, например, вырастить «бусы». Для этого надо «заправить» нитку, то есть провести его несколько раз по кристаллу, а затем опустить нитку в раствор.

На фото графики, помещенной вначале статы, показан кристалл, полученный из алюмокаливых квасцов вышепписанным способом.

Выращивание кристаллов — это искусство. Возможно, у вас не все сразу получится. Не огорчайте. Немного настоячивости, упорства, аккуратности, и вы станете обладателем красивых кристаллов.

На вопросы читателей

Подписка на «Квант» произволься всему почтовыми отделениями и агентствами Союзпечати с любого места. Наш индекс 70 465. О случае отказа просим сообщать в редакцию.

Где логическая ошибка?

В журнале The Amer. math. Monthly была помещена задача, которая в волном переводе звучит так: «из какой точки земного шара надо выйти, чтобы, пройдя 10 км по meridianу к югу, затем 10 км по паралелии к востоку, наконец, снова 10 км по meridianу к северу, придити в точку отправления?»

Одно решение почти очень видно: выйти из северного полюса. Любопытно, что это решение не единственное. Один видный математик вслужел эту задачу так. Первая и третья части пути проходят по meridianам; но два meridianа имеют только две общие точки — полосы северный и южный; последний отпадает, так как из него нельзя двигаться на юг; остается северный полос в качестве единственного решения.

В чем ошибка рассуждается и как получить полное решение?

45

О ПРИЕМНЫХ
ЭКЗАМЕНАХ
ПО MATEMATИКЕ
В ТЕХНИЧЕСКИХ
ВУЗАХ В 1969 г.
В. А. ТОНЯН

ЭКЗАМЕНЫ В МИЭМ

В этой статьмы рассакжем о вступительных экзаменах по математике в Московский институт электронного машиностроения (МИЭМ).

Как и в большинстве техническихузов, поступающие сдают два экзамена по математике: письменный и устный. На письменную работу отводится 4 часа (4×60 минут).

Отметим, что все предлагаемые вопросы и задачи не выходят за рамки утвержденной программы для вступительных экзаменов.

Ниже мы приведим задачи, взятые из различных вариантов письменных экзаменов, предлагавшихся в 1969 г., с указанием наиболее типичных ошибок, допущенных абитурентами.

Вариант 0

1. Мотошиклист и величиспедист отправляя одновременно настречу друг другу из пунктов A и B и встречаются на расстоянии 12 км от середины AB. Скорость мотошиклиста на 32 км/час больше скорости величиспедиста. Если бы мотошиклист выехал на час позже, то они встречались бы на середине пути. Найти расстояние AB.

2. Решить уравнение
   $$x = a - \sqrt{a^2 - x \sqrt{x^2 + a^2}}.$$

3. Решить неравенство
   $$\log_{\sqrt{3}} \frac{\sqrt{27}}{\arctg x} \cdot \log_{\sqrt{3}} \arctg x > 2.$$

4. Решить уравнение
   $$\sin \sqrt{4 + 3x - x^2} + \cos \sqrt{4 + 3x - x^2} = \sqrt{2}.$$

5. Центры двух окружностей, радиусы которых R и r, лежат на гипотенузе прямогоугольного треугольника. Одна окружность касается двух катетов, другая касается катета и первой окружности. Найти стороны треугольника.

Приведем решение этих задач.

1. Обозначим скорость величиспедиста через x, а величиспедист AB через 2S; тогда скорость мотошиклиста будет x+32. Если время, затраченное величиспедистом до встречи, равно t, то из условия задачи получим
   $$xt = S - 12,$$
   $$(x + 32)t = S + 12.$$

Если бы动机иклист выехал на час позже, он затранил бы до встречи $t_1$ часов, в то время как动机иклист — $(t_1-1)$ часов и потому
$$(x + 32)t_1 = S,$$
$$x(t_1+1) = S.$$

Решая эту систему, получим $S=48$ км.

Эта задача оказылась нетрудной для поступающих. Ее решило подавляющее число абитриентов. Однако многое получили громоздкие системы уравнения из-за неудачного выбора обозначений.

2. Возведя обе части данного уравнения в квадрат, получаем
   $$x^2 - 2ax = -x \sqrt{x^2 + a^2}$$
   или
   $$x(2a - x - \sqrt{x^2 + a^2}) = 0.$$

Отсюда
$$x_1 = 0$$ и $2a - x = \sqrt{x^2 + a^2}$.

Снова возведя в квадрат, получаем $3a^2 = 4ax$ или $a(3a-4x)=0$. Теперь, если a=0,

46

то $x_2 - \text{любое число},$ если $a \neq 0$, то
$$x_2 = \frac{3}{4} a.$$

При выполнении преобразования (возведение в квадрат) мы могли нарушить равносильность, поэтому найденные корни $x_1, x_2, x_3$ необходимо проверить.

1. $x_1 = 0$. Подставляем значение $x_1$ в исходное уравнение. Тогда левая часть равна 0, а правая часть:
   $$a - \sqrt{a^2} = a - |a| = \begin{cases} 0 & \text{при } a \geq 0, \\ 2a & \text{при } a < 0. \end{cases}$$

2. Если $a = 0$, то левая часть уравнения равна $x$, а правая часть:
   $$- \sqrt{-x \sqrt{x^2}} = -\sqrt{-x |x|} = \begin{cases} -\sqrt{-x^2} & \text{при } x > 0, \\ -\sqrt{x^2} & \text{при } x \leq 0. \end{cases}$$

3. Подставляя значение $x_3 = \frac{3}{4} a$, получим, что левая часть равна $\frac{3}{4} a$, а правая часть:
   $$a - \sqrt{a^2 - \frac{3}{4} a \sqrt{\frac{9}{16} a^2 + a^2}} = \begin{cases} a - \sqrt{\frac{a^2}{16}} = \frac{3}{4} a & \text{при } a > 0, \\ a - \sqrt{\frac{31 a^2}{16}} + a + \frac{a \sqrt{31}}{4} & \text{при } a < 0. \end{cases}$$

Ответ. Если $a > 0$, то $x_1 = 0$, $x_3 = \frac{3}{4} a$; если $a = 0$, то $x \leq 0$.

Нанболее типичная ошибка, которую допускали поступающие при решении этого уравнения, это отсутствие проверки найденных значений $x_1, x_2, x_3$. При решении этого уравнения приведенным выше методом проверка является составной частью решения задачи.

3. Обозначив $\log \sqrt{3}$ arcctg $x = t$, получим $t^2 - 3t + 2 < 0$, откуда $1 < t < 2$.
   Возвращаясь к переменному $x$, можно написать
   $$\sqrt{3} < \text{arcctg} x < 3$$
   откуда получаем ответ: $\text{arcctg} 3 < x < \text{arcctg} \sqrt{3}$.

4. Требование $4 + 3x - x^2 \geq 0$ дает нам $-1 \leq x \leq 4$.

Теперь, применяя формулы сложения к левой части, получаем
$$\sqrt{2} \sin \left(\sqrt{4 + 3x - x^2} + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2},$$
откуда
$$\sqrt{4 + 3x - x^2} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n.$$
Значит, необходимо $n \geq 0$.

Решая это irrationalное уравнение, получаем
$$x = \frac{3 \pm \sqrt{25 - 4 \left(2\pi n + \frac{\pi}{4}\right)^2}}{2};$$
отсюда
$$\left(2n\pi + \frac{\pi}{4}\right)^2 = \frac{25}{4}.$$
Следовательно, $n = 0$ и $x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{100 - \pi^2}}{4}$.

Проверкой легко убеждаемся, что оба эти значения являются корнями уравнения.

В решении этого уравнения много получили равенство (1), но только часть построionalных исследований этого формулу и оставила решение, соответствующую $n = 0$.

5. Пусть $ABC$ – данный треугольник, $\rightarrow ACB$ прямой, $O$ и $O_1$ – центры окружностей радиусов $R$ и $r$; $D$ и $E$ – точки касания окружностей катета $CA$. Проведем $EF \parallel AB$ и обозначим $\rightarrow BAC = \alpha$. Тогда из $\triangle FDE$ имеем
   $$\sin \alpha = \frac{R - r}{R + r}.$$

Заметив, что $CD = R$ и обозначив $AC = b$, получим из $\triangle ODA$
$$\text{tg} \alpha = \frac{R}{b - R}.$$

Из (1) и (2) можно написать
$$1 + \left(\frac{R}{b - R}\right)^2 = \left(\frac{R + r}{R - r}\right)^2,$$
откуда, решая относительно $b$, получим
$$b = R \left[1 + \frac{2\sqrt{Rr}}{R - r}\right].$$

48

Как мы решаем уравнение! Исходя из данного уравнения, пишем подряд одно, другое, третье, … — цепочку уравнения, в котором каждое получается из предыдущего преобразования одной или сразу обеих частей, и так до тех пор, пока не получим совсем простое уравнение, решения которого мы уже умем находить. Если при этом все переходы от данного уравнения к следующему «обратимы», т. е. мы видим, что преобразование четвертого уравнения можно получить третье, из третьего — второе, и т. д., то ясно, что последнее процесс уравнения имеет те же корни, что и исходное. Но часто встречаются такие уравнения с радиkalами, логарифмами, тригонометрическими функциями, при решении которых приходит прибегать к довольно сложным преобразованиям, так что при этом «обратный переход» не оченьiden. Если, решая такие уравнения, делать преобразования формулно, не вникая в их смысл, то легко вставить в ошибку: потерять корень или прибрежти лишний. О том, как это бывают и как избежать подобных неприятностей, рассказывается в этой статье.

1. НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ.

Пусть данные числовых множества $X$ и $Y$. Запись $X \subset Y$ означает, что каждый элемент множества $X$ является в то же время элементом множества $Y$, а в $Y$ могут быть элементы, не принадлежащие множеству $X$. Запись $x \in X$ (соответственно $x \in X$) означает, что элемент $x$ принадлежит (не принадлежит) множеству $X$.

Условия далее вместе фразы «множество $X$ состоит из всех действительных чисел $x$» используются также обозначение: $X = \{x| -\infty < x < \infty\}$. Аналогично, запись $X = \{x|x \ge 3\}$ означает, что множество $X$ состоит из всех таких чисел $x$, которые удовлетворяют неравенству $x \ge 3$, а запись $X = \{x|x \neq \pi\}$ означает, что множеству $X$ принадлежит все действительные числа, за исключением $x = \pi n^*$).

И, наконец, условия область допустимых значений ОДЗ (напомним, что область

*) Всюду в дальнейшем предполагается, что $n, k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots$

49

Допустимых значений уравнения $f(x)=g(x)$ называется множество тех $x$, при которых функция $f(x)$ и $g(x)$ определяны) заданного уравнения обозначать буквой $X$, а ОДЗ уравнения, полученного из исходного в результате неокоторого преобразования, — буквой $Y$.

2. ОТКУДА БЕРУТСЯ ПОСТОРОННИЕ КОРНИ?

Причина первая — расширение ОДЗ. При решении уравнения постоянно применяется самые различные преобразования. Довольно часто при этом служается так, что ОДЗ уравнения, полученного из исходного в результате неокоторого преобразования, оказывается шире, чем ОДЗ исходного уравнения (фраза «более широкая ОДЗ» означает $X \subset Y$). Расширение ОДЗ может привести к появлению постоянных корней. Дело в том, что полученное уравнение может иметь такие корни, которые, будучи элементами множества $Y$, не принадлежат множеству $X$. Они-то и будут постоянными для исходного уравнения.

Пример 1. Решить уравнение
$$\frac{2}{2-x} + \frac{1}{2} = \frac{4}{2x-x^2}.$$
Решение. Запишем прежде всего ОДЗ уравнения (1): $X=\{x|x \neq 0;2\}$. Приведя к общему знаменателю, получим
$$4x+2x-x^2=8.$$

Уравнение (2) имеет уже другую ОДЗ: $Y=\{x|-\infty < x < \infty\}$. Решая уравнение (2), получим два корня: $x_1=4$, $x_2=2$, причем $x_1 \in X$, тогда как $x_2 \in X$, и поэтому $x_2$ является постоянным корнем для уравнения (1). Таким образом, уравнение (1) имеет единственный корень $x=4$.

Пример 2. Решить уравнение
$$\lg (x^2+3x-4) = \lg (2x+2).$$
Решение. Решив систему неравенств
$$\begin{cases} x^2+3x-4 > 0, \\ 2x+2 > 0, \end{cases}$$
находим ОДЗ уравнения (3): $X=\{x|x > 1\}$. Потенцируя, преобразуем уравнение (3) в уравнение
$$x^2+3x-4=2x+2$$
с более широкой ОДЗ: $Y=\{x|-\infty < x < \infty\}$. Уравнение (4) имеет два корня: $x_1=2$, $x_2=-3$, причем $x_1 \in X$, а $x_2 \in X$. Значит, $x_2$ является постоянным корнем для уравнения (3) и, следовательно, уравнение (3) имеет единственный корень $x=2$.

К рассширению ОДЗ иногда приводит применение неокоторых формул, известных из курса средней шкoles. Это формулы, связанные с различными свойствами логарифмов, радиkalов четной степени, а также неокото-

$$\log_a f(x) + \log_a g(x) = \log_a [f(x) \cdot g(x)],$$
$$\frac{1-\cos x}{\sin x} = \tg \frac{x}{2}.$$

Нетрудно видеть, что функция, содержащая в правых частях этих равенств, имеет более широкую область определения, чем функция, содержащая в левых частях.

Так, область определения функции $\log_a f(x)+\log_a g(x)$ определяется системой неравенств
$$\begin{cases} f(x) > 0, \\ g(x) > 0, \end{cases}$$
тогда как область определения функции $\log_a [f(x) \cdot g(x)]$ состоит из решений системы (7) и решений еще одной системы неравенств
$$\begin{cases} f(x) < 0, \\ g(x) < 0. \end{cases}$$

Области определения функции $\frac{1-\cos x}{\sin x}$ такова: $X=\{x|x \neq \pi n\}$. Функция же $tg \frac{x}{2}$ имеет более широкую область определения: $X=\{x|x \neq \pi(2k+1)\}$. Поэтому применение при решении уравнения формул (5), (6) и им подобных «слева направо» может привести к появлению постоянных корней.

Пример 3. Решить уравнение
$$\frac{1-\cos x}{\sin x} + \tg^3 \frac{x}{2} = 0.$$

Решение. Запишем ОДЗ уравнения (8): $X=\{x|x \neq \pi n\}$. Применя формулу (6), получим уравнение
$$tg \frac{x}{2} + \tg^3 \frac{x}{2} = 0$$

с более широкой ОДЗ: $Y=\{x|x \neq \pi(2k+1)\}$. Решениями уравнения (9) служат значения $x=2\pi n$. Все эти значения не входят в ОДЗ уравнения (8), а потому являются постоянными корнями. Таким образом, уравнение (8) не имеет решений.

Причина вторя — умиожение обеих частей уравнения на одну и ту же функцию. Пусть дану уравнение
$$f(x)=g(x).$$
Умножим обе части на функцию $h(x)$. Поучим уравнение
$$f(x)\cdot h(x)=g(x)\cdot h(x),$$
корнями которого служат как корни уравнения (10), так и корни уравнения $h(x)=0$ (или, как еще говорят, корни функции $h(x)$. Средние этих последних могут оказаться также корни, которые не удовлетворяют уравне-