Квант 1970, №6 · Страницы

Научно-популярный физico-mатематический
квант
6
1970
журнал
Академии
наук СССР
и
Академии педагогических
наук СССР

93

Главный редактор — академик И. К. КИКОИН
Первый заместитель главного редактора — академик А. Н. КОЛМОГОРОВ

Редакционная коллекция:

Л. А. Арцимович,
М. И. Башмаков
В. Г. Болтянский,
И. Н. Бронитейн,
Н. Б. Васильев
И. Ф. Гинзбург
В. Г. Зубов,
П. Л. Капица,
В. А. Кириллин,
Г. И. Косуров
В. А. Лешковцев,
В. П. Лишевский
А. И. Маркушевич,
М. Д. Миллюоницков,
Н. А. Пампикеева
Н. Х. Розов
А. П. Савин
И. Ш. СLOBODEЧИЙ
М. Л. Смолянский
Я. А. Смородинский,
В. А. Фабрикант,
Я. Е. Шнайдер

академик
член-корреспондент АПН СССР
академик АПН СССР
академик
(зам. главного редактора)
академик АПН СССР
академик
(зам. главного редактора)
доктор физико-математических наук
академик АПН СССР
(ответственный секретарь)

Заведующая редакция Л. В. Чернова
Главный художник Е. П. Леонов
Технический редактор Т. М. Макарова
Корректор И. В. Мамулова, Г. С. Смоликова
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математический литературы
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Тел. 234-07-93 234-08-11

Сдано в набор 8.04.70 г.
Подписано в печать 22.06.70 г.
Бумага 70×100¹/₁₆. Физ. печ. л. 4.
Услови. печ. л. 5, 20. Уч.-изд. л. 6,12.
Тираж 206270 экз.
Цена 30 коп. Заказ 568 Т-09760
Чеховский полигraphкомбинат Главполигraphпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР
г. Чехов, Московской области

1

В НОМЕРЕ:

Системы счисления 2 И. М. Яелом

Закон сохранения магнитного потока 11 Ю. В. Шарвиин

Арифметика биомиальных крэффициентов 17 Д. Б. Фукс, М. Б. Фукс

Задачник «Кваента» 26

Вступительные экзамены по математике в Московском институте стали и сплавов 1969 года 29 В. В. Гольдберг

Вступительные экзамены по математике в Московском авиационном институте 1969 года 35 В. А. Назаев, П. Н. Торжков

Графики движения 39 Ю. В. Зайчиков

Решения задач вступительного контрольной работы в ЗМШ 1970 года 46 А. Л. Тоом

Задачи для 5 класса 54

Все, чем занимаются математики 55

Ответы, указания, решения 59

Идет редакционная почта… 64

Кроссворд —
З-я страница обложки

3

Поступать таким же образом со всеми встречшимися на практике числами было бы неудобно. Далее если бы наши потребности ограничивались счетом в пределах тысяч, надо было бы запомнить тысячу специальных знаков. Естественно, что уже давно люди стали выбирать тот или иной ряд «ключевых» чисел и только их обозначать специальными знаками. Такова, например, римская система числения (нумерации), основанная на ключевых числах
1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000.
Эти числа в римской системе числения обозначают буквы I («и»), V («ве»), X («икс»), L («эль»), C («це»), D («де») и M («эм»).

Такие обозначения частно производили от рисунков, изображенных неокогда соответствующие числительные (I — палец, V — пятерия с расставлением пальцами, X — две пятери), а частно являются сокращениями латинских слов (centum — сто, demimille — пятьсот, mille — тысяча).

Так как римская система нумерации нужна нам только для примера, мы рассмотрим ее в более древнем, упрощенном варианте, когда число «четыре» писалось в виде IIII, а не в виде IV. Число 3477 в этой старом римской системе записывается так: МММССССCLXXVII=3·1000+4·100+50+2·10+5+2.

Аналогично поступает кассир, имеющий денежные купоры достоинством в 100 рублей, 50 рублей, 25 рублей, 10 рублей, 5 рублей, 3 рублей и 1 рублей. Для кассира ключевыми являются числа

100, 50, 25, 10, 5, 3 и 1.
Желая выплать, скажем, 499 рублей, он выдает сначала столько сотных бумажек, сколько возможно,

что бы выдать лишнего:
499 = 4·100 + 99.

Затем он выдает столько купор по 50 рублей, сколько возможно, чтобы выдать не более оставшихся к выплате 99 рублей:
499 = 4·100 + 1·50 + 49,
и т. д. Иногода у него может получить остаток меньше, чем следующее ключевое число. Так будет на нашем примере после выдачи двух десятирubleков:
499 = 4·100 + 1·50 + 1·25 + 2·10 + 4.

Следующее ключевое число равно 5, однако, так как 4 < 5, то пятирubleков выдавать не придется. Но для полотны картины можно считать, что было выдано 0 пятирubleков, и включить в сумму слагаемое 0·5. Вся процедура выдачи 499 рублей запишется так:
499 = 4·100 + 1·50 + 1·25 + 2·10 + 0·5 + 1·3 + 1·1.

Попробуем теперь обобщить сказанное, взяв в качестве последовательности ключевых чисел («базиса») любую последовательность возрастания чисел:
$q_0 = 1 < q_1 < q_2 < \dots < q_n < \dots$ (1)
Опишем, как получить запись произвольного числа $N$ в системе чисел с базисом (1).

В последовательности (1) ключевых чисел находится самое большое число $q_n$, не превысаящее $N$. Дelim $N$ на $q_n$ и получаем (неполное) частное $a_n$ и остаток $r_{n-1}$:
$N = a_nq_n + r_{n-1}$, где $0 \leqslant r_{n-1} < q_n$.

Первый остаток $r_{n-1}$ делим на следующее ключевое число $q_{n-1}$. Положаем
$r_{n-1} = a_{n-1}q_{n-1} + r_{n-2}$,
где $0 \leqslant r_{n-2} < q_{n-1}$, или
$N = a_nq_n + a_{n-1}q_{n-1} + r_{n-2}$.

(Заметьте, что мы не исключаем здесь и тот случай, когда $r_{n-1} = 0$, — в этом случае все последующее частные

4

и остатки будут равны нулю!) Терьерь новый остаток $r_{n-2}$ делим на $q_{n-2}$; мы получаем

$$r_{n-2} = a_{n-2}q_{n-2} + r_{n-3},$$

где

$$0 \leqslant r_{n-3} < q_{n-2},$$

или

$$N = a_nq_n + a_{n-1}q_{n-1} + a_{n-2}q_{n-2} + r_{n-3}$$

и т. д.

В конце концов, разделив предпоследний остаток $r_1$ на $q_1$, получаем

$$N = a_nq_n + a_{n-1}q_{n-1} + \dots + a_2q_2 + a_1q_1 + r_0,$$

где $0 \leqslant r_0 < q_1$.

(Tак как $q_0 = 1$, то делить на него «последний остаток» $r_0$ излише: ясно, что $r_0 = a_0q_0 = a_0$.) Практические подобное многоократное деление обычно записьают слитно. Как это делается, мы показем на уже разобранном примере запись суммы в 499 руб. в «системе кассира»:

$$499 \times 100 + 499 \times 50 + 499 \times 25 + 499 \times 10 + 499 \times 5 + 499 \times 1 + 499$$

(Здесь все частиные $a_n, a_{n-1}$ и т. д. набранны красными цифрами, а само число $N$ и остатки $r_{n-1}, r_{n-2}$ и т. д. — синими.)

§ 2. Позиционные системы счисления

Вероятно, вы уже договорались, что в случае базиса

$$q_0 = 1, \quad q_1 = 10,$$

$$q_2 = 10^2, \dots, q_n = 10^n, \dots$$

мы будем иметь дело с общеупотребительной детической системой счисления. Но вместе того, чтобы писать, скажем,

$$4 \cdot 10^5 + 0 \cdot 10^4 + 3 \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2 + 1 \cdot 10 + 7$$

мы пишем просто 403017.

Рассейный или чересчур пунктульный кассир мог бы приготовить для записи своих выдачевedomость, где число выданных купюр разного достинства запосилось бы в отдельные столбцы. В такойedomости выдача 499 рублей выглядела бы так:

| | 100 | 50 | 25 | 10 | 5 | 3 | 1 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| 499 | 4 | 1 | 1 | 2 | 0 | 1 | 1 |

Можно сказать, что в «системе счисления кассира» число 499 записывается в виде

$$4112011.$$

Системы счисления, родственные разобранным в последних двух примерах (т. е. десятичной системе счисления и «системе кассира»), называются позиционными (о значении этого выражения мы еще скажем ниже). Вместо громоздкой записи

$$N = a_nq_n + a_{n-1}q_{n-1} + \dots + a_2q_2 + a_1q_1 + a_0$$

в позиционной системе счисления с базисом (1) удобно пользоваться более компактной записью из $n+1$ «цифры»:

«$a_na_{n-1} \dots a_2a_1a_0$».

При этом предполагается, что «цифры» $a_k$ получены тем способом (алгоритм), который был описан выше.

Из этого описания ясно, что в заданном базисе каждой натуральное число $N$ записьается единственным образом. Далее, так как «старшая цифра» $a_n$ получается как частное от деления на $q_n$ числа $N$, которое по условию меньше $q_{n+1}$ (ибо иначе мы начали бы с деления $N$ на $q_{n+1}$, а не на $q_n$!), то $a_n < q_{n+1}/q_n$. Поэтому,

6

Существование и специальное обозначение для нуля, напоминавшее полузакрытый глаз:

Вот несколько примеров записи чисел в системе майя:

$$[1 \cdot 20 + 0 = 20, \quad 19 \cdot 360 + 13 \cdot 20 + 13 = 7113, \quad 10 \cdot 360 + 7 = 3607]$$

Основное стлиние записи чисел в варианском системе числения и по системе майя от римской нумерации как раз и заключается в «позиционном» принципе этих систем: в то время как у римлян буква I всегда означает единицу, а V — пятерку, независямо от того, где эти буквы стояят, у древних вивилонян и у индейцев майя значение «цифры» существует зависят от занимаемого его места, или «позиции». Именно поэтому такие системы записи чисел (к числу которых принадлежит и общераспространенная «десятичная система», созданная в Индии в VIII—IX вв. или немного раныше) называют позиционными.

Упражнения

1. Записать в «полной системе кассира» (где «ключевыми» является следующие числа: 10000, 5000, 2500, 1000, 500, 300, 100, 50, 20, 15, 10, 5, 3, 2 и 1, отвечающие выраженным в копейках ценностям всех существующих бумажных денег и всех монет сумму в 233 руб. 87 коп. Записать операцию перевода 23387 коп. в «систему кассира» с помощью «непрерывного деления» (см. стр. 4).

2. Прочесть записанное по варианском системе число

3. Прочесть записанное по системе майя число

(Это самое большое число, обнаруженное в памятниках культуры майя.)

§ 3. Системы числения с заданным основанием

Так называются системы числения с базисом

$$q_0 = d^0 = 1, \quad q_1 = d^1 = d, \quad q_2 = d^2, \quad q_3 = d^3, \quad q_4 = d^4, \dots, (2)$$

где $d$ — любое целое число, большее единиц. Это число $d$ называется основным системы числения.

К числу таких систем принадлежит общая десятиная система числения с основанием $d=10$, в варианском шестидесетеричная ($d=60$) и получившая широкое применение в последнее время в связи с нуждами вычислительной техники двойная система числения ($d=2$). В случае произвольного основания $d$ говорят о «d-ичной» системе числения.

В $d$-ичной системе числения запись $N = \langle a_n a_{n-1} \dots a_2 a_1 a_0 \rangle$ имеет следующий смысл:

$$N = a_n d^n + a_{n-1} d^{n-1} + \dots + a_2 d^2 + a_1 d + a_0.$$

8

шне 1, различные или одинаковые.
В такой системе счисления в записи числа

$$N = \lceil a_n a_{n-1} \dots a_2 a_1 a_0 \rceil$$

первая с конца цифра $a_0$ может принимать $d_0$ значений 0, 1, 2, …, $d_0$ — 1. следующего цифра $a_1$ может принимать $d_1$ значений от 0 до $d_1$ — 1; цифра $a_2$ может принимать значения от 0 до $d_2$ — 1 и т. д.

При этом в системе счисления с базисом (3), как и в $d$-ичной системе счисления (в котором наша система обращается в случае $d_0 = d_1 = d_2 = d_3 = \dots = d$), имеет смысл лю б а я запись

$$N = \lceil a_n a_{n-1} \dots a_2 a_1 a_0 \rceil,$$

где $a_0, a_1, a_2, \dots, a_n$ — натуральные числа такие, что $a_0 < d_0, a_1 < d_1, a_2 < d_2$ и т. д. В самом деле, легко проверить, что при обращении числа $N = a_n q_n + a_{n-1} q_{n-1} + \dots + a_2 q_2 + a_1 q_1 + a_0$ в нашу систему счисления по методу «непрерывного деления» (см. выше стр. 4) получается цифры:

$$a_n, a_{n-1}, a_{n-2}, \dots, a_1, a_0.$$

To, что такое благополучное положение не является общим законом, мы показем на примере одной очень простой «системы счисления».

2° «Четная» система счисления.

Прием за базис системы счисления все четные числа (и число $q_0 = 1$):

$$q_0 = 1, \quad q_1 = 2, \quad q_2 = 4, \quad q_3 = 6,$$

$$q_4 = 8, \quad q_5 = 10, \quad q_6 = 12,$$

Так как здесь

$$\frac{q_1}{q_0} = q_1 = 2$$

и

$$\frac{q_{n+1}}{q_n} = \frac{2(n+1)}{2n} = \frac{n+1}{n} = 1 + \frac{1}{n} < 2$$ при всех $n > 1$,

то эта система счисления, подобно двойной, знает всего две «цифры»: 0 и 1. Условия обозначать числа, записанные в этой «четной» системе счисления красным цветом. Тогда, оченьindo,

$$2 = 10, \quad 3 = 11, \quad 4 = 100, \quad 5 = 101, \quad 6 = 1000, \quad 7 = 1001, \quad 8 = 10000, \quad 9 = 10001$$ и т. д.

И вообще все числа изображаются либо единшей с тем или иным количеством нуля в конце (четные числа), либо двуяяяющее большинство последовательности нуля и единиц не выражают ни каких чисел в «четной» системе счисления, поскольку в ней единца может стать лишь на первом месте и — иногда — на последнем месте.

И, наконец, еще один пример.

3° «Системаprodavца». Стандартный набор гирь для чашечных весов в магазине обобщено включает гири: 10 е, 20 е (2), 50 е, 100 е, 200 е (2), 500 е, 1 ке, 2 ке (2) и 5 ке.

Продавец пользовется этим набором гирь, как кассир ассигнациями, имеющимся в кассе. А именно, ответивая товар, он прежде всегоkladет на весы самую тяжелую из не перевишивающих товаров гирь, далее онkladет старшую из оставшихся гирь и т. д.

Так, например, взвешивая кусок мяса весом в 3 ке 460 е, он использует гирь, показанных на рисунке.

9

Обобщая эту хорошего известную всем торговым служащим и всем хозяйским систему «представленной чисел (весов) с помощью заданной системы гирь», мы приходим к системе численения с базисом
1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, 500, …
в которой 3 ккал 460 г запишется так
11020101000.

В этой системе численения в записи
$$N \ll a_n a_{n-1} \quad a_2 a_1 a_0$$
последняя цифра $a_0$ может равнять лишь 0 или 1 (ибо $q_1 = 2$); предпоследняя цифра $a_1$ может принимать значения 0, 1 или 2 (так как $2 < q_2/q_1 < 3$); третья от конца цифра $a_2$ снова может принимать лишь значения 0 и 1 (ибо $q_3/q_2 = 2$); цифра $a_3$ также может принимать лишь значения 0 и 1, а вот цифра $a_4$ снова может принимать значения 0, 1 и 2 (ибо $2 < q_5/q_4 < 3$).

И вообще в этой системе численения все цифры
$$a_1, a_4, a_7, a_{10}, \dots, a_{3k+1}$$
могут принимать значения 0, 1 и 2, а все остальные цифры — лишь значения 0 и 1 (Позотому продавцу в магазина достаочно имеет две двухлограммовые гири и только по одной гире в 1 ккал и в 5 ккал.)

10

13. Каким условиям должны удовлетворять числа базисной последовательности $q_1, q_2, q_3, \dots$, чтобы в записи чисел встречались только две цифры: 0 и 1? Какое еще условия на эти числа $q_1, q_2, \dots$ нужно наложить, чтобы при этом никакие две единицы не шли подряд?

14. Последовательность чисел

$$q_0 = 1, \quad q_1 = 2, \quad q_2 = 3,$$

$$q_3 = 5, \quad q_4 = 8, \quad q_5 = 13, \dots,$$

где $q_{n+1} = q_n + q_{n-1}$, называется последовательностью Фибоначчива. Докажите, что «Фибоначчива» система чисел удовлетворяет всем условиям предыдущей задачи. Найдите в этой системе сумму чисел

a) $\underbrace{100 \dots 00}_{k} + \underbrace{100 \dots 00}_{l}$;

b) $\underbrace{10101 \dots 01}_{2m+1} + 1$;

c) $\underbrace{10101 \dots 01}_{2m+1} + \underbrace{100 \dots 00}_{2m+1}$.

15. Можно ли разить все натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … на две такие возрастящие последовательности $a_1, a_2, a_3, a_4, \dots$ и $b_1, b_2, b_3, b_4, \dots$, что $b_k - a_k = k$ для любого $k = 1, 2, 3, \dots$?

После некоторых размышлений вы, кнечно, договорается, как выбрать такие последовательности (это можно сделать единственным образом)

$$\begin{array}{cccccccc} a_1 & b_1 & a_2 & a_3 & b_2 & a_4 & b_3 & a_5 & a_6 & b_4 & a_7 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\ a_8 & b_5 & c_9 & b_6 & \dots \\ 12 & 13 & 14 & 15 & \dots \\ \end{array}$$

Не удовлетворяют в образованни пар $(a_k, b_k)$ не так-то просто. Как узнать, например, к какой из двух последовательностей $-a_k$ или $b_k$ — относится 100, какому номеру оно соответствует, какое число будет с ним в пале (не выписьвая все предыдущие $a_k$ и $b_k$)?

Оказывается, чтобы формулировать эту закономерность, нужно записать эти последовательности не в десятичной, а в Fibonacci системе численения. Попробуйте ее обнаружить и доказать.

10

11

Если опыт показывает, что при процесах определенного типа какая-то физическая величины не изменяется, можно сформировать «закон сохранения» этой величины при процесах данного типа. Самый известный пример подобного закона — закон сохранения энергии, который выполняется при любых процесах, протекающих в системех, хорошо изолированных от влияния других тел. С помощью законов сохранения можно часто представить конечный результат опыта только по начальному условиям, не зная, что происходит на промежуточных стадиях. Например, если кинетическая энергия какогонибудь тела перешла в телло, его количество не зависит от того, каким способом это произойдет.

В этой статье речь пойдёт о законе сохранения магнитного потока. Этот закон, правда, выполняется только в особых условиях и не претендует на такую всеобшую роль, как закон сохранения энергии, но в своей области от тоже — закон очень полезный, хочется добавить, красивый.

Определим сначала, что называется магнитным потоком. Представим себе, что в пространстве имеется постоянное недоподденное магнитное поле любой самой сложной формы. Его можно изобразить наглядно при помощи магнитных силовых линии, направление которых будет указывать направление поля (для этого на линиях надо поставить стрелки), а густота, то есть число линей, проходящих через перpendикулярную им площадку в 1 см², — величины напряжности магнитного поля. При помощи непрерывных непересекающих силовых linей, которые или замкнуты, или уходят вдаль, в бесконечность, можно изобразить любое магнитное поле, какой бы сложной ни была его форму. Причем в описанной модели не будет такого места, где попадилось бы добавить или выкинуть отрезок линии, чтобы правильно изобразить напряжение поля. Уж так, как говорится, магнитное поле устроено. Во всяком случае, все попытки обнаружить на опите отклонения от этого правила пока не удавались. Как мы сейчас видим, только благодаря этому свойству магнитного поля и можно ввести понятие магнитного потока.

Если имеется какая-то замкнутая кривая в пространстве — «контур» (вобрабатим его сделанным из тонкой проволоки), то число магнитных силовых linей, охваченных этим контуром, будет назвать магнитным потоком через этот контур. Чтобыправильно подсчитать это число, надо действиявать следующим образом. Сначала — затянуть этот контур воображаемой лленкой (любой форму, только не дырявой) и отметить на

12

ней разные ее стороны — «лицо» и «изнанку». После этого надо считать все силовые линии, протыкающие пленку с изнанки на лице, и вычесть из этого числа силовых линии, протыкающих пленку в обратном направлении, если такие линии есть. Разность и дакт нам величины магнитного потока, которая, таким образом, может быть и отрицательной. Именно потому, что силовые линии игнорные не обращаются, безразлично, какой пленкой затянут контур — obtянуть экономно или пришить к контуру целый сачок, — поток получится тот же самый (рис. 1). Поток обозначает общую буквой Ф (может быть, потому, что она похожа на силового линии, произsaющий контур). Если магнитное поле мы изменяем в гауссах, размерность Ф будет $eaycc \cdot cm^2$ (есс. $cm^2$).

Если магнитный поток, охваченный контуром, будет изменять со временем на величины $\Delta \Phi$ за время $\Delta t$, а контур сделан из проволоки с электрическим сопротивлением $R$, то согласно закону электромагнитной индукции по контуру начинает циклировать ток

$$I = -10^{-8} \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \cdot \frac{1}{R} \text{ amper} \quad (1)$$

($\Phi$ выражено в $ec \cdot cm^2$, $t$ — в секундах, а $R$ — в омах). Этот ток в контуре идет под действием электродвижшей силы индукции

$$\varepsilon = -10^{-8} \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \text{ волт.} \quad (2)$$

Знак минус в этих формулах связан вот с чем: мы считаем положительным ток в контуре, который сам создает в нем магнитное поле с положительным потоком (такой ток обтекает контур по часовой стрелке, если смотреть «с изнанки»). Отрицательный знак, следовательно, показывает, что если поток уменшается со временем $\left( \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \text{ отрицательно} \right)$, то возбуждаемый ток будет положительным и сам будет создавать положитель-ный поток. Наоборот, если поток возратает, ток в контуре создает поток противоположного направления (правило Ленца). Так как поток Ф складывает из потока внешнего поля и потока, создаваемого самим контуром, то индуцирование тока в контуре приводит к замедлению изменения общего потока через контур.

Пусть в начальной момент ток равен нулю, а поток создается каким-то внешним источником поля, например магнитом. Тепер быстро уберем магнит. Тогда в контуре одновременно с этим возникнет ток, который сам создает магнитный поток той же величины, то есть не позвольт магнитному потоку выше из контура. Для того, чтобы в контуре с электрическим сопротивлением $R$ существовал ток, необходимо, конечно, чтобы поток изменялся. Поэтому в последующее моменты Ф будет все же постепенно уменшаться, но тем медленнее, чем меньше $R$. Точно также, если мы захотим увеличит поток внутреннего контур, это можно будет сделать только постепенно.

Нужно отметить одно большое достоинство закона электромагнитной индукции: все наши рассуждения и формулы остаются справедливыми независимо от того, каким способом мы изменяем магнитный поток через контур — изменяем ли само магнитное поле или еще и двигаем, изгибаем,

13

растигиваем контур, который в этом поле находится.

Предположим теперь, что наш контур сделан из сверхпроводника, сопротивление которого, как известно, равно нулю. О том, что сверхпроводимость наступает у многих металлов и сплавов при низких температурах, порядка нескольких градусов абсолотной шкалы, читатель, конечно, знает. Надо еще напомнить, что сверхпроводимость разрушается под действием магнитного поля с напряженностью, превышающей некоторый предел — критическое поле $H_c$, которое зависит от температуры примерного так, как показано на рисунке 2. Для свища, скажем, при самых низких темперарах $H_c=800$ гаусс. При полях, больших $H_c$, металл вовь прибретает сопротивление.

Если в контуре с малым сопротивлением магнитный поток изменяется медленно, то естественно, что в сверхпроводящем контуре он будет вообществуется постояным. Это можно увидеть непосредственно из формулы (1), только, чтобы не получить нуль в знаменателе, ее надо записать в виде $IR=-10^{-8}\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$. При $R=0$ $\Delta\Phi=0$. Это и есть закон сохранения магнитного потока в контуре с нулявым сопротивлением.

Именно экспериментальная проверка этого закона и показала, что сопротивление сверхпроводника практически равно нулю. Самые точные методы не могут обнаружить уменьшения магнитного поля в замкнутой сверхпроводящей катушке, даже если опыт dlится несколько лет.

Рассмотрим теперь несколько примеров применения закона сохранения магнитного потока. Если изготовить из сверхпроводника трубу с площадью отверстия $S$, поместить ее при высокой температуре в продольное магнитное поле $H$, затем охладить ее ниже температуры перехода в сверхпроводящие состояния и выключить магнитное поле, то в трубе остается «заморженный» поток $\Phi=HS$. Сожем теперь трубу или вставим в нее сверхпроводящий стержень так, чтобы свободноеечение уменьшилось до $S_1=\frac{1}{10}S$. Тогда мы получим в трубе более сильное поле $H_1=10H$, поскольку из закона сохранения потока следует, что $H_1S_1=HS$. Нужно только, чтобы новое поле $H_1$ не было больше критического поля $H_c$ сверхпроводника при температуре опыта, иначе сверхпроводимость разрушается и поток в трубе будет уменьшаться, пока поле не достигнет значения $H_c$.

Делая этот опыт достаточно быстро, можно получить большое поле и в трубе из любого нормального металла. Если обложить трубу, в которой имеется магнитное поле, со всех сто-

14

рон порохом и произвести взрыв, то можно сделать магнитный поток и получить в трубке на короткое время, порядка нескольких миллионных долей секунд, поле в десяти миллионов гаусс. Сила взрыва при этом нужна не столько для того, чтобы предолеть сопротивление металла, сколько для того, чтобы сжимать само магнитное поле. В стенках трубы возбуждается ток, а на ток в магнитном поле действует сила. Поэтому магнитное поле оказывает давление на стенки трубы. Магнитный поток, когда его скимают, ведет себя подобно упругому веществу. Можно подсчитать, что поле в 10 миллионов гаусс будет оказывать на стенки трубы давление, равное примерно четырем миллионам атмосфер.

При помощи известных нам сверхпроводников получить такие поля невозможно, но в катушках из сверхпроводящих сплавов уже сейчас получают поля порядка 100 000 гаусс (100 килогаусс). Ток в такую сверхпроводящую катушку можно подать самим обычным образом — через два провода, опущенные в дьюаровский сосуд, где находится при низкой температуре катушка. Можно снабить катушка еще и сверхпроводящей проволоки $A$ (рис. 3, а), соединяющим клеммы, к которым подведены провода $B$ от внешнего источника

така. Спираль $B$ нагревает проводку $A$ до нормального состояния, в котором она обладает значительным сопротивлением (сверхпроводящие сплавы в нормальном состоянии обладают, как и другие сплавы, гораздо большим сопротивлением, чем чистые металлы). Если замкнуть ключ $\Gamma$, то через катушкуойойdet ток и магнитный поток в катушке начинает растить по закону, который легко вывести из формулы (2). Пренебрежем сопротивлением проводов $B$ и внутренним сопротивлением источника. Поскольку в цепи без сопротивления сумма всех э. д. с. должа быть равна нулю, то э. д. с. индукции $\varepsilon$ должа быть равна минус $V$, где $V$ — электродвижущая сила источника. Из формулы (2) получаем $\Phi=10^8Vt$. Если катушка имеет, скажем, число витков $n=10 000$ со средней площадью витка $S=20\text{ cm}^2$, то $\Phi=nSH=2\cdot10^5H$, где $H$ — среднее поле в катушка. При $V=1\theta$ для создания в катушка поля в 10 килогаусс попадобится 20 секунд. Если по процессии неокоторо времени выключить нагреваель и разомкнуть ключ $\Gamma$ (рис. 3, 6), то проводка $A$ вместе с катушкой образуют замкнутый сверхпроводящий контур, в котором поток будет оставаться постоянным. Идеальное построение получаемого таким способом поля оказывается чрезвычайно удобным при физических исследованиях.

15

Рис. 3. Схема включения сверхпроводящей катушки со сверхпроводящим ключом. Часть схемы находится при низкой температуре. Схема питания нагреваела $B$ на рисунке не показана.

После замыкания сверхпроводящей ключа провода $B$ уже не нужны и даже вредны, поскольку по ним в дьюар проникает тепло.

Существует и другой остроумный способ «накачки» магнитного потока в сверхпроводящие катушки, позволяющий обойти вовсе без введения проводов в дьюар. Схема устройства, основанного на этом способе, показана на рисунке 4. Катушка, которую мы для простоты заменили на рисунке плоским контуром $A$, замкнута параллельно двумя сверхпроводящими проводами $B$ и $B$. Магнит $M$ может передвигаться около контура. Путь его нижнего конца показан на рисунке 4 пунктом. Магнит должен быть настолько сильным, чтобы его поле могло разрушать сверхпроводимость проводок $B$ и $B$.

Послеовательные положения магнита при накачивании потока в контур показаны на рис. 5,$a$—5,$\delta$. Магнитный поток, выходящий из конца магнита, обозначает точками — следами силовых линии. В положении $a$ магнит разрушил сверхпроводимость

16

проволоки $B$, и при движении магнита поток входит в контур. В момент $6$ поток заключен между проводками $B$ и $B$. Затем поток переходит в контур $A$ (положения $b$ и $2$). Когда магнит $M$ удален от контура (положение $\partial$), внесенный им магнитный поток перераспределяется, но остается захваченным контуром $A$. Далее цикл повторяется, и новая порция силовых линей входит в контур $A$.

Разбранные выше примеры относятся к различным способам создания магнитного поля. Упомянем в заключение о приборе, предназначением для выполнения прямого противоположной задачи — возможно более полного удаления поля из какого-либо объема. Используя явление сверхпроводимости, эту задачу можно решить простым и совершенным способом. Возьмем сплющенную сверхпроводящую оболочку и расправим ее. Тогда в образователься полости магнитное поле станет равным нулю (пraktические, конечно, какое-то поле остanetся, но, во всяком случае, действует таким способом, можно подойти к $H=0$ как угодно близко). Полученное нулевое поле будет сколь угодно долго сохранться в замкнутой полости, несмотря на изменения поля снаружи.

В случае сверхпроводников закон сохранения магнитного потока выполняется с большой точностью, но надо иметь в виду, что его можно приближенно применять и для контуров из любых других материалов — твердых, жидких и даже газообразных (плазма), если процесс протекает достаточно быстро. Правда, для того чтобы точно определить, что значит «достаточно быстро», нам пришлось бы уже выйти за рамки этой статьи.

Задание

1. Как зависит от времени ток, проходящей через сверхпроводящую катушка, если языок $K$ (см. рис.) начал колбааться с некоторой частотой, заменяя и размыкая цепь?

Ток в начальной момент равен $\frac{V}{R}$, где $V$ —эд.с. источника, а $R$ —сопротивление, включенное в контур.

2. Ток в катушке нарастет прямо пропорционально времени. Как изменяется ток в другой катушке, индуктивно связанной с первой и замкнутой на некоторое сопротивление?

3. Две линные однослойные сверхпроводящие катушки с числами витков $n_1$ и $n_2$, длинами $l_1$ и $l_2$ и сечениями $S_1$ и $S_2$ соединены параллельно при помощи сверхпроводящих проводов. Определите, как распределится между ними ток $I$, подведенный от общего источника. Катушки удалены друг от друга так, что поле одной не действует на поле другой. (Тем не менее катушки и соединяющие их провода можно рассматривать как один сверхпроводящий контур.)

4. При включении магнитного поля, перpendикулярного плоскости колбаца радиуса $R$, по колыцу протекает заряд $Q$. Какой заряд протечет по витку, если колыцо при неизменном поле сложить «восмеркой», состоящей из двух окружностей, причем радиус меньшей окружности равен $R/4$? Плоскость «восмерки» также перpendикулярная магнитному полю.

5. На основе постоянного магнита, расположенного в верхикально, на некотором расстоянии от него нахождения легкое сверхпроводящое проводное колбацо, плоскость которого перpendикулярна оси магнита. Колыцо отпускают, и оно начинает падать так, что остается все время горизонтальным. Как будет движаться колбацо по вертикали?

17

АРИФМЕТИКА
БИНОМИАЛЬНЫХ
КОЭФФИЦИЕНТОВ

Д. Б. Фукс, М. Б. Фукс

$(1+x)^2=1+2x+x^2$
$(1+x)^3=1+3x+3x^2+x^3$

Эти формулы знает любой школьник. Числа 1, 2, 1; 1, 3, 3, 1, а также числа, получающие аналогичным образом при возведении в степени 4, 5, …, называются биомиальные коэффициентами. В этой статье расссказывается о различных свойствах биомиальных коэффициентов. В первом параграфе излагается «общая теория»: большинство из доказываемых здесь теорем входило равше в школьную программу. Во втором параграфе мы показем, как можно совсем легко найти остаток от деления любого из биомиальных коэффициентов на любое простое число. Некоторые утиверждения этого параграфа сформулированы в виде гипотез. Можно быть, читатели «Кванта» попробуют их доказать.

18

§ 1. Определение и простейшие свойства биномiales коэффициентов

Если двучлен (бином) $1+x$ возвеси в некоторую натуральную степень $n$, то, очевидно, получится многочлен $n$-й степени (т. е. наибольшая степень, в котором $x$ войдет в этот многочлен, будет равна $n$). Например:

$$(1+x)^0 = 1,$$
$$(1+x)^1 = 1+x,$$
$$(1+x)^2 = 1+2x+x^2,$$
$$(1+x)^3 = 1+3x+3x^2+x^3,$$
$$(1+x)^4 = 1+4x+6x^2+4x^3+x^4,$$
$$(1+x)^5 = 1+5x+10x^2+10x^3+$$
$$+5x^4+x^5,$$

Коэффициенты этих многочленов называются биномиальным. Для них есть специальные обозначения: коэффициент при $x^m$ в $(1+x)^n$ обозначает через $C_n^m$. Например, $C_2^1=2$, $C_4^2=6$, $C_5^3=10$. В старых учебниках по алгебре число $C_n^m$ называется «числом сочетаний из $n$ по $m$». На то есть свои причины, но мы не

Отсюда легко получить, что и

$$(a+x)^n = C_n^0a^n + C_n^1a^{n-1}x\ldots$$
$$\ldots + C_n^nx^n$$

(достаточно применить формулу (1) к вычислению $(1+x)a^n$ и умножить обе части полученного равенства на $a^n$). Последняя формула называется биномом Ньютона. Отсюда и называние коэффициентов — биномиальные.

Ясно, что $C_n^m$ — целые неотрицательные числа и что $C_n^m=0$ при $m>n$ (многочлен $(1+x)^n$ имеет степень $n$, и $x^m$ с $m>n$ в него не входит). Легко убедиться, далее, в том, что $C_n^0=C_n^1=1$. Другие биномиальные коэффициенты $C_n^m$, где $0<m<n$, можно находить, возвода $1+x$ в различных степени. Их значения для $n\leqslant10$ приведены в таблице.

Мы видим, что биномиальные коэффициенты — довольно-tаки быстро растущее числа. Наблюдательный читатель заметит в расположении этих чисел ряд закономерностей. Как правило, такие закономерности легко выводятся из определения биномиальных коэффициентов. Мы доказем здесь только главные из них. Начнем с главного из главных — с так называемого тожества Паскала.

Будем выделять в них: для нас это не важно. Итак,

$$(1+x)^n = C_n^0+C_n^1x+C_n^2x^2+\ldots$$
$$\ldots +C_n^nx^n.$$

(1)

Теорема 1 (тоождество Паскала).

$$C_n^m = C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1}$$

(2)

для любых натуральных $n, m$.

19

Доказательство. По определению, $C_n^m$ есть коэффициент при $x^m$ в многочлене $(1+x)^n$. Для того чтобы найти этот коэффициент, нужно перемножить $n$ многочленов, равных $1+x$. Перемножив $n-1$ из них, получим многочлен $1+C_{n-1}^1x + C_{n-1}^2x^2 + \dots + x^{n-1}$. Произведя последнее умножение, получим

$$(1+x)(1+C_{n-1}^1x + C_{n-1}^2x^2 + \dots + x^{n-1}) = 1 + C_{n-1}^1x + C_{n-1}^2x^2 + \dots + x^{n-1} + x + C_{n-1}^1x^2 + C_{n-1}^2x^3 + \dots + x^n = 1 + (C_{n-1}^1 + 1)x + (C_{n-1}^2 + C_{n-1}^1)x^2 + \dots + x^n.$$

В полученном выражении коэффициент при $x^m$ равен $C_{n-1}^m + C_{n-1}^{m-1}$. Таким образом,

$$C_n^m = C_{n-1}^m + C_{n-1}^{m-1}.$$

Тождество Паскала удобно использовать для вычисления биомиальные коэффициентов. Например, если мы захотим дополить нашу таблицу еще одной строккой (одиннадцатой), то нам достаточно сложить попарно числа, стоящие рядом друг с другом в предыдущей (десятой) строке:

$$C_{11}^0 = 1 \quad C_{11}^1 = C_{10}^1 + C_{10}^0 = 11 \quad C_{11}^2 = C_{10}^2 + C_{10}^1 = 55 \quad C_{11}^3 = C_{10}^3 + C_{10}^2 = 165 \quad C_{11}^4 = C_{10}^4 + C_{10}^3 = 330 \quad C_{11}^5 = C_{10}^5 + C_{10}^4 = 462$$

Отсюда видно, что биомиальные коэффициенты удобно записать в виде треугольной таблицы (см. застав-

3*

20

Таким образом, формула (3) имеет место при $n=1$, и из ее справедливости для $n-1$ вытекает, что она верна для $n$. Этим формула (3) доказана при любом $n$.

Мы рекомендуем читателю, впервые познакомившись с формулой (3), вывести из нее уже известные нам равенства $C_n^0 = C_n^n = 1$ и $C_n^m = 0$ при $m>n$.

Формула (3) интересна уже тем, что дробь, стоящая в ее правой части, равняется целому числу, т. е. все числа, стоящие в ее знаменателе, сократятся с числами, стоящими в числитель.

Следующая теорема будет использована в дальнейшем.

Теорема 3. Если числа $n$ и $m$ взаимно просты (т. е. наибольший общий делитель чисел $n$ и $m$ равен 1), то $C_n^m$ делится на $n$.

Доказательство:

$$C_n^m = \frac{n(n-1)\ldots(n-m+1)}{1\cdot2\ldots m} = \frac{n}{m} \cdot \frac{(n-1)\ldots(n-m+1)}{1\cdot2\ldots(m-1)} = \frac{n}{m} \cdot C_{n-1}^m$$

Таким образом,

$$mC_n^m = nC_{n-1}^m$$

т. е. число $mC_n^m$ делится на $n$. Но так как $m$ и $n$ взаимно просты, т. е. $m$ не делится ни на один простой делитель числа $n$, то $C_n^m$ делится на $n$.

Например, $C_9^4 = 126$ делится на 9, $C_{10}^3 = 120$ делится на 10.

Укажем еще несколько свойств биомиальных коэффициентов:

1. $C_n^m = C_{n-1}^m$
2. $C_n^m + C_{n+1}^m + \ldots + C_{m+k}^m = C_{m+k+1}^m$
3. $C_n^0 + C_n^1 + \ldots + C_n^n = 2^n$
4. $C_n^0 + C_n^2 + C_n^4 + \ldots = C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + \ldots$

Доказательства этих свойств мы оставляем читателю.

§ 2. Остатки от деления биомиальных коэффициентов на простые числа

В этом (да и в следующем) параграфе нам придется часто употреблять форму «числа $a$ и $b$ имеют равные остатки от деления на $p$». Общий эту форму заменяет сокращенной записью «$a \equiv b$ (mod $p$)». Иначе говоря, формула «$a \equiv b$ (mod $p$)» означает, что $a-b$ делится на $p$. Например, $4 \equiv 1$ (mod 3), $999999 \equiv 222222$ (mod 7) и т. д. Формула «$a \equiv b$ (mod $p$)» читается иногда так: «число $a$ сравним с числом $b$ по модulo $p$» (впрочем, мы также выражения употребляются не будем).

Вот два очень свойства символа ≡:

1. Если $a \equiv b$ (mod $p$) и $k$ — целое число, то $ka \equiv kb$ (mod $p$).

В самом деле, если $a-b$ делится на $p$, то и $ka-kb = k(a-b)$ делится на $p$.

2. Если $a \equiv b$ (mod $p$) и $b \equiv c$ (mod $p$), то $a \equiv c$ (mod $p$).

В самом деле, если $a-b$ делится на $p$ и $b-c$ делится на $p$, то и $a-c = (a-b)+(b-c)$ делится на $p$.

Напомним, что всякое натуральное число $a$ можно поделить на натуральное число $p$ «с остатком», т. е. $a$ можно единственным образом записать в виде $a=bp+c$, где $b$, $c$ — такие целые числа, что $0 \leq c < p$.

Главной целью этого параграфа является доказательство следующего утверждения.

Теорема 4. Пусть $p$ — простое число, $m$ и $n$ — натуральные числа. Пусть, далее, $k$ и $l$ — частиные от деления чисел $m$ и $n$ на $p$, а $s$ и $t$ — остатки (т. е. $m=kp+s$, $n=lp+t$, где $k$, $l$, $s$, $t$ — целые числа и $0 \leq s < p$, $0 \leq t < p$). Тогда

$$C_n^* = C_l^* \cdot C_s^* \pmod p.$$

Как мы увидим ниже, эта теорема позволяет находить остатки от деления биомиальных коэффициентов на простые числа, почти не производа вычислений.

ло $C_{23}^6$. Имеем $23=4\cdot 5+3$, $6=1\cdot 5+1$ и, значит, $C_{23}^6 \equiv C_1^4 C_3^1$ (mod 5). Согласно первому свойству символа ≡ (см. начало этого параграфа) $C_{23}^6 C_4^3 \equiv (C_4^1 C_3^1) C_4^3$ (mod 5). Согласно второму свойству символа ≡, $C_{119}^3 \equiv C_4^1 C_3^1 C_4^3$ (mod 5). Таким образом, $C_{119}^3$ имеет при делении на 5 такой же остаток, что и $C_4^1 C_3^1 C_4^3=4\cdot 3\cdot 4=48$, т. е. число 3.

Аналогично находится остатки от деления числа $C_{119}^3$ и на другие простые числа. Например:

$$119 = 59\cdot 2+1, \quad 33 = 16\cdot 2+1,$$
$$C_{119}^3 \equiv C_{59}^1 C_1^1 = C_{59}^1 \pmod{2};$$
$$59 = 29\cdot 2+1, \quad 16 = 8\cdot 2+0,$$
$$C_{59}^1 \equiv C_{29}^8 C_1^0 = C_{29}^8 \pmod{2};$$

Таким образом, $C_{119}^3$ имеет от деления на 2 такой же остаток, как 3, т. е. остаток 1, т. е. $C_{119}^3$ — нечетное число.

Другой пример:

$$119 = 39\cdot 3+2, \quad 33 = 11\cdot 3+0,$$
$$C_{119}^3 \equiv C_{39}^1 C_2^0 = C_{39}^1 \pmod{3};$$
$$39 = 13\cdot 3+0, \quad 11 = 3\cdot 3+2,$$
$$C_{39}^1 \equiv C_{13}^3 C_0^2 = 0 \pmod{3}.$$

Здесь мы воспользовались тем, что $C_0^2=0$, потому что $2>0$. Получилось,

23

таким образом, что $C_{119}^{33} \equiv 0$ (mod 3), т. е. $C_{119}^{33}$ делится без остатка на 3.

Отметим, что если мы применяем нашу теорему 4 к $C_n^m$, где $n \geq m$, то, записьвая $m = kp + s$, $n = lp + t$, мы, конечно, будем иметь $l \geq k$; однако невозможно предвидеть, какое из чисел $s$, $t$ оказывается большим. Если будет $s > t$, то согласно нашей теореме $C_n^m \equiv C_l^k C_s^t = 0$ (mod $p$), т. е. $C_n^m$ делится на $p$. Как мы видели, для определения остатка от деления числа $C_n^m$ на $p$ приходит, как правило, использовать теорему 4 несколько раз; и каждый раз может возникнуть явление, подобное описанному выше, причем, когда бы это ни случилось, это означает, что и схо-дное число $C_n^m$ делится на $p$. Подобным образом мы получили, что $C_{119}^{33}$ делится на 3.

Мы видим, что чем больше $n$, тем более верятна делимость числа $C_n^m$ на $p$. Легко доказать следующее, более точное утверждение: всего чисел $C_n^m$ с $0 \leq n \leq p^r$, $0 \leq m \leq n$ имеется $\frac{p^r (p^r + 1)}{2}$, из них не делится на $p$ровно $\frac{p^r (p + 1)^r}{2^r}$ (здесь $p$ просто, $r$ натуральное; доказательство опирается только на теорему 3, мы оставляем его читателю). Подчерком, что при больших $r$ числа $\frac{p^r (p + 1)^r}{2^r}$ во много раз меньше числа $\frac{p^r (p^r + 1)}{2}$.

Так, например, из чисел $C_n^m$ с $0 \leq n \leq 3^5$, $0 \leq m \leq n$ не делятся на 3 примерно 26,2%; если $0 \leq n \leq 3^{10}$, то примерно 3,6%, а если $0 \leq n \leq 3^{15}$, то примерно 0,45%.

В заключение скажем несколько слов о весыта наглядной интерпретации теоремы 4, которое можно получить, рассматривая так называемый «треугольник Паскала по модели $p$». Так называется треугольная таблица, которая получится из треугольника Паскала, если в нем заменить каждое число его остатком от деления на $p$. Мы не доказываем про этот треугольник никаких теорем, но предлагаем читателю посмотреть две картины (на обложке и на стр. 22), на которых изображены треугольники Паскала по модулям 2 и 3. Подумайте, как устроены эти треугольники в той части, которая не видна на рисунке. Постраайтесь формулировать теорему 4 таким образом, чтобы она стала теоремой об устройстве треугольника Паскала по модуляю $p$.

§ 3. Немного об остатках от деления биомиальных коэффициентов на степени простых чисел

Мы не рассматриваем в сколькоибудь общей постановке вопрос об остатках от деления биомиальных коэффициентов на составные числа. (Впрочем, читатель может подумать об этом сам; чему, например, равен остаток от деления числа $C_{119}^{33}$ на 4: единице или trem?) Мы ограничимся тем, что расскажем об одном удивительном, до конца не обьясенном нами явлении.

Начнем с некоторых вычислений. Пользовясь формулой биомиальных коэффициентов (см. § 1, формула (2)), получаем

$$C_2^1 = 2,$$
$$C_4^2 = 6,$$
$$C_8^4 = 70,$$
$$C_{16}^8 = 12870,$$
$$C_{32}^16 = 601080390.$$

(Все знают, конечно, что 1, 2, 4, 8, 16, 32, … — это последовательные степени двойки.) Сами полученные числа исчем особенным не применять; их последовательные разности, однако, обнаруживают порAZительные свойства. Посмотрим на них:

$$6 - 2 = 4 = 2^2,$$
$$70 - 6 = 64 = 2^6,$$
$$12870 - 70 = 12800 = 2^9 \cdot 25,$$

25

и к тому же каждое слагаемое в скобках встречается два раза. Таким образом, $\alpha_n$ делится на $2^{2n+2}$, что и требовалось.

Итак, страный феномен делимости чисел $\alpha_n$ на высокие степени двойки в какой-то степени объясен. Но нечего подобное наблюдается и если заменить двойку тройкой, пятеркой, семеркой. Действительно,

$$C_9^3 - C_3^1 = 84 - 3 = 81 = 3^4;$$

$$C_{27}^9 - C_9^3 = 4686825 - 84 = 4686741 = 3^7 \cdot 2143;$$

$$C_{81}^{27} - C_{27}^9 = 2306279447501851002720 - 4686825 = 2306279447501846315895 = 3^{10} \cdot 39057044954221855;$$

$$C_{25}^5 - C_5^1 = 43130 - 5 = 43125 = 5^5 \cdot 69;$$

$$C_{49}^7 - C_7^1 = 85900584 - 7 = 85900577 = 7^5 \cdot 5111.$$

Короче говоря, по-видимому, верно, что при простом $p$ число

$$C_{pn+1}^{p^n} - C_{pn}^{p^n-1}$$

делится на высокую степень числа $p$. Но как это доказать, мы не знаем.

Кстати, если $p$ не простое, то ничего подобного не наблюдается. Например,

$$C_{16}^4 - C_4^1 = 1820 - 4 = 1816$$

не делится даже на $4^2$;

$$C_{36}^6 - C_6^1 = 1947792 - 6 = 1947786$$

не делится даже на $6^2$.

Мы полагаем, что кто-либо из читателей «Кванта» может разобраться в этом сложном вопросе арифметики биомиальных коэффициентов.

СЛУЧАЙ
С ДЕДЕКИНДОМ

Автор наиболее широкого распространения теории irrationalных чисел P. Дедекинд умер, как известно, 12 февраля 1916 года в возрасте 84 лет.

Однако еще в 1904 году в «Книжке памятиных.dat для математиков», опубликованной в качестве приложения к каталогу издательства Teudner и предназначенной для учатников третього международного математического конгресса, состоявшегося в Гейдельберге в том же году, был стечен под датой 4 сентября 1899 г. …день смерти P. Дедекинда.

Послений не заменил написать письмо составитель упомянутой книжки примерно следующего содержания: «Глубокоуважаемый коллега! В Вашей содержательной «Книжке памятиных.dat» Вы любезно вспомнили и обо мне. Я очень благодарен Вам за это. Разрешаю себе, однако, обратить Ваше внимание на то, что в указании даты моей смерти по крайней мере год, должно быть, указаан неверно».

Ф29. Найти скорость испарения с единцы поверхности воды в вакуум при температуре 20°С.
(Давление насыщенных паров при этой температуре равно 17,5 мм рт. ст.)
За какое время испарится в комнате вода, налитая доверху в обычное чайное блюдце!
Испарение необольшего количества воды практически не меняет в комнате влажность воздуха, равную 70 %.

27

Ф30. В киноаппарате и кинопроекторе проходит 8 кадров в секунду. На экране движется автоматиль с колесами, реализый диаметр которых 1 м. Изображения колес делают 2 оборота в секунду. Какова скорость автоматиль?

Г. Л. Комкин

Ф31. Как световое давление ориентирует относительно Солнца космический корпель сферического формы, одна половина которого зеркальная, а другая — черная, полностью поглощающая излучение Солнца? Центр тяжестеки корпеля находится в центре сферы.

П. Л. Капица

Ф32. На поверхности воды плавает деревянный брусок квадратного секения. Какое из двух положений равновесия, показанных на рисунке 1, будет устойчивым? Плотность материала, из которого сделан брусок, равна половине плотности воды.

Ф33. По гладкому горизональному проводочному колцу могут скольнить без трения две бусинки с массами $m_1$ и $m_2$. Вначале бусинки были соединены ниткой и между ними находится скатая пружинка. Нитку пережигают. После того, как бусинки начинают движаться, пружинкуубирают. В каком месте колца бусинки столкнутся в одинаковый раз? Бусинки стальваются абсолютино упруго.

Ф34. На рисунке 2 изображена капельная электростатическая машина (генератор Кельвина). Из трубки в полей изолированный металлический шар радиуса $R$ падают капли воды, заряженные до потенциала $\phi$. Как зависит предельный потенциал, до которого может зарядиться шар, от высоты падения капель?

Ф35. Спутник летит на высоте 300 км. Какие неподвижные предметы можно рассмотреть на фотографии, сделанной со спутника, если время экспозиции составляет 0,2 сек?

M26. Предположим, что в каждом номере нашего журнала в задачике «Кваента» будет пять задач по математике. Обозначим через $f(x, y)$ номер первой из задачи $x$-го номера журнала за $y$-й год (например, $f(6,1970)=26$). Напишите общую формулу для $f(x, y)$ для всех $x, y$ ($1 \leq x \leq 12$, $y \geq 1970$).

Решите уравнение $f(x, y)=y$.

M27. Докажите, что если $\frac{a}{b-c} + \frac{b}{c-a} + \frac{c}{a-b} = 0$, то $\frac{a}{(b-c)^2} + \frac{b}{(c-a)^2} + \frac{c}{(a-b)^2} = 0$.

M28. a) Из 19 шаров 2 радиоактивны. Про любую кучку шаров за одну проверку можно узнать, имеется ли в ней хотя бы один радиоактивный

28

шар или нет (но нельзя узнать, сколько таких шаров в кучке). Доказать, что за 8 проверок можно выделить оба радиоактивных шара.

6. Из 11 шаров 2 радиоактивны. Доказать, что менее чем за 7 проверок нельзя гарантировать выделение обих радиоактивных шаров.

XXX Московская математическая олимпиада

M29. n одинаковых монет лежат на столе, образуя замкнутую цепочка (см. рисунок). Сколько оборотов сделает монета M такое же размер за то время, пока она один раз обрабатывается по внешней стороне всей цепочки, как показано на рисунке (monета M=2 коп.)?

Как изменится ответ, если монета M будет иметь радиус, отличнойся в k раз от радиуса каждой из монет в цепочке?

M30. Доказите, что N точек на плоскости всегда можно покрыть несколькими непересекающими кругами, сумма диаметров которых меньше N и расстояние между любыми двумя из которых больше 1. (Под расстоянием между двумя кругами понимается расстояние между их ближайшими точками.)

В. И. Арпольд

MMT

Эти буквы обозначают: МОСКОВСКИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ.

Do hastoryzeo времени MMT был единственным средним учебным заведением, готовящим специалистов по прикладной математике. С осени 1970 года нанется подготовка по этой специальности в одном из ленинградских и одном из дневопотребских технических технических Министерства приобретения, средств автоматизации и систем управления СССР.

Срок обучения в MMT: для окончивших 8 классов средней школа — 2 года 10 месяцев, а для окончивших 10 классов — 1 год 10 месяцев. Успешно окончившие техническим получают увлекательную и необходимую для народного хозяйства специальность — вычислитель-математик. Он может работать в вычислительных центрах, отделах и laboratorиях при заводах, отраслевых обедининиях вычислительной техники и конструкторских бюро.

No самоое главное — выпускники MMT овладевают математической культуры в очень высоком смысле этого слова.

В 1970 году состоялся очередной набор в MMT. Приемные экзамены по математике (устно) и литературе (письменно) начнутся 1 августа. Если Вас интересует прикладная математика и вы хотите получить сведения о MMT, сообщаем вам его адрес:

Москва Е—43, Нижняя Первомайская, д. 14, Московский математический технический министерства средств автоматизации и систем управления СССР, телефон: 165—64—72.

К сожалению, обещения в технические показе нет.

29

Вступительные экзамены по математике в Московском институт стали и сплавов, типичны для большинства технических узов.

На факультетах МЧМИС (металургии черных металлов и сплавов) и МЦРМИС (металургии цветных металлов и сплавов) профиляруются дисциплинами являются математика письменная, физика и химия; на факультетах ФХ (физико-химический) и ПМП (полупроводниковых материалов и приборов) — математика письменная и устная и физика. Конкурс на все факультеты проводится разделно.

Отметим, что около 19% (179 человек) нового состава студентов было набран в промышленных центрах: Бекабаде, Волгограде, Запорожье, Норильское, Орске, Череповце.

Содержание билетов для письменных и устных экзаменов строго соответствовал программатом по математике для поступающих вузы.

Разберем один из вариантов, предлагавшихся на факультетах МЧМИС и МЦРМИС.

Вариант 1.

1. Решить уравнение
   $$\sec^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2} = 16 \text{ ctg } x.$$

2. Решить неравенство
   $$\frac{3x^2 - 2x - 1}{\lg(x - 1)} < 0.$$

3. Упростить
   $$\left[ 4(a + 1) + \left( \frac{\sqrt{ab^2} + \sqrt{a}}{\sqrt{3}a + \sqrt{3}b} + \frac{\sqrt{6}a}{3} \right)^3 \right]^{1/2}$$

4. Пусть $E$ — середина стороны $AB$ трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$). Доказать, что площадь треугольника $ECD$ равна половине трапеции $ABCD$.

5. Куб с ребром $a$ вписан в правильную четырехугольную парамиду так, что четыре его вершины находятся на боковых ребрах, а четыре другие вершины — на основании парамиды. Боковые грани парамиды наклоны к плоскости основания под углом $\alpha$. Определить объем парамиды.

Решение

1. Определем ОДЗ уравнения:
   $$x \neq \pi l \quad (l = 0, \pm 1, \dots).$$

Приступаем к решению уравнения. Имеем
$$\frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} + \frac{1}{\sin^2 \frac{x}{2}} = 16 \frac{\cos x}{\sin x},$$
откуда
$$\frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} \sin^2 \frac{x}{2} = 16 \frac{\cos x}{\sin x}$$
или
$$\frac{4}{\sin^2 x} = 16 \frac{\cos x}{\sin x}.$$

Поскольку $\sin x \neq 0$, получаем
$$4 \sin x \cos x = 1$$
или
$$\sin 2x = \frac{1}{2},$$
откуда
$$2x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n,$$

30

или

$$x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$$
$$(n = 0, \pm 1, \dots).$$

Полученные решения входят в ОДЗ уравнения.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$
$$(n = 0, \pm 1, \dots).$$

2. Для решения неравенства
   $$\frac{3x^2 - 2x - 1}{\lg(x - 1)} < 0$$

заметим, что дробь будет отрицательной, если числитель и знаменатель ее имеют разные значки. Таким образом, это неравенство равно сльно двум системам неравенств:

$$\begin{cases} 3x^2 - 2x - 1 > 0, \\ \lg(x - 1) < 0 \end{cases}$$

или
$$\begin{cases} 3x^2 - 2x - 1 < 0, \\ \lg(x - 1) > 0. \end{cases}$$

Решая эти системы, находим соответствующее

$$\begin{cases} x < -\frac{1}{3}, x > 1, \\ 0 < x - 1 < 1, \\ x - 1 > 1, \end{cases}$$

то есть
$$\begin{cases} x < -\frac{1}{3}, x > 1, \\ 1 < x < 2, \\ x > 2. \end{cases}$$

Вторая система решения не имеет, а решения первой служит инвервал $1 < x < 2$.

Ответ: $1 < x < 2$.

3. Находим прежде всего допустимые значения $a$ и $b$:
   $$a \geq 0, b \geq 0, a \neq -b.$$

Заметим, далее, что
$$\sqrt[6]{ab^2} + \sqrt{a} = \sqrt[6]{a} \left( \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} \right).$$

Учитывая, что $a + b \neq 0$, и, сокращая дробь на $\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}$, получим

$$\left[ 4(a + 1) + \left( \frac{\sqrt[6]{ab^2} + \sqrt{a}}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} + \sqrt[6]{a} \right)^3 \right]^{1/2} =$$
$$= \left[ 4(a + 1) + \left( 2\sqrt[6]{a} \right)^3 \right]^{1/2} =$$
$$= 2\left[ \left( \sqrt{a} + 1 \right)^2 \right]^{1/2} = 2\left( \sqrt{a} + 1 \right).$$

4. Дано (рис. 1): $ABCD$ — трапеця, $AE = EB$.

Доказать:
$$S_{ECD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}.$$

Доказательство. Проведем среднюю линию $EF$ трапеции.

Тогда $S_{ABCD} = EF \cdot H$, где $H$ — высота трапеции. С другой стороны,

$$S_{ECD} = S_{ECF} + S_{EFD} = \frac{1}{2} EF \cdot \frac{H}{2} +$$
$$+ \frac{1}{2} EF \cdot \frac{H}{2} = \frac{1}{2} EF \cdot H.$$