Квант 1970, №9 · Страницы

Научно-популярный физико-математический
квант
9
1970
журнал
Академии
наук СССР
и
Академии педагогических
наук СССР

71

Главный редактор — академик И. К. КИКОИН
Первый заместитель главного редактора — академик А. Н. КОЛМОГОРОВ

Редакционная коллекция:

Л. А. Арцимович, академик
М. И. Башмаков
В. Г. Болтянский, член-корреспондент АПН СССР
И. Н. Бронштейн академик АПН СССР
Н. Б. Васильев академик
И. Ф. Гинзбург академик
В. Г. Зубов академик АПН СССР
П. Л. Капица академик
В. А. Кириллин академик
Г. И. Косоуров академик
В. А. Лецковцев (зам. главного редактора)
В. П. Лицевский
А. И. Маркушевич академик АПН СССР
М. Д. Миллюончиков академик
Н. А. Пампикеева Н. Х. Розов академик
А. П. Савин
И. Ш. СLOBODEЧИЙ (зам. главного редактора)
М. Л. Смолянский доктор физико-математических наук
Я. А. Смородинский академик АПН СССР
В. А. Фабрикант академик АПН СССР
Я. Е. Шнайдер (отвременный секретарь)

На первой странице обложки: «Одна из алгебраических поверхностей третьего порядка». Художник Е. П. Леонов.

Заведующая редакцией Л. В. Чернова
Главный художник Е. П. Леонов
Технический редактор Т. М. Макарова
Корректор И. В. Мамулова
Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Тел: 234—08—11

Сдано в набор 28,05,1970 г. Под. к печати 11.08.1970 г.
Бумага 70×100 1/16. Физ. печ. л. 4. Услови. печ. л.
5,56. Уч.-изд. л. 5,58. Тираж 174330 экз T-09853.
Цена 30 коп. Заказ 871

Чеховский полигraphкомбинат Главполигraphпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР

г. Чехов Московской области

3

Никто не обнимет необъятного.
Иные настоящую утверждают, что жизнь каждого записана в книге Бытия.

Козьма Прутков

«Вещетвенные числа называются бесконечные десятичные дроби»*. Дав такое определение, мы начинаем время от времени произносить фразу, стояшую в заглавии статы. А что она означает? Не противоречим ли мы, намерваясь рассмотреть бесконечную десятиную дробь, житейской мудрости Козьмы Пруткова или аналогичному высказыванию великого французского математика А. Пуанкаре, фигурирующим в качестве эпиграфов к статуе? Конечную десятиную дробь можно «расмотреть», например, написав ее на доске и посмотрев на написанное. В случае же бесконечной дроби мы, разумется, лишены такой возможности. Этому в разной степени претаетсяют ограниченность размеров классной доски, человекажизни, нашей Галактики и т. д. Оdnako договоримся, что в этой статуе мы будем ориентироваться на мифическое великана, которое все эти ограничения нипочем и любые конечные рассмотреня под силу.

С другой стороны, нетрудно понять, что бесконечность десятичной дроби еще не обязательно ознакомлена «необъятность». Так, при изучении рациональных чисел иногда используется их представление в виде бесконечных периодических десятичных дробей, а для задания последних достаточно указать конечное число десятичных знаков, предшествующих периоду, и сам период (то же конечное число цифр). В результате можно рассматривать такие дроби, не вступая в противоречие с нашей «конечностью». Арфметическая и геометрическая прогрессия (beсконечные последовательности!) определяются по двум числам (первый член и разность или значенатель). Вы наверняка знаете и другие примеры_beсконечных последовательностей, задание которых требует лишь конечной информации (например, формулы общего члена). Все это наводит на мысль, что криминальное с точки зрения Козьмы Пруткова fraзы, приведенной в заглавии, не столбь безусловна, а поэтому требует более тщательного исследования, к которой мы и переходим.

Итак, мы знаем, что существуют_beсконечные десятичные дроби, допускающие конечное описание. Договоримся называть_beсконечную десятиную дробь «объятной», если существует ее «словесный портрет» — конечных размеров описание на русском языке, ее однозначно заданное (т. е. этом описанию удовлетворяет только одна дробь). Если «словесного портрета» дроби не существует, то дробь называется «необъятной». Наша цель — доказать существование «необъятных» дробей.

4

Ограничимся лишь добями, заключенными между 0 и 1, то есть выражениями вида

$$0, \alpha_1 \alpha_2 \dots \alpha_k \dots,$$

(1) где $\alpha_k$, $1 \leq k < \infty$, — какие-то цифры 0, 1, …, 8, 9. В теории вещественных чисел достаточно много хлопот тот факт, что всякая добьь с «хвостом» из девяток (все знаки, начиная с некоторого места, равны 9) равна некоторой добьи с «хвостом» из нулей (например, 0,099… = 0,100…). Чтобы их избежать, не будем рассматривать добьи, в записи которых встречается девятка. Итак, мы будем рассматривать добьи вида (1), то есть последовательности цифры $0, \alpha_1 \alpha_2 \dots \alpha_k \dots$, где $\alpha_k$ могут быть равны 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8*). Мы должны, что даже среди таких добей есть «необъятные».

Как можно это доказать?

Рассмотрим вначале аналогичную ситуацию, относительнося, правда, к конечным множеством (для лучшего понимания опшем ее в шутливой форме). Директор кинотеатра стало известно, что на сеансе присутствовало это зрителей, а касса продавца девяносто билетов. Вы, верятно, не удивитесь, что из сопоставления этих двух фактов он сделал вывод, что в зале находились безбилетники. Он просто заметил, что зрителей больше, чем билетов, и на всех зрителей билетов хватить не могло. Обратите внимание, что это рассужждение дает возможность лишь доказать существование безбилетного зрителя, а вывелиление конкретного «зайца» требует дополнительных исследований (например, проверки билетов при выходе).

Всемидействых годах прошло века Г. Кантор **) придумал замечательный способ проводить аналогичные рассужждения для безбилетного века Г. Кантор **) придумал замечательный способ проводить аналогичные рассужждения для безбилетного века Г. Кантор (1845—1918) — создатель теории безбилетных множества.

*) Проницаемый читатель безусловно обратит внимание при чтении дальнейшего текста, что все рассмотрения были бы только же содержательны, если бы мы ограничили только двумя цифрами, например 0 и 1.

**) Г. Кантор (1845—1918) — создатель теории безбилетных множества.

5

Пример.
№ Занумерованные дроби β = 0,

1. 0, $\frac{1}{2}$ 2 3 4 5 6 7 8 0 1…
2. 0, $\frac{1}{3}$ 6 1 4 5 3 2 1 4…
3. 0, 1 $\frac{2}{3}$ 4 5 3 1 7 8 2…
4. 0, 0 1 $\frac{4}{3}$ 7 2 7 8 0 1…
5. 0, 4 2 3 $\frac{1}{2}$ 1 4 5 6 0…
6. 0, 5 6 7 2 $\frac{4}{5}$ 8 0 1 2…
7. 0, 2 4 3 5 6 7 $\frac{8}{10}$ 0 2 4…
8. 0, 7 5 4 6 2 1 $\frac{2}{10}$ 0 1 2…
9. 0, 8 0 8 0 1 0 2 $\frac{2}{20}$ 2…

β = 0,253736013…

Задача 1. Доказать, что построенная дробь β не входит в исходную последовательность.

Итак, второй факт доказан, перейдем к первому.

Сначала обсуждим поччительную историю об универсальной библиотеке.

Сколько томов должны содержать библиотека, включаяшая всевозможные книги, которые когда-либо были написаны, пишутся сейчас или будут написаны в будущеем? Как правило, человек, впервые услышевшего этот вопрос, удивляет, что такая универсальная библиотека состоит из конечного числа книг (ср. второй афоризм К. Пруткова). Каждый все это противоречит нашим представлением о безграничном прогрессе человека… Но обратимся к выкладкам. Будем считать, что все книги состоит из 500 страниц (иначе будем разбивать их на тома) и что каждая страница состоит из 40 строк по 50 знаков в каждой. Тепер обсуждим вопрос о полиграфическом базе. Будем интересоваться книгами на русском языке. Для набора потребуется как знаки (литеры), отвечающие буквам, знакам препининия, так и некоторые знаки для набора специальных текстов (впрочем, если не экономить места, можно заменить формулы, таблицы и т. д. их словесными описаниями). Так или иначе, будем считать, что достаточно ст литера. Нам удобно ввести специальный знак пробела между словами. Набирая этот знак достаточно много раз подряд, можно установить сколь угодно длинные пробелы (в частиности, благодаря этому в числе пятисстраничных книг можно включить книги, состоящие из меньшего числа непустых страниц). В результате книгу можно представить себе как последовательность из 50×40×500=10⁶ знаков, каждой из которых быть одним из 100 знаков наборной азбуки (литер), т. е. как одно слово из миллиона букв в языке, алфавит которого состоит из 100 букв. Обратите внимание, что это сведение стало возможным благодаря вредению знака пробела, иначе последовательность знаков могла бы не определять книгу однозначно (ее можно по-разному разбить на слова).

Задача 2. Доказать, что число различных слов длины n в языке, алфавит которого состоит из k букв, равно kⁿ*).

Совет. Вначале рассмотреть пример нашей десятичной системы чисел: различных чисел из n цифр существует 10ⁿ (от 000…0 до 999…9).

Из задачи 2 следует, что число томов универсальной библиотеки записывается «всего лишь» единцией с двумя миллионами нуляй. В числе этих томов войдут все вершины мудрости, в том числе и не постигнутые человекаством, но большинство книг будет содержать бессмысленные тексты. Будет книга, состоящая из одиних букв «а» (впрочем, книга из одной точки, книга и «пустая» книга, сплошь состояния из знаков пробела).

Тепер договоримся о формиrable «словесный портрет» десятичной дроби в виде книги. Будут ли содержаться эти книги в универсальной библиотеке? Вообще говоря, нет. Дело в том, что, говоря об универсальной библиотеке, мы исходили все такие из предположения, что книги имеют размеры, реализные с точки зре…

*) Слово — это просто конечная последовательность буква. Мы не интересуемся вопросом его осмысленности.

6

ния нашей житейской практики.
Однако, если отказаться от реализацииности в этом ее последнем пристанище (а помните, мы ориентиемся на гиганта, которое она не присуща), нельзя исключить того, что некоторые «словесные портреты» могут занимать книги,prevышающие по размеру книги из универсальной библиотеки. В связи с этим введем понятие ультраупервсальной библиотеки. Так мы будем называть библиотеку, содержащую все книги сколько годно большех размеров. Наозем размером книги число знаков в ней. Договоримся расставлять книги по следующему принципу: на полке с номером $N$ будет находиться все книги размера $N$. В частности, все универсальная библиотека скромно займет одну полку с номером $N=10^6$. Итак, ультраупервсальная библиотека будет состоять уже из бесконечного числа томов: в ней бесконечное число полок. Однако на каждой полке будет стоять конечное число книг. Из задачи 2 видно, что на полке с номером $N$ находится $100^N$ книг. А отсюда следует, что все книги можно перенуровать!

Проведем инventarизацию следующим образом. Предварительно фиксируем порядок книг на полках ультраупервсальной библиотеки. Для этого вначале указываем порядок букв в нашем алфавите (их ведь конечное число — 100), а затем расставим книги в так называемом лексикографическом порядке, принятом в словарях (из двух слов-кигг раныше идет то, у которого номер первого буквы меньше; если первый буквы совпадают, то сравнивают вторые буквы слова и т. д.). Расставив книги на полках, начнем уменровать их с первой полки (на ней стоит книги, состоящее из одной буквы!). Закончив уменровать очередную полку, переходим к следующей. Поскольку книг на каждой полке конечно, каждая книга рано или поздно получит номер. Инventarизация проведена! Тепер заметим, что ультраупервсальной библиотеке содержатся словесные портреты всех «объятных» десятичных дробей, а поэтому, движясь по номерации книг в библиотеке, мы можем прочитовать все эти портреты, а значит, и «объятные» дроби (нужно помнить, что у одной дроби может быть несколько «словесных портретов», и следить, не присвоен ли этой дроби уже какой-то номер ранее; впрочем, не страшно, если одну дробь мы занимаем несколько раз).

Существование «необъятных» дробей доказано.

Для тех, кто читал книгу Н. Я. Виленкина «Рассказы о множеств», интерпретируем полученный результат несколько иначе. Помните, как телефон необыкновеннойости, обнаруженной Щоном Тихим, передавал телефонмы, состоящие из бесконечной последовательности точек и тпе? Представьте себе, что на другом телефонфе, принимаемем эти телефонмы, захотели придумать такой способ их расшифровки, чтобы каждой бесконечной телефонме отвечало конечное слово в каком-то алфавите. Мы доказали, что такое способа не существует (слова всегда можно запутевать, а телефонмы — нет). Можно сказать еще, что не существует способа даь всем точкам единного отрезка различные имена (кочечные).

Мы доказали, что «необъятные» дроби существуют, но, подобно вышелому путем директора книотеатра, не в состоянии предъявить конкретную «необъятную» дробь. А что, если попробовать? Воспользовемся однажды выручившим нас диагональным процессом. Ведь мы ввели порядок книг в библиотеке, а значит, стала фиксированнойnummerя «объятных» дробей. Использову факт 2, построим незаанумованную бесконечную десятиную дробь $\beta$.

Итак, мыPrevзошли директора книотеатра, предъявив конкретную «необъятную» дробь. Но что же получилось? Для «необъятной» дроби по определению не должно существовать конечного описания, а для «необъятной» дроби $\beta$ такое описание построено; им является предыдущий текст этой статьи (ведь вы не сомневаете, что он конечен?). Не предъявлен только заанумованный алфавит, но и в этом сомневается не приходится.

Выходит, мы пришли к противоречию? Приятно прийти к противоречию, если перед этим предположили противное тому, что требуется доказать. Но, как вы, верятоно, помните, мы такого предположения не делали. Как же быть?

Единственный выбор, который можно сделать, состоит в том, что использоватьшееся нами понятие «объятной» добби, как добби, допускающий конечное описание, является некорректным и привело к противоречию. Для поддержания уверенности в этом приведем еще один пример. Он будет касаться уже не бесконечных добби, а натуральных чисел. Каждый такой число можно описать конечным текстом (например, назав его), так что о «необъятности» говорить не приходится.

Одноко найдет числа, описанный которых нет в нашей универсальной библиотеке, то есть такие числа, для которых не существует описания на русском языке, содержащого не более миллиона знаков. Последнее следует из того, что число томов в универсальной библиотеке конечно. Среди натуральных чисел, не получивших описания, существуют наименьшее. Мы доказали следующее утверждение:

Существует наименьшее натуральное число, которое нельзя задать текстом на русском языке, содержащим не более одного миллиона знаков.

Выделенная фраза содержит это тридцать пять знаков. Но ведь это тридцать пять меньше миллиона, а поэтому нас можно поздравить еще с одним противоречием: приведенная фраза однозначно описывает упомянутое число!

Настоящее критковать понятие «словесный портрет». Как вы думаете, можно ли считать описания также фразы:

«α — бесконечная десятиная добби, знаки которого с номерами, делящимися на число шагов, сделанных Наполеоном в день битвы привато, совпадают с соответствующими знаками числа л, а остальные знаки равны нулю».

«Для определения k-го знака добби δ нужно сосчитать число голов, забитых во всех футбольных матах, сыграных в k-м году новой эры (отсутствя по Московскому времени), и взять последнюю цифру».

«Пятый знак γ равен 1, если в записи √2 бесконечной десятичной добью цифра 7 встречает бесконечное число раз, в противном случае он равен 3; все остальные знаки γ равны 2».

Я очень старался придумать абсурдные описания, которые тем не менее определют единственный бесконечную добь. Вряд ли мы согласимся приять их за «словесные портреты» добей. И дело даже не в их абсурдности, важно то, что они недают фактического описания этих добей. Мы даже не исключаили того, что описание может использовать уже утверенную информацию из прошлого (α), факты из будущего (δ). Кроме того, конечный текст может содержать требование продавать бесконечное число продедур для определения одного-единственного десятиного знака (γ). Все тот же К. Прутков предоставляет от таких ошибок:

«Если бы все прошедшее было настоящим, а настоящее продолжало существовать нарушу с будущим, кто был бы в состоянии разобраться: где причина и где последствия?»

Главная же непритность, которая, собственно, и привела нас к противоречию, заключается в том, что «словесный портрет» мог использовать информацию о множестве всех «словесных портретов», в котором он сам должен входить в качестве одного из элементов.

To, что эта ситуация, носящая в логике нававание «порочного круга», является источником противоречия, известно со временем полулегендарного мудреца Эпименда, жившего в VI веке до н. э., который, будучи критичном (то есть живя на о. Крит), заявил: «Все критиные — лжесцы». Будем для простоты делать всех людей на лжесов, всегда говорящих ложь, и правивых, всегда

8

говоряших правду, иначе можно погрязнуть в трудностях, связанных с аккуратным определенем понятия «лжец». Приведенное высказывание не может быть правдой, так как тогда критиянн Эпименид не мог говорить правды. Итак, оно является ложью, а значит, доказывает существование хотя бы одного правдового критияна. Что же получилось? Из-за того, что один критиянн (то, что он был мудрецом, сейчас не важно) изрек мысль, которая к тому же не могла быть правдой, делается вывод о существовании правдового критияна. Может ли мы быть действительно уверены в его существование? Стотит ли после этого говорить, что речь не идет овозможности указать конкретного правдового критияна?

Было бы еще хуже, если бы Эпименид (как иные утверждения) прямо заявил: «Я лжец» или «Я говорю сейчас ложь». Эти высказывания не могут быть ни правдой, ни ложью. И источник непряятности здесь в том, что для решения вопроса об истинности высказывания нужно уже знать ответ на этот вопрос (порочный круг!).

Для того чтобы исключить возможность появления порочного круга в «словесных портретах», наложим дополнительное требование эффективности, то есть потребуем, чтобы «портрет» давал «возможность» явно построить дробь. Точнее, будем считать, что он должен содержать способ (или, как говорят, алгоритм), позволяющий нашему велику с неограниченной памяти, из которой он может пользоваться сколь годно большими, но конечными частями, за конечные промежутки времени находит последовательные знаки дроби. Велика можно себе мысль как математическое машину с неограниченной памяти, а описание дроби — конечной программи для вычисления ее последовательных знаков. Мы, разумеется, не должны строого определения этого велика-машины, и важно, чтобы читатель услесил себе это. А тогда я прошу его поверить, что такое определение можно дать (отложив это до другой статьи), и, используя интуитивные представления, принять участие в обсуждении некоторых общих принципов.

Тепер будем поннимать под «объятной» дробью такую дробь, для вычисления знаков которой существует программа. Посмотрим, что изменилось. Посокльку программы можно издавать в виде книг, они содержатся вультраниверсальной библиотеке, а потому

1. «необъятные» дроби существуют.

Далее, хотя и научные горьким опытом, мы неправе отказывать от попыток научить велика выписывать конкретную дробь. Что же мешает этому? Вычислить номер книги вylvтраниверсальной библиотеке (а также по номеру написать книгу) нам было бы под силу, имея мы достачитную память и время, а значит, этому научить велика. Тегер осмаим лишь книги, содержащие программы для вычисления дробей. Для нахождения к-го знака «необъятной» дроби β берем k-ю по счету программы, вводим ее в машину, ждем, пока она вычислит k-й знак, а затем подключаем программу замены знаков по таблице (это уже совсем легко). Что же, опять противоречие? Посмотрите внимание, действительность ли мы построили программу? Вы, конечно, обнаружили слабое место: нужно уменьш по книге определить, является ли она программы для вычисления знаков бесконечной десятичной дроби. А кто это должен делать? Этому надо научить машину. Давайте разберемся. Если бы существовал способ или программы (алгоритма) выяснить, является ли данный текст программы (алгоритм) для вычисления последовательных знаков бесконечной десятичной дроби.

Вдумайте в этот результат! В предположении, что существует корректное определение понятия алгоритма, без всякой дополнительной информации об этом определении, мы

9

указали, как говоря, алгоритмические неразрешимую проблему. Есть много различных способов установить, что некоторые книги не содержат описаний алгоритмов для вычисления десятичных дробей (если, например, они содержат бессмысленный текст или в них речь идет ожизни на Марсе), но универсального рецепта устанавливать за конечное время, содержит ли книга описание такого алгоритма, не существует.

На этом мы законом обсуждениевозможного смысла слов, стоящих в заглавии статьи. Мы немного биимся, что после всего сказаного часть читательей начинает искоренять в своих занятиях математикой «расматриния» бесконечных множества, доставляя непряятности себе и окружающим. Поэтому сделаем еще несколько замечаний, которые мы, к сожалению, не сможем здесь подкрепить аргументами (и ограничимся ссылками на авторитеты). Большинство математиков способно «расматривать» бесконечные множества, вводя в свои рассуждения небольшие ограничения, обеспечивающие, по их мнению, отсутствие противоречий. При этом, конечно, приходит «расматривать» объекты, словесные описания которых человека не смогло бы завершить до конца дней своих. Тем не менее выяснили, что такое «расматриния» лежат в самом основе веками строившегося здания математики, от них зависит и его дальнейшая судьба. Хотя ряд математиков с большей или меньшей последовательностью пытается представить математку, исходя из понятный, допускающих конечное описание, и на этом пути было получено много очень содержательных фактов, позволивших на многое выше взглянуть по-иному, однако претензии на то, что в этих рамках и должно происходить развитие математики, широкой поддержки не получили. «Никто не может изгнать нас из ряда, созданного для нас Кантором»,— сказал один из величайших математков Давид Гильберт.

Помещаемодуну из задач, предложавших на 5-й традицонной олимпиаде по языковедению и математике (на первом type в 1969 г.).

Задча.
Письмо 1.

Дорогой друг!
Некоторые времени назад я купил двух очень красивых собак: овчарку и таксу, но быстро обнаружил, что они очень плохо воспитаны. Дело в том, что они очень любят лягь. В результате жить с ними в одном доме довольно трудно. Однако я не отчаиваюсь, либо я установлен путем практической проверки, что их поведение подчиняет определенным законом, непонятным, но непререкаемым (хотя, возможно, это объясняется тем, что раньше собаки выступали в цирке), и что я могу воздействовать на них, играя на рояле или закрыя настоящую лампу.

В течение каждой минуты каждой собака люба лает, либо молчит: никаких переходов они не обнаруживают. Поведение же их в последующую минуту зависит только от событий минуты, и эта зависимость такова.

Овчарка в последующую минуту ведет себя так же, как и в предыдущую: лает или молчит, если только в эту предыдущую минуту не было играл на рояле и такса не лаяла. В последнем случае овчарка меняет свое поведение на противоположное: лай на молчание и наоборот.

Что касается таксы, то если в предыдущую минуту настояла лампа горела, такса будет лягь или молчать в зависимости от того, лаяла или молчала овчарка, так что такса копирует овчарку с минутным запозданием. Если, одnakо, лампа не горела, такса будет делать противоположное тому, что делала овчарка.

Продолжение на стр. 25

10

Электрическое сопротивление — квантовое явление

Д. А. Франк-Каменецкий

Сопротивление проводника протекнию электрического тока — совсем не такая простая вешь, как это кажется на первый взгляд. Как мы увидим, и здесь не обойтись без кванта. Посмотрим сначала, что можно сделать без его помощью.

Классическая теория

Мы привыкли, что «классический» — слово похожное. Говорят: Стрельцов забил «классический гол». Вместо «классический» можно было бы на более современном жаргоне сказать «классный» или даже «железный». Совсем иначе относится к этому слову физик. В современной физике классические называются теории, созданные классами науки прошлыхов, до возникновения квантовой физики и теории относительнойности. Чаще всего слово «классический» физики употребляют как противоположный слову «квантовый». Классическая теория отличается тем, что в ней не участвует кванти. Такие теории очень просты, современному физiku они какужятся несколько наивными. Они часто приносят большую роль, но, как правило, решают вопрос не до конца. В классической теории для современного физика всегда чего-то не хватает.

Во многих книгах, в том числе и в учебниках (и даже очень хорошо), пишется, что электрическое сопротивление металла проискот от стольновейный электриов, пере-

носящих ток, с атомами*) кристаллической решетки. Правильно ли такое понятие сопротивления?

Лучше всего не говорить ни «да», ни «нет», а сказать, что оно выражает классический теории электрического сопротивления. К ней относится все, что мы только что говорили о классических теориях вообше. Но в данном случае классический теория оказывается совсем слабой: она не может объяснить многохых основных особенностей электрического сопротивления. В классический теории безусловно верно одно: сопротивление проискот от того, что электроны передают часть своей энергии и импульса (количество движения) кристаллической решетке. Но каким именно образом проискот эта передача — вопроссовсем не простой и очень интересный.

Температурная зависимость

Сопротивление чистых металлов сильно возрастает с температурой. Для многих из них оно применено пропорционально абсолотной температуре. При низких температурах такая простая зависимость наруша-

*) Точнее было бы сказать — с понами, но это здесь для нас не существует. Механизм электрического сопротивления заключается в том, что электроны, ударясь об атомы кристаллической решетки, заставляют их колебаться—электрическая энергия переходит в тепловую.

11

Рис. 1. График зависимости удельного сопротивления меди от абсолотной температуры.

ется. Это хорошо видно на рисунке 1, где показано, как меняется с температурой удельное сопротивление меди — самого употребительного проводника электрического тока. Как видно из рисунка, в области высоких температур зависимости хорошо представляется прямой линейной. Но если эту прямую продолжить в сторону низких температур (на рисунке показано пунктиром), она уходит не в абсолотный нуль, а в несколько более высокую температуре — для меди около 60° К. На самом деле при низких темперарах зависимости становится более сложной: сопротивление меняется пропорционально пяной степени температуры. При приближении к абсолотному нуль сопротивление чисых металлов становится очень малым. Есть группа металлов, у которых сопротивление совсем исчезает при температуре на несколько градусов выше абсолотного нуля. Это явления, называемого сверхпроводимостью, мы сейчас какаться не будем. Достаточно много интересного можно сказать и о более простых вещех.

Если объяснить электрическое сопротивление стольновениями электронов с атомами, то температура зависимости сопротивления чисых металлов остается совершенной непо-
нятной. Ведь дело обстоит так, как если бы электроны сталькились только с атомами, совершающими тепловое движение, но свободно прополетами mismo неподвижных. Иногда так и говорят (как будто электрону легче попасть в движущийся atom), но это ошибка. Это все равно что считать, будто, стреля не целясь, легче попасть в качающийся магнитик, чем в неподвижный. Итак, классическая теория не способна обьясить зависимости сопротивления от температуры.

Остаточно сопротивление

Когда изменяют сопротивление чисых металлов при очень низких температурах, то обнаруживается замечательная вешь. Продолжая кривую рисунка 1 к абсолотному нуль, получают сопротивление, которое должно быть бы остаться, если бы можно было на опите достичь абсолотного нуля. Его так и называют остаточным сопротивлением. Оказывается, что оно сильно меняется от образца к образцу. Ostаточно сопротивление крайне чувствительно к ничтожным примесям, к механической и термической обработке. Тщательно очищая металл, образытая его так, чтобы добиться безупречного кристалического строения, можно уменьшить остаточное сопротивление, и нет предела этому уменшению. Итак, опыт наталкивает на удивительный вывод: идеальный кристалл при температуре абсолотного нуля не должен иметь электрического сопротивления. Иньми словами: электрическое сопротивление чисых металлов происходит только от нарушений кристаллеского строения, которые вызывают тепловыми движениями, примесями и дефектами (неправильностями) кристаллеского решения.

Атомные коридоры

Если бы электроны двигались по законам классической механики, они должны быть сталькиться с атомами неависимо от того, расположены ли атомы в строгом порядке или

12

Рис. 2. Движение электронов и распространение электронных волн в правильном (идеальном) кристалле.

нет. Конечно, между правильными рядами atomов есть своего рода коридоры (рис. 2), но чтобы направить электрон по такому коридору, требовалась бы точная ориентировка кристалла по отношению к приложениюу электрическому напряжению. А ведь обычно мы имеем дело не с одним кристаллом, а с сочетанием множества мелких кристаллов, ориентированных случайным образом. Однаконый правильный кристалл называют монокристаллом (от греческого слова «mono» — один), а сочетание многих кристаллов — поликристаллическим агрегатом (от греческого «поли» — много). Так вот, точные измерения показали, что сопротивление поликристаллических агрегатов очень мало отличается от сопротивления монокристаллов. Особенно важно то, что сопротивление поликристаллических агрегатов сильно уменьшается с понжением температуры. Это никак нельзя избежать движения электронов по atomным коридорам по законам классической механики. При переходе из одного кристалла в другой atomный коридор резко меняет свое направление (рис. 3). Электрон должен быть с разлету стукнутся о «стенку». А он способно шестивет по atomному лабиринту, подобно Тезею, ко-

Рис. 3. Схема движения электронов по atomным лабиринтом в поликристаллическом агрегате. Красным цветом показаны электrons.

торому указывал направление нить Аридны. Что же это за чертовщина и как это обьяснить?

Чудеса без чудес

Давно известны еще более удивительные факты. Механическая и термические обработка заметно влияют на электрическое сопротивление металлов. Воспользовемся для удобства применения в технике единиц удельного сопротивления $om \cdot mm^2/m = 10^{-4} \cdot om \cdot cm = 10^{-6} \cdot om \cdot m$. В этих единицах удельное сопротивление общей технической меди при $20^\circ C$ выражается числом 0,0172. После холодной протяжки сопротивление медной проводки возрастает до 0,0177. Далее наматывания проводки на катушку достаточно, чтобы ее сопротивление возросло. Если же подвергнуть проводку отжигу, то есть длительное нагреву, а затем охладить ее опять до $20^\circ C$, значение сопротивления возвращается к нормальной величины. Очевидно, сопротивление чувствительного к небольшим нарушениям кристаллической структуры (такие свойства называют структуром чувствительными). Еще妒зительнее чувствительность сопротивления к ничтожным примесям. Тщательная очистка уменьшает удельное сопротивление me-

13

ди при температуре 20°С до 0,0169 $om \cdot mm^2$/м. Это обстоятельство имеет большое значение для техники. Ведь если уменшить сопротивление проводов, то уменшают и бесполезные потери электрозергини на их нагрев. Поэтому медь, предназначенную на электrotechnическе нужды, подвергают специальной очистке посредством электролиза. Этот своеобразный металлургический процесс несколько напоминает «переливание из пустаго в порожнее». На аноде медь растровляется, а на катode осаждается медь, чистота которого изменяется «трея девятками» после запятой: 99,999%, то есть примеси в электропитической меди составляют всего тысячиную долю процента. Такая тщательная очистка очень важна: после нее сопротивление, а с ним и тепловые потери заметно снижают.

Постотрим теперь, как количество примесей в сопротивление меди. Достаточно добавить к меди 1% марганца, чтобы удельное сопротивление ее возросло до 0,048 $om \cdot mm^2$/м, то есть почти в три раза! Между тем сопротивление чистого марганца составляет 0,05 $om \cdot mm^2$/м. Таким образом, достаточно в медь 1% марганца, чтобы ее сопротивление стало практическим равно сопротивлению 100%-ного марганца! Это не исключительно случай. Примерно так же действуют добавки железа, кобальта, иридия и другие. Если бы сопротивление произходило от стольновейный электронов с атомами примесей, эти примеси должны были влиять раз в сто слабее. С точки зрения классической теории непомерное действие малых примесей — чистое чудо.

У сплавов, содержащих примеси в большой пропорции, сопротивление очень велико. Металурги разработали заменательные рецепты сплавов с высоким сопротивлением: нikелин, манганин, константан, нихром и другие. Сопротивление этих сплавов в нескольких раз больше, чем у каждой из составных частей. Так,CONSTANTан, состояние из 60% меди и 40% нikеля, имеет удельное сопротивление 0,44 $om \cdot mm^2$/м, в то время как у чистой меди оно равно 0,017, а у нikеля 0,072 тех же единиц*).

«Королем» подобных сплавов можно назвать всем известным ихром, удельное сопротивление которого 1 $om \cdot mm^2$/м. Недаром он нашел такое широкое применение в нагревательных приборах. Есть разные рецепты ихрома. Простейший из них — 80% нikеля и 20% хром. Такой сплав имеет удельное сопротивление 1,05 $om \cdot mm^2$/м, в то время как у чистого нikеля оно 0,072 и у хрома 0,131. Этот сплав дорогой, но можно без ущерба заменить часть дорогого нikеля дешевым железом. Однако время «рекорд» среди подобных сплавов держал медарип из 65% железа, 30% хрома и 5% алюминия с удельным сопротивлением 1,4 $om \cdot mm^2$/м.

Поразительно, что температура зависитимость сопротивления у сплавовсовсем другая, чем у чистых металлов. Сопротивление большище сплавов тоже возрастает с температурой, но гораздо слабее. Специально для научных прибора, где желательно имеет постоянное сопротивление, разработан уже упоминавшийсяCONSTANTан, названного означает «постоянный». В интервале температур от 0° до 400°С его сопротивление меняется всего лишь от 0,441 до 0,448 $om \cdot mm^2$/м.

С точки зрения классической теории постоянного сопротивления сплавов столбже малой понятно, как и пропорциональность сопротивления температуре для чистых металлов. Сопротивление сплава должна быть по смыслу этой теории складывать из сопротивления его составных частей по простому правилу смешения (как, например, теплоемкость). Если внешательно разобрать во всем, что известно об

*) Все цифры здесь приведены для температуры 20°С.

14

Рис. 4. Нарушение правильности atomного волновода тепловым движением.

электрическом сопротивлении, то станет ясно, что уже это простое явление вынуждает для своего понимания обратиться за помощью к кванту.

Электронные волны и atomные волноводы

Все становится на свое место, если вспомнить, что по законам квантовой механики электрон имеет одновременное свойства частицы и волны. Ширина atomных коридоров близка к длине волны электрона, и потому при движении по таким коридорам волновые свойства электрона проявляются в полной мере.

В радиотехнике сантиметровых волн широкое применение имеет волноводы. Это — металлические трубки круглого или прямогольного сечения. Радиоволлы распространются по волноводу, следуя за всему его изгибами. Свет — тоже электромагнитные волны, и его можно запрять в световод — трубку с зеркальными стенками *). В последнее время охотно пользовются тончайшими световодами — стеклянными волокнами.

Их можно как угодно изгибать — свет все равно будет послушно

*) На практике нет необходимости делать стенки зеркальными. Объчно использует явление полного внутреннего отражения, но это для нашей темы не имеет значения.

следовать вдоль волокна.

Действие световода с зеркальными стенками легко понять. Световые волны все время отражаются от стенок и, таким образом, остаются внутри световода. Радиоволлы тоже хорошо отражаются от главных металлических поверхностей. Если же поверхность шероховатая, то волна как бы разбивает озаубрины и в результате рассеивает и поглощается. Ее энергия переходит в тепло.

В квантовой теории протекание электрического тока через металлические как распространение электронных волн по atomным коридорам, играющим роль волноводов. Если atoms расположены на плоскости в идеальном порядке, на равных расстояниях друг от друга, то такая плоскость полностью отражает электронные волны — наподобие идеального зерка. Рассеяние и поглощение электронных волн проискходит только при нарушении строого порядка в расположении atomов. Этот удивительный вывод был получен впервые довольно сложным математическим путем из уравнения квантовой механики. Но его можно было бы сделать и на основании установленных опытных путем свойств электрического сопротивления, если бы к ним относялись более внешательно.

В идеальном правильном кристалле волноводы совершено гладке. Вся-

15

Рис. 5. Первый тип дефектов кристалической решетки — вакансии (пустые места). Замечательно, что электроны рассеиваются и на вакансии — нужно ли лучше доказательство того, что они стalkиваются вовсе не с atomами решетки? Дело в том, что вакансия играет роль ответствия в стенке atomного волновода, нарушающегоправотранение электронных волн.

кое нарушение atomного порядка действует как шероховатость стенок волновода. Электронные волны рассеиваются нарушениями решетки. Часть энергии электронов поглощается и переходит в телло. Это и есть квантовый механизм электронского сопротивления. Правильность atomных волноводов нарушается тепловыми колебаниями, на которых рассеиваются электронные волны (рис. 4). Отсюда возникет тепловая часть электронского сопротивления, зависящая от температуры. Охлаждая металл, ее можно сделать сколько угодно малой. При этом сохраняется остаточное или структурное сопротивление, связанное с постояными дефектами (порчей) кристалической структуры (рис. 5 и рис. 6). Дефекты есть во всяком кристалле и зависят от его «биографии» — от условий, в которых он зарождается, рос и существовал. Дополнительные дефекты возникают при холодной механической обработке — протяжке проводки и даже намотке ее на катушку. Оттого и возрастает сопротивление. При дли-

Рис. 6. Второй тип дефектов кристалической решетки — дислокации.

тельном нагреве (отжиге) atoms возврашаются на свой места и дефекты залечиваются — сопротивление падает.

Внедрене инородных atoms вызывает сербезную поруч кристалической решетки (рис. 7). При этом atom примеся может быть с места сотни atoms кристалла-«хозяина». Оттого примеся и повышают сопротивление. Замечено, что действ.

Рис. 7. Атом примеся с места множество atomов решетки. Из-за этого нарушается правильное движение не только тех электронов, которые стalkиваются с самим atomом примеся, но и множества других. (Соотношение расстояний между atomами кристалла и их размеров по отношению к atomу примеся—условные.)

16

виные примеси тем сильнее, чем большее атомы по размерам и другим факторам отличия от atomов «хозяина», чем сильнее они нарушают правильность кристаллической решетки.

Если охлаждать металл, то тепловая (то есть пропсходящая от теплового движения) часть сопротивления падает. Когда она становится гораздо меньше, чем не зависящая от температуры структурия часть, то при дальнейшем охлаждении сопротивление почти не меняется. У сплавов с неупорядоченным строением структурия часть сопротивления настоящего влика, что даже при высоких температурах преобладает над тепловой. Эти и обясняются слабая зависящость электрического сопротивления сплавов от температуры.

Звуковой квант — фонон

Мы познакомились с некоторыми квантовыми явлениями, но сам квант пока оставался в тени. Сейчас он выйдет на передний план.

Теплоовое движение в твердом теле можно представлять себе как колебания atomов около своих положений равновесия. Но частицы в твердом теле не могут колебаться независящimo. Они все прочно связаны между собой и совершают всегда колективные колебания. Не так, как на таниплощадке, где каждой пара движется независящimo от других, а как в массовой системе большого балета, где все исполняют свои партии согласноно.

Коллективные колебания громадного числа части вещества — это то же самое, что звуковые волны. Если вывести любую частицу из положения равновесия, то возможно будет распространяться по телу со скоростью звука. Оказывается, что тепловое движение в твердом теле можно рассматривать как распространение звуковых волн. Нагревая тело, мы заставляем его звучать. К счастью для нас, частота этих колебаний в миллиарды раз выше тех, как может услышать нашейухо. Очевидно, живые существа в процессе эволюции приспособились не слышать «телловой звук», иначе мы не видержали бы непрерывного шума «кричаших» предметов.

Итак, обнаруживается необходимая связь между электрическим сопротивлением и звуком. Электроны рассеиваются на звуковых волнах, возникдаемых при тепловом движении кристаллической решетки. Но всякая волна состоит из квантов. У световой или вообще электромагнитной волны — это фотоны, у звуковой волны — фононы (от греческих слов, ознакомших свет и звук). Фотоны — самые настоящие частицы, вполне равноверные с другими элементарными частицами. Фононы не совсем равноверны в том смысле, что они способны существовать только внутри вещества (в пустоте фононов быть не может). Они — и подобные им — называются квазичастцами (то есть «почти частцами»). Фонон — самый простой представитель общирной семьи квазичастцы. Другие ее члены нас сейчас не интересуют.

Мы говорили, что электронные волны рассеиваются на шероховатости, созданных тепловыми движениями, то есть звуковыми волнами. Но если звуковую волну описывается как поток фононов, то и электроны можно считать частицами, забив про их волновые свойства. Тепер мы как бы возвращаемся к простому обясиению сопротивления: электронам мешает свободно движаться то, что они сталкиваются с другими частцами. Но только не с частицами вещества, а с звуковыми квантами — фононами.

Тепер можно, наконец, немного и посчитать. Будем для простоты вести расчет так, как если бы фононы имели одну одинаковую часть v. Такое допущение неправильно, но ошибка от него получается необольная. В свое правдание мы можем сослаться на то, что великие физики Планк и Эйнштейн исходили из того же допущения в своей теории теплоемкости твердых тел и получили

17

Чали не такие уж плоские результаты.

Энергия фонана, как и всякого кванта, равна $hv$, где $h$ — постоянная Планка, а $v$ — частота волны.

Число фонанов есть $\frac{E}{hv}$, где $E$ — энергия теплового движения, пропорциональная абсолотной температуре $T$. За множество пропорциональныхности можно принять постоянную Больцмана $k$. Итак, число фонанов $N = \frac{kT}{hv}$. Мы получили очень важный результат. Число фонанов в твердом теле пропорционально абсолотной температуре. Следовательно, если сопротивление пропорционально постоянной мощности можно принять постоянную Больцмана $k$. Итак, число фонанов $N = \frac{kT}{hv}$. Мы получили очень важный результат. Число фонанов в твердом теле пропорционально абсолотной температуре. Следовательно, если сопротивление пропорционально постоянной мощности можно принять постоянную Больцмана $k$. Итак, число фонанов $N = \frac{kT}{hv}$. Мы получили очень важный результат.

Но этот результат справедлив только при достаточно высоких температурах. Ведь по смыслу квантовой теории число фонанов не может быть меньше единицы. Посмотрим, при какой температуре оно равно единице. Эту температуру называют температурой Дебая и обозначают греческий буквой $\theta$. Приравняв $N$ единице, находим: $\theta = \frac{hv}{k}$. Температура Дебая (или дебаевская температура) играет очень важную роль в физике твердого тела. С помощью этой величины интересующей нас число фонанов выражается совсем просто: $N = \frac{T}{\theta}$. При температуре ниже базовый это число становится меньше единицы. Это значит, что можно говорить только о среднем числе фонанов, и расчет условийятся. Но величины $\frac{T}{\theta}$ по-прежнему остаются меры числа фонанов в твердом теле, а следовательно, и числа тольковой электринов с фонанами. Ис

*) Это число фонанов на одно колбание решетки, точнее говоря, на одну колбательную степень свободы, или, как любят выражаться физики, на один осцилляр.

Рис. 8. Обобщенная кривая температурной зависимости уделного сопротивления чистых металлов.

ходя из этих сообщений, была высказана следующая гипотеза: температура зависитимость электрического сопротивления чистых металлов выражается универсальной функцией от меры числа фонанов $\frac{T}{\theta}$. Математически эта гипотеза записывается так: $\frac{R}{R_0} = F\left(\frac{T}{\theta}\right)$, где $R$ — сопротивление при температуре $T$, $R_0$ — при температуре $\theta$, а $F$ — функция, вид которой может быть найден из опыта. Важно то, что функция $F$ обещая для разных чистых металлов. Как хорошо эта гипотеза оправдывается на опите, видно из рисунка 8. Этот график построил в свое время американский физик Бардин, прославившийся в последствии своим работами по теории сверхпроводимости.

Интересно и полезно связаать дебаевскую температуру $\theta$ со скоростью звука $c$. Вспомним, что вещество состоит из atomов и волна распространяется не непрерывно, а перескакивает от atom к atomу. За период колбания $t$ волна не может пройти путь, меньше, чем расстояние между соседними atomами $a$.

Иначе волна «повисла бы» в пустоте между двумя atomами. Путь, проходимый звуковой волной за одно колебание, равен $c\tau$. Итак, atomное строение вещества накладывает на перiodы звуковых колебаний ограничение: $c\tau \geq a$. Частота $v$ есть число периодов за единицу времени, откуда $v\tau=1$. Таким образом, частоты звуковых колебаний ограничены:

$$v \leq \frac{c}{a}.$$

При тепловом движении возбуждаются звуковые волны (инначе говоря, фононы) с разными частотами, как говорят, целый спектр частот. Но у спектра фононов есть предельная частота. Волны с более высокими частотами не успевали бы перескочить от одного atomа к следующему и потому не могут возбуждаться. Подробные расчеты показывают, что дебаевскую температуру можно определить так, как мы это делали, если только за частоту $v$ брать предельную частоту фонного спектра в твердом теле. Так мы и будем поступать.

Нам осталось оценить расстояние между atomами $a$. Если число atomов в единице объема равно $n$, то $n=\frac{1}{a^3}$.

Отсюда и из формулы (*) получается:

$$\frac{v^3}{c^3} \leq n.$$

Более точный расчет, который мы здесь приведет не может, дает добавочный множитель $4\pi$. Таким образом, получается формула, связывающая предельную частоту $v$ со скоростью звука $c$:

$$4\pi \frac{v^3}{c^3} = n.$$

Эта оцень важная формула тесно связана с формулой Релея — Джинса, о которой говорилось в статье Я. А. Смородинского («Квант» № 1). Выражая частоту $v$ из формулы (**) и подставляя ее в выражение дебаевской температуры, получим, что

$$\theta = \frac{hc}{k} \sqrt[3]{\frac{n}{4\pi}}.$$

Итак, мы получили связь между де-

20

Раметрами особое значение имеет расстояние всех возможных случаев. При этом заранее трудно предсказать, какие случаи выявятся в процессе решения. Это, с одной стороны, затрудняет решение, но, с другой стороны, делает работу более интересной, придавая ей исследовательский характер.

Немного теории

Общий вид уравнения с одним параметром таков:
$$F(x,a) = 0.$$ (3)

При различных $a$ уравнения (3) может иметь различные множества корней, и наша задача состоит в том, чтобы изучить все случаи, выяснить, что будет при любом значении параметра. При решении уравнения с параметром обычно приходит рассматривать много различных вариантов. Своевременное обнаружение хотя бы части невозможных вариантов имеет большое значение, так как освобождает нас от лишней работы. Поэтому при решении уравнения (3) целесообразно под ОДЗ понимаать область допустимых значений неизвестного и параметра, то есть множество всех пар чисел $(x,a)$, при которых определяна (имеет смысл) функция двух переменных $F(x,a)$. Отсюда естественная геометрическая иллюстрация ОДЗ в виде неокоторой области плоскости $xOa$.

Например, ОДЗ уравнения
$$\sqrt{x} + \sqrt{a} = \sqrt{1-(x+a)}$$ (4)
определяется системой неравенств
$$x \geq 0, a \geq 0, x+a \leq 1.$$

Этот системе удовлетворяют координаты всех точек треугольника (включая и его границ), окруженного на рисунке 1 в голубой и синий цвета *). Из этих расчудений, кстати, сразу следует, что при $a<0$ уравнение (4) не имеет решения.

Решим уравнение (4). После возвления обеих его частей в квадрат (что является в данном случае равносильным преобразованием в силу неотрицательности обеих частей уравнения (4)) получим уравнение
$$2\sqrt{ax} = 1 - 2(x+a).$$ (5)

Выше мы уже говорили о том, что отбрасывание хотя бы части невозможных вариантов освобождает нас от лишней работы. Замечаем, что левая часть уравнения (5) неотрицательна при всех допустимых $a,x$, значит, там, где права часть этого уравнения отрицательна, искать решение бесполезно. Ясно, что искать решения следует в той части ОДЗ, где они могут быть, произведя для этого соответствующее сужение ОДЗ:
$$1 - 2(x+a) \geq 0, \text{ откуда } x+a \leq \frac{1}{2}.$$

На рисунке 1 закрашена снимом цветом та часть ОДЗ, где решения быть не может.

Возвяд в квадрат обе части уравнения (5) **) и приведя подобные члены, получим уравнение
$$x^2 + (a-1)x + a^2 - a + \frac{1}{4} = 0,$$

*) Подробнее о геометрическом решение системе неравенств с двумя неизвестными см. «Квант» № 4 за 1970 год.
**) В новой ОДЗ обе части уравнения (5) неотрицательны. Возвяд в квадрат в таком случае не приведет к появлению построенных корней.

21

откуда
$$x_{1,2} = \frac{1-a \pm \sqrt{2a-3a^2}}{2}.$$

Оба найденных корня при всех допустимых значениях параметра $a$, (то есть при всех $a$, удовлетворяющих неравенствам $0 \leq a \leq \frac{1}{2}$, — см. рисунок 1) является действительными числами. В самом деле, дискриминант $D = 2a-3a^2 \geq 0$ при $0 \leq a \leq \frac{2}{3}$; значит, тем более $D \geq 0$ при $0 \leq a \leq \frac{1}{2}$.

Тепер нам нужно выяснить, удовлетворяют ли найденные значения условий $x \geq 0$, $x+a \leq \frac{1}{2}$.

Проверим сначала выполнение условия $x+a \leq \frac{1}{2}$. Имеем
$$x_1+a = \frac{1-a-\sqrt{2a-3a^2}}{2} + a = \frac{1+a-\sqrt{2a-3a^2}}{2}.$$
Решив неравенство
$$\frac{1+a-\sqrt{2a-3a^2}}{2} \leq \frac{1}{2},$$
получим $0 \leq a \leq \frac{1}{2}$. Значит, $x_1+a \leq \frac{1}{2}$ при всех допустимых значениях параметра $a$.

Далее,
$$x_2+a = \frac{1-a+\sqrt{2a-3a^2}}{2} + a = \frac{1+a+\sqrt{2a-3a^2}}{2}.$$
Неравенство
$$\frac{1+a+\sqrt{2a-3a^2}}{2} \leq \frac{1}{2}$$

выполняется только при $a = 0$. Но при $a = 0$ имеем $D = 0$ и $x_1=x_2 = \frac{1}{2}$.

Доказательство неотрицательности обих найденных корней предоставляем проверсти читателю.

Ответ: если $0 \leq a \leq \frac{1}{2}$, то $x = \frac{1-a-\sqrt{2a-3a^2}}{2}$;

если $a < 0$ или $a > \frac{1}{2}$, то решений нет.

Заметим, что при решении рассмотренного уравнения сухение ОДЗ оказывается весна полезным. Естественно возникает вопрос: когда надо проводить такие уточнения?

Если мы выполним преобразование, в результате которого получается уравнение, равносильно предыдущему, то в случае ОДЗ надоности, конечно, нет. В противном случае оно полезно. Такая ситуация возникает, например, при возведении в квадрат (или в любую четную степень) обенх частей того или иного уравнения, с чем мы и встретились в рассмотренном примере.

Неколько примеров
Пример 1*). Решить уравнение
$$\frac{\sqrt{a+x}}{a} + \frac{\sqrt{a+x}}{x} = \sqrt{x}.$$
Решение. ОДЗ определяется уравнями $x > 0$, $a+x \geq 0$, $a \neq 0$ (отсюда, кстати, сразу следует, что при $a = 0$ уравнение не имеет решения). Преобразуем уравнение к виду
$$(a+x)^{3/2} = ax^{3/2}.$$
Сухаем ОДЗ: из неотрицательностилевой части последнего уравнения и уравний $x > 0$, $a \neq 0$ следует, что $a > 0$.

Далее получаем: $a+x = a^{2/3}x$, откуда $x (a^{2/3}-1) = a$.
При $a = 1$ решений, очень/no, нет. Если $a \neq 1$, то
$$x = \frac{a}{a^{2/3}-1}.$$
Выясним, при всех ли рассматрива-
*) № 206 из «Сборника задач по элементарной математике». Авторы — Н. П. Антонов, М. Я. Выгодский, В. В. Никитин, А. И. Санкин. В указанном задачке пример решен/herno.

23

Решениями второго уравнения совокупности (7) являются значения $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$ ($k = 0, \pm 1, \ldots$). Остатся проверить, при всех ли значения $a \neq 0$ найденные значения $x$ являются допустимыми.

Если $k = 2n$, то $\sin x = \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и должно выполняться условие $\frac{\sqrt{2}}{2} \neq -\frac{1}{a}$, то есть $a \neq -\sqrt{2}$.

Если $k = 2n + 1$, то $\sin x = \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Из условия $-\frac{\sqrt{2}}{2} \neq -\frac{1}{a}$ получаем: $a \neq \sqrt{2}$.

Объединия все результаты, записем

Ответ: если $a \neq \pm \sqrt{2}$, то $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$;

если $a = \sqrt{2}$, то $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$;

если $a = -\sqrt{2}$, то $x = \frac{\pi}{4} + \pi (2n + 1)$ ($k,n = 0, \pm 1, \pm 2; \ldots$).

Пример 4. Решить уравнение $\log^2_{\sqrt{2}} \cos x - 2a \log_{\sqrt{2}} \cos x = a^2 - 8$.

(8)

Решение. Положив $y = \log_{\sqrt{2}} \cos x$, преобразуем заданное уравнение в квадратное уравнение $y^2 - 2ay - (a^2 - 8) = 0$,

откуда $y_{1,2} = a \pm \sqrt{2(a^2 - 4)}$.

Теперь нужно решить совокупность логарифмических уравнений

$$\log_{\sqrt{2}} \cos x = a + \sqrt{2(a^2 - 4)}. \tag{9}$$

$$\log_{\sqrt{2}} \cos x = a - \sqrt{2(a^2 - 4)}. \tag{10}$$

Замечаем, что при $a^2 - 4 < 0$ правые части уравнения (9) и (10) не имеют смысла. Это значит, что, при $-2 < a < 2$, оба уравнения не имеют решений. Рассмотрим случай $a^2 - 4 \geq 0$, что возможно при $a \geq 2$ или при $a \leq -2$.

Пусть для начала $a \geq 2$. Так как $\cos x \leq 1$, а $\sqrt{2} > 1$, то $\log_{\sqrt{2}} \cos x \leq 0$.

Значит, уравнение (9) и (10) будут иметь решения только при таких значениях параметра $a$, при которых правые части уравнения неположительные. Нетрудно видеть, что при $a \geq 2$ правая часть уравнения (9) положительная, следовательно, уравнение (9) не имеет решений.

Выясним, при каких значениях параметра $a$ будет неположительный правая часть уравнения (10). Решив неравенство $a - \sqrt{2(a^2 - 4)} \leq 0$ (с учетом условия $a \geq 2$), получаем $a \geq \sqrt{8}$. Таким образом, если $2 \leq a < \sqrt{8}$, то уравнение (10) не имеет решений (a поскольку не имеет решений и уравнение (9), то заключаем отсюда, что и уравнение (8) в указанном случае не имеет решений).

Если $a \geq \sqrt{8}$, то из уравнения (10) получаем

$$x = \pm \arccos(\sqrt{2})^{a - \sqrt{2(a^2 - 8)}} + 2\pi n. \tag{11}$$

Рассмотрим теперь случай $a \leq -2$. При этих значениях параметра правая часть уравнения (10) отличается, то есть это уравнение имеет решения (выше они уже записаны формулой (11)). Выясним, при каких значениях параметра $a$ будет неположительный правая часть уравнения (9). Решив неравенство $a + \sqrt{2(a^2 - 4)} \leq 0$ (с учетом условия $a \leq -2$), получаем $a \geq -\sqrt{8}$. Таким образом, если $a < -\sqrt{8}$, то уравнение (9) не имеет решений, если $-\sqrt{8} \leq a \leq -2$, то уравнение (9) имеет решения, а именно:

$$x = \pm \arccos(\sqrt{2})^{a + \sqrt{2(a^2 - 8)}} + 2\pi n.$$

Obединия все полученные результаты, записем

Ответ: если $-2 < a < \sqrt{8}$, то решений нет;

если $a \geq \sqrt{8}$ или $a < -\sqrt{8}$, то

$$x = \pm \arccos(\sqrt{2})^{a - \sqrt{2(a^2 - 8)}} + 2\pi n;$$

если $-\sqrt{8} \leq a \leq -2$, то

24

Рис. 3.

$$x = \pm \arccos(\sqrt{2})^{a \pm \sqrt{2}a^2 - 8} + 2\pi n.$$

Геометрия помогает алгебре

При решении уравнения с параметром могут оказаться весы полезными различные геометрические соображения. Рассмотрим для примера уравнение

$$\sqrt{x(2a-x)} = 1 - x \text{ при } a > 0.$$

Какое решение уравнения можно интерпретировать как абсциссу точки пересечения прямой $y = 1 - x$ с полукругжностью

$$y = \sqrt{x(2a-x)}, \text{ или}$$
$$(x - a)^2 + y^2 = a^2; \text{ у} \geq 0$$

радиуса $a$, с центром в точке $(a, 0)$ (рис. 3). Положение полукругжности и ее радиус мениются при изменении параметра $a$. На рисунке 3 наглядо видно, что при одних значениях $a$ полукругжность не пересекает прямую $y = 1 - x$ (полукругжности, лежащие под прямой), при других значениях $a$ полукругжность пересекает прямую в двух точках (полукругжности, лежащие в средней головой зоне), при третьих значениях $a$ полукругжность пересекает прямую в одной точке (полукругжности, лежащие в красной зоне или выше), а при некоторых значении $a$ полукругжность касается прямой (полукругжность, разделяющая голову и коричневую зоны).

Рассмотрим случай, когда полукругжность касается прямой $y = 1 - x$. Из геометрических соображений заключаем, что расстояние центра этой полукругжности от точки пересечения прямой $y = 1 - x$ с осью абсцисса равно $a\sqrt{2}$. Отсюда $a + a\sqrt{2} = 1$, то есть случай касания имеет место при $a = \sqrt{2} - 1$. Значит, при $a < \sqrt{2} - 1$ уравнение не имеет решения (голубая зона), а при $a = \sqrt{2} - 1$ имеет единственное решение, которое находится из геометрических соображений: $x = a + \frac{a\sqrt{2}}{2}$ (см. рис. 3), откуда получаем $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Полукругжность, проходящая на рисунке 3 через точку $(1, 0)$, соответствует значению параметра $a = \frac{1}{2}$. Значит, при $\sqrt{2} - 1 < a \leqslant \frac{1}{2}$ уравнение имеет два решения:

$$x_1 = \frac{a + 1 - \sqrt{a^2 + 2a - 1}}{2},$$
$$x_2 = \frac{a + 1 + \sqrt{a^2 + 2a - 1}}{2}$$

(kорни найдены с помощью алгебраического решения заданного уравнения). Наконец, если $a \geqslant \frac{1}{2}$, то уравнение имеет единственное решение $x = x_1$ (поскольку $x_1 < x_2$).

25

Ответ: если $a < \sqrt{2} - 1$, то решей нет;
если $a = \sqrt{2} - 1$, то $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;
если $\sqrt{2} - 1 < a \leq \frac{1}{2}$,
то $x_{1,2} = \frac{a+1 \pm \sqrt{a^2+2a-1}}{2}$.

если
$a > \frac{1}{2}$, то $x = \frac{a+1 - \sqrt{a^2+2a-1}}{2}$.

Попробуйте сами решить предложенное уравнение алгебраической с соответствующими исследованиями, и вы убедитесь, что геометрические расуждения в данном случае и нагляднее, и красивее.

ЗАДАЧИ

Мы рассмотрели ряд примеров решения уравнения с одним параметром. Одним из вас они понавились больше, другим — меньше, но несомненно одно: если вы тщательно разобрали эти примеры с карандашом в руках (как советовала редакционная коллекция нашего журнала в № 1), то вы уже получили определению ползу. Хотите в этом убедиться? Решите сами следующее уравнение с параметром $a$:

1. $a^2 - \frac{a^2-1}{2x-x^2} = \frac{x+2}{x-2}$.
2. $\sqrt{x+a} = a - \sqrt{x}$.
3. $\sqrt{x-2a} - \sqrt{x-a} = 2$.
4. $x + \sqrt{x^2-x} = a$.
5. $\sin(a+x) + \sin x = \cos \frac{a}{2}$.
6. $\sin^2 x + 4 \sin x + a = 0$.
7. $\sin x + 2 \cos ax = 3$.
8. $\log_{\sqrt{x}} a \log_{a^2} \frac{a^2-4}{2a-x} = 1$.
9. $\frac{\log_x(2a-x)}{\log_x 2} + \frac{\log_a \sqrt{x}}{\log_a 2} = \frac{1}{\log_{a^2}-1}$.
10. $\log_{\frac{1}{2}}(2 \sin x) + a \log_{\frac{1}{2}} \sin x + 3 = 0$.

4 Квант № 9

27

ЭЛЛИПС

И. Н. Бронштейн

Вступление

Даны: точка О и окружность С, лежащая в плоскости, не проходящей через О.
Пусть прямая линия, бесконечная в обе стороны (как и полааемся в геометрии), движется так, что она все время проходит через О и через одну из мочек окружности С.
При этом движении прямая описывается поверхность, состоящую из двух расструбов (полосей).
Это — конечная поверхность. *).
Если ее пересекать различными плоскостями, то же не проходит цикл через точку О, то в течение получения кривые линии, называемые конечными сечениями.
Их примена:
эллипс, гипербола и парабола.
Они были известны еще в Древней Греции. Их открыл некий Менехм около 360 года до нашей эры, а до нас они дошли по замечательному сочинию выдающейся математика Аполония, написанному примеру 200 лет спустя.
О первой из этих кривых и рассказывается здесь.

*) Слева изображена только одна полость конечной поверхности.

Эту фигуру знают все. С ней встречаются в начальной астрономии и географии (траектории движения планет и спутников, форма земного meridiana, пути электрона вокруг атома), в черченении, рисовании и стереометрии (рисунки технических деталей, круглых предметов и геометрических тел), но что такое эллипс, чем он интересен — а это действительное замечательная фигура, обладающая красивыми и важными свойствами,— об этом в школьных учебниках ничего не говорится.

На вопрос «что такое эллипс?» один ответят: «вытянутый круг» или «вытянутая окружность» *), другие — «сжатый круг (окружность)», третьи — «кривая овальный форму», четвертые ничего не ответят, а просто сделают более или менее удачный рисунок; в каждом из этих ответов есть доля истинны, но они требуют еще уточнения.

Достаточно ли, например, сказать, что эллипс — кривая оваль-

*) Okружность — линия, а круг — часть плоскости внутри нее. Для эллипса аналогичных д в у слов нет: как сама кривая, так и часть плоскости внутри нее называется одинаково, говорят: «длина эллипса», «площадь эллипса». Читатель в каждом случае без труда установит, о каком смысл слова «эллипс» идет речь.

28

Рис. 1. Только красный овал — эллипс.

ной формы? Под этими словами обычно понимают линию, обладающий двумя осями симметрины CD и EH, выписанную в прямогольник PQRS и положую на окружность (рис. 1). Тот же смысл включается в слова «сжатая» или «вытянутая окружность». Но в прямогольник можно писать много такого рода кривых — некоторые из них изображены на рисунке 1. Только одна из них — красная — имеет право называться эллипсом. Чем же она выделяется из остальных кривых?

Их тоже можно получить сжа-

тием (или растяжением) окружности, но это скажие не будет равномерным. Чтобы разобраться в этом, позначимся с геометрическим преобразованием плоскости — равномерной осевой деформацией или, кратко, деформацией.

Деформация *)

Возьем в заданной плоскости П некоторую прямую l и заданным положительным числом k. Будем называть деформацией плоскости П относительно оси l с коэффициентом k такое преобразование плоскости в себя, при котором каждая ее точка m переходит в точку M по правилам:

1. обе точки m и M лежат на одном перpendикulaireке к оси l по одному сторону от нее; точки, лежащие на самой оси, остаются неподвижными;

2. расстояние точки от оси умножается на k, то есть $m_0M = k \cdot m_0m$, где $m_0$ — основание perpendикуляра из точки m на ось l (рис. 2, а, б).

Если $k > 1$, то все точки плоскости (кроме точка на самой оси) удаляются от оси — плоскость растяжения, а если $k < 1$, то приближаются к оси —

*) Это слово (от латинского «deformation»—изменение формы) применено здесь вместе выражения «растяжение или скатие».

Рис. 2. Деформация с коэффициентами a) $k = \frac{2}{3}$ б) $k = \frac{2}{3}$.

30

Рис. 6. Так можно построить эллипс.

Если же $k < 1$ (сжатие), то $b < a$ (рис. 6). При $k = 1$ (тождественное преобразование) окружность перейдет в окружность. Чтобы не нарушать общности определения эллипса, условимся считать окружность частным случаем эллипса ($b = a$). Больший из отрезков $CD$, $EH$ называется большой осью эллипса, меньший — малой осью. Итак, если $k > 1$, то $a$ — малая полуось и $b$ — большая, а если $k < 1$, то наоборот.

В обихх случаях $k = \frac{b}{a}$.

Точка $o$ — центр окружности — перейдет при деформации в себя ($o \rightarrow O$). О называется центром эллипса, точки $C$, $D$, $E$ и $H$ — его вершинами.

Квадрат $pqrs$, описанный вокруг окружности («матери» эллипса), одна сторона которого параллельна, а другой перpendикулярна к оси деформации, преобразуется в прямогольник $PQRS$ со стороны $2a$ и $2b$, описанный вокруг эллипса; он называется характеристическим для нашего эллипса, так как полностью его определяет. Стороны характерисского прямогольника касаются эллипса в его вершинах.

Как чащенить эллипс?

Если заданы оси эллипса, то проще всего намерить эллипс от руки, построив сначала характеристический прямогольник, а затем вписав в него овальный кривую. Но этот способ не очень практики удалется уверенно нарисовать почти настоящий эллипс). Мы уже знаем, что существует много овальных кривых с одним и теми же осями. Можно точно построить сколько уголно точек эллипса. Наболее употребительный и простой способ такого построения изображен на рисунке 6.

На этом рисунке две концентрические окружности имеют радиусы $a$ и $b$. Разбериется сами в этом построении и докажите его законность, то есть доказите, что на рисунке $6$ $m_0M = m_0m \cdot \frac{b}{a}$.

Сделав это построение для нескольких точек $m_1$, $m_2$, $m_3$, … окружности радиуса $a$, мы можем получить сколько уголно точек нашего эллипса. Остается соединить их плавной линей от руки или с помощью лекала.

Но интересно намерить эллипс непрерывным движением, то есть не отрывая карандаша от бумаги, подобно тому как мы вычерчиваем окружность циркулем. Это можно сделать специальным прибором — эллипсоэффициом. О нем расскажем ниже, когда познакомимся с уравнением эллипса. Но сначала надо выяснить, что такое уравнение линей.

Уравнение линей *)

Одним из заменательных открытый XVII века является метод координат, позволяющий переводить геометрическое понятие на алгебраическую языку. Этот метод дает возможность установить соответствие между линяями, лежащими в плоскости, на которой установлен система координат, и уравнениями, содержащими две буквы $x$ и $y$.

Уравнением некоторой линей называется такое уравнение относительно $x$ и $y$, которое обращается в тоже место при подстановке в него значений $(x_0, y_0)$ в том и только в том

*) Подробнее об уравнении линей можно прочесть в любом учебнике аналитической геометрии.

31

Рис. 7. $m(x_{окр}, y_{окр})$ — точка на окружности, $M(x_0, y_0)$ — точка на эллипсе.

случае, когда точка с координатами $(x_0, y_0)$ лежит на данной линии.

Можно также сказать, что линия, определяемая уравнением, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.

Например, уравнение $y=x$ есть уравнение бисектрицы I и III координатных углов, а уравнение окружности радиуса $a$ с центром в начале координат запишется так: $x^2+y^2=a^2$.

Оно легко получается из теоремы Пифагора.

Уравнение эллипса

Эллипс с полуосями $a$ и $b$ получен из окружности радиуса $a$ деформацией с коэффициентом $k=\frac{b}{a}$ (рис. 7). Установим на плоскости, где находится обе эти линии, оси координат; ось $OX$ направим по оси деформации, а ось $OY$ — через центр окружности (он же — центр эллипса) перpendикулярно к оси $OX$. Пусть $m$ — любая точка окружности, а $M$ — та точка эллипса, в которой переходит $m$.

координаты точки $m$ обозначаим через $(x_{окр}, y_{окр})$, а точки $M$ — через $(x_0, y_0)$. Очевидно, по определению деформации

$$x_0=x_{окр}, y_0=k \cdot y_{окр},$$

(*)

Рис. 8. Точка $M$ описывает эллипс.

откуда

$$x_{окр}=x_0, y_{окр}=\frac{y_0}{k}.$$

Если подставить в уравнение окружности $x^2+y^2=a^2$ координаты любой ее точки $(x_{окр}, y_{окр})$, то будет верно равенство

$$x^2_{окр}+y^2_{окр}=a^2,$$

а значит, заменя $x_{окр}$ и $y_{окр}$ по формуле (*), видим, что верным будет также равенство

$$x^2_{9}+\frac{y^2_{9}}{k^2}=a^2$$

для любой точки $M$ $(x_0, y_0)$.

Если же точка $M'(X', Y')$ не лежит на эллипсе, то точка $m'(x', y')$, попавшая в $M'$ в результате деформации, не лежала на окружности, и уравнение $(x')^2+(y')^2=a^2$ неверно; значит, неверно и уравнение $(X')^2+\frac{(Y')^2}{k^2}=a^2$.

Из определения уравнения линии получим такое уравнение эллипса

$$x^2+\frac{y^2}{k^2}=a^2.$$

Заметив, что $ka=b$, можно привести это уравнение к виду

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$$

Это и есть уравнение эллипса в наиболее удобной (так называемой канонической) форме.

32

Рассмотрим такую геометрическую задачу (рис. 8).

Отрезок $PQ$ движется в плоскости так, что один его конец $Q$ скольчит по прямой $OX$, а другой $P$ — по перпендикулярной ей прямой $OY$. Какую линию опшет при этом точка $M$ этого отрезка $(MP=a, MQ=b)$?

Докажем, что эта кривая — эллипс. Применим метод координат (рис. 9) — за оси координат применяемые, по которым скольчит отрезок. Пусть координаты точки $M-x$ и $y$ (они зависит от угла $PQO$). Из подобия треугольников $QNM$ и $MLP$ имеем $\frac{NM}{LP} = \frac{QM}{MP}$, или $\frac{y}{\sqrt{a^2-x^2}} = \frac{b}{a}$.

Уравнение (1) еще нельзя назвать уравнением искомой траектории: оно составлено применительно к рисунку 9, где отрезок лежит в цетверти и обе координаты точки $M$ положительные. Только при этом условии можно считать, что $ON=x$, и $NM=y$; если же отрезок находится во II, III или IV цетверти на рисунке 8, то нужно считать $ON=\pm x$, $NM=\pm y$, выбирая каждый раз нужные знаки.

Рис. 10. Эллипсограф.

Впрочем, уравнение (1) пригодно и для II цетверти, так как $x$ возводится в квадрат и перемена знака $x$ не изменит этого уравнения. Для III и IV цетвертей уравнение (1) должно быть заменено на такое:

$$-\frac{y}{\sqrt{a^2-x^2}} = \frac{b}{a}.$$

Пара уравнения (1) и (2) может быть заменена одним уравнением

$$\frac{y^2}{a^2-x^2} = \frac{b^2}{a^2},$$

которое легко приводится к виду

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

Искомая кривая — эллипс.

На полученном результате основана конструкция эллипсографа. На бумагу или чертежную доску накладывает крест, в котором имеется две взаимно перпендикулярные прорези (рис. 10). С прямолинейной планкой соединены три муфточки, которые можно закрепить в любых точках планки. Крайние муфточки $P$ и $Q$ могут ходить в прорезях креста, а средняя $M$ снабжена карандашом, который при движении планки вычерчивает эллипс. Закрепив муфточки по заданным полуосам $PM=a$, $MQ=b$, мы можем вычертить эллипс с этим полуосами.

33

Наклонные сечения круглого цилиндра — эллипсы

Пересекая круглый цилиндр плоскостью, не перpendикулярной и не параллельной его оси, мы получаем более или менее вытянутые овалы, в зависимости от угла наклона сечения. Это значит каждая хозяйка, нарезая колбасу для гостей ломтиками и часто (для «экономии») делая угол достаточно острым, чтобы овал имел большую площадь.

Докажем, что эти сечения — не просто овалы, а настоящие эллипсы. Для этого достаточно установить, что овал получается из окружности (основания цилиндра) растяжением; коэффициент $k$ равен $\frac{1}{\cos \alpha}$, где $\alpha$ — угол между плоскостями сечения и основания цилиндра.

Проведем (рис. 11) в основании цилиндра два взаимно перpendикулярных диаметра: $cd$ — параллельный и $eh$ — перpendикулярный к линни пересечения обих плоскостей, и проведем через них плоскости $cdDC$ и $ehHE$, параллельные оси цилиндра, а также плоскость $M_0Mmm_0$, параллельную $ehHE$, проходящую через точку $M$ сечения. Зная, что длина проекции отрезка на некоторую прямую равна длине самого отрезка,

умноженной на косинус угла между ним и его проекцией, мы получаем

$$\frac{M_0M}{m_0m} = \frac{OE}{oe} = \frac{b}{a} = \frac{1}{\cos \alpha} = k.$$

Если теперь положить обе фигуры $CEDH$ и $cedh$ на одну плоскость, чтобы $CD$ совместилось с $cd$, то они займут положение, как на рисунке 5, причем $M_0M = m_0m \cdot \frac{1}{\cos \alpha} = m_0m \cdot k$, где $k > 1$.

Этим нашей утверждение доказано.

Интересно, что для каждой эллипса можно указать такое положение, что он оказывается сечением круглого цилиндра, радиус которого равен малой площади эллипса. Для этого нужно взять сначала перpendикулярное сечение цилиндра и повернуть плоскость этого сечения вокруг одного из диаметров полученного круга на угол, косинус которого равен $\frac{a}{b}$.

Это всегда возможно, так как здесь.

Сопряжение диаметры эллипса

Из последнего результата сразу следует интересное свойство эллипса: середины всех параллельных хорд эллипса образуют прямолинейный отрезок, проходящий через центр эллипса (рис. 12). Это свойство оченьindo

34

Рис. 13. Доказательство свойства сопряженных диаметров.

для okружности: середины ее параллельных хорд лежат на диаметре, перpendикулярном к этим хордам. Поставьте теперь эллипс в положение сечения круглого цилиндра и проведите через параллельные хорды эллипса серio плоскостей, параллельных оси цилиндра (рис. 13). В плоскости перpendикулярного сечения цилиндра получается параллельные хорды okружности, сечedinь которых лежат на ее диаметре. Середины хорд эллипса лежат на пересечении плоскости эллипса и плоскости, проходящей через полученный диаметр и через ось цилиндра. Это — прямолинейный отрезок, очевидно, проходящий через центр эллипса и делящийся в нем пополам.

Хорда эллипса, проходящая через его центр, называется диаметром эллипса. У эллипса диаметры, вообще говоря, не равны. Наибольший из них — большая ось, а наименьший — малая. Если проводится в эллипсе вторую серio хорд, параллельных полученного диаметру, то их середины лежат на диаметре, принадлежащем к первой серии хорд (рис. 12). Два полученных диаметра называются взаимно сопряженными. Для каждого диаметра эллипса существует ему сопряженный. Заметим, что у okружности каждой пара сопряжен-

Рис. 14. Проекция okружности — тоже эллипс.

ных диаметров взаимно перpendикулярна, а у эллипса — нет, исключение составляют только оси эллипса.

Проекция okружности — эллипс

Если проектировать okружность, лежащую в некоторой плоскости, на другую плоскость, не параллельную и не perpendикулярную к первой, то в проекции получится овальная кривая. Она образуется, например, на траве в виде тени от летящего в воздухе диска (рис. 14).

Этот овал — снова эллипс. Доказательство этого читатель легко проверяет сам. Здесь не нужно делать даже специального чертежа — достаточно обратиться к рисунку 11, но посмотреть на него с иной точки зрения: будем линю CEDH считать okружностью (CD=EH=a), а проектирующий цилиндр — не круглым, а овальным. Здесь cd=CD=a, eh=EH·cosα=b. Нужно доказать, что cedh — эллипс; поверхность в этом случае называется эллиптическим цилиндром — по форме perpendикулярного сечения.

Путь доказательства тот же, что и в доказательстве теоремы о сечении круглого цилиндра. На этот раз m₀m=M₀M·cosα, где α — угол между плоскостями. Следовательно, оваль cedh получен из CEDH скатнем с

35

Рис. 15. $F_1$ и $F_2$ — фокусы эллипса.

козффициент $k = \cos \alpha = \frac{b}{a}$.

Перpendикулярные диаметры окружности проектируют теперь во взаимно сопряженные диаметры эллипса. Этот факт имеет большое значение в теории изобравжения пространственных фигур на плоскости.

Фокальное свойство эллипса

Мы переходим к наиболее важному свойству эллипса — фокальному. Это — прилагательное от слова «фокус»*) — так называются две замечательные точки, лежащие внутри эллипса на его большой оси симметрично относительно центра эллипса. Расстояние каждого фокуса от концов малой оси эллипса равно половине длины большой оси (рис. 15).

Будем рассматривать эллипс как сечение круглого цилиндра — мы видели, что всегда имеем это делать. Вкатим теперь в цилиндр с обонх его концов по шару, вписанному в цилиндр, пока оба шара не стукнутся о плоскость этого сечения

*) Латинское слово «фосис» значит очень Проискождение этого термина следующие: если помещить в одном фокус эллипса источник свет, то все лучи, отраженные от эллипса по закону «угол падения равен углу отражения», пройдут через второй фокус. Об этом подробнее будет расссказано в одном из номеров «Кванта».

Рис. 16. Доказательство фокального свойства эллипса.

(рис. 16) (на геометрическом языке: впишем шары в цилиндр так, чтобы они касались плоскости сечения).

Точка прикосновения $F_1$ и $F_2$ и будет фокусами нашего эллипса.

Каждай шар касается цилиндра по окружности. Обе эти окружности изобравены на рисунке 16 красным цветом.

Возьем теперь любую точку $M$ эллипса и отметим ту образушую $PQ$ цилиндра, на которой точка $M$ лежит ($P$ и $Q$ — точки этой образующей, лежащие на красных окружности). Ясно, что $MQ=MF_1$ — это длинны двух касательных к правому шару, проведенных из $M$ до точки прикосновения $P$ и $Q$. Они равны, как образушие круглого конуса с вершиной $M$, описанного около левого шара.

Провода такое же рассужждение для левого шара, получаем аналогичное равенство $MP=MF_2$. Сложив оба равенства, получаем

$$MF_1+MF_2=MP+MQ=PQ.$$

Но $PQ$ — одно и то же для всех образуших нашого цилиндра: это — расстояние между красными кругами (между центрами наших шаров). Значит, какую точку $M$ на эллипсе мы ни взяли, будет иметь место

36

Рис. 17. Так получают эллипс на практике.

равенство $MF_1 + MF_2 = const$.

Таким образом, сумма расстояний от любой точки эллипса до двух ее фокусов — величины постоянная.

В этом и состоит фокальное свойство эллипса. Часто эллипс и определяется как «геометрическое место» (на современном языке — как множество) таких точек, лежащих в одной плоскости, для которых сумма расстояния до двух точек (фокусов) — величины постоянная.

Если в качестве точки $M$ эллипса выбрать конец его большей оси (например, точку $C$ на рисунке 15), то по фокальному свойству $CF_1 + CF_2 = const$. Вследствие симметрины $F_1C = F_2D$; значит, эта постоянная равна $CF_2 + F_2D$, то есть большей оси $CD = 2a$. Если же за точку $M$ принять конец малой оси, например, точку $E$, то $EF_1 + EF_2 = 2a$, а так как в силу симметрины $EF_1 = EF_2$, то каждый из этих отрезков равен $a$. Это и доказывает утверждение, высказанное в начале этой рубрики, и дает способ построения фокусов эллипса по его осям (рис. 15).

Эллипсограф для садовников

На фокальном свойстве эллипса основано известное построение эллипса непрерывным движением при помощи нитяного колца. Положим лист бумаги на чертеную доску и на колем на него две канилярские коппки. Наbrosив на обе коппки нитяное колцо (перimetр колца должна быть больше удвоенного расстояния между коппками), натянем нить острим карандаша так, чтобы получился треугольник ($\Delta F_1F_2M$). Если dwигать карандашом по бумаге так, чтобы нить оставалась в натянутом положении, то треугольник будет деформаровать, но его перimetр остается постоянным. Постоянной остается и длина стороны $F_1F_2$ — значит, $F_1M + F_2M = const$ и карандаш опишет эллипс.

Мы получили новый, очень простой эллипсограф. Этот способ с успехом использовал цветочные эллиптических клемб. Вместо коппок в землю выключают два кола, колцо делается из толстой веревки, а эллипс вычерчивается на земле не карандашом, а палкой (рис. 17).

Мы не обьясили проискождения названия «эллипс» (по-греческий «ellipsis») значит «недостаток» — при чем здесь недостаток?), не расскаазали о многих других очень важных свойства этой кривой — свойства, общих для всех конечных сечеений: эллипса, гиперболы и парабoles. Эти вопросы будут освещены в следующих номерах «Кванта».

Пространственные рисунки в этой стате дают лишь общее представление об их сутки. При выполнении рисунков было отдано предоптение наглядности, а не строим правильизованная пространственность фигура на плоскости *).

О законах изображения на плоскости пространственных фигура будет расскаазано в одном из близжайших номеров журнала.

*) Попробуйте доказать, что гипербола, приведенная на стр. 26, изображена, строго говоря, неверно.

37

ВЫЧИСЛЕНИЕ СУММ

Вычисление сумм — один из важнейших и интереснейших вопросов математики. Существуют различные методы вычисления сумм. В статье рассказывается о двух из них.

1. В математике и ее многочисленных приложениях для сокращенной записи суммы употребляется специальный знак. Это Σ — буква греческого алфавита «сигма». Запись суммы посредством знака Σ часто бывают очень удобной. Познакомимся с этим знаком.

Пусть дана сумма вида
$$a_1 + a_2 + \dots + a_n.$$
Все слагаемые этой суммы обозначаны одной буквой, для отличия использования индексы. Данную сумму сокращенно можно записать в следующем виде:

$$\sum_{k=1}^{n} a_k.$$
Читается: «сигма $a_k$, $k$ меняется от 1 до $n$». Для такой записи берется «типичное» слагаемое суммы, в нашем случае $a_k^*$, перед ним пишется знак Σ и указавются границы изменения $k$. Например, запись

$$\sum_{k=1}^{10} k$$
означает сумму
$$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10,$$
*) $a_k$ называется общим членом суммы.

а запись
$$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}$$

— сумму
$$\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{(n-1)n} + \frac{1}{n(n+1)}$$.

Нетрудно проверить следующие свойства знака Σ:
$$\sum_{k=1}^{n} 1 = n, \quad \sum_{k=1}^{n} ca_k = c \sum_{k=1}^{n} a_k,$$
$$\sum_{k=1}^{n} (a_k + b_k) = \sum_{k=1}^{n} a_k + \sum_{k=1}^{n} b_k.$$

Проверим, к примеру, второе свойство.

По определению
$$\sum_{k=1}^{n} ca_k = ca_1 + ca_2 + \dots + ca_n,$$

позтому, согласно известному свойству суммы, имеем:
$$\sum_{k=1}^{n} ca_k = c(a_1 + a_2 + \dots + a_n).$$

Но выражение в скобках есть не что иное, как
$$\sum_{k=1}^{n} a_k$$
и, следовательно,
$$\sum_{k=1}^{n} ca_k = c \sum_{k=1}^{n} a_k.$$

38

Аналогичное проверяются остальные два свойства.

2. Рассмотрим вопрос о вычислении суммы вида

$$\sum_{k=1}^{n} f(k) = f(1) + f(2) + \dots + f(n),$$

где $f$ — известная функция целочисленного аргумента, определяная на отрезке $[1, n]$ натурального ряда.

Эту сумму легко вычислить, если удасссянная тайку функцию $F$, определяную на отрезке $[1, n+1]$ натурального ряда, что при всех $k, 1 \leq k \leq n$, справедливо равенство

$$f(k) = F(k+1) - F(k).$$

В самом деле, полагая в этом равенстве последовательно $k = 1, 2, \dots, n-1, n$, получим:

$$f(1) = F(2) - F(1),$$
$$f(2) = F(3) - F(2),$$
$$f(3) = F(4) - F(3),$$

$$f(n-1) = F(n) - F(n-1),$$
$$f(n) = F(n+1) - F(n).$$

Складывая эти равенства, приходим к следующей формуле:

$$\sum_{k=1}^{n} f(k) = F(n+1) - F(1).$$

Таким образом, если функция $F$ найдена, сумма (1) вычисляется элементарно.

Проиллюстрируем формулу (3) геометрической прогрессии.

На рисунке 1 нам нужно найти сумму (1), обозначенную просто через $\Sigma$, как длину вертикального отрезка. Каждый член вида $f(k)$ соответствует длине красного отрезка, равной разности длины зеленьх отрезков $F(k+1)$ и $F(k)$. Очевидно, сумма длины всех красных отрезков равна разности длини первого и последнего из зеленьх отрезков.

Пример 1. Вычислим сумму

$$\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)},$$

то есть

$$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}.$$

Здесь

$$f(k) = \frac{1}{k(k+1)},$$

и, как нетрудно проверить, ее можно представить в виде следующей разности:

$$f(k) = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}.$$

Поэтому, если обозначить

$$F(k) = -\frac{1}{k},$$

то формула (2) будет выполнена для всех натуральных $k$:

$$f(k) = F(k+1) - F(k).$$

Приимена формулу (3), легко получим

$$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}.$$

Пример 2. Найдем сумму членов следующей геометрической прогрессии:

$$q, q^2, q^3, \dots, q^n \quad (q \neq 1).$$

Здесь $f(k) = q^k$, и, воспользоваться равенством $q^{k+1} - q^k = q^k(q-1)$, можно написать

$$q^k = \frac{q^{k+1}}{q-1} - \frac{q^k}{q-1}.$$

Отсюда видно, что можно положить

$$F(k) = \frac{q^k}{q-1},$$

и, следовательно,

$$\sum_{k=1}^{n} q^k = \frac{q^{n+1}}{q-1} - \frac{q}{q-1} = \frac{q^{n+1}-q}{q-1}.$$

Получили известную формулу.

39

Пример 3. Вычислим сумму
$$\sum_{k=1}^{n} \sin kx (x \neq 2\pi n).$$
Нетрудно проверить, что
$$\sin kx = \frac{\cos(k-0,5)x - \cos(k+0,5)x}{2\sin 0,5x},$$
то есть
$$\sin kx = F(k+1) - F(k),$$
где
$$F(k) = -\frac{\cos(k-0,5)x}{2\sin 0,5x}.$$
Тепер на основании формулы (3) после несложных преобразований получим
$$\sum_{k=1}^{n} \sin kx = \frac{\sin 0,5(n+1)x \sin 0,5nx}{2\sin 0,5x}.$$
Читатель сам убедился, что формула (3) дает эффективный способ вычисления суммы (1). Главное — нахождение функции $F$. Нередко, к сожалению, это — задача не из легких, а иногда даже незарешимая.
3. Пусть теперь заданы две конечные последовательности чисел
$$u_1, u_2, \dots, u_n,$$
и
$$v_1, v_2, \dots, v_n$$
и требуется вычислить сумму
$$\sum_{k=1}^{n} u_k v_k.$$
Здесь часто бывают полезным одно преобразование, которое было указано замещенным норвежским математиком Абелем. Именно пусть $V_k$ — сумма первых $k$ членов последовательности (4), то есть
$$V_k = \sum_{i=1}^{k} v_i = v_1 + v_2 + \dots + v_k.$$
Ясно, что $v_1 = V_1$; если же $k > 1$, то
$$v_h = V_h - V_{h-1}.$$

Позтому
$$\sum_{k=1}^{n} u_k v_k = u_1 v_1 + u_2 v_2 + \dots + u_n v_n = u_1 V_1 + u_2 (V_2 - V_1) + \dots + u_n (V_n - V_{n-1})$$
Раскрывая скобки и группируя слагаемые по два, получим
$$\sum_{k=1}^{n} u_k v_k = (u_1 - u_2) V_1 + (u_2 - u_3) V_2 + \dots + (u_{n-1} - u_n) V_{n-1} + u_n V_n$$
или окончательно:
$$\sum_{k=1}^{n} u_k v_k = u_n V_n - \sum_{k=1}^{n-1} (u_{k+1} - u_k) V_k.$$ (5)
Геометрическая интерпретация этого способа дана на рисунке 2. Каждый член вида $u_k v_k$ соответствует площади прямоугольника (зеленого). Члены вида $(u_{k+1} - u_k) V_n$ соответствуют площадям красных прямоугольников. Выражение $u_n V_n$ есть площадь всего прямоугольника. После этого формула (5) становится очень видно.

Пример 4. Вычислим сумму
$$1^2 + 2^2 + \dots + n^2.$$
Обозначим искому сумму через $S$ и запишем ее, используя знак $\Sigma$:
$$S = \sum_{k=1}^{n} k^2.$$

42

Рис. 1. Фотография, полученная камерой «Зенит», у которой объективзаменен листком черной бумаги с отвергением. Диаметр отвергения 0,2 мм, чувствуетность пленки 65 ед., выдержка 5 сек.

В основе геометрической оптики лежит представление о прямолинейности световых лучей. Этому учит нас практика. Вы сами можете легко проверить опыт, подтверждающий прямолинейность распространения света. Замените объективное фотоаппарата листком черной бумаги, в котором проколото маленькое отвергение. Такой «дырочной камерой» (ее называют камерой-обскурой) можно получить фотографию ярко освещенных предметов, подобно фотографию, приведенной на рисунке 1. Изображение на пленке точно соответствует центральной проекции точек предмета прямыми, проходящими через отвергение, что является весим аргументом в ползу представления о лучах света как о прямых линиих.

Образование tenи на белом экране от непрозрачного предмета мы обязываем как проекцию контурра предмета на плоскость экрана лучами, выходящими из каждой точки источника света. Так как источник света обычно имеет довольно большие размеры, граница teni окружена полтенью и размыта. Можно было бы думать, что, уменьшая размеры источника, мы будем сухать область полтени и в пределе получим резкую tenь. Однако опыт показывает, когда источник света становится достагоно мал, обнаруживается явления, которые равше массировались полтенью. Приемой край непрозрачной пластинки вместе резкой teni дает картину, приведенную на рисунке 2. Край tenи размыт, а паралельно ему идут темные и светые полосы уменьшающейся конструкности. Если источник света белый, то полосы окрашены в радужные цвета.

Tenь от тонкой проволоки (рис. 3) также имеет сложную структуру. Снаружки она оказывалена полосами, как у края непрозрачной пластинки, а внутри tenи видны темные и светые полосы, тем более узкие, чем только проволока.

Совсем неожиданно выглядит tenь от шарика или от маленького непрозрачного диска (рис. 4). Кроме темных и светых колес, окружающих tenь и аналогичных уже знакомным нам полосам, в центре tenи можно видеть яркое светлое пятно, как будто в центре диска проколото маленькое отвергение.

Явления, в которых обнаружена

43

Рис. 3. Дифракция от тонкой проволоки. Снимок в белом свете через красный светофильтр. Диаметр проволоки 1,2 мм. Расстояние от проволоки до пленки 0,5 м.

ется, что свет распространяется не стого по законам геометрической оптики, называются дифракционными. Их причина лежит в волновой природа света. Точное описание распространения света дает не построение лучей, а картина распространения волн.

Представим себе круговые волны, расходящиеся от брошенного камня по спокойной поверхности пруда. Если волны достигают плавающего на поверхности бревна, то за бревном образуется волне четкая тень, границы которого определяются лучами, проведеными из точки падения камня через концы бревна. Однако в области тени тоже можно заметить волне поверхности воды, хотя и более слабое. Это и есть дифракция, которая в данном случае не очень искажает картину геометрической тени. Если же волны встречают на своей пути сваю, то уже на небольшем расстоянии за ней картина распространяется волн будет мало похожить на геометрической тень. Наконец, если волны встречают торчащий из воды тонкий шест, то тень вообше не образуется. Волны свободно огибают малые препятствия. На поверхности воды можно будет заметить лишь слабую круговую волну, рассеянуто шестом.

Таким образом, при распространении волн могут встретиться как случан, когда прямолинейные лучи хорошо описывают наблюдаемые явления, так и случан, когда преобладает дифракционная картина. Все зависит от соответствия между длиной волны, размерами препятствия (или ответствия), ограничивающего волну, и расстоянием до плоскости наблюдания. Коротко это можно сформировать так: если из точек экрана, на котором мы наблюдаем тень, препятствие или ответствие видно под углом большим, чем угол, под которым видна длина волны с расстояния, равного поперечнику препятствия, то дифракция не сильно искажает лучевую картину. В виде формулы это можно записать так: $\frac{a}{R} \gg \frac{\lambda}{a}$, где $a$ — размер ответствия, $R$ — расстояние до экрана, на котором наблюдается тень, и $\lambda$ — длина волны. Если углы сравнимы или первый угол меньше второго, то есть $\frac{a}{R} \leqslant \frac{\lambda}{a}$, то дифракция играет определенную роль и лучевые представления неприменимы.

44

Рис. 5. Установка для наблюдения и фотографирования дифраクционных картины. 1 — лампа, 2 — проектирующая линза, 3 — точная дифраграма со светозащитным экраном, 4 — держатель с объективами дифракини, 5 — светозащитная трубка, 6 — фотоаппарат без объективы.

В оптике чаще всего имеют дело с первым слуаем, так как длины волн видимого света очень малы (от 0,7 мк для красного света до 0,4 мк для филолетового), но на больших расстояниях от маленького отверстия или от тонкой проволоки может встретиться и второй слуаей.

Наблюдать явления дифракции света можно с помощью весма скромных средств. Проколите в тонкой фольге кончиком острой иголки отверстие 0,1—0,2 мм и наклейте фольгу на лист картона с отверстием, который нужен для того, чтобы свет от источника — обличной настольной лампы — не мешал наблюдения. Установив лист картона на подставке, проектируйте на него линзой с фокусным расстоянием 4—6 см увеличенное изображение волоска лампы так, чтобы часть изображения волоска пришлась на отверстие в фольге. За отверстием образуется световой конус, который легко найти по светлом кругку на матовом стекле или глазом (когда глаз попадает в световой конус, отверстие какжет ярко светящимся). На расстоянии около 0,5 м от отверстия в пучок света будем помещать объекты, а дифракционную картину будем наблюдать на расстоянии тоже около 0,5 м за объектом. Вести наблюдание следует через слабую лупили линзу с фокусным расстоянием 2—5 см, укрепив ее на подставке, а глаз располагать на таком расстоянии от линзы, чтобы она всегда ярко освещенной. На светлом фоне хорошо будет видна дифракционная картина.

На рисунке 5 приведена фотографика установки, на которой получены все помещенные в этой стате дифракционные картины. Была использована оптическая скмья, что, конечно, не обязательно, одноклассику для укрепления объектов какими-либо штативами с винтовыми перемещениями, то приводить дифракционную картину в центр поля зрения будет значительно легче.

Tenь от прямолинейного края непрозрачного экрана вам даетlezвие безопасной бритвы. Из двухlezвий можно сделать щель шириной 0,3—1 мм. Кусочек проводки диаметром до 1 мм продемонстрирует дифракцию от узкого экрана. Интересно выглядит дифракция от кончка иолки.

Для наблюдания светлого пятна в центре тени от круглого предмета возьмите стальной шарик от подшипника диаметром 2—4 мм. Капелькой kleя приклейте шарик к стеклянной пластинке. (Необходимо следить за тем, чтобы kleя не выступал за контур шарика, а поверхности стекла и шарика были чистыми.) Когда kleя подсохнет, укрепите пластинку с шариком на установленке. Перемещая пластинку, приведите тень от шарика в центр поля зрения. При этом будут хорошо видны и внешние дифракционные колыца, и пятно в центре, округженное темными и светлыми колыцами.

Вы, верятоно, захотите получить фотографирование дифракционных картины. Это легко сделать, если воспользоваться фотоаппаратом с вывинченным объективом. Tenь от объекта

45

Рис. 6. Фотография, полученная с помощью шарика. Внешние колыца размещены. Диаметр шарика 4 мм. Высота символа 1 мм. Диапазон был получен фотографированием на контрастной пленке буквы, вычерченной тушью на белой бумаге.

проектируется прямо на плоскость пленки. Чтобы диффракционные полосы на фотографии были более четкими и число их было больше, ответственные, служащие источником света, надо закрыть светофильтром, лучшие красным, так как в спектре лампы накаливания много красных лучей. Для общих пленок экспозиция в 5—10 секок оказалась достаточно. Чтобы избежать засветки пленки, между аппаратом и объектом нужно поместить зачерненную внутреннюю трубу.

Смешение источника света вызывает смешение тени, а значит, и пятна. Поэтому, если вместе точного источника вы возьмите диапазон размера, то каждая произнащая точка на нем даст свою, слегка смешенную тень шарика со своим светлым пятном. В результате внешние диффракционные колыца размещются, а в центре тени можно будет увидеть изображение диапазона. Шарик будет действовать как линза. Именно так была получена фотография символа постояной Планка (рис. 6).

Просверлив в тонкой жести круглое ответственное диаметром около 2 мм, вы можете проследить, как меняется диффракционная картина от круглого ответствия на разных расстояниях от него. Закрыв источник света светофильтром и приближая глаз с луной к ответнию, начиная с расстояний 1—2 м, вы увидите, как в центре картины появляется черные кружки, которые при приближении глаза превращаются в темные колыца, расходящие к краям тени. Число темных колей, считая и темное пятно в центре, определяется разностью путей света для центраного луча и луча, индущего от края ответствия. Этот можно воспользоваться для определения длины волны света. Чтобы произвести вычисления, необходимо знать диаметр ответствия, изменить расстояние от источника света до ответствия и расстояние от ответствия до плоскости наблюдания. Определить положение плоскости наблюдания можно, помещив в поле зреня лупы и голку и двяга ее до тех пор, пока она не будет представляться глазу резкой на фоне изучаемой диффракционной картины. Положение иrogки и определяют плоскость, рассматриваемого в лупу. Как вывести расчетную формулу, мы поясим ниже.

В белом свете можно наблюдать красивую смени okраски диффракционных колей. Цвета, которые вы увидите, не похож на спектральные. Они называются дополнительными и наблюдаются тогда, когда из полного спектра белого света удаляется какая-нибудь одна спектральная область. В нашем случае, когда, например, в центре получается темное пятно для зленого света, остальные части спектра, то есть красно-оранжевый и фиолетовый, okрашивающий центр картины в пурпурный цвет. Отсутствие красного приводит к зелено-голубому дополнительному цвету и т. д. На рисунке 7 приведены примеры диффракционных картины от круглого ответствия.

Почему же в центре, куда волны приходят, казалось бы, беспрерывственно, появляется темное пятно?

Вернемся к нашим наблюдаям

Рис. 8. Сложение колебаний, усиливающих друг друга.

волн на поверхности пруда. Представим себе, что одновременно в пруд бросили два камня и по его поверхности распространяются две системы волн. Тогда на поверхности пруда найдут точки, в которых одновременно приходят горбы от обеих систем волн. Через некоторое время в эти же точки одновременно придуgt впадины волн. Волны будут усиливать друг друга, как это показано на рисунке 8. Усиление будет происходить в точках, лежащих на равных расстояниях от источников волн. Кроме того, волны будут усилиться в тех точках, расположия от которых до

Рис. 7. Дифракция от круглого ответия. a) Диаметр ответия 1 мм, $R_1=R_2=0,5$ м. Красный светофильтр. Отверстие открывает две зоны. В центре черное пятно. б) То же с синним светофильтром. Отверстие открывает почти три зоны. c) Диаметр ответия 1,5 мм, $R_1=R_2=0,5$ м. Красный светофильтр. Отверстие открывает немного более четкие зон.

Рис. 9. Сложение колебаний, ослабляющих друг друга.

Рис. 10. Источник света можно заменить вторичными источниками.

источников волн отличются на целую длину волны, на две длины волны и т. д. В тех точках, до которых одновременно доходят горбы от одной волны и впадины от другой, волны будут ослабляться, гасить друг друга, как это показано на рисунке 9. Описанное явление называется интерфенцией. Оно играет решающего роль в образованнии дифраクционных картины.

Каждая точка пространства, через которой проходит световая волна, сама может рассматривать как источник вторичной сферической волны (рис. 10). Если свет проходит через круглое отверстие в непрозрачном экране, то мы можем заменить источник светящегоными источниками, распределенными по площади отверстия. Все эти источники будут колебаться в такт с первичной волной,doшедшей до отверстия. Амплитуда колебаний в точке наблюдания за экраном найдется как сумма колебаний, которые вызывает в этой точке каждой вторичной источник. При этом необходимо учеть, что волны от разных источников проходят разные путь и, складываясь, могут не только взаимно усиливаться, но и ослабляться.

Проследим, как будет менять амплитуда колебаний на оси круглого отверстия, освещенного точным источником света. Когда расстояние до точки наблюдания очень велико по сравнению с диаметром отверстия, волны от всех вторичных источников проходят почти одинаковые пути и, приходя в точку наблюдания, взаимно усилиются. При приближении точки наблюдания к отверстию вторичные волны от источников, расположенных на краю отверстия, будут заметно отваливаться от волн, приведших от источников центральной зоны, и результатирующая амплитуда будет уменьшаться. Когда луч, проведенный в точку наблюдания от края отверстия, становится длинее луча, проведенного из центра, на целую длину волны, наступит полная компенсация колебаний, и в центре дифракционной картины мы видим темное пятно. Еще приблизив экран, мы нарушим компенсацию колебаний на оси, и центр дифракционной картины снова становится светлым. Тепер возникнет компенсация на некотором расстоянии от оси, и центр дифракционной картины будет окружен темным колцом. Когда крайний луч отстанет от центрального на две длины волны, снова наступит компенсация колебаний на оси. Дифракционная картина будет иметь вид светлого пятна с темным центром и с одним темным колцом.

Появление темного пятна в центре дифракционной картины будет периодически повторяться по мере приближения экрана, на котором наблюдается дифракционная картина, к экрану с отверстием. Сосчитав число темных колц, можно сказать, сколько раз произошла компенсация на оси. То же самое можно увидеть, если менять не расстояние до точки наблюдания, а радиус отверстия. Эти указания достаточно для того, чтобы вы сами вывели формулу для определения длины волны.

Итак, желаем успеха! Надеемся, что физические кабины ваших школ пополняются колекциями дифракционных картины, сформированных вам, и что в редактию «Кванта» вы пришлеете наиболее удачные фотографии.

В этом и следующих номерах раздел «Задачик Кванта» составлен из задач, предлагавшихся на всесоюзных оптимизации по физике и математике 1970 года. После каждой задачи в скобках указан класс, в котором она предлагалась.

Ф48. На вал якоря динамо-машины намотана вервка, к которой прикреплен груз. Опускаясь, груз вращает якорь. Когда якорь достаточно раскрутился, к klemmам машины присоединили сопротивление нагрузки. Изображите на графике зависимости скорости вращения якоря от времени с момента начала движения груза. (X)

Г. И. Косоуров

Ф49. U-образная трубка заполнена водой. Из одного колена воздуха удален; давление воздуха в другом колене при температуре $t = 20^\circ\text{C}$ равно атмосферному. Оба конца трубки запаяны. Разность между уровнями воды в коленах равна 15 м. Какой будет разность уровней воды в коленах, если трубку нагреть до $100^\circ\text{C}$? (IX—X)

Б. Б. Буховцев

Ф50. На гладком горизонтальном столе лежат два одинаковых кубика с массами $m$, соединенные пружинкой жесткости $k$ и длины $l_0$ в нерастянутом состоянии. На левый кубик (рис. 1) внесапно начнет действовать постоянная по величины и направление силы $F$. Найditе минимальное и максимальное расстояние

Рис. 1.

Рис. 2.

49

между кубиками при дальнейшем движении системы. (X)

Б. Б. Буховцев

Ф51. Фотографировать тигра с расстояния менее 20 метров опасно. Какой размер имеет камера-обскура с отверстием диаметром в 1 мм, чтобы тигр на фотографины был полосатым? Расстояние между полосами на шкуре тигра равно 20 см. (X)

А. Л. Стасенко

Ф52. Мяч брошен вертикально вверх. Что больше: время подъема или время падения? (VIII)

Ф53. В сосуде нахождения две немешивающейся жидкости с удельными весами $d_1$ и $d_2$ и толщинами слоев $h_1$ и $h_2$ соответственно. С поверхности жидкости в сосуд опускают маленькое объектаемое тело, которое достигает дна как раз в тот момент, когда его скорость становится равной нулю. Какова плотность материалов, из которого сделано тело? (VIII)

М. М. Балацов

Ф54. Что показет амператор в схеме, изображенной на рисунке 2? Сопротивление амператора очень мало. (VIII—IX)

А. Р. Зильберман

M41. Дана окружность, ее диаметр $AB$ и точка $C$ на этом диаметре. Построить на окружности две точки $X$ и $Y$, симметричные относительно диаметра $AB$, для которых прямая $YC$ перpendикулярна к прямой $XA$. (VIII)

M42. Цифры некоторого семнадцатизначного числа записьюются в обратном порядке. Полученное число складывается с первоначальным. Доказать, что хотя бы одна из цифр их суммы будет четной. (VIII)

Рис. 3.

M43. Каждая сторона правильно треугольника разбиита на $n$ равных частей. Через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам. В результате треугольник разбиился на $n^2$ маленьких треугольников (рис. 3). Изовем «цепочкой» последовательность треугольников, в которой ни один не появляется дважды и каждый последующий имеет общую сторону с предыдущим. Каково наиболее возможное число треугольников в цепочке? (VIII—X)

M44. Доказать, что для каждой натурального числа $K$ существует бесконечного много натуральных чисел $T$, не содержащих нулей в десятичной записи и таких, что $T$ и $KT$ имеют одинаковые суммы цифр. (X)

M45. Доказать, что из любых двух сqrt чисел чисел можно выбрать $n$, сумма которых делится на $n$, где $n \geq 2$.