Квант 1970, №10 · Страницы

Научно-популярный физico-mатематический
квант
10
1970
журнал
Академии
наук СССР
и
Академии педагогических
наук СССР

71

Главный редактор — академик И. К. КИКОИН
Первый заместитель главного редактора — академик А. Н. КОЛМОГОРОВ

Редакционная коллекция:

Л. А. Арцимович,
М. И. Башмаков
В. Г. Болтянский,
И. Н. Бронштейн
Н. Б. Васильев
И. Ф. Гинзбург
В. Г. Зубов,
П. Л. Капица,
В. А. Кирилин,
Г. И. Косоуров
В. А. Лешковцев,
В. П. Лишевский
А. И. Маркушевич,
М. Д. Миллюоницков,
Н. А. Памприеева
Н. Х. Розов
А. П. Савин
И. Ш. СLOBODEЧИЙ
М. Л. Смолянский,
Я. А. Смородинский,
В. А. Фабрикант,
Я. Е. Шнайдер,

акademик
член-корреспондент АПН СССР
акademик АПН СССР
акademик
(зам. главного редактора)
акademик АПН СССР
акademик
(зам. главного редактора)
доктор физико-математических наук
акademик АПН СССР
(ответственный секретарь)

Заведующая редакция Л. В. Чернова.
Главный художник Е. П. Леонов.
Технический редактор Т. М. Макарова.
Корректор Л. С. Сомова.
Издательство «Наука».
Главная редакция физико-математической литературы
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
tel., 234-08-11

Сдано в набор 29.06.70 г. Подп. к печати 19.08.70 г.
Бумага 70×100/16. Физ. печ. л. 4. Услови. печ. л. 5,6.
Уч.-изд. л. 5,4. Тираж 175985 экз. T-09868.
Цена 30 коп. Заказ 1059

Чеховский полигraphкомбинат Главполигraphпрома
Комитет по печати при Совете Министров СССР
г. Чехов Московской области.

2

П. Л. Капица

О СВЕРХТЕКУЧЕСТИ ЖИДКОГО ГЕЛИЯ

Этот доклад был прочитан академиком Петром Леонидовичем Капицей на общем собрании Академии Наук СССР в сентябре 1943 г. спустя 5 лет после открытия сверхтекучестижного геля. В конце доклада ученый сказал о некоторых проблемах, стоящих перед экспериментатрами и теоретическими изучениями это явление. Сейчас эти проблемы уже решены. Экспериментально подтверждено существование сверхтекучеем геля температурных волн, подобных звуковым (второй звук); исследование критических скоростей течения сверхтекучего геля приело к открытию удивительного явления — макросоппических квантовых вихрей.

Изучение жидкого геля и его свойств относится к области физики наиболее низких температур. Это одна из тех областей физики, где стремятся изучать явления приоды в крайних условиях. Открытия новых интересных явлений мы можем скорее всего окидать тогда, когда изучаем природу в крайних, допустимых для нее, условиях, как, например, при исключительно сильных магнитных полях, высоких давления, высоких электрических напряжений и т. д., а также в области глобкого холода, приближающегося к абсолотному нулю. Здесь мы тоже можем надеяться обнаружить новые явления, такие свойства приоды, которые в обычных условиях либо ускользают от наблюдания, либо просто даже не проискают. В этом отношении область температур вызизна абсолотного нуля особенно интересна. Работы последнего десятилетия это подтверждили со всей очевидностью.

Что такое абсолотный нуль температурной шкалы? Последнее определение абсолотного нуля — 273,13° С. Известно, что аб-

солютного нуля мы нижогда не сможем достигнуть. Объчное, школьное, определенное абсолютного нуля говорит, что это та температура, при которой прекращается тепловое движение материи. Но это определение неточно. С современной точки зрения, основывающейся на теории квантов, допускается существование движений при абсолютном нULE. Энергия этого движения вполне определена и является тем минимальным молекулярным движением, которое в данном веществе может существовать. Приведу простой пример. Если сильно нагревать вещество, то электроныatomов, которые движутся вокруг atomного ядра по определенным орбитам, будут под воздействием температурных движений отрываться, отделать, наступит так называемая диссоциация. При охлаждении вещества движение atomов замедляется, электроны начинают опять обращаться по своим орбитам и до самого абсолютного нуля сохраняют свое движение. Но, кроме движения электронов по орбитам каждого atomа в отдельности, еще есть цель ряд комбинированных движений в твердом теле, которые с современной точки зрения должны сохраняться до самых низких температур. Благодаря этому так называемому вырождению движения в этой области температур и могут появиться совершенное новые явления, которые мы не можем наблюдать при обычных температурах.

Одно из таких интересных явлений, которое уже прибрело широкую известность, открыто Камерлинг-Оннесом — это явление сверхпроводимости. Оно заключится в том, что при очень низких температурах электрический ток получает возможность течь по некоторым проводникам без сопротивления, без образования телла. Опыт показывает, что если в замкнутом сверхпроводнике индутивным путем возбуждается ток, он течет, не выделяя телла и не убывая, только времени, сколько экспериментатору удавалось его наблюдать. Другим из таких явлений,

которые можно обнаружить только при очень низких температурах, является найденная нами 5 лет назад в жидком гелии сверхтекучесть.

Исследования этого и других явлений былиизготовлено нуля производится посредством самого жидкого гелия как холодильного агента. Жидкий гелией — это единственное известное вещество, которое даже при самых низких температурах вплоть до тысячных долей градуса от абсолютного нуля при нормальном давлении остается жидким и не переходит в твердое состояние. Его можно превращать в твердое тело только при давлении, начиная с 25 амп.

Сам по себе жидкий гелией представляет чрезвычайно интересный объект для изучения.

Гелией ожидается при температуре 4,8°К и образует легкую, весящую раз в 7—8 меньше воды, и произрачную жидкость. Из-за небольшой тепломкости жидкий гелией во время опыта прихождения держать за хороший теплопозолочной в вакуумном дьюаровском сосуде, еще окруженном другим таким же сосудом с жидким воздухом. Экспериментрование с жидким гелием представляет значительное технические трудности. Это объясняет то, что до сих пор только в нескольких laboratorиях холода во всех странах жидкий гелией получается в достаточно количестве.

Если понятие температуры жидкого гелия от точки его скхжения (4,8°К), то, когда мы достигнем температуры 2,19°К, он претерпевет изменения, и приято говорить, что гелией I переходит в гелией II. Эту температуре называют λ-точкой. Находясь в своей первоначальной состоянии, жидкий гелией обычно не перерывно кипит благодаря маленьую доступу телла которого трудно избежать даже при наличии теплозолочки. Ниже λ-точки肢руг перестает кипеть, поверхность его становится гладкой; это связано с

4

изменением ряда физических свойств жидкого геля. Новое состояние жидкого геля было впервые обнаружено Камерлинг-Оннесом, начало изучаться Кeeзомом и оказалось чрезвычайно любопытным.

Кeeзом нашел, что геля II приобретает в этом состоянии большую теплопроводность. Теплопроводность его, изучаемая в капиллярах, оказалась во много раз больше, например, чем у меди или сербра, — наиболее теплопроводных металлов. Поэтому Кeeзом и назвал жидкий геля II сверхтелопроводным веществом. Я повторил опыт Кeeзома в несколько измененных условиях и в результате получил еще большую теплопроводность.

Попытка осветь экспериментальные данные на основании современных взглядов на теплопроводность вскрыла глубокое противоречие между теорией и опитом. Я не буду вдаваться в подробное описание довольно сложных теоретическихвоззрения на теплопроводность, как они даны в основном Дебаем. Физическая картину теплопроводности мы можем представить себе так: повышение температуры какого-либо тела в какой-либо точке увеличивает среднюю скорость колебательного движения молекул вещества; при этом точас начинается процессы выравнивания: более «горячие», то есть более возбужденные, молекулы воздействуют на соедние и приводят их в движение. Этот процесс последовательного выравнивания скоростей будет распространяться все дальше и дальше от нагретою места, то есть будет иметь место процесс распространения тела, который мы и называем теплопроводностью. Большое подробный анализ, произведенный на основании этих воззрения на теплопроводность, показывает, что для каждой тела в природа есть предельное количество тела в единицу времени, которое можно через него проверить. Оказалось, что также большую теплопроводность, которая экспериментально была обнаружена в наших последних опитах в жидком гели II, с помощью этих воззрения объяснить нельзя. Выход из этого противерия мы можем искать, либо отказавшись от основных взглядов на механизм теплопроводности, которые прочно установились в науке, либо надо признать, что явление теплопроводности в гели II обязано своим происхождением какому-либо иному механизму.

Как известно, теплое может передавать не только посредством описанного механизма, как оно распространяется в твердых телах и, как предполагаюсь, в жидком гели в узких капиллярах. Тепло может еще передавать в жидких и газообразных телах посредством так называемых конвекционных потоков. Например, конвекционные потоки в воздухе хорошо известны какдому, вы их недократно ошушали, когда держали руку над теплым радиатором. Так же рукасовсем не чувствует теплла, если ее держать на этом же расстоянии от радиатора, но внизу, так как здесь нет восходящих потоков нагретого воздуха, которые конвекционным путем уносят теплло вверх. Если интенсивную передачу теплла в жидком гели нельзя обьясить с точки зрения объяного механизма теплопроводности, то мне думалось, что, может быть, здесь имеет место как раз именно конвекционная передача теплла. Для этого нужно предположить, что в жидком гели II чрезвычайно легко возникают потоки жидкости, которые и обязана чрезвычайно большая способность геля II переносить теплло. Подсчеты показали, что такая интенсивность, с которой в жидком гели передавалось теплло, могла бы осуществлена только таким конвекционным потокам, которые должны течь в этой жидкости с необходимой легкостью. Поэтому по аналогии со сверхпроводимостью я предположил, что гели II при сверхнизких температурах представляют собой жидкость чрезвычайно текучую, то есть также жидкость, которая не имеет

5

вязкости *). Оставалось проверить это опытом.

Наблюдать небольшуюязкость, да еще при низкой температуре оказалось нелегкой экспериментальной задачей. Нado было найти специальный метод для ее измерения. Когда был найден и разработан необходимый метод, то само наблюдание не занял много времени и показало, что вязкость жидкого геля действительно исчезающее мала. Жидкий геля оказался свыше чем в миллиард раз более текущей жидкостью, чем вода. Такую текущую среду очень трудно себе представить, а между тем приведенное число ознакомлен предел не вязкости, а только чувствительности наших измерений. Более чувствительного метода мы пока не имеем. Поэтому я предположил, что есть все основания считать, что жидкий геля не имеет вязкости; я называю сверхтекущим. Сначала это встретило большие возможности. Искали в моих опытах экспериментальные ошибки в методике, в измерениях и проче. Открытие сверхтекущости в жидком гели, таким образом, все стороны обсуждалось, и теперь можно, я думаю, считать признаным существование сверхтекущего состояния в гели II.

Когда это явление было впервые формировано, нам казалось, что сверхтекущость геля II вполне достачана, чтобы объяснить большую теплопроводность, наблюдающую в жидком гели в соответствии с той картиной существования конвекционных потоков, которое я вам только что набросал. Но дело оказалось гораздо интереснее и сложнее, чем мы думали вначале.

Расссказ о том, как развивались наши взгляды на этот вопрос дальше, представляет неокоторые трудности. Я попыталось расссказать, с какими противоречиями мы стали вливысь, как менялись наши взгляды и как постепенно складывались у нас представления, которые выгляли

*) To есть при его теории не возникнет потреб энергии на трене. (Прим. ред.).

дели бы ни с чем несообразной фантастикой, если бы их изложить вне связи с реальными опытами.

Если стоять на точке зрения наших обычных механических представлений, вполне исчерпывающее описывающих поведение обычных веществ при обычных условиях, то оказывается, что сверхтекущий гели, как показывает опыт, не может переносить тепло столь интенсивно, как требуется изменение конвекционных потоков. Мы управаемся в трудность найти механизм, который мог бы вызывать необходимое быстroe течение геля при конвеции. В общим механизме переноса тела конвекцией мы обязаны движением среды тому, что более нагрета жидкость или газ становится несколько менее плотными,почему стремиться кверху, как бы всплывая в более плотной среде, а более холодные, более плотные, стремятся вниз, «тоунт». Происходит перемешивание, причем оченьindo, что причина,вызывающая движение, это — сила тяжесте. Но подсчет показывает, что этой силы в гели II недостаочно, чтобы вызывать такую большую теплопроводность, которая наблюдалась на опите. Это делало явление опять неопонятным. Надо было искать для его объяснения какие-то другие, новые механизмы. Рядом оптов, наконец, удалось на толкнуться на совсем новый механизм движения жидкого геля II.

Okазалось, что под влиянием расположости температуры в жидком гели II возникла очень сильные потоки, несколько наполняющие конвекционные потоки. Под действием расположуры жидкости приходит в движение, но это движение совершено особого рода, специфичное для жидкого геля II, неизвестное ни в какой другой жидкости и ни в каких других условиях.

Прежде чем пытается объяснить существование этого движения, познакомимся с его особенностями. Посмотрим, как оно выгляит на эксперименте. Я не буду детально описывать технических подробностей этого эксперимента.

6

римента. Основные его особенности вы можете себе представить из схемы, изображенной на рисунке 1.

В сверхтекущий гелий II погружена колбочка 1. В широкой части этой колбочки помещена нагревающая спираль 2, а колбочка открыта с одной стороны 3. Когда к нагреванию 2 подается ток, около горлышка 3 колбочки обнаруживается непрерывный поток вытекающего из нее гелия. Поток этот может быть обнаружен и даже изменен с помощью легкого крылышка, если его подвесить у горлышка. Поток на него давит и отклоняет его.

Некоторые, более эффективные и получательные видом изменение этого опыта для целей демонстрации было снят на кинопленку (один из кадров которого приводится на рисунке 2). Схема заснякого в действии прибора изображена на рисунке 3. Стеклянный «паччок» состоит из «бульбочки» 2, снабженной несколькоми выводными трубочками, отогнутыми в одну сторону. Таким образом, вся эта конструкция повторяет известное «сегнево колесо» (только по внешности, конечно; рассмотрев его, легко убедиться, что у «паччка» нет сквозного протока для жидкости). Бульбочка поставлена на ось из острия иголки 1. Весь «паччок» погружен в жидкий гелий. Гелий, находящийся в бульбочке, может быть нагret с помощью пучка света через линзу 3. Этот пучок света, падающий на зачеренную часть внутри бульбочки, играет роль нагреваателя, который в предыдущеем опите была спираль. Из трубочек — «ножек-«паччка», так же как из шеи колбочки в предшествующем опите, при нагревании среднего сосуда проискudit непрерывное вытекание струи. Под давлением вытекающих струй врашается вес «паччок».

Сыемка этого опыта трудна. Жидкий гелий совершенню проразчен, и коэффициент преломления в нем луча света таков, что его очень трудно рассмотреть через стекло. Не легко так-

Же проводить эксперимент в условиях общей яркой освещенности, которая необходима для сыемки. Поэтому попадилось значительное искусство кинооператоров Московской кинохроники, чтобы эту сыемку произвести.

Взглянем снова на рисунок 1. Телеръ я обращу ваше внимание на самый большой парадок этого опыта. Если мы обнаруживаем все время вытекающий из колбочки жидкость и при этом в колбочке не образуется пустоты, это значит, что жидкость должна все время натекать внутри колбочки. Как же жидкость попадает в колбочку? Не может же она вытекать, не попадая туда. Стенки у колбочки двойные, простенки между ними эвакуированы, и очень/no, что жидкость не может прохождение через них. Посредством крылышка, расположенного в самых разнообразных положениях у горлышка, никак не удалось обнаружить существования обратного потока. Поэтому первоначальное мы решили, что должен существовать поток вдоль очень тонкого слоя у самых стенок (тогда он не мог бы быть обнаружен крылышком). Но при дальнейших опитах эта гипотеза оказалась недостаочной. Я стал менять условия опыта: вместе колбочки с широким горлом я применял очень щелки. Идея этих опитов состоит в том, чтобы по возможности занять всеечение щелки обратным пристенным потоком и таким образом попытаться изменить характер наблюдаемых явлений. Шель в этих опитах изготовлялась очень точно из тщательно (оптически) отполированных поверхностей и имела ширину до 0,14 μ, то есть порядка десятичных миллиметра. Но измененный в характер явлений не было обнаружено.

Таким образом, явление становилось все загадочнее.

Перед тем как расскаазать, как оно теперь обьясняется, я хочу упомянуть еще о некоторых опитах.

Прежде всего позволяет остановиться на понятию обратности те-

пловых явлений. Это понятие впервые установлено еще болееста лет назад Карно; оно дает чрезвычайно важную связь между возможностями перехода работы в тепло и обратно. Обратимыми являются также теоретические процессы, когда тепло превращается в работу и обратно — работа в тепло, причем при этом не происходит рассеяния тепла. Полностью обратимых процессов вообще в природе не существует, но к ним можно подходить очень близко. Переход тела в движение тела, которое мы наблюдаем, например, в нашем «паччке» на рисунках 2 и 3, надо было в первую очередь изучить и с этой точки зрения. Если разность температур между гелем в колбочке и наружным гелем вызывает движение гелия и если это явление обратимо, то теоретически должно существовать и обратное явление: при вынужденном движении гелия должна появиться и разность температур. Если эти явления обратимы, то они должны быть связаны между собой определенными количественными соотношениями.

В опите со щелями удалость показать, что при передаче давления, заставляющего перетекать через щелкный гелий, действительное изменение обратным пристенным потоком и таким образом попытается изменить характер наблюдаемых явлений. Если при этом помнить, что гелий II сверхтекущ и что поэтому при его течение нет потреба на трение, то нетрудно видеть, что механизм температурного течение гелия работает с хорошим коэффициентом полезного действия. Таким образом, например, наш вертящийся «паччок» на рисунках 2 и 3 представляет собой машину с хорошим коэффициентом полезного действия. Конечно, никакого практического применения такой механизм имеет не может, и трудно ждать, чтобы когда-нибудь он его получил.

8

No tyt следует отметить, что это удивиительное термодинамическое свойство геля II, открывающее совем новый путь к переводу теплы обратным путем непосредственно в механическую работу, не имеет ничего похожего в известных нам до сих пор явлениях природы.

Обратимость термомеханических, точнее термодинамических, является в жидком геля представляется нам чрезвычайно важным обстоятельством и для дальнейшего изучения явлений при низких температурах. Предположим, что у нас есть капитляр 1 (рис. 4) с двумя сосудами на разных уровнях. Между концами его мы создаем разность давления. Это мы можем сделать, поместив сосудик 2 на конце капитlara выше сосудика 3 на другом его конце. Тогда в результате особых свойств геля и обратности процесса у нас на концах капитlara в сосудах 2 и 3 возникнет разность температур ΔT. В низкомрезервуаре 3 геля II станет более холодным.

Таким образом, у нас есть метод понижения температуры геля II, который состоит в том, чтобы застаивать геля II течь под давлением. Конечно, рисунок 4 является только схема течейской иллюстрацией этого принципиала, на самом деле опыт, разумеется, сложнее.

No поскольку это явление остаетсяся обратным до самых низких температур, возникнет возможность сделать очень интересные практические выводы. Если проталкивать геля насосиком или каким-либо другим путем через тонкие капилляры щелки в некоторых объемам, то температура в этом объеме осуществлено понятно. Повторяя эту операцию несколько раз, мы получаем метод для понижения температуры сколь угодно низко, и, таким образом, для нас открыется путь приближения к абсолотному нулю сколь угодно близко. Этот метод имеет важное значение для экспериментатора, поскольку до сих пор не существует еще метода, даже теоретического, для приближения к абсолотному нулю сколь угодно близко.

Наканную войны мы начали в наших работах развивать этот метод и сделали несколько успешных опытов в этом направлении. Мне удалось этим методом получить понятие температуры на 0,4°. Конечно, получение температуры в непосредственной близости к абсолотному нулю новых методом является техническим нелегкой задачей, и сразу на его удачу рассчитывать трудно. Тут много технических трудностей, и успех во многом зависит от искусства и изобретательности экспериментатора. Но все эти возможности не будут означаться, что существуют какие-то принципальные запреты для приближения к абсолотному нулю.

No перейдем теперь к теоретическому объяснению механизма явления вытекания жидкого геля из сосудика при его нагревании (см. рис. 1). Как я уже говорил, первоначально я объяснял явление заполнения сосудика геля темечением геля в обратном направлении в тонком слое. Я предполагал также, что энергетическая состояние геля II в этом тонком слое отличается от энергетического состояния свободного геля II, и, таким образом, можно было объяснить какуюшую большую теплопроводность геля. Так же можно было применить воз-

10

можную толщину этого слоя так, чтобы скорость течение геля в нем не принимала чрезмерно большое значение. Далее, как говорилось, я пытался в своих опытах обнаружить толщину этого слоя экспериментально. Для этого я заставлял геля в очень тонком слое. Постепенно я дошел до толщины слоя геля в 0,00014 мм, но опыт показал, что характер всех явлений при этом сохранился. Таким образом, объяснение приспособствы переместить, и это приводило к совершению новых воззрения на природу гидродинамических явлений в геляни II. Первые наброски этих идей были высказаны Тиссой, но научная разработка их, подведение под них теоретического обоснования и создание гидродинамической теории явления принадлежат нашему ученому Л. Ландду.

Постараюсь дать самую общую картину этих взглядов. Согласно этой теории тот противокок, который я пытался объяснить течение геля в одном энергетической состоянии по стенке другого внутри большочки, заменяется противококом геляя, проискодящим в самом себе.

Объяснение этого явления, данное Л. Д. Ландду, заключается в следующем.

Жидкий геляй представляет собой как бы смесь двух жидкостей. Эти две компоненты жидкого геля находятся в двух различных квантовых состояниях. Благодаря этому он показал, что могут существовать одновременное встречные течение одной и той же жидкости, которые мы и наблюдаем в горыше сосудика на рисунке 1.

Если бы это теоретическое положение не было так полно подкреплено экспериментальными доказательствами, оно звучало бы как идея, которое очень трудно признать разумной.

Теория Ландду хорошо описывает физическое существование тех двух состояний, в которых геля может одновременное существовать при температуре ниже л-точки. Как я уже говорил, если геляй после скжения продолжать охлаждать, то он будет находиться в состоянии общий жидкости вплоть до 2,19° К, то есть λ-точки. Тогда, согласно теории Ландду, в этой жидкости появляется в качестве как бы примеси геля в новом состоянии. Это новое состояние характеризуется тем, что в нем отсутствует вззросьт. Этот геляй представляет собой жидкий геля II в том состоянии, в каком он был высвободен при абсолотном нуле. Но при всякой другой температуре одновременно с этим состоянии существует как бы смещанный с ним геляй и в нормальном состоянии. По мере поняжения температуры концентрация геля начинает преобладать. Только при абсолотном нуле весы геляй, согласно теории, должны допускаться следующее образом. Поскольку геляй в сверхтекуем состоянии не испытывает треня ни о стенки, ни о геляй, находящейся в нормальном состоянии, поток, текущий по капиллеру, не создает реакцию треня и может как бы незначительно наполять сосудик *. Наоборот, геляй в нормальном состоянии течет из сосудика с тренем, и поток его является обичным потоком жидкости, давно изученным гидродинамикой. Этот нормальный поток и улавливается крыльшком, поставленным перед горышком трубочки на рисунке 1, в то время как идеи ему навстречу поток геляй в сверхтекуем состоянии обичными методами не удается обнаружить.

На основании этой же картины можно обяснить и большую теплопроводность

10

проводность геля II. Как видно, в сосуд попадает геля в сверхтекуем состоянии, а возвращается геля в нормальном состоянии. Чтобы превращить геля из одного состояния в другое, нужно затратить заметное количество теплла. Такой процесс своевременной конвекции и создает впечатление большой теплопроводности геля II.

Все эти явления, для объяснения которых требуется представить себе сложные взаимодействия между двумя различными состояниями одной и той же жидкости в одном и том же объеме, с трудом укладываются в наши привченные рамы даже физического мышления. Чтобы попытаться несколько облегчить хотя бы поверхностное восприятие этой сложной картины механизма теплопроводности геля II, я позволю себе прибегнуть к аналогии с теми встречными пистоками одетых и недетых людей, которые циркулируют по проходу в разделале театра. Одеты будут представлять собой нормальные atoms геля, получившие около нагревания («в разделале») нужную им энергию, а недетые — это сверхтекуние atoms геля. К сожалению, аналогия более чем непополная, так как atoms геля в сверхтекуем состоянии проходит mismo своих собствен в нормальном состоянии без всякого взаимодействия, тогда как не получившие пальто никак не могут продвигаться через топпубезсильного трения.

На основании этой картины можно объяснить, почему при протекании геля II через узкое отверстие или щель появляется разность температуры. Так как геля в сверхтекуем состоянии протекает легче, без трения, через малое отверстие, чем геля

12

АКСИОМЫ И ПЕРВЫЕ ПРИМЕРЫ

Пусть нам dado некоторое множество $X$. Мы говорим, что на нем определено рассмотрение, если каждый двум элементам $a$ и $b$ можноставлено некоторое неотрицательное число $\rho(a, b)$ — «расстояние от $a$ до $b$», — причем выполняются следующие три условия (см. рис. 1, $a, \delta, \theta$):

1°. $\rho(a, b) = 0$ тогда и только тогда, когда $a = b$.
2°. $\rho(a, b) = \rho(b, a)$ для любых двух элементов $a$ и $b$ из $X$.
3°. $\rho(a, c) \leqslant \rho(a, b) + \rho(b, c)$ для любых трех элементов $a, b$ и $c$ из $X$.

Множество с определением на нем расстоянием («метрикой») называется метрическим пространством $^*$. Сами элементы $x$ при этом называются общно моичками метрического пространства.

Прочтем еще раз формулировки аксиом, которые должны удовлетворять функция $\rho$ от пар точек, заданной расстояние.

1°. Расстояние от $a$ до $b$ равно 0 тогда и только тогда, когда $a$ совпадает с $b$.
2°. Расстояние от $a$ до $b$ равно расстоянию от $b$ до $a$ («аксиома симметрии»).

На этих рисунках для каждой двух точек указано «расстояние» между ними. Выполняется ли для этого «расстояния» аксиома $3^\circ$ метрического пространства?

*) Корень «метр» встречает во многих русских словах и произходит от слова метр — мера, размер.

13

3°. Расстояние от $a$ до $c$ не больше суммы расстояний от $a$ до $b$ и от $b$ до $c$ («аксиома треугольника»).

Начнем с самых простых примеров метрических пространств.

При мер 1. $X$ — числовая прямая, то есть множество всех вещественных чисел*). Расстояние $\rho$ определяется по формуле

$$\rho(x, y) = |x - y|.$$

(1)

Напомним, что $|a - b| = a - b$, если $a \geqslant b$ и $b - a$, если $b \geqslant a$, так что во всех случаях $\rho(a, b)$ равно длине отрезка числовой оси с концами $a$ и $b$ (рис. 2, а).

Проверим, что $\rho$ удовлетворяет всем трех требований $1^\circ - 3^\circ$. Очевидно, что $|a - b| = 0$ в том и только в том случае, если $a = b$, и что всегда $|a - b| = |b - a|$.

Неравенство $3^\circ$ тоже почти очевидно (рис. 2, б). В каждом из возможных случаях в взаимного расположении точек $a, b$ и $c$ на прямой, включая также, когда две из точек $a, b$ и $c$ совпадают, неравенство

$$|a - c| \leqslant |a - b| + |b - c|$$

(2)

легко доказать и формально, не ссылаясь на рисунок. Например, если $b \leqslant a \leqslant c$ (нижний рис. 2, б), то

$$|a - c| = c - a,$$

$$|a - b| + |b - c| = a - b + c - b = a + c - 2b \geqslant a + c - 2a = c - a,$$

и поэтому верно (2).

При мер 2. $X$ — любое множество,

$$\rho(a, b) = \begin{cases} 0, & \text{ если } a = b, \\ 1, & \text{ если } a \neq b. \end{cases}$$

(3)

Все аксионы $1^\circ - 3^\circ$, очевидно, выполены. Это, как говоря, «дискретное» пространство, в нем все точки как бы отделно, не слишком близко друг к другу.

При мер 3, о котором мы уже немного говорили выше. Предположим, что у нас есть план Москвы, на котором перечислены все оставки городского транспорта и для каждой промежутка между остановками указано, за сколько минут проходит этот промежуток автовосу (соответственно трамвай, метро, троллейбус). С помощью такого плана для любых двух

*) Это множество обобщается буквой $R$.

14

остановок $a$ и $b$ можно найти величину $t(a, b)$ — минimalное время, необходимое для того, чтобы попасть из $a$ в $b$ (не будем в нашей модели)? учитывать время, затраченное на пересадку с одной вида транспорта на другой и на ожидание, хотя и это можно сделать). Проверим, выполняются ли для функции $t$ свойства $1^\circ - 3^\circ$; другими словами, будет ли множество всех остановок $X$ с расстоянием $t$ метрическим пространством. Свойство $1^\circ$, как всегда, очевидно; $3^\circ$ тоже не вызывает сомнений: ясно, что можно.exать из $a$ в $c$ через $b$, поэтому минимальное время $t(a, c)$ зависит не больше $t(a, b) + t(b, c)$. А вот свойство $2^\circ$, особенно теперь, когда в Москве стало много улиц с односторонним движением, может, конечно, нарушаться. Проверите, что для функции

$$t'(a, b) = \frac{t(a, b) + t(b, a)}{2}$$

выполнены уже все свойства $1^\circ - 3^\circ$.

Вот еще один пример, когда расстояние изменяется не в километрах.

Пример $3'$. Пусть $X$ — множество городов СССР, куда летают самолеты, и $\rho(a, b)$ — стоимость билета (в рублей) из города $a$ в города $b$ (по наиболее дешевому маршруту). Нетрудно видеть, что это — метрическое пространство.

МЕТРИКИ НА ПЛОСКОСТИ

Занявшись несколько экзотических примерами метрических пространств, мы оставили в стороне самый естественный.

Пример $4$. $X$ — множество всех точек плоскости, $\rho$ — общное расстояние, с которым мы имеем дело в школьной геометрии, то есть $\rho(A, B)$ — длина отрезка, соединяющего две точки $A$ и $B$. Свойства $1^\circ$ и $2^\circ$ здесь и во всех следующих примерах совершено очевидны, и мы не будем больше о них говорить. А свойство $3^\circ$ здесь — не что иное, как утверждение «в треугольнике каждой сторона не больше суммы двух других»*). При общном построении курса геометрии это утверждение является несложной теоремой.

Вы, верятно, знаете, что на плоскости с прямогольной системой координат $Oxy$ расстояние $\rho(M_1, M_2)$ между двумя точками $M_1(x_1, y_1)$ и $M_2(x_2, y_2)$ выражается такой формулой (см. рис. 3):

$$\rho((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}.$$

Таким образом, то же самое метрическое пространство можно описать без всяких ссылок на геометрию следующим образом: $X$ — множество всех пар $(x, y)$ вещественных чисел **), расстояние между парами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ задается формулой (4). Но при этом, чтобы проверить свойство $3^\circ$,

*) Случай, когда три точки лежат на одной прямой, мы уже разобрали выше (пример 1).
**) Это множество имеет специальное обозначение $R^2$ и называется числовой плоскостью.

15

пришлось бы доказывать такое неравенство:

$$\sqrt{(x_1 - x_3)^2 + (y_1 - y_3)^2} \leq \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} + \sqrt{(x_2 - x_3)^2 + (y_2 - y_3)^2}.$$

Попробуйте сделать это! Удобно ввести специальные обозначения: $x_1 - x_2 = u_1, x_2 - x_3 = u_2, y_1 - y_2 = v_1, y_2 - y_3 = v_2$; тогда $x_1 - x_3 = u_1 + u_2, y_1 - y_3 = v_1 + v_2$, и последнее неравенство записывается несколько короче:

$$\sqrt{(u_1 + u_2)^2 + (v_1 + v_2)^2} \leq \sqrt{u_1^2 + v_1^2} + \sqrt{u_2^2 + v_2^2}$$

(кстати, подобная замена обозначений сильно сократила бы и доказательство неравенства (2)). После двукратного возведения в квадрат и упрощения вы получите эквивалентное оценидное неравенство

$$u_1^2 v_2^2 + u_2^2 v_1^2 \geq 2u_1 u_2 v_1 v_2 < = > (u_1 v_2 - u_2 v_1)^2 \geq 0.$$

Подумайте, когда это неравенство обращается в равенство? Что это означает на геометрическом языке?

В принципие все геометрические теоремы можно было бы доказывать на числовой плоскости чисто алгебраической и таким образом построить курс геометрии; но, как видите, доказательства теорем на этом пути не всегда становятся проще,— вместе «неравенства треугольника» нам пришлось доказывать довольно хитroe алгебраической неравенство.

Мы уже говорили о том, что на одном и том же множестве можно поразному определять расстояния. Вот два примера метрик на числовой плоскости $R^2$, отличных от (4).

Пример 5.

$$\rho'(M_1, M_2) = |x_1 - y_1| + |x_2 - y_2|,$$

(5) то есть $\rho'(M_1, M_2)$ равно сумме длин проекций отрезка $M_1 M_2$ на оси $Ox$ и $Oy$.

Пример 6.

$$\rho''(M_1, M_2) = \max\{ |x_1 - y_1|, |x_2 - y_2| \}$$

(6) (запись max {a, b} означает наиболее из чисел a, b) то есть $\rho''(M_1, M_2)$ равно наиболее из длин проекций отрезка $M_1 M_2$ на оси $Ox$ и $Oy$.

Неравенство треугольника в двух последних примерах легко доказывается с помощью неравенства (2). Скажем, для $\rho''$:

$$|x_1 - x_3| \leq |x_1 - x_2| + |x_2 - x_3| \leq \max\{ |x_1 - x_2|, |y_1 - y_2| \} + \max\{ |x_2 - x_3|, |y_2 - y_3| \}, \text{ и } |y_1 - y_3| \leq y_1 - y_2 + |y_2 - y_3| \leq \max\{ |x_1 - x_2|, |y_1 - y_2| \} + \max\{ |x_2 - x_3|, |y_2 - y_3| \},$$

позному наиболее из двух чисел $|x_2 - x_3|, |y_1 - y_3|$ не преводходит $\rho''(x_1, x_2) + \rho''(x_2, x_3)$.

Точно так же на множестве $R^3$ всех наборов $(x, y, z)$ из трех вещественных чисел расстояние между «точками» $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$ можно задать любой из формул

$$\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2},$$

(4')

$$|x_1 - x_2| + |y_1 - y_2| + |z_1 - z_2|,$$

(5’) или

$$\max\{ |x_1 - x_2|, |y_1 - y_2|, |z_1 - z_2| \}.$$

(6')

В случае (4’) мы получаем общное трехмерное пространство, которое изучает школьная stereometрия и которое является удобной реальностью, в котором мы живем. Все аналогичные $m$-мерные пространства ($m=2, 3, 4, \dots$) также полезны—с их помощью удобно строить всю теорию функций от $m$ переменных, причем иногда удобнее пользоваться одной формулой для расстояния, иногда—другой.

16

ОКРЕСТНОСТИ

Вернемся теперь в двумерное пространство — на плоскость $R^2$ — и обсудим один наглядный способ сравнить разные расстояния (4)—(6).

Пусть точка $O=(0, 0)$ — начало координат. Найдем множество точек, находящихся от точки $O$ на расстоянии, меньше заданного числа $r$. Все знают, что это множество — внутренность круга с центром $O$ радиуса $r$ (рис. 4, а); разумеется, ребь идет о расстоянии (4), то есть о множестве точек $(x, y)$, для которых $\sqrt{x^2+y^2}<r$. А каковый будет «круги радиуса $r$», если расстояние определять по формуле (5) или (6)? Множество точки $(x, y)$, для которых $|x|+|y|<r$ — это внутренность квадрата с вершинами $(0, r)$, $(-r, 0)$, $(0, -r)$ и $(r, 0)$ (рис. 4, б); а множество точки $\max\{|x|, |y|\}<r$, другими словами, множество точек, для которых $|x|<r$ и $|y|<r$ — это, очевидно, квадрат с вершинами $(-r, -r)$, $(-r, r)$, $(r, -r)$ и $(r, r)$ (рис. 4, с).

Obviously, когда ребь идет о метрических пространствах, вместо слов «круги радиуса $r$ с центром $a$» говорят «$r$ окрестности точки $a$».

Определение 1. Пусть $X$ — метрическое пространство, $\rho$ — расстояние в $X$, $r$ — положительное число. Тогда $r$-окрестность точки $a$ называется множество всех точек $m$ из $X$, для которых $\rho(m, a)\leqslant r$. Коротко это множество можно записать так: $\{m: \rho(m, a)\leqslant r\}$.

Таким образом, на рисунках 4, а, б, в изображены $r$-окрестности точки $(0, 0)$, если расстояние на плоскости задается соответствующим формулам (4), (5) и (6); нетрудно сообщать, что $r$-окрестность любой другой точки $(x_0, y_0)$ в этих метрических пространствах выглідит точно так же, как окрестность точки $(0, 0)$ — просто центр круга или квадрата сдигается в точку $(x_0, y_0)$.

Посмотрим, что представляют собой $r$-окрестности в метрических пространствах, о которых мы говорили ранее. В примере 1 $r$-окрестность точки $a$ числовой оси

$$\{x; |x-a|\leqslant r\}$$

— это отрезок длины $2r$, середина которого лежит в точке $a$ (рис. 5). В примере 3′ 20-окрестность Москвы — это множество городов, куда можно лететь на самом деле не более чем за 20 рублей; в примере 2 $r$-окрестность состоит всего из одной точки, если $r<1$, и содержит все множество $X$, если $r\geqslant 1$.

17

РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ

Расстояние удобно определяется не только для чисел или точек плоскости и пространства, но и для многих других математических объектов. Вот два примера из геометрии. На множество всех прямых, проходящих через данную точку O, за расстояние между двумя прямыми можно принять величину меньше из образуемых им углов (на рисунке 6 показано, как выглядит окрестность одной из прямы). Расстояние между двумя выпуклыми многоугольниками $M_1$ и $M_2$ на плоскости можно определить так: для каждой вершины многоугольников $M_1$ и $M_2$ находим расстояние $^*$ до ближайшей к ней вершины другого многоугольника, и из всех этих чисел берем наиболее贴近; таким образом, в $r$-окрестность данного многоугольника $M_0$ (рис. 7) попадают такие многоугольники $M$, у которых все вершины лежат в кругжах радиуса $r$ с центрами в вершинах $M_0$, причем в каждой кругже лежит хотя бы одна вершина $M$; проверьте, что множество выпуклых многоугольников с таким расстоянием — метрическое пространство. Число таких примеров легко можно было бы увеличить.

Но наиболее важные примения, которые теория метрических пространств обязана своим возникновением и развитием, связаны не с геометrien, а с анализом и теории функций.

Очень часто, чтобы исследовать данные функций или просто вычислять их значения, удобно приближенно заменить их других, более простыми функциями, скажем, многочленами. Вы, верятно, слышали, что при $x$, близком к нулю, sin$x$ приближенно равен $x$ (здесь sin$x$ означает синеус числа $x$, то есть синуус угла в $x$ радианов). Еще более точная формула: $\sin x \approx x - \frac{x^3}{6}$. Пусть, например, $x$ изменяется на отрезке $0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{4}$.

Как оценить, насколько хорошо функция $f_1(x) = x - \frac{x^3}{6}$ приближает функцию $f_2(x) = \sin x$, как велико «расстояние» между этим функциями?

Одно из естественных расстояний также: найдем при каждом $x$ разность $f_1(x) - f_2(x)$, возьмем то $x = x_0$, где эта разность наибольшая (по модулю), и положим $\rho(f_1, f_2) = |f_1(x_0) - f_2(x_0)|$.

*) Имеется в виду «обличное» расстояние (4).

18

Для наших конкретных функций

$$\rho(f_1, f_2) = |\sin \frac{\pi}{4} - \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\pi^3}{384} \right)| \approx 0.0025.$$

(Mожно доказать, что максимум достигается в точке $x = \frac{\pi}{4}$.)

Точно так же в общем случае примем за расстояние между функциями $f_1, f_2$, определенными на отрезке $[a, b]$, величины

$$\rho(f_1, f_2) = \max_{a \leqslant x \leqslant b} |f_1(x) - f_2(x)|.$$

(7)

Проверьте, что аксиомы $1^\circ - 3^\circ$ здесь выполнены! При этом $r$-окрестность данной функции (рис. 8) состоит из всех таких функций, графики которых лежат в полоске ширины $2r$ вокруг графика функции $f$.

Очень часто применяются и такие расстояния:

$$\rho(f_1, f_2) = s(f_1, f_2)$$

где $s$ величина площади, заключенной между графиками $f_1$ и $f_2$ (8) (рис. 9) и особенно такое:

$$\rho(f_1, f_2) = \sqrt{S(f_1, f_2)},$$

(9)

где $S(f_1, f_2)$ — величина площади, заключенной между графиком функции $y = (f_1(x) - f_2(x))^2$ и осью $Ox$.

Расстояние (7) мало, когда значения функции $f_1$ и $f_2$ близки для всех значений аргумента, а расстояния (8) и (9) показывают, насколько функции $f_1$ и $f_2$ близки «в среднем» (на небольших отрезках они могут значительно отличаться друг от друга). Пусть, например, $f_1(t)$ и $f_2(t)$ — потенциальы двух определенных точек электрической цепи в момент времени $t$; тогда мощность выделяющаяся на участке цепи между этим точками за промежуток времени $a \leqslant t \leqslant b$, пропорциональна $S(f_1, f_2)$ (сопротивление постоянное; мощность пропорциональная $(f_1(t) - f_2(t))^2$); таким образом, мощность тем больше, чем больше расстояние (9). А если нам важно, чтобы напряжение $f_1(t) - f_2(t)$ все время не превышало какой-то величины $V$, то мы должны оценивать расстояние по формуле (7): нужно, чтобы величина max $|f_1(t) - f_2(t)|$ не превысодлина $V$.

20

Рис. 10.

на на русский язык*), излагается сейчас в первых главах учебников с таким, приближительно, называми, как «Элементы функциониального анализа», «Введение в теории множества и функций», «Основы современного анализа», «Топологические пространства». Разумеется, большая часть этой теории, связанная с понятием предела, содержательна только для пространств с бесконечным числом точек. Но в то же время общее понятие «расстояния» полезно и для некоторых задач про конечные множества; в частности, «расстояние между словами», о котором мы говорили в начале статьи, оказалось очень удобным инструментом в буро развивающейся сейчас теории кодов, исправляющих ошибки. Тем, кто хочет более подробно познакомиться с теории метрических пространств, рекомендуем прочитать книжку Ю. А. Шрейдера**) «Что такое расстояние».

Задание

1. Докажите, что для любых четырех точек $A, B, C, D$ метрического пространства $\rho(A, C) + \rho(B, D) \leq \rho(A, B) + \rho(B, C) + \rho(C, D) + \rho(D, A)$.
2. Докажите, что для любых $n$ точек $A_1, A_2, \dots, A_n$ ($n \geq 3$) $\rho(A_1, A_2) + \rho(A_2, A_3) + \dots + \rho(A_{n-1}, A_n) \geq \rho(A_1, A_n)$.
3. Доктор Шарадек, знающий хорошо стратегию, интересовался последнейвойной и в 1940 году познакомился с картом французского театра военных действия. Отсюда, верятно, и возникла следующее задача. Расстояние (по воздуху, как и все расстояния в этой задаче) из Шалона до Витри равно 30 км, из Витри до Шомона 80 км, из Шомона до Сэн—Кантэна 235 км, из Сэн — Кантэна до Ремса 86 км, из Ремса до Шалона 40 км. Вычислить в этом замкнутом многоугольнике расстояние от Ремса до Шомона. Без карты это умеет делать только доктор Шарадек ***).
4. а) Докажите, что если $\rho(M_1, M_2) = r$ и $r_1 + r_2 < r$, то $r_1$-окрестность точки $M_1$ не имеет общих точек с $r_2$-окрестностью точки $M_2$ (рисунок 10 илистрирует этот факт для расстояний (4) и (6) на плоскости).

6. Докажите, что если $\rho(M_1, M_2) = r$ и $r_1 - r > r_2$, то $r_2$-окрестность точки $M_2$ целиком содержится в $r_1$-окрестности точки $M_1$.

5. Множество $E$ точек метрического пространства $X$ называется $\varepsilon$-сетью, если $\varepsilon$-окрестности точек множества $E$ (все вместе) целиком покрывают множество $X$; другими словами, если для каждой точки $x$ из $X$ найдется хотя бы одна точка множества $E$, отстоящая от $x$ не более чем на $\varepsilon$. (Здесь $\varepsilon$ — неокоторое положительное число.)

Например, множество черных точек на рисунке 11, $a$ является $\frac{1}{10}$-сетью для отрезка числовой оси $0 \leq x \leq 1$ с обычным расстоянием (2). Разумеется, оно является также $\varepsilon$-сетью при

*) Хаусдорф, Теория множества, ОНТИ, 1934.
**) Ю. А. Шрейдер, «Что такое расстояние.» М. Физматиз, 1963.
***) Г. Штейнгауз, Сто задач, Физматиз, 1959, задача № 100.

21

любом $\varepsilon > \frac{1}{10}$. На рисунке 11, 6 множество черных точек является $\frac{1}{10}$— сетью для квадрата $0 \leq x \leq 1$, $0 \leq y \leq 1$ на плоскости $Oxy$ с расстоянием (6). Для каких $\varepsilon$ это множество является $\varepsilon$-сеть в смысле расстояний (4) и (5) на том же квадрате?

6. Метрическое пространство $X$ называется ограниченным, если существует такое число $c$, что расстояние между любыми двумя точками $X$ не превыходит $c$.

Докажите, что если при каком-нибудь $\varepsilon$ пространство имеет конечную $\varepsilon$-сеть, то оно ограничено.

7. Пусть $N(\varepsilon)$— наименьшее число точек в $\varepsilon$-сети пространства $X$, $M(\varepsilon)$— наименьшее число точек в $X$, расстояния между любыми двумя из которых не меньше $\varepsilon$.

Докажите, что $M(2\varepsilon) \leq N(\varepsilon) \leq M(\varepsilon)$.

8. Пусть $C$ — множество функций, определяемых на отрезке [0, 1] и принимающих значения на том же отрезке, графики которых — ломаны линия. Будем определить расстояние в $C$ по формуле (7).

Докажать, что можно выгrabать бесконечное количество функций из $C$, все попарные расстояния между которых равны единице. Вывести отсюда, что при $\varepsilon < \frac{1}{2}$ в $C$ нельзя выгrabать конечную $\varepsilon$-сеть.

9. Может ли в некотором метрическом пространстве быть так, что 3-окрестность точки $A$ целиком содержится в 2-окрестности другой точки $B$ и не заполняет ее целиком? Каков будет ответ, если заменить 3 и 2 других числами?

10. Докажать, что среди $n$-значных чисел из двух цифр 1 и 2 нельзя выгrabать более чем $\frac{2^n}{n+1}$ чисел так, чтобы любые два из них отличались друг от друга по крайней мере в трех разрядах.

11. С помощью задачи 4 а) докажите, что две разные точки $A$ и $B$ не могут быть пределами одной и той же последовательности.

12. Построите пример последовательности функций, определяемых на отрезке [0, 1], которая стремится к пределу $f_0$, если пользоваться расстоянием (8), и не имеет $f_0$ пределом, если пользоваться расстоянием (7).

13. Пусть $\rho_1$ и $\rho_2$ — два расстояния на некотором множество $X$ — обладают тем свойством, что $\rho_1(A, B) \leq k\rho_2(A, B)$ для любых двух точки $A$ и $B$, где $k$ — некоторое положительное число (одно и то же для всех $A$ и $B$).

Докажите, что если $P$ является пределом последовательности $M_1, M_2, M_3, \dots$ в смысле расстояния $\rho_2$, то $P$ будет пределом этой последовательности в смысле расстояния $\rho_1$. Получаясь этим, докажите, что на плоскости утверждение «пределом последовательности $M_1, M_2, M_3, \dots$ является точка $P$» имеет один и тот же смысл, неависимо от того, каким из расстояний (4), (5), (6) мы получаемся.

14 a). Придумайте расстояние $\rho$ на множество всех прямых на плоскости, для которого выполнялось бы следующие условия: если последовательности точки $A_1, A_2, A_3, \dots$ и $B_1, B_2, B_3, \dots$ имеют пределами две различных точки $A$ и $B$, то последовательность прямых $A_1B_1, A_2B_2, A_3B_3, \dots$ имеет (в смысле расстояния $\rho$) пределом прямого $AB$.

6. Докажите, что подобное расстояние $\rho$ нельзя задать так, чтобы расстояние между любыми двумя пересекающими прямыми зависит только от угла между ними.

22

ОТВЕРГНУТАЯ РАБОТА

В 1845 году в Англійскую Академию наук (ее называют Королевским обществом) была представлена работа Ватерстона. В ней было показано, что давление газа на стенки сосуда можно обьясить уdarми атомов.

Хотя сама идея о том, что газ состоит из атомов, была не нова, мало кто принимал всерьез утверждение, что атомы могут свободно летать от стенки к стенке сосуда, а потому упругие свойства газа можно свести просто к механике атомов. Поэтому работа Ватерстона не понявалась членам ученого общества и была отклонена. Лишь много лет спустя ее нашел в архиве Релей и опубликовал в 1892 году в журнале, который называется «Философские сообщения Королевского общества» и который выходит и в наши дни.

Релей, между прочим, заметил, что Ватерстон поступил непредедустротелюно, не расскаазав в начале статьи о своих предшественниках. Между тем еще Даниил Бернулли в 1727 году подозревал о связи давления газа с квадратом скорости движения его части. Если бы Ватерстон упомянул своего великого предшественника, писал Релей, то у решенента Королевского общества не хватило бы смелости обьявить работу «бесмысленной, непригодной даже для чтения перед обществом».

Этот печальный эпизод дорогого стопи физике. То, что было сделано одним человеком и осталось незамечным, было открыто впоследствии лишь в результате работы нескольких человек, а окончательная формула была написана Максвеллом только в 1859 году.

История эта почительна, и интересно проследить, как постепенно улучшалась теория, и увидеть, сколько труда было потрачено на то, чтобы получить очень простую, на наш взгляд, формулу, которая связывает давление газа и среднее арифметическое квадрата скорости молекул:

$$P = \frac{1}{3} nm < v^2 > cp.$$

Здесь $P$ — давление газа, $n$ — количество молекул в $1\text{ cm}^3$, $m$ — масса молекул, $<v^2>cp$ — среднее арифметическое квадрата скорости молекул.

ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ

Прежде чем говорить о том, как выводится эта формула, посмотрим, что она означает. Формула показывает, что давление газа прямо пропионально числу молекул в единице объема, а, значит, обратно пропионально объему газа $P \sim \frac{1}{V}$ (значок ~ означает «пропиональный»). Это закон Бойля-Мариотта. Но закон Бойля-Мариотта описывает поведение идеального газа. Значит, и формула, которую мы написали, спра-

24

СТОЛКОВЕНИЕ МОЛЕКУЛ СО СТЕНКОЙ

Когда молекula стalkивается со стенкой и отскакивает от нее, стенка получает неокоторый импульс. Предположим сначала, что молекula отражается от стенки упругим образом. На рисунке 1 изображена схема такого удара. Ось $Oz$ направлена перпендикулярно стенке, оси $Ox$ и $Oy$ расположены как-то в плоскости. Разложим скорость молекул на составляющие по тем осям. При упругом ударе угол padения $\alpha$ равен углу отражения $\beta$, поэтому компоненты скорости $v_x$ и $v_y$ не изменяются. Компонента же $v_z$ при упругом ударе меняет знак. Таким образом, легко подчитать, что молекula изменит свой импульс (количество движения) на величины
$$mv_z - mv'_z = mv_z - (-mv_z) = 2mv_z = 2mv \cos \alpha,$$
где $v$ — величина скорости молекулы.

Задча, как видите, несложная, и Ватерстон ее решил верно. Следующий, кто занялся этой задачей (и опубликовал свою работу в 1856 году), был Кренг. Он неверно посчитал, что молекula при ударе передает стенке весь свой импульс $mv_z$, и получил результат вдвое меньше.

Можно, однako, подумать, что в нашем вывода сделано одно очень существенное упрощение: мы приняли, что удар упругий. В действительности же это предположение, как ни удивительно, несущественно. молекula может отразыться как уголно, но результат от этого не меняется. Предположение об упругом характере удара не изменяет результат, это делает вывод очень простым.

Такое замечательное свойство — независимость результата от закона отражения — является следствием теплового равновесия между газом и стенками сосуда (которые поддерживают при постоянной температуре). Опять (как и при столковении молекул) от того, каким именно образом отражаются молекулы от стенки, окончательный результат — тепловое равновесие — не изменяется.

25

КАКАЯ СКОРОСТЬ У МОЛЕКУЛЫ?

Так как сила, действующая на стенку, равна передаваемому ей импульсу, деленному на время удара, то фактически мы получили формулу, которая показывает, какую силу испытывает стенка от удара молекулы. Но чтобы вычислить эту силу, надо знать скорость молекул. У разных молекул, конечно, скорости разные. Чтобы получить данные и вычислить давление газа, надо сделать какие-то предположения о том, какие скорости у молекул. Упомянутый уже Крениг допускал, что не будет большой ошибкой считать, что все молекулы движутся с одинаковой по величине скоростью и что каждая из них движется в одном из трех возможных направлений, параллельных осем координат. Ранше Кренигра (но позже Ватерстона) этой задачей занимался Джоуль (в 1851 г.). Онправильно понял связь между ударами молекул о стенки и давлением газа, но также не смог получить верной формулы. Наконец, в 1857 году Клаузис, не оставляя еще предположения о равных скоростях, вывед новую формулу, предположив, что молекулы движутся во всех направлениях. Только еще через 2 года Максвелл *) пришел к правильному выводу. Максвелл удалось сделать значительное большие. Он сумел понять, как распределены молекулы по скоростям, то есть какая доля молекул имеет заданную скорость. Но об этом мы здесь уже расссказывать не будем, оставив этот более трудный вопрос до другой статьи.

ДАВЛЕНИЕ ГАЗА

Сформируем теперь два предположения, которые позволят получить формулу для давления почти так же, как это делал 125 лет назад Ватерстон **).

*) Максвелл должно быть 21 сентября 1859 г. Ее русский перевод написан в сборнике «Основатели кинетической теории газов», вышедшем в 1937 году.

**) До Ватерстона некоторые направления степени скорости.

4 Квант № 10

Так же как и Ватерстон, будем считать, что когда газ находится в тепловом равновесии, то: 1) молекулы газа стalkиваются лишь со стенкой и не стalkиваются между собой, 2) молекулы стalkиваются со стенкой упруго.

Возьем наполненный газом куб с ребром, равным 1 м. После всего сказанного уже легко поверить, что результат не зависит от того, какой формулы сосуд мы возьмем, но вывод формулы облегчается, если форма сосуда кубическая.

Нарисуем систему координат так, как на рисунке 2. Сосчитаем количество движения, которое получает красная стена за 1 секк. По второму закону Ньютона оно равно силе, действующей на стенку со стороны молекул и, так как площадь стены равна 1 м², то это и будет величина давления газа на стенку.

Каждай раз, когда молекula стalkнется со стенкой, она передаст стенке количество движения 2mv_z. Отскочив от стенки, молекula попетит к противоположной и через время 2/v_z стукнется опять о красную стенку. Это означает, что за 1 секк одна и та же молекula идеально газа ударится о стенку v_z/2 раз.

Таким образом, за время 2/v_z молекula передаст стенке количество движения 2mv_z, а за 1 секунду

2mv_z·v_z/2 = mv_z².

ЛАБОРАТОРИЯ «КВАНТА»
Г. И. Косоуров

НЕ ВЕРЬ
ГЛАЗАМ
СВОИМ …

Для человека зрене — основной источник информации об окружающей его мире. Мы привыкли абсолотно доверять глазам. Слова «не поверил глазам своим» означает крайнюю степень удивления. В привычных условиях доверие вполне оправдано. Глаза вместе с соответствующими отделами мозга составляют тончайший анализческий аппарат, безотказно служащий нам в самых разнообразных условиях: при ярком солненом свете и когда света совсем мало, в покое и при быстром движении. Изображение, которое получается на сетчатке глаза, представляется нам лишьенным каких-либо недостатков. Оно вполне резкое, перспективна правильная, прямые линии представляются прямыми, вокруг предметов нет радужной окраски — хроматической аберрации. Не следует думать, что наш глаз действительно является идеальным инструментом.

29

Объектные исследования показывают, что глазу свойственны все недостатки линз. Но нашей сознание из несовершенного изображения на сетчатке глаза восоздает правильное представление об окружающей нас пространстве.

Приведем такой пример. Человек, у которого появился близорукость, впервые надел очики. Первое время он видит перспективу сильно искаженной. Приемые линни представляются ему искривленными, плоскости—krivыми и покатыми. Иного это вызывает даже легкое головокружение. Но проходит неокторое время, и человек сквозь очики начинает правильно воспринимать и перспективу и прямолинейность. Мир снова представает его взором в правильном, неискаженном виде, хотя изображение на сетчатке по-прежнему искажено.

В небольших условиях, когда глаза получают противоречную информацию, когда велики контрастины, когда правильная оценка расстояний, размеров, соответствий затруднения или когда отдельные участки сетчаткиутомлены продолжительным воздействием какого-либо разделжителя, наше сознание начинает ошибаться. Возникают различные обмена зреня. Вы безусловно сами не раз встречались с различными примерами таких любопытных иллюзий. Мы приведем описание нескольких оптовов, показывающих, как ошибаются наши глаза. Делаем мы это не с целью подорвать ваше доверие к зреню, а для того, чтобы показать, какую большую роль в формировании образов играет синтетическая работа мозга.

Для первого опыта, который обычно выдалот за доказательство того, что на сетчатке, как и в фотоаппарате, получается перевернуть изображение, необходимы два кусочка картона, например, две открытки. В одной из них проколите только иголой ответственное около 0,5 мм и держите его перед глазом на расстоянии 2—3 см, глазя на освещенный пейзаж, светло небо или лампу. Краем второй открытики перекрывают постепенно сразу перед самым глазом, вдвигая открытику спизу. В поле зрения глаза вы видите тень края открытики, опускающую сверху.

Разберем оптическую схему этого опыта подробнее. Пока перед глазом нет открытики с ответением, все точки поля зрения посылают в глаззучи через зрачок (рис. 1, а), и от каждой точки зрачка свет распределяется по всей сетчатке (рис. 1, б). Если поставить перед глазом открытику с ответением, каждая точка зрения будет изображаться лучами, проходящими через небольшую часть зрачка. Верхние точки поля зрения изображается лучами, проходящими через нижнюю часть зрачка, нижние точки — через верхнюю. Закрывая краем открытики нижнюю часть зрачка, мы затенем верхнюю часть поля зрения и видим край открытики, опускающая сверху. Легко понять, что этот эфективный опытник не зависит от хода лучей в глазу и не может служить доказательством перевернутости изображения на сетчатке. Поле зрения уже формировано до зрачка. В этом легко убедиться, поместив на место глаза матовое стекло.

Второй опит показывает, как справляется зрене с противоречной информацией. Сверните из листа бумаги трубку диаметром около 2 см и смотите через нее один глазом на расположенные вперед предметы. Перед вторым глазом помещите ладонь руки, держа ее на расстоянии 10—15 см перед лицом, вплотную к трубке. Вы отчетливо видите дыру в вашей ладони, сквозь которой видны окружающие предметы. Изображение средней части ладони полностью подавлено изображением, которое видит глаз через трубку.

Более тонкий опит с разной информацией для правого илевого глаза можно проверить так. Подвесть на белой нитке какой-нибудь небольшой светлой предмет. Раскачав получившийся мягкий в одной плоскости, смотите на него с расстояния 2—3 м. Поместите перед одним глазом

светофильтр средней плотности любого цвета. Вы видите, что магнитоколеблется не в одной плоскости, а как бы описывает эллипс. Переместите светофильтр к другому глазу, и направление движения магнитка по эллипсу изменится на обратное.

Следующий опыт изображен на рисунках 2, а и 2,6. На рисунке 2, а показана известная иллюзия излома прямой, пересекающей черную полосу. Но мало кто знает, что достаточно дополнить рисунок лебедкой и поднимаемым грузом (рис. 2,6), подсказав тем самым сознанию, что пряма — это натянутый трос, и иллюзия излома исчезнет.

Последний опыт связыван с ситуацией, когда для интерпретации образа сознанию предоставляется возможность выбора. На рис. 3 даны две摄影ичасти части лунного пейзажа в районе Моря Дождеи и горного хребта Апеннин. На одной из них вы видите лунные колыцевые горы, а на другой видны колыцевые овраги, рельеф вывернулся. Переверните журнал, и обращение ребра произойдет на другой摄影ии. Обратите внимание, что эти摄影ии совершенно одинаковы, но одна из них перевернута.

Эффект обращения ребра часто возникает при наблюлении Луны в телесоп. Космонавты, побивавшие на Луне, столкнулись с реальный труднострою правильно воспрятия местности, лишенной воздушной перспективы в условиях большой контрастности пейзажа. Эффекты обращения направления движения можно наблюдать, глядя на силуэт врашающейся антенны радиолокатора. Вам будет казаться, что антенна в некоторых моменты внесали меняет направление врашения. Раньше это явление рекомендуровалось наблюдать на силуэт ветряной мелники.

Много различных интерсных илиозий связиано с воспрянием цвета. Об этом мы поговорим в следующий раз. Обманы зрения — это не просто занятные фокусы. Изучение работы

зрительного аппарата в необычных условиях позволяет глубке познать сложные процессы, происходящие в глаза и в нашем сознании при синtezе образов окружающей нас действительности.

Тем, кто захочет более подробно познакомиться с опытами по физической оптике, можно рекомендовать недавно переведенную книгу Дж. Грегга «Олыты со зренем» (издательство «Мир», Москва, 1970 г.). В этой книге дано описание большого количества элементов опыта по исследованию работы глаза. Все они вполне доступны школьникам, и бóльшая часть их веса получительная. Следует только предупредить читателя, что в тех местах, где автор касается физической оптики, язык книги становится веса дальнейим от научного.

В библиотеке вы, верятно, найдете также книгу Минарта «Свет и цвет в природа» (издательство «Наука», Москва, 1969 г.) и книгу Артамонова «Иллюзия зреня» (издательство «Наука», Москва, 1969 г.).

Рис. 3.

32

ОТКУДА ПРОИЗОШЛИ
НАЗВАНИЯ ЗВЕЗД И
СОЗВЕЗДИЙ

Изображения созвездий даны по звездному атласу известного астронома XVII в. Гевеляя, работавшего в Гданьске (издан в Ташкенте в 1968 г.). На рисунках 1—5 изображены созвездия Большой Медведицы, Волопаса, Андромеды, Эридана и Ориона.

33

Если вы посмотрите на звездное небо, то при некоторых воображении в российии более или менее ярких звезд увидите различные фигуры. Эти фигуры можно составлять различными способами. Уже в древней Греции было видлено 48 таких фигур, заполивших почти все звездное небо, они получили название «созвездий». Некоторые звезды не входили в созвездия, а характеризовались тем, около какого созвездия они расположены.

Еще древниеавылоние, астрономические знания которых оказали сильное влияние на греков, виделили 12 созвездий зодиака, то есть 12 созвездий, расположенных вдоль большого круга небесной сферы, по которым совершает свое видимое годичное движение Солнце (этот круг называется эклиптикой, от греческого слова эклейписс — «заттение», так как заттения проискодят, когда Луна попадает на этот круг). Число созвездий зодиака равно числу месяцев, и Солнце проходит каждое из них за месяц. Изображения и названия созвездий зодиака и соответствующих месяцев приведены на рисунке (см. заставку).

Первоначально встретили Солнца в созвездие Овна прируочивалось доно всеменного равноденствия, но за две тысячи лет этот день несколько сdvинулся по отношению к созвездям зодиака. Заметим, что Овен и

Телец — устанавливае название барана и быка (ср. «овца» и «теленок»). Под Стрельцом, то есть стрелком, понимали кентавра, вооруженного луком со стрелами, под Козерогом — козла с рыбным хвостом, Рыб представляли в виде двух рыб, соединенных текстом. Слово зодиак, от греческого слова зодон — «животное», объясняется тем, что большинство созвездий зодиака имеет вид животных. Фигуры созвездий зодиака и их названия в настоящее время почти такие же, как у греков: разница состоит только в том, что греки называли созвездие Весов «Клешнями» и рассматривали какклешниСкорпiona.

Севернее зодиака располагали 21 созвездие, а южнее — 15 созвездий: созвездия южного полушария греки залили хужке, так как в древности путешествники редко доходили даже до экватора. Уже в новое время были добавлены неизвестные грекам Южный Крест и другие южные созвездия.

Названня созвездий обьясняются теми фигурами, которые получились при соедининии звезд, образующих созвездие линями. Разные народы по-разному истолковвали эти фигуры. Например, в ковше Большой Медведцы греки видели медведя, а araбы — погребальную процесцию в виде гроба, перед которых идут плакальщицы, возглавляемые «предводите-

34

лем плакальшиц». Некоторые созвездия связываны между собой: Волопаса, то есть пастуха, греки рассматривали как сторожа медведи. ШестЬ созвездий — северные созвездия Цефей, Кассиопен, Андромеды, Персея, Пегаса и Кита — также связываны общей легендой об эфиропском царе Кефее (Цефей — латинская форма этого имени), его жене Кассиопее и дочери Андромеде. Согласно этой легенде Кассиопея оскорбила морских nimф herеред и в наказание за это морской богат Посейдон послал морское чудовище Кита (представлявшегося звемем с лапами и страшной пастью) опустошать берега Эфинойпии. Для спасения страны Кефей должны был привести в жертву своего doch, имя которой ознакомлен «не видевшая мужа». Девушка уже была прикована к скале, когда появился на крылатом коне Пегасе Персеей—герой, убивший ужасную Медузу Горгону, взгляд которой обращал всех, кто встречался с ней, в камень. Сам Персеей в борьбе с Медузой Горгоной смотрел не на нее, а на ее отражение в своем шите. Персеей отрубил голову Горгоны и явился к Андромеде с этой головой. Показав ее Киту, он превращил его в камень, освободил Андромеду и женился на ней. Расположение указанных созвездий соответствует моменту прибития Персея.

Созвездие Геркулеса получило свое название только в новое время, греки называли его «Коленопреклоненный». Созвездие Эридана также получило свое название в новое время, греки называли его «Рекой». Эридан — древнее название реки По, а также одно из имен мифических сына Солнца Фазтона, согласно легенде упавшего на землю и утонувшего в По.

Созвездие Ориона получило свое название по имену мифического стрелка, убитого богатей Артемидой за то, что он вызвал ее на составление в метании диска.

Созвездие Корабля Арго впоследствии было разделено на Корму, Паруса, Компас и Киль, а из мелких

35

звезд, не входящих в известные райше созвездия, были образованы новые созвездия: Гончие Псы, Шит Собесского, Яшерница, Рысь, Единорог и Секстант.

Еще более любитьны названия звезд. Пожалуй, только название Полярной звезды, звезды α созвездия Малой Медведицы (яркие звезды созвездий принято обозначать греческий буквами α, β, γ, … примерно в порядке их убывающего блеска), и звезд, носящих собственные имена людей, понятны без обращения к словарю. Полярная звезда получила свое название потому, что она находится в близи Северного полюса мира, вокруг которого проискит видимое суточное вращение звездного неба. Собственные имена имеют звезды α и β созвездия Близнецов — Кастор и Полукс; они названия так по именам двух мифических близцевов — сыновей Зевса и Леды, и α Гончих Псов — Сердце Карла, — получившая свое название уже в новое время.

Очень немного звезды имеют греческие и латинские названия, большимство этих названия арабского проискождения. Это объясняется тем, что в средние века центр передовой науки находится на Ближнем и Среднем Востоке, где языком науки был арабский язык (как до этого в элинистических странах — греческий, а позже в Европе — латинский). Важный вклад в научу того времени внесли учены Средней Азии и Азербайджана: ал-Хорезми и ал-Бируни из Хорезма, ал-Фергани из Ферганны, Ибн Сина из Бухары, Омар Хайям, работавший в Самарканде, Мерве и других городах, Насир ад-Дин атТуси и его ученики, работавшие в Мараге и Таврице (Азербайджан), Улугбек и учены его школе в Самарканде, много важных открытий было сделано также учеными Ирана, Ирака, Сирии, Египта, Северозападной Африки и мусульманской Испании. Труды этих учены попали в Западную Европу через Испанию и Италию, а потом через Константинополь, и переводились на латинский язык. Со многими трудами античной науки европейцы позnakомились сначала по их арабским переводам и только потом — с их греческими оригиналами.

Большинство арабских названия возникло следующим образом. В значении труде александрийского астронама Клавдия Птоlemея (II век н. э.), обычно называемом нами «Алмагест», имея каталог 1022 звезд, положения которых были изменены астрономами того времени. Европейцы позnakомились с «Алмагестом» по его арабскому переводу, чем и объясняется его название: одно из греческих названия этого сочинения «Мегисте синтаксис» — «Величайшая система» — арабы передали в алмаджистии, откуда и получилось название. Каждуло звезду Птоlemей характеризовал небольшим описанием, указавалось место этой звезды в созвездии. Именно от этих описаний в арабском переводе и произошли наши названия. Некоторые названия, впрочем, восходят не к Птоlemею, а к староарбском названиям звезд. Таблица названия некоторых звезд приведена на стр. 36.

Заметим, что название Антареса объясняется тем, что эта звезда, как и Марс, красного цвета и является как бы заместителем Марса (наши названия планет — имена римских бовов, соответствующих греческим богатом Гермесу, Афродите, Аресу, Зевсу и Хроносу, имена которых называли планеты греки).

От названия звезды Регул проискudit слово «регулировать», так как этой звездой пользовались при регулировании полезных работ в Древнем Египте.

Название Мира и Проксима былиданы учеными сравнительно недавно: название Мира было dado этой звезде за ее удивительные свойства (эта звезда является долгоперiodичной переменной звездой), название Проксима было dado учеными после того, как было обнаружено, что эта звезда расположена близке всех звезд к Солнечной системе.

36

№	Созвездие	Вуквен-ное обозначение	Название	С какого языка	От какого слова произло	Значение этого слова
1.	Малая Медведица	α	Полярная	лат.	polaris	относящейся к полюсу
2.	Большая Медведица	α	Дубxe	араб.	дубб	медведь
3.	»	β	Мерак	»	марак	брюхо
4.	»	γ	Фекда	»	фахд	бедро
5.	»	δ	Мегрец	»	маграз	начало хвоста
6.	»	η	Алькаид Бенетнаш	»	ал-каид банат на’ш	предводитель плакальши
7.	Дракон	α	Тубан	»	ту’бан	дракон
8.	Цефей	α	Альдермин	»	ал-дира’ ал-ямин	правая рука
9.	Волопас	α	Арктур	греч.	арктурос	страж медведей
10.	Северная Корона	α	Альфакка	араб.	ал-факка	чаша нищих
11.	Геркулес	α	Рас Альгете	»	ра’с ал-джати	голова коленопреклонен-ного
12.	Лира	α	Вега	араб.	ваки’	падаюший (Орел)
13.	Лебедь	α	Денеб	»	данаб	хвост
14.	»	δ	Гиенах	»	джанах	крыло
15.	Кассиопея	α	Шедар	»	садр	грудь
16.	»	β	Каф	»	каф	ладонь
17.	»	δ	Рукба	»	рукба	колено
18.	Персей	α	Мирфак	»	мирфак	локоть
19.	»	β	Альголь	»	ал-гул	чудовишце (Горгона)
20.	Возничий	α	Капелла	лат.	сарella	kozочка
21.	»	β	Менкалинан	араб.	манкаб ли-лаанн	плечо возниччего
22.	Змееносец	α	Рас Аль-хаге	»	рас’с ал-хавва	голова заклинателя
23.	»	β	Цельбальрай	»	калб ал-рай	собака пастуха
24.	Змея	α	Унук-Эль-хайя	»	‘унк-ал-хийя	шея змени
25.	Орел	α	Альтанр	»	ал-таир	летяший (Орел)
26.	Пегас	α	Маркаб	»	маркаб	седло
27.	Андромеда	α	Альферрац	»	сирра ал-фарас	пуп коня (звезда относится к Пегасу)
28.	»	β	Мирак	»	марак	брюхо (одной из Рыб)
29.	»	γ	Аламак	»	ал-маук	сандалия
30.	Овен	α	Хамал	»	хамал	баран (Овен)
31.	»	β	Шератан	»	шаратан	два знака (общее название α и β Овна)
32.	»	δ	Ботейн	»	бутейн	брюшко
33.	Телец	η	Плеяды	греч.	плеядес	дочери Плеяоны
34.	»	α	Альдебаран	араб.	ал-дабаран	идуший вслед (за Плея-дами)
35.	»	γ, δ	Гиады	»	гюадес	дождливые
36.	Лев	α	Регул	лат.	regulus	царек
37.	»	β	Денебола	араб.	данаб ал-асад	хвост лива
38.	Дева	α	Спика	лат.	spica	колос (в руке у Девы)
39.	Скорпон	α	Антарес	греч.	анта Арес	вместо Марса
40.	»	β	Aкраб	араб.	акраб	скорпон
41.	Стрелец	α	Альрами	»	ал-рами	стрелок
42.	Водолей	α	Садамелек	»	са’д ал-муlk	счастье государства
43.	Кит	β	Денеб Кейтос	»	данаб кайтос	хвост кита
44.	»	o	Мира	лат.	mira	удивительная
45.	Орон	α	Бетельгейзе	араб.	ибт ал-джуз	подмышка велика
46.	»	β	Ригель	»	риджл	нога
47.	»	γ	Беллатрикс	лат.	bellatrix	воительница (покровительница воинов)
48.	»	δ	Минтака	араб.	мантка	пояс
49.	Эридан	α	Ахернар	»	ахир нар	конец реки (Эридана)
50.	Заяц	α	Арнеб	»	арнаб	заяц

37

В этом номере мы продолжаем печать задачи, предлагавшие на всесоюзных олимпидах по математике и физике 1970 года. (В скобках после задачи указаан класс, в котором они предлагались.)

M46. Сколько в выпуклом многоугольнике может быть сторон, равных по длине наибольшей диагонали? (VIII)

Г. Гальперин

M47. Из цифр 1 и 2 составили путь $n$-значных чисел так, что у каждой двух чисел совпали цифрыровно в $m$ разрядах, но ни в одном разряде не совпали все пять чисел. Доказать, что

$$\frac{2}{5} \leq \frac{m}{n} \leq \frac{3}{5}.$$

(IX-X)

M48. В остругольном треугольнике $ABC$ bicсектриса $AD$, медиана $BM$, и высота $CH$ пересекаются в одной точке. Доказать, что угол $BAC$ больше 45°. (IX)

M49. На карточках написаны все пятизначные числа от 11111 до 99999 включительно. Затем эти карточки положены в одну целочкуву в произвольном порядке. Доказать, что получшеся 444 445-значное число не может быть степенью двойки. (X)

M50. Вершины правильного $n$-угольника покращены несколько красками (каждая — одной краской) так, что точки одного и того же цвета служат вершинами правильного многоугольника. Доказать, что среди этих многоугольников найдется два равных. (X)

Н. Васильев

Ф55. Оцените, на какую высоту поднимется стрелla, пущенная из лука вертикальное вверх. Масса стреллы 20 $e$, длина тетивы 1 $m$. Тетиву оттягают на 5 $cm$. Натяжение тетивы считать постоянным и равным 25 $ke$. (IX)

Ф56. Почему флаг «полошется» на ветру? (IX-X)

Ф57. Два одинаковых шарика, связанных невескомойружинкой, движутся по гладкому горизонтальном полу с одинаковой скоростью, перpendикулярной вертикальной стенке. Опишите, как проискодит соударение системы со стенкой. Как будут движаться шарики после удара? Удар шарика о стенку абсолотно упругий, время соударения пренебрежимо мало по сравнению с периодом колебаний шариков наружке. (IX).

Ф58. В магнитном поле с большой высоты падает колюцо, имеющее диаметр $d$ и сопротивление $r$. Плоскость колюца все время горизонтальная. Найти установившуюся скорость падения колюца, если индукция поля изменяется с высотой по закону $B=B_0(1+\alpha h)$. (X)

Ф59. Какое из ребер проводочного куба следует удалить, чтобы сопротивление между точками $A$ и $B$ (см. рисунок) изменилось как можно сильнее? Сопротивления всех ребер куба одинаковы. (VIII)

Б. Б. Буховцев

Ф60. В плоском зеркале видно изображение свечи. Что произдет с ним, если между зеркалом и свечой поставить плоскопаралельную стеклянную пластинку? (VIII)

38

М8. Двое играют в такую игру. Из кучки, где имеется 25 спичек, каждый берет себе по очереди одну, две или три спички. Выигравает тот, у кого в конце игры — после того, как все спички будут разобраны, — оказывается четное число спичек.

Кто выигравает при правильной игре — начинающий или его партнер? Как он должен играть, чтобы выиграть? Как изменится ответ, если считать, что выигравает забавший нечетное число спичек?

Исследуйте эту игру в общем случае, когда спичек 2n+1 и разрешается быть любое число спичек от 1 до m.

Решение

Для того чтобы говорить об игре, необходимо как-то назвать ее участков. Условия раз навсегда называют из них Я, а другого Он.

Прежде всего немного обобщим условия задачи. Число N спичек, лежащих на столе в начале игры, может быть любым, а не только нечетным. При этом для четырех N один из игровывателей, если в конце игры у общих четырех число спичек, а другой — если нечетное.

Мы рассматриваем, строго говоря, сразу бесконечное число игр, так как N и m могут быть любыми натуральными числами. Далее если m и N заданы, возможно два варианта: Я выигравало, если в конце игры у меня 1) четное, 2) нечетное число спичек.

Будем говорить сначала об всех вариантах этой игры вместе.

Давайте подумаем о том, что надо помнить игроку в ходе игры. Надо ли ему помнить все его ходы и ходы его противника с начала игры? Нет, в любом варианте ему достаточно знать следующие:

1. сколько осталось спичек на столе,
2. четное ли у него число спичек,
3. чей ход.

Если заданы эти три параметра, то мы будем говорить, что задано состояние игрок может сделать m разных ходов (или меньше, если на столе осталось спичек меньше m). Каждый его ход переводит игру в другой состояние, когда ходит его партнер.

Состояния игры удобно изобразать на бумаге в виде клеточки или кружочков, а возможно ходы в виде стрелок. Так мы и сделаем.

Таблица на рисунке 1 составлена для случая, когда m=2 (можно быть только один или две спички за ход),

В таблицах на рисунках 1—4:
I столбец — номер строки m, показывает, сколько спичек осталось на столе.
II столбец — у меня четное число спичек мои ход.
III столбец — у меня четное число спичек его ход.
IV столбец — у меня четное число спичек мои ход.
V столбец — у меня четное число спичек его ход.

39

Рис. 1. Таблица возможных состояний и ходов игры с $m=2$.

и Я выигрываю, если в конце игры у меня четное число спичек. Фактически нарисованы только те состояния, когда на столе осталось не более семи спичек.

Цветные стрелки показывают, как игроки могут ходить: игрок, чей ход в этой клетке, может пойти по любой стрелке, из нее выходящий. Например, первая слава клетка в стройке с номером 5 (серая) соответствует тому состоянию игры, когда на столе осталось 5 спичек, у меня четное число спичек и мои ход, а две выходящие из этой клетки стрелки показывают, в какие состояния Я могу перевести игру очередным ходом.

Таблицу можно продолжать визуально и поставим в соответствии ему клетку букву В, если когда игра начинается из этого состояния, Я могу выиграть, как бы Он ни старался мне помещать.

Назовем состояние произрывным и поставим в соответствии ему клетку букву П, если когда игра начинается из этого состояния, Он может выиграть и, если Он не ошибется, Я не смогу этому воспрепятствовать.

Приступим теперь к основной части решения: расставим во все клетки таблицы буквы В и П. Мы сделаем это сначала для игры, соответствующей рисунку 1. В нулевой строке буквы, конечно, надо поставить так: ВВПП, поскольку мы считаем, что Я выиграл, если в конце игры у меня четное число спичек. Дальше буквы надо расставлять сверху вниз по следующему закону.

I. Если мои ход (то есть клетка находится во II или IV столбце), то в нее ставится:

буква В, если хотя одна стрелка из нее ведет в клетку с буквой В;

буква П, если всякая стрелка, выходящая из нее, ведет в клетку с буквой П.

II. Если его ход (то есть клетка находится в III или V столбце), то в нее ставится:

буква П, если хотя одна стрелка из нее ведет в клетку с буквой П;

буква В, если всякая стрелка, выходящая из нее, ведет в клетку с буквой В.

Поскольку все стрелки в таблице ведут снизу вверх, то этот закон дает возможность заполнить всю таблицу, сколько бы мы ее пригодали.

В нашем случае ($m=2$) для того, чтобы заполнить клетки $n$-й строки, достаточно знать только, как заполнить клетки $(n-1)$-й и $(n-2)$-й строк. В действительности вовсе не нужно чертить все стрелки, как на рисунке 1. Достаточно отдельно (на куске кальки) начертить «шаблон» — совокупность стрелок, выходящих из клеток одной строки, и, прикладывая этот шаблон по очереди ко всем строкам таблицы, заполнять их буквами В и П, следуя правилам, выписанному на головом фоне. На рисунке 2 показан тот момент, когда мы заполнили всю

40

Рис. 2. Таблица выигрыших и проигрыших состояний игры с $m=2$.

таблицу до 5-й строки и готовы заполнять 6-ю. Так можно заполнить таблицу до любого места, например до 25-й строки и посмотреть, какая буква будет стоять в 25-й строке на первом месте. Если это В, то игру, в начале которой на столе лежит 25 спичек, начинающий выигрыет, а если это П, то проигрывает.

На самом деле, давайте пяточки таблицу заполнять не нужно. Дело в том, что 4-я строка совпадает с нулевой, а 5-я с первой. Поэтому 6-я обязательно совпадает со 2-й (так как каждая строка определяется двумя предыдущими). Тогда 7-я строка совпадает с 3-й, 8-я с 4-й, 9-я с 5-й и т. д. Строки будут повторять с периодом 4, откуда следует, что всякая строка с номером 4 $k$ будет ВВПП;
строка с номером $4k+1$ будет ПВВП;
строка с номером $4k+2$ будет ВПВП;
строка с номером $4k+3$ будет ВПВП.

В частности, 25-я строка будет ПВВП ($25=4\cdot 6+1$).

To, что период обязательно должен быть, можно было предвидеть заранее. Действительно, пусть мы заполнили таблицу до какой-то строки. Дальше все зависит от того, как заполненые две последние строки. Число всех способов заполнить две строки буквами П и В конечно (оно завершимо не больше $2^8$). Значит, при заполненении таблицы не может все время появляться новая пара строк. А когда какая-то пара строк повторится, начинается периодность.

После того как в таблице расставлены буквы В и П, становится ясной и стратегия, который Я должен придерживать, чтобы выиграть: нужно какдый раз делать макой ход, который ведет в клетку с буквой В. Закон расстановки букв В и П, указанный выше, составлен именно так, что если Я один раз попал в клетку В, то дальше Я смогу каждой раз ходить в В, и противник не сможет мне помешать.

Слушай, когда Я выиграvio, если у меня в конце нечетное количество спичек, исследуется аналогично. Можно поставить в нульевой строке ППВВ и заполнить дальше таблицу по тому же самому закону. Перiod снова будет равен 4. Но можно всего этого и не делать, а использовать для этого случая тот же рисунок 2.

Заметим, что не дать игроку перед началом игры ничего и потребовать, чтобы у него в конце было нечетное число спичек, это все равно, что дать ему перед началом игры одну спику и потребовать, чтобы у него в конце игры было четное число спичек. Таким образом, в этом новом случае Я выиграvio, если в таблице на рисунке 2 в клетке на пересечении $N$-й строки и

IV столбца стоит В, если Я начинаю,

V столбца стоит В, если Он начинает.

Заметим также, что шаблон не изменится, если помещать местами П столбец с IV, а III с V. В первой строке после такой перестановки вместе ВВПП будет стоять ППВВ. Поэтому таблицу для того случая, когда Я, чтобы выиграть, должен нечетное число спичек, можно получить из таблицы для разбранного случая указаанной перестановкой столбцов. Это же относится и ко всем другим значениями $m$.

Пусть теперь $m=3$. Таблица по прежнему будет состоять из тех же

41

Рис. 3. Таблица к игре с $m=3$.

четырех столбцов. Шаблон изменится (см. рис. 3). Теперь каждой строка зависит от предыдущих трех строк. Для расстановки букв В и П применимо правило, выписанное на странице 39. Расставляя буквы, мы убеждаемся, что период состоит изосьми строк. В частности, 25-я строка совпадает с первой: ПВВП.

Таким образом, в случае $m=3$ и $N=25$ получается такой

Ответ: если выигравшим считается игрок, забравший четное число спичек, то начнающий проигрывает, а если выигравшим считается забравший нечетное число спичек, то начнающий выигравает.

Общий случай исследуется аналогично. Длина перiodа оказывается равной $m+2$, если $m$ четно, и $2m+2$, если $m$ нечетно. Эти периоды изображены на рисунках 4 а, б. Шаблоны, данные для $m=8$ и $m=9$, позволяют понять, какими будут шаблоны в общем случае. Рисовать стрелки здесь было неудобно. Клетки, закрашенные каждым цветом, — это состояние, в которых можетойти игрок из клетки, в которой стоит точка того же цвета. Правила расстановки букв В и П те же самые, выписанные на странице 39. Проверку того, что периоды деля-

42

ствитель такое, предоставим читателю. Заметим только следующие. Чтобы быть уверенным в том, что период будет повторять, необходимо проверить расстановку букв во всех строках первого периода и в m первых строках второго периода.

Как видим, при больших m части всего кто нашиваем, том и выдерживаем. Все буквы, нарушающие это правило, на рисунках 4, a, б обведены кружками. Итак, нашающий процессываем molleю в следующих случаях.

| перiod | Выигравает набравший «чёт» | Выигравает набравший «нечёт» |
| :— | :— | :— |
| m четно | N дает остаток 1 при делении на m+2 | N дает остаток m+1 или 0 при делении на m+2 |
| m нечетно | N дает остаток 1 или m+1 при делении на 2 m+2 | N дает остаток 0 или m+2 при делении на 2 m+2 |

М9. Рассмотрим следующие свойства тетраэдра (тетраэдром мы называем произвольную треугольную парамиду):

1. все грани равновелики;
2. каждое ребро равно противоположному;
3. все грани равны;
4. центры описанной и вписанной сфер совпадают;
5. суммы плоских углов при каждом вершине tetraэдра равны.
   Доказите, что все эти свойства эквивалентны.
   Постарейтесь найти другие эквивалентные им свойства tetraэдра.

Решен и е. В этой задаче очень важно выбрать рациональный путь доказательства: разобрать, какое свойство из какого легче выводить. Будем, как это принято, вместе с слов «из… следует…» ставить стрелку: ⇒

Нам удобно добавить еще несколько свойств tetraэдра:

6. сумма плоских углов при каждом вершине равна 180°;
7. развертка tetraэдра представляется собой остругольный треугольник, в котором проведены средние линии (рис. 5);
8. все грани — остругольные треугольники с одинаковым радиусом описанной окружности;

Рис. 4, 6. Таблица к игре с нечетным m и шаблон для m=9.

43

Рис. 5.

9. проекция tetraэдра на каждую из трех плоскостей, параллельных двум противоположным ребрам — прямогоугольник, —

и доказать, что свойства (1)—(9) эквивалентны, в таком порядке:

Большинство из двенадцати теорем, обозначенных здесь стрелками, почти очевидно. Докажем их по порядку.

(5) ⇒ (6). Сумма всех плоских углов всех граней tetraэдра равна сумме углов четырех треугольников, то есть $4 \cdot 180^\circ = 720^\circ$, поэтому, если суммы углов при каждом вершине равны, то каждая их них равна $180^\circ$. Обратное: (6) ⇒ (5) очевидно.

(4) ⇒ (8). Если $R$ — радиус описанной около tetraэдра сферы, $r$ — радиус описанной сферы и центры этих сфера совпадают, то точка касания сферы с каждой граью лежит внутри этой грани и удалена от каждой вершины tetraугольника на $\sqrt{R^2-r^2}$, то есть является центром

Рис. 6.

описанной около этого треугольника окружности радиуса $\sqrt{R^2-r^2}$.

(8) ⇒ (4). Ясно, что в любом tetraэдре перpendикуляры, опущенные из центра $O$ описанной сферы на грани, попадают в центры описанных окружностей, и если радиус всех этих окружностей равны $R_1$, то точка $O$ одинаково удалена от всех граней (на расстояние $r = \sqrt{R^2-R_1^2}$). Если основания перpendикulares лежат внутри граней, то $O$ — центр описанной сферы радиуса $r$.

(8) ⇒ (6). Если радиус описанных окружностей граней $ABC$ и $DBC$ tetraэдра $ABCD$ равны, то $\angle BAC = \angle BDC$, поскольку эти углы опираются на равные другие $BC$ в равных окружности (здесь существенно, что $\triangle BAC$ и $\triangle BDC$ — остроугольные!). Это относится и ко всем другим параметром смежных граней.

Таким образом, $\angle BDC + \angle CDA + \angle ADB = \angle BAC + \angle CBA + \angle ACB = 180^\circ$ и аналогично для всех других вершин.

(6) ⇒ (7). Развертка произвольного tetraэдра $ABCD$ — шестиугольник $D_1AD_2BD_3C$, разбитый на четыре треугольника (рис. 6). Очевидно, что из (6) следует, что отрезки $D_1A$ и $AD_2$, $D_2B$ и $BD_3$, $D_3C$ и $CD_1$ лежат на одной прямой, то есть точки $A$,

44

В и С — середины сторон $\Delta D_1D_2D_3$ (как на рис. 5). Этот треугольник остроугольный, так как в треугранном угле tetraэдра (при вершине D) каждый из плоских углов меньше суммы двух других.

(9) $\Rightarrow$ (7), (7) $\Rightarrow$ (8) и (7) $\Rightarrow$ (2) оченьны. (2) $\Rightarrow$ (3) также оченьно (треугольники равны по трем сторонам); (3) $\Rightarrow$ (1) оченьно.

Осталось доказать только, что (1) $\Rightarrow$ (9). Это место оказалось самым трудным для читателей.

(1) $\Rightarrow$ (9). Заметим, что если $p_1$ и $p_2$ — параллельные плоскости, AK и BH — два отрезка, концы A и B которых лежат в плоскости $p_1$, а концы K и H — в плоскости $p_2$, то отрезки AK и BH равны тогда и только тогда, когда равны их проекции на плоскость $p_1$ (или $p_2$). Это легко доказывается с помощью теоремы Пифагора (рис. 7).

Проведем параллельные плоскости $p_1$ и $p_2$ через ребра AB и CD tetraэдра. Пусть $C_1$ и $D_1$ — проекции точек C и D на плоскость $p_1$ (рис. 8, a), O — точка пересечения $C_1D_1$ и AB. Если площади $\triangle CAD$ и $\triangle CBD$ равны, то равны высоты AK и BH этих треугольников, следовательно, равны проекции этих высот на $p_1$: AK$_1$ = BH$_1$, и поэтому AO = OB (рис. 8, б), отсюда следует, в частности, что точки A и B лежат по разные стороны от прямой C$_1$ D$_1$. Точно так же, плоскку площади $\triangle ACB$ и $\triangle ADB$ равны, C$_1O$ = D$_1O$. Следовательно, AC$_1BD_1$ — параллелограмм, то есть AC$_1$ = BD$_1$ и C$_1B$ = D$_1A$, откуда AC = BD и BC = AD. Точно так же доказывается, что AB = CD, поэтому AC$_1BD_1$ — прямой угольник.

M10. Четыре круга, центры которых являются вершинами выпуклого четырехугольника, целиком покрывают этот четырехугольник. Доказать, что из них можно выбрать три круга, которые покрывают треугольник с вершинами в центрах этих кругов.

Решение. Основная трудность в этой задаче — придумать такое расчудение, которое бы охватывало все возможные случаи.

Рис. 7.

Рис. 8, a. Тетраэдр в пространстве.

Рис. 8, b. Проекция tetraэдра на плоскость.

45

Рис. 9.

расположения окружностей и все возможные по форме четырехугольники.

Идея приводимого ниже решения приадлежит H. Васильеву.

Обозначим круги с центрами A, B, C, D в вершинах данного четырехугольника ABCD через Kₐ, Kₑ, K₃, K₄, их радиусы — через rₐ, rₑ, r₃, r₄. Предположим, что утверждение задачи неверно. Тогда каждый круг имеет общую точку с частю промироположенного ему треугольника, не покрытой треугольниками:

например, Kₐ должен содержать точки △BCD, не покрыты ни один

Рис. 10.

из кругов Kₐ, Kₑ, K₃, K₄. Пусть O — точка пересечения диагоналей. Докажем при нашем предположении, что rₐ ≥ OA, то есть что круг Kₐ содержит точку O. Остальное ужеясно: точно так же можно будет доказать, что точка O принадлежит Kₐ и K₃, а отсюда очевидным образом следует, что эти круги покрывают △ABC. Посмотрите на рисунки 9,10: если OL и ON — перпендикуляры, опущенные на прямые AB и BC, то Kₐ покрывает △OAL, K₃ — △OCN, K₄ — △OBL и △OBN, а эти четыре прямогоольных треугольника заведено покрывают △ABC, даже если

Рис. 11, a.

Рис. 11, б.

46

один из треугольников AOB или OBC (как на рисунке 10) тупоугольный.

Приходим к противоречию с нашим предположением, следовательно, утверждение задачи верно.

Итак, осталось доказать, что $r_A \geqslant OA$. Нам понадобится следующая, почти очевидная.

Лемма. Пусть задан выпуклый четырехугольник PQRS и круг $K_R$ (не содержащий $\triangle PQR$ целиком). Тогда из всех точек, лежащих внутри $\triangle PQR$ и вне $K_R$, близкой к точки $S$ будет:

a) основание $F$ перpendикulaire $SF$, опущенного из точки $S$ на прямую $PR$, если эта точка $F$ лежит вне круг $K_R$ (рис. 11, а);

б) точка $E$ пересечения окружности $K_R$ с отрезком $PR$, если точка $F$ лежит внутри круг $K_R$ (рис. 11, б). (Здесь важно, что угол QRS четырехугольника меньше $180^\circ$; доказательство леммы оставляем читателю.)

Можно считать, что $\angle AOB \leqslant 90^\circ$ (инначе мы взяли бы не $B$, а $D$). Пусть $BB_1 \perp AC$; $AA_1 \perp BD$; $B_1A_2 \perp BD$ (рис. 12). Предположим, что $r_A < OA$ и $E - \text{ближайшая } K$ отрезке $OA$ и $AE = r_A$, $EM - \text{перpendикуляр}, \text{опущенный } E$ на $BD$. Ясно, что тогда $AM > AE$. Докажем, что тем не менее $r_A > AM$, отсюда будет следовать, что наше предположение ($r_A < OA$) неверно.

Докажем сначала, что $r_B > BM$. Приимем лемму к $\triangle ACD$, кругу $K_A$ и точке $B$. Расстояние два случая:

a) $E$ лежит между $A$ и $B_1$. Тогда $r_B > BB_1 > BA_2 \geqslant BM$;

б) $E$ лежит между $O$ и $B_1$. Тогда (по лемме)

$$r_B > BE > BM.$$

Итак, мы знаем, что точка $M$ принадлежит $K_B$. Приимя лемму к $\triangle BCD$, кругу $K_B$ и точке $A$ (заметим, что $M$ лежит между $O$ и $A_1$, так что всегда имеет место случай 6)), получим $r_A > AM$. Круг замкнулся, требуем противоречие получено.

Ф12. Два одинаковых тяжелых стальных шарика врашаются на легких стержнях длины $l$ и $2l$ вокруг точки $O_1$, $O$, расстояние между которых равно 3$l$ (рис. 13). В начальной момент шарики находится в точках $A$ и $B$, имея скорости $v$ и $2v$ соответственно. Сколько раз столкнутся шарики за время $t$? За какое время шарики столкнутся $k$ раз? Содуаренная шариков считать абсолютино упругими.

Решение. Так как шарики одинаковы, то при абсолютоно упругих соударениях они будут обменивать скорости. Это следует из законов сохранения энергии и импульса (количество движений) шариков при соударении. В первый раз шарики столкнутся, когда каждый из них сделает по половине оборота вокруг точки, относительно которого он врашает.

На это потребуется время $t_1 = \frac{\pi \cdot 2l}{2v} = \frac{\pi l}{v}$. После соударениялевый шарик будет иметь скорость $2v$, а правый — скорость $v$.

Второе соударение шариков произойдет через время $t_2 = \frac{4\pi l}{v}$ после первого, когда правый шарик совершит один оборот вокруг точки $O_1$. Левый шарик совершит за это время четырех оборота вокруг точки $O$ — у него вдвое большая скорость, и врашает он по окружности вдвое меньше

47

Рис. 13.

шero радиуса. При соударении шарики опять обменяются скоростими, и третье соударение произойдет через время $t_3 = 2t_1 = \frac{2\pi l}{v}$ после второго, когда каждый из шариков совершит один оборот. Таким образом, после каждого нечетного соударения левый шарик будет иметь скорость $2v$, а правый — скорость $v$, и поэтому следующее, четное, соударение будет произходит через время $t' = t_2 = t_4 = \cdots = \frac{4\pi l}{v}$.

После каждого нечетного соударения левый шарик будет иметь скорость $v$, а правый — скорость $2v$ и следующее, теперь уже нечетное, соударение шариков будет произходит через время $t'' = 2t_1 = t_3 = \cdots = \frac{2\pi l}{v}$ после четного.

Тепер нетурудно подсчитать, что если $k$ — четное число, то $k$-е соударение шариков произойдет через время
$$t_k = \left( \frac{k}{2} - \frac{1}{2} \right) t'' + \frac{k}{2} t' = (3k - 1) \frac{\pi l}{v},$$
так как всего между шариками произойдет $\frac{k}{2}$ четных соударений и $\frac{k}{2}$ нечетных. Это означает, что правый шарик должен совершить $\frac{k}{2} - \frac{1}{2}$ оборотов, имея скорость $2v$ (здесь мы учили, что до первого соударения шарик совершает лишь половину оборотов) и $\frac{k}{2}$ оборотов вокруг точки $Q_1$, имея скорость $v$.

Если $k$ нечетно, то до $k$-го соударения правый шарик должен совершить скорость $v$, и $\frac{k-1}{2} + 1 - \frac{1}{2} = \frac{k}{2}$ оборотов, имея скорость $2v$. Поэтому от начального момента до момента $k$-го соударения в этом случае должно пройти время
$$t_k = \frac{k}{2} t'' + \frac{k-1}{2} t' = \frac{(3k-2)\pi l}{v}.$$

Подсчитаем теперь, сколько раз шарики столкнутся за время $t$. Будем считать, что $t > t_1$. Между двумя последовательными нечетными соударениями шариков проходит время $t_0 = t' + t''$. Нечетных соударений после первого будет столкто, сколько раз $t_0$ столкнится в $t - t_1$:

$$n = \left[ \frac{t - t_1}{t_0} \right]$$

(знак [ ] означает «целая часть числа»).

Всего между шариками произойдет $n+1$ нечетных соударений. До последнего нечетного соударения проойдет время, равное $\left[ \frac{t - t_1}{t_0} \right] t_0 + t_1$.

За это время между шариками должно произойти еще и $n$ четных соударений. Кроме того, если оставшее время $t - \left( \frac{t - t_1}{t_0} \right] t_0 + t_1$ больше, чем $t'$, то произойдет еще одно нечетное соударение. Таким образом, за время $t$ шарики столкнутся

$$N = \left[ \frac{t - t_1}{t_0} \right] + 1 + \left[ \frac{t - t_1}{t_0} \right] + \left[ \frac{t - \left[ \frac{t - t_1}{t_0} \right] (t_1 + t_2)}{t_2} \right] = 2 \left[ \frac{vt - \pi l}{6\pi l} \right] + \left[ \frac{vt - \left[ \frac{vt - \pi l}{6\pi l} \right] 6\pi l}{4\pi l} \right] + 1$$

48

Рис. 14.

Ф13. Два одинаковых цилиндра с поршнями соединены трубкой (рис. 14). В цилиндрах находится вода. Сверху на поршни ставят одинаковые цилиндрические стаканы с равными количеством воды. Затем в один из стаканов опускают тело массы $m$, а в другой — тело массы $M$, которые не тонут.

На каких расстояниях друг от друга будут находиться концы поршней и уровни воды в стаканах, когда система придет в равновесие? Площади дня стаканов — $S_1$, площади поршней — $S_2$.

Решение. Так как цилиндры соединены трубкой, то давления воды в цилиндрах на одинаковых уровнях должны быть одинаковыми. Одиноковый и давления в цилиндрах на том уровне, на котором находится нижний край левого поршня. Но давление в левом цилиндре (рис. 14) на этом уровне равно $\frac{(M_0 + M)g}{S_2}$, а давление на этом уровне в правом цилиндре равно $\frac{(M_0 + m)g}{S_2} + \rho gy$, где $M_0$ — общая масса поршня, стакана и воды в стакане, а $\rho gy$ — давление столба воды высотой $y$. Тогда из условия равновесия получим:

$$\frac{(M_0 + M)g}{S_2} = \frac{(M_0 + m)g}{S_2} + \rho gy.$$

Решив это уравнение, найдем что

$$y = \frac{M - m}{\rho S_2}.$$

Теперь определям величины $x$. При погружении тела в стакан с давления на дно стакана возрастает на величины, равную весу этого тела. С другой стороны, так как тело не тоет и само не давит на дно, то изменение силы давления на дно — это изменение силы давления воды на дно за счет того, что увеличивается уровень воды. Если уровень воды в стакане поднялся на $\Delta x$, то давление воды на дно возросло на $\rho g \Delta x$, а сила давления — на $\rho g \Delta x S_1$. Таким образом, для левого стакана $\rho g \Delta x S_1 = Mg$, где $\Delta x_1$ — изменение уровня воды в левом стакане: $\Delta x_1 = \frac{M}{\rho S_1}$. Аналогично найдем, что в правом стакане уровень воды при погружении в него тела поднялся на $\Delta x_2 = \frac{m}{\rho S_1}$. Так как расстояние между дном левого и дном правого стаканов равно $y$, то

$$x = y + \Delta x_2 - \Delta x_1 = \frac{(M - m)(S_1 - S_2)}{\rho S_1 S_2}.$$

Ф14. Две трубы с сечениями $S_1$ и $S_2$ соединены друг с другом и заткнуты поршнями, массы которых $m_1$ и $m_2$ (рис. 15). После взрыва в пространстве между поршнями поршни вылетают из труб. Один из них вылетел со скоростью $v$. С какой скоростью вылетел второй, если: а) трубы закреплены и не могут перемешаться, б) трубы не закреплены и их обшая масса равна $M$? Треннем поршней о стенки труб пренебречь.

Решение. Расмотрим вначале случай, когда труба закреплена. Давление газов на поршни одинаково, а силы давления относится, как площади поршней. Так как эти силы действуют на поршни одинаковое время (мы считаем, что после того, как один из поршней вылетел из труб, давление на второй поршень скаком падает до давления снаружи), то относение средних сил давления на поршни равно относению площадей поршней. Это дает нам возможность найти относение импульсов поршней после их вылета из труб. Начальные импульсы поршней равны нулю, а изменение их импульсов равны средним силам, умноженным