Квант 1970, №11 · Страницы

Научно-популярный физико-математический
квант
11
1970
журнал
Академии
наук СССР
и
Академии педагогических
наук СССР

7

Главный редактор — академик И. К. КИКОИН
Первый заместитель главного редактора — академик А. Н. КОЛМОГОРОВ

Редакционная коллекция:

Л. А. Арцимович,
М. И. Башмаков
В. Г. Болтянский,
И. Н. Бронштейн
Н. Б. Васильев
И. Ф. Гинзбург
В. Г. Зубов,
П. Л. Капица,
В. А. Кириллин,
Г. И. Косоуров
В. А. Лецковцев
В. П. Лицевский
А. И. Маркуцевич,
М. Д. Миллюоницков,
Н. А. Патрикеева
Н. Х. Розов
А. П. Савин
И. Ш. СLOBODEЧКИЙ
М. Л. Смолянский
Я. А. Смородинский,
В. А. Фабрикант,
Я. Е. Шнайдер

акademик
член-корреспондент АПН СССР
акademик
акademик
(зам. главного редактора)
акademик АПН СССР
акademик
(зам. главного редактора)
доктор физико-математических наук
акademик АПН СССР
(ответственный секретарь)

Заведующая редакцией Л. В. Чернова.
Главный художник Е. П. Леонов.
Технический редактор Т. М. Макаров.
Корректор Л. С. Сомова.
Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы
Адрес редакции:
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Телефон: 2340811.

Сдано в набор 24. 7. 70 г. Под. к печати 13.10.70 г.
Бумага 70×100 1/16 . Физ. печ.л.4. Услови.печ.л.5,6.
Уч.-изд. л.5,39. Тираж 176000 экз. T-15428.
Цена 30 коп. Заказ. 1250
Чеховский полигraphкомбинат Главполигraphпрома
Комитет по печати при Совете Министров СССР
г. Чехов Московской области.

2

Электростатика на языке
силовых линии

Объчно электростатику изучают так: записьают закон Кулона для силы взаимодействия двух точных зарядов $q_1$ и $q_2$: $F = \frac{q_1 q_2}{r^2}$ (r — расстояние между зарядами) — и затем с помощью иногда простых, а иногда сложных математических расчетов получают всевозможные следствия этого закона, считая, что заряд любого тела можно представить как совершность распределенных нужным образом точных зарядов.

Но часто точный математический анализ электрического поля и распределения зарядов оказывается сложным. Тогда на помощь приходят простые сообщения — симметрия и картины силовых линии поля. Конечно, они не могут дать столь же полного представления, как математические расчеты, заго наглядны и помогают «увидеть» и предсказать, какие особенности будут электрическое поле и как будут взаимодействовать заряды.

Что такое силовые линии поля

Возьемт точный заряд $q$. Этот заряд создает в окружающей пространстве электрическое поле, которое полностью определяено, если в каждой точке пространства задана направность поля — сила, которая действовала бы на точный единичный положительный заряд, если бы его помещили в эту точку. Для того чтобы наглядно представить электрическое поле во всем пространстве, можно попробовать изобраться его множеством векторов, например, в различных точках пространства так, чтобы каждый из них показвал направжение поля (ее величины и направление) в той точке, из которой он выходит. Однако сразу становится очевидным, что такой способ изображения поля неудачен: отдельные стрелки, накладываясь друг на друга, создают запутанную картину, разобраться в которой будет необходимости.

Фарадей предложил изобраться поле силовых линиими. Это линни, направление которых в каждой точке совпадает с направлением направности поля в этой точке. Для точного заряда наиссовать силовые линии совсем просто. Это прямые (лучи), проходящие через точку, в которой находимся заряд. Если заряд последовательный, то силовые линии на-

Рис. 1.

правлены от заряда (рис. 1); силовые линии поля, созданного отрицательным зарядом (в дальнейшем для краткости мы будем говорить «поле заряда»), идут к заряду.

Попробуем нарисовать картину силовых линии поля в более сложном случае — для двух одинаковых по величине точных зарядов — положительного и отрицательного (эту пару зарядов называют «диполем»). Вспомним принцип суперпозициии: направленность поля системы зарядов равна сумме направленностей полей, создаваемых отдельными зарядами (рис. 2). Нельзя ли получить картину силовых линии поля диполя, сложив картины силовых линии полей отдельных зарядов или, точнее, наложив их одну на другую? К сожалению, нет. В этом случае силовые линии поля должны быть пересекаться. Это, очевидно, невозможно, так как в точке пересечения силовых линии направленность поля имела бы два значения! Значит, простым наложением картины силовых линии полей точных зарядов нельзя нарисовать картин силовых линии поля системы зарядов.

Качественный картину силовых линии можно получить, помещив в электрическое поле взвесь твердых частичек в жидком изоляторе. В электрическом поле на концах частичек наводятся одинаковые разномененные заряды. Благодаря этому они ориентируют вдоль силовых линии поля. Для поля диполя получается картина, показанная на рисунке 3, а. Силовые линии идут от положительного заряда к отрицательному (рис. 3, 6). Если взять два одинаковых одномененных заряда, то картина силовых линии будет такой, как показанная на рисунках 4, а и 4, 6.

Такие же картины получаются, если аккуратно найти векторы направленности электрического поля в различных точках и по ним уже строить силовые линии поля (рис. 2).

4

Рассматривая рисунки 3 и 4, можно заметить, что при разноменных зарядах сливые линии как бы связывают заряды между собой, а в случае одноменных зарядов сливые линии как бы расталкивают. Если приписать сливым линии свойства сокращаться вдоль своей длины и расталкиваться в поперечном направлении, то мы могли бы сказать, что сливые линии, связывающие разноменные заряды, пригигают их друг к другу, а сливые линии разноменных зарядов, расталкиваясь, отталкиваются и сами заряды друг от друга. Конечно, нельзя считать, что сливые линии поля существуют реально, но при таком толковании часто один лишь взгляд на картину поля позволяет предсказать результат взаимодействия зарядов. Эти же «свойства» сливых линии, как не трудно сообщать, могут говорить и о большем — о величины направности поля.

Teорема Гаусса

Итак, картина сливых линии показывает направление вектора направления поля в каждой точке. Но это еще не все. Оказывается, эти картины могут говорить и о большем — о величины направности поля.

Возьемт точчный положительный заряд $q$. Выделим конус с вершиной в точке, в котором находится заряд, и проследим за сливыми линиими, проходящими через площадку с площадью $S_1$, находящую на расстоянии $r_1$ от заряд (рис. 5). На расстоянии $r_2$ эти сливые линии будут проходить через площадку с большей площадью $S_2$. Отношение диаметров площадок равно отношению $\frac{r_2}{r_1}$, поэтому $\frac{S_2}{S_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2$.

Но это означает, что плотность сливых линии $n = \frac{N}{S}$ (число сливых линии, проходящих через площадку единичной площади) обратно пропорционально

5

циональна квадрату расстояния до заряда. Так как $\frac{n_1}{n_2} = \frac{r_2^2}{r_1^2}$, то $n \sim \frac{1}{r^2}$.

Точно так же меняется направность поля точного заряда: $E = \frac{q}{r^2}$.

Таким образом, плотность силовых линей пропорциональна направности поля: $n \sim E$. Нужно только, чтобы силовые линей нигде не перерывались. Для точного положительного заряда силовые линей должны начинаться на заряде и уходить на бесконечность. В случае отрицательного заряда силовые линей должны идти из бесконечности и заканчивать на заряде.

Оказывается, что всегда можно нарисовать картину силовых линей так, чтобы их плотность была пропорциональна направности поля. Для этого силовые линей должны выгнаться на положительных зарядах и заканчивать на отрицательных (или уходить на бесконечность), причем, число силовых линей, выходящих из заряда или идущих к нему, должно быть пропорционально величины этого заряда.

Проведем мысленно сферу с центром в точке, в которой находим заряд. Если условиться считать, что из каждого положительного заряда выходит (а на каждом отрицательном заряде оканчивается) $4\pi q$ силовых линей, то их плотность на сферической поверхности будет равна $\frac{4\pi q}{4\pi r^2} = \frac{q}{r^2}$, то есть будет равна направлению поля. Полное же число силовых линей, пересекающих поверхности сферы, не зависит от ее радиуса и равно $4\pi q$. Ясно, что таким же будет число силовых линей, выходящих из любой замкнутой поверхности, внутри которого находим заряд (или выходящих в нее), какую бы форму ни имела эта поверхность.

Это утверждение называется теоремой Гаусса. Она справедлива, конечно, и для любого распределения зарядов. Можно показать, что для любой системы зарядов число силовых

линий, выходящих из замкнутой поверхности произвольной формы, минус число силовых линей, входящих в нее, равно $4\pi Q$, где $Q$ — суммарный заряд, который находится в объеме, ограниченном этой поверхности. Если заряд $Q$ отрицательен, то число линей, которые выходят из объема, ограниченного поверхности, меньше числа силовых линей, входящих в него. Если в объеме, ограниченного поверхности, нет зарядов, то из него выходит столько же силовых линей, сколько и входит.

Потенциаль и эквивпотенциальные поверхности

Прежде чем присутствить к реализации наших знаний — решению конкретичных задач, вспомним еще об одной характеристике поля — потенциаль. Дело в том, что для него можно отыскать геометрическую картину, тесно связанную с картиной силовых линей. Эта связь часто помогает рисовать и анализировать картину силовых линей поля.

Напомним сначала, что такое потенциаль электрического поля.

Если, передвиграя в поле заряд, мы вернемся в начальное точку, то полная работа, которая совершается при пересечении точного заряда из одной точки поля в другую, не зависит от формы пути. Иначе можно было бы вначале по тому пути, где она меньше, а возвратиться по тому, где она больше. Полная работа не была бы равна нулю. Благодаря тому, что работа не зависит от формы пути, и можно ввести понятие потенциаль. Потенциаль поля в данной точке равен работе, которая совершается полем при пересечении единичного точного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность.

Потенциаль может быть как положительным, так и отрицательным. Потенциаль поля положительного заряда положлен, а потенциаль поля отрицательного заряда отрицательен. В первом случае сила, действующая

6

на переносимый заряд со стороны поля, направлена в ту же сторону, в которой движется заряд, а во втором — против движения (поле совершает отрицательную работу). Потенциаль — это скаляр, не имеющий направления в пространстве. У точного заряда $q$ на расстоянии $r$ от него потенциаль равен $\frac{q}{r}$. Если надо найти потенциаль поля нескольких зарядов, то мы должны сложить потенциальы полей, создаваемых отдельными зарядами, размещается, с учетом их знаков. Как же связан потенциаль с картиной силовых линий? Проведем проверность, потенциаль на котором всюду постоянен. Такие проверности называют эквивпотенциальными. Для точного заряда эквивпотенциальные проверности — это сферы с центром в точке, в которой находится заряд. Нетрудно видеть, что силовые линии поля всегда должны быть перпендикулярны к эквивпотенциальным проверностям. Если бы это было не так, то существовала бы составляющая направленной проверности, и поэтому при перемещении заряды вдоль нее совершалась бы работа. Потенциаль менялся бы вдоль проверности, и она не могла бы быть эквивпотенциальной. Можно видеть и еще одну важную связь эквивпотенциальных проверностей с силовым линиями поля. Если взяты две близкие эквивпотенциальные проверности, то разность их потенциальов равна работе по перенесению точного единичного положительного заряда с одной проверности на другую. Так как сила, действующая на такой заряд, равна направности поля, то $\Delta \varphi = E \Delta r$, или $E = \frac{\Delta \varphi}{\Delta r}$. Это означает, что эквивпотенциальные проверности гуще там, где более сильное поле, и реже там, где поле меньше: при одинаковой разности потенциаль расстояние $\Delta r$ между проверностями больше там, где меньше поле, и наоборот.

Вот теперь мы можем перейти к решению конкретных задач.

Поле равномерного заряженной полой сферы

Мы можем сразу утверждать, что в силу симметрины поля силовые линии направлены везде по радиусу и густота силовых линии по всем направлением одинакова. Внутри сферы поле, очень нулю. Иначе силовые линии поля внутри сферы были направлены к центру или от центра сферы. Это означает, что в центре сферы находится точный заряд.

Для того чтобы электронское поле вне сферы, вспомним, что направленность поля равна густоте силовых линии, если только полное число силовых линии, выходящих из заряд $Q$, равно $4\pi Q$. Проведем сферу радиуса $R$ с центром в центре заряженной сферы. Число силовых линии, пересекающих проверенной нами сферы, равно направленности поля, умноженной на площадь проверности сферы: $N = E \cdot S = E \cdot 4\pi R^2$. Согласно теореме Гаусса

$$N = 4\pi Q,$$ отсюда $E = \frac{Q}{R^2}$.

Напряженность поля вне сферы также же, как у точного заряда, расположенного в центре сферы. Ясно, что и потенциаль в любой точке поля вне сферы будет таким же, как потенциаль поля точного заряд. Пotenциаль всех точек, лежащих на поверхности сферы, одинаков и равен $\frac{Q}{r}$, где $r$ — радиус сферы. Таким же будет потенциаль любой точки внутри сферы: при перемещении заряда в эту точку от проверности сферы мы не совершаем работы (внутри сферы направленное поля, а следовательно, и сила, действующая на заряд, равны нулю). Зависимость направления электронского поля равномерного заряженной сферы от расстояния до центра сферы показана на рисунке 6, 6.

Отсутствие поля внутри заряженной сферы можно, конечно, показать

7

и непредредствие из закона Кулона.
Возьем внутрен сферы произвольную точку $A$ (рис. 7). Представим себе узкий конус, который идет из точки $A$, вырезая на поверхности сферы две маленькие сферические площадки $\Delta S_1$ и $\Delta S_2$. Если $r_1$ и $r_2$ — расстояния от точки $A$ до этих участков, то $\frac{\Delta S_1}{\Delta S_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2}$.

Так как сфера заряжена равномерно, то заряды участков пропорциональны их площадям. Поэтому $\frac{q_1}{q_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2}$, а поля, создавемые в точке $A$ этими участками, взаимно уничтожаются:

$$\frac{E_1}{E_2} = \frac{\frac{q_1}{r_1^2}}{\frac{q_2}{r_2^2}} = 1.$$

Таким образом можно разить на пары участков всего сферу. Следовательно, поле в точке $A$ равно нулю.

Представление о сливых линиях позволило получить этот же результат проще и быстрее.

Равномерно заряженная плоскость и плоский конденсатор

Рассмотрим теперь поле бесконечной (правильнее сказаны, очень большой) равномерно заряженной плоскости, на единицу площади которого находится заряд $σ$.

Ясно, что сливые линия поля, создаваемого плоскостью, перpendicularны к плоскости и их плотность всуду одинакова (рис. 8): если бы сливые линия были наклонены в одну сторону, то это означает бы, что одно направление вдоль плоскости отличается от других; если бы плотность сливых линий была в разных точках влизации плоскости различна, то это означает бы, что один точки, чего, разумеется, быть не может, отличаются чем-то от других.

Проведем цилиндрическую поверхность с основаниями, параллельными плоскости и равными по площади единице. Сливые линия поля не пересекают боковой поверх-

8

ности цилиндра, а число силовых линий, прохождения через основания цилиндра, согласно теореме Гаусса, равно 4лσ. Это означает, что в каждом направлении (налево от плоскости и направо от нее) проходит 2лσ силовых линий через единицу площади (рис. 8). Таким образом, направность поля равномерно заряженной бесконечной пластины взделе одинакова, не зависит от расстояния до пластины и равна

$$E = 2\pi\sigma.$$

Если взять теперь две противоположно заряженные плоскости (рис. 9), то по обе стороны от конденсатора, образованного этим плоскостями, поля уничтожают друг друга. Внутри же между пластинами поля направлены одинаково и, складываясь, дают направность поля

$$E = 4\pi\sigma.$$

Хотя поле у краев конденсатора будет искажено, в средней части мы можем считать его одинаковым как по величины, так и по направлению. Такое поле называют однородным.

Проводник в электрическом поле

Do six пор мы считали положение зарядов заданным, и нам оставалось только найти электрическое поле, которое создают эти заряды. Задча усложняется, когда у нас имеются проводники, по которым заряды могут свободно перемещаться. Если, например, поднести к проводнику заряд (рис. 10), то электрины в проводнике начинают двигаться под действием поля этого заряда. На поверхности проводника будет появляться при этом заряды, поле которых внутри проводника направлено противоположно внешнему полю. Это будет продолжаться до тех пор, пока поле внутри проводника не станет равным нулю. При этом заряды, появившиеся на поверхности проводника, изменят, конечно, и поле вне проводника.

Поле внутри проводника всегда

10

Чтобы в этой точке на него не действовать сила (напряжение была равна нулю) и чтобы при отклонении заряда в любую сторону на него действовать сила, возврашается его в ту точку, в которой находится заряд (векторы напряжения поля во всех окрестных точках должны быть направлены в ту точку, в которой находится заряд, должен еще находиться заряд противоположного знака! Таким образом, при смешении заряда равновесие обязательно нарушится, и заряды либо сппнутся, либо разлетятся.

Представление о врашающся вокруг ядер электронах было впервые введено Резерфордом. И хотя диапазонская модель атома с электронами, врашающимся вокруг ядра, столкнулсь со многими на первый взгляд неразрешимыми трудностями, дальнейшее развитие физики показало ее правильно. Но это уже tema для другого рассказа.

Задание

1. Нарисуйте примерную картину силовых линейной поля двух разновименных и различных по величины зарядов.
2. Могут ли силовые линейные электростатические поля быть замкнутыми?
3. Иногда говорят, что силовые линей — это траектории, по которым движется бы в поле положительный заряд, если его, внеся в это поле, предоставить самому себе. Правильно ли это утверждение?
4. Имеются две концентрические сферы с радиусами $R_1$ и $R_2$ и зарядами $q_1$ и $q_2$ ($R_1 < R_2$). Как напряжение поля зарядов сфера зависит от расстояния до их обшено центра?
5. Как напряжение поля однородно заряженного шара зависит от расстояния до центра шара?
6. Найдите, как зависит от расстояния напряжение поля бесконечной равномерной зарядной нити.
7. Найдите напряжение поля очень длинного равномерного зарядного цилиндра.
8. Показите, что внутри полого проводника поле равно нулю независимо от формы проводника и полости (экранирование).

Наипростейшие простых девятизначных (и более длиных) чисел не существует.

Хотя на этой линейке нанесены лишь 4 деления, с ее помощью можно изменить все (целочисленные) расстояния от 1 до 13 см.

Какое наименьшее число делений надо нанесить на линейку длиной 9 см, чтобы она изменяла все расстояния от 1 до 9 см?

А на 12-сантиметровую линейку?

12

Определение. Наибольшим общим делитель чисел или многочленов называется такой их общий делитель, который делится без остатка на любой их общий делитель.

Мы будем обозначать НОД чисел или многочленов $a, b$ так: НОД $(a, b)$. Например, НОД $(5, 10) = 5$; НОД $(x^2, 3x-x^2) = x$; НОД $(x^3-x^2,x-1) = x-1$.

Понски наиболее общого делителя

Для чисел известно два способа нахождения НОД.

Способ 1. Раскладываем оба числа на простые множители и берем произведение тех из них, которые встречаются в обихх числах. Например, сокращая дробь $\frac{3770}{9425}$, можно написать: $\frac{3770}{9425} = \frac{2\cdot 5\cdot 13\cdot 29}{5\cdot 5\cdot 13\cdot 29}$;

НОД $(3770, 9425) = 5\cdot 13\cdot 29 = 1885$, $\frac{3770}{9425} = \frac{2}{5}$

Чем плох такой способ? Во-первых, нужно сначала доказать, что любое натуральное число можно разложить на простые множители и притом единственным образом. Во-вторых, для того чтобы найти это разложение, придется проделать большую работу, причем в основном направнию. Ведь мы найдем все делители каждой из чисел, а нам нужно лишь их наиболее общий делитель.

Как мы увидим далее, еще хуже будет обойти дело с многочленами: разложение всегда существует, а найти его, вообще говоря, невозможно,—разве лишь, если кто-то специально подстроил так, что разложение легко находится (как бывают в конкретных примерах).

Но можно и не разлагаать числа на многочлени.

Способ 2. Алгоритм Евклида. Он основан на следующих леммах.

Лемма 1. Любое натуральное число $q$ можно разделить с остатком на другой натуральное число $p$, то есть представить $q$ в виде $q = kp+p_1$, где $0 \leq p_1 < p$.

Лемма 2. Если число $d$ является НОД чисел $p$ и $q$.

Заметим, что эта лемма позволяет нам не только найти, но и доказать существование НОД двух чисел, потому что она сводит вопросы о существовании и нахождения НОД к меньшим числам.

Докажите эти леммы самостояльно. В лемме 1 надо разбить числовую ось на куски точками $0, p, 2p, 3p, \dots$ и найти, в каком из них лежит точка $q$. В лемме 2 надо предположить, что число $d$ делится на любой общий делитель чисел $p$ и $p_1$, а также что оба числа $p, p_1$ делятся на $d$, и доказать, что число $d$ обладает этим же двумя свойствами относительно чисел $p$ и $q$.

Теперь на примере, рассмотренном в способе 1, изложим собственно алгоритм Евклида — последовательность действия, которая позволяет найти НОД чисел $q$ и $p$. Следва мы пишем последовательность формул в общем виде, а справа — для примера.

Шаг 1. Используя лемму 1, делим $q$ на $p$. Попучаем:
$q = k_0p+p_1, 0 \leq p_1 < p$; $9425 = 2\cdot 3770+1885, 0 \leq 1885 < 3770$.
На основании леммы 2 заключаем, что
НОД $(q, p) = \text{НОД}(p, p_1)$; $\text{НОД}(9425, 3770) = \text{НОД}(3770, 1885)$.

Шаг 2. Смотрим, равно ли $p_1$ нулю.
Если $p_1$ равно нулю, то заканчиваем процесс и переходим к шагу 3.

14

В лемме 1 число $p_1$ было меньше $p$ по величины, а у многочленов за «размер» принимается степень многочлена. Пример деления многочленов с остатком приведен ниже, с помощью него вы сами докажете эту лемму.

Пример. Делим многочлен $2x^5 + 4x^4 - 2x^3 - x + 1$ на многочлен $x^2 + 2x + 5$ уголком. Получается:

$$\frac{-2x^5 + 4x^4 - 2x^3 - x + 1}{2x^5 + 4x^4 + 10x^3} = \frac{x^2 + 2x + 5}{2x^3 - 12x + 24}$$

$2x^5 + 4x^1 - 2x^3 - x + 1 = (2x^3 - 12x + 24)(x^2 + 2x + 5) + (11x - 119)$. Теперь у нас есть требуемые леммы и можно действовать по алгоритму Евклида, то есть построить последовательность делений с остатками (для многочленов!), в которых многочлен последовательно уменшаются:

$$Q(x) = K_0(x) P(x) + P_1(x),$$
$$P(x) = K_1(x) P_1(x) + P_2(x),$$
$$P_1(x) = K_2(x) P_2(x) + P_3(x),$$

$$P_{m-2}(x) = K_{m-1}(x) P_{m-1}(x) + P_m(x),$$
$$P_{m-1}(x) = K_m(x) P_m(x).$$

При этом НОД $(Q(x), P(x)) = \text{НОД}(P(x), P_1(x)) = \dots = \text{НОД}(P_{m-1}(x), P_m(x)) = \text{НОД}(P_m(x), 0) = P_m(x)$. Последнее частное $P_m(x)$ и есть НОД исходных многочленов (проверьте все это).

Практические эти формулы получаются делением уголком, которое в самом первом примере выглядит так:

$$\frac{x^9 - x^8 - x^7 - 3x^6 + x^5 + 4x^4 + 4x^3 + x^2 - 2x - 1}{x^9 - x^8 - 3x^6 + x^5 + x^4 + 2x^3 - x} = \frac{x^8 - x^7 - 3x^5 + x^4 + x^3 + 2x^2 - 1}{x^8 - x^7 - 3x^5 + x^4 + x^3 + 2x^2 - x - 1}$$

Теперь осталось сократить алгебраическую дробь (2) на последний делитель $-x^7 + 3x^4 + 2x^3 + x^2 - x - 1$, то есть разделить числитель и знаменатель в (2) на полученный НОД. Проделав все это, получим $\frac{x - 1}{x^2 - x - 1}$.

Это и есть ответ.

Если вы читали статью Н. М. Бескина «Цепные дроби» («Квант» № 8), то можете заметить, что описанный здесь примем есть в точности сокращение многочленов разложением в целную дробь, проводимое так же, как и для рациональных чисел. Мы переписывали дробь $\frac{P(x)}{Q(x)}$ следующим образом:

$$\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P(x)}{K_0(x) P(x) + P_1(x)} = \frac{1}{K_0(x) + \frac{P_1(x)}{P(x)}}$$,

15

$$\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{1}{K_0(x) + \frac{P_1(x)}{K_1(x) P_1(x) + P_2(x)}} = \frac{1}{K_0(x) + \frac{1}{K_1(x) + \frac{P_2(x)}{P_1(x)}}}$$

и так далее. В конце концов $\frac{P_m(x)}{P_{m-1}(x)} = \frac{1}{K_m(x)}$, осталось лишь свернуть целину дробь из многочленов. В рассматриваемом примере это делается так: $\frac{1}{x + \frac{1}{-x+1}} = \frac{x-1}{x^2-x-1}$.

Упростить выражения:

1. $\frac{x^4 - 3x^2 + 1}{(3x^2 + 3x - 3)^2}$.
2. $\frac{x^3 + a^3}{x^4 + a^2x^2 + a^4}$.
3. $\frac{a(x^2 + 2) - 2ax - (x-1)^2 - 1}{x^4 + 4}$.
4. $\frac{x^2 + 6}{2(x^4 + 4x^2 - 12) + \frac{1}{7}(x^4 + 11x^2 + 30)}$.

ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ

В отмеченых ниже местах должны стоять следующие:

«Квант» № 6

Стр. 6, правая колонка. В рисунке к задание 3 нижняя черточка лишня; весь рисунок перевернут.

Стр. 21, правая колонка, 1 строка сверху: …=(1+x^t)[(1+x)^p-(1+x^p)]×…;
7 строка сверху: x^{kp+s}…
2 строка сизу: …C_{119}^3 ≡ C_{23}^6 C_{4}^3…;

Стр. 22, левая колонка, 2 строка сверху: …C_{23}^6 ≡ C_4^1 C_3^1…;

Стр. 30, правая колонка. В решении задании 3 ограничение $b \geq 0$ лишнее, случай $b < 0$ надо рассматривать отдельно.

Стр. 31, левая колонка, 6 строка сизу:
$$x = \frac{a(2+tg\alpha)}{tg\alpha};$$
3 строка сизу:
$$V = \frac{a^3(2+tg\alpha)^3}{6tg^2\alpha};$$

Стр. 4, в задание 15 системы имеет вид:
$$\begin{cases} x+3y=3, \\ ax+4y=6. \end{cases}$$

в задание 35 системы имеет вид:
$$\begin{cases} 3|x|-5y=-3, \\ 2x+|y|=11. \end{cases}$$

Стр. 35, в задание 3 (варнант 2) уравнение таково:
$$\log_3(\log_2x-1)^2=\sqrt{5}^{-\log_54}.$$

Стр. 52, правая колонка, 3 строка сизу: … $p^2+13=17$…

Стр. 59, правая колонка. В задание 4, 6) ответ: 5(11) 540; при делении допущена ошибка.

Стр. 60, правая колонка,
8. $\frac{5}{6} < x < 2.$ 23. $S_\sigma = \frac{1}{2}\pi b^2$.
24. $V = -\frac{2}{3}l^2$.
Стр. 61, левая колонка, 37. $0 < t \leq 0,1$.
Стр. 63, правая колонка, 11 строка сизу:
$$\begin{cases} 500-80=420=100a+b, \\ 2500-496=2004=100b+a. \end{cases}$$
3 стр. обложки, кроссворд развернут на $90^\circ$.

«Квант» № 7

Стр. 43. На пересечении 5 строки сизу и 8 столбца должны стоять 256;
12 » » » » 46656;
14 » » » » 823 543.
Стр. 49, правая колонка, 14 строка сверху:
$$\frac{4}{9}$$.
Стр. 52, правая колонка, 15 строка сверху:
$$\sqrt{4r^2-h^2} = \frac{r}{\sin \frac{\pi}{n}}$$
левая колонка, 14 строка сизу: … $A_nA_1 = 2r$.
Стр. 59, задание 1234: … с помощью четырех взвешивания…

16

ПРИНЦИП ФЕРМА
И ЗАКОНЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ

Г. Я. Мякишев

ЗАКОНЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ

Распространение световых волн представляет собой довольно сложный процесс. Однако если свойства среды, в которой распространяется свет, мало меняются на расстояниях, равных примерно длине световой волны, то оказываются справедливыми сравнительно простые законы геометрической оптики. Всего их четые.

1. В однородной среде свет распространяется прямолинейно.

2. Закон отражения. Луч падающий, луч отраженный и перпендикуляр к отражающей поверхности лежат в одной плоскости, причем угол отражения β равен углу падания α (рис. 1).

3. Закон преломления. Луч падающий, луч преломленный и перпендикуляр к поверхности раздела лежат в одной плоскости, причем отношение синуса угла падания i к синусу угла преломления r (рис. 2) — постоянная величины, не зависит от угла падания:

$$\frac{\sin i}{\sin r} = n.$$

Величина n называется показателем преломления второй среды по отношению к первой.

4. Независимость световых лучков. Пересекаясь в пространстве, световые лучки не оказывают никакого воздействия друг на друга. Так, когда

17

Рис. 3.

вычитайте книгу, световой поток, идущий из окна и пронизывающий пространство между книгой и глазами, ни в коей мере не мешает вам видеть буквы.

ПРИНЦИП ФЕРМА

В середине XVII века ильянский ученый Ферма выдвинул принцип, из которого вытекали все законы геометрической оптики. Заключается он в следующем: свет, идущий из одной точки в другую, всегда распространяется по пути, требующему минимального времени*).

Давайте получим законы геометрической оптики так, как это сделал Ферма около 300 лет назад.

1. Закон прямолиненого распространения света. Расстояние вдоль прямой — кратчайшее расстояние между двумя точкими. Скорость света в однородной среде во всех точках одна и та же. Следовательно, меньше всего времени свету нужно именно при прямолиненом распространении.

2. Закон отражения. Как из точки А попасть в точку B за кратчайшее время (рис. 3)? Конечно вдоль прямой AB. Свет так и идет в однородной среде. Но если он предвашется строгого принцип Ферма формулируется так: свет распространяется тем путем, который требует либо минимального, либо максимального времени. Однако в большихстве случае светаправедлива более простая формулировка.

Рис. 4.

рительно должен отражаться от зеркала и лишь потом попасть в точку B, то сразу не ясно, какому пути соответствуют минимальное время. На рисунем несколько возможных путей $AC_1B$, $AC_2B$ и $AC_3B$. Благодаря тому, что свет как до, так и после отражения распространяется в однородной среде, то минимальным время соответствуют пути минимальной длины.

Какой же путь наименьший? Не сложный прием помогает его отыскать. Построим точку $A_1$ — изображение точки A. Она лежит на продолжении перпендикулара $AC_0$, опущенного на зеркало из точки A, на расстоянии $A_1C_0 = AC_0$ от зеркала. Соединив точки C$_1$, C$_2$ и C$_3$ с точки A$_1$, легко убедиться в том, что $AC_1 = A_1C_1$, $AC_2 = A_1C_2$ и $AC_3 = A_1C_3$. Поэтому, подсчитывая путь из точки A в точку B, мы можем заменить отрезок $AC_1$ отрезком $A_1C_1$, отрезок $AC_2$ — отрезком $A_1C_2$ и отрезок $AC_3$ — отрезком $A_1C_3$. Ясно, что кратчайший путь тот, при котором луч падает на зеркало в точке C$_2$, лежащей на прямой $A_1B$: прямая $A_1B$ короче любой ломаной, прохождение через точки A и B.

Теперь остается показать, что при отражении луча от зеркала в точке C$_2$ выполняется закон отражения, то есть что угол падения α равен углу отражения β (рис. 4). Так как треугольники $AC_2C_0$ и $A_1C_2C_0$ равны,

18

Рис. 5.

то $\angle AC_2C_0 = \angle A_1C_2C_0$. С другой стороны, $\angle C_0C_2A_1 = \angle BC_2N$. Следовательно, $\angle AC_2C_0 = \angle BC_2N$, а значит, и $\alpha = \beta$.

Нетрудно сообщать, что если бы лучи $AC_2, BC_2$ и перpendикуляр $DC_2$ не лежали в одной плоскости, то путь от точки $A$ до зеркала и затем от зеркала до точки $B$ был бы длинее.

Таким образом, закон отражения полностью следует из принципа Ферма.

Интересно, что впервые закон отражения был получен Героном Александрийским, жившим в I веке. Герон считал, что свет распространяется по кратчайшей пути. Для одногоной среды это совпадает с принципом наименьшего времени Ферма. Но объяснить таким образом закон преломления оказалось уже невозможным.

3. Закон преломления. Свет из точки $A$ падает на плоскую границу раздела двух сред (рис. 5) и преломляется, попадая затем в точку $B$. Если скорости света в первой (верхней) и второй (низней) средах различны (для определенности будем считать, что $v_1 > v_2$), то ясно, что путь по прямой $AB$ требует совсем не минимального времени. Время будет меньше, если свет проходит несколько больший путь в первой среде,

Рис. 6.

где он распространяется с большей скоростью, но заго — несколько меньше путь во второй среде.

Предположим, что свет затрачивает наименьшее время, если его путь проходит через точку $C$. Тогда любой другой путь левее и правее точки $C$ займет большое время. Произвольную траекторию луча $AFB$ можно задать с помощью переменной $x$ — расстояния между точкой $C$ и точкой $F$ на поверхности раздела сред. Кривая зависимости времени распространения света от $x$ должна иметь минимум в точке $C$, то есть при $x=0$ (рис. 6). Вблизи минимума время очень мало меняется с изменением $x$. Приближению при очень малых $x$ это время вообще можно считать постоянным: на очень маленьком отрезке высизи $x=0$ кривую можно заметить маленьким отрезком прямой, параллельной оси $x$.

Сравним времена распространения света на пути $ACB$ и $AFB$, считая, что $x=FC$ очень мало. На пути $ACB$ свет в первой среде проходит дополнительный путь $MC$ (FM — перpendикуляр к $AC$; так как $FC$ очень мало, то $AF=AM$). Во второй среде дополнительный путь проходит уже луч, распространяющийся по пути $AFB$ ($CN \perp FB$). Так как время распространения света от точки $A$ к точке $B$ не должно меняться при

20

Леменом от морской поверхности. В этом случае лучи света испривляются, поднимаясь в верхние более теплые слоны атмосферы.

Другое интересное следствие принципиа Ферма — принципи обратности траектории распространения света. Если свет прошел из точки A в точку B по траектории, обеспечивающий минимальное время прохождения, то, очевидно, и на пути из точки B в точку A (то есть, если источник будет находиться в точке B), то движение по той же траектории потребует минимального времени.

Еще один пример. Всем известны фокусирующие свойства линзы. Свет из точки A (рис. 8) идет всевозможными путями, преломляется в стекле и собирается в точке E. Противоречие? Ведь свет всегда идет по пути, требующему минимального времени! Почему же независимо от направления, в котором вышел луч, он приходит в одну и ту же точку E?

На самом деле никакого противоречия нет. Путь ADE короче пути ACE, однako расстояние,ройденное в оптически более плотной среде — стекле, в первом случае больше. Таким образом, время прохождения в общих случаях одинаково и оба луча одновременно придуgt в точку E. Пути ADE и ACE для света равененны!

Если бы это было не так, мы не смогли бы построить фокусирующей системы.

Именно благодаря тому, что для лучей света, вышеших из точки A в различных направлениях и прошедших затем через линзу, одному и тому же минимального времени распространения соответствуют траектории, induce в точку E, линза и фокусирует падающий на нее свет.

Приципп Ферма позволяет не только объяснить работу сколь угодно сложной оптической системы, но и расчитать ее. Впрочем, расчитать оптическую систему мы могли бы, и пользоваться законами отражения и преломления, известными задолго до работы Ферма. Что же нового дает приципп Ферма? Во-первых, этот закон обладает большей общностью, а чем больше общностью обладает закон, тем больше его значение. Поэтому открытие прициппа Ферма — это большой шаг в развитию геометрической оптики. Во-вторых, из прициппа Ферма можно вывести несколько новых важных следствий. Однако из самых важных — то, что показатель преломления равен относительной скорости распространения света в первой и второй средах.

Преломление на фокусической поверхности

Рассмотрим в качестве примера расчет оптической системы вывод известной вам формулы линзы. Для этого достаточно расстоять преломление света на фокусской поверхности. Все лучи, вышешие из точного источника S, после преломления на фокусской поверхности не будут собираться в одной точке S₁. Это связано с тем, что только поверхности очень сложной формы может обеспечить совершенное одинаковое время распространения света от S к S₁ по всевозможным траекторям. Такую поверхность следует очень трудно, и ее даже не пытается изготовить. Следать же фокусскую поверхность неравенно проще. Хотя фокусная поверхность и не фокусирует всех лучей, но узкий лучок лучей, induceх влизации перpendикуляра к поверхности (его называют парасильным лучом) собирается практически в одной точке.

Пуст точный источник света S расположен на расстоянии a от фокусской поверхности радиуса R (рис. 9). Показатель преломления воздуха считать равным единице, а показатель преломления стеклянной сферы, равным n, то есть скорость распространения света в воздухе в n раз больше.

21

Рис. 9.

скорости распространения света в стекле. Найдем на каком расстоянии $b$ от поверхности сферы будет coincрать узкий лучок лучей, ищих от источника $S$. Согласно принципу Ферма это расстояние определяется условием, что время распространения света по прямолинейному пути $SDS_1$ равно (приложению) времени распространения света по произвольно выбранному пути $SAS_1$, если только точка $A$ близка к прямой $SDS_1$, перпендикулярной к поверхности сферы.

Из точки $A$ опустим на прямую $SS_1$ перпендикуляр $AB$. Его длину обозначим $h$. Так как мы рассматриваем параксильный лучок лучей, то $h \ll a$, $h \ll b$ и $h \ll R$. Расстояние $DB$ обозначим $x$. На луче $SA$ отложим отрезок $SD_1 = a + x$, а на луче $AS_1$ отрезок $S_1B_1 = b - x$. Тогда, ия по траектории $SAS_1$, свет проидет лишьний путь $\Delta_1 = D_1A$ в воздухе и $\Delta_2 = AB_1$ в стекле по сравнению с траекторийем вдоль прямой $SS_1$. Но заго на прямолинейной траектории свет проидет в стекле путь на $x - \Delta_2$ больший, чем в том случае, когда он идет по траектории $SAS_1$. Запаздывание света в стекле на пути $x - \Delta_2$ должно быть таким же, как запаздывание в воздухе на пути $\Delta_1$ плюс запаздывание в стекле на пути $\Delta_2$. (При $x \leq \Delta_2$ такая компенсация оченьнозможна.)

Найдем теперь пути $\Delta_1$, $\Delta_2$ и $x$.

Квадрат катаета $h$ прямогольного треугольника $SAB$, согласно теореме Пифагора, равен

$$h^2 = (a + x + \Delta_1)^2 - (a + x)^2,$$

или

$$h^2 = (a + x + \Delta_1 + a + x)(a + x + \Delta_1 - a - x),$$

но $a + x + \Delta_1 - a - x = \Delta_1$, а $a + x + \Delta_1 + a + x = 2a + \Delta_1 + 2x \approx 2a$ (так как $\Delta_1 \ll a$ и $x \ll a$). Поэтому

$$h^2 = 2a\Delta_1$$

и

$$\Delta_1 \approx \frac{h^2}{2a}.$$

Аналогично из прямогольного треугольника $ABS_1$ найдем, что

$$\Delta_2 \approx \frac{h^2}{2b}.$$

Наконец, из прямогольного треугольника $ABC$ можно получить уравнение для определения $x$:

$$h^2 = R^2 - (R - x)^2.$$

Отсюда

$$x \approx \frac{h^2}{2R}.$$

Если скорость света в воздухе равна $v_1$, а скорость света в стекле равна $v_2$, то путь $\Delta_1$ свет проидет за время $\tau_1 = \frac{\Delta_1}{v_1} = \frac{h^2}{2av_1}$, а путь в стекле $\Delta_2$ свет проидет за время $\tau_2 = \frac{\Delta_2}{v_2} = \frac{h^2}{2bv_2}$.

На отрезке $x$ запаздывание света, вызванное тем, что он идет в стекле, а не в воздухе, равно расположении времени прохождения светом отрезка $x$ в стекле и в воздухе:

$$\tau = \frac{x}{v_2} - \frac{x}{v_1} = \frac{x}{v_1}\left(\frac{v_1}{v_2} - 1\right) = \frac{x}{v_1}(n - 1) = \frac{h^2(n - 1)}{2Rv_1}.$$

Для фокусировки лучей времени прохождения света от точки $S$ до точки $S_1$ по всем траекториям должны быть одинаково. Следовательно,

$$\tau_1 + \tau_2 = \tau.$$

Подставляя сюда выражения для $\tau_1$, $\tau_2$ и $\tau$ и сокращая затем на общий множитель $\frac{h^2}{2}$, получим уравнение

$$\frac{1}{a} + \frac{n}{b} = \frac{(n - 1)}{R}.$$

Это уравнение позволяет по известному показателю предположения $n$ и радиусу сферического поверхности $R$ найти положение изображения (расстояние $b$) при заданной расстоянии от источника до сферического поверхности. То, что расстояние $b$ не зависит от $h$, показывает, что все лучи в узком лучке, отличующей друг от друга величины $h$, coincивают в одной точке.

В частином случае, когда $a \to \infty$ (пучок состоит из параллельных лучей), положение точки, в которой скодятся лучи (фокус), определяется по формуле

$$f = \frac{Rn}{n - 1}.$$

22

Рис. 10.

Постотрим теперь, что будет при $a < \frac{R}{n-1}$. Из формулы (1) следует, что при этом $b < 0$. Это означает, что точка $S_1$ должна быть не справа от сферического поверхности, а слева от нее. Но лучи, падающие на сферискую поверхность, очень/no, не могут пересекаться перед этой поверхности. Пересекается перед поверхностью могут лишь их продолжения (рис. 10). В таких случаях говорят, что изображение точки минимум. Мнимому изображению источника и соответствуют ориентацией знак расстояния $b$.

Фокусное расстояние линии и формула линзы.

Используя формулу (1), полученную с помощью принципа Ферма, можно расчитать линзы, то есть найти ее формуле, связывающего расстояние $a$ от предмета до линзы, расстояние $b$ от линзы до изображения и формуле расстояние линзы (инными словами, получить формулу линзы). Можно, конечно, то же самое сделать и непредседатель, применяя сам принципи Ферма ко всем линze, однako этот путь более сложен.

Линза представляется собой произное тело, ограниченное сферическими поверхностями. На рисунке 11 изображена двояковыпуклая линза с радиусами кривизны ее поверхности, равными $R_1$ и $R_2$. Линня, соединяющая центры $O_1$ и $O_2$ сферических поверхностей, называется главной оптической осью линзы.

Рис. 11.

Будем считать линзу тонкой, то есть считать что расстояния $a$ и $b$, а также радиусы кривизны $R_1$ и $R_2$ много больше толщины линзы. Тогда в расчетах толщиной линзы вообще можно пренебречь.

После преломления светового луча,ышедшего из точки $S$, он появляется $A S_1$. Если бы не было второй поверхности, то изображение точки $S$ оказалось бы в точке $S_1$ на расстоянии $b_1$ от линзы, определяемом уравнением

$$\frac{1}{a} + \frac{n}{b_1} = \frac{n-1}{R_1},$$

где $n$ — показатель преломления материала линзы.

Но в действительности свет преломляется еще раз на второй сферической поверхности и изображение, даваемое линзой, оказывается в точке $S_2$ на оптической оси на расстоянии $b_2$ от линзы. Используем обратимость световых лучей. Если помещить источник в точку $S_2$, то после преломления на сферической поверхности радиуса $R_2$ лучи появят так, что их продолжения пересекаются в точке $S_1$, давая минимум изображение источника. Используя формулу (1) и учитывая, что $b_1 < 0$, мы можем записать уравнение

$$\frac{1}{b} - \frac{1}{b_1} = \frac{n-1}{R_2}.$$

23

Складывая теперь уравнение (2) и (3), получим

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right).$$

Эта формула, так же как и формула (1), разумеется, справедлива только для узкого пучка лучей, распространяющихся под малым углом к оптической оси.

При $a \to \infty$ расстояние $b$ равно фокусному расстоянию линзы

$$b = f = \frac{1}{(n - 1) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)}.$$

Если, наоборот, $b \to \infty$, то, как следует из принципи образимости, $a = f$, и поэтому

$$a = f = \frac{1}{(n - 1) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)}.$$

Таким образом, фокусное расстояние линзы определяется уравнением

$$\frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right).$$

Это означает, что формулу линзы (4) можно переписать так:

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}.$$

Если одна или две выпukлы поверхности линзы заменяются вогнутыми, то в формуле (5) нужно изменить знак радиуса кривизны соответствующей поверхности. Таким образом, формула (5) позволяет найти фокусное расстояние не только собственной, но и рассеивающей линзы.

Более подробно с принципиом Ферма и его применениями можно познакомиться в книге «Феймановские лекции по физике», т. 3.

Задачи

1. Докажите, что если $n_{12}$ показатель преломления для перехода из среды 1 в среду 2, а $n_{13}$ — показатель преломления для перехода из среды 1 в среду 3, то показатель преломления из среды 2 в среду 3 равен

$$n_{23} = \frac{n_{13}}{n_{12}}.$$

2. Когда мы смотрим на заходящее Солнце, то оно на самом деле находится уже ниже горизонтта. Объясните это явление, воспользовавшись принципиом Ферма.

3. Каким должно быть зеркало, чтобы свет из точки $A$ всегда приходил в точку $B$ независимо от того, в каком направлении он вышел из точки $A$?

4. Воспользовавшись принципиом Ферма, выведите формулу сферического зеркала.

Из работы П. Ферма

Ученейший Декарт предложил закон преломления, который, как считают, согласуется с опитом, но чтобы доказать его, он выдвинул постулат, по которой вообще необходимо было принять, что движение света в плотной среде происходит более легко и беспрерыв性强но, чем в редкой, что, как кажется, противоречит естественным фактом.

Итак, поскольку мы пытаемся вывести истинный закон преломления из противоположной аксиомы, а именно, что движение света происходит более легко и беспрерыв性强но в редкой, чем в плотной среде, мы преждевременно встретаем с соответствием Декарта. Можно ли вообще без ложных умозаключений притировать преломлением путем к истине — это пусть расстояния и исследуют более тонкие и строящие математики. Мы же, оставив в стороне пустые умствования, полагаем, что лучше твердого владеть самой истиной, чем давать в излишне и бесполезные споры.

Наше доказательство основано на одном постулате: природа действует на более тонкие и доступные путими. Мы полагаем, что именно так нужно выражать эту мысль, а не так, как это приятно обойти горизонтать, что природа всегда действует по кратчайшим линям.

Подобно тому, как Галией, когда расматривал движение тяжелых тел в природа, изменял отношение этого движения не столько расстоянием, сколько времени, мы также расматриаем не кратчайшие расстояния или линии, а те, которые могут быть проедены легче, удобнее и за более короткое время…

24

Максимум, минимум и теорема о средних

А. П. Савин

В математике принято называть теоремими такие утверждения, которые могут быть многократно использованы при вывода других утверждения, в частности при решении задач. Мне хотелся расссказать о применении следующей следующего теоремы:

Среднее арифметическое нескольких положительных чисел не меньше, чем их среднее геометрическое, и равенство этих средних выполняется лишь моеда, когда все заданные числа равны:

$$\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \dots a_n}$$

или

$$\left(\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n}\right)^n \geq a_1 a_2 \dots a_n.$$

Есть много разных доказательств этого утверждения, одно из них вы можете прочитать в статье С. Т. Берколайко и С. Б. Каток*). Где же эта теорема применяется?

Конечно, зная ее, вы можете использовать в качестве среднего среднее арифметическое, если вам хочет, чтобы среднее было подобше, и среднее геометрическое, если хотите, чтобы оно было поменше. Например, вычисляя среднюю успеваемость в классе. Это, конечно, шутка. А если серверно?

Оказывается, с помощью этой теоремы можно находить наиболее или наиболее значения многохалгебраических выражений. Начем с простейших.

*) С. Т. Берколайко, С. Б. Каток, Об одном индуктивном методе доказательства неравенств, «Квант», № 8, стр. 33.

При мер 1. Какое наиболее значение может иметь многочлен $2x - x^2$?

Решение. Преобразуем многочлен так: $2x - x^2 = x (2 - x)$ и обозначим $2 - x$ через $y$.

По теореме

$$2x - x^2 = xy \leq \left(\frac{x + y}{2}\right)^2 = \left(\frac{x + 2 - x}{2}\right)^2 = 1.$$

Отсюда следует, что наиболее значение многочлена равно 1, и оно достигается, если $x = 2 - x$, то есть при $x = 1$ (нетрудно проверить, что $x$ и $2 - x$ не могут быть оба отрицательными; поскольку мы ищем наиболее значение, достаточно рассматривать их лишь тогда, когда они оба положительные).

При мер 2. Какое наиболее значение может иметь выражение $x + \frac{1}{x}$ для положительных значений $x$?

Решение. Обозначим $\frac{1}{x}$ через $y$. По теореме

$$x + \frac{1}{x} = 2 \left(\frac{x + y}{2}\right) \geq 2 \sqrt{xy} = 2 \sqrt{\frac{x}{x}} = 2.$$

Итак, наиболее значение равно 2, оно достигается при $x = \frac{1}{x} = 1^*$.

*) В школе проходят метод выделения полного квадрата, который решают оба эти примера:

1. $2x - x^2 = 1 - (1 - x)^2 \leq 1$;
2. $x + \frac{1}{x} = \left(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2 + 2 \geq 2$.

Но уже пример 3 выделением полного квадрата не решается.

26

личин. Таким образом, имеется целочка неравенств

$$\frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \ldots a_n} \geq \frac{n}{a_1 + \frac{1}{a_2} + \ldots + \frac{1}{a_n}}.$$

Попробуйте последнее неравенство доказать самостояльно.

В заключение отметим, что в высшей математике есть метод нахождения максимумов и минимумов функций дифференцированием. Однако рассмотренные неравенства оказались более удобными для подсчета на электронных вычислительных машинах наобольших и наименьших значений некоторых типов выражений. Эти методы получили название геометрического программирования.

Задание

1. Из круговых секторов данного перimetра $P$ найти сектор наобольшей площади.

2. В данной окружности найти наименьшую хорду, проходящую через точку $A$ внутри окружности.

3. Найдите минимум выражения

$$2x^3 + \frac{3}{\sqrt{x}}.$$

4. Докажите, что если сумма положительных переменных $x_1, x_2, \ldots, x_n$, построена, то произведение $x_1^{k_1} x_2^{k_2} x_3^{k_3} \ldots x_n^{k_n}$, где $k_1, k_2, \ldots, k_n$ — данные целые положительные числа, имеет наобольшее значение, когда переменные пропорциональны своим показателем: $\frac{x_1}{k_1} = \frac{x_2}{k_2} = \frac{x_3}{k_3} = \ldots = \frac{x_n}{k_n}$.

Докажите, что то же самое верно и для разциональных положительных чисел $k_1, k_2, \ldots, k_n$.

КАК НАЙТИ ОШИБКУ

Вы перемножили два длинных многочлена. Как проверить, не ошиблись ли вы в вычислениях?

Приведем два способа, позволяющих найти некоторые возможности ошибки (но, разумеется, не дающие полной гарантии правильности проверенных вычислений).

С пособ 1. Возьмем сумму коэффициентов первого многочлена, умножим на сумму коэффициентов второго. Должна получить сумму коэффициентов произведения. Это будет значение многочлена при $x=1$.

Приведенный способ позволяет найти ошибки варифметике (например, если было использовано «равенство» $2 \cdot 3=5$), но не в алгебре. Скажем, если вы на каком-то этапе написали $2x^2 \cdot 3x^3=6x^4$, то этим способом ошибка не выйдет.

С пособ 2. Отличается от первого тем, что коэффициенты при четных степени $x$ берется со знаком плоскости, а при нечетных со знаком минус. В остальном этот способ совпадает с первым. Здесь мы получаем значение многочлена при $x=-1$.

Второй способ сложнее первого, это позволяет выявить и неокоторые алгебраические ошибки. При проверке «равенства» $2x^2 \cdot 3x^3=6x^4$ получается $2 \cdot (-3)=6$. Это равенство абсурдно, значит, в вычислениях была допущена ошибка.

28

masca единцы длины которого равна $\rho_1$, обруч катится со скоростью $v_1$. С какой скоростью будет катиться обруч по второму участку веревки?

В. Д. Еэгоров

Ф63. Человек, чтобы не поскользнуться на облепеневшей горке, сбегает с нее. Почему это целесообразно?

Ф64. С деревянным шариком и высоким сосудом с водой проводятся четыре опыта: в первом опыте шарик взвешивается плавающим в сосуде (рис. 2, а), во втором опыте шарик взвешивается, будучи привазанным ко дну сосуда (рис. 2, б), в третьем опыте шарик удерживается под водой с помощью тонкого стержня (рис. 2, с), и, наконец, в четвертом опыте шарик всплывает во время взвешивания (рис. 2, д). В каком случае масса гири, уравновешивающей сосуд с шариком, будет больше?

Ф65. Пластины плоского конденсатора заряжены до потенциальов +φ и —φ относительно земли. Емкость конденсатора, образованного пластинами, равна $C$, а емкость конденсаторов, которые образуют каждой из пластина с землей — $C_1$. Во сколько раз изменится напряжение электронского поля между пластинами, если одну из них заземлить?

Л. Г. Асламазов

29

М11. На 44 деревьях, расположенных по окружности, сидели 44 веселых чижка (на каждом дереве по чижку). Время от времени два чижа одновременного перелетот на соседние деревья в противоположных направлениях (один — по часовой стрелке, другой — против). Докажите, что чижиник не соберутся на одном дереве. А если чижей и деревьев $n$?

Решение. Решаем задачу сразу для $n$ чижей и $n$ деревьев. Занутерум деревья по порядку (скажем, по часовой стрелке) чисlamи от 1 до $n$ (рис. 1). Обозначим количество чижей на $k$-м дереве в каждой нибудь момент времени через $a_k$ (на первом дереве — $a_1$, на втором — $a_2$ и т. д.). Расмотрим выражение

$$S = 1 \cdot a_1 + 2 \cdot a_2 + \dots + ka_k + \dots + na_n.$$

Покажем, что когда два чижка перелетот на соседние деревья в противоположных направлениях, то $S$ либо не меняется, либо меняется на $n$.

Действительно, пусть какой-то один чиж перелетает с $k$-го дерева на следующей по часовой стрелке. Тогда в сумме $S$ меняются два слагаемых. Если $k < n$, то меняются $k$-е и $(k+1)$-е слагаемые, и их сумма становится равной

$$k (a_k - 1) + (k+1) (a_{k+1} + 1) = ka_k + (k+1) a_{k+1} + 1,$$

то есть увеличивается на 1. Если $k=n$, то меняются $n$-е и первое слагаемые, а их сумма

$$n (a_n - 1) + 1 (a_1 + 1) = na_n + 1 \cdot a_1 - (n-1)$$

уменьшается на $n-1$. Наоборот, если чиж перелетет на соседнее дерево против часовой стрелки, то сумма илиуменьшается на 1, или увеличивается на $n-1$. Поэтому, когда два чижка одновременного перелетот на соседние деревья (один по часовой стрелке, другой — против), то сумма $S$ или не меняется вовсе, или меняется на $n$.

В начальной момент времени на каждом дереве сидело по одному чижку,

$$S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + \dots + n \cdot 1 = 1 + 2 + \dots + n = \frac{n (n+1)}{2}.$$

30

Таким образом, после любого числа перелетов сумма будет равна $\frac{n(n+1)}{2} + np$, где $p$ — некоторое целое число. Если бы все чижки собрались на каком-то одном $q$-м дереве, то $S$ было бы равно $nq$, то есть выполнялось бы равенство $\frac{n(n+1)}{2} + np = nq$, откуда $n+1+2p = 2q$; $n = 2(q-p)-1$.

Таким образом, если $n$ четно, например, $n = 44$, то чижки не смогут собраться на одном дереве. Покажем, что при нечетных $n$ это может служиться*).

Рассмотрим исходную ситуацию, когда на каждом дереве сделало по одному чижку. «Прикажем» одному чижку сделать на месте и назовем его «неповіджным». Разобъем оставшихся чижей на пары сидяших на одинаковом расстоянии в $r$ перелетов от неподвижного в ту и другую сторону ($r=1, 2, \ldots, \frac{n-1}{2}$). Ясно, что каждая такая пара может за $r$ перелетов попасть на то дерево, где сидит неподвижный чиж.

Аналогичное решение присладали Д. Григорьев из г. Ленинграда, В. Лузгин из г. Георгиевска Ставропольского края и другие читатели.

Приведенное решение типично для задач, в которых требуется выяснить, можно ли в результате ряда кажих-то преобразованный получить определенный результат. В данном случае преобразование — это перелет двух чижей в противоположных направлениях, и мы хотим выяснить, могут ли в результате все чижки собраться на одном дереве. Чтобы доказать, что можно, достаточно привести пример, как это сделать. Доказать, что ни при каких преобразованиях нельзя получить требуемый результат, часто бывают удобно так: найти какую-то величины, которая сохраняет при всех рассматриваемых преобразованиях и для которой начальное значение отличается от требуемого в конечном состоянии (такая величина называется инвариантом данных преобразования). В нашей задаче такой величины является остаток отделения суммы $S$ на $n$.

Тем, кто решил эту задачу, будет интересно разобраться в следующем более общем вопросе. Пусть данные два разных расположения $a$ чижей на $n$ деревях. Изовем их эквивалентными, если из одного можно получить другой (при перелетах чижей, как указано в условиям задачи). Как узнать, будет ли эти расположения эквивалентны? Еще один вопрос. Ясно, что множество всех возможных расположений $a$ чижей на $n$ деревях распадается на несколько классов эквивалентности. Сколько будет таких классов?

M12. Какие четырехугольники можно разрезать прямой линий на два подобных между собой четырехугольника?

Решение. Докажем, что этим свойством обладают только трапеции и параллелограммы.

Предположим, что четырехугольник $ABCD$ разрезан прямой линия на два подобных четырехугольника. Ясно, что эта пересекает две противоположные.

*) Необходимость этого этапа доказательства, как видно из письма, ясна далеко не всем нашим читателем. Остановимся на этом попробнее. Что мы пока доказали? Только то, что если чижам удалось собраться на одном дереве, то чижей было непреемно нечетное число (это необходимое условие). Теперь надо доказать, что это условие и достаточно, то есть, что если чижей нечетное число, то они смогут собраться на одном дереве (из того, что мы пока доказали, достаточно условие).

31

ложные стороны четырехугольника. Пусть она пересекает сторону AD в точке K и сторону BC в точке L (рис. 2). В дальнейшем мы несколько раз использовем такое очевидное сообщение: если про два четырехугольника EFGH и PQRS известно, что они подобны и что вершина E соответствует вершина P, то <E = <P, <G = <R и, кроме того, либо <F = <Q и <H = <S, либо <F = <S и <Q = <H.

Итак, предположим, то четырехугольники ABLK и CDKL подобны (нам попадиться только то, что их углы соответственно равны), и доказем, что у четырехугольника ABCD какие-то две стороны параллельны. Углу α четырехугольника ABLK (<α = <AKL) может соответствовать один из углов четырехугольника KLCD.

1. <α соответствует <D. Тогда <α = <D, <γ = <B, AB || KL || CD.
2. <α соответствует <C. Тогда <α = <C, <δ = <B; <B + <C = <α + <δ = 180°, AB || CD; при этом <A = <γ, <D = <β (случай <β = = <γ, <A = <D отдельно рассматривать не нужно, поскольку при этом <β + <γ = 180° и <A = <D = <β = <γ = 90°).
3. <α соответствует <γ. Тогда <B = <D, AD || BC и AB || DC, то есть ABCD — параллелограмм.
4. <α соответствует <δ. Тогда <α = <δ = 90°, <B = <C и либо <β = <γ = 90°, AD || BC (равноочная трапеция или прямогольник), либо <β = <D, <γ = <A, <A + <D = 180°, AB || CD, и с точностью до обозначений этот случай свойства к случанию 2).

Мы доказали, что ABCD — параллелограмм или трапеция. Легко заметить, что, обратно, любой параллелограмм или любую трапецию можно разбить на два подобных четырехугольника. Параллелограмм любой прямой, проходящей через центр, разбивает на два равных четырехугольника (разумеется, если только прямая не идет по диагонали). Traпецию с основаниемми a < b разбивает на две подобных прямая, параллельная основаниям и делящая высоту в отношении $\sqrt{b}/\sqrt{a}$; нужно, конечно, проверить, что соответственные стороны при этом пропорциональны (рис. 3): AK/KD = BL/LC = AB/KL=

32

КЛ/DC = $\sqrt{b}/\sqrt{a}$. Попробуйте выяснить, когда можно разбить трапецю на два подобных четырехугольника более хитрым способом, соответствующим следующим случаю 2), — так, как показано на рисунке 4 (ответ: тогда и только тогда, когда $\sqrt{a}/\sqrt{b} < \sin \alpha/\sin \beta$, где $\alpha < \beta$ – углы при большем основании трапеции $b$).

**M13. Докажите, что если разность между набольшим и наименшим из $n$ вещественных чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$ равна $d$, а сумма моделей всех $\frac{n(n-1)}{2}$ попарных разностей этих чисел

$$\sum_{i<j} |a_i - a_j| \text{ равна } s, \text{ то } (n-1) d \leqslant s \leqslant \frac{n^2}{4} d.$$

Решение ие: Нанесем точки $a_1, a_2, \ldots, a_n$ на числовую ось. Тогда $d$ — расстояние между крайними из этих точек, самой левой и самой правой, а $s = \sum_{i<j} |a_i - a_j|$ — сумма всех попарных расстояний между этих чисел.

Можно, очевидно, считать, что точки обозначены через $a_1, a_2, \ldots, a_n$ в порядке возрастания: $a_1 \leqslant a_2 \leqslant \ldots \leqslant a_n$ (рис. 5). Обозначим расстояние между соседними точками $a_k$ и $a_{k+1}$ через $d_k(k=1, 2, \ldots, n-1)$. Очевидно, $d = d_1 + d_2 + \ldots + d_{n-1}$.

Выразим теперь $s$ через величины $d_k$. Для этого заменим в сумме $s$ длину каждого отрезка $[a_i - a_j]$ суммой тех $d_k$, из которых он состоит: $|a_i - a_j| = d_i + d_{i+1} + \ldots + d_{j-1}$. Ясно, что $d_k$ входит в те отрезки, у которых левый конец лежит в одной из точек $a_1, \ldots, a_k$, а правый — в одной из точек $a_{k+1}, \ldots, a_n$, то есть в общей сложности $d_k$ входит в сумму $k(n-k)$ раз. Поэтому

$$s = \sum_{k=1}^{n-1} k(n-k)d_k.$$

Теперь доказываемые утверждения следует из двух совсем простых неравенств: для всех $k=1, \ldots, n-1$

1. $k(n-k) \geqslant n-1 \iff kn-k^2-n+1 \geqslant 0 \iff (k-1)(n-k-1) \geqslant 0$;
2. $k(n-k) \leqslant \frac{n^2}{4} \iff n^2-4nk+4k^2 \geqslant 0 \iff (n-2k)^2 \geqslant 0$.

Пользовать эти примеры воспользуемся получаемыми, получаемыми

$$\sum_{k=1}^{n-1} k(n-k)d_k \geqslant \sum_{k=1}^{n-1}(n-1)d_k = (n-1)d,$$

$$\sum_{k=1}^{n-1} k(n-k)d_k \leqslant \sum_{k=1}^{n-1}\frac{n^2}{4}d_k = \frac{n^2}{4}d.$$

Правильные решения этой задачи прислали воспользуемся М. Прегер из г. Томска, десятиклассик И. Протасов из г. Киева, С. Поздняков из г. Вильнюса и другие читатели.

Интересно выяснить еще, является ли указаны в условии задачи оценки точными, нельзя ли, скажем, вместе $n-1$ поставить в левом неравенстве большие числа? Для того чтобы убедиться в противном, достаточно привести пример такого случая, когда неравенство превращается в равенство (причем в обеих его частях стоит положительные числа). Такой пример легко придумать, разобрались в нашем доказательстве: нужно расположить

33

точки $a_1, a_2, \dots, a_n$ так, чтобы все $d_k$, кроме первого — $d_1$, равнялись нулю, то есть $a_1 < a_2 = a_3 = \dots = a_n$. Тогда $s = (n-1)d_1 = (n-1)d$.

Что касается второго неравенства $s \leqslant \frac{n^2}{4}d$, то при четном $n = 2m$ в нем тоже может достигаться равенство (достаточно взять $a_1 = a_2 = \dots = a_m < a_{m+1} = \dots = a_{2m}$), а при нечетном $n = 2m+1$ его можно несколько уточнить: нетрудно сообщить, что при нечетном $n$ наиболее из чисел $k(n-k)$ равно $\frac{n-1}{2} \cdot \frac{n+1}{2} = \frac{n^2-1}{4}$ (доказите это строго!); пользоваться этим вместо неравенства 2), можно так же, как и выше, доказать более сильное неравенство $s < \frac{n^2-1}{4}d$. Равенство в нем достигается, когда $a_1 = \dots = a_m < a_{m+1} = \dots = a_{2m+1}$.

M14. У выпukлого белого многограника некоторые грани покрашены черной красной так, что никакие две черные грани не имеют общего ребра. Доказите, что если выполнен хотя бы одно из следующих условий:
a) черных граней больше половины;
b) площадь черных граней составляет больше половины площади поверхности многограника, то в этом многограник нельзя вписать шар.

Решение. Начнем с задачи 6). Предположим, что в многограник можно вписать шар. Отметим на каждой грани точку касания с шаром и проведем из нее отрезки к вершинам этой грани. Тогда грань разобется на треугольники. К каждому ребру многограника примыкает два таких треугольника, лежащих в смежных гранах. Они равны по трем сторонам (поскольку две касательные, проведенные из одной точки к шару, равны). По условию к каждому ребру примыкает не более одной черной грани. Таким образом, к каждому черному треугольнику примыкает равный ему белый*). Следовательно, сумма площадей черных граней не больше суммы площадей белых граней. Задча 6) решена.

Точно так же решается и задча a), о которой уже шла речь в статье «Невписьаемые многограники» E. M. Андреева (см. «Квант» № 8, задча 9 в конце статьи). В этой статье разобран целый ряд вопросов, которые возникают в связи с нашей задачей: бывают ли многограники, удовлетворяющие подобным условиям, какие еще существует «признаки неописываемости» и т. п. Правда, как можно судить по назначению статьи, в ней речь идет о том, можно ли тот или иной многограник вписать в сферу, а в нашей задаче — можно ли его описать около сферы. Оказывается, однако, что обе теории совершенню аналогичны.

Более точно, каждому выпukлому вписанному многогранику можно поставить в соответствии описанный так, что при этом каждой грани, то соответствующие им плоскости будут пересекаться в одной точке — вершине нового многограника, соответствующей грани исходного вписанного. Если две вершины вписанного многограника соединены ребром, то соответствующие касательные плоскости будут пересекаться по ребру описанного многограника. Тем самым мы построили отображение вписанных многограников в множество описанных; легко видеть, что это отображение на все множество описанных многограников и что у него есть обратное отображение

*) Но, конечно, к белому треугольнику тоже может применять белый — важно лишь, что разным черным треугольником соответствует разные белые.

34

(мы пользовемся терминологически, о котором говорилось в статье А. Н. Колмогорова «Что такое функция» в «Кванте» № 1),— другими словами, что каждому описанному многограничку можно сопоставить вписанный, из которого этот описанный получается указанным выше способом. Достаточно в каждой грани отметить точку касания — вершину будущего вписанного многограничка — и доказать, что все точки касания граней, имеющих общую вершину, лежат в одной плоскости (рис. 6). Оба эти отображения, связывающие множество выпуклых вписанных и описанных многограничков, составляют прекрасный пример ситuation, которое математики обычно называют словом «двойственность» (это слово мелком упоминалось в статье Е. М. Андреева). Подумайте, какие описанные многогранички будут двойственны таким вписанным: куб, правильная n-угольная призма, правильная n-угольная прирамда, правильная усчения прирамда, додекадр.

Мы очень рекомендуем читательм вернуться к статье «Невписьваемые многогранички» и, пользовясь двойственностью, о котором мы сейчас говорили, перевести ее содержание на «неописываемые» многогранички.

M15. Квадратная таблица $n \times n$ заполнен неотрицательными числами так, что сумма чисел в каждой строке и сумма числе в каждом столбце равна 1. Докажите, что из таблицы можно выбрать $n$ положит телень $x$ чисел, никакие два из которых не стоит ни в одном столбце, ни в одной строке.

Решен и е. Заметим сначала, что если мы будем переставлять между собой строки (или столбцы) нашей таблицы, то это не повлияет ни на условие задачи, ни на то, что нам требуется доказать. Предположим, что перестановки строк и столбцов мы собрами в правильный угол размером $m \times k$ один нулли (рис. 7). Докажем, что $m + k$ всегда не больше $n$. Подсчитаем сумму чисел, стоящих в куске, обозначенным на рисунке буквой $C$. Ясно, что сумма чисел, стоящих в куске $B$, равна $m$ (м столбцов, в каждом из которых сумма равна 1). Аналогично сумма чисел в куске $A$ равна $k$ (к строк). Так как общая сумма всех чисел в таблице равна $n$, то на долю куска $C$ остается $n - m - k$. Это число неотрицательное, так как по условию в таблице все числа неотрицательны. Итак, $n - m - k \ge 0$, то есть $m + k \le n$, что мы и утверждали.

Теперь мы можем переформулировать задачу так: в таблице $n \times n$ стоит числа, и известно, что нижкой перестановкой строк и столбцов нельзя вы-

35

Делить в ней угол из нулей размером $m \times k$ такой, что $m + k > n$; доказать, что можно выбрать $n$ отличных от нуля чисел, никакие два из которых не стоит ни в одном столбце, ни в одной строке. (Для нас теперь не важно, что числа положительные и что суммы по строкам и столбцам равны 1. Эти условия мы уже использовали. В дальнейшем мы различаем только «нули» и «не нули».)

Если вы читали статью М. И. Башмакова «Паросочетания и транспортные сети» в № 4 нашего журнала, то вы легко сообщите, что наша новая формулировка задачи есть просто запись на языке «таблиц» теоремы о сватовстве. Действительно, записем в строки таблицы $n \times n$ юношей, а в столбцы — девушек (пусты и тех и других по $n$). На пересечении $s$-й строки и $t$-го столбца поставим «не-нуль» (звездочку), если $s$-й юноша знаком с $t$-й девушкой, и «нуль», если незнаком. Получим таблицу (как говорят математики, «матрицу») знакомств.

Возьем произвольную группу из $k$ юношей. Поставим соответствующие им строки первыми. Если с какой-то девушкой ни один из этих юношей не знаком, то в соответствии столбце в первых $k$ строках стоит нули. Если все столбцы, соответствующие всем таким девушкам, мы переставим последними (пусты их число равно $m$), то мы получим угол из нулей размером $m \times k$ (рис. 8). В каждом из первых $m - n$ столбцов есть хотя бы один «не-нуль» в первых строках, так как соответствующая девушка имеет другей из числа выбранных нами $k$ юношей. Так как $m + k \leq n$, то $m - n \geq k$, то есть таких девушек не меньше $k$. Мы видим, что данные задачи полностью совпадают с данными «теоремы о сватовстве». Выбор $n$ невест для всех юношей — это и есть выбор $n$ «не-нули», стоящих в разных строках и столбцах.

Тепер вы можете прочесть простое (по индекции) доказательство «теоремы о сватовстве», которое и дает полное решение задачи. Конечно, свойства задачи к этой теореме вовсе не обязательно. Индуктивное рассужение можно проводить и сразу — переставляя строки и столбцы (так поступил, например, читатель Д. Григорьев из г. Ленинграда). При этом получается новое доказательство «теоремы о сватовстве»*).

*) Но, разумеется, просто вычеркнуть последний столбец и последнюю строку в таблице, удовлетворяющей условиям задачи, мы можем получить таблицу, уже не удовлетворяющую этому условияю,— подобным образом «грубо» проводить индекцию нельзя.

36

Ф18. Если смотреть на свет сквозь две гребенки с разной частотой зубьев, наложенные друг на друга, то светящие участки будут черезаться с темными. С какой скоростью будут перемещаться эти участки, если одну из гребенок двигать относительно второй со скоростью 1 см/сек? У неподвижной гребенки на 1 сантиметр прихождения 5 зубьев, у движущейся —6.

Решен и е. Совместим какиенибудь зубья гребенок (рис. 9). Тогда следующее зубья будет находиться на расстоянии $1/5$ см—$1/6$ см = $1/30$ см друг от друга. Сместим теперь гребенку на это расстояние. Тогда картина светых и темных полос сместится на $1/5$ см—расстояние между зубьями неподвижной гребенки. Если гребенку сместить на 1 см, то картина светых и темных полос сместится на $1/5$ см·30 = 6 см.

Это означает, что при движении гребенки с большей частотой зубьев со скоростью 1 см/сек светые и темные полосы перемещаются со скоростью $v = 6$ см/сек в ту же сторону, в котором смещается подвижная гребенка.

Картина чередуюшихся светых и темных полос, движущихся с постоянной скоростью, — очень удобная модель перемещения волн любои физической природы. Если смотреть на движущие полосы через щель (рис. 10), то щель будет периодически закрывать то же тылыми, то черными полосами:

37

мы увидим колебания. Черному и желтому цвету полос соответствуют две противоположные фазы колебаний (рис. 11). Длина волны равна суммарной ширине светлой и темной полос. Подсчитав число черных или желтых полос, проходящих mismo щелл за одну секунду, можно определить частоту колебаний и их период.

Эта простая модель позволяет разобраться во многих физических явлениях и процесsiного интерсных опытов.

С помощью черно-желтых полос можно моделировать не только линейные волны, но и любые другие, например колцевые (рис. 12). Движение таких колцевых волн можно показать, например черно-желтую Архимедову спираль (рис. 13). При врашении спирали через щелл будет видно, как волны бегут к центру или от центра в зависимости от направления вращения спирали.

Если полосы не перемешаются, мы получим картину неподвижных волн. Такие картины называют растрами. Неодвижные волны-растры не нужно путать со стоянными волнами. Модель стоянных волн — это чередующесая черно-желтые полосы, периодически меняющие свою окраску на противоположную.

Когда несколько синусoidальных волн накладываются друг на друга, возникают новые, уже не синусoidальные волны. Их называют групповыми волнами. Групповые волны отличются от складываемых синусoidальных волн и длиной, и скоростью распространения, и другими параметрами. Простейшие групповые волны — волны биеней. Они получаются, когда складываются две волны с неодинаковыми, но близкими друг к другу длинами.

Для того чтобы построить модель групповых волн, нужно наложить друг на друга две системы полос. Если эти системы одинаковы, их можно наложить так, что полосы одной системы совпадают с полосами другой. Такие волны наложются корреентными. Если системы полос немного отличаться друг от друга расстоянием между полосами, то мы получим картину биеней (рис. 14). Подобная картина получалась у вас в опытах с расческами.

Нетрудно найти длину волны биеней, порождаемых волнами с длинами $\lambda_1$ и $\lambda_2$ ($\lambda_1 > \lambda_2$). Если две черные полосы совпадают, то близкий системе полос с длиной волны $\lambda_1$ и $(n+1)$-я линии системы полос с длиной волны $\lambda_2$. Это означает, что длина волны биеней равна

$$L = n\lambda_1 = (n+1)\lambda_2.$$

38

Из равенства $n\lambda_1 = (n+1)\lambda_2$ найдем, что $n = \frac{\lambda_2}{\lambda_1 - \lambda_2}$.

Позтому $L = \frac{\lambda_1\lambda_2}{\lambda_1 - \lambda_2}$.

Чем меньше отличия друг от друга накладываемые волны, тем больше длина групповых волн. Это используется при изменении длины волны высокочастотных колебаний. Для изменения подбирают длину второй волны так, чтобы при сложении волн получались биения с большой длиной волны. Такие биения легко увидеть и изменить с помощью осцилографа. Зная длину биения и длину волны одних колебаний, нетрудно определить длину волны исследуемых колебаний.

Волны биения, которые показаны на рисунке 14,— неподвижные волны. Если одну или обе системы волн привести в движение, то будут перемешаться и групповые волны. Скорость $v$ групповых волн можно найти так же, как мы находим скорость движения групповых волн, получающихся при наложении расчесок. Она равна

$$v = \frac{\lambda_1 v_2 - \lambda_2 v_1}{\lambda_1 - \lambda_2},$$

где $v_1$ — скорость волн с длиной $\lambda_1$, а $v_2$ — скорость волн с длиной $\lambda_2$.

Эта формула является обобщением формулы, выведенной нами для расчесок.

Таким способом эту задачу решили Вячеслав Милешин (Бельцы, Молдавия) и Алексадр Карпенко (Лисичанск, Ворошилговградская обл.). Похожим способом решили ее Люцман Петраскик (Лида, Гродненская обл.) и Сергей Юшман (Виляны, Латвия). Неокоторые из читателей, правильно решая задачу, неверно подсчитали расстояние между зубьями расчесок. Если расческа содержит $n$ зубьев на 1 см, то на 1 см приходится еще и $n$ промежутков между зубьями (а не $n-1$). Из двух крайних зубьев на одном сантиметре первый принадлежит этому сантиметру, а последний — следующее.

Ф19. Форма сообщающихся сосудов показана на рисунке 15. Куда потечет вода по трубке, соединяющей сосуды, если нагреть воду в одном из сосудов?

Решен и е. Независимо от того, какой сосуд нагревается, вода поте-