Квант 1971, №1 · Страницы

Научно-популярный физико-математический
квант
1
1971
журнал
Академии
наук СССР
и
Академии педагогических
наук СССР

4

В номере:

Вращательное движение тел 1 А. К. Кикоин
Комбинаторика 13 Н. Я. Виленкин
Движение планет 20 Я. А. Смородинский
Математический кругок
Вспомогательная окружность 28 Э. Г. Готман
Лаборатория «Квант»
Волны в мелкой таррелке 32 А. Г. Косоуров
Задачник «Квант»
38
Практикум абитриента
Метод подстановки при решении уравнений и систем уравнений 41 М. И. Сканави
Вступительные экзамены по математике в МГПИ им. В. И. Ленина 45 Е. А. Шегольков
Писменный экзамен по физике в НГУ 51 Г. В. Меледин
Информация
Зоочная математическая школа 56 Ж. М Работ
Ответы, указания, решения 58
Уголок коллекционера
Марки, посвязываные Н. Копернику 62
Рецензия, библиография
Задачи, игры, опыты 64 В. П. Лицевский
«Квант» для младших школьников 3-я стр. обложки
Коротко об экспонente 4-я стр. обложки

1

Хорошо известно, что всякое тело может совершать два вида движения — поступательное и врачаательное. Первое из них достаточно подробно изучается в школьном курсе физики. А вот врачаательному движению «не повезло», Из-за недостатка времени ему уделяется очень мало внимания. Между тем врачаательное движение встречается и в природа и в технике ничего не реже поступательного. Во многих случаях реализное движение тел представляют собой комбинации обих видов движений. В других случаях поступательное движение или даже покоящесе тела имеют врачающийся детали. Сюда относится прежнее всего все устройства, имеющие колеса, — от тачки и телегги до самолета и вертолета. А попробyte найти станок, в котором бы что-нибудь не врачаLOBСЬ! Такой распространенный прибор, как часы, можно сказать, «битком набит» врачающийся сцепленными друг с другом колесками.

Вращательное движение не редкость и в природа. Достаточно вспомнить о сложных врачаательных движениях планет, их спутников, о врачаении Солнца и, вероятно, других звезд. Заметим кстати, что в применении к планетам слово «вращение» употребляется по отношению к двум различным видам их движений. Говорят, например, что Земля врачается вокруг Солнца, но говорят также о врачиении Земли вокруг своей оси. Что же, это одинаковые движения? Можно ли сказать, что оба они вызываются одними и теми же принципами? Известно, что Земля потому движется вокруг Солнца по траектории, близкой к окружности, что на нее действует сила притяжения к Солнцу. Но можно ли сказать, что эта же или подобная ей сила заставляет Землю совершать и врачащие вокруг оси? Очевидно, что нет. В действительности движения Земли как раз можно рассматривать как комбинация поступательного и врачаального движения — поступательного движения вокруг Солнца и врачаального движения вокруг оси, проходящей через оба земных полюса.

В этой статье расссказывается о врачаальном движении тел, о том, что отличает его от движения поступательного, и о том, чем оно на него похожит.

Кinematika врачаательного движения

Прежде всего наполним читателем то, что им уже известно о врачаательном движении из школьного курса физики. Начнем с определения.

Вращательным движением тела называется макое его движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой — оси врачиения.

Если ось врачиния закреплена, то тело, как целое, не перемещается, и единственное что изменяется со временем — это угол поворота, который здесь играет такую же роль, какую играет перемещение какой-нибудь точки тела при его поступательном движении.

При повороте тела на угол ф каждой его точка проходит определеннуюдугу окружности. Если обозначить длину дуги через S, то между значениями S и ф существует простое соотношение

$$S = \varphi r,$$

2

где $r$ — расстояние точки от оси врашения. Точки, расположенные на разных расстояниях $r$ от оси врашения, описывают различные по длине дуг, но угол $\varphi$ один и тот же для всего тела.

Задача механики врашательного движения состоит в том, чтобы уметЬ определенную угол поворота тела в любой момент времени, если известен начальный угол поворота. Для этого нужно знать быстрое изменение угла поворота, то есть уеловую скорость, которое принято обозначать буквой $\omega$. Для тела, врашающегося с постоянной угловой скоростью,

$$\omega = \frac{\varphi - \varphi_0}{t},$$

где $\varphi - \varphi_0$ — изменение угла поворота за промежуток времени в $t$ секунд.

Если угловая скорость постоянна, то значение угла поворота в любой момент времени легко находится:

$$\varphi = \varphi_0 + \omega t;$$

если начальный угол поворота $\varphi_0$ равен нулю, то

$$\varphi = \omega t.$$

Это выражение подобно формуле $S = vt$ для равномерного поступательного движения. Следовательно, угловая скорость при врашательном движении играет также重要作用, какую для поступательного движения играет линейная скорость $v$.

Угловая скорость, так же как и линейная, может быть и не постоянной. Тогда, для того чтобы найти скорость в любой момент времени, нужно знать уеловое ускорение, которое подобно линейному ускорению $a$ определяется как быстрое изменение угловой скорости. При равноскореном врашении

$$\alpha = \frac{\omega - \omega_0}{t},$$

где $\omega$ и $\omega_0$ — значения угловой скорости в конце и в начале промежутка времени длительного $t$ секунд.

Легко найти связь между угловыми скоростью и ускорением и их линейными «двойниками» $v$ и $a$. Так как $\omega = \frac{\varphi}{t}$, а $\varphi = \frac{S}{r}$, то $\omega = \frac{S}{rt}$.

Но $\frac{S}{t} = v$, следовательно,

$$\omega = \frac{v}{r} \text{ и } v = \omega r.$$

Точно так же, поскольку $\alpha = \frac{\omega - \omega_0}{t}$, а $\omega = \frac{v}{r}$ и $\omega_0 = \frac{v_0}{r}$, то $\alpha = \frac{v - v_0}{rt}$. Но $\frac{v - v_0}{t}$ равно линейному ускорению $a$, так что

$$\alpha = \frac{a}{r} \text{ и } a = \alpha r.$$

Таким образом, численные значения линейных величины $S$, $v$ и $a$ для каждой точки врашающего тела равны соответствующим значением угловых величины (они относятся не к отдельным точкам, а к всему телу), умноженным на радиус $r$ врашения этой точки.

Если пользоваться величины $\varphi$, $\omega$ и $\alpha$, то можно решать задачи, относится к врашению тел, применяя хорsoю известные формулы кине-

матик поступательного движения, но заменив в них линейные величины угловыми. Приведем некоторые формулы kinematики поступательного движения и анализ этих формул для врашательного:

| Поступательное движение | Вращательное движение |
| :— | :— |
| $S = vt$ | равномерное $\varphi = \omega t$ |
| $v = v_0 + at$ | равноускоренное $\omega = \omega_0 + \alpha t$ |
| $S = v_0 t + \frac{at^2}{2}$ | $\varphi = \omega_0 t + \frac{\alpha t^2}{2}$ |

Напомним также, что угол поворота $\varphi$ изменяется в радианах. Тогда угловая скорость изменяется в радианах в секунду ($\dot{p}_{\text{rad}} / \text{сек}$). Единица угловогоускорения — радиан, деленный на секунду в квадрат ($\dot{p}_{\text{rad}} / \text{сек}^2$).

Описание врашательного движения, однako, неполно, если нам известны только численные значения указанных выше угловых величины. Для полного описания врашения нужно еще знать, вокруг какой оси и в каком направлении (по или против часовой стрелки) врашается тело. И то и другие будет определяно, если считать и угол поворота и угловую скорость своеобразными векторными величины. Приято считать, что вектор $\varphi$, так же как вектор $\omega$, направлен вдоль оси врашения, так что если задан вектор одной из этих величины, то тем самым задана и ось врашения. Например, же врашения определяется так называемым правилом буравчика-штопора или правилом винта (это далеко не единственный в физике случай, когда приходится прибегать к «услугам» такого прибора). Оно состоит в следующем: если мысленно врашать рукойку буравчика так же, как врашается тело, то направление поступательного движения буравчика показет направление вектора угловой скорости $\omega$. Если, например, красная стрелка на рисунке 1 изображает вектор $\omega$ для врашающегося диска, то это означает, что диск врашается так, как показано желтой стрелкой. Как обычно, длина вектора в изображенном масштабе дает нам численное значение соответствующего угловой величины.

Угловоеускорение — тоже векторная величина. Если направление оси врашения в пространстве не меняется со временем, то вектор $\alpha$, так же как и вектор $\omega$, направлен вдоль оси врашения. В этом случае если угловая скорость возвращает со временем, то на

4

Правление вектора $\vec{\alpha}$ совпадает с направлением вектора $\omega$, если же угловая скорость уменьшается, то направления векторов $\vec{\alpha}$ и $\omega$ противоположны.

Динамика врашательного движения

Динамика поступательного движения изучает, как известно, причины появления у тел ускорений и позволяет определять их величины и направления. Динамика врашательного движения делает то же самое для углового ускорения. Если ускорение поступательного движения тела вызывается приложенной к нему силой, то причина ускорения углового ускорения тела — это момент приложенной к нему силы. С ним читатели знакомы по курсу физики 8 или 9 класса. Напомним, что численное значение момента силы относительно какой-нибудь оси равно произведению силы, приложенной к телу, на длину перpendикуляра, проведенного от оси к линии действия силы. Например, если к ободу плоского диска, изображенного на рисунке 2, приложена сила $F$, вектор которого лежит в плоскости диска, то момент этой силы относительно оси, перpendикулярной плоскости диска и проходящей через точку $O$, равен $Fr$. Если бы ось проходила не через точку $O$, а через точку $O_1$, то момент этой же силы относительно новой оси был бы другим: он был бы равен $Fr_1$. Если та же сила приложена так, как показано на рисунке 3, то ее момент относительно оси, проходящей через точку $O$ равен нулю, так как линяя действия силы проходит через эту точку. Такая сила не может вызывать поворот вокруг оси, не может изменить угловое ускорение. Но эта же сила способна вызывать врашление диска вокруг оси, проходящей через точку $O_1$.

Мoment силы — тоже векторная величина. И направление вектора момента силы определяется с помощью того же выражника. А именно, направленем момент силы условились считать то, в котором движется вдоль оси буравчик (винт), если его рукойка поворачивается так, как врашалось бы тело под действием приложенной к нему силы. Например, вектор момент силы $F$ относительно оси, проходящей через точку $O$, на рисунке 2 направлен перpendикулярно плоскости чертежа «от нас».

Как уже указалось, законы механики Ньютона справедливы и для врашательного движения. Из того, что только что было сказано о моменте силы, следует, например, что закон Ньютона в применении к врашательному движению утверждает, что тело врашается с постоянной угловой скоростью или вовсе не врашается, если момент силы, действующего на него,

6

было пренебречь, а шарик настолько малим по сравнению с длиной стержня, чтобы он мог считаться материалной точкой.

Теперь у нас сразу исчезнут все трудности. В формуле

$$M = mr^2\alpha$$

$m$ — это масса шарика, а $r$ — это расстояние от шарика до оси вращения. Так как для данного шарика и стержня ни $m$, ни $r$ не изменяются, то произведение $mr^2$ есть величины постоянная и его можно обозначить одной буквой. Выберем для этой величины букву $I$. Тогда формула второго закона Ньютона принимает вид

$$M = I\alpha.$$

Бросается в глаза сходство этой формулы с формулой

$$F = ma.$$

Только сила $F$ заменена моментом силы, а вместе линейногоускорения $a$ в формулу входит угловоеускорение $\alpha$, как это и должно быть, раз печь идет не о поступательном, а о вращательном движении. Роль же массы в этой формуле играет совсем новая, необчная величина, равная произведению массы на квадрат ее расстояния до оси вращения.

Подобно тому какускорение поступательно движущегося тела зависит, помимо силы, еще и от массыускоряемого тела, так улевоеускорение врашающего тела зависит не только от момента силы, но и от величины $mr^2$, являющейся так сказаеть, врашательным «двойником» массы. Называется эта величина моментом инерции тела относительной оси. Для врашающего движения важна, значит, не только масса. Важно еще, насоклько удалена эта масса от оси вращения. Ясно, что малая масса на большом удалении от оси вращения может получить такое же угловоеускорение при данном моменте силы, как большая масса, расположенная влизи оси.

Все это относится как будто бы к шарику, врашающемуся на тонком стержне. Но в действительности формула оказывается верной и тогда, когда врашается диск, колесо, цилиндр и вообще любое «настоящее» твердое тело, которое тоже обладает определенным моментом инерции. Чтобы момент инерции тела относительно каждой нибудь оси, нужно мысленно разбить его на множество малых частей (в пределе бесконечного малых), для каждой из них определять произведение ее массы на квадрат расстояния от этой оси и все произведения сложить. Это и будет момент инерции всего тела. Ясно, что момент инерции тела тем большие, чем большие масса тех его частей, которые расположены вдали от оси. Иными словами, момент инерции тела зависит от того, как распределена масса тела по его объему. Для различных осей момент инерции одного и того же тела будет различным. Например, момент инерции стержня длины $l$ и массы $m$, относительно оси, перpendикулярной к стержню и проходящей через его середину (рис. 6), равен $$\frac{ml^2}{12}$$. А момент инерции того же стержня-

ная, относительно оси, проходящий через конец (рис. 7), в 4 раза больше и равен $\frac{ml^2}{3}$: вокруг конца стержень врашать труднее, чем вокруг середины. «Труднее» — это значит, что для получения одного и того же уелового ускорения потребуется больший момент силы.

Вычисление момента инерции — задача обычного трудная. Но для тел однородных и имеющих правильную геометрическую форму такое вычисление относительно некоторых осей врашения возможно, хотя и не всегда простыми способами. Для одного особенного простого случая мы также вычисление приведем.

Вычислом момент инерции колеса, в котором почти все масса сосредоточена в его ободе, относительно оси врашения, перепределкой плоскости колеса и проходящей через его центр. Примером может служить весоспределное колесо с тонкими спицами.

Разделим обод на отдельные малые части с массами $m_1, m_2, m_3$ и т. д. Каждый из них можно считать материалной точкой, расположенной на расстоянии $R$ от оси врашения, где $R$ — радиус колеса. Moment инерции каждой точки равен $m_1R^2, m_2R^2, m_3R^2$ и т. д. Общий момент инерции всего колеса равен сумме моментов инерции его части:

$$I = (m_1 + m_2 + m_3 + \dots)R^2.$$

Но сумма $m_1 + m_2 + m_3 + \dots$ равна, очевидно, массе всего колеса $m$. Так что момент инерции колеса относительно оси, проходящей через его центр и перепределкой его плоскости, равен

$$I = mR^2.$$

Для произвольной формы или неоднородных по составу, или для относительной не столь «удобных», как в рассматриваемом случае, осей врашения моменты инерции определяют опытным путем, например, по изменению угловомуускорению при известном моменте силы *). Как мы видим, оп-

*) В таблице приведены формулы для моментов инерции некоторые тел.

| тело | как проходит ось | момент инерции |
| :— | :— | :— |
| однородный шар | через центр шара | $\frac{2}{5}mr^2$ |
| сферическая оболочка | через центр сферы | $\frac{2}{3}mr^2$ |
| стержень | через центр тяжестеи | $\frac{1}{12}ml^2$ |
| стержень | через конец | $\frac{1}{3}ml^2$ |

8

ределенные массы тел — задача значительного более простая, чем определение ее врашательного «двойника» — момент инерции. Если масса определяется простым взвешиванием, то «взвешивание» для врашательного движения — довольно сложная операция, которая к тому же для одного и того же тела, но для разных осей врашения должна проводиться отдельно, а «весов» для такого «взвешивания» не существует.

Момент количества движения, момент имплуласа

Итак, для врашательного движения второй закон Ньютона записьается в виде $M = I\alpha$, где $M$ — момент силы, $I$ — момент инерции и $\alpha$ — угловое ускорение тела.

No угловое ускорение выражается формулой

$$\alpha = \frac{\omega - \omega_0}{t}.$$

Поэтому формулу второго закон Ньютона можно записать в виде

$$M = \frac{I\omega - I\omega_0}{t}.$$

В таком виде формула эта означает, что момент силы равен изменению величины $I\omega$ единицу времени. Но, как, известно, второй закон Ньютона можно записать в виде

$$F = \frac{mv - mv_0}{t},$$

где $mv$ — величина, называемая количество движения или имплуласом тела. Ясно, что имплулыс $mv$ также имеет аналог в диамнике врашательного движения и этим аналогом является величина $I\omega$. Это следует уже из того, что момент инерции $I$ играет при врашательном движении также роль, как масса в движении поступательном, а угловая скорость $\omega$ заменяет линейную скорость $v$. Величина $L = I\omega$ называется поэтому момент количества движения тела или моментом имплуласа. Это тоже векторная величина (так же, как и $\omega$, $F$, $\alpha$, $mv$, $M$), направленная так же, как вектор угловой скорости. Аналогично другим приведенным нами величины, относимся к врашательному движения, момент имплуласа различен относительно различных осей врашения.

Если тело имеет такого форму или размеры или такой радиус врашения, что можно говорить о врашении точки (например, шарик на тонком стержне, планета при ее врашении вокруг Солнца), то момент имплуласа легко связать с имплуласом. В самом деле, момент инерции $I$ равен $mr^2$, а угловая скорость $\omega$ равна $\frac{v}{r}$. Поэтому

$$L = I\omega = \frac{mr^2v}{r} = rmv.$$

Момент имплуласа точки, следовательно, равен по величины произведению радиуса $r$ окружности, по которой движения точка, на имплулес $mv$. Понятно, что для тела произвольной формы такое простое соответствие нельзя.

10

момент инерции тела относительно вертикальной оси врашения (масса рук оказывает близке к этой оси). Так как это уменшение момента инерции $I$ достигается не внешним, а внутренним силами, то момент колчества движения $I\omega$ не может измениться. Поэтому угловая скорость $\omega$ уvelичнаается во столько же раз, во сколько раз фигуристке удалось уменшить свой момент инерции. Наоборот, перед завершением врашения, когда скорость нужно уменшить, фигуристка широко рассталяет руки, уvelичная момент инерции своего тела. Таким же образом поступают танцовщицы при выполнении пруэтов, акробаты, когда они совершают салто, и т. д. Интересные опыты такого рода можно проведены с помощью так называемой скамы Жуковского. Она представляет собой платформу, которая может с малым треннем врашться вокруг вертикальной оси (рис. 9). Встав на такую врашающую платформу, можно, манипулируру руками, заметно изменять угловую скорость врашения.

Сохранение момента имплульса означает сохранение не только численного значения величины $I\omega$. Не нужно забывать, что момент имплульса — величины векторная. Поэтому сохранение момента имплульса означает также сохранение его направления. Но момент имплульса направлен, как мы знаем, вдоль оси врашения. Поэтому всякое врашающее тело, на которое не действуют внешние моменты сил, не может изменить и положение оси врашения. В этом «секрет» устойчивости катящегося колеса, волчков и т. д. Именно поэтому дискоблы (метатели диска), бросая свой снаряд, приводят его во врашение. Это позволяет диску лететь, не кувыркась. Способность врашающся тело сохраняет положение оси своего врашения (при отсутствии моментов внешних сил) широко используется в технике. На этом свойстве основано применение так называемых гироскопических компасов, всевозможных стабилизаторов и т. д. Гироскопический компас — это в существии врашающее тело. Если при пуске вход оно было установлено так, чтобы свашенная была ориентирована на север, то она будет сохранять это направление лучшие магнитного компаса, на которой влияет и железный корпус корабля и изменения магнитного поля Земли. На корпах иногда устанавливают гироскопические стабилизаторы, которые представляют собой огромные многоотонные колеса, приводимые во врашение мощными двигателями. Стремясь сохранить положение оси врашения, такой стабилизатор превращает качество корабля. Важные применения находят гироскопические стабилизаторы в технике космических полетов, в автоматических устройствах самого различного назначения.

Кинетическая энергия врашающся тел

Вращающее тело — это движущшее тело, так как все его части, кроме точки, расположенных на оси врашения, движутся. Поэтому оно обладает кинетической энергией. Чтобы выражение для кинетической энергии, начнем опять с врашення маленького шарика на тонком стержне, то есть с врашення точки. Кинетическую энергию в этом случае можно записать в общий форму

$$K = \frac{mv^2}{2},$$

где $m$ — масса шарика, а $v$ — его линейная скорость. Но так как $v = \omega r$, то выражение для $K$ можно написать в виде

$$K = \frac{m\omega^2r^2}{2}.$$

12

В заключение опять приведем для сопоставления некоторых из механики поступательного движения, и аналогичные им формулы, относящиеся к врашательному движения.

| Поступательное движение | Вращательное движение |
| :— | :— |
| $\vec{F} = ma$ | $\vec{M} = I\alpha$ |
| $\frac{\Delta(mv)}{\Delta t} = \vec{F}$ | $\frac{\Delta(I\omega)}{\Delta t} = \vec{M}$ |
| $\Delta(mv) = 0$ при $\vec{F} = 0$ | $\Delta(I\omega) = 0$ при $\vec{M} = 0$ |
| $A = FS$ | $A = M\varphi$ |
| $K = \frac{mv^2}{2}$ | $K = \frac{I\omega^2}{2}$ |

Задание и вопросы

1. В каких единицах измеряется момент инерции?
2. С наклонной плоскости скатываются без прокалывания два цилиндра одинаковых диаметров и масс. Один из них свинцовый и имеет пробковую сбоюку, другой — пробковый со свинцовой оболочкой. Какой цилиндр скатытся с плоскости за меньшее время?
3. Колесо, момент инерции которого равен 0,01 единици СИ, выражается с угловой скоростью 4 об/сек. Каков должен быть момент силы треня, чтобы вращение колеса прекратилось после 5 оборотов?
4. Приливы в морях и океанах действуют на вращающегося Землю подобно тормозным колодкам и создают тормозную силу треня. Из-за этого действия приливов через 100 лет продолжительность суток на Земле будет на 1 секунду больше нивенней. Вычислить приливную силу треня.
5. Судовой гироскопический стабилизатор радиусом $R = 2$ м и массой $M = 120$ м приводится во вращение мотором. Какая мощность требуется для того, чтобы в течение 10 часов довести скорость вращения стабилизатора до 13 об/сек? Считать, что масса стабилизатора концентрирована на его ободе (в этом случае момент инерции равен $MR^2$).
6. Оdnородный шар радиуса $R$ и массы $M$ в начальной момент пущен по плоскости так, что он скольит по ней без качения со скоростью $v_0$. Между шаром и плоскостью существует треня, коэффициент которого $k$. Какое расстояние пройдёт шар, прежде чем прекратится его прокалывание относительно плоскости? Какова будет к этому моменту скорость шара?
7. Два иллюминатора сферического спутника расположены в диаметрально противолых точках оболочки. Космонавт идет из центра корабля по радиальному трапу к одному из иллюминаторов, затем идет вдоль борта корабля ко второму иллюминатору и, наконец, возвращается по радиальному трапу на свое место в центре корабля. На какой угол поворачивается при этом корабль относительно звезд, если масса корабля $M$, его радиус $R$, масса космонавта $m$ и можно считать, что все масса корабля сосредоточена в его оболочке.
8. Для заменения вращения спутников предлагается использовать следующие устройства. К боковой поверхности спутника прикрепляются на нитях длины $l$ два груза массы $m$ каждой. Грузы одновременно отпускают. Они отлетают от спутника и в тот момент, когда нити натягиваются, следует с крючков к которых прикреплены. При какой длине нити скорость вращения спутника после этой операции уменьшится в $n$ раз?
   Считать, что спутник — это цилиндр массы $M$ и радиуса $R$, все масса корабля сосредоточена в боковой оболочке.

13

Вероятно, каждому читателю «Кванта» знакомо волнение, охватывающее большую перед крупным спортивным соревнованием — будь то чемпионат мира по футбольу или «матч века» по шахматам. Далее от тех, кто не совсем точно помнит правила рокировки, можно услышать глубокомышленные заменяния вроде «а я бы на первую доску сборной мира поставил не Ларсена, а Порттиша». Знатоки и любители шахмат спорят о шансах на победу Смыслова и Кереса, а любителей футбола дело доходит чуть ли не до драки при обсужениивозможного исхода матча сборных команд Бразилии и Англии.

Очень часто перед таким соревнованиями газеты объявляют конкурс знаatokов, предлагая угадать как исход соревнования в целом (предсказать, кому достанется «Золотая богиня», или счет, с которым сборная СССР по шахматам победит сборную мира), так и исходы отдельных составаний. На первый взгляд есть совсем простой способ победить в таком конкурсе: послать в редакцию столько писем, сколько есть теоретически возможных исходов соревнования, и в каждом письме дать один из вариантов. Хоть одно письмо попадет в цель!

Но дело совсем не так просто — вариантов слишком много. Конечно, если надо предсказать только счет, с которым окончится матч века, то достаточно послать 81 письмо: игральс 40 партий, и сборная СССР могла набрать любое число очков от 0 (брр…) до 40 (вот было бы здорово!). Но если требуется еще указаать исход матча на каждой доске (хотя бы предсказать, кто в нем победит), то число возможных вариантов растет κατάстрофически.

Задачи, в которых надо найти число возможных вариантов для той или иной операции, того или иного события, возникают в самых разных областях человекаской деятельности. Эти задачи называют комбинаторику сейчас в школе и не проходят, она изучается факультативно).

1. Правила суммы и произведение. В основе решения комбинаторных задач лежат два простых правила — правильную суммую и правильную произведение.

Правило суммы. Если в нашем распоряжении $m$ способов выбрать элемент $a$ и (независимо от них) $n$ способов выбрать элемент $b$, то выбор «или $a$ или $b$» можно сделать $m+n$ способами.

Например, если на тарелке лежат 5 яблок и 9 груш, то выбор «яблоко или грушу» можно сделать 14 способами — выбрать либо одно из 5 яблок, либо одну из 9 груш.

Несоклько сложнее правильное произведение. В нем речь идет о выборе пары элементов $(a, b)^*$.

Правило произведение. Если в нашем распоряжении $m$ способов выбрать элемент $a$ и $n$ способов выбрать элемент $b$, то пару $(a,b)$ можно выбрать $mn$ способами.

Таким образом, если на блюде лежат 5 яблок и 9 груш, то пару (яблоко, груша) можно выбрать $5\cdot 9=45$ способами.

*) Две пары, получающие друг из друга перестановкой элементов, считаются различными, например пара (1, 4) считается не совпадающей с парой (4,1).

14

Чтобы убедиться в справедливости правила произведения, обозначим все способы выбора элемента $a$ через $a_1, \dots, a_m$, а все способы выбора элемента $b$ через $b_1, \dots, b_n$. Тогда все пары, которые можно составить из этих элементов, располагаются в следующую таблицу из $m$ строк и $n$ столбцов:

$$(a_1, b_1), \dots, (a_1, b_n),$$
$$(a_m, b_1), \dots, (a_m, b_n).$$

В этой таблице как раз $mn$ пар.

Заметим, что иногда выборы являются более сложным — надо сначала выбрать элемент $a$, а потом, в зависимости от этого выбора, элемент $b$. Но если элемент $a$ можно выбрать $m$ способами, а после каждого выбрать $n$ способами, то число различных пар $(a, b)$ опять равно $mn$. Доказите это сами.

Конечно, может служить, что нам надо сделать не два, а несколько выборов. В этом случае надо переможить числа вариантов для каждого выбора. Иными словами, верно следует правила.

Если элемент $a_1$ можно выбрать $n_1$ способами, элемент $a_2$ — $n_2$ способами, элемент $a_k$ — $n_k$ способами, то набор $(a_1, \dots, a_k)$ можно выбрать $n_1 \dots n_k$ способами (при этом наборы, отличноцессия друг от друга только порядком элементов, считаются различными).

Теперь мы уже можем решить задачу о числе возможных исходов матча века. На каждой доске могло быть 3 исхода: победа, ничья и погажение. Так как число доски равно 10, то различных исходов могло быть $3^{10} = 59049$. А если надо представить не только исход каждого победика, но и его счет, то получится ответ $9^{10}$.

С помощью правил произведения можно решать и довольно сложные задачи, в которых на выбор вариантов наложены дополнительные условия.

Пример. В русском алфавите 33 различные буквы. Сколько слов, содержащих по 5 букв, можно составить, если не допускать слов, в которых две одинаковые буквы идут подряд?

Конечно, «слова» здесь имеютиной смысла, чем в филологически — допускаются такие «слова», как аббед или абаба. Но слова типа ссора, пресс, аахен не допускаются — в них есть две идущие подряд одинаковые буквы.

Чтобы решить этот пример, будем выбрать буквы одну за другой — сначала первый, потом вторый, четвертую, пятую, 第六ую выбрать 33 способами — ведь в нашем распоряжении все 33 буквы русского алфавита. А вот вторую букву можно выбрать лишь 32 способами — ведь она должна отличаться от первого. 32 способами можно выбрать и третью букву — она должна отличаться от второй; четвертую и пятую буквы тоже можно выбрать 32 способами. А всего получается $33 \cdot 32 \cdot 32 \cdot 32 = 34603008$ различных слов, удовлетворяющих поставленному условию.

2. к-подмножества. С помощью правил суммы и произведения можно решать различные задачи комбинаторики. Но это не всегда удобно, так же, как далеко не всегда удобно решение любой геометрической задачи к аксиомам. Наряду с аксиомами мы используем в геометрическом теореме, что позволяет сократить решение задачи. Точно так же в комбинаторике есть несколько простейших, «стандартных» задач, к которым часто удается свести решения других задач.

Эти задачи формулируют на языке теории множества. Если читатель не знаком с тем, что такое «множество», «элемент множества», «пересечение множества», «объединение множества», отсылаем его к литературе, списк которого приведен в конце статьи. Впрочем, мы будем пользоваться лишь простейшим понятям теории множества, которые теперь будут изучаться в 4-м и 5-м классах средней школе, а в качестве примера мы возьмем множество из четырех элементов и будем изобраться его подмножества и слова, составленные из элементов этого множества (рис. 1-5).

15

Рис. 1. Пусть множество $N$ состоит из четырех элементов: коня, слона, ферзя и ладьи.

Решим следующую задачу. 5 студентов сдают зачет по плаванию. Зачет сдан, если студент проплывает 100 метров (время любое). Если же студента приходит вылавливать, то зачет не сдан. Сколькоми способами может окончиться заплыв?

Возможны различные случаи. Можно счётиться, что все студенты оказут хорошим пловцами, а может счётиться, что всех пятерых придется спасать. Общее число исходов можно счётать так. Расположим всех студентов в каком-то порядке, скажем по алфавиту: Андреев, Борисов, Волдин, Григорьев, Дмитриев. Для каждой из них есть две возможности — либо он сдacts зачет, либо нет. В первом случае поставим в соответствии этому студенту цифру 1, а во втором — цифру 0. Тогда исход залывва выразится последовательностью длины 5 из нуля и единиц. Например, последовательность 0, 1, 1, 0, 1 означает, что достаточно хорошо плавают только Борисов, Волдин и Дмитриев. А если зачет сдать только Григорьев, то отчет об исходе соревнований будет иметь такой вид: 0, 0, 0, 1, 0. Последовательность 0, 0, 0, 0 означает, что ни один студент не достиг финиша.

Таким образом, задача о числе исходов залывва свелась к следующей: сколько последовательностей длины 5 можно счётить из цифр 0 и 1? Ответ на эту задачу дает правильное произведение: поскольку на каждом месте последовательности у нас выбор из двух возможностей, то общее число исходов равно $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$. Итак, имеется 32 возможных исхода заплыв.

В разобранной задаче нам надо было узнать, сколько подмножества можно счётить из множества $N$: {Андреев, Борисов, Волдин, Григорьев, Дмитриев}.

При этом допускалось и пустое подмножество, а также подмножество, совпадающее со всем множеством $N$. Ответ оказался равным $32 = 2^5$. Точно так же доказывается, что если множество $N$ содержит $n$ элементов, то оно имеет $2^n$ подмножества. Этот же результат можно доказать, воспользоваться математической индукцией.

В олимписких играх поступают так: в финал выходит две лучших. Выясним, сколько исходов могут иметь соревнования в этом случае. Математически задача формулируется так: сколькими способами можно выбрать 2 элемента из множества, содержащого 5 элементов? Легко проверить, что это можно сделать 10 способами (выпишите сами все эти способы). Но такой метод «прямого перебора» годится лишь при малом числе участников. Хотелось бы иметь формулу, позволяющий сразу давать ответ на вопрос. Итак, нам надо решить следующую задачу.

Сколько $k$-подмножества содержится в множестве $N$ из $n$ элементов?

Здесь мы для краткости говорим «$k$-подмножество» вместе «подмножество, содержащое $k$ элементов».

Выбор подмножества из данного множества $N$ можно найти представить себе следующим образом. Элементы множества $N$ сложим в мешок, а затем запустим в этот мешок руку и вытащим подмножество. Разумеется, все $k$ элементов подмножества вытаскивают сразу и никакого разумного порядка для них установить нельзя.

18

Рис. 5. Существует $P_4=4!=24$ перестановки элементов множества $N$.

нем вытаскивать из него один за другой элементы этого множества. Но на этот раз не будем возвращать эти элементы в мешок, а выложим их в ряд. После $k$ выборов у нас снова появится $k$-слово $(a_1, \dots, a_n)$, но на этот раз среди элементов $a_1, \dots, a_n$ нет повторяющихся *). По-другому можно сказать, что $k$-слова без повторений — это упорядоченные $k$-подмножества множества $N$.

Число $k$-слов без повторений из $n$ элементов обозначают $A_n^k$. Из правила произведения сразу вытекает, что

$$A_n^k=n(n-1)\dots(n-k+1).$$

В самом деле, первый элемент можно выбрать $n$ способами, второй — только $n-1$ способами, ведь взять уже выбранный элемент нельзя. Третий элемент можно выбрать $n-2$ способами, …, $k-1-(n-k+1)$ способами.

*) Такие $k$-слов называются размешениями без повторений.

Значит, общее число способов действительное выражается формулой (3).

Например, если из 10 членов комиссии надо назначить представителя, его заменителя и секретаря, то это можно сделать $10\cdot 9\cdot 8\cdot 720$ способами.

5. Перестановки. Если из мешка вытаскивания и выкладываются в ряд один за другой элементами множества $N$ (и ни один элемент не возвращается обратно), то в конце концов все элементы множества $N$ оказывается расположенными в некотором порядке. В этом случае говорят о перестановках без повторений из $n$ элементов. Таким образом, перестановка из $n$ элементов — это $k$-слово без повторений из $n$ элементов. Поляга в формулле (3) $k=n$, получаем, что число перестановок из $n$ элементов равно $n!$. Его обозначают символом $P_n$. Итак,

$$P_n=n!$$

6. Перестановки с повторениями. Мы уже знаем, что из $n$ «букв» можно

20

В этой статье рассказывается о некоторых свойств элиппса и о разных закономерностях движения планет, самые важные из которых называются законами Кеплера.

Сила тяжости
Закон инерции какется сейчас самим элементарным и естественным законом — с него начнется изучение механики. Однако чтобы понять его, надо было отвлечься от того, что произходит непосредственно перед глазами. В обычных условиях движению тела в горизонтальной плоскости мешают трене и сопротивление воздуха; при движении в вертикальной плоскости на тело действуют силы сопротивления воздуха и сила тяжости. От их влияния надо было освоиться хотя бы мысленно. На это ушло много лет.

Только после того как был понят закон инерции — закон движения тела при идеализированных условиях, можно было рассматривать движение тел под действием сил.

Закон padения тел на Земле установлен Галилей (1564—1642). Он первым поставил перед собой задачу понять, как меняется скорость падающего тела в последовательные промежутки времени. Таким образом, он в механику ускорение и установил, что ускорения всех тел, падающих на землю, одинаковы и постоянны. Но то, что причина ускорения — сила тяжости, было лишь позже понято Ньютоном.

Почти через это лет после публикации работы Галилея Ньютон открыл закон всемирного тяготения (1687 г.), согласно которым сила тяжости не постоянна, а убывает с увеличением расстояния между телами как квадрат этого расстояния.

Если бы физика исторически развивалась в таком порядке, в каком она излагается в учебниках, то только после открытия Ньютона можно было бы бы перейти к изучению законов движения планет. Но развитие научки не подчиняется логике учебника. Значительно ранше Ньютона эти законы установил современник Галилея Иоган Кеплера (1571—1630).

Позначняя Кеплера в механике по сравнению со значениями современного школьника были крайне скудными. Он не только не знал законов Ньютона (они еще не были открыты), но и имел весма смутное представление о том, что такое сила. Все, что было в руках Кеплера, — это очень аккуратные древники наблюдений движения небесных тел, которые в течение многих лет вел его учитель Тихо Браге *) и продолжал вести он сам. Только необычайное трудовое и уверенноесть в существовании простых законов, управляющих движением планет, позволили ему открыть законы, которые с тех пор носят его имя.

Законы Кеплера и сейчас не так уж оченьны. В основном это связан с тем, что элиппсы — кривы, по которым движутся планеты, плох извлечены обичному читателю. В действительности же получить законы Кеплера не так уж трудно. Для этого нужно воспользоваться двумя законами механики: законом сохранения энергии (который не был известен ни Кеплеру, ни Ньютону) и законом сохранения момента количества движения. Последний, как мы увидим, эквивалентен второму закону Кеплера: площади, замедляемые радиусом-вектором планеты за одинаковые промежутки времени, одинаковы.

*) Тихо Браге был одним из последних астрономов, наблюдающих движение небесных тел невооруженным глазом.

22

Закон сохранения энергии

На поверхности Земли сила тяжести равна $mg$. Если ввести потенциальную энергию тела в поле тяжести $U = mgh$ (h — расстояние от тела до Земли), то можно утверждать, что при движении тела сумма его кинетической и потенциальной энергии $E = \frac{mv^2}{2} + mgh$ не меняется.

Однако выражение для $U$, которое мы написали, справедливо только при небольших расстояниях от тела до Земли, когда $h$ мало по сравнению с радиусом Земли и силу тяжести можно считать постоянной. Если высота становится большей, то сила тяжести уменьшается с расстоянием. Согласно закону Ньютона

$$|F| = \gamma \frac{mM}{R^2},$$

где $\gamma$ — гравицаонная постоянная, $M$ — масса Земли и $R$ — расстояние от тела до центра Земли.

Если пользоваться точным выражением для силы тяжести, то потенциальную энергию надо заменить на $U = -\gamma \frac{mM}{R}$. Проверим это. Вспомним, что работа, которую совершает тело при движении, равна уменьшению.

Рис. 2.

Рис. 3.

нию его потенциальной энергии. Сочитаем работу, совершаемую телом, подающим с высоты $R_2$ до высоты $R_1$ от центра Земли (рис. 2). Для этого надо вычислить разность потенциальных энергий тела:

$$\text{работа} = U_2 - U_1 =$$

$$= \gamma m M \left( -\frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_1} \right) =$$

$$= \gamma m M \left( \frac{R_2 - R_1}{R_1 R_2} \right).$$

Если $R_2 - R_1 \ll R_1$ ($R_2 \approx R_1$), то произведение $R_1 R_2$ можно заменить на $R^2$ — квадрат среднего геометрического $R_1$ и $R_2$ (при $R_2 \approx R_1$: $R \approx R_2 \approx R_1$), а $R_2 - R_1$ заменить на $l$ — путь, пройденный телом. Тогда последняя формула приобретет вид

$$\text{работа} = \text{сила} \times \text{путь} = \gamma \frac{mM}{R^2} l.$$

сила путь тяжести

Это и означает, что выражение для $U$, которое мы написали выше, — действительное потенциальная энергия тела.

Теперь нам по-другому нужно записать формулу для полной энергии тела:

$$E = \frac{mv^2}{2} - \gamma \frac{mM}{R} = m \left( \frac{v^2}{2} - \gamma \frac{M}{R} \right).$$

Эллипс

Начем с объчного определения эллипса (рис. 3). Эллипсом называется геометрическое место мочек, сумма расстояний которых до двух мочек (фокусов эллипса) построена.

23

Рис. 4.

Из этого определения можно вывести интересное «оптическое» свойство эллипса: если в одном из фокусов зеркального эллипса *) помещить источник света, то все лучи, вышедшие из него, соберуются в другом фокусе эллипсада **). Это означает, что углы между прямыми, идущими в точку эллипса из его фокусов, и касательной к эллипсу равны между собой (рис. 4).

Докажем, что эллипс обладает еще одним свойством, которое даже удобно принять за определение эллипса. Для этого проведем касательную $t$ к эллипсу в точке $A$ и опустим из обих фокусов эллипса перепределкиры на эту касательную (рис. 5). Один из перепределкиров продолжим за прямую $t$ на расстояние $F'_2 N_2$, равное $N_2 F_2$. Соединим теперь точки $F'_2$ и $F_1$ с точкой $A$. Докажем, что $F'_2 AF_1$ — прямая.

Это сразу видно из того, что $\alpha_1 = \alpha_2$ (по построению) и $\alpha_1 = \alpha_3$ (согласно оптическому свойству эллипса). Следовательно, $\alpha_2 = \alpha_3$, а, значит, $F'_2 AF_1$ — прямая.

*) Эллипсидом называется геометрическое место точки, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точки построена. Такая поверхность получается при выращении эллипса вокруг свея оси.

**) Докажать это свойство эллипса проще всего, воспользоваться принципом Ферма (см. «Квант» № 11, 1970).

Рис. 5.

Далее, так как $AF'_2 = AF_2$, то $F_1 F'_2 = F_1 A + AF'_2 = F_1 A + AF_2$, то есть отрезок $F_1 F'_2$ равен сумме расстояний от точки эллипса до фокусов. Обозначим эту сумму $2a$. Опустим теперь перепределкуар $F_1 B$ на прямую $F'_2 F'_2$, вычислим длину катета $F_1 B$ из двух прямогольных треугольников — коричневого и желтого — и приравняем оба выражения для $F_1 B$ друг друга:

$(2a)^2 - (\rho_1 + \rho_2)^2 = (2c)^2 - (\rho_2 - \rho_1)^2$.

Раскрывая скобки, получим

$\rho_1 \rho_2 = a^2 - c^2$.

Итак, произведение $\rho_1 \rho_2$ не зависит от того, в какой точке проведена касательная. Проведем ее в конце малой полуоси (рис. 6). В этом случае $a^2 - b^2 = c^2$. Поэтому $\rho_1 \rho_2 = b^2$.

Таким образом, мы получили основную теорему:

Произведение расстояний от двух фокусов до любой касательной эллипса есть величины постоянная, равная квадрату малой полуоси.

24

Первый закон Кеплера

Теперь мы можем рассмотреть движение планеты. Для простоты мы не будем доказывать, что орбита планеты — эллипс, а, предположив это и использую законы сохранения момента колинчества движения и энергии, найдем его получи и убедимся в том, что движение по эллипсам в поле тяжесте не противоречит законам сохранения.

Отметим два положения планеты $A$ и $A'$, симметричные относительно центра эллипса (рис. 7). Можно сказать и иначе: точка $A$ — истинное положение планеты в некоторый момент времени, а $A'$ — получена из первой переносом Солнца в другой фокус, в то время как планета остается на прежнем месте.

Запишем закон сохранения энергии. Отмечая величины индексом 1 для точки $A$ и индексом 2 для точки $A'$, получим $(E_1 = E_2 = E)^*$.

$$-E = \frac{mv_1^2}{2} - \gamma \frac{mM}{r_1} = \frac{mv_2^2}{2} - \gamma \frac{mM}{r_2}.$$

Угловой момент планеты равен произведению колинчества движения $mv_1$ (или $mv_2$) на «плею» — прицельный параметр $\rho_1$ (или $\rho_2$), при этом полная энергия $T + U = -E < 0$.

Чем угловой момент для обихх положений планеты одинаков:
$$L = mv_1\rho_1 = mv_2\rho_2.$$
Вычислим произведение кинетических энергий планеты в точках $A$ и $A'$:
$$T_1T_2 = \frac{mv_1^2}{2} \cdot \frac{mv_2^2}{2} = \left(-E + \frac{\alpha}{r_1}\right) \times \left(-E + \frac{\alpha}{r_2}\right).$$
(Здесь $\alpha = \gamma Mm$.)
Заменив в этом уравнении скорости их выражениями через момент колинчества движения, после простых преобразований получим:
$$\frac{1}{4} \frac{L^4}{m^2\rho_1^2\rho_2^2} - E^2 = \frac{-\alpha(r_1 + r_2)E + \alpha^2}{r_1r_2}.$$

Нетрудно увидеть, что это равенство выполняется, если орбита планеты — эллипс. Действительно, для этого нужно положить
$$r_1 + r_2 = \frac{\alpha}{E} = 2a$$
и
$$\rho_1\rho_2 = \frac{L^2}{2mE} = b^2.$$

Оба эти равенства — не что иное, как два определения эллипса, приведенные выше.

Таким образом, наша траектория — эллипс с полуосями: большой
$$a = \gamma \frac{mM}{2E} \text{ и малой } b = \frac{L}{\sqrt{2mE}}.$$

26

Рис. 8.

Тогда скорость планеты будет безразмерной. Скорость — это число, показывающее, сколько раз $v_0$ содержится в скорости планеты:

$$\beta_1 = \frac{v_1}{v_0} \quad \text{и} \quad \beta_2 = \frac{v_2}{v_0}.$$

Согласно предыдущему скорости $\beta_1$ и $\beta_2$ связаны соотношение

$$\beta_1 = \frac{1}{\beta_2}.$$

Что это значит? Если частница движется в какой-то точке орбиты со скоростью $\beta$, то в точке, симметричной относительной центра орбиты, ее скорость будет равна $\frac{1}{\beta}$

Мы описывали траекторию планеты, задавая ее положение (координаты) в каждой момент времени. Можно поступить и иначе — задавать скорости планеты. Кривая, которую мы при этом получим, называется годграфом скорости (можно сказать, что это траектория в пространстве скорости). Так как произведение отрезков $\beta_1$ и $\beta_2$ построено, то годграфом скорости планеты — окружность (рис. 8) (вспомните теорему: «Пустывнутри окружности дана точка. Тогда для всех хорд, проходящих через эту точку, произведение длины отрезков, на которых делит хорды эта точка, одинаковы»).

Если мы заменим скорость $\beta$ на $\frac{1}{\beta}$ в каждой точке годграфа, то годграф не изменится, а просто скорость поверхности на $180^\circ$. Это свойство называется инвариантностью движения относительной поверхности.

Если траектория планеты круговая, то $\beta = 1$ (доказите!). В этом случае годграф — окружность с центром в начале координат.

Период обращения

Для того чтобы вычислить период обращения — время полного оборота планеты вокругруг Colnца или искусственного спутника вокругруг Земли, надо сосчитать время прохождения каждой участка траектории (отдельно, так как скорость все время меняется) и просуммировать затем по всем участкам. Сделать это элементарно, конечно, нельзя, но можно обойти все трудности.

Из второго закона Кеплера мы знаем, что за время $\Delta t$ радиус-вектор планеты «заметает» площадь, равную $\frac{L}{2m} \Delta t$ (напомним, что $L = \text{const}$). Значит, период обращения можно вычислить, поделив площадь элипса на постоянную скорость «заметания»

$$T = \frac{S_{\text{эллипса}}}{L/2m}.$$

Так как эллипс получается из окружности, скатаой в одном направлении в $\frac{b}{a}$ раз$^*$), то площадь эллипса равна

$$S_{\text{эллипса}} = S_{\text{крута}} \cdot \frac{b}{a} = \pi a^2 \frac{b}{a} = \pi ab.$$

Из этих формул получаем

$$T = \frac{2\pi ab}{L}.$$

Но $b = \frac{L}{\sqrt{2Em}}$, поэтому

$$T = \pi a \sqrt{\frac{2m}{E}}$$

$^*$) См. статью И. Н. Бронштейна «Эллипс» («Квант» № 9, 1970).

27

или, подставив сюда выражения для $a \left( a = \gamma \frac{Mm}{2E} \right)$ и заменив $\left( \frac{2E}{m} \right)^{3/2}$ на $v_0^3$, получим
$$T = 2\gamma M \frac{m}{2E} \sqrt{\frac{m}{2E}} = 2 \frac{\pi \gamma M}{v_0^3}.$$
Из этой формулы видно, что период обращения зависит только от величины $v_0$. Если из одной и той же точки над поверхностью Земли выпущено несколько одинаковых спутников в разных направлениях, но с одной и той же скоростью $v_0$, то все они одновременно (через время $T$) соберутся в той же точке.

Третий закон Кеплера
Если теперь в формулу (*) для периода обращения планеты вместе энергии $E$ подставить ее выражение через большую получось $\left( E = \gamma \frac{mM}{2a} \right)$, то получим
$$T = 2\pi a^{3/2} \frac{1}{\sqrt{\gamma M}}.$$
Следовательно, $T^2$ пропорционально $a^3$, то есть квадрат периода обращения планеты пропорционален кубу большой получси эллипса. А это и есть третий закон Кеплера.

Рис. 9.
Эллипс — геометрическое место центров окружности, проходящих через фокус и касающиеся заданной окружности (направляющей окружности).

В этой статье мы рассказывали понемного о геометрии, об оптике и механике. Решите теперь задачи.

Оптическая задача
В одном из фокусов эллипсона, внутриняя поверхность которого зеркальна, находится точный источник света. Построить изображение этого источника для наблюдателя, находящегося во втором фокусе эллипсона.

Геометрическая задача
Покаatzь, что эллипс есть геометрическое место центров окружности, проходящих через фокус и касающиеся заданной окружности (направляющей окружности) (рис. 9).

На рисунке видно, что основания перpendикуляров $\rho_1$ и $\rho_2$ лежат на «главной окружности». Слушай ли это?

Космическая задача
Орбитта спутника Земли имеет параметры: наибольшее расстояние $R$, наименьшее расстояние $r$. Вычислить полную энергию и угловой момент спутника. Найти скорости спутника на концах большой и малой осей.

Красиное построение
Рисуок на обложке журнала построен так: внутри окружности выбрана точка, и из нее как из центра проведена окружность меньше его. Из центра этой второй окружности проведены лучи до встречи с большой окружностью. Через точку на каждом луче, лежащую посередине между двумя окружностями, проведена хорда, перpendикулярная этому лучу. Пятно внутри имеет форму эллипса.

28

ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ОКРУЖНОСТЬ

Решение многох геометрических задач начинается с проведения вспомогательных линей, которые помогают установить связь между данными и неизвестными элементами фигуры. Отзывать удачное вспомогательное построение часто бывают нелегко. Поэтому к каждой решенной задаче следует пристретиться и поставаться выяснить, почему те или иные вспомогательные линей приводят к целю. Нельзя ли найденный пример использовать при решении некоторых других задач?

На очередном заседании математического кружка рассмотрим один из интересных примеров решения геометрических задач, который состоит в том, что в чертеж вводится вспомогательная окружность.

Пример 1. В остругольном треугольнике проведены высоты AP, BQ и CR. Доказать, что $\angle ABQ = \angle APR$).

Решен и е. Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC (рис. 1). Так как $\angle APB$ и $\angle CRB$ прямые, то около четырехугольника BPHR можно описать окружность, приняв BH за диаметр. Построив ее, заменаем, что $\angle ABQ = \angle APR$ (как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дуг).

*) См. «Квант» № 1, 1970, стр. 59.

Рис. 1.

Таким образом, построение вспомогательной окружности позволяет использовать теорему о вписанных углах и благодаря этому установить связь между указанным в задание углами.

Выясните, как изменится результат, если $\angle B$ треугольника ABC тупой.

Решите самостояльно несколько аналогичных задач.

1. Из произвольной точки M ка-teга BC прямогоного треугольника ABC опущен на гипотенузу AB перпендикуляр MN. Доказать, что $\angle MAN = \angle MCN$.

2. Доказать, что прямая, соединяющая вершину прямого угла прямогоного треугольника с центром квадрата, внешне построенного на гипотенузе, делит прямой угол треугольника пополам.

3. Из произвольной точки M внутри данного угла опущены перпендикуляр MP и MQ на стороны угла. Из вершины угла A опущен перпендикуляр AK’ на отрезок PQ. Доказать, что $\angle KAP = \angle MAQ$.

Пример 2. Доказать, что отрезок, соединяющий основания двух высот остругольного треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

29

Рис. 2.

Решен и е. Пусть $AA_1$ и $BB_1$ — высоты остроугольного треугольника $ABC$ (рис. 2). $\angle AA_1B$ и $\angle AB_1B$ прямы, поэтому окружность, построенная на стороне $AB$ треугольника как на диаметре, пройдет через точки $A_1$ и $B_1$. Далое, $\angle ABC = 180^\circ$ — $\angle AB_1A_1$, $\angle A_1B_1C = 180^\circ$ — $\angle AB_1A_1$, поэтому $\angle ABC = \angle A_1B_1C$, и треугольники $ABC$ и $A_1B_1C$ подобны.

Эту задачу можно решить и без вспомогательных построений, если заметить, что треугольники $AA_1C$ и $BB_1C$ подобны, и записать пропорцию

$$\frac{A_1C}{AC} = \frac{B_1C}{BC}.$$

Решите каждую из двух следующих задач обойти способами.

4. Из вершины $A$ параллелограмма $ABCD$ проведены высоты $AM$ и $AN$. Доказать, что треугольники $AMN$ и $ABC$ подобны.

5. Из основания $H$ высоты $CH$ треугольника $ABC$ опущены на стороны $AC$ и $BC$ перpendикulares $HM$ и $HN$. Доказать, что треугольник $CMN$ подобен треугольнику $ABC$.

Иногда выгrodно описать окружность и около треугольника.

Пример 3. Доказать, что квадрат bicсектрисы треугольника равен разности между произведением заключащих ее сторон и произведением

отрезков третий стороны, на которые она делится bicсектрисой.

Решен и е. Около треугольника $ABC$ описем окружность и продолжим bicсектрису $CD$ треугольника до встречи с окружностью в точке $E$ (рис. 3). Пусть $BC = a$, $AC = b$, $AD = m$, $BD = n$, $CD = l$, $DE = x$.

По условиям $\angle ACE = \angle BCE$, кроме того, $\angle AEC = \angle ABC$, как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту жедуг. Следовательно, треугольники $ACE$ и $BCD$ подобны и справедливо равенство $$\frac{l + x}{b} = \frac{a}{l},$$ откуда $l^2 = ab - lx$. Хорды $AB$ и $CE$ пересекаются в точке $D$. Поэтому выполняется равенство $lx = mn$. Следовательно, $l^2 = ab - mn$.

Пример 4. Высота и медиана треугольника, проведенные из одной вершины внутри него, различны и образуют равные углы со сторонами, выходящими из той же вершины. Доказать, что треугольник прямогольный.

Решен и е. Пусть высота $CH$ и медиана $CM$ треугольника $ABC$ обязают со сторонами $AC$ и $BC$ равные углы (рис. 4). Опишем около треугольника $ABC$ окружность и продолжим медиану $CM$ до встречи с окружностью в точке $D$. Расмотрим треугольники $ACH$ и $BCD$. Так как $\angle ACH = \angle BCM$ по условиям и $\angle A = \angle D$,

30

Рис. 4.

как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дуг, то $\angle AHC = \angle CBD = 90^\circ$. Следовательно, $CD$ — диаметр окружности.

Центр окружности лежит на диаметре $CD$ и на перпендикуляре $m$ к стороне $AB$ в ее середине $M$. Так как медиана $CM$ не является высотой, то прямые $CD$ и $m$ имеют только одну общую точку $M$, которая и является центром описанной окружности. Следовательно, $AB$ — диаметр окружности и $\angle ACB = 90^\circ$.

Используйте полученный результат для решения следующего двух задач.

6. Определить углы треугольника, в котором
   a) медиана и высота, проведенные из одной вершины, делят угол на три равные части;
   b) медиана, биссектриса и высота, проведенные из одной вершины, делят угол при этой вершине на четыре равные части.
7. Построить треугольник, зная углы, которые образуют медиана, биссектриса и высота, выходящие из одной вершины.
   Пример 5. Построить равностоящий треугольник так, чтобы вершины его лежали соответственно на трех данных параллельных прямых.

Рис. 5.

Известно несколько решений этой интересной задачи с использованием выражения вокруг точки, подобия и алгебраической метода. Весьма краткое решение получается с помощью построения вспомогательной окружности.

Решение. Пусть $ABC$ — исходный равностоящий треугольник, вершины которого лежат соответственно на параллельных прямых $a, b$ и $c$ (рис. 5). Окружность, описанная около него, пересекает прямую $c$, кроме точки $C$, еще в некоторой точке $D$. Тогда на основании свойства вписанных углов имеем $\angle ADC = \angle ABC = 60^\circ$.

Отсюда вытекает следующее построение. Из произвольной точки $D$ прямой $c$ проведем лучи, образующие с прямой $c$ углы $60^\circ$ и $120^\circ$. Пусть один из лучей пересечет прямую $a$ в точке $A$ и прямую $b$ в точке $B_1$, а другой пересечет прямую $b$ в точке $B$. Тогда отрезок $AB$ будет сторона треугольника $ABC$.

Отложим на прямой $c$ отрезок $DC$, равный отрезку $AB_1$, так, чтобы точки $C$ и $A$ лежали по одному сторону от прямой $BD$. Тогда точка $C$ — треугольница треугольника $ABC$, так как треугольники $ABB_1$ и $BCD$ равны, откуда следует, что $AB = BC$ и $\angle ABC = 60^\circ$.

Таким образом, прием построение

31

Рис. 6.

ния вспомогательной окружности целесообразно применять и при решении некоторых задач на построение.

Рассмотрим еще одну сложную задачу, при решении которого самое трудное — догадаться описать около квадратов окружности.

Пример 6. На сторонах AC и BC треугольника ABC вне его построены квадраты ACA₁A₂ и BCB₁B₂. Доказать, что прямые AB₁, A₁B и A₂B₂ пересекаются в одной точке, и определять углы между этих прямыми.

Решение. Если ∠ACB = 90°, то справедливо теоремы очевидна. Прямые AB₁ и A₁B перепределкиярны и каждая из них пересекает прямую A₂B₂ в точке C под углом 45° (рис. 6).

Если ∠ACB ≠ 90°, то окружности, описанные около квадратов, имеют кроome точки C еще одну общую точку C₁, которая как раз и оказывается точкой пересечения прямых AB₁, A₁B и A₂B₂ (рис. 7). Действительно, ∠A₂C₁C = 90°, как висанный, опирающийся на полуокружность. Аналогично ∠CC₁B₂ = 90°. Поэтому ∠A₂C₁C + ∠CC₁B₂ = 180°, т. е. лучи C₁A₂ и C₁B₂ составляют прямую.

Точно так же доказывается, что точка C₁ лежит на прямых AB₁ и A₁B.

Рассматривая полученные вписанные углы, находим, что прямые AB₁ и A₁B взамимо перепределкиярны и каждая из этих прямых обращает с прямой A₂B₂ угол 45°.

Рис. 7.

Следующая задача имеет много общего с предыдущей.

8. На сторонах AB, BC и CA произвольного треугольника ABC вне его построены равносторонние треугольники ABC₁, BCA₁ и CAB₁. Доказать, что прямые AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в одной точке и каждая из них образует с другой угол 60°.

9. Доказать, что если два противоположных угла четырехугольника тупые, то диагональ, соединяющая вершины этих углов, короче второй диагонали.

Приведем еще две задачи на максимум и минимум, для решения которых также целесообразно определенным образом построить вспомогательную окружность.

10. На одной стороне угла с вершиной в точке S данные точки A и B. Найти на другой стороне точки C, из которой отрезок AB виден под наиболее углом.

11. Из произвольной точки M, лежащей на стороне AB треугольника ABC (или на ее проджении), проведены перпендикуляры MP и MQ к сторонам AC и BC. При каком условия отрезок PQ будет наиболеешим?

Таким образом, разнообразные геометрические задачи решаются с помощью одного и того же приема. Построение вспомогательной окружности позволяет увеличить число теорем, которые можно пользоваться при решении задачи, и благодар岁时ому отыскивать зависимости между элементами фигуры.

33

Нет в природа явления более универсального, чем распространение волн. Волны на поверхности воды, звук, свет, радио, передача деформации от одних частей твердого тела к другим — все это волновые процессы. Квантовая механика показывает, что и движением микрочастиц управления волновые законы. Все эти волны имеют разную физическую природу, разные скорости распространения, разные частоты и длины волн. Но независимо от этого в движении любых волн много общего. Изучив законы распространения волн одной природу, можно большимство их них практические без изменения перестина на волны другого типа. Изучать же волны удобнее всего на поверхности волны.

Что такое волна? Бросьте в руду камень. На спокойной горизонтальной поверхности труда возникнет разбегающий кругги. Точки поверхности воды, до которых должна волна, начинают колебаться относительно своего равновесного положения. Это положение соответствует горизонтальной поверхности. Чем дальше находится точка от места падения камня, тем с большим запозданием «узнает» она о падении камня. Возмущение распространяется с определенной скоростью. Точки, до которых возмущение должно одновременно, находятся в одинаковой стадии колебательного движения (в одинаковой фазе). Скорость перемещения этой фазы и есть скорость волны. Она изменяется в направлении нормали к фронту волны.

Для волн любой природу всегда можно указать физические объекты, которые под действием волны испытыют возмущение, то есть отклонение от своих равновесных значений. Для звука — это периодические повышения и понижения давления. Для радиоволн и света — быстроизменения направления электрического и магнитного поля.

Свойства всех без исключения сред такихы, что возмущение, возникшее в некоторой области, распространяется, передаваясь от точки к точке с конечной скоростью, которая зависит от природы возмущения и свойств среды.

Для возникновения волны необходим источник возмущения, т. е. внешняя причина, вызывающая в некоторой области среды нарушение распространения. Источник малого размера, как, например, камень, брошенный в воду, излучает в однородной среде (т. е. в такой среде, в которой скорость волны не зависит от направления ее распространения) сферическое волны (на поверхности волны — круговые), распространяющиеся по радиусам. Такие источники волны называют точечными.

Один из основных принципов элементарной волновой теории — принцип независимости волны или прицили суперпозицини. Он утверждает, что возмущение, которое вызвадает волна в точке наблюдается, не зависит от того, что через эту точку одновременно проходят другие волны. Прицили суперпозицини дает простое правило для нахождения суммарного действия волн от нескольких источников: суммарное количество работы равно сумме колебаний, вызываемых каждым источником в отдельности.

Характерия особенностью волновых процессов — интерференция волн. Интерференция называют совокупностью явлений, возникшее в среде при распространении волн от двух или нескольких источников, колеблюшихся согласно (синхроно). При этом оказывается, что в некоторых точках колебания, вызванные одновременным действием двух источников, будут сливнее или слабее, чем колебания, вызванные каждым источником в отдельности. Можно случаиться, что согласованы волны вообщее погасит одна другую.

На первый взгляд явление интерференции противочит прицили суперпозицини. Прежде чем обсуждать это, постановяемся посмотреть на интерференцию собственными глазами. Искушенный глаз без труда увидит интерференцию при пересечении волн от двух брошенных в руду камней. Однако для изучения интерференции

34

этот способ не годится. Мы получим устойчивую интерференционную картину воды волн наLABораторном столе.

Прежде всего необходимусуд с водой. Чтобы волны, отраженные от его стенок, не маскировали волн, идущих от источников, нужен сосуд с пологими стенками. В этом отношении хорошо хорошо обращается почти до самого верха. Набегая на стенки, волны быстро затухают и почти не отражаются. Генератором волн может служить электрический звонок с отвиченным колпачком. К молоточку звонка прикрепите кусок проволоки, на ее конец наденьте пробковый шарик, который и будет точным источником волн. Провода опыты, следите за тем, чтобы провода были хорошо изолированы.

Звонок нужно укрепить над тарелкой так, чтобы поворот звонка можно было погружать пробковый шарик в воду у края тарелки. Питать звонок лучше всего через авторсформатор. Это позволяет регулировать амплитуду колебаний. Очень удобен авторсформатор от детской железной дороги. Подойдет и трансформатор от прибора для выжигания. Включив устройство, мы увидим на поверхности воды круговые волны с расстоянием между соседними горбами — длиной волны — около 1 см (рис. 1 на стр. 36).

Наблюдать волны лучше всего по тени на дне тарелки при прямом солнечном свете или свете яркой лампы. Каждая волна, действия как цилиндрическая линза, дает на дне тарелки светлую полосу, повторяющий форму фронта волны. Однако волны, бегущие со скоростью около 10 см/сек, сливаются для взгляда, фиксированного на неподвижной тарелке. Они видны только вблизи источника, где их амплитуда велика. Чтобы увеличить их на всей поверхности воды, нужно быстро поворачивать голову. Точно так же при быстрых движениях головы можно рассмотреть спицы катящаяся колеса. Очень эффективно наблюдается волны на матовом стекле фотоаппарата, особенно крупноформатного. Держка камеру в руках и плавано показывает ее, легко добиться, чтобы волны были видны на всей поверхности. При этом кажется, что они бегут очень медленно. Можно смотреть на отражение поверхности волны и в зеркале. Легкие движения зеркала также делают волны видимыми по всей поверхности. Но удобнее всего наблюдается волны при стrobоскопическом освещении. Если освещать установку коротками всышками света с частотой, равной частоте источника волн, то от одной вспышки до другой волны переместятся на одну длину волны, и волновая картина волн будет казаться неподвижной. Такое освещение чрезвычайно легко осуществить. Достаточно параллельно обмоткам магнита звонка включить небольшую лампочку. С расстояния 0,5—1 м она хорошо и равномерно освещит установку, и неподвижная теневая картина волн будет хорошо видна. Для фотографирования лучшие воспользоваться прямым солнечным светом.

Укрепите теперь на молоточке звонка согласно из проводок вилку с кусочками пробки на концах. Расстояние между концами вилки 2—3 см. Если концы будут опускаться в воду одновременно, получится два источника волн, колблющихся не только синхронно, т. е. в такт, но и синфазно, т. е. волны от обихих источников будут возникать в один и тот же момент времени. Картина будет примерно такой, как на рисунке 2. Ог источников волн вверх расходятся области больших амплитуд, разделенные области «молчания». Центральная область больших амплитуд расположена перpendикулярно линни, соединяющей источники. Как области молчания, так и области больших амплитуд проходит между источниками.

Исследование интерференционной картины с линейкой показет, что расстояние между двумя максимумами на линни, соединяющей источники, равно половине расстояния между двумя волнами, т. е. половине линны вол-

35

Рис. 2. Интерференция волн от двух источников (2d/λ=4).

ны. Если изменить расстояние между источниками, то изменится и число полос большой амплитуды (рис. 3). Чем больше расстояние между источниками, тем больше «перьев» в нашем веере. Но расстояние между максимумами на линни, соединяющей источники, всегда равно половине длины волны. Поэтому общее число полос с максимальной амплитудой будет вдвое большие, чем число длины волн, указавающейся на расстояние между источниками. Отсюда следует, что если расстояние между источниками меньше половины длины волны, то интерференция вообще не будет. Такие источники действуют как один, давая одну систему круговых волн. Это можно увидеть, постепенно уменьшая расстояние между источниками. Обратите внимание еще и на то, что, продолжая в какой-нибудь области больших амплитуд фронт волны, проходящий через горб, мы в соседней области встретием владину. Другими словами: при перехождение нулевую область фаза волны меняется на половину полного колебания.

Теперрывдательные себе, что у нас не два молоточка, а два источника света, излучающих световые волны, и перpendикулярно поверхности волны мы помещаем экран. Мы увидим освещенные места, соответствующие пере-

Рис. 3. Интерференция волн от двух источников (2d/λ=2)

сечению экрана и области с большой амплитудой, и темные, не освещенные места. Мы увидим темные и светые интерференционные полосы. О том, как осуществить интерференционный опыт в оптике, поговорим как-нибудь в другой раз, а сейчас попробуем обьясить то, что увидели.

Нарисуем на листе бумаги об системы волн так, словно они замерли в какой-то момент (рис. 4). Горбы волн отметим красным цветом, а владины — синим. Перенумеру волны, отметив одинаковыми числами те, которые вышили из источников одновременно. Из чертежа видно, что на линню, равноудаленную от источников, одновременно приходят волны, имеющие одинаковые номера. Это и понятно, так как до точки пряной волны прощили одинаковые пути. По принципу суперпозициции мы можем заключить, что на этой линни удвоятся как высоты горбов, так и глубины владини. Правее и левее этой линни лежат точки, в которых горбы одной системы волн совпадают со владинами другой. В то время как волны от одного источника вызовут в этих точках отклонение вверх, волны от другого в тот же момент вызовут в этих точках отклонение вниз. Суммарное отклонение в этих точках будет близко к нулю. Соединним все та-

36

Рис. 4. Сложение колебаний при интерференции волн от двух точных источников, $2d/\lambda=3,6$. Красные линии — горбы, сине — впадины. Утолщенные линии показаны результатющие волны.

кие точки непрерывной линии. Если проследить за номерацией горбов и впадин, легко заключит, что до всех точек правой линии левые волны проходят путь на половину длины волны бóльший, чем правые. Для левой линии на половину длины волны отстают правые волны.

Справа и слева от нульевых линии лежат точки пересечения первого горба со вторым, второго с третьим и т. д. Легко понять, что это тоже области максимумов. Соединив эти точки, мы получим линию, до точек которого одна система волны отстает от другой на одну длину волны.

Продолжая анализ чертежа, можно найти все нульевые линии и все линии

37

максимумов. Линни, которые мы получили, математики называют гиперболами *).

Теперь совершенно ясно, почему расстояние между максимумами на линни, соединяющей источники, равно половине длины волны. Действительно, в среднюю точку этой линни волны приходят в одинаковой фазе и усиливают друг друга. Еслиместиться из этой точки на полдлинны волны, то путь одной волны увеличится на половину длины волны, а другой — уменьшится на такую же величины. Разность хода между волнами в этой точке (разность пути, пройденных волнами от источников до точки) будет равна одной длине волны, и волны снова будут взаимно усилиться и т. д. через каждой длины волны.

Максимум, соответствующий нулевой разности хода, называют нулеым максимумом или нулеым порядком интерференции. Максимумы с разностью хода в одну длину волны — максимумами первого порядка интерференции и т. д. Максимальный порядок интерференции определяется целым числом, близким к 2d/λ, где d — расстояние между источниками, а λ — длина волны. Теперь попробyte проанализировать сами с помощью чертежа, а может быть, и проверить экспериментально, как изменится картина, если один из источников будет излучать волны с запозданием на половину периода или на какую-нибудь другую его часть. А если сдвиг между колебанями будет меняться случайным образом? Для экспериментального осуществления волн со сдвигом фаз достаточно сделать концы вилки разной длины.

*) Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух точек (фокусов) построена.

Из записной книжки экзаменатора

Рентгеновская трубка состоит из стеклянного баллона, наполненного вакуумом.

Источники света разделяются на два лагеря: естественные и искусственные.

Единница частоты — герц — названа в честь ученого, открывшего эту единицу.

Индуктивность измеряется в генрях.

Чем дальнейшее нахождение предмет от линзы, тем изобразение будет действительное, чем ближе, тем меньше.

Линзы бывают двойковыпуклы и однозковыпуклы.

Атом сложен и он долго морочил голову ученым.

Все окружающие нас предметы: столы, стулья и т. д. давят на нас с силой, равной своему весу.

У нормальных людей зрение хорошее, как влизи, так и на большом расстоянии.

Гамма-лучи имеют большую проницаательность.

Насыщенные пары отличия от ненасыщенных тем, что они уже насытились.

Луч красного цвета самый длинный, а луч филолетово — самый короткий.

Угловая скорость выражается в омегах.

38

Этот раздел журнала ведется у нас из номера в номер. В нем публикуются задачи по физике и математике, некоторые из которых довольно трудны. Далее специальism физик и математик решения их дается нелегко. Поэтому не отмечайтесь, если не сумете справиться с той илииной задачей. Попробуйте со временем вернуть к ней слова.

Решить задачу — это значит понять, какой математический аппарат, какие уравнения (или теоремы) для этого нужно использовать, какие факторы учесть, а какими — претензь; это значит попытаться также установить, где и как применяются на практике указываемые в задаче явления. Но вот решение найдено. Вы удовлетворены. Не следует, однako, на этом успокаиваться. Подумайте, как можно обобщить задачу.

Во второй части раздела (примерно через полгода после начала публикации самых задач) мы будем помещать их решения с учетом присланных читателями письм. Такое время нам требуется потому, что на подготовку к печати очередного номера уходит более четырех месяцев.

Школьники, регуляро присылавшие особенно оригинальные и удачные решения, получат право участвовать в областих трехвесоизной оптимизации школьников наравне с победителями Весоизной заочной оптимизации. Кроме того, редакция журнала устанавливала несколько специальных premий для авторов наиболее интересных решений.

И последнее. Придумать задачу обычно труднее, чем ее решить. Труднее, но это и интереснее. Попробуйте придумать задачи и пришлите их нам. Лучшие из них опубликуем в «Задачнике Кванта».

Свои решения и новые задачи присылайте по адресу: Москва, В-71, Ленинский проспект, 15, редакция журнала «Квант», «Задачник «Кванта»», математика (физика). Решение каждой задачи (если вы посылаете сразу несколько попыток на отдельном листке (листках), страницей прочитаемы. В конце укажите свою фамилию, имя, отчество, а также класс и школа. Решения рассматривают только в том случае, если они получены не позднее, чем через полтора месяца после выхода соответствующего номера журнала.

39

Рис. 1.

М61. Два мудреца играют в новую игру, состоящую в следующем. Выписаны числа 0, 1, 2,…, 1024. Первый мудрец вычеркивает по своему выбору 512 чисел, второй вычеркивает 256 из оставшихся чисел, затем снова первый вычеркивает еще 128, потом второй — еще 64 числа и т. д. Своим последним пятым ходом второй вычеркивает одно число. Остатся два числа, и второй платит первогому разницы между этим числами. Как надо играть первому игру, чтобы получить как можно больше? Как второму, чтобы проиграть как можно меньше? Сколько уплаит второй первому, если она будет играть на лучшешим образом?

XXXII Московская математическая олимпиада

М62. Докажите, что для любого нечетного числа $a$ найдет такое натуральное $b$, что $2^b - 1$ делится на $a$.

М63. Можно ли из 18 плиток размером $1 \times 2$ выложить квадрат так,

Рис. 2.

Чтобы при этом не было ни одного прямого «шва», соединяющего противоположные стороны квадрата и душшего по краям плиток? (Например, такое расположение плиток, как на рисунке 1, не годится, так как здесь есть «шов» $AB$).

А. А. Кириллов

М64. На плоскости данных прямая $l$ и две точки $P$ и $Q$, лежащие по одному сторону от нее. Найти на прямой $l$ также точки $M$, для которого расстояние между основаниями высот треугольника $PQM$, опущенных на стороны $PM$ и $QM$, называемые.

Г. А. Палатник

М65. a) Пусть $E, F, G$ — такие точки на сторонах $AB, BC$ и $CA$ треугольника $ABC$, для которых $\frac{AE}{EB} = \frac{BF}{FC} = \frac{CG}{GA} = k$, где $0 < k < 1$. Найдите отношение площади треугольника, образованного прямыми $AF, BG$ и $CE$, к площади треугольника $ABC$ (рис. 2).

6. Разрежьте треугольник шестю прямыми на такие части, из которых можно сложить семь равных треугольников.

А. Л. Сойфер

40

Ф72. Почему в марте продолжность дня меняется быстрое, чем в декабре?

Г. Л. Комкин

Ф73. Внутрь стеклянной трубки наlint растор сахара. Нижний конец трубки затянут пленкой, пропищаемой для воды, но непроницаемой для молекул сахара. Трубку погружают в чистую воду до уровня расторса сахара и закрепляют в этом положении. Уровень жидкости в трубке при этом начинает подниматься и через достающий промежуток времени устанавливается на некоторой высоте над уровнем воды (рис. 3).

Чем объясняется это заасывание воды внутри цилиндра? Откуда берется энергия для поднятия жидкости?

Ф74. Два конденсатора включаются последовательно. Первый имеет емкость $C_1$ и расчитан на максимальное напряжение $U_1$, второй — емкость $C_2$ и расчитан на напряжение $U_2$. К какому максимальным нулю при-

жению можно подключит эту батарею конденсаторов?

А. Р. Зильберман

Ф75. Поршень с плошадью $S$ шарниро с вязан с шайбой $C$, скользывающей без трения по рычагу $AB$. Длина рычага $L$. Какую наименьшую силу нужно приложить к рычагу $AB$ для того, чтобы уvelинить давление в жидкости на $\Delta p$ (рис.4)?

Б. Б. Буховцев, физическая олимпиада МГУ, 1970 г.

Ф76. Тяжелый обруч с невесомыми спицами расположен в вертикальной плоскости и может врашаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через центр. В толще его обода закреплена материалная точка, имеющая такую же массу, как и сам обруч. Каким будет период колебаний обруча вокруг оси? Как он изменится, если: а) матник переенсти на Луну, б) помещить его в жидкость, в которой он будет двигать без трения?

МЕТОД ПОДСТАНОВКИ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

М. И. Сканави

Метод подстановки заключится в перехождение от исходной величины к некоторой другой величины. Он позволяет свести решения уравнения к более просто устроенным или к уравнением изученных типов. Велико разнообразие случая, когда приходится пользоваться этим методом. Охватить их какой-либо общей рекомендацией, размещется, невозможно. Поэтому успех в выборе целесообразной подстановки существенно зависит от таких достоинств решения, как его опыт, смекалка, интуция… Расматриваемые примеры демонстрируют метод подстановки в действии.

Пример 1. Решить уравнение
$$\frac{1}{x(x+2)} - \frac{1}{(x+1)^2} = \frac{1}{12}.$$

Решен ие. Разность дробей, расположенных в левой части данного уравнения, представляется собой дробь, у которой знаменатель есть многочлен четырёх степени относительно $x$. В таком случае шаблонная обработка уравнения приведет его к уравнению четырёх степени, что решающего устройство не может. После обдумывания начнем понимать, что полезно выбрать подстановку
$$x^2 + 2x = z,$$
(*)

поскольку она преобразует данное уравнение к значительно большей простому:
$$\frac{1}{z} - \frac{1}{z+1} = \frac{1}{12}$$

Относительно $z$ получаем квадратное уравнение с корнями $z_1=3$ и $z_2=-4$. Подстановка (*) приводит к двум квадратным уравнениям относительно $x$:
$$x^2 + 2x = 3$$
и
$$x^2 + 2x = -4.$$

Из них мы находим все четыре корня данной уравнения:
$$x_1 = 1, x_2 = -3, x_3 = -1 + \sqrt{3}i,$$
$$x_4 = -1 - \sqrt{3}i$$

и непосредственной проверкой убеждаемся в пригодности каждого из них.

Пример 2. Решить уравнение
$$4x^4 + 12x^3 - 47x^2 + 12x + 4 = 0.$$

Решен ие. Предложено для решения так называемое возвратное уравнение — коэффициенты членов, равностоящих от концов его левой части, равны. Для возвратных уравнений разработан стандартный способ приведения их к уравнению более низкой степени. Представление об этом способе можно получить, проследив за тем, как он применяется к уравнению, которое представляет решить. Заметив, что $x \neq 0$, разделим уравнение на $x^2$; получим
$$4x^2 + 12x - 47 + \frac{12}{x} + \frac{4}{x^2} = 0.$$

Теперь следует применить граппирум члены:
$$4\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) + 12\left(x + \frac{1}{x}\right) - 47 = 0.$$

При такой записи уравнения уже

43

неный, содержащих радиkalы второй степени!): составим разность подкопенных выражений радиkalов, расположенных слева, и получим, что $(t+3) - t=3$.

Тепер эту разность разложим на множители (при помощи формулы для разности квадратов) и найдем, что $(\sqrt{t+3} + \sqrt{t})(\sqrt{t+3} - \sqrt{t}) = 3$.

Отсюда делением на первоначальное уравнение (относительно $t$) получаем, что

$$\sqrt{t+3} - \sqrt{t} = \frac{3}{\sqrt{2t+7}}.$$

Вычитанием из первоначального уравнения того, что мы сейчас получили, обнаруживаем, что

$$2\sqrt{t} = \sqrt{2t+7} - \frac{3}{\sqrt{2t+7}},$$

$$2\sqrt{t} = \frac{2t+4}{\sqrt{2t+7}}, \sqrt{t} = \frac{t+2}{\sqrt{2t+7}}.$$

Процедура, которую мы сейчас провели, позволяет освобождаться от радиkalов посредством только одного возвления частей уравнения в квадрат. Проделаем это:

$$t = \frac{t^2+4t+4}{2t+7}, t^2+3t-4=0.$$

Отсюда $t_1=1, t_2=-4$. Далее заметим, что нас интересют только положительные значения $t$, поскольку $t = x^2+x+1 > 0$

для всех значений $x$. Отбрасываем поэтому непригодный корень $t_2$ и получаем для отыскания $x$ одно квадратное уравнение

$$x^2+x+1=1, \quad x^2+x=0$$

с корнями $x_1=-1$ и $x_2=0$. Как нетрудно проверить, оба они являются корнями данного irrationalного уравнения.

Пример 5. Решить систему уравнения

$$\begin{cases} \frac{x^3}{y} + xy = 40, \\ \frac{y^3}{x} + xy = 10. \end{cases}$$

(Ограничиться отисканием действительных решений).

Решение системы уравнения учащимися практикуется значительное решение. Вместе с тем и в этих случаях он сплошь и рядом оказывается весма эффективным. Прежде, чем присутствить к решению предложенной системы, я позволю себе высказать некоторые общие сообщения по поводу метода подстановки при решении системы двух уравнений с двумя исключениями величинами. Если эти последние обозначены буквами $x$ и $y$, то часто бывают полезным перейти к новым величинами $\rho$ и $\varphi$ в соответствии со следующими равенствами:

$$x = \rho \cos \varphi,$$

$$y = \rho \sin \varphi.$$

Читатель, достаточно хорошо знакомый с методом координат на плоскости, почти, что если $x$ и $y$ служат декартовыми координатами некоторой точки, то $\rho$ и $\varphi$ являются так называемыми полярными координатами той же точки. Геометрический смысл полярных координат и их связь с декартовыми станет ясным из рисунка, который мы всем рекомендуем сейчас вНИМАТЕЛЬно рассмотреть:

44

Замечаем, что начало координат $O$ имеет $\rho=0$, а угол $\varphi$ для него определяемого значения не имеет. Все остальные точки плоскости будут сабжены единственной парой полярных координат ($\rho, \varphi$), если потребовать, чтобы было

$$0 \leqslant \rho < +\infty,$$
$$0 \leqslant \varphi < 2\pi.$$

Используем равенства (!) для решения данной системы уравнения, для чего вместо $x$ и $y$ в области уравнения системы подставим их выражения через $\rho$ и $\varphi$; получим, что

$$\begin{cases} \frac{\rho^3 \cos^3 \varphi}{\rho \sin \varphi} + \rho \cos \varphi \rho \sin \varphi = 40, \\ \frac{\rho^3 \sin^3 \varphi}{\rho \cos \varphi} + \rho \cos \varphi \rho \sin \varphi = 10. \end{cases}$$

или после обработки, что

$$\begin{cases} \rho^2 \text{ctg} \varphi = 40, \\ \rho^2 \text{tg} \varphi = 10. \end{cases}$$

Делением первого уравнения на второе найдем, что

$$\text{ctg}^2 \varphi = 4.$$

Отсюда $\text{ctg} \varphi = 2$ или $\text{ctg} \varphi = -2$. Второе (отрицательное) значение $\text{ctg} \varphi$ немедленно отбрасывается, так как у нас $\text{ctg} \varphi$ и $\rho^2$ имеют одинаковые значки, а $\rho^2$ не может быть отрицательным. Тепер по известному котангенсу надо найти сину и косину угла $\varphi$. Следам это без слов:

$$\cos^2 \varphi = 1 + \text{ctg}^2 \varphi = 5,$$
$$\cos \varphi = \sqrt{5},$$
$$\cos \varphi = -\sqrt{5},$$

$$\sin \varphi = \frac{1}{\sqrt{5}}, \quad \sin \varphi = -\frac{1}{\sqrt{5}},$$
$$\cos \varphi = \frac{2}{\sqrt{5}}, \quad \cos \varphi = -\frac{2}{\sqrt{5}}.$$

Далее найдем $\rho$ из того, что

$$\rho^2 \text{ctg} \varphi = \rho^2 \cdot 2 = 40, \quad \rho^2 = 20.$$

Получаем, что $\rho = 2\sqrt{5}$. При помощи равенств (!) по известным $\rho$ и $\varphi$ в качестве решения данной системы уравнения найдем следующее две пары чисел:

$$x_1 = 2\sqrt{5} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = 4,$$
$$y_1 = 2\sqrt{5} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = 2;$$
$$x_2 = 2\sqrt{5} \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right) = -4,$$
$$y_2 = 2\sqrt{5} \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right) = -2.$$

Неверно считать, что данную систему можно решить только при помощи перехода к полярным координатам (ее можно решить, например, еще и так: перенести $xy$ из левых частей уравнения в правые, затем результаты переможить и получить квадратное уравнение относительно $xy$; дальнейшее очевидно). Между тем этот прием следует взять на вооружение. Он позволяет в известном смысле регламентировать наши преобразования и дает возможность пользоваться всем аппаратом тригонометрии. В каких случаях выгодно пользоваться этим приемом, а в каких нет? Ответить на этот вопрос помогает вашлий опыт, обогатить который можно собственным трудом!

Пока до вступительных экзаменов есть время — действуйте!

45

ВСТУПИТЕЛЬНЫЕ ЭКЗАМЕНЫ
ПО MATЕМАТИКЕ НА MATЕМАТИЧЕСКОМ
ФАКУЛЬТЕТЕ МГПИ
им. В. И. ЛЕНИНА В 1970 году
Е. А. Шегольков

Письменный экзамен по математике на нашем факультете в 1969 году (отчет о нем можно прочитать в «Кванте» № 3 за 1970 г.) был несколько необычным. Необычность состояния в некотором подражании конкурсным экзаменам на механите МГУ. В результате из 475 поступивших 224, то есть около половины, написали работу на двойку и выбыли из дальнейшей «борьбы». Такой способ обмена абитурентов представляется не волне подходящим для педагогического института, слишком много кандидатов оказалось вне личного знакомства с экзаменаторами.

В 1970 году приемная комиссия математического факультета решила почти по другим пути. В письменную работу были включены четыре задания хорошего знакомье школьника.

1. Стереометрическая задача с приложением тригонометрии.
2. Задча на составление квадратного уравнения с физическим или другим содержанием.
3. Алгебраические уравнения или неравенство.
4. Тригонометрическое уравнение.

Все задания не требовали каких-либо особых знаний или наренированности. Но в то же время они предполагали основательные знания школьной математики и известные способности у абитурентов. На выполнение письменной работы отводилось 4 часа.

При оценке письменных работ «пять» ставилось, лишь если все задания были решены; «четыре» — если все задания были решены, но с несущественными недочетами. «Два» ставилось, например, если первые задания не были решены из-за группы ошибок. При этом оценка «три» приобрела больший удельный вес и невыбавала абитурента из участия в конкурсе.

В 1970 году на математический факультет поступало 508 человек, а мест было 175, конкурс — около трех человек на место.

Из 508 абитурентов, письменную работу, 120 написали ее «четыре» и «пять», 233 на «три» и 155 на «два».
В качестве примера ниже мы разберем вариант письменной работы и указываем на типичные ошибки, допущенные абитурентами при его решении.

Вариант

1. Длина, образующей конуса равна l, угол образующей с плоскостью основания равен α. Найти объем описанной около конуса примиды, основанием которого служит ромб с острым углом β.
2. За n часов трактор вспахивает на p гекторов больше лошади. Сколько гекторов вспахает за n часов лошадь и сколько гекторов вспахает за n часов трактор, если трактор вспахивает один гектор на t часов скорее лошади.
3. Решить неравенство
   $$\sqrt{1+2x}-\sqrt{x+4}<1.$$
4. Решить уравнение
   $$\frac{3(\cos 2x+\mathrm{ctg} 2x)}{\mathrm{ctg} 2x-\cos 2x}-2(\sin 2x+1)=0.$$

47

Как вы уже заметили, при решении этой задачи трижды пришлось решать прямогольные треугольники. Поступающие и здесь допускали ошибки. Твердое умение решать прямогольные треугольники является непреемным условием успешного решения большинства стереометрических задач.

2. Пусть трактор вращивает за $n$ часов $x$ ($2a$), следовательно, $1$ ($2a$) за $\frac{n}{x}$ часов.

Лошадь вращивает за $n$ часов $(x-p)$ ($2a$), а $1$ ($2a$) за $\frac{n}{x-p}$ часов.

По условию задачи $\frac{n}{x}$ меньше $\frac{n}{x-p}$ на $t$ часов, то есть $\frac{n}{x} + t = \frac{n}{x-p}$ ($x \neq 0, x \neq p$). После преобразования получаем уравнение $tx^2 - ptx - np = 0$. Решая его, находим $x_{1,2} = \frac{pt \pm \sqrt{(pt)^2 + 4ptn}}{2t}$.

Какой из этих двух корней удовлетворяет условию задачи? По условию $n > 0, t > 0, p > 0$, поэтому $\sqrt{(pt)^2 + 4ptn}$ имеет действительное значение. $(pt)^2 + 4ptn > (pt)^2$ и, следовательно, $\sqrt{(pt)^2 + 4ptn} > pt$.

Таким образом, корень

$$x_1 = \frac{pt + \sqrt{(pt)^2 + 4ptn}}{2t}$$

дает ответ на вопрос задачи, именно столко гектаров вращет трактор за $n$ часов, а лошадь вращет за $n$ часов

$$x - p = \frac{-pt + \sqrt{(pt)^2 + 4ptn}}{2t}$$.

Второй корень уравнения отрицательен и отпадает по смыслу задачи.

При составлении исходного уравнения из величины $\frac{n}{x}, \frac{n}{x-p}, t$ некоторые из поступающих почему-то вычитали из меньше больше и положили уравнение $\frac{n}{x-p} + t = \frac{n}{x}$.

Это результат ненимателовости.

При решении задачи с конкретным физическим или другим содержанием следует быть особенно внимательным и все время проверять свои расчетения. Формальные выкладки должны соответствовать действительному положению вещей. Кроме того, следует помнить, что целое решение такого рода задача является не решение составленного уравнения, а получение ответа на поставленный в задание вопрос.

3. Найдем область допустимых значений для $x$ (ОД3):

$$\begin{cases} 1 + 2x \geq 0 \\ x + 4 \geq 0 \end{cases}$$ или $$\begin{cases} x \geq -\frac{1}{2} \\ x \geq -4. \end{cases}$$

Следовательно, ОД3 определяется условием

$$x \geq -\frac{1}{2}.$$ (1)

Преобразуем исходное неравенство так:

$$\sqrt{1 + 2x} < 1 + \sqrt{x + 4}.$$

В отмеченной ОД3 обе части последнего неравенства неотрицательны; возведя их в квадрат получим

$$\sqrt{x + 4} > \frac{x}{2} - 2.$$ (2)

Левая часть неравенства (2) положительная, а правая часть отрицательна, а левая положительная.

1. $\frac{x}{2} - 2 < 0$, следовательно,

$$-\frac{1}{2} \leq x < 4.$$

При таких значениях $x$ неравенство (2) зависит отрицательна, а левая положительная.

2. $\frac{x}{2} - 2 \geq 0$ и по условию

$$\sqrt{x + 4} > \frac{x}{2} - 2.$$

Решая первое из этих неравенств, получим $x \geq 4$. Для решения второго неравенства, возведем обе части в квадрат (телер это можно сделать,