Квант 1971, №3 · Страницы

Научно-популярный физико-математический
квант
3
1971
журнал
Академии
наук СССР
и
Академии педагогических
наук СССР

В номере:

Экономика и линейные нераваенства 1
А. Б. Каток

Преобразование электрических цепей 10
А. Р. Зильберман

Нравится ли вам возиться с цельми чисlamи! 15
М. И. Бацимаков

Удивительные катки 21
Б. Ю. Кодан

Математический кружок
Полуправильные многоугольники 25
Л. М. Лоповок

Задачик «Квант»
Задачи 30

Решения задач М26—М28; Ф35—Ф40 32
Н. Б. Васильев,
А. Н. Виленкин,
И. Ш. Слободецкий

Практикум абитуриента
Показательные уравнения 40
В. В. Гольдберд

Писменный экзамен по математике на mexmate МГУ в 1970 году 45
Н. Н. Колесников

Писменный экзамен по физике в Московском автодорожном институте 51
А. Н. Агеев,
Ю. Г. Рудой

Новости физики 57

Рецензии, библиография
Если вам нужно что-нибуд посчитать…
57
Р. С. Гутер

Чародей с Плуталовой улицы 58
Г. И. Мищевич

Ответы, указания, решения 62

Уголок коллекционера
Марки, посвященные Н. Е. Жуковскому 64
А. В. Алтыкис

«Квант» для младших школьников
3-я стр. обложки
Кроссворд
4-я стр. обложки

2

что вместе двух дорогных велосипедов завод может выпустить один гоночный, причем гоночный велосипед приносит в 1,5 раза больше приблиги. Завод может произвести 700 дорогных велосипедов в день, однако склад может принять не более 500 велосипедов в день. Сколько нужно выпускать в день гоночных и сколько дорогных велосипедов для того, чтобы завод получал максимальную приближение?

2. Задча о карьерах. В пунктах А и В расположены кирпичные заводы, а в пунктах C и D — карьеры, снабжащие их песком. Потребность заводов в песке не больше производительности карьеров. Известно, сколько песка нужно каждому из заводов и сколько его добавляют в каждой из карьеров. Кроме того, известно, сколько стоит перевозка тонны песка из каждой карьера до заводов. Нужно организовать снабжение заводов песком так, чтобы затраты были наименьшими. (Подобные задчи называются трансортиными.)

3. Задча о корме для цыплят. Птицефера занимается открытымливанием цыплят. Предположим для простоты, что кормом могут служить два продукта — пшеница и горох. Для того чтобы цыпленок нормально рос, его ежедневный рацион должен содержать не меньше определенного количества калорий, а также белков, жиров и углеводов. Эти колчества устанавливаются специальми по пищеводству, и мы их должны рассматривать как заданные. Пусть известно, сколько卡尔орий, белков, жиров и углеводов содержится в одном граме пшеницы и в одном граме гороха, известна также цена каждой вида корма. Как составить наиболее дешевый, но полноценный рацион?

В каждой из приведенных задчужно произвести оптимальный выбор, хотя в каждой задаче он поняется по-разному.

Для того чтобы увидеть, какие математические вопросы возникли при решении таких задач, разберем подробно задачу о корме для цыплят.

Для анализа этой задачи в полне достаются тех сведений, которые входят в школьный курс, а все вычисления можно без труда проверить, пользоваться карандашом и бумагой.

Пусть в одном граме пшеницы содержится $a_1$ калорий, в одном граме гороха — $b_1$ калорий, а минимальное необходимое число калорий в дневном рационе равно $c_1$. Будем изобразать меню, содержащие $x$ граммов пшеницы и $y$ граммов гороха, точкой $(x, y)$ на плоскости. Попытаемся выделить на плоскости те точки, которые отвечают рационам, содержащим не менее $c_1$ калорий. Так как меню, состоящее из $x$ граммов пшеницы и $y$ граммов гороха, содержит $a_1x+b_1y$ калорий, то для таких точки выполняется неравенство $a_1x+b_1y \geq c_1$.

Из школьного курса алгебры вам известно, что точки, для которых $a_1x+b_1y=c_1$, лежат на прямой $l_1$, проходящей через точки $(0, \frac{c_1}{b_1})$ и $(\frac{c_1}{a_1}, 0)$. Эта прямая разбивает плоскость на две части. Для точки $(x, y)$, лежащих по одному сторону от прямой $l_1$, выполняется неравенство $a_1x+b_1y > c_1$, а для точки, лежащих по другую сторону, — неравенство $a_1x+b_1y < c_1$. Каждая из этих частей вместе с самой прямой $l_1$ называется полуплоскостью. Таким образом, одна полуплоскость состоит из всех точки $(x, y)$, для которых $a_1x+b_1y \geq c_1$,

а другая — из точки, для которых $a_1x+b_1y \leq c_1$.

Так как в нашем случае $a_1$ и $b_1$ — положительные числа, то первая полуплоскость — это полуплоскость $L_1$,

Которая выделена на рисунке 1. Кроме того, из условия нашей задачи ясно, что $x$ и $y$ — неотрицательные числа (неЛЬЗЯ же давать цыпленку отрицательное количество корма). Условию $x \geq 0$ удовлетворяют точки правой полуплоскости (ограниченной осью ordинат), условию $y \geq 0$ удовлетворяют точки верхней полуплоскости (ограниченной осью абсцисс), а разционам, содержащим не менее $c_1$ калорий, отвечают точки $(x, y)$, для которых одновременно выполнены три неравенства:

$$\begin{cases} x \geq 0, y \geq 0, \\ a_1 x + b_1 y \geq c_1, \end{cases}$$

то есть точки, лежащие в пересечении правой полуплоскости, верхней полуплоскости $L_1$. На рисунке 2 выделено множество точек, соответствующих решением системы неравенств (1). Перейдем к другим ограниченным. Если один грамм решений содержит $a_2$ граммов белков, один грамм гороха — $b_2$ граммов белков, а дневной рацион цыпленка должен содержать не менее $c_2$ граммов белков, то, очевидно, достаточно количество белка содержат те рационы из $x$ граммов решений и $y$ граммов гороха, для которых

$$a_2 x + b_2 y \geq c_2.$$

Соответствие этих разционам точки лежат в полуплоскости $L_2$,ограниченной прямой $l_2$, которая задается уравнением $a_2 x + b_2 y = c_2$. Точно так же рацион должен удовлетворять неравенствам

$$\begin{cases} a_3 x + b_3 y \geq c_3, \\ a_4 x + b_4 y \geq c_4, \end{cases}$$

где $a_3$ и $a_4$ — количество жиров и углеводов в одном граме пшеницы, $b_3$ и $b_4$ — количество жиров и углеводов в одном граме гороха, $c_3$ и $c_4$ — минимальные количество жиров и углеводов в дневном рационе цыпленка. (Все величины измеряются в граммах.) Точки $(x, y)$, удовлетворяющие первому из этих двух неравенств, лежат в полуплоскости $L_3$, а точки, удовлетворяющие второму неравенству, — в полуплоскости $L_4$. Рацион, содержащий достаточно количество всех компонентов (калорий, белков, жиров и углеводов), мы назовем допустимым. Таким образом, допустимыми будут те рационы, состоящие из $x$ граммов пшеницы и $y$ граммов гороха, которые удовлетворяют системе из шести линейных неравенств

$$\begin{cases} x \geq 0, y \geq 0, \\ a_1 x + b_1 y \geq c_1, \\ a_2 x + b_2 y \geq c_2, \\ a_3 x + b_3 y \geq c_3, \\ a_4 x + b_4 y \geq c_4. \end{cases}$$

Соответствие допустимым рационом точки полуплоскости лежат в пересечении правой полуплоскости, верхней полуплоскости $L_1$, $L_2$, $L_3$, $L_4$, то есть внутри или на границе фигуры (бесконечного мно-

4

Рис. 3.

государника) $A$, выделенной на рисунке 3.

На этом рисунке изображен тот случай, когда каждое неравенство в системе (2) существует, то есть для каждого из шести неравенств найдется решение системы остальных пятей неравенств, не удовлетворяющее этому неравенству. Другой возможности случай избражен на рисунке 4.

Геометрические это означает, что одна из прямых (на рис. 4 — прямая $l_4$) лежит вне множества $A$, а алгебраически, что система (2) эквивалентна системе, из которой исключено одно из неравенств (в нашем случае — последнее неравенство). Всюду в дальнейшем, чтобы не делать специальных оговорок, мы будем предполагать, что имеет место случай, избраженный на рисунке 3.

Множество точек на плоскости называется выпуклым, если вместе с любыми двумя свойствами точками оно целиком содержит отрезок, соединяющий эти точки. На рисунке 5, $a$ избраженные неокторые выпуклы, а на рисунке 5, $b$ — невыпуклы множества.

Полуплоскость — выпуклое множество, а так как пересечение любого числа выпуклы множества — также выпуклое множество, то и множество $A$ выпуклое.

Рис. 4.

Тепер постараемся выбрать из всех допустимых разионов самый дешевый. Пусть 1 грамм пшеницы стоит $p$ копеек, а 1 грамм гороха — $q$ копеек. тогда рацион из $x$ грамм пшеницы и $y$ грамм гороха стоит $px+qy$ копеек. Таким образом, цена является линейной функцией от $x$ и $y$, а задача нахождения самого дешевого разиона состоит в нахождения среди всех пар чисел $(x, y)$, удовлетворяющих системе неравенств (2), таких пар, для которых значение этой линейной функции достигает минимума. Другими словами, нужно найти те из точки множества $A$, в которых функция $px+qy$ достигает наименьшего значения из всех значений, принимаемых этой функцией в точках множества $A$.

Множество точек $(x, y)$ плоскости, для которых выражение $px+qy$ равно неокторому числу $k$, является пр-

Рис. 5, $a$.

Рис. 5, $b$.

Мой. При разных $k$ такие прямые параллельны. При отрицательных и достаточно малых положительных значениях $k$ эта прямая не пересекает множество $A$ и, следовательно, не существует допустимого рациона ценой в $k$ копеек. Если увеличить значения $k$, начиная, например, с $k=0$, то прямая, задаваемая уравнением

$$px + qy = k,$$

будет смешаться вправа (см. рис. 6). Наконец, при некоторых значении $k=k_0$ прямая $px + qy=k_0$ впервые пересечет множество $A$, «наткнутышь» на одну из его вершин (точка $M$ на рис. 6) или сразу на целую сторону (это может произойти, если прямые $px + qy=k$ параллельны одной из прямых $l_1, l_2, l_3, l_4$ или, что то же самое, если относение $\frac{p}{q}$ равно одному из отношений

$$\frac{a_1}{b_1}, \frac{a_2}{b_2}, \frac{a_3}{b_3}, \frac{a_4}{b_4};$$

см. дальше, рис. 8).

Приная называется операной к выпukлому множеству на плоскости, если это множество целиком лежит в одной из полуплоскостей, на которые эта прямая делит плоскость, и в то же время по крайней мере одна точка множества лежит на прямой. Таким образом, уравнение $px + qy=k_0$ задает операную прямую к множеству $A$.

Разберем теперь по отдельности два случая, о которых говорилось выше. Предположим сначала, что отношение $\frac{p}{q}$ не равно ни одному из отношений

$$\frac{a_1}{b_1}, \frac{a_2}{b_2}, \frac{a_3}{b_3}, \frac{a_4}{b_4}.$$

Тогда точка $M=(x_0, y_0)$ является единственным решением задачи о самом дешевом допустимом рационе. В самом деле, любая другая точка множества $A$ лежит в полуплоскости $K$, задаваемой неравенством $px + qy \geq k_0$, и, следовательно, соответствует более дорогому рациону. Строонами бесконечного многоугольника $A$ служат лучи осей координат и отрезки прямых $l_1, l_2, l_3, l_4$. Поэтому на каждой из этих сторон одно из шести неравенств системы (2) превращается в равенство, а в каждой вершине многоугольника $A$ превращается в равенства два неравенства системы (2). В случае, изобранном на рисунке 6, точка $M$ лежит на пересечении прямых $l_1$ и $l_3$ (см. рис. 3); следовательно,

$$\begin{cases} a_1x_0 + b_1y_0 = c_1, \\ a_3x_0 + b_3y_0 = c_3, \end{cases}$$

откуда

$$x_0 = \frac{b_1c_3 - b_3c_1}{a_3b_1 - a_1b_3}; \quad y_0 = \frac{c_1a_3 - a_1c_3}{a_3b_1 - a_1b_3}.$$

Зато остальные четыре неравенства в этой точке выполняются в строгом смысле, то есть со знаком «больше», а не «равно». Это означает, что рацион, состоящий из $x_0$ граммов решений и $y_0$ граммов гороха, содержит минимальное необходимое количество卡尔орий и жиров, но избитычное количество белков и углеводов (если бы точка $M$ лежала на пересечении других прямых, то вывод бы соответствен изменился).

Если бы специальны по пищеводству решили, что цыплят требуется немного больше чем $c_2$ граммов белков или немного больше чем $c_4$ граммов углеводов в день, то найденный нами самый дешевый рацион ответал бы и этим новым требованием (в самом деле, это означает, что прямые $l_2$ или $l_4$ немного сдвигаются бы вправо, но если такой сдвиг достаточно мал, то точка $M$ все равно остается вершиной уменшившегося многоугольника $A$). Однако если потребуется давать цыплят чут-чут более卡尔орий по чут-чут больше чем $c_3$

6

Рис. 7.

граммов жиров в день, то задачу о самом дешевом рационе придает решать заново, так как рацион, соответствующий точке $M$, перестанет быть допустимым, а самый дешевый рацион становится дорогое (см. рисок 7, где при условном требовании $a_3x+b_3y \geq c_3+\delta$ самому дешевому рациону отвечает точка $M'$, лежащая внутри полуплоскости $K$).

Рассмотрим теперь случай, когда отношение $\frac{p}{q}$ равно одному из четырех отношений, например $\frac{a_1}{b_1}$ (см. рис. 8).

В этом случае прямая $px+qy=k_0$ совпадает с прямой $l_1$. Все точки множества $A$, за исключением точки отрезка $M_1M_2$, лежат внутри полуплоскости $K$, и, следовательно, рацион, соответствующий любой точке отрезка $M_1M_2$, является самым дешевым допустимым рационом. Таким образом, среди точек, соответствующих решении задачи о самом дешевом рационе, всегда имеются вершины многоугольника $A$.

Немного теории

Для нахождения решения достаточно сравнить значения функции $px+qy$ во всех вершинах. Если эти значений имеются одно, которое меньше всех остальных, то соответствующая вершина является единственным решением задачи; если значения в двух вершинах равны и меньше значений в остальных вершинах, то эти вершины обязательно соседние, и все точки стороны, соединяющей эти вершины, служат решениями задачи.

Будем для краткости назвать

Рис. 8.

острый угол, образуемый прямой с осью абсцисс, углом наклона прямой. Если dwirгается по границе множества допустимых точек, начиная с луча абсцисс в сторону луча оси ordinат, то каждая следующая сторона лежит на прямой с большим углом наклона, чем предыдущего. Тангенсы этих углов тоже будут возрастать. Тангенс угла наклона $\alpha$ прямой $ax+by=c$ ($a>0, b>0$) равен $\frac{a}{b}$. (Если $b=0$, $\alpha=\frac{\pi}{2}$ и принято считать, что $\tg\alpha$ равен бесконечности.)

Пусть опорная прямая проходит через вершину $M$ множества допустимых точек и угол наклона этой прямой равен $\beta$, а углы наклона прямых, на которых лежат стороны, прилегающие к вершине $M$, равны $\alpha_1$ и $\alpha_2$. Тогда угол $\beta$ больше одного из этих углов и меньше другого (см. рис. 9).

7

Таким образом, для того чтобы найти вершину, через которой проходит опорная прямая данного направления, нужно сравнить угол наклона прямых данного направления с углами наклона прямых, на которых лежат стороны множества допустимых точек, и выбрать такие две соседние стороны, между углами наклона которых лежит угол β. Точка пересечения этих сторон и будет искомой вершиной. Если угол β совпадает с углом наклона одной из сторон, то искомая опорная прямая совпадает с прямой, на которой лежит эта сторона. Вместо сравнения углов наклона можно сравнить их тангенсы, что значительное удобнее, так как тангенс угла наклона просто выражается через коэффициенты уравнения прямой.

Численные примеры

1. Среди решений системы линейных неравенств $2x+y \geq 10$, $x \geq 0, y \geq 0$, $x+y \geq 8$, $3x+7y \geq 42$, $x+5y \geq 20$ найти такие, для которых линейная функция $4x+3y$ достигает минимума*).

Таблица 1

| Уравнение прямой | Точка на осх координат, через которой проходит прямая | Тангенс угла наклона прямой |
| :— | :— | :— |
| $y=0$ | $(0,4), (20,0)$ | $\frac{1}{5}$ |
| $x+5y=20$ | $(0,6), (14,0)$ | $\frac{3}{7}$ |
| $3x+7y=42$ | $(0,8), (8,0)$ | $\frac{1}{2}$ |
| $x+y=8$ | $(0,10), (5,0)$ | $\infty$ |
| $2x+y=10$ | $(0, \frac{3}{c}), (\frac{c}{4}, 0)$ | $\frac{4}{3}$ |

Множество допустимых точек изображено на рисунке 10, из которого

*) Численные данные этого примера никак не связаны с величины, которые задаются в задаче о корме для цыплят.

Рис. 10.

видно, что сторонами этого множества служат лучи осей координат и отрезки всех четырех прямых: $x+5y=20$, $3x+7y=42$, $x+y=8$, $2x+y=10$.

Опорная прямая с тангенсом угла наклона $\frac{4}{3}$ должна проходить через вершину, лежащую на пересечении пары соседних сторона, одна из которых имеет тангенс угла наклона меньше $\frac{4}{3}$, а другая — больше $\frac{4}{3}$. Такую пару образуют стороны, лежащие на прямых

$x+y=8$ и $2x+y=10$,

с тангенсами углов наклона 1 и 2 соответственно. Таким образом, координаты искомой вершины определяются из системы

$$\begin{cases} x+y=8, \\ 2x+y=10, \end{cases}$$

откуда $x=2$, $y=6$. Значение функции $4x+3y$ в этой точке равно $4 \cdot 2 + 3 \cdot 6 = 26$, а опорная прямая определяется уравнением $4x+3y=26$.

Для сравнения вычислим значения функции $4x+3y$ во всех остальных вершинах множества допустимых точек (см. таблицу 2 на стр. 8).

2. Среди решений системы линейных неравенств $x \geq 0, y \geq 0, 3x+y \geq 15, 3x+4y \geq 36, x+2y \geq 12, 2x+8y \geq 32$ найти такие, для которых функция $3x+12y$ достигает минимума.

8

Таблица 2

Уравнение прямых, на пересечении координат лежит вершина
| координаты вершины | |
| :— | :— |
| $x$ | $y$ |
| $x = 0, 2x + y = 10$ | $0, 10$ |
| $2x + y = 10, x + y = 8$ | $2, 6$ |
| $x + y = 8, 3x + 7y = 42$ | $3, 5, 4, 5$ |
| $3x + 7y = 42, x + 5y = 20$ | $8, 75, 2, 25$ |
| $x + 5y = 20, y = 0$ | $20, 0$ |

Значения функции $4x + 3y$ в вершине
| $x$ | $y$ |
| :— | :— |
| $0$ | $10$ |
| $2$ | $6$ |
| $3,5$ | $4,5$ |
| $8,75$ | $2,25$ |
| $20$ | $0$ |

Таблица 3

Уравнение прямой
$y = 0$
$2x + 8y = 32$
$x + 2y = 12$
$3x + 4y = 36$
$3x + y = 15$
$x = 0$
$3x + 12y = c$

Точки на осях координат, через которых проходит прямой
$(0, 4), (16, 0)$
$(0, 6), (12, 0)$
$(0, 9), (12, 0)$
$(0, 15), (5, 0)$
$(0, \frac{c}{12}), (\frac{c}{3}, 0)$

Тангенс угла наклона прямой
$0 \frac{1}{4}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{3}{4}$
$3 \frac{\infty}{1/4}$

Множество допустимых точек изображено на рисунке 11, из которого видно, что прямая $x + 2y = 12$ лежит целиком вне этого множества. Таким образом, сторонами этого множества служат лучи осей координат и отрезки.

Решениями задачи служат все точки стороны, лежащей на этой прямой. Концами этой стороны служат вершины, лежащие в точках пересечения прямой $2x + 8y = 32$ с соседними прямыми $y = 0$ и $3x + 4y = 36$ (напомним, что прямую $x + 2y = 12$ мы исключали из рассмотрения).

Итак, координаты $(x_1, y_1)$ первого вершины $M_1$ определяются из системы уравнений
$$\begin{cases} 2x_1 + 8y_1 = 32, \\ y_1 = 0, \end{cases}$$

9

Рис. 12.

откуда $x_1=16, y_1=0$, а координаты $(x_2, y_2)$ второй вершины $M_2$ определяются из системы уравнений

$$\begin{cases} 2x_2 + 8y_2 = 32, \\ 3x_2 + 4y_2 = 36, \end{cases}$$

откуда $x_2=10, y_2=1,5$.

Решениями задачи служат все точки отрезка $M_1M_2$, другими словами, точки вида $(16\lambda + 10(1-\lambda), 1,5\cdot(1-\lambda)) = (10+6\lambda, 1,5-1,5\lambda)$, где $\lambda$ — любое число между 0 и 1. Значение функции $3x+12y$ во всех точках отрезка $M_1M_2$ равно 48.

Упражнения *)

1. Решите «задачу о велосипедах».
2. Решите «задачу о карберах» с данными, приведенными на рисунке 12.
3. Как изменится множество допустимых точек в задане о самом дешевом рационне, если потребовать дополнительно, чтобы все рационна не превозходил s грамм? Может ли такое ограничение повлиять на решение?
4. Доказать, что любой выпуклый многоугольник на плоскости можно представить как многоугольник системы линейных неравенств.
5. Пусть $\frac{p}{q} = \frac{a_1}{b_1}$ (см. рис. 3 и 8). Как в этой ситуации изменяется решение задачи о самом дешевом рационне, если заменить в системе (2)

$$\begin{cases} a) c_1 на c_1 + \delta, \\ b) c_n на c_n + \delta; \end{cases}$$

δ — положительное, но очень маленькое число?

*) Ответы к этим упражнениям будут помещены в следующем номере.

2, Квант № 3

КВАРЦ ВОЛОСАТЫЙ

В природа извесен камень, называющийся в России «кварц волосатый». Это произчный кристалл кварца, произанный блескящими золотыми нитями (см. рисунок на обложке).

Плиний называется нитями «Волосами Венеры», а на востоке их называют «Волосами Магомета» и камень считали связыванием. В настоящее время эти «Волосы», или, как их теперь называют, нитевидные кристаллы, выращиваются в лабораторных условиях. Исследования с помощью электронного микросопола показали, что «Волосы Венеры» не что иное, как очень тонкие и длинные кристаллы окисла титана $(\text{TiO}_2 - \text{рубин})$, представляющие собой трубки прямого угольного сечения с толщиной стенок 1–2 мк (см. фотографию).

Нитевидные кристаллы обладают целым рядом очень интересных свойств, одно из которых — высокая прочность — дает возможность создавать на их основе новые, так называемые компонционные материалы.

М. А. Голосова

10

В этой статье расссказывается о метода, позволящем упрощать сложные задачи по расчету электрических цепей.

Что мы понимаем под «преобразование цепи»? Предположим, что у нас есть сложная схема из сопротивлений, имеющая множество выводов и подключения к источникам. Заменим эту схему другой, с тем же числом выводов, причем так, чтобы сопротивления между двумя любыми выводами у новой схемы были таким же, как у старой. Ясно, что источники «ничего не узнат» об этой замене, и точки, потребляемые схемой, останутся прежними. Но найти эти точки, возможно, оказется проще.

Следовательно, если мы хотим подсчитать токи в сложной схеме, ее можно заменить более простой эквивалентной схемой. При этом токи внутри заменяемой части меняются. Поэтому так поступать можно только с той частью схемы, которая нас непосредственно не интересует.

С подобными заменами вы уже встретались.

Пусть, например, в схеме два сопротивления $r_1$ и $r_2$ включены последовательно, их мы можем заменить одним, равным по величины сумме $r_1 + r_2$. Если же два сопротивления включены параллельно, то их также можно заменить одним, величины которой равна $R = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2}$

Это простейшие примеры преобразования цепей. Мы же останавимся на более сложных схемах.

Постотрим, как преобразуется друг в друга схемы, имеющие по три вывода — «звезда» (рис. 1, а) и «треугольник» (рис. 1, б).

Немного непrivычные обозначения (рис. 1, б) очень удобны, индекс показывалот, между какими точками включено сопротивление. Например, сопротивление $R_{13}$ включено между точками 1 и 3 и т. д.

Если мы хотим заменить одну из этих схем другой, нужно получить такие соответствия между $r$ и $R$, чтобы сопротивления между любыми точками были для обеих схем одинаковы.

В схеме «звезды» (рис. 1, а) сопро-

12

Рис. 4.

«треугольник» ACD «звездой», как показано на рис. 4.

Теперя ясно, что сопротивление между точками A и B будет равно
$$\frac{1}{3} + \frac{28}{33} = \frac{13}{11} \text{ ома}.$$

Мы заменяли «треугольник» ACD «звездой», но можно было решать задачу иначе — заменя «звезду» ADB «треугольником».

Пусть теперь к точкам A и B подключена батарея с пренебрежимом малым внутренним сопротивлением и с э.д. с. E=1 в. Нужно найти ток через участок CB.

Преобразовать схему надо так, чтобы не затронут интересующей нас сопротивление CB. Подойдет то преобразование, которое мы делали раньше (рис. 4).

Используя то, что $R_{AB} = \frac{13}{11} \text{ ома}$, получим $I = \frac{E}{R_{AB}} = \frac{11}{13} a$. После разветвления точки подляется в относении, обратном сопротивлениям ветвей:

$$\frac{I_1}{I_2} = \frac{7}{4}.$$

При этом $I_1 + I_2 = I$. (I — ток до разветвления, $I_1$ — ток в верхней ветви, $I_2$ — ток в нижней ветви).

Отсюда

$$I_1 = \frac{7}{13} a$$

Немного сложнее было бы найти ток, идущий через участок CD. Для этого пришлось бы еще найти ток,

13

Рис. 6.

тенциометра. Причем сумма сопротивления $5r+R_1$ и $7r+R_2$ остается постоянной. Посмотрим, какими они должны быть, чтобы полное сопротивление было максимальным. Обозначим $5r+R_1$ через $r_1$ и $7r+R_2$ через $r_2$. Тогда общее сопротивление включенных параллельно частей схемы $r_0 = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2}$. Если учеть, что $r_1+r_2 = const = c$, то сопротивление $r_0$ выразится так: $\frac{r_1 (c-r_1)}{c}$. Это выражение максимально, когда максимальное число слипель. Но $y = (cr_1-r_1^2)$ — это уравнение параболы (рис. 7), ветви которой пересекают ось абсцисс в точках $O$ и $c$. Поэтому численный дроби наибольший при $r_1 = \frac{c}{2}$. Так как $r_1+r_2 = c$, то это означает, что сопротивление между точками $A$ и $B$ максимально, если $r_1=r_2$, то есть $5r+R_1=7r+R_2$, или $R_1-R_2=2r$.

Ясно, что это возможно лишь в том случае, если сопротивление всего потенциометра $R=R_1+R_2$ не меньше чем $2r$. В противном случае максимум сопротивления между точками $A$ и $B$ достигается, когда движок потенциометра находится в крайнем положении.

Итак, ответ: $R \leq 2r$.

Метод, о котором мы рассказыли, очень удобен для последовательного преобразования сложной схемы к простому виду. Он позволяет расчитать практические любую сложную цель, состоящую из сопротивлений.

Этот метод можно применять к цепям, содержащим не только сопротивления.

Обратите внимание на то, что мы вообще не говорили нигде о физических процесах в цепи, а пользовались только формальным выражением для закона Ома: $U=r \cdot I$. Из него следует, что при последовательном соединении их величины складываются, а при параллельном — складываются величины, обратные сопротивлением $\left(\frac{1}{r_{06\pi}} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}\right)$. Понятно, что если какие-нибудь другие физические величины связаны законом, аналогичным закону Ома, то все наши выводы справедливны и для них.

В качестве примера рассмотрим цепь с конденсатором (рис. 8). Мы знаем, что $Q=C \cdot U$, или $U = \frac{1}{C} Q$.

14

Рис. 9.

Сравним это с выражением для закона Ома $U=r \cdot I$.

Видно, что законы положки, только вместе тогда стоит заряд, а вместе сопротивления — величины, обратная емкость. Это означает, что для того, чтобы найти, скажем, заряды на конденсаторах, можно поступить так. Вместо цепи, содержащей конденсаторы, нарисовать цель, содержащую сопротивления, причем конденсатор емкостью $x$ фарад заменить сопротивлением $r = \frac{1}{x} \text{ om}$. После того, как мы рассчитаем ток в цепи из сопротивлений, можно сразу написать, каковые заряды на конденсаторах: если по сопротивлению течет ток $I=y$ амер, то на соответствующем конденсаторе будет заряд $Q=y$ кулонов.

Э. д. с. батарей при таком преобразования цепи остаются без изменения. Но, разумеется, в цепи с конденсаторами внутренние сопротивления батарей не влияют на результат. Поэтому, преобразуется цель, нам придетя лишить батарей их внутренних сопротивлений.

Пусть, например, нужно найти заряд на конденсаторе емкостью $10 \text{ мкф}$ (рис. 9). Конденсатору

15

НРАВИТСЯ ЛИ ВАМ ВОЗИТЬСЯ
С ЦЕЛЫМИ ЧИСЛАМИ?

М. И. Башмаков

Несолько школьникам предложили ответить на такой вопрос:
Узнать, верно или нет равенство $3^{100} + 7^{100} = 8^{100}$.
Через несколько минут все они ответили, что это равенство неверно.
Вот наиболее типичные обязывания.

1. Посмотрим на последнюю цифру чисел, стоящих справа и слева. 3 в квадрате — это 9, 3 в кубе кончается на 7, в четвертой степени — на 1, в пятой — на 3, в шестой — на 9 и т. д. Через четыре степени последняя цифра повторяется, поэтому у числа $3^{100}$ последняя цифра та же, что у $3^4$, то есть 1. Точно так же легко считать, что у $7^{100}$ последняя цифра тоже 1, а у $8^{100}$ — 6. Итак, у числа последняя цифра 2, а справа — 6. Следовательно, числа слева и справа различны.

2. $3 + 7$ больше, чем 8. Но $3^2 + 7^2 = 58$ меньше, чем $8^2 = 64$. Далее, $3^{100} + 7^{100} = (3^2)^{50} + (7^2)^{50} < (3^2 + 7^2)^{50} = 58^{50} < 64^{50} = 8^{100}$. Получили, что слева стоит число меньше, чем справа.

3. Число, стоящее слева, делится на 2, но не делится на 4. Действительно, любое нечетное число в квадрате дает единицу в остатке от деления на 4: $(2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1$. Сумма двух таких чисел $(3^{50})^2 + (7^{50})^2$ дает в остатке 2. Справа же стоит число, делящаяся на 4.

Похожи ли друг на друга приведенные доказательства? Легко заметить сходство первого и третьего: в том и в другом сравниваются остатки от деления на некоторое целое число, в одном — на 10 (последняя цифра), а в другом — на 4. Но найти аналогию между этим доказательствами и вторым совсем не так просто. Мы попробуем просчитать ее в конце этой статьи. Пока же научимся применять первый способ рассужждения к некоторым другим задачам.

Вышисления «по модулю»

Зад ач a 1. Доказать, что уравнение $x^3 = 2 + 3 y^2$ не имеет решений в целых числах.

Рассмотрим это уравнение «по модулю 9», то есть с точностью до слагаемых, кратных деляти *). Поскольку каждое целое число $x$ имеет вид $3n$, $3n - 1$ или $3n + 1$, где $n$ — целое, $a(3n \pm 1)^3 = 27n^3 \pm 27n^2 + 9n \pm 1 = 9k \pm 1$, где $k$ — целое число, то любое число в кубе или делится на 9, или дает при делении на 9 в остатке 1 или 8.

*) Вообщше, два целых числа $a$ и $b$ называют сравнимыми по модулю $k$, если разность $a - b$ делится на $k$. Тем, кто не знаком с этим понятением, мы советем посмотреть статью А. А. Егорова «Арифметика остатков» в «Кванте» № 5, 1970.

Точно так же, поскольку $3(3n \pm 1)^2 = 27n^2 \pm 18n + 3$,

$3y^2$ дает при делении на 9 остаток 0 или 3. Итак, права часть нашей уравнения по модулю 9 может равнять только 2 или 5, а левая — только 0, 1 или 8, так что они не могут совпадать ни при каких целях. Самы вычисления «по модулю» проделать просто. Сформируем основное правило этих вычислений: если при сложении (или при умножении) мы замещаем числа сравнимыми с ними по

16

модулю $k$, то получаем число, сравнимое с суммой (или произведением) по модулю $k$. Иными словами, в равенстве, в котором функцияют действия сложения и умножения, можно заменять числа на сравнимые с ними по модулю $k$ всегда, когда в ответе мы интересуемся лишь остатком от деления на $k$.

To, что $a$ и $b$ сравнимы по модулю $k$, записьают так: $a \equiv b \pmod{k}$. Правила операций над сравнениями можно записать так:

$$\text{если } \begin{cases} a \equiv b \pmod{k}, \\ c \equiv d \pmod{k}, \end{cases}$$

$$\text{то } \begin{cases} a + c \equiv b + d \pmod{k}, \\ ac \equiv bd \pmod{k}. \end{cases}$$

Напомним, что по определению $a \equiv b \pmod{k}$ означает, что $a - b = k \cdot q^*$.

Займется такой, довольно искусственной задачей.

Задание 2. Доказать, что равенство $1153^{60} + 211^{60} = 27027 \cdot 100^x + 2$ невозможно ни при каком целом $x$.

Ясно, что если по какому-либо модулю мы не получим равенства, то его не может быть и в общим смысле. По модулю 2 никакого противоречи не обнаруживается — справа и следа стоит четные числа (нули по модулю 2). Займется модулем 3. $1153 \equiv 1 \pmod{3} = 1153^{60} \equiv 1 \pmod{3}$; $211 \equiv 1 \pmod{3} = 211^{60} \equiv 1 \pmod{3}$. Справа $27027 \equiv 0 \pmod{3}$. Поэтому вся правая часть дает в остатке 2. Снова не получаем противоречи. Если у вас хватит терпения, убедитесь в том, что по модулю всех чисел до 16 включительно написанное равенство справедливо. (Вы заметите, что $27027 \cdot 100^x, x \geq 2$, делится на каждое из этих чисел, а следа будет получаться в остатке 2.)

*) Будьте осторожны с делением сравнения. Если $ac \equiv bc \pmod{k}$, то не обязательно верно, что $a \equiv b \pmod{k}$. Например, $27 \equiv 3 \pmod{6}$, но $9 \neq 1 \pmod{6}$. Однако если $c$ взаимно просто с модулем $k$, то сокращать на $c$ можно. Это является следствием такого ежного и не просто доказываемого факта: если $c$ взаимно просто с $k$, то существует такое число $x$, что $cx \equiv 1 \pmod{k}$.

Если вы будете последовательны, то по модулю 17 вы получите следующие равенство: $(-3)(-2)^x + 2 \equiv 0 \pmod{17}$. Перебирая подряд значения $x$ (цикл здесь получится длины 8), вы ни разу не получите нужного равенства. Противоречие найдет.

Проделанные выкладки будут сразу много вопросов:

(1) Если равенство неверно, то можно ли это обнаружить по какому-либо модулю?

(2) Можно ли как-то указывать те модули, по которым более вероятно получить противоречия?

(3) Связано ли между собой поведение равенства по разным модулям?

Если идет речь о каком-то конкретином числовом равенстве (как это было у нас в самом первом примере), то, конечно, всегда такая числа, сравнимая по модулю которой мы нашуаем противоречие (например, можно взять число, большее общих частей равенства). Гораздо более интересны равенства, в которых есть переменные (так было в двух последних примерах). Для уравнения в целых числах каждой из трех поставленных вопросов интересен и не всегда исследован до конца.

Немного недоказанного

Первые уравнения в целых числах, при решении которых появляются сердезные трудности, — это квадратные уравнения*. Издавна математики интересовались вопросами такого сорта: можно ли данное число число представить в виде суммы двух квадратов? Оказалось, что разрешимость уравнения вида $x^2 + y^2 = a$ и других более общих, задаваемых многочленами второй степени, свидетель к проверке разрешимости сравнения (положи-

*) Теория линейных целочисленных уравнений довольно проста. В то же время она содержит ряд интересных задач, близких к элементарным, и заслужевает отдельной статы.

18

исследования вопросов, касающийся цельх чисел: поставить эти вопросы «по модулю $p$», а затем из поведения по всем $p$ делать общие выводы. Такой способ расчудения получила название «приицпа Минковского — Хассе». Нашлись и продолжают еще встречаться задачи, для которых он дает результат: задача имеет решение в цельх числа тогда и только тогда, когда она разрешима по любому модулю. Тем большем разочарованием было нахождение примеров, где этот принцип не работает. Одним из первых примеров такого рода (но не самым первым хронологически) оказался пример, найденный норвежским математиком Зельмером. Уравнение $3x^3+4y^3+5z^3=0$ оказалось разрешимым по любому модулю (и, конечно, в вещественных числах), но неразрешимым в цельх числа (отличных одновременного от нуля). Этот пример послужил отправной точкой многохиследовании по диофантсвым уравнением (то есть уравнением в цельх числа) последних 15 лет. Следует только сказать, что за это время число неясных вопросов и гипотез сильно увечились, а истинные корни того, что на самом деле проискодит, не проясились.

Расстояния между рациональными числами

Важнейшим современным достижением в теории чисел является новое понимание того, что ознакомлен «вычисления по модулю». Для простоты от цельх чисел перейдем к рациональным. (Этот переход часто делает безболезненно — так, оченьным образом связаны между собой решения уравнения $x^n+y^n=z^n$ в цельх числа с решениями уравнения $x^n+y^n=1$ в рациональных.) Ясно, что, если мы хотим решить уравнение в рациональных числах, мы должны узнать, решается ли оно в вещественных числах. Эту разрешимость проверять гораздо проще: можно извлекать различные корни, логарифмировать, писать неравенства и т. п.

Но вспомним, как же получились вещественные числа из рациональных? Одана из точек зреня такова: можно рассматривать последовательности рациональных чисел, расстояние между соседними членами которых неограниченно уменьшается. Например, 1; 1,4; 1,41; 1,4142; … Такая последовательность (которую можно представлять себе как последовательность изменений с возрастной точностью) и определяет вещественное число. Как же изменяется отклонение друг от друга соседних членов последовательности? Если последовательность записать так: $a_1; a_2; a_3; ...$, то расстояние между членами записывается как $|a_m-a_n|$. Таким образом, основой для получения вещественных чисел из рациональных служит расстояние, определяенное как абсолитная величины разности. Обозначим расстояние между двумя числами так: $d(a, b) = |b-a|$. Попробуйте вывести следующие свойства расстояния*:

1. $d(a, b) \geq 0$, при чем $d(a, b) = 0 \Rightarrow a=b$;
2. $d(a, b) = d(b, a)$;
3. $d(a, c) \leq d(a, b) + d(b, c)$ (неравенство треугольника);
4. $d(a+c, b+c) = d(a, b)$;
5. $d(ab, 0) = d(a, 0) \cdot d(b, 0)$.

Okазалось, что, кроме общей абсолитной величины, у рациональных чисел есть еще много других расстояний, обладающих свойством 1—5. Зафиксируем произвольное простое число $p$. Всякое рациональное число $a$ (кроме нуля) можно представить в виде $a=p^v \cdot r$, где $v=v(a)$ — целое число, а рациональное число $r=r(a)$ таково, что в записи его в

*) Первые три из этих свойств — основные, которые удовлетворят общие расстояние на плоскости и в пространстве; это аксимоны, которые должны удовлетворять любая «метрика» (см. статью Н. Б. Васильева «Метрические пространства» в «Кванте» № 10, 1970). Четвертое и пятое свойства вещественного расстояния с операциями сложения и умножения чисел. Про метрику, которая им удовлетворяет, говорят, что она является метрикой поля (например, $d(b, a) = |b-a|$ — метрика поля вещественных чисел).

19

виде несократимой дроби ни в числитель, ни в знаменатель не входит $p$. (Заметим, что $v(a)$ может быть и нулем, и отрицательным целым числом. Например, если $p=3$, $a=\frac{73}{324}=3^{-4}\cdot\frac{73}{4}$, то $v(a)=-4$.) Возьмем теперь произвольное положительное число $\lambda<1$. Определим расстояние $d_p$ так: $d_p(a,b)=\lambda v(a-b)$, если $a\neq b$, и $d_p(a,a)=0$. Нетрудно проверить (пробуйте это сделать самостояльно), что все свойства расстояния будут выполнены.

Раз есть новое расстояние, то можно попробовать получить новые числа, строя последовательности разциональных чисел $a_1, a_2, \ldots$, так, чтобы расстояния между соседними уменышались. Это означает, что $\lambda v(a_{n+1}-a_n)$ при увеличении $n$ должно становиться все меньше и меньше и стремится к нулю, а тогда $v(a_{n+1}-a_n)$ должно рассти.

В итоге получим новые числа, которые называют $p$-адическими $^*$. Они очень похожи на вещественные. Так же легко, как и для вещественных чисел, исследуются вопросы, когда можно извлечь корень, логарифмировать и делать другие операции над $p$-адичесными числами. Задча же о разрешимости уравнения по модели степени данного простого числа заменится задачей о разрешимости его в $p$-адических числах.

Возникает вопрос, нашли ли мы все расстояния между разциональными числами. Оказывается, что да. Есть знаменатель теорема Ostrovского (с ней можно познакомиться в цитированной выше книге по теории чисел), показывающая, что все расстояния исчерпываются общной абсолотной величины и введеными нами $p$-адичесими расстояниями для каждой простого $p$.

Мы как бы уравняли в правах поведение уравнения по модели отделно взятого простого числа и его степени, с одной стороны, и поведение его в обычных вещественных

$^*)$ Легко доказать, что выбор $\lambda$ на простение и свойства $p$-адичесих чисел не влияет. Можно, если угодно, всюду считать, что $\lambda=\frac{1}{2}$ или $\lambda=\frac{1}{p}$.

числах — с другой. В том и в другой случае числа сравниваются по их расстоянию друг от друга, но эти расстояния выбираются по разному. (Телер мы видим, чем похожи второе и третье решение задачи, с которой началась наша статья.)

Понимание этого факта сильно обогатило теории чисел, снова привело в нее мощные методы теории функций и геометрии, развивые прежде для общих вещественных чисел, но успешно применяемые и для $p$-адических чисел, сделало эту сумму древнюю ветвь математики новых одной из самых цветущих.)

Упражнения

1. Докажите, что ни одно из уравнений a) $x^2+y^2=1971$, b) $19x^3-17y^3=50$, b) $3x^2-y^2=5^z$, r) $x^3+y^3+7z=3$ не имеет решений в целых числах.

2. Докажите, что из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 нельзя составить двух различных семизначных чисел, из которых одно делится на другое. (В каждом цифре быть использованы все цифры.)

3. Докажите, что число, десятичная запись которого состоит из трицати единиц, неокоторого количества нуля и неокоторого количества девяток, не является полным квадратом.

4. Найдите 5-адичское расстояние (то есть расстояние $d_5$) между числами: a) 0 и $\frac{2}{5}$; b) $1\frac{31}{45}$ и $6\frac{2}{15}$; b) 6 и 631.

5. Докажите, что для 3-адичесих чисел верно равенство

$$1+3+9+27+\ldots=-\frac{1}{2}$$

(другими словами, последовательность расстояний

$$\alpha_n=d_3\left(1+3+\ldots+3^n,-\frac{1}{2}\right)$$

стремится к нулю).

Чему равна сумма $1+3^2+3^4+3^6+\ldots$?

21

Доска движется на круглых катках. При этом она сохраняет горизонтальное положение и остается на той же высоте. Почему это происходит? Да потому, что окружность имеет одну и ту же ширину при любом повороте.

А будет ли дока движется так же, если воспользоваться некруглыми катками? В первый момент кажется, что это невозможно. Не будем, однako, спешить. Оказывается, есть кривые, которые, подобно окружности, имеют одинаковую ширину во всех направлениях. Они так и называются линями одинаковой ширины.

Одна из простейших кривых такого рода показана на рисунке 1. Она состоит из двух $A_1B_1, A_2B_2, A_3B_3$ радиуса $r$ и двух $B_1A_3, B_3A_2, B_2A_1$ радиуса $R$, центры которых находится в вершинах правильного треугольника $O_1O_2O_3$. Легко видеть, что ширина этой кривой одинаковая во всех направлениях и равна $R+r$. Следовательно, катки, профили которых очередны по таким кривым, будут работать ничуть не хуже круглых (рис. 2).

Кривую, изображенную на рисунке 1, можно получить так. Возьмем отрезок $A_1B_3$ и, повернуть его на $60^\circ$ вокруг точки $O_1$, переведем в положение $B_1A_2$. Затем, повернуть отрезок $B_1A_2$ на $60^\circ$ вокруг точки $O_2$, получим отрезок $A_3B_2$ и, наконец, повернуть отрезок $A_3B_2$ на $60^\circ$ вокруг точки $O_3$, вновь придем к отрезку $A_1B_3$. В процессе этих поворотов один конец расматривается отрезка опшет дуг $A_1B_1A_3B_3$, а другой — дуг $B_3A_2B_2A_1$. Следовательно, кривую, показанную на рисунке 1, можно расматривать как траекторию, описываемую концами неокоторого

22

Рис. 3.

Ширина всех этих кривых построена и равна длине поворачиваемого отрезка. Можно поворачивать отрезок вокруг одного из его концов. Так мы получим простейшую кривую равной ширины, отличную от окружности (рис. 4). При этом отрезок $AB$ поворачивается сначала вокруг точки $A$, переходя в положение $AB'$, затем вокруг точки $B'$, переходя в отрезок $B'B$, и, наконец, вокруг точки $B$, замыкая кривую.

Рассмотрим теперь неокторный отрезок $AB$. Пусть он катися без скольжения по кривой SS. Тогда в каждой

Рис. 4.

отдельный момент такое движение можно рассматривать как вращение отрезка относительно точки касания. Точка касания, относительно которой в данной момент совершается поворот, называется мгновенным центром вращения (например, точка $C$ на рисунке 5).

Представление о мгновенном центре вращения позволяет легко вычислить скорости различных точек отрезка $AB$. Например, для скорости точек $A$ и $B$ будем иметь

$$v_A = \omega \cdot CA,$$
$$v_B = \omega \cdot CB,$$

где $\omega$ — угловая скорость отрезка $AB$ в его «мгновенном» вращении вокруг центра $C$. При этом скорости рассматриваемых точек будут перепендикулярны соответствующим радиусом вращения, то есть отрезкам $CA$ и $CB$. Таким образом можно вычислить скорость любой точки, лежащей на этом отрезке или жестико связанной с этим отрезком. Если, например, с отрезком $AB$ жестко связана неокторная фигура, то скорость любой точки $P$ равна произведению $\omega \cdot CP$.

Вернемся теперь к кривым построенной ширины. Пусть отрезок $AB$ катися по кривой SS. Так как скорости $v_A$ и $v_B$ перепендикулярны радиусом $CA$ и $CB$, то они параллельны между собой. Но скорость $v_A$ направ-

23

Рис. 6.

лена по касательной к траектории точки $A$, а скорость $v_B$ — по касательной к траектории точки $B$. Следовательно, эти касательные параллельны друг друга, и расстояние между ними все время остается равным $AB$. Но это значит, что траектории $A_1A_2$ и $B_1B_2$ можно рассматривать как участики некоторой кривой постояной цирины.

Однако нам нужно построить не два участика, а всего такую кривую. Если мы хотим сделать это с помощью описываемой операции, то должны выбрать линию $SS$ так, чтобы, обказывая ее, отрезок $AB$ повернулся на $180^\circ$, то есть чтобы точка $A$ пришла в положение $B$, а точка $B$ — в положение $A$. Однако из таких линей — $PQRP$ — показана на рисунке 6. Проследим более подробно, как отрезок $AB$ обказывает ее.

Сначала он катися по участику $PQ$ и приходит в положение $A'B'$. При этом его концы описывают дуги $AA'$ и $BB'$. Затем он катися по участику $QR$, а его концы описывают дуги $A'A''$ и $B'B''$. Наконец, он обказывает участик $RP$, а его концы движутся по дугам $A''B$ и $B''A$. В результате точка $A$ приходит в положение $B$, а точка $B$ — в положение $A$, и кривая построенной цирины замыкается. При этом дуги $PQ$, $QR$

и $RP$ могут иметь любую форму и не обязательно должны быть одинаковыми. Единственное, что от них требуется, — это чтобы они были выпуклыми и касались друг друга так, как это показано на рисунке. Что касется отрезков $AP$ и $PB$, то их длина не может быть произвольной, либо тогда дуга, описываемая точкой $A$, не «вольется» вдугу, описываемую точкой $B$. Здесь можно построить следующим образом. Проведем через точку $P$ прямую, касающуюся дуги $PQ$, и поставим на ней точку $A$. Заставим теперь эту прямую обказывать линию $PQRP$. Тогда конец дуги, которое опшет при этом точка $A$, определяет положение точки $B$.

Линия $PQRP$, показанная на рисунке 6, состоит из трех дуг. Но число дуг может быть и больше. Например, на рисунке 7 изображена кривая построенной цирины, полученная при обказывании линии $PQRSTP$, состоящей из пяты дуг.

Кривые построенной цирины обладают еще одним свойством, родняшим их с окружностью. Они выражается следующей теоремой:

Периметр кривой построенной цирины $l=\pi D$, где $D$ — ширина этой кривой.

Докажем эту теорему.

24

Рис. 8.

Пусть горизонтальная прямая $PQ$ перемещается с помощью катков постояной ширины (рис. 8). Расстоянием один из этих катков, например левый. Пусть его ширина равна $D$, а перimetр — $l$. Когда прямая $PQ$ перевиется настолько, что этот каток сделает один оборот, он смеется относительно прямой $MN$ на расстояние $l$ вправа. Но так как он катится не только по прямой $MN$, но и по прямой $PQ$, то после одного оборота он оказывается смецным относительно прямой $PQ$ на расстояние $l$ влево. Следовательно, перемещение прямой $PQ$ относительно прямой $MN$ будет равно $2l$.

Но так как это же смешение равно $vt$, где $t$ — время, за которым каток делает один оборот, то

$$2l = vt. \tag{1}$$

(Mы считаем, что прямая $PQ$ движется с постояной скоростью.) Мгновенный центр врашения катка находится в точке $A$, значит, скорость перемещения

$$v = \omega \cdot AB = \omega D,$$

где $\omega$ — угловая скорость катка. Подставив это выражение в равенство (1), получим

$$2l = \omega Dt. \tag{2}$$

Но $\omega t$ есть угол поворота катка за один оборот. Следовательно,

$$\omega t = 2\pi,$$

и равенство (2) прибретает вид

$$2l = 2\pi D,$$

откуда

$$l = \pi D.$$

Таким образом, перimetр кривой постояной ширины вычисляется так же, как перimetр окружности. А какова площадь, ограниченная кривой постояной ширины? Можно ли вычислять так же, как площадь круга? Оказывается, нет. Однако площадь колчаца постояной ширины можно вычислять, как площадь колчаца между двумя концентрическими окружностями. Более точно это означает следующее.

Рассмотрим кривую постояной ширины (рис. 9). Через произвольную точку $C$ на ней проведем нормаль (нормально называется прямая, перпендикулярная касательной) и отложим вдоль нее отрезок $CC'$ заданной длины $d$. Отложив такие отрезки от каждой точки данного кривой, получим новую кривую, являющийся геометрическим местом концов отложенных отрезков. Очевидно, она тоже будет иметь постояную ширину. Если теперь обозначить через $S$ площадь, заключенную между этим кривыми, то будет справедливо равенство

$$S = \frac{\pi D_2^2}{4} - \frac{\pi D_1^2}{4},$$

где $D_1$ — ширина внутренней кривой, а $D_2$ —наружной.

Попробуйте доказать это сами.

25

ПОЛУПРАВИЛЬНЫЕ

Л. М. Лоповок МНОГОУГОЛЬНИКИ

По определению выпуклый многоугольник называется правильным, если он равноугольный и равносторонний. Однако существует интересный класс фигур, не обладающих этим двумя свойствами одновременно. Мы будем называть полуправный и следующее многоугольники:

a) равноугольные, у которых стороны равны через один;
b) равносторонние, у которых углы равны через один.

Примером полуправного многоугольника первого рода является прямоугольник, а второго — ромб. Из описания полуправных многоугольников видно, что у каждой из них четное число вершин; обозначим его через $2n$.

Свойства полуправных равноугольных многоугольников

1. Противоположные стороны равноугольного многоугольника параллельны.

Действительно, выполняя обход многоугольника, заменаем, что каждая сторона повернута относительно предыдущей на внешний угол, то есть на $\frac{180^\circ}{n}$ (рис. 1). Следовательно, сторона $A_{n+1}A_{n+2}$ повернута относительно стороны $A_1A_2$ на сумму $n$ внешних углов, то есть на $180^\circ$.

2. Если соединить вершины полуправного равноугольного многоугольника через один (все нечетные или все четные вершины), то получится правильный многоугольник (рис. 1).

Доказательство несложно: треугольники $A_1A_2A_3$, $A_3A_4A_5$, $A_5A_6A_7$, … равны по первому признаку, значит, $A_1A_3=A_3A_5=\dots$. С другой стороны, из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Обозначим внутренний угол равного $2n$-угольника через $\alpha_{2n}$. Находим внутренние углы получшегося у нас многоугольника: они равны

$$\alpha_{2n} - (\beta + \gamma) = \alpha_{2n} - (180^\circ - \alpha_{2n}) =$$

$$= 2\alpha_{2n} - 180^\circ = 2 \cdot 180^\circ \left( 1 - \frac{1}{n} \right) -$$

$$- 180^\circ = 180^\circ \left( 1 - \frac{2}{n} \right),$$

Рис. 1.

4. Квант № 3

26

как и должно быть у правильного $n$-угольника.

3. Около полуправильного равноугольного многоугольника можно описать окружность.

Опишем окружность около правильного $n$-угольника $A_1A_3A_5\dots$ (рис. 2). Внутренний угол равноугольного $2n$-угольника равен $180^\circ \left(1 - \frac{1}{n}\right)$. Легко подсчитать, что $\Rightarrow A_1A_2A_3$ вдвое меньше градусной величины дуги $A_3A_5A_1$, значит, точка $A_2$ лежит на построенной окружности. Это относится и к другим вершинам: $A_4$, $A_6$,…

На свойстве 3 основаны два способа построения полуправильных равноугольных многоугольников.

a) Строим правильный $n$-угольник $A_1A_3A_5\dots A_{2n-1}$, описываем около него окружность. Затем находим (с помощью циркуля) на окружности точки $A_2$, $A_4$, $A_6$,…, $A_{2n}$, удаленные на одно и то же расстояние от соответствующих вершин $n$-угольника: $A_1A_2=A_3A_4=..$

b) Строим треугольник $A_1A_2A_3$ по двум сторонам (произвольной длины) и известному углу между ними, описываем около этого треугольника окружность. Затем, зная размеры всех сторон, засечками циркуля последовательно находим остальные вершины.

4. Если число вершин полуправильного равноугольного многоугольника кратно 4, то больше диагонали пересекаются в одной точке и делятся его пополам.

Для доказательства использования 2: эти диагонали являются также диагоналями правильного многоугольника с четырьмя числом сторона, поэтому они пересекаются в одной точке — центре описанной около многоугольника окружности—and делятся этой точкой пополам.

Если же число вершин полуправильного равноугольного многоугольника не кратно 4, то нетрудно построить пример (рис. 3), когда больше диагонали пересекаются в несколько точках.

5. Центр окружности, описанной около полуправильного равноугольного $4n$-угольника, является его центром симметричным.

Из свойства 4 следует, что при центральной симметричности относительно окружности вершины многоугольника переходит в вершины; следовательно, стороны тоже переходят в стороны.

6. Прямая, проходящая через середины двух параллельных сторона полуправильного равноугольного многоугольника, является его осью симметричным.

По свойству параллельных хорд окружности эта прямая проходит через центр описанной окружности. Из равенства соответствующих хорд по обе стороны от прямой следует симметричность соответствующих вершин

27

Многоугольника относительно проведенной прямой (см. далее рис. 6).

7. Пусть полуправильный равноугольный многоугольник имеет 2n вершин, тогда центр описанной около него окружности является его центром симметричной порядка n.

Это означает, что при повороте вокруг центра окружности на угол, кратный $\frac{360^\circ}{n}$, многоугольник совмещается с собой. Это следует из свойств 2 и 3.

8. Сумма расстояний от внутренней точки до сторона (или их продолжений) полуправильного равноугольного многоугольника построена.

Как известно, таким свойством обладает полуправильный многоугольник.

Если соединить внутреннюю точку равноугольника с вершинами, то сумма площадей полученных треугольников равна площади многоугольника. Обозначив сторону многоугольника через $a$, а расстояния до сторона через $x_0, x_1, x_2, x_3, \dots$, получим

$$S = \frac{ax_0}{2} + \frac{ax_1}{2} + \frac{ax_2}{2} + \frac{ax_3}{2} + \dots;$$

$$x_0 + x_1 + x_2 + x_3 + \dots = \frac{2S}{a} = \text{const.}$$

Пусть в данной многоугольнике сторона $A_1A_2$ больше стороны $A_2A_3$. Построим на $A_1A_2$ правильный 2n-угольник (рис. 4). Тогда все стороны исходного многоугольника (кроме трех) соответственно параллельны сторонам равильно многоугольника, а три ($A_1A_2$ и смешные с ней) лежат на сторонах равильно многоугольника. Следовательно, расстояния от внутренней точки $M$ до сторона равильно многоугольника таковы:

$$x_0 = y_0, \ x_1 = y_1, \ x_2 = y_2, \ x_3 = y_3 + b_1,$$

$$x_4 = y_4 + b_2, \ x_5 = y_5 + b_3, \dots,$$

где $b_1, b_2, b_3$ постоянны, а искомая сумма

$$y_0 + y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + \dots = (x_0 + x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + \dots) - (b_1 + b_2 + \dots) = \text{const.}$$

9. Если последовательно соединить стороны равноугольного равноугольного многоугольника, то получится полуправильный равносторонний многоугольник.

Действительно, по свойству 2 все malые диагонали полуправильного равноугольного многоугольника равны между собой. Стороны равноугольника (рис. 5) вдвое меньше этих diagonалей, так как является средним линейным треугольников $A_1A_2A_3, A_2A_3A_4, A_3A_4A_5, \dots$. Используя свойство 7, легко установо-