Квант 1971, №4 · Страницы

Научно-популярный физико-математический
квант
4
1971
журнал
Академии
наук СССР
и Академии педагогических
наук СССР

В номере:

Экономика и линейные нераваенства 1 А. Б. Каток
Закон Ома 8 Я. А. Смородинский
Логические задачи и алгебра высказывания 14 Л. Л. Цинман
Основы теории вихрей 21 Н. Е. Жуковский
Эффект Доплера 30 Л. Г. Асламазов

Задачик «Квант» 33
Решения задач М28—М30, Ф41—Ф47 35
Практикум абитуриента Тригонометрические нераваенства 43
Вступительные экзамены по математике в Московском институте электронного машиностроения 51
В. Б. Демьянов
Информация Заочный математический турир 56
Олимпiadы, олимпiadы 57
Рецензии. Библиография По обе стороны зеркала 58
Уголок коллекционера СССР — родина космонавтики 60
Ответы, указания, решения 62
«Квант» для младших школьников 3-я стр. обложки
Кроссворд 4-я стр. обложки

неравенству $x_2 \geq 0$, образуют полупространство, лежащое «сзади» плоскости $x_1Ox_3$, а точки, удовлетворяющие неравенству $x_3 \geq 0$, образуют полупространство, лежащое сверху от плоскости $x_1Ox_2$.

Таким образом, точки $(x_1, x_2, x_3)$, для которых одновременно выполнены все три неравенства $x_1 \geq 0, x_2 \geq 0, x_3 \geq 0$, лежат в пересечении трех описанных полупространств, то есть в положительном оканте («1/8 части») пространства (см. рис. 1).

Точки $(x_1, x_2, x_3)$, для которых $a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 = p_1$, образуют плоскость, проходящую через точки $P_1 = \left(\frac{p_1}{a_{11}}, 0, 0\right)$ на оси $Ox_1$, $Q_1 = \left(0, \frac{p_1}{a_{12}}, 0\right)$ на оси $Ox_2$ и $S_1 = \left(0, 0, \frac{p_1}{a_{13}}\right)$ на оси $Ox_3$. Точки, для которых $a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 \leq p_1$, (3)

лежаат в одном из полупространств, на которые делит пространство эта плоскость. Так как $p_1 > 0$, то координаты точки $O = (0, 0, 0)$ удовлетворяют неравенству (3). Поэтому нужно выбрать полупространство $L_1$, которое содержит эту точку. Точки $(x_1, x_2, x_3)$, координаты которых удовлетворяют системе неравенств

$$\begin{cases} x_1 \geq 0, x_2 \geq 0, x_3 \geq 0, \\ a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 \leq p_1, \end{cases}$$

лежаат в пересечении полупространства $L_1$ с положительным окантом. Это пересечение представляется собой неправильный tetraэдр $OP_1Q_1S_1$ (рис. 2).

Точки, координаты которых удовлетворяют неравенству $a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 \leq p_2$, лежат в полупространстве $L_2$, которое содержит точку $O$ и ограничено плоскостью, проходящей через точки

$$P_2 = \left(\frac{p_2}{a_{21}}, 0, 0\right),$$

$$Q_2 = \left(0, \frac{p_2}{a_{22}}, 0\right),$$

$$S_2 = \left(0, 0, \frac{p_2}{a_{23}}\right).$$

Решениями системы неравенств

$$\begin{cases} x_1 \geq 0, x_2 \geq 0, x_3 \geq 0, \\ a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 \leq p_1, \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 \leq p_2 \end{cases}$$

случит пересечение tetraэдра $OP_1Q_1S_1$ с полупространством $L_2$ или, что же самое, пересечение tetraэдров $O_1P_1Q_1S_1$ и $OP_2Q_2S_2$. Возможны следующие случаи:

a) Все три точки $P_2Q_2S_2$ лежат в пересечении tetraэдра $OP_1Q_1S_1$ (это означает, что $\frac{p_1}{a_{11}} \leq \frac{p_2}{a_{21}}$; $\frac{p_1}{a_{12}} \leq \frac{p_2}{a_{22}}$, $\frac{p_1}{a_{13}} \leq \frac{p_2}{a_{23}}$).

Тогда пересечение tetraэдров $OP_1Q_1S_1$ и $OP_2Q_2S_2$ совпадает с tetraэдром $OP_1Q_1S_1$ (рис. 3, a).

b) Некоторые из точки $P_2, Q_2, S_2$ лежат внутри, а неоторные вне

4

тетраэдра $OP_1Q_1S_1$ (это означает, что среди чисел

$$\frac{p_1}{a_{11}} - \frac{p_2}{a_{21}}, \frac{p_1}{a_{12}} - \frac{p_2}{a_{22}}, \frac{p_1}{a_{13}} - \frac{p_2}{a_{23}}$$

имеется по крайней мере одно положительное и одно отрицательное). Тогда плоскость $P_2Q_2S_2$ «отрезает угол» у tetraэдра $OP_1Q_1S_1$; пересечением tetraэдров $OP_1Q_1S_1$ и $OP_2Q_2S_2$ будет многогранник с шестю вершинами (на рис. 3, б многогранник $OP_2Q_2D_1D_2S_1$).

в) Все три точки $P_2$, $Q_2$, $S_2$ лежат внутри tetraэдра $OP_1Q_1S_1$, то есть

$$\frac{p_1}{a_{11}} \geq \frac{p_2}{a_{21}}, \frac{p_1}{a_{12}} \geq \frac{p_2}{a_{22}}, \frac{p_1}{a_{13}} \geq \frac{p_2}{a_{32}}.$$

В этом случае пересечение tetraэдров $OP_1Q_1S_1$ и $OP_2Q_2S_2$ совпадает с $OP_2Q_2S_2$.

Присоединяя к системе (4) последующие неравенства системы (2), увидим, что каждое следующее неравенство или никак не меняет множество решений системы предыдуших неравенств (как в случае a)), или построенная плоскость «отрезает» часть многогранника, соответствующего решении системы (как в случае б) и в )).

Так же как и на плоскости, множество точки в пространстве называется выпуклым, если вместе с каждыми свойствами двумя точки оно целиком содержит соединяющий их отрезок. Так как полупространство—выпуклое множество и общая часть вы-

пуклых множества, очень многожество, то множество точки, соответствующего решению решения системы (2), представляется собой выпуклый многогранник $A$. Однако из вершин этого многогранника обязатьсяно будет точка $O$, а ребрами, исходящими из этой вершины, будут неоторные отрезки осей координат. Заметим, что, в отличие от того, что мы имеем при решении задачи «о корме для цыплят», многожество допустимых точки в данной случае оказалось ограниченным.

Назовем плоскость опорной к выпуклому множеству в пространстве, если это множество целиком лежит в одном из полупространств, на которых эта плоскость делит пространство, и в то же время по крайней мере одна точка многожества лежит на плоскости.

Рассмотрим семейство параллельных плоскостей

$$x_1 + x_2 + x_3 = K.$$

При $K < 0$ эти плоскости не пересекают положительное октана и, следовательно, многогранника $A$. Плоскость

$$x_1 + x_2 + x_3 = 0$$

является опорной к многограннику $A$ и пересекается с ним в единственной точке (0, 0, 0). Весь многогранник $A$ лежит в полупространстве $x_1 + x_2 + x_3 \geq 0$. Точка (0, 0, 0) соответствует minimumу линейной функции

5

$f(x) = x_1 + x_2 + x_3$, заданной на многограннике $A$. При дальнейшем увеличении $K$ плоскость $x_1 + x_2 + x_3 = K$ будет пересекать многогранник $A$ по многоугольнику.

Найдется такое значение (рис. 4) $K = K_0$, что плоскость $x_1 + x_2 + x_3 = K_0$ вновь будет опорной к многограннику $A$, но многогранник будет лежать в полупространстве $x_1 + x_2 + x_3 \leq K_0$.

Очевидно, линейная функция $f(x) = x_1 + x_2 + x_3$ достигает максимума на многограннике $A$ во всех точках пересечения многогранника $A$ с плоскостью $x_1 + x_2 + x_3 = K_0$. Как видите, в семействе параллельных плоскостей, задаваемых уравнениями (5), существует две опорные к многограннику $A$ плоскости, одна из которых соответствует минимуму, а другая — искомому максимуму функции $x_1 + x_2 + x_3$ на $A$. Пересечение выпуклого многогранника с опорной плоскостью может состоять либо из единственной вершины многоугольника, либо из точек неокоторого ребра многогранника, либо из точек неокоторой грани многогранника. Каждый из этих трех случая может осуществиться в нашей ситуации.

Грани многогранника $A$ лежат в плоскости
$$x_i = 0 \quad (i = 1, 2, 3),$$
$$a_{j1}x_1 + a_{j2}x_2 + a_{j3}x_3 = p_j$$
$(j = 1, \dots, n)$

причем, не обязательно во всех. Каждый ребро лежит в пересечении двух

Рис. 4.

из этих плоскостей, а каждая вершина — в пересечении нескольких (трех или больше) плоскостей. Далее в вершине пересекаются больше чем три плоскости, можно выбрать три из этих плоскостей, пересечение которых состоит только из этой вершины. Koординаты точки пересечения трех плоскостей можно найти, решив систему уравнений, заданной эти плоскости.

Итак, искать вершины многогранника $A$ можно следующим образом. Составить всеозможноtbody тройки уравнений из $(n+3)$ уравнений (6). (Число таких треек равно $\frac{(n+3)(n+2)(n+1)}{6}$).

Каждуто трейку можно рассматривать как систему трех линейных уравнений с третья неизвестными. Если решения $(x_1, x_2, x_3)$ этой системы существует и единственно, то надо проверить, выполняются ли для чисел $x_1, x_2, x_3$ остальные $n$ неравенств системы (2). Если неравенства выполняются, то точка $(x_1, x_2, x_3)$ — вершина многогранника $A$. После этого для решения задачи линейного программырования достаточно сравнить значения функций $f(x) = x_1 + x_2 + x_3$ во всех полученных вершинах и выбрать те из них, в которых это значение наиболее наиболее точным. Такая процедура связывана с довольно большой вычислительной работой, особенно если $n$ достаточно велико.

На самом деле решения большинства системы не будет вершинами многогранника $A$, и, кроме того, для решения задачи линейного программырования не обязательно знать все вершины многогранника. Поэтому таким неопределенным перебором при решении задачи линейного программырования не пользовются.

Наноболее распространенный и веса экономный способ решения задачи линейного программырования при думали в 1947 году американские математики Дж. Фон Нейман и Дж. Данцг, которые не знали тогда о работах Л. В. Канторовича и независимо от него пришли к методу линейного программырования. Они

6

назвали свой способ симплекс-методом. Мы опишем сейчас геометрическую идею симплекс-метода в применении к нашей трехмерной задаче. На самом деле при использовании симплекс-метода задачу преобразуют, вводя некоторые дополнительные неизвестные, что позволяет с алгебраической точки зрения упростить процессуру решения. Однако для сохранения геометрической наглядности мы не будем этого делать.

Итак, начнем с вершины
$$O = (0, 0, 0),$$

в существовании которого мы уверены, и рассмотрим ребра многогранника $A$, выходящие из этой вершины. Пусть $P$ — второй конец одного из таких ребер. Значение функции
$$f(x) = x_1 + x_2 + x_3$$

в точке $P$ больше, чем в О. Расмотрим теперь все ребра многогранника $A$, выходящие из точки $P$. При движении из точки $P$ по некоторым из этих ребер значение функции $x_1 + x_2 + x_3$ может убивать или оставаться постоянным. Эти ребра мы сразу отбросим и выберем одно из ребер, при движении по которой значение функции $x_1 + x_2 + x_3$ возрастает. Пусть $P'$ — второй конец этого ребра. Значение функции $x_1 + x_2 + x_3$ в вершине $P'$ больше, чем в вершине $P$. Расмотрим все ребра, выходящие из точки $P'$ и выберем какое-нибудь ребро $P'P''$, при движении по которой значение функции $x_1 + x_2 + x_3$ возрастает и т. д.

На каждом шаге мы будем получать вершину многогранника $A$, в которой значение функции $x_1 + x_2 + x_3$ больше, чем в предыдущих. В конце концов мы приедем к такой вершине
$$M = (x_1^0, x_2^0, x_3^0),$$
что при движении вдоль любого ребра, выходшего из этой вершины, значения функции $x_1 + x_2 + x_3$ не будут возникать. Это значит, что плоскость
$$x_1 + x_2 + x_3 = x_1^0 + x_2^0 + x_3^0,$$

опорная к многограннику $A$ и $M$ — одно из решений задачи линейного программирования. Для нахождения других решений нужно найти такие ребра, выходящие из $M$, при движении по которым значение функции $x_1 + x_2 + x_3$ остается постоянным.

Если таких ребер нет, то $M$ — единственное решение задачи.

Если такое ребро одно, то решения задачи — все точки этого ребра. Если ребер два, то решениями служат все точки грани, в которой лежат эти ребра.

Чаще всего из каждой вершины многогранника $A$ исходит три ребра. В этом случае на каждом шаге прощеся приходиться проверять всего два ребра (так как ребро, на котором лежит предыдущая вершина, можно сразу отбросить). Если вдоль общих этих ребер значения функции в двух положениях вершинах и выбрать ту из них, в которой это значение больше. Если из вершины исходит больше число ребер, вдоль которых значения функции в двух положениях вершинах и выбрать ту из них, в которой это значение больше. Если из вершины исходит больше число ребер, вдоль которых значения функции в двух положениях вершинах и выбрать ту из них, в которой это значение больше. Такой способ может оказаться более экономным с вычислительной точкой зрения, так как не требуется предварительно нахождение концов всех ребер, выходящих из данной вершины.

Все геометрические понятия, которые оказываются полезными при рассмотрении задач линейного программирования с двумя и трех переменными (прямая, плоскость, параллельность, выпуклое множество, опорная прямость и т. д.), можно сформировать чисто алгебраически на языке уравнения и неравенств. При пользовании этим языком, в отличие от геометрической, как правило, не возникнет существенных различий между случаями двух, трех и большого числа пере-

менных, и соответствующие определения по аналогии переносятся на общий случай.

С другой стороны, ценность геометрического языка состоит в том, что интуция может подсказывать некоторые построения и приемы решения задач, до которых трудно допуматься, если пользоваться только алгебраической языком. Симплескметод представляет хороший пример такого приема. В силу этого оказывается полезным ввести геометрический язык и в случае произвольного числа переменных.

Уражнения

1. Докажите, что если плоскости
   $$x_1 + x_2 + x_3 = K$$
   параллельны какой-нибудь грани многогранника $A$, то плоскость
   $$x_1 + x_2 + x_3 = K_0$$
   совпадает с плоскостью этой грани.

2. Верно ли, что если плоскости
   $$x_1 + x_2 + x_3 = K$$
   параллельны какому-нибудь ребру многогранника $A$, то плоскость
   $$x_1 + x_2 + x_3 = K_0$$
   проходит через это ребро?

3. a) Пусть в задаче выбора технологических на ресурсы ставится задача максимизировать не выпуск продукции, а приблибь, то есть разность между ценой произведенной продукции и затратами на использование в производстве ресурсы, причем известно, что цена единицы произведенной продукции равна $q$ рублей затраты при использовании единиц $j$-го ресурса равны $q_j$ рублей ($j=1,\dots,m$).

6. Пусть в задаче выбора технологическая, чтобы выпуск продукции был не меньше чем $S$ единиц и при этом чтобы затраты были минимальными.

Сформулируйте каждую из этих задач как задачу линейного программирования. Докажите, что существуетровно одно значение $S$, при котором решения задачи 6) совпадает с решениями задачи a).

Литература

А. С. Солодовников, Введение в линейную алгебру и линейное программирование. М., «Просвещение», 1966.

8

Закон Ома
Я.А.СМОРОДИНСКИЙ

Простой с первого взгляда

Объчно закон Ома формулирует так. Возьмем проводник с током (рис. 1). Пусть к его концам приложена разность потенциальов $V_A - V_B$, причем $V_A > V_B$. тогда сила тока, текущего по проводнику, будет определяться формулой

$$I = \frac{V_A - V_B}{R},$$

где $R$ — сопротивление проводника. Кроме того, добавляют, что если проводник с постоянным сечением $S$ однороден по всей длине $l$, то $R = \frac{1}{\sigma} \frac{l}{S}$, где $\sigma$ называют удельной проводимостью, а $\frac{1}{\sigma} = \rho$ — удельным сопротивлением.

График зависимости тока от приложенной разности потенциальов выражается прямой (рис. 2).

Закон Ома выглядит очень простым и оченьным. Ведь ясно, что чем больше разность потенциальов,

$$V_A \quad V_B \quad I$$

рис. 1.

tem больше и ток. Но почему между этим двумя величины существует простая пропорциональность,почему величина $R$ сама не изменяется с ростом тока? Обыт показал, что закон Ома оказывается верным как для очень маленьких, так и для очень больших токов в металх. К проводке прикладывали такую большую разность потенциальов, что на длине в 1 см потенциаль изменяется на миллион волт. И все-tаки ток можно было определить по закону Ома. Правда, на самом деле в таких опытах наблюдались очень небольшие отклонения от этого закона, но их вплоне можно было обьясить тем, что проводник, несмотря на все преодосторожности, нагревался, и его сопротивление менялось из-за изменения температуры. Этот на первый взгляд простой закон вызывает интересные вопросы.

В какую сторону течение ток?

Почему ток течение в сторону падает потенциальа, а не в сторону его повышения? Возьмем батарейку и замкнем ее на какое-нибудь сопротивление, например, включим лампочку. Согласно закона Ома по цепи потребет ток от положительной клеммы батарейки через лампочку к отпечатальной клемме, уменьшая разность потенциальов между клеммами, которая конечно будет восстановляться батарейой, но на это все время расходуется энергия (об этом будет еще разговор дальше).

Что было бы, если бы ток пошел в обратном направлении? Заряды клемм

10

временны выражается экспоненциальной функцией *).

Зная свойства экспоненциальной функции, мы можем написать, что величины заряда изменяется так:

$$Q(t) = Qe^{-\frac{2t}{CR}}$$

Таким образом, уменшение заряда будет произходить по экспоненциальному закону. Строю говоря, заряды исчезнут только при бесконечно большом времени, но практически они станут незаметными очень быстро.

Объчно временем установления равновесия принято называть время, за которое заряды шариков (а значит, и ток в цепи) уменшается в $e$ раз. Для нашей примера это время равно $\frac{CR}{2}$.

История открытия

Мы и сейчас относят закон Ома к числу важнейших законов физики. Когда Георг Симон Ом (1787—1854) обнаружил этот закон, ему просто не поверили. Главная работа Ома вышла в 1927 году в Берлине и называлась «Гальваническая цель, математическая разработанная доктором».

*) Об экспоненте рассказано в «Кванте» № 1 за этот год. Только там α выбрано равным единице.

**) Проверим последнюю формулу. Расмотрим два момента времени $t$ и $t+\Delta t$.

$$Q(t+\Delta t) = Qe^{-\frac{2}{CR}(t+\Delta t)}$$

$$Q(t) = Qe^{-\frac{2}{CR}t}$$

Разность этих двух функций можно вычислить (при малых $\Delta t$). Заметим, что речь идет об изменении функции $e^x$, причем $x$ изменяется от $\left(-\frac{2}{CR}t\right)$ до $\left[-\frac{2}{CR}(t+\Delta t)\right]$, то есть на величины $\Delta x = -\frac{2}{CR}\Delta t$.

Таким образом, $\Delta Q = -\frac{2}{CR}\Delta t \cdot Q$, так как скорость изменения экспоненциальной функции пропорциональна ей самой.

Г. С. Омом». Но первые его исследование началось раныше, результаты их были опубликованы в 1825 году. Чтобы понять, как трудно было добиться признания этих работ, надо знать, какими средствами располагают физик-экспериментатор 150 лет назад.

В 1820 году Ампер обнаружил, что электрический ток отклоняет магнитную стрелку компаса. Это позволило в принципе изменить «силу тока» и понять, что есть разница между силой тока и напряжением. К этому времени были известны два источника тока: электрическая батарея «вольтов столь» (его изобрел в 1799 году А. Волта) и термодействический элемент, изобретенный Зеебеком в 1821 году. Однако никак не предоплагал, что можно установить математические законы действия батареи. Изменению действия батареи при разных соедининых элементов физики удивлялись, но никак не мог увидеть здесь ясных закономерностей. Кроме того, галванические батареи в то время были плоские, направленные на их концах изменялись во время опыта (батареи «садились»), что сильно запутывало результаты опытов. Ом отказался от этих батареей и провел свои первые опыты, использую в качестве источника ток термодействический элемент, который давал значительное менший ток, но загол был стабилен. Разность потенциальов такого элемента составляет около 0,0045 волта. Чтобы изменить силу тока, получаемую от термодействия, Ом придумал новый метод. Проводник с током располагался вдоль по направлению свободно подвешенной магнитной стрелки (т. е. вдоль меридиана), и изменялся угол, на котором надо было закрутить нитку, чтобы стрелка не отклонилась от этого направления. Угол закручивания нитки и характеризовал силу тока.

Первая формула, которую получил Ом, имела вид

$$X = \frac{a}{b+x},$$

В том месте, где находится источник тока, происходит резкий скачок разности потенциальов, который и определяет электродвижущую силу в контуре. Если интересовать только внешней цепью, то последнюю формулу можно переписать так:

$$IR = \varepsilon - Ir.$$

Мы видим, что разность потенциаль на выводах источника тока меньше электродвижущей силы на величины $Ir$.

Посмотрев теперь на формулу Ома

$$X = \frac{am}{bm+x},$$

мы видим, насколько хорошо Ом понял роль смих гальванических элементов в электрической цепи. Он не только установил, что э.д. с.батереи (составленной из последовательно соединенных элементов) пропорционально числу элементов, но и ввел число элементов в знаменатель формулы. Это значит, что он хорошо понял роль внутреннего сопротивления батареи, которое (как это нам сейчас очень удобно) также пропорционально числу последовательно соединенных элементов.

Локальный закон Ома

Напишем еще одну формулу для закона Ома. Для этого воспользовемся плотностью тока — отношением силы тока, текущего через очень маленькую площадку $S$ (расположенную перpendикularно направленную тока), к величины этой площадки

$$j = \frac{I}{S}.$$

Тогда из закона Ома следует, что

$$j = \frac{V_A - V_B}{RS} = \sigma \frac{V_A - V_B}{l}.$$

Если точки $A$ и $B$ расположены очень близко друг к другу, то величины

$$\frac{V_A - V_B}{l} = E$$

называют напряженною электрического поля. Напряжение $E$ есть вектор, направленный в сторону наибольшее быстромузывящее потенциаль. Так как $j$ — тоже вектор и направлен он в ту же сторону, то мы можем написать закон Ома в векторной форме

$$\vec{j} = \sigma \vec{E}.$$

В таком виде закон Ома можно применять к любому телу в любой его точке. В это выражение не входят никакие геометрические размеры тела, а только проводимость $\sigma$, определяемая веществом в том месте, в котором мы измеряем плотность тока. В такой форме закон Ома носит локальный характер, т. е. в него входят величины, относящие только к одной избранной точке (а не ко всем цепи, как это было в формулах, которые мы писали выше).

Элементарная теория формулы Ома

Закон Ома мы сейчас умеем обьяснять очень просто. Носитляем ток в металх служеб электроны, которые движутся под действием электрического поля. В проводнике происходит беспорядочное тепловое движение. Под действием электрического поля на него накладывается более упорядоченное движение. (Объчно его скорости меньше тепловых.) Электрическое поле действует на электроны с силой

$$\vec{F} = e\vec{E}.$$

Почему же электроны не движутся равноскореенно? Потому что они стalkиваются с atomами и теряют свою скорость. Подробно это объяснен в стать Д. А. Франк-Каменецкого (см. «Квант» № 9, 1970 г.).

Электрон набирает дополнительную скорость только за то небольшое время $\tau$, которое он движется почти свободно в промежутке между двумя стольновениями; это время называют «временем свободного пробета». За время $\tau$ электрон наберет дополнительную скорость, равную

13

произведению ускорения $\frac{e}{m} \vec{E}$ на τ:
$$\vec{u} = \frac{e}{m} \vec{E} \tau.$$

Если число электронов («свободных электронов», то есть таких, которые не «привязаны» к атомам) в единице объема обозначить через $N$, то через $1 \, cm^2$ будет протекать электрический ток, равный заряду электрона, умноженному на число электронов, проходящих через $1 \, cm^2$ в 1 секунду

$$\vec{j} = \frac{1}{2} \frac{e^2}{m} N \tau \vec{E}.$$

В этой формуле вместе скорсти $u$ мы написали половину от нее. Это просто среднее арифметическое начального и конечного значения скоростей между двумя соударениями.

Отсюда можно написать выражение для удельной проводимости (как коэффициента пропорциональности между $\vec{j}$ и $\vec{E}$):

$$\sigma = \frac{1}{2} \frac{e^2 N \tau}{m}.$$

Джоулево тепло и работа источника тока

Таким образом, за простой формулой закона Ома скрывается много сложных явлений. При течение тока электроны все время получают энергию от электрического поля и все время теряют ее при стольнових с атомами. В результате, как хорошо известно, выделяется тепло

*) Иногда эту же формулу пишут несколько иначе, заменяя τ по формуле

$$\tau = \frac{\text{свободный пробег}}{\text{средняя тепл. скорость}} = \frac{\lambda}{v_{\text{cp}}}.$$

Свободный пробег — это средний путь, протекаемый электроном между двумя соударениями. Тогда

$$\sigma = \frac{1}{2} \frac{e^2 N \lambda}{m v_{\text{cp}}}.$$

Эта формула носит название формулы Друде.

(так, например, нагревается электрическая плитка, проволока в которой обладает большим сопротивлением).

Количество тепла, которое выделяется на участке проводника с сопротивлением, определяется формулой Джоуля — Ленца

$$Q = \frac{1}{J} I^2 R,$$

где $J$ — механический эквивалент тепла:

$$J = 4,184 \frac{\partial \chi}{\kappa \cdot \kappa a l}.$$

За счет каких же ресурсов выделяется тепло? Ответ: эту работу как и производит источник тока, поддерживает потенциаль на своих клеммах.

Возвращаясь к формуле Ома для замкнутой цепи, можно сказать, что энергия, расходуемая в форме тепла во всей цепи, включая внутреннюю часть самого источника тока, равна $E I$, то есть произведение Э. d. c. на силу тока

$$I^2 (R + r) = E I.$$

Работа, совершаемая источником тока, происходит либо за счет химического энергии (в батареях), либо за счет механического (в генераторах). Последняя формула выражает закон сохранения энергии для цепи, состоящей из источника тока, замкнутого каким-либо сопротивлением.

Формула закона Ома позволяет расчитывать любые цепи постоянного тока, а в немного измененной форме ее можно обобщить и на токи переменные.

Уражнения

1. Найдите, по какому закону будет изменяться потенциальы двух шариков, подобных нарисованным на рисунке 3, если заряд одного $Q=0,01$ кулона, а другого 0,02 кулона. Произведение $CR$ положите равным $10^{-12}$ сек.

2. Через сколько времени разность между зарядами шариков уменьшится в 20 раз?

14

Логичские задачи и алгебра высказывания

Л. Л. Цинман

Начнем с формулировок несколько логических задач.

Задача 1. После родительской собраня к учительнице подошел один из родителей.

— Вот вы не назвали моей сына среди хороших учеников — сказал он. — А ведь мой Федя — отличник и к тому же лучший льжник класса.

— Да, вы правы, — ответила учительница. — Но хорошим учеником мы считаем ученика, который хорошо учится, дисциплинован, помогаем в учебе отстающим и, кроме того, указывает в работе научного кружка или занимается спором. А ваш Федя…

Что еще собиралась сказать учительница Фединому пале?

Задача 2. Оdnажды следовательно пришлось одновременно допрашивать трех свидетельей: Клода, Жака и Дика. Их показания промиворечили другие другие, и каждый из них обвинили коо-нибудь во лжи. Клод умерerkдал, что Жак лжет, Жак обвинил во лжи Дика, а Дик уеваривал следовательно не верить ни Клоду, ни Жаку. Но следовательно быстро вывел их на чистую воду, не задав им ни одно вопроса. Кто из свидетельей ответил правду?

Задача 3. Оdnин лоеик попал в плен к дикарам и был заключен в темницу, имеющую два выхода. Вожде дикарей предложил пленнику следующий шанс на спасение: «Оdnин выход ведем на свободу, а другой на верную смерть. Ты можете избрать любой. Сделать выбор мебе помогаем моей свидетелью. Он останется здесь, что

бы ответить на один вопрос — любой, какой мы пожелаем ему задать. Но я предупреждаю мебе: если у этого стражника хорошо нестроение, то он говорит правду, если же у него настроение плохое, то он лжет!»

После минутного размышления собравимемый лоеик задал один вопрос, после чего безшибочно выбрал том выход, который вел на свободу. Что это был за вопрос?

Логичские задачи, подобные перечисленным, часто появляются в научно-популярных изданиях. Для их решения не требуется каких-либо специальных знаний из области логики, требуется лишь достаточно хорошо развитое логическое мышление. Но представьте себе человека, взявшегося за решение какой-либо числовой задачи (на движение, переливание) и не умелошего при этом свободно делать алгебраические преобразования и решать уравнения. Приблизительно в таком же положении вы оказываетеся при решении логических задач без использования вспомогательного аппарата, который носит название алгебры высказывания или алгебры логики (в отличие от алгебры чисел, изучаемой в школе).

Цель статьи — познакомить читателя с первоначальным сведениями из этой необходимости алгебры и, используя полученные знания, решить формулированные выше задачи. Заметим, однако, что алгебра высказывания используется не только для решения логических задач (это лишь один из занимаемых ее приложений), но она является также важной

составной частью одного из современных разделов математики — математический логики.

Алгебра высказываний элементами являются высказывания, например: «Федя — отличник», «Федя — хороший ученик», «Дик лжет». При рассмотрении высказываний нас будет интересовать лишь один вопрос — является ли данное высказывание истинным или ложным. Так, первое из приведенных высказываний истинно, второе — ложно (см. условие задачи 1), третье высказывание тоже либо истинно, либо ложно, но для выяснения этого вопроса необходимо решить задачу 2. Для обозначения высказываний в алгебре логики мы будем использовать большие латинские буквы A, B, C,… Запись

зн. {A}=1

означает, что значение высказывания A есть истинна, а запись

зн. {A}=0

означает, что значение высказывания A — ложь.

Таким образом, всякое высказывание может принять одно из двух значений: 0 или 1.

В обиденной речи из простых высказываний с помощью различных союзов, частц, связок мы образуем составные высказывания. Так из высказывания A и высказывания B можно составить такие высказывания: «А и B»; «А или B»; «не A» («неверно, что A»); «если A, то B»; «либо A, либо B» и другие.

При меры

«(Клод лжет) u (Жак лжет)»;
«неверно, что (Федя — хороший ученик)»;
«если (Клод говорит правду), то (Жак лжет)».

Введем теперь в нашей алгебре операции над высказываниями, причем определим эти операции так, чтобы они соответствовали некоторым наиболее употребительным способам обработания составных высказываний в обычном языке.

Логическая произведение высказываний (конъюнкция)

Логическая произведение высказывания A и высказывания B обозначается так: A ∧ B. Эта операция должна соответствовать составному высказыванию «A и B». Такое составное высказывание мы считаем истинным тогда и только тогда, когда она данных высказывания истинны. Например, в качестве операции логического произведения естественно взять такую таблицу истинности:

| A | B | A ∧ B |
| :— | :— | :— |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |

Логическая сумма высказываний (дизьюнкция)

Обозначение логического суммы: A ∨ B. Эта операция должна соответствовать составному высказыванию «A или B». Послее высказывание мы считаем истинным тогда и только тогда, когда истинно хотя одно из данных высказываний. Именно в таком смысле в задаче 1 учителяница употребила слово или в определении хорошего ученика.

Таблица истинности для операции или выглядит так:

| A | B | A ∨ B |
| :— | :— | :— |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |

16

Отрицание высказывания
Обозначение отрицания высказывания $A : \bar{A}$. Отрицание высказывания $A$ соответствует высказыванию «не $A$» («неверно, что $A$»). Поэтому оно определяется такой таблицей истинности:

| $A$ | $\bar{A}$ |
| :— | :— |
| 1 | 0 |
| 0 | 1 |

С помощью введенных операций в алгебре высказывания из отдельных высказываний $A, B, C$… можно строить сложные алгебраические выражения, например: $\bar{A} \vee B; \bar{A} \wedge B; (A \vee \bar{B}) \wedge C$.

Как и в числовой алгебре, условия, что операция умножения старше, чем операция сложения. Это позволяет не писать неокоторые скобки. Тепер выражение

$((A \wedge B) \vee ((\bar{A} \vee B) \wedge C))$

можно переписать в виде

$A \wedge B \vee (\bar{A} \vee B) \wedge C$.

Если знать значение каждого высказывания, входящero в алгебраческое выражение, то с помощью таблиц истинности можно найти значение этого алгебраческого выражения. Найдем, например, значения алгебраческого выражения $\bar{A} \vee \bar{B}$ при всех возможных значениях его компонент $A$ и $B$:

| $A$ | $B$ | $\bar{A}$ | $\bar{B}$ | $\bar{A} \vee \bar{B}$ |
| :— | :— | :— | :— | :— |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |

Сначала по значениям в первых двух столбцах заполняется третьий и четвертый столбцы, а потом, согласно определению сложения, заполняется последний столбец. Эта таблица называется таблицей истинности для выражения $\bar{A} \vee \bar{B}$.

Тепер построим таблицу истинности для $\bar{A} \wedge \bar{B}$:

| $A$ | $B$ | $\bar{A} \wedge \bar{B}$ |
| :— | :— | :— |
| 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |

Последанные столбцы в приведенных таблицах оказались одинаковыми. Это означает, что при любых значениях высказывания $A$ и $B$ выражения $\bar{A} \vee \bar{B}$ и $\bar{A} \wedge \bar{B}$ принимают одинаковые значения. Такие алгебраические выражения мы будем называть равносильными. Для записи равносильности употребляется знак точдества:

$$\bar{A} \wedge \bar{B} \equiv \bar{A} \vee \bar{B}$$

Эти два равносильных выражения имеют один и тот же содержательный смысл, но выраженный разными словами.

Действительно, если $A$ и $B$ — какие-то высказывания, то $\bar{A} \wedge \bar{B}$ выражает сложное высказывание «неверно, что оба данных высказывания истинны», а $\bar{A} \vee \bar{B}$ выражает сложное высказывание «хотя бы одно из данных высказываний ложно».

Аlgебраические выражения, у которых в таблице истинности последний столбец состоит из единиц (из нулей), будем называть тоже逮венно истинными (тожд逮венно ложными) и обозначать буквой $H$ (буквой $J$).

С помощью таблицы истинности всегда легко установить, равносильны или нет два данных алгебраических выражения.

Приведем простейшие равносильности, неокторыми из которых мы в

17

дальнейшем будем пользоваться как правилами.

1. $A \wedge B \equiv B \wedge A$.
2. $A \vee B \equiv B \vee A$.
3. $(A \wedge B) \wedge C \equiv A \wedge (B \wedge C)$.
4. $(A \vee B) \vee C \equiv A \vee (B \vee C)$.
5. $A \wedge (B \vee C) \equiv (A \wedge B) \vee (A \wedge C)$.
6. $A \vee (B \wedge C) \equiv (A \vee B) \wedge (A \vee C)$.
7. $A \wedge A \equiv A$.
8. $A \vee A \equiv A$.
9. $\overline{A} \wedge \overline{B} \equiv \overline{A} \vee \overline{B}$.
10. $\overline{A} \vee \overline{B} \equiv \overline{A} \wedge \overline{B}$.
11. $\overline{A} \equiv A$.
12. $A \wedge \overline{A} \equiv \overline{J}$.
13. $A \vee \overline{A} \equiv \overline{H}$.
14. $A \wedge \overline{J} \equiv \overline{J}$.
15. $A \vee \overline{H} \equiv \overline{H}$.
16. $A \wedge \overline{H} \equiv A$.
17. $A \vee \overline{J} \equiv A$.

Если представить себе содержательный смысл правил 1—17 так, как это мы сделали выше с правилом 9, то эти равносильности станут очевидными и легко запоминаемыми.

Некоторые из перечисленных правил, а именно 1—5, аналогичны известным свойством операций сложения и умножения в числовой алгебре. Поэтому в алгебре высказываний мы можем производить алгебраические преобразования подобные тем, которые делаем в числовой алгебре. В частности, мы можем «перемножить» два алгебраических высказения по правилу умножения многочлена на многочлен.

Но в алгебре высказываний имеются и свои специфические правила, например 6.

Решение задачи 1

Введем обозначения для высказывания:

$A$: «Федя хорошего учится»;
$B$: «Федя дисциплинирован»;
$C$: «Федя помогает в учебе отстающим»;
$D$: «Федя участвует в работе научного кружка»;
$E$: «Федя занимается спортом».

Теперь высказывание «Федя — хороший ученик», согласно «определенного» хорошего ученика, данному учению,

тельницей, можно записать так:

$A \cup B \cup C$ ($D \cup E$).

На языке алгебры высказываний это сложное высказывание примет вид алгебраического выражения

$A \wedge B \wedge C \wedge (D \vee E)$.

Учительница утверждает, что «неверно, что (Федя — хороший уче-ник)», то есть

$$\{A \wedge B \wedge C \wedge (D \vee E)\} = 1.$$

Преобразуем теперь алгебраическое выражение в левой части сначала по правилу 9 (правда, в данном случае отрицание стоит над логическим произведением четырех компонентов, но нетрудно убедиться, что равносильность 9 остается справедливой и в этой более общей форме), а потом по правилу 10:

$$\begin{align*} \{A \vee \overline{B} \vee \overline{C} \vee (D \vee E)\} &= 1; \\ \{A \vee \overline{B} \vee \overline{C} \vee \overline{D} \wedge \overline{E}\} &= 1. \end{align*}$$

Федин попау утверждет (и учителица согласилась с ним), что

$$\{A\} = 1$$

(Федя — отличник!), а также

$$\{E\} = 1$$

(Федя — лучший лыжник класса!). Тогда в (1) первого и два последних слагаемых ложны и их можно отбросить по правилам 17 и 14.

Получаем, что

$$\{B \vee \overline{C}\} = 1.$$

Значит, учительница хотела пожаловать с Фединой пале или на то, что Федя — недисциплинирован, или на то, что он не помогает в учебе отстающим (а может быть, Федя став缚ы сразу оба эти недостатка).

Решение задачи 2

Обозначим показания свидетельяя Клода, Жака и Дика соответствующего буквами $K$, $J$, $D$. Мы не знаем, какие из этих показаний истинны, а какие ложны. Но нам известно следующее:

1. либо Клод сказал правду, и тогда Жак солгал, либо Клод солгал, и тогда Жак сказал правду;

2. Один студент пришел сдавать экзамен автоматической экзаменатору. На экране автомата появилось пять вопросов, на каждой из которых требуется дать ответ «да» или «нет».
   После ответа на все вопросы (для этого надо нажать соответствующее кнопки) автомат, оценивая каждый правильный ответ в 1 балл, ставит общую оценку за экзамен. Студент внимательно проелл все вопросы и с огорченем вынужден был констатировать, что он не знает ответа ни на один из них.
   Все его знания сведились к следующему:

1. первый и последний вопрос требуют противоположных ответов;
2. напротив, второй и четвертий вопрос должны иметь одинаковые ответы;
3. хотя бы один из первых двух вопросов требует ответа «да», то пятый требует ответа «нет».
   Кроме того, студенческий опыт подсказываем ему, что вопросов, требующих ответа «да», всегда ставится больше, чем вопросов, требующих ответа «нет».
   Картина получалась невесяла. Но студент не отчаивался. Он плохо знал данный предмет, но загорошо умел решать логические задачи. Быстро произведена листичке какие-то вычисления, он с радостью обнаружил, что 4 балла ему обеспечены, а если повезет, то он получит все 5 баллов. Какие вычисления произвед студент?

3. Писатели A, B, C, D пишут подпсевдомимами X, Y, Z, W. Требуется узнать, какой именно посвдомим использует каждой из писателей, если известно следующее:

1. если D не X, то B есть X;
2. если B не X и не W, то A есть X;
3. если C не W, то B есть Z;
4. если D есть Y, то B не X;
5. если A не X, то C не Y.

Для более полного знакомства с алгеброй высказываний можно рекомендовать также литературу:

Л. А. Калужин, Что такое математическая логика. М., «Наука», 1964, г.1 и 2.
И. М. Яглом, Необыкновенная алгебра. Серия «Популярные лекции по математике», М., «Наука», 1968.
Р. Р. Столл, Множества, логика, аксиоматические теории. М., «Просвещение», 1968, г.11, §§ 2.1—2.4.
П. С. Новиков, Элементы математической логики. М., «Физматгиз», 1959 г.
А. Гжегорчик, Популярная логика. М., «Наука», 1965.
А. Б. Трахтенброт, Алгоритмы и машинное решение задач. М., «Физматгиз», 1960.
Х. Фрейденталь, Язык логики. М., «Наука», 1969.

КАК ПРОЩЕ ДЕЛИТЬ?

Как проще всего разделить меньше число на большее, если больше число оканичивается цифрой 9?

Пусть требуется разделить число a на число b, причем a < b. Положим b = 10c + 9. Проверьте теперь, что

$$\frac{a}{10c+9} = 10^{-1} \frac{a-p_1}{c+1} + \frac{a-p_1}{c+1} + 10p_1$$

где $p_1$ — остаток от деления $a$ на $c+1$, так что $\frac{a-p_1}{c+1}$ — целое число.

Пусть $\frac{a}{b} = 0, \alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \dots$ —десятчная запись частного. Тогда $\alpha_1 = \frac{a-p_1}{c+1}$ и $\alpha_1 + 10p_1 = 0, \alpha_2 \alpha_3 \dots$.

Обозначив $\alpha_1 + 10p_1$ через $a_1$, запишем равенство $\frac{a_1}{10c+9} = 0, \alpha_2 \alpha_3 \dots$, из которого аналогичным образом найдем $\alpha_2$ и так далее.

При меры

1. Надо разделить 37 на 89. Поступаем так: 37 делим не на 89, а на 9, так как число единиц в делителье 9, а десятиков 8, 8+1=9. Затем остаток приписывается перед частным и снова делим на 9 и так далее. Частные дотпоследовательные цифры десятичной записи дроби $\frac{37}{89}$.

$$-\frac{37}{36} \left| \frac{9}{4} \right| - \frac{14}{9} \left| \frac{9}{1} \right|$$

$$-\frac{51}{45} \left| \frac{9}{5} \right| - \frac{65}{63} \left| \frac{9}{7} \right|$$

Итак, $\frac{37}{89} = 0,4157\dots$

(Окончание см. на стр. 29.)

22

решение сперва было получено Эйлером аналитической путем, но оставалось затерянным среди массы формул, и только благодаря простым и наглядным интерпретациям Пуансо представлено перед глазами ученых со всей ясноостью.

Какая роль выпала на долю Пуансо при разъяснения вопроса о движении твердого тела, такая же принадлежит и Гельмгольцу в разъяснение вопроса о движении жидкости.

Почти все работы Гельмгольца по механике посвязываны гидромеханике. Можно сказать, что современная гидродинамика своим развитием обязана главным образом Гельмгольцу. А между тем наиболее заменательная работа ученого в этой области появлась в 1858 году*), спустя 43 года после того как формулы, заключющие в себе причины сохранения виней, были найдены Коши. Но Коши рассматривал полученный им результат только с аналитической стороны и не предвидел той массы вопросов, которые могут быть решены при надлежащем геометрическом освещении выводов.

Я постараюсь теперь с возможностью простого обьясить вам установленное Гельмгольцем понятие о вине.

Воображим цилиндрический сосуд конечной высоты (рис. 1) с весы большей

*) Имеется в виду работа Гельмгольца об уравнениях гидродинамики, соответствующих винейным движением.

Рис 1

шим основанием, наполненый жидкость (или газом), и предположим, что эта жидкость движется так: центральный цилиндрический столбик ее некоторой толщины врашается, как твердое тело, около своей оси, а всегда масса жидкости кругится около этого столбика по кругам со скоростими, обратно пропорциональными расстоянию от оси столбика, причем эти скорости, увечиваясь по мере приближения к центральному столбку, переходит на его поверхности в скорость столбика.

Такое движение жидкости и называется винем, а характеризующий его цилиндрический столбик — виневым шнуром. Скажем, что направление виня равно половине произведения скорости жидкости на поверхности виневого шнура на перimetр нормального сечения шнура.

Удвоенную величины этого произведения называют циркуляцией скорости.

Вообще циркуляция скорости по какому-нибудь замкнутому контуру внутри движения жидкости равна произведению длины контура на среднюю из всех скоростей точек контура по направлению касательной к контуру.

Так как в движении жидкости, изобравнем на рисунке 1, скорости обратно пропорциональны радиусам, циркуляции скорости по всем горизонтальным окружностям, имеющим центр на оси столбика и охватывающим его, равны между собой и, следовательно, равны удвоенному направлению виня, а циркуляция скорости по контурам, состоящим из отрезков двух окружностей между отрезками двух радиусов, и лежащим вне шнура (контур АВСД на рисунке 2) равны нулю. Кроме того, можно доказать, что циркуляция скорости по всякому замкнутому контуру, охватывающей виня, равна удвоенному направлению виня, а циркуляция скорости по всякому замкнутому контуру, не охватывающей виня, равна нулю.

Рис. 5.

равны, то этот центр удалился бы в бесконечную даль, и оба шнура безалины вперед по направлению, перпендикулярному к прямой, соединяющей центры, как это видно из рисунка 5.

На рисунке 6 представлены траектории (пути) трех винревых шнуров, из которых 1 и 2 врашаются против часовой стрелки, а 3 — по часовой стрелке.

Установленное нами понятие о прямом винревом шнуре, заключенном в весма широком цилиндрическом сосуде, распространяется на винревые шнуры, зародившиеся в какой уголно массе жидкости. При этом винревые шнуры могут разыскивать с помощью составления циркуляций

Рис. 6.

Рис. 7.

25

время движения либо будет лежать своими концами на граних жидкости (на стенках сосуда или на свободной поверхности), либо будет оставаться замкнутым.

В самом деле, для того чтобы со стенок сосуда, основание вихря должно быть уменшиться в размерах до нуля; а так как циркульция скорости по контуру основания должна оставаться неизменного, то схожение потребовало бы, чтобы скорость круглой жидкости у подошвы шнура возросла до бесконечности.

Гидродинамическое давление жидкости уменшается при возрастании скорости. Поэтому при уменшении ссования вихря на стенке сосуда будет быстро уменшаться давление в этом месте, и остальная масса жидкости будет надавливать на частицы конца вихреого шнура и препятствовать их схожению со стенки. Вихреой шнур, так сказать, присасывается своими концами к стенкам сосуда. Если конец шнура лежит на свободной поверхности, то подобное присасывание можно заметить по воронке, образующей на свободной поверхности у «подошвы» шнура.

Если концы вихреого шнура не лежат на граниах жидкости, то они должны быть между собой комкнуты, и таким образом получается замкнутый вихреой шнур, — такой, в котором, так сказать, оба конца присасываются друг к другу.

Самый простой вид замкнутого вихреого шнура представляется вихреое колцо, показанное на рисунке 7.

Все части жидкости, лежащие вне колцца, вихутятся при этом заимкнутым кривым, проходящим, сквозь колцо так, что циркульция скорости по всем этим кривым одинакова и равна циркульции скорости на контуре поперечного сечения колцца. Переходя же вихуть колцца, мы будем получать для траектория его частечку различные циркульции. Скорости точек жидкости

самые большие на поверхности колцца. Они уменшаются по мере удаления от этой поверхности внутри колцца и равны нулю на некоторой осевой линии. Уменшаются они также и по мере удаления от колцца в окружающей его массу жидкости. Для точек жидкости, значительное удаление от колцца, скорости обратно пропорциональны кубам расстояния от колцца.

Мы видели, что зародившиеся в жидкой массе два прямых параллельных шнура, около которых жидкость круглится с равными направлениями вихря в противоположные стороны, будутежать по направлению, перепедикулярному к проведенной через них плоскости. По той же причине вихреое колцо не будет оставаться неподвижным, а будетежать по направлению, перепедикулярному к плоскости колцца, в ту сторону, в которой жидкость вытекает из колцца.

Мы видим на рисунке 7, что частицы жидкой массы, движущейся воерхним замкнутым траекторям, будутежать на нижний край колцца и двигать его вправо; точно так же частицы жидкой массы, движущейся по нижним замкнутым траекторям, будутежать на верхний край колцца и тоже двигать его вправо. Все колццы будут перевигаться равномерно в правую сторону, переносая за собой круглшуюся около же жидкость. Это движение будет быстрее, чем более направление вихря и чем менее размер колцца.

Мы сказали, что внутри идеальной жидкости должны возникать сохраняться, и новых шнуров образоваться не может. Между тем в природаме мы часто видимжение и угасание вихрей. Это происходит от того, что наши воды и воздуха обладают некоторой степенью вязкости, вследствие которой вышепiventные теоретические результаты несколько видизняются. С одной стороны, вихри могут заождаться (преимущественно

26

в тех местах, в которых происходит скольжение друг по другу двух слоев жидкости с различными скоростями), с другой стороны, заодиншеся винри не сохраняются, а постепенно исчезают.

Образование прямых вихрей Гельмогольы демонстрировал одним прекрасным опитом, описанным в его речи о винревых бурях. Мы здесь повторим этот опит.

В denne цилиндрического сосуда (рис. 8) сделано небольшое отверстие, заткнутое пробкой. Сосуд наполнен водою. Посредством струй воздуха, направляемых трубкой на один край свободной поверхности воды, приводим жидкость в медленное вращение. Жидкость начинает истекать из отверстия, подходя от краев сосуда к его оси. Так как циркульция скорости по окружности, проведенным из точки на оси цилиндра через один и те же частицы жидкости, не должны изменяться со временем, то с уменьшением радиусов этих окружностей будет возрастать скорость части жидкости. Вращение жидкости по мере приближения к оси будет становиться все быстрее и быстрее, и мы заметим резко образавшийся винри, над кторым появится воронка, все более и более углубляющаяся.

Я показуем еще образование винри посредством быстро вращающего диска.

На рисунке 9 представлен прибор проф. Ф. Н. Шведова. Черезdoно стеклянного цилиндрического сосуда продается в сальнике вертикальная ось, окачивающаяся небольшим диском. Эта ось посредством бесконечного ремонта может быть приведена в быстroeвращение. В сосуд наливаются вода и масло, которое всплывает поверх воды. Вращая диск, мы заметим, что вода постепенно приходит во вращение и образует над диском винревой шнур, который заменяется по воронке на поверхности раздела воды и масла. Эта воронка заполняется маслом, которое в виде низходящего смерча спускается к диску. В тот момент, когда масло приходит в соррикосновение с диском, вся его масса разбралась по воде.

Еще более интересен способ образования прямых винрей в воздухе. Воздух, находящийся над поверхности воды, приводит во вращение с помощью особой быстро вращающейся крылатки, помещенной на некоторой высоте над водою (рис. 10). Воздушный винрь захватывает по своей оси воды и поднимает ее в виде восходящего смерча до самой крылатки.

Вихревые колыца в воздухе демонстрируют с помощью прибора Тэта. Он состоит из ящика (рис. 11), задняя сторона которого затягут коже, а в передней сделано отверстие с острыми краями. Форму от-

28

До сих пор колыца выпускались нами из круглого отверстия. Попробуем теперь образовать их из отверстия эллиптического и квадратного. Мы видим, что при этом колыца не сохраняют формы отверстия, но колеблюется, стремясь перейти в круглое колыцо, которое является таким образом, единственной устойчивой форму замкнутого винревого шнура.

Рассмотрим теперь влияние на выходные колыца посторонних предметов. Подводя к движущему колыцу твердые тела сбоку, мы видим, что они отталкивают колыцо. Но если колыцо бежит на паралельную его плоскости неподвижную плоскость, то оно, подходя к ней, все более и более увеличивается в размерах, так сказаеть, растекается по плоскости. Если мы даим колыцу набежать на нож, плоскость которого проходит через ось колыца, то последнее разрежется ножом на два полукольца, концы которых будут скольнить по поверхности ножа; но, пройдя эту поверхность, концы опять комнутятся, и колыцо восстанавливается.

Кроме дымных колцц в воздухе, можно еще наблюдать воздушные колыца в воде. Это интересное явление, какущееся на первый взгляд парадокальным, весма просто обьясняется тем, что вследствие центровежной силы значительное попадает давление на оси выходного колыца. Если при образованнии винревого колыца мы введем в воду несколько пузырьков воздуха, они сейчас же заберутся в то место жидкости, где давление самое малое, то есть на ось колыца, и будут там удерживать все время, пока колыцо движется вдоль имеющей массы воды, несмотря на то, что воздуха в 800 раз легче воды.

Я показуем здесь прибор для образования воздушных колцц в воде, который представляет видизменение прибора профессионора Осборна Рейнольдса. Здесь имеется (рис. 12) большая стеклянная ванна, наполненная водой. В нее погружена изогнутая под прямым углом шриока стеклян-

Рис. 12.

ная трубка. На верхний конец трубки, выходящий из воды, надевают рукав из резинового шарика, посредством которого можно вгонять в трубку воздуха и выталкивать из нее воды. Быстро сдавливая шарик, выталкиваем из горизонтального колена трубки стольник воды и делаем это так, чтобы воздуха почти достиг нижнего конца трубки, но не вышел из нее в большом количестве. Стольник воды, выбежав в способную окружающую жидкость, завертывается в винревое колыцо. При этом вместе с водою будет вытолкнуть несколько пузырьков винревое колыцо будет хорошо заметно: оно будет образован как бы из блестиших зерен бисера. Пробегая вдоль всей ванны, колыцу ударятся в противоположную стенку ее и здесь, расширяясь, пропадают.

Мы можем с помощью нашей прибора отчетливо демонстрировать отражение колцц от свободной поверхности воды. Для этого только повернуть трубку, чтобы она направилась своим нижним концом немного вверх. Колыцо, подбежав к свободной поверхности жидкости, от нее отра-

29

жается, причем угол падения равен углу отражения.

Так как действительные жидкости обладают вязкостью и трустсу о стенки тех сосудов, в которых они движутся, они при своем движении постояно заполняются вихревыми шнурами. Гельмгольцы показали, что жидкую массу во всяком воображаемом движении можно рассматривать как непрерывно заполненную вихревыми шнурами, и для средства исследования движения этих шнуров.

Краткие сведения об ученых, упоминаемых в лекции Н. Е. Жуковского.

Эйлер — крупнейший математик XVIII века, петербургский академик, один из создателей аналитической механики. Лаплас называл Эйлера отцом современного математического анализа.

Пуансо — французский ученый, математик и механик. Получил в 1834 году изящное геометрическое решение некоторых проблем динамики врашения.

Гельмгольц — выдавшийся немецкий физик и математик XIX столетия. Прославился, в частности, своим работами по акускике (резонаторы Гельмгольца) и по термодинамике. Он же является основателем теории вихрей.

Коши — французский ученый конца XVIII — первой половины XIX века, который по праву считался одним из создателей современной математики. Оставил свыше 800 метуаров по самым разным разделам математики.

Шведов В. Ф. — профессор Одесккого университета, известный специалист по гидродинамике вязкой жидкости (вторая половина XIX века).

Тэг — профессор физики в Эдинбурге (Англия, второй половина XIX века).

Рейнольдс — профессор Оуэновского колледжа в Манчестере (Англия, второй половина XIX века). Прославился работеющий по гидродинамике.

2. 28 надо разделить на 59. 5+1=6.

$$\frac{28}{24} \cdot \frac{6}{4} - \frac{44}{42} \cdot \frac{6}{7}$$

$$\frac{27}{24} \cdot \frac{6}{4} - \frac{34}{30} \cdot \frac{6}{5}$$

Итак, $$\frac{28}{59} = 0.4745$$

Данный способ деления проще общеприятного и его легче выполнять. Он был предложен немецким математиком Г. Шпитцером в 1847 году. Но вскоре о нем позабили.

Г. Д. Новинский

ЗАДАЧИ ПРО КОЛЕСО

1. Колесо катится вниз по чут-чут наklонной плоскости. Так как движение колеса сопровождается энергетическим потерями в точке контакта с плоскостью, то даже при отсутствии сопротивления воздуха колесо, начиная с некоторого момента, будет катиться равномерно. Отсюда следует, что сила R, с которой плоскость действует на колесо, должна быть направлена вверх и равнется силе тяжесте P. Но тогда сил R будет создаваться врашающим момент относительно центра O, и следовательно, колесо будет врашаться не равномерно, аускорено.

Разберите с противоречением.

(Продолжение см. на стр. 34.)

30

Эффект ДОППЕРА
Л. Г. Асламазов

В известном анекдоте о знаменении физике Робerte Вуде рассказывается, что когда автомобиль Буда проехал перекресток на красный свет и его остановили, Буд объясил полицинис свойо ошибку эффективом Доплера: для движущегося наблюдается частота света источника меняется и сигнал светофора показался ему зеленьм. Говорят, что полицейский ока зался не профаном. Он знал, что заметное изменение частоты могло произойти только при очень большой скорости автомобиля, близкой к скорости

31

света. Позному полицейский не стал спорить со значением физиком и просто оптрафовал его за превышение скорости. И хотя эта почительная история может нассгда отбить охоту обьяснять что-либо в нашей жизни эффективом Доплера, тем не менее с этим эффективом, по-видимому, встречался каждый. Когда нас обгоят гудящий поезд или над нами проелетает самолет, то мы слышим вhezапное изменение тона звука. Это — тоже эффективом Доплера.

Почему же проинсходит изменение частоты звука движущегося источника? Попробуем разобраться. Нарисуем картину волн, испускаемых движущимся источником. Скорость распространения звука в среде не зависит от скорости источника, и картина волн будет представлять собой множество окружностей, центры которых смешаются в направлении движения источника (рисуок в начале статы). Пусть теперь наблюдаются стоит, например, за источником, так что источник удаляется от него со скоростью $v$. Предположим, что вначале расстояние между источником и наблюдаемым было равно $u$, ($u$ — скорость распространения звука). тогда через 1 секунду расстояние между ними будет $u + v$ и на этом расстоянии уменьшается все $\omega$ максимумов, созданы источником за единицу времени ($\omega$ — частота звука). До наблюдая за 1 секунду doit только те максимумы, которые были вначале на расстоянии $u$ от него. Поэтому и частота звука $\omega_1$, воспринимаемого наблюдаемым, будет меньше, причем

$$\frac{\omega_1}{\omega} = \frac{u}{u + v},$$

откуда $\omega_1 = \omega \frac{1}{1 + \frac{v}{u}}$

Если источник приближается к применику, то аналогично получаем

$$\omega_1 = \omega \frac{1}{1 - \frac{v}{u}}$$

Если движется не источник, а применик звука, качественно проинсходит такое же изменение частоты, но в количественом отношении результат будет несколько иной. Если применик движется к источнику со скоростью $v$, то за 1 секунду он пройдет не mismo $\omega$, а mismo большего числа максимумов $\omega_2$, причем $\frac{\omega_2}{\omega} = \frac{u + v}{u}$, откуда $\omega_2 = \omega \left(1 + \frac{v}{u}\right)$.

Если применик удаляется от источника, то он отметит меньше частоту

$$\omega_2 = \omega \left(1 - \frac{v}{u}\right).$$

Это изменение частоты при движении источника или применика и называется эффективом Доплера. Считая в обихх случае $v$ положительным, когда расстояние увеличивается, мы можем написать

$$\omega_1 = \frac{1 \omega}{1 + \frac{v}{u}}, \quad \omega_2 = \omega \left(1 - \frac{v}{u}\right).$$

Если скорость источника мала по сравнению со скоростью звука, то, пользоваться формулами приближенных вычислений, можно $\frac{1}{1 + \frac{v}{u}}$ приближено заменить на $1 - \frac{v}{u}^*$, и тогда $\omega_1 \approx \omega_2$. Однако в современной

*) Проверьте это, например, для $\frac{u}{v} = 0.01$. 0.05: 0.1; 0.2

32

техническое скорость источника или приемника совсем не мала по сравнению со скоростью звука (например, скорость самолетов), и тогда эффектив Доплера в обих случаях существенно разный.

Тепер, когда мы разобрались в эффективе Доплера для звуковых волн, казалось бы нет ничего проще, чем написать аналогичные формулы для света,— достаточно вместе скорости звука $u$ поставить всюду скорость света $c$, и ответ готов. Однако тут мы сталиваемся с удивительным obstructionным такие формулы не могут быть правильными, так как они противоречат принципу относительной Галилея.

Согласно этому принципу нельзя отличить равномерное прямолинейное движение от состояния покоя, иными словами, любые физические явления должны протекать одинаково и любые физические опыты должны дать одинаковый результат во всех системах координат, движущихся друг относительно друга с постоянными скоростями (то есть в инерциальных системах). Мы же можем рассмотреть, например, случай движения источника и неподвижного наблюдаемого в системе отчета, движущейся вместе с источником, и тогда по нашим формулам изменение частоты света в обих системах было бы разным.

При распространении звука это общегельство не должно нас смущать. Ведь здесь, кроме источника и приемника, играет роль среда, в которой распространяется звук. Движение источника к приемнику и приемнику к источнику дает разные результаты и именно потому, что в первом случае относительное движение

33

М76. В компании из $n$ человек каждый двое незнакомых имелотровно двух общих знакомых, а каждый двое знакомых не имелот больше общих знакомых. Докажите, что в этой компании каждый знаком с одинаковым числом людей.

М77. Длины двух сторон треугольника 10 и 15. Докажите, что bicсектираса угла между ними не больше 12.

Н. Б. Васильев

М78. Докажите, что каждое целое неотрицательное число можно представить в виде $\frac{(x+y)^2+3x+y}{2}$, где $x$ и $y$ — целые неотрицательные числа, и что такое представление единственного.

М79. Две точки $P$ и $Q$ движут по двум пересекающимся прямым с одинаковой постоянной скоростью $v$. Докажите, что на плоскости существует такая неподвижная точка $A$, расстояния от которой до точки $P$ и $Q$ в любой момент времени равны.

И. Ф. Шарьеин

М80. В таблице $m \times n$ расставлены произвольные числа. Разрешается одновременно изменить знак у всех чисел какого-то одного столбца или у всех чисел какой-то одной строки. Докажите, что, повторив такую операцию несколько раз, можно получить таблицу, у которой сумма чисел в любом столбце и сумма чисел в любой строке будет неотрицательны.

А. С. Шварц

Ф88. Сосуд, частично заполненый структую, движется с горизонтальнымускорением, следствие чего поверхность пути наклона к горизонту под некоторым постояным углом.

Сверху сосуд закрыт крышкой.

Как изменится этот угол, если сосуд доверху заполнить водой?

Ф89. Напряжениеэлектрического поля в электромагнитной волне частоты $\omega=2 \cdot 10^{16} \text{ сек}^{-1}$, модулированной по амплитуде с частотой $\Omega = 2 \cdot 10^{15} \text{ сек}^{-1}$, меняется со временем по закону $E=a (1+\cos \Omega t) \cos \omega t$, где $a$ — постоянная. Определить энергию электровов, выбиваемых этой волной из атомов газообразного водорода с энергийой иннзации $W=13,5 \text{ эв}$.

А. Д. Гладун, Л. Г. Асламаозов

Ф90. Идеальный газ массы $m$, находящийся при температуре $T$, охлаждается изхорическая так, что давление падает в $n$ раз. Затем газ расширяется при постоянном давлении. В конечном состоянии его температура равна первоначальной. Определить произведенный газом работу. Молекулярный вес газа $\mu$.

Ф91. Для питания прибора наряжение на его входе нужно установить как можно точнее. Для этого

34

Рис. 1.

го используется два реостата, соединенных так, как показано на рисунке 1. Длины реостатов одинаковы, а сопротивление одного из них в 10 раз больше сопротивления другого. Как поступить, чтобы установить напряжение как можно точнее? Восколько раз точность установки напряжения будет больше, чем в том случае, когда используется лишь один реостат? Как включить реостаты, если для питания приборов нужно установить поточнее не напряжение, а ток?

Ф92. Обруч массы $m$ стоит на доске массы $M$ (рис. 2). Коэффициент трения между dockой и обручем $k$. Доска лежит на гладком столе. С каким ускорением будет движаться доска, если обруч тянут с силой $F$?

С. Н. Доможаков

Рис. 2.

ЗАДАЧИ ПРО КОЛЕСО

(Продолжение. Начало см. на стр. 29.)

2. По горизонтальной плоскости катится колесо. Так как сила трения $F$ направлена влево, то скорость колеса будет уменьшаться. Но момент этой силы относительно центра $O$ направлен по часовой стрелке, и следовательно, скорость вращения колеса должна увеличиться.

Как будет меняться скорость колеса?

3. Когда шсфер нажмите тормозную pedal, колодки тормозов прижимаются к колесам и замедляются их вращение. Но силы взямаодействия колес и тормозных колодок являются внутренними и, следовательно, не могут уменьшить скорость автоматизации. Почему же автоматически остановивается?

4. Как извесно, силой, движущей поезд, является сила трения паровозных колес о рельсы, а сила трения между рельсами и колесами вагонов является тормозшей. Но колеса паровоза и вагонов сделаны из одного и того же материалов, а все вагонов гораздо больше веса паровоза.

Почему же паровоз в состоянии движения движения?

(Окончание см. на стр. 42)

35

РЕШЕНИЯ

В этом номере мы публикуем решение задач M28—M30

M28

(Продолжение решения, см «Кваант» № 3, стр. 33). Напомним, что через $f_1(n)$ мы сбозначили наименьшее целое число, больше или равное $\log_2 n$ (ono равно наименьшую числу проверок, за которым можноло проверок, за которое можно выбрать о д и н радиоактивный шар из $n$), через $f_2(n)$ — наименьшее числу тому, что $f_2(11) \geq 7$. Ниже мы очень коротко докажем, что $f_2(6) \geq 5$;

Рис 1.

выбрать о д и н радиоактивный шар из $n$), через $f_2(n)$ — наименьшее числу тому, что $f_2(11) \geq 7$. Ниже мы очень коротко докажем, что $f_2(6) \geq 5$;

36

$f_2(8) \geq 6; \quad f_2(11) \geq 7; \quad f_2(10) \leq 6;$
$f_2(15) \leq 7; \quad f_2(21) \leq 8.$

Читатель, которые хотят убедиться в том, что все числа в нижней строке таблицы на стр. 35 верны, должны будут доказать, кроме того, что $f_2(16) \geq 8;$
$f_2(22) \leq 8; \quad f_2(23) \geq 9; \quad f_2(25) \leq 9$ (действительно, ясно, что функция $f_2$ неубывающая, то есть $m > n,$ то $f_2(m) \geq f_2(n)$, поэтому достаточно правильного указать те значения $n,$ для которых $f_2(n+1)$ строго больше $f_2(n).$

Прежде чем доказать обещанные неравенства, заметим, что определение точно значения $f_2(n)$ для любого $n$ в этой задаче; как и во многих других положениях задачах, не слишком интересно. Дело в том, что соответствующий способ выделения шаров, повидимому, очень сложен. С другой стороны, легко указывает совсем простые алгоритмы выделения шаров, требующие лишь ненамного большого, чем $f_2(n),$ числа проверок. Например, если сначала вырабатывают один радиоактивный шар, затем выросить его и из оставшихся выбрать другой, то на это уйдет не более $f_1(n)+f_1(n-1)$ проверок, и, как не трудно показать, разность $f_1(n)+f_1(n-1) - f_1(C_n^2)$ всегда не больше 2, следовательно, разность $f_1(n)+f_1(n-1)-f_2(n)$ тоже не больше 2. В практических задачах, подобных этой, если само число проверок $k$ не слишком мало, одна или две лишные проверки скорее всего будет играть особой роли, лишь бы способ проверки был попрошше (скажем, для $n=15$ мы уже не можем уменьшить на журналовой странице диаграмму, подобную рисунку 1, и разобраться в описании способа проверки становится нелегко).

Ниже мы используем такие обозначения: знак «-» обозначает, что в проверяемой кучке нет радиоактивных шаров, а знак «+» — что они есть.

За 4 проверки нельзя выделить 2 шара из 6

Пусть первой проверяется кучка из 6—q шаров, где $q=2, 3, 4$ или 5. Тогда исход «-» соответствует $C_q^2$ вариантов (оба радиоактивных шара среди $q$ остальных), исход «+» — $(C_6^2-C_q^2)$ вариантов. Однако из этих чисел больше $2^3=8$.

За 5 проверок нельзя выделить 2 шара из 8

Если
$C_q^2 < 2^4 = 16$ и $C_8^2 - C_q^2 < 16,$ то $q$ может быть равно только 6. Если исход «-», то при этом осталось выделить 2 шара из 6, что невозможно за 4 проверки.

За 6 проверок нельзя выделить 2 шара из 11

Если $C_q^2 < 2^5 = 32$ и $C_{11}^2 - C_q^2 < 32,$ то $q=8,$ но $f_2(8) \geq 6$.

За 6 проверок можно выделить 2 шара из 10

Первая проверка — кучка из 4 шаров {1—4}. «-» за 5 проверок 2 шара из 6 {5—10}. «+» проверяем {4—6}. «+-» за 4 проверки 2 шара из 7 {1—3, 7—10}, если известно, что {1—3} дают «+» (см. левую половину рис. 1). «++» проверяем {5, 6}. «++-» за 3 проверки 1 шар из {1—3, 7—10}. «+++» за 1 проверку 1 шар из {5, 6} и за 2—1 из {1—4}.

За 7 проверок можно выделить 2 шара из 15

Первая проверка {1—5}. «+» проверяем {5—9}. «+-» за 5 проверок 2 шара из 10 {1—4, 10—15}, среди которых {1—4} дают «+» (см. 10 шаров, «+»). «++» проверяем {5}. «++-» за 4 проверки 1 из {1—4, 6—15}. «++-» за 2 проверки 1 из {1—4} и за 2 проверки 1 из {6—9}.

За 8 проверок можно выделить 2 шара из 21

Первая проверка {1—6}. Кроме обозначенных на рисунке и оченьных проверок, указан также «+-» за 6 проверок 2 из 15 {1—5, 12—21}, среди которых {1—5} дают «+» (см. 15 шаров, «+»). «++-» за 2 проверки 1 из {1—4} и за 2 проверки 1 из {8—11}.

37

Рис. 2.

M29

п одинаковых монет лежат на столе, образуя замкнутую цепочку (см. рис. 2). Сколько оборотов сделает монета такого же размера за то время, пока она один раз обжатится по внешней стороне всей цепочки, как показано на рисунке?

Как изменится ответ, если монета $M$ будет иметь радиус, в $k$ раз отличной от радиуса каждой из монет в цепочке?

Прием радиус монет, составляющих цепочку, за единицу. Из рисунка 3 видно, что за то время, пока монета радиуса $k$ прокатится по дуге $\alpha$ неподвижной окружности радиуса 1, она повернется на угол $\alpha (1+1/k)$: на этом рисунке радиусы $MA$ и $M'A''$ параллельны, $\angle A''M'B = \angle AOB = \alpha$

Рис. 3.

и, поскольку дуги $\widehat{A'B}$ и $\widehat{AB}$ равны по длине, $\angle BMA' = \alpha/k$, следовательно, весь угол $\angle A''MA'$, на котором повернуть монета $M$, равен $\alpha + \alpha/k$ (в частности, при $k=1$ этот угол равен $2\alpha$).

Тепер найдем сумму дуг, состоящих из таких точек неподвижных монет, которые монета $M$ касалась при качении по цепочке. Пусть $O_1, O_2, \ldots, O_n$ — центры монет цепочки. Сумма дуг, лежащих внутри многоугольника $O_1O_2 \ldots O_n$, равна сумме его внутренних углов, то есть $\pi (n-2)$. Сумма дуг, лежащих вне многоугольника, следовательно, равна $2\pi n - \pi (n-2) = \pi (n+2)$. Из нее нужно вычесть еще

Рис. 4, а.

Рис. 4, б.

38

Рис. 5.
сумму дуг, лежащих в углублениях между двумя соседними монетами, в которых $M$ не попадает. В каждом из $n$ углублений сумма двух таких дуг равна $2\pi/3$ при $k=1$ (рис. 4a) и $2\arccos \frac{1}{k+1}$ в общем случае (рис. 4, 6). Итак, сумма дуг, по которым прокатится монета $M$, равна $\pi(n+2)-2\pi n/3$ (в общем случае $\pi(n+2)-2n\arccos \frac{1}{k+1}$). Чтобы узнать искомое число оборотов, нужно умножить эту величины на 2 (в общем случае, на $1+1/k$) и разделить на 2π.

Ответ. $\left(\frac{n}{3} + 2\right)$
оборота при $k=1$;
$\frac{k+1}{2k}\left(n - \frac{2}{\pi}n\arccos \frac{1}{k+1} + 2\right)$
оборота в общем случае ($n \geqslant 3$).

Рис. 6.

В этом решении мы использовали (подсчитывая «потери» в углублениях между монетами) то, что монета $M$ прокатывается по всем $n$ монетам подряд, без исключения. Как правило заметил читатель А. Вировянский из Горького, прилавший нам решение, это условие необходимо для того, чтобы задача имела определенный ответ. Для цепочки с «узkimmi просветами» (см. рис. 5), разумеется, нельзя только по числу $n$ узнать, на сколько повернется монета $M$. Достаточный, но не необходимым условием, чтобы задача была разрешимой, является следующее: многоуровольник $O_1$, $O_2...O_n$ випуклы.

Подумайте, как получить ответ, если вместе замкнутой цепочки имеется просто одна монета, две касающиеся друг друга монеты и вообще незамкнутая цегочка из $n$ монета $O_1,...,O_n$, в которой $O_k$ касается $O_{k+1}$, расположенных так, что $M$ может прокатыться туда и обратно по всем монетам в таком порядке:

$O_1$, $O_2,...,O_{n-1}$, $O_n$, $O_{n-1},...,O_1$ (рис. 6) (Указание. Достаточно в написанных выше формулах замкнуть $n$ на $2n-2$.).

M30

Докажите, что $N$ точек на плоскости всегда можно покрыть несколькими непересекающими кругами, сумма диаметров которых меньше $N$ и расстояние между любыми двумя из которых больше 1. (Под рассмотрением между двумя кругами поиска расстояние между их близкойшим точками.)

Нам понадобится следующее очевидная lemma.

Если два круга диаметров $a'_1$ и $a'_2$ пересекаются (имеют общую точку), то их можно заклонить в один круге диаметра не больше $a'_1+a'_2$ (рис. 7, а, 6).

Построим круг с центром в каждой из данных $N$ точек, имеющий радиус $a$ (а несколько больше $1/2$; точнее значение $a$ выберем ниже). Если среди этих кругов оказываются пересекающими, то, пользоваться lemмою, заменим какие-либо два пересекающих круга (все равно какие) одним покрывающим их кругом. Если среди полученных кругов еще есть пересекающие, снова воспользуемся lemмою, и т. д. Пусть вообще есть какая-то система кругов, которые: 1) прокрывают все данные точки вместе с кругами радиуса $a$ с центрами в этих точках и 2) имеют сумму диаметров не больше $N \cdot 2a$. Тогда если среди них есть пересекающие, то мы можем

39

Жем воспользоваться леммой и построить новую систему из меньше количества кругов, удовлетворяющего тем же условиям 1), 2), и так до тех пор, пока мы не получим такой систему из $k$ кругов, никакие два из которых не пересекаются.

Уменьшим теперь радиус каждого из этих $k$ кругов на величины $b$, оставив их центры на месте ($b$ больше $1/2$ и меньше $a$; точное значение $b$ указано ниже). Тогда полученные $k$ кругов:

1. содержат все данные точки,
2. имеют сумму диаметров не больше $N \cdot 2a - k \cdot 2b \leq 2Na - 2b$,
3. отстояют друг от друга не меньше чем на $2b$.

Ясно, что если выбрать $a$ и $b$ так, чтобы выполнялись неравенства $b < a$; $2Na - 2b < N$, $2b > 1$, то все требования задачи будут удовлетворены. Достаточно было, например, взять с самого начала $a = \frac{1}{2} + \frac{1}{2N}$ и $b = \frac{1}{2} + \frac{1}{4N}$.

Разумеется, такие $a$ и $b$ понадобились только потому, что в условиях требуется удовлетворить строгим неравенствам: сумма диаметров меньше $N$, расстояния между кругами больше 1. Если бы мы взяли простое $a = b = 1/2$, то было бы доказано, что наши $N$ точек можно покрыть (при некотором $k$) кругами так, чтобы расстояние между кругами было не меньше 1, а сумма их диаметров — не больше $N - k$. Заметим, что поскольку это утверждение доказывается для любого единующего измерения, то (выбрав эту единшую несколько меньше) из него можно

В этом номере мы публикуем решение задачи Ф41—Ф47 *)

Ф41

Во сколько раз обеспечность в лунную ночь в пололучине меньше, чем в солнечный день? Высота Луны и Солнца над горизонтом одинакова. Считать, что освещенная полусфера Луны равномерно рассеивает свет в пространство.

Радиус Луны принять равным 2000 км, а расстояние от Луны до Солнца 400 000 км.

Так как расстояния от Солнца до Земли и Луны велики по сравнению с диаметром Солнца, то при расчетах мы можем считать, что Солнце — это точный источник света, равномерно излучающий световую энергию во все пространство. Примем, что сила света этого источника, то есть энергия, излучаемая Солнцем в единичный телесный угол за 1 секунду, равна $I$. Тогда освещенность поверхности Земли в яркий солнечный день будет равна $E_c = \frac{1}{L^2}$, где $L$ — расстояние от Солнца до Земли.

Луна освещает Землю отраженным солнечным светом. Так как расстояние от Солнца до Луны можно принять равным расстоянию от Солнца

*) Решение задачи Ф43 будет опубликовано в «Кванте» № 5

40

до Земли, то освещность поверхности Луны в пололуние тоже равна $\frac{I}{L^2}$. На всю поверхность Луны попадает световая энергия

$$W = \frac{I}{L^2} \pi r^2.$$

Так как эта энергия рассеивает затем равномерно по всему направлениям по «полусфере», то в единичный телесный угол излучается энергия

$$I_\pi = \frac{I \pi r^2}{L^2 \cdot 2\pi}$$

(полный телесный угол равен 4 π, половина — 2π). Теперь легко найти освещенность поверхности Земли в пололуние. Считая Луну точным источником с силой света $I_\pi$, получим

$$E_\pi = \frac{I r^2}{2 L^2 l^2},$$

где $l$ — расстояние от Луны до Земли.

Отношение освещностей Земли в пололуние и в солнечный день равно

$$\frac{E_\pi}{E_c} = \frac{1}{2} \left( \frac{r}{l} \right)^2 = \frac{1}{80 000}.$$

Ф42

Канат перекинит через блок, причем часть каната лежит на столе, а часть — на полу. После того как канат отпустил, он начал двигаться. Найти скорость установившегося равномерно движения каната. Высота стола равна $h$ (рис. 8).

Рис. 8.

Проще всего решить задачу, воспользовавшись вторым законом Ньютона.

За время $\Delta t$ в движение вовлекается кусок каната длиной $\Delta l = v \Delta t$. Если массу единицы длины каната обозначит $\mu$, то масса куска каната $\Delta l$ равна $\Delta m = \mu \Delta l = \mu v \Delta t$. Массе $\Delta m$ каната за время $\Delta t$ сообщается импульс (количество движения), равный $\Delta mv = \mu v^2 \Delta t$. Ясно, что это изменение импульса появляется благодаря разности сил тяжестей, действующих на левую и правую части каната. Эта разность равна $mgh$.

В соответствии со вторым законом Ньютона мы можем записать

$$\mu v^2 \Delta t = \mu gh \Delta t.$$

Отсюда

$$v = \sqrt{gh}.$$

Правильно решение прислали H. Ежов из Одессы и A. Викторов из Тулы.

Ф44

Два делефина плывут навстречу друг другу. Однако из них издает звук частоты $\omega$. Какой частоты звук слышит другой делефин, если скорости делефинов относительно воды одинаковы и равны $v$? Скорость звука в воде $u$.

Воспользовавшись результатом, полученным в столе «Эффект Доплера», найдем, что второй делефин будет слышать звук с частотой

$$\omega_2 = \omega \frac{u + v}{u - v}.$$

Действительно, так как первый делефин движется, то частота звуковых волн, которые принимают неодвижный приемник впереди, равна

$$\omega_1 = \frac{\omega}{1 - \frac{v}{u}} = \frac{\omega u}{u - v}.$$

41

Рис. 9.

Благодаря движению второго дель-фина он ссыпит звук с частотой

$$\omega_2 = \omega_1 \left( 1 + \frac{v}{u} \right) = \omega_1 \frac{u + v}{u} = \omega \frac{u + v}{u - v}.$$

Ф45

Сферический конденсатор, заполненный диэлектриком и заряженный до неокоторой разности потенциальов, разряжается через свой диэлектрик. Каким будет магнитное поле токов разряда в пространстве между сферами?

Выделим в изоляторе узкий конецческий «проводник». Ясно, что для любой точки $A$ (рис. 9) мы всегда сможем найти другой концепцией «проводник», такой, что идущий по нему ток создает в точке $A$ поле, направленность которого равна направленности поля тока выделенного нами «проводника» и имеет противоположное направление. Это означает, что магнитное поле токов разряда между сферами равно нулю.

Ф46

На мячик с высоты 1 м падает кубик, подскакивающий затем почти на 1 м. На какую высоту подскакивает мячик?

На какую высоту подскакит мячик, если на него с высоты 1 м падает точно такой же мячик?

В тот момент, когда кубик отрывается от мяча, скорость кубика равна скорости верхней точки мяча. Обозначим эту скорость $v$. Далее кубик движется свободно. Поэтому, записав для него закон сохранения энергии

$$\frac{Mv^2}{2} = Mgh$$

($h — высота подъема$), найдем, что $v = \sqrt{2gh}$.

Скорость нижней точки мяча в тот момент, когда кубик отрывается от него, равна нулю, а значит скорость центра мяча равна $\frac{v}{2}$. Записав для мяча закон сохранения энергии

$$\frac{m \left( \frac{v}{2} \right)^2}{2} = mgh_1$$

где $h_1$ — высота подъема кубика, найдем

$$h_1 = \frac{h}{4} \approx 25 \text{ cm}$$

Разбериется сами как будет проискодить стольновение мячков.

42

Если над идеальным газом совершается процесс ABC (рис. 10), то ему сообщается количество тепла Q. Какое количество тепла сообщается газу при процессе ADC?

Тепло, которое сообщается газу, идет на угеление его внутренней энергии W и на работу, совершаемую при расширении газа. Так как начальное и конечное состояние, а значит, и температуры газа одинаковы при обихх процесах, то одинаковы и изменения внутренней энергии газа. Что же касается работы, совершаемой при расширении газа, то в первом случае она равна $P_2(V_2-V_1)$, а во втором: $P_1(V_2-V_1)$.

Из закона сохранения энергии следует, что

$$Q = W + P_2(V_2-V_1)$$

и

$$Q_1 = W + P_1(V_2-V_1),$$

где $Q_1$ — количество тепла при процессе

$$A \rightarrow D \rightarrow C.$$

Из этих уравнений нетрудно найти, что

$$Q_1 = Q - P_2(V_2-V_1) + P_1(V_2-V_1) = Q - (P_2-P_1)(V_2-V_1).$$

Величина $(P_2-P_1)(V_2-V_1)$ численно равна площади прямоугольника ABCD. Поэтому наш результат довольно естествен.

Разность $Q-Q_1$ должна, очевидно, быть равна разности работы, совершаемых при расширении газа, а работа при расширении газа численно равна площади фигуры, образуемой графиком зависимости $P$ от $V$ и объясисс $V$.

Правильное решение прислал А. Розозин из Ижевска.

И. Ш. Слободецкий

43

Тригонометрическими неравенствами мы будем называть неравенства, содержащие неизвестное $x$, которое входит в состав аргументов тригонометрических функций. Решить тригонометрическое неравенство — это значит, как и всегда, найти все значения неизвестного, удовлетворяющие этому неравенству.

Для решения простейших тригонометрических неравенств не требуется никаких специальных знаний, выходящих за пределы школьной программы. Именно, в разбираемых ниже примерах, кроме свойств тригонометрических функций, используются лишь понятие абсолютиной величины числа (пример 4), правила решения квадратных неравенств (пример 5—8) и свойства логарифмической функции (пример 9, 10). Эти сведений достаточно и для того, чтобы справиться с примерами, приведенными в конце статьи для самостоятельного решения.

С самого начала, однако, необходимо отметить одно принципальное обстоятельство. В тригонометрических неравенствах аргументы тригонометрических функций рассматриваются не как углы или дуги, а как вещественные числа. Поскольку опит показывает, что в этом вопросе у многих выпускников средней школи нет полной ясности, оставимся на нем несколько подробнее. Абитуриенту же настоящего поекомендуется тщательно продумать то, что по этому поводу говорится ниже.

Объчно тригонометрические функции вводятся сначала как функции угла (точнее, даже только остроугла). Затем понятие аргумента тригонометрической функции расширяется — начинают рассматривать функции дуги. При этом оказывается, что удобно не ограничивать дуги, заключенных в пределах одного оборота, то есть имеющих значения от $0^\circ$ до $360^\circ$, а рассматривать дуги, величины которых выражается любым числом градусов (как положительным, так и отрицательным). При таком понимании аргумента тригонометрические функции оказываются перiodическими. Следующий шаг состоит в том, что от градиного измерения дуг переходит к радианному. И наконец, приходит к понятию тригонометрической функции в шестеного числа. Именно, под значением тригонометрической функции числа понимают значение данной функции для той дуги, величины которого в радианах выражается этим числом.

В физике тригонометрические функции числового аргумента естественным образом появляются при описании различных периодических процессов, то есть таких процессов, характер которых через определенные промежутки времени полностью повторяется. Именно поэтому в математике и целесообразно рассматривать тригонометрические функции числового аргумента. Фактически мы так и поступаем уже тогда, когда строим графики тригонометрических функций. В самом деле, по оси абсциссы при этом откладываем значения вещественных чисел.

Рассмотрим теперь некоторые тригонометрические неравенства

44

СТВА, причем начнем с самого простого примера.

Пример 1. Решить неравенство $tg x < 1$.

Решение. Сначала покажем, как не следует «решать» это неравенство, то есть разберем часть встречащие неправильные ответы на вопрос.

Иного абитриент, замечая, что $tg \frac{\pi}{4} = 1$ и что вблизи значения $x = \frac{\pi}{4}$ функция $tg x$ с увеличением $x$ возрастает, записывает ответ в форму: $x < \frac{\pi}{4}$. Уже по внешнему виду》 ответа можно сказать, что он неверен, так как в нем никак не отражена периодичность функции $y = tg x$. Легко указыва и конкретные значения $x$, удовлетворяющие условию $x < \frac{\pi}{4}$, но не удовлетворяющие заданному неравенству. Например, при $x = -\frac{2\pi}{3}$ имеем: $-\frac{2\pi}{3} < \frac{\pi}{4}$, но $tg\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = \sqrt{3} > 1$; при $x = -\frac{\pi}{2}$ лежача часть неравенства не имеет смысла, следовательно, это значение неравенству тоже не удовлетворяет, хотя снова $-\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{4}$.

Бывает и так, что абитриент пытается учеть периодичность, но проявляет при этом беспомощность. Именно, часто «ответ» дает в виде: $x < \frac{\pi}{4} + k\pi$, где $k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$.

Этот «ответ» еще хуже, так как он вообще лищен смысла. Легко убедиться, что чисел $x$, удовлетворяющих условию $x < \frac{\pi}{4} + k\pi$ для всех $k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$ просто нет.

Чтобы получить правильный ответ, полезно рассмотреть график функции $y = tg x$ (рис. 1), так как рассуждания при этом получат геометрическую наглядность.

Неравенству $tg x < 1$ удовлетворяют те и только те значения $x$, для которых соответствующие точки графика лежат ниже пунктирной горизонтальной прямой $y = 1$. Далее, из рисунка 1 ясно, что если мы найдем все решения, принадлежащие какому-нибудь определенному интервалу длины $x$, то все остальные решения будут отличаться от найденных сдигом вправо или влево на $\pi, 2\pi, 3\pi$ и т. д. Причина этого в том, что число $x$ является периодом функции $y = tg x$.