Квант 1971, №5 · Страницы

Научно-популярный физико-математический
квант
5
1971
журнал
Академии
наук СССР
и Академии педагогических
наук СССР

3

В номере:

П. Л. Чебышев (1821—1894)
1
О постулате Бертрана
4
Графики потенциальной энергии
8
Луночки Гиппократа
17
Математический кругхок
Физика помогает геометрии
22
Лаборатория «Кваenta»
Невозможные объекты
26
Фотографирование невозможных объектов
27
Задачик «Кваenta»
Задачи
30
Решения задач М31-M33;
Ф43, Ф48-Ф52
32
Практикум абитриента
Что здесь — теряем или находится!
40
Вступительный письменный экзамен
по математике на факультете
вычислительной математики
и кибернетики МГУ в 1970 году
42
Вступительный письменный экзамен
по математике в МФТИ в 1970 году
46
Задачи на законы Ньютона
50
Информация
Московский математический…
58
Ответы, указания, решения
60
Уголок коллекционера
3-я стр. обложки
H. Н. Колесников
M. И. Башмаков
P. Г. Минц
B. Н. Березин
Б. Ю. Кодан
Л. Пенроуз,
Р. Пенроуз
B. И. Бахмин
И. Н. Берницей,
А. Б. Зелевинский,
А. Г. Кушинренко,
И. Ш. Слободецкий
B. А. Петров
Ш. А. Алимов,
Ф. П. Васильев,
В. П. Моденов
А. П. Савин,
Б. В. Федосов
Ю. В. Зайчиков
А. Г. Терушкин

2

Научные интересы П. Л. Чебышева отличия большим разнообразием и широкой. Он оставил после себя bleibenшие исследования в области математического анализа, особенно в теории приближения функций многочленами, в интерральном исчислении, теории чисел, теории вероятностей, геометрии, баллистике, теории механизмов и других областях знаний.

В каждой из этих областей науки Пафнутьй Львович получил функциональные результаты, вывинули новые идеи и методы, определяющие развитие этих ветвей математики и механики на многогде годы и сохранившее свое значение и до сих пор.

При этом порождает способность Чебышева простими, элементарными средствами получать великолепные научные результаты.

Другой важнейшей особенность научной деятельности П. Л. Чебышева является неизменный интерес к вопросам практики, стремление связать теоретические проблемы математики с запросами естественного и технически, практической деятельности людей. В свете современных тендений развития науки чрезвычайно проделивой представляется программная установка научной деятельности П. Л. Чебышев: «Практическая деятельность человека представляет чрезвычайное разнообразие, и для удовлетворения всех ее требования, размещется, недостает наук многих и различных метод. Но из них особенно важность имеют те, которые не обходимы для решения различных видонзмененной одной и той же задачи, общей для всей практической деятельности человека: как располагаться средствами своих для достижения по возможности большей выгоды» (П. Л. Чебышев, Социнния, т. II, Спб., 1907, стр. 239).

Следует отметить, что для самого Пафнутья Львович интерес к практике оказался чрезвычайно плодотворным, так как многое его математические открытия были сделаны при решении прикладных задач. Так, например, изучение шарнирного механизма, известного под названием «параллелограмм Уатта», привело его к созданию основных теории наилучшего приближения функций многочленами, которая сейчас превращалась в широко развитию математического области, имеющего большое прикладное значение. По богатству математических идеи, значимости полученных результатов и изучеству их получения работы П. Л. Чебышев «Теория механизмов, известных под названием параллелограмм» (1854 г.) является выдающейся. В этом метуре Чебышевставит и решает знаменитую задачу: «Дана непрерывная функция f(x); среди всех многочленов P(x) степени n найти макой, чтобы в данной промежуточке максимальное значение разности |f(x) — P(x)| было возможно меньше». Если функция сама многочлен степени n+1, то поставленная задача равносильна нахождение многочлена такой же степени, с тем же коэффициентом при старшем члене, который возможно меньше уklоняется от нуля на расматриваемом интервале. Так возникли знаменитые «полны номы Чебышев» — полиномы, «наименее уklоняшеся от нуля» в промежуточке [−1, +1]: T_n(x) = \frac{1}{2^{n-1}} \cos(n \arccos x). (Эти выражения являются многочленами от x степени n. Козффициенты при старшем степени у этих многочленов равны единице.) Чебышев исследовал также приближение функций последом разнообразия функции и трионометрических полиномов. (Рациональная функция — это отношение двух многочленов, а трионометрический полином — это многочлен от sin x и cos’x.)

В теории вероятностей Чебышеву удалось необчайно простыми средствами получить ряд весы важных результаты. Многие результаты и выводы были только наименены, не доведены до конца, но все работы Чебышева в этой области явились той базой, на которой развилась русская школа теории вероятности. Строгие доказательства многочленов, наименени-

ные Чебышевым, и дальнейшее их развитие было проведено его учениками, академики А. М. Ляпуновым и А. А. Марковым.

Выдающееся значение для науки имелся исследования П. Л. Чебышева в теории чисел. Впервые после Евклида удивительно остроумными и удивительно элементарными рассужданиями он получил важнейшие результаты в задаче о распределении простых чисел в работах «Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины» и «О простых числах». П. Л. Чебышев доказал, что функция $x(x) - x$ просто чисел, не превосходящих их $x$ — удовлетворяет неравенству

$$0,92 < \frac{\pi(x)\ln x}{x} < 1,06^*$$

при достаточно больших $x$. Это неравенство затем было несколько ученено английским математиком Сильвестром, а французским математиком Адамаром было строго доказано, что

$$\lim_{x \to \infty} \left[ \pi(x): \frac{x}{\ln x} \right] = 1$$

или асимптотически $\pi(x) \sim x/\ln x$.

Здесь же Чебышев доказал утверждение (так называемый постулат Бертрана), составнее в том, что между $x$ и $2x(x \geq 2)$ всегда найдется хотя бы одно простое число **).

Классические результаты были получены Чебышевым и в области математического анализа.

Одной из наук, который Пафнутьй Львович интересовался всего жизни, была теория механизмов и машин, причем Чебышев занимался не только теоретическими изысканиями в этой области, но и удалял больше внимание непосредственноу конструкцию механизмов.

Задолго до того, как советский «Луноход-1» продолжил первую трассе

$$\ln x - \log_a x \text{ по основанию } e,$$

где $e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$.

**) О методе, с помощью которого Чебышев получил свой замечательные результаты, см. на стр. 4—7.

су на лунной поверхности, фантастики и учены расматривали различные варианты машин, которые будут существовать неокоторому шагющему механизму. П. Л. Чебышев разработал вариант стопоходящей машины, имитрующий движение животного при ходбе.

Огромное влияние П. Л. Чебышев на развитие математики в нашей стране не ограничивается его личными достижениями. Его работы, исключительно богатые новыми идеями и методами, для мощный толчок к развитию многохотных ветвей математики и механики; кроме того, он лично ставил важные задачи и проблемы перед молодыми учеными. По его непосредствному совету А. М. Ляпунов начал исследование по теории фигуррования врашающегося жизни, где и получил классические результаты, имеющие первостепенное значение для механики и космогонни.

Великий математик и механик П. Л. Чебышев был передовым человеком своего времени. Так, например, вместе с двумя другими академиками-математиками — В. Г. Имшенецким и В. Я. Буняковским — он предложил физико-mатематическому отделению Петербургской Академии избрать членом-kорреспондентом Академии замечательную русскую живущину — Софью Васильевну Ковалевскую **).

Много внимания уделял Чебышев вопросам народного образования, принятия активное участие в Ученом комитете Министерства просвещения.

Труды ученого, его научная, педагогическая и просветительская деятельности, основанная им знаменитая Петербургская математическая школа сыграли исключительно большую роль в развитию отчетственной математики и механики. В 1944 году Академия наук СССР учредила премии имени П. Л. Чебышев за лучшие исследования в области математики и теории механизмов и машин.

**) С. В. Ковалевская была избрана 7 ноября 1889 года.

4

О ПОСТУЛАТЕ БЕРТРАНА

М. И. Башмаков

Среди 69 работ Пафнутья Львовича Чебышева две работы сыграли особенно важную роль в развитию теории чисел. Эти работы: «Об определении числа простых чисел, не преосходящих данной величины» и «О простых числах», написанные им в молодые годы, посвязываны труднейшему в теории чисел вопросу о распределении простых чисел.

Во второй из названных работ указыны неравенства, позволяющие достаточно точно оценить количество простых чисел в данном отрезке натурального ряда и, в частности, доказан такой факт: между $x$ и $2x$ (где $x>1$) всегда есть хотя бы одно простое число. Это утверждение высказал известный французский математик Бертран, который проверил его в пределах имеющихся таблиц простых чисел, но доказать не сумел и принял в качестве построата.

Мы проследим основные идеи Чебышева, приведшие его к этим оценкам, а затем предложим ряд задач, решения которых позволяют читательам (достаточно хорошо знакомым со свойствами логарифмов) восстановить указывское доказательство построата Бертрана и получить неравенства для количества простых чисел, не преосходящих заданной величины.

Читатель может удивиться, каксе отношение имеет логарифмы к простым числам? В том-то и состоит заслуга Чебышева, что он указал, как можно использовать общные функции анализа — корни, логарифмы — при изучении задач о целых числах. Если мы хотим обнаружить, есть ли хотя бы одно простое число на отрезке от $n$ до $2n$, то можно поступить следующим образом:

1. придумать какую-нибудь функцию $y=f(x)$ вещественного аргумента $x$, которая не меняла бы своего значения, пока $x$ пробегает отрезок между соседними простыми числами, и принимала бы большее значение при переходе через простое число;

2. доказать неравенства относительной функции $f$, которые помогли бы достаточно точно оценить скорость роста.

Для так подобранной функции разность $f(2n) - f(n)$ будет положительным числом в том и только том случае, если функция $f$ возвраща при переходе от $n$ к $2n$, то есть если между $n$ и $2n$ имеется хотя бы одно простое число.

Первому условию удовлетворить легко. Можно рассмотреть такую функцию: обозначим через $\pi(x)$ число простых чисел, не преосходящих $x$.

Например, $\pi(1) = 0$ (единица не считается простым числом), $\pi(3) = 2$, $\pi(9) = 4$, $\pi(9,5) = 4$, $\pi(10,9) = 4$, $\pi(11) = 5$ и т. д.

Конечно, если мы могли доказать, что

$$\pi(2x) - \pi(x) > 0,$$

мы и доказали бы поступать Бертрана, так как

$$\pi(2x) - \pi(x)$$

как раз и обозначет число простых чисел, заключенных между $x$ и $2x$.

8

ГРАФИКИ
ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ
ЭНЕРГИИ

Р. Г. МИНЦ

Как выяснить, ограничено ли движение тела и в каких пределах? Существуют ли положения равновесия, и если да, то какие они — устойчивые или неустойчивые?

В этой статье мы показем, что на подобные вопросы легко ответить, если известна потенциальная энергия тела. Мы обсуим, когда имеет смысл говорить о потенциальной энергии и как вычислить ее величины в каждой точке.

Раз哗заша о потенциальной энергии, значит, мы хотим изучать движение тела, точнее говоря, материальных точек *), исходя из закона сохранения механической энергии.

Этот закон утверждает, что для замкнутой системы материальных точек (тел) сохраняется величины

$$E = T + U.$$

(1)

Сумма

$$T = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} + \dots + \frac{m_n v_n^2}{2}$$

называется кинетической энергей системы, а $U$ — потенциальной энергей взаимодействия тела. Кинетическая энергия в формуле (1) отражает собственное движение тела, а потенциальная энергия, которая зависит от расстояний между телами, их взаимное влияние друг на друга.

В дальнейшем, для простоты, мы будем рассматривать движение лишь

*) Как обычно, под материальной точкой мы подразумеваем тело, собственные размеры которого в данной задаче пренебрежимо малы.

одной из материалов точек *), предполагая, что все остальные покояться. В таких случаях обычно говорят о движении частицы во внешнем силом поле, а формула (1) принимает вид

$$E = \frac{mv^2}{2} + U.$$

(2)

Говоря о движении частицы во внешнем поле, мы рассматриаем влияние неподвижных части на движущиеся, причем все системы части как целое является замкнутой. В этом, однако, содержится некая тонкость. Проследим ее визмательно на примере двух материалов точек с массами $m$ и $M$. Пусть частица массы $M$ в некоторый момент покопалась. Выясним, при каком условиях она и дальше остается неподвижной, то есть можно будетоворить о движении частицы массы $m$ во внешнем поле. Воспользовемся законом сохранения количества движения

*) Задча о движении большого числа взаимодействующих между собой телерезвычайно сложна. До них пор удалость в общем виде решить лишь задачу о двух телах.

9

ния (ведь наша система тел замкнутая): $M\vec{v} + m\vec{v}_1 = m\vec{v}_0$. (Здесь $\vec{v}_0$ — на чальна скорость частицы с массой $m$, $v_1$ — ее скорость через некоторое время и $v$ — скорость, приобретаемая частиц с массой $M$.)

Отсюда $\vec{v} = \frac{m}{M} (\vec{v}_0 - \vec{v}_1)$. Если $\vec{v}_1 \neq \vec{v}_0$, то $\vec{v} = 0$ только при $M \to \infty$ Физические это означает, что $m \ll M$. Таким образом, внешнее поле — результат действия тяжелых неподвижных частица на легкую. Напомним два типичных примера внешнего поля: спутник в поле прятяжения Земли, электрон в поле ядра. В каждом из этих примеров, конечно же, выполняется условие $m \ll M$.

Если полная энергия $E$ частицы задана, то соответствие (2) накладывает ограничения на то, в какой области пространства может находиться частица. Действительно, ведь кинетическая энергия $E_{\text{kin}} = \frac{mv^2}{2}$ позволяет на основе $\sqrt{\frac{2}{m}} E_{\text{kin}}$ должна быть минимой!), а из закона сохранения энергии следует, что

$$\frac{mv^2}{2} = E - U.$$

Таким образом, $E \geq U$; мы получили критерий для определения области, в которой возможно движение с полной энергейой $E$. В точках, где $E = U$, кинетическая энергия, а значит и скорость, обращается в нуль.

Рассмотрим в качестве примера движение тела вдоль прямой (ось $x$). Тогда потенциальная энергия зависит лишь от положения на этой прямой: $U = U(x)$. В этом случае наш критерий очень удобно применять графические. Проведем на график потенциальной энергии горизонтальной прямую $U(x) = E$. Всюду, где график потенциальной энергии проходит ниже прямой, $E > U$ и движение возможно В точках пересечения скорость

10

Рис. 2. Тело, движясь влево, подходит к точке $x_1$, где его скорость равна нулю. Одно накопается в этой точке оно не может, так как на него действует сила (см правило санок на стр. 12). Поэтому дальше будет движаться вправа, увеличивая скорость.

Зная потенциальную энергию, легко определять скорость частицы в каждой точке. Так как $\frac{mv^2}{2} = E - U$, то $v = \pm \sqrt{\frac{2}{m} [E - U]}$.

Два знака скорости соответствуют двум возможным направлениям движения вдоль оси $x$. На рисунке 2 графические показаны зависимости скорости частицы от ее положения для случая, когда энергия и потенциальная энергия соответствуют рисунку 1a. направление движения обозначает на графике стрелкой.

Итак, мы видим, что с помощью графиков потенциальной энергии можно просто и наглядно выяснить, где возможность движения, какой вид имеет траектории и как зависит скорость тела от его положения. При выяснения этих вопросов нам нужно было знать поведение потенциальной энергии как функция координат «в целом», то есть как она ведет себя на всей траектории.

Давайте теперь посмотрим, с чем связана скорость изменения потенциальной энергии, то есть величины

$$\frac{\Delta U}{\Delta x} = \frac{U(x_2) - U(x_1)}{x_2 - x_1},$$

где $\Delta x = x_2 - x_1$ очень мало

По закону сохранения механической энергии

$$\Delta U = U(x_2) - U(x_1) = \frac{mv_1^2}{2} - \frac{mv_2^2}{2} = \frac{m}{2} (v_1 + v_2) (v_1 - v_2)$$

где $v_1$ — скорость тела в точке $x_1$, а $v_2$ — его скорость в точке $x_2$. На малом участке $\Delta x$ действующего на тело силу можно считать постоянной Движение под действием постоянной силы, которое обозначает $F$, равную скоренению, аускорение $a = F/m$. В таком случае $v_2 - v_1 = a \Delta t = \frac{F}{m} \Delta t$ ($\Delta t$ — время движения), а $\frac{v_1 + v_2}{2}$ равно средней скорости $\frac{v_1 + v_2}{2} = v_{cp} = \frac{\Delta x}{\Delta t}$. Подставим эти выражения в формулу (4):

$$\Delta U = m \frac{\Delta x}{\Delta t} \left( -\frac{F}{m} \Delta t \right) = -F \Delta x.$$

Отсюда

$$\frac{\Delta U}{\Delta x} = -F.$$

Формулу (5) можно получить и инчае, учитывая, что при равномерном движении меняется лишь потенциальная энергия тела и изменение ее равно работе силы, действующего на тело.

Выясним геометрический смысл формулы (5). Пусть нам задан график потенциальной энергии. Ясно, что чем меньше величины $x_2 - x_1$, тем точнее скорость изменения потенциальной энергии совпадает с тангенсом угла наклона касательной к кривой потенциальной энергии (рис. 3). Действие

11

тельно, $tg\alpha_1 = \frac{a}{b} = \frac{U(x_2) - U(x_1)}{x_2 - x_1}$, а чем меньше $x_2 - x_1$, тем с большей точностью угол $\alpha_1$ равен углу $\alpha$. Таким образом, мы приходим к выводу, что тангенс угла наклона касательной к графику потенциальной энергии, взятый с обратным знаком, совпадает с действующей на тело силой. Это значит, что чем круге растет потенциальная энергия, тем больше величины силы и наоборот.

После того как формула (5) приобрела наглядный геометрический смысл, легко, например, выяснить, существуют ли положения равновесия и какие они. Положением равновесия мы называем точку, в котором тело может пребивать сколь уголдо долго, если, конечно, вначале оно обладает нулевой скоростью. Когда это возможно? Изменение скорости характеристируется ускорением: если оно равно нулю, то скорость тела неизменна. Ускорение же пропорционально действующей на тело силе. Значит, положения равновесия — это те точки, где сила обращается в нуль.

Обратимся снова к графику потенциальной энергии. Как мы уже видели, сила, действующая на тело, равна взятому с обратным знаком тангенсу угла наклона касательной к кривой потенциальной энергии. Если этот угол равен нулю, то равна нулю и сила. Таким образом, на графике потенциальной энергии, положения равновесия соответствуют тем точкам, в ко-
Рис. 4

Рис. 5a,6

торых касательная параллельна оси абсцисс. Очевидно, например, что положения равновесия являются максимумы и минимумы потенциальной энергии (рис. 4).

Положения равновесия могут быть устойчивыми и неустойчивыми. Что имеется в виду? Пусть мы слегка отклонили тело от положения равновесия. Если при этом сила, действующая на тело, возврашает его обратно, то равновесие называется устойчивым, если нет, то неустойчивым.

Исследуем на устойчивость положение равновесия, соответствующей минимуму на кривой потенциальной энергии (точка $A$ на рис. 4). Пусть тело сдивинулось от точки $A$ вправа. В новом положении $A_1$ (рис. 5 a) тангенс угла наклона касательной положительного, а сила отрицательна, то есть направлена в противоположную смесению сторону и возврашает тело к

12

точке $A$. Если следует сливнуть влево от точки $A$, то в таком положении ($A_2$ на рис. 5 а) тангенс угла наклона касательной отрицательный, сила положительная, то есть направлена к точке $A$ и заставляет тело вернуть в исходное положение. Таким образом, положение равновесия в минимуме потенциальной энергии является устойчивым. Аналогично можно рассмотреть устойчивость положения равновесия, если потенциальная энергия максимальная (рис. 5 б).

Итак, мы видим, что по кривой потенциальной энергии можно найти величину действующего на тело силы, легко определять, где находится положения равновесия и какие они. В этом смысле график потенциальной энергии можно сравнить с ледяной горкой, откуда спускается на санкх. В тех местах, где горка кругта, санк разгоняется быстрое, на пологом спуске — медленнее. Вершина горки и углубления в ней — положения равновесия. Ведь если поставить туда санкки, они там и останутся. При этом вершина — положение неустойчивого равновесия, а ложбинки — устойчивого.

Теперь, пожалуй, пооговорить о том, как вычислить величину потенциальной энергии. Для этого вернемся снова к формуле (5) и перепишем ее в виде

$$U(x_2) - U(x_1) = -F \cdot (x_2 - x_1).$$

Напомним, что длина $\Delta x = x_2 - x_1$

Рис. 6

13

Энергий тела равна взятой с обратным знаком *) площади под график зависимости действия на тело силы от координат **). Тогда ее график — прямая, параллельная оси абсцисс. Площадь под ней равна $F \cdot (x - x_0)$, откуда для разности потенциальных энергий получаем

$$U(x) - U(x_0) = -F \cdot (x - x_0)$$

(рис. 7а,б).

С помощью соответствия (8) получаем

$$\frac{mv^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2} = F \cdot (x - x_0).$$

$$\frac{mv^2}{2} - Fx = \frac{mv_0^2}{2} - Fx_0,$$

то есть потенциальная энергия $U = -Fx$. Однако это не единственная возможность, с тем же основанием мы могли бы написать и такое равенство

$$\frac{mv^2}{2} - Fx + C = \frac{mv_0^2}{2} - Fx_0 + C,$$

где $C$ — постоянное число. Но тогда потенциальная энергия $U = -Fx + C$. Таким образом, мы видим, что потенциальная энергия определяется точно до произвольной постоянной. Это объясняется следует уже из самого закона сохранения механической энергии. Ведь если мы говорим, что сохраняется величины $E = \frac{mv^2}{2} + U$, то сохраняется и $E' = \frac{mv^2}{2} + U + C$, где $C$ — некоторая постоянная. Но в таком случае $U' = U + C$. Это означает, что потенциальную энергию можно определить лишь с точностью до произвольной постоянной, которое всегда выбирают из сообщений удобства *). Конечно же, такая неопределенность потенциальной энергии никак не сказывается на сделанных нами выводах о характеристике движения в данном поле, о наличии в нем положений равновесия и на зависимости скорости тела от координаты. В этом вы легко можете убедиться, надо только одновременно с изменением потенциальной энергии на величины $C$ изменить и полную энергию тела на такую же величины. Дело в том, что для полного описания движения тела надо задать его положение и скорость в некоторый момент

*) Надо отметить, что если сила отрицательна, то соответствующему участип следует приписать знак минус.

*) Поле, в котором сила, действующая на тело, всюду постоянна, называется однородным. Оdnородными, например, является поле тяготения вблизи поверхности Земли $F = mg$ и электрическое поле внутри плоского конденсатора.

14

Рис. 8

времени, тем самым мы будем знать
$\frac{mv_0^2}{2}$ и $U(x_0)$ Поляная же энергия
$E = \frac{mv_0^2}{2} + U(x_0)$ Позному при добавлении к $U$ некоторой постояной величины, энергия $E$ увеличитсяровно на столько же.

Рассмотрим теперь движение кубика наружке в отсутствие трения (рис. 8) и вычислим, чем равна по тенциальная энергия в этом случае По закону Гука сила, действующая на кубик, равна $F = -kx$, где $k$ — жесткость пружины $x$ — ее деформация В таком случае график силы — пряма, тангенс угла наклона которого к оси $x$ равен $k$ (рис. 9a)

Разность потенциальных энергии $U(x_1) - U(x_0)$ равна площади защитыхованной на рис. 9a трапеции $ABCD$, высота которого $BC = x_1 - x_0$. а получим основный $\frac{AB + CD}{2} = \frac{kx_0 + kx_1}{2}$. Воспользовшись формулой площади трапеции, находим, что $U(x_1) - U(x_0) = \frac{(x_1 - x_0)(kx_0 + kx_1)}{2} = \frac{k(x_1^2 - x_0^2)}{2} = \frac{kx_1^2}{2} - \frac{kx_0^2}{2}$.

В результате для $U(x)$ получаем следующие выражение: $U(x) = \frac{kx^2}{2}$

*) Аналогично случаю однородного поля постоянию $C$ мы выбрали здесь так, чтобы $U(0) = 0$.

15

случаев ($F = \text{const.} \quad F = -kx$) вычислить эту площадь окзывается не под силу без знания интегрального исчисления. Если же ее найти, то оказывается, что для силы меняющейся по закону $F = \frac{\alpha}{r^2}$, потенциальная энергия

$$U = \frac{\alpha}{r}$$

Обратите внимание, что в формуле (10) мы выбрали постоянную $C$ так, чтобы потенциальная энергия обращалась в нуль на бесконечности. По чему это удобно и когда? Вспомним что потенциальная энергия характеризует действие тел друг на друга—взаимодействие; если на бесконечности сила обращается в нуль, то чем дальше тела отстоять друг от друга, тем слабее их взаимное влияние. Именно этому и соответственно выбор постоянной в нашем и аналогичных ($F(\infty) = 0$) случаях.

Из формулы (10) следует, что вид потенциальной энергии существенно образом зависит от знака $\alpha$ (см. рис. 106). Если $\alpha > 0$, то сила $F = \frac{\alpha}{r^2} > 0$, и мы имеем дело с отталкиванием (одномименные заряды, $\alpha = q_1 q_2 > 0$). Если $\alpha < 0$, то сила $F = -\frac{|\alpha|}{r^2} < 0$, что соответствует притяжению (разноименные заряды, $\alpha = -q_1 |q_2|$). Здесь пожалуйста, стоит еще раз вернуть к аналогии с санками, спускающимся с ледяной горки. Заметьте, что если поставить санк на горку, имеющий профиль интерсуошей нас потенциальной энергии, то они показывают в направлении действия силы. Такое множество правило дает возможность сразу определить, что имеет место — притяжение или отталкивание. Действительно, ведь если санк показуется к точке $r = 0$ (например, нижняя кривая на рис. 106), то имеет место притяжение, если наоборот (например, верхняя кривая), то — отталкивание.

Это же правило позволяет качественно построить вид потенциальной

16

Дуюшее. На больших расстояниях притяжение быстро убивает, а откалкивание при сближении, начиная с некоторого расстояния, возвращает очень резко. Описанной картине взаимодействия atomов соответствует график потенциальной энергии. Показан-

16

ный на рисунке 11 Убедитесь в этом, воспользоваться аналогией с ледяной горкой. Точка $r=r_0$ соответствует положению устойчивого равновесия, и поэтому $r_0$ равно расстоянию между atomами в молекуле.

В заключение подведем некоторые итоги. Мы видели, что по графику потенциальной энергии можно выяснить ряд существенных характеристик движения (число различных траекторий в зависимости от энергии, ограничено движение или нет, имеются ли положения равновесия и какие они: устойчивые или неустойчивые). Каждая из них, как оказалось, имеет простой геометрический смысл. Легко также определять величины и направление действия на тело силы («правило санок»). Мы показали, что площадь под графиком силы, взятая с обратным знаком, равна потенциальной энергии тела. Это дает возможность в ряде случаев неосредственно вычислять потенциальную энергию. Что сильно облегчает решение различных задач.

И, наконец, мы видели, как качественный вид потенциальной энергии позволяет уяснить существующее и дать на него ответ.

Попробуйте теперь самостоятельно решить следующие задачи.

Упражнения

1. Выяснить область возможного движения при
   $E<U_0$ и $E>U_0$.
   если потенциальная энергия имеет вид изображенный на рис. 12.

2. Найти положения равновесия по кривой потенциальной энергии (рис. 13) и выяснить их устойчивость.

Нарисовать график зависимости силы от координаты.

3. Показать геометрические, что при изменении потенциальной энергии на постоянную величины $C$ сила, действующая на тело в каждой точке, не изменится.

4. Кубик со стороны $a$ плотности $\rho_1$, плавает на поверхности жидкости, плотность которого $\rho_2$. Нарисовать графики силы, действующей на кубик, и потенциальной энергии в зависимости от глубины порружения.

17

ЛУНОЧКИ
ГИППОКРАТА

В пятом веке до нашей эры, то есть почти две с половиной тысячи лет назад, жил в Греции учены, зали его Гиппократ Хиосский. Именно Гиппократ принадлежит первая известная попытка создать «Начала» геометрии. К сожалению, книга эта до нас не дошла.

По одной из легенд неудачливый купец Гиппократ был ограничен прарам и направился желаваться на них в Афины. Здесь он встретился с мудрецами, которые проводили время, занимаясь в основном, решением геометрических задач. Не найдя управы на грабителей, Гиппократ утешился тем, что превозшел в геометрии самых искусных мудрецов . . .

Гиппократ пытался осуществить квадратуру круга, иначе говоря, построить с помощью циркуля и линейки круг, равновеликий данному квадрату. И хотя это ему, естественно, не удалось, он сумел построить несколько фигур, представляющих собой куски плоскости, ограниченные двумми окружностями, и тем не менее равновеликих квадрату.

С именем Гиппократа в истории геометрии связаны фигуры особого вида, так называемые луночки. Луночку (инначе говоря, полумесcii) можно определить так: на хорде произвольного круга строят внешним образом полуокружность, концы которого совпадают с концами хорды. Фигура, ограниченная меньшей дугой

окружности данного круга и проведенной полуокружностью, и есть луночка.

На рисунке 1 четыре также луночки окрашены в желатель цвет. Гиппократ заметил, что суммарная их площадь равна площади квадрата, окрашенного здесь в голубой цвет. Действительно, сумма площадей полукругов, построенных на сторонах этого квадрата, равна площади круга, в которой вписан квадрат. Если из полукругов удалить окрашенные в фиолетовый цвет сегменты, то остатус четыре луночки; если же удалить их из большого круга, то остатус квадрат.

Рис. 1.
17

18

Рис. 2.

Рисунок 2 иллюстрирует еще одну теорему Гиппократа. Оказывается, площадь трапеции, вписанной в округность с центром в точке O, равна сумме площадей оранжевых луночек и оранжевого полукруга (все три луночки равны по построению, полукруг равен тем полукругам, из которых образованы луночки). Доказывается эта теорема так же, как предыдущое утверждение.

На рисунке 3 приведена фигура, также составленная Гиппократом. Две боковые стороны и меньше основание трапеции равны 1, больше основание равно $\sqrt{3}$. Нижняя дуга фигуры, защищенной на рисунке черными линяями и которую естественно называть обобщенной луночной, касается диагонали трапеции. Оказывается, что площадь вписанной трапеции и луночки равны (доказать это площадей луночек. Доказательство этого факта легко получить, если воспользоваться теоремой Пифагора. Кстати, у этой фигуры есть еще одно удивительное свойство. Луночки имеют одинаковую ширину. Точнее говоря, диаметры наиболее вписанных в них окружностей равны каждый половине разности между суммой катетов и гипотенузой треугольника, показанного на том же рисунке.

20

метрии по-прежнему служат стороны треугольника $T$).

Поскольку симметричные сегменты равновелики, достаточно теперь доказать (см. рис. 6 е), что сумма площадей четырехугольников $R_1, R_2$ и $R_3$ без площади треугольника $L$ равна удвоенной площади треугольника $T$.

Треугольники $L$ и $L'$ симметрины относительно стороны $c$. Отразим теперь треугольники $P$ и $Q$ сначала относительно стороны $c$. Получаем треугольники $P'$ и $Q'$. Затем отразим треугольник $P'$ относительно стороны $b$, а треугольник $Q'$ — относительно стороны $a$. Образуется фигура из двух треугольников $T_1$ и $T_2$.

Оба эти треугольника симметрины

Рис. 62.

$$\frac{S}{S'} = \pi$$

Рис. 7

Рис. 8а, б, в.

22

Физика
помогает
геометрии

Б. Ю. Коган

При изучении физики, конечно, используется математика. Но, оказывается, бывают и наоборот — физика приносит пользу математике. Вот несколько примеров того, как понятие центра тяжесте можно использовать в геометрии.

1. Теорема о медианах треугольника. Поместим в вершины треугольника (рис. 1) матерIALные точки одинаковой массы. Центр тяжесте системы точек А и В находится в точке K — середине отрезка AB. Значит, центр тяжесте системы точки А, В и С лежит на медиане СК. Рассуждая аналогично, мы приdem к выводу, что этот центр тяжесте лежит на медиане AL и на медиане BM. Но у системы точек А, В и С всего лишь один центр тяжесте. Следовательно, медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Далее, так как точка C имеет массу m, а точка K «представляет» систему точек А и В, имеющий массу 2m, то KS вдвое меньше SC. Следовательно, точка пересечения медиан делит каждой из них в отношении 2:1.

2. Теорема о средних линиях четырехугольника. Поместим в вершины четырехугольника ABCD матерIALные точки одинаковой массы (рис. 2). Так как центр тяжесте системы точек A

23

или о точках A и D, мы придем к выводу, что центр тяжестии системы точек A, B, C и D лежит на пересечении средних линей KM и LN. Далее так, как система точек A и B имеет такое массу, как и система точек C и D, то KS=SM. Рассуждая аналогично, найдем, что LS=SN. Следовательно, средние линей четырехугольника, пересекаясь, делятся пополам.

Заметим, что в наших рассуждениях ни используется тот факт, что точки A, B, C и D лежат в одной плоскости. Значит, доказанная теорема верна и для пространственного четырехугольника. (Из нее следует, что средние линей такого четырехугольника обязательно пересекаются.)

3. Обобщение предыдущей теоремы. Расмотрим произвольный четырехугольник ABCD (рис. 3). Поместим в его вершины материальные точки: в вершину A — массы m, в вершину B — массы αm, в вершину D — массы βm и в вершину C — массы αβm, где α и β — произвольные положительные числа. Тогда центр тяжестии системы точек A, B, C и D будет лежать на пересечении прямых KM и LN, где K — центр тяжестии системы точек A и B, M — центр тяжестии системы точек C и D, L — центр тяжестии системы точек B и C и N — центр тяжестии системы точек A и D. Далее, так как длин们 образно произвольны соответствуют весам, то

$$\frac{AK}{KB} = \frac{\alpha m}{m} = \alpha, \quad \frac{DM}{MC} = \frac{\alpha \beta m}{\beta m} = \alpha,$$

$$\frac{NS}{SL} = \frac{\alpha m + \alpha \beta m}{m + \beta m} = \alpha, \quad \frac{BL}{LC} = \frac{\alpha \beta m}{\alpha m} = \beta,$$

$$\frac{AN}{ND} = \frac{\beta m}{m} = \beta,$$

$$\frac{KS}{SM} = \frac{\alpha \beta m + \beta m}{\alpha m + m} = \beta.$$

Следовательно, если стороны этого четырехугольника разделить так, что

$$\frac{AK}{KB} = \frac{DM}{MC} = \alpha, \quad \frac{BL}{LC} = \frac{AN}{ND} = \beta,$$

то отрезки NL и KM разделятся в том

24

Например, на рисунке 4 каждый «вертикальный» отрезок разбит на три одинаковых участка, а каждый «горизонтальный» — на четыре одинаковых участка *).

4. Нахождение соответствовств. С помощью представления о центре тяжестии легко решаются задачи следующого типа. На сторонах треугольника $ABC$ поставлены точки $K$ и $L$ (рис. 5). Знача, что $\frac{AK}{KB} = \frac{1}{2}$ и $\frac{BL}{LC} = \frac{3}{5}$, найти отношения $\frac{AS}{SL}$ и $\frac{CS}{SK}$.

Решение. Поместим в вершины $A, B, C$ матерIALные точки так, чтобы выполнялось соответствие
$$\frac{m_B}{m_A} = \frac{AB}{KB} = \frac{1}{2}, \quad \frac{m_C}{m_B} = \frac{BL}{LC} = \frac{3}{5},$$
например, положим
$$m_A = 10m, \quad m_B = 5m, \quad m_C = 3m.$$
Тогда центр тяжестии системы точки $A$ и $B$ будет лежать в точке $K$, а центр тяжестии системы точки $B$ и $C$ — в точке $L$. Следовательно, центр тяжестии системы точки $A, B$ и $C$ лежит на прямой $CK$ и в то же время на прямой $AL$, то есть он помещается в точке пересечения $S$. Отсюда легко найти, что
$$\frac{AS}{SL} = \frac{m_B + m_C}{m_A} = \frac{5m + 3m}{10m} = \frac{4}{5},$$
$$\frac{CS}{SK} = \frac{m_A + m_B}{m_C} = \frac{10m + 5m}{3m} = \frac{5}{1}.$$
Задание

1. Каждая вершина tetraэдра соединена с точкой пересечения медиан противоположной грани. Доказать, что четыре полученных отрезка пересекаются в одной точке.
2. В треугольнике $ABC$ проведена медиана $AK$. Прямая, соединяющая вершину $C$ с серединой медианы, пересекает сторону $AB$ в точке $L$. Найти отношение $AL:LB$.
3. В треугольнике $ABC$, показанном на рисунке 6,
   $$\frac{AK}{AB} = \frac{BL}{BC} = \frac{CM}{CA} = \frac{1}{3}.$$
   Какую часть от площади треугольника $ABC$ составляет сумма площадей защитыованных треугольников?
   *) Эта теорема верна и для неплоского четырехугольника.

26

Невозможные объекты

Л. Пенроуз, Р. Пенроуз

Впечатление от трехмерных предметов можно передать с помощью плоских изображений. Этот можно воспользоваться для того, чтобы создать противоречивое впечатление.

Здесь описаны рисунки неисуществующих конструкций. Каждый часть воспринимается как изображение трехмерного объемного предмета, но весь рисунок за счет неправильного соединения этих частей кажется предметом-призраком.

Пример такой конструкции показан на рисунке 1. Каждый часть — это брусок прямоугольного сечения, но линия на рисунке соединены так, что изображенный предмет не существует в действительности. По мере того, как глаз следует вдоль грани бруска, изменяется кажущее расстояние от предмета до наблюдаемого.

На рисунке 2 показана конструкция, каждая часть которого — ряд ступенек. Однако части этой соединены друг с другом так, что картина в целом несовместима: ступенки все время поднимаются.

Иллюзию неисуществующих конструкций могут вызвать и摄影ии неисвестных предметов. Для этого они должны быть сконструированы специальным образом и photographerованы под определенным углом. Пример подобной photographer показан на рисунке 3. Здесь摄影 действияно существующей модели вызывает то же впечатление, что и изображение неисвестующей лестницы (рис. 2). Это вызывано тем, что крайняя правая ступенка при photographerовании находится близке к фотоаппарату и выше, чем ступенка, которая кажется расположенной прямо над ней.

28

Рис. 3. Модель невозможного куба.

разомкнутую трехмерную модель (рис. 2). Если смотреть на такую модель одним глазом и найти нужную точку, можно увидеть, как две разъединенные стороны модели совместятся. Сфотографировав модель из этого положения, вы получите фотографию невозможного трехгольника Пенроуза.

Этот пример используется и для получения изображения невозможного куба. Если вы сделаете такую клетку, которая изображена на рисунке 3, то, расположив ее так, чтобы задние ребра клетки закрыли прорези в передних, вы увидите невозможный куб: задние ребра клетки будут казаться выдвинутыми вперед. (Из этого положения можно получить и фотографию.) Физиолог Гибсон, использовал эту идею, придумал ряд интересных иллюзий, в которых он использовал картоны прямогоolgники с прорезями в некоторых из них, для того чтобы более удаленный из прямогоolgников казался расположенным на переднем плане. На рисунке 4 два набора квадратов, хотя и каждуся одинаковыми, по-разному расположены в пространстве, а в третьем ряду валет на самом деле нахождение близке шестерки, и карты, следовательно, одинаковы по размеру. Такую фотографию можно получить, сделав соответствующее прорези в близке расположенной карте и в среднем прямогоolgнике, через которые можно увидеть более удаленную шестерку (рис. 5).

Другая серия такого же рода оптических илиюзий может быть получена с помощью так называемой искусвленной комнаты Эймса, геометрия которого показана на рисунке 6. Сделана эта комната несколько необычно. Пол в ней наклонен и повышается враво от наблюдаателя, задняя стена удаляется по мере продвижения налево, окна на этой стене разных размеров и имеют форму трапеции. Однако если в такую комнату смотреть из определенной точки, она выглядит совсем обычной: пол каждой

29

Рис. 5. Устройство, позвольшее habлюдать иллюзию, которое вы видите на рисунке 4.

сяровным, задняя стенка — перпендикулярной направлению взгляда, а окна — прямогольными и одинаковыми. Эймс сделал одну из таких комнат достаточно большой для того, чтобы в ней могли находиться люди. Получился удивительный эффект: когда зритель расматривает люди, прогуляивающийся вдоль этой комнаты, он наблюдает необычные изменения их размеров. В зависимости от того, куда идет человек, он кажется то растущим, то умеешь шающимся.

Малая модель такой комнаты позволяет видеть в окнах задней стенки руки или лице человека. Как и в большой комнате, руки или лица каждуся непомаленное большими или маленькими в зависимости от того, появляются ли они в окнах справа от наблюдается или слева. Мы настолько привыкли к комнатам общей формы, что в комнате Эймса восприниваем как реальные даже сильно искаженные объекты. Воспрятие изображения — психологический процесс. При этом важно отношение habлюателя к предмету habлюления и даже его состояние в данный момент. Интересно, что лица хорошо знако-мыхлой воспринимаются в комнате Эймса в полне нормальных, при этом всегда геометрия комнаты становится заметной habлюдаателю.

Конечно, самим постройть большую комнату Эймса довольно сложно. Но сделать небольшую модель, повидимому, можно. Помещая внутренные предметы, вы при желании сможете получить довольную эффективные фотографии. Почему бы не попробовать?

Рис. 6. Геометрия испривленной комнаты Эймса.

30

Задачи

М81. Внутри квадрата $A_1 A_2 A_3 A_4$ взята произвольная точка $P$. Из вершины $A_1$ опущен перепendlukуляр на прямую $A_2 P$, из вершины $A_2$ — на $A_3 P$, из $A_3$ — на $A_4 P$, из $A_4$ — на $A_1 P$. Докажите, что все четыре перепendlukуляра (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

А. Н. Виленкин

М82. На колъевой автоматиблной дороге стоит несколько одинаковых автоматашин. Известно, что если бы весь бензин, имеющийся в этих автоматашинах, слили в одну, то эта машина смогла бы проехать по всей колъевой дороге и вернуть на прежнее место. Докажите, что хотя бы одна из машин, стоящих на дороге, может обжать все колъю, забирая по пути бензин у остальных автоматашин.

М83. Докажите, что числа 1, 2, …, $n$ ни при каком $n$ нельзя разбит на две группы так, чтобы произведение чисел в одной группе равнялось произведение чисел в другой.

М84. Пусть $A$ — основание перепendlukуляра, опущенного из центра данной okружности на данную прямую $l$.

На этой прямой взяты еще две точки $B$ и $C$ так, что

$$AB = AC.$$

Через точки $B$ и $C$ проведены две произвольные секущие, из которых одна пересекает okружность в точках $P$ и $Q$, вторая — в точках $M$ и $N$. Пусть прямые $PM$ и $QN$ пересекают прямую $l$ в точках $R$ и $S$. Докажите, что

$$AR = AS.$$

Эту задачу (или некоторые ее варианты) называют иногда «задачей о бабочке»; произхождение такого названия ясно из рисунка 1.

М85. Докажите, что если $a_1, a_2, ..., a_m$ — попарно различные натуральные числа, ни одно из которых не делится на квадрат целого числа, больше его единицы, а $b_1, b_2, ..., b_m$ — целые числа, отличные от нуля, то

$$b_1 \sqrt{a_1} + b_2 \sqrt{a_2} + \ldots + b_m \sqrt{a_m} \neq 0.$$

Л. Н. Васерштейн

31

Ф93. В боковой стенке сосуда, наполненного жидкостью с показателем преломления $n$, продолжано отверстие небольшого радиуса $r$. По оси отверстия из сосуда направляют горизонтальное тонкий луч света. До какого уровня $h$ над отверстием должна вытечь жидкость, чтобы луч света вышел из струи, ни разу не испытовало внутреннего отражения?

Изменением поперечного сечения струи пренебречь, показатель преломления жидкости считать достагоно большим.

И. Ф. Гинзбург

Ф94. Над одной грамм-молекуляр идеального газа совершают цикл (замкнутый процесс, состоящий из двух изохор и двух изобар (рис. 2)). Температуры в точках 1 и 3 равны $T_1$ и $T_3$ соответственно. Определить работу, совершенную газом за цикл, если известно, что точки 2 и 4 лежат на одной изотерме.

Ф95. Поверхность реки образует наклонную плоскость. Можно тело свободно плыть по реке со скоростью, превышающей скорость течения или максимальной скорость течения?

Ф96. Два одинаковых шарика связи нитью. Найти высоту подема этой системы, если один из шариков бросили вверх со скоростью $v$.

А. Дроздов

Ф97. Виток изолированного провода изогнут в виде восьмерки, колба которой имеет радиус $r_1 = 1$ см и $r_2 = 3$ см. Виток находится в магнитном поле с индукцией $B = 10^4$ ec, перpendикулярном плоскости витка.

Изоляция провода расчитана на напряжение 10 e. Произойдет ли пробой изоляции, если магнитное поле резко выключить? Время выключения поля $10^{-3}$ сек.

Л. Г. Асламаов

Рис. 2.

32

Решения

В этом номере мы публикуем решения задач M31—M33

M31

Квадратный лист бумаги разрезают по прямой на две части. Одну из полученных частей снова разрезают на две части, и так делают много раз. Какое наименьшее число разрезов нужно сделать, чтобы полученных частей оказалосьровно это двадицатугольников?

При каждом разрезании общее число кусков бумаги увеличивается на 1 (так как один кускок пропадает и появляется два новых), поэтому после $n$ разрезов будет $(n+1)$ кусков бумаги.

Подсчитаем теперь, каким может быть общее число вершин во всех кусках вместе после $n$ разрезов. При каждом разрезании общее число вершин увеличивается либо на 2 (если резали через вершины), либо на 3 (если резали через вершину и сторону), либо на 4 (если резали через 2 стороны). Так как сначала было 4 вершины, то после $n$ разрезов во всех кусках вместе будет не больше чем $4n+4$ вершины.

Предположим, что после $N$ разрезов получилось 100 двадицатугольников. Так как при этом общее число полученных кусков будет $N+1$, то, кроме этих двадицатугольников, будет еще $N+1-100$ кусков. Каждый из этих кусков будет иметь не меньше трех вершин, поэтому общее число вершин во всех кусках будет не меньше чем $100\cdot 20+(N-99)\cdot 3$. Как было доказано ранее, это число не больше чем $4N+4$. Значит,

$$4N+4 \geq 100\cdot 20+(N-99)\cdot 3 = 3N+1703,$$

откуда $N \geq 1699$.

Итак, мы доказали, что нельзя получить 100 двадицатугольников, сделав меньше чем 1699 разрезов. Это основная и самая трудная часть доказательства.

Покажем теперь, как можно получить 100 двадицатугольников, сделав 1699 разрезов. Вот один из способов: разрежем квадрат на 100 прямойугольников (99 разрезов) и каждый прямойугольник за 16 разрезов превращает в двадицатугольник, отрезая от углов треугольники (1600 разрезов). Всего будет 1699 разрезов.

Ответ. Может получить 100 двадицатугольников, сделав 1699 разрезов, а сделав меньше число разрезов, 100 двадицатугольников.

Точно так же можно узнать, какое наименьшее число разрезов нужно сделать, чтобы получитьровно $k$ л-угольников.

Точно решение этой задачи прислали Д. Григорьев из Ленинграда и В. Ливицц из Запоржья.

И. Н. Бернистей

M32

Во всех клетках таблицы $100 \times 100$ стоит плоскости. Разрешается одновременно изменить знаки во всех клетках одной строки или одного столца. Можно ли, продолжав также операции несколько раз, получить таблицу, гдеровно 1970 минутов?

Пусть в $i$-й строке мы изменили знак $x_i$ раз, в $k$-м столбце — $y_k$ раз. Тогда в клетке, стояшей на пересечении $i$-й строки и $k$-го столбца, знак изменится $x_i+y_k$ раз. Следовательно, в этой клетке будет стоять минутс в том и только в том слуае, когда $x_i+y_k$ нечетно. Таким образом, об-

33

шеее количество минусов в полученной таблице зависит только от четности чисел $x_i$ и $y_k$; на рисунке 1 вместе четыных чисел поставлены нули, вместе нечетных — единиццы. Пусть $x$ — число нечетных чисел среди $x_i$; $y$ — число нечетных чисел $y_k$ (на рисунке $x = 5, y = 4$). Тогда, как нетрудно посчитать, общее число минусов в таблице будет равно

$$x(100-y)+(100-x)y = 100x+100y-2xy,$$

где $x, y$ — целые.

Тепер вернемся к нашей задаче и докажем, что ответ в ней отрицательный, т. е. 1970 минусов получить невозможно. Предположим, что нам удалось получить 1970 минусов. Тогда $1970 = 100x+100y-2xy$, откуда

$$xy - 50x - 50y + 2500 = 1515.$$

Разложив левую часть на множители, получаем

$$(x-50)(y-50) = 1515 = 15 \cdot 101.$$

Имеем

$$-50 \leq x-50 \leq 50, -50 \leq y-50 \leq 50.$$

Поскольку число 101 простое, то либо $x-50$, либо $y-50$ делится на 101 (ведь их произведение делится на 101). Но из предыдуших неравенств тогда следует, что либо $x-50$, либо $y-50$ равно 0. Итак, мы получили противоречие, которое доказывает, чторовно 1970 минутов получения невозможного.

Правильно решение прислал Д. Григорьев.

А. В. Зелевинский

M33

Имеется натуральное число $n > 1000$. Возьмем остатки от деления числа $2^n$ на числа 1, 2, 3,…, $n$ и найдем сумму этих остатков. Доказать, что эта сумма больше $2^n$.

Обозначим сумму остатков от деления $2^n$ на числа 1, 2,…, $n$ через $S_n$. Мы успешим утверждение задачи и доказем, что при $n > 1000$ $S_n > 3,5n$. Попутно мы доказем тем же метод, что

$$S_n > \frac{n}{2} (\log_2 n - 4)$$

при любом $n$.

Мы следуем, в основном, решение Д. Григорьевa из Ленинграда. Решение основано на очень простом соображении: $2^n$ не делится на целое нечетное число, отличное от 1, значит, остаток от деления $2^n$ на такое число не меньше 1. Отсюда легко вывести, что для любого нечетного $k > 1$ остаток от деления $2^n$ на $2^l k$ не меньше $2^l$. Действительно, пусть остаток от деления $2^{n-l}$ на $k$ равен $r$, то есть $2^{n-l} = mk + r$, где $0 \leq r < k$, тогда $2^n = m(2^l k) + 2^l r$, где $0 \leq 2^l r < 2^l k$, то есть остаток от деления $2^n$ на $2^l k$ равен $2^l r$, и так как $r \neq 0$, то этот остаток не меньше $2^l$.

Отсюда следует, что во всяком случае

$$S_n \geq 1 \cdot (\text{количество не превышших } n \text{ чисел вида } 2k + 1, k > 1) + 2 \cdot (\text{количество не превышших } n \text{ чисел вида } 2(2k + 1), k > 1) + 2^2 \cdot (\text{количество не превышших } n \text{ чисел вида } 2^2(2k + 1), k > 1) + \dots$$

• $2^l \cdot (\text{количество не превышших чисел вида } 2^l(2k + 1), k > 1), (*)$

34

где $l$ определяется условием $3 \cdot 2^l \leq n$, $3 \cdot 2^{l+1} > n$ (нет смысла брать больше $l$, так как тогда выражение в скобке будет равно нулю).

Что можно сказать про правую часть этого неравенства?

Рассмотрим $(i+1)$-е слагаемое: $2^i(\ldots)$. Число, стоящее в скобке, равно, очевидно, числу не превозсдающих $n$ членов арифметической прогрессии $3 \cdot 2^i$, $5 \cdot 2^i$, $7 \cdot 2^i$, …, то есть прогрессии с первым членом $3 \cdot 2^i$ и разность $2 \cdot 2^i$. Число таких членов не меньше $\frac{n-3 \cdot 2^i}{2^{i+1}}$ и, значит, $i$-е слагаемое правой части неравенства не меньше $\frac{n}{2} - \frac{3}{2} \cdot 2^i$. В основном, решении задачи на этом окончено. Все остальное — это различные преобразования правой части () с помощью полученных неравенств. Заменим, например, сумму в правой части () при вымытии восемью слагаемыхми. Тогда мы получим

$$S_n > 8 \cdot \frac{n}{2} - \frac{3}{2} \sum_{i=0}^{7} 2^i >$$

$$> 8 \cdot \frac{n}{2} - \frac{3}{2} \cdot 2^8 = 3,5n + \left(\frac{n}{2} - 384\right).$$

При $n > 1000$ выражение в скобке положительное и, значит, мы доказали, что $S_n > 3,5n$ при $n > 1000$. Тем самым задача М33 полностью решена.

Однако можно получить более точное неравенство. Просуммируем все члены правой части (*); получим:

$$S_n > (l+1) \frac{n}{2} - \frac{3}{2} \sum_{i=0}^{l} 2^i >$$

$$> (l+1) \frac{n}{2} - \frac{3 \cdot 2^{l+1}}{2}.$$

Воспользовавшись неравенствами $3 \cdot 2^l \leq n$, $3 \cdot 2^{l+1} > n$, найдем, что

$$S_n > \frac{n}{2} \log_2 \frac{n}{3} - n =$$

$$= \frac{n}{2} \left(\log_2 \frac{n}{3} - 2\right) > \frac{n}{2} \left(\log_2 n - 4\right).$$

Эта формула показывает, например, что если $n > 2^{1004}$, то $S_n > 500 n$.

Задач а. Сумма остатков от деления чисел $2^{l+1}$, $2^{l+L}$ на нечетное число $m > 1$ больше, чем $\frac{m}{2} \left(\frac{L}{\log_2 2m} - 1\right)$.

С помощью этой задачи, решение которого будет приведено ниже, можно доказать, что для бесконечного числа значений $n$ сумма $S_n$ на самом деле городадо больше, чем $\frac{n}{2} \left(\log_2 n - 4\right)$, то есть можно доказать, что оценка $S_n > \frac{n}{2} \left(\log_2 n - 4\right)$ очень крупнее для бесконечного числа значений $n$. Это и неудивительно, так как наш метод доказательства не учитывает многохотеняемых числа отличных от нуля, в то время как эти остатки часто бывают большими. Вместе с тем, величины $S_n$ с ростом $n$ не может растить слишком быстрого, так как очень много, что $S_n \leq 1 + 2 + \ldots + (n-1) = \frac{n(n-1)}{2}$.

Нам кажется верятным, что справедлива такая гипотеза:

Ги потеза 1. При достаточно больших $n$ верно неравенство $S_n \leq \frac{n^2}{4}$;

6. существует положительное число $c > 0$ такое, что $cn^2 \leq S_n$.

Мы не умем ни доказывать, ни проверять эти утверждения. Более того, мы не знаем, справедлива ли более слабая.

Ги потеза 2. Существует положительное число $c > 0$ такое, что неравенство $cn^2 \leq S_n$ выполняется при бесконечном числе значений $n$.

Если вам удалось доказать или проверять одну из этих гипотез, присылайте нам ваший рассуджение. Если они оказываются интересными, мы опубликуем их в одном из номеров журнала. В качестве слабого подвергления гипотезы 2 может быть доказана следующая.

Теорема. Для бесконечного числа значений $n$ выполняется неравенство

$$S_n > \frac{n^2}{132 \log_2 n}.$$

Теорема выводится из задачи следующего образом. Рассмотрим сумму $\Sigma_k$ остатков от деления чисел $2^{k+1}$, …, $2^n$ на число $k$. Согласно задаче, при нечетном $k$ сумма $\Sigma_k$ остаточно велика, поэтому и число $\Sigma_1 + \Sigma_2 + \ldots + \Sigma_n$ велико. Но, как легко за*

*) Число $\frac{n^2}{132 \log_2 n}$ при больших $n$ города больше, чем число $\frac{n}{2} \left(\log_2 n - 4\right)$. Не трудно доказать, например, что при достаточно большом $n$ относение этих чисел больше $\sqrt{n}$.

35

метить, $S_1 + S_2 + \dots + S_n = \Sigma_1 + \dots + \Sigma_n$,
позному сумма, стоящая влевой части, также
велика и, значит, одно из слагаемых, скажем $S_l$, также велико. Аккуратное проведение доказательства мы предоставляем читателю. Перейдем теперь к решению задачи.

Решение задачи. Выпишем остатки от деления чисел $2^{l+1}, \dots, 2^l + L$ на $m$ и будем ставить между двумя последовательными остатками «галочку», если первый больше второго. Тогда, во-первых, остаток, стоящий перед галочкой, больше $\frac{m}{2}$, во-вторых, количество чисел между двумя последовательными галочками меньше $\log_2 2m$, так как остатки между двумя галочками образуют геометрический прогрессию со значением 2 (действительно, $2\log_2 2m - 1 = m > m - 1$, а всякий остatok не больше $m - 1$). Таким образом, число промежутков между галочками больше $\frac{L}{\log_2 2m} - 1$ и так как в конце каждого промежутка стоит число, больше $\frac{m}{2}$, то все доказано.

А. Г. Кушииренко

В этом номере мы публикуем решения задач Ф43, Ф48—Ф51

Ф43

Найти давление в центре жидкой планеты радиуса $R$, если жидкость несжимаема и имеет плотность $\rho$.

Разобъем объем планеты на тонкие сферические слоны толщиной $\Delta r$. Легко показать, что равновеснуюшая гранитционных слил, действующих со стороны слоя на частицу внутри этого слоя, равна нулю. Действительно, рассмотрим для этого конус с малым углом при вершине, в котором помещена часть массы $m$. Конус вырезает из слоя участки площадми $s_1$ и $s_2$ (рис. 1). Если масса вещества, приходящая на единицу поверхности слоя, равна $\mu$, то гранитонные слил, действующие на массу $m$ со стороны участков $s_1$ и $s_2$, равны

$$F_1 = \gamma \frac{m\mu s_1}{r_1^2}, \quad F_2 = \gamma \frac{m\mu s_2}{r_2^2};$$

но

$$\frac{s_1}{r_1^2} \cos \alpha_1 = \frac{s_2}{r_2^2} \cos \alpha_2 = \Omega$$

(Ω — телесный угол при вершине конуса), а $\alpha_1 = \alpha_2$; защищенные треугольники подобны, то есть $\angle OA_1 M_1 = \angle OA_2 M_2, \angle OA_1 B_1 = \angle OA_2 B_2$ (они опираются на одну жедугу) и $\alpha_1 = \angle OA_1 B_1 - \angle OA_1 M_1 a\alpha_2 = \angle OA_2 B_2 - \angle OA_2 M_2$.

Позному $\frac{s_1}{r_1^2} = \frac{s_2}{r_2^2}$. Благодаря этому

$$F_1 = F_2,$$ то есть эти силы взаимно уравновешивают друг друга. Проведя аналогичное рассмотрение для других участков слоя, мы и докажем сделанное утверждение.

Сила, с которой пригивается элемент слоя $\Delta s\Delta r$ к центру планеты, равна

$$F = \gamma \frac{4}{3} \pi r^3 \rho \Delta s \Delta r\rho$$,

где $r$ — расстояние от этого элемента до центра планеты. Отсюда найдем, что увелищение давления на участке толщиной $\Delta s$ равно

$$\Delta p = \frac{F}{\Delta s} = \frac{4}{3} \pi \gamma \rho^2 r \Delta r.$$

Позному давление на расстоянии $r_0$ от центра планеты будет равно

$$p = p_0 + \frac{4}{3} \pi \gamma \rho^2 \Sigma r \Delta r.$$

Так как сумма $r\Delta r$ равна площади

36

Фигуры, ограниченной графиком $y=r$ и осью $r$ (рис. 2), то

$$\sum r \Delta r = \frac{(R+r_0)(R-r_0)}{2} = \frac{R^2-r_0^2}{2}.$$

Позтому

$$p = p_0 + \frac{2}{3} \pi \rho^2 (R^2-r_0^2);$$

$p_0$ — давление на поверхности планеты, которое можно принять равным нулю. Тогда

$$p = \frac{2}{3} \pi \rho^2 (R^2-r_0^2).$$

В центре планеты ($r_0=0$) давление будет равно

$$p_\mu = \frac{2}{3} \pi \rho^2 R^2.$$

Ф48

На вал якоря диНАМОМАШИНЫ намотана веревка, к которой прикреплен груз. Опускаясь, груз вращает якорь. Когда якорь достаточно раскрутился, к kleемам диНАМОМАШИНЫ присоединили сопротивление на грузки. Изображите на графике зависимости скорости вращения якоря от времени с момента начала движения груза.

Так как до подключения нагрузки момент внешних сил, действующих на якорь, постоянен, то якорь вращается с постоянным угловымускорением и его скорость увеличивается пропорционально времени.

После подключения нагрузки по обмотке якоря поддет ток. Благодаря этому на якорь в магнитном поле статора будет действовать момент сил, пропорциональный (как и сила, действующего в магнитном поле на проводник с током) величины тока. Этот момент сил тормозит вращение якоря. Так как ток, идущий по обмотке якоря, пропорционален эд.d.c. индукции, возникающей в обмотке, а эd.d.c. индукции, в свою очередь, пропорциональная скорости изменения магнитного потока, пропизывающего обмотку, то есть угловой скорости вращения якоря, то при некоторой угловой скорости $\omega_0$ момент силы, действующего на якорь со стороны груза, будет равен моменту тормозящей силы, действующего на якорь в магнитном поле. $\omega_0$ и есть скорость установившегося вращения якоря.

График зависимости скорости вращения якоря от времени показан на рис. 4. Классной линей—для случая, когда скорость вращения якоря в момент подключения нагрузки была меньше $\omega_0$, и сине—когда она была больше $\omega_0$.

Ф49

U-образная трубка заполнена водой (рис. 4). Из одного колена воздуха удален; давление воздуха в другом колене при температуре $T_0=20^\circ C$ равно атмосферному. Оба конца трубки заполны. Какой будет разность уровней воды в коленах, если трубку нагреть до $T=100^\circ C$?

37

Рис. 4.

Давление в левом колене равно давлению насыщенного пара. В правом же колене находится как воздух, так и водяной пар, и давление равно сумме парциальных давлений воздуха и пара. Причем пар в правом сосуде тоже насыщен, и его парциальное давление равно давлению пара в левом колене. Поэтому, рассматривая равновесие воды, мы можем не учитывать давления пара в левом и правом коленах.

Запишем условие равновесия воды в трубке при $T_0=20^\circ\text{C}$:

$$\rho gh_0 = P_0, \quad P_0 = 1 \text{ amm.}$$

Отсюда

$$h_0 = \frac{P_0}{\rho g} \approx 10 \text{ m.}$$

При $100^\circ\text{C}$ давление воздуха в правом колене становится $P$, а разность уровней воды в коленах $h$. При этом

$$\rho gh = P. \quad (*)$$

$P$ связано с $P_0$ объединенным газовым законом:

$$\frac{P_0 V_0}{T_0} = \frac{PV}{T},$$

и $l - l_0 = \frac{1}{2} (h - h_0)$. Так как $V_0 = l_0 s$, $V = ls$ (s — площадь секения трубки), то отсюда найдем

$$P = P_0 \frac{T}{T_0} \frac{l_0}{l} =$$

$$= P_0 \frac{T}{T_0} \frac{l_0}{l_0 + \frac{1}{2} (h - h_0)}.$$

Подставляя это выражение в уравнение (*), получим

$$h = \frac{P_0}{\rho g} \frac{T}{T_0} - \frac{l_0}{l_0 + \frac{1}{2} \Delta h},$$

или

$$h = h_0 \frac{T}{T_0} \frac{l_0}{l_0 + \frac{1}{2} \Delta h}.$$

Полагая, что $1/2 \Delta h \ll l_0$, получим

$$h = h_0 \frac{T}{T_0} \approx 13 \text{ m};$$

$\Delta h \approx 3 \text{ m}, \frac{1}{2} \Delta h \approx 1,5 \text{ m} \ll l_0 = 15 \text{ m}$. Это означает, что, пребегая $1/2 \Delta h$ по сравнению с $l_0$, мы получили результат, малоотличной от точного.

Ф50

На гладком горизонтальном столе лежат два одинаковых кубика с массами $m$, соединенных пружинкой жесткости $k$ и длины $l_0$ в неростную систему. На левый кубик (рис. 5) внесло начнет действовать постоянная по величины и направлению силы $F$. Найдите минимальное и максимальное расстояние между кубками при дальнейшем движении системы.

Пусть расстояние $l$ между кубками минимально или максимально (будем говорить «экстремально»). Тогда оба кубика движутся с одинаковой скоростью $v$, и кинетическая энергия системы равна $2 \frac{mv^2}{2} = mv^2$. В то же

38

Время потенциальная энергия системы равна потенциальной энергии скатой пружины, то есть $kx^2/2$, где $x$ — изменение длины пружины ($x$ может быть как положительным — тогда длина пружины $l = l_0 - x$ меньше $l_0$, так и отрицательным — тогда длина пружины больше $l_0$). Полная энергия системы равна сумме кинетической и потенциальной энергии, то есть $mv^2 + kx^2/2$. Так как эту энергию система прибрела благодаря равоте силы $F$, то мы можем записать, что

$$FL = mv^2 + \frac{kx^2}{2}.$$

(*)

$L$ — расстояние, пройденное левым кубиком к тому моменту, когда длина пружины стала экстремальной (рис. 6): $L = S + \frac{l_0}{2} - \frac{(l_0 - x)}{2} = S + \frac{x}{2}$ ($S$ — расстояние, пройденное центром масс системы).

Скорость $v$ кубков равна скорости центра масс системы. На систему действует постоянная внешняя сила, и она движется равноускоренной сускорением $a = F/2m$. Поэтому, если обозначить через $t$ время от на-

Рис. 7.

чала движения до того момента, когда длина пружины стала равна $L$, то $v = at$ и $L = \frac{at^2}{2} + \frac{x}{2}$. Подставляя эти выражения для $v$ и $L$ в уравнение (*), получим

$$F \left( \frac{at^2}{2} + \frac{x}{2} \right) = ma^2 t^2 + \frac{kx^2}{2}.$$

Отсюда $\frac{F^2 t^2}{4m} + \frac{x}{2} F = \frac{F^2 t^2}{4m} + \frac{kx^2}{2}$ или $Fx = kx^2$. Следовательно, $x_1 = 0$, $x_2 = F/k$.

Таким образом, минимальное расстояние между группой равно $l_{\min} = l_0 - x_2 = l_0 - \frac{F}{k}$, а максимальное $l_{\max} = l_0 - x_1 = l_0$.

Ф51

Фотографировать тигра с расстоянияmente 20 метров опасно. Какой размер должен камера-обскура с ответством 1 мм, чтобы тигр на фотографи получился полосатым? Расстояние между полосами на шкрете тигра равно 20 см.

Камера-обскура — это коробка с ответством. На фотопленку, помещенную в камеру, попадает широкий лучок лучей, и душих из каждой точки фотографируемого объекта (рис. 7). Для того чтобы тигр на фотографи получился полосатым, необходимо, чтобы плошадки, на которых попадают лучи, душшие от ближайших точек соседних полос на шкрете тигра, не пересекались. Для этого необходимо, чтобы пленка находилась от ответствия на расстоянии $x$, больше $d/tg\alpha$.

Так как

$$tg\alpha = \frac{l/2}{L + x},$$ то $x > \frac{2d(L + x)}{l}$.

Отсюда $x > \frac{2dL}{l\left(1 - \frac{2d}{l}\right)}$. $\frac{2d}{l} \ll 1$, поэтому, пренебрегая $2d/l$ по сравнению с 1 в значенателе формулы, получим $x > \frac{2dL}{l} = 20$ см. Размер камеры должен быть больше 20 см.

И. Ш. Словодечкий

39

В одном из скверов Краснодара имеется круглая цветочная клумба, расположенная в центре квадратного сквера ABCD (рис. 1). Два друга — Вася и Петя — ходят в школу как раз через этот сквер. Причем иногда они выбирают путь AMC (красная линия), в другие дни — путь ADC (синяя линия). Все же жеся, что первый путь короче. Петя считает, что короче второй путь, и вот почему: круг, который им приходит обходить, имеет довольно большой радиус. «Конечно, — говорит Петя, — если бы радиус круга был неевелик или если бы клумбы совсем не были, то путь по диагонали AC был бы явно короче ломанной линия ADC (рис. 2). Но размеры круга немалые, и если допустить, что круг был бы вписан в квадрат, то — рассуждает Петя — мы имеем бы такую картину, как на рисунке 3». Теперь и Вася убедилися, что синяя линия короче красной: по «синей» дороге надо идти все время «прямо», сделав только один поворот, по «красной» же дороге надо сделать несколько поворотов, а иногда даже как бы возврашается назад.

Два друга решили рассеть свои сомнения таким образом: от точки A они пошли разными путими: Вася через сквер по красной линии, Петя — в обход — по синей линии. В точку C они приближали почти одновременно. Спор остался нерешенным. Тогда они пошли обратно (каждый своего дорогой) к точке A. Теперь Петя пришел раныше Васи. И спор был решен окончательно в ползу Пети. Правда, Васе показалось, что Петя щел быстрее, чем Вася.

Дома Вася решил сделать математические вычисления, обозначив радиус круга через R, а сторону квадрата через a.

— Странно, — подумал Вася, — ответ на вопрос задачи не зависит от величины радиуса круга. Впрочем, — продолжал он свою мысль, — можно было обойтись и без вычислений: ведь всякая обемлочная линия, как известно, длинее всякой обемлемой, имеющей те же концы.

Какие вычисления выполнили Вася и к какому результату он приSEL?

40

ЧТО ЗДЕСЬ—ТЕРЯЕМ ИЛИ НАХОДИМ?

В. А. Петров

Почти каждая письменная экзаменационная работа по математике включает в себя то или иное уравнение. Решая его, экзаменующейся должны не только безошибочно проверсти выкладки, необходимые для получения ответа, но и обязыванить правильность этих выкладок. Нужно уметить анализировать каждое из предложенных преобразований: приводит ли оно к равносильному уравнению, не угрожает ли потере или приобретением решения.

Вопросы тактики «борьбы» с построенными корнями и с потерей корней были рассмотрены в статье А. Г. Мордковича «Кто-то теряет, кто-то находит» («Квант» № 5, 1970)*). Теперь мы предлагаем вам проверить, достаточно ли твердо вы владеете этой тактикой. Сначала приводятся решения уравнений. Вам нужно проанализировать эти решения и ответить на следующее вопрос. Правильный ли получен ответ? Если нет, то что здесь — теряются корни или находятся построение? Почему? Каков правильный ответ? Сравните ваши соображения с нашими, помещенными на странице 62.

1. $2\sin 4x = \sqrt{2(1 - \cos 4x)}$.

Решение. Воспользовавшись формулой
$$2\sin^2\alpha = 1 - \cos 2\alpha,$$
получаем
$$2\sin 4x = \sqrt{4\sin^2 2x}$$
или
$$\sin 4x = \sin 2x,$$
что уже очень легко решается.

Ответ: $x = n\pi$ и $x = \frac{\pi}{6} + n\frac{\pi}{3}$, где $n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$

*) Более детально эта «тактика» освещена в очень полезной для абитриентов книге Г. В. Дорофеева, М. К. Потанова, Н. Х. Розова «Пособие по математике для построающих вузы», М., «Наука», 1970.

2. $8\cos x\cos 2x\cos 4x = 1$.

Решение. Умножив обе части уравнения на sin $x$ и трижды воспользовавшись формулой синуса двойного угла, получим простое уравнение
$$\sin 8x = \sin x.$$
Ответ: $x = (2n + 1)\frac{\pi}{9}$ и $x = 2n\frac{\pi}{7}$, где $n$ — любое целое число.

3. $\sin \left(\frac{1}{5}\arccos x\right) = 1$.

Решение. Из данного уравнения находим
$$\arccos x = \frac{5\pi}{2} + 10n\pi$$
($n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$).

41

Отсюда, по определению агссos $x$, получаем $x = \cos \left( \frac{5\pi}{2} + 10n\pi \right) = 0$.

Ответ: $x = 0$.

4. $\log_{x-1} (x^2 - 5x + 7) = 1$.

Решение. Найдем ОДЗ:

$$x^2 - 5x + 7 > 0, \quad x - 1 > 0,$$

откуда $x > 1$. Согласно определению логарифмической функции, имеем $x^2 - 5x + 7 = x - 1; \quad x_1 = 2, \quad x_2 = 4$.

Так как оба значения входят в ОДЗ, то они и являются решениями исходного уравнения.

5. $\sqrt[3]{2x - 1} + \sqrt[3]{x - 1} = 1$.

Решение. Возведем обе части уравнения в куб:

$$3x - 2 + 3\sqrt[3]{(2x - 1)(x - 1)} \times (\sqrt[3]{2x - 1} + \sqrt[3]{x - 1}) = 1.$$

Выражение в скобках представляется собой левую часть исходного уравнения — его можно заменить правой частью. После этого уравнение приводится к виду

$$(2x - 1) (x - 1) = (1 - x)^3.$$

Ответ: $x_1 = 0, \quad x_2 = 1$.

6. Может ли уравнение

$$\sqrt{x + a\sqrt{x + b}} + \sqrt{x} = c$$

иметь бесконечно много решений?

Решение. Перенесем $\sqrt{x}$ направо и возведем обе части в квадрат:

$$x + a\sqrt{x + b} = c^2 - 2c\sqrt{x} + x.$$

После приведения подобных членов получаем: $(a + 2c)\sqrt{x} = c^2 - b$. При $a + 2c = 0$ и $c^2 - b = 0$ (и только в этом случае), уравнение обращается в тожество, справедливо при всех неотрицательных $x$.

Ответ: уравнение имеет бесконечно много решений при $a = -2c$ и $b = c^2$. Решениями в этом случае является $x \ge 0$.

7. $$\cos \frac{x}{2} \sqrt{x^2 + (7-\pi)x - 7\pi} = 1.$$

Решение. Если при возведении в степень неокоторого положи-