Квант 1971, №9 · Страницы

Научно-популярный физико-математический
квант
9
1971
журнал
Академии
наук СССР
и
Академии педагогических
наук СССР

3

В номере:

Вычислительные машины и системы счисления 1
Р. С. Гутер

Беседа о причины неопределенности 7
М. Я. Азбель

М. В. Острогадский 11
И. А. Марон

«Похожие» движения 15
Я. А. Смородинский

Лунные дорогки 18
Л. Г. Асламазов

Блеск в природа, или почему у кошки глаза светятся 20
С. А. Хейфец

Может ли машина переводить? 25
В. В. Раскин

Задачик «Квант»
Задачи 31

Премии «Квант» 33

Решения задач М61—М63 и Ф72—Ф74 34
Н. Б. Васильев
И. Ш. Слободецкий

Практикум абитриента
Квадратный трехчлен 41
М. С. Атамукас

Кinematika 47
И. А. Зайцев

Шахматно-математические заметы 52
Е. Я. Гик

История изобретения электрического конденсатора 56
А. К. Кикoin

Рецензии. Библиография
Как видят невидимое 57
В. А. Леицковцев

Уголок коллекционера
Марка и этикетка, посвященные М. В. Острогадскому 59
Н. Н. Колесников

Логические кубики 60
Г. И. Копылов

Ответы, указания, решения 62

«Квант» для младших школьников

З-я стр. обложки

2

Рис. 1.

физические прибора, измеряющих соответствующие величины.

Совсем иначе представляется число в цифровой машине. Тут оно записывается в своей общей числовой форме и, следовательно, требует использования неокоторой определенной системы сисления.

Для изобравжения каждого разряда числа в цифровой машине отводится специальный элемент, имеющий определенное число различных источников источников источников. Например, в обычных русских счетах (которые являются более близкими родственниками современных вычислительных машин, чем логарифмическая линейка) для изобравжения цифры каждого разряда отводится спица с надетыми на нее десятью косточками. Точность записи числа на счетах определяется количеством разрядов числа, а значит — количество имеющихся на рame спиц.

К цифровым машинам относится также арифметры и клавишные вычислительные машины. В них для изобравжения каждого разряда числа используется шестерка с переменным числом зубцов, которая может находиться в одном из десяти различных источников источника, в зависимости от угла поворота шестерни на валу, или ступенчатый валик, также с десятью возможными источниками.

Во всех упомянутых случаях идет одея т и состояния каждого элемента. Легко сообщить, что это связывано с десятичной системой сисления: в каждой позиционной системе сисления количество различных знаков (цифр), пребуточная для изобравнения числа, равно основанию системы. Мы видим здесь, что система сисления предыдляет свои требования к конструкции вычислительной машины. Удовлетворить этим требованиям нетрудно: на спицу счет можно надеть любое количество или на шестерне нарезать любое нужное количество зубцов.

Но бывают и так, что машина предыдляет свои требования к системе сисления. Скажем, для электронских, релейных и электронных элементов характерным является наличие д в у х устойчивых источников. Например, электронная лампа — проводит или не проводит ток (открыта или заперта), ферритный сердечник намагничен в одном или противоположном направлении и т. п. Использование таких элементов требует обращения к системе сисления, в которой достаточно д в у цифр. Такова двойная система сисления: позиционная система с основанием два.

В такой системе единца каждого следующого разряда вдвое больше единцы предыдущего. Поэтому число изобравяется как 10, число «четыре», как 100, а «восемь» — как 1000.

3

Вот как выглядят некоторые числа в двойной системе:

| Десятичные числа | Двоичные числа | Десятичные числа |
| :— | :— | :— |
| 1 | 1 | 110 |
| 2 | 10 | 7 | 111 |
| 3 | 11 | 8 | 1 000 |
| 4 | 100 | 50 | 110 010 |
| 5 | 101 | 100 | 1 100 100 |

Преимущества двойной системы для вычислительных машин не исчерпываются тем, что она позволяет непосредственно использовать элементы с двумя источными источниками. Для построения вычислительной машины имеет значение суммарное число различных источников источников всех элементов. И в этом отношении двойная система численная оказывается более выгодной, чем десятичная. Действительно, для записи, например, целых чисел в интервале 1≤N≤999 в десятичной системе достаточно трех элементов (по одному для каждой разряда), с десятью источниками каждой. Всего мы получим 30 возможных источников. В двойной системе потребуется десять элементов, так как $2^9=512<999$, а $2^{10}=1024>999$, но заговло лишь по два источника, то есть всего 20 возможных источников.

Еще одно достоинство двойной системы связано с особенностями арифметических действия. Во всех позиционных системах численная арифметическая действия над многозначными числами связается к действием над однозначными, поэтому для их выполнения достаточно знать таблицы сложения и умножения однозначных чисел. В двойной системе также таблицы предельно просты:

$$0+0=0 \quad 0 \times 0=0$$
$$0+1=1+0=1 \quad 0 \times 1=1 \times 0=0$$
$$1+1=10 \quad 1 \times 1=1$$

Так как здесь нет иных цифр, кроме нуля и единиц, то умножение многозначных чисел свойства лишь к сдвигу чисел и сложению. Таким образом, основой арифметического устройства вычислительной машины, работающей в двойной системе численния, является многоразрядный двойный сумматор, осуществляющий сложение двух многозначных двойных чисел. С его же помощью выполняется и все остальные арифметические операции. В свою очередь, многоразрядный сумматор может быть составлен из однозначных двойных сумматоров, какый из которых предназначен для сложения элементов одного разряда.

Такой однозначный двойный сумматор должен иметь три входа: на два из них поступают значения соответствующих разрядов двух слагаемых, а третьим является возможность перенос в данный разряд из младшего. Выходов у этого сумматора должны быть два: один из них — сумма, которая должна получить в данном разряде, а второй — возможный перенос из данного разряда в старший. Двоичный однозначный сумматор изобрабатывает схемах так, как показано на рисунке 2. Многоразрядный двойный сумматор легко составить из нужного колючества однозначных (рис. 3).

Каждая цифра, подаваемая на любой вход однозначного двойного сумматора, может быть либо нулем, либо единицей. Так как всех входов три, то все возможное во всем (2^3) различных комбинаций. Для любой комбинации сумматор должен

4

давать определенные цифры на выходе. При этом все входы равноправны и значения выходов определяются не тем, что подается на тот или иной вход, а общим количеством единиц, подающих на входы.

Например, если на вход подают две единицы и один нуль, то на выходе сумматор должен дать нуль в качестве цифры суммы в данном разряде и единицу перенос в старший разряд (1+1+0=10), независимо от того, будет ли нуль на вход переносом из младшего разряда или цифрой одного из слгаемых. Поэтому работу двойного однозрарядного сумматора можно описать приведенной ниже таблицей. В ней A и B означают входы, на которые подают цифры соответствующего разряда первого и второго слгаемых, C — выход, содержащий цифру данного разряда в сумме, а Z1 и Z2 — переносы соответствующего из младшего разряда в данный (вход) и из данного разряда в старший (выход). Проверьте самостояльно правильность приведенных результатов.

Таблица работы однозрарядного двойного сумматора

| Входы | Входы | Входы | Входы | Входы |
| :— | :— | :— | :— | :— |
| A | B | Z1 | C | Z2 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |

Прежде, чем рассматривать схемы, дающие возможность осуществить работу сумматора в соответствии с приведенной таблицей, познакомимся с так называемыми логическими операциями *), определяными на множество из двух элементов: 0 и 1.

1. Операция «или» (ее называют также логическим сложением). Результат этой операции равен единице, если единице равно хотя бы одно слгаемое. Обозначая эту операцию знаком √, получим таблицу:

$$0\vee0=0, 0\vee1=1\vee0=1, 1\vee1=1.$$

2. Операция «и» (инначе — логическое умножение). Ее результат есть единица, если оба компоненты — единицы. Эту операцию обозначают ∧:

$$0\wedge0=0, 0\wedge1=1\wedge0=0, 1\wedge1=1.$$

3. Операция «отрицания» обозначается знаком ∗. Она переводит единицу в нуль и наоборот:

$$\neg0=1, \neg1=0.$$

*) См., например, «Квант» № 4, -1971, стр. 14.

Рис. 4.

Для реализации операций C=A\veeB и C=A\wedgeB легко построить простые конкатенциальные схемы (рис. 4). Здесь значение 1 для A и B выражается замкнутым контактом, a 0 — разомкнутым. Для C значению 1 соответствует наличие напряжения в указанном месте схемы, a 0 — отсутствие напряжения. Ясно, что для операции «и» ток через точку C появляется в указанном месте схемы, a 0 — отсутствие напряжения. Ясно, что для операции «или» — когда замкнут хотя бы одн.

Употребительные схемы и других типов. Например, для логического сложения и умножения легко составить диодные схемы, в которых значение 1 характеризуется наличие в соответствии точке высокого потенциала относительно земли, а значение 0 — отсутствием потенциала.

На рисунке 5 показана диодная схема совпадения, осуществляющая операцию «и», на рисунке 6 — собственная схема, осуществляющая операцию «или». В них использовются последовательные диоды, проводящие ток лишь в одном направлении, показываемом направлением стороннего треугольника. Вместо них можно было бы использовать электронную лампу — диод с двумя электродами, которая пропускает ток лишь от анода к катоду.

Если приложить высокий положительный потенциал в точках A и B схемы совпадения (рис. 5), то оба диода оказываются запертыми и в точке C мы получим высокий потенциал +E относительно земли. Это соответствует

6

Рис. 9.

Вычислительные машины, работающие в позиционной системе счисления, можно сказать, имитируют поведение человека, считащего «столбиком». В существии, все машины началиись с подражания виденному, живому: первый «самодвижущая повозки» были с «ногами» (рис. 9), а первые летательные аппараты пылались делать с машущим крылом. Не исключаено, что будущее, более совершенные вычислительные машины будут работать с современными системами счисления. Пока трудно сказать, каковые должны такие системы, но попытки искать новые принципы уже делаются, и об одной из них мы сейчас рассакаем.

Недостатком позиционных систем счисления (при использовании их в машинах) является межразрядные связи, задерживающие выполнение операций: для получения окончательного результата в каком-либо разряде нужно, чтобы предыдущий (младший) разряд был уже обработан. Непозиционные же системы (в других отношениях, как известно, менее удобные) позволяют работать с каждым «разрядом» независимо и отдельно.

Одним из возможных способов представления натуральных чисел, который можно рассматривать как «непозиционную систему счисления», является система остаточных классов. В системе остаточных классов число представляется своим остатками от деления на выбранную систему оснований («модулей»).

При выборе одного модели $p$ различных остатками от деления на $p$ обладают $p$ целых чисел, взятых подряд из натурального ряда. Если модель несколько, то возможность начало чисел, обладающих представлениями, расширяется.

Принимая соответствующие остатки за знаки изображения числа, мы получаем неposиционную систему счисления, разрядами которого являются остатки по каждому модулю в от-

дельности. Цифрами в каждом разряде служат различные остатки, меньше модуля. Чем больше выбран данный модуль, тем больше диапазон представляемых чисел и тем больше возможных значений остатков (цифр в данном разряде). Вместе с тем, все разряды числа в такой системе численя совершенно независными друг от друга.

Арифметические действия в такой системе выполнять очень просто. Например, остаток от деления суммы двух чисел на данный модуль $p$ равен сумме остатков, образованных отдельными слагаемыми, если эта сумма меньше $p$, либо на $p$ меньше этой суммы. Аналогичное правило верно и для операции умножения.

Рассмотрим в качестве примера системы остаточных классов, определяемой тремя модулями $p_1=7, p_2=9, p_3=10$. Число $n$ в этой системе будет записывать в виде $(a, b, c)$, где $a, b, c$ — соответствие остатки от деления $n$ на $p_1, p_2, p_3$. Такое представление определяет однозначно натуральные числа в диапазоне $0 \leq n \leq 629$, причем возможные значения $a, b, c$ заключены в пределах $0 \leq a \leq 6, 0 \leq b \leq 8, 0 \leq c \leq 9$. Например:

$$5=(5, 5, 5); 20=(6, 2, 0);$$

Арифметические действия:

$$(3, 2, 1)+(1, 4, 4)=(4, 6, 5);$$
$$(2, 5, 3)\times(2, 7, 6)=(4, 8, 8).$$

(В десятичной системе эта равенства переходит соответствующим)

Мы вовсе не утверждаем, конечно, что именно arithmetic остаточно найдет применение при создании новых вычислительных машин (хотя бы по той причине, что при этой системе затрудено сравнение чисел, нужное для многих целей). Но она представляется простой и почительный пример связи «абстрактных» (и несколько «старомодных» и вполне традиционных) теоретико-арithmeticских закономерностей с «число техническими» проблемами совершенной машинной математики.

7

М. Я. Азбель

о принципе неопределенности

Во втором номере нашей журнала за 1971 год была напечатана статья М. Я. Азбеля «Диалог о температуре». Стамы вызвала много открытых читателей. Во всех письмах говорилось о том, что статья интеграна. Однако в статье было много опечаток, за которым редакция и автор приносим свои извинения. В письмах читателей ставили очень интеграные вопросы. Поэтому мы решили не давать просто список опечаток, а поросить автора продолжить разговор с читателем.

Автор. Я Никак не ожидал, что редакция поможет мне превращать воображаемый диалог с читателем в реальный, и даже не диалог, а беседу. Вот что пишет читатель Володя Маргулис из Саранска.

В. Маргулис. В вашей статье «Диалог о температуре» содержится, мне кажется, множество опечаток. Постоянные Большмана и Планка завышены на два порядка, заряд электрона — на порядок и так далее.

Автор. Вы совершенно правы. Открой вам профессиональный секрет: как и многие физики-теоретики, я помню только одну систему единиц: CGSE. В ней были проведены все оценки и приведены константы в моей статье: постоянная Планка $h \approx 6.5 \times 10^{-27}$ эре·сек, постоянная Большмана $k \approx 10^{-16}$ эре/эрад, заряд электрона $e \approx 5 \cdot 10^{-10}$ ед. CGSE. (Напомню, что нас интересует только порядок величины!)

Однако в статье, вышедшей в журнале, все вычисления оказались в системе СИ и притом в «деформарованном виде». Это, конечно, непряятно, но большой беды тут нет. Каждый читатель-школьник, который полезно знать системы единиц, будет полезно продолжать расчеты и вернуть им правильный вид. Полезно и поччительно. Дело в том, что описки и опечатки в научных статьях — явление нередкое, и надо учится относиться к ним без волнения, исправляя по мере надобности.

В. Маргулис. Я так и поступил, но правильный расчет для электронов потенциальную энергию на два порядка меньше кинетической. А для геля потенциальная энергия оказалась значительно больше кинетической! *)

*) Для тех, кто не читал статью «Диалог о температуре», поясню, о чем идет речь. Из так называемого принципа неопределенности следует, что наименьшее возможное значение импульса $p_{\min}$ частицы, сосредоточенной в области, размеры которой порядка $a$, $p_{\min} \sim \frac{h}{a}$. Отсюда наименьшая возможность кинетической энергия $E_{\min} \sim \frac{p_{\min}^2}{2m} \sim \frac{h^2}{2ma^2}$, где $m$ — масса частицы.

8

А втор. Вас подвела очередная опечатка. Во всех формулах статьи правильнее писать постоянную Планка $h$, а не $h = \frac{h}{2\pi} \cdot \text{Позетому кинетическая энергия нулевых колебаний в гелини порядка}$

$$\frac{h^2}{2ma^2} \sim 2 \cdot 10^{-15} \text{эр}e \sim 20^\circ\text{K}$$

(поскольку $m \sim 10^{-23} e$, $a \sim 3 \cdot 10^{-8} cm$). Эта величина всего в 5 раз превышает действительную, несмотря на грубость оценки.

Расчет потенциальной энергии взаимодействия atomов геляя я не произвольил, так как этого нельзя сделать, исходя из общих сообразений.

В. Маргулис. Телерь мне ясно также считая с электронным газом. По формуле $E_{\text{min}} \sim \frac{h^2}{2ma^2}$ при $a \sim 3 \cdot 10^{-8} cm$ получается около $2 \cdot 10^{5^\circ}\text{K}$. А поскольку $a$ может меняться, оценка имеет смысл только по порядку величины. Электронный газ действительно имеет энергию вдесятки, даже сотни тысяч градусов.

Автор. Совершенно верно. Должен в заключение сказать, что мне очень понавилось ваше письмо. Судовольствием желаю вам успехов в продвижении к науке. И еще — прошу прощения и у вас, и у всех остальных участников нашей беседы за превращение их письм в реплики.

Читатель М. Мохнаткин (Саратов). А меня вы еще не убедили. Ведь согласно принципу неопределенности

$$\Delta p_x \cdot \Delta x = h$$

а не $\Delta p \cdot \Delta x = h$, как написано в «Диалоге». Значит, поскольку $p^2 = p_x^2 + p_y^2 + p_z^2$, приведенное значение минимальной энергии следует утроить!

Автор. Если бы в соответствии неопределенности стоял знак равенства, вы были бы совершенно правы. Но очень важно помнить: речь идет только о порядке величины. Допустим, дляопределенности, что наиболее им из $\Delta p_x$, $\Delta p_y$, $\Delta p_z$ является $\Delta p_x$. Тогда для $\Delta p =$

$$\sqrt{(\Delta p_x)^2 + (\Delta p_y)^2 + (\Delta p_z)^2}$$

получаем $\Delta p_x \leqslant \Delta p \leqslant \Delta p_x \sqrt{3}$, так что завершимо $\Delta p \sim \Delta p_x$ и $\Delta p \Delta x \sim h$.

При вычислениях порядков величины важно не превышать точности расчета, «уточняя» коэффициенты — это может только ухудшить дело. Такие расчеты очень полезны, но они не могут дать больше того, на что расчитаны — ошибка в десять раз естественна.

В частности, для свободной частицы, «запертой» в сферическом ящике диаметра $a$, точный расчет дает как раз

$$E_{\text{min}} = h^2/2ma^2$$

Читатель В. Рубин (Москва). А почему вы в случае электронного газа говорите о кулоновском взаимодействии? Ведь электроны сами по себе никак не могли бы образовать кристалл — они отталкиваются друг от друга!

Автор. Конечно. Позетому я говорил об электронах в металле. Там им не дают разлетаться положительные ноны. К взаимодействию с ними и относительной расчет. А кулоновским взаимодействием было взято по следующей причине. Само по себе электростатическое взаимодействие является классической. Пусть на каждый atom приходится один свободный электрон, так что единственное характерное расстояние задачи — механиное (точнее, механиное) расстояние $a$, и нас интересует расстояние только такого порядка. Тогда единственная величина, имеющая размерность энергии, которое можно сконструировать из $a$ и заряда электрона $e$, есть $\frac{e^2}{a}$.

Конечно, такая запись верна только по порядку величины и только на таких расстояниях. На больших расстояниях разноменные заряды экранируют друг друга, и взаимодействие быстро убивает с расстоянием.

В. Рубин. Еще один вопрос. Почему, если у вас для электрона в ящике расстояние скорость, превышаюшая светового, вы все-tаки использует нерелятивистские формулы?

9

А втор. Потому что мне хотелось показыть: в нерелятивистской квантовой механике налице «запертых» электронов в ядре приводил бы к непряятностям. А это наводит на мысль, что, верятоно, они там не могут быть заперты. Оdnako вы, конечно, правы: подобное рассуждение не есть доказательство.

Коль скоро об этом зашла речь, давайте произведем более аккуратный расчет. Используя опять принципи неопределенности, получаем порядок минимального имплуса $p_{\min}$ электрона, «запертого» в ядре радиуса $R$, $p_{\min} \sim \frac{h}{R}$. По теории относительнойности $p = mv = \frac{m_0 v}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ ($m_0$ — масса покоя частицы, $v$ — ее скорость). «Наш» импульс $p_{\min} \gg m_0 c$. Это означает, что $v \approx c$ и $p \approx mc$ (м — масса релятивистского электрона). Значит, для электрона, «запертого» в ядре, $m \sim \frac{h}{R_c}$, что дает величины порядка массы покоящегося протона. Следовательно, близость массы ядра к сумме масс только протонов и нейтронов означает отсутствие электронов, «запертых» в ядре: попав в ядро, они с легкостью вырывают оттуда.

Вы видите, сколько существует размер области, в которой сосредоточены частицы. Эта область может либо строго ограничивать их движение, как ядро — движение протонов и нейтронов или atom — движение электронов, либо быть характерной лишь с точки зрения принципи неопределенности.

Читатель А. Петров (Ленинград). Если среднее расстояние между частицами $a$, то $\Delta x \approx a$ и возможно даже $\Delta x = L$, где $L$ — размер системы. Значит, $p_{\min} \sim \frac{h}{L}$!

Автор. Совершенно верно. Мы оцениваем характерную энергию, а она определяется средним массой $a$. Наименьшая яже возможная энергия есть $\frac{h^2}{2mL^2}$, причем возможны и промежуточные значения энергии, соответствующие $a < \Delta x < L$.

Поясню это замечание подробнее. Среднее расстояние между электронами в металле $a$ определяет характерное расстояние в принципи неопределенности и характерную энергию нулевых колебаний, оценивавшуюся нами. Однако, в принципи, отделные электроны могут находиться в редко встречающихся состояниях, оказываясь друг от друга на расстоянии порядка размеров системы $L$. В соответствии с этим минимальная кинетическая энергия (энергия нулевых колебаний), которое имеет небольшое число электронов, порядка $\frac{h^2}{2mL^2}$, то есть крайне мала.

И здесь уже проявляется кардиальное отличие фермиевских и болееских частиц.

Поскольку базовские частицы могут в любом состоянии собираться в неограниченном количестве, при очень низких температурах они начинают скалпливаться именно в состоянии с низкой энергейой — начинается так называемая конденсация Бозе — Эйштейна в пространстве энергии.

Сказанного достаточно, чтобы получить основные характеристики Бозе-газа. Начнем с расстояния теплового излучения, сосредоточенного в полости нагретою тела (и находящемся в равновесии с этим телом). Так как тепловое излучение состоит из квантов электрономагнитных волн (фотонов), число которых в единице объема определяется температурой излучающего их нагретою тела, единственный энергетический характеристкой оказывается температура. Поэтому средняя энергия фотона в порядке $kT$. Телерь у нас задано не размитие расстояния, а теплое размитие энергии. Переншем принцип неопределенности в несколько ином виде, введя характерное время $\Delta t$:

$$h \sim \Delta p \Delta x \sim \frac{\Delta p}{\Delta t} \Delta x \Delta t.$$

Но изменение импульса за данное время есть произведение силы на время ее действия: $\Delta p = F \Delta t$. Значит, $\frac{\Delta p}{\Delta t} \Delta x = F \Delta x$ есть работа силы на пути $\Delta x$, то есть, согласно закону сохранения энергии, изменение энергии $\Delta E$. Таким образом,

$$\Delta E \Delta t \sim h$$

10

(очень важная форма принципи неопределенности).

Для фотонов $\Delta E \sim \varepsilon$, а величина $\Delta t$ — пюреда времени $\tau$, характеризующего период колебаний фотонов. Поэтому $\varepsilon \sim hv\left(v = \frac{1}{\tau}\right)$.

Из полученного равенства, учитывая, что $\varepsilon \sim kT$, находим период колебаний $\tau = \frac{1}{v} \sim \frac{h}{kT}$ и длину волны $\lambda$ (расстояние, проходимое волной, движущейся со скоростью света $c$ за период колебания $\tau$):

$$\lambda = c\tau \sim \frac{ch}{kT}$$

Длина волны определяет характерное расстояние, «приходящая на квант» $^*$). Составствующий объем есть $\lambda^3$, так что число фотонов в единице объема порядка

$$\lambda^{-3} \sim \left(\frac{kT}{ch}\right)^3$$

Полная же их энергия в единице объема, то есть плотность энергии теплового излучения,

$$E_1 \sim kT \cdot \lambda^3 \sim \frac{(kT)^4}{(ch)^3}$$

Мы получили значенную формулу Стефана — Больцмана! Точная формула отличается коэффициентом $-\frac{\pi^2}{20} \approx \frac{1}{2}$.

А теперь перейдем от макромира газов к микромируя ядра. Попробуем оценить порядок величины ядрных сил, ничего не зная о них, кроме того, что радиус ядра $R \sim 10^{-12} \sim 10^{-13}$ см, и оно состоит из взаимодействующих между собой протонов и нейтронов. Кинетическая энергия порядка $\frac{h^2}{MR^2}$. А так как ядро не разваливается и не скнимается, а удерживается в равновесии ядрными силами, потенциальная энергия взаимодействия должна быть порядка кинетической!

Вот мы и добавлись до энергии в тысячи миллиардов ($10^{12}$ градусов. Не забывайте только, что это именно энергия, измеренная в градусах,

*) Конечно, это утверждение выгляделит не очень убедительно, но оно оказывается правильным, а потому просто примите его на веру.

а относить не температура части в ядре!

А разница масс ядрных части — протона и нейтрона — порядка массы электрона $m_e$. (Это не случайно, поскольку нейтрон может превращаться в протон и электрон.) Значит, связанная с зарядом энергия порядка $m_e c^2$, то есть «всего» порядка $10^{10}$ градусов и значительно меньше энергии ядрного взаимодействия. Поэтому ядрные силы практические не зависят от заряда, а говорить о нейтронах и протонах в ядре как об отдельных частих не имеет смысла, и их называют простой «нуклонами».

А какова скорость ядрных части?

В нерелятивистской механике $\frac{Mv^2}{2} \sim \frac{h^2}{MR^2}$ и $v \sim \frac{h}{MR}$. Получается скорость порядка скорости света! Более точная оценка приводит к $v \sim 0,1$ $c$, поэтому во многих случаях для части в ядре в грубом приближении удается ограничиться нерелятивистской теорией.

Как видите, понимание функентальных физических законов дает функциональные физические следствия, из которых мы затронули лишь малую часть.

Уражнения

1. Определите зависимости давления от плотности части (их числа в единице объема) в идеальном фермиевском газе $^*$ при низких температурах. Получите уравнение состояния такого газа (с точностью до численного множителя). Сравните его с уравнением состояния классического газа.

2. Найдите критерий квантовости идеального фермиевского газа.

3. Определите зависимости температуры теплоемкости безвесского газа при низких температурах.

4. Найдите критерий классического газа.

5. Оцените размер atoms водорода.

6. Знача, что связь atoms в жидкостях и кристаллах определяется в основном электросистемном взаимодействии, оцените расстояние между atoms.

*) См. «Диалог о температуре».

12

приезжает туда в мае 1822 года. В политической школе, Сорбонне, коллеж де Франс он слушает лекции знаменных учены: Коши, Фурье, Лапласа, Монжа, Пуассона, Лежакдра, Штурама, Понселе, Бине и других, пропагавших новые пути в математическом анализе, математической физике и механике. Изучив и условия результаты, достигнутые французской математической школе, Ostrogradский и сам стал занимается важными и актуальными вопросами того времени, часто операция своих паряжских коллег. В 1826 году русский ученый представил Парижской Академии наук своего первую научную работу — «Метуар о распространении волн в цилиндрическом бассейне», высоко оцененную Ксши и напечатанную в трудах Академии. О научном значении этой работы можно судить хотя бы по тому, что еще в 1816 году Академия объявла специальный конкурс на ее решение.

В 1824—1827 года Ostrogradский представил еще несколько темаров. Эти работы украпили научную репутацию молодого ученого и завоевали ему друзьбу и уважение многих французских математиков.

Но Михаила Васильевича неумолимо тянет на родину, где об его успехах хорошо знали. Недаром молодых людей, отправлявшихся учиться за границу, родные и близкие напутствовали словами: «Становись Ostrogradским».

В 1828 году он выехал в России. Тяжелой была эта поездка. В дороге его обокрали, и ему пришлось от Франкфурта-на-Майне до Петербурга добираться пешком. «Русский пешход», приобретшийся к тому же из-за границ, выглядел весьма подозрительным, и минутные власти, который взделень восстанавливаю, установили за ним тайный полицейский надзор. Верятно, об этом Ostrogradский незнал до конца своих дней.

Сразу же после приезда Ostrogradского в Петербург началась его плодотворная работа в Академии наук и кпучая педагогическая деятельности. Академия наук высоко оценила научную деятельности Ostrogradского: в августа 1830 года его избрали экстраординарным, а через год — ординарным академиком по прикладной математике. С этого времени его жизнь была полна творческих удач, и деятельности его отмечалась присвоением ряда почетных ученых звания. Так, в 1834 году он был избран членом Амерikanской Академии наук, в 1841 году — членом Туринской Академии, в 1853 году — членом Римской Академии Линчей и в 1856 году — членом-корреспондентом Парижской Академии.

Научные интересы Ostrogradского определялись рано, еще до отъезда в Париж. В объявлении совету Харьковского университета Ostrogradский еще в 1820 году писал, что желает «усовершенствовать себя по части наук, относится к прикладной математике». И действительное, многое свой труды он посвятил математической физике и механике, заложив вместе с Лапласом, Пуассоном, Фурье, Коши, Якоби, Гамильтоном фундамент этих наук.

По математической физике Ostrogradский написал 15 работ. Бóльшая часть их относятся к задачам распространения тела, теории управления и гидродинамики. Набольшее научное значение имел его работы по теории теллотов. Эти исследования, помимо того, что содержат важные результаты, относятся непосредственно к теории распространения тела, имеют огромное общеематематическое значение, поскольку в них, с одной стороны, заложены начада для ряда важных теорий, развивающихся и в нашей времени, а с другой стороны, в них получены теоремы, являющиеся одним из центральных результатов математического анализа.

Первым из русских ученых Ostrogradский стал занимается аналитической механикой. Его труды по механике, включая «Лекции по анализе»

13

тической механике» и «Курс небесной механики», явились фундаментом, на котором строилась и развивалась русская школа в области механики. Работы Ostrogradского по математическому анализу в большинстве случае вызваны его исследованиями по математической физике и механике: они дают решение математических вопросов, поставленных теоретическим естественным того времени. Так, в связи с исследованиями вопросов распространения тела в твердом теле он получил значенную формулу, вошедшую теперь во все учебники математического анализа под именем формулы Ostrogradского — Грина. В настоящее время эта формула играет огромную роль в математической физике, вектором анализе и других разделах математики и ее приложений. Не будет преувеличением сказать, что Ostrogradский внес выданнойся вклад и в области математического анализа. Его результаты вошли в современную математку в качестве существенной и неотъемлемой ее части и представляют собой то необходимое оружие, без которого математика уже не может обойтись.

В круг интересов Ostrogradского входили также и алгебра, и теория чисел, и теория вероятности. По словам Н. Е. Жуковского, «в творениях М. В. Ostrogradского нас привлекет общество анализа, основная мысль, столже широкая, как широк простор его родных полей».

Ostrogradский оказал неоценному услугу русской наук, воспитав целую плеяду талантливых учеников, ставших впоследствии выданноймися представителей русской науки. В числе его учеников были: И. А. Вышнеградский — основоположник теории автоматического регулярования; Н. П. Петров — создатель гидродинамического теории смазки и автор классических исследований по теории механизмов; А. Н. Тихомандрикий, Е. И. Бейер, Д. М. Деларю, Е. Ф. Сабинин — известные профессора математики, и многие другие математики и выданнойся инженеры.

Замечательной черной передовых представителей русского естественного вообщества и математков в частиности являлось то, что они были не только новаторами в наук, смелыми мысленными, но и учителями в широком смысле этого слова; они не замыкались в круг своих научных интересов, а значительная часть времени и сил отдавали делу просвещения.

Прогрессивное значение педагогического деятельности русских математков. Заключается не только в их личном преподавании, а в том, что они принимали активное участие в общем педагогическом движении и оказали существенное влияние на развитие математического просвещения и культуры в России. Педагогическая деятельность М. В. Ostrogradского в этом отношении особенно характерна.

Человек своего времени, смелый мысленель и блестиший лектор, он много и плодотворно работал на педагогическом поррище. В развитие он преподавал в Офисерских классах при Морском кадетском корпусе, открытых по инциативе известного мореплавателя и ученого И. Ф. Крузенштерна; был профессором Института корпуса инженеров путей

16

Таким образом, мы получили все характеристики гармоничского движения. Отсюда можно сделать вывод, что проектю точки на окружности можно заменить реальный частицей, движение которого будет описывать полученные выше формулы.

Напомним, что входящие в уравнение Ньютона величины $F$ и $a$ — векторы. Их, следовательно, можно спроектировать на любое направление, и зависимости между проектиями будет описывать уравнение Ньютона.

Туннелли в Земле

Покажем, что на точку, находящегося внутри Земли, действует тоже гармоничская сила (вне Земли на точку действует сила $F = \gamma \frac{Mm}{R^2}$).

Пусть матерIALная точка массы $m$ находится на расстоянии $r$ от центра Земли. Действие, которое оказывает на точку Земля, можно разбить на две части (рис. 2): действие внутриней сферы (красной) и действие внешнего сферического слоя (желтого).

Как известно, сферический слой не создает внутри себя поля тяжестии (если плотность $\rho$ в нем постоянна) *). Поэтому на точку будет действовать только «красная часть», масса которой

$$M = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho.$$ (7)

Сила, с которой действует на точку «красная часть», равна

$$F = -\gamma \frac{Mm}{r^2} = -\gamma \frac{4\pi\rho m}{3} \cdot r.$$ (8)

Следовательно, внутри Земли (в туннеле) на точку действует гармоничская сила, пропорциональная расстоянию от центра Земли. Движение в туннеле оказывается положим на движение тела, подвешенного кружке — упругая сила пружины также пропорциональная ее растяжению.

Тепер мы можем решить такую задачу: через центр Земли прорить

19

света нахождения на одном уровне над поверхностью воды (рис. 1).

Маленькое горизонтальное зеркальное будет отбрасывать свет в глаза наблюдается $O$ только в том случае, когда расстояния от него до наблюдается и до источника одинаковы (в точке $M$). Если же зеркало наклоно под углом $\alpha$ в сторону наблюдается, то для того, чтобы отраженный свет попадал в глаза, оно должно быть несколько сдиинуто от наблюдается (точка $N$). Зеркальное, наклононое под углом $\alpha$ в противоположную сторону, должно находиться в точке $N'$.

Наклонные положения зеркала аналогичны крайным положениям волн, при которых отраженный от них свет еще попадает в наш глаз. Расстояние между $N$ и $N'$ поэтому определяет длину световой дорогки. Во всех точках между $N$ и $N'$ найдет участок волн, имеющие достаточно наклон для того, чтобы отражать лучи в наш глаз.

Рассмотрим теперь углы между лучами света. Из чертежа видно, что $\beta + \alpha = \gamma + \delta$, $\beta - \alpha = \varepsilon = \delta$, откуда $\gamma = \alpha + \beta - (\beta - \alpha) = 2\alpha$. Таким образом мы приходим к выводу, что угол, под которым мы видим большую светового пятна, просто равен углу между двумя наблюдаемыми склонами. Нетрудно посчитать и линейный размер большой оси пятна $NN'$.

Короткая ось пятна отраженного света легко находится аналогичным способом. Если сместить зеркальное из точки $M$ в направлении, перпендикулярном $NN'$, то для того, чтобы отраженный свет попал в глаза наблюдается, зеркальное надо повернуть на некоторый угол вокруг оси, параллельной $NN'$ (рис. 2). Считая, что предельный угол поворота зеркальца по-прежнему равен $\alpha$, находим, что ширина полосы света $PP' = 2htg\alpha$, и, следовательно, короткая ось стягивает угол $\beta = \frac{2htg\alpha}{\sqrt{l^2 + h^2}}$.

Отношение двух видимых полосей пятна будет равно $\beta/2\alpha$ или, считая, что пятно неевелко и угол $\alpha$ мал, равно $\beta/2\alpha = \sin\omega$, где $\omega$ — угол, под которым мы смотрим на воду.

Чем меньше этот угол, тем более вытянуто пятно. Если взгляд скольчит по поверхности, то пятно света будет до бесконечности вытягаются и суживаться.

При наблюдании световых дорогек на поверхности моря угол $\omega$ обычно мал — световые дорогки достигают горизонтала (см. фотографина на рисунке 3), так что можно говорить только о ширине дорогки. И хотя полученные нами формулы буквально не применены в этом случае, пользоваться ними, можно не только качественно обязывать проискождение дорогек, но и понять зависясть их ширины от силы ветра и высоты Солнца над горизонтом: с увеличением $\alpha$ и $h$ ширина дорогки возвращает.

20

С. А. Хейфец

Тяга к блестищему запрятана馏то в глубинах сознания. Ребенок, впервые увидевший свет, тянется к яркому; туземцы отдают за блестищие безделушки и пищу, и воду. Одаренный, глубокий ум люди называют «блестищим». Мы не будем интересовать, связано ли это внимание к блестищему с атавистическими воспоминаниями о плашщем огне или с гипнозом, мы попробуем разобрать,почему появляется блеск — будь то блеск золота, амаза или кошачих глаз в темноте.

Мы судим о ярости предмета по количеству света, которое отразило от него и попало к нам в глаз *). Ясно, что это количество зависит от доли отраженного света, и от его направленности. Белый лист бумаги отражает лучше черного, зеркальная поверхность — лучше матовой.

Направление света, отраженного отладкой поверхности, определяется хорошо известным законом: угол падения равен углу отражения. А энергия отраженного света зависит еще и от коэффициента преломления среды $n$. Если свет падает по нормали на границу сред с показателями преломления $n_1$ и $n_2$, то доля отраженной

*) Яркость определяется световым потоком, попадающим на сетчатку глаз.

энергии равна $\eta = \left( \frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2} \right)^2$. Для стекла $n=1,52$, для воздуха $n=1$, так что отражается всего 4,3% падающего света. Для стеклянной пластинки доля отраженной энергии будет примерно в два раза больше, так как часть прошедшего света отразится от второй поверхности стекла и вернется назад. Если лучи падают не вертикально, а под углом, они отражаются лучше (рис. 1). При $60^\circ$ отражаются от стекла не 4,3%, а 9%; при $80^\circ$ уже 39%. Когда угол падения приближается к $90^\circ$ — скользывающий луч,— почти весь свет отражается (козффициент отражения стремится к 100%). Далее очень черные тела, такие как графи, сажа, бархат, начинают блестить, если смотреть на них под маленьким углом к поверхности.

При нормальном падении света на стеклянную пластину доля отраженной энергии близка к 8,6%. Мало это или много? Оказывается, немного. Свежий снег отражает 80—85% падающего света, столко же отражают облака.

Однако осокок стекла на снегу легко заметить, так же как и блестики отделных снежинок. Это объясняется не столько отражательными свойствами пластинки, сколько паралельность солнечных лучей — рас-

22

Рис. 3. Отражение от пузырька воздуха.

отличалось направлением. Исключение составляли «скользывание» лучи. Тогда блеск был следствием почти 100% отражения падающего света. Подобное положение наблюдается, если луч попадает на границу раздела двух сред из более плотной среды. Если свет падает по нормали, то доля отраженной световой энергии определяется той же формулой, что и раньше. Для воды это означает, что 98% света выходит в воздух. С увеличением угла падания β интенсивность преломленного луча уменьшается, и при $\sin \beta = \frac{1}{n}$ преломленный луч исчезает. При этом весь падающий свет отражается от границ — проискодит так называемое полное внутреннее отражение. Для стекла $n = 1,52$, так что луч, induzione под углом к нормали $\beta \ge 36^\circ$, не выходит наружу. Для воды $n = 1,33$, так что рыба может видеть небо только в «лунку» с углом расвора около 45°

Рис. 4. Ход лучей в капле воды.

(рис. 2). Остальная поверхность воды (с точки зреня рыб) bleibt и отражает только до водоема. Граница раздела при полном внутреннем отражении — идеальное зеркало.

Еще одно интересное применение этого эффекта — светопроводы. Если пустить луч внутри стекловолокна, то можно потом плавано изгибать эти волокна, даже кругтить узлы, и луч света покорно закрутится, следуя закону полного внутреннего отражения.

Опустите в воду лист сербристой нвы. Обратная сторона листа, покрыта множеством пузырьков, начинает сербристу. А сверкание капли росы вам наверняка приходилось видеть. В обонх случаях дело в полном внутреннем отражении: в первом случae — от внешней, во втором — от внутренней поверхности пузырька воздуха или капли росы (рис. 3, 4). Угол между вошедшим в каплю и вышедшим лучами легко определять, если учесть, что радиус перпендикулярен поверхности шара. Этот угол $\varphi = 4\gamma - 2\alpha$. Впервые такой расчет сделал Декарт. Труднее проанализировать зависимость угла отклонения ф от прицельного параметра $d$.

Если падающие лучи параллельны, то, пройдя сквозь каплю, они начинают расходиться. Однако существует минимальный угол отклонения. Он близок к 42°. Вблизи этого направления преломленные лучи идут гуше, то есть основная доля преломленных лучей идет именно в этом направлении. Росинка, наблюдаемая под этим углом, быстро особенно ярко. Под этим же углом к солнечным лучам видна радуга.

Где бы ни находился яркий источник света (Солнце, яркое небо), вы всегда сможете наблюдать в росинке его искру-изображение (рис. 5). Отраженные от поверхности капли лучи могут попадать в глаз, даже если угол $\alpha$ близок к 180°. В этом смысле в капле воды действительное отражение весы мир.

Говоря о блеске, нельзя не вспомнить о драгоценных камнях. Общно

Рис. 7. Ход некоторых лучей в крилианте.

в чем тут дело, нужно «влезть» внутри металла. Расстояние возникших является потребовало бы отдельной статьи. Укажем только, что особенности металлов объявляются слабой связью части электронов с atomами и образованным благодаря этому легко подвижного «газа» свободных электронов. Поэтому движение электронов в поле электромагнитной волны в металлах совершено отлично от движения в диэлектриках, где каждый электрон «знает» свой atom. Свообodies электроны легко поглощают и изучают обратно большую часть света, падающего на поверхности металла. Именно поэтому металлы хорошо отражают радиовольны и даже видимый свет. Объчно при этом электромагнитные волны, прошедшие внутри металла, сильно поглощаются. Интересно, что иногда наблюдается обратная картина: вещества, поглощющие свет на рис. 8. Разность хода ЛВС между лучами 1 и 2 должна составлять нечетное число получин.

определенном участке спектра, приобретают металлический блеск (например, засохшие филотовые чернила).

Окисленные металлыlectят гораздо хуже, поэтому нужно ожидать, что электрический ток они проводят хуже, чем чистые.

Конечно,lectятся вещи чаще всего красивы, но иногда с блеском приходится бороться. Если линзы бинокля или фотоаппаратаlectят, это означает, что к глазу или фотопластинке приходится света: часть его отражается. Убирают блеск, наносся на поверхность линзы очень тонкую и произрачную пленку. Толщину ее и коэффициент преломления подбирают так, чтобы лучи, отраженные от двух поверхностей пленки (рис. 8), были сдинуты по фазе на 180° и, интерферия, гасили друг друга. Это нельзя добиться для всей области видимого света, но можно для той длины волны, к которой фотопленка или глаз наболеечевительны.

Мы не рассматривали такое интересное явление, как блеск счастья в глазах — но его, видимо, нельзя описать одним физическим закономами, да вряд ли к этому и нужно стремиться.

Упражнения

1. Как изменяется яркость Луны для подлегающего к ней космонавта?
2. Отраженная волна исчезает полностью, если интенсивности лучей 1 и 2 (рис. 8) одинаковы. Докажите, что для этого должно быть
   $n_{пленки} = \sqrt{n}$.
3. Отражение света можно уменьшить, если сладить переход от $n=1$ к $n>1$. Сравните количество отраженного света от границы воздуха — стекло и от стекла, на которое наит слой воды (поглощением в воде претенбрец).
4. Можно ли (и как) увеличить количество отраженного света, наносся произрачную пленку на стекло?
5. На некоторых ткани под определенными углами виден глянец. Дайте обяяснение этому эффициту.

ного. Ведь подумайте: если бы на свете было только 100 языков, то для перевода с каждого языка на любой другой (и наоборот) попадобилось бы 100×99/2=4950 переводчиков. Но языков гораздо больше, да и не для каждой пары языков можно обойтись одним переводчиком. Недвижельно, что с появлением мощной электронной вычислительной техники забрежила надежда переложить бремя перевода на машину.

Начало этой страной истории

Идея автоматического (машинного) перевода овладела массами (речь идет, конечно, о массах учены) в последовательной периоде, на заре кибернетики, в первые годы электронной эры.

1946 год. Между американскими учеными У. Уивером и А. Д. Бутом произходит дискуссия о границах применения автоматических цифровых вычислительных машин. Первый считает, что основные «элементы языка» можно обнаружить при помощи дешифровочных устройств, разработанных во время войны для раскрытия секретных кодов противника, и на базе этих «элементов» построить машинный перевод. Другой островнее: оноворит о принципальной возможности лишь последнего перевода, да и то при очень небольшом словаре — объем машинной памяти был еще очень невелик. (В следующем году Бут со своим коллегой Бриттеном разработал программу такого перевода.) Но Уивер полон оптимизма. Онztevaет переписку с «оттом кибернетики» Норбертом Винером. Винер относяся к идее Уивера с осторожностью и указал на большие трудности, которые встают на пути исследовать. Уивер не унывает. Его кредо: «Предложение на одном языке — это просто зашифрованная фраза другого языка». Над начить машину расшифровывать. Оdnako Уивер не обратил внимание на одно крайне важное обстоятельство: при помощи формальных дешифровых операций, легко осуществимых в машине, удается дойти лишь до первого аналогного текста на языке оригинала. Но понять текст на этом языке машина не может: ведь для этого языка надо знать. В годы первой мировой войны дешифровики, лихо расшифровавшие все наисsekретнейшие коды американских радистов, сломали себе зубы об один такой код, который оказался просто-напросто открытым текстом на неизвестном им индейском языке. Таким образом в распоряжении ученых не было пока никаких сведений о том, что естественный человекский язык поддается «расшифровке».

Ниже приводится задача, в которой сообщается, на каких языках написаны зашифрованные тексты, и произвести дешифровку в этом случае оказывается совсем несложно.

28

Далеко ли уедешь на машине, или повесь о том, как мгновенный успех может обернутся затяжной недачей

Что умеет делать машина? Она умеет совершать простые, механические операции: сравнивать содержание двух ячеек своей памяти, складывать, вычитать, перемножать и т. п. И ей безразлично, осуществляет ли она программу перевода или вычитывает траекторию спутника. Но таких операций машина может делать очень много, и, комбиниру их сыми различным образом, программист может заставить машину совершать какие-то операления, целенаправленные операции.

Какие операции должны произвести машина, чтобы перевести текст с одного языка на другой? Во-первых, она должна его «прочеть». Это сделать не так уж сложно. Текст вводится в закодированном виде в ячейки памяти, а заглядьвать в свою собственную память машина умеет. Затем машина должна опознать слова. Это делается так: каждое слово (от одного пробела до другого) сравнивается со словарем, который должен хранить в память машины. Машина должна определять, в какой форме стоит каждое слово (морфологический анализ), чтобы затем понять, в каких отношениях находится все слова предложения по отношению друг к другу (синтаксический анализ). А что потом? Потом надо переводить. Собственно, человек-переводчик продолжает все описанные операции мгновенно и бессознательно, и сам процесс перевода начинается именно с этого момента. Нужно найти слова в том языке, на которой текст переводится (этот язык называется выходным), эквивалентные словам языка, с которой осуществляется перевод (входной язык). Затем поставить эти слова в соответствующие формы, то есть упорядочить их согласно законом морфологической и sintаксической структуры выходного языка. Здесь уже что ни шаг, то трудности. Придется в них разобраться.

Первые энтузинасты машинного перевода расчитывают общий способным переводом (ну, может быть, с небольшими исключениями). Возьмем английскую фразу:

I know his daughter.

Дословный перевод этой фразы оказывается правильно:

Я знаю его doch.

Правда, английский глагол know спрягается иначе, чем русский глагол знать: в настоящее время только в третьем лице единственного числа он имеет окончание -s, а во всех других лицах имеет общую форму — know. Как тогда машине понять, что в русской форме этому глаголу должен поставить форма знаю, а не знаешь и не знаeme? Из словарной статьи для know этого не выявить, что бы там ни записать: одну форму знать или все возможные формы: знать, знаю, знаeme, знаем, знают и, наконец, знай(me). Подсказка, однako, содержится в английском слове I — я, прямо указывающим на первое лице единственного числа. Значит, нужно вложить в машину правила, согласно которой для перевода глагола know (как и других английских глаголов в настоящее время) правильной формы русского глагола она должна учесть подлежаще, то есть перевод каждой слова по отдельности при помощи только словааря между языковыми соответствиями недостаточно для правильного перевода. А если бы

29

в английской фразе был артикль, оторого нет в русском языке? Что записать в словайной статуре артикля? Да и вообше, что писать в словаре? В русском языке слова могут выступать в разных формах: имена склоняются, глаголы спрягаются. Указывать все возможные формы русского слова при соответствующем английском? Но это разделить слова, а мы должны экономить машину по памяти. И потом — главное! — как догадаться, какую из форм употребить? Ведь в английском языке у слов своих формы — какую из них писать в словаре?

Ответы на эти вопросы удалось найти довольно быстро. Нужно создать отдельные словаари основ и окончиний. Тогда, например, латинский глагол amat машина будет опознавать так: сперва она разыщет в словаре основ самого длину из содержащихся там основ, которая включается в это словао,— основы amat она не найдет, ama — тоже, а вот основа am там должны быть, и она соответствует понятию любимь; это машина запоминает и проводит границу: am/at; at — это окончание, и его надо искать в словаре окончиний; оно соответствует третьему лицу единственного числа. Значит, переводим так: основа люб, окончание um — любим. Правильно! Но нам повезло: латинские окончиния более или менее соответствуют русским. Однако и с латинскими окончиниями не всегда гладко. Есть в латинии самое короткое на свете предложение, оно состоит из одной буквы. Это I — Иди! Кроме того, i может обозначать еще 8 различных окончиний. Как догадаться, какое из них употреблено в тексте? Снова нужно обращаться к контексту. Причем разгада может тантся не в соседнем словае, а через слова, через два. Как узнать, в каком? А лингвист должен все предусмотреть и вооружить машину правлом на любой случай.

Еще более твердым орешком оказывается синтаксис. Вы сами можете в этом убедиться.

Задание 2. Установите грамматические связи между словами во фразе:
Раскрывайте подробных в земле слены исполинов. (Задание принадлежит А. Е. Кибрику.)

(Xорошим считается решение, где будет предложено не менее 9 способов — а всего их около 20).

Эта фраза подбрана специально. Но в языке много таких фраз, в которых синтаксический анализ можно сделать не единственным способом. А от этого меняется и смысл предложения. Возьмем фразу: «Мать любит doch». Кто же кого любит (инными словами, что здесь подлежащее и что дополнение)? Когда такая фраза попадет в машину, то, даже если машина правильно установит формы всех слов, она оказывается в большом затруднении: чтобы верно определить синтаксическую структуру, нужно выйти за пределы этого предложения, обратиться к более широкому контексту, понять, о чем идет речь. Как бы?

Может быть,робко предложит запуганный читатель, записывать в словаре и переводить не отдельные слова, а целые словосочетания? Ведь все время приходит обращаться к контексту. А если переводить целыми словосочетаниями, может, будет легче? Пожалуйста! Давайте попробем. Пусть в языке имеет 1000 слов (а сколько их на самом деле?!). В словосочетании «что бы то ни было» пять слов. Давайте записывать в словаре все пятисловые словосочетания (без повторений слов). Теоретически возможно их число равно $N=1000 \times 999 \times 998 \times 997 \times 996 \approx 10^{15}$.

Конечно, осмысленных словосочетаний много меньше, но все равно

30

их число превысит объем памяти самой памятиовой из всех ныне действующих машин. Кроме того, машина будет долго искать каждое словосочетание в таком словаре.

Долгие годы линговисты искали выход из этого трудного положения. Придумывали новые очень хитрыые алгоритмы, острумные модели языка, изображательные методы его описания. Соображали, как упростить процесс обработки, как улучшить качество перевода. Встречались, обсуждали, спорили. Но позвольте, сложатся читатель, если дело оказывется таким сложным, то почему же так удачно прошли первые опыты?

Секрет прост. Эти опыты проводили на очень небольшом материале. И понятно, что для небольшого и вполне определенного текста легко предустает все исключения и варианты, запасись необходимыми правилами на все случаи, которые имеют в этом текст. И текст переводится. Вы можете убедиться в этом сами на примере следующей задачи.

Задание 3. Последовательности арабских цифр при помощи системы правил переводятся в последовательности римских цифр. На каждом шагу применяется одно правило, заменящее одну арабскую цифру на одну римскую цифру. Использовются правила следующих четырех видов:

бесконтестные:
например, 2→III заменить 2 на III;
одноконтестные одинарные:
a) 2(3)→III заменить 2 на III,
6) (3) 2→III если после (перед) 2 стоит 3;
двуконтестные:
(3) 2(4)→III (заменить 2 на III, если перед 2 стоит 3, а после — 4)

К каждой последовательности арабских цифр правилаются в следующем порядке: сначала все двуконтестные, затем одноконтестные двойные, затем одинарные и, наконец, бесконтестные. Любую совокупность правил этих видов называется программием. В программе могут быть представлены правила не всех видов.

Понумерум арабскими цифрами от 1 до 6 следующие английские (французские, немецкие) слова:

lake, a, this, what, beautiful, is;
champ, un, ce, que, vert, sera;
Feld, das, was, grün, grüne, ist.

Задание 1. Составить список всех предложений, состоящих из данных слов.
Задание 2. Составить минимальный список русских слов, необходимых для переводения из задания 1 на русский язык, и пропуверовать их римскими цифрами.
Задание 3. Составить программу перевода цифровых последовательностей таким образом, чтобы каждое последовательность арабских цифр, соответствующая какому-либо предложению II из задания 1, переводилась в последовательность римских цифр, соответствующую русскому предложению, являющемуся правильным переводом предложения II.

Если эта задача решена правильно, то тем самым осуществлен машинный перевод всех предложений из задания 1 на русский язык: осталось только записать пропуверованные слова в соответствующие ячейки машинной памяти и ввести в машину программу из задания 3. Но ведь этого мало. Нужно придумать такие правила, создать такую программу обработки и так составить словарь, чтобы машина могла перевести любой текст. А вот здесь-то и выплывот все те трудности, об очень небольшой и не самой «трудной» части которых мы успели расскаать.

Ф113. Сосуд наполовину заполнен водой, в котором плавает кусок льда. Поверх льда наливают керосин, верхний уровень которого устанавливается на высоте $h$ от дна сосуда. Как изменится эта высота, когда лед растает?

Ленинградская городская олимпиада по физике, 1971 г.

Ф114. Два шарика с массами $m_1$ и $m_2$ могут колбаться на пружинках

Рис. 2.

одинаковой жесткости водоль стержня, прикрепленного к бруску с массой $M$ (рис. 2). Брусок лежит на горизонтальной плоскости. В начальной момент шарики прятнуть друг к другу с помощью ниточки, сила наяжения которого равна $T$. Ниточка пережигают. При каком минимальном коэффициенте треня между бруском и плоскостью брусок не сдвинет с места?

Г. Л. Комкин

Ф115. «Черный ящик» — коробка с неизвестной схемой внутрен — имеет два вывода. Последовательно с ящиком включают сопротивление $R = 4 \text{ om}$ и затем эту цель подключит к источнику с э. д. с. $E_1 = 5 \text{ в}$ (рис. 3). При этом по цепи идет ток $I_1 = 1 \text{ a}$. Если цель подключит к источнику с э. д. с. $E_2 = 20 \text{ в}$, то по ней будет идти ток $I_2 = 2 \text{ a}$. Какая схема находится внутрен «черного ящика»?

Рис. 3.

Внутренние сопротивления источников претензий малы.

Я. А. Смородинский

Ф116. Если температура воздуха в цилиндре, показанным на рисунке 4, равна $t_0 (t_0 > 0^\circ \text{C})$, то он оставает до температуры $\frac{t_0}{2}$ примерно за 30 сек. Поршень начинают ввигать и вывигать с некоторой частотой. В каком случае растет больше льда, okружающего цилиндр, за 50 ходов поршня, если они сделаны а) за 1 мин; б) за 1 ч; в) за 30 сутки?

Г. Л. Комкин

Рис. 4.

Ф117. По облепенелой дороге obычно идут, делая маленькие шаги. С какой шририной шага должны идти человек, не боясь упасть, если длина егоог равна 1 метру, а коэффициент треня подошв обуви о дорогу равен 0,1?

И. Ш. Слободецкий

Редакция журнала получила более 2000 писем с решениями задач, помещенных в разделе «Задачник «Кванта». Среди авторов этих писем редакцияная коллегия отбрала школьников, регуляро присылавших особенно оригинальные и удачные решения. Они нагружаются годовой подпиской на журнал «Квант» на 1972 год.

Вот имена победитель нашего конкурса:

Дмитрий Григорьев — Ленинград, школа-интернат № 45 при ЛГУ;
Юрий Оболонков — Воронеж, школа № 58;
Эдуард Туркевич — Черновцы, школа № 9;
Михаил Прегер — Томск, школа № 51;
Аркадий Черняк — Минск, школа № 50;
Леонид Брагинский — Фрунзе, школа № 61;
Виктор Кривицкий — дер. Клетное Борисвского р-на Минской обл.;
Александр Григорян — Баку, школа № 211;
Григорий Зайцев — Гагра, школа № 2;
Иван Гричик — Давид-Городок Брестской обл., школа № 1;
Александр Жуков — Кировск Харцизского р-на Донецкой обл., школа № 11;
Анатолий Анищенко — Сарапул, школа № 13 Удмуртской АССР;
Евгений Губарев — Москва, школа № 144.

35

Для доказательства утверждения 1) мы указем такую стратегию первого игрока, которая не зависит от ходов второго гарантийет, что разность оставшихся двух чисел будет не меньше 32. Эта стратегия описывает очень простое: при каждом ходе вычеркивать числа через одно, то есть вычеркивать второе, четвертое, … число из оставшихся (мы считаем, что числа расположены в порядке возрастания). тогда после 1-го хода разность между любыми соседними из оставшихся чисел будет не меньше 2, после 2-го — не меньше 4, после 3-го — не меньше 8, после 4-го — не менее 16 и после 5-го — не менее 32.

Для доказательства утверждения 2) достаточно указать стратегию второго игрока, которая не зависит от ходов первого позволит ему принграть не больше 32. Она состоит в следующем. Первым ходом он вычеркивает все числа, меньшие 512, или все числа, большие 512 (ясно, что или тех, или других осталось не больше 256). После этого разность между крайними из оставшихся чисел будет не больше 512. Аналогично вторым ходом он может добиться того, что все оставшиеся числа будут находиться только в одном из отрезков [0,256]; [256, 512]; [512, 768]; [768, 1024], то есть уменьшить разность между крайними числами по крайней мере до 256. Точно так же 3-м ходом он может уменьшить эту разность до 128, 4-м — до 64 и 5-м — до 32.

Нибольное решение этой задачи присладаю Ю. Оболонков из Воронежа и В. Лузей из Москвы.

Разумеется, аналогично можно было доказать, что если игра состоит из n ходов и начинается с чисел 0, 1, 2, … 2^n, то «цена игры» равна 2^n. Но детальное исследование подобной игры, начинающейся с произвольного множества чисел (не обязательно арифметической прогрессии) представляется собой существенно более трудную задачу.

M62

Докажите, что для любого нечетного числа a найдется такое натуральное b, что 2^b — 1 делится на a.

Вот наиболее короткое доказательство.

Рассмотрим числа 2^0 — 1, 2^1 — 1, …, 2^a — 1. Этих чисел (a+1). Какие-то два из них дают одинаковые остатки при делении на a, потому что различных таких остатков существует всего a (это рассужждение называется «припилл Дирихле», о его применениях рассказываюсь в статье А. Орлова в «Кванте» № 7). Пусть, скажем, числа 2^k — 1 и 2^m — 1 дают одинаковые остатки при делении на a и k < m. Тогда число (2^m — 1) — (2^k — 1) = 2^k (2^m — k — 1) делится на a и, поскольку a нечетно, 2^m — k — 1 делится на a.

Точно так же доказывается и более общий факт: если натуральные числа a и c взаимно просты, то найдется такое натуральное b, что c^b — 1 делится на a. Многие читатели заметили, что утверждение задачи вытекает из следующей теоремы Эйлера*): для любых натуральных a и c число c^φ(a)+1 — c делится на a, где φ(a) — количество натуральных чисел, меньших a и взаимно простых с ним, и даже приводят формулу для вычисления «функции Эйлера»

$$\varphi\left(p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_r^{\alpha_r}\right) = \left(p_1^{\alpha_1} - p_1^{\alpha_1}-1\right) \times \left(p_2^{\alpha_2} - p_2^{\alpha_2}-1\right) \cdots \left(p_r^{\alpha_r} - p_r^{\alpha_r}-1\right).$$

Правильные решения присладали А. Черняк из Минска, Э. Туркевич, Ш. Слепой из Черновцов, Г. Левин из Куйбышева, Н. Демиденко из д. Кольбовка Гомельской обл., А. Пухальский из Москвы, Ю. Семенок из п. Мирный Краснодарского края и других читателей.

M63

Можно ли из 18 плиток размером 1×2 выложить квадрат так, чтобы при этом не было ни одного прямоугольника сторон квадрата и душшего по краям плиток? (Например, такое расположение плиток, как на рисунке 2, не годится, так как здесь есть «шов» AB.)

Предположим, что нам удалось выложить квадрат 6×6 плитками 1×2 без «шов». Тогда каждая из десяти прямы, разрезающих этот квадрат

*) См., например, книгу И. М. Виноградова «Основы теории чисел» ГИТТЛ, М., 1953 или другой учебник по теории чисел.

36

Рис. 2.
Рис. 3.
Рис. 4.
Рис. 5.

рат на клетки 1×1, должа пересекать по крайней мере одну литку 1×2. Нетрудно доказать, что каждая такая прямая пересекает обязательное четное число литок. Действительно, она отрезает от квадрата 6×6 прямойник 6×k, состоящий из четного числа клеток 1×1; этот прямойник содержит некоторое количество целых литок 1×2 и еще некоторое четное количество клеток 1×1 — половинок литок, пересеченных прямой (рис. 3).

Не если каждая прямая пересекает не менее двух литок, то общее число литок должно быть не меньше 2·10=20, а их всего 18.

Таким образом, мы доказали, что квадрат 6×6 разрезать требуемым образом на литки нельзя.

Правильное решение этой задачи присладали А. Костюрин из Московской области, И. Кашанов из Уфы, В. Шварц из Ленинграда и другие. В большинстве из присладаных писем обсуждается общий вопрос: когда прямойник m×n можно разрезать на литки 1×2 без швов. Легко доказать, что прямойник 2×n, 3×n и 4×n разрезать таким образом нельзя. Если же m≥5, n≥5 и mn четно (последнее условие, разумеется, необходимо), то во всех случаях, кроме рассмотренного выше 6×6, нужно разбиение существует. Для доказательства достаточно придумать разбиение прямойников 5×6 и 6×8 и затем, что из разбиения прямойника m×n легко получить разбиение прямойника (m+2)×n (рис. 4 и 5).

Н. Б. Васильев

Ф72

Почему в марте продолжительное дня меняется быстро, чем в декабре?

Изменение продолжительное дня связано с углом наклона земной оси к плоскости орбиты движения Земли вокруг Солнца (≈23,5°). Если бы земная ось была перpendикулярна к плоскости орбиты, продолжительное дня практически не менялась бы.

Наклон оси в пространстве не меняется, а так как Земля врашает вокруг Солнца, то она видна с Солнца по-разному (рис. 6) — Солнце различно время освещает участки земной поверхности, и продолжительное дня не постоянна. Очевидно, что в декабре и июне, когда в сельном полушарии продолжительное дня соответственно минимально или максимально, а северный полос наклонен от Солнца или к Солнцу, положение земной оси относительно Солнца меняется очень медленно. Medленное меняется и продолжительное дня. В то же время в марте и centябре положение оси меняется быстро — быстро меняется и продолжительное дня.

Интересно написать примерный график зависимости продолжительное дня от времени года. Грубо — это синусоида (рис. 7). Скорость изменения продолжительное дня, очень быстро, пропорциональная тангенсу уг

38

ну давления, оказываемого молекулами расторенного вещества. Это давление носит название осмотического давления. Условие равновесия жидкости в сосудах — это не равенство гидрорастатических давлений по обе стороны перегородки, а равенство, грубо говоря, давлением молекул расторителя.

Молекуры расторенного вещества ведут себя подобно молекулам газа. Они стремятся занять как можно больший объем, передвинув перегородку (им это удалось бы, если бы перегородка была подвижной). Но так как перегородка закреплена, то смешается не она, а уровень растора.

Аналогия между поверхением молекул газа и молекул расторенного вещества полная. Если растор слабый, то молекуры расторенного вещества находится дальше друг от друга и слабое взаимодействуют друг с другом — так же как и молекуры идеального газа (они взаимодействуют друг с другом только стальваясь). Поэтому осмотическое давление $p$ должно быть связано с объемом растора $V$, температурой $T$ и числом $n$ молей расторенного вещества такой же формули, как и давление идеального газа:

$$pV=nRT$$

(R — газовая постоянная).

Этот закон был открыт и доказан экспериментально Вант-Гофформ. Осмотическое давление не зависит от природы расторенного вещества и определяется лишь концентрацией растора. Для сильных расторов (расторов большой концентрации) можно записать уравнение, подобное уравнению Ван-дер-Ваальса для реализации газа. Если у нас имеются в расторе разные вещества, то, по аналогии с газами, осмотическое давление равно сумме осмотических парциальных давлений отдельных расторенных веществ. Аналогично с идеальным газом будет вести себя растор в полеяжексти: именно таким же будет распределение числа молекул по высоте. Это позволило Перрену

«взвесить» atom (см. статью М. П. Бронштейна «Как был взвешен atom», «Квант» № 2, 1970 г.).

Энергия на поднятие жидкости береется из тепловой энергии движения частичек расторенного вещества. Тоно так же, как и настоящий газ, «газ» частичек расторенного вещества, расширяясь и совершая работу, охлаждается. При этом, конечно, охлаждается весь растор.

Осмотическое давление играет очень важную роль в жизни человека, животных и растений. Оболочки многих органов представляют собой полупроницаемый перегородку — например, стены кровеносных сосудов и кишечника, повреждность корней растений и так далее. Именно осмотическое давление обусловливает объем веществ.

Эту задачу правильно решили многое читатели: В. Соколов (пос. Мышанск Гомельской обл., ВССР), C. Арасланова (пос. Нижневинко Куменского р-на Кировской обл.), H. Федин (Омск), H. Коленко (Бондар Одеской обл.), H. Егоров (с. Майя Мечинокангаласского р-на, ЯАССР), M. Козловский (Москва), C. Панфинь (Новосибирск), П. Хмара (Ворошилговград), А. Фиалков (Караганда), Т. Рудакова (Иркутск), О. Ким (Ульяновск), В. Тапезян (с. Мщарское Гудатского р-на, Абхазская АССР), К. Кирилов (Минусинск Краснойрского края), О. Маслок (Новомиргород Кировоградской обл., УССР), М. Максименко (Балакля Харьковской обл.), А. Верецада (Орехов Запорожской обл., УССР), С. Иваков (Москва).

Ф74

Два конденсатора включаются последовательно. Первый имеет смесь $C_1$ и расчитан на максимальное напряжение $U_1$, второй — смесь $C_2$ и расчитан на напряжение $U_2$. К какому напряжение можно подключить эту батарею конденсаторы?

Так как конденсаторы соединены, то их заряды одинаковы, а смесь батареи равна $C = \frac{C_1C_2}{C_1 + C_2}$. Если на батарею конденсатор подано напряжение $U$, то ее заряд будет равен $q = CU = \frac{C_1C_2}{C_1 + C_2} U$. Этот заряд не должен

превышать максимальный заряд, на котором расчитан каждый из конденсаторов: $q_1 = C_1 U_1$ и $q_2 = C_2 U_2$.
Позному должны выполнять неравенства

$$\frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} U \leq C_1 U_1$$

и

$$\frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} U \leq C_2 U_2.$$

Ясно, что заряд конденсаторов не должен превышать меньше из возможных максимальных зарядов конденсаторов. Пусть для определения

$$q_1 = C_1 U_1 < q_2 = C_2 U_2.$$

Тогда

$$\frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} U \leq C_1 U_1$$

и

$$U \leq \frac{C_1 + C_2}{C_2} U_1.$$

Если $C_1 U_1 = C_2 U_2$, то мы получаем естественный результат:

$$U \leq \frac{C_2 \frac{U_2}{U_1} + C_2}{C_2} U_1 = U_1 + U_2.$$

Правильное решение этой задачи при слайлении В. Чупик (Торжок Калининской обл.), Н. Николаева (с. Белая Глина Краснодарского края), О. Маслок (Новомиргород Кировоградской обл.), С. Иванов (Москва), В. Соколов (пос. Мышанск Гомельской обл., БССР), Н. Федик (Омск), Н. Коленко (Бондар Одесккой обл.), Н. Алексеенко (Кировск Мурманской обл.), А. Стаченko (пос. Петропавловка Петропавловского р-на Днепропетровской обл.), М. Козловский (Москва), П. Хмара (Ворошиловград), Е. Головко (Ставрополь), В. Пархоменко (д. Покольбичи Гомельской обл.), Ю. Батышен (Москва), М. Рамазанов (Махачкала, ДАССР), Е. Свиридук (Ровенки Ворошиловградской обл.), Т. Селина (с. Салтыково Пензенской обл.), В. Сыцев (Алга Актюбинской обл.), А. Костюрин (пос. Красово Московской обл.), К. Кириллов (Минусинск Красноярского края).

И. Ш. Слободецкий

ИГРА
НА
ПЛОСКОСТИ

На плоскости нарисовано максимальное заряд (вершин). Некоторые из них соединены отрезками. Всяя и Петя играют в такую игра: они отмечают поочередно вершины — Всяя крестиками, а Петя нуликами. После того как все вершины отмечены, Всяя подсчитывает, сколько у него «своних» отрезков, то есть таких отрезков, у которых обе вершины отмечены крестиками, а Петя — сколько отрезков у него. Выиграvaет тот, у кого отрезков больше. Исследуйте, как нужно играть в эту игра. Кто может обеспечить себе выиграш или ничью? Разберите следующее случай:

a) когда нарисован многоугольник;
b) когда у нарисованной фигуры в каждой вершине скодитсяровно $k$ отрезков;
b) когда в разных вершинах скодится разное число отрезков.

Л. Лиманов

ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ

Дано уравнение:

$$mf \left( \frac{a+x}{c+x} \right) + nf \left( \frac{a-x}{c-x} \right) = kx.$$

$(m \neq n)$.

Определить функцию $f(x)$.

Я. Килимник

ПРАКТИКУМ АБИТУРИЕНТА

В текущем учебном году на страницах «Кваента» будет продолжена публикация материалов под руководой «Практикум абитурения». Поступающие в редакцию письма показывают, что этот отдел вызывает живой интерес у многих читателей журнала. Мы очень благодарны всем, кто высказал нам своим замечания и предложения.

Конечно, нет никакой возможности осветь все вопросы, входящие в программу вступительных экзаменов по математике и физике. Да в этом и нет необходимости — эти вопросы изучаются в школе и подробно рассмотрены в школьных учебниках. Поэтому редакция наметила лишь некоторые темы, которые имеют принципиальное значение и в том или인 виде наиболее часто используются при решении конкурсных задач, и обычно вызывают затруднения у поступающих.

Например, мы предложаем расссказать о развитости неравенств, о решении систем неплинейных уравнений, о задачах на комбинации пространственных тел, о графическом методе решения некоторых задач на составление уравнений и т. д. По физике будет опубликованы статьи, касающиеся таких вопросов, как kinematическое уравнение движения, решение задач на равновесие тел, тепловые процессы, законы тока и другие.

Эти статьи будут содержать по возможности подробное изложение теоретического материала, сопровождаться разбором задач, взятых из практики вступительных экзаменов.

Мы предложаем также в порядке информатии помещать образцы вариантов по математике и физике, предложшихся в 1971 году на вступительных экзаменах в различныхузах страны. Эти варианты будут снабжены только ответами (или указаниями) — надеемся, что читателем будет интересно самостоятельно попробовать свои силы на решении конкурсных задач.

41

М. С. Атамукас

Квадратным трехленом называется многочлен второй степени общего вида

$$ax^2 + bx + c, \quad a \neq 0.$$

На вступительных экзаменах по математике задачи, пряmo или косвенно связанные с квадратным трехленом, предлагаются довольно часто. Да это и не удивительно — в школьной программе удаляется много места и времени изучению квадратного уравнения

$$ax^2 + bx + c = 0,$$

выяснение свойств квадратной функции

$$y = ax^2 + bx + c.$$

Эта функция встречается и в физике; например, при описании движения материалов точки, брошенной наклонно к горизонту.

Школьники, конечно, хорошо знают все формулы, относящиеся к квадратному трехлену, имеют они и изображать график квадратной функции — парабoly. Оdnako, когда речь идет о решении конкретной задачи, большеинструменты пытается действовать чисто аналитически, привлекая лишь формулы. Между тем очень часто использование геометрических соображений позволяет получить ответ проще и быстрее.

Мы показем на несколько примерах, как важно бывают при решении задачи мыслить одновременно и на алгебраическом, и на геометрическом языках.

Для того чтобы проверить, насколько хорошо вы знакомы со свойств квадратного трехлена, рассмотрим сперва такую задачу (она предлагалась на устных экзаменах в МГУ).

1. На рисунке 1 изображено несколько графиков квадратных трехленов. Рисунок приблизительно, масштаб не указаан. Для каждой из этих парабол определять знаки соответствующих коэффициентов $a, b$ и $c$.

Возьем, например, парабoly 4; она является графиком некоторой квадратной функции

$$f(x) = ax^2 + bx + c.$$

Так как ветви этой параболи направлены вверх, то коэффициент $a > 0$. (Доказите! Многие поступавшие обьясняли это так: «В учебнике доказы-

42

вается, что если $a > 0$, то парабола направлена вверх». Убедительно ли такое обязывание?). Далее, коэффициент $c$ равен значению функции $y$ в точке $x = 0$, то есть $c = f(0)$. Из рисунка видно, что парабола 4 пересекает положительное полуось ordinат, а потом $c > 0$. Абсцисса вершины парабола равна $-\frac{b}{2a}$; из рисунка ясно, что она положительная. Мы уже знаем, что $a > 0$, и, следовательно, $b < 0$.

Ответ: $a > 0$, $b < 0$, $c > 0$.

Остальные случаи, представленные на рисунке 1, читатели могут разобраться самостояльно.

Во многих задачах необходимо выяснить поведение квадратной функции $f(x) = ax^2 + bx + c$ на заданном промежутке $(\alpha, \beta)$, описать расположение корней этого треугольника относительно фиксированной точки $x = \gamma$ оси абсцисс и т. д. В этих задах геометрический язык делает расчужнения простыми и наглудными (и притом вполне строгими!).

2. На основе абсцисс указаны промежуток $\alpha < x < \beta$. При каких $a$, $b$ и $c$ уравнение

$$ax^2 + bx + c = 0, \ a \neq 0, \ b^2 - 4ac > 0$$

имеет на этом промежутке только один корень?

Иными словами, надо выяснить, при каких $a$, $b$ и $c$ график функции $f(x) = ax^2 + bx + c$ пересекает ось абсцисс на промежутке $\alpha < x < \beta$ровно один раз.

Если пытается решить этот вопрос аналитически, с помощью формул для корней $x_1$ и $x_2$ квадратного треугольника, то условия, при которых только один корень лежит между чисlamи $\alpha$ и $\beta$, записьюются весма грамодзко. Геометрический же подход дает возможность получить это условие сразу и в простом виде.

Представим себе, как может вести себя график треугольника, удовлетворяющего поставленному в задание условия; очевидно, возможно одно из четырех положений, представленных на рисунке 2. Заметим, далее, что в каждом из этих случаях значения функции $f(x)$ в точках $\alpha$ и $\beta$ имеет противоположные знаки, то есть

$$f(\alpha)f(\beta) < 0,$$

или, более подробно,

$$(a\alpha^2 + b\alpha + c)(a\beta^2 + b\beta + c) < 0.$$

Это условие необходимо и достаточно для того, чтобы уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ (при $a \neq 0, b^2 - 4ac > 0$) имелоровно один корень на интервале $(\alpha, \beta)$.

43

Итак графики помогли нам найти это условие. Они же подсказывают, как доказать, что это условие необходимое и достаточно.

Необходимость. Пусть уравнение имеет два корня $x_1$ и $x_2$ ($x_1 < x_2$), причем один корень лежит внутри интервала $(\alpha, \beta)$, а другой — вне его. Тогда одно из чисел $\alpha, \beta$ лежит внутри интервала $(x_1, x_2)$, а другой — вне его. Но в школьном учебнике доказывается, что значения функции $f(x) = ax^2 + bx + c$ вне интервала $(x_1, x_2)$ между корнями и значения функции внутри этого интервала имеют противоположные значки. Следовательно, $f(\alpha) f(\beta) < 0$.

Достаточно есть. Пусть числа $f(\alpha)$ и $f(\beta)$ имеют разные значки. Тогда $b^2 - 4ac > 0$, уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два корня $x_1$ и $x_2$, и значения функции внутри интервала $(x_1, x_2)$ и вне его имеют противоположные значки. Поэтому только одно из чисел $\alpha, \beta$ лежит внутри интервала $(x_1, x_2)$. Но это означает, в свою очередь, что только одно из чисел $x_1, x_2$ лежит внутри интервала $(\alpha, \beta)$.

Понятно, что квадратная функция

$$y = ax^2 + bx + c, \quad a \neq 0, \quad b^2 - 4ac = 0,$$

имеет лишь один корень $x_0 = -\frac{b}{2a}$, и он лежит на промежутке $(\alpha, \beta)$, если $\alpha < -\frac{b}{2a} < \beta$.

Приименим изложенные только что сообщения для решения следующего задачи, взятой из практики устных экзаменов.

3. Доказать, что квадратный трехчлен

$$f(x) = (x - a)(x - b) + \lambda (x - c)(x - d)$$

имеет действительные корни при любом действительном $\lambda$, если известно, чторовно одно из чисел $c, d$ лежит на интервале $(a, b)$, а другой вне его.

Рассматривая графики различных квадратных трехчленов, легко заметить одно важное свойство: максимальные и минимальные значения квадратного трехчлена на отрезке $[\alpha, \beta]$ могут достигаться только в трехследующих точках: в точке $x = -\frac{b}{2a}$, если, конечно, она принадлежит отрезку $[\alpha, \beta]$; в точке $\alpha$; в точке $\beta$ (в концах отрезка). Доказем это; будем считать, что $a > 0$ (случай $a < 0$ разбирается аналогично).

Выделим из квадратного трехчлена полный квадрат:

$$f(x) = ax^2 + bx + c = a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}.$$

Воспользовавшись такой запись, нетрудно показать, что при $a > 0$ функция $f(x)$ в точке $x = -\frac{b}{2a}$ имеет абсолотный минимум, равный $c - \frac{b^2}{4a}$; на интервале $(-\infty, -\frac{b}{2a})$ монотно убивает, а на интервале $(-\frac{b}{2a}, \infty)$ монотно возрастает.

*) Проверьте самостояльно, что из $f(\alpha) f(\beta) < 0$ следует $b^2 - 4ac > 0$.

44

Постому, если
$$\alpha \leq -\frac{b}{2a} \leq \beta,$$
то функция $f(x)$ на отрезке $[\alpha, \beta]$ принимает наименьшее значение $c - \frac{b^2}{4a}$ в точке $-\frac{b}{2a}$ (см. график 1 на рисунке 3).

Нибольшее значение, в силу монотности, достигается в одном из концов интервала.

Пусть теперь точка $-\frac{b}{2a}$ находится вне отрезка $[\alpha, \beta]$ (см. графики 2, 3 на рисунке 3).

Тогда отрезок $[\alpha, \beta]$ принимает одному из интервалов монотности, и, следовательно, минимальное значение принимается в одном из его концов, а максимальное — в другом.

Попытайте теперь формулировать необходимое и достаточно условие, при котором квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два корня на заданным промежутке $\alpha < x < \beta$.

Замеченное свойство квадратного трехчлена облегчит нам решение следующих задач.

4. (МГУ, механизм, 1970). При каких значениях параметра $\alpha$ неравенство
   $$\sin^6 x + \cos^6 x + \alpha \sin x \cos x \geq 0$$
   выполняется для всех $x$?

Преобразуем левую часть неравенства:
$$(\sin^2 x)^3 + (\cos^2 x)^3 + \alpha \sin x \cos x =$$
$$= (\sin^2 x + \cos^2 x) (\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x) + \alpha \sin x \cos x =$$
$$= [(\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 3 \sin^2 x \cos^2 x] + \alpha \sin x \cos x =$$
$$= 1 - \frac{3}{4} \sin^2 2x + \frac{\alpha}{2} \sin 2x.$$

Обозначим $\sin 2x$ через $y$; очевидно, $-1 \leq y \leq 1$, коэффициент при $y^2$ отрицатель, поэтому на отрезке $[-1; 1]$ минимум квадратного трехчлена $-\frac{3}{4} y^2 + \frac{\alpha}{2} y + 1$ достигается в концах отрезка.

Следовательно, неравенство
$$-\frac{3}{4} y^2 + \frac{\alpha}{2} y + 1 \geq 0$$
выполняется на всем отрезке $[-1; 1]$ в том и только в том случае, когда трехчлен неотрицатель в концах отрезка:

$$\begin{cases} -\frac{3}{4} (-1)^2 + \frac{\alpha}{2} (-1) + 1 \geq 0, \\ -\frac{3}{4} \cdot 1^2 + \frac{\alpha}{2} 1 + 1 \geq 0 \end{cases}$$

то есть $\alpha \leq \frac{1}{2}$ и $\alpha \geq -\frac{1}{2}$.

Ответ: данное неравенство выполняется для всех $x$ при $-\frac{1}{2} \leq \alpha \leq \frac{1}{2}$.

45

Рис. 4. Минимум при $t = t_0$.

Рис. 5. Минимум при $t = t_0$.

5. (ЛГУ, матемех, 1966). Ракета должна пройти отрезок, равный $H$. Она начинаем движение с постоянной скоростью $v$ и в любой момент времени может включить дополнительный движение, дающий постоянноеускорение $a$ ($a > 0$) и работающей до конца пути. Расход топлива на участке пути с постоянной скоростью пропорционален времене движения, а при включенном дополнительном движении — квадрату времени с коэффициентами пропорциональности $k_1$ и $k_2$ соответствие ($k_1, k_2 > 0$). Какое время ракета должна движется с включенным дополнительным движением, чтобы обещая расход топлива был наименьшим?

Пусть $\tau$ — время движения ракеты с постоянной скоростью, $t$ — время движения с включенным дополнительным движением, $A$ — расход топлива. Из уравнения:

$$H = v\tau + vt + \frac{at^2}{2}, \quad A = k_1\tau + k_2t^2$$

находим

$$\tau = \frac{1}{v} \left( H - vt - \frac{at^2}{2} \right), \quad A = \left( k_2 - \frac{ak_1}{2v} \right) t^2 - k_1t + \frac{k_1H}{v}.$$

Заметим, что $0 \leq t \leq t_0$, где $t_0$ — положительный корень уравнения

$$H = vt + \frac{at^2}{2}, \quad t_0 = \frac{-v + \sqrt{v^2 + 2aH}}{a}.$$

(Это время полета в том случае, если движения включен с самого начала.) Нужно найти минимум функции $A = A(t)$ (*), заданной на отрезке $[0, t_0]$.

1. $k_2 - \frac{ak_1}{2v} < 0$. Вершина парабoles $A = A(t)$ имеет абсциссу

$$t^* = \frac{k_1}{2 \left( k_2 - \frac{ak_1}{2v} \right)} < 0.$$

Парабола расположена так, как указано на рисунке 4. Минимум при $t = t_0$.

2. $k_2 - \frac{ak_1}{2v} = 0$; $A = -k_1t + \frac{k_1H}{v}$. Минимум при $t = t_0$ (рис. 5).

3. $k_2 - \frac{ak_1}{2v} > 0$. Абсцисса вершины парабoles

$$t^* = \frac{vk_1}{2vk_2 - ak_1} > 0.$$

46

Рис. 6. Минимум при $t = t^*$.

Если $t^* \leq t_0$, то минимум при $t = t^*$ (рис. 6).
Если $t^* \geq t_0$, то минимум при $t = t_0$ (рис. 7).
Ответ: Если $2vk_2 - ak_1 > 0$ и

$$\frac{vk_1}{2vk_2 - ak_1} \leq \frac{-v + \sqrt{v^2 + 2aH}}{a},$$

то

$$t = \frac{vk_1}{2vk_2 - ak_1}.$$

Если $2vk_2 - ak_1 \leq 0$ или $2vk_2 - ak_1 > 0$ и

$$\frac{vk_1}{2vk_2 - ak_1} > \frac{-v + \sqrt{v^2 + 2aH}}{a},$$

то

$$t = \frac{-v + \sqrt{v^2 + 2aH}}{a}.$$

Упражнения

1. Указать условия, при которых оба корня трехчлена $f(x) = ax^2 + bx + c$ меньше заданного числа $\alpha$.
2. Указать условия, при которых данные число $\alpha$ лежит между корнями трехчлена $f(x) = ax^2 + bx + c$.
3. (МГУ, отделение структурной линейности, 1968). Найти все значения параметра $b$, при которых оба корня квадратного уравнения $x^2 - 2bx - 1 = 0$ действительны и не превыходит по модулю 2.
4. (МГУ, физик, 1965). Найти все значения $a$, при которых уравнения $x^2 + x + a = 0$ действительны и больше $a$.
5. (МГУ, отделение биологии, 1969). Найти все значения $a$, при которых система

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = a, \\ x - y = a \end{cases}$$

имеет единственное решение.
6. Радиус основания прямого кругового конуса равен $R$, а его высота равна $H$. Определить высоту цилиндра, вписанного в этот конус и имеющего наибольшую боковую поверхность.
7. (МГУ, отделение структурной линейности, 1969). Указать все корни уравнения $x^2 + 1 = \cos x$.
8. (МГУ, физик, 1964). Найти все значения $m$, при которых выражение $x^2 + mx + m^2 + 6m$ будет отрицательно при всех значениях $x$, удовлетворяющих неравенствам $1 < x < 2$.
9. (МГУ, физик, 1963). Снаряд вылетает из ордия под углом $\alpha$ к горизонту со скоростью $v_0$. В самом верхней точке трехчлена снаружи на две равные по массе части, причем скорости частей тут же после взрыва горизонтальных и лежат в плоскости трехчлена. Одна половина снаружи на расстоянии $S$ от места выстрела. Определить место падения второй половины, если известно, что она упала дальше первой. Считать, что полет снаряда происходит в безвоздущном пространстве.

47

Как вы решаете задачи на кинематику? Сколько формулы вы помните? 5? 10? 15? Очень часто решение задачи начинается с выписания большого количества формул — формулы для пути,ройденного телом за $n$-ю секунду, формулы для отношения путь,ройденных телом за последовательные промежутки времени, формулы для разности квадратов скорости тела и так далее. Затем эти формулы пытаются подставлять друг в друга, делить, множить… Иноготаким способом удается найти ответ. Но чаще всего задачи на кинематику — непредодолимая преграда. Это, пожалуй, один из самых трудных разделов для абитриентов. Хотя должен быть один из самых простых. Давайте разберемся в нем.

Будем сначала говорить о примолинейном движении тела. Если прямую, вдоль которой оно движется, принять за ось координат $OX$ (точка $O$ — начало координат), то положение тела определяется его координатой $x$. При движении с постояннымускорением координата тела меняется со временем по закону

$$x = x_0 + v_0 t + \frac{at^2}{2},$$

(*)

где $x_0$ — начальная координата тела (при $t=0$), $v_0$ — его начальная скорость и $a$ —ускорение. Уравнение () и есть кинематическое уравнение движения тела. Конечно, уравнение () — проекция на ось $x$ векторного уравнения для радиуса-вектора $r$, определяющего положение центра масс тела (рис. 1). Поэтому проекция на ось $OX$ тех векторных величины, которые направлены так же, как и ось $OX$, положительные, а тех, которые направлены в противоположную сторону, — отрицательны. Это нужно учитывать, подставляя эти величины в уравнение (*).

Подчеркием еще раз: уравнение (*) — уравнение для координаты тела, а не для пути,ройденного им. Путь — положительная скалярная величина, которая не может уменьшаться. В то же время, координата тела может вести себя как угодно. Например, если $v_0$ положительное и $a=-a_0$ отрицательно (вектор скорости $v_0$ направлен в ту же сторону)

49

то есть в момент падения на землю скорость камня равна начальной, но направлена в противоположную сторону.

Уравнение (**) позволяет легко найти время $t_\pi$ подьema камня. Так как в точке максимального подьема скорость камня равна нулю, то

$$0 = v_0 - gt_n.$$

Отсюда $t_\pi = \frac{v_0}{g}$. Время подьема камня равно половине времени полета.

Мы видим, что два уравнения — для координаты и для скорости позволяют получить ответ на любой вопрос относительно движения камня. Именно их и нужно всегда помнить.

Решим еще одну задачу.

Задача 2. Своободно падающее тело за последнюю секунду прошло $1/3$ своего пути. Сколько секунд ($n$) и с какой высоты ($h$) подало тело?

Прием за начало координат точку бросания, а ось координат направим вертикально вниз. Тогда координата тела зависит от времени по закону

$$x = \frac{gt^2}{2}$$

($v_0 = 0, x_0 = 0, a = g$). Если тело подало $n$ секунд, время падения равно $n \cdot \tau$ ($\tau = 1$ сек), и

$$h = \frac{gn^2\tau^2}{2}.$$

(1)

Через время $(n-1)\tau$ после начала движения координата тела была равна $\frac{2}{3}h$. Поэтому

$$\frac{2}{3}h = \frac{g(n-1)^2\tau^2}{2}.$$

(2)

Решая уравнения (1) и (2) совместно, найдем,

$$n = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} \approx 5,45, \quad h \approx 145 \text{ м}.$$

Можно было выбрать и другую систему координат, например, связанную с землей и осью координат, направленной вверх. Тогда уравнение движения тела было бы таким:

$$x = h - \frac{gt^2}{2} \left( x_0 = h, v_0 = 0, a = -g \right).$$

Здесь при $t=n\tau$ $x=0$, а при $t=(n-1)\tau$ $x=\frac{1}{3}h$.

Можно выбрать и еще одну систему координат — с началом в точке бросания и осью, направленной вверх. В этой системе

$$x = -\frac{gt^2}{2};$$

при $t=n\tau$ $x=-h$, при $t=(n-1)\tau$ $x=-\frac{2}{3}h$.

В данной задаче выбор системы координат не очень существен, но часто, удачно выбрать систему координат, можно значительно упростить решение.

Решим, например, такую задачу.

Задача 3. С каким промежутком времени $\tau$ оторвались от крыши две джедевые капли, если через время $t_0$ после начала падения второй капли расстояние между каплями было равно $l$?

Эту задачу можно, конечно, решать в системе координат, связанной с крышей (сделайте это сами).

Но удобнее перейти к системе координат, связанной со второй капли. Так как капли падают с одинаковымускорением относительно земли, то их относительноеускорение равно нулю: капли джедевые друг относительно друга равномерно. Их относительная скорость равна скорости первого капли относительно земли в момент отрыва второго капли $v_0=g\tau$. Уравнение движения первого капли в системе координат, связанной со второй, выглядит так:

$$x = v_0 t + x_0,$$

где $x_0 = \frac{gt^2}{2}$. При $t=t_0$ $x=l$, то есть

$$l = g\tau t_0 + \frac{gt^2}{2}.$$

Решив это уравнение, получим ответ:

$$\tau = \sqrt{t_0^2 + \frac{l}{g}} - t_0.$$

Решим еще такую задачу.

Рис. 5.

расстояния $L$ от места бросания камень уладет на землю?
В системе координат, показанной на рисунке 4, положение камня в момент времени $t$ определяется координатами

$$x = v_0 t, \quad y = \frac{gt^2}{2}.$$

В момент $t_0$ padения на землю $x = L \cos \alpha$, а $y = L \sin \alpha$, то есть

$$L \cos \alpha = v_0 t_0,$$
$$L \sin \alpha = \frac{gt^2}{2}.$$

Отсюда

$$L = \frac{2v_0^2 \sin \alpha}{g \cos^2 \alpha}.$$

Можно было бы выбрать и другую систему координат, например, показанную на рисунке 5. Иnorда это было удобно. В этой системе координат

$$v_{OX} = v_0 \cos \alpha, \quad v_{OY} = v_0 \sin \alpha,$$
$$a_x = g \sin \alpha \quad a_y = -g \cos \alpha.$$

Позному

$$x = v_0 \cos \alpha t + \frac{g \sin \alpha \cdot t^2}{2},$$
$$y = v_0 \sin \alpha t - \frac{g \cos \alpha \cdot t^2}{2}.$$

Рис. 6.

Подставляя в эти уравнения значения $x$ и $y$ при $t = t_0$ ($x = L, y = 0$) и решая их совместно, найдем ответ.

Упражнения

1. Камень свободно падает с высоты $h$. За какое время он проходит последний метр своего пути?
2. Камень, брошенный вертикально вверх, на высоте $h$ повышал давление $T$. С какой начальной скоростью он был брошен?
3. Камень бросают вертикально вверх со скоростью $v_0$ с высоты $h$ от поверхности земли. В этот же момент с земли со скоростью $u_0$ бросают вертикальное другую камень. Через какое время камни оказывается на одной высоте? Какова будет эта высота?
4. Цель, нахождения на вершине колма, видна под углом $\alpha$ к горизонту с того места, где находится орудие. Как должен быть направлен ствол орудия к горизонту, чтобы попадание было точным, если начальная скорость снаряда $v_0$, а высота колма равна $h$?
5. Камень бросают в реку. Какой будет картина волн? Нарисуйте ее.
6. Два автономы одновременно прошли перекресток и едут по улицам, составляющим угол $\alpha$ друг с другом (рис. 6). Скорости автономей равны $v_1$ и $v_2$. Через какое время расстояние между автономией будет равно $l$?
   Указан и е. Удобно выбрать систему координат, связанную с одним из автономей. В ней скорость второго автономия постоянна и равна

$$v_{OTH} = v_2 + (-v_1).$$

54

около ста лет назад известным русским шахматистом К. Янишем. Легко убедиться, что этот квадрат магически, а все упомянутые суммы равны 260. Приведенный «магический ход коня» может быть отнесен к числу особенно интересных, так как он обладает не только указаным свойством. Само построение его настоящим, что при повороте доски на 180° первая ее положена (поля 1—32) превращается во вторую (поля 33—64). Любопытно, что такой «ход коня» приведен Н. Рудина к гипотезе, утверждающей, что шахматы проискают из магических квадратов *).

Особый интерес представляет замкнутый «ход коня». Покажем, что на доске размером 4×n, где n — любое натуральное число (рис. 6), замкнутого маршрута не существует (объясне решение имеется, например, при n=3).

Предположим противное, то есть, что маршрут обхода существует. На крайние поля конь попадает только со средних (мы называем крайними те поля, которые расположены на верхней и нижней горизонталях, а средними — остальные). Если конь обошел все поля, соблюдая условия задачи, то 2n ходов были сделаны с крайних полей на средние. тогда оставшиеся 2n ходов он совершил со средних полей на крайние. С каждым ходом цвет поля, на котором стоит конь, меняется, поэтому все поля крайних горизонталей должны быть окрашены в один цвет, а средних — в другой. Противоречие.

Заканчивая обсуждение задачи о ходе коня, затем, что она является частным случаем одной важной математической проблемы, заключенной в находится нахождения так называемого гамильтонава пути в симметрическом графе **). Этим, видимо, и объясняется ее особая привлекательность для математиков.

Рассмотрим еще одну задачу о коне.

Пусть на шахматной доске находится белый конь и черный коноль, причем обусловлен ряд «соответствующих» kleе

**) Подробнее об этой гипотезе можно прочитать в книжке ее автора: Н. Рудин и Н. От магического квадрата к шахматам, М., «Просвещение», 1969.

**) См. Берж, Теория графов и ее применения, ИЛ, М., 1962.

мок (на рисунке 7 они залиты тушью). Требуется добраться конем до клетки с королем, а затем вернуть на исходную, причем по дороге нельзя становиться ни «соответствие клетки», ни на уже проеденные клетки.

Эта задача известна под названием «Задача о коне Аттилы». «Трава не растет там, где ступил мои конь!»— пожвалялся воjdь гуннов, намекая, что предводительствуемые им полчища уничтожают все живое на своем пути. Такого сорта задачи возникнет путь, ведущего из лабиринта, и подробно решаются в различных книгах по теории графов. В нашем же примере конь Аттилы должен передвигаться следующим образом:

Кg4—f6—e8—g7—e6—f8—g6—e7—c6—a5:b3—d2—b1—a3—b5—d6—f7—h6—g4.

To obstruction, что конь на каждом ходе меняет цвет поля, играет немаловажную роль, в чем мы уже имеем возможность убедиться. Вот еще один вопрос на эту тему.

Может ли конь, отправляясь с а1, добраться до h8, ступив на каждое поле доски равно один?

Конечно, ответ отрицательный. На каждом нечетном ходу конь попадает на белое поле, так как исходное явление черным. Однако число 63 (на этом ходу

55

конь должен прибить на h8) — нечетное, а поле h8 — черное. Задача очень проста, но любопытно, что за партийей шахматисту иногда приходит решать подобные задачи.

Посмотрите, например, на рисунок 8. В этом окончании ничего достится только путем 1. Крс1! Теперь белый король будет переходить с cl на c2 и обратно, занимая каждый раз поле того же цвета, что и конь. В противном случае (1. Крс2) король легко отнесяется. Черный конь приходит на d3 в тот момент, когда белый король стоит на c2. После этого поле cl для него не достигло, черный король вырывается из-за точенения, и пешка проходит в ферзи. Аналогия между этой шахматной задачей и приведенной выше математической оценина. В заключение рассмотрим еще один, более сложный шахматный пример. На рисунке 9 в основе остро-

Рис. 7.

Рис. 8.

умного этюда (В. Чеховер, 1937 г. Бельые начиная и выигрывают) также лежит свойство коня на каждом ходу менять цвет поля.

Путь к выигрышу один: уничтожить королем черного коня h8 и провести пешку в ферзи, так как остальные фигуры белых скованы. Однако белые поля для короля «минированы» — с шахом отойдет слон f1 и затем последует f2—f1Ф. Ничего не дает прямолинейная попытка: 1. Крb2 Кf7 2. Крс3 Kh8 3. Кpd4Kf7 (прикрывая поле e5) 4. Крс5 Kh8 5. Кpd6 Kg6! (прикрывая поле e5 и e7) или 4. Крез Kh8 5. Кpf4 Kf7! (прикрывая поле e5 и g5). Надо изменить соответствие цветности для короля и слона. Сначала по черным полям король отправляется на единственное безопасное белое поле — a8, а уже затем прорывается к полю h8.

В следующий раз мы еще встретиемся с зада-

Рис. 9.

чами о коне, а пока предлагаем несколько задач для самостоятельного решения.

1. Имеется шахматная доска размером 3×3. В ее верхних углах стоит два черных коня, а в нижних — два белых (рис. 10). Доказать,

Рис. 10.

что нужно сделать не менее 16 ходов, чтобы поменять местами белых коней с черными.

2. Доказать, что шахматную доску размером (4k+1)×(4k+1) можно обойти ходом коня, pobывав на каждом поле повно по одному разу.

3. Сколько способами можно расставить на шахматной доске белого и черного коней так, чтобы они не могли быть друг друга? Тот же вопрос для доски $m \times n$.

4. На скольких различных полях бесконечной шахматной доски может осуществся конь, совершив $n$ ходов от данного поля?

5. Объчный ход коня $2 \times 1$. Расмотрим теперь ход коня $m \times n$. Какими должны быть числа $m$ и $n$, чтобы с данного поля конь мог попасть на любую клетку бесконечной шахматной доски?

56

ИСТОРИЯ ИЗОБРЕТЕНИЯ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО КОНДЕНСАТОРА

А. К. Кикоин

Первая половина XVIII века была временем быстро наконопления опитных фактов об электрических явлениях. Именно в это время, например, выяснились, что существуют дваода электричества.

Одно caso является электризации тел, природа электричества оставались совершенно загадачными. Объчно считалось, что электричество — это особая живкость, содержащая в каждой заряженном теле. А наблюдавшееся уменышение заряда на телах естественного трактовалось как «испарение» этой электрической жидкости. Столь же естественный была идея попытаться предотвращать такое «испарение», поместив заряженное тело в … бутылку, выgbрав в качестве заряженного тела воды.

Такой именно опыт поставил в 1745 году настоящего одного из соборов в Померании Юрген фон Клейст (по другим сведениям опит был поставлен с целью получения заряженную воду, якобы полезную для здоровья). Он наполил водой бутылку, закрыл ее пробкой, а через пробку в воду металлическийстержень (попросту гроздь). Присоединив внешний конецстержия к электрической машине, которая в те времена представляла собой врашащийся стеклянный шар, о которых терлась рука экспериментатора, Клейст сообщил вде значительный электрический заряд. И тут случаилось непредвиденное. Взяв одной рукой бутылку, он имел неосторожность приконоситься другой рукой к выступаемому из пробки концу гвоздя, и при этом ошибил в руках и плечах сильнейший удар, вызавший онеме мыши. Потребный случай шиммся, он сообщил об этом в письме одному из своих друзей.

По случайному совпадению, почти такой же опыт и почти в то же время был поставлен в голландском городе Лейдене профессором университета Мушенброком. Только вместе толькостенной бутылки Мушенброк восползвался тонкостенной стеклянной банкой. Зарядив воду и взяв банку в одну руку, он тоже приносился другой рукой к металлическому стержню, служившему для подвода заряда к воде. При этом Мушенброк ошибил такой сильный удар в руки, плечи и грудь, что потерял сознание. и два дня приходил в себя. Сообщая об этом «приключении» в письме своему французскому корреспонденту, Мушенброк добавляет, что не согласился бы повторить опит, даже если бы ему было обещано французское королевство!

Сначала наблюдения Клейста и Мушенброка были понятны, как проявления так называемого «живого электричества», поскольку в этих опитах такую важную роль играли руки человека. Но довольно скоро стало ясно, что рука, держащая банку, и заряженная жидкость в ней является, как мы теперь говорим, обкладками конденсатора и что еще более эффективный прибор получится, если внешнюю и внутреннюю поверхности стенок банки покрыть слоем металла, например, оловянной фольги.

Так появился на свет первый электрический конденсатор, который французский физик Жан Нолле назвал Лейденской банкой — названное, не забытое и в наши дни.

Вероятно, отголоском тогдаших направных представлений об электричестве и о «бутылочном» проискхдении конденсатора осталось слово, обозначающее главную характеристику конденсатора — емкость.

57

КАК ВИДЯТ НЕВИДИМОЕ

Люди невероятно быстро привыкают к самым удивительным достинениям науки и техники. Можно ли когнибуд сегодня ознакомить рассказом о телевизоре, реактивном самолете или искусственном спутнике Земли? Даже луноход — это пораизтельное творение современной науки и техники — занял в нашем воображении общное место рядом с электронной вычислительной машиной,atomной электростанцией и механизмом передачи наследственных признаков от поколения к поколению. Мы избалованы обилем новых замечательных возможностей, которые современная научно-техническая революция непрерывно передает в распоряжение человека ученоечеству. На уже почти ничем нельзя удивить. А ведь это, в обшем-то, плохо. Ибо без удивления нет интереса, а без интереса нет желания что-то узнать по-настоящему, изучить, исследовать самому.

No daвайте на минуту отрезимся от этого «всезначства» и задаумаемся над таким вопросом. Атомы состоит из электронов и atomных ядер. Атомные ядра образованы из протонов и нейтронов. Каковы размеры этих частиц? Радиус протона или нейтрона порядка $10^{-13}$ cm. Следовательно, любая из этих частиц, грубо говоря, заключана в объем порядка $10^{-38}-10^{-39}$ cm$^3$. Точка, которая стоит в конце предыдущего фразы, имеет радиус, примерной равный четверти миллиметра. Шар с таким радиусом будет иметь объем порядка $10^{-4}$ cm$^3$. Следовательно, в нем можно было бы размерить $10^{35}$ элементарных частиц! Как же должны быть малы эти частицы, чтобы уменьшиться в таком гигантском количестве внутри нашей точки. Ни глаз, ни микросkop, даже с самым сильным увеличением, не может их заметить. Но все вы видели в учебниках и популярных книжках отчетливые фотографии следов таких частиц. Они были получены при помощи знаментий камеры Вильсона. Влядитесь в них внимательно, и перед вам откроется новый мир. Вот, например, фотографии следов, оставленных электронами. Один следы длины, они проходят через камеру, слегка изгибая в пронизывающем ее магнитном поле. У этих электронов большая энергия. Другие следы — короткие, сильно искривленные — оставшиеся их электроны имели небольшой запас энергии. Некоторые следы как бы расшеллются у конца — произшло столковение с atomом, закончившее удалением одного из электронов с его оболочки.

Помните, как обнаружили человека-невидимку, героя одномменного романа Гербerta Уэлласа? Преследователь упидели следы босых ног, прямо на глазах появляющейся друг за другом на свекх снегу. Человек был невидимым, но следы его оставались. Также и здесь — частицы невидимы, но след их разрушительного работы налично.

Глядя на фотографию неизвестного нам человека, мы очень мало что может узнать о нем по существу. Разве что сумем установить пол и приближительно оценить возраст. Фотография не раскажет нам, чистый он или нет, любит ли он музыку, какова его профессия, есть ли у него детей и если есть, то как он к ним относится.

Иное дело — фотографии следов элементарных частиц в камере Вильсона. Изучая их, мы можем точно определить природу частиц, установить их энергии, загрывы, характер взаимодействия друг с другом, взаимодействия других энергий, протонов или электронов не может не восхитаться совершенством, с которым зарегистированы все подробности их коротких, но полных драматических событий жизни. Камера Вильсона стала беспсещным помошником в самых разнообразных исследовании. Этот прибор является в некоторых родах высшим кассационным судом, который

58

экспериментатор может полностью довериться. Ни один человек, наделеный самым ярким талантом научного предвидения, не смог бы предсказать всех способностей этого прибора, обладающего столь искусительными могущестеем и неисчерпаемыми возможностями.

В 1970 году издательство «Атомизdat» выпустило интервью научно-гопулярую книгу И. М. Беккермана «Невидимое оставляет след»*). В ней содержится подробный рассказ о том, как была создана камера Вильсона и какке удивительные открытия сделаны при помощи этой камеры. Несомненным достоинством книги является то, что И. М. Беккерман знакомит читатель не только с приборами и исследованием, научными идеями и путем их реализации. Книга рассказывает и об автора этих идей и приборов, замечательном английском физике Чарльзе Томсоне Рисе Вильсоне. Читая книгу, мы узнали интересные подробности его жизни, видим, какого огромного труда и направления потребовал создание его камеры. Телерб-то все какется нам удивительно простым. «Конденсация пересыщенного пара на заряженных частяхах!» — скажет современный физик. Но в те дни, когда Вильсон начинал сезон исследования, еще никто почти ничего только не мог сказать ни о механизме конденсации паров, ни природа заряженных частниц. В 1895 году Вильсон начал исследовать условия образования тумана и лишь в 1911 годуродилась его «туманная камера».

Книга подробно прослеживает судьбу камеры Вильсона — как советские физики П. Л. Капица и Д. В. Скобельцын помещили ее в магнитное поле (что позволило легко определить знак заряда части по характеристииях их путей), как японский физик Шимзу и английский физик Блэккет автоматизировали ее работу, как ее заставили работать значительное быстрее, изучать миниматорные молнина — электрические разряды в газах и т. д.

Появление части высоких энергий, создавемых современнымиускорителими заряженных частниц, вызвал необходимость в коренной реконструкции камеры Вильсона. Чтобы не позволить частицам выходить из поля зреня камеры, надо было резко повысить плотность вещества на пути частиц. Учесть создают камеры Вильсона с высокими давлениями наполняющего их газа. Но даже при давлении 200 ампм частцы проходят в камере лишь небольшую долю своего пути. Значит, многие события происходит с ними уже за пределами камеры и никаких следов не остаются. Пришлось заменить пересыщенный пар, наполняющий общие камеры Вильсона, перегретий жидковую, в которой заряженные частицы образуют на сбоем пути пузырыки газа. Так же как и капельки тумана, эти пузырыки в закипающей жидкости образуют вокруг заряженных частниц. Первым такую «пузырыковую» камеру создают американский физик Дональд Глезер. Ее иногда называют «антикамерой Вильсона», так как у Вильсона в камере пересыщенный пар конденсируется в капельки жидкости, а у Глезера в перегретий жидкости возникают пузырыки пара.

И опять-tаки, рассказыва о рождения пузырыков камеры, автор подробно прослеживает ход мысли Доналда Глезера, шаг за шагом с логичской неизбежностью подводит читатель к конечной целии.

В книге И. М. Беккермана речь идет о сложных сс

временных исследований в области физики элементарных частиц. Но автор удивно выбирает материал и вплоне доступно излагает сумму суть дела, главное в расстатриваемых им исследований.

Собиться, описываемые в книге, подходят вплотную к сегодияшему дню, к проблемам, которые физики намерены решать на самом-могучемускорите заряженных частиц неподалеку от Москвы, под городом Серпуховым в молодом научном центре Протвино. Там смонтирован огромная живководородная пузырыковая камера «Мирабель», созданная французским учеными специалисты для нашегоускорителя. Диаметр камеры 1,6 м, длина 4,5 м. Все ее с необходимыми опорами свыше 200 тонн. Да еще магнит весом в 1150 тонн, внутри которого помещается камера. Какая огромная дистанция отделяет «Мирабель» от первой камеры Вильсона, которая без труда укладалась внутри небольшого чемодана! А ведь этот путь проиден за срок немного более полевка.

Вильсон умертом году от первой и единственной в его жизни тяжелой болезни. До последних дней он упорно работал, проявляя глубокий интерес к изучению новых, неизвестных наук явленей природы.

《Из всех великих ученых нашего века он был, пожалый, самым мягким и скокойным, самым равнодушным к почетям и славе. Свою беспредельную увлеченность накой он черпал в исключительной любви к миру природы, в преклонении перед ее красотой». Так оценил выдающийся исследователь космических лучей англійский физик Блэккет выдающегося английского физика Чарльза Томсона Риса Вильсона, создателя знаментий «туманной камеры».

В. А. Лешковце

«ЧАСТИЦЫ»
И «АНТИЧАСТИЦЫ»
В СТАКАНЕ НАРЗАНА

Если напить в стакан какую-нибуд газированную воду, например, наразан, то можно увидеть, как расторенная в воде углекислота выделяется в виде маленьких пузырьков, быстро вспливающих вверх. Такие пузырьки можно противопоставить каплям жидкости. Капли представляют собой «частцы» вещества. Пузырьки газа в жидкости ведут себя как «античастицы» со свойствами, противоположными свойствам соответствующих частиц. Например, капли под действием силы тяжестей padают вниз, пузырьки же поднимаются вверх. Если сосуд, в котором padают капли, вращать, то капли будут отбрасывать к периферии. Во врашающейся жидкости пузырьки стремятся к оси врашения. Если внутри жидкости имеется какое-либо тяжело тело, то пузырьки-античастицы не прятываются, а отталкивают от него. Вместе с тем два пузырька будут взаимно прятываться.

Поверхность жидкости в рассматриваемых условиях обладает любопытными свойствами. Поднимаяся с этой поверхности, пузырек соррикается с поверхностью слоем и почти мгновенно исчезает, но не беспследно: из того места, где исчез пузырек, вылетает вверх маленькая капля воды. На поверхности жидкости «античастицы» превращаются в частицы. Эти частицы, как бы продолжая движение поднимающихся пузырьков, взлетают вверх, пока сила тяжестей не остановит их и не заставит упасть.

Г. И. Покровский

МАРКА И ЭТИКЕТКА,
ПОСВЯЩЕННЫЕ
М. В. ОСТРОГРАДСКОМУ

К 150-летию со дня рождения выдающого русского математика М. В. Острооградского в декабре 1951 года вышла почтовая марка с портетом ученого. Миниatura выполнена по рисунку извесного художника В. Завьялова коричнево-черным цветом на розовой бумаге.

В 1967 году в серии спиччных этикеток с изображениями выдающся русских математиков и физков появились этикетка, посвященная М. В. Острооградскому. На ней, кроме портета математика, приведена так называемая «формула Острооградского», которая принадлежит к числу наиболее фундаментальных результатов математического анализа. Эта формула очень часто применяется в математических выкладках, широко использовать в физике и механике — при исследовании тепловых, магнитных, электрических и гидромеханических явлений (например, при выводе основного закона гидростатики — закона Архимеда).

Н. Н. Колесников

60

ЛОГИЧЕСКИЕ
КУБИКИ

Во Франции выпустили игру «логическая кубики». Набор для игры состоит из 48 плашек («кубиков»). При их изготовлении использовался три цвета (красный, синий и зеленьй), два размера (большие и такой же формы и цвета маленькие плашки), две толщины (толстые и тонкие) и четыре формы (круг, квадрат, прямогольник и треугольник). Комбинируя эти четыре признака, можно изготовить как раз 3×2×2×4=48 плашек.

С таким набором можно придумать много игр для любого возраста, начиная от детского сада. У всех игр одного общее: они учат умению расчужать, то есть логике, знакомят мышей с основными понятиями теории множества, не запутывавая их мудреными объяснениями, и позволяют на практике освоить основные операции над множествами.

Игры для самых маленьких

Самая простая. Уложить кубики на столе в каком-нибудь порядке, дать малышу его запомнить и, после того как он ответнет, переставить что-нибудь. Пусть договорается, что изменилось.

Другая простая. Условие то же, только надо договорась, какой кубик спрятан или сколько каких спрятано.

Третья. Требуется уложить кубики по придуманному порядку (например, разложить их по цветам).

Четвертая. Попросить мыши перечислить, чем отличится два кихх-либо кубика друг от друга, а чем похожи.

Обмен. Двое zajimaют в обе руки по кубику и обмениваются теми, которые у них в правой руке. Выигравает тот, у кого в кубиках оказалось больше сходства, он забирает себе все четыре кубика. Так разыгрывают все 12 четырех кубиков.

В этих играх выработывается понятие признака предмета: малыш usваивает, что кубики отличятся не более чем четырьмя свойствами: либо цветом, либо размерами, либо толщиной, либо формою.

Игры для средних

Домино «одно отличие». Как в домино, игрики выкладывают из кубков цепь с одним условием: каждый следующий кубик отличается от предыдущего кихм-нибудь одним (ровно один) признаком.

Добино «два отличия». То же, но соседи по цепи должны отличаться двумя признаками (рис.1).
Далое можно попробовать играть в «tri отличия».

Кладонскатели. Два игрок задумывают по одному кубику («кладу») и пытаются найти клад, спрятаный соперником, указивая поочередно на те или иные кубики. Соперник только сообщает, сколько отличий у них от задуманного. Выигравает тот, кто быстро договорается.

Tri деревни, два села. Игры, вырабатывающие понятие пересечения множества. «Два села»: чертят на полу два круга — «села» — и пишут на них названия, например, «красные квадраты» на одном и «маленькие толстые» на другом. В первый круг нужно поместить все красные квадраты, во второй — все маленькие толстые кубики (рис.2).
Надо сообщать, как это сделать. Аналогичная игра «tri деревни» еще интереснее.

Название деревень. Один игрок раскладывает кубики в «tri деревни», но не пишет на кругах их названия, а другой должен их отгадать (рис.3).

Игры для старших

В эти игры можно играть вдвоем, побеждает тот, кому потребуется меньше вопросы для правильного ответа.

Правила отбора. Один из игрок задумывает какое-нибудь правило отбора кубиков, например: «отбрать только желтые», а другой берет научд кубики и получает ответ «да», когда кубик подпадает под задуманное правило, и «нет» в противном случае. Нужно угадать правило. Правила постепенно усложняют, составляя суммы и пересечения признаков.

Заселение деревень. Один игрок задумывает название деревень, а другой пытается заселить их кубиками, получая от первого лишь указания «да» или «нет».

Кладонскатели (усложенный вариант). Отгадачок «клада» сразу выкладывают на стол 3—4 «пробных» кубика и получают ответ, сколькими признаками каждой из пробных отличений от задуманного. «Клад» нужно после этого указыть с первого раза.

Отгадавание закона. Задумывают правило, по которым можно выкладывать из кубиков цель. Например, «каждый четный кубик — большой» или «после квадратов — тонкие кружки». Отгадачок начинает строить цель научд, кубик за кубиком, получая каждый раз ответ «да», когда он положит их, не нарушив правила, и «нет», когда правило будет нарушено. Надо отгадать закон.

Г. И. Копылов

63

4. Использовать условия, при которых оба корня трехлена
   $$f(x) = x^2 + x + a$$
   большие числа $a$, а именно,
   $$1 - 4a \geq 0, a^2 + 2a \geq 0, -\frac{1}{2} > a.$$
   Ответ: $a < -2$.

5. $a = 0$ и $a = 2$.

6. $$\frac{H}{2}$$.

7. Наименьшее значение функции $x^2 + 1$ равно 1 и достигается при $x = 0$. Поэтому $x^2 + 1 > \cos x$.
   при всех $x \neq 0$. Значение $x = 0$ — корень уравнения.

8. Использовать условия, при которых оба корня квадратного трехлена
   $$f(x) = x^2 + mx + m^2 + 6m$$
   лежаят вне промежутка $1 < x < 2$, а именно, $f(1) < 0, f(2) < 0$.
   Следовательно, нужно найти значение $m$, удовлетворяющее одновременному двум неравенствам
   $$m^2 + 7m + 1 < 0, m^2 + 8m + 4 < 0.$$
   Решая эти неравенства и отбирая их общее решение, находим ответ:
   $$\frac{-7 - 3\sqrt{5}}{2} < m < -4 + 2\sqrt{3}.$$
   $$9. \frac{2v_0^2 \sin 2\alpha}{g} - S.$$

К статье
«Шахматно-mатематические заметки»
(см. «Квант» № 8)

1. Достаточно заметить, что каждая фигура содержит либо 3 белых поля, либо 3 черных, а всего таких фигура должны быть 25.

2. Легко убедиться, что при любом покрытии каждое тримино содержитровно одно поле, через которое проходит красная линия ировно одно, через которое проходит черная линия. Поскольку «красных» и «черных» полей по 22, а тримино — 21, то не покрыто одно «красно-черное» поле из четырех, отмеченных на рисунке. Проверьте, что соответствующие покрытия существуют.

3. Налищем на каждом поле доски номер горизонтали, в котором это поле стоит. Проверьте, что каждое тримино покрывает поля с суммой чисел, деляющей на 3, а нам надо покрыть поля с суммой чисел 296, дающей при делении на 3 остаток 2.

4. a) Нет. «Белая» пещка (пещка, стояшая на белом поле) при вторичной расстановке должны стать «черной», а «черная» — «белой». Значит, число «белых» пещек равно числу «черных», что противоречит нечетности доски.

5. Нет. Докажите, что пещки, стоящие на крайней левой вертикали, остались на месте (из a1 в a8 можно пройти по 6 смежным полям). Дальше рассмотрен поля b1 и b8.

К заметке
«Еще несколько задач Васи Смекалкина»
(см. «Квант» № 8, 3-я страница обложки)

1. Составим таблицу разностей чисел данной последовательности (между соседними числами запишем их разность). В третьей строке получится последовательность степеней двойки. После этого ясно, как продолжить таблицу.

| 4 | 3 | 7 | 5 | 12 | 9 | 21 | 17 | 38 | 16 | 33 | 71 | 55 | 126 | 119 | 245 | … |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | … |

63