Квант 1971, №10 · Страницы

Научно-популярный физико-математический
квант
10
1971
журнал
Академии
наук СССР
и
Академии педагогических
наук СССР

В номере:

Язык человека и язык машины 1
Геоакустическая разведка подводных месторождений полезных ископаемых 6
Диффузия в металлах 10
Об одном свойстве биомиальных коэффициентов 16
Механика вращающегося волка 21
Межзвездные корабли на гравиатционных ресурсах 26
Лаборатория «Квант»
Искусственные миражи 29
Задачик «Квант»
Задачи 33
Решения задач М64—М69; Ф75—Ф78 35
Практикум абитуриента
Системы алгебраических уравнений 45
Шахматно-математические заметки 49
Рецензии, библиография
Сборники ошибок автора 53
Не учебник и не задачик 54
Информация
Лингвистика и математica встречются на олимпiadе 56
Олимпiadу проводит машина 58
Ответы, указания, решения 62
Уголок коллекционера
На марках — atomные реакторы 63
«Квант» для младших школьников 3-я стр. обложки
P. С. Гутер
О. Г. Беспалов, А. И. Настюха
Б. Кулити
А. И. Ширцов
С. А. Кривошильков
И. А. Воробьев
P. Вуд
Н. Б. Васильев, И. Ш. Слободецкий
M. И. Шабунин
E. Я. Гик
А. Ф. Хрусталев
C. В. Ацечелов, В. А. Барыщев
В. В. Раскин
Ю. И. Соркин, Н. В. Шкундина
А. В. Алтыкис
А. П. Савин

Р. С. Гутер

Многие читатели «Кванта», очень видно, имеют некоторые представления о том, что умеют делать электрические вычислительные машины. Тем более интересно познакомиться с тем, как они это делают.

Заметим, что для выполнения различных задач вовсе не требуется разные машины: электриные вычислительные машины универсалы, то есть для новой задачи нужна не новая машина, а новая программа для нее. О программах, способах их составления и записи как раз и будет идти речь в настоящей статье.

Любая электриная вычислительная машина включает в себя

1. устройства ввод и вывода;
2. запоминающие устройство (короче: память);
3. арифметические устройства (или просто арифметика);
4. устройство управления (управление).

Ввод и вывод предназначаны для «обшения» человека с машиной. Они позволяют «сообщать» машине исходные данные и способ их обработки (то есть программу) и «узнать» у машины полученные результаты. Память машины хранит всю нужную информацию: исходные данные, промежуточные и окончательные результаты, и, конечно, программу.

Арифметика служит для выполнения операций над числами, которые поступают туда из памяти (в основном это общие арифметические операции, чем и объясняется термин). Наконец, управление руководит самим процессом решения задачи: вызывает из памяти сведения об очередной операции и расшифровывает их, пересылает из памяти в арифметику нужные числа и отсылает обратно в память полученной результат.

Представление о связи перечисленных устройств можно получить из рисунка 1, изображающего так называемую блок-схему вычислительной машины.

Память машины состоит из большого числа (обозначит его через N) одинаковых ячеек, пропумерованных подряд от 0 до N — 1. Номер ячейки называется ее adресом. Каждая ячейка содержит определенное число

2

двоичных разрядов, то есть в ней может помещаться набор из нулей и единиц, так называемое машинное слово.

Арифметическое устройство машин может выполнять определенный набор элементов операций. Алгоритм решения любой задачи нужно записать в виде последовательности таких элементов операций, которые и называют программим. Программа состоит из отдельных команд, каждой из которых содержит сведения об одной элементарной операции.

Команда (изображаемая машинным словом) делится на две части: операционную и адресную. Операционная часть команды содержит сведения о характере выполняемой операции (сложить, умножить и т. д.): элементарные операции машин们 перенumerироваются и в разрядах ячейки памяты машин们, отведенных для операционной части, записывается номер требуемой операции. Этот номер называют кодом операции (мы будем говорить просто код).

Адресная часть команды содержит адреся ячейек, содержимое которых участвует в операции. Число адресов в команде у различных машин может быть различным. Мы ограничимся рассмотренем трехадресов машин, в адресной части которых указаны адрес трех ячейки памяты: первый, второй и третьий адреса команды. Для арифметической операции (например, сложения) в первом и втором адресах записываются номера ячейек, содержащих исходные числа (слагаемые). Третья же адрес указает номер ячейки, куда следует записать результат (то есть сумму). Для других элементов операций используется адресованное адресов может быть иным (в частиности, один, два или даже все три адреса могут оказаться неужными для какой-либо команды, тогда соответствующие адресные ячейки заполют просто нулями).

Пусть, например, система команда (набор элементов операций) машин содержит $64=2^6$ элементарных операций.

ных операций. Тогда для их нумерации достаточно шести двойных разрядов, то есть код операции можно записать в памяти машин шестиначным двойным числом. Программисту же обычно удобнее разбить это число на две «триады», каждой из которых затем записывается одной цифрой в восемеричной $(2^3=8)$ системе численения, получая, таким образом, двухначное восемериное число. Если, например, $N=4096=2^{12}$, то в такой «двоично-восемеричной» системе для записи любого адреса потребуется не дванадцатирарядное, а лишь четырехирарядное, легче записываемое и читаемое число.

Если, скажем, код 01 означает операцию сложения, а 04 — деление, то машинное слово

01 1254 3172 6314

означает команду: числа, записанные в ячейках с адресами 1254 и 3172, сложить, и сумму записать в ячейку с адресом 6314. Аналогично слово

04 4365 2710 5024

предписывается разделить число из ячейки 4365 на число из ячейки 2710 и помещить часть в ячейку 5024.

Адрес ячейки, из которой устройство управления должно извлечь для выполнения очередную команду, записан в специальном счетчике команд, являющихся частью устройства управления. Если в счетчике записан некоторый адрес Я, то говорят, что «управление находится в ячейке Я». При выполнении команды, соответствующей арифметической операции, к содержимому счетчика команд автоматически прибавляется единица, так что управление передается ячейке со следующим адресом. Поэтому, если мы хотим, чтобы машина выполнила какую-либо последовательность арифметических операций, необходимо помещить соответствующую команду в ячейках памяти подряд.

Напишем, например, программу для вычисления величины

$$y = \frac{a+bx}{ax+b}.$$

4

числа из ячеек $a$ и $R_1$ и сумму записать в ячейку $R_1$), что, конечно, относить не следует понимать как «равенство» $a=0$. Кстати, часто вместо знака = позволяет и пишут что-нибудь вроде→; но мы будем использовать стрелки для других целей.

Как уже говорилось, выполнение арифметической команды автоматически передает управление следующей ячейке, прибавляя единицу в счетчик команд. Но очень часто не удается расположить все нужные команды «в один столбик». Так, при решении квадратного управления $ax^2+bx+c=0$ в зависимости от знака дискриминаента $D=b^2-4ac$ нужно вычислять либо действительные, либо минимые корни, что делается, как известно, по-разному.

Для изменения порядка выполнения команд в числе элементов операций машины предусмотренные специальные команды управления (точнее — передачи управления), которые не совершают операций над содержимым ячеек памяты, а изменют содержимое счетчика команд.

Простейший командой такого типа является команда безусловной передачи управления, которая всегда передает управление указанной в ней ячейке памяты. При ее выполнения содержимое счетчика команд страется и в него записьается адрес, указанный в команде, так что следующая команда будет вызываться устройством управления уже из указанной ячейки.

Поскольку для этого достаточно запятить один адрес в команде, а два других адреса остатятся свободными, то их можно использовать, заставив машину при выполнения этой же команды совершать еще какое-либо действия. Объчно передачу управления совершают с пересылкой содержимого одной ячейки памяты в другой. Прияв, например, что в счетчик команд запосчитая третьий адрес команды передачи управления, можно записать ее на ячейке содержательных обозначений так:

$$a \rightarrow b, c$$

(«переслать содержимое ячейки $a$ в ячейку $b$ и передать управление ячейке $c$»).

Волее сложно работает команды условия передачи управления, передающие управление лишь при выполнении некоторых условий ускорения. Именно также команды требуют при программировании разветвляющихся процессов. Расмотрим одну из таких команд:

$$a < b, c.$$

При ее выполнения сравнивают числа, записанные в ячейках памяти $a$ и $b$. Если написанное в команде неравенство справедливо, то управление передается ячейке $c$, то есть вместо содержимого счетчика команд в него записьется третьий адрес команда (как при безусловной передаче управления). Если же $a \geq b$, то к содержимому счетчика прибавляется единица, как при арифметических операциях.

С помощью описанных команд можно уже запросимировать решение и некоторых задаченных невычислительной характера. Пусть, например, в ячейках $x_1$ и $x_2$ записаны неоторные числа, из которых требуется выбрать большее и записать его в ячейку $x$. Это можно сделать с помощью следующей программы:

1. $x_1 < x_2$, 3,
2. $x_1 \rightarrow x$, 4,
3. $0 + x_2 = x,$
4. $cmon$

Первая ее команда — условная передача управления: если $x_2$ больше $x_1$, то управление будет передано команде 3). Это — арифметическая команда, в результате выполнения которой в ячейке $x$ будет записано число $x_2$. (Часто встречалось число 0 оказывается удобным «закрепить» за ячейкой, имеющей номер 0, что и делается почти во всех машинах.) Затем управление передает к следующей ячейке 4), в которой находится команда $cmon$.

Если же $x_1 \geq x_2$, то команда 1) передает управление следующей ячейке 2), где находится команда безусловной передачи управления, засылающая в ячейку $x$ больше числа $x_1$ и передающая управление сразу на $cmon$.

Вместо указания номера или условия команды, которая передается управление, часто просто стрелку до нужной команды. Вот как, например, выглідит аналогичная программа, от которой

6

В понисках новых источников сырья люди все чаще обращаются к несметным богатствам классовых полезных ископаемых, скрытых водной главью морей и океанов. По оценкам ученых размеры запасов нефти, металлических руd и других минералов, находящся на дне и под дом водных пространств, в несколько раз превосходят запасы этих ископаемых, имеющие на суше.

Но как узнать, где под водой скрыты эти сокровища? Для этого надо знать геологическое строение земной коры покрытых водной районов. По картом геологического строения специализы могут судить, где и какие полезные ископаемые следует искать.

Для геологических исследований морского дня, как и на суше, применяются геофизические методы разведки — сейсморазведка и бурение скважин. Но для получения подробных сведений о геологии района нужно наугад бурить очень много скважин, каждую из которых непростой пробурить даже на суше. А бурение скважины в морском дне является еще более громодским и чрезвычайно дорогостящим делом.

Сейсморазведка исследует геологическое строение земной коры с помощью взрывов. В земле бурят необольшую скважину и в ней взрывот заряд. Образовавшиеся при взрыве расширяющие газы вызывают деформацию почвы, скимая слой частиц, непредределенно окружающий место взрыва. Возникшие в скатом слое силы пругости передают давление соседним слоям, и от точки взрыва по породе во все стороны распространяется пругуя ударная волна (рис. 1).

Предположим, что под первым сломом породы I на глубине S залегает слой II, сложенный из породы другой плотности. Глубину залегания слоя II определять нетрудно (см. рис. 1):

$$S = \sqrt{S_1^2 - \frac{(S_2)^2}{2}},$$

где $S_1 = \frac{1}{2} ABC$ — путь, пройденный прямой волной до слоя II (такой же путь проходит отраженная волна), $S_2$ — расстояние по поверхности между точкой взрыва и сея смоприемником, регистрации мощности прихода отраженной волны.

Энергия пругих волн при прохождения по земным породам частично поглощается. Доля поглощенной энергии зависит от частоты колебаний волны. При взрыве образуется волны инфразвуковых (ниже 16 герц) и звуковых (от 16 герц до 20 000 герц) частот. Волны этих частот сравнительно мало поглощаются земными породами, и этим определяется их использование в сея смоприемнике.

Сейсморазведка успешно применяется для изучения строения мор-

кормой корабля в воду уходит кабель, на конце которого применно в метре от поверхности воды укреплены электроды. Через каждые 10 секунд от высоковольтной конденсаторной базарен, установленной на корабле, на электроды подается импульс высокого напряжения, и между электродами вспыхивает маленькая молния. Ощущается чувствительный удар по корпусу корабля, и звуковая волна безит ко дну через водную толщу.

Отраженные волны на поверхности моря улавливаются буксируемым за кораблем приемным устройством, которое геофизики называют «косой». Коса — это гибкая пластмассовая труба, наполненная маслом, внутри которого находится элементы, преобразующие звуко-

Рис. 3.

вую энергию отраженных волн в электрическе импульсы (пьезолектрическе элементы).

По кабелю, связывающей косу с корпелем, электрическе импульсы идут на усилитель, а после усилителя записьвают самописем. В самописец заложена широкая лента электрочувствительной бумаги. Уверхнего края ленты стоит «перо».
Когда звуковая волна от электрического разряда начинает свой бег ко дну, перо начинает движаться поперек бумажной ленты к ее нижнему краю, как бы повторяя в меньше масштабе движение волны. А когда отраженные волны приходит на приемную косу и с нее через усилитель на перо, перо оставляет на чувствительной бумаге точки, соответствующие слоям породы, встреченным на своем пути звуковой волной.

Перед очередным разрядомpero возврашается кверху, а бумага чутчуты протягивает, и самописец снова готов к регистрации отраженных волн.

Через несколько минут с начала работы пунктивные строчки на бумаге образуют наглядный и легко читаемый рисунок строения исследуемого геологического разреза (рис. 3).

Метод геоакустической локции может применяться не только для поиска полезных ископаемых. С его помощью можно решать задачи инженерной геологии — выбирать места для плотин гидроэлектростанций, для фундаментов портовых сооружений, молов, туннелей, трубопроводов, и даже искать затопленные водой древние города. Стоимость разведки этим методом в 5—10 раз дешевле сейсторазведки и разведки бурением скважин.

10

Диффузия — весма распространенное в природе является, имеющее огромное практическое значение. Мы помещаем здесь статью Б. Куллити, подготовленную издательством «Наука» для очередного выпуска сборника «Над чем думают физики». Статья опубликована в журнале Scientific American. Перевод выполнен В. К. Федяниным.

Советские учены внесли значительный вклад в изучение диффузии. Желаяшие более детально ознакомиться с этим явлением, могут найти много интересных сведений в научно-популярной книге Я. Е. Гегузина «Очерки о диффузии в кристалах», выпущенной издательством «Наука» в 1970 году.

Запах духов, как известно, осущества на довольно большом расстоянии. Объясняется это тем, что пары духов весма легко диффундируют в воздухе. Капли жидкого красителя в воде легко диффундируют по всему сосуду. Намного труднее наблюдается диффузию в твердом теле. По этой причине изучение диффузии в твердых телах стало одним из наиболее интересных исследований в физике наших дней.

Как и во многих других областях человека уменьшает действности, в данном случае уменьшает предшествование знанию. Столетиями рабочие свариали металлы и получали сталь нагреванным твердого железа в атмосфере углерода, не имея ни малейшего представления о произходящих при этом диффузionных процесах. Лишь в 1896 году началось научное изучение проблемы.

Англійский металлург сэр Вильям Робертс-Aустин в простом эксперименте измерил диффузию зо-лота в свинце. Он направил тонкий диск золота на конец цилиндра из чистого свинца длиной в дюйм *, помещил этот цилиндр в печь, где поддерживалась температура порядка 200°С, и держал его в печи 10 дней. Затем он разрезал цилиндр на тонкие диски и измерил количество золота, которое продиффундировал в каждый среде свинца. Оказалось, что к «чистому» концу через весь цилиндр прошло в полне измеримое количество золота; в противоположном направлении в глубь золотого диска продиффундировал свинц (рис. 1). Робертс-Aустин обнаружил, что нагретий металл диффундирует в другой, когда они тесно прижаты друг к другу.

С точки зрения atomного строения вещества проницаемость твердых тел не является страной. В настоящее время мы хорошо представляем себе, что даже наиболее плотное твердое тело — всего-навсего довольно слабо

*) Дюйм≈2,5 см.

11

связанный набор атомов. В кристаллах, образующих металл, атомы располагаются в фиксированной решетке в определенных положениях, из которых их довольно трудно сместить.
Однако идеальных и полностью застроенных кристаллческих решеток не существует. В них всегда имеется некоторое количество вакансии, или «дырок», в которых могут «перерыгнуть» диффундирующие атомы. Перерыгнут в некую вакансию, атом оставляет после себя новую ваканцию.
В эту вакансию может перейти соседний atom; intact, путем непрерывных перемещений атомов в решетке atom может пройти через кристалл (рис.2).

Что же заставляет atom покидать свое место в решетке и «пересканивать» в ваканцию? Дело в том, что на самом деле атомы в решетках не находятся в строю фиксированных положениях. В результате теплового движения атомы непрерывно колблются относительно некого среднего или, точнее, upsредненного по различным возможным местам их нахождения положения. Амплитуда этих колбаний может заменно меняться от атома к атому и во времяни. Время от времени atom настолько далеко от своего положения равновесия, что может перескочить в соседнее ваканное место. Тенденция к этому, безусловно, резко возрастает, если мы подогреваем тело, заставляя тем самым атомы совершать более сильные колбания. Таким образом, скорость диффузии очень быстро возрастает с повышением температуры. Например, цинк диффундирует в медь при 300° С почти в 100 миллионов раз быстрее, чем при комнатной температуре.

В эксперименте Робертса-Aустина атомы золота при 200° С колбалис достаются энергично, чтобы начать перескакивать в вакансии решетки (то же имею место и для атомов свинца). В конце концов, если бы эксперимент проводился достаются долго, атомы золота равномерно распределялись бы по всему свинцовому цилиндру. Можно проводить простую анализю. Если в коробку с белыми шариками положить несколько черных шариков и коробку достаются долго вструхивать, то черные шарики оказываются равномерно распределями среди белых.

Рис. 1. Рисунок посягет первые диффузные опыты Робертса-Aустина. Золото было наложено на чистый свинец (серый цилиндр слева) и образец подогревался. Справа изображен этот же цилиндр после того, как произшла диффузия золота в свинец и свинец в золоте. Этот цилиндр был разрезан на тонкие диски для измерения количества содержащого в них продукфундиравшего золота. Кривая, представлена на графике справа, показывает изменение концентрации золота в зависимости от расстояния от верхнего края правого цилиндра.

12

Рис. 2. В atomных плоскостях кристалла возможно наличие вакантийных мест. Этот рисунок использован каким образом золото (желтый кружок) может диффундировать в кристалле свинца. Переход atoma золота в положение, изобразенное на правом нижнем рисунке, возможно при наличии всего лишь одной вакансии в решетке свинца.

Дифузия atomов в чистом металле (так называемая «самодифузия») может быть изменена с использованием незначительной доли радиоактивных atomов этого элемента. Скажем, для того чтобы изменить скорость самодифузии в меди, надо электроносадить небольшое количество радиоактивного изотопа меди на конец цилиндра из обычной меди и нагреть этот цилиндр до некоторой определенной температуры. После того как пройдет достаточно времени, чтобы могла произойти дифузия, образец нарезается тонкими пластинками и с помощью счетчика Гейгера изменяется радиоактивность каждого последовательного среда. Эти данные позволяют подсчитать скорость дифузии.

Metалл может диффундировать в другой металл лишь при наличии вакансии в кристаллеческих решетках, поскольку atomы даже двух различных металлов имеют размеры примерного одного и того же порядка.

Однако atomы неметаллического элемента, размеры которых много меньше, чем размеры atomов металла, могут виснуть между atomами в неметаллическом кристалле. При этом дифузия не зависит от вакансии, следовательно, происходит намного быстрее. Однако из наиболее важных примеров такого случая может служить дифузия углерода в железо.

В своей направственной форме стать является сплавом углерода и железа. Свойства стали меняются в зависимости от содержания в сплаве углерода. Сталь с небольшим содержанием углерода (скажем, порядка одной четверти процента) не очень прочна и хорошо куется. Повышение содержания углерода делает стать более прочной, но более хрупкой. Такая деталь машинны, как передачаный механизм, должна обладать твердой поверхностью, чтобы сопротивляться изнocy, и быть достаточно упругой в своих внутренних частях,

13

Чтобы не сломаться при внешних ударах. Эти свойства приобретаются в процессе, называемом поверхностью закалкой. Кусок металла разогревается и выдерживает в газе, богатом углеродом, например в метане. Атомы углерода из газа медленно диффундируют в сталь (рис. 3). Через несколько часов они пропикают на глубину порядка одной двенадцатой дюйма. Поверхность, или «оболочка», этого куска стали после такой обработки содержит около 1,2% углерода, тогда как внутренняя его часть содержит всего лишь четвертуо часть процента (рис. 4).

Знание процессов, процессовших при диффузии atomов в металл, может помочь нам при изучении внутреннего строения металла. Вообще говоря, кусок металла состоит из маленьких кристаллов, или «зерен». Внутренняя структура отделного зерна в высшей степени регуляра — она представляет собой почти идеально решетку с некоторым числом вакансии или других незначительных отклонений от идеальности. Но в совокупности зерна не составляют упорядоченной структуры. Их взаимное расположение совершено случайно. Очень редко одно зерно подгоняется своей гранью к другому так, чтобы регулярове расположение

атомов в нем было как бы продолжением расположения atomов другого зерна. Obчное этих зeren образуют некий угол скока, называемый «углом расхождения». Атомы, располагающиеся в програмной области между зернами, приятываются обомми кристалами и в конце концов попадают внутри одного из них. В результате в этой области создается большая разоряachment atomов, чем в зернах. Диффундирующие atoms намного быстрее проходят через такие программы области, чем через регуляруную решетку самого зерна. Хорошо известно, что atoms металла диффундируют намного быстрее в мелкоэрнистом металле, который весь буквально изрешен границами зерен, чем в металле, построенном из больших кристаллов.

М. Ахтер и Р. Смолуховский поставили опыт с целью выяснения влияния угла расхождения между зернами на скорость диффузии. Они приготовили цилиндр из меди, состоящий из больших нитевидных кристаллов, располагающихся таким образом, что плоскости решеток составляли нитевые углы между собой. К концу медного образца был приварен сплав меди с сербром и все это было нагрето до температуры 675° С. Через 10 дней приготовили

Рис. 3. Диффузия углерода в железе не зависит от наличия вакансии. Атомы углерода (черные кружки) достаточно малы, чтобы располагается между atomами железа (голубые кружки).

14

Рис. 4. Поверхностное закаленная сталь возникает в результате специфической диффузии в нее атомов углерода. В средней части рисунка приведена микрофотография, или структуризация распределение углерода в куске стали, поверхность которого находится в контакте с углеводородом. Верхняя кривая дает процентное содержание углерода в зависимости от расстояния до поверхности куска стали. Нижняя кривая характеризует проность стали в различных частях куска.

Рис. 4. Поверхностное закаленная сталь возникает в результате специфической диффузии в нее атомов углерода. В средней части рисунка приведена микрофотография, или структуризация распределение углерода в куске стали, поверхность которого находится в контакте с углеводородом. Верхняя кривая дает процентное содержание углерода в зависимости от расстояния до поверхности куска стали. Нижняя кривая характеризует проность стали в различных частях куска.

15

как экспериментальная ошибка. Для того чтобы убедить сомневающихся, Киркендайл в сотрудничестве с А. Смигелакс проводил новую серию опытов. Они нанесли только слой меди на противоположные стороныстерня из латуни, а между медью и латунью с обенх сторон латунногостерня они помещили молибденову проволоку, для того чтобы она фиксировала границу между медью и латунью. После этого образец был нагрет до высокой температуры. Если бы atoms меди входили в латунныйстержен так же быстро, как atoms цинка выходили из него, то первоначальный размер латунногостерня не изменился бы. На это указывало бы неподвижное положение молибденовой проволоки. Но на самом деле молибденовая проволока сместилась, и смешение ее указывало на то, что латунныйстержен сократился; то есть atoms цинка выходили быстрее изстерня, чем atoms меди входили в него. Под микросkopом можно было разгладеть довольно большие поры, образавшиеся встерже в результате появления большого числа ваканций, возникающих там, откуда изстерня быстро выходили atoms цинка.

Результаты эти были опубликованы в 1947 г., и то, что теперь носит название «эффекта Киркендайла», произвело настоящее сенсцию среди металлгров и всех исследователей, которые занимались свойств твердых тел.

Были проверены старые опыты, поставлены новые.

Поскольку эффект Киркендайла был тут же обнаружен во многих сплавах, не осталось никаких сомнений, что он существует на самом деле.

Несомненно, исследование диффузии углубит нашей понимание свойств твердого тела и всех тех инженерно-технических процессов, в которых диффузия играет основную роль.

РИСУНок ЭШЕРА

Если плоскость покрыть многоугольника так, чтобы два многоугольника имели либо общую сторону, либо общую вершину, либо совсем не имели общих точек, то такое покрытие называется паркетом.

В нашем журнале (см. «Квант» № 3, 1970, стр. 21) мы приводили ряд задач, связанных с паркетами.

Для некоторых паркетов можно указать такие преобразования плоскости, которые переводят фигуры, составляющие паркет, друг в друга так, что сам паркет не меняется.

Для паркета, приведенного на этом рисунке, также не меняются его преобразованиями будут поворот вокруг точки на 60° и симметрия относительно прямой l. Какие еще не меняющие этот паркет преобразования вы можете указать?

Паркет совершенню другого рода вы видите на рисунке голландского художника Эшера (см. обложку). Этот паркет заменен тем, что один из не меняющих его преобразований является увеличение вдвое всех расстояний относительно центра (преобразование подобия). Поэтому, строго говоря, на рисунке изображено бесконечное число уменьшающихся ящериц. Попытайте придумать другие паркеты, не меняющие при преобразованиями подобия.

Л. Лиманов

16

А. И. Ширшов

В «Кванте» № 6 за 1970 год была опубликована статья Д. Б. Фукса и М. Б. Фукса «Арифметика биомиальных коэффициентов». В этой статье авторы предложили следующее задачу: пусть $p$ — простое число; выяснить, на какую степень $p$ делится число $C_{p^{n+1}}^{p^n} - C_{p^n}^{p^{n-1}}$

Эта задача привлекала внимание многих наших читателей. Редакция получила письма от В. Г. Гайдаловича (Ташкент), С. П. Крутика (станица Старо-Шербинская Краснодарского края), учёника 9 класса А. Меркуверева (Ленинград), В. В. Прленского (Москва) и других товаровшей, которые предложют разной степень решения этой задачи.

Мы попросили видного советского алгебраиса, члена-корреспондента Академии наук СССР А. И. Ширшова подробно осветить решение поставленной задачи.

Школьникам хорошо знакомы многое научно-популярные книги и статьи по математике. Они пишутся по возможности просто, подробно и доступно, ярким и живым языком, с занимаемыхыми примерами и красочных картинками — так, чтобы заинтересовать читателя, дать ему возможность легко разобраться в материале.

А как пишутся серверные математические статьи в солидных научных журналах? Предлагаемая внимание читателей статьи А. И. Ширшова дает представление о научном математическом стиле изложения. По своему содержанию она волне доступна старшеклассникам, но написана специально так, как пишутся заметки, скажем, в журнал «Доклады Академии наук СССР».

Научно-mатематический стиль характеризуется скатостью и лакониностью. Как правило, изложение разбиается на отдельные ступенки — леммы, поднимаясь по которым, мы и приходим к заключительному результату — теореме. Начная статья всегда содержит постановку задачи, объяснение вводимых понятий и использованных обозначений, ссылки на литературу. Доказательства подробно не воспроизводятся — намечается лишь их идея и общий ход рассужdenя. Поэтому читать такой статью можно лишь с карандашом и бумагой в руках, восстанавливая промежуточные выкладки; понимание ее содержания требует определенного напряжения и самостояльных размышлений.

Любитель математики, несомненно, будет интересно познакомиться с научным математическим стилем изложения.

В статье [1] высказано предложение, что числа вида $C_{p^{k+1}}^{p^k} - C_{p^{k-1}}^{p^{k-2}}$, где $p$ — простое, делится на достаточно высокую числа $p$. Однако доказано это утверждение лишь в случае $p=2$ (теорема 5 из [1]).

Настоящая заметка посвящена доказательству более общей теоремы.

Все рассматриваемые в дальнейшем числа $m, k, t, s$ и т. д. натуральные, причем $p$ — простое число. Символ $(m, n)$, как обычно, означает наиболее общий делитель чисел $m$ и $n$. Символ $[k, s]_n$ мы будем обозначить произведение всех таких натуральных чисел $t$, что $k \leq t \leq s$ и $(t, n)=1$; на-

Доказательство. При $n=1$ равенство тривиально. Применим метод индукции:

$$(\alpha + x_1) \dots (\alpha + x_{n-1}) (\alpha + x_n) - x_1 \dots x_{n-1} x_n = \left\{ x_1 \dots x_{n-1} + \alpha x_1 \dots x_{n-1} \left( \frac{1}{x_1} + \dots + \frac{1}{x_{n-1}} \right) + \alpha^2 N_1 \right\} \times (\alpha + x_n) - x_1 \dots x_n = \alpha x_1 \dots x_{n-1} + \alpha x_1 \dots x_n \left( \frac{1}{x_1} + \dots + \frac{1}{x_{n-1}} \right) + \alpha^2 N_1 + \alpha^2 N_1 x_n = \alpha x_1 \dots x_{n-1} x_n \left( \frac{1}{x_1} + \dots + \frac{1}{x_{n-1}} + \frac{1}{x_n} \right) + \alpha^2 N,$$

что и требовалось доказать.

Лемма 11.

$$[p^k - p^{k-1}, p^k]_p - [1, p^{k-1}]_p = \frac{1}{2} p^{2k-1} (p-1) [1, p^{k-1}]_p \times \left\{ \frac{1}{1 \cdot (p^{k-1})} + \dots + \frac{1}{(p-1) (p^{k-1} - p+1)} + \frac{1}{(p+1) (p^{k-1} - p-1)} + \dots + \frac{1}{(p^{k-1} - 1) \cdot 1} \right\} + p^{4k-2} Q,$$

$p > 2$;

$$[2^k - 2^{k-1}, 2^k]_2 - [1, 2^{k-1}]_2 = 2^{2k-2} [1, 2^{k-1}]_2 \left\{ \frac{1}{1 \cdot (2^{k-1} - 1)} + \frac{1}{3 (2^{k-1} - 3)} + \dots + \frac{1}{(2^{k-1} - 1) \cdot 1} \right\} + 2^{4k-2} Q$$

(в выражениях вфигуриных скобках выписываются все числа, взаимно простые с $p$ и $2$ соответственно).

Доказательство. Очевидно, что

$$(p^k - p^{k-1} + s) (p^k - s) = p^{2k-1} (p-1) + s (p^{k-1} - s).$$

Распишем теперь произведение $[p^k - p^{k-1}, p^k]_p$ и, используя это равенство, переменным попарно сопложители, равноудаленные от концов:

$$[p^k - p^{k-1}, p^k]_p = (p^k - p^{k-1} + 1) (p^k - p^{k-1} + 2) \dots$$

$$\dots (p^k - p^{k-1} + p-1) (p^k - p^{k-1} + p+1) \dots (p^k - 2)(p^k - 1) = \left\{ p^{2k-1} (p-1) + 1 (p^{k-1} - 1) \right\} \left\{ p^{2k-1} (p-1) + 2 (p^{k-1} - 2) \right\} \dots$$

$$\dots \left\{ p^{2k-1} (p-1) + (p-1) (p^{k-1} - p+1) \right\} \left\{ p^{2k-1} (p-1) + (p+1) (p^{k-1} - p-1) \right\} \dots \left\{ p^{2k-1} (p-1) + \frac{1}{2} (p^{k-1} - 1) \frac{1}{2} (p^{k-1} + 1) \right\}.$$

Получившее выражение преобразуем согласно лемме 10, взяв $\alpha = p^{2k-1} (p-1)$ и в качестве $x_i$ выбрав числа

$$1 \cdot (p^{k-1} - 1), 2 (p^{k-1} - 2), \dots, \frac{1}{2} (p^{k-1} - 1) \frac{1}{2} (p^{k-1} + 1).$$

20

Заметив, что
$$1(p^{k-1}-1) \cdot 2(p^{k-1}-2) \dots \frac{1}{2}(p^{k-1}-1) \frac{1}{2}(p^{k-1}+1) = [1, p^{k-1}]_p,$$

можем записать:
$$[p^k - p^{k-1}, p^k]_p = [1, p^{k-1}]_p + p^{2k-1}(p-1)[1, p^{k-1}]_p \cdot \frac{1}{2} \left\{ \frac{2}{1(p^{k-1}-1)} + \dots \right\} + p^{4k-2}Q =$$
$$= [1, p^{k-1}]_p + \frac{1}{2} p^{2k-1}(p-1)[1, p^{k-1}]_p \times$$
$$\times \left\{ \frac{1}{1(p^{k-1}-1)} + \dots + \frac{1}{(p^{k-1}-1)1} \right\} + p^{4k-2}Q,$$

что и доказывает lemmy при $p > 2$.
Случай $p = 2$ рассматривается по такой же схеме.
Лемма 12.

$$1^2 + 2^2 + \dots + (p-1)^2 + (p+1)^2 + \dots + (p^{k-1}-1)^2 =$$
$$= \frac{1}{6} p^{k-1}(p^{k-1}+1)(2p^{k-1}+1) - p^k L, \quad p > 2$$
(в левой части выписываются все числа, взаимно простые с $p$).
Доказательство. Достаточно представить левую часть в виде
$$\sum_{i=1}^{p^{k-1}} i^2 - p^2 \sum_{i=1}^{p^{k-2}} i^2$$

и обе суммы вычислить согласно lemme 1.
Теорема. Справедливый следующее равенства:
$$C_{p^k}^{p^{k-1}} - C_{p^{k-1}}^{p^{k-2}} = p^{3k-1} R, \quad p > 3;$$
$$C_{3k}^{3k-1} - C_{3k-1}^{3k-2} = 3^{3k-2} S;$$
$$C_{2k}^{2k-1} - C_{2k-1}^{2k-2} = 2^{3k-3} T,$$

где $k \geqslant 3$, а $R, S, T$ — неокотые целые числа.
Доказательство теоремы осуществляется последовательным использованием lemme 9, 11, 6, 12, 2.

Замечание. Из доказательства теоремы можно дополнительно увидеть, что указаны в теореме числа $S$ и $T$ не делятся на 3 и 2 соответственно. Автору неизвестно, как обстоит дело в общем случае — делится или не делится на $p$ число $R$.

Цитированная литература

1. Фукс Д. Б., Фукс М. Б., Арфметика биомпальных коэффициентов. «Квант» № 6, 1970, стр. 17—25.
2. Соминский И. С., Метод математической индукции. М., Физматгиз, 1961.
3. Егоров А. А., Сравнения по модулю и арфметике остатков. «Квант» № 5, 1970, стр. 27—33.

Примечание редакции. Как сообщил нам читатель Ю. Трахтман (Днепропетровск), ему удалось получить неокотые числа, при которых числа $R, S, T$, фигурирующие в теореме, не делятся на $p, 3, 2$ соответственно. Однако этот результат формулируется в терминах, незнакомых школьникам и доказывается незелементарными средствами.

24

лено к оси; поэтому благодар трению ось волка стремится занять вертикальное положение. В этом легко убедиться, если запустить волокна наклонно. Через некоторое время его ось встает вертикально. Moment сил трения направлен к вертикали (правило буравика), следовательно, изменение момента количества движения волка тоже направлено к вертикали, а ось волка стремится стать перпендикулярно плоскости врашения.

Итак, на наклонный волокк действуют два момента сил: момент пары сил — реакции опоры и силы тяжеси и момент силы трения. Движение волка всегда проискодит при наличии этих двух моментов.

Вернемся теперь к волку Томсона и попробем обьясить его поведение. Так как волокТомсона состоит из сферы со среданной верхушкой, то его центр тяжеси находится ниже геометрического центра шара, из которого он изготовлен. При раскручивания волка мы невольно отклонем его ось от вертикального положения. Но так как волок имеет сферическую форму, то точка его опоры в результате такого отклонения меняется. Ось же врашения волка остается прежней — вертикальной и не будет совпадать с его геометрической осью. А так как центр тяжеси волка лежит ниже геометрического центра шарика, то в результате такого от-

клонения его центр тяжести уже не будет лежать на оси врашения (рис. 7). Он займет положение $O'$ и будет врашаться вместе с волком около вертикальной оси. При врашении с большой угловой скоростью центр тяжеси волка будет подниматься точно так же, как поднимается шарик на нити, если нить раскручивать так, как показано на рисунке 8.

Волокок не задерживает в боковом положении, а по инерции проскакивает его, касаясь своей нижкой плоскости, на которой он врашается (рис. 2). Как только это произойдет, точка опоры волка переходит из точки $A$ в точку $B$ (рис. 9), и волокок, врашясь около своей оси, начинает пресеспровать около оси $BB'$. Иными словами, волокок Томсона будет вести себя как «обыкновенный» волокок. Под действием момента силы трения он совместит своего ось с вертикальной осью $BB'$ и будет продолжать врашаться шариком кверху.

Из приведенных выше рассуждений видно, что столбным поведением волка Томсона мы обязаны силе трения. Действительно, если бы сила трения отсутствовала, то волокок, ударившись на плоскость, вернулясь бы в боковое положение и врашался бы так, пока имел достаточно большую угловую скорость. А затем под действием момента силы тяжеси вернуляся бы в исходное положение (рис. 2).

25

Рис. 10.

С волчком Томсона можно провести интересный опыт. Если волчок запустить по поверхности, покрытой тонким слоем пудры, то пудра оставит на поверхности волчка след — траекторию точки касания волчка с плоскостью. Этот след показан на рисунке 10. Линия на волчке закручивается спиралью, но на экваторе шарика волчка она начинает раскручивать в обратную сторону. Почему это происходит? Закон сохранения момента количества движения требует, чтобы волчок врашался в одну и ту же сторону, как в исходном положении, так и в перевернутом. Пусть мы запустили волчок по часовой стрелке (если смотреть на него сверху). Если бы волчок перевернулся, не переставая врашаться вокруг своей оси, то в перевернутом состоянии он врашался бы уже против часовой стрелки. Поэтому, для того чтобы выполнялся закон сохранения момента количества движения, волчок в какой-то момент времени должен прекратить врашаться вокруг оси, прохождение через его ножку, а затем начать врашаться в обратную сторону. Судя по рисунку 10, это и происходит в тот момент, когда волчок лежит на боку.

Что касается расчетов размеров волчка, то он может быть любым, но таким, чтобы центр его масс не совпадал с геометрическим центром сферы, из которого он изготовлен.

ЗАДАЧИ
О ШАХМАТНОМ
ТУРНИРЕ

1. В турнире*) участвовало 8 шахматистов. Все они набрали разное число очков, причем второй призер набрали столкою же, сколько набрали все шахматисты, занявшие места с 5-го по 8-e. Как сыграми между собой шахматисты, занявшие 3-e и 5-e места?

2. В турнире играли два ученика 7-го класса и несколько учеников 8-го. Семиклассики набрали вместе 8 очков, а все восемиклассики набрали поровну. Сколько восемиклассиков могло участвовать в турнире?

3. В турнире участвовало n шахматистов — гроссейстеры и мастер. После окончания турнира оказалось, что каждый ученик набралировно половину своих очков в партии против мастеров. Доказать, что $\sqrt{n}$ — целое число.

4. Шахматист играет для тренировки не менее одной партии в день и, чтобы не переутомиться, не более 12 — в неделю. Доказать, что можно найти несколько последовательных дней, в течение которых он сыгаетровно 20 партий.

5. Каждый шахматист в турнире половину своих очков набрали во встречах с участниками, занявшими три последних места. Сколько человек участвовало в турнире?

6. Доказать, что по окончании турнира его участников можно переумеровать так, что окажется, что ни один участник не проигral следующего ему непредределенно за ним.

*) Мы предполагаем, что шахматисты играют друг с другом по одной партии, то есть турнир проводится в один круг.

26

Даже до самых близких звезд очень далеко. Еще далеко до других галактик. От галактики Туманность Андромеды свет добавляется до нас около миллиона лет.

Мыслимо ли следует к ней, скажем, за неделю? По земному времени так скоро до Андромеды не добавляется. Свет, и тот идет годы и годы. А быстрее света корабль дивигаться не может. Другое дело — по времени самого межзвездного путешественика, если его корабль летит с достаточно большей скоростью. При движении с большими скоростями происходит заменление решительно всех процессов в одинаковое число раз. Чем больше скорость, тем больше это заменление.

Как же надо лететь, если мы хотим за неделю совершить путешествие к Туманности Андромеды? Расстояние в 10⁶ световых лет надо продолеть за $\frac{1}{52}$ года. Расчеты по формуле теории относительной результат: необходимо лететь с постояннымускорением $a=700\text{ g}$! (g —ускорение свободного падения).

Но как быть с перегрузками? Приускорении 700 g наш вес увеличится в 700 раз! Все равно, что по звездолетчку проехаться acфальтовым катком. Наш кровь тоже по-тужелет в 700 раз. А она должна циркулировать по всему телу. С такой значительной нагрузкой сердце не справится. Пилоты при резких виражах иногда времени слепнут — кровь не поднимается к мозгу, хотя здесьускорение $a$ не превосходит $5\div 10\text{ g}$. Можно лечь, чтобы уменьшить нагрузку на сердце, — тогда нужно поднимать кровь на меньше высоту. Но даже десятикратную перегрузку в таком положении можно выдержать лишь три-пять минут.

Нельзя ли придумать лучший способ, который позволяет двигаться с любымускорением без всяких перегрузок?

Нельзя ли предложить конструкцию корабля, изображающего астронавта от кихих-либо перегрузок?

Прежде чем броситься на врага, полезно его изучить.

Откуда береется вес?

Если встать наружные весы, стрелка отклонится от нулевого положения. Земля притягивает тело, а так как относительно весов мы неподвижны, то эта сила должна уравновести упругой силойружин. Стрелка показет нам вес $P=mg(m-\text{ масса})$. Пусть мы изменяем вес (показанияружинных весов) в лифте, поднимающемся сускорением. Стрелка показет $m(a+g)$, появляется пере-

27

грузка: упругая сила не только уравновешивает притяжение Земли, но и придает телу ускорение $a$. Если же лифт свободно падает, то вес будет нулевая — все тела падают с одинаковым ускорением, наше перемещение будет точно таким же, как перемещение пружины, и пружина не созметя. Взяв яблоко, мы не почувствуем его веса, оно не давит на руку, а свободно падает вместе с рукой.

Итак, вес $P=m(a+g)$, если $a$ направлено в ту же сторону, что и ускорение свободного падения $g$ и $|a|=|g|$ (свободное падение), наступает состояние невесомости. Это состояние испытывают космонавты при полете с выключенными двигателями, либо тогда они как раз и движутся с ускорением свободного падения.

Важно, что вес обусловлен и ускорением, и gravитационным притяжением. Появлась возможность комменсировать одно другим. Создать невесомость можно потому, что ускорение свободного падения не зависит ни от массы, ни от вещества падающих тел. Это свойство открыл еще Галилей. Но и сейчас исследователи порой не удерживают от соблазна проверить это свойство. В 1964 году Ролл, Кротков и Дикке установили равенство ускорения для золота и алюминия с точностью до 0,00000000001!

С невесомостью мы встречемся в кабине свободного падшего лифтта. Там нет никаких перегрузок. Возьмем массивное тело, созданное ускорение свободного падения $a$, по величины равное желаемому ускорению путешествия. Установим на нем двигатель, способные обеспечить как раз это ускорение. Путешественник со всеми удобствами размещается в отдельной кабине, свободно падающей на это тело. Кабина падает с ускорением $a$, но двигатель работает, и тело уходит с тем же ускорением.

При нулевой начальной скорости расстояние между кабиной и массивным телом будет неизменным. В свободно падающей кабине — невесомость, но в то же время она несется с необходимым ускорением.

Но должен до поливины пути, нужно начать тормозить. Согласование ускорения тела и ускорения свободного падения кабины нарушится, и кабина врежется в массивное тело. Кроме того, существует опасность отстаить или упасть на тело при любом изменении ускорения корабля (массивного тела). Значит, надо лучше продумать конструкцию корабля.

Просверлим в направлении ускорения шахту через центр массивного тела, которое придали форму шара. Ускорение свободного падения будет меняться в зависимости от расстояния до центра шара. Обозначим ускорение на поверхности шара $a_0$, радиус шара $r_0$. Построим график для ускорения $a$ на расстоянии $r$ от центра шара (см. рисунок *).

На расстояниях от $-r_0$ до $r_0$ (то есть внутри шара) ускорение свободного падения изменяется по закону $a=a_0 \frac{r}{r_0}$, а при $r<-r_0$ и $r>r_0$

*) Подробно эта задача разобрана в статье Я. А. Смородинского «Похожие движения». Зависим силы притяжения тела от расстояния до центра шара была найдена при решении задачи Ф43 («Квант» № 5, 1971).

28

(вне шара) ускорение $a = -a_0 \left( \frac{r}{r_0} \right)^2$.

Отрицательный знак ускорения означает, что оно всегда направлено к центру шара.

Когда шар движется без ускорения, его центр является точкой источниковравновесия. При малых отклонениях возникает возврашающая сила. При ускорении корабля $w$, меняем $a_0$, всегда найдется положение кабины, при котором ускорение свободного падения равно $w$. Чтобы найти по графику это положение, проведем прямую ниже оси $r$ на расстоянии $w$. Появятся две точки пересечения, их ordinаты дают искомые расстояния. Точка внутри шара соответствует источниковуравновесию. При малом изменении ускорения корабля кабина будет колбааться околновой точки равновесия, сама следя за согласованностью ускорений, причем все это время в кабине будет сохраняться неиссомость.

При торможении с тем же ускорением точка равновесия будет с другой стороны от центра шара.

Мы предложили радикальной способ борбы с перегрузками. Какие «если» стоит на пути реализации этого фантастического проекта?

Законам природы он не противоречит. Основные трудности заключаются в источнике энергии: это общая трудность любого проекта междуездного корабля. Но где взят массивное тело? Можно взять или тело очень большого объема или использовать вещество очень большой плотности. Что бы легче было об этом размышлять, разберитесь в упражнениях, помещенных ниже.

Уражнения

1. Если реактивный самолет пикирует взиз с ускорением 1,5 g, то чему равен вес летчика и куда направлена сила веса?
2. Найдите относительная радиуса и массы шара той же плотности, что и Земля, к радиусу и массе Земли, если ускорение на поверхности шара составляет 1000 g.
3. А если плотность шара в 10^6 раз больше земной? (При некоторых физических условиях, например, на звездах, называемых белыми карликами, плотность вещества значительная превышает нам значения.)

29

Профессор Эверетт, обсуждая явление миража («Nature» 19 ноября 1874 г.), показал, что для образования резко очередных миражей необходимо наличие горизонтальной плоскости с максимальным коэффициентом преломления. При движении вверх и вниз от этой плоскости оптическая плотность уменьшается пропорционально расстоянию от нее.

Горизонтальный или почти горизонтальный луч отклоняется к плоскости с максимальной плотностью и пересекает ее *). Затем он меняет свою кривизну и снова отклоняется к плоскости, которое пересекает снова и снова, проходя по траектории, близкой к синусоне.

Наблюдая траекторию луча света в сосуде, наполненном растором соли (оптическая плотность растора увеличалась с глубиной), я подумал,

*) О природе миража рассказывается в стате Г. Я. Мякишева «Прицип Ферма и законы геометрической оптики» («Квант» № 11, 1970).

что, изменяя коэффициент преломления жидкости, можно было бы заставить луч перемещаться по синусоне.

В результате получился довольно красивые опыты, которые можно показать в аудитории. По-видимому, стоит их опубликовать, хотя, как я узнал позже, подобные эксперименты были уже описаны Винером.

Я сделал сосуд из толстого листового стекла длиной приблизительно 50 см, высотой 10 cm и шириной 2 см. На 3 см наполнили его концентрированным растором квасцов, а сверху наиллел слой водного растора спирта (~10%) толщиной в 3 см. (Добавка спирта повышает коэффициент преломления воды.) Доливать воду в сосуд нужно осторожно при помощи пипетки, форма которой показана на рисунке 1.

В качестве жидкости с высоким коэффициентом преломления, удаленный все которого больше удалного веса воды, но меньше удалного веса растора квасцов, я использовал смесь

31

Рис. 5.

бится от нагревая. Я весма успешно использовал гипсовые пластинки, отлиты из aleбастра (обожженого гипса) на толстом листовом стекле, хотя эти пластинки хруплке и недолговечные. Возможно, очень хорошо были бы пластинки из шифера (кровельного сланца), так как они выдерживают довольно сильный нагрев и их можно сделать плоскими и гладкими.

Пластинки нужно посыпать только слоем песка, чтобы установить отражение от поверхности. Поверхность песка должна казаться совершенно robustой. Для успешного проведения эксперимента нужно абсолотно повная пустыня; поэтому не считайте, что вы уделили слишком много внимания регулированию пластинок. На одном конце пустыни нужно создать искусственное небо. Лучше всего использовать большое зеркою, установленное на окне и отражающей небо.

Между небом и пустыней нужно установить небольшую цепь гор, вырезанных из картона. Отдельные вершины должны иметь высоту от 1 до 2 см, а долины между ними — лишь немного возвышаться над уровнем пустыни. Общее расположение показано на рисунке 5.

Затем пластинки нагреваются с помощью газовых горёлок, которые нужно время от времени передвигаться, чтобы нагрева было равномерным.

Если мы теперь посмотрим вдоль пустыни немного выше уровня песка, мы увидим горы, четко выделяющиеся на фоне неба: по мере повышения температуры перед горной цепью начинает образовать осеро, и че-

Рис. 6.

Рис. 7.

в дальнейем конце пустыни положить небольший мраморный шарик, то при определении положения глаза крутовой контур превращится в эллипс, а если глаз опускать, изобразение созметя в отрезок и в конце концов исчезнет. Увеличение размеров в этом случае вызвано тем, что прямое и отраженное изображения наблюдаются одновременно и при этом смещены друг относительно друга. Я наблюдал подобный слуаей на озере: когда вода тепляя, а воздух холдный, пятна снега на противоположном берегу (слишком маленьке для того, чтобы различать их глазом с высоты небольших метров над уровнем озера) становятся четко видимыми, если спуститься вниз к крамке воды.

Атмосферные условия, необходимые для возникновения миражей, могут также вызвать пылеевые винги, часто наблюдаемые в пустыне, а в большом масштабе и смерти. Эти смерти, так же как и миражи, можно воспроизвести в маленьком масштабе.

Одну из металлических пластин я посыпал кварцевым песком и нагревал неболькими горелками. Через несколько минут по поверхности начали dwигаться очень красивые маленькие смерти, скручивая тонкий песок в водонкообразные винги; иногда это длилось 10—15 секунд.

Однако вихри, созданные таким способом, нельзя наполнять в большой аудитории. Поэтому я искал способы создать их в большем масштабе. Для этого после удаления песка хорошо нагревал пластинку и посыпал ее нашатым: от горячего поверхности сразу же поднималось плотное облако белого пара и вскоре в центре появился самый настоящий минаторный смерти высотой около 2 см. Помещая пластинку в луч фонаря в темной комнате, можно демонстрировать винги в большей аудитории. Я считаю, что лучшие сначала насыпать на пластинку нашатырь, а затем нагревать ее: тогда винги возникают почти непрерывно и часто сохраняются довольно долго.

На рисунке 7 показана мгновенная фотографика одного из этих смерти, сделанная при ярком солнечном свете.

Этот метод создания атмосферных винги предопчитательное старого способа их создания с помощью быстровашающего барбана с поперечными перегородками *), так как здесь винги возникают по тем же причинами и при тех же условиях, что и в природае.

*) См. статью Н. Е. Жуковского «Основы теории винги» («Квант» № 4, 1971).

33

ЗАДАЧИ

В этом номере «Задачник «Кванта» составлен из задач, предлагшихся на заключительных трах пяной Всесоюзной олимпиды по математике и физике.

М106. Докажите, что если для чисел $p_1, p_2, q_1, q_2$ выполено неравенство
$(q_1 - q_2)^2 + (p_1 - p_2)(p_1q_2 - p_2q_1) < 0,$
то квадратные трехчлены
$x^2 + p_1x + q_1$ и $x^2 + p_2x + q_2$
имеют вещественные корни и между двумя корнями каждой из них лежит корень другого.

И. Ф. Шарын

М107. a) Дан выпукленный многоугольник $A_1A_2 \dots A_n$. (рис. 1). На стороне $A_1A_2$ взяты точки $B_1$ и $D_2$, на стороне $A_2A_3$ — точки $B_2$ и $D_3$, …, на стороне $A_nA_1$ точки $B_n$ и $D_1$ так, что если построить параллелограммы $A_1B_1C_1D_1, A_2B_2C_2D_2, \dots, A_nB_nC_nD_n,$ то прямые $A_1C_1, A_2C_2, \dots, A_nC_n$ пересекутся в одной точке. Докажите, что
$A_1B_1 \cdot A_2B_2 \cdot \dots \cdot A_nB_n = A_1D_1 \cdot A_2D_2 \cdot \dots \cdot A_nD_n$.

6. Докажите, что для треугольника верно и обратное утверждение: пусть на стороне $A_1A_2$ выбраны точки $B_1$ и $D_2$ на стороне $A_2A_3$ — точки $B_2$ и $D_3$, на стороне $A_3A_1$ — точки $B_3$ и $D_1$ так, что если построить параллелограммы $A_1B_1C_1D_1, A_2B_2C_2D_2, \dots, A_nB_nC_nD_n,$ то прямые $A_1C_1, A_2C_2, \dots, A_nC_n$ пересекутся в одной точке.

В. Л. Гутемахер

М108. a) Докажите, что прямая, разбиивающая данные треугольник на два многоугольника равной площади и равного перimeter, проходит через центр окружности, вписанной в треугольник.

6. Докажите, аналогичное утверждение для произвольного многоугольника, в котором можно вписать окружность.

Ю. И. Ионин

М109. a) В вершине $A_1$ правильного 12-угольника $A_1A_2A_3 \dots A_{12}$ стоит знак минус, а в остальных — плоцы. Разрешается одновременное менять знак на противоположный в любых шести последовательных вершинх многоугольника. Докажите, что за несколько таких операций нельзя добиться того, чтобы в вершине

не $A_2$ оказался знак минус, а в остальных вершинах — плоцы.

6. Докажите то же утверждение, если разрешается одновременное менять знаки не в шести, а в четырех последовательных вершинах многоугольника.

в) Докажите то же утверждение, если разрешается одновременное менять знаки в трех последовательных вершинах многоугольника.

M110. На бесконечном листе клеетой бумаги $N$ клееток выкрашено в черный цвет. Докажите, что из листика можно вырезать конечное число квадратов так, что будут выполнены два условия:

1. все черные клеетки будут лежать в вырезанных квадратах;
2. в любом вырезанном квадрате $K$ площадь черных клееток составляет не менее $\frac{1}{5}$ и не более $\frac{4}{5}$ площади $K$.

Г. А. Розенблом

Ф118. В камеру сгорания реакного реактивного двигаателя поступает в секунду масса $m$ водорода и необходимое для полного сгорания количество кислорода. Выходноеечение сопла $S$. Давление в этом сечении $P$, абсолотная температура $T$. Определить силу тягги двигаателя. (9—10 кл.)

Г. Л. Комкин

Рис. 2. Рис. 3.

Ф119. К матчнику $AB$ с шариком массы $M$ подвешен матчник $BC$ с шариком массы $m$ (рис. 2). Точка $A$ совершает колбания в горизонтальном направлении с периодом $T$. Найти длину нити $BC$, если известно, что нить $AB$ все время остается вертикальной. (10 кл.)

Г. Л. Комкин

Ф120. Конькобежец на ледяной дорогже старается проятки вираж как можно ближе к внутренней бровке. Велосипедист на велотрек проходит вираж возможного дальней от внутренней бровки. Как обязывать это разлиние в движении конькобежца и велосипедиста на вираже? Профиль трека изобравен на рисунке 3. (8 кл.)

М. М. Балацов

Ф121. В герметически закрытом сосуда в воде плавает кусок льда массы $M$, в котором вмерзала свинцовая дробина массы $m$. Какое количество теплла нужно затрапить, чтобы дробина начала тоннуть? Плотность свинца $11,3 \text{ e/cm}^3$, плотность льда $0,9 \text{ e/cm}^3$, теплота плавления льда $80 \text{ кал/е}$. Температура воды в сосуде равна $0^\circ \text{C}$. (8 кл.)

Ф122. Три тела с массами $m_1$, $m_2$ и $m_3$ могут скольнить по горизонтальной плоскости без трения (рис. 4), причем $m_1 \gg m_2$ и $m_2 \ll m_3$. Определить максимальные скорости, которые могут прибрести два крайных тела, если в начальной момент времени

Рис. 4.

ни они покопились, а среднее тело имело скорость $v$. Удары считать абсолотно упругими. (9 кл.)

Е. Кузнецов

36

Остается решить такую задачу: найти на прямой l точку M, для которого угол PMQ наиболее простым: окружность, проходящая через точки P, Q и M, касается прямой l. Чтобы построить точку M, нужно (в случае, если отрезок PQ не параллелен прямой l) от точки C пересечения PQ и l отложить на прямой l отрезки CM₁ = CM₂ = √(CP·CQ), а затем из полученных точек M₁ и M₂ выбрать ту, для которой угол MᵢCP острый (или прямой). Доказательство, что именно для этой точки угол PMQ максимален, почти очевидно и оставляется читателю *) (рис. 2).

Как это ни странно, многое читателей, приславшие нам письма, забили про одну из возможностей 1) и 2). Наибольшее решение прислали O. Ким, Г. Левин, А. Пухальский, В. Лузzin, Ю. Оболонков, А. Костюрин.

M65

a) Пусть E, F, G — такие точки на сторонах AB, BC и CA треугольника ABC, для которых $\frac{AE}{EB} = \frac{BF}{FC} = \frac{CG}{GA} = k$, где 0 < k < 1.

Найти отношение площади треугольника KLM, образованного прямыми AF, BG и CE к площади треугольника ABC (рис. 3a).

6. Разрежьте треугольник шестой прямыми на такие части, из которых можно сложить семь равных треугольников.

a) Обозначим площадь треугольника с вершинами X, Y, Z, через s(XYZ). Пользовать тем, что отношение треугольников с одинаковыми высотами (или с одинаковыми основаниями) равно отношению оснований (соответственно отношению высот), нетрудно доказать, что

$$s(ACK) = \frac{1}{k} s(ABK) = \frac{k+1}{k^2} s(AEK) = \frac{k+1}{k^2+k+1} s(AEC) = \frac{k}{k^2+k+1} s(ABC).$$

Точно так же можно доказать, что

$$s(BLA) = s(CMB) = \frac{k}{k^2+k+1} s(ABC).$$

Позному

$$\frac{s(KLM)}{s(ABC)} = 1 - \frac{3k}{k^2+k+1} = \frac{(1-k)^2}{k^2+k+1} = \frac{(1-k)^3}{1-k^3}.$$

6. Заметим, что при k = $\frac{1}{2}$ это отношение равно $\frac{1}{7}$ и каждый из трех отрезков AF, BG, CE разбит двумя другими в отношении 3:3:1, так что если проведится точки M, K, L еще три прямые, соответствующего параллельные этим отрезкам, то каждая из сторон треугольника ABC будет разбит в отношении 2:1:1:2.

*). Подробнее об этом см. в книге Н. Б. Васильева и В. Л. Гутенмахера «Прямы и кривы», серия «Библиотека физико-mатематической школи». «Наука», 1969, стр. 76—78.

Теперь уже нетрудно из 13 кусков, на которые разрезан треугольник ABC, собрать 7 равных треугольников (один из них состоит из единственного куска KLM; рис. 36).

Аналогичное решение задачи прислада A. Алексеев из Ленинграда, A. Аляев из Пензенской области, Э. Туркевич, А. Черняк, Ю. Оболенков.

M66

Вот несколько примеров, когда сумма квадратов $k$ последовательных натуральных чисел равна сумме квадратов $(k-1)$ следующих натуральных чисел:
$$3^2+4^2=5^2, 36^2+37^2+38^2+39^2+40^2=41^2+42^2+43^2+44^2,$$
$$55^2+56^2+57^2+58^2+59^2+60^2=61^2+62^2+63^2+64^2+65^2.$$
Найдите общую формулу, охватывающую все такие случаи.

Докажем, что для каждой натурального $k$ существуетровно одно натуральное $n$ такое, что
$$(n-k+1)^2+(n-k+2)^2+\ldots+(n-1)^2+n^2=(n+1)^2+$$
$$+(n+2)^2+\ldots+(n+k-1)^2.$$

(Заметьте, что в правой части равенства стопт $(k-1)$ слгаемое, а влевой — $k$). Равенство (1) эквивалентно следующим:
$$n^2=[(n+1)^2-(n-k+1)^2]+[(n+2)^2-(n-k+2)^2]+\ldots$$
$$\ldots+[(n+k-1)^2-(n-1)^2]$$
$$n^2=k(2n-k+2)+k(2n-k+4)+\ldots+k(2n+k-2),$$
$$n^2=2k(k-1)n.$$

Таким образом, высказанное утверждение доказано: равенство (1) для натуральных $k$ и $n$ выполняется тогда и только тогда, когда $n=2k^2-2k$. (При перехождение от (3) к (4) мы воспользовались тем, что сумма $(k-1)$ членов арифметической прогрессии $(2n-k+2)+(2n-k+4)+\ldots+(2n+k-2)$ равна $(k-1)\frac{(2n-k+2)(2n+k-2)}{2}=2(k-1)n$. Тем самым мы получили исключую формулу. Ее можно записать, например, так:
$$(2k^2-3k+1)^2+(2k^2-3k+2)^2+\ldots+(2k^2-2k)^2$$
$$=(2k^2-2k+1)^2+(2k^2-2k+2)^2+\ldots+(2k^2-k-1)^2,$$
где $k$ — произвольное натуральное число. Примеры, приведенные в условия, получаются из нее при $k$, равном 2, 4 и 5.

Эту формулу (или другие, эквивалентные ей) нашли очень многое начиная — большимство из них либо приводит доказательство, близкое к нашему, либо используется в выкладках формулу для суммы квадратов натуральных чисел (см. лемму 1, на стр. 17).

M67

Ювелиру заказано золотое колечко шириной $h$, имеющее форму тела, ограниченной поверхности шара с центром $O$ и поверхности цилиндра радиуса $r$, ось которого проходит через точку $O$ (рис. 4). Мастер сделал такое колечко, но выбрал $r$ слишком маленьким. Сколько золотота-ему придает добавить, если $r$ нужно увеличить в $k$ раз, а ширину $h$ оставить прежней?

Нетрудно доказать, что объем шарово-кольца — тела, получающейся при выражении сегмента $AB$ вокруг диаметра $MN$, не пересекающего этот сегмент, — равен $$\frac{\pi}{6} AB^2 \cdot A_1B_1,$$ где $A_1B_1$ — проекция хорды $AB$ на диаметр $MN$. Эта формула приводится, например, в книге Ж. Адама а «Элементарная геометрия», ч. II, гл. IV, 500.

Рис. 4.

38

Объем колечка равен $\frac{\pi}{6} h^3$, то есть не зависит от радиуса $r$, так что золота мастеру добавляется.

M68

Сетка линей, изображенная на рисунке 5 (см. также обложку «Квата» № 2, 1971) состоит из концентрических окружностей радиусов 1, 2, 3, 4, … с центром в точке $O$, прямой $l$, проходящий через точку $O$, и всевозможных касательных к окружности, параллельных прямой $l$. Вся плоскость разбитена эти линии на клетки, которые раскрашены в шахматном порядке. В цепочке розовых точек, показанных на рисунке, каждые две соседние точки являются противоположными вершинами темной клетки. Доказите, что все точки такой бесконечной цепочки лежат на одной параболе (позному весу рисунок как бы соткан из желых и темных парабол).

Прием прямую $l$ за ось $Ox$, а точку $O$ — за начало координат прямогоной системы, как показано на рисунке 5. Единица масштаба уже задана в условия. Сетка линей, о которой идет речь в условия, составлена из окружностей радиуса $n$ с центром $O$ (уравнение такой окружности $x^2 + y^2 = n^2$) и прямых $y = m$, где $m$ и $n$ — всевозможные целые числа; $n > 0$. Таким образом, каждой точке пересечения (или касания) этих линей — каждому «узлу» $(x, y)$ нашей сетки — соответствует определенная пара значений $n = \sqrt{x^2 + y^2}$ и $m = y$. Заметим, что когда мы переходим от одной из розовых точек к соседней розовой точеке, то и $m$, и $n$ изменяются на единицу, так что их разность $n - m = \sqrt{x^2 + y^2} - y$ остается постоянной; эта разность для всех розовых точек равна 6.

Уравнение $\sqrt{x^2 + y^2} - y = 6$ эквивалентно следующим: $x^2 + y^2 = (y + 6)^2$; $y = \frac{x^2}{12} - 3$. Таким образом, все розовые точки лежат на параболе $y = \frac{x^2}{12} - 3$.

В другой подобной цепочке точек, которые мы нарисовали головным цветом, при перехождение от точки к соседней $\sqrt{x^2 + y^2}$ и $y$ меняются на единицу так, что постоянной остается их сумма: $\sqrt{x^2 + y^2} + y = 4$. Это уравнение после преобразования точек превращается в уравнение параболы $y = -\frac{x^2}{6} + \frac{3}{2}$.

Точно так же можно показать, что любая бесконечная цепочка точек, в которой соседние точки являются противоположными вершинами одной клетки (или одного сегмента), лежит на параболе $y = -\frac{x^2}{2p} + \frac{p}{2}$, где $p$ — некоторое целое число, отличное от нуля. Обратно, на любой из этих парабол лежит такая бесконечная цепочка точек (это точки пересечения параболы со всевозможными прямыми $y = m$).

39

Заметим, что если $p < 0$, то есть если ветви парабOLS уходят вверх, то при четном $p$ парабола идет по темным клеткам, а при нечетном $p$ — по желтым; если же $p > 0$, то наоборот. При этом через каждую пересечения прямых и окружностей нашей сетки (исключая точки касания, лежащие на прямой $x = 0$), проходят две парабOLS; одна идет по желтым клеткам, другая — по темным; одна направлена ветвими вверх, другая — вниз.

Решение этой задачи присладами многочестей. Некоторые пользоваться в своем решении таким геометрическим определением парабOLS: парабола — это множество точек, одинаково удаленных от данной точки и данной прямой. По существу решение задачи M68 очень близко к доказательству эквивалентности этого определения парабOLS и известного из школьного курса (парабола — график квадратного треугольника). Если выбрать систему координат так, чтобы данная точка была наcalом координат, а данная прямая уравнение $y = c$, то условие, что точка $(x, y)$ одинаково удалена от данной точки и данной прямой, записывается уравнением $\sqrt{x^2 + y^2} = |y - c|$, которое эквивалентно уравнению $y = -\frac{x^2}{2c} + \frac{c}{2}$.

M69

Число 76 обладает таким любопытным свойством: последние две цифры числа $76^2 = 5776$ дают снова числа 76.

a) Есть ли еще такие двузначные числа?

b) Найдите все трехзначные числа $A$ такие, у которых последние три цифры числа $A^2$ составляют число $A$.

b) Существует ли бесконечная последовательность цифр $a_1, a_2, a_3, \dots$ такая, что для любого $n$ квадрат числа «$a_n a_{n-1} \dots a_2 a_1$» имеет вид «…$a_n a_{n-1} \dots a_2 a_1$»? (Кавычками здесь обозначена десятичная запись числа. Очевидный ответ $a_i = O$ при всех $i > 1$ мы исключаем.)

Ответ в этой задаче следует: при любом $n > 1$ существуетровно два таких $n$-значных числа $n > 1$, квадрат которых оказывается на $A$ (не считая очень длинные: 0 … 0000 и 0 … 0001),— при $n = 2$ это 76 и 25, при $n = 3$ — 376 и 625, при $n = 4$ — 9376 и 0625, при $n = 5$ — 09376 и 90625 и т. д., так что существует две бесконечные последовательности цифр, о которых идет речь в пункте в): одна начиная с цифр 6, 7, 3, 9, 0, 1, … , другая — с цифр 5, 2, 6, 0, 9, 8, …*).

Начнем с задачи a). Самый простой способ найти нужные нам двухначные числа, которые указывают многочестей, состоит в следующем. Если $A^2$ оказывается теми же двумя цифрами, что и $A$, то $A^2 - A = A$ (А—1) делится на 100=25·4, а поскольку числа $A$ и $(A - 1)$ взаимно просты (не имеют общих делителей, больших 1), то одно из них должно делиться на 25, а другое — на 4. Попробуем, подходит ли каждое из чисел 25, 50 и 75 на роль $A$ или на роль $A - 1$ (оба эти числа двузначны). Для этого нужно лишь проверить, какие из соседних с ним чисел делятся на 4. Это будет только 76 и 24, поэтому $A$ может равнять только 25 и 76.

Аналогично можно решить и задачу 6), но мы должны сразу обществуйте: если квадрат числа $B = \langle a_{n-1} a_{n-2} \dots a_1 \rangle$ оказывается цифрами «… $a_{n-1} a_{n-2} \dots a_1$», то можно и притоме единственным образом выбрать цифру $a_n$ так, чтобы квадрат числа $A = \langle a_n a_{n-1} \dots a_1 \rangle$ оказывается на «… $a_n a_{n-1} \dots a_1$».

Пусть $B^2 = \langle ... b_n a_{n-1} a_{n-2} \dots a_1 \rangle$. Тогда $(n \geqslant 2 = > 2n > n + 1)$

$$A^2 = (10^n a_n + B)^2 = 10^{2n} a_n + 2 \cdot 10^n a_n B + B^2 = \langle ... c_n a_{n-1} a_{n-2} \dots a_1 \rangle,$$

где $c_n$ — последняя цифра числа $2a_n a_1 + b_n$. Мы должны подобрать $a_n$ так, чтобы $c_n$ равнялось $a_n$, то есть чтобы $2a_n a_1 + b_n = a_n = (2a_1 - 1)a_n + b_n$ делилось на 10. Очевидно, что это можно сделать и притоме единственным образом. В интересующих нас служах $a_1 = 5$ и $a_1 = 6$ функций $b_n \rightarrow a_n$, которые мы должны указыть, особенно просты: если $a_1 = 5$, то $a_n = b_n$, а если $n = 6$, то $a_n = 10 - b_n$ при $b_n > 0$ и $a_n = 0$ при $b_n = 0$.

Подробнее этот подход к решению задачи M68 обсуждается в книге Я. И. Перель - на «Занимательная алгебра», стр. 81—85.

*) Мы не исключаем из рассмотрения числа «$a_n a_{n-1} \dots a_1$», у которых первая цифра $a_n$ (или несколько первых цифр) равна нулю. Читатели, которые такие чисел не рассматривали, естественно, должны только до четырехзначного числа 9376 и трехзначного 625.

41

Тяжелый обруч с невескомми спицами расположен в вертикальной плоскости и может врашаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через центр. В толще его обода закреплен маленький шарик, имеющий такую же массу, как и сам обруч. Каким будет период колесный обруча вокруг оси? Как он изменится, если: а) этот обруч переенсти на Луну? б) поместить в жидкость, в которой он будет дивятся без tremия?

Займется аналогиями. С ним читатели могут познакомиться, прочитав статью Я. А. Смородинского «Похожие движения» в воспомеже журнала за этот год. Воспользовемся аналогией с математическим матриком длины $R$.

Если максимальный угол отклонения матрика и прикрепленного к обручу шарика равен $\alpha_0$ (рис. 7), то при этом они находятся на высоте $h=R(1-\cos \alpha_0)$ от положения равновесия. При угле отклонения $\alpha$ кинетическая энергия матрика (и обруча с шариком) равна разности потенциальных энергий при угле $\alpha_0$ и угле $\alpha$. Для математического матрика получаем

$$\frac{mv^2}{2} = mgR(\cos \alpha - \cos \alpha_0).$$

Поэтому скорость матрика

$$v = \sqrt{2gR(\cos \alpha - \cos \alpha_0)}.$$

Так же, как и у матрика, меняется потенциальная энергия обруча с шариком. Потенциальная энергия самого обруча не меняется, но кинетическая энергия в этом случае равна сумме кинетических энергий шарика $E_{\text{ш}} = \frac{mv^2}{2}$ и обруча $E_0 = \frac{mv^2}{2}$ (по поводу кинетической энергии обруча см. статью А. К. Кикона «Вращательное движение тел», «Квант» № 1, 1971). Поэтому в случае обруча с шариком из закона сохранения энергии следует, что

$$\frac{mv^2}{2} + \frac{mv^2}{2} = mgR(\cos \alpha - \cos \alpha_0),$$

и скорость шарика

$$v = \sqrt{gR(\cos \alpha - \cos \alpha_0)}.$$

При любом угле отклонения от положения равновесия скорость шарика в $\sqrt{2}$ раз меньше скорости математического матрика. Следовательно,

42

и перiod колебанный обруча с шариком в $\sqrt{2}$ раз больше перiodа колебаний матрика и равен

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{2R}{g}}.$$

Можно подойти к решению этой задачи и инчае. Если математический матрик отklonen от положения равновесия на угол $\alpha$, то его возвращает к положению равновесия составляющей силы тяжесте, касательная к траектории движения матрика (рис. 8):

$$F = mg \sin \alpha.$$

Так как угол $\alpha$ мал, то $\sin \alpha \approx \alpha \approx \frac{x}{R}$, где $x$ — смешение матрика от положения равновесия. Отсюда

$$F \approx mg \frac{x}{R}.$$

Поэтому для касательной составляющей ускорения матрика мы можем записать уравнение

$$mg \frac{x}{R} = ma$$ или $a = \frac{g}{R} x = cx,$

где $c = \frac{g}{R}$ — некоторый постоянный для данного матрика коэффициент. Перiod колебаний матрика равен $2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$, то есть $2\pi/\sqrt{c}$.

Аналогичный результат мы получим и для грузика, прикрепленного кружинке и колеблющегося вдоль горизонтальной плоскости. Уравнение движения такого грузика $kx = ma$, а перiod колебаний $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.

В нашем случае сила, возвращающая шарик к положению равновесия, равна, как и в случае математического матрика, $mg \frac{x}{R}$, а ускорение $a$ сообщается и шарику, и обручу, то есть масс $2m$. Поэтому $mg \frac{x}{R} = 2ma$; значит, $c = \frac{g}{2R}$ и перiod колебаний системы $T = 2\pi \sqrt{\frac{2R}{g}}$.

Если обруч с шариком переести на Луну или помещить в сосуд сжидкостью, то его перiod колебаний изменится точно так же, как перiod колебаний математического матрика: в первом случае увеличится в $\sqrt{6}$ раз ($g_{\text{л}} = \frac{1}{6} g_3$) из-за изменения ускорения свободного падения, а во втором — уменшится в $\sqrt{1 - \frac{\rho}{\rho_T}}$ раз ($\rho$ — плотность воды и $\rho_T$ — плотность материалов шарика) из-за влияния архимедовой выталкивающей силы.

Правильное решение прислали С. Иванов (Москва), Г. Зайцев (Гагра), А. Проскуряков (Москва).

Ф77

Прямоугодный брусок, высота которого значительное превышает длину и ширину, стоит на горизонтальной поверхности. Как определить коэффициент треня между бруском и поверхностью, имея лишь один измерительный прибор — линейку?

Сделав из нитки петлю, накинем ее на брусок и потянем в горизонтальном направлении (рис. 9). Если нитка накинут на брусок близко от поверхности

43

ности, брусок будет скользить. Если мы будем поднимать нить по бруску, то, когда она будет на некоторой высоте $h_0$ от поверхности, брусок уже не будет скользить, а начнет переворчивать. При этом сила $F$, с которой мы тянем брусок, равна силе тряния:

$$F = kmg,$$

а момент силы $F$ относительно оси, проходящей через точку $A$, равен моменту силы тряжения:

$$Fh_0 = mg \frac{a}{2},$$

где $a$ — сторона квадрата в основании бруска.

Решая совместно эти два уравнения, найдем

$$k = \frac{a}{2h_0}.$$

Измерив $a$ и $h_0$ с помощью линейки, найдем коэффициент тряния бруска о поверхности.

Такое решение прислада И. Сидоров (Москва), А. Петров (Асбест Свердловской области), М. Розов (Минск), С. Юдин (Волгоград), Д. Шапиро (Челябинск), А. Александров (Глазов Удм. АССР), Г. Симоненко (Каунас).

Интересное решение прислада А. Калика из Баку и С. Соболев из Москвы. Вот оно.

Наклонив брусок и удерживая его под некоторым углом к вертикали, приложим к бруску некоторую силу $F$, направленную вдоль бруска (рис. 10). При этом на брусок будет действовать еще сила реакции $N = mg + F \cos \alpha$ и сила тряния $F_{trp}$. Если сила тряния не достигает максимального значения, равного $kN = k (mg + F \cos \alpha)$, то конец бруска не будет скользить. При этом сила тряния равна $F \sin \alpha$. Таким образом, конец бруска не просkalзывает при

$$F \sin \alpha < kmg + kF \cos \alpha,$$

то есть при

$$F < \frac{kmg}{\sin \alpha - k \cos \alpha}.$$

Нетрудно увидеть, что при $k > tg \alpha$ брусок нельзя заставить двигаться, какой бы большой ни была сила $F$. Найдем угол $\alpha_0$, при котором брусок начинается. Измерив с помощью линейки высоту от горизонтальной плоскости до края наклонившегося бруска и ширину бруска и вычислив $tg \alpha_0$, найдем коэффициент тряния $k$.

44

20 гелия, заключенного в цилиндре под поршнем, очень медленно переводят из состояния I ($P_1 = 4,1$ амм, $V_1 = 32$ л) в состояние II ($P_2 = 15,5$ амм, $V_2 = 9$ л). Каждый набольший температурный доступ газ при этом прощесе, если график зависимости давления от объема — прямая линия (рис. !i)?

Нанесем на график сетку изотерм — гипербол $PV = \text{const} \frac{m}{\mu} RT$. Чем выше температура газа, тем дальше находится вершина гиперболы от начала координат. Поэтому ясно, что во время процесса I—II газ достигает такой набольшей температуры, при которой соответствующая гипербола не пересекает прямую I—II, а только касается ее.

Так как точка с координатами $P$ и $V$, соответствующая максимальной температуре, лежит как на гиперболе, так и на прямой, то ее координаты должны удовлетворять двум уравнениям: уравнение гиперболы

$$PV = \frac{m}{\mu} RT$$

и уравнение прямой

$$P = \alpha V + \beta$$

(α и β — постоянные. Их мы определим немного позже). Подставляя $P$ из второго уравнения в первое, получим квадратное уравнение для $V$:

$$\alpha V^2 + \beta V - \frac{m}{\mu} RT = 0.$$

Так как гипербола и прямая должны иметь лишь одну общую точку, это уравнение может иметь только один корень, то есть его determinate должно быть равен нулю:

$$\beta^2 + 4\alpha \frac{m}{\mu} RT = 0.$$

Решая последнее уравнение относительно $T$, найдем

$$T = -\frac{\beta^2 \mu}{4\alpha m R}.$$

В это выражение нужно подставить значения коэффициентов $\alpha$ и $\beta$. Так как точки I и II принадлежат одной и той же прямой $P = \alpha V + \beta$, то $P_1 = \alpha V_1 + \beta$ и $P_2 = \alpha V_2 + \beta$. Решая эту систему уравнения, найдем

$$\alpha = -\frac{P_2 - P_1}{V_1 - V_2}, \quad \beta = \frac{P_2 V_1 - P_1 V_2}{V_1 - V_2}.$$

Позному

$$T = \frac{(P_2 V_1 - P_1 V_2)^2 \mu}{4 (P_2 - P_1) (V_1 - V_2) m R}.$$

Подставив численные значения входящих в это выражение величины, получим

$$T \approx 490^\circ \text{ K}.$$

Правильное решение присладами М. Прегер (Томск), В. Рудько (Киев), Н. Федин (Омск), Г. Зайцев (Гагра), Л. Книжерман (Москва), О. Маслюк (Новомиргород Кировоградской обл.), В. Трунков (Гомель), Е. Розов (Минск), А. Петров (Асбест Свердловской, обл.), Л. Циферблам (Львов), И. Видорович (Симферополь), В. Тырышкин (Куйбышев), В. Мартивов (Иошкар-Ола), В. Климов (Солнечногорск Московской обл.), А. Товби (Одесса), Г. Фаст (Караганда), М. Гликман (Кишинев), А. Зисман (Псков), А. Есин (Лиггюль Ташкентской обл.), А. Тарнополский (Николаев), М. Саркисян (пос. Агаран Мегринского р-на Арм. СССР).

И. Ш. Словодечкий

45

Системы алгебраических уравнений

М. И. Шабунин

На вступительных экзаменах вузы передко предлагаются системы алгебраических уравнений; в частности, такие системы возникают в задачах на составление уравнений. Опыт экзаменов показывает, что многое поступающее с решением системы уравнения справляется неудовлетворительно.

Дело в том, что обычно учащся вопрос о нахождения решений системы поннимают просто как формальное выполнение ряда «привычных» алгебраических преобразований. При этом уpusケется из виду, что некоторые из примеремы преобразования могут привести к появлению посторонних решений или к потере решения исходной системы.

Без соответствующего обоснования решения системы уравнения логических неполюнено. В частности, мы можем не заменить потери некоторых решений. К сожалению, обоснованные, грамотно изложенные решения системы в работе поступающих встречаются крайне редко.

Подробное изложение всех важных вопросов, относящихся к системе уравнения, потребовано бы слишком много места *). Поэтому мы ограничим тем, что приведем основные теоретические положения, касающиеся решения трех алгебраических уравнений с темя неизвестными, а затем рассмотрим несколько примеров.

Сначала напомним некоторые определения.

Систему трех уравнений с темя неизвестными можно записать в виде

$$\begin{cases} f_1(x, y, z) = 0, \\ f_2(x, y, z) = 0, \\ f_3(x, y, z) = 0 \end{cases}$$

или, опуская для краткости неизвестные, в виде

$$\begin{cases} f_1 = 0, \\ f_2 = 0, \\ f_3 = 0. \end{cases}$$

Мы будем рассматривать только алгебраические системы, то есть такие

*) Читатель можно рекомендовать обработаться, например, к книге В. Г. Болтянского, Ю. В. Сидорова и М. И. Шабунина «Лекции и задачи по элементарной математике», М., «Наука», 1971.

системы, у которых левая часть каждой уравнения системы является многочленом относительно неизвестных.

Решением системы (1) называется тройка чисел $(x_0, y_0, z_0)$, при подстановке которых соответствующего вместо $x, y, z$ каждое уравнение системы (1) становится верным числовым равенством. Решить систему ознакомает найти все ее решения.

Две системы уравнений

$$\begin{cases} f_1 = 0, \\ f_2 = 0, \\ f_3 = 0. \end{cases}$$

и

$$\begin{cases} g_1 = 0, \\ g_2 = 0, \\ g_3 = 0. \end{cases}$$

46

называются равносильными (эквивалентными), если они имеют одни и те же решения, то есть если решение системы (2) является решение системы (3) и, наоборот, если решение системы (3) является решение системы (2). Для обозначения равносильности системы (2) и (3) используется запись «(2) ⟨=⟩ (3)».

Заметим, что если мы наши все решения системы (3), равносильной системе (2), то тем самым найдены и все решения системы (2). В этом случае проверку проводить не нужно, то есть не нужно подставлять найденные при решении системы (3) значения неизвестных в исходную систему (2).

Уравнение
$$F(x, y, z) = 0$$
(4)
наозовем следствие системы (1), если каждое решение системы (1) удовлетворяет уравнению (4). Запись «(1) ⟨=⟩ (4)» будет означать, что уравнение (4) есть следствие системы (1).

Будем говорить, что система (1) равносильна совокупности системы
$$\begin{cases} F_1 = 0, \\ F_2 = 0, \\ F_3 = 0 \end{cases}$$
и
$$\begin{cases} G_1 = 0, \\ G_2 = 0, \\ G_3 = 0, \end{cases}$$
если выполнены следующее условия:
a) каждое решение системы (1) является решение по крайней мере одной из системы (5), (6);
b) каждое решение любой из системы (5), (6) является решение системы (1).

Запись «(1) ⟨=⟩ [(5) ∨ (6)]» будет означать, что система (1) равносильна совокупности системы (5) и (6).

Если система (1) равносильна совокупности системы (5) и (6), то можно решить системы (5), (6) и обединить множества решений этих системы; это обедининие и дакт все решения системы (1) (совокупность система по является при рассмотрении различных случаев типа $x > 0$, $x < 0$, $x = 0$).

Сформируем теперь несколько свойств, наиболее часто используемых при решении системы уравнения. Мы не будем доказывать эти свойства; используя приведенные определения, читатель легко сможет самостоятельно проверить необходимые обоснования.

I. Пусть одно из уравнений системы (1), для определения первого, «распадается» на два уравнения, например представляется в виде
$$g_1(x, y, z) g_2(x, y, z) = 0,$$
где $g_1$ и $g_2$ — многочлены от $x, y, z$. Тогда система (1) равносильна совокупности следующих двух систем:
$$\begin{cases} g_1 = 0, \\ f_2 = 0, \\ f_3 = 0 \end{cases} \quad \text{и} \quad \begin{cases} g_2 = 0, \\ f_2 = 0, \\ f_3 = 0. \end{cases}$$

Это утверждение легко обобщается на случай, когда два или три уравнения системы (1) «распадаются» на несколько уравнений.

II. Если уравнение (4) является следствием системы (1), то, при соединении к системе (1) уравнение (4), мы получим систему {{1}, {4}} четырех уравнений, равносильную исходной.

III. Пусть уравнение (4), является следствием системы (1), «распадается» на два уравнения:
$$F_1(x, y, z) \cdot F_2(x, y, z) = 0,$$
где $F_1$, $F_2$ — многочлены от $x, y, z$. Тогда система (1) равносильна совокупности следующих двух систем:
$$\begin{cases} f_1 = 0, \\ f_2 = 0, \\ f_3 = 0, \\ F_1 = 0 \end{cases} \quad \text{и} \quad \begin{cases} f_1 = 0, \\ f_2 = 0, \\ f_3 = 0, \\ F_2 = 0. \end{cases}$$

IV. Система уравнения (1) равносильна каждой из следующих системы:
$$\begin{cases} f_1 - f_2 = 0, \\ f_2 - f_3 = 0, \\ f_3 - f_4 = 0; \end{cases} \quad \text{и} \quad \begin{cases} f_1 - f_2 = 0, \\ f_2 - f_3 = 0, \\ f_3 - f_4 = 0; \end{cases}$$

$$\begin{cases} f_1 + f_2 = 0, \\ f_1 + f_3 = 0, \\ f_2 + f_3 = 0 \end{cases}$$

(возможность прибавлять к одному уравнению системы другое, умноженное на произведение число).

V. Пусть одно из уравнений системы (1), например первоое ее уравнение $f_1(x, y, z) = 0$, равносильно уравнение $x = \varphi(y, z)$ — многочлен от $y$ и $z$. Тогда система (1) равносильна системе
$$\begin{cases} x = \varphi(y, z), \\ f_2[\varphi(y, z), y, z] = 0, \\ f_3[\varphi(y, z), y, z] = 0. \end{cases}$$