Квант 1971, №11 · Страницы

Научно-популярный физико-математический
квант
11
1971
журнал
Академии
наук СССР
и
Академии педагогических
наук СССР

В номере:

Взаимодействие atomов и молекул 1 Г. Я. Мякищев
О наилучших приближениях 8 Д. Б. Фукс, М. Б. Фукс
Поле тяжести сферически-однородного тела 16 И. И. Оценевцкий
«Неприводимый» случай 20 В. Г. Янкелевич
Лаборатория «Кваenta»
Демонстрация орбит тел, движущихся под действием центрального притяжения 22 Р. Вуд
Задачик «Кваenta»
Задачи 24
Решения задач
M70-M73; Ф79-Ф82 26
Н. В. Васильев, А. Л. Тоом, Б. В. Буховцев, И. Ш. Слободецкий
V Весоюзная математическая оптимка 35 В. Л. Гутенмахер
V Весоюзная физическая оптимка 42 И. А. Зайцев
Практикум абитриента
Графики в задачах на равномерные процессы 48 Б. А. Кордемский
Статика 54 Л. Г. Асламазов
Информация
Заочная оптимка Азиатской части СССР 58
Рецензии, библиография
От галактик до элементарных частиц 63 В. А. Леицковцев
Ответы, указания, решения 64
Уголок коллекционера
Значки Весоюзных оптимка 3-я стр. обл.
Кроссворд 4-я стр. обл.

3

Электромагнитная природа
межмолекулярных сил

Приступить к теоретическому исследованию механических сил до начала 20 века было почти невозможно. Простые и хорошо изученные границыные силы при взаимодействии тел столбной массы как молекуля являются не могли играть заметной роли. Оставалось предложить, что молекулярные силы имеют электромагнитную природу. О каких-либо других силах в то время ничего не знали.

Любой atom и тем более молекул — это сложная система из большого числа загруженных частиц. Как она устроена, было не известно. А ведь от строения молекул, несомненно, зависит силы их взаимодействия. Однако исследование началось и начались, естественно, с самых простых случаев.

Оrientationные силы

У многих молекул, например, у воды, распределение положительных и отрицательных зарядов таково, что в среднем центры этих зарядов не совпадают. Такую молекулу приближенно можно рассматривать как электрический диополь: совокупность двух точных зарядов +q и —q на небольшим расстоянии l друг от друга (рис. 1). Электрические свойства такой молекулы характеризуют диопольным моментом

$$p = ql$$

Рассчитывать значения диопольных моментов молекул на первых порах не умели. До появления квантовой механики это вообще было невозможно.

Но, если считать диопольные моменты $p_1$ и $p_2$ двух молекул известными, то зависит силы взаимодействия молекул. Они возникут между двумя молекулами, одна из которых обладает диопольным моментом, а второй — нет.

Diопольная молекula создает электрическое поле, которое поляризует молекул с электрическими зарядами, равномерно распределенными по объ-

ему. Положительные заряды смешаются по направлению электрического поля, а отрицательные — против. В результате неполярная молекula немного расстоять и в этом случае. Она пропорциональная диполному момент $p$ полярной молекулы, коэффициент $\alpha$, характеризующему способность неполярной молекулы поляризоваться и опять-tаки обратно пропорциональна седьмой степени расстояния между молекулами:

$$F_n \sim \frac{p \alpha}{r^7}.$$

Данные силы прятяжения называются индукционными или поляризонными, так как они возникают благодаря поляризация молекул, вызванной электристатической индукцией.

Дисперсионные силы

Хорошо известно, что силы прятяжения существуют и между неполярными молекулами. Например, atoms инертных газов не имеют диполного момента, но тем не менее взаимодействуют друг с другом. Природа этих сил была выясена только после создания квантовой механики.

Качественное и грубо приближенное появление этих сил можно объяснить так. В atomах и молекулах электрины каким-то сложным образом движутся вокруг ядер. И в среднем по времендиполные моменты молекул могут оказаться равными нулю.

Но в каждой момент времени электрины занимают какое-то определенное положение. Поэтому мгновенное значение диполного момента от нуля. Мгновенный диполь создает поле, поляризуще сседние неполярные atoms. Из-за этого появляется взаимодействие мгновенных диполей. Полная взаимодействия между неполярными молекулами есть средний результат взаимодействия всевозможных мгновен-

ных диполей с диполными моментами, которые они наводят в соседних молекулах благодаря индукции.

Квантовый расчет приводит к выводу, что сила взаимодействия в этом случае пропорциональная произведение молекул $\alpha_1$ и $\alpha_2$ и обратно пропорциональная седьмой степени расстояния:

$$F_{\pi} \sim \frac{\alpha_1 \alpha_2}{r^7}.$$

Данные силы называются дисперсионными по той причине, что дисперсия вещества (зависимость показателя преломления света от частоты) определяется теми же свойствами молекул, что и эти силы.

Дисперсионные силы действуют между всеми atomами и молекулами, так как механизм их появления не зависит от того, есть ли у них постоянные диполные moments или нет. Объчно эти силы превозходят по величине как ориентационные, так и индукционные силы. Только при взаимодействии молекул с большими диполными моментами, например, молекул воды, ориентационная сила большие дисперсионной (для молекул воды в три раза). При взаимодействии же полярных молекул (CO, HCl и т.п.) дисперсионные силы в десяти и сотни раз превозходят все остальные.

Но главное, что все три типы прятяжения одинаковым образом убывают с расстоянием как $\frac{1}{r^7}$. Впрочем, на больших сравнительно с размерами молекул расстояния начинает сказаться конечностью скорости распространения электримагнитных взаимодействия. Из-за этого на расстояниях порядка $10^{-5}$ см силы прятяжения начинают убывать уже как $\frac{1}{r^8}$. Это было обнаружено в опитах Дерягина.

Силы ottalкивания

Теперь обратим внимание на силы ottalкивания, действующие между молекулами на очень малых расстояниях. С одной стороны, здесь полож-

4

Женнее проще, а с другой, — сложнее. Проще в том смысле, что эти силы очень быстро нарастют при сближении молекул, и поэтому та или иная быстроаизменения силы с расстоянием не оказывает заметного влияния на течение разнообразных процессов.

Сложность состоит в том, что силы ottalкивания в значительной большей мере, чем силы притяжения, зависит от индивидационного молекул. Зная, как молекula A ottalкивает молекулы B и C, мы еще не в состоянии судить, какие силы ottalкивания будут действовать между молекулами B и C. При непредседентном сближении молекул индивидаЛЬность их строения сказывается в большей мере, чем при больших расстояниях между ними.

К достаточно хорошо результатом приводит допущение, что силы ottalкивания возратают по закону

$$F_{от} \sim \frac{1}{r^{13}}.$$

Учитывая, что силы притяжения с уменьшением расстояния увеличиваются пропорционально $\frac{1}{r^7}$, а силы ottalкивания растут как $\frac{1}{r^{13}}$, можно нарисовать примерную зависимость силы от расстояния. На рисунке 4 силы ottalкивания считаются положительными, а силы притяжения отрицательными. При расстоянии $r_0$, равном примерно сумме радиусов молекул, сила равна нулю.

Потенциальная энергия взаимодействия молекул

При изучении поведения большой совокупности молекул удобнее пользоваться не силой взаимодействия молекул, а потенциальной энергей.

Нужно вычислять средние характеристики системы, а понятие средней силы взаимодействия молекул лишено смысл, так как сумма всех сил, действующих между молекулами, согласно третьему закону Ньютона равна нулю. Средняя же потенциальная энергия, как мы скоро увидим, в существенной мере определяет состояние и свойства вещества.

Так как изменение потенциальной энергии равно работе силы, то по известной зависимости силы от расстояния можно найти зависимость от расстояния потенциальной энергии*).

При этом надо учитывать, что если сила меняется с расстоянием как $\frac{1}{r^n}$, где $n$ — некоторое число, то потенциальная энергия будет меньше по закону $U \sim \frac{1}{r^{n-1}}$. Это видно уже из сообщений размерности. Энергия имеет размерность работы, то есть произведение силы на расстояние. Поэтому размерность энергии равна размерности силы, умноженной на размерность расстояния.

*) См. статью Р. Г. Минца «Графики потенциальной энергии», «Квант» № 5, 1971, стр. 8—16.

6

пия. Эта точка называется точкой поворота. В дальнейшем молекулы движется в положительном направлении $r$ и уходит на бесконечность.

Совершенно иная картина будет наблюдаться при $E = E_2 < 0$ (см. рис. 9). В этом случае молекула находится в потенциальной яме и не может из нее выйти. В точках поворота $r_2$ и $r_3$ кинетическая энергия равна нулю. Возникает так называемое связанное состояние. молекулы совершают колбания друг воздействия. Разделение системы на две независимые частицы невозможно без увеличения полной энергии до $E > 0$.

Энергия взаимодействия молекул в газах, жидкости и твердых телах

Установим теперь количество критерий различных газами, жидкости и твердыми телами с точки зрения молекулярно-kinетической теории.

Газы

Можно получить более глубокое представление о состоянии вещества, называемом реальным газом, если направить картину зависимость потенциальной энергии одной из молекул от расстояния до ее близкойих соседей (рис. 10). При перемещении молекулы ее потенциальная энергия на большей части пути почти точно равна нулю, так как расстояние между молекулами в газе в среднем гораздо больше их размеров. В точках 1 и 2 расположены близкие соседние расматриваемой молекулы. Данная молекula проходит на довольно зна-

чительном расстоянии от соседа 1 и на более близком от соседа 2.

Средняя потенциальная энергия молекулы отрицательна и очень мала. Ее величины равна площади фигуры, ограниченной потенциальной кривой между точками 1 и 2 и осью $r$, деленной на длину отрезка 1—2 (среднее значение отрезка 1—2). Полная средняя энергия обязаτεльно больше нуля (прямая на рис. 10), так как при $E < 0$ мы имеем бы связанное состояние молекул. Это возможно лишь при условии, что в газе средняя кинетическая энергия молекулы больше среднего значения ее потенциальной энергии:

$$\bar{E}_{\kappa} > |\bar{U}|.$$

Ведь

$$\bar{E} = \bar{E}_{\kappa} + \bar{U},$$

а $\bar{U}$ — отрицательна.

Жидкости

В жидкости и твердых телах молекулы находятся на малом расстоянии друг от друга. Поэтому каждая молекula взаимодействует сразу с нескольких своих молекулами. Ограничимся учетом взаимодействия данной молекулы с двумя близкими соседями, находящимися примерно на расстоянии $2r_0$ друг от друга.

Искому потенциальную кривую можно получить наложенный кривой, изобразенный на рисунке 7 (парное взаимодействие) на такую же кривую, смщенную относительно первой на расстояние чуть больше $2r_0$. Потенциальные энергии складываются, и поэтому глубина потенциальной ямы увеличивается почти вдвое, а мак-

симуты энергии уменьшаются (рис. 11). Ход потенциальной кривой с учетом взаимодействия с другими молекулами показан на рисунке 12.

Для того чтобы молекula не могла покинуть жидкость, ее средняя энергия должна быть отрицательна ($\bar{E} < 0$). Только в этом случае молекula остается внутри потенциальной ямы, образованной ее соседями. Если же $\bar{E} > 0$, то молекula не удержится внутри жидкости и покинет ее.

Так как $\bar{E} = \bar{E}_k + \bar{U}$ и $\bar{U} < 0$, то в жидкости средняя кинетическая энергия меньше абсолотного значения средней потенциальной энергии: $\bar{E}_k < |\bar{U}|$, причем лишь незначительное меньше ($\bar{E}_k < |\bar{U}|$), так что $|\bar{E}| \leq |\bar{U}|_0$ — минимального (по абсолотной величины) значения потенциальной энергии. Именно поэтому колебания молекулы в яме не продолжается долго. Из-за хаотичности движения молекул их энергия непрерывно меняется и становится too больше, то меньше энергии $\bar{E}$.

Как только энергия молекулы превышает высоту потенциального барера, отделяющего одну яму от другой, молекula перескакивает из одного положения равновесия в другое. Этим как раз и определяется характер теплового движения молекул в жидкости и текущей жидкости. Время «оседлой жизни» молекулы — это время нахождения ее внутри определенной потенциальной ямы. С повышением температуры средняя энергия увеличивается, и перескокки проинсходят чашце.

Твердые тела

Potentialная энергия взаимодействия молекулы твердого тела со своим ближайшим соседями похожа на энергию взаимодействия молекул жидкости (рис. 12). Только глубина потенциальной ямы здесь несколько больше, так как молекулы расположены близже друг к другу. Условие $\bar{E}_k < |\bar{U}|$ выполняется, и для твердых тел. Но кинетическая энергия молекул твердого тела значительное меньше, чем у молекул жидкости. Ведь твердые тела образуют при охлаждении жидкости. Соответственно, в твердых телах средняя кинетическая энергия движения молекул значительное меньше абсолотного значения средней потенциальной энергии:

$$\bar{E}_k \ll |\bar{U}|.$$

На рисунке 12 средняя энергия молекулы внутри потенциальной ямы изобразена отрезком прямой. Частца совершает колебания удана потенциальной ямы. Высота бареров между соседними ямами велика, и молекулы почти не перемещаются из одного положения равновесия в другое. Для перемещения молекул должна получить энергию, значительное превышает среднюю энергию. Это событие маловерятно. Bot почему твердые тела, в отличие от жидкости, сохраняют свою форму.

10

лучим точку $A_4$. Вектор $\vec{OA}_4$ обозначим через $a_4$, из точки $A_3$ откладываем $a_4$ и т. д.

Получаются две ломаны: $A_1 A_3 A_5 \dots$ и $A_2 A_4 A_6 \dots$, объемлочные ось $l$ (рис. 3). Можно случиться, что какая-то из точки $A_k$ попадет прямо на $l$ — на этом процесс прекращается. Можно оказаться, что этого не произойдет — тогда процесс будет бесконечным.

Все вместе и называется алгоритм вытягивания носов (ABH).

Спроектируем теперь все построения на прямую, перpendикулярную к оси $l$. Сама ось $l$ перейдет при этом в одну точку, векторы $a_k$ — в отрезки, которые мы обозначим через $b_k (k=1, 2, 3, \dots)$. Получим уже известный нам алгоритм Евклида для отрезков $b_1$ и $b_2$. В частности,

$$\frac{b_1}{b_2} = \left[ m_1; m_2, m_3, m_4, \dots \right]$$

и, значит,

$$\frac{b_2}{b_1} = \left[ 0; m_1, m_2, m_3, \dots \right].$$

Тепер покажем, как использовать ABH при решении нашей геометрической задачи (см. § 1). Рассмотрим упоминавшуюся в § 1 решетку, точки которого отвечают приближением числа $\alpha$ (нам удобно считать, что $0 < \alpha < 1$; очевидно, что при доказательстве теоремы Гурвица — Бореля можно ограничиться таким числами).

Приимем ABH к векторам $a_1 = \vec{OA}_1$ и $a_2 = \vec{OA}_2$, на которых построена наша решетка, и к оси $l = OY$. Получается две ломаны линия $A_1 A_3 A_5 \dots$, $A_2 A_4 A_6 \dots$, объемлочные ось $OY$ (рис. 4).

Числа $m_1, m_2, \dots$, фигурирующие в ABH, представляют собой не что иное, как неполные частиные числа $\alpha$. Более точно, разложение числа $\alpha$ в цепную дробь выгляит так:

$$\alpha = \left[ 0; m_1, m_2, \dots \right]$$

(напомним, что $0 < \alpha < 1$).

Докажем теперь несколько свойств наших ломанных.

Теорема 1. Точки $A_1, A_2, A_3, \dots$ являются точками решетки.

Справедливо это утивержняя ясна из рисунка 4. Его полное доказательство основано на теореме 2 части I. Подробности мы оставляем читателю.

Теорема 2. Между ломаны $A_1, A_3 A_5 \dots$ и $A_2 A_4 A_6 \dots$ (мо есть в защитхованной на чертеже области) мощ решетки нем.

Доказательство. ABH состоит в последовательном откладывании векторов: $A_1 B, BA_3; A_2 C, CA_4; A_3 D, DE; \dots$. Для каждого такого вектора построим параллелограмм, сторонами которого служат этот вектор и тот вектор, параллельного которого он откладывается. Получим последовательность параллелограммов

$$OA_2 BA_1, OA_2 A_3 B, OA_2 CA_3, OCA_4 A_3, OA_4 DA_3, \dots$$

12

Теорема 3. Точка $A_k$ ($n \geq 2$) отвечаем ($k-2$)-й подходящей дроби $\alpha_{k-2}$ числа $\alpha$.

Доказательство.
Для $A_2$ и $A_3$ это ясно: $A_2$ соответствует $p=0$, $q=1$, то есть приближению, равному $0=\alpha_0$ (напомним, что $m_0=0$); $A_3$ соответствует $p=1$, $q=m_1$ (рис. 8), то есть приближению $1/m_1=\alpha_1$.

Пусть нам уже известно, что при $i \leq k-1$, где $k \geq 4$, точка $A_i$ отвечает приближению $\alpha_{i-2}$. Покажем, что $A_k$ отвечает $\alpha_{k-2}$.

Мы должны доказать, что $A_kC=p_{k-2}$, $A_kH=q_{k-2}$ (рис. 9). Треугольник $A_{k-2}A_kE$ подобен треугольнику $OA_{k-1}M$; треугольник $A_{k-2}A_kB$ подобен треугольнику $OA_{k-1}D$; коэффициент подобия в обонх случах равен $m_{k-2}$. Имеем:
$$A_kC = BC + A_kB = A_{k-2}F + m_{k-2}A_{k-1}D = p_{k-4} + m_{k-2}p_{k-3} = p_{k-2},$$
$$A_kH = EH + A_kE = A_{k-2}G + m_{k-2}A_{k-1}M = q_{k-4} + m_{k-2}q_{k-3} = q_{k-2}$$
(см. статью Н. М. Бескина).

Теорема доказана.

Теорема 3 вместе со следствием из теоремы 2 приводит нас к следующему выводу:
Если для данного irrationalного числа $\alpha$ есть бесконечное много приближений с коэффициентом качества, меньше данного, то их бесконечное много уже среди подходящих дробей числа $\alpha$.

Остается последний вопрос: как найти коэффициенты качества подходящих дробей?

Счастливым образом этот вопрос удается полностью решить, и ответ записьвается изящной и удобной формулиой.

§ 3. Коэффициенты качества подходящих дробей.

Теорема 4. Пусть $\alpha=[0; m_1, m_2, \dots]$, $\mu_k$ — коэффициент качества $k-1$-й подходящей дроби. Тогда:

$$\frac{1}{\mu_k} = m_k + [0; m_{k+1}, m_{k+2}, \dots] + [0; m_{k-1}, m_{k-2}, \dots, m_1]$$

12

Доказательство.
Рассмотрим точки $A_{k+2}$ и $A_{k+1}$, отвечающие приближением $\alpha_k$ и $\alpha_{k-1}$ (рис. 10). Через $q_k$, $r_k$; $q_{k-1}$, $r_{k-1}$ обозначим их расстояния до осей $OX$, $OY$. Мы знаем, что $\mu_k = r_{k-1}q_{k-1}$ (см. § 3). Доказем тгри формулы:

$$q_k r_{k-1} + q_{k-1} r_k = 1$$ (3)
$$r_k / r_{k-1} = [0; m_{k+1}, m_{k+2}, \dots]$$ (4)
$$\frac{q_k}{q_{k-1}} = [m_k; m_{k-1}, m_{k-2}, \dots, m_1]$$ (5)

Формула (3) доказывает так. Разобъем параллелограмм $OA_{k+1}BA_{k+2}$ прямыми, параллельными осем координат, на треугольники: $A_{k+1}QO$, $OPA_{k+2}$, $A_{k+2}MB$, $BRA_{k+1}$ и прямой гольник $MPQR$ (см. рис. 11). Площадь параллелограмма $OA_{k+1}BA_{k+2}$ равна 1, так как это — основной параллелограмм нашей решетки. Находим площади частей:

$$1 = \frac{1}{2} r_{k-1} q_{k-1} + \frac{1}{2} r_k q_k + \frac{1}{2} r_{k-1} q_{k-1} + \frac{1}{2} r_k q_k + (r_{k-1} - r_k) (q_k - q_{k-1}) = q_k r_{k-1} + q_{k-1} r_k.$$

Формула (4), по существу, нам уже известна: если отбросять часть нашего алгоритма вытягивания носов, предшествующего получения точки $A_{k+2}$, мы получим тот же алгоритм для векторов $OA_{k+1}$, $OA_{k-2}$. Поэтому формула (4) прямо следует из формулы (2).

Самое необходимое доказательство имеет формула (5). Построим ломанную $A'_{k+2} \dots A'_2$ (рис. 12), симметрично ломаной $A'_{k+2} \dots A'_2$ относительно точки $O$. Эта ломанная вместе с ломаной $A'_{k+1} \dots A'_1$ представляется собой, как это видно, результат применения $ABH$ к векторам $\overrightarrow{OA}_{k+2}$, $\overrightarrow{OA}_{k+1}$ и отрицательного

14

направления оси $OX$. Этот алгоритм, как мы видим, конечный, и кончается в точке $A_1$. Устроен он так: сначала из точки $A'_{k+2}$ сткладывает $m_k$ раз вектор $OA_{k+1}$, затем из точки $A_{k+1}$ откладывает $m_{k-1}$ раз вектор $\vec{OA}'_k$ и т. д. Последнее откладывание: вектор $\vec{OA}'_2$ откладывает $m_1$ раз.

В силу формулы (4) имеем:

$$q_k/q_{k-1} = [m_k; m_{k-1}, \dots, m_1].$$

Итак, все формулы доказаны. Докажем теперь теорему 4.

Имеем:

$$\frac{1}{\mu_k} = \frac{q_k r_{k-1} + q_{k-1} r_k}{r_{k-1} q_{k-1}} = \frac{r_k}{r_{k-1}} + \frac{q_k}{q_{k-1}} = [0; m_{k+1} \dots] + [m_k; m_{k-1}, \dots, m_1]$$

что и требовалось доказать.

§ 4. Доказательство теоремы Гурвица-Бореля.

Мы должны показать, что бесписленное множество подходящих дробей числа $\alpha = [0; m_1, m_2, \dots]$ имеет коэффициенты качества, меньше $\frac{1}{\sqrt{5}}$, то есть, что для бесконечного многоих $k$ имеет место неравенства $\mu_k < \frac{1}{\sqrt{5}}$ или $\frac{1}{\mu_k} > \sqrt{5}$. Воспользуемся теоремой 7.

Возможны три случая.

1°. Среди чисел $m_1, m_2, \dots$ бесконечного многоотличных от 1 и от 2. Этот случай — самый простой. Если $m_k > 2$, то $m_k \geq 3$ и $\frac{1}{\mu_k} = m_k + \frac{1}{m_{k+1} + \dots} + \frac{1}{m_{k-1} + \dots} > m_k \geq 3 > \sqrt{5}$.

2°. Среди чисел $m_1, m_2, \dots$ лишь конечное число отличных от 1 и 2, но двоее бесконечное многого. В этом случае для бесконечного многоих $k$ имеем:

$$\frac{1}{\mu_k} = m_k + [0; m_{k+1}, \dots] + [0; m_{k-1}, \dots] > 2 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{8}{3} > \sqrt{5}$$

3°. Начиная с некоторого, все неполные частиные равны 1. Пусть, скажем, $m_{k_0} > 1$ и $m_k = 1$ при $k > k_0$. Если разность $k - k_0$ четна, то

$$\frac{1}{\mu_k} = 1 + [0; 1, 1, \dots, 1, m_{k_0}, \dots] > 1 + 2 [0; 1, 1, \dots] = 1 + \frac{4}{\sqrt{5} + 1} = \sqrt{5}$$

(Mы воспользовались здесь тем, что, если $k$ четно и $m'_{k+1} > m'_{k+1}$, то

$$[m_0; m_1, \dots, m_k, m'_{k+1}, \dots] > [m_0, m_1, \dots, m_k, m'_{k+1}, \dots]$$

и равенством $[1; 1, 1, \dots] = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$).

Докажите эти факты самостояльно).
Строго говоря, остался не рассмотренным случай, когда все неполные частиные равны 1. В этом случае имеем

$$\frac{1}{\mu_k} = 1 + [0; 1, 1, \dots] + [0; 1, 1, \dots, 1]$$

и при четном $k$ получаем

$$\frac{1}{\mu_k} < 1 + 2 [0; 1, 1, \dots] = \sqrt{5}$$

в силу свойств цепных дробей.

Во всех случаях доказано существование бесконечного многохриближения с коэффициентом качества, меньшим $1/\sqrt{5}$.

Ясно, что в то же время в случае $3^\circ$ и только в этом случае число $\sqrt{5}$ нельзя уведомить. Строго говоря, в этом случае

$$\lim_{k \to \infty} \frac{1}{\mu_k} = \sqrt{5},$$

то есть при очень больших $k$ число $1/\mu_k$ очень близко к $\sqrt{5}$.

Таким образом, все утверждения теоремы Гурвица — Бореля нами доказаны.

Фактически мы доказали даже больше. Ясно, что теорема 7 позволяет решать вопрос о наилучших приближениях индивидаального для каждой $\alpha$. Например, если неполные частиные данного числа $\alpha$ не равны все 1, начиная с некоторого номера, то есть если случай $3^\circ$ не имеет места, то, как видно из нашей рассудения, $\sqrt{5}$ можно заменить на $2^2/3$ (а на самом деле даже на $2\sqrt{2}$; доказите). Из теоремы 7 следует, что

$$m_k < \frac{1}{\mu_k} < m_k + 2.$$

Отсюда видно, что если неполные частиные числа $\alpha$ растут неограниченно, то число $\frac{1}{\mu_k}$ может быть сколь угодно велико, то есть число $\mu_k$ может быть сколь угодно мало, то есть для данного $\alpha$ существуют приближения со сколь угодно малим коэффициентом качества.

Если же числа $m_k$ все меньше некоторого числа $N$, то коэффициент качества приближений этого числа не может быть меньше, чем $\frac{1}{N+2}$. Например, коэффициент качества рациональных приближений числа $\sqrt{2} = [1; 2, 2, \dots]$ не может быть меньше $\frac{1}{4}$ (фактически наменший коэффициент качества среди приближений числа $\sqrt{2}$ имеет дробь $\frac{3}{2}$; этот коэффициент равен $6 - 4\sqrt{2} \approx 0,34$).

Так удивительным образом оказывается, что «самые лучшие» приближенные числа, как $\sqrt{2}$, приближаются рациональным числами хуже всего.

16

Поле мяжести сферические-однородного тела

И. И. Огиевецкий

Закон всемирного тяготения Ньютона равным образом определяет и падение яблока на землю, и движение Луны вокруг Земли, и орбиты планет. Он основывает на том, что сила пряжения между материальными точками с массами $m_1$ и $m_2$, находящимся на расстоянии $l$ друг от друга, равна

$$F = \gamma \frac{m_1 m_2}{l^2},$$

(1)

где $\gamma = 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{H \cdot m^2}{\kappa^2}$ — гравиатционная постоянная (в системе СИ). Но Земля, Луна и другие реальные тела не точны, они имеют конечные размеры. Как определять силу пряжения между пряженными телами?

Решение этой проблемы привело Ньютона к созданию важнейшей отрасли математики — интегрального исчисления. Чтобы найти силу пряжения материальной точки к пряженному телу, следует мысленно разбить это тело на маленькие (в пределе — бесконечно малые) части, вычислить вклад в силу пряжения от каждой из этих частей по формуле (1) и затем сложить (проинтеррировать) эти вклады. Небесные тела можно приближенно считать сферическим-однородными, то есть таким, что в каждой данной точке их плотность целиком определяется расстоянием этой точки от центра тела. Ньютоон обнаружил замечательный факт:

$$F = \gamma \frac{4\pi R^2 \rho m}{d^2} = \gamma \frac{M \cdot m}{d^2},$$

(2)

где $M$ — масса поверхности. Иными словами, сила пряжения вне сферической поверхности такая же, как если бы все масса поверхности была сосредоточена в ее центре. Отсюда сразу же следует аналогичное утверждение для сферического-однородного тела.

*) Этим свойством часто пользоваться как оченьным, без доказательства. Использовать оно и в некоторых статьях «Кванта». Поэтому очень полезно понять, как оно доказывает.

18

Рис. 3.

Привлечем теперь инверсию и заменим в (6) $l$ на $\bar{l} \frac{d}{R}$ согласно (4):

$$\Delta F_{OQ} = \gamma \frac{m\rho R^2 \cos \alpha \Delta S}{d^2 \bar{l}^2} =$$
$$= \gamma \frac{m\rho R^2 \Delta \omega}{d^2},$$

(7)

где введена величины
$$\Delta \omega = \frac{\cos \alpha \Delta S}{\bar{l}^2}.$$

Сделаем важное наблюдение. Заметим, что $\alpha$ есть также угол между нормальным (радиусом $OP$) к элементу поверхности $\Delta S$ и направлением $\bar{Q}P^*$, и cosa положлен для любой точки $P$.

Легко убедиться поэтому, что $\Delta \omega$ — это телесный угол, под которым виден элемент поверхности $\Delta S$ из точки $\bar{Q}$.

Если ввести конус с вершиной в точке $\bar{Q}$ и образуются, обегающий контур $\Delta S$, то телесный угол при вершине этого конуса как раз и будет $\Delta \omega$ (рис. 3).

Численно угол $\Delta \omega$ равен площади, которое высекает этот конус из сферы единичного радиуса с центром в точке $\bar{Q}$.

*) Именно здесь и существена операция инверсии. С ее помощью мы ввели в знаменатель (6) вместо расстояния $l$ расстояние $\bar{l}$, благодарячем ему в формуле возник телесный угол $\Delta \omega$.

Полное принятие всех поверхностей $\Delta S$:

$$F = \sum_{s} \Delta F_{OQ} = \gamma \frac{m\rho R^2}{d^2} \sum_{s} \Delta \omega =$$
$$= \gamma \frac{m\rho 4\pi R^2}{d^2} = \gamma \frac{mM}{d^2},$$

(8)

так как $\sum_{s} \Delta \omega = 4\pi$ — полному телесному углу, под которым видна вся сфера из внутренней точки $\bar{Q}$, а $4\pi R^2\rho = M$ есть полная масса сферического поверхности. Тем самым утверждение 1 доказано.

Рассмотрим теперь материалную точку $\bar{Q}$ массы $m$ внутри полой сферического поверхности. Снова из сообщений симметрики оченьindo, что сила, создаваемая сферической поверхности в целом, может быть направлена только вдоль линии $O\bar{Q}$.

Поэтому нам нужно сложить составляющие силы $\Delta F_{OQ}$ от элементов сферы $\Delta S$, равные

$$\Delta F_{O\bar{Q}} = \gamma \frac{m\rho \Delta S \cos \beta}{\bar{l}^2} =$$
$$= \gamma \frac{m\rho R^2 \Delta S \cos \beta}{d^2 l^2},$$

(9)

если опять использовать примем с инверсии и заменить $\bar{l}$ на $l \frac{d}{R}$ согласно соответствию (4).

Рассчет сферу $S$ на две части $S_\Pi$ и $S_\lambda$ плоскостью, проходящей через точку $\bar{Q}$ перpendикулярно линни

О$\bar{Q}$ и образуошей в пересечении со сферой диск (рис. 4). Очевидно, что части сферической поверхности $S_\pi$ и $S_\pi$, лежащие справа и слева от этого диска, будут притягивать материальный точку $\bar{Q}$ в разные стороны, направо и налево. Соответствие (см. рис. 4), $\cos \beta > 0$ для точек $P$ из $S_\pi$ и $\cos \beta < 0$ для точек из $S_\pi$. Учтем теперь, что $\frac{\Delta S | \cos \beta |}{l^2} = \Delta \omega - \text{телесному углу}, под которым виден элемент$\Delta S$из точки$Q^*$). Складывая силы$\Delta F_{o\bar{Q}}$, находим полную силу$$F = \sum_S \Delta F_{o\bar{Q}} = \frac{\gamma m\rho R^2}{d^2} \left( \sum_S \Delta \omega - \sum_S \Delta \omega \right),$$(10) где суммы распространены, соответственно, на части поверхности$S_\pi$и$S_\pi$. Но$\sum_S \Delta \omega = \sum_S \Delta \omega = \omega_D - \text{телесному углу}, под которым виден элемент $\Delta S$ из точки $Q$. В самом деле (см. рис. 4), для конуса с вершиной рис. 4.

$Q$, образованного касательными к сфере $S$, линяя касания есть как раз окружность $D$ (проверьте это). Таким образом,

$$F = 0$$

(*) Как и для точки вне сферы, при вычислении силы в точке внутри сферы мы обнаруживаем, что в формулу входит телесный угол, на этот раз для инвертированной точки, лежащей вне сферы.

для любой точки $\bar{Q}$, лежащей внутри $S$. Доказательство утверждения 2 завершено, внутри однородной сферической поверхности силая тяготения действительного образается в нуль.

Весьма примечательно, что Ньютоон придавал очень большое значение доказанным выше предположением о гравиатционных свойствах протяженных сферических-однородных тел и поверхности. Только после доказательства этих предположений Ньютоон опубликовал полученный им на много лет ранее вывод законов движения планет Кеплера из формулы (1) для точных тел (см. Дж. Орир, «Популярная физика», Москва, 1964 г., стр. 87—98).

Упражнения

1. Замечательным свойством математических методов является то, что одна и та же же «математическая модель» может описывать факты из совершенню, казалось бы, далеко от друга областей физики. Полъязысь тем, что закон Кулона; описывающий взаимодействие двух точных электрических зарядов, математически записывается так же, как и гравиатционный закон Ньютона, формулируйте «электростатические аналоги» предположений 1 и 2.

2. Докажите, что сила притяжения точной массы однородной неограниченной пластинкой обратно пропорциональна расстоянию этой массы от пластинки.

3. Найдите силу притяжения, оказываемого однородной материальной полусферой на точную массу, расположенную на прямой, соединяющей центр сферы с ее полюсом.

4. В воображаемом плоском мире Хинтона (см. «Квант» № 4, 1970) сила взаимодействия точных масс обратно пропорциональна расстоянию между ними. Имея в виду, что «сферами» плоского мира является окружности, формулируйте и докажите для мира Хинтона предложения, аналогичные предложениями 1 и 2. Покажите, что сила притяжения, которой испытывает воображаемый житель одной из планет хинтоновской системы, пропорциональна расстоянию жителя от центра планеты. В случае, если в системе имеются коллебозные планеты, то во внутренности коллеба гравиатционное поле отсутствует (предполагается, что планеты составят из однородной материи).

20

В. Г. Янкелевич

Наш читатель семиклассик Миша Балкин справивает: «Я видел в справочнике формулу Карданов для решения кубичного уравнения $x^3 + px + q = 0$:

$$x = \sqrt[3]{\frac{q}{2} + \sqrt{D}} + \sqrt[3]{\frac{q}{2} - \sqrt{D}},$$

где $D = \left(\frac{p}{3}\right)^3 + \left(\frac{q}{2}\right)^2$.

Но мне кажется, что эту формулу не всегда можно использовать. Например, если мы хотим найти с помощью этой формулы корни уравнения $x^3 - x = 0$ ($p = -1, q = 0$), то получим

$$x = \sqrt[3]{\sqrt{-\frac{1}{27}}} + \sqrt[3]{-\sqrt{-\frac{1}{27}}}.$$

Это какое-то минимальное число, а уравнение имеет три короня: 0, 1 и -1. Как установить это противоречие?>

Редакция считает, что ответ на этот вопрос будет интересен многим нашим читателем. Мы публикуем статью школьника 10 класса города Кустаная В. Г. Янкелевча, который рассказывает, как можно решать кубичные уравнения в том случае, когда в формуле Карданов получаются отрицательные числа под знаком квадратного корня.

Еще в XVI веке была найдена общая формула, позволяющая выразить решение уравнения третьей степени

$$x^3 + px^2 + qx + r = 0$$

(1)

через его коэффициенты с помощью арифметических операций и известения корней. Эту формулу (ее называют формулой деля Ферро или формулой Тарталья — Кардано) можно записать так:

$$x = \sqrt[3]{\frac{c}{54} + \sqrt{\frac{D}{108}}} + \sqrt[3]{\frac{c}{54} - \sqrt{\frac{D}{108}}} - \frac{p}{3},$$

(2)

где $c = 2p^3 - 9pq + 27r$; $D = p^2q^2 - 4q^3 - 4p^3r + 18pqr - 27r^2$. После, как только оформилось понятие компплексного числа, стало ясно, что эта формула позволяет получить все решения уравнения (1) с любыми (комплексными) коэффициентами $p, q, r$. Но, к сожалению, даже если все коэффициенты уравнения — общные действияные числа, то для нахождения (далее действияных!) решения по формуле (2) приходится извлечь чисел; эта трудность возникает, когда $D > 0$ (это как раз тот случай, когда уравнение имеет три различных действительных корня).

Рассмотрим кубичное уравнение (1) с действительными и положительными дискрипиментами $D^*$).

Мы показем, что любое уравнение (1) можно свести к уравнению вида

$$ay^3 - 3by^2 - 3ay + b = 0,$$

(3)

где $a$ и $b$ — действительные числа и $a \neq 0$.

Сначала доказем, что уравнение (3) имеет корни

$$y_1 = \tg \frac{\varphi}{3},$$

$$y_2 = \tg \frac{\varphi + 2\pi}{3},$$

$$y_3 = \tg \frac{\varphi + 4\pi}{3},$$

*) $D$ называется дискрипиментом многочлена $x^3 + px^2 + qx + r$. Можно показать, что $D = (x_1 - x_2)^2 (x_2 - x_3)^2 (x_3 - x_1)^2$, где $x_1, x_2, x_3$ — корни уравнения (1). Если коэффициенты $p, q, r$ действительны и $D < 0$, то уравнение имеет два сопряженных компплексных корня и один действительный, который сразу находится по формуле (2).

22

Демонстрация орбит тел, движущихся под действием центрального приряжения

Р. Вуд

В прошлом номере нашего журнала была напечатана статья замечательного американского физика Р. Вуда об искусственных миражах и смерчах. Ниже мы помещаем еще одну статью Вуда, посвященную исследованию орбит тел в центральном поле. Эта статья была опубликована в журнале «Physical Review» за 1897 год.

После того как Вуд опубликовал статью оLABORATORIЙ Демонстрации орбит планет и комет вокруг Солнца при помощи стального шарика и электромагнита, в журнале «Nature» было опубликовано письмо профессора лондонского университета, в котором утверждалось, что данный опыт не демонстрирует орбиты в gravитационном поле, так как сила приряжения шарика магнитом изменяется обратно пропорционально пятой степени, а не квадрату расстояния, как в случае тяготения.

Вуд взялся за работу всегда, начертил детальную диаграмму и понял, что шарик пересекает магнитные линии под углом и что его орбита зависит только от горизонтальной составляющей напряжности. После тщательных измерений напряжности магнитного поля в плоскости стека оказалось, что она почти точно обратно пропорционально квадрату расстояния.

Тем временем критические открыки появились в нескольких других английских технических журналах, и Вуд с удовлетворением послал подтверждение правыности своего опыта, приведя результаты измерений.

Do six pins on his sleeve point to the laboratory’s surface, движение tells the planet no eliptical轨道, parabolic轨道 and hyperbolic轨道 под действием центральной приряжающего силы, величина которой менялась бы обратно пропорционально квадрату расстояния. Я провел несколько опытов, исследуя движение маленького стального шарика вокруг магнитного поля. Obиты длины хорошее результаты, и я считаю, что они могут быть полезны при чтении лекций.

Устройство для демонстрации очень несложно. Она состоит из стеклянного диска диаметром около 40 см, с маленьким отверстием в центре. В это отверстие пропущен конус большого электромагнита. Поверхность диска покрывается коптью (рис. 1). Нужно постараться как можно более точно придать пластине горизонтальное положение, а оси магнита — вертикальное.

Маленький стальной полированный шарик около 5 мм диаметром (например, из подшипника от вол-

24

ЗАДАЧИ

M111. В квадрате со стороны 1 расположена фигура, расстояние между любыми двумя точками которого не равно 0,001. Доказите, что площадь этой фигуры не превышает 0,34. (Можно считать, что граница фигуры, о которой говорится в условиям, состоит из отрезков прямых и дуг окружности.)
Постраяйтесь получить более точную оценку и доказать аналогичную теорему в пространстве.
Г. В. Розенблюм

M112. В таблице $m \times n$ записаны числа так, что для любых двух строк и любых двух столбцов сумма чисел в двух противоположных вершинах образуется ими прямогольника равна сумме чисел в двух других его вершинах. Часть чисел стерли, но поставимся можно восстановить стерты. Доказать, что осталось не меньше, чем $(n+m-1)$ чисел.

M113. Доказать, что для любого натурального $n$ найдется число, составленное из цифр 1 и 2, делящееся на $2^n$.
Б. М. Ивлев

M114. По кругу выписано несколько чисел. Если для некоторых четырех идущих подряд чисел $a, b, c, d$ оказывается, что $(a-d)(b-c) < 0$, то числа $b$ и $c$ можно поменять местами. Доказать, что эту операцию можно проделать лишь конечное число раз.
В. Б. Алексеев

M115. В три сосуда налито по целому числу литров воды. В любой сосуд разрешается перелить столбко воды, сколько в нем уже содержится, из любого другого сосуда. Доказать,

Рис. 1.
волтметр, источник тока и соединенные провода, можно изменить величины одного из сопротивлений, не разрывая ни одного контакта в схеме?

А. Р. Зильберман

Ф119. Свет от источника $S$ по пути к экрану проходит через покояйся стеклянный кубик с ребром $l$ (рис. 2). На сколько быстрее свет

дойдет до экрана, если кубик привести в движение со скоростью $v$? Скорость света в воздухе $c$, показатель преломления стека $n$ ($v \ll c, n \gg 1$).

Г. В. Меледин

Ф120. В цилиндре с поршнем нахождения вода, внутри которого в начальный момент имеет полость объема $V$. Давление газов в полости пренебрежимо мало. Поршень оказывает на воду постоянное давление $P$. Какую кинетическая энергия прибретет вода в момент, когда полость исчезнет? Начальная скорость воды равна нулю. Силу тяжесте можно не учитывать.

Г. Л. Комкин

Ф121. Оценить максимальную силу, которую будет показывать диаметр, присоединенный к плоскостям, закрывающим магдебургские полушария (полусферы) с радиусом

Рис. 3.

$R=20$ см (рис. 3). Полусферы растягаются в противоположные стороны слиams $F$. Атмосферное давление равно 1 атм.

Ф122. В стакан с водой, врашащийся вокруг своей оси, бросают шарик, который плавает на поверхности воды. В каком месте поверхности будет находиться шарик?

Поправка

В «Кванте» № 8 за 1971 г. на стр. 3 по вине редактиции ошибочно помещен «портрет с бронзовой медали Евклида». В действительности, изображения математica Евклида до нашего времени не дошли. Помещенное изображение, по всей видимости, является портретом фильософа Евклида из Мегары.

Найдите ошибку

Как известно, точкой, сумма расстояний от короей до вершин данного четырехугольника минимальная,

Рис. 1.

является точка пересечения его диагоналей (рис. 1). Будем уменьшать одну из сторон четырехугольника, например, $BC$ (рис. 2), пока сторона $BC$

Рис. 2.

не превращится в точку. При этом точка $O$ будет приближаться к $BC$ и на рисунке 3 сольется с ней.

Рис. 3.

Значит, точкой, сумма расстояний от короей до вершин данного трехугольника минимальная, является одна из его вершин. Но есть теорема, утверждающая, что такой точкой является точка, из которой все три стороны треугольника видны под углом $120^\circ$, а не одна из вершин.

Где же ошибка?

А. Сковлин

26

В этом номере мы публикуем решение задач M70—M73

M70

Пусть $l_1, l_2, \dots, l_n$ — несколько прямых на плоскости, среди которых есть две пересекающие. Докажите, что можно и притом единственным способом выбрать на каждой из этих прямых по точке $X_1, X_2, \dots, X_n$ так, чтобы перепределиляр, восстановленный в точке $X_i$ к прямой $l_i$, проходил через точку $X_{i+1}$ (для всех $i=1, 2, \dots, n-1$), и перепределиляр, восстановленный к $l_n$ в точке $X_n$, проходил через точку $X_1$.

Попробуйте формулировать и доказать аналогичную теорему в пространстве.

Эту задачу можно сформировать еще следующим образом. Пусть $p_i$ — отображение, которое каждой точке $M$ (на плоскости) ставит в соответствие ее проекцию на прямую $l_i$, то есть $p_i(M)$ — основание перепределения, опущенного из точки $M$ на прямую $l_i$. Требуется доказать, что на прямой $l_1$ существует единственная точка $X_1$ такая, которая после $n$ отображений

$$X_1 \xrightarrow{p_n} X_n \xrightarrow{p_{n-1}} X_{n-1} \xrightarrow{p_{n-2}} \dots$$

переходит в себя.

Для произвольной точки $X$ прямой $l_1$ обозначит через $f(X)$ ту точку на прямой $l_1$, в котором переходит

$$X$$ после $n$ отображений $p_n, p_{n-1}, \dots, p_1$ (рис. 1); это записьается так:

$$f = p_1 \circ p_2 \circ \dots \circ p_n.$$

Выберем на каждой из наших прямых $l_i$ начало отсчета и направление, то есть превращим каждую из них в числовую ось (единицу масштабы выбираем на всех прямых одинаковой). (Мы откодствляем точку (на прямой) и соответствующое ей число — ее координату — так, что отображения $p_1, p_2, \dots, p_n$ и $f$ можно считать теперь функциями, которые

27

каждому числу ставят в соответствии новое число.

Докажем, что отображение $f$ — линейное: $f(x) = ax + b$.

Для этого достаточно доказать три следующие почты очевидные утверждения.

(1) Если $l$ и $l'$ — две прямые и $p : l \rightarrow l'$ — отображение, сопоставляющее каждой точке ее проекцию на $l'$, то $p$ — линейное отображение.

(2) Если $p_1$ и $p_2$ — линейные отображения, то $p_1^\circ p_2$ — тоже.

(3) Если $p_1, p_2, \dots, p_n$ — линейные отображения, то $f = p_1^\circ p_2^\circ \dots p_n^\circ$ — тоже линейное отображение.

Ясно, что (3) выводится из (2) с помощью индукции. Проверка (2): если $p_1(x) = a_1x + b_1$ и $p_2(x) = a_2x + b_2$, то $(p_1^\circ p_2)(x) = p_1(p_2(x)) = a_1a_2x + (a_1b_2 + b_1)$. Для доказательства (1) проверьте такую формулу:

$$p(x) = x \cos \alpha + c,$$

где $\alpha$ — угол между положительным направлением осей $Ox$ и $O'x'$, $c$ — координата точки $p(O)$ в системе $Ox'$ (рис. 2; рассмотренте также случай, когда прямые $l$ и $l_1$ параллельны).

Тепер для решения задачи достаточно показать, что линейное уравнение $x = ax + b$ имеет решение и при этом только одно. Если это не так (то есть, если решений нет или больше одного), то $a = 1$. Докажем, что этого не может быть. Заметим, что при каждом проектировании $p_k$: $l_{k+1} \rightarrow l_k$ расстояние между любыми двумя точками не увеличивается:

$$|p_k(x) - p_k(x')| \leq |x - x'|,$$

а если прямые $l_{k+1}$ и $l_k$ не параллельны, то строго уменьшается. Отсюда следует, что для любых двух точек $x$ и $x'$

$$|f(x) - f(x')| < |x - x'|.$$

Но если $a = 1$, то есть, если $f(x) = x + b$, то $f$ сохраняет расстояния между любыми двумя точками (просто сдигает их все на расстояние $b$). Получили противоречие. Доказательство законено.

Задачка M70 и нашей решение без всяких изменений переосстанана на тот случай, когда прямые расположены не на плоскости, а в пространстве (средний их могут быть и скрещивающиеся). При этом $p_k$ означает проектирование на прямую $l_k$ в пространстве: отображение, которое ставит в соответствии каждой точке основание перpendикуляра, опущенного из этой точки на прямую $l_k$.

Рис. 2. Отображение, которое каждой точке одной прямой ставит в соответствии ее проекцию на другую прямую, записывается линейной функцией.

Рис. 3. Точка $X_1$, для которой $f(X_1) = X_1$, praktически легко найти метод последовательных приближений: начав с произвольной точки $X$, опускаем перpendикуляры на данные прямые и находим последовательное после каждого «цикла» точки $X' = f(X)$ $X'' = f(X')$ и так далее. Нетрудно доказать, что расстояния $|X - X_1|, |X' - X_1|, |X'' - X_1|$, … образуют бесконечную убывающую геометрическую прогрессию со значенателем $|a| < 1$, так что, повторив построение несколько раз, мы можем найти положение точки $X_1$ с любой железной точностью. Подобный метод очень используется для отыскания решения уравнения вида $f(X) = X$; он применит тогда, когда функция $f$ уменшает расстояние между любыми двумя точками. В нашем случае, когда $f$ — линейная функция, размечется, решение уравнения $f(X) = X$ можно найти точно (подумайте, как найти точку $X_1$, если известны $X, X'$ и $X''$).

28

Есть и другая возможность обобщения: рас-
сматривать вместе прямы плоскости. Можно
доказать, например, такой факт: если данные $n$
плоскостей в пространстве, среди которых
есть три пересекающей в одной точке,
то можно и притом единственным образом
выбрать на каждой из этих плоскостей по
точке $X_k$ ($k=1, \dots, n$) так, чтобы пере-
ндикulier, восставленный в точке $X_k$ к со-
ответствующей плоскости, проходил через
точку $X_{k+1}$ (причем $X_{n+1}=X_1$). Тепер уже
$f=p_1 \cdot p_2 \dots p_n$ будет линейным отображением
плоскости на плоскость и координатах будет записывать так: $f(x, y)=$ $(x', y')$, где $x'=a_1x+b_1y+c_1$, $y'=a_2x+b_2y+c_2$.

Докажите, что если система уравнения
$$\begin{cases} x=a_1x+b_1y+c_1, \\ y=a_2x+b_2y+c_2 \end{cases}$$
не имеет решений или имеет больше одного
решения (это бывают, если $(a_1-1)(b_2-1)−a_2b_1=0$), то система $x=a_1x+b_1y$, $y=a_2x+b_2y$ имеет решение $(x_0, y_0)$, отличное от $(0,0)$, и что отображение $f$ не меняет рас-
стояния между точками $(0,0)$ и $(x_0, y_0)$, чего в нашей задаче быть не может.

Нанболее полные решения задачи при-
слании Ф. Шмидель из Москвы, Ю. Оболонков из Воронежа, М. Розов из Минска.

M71

Прямоугольная таблица из $m$ строк и $n$ столбцов заполнена числами. Переставим числа в каждой строке в порядке возрастания. Докажите, что если после этого переставить числа в каждой столбце в порядке возрастания, то в каждой строке они попрежнему будут стоять в порядке возрастания.

Подумайте, что будет, если действовать в другом порядке: в первоначальной таблице сначала переставить числа по возрастанию в столбцах, а потом — строках: получится ли в результате та же самая таблица, что и в первом случае или другая?

Рассмотрим таблицу, у которой в каждой строке числа стоит в порядке возрастания, и докажем, что, если $l<r$, то наибольшее число $r$-го столбца (обозначим его через $b$) не меньше наибольшего числа $l$-го столбца (обозначим его через $a$). Действительно, число, стоящее на пересечении той строки, где стоит $a$, и $r$-го столбца, не меньше $a$ (потому что в строке числа идут в порядке возрастания).

Аналогично можно доказать, что $k$-е по величины (считая от наибольшего числа в $r$-столбце $(b_k)$) не меньше $k$-го по величины числа в $l$-м столбце

29

Чится разные таблицы. Чтоы убедиться в этом, достаточно привести пример (рис. 5).

Правильно решили задачу P. Аюлов, А. Бревдо, Л. Браузинский, Г. Высоцкая, С. Григорян, А. Горденko, И. Джаббаров, А. Клейин, А. Кмижнерман, И. Кочубеевский, Г. Левин, М. Преезер, Е. Скрыт, А. Слинкин, А. Черняк и другие. Кроме решения, близких к нашему много и других, в которых проводится индукция; в некоторых работах доказано, что можно осуществлять перестановки последовательной каждой стольце так, что при этом все время числа будут стоять по строкам в порядке возрастания.

Н. Б. Васильев

M72

Решите уравнение
$$\sqrt[3]{1-x} + \sqrt[3]{1+x} = p,$$
(1)
где $p$ — произвольное вещественное число.

Наивная попытка решения: возведем обе части уравнения в куб
$$2 + 3\sqrt[3]{1-x^2}\left(\sqrt[3]{1-x} + \sqrt[3]{1+x}\right) = p^3$$
(2)
и подставим сюда первоначальное равенство (1):
$$2 + 3p\sqrt[3]{1-x^2} = p^3.$$ (3)
Тепер легко найти $x$:
$$x = \pm \sqrt{1 - \left(\frac{p^3 - 2}{3p}\right)^3}.$$ (4)
Нам было прислано много писем, где получен (этим и других способами) этот ответ. Немало было и таких писем, в которых было верно найти множество значений $p$, при которых формула (4) имеет смысл:
$$p = -1, \quad 0 < p \leq 2.$$
Некоторые заметили даже, что значение $p = -1$ надо отбросить, так как значение $x = 0$, даваемое формулой при этом $p$, не подходит. Но при этом не было доказано, что при всех $p$, $0 < p \leq 2$ значение $x$, даваемые формулой (4), являются решениями. (Объчно таким доказательством служит проверка, но тут ее проделать очень сложно.) А это надо доказать, так как не все преобразования, проделанные выше, сохраняют равносильность: уравнение (2) не эквивалентно (3). Чтобы убедиться в этом, подставьте $x = 0$, $p = -1$ в (2) и (3). Равенство (3) обратится в тоже место, а (2) — нет. Поэтому утверждение, встречающиеся в письмах, что это преобразование эквивалентно, неверны. (В самом деле: попробyte из (3) вывести (2). Вам придется использовать равенство (1), условия задачи, а этого нельзя делать, так как именно его и надо доказать.) Раз так, то и другие корни могут оказаться построенными.

Разберем более детально преобразования, которые мы проделали с уравнением. Обозначим для краткости $\sqrt[3]{1-x} = u$ и $\sqrt[3]{1+x} = v$.

От уравнения
$$u + v = p$$
мы перешли к уравнению
$$u^3 + v^3 + 3uv(u + v) = p^3$$
(2)
с помощью эквивалентного преобразования (возвшения обихачея в куб). Следующий шаг, — подставить $p$ вместе $u + v$ и перейти к уравнению
$$u^3 + v^3 + 3uvp = p^3,$$
(3)
которое мы запишем так:
$$u^3 + v^3 - p^3 + 3uvp = 0,$$
$$(u + v)^3 - p^3 - 3uv(u + v - p) = 0.$$
Приименим формулу для разности двух кубов и затем вынесем $(u + v - p)$ за скобку:
$$(u + v - p)(u^2 + v^2 + p^2 + up + pv - uv) = 0.$$ (3’)
Итак, нам удалось записать уравнение (3) в таком виде (3’), по которым уже нетрудно изучить, почему оно не равносильно (2). Ясно, что левая часть (3’) равна нулю, когда хотя одна скобка равна нулю:

1. $u + v - p = 0,$
2. $u^2 + v^2 + p^2 + up + pv - uv = 0.$

30

Первое равенство — это наше исходное уравнение. Значит, все построение решения связаны со вторым и надо выяснить, когда оно выполняется. Умножив его на 2, можно записать его так:

$$(u+p)^2+(v+p)^2+(u-v)^2=0.$$

Это равенство выполняется только при $u=v=-p$.

В применинии к нашему уравнению:

$$\sqrt[3]{1-x}=\sqrt[3]{1+x}=-p.$$

Значит, $x=0$ при $p=-1$ — единственный построенный корень. Все остальные корни, давемые формулой (4), при $0<p\leqslant2$ удовлетворяют уравнению (1).

Выпишем еще раз тождества, которые мы получно установили (для симметрины мы заменим $p$ на $-w$):

$$u^3+v^3+w^3-3uvw=(u+v+w)(u^2+v^2+w^2-uw-vw-uv),$$

$$2(u^2+v^2+w^2-uw-vw-uv)=$$

$$=(u-v)^2+(v-w)^2+(w-u)^2.$$

Они часто бывают полезны при дисказательстве неравенств и в других задачах.

M73

На логерийном билете требуется отметить 8 клеток из 64. Какова вероятность того, что после розыгрыша, в котором также будет выбран 8 клеток из 64 (причем все такие возможности мы считаем равноверятными), оказывается, что угаданыровно 4 клетки? 5 клеток?… все 8 клеток?

Как известно, 8 клеток из 64 могут быть выбранны $C_{64}^8=\frac{64!}{8!56!}$ способами ($n!$ — произведение всех целых чисел от 1 до $n$ включительно) $^*$). Все эти способы равноверятны. Следовательно, вероятность того, что выпадет какой-то один определенный способ, равна $1/C_{64}^8$. Тепер надо подсчитать, во сколько случай оказылись угаданныхровно $k$ клеток ($0\leqslant k\leqslant8$). Число таких случай равно числу способа

$^*$) См., например, статью Н. Я. Виленкина «Комбинаторика» в «Кванте» № 1, 1971 г.

Рис. 6. Красные клетки — выигращие; выбранные нами 8 клеток отмечены крестом. На этом рисунке $k=2$, $8-k=6$.

собов, при которых выбираются $k$ клеток из 8 отмеченных и $8-k$ клеток из 56 неотмеченных. Поэтому оно равно $C_{8}^k\cdot C_{56}^{8-k}$. Чтобы найти искому во времяность $f_k$ — вероятность угадатьровно $k$ клеток, надо умножить вероятность одного способа на это число. Получим

$$f_k=\frac{C_{8}^k\cdot C_{56}^{8-k}}{C_{8}^4}.$$

Таким образом, вероятности угадать 0,1, …, 8 клеток равны соответствующим.

$$f_0=\frac{C_{8}^0\cdot C_{56}^8}{C_{8}^4},$$

$$f_1=\frac{C_{8}^1\cdot C_{56}^7}{C_{8}^4}, \dots, f_8=\frac{C_{8}^8\cdot C_{56}^0}{C_{8}^4}.$$

Сумма этих девятки чисел, конечно, равна единице.

Формально задача решения, но с практической точки зрения это еще не ствет. Хотелось бы представить себе, насолько велики шансы угадать то или иное число клеток, если мы купим и заполним, скажем, десять лотерейных билетов. Для этого надо приближенно представить эти числа в виде десятичных дробей. С помощью логарифмического линейки это можно сделать, пользоваться, например, прямо формулами (1). Так поступили А. Зломник из г. Жуковского. Мы опишем другой, как нам кажется, более простой способ.

31

Рис. 7. Здесь показаны числа $f_k$ – вероятносты угадать $k$ клеток ($k = 0, 1, 2, \dots, 8$). При $k \geq 4$ величины $f_k$ очень близка к нулю.

Сначала вычислом отношение $(k+1)$-го из этих чисел к $k$-му:

$$\frac{f_{k+1}}{f_k} = \frac{C_8^{k+1} \cdot C_{56}^{8-k-1}}{C_{64}^8} : \frac{C_8^k \cdot C_{56}^{8-k}}{C_{64}^8} = \frac{(8-k)^2}{(k+1)(48+k+1)}$$

в частиности,

$$\frac{f_1}{f_0} = \frac{64}{49} \approx 1.31; \quad \frac{f_2}{f_1} = \frac{49}{100};$$

$$\frac{f_3}{f_2} = \frac{12}{51} \approx 0.235; \quad \frac{f_4}{f_3} = \frac{25}{208} \approx 0.12;$$

$$\frac{f_5}{f_4} \approx 0.06; \dots$$

Вычислом отношения $f_2, f_3, f_4$ к $f_0$ с двумя знаками после запятой:

$$\frac{f_2}{f_0} = 0.64; \quad \frac{f_3}{f_0} \approx 0.15; \quad \frac{f_4}{f_0} = 0.02.$$

Ясно, что $f_5/f_0 < 0.02 \cdot 0.12$ и при выбранной степении точно $f_5, f_6, f_7, f_8$ равны нулю. Мы можем составить уравнение

$$f_0(1+1,31+0,64+0,15+0,02)=1,$$

откуда $f_0 \approx 0.32$. Тепер нахождение $f_1, f_2, f_3, f_4$:

$$f_1 \approx f_0 \cdot 1.31 \approx 0.42; \quad f_2 \approx f_0 \cdot 0.64 \approx 0.20;$$

$$f_3 \approx f_2 \cdot 0.24 \approx 0.047; \quad f_4 \approx f_3 \cdot 0.12 \approx 0.0056.$$

Таким образом, если вы заполните десять билетов, то средние их скорее всего все будут такие, на которых угадано 0, 1, 2 и, быть может, 3 клетки; вероятность угадать 4 и более клеток очень мала. Умножая $f_4$ на $\frac{f_5}{f_4} \approx 0.06$ и так далее, можно получить приближенные значения $f_5, f_6, f_7, f_8$. В частиности, $f_8 \approx 2 \cdot 10^{-10}$. Это значит, что для того, чтобы имея реальные шансы угадать все 8 клеток, надо заполнить несколько десятиков миллиардов билетов.

С помощью приближенного метода расчета, который мы применили, можно показать, что если число $N$ клеток на лотерейном билете много больше числа $m$ клеток, которые нужно отмещать, а $m$ достаточно велико, то вероятность угадать $k$ клеток приближенного равна

$$f_k = \frac{C_m^k C_{N-m}^m}{C_N^m} \approx \frac{\mu^k \cdot e^{-\mu}}{k!},$$

где $\mu = \frac{m^2}{N-2m}$, а $e \approx 2.718\dots$ — постоянное число ($\pi$) этого нужно пользоваться тем, что $1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\dots = e^x$ для любого $x$).

А. Л. Тоом

В этом номере мы публикуем решение задач Ф79—Ф82

Ф79

Уровень воды, попавшей в лодку, совпадает с уровнем воды в озере. Где уровень воды будет выше, если в лодку бросить полено?

При опускании полена в лодку лодка погрузится в озеро, выте缠 дополнительно объем воды $\Delta V = \frac{m}{\rho}$ ($m$ — масса полена, $\rho$ — плотность воды). С другой стороны, так как полено плавает в воде, то уровень воды в лодке должен изменяться точно так же, как изменяется бы он при дливании в лодку воды массой, равной массе полена, и объемом, равным объему погруженной части полена, то есть $V = \frac{m}{\rho}$. (Мы можем мысленно убрать полено и заполнить получшуюся владиную воду — при этом уровень воды в лодке не изменится.) Такой же объем воды дополнительно выте缠ет лодка при бросании в нее полена. Поэтому уровень воды в лодке будет совпадает с уровнем воды в лодке.