Квант 1971, №12 · Страницы

Научно-популярный физико-математический
квант
12
журнал
Академии
наук СССР
и
Академии педагогических
наук СССР

В номере:

Движение комет и открытие atomного ядра 1 Я. А. Смородинский
Иоганн Кеплер 8 А. Эйнистейн
Еще раз о машинном переводе 11 В. В. Раскин
Модели молекул 18 А. И. Китайгородский

Математический кругок
Задча о числах в таблице 24 М. Л. Гервер

Лаборатория «Кваenta»
Вихревые колыца 28 Р. Вуд

Задачик «Кваenta»
Задачи 31
Решения задач
М74—М76, ф83—ф88 33 А. Л. Тоом,
А. Г. Куширенко,
Н. Б. Васильев,
И. Ш. СLOBODEЧИЙ,
Л. Г. Асламаов

Практикум абитуриента
Задачи на устном экзамене по физике 39 М. М. Козлов,
И. Г. Кочнев
в Ленинградском политическом институте
Метод площадей 41 И. Д. Новиков
Шахматно-математические заметки 47 Е. Я. Гик
Обзор читательских писем 51 В. Н. Березин,
М. Л. Смолянский

Информация
Математическая оптимка в МЭСИ 52 И. Г. Венецкий,
Ю. И. Соркин
ХIII Международная математическая
оптимка школьников 53 И. С. Петраков,
В. А. Сковорцов
Впечатления участника оптимиды 54 М. А. Цфасман
V Международная физическая
оптимка школьников 56 М. Д. Карасев
Г. С. Тарасюк
V городская научная конференции
школьников Киева 58 А. И. Шапиро

Уголок коллекционера
Марки, посвященные Иоганну Кеплеру
и Тихо Браге 59 А. В. Алтыкис
Значки, посвященные международным
математическим оптимкам 60 М. Л. Смолянский

Ответы, указания, решения 62
Указатель статей 1971 года 62

2

Последнее утверждение нуждается, однако, в более точной формулировке. Надо добавить, что формула для потенциальной энергии записана так, что потенциальная энергия стремится к нулю, когда расстояние $r$ между планетой и Солнцем стремится к бесконечности:

$$U(r) = -\gamma \frac{Mm}{r}$$

(γ — гравиитционная постоянная, $M$ и $m$ — массы Солнца и планеты).

Итак, планета не может удалиться от Солнца и врашается по эллипсу, если ее полная энергия отрицательна.

А как будет дивигаться комета в поле Солнца (или космический корабль в поле Земли), если ее полная энергия положительная, то есть

$$E = \frac{mv^2}{2} - \gamma \frac{Mm}{r} > 0$$

Уравнение энергии (2) в этом случае формульно совпадает с уравнением энергии для эллиптического движения планеты, только с другой знаком $E$. Формула для момента количества движения остается той же:

$$L = mv\rho$$

(ρ — прицельный параметр, см. ниже). Поэтому при $E > 0$ мы должны получить те же формулы, которые получили, рассматривая эллиптические траектории планет ($E < 0$), только в некоторых местах вместе знака «плос» будет стоять знак «минус». Траекторий движения в этом случае будет гипербола.

Гипербола определяется как геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух заданных точек—фокусов—постоянна. Наломним, что эллипс определяется также, только вместе «разность» строило слово «сумма».

Рисунок 2 показывает, как строится оба типа кривых на сетке, составленной из двух семейств концентрических окружностей с центрами в точках $F_1$ и $F_2$. Разбериется сами, почему через точки пересечения окружностей проходят эллипсы и гиперболи.

Основная теорема

Проверим теперь, что если $E > 0$, то комета или космический корабль действительно движется по гиперболе. Для наших целей, поскольку мы будем говорить об atomном ядре и опытах Резерфора, удобнее говорить не о комете, а о загруженной частице, которая движется в поле тяжелого неподвижного заряда.

Это можно сделать потому, что закон зависимости силы взаимодействия от расстояния в обихах случах одинаковов.

Пусть тяжелая часть заряжана положительно и находится в фокусе $F_1$ (рис. 2). Если пропетающая легкая часть заряжана отрицательно (ее заряд — $z_1e$), то она должна лететь по траектории, отмещенной в верхней части рисуна знаком «—» (мы еще не доказали, что это гипербола!). По той же траектории будет лететь отрицательно заряжаная часть, если неподвижная часть заряжана отрицательно и находится в фокусе $F_2$. Это можно доказать, воспользоваться уравнением механики — полная энергия и импульс в обихах случах одинаковы. Если же пропетающая часть заряжана положimately заряждаем, то она будет движения по траектории, отмещенной знаком «+».

Дальше будем рассуждать так же,

Рис. 2.

как это делалось в статье «Движение планет».

Рассмотрим две задачи одновременно. В одной — положительный заряд +$z_1e$ нахождение в $F_1$, в другой — отрицательный заряд — $z_2e$ нахождение в $F_2$. Пусть в обихх случаях энергия и угловой момент частицы, которая летит по одной и той же траектории «—», одни и те же. Составим выражения для энергии *):

$$E = \frac{mv_1^2}{2} - \frac{z_1z_2e^2}{r_1}$$

(3)

*) Не забудем, что знак потенциальной энергии в одном случae — отрицательный, в другой — положительный.

(для положительной частицы в фокусе $F_1$),

$$E = \frac{mv_1^2}{2} + \frac{z_1z_2e^2}{r_2}$$

(4)

(dля отрицательной частицы в фокусе $F_2$).

Найдем отсюда кинетическая энергия и переменным оба выражения:

$$\frac{mv_1^2}{2} \cdot \frac{mv_2^2}{2} = \left(E + \frac{z_1z_2e^2}{r_1}\right) \left(E - \frac{z_1z_2e^2}{r_2}\right)$$

(5)

Введем угловой момент (одинаковый в обихх случаяx)

$$L = mv_1p_1 = mv_2p_2.$$

(6)

4

$p_1$ и $p_2$ — длины перпендикуляров, опущенных на касательные к траектории. Преобразуем формулу (5) к виду

$$\frac{L^4}{4m^2p_1^2p_2^2} - E^2 =$$

$$= \frac{z_1z_2e^2}{r_1r_2} \left[ E(r_2 - r_1) - z_1z_2e^2 \right]$$

(7)

Чтобы это равенство выполнялось при любых $r_1$ и $r_2$, должны быть

$$r_2 - r_1 = \frac{z_1z_2e^2}{E} = 2a,$$

(8)

$$p_1p_2 = \frac{L^2}{2mE} = b^2.$$

(9)

Первое равенство, по определению, уравнение гиперболи. Можно, воспользоваться оптическим свойством гиперболи (см. ниже), доказать теорему о том, что произведение длин двух перпендикуляров, опущенных на одну и ту же касательную из фокусов гиперболи, не зависит от точки, в которой проведена касательная к гиперболе*. Из этой теоремы следует, что и второе равенство тоже определяет гипербoly.

Уравнение гиперболи и ее свойства

На рисунке 3 нарисованы две гиперболи. Их две, а не четыре, так как две красные кривые являются двумя ветвями одной гиперболи. Синние кривые — две ветви другой гиперболи. Синяя гипербола — сопряженная по отношению к красной.

Уравнение гипербол написаны рядом с ними. Если вспомнить уравнение эллипса (см., например, статью И. Н. Бронштейна «Эллипс» в «Кванте» № 9 за 1970 г.)

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1,$$

то мы увидим, что уравнение гиперболи получается из уравнения эллипса, если изменить знак $y b^2$, то есть

*) Доказательство этой теоремы имеется, например, в книге Ж. Адамра «Элементарная геометрия».

Рис. 3.

как бы сделать малую полуось миниой $((ib)^2 = -b)^2$. Поэтому $a$ у гиперболи называют так же, как и у эллипса, большой полуосью или действительной полуосью, а $b$ называют миниой полуосью.

Для сравнения на рисунке 4 изображены два сопряженных эллипса и написаны их уравнения. Например, что эллипс — это геометрическое место точек, сумма расстояний от кoto-

6

найти, на какой угол отклонится α-частица при полете около точного положительного заряда.
Измерив угол отклонения на опите, можно было бы выяснить, на сколько рассеивающий заряд отключается от точного. На практике дело обстоит несколько сложнее.

На самом деле, конечно, нельзя определить траекторию отдельной частицы, а можно изучать рассеяние пучка частиц.

Рассмотрим такой пучок частиц, в котором через каждый $1 \, cm^2$ его сечения проходит 1 частица в секунду. Когда такой пучок падает на ядро, то частицы, проходящие на разных расстояниях от ядра, будут отклоняться на разные углы. Из рисунка 6 видно, что число частиц, пролетающих mismo ядра (оно расположено в центре) на расстояниях в интервале между $\rho$ и $\rho + \Delta \rho$ равно $2\pi \Delta \rho$. Если частица имеет прицельный параметр $\rho$, то она рассеивает на угол $\theta$, определяемый формулой

$$\text{ctg} \frac{0}{2} = \rho \cdot \frac{mv_0^2}{z_1 z_2 e^2}.$$

$\theta$ — угол между асимптотами гиперболы.

Эта формула выводится так.

Так как $\theta$ есть полное изменение угла при рассеянии (угол между скоростями до рассеяния и после рассеяния), то он связан с углом $\alpha$, который составляют асимптоты с осью $x$ (рис. 7):

$$\theta = \pi - 2\alpha.$$

Тогда, использую формулы (8) и (9), найдем

$$\text{ctg} \frac{\theta}{2} = \text{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{b}{a} = \frac{L}{a \sqrt{2mE}}.$$

(Поскольку асимптота — это касательная к бесконечно дальнейшей гиперболы, то $\rho$ равно просто $p_1$ (или $p_2$) из формулы (9) для бесконечного дальнейшей и всегда $p_1 p_2 = \rho^2$.).

Если скорость частицы на бесконечности равна $v_0$, то $L = mv_0 \rho$, а

$$E = \frac{mv_0^2}{2}.$$

Позатем

$$\text{ctg} \frac{\theta}{2} = \frac{mv_0 \rho}{\sqrt{2mE}} \cdot \frac{2E}{z_1 z_2 e^2} = \rho \frac{mv_0^2}{z_1 z_2 e^2}.$$

Частцы, для которых $\rho$ лежит в закрашенном интервале, рассеются в некотором интервале углов от $\theta$ до $\theta + \Delta \theta$. Величину $\Delta \theta$ нетрудно вычислить *). Напишем формулу для «наружного» края колца:

$$\text{ctg} \frac{\theta + \Delta \theta}{2} = (\rho + \Delta \rho) \cdot \frac{mv_0^2}{z_1 z_2 e^2}.$$

*) Те, кто умел дифференцировать, почти могут, что дальше мы просто вычислим производу $d\rho/d\theta$.

А. Эйнштейн

27 декабря исполянется 400 лет со дня рождения Иоганна Кеплера (1571—1630). Имя Кеплера прочно вошло в историю физики и астрономии. В первую очередь оно связывает с темя широко известными законами, которые легли в основу небесной механики.

Основываясь на наблюдениях знаменитого астронома Тихо Браге, Кеплер смог найти общие закономерности движения планет.

Do Коперника в науке господствовала геоцентрическая система мира, по которой планеты и Солнце обращаются вокруг Земли. В первой половине XVII века великий полский ученый Николай Коперник предложил геоцентрическую систему мира, по которой Солнце находится в центре Вселенной, а вокруг него по окружности движется планеты.

Кеплер с самого начала считал правильной геоцентрической системы строения мира. Он был уверен, что причиной движения планет является Солнце. Дальнейшие (как мы говорим сейчас) он первый считал не только возможным, но и необходимым. Но концентрические окружности планеты орбит не согласовывались с наблюдениями. Кеплер предложил, что траектории планет овальны, а затем пришел к выводу об эллиптических орбитах.

При закона, положившие начало небесной механике, — самая значительная, но далеко не единственная работа Кеплера. Широко известны его работы о prelimенении световых лучей. Испследование prelimенения привело Кеплера к открытию полного внутреннего отражения. Кеплер описал получение изображения на сетчатке глаза, занимался исследованием отражения от зеркала, природой света и цвета, обьясил действие зрительной трубы.

В своих исследований Кеплер исходил из убеждания, что законы природы должны быть просты и красивы. Задча — найти эти законы — стояла перед ним в течение всей жизни. Несмотря на постоянную нужду, отсутствие всякой помощи, религиозную борьбу, семейные несчастья, ему удалось выполнить эту задачу. Он мог сказать: «To, чему я посвятил большею и лучшую часть своей жизни, теперь найдено».

Ниже мы помещаем статью А. Эйнштейна о Кеплере, взятую из «Собрания научных трудов» Эйнштейна,

11

Еще раз о машинном переводе

Мы уже писали о тех затруднениях, которые возникают при машинном переводе *). В результате должны ихитрумных усилий машину, в общем-то, научили справляться с большимством из них.

Однако есть еще цель «пласти» города более существенных трудностей, о которых мы рассакjem в этой статье. И все они связаны с тайнстевным словом «семантика».

Семантика — наука о значении слов

Первая семантическая трудность заключается в том, что одно и то же слово может обозначать разные вещи, причем в разных языках по-разному: различные значения, закрепленные за словами, не совпадают. Русское слово «стол» чаще всего нужно переводить английским «table», но иногда оно означает «food» («еду»), а в свою очередь английское «table» иногда следует переводить русским словом «таблица».
Кроме того, во всех языках встречаются так называемые оmonимы — слова, которые пишутся одинаково, но имеют разные значения:
«Дайте мне лук!» — а для чего — для стрелбы или для супа?
Далее, в разных языках слова наделены различной эмоциональной нагрузкой и обладают различной способностью употреблять в перечисном смысле. В русском языке и во многих других европейских языках слова «сердце» обозначает, кроме прочего, орран, который народное сознание издана считает главным и наделяет способностью чувствовать, переживать.
А вот в языке кабалака (Западная Африка) эту функцию выполняет слово «печень», в языке жехоноб (разновидность языка майя в Гватемале) в этом смысле употребляется слово, обозначающее брюшную полость. Представьте себе, что

*) См. «Квант» № 9, 1971 г.

12

машина переводит с языка каббалака на русский и выдает вам такую фразу: «У нее макая добра печень».
Следующая непряятность. В разных языках не совпадает «объемы значения», закрепленные за данным словом. Возьмем, например, понятие «брам» и «сестра» и сопоставим их с понятиями «старший и «младший». Получим следующее таблицу:

| Понятие | Венгерский язык | Русский язык | Малайский язык |
| :— | :— | :— | :— |
| старший брат | batya | брам | sudara |
| младший брат | occs | | |
| старшая сестра | néne | sesstra | |
| младшая сестра | húg | | |

Венгерский язык выражает каждое из четырех понятий отдельным словом, русский — «скленвает» их по два, а малайский — покрывает все понятия одним словом. Легко переводить эти слова с vengерского языка на малайский и вообще в направлении слова направо по таблице. А если нужно, наоборот, перевести слова «sudara» с малайского языка на vengерский? Человек-переводчик обращится здесь к контексту и попытается выяснить пол и возраст обозначемого этим словом лица, а затем выберет нужный vengерский эквивалент. Но как научить этой непростой операции машину?

«Необычные» и затрудняющие перевод значения могут иметь и такие, казалось бы, «одинаковые» для всех языков слова, как личные местимения. Вы сейчас убедитесь в этом.

Заданча 1. В языке хануно (один из языков Филиппин) имеются следующее местимения (и только они):

дah — они tah — я и мы
kuh — я tam — мы (включая мебя)
mih — мы (без мебя) yah — он, она
muh — мы yuh — вы

По каким признакам следует классифицировать эти местимения по смыслу? Русские местимения классифицируются по следующим признакам: число (этот признак имеет два значения: единственное и множественное), род (три значения: мужской, женский и средний), пицо (три значения).

Система этих признаков не подходит для классификации местимений языка хануно, так как пооду приведенные местимения не отличются (русским «он» и «она» соответствует одно и то же местимение «yah»); что же касается лица и числа, то в языке хануно улавливаются более тонкие различия, чем в русском (так, вместе одного русского местимения первого лица множественного числа имеет три).

В данном случае можно найти более подходящие признаки для классификации, которые удовлетворяют все смысловые различия приведенных местимений.

Задан и е. Подберите такие смысловые признаки (причем их должно быть минимальное количество, и каждыйровно с двумя значениями), чтобы приведенные местимения представляли собой все возможные комбинации значений и чтобы при этом никакие две комбинации не повторились.

13

Но и это еще не все. В каждом языке есть устойчивые словосочетания, которые обозначают не совсем то, или даже совсем не то, что значат составляющие их слова по отдельности. Это так называемые фразеологические обороты: «бить баклиши», «в ус не думь», «валять дурака» и т. п.

Воображим что: мы научили машину предолевать все описанные выше трудности. Берем английскую фразу:

«The President said that the article was red herring».
Счастливые, ждем перевод. И получаем:

«Президент сказал: что стамья является красной селедкой».
Гм… Понятно? Не очень. Но спросите любого переводчика, и он мгновенно рассеет ваш неодумение, потому что фраза на самом деле переводится так:
«Президент сказал, что эта стамья — утка (ложь, ерунда)».
Сразу все стало на свои места. Значит, добавляем в машину еще одно правило (сколько их там уже записано?!): словосочетание «красная селедка» заменить словом «утка» (а еще лучше—поскольку утки бывают не только газетные, но и жаренные — «ложь» или «ерунда»). Но фразеологических оборотов много, неужели писать на каждое слово?
А ведь человек, знающий язык, переводит так легко и просто!

Чтобы предолеть эти и другие семантические (да и не только семантические) трудности, чтобы правильно выбрать слово-эквивалент в выходном языке, то есть, чтобы выполнить перевод, машина должна помнить смысл слов. Один из виднейших специализов по машинному переводу американский лингвист В. Ингве пишет:

«Работа по машинному переводу натолкнулась на семантический барер. Нам пришлось осознать, что мы получим адресатный автоматический перевод только тогда, когда машина смотет «понимать», что она переводит, а это действительное трудная задача».
А для того чтобы машина поняла, что она переводит, лингвист должен в нее информацию о смысл слов, дать точную, форматную и ясную смысловую запись, с которой машина смотет обращаться так же запросо, как со словарем и правлими обработки. Машинный перевод настоящего требует от лингвистики такой записи. Но …лингвистицы пока не в состоянии заплаать по этому счету.

Одной из интересных попыток формального изучения семантических множественных. При этом подхождение выделения так называемых семантических множественных, что значение каждого слова представляет собой их комбинацию (подобно тому, как натуральное число разлагается на простые сомножители или вектор задается своим координатами). Эта идея иллюстрируется следующей задачей.

Задача 2. Данны 4 множества слов, каждое из которых разделено на два подмножества а и б:
1a) Зверь, червы, инфузория, трава, позт;
б) стол, земля, книга, самолет, пальто.
2a) Кит, ласточка, окунь, тигр, муравей;
б) женишна, начальный, парикмахер, муж, кассир.
3a) Воробей, самолет, баба-яга, мука, ракета;
б) книга, туннель, уж, колодец, телефон.
4a) Собака, лошадь, голубь, осел, мул;
б) медведь, кенгуру, змея, тигр, окунь.

15

переводчика или редактора». Это определяние дает в книге для того, чтобы показать, что машинного перевода в этом смысле вообше не существует. Текст, который выдает машина, настолько неудобарим и трудопоннимаем, что его приходит подвергать «постредактированию», то есть последующему редактированию его человеком. 11% времени при машинном переводе уходит на ввод материала в машину, 40% — на перекомпозицию выходных фраз, 31% — на постредактирование и только 18% времени остается на сам перевод. Оценка качества перевод (опрос эксперт) по следующим тем параметром: точность перевода, скорость чтения, легкость понимания,—дача следующие суммарные оценки (показатели по переводу, выполненной у человека нулю; вопрос же о том, что ознакомит все эти «показатели» и как их выбирали эксперты, не имеет, к счастью, никакого отношения к делу):

| | Машинный перевод | Машинный перевод | Перевод, выполненный человеком |
| :— | :— | :— | :— |
| «сырой» | «постредактированный» | | |
| Точность | —16% | —5% | 0 |
| Скорость | —21% | —11% | 0 |
| Понимение | —25% | —23% | 0 |

Главную трудность, снижающую все три параметра, представляют в «сыром» машинном переводе неестественные синтаксические конструкции и порядок слов, а также множество вариантов перевода для одного слова. Тепер небольший подсчет. Обозначим через

$$\mathcal{U}_\text{ч} = \mathcal{U}_\text{м} - N \cdot P \left( B_\text{м} - B_\text{ч} \right).$$

Готовый перевод предназначен для специализов, которые траят время на его чтение, а время — это деньги (зарплата!), поэтому в формулу входит величины $P$. Расчитаем значения $\mathcal{E}$ и $N$ при средних статистических данных.

Из-за того, что «сырой» перевод читается долше, получаем удивительное закономерность:

| $N$ | 1 | 10 | 15 | 17 | 18 | 20 | 80 | 175 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $\mathcal{E}$ | 13,17 | 5,97 | 1,97 | 0,37 | —0,43 | —2,03 | —40,13 | —127,03 |

Чем больше число людей читает текст, переведенный машиной и передактированный, тем больше убитки, и ниже экономии! Экономия исчезает, когда это число читателей превыходит 17. Но ведь переводить как раз имеет смысл именно то, что пользовется массовым способом у специалистов!

Еще одна (последняя) таблица. Поясняем последний столбец: по статистическим данным именно 11 млн. русских слов составляют годовую потребность США в переводе с русского языка.

| Тип перевода | Качество | Стоимость (в долларах) перевода 11 млн. русских слов |
| :— | :— | :— |
| Штатный письменный перевод | Хорошее | 440 000 |
| Нештатный письменный перевод | Приличное | 350 000 |
| Штатный устный перевод в (диктофон) | Хорошее | 440 000 |
| Коммерческая фирма перевода | Среднее | 240 000 |
| «Сырой» машинный перевод | Плохое | 80 000 |
| Постредактированный машинный перевод | Среднее | 400 000 |
| Переvod «с помощью машин» | Отличное | 310 000 |
| Специаль, знающий язык | — | 0 |

Хороший перевод дорог, «сырой» машинный перевод дешев, но «сердит». Нужно искать компромисс. Наш взгляд падает на предоспледнюю строку. Что такое «переvod с помощью машин» и чем он отличается от машинного перевода? Это — умное распределение обязанностей между человеком и машиной. Машине поручается делать то, что она умеет делать хорошего и быстрого. Человек делает остальное. Практически это осуществляется следующим образом. Переvodчик читает текст, который он должен переводить, и помечает непонятные слова. Их вводят в машину. Она дает их переводы. Все это ей просто. Остальные операции, которые как мы видели, машину научить непросто, выполняет человек. Качество перевода — отличное. Стоимость — меньше не только «хороших», но и «приличных» переводов.

На исследования по машинному переводу во многих странах страченые больше средств, и все же можно сувенирно сказать, что основная их часть потрача не впустую. Во-первых, в результате этих исследования мы больше знаем’ о языке. Во-вторых, — и это главное — машинный перевод «породил» современную прикладную литератуку.

Машинный перевод и прикладная литература

Прикладная литература — это, как и следует из ее названия, приложение литератических знаний на практике. Однако из них—и форма ионны й поиск.

Подсчитано, что количество печатной информации, накопливаемой во всем мире, удваивается каждые лет. В 1961 году ее было ввода меньше, чем сейчас, в 1981—ее будет ввода больше, чем накоплено с начала накопления до настоящего момента. Иными словами, в период

18

Модели молекул

А. И. КИТАЙГОРОДСКИЙ

Полезно помнить, что слова выдуманы человеком.
Слова, которые пользоваться в жизни, имеют часто распливчатый характер. Не все понятия одинаково слова сilia и красота, энергия и напряжение. Да и «хорошая» погода разная для разных людей.
В науке такое положение дел не имеет места, во всяком случае не должно иметь. В особенности нетерпимого относится к неточному использованию слов в физике.
Простейшие физические понятия природыvalsись для описания свойств и поведения предметов и тел, среди которых идет наша жизнь, короче говоря, для «больших» тел или, как еще мы говорим, для тел макросо-пищеских.
Какие понятия, занимаеванные из макромира, можно применять к молекулам? Все или неокоторые? Истина лежит посредине.
А как обстоит дело с геометрическими и механическими понятиями?
Можно ли говорить о форме молекулы, о ее упругости, о модели изгиба и кручения, наконец, о пластинности молекул? Имеют ли смысл, и какой, понятие внутримолекулярных и механических понятий не только возможен, но и целесообразен.

Эта фраза означает следующие.
В ряде случаев о молекULE можно говорить как о большом теле.
Тело, которое данную молекулу можно уподобить, называем механической моделью молекулы.
Наша задача — расскаазать, как эта модель строится и как использовать для решения различных физических проблем.
Механическая модель молекулы получила в последнее время широкое распространение в связи с интересом к громадным (по сравнению с атомом) молекулам, из которых построены синтетические полимеры — капрон, нейlon, полизтилен (эти названия известны теперь как дому), а также важнейшие для жизниедействности животных и растений вещества — белки, нуклеиновые кислоты и так далее.
Всякое «изобравжение» молекулы должны составить из описания взаимного расположения atomных ядер и характеристики движущихся около этих ядер электронов.
Химический опыт позволяет установить atomное строение молекулы (построить ее atomную модель), то есть указаать, из каких atoms и как связанных друг с другом состоянии молекула. Часте электронов требуются связана с определенными atomами, другой часть «обобщевлена». Про эти электроны химики говорят — «они осуществляют химическую связь».

18

20

с атомом углерода. (Эта группа атомов называется метильной.) Теперь, пожалуйста, соедините валентной черточкой atom углерода этой группы со вторым atomом углерода. Этот второй atom, кроме того, надо связать с парой atomов водорода, а четвертую черточку (раз четыре черточки от одного atomа, значит, он четырехвалентный) проведите к atomу кислорода. Оставшийся atom водорода следует присоединить к atomу кислорода.

Физик сразу же задаст вопрос. А на каком расстоянии atomы, под какими углами друг к другу идут валентные черточки? На подобные вопросы ответы могут быть получены физически исследованиями. Оставим пока что в стороне вопрос о том, каким образом установливается физически опытами геометрия молекулы. Обширные данные собраны в толькоские справочники. В них можно найти сведения о том, на каких расстояниях находится химический связанные atoms и какие углы (их называют валентными углами) образуют между собой «стерженьки», символьизирующие химические валентные силы. Если не очень придаться к тонким различям, то оказывается, что расстояния между atomами одногоорта достаточно универсальны, правда, валентные углы более переменных. Поэтому предсказать структуру молекулы не всегда просто. Но об этом речь будет впереди.

Рис. 2.

Теперь мы можем обратиться к проблеме механикулярных сил.

To, что между молекулими действуют силы, очевидно из самых элементных сообщений. Пар любого вещества при подходящих условиях следует в каплю. Если так, то молекулы несомненно принятыются. Вещесто сопротивляется скатню. Значит, нахождение на малых расстояниях, молекулы отталкиваются друг от друга. Если на больших расстояниях существует принятие, а на малых отталкивание, значит, есть и равновесное расстояние, когда эти силы уравновешиваются.

Вместо сил взаимодействия газдо удобнее говорить об энергии взаимодействия *). Энергию взаимодействия и мерить легче, и понятие это более простое и ясно, чем сила **). Энергий взаимодействия молекул (или atomов, или любых других частиц или тел) называется работа, которое нужно затрагить для того, чтобы развести частицы далего друг от друга—так, чтобы взаимодействие прекратилось. Математик скажет — отдать на бесконечно большое расстояние. Чем ближе частицы, тем больше работа, необходимая для того, чтобы их оторвать друг от друга. Максимальное значение эта работа достигает тогда, когда частицы на равновесном расстоянии друг от друга. Эту работу называют энергий связи. Если частицы скажутся и отталкиваются, то есть нахождение на расстоянии меньше равновесного, то работа разрыва становится конечно, меньше.

Типичная кривая энергии взаимодействия показана на рисунке 2. Все кривы имеют такой характер. Но для конкретных целей надо знать параметры кривой. Прежде всего важно

*) См. статью Г. Я. Мякишев «Взаимодействие atomов и молекул», «Квант» № 11, 1971 г.

**) По кривой энергии взаимодействия можно найти и силу: сна численно равна тангенсу угла наklона касательной к кривой энергии взаимодействия.

22

водород — водород и углерод — водород.

Откуда взять сведения об этих кривых? К сожалению, нет никаких теоретических способов их вывода. Кривые энергии приходятся определять из опыта. Так как подбор нужных кривых — операция веса типичная для многих области физики, то мы опшем эту интересную работу подробней.

Исследовать, начиная на пустом месте, должен прежде всего прикинуть хотя бы грубо параметры кривых. Из опыта известны близкие расстояния, на которые подходит друг к другу atoms соседних молекул. Внимательно просматривая эти данные, мы выясним, что два atoms водорада не былиют близкие друг к другу, чем на расстоянии 2—3 ангстрема, два atoms углерода разных молекул не приблизятся друг к другу близке, чем на 3—4 ангстрема и т. д. Эти данные взяты из исследований твердых тел. молекулы в твердом теле несколько скаты слими взаимодействия. Поэтому мы думаем, что равновесные расстояния на соответствующих кривых atom-atomного взаимодействия должны быть несколько большие приведенных выше цифр. По ряду косвенных сообщений ясно, что это превышение должно быть процентов на десять. Поэтому для начала можно выбрать абсциссы минимумов на кривых, которые мы обсуждаем в качестве примера, в точках 2,6 и 3,8 ангстрема.

Сведения об энергии связи, то есть о глубине ямы кривой энергии, надо «вытянуть» из данных по теплотам испарения. Например, что при малых давлениях твердое вещество испаряется. Теплота этого фазового превращения может быть достаточно точно измерена. Затраченая на испарение кристалла теплота пошла на то, чтобы развести его молекулы на далекое расстояние. С некоторыми поправками, на которых мы не станем задерживать, измерение теплоты испарения приводит нас к величины энергии взаимодействия всех молекул.

Конечно, положение дел не очень простое — изменяется суммарная величины, а судить надо о слабаемых. Углеводородные вещества, состоящие из молекул, содержащих 10—20 атомов, имеют теплоты испарения придака 10—20 ккал/моль. Если полагать, что в основном играет роль взаимодействие соединих молекул, то эта цифра складывает из тышчи atom-atomных взаимодействий. Значит, глубины ямы кривой должны порядка 0,01 ккал/моль.

Таким образом приходит к примерным оценкам параметров энергетических кривых atom-atomного взаимодействия и с их помощью конструкют кривые первого приближения; далее рассчитывают (вот здесь-то и нужны ЭВМ) свойства большого числа веществ и сравнивают результаты расчета с опытом. Становится оченьходимость тех или иных поправок. Действия последовательно, пробury и ошибаться (физики так и говорят — работать методом проб и ошибок), в конце концов приходим к оптимальным кривым atom-atomного взаимодействия для многих пар atoms.

В общем расчет громоздкий и исследование гипотезы адитивности было проведено лишь недавно. Результат оказался веса утвертельным. Оказалось, что предположение выполняется с хорошей точностью.

Заранее не оченьiden успешной работы. Если бы гипотеза была несправедлива, не работал бы припипедтивности, не вели бы себя одинаково atoms одного химического сорта, входящие в разные молекулы, то ЭВМ сообщила бы нам, что не может подобрать кривые так, чтобы они давали цифры, хотя бы способов совпадает с опытом. Например, успешный работой по подбору кривых показывает, что гипотезы, положенные в основу расчета, справедливы.

Доказав справедливость адитивного представления энергии взаимодействия молекул, мы подводим базу под понятие форм молекулы.

Построив по опытным данным «скелет» молекулы, мы можем «одеть» его

Рис. 4.

Плотью» с помощью так называемых механических радиусов. Если на кривой atom-atomного взаимодействия водорода минимум лежит при 2,6 ангстрема, то механический радиус водорода надо взять равным 1,3 ангстрема.

Выяснить значения радиусов, мы можем приступить к окантовке молекулы так, как это показано на рисунке 4. Mechanical radii of molecules can be calculated by following the same steps as described in the previous section. For example, the radii of molecules in the water molecule are approximately 1,3 cm.

Рис. 5.

Ответы на кроссворд, опубликованный в № 11 (1971 г.)

По горизонтали: 4. Материя. 7. Веряность. 10. Явление. 11. Регресс. 12. Эрбий, 13. Копал. 16. Телефон, 17. Федоров, 18. Физик. 19. Химия, 21. Лебедев.

По вертикали: 1. Калория. 2. Центр. 3. Рикошет. 5. Телевидение. 6. Стереофона. 8. Квартет. 9. Остаток. 14. Полимер. 15. Дезибел. 20. Лед.

24

Задча о числах в таблице

М. Л. Гервер

В «Кванте» № 7 за 1971 год на странице 21 была сформирована следующая задача.

В квадратной таблице $6 \times 6$ произвольно рассматриены числа 1, 2, 3, …, 36. Доказать, что средние найдуемся два числа a и b, стояние в соседних клетках, также, что a—b $\geq 5$.

Несколько лет тому назад аналогичная задача предлагалась на Московской математической олимпиде: доказать, что в таблице $9 \times 9$, заполненной поларно разчислены числа, найдуется два соседних числа с разностью, больше или равной 6.

Ниже мы решим общую задачу для таблицы $n \times n$, причем получим для максимальной разности между соседними числами точную (неулучшаемую) оценку.

Формулировка задачи

В таблице $n \times n$ произвольно рассматриены числа 1, 2, …, $n^2$. Доказать, что найдуется два соседних числа, разность между которых не меньше n.

Пояснение. Уточним термин «соседние числа». Мы называем два числа соседними, если клетки таблицы, в которых они стоит, имеют общую сторону.

Предварительные замечания

Легко рассматриить числа 1, …, $n^2$ в таблице $n \times n$ так, чтобы разность любых двух соседних не превыс了她. Примеры такой рассстановки при $n=5$ приведены в таблице 1 и 2.

Из таблицы 1 можно (меня местами столбцы) получить еще 119 = 5!—1 таблиц, в которых разность соседними числами не пре-

Таблица 1.

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

Таблица 2.

1 3 6 10 15

2 5 9 14 19

4 8 13 18 22

7 12 17 21 24

11 16 20 23 25

восходят 5. В таблице 2 можно, не увеличивая максимума разности между соседними числами, переставлять числа, стоящие дальше от диагонали, идущей излевого нижнего в правый верхний угол таблицы; например, можно поменять местами 1 и 2 или 23 и 24 и т. д. Совершенно аналогичные примеры строятся при любом n.

Существует много способов рассматривать числа 1,…, $n^2$ в таблице $n \times n$ так, чтобы максимальная разность между соседними числами равна n. Спрашивает, а нельзя ли рассматривать числа так, чтобы максимальная разность была меньше n?

Оказывается, этого сделать нельзя — именно это мы и собираемся доказать.

25

Решение задачи для $n=4$

Идею, на котором основано решение, особенно просто изложить при маленьких $n$. Возьмем таблицу $4 \times 4$, выберем в ней 4 клетки, в которых стоит числа 1, 2, 3 и 4. Поставим звездочки в те из оставшихся клеток таблицы, которые являются соседними для выбранных (таблица 3). Заметим, что даже если выбранные клетки находятся на краю или в углу таблицы, то звездочки будет не менше, чем четыре (проверьте это самостоятельно). Теперь, как бы мы ни расставли в таблице числа 5, 6, …, 16, в одну из клеток со звездочкой попадет число $a$, больше или равное 8 (поскольку звездочек минимум 4, а чисел, меньших 8, осталось всего три: 5, 6 и 7). Эта клетка является соседней по крайней мере для одной из клеток, в которых стоит числа 1, 2, 3 и 4. Итак, число $a \geq 8$ соседует с некоторым числом $b \leq 4$. Тем самым $a-b \geq 4$.

Мы доказали, что при любом расположении чисел 1, 2, 3, 4, …, 16 в таблице $4 \times 4$ найдет два соседних числа $a$ и $b$ таких, что $a-b \geq 4$.

Что дальше?

Изложенное выше может привести к следующему последному выводу.

Выберем в таблице $n \times n$ клетки, в которых стоит числа 1, 2, …, $n$. Поставим звездочки в те из оставшихся клеток, которые соседуют с выбранными. Звездочек окажем最小им $n$. Поэтому, как ни ставить в таблице числа $n+1$, …, $n^2$, найдется число $a \geq 2n$, которое попадет в клетку со звездочкой и оказывается соседним для некоторого числа $b \leq n$. Разность чисел $a-b$, очевидно, больше или равна $n$.

В приведенном рассуждении имеется одна ошибка: неверно утверждение, напечатанное курсивом. Неверно оно уже при $n=5$: если мы расставим числа 1, …, $n^2$. Тогда существует число $m$ ($1 < m < n^2$), обладающее следующим свойством: если мы отметим клетки мыши, в которых стоящая на краю или в углу таблицы, то звездочек будет не менше, чем четыре (проверьте это самостоятельно). Теперь, как бы мы ни расставли в таблице числа 5, 6, …, 16, в одну из клеток со звездочкой попадет число $a$, больше или равное 8 (поскольку звездочек минимум 4, а чисел, меньших 8, осталось всего три: 5, 6 и 7). Эта клетка является соседней по крайней мере для одной из клеток, в которых стоит числа 1, 2, 3 и 4. Итак, число $a \geq 8$ соседует с некоторым числом $b \leq 4$. Тем самым $a-b \geq 4$.

Лемма. Пусть в таблице $n \times n$ расставлены числа 1, …, $n^2$. Тогда существует число $m$ ($1 < m < n^2$), обладающее следующим свойством: если мы отметим клетки мыши, в которых стоящая на краю или в углу таблицы, то звездочек будет не менше, чем четыре (проверьте это самостоятельно). Теперь, как бы мы ни расставли в таблице числа 5, 6, …, 16, в одну из клеток со звездочкой попадет число $a$, больше или равное 8 (поскольку звездочек минимум 4, а чисел, меньших 8, осталось всего три: 5, 6 и 7). Эта клетка является相邻 в таблице числа 1, …, $n^2$, найдется число $a \geq 2n$, которое попадет в клетку со звездочкой и оказывается соседним для некоторого числа $b \leq n$. Разность чисел $a-b$, очевидно, больше или равна $n$.

1 случай. В каждом столбце имеется число, не превысаящее $k-1$, но существует строка, не содержащая ни одного из чисел 1, …, $k-1$.

26

Таблица 5.

| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| :—: | :—: | :—: | :—: | :—: |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 16 | 17 | 81 | 19 | 20 |

Таблица 6.

| 1 | 2 | 4 | 6 | 8 |
| :—: | :—: | :—: | :—: | :—: |
| 3 | * | * | * | * |
| 5 | * | | | |
| 7 | * | | | |

В этом случае положим $m=k-1$ (например, $m=20$ в таблице 1 и $m=8$ в таблице 4).

Покажем, что $m$ удовлетворяет требованиям леммы.

Отметим клетки, содержащие числа 1, …, $m=k-1$, и поставим звездочки в те из оставшихся клеток, которые соседствуют с отмеченными (таблицы 5, 6).

Каждай столбец содержит отмечные клетки. Кроме того, в каждом столбце есть хотя одна неотмеченная клетка (так как целая строка не содержит отмечных клеток). Поэтому в каждом столбце найдется хотя одна звездочка. Все столбцов $n$; значит, и звездочка — минимум $n$.

П слуай. В каждой строке имеется число, не превысывающее $k-1$, но существует строки, не содержащий ни одного из чисел 1, …, $k-1$.

Этот случай совпит к уже разобранному: достаточно отразить таблицу относительно главной диагонали (эта операция называется распись).

при $l \neq i$ в $l$-точном строке не отмещена клетка $a_{lj}$.

Итак, каждая строка содержит как отмещенные, так и неотмещенные клетки, а значит, содержит хотя одну звездочку. Следовательно, и в этом случае имеется минимум $n$ звездочек.

Так как случай I, II и III исчерпывают всевозможности, то лемма доказана.

Решение задачи для произвольного $n$

Пусть в таблице $n \times n$ расставлены числа 1, …, $n^2$. Выберем в соответствии с леммой число $m$. Отметим клетки, содержащие 1, …, $m$, и поставим звездочки в те из оставшихся клеток, которые соседуют с отмещенными. По лемме звездочек оказывается не меньше чем $n$. Все числа в клетках со звездочками больше $m$. Значит, наиболее из них $a \geq m + n$. Клетка, содержащая число $a$, соседует с некоторой отмещенной клеткой, в которой стоит число $b \leq m$. Так как $a \geq m + n$, $b \leq m$, то $a - b \geq n$. Итак, мы указывали два соседних числа $a$ и $b$, разность между которых больше или равна $n$. Тем самым наша задача полностью решена.

Упражнения

1. В прямогольной таблице $m \times n$ произвольно расставлено $mn$ попарно различных целых чисел. Точно оценить максимальный разность между соседними числами.

2. Выше мы назвали две клетки таблицы соседними, если они имеют общую сторону. Дадим новое определение «соседства»: будем теперь назвать две клетки соседними, если они имеют либо общую сторону, либо общую вершину (раныше у клетки, стоящей не на краю таблицы, было четые соседних, теперь — восемь). Как изменится оценка максимума разности между соседними числами при новом понимании термина «соседний»?

3. Последний вопрос относится не ко всем задаче с таблицей, а только к лемме.

В таблице $n \times n$ отмещены $\frac{n(n - 1)}{2}$ клеток. В те из оставшихся клеток, которые имеют общие стороны с отмещенными, поставлено по звездочке. Верно ли, что найдется не менее чем $n$ звездочек?

(Окончание. Начало см. на стр. 8).

Но это был все-тakin колосальный труд, особенно если учеть состояние математики того времени. Нужно было решить вторую часть задачи: орбиты известны из наблюданий, теперь надо найти их законы по результатам опытов. То есть делать определение допущение о виде орбитальных кривых, а затем проверять его на огромном эмпирическом материале! Если результаты не совпадали, то выдумывать новую гипотезу и вновь проверять! После бесчисленных попыток Кеплер пришел к следующему выводу: орбита представляется собой эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце. Он нашел и закон, по которой меняется скорость в течение одного года: отрезок Солнце — планата в равные промежутки времени описывает равные площади. Наконее, он нашел, что квадраты времени обращения относится как кубы осей эллипсов. На решение этих задач ушла вся жизнь Кеплера.

К восхитению перед этим замечательным человеком добавляется еще чувство восхитения и благоговения, но относится не к человеку, а к загадачной гармонини природы, которая нас породила. Еще в древности люди придумали кривые, которые соответствуют простейшим законам. Наряду с прямой и окружностью среди них были эллипс и гипербола. Последние мы видим реализованными в орбитах небесных тел, во всяком случае с хорошо приближением.

Представляется, что человекский разум должен свободно строить гипотезы, преждеем чем подтвердится их действияительное существование. Заметательное произведение всех жизни Кеплера особенно ярко показывает, что познане не может расщести из голов практики. Такой расчет возможно только из сравнения того, что придумано, с тем, что наблюдано.

28

Выхревые колыца

Вопросы, подготовленные для лекции по вихревым колыцам, явел интересные изменения.

Объичный ящик для демонстрации вихрей хорошего извесен и не требует подробного описания *). Наше устройство значительной большие тех, что обычно используются. Это кубичский деревянный ящик со стороны около метра; одна из стенок сделана из тонкой kleенки, свободно подвешенной, с двумя диагоналями из резиновых трубок, крепко привазанных по углам. Резиновые трубки нужны для того, чтобы обеспечить возврашение kleенки в первоначальное положение.

Такой ящик выбрасывает воздушные вихри большой силы, причем удар колыца о стену лекционного зала отчетливо ссышен и похож на звук от легкого удара полотенцем. Аудитория может получить представление о «твердости» врашающегося воздушного вхряя, если последовательно выпускать невидимые колыца в зал. Удар колыца в лице человека ошибается как мягкий толчок пуховой подушкой.

Для того чтобы сделать колыца видимыми, нужно наполить ящик

*) См. статью Н. Е. Жуковского «Основы теории вихрей» в «Кваните» № 4, 1971 г.

Смесяю аммиака и хлопистого водорада при помощи резиновых трубок, подсоединенных к двум колбам, в которых кипят NH₄OH и HCl. Этот способ дает хорошее результаты. Рисунок 1 сделан с фотографиным больших колцел, полученных таким способом. Вид сбоку представляется интерес: он показывает хвост (похожий на хвост кометы), который образуется из-за трения внешних участков колыца об атмосферу при движении вперед.

Силу воздушных колцел можно показать таким образом. Например их на плоский картонный ящик, стоящий на некоторых расстояниях от установленки. При этом ящик сразу же переворочается или даже падает на пол. Ударом вихревого колцела можно погасить пламя газовой горелки. После некоторых тренировки можно научиться выпускать два колыца быстро очередью, причем так, чтобы второе летело с несколько

29

большей скоростью, чем первое. Тогда второе колюц нагоняет первое, удаляется об него и отскакивает; оба колюца остаются целы и превращаются в вибрирующие эллипсы. Это показывает, что газовый выход обладает упругостью. Все опыты, которые яprodелал с двумя ящиками, для неудовлетворительных результаты.

Хотя большие винхри, полученные с помощью описанной установки, лучше всего подходят для демонстрации на лекции, я считаю, что гораздо более красивые и симметричные колюца можно получить, выпуская дым из бумажной или стеклянной трубки диаметром 2,5 см*). Если смотреть сбоку на выдуваемые колюца в неподвижном воздухе около лампы или при солнечном свете, то видны очень красивые спиральные линии тока. Мне удалось сформировать одно из этих колцес следующим образом. Моментальный затвор был установлен на двери темной комнаты, а дуговая лампа фокусировалась на его щель с помощью большого вогнутого зеркала. Фотопластика установливалась в темной комнате так, чтобы ее освещал расходящейся лучок лучей, идущий от отражения дуги в зеркале (когда затвор открыт). Перед пластинкой помещалась красная лампа, а затем колюца выдувались из трубки. Как только колюц, симметриное по форме и движениюся не слищком быстро, оказалось перед пластинкой, мы держали за шнурок, ведущий к затвору, и пластинка освещалась ослепительной вспышкой. От колюца падала четкая темь благодаря небольшому размеру и отделенности источника света. Рисунок 2 сделан с полученной фотографии. Видно, что колюц состоит из слоя дыма и слоя воздуха, образующих спираль из нескольких законечных витков.

По-видимому, угловая скорость вращения увеличивается по мере

*) Дым можно получить, например, положив в закрытую коробочку тлеющую бумагу.

30

цен пунктирными линяями. Этот опыт не получается в большом масштабе, хотя я достиг некоторого успеха, распыляя нашатырь у верхнего края отверстия с помощью иггагообразной железной проволоки, нагреваемой током.

Принимая некоторые merры предосторожности, можно получить дымовое полукольцо такое, как на рисунке 4. Это блестящая иллюстрация того, что образование колцезником образом не зависит от наличия дыма. Лучший способ получения полукольца состоит в том, чтобы очень легко выдохнуть дым в бумажную трубку, позволяя ему течь по дну трубки, пока он не достигнет конца. Тогда колцезию вытalkивается легким выдохом. Возможно, лучше проводить опыт в большой эрозодинамической трубке с отверстием на дне, так как

Рис. 4.

в этом случае можно наблюдать явления, происходящие внутри. Достаточно легко получить колцезю, в котором блэшная часть дыма сосредоточена в нижней половине; но получение колцеза, одна половина которого полностью невидима, и такого, чтобы граница дыма была резко оценена (как показано на рисунке 4), требует большой практики. Я перепробовал различные схемы, чтобы получить эти полукольца в большом масштабе, но ни одна из них не дала результаты, достойных упоминания. Казалось, что применение раскаленной проволоки с нашатырем является самым многообещающим методом, однако резко оцененной границы дыма я так и не получил, а именно это отличает маленькие колцеза, полученные с помощью трубки.

Объясняя образование выходных колцези, врашательное движение часто

Рис. 5.

приписьвали тренню между вытекающим воздухами струями и краем отверстия. Однако больше часть образование выходей обусловлена тренне с атмосферным воздухом. Чтобы проиллюстрировать эту точку зрения, я придумал выходной ящик, в котором тренне с краем отверстия отсутствует или, правильнее сказать, компенсируется уравниванием его по всему поперечному сечению выходящей струи.

В дне цилиндрического овлованого ящика просверливается приблизительно 200 отверстий диаметром 1,7 мм какое (рис. 5). Если ящик наполнить дымом и выпустить сильную струю воздуха, от поверхности, пожежей на сито, отделяется красное выходное колцезо. Можно простро покрыть конец бумажной трубки куском труго натянутой льняной ткани и выдуть дымовое колцезо через нее.

При опытах с ящиком, сабженным двумя круглыми отверстиями, я наблюдаю слияние двух колцези, движгиошихся рядом, в одно большое колцезо. Если колцеза имеют большую скорость вращения, они отскакивают друг от друга, но если колцеза врашают медленно, они соединиются. В момент соедининия форма выходя неустойчива. Соединенные колцеза скачком меняют горизонтальное положение на вертикальное так быстро, что это трудно заметить, а затем медленно проибрегают форму колцеза. То же самое можно показать с помощью двух бумажных трубок, держа их в разных углах рта и почти параллельно друг другу. В любом случае воздуха в комнате должен быть практическим неподвижен.

Страмы была опубlikована в журнале «Nature» за 1901 г. Публикация подготовлена Л. А. Савиной

31

ЗАДАЧИ

M116. Докажите, что если соединить середины последовательных сторон выпуклого $n$-угольника $M$ (рис. 1), то у полученного многоугольника
a) перimeter не меньше половины перimeter $M$ ($n \geqslant 3$);
6) площадь не меньше половины площади $M$ ($n \geqslant 4$).
Г. А. Гальперин

Рис. 1.

M117. Несколько человек в течение $t$ минут наблюдается улиткой. Каждый наблюдается за нейровно 1 минуту и затем, что за эти минуту улитка проползларовно 1 метр. Ни в один момент времени улитка не оставалась без наблюдания. Какой намененный и какой наблюдайший путь могла она проползти за эти $t$ минут?

Попробуйте решить эту задачу сначала для небольших значений $t$, например для $t=2,5$.

Н. Н. Константинов

M118. С четырех сторонами шахматной доски размером $n \times n$ построена кайма шириной в два поля.

Докажать, что эту кайму можно обойти шахматным конем, повышав на каждом поле один и только один раз, в том и только в том случае, когда $n-1$ кратно 4.

Ю. И. и Ю. Ю. Соркиньи

M119. Докажите, что если на каждой грани выпуклого многоугольника выбрать по точке и проведи из этой точки вектор, который направлен перпендикулярно соответствующей грани во внешнюю сторону и длина которого равна площади этой грани, то сумма таких векторов будет равна нулю.

Н. Б. Васильев

M120. В некоторых множестве введена операция *, которая каждым двум элементам $a$ и $b$ этого множества ставит в соответствие элемент $a*b$ из этого множества. Известно, что

1. для любых трех элементов $a$, $b$ и $c$
   $a*(b*c) = b*(c*a)$;
2. если $a*b = a*c$, то $b=c$;
3. если $a*c = b*c$, то $a=b$.
   Докажите, что операция *
   a) коммутативна, то есть для любых двух элементов $a$ и $b$
   $a*b = b*a$;
4. ассоциативна, то есть для любых трех элементов $a$, $b$ и $c$
   $(a*b)*c = a*(b*c)$.

С. А. Яновская

32

Рис. 2.

Ф128. Тонкую однородную палочку классит так, что она опирается на две плоскости, наклоненные к горизонту под углами α и β; угол между плоскостями равен 90° (рис. 2). Что будет проинсходить с палочкой? Каким будет ее окончательное положение, если трение между палочкой и плоскостями очень мало?

Б. Б. Буховцев

Ф129. Тело нахождения в точке A внутри неподвижной полой сферы. В каком случае только скорее достигает нижней точки B сферы: если оно будет скольить по поверхности сферы или если оно будет скольить вдоль прямой AB? Тренние в обихх случаях пренебрежимо мало, начальная скорость тела равна нулю и расстояние AB много меньше радиуса сферы.

Г. Л. Комкин

Ф130. Внутри гладкой сферы нахождения малейший загруженный шарик. Какой величины загрязнно

поместить в нижней точке сферы для того, чтобы шарик удерживался в ее верхней точке? Диаметр сферы d, заряд шарика q, его масса m.

Г. Л. Комкин

Ф131. Легкая стеклянная трубка длинны l и поперечного сечения s, заполненная целиком рутью и запаянная с одного конца, расположена горизонтально в резервуаре со рутью вблизи поверхности рутей. Какую минимальную работу надо совершить для того, чтобы перевести трубку в вертикальное положение, в котором она будет касаться открытым концом поверхности рутей?

Ф132. Цилинд массы m раскрутили и помещили между двумя закрыпленными плоскостями, расположенными под углом 2α друг к другу (рис. 3). Зная, что коэффициент трения между цилиндом и плоскостями равен k, определять силы, с которых цилинд действует на стенки.

Рис. 3.

34

Заметим, что в более современных учебниках алгебры обычно понимают равенство многочленов как равенство соответствующих коэффициентов (после приведения к стандартному виду $a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_nx^n$). Если все равенства в нашей задаче понимают так, то в переходе от (3) к (4) слово «очевидно» нужно заменить словом «по определению». Большое подробному разговору о том, что такое многочлен, как точно определить различные операции над многочленами, мы посвятим отдельные заметки в «Кванте» в будущеем году.

А. Л. Тоом

M75

a) Доказать, что в любом выпуклом многограннике сумма длины всех ребер больше утроенного диаметра. (Диаметр многогранника называется наиболее низким всевозможным отрезков с концами в вершинах многогранника).

b) Доказать, что для любых двух вершин $A$ и $B$ выпукло многогранника найдется три ломаны, каждая из которых идет по ребрам многогранника из $A$ и $B$ и никакие две не проходят по одному ребру.

b) Доказать, что если в выпуклом многограннике разрезать два ребра, то для любых двух его вершин $A$ в $B$ найдется ломана, и душая из $A$ в $B$ по оставшимся ребрам.

г) Доказать, что в задаче 6) можно выбрать три ломаны, попарно не имеющие общих вершин, за исключением концов $A$ и $B$.

Очевидно, что из задачи г) следует задача 6), из 6) следует в) и a)*. Мы приведем набросок коротких доказательств a) и b) и решим г).

a) Пусть $AB$ — диаметр $M$. Спроектируем все ребра $M$ на $AB$. Посмотрим, сколько точек проектируется в какую-нибудь точку $C$, лежащую внутри $AB$. Если через $C$ проведи плоскость $P$ перpendикулярно $AB$, то $P$ пересечет $AB$ по выпуклом многоугольнику. Вершины этого многоугольника (а их не меньше трех!) суть точки пересечения $P$ с ребрами $M$ и, значит, в каждую внутреннюю точку отрезка $AB$ проектируется не менее трех ребрами $M$. Отсюда легко вывести утверждение задачи a).

При решении задачи b) и г) мы будем использовать следующую интуитивно очевидное утверждение: для любых двух вершин $A$ и $B$ выпукло многогранника $M$ существует путь из $A$ в $B$ по ребрам $M$. Доказательство мы оставляем читателю.

*) Заметим еще, что с помощью теоремы Форд—aФалерсона о максимальном потоке и минимальном разрезе (см. «Квант» № 4, 1970 г., стр. 24, задача 4) легко изв〕 вывести 6); достаточно применить эту теорему к сети, образуемой ребрами многогранника (какое ребро считается дважды—«туда» и «обратно»).

b) Пусть разрезаны ребра $r_1$ и $r_2$. Очевидно, что существует путь $L_1$, соединяющий концы $r_1$ и не проходящий через $r_2$. Действительно, к ребру $r_1$ прилагают две грани. Ребро $r_2$ не лежит хотя бы на одной из этих граней, поэтому за $L_1$ можно взять путь по ее границе. Аналогично, для ребра $r_2$ существует путь $L_2$. Расмотрим теперь две произвольные вершины $A$ и $B$. Как было сказано выше, существует путь $L$, и душая из $A$ в $B$ по ребрам $M$. Заменив в пути $L$ ребро $r_1$ на путь $L_1$, а ребро $r_2$ на путь $L_2$ (если, конечно, эти ребра встречаются в $L$), мы получим искомый путь по оставшимся ребрам. Заметим, что этот путь может иметь саморесчетения, которые, впрочем, нетрудно установить.

г) Как было сказано выше, для любых двух вершин $A$, $B$ выпукло многогранника найдется путь из $A$ в $B$, и душий по ребрам. Назовем длиной такого пути число ребер, из которых он состоит, и назовем расстоянием между $A$ и $B$ — обозначим его через $d(A,B)$ — длину кратчайшего (по числу ребер) пути. Для доказательства утверждения задачи мы фиксируем точку $A$ и будем проводить индукцию по расстоянию между точками $A$ и $B$. Если $d(A,B) = 1$, то $A$ и $B$ лежат на одном ребре, и утверждение очевидно, так как можно пройти из $A$ в $B$ по ребру $AB$ и граним двух граней, прилагающих к $AB$. Предположим, что утверждение доказано для всех вершин, лежащих от $A$ на расстоянии $n-1$. Пусть $d(A,B) = n-1$ и $d(B',B) = 1$. Расмотрим все грани, содержащие $B'$. Множество всех ребер, принадлежащих всем таким граям состоит из «радушков» (ребер с концом $B'$) и «кольца» (которое образуют остальные ребра). Однако из вершин кольца является точка $B$. По предположению индукции существует путь $l_1, l_2, l_3$ из $A$ в $B'$, не имеющие попарно общих точки, кроме концов. Очевидно, что каждый из этих трех путь проходит хотя бы через одну вершину кольца. Такие вершины кольца называются вершины $A_1$ и $A_2$ (одна из них может быть вершиной $B$). Возможны два случая.

Случай 1. Занять вершины $A_1$ и $A_2$ принадлежат разным пути, скажем $l_1$ и $l_2$. Тогда мы строим путь из $A$ в $B$ следующим образом. Первая путь: из $A$ в $A_1$ по $l_1$, затем из $A_1$ в $B$ по колцу (заметим, что по построению точки $A_1$ на последнем участке мы не пересекаем с путими $l_2$ и $l_3$. Второй путь: из $A$ в $A_2$ по $l_2$, затем из $A_2$ в $B$ по колцу. Третьй путь: из $A$ в $B'$ по $l_3$, затем по ребру $B'B$. Очевидно, что построенные три путь попарно не имеют общих точки, кроме концов.

Случай 2. Занять вершины $A_1$ и $A_2$ принадлежат одному пути, скажем $l_1$.

35

Постотрим тогда, какая из этих вершин встреется равные при движении от $A$ к $B^1$ по $l_1$ и возьмем отрезок $l'_1$ пути $l_1$ от $A$ до первого из этих вершин. После этого расстоянием три пути $l'_1, l_2, l_3$, расстоянием множества вершин колбаца, занятых пути $l'_1, l_2, l_3$ и проведем снова предыдущие расчудения применительно к этим трамутам. Если нам встретился случай 1, то мы построим искомые пути описанным выше способом, если же снова встретился случай 2, то мы расстоянием нового тройку пути $l'_1, l_2, l_3$. Если и для этой тройки возникнет случай 2, то мы расстоянием нового тройку и т. д. Поскольку мы при этом отходим по колбцу все дальше и на колбце есть вершины, принадлежшие пути $l_2$ и $l_3$, то на неекотором шаге мы получим случай 1 и искомые пути из $A$ в $B$ будет построены. Задча г) решения. Верно еще более сильное утверждение: для любых двух вершин $A$ и $B$ можно найти три цепочки граней, не имеющие общих граней и в каждой из которых первая грань содержит вершину $A$, последняя — вершину $B$ и соседние грани имеют общее ребро.

А. Г. Кушииренко

M76

В компании из $n$ человек каждой две незнакомых имеются двух общих знакомых, а каждые две знакомых не имеются больше общих знакомых. Докажите, что в этой компании каждой знаком с одинаковым числом людей имеются общее ребро.

Для каждого человека $X$ будем через $m_X$ обозначать число его знакомых.

Пусть $A$ и $B$ знакомы (рис. 1). Обозначим через $M_A$ множество знакомых $A, M_B$ — множество.

Рис. 1.

Жество знакомых $B$. Докажем, что

(1) $M_A$ и $M_B$ не имеют общих элементов,
(2) каждый из $M_A$ имеетровно одного знакомого в $M_B$ и
(3) каждый из $M_B$ имеетровно одного знакомого в $M_A$.

Утверждение (1) сразу следует из условия: $A$ и $B$ не могут иметь общих знакомых. Докажем (2); (3) доказывает аналогично. Пусть $X \in M_A$ (эта запись означает «$X$ принадлежит множеству $M_A$»). Либо $X$ есть $B$, и тогда, согласно (1), он имеет в $M_B$ только одного знакомого — самого $A$. Либо $X \neq B$, тогда, согласно (1), $X$ незнаком с $B$, и, следовательно, $X$ и $B$ должны иметь, кроме $A$, ещеровно одного общего знакомого, то есть $X$ имеетровно одного знакомого в $M_B$, что и требуется доказать. Из (2) и (3) следует, что между множествами $M_A$ и $M_B$ можно установить взаимно однозначное соответствие, поэтому $m_A = m_B$.

Итак, если $A$ и $B$ знакомы, то $m_A = m_B$. Если же $A$ и $B$ незнакомы, то у них есть общий знакомый $C$, и, следовательно, $m_A = m_B$.

Нанболее четкие решения такого типа прислали нам $A$. Зинченko из Архангельска, В. Лозинов и А. Слинкин из Москвы, А. Каримов из Уфы, К. Радюнов из Иркутска, В. Пронин из Одессы, В. Файмелеви из Армавира, С. Грицорян из Баку.

Многие читатели решили задачу инчете. Пусть для каждой человека $A$ через $M_A$ обозначется множество его знакомых, через $N_A$ — множество не знакомых с $A$. Тогда каждому элементу из $N_A$ можно поставить в соответствие пару элементов из $M_A$ (тех, с кем он знаком), и нетрудно доказать, что это соответствие между множеством $N_A$ и множество всех возможных пар элементов $M_A$ будет взаимно однозначным. Следовательно, если в $M_A$ содержится $m_A$ элементов, то в $N_A$ их $\frac{m_A(m_A-1)}{2}$, а всего в компании $n = 1 + m_A + \frac{m_A(m_A-1)}{2}$ людей. Это равенство верно для любого человека $A$. Но уравнение

$$n = 1 + x + \frac{x(x-1)}{2}$$

имеет (при $n > 1$) только один положительный корень, следовательно, $m_A$ одно и то же для всех $A$. (Аналогично решение разобран в книге А. Лемана «Сборник задач Московских математических оптимизации», задача XXIII, 11, 10, 3).

Интересно выяснить, при каких $n$ такие компании действительно существует. Полного ответа на этот вопрос мы не знаем. Мы видели, что $n = \frac{m(m+1)}{2} + 1$, где $m$ — количество знакомых одного человека, но не при любом таком $n$ существенно нужная компания. Например, нетрудно доказать,

37

Рис. 6.

Такой ответ прислада О. Заумыслова (Зеленоград Московской обл.), А. Зеленый (Изманл Одесской обл.), В. Рожкин (Пермь), Н. Федин (Омск), А. Демидов (Москва), А. Жуков (Кировск Харизского р-на Донецкой обл.), В. Ковтун (Киев), А. Воробьев (Торжок Калининской обл.).

Ф85

Можно ли проверить с идеальным газом замкнутый процесс (цикл) так, чтобы точки A и B (рис. 7) лежали на одной изотерме?

Температуры $T_1$ и $T_2$, которые соответствуют изотермы, проведенные на рисунке, и объем $V_1$ (или $V_3$) заданы. Температуры $T_1$ и $T_2$ определяют две изотермы:

$$pV = \frac{m}{\mu}RT_1 \quad \text{and} \quad pV = \frac{m}{\mu}RT_2$$

(m — масса газа, μ — масса одной его грамм-молеклы, R — газовая постоянная). Так как объем $V_1$ задан, то мы знаем точки C и E цикла: объем $V_1$ и $V_3$ ($V_3 = V_1 \frac{T_2}{T_1}$), температуры $T_1$ и $T_2$ и давление $p_2 = \frac{m}{\mu}RT_1V_1$.

Все остальные точки цикла можно определить.

Рис. 7.

Вид только тогда, когда мы задам одну из точек — B или A.

Будем считать, что у нас задан объем $V_2$. Он определяет точку B ($P_B = P_2$, $V_B = V_2$, $T_B = T_1 \frac{V_2}{V_1}$) и точку D ($V_D = V_2$, $T_D = T_2$, $p_D = p_3 = \frac{m}{\mu} \frac{R T_2}{V_2}$). Точка A лежит на изохоре AD и на изобаре AC. Поэтому $p_A = p_3 = \frac{m}{\mu} \frac{R T_2}{V_2}$, $V_A = V_1$ и $T_A = T_2$, $\frac{V_1}{V_2}$.

Температуры газа в точках A и B одинаковы, если $V_2$ выбрано так, что

$$T_2 \frac{V_1}{V_2} = T_1 \frac{V_2}{V_1},$$

то есть если $V_2 = V_1 \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$. Температура газа в точках A и B цикла в этом случае равна $T = \frac{p_2V_2\mu}{mR} = \sqrt{T_1T_2}$ (так как $p_2V_2 = p_2V_1 \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$, а $p_2V_1 = \frac{m}{\mu} RT_1$).

Правильное решение прислада H. Федин (Омск).

Ф86

В опыте Милликена положение капель массой $10^{-5}$ e определяется с точностью до 10 мк. Какова неточность определения ее скорости?

В силу принципи неопределенности $\Delta p \Delta x \geq h$. Поэтому $\Delta v \geq \frac{h}{m \Delta x}$. То есть скорость капли не может быть изменена с точностью большей, чем $10^{-16}$ см/сек.

Такой ответ прислада B. Глуховский (Свердловск), B. Ковтун (Киев) и A. Зломник (Жуковский Московской обл.).

И. Ш. СLOBODEЧИЙ

Ф87

Источник сферических волн движения по поверхностям воды со скоростью u. Нарисуйте картины волн на поверхностные воды, когда скорость волн v больше и меньше скорости источника.

Волны,рождаемые на поверхностные воды неподвижим источником; имеют вид концентрических окружностей (рис. 8, a). Если источник движения, то волны, которые он порождает в более поздние moments времени, смешены в направлении движения источника. Пусть скорость источника меньше скорости волн. Тогда фронт волны будет обснять источник, и картина волн будет такой, как показано на рисунке 8, b. Однако если скорость источника больше скорости распространения волн, то фронт волны уже не смо-

38

Рис. 8.

жет обогнать источник, и волны будут пространяться внутри угла, образуемого двумя лучами, исходящими из источника (рис. 8, в). Величина угла легко находится из рисунка. За то время, за которое источник прохит расстояние AO, фронт волны, испущеной в точке A, прохит расстояние AB, причем $\frac{AB}{AO} = \frac{v}{u}$. Поэтому

$$\sin \alpha = \frac{v}{u}.$$

Правильное решение прислали А. Зломник (Жуковский Московской обл.), В. Ковтун (Киев), Н. Федин (Омск), А. Демидов (Москва), А. Зеленьй (Измаил Одесккой обл.), О. Замыслова (Зеленоград Московской обл.), Г. Зайцев (Гагра), В. Белов (Вологда), Н. Сиделев (Циропинск Херсонской обл.), О. Трунов (Джалал-Абад Кирг. СССР), Г. Фурман (Черновцы УССР), С. Арасланова (Нихне-Ивкино Куменского р-на Кировской обл.).

Л. Г. Асламаов

Ф88

Сосуд, частную заполненный грутью, движется с горизонтальнымускорением, вследствие чего поверхности грутина наклона к горизонту под неокоторым углом. Сверху сосуд закрыт крышкой. Как изменится этот угол, если сосуд доверху заполнить водой?

Рассмотрим элемент жидкости с массой Δm (рис. 9). На него действуют две силы: сила тяжести Δmg и сила N — равнодействующая сил давления со стороны окружающих жидкости. Под действием этих сил элемент жидкости движется горизонтально сускорением a. Это означает, что равнодействующая сил Δmg и N направлена горизонтально и равна Δma. Чтобы это было возможно, сила N должна составлять с вертикальной угол α такой, что tgα = $\frac{a}{g}$.

Эти рассуждения не зависит от того, где именно выделен элемент жидкости. Выберем

Рис. 9.

его на поверхности. Тогда ясно, что он находится в равновесии относительно сосуда и воды только в том случае, если поверхности жидкости перpendикулярна силе N: иначе составляющая силе N, параллельная поверхности жидкости, заставит выделенный нами элемент жидкости dwигать вдоль поверхности. Итак, поверхности жидкости в движущемся сосуд наклона к горизонту под углом α = arctg $\frac{a}{g}$.

Пусть теперь элемент жидкости с массой Δm находится внутри жидкости. Предположим, что мы помещили вместе него тело с таким же объемом, но с плотностью, меньше плотности воды. Ясно, что в этом случае наше тело будет сплывать по направлению силе N. Следоватьно, в отличие от покоящегося сосуда линии постоянного давления не горизонтальны, а составляют с горизонтом угол α. Очевидно, таким же будет линни постоянного давления и в рode, которое мы должны в сосуд. Поэтому ясно, что угол наклона границы раздела жидкости будет таким же, как и угол наклона поверхности грутии до доливания в сосуд воды: α = arctg $\frac{a}{g}$.

Это и естественно. Наблюдаете, находящаяся на тележке, скажет, что жидкость ведет себя так, как будто сосуд поконтся, а силаяжестии иускорение свободного падения g’ в его системе координат направлены под углом α к вертикали. В покоящемся сосуд граница раздела жидкости перpendикулярна силе жидкости вне зависимости от формы сосуда.

Правильное решение прислали А. Александров (Глазов, УАССР), В. Белов (Вологда), Я. Интин (Речница Гомельской обл., ВССР), В. Ковалев (Коммунарск Ворошилговградской обл.), А. Каримов (Уфа), С. Араслова (Нихне-Ивкино Куменского р-на Кировской обл.), А. Демидов (Москва), Н. Федин (Омск), Е. Долев (Москва), Л. Брацинский (Фрунзе).

И. Ш. Слободецкий

39

Задчи на устном экзамене по физике в Ленинградском политехническом институте

М. М. Козлов, И. Г. Кочнев

Устный экзамен по физике состоит из ответов по теории и решения задач. Мы не будем касаться ответов, поступающих на теоретические вопросы. Это важная тема, и она, безусловно, заслуживает особого рассмотрения.

Задача на вступительном экзамене представляет конкретную цель — проверить, насколько глубоко и не формально разбирается экзаменуемый в существии физических явлений. Простой пример. Если абитурент формулрует законы Ньютона, но не имеет использовать эти законы при решении задачи, то его теоретический ответ, конечно, обеспечивает. Таким образом, задача играет существенно роль при оценке знаний.

Абитурент должен уметь проанализировать задачу, выбрать оптимальный путь ее решения, обосновать его и правильно выполнить техническую часть задачи.

Ниже приведен ряд задач, представшихся в последние 3 года на вступительных экзаменах в ЛПИ. При решении задач особое внимание надо обратить на некоторые «трудные» вопросы и типичные ошибки, характерные для поступающих.

По механике, за исключением чисто kinematических задач, больше всего непрярностой абитурентам доставляют задачи на работу переменной силы, силу треня и на расчет центростремиальной силы. У многих отсутствует четкое представление о том, что центростреминая сила — это или результирующая (то есть равнойствующая) всех действующих на тело сил — приравно

мерном движении по окружности, или, в общем случае киволинейного движения, — проекция результатующего силы на радиус кривизны. Те, кто считает центростремильную силу силой особой природы, не могут решить даже самых простых задачи на киволинейное движение, так как не могут использовать при решении II закон Ньютона.

При решении задачи на молекулярно-kinетическая теория, в частности на газовые законы, наиболее трудности вызывали задачи, требующие некоторых преобразований объедининого газового закона, и задачи, в которых требовалось перейти от одной единицы измерения к другим (например, от мм рм. cm. перейти к амп).

В разделе «Электростатика» наиболее число ошибок было связано с неуменем производить численные расчеты. Не все абитуренты имеют достаточно навыки в применении понятий и формул электростатики для решения задачи на движение отдельных загрязнов (например, электронов) в электростатическом поле. Довольно сложными для поступающих оказываются задачи, в которых нужно найти равнойствующий электростатический силу и других сил.

Важное место среди экзаменовных задач занимают задачи на построенный электрический ток. Наболее трудными для абитурентов оказываются задачи, в которых нужно рассчитывать участок цепи с источником э.д.c., например с заряжащимся аккумулятором. Не всегда они выполнить правильный

40

расчет для цепи, в котором электрическая энергия переходит в другие виды энергии, в частности в механическую.

Возникалошение в таких задачх трудности можно легко преодолеть, опираясь на закон сохранения и превращения энергии (см. задач 6).

Аналіз решений задач по оптике показывает, что наиболее затруднительное применение формулы линзы в расчетах оптических систем, состоящих не из одной, а из двух линз. В таких задач особую важность приобретает соблюдение правил знаков в формуле линзы (задача 7).

Приведем теперь несколько задач из экзаменационных билетов.

1. Маленький шарик массы $m$, несущий заряд $q$, подвешен на нити длиной $l$. Шарик движется по окружности, лежащей в горизонтальной плоскости, причем в центре окружности закреплен второй, неподвижный, шарик, несущий такой же заряд. Найти угловую скорость движения шарика.

2. Давление воздуха внутри бутылки, плотно закупренной пробкой, при температуре $7^\circ$ С было равно 1 амм. До какой температуры нужно нагреть воздуха в бутылке, чтобы из нее вылетела пробка, если известно, что для того чтобы вынуть пробку из холодной бутылки при $7^\circ$ С, необходимо совершить работу 1 дж. Длина пробки $l = 4$ амм, ceчения пробки $s = 4$ амм².

3. При изготовлении увелинии давления на 0,5 амм плотность газа изменилась на 0,5 кД/m³. Какой была первоначальная плотность газа, если первоначальное давление было равно 1 амм?

4. Металлический шар объемом 1 см³ имеет массу 8 г и содержит 8,6·10²² свободных электриов. Какая часть этих электриов должен быть удалена с каждой из двух таких шаров, чтобы слая электриостатическая отталкивания полностью компенсировала силу gravitationного прияжения между ними ($\gamma = 6,67·10^{-11} \cdot \text{н} \cdot \text{m}^2/\text{к}^2$)?

5. Обмотка электриовигателя построенного тока сделана из провода общим сопротивлением $R = 0,2$ ом. При включении в себя с напряжением $U = 120$ в по обмотке работающего двигателя идет ток $I = 30$ а. Найти механическую мощность, развиваем электриовигатель.

6. Изменение тока в колбательном контреторе электринитной волны.

$I = 0,3 \sin 15,7 t$.

Найти длину испускаемой контуром электринитной волны.

7. Округлер состоит из двух одинаковых тонких двояковыпukлы линз, имеющих фокусное расстояние 5 см и нахождения на расстоянии 2,5 см друг от друга. Найти расстояние между фокусом окуляра и близкой к нему линзой.

8. Найти силу, действующего в точке закрепления подвижного блока к потолку, если груз массой 60 кг, подвешенный к блоку, показанному на рисунке, удерживается на весу человека, которое тянет за вервку вертикального вниз.

9. Какую работу надо совершить, чтобы поместить три одинаковых, нахождения в бесконечности в системе покоя, точных зарядов величины $q = 5 \cdot 10^{-8}$ к в вершинах равностороннего треугольника со стороны 5 см ($\varepsilon = 1$)?

10. Разность потенциаль на клеммах аккумуляторов батареи равна 8,5 в, при этом через батарею идет ток 3 а. Если изменить направление тока на противоположное и величину тока уменьшить на 1 а, то абсцилтаная величина разности потенциальов возрастет на 2,5 в. Найти эд. с. и внутреннее сопротивление батареи аккумуляторов.

11. Два электрических нагревателя, на которых написано 600 вт, 220 вт и 400 вт, 220 вт, соединены последовательно и включены в сеть 220 вт. Какая электрическая мощность потребляется каждым нагревателем?

12. На расстоянии 15 см от центра посебебренного.elочного шара на код тся елочная иолка длиной 1 см. Диаметр шара 8 см, а иолка расположена perpendicularно оси симметрины шара, проходящей через середину иолки. Найти, на каком расстоянии от центра шара находится изображение иолки и определять величину изображения.

41

Искусство решать геометрические задачичем-то напоминает триоки илилозонистов — иногда, даже зная решение задачи, трудно понять, как можно было до него додуматься. Почти каждая сколько-нибудь трудная геометрическая задача требует индивидаального подхода. А хотелось бы иметь общий метод решения, который к тому же позволяет бы «приключу» решения до конца, не проводя выкладок явно.

К сожалению, такого универсального метода нет. Но существует приемы, примененные ко многим задачам. Один из них мы и рассмотрим.

Начнем с совсем простой задачи, которое мы решим двумя способами.

Рис. 1. AC = 2, BC = 3, ⇒ ACD = ⇒ DCB = = 45°.

Задача 1. Найти bicсектрису CD прямоугольном треугольнике ACB с катетами AC = = 2 и BC = 3 (рис. 1).

Решение I. По теореме Пифогора AB = √AC² + BC² = √13. По свойству bicсектрисы внутри него угла треугольника

$$\frac{AD}{BD} = \frac{AC}{BC}.$$

Из равенства AD + DB = √13 получаем AD = \frac{2}{5} √13. Далее, легко найти косинус угла A:

$$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{2}{\sqrt{13}}.$$

Остается применить теорему косинусов для определения стороны CD треугольника ACD:

$$CD^2 = AC^2 + AD^2 - 2AC \cdot AD \cos A = \frac{72}{25}, CD = \frac{6}{5} \sqrt{2}.$$

Решение II. Подсчитаем площадь треугольника ACB разными способами. С одной стороны, S△ACB = \frac{1}{2} AC \cdot BC = 3. С другой стороны,

$$S△ACB = S△ACD + S△DCB = \frac{1}{2} AC \cdot CD \sin 45^\circ + \frac{1}{2} BC \cdot CD \sin 45^\circ = \frac{5 \sqrt{2}}{4} CD.$$

42

Приравнивая часть двух положенных выражений для $S_{\Delta ACB}$, получаем $CD = \frac{6}{5}\sqrt{2}$.

Второе решение явно короче и проще. К тому же оно легко приводит к целю и в более общей ситуации. Чтобы убедиться в этом, выясните самостояльно, как изменяются оба эти решения, если поставлена

Задание 2. Найти биссектрису $CD$ уела $C$ треугольника $ACB$, если $AC=b$, $BC=a$, $\Rightarrow ACB=\alpha$. (Отесть: $CD = \frac{2ab}{a+b}\cos \frac{\alpha}{2}$)

Однако главное достоинство второго решения — в его идейной «произначности». В первом решении строится неокторая «цепочка» элементов треугольника: каждый элемент этой цепочки вычисляется по данным задчи и другим, уже найденным элементам. Последним элементом цепочки служит искомая величины (в данном случае — биссектриса $CD$). При этом не сразу видно, какие именно элементы понадобятся при определении искомой величины, то есть какие элементы необходимо предварительно вычислить.

Во втором решении для величины, которое надо найти, мы получаем уравнение, выписывая выражения для плошади треугольника через известные и искомые элементы треугольника. Этот пример — сравнение различных выражений для плошади треугольника — оказывается очень плодотворным. Почему именно для плошади? Дело в том, что плошадные треугольника довольно просто выражается через разнообразные комбинации элементов этого треугольника.

Прежде чем приводить следующее примеры, напомним важнейшие из этих выражений. Сначала договоримся об обозначениях. В треугольнике $ABC$:

$a, b, c$ — стороны, противоложие угла $A, B$ и $C$ соответственно;

$h_a, h_b, h_c$ — высоты, $m_a, m_b, m_c$ — медианы, $l_a, l_b, l_c$ — биссектрисы, соответственно;

$r$ — радиус вписанной окружности;

$R$ — радиус описанной окружности;

$p$ — полуперimetр;

$S$ — плошадные треугольника $ABC$.

Рис. 2. О центр вписанной окружности.

Формулы, которые мы будем пользоваться, в этих обозначениях записываются так:

$$S = \frac{ah_a}{2},$$

$$S = \frac{ab \sin C}{2},$$

$$S = \frac{a^2 \sin B \sin C}{2 \sin A},$$

$$S = \frac{abc}{4R},$$

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$$

$$S = pr.$$

Все эти соотношения известны из школьного курса, поэтому мы не будем их подробно доказывать, а ограничимся лишь несколькоми замечаниями. Чтобы вывести формулы (3) и (4) из (2), можно воспользоваться теоремой синусов:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R.$$

Формулу (5) (формулу Герона) иногда удобнее использовать в преобразованном виде:

$$S = \frac{1}{4} \times \sqrt{2a^2b^2 + 2a^2c^2 + 2b^2c^2 - a^4 - b^4 - c^4}.$$

Формула (6) легко получается из оченьного (рис. 2) равенства:

$$S_{\Delta ABC} = S_{\Delta AOB} + S_{\Delta BOC} + S_{\Delta COA}.$$

Рассмотрим теперь еще несколько задач. В каждой из них применение метода плошадей приводит к коротком и произному решению.

43

Задание 3. Внутри правильно треугольника со сторонами a взяма произвольная точка M. Найти сумму расстояний от этой точки до сторонами треугольника.

Решение. Нало найти сумму длини перpendикularов MP, MQ и MR (рис. 3), опущенных из точки M на стороны AB, BC и CA соответственно. Если соединить точку M с вершинами треугольника, то ясно, что $S_{\Delta ABC} = S_{\Delta AMB} + S_{\Delta BMC} + S_{\Delta CMA}$. Используя формулу для площади правильного треугольника $S_{\Delta ABC} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$ и заменяя, что (по формуле (1)).

$$S_{\Delta AMB} = \frac{1}{2} a \cdot MP,$$

$$S_{\Delta BMC} = \frac{1}{2} a \cdot MQ,$$

$$S_{\Delta CMA} = \frac{1}{2} a \cdot MR,$$

немедленно получаем ответ:

$$MP + MQ + MR = \frac{a \sqrt{3}}{2}.$$

Задание 4. Прямая AD делим треугольник ABC на два. Доказать, что радиус r окружности, вписанной в треугольник ABC, меньше суммы радиусов $r_1$ и $r_2$ окружности, вписанных в треугольники ABD и ACD соответственно.

Решение. Пусть CD и CE — лучи, о которых идет речь в условия задания (рис. 5). Очевидно, $S_{\Delta ABC} = S_{\Delta ACD} + S_{\Delta DCB} = S_{\Delta ACE} + S_{\Delta ECB}$.

Воспользуемся формулой (2), учитывая, что $ACD = DCE = ECB = \frac{\alpha}{3}$:

$$\frac{AC \cdot DC \sin \frac{\alpha}{3}}{2} + \frac{DC \cdot BC \sin \frac{2\alpha}{3}}{2} = \frac{AC \cdot EC \sin \frac{2\alpha}{3}}{2} + \frac{EC \cdot BC \sin \frac{\alpha}{3}}{2}.$$

44

Рис. 5.

Отсюда немедленно получаем

$$\frac{DC}{EC} = \frac{AC \sin \frac{2\alpha}{3} + BC \sin \frac{\alpha}{3}}{AC \sin \frac{\alpha}{3} + BC \sin \frac{2\alpha}{3}}$$

$$= \frac{2 \cos \frac{\alpha}{3} + 3}{6 \cos \frac{\alpha}{3} + 1}$$

Вот пример более трудной задачи. Хотя в ней надо просто «решить треугольник», то есть определить его стороны по треем известным элементам, получить решение привчным путем — с помощью теорем синусов и косинусов — не удается.

Задание 6. Наименование треугольника ABC, если $h_a=6$, $r=2$, $R=5$.

Решение и е. Воспользовемся формулами (1), (4), (5) и (6) и запишем следующую систему уравнения относительно неизвестных сторон $a, b, c$

$$\begin{cases} S = 3a, \\ S = \frac{abc}{20}, \\ S = \frac{1}{4} \sqrt{(a+b+c)(b+c-a)} \times \sqrt{(a+c-b)(a+b-c)}, \\ S = a+b+c. \end{cases}$$

Приравнивая правила части первого и последнего уравнения, получаем, что $b+c=2a$. Приравнивая правила части первого и второго уравнения, получаем, что $bc=60$. Наконец, приравнивая правила части первого и третьего уравнения, получаем (после возвления в квадрат), что

$$144a^2 = (a+b+c)(b+c-a) \times (a+c-b) \times (a+b-c) = [(b+c)^2-a^2] \times [a^2-(b-c)^2] = [(b+c)^2-a^2] \times [a^2-(b+c)^2+4bc] = (4a^2-a^2) \times (a^2-4a^2+240) = 3a^2 (240-3a^2).$$

Следовательно, для определения $a$ получаем уравнение

$$144a^2 = 3a^2 (240-3a^2),$$

откуда $a=8$. Из системы уравнений $b+c=16$, $bc=60$ теперь легко найти две пары значений $b$ и $c$ (два ответа):

$$a = 8, b = 6, c = 10 или a = 8, b = 10, c = 6,$$

которые геометрические определения odin треугольник (с точноью до обозначения сторон $b$ и $c$).

На этом примере особенно хорошо видна основная особенность метода площей — из геометрической задачи он «делает» алгебраическойую, сводя все к решению некоторых системы уравнений.

Задание 7. (МГУ, физик, 1966 г.) Доказать, что если длины сторон треугольника образуют ариф-

45

Рис. 6а.

метищескую прорезцию, мо центр окружности, вписанной в этом треугольник, и точка пересечения его медian лежат на прямой, параллельной средней по длине стороне треугольника.

Решение. Пусть стороны треугольника ABC образначены так, что $a \leq b \leq c$. Тогда по условию задачи $a+c=2b$. Пусть $O$ — центр вписанной окружности, а $M$ — точка пересечения медian $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ (рис. 6а).

Сначала выведем одно полезное свойство точки $M$ пересечения медian треугольника $ABC$. На рисунке 6б треугольник ABC разбит медианами на 6 меньших треугольников. Площадь каждого из них равна $\frac{1}{6}$ площади всего треугольника $ABC$. Доказать это очень просто: используя

Рис. 66.

формулу (1), записем равенства
$$S_{\triangle BB_1C} = \frac{1}{2} S_{\triangle ABC}, B_1M = \frac{1}{3} BB_1,$$
$$S_{\triangle MCB_1} = \frac{1}{3} S_{\triangle BB_1C} = \frac{1}{6} S_{\triangle ABC}.$$

Аналогично находится площадь остальных треугольников.

Теперь найдем длину перpendикуляра $MM'$, опущенного из точки $M$ на сторону $AC$:
$$\frac{1}{3} S_{\triangle ABC} = S_{\triangle AMC} = \frac{1}{2} MM' \cdot AC =$$
$$= \frac{1}{2} MM' \cdot b, \frac{1}{3} S_{\triangle ABC} = \frac{1}{3} rp =$$
$$= \frac{1}{3} r \left( \frac{a+b+c}{2} \right) = \frac{1}{3} r \left( \frac{2b+b}{2} \right) =$$
$$= \frac{1}{2} rb,$$

откуда $MM'=r$, то есть $MO \parallel AC$.

Метод площадей часто оказывается удобным и на отдельных этапах решения stereometрических задач.

Задание 8. (МГУ, механизм, 1969 г.) В шар вписана пирамида, боковые ребра коморой равны с. Основание ее — прямоуедольник, стороны коморого стязывают дуги $\alpha$ и $\beta$ радиан в сечениях шара плоскостями боковых граней. Определить радиус описанной шара.

Решение (рис. 7). Так как вписанный угол изменяется полови-

46

ной дуги, на котором он опирается,
то
$$\Rightarrow DQC = \frac{\alpha}{2}, \Rightarrow AQD = \frac{\beta}{2}.$$

Позному $DC = 2c \sin \frac{\alpha}{4}$, $AD = 2c \sin \frac{\beta}{4}$.

Рассмотрим сечение шара плоскостью $AQC$. Так как центр шара лежит в этой плоскости (доказните!), то радиус шара равен радиусу $R$ окружности, описанной около треугольника $AQC$. Но $AQ = QC = c$, а $AC = 2c \sqrt{\sin^2 \frac{\alpha}{4} + \sin^2 \frac{\beta}{4}}$ (как диагональ прямогольника $ABCD$). Поэтому для определения радиуса $R$ достаточно воспользоваться выражениями для плошади треугольника $AQC$ по формулам (4) и (5).

В результате очевидных преобразований получаем ответ:

$$R = \frac{c}{\sqrt{2 \left( \cos \frac{\alpha}{2} + \cos \frac{\beta}{2} \right)}}.$$

Метод плошадей удобно применять также в задачах, в которых требуется найти разного рода оценки для геометрических величины.

Задача 9. В каких пределах может изменяться отношение радиуса окружности, описанной в прямоугольный треугольник, к высome, опущенной на единицу?

Решение. Если $c$ — гипотенуза прямогольного треугольника $ABC$, то можно записать (см. формулы (1) и (6)):

$$\frac{ch_c}{2} = pr, \text{откуда} \frac{r}{h_c} = \frac{c}{2p}.$$

Таким образом, необходимо оценить отношение

$$\frac{c}{2p} = \frac{c}{a + b + c} = \frac{1}{\frac{a}{c} + \frac{b}{c} + 1} = \frac{1}{\sin A + \sin B + 1}.$$

Так как $A + B = 90^\circ$, то

$$\sin A + \sin B + 1 = \sin A + \cos A + 1 = \sqrt{2} \cos (45^\circ - A) + 1.$$

Острый угол $A$ прямогольного треугольника может принадлежать любое значение между 0 и 90^\circ. Поэтому угол $45^\circ - A$ меньше в пределах от $-45^\circ$ до $+45^\circ$, как легко получить из свойств косинуса, при этом $2 < \sqrt{2} \cos (45^\circ - A) + 1 \leqslant 1 + \sqrt{2}$.

Следовательно, в любом прямогольном треугольнике всегда выполняется неопределенное решение многих задач. Конечно, он не заменяет все остальные методы, но представляет собой подход, о котором не следует забывать, приступая к решению той или иной задачи.

Упражнения

1. Найти медиану $m_a$ треугольника, значение его стороны $a, b, c$.
2. Доказать, что в произвольном треугольнике

$$\frac{1}{r} = \frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c}.$$

3. (МГУ, экономич. ф-т, 1969 г.). В остроугольном треугольнике $ABC$ дан: $AB = c$, проведенная из вершины $B$ медиана $BD = m$. Угол $BDA$ острый и равен $B$. Вычислить плошадь треугольника $ABC$.
4. (МГУ, ф-т психологи, 1969 г.). Дан равноведренный прямогольный треугольник. Доказать, что радиус окружности, касающийся гипotenузы и продолжений катетов, равен сумме гипotenузы и радиуса окружности, описанной в треугольнике.
5. Известно, что в треугольнике $ABC$:

$$S_{\triangle ABC} = 16, m_a = 6, m_b = 4.$$

Доказать, что медианы $m_a$ и $m_b$ перpendикулярны.
6. Доказать, что сумма расстояний от произвольной точки, взятой внутри неравно стороннего треугольника, до сторона этого треугольника заключена между наименьшей и наиболее низкой точкой.

7. Основанием $ABCD$ прямой признамы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (где $AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$ — боковые ребра) служит ромб с стороны $a$ и острым углом $φ$, а высота признамы равна $h$. Найти расстояние от вершины $B_1$ до диагонали $A_1D$ боковой грани $ADD_1A_1$.

47

НЕПРИКОСНОВЕННЫЙ КОРОЛЬ

Ранее мы рассмотрели множество самых разнообразных математических задач на шахматной доске. Тепер мы остановимся на задачах, которые также можно отнести к математическим, однako их шахматное содержание богаче, чем раньше. Другими словами, нас будут интересовать элементы математики, которые встречаются непредставенно в самом шахматной игре.

Сначала напомним связанную с расстояниями особенность «гейметри шахматной доски». Поля e1 и a5 на рисунке 1 находится на «диагональном» расстоянии. Король с e1 может достичь поля a5 за 4 хода. Оказывается, путь по диагонали является самым коротким из всех возможных; никаким другим матрирутом его заменить нельзя.

Тепер рассмотрим два поля, расположенные на одной прямой:

поля e1 и e8 на вертикали e. Двигаясь по ней, король e1 может достичь поля e8 за 7 ходов. Ясно, что матрирует короля мог бы быть и другим. Существуетровно 393 (!) способа, позволяющих достичь поля e8 за те же 7 ходов. Король может двигаться к полю e8 смыми причудливыми изгзагообразными матрирами, лишь бы они находились в рамках очередной на рисунке 1 фигуры и лишь бы король переходил на каждом ходе с одной горизонтали на следующую. Для доказательства

Рис. 1.

можно подсчитать число матрирутов, содержащих 0, 2, 4 или 6 ходов по диагонали. Воспользовавшись некоторыми сведениями из комбинаторики (см. «Кваант» № 1, 1971 г.), легко его найти:

$$1 + A_7^2 + C_7^2 \cdot C_5^2 + C_7^3 \cdot C_4^3 = 393.$$

Итак, движение короля по прямой в случае надобности можно заменить движением по ломаной линии. Вот практическая иллюстрация этого важного соображения.

На рисунке 2 пещка a7 беззащита, и единственный шанс черных заключится в том, чтобы на нейзбежное Кр:a7 ответить Крс7 с ничей, так как белый король не сможет выйти из заточения. Путь белого короля до пещки заняет 5 ходов. Однако существует лишь один выигрывший матрирует: 1. Кpf7—e6! Кpb2—c3 2. Креб—d5!!, и не-

48

Рис. 2. И. Майзелис, 1921 г. Белые начало и выигрывать.

возможность хода 2… Крd4 оказывает для черных губительной. (Не проходит, например, 1. Крб Крс3 2. Крd6 Крd4 3. Крс6 Кре5! 4. Кpb7 Крd6 5. Кр: a7 Крс7).

Конечно, на практике встречаются и более тонкие случи.

Математики уже давно отчаялись создать структуру математической теории шахматной игры и ограничиваются лишь частными вопросами. Впрочем, исследование многих шахматных позиций носит полное математический характер. Приведем несколько примеров, все они относятся к теории пешечных окончаний.

В позиции на рисунке 3 белый король не приннимает участия в игре.

Рис. 3.

ре, и все зависит от того, успевает ли черный король догнать пешку h3. Неопытные шахматисты обычно рассуждают так: пешка идет сюда, король туда, пешка сюда, король туда…, то есть, что называется «на пальцах». При этом они, как правило, путаются (особенно когда на доске есть еще какиенибуды пешки) и просчитываются. Оказывается, исход игры очень легко оценить при помощи «правила квадрата»: достаточно выяснить, может ли король при своем ходе вступить в «квадрат» пешки, в данном случае изображенный на рисунке 3: c3—c8—h8—h3. Еще

Рис. 4.

проще проводится мысленно всего одну линию — диагональ квадрата (h3—c8). Из этого следует, что в позиции на рисунке 3 черные при своем ходе делают ничью (попадают в квадрат), а при ходе противника проигрывают.

Рассмотрим теперь позицию на рисунке 4. Черные при своем ходе сразу проигрывают, так как белый король идет на b6 и съедает пешку a6. Таким образом, белым надо передать очередь хода противнику. Как это сделать? После 1. Крd5 Крс8 ничего не дает 2. Крd6 (2… Крd8 3. c7 + Крс8 4. Крс6 пат!), а 2. Крс5 Крс7 приводит к исходной позиции. Выиграш темпа достигается при помощи так называемого «метода треугольника». Для данного случая этот треугольник (c4—d4—d5) изображен на том же рисунке 4.

После 1. Крс5—d5 Крс7—c8 2. Крd5—d4 Крс8—b8 3. Крd4—c4! Крb8—c8 4. Крс4—d5 белые достигают своей целей, так как на 4… Крс8—d8 теперь выигравает 5. Крd5—d6, а на 4… Крс8—c7—5. Крd5—c5.

Обратимся теперь к позиции на рисунке 5a. Хотя у белых здесь две лишные пешки, выиграть черезвычайно сложно. Для анализа позиций с блокированной пешкой структурой применяются различные методы: «критические расстояния Бианкетти», «координатная система Эберса» и другие. Общая теория блокированных пешечных окончаний носит название теории соответствующих полей. Исследование каждой конкретиной позиции можно рассматривать как решение тонкой математической задачи, но общей математической теории пока создается неудалось. Разумеется, и мы не в состоянии оста-

49

новиться в наших заметках на всех деталях теории соответствных полей*), ограничимся лишь исследованием позиции рисуника 5a, отмещая результаты анализа на рисунке 56.

Белые намерены проверять либо через поле d6, либо через f4, черный король должен статься успеть воспрепятствовать обомим этим планам. Таким образом, если белый король попадает на c5, то черный должен встретить его на поле e7 (при королева на d7 черные не успевают зашиитть пешку g4: Kpc5—d4—e3—f4). Другими словами, полю с5 соответствует поле e7. При положении белого короля на f4 черный должен успеть на h5, то есть полю f4 соответствует поле h5.

Очень важным для белых является поле d4. Нетрудно убедиться, что в этом случае король

*) Подробнее об этом можно прочесть, например, в книге «Шахматные окончания», т. 1, под редакцией Ю. Авербаха, М., 1956 г.

должен стоять на f7, чтобы на Kpd4—c5 ответить Kpf7—e7, а на Kpd4—e3 иметь ответ Kpf7—g6. С поля с4 белые могут пойти как Kpc5, так и Kpd4. Черный король в этом случае должен быть расположен на f8, откуда возможно как Kpe7 (при Kpc4—c5), так и Kpf7 (при Kpc4—d4). С поля d3 возможны ходы Kpc4, Kpd4, Kpe3. Поэтому полю d3 соответствует поле g7. С поля с3 возможны ходы Kpd4, Kpc4, Kpd3. При этом единственное поле, откуда черный король может попасть на f7, f8, g7, — это поле g8.

Обходя последовательно все наиболее важные поля, имеющиеся в распоряжении белого короля, и подвижная поля соответствия для его черного коллеги, получаем рисунок 56. Соответствующие поля здесь обозначены одним и тем же номером. Заметим, что найdenное соответствие не однозначно, что и видно на рисуке. Например, полям b4 и d4 для белого короля соответствует одно и то же поле f7 для черного.

Теперь решение нахождения почти автоматически. При этом следует руководствовать лишь одним правилом: ставить белого короля на такое поле, которое соответствует в данной момент поле нахождения черного короля, либо на такое поле, на соответствующее которое черный король не может попасть в один ход. Так как полю b1 соответствует поле g7, полю b2—h7, а полю a2—h8, то решает только 1. Kpa1—a2!!. Последел. Kpb1? Kpg7! или 1. Kpb2? Kph7! черные в обихах случайных добавются ничей.

Поскольку дальнейший ход игры прост, то приведем лишь основной вариант (если черные играют по-другому, то, как вы без труда установите сами, они проигрывают еще быстрое):

1. Kpa1—a2!! Kph8—h7
2. Kpa2—b2! Kph7—g7
3. Kpb2—b3! Kpg7—g8
4. Kpb3—c3! Kpg8—f8
5. Kpc3—c4! Kpf8—f7
6. Kpc4—d4! Поlectнице, изобравенной на рисуке 5a, белый король совершил «путь наверх», и черные беззащиты.

Очевидно, с помощью рисука 56 легко оценить позицию и при других начальных положениях королев, но только для данного печечной конфигурации.

51

В 1971 году почта доставила в редакцию «Кванта» вдвое больше писем, чем в предыдушем. Общее их число в отдельные места достигла 350 и не падало ниже 250 писем в месяц. Конечно это не так много, но мы надемемся, что число писем будет увеличивать.

Авторами подавляющего числа писем является как и следовало ожидать школьники, активно интерсуциализируя математикой и физикой или обеми науками. Пищут не только старше классики, и ученики 7-х и 8-х классов. На задании «Кванта» для младших школьников отвечают ученики начальной школи. Есть даже письмо от должника, написанное отцом под его диктовку (Сережа Абамов из г. Куйбышева).

Об активности читателей особенно красноечно свидетельствует о особое внимание, которое они уделяют задачам, помещаемым в журнале под рубрикой «Задчник «Кванта». Если в явление число читательских писем с решениями задач из этого раздела составляют, то в febrero было уже 40 процентов, а в марта 50, в апреле 60, а в последующие месяцев их число достигла 65 процентов от общого числа всех писем. Добавим к сказанному, что большинство писем содержит решения не одной, а сразу несколько задач, степени трудности которых значительно превышает среднюю. Таким образом, многие школьники с пользованием страницы идентифицируют их решений, а также четко и оригинально их выражить. Иnorда эти читатели продолжают участвовать в работе этого раздела журнала и после окончания средней школы.

Школьники, присылающие решения задач, помещены в «Задчнике» приучаются работать в науке на доступном им сейчас уровне.

На читательских конференции отдельными читателями было высказано мнение, что было бы желательно несколько снигать научный уровень статей и задач, помещаемых в «Задчнике».

Однако большинство школьников, настроившихся на науку, резко возражают против снижения уровня трудности помещаемых в «Кванте» материалов. Например, вот что по этому поводу написал нам киевский Н. Можаровский: «Журнал лично мне очень нравится. Это, по-моему, единственный журнал у нас в стране, который на достаточно научном уровне публикует статей, предназначаетные для тех, кто избран физику и математику своей будущеей специализировано… Я уверен, что желаваться на слишком тяжельные статьи могут лишь школьники, которые почтите не открывают… учебников и книжек по физике и математике, мало решают задач. Ведь в статьях по физике редко можно встретить, к сожалению, хотя какую-нибудь формулу. Куда же более популяризоваться? Хочу сказать, что лично я знаю еще 20—30 товаровей по учебе, которые разделяют это мне等内容…

А вот мнение Л. Суворовой из г. Алексаандровска, представителя других читателей «Кванта» — чителей: «Я работаю учитель физики 5-й год. Веду в школе факультативные занятия по физике. В этом году работаю с десятими классами. Мы регулярово следим за всеми номерами «Кванта». Именно научность журнала нас привлекает». С ней созданизуется А. Колпаков, учитель физики из Курска: «С большим вниманием и пользованиемprimеняю материалылы Вашшего журнала для факультативных занятий и для подготовки наиболее сложных учащихся к оптимизации. Ваш журнал выписывает многое учителя и учащесса нашей школи. Школьники делятся между собой прочитанным в «Кванте». Вот что написал, например Е. Завьявкин из г. Кирово-Чепецка: «…Ваш журнал как хороший, нет,—как отличный учитель и помещик. Он во многом меня заинтересовал и во многом помог разобраться. Наверное, я не очень литературно приношу Вам свою благодарность, но не это главное… Когда дал его почитать ребятам, то и они и многое учителя его выписали в этом году. Наверное, спрос на «Квант» каждый год будет растити».

Однако, нарушу с этим письмами мы получаем и такие письма, в которых чители, не без основания, желаются на недостаточно дляясного понимания и трудность отдельных статей по физике.

«Меня зовут Турбина Галина, я учусь в 9 классе средней школы 22 г. Воронежа. По математике и физике за 8 класс у меня 5. Но, читая Ваш журнал, я многого не понимаю. Даже, точнее сказать, почтит в каждой статье не понятно физического смысла формул. Наример, в 9 номере за 1971 г. в статье «Беседа о принципе неопределенности» Азбеля не понятно, что ознакомится «По теории относительнойности Эйнштейна изучают в высших учебных сведениях. Трудно поверить, чтобы каждый, или хотя бы половина читателей — учеников из 200 тыс. человек (тираж 266135) поняли сущность указаанной формулы.»