Квант 1972, №1 · Страницы

КЕАНМ
1
ЯНВАРЬ
1972
НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР И АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

Главный редактор — академик И. К. Кикоин,
Первый заместитель главного редактора — академик А. Н. Колмогоров.

Редакционная коллекция:
Л. А. Арцимович, М. И. Башмаков, В. Г. Болтянский, И. Н. Бронштейн, Н. Б. Васильев, И. Ф. Гинзбург, В. Г. Зубов, П. Л. Капица, В. А. Кириллин, В. А. Лешковцев (зам. главного редактора), А. И. Маркушевич, М. Д. Миллоншиков, Н. А. Патрикеева, Н. Х. Розов, А. П. Савин, И. Ш. Слободецкий, М. Л. Смолянский (зам. главного редактора), Я. А. Смородинский, В. А. Фабрикант.

На обложке нашего журнала изображена фигура, контур которого представляет одну из замечательных кривых,— кардионду. Подробнее о кардионде читайте на странице 32.

2

С. Г. Гиндикин

В школе на уроках геометрии рассматривается задача о построении правильных многоугольников при помощи циркуля и линейки. Легко построить правильный четырехугольник-кавадрат. Совсем просто строится правильный треугольник и почти так же правильный шестиугольник (его сторона равна радиусу описанной около него окружности). Более хитroe дело — построение правильного пятугольника.

Научившись строить указанные многоугольники, легко перейти к построению правильных 8-угольника, 10-угольника, 12-угольника, 16-угольника, 20-угольника. Несколько более трудно построить правильный 15-угольник.

Все эти задачи умели решать еще в древней Греции. Однако, несмотря на все успешные самызательных греческих геометров, никаку из них не удалось построить ни правильного семиугольника, ни правильного девятугольника; не удалось осуществить построения правильного р-угольника ни для какого простого р, отличного от 3 и 5. Две тысячи лет ничего не мог продвинуться в решении этой проблемы. В 1796 году Карл Фридрих Гаусс (1777—1855) доказал возможность построения правильного 17-угольника при помощи циркуля и линейки.

В течение нескольких последующих лет Гаусс полностью решил probleму построения правильных п-угольников циркулем и линейкой, выясив, в частности, что такое построение невозможно при п = 7, 9, 11, 13.

В этой статье рассказывается о построении правильного семнадцатугольника. Главная трудность, ожидания читателя, связана не с тем, что ему потребуется какие-то новые сведения (все они не выходят за рамки школьного учебника), а с тем, что конструкция Гауса использует целый ряд глубоких идеи. Те читатели, которые не пожалеют труда, чтобы разобраться в них, будут возвращены, познакомившись с одним из самых удивительных открытий в истории математики.

2

Упорство, с которым Гаусс следовал по избранному им пути, бурный юношский натик, с которым он каждый раз, не взирая ни на что, предодолевал самые крупные подъемы, ведущие к целли, все эти трудные испитания закалили его силы и делали его способным после победы над прействями, уже устраненными другими, неудержимо идти вперед, опережая их. К этой хвале творческой самодеятельности я должен присоединить другие: похвалу юности. Я этим хочу сказать только то, что развитие математического гения подчиняется тем же законам, что и развитие всякой другой творческой способности. Для генiallyно одаренной личности годы юности, период, когда только что завершается процесс физического роста, является эпохой великих, в изобилии сменяющих друг друга открывений; именно в эти годы генiallyно одаренный двух создает те новые ему одному принадлежие ценности, которые им будут впоследствии преподнести миру.

Ф. Клейн *)

1 июня 1796 года в газете «Jенен-ser Intelligenzbbatt» появился заметка следующого содержания.

Всякому начинающему геометру известно, что можно геометриски (то есть циркулем и линейкой) строить разные правильные многоугольники, а именно, треугольник, пятугольник, пятнадцатугольник и те, которые получаются из каждой из них путем последовательного удвоения числа его сторон. Это было известно во времена Евклида, и, как кажется, с тех пор было распространено убеждание, что дальнейшее области элементарной геометрии не распространяется: по крайней мере я не знаю удачной попытки распространить ее в эту сторону …

Тем более какется мне заслуживающим внимание открытие, что, кроме этих правильных многоугольников, может быть геометриски построено многоество других, например, семнадцатугольник.

Под заметкой стоит подпись:
К. Ф. Гаусс из Брауншвейга, студент-математик в Гёттингене.

Это первое сообщение об открытии Гаусса. Прежде, чем подробно

*) Феликс Клейн (1849—1925)—один из крупнейших математиков, работавших на рубеже XIX и XX столей. Его собственные исследования тесно примыкают к работам Гаусса. Ф. Клейн был одним из крупнейших знаatokов наследия Гаусса; в течение многих лет он руководил изданием собрания сочинений Гаусса.

рассказывать о нем, освежим в памяти то, что «известно каждому начинаящему геометру».

О построения циркулем и линейкой

Предполагается заданным отрезок единничной длины. Тогда при помощи циркуля и линейки можно строить новые отрезки, длины которых получаются из длины уже имеющих отрезков при помощи следующего операций: сложения (рис. 1a), вычитания (рис. 1б), умножения (рис. 1б), деления (рис. 12) и извлечения квадратного корня (рис. 1д).

Послеовательное проведя эти операции, при помощи циркуля и линейки можно построить любой отрезок,лина которого выражается через единничным числом операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня. Такие числа называются квадратичными иррациональными. Можно доказать, что никакие другие отрезки построить при помощи циркуля и линейки нельзя — но это уже tema специального разговора.

Построение правильных n-угольников

Задча о построении правильного n-угольника, как легко понять,

Рис. 1. a) b) c) d) A]

4

Эквивалентна задаче о делении окружности радиуса 1 на $n$ равных частей. Хорды дуг, на которые делится окружность, является сторонами правильного $n$-угольника и длина каждой из них равна $2\sin \frac{\pi}{n}$ (рис. 2).

Следовательно, при тех $n$, для которых $\sin \frac{\pi}{n}$ является квадратной irrationalность, можно построить правильные $n$-угольники цирклелем и линейкой. Этому условию удовлетворяют, например, значения $n=3, 4, 5, 6, 10$. Для $n=3, 4, 6$ это хорошо известно.

Покажем, что $\sin \frac{\pi}{10}$ — квадратная irrationalность. Расмотрим равноведренный треугольник $ABC$ (рис. 3), угол при вершине которого равен $\frac{\pi}{5}=36^\circ$, длина $AB$ равна 1; пусть $AD$ — биссектриса угла $A$. Тогда $x=AC=AD=BD=2\sin \frac{\pi}{10}$.

Имеем:

$$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}; \frac{x}{1-x}=\frac{1}{x}, x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.$$

Это число является квадратной irrationalностью; тем самым мы можем построить сторону правильного 10-угольника.

Далее, из возможности деления окружности на $p_1 p_2$ равных частей

стей следует, конечно, возможность ее деления на $p_1$ равных частей (в частиности, можно построить правильный пятугольник). Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Укажем два частных случая, когда оно все же справедливо.

1. Из возможности деления окружности на $p$ равных частей следует возможность деления на $2^k p$ равных частей для любого $k$.

2. Если мы уменьшить окружность на $p_1$ равных частей и $p_2$ равных частей, где $p_1$ и $p_2$ взaimно просты (например, $p_1, p_2$ — различные простые числа), то окружность можно разделить на $p_1 p_2$ равных частей.

Несоколько слов о комплексных числах

Нам нужно знать про комплексные числа совсем немного: операции над ними и геометрическую интерпретацию; все это содержит, например, в школьном учебнике Кочетковых. Номним, что комплексному числу $z=a+ib$ ставится в соответствие точка с координатами $(a, b)$ (рис. 4) и вектор с концом в этой точке и с началом в $(0, 0)$. Длина вектора $r=\sqrt{a^2+b^2}$ называется моду лем данного числа. Комплексное число $z$ можно записать в тригонометрической форме: $z=a+bi=r(\cos \varphi+i\sin \varphi)$; угол $\varphi$ называется аргументом числа $z$.

6

уравенний: сначала решается уравнение (4), корнями которого является суммы $\varepsilon_1 + \varepsilon_4$ и $\varepsilon_2 + \varepsilon_3$ симметричных (см. рис. 6!) корней уравнения (3), а затем из уравнения (5) находятся и сами корни уравнения (3).

Именно таким путем Гауссу удалось осуществить построение правильного 17-угольника: здесь тоже выделяются группы корней, суммы которых находится последовательно из квадратных уравнений. Но как искать эти «хорошие» группы? Гаусс находится удивительный путь ответить на этот вопрос…

Построение правильного 17-угольника

30 марта 1796 года настояет для него (Гаусса) день творческого крещения… Гаусс уже занимался с некоторого времени группировкой корней из единиц на основании своей теории «первообразных» корней. И вот однажды утром, проснулись, он внесално ясно и отчетливо осознал, что из его теории вытекает построение семнадцатугольника… Это событие явилось поворотным пунктом жизни Гаусса. Он приняет решение посвятить себя не филологи, а исключительно математике.

Ф. Клейн

Что бы вывить найденные Гауссом скрыты «симметрии» в множестве корней 17-й степени из единиц и, пользовясь имми, разбит корни на нужные группы, введем новую нумерацию корней. Будем возводить 3 в последовательные степени 0, 1, 2, … и каждый раз брать остatok от деления полученного числа на 17. Избавим читателя от проведения этих выкладок и в таблице приведем окончательные результаты. В первой строке стоит показатели $k$, а под ним остатки от деления $3^k$ на 17.

Обратите внимание, что в нижней строке содержится все числа от 1 до 16; затем $3^{16}$ дает остаток 1 и далее остатки перiodических повторяются (доказите!)

Закономерность, подмеченная Гауссом, является частным случаем следующей теоремы: для всякого простого $p$ существует такое число $l$, называемое первообразным корнем, что среди остатков от деления $l^k$ на $p$ встречаются все числа 1, 2, …, $p-1$. Этот факт впервые отметил Эйлер (1707—1783), но смог доказать лишь Лежандр (1752—1833); другие доказательство получил Гаусс, но, верогтно, в 1796 году он еще не обладал общей теоремой, а обнаружил приведенный факт эмпирических, проводя вычисления для конкретных чисел. Это очень важное обстоятельство, не учитывая корного, трудно правильно понять природу ранних работ Гаусса.

Присвоим корню $\varepsilon_h$, $k=3^l$, новый номер, а именно $l$, который мы

Таблица

| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: |
| 1 | 3 | 9 | 10 | 13 | 5 | 15 | 11 | 16 | 14 | 8 | 7 | 4 | 12 | 2 | 6 | 1 |

9

Приложение 1.

Тепер мы докажем квадратную irrationalность корней 17-й степени из единиц. Отметим, что $\varepsilon_k \varepsilon_l = \varepsilon_k + l$ (если $k + l \geq 17$, то $k + l$ заменяется остатком от его деления на 17), $\varepsilon_k = (\varepsilon_1)^k$. Перенумеруем корни из единиц при помощи нашей таблицы, а именно, будем писать $\varepsilon_{[l]}$ вместе $\varepsilon_k$ (см. формулу (1)), где $l$ — число, стоящее в таблице над $k$. Разобем корни на группы, как показано на рисунке 8. Мы будем находить суммы корней, номера которых стоит в одном прямогольнике (рис. 8), переходя от большого прямогольника к меньшему. Прежде всего заметим, что

$$\varepsilon_1 + \varepsilon_2 + \ldots + \varepsilon_{16} = \varepsilon_0 + \varepsilon_1 + \ldots + \varepsilon_{15} = -1.$$

(В этом можно убедиться, например, рассматривая это выражение как сумму геометрической прогрессии.) Итак, мы нашли сумму корней в самом большом прямогольнике (№ 0).

Обозначим через $\sigma_m, r$ сумму $\varepsilon_k$ с теми $k$, которые дают остаток $r$ при делении на $m$. Рассмотрим суммы корней, отвечайших следующим прямогольником (№ 1).

Получаем

$$\sigma_{2,0} = \varepsilon_0 + \varepsilon_2 + \varepsilon_4 + \ldots + \varepsilon_{14},$$

$$\sigma_{2,1} = \varepsilon_1 + \varepsilon_3 + \varepsilon_5 + \ldots + \varepsilon_{15}.$$

Ясно, что

$$\sigma_{2,0} + \sigma_{2,1} = \varepsilon_0 + \varepsilon_1 + \ldots + \varepsilon_{15} = -1.$$

Можно показать, что

$$\sigma_{2,0} \cdot \sigma_{2,1} = 4 (\varepsilon_0 + \varepsilon_1 + \ldots + \varepsilon_{15}) = -4^*.$$

Тепер, воспользовавшись теоремой Виета, мы можем составить квадратное уравнение, корнями которого будут $\sigma_{2,0}, \sigma_{2,1}$:

$$x^2 + x - 4 = 0; \quad x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}.$$

Чтобы различить корни, воспользоваться рисуком 7. В каждую из сумм корней входят вместе со своим сопряженными. Ясно, что $\sigma_{2,0} > \sigma_{2,1}$ (в первом случае нужно сложить и удвоить вещественные части корней $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_4, \varepsilon_8$, во втором — $\varepsilon_3, \varepsilon_5, \varepsilon_6, \varepsilon_7$). Итак,

$$\sigma_{2,0} = \frac{\sqrt{17} - 1}{2}, \quad \sigma_{2,1} = \frac{-\sqrt{17} - 1}{2}.$$

Рассмотрим суммы корней, отвечайшие следующим прямогольником (№ 2) на рисунке 8:

$$\sigma_{4,0} = \varepsilon_0 + \varepsilon_4 + \varepsilon_8 + \varepsilon_{12},$$

$$\sigma_{4,1} = \varepsilon_1 + \varepsilon_5 + \varepsilon_9 + \varepsilon_{13},$$

$$\sigma_{4,2} = \varepsilon_2 + \varepsilon_6 + \varepsilon_{10} + \varepsilon_{14},$$

$$\sigma_{4,3} = \varepsilon_3 + \varepsilon_7 + \varepsilon_{11} + \varepsilon_{15}.$$

*) В этом можно убедиться, провода непосредственные переменения, учитывая, что $\varepsilon_k \cdot \varepsilon_l = \varepsilon_k + l$, причем удобно пользоваться рисуком 7. Однако в приложении 2 будет указан способ, как избежать этих утомительных выкладок.

Относительно всех преобразований $T_k$ инвариантно лишь множество всех корней $\{\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_{16}\}$.

Кардинальная догадка заключается в том, что группа корней тем «луше», чем большее число преобразований оставляет эту группу инвариантной.

Введем для $T_k$ еще одну нумерацию $T_{[l]}$, как это было сделано для $\varepsilon_k: T_{[l]} = T_k$, $k = 3^l$. В новых обозначениях

$$T_{[k]}^{\varepsilon_l} = \varepsilon_{[k+l]}, \quad T_{[m]}(T_{[k]}^{\varepsilon_l}) = T_{[m+k]}^{\varepsilon_l}$$

(sумму в квадратных скобках надо быть по модулю 16). Читатель, конечно, обнаружит аналогию с переходом к логарифмам, что не удивительно, так как $\varepsilon_{[l]} = \varepsilon_{3l}$.

Задача 3. Доказать, что если некоторое множество корней инвариантно относительно некоторого $T_{[k]}$, где $k$ нечетно, то это множество инвариантно относительно всех преобразований $T_{[m]}$, то есть если оно не пусто, то совпадет с множеством всех корней.

Указание. Показать, если $k$ нечетно, то существует такое $m$, что $km$ дает при делении на 16 остаток 1.

С другой стороны, имеется две группы корней, инвариантные относительно всех $T_{[k]}$ с четыыми $k$: корни $\varepsilon_l$ с четыыми $l$ и корни с четыыми $l$. Их суммы мы обозначили через $\sigma_{2,0}, \sigma_{2,1}$.

Ясно, что $\sigma_{2,0} + \sigma_{2,1} = -1$. Исследуем $\sigma_{2,0} \cdot \sigma_{2,1}$. Это произведение является суммой попарных произведений $\varepsilon_{[k]}^{\varepsilon_l}$, где $k$ — четное, $l$ — нечетное, каждое из которых является некоторым корнем $\varepsilon_m$, а всего — 64 слагаемых. Мы показем, что среди них каждой из корней $\varepsilon_{[0]}, \varepsilon_{[1]}, \dots, \varepsilon_{[15]}$ встречается одинаковое число раз (четыре раза), а в результате $\sigma_{2,0} \cdot \sigma_{2,1} = -4$. Воспользовемся тем, что преобразования $T_{[k]}$ сохраняют группы корней при $k$ четном и переводят их одна в другую при $k$ нечетном. Каждый слагаемое в $\sigma_{2,0} \cdot \sigma_{2,1}$ однозначно преобразимо в виде $\varepsilon_{[m]}^{\varepsilon_{[m+r]}}$, где $0 \leq m \leq 15$, $r = 1, 3, 5, 7$ (доказайте!). Сгруппируем слагаемые с одинаковыми $r$. Популярные суммы будут иметь вид

$$\varepsilon_{[0]}^{\varepsilon_r} + \varepsilon_{[1]}^{\varepsilon_r} + \varepsilon_{[2]}^{\varepsilon_r} + \dots + \varepsilon_{[15]}^{\varepsilon_r} = T_{[0]}^{\varepsilon_{[0]}^{\varepsilon_r}} + T_{[1]}^{\varepsilon_{[0]}^{\varepsilon_r}} + \dots + T_{[15]}^{\varepsilon_{[0]}^{\varepsilon_r}} = \varepsilon_{[0]} + \dots + \varepsilon_{[15]} = -1,$$

где $\varepsilon_{[k]} = \varepsilon_{[0]}^{\varepsilon_{[r]}}$. Мы воспользуемся тем, что $T_{[m]}^{\varepsilon_{[k]}} \cdot T_{[m]}^{\varepsilon_{[l]}} = T_{[m]}(\varepsilon_{[k]}^{\varepsilon_{[l]}})$, и уже упоминавшимся свойством $T_{[m]}$.

Значения $\sigma_{2,0}, \sigma_{2,1}$ найдены в приложении 1.

Переходим к следующему шагу. Мы хотим ввести в рассмотрение новые, меньше группы корней, инвариантные относительно каких-нибудь $T_{[k]}$. По аналогии с задачей 3 можно показать, что при этом $k$ обязательно должно делиться на 4. Поэтому имеется четые группы корней, инвариантные относительно всех $T_{[4l]}$ и меньше, чем уже рассмотренные; запишем суммы корней в каждой группе: $\sigma_{4,0}, \sigma_{4,1}, \sigma_{4,2}, \sigma_{4,3}$. Мы уже отмечали, что

$$\sigma_{4,0} + \sigma_{4,2} = \sigma_{2,0}; \quad \sigma_{4,1} + \sigma_{4,3} = \sigma_{2,1}.$$

Вычислим произведение $\sigma_{4,0} \cdot \sigma_{4,2}$; оно представляется в виде суммы 16 слагаемых вида $\varepsilon_{[4k]}^{\varepsilon_{[4l+2]}}$, какое такое слагаемое однозначно записывается в виде $\varepsilon_{[2m]}^{\varepsilon_{[2m+2r]}}, r = 1, 3, m = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$.

Сгруппируем слагаемые с одним $r$ и заменим, что $\varepsilon_{[0]}^{\varepsilon_{[2]}} = \varepsilon_{1} \varepsilon_{9} = \varepsilon_{10} = \varepsilon_{3}, \varepsilon_{[0]}^{\varepsilon_{6}} = \varepsilon_{1} \varepsilon_{15} = \varepsilon_{16} = \varepsilon_{8}$. При $r = 1$ получаем сумму

$$T_{[0]}^{\varepsilon_{[3]}} + T_{[2]}^{\varepsilon_{[3]}} + \dots + T_{[14]}^{\varepsilon_{[3]}} = \sigma_{2,1};$$

при $r = 3$ — сумму

$$\sum_{k} T_{[2k]}^{\varepsilon_{[8]}} = \sigma_{2,0},$$

то есть $\sigma_{4,0} \cdot \sigma_{4,2} = \sigma_{2,0} + \sigma_{2,1} = -1$. Решая квадратные уравнения, мы нашли $\sigma_{4,0}, \sigma_{4,2}$.

На последнем шаге мы рассмотрим группы корней, инвариантные относительно $T_{[8]}$; их воспользуемся $\varepsilon_{[0]}^{\varepsilon_{[r+1]}} + \varepsilon_{[1]}^{\varepsilon_{[r+1]}} + \varepsilon_{[2]}^{\varepsilon_{[r+1]}} + \dots + \varepsilon_{[15]}^{\varepsilon_{[r+1]}} = T_{[0]}^{\varepsilon_{[0]}^{\varepsilon_{[r+1]}}} + T_{[1]}^{\varepsilon_{[0]}^{\varepsilon_{[r+1]}}} + \dots + T_{[15]}^{\varepsilon_{[0]}^{\varepsilon_{[r+1]}}} = \varepsilon_{[0]} + \dots + \varepsilon_{[15]} = -1$, Это позволяет найти $\sigma_{8,0} = 2 \cos \frac{2\pi}{17}$ и тем самым закончить решение.

12

Никто точно не знает, когда люди научились добиться огонь и искусственно нагревать тела до температуры выше окружающей среды. Во всяком случае, это сучилось десяти тысяч лет тому назад, в эпоху, известную под названием каменного века.

А вотdata получения искусственного холода известна довольно точно. Будем условно считать, что низкие температуры — это температуры ниже тех, что естественным образом возникают при изменении погоды. Впервые такой низкую температуру (163°К, или —110°С) получил Фарадей в 1840 году. Это много холоднее самых лютых холодов Антарктиды (наинизшая зарегистрированная температура в Антарктиде — около —90°С).

Почему же искусственное создавать высокие температуры люди имеют с незапамятных времен, а искусственный холод им удалось создать лишь совсем недавно?

С одной стороны, это связано с тем, что в высоких температурах люди больше нуждались, чем в низких.

С другой стороны, возможность причиной «отставания» техники получения низких температур является too obstructional, что высокие (no need) температуры получать не сравнению проще, чем низкие. В самом деле, достаточно циркнуть спичкой, чтобы получить температуру雯ер более высокую, чем комнатная. А Фарадею для того, чтобы получить температуру только вдвое ниже комнатной, попадобилось создать далекое не просто устройство.

Это «неравноправие» способов получения высоких и низких температур не случайно. В нем находится отражение один из основных законов природы, так называемый второй закон термодинамики (напомним, что первый закон термодинамики — это закон сохранения энергии).

На первый взгляд кажется, что охладить какое-нибудь тело очень просто: нужно это тело привести в контакт с другими телом более низкой температуры. Тогда от охлаждаемого тела к холодному само собой будет переходить тело, что и приведет к требуемому охлаждению; если есть лед, то нетрудно сделать и мороженое!

Но как бы, если тело нужно охладить до такой низкой температуры, что подходящero другого холодного тела, к которым само собой могло бы переходить тело, не существует? Тогда, очевидно, такое холодное тело, или, как говорят, хладо агент нужно создать изготовленный хладоагента тоже необходимо обеспечить теплотадачу от него к какому-то другому телу, но не более холодному, потому что такого тела нет, а более теплому, например, окружающей среде (воздуху, воде и т.п).

Прежде всего выясним, какая в этом тантся трудность.

13

Порядок и беспорядок в веществе

Вспомним, что температура тела определяется энергий беспорядочного теплового движения его атомов и молекул. Понизить температуру — значит уменшить беспорядок, царяший среди молекул.

Что же такое беспорядок? Если каждый предмет в вашей квартире всегда находится на определенном закрепленном за ним месте и найти его всегда легко, то вы поддерживаете в своей квартире порядок. Если же вещеки классятся куда попало, то найти их нельзя. В вашей квартире беспорядок.

Чем больше размеры вашей квартиры, тем больше времени вам потребуется для того, чтобы отыскать ту или иную веще, если веще равномерно разбросаны, — тем больше беспорядок в вашей квартире. Представьте себе, что веще в комнате могут сами двигаться, меняя свое положение. Тогда найти ихстанет еще труднее, причем тем труднее, чем больше скорости их движения.

Этот житейский пример помогает нам понять, как определять, что такое порядок и беспорядок в молекулярном мире. Степень беспорядка определяется в вероятность обнаружить молекул (или другую частицу) в каком-нибудь определенном состоянии, например, в определенной точке пространства.

Если имеется заданное количество частиц, равномерно распределенных в данном объеме, то вероятность обнаружения частицы в данной точке будет тем больше, чем медленнее движутся частицы, чем медленнее они меняют свое положение в заданным объеме. Но скорости молекул определяются температурой тела. Поэтому чем выше температура тела, тем больше степень беспорядка среди молекул, из которых оно состоит. Из предыдущего ясно также, что степень молекулярного беспорядка тем больше, чем больше объем, предоставленный частицами.

Таким образом, степень беспорядка зависит от двух факторов — от температуры тела и от его объема. Увеличение температуры при заданном объеме, так же как и увеличение объема при постоянной температуре, приводит к увеличению степень беспорядка среди молекул.

Оказывается, все процессы, которые происходит в природе, в замкнутой предоставленной себе системе (то есть в системе, состоящей из частиц, взаимодействующих друг с другом, но не с другими телами), проходят так, что степень беспорядка возрастает. И когда эта степень беспорядка достигает самого высокого значения, все процессы сами собой прекращаются. Наступает состояние, которое называется состояние равновесия.

Представьте себе шарики двух цветов, расположенные в определенном порядке. Нужны были немалые страницы, чтобы расположить шарики в правильной последовательности. Но достаточно легкого толчка, чтобы с трудом созданный порядок нарушился и шарики беспорядочно перемешались. И никакими толькоками восстановить исходный порядок неозможно. Вероятность такого события ничего не означает.

А вот пример уже из atomно-молекулярного мира. Бросив кусок сахара в воду, мы легко получим раствор, в котором молекуры сахара распределены по всему объему сосуда. Но сколько бы мы ни жадели, растворник сам собой не разделится на воду и сахар. Для того чтобы получить сахар и воду отделно, нужно затратить определенную энергию, нагрев раствор и испарив воду.

Физическая смысл второго закона термодинамики и заклонается в утверждении, что порядок и беспорядок в природе «неравноправны», что все сами собой induceе процессы установления равновесия сопроводяются ростом беспорядка. В нем и кровется причина того, что высоко

14

температуры легче получать, чем низкие. При увеличении температуры тела (при сохранении его объема) увеличается беспорядок. Охлаждать же тела — значит увеличивать порядок, то есть действовать, так сказать, «против природы».

Тем не менее охлаждать тела, оказывается, все-tаки можно. Можно, следовательно, заставить телло переходить не от теплого тела к холодному, а, например, от охлаждаемого тела к темам более теплым. Таким образом создают хладагенты.

Беспорядок — физическая величины

Слова «порядок» и «беспорядок», которые мы здесь пользовались, какуются на первый взгляд какими-то ненawyчными, взятыми из повседневной жизни. В действительности за этими словами скрывается физическое понятие настоящего важное, что оно выражается специальной величины. Эта величина, выражаюшая степень беспорядка или порядка (порядок — это просто отсутствие беспорядка), называется энтропий. Обозначают ее буквой $S$, а определяется она так: если к телу подводится или от него отводится неокторое количество тела $\Delta Q$, а абсцилтная температура тела при этом равна $T$, то и зменен и ентропии $\Delta S$ определяется равенством

$$\Delta S = \frac{\Delta Q}{T}.$$

Во всех процесах, которые происходит с телами, важно не энтропия, а именно изменение энтропии. (В этом отношении энтропия похожа на потенциальную энергию тела. Во всех задачах важна не сама потенциальная энергия, а ее изменение.)

Особый интерес представляет для нас случай, когда процесс происходит так, что к телу не подводится и от него не отводится телло: $\Delta Q = 0$. Такие условия можно обеспечить хорошо теплопроводной тела или быстро проводением процесса, когда телло не успевает перейти от одного тела к другому. Изываются такие процессы аднабатными. Из выражения $\Delta S = \frac{\Delta Q}{T}$ следует, что при аднабатных процесах энтропия не меняется.

Аднабатное изменение объема

В технике искусственного получения холода нас интересют главным образом процессы изменения объема тела, процессы их расширяния и скатания. Именно они играют здесь особенно важную роль.

Представим себе, что у нас имеется тело, которое мы расширяем или скимаем аднабатно, то есть без подвода или отвода телла. Мы уже знаем, что увеличение объема тела с данным количеством частиц приводит к увеличению степени беспорядка, то есть к увеличению энтропии. Но наш процесс аднабатный, при котором $\Delta Q = 0$ и энтропия не меняется. Как же обеспечить постоянство энтропии при условии, что она возвращает благородя увеличенное объема? Если второе начало термодинамики правильно, то это возможно только в том случае, если при изменении объема тела происходит еще какой-то процесс, благородя которого энтропия уменьшаетсяровно на столбко же, на сколько она увеличивается из-за увеличения объема. Мы знаем, что энтропия изменяется при изменении температуры тела. Поэтому можно ожидать, что при аднабатном увеличении объема тела его температура будет уменьшаться. Так и происходит в действительности.

Таким образом, мы сразу получаем способ получения температуры тела. Нужно данное тело аднабатно расширять, то есть увеличить его объем. Аднабатное расширяние как раз и является одним из главных способов получения холода.

Одной из разновидностей расширения является испарение жидкости. Еще древние египетские храники напитки в пористых сосудах. Поры увеличивают поверхность испарющейся жидкости и тем самым увеличивают

15

скорость ее испарения. Испарение же приводит к охлаждению жидкости. Плохая теплопроводность материалов и большая скорость испарения обеспечивают аднабатность процесса испарения.

Таким образом, вопрос о способах искусственного охлаждения сводится к вопросу о том, что расширять и как расширять.

Что расширять?

Ясно, что твердые тела для расширяния непригодны — они не могут сколько-нибудзаметно изменять свой объем. По тем же причинами непригодны и жидкости. Хотя увеличение объема жидкости при их испарении и используется для их охлаждения, особенно низкие температуры таким образом получить нельзя, потому что, охлаждаясь, жидкость не претензно в конце концов отвердевает. Так что нанимзшая температура, которую можно получить при испарении жидкости, это температура ее отвердевания. А для веществ, жидких при комнатной температуре, температуры отвердевания не так уж низки.

Лучше всего использовать газы. Газы способны к неограниченном расширении, а если они к тому же предварительно сказыдо высокого давления, то и масса их достаточно велика и потому достаточно велика и теплоемкость этого газа. Для газов характерен и наибольший беспорядок в движении частиц. А так как наша задача — уменьшить беспорядок, то ясно, что лучшие начать с такого вещества, у которой беспорядок велик, чтобы было что уменьшать!

Итак, наиболее подходящим веществом для нашей задачи является газ. С другой стороны, конечный продукт, то есть готовый хладогент, лучшие всего имеет в виде жидкости: жидкость всегда создает хороший тепловой контакт с погруженным в нее телом. Поэтому техническа часть (но не исключительно) свойства кжижению того или иного газа.

Как известно, в жидкость может быть превращен любой газ. Но для каждого газа существует определенная температура, называемая критерий $T_h$, выше которого он не может быть образен в жидкое состояние. Чтобы газ мог бы сжиген, его температура должна быть ниже $T_h$. Тогда для сжигения его нужно только скать. А насоклько скать — это зависит от того, насоклько его температура ниже $T_h$: чем она ниже, тем меньше давление нужно для сжигения. Можно охладить газ настолько, чтобы он стал жидким при давлении в 1 atmosферу.

Для получения умеренного холода используется газы с высокими значениями $T_h$. Часто применяется, например, аммиак, у которого $T_h = 132,4^\circ\text{C}$. В последнее время всешие использующие так называемые фреоны — газы, получающие из углеводородов путем замешения в них водорода фтором, хлором или бромом. В домашних холодильниках, в частности, используется фреон-12 ($\text{CF}_2\text{Cl}_2$), у которой $T_h = 112,04^\circ\text{C}$.

Самые низкие температуры получения газов, критические температуры которых много ниже комнатной. К ним относятся: кислород, у которого $T_h = -118,4^\circ\text{C}$, азот с $T_h = -146,9^\circ\text{C}$, водород с $T_h = -239,9^\circ\text{C}$, и, наконец, гелий с самой низкой критической температурой в природе. У него $T_h = -267,91^\circ\text{C}$.

Сжигать эти газы не так-то просто. Для этого их надо очень сильно охладить.

Как расширять?

Расширять газ можно по-разному. Нанболее «популярны» и чаще всего применяются два способа испарения.

С пособ перый. Расширять лучшие всего сжатый газ. Поэтому при любом способе испарения начинают с того, что газ сжигают при помощи специальной машины — компрессора — до давления в десятки, а иногда и в сотни atmosфер. При этом газ нагревается по той же причине,

17

Дросселирование приводит к охлаждению газа. Объясняется это тем, что молекулы газа взаимодействуют между собой. Когда при расширинии газа молекулы удаляются друг от друга, произвольная работа против молекулных сил, связывающих молекулы, и кинетическая энергия молекул, а, значит, и температура газа, поняжеется. Можно сказать, что и здесь совершается работа, но не против внешних сил, как в детанде, а против внутренних сил сцепления между молекулами.

Эффект охлаждения газа при дросселировании называется эффективом Джоуля — Томсона.

Для эффектива Джоуля — Томсона важно, что газ не идеален, то есть его молекулы взаимодействуют друг с другом на расстоянии, а не только при непосредственном «лобовом» столковении. Идеальный газ при дросселировании не охлаждается бы. Его можно было бы охлаditь, только использует детанер.

Как уже указалось, охлаждение при дросселировании тем сильнее, чем ниже температура. При комнатной температуре, с которой приходится начинать, оно не велико. Для того чтобы, несмотря на это, достигнуть значительного охлаждения, прибегот к построному приему, существуют которого ясна из рисунка 2.

Труба, по которой скажей газ поступает к дросселю, помещена в другую, более широкую трубу. Когда после дросселирования газ слегка охладится, он возвращается из холодильной камеры к компрессору по широкой трубе, охлаждая «по дороге» встречный скажей газ. Поэтому следующего порция газа подойдет дросселю более холодной. Пройдя через дроссель, газ еще больше охладится, а возвращается по внешней трубе, еще сильнее охладит встречный газ. Через некоторое время к дросселю подойдет уже настолько холодный газ, что дросселирование приведет к его скжижению, и в камере X появится первая порция жидкости. Теперь по широкой трубе будетухоть холодный пар этой жидкости, продолжая охладать встречный газ.

Холодную жидкость, скопившуюся в холодильной камере, можно тут же использовать для охлаждения других тел. Иногда этим «другим» телом служит соляной раствор, который затем поступает к трубам, пропоженным в прилавках магазина, под площадкой искусственного катка и т. д. Но можно поступить и иначе: ск�iженный газ слить через кран В в специальные сосуды, приготовленные для хранения и транспортировки холодных жидкости (сосуды Дьюара). Полученную таким образом жидкость можно использовать для охлаждения других тел в любом месте и в любое время. Общино машины, в которых охлажденный газ или жидкость использует как хладаогент в холодильной камере, называются рефрижерами. Машину же, предназначенную для выдачи жидкого продукта, называют охлижательной машиной.

Дросселирование — наиболее часто использующий способ охлаждения. Оно, в частности, использется и в домашних холодильниках.

Здесь необходимо сделать одно существенное дополнение. Дело в том, что дросселирование может приводить

18

не только к охлаждению, но и к нагреванию газа. И для каждой газа существует определенная температура, так называемая температура инверсии эффектива Джоуля — Томсона ($T_i$), выше которой происходит именно нагревание. Это значит, что если желательно охлаждать газ досселированием, то нужно позаботиться о том, чтобы газ был предварительно охлажден ниже температуры инверсии. Для большинства газов, включая азот и кислород, температура инверсии много выше комнатной, так что никакие трудности не возникают. Но у водорода и геля она значительная ниже обычных температур: у водорода $T_i$ равна 204°К, у геля 40°К. Следовательно, при скжении этих газов требуется их предварительное охлаждение, прежде чем можно будет приступить к досселированию. Для этого можно использовать детанерный способ. Во многих установках для скжения водорода и геля используются сразу оба способа: в детанере газ охлаждают ниже $T_i$; дальнейшее охлаждение, вплоть до скжения, достигается досселированием. Комбинация этих методов применяется при скжении и других газов.

Еще ближе к абсолотному нулю

Описанные выше способы охлаждения позволяют обратить в жидкость любые газы, включая и геля. Геликий кипит при atmosферном давлении при температуре 4,2°К. Интенсивно откачивая испарющейся геля с помощью насоса, можно понизить давление паров над жидким гелем и тем самым понизить температуру кипения до 0,7°К, а если пользоваться более легким изотопом геля, его температуру можно довести до 0,3°К. Более низкие температуры получить таким способом нельзя.

Как же добраться до температур в тысячные доли градуса?

Напомним, что понизить температуру — это значит уменьшить ту часть беспорядка, которая зависит от температуры. Для этого мы используем газ, у которого беспорядок велик. Но ведь при температуре, близких к абсолотному нулю, степень беспорядка уже так мала, что уменьшать ее очень трудно. При таких температурах все вещества (кроме геля) творые, так что расчитывать на аднабатное изменение объема нельзя. Значит, надо найти такие вещества, у которых даже при этих температурах еще существует беспорядок, зависит не только от температуры и объема. И также вещества физики нашли. Это некоторые сложные параметрические вещества.

Парамагнитное вещество — это вещество, содержащие частицы (атомы,оны, молекулы), которые ведут себя как маленькие магнитки. Из-за теплового движения магнитки ориентированы совершенно беспорядочным образом. Правда, при низких температурах, когда тепловое движение очень ослаблено, силы взаимодействия между магнитками могут быть заставить их расположиться правильно образом. Но если магнитки находятся на значительных расстояниях один от другого, то сил взаимодействия неxbатает на это, и магнитный беспорядок сохраняется до самых низких температур. Так обстоит дело в очень сложных по составу параметрических соляях, в которых, кроме магнитных частиц, есть много других, немагнитных, например в соли 2Се ($NO_3$)₃·3Mg ($NO_3$)₂·24H₂O (церное-магнитный нитрат). В этом веществе «магнитиками» являются только ноны церия Ce. Но на каждый нonenция приходится около 60 других, немагнитных atoms. «Magнитики» так сильно «разбавлены» немагнитными частицами, что беспорядок в ориентирахонов Ce сохраняется даже при температуре ниже 1°К. Вот и нужно нам вещество: беспорядок в нем велик и высоки абсолотного нуля!

Беспорядок в параметрином веществе может изменяться не только при изменении его температуры, но и при изменении его магнитного состояния. А магнитным состоянием вещества можно управлять точно так же, как

19

Рис. 3.

и объемом вещества. Это можно делать с помощью магнитного поля. Если параметрную соль помещить в постоянное магнитное поле, то все магнитики — они выстроятся параллельно сливым линяем магнитного поля. Мы наведем порядок в ориентации ионов. Убрав поле, снова создадим беспорядок. Это совершенно аналогично скатнию и расширению газа.

Для получения низких температур поступают следующим способом. Парамагнитную соль в амплуле $A$, заполненной газообразным гелем и нахождения в сосуде с жидким гелем, температура которого около $1^\circ\text{K}$, помещают в магнитное поле между полосами электромагнитита (рис. 3, $a$). Газообразный гелий в амплуле обеспечивает тепловой контакт с жидким гелем, так что температура намагниченной cols совпадает с температурой окружающей жидкого гелия. Затем газообразный гелий из амплулы откачивают, обеспечив этим теплопроводящую соль от окружающей среды (рис. 3, $\delta$). После этого выключают магнитное поле, то есть производ адиабатное газообразничение cols (рис. 3, $\theta$). При этом проискот разорентация магнитков —

инновов, что должно привести к увеличению энтропии. А так как процесс размагничивания аднабатный, то энтропия в целом не может измениться и соль охладается.

Описанный способ вот уже почти сорок лет получают так называемые сверхнизкие температуры, то есть температуры ниже тех, что можно получить с помощью только жидкого гелия. Наинизшие температуры, получаемые таким образом, это тысячные доли градуса.

Не только atoms, но и atomsяядра является магнитками, правда, в 1000 раз более слабыми. Все же, если начать не с $1^\circ\text{K}$, а с $0,01^\circ\text{K}$, можно адиабатным размагничиванием уже не atomsов, а ядер получить температуру около миллионной доли градуса. Но это уже tema для отделной статьи.

Упражнения

1. Почему расширение в деталере и в процессе можно считать аднабатными процессами?
2. Можно ли при магнитном способе охлаждения использовать не параметрные, а ферромагнитные вещества?
3. В каких единицах измеряется энтропия? Какая еще физическая величина измеряется в таких единицах?

20

Г. Д. Балк, М. Б. Балк

И специальностью математике, и школьнику приходит встреча с математическим предложениями, в истинности которых он сомневается. Иного требуется «доказать или опровергнуть» какое-либо утверждение или из нескольких предложений ответов к задаче выбрать единственный правильный.

Если доказательство утверждения упрается в громоздкие выкладки, то часто бывают полезно не начинать с попыток доказательства, а постановясь отдельное отчет, насолько данная гипотеза праводополна, не приводит ли она к явно ошибным или комнентельным выводам.

Остановимся на некоторых примах такого рода «проверки на праводополнение»*).

Так говорил Брамагупта …

Обобщая известную формулу Герона для площин треугольника, индиейский математик и астроном Брамагупта (VII век н. э.) высказал утверждение, которое можно в принятиях сейчас обозначения формулировать так:

*) В основу статьи положена степограмма занятия математico-механического кружка IX класса шклы № 7 г. Смоленска (17 января 1971 г.).

площадь S любого четырехугольника (рис. 1) выражается через его стороны a, b, c, d по формуле

$$S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$$

здеся p, как обычно, — получиметр четырехугольника:

$$p = \frac{1}{2}(a+b+c+d).$$

Верно ли утверждение Брамагупты?

Прежде чем ринутся доказывать это утверждение (если оно верно, то доказательство будет, верятно, веса громоздким), имеет смысл использовать его на праводополнение. Применим простейший примем: проверку на частих случаев.

Рассмотрим случай, когда данные четырехугольник — квадрат; произвольный прямогольник; ромб, отличный от квадрата.

В первых двух случаях формула (1) приводит к правильному результату, в третьем — приводит к ошибке: по формуле $S=a^2$, хотя ясно, что в этом случае $S<a^2$.

Следовательно, утверждение Брамагупты ошибочно.

Заметим, попутно, что эта неудача не должна заставить нас найти отказаться от

25

Интересно, что американскому математику М. Гольдбергу удалось в 1967 году обнаружить, что круги Мальфатти ни для какого треугольника не дают решения «исходной задачи Мальфатти» (задча II).

Использованный при рассмотрении задачи Мальфатти примем «обращения к предельному случай» часто и успешно привлекается для испитания математических предложений на правдополобие.

Только ли для провержения? Только ли в математике?

Do six пор вроде бы получалось, что «испitation на правдополобие» могут лишь привести к провержению комнительных гипотез. Но нельзя ли прийти таким путем к результату «положительного» характеристика? Не удалось ли с помощью этих методов получить новое открытие? А как в других наукках: в физике, химии, биологии? Ведь любой опыт, строго говоря, может либо опровергнуть ложную гипотезу, либо подтвердить ее правдополобие, но никаким образом не доказать! И тем не менее мы знаем много «законов науки», полученных именно опытным (как говорят, «индуктивным») путем.

Все это, конечно, требует специального разговора. Чтобы не ставить такой разговор в зависимости от продолжения этой статьи, перекомендуем читателю прекрасные книги Дьердя Пойа:

1. Математика и правдополобные рассужждения (ИЛ, 1957);
2. Как решить задачу (Учредиз, 1959);
3. Математическое открытие («Наука», 1970).

Отдельные примеры, связанные с темой данной статьи, читатель может найти и в нашей книге «Matематика после уроков» («Просвещение», 1971).

Числовой треугольник

| | | | | | | 65 | 50 | 66 | 37 | 51 | 67 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | |

Здесь вы видите не весь числовой треугольник, а только его «левую» часть. Закон обозначения треугольника очень виден, и прийти таким путем к результату «положительного» характеристика? Не удалось ли с помощью этих методов получить новое открытие? А как в других наукках: в физике, химии, биологии? Ведь любой опыт, строго говоря, может либо опровергнуть ложную гипотезу, либо подтвердить ее правдополобие, но никаким образом не доказать! И тем не менее мы знаем много «законов науки», полученных именно опытным (как говорят, «индуктивным») путем.

Все это, конечно, требует специального разговора. Чтобы не ставить такой разговор в зависимости от продолжения этой статьи, перекомендуем читателю прекрасные книги Дьердя Пойа:

1. Математика и правдополобные рассужждения (ИЛ, 1957);
2. Как решить задачу (Учредиз, 1959);
3. Математическое открытие («Наука», 1970).

Отдельные примеры, связанные с темой данной статьи, читатель может найти и в нашей книге «Matематика после уроков» («Просвещение», 1971).

В. Березин

26

ЛАБОРАТОРИЯ «КВАНТА»
с ОПЫТЫ
МАЯТНИКА
Г.Л.Коткин

Трудно найти физические приборы, которые были так просты по устройству и надежны в употреблении, как матникки. Между тем, опыты с ними могут привести к любопытным результатам, которые чрезвычайно важны не только в механике, но и в радиотехнике и электротехнике. Попробуйте самостоятельно проделать предлагемые опыты и объяснить те эффективы, которые вы при этом будете наблюдать. Хотя сами опыты очень просты, однako, полностью разбраться в повышении матников непросто: для этого нужно знать основные законы гармоничческих колебаний и иметь опыт в тригонометрических преобразованиях. Полностью разбраться в данной стате смогут, по-видимому, лишь только десятиклассики, однako и школьники 8—9 классов могут проделать эти опыты и полностью объяснить их хотя бы качественно.

Матник с разделением подвесом

Сделайте матник с разделенным подвесом, показанный на рисунке 1. Длина матника $l$ должна быть намного больше длины верхней разделенной части подвеса.

Толкните матник под углом к плоскости рисунка. Вы увидите, что сначала матник будет качественно в направлении только, но вскоре его движение перейдет во врашение во круглiger вертикальной оси. Затем матник вовь начнет колебаться в плоскости, но уже не в той, в которой его толкнуты. После этого снова начнется врашение, но уже в другую сторону. Постепенно оно сменится движением в направлении первого колебального толчка. Потом все опять повторится сначала.

С чем связывано такое поведение матника?

Связанные матники

a) Два одинаковых матники (например, гайки на нитке) подвесят на не очень тую натянутой нитки $AB$ (рис. 2). Отклоните один из матников и отпустите.

Рис. 1. Рис. 2.

27

Попробуйте менять массы грузиков, изменять длины нитей матников, наяжение верхней нити.

6. Прикрепите два матрика кжесткой раме. Затем свяжите нити матников ниткой на некоторой высоте (рис. 3). Отклоните один из матников и опустите. Посмотрите, как при этом будет дивгаться матники.

Двойной матник

Устройство двойного матника показано на рисунке 4. Верхний грузик намного тяжелее нижнего, а длинный нитей одинаковы. Толкните нижний грузик и наблюдайте за его движением.

Давайте теперь разберемся в поведении этих матников.

1. Начнем с матника с развовенным подвесом.

Довольно сложное поведение матника, которое вы наблюдайте, можно объяснить тем, что его движение складывается из двух колебательных движений (рис. 5): паралельного плоскости $zy$ и перпендикулярного ей. Эти колебания проискают независимо друг от друга (если отклонения матника от вертикали не слишком велики), а периоды их соответствующего равны

$$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \quad T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}.$$

Прежде всего научимся описывать движение грузика с помощью координат.

Пусть точка $A$ движется по окружности радиуса $a$ с угловой скоростью $\omega$ против часовой стрелки (рис. 6а) или по часовой стрелке (рис. 66). Тогда проекция $B$ точки $A$ на ось $x$ совершает гармоническое колебания*) с угловой частотой $\omega$, равной $\frac{2\pi}{T}$, и амплитудой $a$.

Проекция $C$ той же точки $A$ на ось $y$ совершает подобные же колебания, но достигает наиболее отклонения от точки $O$ на четверть периода позже — через время, за которой радиус $OA$ делает $\frac{1}{4}$ оборота вокруг точки $O$. В этом нетрудно убедиться, проследив за движениями точки $C$ и $B$ при врашении радиуса $OA$. В тот момент, когда проекция точки $A$ на ось $x$ максимально отклонена от точки $O$, ее проекция на ось $y$ как раз

*) См., например, статью Я. А. Смородинского «Похожие движения», «Квант» № 9,1971.

29

направленни $OD$ (рис. 7) на расстояние $a$ и затем отпустить, то координаты грузика будут изменяться согласно формулам:

$$\begin{cases} x = a \cos \omega_1 t, \\ y = a \cos \omega_2 t, \end{cases}$$

где

$$\omega_1 = \frac{2\pi}{T_1} = \sqrt{\frac{g}{l}},$$

$$\omega_2 = \frac{2\pi}{T_2} = \sqrt{\frac{g}{L}},$$

$$a = \frac{b}{\sqrt{2}}.$$

Напомним, что $l$ и $L$ очень мало отличия друг от друга, то есть частоты $\omega_1$ и $\omega_2$ почти одинаковы. Поэтому вначале колебания по оси $x$ и $y$ проискодят почти в фазе.

Так как $\omega_1 > \omega_2$, то с течением времени колебание по оси $y$ отстает от колебания по оси $x$ все больше и больше. Но, как мы видели, при движении точки по окружности против часовой стрелки колебания ее проекций на оси $x$ и $y$ отстают друг от друга на четвертый период. Отсюда следует, что когда отставание колебаний грузика по осам $x$ и $y$ достигнет четвертый период, он будет двигаться как раз по окружности против часовой стрелки. При отставании колебаний грузика по осам $x$ и $y$ на полерiodа он будет двигаться вдоль прямой $E'D'$. Затем отставание колебания вдоль оси $y$ достигнет $\frac{3}{4}$ период — грузик движется по окружности по часовой стрелке. Наконец, при отставании на цельный период грузик опять колебляется вдоль прямой $ED$. Это вы и наблюдали.

Эти расчудения удобно «пересказать» с помощью формул. Систему (5) можно представить в виде

$$\begin{cases} x = a \cos \omega_1 t, \\ y = a \cos (\omega_1 t - \phi), \end{cases}$$

где $\phi = (\omega_1 - \omega_2) t$. За два-три периода $\phi$ почти не изменяется, но за много периодов неуклонно нарастает. При $\phi = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}$ формулы (6) совпадают последовательно с формулами (3), (1), (4), (2).

Рис. 9.

При $\phi = 2\pi$ грузик возврашает к движению по прямой $ED$.

Изложенную теорию можно проверить экспериментально. Ведь мы можем расчитать, через какое время движения грузика пройдёт весь цикл изменений. Если это время $T_0$, то $\phi_0 = (\omega_1 - \omega_2) T_0 = 2\pi$, открывая $\frac{2\pi}{T_0} = \omega_1 - \omega_2$, или

$$\frac{1}{T_0} = \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}.$$

Теперь нужно измерить периоды колебаний $T_1$ и $T_2$ мятника, затем в плоскости $yz$, другой раз — в плоскости $xz$. Время $T_0$ измеряется независимо. Измерив $T_1$, $T_2$ и $T_0$, проверьте правильность формулы (7). Для измерения $T_1$ и $T_2$ лучше определить время, скажем, в 10—15 колебании. Тут же обнаруживается, какие причины ведут к отклонению от расчета. По-видимому, прежде всего сказывается затухание колебания, вызванное сопротивлением воздуха. Что же, грузики не должны быть слишком легкими.

В действительности движения проискодит не по прямой или окружности, а по сложной траектории. Эта траектория (рис. 9) более или менее равномерно «заполняется» весь квадрат.

Если начальное отстальное с плоскостью симметрины угол, отличный от $\frac{\pi}{4}$, то характерными «мгновенными» траекторями грузика оказываются диагонали прямого угловника и вписанные в него эллипсы.

Тот факт, что движение мятника складается из независимых колебаний, выражают, говоря, что для его колебаний справедлив приципп суперпозицини *).

2. Перейdem к объясению движения связанных мятников (рис. 2 и 3). Если отклонить, а затем отпустить один из них, мы увидим, что постепенно придет в движение другой.

*) Читатель «Кванта» уже встречались с принципом суперпозицини при объясении вида волна на поверхности воды («Квант» № 1, 1971, стр. 32).

30

Это объясняется тем, что при отклонении первого матрика связью их нить деформаруется и сила упругости воздействует на другой матрикке, сообщая ему ускорение. Первый матрик будет колебаться со все меньшей амплитудой и, наконец, остановится. В это время амплитуда колебаний второго матрика будет наиболее пышной. Потом раскадает первый матрик, а второй остановится и так далее.

Сложное колебательное движение системы, состоящей из двух матриков, можно представить как результат сложения (суперпозиции) двух колебаний с частотами $\omega_1$ и $\omega_2$. Одна из частот равна частоте, с которой будет колебаться оба матрики, если их одновременно отклонить в одну сторону, а затем отпустить (рис. 10). Обозначим эту частоту через $\omega_1$. Другая частота $\omega_2$. Это частота, с которой будет колебаться оба матрики, если их вначале одновременно отклонить в противоположные стороны, а затем отпустить (рис. 11).

Отметим, что угловая частота $\omega_2$ больше угловой частоты $\omega_1$. Эти два колебания называются нормальными колебаниями двух связанных матриков.

Напишем уравнение нормальных колебаний. Первое

$$\begin{cases} x_1' = a \cos \omega_1 t, \\ x_2' = -a \cos \omega_1 t, \end{cases}$$

второе

$$\begin{cases} x_1'' = a \cos \omega_2 t, \\ x_2'' = a \cos \omega_2 t. \end{cases}$$

Сложим смешения $x_1'$ с $x_1''$ и $x_2'$ с $x_2''$. Получим:

$$\begin{cases} x_1 = x_1' + x_1'' = a \cos \omega_1 t + a \cos \omega_2 t, \\ x_2 = x_2' + x_2'' = -a \cos \omega_1 t + a \cos \omega_2 t. \end{cases}$$

Воспользовавшись формулой сложения косинусов, получим:

$$\begin{cases} x_1 = A \cos \Omega t, \quad \Omega = \frac{\omega_1 + \omega_2}{2}, \\ A = 2a \cos \left( \frac{\omega_1 - \omega_2}{2} t \right). \end{cases}$$

Вследствие того, что $\omega_1$ мало отличается от $\omega_2$, выражение $\cos \left( \frac{\omega_1 - \omega_2}{2} t \right)$ близко к 1 (если $\omega_1$ равна $\omega_2$, то это выражение равно 1). Следовательно, оно мало влияет на значение $x_1$. Поэтому сомножитель $2a \cos \left( \frac{\omega_1 - \omega_2}{2} t \right)$ в выражении для $x_1$ можно рассматривать как медленно изменяющий амплитуду (красный пункт на рис. 12, а). Аналогично обстоит

31

Дело с $x_2$. Колбания грузников, отвечающие этим формулам, графические представлены на рисунке 12, $a$, $b$. Движения такого рода называются биенями (или модированными колбаниями). Легко найти перiod биеней. Он равен полуперiodу синусной (пунктирной кривой) и определяется формулой

$$\frac{\omega_1 - \omega_2}{2} T_0 = \pi$$ или $$\frac{1}{T_0} = \frac{1}{T_2} - \frac{1}{T_1},$$

где $T_1$ и $T_2$ — периоды нормальных колбаний. Частота биеня равнаности частот нормальных колбаний. Перiod биеней тем больше, чем близke друг к другу $T_1$ и $T_2$.

Разумеется, при очень большом периоде биеней картина движения смешается из-за затухания колбаний.

3. При движении двойного матрика наблюдаются биения. Легкий матник то колблется с большим размахом, то почти останавливается. Движение тяжелого матрика может быть почти незаметно. Такие биения объясняются сложением двух нормальных колбаний, изображенных на рисунке 13. Проведите обяснение самостояльно.

Уражнения

1. Выведите формулу для перiodа колбаний математического матрика, рассматривая его движения как врашшение вокруг каждой оси.
2. Подберите длину развоенного подвеса матрика так, чтобы грузник мог описывать восмеруку.
3. Подберите длины двух независимых матриксов так, чтобы с их помощью можно было определить промежутки времени в 10 сек, 20 сек, не считая колбания «поштучно». Такие матрики можно использовать для измерения пульса после зарядки. (Галилей произвольная измерения перiodов колбаний лампад в церкви, использую часов биение пульса).

Кроссворд МФТИ

Существует много видов студенческого форлькора: песни, анекдоты, сказки. У студентов Московского физического института, кроме перечисленных существует еще один — кроссворды.

Для того чтобы разгадать такой кроссворд, необходимо в первую очередьчевство номера и фантазия. Энциклопедии и справочники тут не помогут. Среди преподавателей МФТИ отличным доступием считаются отдельные половины слов кроссворда, среди студентов показатели несколько выше. Если приведенный ниже кроссворд не будет вам поддаться, то посмотрит на страницу 38, где расшифровывает слова по горизонтали, и выпишите их, после этого попытайте самостояльно отладать слова по вертикали. Ответы на них даны на странице 65.

По горизонтали: 1. Вычислитель центр научно-исследовательского института по организации отдельных трудящихся производственного-учебного стройного комбината. 6. Черт в носи. 7. Далеко. 8. Природное соединение. 11. Персонаж русских народных сказок, появляющийся премиущественно из-за гор. 13. Музикальный инструмент без звука. 14. Среднезаматский catрик, философ, композитор, поэтому и певец. 17. Терпеливый казак. 20. Сын востока. 21. Приспособление для остановки поезда путем нажатия кнопки. 22. Фокус со светом.

По вертикали: 1. Нехорощий человек и к тому же пьющий. 2. Tonkoсть. 3. Произведение П. И. Чайковского. 4. Род угля. 5. Очковый змей. 9. Одинокий обитатель дикого света. 10. Силой прияжения к Земле. 12. Очень большая шкаfa. 15. Человек с лопатой. 16. Легендарное сокращение штатов. 18. Не голов. 19. Неколько одинаковых букв.

32

КАРДИОИДА

Фигура, изображенная на первой странице обложки, представляет собой одну из заменательных кривых — кардиоиду. Слово «кардиоида» означает в переводе с греческого «сердцевидная».

Впервые изучал свойства этой кривой в 1674 году французский академик Оле Ремер.

У кардионды много «родственников». Это преждевое всего различные циклонды, эпициклонды и гипоциклонды.

Если окружность катится по прямой, то точка, закрепленная на этой окружности, оставляет на плоскости след — кривую, которая называется циклондой (рис. 1).

Если подвижная окружность катится по внутренней части неподвижной окружности, то точка, закрепленная на первой из них, описывает на плоскости кривую, которая называется эпициклондой (рис. 2).

Если же подвижная окружность катится понаружной части неподвижной окружности, то кривая, которую описывает точка, лежащая на подвижной окружности, называется эпициклондой (рис. 3).

Кардиоида — это эпициклонда, у которой подвижная и неподвижная окружности одного и того же радиуса (см. рис. 4).

Об особенностях всех этих циклонды, в том числе кардионды, вы можете прочесть в книге Г. Н. Бермана «Циклоида», (Гостехидат, 1954).

На рисунке 5 показано одно из возможных построений кардионды. Неподвижная окружность разбивается точками на участки. Из каждой такой точки, как из центра, проводятся окружности, проходящие также через одну фиксированную точку на этой же окружности. Попробуйте доказать, что при таком построении вы действительно получаете кардионду (описанную около всех этих окружностей).

В заключение — забавная интерпретация кардионды. Рассмотрим не скользкую, круглую в попереном сечении неподвижную талюю. Около нее врачается обруч хула хуп вдвое большого радиуса. Тогда каждая точка обруч описывается около талии кардионду.

М. Л. Смолянский

33

При решении многих математических задач применяется так называемое неравенство Буняковского-Коши

$$\sum_{i=1}^{n} a_i b_i \leq \sqrt{\sum_{i=1}^{n} a_i^2} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^{n} b_i^2} \quad (a_i > 0, b_i > 0).$$

Приведем сначала малозвесное, но весма простое доказательство этого неравенства. Пусть $$\sqrt{\sum_{i=1}^{n} a_i^2} = A, \quad \sqrt{\sum_{i=1}^{n} b_i^2} = B.$$ Тогда нам надо доказать, что

$$\frac{\sum_{i=1}^{n} a_i b_i}{AB} \leq 1.$$

Используя неравенство $xy \leq \frac{1}{2}(x^2+y^2)$, написем следующую целочкумнение:

$$\frac{\sum_{i=1}^{n} a_i b_i}{AB} = \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{a_i}{A} \cdot \frac{b_i}{B}\right) \leq$$

$$\leq \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{a_i}{A}\right)^2 + \left(\frac{b_i}{B}\right)^2 \right] = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{A^2} \sum_{i=1}^{n} a_i^2 + \frac{1}{B^2} \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right) = 1.$$

Отсюда следует неравенство (*). Как известно, равенство в нем достигается при

$$\frac{a_1}{A} = \frac{b_1}{B}, \quad \frac{a_2}{A} = \frac{b_2}{B}, \dots, \quad \frac{a_n}{A} = \frac{b_n}{B},$$

то есть при

$$\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \dots = \frac{a_n}{b_n}.$$

Покажем теперь, как применяется неравенство (*).

34

1. Найти наиболее значение функции
   $$y = a \sin x + b \cos x$$
   $$\left(a > 0, b > 0, 0 < x < \frac{\pi}{2}\right).$$

Решение. В силу неравенства (*) имеем
$$y = a \sin x + b \cos x \leqslant \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \sqrt{\sin^2 x + \cos^2 x} = \sqrt{a^2 + b^2}.$$
Максимум достигается при условии
$$\frac{a}{b} = \frac{\sin x}{\cos x},$$ то есть при
$$tg x = \frac{a}{b}.$$

2. Трансформатор переменного типа нужно сконструировать так, чтобы его крестообразный железный сердечник заполнялвозможно большую часть внутренней полости круглой обмотки. Каковы должны быть размеры сечения сердечника, изображенного на рисунке, если радис катушки равен $R$?
   Решение. Пусть $\Rightarrow AOB = \alpha$, тогда
   $$\frac{1}{4} S = y^2 - (y - x)^2 = 2xy - x^2 = R^2 \left(2 \sin \alpha \cos \alpha - \sin^2 \alpha\right).$$
   Отсюда $S = 2R^2 \left(2 \sin 2\alpha + \cos 2\alpha - 1\right)$. Воспользуемся неравенством (*):
   $$S \leqslant 2R^2 \left(\sqrt{2^2 + 1^2} \cdot \sqrt{\sin^2 2\alpha + \cos^2 2\alpha} - 1\right) = 2R^2 \left(\sqrt{5} - 1\right).$$
   Следовательно, $S_{\max} = 2R^2 \left(\sqrt{5} - 1\right)$ и достигается при
   $$\frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{2}{1},$$ откуда $\alpha = \frac{1}{2}$ arctg 2.

3. Рассмотрим три пары действительных чисел $(a_1, b_1), (a_2, b_2), (a_3, b_3)$. Доказать, что существует треугольник со стороны $a = \sqrt{(a_2 - a_3)^2 + (b_2 - b_3)^2}, \quad b = \sqrt{(a_3 - a_1)^2 + (b_3 - b_1)^2}, \quad c = \sqrt{(a_1 - a_2)^2 + (b_1 - b_2)^2}$.
   Решение. Для того чтобы $a, b$ и $c$ были сторонами треугольника, необходимо, чтобы выполнялись неравенства $a + b > c, b + c > a, a + c > b$, каждое из которых эквивалентно неравенству Буняковского — Коши. В самом деле, соответствие $a + b \geqslant c$ эквивалентно неравенству $2ab \geqslant c^2 - a^2 - b^2$ или $2 \sqrt{(a_2 - a_3)^2 + (b_2 - b_3)^2} \cdot \sqrt{(a_3 - a_1)^2 + (b_3 - b_1)^2} \geqslant (a_1 - a_2)^2 + (b_1 - b_2)^2 - (a_2 - a_3)^2 - (b_2 - b_3)^2 - (a_3 - a_1)^2 - (b_3 - b_1)^2 = 2 \left[ (a_3 - a_1) (a_2 - a_3) + (b_3 - b_1) (b_2 - b_3) \right]$, сокращая на 2, получаем неравенство (*). Равенство достигается только, если числа $a_3 - a_1, b_3 - b_1$ пропорциональны числам $a_2 - a_3, b_2 - b_3$; проверьте, что в этом случае вершины треугольника должны лежать на одной прямой.
   Аналогично доказывается, что $a + c \geqslant b, b + c \geqslant a$. Значит, треугольник со сторонами $a, b, c$ существует, хотя и может выродиться в отрезок. Можно построить этот треугольник геометрическим — в декартовой системе координат его вершины надо поместить в точки с координатами $(a_1, b_1), (a_2, b_2), (a_3, b_3)$.

35

Упражнения

1. Найти наиболее значения функции
   a) $y = a \sin x + b \sin \left( \frac{\pi}{3} + x \right) + c \sin \left( \frac{\pi}{3} - x \right) \left( a > 0, b > 0, c > 0, 0 < x < \frac{\pi}{3} \right)$;
   b) $z = a \sin (x + y) + b \sin (x - y) + c \sqrt{\cos 2x \cdot \cos 2y}$
   $(a > 0, b > 0, c > 0, 0 < x < \frac{\pi}{4}, 0 < y < \frac{\pi}{4})$;
   c) $u = a \cos x + b \cos y + c \cos z + d \sqrt{2 \cos x \cos y \cos z}$, где $a, b, c, d$ — положительные числа, $x, y, z$ — остальные углы треугольника;
   d) $u = a \sin x + b \sin y + c \sin z + d \sin t + e \sqrt{2 \cos (x + y) \cdot \cos (y + z) \cdot \cos (z + x)}$, где $a, b, c, d, e$ — положительные числа, $x + y + z + t = 2\pi$;
   e) $y = \frac{(a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n)^2}{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}$ $(a_i > 0, x_i > 0)$.

2. Найти наиболее и наиболее значения функции $u = \sum_{i=1}^{n} x_i y_i$, если извесно, что $\sum_{i=1}^{n} x_i^2 \leq a^2$, $\sum_{i=1}^{n} y_i^2 \leq b^2$ и $a$ и $b$ — положительные числа.

3. Доказать неравенство
   $$\sum_{i=1}^{n} \sqrt{x_i y_i} \leq \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i} \sqrt{\sum_{i=1}^{n} y_i},$$
   где все $x_i$ и $y_i$ — положительные числа.

4. Доказать неравенство
   $$\left( \sum_{i=1}^{n} \sqrt{a_i b_i} \right)^2 \leq \sum_{i=1}^{n} a_i x_i \sum_{i=1}^{n} \frac{b_i}{x_i},$$
   где все $a_i, b_i, x_i$ — положительные числа.

5. Доказать неравенство
   $$\sum_{i=1}^{n} x_i y_i \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i}{y_i} \geq \left( \sum_{i=1}^{n} x_i \right)^2,$$
   где все $x_i, y_i$ — положительные числа.

6. В шар радиуса $R$ висcan цилиндр наиболее полной поверхности. Каковы его радиус и высота?

7. Внутри треугольника некоторая точка расположена так, что сумма квадратов расстояний от нее до сторона треугольника наименьшая. Выразить эти расстояния через длины сторон треугольника и найти эту точку.
   8*) Площади грани треугольра равны $S_1, S_2, S_3$ и $S_4$. Точка $M$ лежит внутри треугольра на расстояниях $h_1, h_2, h_3$, и $h_4$ (соответственно) от граней.
   a) При каком положении точки $M$ сумма
   $$\frac{S_1}{h_1} + \frac{S_2}{h_2} + \frac{S_3}{h_3} + \frac{S_4}{h_4}$$

принимает наиболее значение?
6) Доказать, что любой треугольр имеет хотя бы одну точку $M$, для которого сумма (*) минимальная. Найти, сколько таких точек может быть.

*) Эту задачу прислал наш читатель Г. Ованницан из Еревана.

ЗАДАЧНИК
КВАНТА

Этот раздел журнала ведется у нас из номера в номер. В нем наряду с относительной легкими задачами публикуются задачи, состоящие из нескольких, постепенно условияющихся вопросов. Самые трудные задачи отмечены звездочками. Они зачастую даются нелегко даже специализатам математикам и физикам. Поэтому не отмечайтесь, если не сумеете справиться с той или иной задачей. Попробуйте со временем вернуть к ней снова.

Но вот решение найдено. Не следует, однako, на этом успокаивать. Подумайте, как можно обобщить задачу, уточнить или усилить ее результат.

Во второй части раздела мы будем помещать решение задач (примерно через полгода после публикации условий задач) с учетом присланных читательами письм. С решениями мы рекомендуем познакомиться даже тем, кто не пытается решать эти задачи самостояльно.

В большинстве служав мы указываем фамилии читатель, приславших наиболее удачные решения.

Школьники, регуляро приславшие особенно оригинальные и полные решения, получат право участвовать в областных турах Всегоозной олимпиады школьников наавне с победителями районных олимпиад. Кроме того, редакция «Кванта» установила несколько специальных премий для авторов наиболее интересных решений.

И последнее. Придумать задачу обычно труднее, чем ее решить. Труднее, но это и интереснее. Попробуйте придумать задачи и пришите их нам. Лучшие из них мы опубликуем в «Задачнике «Кванта»».

Свои решения и новые задачи прислайте по адресу: 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект 15, редакция журнала «Квант», «Задачник «Кванта». На конверте после адреса указывае, решения каких задачи вы посылаете (например: M122, M124, Ф146). Решение каждой задачи (если вы посылаете сразу неpendено на отдельном листке (листах), страницы пропумерованы.

В конце укажите свою фамилию, имя, отчество, шестизначный индекс, адрес, а также класс и школа. Решения рассматривают только в том случае, если они получены не позднее, чем через полтора месяца после выхода соответствующего номера журнала.

37

3АДАЧИ

M121. Докажите, что для любых $n$ вещественных чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ найдется такое натуральное $k \leqslant n$, что каждое из $k$ чисел

$$a_k, \frac{a_{k-1}+a_k}{2}, \frac{a_{k-2}+a_{k-1}+a_k}{3}, \dots, \frac{a_1+a_2+\dots+a_k}{k}$$ не превозходит

$$\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n}.$$

M122. Пятнуюгольник $ABCDE$ вписан в окружность. Известно, что расстояния от точки $E$ до прямых $AB, BC$ и $CD$ равны соответствию $p, q, r$. Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $AD$.

M123. Найдите все натуральные числа $m$, для которых

$$1! \cdot 3! \cdot 5! \cdot \dots \cdot (2m-1)! = \left( \frac{m(m+1)}{2} \right)!$$

(через $n!$ обозначается произведение $1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$).

В. П. Бешкарев

M124. Дан треугольник $ABC$. Найдите внутри него точку $O$, обладающий следующим свойством: для любой прямой, проходящей через точку $O$ и пересекающей стороны треугольника $AB$ в точке $K$ и $BC$ в точке $L$, выполняется равенство

$$\frac{AK}{KB} + \frac{CL}{LB} = 1.$$

Вообщите, докажите, что если $p$ и $q$ — произвольное заданные положительные числа, то внутри треугольника $ABC$ можно указать такую точку $O$, что для любой прямой $KL$, проходящей через эту точку ($K$ лежит на $AB$, $L$ на $BC$),

$$p \frac{AK}{KB} + q \frac{CL}{LB} = 1.$$

Г. Номен (ученик 10 класса)

M125. a) Существует ли бесконечная последовательность натуральных чисел, обладающая следующим свойством:

Ни одно из этих чисел не делится на другое, но среди каждой трех чисел можно выбрать два, сумма которых делится на третье?

6. Если нет, то как много чисел может быть в наборе, обладающим таким свойством?

b) Решите ту же задачу при дополнительном условии: в набор разрешается включать только нечетные числа.

Вот один пример такого набора из четырех чисел: 3, 5, 7, 107. Здесь среди трех чисел 3, 5, 7 сумма 5+7 делится на 3; в тройке 5, 7, 107 сумма 107+5 делится на 7; в тройке 3, 7, 107 сумма 7+107 делится на 3; наконец, в тройке 3, 5, 107 сумма 3+107 делится на 5.

Ю. И. Нонин

Ф133*. Замкнутая металлическая цепочка соединена нитью с осью центровкой машины и врашается с угловой скоростью $\omega$ (рис. 1). При этом нить составляет угол $\alpha$ с вертикалью.

Рис. 1.

38

Найти расстояние от центра тяжестецепочки до оси врашения.

Ф134. Тяжелая плита движется со скоростью $v$ в направлении, перpendикулярном ее плоскости. Под углом $\alpha$ к направлению движения плиты движется со скоростью $u$ легкий шарик. Определить величины и направление вектора скорости шарика после его упруго столковения с плитой.

a) Расстояние случан, когда скорость шарика направлена к плите и от нее.

6. Как изменится ответ, если плита движется в направлении, составляющим угол $\beta$ с ее плоскостью?

Ф135. Мина, лежащая на земле, взрывается от детонации. Осколки минны начинают двигаться симметрично во все стороны с одинаковыми скоростями $v$. Размеры всех осоколов одинаковы. Какая часть осоколов упадет вне круга радиуса $R$ с центром в точке взрыва?

Г. Л. Ксткин

Ф136. Плоский конденсатор имеет емкость $C$. На одну из пластин конденсатора помещили заряд $+q$, а на другую — заряд $+4q$. Определить разность потенциаль между пластинами конденсатора.

В. Е. Белонуккин

Ф137 *. Инфракрасное излучение определяющий длины волны поглощается метаном ($\text{CH}_4$). При нормальных условиях слой чистого метана толщиной в 1 см поглощает 98% энергии излучения. Во сколько раз ослабится такое излучение при прохождения по вертикали atmosферы Земли?

При расчете весовое содержание метана в атмосфере принять равным $1,4 \cdot 10^{-6}$.

С. М. Козел

Ответы на кроссворд (см. стр. 31)

По горизонтали: 1. ВЦНИИОТ-ПУСК. 6. Мракобес. 7. Телеф. 8. Сустав. 11. Егор. 18. Сакс. 14. Аkbін. 17. Атаман. 20. Оглы. 21. Стопкоп. 22. Представление.

Построение правильно 17-угольника

Ричмонд дал простое построение семнадцатуюугольника $P_0P_1 \dots P_{16}$ (см. рисунок).

Соединим точку $P_0$ с точкой $J$, лежащей на радиuce $OB$ на расстоянии $1/4OB$ от центра. На диаметре, проходящем через точку $P_0$, выберем точки $E$ и $F$ так, чтобы $\Rightarrow OJE$ был равен четыртери угла $OJP_0$, а $\Rightarrow FJE$ был равен $45^\circ$. Пусть окружность, построенная на $FP_0$ как на диаметре, пересекает

$OB$ в точке $K$, и пусть окружность с центром $E$ и радиусом $EK$ пересекает $OP_0$ в точках $N_3$ (междуну $O$ и $P_0$) и $N_5$. Восстановим перpendикуляры к $OP_0$ в этих двух точках до пересечения с первоначальной окружностью в точках $P_3$ и $P_5$. Тогда дуга $P_3P_5$ (и равная ей дуга $P_1P_3$) равна $2/17$ окружности. В доказательстве несколько раз использовется тот факт, что корни уравнения

$x^2+2x\text{ctg}, 2\alpha-1=0$ равны тg$\alpha$ и — ctg$\alpha$.

(Г. С. М. Кокстер, Введение в геометрию, М., «Нayka», 1966, стр. 49.)

39

Решения

В этом номере мы публикуем решения задач М77—М83

М77

Длины двух сторон треугольника равны 10 и 15. Доказите, что биссектриса угла между ними не больше 12.

Мы получили очень много разных решений этой задачи от читателей. Приведем только три.

I. Проведем $DE \parallel BC$ (рис. 1). Тогда треугольник $CDE$ — равноведенный, поэтому $CE=ED=x$, причем $x$ можно найти подобия треугольников $ABC$ и $ADE$:

$$\frac{15-x}{15} = \frac{x}{10}, \text{ поэтому } x=6 \text{ и } CD < CE + ED = 2x=12.$$

II. По свойству биссектрисы $BD/DA = BC/CA = \frac{2}{3}$. Проведем $BK \perp CD$ и $DL \perp CD$ до пересечения со стороной $AC$ (рис. 2). Тогда $AK=AC - KC=AC - BC=5$, а $KL/LA=BD/DA = \frac{2}{3}$, поэтому $KL=2$, и $CD < CL=12.$

III. (В двух статы «Метод плошадей» «Квант» №12, 1971, стр. 41). Пусть $\Rightarrow BCD = \Rightarrow ACD = \alpha$, тогда (рис. 3) $S_{\triangle ACD} + S_{\triangle BCD} = S_{\triangle ABC} \langle = \rangle al \sin \alpha + bl \sin \alpha = ab \sin 2\alpha,$

рис. 1. Рис. 2. Рис. 3.

40

позтому

$$l = \frac{2ab}{a+b} \cos \alpha = \frac{2 \cdot 10 \cdot 15}{25} \cos \alpha = 12 \cos \alpha < 12.$$

(Mногие пользовались и другими формулами для биссектрисы:

$$l^2 = ab - mn = ab - \frac{abc^2}{(a+b)^2} = \frac{4abp(p-c)}{(a+b)^2}.$$

Любим из этих способов можно доказать, что биссектриса $l$ треугольника, заключенная между сторонами $a$ и $b$, не превыходит $\frac{2ab}{a+b}$ (среднего гармоничского чисел $a$ и $b$). Эта оценка неулучшаема: для любого $l < \frac{2ab}{a+b}$ можно построить треугольник с сторонами $a$ и $b$ и биссектрисой $l$ между ними (убедитесь в этом!).

Попробуйте доказать следующее два утверждения, обобщшие задачу:

1. Если в треугольнике $ABC$, где $BC = a, AC = b$, точка $D$ делит сторону $AB$ в отношении $BD : DA = m : n$, то $\frac{|mb - na|}{m + n} < CD < \frac{mb + na}{m + n}$. (В нашей задаче $m : n = a : b$).

2. Если отрезок $CD$ делит угол $BCA$ в отношении $\Rightarrow BCD : \Rightarrow DCA = p : q$, то $CD < \frac{(p+q)ab}{pa + qb}$. (В нашей задаче $p : q = 1$; здесь для доказательства можно воспользоваться такой lemma: если $0 < \alpha < \beta < \pi$, то $\frac{\sin \alpha}{\alpha} > \frac{\sin \beta}{\beta}$).

M78

Докажите, что каждое целое неотрицательное число можно представить в виде $\frac{(x+y)^2 + 3x + y}{2}$, где $x$ и $y$ — целые неотрицательные числа, и что такое представление единственного.

Обозначим сумму $x+y$ через $s$ и перепишем данную формулу так:

$$n = \frac{(x+y)^2 + 3x + y}{2} = \frac{s^2 + s}{2} + s.$$ (1)

Условия, что $x$ и $y$ — целые числа, $x \geq 0$ и $y \geq 0$, эквивалентны таким: $x$ и $s$ — целые числа, $x \geq 0$, $s \geq x$. При заданном $s$ величина $x$ может принимать значения: $0, 1, \ldots, s$; соответствующего величина $n$, определяемая формулой (1), принимает значения: $\frac{s^2 + s}{2}$, $\frac{s^2 + s}{2} + 1$, $\ldots$, $\frac{s^2 + s}{2} + s$. Итак, каждому $s = 0, 1, 2, \ldots$, соответствует отрезок из $s+1$ целых неотрицательных чисел $n$. Заметим, что последнее число отрезка, соответствующего $s$, как раз на единицу меньше первого числа отрезка, соответствующего $s+1$:

$$\left( \frac{s^2 + s}{2} + s + 1 \right) = \frac{(s+1)^2 + (s+1)}{2}.$$

Позто му также отрезки будут содержать все целые неотрицательные числа $n$, причем каждое $n$ попадает только в один отрезок, то есть ему будет соответствоватьровно одна пара значений $s$ и $x$ (рис. 4).

Задча решения. Мы доказали, что формула (1) позволяет «занутеровать» все точки $(x, y)$ с целыми неотрицательными координатами числами $n=0, 1, 2, \ldots$. На рисунке 5 показано, как расположены эти номера по порядку.

Правильное решение прислада А. Абдулаев, М. Буханов, А. Грицорян, А. Заславский, М. Илларионов, Н. Корценко,