Квант 1972, №2 · Страницы

КЕАНТ
2
ФЕВРАЛЬ
1972

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

Главный редактор — академик И. К. Кионн
Первый заместитель главного редактора — академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:
Л. А. Арцимович, М. И. Башмаков, В. Г. Болтянский,
И. Н. Бронштейн, Н. Б. Васильев, И. Ф. Гинзбург, В. Г. Зубов,
П. Л. Капица, В. А. Кириллин, В. А. Лешковцев (зам. главного редактора), А. И. Маркушевич, М. Д. Миллоншиков, Н. А. Патрикеева, Н. Х. Розов, А. П. Савин, И. Ш. Слободецкий, М. Л. Смолянский (зам. главного редактора), Я. А. Смородинский, В. А. Фабрикант.

На первой странице обложки помещена фотография к статье А. С. Варпаховского и А. Н. Виленкина «Снежные кристаллы» (фото А. Н. Виленкина). Статья помещена на стр. 32.

На четвертой странице обложки помещены графики показательной и эспоненци-alльной функции.

Заведующая редакцией Л. В. Чернова Главный редактор А. Н. Климанов
Художственный редактор О. Н. Яковлева Корректор А. Л. Ипатова
Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15. Тел. 234-08-11, 234-07-93

Сдано в набор 11/X-71 г. Подписано в печать 28/XII-71 г. Бумага 70×100¹/16.
Физ. печ. л. 4,5. Усл. печ. л. 5,85. Уч.-изд. л. 6,43. Тираж 336 935 экз. T-16897. Цена 30 коп. Зак. 2132.
Чеховский полиграфический комбинат Главполиграфпрома Комитет по печати при Совете Министров СССР, г. Чехов Московской области.

Руководси не возврашается

ОСНОВАН
В
1970 ГОДУ

2
ФЕВРАЛЬ
1972

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР И АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

ИЗДАТЕЛЬСТВО • НАУКА•
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

В НОМЕРЕ:

2 Отношение эквивалентности и разбиения множества
M. M. Глухов
10 Вода на Луне
M. A. Гинцбург
16 Переключительные схемы
P. B. Фрейвалд
20 Измерение скорости света
B. Винецкий
26 Иrrрациональное суммы радиkalов
J. H. Kamнев
28 Радиоактивная память
B. И. Кузнецов

ЛАБОРАТОРИЯ «КВАНТА»
32 Снежные кристаллы
A. C. Варпаховский,
A. H. Виленкин

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК
36 Площади многоугольников
П. P. Кантор,
Ж. M. Раббом

«ЗАДАЧНИК «КВАНТА»
42 Задачи
44 Решения задач: М84—М88; Ф92—Ф99

ПРАКТИКУМ АБИТУРИЕНТА
54 Методы расчета эквивалентных сопротивлений
A. Хацем
60 Пирамида и сфера
Ю. B. Сидоров
65 Варианты вступительных экзаменов по математике
1971 года.

РЕЦЕНЗИИ, БИБЛИОГРАФИЯ
67 О книжке Пойя «Математическое открытие»
M. Л. Смолянский,
Ю. A. Гастев

УГОЛОК КОЛЛЕКЦИОНЕРА
70 Марки, посвязывающие международным геофизическим научным программам
A. B. Алтыкис

71 ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ (3-я стр. обл.) А. П. Савин,
СМЕСЬ
25 Задачи о прямых линиях
B. M. Розентулер
31 Задачи арифметические и алгебраические
41 Симпозиум юных математиков (Горький)
53 Симпозиум юных математиков (Тбилиси)
Графики показательных функций (4-я стр. обл.)

2

М. М. Шухоль

Омношенная эквивалентности
и разбиения множества

Попробуйте представить себе все многообразие смысловых отношений слова «класс»: «работый класс», «ученик 10-го класса», «кαιota 1-го класса», «класс млекопитающих» … Сколько различных ни казались бы эти отношения, слово «класс» во всех случаях имеет одно и то же происхождение — оно всегда связано с классификацией, или разбиением, какого-либо множества на непересекающийся классы. Понятие «класс» и его многочисленные сордини (семейство, тип, категория, вид, сорт, род, разряд и другие) ширококо использовется буквально во всех областях человека действияности. Например, когда нам требуется изучить объекты какого-нибудь множества в связи с какими-нибудь их свойствами, мы стремимся разбить это множество на классы так, чтобы все элементы одного класса были себя одинаковым образом по отношению к интерсуцишим насвойством, и тогда появляется возможность изучать целый класс объектов по одному его представителю.

Так, биология изучает не каждое растение в отдельности, а разбивают все растения на классы, семейства, роды и виды, так что при изучении, скажем, семейства логиковых один цветок выстраает как представитель целого семейства (или вида). При изучении класса по его представителю последний обцчно страюются выбрать наиболее простым с точки зрения других (не интересующих нас в данный момент) свойства. Каждый из нас недократно пользовался такой возможность, например, при решении уравнения, заменяя одно уравнение другим, более простым, но имеющим те же корни, то есть содержащимся в классе уравнения, равносильных данному.

Для разбиения множества, то есть для такого распределения его элементов по классам, при котором каждый элемент попадает в один и только один класс, обычно использует различные признаки, присущие элементам данного множества. Например, предметы, изображенные на рис. 1.

Рис. 2, а

сунке 1, можно разбить на классы по цвету (рис. 2, а), по форме (рис. 2, б) или по какому-нибудь другому признаку. Впрочем, для разбиения множества на классы нам нужны не только свойства, присущие каждому элементу в отдельности, сколько правила, указывающие, в один или в разных классы следует отнести два произвольно выбранные элемента данного множества. Например, все прямые плоскости можно разбить на классы, если договориться две прямые относить в один класс в том и только в том случае, когда они параллельны. В полученном разбиении любые две (не обязательное различные *)) прямые одного класса параллельны, а любые две прямые из разных классов не параллельны. В этом примере мы пользовемся не признаком, который обладает или не обладает каждой отдельно взятая прямая, а свойством, относится к парм прямых (примыте a и b параллельны или не параллельны). Про построение разбиения прямых говорят, что оно иduceно отношение парал-

лельности. О рассмотренных выше разбиениях предметов рисунка 1 также можно сказать, что они индуцированны неокторыми отношениями. Так, разбиение по цвету индуцированно отношением «иметь одинаковый цвет».

Вместе с тем, не всякое отношение между элементами множества индуцирует разбиение этого множества на классы. Например, если мы попытались всех людей распределить по непересекающимся группам так, чтобы любые два человека одной группы уважали друг друга, а два человека из разных групп не уважали бы или не знали друг друга, то, очевидно, из этой затей ничего бы не вышло.

Проверьте, будет ли отношение перpendикулярности индуцировать разбиение всех прямых плоскости.

Что такое отношение?

Начнем с того, что вспомним неокторые знакомые отношения. Так, в школьной математике вам часто

Рис. 2, б

4

встречались отношения равенства (чисел, фигур, функций), отношения «больше» и «меньше» для чисел, отношения делимости для целых чисел, отношения параллельности и перpendикularности для прямых и многоугольные. В повседневной жизни распространялись отношения между людьми являются отношениями старшинства, родства, соседства, товарищества, принадежности к одной нашии, профессии.

Тепер вмотрися внимательнее в какое-нибудь одно отношение, например, в отношение равенства чисел. Числовые равенства былиют верные (истинные) и неверные (ложные). Например, равенство 5 = 5 верно, а 5 = 2 неверно. Если же $x_1$ и $x_2$ — неизвестные числа, то равенство $x_1 = x_2$ (высказывание «$x_1$ равно $x_2$») не имеет определенного значения: оно зависит от «неизвестных» $x_1, x_2$, является их функцией: при каждых конкретных числовых значениях $x_1, x_2$ оно будет истинным или ложным.

В обшем случае отношением биарным (или двуместным *) на множество $M$ мы будем называть высказывание об элементах множества $M$, зависимости от двух переменных и превращаются в истинное или ложное высказывание при подстановке в него вместе переменных любых конкретных элементов из $M$. Общно отношение записывается в виде $x_1\Theta x_2$ ($x_1 = x_2, x_1 < x_2, x_1 \parallel x_2, x_1 \perp x_2$ и т. п.). Часто вместе «отношение $x_1\Theta x_2$» говорят просто «отношение $\Theta$». Например, вместе «отношение $x_1 = x_2$» мы говорим «отношение равенства». Аналогичный смысл имеет термин «отношение порядка», «отношение соседства» и т. п. Если отношение $a\Theta b$ истинно, то говорят также, что $a$ и $b$ связаны отношением $\Theta$ или находится в отношении $\Theta$. Если отношение $\Theta$ обладает тем свойством, что из истинности $a\Theta b$ всегда следует истинность $b\Theta a$, то оно называется «симметриным». (В дальнейшем мы будем иногда называть симметрично «свойством 1».) Например, отношения параллельности и перpendикularности прямых симметрины, а отношение < на множестве действительных чисел не симметрично (5 < 8 истинно, а 8 < 5 ложно).

Отношение $\Theta$ на множестве $M$ называется рефлексиным («свойство 2»). если $a\Theta a$ истинно для любого элемента $a$ из $M$, и трансимивным («свойство 3»), если истинности $a\Theta b$ и $b\Theta c$ следует истинность $a\Theta c$. Например, отношения равенства чисел рефлексино и транситивно, отношения перpendикularности прямых не рефлексино и не транситивно, а отношение «меньше» для чисел транситивно, но не рефлексино.

Заддача. Выясните, какими из свойства 1—3 обладают отношения делимости для целых чисел, отношение «пересекаться» (то есть имеет бы одну общую точку) для прямых плоскости и отношение соседства для людей.

Отошення эквивалентности

Вернемся теперь к интерсующему нас вопросу: какие отношения, определяемые на некотором множестве $M$, индуцируют разбения этого множества на классы? Иначе говоря, какими свойствами должны обладать отношения $\Theta$, в соответствии с которым множество $M$ можно разбить на такие непересекающиеся классы, чтобы

1. любые два элемента (различные или одинаковые) из одного класса находится в отношении $\Theta$,
2. никакие два элемента из разных классов не находится в отношении $\Theta$?

На этот вопрос ответа следуетющая

Теорема. Отношение $\Theta$ на множестве $M$ может и только может индуцирует разбение множества $M$, когда оно рефлексино, симметрично и трансимивно.

5

Доказательство. Пусть отношение $\Theta$ индуцирует разбиение множества $M$, то есть множества $M$ можно разбит на классы, удовлетворяющие условиям 1) и 2). Какой элемент $a$ мы ни взяли, он принадлежит некоторому классу нашего разбиения. Согласно 1), $a$ находится в отношении $\Theta$ с самим собой: $a\Theta a$ истинно, так что $\Theta$ — рефлексивно. Если, далее, $a\Theta b$ истинно, то, как следует из 1)—2), элементы $a$ и $b$ принадлежат одному классу разбиения. Тогда из 1) следует, что истинно и $b\Theta a$. Значит, для любых $a, b \in M^*$) из $a\Theta b$ следует $b\Theta a$, то есть отношение $\Theta$ симметрично.

Не читайте данные, пока сами не убедитесь в том, что отношение $\Theta$ транситивно!

Таким образом, если отношение $\Theta$ индуцирует разбиение множества $M$, то $\Theta$ рефлексивно, симметрично и транситивно: свойства 1—3 не обходимы для того, чтобы $\Theta$ индуцировало разбиение множества $M$.

Теперь ясно, почему мы не смогли разделить человека на группы уважающих друг друга людей и почему отношение перpendикулярности не индуцировало разбиение прямых плоскости. Отношение «увражения» и перpendикулярности не транситивны (и не рефлексивны).

Докажем теперь достаточно свойств 1—3. Пусть $\Theta$ обладает свойствами 1—3, и $a$ — произвольный элемент множества $M$. Обозначим через $M_a$ класс (множество) всех таких элементов $x$ из $M$, для которых истинно $a\Theta x$:

$$M_a = \{x \mid a\Theta x \text{ — истинно}\}.$$

Мы получим таким образом некоторое множество классов. Так как по свойству 1 истинно $a\Theta a$, то $a \in M_a$ (по определению класса $M_a$) и, следовательно, каждый элемент множества $M$ принадлежит хотя бы одному из полученных классов. Покажем, что любые два класса $M_a, M_b$ или совпадают, или не пересекаются. В самом деле, если $M_a$ и $M_b$ имеют хотя бы один общий элемент $c$, то $a\Theta c$ и $b\Theta c^*$. По свойству 2 из $b\Theta c$ следует $c\Theta b$, а из $a\Theta c$ и $c\Theta b$ по свойству 3 получим $a\Theta b$. Значит, $a\Theta b$ истинно. Возьмем теперь произвольный элемент $d$ из класса $M_b$. По определению класса $M_b$ истинно $b\Theta d$, а по свойству 3 из $a\Theta b$ и $b\Theta d$ следует $a\Theta d$; значит, $d \in M_a$. Итак, если $d \in M_b$, то $d \in M_a$. Аналогично доказывается, что из $d \in M_a$ следует $d \in M_b$ (проведите соответствующие рассуждания сам). Тем самым доказано, что $M_a = M_b$, то есть классы, имеющие хотя бы один общий элемент, совпадают. Таким образом, каждый элемент множества $M$ содержится в некотором классе и разные классы не пересекаются. Это и означает, что мы имеем разбиение множества $M$. Покажем, что это разбиение действительное и индуцирует отношением $\Theta$, то есть выполняются условия 1)—2). Пусть элементы $a$ и $b$ содержятся в одном классе. Так как $a \in M_a$, то это означает, что и $b \in M_a$ (в предыдущей форме оба подлежащих совершению равноправны!), то есть $a\Theta b$. Итак, любые два элемента из одного класса находится в отношении $\Theta$: выполняется условия 1). Пусть теперь $a$ и $b$ — два произвольных элемента из разных классов, так что $M_a \neq M_b$. Если бы было $a\Theta b$, то это означает, что $b \in M_a$, то есть классы $M_a$ и $M_b$ имеющие хотя бы один элемент $b$. Но тогда, по доказанному выше, было бы $M_a = M_b$, что противоречит условия. Значит, $a\Theta b$ ложно, то есть элементы из разных классов не находятся в отношении $\Theta$ (выполняется условия 2)). Теорема доказана.

При фиксировании множества $M$ элементы, содержащие в одном классе, обычно называются отношение эквивалентности, а сами классы получаемого разбиения — классами эквивалентности.

*) Знак ∈ читается «принадлежит»: $u \in M$ означает, что $a$ — элемент из множества $M$.

6

Теперь доказанную выше теорему можно сформировать короче: отношение $\Theta$ на множестве $M$ может и только моеда индуцируем разбиение множества $M$, когда оно является отношением эквивалентности.

Таким образом, если нам требуется выяснить, индуцирует ли некоторое отношение $\Theta$ разбиение какого-либо множества $M$, то нужно проверить, является ли отношение $\Theta$ отношением эквивалентности на $M$.

Например, множество всех окружностей плоскости распадается на классы концентрических окружностей, поскольку отношение концентриности окружностей рефлексировно, симметрично и транситивно. (При этом мы, естественно, считаем, что

Рис. 3.

всякая окружность концентрина сама себе.) Весьма просто проверяется также, что рефлексировно, симметрично и транситивно отношение подобия треугольников. Следовательно, множество всех треугольников разбиается на классы подобных треугольников.

Приведем один менее очевидный пример. Пусть $Q$ — множество всех дробей вида $\frac{a}{b}$, где $a, b$ — целые числа и $b \neq 0$. По каждой дроби $\frac{a}{b}$ определяем класс $Q_{a,b}$, относая дробь $\frac{c}{d}$ в этот класс в том и только в том случае, когда $ad = bc$. Получится ли в итоге разбиение всех дробей на непересекающийся классы?

Мы определили некоторое отношение $\Theta$ на множестве $Q$:

$$\frac{a}{b} \Theta \frac{c}{d}$$ тогда и только тогда, когда $ad = bc.$

Выясним, является ли $\Theta$ отношением эквивалентности.

1. Рефлексировать. Для любой дроби $\frac{a}{b} \frac{a}{b} \Theta \frac{a}{b}$, поскольку $ab = ba$.

2. Симметрировать. Если $\frac{a}{b} \Theta \frac{c}{d}$, то $ad = bc$, или $cb = da$. Последнее равенство означает, что $\frac{c}{d} \Theta \frac{a}{b}$.

3. Транзитивность. Пусть $\frac{a}{b} \Theta \frac{c}{d}$ и $\frac{c}{d} \Theta \frac{e}{f}$, то есть $ad = bc$ и $cf = de$. Умножив последнее равенство соответственно на $f$ и $b$, получим:

$$adf = bcf, \ bcf = bde.$$

Отсюда имеем $adf = bde$ и $af = be$ (на $d$ можно сократить, поскольку $d \neq 0$!). Но $af = be$ как раз и означает, что $\frac{a}{f} \Theta \frac{e}{f}$.

Таким образом, $\Theta$ — отношение эквивалентности и потому множество всех дробей распадается на непересекающийся классы эквивалентных (или, как говорят в школе, равных по величины) дробей. Итак, имея отношение эквивалентности на некотором множестве, мы можем разбить это множество на классы. Но можно поступить и наоборот: сначала разбить множество на классы, а затем определить отношение эквивалентности, считая по определению два элемента эквивалентными в том и только в том случае, когда они принадлежат одному классу рассматриваемого разбиения.

Например, таким образом появляется отношение «быть одноклассниками»: сначала детей, пришеших впервы в школе, разбиают (почти произвольно) на классы, а затем уже детей, оказавшихся в одном классе, называют одноклассниками.

Нельзя ли экономить?

Если нам часто приходится проверять, будет ли заданное отношение рефлексировным, симметриным и транситивным, то есте-

венно возникает вопрос: не является ли какое-нибудь из указанных свойств 1—3 логических следствием двух других (в этом случае нам не пришлось бы делать проверку всех трех свойств)?

Оказывается, что не так: свойства рефлективности, симметриности и транснитивности не зависями. Чтобы доказать, что неокторое свойство не зависит от двух других, достаточно привести пример отношения, обладающего двумя последними свойствами, но не обладающего рассматриваемым.

Например, отношение ≤ на множество действительных чисел рефлективно и транснитивно, но не симметрично. Значит, симметриность не является следствием рефлективности и транснитивности. Свойство транснитивности также не ввитает из двух других. Например, для прямых плоскости отношение «прямая $x_1$ совпадает с прямой $x_2$ или перпендикулярна к $x_2$», рефлективно и симметрично, но не транснитивно. (Проверьте!)

Пример, показывающий неависимость рефлективности от двух других свойств, поставляется привести сами.

Отошення эквивалентности в математике

Мы уже говорили о значении разбиений множества на классы (или, как теперь можно сказать, отношений эквивалентности) в различных областях человека действия. Очень важную роль играет отношение эквивалентности в математике. Кроме упоминавшихся ранее, можно привести много других примеров относительной эквивалентности, с которых вы встречались в школьной математике. Таковые, например, отношения «иметь одну и ту же абсолютиную величины» для чисел, отношения равенства двух алгебраических выражений, отношения равновелюсти многоугольников и многоугольники.

Рассмотрим подробнее два примера, показывающие, как отношения эквивалентности используют при обработании важнейших понятий математики.

Науральные числа. Понятие натурального числа было выработано человеком в процессе длительного исторического развития. Прежде чем человек научился абстрактно представлять себе число 5, он научился открывать 5 камешок, делать 5 зарубок, завязывать 5 узелков и т.п. и сравнивать эти «стандартные» множества с другими встречными путем установления взаимно однозначного соответствия между ними. Этот процесс абстрагирования «вускореном темпе» каждой на нас проходит в детстве, причучаясь сначала видеть два глаза, два яблока, две машины и т. д. и только затем уже представлять себе число 2. Теперь, когда этот абстрагирование каждой из нас, надо полагать, уже давно проijdен, попытаться уяснить себе существующее понятие натурального числа. С этой целью определяем следующие отношения:

Между конечными множествами: будем считать, что два конечных множества $M$ и $N$ находятся в отношении $\Theta$ тогда и только тогда, когда существует взаимно однозначное отображение множества $M$ на $N$. (О понятию отображения множества можно прочесть, например, в статье А. Н. Колмогова «Что такое функция» в № 1 «Кваната» за 1970 год.) Легко проверить, что введенное таким путем отношение $\Theta$ рефлективно, симметрично и транснитивно. (Проверьте!) Следовательно, оно является относением эквивалентности, и потому все конечные множества разбияются в соответствии с ним на классы. Любые два множества из одного класса полученного разбиения и называют эквивалентными. Впрочем, чашце,—что бы отличить полученное разбиение от прочих разбиений, индушируемых произвольными рефлективными, симметричными и транснитивными относениями, что любое отношение есть отношение эквивалентности; примером может служить хотя бы отношения, отождествленные, с одной стороны, все четыленные числа, а с другой, — все нечетные)— эквивалентные в этом смысле множества называют равночисленными. Например в классе, содержащем множество букв {а, б, в, г, д} будет содержаться множество пальцев на руке человека,

8

множество космонавтов космических кораблей «Восход» и «Восход-2», множество «части света» (без Антарктиды!) и т. п. Уже из этого небольшего перечня видно, что в один класс входят множества самой различной природы и общим для всех них является лишь то, что все они равномощны, то есть любое одно из них можно взимно однозначно отобразить на любое другое. Теперь сформирует определение натурального числа: натуральным числом называем изовем всякий класс равномощных конечных множества.

Такое определение поначалу может немало удивить: такая, вроде бы, простая штука, как натуральное число, определяется через что-то громоздкое и малообозримое — через целый класс множества! Однако если в это определение хорошо шенЬко вдуматься, свыкнуть с ним, то придется согласно, что оно действительно отражает «количественной суть» поняття натурального числа. В этом определении проявляется так называемая абстракция отохдествления: сначала мы все конечные множества разбиаем на классы равночисленных множества, затем «отождествляем» все множества одного класса и уже результат этого отождествления мыслим как неокоторое натуральное число.

Поскольку каждый класс равномощных множества вполне определяется любым своим представителем, то можно говорить о натуральном числе, определяемом любым множестром данного класса. Число, определяемое множестром $M$, обозначает через $|M|$ и называют порядком, или мощность, множества $M$. Для натуральных чисел можно ввести систему обозначений, не связанную с конкретным множествами. Конечно, это можно сделать по-разному. Исторически так и было: у разных народов были разные системы обозначений и названный натуральных чисел. (Подробнее об этом сказано в статье И. М. Яглома «Системы чисел», см. «Квант», № 6, 1970). Придерживаясь общепризнанной в настоящее время системы обозначений и названный, можно сказать, что число 1 (единица) есть класс множества, равномощных множеству столц Советского Союза, число 2 (два) есть класс множества, равномощных множеству глаз человека, и так далее. Добавляя к любому конечному множеству еще один элемент, мы получим новое множество, не равнымштою исходному. Осуществляя этот процесс, мы получим бесконечную последовательность не равномощных друг другу множества и определяемый им при натуральных чисел:

1, 2, 3, …

Ращиной говорят, что рациональный числом называется дробь вида $\frac{a}{b}$, где $a, b$ — целые числа и $b \neq 0$. Однако такое определение не полно, поскольку из него неосредственно не следует, равны или нет, например, числа $1/2$ и $3/6$. Поэтому приходит сразу же добавлять: рациональные числа $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$ равны в том и только в том случае, когда $ad = bc$. В итоге получается, что рациональный число это не просто дробь, а целый класс дробей. Таким образом, понятие рационального числа более аккуратно вводится следующим образом.

Рассмотрим множество $Q$ всех дробей и определим на $Q$ относение $\Theta$, положив $\frac{a}{b} \Theta \frac{c}{d}$ тогда и только тогда, когда $ad = bc$. Выше мы уже показали, что такое $\Theta$ есть относение эквивалентности и, значит, множество $Q$ развиется на непересекающийся классы. Любые две дроби одного класса указанного разбиения мы и будем назвать аккуватнымми. Теперь можно сформировать определение: рациональный числом называется всякий класс эквивалентных дробей. После всего сказаного ранее по поводу определения натурального числа мы сcribe рациональный число как класс дробейсовсем просто.

10

Мы знаем далеко не все ресурсы Луны, но и того, что известно, достаточно, чтобы предположить, что в будущеем на Луне возникнут лунные станции и колонии. Одана из основных трудностей в организации колони — обеспечение человека водой и кислородом. В день человека необходимо применно 0,9 ке безводной пищи, 0,9 ке кислорода и 2,7 ке воды. В лунных образах, доставленных советскими и американскими космическими кораблями, никаких следов воды не обнаружено.

Однако есть основания предполагать, что вода на Луне была.

В нашей дни получила широкое распространение теория эволюции, по которым Луна, как и Земля, образовалась из облака мелких твердых частиц. Эти частицы у Луны содержали примерно столько же воды (т. н. ювенильная, то есть первоначальная вода), сколько ее содержало вещество Земли: «строительный материал» у Земли и Луны был примерно одинаковов. Распад радиоактивного урана и радиоактивного калия привел с течение времени к разогреву глубинных слоев Луны до температур 1000—2000°С. Содержащаяся в веществе Луны вода испарлась и проникала в виде пара наружу, к поверхности. Судьба этого пара зависяла от условий у поверхности Луны, от ее температуры.

Температура поверхности Луны достигает днем +120°С, а почью опускается до −160°С (в полярных районах до −200°С). Материалы, из которых сложена поверхность Луны (мелкие обломки различных минералов — так называемый «реголит»), плохо проводят тепло. Поэтому суточные колебания температуры проникают весма неглубоко и уже на глубине меньше метра под поверхностью температура не зависит от времени лунных суток. В низких широтах, близзи экватора, она равна примерно −30°С. При такой низкой температуре под поверхностью выделившийся из недр Луны водной пар должен был замерзнуть, образуя слой льда.

Оценим границы слоя льда. Температура растет с глубиной. На Земле температура увеличивается на 28°С на каждом пройденном вгулубь kilometer. Допустим, что радиоактивные процессы выделения тепла на Луне также же, как на Земле. Тогда на Луне температура повышается на 30°С до точки таяния льда (0°С) на глубине около 1 км. Такова нижняя граница лунного слоя вечной мерзлоты (рис. 1), а под ним расположен слой воды.

На верхней границе слоя льда с его поверхности непрерывно отрываются молекулы, лед испаряется. Горные породы на Луне, как это уста-

11

новлено при исследовании лунных образцов, всегда содержат поры. Молеклы пара пропетают по этим порам и выходят на поверхность Луны.

Мы знаем возраст горных пород Луны по относительной содержанию радиоактивных изотопов и продуктов их распада в лунных образцах. Этот возраст поряка 4,5 миллиарда лет. Расчет показывает, что при $t = -30^\circ\text{C}$ и известных нам физических свойствах и структуре лунных горных пород за эти 4,5 миллиарда лет led из лунной коры испарился не весь.

Гипотезу о вечной мерзлоте и глубинном слое воды на Луне вывиднул в 1961 году американский астрофизик Голд. Оdnako его вывод о существовании в глубине лунной коры льда и воды основан на некоторых предположениях.

Рис. 1.

Во-первых, считается, что общее количество ювенильной воды в 1 кг вещества Земли и Луны было одинаково, и это общее количество ювенильной воды оценивается по средней глубине мирового океана (слои воды, получающийся делением объема воды океанов, морей, льдов Арктики и Антарктики, льдов горных районов на поверхности Земли). На Земле эта глубина ~1 км.

Во-вторых, считается, что значительная часть ювенильной воды выходит на поверхности уже после остыления лунной коры и потому замерзала в led, который испарился медленно — сквозь поры.

Если пары ювенильной воды успели выйти на поверхности лунной коры, чтобы надежно расчитать процесс испарения из нее льда.

Подпоченные льды есть и на Земле. В тех районах, где среднего давления температура ниже 0°С, под поверхностью Земли сохраняется слоей вечного мерзлой почвы, которая только частично оттаивает летом. Районы вечной мерзлоты составляют 15% земной суши (и еще 10% суши занимают ледники). В нашей стране вечная мерзлота охватывает общие пространства Сибири и Дальнего Востока.

Превращения led—вода—пар на Луне и на Земле *)

Поднимемся теперь из глубины на поверхности Луны. Как будут вести себя вода, led и пар днем ($t = +120^\circ\text{C}$)

*) Настоящее рекомендация читателя популярующего книгу академика Л. Д. Ланду и проф. А. И. Китайгородского «Физика для всех», М., «Нayka», 1963. Глава 12 этой книги послужит наиболее пособием по всем физическим вопросам, затронутым в нашей стране.

12

Рис. 2.

и ночь ($t = -160^\circ\text{C}$) на самом поверхности, без зашитного слоя лунной коры? Ответ на эти вопросы дает так называемая диаграмма состояния воды (рис. 2), о котором мы сейчас и рассакжем.

Будем по вертикальной оси откладывать давление, под которым находится лед, вода или пар, а по горизонтальной оси — их температуру. Каждый точке на плоскости, ограниченной осями координат $P$ и $t^\circ$, соответствует определенное состояние воды (лед, вода или пар).

Начнем со льда. Синяя кривая показывает зависимости давления, под которым плавится лед, от температуры. Чем выше давление, тем ниже температура плавления. Отойдем от синея кривой немного впраvo: при том же давлении повышем температуру. Лед полностью растает — точки плосости правее синея кривой соответствуют воде. Если от синея кривой отойти влево — уменьшить температуру, то вода замерзнет, превращается в лед. В точках синея кривой (и только при этих давлениях и температурах) лед и вода находятся в равновесии друг с другом — сколько плавится льда, сколько же воды превращается в лед. Поэтому синюю кривую называют кривой равновесия льда и воды.

Если мы будем повышать температуру воды при неизменном давлении, то попадем в область таких температуры, при которых может существовать только пар. Эта область температур и давления находится справа от красной кривой — кривой равновесия воды и пара, или, другими словами, кривой зависимости температуры кипения воды от давления. Эта кривая, как видно из рисунка, показывает что чем ниже давление, под которым находится вода, тем ниже и температура ее кипения. Это мы хорошо знаем — например, высоко в горах, где давление воздуха мало, альпинисту трудно сварить в кипятке яйцо, приходимся жарить яичницу. На вершине Эльбруса, где давление составляет поливну atmosферию, вода кипит при $82^\circ\text{C}$.

Уменьшим давление до 0,006 am. Опыт показывает, что температура кипения сниится до нуля (точнее, до $0,0075^\circ\text{C}$) — «кипяток» имеет температуру замерзания воды. А что будет при дальнейшем попаже давления? Temperatura кипения упадет ниже нуля, «кипяток»

14

равно атмосферному или большие него, если лед покрыт слоем воды (рис. 3).

Для кривой равновесия вода—пар все обстоятельское. Все точки справа от красной кривой соответствуют устойчивому состоянию — пар, слева — устойчивому состоянию — вода. Если давление водяного пара меньше давления на красной кривой, то вода при данной температуре полностью испарится (пар над ней ненасыщенный). В атмосферном воздействии давление водяного пара обычно составляет 0,013 am, то есть 60% от давления насыщенного пара. Поэтому напитая в блюде вода со временем всегда испарится. При охлаждении воздуха давление 0,013 am становится больше давления насыщенных паров при новой температуре и воданой пар конденсируется (пример — утренняя роса).

Но испарение с поверхности жидкости — процесс очень медленный. Существует другой процесс перехода жидкости в пар, значительное более быстро — испарение при кипении. В этом случае пузырыки пара образуются во всем объеме жидкости. Внешнее давление (полное давление 1 am) передается с поверхности жидкости также и во все точки в ее глубине, поэтому образующийся внутренний давление, равное (или большое) полному давлению на жидкость, вне зависимости от того, какова причина этого внешнего давления — водяной пар или давление atmosферного воздуха.

На Луне на открытой поверхности вода всегда кипит, а внизу замерзает. Но в зависимости от времени суток (то есть от нагревания Солнцем) тут могут быть самые разнообразные эффекты.

Замерзнет пар или нет, зависит не только от его температуры, но и от давления. На Луне при низких давлениях водяной пар мог выйти на ее поверхности, и не замерзнуть. На рисунке 2 мы видим, что в лунных условиях водыной пар может существовать и при температуре, близких к —200°С. Все зависит от условий (зависимость давления от глубины, температура, пористость вещества Луны), которые на протяжении 4,5 миллиарда лет истории Луны могли быть самых различными.

Таким образом, оба основных пункта теории подпочвенного льда — выход достаточно количества водяного пара из недр Луны и его замерзание у поверхности — основаны на определенных предположениях и нуждаются в проверке на опыта. Над разработать экспериментальные методы поиска льда и с их помощью обследовать Луну по всей поверхности, а также и в глубину.

Диапазон изменения температур на лунной поверхности очень широкий (от —160 до +120°С). Можно предложить, что свойства льда в таких широком диапазоне температур тоже не постоянны. Поиск льда на Луне (пока теоретические) побудили к новым исследованиям свойств льда в земных laboratorиях.

В 1969 году был изучен процесс замерзания воды в условиях лунной тени, то есть при давлении, меньше десяти миллионных долей atmosферы, и температуре (—170°С)—(—180°С). При этом была открыта неизвестная до сих пор форма льда — аморфный лед. Он вдвое плотнее воды: вода, замерзая при столбизных температурах, не расширяется (вспомните, что общий лед плавает на поверхности воды), а скнимается.

Схема опыта очень проста. Дистиллированная вода впускалась в вакуумную камеру и намерзала тонким слоем льда на металлическом конусе. Объем льда определялся сравнительным фотографийной конуса до и после намерзания льда, масса определялась взвешиванием. Отсюда находится плотность. Лед, намерзший на конусе при температуре ниже —175°С, имел плотность 2,3 е/cm³ и был пожок на стекло. Применяя двухствов-mechanical methods of measuring the temperature of water, on the same scale, the temperature of water is measured using a thermometer.

Возможны ли на Луне реки?

На первый взгляд, нет. Если вода находится в твердом или газообразном состоянии, то как же она может течь? Однако при более внешательном анализе диаграммы состояния (рис. 2) такой простой ответ оказывается неверным.

Представим себе, что по поверхности Луны течение поток воды. Вода будет интенсивно испарться с поверхности. При испарении тратится много теплла. Это теплоотнимается у еще неисправившей воды и она начинает замерзать. Образующейся лед легче воды. Он будет плавать на поверхности и создает дополнительное давление на поверхности воды своим весом. Когда давление слоя льда $P = \rho gh$ превышает давление в тройной точке $P_0 = 0,006 \text{ am}$, вода перестанет испарться.

На Луне $g = 1,16 \text{ m/cm}^2$, плотность льда равна $0,9 \text{ e/cm}^3$, то есть минимальная толщина слоя льда, предохраняющего воду от кипения при $0^\circ \text{ C}$, равна

$$h = \frac{P_0}{\rho g} = \frac{0,006 \cdot 10^5 \text{ m/m}^2}{0,9 \cdot 10^3 \text{ kg/m}^3 \cdot 1,6 \text{ m/cm}^2} \approx 0,4 \text{ m}.$$

Не есть ли на поверхности Луны борозды, похожие на русла земных рек? Оказывается, да. Извилистые борозды были заменены на Луне еще в 1788 году. Они обычно берут свое начало в кратрах, на возвышенности и кончаются в низинах. Недавно американские учены Лингенфельтер, Пил и Шуберт предложили, что извилистые борозды — это бышние русла лунных водных рек, протекающих под зашитным слоем льда. Действительно, по своему строению и размерам извилистые борозды внешне похожи на русла земных рек. Источником воды могут послужить подледный ее слой. Крупный meteorит в состоянии пробить лунную кору до водного слоя и открыть воде путь на поверхности.

Но существуют и другие теории возникновения извилистых борозды, например, от потоков лавы. Правила на ли та или иная теория, должны показать дальнейшие исследования. В «земных» лабораториях предпри_

нимались попытки смоделировать «лунные реки».

В вакуумную камеру помещался под нос с размерами $30 \times 42,5 \text{ cm}$, до которого заполнялось слоем измельченной скальной породы с частицами от 100 микрон до 4 мм (в большинстве опытов диаметр частиц этого «реолитта» составляет 100—500 микрон). Толщина слоя порды менялась от 0 до 5 см. Поднос ставился наклонно. Вода вводилась через трубку в торцевой части подноса, поднятою кверху, со скоростью до 800 миллитров в минуту. В камере поддерживаясь давление около 0,0013 am, то есть в пяте раз ниже, чем давление в тройной точке.

Результаты опыта были следующие. При атмосферном давлении поток воды действительно прорывал в «реолитте» систему каналов. Правда, извилин, характерных для земных рек, не наблюдалось, но эти каналы тоже развевлились и меняли направление.

При опытах в вакууме наблюдались совсем иная картина. Поток воды интенсивно закрыл по всей своей длине, разбравая в стороны частицы «лунной пыли» и образующесся льда. Кипение продолжалось несколько секунд, пока источник воды не покрывался ледяной коркой. Вода продолжала течь под слем льда, но текла не обязательно вниз, по направлению наклона подноса с почвой. Она просачивалась сквозь «реолитт», прорывая на поверхности то в одном, то в другом месте. Этот процесс выходит на поверхности характер взрыва—струя пара увлекала за себя частицы реолята затем образовывалась ледяная корка. В конце каждого ледяной слой покрывал собой весь поднос с почвой. Затем он испарился. Образования каналов не наблюдались, поверхности почвы прибретала холодистый характер.

Так что экспериментальные подтверждений гипотеза о «лунных реках» не нашла.

Волее верятно выделение воды из глубин Луны вулканами. Вулканическую деятельности (выделение газов из глубин Луны) обнаружил ленинградский астроном процессор Козырев. Если в глубине еще сохранилась вода, то при извержении газов должны выделяться и пары воды.

От редакции

Недавно в нашей печати было сообщение о том, что группа американских ученых, проводивших исследование Луны по показаниям прибора, оставленных на ее поверхности экппажами космических кораблей «Аполлон-12» и «Аполлон-14», обнаружила «лунный гейзер», извerguiющий водной пар. Это сообщение нуждается в дальнейшей проверке.

16

ПЕРЕКЛЮЧАТЕЛЬНЫЕ СХЕМЫ

Р. В. Фрейвалд

На V Всесоюзной математической оптимизации*) была предложена следующая задача:

Переключитель (рис. 1) с двумя входами и двумя выходами может находиться в двух различных состояниях.

На рисунке 2 изображена схема телефонной связи с трех входами и трех выходами, которая обладает таким свойством «универсальности»:

Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3.

меняя состояние переключителя, можно осуществить любое из шести соединений трех входов с трех различными выходами, то есть

(Проверьте это. Заметьте, что общее число различных состояния этой схемы равно 2³=8, поскольку каждый из переключителей может находиться в двух состояниях.)

a) Построите схему с четырьмя входами и четырьмя выходами, которая была бы «универсальной», то есть осуществлена бы любое из 24 возможных соединений входов и выходов.

b) Какое минимальное число переключителей нужно для такой схемы?

b) Наозовем схему с n входами и n выходами n-универсальной, если

*) Подробнее о пяной оптимизации см. «Квант» № 11 за 1971 г., стр. 35—42.

18

Делить по блокам $A$ и $B$ так, чтобы 4 связи проходили через $A$ и 4 — через $B$. При этом мы должны следить, чтобы две связи не проходили через один и тот же вход или один и тот же выход блоков $A$ и $B$.

Рассмотрим первый и пятый вход нашей схемы. Каждый из них может быть подключен либо к первому входу блока $A$ либо к первому входу блока $B$. Следовательно, один из этих входов должен быть подключен к блоку $A$, другой — к блоку $B$, иначе две связи будут подключиты к одному и тому же входу неокоторого блока. К разным блокам должны быть подключиты также следующие пары входов: 2-й и 6-й, 3-й и 7-й, 4-й и 8-й. Легко видеть, что такое условие распределения связи по блокам не только необходимо, но и достаточно для того, чтобы в схеме разные связи не проходили через один и тот же вход блоков $A$ и $B$. Чтобы формировать такое же условие для в ходов в блоков $A$ и $B$, полезно обратить внимание на симметрию расположение входов и выходов схемы. Заключаем, что следующие пары выходов схемы должны подключиты к разным блокам: 1-й и 5-й, 2-й и 6-й, 3-й и 7-й, 4-й и 8-й.

Изображим на рисунке эти отношения между различными связями одного и того же соединения. Каждый отдельную связь изобразим прямоугольником, внутри которого записано, какой вход с каким выходом данная связь соединяет. Если две связи обязательно должны проходить через разные блоки, то соответствующие им прямогольники соединяются линейной. При этом проведем линейную красного цвета, если на 4 отличиях входы, и синено — если на 4 отличиях выходы.

Например, соединение

$$\begin{array}{c c c c c c c c} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\ 3 & 8 & 1 & 6 & 2 & 7 & 5 & 4 \end{array}$$

таким способом изобразено на рисунке 7.

Каково бы ни было соединение, из каждого прямогольника выходить в точности одна синяя и в точности одна красная линяя. Поэтому рисунок всегда состоит из одного или нескольких «колец». При этом в каждом «колец» красные и синые линей чередуются, иначе из неокоторого прямогольника выходили бы две линей одного цвета. Следовательно, каждое «колец» содержит чесло примогольников.

Пользовать таким рисунком, легко распределить связи по блокам так, чтобы выполнялись все указанные выше ограничения. Для этого нужно следить, чтобы связи, которые соответствуют прямогольники, соединенные линейной, проходили через блоки. Поэтому в каждом «колец» рисунка нужно выбрать произвольным образом по одному примогольнику и соответствующую этому примогольнику связь осуществить через блок $A$, далее, связь, соответствующую соответствующую примогольнику, осуществить через блок $B$, потом связь, соответствующую

19

шую следующему прямогольнику, через $A$ и так далее, пока «кольцо» замкнется. Связи, соответствующие первому и последнему прямогольникам, при этом будут осуществляться через разные блоки, так как число прямогольников в «кольце» четно. 8-унверсальное схемы (см. рис. 3) доказана. Заметим только, что распределение связи по блокам всегда можно проведети так, чтобы один из переключителей (например, левый нижний) находился в каком-то заранее заданном состоянии. (Другими словами, этот переключитель можно из схемы удалить, а схема не перестановить быть универсальной.) Тогда в «кольце», содержащем связь, проходящую через выделенный переключитель, распределение связи по блокам нужно начать именно с этой связи.

Для оценки сверху числа переключителей в минимальной $n$-унверсальной схеме будем строить $n$-унверсальные схемы с возможного меньшим числом переключителей. Приведенное выше доказательство 8-унверсальной схемы (см. рис. 3) легко обобщить на случай любого числа входов. Этот способ дает возможность, имея 8-унверсальную схему, строить довольно экономную 16-унверсальную схему, потом 32-унверсальную схему и так далее. Можно подсчитать, что если $n=2^k$ и в качестве блоков 4-унверсальной схемы использовать схему (рис. 4), то такая схема имеет $2k \cdot 2^k - \frac{11}{4} \cdot 2^k = 2n \cdot \log_2 n - \frac{11}{4} \cdot n$ переключителей. Если $n$ не равно целой степени двойки, то можно использовать схему, являющийся универсной для большого числа входов, равного полной степени двойки. Так как близкая сверху полная степень двойки преосходит данное число $n$ не более чем в два раза, получается, что для любого $n$ существует $n$-унверсальная схема, содержащая не более $4n \cdot \log_2 n$ переключителей.

(Окончание см. на стр. 27.)

20

Еще за 300 лет до нашей эры гречские учены уже знали, что свет распространяется прямолинейно, обладает свойством отражаться от глазных поверхностей и при этом угол падения равен углу отражения. Древние знания также о предломлении света. Клавдий Птоломей, великий астроном и математик древности, составил таблицы измерений им углов падения и предломления. Но по вопросу о скорости света в древней науке не было единого мнения. Большинство ученных того времени, в том числе и Аристотель, считали, что скорость света бесконечно велика — ведь никакими из существовавших тогда приборов и методов ее нельзя было измерить даже приблизительно. Тем не менее, 900 лет назад арабский ученый и врач Авиценна высказал предложение, что скорость света, хотя и очень велика, но конечна. С ним соглашался и его современник Альгазен. Но, конечно, ни один из них не мог подтвердить свое мнение факты или эксперименты.

Так или иначе, все поколения на протяжении веков прошли или интерес к природе света, о чем говорят и дошедшие до нас мифы, легенды, предания. Этот неиссякаемый интерес к явлениям природы был сначала единственным мотивом, побудившим ученых принять за экспериментальное измерение скорости света. Однако из крупнейших физиков-эксперимента-

таторов Альберта Майкельсон, почти всего жизнь посвятивший измерению скорости света, на вопрос корреспондентов: «А зачем это нужно?» ответал: «Ведь это ужасно интересно!». Но еще до работ Майкельсона определяние величины скорости света и ее зависимости от различных условий прибрело характер не только удовлетворения любозначательности ученых. Все более волнующая умызадка «светonosного эфира», вопрос о корпускулярной или волновой природе света, а затем и теория относительной потребовали точного знания скорости света. В нашей время точно определение этой величины имеет уже чисто практическое значение. Ее необходимо знать и при расчете энергетики ядерных реакций, и для измерения расстояний между космическими объектами в связи с расширением космических исследований, и во многих других, не менее важных проблем.

Первым, кто попытался экспериментально определить скорость света, был Галилео Галилей. Его метод был чрезвычайно прост, но, к сожалению, не дал результата. Вот как сам Галилей описывает его:

«Опыт, который я придумал, заключается в следующем. Два лица держат каждый по огню, заключенную в фонаре или чем-либо подобном, который можно открывать или закрывать движением руки на виду

22

Рис. 2.

Будет распространться в трубе телескопа ($\tau = \frac{l}{c}$, где $c$ — скорость света, $l$ — длина трубы), Земля пройдет по орбите путь, равный $v \cdot \tau$, и на такое же расстояние изображение звезды сдинится из центра поля зрения (рис. 2, а). Чтобы вернуть изображение звезды на место, нужно, оченьindo, наклонить телескоп в сторону движения Земли на такой угол $\alpha$, чтобы $tg \alpha = \frac{v \tau}{l}$ (рис. 2, б). Так как $l = c \tau$, то $tg \alpha = \frac{v \tau}{c \tau} = \frac{v}{c}$. Отсюда $c = \frac{v}{tg \alpha}$. То же самое будет в про-
тивоположной точке земной орбиты, но телефонную будет придать наклон в противоположную сторону. Таким образом, направления на одну и ту же звезду могут отличаться максимум на угол $2\alpha$. Изменения показали, что $2\alpha = 41''$. При астрономических наблюдениях телескоп, конечно, не наклонют. Благодария изменению направления скорости Земли изображение звезды будет в разные дни находиться в разных точках поля зрения телескопа и в течение года опшет эллипис. Большая ось этого эллиписа будет видна из центра объектива под углом $2\alpha$. Зная угол $\alpha$, Брадлей нащел скорость света и получил для нее значение 303 000 км/сек. Это было в 1728 году.

Однако учены не были удовлетворены, им хотелось бы изменить недостатную преждескость света на Земле, не выходя за пределы родной планеты, с тем, чтобы все условия опыта находились под контролем. Решения этой задачи пришлось ждать сто двадцать лет.

В 1849 году французский физик Арман Ипполит Луи Физо придумал для этого довольно простой способ. Схема его такова (рис. 3). Луч света от источника $S$ падает на полупроэрачную зеркальную пластину $\Pi$, отражаясь от нее, направляется через собирающие лины к неподвиж-

Рис. 3

24

Длина базы равна $r$, то пусть $3_13_2$ и обратно свет проходит за время $\Delta t = \frac{2r}{c}$. За это время зеркало $3_1$, врашающееся с частотой $n$ (об/сек), повернется на угол $\alpha = 2\pi n \cdot \frac{2r}{c}$. Позному по закону отражения угол между лучами 1 и 2 (см. рис. 4) на пути $3_1\Pi$ будет равен $2\alpha = 8\pi n \cdot \frac{r}{c}$.

Таким образом, изображение $S'_1$, которое видит наблюдаемый при врашающем зеркале $3_1$, оказывается смешенным от изображения $S'$, получаемого при неподвижном зеркале $3_1$, на угол, равный $8\pi n \cdot \frac{r}{c}$.

Пользовать этим методом, Фуко получил для скорости света в воздухе значение $c = 298000$ км/сек.

В соответствии с первоначальным замыслом Араго Фуко осуществил при помощи своей установки изменение скорости света в воде. Для этого он несколько видно изменению свойства снабив ее двумя симметрично расположенными сферическими зерканами и помещив между одним из них и врашающим зеркалом труду с водой. Это позволяет ему сравнить скорости света в воде и воздухе и найти, что скорость света в воде составляет $3/4$ от ее величины в воздухе. Этот результат был последним ударом по корпускулярной теории света, выдвинутой Ньюотоном.

Методы, которые позволяют физи и Фуко, позволили изменить скорость света с точностью до $\pm 500$ км/сек.

В 1873 году Альфред Корню, повторивший опыт физи, изменил скорость света с точностью до $\pm 200$ км/сек.

В 1877 году американский физик Альберт Майкельсон, условиях света с точностью до $\pm 50$ км/сек.

Но Майкельсон не удовлетворился полученным результатом. С 1877 года и до конца жизни он неоднократно возврался к изменению скорости света, непрерывно совершенствуя свою установку. Полученное Майкельсом значение $c = 299796 \pm 4$ км/сек считалось долго времени наибольшее точным.

В проблемы изменения скорости света опыты Майкельсона завершили этап, который можно назвать классический. Но еще до окончания работы Майкельсона были поставлены новые эксперименты, уже на новой технической и идейной основе, обеспеченной бурным развитием физики. Эти эксперименты продолжаются вплоть до настоящего времени; их целью является установление наиболее точного значения скорости света.

Современные методы изменения скорости света можно разделить на

26

Напомним, что число называется рациональным, если оно равно $\frac{m}{n}$, где $n$ и $m$ — целые числа, и рациональным в противном случае. Все знают, что число $\sqrt{2}$ irrationalно. Легко доказать и более общее утверждение: если натуральное число $k$ — не полный квадрат, то число $\sqrt{k}$ irrationalно. Заметим, что $k$ можно представить в виде $b^2a$, где $a$ и $b$ — натуральные, причем $a$ не делится на квадрат целого числа (как говорят, «свободно от квадратов»), то есть $a$ равно простому числу или произведению различных простых чисел: $a=p_1p_2...p_r$; $r \ge 1$. Утверждение, что число $\sqrt{k}=b\sqrt{a}$ irrationalно, свойства к следующему: не существует ненулевых целых чисел $b_1$ и $b_2$ таких, что $b_1\sqrt{a}+b_2=0$. Действительно, если такие $b_1$ и $b_2$ существуют, то $b_1^2a=b_2^2$. Но это равенство противоречит теореме о единственности разложения натурального числа на простые множители: в правую часть $p_1$ входит в четной степени, а в левую — в нечетной.

В этой заметке мы доказем, что если $b_1, b_2,..., b_n$ — ненулевые целые числа, $a_1, a_2,..., a_n$ — натуральные числа, свободные от квадратов, то $b_1\sqrt{a_1}+b_2\sqrt{a_2}+\dots+b_n\sqrt{a_n} \neq 0$.

Вплоть до $n=4$ это легко доказать от противного, несколько раз возвывания обе части (сгруппированные подхождения образом) в квадрат. В обшем случае мы проведем доказательство индукции по числу различных простых чисел $p_1,..., p_N$, делших хотя бы одно из чисел $a_i$. Как это часто бывают, удобнее доказать по индукции более сильное утверждение (интересное и само по себе):

существуют такие целые числа $c_1, d_1, c_2, d_2,..., c_e, d_e$, что $d_i \neq 0$, $c_i \ge 1$, все простые делители чисел $c_i$ содержатся среди чисел $p_1,..., p_N$ и произведение

$$\left(d_1\sqrt{c_1}+\dots+d_e\sqrt{c_e}\right)\times\left(b_1\sqrt{a_1}+\dots+b_n\sqrt{a_n}\right)$$

является ненулевым целым числом.

Обозначим $b_1\sqrt{a_1}+\dots+b_n\sqrt{a_n}$ через $S$, а исключую сумму $d_1\sqrt{c_1}+\dots+d_e\sqrt{c_e}$ через $S'$.

Если $N=1$, то s имеет вид $b_1\sqrt{p_1}+b_2\sqrt{p_2}-b_2$: мы доказали выше, что $SS'=b_1^2p_1-b_2^2 \neq 0$. Предположим теперь, что $N \ge 2$ и что нашей утверждение справедливо для всех меньших значений $N$.

Будем обозначать буквы $S_1, S_2,..., S_8$ суммы вида $\beta_1\sqrt{\alpha_1}+\dots+\beta_m\sqrt{\alpha_m}$, где $\beta_i$- целые числа, $\alpha_i$- свободные от квадратов натуральные числа, все простые делители которых содержатся среди чисел $p_1,..., p_{N-1}; S_1, S_2,..., S_8$, если не оговорено противное, могут равнять нулю.

Сумму $S$ можно записать в виде $S=S_1+S_2\sqrt{p_N}$, где $S_2 \neq 0$. По предположению индукции, существует такая сумма $S_3$, что $f=S_3S_2$- ненулевое целое число. Произведе-

28

В. И. Кузнецов

Однажды строители прокладывают дорогу и нашли древнюю пещеру, засыпанную вulkаническими породами. В ней оказался склад обуви — триста пар сандали из плетеной травы. Когда, в каком вке был заложен этот удивительский склад? Ответа не было. Его удалось получить только через несколько лет, когда был разработан способ определения возраста изделия из дерева, кости и других материалов, содержащих углерод.

Чтобы понять, как определяется время создания таких изделий, обратится к ядерным процессам, протекающим в верхних слоях атмосферы (на высоте около 15 километров).

Земная атмосфера непрерывноombардируется космическими лучами. Основную часть космического излучения составляют быстро движущиеся протоны — ядра atomов водорода. Энергия их огромна — она достигает миллиардов электрон-вольт. Прохождение слон атмосферы, протоны стalkиваются с ядрами atomов, входящих в состав воздуха. При стolkновении atomные ядра испускают нейтроны и другие частицы. Образовавшиеся нейтроны, в свою очередь, взаимодействуют с веществом atmosферы, чаше всего с азотом. В некоторых случаях нейтроны выбивают из ядра азота (состоящего из 7 протонов и 7 нейтронов) протон и занимает его место. В результате азот превращается в изотоп углерода, в ядре которого заключен 6 протонов и 8 нейтронов. Происходящий ядерную реакцию можно записать так:

$$\frac{14}{7}N + \frac{1}{0}n \rightarrow \frac{14}{6}C + \frac{1}{1}p.$$

В новом atomе на два нейтрона больше, чем в ядре самого распространенного изотопа углерода $^{12}$C. Тяжелый углерод $^{14}$C называют радиоуглеродом. Ядра радиоуглерода испускают электrons (бета-частицы) и превращаются в азот: $^{14}$C $\rightarrow^{14}$N. Скорость этого процесса характеризуется временем, за которое половина первого начального числа atomов $^{14}$C превращается в азот. Это время называют периодом полураспада и обычно обозначают $T_{\frac{1}{2}}$. Для изотопа $^{14}$C $T_{\frac{1}{2}} = 5600$ лет. Если пройдёт еще $T_{\frac{1}{2}}$ лет, то из оставшейся половины atomов половина снова распадется и остается одна четверть — $(1/2)^2$, а за время $t$, равное $n$ периодам полураспада,

29

сохранить только $(1/2)^n$ часть атомов $^{14}\text{C}$:

$$N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}.$$

(1)

Здесь $N_0$ — число атомов радиоуглерода в начальной момент, $N$ — число их в момент времени $t$.

Перiod полураспада радиоуглерода — величина того же порядка, что и возраст человека ккультуры. История располагает достоверными данными лишь в пределах 5000 лет. Знача число распадов радиоуглерода в единице объема или веса за единицу времени в атмосфере, воде и материалов живой природы, нетрудно подчитать, сколько его распадается за год и сколько его содержится на Земле. Расчеты показали, что на Земле существует всего около 60 тонн радиоуглерода.

На тысячу миллиардов атомов земного углерода приходится один atom $^{14}\text{C}$. Атомы радиоуглерода вместе с общными атомами углерода условияются растениями, а оттуда попадают в организмы животных и человека. В любом животном организме радиоуглерод непрерывно распадается и пополняет. В каждом грамме углерода живого организма проискают примерно 14 распадов атомов радиоуглерода в минуту. Концентрация изотона $^{14}\text{C}$, как правило, одинакова во всем углероде, входящем в состав живых организмов.

Как только организм погиб, он выпадает из цепи идущего на Земле круговорота радиоактивного углерода. В такой организм новый радио-

Рис. 2. Этый веревкой пользоваться древние жители Перу около 3000 лет назад.

Рис. 3. Обрывки холста, в которых были завернут один из рукописных свитков, найdenных влизи Мертвого моря. Их возраст около 2000 лет.

углерод не поступает, а накопленный ранее распадается. Количество радиоуглерода в умершем организме через 5 600 лет уменьшится вдвое. Если какой-нибудь предмет сделан из дерева, срубленного примерно 5 600 лет назад, то в грамме углерода, выделенного из него, счетчик радиоактивных излучений зарегистируют уже не 14, а около 7 распадов в минуту. По числу распадов можно рассчитать возраст предметов, сделанных из дерева, а также костей животных и остатков растений. Для этого нужно воспользоваться формулой (1). Из этой формулы следует, что

$$\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}};$$

$$\lg \frac{N}{N_0} = \frac{t}{T_{1/2}} \lg \left(\frac{1}{2}\right);$$

$$t = T_{1/2} \frac{\lg(N/N_0)}{\lg(1/2)} = T_{1/2} \frac{\lg(N_0/N)}{\lg 2}.$$

Число распадов в минуту $A$ проорционально числу атомов $N$. Так, в начальной момент времени $A_0 = kN_0 = 14$, а в момент времени $t$, когда число атомов равно $N$, $A = kN$. Следовательно,

$$N = A/k, N_0 = A_0/k = 14/k,$$

и

$$N_0/N = 14/A$$

$$t = T_{1/2} \frac{\lg(14/A)}{\lg 2} = 18400 \lg(14/A).$$

Здесь $t$ — возраст в годах.

30

Рис. 4. Камышовая циновка из Невады [США]. Ей около 3000 лет.

Когда в счетчик бета-частиц помещили углерод из найденных в пешере сандалий, величина А оказалась равной 4,5 раза в минуту. Отсюда следует, что возраст находки примерно 9 000 лет.

Измерение числа распадов $^{14}$ С—сложная задача. Для этой цели углерод переводят в одно из газообразных соединений — углекислый газ ($\text{CO}_2$) или метан ($\text{CH}_4$). Газом наполняют счетчик радиоактивных излучений. Он-то и регистрирует каждый распад радиоуглерода. Но счетчик бета-частиц чувствуетлен и к другим частицам: mezоны, gamma-кваntenы и некоторые другие частицы, образуемые космическими лучами, дают импульсы, неотличные от импульсов, вызываемых бета-частицами. Поэтому прихождение запишать счетчик только слоем железа. Однако получить железо, полностью очищенное от радиоактивных примесей, очень сложно. Поэтому между счетчиком и железной запишой помещают цилиндр (он надет на счетчик), заполненый рутью. Двойная «шуба» надёжно укрывает счетчик почти от всех излучений, которые могут искажать результаты измерений, но только не от mezонов.mezоны слабо взаимодействуют с веществом и пропикают даже через такую защиту. Чтобы исключить mezоны импульсы, основной счетчик, наполненый изучаемым газом, окружают со всех сторон вспомогательными счетчиками. Прежжде, чем попасть в центральный счетчик,mezон pobывает в одном из счетчиков окружения. При этом электронная аппаратура зарегистирует два одновременных импульса в центральном и боковом счетчиках. Эти двойные импульсы исключаются при подсчете.

Благодаря такой сложной аппаратуре удается изменить очень малень концентрации радиоуглерода и надежно установить возраст предметов, пропежавших под землей или на дне океана до 50 000 лет.

С какой же точностью можно определить возраст radiоуглерода методом? Количество радиоуглерода в атмосфере пропорционально потоку первичных протонов, падающих на Землю. Поток протонов меняется в зависимости от условий на Солнце. Он тем больше, чем меньше солнечная активность. Дело в том, что в периоды высокой солнечной активности магнитное поле Солнца возрастает и захватывает часть космических протонов, которые попали бы на Землю в годы спокояного Солнца.

Пришлось проверить точность «углеродных часов». Проверяли по предметам, возраст которых был известен,—деревянным изделям Древнего Египта, мутиям фараонов. Еще более точная проверка осуществлялась по годичным колцам деревьев. На Земле сохранились деревья, возраст которых достигает 3 000 лет. Такой срок живут американские секвой. Распилив ствол дерева-долгожитель, можно сосчитать годичные колцца и взять вещество, например, из слоя, соответствующего трехслойному колццу (если считать от края к сердцевине). Углерод из выделенного вещества дерево условно увеличивается atомов радиоуглерода $^{14}$ С—величину $N$. Из формулы (2) имеем:

$$N_0 (3000 лет назад) = \frac{N}{(1/2)^{T/1/2}} = N \cdot 2^{\frac{t}{T/1/2}}.$$

Оказалось, что концентрация углерода за долгие годы изменяла незначительное. Однако при определении возраста построек возникот большие трудности. Дом может быть построен из древесины, которая уже была использована в другом сооружении. Кроме того, и возраст самого дерева в некоторых случаях играет большую роль. Как-то ученыле решили «возраст» придорожной травы. Счетчики зарегистрировали очень мало долю радиоуглерода в веществе придорожных растений. Расчеты приведели к оценомлющему результату — «возраст» травы оказался равным нескольким высчем лет! Объяснение нашли быстрого. Выхлопные газы автоматически, проходящие по дороге, содержат углерод без тяжелого изотопа $^{14}$ С. Возраст нефти, из которого получают бензин, измеряется миллионами лет, и естественно, что весь радиоуглерод в ней распался.

Определение возраста обувного склада допустимых времен — одна из первых ахxeологических проблем, решенных физики с помощью радиоуглеродного метода. Этот метод помог определить сроки древних выканичических извержений, установить даты ледниковых периодов.

Наступая на контinent, льды уничтожали растительное, люди уходили к югу, отметив свой путь углями остыших очаров. Ствольы древних деревьев, стояники человека сохранили до наших дней под толщей ледниковых наносов. Но только после появления радиоуглеродного метода был установлен «график» движения льдов.

Измерения показали: за последние 40 тысця лет на Земле было три ледниковых периода. Самый поздний — примерно 11 400 лет назад. С тех пор на Земле относительно теплло.

Задачи арифметические

1. Найти все числа $x$ такие, что $x^3=7p+1$, где $p$ — простое число.

2. Нечетные числа расположены в порядке розрастания 1, 3, 5, 7, …; после чего разбиты на группы, содержащие 1, 2, 3, 4, … числа, то есть так: (1), (3,5), (7, 9, 11), (13, 15, 17, 19), … Доказать, что сумма чисел, принадлежащих группе из $r$ чисел, равна $r^3$.

Далее, пусть же числа разбивают на группы, состоящие из 1, 1, 4, 3, 9, 6, …, $r^2$, $\frac{r(r+1)}{2}$, $(r+1)^2$, … чисел.

Доказать, что сумма чисел, находящихся в группе из $r^2$ чисел, равна $r^5$.

3. Доказать, что существует бесконечного многочетверок натуральных чисел $a, b, c, d$ таких, что $(a^3+b^3)(c^3+d^3)$ можно представить в виде $M^3+N^3$, где $M, N$ — натуральные числа.

4. Сколько чисел, делящихся на 37, можно получить из числа 3333777 перестановками его цифр?

5. Найти разциональные числа $x$ и $y$ такие, что $0<x<3$, $y>4$, и $x^3+y^2=3^3+4^3$.

… и алгебраические

6. Написать уравнение, корнями которого являются отношения корней уравнения $y^3+py+q=0$.

7. Обозначим через $t_k$ среднее арифметическое $k$-х степени положительных чисел $a_1, ..., a_n$. Доказать, что последовательность $t_1, t_2^{1/2}, ..., t_k^{1/k}, ...$ не убивает.

32

ЛАБОРАТОРИЯ «КВАНТА»

СНЕЖНЫЕ
КРИСТАЛЛЫ

А. С. Варпаховский, А. Н. Виленкин

Фотографии и рисунки сежинок можно найти во многих учебниках физики в главах, в которых рассказывается о симметрии. Но этим и ограничивался до недавнего времени интерес ученых к сежным кристаллам. Серьезное изучение зарождания, роста и структуры сежных кристаллов началось не так давно. Интерес к сежным кристаллам был связан в основном с изучением образования джедя и явлений, проискодиях в области. Оказалось, что большая часть джедевых капель начинает свою жизнь как сежные кристаллы, талоше прежде чем они упадут на землю. Однако только холодные, находящиеся на большой высоте перистые облака состоит из кристаллов льда. В основном же облака представляют собой скопления маленьких водяных капелек, удерживающихся в воздухе так же, как частички дыма. Долгие годы оставалось загадкой, как эти капельки вырастают до размеров, достичьных для того, чтобы они упали на землю. Оставалось загадкой и то, что часто эти капельки «отказывались» замерзать, хотя температура облака была намного ниже нормальной температуры замерзания воды, то есть ниже 0°С.

Сейчас мы знаем, что переохлаженное облако сстается стабильным до тех пор, пока в нем не появится хотя бы небольшие количество маленьких кристалков льда, зарождающихся на частичках земной пыли. Молекулы воды, попавшие на кристалик льда, образуют с ним прочную связь, разорвать которой довольно трудно. Молекулы же воды, которые конденсируются на капле, оторвать сравнительно легко — теплота испарения меньше энергии, необходимой для отрыва молекулы воды от кристалика льда. Поэтому облако состоит из капелек воды и кристалок льда, то кристаллы льда растут гораздо быстрее, чем капли. Более того, благодаря росту кристалков льда уменьшается влажность окружающей воздуха. Это приводит к тому, что водяные капли постепенно испарются и исчезают. В то же время кристалки льда вырастают до размеров, достичьных для их падения на землю. Падая, несколько кристалков могут обединиться, образуя сежинку.

Хотя сежные кристаллы многообразны, их можно классифицировать по тем основным формам; шестиугольные признаниеские столбцы

34

колебляется от — 5° С до 0° С, можно встретить кристаллы в виде шестиугольных пластин, коротких призм и поражающих своей красотой звезд, имеющих диаметр порядка несколько миллиметров. Эти звезды являются основой снежинок. При температуре в несколько градусов ниже нуля кристаллики сппаются, образуя снежинки.

Все это говорит о том, что форма кристаллов определяется в основном температурой, при котором они вырастиют. Это подтвердили и эксперименты по выращиванию кристаллов льда в laboratorии. кристаллы льда выращивают в специальной камере, в которой строго контролировалась температура и количество водяных паров. В качестве затравки использовалась тонкая нить. Temperatura в камере в различных участках вдоль нити была разной. На рисунке 3 показана фотография участка нити, обросшей кристаллими. Размер этого участка около 6 см. Справа на рисунке указана температура в камере. В верхней части нити вырастили в основном мелчайшие шестиугольные пластинки. Ниже — шестиугольные пластины, разветвленные звезды и опять шестиугольные пластины. При температуре ниже — 25° С вовь образовываются шестиугольные признамы.

Обыты показали, что именно температура определяет форму кристалла. Колчество же водяных паров влияет на скорость роста. Однако до сих пор остается невыясенной точная природа роста снежных кристаллов.

Очень интересно изучение роста снежных кристаллов на земле. Часто зимой при резком потенлении ветки деревьев и стены домов покрываются инеем. Облака, в которых зарождаются снежинки, трудно достигны. Иней же легко достиген и за ним можно наблюдать во время его образования. Иней появляется обычно на предметах, имеющих большую теплоемкость и малую теплопроводность. При рез-

ком потеплении температура этих предметов оказывается ниже температуры окружащего воздуха, и на них конденсируются водыные пары, находящся в воздухе. Если паров в воздухе мало, то получаются красные пушкиные хлопья. При большой влажности воздуха холодные предметы покрывают коркой льда. Вода просто конденсируется на холодных предметах и затем замерзает.

Особенно интересны узоры, которые покрывают зимой окна картир, автовосов и трамваев. При резком положении температура окон становится ниже температуры воздуха в помещении. На них и оседают молекулы пара, находящся во влажном воздухе в комнате, образуя красные узоры. При этом тоже важно, чтобы воздуха в комнате был не очень влажным. В противном случае пар сначала конденсируется на стекле и затем замерзает, образуя слой льда. Узоры не появляются на окне, если открыта форточка. В этом случае температура воздуха в комнате у стекла понixaется, став такой же, как температура самого стекла. Вледных узорах, выратающих на стекле, можно увидеть большим форму, которые могут принимать снежные кристаллы.

Наблюдать за ростом снежных кристаллов на окнах вы можете и у себя дома. Однако, к сожалению, узоры на окнах недолговечны, да и трудно менять условия их роста. Но можно «выращивать» узоры, очень похожие на ледяные, ползуясь не водой, а расторми гипосульфита (он продается в магазинах в отделах фототоваров) или карловарской cols (ее можно купить в аптеке). Эти узоры должны выду не отличаться от ледяных и, рыцавая их, можно менять условия роста — скорость подвода или отвода тепла, концентрацию растора (изменение концентрации растора соответствует изменению влажности воздуха) и т. д. За ростом кристаллов, образующих узоры, можно следить с помощью микрокоппа.

Получить узор можно так. Сначала приготовьте насыщенный растор в шестистейства, с которых вы будете работать. Протите этим растором стекло и поставьте его под Ventilатор. Примерно через 5 минут вода испарится, а на стекле получится узор. Самое трудное здесь — это хорошее смочить стекло. Дело в том, что общно вода не смачивает поверхность стекла и не растекается по ней, а образует капельки. Тогда вместе узоров получятся пятна, в которых остается просто высохший осадок.

Если не обдувать стекло или наlintить на него много растора, то вместе узора вы получите куски кристаллов, они вырастут «снизу» (от поверхности стекла) и будут возникать над стеклом. Нам же надо, чтобы кристаллы выросли небольшие и сразу на все поверхности стекла. Чтобы растор смчивал стекло, надо поверхности стекла тщательно очистить бензином или спиртом (можно взять и одеколон). Еще лучше пользоваться не водным, а спиртовым растором cols. Конечно, с первого раза узор может у вас не получиться — не отчаивайтесь. Помните, что любой физической опит может потребовать нескольких попыток.

Полученные вам искусственные узоры можно и сформировать. Удобны два способа формирования.

Первый — обччный: узоры фотографируются на пленку, а потом печатаются на фотобумагу.

Второй — несовсем обччный. Узоры выращиваются на узкой плоске стекла. Эта полоскаставляется в фотоувеличитель вместе пленки, и произвольная печать прямо на бумагу. Кристаллики, образующие узоры, нерозрачны и в прохождение свете выглядят черными (на отпечатке после проявления — белыми). Места, где кристаллов нет, пропускают свет и на отпечатке получаются черными. Именно так был получен узор, помещенный на обложке нашего журнала. Он был выращен из растора карловарской cols.

36

Здесь собраны некоторые задачи, связанные с понятием площади многоугольника. Мы даим аксиоматическое определение площади многоугольника, перечислив те её свойства, которые нам нужны.

A1. Площад многоугольника — положительное число.
A2. Площад равных (конгруэтных) многоугольников равны.
A3. Если многоугольник разрезан на несколько частей, то его площад равна сумме площадей этих частей.
A4. Площад треугольника равна половине произведения его основания на высоту. (Единицу масштаба мы считаем заданной; легко показать, что это произведение не зависит от того, какую именно сторону и соответствующую ей высоту мы возьмем.)
Буква А выбрана потому, что с нее начинается слово «Аксиома». Из этих четырех свойств аксиом можно вывести все теоремы о площадях многоугольников, которые вы изучаете в школе.

Значительно труднее доказать, что, действительно, можно сопоставить каждому многоугольнику $M$ на плоскости площательное число $S(M)$, его площадь, так, чтобы выполнялись свойства A1—A4. Это верно, но в школьном курсе обычно не доказывается и считается очень динамим. Вместо A4 можно считать основным такое свойство, из которого выводится A4:

A4’. Площад квадрата со стороной 1 равна 1.

Например:

a) Площад параллелограмма равна произведению его основания на высоту;
b) Площад трапеци равна произведению полусуммы оснований на высоту.
Подумайте, как доказать эти утверждения (то есть вывести из аксиом A1—A4).
Мы начнем с того, что доказем другую формулу для площади трапеци.

1. Площад трапеци равна произведению одной из боковых сторон на перпендикуляр, опущенный на нее из середины другой боковой стороны.

Доказательство. Пусть $ABCD$ — данная трапеция $(AD \parallel BC)$, $K$ — середина стороны $CD$, $KH$ — перпендикуляр, опущенный из точки $K$ на прямую $AB$. Проведем через точку $K$ прямую, параллельную прямой $AB$. Пусть $M$ и $P$ — точки ее

38

7. Докажите, что площать правильного воспользованного набольшей и наименьшей из его диagonалей.

Указание. Взгляните на рисунок 4.

8. Докажите, что площать многоугольника, описанного около окружности, равна поливне произведения радиуса этой окружности на периметр многоугольника.

В этих задачах можно обойти прием «разрезания и складивания». Заметим, что в принципе этим приемом можно пользоваться всегда, когда нужно доказать равенство площадей двух многоугольников; верна такая теорема: если два многоугольника равновелики, то один из них можно разрезать на части, из которых составляется другой многоугольник.

Эта теорема доказывается не сложно *). Но практически, чтобы установить равенство площадей или найти отношение площадей, вовсе не обязательно «разрезать и складывать». Например, очень быстро убедно сравнить площади двух треугольников, пользоваться формулой, которую мы называли A4. Из нее сразу следует, в частности, также соответствия для площадей:

если вершину треугольника перемещать по прямой, параллельной его основанию, то площать при этом не меняется (рис. 5; треугольники ABC

*) См. книжку В. Г. Болтянского «Равновеликие и равносставленные фигуры», серия «Популярные лекции по математике», вып. 22, Гостехидат, М., 1956.

и ADB имеют общее основание AB и равные высоты);

если одну из сторон треугольника, прилежащих к данному его углу, увеличить в k раз, то его площать также увеличится в k раз (см. рис. 6; треугольники ABC и ABD имеют общеую высоту AH, поэтому отношение их площадей равно отношению оснований:

$$S_{\triangle ABC} / S_{\triangle ABD} = BC / BD.$$

Отсюда следует более общее соответствие:

если два треугольника имеют общий угол, то их площади относится как произведение сторон, заключающих угол.

(см. рис. 7; $$S_{\triangle ABC} / S_{\triangle ABD} = BC / BD,$$
$$S_{\triangle ABD} / S_{\triangle EBD} = AB / EB,$$
$$S_{\triangle ABC} / S_{\triangle EBD} = (AB \cdot BC) / (EB \cdot BD)).$$

В частности, если два треугольника подобыны и стороны одного в k раз больше соответствующих сторон, то площадь первого в $k^2$ раз больше площади другого.

В следующих задачах решение основано как раз на этих соображениях: на сравнению площадей треугольника

39

ников, у которых или одинаковые основания, или одинаковые высоты, или одинаковые углы. Постраайтесь найти самый простой и красивый путь решения!

9. О — точка пересечения отрезков AC и BD (рис. 8). Для того чтобы площади треугольников AOB и DOC были равны, необходимо и достаточно, чтобы прямые BC и AD были параллельны. Доказите!

Чтобы решить эту задачу, нужно доказать два утверждения: (1) если площади треугольников AOB и DOC равны, то прямые BC и AD параллельны; (2) если прямые BC и AD параллельны, то площади треугольников AOB и DOC равны.

10. Доказите, что выпуклый четырехугольник является параллелем моеда и полько моеда, когда каждая из его диагоналей делит его площadb пополам.

И здесь, как в предыдущей задаче, нужно доказать две теоремы: прямую и обратную.

11. В треугольнике ABC прямая, проходящая через вершину A и делящая медиану BM в отношении 1:2, считая от вершины, пересекаем сторону BC в точке K. Найдите отношение площадей треугольников ABK и ABC.

Указаниее. Проведите через точку M прямую, параллельную AK, и найти с ее помощью отношение отрезков BK и BC.

12. На продолжении стороны BC выпуклою четырехугольника ABCD найдите такую точку O, чтобы площadb четырехугольника ABCD равная площадь треугольника ABO.

Указаниее. Проведите через точку D прямую, параллельную диагонали AC.

Всегда ли задача 12 имеет решение? Всегда ли оно единственное?

Эта задача позволяет превращать любой выпуклый многоугольник в равновеликий с меньшим числом сторон.

13. Через середину высоты равнобедренного треугольника проведены две прямые, соединяющие ее с вершинами основания (рис. 9). Какую часть площади треугольника составляет из частей, на котором еще прямые разрезают треугольник?

14. Дан треугольник ABC. Продолжим его сторону AB за вершину B отрезком BP=AB, сторону AC — за вершину A отрезком AM=CA, сторону BC — за вершину C отрезком KC=BC. Во сколько раз площadb треугольника PKM больше площади треугольника ABC?

Указаниее. Содержите точки M и B, P и C, A и K.

15. Сформируйте аналоциную задачу для четырехугольника и решите ее. Выведите из нее результат задачи 6.

16. На сторонах выпуклою четырехугольника ABCD взяты точки M, P, K, H mak, что AM : MB=3 : 5; BP : PC=1 : 3; CK : KD=4 : 5; DH : НА=1 : 8. Надите отношение площади четырехугольника MBРКDH к площади четырехугольника ABCD. Подумайте, при любых или отношениях AM к MB, BP к PC и mak далее можно решить эту задачу?

Указаниее. Проведите диагональ и воспользоваться A3.

17. В выпуклом четырехугольнике соединены середины сседних сто-

41

Угольника СВМ. Но $S_{\triangle ABN} = S_{\triangle CBN}$, — ведь точка $N$ лежит на медиане. Следовательно, $S_{\triangle ABM} < S_{\triangle CBM}$. А мы предположили, что $S_{\triangle ABM} = S_{\triangle CBM}$. Получили противоречие. Задча полностью решена.

Подумайте, как с ее помощью решить следующее задачу, переключающая с задачей 20.

24.* Докажите, что если внутренняя четырехугольника ABCD существует максима О или отрезки OA, OB, OC, OD делят его на четыре

Рис. 14.

равновеликие части, похотя бы одна из его диагоналей делит другую диагональ пополам. Сформируйте и докажите обратную теорему.

25. На сторонах угла А erzлы точки В и С. Через середину К отрезка BC проведена прямая, пересекающая стороны угла в точках D и E. Докажите, что площад треугольника ADE больше площади треугольника ABC.

Решение этой задачи позволяет через данную точку внутри данного угла проведсти прямую от угла треугольника наименьшей возможной площади. Подумайте, как это сделать.

26. В данной страницей ABCD (BC || AD) проведена диагональ AC (рис. 14). На какой высome нужно пересечь границу прямой, параллельной основаниям, чтобы сумма площад треугольников AKL и LMC была наименьшей (K, L и M — точки пересечения прямой с отрезками AB, AC и CD соответствующего)?

27 *. Промышленные стороны выпуклого шестиугольника ABCDEF параллельны. Докажите, что площад треугольника ACE составляет не менее половины площади шестиугольника.

СИМПОЗИУМЫ
ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ

Идея слета учащихся специальизированных физико-mатематических школ разных городов зародилась в школе № 40 г. Горького. В марте 1971 года в дни весенних школьных канкул по приглашению этой школе в Горький съехались представители математических школа Москвы, Риги, Ростова, Волгограда, Кишнева, Алма-Аты, Тбилиси, Костромы, Ленинград и Киева.

На симпозиту работы несколько секций, на каждой из которых школьники делали доклады. Работой секций руководили учены Горьковского государственного университета.

Секцией математики руководил кандидат физико-mатематических наук доцент Д. А. Гудков. На этой секции были заслушаны доклады «Нестандартные суммы», «Моделирование, рефлексов», «Matematika и лингвистика», «Вычисление площади тенни», «Самовоспроизводия числа» и другие.

Доклады делали: Я. Шнейдерман (10 кл. с.ш. 40, Горький), А. Кнафель (8 кл. с.ш. 40, Горький), Н. Помапкина (10 кл. с.ш. 40, Горький), О. Малииновский (9 кл. с.ш. 13, Рига), А. Борисенко (10 кл. с.ш. 145, Киев), И. Раухваер (10 кл. с.ш. 34, Кишнев), М. Вишик (10 кл. с.ш. 444, Москва), В. Каплинский (8 кл. с.ш. 444, Москва) и другие.

Секцию физики возглавил кандидат физико-mатематических наук доцент М. С. Ковнер. На этой секции были заслушены доклады «Мирный atom — на службу водообеспечения человека», «Об аналогиях в физике», «О методе «мирной массы» и его применении в решении физических задач», «Получение и исследование тонких кристаллических пленок», «Свип-генератор и осциллограф» и другие.

Доклады делали: А. Мирухолова (10 кл. с.ш. 42, Тбилиси), А. Езерский (10 кл. с.ш. 40, Горький), Ю. Хандрус (10 кл. с.ш. 145, Киев), И. Молан (10 кл. с.ш. 34, Кишнев), Н. Чайка (10 кл. с.ш. 42, Тбилиси), М. Герштейн (10 кл. с.ш. 40, Горький), М. Гомаюнов (10 кл. с.ш. 239, Ленинград) и другие.

Работали также секции астрономии, химии икраеведения.

Во время работы симпозиту учащесся не только читали и обсуждали доклады. Они успели также познакомиться с работой школа № 40, с достопримечательностями города, повышали в музеях, встречались с учеными.

(Продолжение см. на стр. 53)

42

Задачи

Решения задач из «Задачника Квана» можно присылать не позже, чем через полтора месяц после выхода из печати соответствующего номера журнала. На конверте после адреса журнала укажите, решения каких задач вы посылаете (например, «Задачник Квана» M126, Ф128). В начале письма укажите свою фамилию, имя, отчество, шестизначный индекс и адрес (а также класс и школа, в котором вы учитель). Решение каждой задачи должно быть написано на отдельном листе (листах); в конце каждой решения укажите свою фамилию. Звездочный помечень задачи повышенной трудности.

M126. Многоугольник, описанный вокруг окружности радиуса $r$, каким-то образом разрезан на треугольники. Доказите, что сумма радиусов вписанных окружностей этих треугольников больше $r$.

И. Д. Новиков

M127. Для каждой натурального числа $n$ обозначим через $s(n)$ сумму его цифр (в десятичной записи). Назовем натуральное число $m$ особым, если его нельзя представить в виде $m=n+s(n)$, где $n$ — какое-то натуральное число. (Например, число 117 не особое, поскольку $117=108+s(108)=108+9$, а число 121, как нетрудно убедиться, — особое.) Верно ли, что особых чисел существует лишь конечное число?

M128. Найдите отношение сторон треугольника, одна из медиан которого делится вписанной окружностью на три равные части.

M129. a) Введро налили 12 $n$ молока. Как, пользовать лишь сокудами в 5 и 7 $n$, разделить молоко на две равные части?

6. • Решите общую задачу: при каких $a$ и $b$ можно разделить пополам $(a+b)n$ молока, пользовать лишь сокудами в $a$ $n$, $b$ $n$ и $(a+b)n$ ?*.

В. В. Ущаков

M130. Какое наиболее число точек можно разместить
a) на плоскости;
b) * в пространстве, так, чтобы ни один из треугольников с вершинами в этих точках не был тупоугольным?

Г. А. Гальперин

Ф138. Космонавт массой 100 кг находится вне космического корабля, масса которого равна 5 $m$, на фале длиной 64 $m$. Найти наяжение фала, если корабль находится между космонавтом и Землей на линии, соединяющей их центры тяжесте.

При расчете считать, что корабль движется по круговой орбите, высота коровой $h$ от поверхности Земли пренебрежимо мала по сравнению с радиусом Земли ($R=6400$ км).

*) За одно переливание из одного сосуда в другой можно вылить все, что там есть, или долить второй сосуд до верхга.

Ф139. Футболист уdarил по мячу, сообщив ему скорость $v$ под углом $\alpha$ к горизонту, и попал в ближний нижний уголворот. Если бы футболист уdarил по мячу в том же месте футбольного поля и мяч полетел бы под тем же углом к горизонту, но со скоростью, на 5% больше скорости $v$, то он попал бы в верхиной штангуворот. Найти скорость, с которой начинает двигаться мяч, если высотаворот $h=2\text{ m}$, а угол $\alpha=30^\circ$.

И. Ш. Слободечкий

Ф140. Будет ли давать правильные показания качества других барометра, если часть его трубки (ниже уровня ртути в ней) сделана из очень мягкой резины?

Ф141. Из «черного ящика», содержащого неизвестную электрическую схему, выведены три провода. Два из них соединяют с землей и затем с землей, строя графики для трех возможных вариантов включения схемы. Эти графики показаны на рисунке 1. Ток считается положительным, если он идет к схеме, находящейся в ящике, и отрицательным в противоположном случае. Придумайте простейшие схемы содержимого «черного ящика» и определите их параметры.

Б. Б. Буховцев

Ф142. Стальной шарик, подвешенный на нитке длины $l$, отклонили так, что нить приняла горизонтальное положение, и отпустили. В тот момент, когда нить составляла угол $\alpha-30^\circ$ с вертикалью, шарик ударился о неподвижную стальную плиту (рис. 2). На какую высоту поднимается шарик после удара о плиту, если удар можно считать абсолотно упругим?

Г. Л. Комкин

45

Рис. 1.

прямую $l_1$, чтобы она совпала с $l_2$ ($0^\circ < l_1 < l_2 < 180^\circ$). Если прямые $l_1$ и $l_2$ параллельны или совпадают, то, по определению, $\Rightarrow (l_1, l_2) = 0$. Проверьте, что для любых двух данных точек $U$ и $V$ и данного угла $\alpha$ ($0^\circ < \alpha < 180^\circ$) множество точек $X$, для которых $\Rightarrow (UX, VX) = \alpha$, будет округленность (строгого говоря, за исключением самих точек $U$ и $V$); других словами, чемые точки $U, V, X_1$ и $X_2$ лежат на одной окружности моеda и молко моеda, коеда $\Rightarrow (UX_1, VX_1) = \Rightarrow (UX_2, VX_2) \neq 0$ (рис. 3, а; сравнение рисунков 3, а и 3, б объясняет преимущества нового способа определения угла).

Вернемся к нашей задаче. Тепер утверждение, что пять точек $C, N, P', S, R'$ лежат на одной окружности (откуда и сле-

Рис. 2.

дует, что $R'$ совпадает с $S$) вытекает из равенств

$\Rightarrow (CS, NS) = \Rightarrow (Q'Q, NQ) =$
$= \Rightarrow (Q'P', NP') = \Rightarrow (CP', NP')$;
$\Rightarrow (CR', P'R') = \Rightarrow (MM', P'M') =$
$= \Rightarrow (MN, P'N) = \Rightarrow (CN, P'N)$.

Эти равенства легко проверить формально, не обращаясь к чертежу — нужно только помнить, какие точки лежат на одной прямой и какие — на одной окружности; кроме теоремы, выделенной выше курсивом, используется, что $Q'Q \parallel MM' \parallel l$. (Конечно, нужно еще разобрать «выраженные» случаи, когда какие-нибудь две точки, определяющие в этих равенств прямую, совпадают; все они довольно очень видны и мы не будем)

Рис. 3. Голубыми линиями показаны множество точек, для которых: а) $(UX, VX) = \alpha$ (левый рисунок) и б) $UXV = \alpha$ (правый рисунок).

Рис. 4. Другая формулировка задачи M84: в результате трех отображений, показанных на рисунке, из точки $X$ получается $Y = f(X)$; если проделать то же самое для точки $Y$, то получится, что $f[Y] = X$.

46

дем на них останавливаться.) Теперь задача полностью решена.

Приведем другую, более естественный формулировку этой задачи (подумайте, почему это та же самая задача!).

Пусть $P$ и $N$ — две различные точки окружности с центром $O$; $A$ — основание перпендикулара, опущенного из точки $O$ на данную прямую $l$, и $f$ — отображение, которое каждой точке $X$ прямой $l$ ставит в соответствие точку $f(X)$ этой же прямой по следующему правилу: если $X'$ — точка пересечения прямой $PX$ с окружностью, $X''$ — точка пересечения прямой $NX'$ с $l$, то $f(X)$ — точка, симметричная $X''$ относительно $A$. тогда отображение $f$ совпадает с обратным к нему, то есть $f(f(X))=X$ для всех $X$ (рис. 4).

Тем, кто знаком с основными понятиями проектной геометрии, мы предлагаем по-proбовать найти простое «проективное» доказательство этой теоремы (заметим, что даже в ее формулировке нужно считать $l$ расширенной прямой, то есть добавить к $l$ бесконечную удаленную точку — тогда отображения, о которых идет речь, будут взаимно однозначны). Для частного случая решения приводится в книге И. М. Яглома «Геометрические преобразования» (ГИТТЛ, 1956 г.; ч. II, задача 177), но оно проходит лишь в том случае, когда прямая $l$ пересекает окружность, и использует формулу «двойных отношений». План другого решения, «без вычислений», приводится на стр. 71 этого номера журнала.

Н. Б. Васильев

M86

Дно прямогольной коробки было выполнено плитками размера $2 \times 2$ и $1 \times 4$. Плитки высыпали из коробки и при этом потеряли одну плитку $2 \times 2$. Вместо нее удалость плитку $1 \times 4$. Доказите, что теперь выложить до коробки плитками не удасса.

Расчетим до коробки на квадратки размера $1 \times 1$ и отметим те квадратки, которые стоит на нечетных местах в нечетных хряках (см. рис. 5). Заметим, что каждой плитка $1 \times 4$, закрывающая четвере квадратка на дне коробки, будет

Рис. 5

Рис. 6.

Рис. 7.

закрывать обязательно четное число отмещенных нами квадратков (два или ни одного), а плитка $2 \times 2$ всегда закрываетровно один отмещенный квадратик. Таким образом, если плитки целиком закрывают до коробки, то количество плиток $2 \times 2$ имеет ту же четность, что и общее число отмещенных квадратков на дне коробки. Поэтому, если количество плиток $2 \times 2$ изменилось на единицу (или вообще на нечетное число), то вновь заполнить коробку не удасса.

Подумайте, останется ли верным утверждение задачи, если вместо плиток $1 \times 4$ и $2 \times 2$ (рис. 6) рассматривается плитки из трех квадратков: прямогольные $1 \times 3$ и «уголки» (рис. 7). Решение этой задачи вы найдете в конце журнала, на стр. 64, но не спешите туда загладывать!

Правильные решения нашей задачи прислали А. Грицорян и Е. Карасик из Баку, Э. Туркевич из Черновцов, А. Черняк из Минска и А. Шамaeв из Москвы.

Л. Г. Лиманов

M87

Доказите, что если три окружности одинакового радиуса проходят через одну точку, то три других точки попарного пересечения этих окружностей лежат на окружности того же радиуса.

Пусть все три окружности радиуса $r$ с центрами $O_1, O_2$ и $O_3$ пересекаются в точке $A$, кроме того, попарно пересекаются в точках $B_1$ ($O_2$ и $O_3$), $B_2$ ($O_3$ и $O_1$) и $B_3$ ($O_1$ и $O_2$). Очевидно, что середины $C_1, C_2, C_3$ отрезков $AB_1, AB_2, AB_3$ являются в то же время серединами отрезков $O_2O_3, O_3O_1, O_1O_2$ соответствующего (рис. 8). Поэтому у каждой из треугольника $B_1B_2B_3$ и $O_1O_2O_3$ стороны соответствующего вдвое больше стороны треугольника $C_1C_2C_3$ (и параллельным им). Следовательно, $\triangle B_1B_2B_3 = \triangle O_1O_2O_3$. Но ясно, что радиус описанной окружности треугольника $O_1O_2O_3$ равен $r$ (действительно,

47

Рис. 8.

Рис. 9.

$$AO_1 = AO_2 = AO_3 = r$$, поэтому и радиус описанной окружности треугольника $B_1B_2B_3$ тоже равен $r$, что и требовалось доказать.

Многие читатели доказали, что треугольники $B_1B_2B_3$ и $O_1O_2O_3$ равны, более сложным способом, при котором приходилось отдельно рассматривать различные случаи взаимного расположения этих треугольников (мы нарочно в нашем решении не ссылались на рисунок, где проведены все упоминаемые там отрезки, чтобы подчернуть, что оно не зависит от их расположения). Решение, совершенное аналогичное нашему, можно получить, рассматривая вместе треугольника

$$C_1C_2C_3$$ треугольник $D_1D_2D_3$, где $D_1, D_2, D_3$ — точки, диаметрально противоположные точки $A$ в окружности $O_1, O_2$ и $O_3$ соответственно; доказите, что $B_1, B_2$ и $B_3$ — середины сторона треугольника $D_1D_2D_3$. В конфигурации, которое мы получили (рис. 9), интересно еще то, что точка $A$ является центром описанной окружности треугольников $O_1O_2O_3$ и $D_1D_2D_3$ и одновременно точкой пересечения высот треугольников $B_1B_2B_3$ и $C_1C_2C_3$; последнее, впрочем, уже не используется в нашем решении.

Любопытно, что Д. Пойя (и у некоторых читателей, приславших нам письма) возникла совсем иная идея решения этой задачи. Отрывок из книги «Matематическое открытие», в котором расссказывается о зарождеении этой идеи, мы публикуем на стр. 67—69.

В. Н. Березин

М88

Какому условию должны удовлетворять коэффициенты уравнения $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$, чтобы три его корня составляли арифметическую прогрессию?

Приведем сразу ответ. Искомое соответствие $c = \frac{ab}{3} - \frac{2}{27} a^3$ (или, что то же самое, один из корней должен равнять $-\frac{a}{3}$). Действительно, пусть $x_1, x_2$ и $x_3$ — корни нашего уравнения. Тогда, по теореме Виета,

$$x_1 + x_2 + x_3 = -a.$$

С другой стороны, для того чтобы $x_1, x_2, x_3$ составляли арифметическую прогрессию, необходимо и достаточно, чтобы

$$x_1 + x_3 = 2x_2.$$

Позному $x_1 + x_2 + x_3 = 3x_2$, открывая $x_2 = -\frac{a}{3}$. Постраайтесь вывести условия, при которых уравнения четвертой степени образуют арифметическую прогрессию.

Л. И. Московиome

В этом номере мы публикуем задач Ф92—Ф99

Ф92

Обруч массы $m$ стоит на доске массы $M$ (рис. 10). Коэффициент треяня между доской и обручем $k$. Доска лежит на гладком столе. С каким ускорением будет движаться доска, если обруч тянут с силой $F$?

Запишем уравнение движения обручи и доски (уравнение II закона Ньютона).

В горизонтальном направлении на обруч действуют две силы — сила $F$ и сила треяня $F_{TP}$ между доской и обручем (см. рис. 10). Центр тяжестега тела — в данном случае центр обруча — движется так, как если бы к нему были приложены все силы, действующие на тело. Поэтому можно записать, что

$$ma_1 = F - F_{TP}$$

($a_1$ — ускорение центра обруча).

48

Рис. 10.

Обруч не только движется в горизонтальном направлении, но и вращается вокруг центра. Ускорение врашательного движения ему сообщают те же силы $F$ и $F_{TP}$, но в этом случае они действуют «согласованно», раскручивая обруч в одну сторону. Ускорение врашательного движения обруч в системе координат, связанной с его центром*) обозначаем $a_2$. Тогда мы можем записать, что

$$ma_2 = F + F_{TP} \quad (2)$$

Тепер запишем уравнение движения dockи. В горизонтальном направлении на нее действует только одна сила — сила треня обруч о dockу. Поэтому, если ускорение dockи обозначит $a_3$, то

$$Ma_3 = F_{TP}. \quad (3)$$

Итак, мы получили три уравнения, в которых входят четыре неизвестные величины: $a_1$, $a_2$, $a_3$ и $F_{TP}$. Чтобы найти эти неизвестные, нужно составить еще одно уравнение.

При движении обруч и dockи возникны два случая: 1) обруч не просkalывает относительно dockи и 2) обруч просkalывает относительно dockи.

Рассмотрим первый случай: обруч не просkalывает относительно dockи. В этом случае скорость $v_1$ поступательного движения центра обруч, линейная скорость $v_2$

*) На самом деле система координат, связанная с центром обруч, не инерциальна. Но, рассматривая уравнение обруч, это можно не учитывать, поскольку сила инерции приложена к центру тяжестей обруч, и ее момент относительно центра обруч равен нулю.

**) Уравнение II закона Ньютона для врашающего тела записьается следующим образом:

$$I \varepsilon = (F + F_{TP}) r, \quad (*)$$

где $I$ — момент инерции, $\varepsilon$ — угловое ускорение и $r$ — радиус обруч (см. статью А. К. Киона «Вращательное движение», «Квант» № 1, 1971).

Для обруч $I = mr^2$, $\varepsilon = \frac{a_2}{r}$. Если поставить эти значения в уравнение (*), то и получится уравнение (2).

вращения обруч вокруг центра и скобость $v_3$ dockи связаны со скобостью $v_1$ (рис. 11). Так как дока движется относительно Земли вправа со скобостью $v_3$, то скобость dockи в системе координат, связанной с центром обруч, равна $v_1 - v_3$. С той же скобостью движется и нижняя точка обруч, касающаяся dockи. Это и есть линейная скобость врашения обруч вокруг центра.

Так как силы, действующие на обруч и dockу, поступятны, то постоянны и ускорения $a_1$, $a_2$ и $a_3$. Пусть скорости $v_1$, $v_2$ и $v_3$ тела прибрегают через время $t$ после начала их движения. Тогда $v_1 = a_1 t$, $v_2 = a_2 t$ и $v_3 = a_3 t$. Следовательно,

$$a_2 t = a_1 t - a_3 t.$$

Отсюда

$$a_2 = a_1 - a_3.$$

Мы получили уравнение, связывающее ускорения тел. Решая теперь совместно уравнения (1), (2), (3) и (4), находим

$$a_1 = a_2 = \frac{F}{m}$$

и

$$a_3 = 0.$$

У нас получилось, что ускорение dockи равно нулю. Из уравнения (3) ясно, что сила треня тоже равна нулю. Это связано с тем, что если к обручу, стоящему на абсолотно гладкой dockе, приложить силу $F$ так, как показано на рисунке 10, то ускорение поступательного движения обруч будет совпадать с ускорением его врашательного движения. При этом нижняя точка обруч катится по dockе, не просkalывающая. Происходит это потому, что все масса обручосредоточена в его тонком ободе и сила $F$ сообщает обручу одинаковые ускорения поступательного и врашательного движения. Но это

49

означает, что сила треня не зависит от силы $F$ и всегда равна нулю. Поэтому обруч не может просkalывать относительно точки (сила треня не может быть равна $kN$), и второй слуай мы можем не рассматривать.

Ф93

В боковой стенке сосуда, направленного жидкости с показателем преломления $n$, продолжано отверстие небольшого радиуса $r$. По оси отверстия из сосуда горизонтально направляется тонкий луч света. До какого уровня $h$ над отверстием должна быть жидкость, чтобы луч света вышел из струи, ни разу не испытовало внутреннего отражения?

Изменением поперечного сечения струи пребрежь, показатель преломления жидкости считать достаточно большим.

Под наибольшим углом к поверхности воды луч света падает в точке $A$ струп (рис. 12). Угол падения $\alpha$, при котором луч в этой точке не испытовает полного внутреннего отражения, должен быть таким, что

$$\sin \alpha = \frac{1}{n}.$$

Это следует из закона преломления света ($\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{1}{n}$) и условия, что угол $\beta = 90^\circ$. Касательная к струе в точке $A$ составляет угол $\gamma = 90^\circ - \alpha$ с горизонтально. Таким образом, луч света выйдет из струп, ни разу не испытовало внутреннего отражения, если угол, который образует касательная к струе в точке $A$, составляет с горизонтом угол $\gamma$ такой, что cos $\gamma = \frac{1}{n}$.

Но касательная к поверхности жидкости — это касательная к траектории движения частицы, вышедших у верхнего края отверстия. Поэтому направление касательной

$$\cos \gamma = \frac{v_2}{v_1} = \frac{\sqrt{4gr}}{\sqrt{2gh}} = \sqrt{\frac{r}{h}}.$$

Выражая теперь cos $\gamma$ через tg $\gamma$ —

$$\cos \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 + tg^2 \gamma}}$$

и учитывая, что cos $\gamma = \frac{1}{n}$, получим

$$\frac{1}{n} = \frac{1}{\sqrt{1 + 2\frac{r}{h}}}.$$

Отсюда

$$h = 2r/(n^2 - 1).$$

Ф94

Над одной грамм-молекулой идеального газа совершают цикл (замкнутый процесс), состоящий из двух изходов и двух изобар (рис. 13). Температуры газов в точках 1 и 3 равны $T_1$ и $T_3$ соответственно. Определить работу, совершенную газом за цикл, если извесно, что точки 2 и 4 лежат на одной изотерме.

Расширясь по изобаре 2—3, газ совершает работу

$$A_1 = P_2 (V_2 - V_1) = P_2 V_2 - P_2 V_1 = RT_3 - RT_2 = R (T_3 - T_2).$$

При скатин газа по изобаре 4—1 работа

*) Это следует также из закона сохранения энергии. Действительно, при вытекании массы воды $\Delta m$ из сосуда с жидкостью потенциальная энергия воды уменьшается на величины $\Delta mgh$ (можно просто считать, что масса воды $\Delta m$ переместилась с поверхностью жидкости к отверстию).

50

Рис. 13.

совершается уже над газом. Она равна
$$A_2 = P_1 (V_2 - V_1) = R (T_4 - T_1).$$
Полная работа, совершенная газом, очень низно, равна
$$A = A_1 - A_2 = (P_2 - P_1) (V_2 - V_1) = R (T_3 + T_1 - T_2 - T_4).$$

Так как точки 2 и 4 лежат на одной изотерме, то температура газа в них одинаковая. Обозначим ее $T = T_2 = T_4$. тогда $A = R (T_3 + T_1 - T_2 - T_4)$. Точки 3 и 4 лежат на одной изотерме, поэтому $\frac{P_2}{P_1} = \frac{T_3}{T}$. Точки 2 и 1 тоже лежат на одной изотерме и $\frac{P_2}{P_1} = \frac{T}{T_1}$. Из этих двух уравнений найдем, что
$$T = \sqrt{T_1 T_3}.$$
Следовательно,
$$A = R (T_1 + T_3 - 2 \sqrt{T_1 T_3}).$$

Ф95

Поверхность реки образует наклонную плоскость. Можно ли словоado пльть по реке со скоростью, превышающей скорость течение?

Если тело не перемещается относительно воды, то действующая на него со стороны воды сила треня равна нулю. Поэтому составляющая силы тяжестки, паралельная поверхности воды (рис. 14), будет разогнут тело до тех пор, пока ее не уравновесит сила треня о воду (которая при малых скорости пропорциональна скорости тела). При этом будет пльть со скоростью, больше скорости течение.

Тепер представим себе, что мы, оставив тонкую жесткую невесомую оболочку, убрали тело и налили в оболочку воду так, чтобы ее объем был равен объему погруженной части тела (рис. 15). Поскольку тело плавало, масса налитой воды равна массе тела. Следовательно, оболочка с водой эквивалентна тели, которое мы убрали. Но вода, налитая в оболочку, ничего не отличается от воды в реке. Трене в жидкости связи только с вззостью самой жидкости и не зависит от поверхности тела. Это объясняется тем, что к поверхности тела «приплпает» тонкий слой молекул воды и трене определяется взаимодействием между собой именно молекул воды. Значит, можно совсем убрать оболочку, сила треня от этого не изменится. Получается, что тело должно пльть со скоростью, равной скорости течение.

Что же происходит на самом деле?

Разберемся вначале с тем, что значит «скорость течение». Из-за треня скорость течение реки в различных точках реки различана. Она увеличивается от дня к поверхности и от берега к середине реки. Поэтому неодинакова и скорость течение в том месте, где находится пльушце по реке тела. Эти воды в оболочке отличаются от окружающей воды, ведь скорость воды в оболочке во всех точках одинакова.

Предположим, что скорость тела равна скорости течение у края тела, который находится близке к берегу. Тогда скорость течение воды, проходящей mismo тела в других точках, больше скорости тела. Из-за этого вода должна увлекать тело, увеличивая его скорость. С другой стороны, когда скорость тела возрастет, оно должно тормозиться благодаря тому, что скорость его точки, находящая близке к берегу, больше скорости течение и сила треня превращается в движению тела. В результате тело должно пльть со скоростью, больше минимальной, но меньше максимальной из скоростей течение на протяжении тела.

Ф96

Два одинаковых шарикas связи нитью. Найти высоту подьема этой системы, если один из шариков бросили вверх со скоростью $v$.

Импульс всей системы равен $mv$, а ее масса $2m$. Поэтому в начальной моменте