Квант 1972, №9 · Страницы

КВАНТЯБРЬ
1972
НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР И АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

Главный редактор — академик И. К. Кикоин
Первый заместитель главного редактора — академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:

Л. А. Арцимович, М. И. Башмаков, С. Т. Беляев, В. Г. Болтянский, И. Н. Бронштейн, Н. Б. Васильев, И. Ф. Гинзбург, Ю. Н. Ефремов, В. Г. Зубов, П. Л. Капица, В. А. Кириллин, А. И. Климанов (главный художник), С. М. Козел, В. А. Лешковцев (зам. главного редактора), Л. Г. Макар-Лиманов, А. И. Маркушевич, М. Д. Миллионшиков, Н. А. Патриеева, И. С. Петраков, Н. Х. Розов, А. П. Савин, И. Ш. Слободецкий, М. Л. Смолянский (зам. главного редактора), Я. А. Смородинский, В. А. Фабрикант, А. Т. Цветков, М. П. Шаскольская, С. И. Шварцбург, А. И. Ширшов.

Слева помещена фотография волн, возникших при движении диска с иглой в газе со скоростью, большей скорости звука, то есть скорости распространения волн в газе.

На первой странице обложки, на которой вы видите фрагмент картины Н. Рениха «Заморские гости», картина волн совершенного другая. Как определить скорость движения тела по фотографии картины волн, возникших при его движении? Об этом вы узнаете из статьи «Волны на воде» [см. стр. 10], помещенной в этом номере журнала.

Заведующая редакцией Л. В. Чернова. Главный художник А. И. Климанов.
Художественный редактор О. Н. Яковлева. Корректор М. Л. Медведская
Издательство «Наука», Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва В-71, Ленинский проспект, 15, Тел. 234-08-11, 234-07-93.

Сдано в набор 15/VI-72 г. Подписано в печать 27/VII-72 г. Бумага 70×100¹/16. Физ. печ. л. 4. Усл. печ. л. 5,2. Уч.-изд. л. 5,71. Тираж 312 650 Т-03331. Цена 30 коп. Заказ 1020.
Чеховский полиграфкомбинат Главполиграфпрома Государственного комитета Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли, г. Чехов Московской обл.

РУКОПИСИ НЕ ВОЗВРАШАЮТСЯ

ОСНОВАН
В
1970 ГОДУ

9
СЕНТЯБРЬ
1972

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР И АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

ИЗДАТЕЛЬСТВО • НАУКА •
ПЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

В НОМЕРЕ:
2 Интеграл Ю. И. Ионин
10 Волны на воде и «Заморские гости» Н. Рериxa А. Л. Смасенко
16 Сравнения Г. А. Кудревамов
22 Затеменные переменные В. А. Бронштэн
30 Путешествие мистера Клока Д. Бородин

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК
32 Решения задач вступительного контрольной работы в ЗМШ 1972 года А. Л. Тоом

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»
36 Премии «Кванта»
37 Задачи M161—M165, Ф163—Ф167
39 Решения задач M123—M125, Ф138—Ф144

ПРАКТИКУМ АБИТУРИЕНТА
45 Научимся обращаться с абсолютной величиной Е. Б. Ваховский,
А. Б. Волянский
50 Варианты вступительных экзаменов по математике 1972 года
51 Движение по окружности Л. Г. Асламазов

РЕЦЕНЗИИ, БИБЛИОГРАФИЯ
58 Новые книги М. Л. Смолянский

ИНФОРМАЦИЯ
60 Телевидение готовит в ВУЗ И. А. Дьяконов, А. Г. Мордкович, И. М. Наслузов

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
«КВАНТ» для МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

СМЕСЬ (стр. 21, 31, 35, 38, 61)

2

В этой статье расссказывается об одном из важнейших математических понятий — интеграл. Используя это понятие, можно решать разнообразные геометрические и физические задачи.

Заметим, что по новой программе интегральное исчисление будет изучаться в курсе средней школы.

Подробнее с интегральным исчислением можно познакомиться по книге Б. Е. Вейцца, И. Т. Демидава «Алгебра и начала анализа» (пробный учебник для 10 класса под редакцией академика А. Н. Колмогорова). Однако изложение там ведется с нескольких позиций.

Когда вы до сих пор встречались с понятем функции, то чаще всего предложалось, что область определения функции состоит из чисел.

Например, функция $x \rightarrow \frac{\sqrt{x+2}}{x-3}$ определяна на множество чисел, удовлетворяющих $x \geq -2$ и $x \neq 3$, а функция $x \rightarrow \sqrt{1g\cos 2\pi x}$ определяна на множество целых чисел.

Однако не менее значение имеет функция, область определения которых состоит не из чисел, а из множества, лежащих на прямой, в плоскости или в пространстве. Например, площадь можно рассматривать как функцию, которая определяна на множество плоских функур. Примогольнику со стороны $a$ и $b$ эта функция ставит в соответствие число $ab$, а кругу радиуса $R$ — число $\pi R^2$. Если задан какой-нибудь закон движения точки, то можно рассмотреть функцию, сопоставляющую каждому промежутку времени путь, проиденный за этот промежуток; область определения этой функции состоит из промежутков времени.

Обе рассмотренные функции можно жестста обладают свойством адитивности (от латинского addo — складаваю): если функция разбит на несколько частей, то площадь ее равна сумме площадей этих частей; если промежуток времени разбит на несколько частей, то сумма путей, проиденных за каждой из этих частей, оказывается равной путей, проиденному за весь промежуток.

Физика дает множество примеров адитивных функций.

Если задан движение материальной точки, произходящие под действием некоторой силы, то можно каждому отрезку траектории поставить в соответствии работы силы по перемещению точки, совершенню на этом отрезке. Это — адитивная функция.

Масса, загяд, энергия тела — также адитивные функции *).

Для изучения адитивных функций успешами великих ученых XVII—XVIII веков, прежде всего

*) Адитивность массы подробно обсуждалась в статье Я. А. Смородинского в «Кванте» № 3, 1972.

№ 1. Аддитивные функции промежутка

Функции, с примерами которых вы только что познакомились, приято называть функциями множества. Объические функции мы будем называть функциями числа, или числовыми функциями.

Простейшим видом функций множество является функция промежутка, то есть функция, область определения которых состоит из отрезков числовой оси.

О пределене. Функция промежутка $T$ называется аддитивной, если

$$T[a, b] + T[b, c] = T[a, c]$$

(1) для любой пары отрезков $[a, b]$ и $[b, c]$ из ее области определения. (Через $T[a, b]$ обозначает число, которое функция промежутка $T$ ставит в соответствие отрезку $[a, b]$.

Будем предполагать, что область определения функции промежутка состоит из всех отрезков $[a, b]$, содержащихся в некотором фиксированном отрезке $[A, B]$.

Рассмотрим более подробно два примера аддитивных функций промежутка.

1°. Масса неоднородного стержня

Представьте себе, что на числовой оси от точки $A$ до точки $B$ расположен материалный стержень. Каждый отрезку $[a, b]$ этого стержня сопоставим число $m[a, b]$ — массу этого отрезка. Полученная таким образом функция промежутка $m$ аддитивна: $m[a, b] + m[b, c] = m[a, c]$, — если отрезок стержня разбит на две части, то масса его равна сумме масс этих частей. В частиности, если масса распределена вдоль стержня равномерно, то есть стержень однороден, и $\lambda$ — его линейная плотность (масса, прихождения на единицу длины), то $m(a, b] = \lambda(b-a)$.

2°. Приращение функции

Пусть $F = F(x)$ — любая функция числа, определенная на отрезке $A \leq x \leq B$. Тогда функция

$$\Delta F[a, b] = F(b) - F(a)$$

(2) (то есть функция $\Delta F$, которая промежутку $[a, b]$ ставит в соответствии число $\Delta F[a, b] = F(b) - F(a)$) аддитивна. Проверим это: если $a < b < c$, то

$$[F(b) - F(a)] + [F(c) - F(b)] = F(c) - F(a),$$

то есть

$$\Delta F[a, b] + \Delta F[b, c] = \Delta F[a, c].$$

Уражение 1. Докажите, что для любой аддитивной функции промежутка $T$ найдется такая функция $F$ числа, что $T = \Delta F$, то есть $T[a, b] = F(b) - F(a)$.

§ 2. Определение интеграла

Каким образом вычислют значение аддитивных функций промежутка?

Вернемся к примеру с массой стержня. Если стержень составлен из нескольких однородных кусков, то масса его равна $\lambda_1 l_1 + \lambda_2 l_2 + \ldots + \lambda_n l_n$, где $l_1, l_2, \ldots, l_n$—длины этих кусков, $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$—их плотности (рис. 1). В общем же случае, когда стержень неоднороден, его разбиют на отрезки настолько малые, что бы на каждом из них разбиить на две части, то масса его равна сумме масс этих частей. В частиности, если масса распределена вдоль стержня равномерно, то есть стержень однороден, и $\lambda$ — его линейная плотность (масса, прихождения на единицу длины), то $m(a, b] = \lambda(b-a)$.

4

Рис. 2.

масса была распределена «почти равномерно», иначе говоря, плотность стержня в точках каждой такого отрезка должна мало отличаться от средней плотности стержня на этом отрезке.

Средняя плотность стержня на отрезке $[a, b]$ равна $\frac{m[a, b]}{b-a}$. Аналогичное понятие нетрудно ввести для произвольной функции промежутка. Средней плотностью функции промежутка $T$ на отрезке $[a, b]$ (при $a \neq b$) будет назвать число $\frac{T[a, b]}{b-a}$.

Дать определение плотности «в точке» значительное сложнее, и мы не будем его здесь приводить еще и потому, что нам понадобится лишь одно свойство этой «точечной» плотности. Чтобы формировать это свойство, удобно ввести некоторые обозначения. Если отрезок $[a, b]$ входит в область определения числовой функции $f$, то символами $\min f$ и $\max f$ мы будем обозначать соответственно наименьшее и наибольшее значения функции $f$ на этом отрезке. Интересующое на самом деле плотности состоит в следующем. Если числовая функция $f$ является плотностью функции промежутка $T$, то средняя плотность функции промежутка $T$ на каждом отрезке $[a, b]$ заключена между числами $\min f$ и $\max f$ (рис. 2), то есть выполено неравенство

$$\min f \leqslant \frac{T[a, b]}{b-a} \leqslant \max f,$$

(3)

которое можно переписать так:

$$(b-a) \min f \leqslant T[a, b] \leqslant \leqslant (b-a) \max f.$$

Предположим, что нам удалось для данной функции числа $f$ подбрать такую адитивную функцию промежутка $T$, что на каждом отрезке из области определения функции $T$ выполнен неравенство (3). Однако ли определена этим функция промежутка $T$? Можно придумать пример «плохой» числовой функции $f$, для которого адитивная функция промежутка $T$ неравенствами (3) однозначно не определяется. Однако пример приведен в упражнения 4. Но для любой, достаточно «хорошей» функции $f$, например, для любой многоотонной функции, найдется только одна адитивная функция промежутка $T$, значения которой на каждом отрезке $[a, b]$ удовлетворяют неравенству (3). То же утверждение справедливо и для кусочно-монотонных функций $f$, то есть для функции, обладается на отрезки монотонности. Кусочно-монотонными являются степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и многоге другие функции.

Мы подошли к определению интеграла.

О пределение. Пусть функция числа $f$ определена на отрезке $[A, B]$. Адитивная функция промежутка $T$, определенная на множество отрезков $[a, b]$, содержащихся в отрезке $[A, B]$, называется интегралом от функции $f$, если для каждой отрезка $[a, b]$ выполнен неравенство

$$(b-a) \min f \leqslant T[a, b] \leqslant \leqslant (b-a) \max f.$$

Таким образом, интеграл от числовой функции — это адитивная функция промежутка $T$ однозначно определено.

6

Этот интерраал равен 0,333. Точно назначение этого интеррала мы найдем в следующем параграфе. Как вы, может быть, договорась, оно равно $1/3$.

И в более общем случае удается, разбив отрезок $[a, b]$ на достаточно мелкие части, приблизить $\int \limits_a^b f(x) dx$ суммой вида
$$f(x_1)(a_1 - a) + f(x_2)(a_2 - a_1) + \dots + f(x_n)(b - a_{n-1})$$
где $a_1, a_2, \dots, a_{n-1}$ — точки, разбиающее отрезок $[a, b]$ на части, $x_1, x_2, \dots, x_n$ — точки из этих частей. Такое приближение может быть сделано сколь угодно точным.

Написанную выше сумму называют интерральной. Obviously интерралом по определению называют предел, к которым стремится интерральная сумма, когда разбиение становится все более мелким. При нашем определении интеррала понятие предел не используется. От интерральных сумм производило и обозначение интеррала. Символ $\int \limits_a^b f(x) dx$ так: «интеррал от a до бэ эф от икс по де икс». Функция $f$ называется подинтерральной, числа $a$ и $b$ соответственно нижним и верхним пределам интеррирования. Следует иметь в виду, что так же, как $x \rightarrow x^2, t \rightarrow t^2, z \rightarrow z^2$ это одна и та же функция, символья $\int \limits_a^b f(x) dx, \int \limits_a^b f(t) dt, \int \limits_a^b f(z) dz$ обозначают одно и то же число — значение интеррала от функции $f$ на отрезке $[a, b]$.

§ 4. Формулы интегрирования

Вычисление интерралов с помощью интерральных сумм — занятие довольно хлопотное, да и результат получается приближенный. Вместо этого поступают так: вычисляют несколько стандартных, часто встречшихся интерралов, а прочие интерралы пытаются свести к ним. Мы вычислим два стандартных интеррала

$$\int \limits_a^b x_n dx \quad \int \limits_a^b \cos x dx \quad \text{и установим некоторые теоремы, позволяющие своить ряд интерралов к стандартным.}$$

1° Вычисление $\int \limits_a^b x^n dx$.

Рассмотрим функцию промежутка $T$, задаваемую формулой
$$T[a, b] = \frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{n+1}.$$

Эта функция адитивна:
$$T[a, b] + T[b, c] = \frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{n+1} + \frac{c^{n+1} - b^{n+1}}{n+1} = \frac{c^{n+1} - a^{n+1}}{n+1} = T[a, c].$$

Докажем, что $T$ — интеррал от числовой функции $x \rightarrow x^n$. Для этого нужно установить, что на каждом отрезке $[a, b]$ выполняено неравенство $(b - a) \min x^n \leq T[a, b] \leq (b - a) \max x^n$. Проверим это неравенство для неотрицательных $a$ и $b$. В этом случае $\min x^n = a^n$, $\max x^n = b^n$, так что нужно доказать, что
$$(b - a) a^n \leq \frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{n+1} \leq b^n (b - a)$$
или
$$(n + 1) a^n (b - a) \leq b^{n+1} - a^{n+1} \leq (n + 1) b^n (b - a).$$

Раскладывая $b^{n+1} - a^{n+1}$ на множество и сокращая на $b - a > 0$, последнее неравенство можно переписать в виде
$$a^n + a^n + \dots + a^n \leq b^n + b^n + \dots + b^n.$$

Это неравенство справедливо, так как слагаемые в его средней части не меньше слагаемых в левой части и не больше слагаемых в правой части.

Таким образом, адитивная функция промежутка $T$ является интеграла.

Формулы (10) и (11) удобно свести в одну. Для этого вычислим
$$\int_{a}^{b} f(\alpha x + \beta) \, dx.$$
Положим $g(x) = f(x + \beta)$. Тогда $f(\alpha x + \beta) = g(\alpha x)$. Следовательно,

$$\int_{a}^{b} f(\alpha x + \beta) \, dx = \int_{a}^{b} g(\alpha x) \, dx =$$
$$= \frac{1}{\alpha} \int_{\alpha a}^{\alpha b} g(x) \, dx = \frac{1}{\alpha} \int_{\alpha a}^{\alpha b} f(x + \beta) \, dx =$$
$$= \frac{1}{\alpha} \int_{\alpha a+\beta}^{\alpha b+\beta} f(x) \, dx.$$

Таким образом,

$$\int_{a}^{b} f(\alpha x + \beta) \, dx = \frac{1}{\alpha} \int_{\alpha a+\beta}^{\alpha b+\beta} f(x) \, dx.$$

При отрицательном $\alpha$ эта формула теряет смысл, так как в этом случае $\alpha a + \beta > \alpha b + \beta$. Отражая стержень симметрично относительно начала координат, можно получить формулу

$$\int_{a}^{b} f(-x) \, dx = \int_{-b}^{a} f(x) \, dx.$$

Позному, если $\alpha < 0$, то

$$\int_{a}^{b} f(\alpha x + \beta) \, dx = \int_{-b}^{a} f(-\alpha x + \beta) \, dx =$$
$$= -\frac{1}{\alpha} \int_{\alpha b+\beta}^{\alpha a+\beta} f(x) \, dx.$$

Вы видите, как применяются эти формулы, решая приведенные ниже примеры. Некоторые из них будут подробно разобраны в конце курпала (в разделе «Ответы, указания, решения») «Квант» № 10.

Уражение 5. Вычислить интегралы

a) $\int_{-2}^{1} (x-1)^3 \, dx$;
b) $\int_{-1}^{\pi} |x^2-x| \, dx$;
c) $\sin x \, dx$;
d) $\int_{0}^{\pi} \sin x \cos 2x \, dx$;
e) $\int_{-1}^{1} (x^3-1)^2 \, dx$;
f) $\int_{0}^{\pi} \sin^3 x \, dx$.

Уражение 6. a) Докажите, что если $f$ — нечетная функция, то

$$\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0.$$

6. Докажите, что если $f$ — четная функция, то

$$\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx.$$

Уражение 7. Докажите, что если $f$ — периодическая функция, $l$ — ее период, то

$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a+l}^{b+l} f(x) \, dx.$$

О различных геометрических и физических приложениях интеграла будет рассакано в следующем номере курпала.

10

ВОЛНЫ НА ВОДЕ
И «ЗАМОРСКИЕ ГОСТИ» Н. РЕРИХА
А. Л. Стасенко

«Глубока, по-весеннему студена подернуть рыбью сinh реки. Весело плывут по ней наядные расписные ладьи с пестрыми парусами. Лихо поднялись их носовые части, завершащие головами драковов. Их яркая раскраска горит на солнце…
Далек и опасен путь варягов»*).

Речь идет о картине прекрасного русского художника Николая Рериха «Заморские гости» (1901), который можно полюбовать в Третьяковской галерее. Она воспроизведена на обложке нашего журнала.

Использовем это яркое позитическое полотно для размышлений на некоторых физических темы: о законе сохранения энергии, теории размещенной физических величины и статистической обработки результатов эксперимента. А причем тут картина? Просто, чтобы веселее.

В самом деле, разве не интересно попытаться определить, глядя на эту картину, с какой скоростью плывут заморские гости? Пусть относительно текущей воды, а не относительно берегов. А что в картине может нам дать необходимую информацию? Прежде всего — носовая волна, образующая с обих бортов у форшвения, завершащогося драконом. Далек, круговые волны, которые берегут по поверхности воды от корабля; качественно они похожи на окружности с общим центром, лежащим где-то в плоскостиватии ладьи. Добавим к этому постановку реи и паруса относительно осевой плоскости корабля. Может быть, вы найдете и еще что-нибудь, дающее

*) В. П. Князева, «Н. Рерих», Издательство «Искусство», 1968.

Рис. 1.

11

Рис. 2.

направление движения, может забраться вверх на такую высоту $h$, где ее потенциальная энергия $mgh$ будет не больше кинетической энергии:

$$mgh \leq m \frac{V_1^2}{2}.$$

Отсюда

$$h \leq \frac{V_1^2}{2g}.$$

Таким образом, закон сохранения энергии и принцип суперпозиции движения позволяет нам сделать оценку для скорости корабля:

$$V_1^2 \geq 2gh,$$

следовательно, $$V_1^2 \geq \frac{2gh}{\sin^2 \alpha}.$$ (1)

Нам нужно лишь изменить угол $\alpha$ и высоту носовой волны $h$. Соответствующий расчет будет проведен ниже, а сейчас рассмотрим второй источник информации о движении корабля, который мы рассолгаем.

Поверхности волны

Поверхности волны — довольно сложный объект исследования, но мы можем многое узнать о них, исходя из очень простых сообщений размерности тех физических величины, которые описывают это явление. Для этого нужно прежде всегоясно представить себе принцип явления. Волна — это распространяющееся колебание. А почему поверхность волы, выведенная чем-то из положения равновесия, может колебаться? Всякое колебание является результатом «игры» двух факторов: силы, возвратаю-шей в положение равновесия, и инерции, заставляющей просакивать это положение равновесия.

Если на поверхности жидкости образуется «горб», то вернуть частицы жидкости в положение равновесия может, например, слая тяжесте $F_g$ (см. рис. 3a), пропорциональнаяускорению земного тяготения $g$. Падая вниз, по инерции «горб» проявляется ниже положения равновесия; по соседству с ним будет вытеcenдругой «горб» и т. д., в результате чего побежит волна, характеризуется неокоторой скоростью $u$ и длиной $\lambda$ (расстоянием между «горбами»). В рассматриваемом нами случае мерой инерности колеблющейся воды является ее плотность.

Итак, движение волны по поверхности жидкости описывается следующими величины (будем сразу писать их размерности):

$$u \left[ \frac{m}{c} \right], \lambda \left[ m \right], g \left[ \frac{m}{c^2} \right], \rho \left[ \frac{\kappa_2}{m^3} \right].$$

Как их связать друг с другом? Например, как найти зависимость инерсуюшей нас скорости волны $u$ от других волинн $\lambda$, $g$, $\rho$? Здесь-то нам и придут на помощь уже выписанные размерности.

Мы видим, что размерность $u$ содержит в знаменателье секунду. Из трех других волинн размерность времени входит только в $g$ (там в знаменателье стоп $c^2$). Отсюда не медленно пишем $u \sim \sqrt{g}$, и, очевидно, $g$ больше трогать нельзя: мы получили от него требуемую секунду в знаменателье размерности $u$. Но вместе с этим $\sqrt{g}$ дал нам в числе

12

$\sqrt{m}$, а нам нужен в числитель мemp без всякого корня. Значит, мы можем $\sqrt{g}$ домножить на $\sqrt{\lambda}$, и тогда все будет в порядке: величина $\sqrt{g\lambda}$ имеет нужную нам размерность $[m/c]$.

Итак,

$$u \left[ \frac{m}{c} \right] \sim \sqrt{g \left[ \frac{m}{c^2} \right]} \cdot \lambda [m].$$

Заметим, что мы получили только пропорциональное, а не равенство, так как перед $\sqrt{g\lambda}$ может стоять любой множитель $k$, не имеющий размерности, то есть $u = k \sqrt{g\lambda}$. Можно быть, $k = 1/2$, а может быть, $k = 1000000$. Здесь наша теория бессильна, но она нам позволила выяснить главное — физику явления. Точное решение задачи дает значение $k = 1/\sqrt{2\pi}$, то есть

$$u = \sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}}.$$

(2)

А где же здесь $\rho [\kappa e/m^3]$? Его нет, но нам просто некуда детать килogramмы, входящие в размерность $\rho$, их не счем сократить, чтобы в конечном результате величина $u$ изменяла только в $m/c$. Это физический понятие: ведь и вес «горба»,ускоряющий его вниз, и масса «горба», определяющая его инерционность, пропорциональны $\rho$ — вот плотность и выпала из формулы (2). (Аналогичная ситuation имеет место в случае математического матрика, период которого $T = 2\pi \sqrt{l/g}$ по той же самой причине не зависит от массы, подвешенной на нити длиной $l$).

Не если волны становятся очень мелкими, «рябью» (ниже мы оценим, что значит очень мелкими), то «горб» стремится вернуть в положение равенства другая сила — сила поверхностного натяжения, связанная с коэффициентом поверхности натяжения $\sigma [\kappa e/m]$. Это похоже на то, как если мы натянутую горизонтовую резиновую ленку приодняли пальцем кверху: тогда из-за натяжения ленки на пальце вниз стала бы действовать сила $F_\sigma \sim \sigma$ (рис. 36). В этом случае распространие волн будет зависеть от величины $\sigma [\kappa e/m]$, $\lambda [m]$, $u_\sigma [m/c]$, $\rho [\kappa e/m^3]$. (Мы обозначили скорость волн, связанных с поверхностным натяжением, через $u_\sigma$, чтобы отличить ее от $u$ из формулы (2).)

Телеру у нас достаточно опыта, чтобы пользоваться размерностями, получить выражение для скорости волн (вспомним, что $1 \kappa = 1 \kappa e \cdot m/c^2$):

$$u_\sigma \left[ \frac{m}{c} \right] \sim \sqrt{\frac{\sigma [\kappa e/c^2]}{\rho [\kappa e/m^3]} \cdot \lambda [m]}.$$

Если мы хотим знак пропорционально изменить на знак равенства, нужно учеть недостатщий безразмерный множитель. Согласно точной теории он равен $\sqrt{2\pi}$. Итак,

$$u_\sigma = \sqrt{\frac{2\pi \sigma}{\lambda \rho}}.$$

(3)

Разве не удивительно, что мы почти «бесплатно», не зная никаких теории, получили основное: характер зависимости между величины! Здесь уменьшено вспомнить, что по мнею знаменитого италянского физика Энрико Ферми «в физике…нет места для путанных мыслей…действительно поннимающие природу того или иного явления должны получать основные законы из сообщений размерности»*).

Для «студеной» воды

$$\sigma \approx 80 \frac{\partial h/cm}{\partial t} = 8 \cdot 10^{-2} \kappa e/m,$$

$$\rho = 1 \kappa/cm^3 = 10^3 \kappa e/m^3$$

Учитывая это, мы построили график зависимости скорости поверхности волн, определяемой выражением (2) и (3), от величины $\sqrt{\lambda}$ (рис. 4).

*) Б. Понтекорво, «Энрико Ферми» М., «Знание», 1971, стр. 27.

13

Видно, что обе кривые пересекаются при $\lambda = \lambda_* \approx 12$ см. Таким образом, при очень малых длинах волн ($\lambda \ll \lambda_*$) их скорость определяется поверхностным натяжением, при больших ($\lambda \gg \lambda_*$) —ускорением земного тяготения. В промежуточной области ($\lambda \approx \lambda_*$) скорость поверхностных волн определяется обоими факторами (силой земного тяготения и поверхностным натяжением). Выражение для скорости волны становится сложнее ($u_\Sigma = \sqrt{u^2 + u_\sigma^2}$). Зависимость $u_\Sigma$ от $\sqrt{\lambda}$ показана на рисунке 4 пунктной линейей.

В физике часто бывают так, что горячдо проще исследовать неокоторые предельные случаи (у нас это $\lambda \rightarrow 0$ и $\lambda \rightarrow \infty$), а «промежуточная область» требует больших условий. К счастью, для нас эта область не существует, потому что, взглянув на картину Рериха, мы можем сказать достоверно, что круговые волны имеют длину, явно больше $\lambda_*$, и, следовательно, их скорость описывается выражением (2). Что бы найти ее, надо только «измерить» $\lambda$. Вычисления мы проведем ниже, а пока что сделаем еще один шаг.

Вспомним, что когда жук-водомер быстро бежит по воде или пуля летит в воздухе быстро звука, всегда образуется характерные «усы», которые тем тестие прижимаются к движущему телу, чем больше его скорость $V$ по сравнению со скоростью $u$ распространения возмущений, вызываемых телом. На рисунке 5 приведены три характерных случаев: если $V < u$, волны обгоняют тело и лишь тестие скимаются в направлении движения; если $V = u$, то гребни волн в одной точке (в направлении движения) направляют друг на другу; если $V > u$, то тело обгоняет волны, и образуется «усы». (Фотография, приведенная на второй полосе обложки, иллюстрирует последний случай.)

Рис. 4

Рис. 5.

14

Взглянув на картину Рериха, мы видим, что на ней изображен первый случай; более того, поскольку незаметно даже намека на скатные волн в направлении движения корабля, мы должны заключить, что его скорость намного меньше, чем скорость движения волн:

$$V \ll u.$$

Таким образом, с точки зрения поверхностных круговых волн корабль просто «точеется на месте».

А теперь приступим к вычислениям. Для этого нам нужно «измерить» высоту носовой волны $h$, угол $2\alpha$ и длину поверхностной волны $\lambda$.

Измерения

Мы могли бы построать измерить нужные нам величины по картине поточнее, с учетом перспективы, проекций, ракурсов и т. д. Но, воервых, это довольно сложно и утомительно; во-вторых, мы оказывались бы при этом в смешном положении: действительно, нелено подходить к сказачному вымыслу художника как к экспериментальной полученной фотографии. К тому же мы не знаем, какой высоты был, например, нос

Рис. 7.

у изображенного корабля, какого размера нарисованные шиты. Есть, правда, на картине один характерный размер, который, по-видимому, мало изменился со времен варягов — это размер головы.

Прежде чем читать далее, по-proбуйте сами, пользовясь хотя бы этим «этаilonом», оценить $h$ и $\lambda$. Это будет ваше личное «измерение». Нельзя, однako, забывать, что картина воспринимается какымым зрителем очень индиvidualно. Покажите эту картину всем ребятам вашего класса и спросите каждого, что он думает о значениях $h$, $\lambda$, $\alpha$ (хорошо, если справиваемый при этом не слышал ответов других товаров；第二 этапа «показания» всех учеников будет похожи на независимые показания прибор). Полученные ответы запишите, затем постройте график, где по горизонтальной оси отложите значения $h$, а по вертикальной — число человек $n$, называших это значение $h$.

Рис. 6.

Автор продолжал это со своим товарищами (всего было опрошено 30 человек) и получил графики, приведенные на рисунках 6 и 7. Интересно, что большинство опрошенных называли значения $h$ и $\lambda$, кратные 5 см, некоторые — кратные 2—2,5 см, но не менее (никто не назвал, например, $h = 27$, 1357891439 см). Это пожоже на то, как если бы изменяли расстояния линейной с минимальной ценой деления 2—2,5 см.

При помощи этих графиков мы можем найти средние значения $<h>$ и $<\lambda>$ и считать их достаточно обечективными.

Процедура определения средних объчна. Каждый значение $h_i$ нужно умножить на число людей $n_i$, называших его, взять сумму по всем $i$ и разделить на полное число опрошенных. В результате получим

$$\langle h \rangle = \frac{\sum_{i=1}^{30} h_i n_i}{\sum_{i=1}^{30} n_i} = \frac{1}{30} \sum_{i=1}^{30} h_i n_i = \frac{1}{30} (10 + 2 \cdot 12 + 5 \cdot 15 + 7 \cdot 20 + 4 \cdot 25 + 6 \cdot 30 + 2 \cdot 40 + 1 \cdot 50 + 1 \cdot 60 + 1 \cdot 70) = \frac{789}{30} \approx 26 \text{ см} \approx 0,26 \text{ м.}$$

Аналогично

$$\langle \lambda \rangle = \frac{1}{30} (2 \cdot 10 + 3 \cdot 12 + 4 \cdot 15 + 1 \cdot 18 + 8 \cdot 20 + 2 \cdot 25 + 2 \cdot 30 + 1 \cdot 40 + 3 \cdot 50 + 1 \cdot 70 + 1 \cdot 80 + 1 \cdot 90 + 1 \cdot 120 + 1 \cdot 150) = 32,5 \text{ см} = 0,325 \text{ м.}$$

Эти средние значения отмечены на рисунках 6 и 7 красными стрелками.

Точность наших «измерений»-опросов можно грубо оценить шириной плавной пунктирной кривой, взятой на половине ее высоты (красные линии на рисунках 6 и 7). Для физических экспериментов разработана, конечно, целая теория ошибок, в общем оцень положая на то, что мы сделали, только в эксперименте «опрашиваются» приборы.

А как бы с углом $\alpha$? Все опрошенные сошлись на том, что он лежит где-то в пределах $90^\circ < 2\alpha < 180^\circ$ (корабль на картине довольно типоносый). Таким образом,

$$\frac{\sqrt{2}}{2} = \sin 45^\circ < \sin \alpha < \sin 90^\circ = 1.$$

Тепер у нас есть все, чтобы сделать оценки скорости корабля и поверхностных волн.

Результаты

Подставляя значения $h$, $\lambda$ и $\sin \alpha$ из (5), (6), (7) в формулы (1) и (2), получим

$$V \geq \sqrt{\frac{2 \cdot 9,8 [m/c^2] \cdot 0,26 [m]}{1 \div \sqrt{2}/2}} = \sqrt{5,1 \div 7,25 [m^2/c^2]} = 2,25 \div 2,7 [m/c],$$

$$u = \sqrt{\frac{9,8 [m/c^2] \cdot 0,34 [m]}{2\pi}} \approx 0,7 [m/c].$$

Тепер мы с удивлением замечаем, что соответствия (8) и (9) несовместимы с неравенством (4). Действительно, судя по высоте носовой волны, корабль плавет со скоростью $V$ не меняшей, чем 2,25 $m/c$, а если ориентировать на круговые поверхность волны, которые на картине почти концентрины, скорость корабля должна намного меньше скорости этих волн $u = 0,7 \text{ m/c}$, которая и без того меньше $V$.

При известной внешательности вы найдете много подобных физических неточностей и в других произведениях искусства (по-видимому, это связано с тем, что у него свой задан и законны). Тогда вы сможете не только положовать им и получить естественное удовлетворение, но и поворотить с младшим братом о законах физики, использую очень привлекательные иллюстрации.

16

Разделится или нет? Этот вопрос часто возникает в арифметике целых чисел. И это не случайно — ведь деление является наиболее сложным из арифметических действия.

Обозначим делимое и делитель буквами $a$ и $m$ (мы ограничимся случаем $m > 0$), а частное и остаток — буквами $q$ и $r$ соответственно. Тогда (см. рисунок) $a = mq + r$, $0 \leq r < m$ (определение деления с остатком).

Если $r = 0$, то $a = mq$, и мы говорим, что «а делимся на $m$» или «а кратно $m$». Обозначается это с помощью троеочия: $a : m$; символ : означает «делимся на…»

Ответить на вопрос, делится или нет, в ряде случаев помогают признаки делимости. Но в школьном курсе рассматривают лишь простейшие из них: на 2, 3, 5 и 9. Признаки делимости, например, на 7, 11 лежат за пределами школьного курса. Знаний, получаемых на уроках арифметики, недостаточно, чтобы найти остаток от деления $2^{25} + 1$ на 641, 1971$^{1972}$ на 7, $22^{11} + 11^{22}$ на 3. На эти и многое другие вопросы дает ответ теория сравнения, об элементах которого и рассказывается в данной статье.

1. Остаток от деления

Нередко остаток $r$ представляется больший интерес, чем частное $q$. Например, чтобы определить НОД

$$mq \cdot a \cdot m(q+1)$$

Рис. 1.

(*) Подробно об этом расскаZAно в статье В. Н. Вагутена «Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики», «Квант» № 6, 1972.

18

мого, кратного modulo. При этом заменательно то, что сравнения имеют не только внешнее сходство с общими равенствами, но обладают почти всеми основными их свойствами.
Так, сравнения по одному и тому же modulo можно получить складывать, вычитать и перемножать:

$$a \equiv b, c \equiv d \pmod{m} \Rightarrow a \pm c \equiv b \pm d, ac \equiv bd \pmod{m}.$$ (C)

Отсюда получается также следствия:
к части Dannого сравнения можно прибавлять одно и то же число, их можно умножать на одно и то же число, а также возводить в одну и ту же натуральную степень, то есть

$$a \equiv b \pmod{m} \Rightarrow a + c \equiv b + c, ac \equiv bc, a^k \equiv b^k \pmod{m}.$$

Упражнения

1. Докажите критерий (К) и свойства сравнения (С).

2. Докажите, что части сравнения можно сокращать на число, взаимно простое с моделем (если, конечно, обе части сравнения делятся на это число).

3. Покажите, что сравнение 3x ≡ 4(mod5) верно при любом x, сравнимом с 3 по данному modulo.

4. Проверьте, что не существует целых чисел x, удовлетворяющих 3x ≡ 2(mod 6).

5. Сравнения по modulo и разбиения на классы

Свойства сравнения, данные в пункте 2, позволяют сравнительно просто решать многое задачи теории делимости, нередко встречалось среди олимпиадных, конкурсных и т.п. Рассмотрим неокоторые из них, но предварительно заметим, что при решении этих задач можно решать себе разбитым на классы чисел, сравнимых по данному modulo (при этом модель выбирается в зависимости от обстоятельств или определяется самим условием задачи).

При каждом a сравнению x ≡ a(mod m) удовлетворяет классы чисел x, которые при делении на m дают остаток r(a, m). Для каждой x выполняется одно из сравнений

$$x \equiv 0, x \equiv 1, x \equiv 2, \dots, x \equiv m - 2, x \equiv m - 1 \pmod{m}$$

или, что то же самое, одно из равенств

$$x = mt, x = 1 + mt, x = 2 + mt, \dots, x = m - 2 + mt, x = m - 1 + mt,$$

где t — соответствующее целое число. Итак, каждое целое принадлежит одному из m классов; не сравнимые по данному modulo числа принадлежат различным классам.

Упражнение

5. Проверьте, что отношение сравнимости является отношением эквивалентности и разбиает все числа на классы сравнимых, а именно, докажите, что

a) x ≡ x(mod m);
b) x ≡ y(mod m) ⇒ y ≡ x(mod m);
b) x ≡ y, y ≡ z(mod m) ⇒ x ≡ z(mod m).

Подробно о разбиении на классы рассケано в статье М. М. Глухова «Отношение эквивалентности и разбиения множества», «Кваант» № 2, 1972.

4. Некоторые задачи

Чтобы свободнее пользоваться «языком сравнения» при решении задач, рассмотрим следующие вопросы: какие классы, например, по modulo 6, содержат простые числа? Какому из этих классов принадлежит простое число 37? Какие классы по modulo 6 содержат целевые степени чисел?

Легко видеть, что класс x ≡ 0(mod 6) не содержит простых чисел: он состоит из чисел, кратных 6. Не входят простые числа в класс x ≡ 4(mod 6), так как он состоит из четырех чисел 4+6t = 2(2+3t) (и не содержит числа 2). классы x ≡ 2 и x ≡ 3(mod 6) содержат по одному простому числу: соответственно 2 и 3. классы x ≡ 1, x ≡ 5(mod 6) содержат все остальные простые числа; например, в первый из них входят 7 и 13, а во второй 11 и 17.

Так как $37 \equiv 1$ (mod 6), то 37 принадлежит классу $x \equiv 1$ (mod 6).

Ответ на последний вопрос можно получить так: целое число по модулю 6 сравним с одним из остатков 0, 1, 2, 3, 4 и 5; его четвертая степень сравнима соответственно с четвертой степенью остатка, то есть с одним из чисел 0, 1, 16, 81, 256 и 625. Так как $16 \equiv 4, 81 \equiv 3, 256 \equiv 4, 625 \equiv 1$ (mod 6), то четвертые степени целых чисел встреются лишь в классах $x \equiv 0, x \equiv 1, x \equiv 3, x \equiv 4$ (mod 6).

Остановимся еще на одном вопросе. До схх пор неизвестно, конечно или бесконечно множество пар простых чисел-близневов, то есть простых чисел вида

$$p, p + 2.$$

Примерами «близневов» служат 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13. Но вот с тройками простых чисел вида

$$p, p + 2, p + 4$$

дело обстоятель значительно проще. По модулю 3 для $p$ имеем три возможности:

a) $p \equiv 0, 6) p \equiv 1, \text{ в) } p \equiv 2$ (mod 3).

Первому из этих классов принадлежит единственное простое число $p = 3$, которое соответствует простые числа $p + 2 = 5$ и $p + 4 = 7$. Таким образом, первый возможность приводит к тройке (3, 5, 7). При $p \equiv 1$ (mod 3) $p + 2 \equiv 3 \equiv 0$ (mod 3), открывая возможность приводит к тройке (3, 5, 7). При $p \equiv 2$ (mod 3) $p + 4 \equiv 6 \equiv 0$ (mod 3), открывая $p + 4 = 3$ или $p = -1$, что тоже не подходит. Итак, с помощью сравнения простого выясняется, что существует единственная тройка «близневов»: (3, 5, 7).

Теперь перейдем к решению задачи.

Задача 1. Наимuu

$$r(2^{25} + 1,641).$$

Решение. $2^{15} = 32768 \equiv 77$ (mod 641), открывая $2^{30} \equiv 77^2 = 5929 \equiv 160$ (mod 641) и $2^{32} \equiv 160 \cdot 4 = 640$ (mod 641), значит, $2^{32} + 1 \equiv 641 \equiv 0$ (mod 641), то есть $r(2^{25} + 1,641) = 0$ или $2^{25} + 1 \div 641$*.

Задача 2. Наимuu последнюю цифру намурального числа $33^{22} + 22^{11}$.

Решение. Требуется найти $r(33^{22} + 22^{11}, 10)$.

Так как $33 \equiv 3$ (mod 10), то $33^2 \equiv 9 \equiv -1$ (mod 10) и $33^{22} \equiv (-1)^{11} \equiv -1$ (mod 10). Из $22 \equiv 2$ (mod 10) следует $22^5 \equiv 32 \equiv 2$ (mod 10), $22^{10} \equiv 4$ (mod 10) и $22^{11} \equiv 4 \cdot 22 \equiv 8$ (mod 10). Складывая полученное полученные сравнения, имеем

$$33^{22} + 22^{11} \equiv 7 \text{ (mod 10)}.$$

Таким образом, данное число оказывается цифрой 7.

Задача 3. Доказать, что не существует намуральных чисел $x$, $y$ и $z$, удовлетворяющих уравнению

$$2^x + 7^y = 19^z.$$

Решение. Используем модель 3. В силу $19 \equiv 1$ (mod 3) имеем $19^z \equiv 1$ (mod 3). С другой стороны, $2^x + 7^y \equiv (-1)^x + 1$ (mod 3), открывая $2^x + 7^y \equiv 2$ (mod 3) или $2^x + 7^y \equiv 0$ (mod 3) (в зависимости от четности $x$). Так как $2^x + 7^y \neq 19^z$ (mod 3), то $2^x + 7^y \neq 19^z$.

Подчеркием, что при решении этой задачи мы должны быть, что надо использовать модель 3. Если мы взяли модель 4, то у нас противоречия не получилось бы. Вопрос о выборе подходящего модели при решении задачи сложен. Если он вас интересует — посмотрите статью М. И. Башмакова «Нравится ли вам возиться с целыми числами», «Квант», № 3, 1971.

*) Из геометрии известно, что цирклем и линейкой окружность можно разделить на $2^{2k} + 1$ равных частей, если это число простое. В свою время французский математик Пьер Ферма (1601—1665) считал, что все числа данного вида — простые. Однако позднее Леонард Эйлер (1707—1783) показал, что $2^{25} + 1 \div 641$. После Эйлера «числами Ферма» занимается уравний математик-любитель И. М. Первушин, доказавший, в частности, что $2^{212} + 1 \div 114689$.

22

В. А. Бронштэн

При изучении Вселенной астроно-
мам не раз приходилось убеждаться
в том, что правильный анализ на-
блюдаемого явления почти всегда
позволяет получить множество данных об изучаемом небесном теле или группе тел. Прекрасным примером этого являются так называемые затменные переменные звезды.

В 1669 г. итальянский математик и астроном Дж. Монтанари обнаружил, что звезда Алголь (β Персея) периодически меняет свой блеск. (Возможно, что переменность блеска этой звезды была известна еще древним арабам, которые и назвали ее позетому Рас Аль-Гуль — «голова дьявола». Это арабское название превращалось потом в Алголь.) О работах Монтанари мы знаем мало, так как многое его сочинения не дошли до нас. Известно лишь, что он открыл переменность блеска не одного Алголя, а около эта звезд. Но каких именно, мы не знаем: каталог Монтанари погиб.

Сто с лишним лет спустя наблюдениями Алголя занялся английским любительством астрономии, восемнадцатлетний глухонемой юноша Джон Гудрайк. Из своих наблюдений за 1782—1783 гг. он установил, что Алголь, который обычно светит как звезда 2-й величины, примерно раз в трое суток ослабает до 3—4 величины.

В астрономии блеск звезд приято выражать в звездных величинах — единицах, пропорциональных логарифму освещности, создаваемой звездой на плоскости, перепендикулярной к ее лучам. Блеск звезды зависит только от ее силы света и расстояния от Земли, и не зависит от того, наблюдаем ли мы звезду простым глазом или в телескоп, поскольку освещность сразу глаза и объектива telescopа светом звезды, естественно, одна и та же. Блеск в астрономии приято обозначать буквой L (luminosity), звездную величины — буквой m.

Разность в 1 звездную величины соответствует отношению блеска в 2,512 раза *). Разность двух звездных величины величин m₁ и m₂ равна

$$m_2 - m_1 = 2.5 \log \frac{L_1}{L_2},$$

где L₁ и L₂ — блеск звезд.

Наблюдая Алголь, Гудрайк заметил, что уменьшение его блеска до минимума и обратный рост до «нормального» значения продолжаются по 4,5 часа, после чего в течение 2 суток 12 часов звезда сохраняет постоянный блеск, а затем весы цикл повторяется снова. Гудрайк весы точно определял период изменения блеска звезды — 2 суток 20 часов 49 минут, что лишь на 3 минуты отличается от современного значения. Но самое главное состояние в том, что Гудрайк правильно наблюдает наблюдение им явление: он предположил, что здесь происходит затмение одной звезды (яркой) другой (темной), обращающийся вокруг первой. Звезды типа Алголя получили название затменных переменных.

Гипотеза Гудрайка подтвердилась спустя сто лет.

*) См. статью Л. Д. Марленского «Возможности оптических telescopов» («Квант» № 8, 1972).

24

Рис. 2.

= 1,27) у Алголя через полерiodа наступает вторичный минимум, когда его блеск падает лишь на $\Delta m_2 = 0,06$ звездной величины (рис. 2, а). Это означает, что спутник в системе Алголя не совсем темный, а излучает немного света, и когда его частично закрывается главная звезда, блеск системы несколько ослабевает. Поскольку геометрическая картина обихзатмений совершенно симметрина относительно центра главной звезда независямо от угла наклона орбиты к лучу зрения, очевидно, что закрываемая площадь диска спутника в точности равна закрываемой в главном минимуме площади диска главной звезда (см. рис. 2, б). Но тогда по соответствию амплитуд потери блеска в главном и вторичном минимуме ($\Delta m_1$ и $\Delta m_2$) и соответствующих им значений блеска ($l_1$ и $l_2$) можно найти относение поверхности яркости обихзезд ($B_1$, $B_2$). Примем для простоты блеск системы вне затмения за единицу ($L_0=1$); тогда из (1) будем иметь:
$$\Delta m_1 = -2,5 \log l_1; \Delta m_2 = -2,5 \log l_2; \log l_1 = -0,4 \Delta m_1; \log l_2 = -0,4 \Delta m_2;$$
$$l_1 = 10^{-0,4 \Delta m_1}; l_2 = 10^{-0,4 \Delta m_2}.$$
Потери блеска в главном и вторичном минимах будут равны $(1-l_2)$ и $(1-l_2)$ соответственно (мы ведь положили $L_0=1$). Но так как закрытые при затмениях площади дисков обихзезд равны, поверхности яркости закрываемых звезд относится как потери блеска в соответствующих минимах:
$$\frac{B_1}{B_2} = \frac{1-l_1}{1-l_2} = \frac{1-10^{-0,4 \Delta m_1}}{1-10^{-0,4 \Delta m_2}}.$$

6

Подставив $\Delta m_1 = 1,27$ и $\Delta m_2 = 0,06$, найдем для Алголя $B_1/B_2 = 12,7$, то есть поверхность главной звезды почти в 13 раз ярче, чем поверхность спутника.

Зная относение яркости главной звезды и звезды-спутника, можно найти относение температур обихзезд. Экспериментально было установлено, что излучение с единицей поверхности светашихся тел порционально четвертой степени их температуры *). В нашем случае излучение с единицей поверхности — это поверхность яркости звезд. Следовательно, мы можем записать:
$$B_1 = \sigma T_1^4, \quad B_2 = \sigma T_2^4,$$
(5)

где $B_1$, $B_2$ и $T_1$, $T_2$ — поверхность ярости и абсолотные температуры главной звезды и звезды-спутника, $\sigma$ — постоянная величины. Из соответствия (5) следует, что
$$\frac{T_1}{T_2} = \sqrt[4]{\frac{B_1}{B_2}}.$$

Для эксперимента Алголя
$$T_1: T_2 = \sqrt[4]{12,7} \approx 1,89.$$
Температуру главной звезды можно определить, изучая ее спектр, а точнее — распределение ярости вдоль спектра. Было установлено, что положение максимума энергии излучения, соответствующего длине волны $\lambda_{\max}$, меняется при изменении температуры светашегося тела. При

*) Строго говора, такое соответствие между излучаемой энергией и температурой справедливо для абсолотного черного тела. Однако без большой ошибки его можно применять и для излучения packленных металлов, Солнца, звезд.

25

увеличении температуры тела максимум излучения смещается все дальше в области коротких волн. Таким образом,

$$\lambda_{\max} \cdot T = b,$$

где $T$ — абсолотная температура тела, $b$ — постоянная величины. Определив из наблюдаемой спектра звезды $\lambda_{\max}$ и знач $b$, мы можем найти абсолотную температуру светашего тела $T$. Для главной звезды системы Алголя $T \approx 12\ 800^\circ$; зная эту величину, можно найти абсолотную температуру звезды-спутника. Она равна $6800^\circ$. (Спектр излучения звезды-спутника очень слабый и к тому же накладывается на спектр главной звезды.)

Мы уже говорили о том, что в спектре Алголя было обнаружено смещение линейной то к филолетовому, то к красному концу спектра с периодом $T$, равным периоду $P$ изменения блеска звезды. Это значит, что звезда то приближается к нам, то удаляется от нас, образясь по орбите вокруг центра масс системы с периодом $T = P$.

Согласно принципу Доплера скорость набольшшего приближения или удаления главной звезды $\Delta v$,лина волны линей спектра $\lambda$ и ее смещение $\Delta \lambda$ связаны соотношением

$$\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{\Delta v}{c},$$

где $c$ — скорость света. Определив из наблюдаемой спектра звезды изменение длины волны при смещении линейки, можно найти по формуле (7) скорость движения главной звезды по орбите. Для Алголя было найдено, что $\Delta v \approx 46\ \text{km/c}$. Эта величина равна орбitalной скорости $v$.

Теперь, зная период $T = P \approx 68\ u$ 52 мин, можно определить радиус звезды:

$$R_1 = \frac{T \cdot v}{2\pi} \approx 1,86\ (\text{мин. }\ \text{км}).$$

Радиус орбиты Алголя почти в 5 раз больше радиуса орбиты Луны.

Если в спектре звезды видны спектральные линии не только ярко, но и слабого компонента (звезды спутника), то можно таким же точно путем найти радиус орбиты спутника $R_2$. Для спутника Алголя (Алголь В) было найдено $R_2 = 8,54\ \text{мин. }\ \text{км}$. Таким образом, радиус относительной орбиты, то есть орбиты спутника относительной главной звезды равен $R = R_1 + R_2 = 10,4\ \text{мин. }\ \text{км}$.

Зная радиус относительной орбиты и период обращения, мы можем по третьему закону Кеплера определить сумму масс обихз звезд. В обобщенной форме (выведенной Ньютоном) третий закон Кеплера имеет такой вид:

$$\frac{T_1^2 (M_1 + M_2)}{T_2^2 (M_3 + M_4)} = \frac{a_1^3}{a_2^3}.$$

Здесь $T_1$, $T_2$ — периоды обращения вокруг масс в первой и второй системы тел, $a_1$, $a_2$ — большие полуоси орбит, $M_1, M_2$ — массы тел первой системы, $M_3$, $M_4$ — массы тел второй системы. Прием за первую системы — системы Алголя, за вторую — системы «Солнце — Земля», за единицу массы, как это приятно в физике звезд, примем массу Солнца (т. е. положим $M_3=1$), а масс Земли пренебрежем ($M_4=0$); большие полуоси заменим радиусами круговых орбит. Тогда получим:

$$M_1 + M_2 = \left(\frac{R}{R'}\right)^3 \cdot \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2.$$

Подставляя $T_1=2,87$ суток, $T_2=365,24$ суток, $R'=149,6\ \text{мин. }\ \text{км}$ и найденное выше значение $R = 10,4\ \text{мин. }\ \text{км}$, получим $M_1 + M_2 = 5,4$, то есть сумма масс обихз звезд системы Алголя в 5,4 раза превышает массу Солнца.

Чтобы определить массу каждой звезды в отдельности, вспомним, что расстояния двух тел от центра их масс обратно пропорциональны массам. Значит,

$$\frac{M_1}{M_2} = \frac{R_2}{R_1}.$$

26

В случае системы Алгоря $M_1/M_2 = 8,54 : 1,86 = 4,6$. По сумме и относительной масс находим $M_1=4,55, M_2=0,95$. Итак, звездаспутник имеет массу, почти равную солнечной, а главная звезда — массу примерно в 4,5 раза больше солнечной.

Аналіз кривой блеска позволяет не только найти радиусы орбит звездд, но и определить элементы орбиты: ее наклон к лучу зрения, эксцентриситет, положение плоскости орбиты в пространстве. Метод определения элементов орбиты затменной переменной звезды по кривой ее блеска был разработан в 1912 г. американским астрономом Г. РесSELOM *). Вот основы этого весы острумного метода.

Предположим, что мы наблюдаем затмение звезды (рис. 3, б). Пока главная звезда закрыта целиком, блеск системы изменяется не будет. В этом случае главный минимум на кривой блеска (рис. 3, а) будет плоским. Во вторичном минимуме произойдет колъеобразное затмение (рис. 3, б; малая звезда впереди) и он тоже плоским. Обозначим блеск звезды в любой момент затмения, пока оно не полное (или не колъеобразное), через $l$, блеск в главном минимуме — через $l'$, блеск во вторичном минимуме — через $l''$. Блеск звезды вне затмения примем за единицу. Тогда потери блеска будут равны соответствию $1-l, 1-l'$ и $1-l''$.

Положение спутника на орбите относительно направления на Землю в каждой момент времени $t$ определяется углом фазы $\theta$ (см. рис. 4), который равен

$$\theta = \frac{360^\circ}{P} (t - t_0),$$

где $t_0$ — момент времени, соответствующей середине главного минимума на кривой блеска (рис. 3, а), $P$ — период обращения спутника, равный период изменения блеска. В момент $t=t_0$ угол фазы $\theta=0$. Для упрощения расчетов положим $t_0=0$, то есть время будем вести от середины главного минимума. Прием радиус относительной орбиты за единицу ($R=1$) и обозначим относение радиуса меньшей звезды к радиусу большей через $k (k=r_2:r_1)$. Пусть орбита спутника наклонена

*) Первая общая теория затменных звезд и метод вычисления орбит были описаны в 1911 г. в Москве С. Н. Блажко в его докторской диссертации.

27

к картиной плоскости *) под углом $i$ (очевидно, что он близок к $90^\circ$, иначе мы не увидели бы затмения). Нам нужно определить три неизвестных: $r_1, r_2, i$.

Из кривой блеска мы можем для каждой момента времени определить формутрическую фазу затмения, равную отношению потери блеска в данной момент времени к потере блеска в главном минимуме:

$$\alpha = \frac{1 - l}{1 - l'}.$$

ИЗ определения $\alpha$ видно, что $\alpha$ есть функция угла фазы $\theta$. Именно по известной из наблюдаемой зависимости $\alpha(\theta)$ мы и определим величины $r_1, r_2, i$.

Легко видеть, что формутрическая фаза $\alpha$ однозначно зависит от трех величины: от расстояния $d$ между центрами дисков обежных звезд ($AB$ на рис. 5) и от их радиусов $r_1, r_2$ (или от одного из них, $r_1$, и их отношения $k$). Численное она равна относению плоскид двойного сегмента $CDEF$ к площади диска меньшей звезды, то есть к площади круга с центром в $A$ (рис. 5). Как же найти расстояние между центрами $d$?

Если бы плоскость орбиты проходила через луч зреня ($i=90^\circ$), то было бы $d = a \cdot \sin \theta$. Но так как орбита имеет наклон $i \neq 90^\circ$, величины $d$ будет функцией двух углов:

*) Картиной плоскостью называется плоскость, перpendикулярная лучу зреня.

Рис. 5.

$i$ и $\theta$, из которых нам известен только второй ($\theta$). Хотя формула, выражющая связь $d$ с $i$ и $\theta$, несложна, мы не будем здесь ее выводить, чтобы избежать громоздких выкладок, а запишем ее в нейвном виде:

$$d = f_1(i, \theta).$$

Кроме того, согласно сказанному выше,

$$d = f_2(\alpha, k, r_1).$$

Таким образом, мы имеем как будто лишь два уравнения с четырьмя неизвестными $d, i, k, r_1$. Исключив $d$, мы получим одно уравнение с третья неизвестными $i, k, r_1$.

Но в нашем распоряжении не одна точка на кривой блеска, а много. Выбрав три точки, мы получим систему из трех уравнений с третья неизвестными, которое можно решить и получить величины $i, r_1, k$ (значит, и $r_2 = kr_1$).

В метода Рессела две точки выбраются фиксированными (они соответствуют $\alpha=0,6$ и $\alpha=0,9$), а третья точка — «скольствия», то есть в качестве третьей точки по очереди выбраются многое точки на кривой блеска. Из получаемых 10—20 решений для неизвестных берутся средние значения. Таким образом, в решении участует как бы вся кривой блеска.

Зная радиуса обежных звезд в долях радиуса орбиты $R$ (мы полагали $R=1$), мы можем найти абсцилтовые радиуса, а по ним — объемы. Поделив массы звезд на их объемы, мы найдем средние плотности звезд.

Если затмение не полное, а частное, решение будет более сложным, но метод Рессела позволяет достичь успеха и в этом случае.

Для выбранного нами примера — системы Алгола — $r_1=2,0$ мл. $km, r_2=2,0$ мл. $km$. Зная размеры и массы, мы легко найти средние плотности обежных звезд $\rho_1=0,1 \ e/cm^3, \rho_2=0,06 \ e/cm^3$.

Итак, из анализа кривой блеска затменной переменной звезды Алголь

30

Д. Бородин

Начало этой истории похож на детективный роман. В один из весенних дней 1970 года на борту самолета, совершающего кругосветный рейс, находились два пассажира. Один из них был американский физик Хафель, другой занимал целых два места и был зарегистрирован в эропорту как мистер Клок. Мистер Клок был на самом деле часами*), очень точными atomными часами, которые отсутствовали время с 13 знаками**).

Путешествие было предприятного для того, чтобы продемонстрировать эффективизmenя хода часов, предсказываемый теорий относительной.

Опыт был поставлен так, что в нем участвали на самом деле не один, а два самолета, в каждом из которых путешествовали по два экземпляра atomных часов. (Мистера Клок во втором самолете сопровождал другой физик Китинг).

Один из самолетов летел с запад на восток, другой — с востока на запад. Маршрут их проелегал на высоте примерно в 10 км и шел вдоль земной параллели. Скорость самолетов была около 1000 км/час, так что свой рейс они завершали примерно за двое суток (считая остановки в пути).

Когда показания часов сверли с часами на эродроме, то оказалось, что часы, которые летели на самолете с запад на восток, отстали на 5 стомиллионных долей секунды (как сейчас принято говорить, — на 50 наносекунд). Часы, obлетешие Землю с востока на запад, ушли вперед на 16 стомиллионных секунды (160 исек). Хотя в опыте было много помех, которые трудно поддаются точному учету (например, посадки самолета в промежуточных аэропортах), тем не менее эффективизmenя хода часов было продемонстрирован очень убедительно.

Физики, занимающие элементарными частицами, наблюдают эффективизmenя времени уже давно. Им хорошо известно, что летящая с большой скоростью частица, например, μ-mezон, «живет» дольше, чем покоящийся μ-mezон. Время жизни $T$ μ-mezона, летящого со скоростью $v$, связано со временем жизни $T_0$ покоящегося μ-mezона формулой

$$T = \frac{T_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$$

($c = 3 \cdot 10^{10}$ см/c — скорость света, $T_0 = 2$ микросекунд = $2 \cdot 10^{-8}$ c).

Только благодария такому замечениюраспада μ-mezон успевает пройти через всю толщу атмосферы Земли.

31

Другой эффектив заменления времени наблюдая астрономы. В поле тяжелости звезд согласно общей теории относительной времени заменяется и свет, излучаемый atomами на этих звездах, имеет частоту, меньше чем такое же излучение на Земле. Это «гравитационное» смешение спектральных линей звезд наблюдая уже давно. Американские физики Паунд и Репка наблюдая его и в земной лаборатории. В их опытах было показано, что с удалением источника излучения от поверхности Земли его частота увеличается (так же как далеко от звезды земные часы идут быстрее, чем часы на тяжелой звезде).

В опытах мистера Клока сказалась об эффективе. Часы, подняты на 10 км над Землей, идут быстро земных, как в опытах Паунда и Репки. За двое суток полета «гравитационный» эффектив должен был подогнать часы на +100 нсек. Кроме того, часы двигались вместе свращением Земли со скоростью Ω (R + h) + v (v > 0), если самолет летел с запада на восток, и v < 0, если самолет летел с востока на запад). Здесь Ω — угловая скорость Земли, равная $\frac{2\pi}{86400}$ рад/сек, R — радиус Земли, h — высота полета, v — скорость самолета. При этом часы отставали блядаря тому же эффективу, который приводит к заменению распада μ-мезонов. Часы не могут разделить оба эффективes

ПОПОЛНЕНИЕ КОМАНДЫ

Сборную функцию команду города необходимо было пополнить зашитником, получащитником, левым крайним направлением и центральным направлением. И хотя было 7 приближительного одинакового играющих претензий, задача оказалась не из легких, так как необходимы было учитывать их сыграность и весма сложные взаимотошення.

Капалов согласен войти в сборную только центральным направлением и то при условии, что Полянчков не будет зашитником, а Алексеев — левым крайним направлением. Колесников отказывется играть за сборную, если туда войдут Зборовский и Дымников вместе или если в команду будет включен Алексеев без Комарова, а чтобы согласилась выступать Комаров, надо отказаться от приглашения Колесникова и Капалова. Полянчков не желает играть вместе с Дымниковым, если в команде не будет Капалова или если Алексеев будет центральным направлением. Дымников согласи только в направлении и при условии, что в команде не будет Алексеева. Зборовский соглашение войти в сборную вместе с Дымниковым, но и при этом отказывется быть зашитником.

Кого и кем взгляли в сборную команду города?

А. С. Сорокин

32

Решения задач вступительного контрольной работы в 3МШ 1972 года
А. Л. Тоом

Условия этих задач и правила приема в заочную математическую школе при МГУ и ЛГУ были помещены в первом номере «Кванта» за этот год. Здесь мы помещаем решения и указания к некоторым из этих задач.

Новая вступительная работа во Всесоюзную заочную математическую школе будет опубликована в первом номере «Кванта» 1973 года.

1. В треугольнике цептры высачной и описанной окружности симметрицы относительно одной из строкон. Найдите улы треугольника.

Обозначим концы той стороны, относительно которого симметрицы центры, через A и C, а третью вершину — через B (см. рис. 1). Пусть O и D — центры соответствующего высачной и описанной окружности. Если опустить из них перепределения на AC, то они упадут в одну точку M — середину отрезка OD (это и означает, что O и D симметрицы относительно AC). Нам надо найти углы треугольника: $\angle BAC = \alpha$, $\angle ABC = \beta$, $\angle BCA = \gamma$.

Докажем сначала, что $\alpha = \gamma$. Действительно, $AD = DC$ (как радиус),

позетом $AM = MC$, открыта $\triangle AMO = \Delta CMO$. Следовательно, $\angle OAM = \angle OCM$. Но $\angle OAM = \frac{\alpha}{2} \Rightarrow OCM = \frac{\gamma}{2}$ (центр окружности, высачной в треугольник, находится в точке пересечения его биссектрис), позетом $\alpha = \gamma$.

Отсюда следует, что $AB = BC$, тогда медиана $BM$ — одновременно и высота, значит, O лежит на BM.

Позному точки B, O, M и D лежат на одной прямой, а так как $BD = AD$ (как радиус), то $\angle BAD = \angle ABD = \frac{\beta}{2}$.

С другой стороны, $\triangle AOM = \Delta ADM$. Поэтому

$\angle MAD = \angle MAO = \frac{\alpha}{2}$.

Тогда

$\angle BAD = \angle BAM + \angle MAD = \alpha + \frac{\alpha}{2} = \frac{3\alpha}{2}$.

Итак,

$\frac{\beta}{2} = \frac{3\alpha}{2}, \beta = 3\alpha$.

Позному сумма углов треугольника $ABC$ равна $5\alpha$, откуда $\alpha = 36^\circ$, $\beta = 108^\circ$.

Ответ: $36^\circ, 108^\circ, 36^\circ$.

33

2. Двое церратом в макую церру. Перед ним на бумаге в цепочку написано несколько минусов. Каждый по очереди переправляем один или два соседних минуса на плоск. Вызываем mom, кто переправим последний минус. Кто вызываем при правальной церегне: начинающий или его партнер, и как ему надо для этого церрать, если вначале написано: a) 7 минусов; b) k минусов?

Выигравает при всех n начинающий. Опишем стратегию, применяя которую, он наверняка выиграет. Первый ход надо сделать в середине, чтобы оставшиеся минусы образовали два отдельных «куска» равной длины (на рисунке 2 изображена позиция после первого хода для n=7)

Рис. 2.

и n=8). После этого начинающий каждым своим ходом должен переправлять минусы, симметричные тем, которые перед этим переправил второй. Так, если второй переправил k-й (или k-й и k+1-й) минус справа, то надо переправить k-й (или k-й и k+1-й) минус слева. Тогда после каждого хода первого будет получаться симметриная позиция.

Второй каждым ходом будет переправлять один или два минуса, симметричные которых еще не переправлены; следовательно, эти минусы не могут быть последними, и второй не может выиграть.

3. В треугольнике ABC проведимся биссерриса AK и медиана AM. Чему может равняться отношение сторон AB и AC, если известно, что один из отрезков BM, MK, KC равен получиме двух других?

Указа и е. Здесь необходимо рассмотреть шесть случаем, соответствующих клеткам таблицы (см. рис. 3).

В клетках написаны ответы.

Рис. 3.

4. Существует ли хотя бы одно число a макое, что оба числа $\frac{1}{a} - \sqrt{15}$ и $a + \sqrt{15}$ – целые?

Пусть $a + \sqrt{15} = m$, $\frac{1}{a} - \sqrt{15} = n$.

Выразим a из первого равенства и подставим во второе:

$$\frac{1}{m - \sqrt{15}} - \sqrt{15} = n.$$

Преобразуем:

$$16 - mn = (m - n) \sqrt{15}.$$

Для выполнения этого равенства достаточно, чтобы было:

$$\begin{cases} 16 - mn = 0, \\ m - n = 0. \end{cases}$$

(В действительности это и необходимо, раз m, n – целые, но этого можно и не знать: ведь нам достаточно найти хотя одно значение a.)

Полученная система легко решается:

$$m_1 = n_1 = 4, m_2 = n_2 = -4.$$

Ответ: такое a существует: например, $4 - \sqrt{15}$ (в действительности таких чисел всего два).

5. Один из прямых грамбель okно. Андрей сказал: «Это или Витя, или Толя». Витя сказал: «Это сделал не я и не Юра». Толя сказал: «Вы оба говорите неправду». Дима сказал: «Нем, один из них сделал правду, а другой — нем». Юра сказал: «Нем, Дима, мы неправ». Их отец, коморому, конечно, можно доверять, уверен, что не менее трех грамбелься правду. Кто разбил okно?

Изображим заявления грамбель в виде таблицы из 5 строк и 5 столбцов

34

Рис. 4.

(рис. 4). Строки и столбцы называны первыми буквами имен братьев. Заявление каждого братья записывается столбом под первой буквой его имени. В этом столбце расставим плюсы и минуты по следующему правилу: плюс, если высказывание допускает, что брат, по имени которого называна строка, разбил окно, и минуту, если высказывание этого не допускает.

Так, в столбце под буквой А плюся стоит только против букв В и Т, поскольку Андрей сказал: «Это или Витя, или Толя». В столбце под буквой В минуты стоит только в строках В и Ю.

Чтобы заполнить столбец T, надо разобраться, в каком случае Андрей и Витя оба неправы. Например, если окно разбил Андрей, то Витя оказется прав, так как он это допускал, и в столбце B против буквы A стоит плюс. Вообще, Андрей и Витя оба оказутся неправы, только если окно разбил Юра, так как только в строке Ю на первых двух местах стоит минуты. Значит, в столбце T надо поставить плюс только против Ю.

Дima оказется прав, только еслировно один из первых двух братьев — Андрей и Витя — оказется прав, а другой неправ. Значит, в столбце Д плюс ставится только в тех строках, в которых на первых местах стоит один минус и один плюс.

Юра просто отрицает то, что сказал Дима; где в столбце Димы плюс, там у него минус, и наоборот. Таблица заполнен. Мы знаем, что не менее трех братьев сказали правду. Значит, надо искать строку, в которой не менее трех плюсов. Такая строка только одна — T.

Ответ: окно разбил Толя.

6. Предумайте четырех целых неотрицательных чисел также, чтобы каждое число от 1 до 81 можно было представить в виде суммы четырех чисел — по одному из каждой тройки.

Годятся такие четырехки:

1, 2, 3
0, 3, 6
0, 9, 18
0, 27, 54.

Объясним, как они придуманы. Легче решить эту задачу в более общем виде: придумать k троек целых неотрицательных чисел таких, чтобы каждое число от 1 до 3^k можно было представить в виде суммы k чисел — по одному из каждой тройки.

При k=1 решение оченьindo: одна тройка 1, 2, 3. Пусть задача для k троек решения. Как подобрать еще один тройку, чтобы получить решение задачи для k+1?

Первое число надо взять равным нулю. Тогда, прибавляя его ко всем суммам k чисел, взятых по одному из первых троек, получим те же числа от 1 до 3^k.

Второе число возьмем равным 3^k. Прибавляя его к числам от 1 до 3^k, получим все числа от 3^k+1 до 2.3^k.

Третье число возьмем равным 2.3^k. Прибавляя его к тем же числам, получим все числа от 2.3^k+1 до 3.3^k = 3^k+1.

Итак, задача решения и для k+1. Так построены четырехи тройки. Доказано, что они годятся при каждом k, в том числе и при k=4.

35

Об экстремальных мочках
Ж.Б.Пинковский

Экстремальная точка — это точка, для которой неокоторая функция достигает наиболее или наиболее значения. Легко доказать, что точка пересечения медиан треугольника обладает следующим свойством: для нее сумма квадратов расстояний до вершин треугольника минимальная. В этой статье мы изложим в полне элементарное доказательство обобщения этого факта.

Пусть на плоскости данных $n$ точек. Введем на плоскости декартову систему координат с осями $Ox$, $Oy$ и обозначим эти точки так: $A_1(x_1, y_1)$, $A_2(x_2, y_2)$, …, $A_n(x_n, y_n)$ (рис. 1). Возьмем любую точку $M(x, y)$ на плоскости. Квадрат расстояния от точки $M$ до точки $A_i$ легко найти по теореме Пифагора (рис. 2): $d_i^2 = (x - x_i)^2 + (y - y_i)^2$. Сумма квадратов расстояний от $M$ до точки $A_1$, $A_2$, …, $A_n$ выглядит так:

$$D = d_1^2 + d_2^2 + \dots + d_n^2 = (x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 + (x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 + \dots + (x - x_n)^2 + (y - y_n)^2.$$

Раскроем скобки и представим $D$ в виде суммы многочленов от $x$ и $y$:

$$D = nx^2 - 2x(x_1 + x_2 + \dots + x_n) + (x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2) + ny^2 - 2y(y_1 + y_2 + \dots + y_n) + (y_1^2 + y_2^2 + \dots + y_n^2).$$

Получалась сумма двух многочленов, один зависит только от $x$:

$$P(x) = nx^2 - 2x(x_1 + x_2 + \dots + x_n) + (x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2),$$

второй зависит только $y$:

$$Q(y) = ny^2 - 2y(y_1 + y_2 + \dots + y_n) + (y_1^2 + y_2^2 + \dots + y_n^2)$$

и $D = P(x) + Q(y)$. Заметаем, что $x$ и $y$ независными, поэтому $D$ достигает наиболее значения при таком $x$, при котором $P(x)$ наименьшее, и при таком $y$, при котором $Q(y)$ наименьшее. Но $P(x)$ и $Q(y)$ — это многочлены второго порядка (с несколько длинно записанными коэффициентами). Графиком функции $P(x)$ будет парабола (рис. 3), ветви которой направлены вверх ($n > 0$), наименьшее значение $u = P(x)$ достигается при $x$, равном абсциссе вершины парабола. Отсюда легко найти значение $x$, при котором $P(x)$ минимальное: $x = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$.

Аналогично находится координата $y$ (из $Q(y)$): $y = \frac{y_1 + y_2 + \dots + y_n}{n}$.

Представляем читателю решить следующие задачи.

1. Доказать, что координаты точки пересечения медиан треугольника с вершинами $A_1(x_1, y_1), A_2(x_2, y_2), A_3(x_3, y_3)$ таковы:

$$x = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \quad y = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}.$$

2. Точкой Торричелли называется точка треугольника, сумма расстояний от которой до вершины треугольника минимальная. Доказать, что из точки Торричелли стороны треугольника видны под углами $120^\circ$.