Квант 1973, №2 · Страницы

Квашт
2
1973
Научно-популярный
физико-
математический
журнал

Главный редактор — академик И. К. Кикоин
Первый заместитель главного редактора — академик А. Н. Колмогороз

Редакционная коллекция:
Л. А. Арцимович,
М. И. Башмаков,
С. Т. Беляев,
В. Г. Болтянский,
И. Н. Бронштейн,
Н. Б. Васильев,
И. Ф. Гинзбург,
Ю. Н. Ефремов,
В. Г. Зубов,
П. Л. Капица,
В. А. Кириллин,
А. И. Климанов (элавный художник),
С. М. Козел,
В. А. Лешковцев (зам. главного редактора),
Л. Г. Макар-Лиманов,
А. И. Маркушевич,
М. Д. Миллионщиков,
Н. А. Патрикева,
И. С. Петраков,
Н. Х. Розов,
А. П. Савин,
И. Ш. Слободецкий,
М. Л. Смолянский (зам. главного редактора),
Я. А. Смородинский,
В. А. Фабрикант,
А. Т. Цветков,
М. П. Шаскольская,
С. И. Шварцбург,
А. И. Ширшов.

Редакция:
В. Н. Березин,
А. Н. Виленкин,
Т. М. Макарова (художественный редактор),
Н. А. Минц,
Т. С. Петрова,
В. А. Тихомирова,
Л. В. Чернова (зав. редакцией).

Корректор Т. А. Панькова
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15, «Квант», тел. 234-08-11, 234-07-93

Сдано в набор 16/XI 1972 г. Подписано в печать 26/XII 1972 г. Бумага 70×100/16 Физ. печ. л. 5 Усл. печ. л. 6,5 Уч.-изд. л. 7,66 Тираж 379 580 экз.
Т-20448
Цена 30 коп. Заказ 2102

Чеховский полигraphический комбинат «Соизполгraphпрома» при Государственной комитете Совета Министров СССР по делам издаательств, полигraphи и книжной торговли.
г. Чехов Московской области Русописи не возвращаются

Основан в 1970 году 1973

Научно-популярный физико-математический журнал
Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР

Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы

В НОМЕРЕ:

2 Я. А. Смородинский. Николай Коперник
9 Николая Коперника малый коментарий относительно установленных им гипотез о небесных движениях
11 Н. Б. Демидович. Вычисления, ошибки, контроль
17 Д. Бородин. Гравитационная масса
22 М. Г. Крейн, А. А. Нудельман. О некоторых пространственных изоперimetрических задачах
27 В. Н. Ваудтен. Числа $C_n^k$, многочлены, последовательности
35 А. В. Бялко. Козеффициент полезного действия ракеты

Математический кругок
39 М. Л. Гервер. Про лису и собаку

Задачик «Кванта»
45 Задачи M186—M190 и Ф198—Ф202
47 Решения задачи M146—M150 и Ф164—Ф169

Практикум абитуриента
58 М. И. Шабунин, С. В. Черemnых. Трионометрические уравнения
64 Московский институт народного хозяйства имени Г. В. Плеханова
67 И. А. Дьяковов, А. Г. Мордкович, И. И. Наслузов. Телевизонные физико-mатематические курсы для поступающих вузы

«Квант» для младших школьников
68 Задачи
69 А. Н. Виленкин. Картезанский водолаз

Информация
70 В. В. Иванов, А. Г. Фономов. Экономико-mатематическая школа при экономическом факультете МГУ

Рецензии, библиография
72 П. А. Серпов. Отпутивающая реклама
74 М. Л. Смолянский. Новые книги
75 Ответы, указания, решения

Уголок коллекционера (3-я стр. обложки)
А. В. Алтыкис. Марки, посвязывающие Копернику
Смесь (стр. 21, 38, 44, 66, 73)

Портрет Николая Коперника, который мы приводим на первой странице обложки, был написан неизвестным художником в 1575 году.

На второй странице обложки — кабинет геометрики Краковского университета, где услуга Коперника с 1491 года. Поскольку учебников не хватало, основные теоремы чертили на стенах.

На четвертой странице вы видите еще один портрет Коперника. Предполагают, что это авторортрет ученого.

4

го-нибудь истинного, поскольку она не может дать что-либо подобное; если же он сочетет истинным то, что придумано для другого употребления, то после такой науки оказывается более глубым, чем когда присутствал…»

Идей автора предисловия состояла в том, что теория Коперника удобна для вычисления, но не имеет никакого отношения к реальному миру. Тем не менее в 1616 году, при жизни Галилея и Кеплера, декретом инквизиции книга Коперника была включена в список запрещенных церковью книг.

Но все эти меры оказались бесполезными. Новая наука завоевыла себе признание, древняя наукауходила в историю.

Древние идеи

В неведому глубь вековушло время, когда человек впервые увидел среди неподвижных звезд седьмые небесных тел, положение которых изменялось на его глазах. Солнце, Луна, Меркурий, Венера, Марс, Юпитер и Сатурн удивляли и пуляли древних наблюдаемый неба. Движение их предшеало тревоги и радости. Солнце приссил с собой времега года, Луна сменяла дни и ночи, багровый Марс был предвестником войны.

Еще египтане залили, что движения Солнца и Луны можно предсказывать. Те, кто умел это делать, занимали особое положение — они были жрецами, знающим тайны богов. Жрецы обьявляли о начале года, о праздниках, о сроках работ на полях. С тех пор на многое сотни лет наблюдаемые небесных тел было связано с календарем. Сам Коперник углубился в астрономию, когда в 1514 году пала Лев Х признавал к исправлению календаря. (Эта реформа — переход к новому стили — была проведена позже, в 1574 году.)

Греки пошли значительно дальше египтан. Они задумались над тем, как устроена вся планетная система, как движутся планеты. Еще в III веке до нашей эры Аристарх Самос-

Рис. 1.
сккий высказал идею о гелиюцентрической системе — системе планет с Солнцем в центре. Во II веке до нашей эры на острове Родосе и в Александрии наблюдал звезды Гиппарх, который первый научился предсказывать положение Солнца и Луны, создав теорию их движения. Астрономыды видели, что каждая планета движется по своим особым правилам; поэтому они говорили о теории Марса, теории Луны и т. д. Только Кеплер смог обединить эти разрозненные теории в единую схему.

Первую последовательную схему планетной системы дал Клавдий Потолемей, работавший в Александрии в середине II века нашей эры. Он в значительной степени опирался на труды Гиппарха, которые не дошли до наших дней. Система Потолемей продолжалась 15 веков и дожила, почти не изменившись, до Коперника. Вплоть до XVI века никако не сомневался в ее истинности *).

Потолемей считал, что в центре Вселенной расположена Земля, а вокруг нее врачается семь сфера, которые включают за собой семь планет (рис. 1)

*) Сочинение Потолеемя называлась «Математический трактат в XIII книгах». В арабском переводе, в котором с ним познакомились средневековые учены, оно называлось «Альмагест» (от греческого «μεγίζτη» — величайшее). Под этим названем оно цитируется и сейчас.

5

в таком порядке: Луна, Меркурий, Венера, Солнце, Марс, Юпитер, Сатурн. На рисунке 1 в действительности изображена не система Птолемея — она значительное более сложна. До того, как о ней расскаatzать, почти сначала, что ознакомлено для греков (да и для Коперника) построить теорию движения планеты.

Кinematika без диамники

Белым пятом в системе знаний древних естественныхателей было то, что они не имели ни малейшего представления о диамнике. Причина движения тел была для них недоступна. Когда камень толкали, все было понятно — хотя и в этой задаче никаких количественных соотношения получить не могли (да и не думали об этом). Когда же дело касалось планет, то ни о каких причины движения и речи быть не могло — планеты двигались сами по себе, просто потому, что движение заключено в их природе. Почти вся наука о движении описана у Коперника. Так: «Аристотель говорит, что единому и простому телу присуше и простое движение; из простых же движений одно прямолинейное, другой круговое; из прямолинейных одно идет вверх, другой вниз. Поэтому всекое простое движение идет или к середине вниз, или от середины вверх, или вокруг середины, и это движение круговое. Только земле и воде, которые считаются тяжелыми, следует двигаться вниз, то есть стремиться к середине; воздух же и огонь, обладающие легкостью, должны двигаться вверх и удаляться от середины. И какется вполне сообщаемым приписать этим четырем стихиям прямолинейное движение, а небесным телам представить вращаться кругом середины. Так утверждает Аристотель».
Вот и вся механика движих. Итак, планеты должны двигаться по окружностям и, наверное, с постоянной скоростью, так как (опять из Коперника): «Круговое движение всегда совершается равномерно, либо оно имеет неубывающий причину…» Отсюда и

Руководство книги «De revolutionibus orbium coelestium» («О врацении небесных сфера»), открывая на мои странице, где Коперник нарисовал циркулем Солнечного системы, хранился в Кракове, и коснулись пальцами бумаги, еще можно оценить «бороздики», оставленные циркулем великою астронома. В предисловии к своему труду Коперник признается, что лишь уговоры иупреки друзей убедили его дать согласие на издание своего практаша.

«Зал правосудия» в замке Гейльсберг. Здесь Коперник желал с дядей епископом после возврачи из Имали, впломь до смерти моей чечесственного прелама в 1512 году.

6

схема геоцентрической системы. Но система, изображенная на рисунке 1, хотя и очень эффективна, противоречит наблюдениям; с ее помощью нельзя разобраться в истинном движении планет.

Эта задача и стояла перед Плоlemем. Как совместить «приицип инерции Аристотеля» с реальным миром? Как описать реальный мир на основании одной kinematики?

Движение сфера

Древние наблюдатели видели, что движение планет сложное. Они разделили это сложное движение на несколько более простых. Первым главным движением было суточное движение неба, вторым — его годовое движение. В этих двух движениях участвовали все семь сфера, которые тянули за собой планеты. Восьмая сфера, к которой прикреплены звезды, была неподвижна. Еще Гиппарх усовершенствовал эту систему. Чтобы учеть движение точки весеннего равноведствия (точки пересечения плоскости экватора с орбитой Земли), он приписал восемой сфере медленное движение на один градус за 100 лет (по 36″ в год) *).

Однако эти простые движения не удовлетворяли «приицип инерции Аристотеля». Скорости их были неопостояны. Поэтому говорили о существовании двух неравенств. Первое неравномерность движения планет по орбитам; второе — наблюдашеся «попятное» движение планет — изменение направления их движения по небу на противоположное. Только у Солнца и Луны не было второго неравенства. Поэтому уже теория Гиппарха позволяет их положение с ошибкой, меняющей одной минуты. С этим неравенствами надо было справиться, и Плоlemей справился с ним вликолепно.

*) В действительности смение точки весеннего равноведствия проискодит немного быстрее — на 50″ в год.

Рис. 2.

Экцентр и эквант

Выход из, казалось бы, безнадежного положения был весна остроумен. Надо предположить, что по окружности вокруг центра Мироздания (Земли в системе Плоlemея) движется не сама планета, а лишь центр другой окружности, называющий эпицикла движется по основной орбите, называющей деферентом *). В результате таких постройной okазывается (хорошее упражнение для читателя!), что планеты по-прежнему движутся по окружности (она называется экцентром), но центр ее смещен относительно Земли.

Таким образом была установлена важная kinematическая эквивалентность схемы движения экцикла по деференту и эквант. Но столб просятая схема описывала лишь путь Солнца, которое всегда движется по небу в одном направлении, не поворачиваясь. Угловая скорость движения Солнца по экцентру (относительно его центра) предполагалась постоянной. Тогда, оченьindo,

*) Такое движение в механике называют парой врашения.

7

угловая скорость движения, наблюдаемая с Земли, оказывается переменной. Так просто обязываюсь первое неравенство.

Для планет теории нужно было условиять. Особенно трудно было объяснить движения Меркурия, у которой, как мы теперь знаем, самый большой эксцентриситет: он равен 0,2 и в 10 раз больше, чем у Земли.

К двум окружностям добавили третью — эквант. Центр экванта обладает той особенностью, что наблюдает, находящийся в нем, видел бы равномерное движение планеты. Иными словами, хотя угол $\phi$ (рис. 3) изменяется со временем неравномерно, угол $\phi$ растет пропорционально времени. Таким образом как бы видилась фиктивная планета, движущаяся равномерно по экванту. Гипотеза экванта (при дополнительном условиянии, что центр экванта пополам) улучшила теории, но и она оказывается же недостаточной. Пришлось вдвое дополнительные предположения, например, что центр экванта сам движется по окружности или что по эпициклу катится друг эпицикл. В конечном случае для описания движения планета надо было вдвое почти 40 различных круговых движений. Да и сама гипотеза экван-

та была на самом деле чужда кинематике. Схема, таким образом, была сложной и неудовлетворительной с принципальной точки зрения. Однако она позволяет точно расчитывать положение Солнца и планет и поэтому удовлетворяла всех. Расчитанные на ее основе астроνομические таблицы (так называемые Альфонсинские таблицы) были во всеобщем употреблении с XIII века *). Правда, надо иметь в виду, что только в конце XV века подписное учение Птолемея стало распространться в университетах Европы — до этогоучились по тяжелым латинским переводам арабских трактатов.

В то время наиболее важно было расчитывать движения Солнца и Луны; для этого теории Птолемея было достаточно. Причина этого обстоятельства, как мы сейчас знаем, лежит в малости эксцентриситов (малой витянутости) планетных орбит, которые позволяют приближению описывается системой Птолемея.

Солнце — Центр Вселенной

Итак, не практическое целлюлистей перед Коперником, когда он начал размышлять над системой планет. Вопрос о каледиарной реформе был только лишьним поводом. Коперник не мог принять сложной системы катящся сфер Птолемея. Он не оставил после себя никаких дневников или записей, по которым можно было бы восстановить ход его мыслей. Никто не знает, о чем он думал почти сорок лет, создавая свою систему.

Когда сейчас мы смотрим на систему Птолемея, то обнаруживаем много

*) Таблицы, с большой точностью расчитанные по системе Коперника, были опубlikованы в 1551 году Эразмом Рейнгольдом. Ночью 17 августа 1563 года Тихо Браге увидел, что Юпитер и Сатурн почти совпадают на небе. Посмотрев в таблицы, он обнаружил, что Альфонсинские таблицы предсказывают время этого события с ошибкой в мести, а Коперниковские — в 7 дней. Этот случай дал толок работами Тихо Браге, а потом и Кеплера.

8

закономерностей, которые трудно считать случайными и на которые не мог не обратить внимание Коперник. Почему центры эпискклов Меркурия, Венеры и Солнца, всегда лежат на одной прямой? Почему перiodы обращения Марса, Юпitera и Сатурна в их эпискклах равны одному земному году?

Немало таких проблем связи с системой Птолемея.

Гипотеза Коперника была проста. Надом помещать в старой Птолемеевской системе Землю и Солнце местами, оставив только Луну врашаться вокруг Земли (рис. 4). Но эта простая гипотеза была недоступна для понимания большинства современников Коперника. Первый раз в истории науки наблюдаемый был лишь своего привилегированного положения, и обсуждался вопрос о картине мира с точки зрения другой (движущейся относительно наблюдаемой) координатной системы. Такой шаг былреволюционным не только с точки зрения церкови — Земля и человека перестали быть главными во Вселенной,— но и с точки зрения механики — никака еще относительно движения не использовалась для решения конкретных задач. Поместив центр планетной системы на Солнце, Коперник сразу же упростил ее схему.

После того, что было расссказано, читатель будет понятно в «Малый комментарий», в котором Коперник кратко формулирует свою идею (см. стр. 9).

По схеме Коперника суточное движение неба объявлялось вращением Земли вокруг своей оси, годичное движение — обращением ее вокруг Солнца. Исчезло второе неравенство — попятное движение планет стало следствием разной угловой скорости движения Земли и других планет на своих орбитах. Замечательным образом отпала необходимость и в гипотезе о вращении восвым сферы: для объявления движения звезд достаточно было предположить, что плоскость орбиты Земли медленно вращается в сторону, обратную движению самой Земли по орбите.

Но не следует думать, что простая схема Коперника полностью решила задачу. Наломним, что естественное движение планет должно происковать все то, чего древние пытались достичь для каждой планеты при помощи эпискклов. Однако, вопрос мнения Аполлония и древних, движение планет не оказывается равномерным, даже после отнесения этой неравномерности за счет обращения Земли. Следовательно, планеты движутся не по концентрическим кругам, а иным образом, каким — мы покажем в дальнейшем…»

Теперь мы знаем, что непостоянство скорости движения планет по орбитам следует из законов Коперра и его не нужно избегать в теории. Но Коперник остается в плену своих законов kinematики и стремится достичь равномерности движения введением все тех же эпискклов и эксцентров (однако без эквантов). В результате его схема планетной системы оказывается достаточно слож-

9

ной и совсем не пожожей на простую гелиюцентрическую модель, с которой он начал. Конец «Малого комментария» выглядел так: «Таким образом, Меркурий движется при помощи всего семи кругов, Венера — при помощи пятки, Земля — при помощи трех, а Луна вокруг них — при помощи четырех; наконец, Марс, Юпитер и Сатурн — при помощи пятки кругов каждый. Таким образом, для Вселенной будет дистанно 34 кругов, при помощи которых можно обьясить весь механизм мира…».

Теория Коперника, как и многие другие теории (далее современные), оказывается очень эффективной в первом ее приближении. При попытках же улучшить ее соглашение с опытом она начинает усложнять и терять убедительность. Такое положение объясно свидетельствует об организации пороках теории. Этот симплот увидел Кеплер, открывший основной дефект теории Коперника: планеты на самом деле движутся по эллипсам, а не по окружности, и описание их движения многими окружностями в принципие не может быть простым. Однако в рассуждениях Коперника заключалось важное открытие. Предположив, что центр эксцентра движется по окружности, он заметил то, чего не заметил древние: планеты стали двигаться не по окружности, а по овалу. «Против отклонения путь планет от кругового совершения Птолемей с основанием возражал бы Копернику, но я не возражаю», — писал Кеплер.

Система Коперника не была существенно точнее Птолемеевой. Более того, изменение системы отсчета не могло изменить результатов вычислений. Однако переход к гелиюцентрической системе настолько изменял все представления о строении мира, что за ним вскоре последовали открытия Галилея и Кеплера, а затем и создание механики Ньютоном. Псестому книга Коперника оказаласьfundamentом, на котором построена вся современная наука. Именно в этом смысле слова ее считают одной из величайших книг, когда-либо написанных рукой человека.

Николая Коперника
малый комментарий относительно установленных
им гипотез о небесных движениях

Наши предки велили множество небесных сфера, как я полагаю, для того, чтобы сохранить принцип равномерности для обьяснения видимых движений светил. Им казалось слишком не будет всегда двигаться равномерно. Однако они полагали возможность, что при сложении или совместномучасии нескольких движений светила будет казаться по отношению к какому-либо месту движущимся неравномерно.

Это не могли добиться Калипп и Евдокс, старшшеся получить решение посредством концентрических кругов и им们 обьяснить все особенности движений планет, не только относится к видимым круговращением звезд, но даже и те, когда, как нам кажется, планеты то поднимаются в верхние части неба, то опускаются, чего, конечно, концентриность никак не может допустить. Поэтому было сочто лучшим мнене, что это можно воспроизвести при помощи эксцентрических кругов и эпициклов, с чем, наконец, больше часть ученых и согласилась.

Однако, все то, что об этом в разных местах дает Птолемеем и многими другими, хотя и соответствует числовым расчетам, но тоже возбудает немальные сомнения. Действительно, все это оказалось достаточно

10

ным только при условии, что надо выдумать некоторые круги, называемые эквапами. Но тогда получалось, что светило движалось с постоянной скоростью не по несущей его орбите и не вокруг собственного ее центра. Поэтому, подобные рассуждания не представлялись достаточно совершенными, не волне удовлетворяющими разум.

Так вот, обратив на это внимание, я часто размышлял, нельзя ли найти какое-нибудь более讼циональное сочетание кругов, которые можно было бы объяснить все видимые неравномерности, причем каждое движение само по себе было бы равномерным, как этого требует принципи совершенного движения. Когда я приступил к этой весы, конечно, трудной и почти неразрешимой задаче, то у меня все же появились мысль, как этого можно добиться при помощи меншшего числа сфера и более удобных сочетаний по сравнению с тем, что было сделано раньше, если только согласиться с неокторыми нашими требованиями, которые называют аксиомами. Они следуют ниже в таком порядке.

Первое требование. Не существует одного центра для всех небесных орбит или сфера.

Второе требование. Центр Земли не является центром мира, но только центром тяготения и центром лунной орбиты.

Третье требование. Все сферы движутся вокруг Солнца, расположенного как бы в середине всего, так что около Солнца находится центр мира.

Четвертое требование. Отношение, которое расстояние между Солнцем и Землей имеет к высоте небесной твердии, меньше относения радиуса Земли к ее расстоянию от Солнца, так что по сравнению с высотой твердии оно будет даже неощутимым.

Пятое требование. Все движения, замечащиеся у небесной твердии, принадлежат неей самой, но Земле. Именно Земля с ближайшими к ней стихиями вся врачается в суточном движении вокруг неизменных своих полосов, причем твердь и самоое высшее небо осталось все время неподвижными.

Шестое требование. Все замечаемые нами у Солнца движения не свойственны ему, но принадлежат Земле и нашей сфере, вместе с которой мы врачаемся вокруг Солнца, как и всякая другая планета; таким образом, Земля имеет несколько движений.

Седьмое требование. Каждыйся прямые и поляные движения планет принадлежат не им, но Земле. Таким образом, одно это ее движение достаточно для объяснения большого числа видимых в небе неравномерностей.

При помощи этих предпосылок я постараюсь коротко показать, как можно вполне упорядоченно сохранить равномерность движения. Однако здесь ради краткости я полагаю нужно опустить математические доказательства, поскольку они предназначаены для более общирного социения. Впрочем, при описании этих кругов мы ужежем величины получаемого орбит, при помощи которых каждый светящий в математике легко может, как хорошо подобная композиция кругов подойдет к числовым расчетам и наблюдениям.

Позному пустую никто не полагает, что мы вместе с пифагорецами легкомысленно утверждаем подвижность Земли; для этого он найдет серые доказательства в моем описании кругов. Ведь те доводы, при помощи натурального главным образом пытаются установить ее неподвижность, опираются большешей частью на видимость; все они сразу же рукнут, если мы также на основании видимых явлений заставим Землю врачаться.

11

Вычисления, ошибки, контроль
Н. Б. Демидович

Ошибки наблюдения
Считать точно не всегда означает считать правильно. Расстояние для примера следующего задачу.
Сторона квадратного участка земли равна 1,4 м. Чему равен его полуперimetр p и площадь S (рис. 1)?
Решение направляется само собой: $p = 1,4 + 1,4 = 2,8$ ($m$), $S = 1,4 \times 1,4 = 1,96$ ($m^2$). Но насколько точен этот ответ? Абсолютно точен, если длина стороны участка задана точно. А если она не задана, а, например, измерена дециметровой мерной лентой? Тогда естественно предположить, что 1,4 м — это деление ленты, близкий к истинной длине измеренной стороны участка. Отсюда ясно лишь, что точная длина отлачается от 1,4 м не более чем на 0,05 м, то есть абсолотная велична ошибки наблюдения (она называется абсолотом-

Рис. 1.

ной порезинострой измеряемой величины x и обозначается $\Delta_x$) не превыходит 0,05 м.

Возникает практический важный вопрос: с какой точностью при указанных предосыdkах можно определить площадь? Этим и подобными ему вопросами занимается специальный раздел математики — теория приближенных вычислений. Продемонстрируем на данной задаче ее методы.

Пусть истинная длина стороны (далее все длины измеряются в метрах) равна 1,4 + $\alpha$, где $|\alpha| \leq 0,05$, то есть $0,5 \leq \alpha \leq 0,05$. Тогда полуперimetр участка равен $p = (1,4 + \alpha) + (1,4 + \alpha) = 2,8 + 2\alpha$.

Абсолютная погрешность $\Delta_p$ значения полуперimetра 2,8 не превыходит $2 \times 0,05 = 0,1$, то есть $2,7 = 2,8 - 0,1 \leq p \leq 2,8 + 0,1 = 2,9$.

Легко проверяемая формула
$$\left|(x_{\text{прибл.}} \pm y_{\text{прибл.}})\right| \leq \Delta_x + \Delta_y$$

показывает, что при сложении и вычитании чисел их абсолотные погрешности складываются.

При умножении чисел удобнее дело с относительной погрешностью. Относимый погрешность $\Delta_x$ числа x называется относение абсолотной погрешности $\Delta_x$ к абсолотной величне числа x: $\varepsilon_x = \frac{\Delta_x}{x_{\text{точн}}}$. Поскольку $x_{\text{точн}}$ мы

12

не знаем, можно $\varepsilon'_x$ заменить на $\varepsilon_x$, где $\varepsilon_x = \frac{\Delta_x}{x_{\text{прибл}}}$. В данном примере $\varepsilon_x = \frac{0,05}{1,4} \approx 0,036 = 3,6\%$.

Заменяя значения $\varepsilon'_x = \frac{\Delta_x}{x_{\text{точн}}}$ на $\varepsilon_x = \frac{\Delta_x}{x_{\text{прибл}}}$, мы, конечно, допускаем некоторую погрешность, но обычно она настолько мала, что его всегда пренебрегают.

При умножении и делении чисел произходит сложение их относительной погрешности. Доказательство этого утверждения мы оставляем читателю, затем только, что надо оценить числа

$$\varepsilon_{xy} = \left| \frac{(x + \alpha)(y + \beta) - xy}{xy} \right|$$

и

$$\varepsilon_{\frac{x}{y}} = \left| \frac{\frac{x + \alpha}{y + \beta} - \frac{x}{y}}{\frac{x}{y}} \right|.$$

Тепер вернемся к нашей задаче. Площадь участка получается как произведение длины сторонон, поэтому ее относительная погрешность имеет порядок 7,2%. Приемые вычисления дают

$$S = (1,4 + \alpha)^2 = 1,96 + 2,8\alpha + \alpha^2.$$

Здесь 1,96 — наш первоначальный ответ, а два других слагаемых — его отклонения от точного ответа. Оценим абсолотную погрешность результата:

$$\Delta_S \leq |2,8\alpha + \alpha^2| \leq |2,8\alpha| + \alpha^2 \leq |2,8 \cdot 0,05| + |0,05|^2 = 0,1425 < 0,15.$$

Значит, площадь $S$ лежит в пределах

$$1,81 = 1,96 - 0,15 < S < 1,96 + 0,15 = 2,11.$$

Посления формула наглядно показывает, что в первоначальном ответе 1,96, содержащем два знака последной, может не оказаться ни одной верной цифры.

Так теория приближенных вычислений избавляет нас от иллюзии, будто больше число точно вычисленных цифр всегда обеспечивает соответствующее точность самого результата. Более того, она дает ответ, как точность результата зависит от точности исходных данных, их количества и вида действия, производимых над ними.

Округление чисел

В исходном примере мы решили, что число 1,4 м получилось при изменении дециметровой мерной лентой и потому погрешность изменения не превышает 7,2%. Приемые вычисления дают

$$S = (1,4 + \alpha)^2 = 1,96 + 2,8\alpha + \alpha^2.$$

Здесь 1,96 — наш первоначальный ответ, а два других слагаемых — его отклонения от точного ответа. Оценим абсолотную погрешность результата:

$$\Delta_S \leq |2,8\alpha + \alpha^2| \leq |2,8\alpha| + \alpha^2 \leq |2,8 \cdot 0,05| + |0,05|^2 = 0,1425 < 0,15.$$

Значит, площадь $S$ лежит в пределах

$$1,81 = 1,96 - 0,15 < S < 1,96 + 0,15 = 2,11.$$

Посления формула наглядно показывает, что в первоначальном ответе 1,96, содержащим два знака последной, может не оказаться ни одной верной цифры.

Так теория приближенных вычислений избавляет нас от иллюзии, будто больше число точно вычисленных цифр всегда обеспечивает соответствующее точность самого результата. Более того, она дает ответ, как точность результата зависит от точности исходных данных, их количества и вида действия, производимых над ними.

Один пример

В теории приближенных вычислений, в частности, разработывается также примеры счета, которые, гарантируя достинение необходимой точности результата, сводят число операций к минимуму.

Рассмотрим, например, умножение положительных $n$-разрядных правилных десятичных дробей, то есть чисел вида

$$A = 0, a_1 a_2 \dots a_n,$$

где $0 \leq a_i \leq 9$ ($i = 1, 2, \dots, n$). Известно, что десятичная дробь (1) является сокращенной записью числа

$$A = \frac{a_1}{10} + \dots + \frac{a_i}{10^i} + \dots + \frac{a_n}{10^n}.$$

13

Будем считать дробь (1) приближенным, грамотно округленным числом. Тогда она имеет абсолотную погрешность, не превыходящую $\frac{5}{10^{n+1}}$.

Пусть

$$A = 0, a_1 a_2 \dots a_n,$$
$$B = 0, b_1 b_2 \dots b_n$$

— два приближенных числа, а $\alpha$ и $\beta$ — их соответствующие отклонения от точных чисел, причем одинаково: $|\alpha| \leq 0,5 \cdot 10^{-n}, |\beta| \leq 0,5 \cdot 10^{-n}$. Вычислим абсолотную ошибку произведения:

$$\Delta_{AB} = (A + \alpha) \cdot (B + \beta) - AB = \alpha \cdot B + \beta \cdot A + \alpha \cdot \beta.$$

Здесь $|\alpha \cdot \beta| = |\alpha| \cdot |\beta| \leq 0,5 \times 10^{-n} \cdot 0,5 \cdot 10^{-n} = 0,25 \cdot 10^{-2n}$, то есть этот член по модулю не превыходит четырти последней возможной цифры результатата и потому может не принадлежать во внимание. Оценим сумму двух средних слагаемых, учитывая, что $A < 1$ и $B < 1$. Получим $|\alpha \cdot B + \beta \cdot A| < |0,5 \cdot 10^{-n} \cdot 1| + 0,5 \cdot 10^{-n} \cdot 1| = 10^{-n}$.

Значит, из $2n$ цифр произведения гарантируется верность лишь первых $n-1$ цифр, $n$-я цифра в силу (2) уже оказывается комнентальной (она может отличаться от верной на $\pm 1$). Верность цифр $(n+1)$-й и далее формула (2) совершенно не гарантирует. Поэтому эти цифры не哉чем включать в окончательный ответ.

Отсюда следует, что при умножении приближенных чисел школьным способом — «лескенкой влево» — мы половину работы делаем впустую. Спрашиваем, а можно ли эту половину работы вообше не делать? Оказывается, можно. Для этого надо использовать сокращенный способ умножения — «лескенкой вправо». Далее в целых наглядности изложения мы ограничимся примером умножения приближенных чисел $0,587 \times 0,736$.

Как известно, умножение десятичных дробей выполняется аналогично умножению целых чисел. Ниже приведится три способа умножения

$$\times 0,587 \times 0,587 \times 0,587$$
$$\times 0,736 \times 0,736 \times 0,736$$
$$\times 4109 \times 4109 \times 4109$$
$$1761 + 1761 + 1761 + 1761$$
$$4109 \times 3522 \times 3522 \times 3522$$
$$0,4320 \times 0,4320 \times 0,4320$$

(a) — «лескенкой влево» (школьный);

При способе (6), в отличие от способа (a), умножение начинается с старших цифр множимого и множителя; учет единиц переноса от соседней правой цифры множимого (реже — от двух соседних) производится сразу. После небольшой тринировки этот способ становится не труднее способа (a).

Способ (в) представляет собой сокращенную модификацию способа (6), в котором частные произведения не вычисляются до конца, а сразу округляются. Место округления обеспечивает в окончательном ответе одну лишню цифру, которая необходима для правильного округления последней, комнентальной, цифры.

Okончательный ответ нашло применяю по всем тем способам его вычисления будет 0,432. Для его получения по способу (в) потребовалось вдвое меньше работы и времени, чем по способам (a) и (6). Указанный примем особенно пропагандировал выделшийся советский математик, инженер и кораблестритель, академик А. Н. Крылов, чью книгу *) мы рекомендуем нашему читателю.

Последовательные приближения и контроль вычислений

Приближенныесть исходных данных (ошибка наблюдания и изменения) является не единственной причиной ошибки результатата. Другим источником ошибки результатата служит приближенность самого процесса вычисления. Причны такого явления коре-

*) А. Н. Крылов, Лекции о приближенных вычислениях, М., ФМ, 1954.

14

наяся или в принципиальной необходимости проверки точное вычисление (например, $\sqrt{2}$, sin $20^\circ$), или в неудобстве использования точной формулы результатата (так, точная простая дробь $1/7$, как правило, заменяется на приближенную десятичную дробь 0,143). Разработка способов вычисления с наперед заданной скольго большой степени точности представляется собой важное прикладное направление классического вычислений математики. Понятие об этих способах читатель получит, взглянув на последнюю страницу таблицы Брадиса. Там приводятся формулы — так называемые бесконечные ряды,— по которым вычисляются значения синуса, тангенса, логарифма и других табличных функций. Анализ этих формулы вывляется основной методической прием — замену вычисления исходной функции вычислением многочлена, то есть другой, более простой функции, значения которой с заданной степенью точности равны значениям исходной функции.

Другим способом проверения вычисления с заданной степенью точности является метод последовательных приближений. Продемонстрируем его на вычислении квадратного корня из числа $A$.

В качестве нулевого приближения $\sqrt{A}$ возьмем произвольное положительное число $x_0$.

Рассмотрим на числовой прямой (рис. 2) отрезок, ограниченный точками $x_0$ и $\frac{A}{x_0}$. Построим второе приближение $x_1$ как среднее арифметическое $x_0$ и $\frac{A}{x_0}$:

$$x_1 = \frac{1}{2} \left( x_0 + \frac{A}{x_0} \right) :$$

Имеем по свойству среднего арифметического $x_0 \leqslant x_1 \leqslant \frac{A}{x_0}$ и по свойству обратных величины $\frac{A}{x_0} \geqslant \frac{A}{x_1} \geqslant x_0$. Иными словами, отрезок

$$\left| \frac{A - x^2}{A + x^2} \right| < 1.$$

Эти отрезки стягиваются к единственной точке $x$, принадлежащей всем отрезкам. Для вычисления $x$ подставим его в формулу (3): $x = \frac{1}{2} \cdot \left( x + \frac{A}{x} \right), x = \frac{A}{x}, x = \sqrt{A}$.

Точка $x = \sqrt{A}$ принадлежит всем отрезкам, поэтому $x_n$ стремится к $x = \sqrt{A}$, то есть метод последовательных приближений решает по-

15

ставленную задачу. Остается заметить, что вычисление следует прекращать после того, как $x_{n+1}$ становится равным $x_n$ с заданным количеством десятичных знаков.

Метод последовательных приближений обладает одним большим достоинством: случайная ошибка в промежуточных действиях не повлияет на величины результата, а лишь увеличит время на его получения.

Вобщее при проведении вычисления контроллю должно быть удалено самое сердезное внимание. Конечно, процесс вычисления можно повторить заново, но это вдвое увеличит общее время работы. В особо ответственных случаях приходится идти и на этот шаг, но возможности и другие методы контроля, учитывающие специфику конкретного расчета. Например, если от одного аргумента $x$ вычисляется sin $x$ и cos $x$, то естественно затем подсчитать $\sin^2 x + \cos^2 x$ и сравнить с единицей.

Еще один пример

Особый интерес представляет методика, позволяющая контролировать каждый этап вычисления. Продемонстрируем ее на примере решения системы линейных алгебраических уравнений.

Пусть нам задана система двух уравнений с двумя неизвестными:

$$\begin{align*} 5x + 2y &= 19, \\ 3x + 7y &= 23. \end{align*}$$

Запишем ее коэффициенты и свободные члены в виде таблицы:

$$\begin{align*} \frac{5}{3} &\frac{2}{7} \frac{19}{23} \\ \end{align*}$$

Пополним эту таблицу контролировать сумме элементов соответствующей строки. Получим расчетную таблицу:

$$\begin{align*} \frac{5}{3} &\frac{2}{7} \frac{19}{23} \frac{26}{33} \\ \end{align*}$$

В дальнейшем будем рассматривать таблицу (5) как изображение двух систем с одинаковыми коэффициентами и разными свободными членами: системы (4) и системы

$$\begin{align*} \frac{5\tilde{x} + 2\tilde{y}}{3\tilde{x} + 7\tilde{y}} &= 26 \\ \frac{1}{3} \left| \frac{0,4}{7} \right| \frac{3,8}{23} \left| \frac{5,2}{33} \right| \\ \end{align*}$$

Решая системы (4) и (6) методом Гаусса, подelimм все элементы первого строки на ее первый член. Получим таблицу

$$\left| \frac{1}{3} \right| \frac{0,4}{7} \frac{3,8}{23} \left| \frac{5,2}{33} \right|$$

Контроль состоит в том, что на любом этапе сумма трех чисел любой строки должна равнять четвертому числу; здесь это выполняется.

Далее умножим все элементы первого строки на первый член второй строки. Получим

$$\left| \frac{3}{3} \right| \frac{1,2}{7} \left| \frac{11,4}{23} \right| \left| \frac{15,6}{33} \right|$$

Вычтем почленно из 2-й строки 1-ю:

$$\left| \frac{3}{0} \right| \frac{1,2}{5,8} \left| \frac{11,4}{11,6} \right| \left| \frac{15,6}{17,4} \right|$$

Из второй строки (8) получаем

$$y = \frac{11,6}{5,8} = 2, \quad \tilde{y} = \frac{17,4}{5,8} = 3.$$

Наконец, из 1-й строки таблицы (7) находится

$$x = 3,8 - 2 \cdot 0,4 = 3, \\ \tilde{x} = 5,2 - 3 \cdot 0,4 = 4.$$

Искомое решение: $x = 3, y = 2$; решение системы (6): $\tilde{x} = 4, \tilde{y} = 3$. Имеют место равенства

$$\tilde{x} = x + 1, \quad \tilde{y} = y + 1,$$

значит, система решения верно. Отметим, что если в окончательном ответе равенства (9) не выполнются, то или при сочетании местом слишком грубые округления, или была где-

16

то допущена ошибка. Наличие контROLного столбца на каждом этапе вычисленной позволяет быстро найти место ошибки или неточности.

Равенства (9) является обоснованием способа контроля. Если мы возьмем систему (6), решениями которой является решение системы (4), увеличенные на единицу, $x = x + 1$, $y = y + 1$, то свободные члены системы (6) будут равны сумме коэффициентов строк системы (4). Например, для первой строки системы (4)

$$5(\tilde{x} - 1) + 2(\tilde{y} - 1) = 19,$$
$$5\tilde{x} - 5 + 2\tilde{y} - 2 = 19,$$
$$5\tilde{x} + 2\tilde{y} = 19 + 5 + 2 = 26.$$

Указанное свойство легко проверяется в обшем случае. А поскольку при решении мы переходим к эквивалентным системам, то и в них суммы коэффициентов должны равны числам в контрольном столбце.

Ошибки метода

Существует еще одна группа причины, приводящая к ошибке результата. Она носит название «ошибка метода». Проверяется она, например, в том случае, когда вместо точной системы уравнения рассматривается система более простых уравнений, приближенно описывающих тот же процесс. Причины такой замены бывают самые разнообразные: отсутствие точной системы уравнения, невозможность подготовить исходные данные для точной системы, невозможность или большешая сложность точно решить имеющийся точную систему и другие. В качестве примера рассмотрим задачу из учебника физики.

Самолем лемит горизонтального на высome $H$ со скоростью $v$. На каком горизонтальном расстоянии от объекта он должен сбросить bomбу для прямого попадания в этом объект?

При упрощении предположения — отсутствии сопротивления воздействия воздействия.

Искомое рассмотрение $S$ получается из формулы $S = v \cdot t$ при $\frac{gt^2}{2} = H$, отсюда $S = v \cdot \sqrt{\frac{2H}{g}}$.

Согласно этому предположению траектория bomбы представляет собой парабoly (синяя кривая на рис. 3).

Но в действительности сопротивление воздействия должна быть траекторию более крупной. Она носит название «баллистической кривой» (красная кривая на рисунке 3) и строится на основе опытных данных и дополнительных теоретических предложений. Баллистическая кривая заметно уменьшает «ошибку метода», но в силу своего экспериментального характеристика несколько увеличивает «ошибку наблюдания» и «ошибку округления».

Теперь можно подвести некоторые итоги. Приведенные примеры и расчёжения показывают, что процесс численного расчета любой практической задачи должен быть тщательно спланирован.

Этапами на этом пути служат:

1. выбор метода решения с оценкой ошибки, которое он дает;
2. оценка точности исходных данных;
3. выбор схемы с оценкой точности округления промежуточных величины и разумной организации контроля.

Существование влияние на дальнейшее развитие методов вычисления оказывает вычислительная техника, особенно электронные цифровые вычислительные машины (ЭЦВМ), которые позволяют выполнять расчеты, состоящие из миллиардов арифметических действия. Это остоятельство требует повышенного внимания к накоплению ошибок и выбору схем учета, менее «чувствительных» к ним.

17

Гравитационная масса
Д. Бородин

Физики имеют дело с двумя массами — инертной и gravитационной. Первая входит в законы движения Ньютона, второй — в закон есемирного тяготения.

Согласно закону всемирного тяготения величины силы пряжения между двумя материалов точками равна

$$F = \gamma \frac{m_1 m_2}{r^2},$$

(1)

где $\gamma$ — gravитационная постоянная $^*$), $m_1$ и $m_2$ — массы материалов точки, $r$ — расстояние между ними. Массы $m_1$ и $m_2$, входящие в эту формулу, — те же самые величины, которые входят во второй закон Ньютона

$$F = ma,$$

(2)

связывающий силу иускорение тела.

Роль массы в формулах (1) и (2) совершенно различна. В выражении (2) она определяет инертоность материалов точки, а в выражении (1) характеризует поле тягости, которое создает материалная точка, и силу, с которой это поле действует на другую/materialную точку. Заметим, что в силу третьего закона Ньютона нам все равно, какую массу ($m_1$ или $m_2$) считать создающей поле, а какую — находящейся в этом поле: действие равно противодействию. То,

$$\gamma = 6,6732 \cdot 10^{-11} \frac{hm^2}{kc^2}$$

(скобки ознакомлен возможно неточно в двух последних знаках).

что масса, входящая в закон тяготения (1),— ее называют gravитационной (или тяготеющей) массой—оказывает той же, что и инертаная масса, входящая в формулу (2), есть величий закон приоды.

Его называют прицципом экземпляrosis gravитационной и инертной масс.

В обыделенной жизни мы к этому прицципу настолько привели, что не обращаем на него внимание. А между тем мы его использем, когда определяем массу тела, взвешивая его на весах; производя эту операцию, мы, не задумываясь о физике, моглиливо предполагаем, что сила пряжения к земле пропорциональна инертоной массе этого тела. Мы сказали «пропорциональная». На самом деле на практике обе массы — и gravитационная, и инертная — изменяются в одних и тех же единицах и численно равны. Поэтому мы никогда и не думаем, какая именно масса физирует в том или ином случае. Единницу изменения массы прияго выбирать так, чтобы во втором законе Ньютона не было никаких коэффициентов; тогда в законе всемирного тяготения появляется численный коэффициент $\gamma$. Можно, конечно,вести новую единицу для gravитационного массы так, что $m' = \sqrt{\gamma m}$; тогда и в формуле (1) исчезает коэффициент $\gamma$, но появляется $m'$. Таким образом можно подчеркнуть физическое развитие инертоной и gravитационной масс; однако на практике это было бы очень недобно.

поле. Если обозначить направность поля через $E$, то сила, действующая на заряд $e$, будет равна $eE$. Уравнение Ньютона при этом выглядит так:

$$m a = e E,$$

а ускорение

$$a = \frac{e}{m} E,$$

как мы видим, зависит от отношения зарядка $k$ массе, то есть от величины, различной для разных части.

Здесь надо подерknить, что электрический заряд $e$ определяет силу, с которой поле действует на частицу, а инертая масса $m$ — ускорение, возникающее под действием этой силы. В гравиатционном поле сила определяется той же самой инертной массой, которая определяет и ускорение. Иначе говоря, роль гравиатционного «заряда» (то есть гравиатционной массы по нашей терминологии) играет все та же инертая масса, и отношение обенх масс (играющее роль относения $e/m$) в случае гравиатционного поля равно единице. Это и есть приципп эквивалентности.

Вращающаяся Земля

Рассмотрим тело, находящемся во врашающей системе координат, например, на Земле. На него (с точки зреня земного наблюдаателя) действует центробежная сила инерции $*$), направленная перpendикулярно оси врашения Земли. Величина центробежной силы инерции равна

$$F_{цб} = m \omega^2 r.$$

($m$ — инертая масса, $r$ — расстояние от оси врашения, $\omega$ — угловая скорость).

Так как эта сила пропорциональна инертной массе, то в поле центро-
*) Это та самая сила, которая прижимаетплота к креслу на кругтом вращке. Силы такого типа, появляющиеся при переходе в неинерциальную систему координат, называются инерциальными.

бежных сил также действует закон Галилея: ускорение тела

$$a = \omega^2 r$$

не зависит от его массы. Например, на экваторе это ускорение равно 0,02 $m/c^2$.

Для того чтобы понять, как возникает центробежная сила инерции, рассмотрим простую задачу о грузике, подвешенным на нитке. Наблюдаемый вне Земли будет видеть, что грузик и подвескаются вместе с Землей. Грузик имеет ускорение $\omega^2\rho$ ($\rho$ — расстояние до оси Земли); значит, на него действует сила $F_{цс} = m_n \omega^2\rho$, направленная к оси врашения ($m_n$ — инертая масса). Эта сила создает прияжением к центру Земли $F_T = m_r g$ ($m_r$ — гравиатционная масса) и натяжением нити $F_r + F_H = F_{цс}$ (рис. 1, а).

Если мы теперь перепишем баланс сил так:

$$F_r + F_H - F_{цс} = 0,$$

то можно сказать, что груз находится в равновесии (как это видит наблюдаемый на Земле) под действием трех сил. Третья сила, $-F_{цс}$, направлена в стороны от оси врашения, и есть центробежная сила инерции $F_{цб}$ (рис. 1, б).

Опытые Этвеша

Вопрос о проверке прициппа эквивалентности занимаем еще Ньютона. Им же был проделан и первый опыт. Ньютон наблюдаал качание мятников, сделанных из разных материалов (рис. 2). Из прициппа эквивалентности следует, что период колебаний

21

Рис. 4. Опыт Дике. На рисунке схематически показано положение стрелки, регистрирующий закручивание нити крутильных величин.

Свв в разное время суток, если $m_r \neq m_i$. Внизу приведен гипотетический график показаний стрелки в таком опите.

Опыты Дике и Брагиинского
Более точные эксперименты были проведены только в 1962 году. Американский физик Дике поставил новые опыты, в которых gravитационной силой, действующей на коромышло крутильных весов, была сила прятяжения грузков не Землей, а Солнцем. Если коромышло не трогать, не поворачивать его на $180^\circ$, как это делалось в опытах Этвеша, то направление закручивания нити крутильных весов, казалось бы, будет оставаться неизменным. Дике, однako, заметил, что если приципл эквивалентности неправедлив, то коромышло весов должны медленно поворачивать из-за действия на образцы силы прятяжения со стороны Солнца (рис. 4). Орентация коромышла относительно Солнца изменяется со временем из-за врашения Земли, и экспериментатор должен был бы наблюдать крутильные колбания нити с

перiodом в 24 часа. Таких колбаний обнаружено не было. Преимуществом опытов Дике по сравнению с опытами Этвеша было то, что в новых опытах экспериментатор не должен был сам изменять положение коромышла; это избавляло его от опасности дополнительных ошибок.

Аналіз показал, что в опытах Дике ошибка была уменьшена до $10^{-10}$.

Результат Дике был улучшен советским физиком В. Б. Брагиинским. Брагиинский использовал идею Дике, но понизил возможность ошибку до $10^{-12}$.

Вряд ли можно ожидать, что в ближайшее время кто-либо займет новые опытами: слишком много труда надо на это затратить, и слишком малы шансы, что приципл эквивалентности может оказаться неправедливым при изменении с еще большей точностью.

Ошибка Галилея

Галилей рассужdal так: Возьмем два камня, большой и малейший. Предположим, что большой камень падает быстрее малейшего. Свяжем их вместе и бросим эти связанные камни с высоты вниз. Если больший камень падает быстрее малейшего, то малейший должен тормозить движение большого. Но тогда связанные вместе камни падают быстрее медленнее одного большого, но быстрее малейшего. С другой стороны, масса связанных камней больше массы каждого из них, значит, они должны по условию падают быстрее. Получается видимое противоречие. Положение не спадает и противостеvementе предположение, что больший камень падает медленнее. Казалось бы, отсюда следует закон равенства ускорений всех тел.

На самом деле это не так. Ошибка рассужdenя — в нейвном предположении, что ускорение тел зависит только от одной физической величины — «тяжестки» (то есть от gravитационного массы). Если бы масс было две (гравитационная и не равная ей инертиная), то подсбное «доказательство» проводится было нельзя.

22

О некоторых пространственных изоперметрических задач

M. Г. Крейн, A. А. Нудельман

Введение

Прежде чем приступить к предмету настоящего статьи, предлагаем читателю самостоятельно доказать (или вспомнить) следующие хорошего известные предложения.

Предложение 1.
Среди всех параллелограммов с заданным перimetром наибольшую площадь имеет квадрат.

Предложение 2.
Среди всех параллелограммов с заданным перimetром и длиной одной из диагоналей наибольшего площадь имеет ромб.

Очевидно, что предложение 2 эквивалентно следующему:

Предложение 2’.
Среди всех треугольников с заданным перimetром и длиной одной из сторон наибольшего площадь равноведенный треугольник.

Предложение 3.
Среди всех треугольников с заданным perimetром наибольшую площадь имеет равноведенный треугольник.

Предложения 1—3 относятся к числу таких называемых изоперметрических задач: среди фигур определяемого вида с заданным perimetром требуется найти фигур наибольший площади. Отметим здесь, что предложения 1 и 3 являются частными случаями более общего утверждения: среди всех $n$-угольников с заданным perimetром наибольшую площадь имеет равноведенный $n$-угольник. Из него предложим переход легко получить, что среди всех фигур с заданным perimetром (на вид фигур не накладывается ограниченной наибольшую площадью площадь имеет круг *).

Постановка задач

Рассмотрим теперь пространенные аналоги предложений 1—3; в них параллелограммы заменяются параллелипедами, треугольники — тетраэдрами (треугольными парамиами), а площади — объемами.

Задание 1. Среди всех параллелипедов с заданной суммой длины ребер найти параллелипед, имеющий наибольший объем.

Задание 2. Среди всех параллелипедов с заданным суммой длины ребер и длиной одной из диагоналей наибольшего площадь имеющий наибольший объем.

Прежде чем переформулировать задачу 2 так, чтобы получить аналог предложения 2’, введем некоторые определения.

Замкнутую ломанную linцию, состоящую из четырех звеньев, вершины которого не лежат в одной плоскости, называем пространственным четырехугольником. О тетраэдре, вершины которого совпадают с вершинами пространственного четырехугольника, будем говорить, что он намянут на этот четырехугольник (рис. 1).

Легко видеть, что объем tetraэдра, натянутого на пространственный

*) Изящное доказательство этого утверждения, не использующее предельного перехода, читатель найдет в книге: Г. Радемахер и О. Теплиц. Числа и фигуры, М., Физматгиз, 1962.

23

Четырехугольник, сторонами которого является диагональ параллелепида и три его последовательных ребра (рис. 2), составляют одну шестую часть объема параллелепида. Поэтому задача 2 включает следующей задаче:

Задание 2’. Среди всех пространственных четырехугольников с заданным периметром 2р и длиной одной из сторон h найти макой, что нам нужно на него метраэдр имеем наиболее объем.

После решения этой задачи легко решается.

Задание 3. Среди всех пространственных четырехугольников с заданным периметром 2р найти макой, что нам нужно на него метраэдр имеем максимально объем.

Решение задач

Решение задачи 1

Так как среди параллелограммов с фиксированными длинами сторона наиболее площадь имеет прямуюгольник, а среди параллелопедов с фиксированными длинами ребер наиболее объем имеет прямуюгольный параллелопед, то при решении задачи 1 достаточно рассматривать прямуюгольные параллелопеды.

Рис. 2.

Рис. 3.

Если длины ребер прямого параллелопеда обозначит через $a_1, a_2, a_3$, то известное неравенство между средним арфметическим и средним геометрическим

$$\sqrt[3]{a_1 a_2 a_3} \leq \frac{1}{3} (a_1 + a_2 + a_3)$$

(где знак равенства имеет место лишь в случае $a_1 = a_2 = a_3$) приводит к следующему результату:

Теорема 1. Среди всех параллелопедов с заданной суммой длины ребер наиболее объем имеем куб.

Решение задачи 2'

Приступим к рассмотрению задачи 2’. При ее решении будет использовано следующое вспомогательное предложение.

Обозначим через П плоскость, перpendикулярную стороне AB пространственного четырехугольника ABCD (рис. 3). Спроектировав ABCD на П, получим треугольник BEF.

Лемма 1. Объем V метраэдра, нам нужно на ABCD, вычисляется по формуле

$$V = \frac{1}{3} h S,$$

(1)

еде $h - \text{dлина стороны } AB, S - \text{ площадь треугольника } BEF$.

Для доказательства достаточно заметить, что терзеры ABCD и ABEF равновелики, так как каждый из них равновелик терзару ABCF.

Формула (1) сразу подсказывает пусть решения задачи 2’: нужно длины и положения сторона BC, CD и

24

Рис. 4.
AD (рис. 3) выбрать так, чтобы площадь треугольника BEF оказалась наиболее широкой из возможных.

Чтобы добиться этого, позаботемся сначала о том, чтобы его перimetр был наиболее ширким. Развернем на плоскость грани ABFD, FDCE, CEB, проектирующие четырехугольник ABCD на плоскость П. В полученной системе плоской фигуре (рис. 4) длина стороны $B_1B_2$ равна перimetру треугольника BFE, откуда ясно, что этот перimetр будет наиболее ширким в том случае, когда отрезки AD, DC, CB образуют один и тот же угол $\alpha = \arccos \frac{h}{2p-h}$ со стороны AB (рис. 5). Таким образом, пространственный четырехугольник со стороны $AB = h$ и перimetром $2p$, для которого треугольник BEF имеет наиболее ширкий перimetр, можно получить в результате следующего построения: прямогольник со стороны $AB_1 = h$ и диагональ $AB_2 = 2p - h$ сворачивается в треугольную призму так, что точки $B_1$ и $B_2$ совпадают, а ее боковым ребром служит отрезок $AB_1$. При этом линии $B_1ADCB_2$ превращается в исходный пространственный четырехугольник.

Решение задачи 3

Подсчитаем максимальный объем, о котором идет речь в теореме 2. Из рисунка 5 мы видим, что перimetр треугольника BFE равен $\sqrt{(2p-h)^2-h^2} = 2\sqrt{p(p-h)}$, а значит, его наиболее площадь равна $\left[\frac{2\sqrt{p(p-h)}}{3}\right]^2 = \frac{p(p-h)}{3\sqrt{3}}$;

наконец, наиболее площадь наянутого tetraэдра, в соответствии с формулой (1), равен

$$V = \frac{1}{3}h \frac{p(p-h)}{3\sqrt{3}} = \frac{p}{9\sqrt{3}}h(p-h).$$

Теперь легко решается задача 3. Она отличается от задачи 2’ тем, что в ней задается molъко перimetр четырехугольника.

25

Очевидно, что для ее решения достаточно в предыдущей задаче задать такое значение $h$, при котором права часть формулы (2) принимает наиболее значение. Это значение $h$ находится с помощью неравенства между средним аргметическим и средним геометрическим:

$$h(p-h) \leq \left[ \frac{h+(p-h)}{2} \right]^2 = \frac{p^2}{4};$$

оно равно $\frac{p}{2}$, так как $h = p - h$ именно при $h = \frac{p}{2}$. Отсюда следует решение задачи 3:

Теорема 3. Средние метраэдров, намиными на пространстве четырехугольники с заданным периметром, наиболее объем имеем метраэдр, наминый на четырехугольник, у которого все стороны равны и равны углы, образованные любой парой сторона.

Действительно, если $h = \frac{p}{2}$, то длина каждой из трех остальных сторон равна $\frac{2p-h}{3} = \frac{p}{2}$; равенство углов можно получить непосредственно вычисленем (так как $h = \frac{p}{2}$, то все углы равны агссos$^1/3$), однako проще заметить, что в расматриваемом четырехугольнике все стороны равно равны.

Средствами, выходящими за рамки элементарной математики, можно доказать, что параллелепид, дающий решение задачи 2, дает также решение следующей задачи: при же условиях найти параллелепид с наиболее заданным полной поверхности.

Некоторые обобщения

Формула (1) может быть обобщена на тела более сложной формы, чем tetraэдр, и позволяет решить для таких тел задачи, подобные задачи 2 и 3, аналогичным путем: сведённым пространственной изоперметрической задачи к плоской изоперметрической задаче.

Пусть задана неокторая $n$-венная пространственная ломана $A_0 A_1 \dots A_n$. Будем говорить, что она является простым каркасом, если все плоскость, проходящая через ее концы $A_0$ и $A_n$, имеет с ломанной $A_1 A_2 \dots A_{n-1}$ не более одной общей точки.

О многограннике, гранями которого служат треугольники $A_0 A_1 A_2$, $A_0 A_2 A_3$, …, $A_0 A_{n-1} A_n$ и треугольники $A_n A_0 A_1$, $A_n A_1 A_2$, …, $A_n A_{n-2} A_{n-1}$, будем говорить, что он намянут на данный простой каркас (рис. 6) (указанные грани образуют его «общивку»).

Так как многогранник, натянутый на простой каркас, можно составить из tetraэдров $A_0 A_1 A_2 A_n$, $A_0 A_2 A_3 A_n$, …, $A_0 A_{n-2} A_{n-1} A_n$, к каждому из которых применяется лемма 1, то верна.

Лемма 2. Объем $V$ многогранника, намянутого на простой каркас, вычисляется по формуле

$$V = \frac{1}{3} h S,$$

еде $h$ – расстояние между концами $A_0$ и $A_n$, $S$ – площадь многоугольника $A_0 A_1^2 \dots A_{n-1}^2 A_n$ ($A_n^2 = A_0^2$), являющегося проекцией каркаса на плоскость П, перпендикулярную прямой $A_0 A_n$.

Используя тот же пример, что при доказательстве теоремы 2, читатель легко доказет, опираясь на решение изоперметрической задачи для $n$-угольников, следующее теорему:

Теорема 4. Средние многогранники, намянутых на простые $n$-венные каркасы $A_0 A_1 \dots A_n$ с данным расстоянием $h$ между концами, наиболее заданным имеем многоугольник, намянутый на каркас, расположенный на боковых гранах правый н-у陛ной прізмы, у которой отрезок $A_0 A_n$ служит ребром, а основание имеем аргметр $\sqrt{L^2 - h^2}$; при этом стороны каркаса образуют с $A_0 A_n$ равные углы $\alpha = \arccos \frac{h}{L}$.

26

Таким образом, наиболее объем равен
$$\frac{1}{12} h (L^2 - h^2) \frac{1}{n} \text{ctg} \frac{\pi}{n}.$$
Если же не фиксировать расстояние между концами каркаса, то из теоремы 4 немедленно следует.

Теорема 5. Среди всех многогранников, нам нужны на простые n-звенные каркасы данной длины L, наиболее объем имеем многогранник, нам нужный на каркас, расположенный на боковых гранах правый n-уzelновой прізмы с высотой $\frac{L}{\sqrt{3}}$ и периметром основания $L \sqrt{\frac{2}{3}}$, причем стороны каркаса образуют с высотой прізмы равные α = $\arccos \frac{1}{\sqrt{3}}$. Этом наиболее объем равен
$$\frac{1}{18 \sqrt{3}} L^3 \cdot \frac{1}{n} \text{ctg} \frac{\pi}{n}.$$

Известно, что среди n-угольников с заданным длинами сторон наиболее площадь имеет тот, который можно вписать в окружность. Используя этот факт, читатель сможет доказать, что среди всех многогранников, нам нужны на простые n-звенные каркасы с данным длинами звенев $a_1, a_2, \dots, a_n$ и расстоянием h между концами, наиболее объем имеет многогранник, нам нужный на каркас, расположенный на боковых гранах прізмы с высотой h, сторонами основания $b_k = a_k \frac{\sqrt{L^2 - h^2}}{L} (k=1, 2, \dots, n)$, где $L = a_1 + a_2 + \dots + a_n$, причем основание прізмы можно вписать в окружность.

Откажемся теперь от требования, чтобы каркас был непреемно составлен из прямолинейных отрезков: будем рассматривать «гладкие» пространственные кривые. Кривая называется гладкой, если в каждой ее точке можно проведить касательную и направление касательной «плавно» изменяется при малых изменениях положения точки касания. Таким образом, мы не рассматриваем кривых с «изломами», хотя ценой неоторого усложнения изложения можно было бы распространить результаты и на такие кривые. Гладкую пространственную кривую AB называем простым гладким каркасом, если всякая плоскость, проходящая через концы A и B, имеет с ней не более одной общей точки.

Пусть точка M перемещается по простому каркасу. Тогда отрезки AM и BM опущут неоторые поверхности, составляющие «обшивку» каркаса; о теле, ограниченном «обшивкой», будем по-прежнему говорить, что оно натянуто на каркас (рис. 7).

С помощью предельного перехода можно показать, что объем тела, натянутого на гладкий простой каркас, также вычисля-

Рис. 7.

ется по формуле (1), в которой S теперь обозначает площадь фигуры, ограниченной проекцией каркаса на плоскость Π. Характер предельного перехода интуитивно ясен: нужно заменить гладкий каркас «близки» к нему ломанными; однако проведение точных расчудений — дело довольно скрупулезное.

Используя изоперimetрическое свойство окружности, можно, как и выше, убедиться в справедливости следующего теорем:

Теорема 6. Среди всех мел, нам нужны на простые гладкие каркасы с данной длиной L и с данной расстоянием h между концами, наиболее объем имеем имеем имеем, нам нужное на каркас, представляющий собой один вимок винтовой линии с шагом h, расположенный на круговой цилиндрической поверхности с радиусом основания $\frac{\sqrt{L^2 - h^2}}{2\pi}$ (рис. 7).

Теорема 7. Среди всех мел, нам нужны на простые гладкие каркасы с данной длиной L, наиболее объем имеем имеем имеем, нам нужное на каркас, представляющий собой один вимок винтовой линии с шагом h = $\frac{L}{\sqrt{3}}$, расположенный на круговой цилиндрической поверхности с радиусом основания $\frac{\sqrt{L^2 - h^2}}{2\pi}$.

27

Числа $C_n^k$, многочлены, последовательности
(несколько подходов к одной задаче)
В. Н. Вагумен

Напомним одну задачу из «Задачика «Кванта», элементарное решение которого было написано в «Кванте» № 12 за 1972 год.

М138. Докажите, что если $m$ и $n$—члены числа $1 < m < n$, то

$$\sum_{k=1}^{n} (-1)^k k^m C_k^k = 0,$$

его $C_k^k$ — биоминальные коэффициенты.

Разные доказательства этих точек детять послужат нам удачным поводом для того, чтобы познакомить читателя с некоторыми важными математическими понятиями и фактами, не входящими в школьную программу (конечные разности, интерполяционная формула для многочленов, произвольная многочлена, степенной ряд экспоненты). Вслед за определениями и теоремии в каждом параграфе читатель встретиет слова «вернемся теперь к нашей задаче», а за ними — новое решение задачи М138.

Доказательства теorem можно пропустить, но лучше их разобрать, хотя сделать это нелегко, так как они написаны очень коротко.

Введение. Биоминальные коэффициенты и формулировка задачи

Мы перечислим несколько свойств чисел $C_n^k$. Каждый из свойств 0.1—0.3 можно принять за определение этих чисел.

0.1. $C_n^k$ — коэффициенты многочлена

$$(a + x)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1} x + \dots + C_n^k a^{n-k} x^k + \dots + C_n^n x^n.$$

0.2. $C_n^0 = 1; C_n^n = 1$; для каждого $k = 1,2, \dots, n - 1$

$$C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k.$$

0.3. Для всех $n$ и $k$ ($0 \leqslant k \leqslant n$)

$$C_n^k = \frac{n(n-1)\dots(n-k+1)}{1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot k},$$ или $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!},$

где $m! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \dots m; \quad 0! = 1! = 1$.

Уражение 0. a) Найдите числа $C_n^k$ для всех $n$ от 1 до 10, пользоваться каждым из определений 0.1, 0.2, 0.3. б) Выведите 0.2 из 0.1, пользоваться токдевом $(a + x)^n = (a + x)^{n-1}(a + x)$. b) Выведите 0.3 из 0.2, пользоваться математической индук-

28

цини (то есть проверьте, что если формула (3) верна для $n-1$, то она верна и для $n$).
г) Проверьте, что $C_n^k = C_n^{n-k}$.

Многочлен $a + x$ иногда называют «биномом» (бином — то же, что двуилен), формулу (1) — формулой «бинома Ньютона», а числа $C_n^k$ — «биномальные козффициенты».

Положим в равенстве (1) $a$ равным 1. Получим

$$(1 + x)^n = C_n^0 + C_n^1 x + \dots + C_n^k x^k + \dots + C_n^n x^n.$$

Подставив сюда $x = -1$, получим

$$C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - \dots + (-1)^k C_n^k + \dots + (-1)^n C_n^n = 0.$$

Оказывается, что кроме соответствия (5) для чисел $C_n^k$ верны еще следующие равенства:

$$- C_n^1 + 2 C_n^2 - 3 C_n^3 + \dots + (-1)^n n C_n^n = 0,$$
$$- C_n^1 + 2^2 C_n^2 - 3^2 C_n^3 + \dots + (-1)^n n^2 C_n^n = 0,$$
$$- C_n^1 + 2^{n-1} C_n^2 - 3^{n-1} C_n^3 + \dots + (-1)^n n^{n-1} C_n^n = 0.$$

Именно эти равенства требовалось доказать в задаче М138; о них и будет идти речь в конце каждого параграфа.

В дальнейшем мы будем часто пользоваться короткой записью сумм с помощью значка $\Sigma$. Например, формулу (1) можно коротко записать так:

$$(a + x)^n = \sum_{k=0}^{k=n} C_n^k a^{n-k} x^k,$$
формулу (4) $-(1 + x)^n = \sum_{k=0}^{k=n} C_n^k x^k,$
равенство (5) $-\sum_{k=0}^{k=n} (-1)^k C_n^k = 0$ и, наконец, равенства (6), которые требуются доказать в задаче М138 —

$$\sum_{k=1}^{k=n} (-1)^k k^m C_n^k = 0$$

при каждом натуральном $m < n$.

§ 1. Последовательности и конечные разности

Пусть на множество целых неотрицательных чисел 0, 1, 2, 3… задана функция $f$. Это значит, что задана последовательность

$$f(0), f(1), f(2), f(3), \dots$$

Если из каждой члена последовательности $f$, разумеется, кроме первого, вычесть предшествующий ему член последовательности, то мы получим новую последовательность — последовательность разностей

$$f(1) - f(0), f(2) - f(1), f(3) - f(2), \dots$$

Обозначим соответствующее ей функцию через $\Delta f$: $\Delta f(0) = f(1) - f(0);$
$\Delta f(1) = f(2) - f(1);$ $\Delta f(2) = f(3) - f(2) \dots$

Если продель эту же операцию — переход от $f$ к $\Delta f$ — с последовательностью $\Delta f$, то мы получим последовательность

$$f(2) - 2f(1) + f(0), f(3) - 2f(2) + f(1), \dots$$

Обозначим ее через $\Delta^2 f$.

29

Эта последовательность называется последовательностью вторых разностей для $f$. Еще раз взявности, получим последовательность третьих разностей — $\Delta^3 f$:

$$f(3) - 3f(2) + 3f(1) - f(0), f(4) - 3f(3) + 3f(2) - f(1), \dots$$

и так далее.

Таким образом, по определению

$$\Delta^{n+1}f(x) = \Delta^n f(x + 1) - \Delta^n f(x).$$

(7)

(Напомним, что аргумент $x$ функций $f$, $\Delta f$, $\Delta^2 f$, … принимает целые неотрицательные значения: $x = 0, 1, 2, \dots$).

Рассмотрим в качестве первого примера постоянную функцию $f$:

$$f(0) = f(1) = f(2) = \dots = a.$$

Для нее последовательность разностей $\Delta f$ будет, очевидно, состоять из одних нуляй. Кратко это запишем так: $\Delta f \equiv 0$ (при всех $x$).

Естественно, что и последовательности $\Delta^2 f$, …, $\Delta^n f$ так же будут состоять из одних нуляй, то есть $\Delta^n f \equiv 0$.

Если $f$ — линейная функция: $f(x) = ax + b$, то есть если последовательность представляется собой арифметической прогрессию $b, a + b, 2a + b, 3a + b, \dots$, то все члены последовательности $\Delta f$ будут равны одному и тому же числу $a$. Отсюда $\Delta^2 f \equiv 0$.

Если $f$ — квадратный трехчлен $f(x) = ax^2 + bx + c$, то $\Delta f$ — линейная функция (от номера $x$):

$$\Delta f(x) = f(x + 1) - f(x) = a(x + 1)^2 + b(x + 1) + c - ax^2 - bx - c = 2ax + b.$$

Тогда $\Delta^2 f$ — постоянная функция: $\Delta^2 f = 2a$. Следовательно, $\Delta^3 f = 0$ и, конечно, $\Delta^n f = 0$ для всех $n > 2$.

У правах не имеем 1. а) Пусть $f(x) = x^3$. Найдите $\Delta f$, $\Delta^2 f$, $\Delta^3 f$, … 6) Тот же вопрос, если $f(x) = 2^x$.

Наши наблюдения обобщаются в следующих двух теоремах.

1.1. Число $\Delta^n f(x)$ выражается через значения функций $f$ по формуле

$$\Delta^n f(x) = C_n^0 f(x + n) - C_n^1 f(x + n - 1) + \dots + (-1)^n C_n^n f(x) =$$

$$= \sum_{k=0}^{k=n} (-1)^k C_n^k f(x + n - k).$$

1.2. Если $f(x)$ — многочлен степени $m < n$, то $\Delta^n f = 0$.

Оба утверждения 1.1 и 1.2 доказываются индукцией по $n$. Для $n = 1, 2, 3$ мы их уже проверили. Предполагается, что они верны для $n$, доказываем для $n+1$.

1.1. Используя (7), (8) и (2), получаем

$$\Delta^{n+1}f(x) = \Delta^n f(x + 1) - \Delta^n f(x) =$$

$$= C_n^0 f(x + n + 1) - C_n^1 f(x + n) + \dots + (-1)^n C_n^n f(x) - C_n^0 f(x + n) + \dots + (-1)^n C_n^n f(x) =$$

$$= C_n^0 f(x + n + 1) - C_n^1 f(x + n) + \dots + (-1)^n C_n^n f(x + n) + (-1)^n \times C_n^n f(x).$$

1.2. Пусть $f(x) = a_0 + a_1 x + \dots + a_j x^j + \dots + a_m x^m$. Нашим $m$ равенств (они следуют из (4))

$$(x + 1)^j - x^j = C_j^1 x^{j-1} + C_j^2 x^{j-2} + \dots + C_j^{j-1} x + 1$$

(здесь $j = 1, 2, \dots, m$). Умножим их соответственно на коэффициенты $a_j$ и сложим. Получим: влевой части $\Delta f(x) = f(x + 1) - f(x)$, в правой — неокторый многочлен от $g(x)$ степени не выше $m - 1$. Если $m < n$, то $m - 1 < n - 1$ и по предположению индукции $\Delta^{n-1}g = 0$. Следовательно, $\Delta^n f = \Delta^{n-1} (\Delta f) = \Delta^n g = 0$.

30

Вернемся теперь к нашей задаче.

Равенство (6’), согласно 1.1. в точности ознакомлен, что $\Delta^n f(0) = 0$ для функции $f(x) = x^m$, а это следует пряmo из утверждения 1.2.

Задача 1. Пусть $f(x) = a + a_1x + \dots + a_nx^n$. Найдите $\Delta^n f$. Пользовать этим результатом, вычислите сумму

$$\sum_{k=0}^{k=n} (-1)^k k^n C_n^k.$$

Задача 2. Докажите, что есть $\Delta^{n+1} f(x) = 0$ для всех $x$, то $f(x)$ — многочлен степени не выше $n$.

Задача 3. Найдите все последовательности $f$, для которых $\Delta f(x) = \lambda f(x)$, где $\lambda$ — некоторое число.

§ 2. Многочлены и интерполяционная формула

Мы знаем, что через две точки можно проведити единственную прямую. Другими словами, если заданы две пары чисел $(\alpha_0, \beta_0), (\alpha_1, \beta_1)$, причем $\alpha_0 \neq \alpha_1$, то существует единственный многочлен степени не выше первой $P(x) = ax + b$ такой, что $P(\alpha_0) = \beta_0$ и $P(\alpha_1) = \beta_1$.

Этот факт обобщается следующим образом.

Пусть заданы $n + 1$ различных чисел $\alpha_0, \alpha_1, \dots, \alpha_n$ и $n + 1$ чисел $\beta_0, \beta_1, \dots, \beta_n$. Тогда справедливые следующие утверждения.

2.1. Существует многочлен $P$ степени не выше $n$ макой, что

$$P(\alpha_i) = \beta_i \quad (\text{для всех } i = 0,1,\dots,n).$$

2.2. Многочлен $P$ определяется единственным образом.

Для доказательства 2.1 достаточно представить такой многочлен. Для этого рассмотрим сначала многочлены

$$D_k(x) = \frac{(x - \alpha_0)(x - \alpha_1)\dots(x - \alpha_{k-1})(x - \alpha_{k+1})\dots(x - \alpha_n)}{(\alpha_k - \alpha_0)(\alpha_k - \alpha_1)\dots(\alpha_k - \alpha_{k-1})(\alpha_k - \alpha_{k+1})\dots(\alpha_k - \alpha_n)}$$

(в числитель и знаменатель по $n$ многочленей). Ясно, что

$$D_k(\alpha_i) = \begin{cases} 1, \text{ если } i = k; \\ 0, \text{ если } i \neq k. \end{cases}$$

Умножим теперь $D_k(x)$ на число $\beta_k$ и сложим все эти многочлены. Для получения многочлена

$$P(x) = \sum_{k=0}^{k=n} \beta_k D_k(x)$$

выполнены все равенства (9).

Для доказательства 2.2 нам понадобится две важные теоремы о корнях многочленов.

2.3. Если многочлен

$$f(x) = a_0 + a_1x + \dots + a_nx^n$$

степени не выше $n + 1$ различных корней, то этом многочлен равен 0, то есть $a_0 = a_1 = a_2 = \dots = a_n = 0$.

2.4. («Теорема Безу».) Если $\alpha$ — корень многочлена $f(x)$, то многочлен $f(x)$ делится на $x - \alpha$, то есть

$$f(x) = (x - \alpha)g(x),$$

еде $g(x)$ — некоторый многочлен.

31

Доказательство 2.4. Напишем $n$ точекств $(x^j - \alpha^j) = (x - \alpha)(x^{j-1} + x^{j-2}\alpha + \ldots + \alpha^{j-2}x + \alpha^{j-1})$, $(j=1, 2, \ldots, n)$, умножим их соответственно на коэффициенты $a_j$ и сложим все эти точекств. Получим формулу, справедливую для любого многочлена (12) и любого числа $\alpha$:

$$f(x) - f(\alpha) = (x - \alpha)g(x),$$

где $g(x)$ — неокоторый многочлен. В частности, если $f(\alpha)=0$, получаем (13).

Доказательство 2.3. проведем индукцией по $n$. Для $n=1$ утверждение 2.3 очевидно. Докажем, что если оно верно для $n-1$, то верно и для $n$. Пусть $\alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_n$ — корни многочлена (12). Тогда, согласно 2.4:

$$f(x) = (x - \alpha_n)g(x),$$

причем многочлен $g(x)$ имеет степень не выше $n-1$ и имеет $n$ различных корней $\alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_{n-1}$. По предположению индукции, $g(x)$ равен нулю; из (14) следует, что $f(x)$ тоже равен нулю.

Доказательство 2.2. Пусть $p_1$ и $p_2$ — два многочлена, для каждой из которых верны равенства (9). Тогда их разность удовлетворяет условиям теоремы 2.3 ( многочлен $f(x) = p_1(x) - p_2(x)$) степени не выше $n+1$ корней $\alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_n$ и поэтому равна нулю, то есть $p_1(x) = p_2(x)$.

Итак, мы доказали, что через $n+1$ точку $(\alpha_0, \beta_0), (\alpha_1, \beta_1), \ldots, (\alpha_n, \beta_n)$ можно proveсти единственную кривую вида

$$y = f(x) = a_0 + a_1x + \ldots + a_nx^n,$$

и даже привели формулу, позволяющего сразу написать нужный многочлен. Эта формула (11) называется интегриционной формулой Лаэранжа.

Упражнение 2. a) Найдите квадратный треугольник, который в точках 2, 3, 5 принадлежит значения соответствующего 7, 11, 13. 6) Найдите многочлен степени не выше 4, график которого проходит через точки $(-2, -7), (-1, 0), (0, 1), (1, 2), (2, 9)$.

Вернемся к нашей задаче. Построим многочлен степени не выше $n$, который в точках $\alpha_k = k(k=0, 1, 2, \ldots, n)$ принадлежит значения соответствующего $\beta_k = k^m$. Из формулы (11) следует, что этот многочлен равен $\sum_{k=0}^{k=n} k^mD_k(x)$, где

$$D_k(x) = \frac{x(x-1)\ldots(x-k+1)(x-k-1)\ldots(x-n)}{k(k-1)\ldots1(-1)(-2)\ldots(k-n)}.$$

Ясно, что коэффициент при $x^n$ у многочлена (15) равен

$$\frac{1}{k(k-1)\ldots1(-1)(-2)\ldots(k-n)} = (-1)^{k-n} \frac{1}{k!(n-k)!} = \frac{(-1)^n}{n!} (-1)^k C_n^k,$$

позному коэффициент при $x^n$ у многочлена $P(x)$ равен

$$(1/n!) (-1)^n \sum_{k=0}^{k=n} (-1)^k k^m C_n^k.$$

С другой стороны, ясно, что многочлен $P(x)$ есть просто $x^m$, ведь $m < n$. Поэтому коэффициент при $x^n$ у $P(x)$ равен нулю.

Задание 4. Докажите, что набор чисел $y_0, y_1, \ldots, y_n$ удовлетворяет условиям: «для любого многочлена $f(x)$ степени не выше $n-1$ справедливо равенство

$$\sum_{k=0}^{k=n} f(k)y_k = 0»,$$

в том и только том случае, если $y_k = t(-1)^k C_n^k$, где $t$ — неокоторе число.