Квант 1973, №3 · Страницы

Квашт
1973
3
Научно-популярный
физико-математический
журнал

100

На второй странице обложки приведены фоторафини различных антенн радиолокаторов, использующих для дальней космической связи. О прицилих радиолокации читайте в статье М. С. Лифшица «Эхолокация» на стр. 8. Фото Ад. МАКЛЕЦОВА.

1

Главный редактор — академик И. К. Киоин
Первый заместитель главного редактора — академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:
Л. А. Арцимович,
М. И. Башмаков,
С. Т. Беляев,
В. Г. Болтянский,
И. Н. Бронштейн,
Н. Б. Васильев,
И. Ф. Гинзбург,
Ю. Н. Ефремов,
В. Г. Зубов,
П. Л. Капица,
В. А. Кириллин,
А. И. Климанов
(главаный художник),
С. М. Козел,
В. А. Лешковцев
(зам. главного редактора),
Л. Г. Макар-Лиманов,
А. И. Маркушевич,
М. Д. Миллоншиков,
Н. А. Патрикева,
И. С. Петраков,
Н. Х. Розов,
А. П. Савин,
И. Ш. Слободецкий,
М. Л. Смолянский
(зам. главного редактора),
Я. А. Смородинский,
В. А. Фабрикант,
А. Т. Цветков,
М. П. Шаскольская,
С. И. Шварцбург,
А. И. Ширцов.

Редакция:
В. Н. Березин,
А. Н. Вилленкин,
Т. М. Макарова
(художественный редактор),
Н. А. Минц,
Т. С. Петрова,
В. А. Тихомирова,
Л. В. Чернова
(зав. редакцией).

Корректор Н. Д. Дорожова
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15, «Квант», тел. 234-08-11, 234-07-93

Сдано в набор 24.XI.72 г.
Подписано в печать 18.I.73 г.
Бумага 70×1001/16 Физ. печ. л. 4 Усл. печ. л. 5,20
Уч.-нзд. л. 6,08
Тираж 379250 экз. Т-00718
Цена 30 коп. Зак. 2318

Чеховский полигraphический комбинат «Соэзполигraphрома» при ГосударственнойСССР по делам изdateльств, полигraphии и книжной торговли, г. Чехов Московской области

Руководище не возвращаются

Основан в 1970 году

3
1973

Научно-популярный физико-математический журнал
Академи наукССCP и Академии педагогических наукССCP

Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы

В НОМЕРЕ:

2 А. Н. Колмогоров. Полулогарифмическая и логарифмическая сетки
8 М. С. Ливицц. Эхолокация
15 М. Л. Гервер. Собака безит наперерез
19 Г. Л. Комкин. Столкновение шариков

Математический кругжок
22 Г. Д. Балк, М. В. Балк. Мнимые числа и геометрические задачи
32 Победители конкурса «Квант»
Лаборатория «Квант»
34 В. В. Майер. Борный ломинофор
Задачник «Квант»
35 Задачи М191—М195; Ф203—Ф207
37 Решения задач М151—М154; Ф170—Ф175

Практикум абитриента
44 Л. М. Лоповок. Против шаблона
50 Л. П. Баканина, С. М. Козел. Приципл суперрозицини в электронатике
56 Московский государственный университет (экономический факультет)
57 И. А. Дьяковов, А. Г. Мордкович, И. И. Наслузов. Телевизонные физико-mатематические курсы для поступающих вузы

Рецезни, библиография
58 Е. И. Олерский. История числа л
59 Л. Г. Кузнецова. Для поступающих в институты и технических «Квант» для младших школьников
60 Задачи
61 А. П. Азия, И. М. Волпер. Квадрат Пирсона

62 Ответы, указания, решения
Уголок коллекционера
А. В. Аltыкис. Марки, посвязывание Рентген (3-я стр. обложки)

Смесь (смр. 21, 55)

Первая страница обложки шлюстрирует статью В. В. Майера «Борный ломинофор» (стр. 34). Объектом освещения мы избрали копию статуса «Менада» греческою скультира Скопаса, жившего в IV веке до нашей эры.

На четвертой странице обложки приведена репродукция рисунка извесного воландского художника М. Эшера «Три сферы». На нем в абстрактной форме показаны деформации стalkивающих сфера (см. статью Г. Л. Компика «Столкновение шариков» на стр. 19).

2

1. В 12 номере «Кванта» за 1972 год была опубликована статья «Экспонента». В ней показано, что многое величины меняются во времени так, что скорость их изменения пропорциональна уже достигуному им значению. Общий вид такой показатель зависимости $y$ от $t$ записьвается формулой

$$y = y_0 a^t,$$

(1)

где $y_0$ — значение величины $y$ при $t = 0$. Положив

$$k = \lg a, \quad z = \lg y, \quad b = \lg y_0,$$

из (1) получаем $z = kt + b$.

Мы видим, что зависимость $z$ от $t$ линейна. Ее график есть прямая линия. Начертив обычным способом этот график, мы можем на основе $(n)$ или на параллельной ей прямой) поставить отметки соответствующих значений $y = 10^z$. Тогда по нашему прямолинейному графику можно будет при любом заданном $t$ непосредственно считывать значения $y$. На рисунке 1 такой способ графикаского изображения применен к функциям $y = 100^t$ и $y = e^t$ ($e = 2,718 \ldots$). Их графики в декартовой системе координат изображены на рисунке 2.

В магазинах продается пологарнифический бумага. На этой бумаге вертикальные линии проведены с промежутками в 1 мм, как на обычной миллиметровой бумаге, горизонтальные же линии проведены так, что их расстояние от нижней кромки равно 100 lgy, $y$ принимает значения

$$1 \quad 1,05 \quad 1,10 \quad 1,15 \ldots$$

$$2 \quad 2,1 \quad 2,2 \quad 2,3 \ldots$$

$$y = 20 \cdot 256 t$$

$$y = 10 \cdot 16 t$$

$$y = 70 \cdot 16 t$$

$$y = 5 \cdot 2 t$$

$$y = 2 \cdot 2 t$$

$$y = 2 t$$

$$y = 5 \cdot 2^{-t}$$

$$y = 2 \cdot 2^{t}$$

$$y = 2,5 \cdot 2^{-t}$$

$$y = 2^{t}$$

$$0$$

Рис. 3. 0,25 0,5 1,0

1*

4

и т. д. (разберитесь по рисунку 3, как устроена эта шкала!). В нижней части рисунка 3 показано, как построить на полугарifiфицированной бумаге графики функций вида (1) по двум точкам $(t=0, y=y_0)$, $(t=1, y=y_0a)$.

На полугарifiфицированной бумаге приращению $\Delta t=1$ соответствует 10 см. Такой же масштаб мы выбрали на рисунке 3 по оси $y$. Поэтому угловой коэффициент наших графиков равен $k=\lg a$. Это не что иное, как относительная скорость изменения $y$ при изменении $t$:

$$\frac{1}{y} \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta t} = \frac{y'}{y} = \lg a = k$$

(здесь $y'$ — производная функция $y = f(t) = y_0a^t$). Если масштаб по оси $y$ выбрана иначе, то нужен перечет, с которым вы легко справите смоctоятельно.

Графики на полугарifiфицированной бумаге вычерчивают, когда требуется выяснить, можно ли заданную таблицей зависимости $y=f(t)$ хотя бы приближенно считать подчиняющейся закону показательного роста (или убывания). Рассмотрим в виде, примера объем промышленной продукции в СССР, выраженный в процентах к продукции 1940 года:

1937 1940 1945 1950 1955 1960 1965 1970
77 100 92 173 320 524 791 1190

6

Полулогарифмический график дана рисунке 4 (график в натуральном масштабе по вертикали вы можете для сравнения вычертить сами). По графику видно, что, за исключением военного пятилетия 1940—1945 годов, рост промыщенной продукции приблизительно следует показательному закону. Найдите самостояльно, сколько процентами прироста в год соответствует средний наклон графика. На графике видно, что темы роста в 1945—1955 годах несколько выше, чем в 1960—1970 годах. Интерес

6

ресно, что, выключив из рассмотрения точки, соответствующие 1945 и 1950 годам, мы получим почти прямую линию: за 1945—1955 года наша промышленность наверстала упущенное за время войны. Определите средний годичный прирост продукции за 1937—1970 годы (в процентах в год).

Понятно, что зависящать вида $y = A \lg t + B$ тоже изображается прямойный графиком, если по оси абсцисс откладывать $s = \lg t$, а по оси ordинат $y$. В виде примера рассмотрим изображенную на рисунке 5 зависящать скорости $u$ от расстояния $y$ от стенки при турбулентном течение жизни вдоль плоской стенки. Здесь $\delta$ и $u_\tau$ надлежащим образом выбранные масштабы длин и скорости. Измерения производились при $y/\delta$, меняющемся в пределах от 10 до 56 000. Поэтому для изображения результатов измерений попадобились три графика с различными масштабами по оси абсцисс. После перехода к логарифмическому масштабу для $y/\delta$ все эти данные уменьшились на одном графике (см. рис. 6). При этом график «выпрямился». Прияма на рисунке 6 задается уравнение

$$\frac{u}{u_\tau} = 5,5 + 5,75 \lg y/\delta.$$

Мы видим, что эта закономерность очень точно соблюдается, начиная с $y/\delta = 100$. При менях $y/\delta$ заметны систематические отклонения, а при $y/\delta < 15$ эти отклонения делаются столь значительными, что здесь соответствие (2) надо признать совсем негодным.

Зависимости вида

$$y = ct^\alpha$$

то же «выпрямляются» при переходе к переменным

$$s = \lg t, z = \lg y.$$

В самом деле, из (1) вытекает

$$z = \alpha s + b,$$

где $b = \lg c$. Для изображения зависимости вида (3) прямолинейными графиками пользовется логарифмический счеткой. Логарифмическая бумага тоже продается в магазинах. На рисунке 7 данные примеры графиков на логарифмической бумаге. Легко понять, что угловой коэффициент графиков здесь равен $\alpha$.

Графики на логарифмической сетке вычерчивают, если есть основания думать, что какая-либо эмпирическая зависящая приближению следует закону вида (3). На рисунке 8 на логарифмической сетке нанесены эмпирические данные о распределении энергии пульсации в турбулентном потоке. Здесь $E(k)$ — спектральная плотность энергии пульсации, соответствующая частоте $k$; $E_0$ и $k_0$ — условия единиц для $E$ и $k$. Мы видим, что при

$$10^{-4} k_0 \leq k \leq 10^{-1} k_0$$

наша зависящая хорошего выражения формулировки вида

$$E = ck^{-5/8},$$

которая из теоретических соображений была предложена А. М. Обуховым.

Здесь масштабы для $\lg k$ и $\lg E$ разные. Поэтому угловой коэффициент графика, соответствующего заданному $\alpha$, не равен $\alpha$. На рисунке показано, как графикские строится прямая с наклоном, соответствующим $\alpha = 5/3$.

Задача

Изображите на полугарifiфикческой бумаге данные таблицы (см. стр. 7) о просте продукции промышленности СССР по двум группам: группа А — производство средств производства, группа В — производство предметов потребления (в процентах к 1913 году).

В какие годы рост продукции по группе А обогнал рост продукции по группе В и в какие годы они шли наравне? Сравните особенности военных лет первого и второй мировой войны.

7

Замечание. Во всей про-
мышленной продукции группа А в 1913 году составляла 35,1%, а в 1970 году 74,8%.

Таблица

| Год | Группа А | Группа В |
| :— | :— | :— |
| 1913 | 100 | 100 |
| 1917 | 81 | 67 |
| 1928 | 155 | 120 |
| 1932 | 424 | 187 |
| 1937 | 1013 | 373 |
| 1940 | 1340 | 460 |
| 1945 | 1504 | 273 |
| 1950 | 2746 | 566 |
| 1955 | 5223 | 996 |
| 1960 | 8936 | 1498 |
| 1965 | 14156 | 2032 |
| 1970 | 21359 | 3281 |

Рис. 8.

8

Эхолокация

М. С. Ливиц

Встречающаяся на пути волн неоднородности рассеивают их во всех направлениях, в том числе и обратном. Иными словами, неоднородности среды сами становятся источниками (вторичными) волн, и от них, как говорят, приходит эхо.

Явление эха используется для локации, то есть определяния местонаходения различных объектов с помощью радиоволн (radiolokaция) или звуковых волн (звуkolokaция).

Волны. Колбация. Излучение

Когда говорят о волнах, то мы неволно представляем себе волны на вode. Это—единистенный по-настоящему наглядный вид волн. Звуковые волны — волны скатия и разрежения в упругой среде — уже непрост представить; и еще больше услышей требуется, чтобы представить радиоволны и световые волны.

Неожиданное трудно, оказывается, даже дать точное определение понятия волны. Пожалуйста, наиболее общим будет такое:

Волна — это процесс, при котором пространственное распределение неокоторой физической величины перiodических изменяется со временем.

В простейшем случае, который мы и наблюдаем на вode, волны представляют собой периодическое черезование горбов и вадин. Для волн другей физической природы под «горбом» следует понимать то место в волне, где данная физическая величина (например, плотность среды в случе звуковых волн, направность элект-

рического или магнитного поля в случе электромагнитных волн) достигает максимального значения, а «впадиной» — то место, где эта величина достигает минимального значения.

Расстояние между двумя соседними горбами (или владинами, или другими точками, нахождения в одинаковых состояниях) называется длиной волны и обозначается λ (рис. 1). Длина волны является очень важной характеристикой.

Рис. 1.

Если сосредоточить внимание на какой-то точке в пространстве, где существуют волны, то мы обнаружим периодическое изменение соответствующей физической величины только во времени, называемое колбанием. Имеется связь между колбациями и волнами. Оказывается, волна, представляющая собой совокупность колбаний во всех ее точках, не возникнет сама по себе. Есть некоторые особые точки, колбания в которых являются источниками волны. В связи с этим уменьшно привести еще одно определение волны.

Волна — это процесс распределения колбаний в среде.

Действительно, для того чтобы существовали волны на вode, надо бросить в нее камень или погрузить в нее какой-то вибратор (например, колбающийся стержень). Звуковые волны существуют, если мы говорим илирожит струна скрипки. Радиоволны существуют, если есть радиопередатчик с антенной. И так далее.

Имеет место и обратный процесс: если на пути волны, распределения в неокоторой среде, оказывается колбающийся, свойства которого отличают-

9

ся от свойств среды *), в нем возникают колебания. При этом частино может произойти поглощение волны (то есть переход энергии волны в тепло). Но главным результатом обычно является то, что данный предмет становится источником волн, называемых вторичными.

Matematически связь между колебаниями и волнами выражается зависимостью длины волны $\lambda$ от частоты колебаний $v$ (или от периода $T$) и от скорости распространения волны $v$:

$$\lambda = \frac{v}{v} = vT.$$

Длина волны есть расстояние, на которой перемещается возможность длины волны $\lambda$ от частоты колебаний $v$ (или от периода $T$) и от скорости распространения волны $v$:

Во многом первичный и вторичный излучатель сходны. В первую очередь сходство проявляется в одинаковом характере зависимости эффективности действия излучателя $I$ от его линейных размеров $d$. Эффективность излучателя определяется отношением излучаемой энергии к энергии, питания излучатель.

Общий вид зависимости (см. рис. 2) одинаков для волн различных длины и любой физической природы. Обратите внимание на каждуюся парадокальной особенность графика: когда размер излучателя становится больше $\frac{\lambda}{2}$, он хуже излучает, чем при $d \approx \frac{\lambda}{2}$.

*) Имеются в виду свойства, связанные с физическим природой соответствующей волны (например, проводимость для радиоволли или плотность для звуковых волн).

Как же обязывать зависимости, показанную на рисунке 2?

Нетрудно понять общий ход кривой графика, то есть тот факт, что с увеличением размеров предмета увеличивается интенсивность излучения волн. Это происходит в результате сложения возможности, производимых в среде различных участками первичного излучателя (и обратного воздействия — для вторичного излучения). Поэтому главное — понятие наиболее характерную особенность графика: резкий максимум эффективности излучателя при $d \approx \frac{\lambda}{2}$.

В самых общих чертах этому можно даить следующое обяissance. При размещении излучателя $d \approx \frac{\lambda}{2}$ наступает явление резонанса из-за согласования частот внешнего воздействия и собственных колебаний излучателя. При резонансе система всегда забирает от источника и излучает максимум энергии.

Диаграмма направленности

От размеров и конфигурации излучателя зависит не только его эффективность, но и распределение энергии излучаемых им волн по различных направлениям — так называемая диаграмма направленности излучателя.

Такая же диagramma относится к колебаниям, возникшим в антенне при попадании на нее волн (в этом заключается так называемая теорема взаимности в теории излучения).

Диagramma направленности представляет собой кривой распределения интенсивности излучения по различных направлениям. На рисунке 3

10

в качестве примера показана диаграмма направления электромагнитного полувольного излучателя (вибратора): а) в meridionalной плоскости (то есть в плоскости, в которой лежит излучатель) и б) в экватorialной плоскости (то есть в плоскости, перpendикулярной вибратору, а значит, и направлению электрических колебаний в нем).

Из рисунка видно, что электромагнитный полувольной вибратор не излучает вдоль направления колебаний в нем и, наоборот, максимально излучает в перpendикулярном направлении. В экватorialной плоскости излучение вибратора равномерно по всему направлениям.

Импульс волн.
Разрешающая способность локатора

Тепер обратимся к главному вопросу: как можно заметить наличие вторичных волн (эхо)? Ведь если мы не сможем выделить то или иное эхо, то не сможем и обнаружить его источник, который называется в эхолокации целью.

Трудно придумать более простой ответ, чем такой: нужно, чтобы во время прихода данного эха никаких других волн в приемник не попадало.

Так возникает основная особенность подавляющего большинства локоров: работа в импульсном режиме. Это значит, что perвичный излучатель перiodических излучает группу волн (импульс дительностью τ, протяженность cτ (рис 4)), а затем долгое (по сравнению с дительностью импульса) время не работает. Вот в этот период «молчания» и приходят

Рис. 4.

отраженные импульсы от различных целей.

Чем короче импульс, излучаемый антенной локатора (зондирующий импульс), тем больше число целей в том же объеме пространства можно обнаружить разделно. Действительно, если дальность до двух целей отличается на такую величины, что вторичные (отраженные) цуги (то есть группы) волн от них не перекрывают, цели будут наблюдаться локатором разделно (рис. 5).

Таким образом, дительность импульса определяет так называемую разрешающую способность по дальности δD ~ τ.

Кроме того, дительное наблюдение нескольких целей, направления на которых различны, обеспечивает использование излучателей с узкой диаграммой направлениями (рис. 6).

Здесь уже говорят о разрешающей способности по углу. Действительно, если направления на цели отличаться на угол, больший, чем ширина диаграммы направления (угол α), то они, даже при одинаковой дальности, не будут видны как одна цель. Отраженные импульсы от них будут приходит не одновременно, а только

Рис. 6. Цель 1 видна, а цель 2 при этом не наблюдается.

11

после соответствующего поворота антенны.

Выбор диапазона волн для локции

Тепер мы достаточно подготовлены, чтобы понять, почему в радиолокации используется ультракороткие радиоволны (УКВ), то есть волны,лина которых лежит в метровом, дециметровом и сантimetровом диапазонах.

Рассмотрим несколько причины.

1. Для УКВ легко обеспечить приемлемые размеры антенн радиолокаторов, обладающих узкой диаграммой направленности (для обеспечения хорошего разрешения по углам) и достаточно интенсивно излучения, так как основной элемент таких антенн — полученный вибратор.

2. Размеры обычных целей (самолеты, корабли) будут достаточно велики по сравнению с приемлемыми длинами волн, что благоприятствует увеличению интенсивности отраженных сигналов (в соответствии с схом кривой при $d \gg \lambda/2$ на рисунке 2).

3. Технически трудно формировать импульс короче хотя бы десята длины волн, поэтому чем меньше $\lambda$, тем легче обеспечить формирование такого импульса, а значит, получить хорошо разрешение по дальности.

Приципп изменения дальности и угловых координат

Полное определение местоположения цели в пространстве требует знания

Рис. 7.

трех координат в некоторой системе координат. Для локоров такой «естественный» системой координат, то есть наиболее соответствующей характеристике используемых в них физических явлений, будет сферическая (рис. 7). В ней положение точки определяется следующим координатами: радиусом-вектором $D$ (в радиолокации называемых накладной дальностью); азимутом $\varphi$ (углом в горизонтальной плоскости); углом места $\varepsilon$ (углом в вертикальной плоскости).

Таким образом, для локции необходимо иметь изменять данные и угловые координаты.

Когда антенна локатора излучает зондирующий импульс, то требуется определение времени $t'$, чтобы эта группа волн должна до цели. Как только волны должны до цели, цель становится вторичным излучателем, и часть энергии рассеянных (отраженных) его волн идет обратно, то есть к антенне локатора. При скорости распространения волн, много большей скорости перемещения цели, можно пренебречь смещением цели за это время. Отраженный (вторичный) импульс должен от цели до локатора за то же время $t'$, поглотится его приемной антенной и попадет на вход приемника. При этом энергия волн превращается в энергию электрического тока и усиливается приемником для последующей передачи измерительных устройств локатора. Заметьте, что здесь полезным процессом является поглощение антенной энергии волн.

Суммарное время $t = t' + t'$ является временем задержки отраженного импульса по отношению к зондирующему импульсу и может быть изменено в локatore. Итак, изменение дальности свойства к изменению времени. Это видно из формулы

$$D = \frac{ct}{2}.$$

Приведенная формула тем точнее, чем меньше смещение цели за время задержки.

12

Рис. 8. Тповторения — время, через которое передатчик периодически посылает зондирующие импульсы; $U_{\text{пер}}$ — выходное напряжение (импульс) передатчика; $U_{\text{пр}}$ — напряжение на входе приемника (отраженный импульс); цель 2 нахождения дальше, чем цель 1.

Поясняют принцип измерения дальнейсти времени диаграммы на рисунке 8.

Какие промежутки времени и с какой точностью приходит измерять в радиолокации?

Объчно должны измеряться дальнейсти в десятики километров с ошибкой, не превышаюшей десятков метров. Значит, как можно подсчитать по формуле (1) (скорость света $c = 300\ 000\ \text{km/c}$), надо уметь измерять промежутки времени порядка сотен микросекунд ($1\ \text{mkc} = 10^{-6}\ \text{c}$) с точностью до десятих долей микросекунд. Никакие механические часы не способны производить такие измерения: слишком велика масса (инерционность) частей их механизма; только электронные устройства,следствие малой инерционности электронов, могут выполнить эту задачу. Весьма удобным устройством, например, оказывается электрон-лучвая трубка

Рис. 9.

(аналогичная тем, которые применяются в осцилографах и телевизорах). Ее применение в радиолокации обычнояется еще известной истиной, что «лучшие один раз увидеть, чем это раз услышать». Все, что попадает в радиолокатор, электронно-лучовые индикаторы преобразуют в видимую картину соответствующего области пространства.

Для определения угловых координат существуют различные методы, но общим принципом является использование направленности излучения и приема волн.

Нанболее простым методом, основным на этом обшем принципие, является фиксация каким-либо измеритель угловой положения врашающегося антенны в момент, когда отраженный от цели импульс достигает максимума (рис. 9).

Индикаторы

Для болееясного представления о том, как осуществляется измерение координат в радиолокаторах в соответствии с рассмотренными принципами измерения дальнейсти и угла, позначокоммся с применяемыми для этой цели индикаторами.

В качестве примеров рассмотрим два типа индикаторов.

Первый из них обеспечивает наглядное представление всей области в окружающей пространстве; второй же благодарное простое может применяться в отдельных устройствах радаров (так часто называют радиолокаторы).

1. Почти во всех локatorх имеется индикатор кругового обзора. В нем электронный луч перемещается так, что его «острие» вычерчивает на экране радиальный линю (от центра к краю экрана). Этот осуществляется так называемая развертка по дальнейсти: положению светашейся точки в центре экрана соответствует нулевая дальность (местоположение локатора в момент посылики зондирующего импульса), а положение светашейся точки на краю экрана

13

соответствует предельная дальность обнаружения. Между этими точками размещается вся шкала дальности локатора.

Направление, по которым прочечивается радиальная пряма, определяется азимутом излучения радиоволн антенной радиа, то есть при врашении диаграммы направленности антенны («луча» антенны) синхроно (одновременно) врашается и развертка. Угол места в таком индикаторе не определяется.

При отсутствии отражающих объектов электронный луч «погашен». Отраженный от объекта сигнал «опирает» луч, и в соответствиишем месте экрана возникает светлое пятно (типовое изобравжение на экране представлено на рисунке 10). Для того чтобы всю картину видеть одновременно, в этих индикаторах применяется такой ломинесцирующий экран, что свечение, возбужденное в любом месте его, длится все время, пока «луча» антенны совершает один оборот.

2. Простейшим индикатором является индикатор, на экране которого по горизонтальном диаметру осуществляется развертка по дальности, а величина отклонения пятна по вертикали (амплитуда импульса) определяется величины сигнала от целли (рис. 11).

В этом индикаторе применяют экран без последвечения, и картина меняется по мере того, как антенный «луча» поворачивается в пространстве, поэтому угол «луча» надо отсчитывать по шкале антенны в тот момент, когда амплитуда соответствующего импульса на экране достигает максимума.

«Местники», пассивные и активные помещи

Каждее техническое достжение не cet в себе и свою слабость, для преодоления которого приходит еще глубже вникать в физку использующего явления. Это можно увидеть на несколько позиционных примерах из радиолокации.

1. В условиях горной местности экраны индикаторов оказываются «забитыми» так называемыми «местниками», то есть импульсами, отраженными от холодов, скал и других неровностей местности. Это затрудняет или делает даже невозможным обнаружение полезных сигналов от целли. То же самое наблюдается и вблизи крупных населенных пунктов.

Большие помещи создают также отражениями от различных областей, туч и тому подобного.

2. Как мы уже говорили, при размещении недородностей, близких к

14

λ/2, вторичное излучение от них сильно возрастает. Поэтому такие полувольные отражатели использются в борьбе с радиолокацией для создания ложных «целей» (пассивные помещи). Оказывается, достаточно нескольких сотен грамм фольги или металлизированного стекловолокна, чтобы создать такой же отраженный имплус, как от самолета.

Значит ли это, что ни с «местниками», ни с пассивными помещами ничего нельзя сделать? Конечно, нет.

Дело в том, что источники «местников» вообще неодвижны, а облака и пассивные помещи движутся со скоростью ветра, которая обычно много меньше скорости самолета. Вот это-то и используется для устройства помещи. Приципл действия одного из соответствующих устройств связи с так называемым чересперидным вычитанием. Суть последнего заключится в следующем: если сигналы, полученные при двух последовательных зондированиях, подавать на индикатор одновременно, но с противоположными знаками, то местники уничтожатся, а сигналы от быстродвижущих целей, изменивших за период повторения своего положение, сохраняются.

3. Поступающие на приемник радиа сигналы от целей на много порядков слабее, чем зондирующий импульс. Следовательно, для радиара характерно сочетание большой мощности зондирующего импульса передатчика с высокой чувствительностью приемника. Только так можно обеспечить большую дальность обнаружения целей.

Но эта сила радиа немедленно превращается в его слабость.

Во-первых, мощные зондирующие импульсы локатора могут быть обнаружены на самом деле задолго до обнаружения самолета локатором (ибо при этом радиовольны совершают путь «в один конец»).

Во-вторых, можно легко «забит» высокочувствительный приемник локатора локными сигналами передатчиков помещи, установливаемых на самолете (эти передачки могут также срабатывать с парашютом и тому подобное).

Так возникнет еще один способ борьбы с радиолокацией — с помощью активных помещи. Однако находится способы преодолеть и их.

Особенности звуковокации

Для звуковокации существует, что скорость распространения звуковых волн на много порядков меньше скорости распространения электромагнитных волн (в воздухе скорость звука при нормальных условиях равна 331 м/с, то есть почти в миллион раз меньше скорости света). Бессмысленно, например, пытается применить звуковокацию для определения координат современного сверхзвукового самолета: звук просто не доgonит его. Для гидродолокации (звуковокации в воде) дело обстоятель лучшие: скорость звука в воде равна примерно 1500 м/с, а скорость перемещения «цели» под водой гораздо меньше (порядка 10 м/с). Кроме того, в пользование сообщения: электромагнитные волны очень плохо распространяются в воде (сильно затухают, так как вода, особенно морская, довольно хорощий проводник). Поэтому без звука в воде не обойтись.

Что же касается живой природы, то не только в воде, но и в воздухе скорость звука в полне обеспечивает успех эхолокации. Вот почему «живые локаторы» используют звуковые волны (точнее, ультразвук). Например, что слышимые человеком звуки охватывают диапазон частот колбаций от 20 до 20 000 Hz. Звуки больше высокой частоты, чем 20 000 Hz, и называются ультразвуками.

Одни из самых совершенных «живых локаторов» — летучие мыши — используют для локации ультразвуковые волны в воздухе, соответствующие принципу от 50 кцц до 100 кцц. А делыфинны, использующие ультразвуки в воде, «работают» на еще более высоких частотах.

15

Собака безит направрез

М. Л. Гервер

Помните, в «Кванте» № 2 за 1973 год была заметка «Про лису и собаку»? Лиса безкала по прямой l с постоянной скоростью, а собака с той же скоростью безкала прямо на лису из некоторой точки C₀. Спрашивалось, при каких C₀ собака доогнит лису.

В заметеке было доказано, что лиса всегда убегает от собаки, кроме единственного случая, когда C₀ расположена на прямой l, перед лисой.

《Ну ладно,— мог сказать читатель, прочтя заметку,— все это хорошо, только уж очень глупа собака! Безкала бы направрез…》

§ 1. Постановка задачи

Ладно, путь собака может безать как углоно, не обязательно прямо на лису. Но только путь тогда уж и лиса безжит не по прямой, а тоже, как захочет. Про скорости лисы и собаки по-прежнему предполагается, что они равны по величины. И еще нужно предположить, что все проискодит на огороженном участке *).

Если изменить так условия, то мы прием к известной задаче о погоне, придуманной P. Радо. Только в задаче Радо вместе лисы и собаки фирурировали лев и человек. В книге английского математика Дж. Литлвуда «Matematическая смесь» эта задача формулируется так: «Лев и человек, находящиеся на огороженной круглой арене, имеют одинаковую

*) Иначе, если начальные положения лисы и собаки Л₀ и C₀, то лиса просто побежит по прямой C₀Л₀ от C₀.

makсимальную скорость. Какой стратегии должны придерживать лев, чтобы быть уверенным в своей трапеze?》 Ostroymная, но уж сликом кровожданая формулировка — так что будем называть участников погони, как прежде, собакой и лисой.

На первый взгляд кажется, что лисе не спастись, если собака выберет следующую стратегию. Сначала она занимает место в центре кругга O, а затем безжит так, чтобы все время находиться на радиuce OЛ, страясь при этом максимально (насколько позволяет скорость) приблизиться к лисе. Лисе как будто ничего не остается, как безжать по окружности (неидти же ей самой на сбижение с собакой!). Что получится в этом случае, видно из рисунка 1.

Когда собака заняла центр O, лиса находилась в точке Л₀. Обозначим через Л₁ такой точку на окружности, что угол Л₀ОЛ₁ = π/2. На отрезке ОЛ₁ построим, как на диаметре, вспомогательную окружность s. Исходную (ввое большую ) окружность обозначим через S. Пусть лиса побежала из Л₀ в Л₁ по окружности S, и путь Л — произвольная точка на дуге Л₀Л₁, а C — точка пересечения радиуса OЛ и окружности s. Тогда дуги Л₀Л и OC имеют (проверьте это!) одинаковую длину. Таким образом, собака (руководствуясь выбранной стратегией) побежит из O в Л₁ по окружности s; в точке Л₁ она появляется лису.

Неожиданная смена направления на противоположное не поможет лисе: если лиса добежит до точки Л (рис. 2), а потом бросится назад в точку Л₂, то собака (в соответствии со

16

своей стратегией) побежит из $C$ в $\ell_2$ по дуге, симметричной $C\ell_1$ относительно радиуса $O\ell$.

Итак, единственный шанс на спаесение для лицы — соей с окружности $S$. Навстречу собаке? Это представляется бессмысленным, и должно время считалось, что лисе не избежать позиции.

Сравнительно недавно профессор А. С. Безникович опроверг это заблуждение. Ниже мы приведем его решение сначала в случае, когда собака придерживается радиуса $O\ell$, а потом в случае совершенного произвольного поведения собаки. Лисе в обихх случайх не нужно сразу убегать на окружность. Она должна отступать из некоторой внутренней точки круга очень постепенно, многократно меняя направление, по замысловатом спиралеобразному пути.

§ 2. Две суммы

При изложении решения мы будем строить ломаны, состоящие из бесконечного множества все более коротких звенев. Нужно будет, чтобы эти ломаны имели бесконечную длину, но целиком помещались внутри круга. Чтобы потом не перевыть изложения, проведем заранее неокторые вычисления. Выпишем две суммы:

$$L_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n},$$

$$K_n = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2}.$$

Как они ведут себя при увеличении $n$? Возрастают — это ясно (потому что добавляются все новые положительные слагаемые). Но возрастют безгранично или остаются меньше неокторого числа? Оказывается, первая сумма с ростом $n$ растет неограннично, а вторая при любом $n$ меньше 1.

Доказательство

1. Воспользовемся неравенствами

$$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} > \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2},$$

$$\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} > \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} +$$

$$+ \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2},$$

$$\frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{16} > \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$$ и т. д.

Отсюда $L_4 > 1$, $L_8 > \frac{3}{2}$, $L_{16} > 2$ и вообще для $n = 2^k$, $L_n > \frac{k}{2}$. Если $k$ равно двум миллионам, то $L_n$ больше миллиона. Если $k = 2 \cdot 10^9$, то $L_n$ больше миллиарда и т. д. Вообще какое бы число $N$ ни взяты, найдется такое $n$, что $L_n > N$ (достаточно положить $n = 2^2M$, где $M$ — натуральное число, больше $N$, при $m > n$ неравенство $L_m > N$ выполняется и подавно). Итак, $L_n$ с ростом номера $n$ неограниченно возрастает.

2. Докажем, что $K_n < 1$ при любом $n$.

Вычислим сумму $S_n = \frac{1}{2 \cdot 1} + \frac{1}{3 \cdot 2} + \dots$

$$\dots + \frac{1}{n(n-1)}.$$

Так как $\frac{1}{m(m-1)} = \frac{1}{m-1} - \frac{1}{m}$, то $S_n = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\right).$

Раскрыв скобки и перегруппировав слагаемые, получаем $S_n = 1 + \left(-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right) + \left(-\frac{1}{3} + \frac{1}{3}\right) + \dots + \left(-\frac{1}{n-1} + \frac{1}{n-1}\right) - \frac{1}{n} = 1 - \frac{1}{n}$.

Так как $\frac{1}{m^2} < \frac{1}{m(m-1)}$, то $K_n < S_n$. Итак, при любом $n$

$$K_n = \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{n^2} < 1.$$

Следствие. Пусть $O$-центр круга радиуса $r$. $\ell_0$ — точка на расстоянии $r_0$ от центра, $r_0 < r$. Положим $a = \sqrt{r^2 - r_0^2}$ и построим ломанную $L$ так (рис. 3): $\ell_0\ell_1 = \frac{a}{2}$, $\ell_0\ell_1 \perp O\ell_0$; $\ell_1\ell_2 = \frac{a}{3}$,

Рис. 3.

Рис. 4.

рем на продолжении $\lambda'_n M_n$ на расстоянии $\lambda_n \lambda_{n+1}$ от точки $M_n$ (где $\lambda_n \lambda_{n+1} = (n+1)-e$ звено ломаной $L$).
Таким образом, $\lambda'_n \lambda_{n+1} \geq M_n \lambda_{n+1} = \lambda_n \lambda_{n+1}$. Теперь оценим $\lambda'_n + 1$.
Допустим, что точку $\lambda'_n$ нам удалось выбрать так, что $\lambda'_n \leqslant \lambda_n$. Тогда поскольку $OM_n \leqslant O\lambda'_n$, выполняется неравенство
$((\lambda'_n + 1)^2 = OM_n^2 + (M_n \lambda'_n + 1)^2 \leqslant$
$\leqslant O\lambda_n^2 + \lambda_n \lambda_{n+1}^2 = O\lambda_n^2 + 1$
и тем самым $\lambda'_n + 1 \leqslant O\lambda_{n+1}$.

Итак, каждое звено ломаной $L'$ не короче соответствующего звена $L$, а каждая вершина $L'$ расположена не дальше от центра $O$, чем соответствующая вершина $L: \lambda'_n \lambda_{n+1} \geqslant$
$\geqslant \lambda_n \lambda_{n+1}; O\lambda'_n \leqslant O\lambda_n$. Иначе говоря, ломаная $L'$ имеет бесконечную длину, но целиком помещается в кругге радиуса $r$ с центром $O$. По построению $C_n \lambda'_n \perp \lambda'_n \lambda_{n+1}$ при любом $n$. Значит, собака по-прежнему не может появить лису.

Таким образом, как бы ни вела себя собака, лиса может от нее убежать!

Задание

1. Когда лиса $L$ безла по прямой, а собака $C$ безла прямо на нее (см. заметку «Про лису и собаку» в «Кванте» № 2 за 1973 г.), то расстояние $C_L$ всегда оставалось больше некоторого положительного числа. Докажите, что как бы ни вела себя лиса в кругге и как бы мали ни было положительное число $p$, собака может за конечное время приблизиться к лисе на расстояние, меньше $p$. Достаточно ли для этого собака всегда

придерживать радиуса $O_L$? Достинг ли этого собака, если будет безать прямо на лису?

2. Догонит ли собака лису, бегущую по окружности, если будет безать все время прямо на нее?

3. Наши рассудения были основаны на том, что сумма $L_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots$

$\dots + \frac{1}{n}$ с ростом $n$ неограниченно возрастает, а сумма $K_n = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2}$ при любом $n$ меньше 1. Исследуйте, как ведут себя с ростом $n$ суммы $S_n = \frac{1}{2\sqrt{2}} +$
$\frac{1}{3\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{n\sqrt{n}}, \Sigma_n = \frac{1}{2\sqrt{2}} +$
$\frac{1}{3\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{n\sqrt{n}}$ и $P_n = \frac{1}{2} +$
$\frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \dots + \frac{1}{p_n}$
($p_n - n$-е простое число).

4. И в заключение — три задачи, в которых представлены несколько причем действуют они согласно Скорости у спасаошихся и договорающих одинаковые, двигататься все могут, как хотяят.

a) Может ли лиса на круглом отраженном участке убежать от двух собак?

b) Докажите, что муxa, летающая внутри куба, может спасаться от двух, но не может спасаться от трех птиц.

b) Сколько времени понадобится trem птицам, чтобы появить муxa внутри куба со стороны 1 (скорости тоже равны 1)?

Стоlkновение шариков

Г. Л. Комкин

Рассматривая упругое столкновение шариков, мы ограничимся лишь грубыми оценками, то есть при вычислении сил, действующих во время столкновения, и времени столкновения шариков нас не должны считать ошибка в несколько раз.

Главное — правильное представить себе, что же происходит с шариками. Ясно, что после соприкосовения они деформируются. Но даже в момент остановки деформация сравнительно велика лишь величина плоскости соприкосовения шариков. В результате деформация возникает сила, стремящаяся вернуть шарики в первоначальное состояние. Эта сила подобно силе упругости пружины отбрасывает шарики друг от друга.

Попытаемся определить силу упругости этой «пружины». Расмотрим центральное соударение двух шариков *). Учитем, что область пропикновения деформации невелика, и заменим сильно деформированную область шарика цилиндром, радиус которого равен радиусу $r$ плоскости соприкосовения шариков и высота (то есть глубина пропикновения деформации) тоже равна $r$ (рис. 1).

Пусть смешение центра шарика за время от момента касания шариков до их остановки равно $x$. Сила упругости «пружины» определяется законом Гука:

$$F = ES \frac{\Delta l}{l},$$

*) То есть такое, при котором центры шариков движутся вдоль прямой, соединяющей эти центры.

где $E$ — модуль Юнга, $S = \pi r^2$, $l = r$, $\Delta l = x$. Таким образом,

$$F \sim Erx.$$

(Здесь величина $Er$ играет роль коэффициента упругости $k$). Знак ~ означает равенство по порядку величины, то есть с возможной ошибкой в несколько раз.

Рис. 1.

Выразим теперь $r$ через $x$. Для этого предположим (опять приближенно), что шарик «прогнуляя» только на участке $ABC$ (рис. 2). Из подобия треугольников $ABD$ и $ADC$ следует соответствие

$$\frac{r}{x} = \frac{2R - x}{r},$$

где $R$ — радиус шарика. Поскольку $x \ll R$ и можно целелем 2 мы можем пренебречь, получаем

$$r \sim \sqrt{Rx}.$$

(1)

Подставляя (1) в выражение для силы $F$, находим

$$F \sim ER^{\frac{1}{2}}x^{\frac{3}{2}}$$

(2)

Выразим величину $x$ через известные constants и скорость $v$.

20

В момент остановки шарика всегда кинетическая энергия переходит в потенциальную энергию деформации. Потенциальная энергия деформации равна работе силы упругости на пути $x$:

$$U \sim Fx \sim ER^{\frac{1}{2}}x^{\frac{5}{2}}.$$

Это означает, что $\frac{1}{2}mv^2 = U \sim ER^{\frac{1}{2}}x^{\frac{5}{2}}$. Но масса шарика $m = \frac{4}{3}\pi R^3\rho$. Таким образом,

$$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{2\pi}{3}R^3\rho v^2 \sim R^3\rho v^2.$$

Следовательно,

$$R^3\rho v^2 \sim ER^{\frac{1}{2}}x^{\frac{5}{2}},$$

откуда

$$x \sim R \frac{\rho \frac{2}{5}v^{\frac{4}{5}}}{E^{\frac{2}{5}}} = R \left(\frac{\rho v^2}{E}\right)^{\frac{2}{5}}.$$

Удобно обозначить $\frac{E}{\rho} = u^2$), тогда $x \sim R\left(\frac{v}{u}\right)^{\frac{4}{5}}$. Подставим найденное значение $x$ в формулу (2):

$$F \sim ER^2\left(\frac{v}{u}\right)^{\frac{6}{5}}.$$

Оценим время столковения шариков:

$$t \sim \frac{x}{v} \sim \frac{R}{u}\left(\frac{u}{v}\right)^{\frac{1}{5}}$$

(4)

*) Введенная таким образом величина по порядку совпадает со скоростью звука в веществе шарика. Например, для стали $E = 2;1.10^{11}h/m^2$, $\rho = 7,8.10^3\kappa_2/m^3$, $u = 5,2.10^3m/c$, скорость звука в стали около $6.10^3m/c$.

**) Более точный, но гораздо более сложный расчет дает для $t$ значение, примерно вторе большие, а для $F$ — несколько меньше.

Пусть при скорости $v = 5cm/c$ стalkиваются два стальных шарика радиуса $R = 1cm$ (масса такого шарика ~30 $e$). По формулам (4) и (3) получаем

$$t \sim \frac{10^{-2}}{5 \cdot 10^{-3}}\left(\frac{5 \cdot 10^3}{5 \cdot 10^{-2}}\right)^{\frac{1}{5}}c \sim 2 \cdot 10^{-5}c,$$

$$F \sim 2 \cdot 10^{11} \cdot 10^{-4}\left(\frac{5 \cdot 10^{-2}}{5 \cdot 10^{-3}}\right)^{\frac{6}{5}}n \sim 20n.$$

Заметим, что чем больше скорость шариков, тем меньше время их содействия.

Провести оценку времени сударения можно и по-другому. Следуя аналогичным с пружиной, будем считать, что время сударения шариков соответствуют полуперiodу колебаний шарика массы $m$ на пружине жесткости $k \sim Er$, то есть

$$t \sim \frac{T}{2} = \pi \sqrt{\frac{m}{k}},$$

(5)

полуперiod же тем меньше, чем больше жесткости *).

Сделанная нами оценка неприменима при слишком больших скорости шариков. В этом случае деформации настолько велики, что перестает выполнять закон Гука. Для стали закон Гука справедлив при относительных деформациях $\frac{\Delta l}{l} \leq 10^{-2}$. Из этого условия можно определить максимальный скорость столковения шариков. Найбольшая деформация шариков («пружины»)

$$\frac{\Delta l}{l} \sim \frac{x}{r} \sim \left(\frac{v}{u}\right)^{\frac{2}{5}} \leq 10^{-2},$$

откуда

$$v \leq 10^{-5}u \sim 5 \cdot 10^{-2}m/c = 5cm/c.$$

Можно сделать подобную оценку времени и силы взаимодействия при столковении торцами двух одинаковых цилиндров длины $l$ и радиуса $R$. В этом случае область относительной большей деформации распространяется на объем каждой цилиндраце-

21

Ликом. Предоставляем выкладки (более простые, чем для шариков) читательям и приведем только результаты: $t_1 \sim \frac{l}{u}, F_1 \sim ER^2 \frac{v}{u}$. Сила взаимодействия при стольновении цилиндров оказывается большие, чем при стольновении шариков: $\frac{F_1}{F} \sim \left(\frac{u}{v}\right)^{1/5}$, а время при $l \sim R$ — меньше: $\frac{t_1}{t} \sim \left(\frac{v}{u}\right)^{1/5}$. Для стольных цилиндров, стандартной скорость $5 \text{ cm/s}$, $\left(\frac{u}{v}\right)^{1/5} = 10$. Пожалуйста, самое интересное отличие этих результатов от оценок для шариков — это независимость времени $t_1$ от скорости движения цилиндров.

Нужно, однako, имеет в виду, что явления, произходящие при стольновении стержней, гораздо сложнее, чем при стольновении шариков. Деформированная область может расширяться в веществе не мгновенно, а со скоростью звука, по порядку величины равной $u$. Поэтому охватывает стержни за время $\sim \frac{l}{u}$, то есть, в течение всего времени соударения по стержням распространяются бегущие волны сжатия.

При стольновении шариков деформация распространяется на области «пружинны» за время $\tau \sim \frac{r}{u} \sim \frac{R}{u}\left(\frac{v}{u}\right)^{2/5}$, гораздо меньше времени соударения $t: \frac{\tau}{t} \sim \left(\frac{v}{u}\right)^{3/5} \ll 1$. Поэтому считать, что деформация распространяется на области «пружинны» мгновенно (что мы и делали).

У разжения

1. Оценить $t$ и $F$ для резиновых шариков радиуса $R = 1 \text{ cm}$, стандартной скорость $v = 10 \text{ cm/s}$. Для резины $E \sim 10^6 \text{ h/m}^2, \rho = 10^3 \text{ kg/m}^3$.
2. Оценить время удара о стенку хорошего футбольного мяча.
3. Резиновый шарик со скоростью $v_0$ налетает на два соприкасающих стальные шарика такой же массы. Центры всех шариков лежат на одной прямой. Какими будут скорости шариков после удара?

Звуковая ориентация у дельфинов

Завоеванию дельфинами Мирового океана в сильной степени способствовала их быстродействие и звуковая ориентация, появление у них преосходного развитого гидролокатора, который позволяет отлично ориентировать в водной среде. Из органов чувствству у китобразных лучше всего развивается слух. Звук для водных млекопитающих — важнейший источник информации, так как в воде звуковые колбания распространяется почти в 5 раз быстрее, чем в воздухе. Китобразные воспринимают не только звуки, но также инфразвуки и ультразвуки (до 170 кц), лежащие daleko за пределами чувствительной целевечского уха.

Сигналы, издаваемые дельфинами, используют имми как для связи с сородинамими, так и для ориентации по отраженным звукам (эхолокация).

По эхолокационным сигналам дельфинны могут с большой точностью ориентировать в пространстве, резвиться на минных полях, определять глубину дна и близость берега, разный характер грунта, величины и качество погруженных предметов. ДейстIVE гидролокатора у дельфинов хорошо изучено в океанаримах. Советский гидроакустик Н. А. Дубровский показал, что «ослепленная» афалина (со специальными наглазниками) надежно отличает свинцовый шар диаметром 5 cm от стального шара такого же размера с расстояния 11 м и стальной шар от диоралевого с расстояния 8 м. Американские исследования Эванс и Паузл доказали способность «ослепленного» дельфина различать две одинаковые пластины, состоящие из разных металлов, или из одного и того же металла, но разной толщины. «Ослепленные» дельфины в океанаримах могут свободно пластить, малогабаритных гидролокаторов и эхолоков, маленьких приборов для ориентиции слепых при их ходении по городскимулицам и должно привести к реализации оценке возможностей использования дельфинов в будущее практике человека, в его морских исследованиях.

(Из статьи А. Г. Томиил ина «Дельфины и наука», помещенной в международном ежегоднике «Будущее науки» за 1972 г.)

22

Мнимые числа и геометрические задачи

Г. Д. Балк, М. Б. Балк

Какое отношение могут иметь квадратные корни из отрицательных чисел к заданным из области геометрии? Можно ли человеку, решающему планирование задачу, принести осуществую пользову то обстоятельство, что в алгебре рассматривается числа вида $a + b\sqrt{-1}$?

Ответ как будет очевиден: «Не может».

А между тем оказывается, что привлечение таких «минимых» чисел нередко существует облегчает решение трудной планирование задачи — даже если в условиях такой задачи ни о каких «минимостях» и речи нет. Об этом будет расссказано в данной статье *).

Предполагается, что начальные представления о комплексьных числах и действиях с ними (в алгебраической форме) учителя имеют — скажем, в объеме школьного учебника Е. С. и Е. С. Кочетковых «Алгебра и элементарные функции», ч. 2, М., «Просвещение», 1969, стр. 216—220.

Ниже мы приведем дополнительные сведения о комплексьных числах и упражнения, а затем рассмотрим ряд геометрических задач.

Комплексные координаты точек и векторов

Возьем на плоскости декартову систему координат $xOy$ (рис. 1). Пусть

*) Эта статья написана по материалам занятый математик-механического кружка учащихся смоленской школи № 7 (апрель 1971 года).

$Z$ — некоторая точка на плоскости. Ее положение определяется двумя действительными числами — ее декартовыми координатами $(a, b)$. Соответствим точке $Z$ комплекское число $z = a + bi$. Это комплекское число называемом комплексною координатой точки $Z$.

У разжене 1. Каковы комплекские координаты точек $O, P, Q, M$, изображенных на рисунке 1?

Какдому комплексноу числу $z$ соответствует на декартовой плоскости $xOy$ в полне определения точка $Z$, комплексною координатой которого является именно это число $z^*$).

Возьем теперь на координатной плоскости (рис. 1) вектор (направленный отрезок) $OZ$ с началом в начале координат и концом в точке $Z$, имеющей координаты $(a, b)$. Комплексное число $z = a + bi$ называем также комплексною вектора $OZ$.

*) Отметим, что на оси $Oy$ мы откладываем коэффициент при $i$ (действительное число), но отметке 1 на оси $Oy$ соответствует число $i$.

23

Рассмотрим затем любой другой вектор AB, равный вектору OZ*). Вектор AB сопоставим то же самое компликсное число z; будем это число называть компликсной координатой вектора AB. Так, например, на рисунке 2 векторы AB, CD и OZ имеют одну и ту же компликсную координату 2 — 3i. Вообще можно сказать так: если проекция некоморозо вектора на ось Ox равна a, а его проекция на ось Oy равна b, то компликсной координатой вектора называется число z = a + bi.

У практике 2. Какие компликсные координаты имеют векторы KL, MN, PQ, ST, изображенные на рисунке 2?

У практике 3. Нарисуйте на координатной плоскости какие-либо векторы, начала коморых не совпадаетом с началом координат и коморые

*) Это означает следующие: векторы AB и OZ равны по длине, лежат на одной и той же прямой или на параллельных прямых и одинаково направлены.

имеем также компликсные координаты: i, 3 — i, — i — 3, — 2, 1/2 — 4/3 i.

У практике 4. Пусть векторы OA и AB (рис. 3) имеем компликсные координаты z1 и z2, а сумма этих векторов (вектор OB) имеем компликсную координату z. Как выражаемся число z через числа z1 и z2?

Решение. Пусть z1 = a1 + b1 i, z2 = a2 + b2 i. Тогда проекции векторов OA и AB на ось Ox равны соответственно a1 и a2, а проекция их суммы OB на ось Oy равна a1 + a2. Аналогично показывается, что проекция вектора OB на ось Oy равна b1 + b2. Но тогда компликсная координата z вектора OB равна (a1 + a2) + i (b1 + b2), то есть

z = z1 + z2.

Итак, при сложении векторов их компликсные координаты складываются.

У практике 5. Две точки Z1 и Z2 координатной плоскости xOy (рис. 4) имеем компликсные координаты z1 и z2. Какую компликсную координату имеем вектор Z1 Z2?

Решение. Обозначим через z компликсную координату вектора Z1 Z2. Так как OZ2 = OZ1 + Z1 Z2, то z2 = z1 + z, откуда

z = z2 — z1.

Итак, компликсная координата вектора равна разности между компликсной координатой его конца и компликсной координатой его начала.

У практике 6. Концы отрезка Z1 Z2 (рис. 5) имеем соответствие.

24

ственно комплекские координаты $z_1$ и $z_2$. Какова комплекская координата $z$ середины $Z$ эмного отрезка?

Решение. Векторы $Z_1Z$ и $ZZ_2$ равны, и поэтому они имеют одну и ту же комплексу координату; обозначим ее через $c$. Так как $OZ = OZ_1 + Z_1Z$ и $OZ_2 = OZ + ZZ_2$, то $z = z_1 + c$, $z_2 = z + c$.

Исключая $c$, найдем

$$z = \frac{1}{2}(z_1 + z_2).$$

Итак, комплексаная координата середины отрезка равна получиме комплексы координат его концов.

У правание 7. Точки $A$ и $B$ на координатной плоскости имеем комплексы координаты $\sqrt{3} - i$ и $-\sqrt{3} + 3i$. Какую комплексу координату имеем вектор $AB$? Какую комплексу координату имеем середина отрезка $AB$?

Напомним понятие modуля и аргумента комплекского числа. Если число $z = a + bi$ — комплексаная координата вектора $AB$ (рис. 1), то длина $r$ этого вектора называется modulum комплекского числа $z$ (обозначается так: $|z|$). Ясно, что $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$. Угол $\alpha$ наклона вектора $AB$ к оси $Ox$ (отсутстваемый в полскительном направлении, то есть против часовой стрелки) называется аргументом числа $z$ (обозначается так: $Arg z$). Понято, что у каждой комплексаного числа $z$ имеется бесконечно много аргументов $^*$). Из очевидных соответствий $a = r \cos \alpha$, $b = r \sin \alpha$ следует так называемая триюнометрическая форма комплексною числа: $z = r (\cos \alpha + i \sin \alpha)$.

У правание 8. Пусть $z_1$ и $z_2$ — два комплексы числа. Как геометрические истолковать число $|z_2 - z_1|$?

У правание 9. Можно ли modуль суммы двух комплексы чисел быть больше суммы этих чисел?

*) Если $z \neq 0$, то аргументы $z$ отличаются на кратное $2\pi$, а $Arg0$ вообще произвольен.

Формула Эйлера и формула Myabра
Выражение вида $\cos \varphi + i \sin \varphi$ встреется в математике и ее приложениях весы часто. Для него использоваться различные сокращенные обозначения. Например, в картофели его обозначают знаком $1_\varphi$, а в работах по математике — через $exp(i\varphi)$ или $e^{i\varphi}$. Таким образом, по определению

$$e^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi.$$

У правание 10. Какие комплекские числа заданы выражениями:

$$e^{i\cdot 0}; e^{i\frac{\pi}{2}}; e^{i\frac{\pi}{3}}; e^{i(-\frac{\pi}{4})}?$$

Обозначение (1) определяно сходством в свойств выражений вида $e^x$ (степень с вещественным показателем $x$) и выражений вида $e^{i\varphi}$. В самом деле, известно, что для вещественных $x$, $x_1$ и целых $n$ верны такие формулы:

$$e^x \cdot e^{x_1} = e^x + x_1$$

$$e^{-x} = \frac{1}{e^x},$$

$$(e^x)^n = e^{nx}.$$

Иными словами, при переменной степени с одним и тем же основанием показатели складываются; при возведении какой-либо степени в целую степень показатели переменнойются. Например для выражения вида $e^{i\varphi}$ аналогичные формулы (ниже $\varphi$, $\varphi_1$ — произвольные действительные числа, $n$ — любое целое число $^*$):

$$e^{i\varphi} \cdot e^{i\varphi_1} = e^{i(\varphi + \varphi_1)}$$

$$e^{-i\varphi} = \frac{1}{e^{i\varphi}},$$

$$(e^{i\varphi})^n = e^{in\varphi}.$$

Верны ли эти равенства? Оказывается, да. В этом можно убедиться, пользоваться формулами сложения трионометрических функций. Справдливость формул $(2') - (4')$ и определение введение обозначения (1).

Доказем формулы $(2') - (4')$.

$$e^{i\varphi} \cdot e^{i\varphi_1} = (\cos \varphi + i \sin \varphi) (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1) = (\cos \varphi \cdot \cos \varphi_1 - \sin \varphi \cdot \sin \varphi_1) + i (\sin \varphi \cdot \cos \varphi_1 + \cos \varphi \cdot \sin \varphi_1) = \cos (\varphi + \varphi_1) + i \sin (\varphi + \varphi_1) = e^{i(\varphi + \varphi_1)}$$.

*) Записи вида $e^{-i\varphi}$, $e^{\varphi i}$, $e^{ni\varphi}$ следует, естественно, понимать как $e^{i(-\varphi)}$, $e^{i(n\varphi)}$.

25

(3’). Полягая в (2’) $\varphi_1 = -\varphi$, получим $e^{i\varphi} \cdot e^{-i\varphi} = e^{i \cdot 0} = 1$, откуда следует (3’).

(4’). Доказательство этой формулы для натуральных $n$ проведем методом математической индукции. При $n = 1$ формула (4’), оченьindo, верна. Пусть (4’) справедлива для некоторого $k$:

$$(e^{i\varphi})^k = e^{i(k\varphi)}.$$

Покажем, что в таком случае формула (4’) верна и для следующего номера (то есть при $n = k + 1$). Действительно, в силу формул (5) и (2’) имеем

$$(e^{i\varphi})^{k+1} = (e^{i\varphi})^k \cdot e^{i\varphi} = e^{i(k\varphi)} \cdot e^{i\varphi} = e^{i(k\varphi)+\varphi}.$$

Итак, из (5) следует (5’). Согласно принципу математической индукции формула (4’) верна для всех натуральных $n$.

Пусть теперь $n$ — целое отрицательное число; тогда $n = -m$, где $m$ — натуральное число, и поэтому $(e^{i\varphi})^m = e^{im\varphi}$.

Следовательно,

$$(e^{i\varphi})^n = (e^{i\varphi})^{-m} = \frac{1}{(e^{i\varphi})^m} = \frac{1}{e^{im\varphi}} = e^{-im\varphi} = e^{in\varphi},$$

то есть (4’) верна и для всех целых отрицательных $n$ (для $n = 0$, как обычно, $z^0 = 1$).

Формулы (2’)—(4’) позволяют произвольить преобразования с выражениями вида $\cos \varphi + i \sin \varphi$ так, как будто это обычные степени.

Формулу (1) называют формулой Эйлера, а формулу (4’) — формулой Муавра *). Большое распространена другая запись формулы (4’):

$$(\cos \varphi + i \sin \varphi)^n = \cos n \varphi + i \sin n \varphi.$$

Формула Эйлера позволяет каждое комплексное число $z$ записать компактно в виде $z = re^{i\varphi}$, где $\varphi$ — аргумент числа $z$, а $r$ — его модель (показательная или экспоненциальная форма записи компактного числа).

У практике 11. Пользовать показатель формулой записи комплексных чисел, вычисте, как выражаемся модель и аргумент произведения двух комплексных чисел через модели и аргументы компонентей.

Решение.e. Пусть $z = z_1 \cdot z_2$. Запишем каждый компонент в экспоненциальной форме:

$$z_1 = r_1 e^{i\varphi_1}, \quad z_2 = r_2 e^{i\varphi_2}.$$

*) Леонард Эйлер (1707—1783) — один из величайших математических мира, член Петербургской академии наук, родом из Швейцарии. Абрахам Муавр (1667—1754) — англійский математик.

Тогда

$$z = r_1 e^{i\varphi_1} \cdot r_2 e^{i\varphi_2} = (r_1 \cdot r_2) e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)}.$$

Отсюда видно, что число $z$ имеет своймодул число $r_1 \cdot r_2$, а аргумент — число $\varphi_1 + \varphi_2$. Можно это запись так:

$$|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|,$$

Arg $(z_1 \cdot z_2) = \varphi_1 + \varphi_2$.

Итак, при умножении комплексных чисел их модили переменнойся, а аргументы складываются.

Отметим еще два следствия из формулы Эйлера. Заменяя в (1) $\varphi$ на $-\varphi$, имеем

$$e^{-i\varphi} = \cos \varphi - i \sin \varphi.$$

Из (1) и (6) следуют интересные следствия:

2 cos $\varphi = e^{i\varphi} + e^{-i\varphi},$

2i sin $\varphi = e^{i\varphi} - e^{-i\varphi},$

откуда

$$\cos \varphi = \frac{e^{i\varphi} + e^{-i\varphi}}{2},$$

$$\sin \varphi = \frac{e^{i\varphi} - e^{-i\varphi}}{2i}.$$

Уражнение 12. Пусть $z_1$ и $z_2$ — комплексные координаты двух мочек, расположенных на окружности радиуса $R$ с центром в нулей (начале координат) (рис. 6); $\alpha$ и $\beta$ — аргументы чисел $z_1$ и $z_2$, $0 < \alpha < \beta < 2\pi$. Проверяем справедливость следующего подходства:

$$z_2 - z_1 = |z_2 - z_1| \cdot e^{i \frac{\alpha + \beta}{2}} \cdot i.$$

Решение. Так как $z_2 - z_1 = Re^{i\beta} - Re^{i\alpha}$, то

$$\frac{z_2 - z_1}{ie^{i\alpha}} = \frac{1}{i} R \left(e^{i \frac{\beta - \alpha}{2}} - e^{-i \frac{\beta - \alpha}{2}}\right) = 2R \sin \frac{\beta - \alpha}{2} > 0.$$

Отсюда

$$|z_2 - z_1| = 2R \sin \frac{\beta - \alpha}{2}.$$

Из (8) и (9) следует (7).

Формула (7) будет нам в дальнейшем использована.

26

Одна геометрическая задача

Задание 1. Через центр правильного n-уедольника проведем произвольную прямую и подсчитаем сумму S квадратов расстояний от вершин многоугольника до этой прямой. Будем ли полученная сумма заисеть от выбора прямой?

Решение. Пусть (рис. 7) $A_1A_2 \dots A_n$ – данные многоугольник, $R$ – радиус описанной околного окружности, $O$ – ее центр, $MN$ – прямая, проходящая через O. Пусть $\Rightarrow NOA_1 = \alpha$. Полягая $\varphi = \frac{2\pi}{n}$, имеем

$$S = R^2 \left\{ \sin^2 \alpha + \sin^2 (\alpha + \varphi) \right. + \sin^2 (\alpha + 2\varphi) + \dots + \sin^2 [\alpha + (n-1)\varphi] \}.$$

Требуется выяснить, зависит ли S от $\alpha$. Ясно, что $S = \frac{1}{2} R^2 (n-T)$, где

$$T = \cos 2\alpha + \cos (2\alpha + 2\varphi) + \cos (2\alpha + 4\varphi) + \dots + \cos [2\alpha + (2n-2)\varphi].$$

Вычислим сумму T. Из формулы Эйлера ясно, что T является действительной частью суммы

$$P = e^{i \cdot 2\alpha} + e^{i (2\alpha + 2\varphi)} + e^{i (2\alpha + 4\varphi)} + \dots + e^{i [2\alpha + (2n-2)\varphi]}.$$

Сначала вычислим P, получясь формулой для суммы членов геометрической прогрессии:

$$P = e^{i \cdot 2\alpha} \frac{1 - e^{i 2n\varphi}}{1 - e^{i 2\varphi}}.$$

Но $2n\varphi = 2n \cdot \frac{2\pi}{n} = 4\pi$, а $e^{i \cdot 4\pi} = 1$, поэтому $P = 0$. Но тогда и $T = 0$, то есть $S = \frac{1}{2} R^2 n$.

Отсюда видно, что сумма S не зависит от выбора прямой MN.

Мнимые числа и задача Птолемея

Формула Эйлера и ее следствия позволяют найти новый способ для решения одной задачи, которое впервые решил во втором веке нашей эры древнегреческий геометр и астроном Клавдий Птолемей.

Задание 2. Пусть в окружности висан выпуклый четырехугольник $A_1A_2A_3A_4$ (рис. 8). Требуется выразить сумму произведений промивоположных строкон через диаэроны четырехугольника.

Решение. Будем считать, что центр окружности взят в качестве начала координат и что при обходе окружности против часовой стрелки мы последовательно встречем вершины $A_1, A_2, A_3, A_4$. Их комплексные координаты обозначаем через $z_1, z_2, z_3, z_4$. Пусть $z_k = Re^{i\alpha_k}$, где $k = 1, 2, 3, 4$.

Теперь мы воспользуемся ранее выведенными формулами (см. упр.8,12):

$$A_1A_2 \cdot A_3A_4 + A_2A_3 \cdot A_4A_1 = |z_2 - z_1| \cdot |z_4 - z_3| + |z_3 - z_2| \cdot |z_4 - z_1| = \frac{z_2 - z_1}{i \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}} \cdot \frac{z_4 - z_3}{i \frac{\alpha_3 + \alpha_4}{2}} +$$

27

Итак, в каждом вписанном выпуклом четырехугольнике сумма произведений противоположных сторон равна произведению его диагоналей.

Теорема Птолемея доказана.

Задча 3. Может ли произведение диагоналей выпуклою четырехугольника $A_1A_2A_3A_4$ быть больше, чем сумма произведений противоположных сторон?

Решение. Мы уже пользовались точекdestом, верным для любых комплексных чисел $z_1, z_2, z_3, z_4$:

$$(z_2 - z_1)(z_4 - z_3) + (z_3 - z_2)(z_4 - z_1) = (z_4 - z_2)(z_3 - z_1).$$

Операция на свойства моделей комплексных чисел, получим

$$|z_4 - z_2| \cdot |z_3 - z_1| \leq |z_2 - z_1| \times |z_4 - z_3| + |z_3 - z_2| \cdot |z_4 - z_1|.$$

то есть всегда $A_1A_3 \cdot A_2A_4 \leq A_1A_2 \times A_3A_4 + A_2A_3 \cdot A_1A_4$.

Мы доказали такое дополнительное к теореме Птолемея: в каждом четырехугольнике произведение диагоналей не больше суммы произведения его противоположных сторон.

Комплексный множество как оператор поворота и растяжения

Остановимся еще на одном важном геометрическом толковании комплексного числа.

Пусть на плоскости имеется вектор OZ (рис. 9), и пусть $z$ — его комплексная координата. Повернем вектор OZ вокруг его начала $O$ на угол $\alpha$ (против часовой стрелки, если $\alpha > 0$, и по часовой стрелке, если $\alpha < 0$) и растянем этот вектор (не меняя его начала) с коэффициентом растяжения $\rho$. В результате мы получим новый вектор OW; его комплексную координату обозначим через $\omega$. Как выражается число $\omega$ через $z$, $\alpha$, $\rho$?

Пусть $z = re^{i\varphi}$. Ясно, что $|\omega| = \rho r$, Arg $\omega = \alpha + \varphi$. Поэтому $\omega = (\rho r)e^{i(\alpha + \varphi)} = (\rho e^{i\alpha})(re^{i\varphi})$. Обозначим через $c$ комплексное число $c = \rho e^{i\alpha}$. Обратно, если комплексную координату $z$ некоморою вектора OZ умножить на комплексное число $c = \rho e^{i\alpha}$, то новое число $w = c \cdot z$ представляют собой координату вектора OW, полученное из вектора OZ путем поворота на угол $\alpha$ и растяжения с коэффициентом $\rho$.

Можно короче сказать так: умножение на комплексное число $c$ действует как оператор поворота на угол $\alpha = \text{Arg } c$ и растяжения с коэффициентом растяжения, равным $|c|$.

Понятно, что сделанный выше вывод легко обобщется на тот случай, когда началом вектора служит не начало координат. Например, если векторы KL и MN имеют комплексные координаты $z$ и $\omega$, причем $\omega = -3i \cdot z$, то это означает, что после поворота вектора KL на угол $-\frac{\pi}{2}$ разделан $(\text{Arg}(-3i) = -\frac{\pi}{2})$ и растяжения с коэффициентом 3 (так

28

как $|-3i|=3$ получим вектор, равный вектору МN.

Особо отметим случай, когда $|c|=1$. Такому комплексному числу $c$ (он имеет вид $e^{i\alpha}$) соответствует оператор поворота. Например, комплексную числу $i$ ($i=e^{\frac{\pi}{2}}$) соответствует оператор поворота на угол $90^\circ\left(\frac{\pi}{2}\right)$ в положительной направлении.

Упражнение 13. Дан квадрат ОАВС (рис. 10). Вектор ОА имеет комплексную координату $z=3-i$. Вычисление комплексные координаты векторов OB (обозначим ее через $w_1$), AC ($w_2$).

Решение. Вектор OB получается из ОА поворотом на угол $+\frac{\pi}{4}$ радиан и растяжением с коэффициентом растяжения $\sqrt{2}$. Поэтому

$$w_1 = \sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}} \cdot z = \sqrt{2} \left(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}\right) (3-i) = (1+i) (3-i) = 4+2i.$$

Если вектор OB повернуть на $90^\circ$ в положительной направлении, то получим вектор, равный вектору AC. Поэтому $w_2 = iw_1 = i \cdot (4+2i) = -2+4i$.

Упражнение 14. На рисунке 11 $Z_1C=CZ_2=CZ$, $CZ \perp Z_1Z_2$. Известные комплексные координаты $z_1$ и $z_2$ точек $Z_1$ и $Z_2$. Вычисление комплексную координату $z$ мощи $Z$.

Решение. Вектор OC имеет комплексную координату $\frac{1}{2}(z_1+z_2)$. Вектор CZ получается из вектора CZ$_2$ поворотом на $+\frac{\pi}{4}$ радиан. Но вектор CZ$_2$ имеет комплексную координату $\frac{1}{2}(z_2-z_1)$, поэтому комплексная координата вектора CZ равна $i \cdot \frac{1}{2}(z_2-z_1)$. Из равенства OZ = OC + CZ находится $z = \frac{1}{2}(z_1+z_2) + \frac{1}{2}i(z_2-z_1)$.

Теперь показем, как операторное толкование комплексного числа может быть использовано при решении планиметрических задач.

Задача 4. На сторонах AB и AC треугольника ABC (рис. 12) построены квадраты AB$_1$A$_1$ и ACC$_1$A$_2$, перекрывающегося с этим треугольником. Верно ли, что медиана AM перpendикулярна A$_1$A$_2$? Вычисление также относение A$_1$A$_2$: AM.

Решение. Расмотрим на плоскости декартоvy системы координат $xAy$ с началом в вершине A. Обозначим комплексные координаты векторов AB, AC, AM и A$_2$A$_1$ через $b$, $c$, $m$ и $w$.

Тогда $m = \frac{1}{2}(b+c)$. Вектор AA$_1$ получается из вектора AB поворотом на $+\frac{\pi}{2}$ радиан. Поэтому AA$_1$ (а также точка A$_1$) имеет комплексную координату ib. Аналогично находится точка A$_2$ имеет комплекс-