Квант 1973, №7 · Страницы

КВАНТ
1973
7
Научно-популярный
физико-математический
журнал

Фотографии, которые вы видите на первой и второй страницах обложки,— иллюстрации к статье Л. Г. Асламазова «Поверхностное натяжение». Каждый хаотический расположение пленок в мыльной пене на самом деле строго упорядочено, причем порядок этот «диктует» поверхностная энергия.
Жучок-водомерка скольzt по воде. Почему он передвигается? На него действует поверхностное натяжение воды. Подробнее о различных явлениях, в которых основную роль играет поверхностное натяжение, вы узнаете, прочитав статью Л. Г. Асламазова.

1

В НОМЕРЕ:

2. С. Г. Гиндикин. Сколько существует операций над множествами?
3. Л. Г. Асламазов. Поверхностное наяжение

Математический кругок
21. А. Л. Тоом. Решения задач вступительного контроля работы ВЗМШ 1973 года

Задачик «Квант»
24. Задачи M211—M215; Ф223—Ф227
26. Решения задач M171—M173; Ф188—Ф192

Практикум абитриента
30. В. Е. Белонучкин, С. М. Козел. Закон сохранения энергии
35. И. А. Столяров. Движение заряженных частиц в электрическом поле
42. В. И. Давыдов, И. А. Дыяковов, П. Т. Дыбов, И. И. Наслуров. Телевизионные физико-mатематические курсы для поступающих вузы

Вступительные экзамены вузы.
44. В. М. Камышина. Московский энергетический институт
45. А. Н. Рублев, В. А. Тонян. Московский институт электропонного машиностроения
48. В. В. Гольдбере, Л. Г. Дымбцкая. Московский институт стали и сплавов
49. В. И. Малахов. Московский институт инженеров железнодорожного транспорта
51. Э. А. Голубов. Уральский государственный университет имени А. М. Горького
53. Е. В. Веременникова, В. И. Крупич. Московский государственный педагогический институт имени В. И. Ленина

«Квант» для младших школьников
56. Задачи
57. Т. С. Петрова. Огонь в решете

Ответы, указания, решения
Уголок коллекционера (3-я стр. обложки)
В. А. Лецковцев. На марках — спутники связи «Молния»
Смесь (смр 43, 55)

2

С. Г. Гиндикин
Сколько существует операций над множествами?

Множества могут состоять не только из чисел, но и из лодей, машин, животных, растений и т. д. В жизни множества обычно называются поразному. Так, например, говоря не множество коров, а стADO коров, не множество лошадей, а мабун лошадей, не множество инструментов, а набор инструментов и т. д.

Эти слова взяты из учебника математики для IV класса. Вы наверняка знаете, что над множествами можно произвольить операции объединения и пересечения, которые иногда называются сложением и умножением множества. Приходилось ли вам слышать о каких-нибудь других операциях над множествами? Может быть, вы знаете, что такое разность множества или их симметрическая разность? А много ли вообще существует операция над множествами? Конечно или бесконечно их число? Для того чтобы ответить на эти вопросы, прежде всего надо дать себе отчет в том, что же следует называть операцией над множествами? Мы даим общее определение таких операций и рассケjem о некоторых их интересных свойств. О более трудных вещерах расссказывается в тексте, набранном мелким шрифтом (при первом чтении эту часть текста можно опустить).

1. Обедининие и пересечение
   Напомним, что обедининие $A \cup B$ множества $A, B$ состоит из элементов, входящих хотя бы в одно из множества $A, B$, а пересечение $A \cap B$ состоит из элементов, которые входят в оба эти множества. Образование обедининия и пересечения или построится рисунком 1, на котором «кругги» символизируют множества, над которых произвольится операция, а закрашенная область отвечает множеству, которое получается в результате операции. Заметательно, что множества могут быть самой разнообразной природы, и тем не менее эти диаграммы очень удобны при изучении операций над ними.

Обе рассматриваемые операции обладают следующим двумя свойствами:
$A \cup B = B \cup A; \ A \cap B = B \cap A$ (коммутиативность),
$A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C;$
$A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C$ (ассоциативность).

Коммутиативность очень из определений (см. рис. 1). Доказать ассоциативность вам помогет рисунок 2. Расстановка скобок предписывает порядок, в котором должны выполняться операции. Рисунок подсказывает, что в каком бы из указаных выше порядков не выполнялись операции обедининия, в результате получится множество, состоящее из

3

Элементов, входящих хотя бы в одной из наших множества. Аналогично в случае пересечения получается множество, состоящее из элементов, входящих в каждой из наших множества. Мы советуем читателю проведити аккуратные рассуждания, и не исключаем, что будет не слишкомлегко перевести на язык слов то, что очень/noиз рисунков.

Ассоциативность позволяет, например, в случае объединения при многократном проведении операции над множествами $A_1, \dots, A_n$ не фиксировать при помощи скобок порядок, в котором производятся операции, и говорить просто об объединении $n$ множества $A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n$; это множество состоит из элементов, содержащих хотя бы в одном из множества $A_1, \dots, A_n$. Коммутитивный же закон показывает, что можно как угодно менять порядок $A_1, A_2, \dots, A_n$.

В числовом случае сложение и умножение связны между собой следующим соотношением: $a (b + c) = ab + ac$ (дистирибутивность умножения относительно сложения). Это соотношение позволяет вычисть общий множитель за скобку и раскрывать скобки. Для множества таких соотношения два:

$$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C);$$
$$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C).$$

На рисунке 3 приведены диаграммы, иллюстрирующие эти соотношения. Для доказательства, например, первого из них достаточно заметить, что множество, стоящее и справа и слева, состоит из элементов, входящих в множество $A$ и по крайней мере в одной из множества $B$ или $C$. Отметим, что в числе случаев второе соотношение имело бы вид $a + bc = (a + b) (a + c)$, что, разумеется, неверно.

Первое из соотношений (2) показывает, что любую последовательность объединений и пересечений можно преобразовать в такую последовательность этих операций, что сначала выполняется все пересечения, а потом объединения. Убедитесь, например, что $(A \cup B) \cap ((C \cap D) \cup E)$ можно преобразовать в $(A \cap C \cap D) \cup (A \cap E) \cup (B \cap C \cap D) \cup (B \cap E)$. Можно сделать и так, что вначале будет выполнять все объединения (пользоваться вторым соотношением). Продумайте аналогичные этих преобразований в числовом случае.

2. Разность и симметрическая разность

Разность $A \setminus B$ множества $A$ и $B$ называется множество, состоящее из тех элементов $A$, которые не входят в $B$ (рис. 4). Разность не является симметрической разностью. Для доказательства, например, первого из них достаточно заметить, что множество, стоящее и справа и слева, состоит из элементов, входящих в множество $A$ и по крайней мере в одной из множества $B$ или $C$. Отметим, что в числе случаев второе соотношение имело бы вид $a + bc = (a + b) (a + c)$, что, разумеется, неверно.

Первое из соотношений (2) показывает, что любую последовательность объединения и пересечения можно преобразовать в такую последовательность этих операций, что сначала выполняется все пересечения, а потом объединения. Убедитесь, например, что $(A \cup B) \cap ((C \cap D) \cup E)$ можно преобразовать в $(A \cap C \cap D) \cup (A \cap E) \cup (B \cap C \cap D) \cup (B \cap E)$. Можно сделать и так, что вначале будет выполнять все пересечения (пользоваться вторым соотношением). Продумайте аналогичные этих преобразований в числовом случае.

4

Ляется ни коммутативной, ни ассоциативной операцией. Доказать это вам помогет рисунок 5. Заметьте также, что разность не является операцией, обратной объединению (которая, как мы уже говорили, иногда называют сложением множества). Вы убедитесь в этом, доказав следующее соотношение:

$$(A \setminus B) \cup B = A \cup B;$$
$$(A \setminus B) \cup (A \cap B) = A.$$

Симметрическая разность $A \triangle B$ множество $A$ и $B$ состоит из элементов, входящих в одно и только одно из множества $A$ и $B$ (рис. 6): $A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$. Симметрическая разность является коммутативной и ассоциативной операцией. Доказите это, воспользовавшись рисунком 7. Для симметрической разности и пересечения выполняется дистрибутное соотношение:

$$A \cap (B \triangle C) = (A \cap B) \triangle (A \cap C)$$
(см. рис. 8). Однако $A \triangle (B \cap C)$ может не совпадать с $(A \triangle B) \cap (A \triangle C)$ (см. рис. 9). Ситуация анализочная числовой. Для этого, как мы увидим, имеются глубокие причины.

3. Универсальное множество и дополнительное множество

Будем предложать в дальнейшем, что все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого фиксированного множества. Мы будем называть его универсальным образом. Если, например, рассматриваются множества точек на плоскости, то универсальным является множество всех точек на плоскости; если рассматриваются множества натуральных чисел, то универсальным является множество всех натуральных чисел.

Если фиксированную универсальное множество $I$, то можно говорить о дополнительном $\bar{A}$ множество $A$ (до $I$): $\bar{A} = I \setminus A$, то есть $\bar{A}$ состоит из элементов $I$, не входящих в $A$

5

(см. рис. 10). Дополнительную универсальную множеству пусто: $\bar{I} = 0$ (пустое множество).

Операция дополнительная позволяет связывать операции объединения и пересечения следующим образом:

$$\bar{A} \cup \bar{B} = \bar{A} \cap \bar{B}.$$

Действительно, $\bar{A} \cap \bar{B}$ состоит из элементов, входящих в $\bar{A}$ и $\bar{B}$, то есть не входящих ни в $\bar{A}$, ни в $\bar{B}$, или, что то же, не входящих в объединение $\bar{A} \cup \bar{B}$, что и утверждается. Из полученного соответствия, что

$$\bar{A} \cup \bar{B} = \bar{A} \cap \bar{B}, \quad \bar{A} \cap \bar{B} = \bar{A} \cup \bar{B}.$$

(3)

Для получения первого из этих соответствий достаточно заменить, что из совпадения множеств следует совпадение их дополнительной и что $\bar{C} = C$ (дополнитель к дополнительно совпадет с исходным множеством). Для получения второго нужно учеть, что поскольку $\bar{A} \cup \bar{B} = \bar{A} \cap \bar{B}$ для любых $A$ и $B$, то можно в качестве этих множеств взять $\bar{A}, \bar{B}$: $\bar{A} \cup \bar{B} = \bar{A} \cap \bar{B} = \bar{A} \cap \bar{B}$. Соответствия (3) носят название закон де Моргана. Они показывают, что объединение можно выражить через пересечение и дополнительное, а пересечение — через объединение и дополнительное.

Отметим, что $A \setminus B = A \cap \bar{B}$, а значит, $A \triangle B = (A \cap \bar{B}) \cup (\bar{A} \cap \bar{B})$.

4. Закон двойственности

Изучение операций над множеств состоит в получении различных точекств, связывающих операции. Имеются в виду утверждения следующого вида. Над множеством $A_1, \dots, A_n$ двумя способами выполняются какие-то последовательности операций и утверждается, что эти комбинации операций всегда (для любых $A_1, \dots, A_n$) приводят к совпадению множеств. Все законы (1), (2), (3) являются также то жею точкойствами. Важно уметить получать из уже имеющихся точекств новые. Например, мы уже фактически пользовались тем, что если в точекстве заменить $A_1, \dots, A_n$ на $\bar{A}_1, \dots, \bar{A}_n$ или перейти к дополнительному в обеих частях точекств, то также получим точекств.

Сейчас мы укажем очень важный способ преобразования точекств, содержащих операции объединения, пересечения и дополнительия (и только эти операции).

Закон двойственности. Если в точекстве, содержащем только операции объединения, пересечения и дополнительия, заменить все пересечения на объединения, а все объединения — на пересечении, то вновь получится точекств.

Проверьте, что таким образом из коммутативности и ассоциативности объединения получаются коммутативность и ассоциативность пересечения, и обратно, а из одного дистрибутного соответствия (2) — другое.

Мы не будем приводить здесь доказательство этого утверждения, а посям на примере, как оно может быть получено.

Рассмотрим точекств

$$A_1 \cap ((A_2 \cup \bar{A}_3) \cap (\bar{A}_4 \cap A_5)) = A_1 \cap (\bar{A}_2 \cap A_3) \cup (\bar{A}_4 \cap A_5),$$

его легко проверить, пользоваться законами де Моргана. Перейдем в обеих частях точекств к дополнительному и заменим все $A_1, \dots, A_5$ на $\bar{A}_1, \dots, \bar{A}_5$:

$$\bar{A}_1 \cap ((\bar{A}_2 \cup A_3) \cap (\bar{A}_4 \cap A_5)) = \bar{A}_1 \cap (\bar{A}_2 \cap \bar{A}_3) \cup (\bar{A}_4 \cap \bar{A}_5).$$

Заменим теперь все операции объединения и пересечения при помощи (3). Если мы упрощим полученное точекств, пользоваться тем, что две черты над одним выражением

6

Можно уничтожить, то получим нужное тожество:

$$A_1 \cup ((A_2 \cap A_3) \cup (A_4 \cap A_5)) = A_1 \cup (A_2 \cup A_3) \cap (A_4 \cup A_5).$$

Строое доказательство проводится из таких же сообщений.

5. Что такое операция над множеством?

Попытайте сами дать ответ на этот вопрос, а затем сравните вашы выводы с тем, что расссказывает ниже.

Задать операцию над множеством — это прежде всего значит указать способ по двум заданным множеством $A$ и $B$ строить треть множество; обозначим его через $A \bigcirc B^*$). Если мы оставимся в определении на этом месте, то получим необозримое количество операций. Но, может быть, вам удалось подметить, что во всех операциях, которые мы показатривали, вопрос о том, входит ли какой-либо элемент в $A \bigcirc B$, полностью решался исходя только из того, в какие из множеств $A$, $B$ он входит, а в какие — нет. Включим это требование в определение операции. Сформулируем его более подробно.

Если заданы два множества $A$ и $B$, то возникает разбнение универсального множества $I$ на четыре непересекающихся подмножества: множество $A \cap B$, состоящее из элементов, содержащихся в общих множеств $A$ и $B$; множество $\overline{A} \cap \overline{B}$, состоящее из элементов, не попавших ни в одной из этих множеств; множество $\overline{A} \cap B$, состоящее из элементов, попавших в $B$, но не попавших в $A$, и множество $\overline{A} \cap \overline{B}$, состоящее из элементов, входящих в $A$, но не входящих в $B$. Будем называть эти множества однойками. Наше дополнительное требование на операцию состоит в том, что если два элемента находится в одной dolbe, то они или она входят

*) Разумеется, $A \bigcirc B$, как и $A$, и $B$ должны содержаться в универсальном множестве $I$.

Рис. 11.

в $A \bigcirc B$, или она не входят. Другими словами, $A \bigcirc B$ является объединением некоморого числа долек. Разбнение на дольки хорошего иллюстрируется диаграммами, которые мы рисовали (на рис. 11 соответствующие области окрашены в разные цвета); в этом и заключается причина, по которой диаграммы удобны при изучении операций.

6. Сколько существует операций над парой множеств?

Теперь мы можем легко ответить на этот вопрос. Различных операций столько, сколько существует различных способов выбрать долек, составляющие $A \bigcirc B$. Имеется 4 долек, а различных способов образования $A \bigcirc B$ — 16. Столько же имеется и различных подмножества в множестве из 4 элементов (считая пустое множество и все множество). Эти вычисления можно проводить непосредственно, а можно воспользоваться следующей комбинаторной леммой, которая нам пригодится в дальнейшем.

Лемма. В множестве из $n$ элементов имеет $2^n$ различных подмножества.

Доказательство. Пусть $N$ — такое множество. Занumerуем каким-то образом его элементы. Поставим в соответствие каждойому подмножеству $M$ в $N$ набор из нулей и единиц длины $n$, причем на $k$-м месте мы ставим 1, если $k$-й элемент множества $N$ входит в $M$, и 0 — в противном случае. Такие наборы называются двончными. Между поимно-

7

Жествами в $N$ и двойными наборами длины $n$ возникает взаимно однозначное соответствие. При этом набору из одних нулей отвечает пустое множество, а набору из одних единиц — все множества $N$. Итак, число подмножества в $N$ совпадает с числом двойных наборов длины $n$. Доказем по индукции, что это число $f(n)$ равно $2^n$. При $n = 1$ это очевидно; пусть $f(n - 1) = 2^{n-1}$. Каждый набор длины $n$ получается из набора длины $n - 1$ добавлением 0 или 1, то есть из каждого набора длины $n - 1$ получается два набора длины $n$, а значит, $f(n) = 2f(n - 1) = 2^n$.

Полагая $n = 4$, мы получаем, что существует 16 подмножества в множестве из 4 элементов и, следовательно, 16 операций над двумя множествами. В числе этих операций попадают операции $A \bigcirc B = 0$ (пустое множество) для любых $A$ и $B$ ($A \bigcirc B$ не содержит ни одной дольки) и $A \bigcirc B = I$ при любых $A$ и $B$ ($A \bigcirc B$ — объедининие всех дольек). Эти операции мы будем обозначать через 0 и 1 соответственно. В числе операций попадут также $A \bigcirc B = A$, $A \bigcirc B = B$, $A \bigcirc B = \overline{A}$, $A \bigcirc B = \overline{B}$, так как во всех четырех случайных множества, стоящее справа, является объедининием двух дольек (например, $\overline{A} = (\overline{A} \cap B) \cup (\overline{A} \cap \overline{B})$). Перечислим остальные операции:
$A \bigcup B$, $A \cap B$, $A \setminus B$, $B \setminus A$, $A \triangle B$, $A \cup B$, $A \cap B$, $A \setminus B$, $B \setminus A$, $A \triangle B$.

Заметим, что в числе операций вошли операции образования долек *). Из того, что каждая операция является объедининием долек, следует, что каждая операция может быть выражена через объедининие, пересечение и дополнение.

*) Для представления операций, которые мы несколько легкомыслино называем «разбением на дольки», существует в полне серbezный термин «совершенная дизюнктивная нормальная форма», а дольки при этом называются «полными правильными элементарными коньонкциями».

Рис. 12.

Укажем еще одно представление операций через указанные три. Наозовем дополнение к долке довеском. В силу (3) довескам отвечают операции $\overline{A} \cup \overline{B}$, $A \cup B$, $A \cup \overline{B}$, $\overline{A} \cup B$. (В этом также легко убедиться, рисунками). Задавая операцию $A \bigcirc B$, можно вместе того, чтобы перечислять, какие дольки входят в $A \bigcirc B$, указывать, какие дольки не входят в него, и тогда $A \bigcirc B$ будет пересечением довесков, соответствующих этим долькам. Например, $\overline{A} \cap B = (A \cup B) \cap (\overline{A} \cup \overline{B}) \cap (\overline{A} \cup B)$ рассмотрите самостояльно и другие примеры. Представление операций в виде пересечения довесков *) можно получить из представления в виде объедининия долек при помощи закона двойственности (проделяйте это!).

7. Двоичные таблицы для операций
   Поставим в соответствие каждой дольке двойный набор из двух элементов: $A \cap B => (1, 1)$, $\overline{A} \cap \overline{B} => (0, 0)$, $\overline{A} \cup B => (0, 1)$, $A \cup \overline{B} => (1, 0)$. Здесь 1 указывает на то, что долька входит в соответствующей множество ($A$ или $B$), а 0 — что не входит и, значит, входит в дополнение (см. рис. 12). При задании операции $A \bigcirc B$ поставим в соответствие каждой дольке, закодированной таким набором, 1, если эта долька

*) И для этого представления есть серbezное наименование; «совершенная коньонктивная нормальная форма».

8

входит в $A \bigcirc B$, и 0, если не входит. Все это можно записать в виде таблицы, в котором строки будут отвецать долькам, и строку, например, 1,0|0 следует воспринять как закодированную запись фразы: если неекоторий элемент входит в первое множество ($A$) и не входит во второе ($B$), то он не входит в $A \bigcirc B$. Такая таблица называется двойной или бульевой таблицей операции, и она полностью задает операцию. Выше приведена сводная двойная таблица всех операций над парой множества.

Обратите внимание на столбцы таблицы, отвецующие $A \cap B$, $A \triangle B$ и $\bar{A}$. Если $(x, y)$ — набор, отвецующий дольке, то в столбце для $A \cap B$ стоит просто $xy$, в столбце для $A \triangle B$ — остаток от деления $x + y$ на 2, а в столбце для $\bar{A}$ — остаток от деления $x + 1$ на 2. Эти действия над элементами $x, y = 0,1$ носят название арфметических операций по модулю 2, и для них сохраняются все основные законы общих арфметических операций (коммутитивность, ассоциативность, диспribутивность умножения относительно сложения) *). Этот факт позволяет замененные нами свойства симметрической разности.

*) Об операциях по модели (арфметике остатков) можно прочитать в журнале «Квант» № 5 за 1970 г.

8. Операции над $n$ множества

С таким операциями мы уже фактически имели дело, но они всегда были выражены через операции над парами множества. Сейчас мы даим общее определение. Задать операцию над $n$ множества — это значит задать закон построения по набору из любых $n$ множества $A_1, \dots, A_n$ однозначно определенного множества $f(A_1, \dots, A_n)$, причем вопрос о входении некоторого элемента в $f(A_1, \dots, A_n)$ полностью определяется тем, в какие из множества $A_1, \dots, A_n$ этот элемент входит, а в какие — нет. Положим $A^\sigma = A$ при $\sigma = 1$ и $A^\sigma = \bar{A}$ при $\sigma = 0$. Заметим, что множество $A_1^{\sigma_1} \cap A_2^{\sigma_2} \cap \dots \cap A_n^{\sigma_n}$ состоит из всех элементов, входящих в $A_j$, если $\sigma_j = 1$, и не входящих в $A_j$, если $\sigma_j = 0$. Операцию $A_1^{\sigma_1} \cap A_2^{\sigma_2} \cap \dots \cap A_n^{\sigma_n}$ будет, как и при $n = 2$, назвать долькой, отвецующей набору $(\sigma_1, \sigma_2, \dots, \sigma_n)$. Долек существует столько, сколько существует двойных наборов длины $n$, то есть (по лемме) $2^n$. На рисунке 13 вы видите разбиение на дольки при $n = 3$.

Из определения операции следует, что каждая операция $f(A_1, \dots, A_n)$ является обтеканием некомотрою числа долек. Для задания операции каждой долке, закодированной двой

9

Рис. 13.

ным набором σ, поставим в соответствии 1 или 0, смотря по тому, входит эта долка в $f(A_1, \dots, A_n)$ или нет. В результате операции отвечает двойный набор длины $2^n$ (столько имеется долек), а значит, существует $2^{(2n)}$ различных операций над множествами. Поскольку во всех случаях $f(A_1, \dots, A_n)$ является объединением долек, одновременно мы получаем, что каждой операция выражается через объединения, пересечения и дополнительия. Другое представление мы получим, если рассмотрим две и three операции к долкам, они имеют вид $A_1^{\sigma_1} \cup \dots \cup A_n^{\sigma_n}$. Всякая операция может быть представлена в виде пересечения довесков.

Итак, оказалось, что, во-первых, имеется конечное число операций над $n$ множествами, а, во-вторых, все эти операции могут быть выражены через операции над парами множества — объединение, пересечение и дополнительие $^*$). Этим и обьясняется, что во многих вопросах теории множества ограничиваются рассмотренем этих трех операций. Впрочем, учитывая (3), можно ограничиться двумя операциями: объединением и дополнительным или пересечением и дополнительным.

Существуют и другие возможности выбирать основные операции, через которых выражаются все остальные операции. Рассмотрим, например, операцию $A \cap B$. Если взять

*) Дополнительное считать операцией над одним множествором ($n=1$).

в качестве $A$ и $B$ одно и то же множество $C$, то мы получим $\overline{C}$. Проделав последовательно эти две операции, мы получим $A \cap B$. Но через пересечение и дополнительное можно выразить любую операцию. Значит, любую операцию можно выразить через единственную операцию $\overline{A \cap B}$. Проверьте, что и через операцию $A \cup B$ тоже можно выразить все операции. Эти две замечательные операции носят название операций Шефера. Докажите, что в качестве систем основных операций можно выбрать $\overline{A} \cup B$, $\overline{C}$ или $\overline{A} \cup B$, 0.

9. Монotonные операции.

А все ли операции можно выразить через объединения и пересечения, не прибегая к дополнительному? Оказывается, нет. Для того чтобы убедиться в этом, надо найти какое-то свойство, который все операции, представляющиеся через объединение и пересечение, обладают, но есть операции, которые этим свойством не обладают. Как мы заметили в п.1 при обсуждении соответствия (2), всегда можно так изменить порядок объединения и пересечения, что вначале будут выполняться пересечения, а затем объединения. Возможность такого представления накладывается с целью определения на множество долек, из которых может состоять $f(A_1, \dots, A_n)$, если $f(A_1, \dots, A_n)$ выражается через объединения и пересечения. Набор этих долек должен быть устроен следующим образом: имеются подмножества $M_1, \dots, M_k$ в множестве $N = \{1, 2, \dots, n\}$ и долка, отечеющая $\sigma = (\sigma_1, \dots, \sigma_n)$, входит в $f(A_1, \dots, A_n)$ тогда и только тогда, когда или $\sigma_j = 1$ при всех $j \in M_1$, или $\sigma_j = 1$ при всех $j \in M_2$, и так далее. Например, в случае $(A_1 \cap A_3 \cap \bigcap A_5) \cup A_4 \cup (A_2 \cap A_5)$ имеем: $M_1 = \{1, 3, 5\}, M_2 = \{4\}, M_3 = \{2, 5\}$. Нетрудно убедиться, что такие совокупности наборов от характераизуют тем, что в них вместе с каждой набором $\sigma$ входят все наборы $\sigma'$, у которых на всех тех местах, на которых $\sigma$ стоит единицы, также стоит единицы (будем это символически обозначать так: $\sigma' \geq \sigma$). Теперь ясно, что, например, операция $A \setminus B = A \cap B$ не обладает этим свойством: она совпадает с единственной долкой, отечеющей набору (1, 0), а $(1, 1) \geq (1, 0)$ отечеает долке, не входящей в $A \setminus B$. Операции, которые выражаются через объединения и пересечения, а также 0, 1 будем называть многоотнеными. Очевидно, что дополнительное — также немногоотненная операция: считая $n = 1$, мы видим, что $A$ совпадает с долкой для $\sigma = (0) \leq \sigma' = (1)$.

10

10. Линейные операции

Всякую операцию можно выразить через $A \cap B, A \triangle B, I$. Действительно, $\overline{A} = A \triangle I$, $A \cup B = (A \cap B) \triangle (A \triangle B)$, а в п. 8 мы доказали, что любая операция выражается через пересечение и дополнение. Исследуем этот факт с точки зрения арифметической интерпретации операций. Пусть $f(A_1, \dots, A_n)$—произвольная операция; рассмотрим ее двончную таблицу (см. п. 7). Обозначим через $\tilde{f}(x_1, \dots, x_n)$ значение в этой таблице, отвечающее двончному набору $(x_1, \dots, x_n)$.

Если мы выразим $f$ через $A \cap B, A \triangle B, I$, то для $f$ возникнет выражение через арифметические операции по модулю 2. Раскрыв скобки и приводя подобные члены, мы получим представление для $\tilde{f}$ в виде многочлена от $x_1, \dots, x_n$. Учитывая, что $x_j$ принимают значения 0, 1, а в результате берется лишь остаток от деления значения многочлена на 2, мы можем силюно упростить вид многочлена. Во-первых, можно считать, что все ненулевые коэффициенты равны 1 (2x делится на 2), во вторых, переменные $x_j$ будут входить в одночлены не выше чем в первой степени $(x^2 = x$ при $x = 0, 1)$.

Исследуем теперь операции такого вида: $f(A_1, A_2, \dots, A_n) = A_1 \triangle A_2 \triangle \dots \triangle A_n$. (В записи мы воспользовались коммутиативно и ассоциативно $A \triangle B$; см. п. 2.) Полученное в результате множество состоит из таких элементов, которые входят в нечетное число множества $A_1, \dots, A_n$, а потом эти операции будем называть идикарами нечетности. Проверку этого утверждения легко осуществить непосредственно (при $n = 2, 3$, см. рис. 6, 7), и можно заметить, что в этом случае $\tilde{f}(x_1, \dots, x_n) = x_1 + \dots + x_n$ по модулю 2. Отсюда видно, что через симметрическую разность нельзя выразить, например, пересечение $A \cap B$, так как $A \cap B$ состоит из элементов, попавших в два множества. Если добавить операцию 1, то мы получим еще индикаторы четности $A_1 \triangle \dots \triangle A_n \triangle I$; им отведют полиномы первой степени $x_1 + \dots + x_n + 1$. Пересечение мы опять выразить не сможем, так как элементы, не входящие ни в $A$, ни в $B$, не входят и в $A \cap B$. Будем называть операции, выражющейся через $A \triangle B$ и $I$ (то есть индикаторы четности и нечетности), линейными операциями, а остальные операции — не линейными. Эти термины связаны с отвечающим этим операциям полиномами.

11. Описание системы основных операций

Будем понимать под системой основных операций такие системы операций, что все остальные операции через них выражаются.

У нас уже имеется несколько примеров системы основных операций. Кроме того, в предыдущих двух пунктах мы доказали, что наборы $\{A \cap B, A \cup B\}$, $\{A \triangle B, I\}$ нельзя принять за системы основных операций. При этом мы получили необходимые условия на такие системы; они обязательно должны содержать неполнением и неонотонные операции. Замечательно, что в таких же терминах даны необходимые и достаточно условия. Мы сделаем это не в самом общей системе. Будем говорить, что для системы операции выполняется предположение 01, если эта система содержит 0 и 1.

Теорема Поста. Систему операций, удовлетворяющих предположению 01, можно принять за систему основных операций модели и только модели, когда она содержит неонотонную и неонотонную операции.

Имеется общая формулировка теоремы Поста для любых систем (без предположения 01); при этом число условий теоремы, то без предположения 01 они должны в п. 9, 10. Очевидно, что они сохраняются и при условии 01, так как 0 и 1 являются монотонными и линейными операциями $(A \triangle A = 0)$.

Достаточно будет следовать из двух приводимых ниже задач.

Задание 1. Доказать, что в предположении 01 из всякой неонотонной операции можно получить операцию дополнительно.

Пусть $f$ — неонотонная операция и $f(A_1, \dots, A_n)$ входит только, отвечающая $\sigma$, а только, отвечающая $\sigma' \geq \sigma$, не входит. Тогда, если на $j$-м месте и в $\sigma$ и $\sigma'$ стоит 0, то вместо $A_j$ подставляем пустое множество, если же и тут и там стоит 1, то подставляем универсальное множество $I$. На остальных местах, поскольку $\sigma' \geq \sigma$, в $\sigma$ стоит 0, а в $\sigma' - 1$. Подставим вместо этих $A_j$ одно и то же множества $A$. Тогда должна, отвечающая $\sigma$, превращаться в $A$, а должна, отвечающая $\sigma'$, — в $A$. Операция $\varphi(A)$, которая получится в результате, будет совпадать с $A$, так как $\varphi(A)$ содержит $A$ и не содержит $A$.

Задание 2. Доказать, что в предположении 01 через всякую неонотонную операцию и дополнение можно выразить пересечение.

Эту задачу попробуйте решить самостоятельно. Наше решение приведено на с. 58.

*) См. книгу Гиндикин С. Г., Алгебра логики в задачах, М., «Наука», 1972.

11

Поверхность натяжение
Л. Г. Асламаозов

Удивительно разнообразны процесления поверхностного натяжения жидкости в природе и технике. Она создает воду в капли, благодаря ему мы можем выдуть мыльный пузьрь и писать ручкой. Поверхность натяжение играет важную роль в физиологии нашего организма. Его использование в космической технологии. Почему же поверхность жидкости ведет себя подобно растянутой упругой пленке? Попробуем в этом разобраться.

Поверхностная энергия
Молекуры, расположенные в тонком слое жидкости вблизи поверхности, находятся в особых условиях. Они имеют одинаковых с ним соседей только с одной стороны поверхности, в отличие от молекул внутри жидкости, окруженных со всех сторон таких же молекулами. Поэтому результирующая сила, действующая на молекулу в поверхностном слое, отличана от нуля. Например, на свободной поверхности жидкости (рис. 1) эта сила направлена внутри жидкости.

Рис. 1.

ти, так как молекula на поверхности испытывает значительное большее прияжение со стороны молекул жидкости, чем со стороны молекул воздуха.

При перемещении молекулы с поверхности в объем жидкости совершается положительная работа. Это означает, что молекулы в поверхностном слое обладают избыточной потенциальной энергии по сравнению с молекулами внутри жидкости. Разумеется, молекулы жидкости находится в непрерывном тепловом движении — один молекулы уходит с поверхности, другие, наоборот, попадают на нее. Но можно говорить о средней добавочной энергии поверхностного слоя жидкости — о поверхностной энергии, пропорциональной площади поверхности жидкости.

Известно, что из всех возможных состояний системы источников является то, в котором энергия системы минимальная. В частности, и поверхность жидкости стремится приять такую форму, при которой ее поверхность энергия будет минимальная. Как говорят, жидкость обладает повышенной натяжением, стремящимся сократить, уменьшить ее поверхность. Козффициентом поверхностного натяжения называют поверхностную энергию, приходящую на единицу площади, или сил, приходящую на единицу длины границ поверхности. Легко доказать (сделайте это сами), что оба определения коэффициента поверхностного натяжения эквивалентны.

12

Рис. 2.

Стремленное поверхностного натяжения уменшить поверхность жидкости обычно противодействуют другие силы. Например, капля жидкости почти никакогда не является шаром, хотя шар имеет наименьшую из всех фигур поверхность при заданном объеме. Когда капля покопится на неподвижной горизонтальной поверхности, она оказывается сплющенной. Сложную форму имеет и падающая в воздухе капля. И только капля, находящаяся в невесомости, принимает совершенную сферическую форму.

Устранить действие силы тяжестями при изучении поверхностного натяжения жидкости впервые договорается в середине прошло века белгийский ученый Ж. Плато. Разумеется, в то время и не мечтали о настоящей невесомости, и Плато просто предложил уравновесить силу тяжестями архимедовой выталкивающей силой. Он помещил исследуемую жидкость (масло) в растор, обладающий такой же плотностью, и, как пишет его биограф, «с удивлением увидел, что масло приняло сферическую форму; он тотчас же принимал свое правило «вовремя удивляться», и это явление послужило затем для него предметом долги размышлений».

Свой метод Плато применил для исследования различных явлений. Например, он изучил процесс образования и отрыва капли жидкости на конце трубки.

Obviously, как бы медленно мы ни растили каплю, она отрывается от трубки так быстро, что глаз не может уследить за деталями этого процесса. Плато помещал конец трубки в жидкость, плотность которого была только немного меньше плотности капли. Действие силы тяжестями при этом ослаблено, можно вырастить очень большую каплю и увидеть, как она отрывается от трубки.

На рисунке 2 приведены фотографии, на которых показаны различные стадии красного процесса образования и отрыва капли (фотографии получены современным методом — с помощью скоростной кинобемки). Попробуем обьясить это явление. Пока капля растет медленно, можно считать, что в каждый момент времени она находится в равновесии. Тогда при заданном объеме капли ее форму определяется из условия, что сумма поверхностной энергии и потенциальной энергии капли, обусловленной силой тяжестями, минимальная. Поверхность натяжение вызывает сокращение по-

13

верхности капли, она стремится придать капле сферическую форму. Сила также, наоборот, стремится расположить центр также капли как можно ниже. В результате капля оказывается вытянутой.

Чем больше капля, тем больше роль играет потенциальная энергия силы тяжесте. Основная масса по мере роста капли собирается внизу, и у капли образуется шея (вторая фотографика на рисунке 2). Сила поверхностного натяжения направлена вертикально по касательной к шеяке. Она уравновешивает силу тяжесте, действующего на каплю. Теперь достаточно капле совсем немного увеличится, и силы поверхностного натяжения уже не смогут уравновесить силу тяжесте. Шейка капли быстро сужается (третья фотографика на рисунке 2), и в результате капля отрывается (четвертая фотографика). При этом от шеики капли отделяется маленькая капля, которая падает вслед за большой. Вторичная капелька образуется всегда (ее называют шариком Плато), но так как процесс отрыва капли — очень быстро, обычно мы этой вторичной капельки не замечаем.

Отрыв капли использует для измерения величины поверхностного натяжения жидкости. Когда капля еще висит на шеяке, сила тяжесте уравновешена слими поверхностного натяжения, действующими по перimetру поперечного сечения шеики:

$$mg = 2\pi r\sigma,$$

где $r$ — радиус самого узкого места шеики, в котором силы поверхностного натяжения направлены вертикально, $\sigma$ — коэффициент поверхностного натяжения жидкости. Масса висшей на шеяке капли $m$, какуже отмещалось, практически равна массе отрывающейся капли. Поэтому, изменяя радиус шеики $r$ и определяя массу отрывающейся капли $m$ взвешиваемем, можно найти величины поверхностного натяжения жидкости:

$$\sigma = \frac{mg}{2\pi r}.$$

Для большей точности обычно набирают в сосуд много капель и, разделив их общую массу на число капель, находят среднюю массу капли $m$. Для более точного определения радиуса шеики $r$, при котором капля еще не отрывается, ее освещают расходящимся лучом света и по размерам тени на экране и коэффициенту увеличения определяют размер шеики.

Мыльные пленки

Прекрасным объектом для изучения поверхностного натяжения является мыльные пленки. Сила тяжесте здесь почти не играет роль, так как пленки чрезвычайно тонки и их масса совершенню ничего нежно. Основную роль здесь играет поверхностная энергия, и поэтому у мыльных пленок форму поверхностного всегда такова, что ее площадь минимальная.

Наверное, всем доводилось видеть мыльные пыли. Они могут свободно парить в воздухе и совершенню сферицы.

Давление внутри пыли больше атмосферного давления, причем чем меньше радиус пыли $R$, тем больше избыточное давление внутри пыли. Это избыточное давление $\Delta p_{c\phi}$ (для сфериского пыли) определяется по известной формуле Лапласа:

$$\Delta p_{c\phi} = \frac{2\sigma'}{R},$$

где $\sigma' = 2\sigma$ — удвоенный коэффициент поверхностного натяжения жидкости (у пленки — две поверхности).

Величина, обратная радиусу сферы, называется ее кривизной: $\rho = \frac{1}{R}$.

Написанная выше формула означает, что избыточное давление пропорционально кривизнине сферы.

Шар — не единственная форма, которая можно придать мыльному пылию. Если помещить пыльную думму колццами, то его можно растягивать, пока он не примет форму цилиндра со сфериским «шапками» (рис. 3).

14

Рис. 3.

Чему равно избыточное давление внутри такого пузыря? У цилиндрической поверхности кривизна по разным направлениям различна. Вдоль образующей цилиндра кривизна равна нулю (образующая — пряма линия) *), а в сечении, перpendикулярном оси цилиндра, его кривизна равна 1/R, где R — радиус цилиндра. Какое же значение р мы должны подставить в предыдущую формулу? Оказывается, разность давления по разные стороны любой поверхности определяется ее средней кривизной. Что это за величины?

*) Что такое кривизна плоской кривой? Кривизна окружности определяется так же, как и кривизна сферы: $\rho_{\text{окр}} = 1/R$, где R — радиус окружности. Если же кривая не является окружностью, то тем не менее ее отдельные маленькие участки можно приближенно считать дугами окружностей определенных радиусов. Величины, обратные этим радиусам, и называются кривизнами плоской кривой в различных ее точках.

Рис. 4.

Проведем через нормаль к поверхности в точке A плоскости. Сечения цилиндрического поверхности этимплоскостями (они называются нормальные сечениями) могут быть округжностью, эллипсом или прямой (рис. 4). Легко видеть, что кривизны этих сечений в точке A различны: максимальный кривизной обладает поперечное сечение — округжность, а минимальный, равной нулю, — пряма (продольное сечение). Средняя кривизна $\rho_{\text{сред}}$ определяется как получимма максимального и минимального кривизн номальных сечений:

$$\rho_{\text{сред}} = \frac{\rho_{\text{max}} + \rho_{\text{min}}}{2}.$$

Это определение годится не только для цилиндра, и так можно определить среднюю кривизну в данной точке любой поверхности.

У цилиндрического поверхности в любой точке максимальная кривизна $\rho_{\text{max}} = \frac{1}{R}$, где R — радиус поперечного сечения цилиндра, а $\rho_{\text{min}} = 0$. Поэтому средняя кривизна $\rho_{\text{цил}} = \frac{1}{2R}$, а избыточное давление внутри цилиндрического пузыря $\Delta p_{\text{цил}} = \frac{\sigma'}{R}$.

Как видно, у цилиндрического пузыря избыточное давление — такое же, как у сферического пузыря ввода большого радиуса. Поэтому радиус сферических «шапок» у цилиндрического пузыря будет ввода большие, чем радиус цилиндра, и они являются сферическими сегментами, а не полученными.

А что если вообще уничтожить избыточное давление в таком пузыре, заставив, например, лопнуть «шапки»? Какалось бы, так как внутри пузыря нет никакого избыточного давления, поверхности его не должна иметь кривизны. А тем не менее стенки пузыря избываются внутри и пузырь принимает форму катенона (от ла-

Рис. 5.

тинского слова «катена» — цепь; эту поверхность можно получить вращением вокруг кривой, имеющей форму подвешенной горизонтальной за концы цепи — цепной линии). В чем же тут дело?

Присмотрите к этой поверхности (рис. 5). Обратите внимание на ее узкое место — перехват. Легко видеть, что этот перехват является одновременно и выпуклым, и вогунутым. Его поперечноеечение — окружность, а продольное — цепная линия. Кривизна направления внутри должа уvelичивать давление внутри пузыря, кривизна же направления наружу должа уменшать его. (Давление под вогунутой поверхностью больше, чем над ней). В случае катаенода эти кривизны одинаковы по величины, и так как направлены они в противоположные стороны, средняя кривизна равна нулю. Следовательно, внутри такого пузыря нет избыточного давления.

Рис. 6.

Существует множество других поверхностей, которые какуются кривыми во всех направлениях, но тем не менее их средняя кривизна равна нулю, и эти поверхности не производят никакого давления. Чтобы получить их, нужно лишь взять любую гнутую проволочную рамку и погрузить ее в мыльную воду. Вынимая рамку, можно увидеть разнообразные поверхности с нулевой средней кривизной, форма которых зависит от формы рамки. Однако катаенод — единственная, кроме плоскости, поверхность врашения с нулевой средней кривизной.

Одной из задач специальной математической науки дифференциальной геометрии является obtusание таких поверхностей с нулевой средней кривизной, натянутых на замкнутые пространственные кривые. Существует точная математическая теорема, утверждающая, что площад таких поверхностей всегда минимальная, и она нам показется теперь очень удобной.

Мыльные пузыри могут соединяться друг с другом, образуя пену. Не смотря на какушуюсяxaотичность в расположении мыльных пленок в плене, всегда выполняется такой закон: пленки пересекают друг друга лишь под равными углами (см. фото на обложке).

Рассмотрим, например, два пузыря, находящиеся в контакте друг с другом и имеющих общую перегородку. Избитычные (по сравнению с атмосферным) давления внутри пузыря расположены и определяются формулой Лапласа:

$$\Delta p_1 = \frac{2\sigma'}{R_1}, \quad \Delta p_2 = \frac{2\sigma'}{R_2}.$$

Поэтому перегородка должна быть такой, чтобы создавать дополнительное давление, равное разности давления пузыря. Следовательно, она должна обладаать определенной кривизной. Радиус $R_3$ кривизны перегородки определяется из соответствия

$$\frac{2\sigma'}{R_3} = \frac{2\sigma'}{R_2} - \frac{2\sigma'}{R_1},$$

18

Рис. 9.

В самом деле, на единцу длины окружности, по которой проискот соприкосновение воды со стенками колбы, действуют только три силы поверхностного натяжения: $\sigma_{2-3}$ — поверхностное натяжение на границе воздуха и воды, $\sigma_{1-2}$ — натяжение на границе воды и стека и $\sigma_{3-1}$ — натяжение на границе стека с воздуха. В равновесии поверхность жидкости образует такой краевой угол со стенкой, чтобы равнодействующая этих трех сил не имела составляющей вдоль стенки: $\sigma_{1-3} = \sigma_{1-2} + \sigma_{2-3}\cos\theta$ (перpendикулярная составляющая уравновешивается силой реакции стенки). Поэтому

$$\cos\theta = \frac{\sigma_{1-3} - \sigma_{1-2}}{\sigma_{2-3}}$$

Мы видим, что краевой угол зависит только от природы трех соприкосновения сред, а именно от поверхностного натяжения на их границах. Он не зависит от величины силы тяжестии и от формы сосуда.

Поверхность жидкости, граница с воздуха, в невесомости должна быть минимальной, а потому сферичной. Тогда становится ясной конечная картина расположения жидкости в колбе в невесомости. Сферическая поверхность жидкости охватывает воздуха у стенок колбы так, чтобы сохранили краевой угол (рис. 86). Разумеется, понятия верха и низа в невесомости отсутствуют, и эту картину можно повернуть как угол.

Почему же вода в стеклянной колбе окружала пузырь со всех сторон, отрывая его от стенок колбы? Это легко понять — ведь чистая вода полностью смачивает чистое стекло (рис. 9, а). Краевой угол равен нулю, и жидкость заключит воздействуя в сферический пузырь, который должен касаться своей поверхности стекок колбы. Но тогда он может от них оторваться и расположиться внутри жидкости (рис. 9, б).

Конечно, такое исследование поведения жидкости в невесомости имеет только качественный характер, и настоящее расчеты — сложная физическая и математическая задача. Однако такое качественное исследование помогло нам правильно представить себе поведение «невесомой» жидкости.

Как может мыло?

При рассвоении даже незначительное количество мыла или стирального порошка в воде ее моюще действие значительное усиливается. Это свойство объясняется тем, что мыло, скалп

20

в воде частички грязи и капельки жира удаляются вместе с ней.

Интересно, что образование устойчивой пены — это только побочный эффект уменшення поверхностного натяжения при расторении моющих веществ. Пена образуется из пузьрьков воздуха, которые попадают внутри воды (при перемешивания, со стреуей воды). Затем они всплывают к ее поверхности и оказываются окруженными пленкой жидкости. Если поверхность натяжение не велико, то мало и избиточное давление внутри пузьрька, и он должно не лопается. Немалую роль тут, конечно, играет и высокая прочность мыльных пленок.

Механизм моющего действия, который был здесь разобран, представляет интерес и в связи с другими важными техническими задачими — покрытем поверхностей лаками и красками, скленванием, окраской ткани сспензиями, изготовлением непромокаемых ткани.

Например, для того чтобы сделать ткань водоотталкивающей, ее образовательное специализированное вещество, которое образует вокруг каждой волокна тонкого пленку. Эта пленка значительно увеличивает поверхность натяжение на границе вода — ткани, но мало меняет натяжение на границе ткани — воздух. Если образуется к формуле для краевого угла θ, то легко увидеть, что угол θ при этом возрастает. В результате вода не смачивает ткань, а собирается на ней в капли, которые скатываются с материалов.

Адсорбционные пленки используют для уменшення испарения воды с поверхностю водоемов, что является важной проблемой в засушливых районах. Защитную пленку легко создается по всей поверхности водоема, так как адсорбция всегда уменшает поверхность натяжение (в противном случае адсорбция вообще не производила бы поверхностная энергия). На границу пленки действует сила поверхностного натяжения чистой воды, стремящаяся растянуть пленку, и

сила натяжения самой пленки, направлена в противоположную сторону. Поверхность натяжение чистой воды больше, и в результате пленка покрывается всю чистую поверхность.

Для создания защитных пленок используют специальное вещество — гексадеканол. В обычных условиях это — твердое вещество, оно плавает на поверхности воды. Если при этом все поверхность воды покрыта адсорбированным мономолекулярным слоем, то вещество не расходует. Оdnako, стоит пленке где-либо испортиться. Как поверхность натяжение в этом месте уvelчится, стянет пленку с соседних участков и т. д. В результате нарушается пленка и возле плавающего кусочка вещества, которое и восстановляется пленку.

Было найдено, что для создания защитной пленки на площади в 1 еа необходимо около 2 еа гексадеканола, а потери в среднем равны 2—3 мономолекулярным слоям в день. Поэтому расход вещества для поддержания пленки составляет всего около 60 еа в день на 1 еа, и такой способ оказывается экономически выгодным. Например, в Австралии с его помощью ежедневно сохраняется около 10 миллионов литров воды с каждой гектора водной поверхности.

Уражнения

1. Известно, что некоторые насекомые не только удерживают на поверхности воды за счет поверхностного натяжения, но и передвигаются по ней, выделяя особыжидкость, уменшающего поверхность натяжение воды. Как должно насекомое выпускать жидкость, чтобы двигаться вперед?
2. Два одинаковых мыльных пузьрьков свидетельствуют, Будет ли их равновесие устойчивым?
3. Нарисуйте график зависимости давления от высоты в капиллярной трубке, опущенной одним концом a) в воду, b) в руту.
4. Почему спички, плавающие на поверхности воды в близке друг от друга, пригravаются? Как будут взаимодействовать спички, если их предварительно окнунуть в парафин? (Вода смачивает дерево, но не смачивает парафин.)
5. В сферической колбе находится жидкость, не смачивающая стенки колбы. Краевой угол равен θ. Как расположится жидкость в невесомости?

21

Решения задач вступительного контрольной работы ВЗМШ 1973 года
А. Л. Тоом

В этом номере мы публикуем решения наиболее интересных задач из вступительного работы в ВЗМШ 1973 года (см. «Квант» № 1, 1973, с. 49).

Задача 2. Существуют ли целые числа такие $(k+1)$-значное число. Обозначим первую его цифру через $x$, а число, оставшееся после ее зачеркивания, — через $y$. Тогда исходное число равно $10^k x + y$. Оно совпадает по условию с 57$y$:

$$10^k x = 56y.$$

Поскольку 56 делится на 7, то $x$ делится на 7. Но $x$ — цифра, значит, $x = 7$, а $y = 10^k/8$.

При $k \geq 3$ число $y$ получается целым. Полягая $k = 3$, получаем один из возможных ответов:

$$10^k x + y = 7125.$$

Задача 5. На доске было написано 4 числа. Их сложили всевозможными способами по два и получили следующие численные суммы: 2, 4, 9, 9, 14, 16. Какие числа были написаны на доске?

Обозначим наименьшее из исходных чисел через $A$, следующее по величины — через $B$, следующее — через $C$, самое большое — через $D$. Итак, $A \geq B \geq C \geq D$. Тогда между их суммами по два заведomo имеются следующие неравенства:

$$A + B \leq A + C \left\{ \begin{array}{l} \leq A + D \\ \leq B + C \end{array} \right\} B + D \leq$$

Пользоваться этим неравенствами, легко однозначно распределить между суммами числовые значения, данные в условиям, что и сделано. Из четырех из них находится ответ:

$$A = -1,5; \quad B = 3,5;$$

$$C = 5,5; \quad D = 10,5.$$

Необходимо проверить, что остальные две суммы — тоже такие, как сказано в условиям.

Задача 6. Можно ли рассматривать 9 чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 по кругу так, чтобы сумма любых трех чисел, стоящих подряд, делилась бы на 3 и была: a) больше 9; b) больше 12?

a) Можно. Например: 1, 9, 2, 7, 3, 5, 4, 6, 8.

b) Нельзя. Пусть сумма в каждой тройке соседних чисел не меньше 15. Тогда, поскольку сумма всех де-

22

вяты чисел от 1 до 9 равна 45, сумма в каждой тройке равна 15. Но тогда числа, отстоящие на три места, должны быть равны, что невозможно.

Задача 7. Треугольник ABC после поворота около вершины A занял положение $AB_1C_1$. Доказим, что если прямая AC делит пополам отрезок $BB_1$, то прямая $AB_1$ делит пополам отрезок $CC_1$.

Обозначим через $M$ точку пересечения прямых $AC$ и $BB_1$. Расстоянием два случая.

a) $M$ совпадает с $A$. Тогда $A$ — центр отрезка $BB_1$, и, значит, угол поворота составляет $180^\circ$. Но тогда $A$ — центр отрезка $CC_1$, и, конечно, $AB_1$ делит $CC_1$ пополам.

6. $M$ не совпадает с $A$. Тогда $\triangle ABM = \triangle AB_1M$ по трем сторонам. Поэтому $MAB = MAB_1$.

Если точка $C$ лежит с той же стороны от $A$, что и точка $M$, то углы $CAB$ и $CAB_1$ совпадают с этим углами. Если точка $C$ лежит с противоположной стороны, то углы $CAB$ и $CAB_1$ — смежные с ним. В обих случаях

$$CAB_1 = CAB = C_1AB_1,$$
то есть $AB_1$ — биссертиса угла $A$ в $\triangle CAC_1$. Поскольку он равноведенный, то $AB_1$ — также и медиана, что и требовалось доказать.

Задача 8. Представьте число 203 в виде суммы нескольких положительных слааемых мaks, чтобы произведение этих слааемых мождеялось 203.

Искомые числа можно даже взять целыми:

$$203 = 29 + 7 + 1 \dots + 1 = 167 \text{ раз} = 29 \cdot 7 \cdot 1 \dots 1. 167 \text{ раз}$$

(C нецелыми числами существует и много других ответов).

Задача 10. На сколько частей модели делить плоскость 4 различные прямые? Для каждого случая применяем.

Если все прямые параллельны, то частей пять. Доказем, что во всех остальных случаях частей не меньше восемми. Проведем такую большую окружность, чтобы все точки пересечения оказались внутри нее (см. рис. 1, где все, что внутри окружности, для ясности не проведено). Из нее выходит наружу восемь непересеченной окружности, на восемь области. Доказем, что все эти области принадлежат разным частям. Допустим, что две области принадлежат одной части (области $A$ и $B$ на рис. 1). Тогда четыре луца, их ограничивающие, принадлежат двум параллельным прямым (см. рис. 1). Но тогда какая-то другая прямая их пересекает и все же отделяет $A$ от $B$.

Оценим теперь наиболее возможное число частей. Будем проводить прямые по очереди. Проще рассуждать в общем виде: пусть на плоскости

23

Рис. 3.

уже проведено $n$ прямых и мы проводим $n + 1$-ю. Очевидно, на ней не более чем $n$ точек пересечения, делих ее не более чем на $n + 1$ кусок. Каждый кусок делит какую-то часть на две. Таким образом, число частей увеличивается не более чем на $n + 1$. Для одной прямой части всегда две, поэтому для четырех прямы части не больше

$$2 + 2 + 3 + 4 = 11.$$

Итак, частей либо пять, либо не менее восеми и не более одинаковы. Примеры на рисунке 2 показывают, что все эти случаи возможны.

Примечние. Возможны другие способы решения: тот или иной перебор сч�aев. Наши рассуждания без труда переосстанавливаются на случай $n$ прямых и позволяет доказать, что число частей либо равно $n + 1$, либо не меньше $2n$ и не больше $\frac{1}{2} (n^2 + n + 2)$. Однако для больших $n$ уже не все числа в этом проектуке возможны. (И то, какие числа возможны, а какие нет — не известно).

Задача 11. Утром Коля и Оля решили полить одород. Коля открыл краан, наполнил своюлейку, и сразу вслед за ним Оля подставила своюлейку под струю. Колиналейка наполняется за 15 с, а Олина за 10 с. Наполнив своюлейку, каждай из детей могут не начиная поливать одород. Из Колинойлейки вода выпадает 60 с, а из Олиной — 45 с. Как молколейка оказывается пустой, каждай из них меняющего подставляем ее под струю воды, а если в этом момент начиная воду другой, то доказаемся, пока краан не освободится, и сразу же начиная полнятьлейку. Когданик не набирает своюлейку. Когданик не набирает воду, она льется в бочку, стоящую под краном. Если быникто не забирал воду, бочка наполнилась бы за 15 мин. За сколько времени после включения крана наполнимся бочка, если Коля и Оля все это время поливают одород? Кто первый будет набирать воду после моего, как вода пользовается через край бочки?

Эту задачу удобно решать с помощью графика. Начертим график действия Коля и Оли. Наполнение легки будем обозначать сним, поливание — красным, ожидание — черным. Масштаб удобно взять такой: в одной клеточке 5 секунд. Начало графика изображено на рисунке 3. Если вы достроите график до 50-й клетки, то заметите, что 48-я клетка совпадает по существу со 2-й (Коля 5 с наполняет легку, а Оля ждет); 49-я совпадает с 3-й; 50-я — с 4-й и так далее. Поэтому действия Коля и Оли будут периодически повторяться через каждые 46 клеток (230 с). Из графика видно, что в течение одного периода вода льется в бочку на протяжении 29 клеток. Посокльку 15 мин соответствует 180 клеткам, а 180 = $6 \cdot 29 + 6$, то должно пройти 6 полных периодов и часть седьмого, пока бочка заполнится.

Ползуясь графиком первого периода, определяем, что эта часть составляет 11 клеточек. Всего, пока бочка наполнится, пройдет $6 \cdot 46 + 11 = 287$ клеточек, то есть 23 мин 55 с. Ползуясь тем же графиком, видим, что первый после наполнения бочки воды в легку будет набирать Оля.

24

Задачи
M211-M215; Ф223-Ф227

M211. Дано $n$ точек, $n > 4$. Докажите, что можно соединить их стрелками так, чтобы из каждой точки в каждой можно было попасть, пройдя либо по одной стрелке, либо по двум (каждый две точки можно соединить стрелкой только в одном направлении; идти по стрелке можно только в указанном на ней направлении). (8 кл.)

Г. Ш. Фридман

M212. На суде в качестве вещественного доказательства предъявлено 14 монет. Эксперт обнаружил, что семь из них — фальшивые, ослабленные — настоящие, причем узнал, какие именно фальшивые, а какие — настоящие. Суд же знает только, что фальшивые монеты есть одинаково, настоящие монеты всеят одинаково и фальшивые легче настоящих. Эксперт хочетремя взвешивания на чашечных весах без гриь доказать суду, что все обнаруженные им фальшивые монеты действительно являются фальшивыми, а остальные — настоящими. Сможет ли он это сделать? (8, 9 кл.)

Р. В. Фрейвалд

M213. Дан угол с вершиной $O$ и окружность, касающаяся его сторон в точках $A$ и $B$. Из точки $A$ параллельно $OB$ проведен луч, пересекающий окружность в точке $C$

25

Отрезок OC пересекает окружность в точке E, а прямые AE и OB пересекаются в точке K. Доказать, что OK = KB. (9, 10 кл.)

Е. В. Саллинен

M214. Квадратный треугольен f(x) = ax² + bx + c таков, что уравнение f(x) = x не имеет вещественных корней. Доказать, что уравнение f(f(x)) = x также не имеет вещественных корней. (10 кл.)

Ю. И. Ионин

M215.* На бесконечном клетчатом листе белой бумаги n клеток закрашено в черный цвет. В момент времени t = 1, 2… проискодит одновременное перекрашивание всех клеток листа по следующему правилу: каждая клетка k приобретает тот цвет, который имело в предыдущей моменте большинство из трех клеток: самой клетки k и ее соседей справа и сверху (если две или три из этих клеток были белыми, то k становится белой, если две или три из них были черными, — то черной).

a) Доказать, что через конечное время на листе не останется черных клеток.

6. Доказать, что черные клетки исчезнут не позже, чем в момент времени t = n. (10 кл.)

А. Л. Тоом

Ф223. Модели корабля толчком сообщили скорость v₀ = 10 m/c. При движении модели на нее действует сила сопротивления, пропорциональная скорости: F = -kv. a) Найти путь, проиденный модель за время, в течение которого ее скорость уменьшилась вдвое. b) Найти путь, проиденный модель до полной остановки. Считать k = 0,5 ke/c. Масса модели m = 0,5 ke. (8 кл.)

Ф224. По деревянным сходям, образующим угол α с горизонтом, вставкают за вервку ящик. Козффициент трения ящика о сходии μ. Под каким углом к горизонту следует направить вервку, чтобы с наименьшим числом вставкать ящик: a) равномерно, 6) с заданнымускорением a? (8, 10 кл.)

Ф225. В стакан налиты две несмешивающей жидкости: четырехлорисный углерод CCl₄ и вода. При нормальном atmosферном давлении CCl₄ кипит при 76,7° C, вода — при 100° C. При равномерном нагревании стакана в водной бане кипение на границе раздела жидкости начинается при температуре 65,5° C. Определить, какая из жидкости быстро выкипает при таком «пограничном» кипении и во сколько раз. Давление насыщенных паров воды при 65,5° С составляет 192 mm pm. cm. (9, 10 кл.)

Ф226. Электромотор постоянного тока с независимым возбуждением (с постоянным магнитом) поднимает груз со скоростью v₁ при помощи нити, наматывающейся на ось мотора. В отсутствие груза не весомая нить поднимается со скоростью v₀. С какой скорость будет опускаться тот же груз, если в цепи якоря произойдет замыкание, в результате которой обмотка якоря оказывается замкнутой накороткой? Треннем в подшипниках претензь. (10 кл.)

Ф227. На горопадный сердечник из феррита с магнитной проницаемостью μ = 2000 намотаны две катушки: первичная, содержащая n₁ = 2000 витков, и вторичная с n₂ = 4000 витков. Когда на первичную катушку было подано напряжение U₁ = 100,0 в, на разомкнутой вторичной катушке, если сердечник заменить на сердечник того же размера, но из феррита с μ’ = 20. Рассеяние магнитного потока и потери в сердечнике не учитваны. (10 кл.)

26

Решения задач

M170—M173; Ф188—Ф192

M170. a) Пусть $M$ и $N$ — точки касания окружности, вписанной в треугольник ABC, со стороны AB и AC, P — точка пересечения прямой MN с биссекторной угла B. Докажите, что угол BPC прямой.

б). Докажите более общий факт: если точка O, расположенная внутри треугольника, максима, что $BOC - BAO = 90^\circ$, М и N — основания перпендикуляров, опущенных из точки O на стороны AB и AC, P — точка пересечения прямых BO и MN, то $BPC = 90^\circ$ (рис. 1).

Задча a), действительно, частный случай 6): если O — центр вписанной окружности, то BOC в сумме с углами OCB и OBC равен 180°, а BAO в сумме с теми же углами равен половине суммы углов треугольника, то есть 90°.

Позному решим сразу задачу 6). Пусть для определения точки P лежит на продолжении отрезка MN за точку N, как на нашем рисунке. (Другие случаи разбияются аналогично, вы без труда справитесь с ними самостояльно.) По условию $OMA = ONA = 90^\circ$, поэтому вектор четырехугольника OMNA можно описать окружность, следовательно,

$$OMM = OAM = BAO.$$

Покажем теперь, что точки O, N, P и C лежат на одной окружности. Действительно, $CNP = MNA = 90^\circ - MNO = 90^\circ - BAO = 180^\circ - BAO$.

Используя условия задачи: $BOC - BAO = 90^\circ$, получаем $CNP = CPO$.

Наконец, из того, что четырехугольник CONP вписанный, следует нужное нам равенство $CPO = CNO = 90^\circ$.

И. Ф. Шарыцин

M171. На плоскости нарисован правильный шестмерольник, длина стороны коморого равна 1. При помощи молко линейки построить отрезок длины $\sqrt{7}$.

Вы без труда доказете, что длина красных отрезков на рисунке 2 равна $\sqrt{7}$.

Рис. 2.

M172. Докажите, что при любом простом р число $\underline{11\dots1}$ $\underline{22\dots2}$ $\underline{33\dots3}$ $\dots$ $\underline{99\dots9}$ $= \underline{10\dots02}$ $\underline{0\dots03}$ $\dots$ $\underline{0\dots08}$ $\underline{0\dots09}$ $= 10^8p + 2 \cdot 10^7p + 3 \cdot 10^6p + \dots + 8 \cdot 10^p + 9 = C$, $\underline{11\dots1} = E$.

Ясно, что $B = E \cdot C$, $C - A = (10^8p - 10^8) + 2 (10^7p - 10^7) + 3 (10^6p - 10^6) + \dots + 8 (10^p - 10)$, $10^p - 10 = (9 \cdot E + 1) - 10 = 9 (E - 1)$.

Согласно малой теореме Ферма (см. «Квант» №10 (1972)) число $n^p$ — n делится на $p$ при любом простом $p$ и любом натураль-

27

В частности, $10^p - 10, 10^2p - 10^2, \dots, 10^8p - 10^8$ делятся на $p$. Значит, $C - A$ делится на $p$, и $9(E - 1)$ делится на $p$.

Так как сумма цифр числа $A$ равна 45, то $A$ делится на 9, и значит, $A(E - 1)$ делится на 9 $(E - 1)$. Следовательно, $A(E - 1)$ делится на $p$.

Тем самым, $B - A = EC - AE + AE - A = E(C - A) + A(E - 1)$ делится на $p$, что и требовалось доказать.

М. Л. Гервер

М173. В квадратной таблице $4 \times 4$ расстояний числа 1, 2, 3, …, 16 мак, что сумма чисел всех строке в каждой строке, в каждой стольце и на каждой из двух диагоналей равна одному и тому же числу, причем 1 и 16 стоян в противоположных углах таблицы. Доказим, что в этом квадратном квадратном сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра, равна 17. Для чисел 1 и 16 это так по условию. Будем считать, что 1 стоит в верхнем левом углу, а 16 — в правом нижнем, тогда два других числа на этой же диагоналии — обозначим их через $a$ и $a'$ — удовлетворяют равенству $a + a' = 17$. Условимся всегда число, дополнительное число $x$ до 17, обозначать через $x' : x' = 17 - x$.

Воспользовемся теперь обозначениями, приведенными на рисунке 3 ($S_i$ обозначают суммы чисел в соответствии клетках).

Верны следующие равенства:
$$S_1 + c + d + a + a' + S_2 + S_3 + c + d + a + a' + S_4 + 2(b + c + d + e) = 34 \cdot 6$$

Рис. 3.

Рис. 4.

Рис. 5.

28

Рис. 6.

Ф188. Холодильник мощностью $P$ за время $t$ превращил в лед $n$ литров воды, коморя перевоначально имела температуру $t^\circ$ С. Какое количество метла выделилось в комнате за это время?

Из принципи работы любой холодильной установки следует, что в теплопереходит как все энергия, потребляемая холодильником от сети, так и энергия, которую отделют охлаждаемые продукты (в данном случае — вода). Это означает, что количество теплла, выделившегося в комнате за время $t$, $Q = P\tau + c_B m_B t^\circ + \lambda m_B$,

где $m_B = n$ — масса воды, выраженная в ккал, $c_B$ — удельная теплопроемкость воды и $\lambda$ — удельная теплота плавления льда.

И. Ш. Слободецкий

Ф189. Заряд $q = 10^{-8}$ к равномерно распределен по душе окружности радиуса $R = 1$ см с углом расстояния воды и $\lambda = 2/3$ π радиан. Определите напряженность электрической поля в центре окружности.

а) Разобъем дуг на $n$ равных частей, каждая из которых имеет заряд $q/n$. При достижении большим $n$ ($\pi R/n \ll R$) эти заряды можно считать точными. Каждый из зарядов создает в центре окружности поле с напряжностью $\Delta E_i$, равной по величины

$$\Delta E_i = k \frac{q}{nR^2},$$

где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 9.10^9 \text{ nm}^2/\text{k}^2$. Направления векторов $\Delta E_i$ показаны на рисунке 6,a.

Чтобы найти напряженность суммарного поля $E = \sum_{i=1}^{n} \Delta E_i$, будем последовать только складывать эти векторы, приставляя начало каждого из векторов к концу предыдущего (рис. 6,6). Точность определения величины $E$ тем выше, чем больше $n$.

Легко заметить, что при достижении большим $n$ ломанную, которую образуют при сложении векторов $\Delta E_i$, можно заметить полуокружность, причем величина вектора $E$ численно равна ее диаметру. Для полуокружности $l$ равна

$$l = n \Delta E_i = n \frac{kq}{nR^2} = \frac{kq}{R^2}.$$

С другой стороны, $l = \pi E/2$.

Отсюда

$$E = \frac{2l}{\pi} = \frac{2kq}{\pi R^2} = 5.7 \cdot 10^5 \text{ σ/m}.$$

6. Задчаа для дуги с произвольным углом расвора $\varphi$ решается аналогично. В этом случае вектор $E$ является хордой дуги окружности (рис. 7,6). Длина дуги $l = n \Delta E_i$, центральный угол — $\varphi$ (pad) ($\varphi$ — максимальный угол между векторами $\Delta E_i$).

Обозначим радиус окружности $r$ и выразим через него длину дуги $l$ и хорды $E$:

$$l = r \varphi, \quad E = 2r \sin \frac{\varphi}{2}.$$

Но $l = n \Delta E_i = kq/R^2$, следовательно,

$$E = 2 \frac{kq}{\varphi R^2} \sin \frac{\varphi}{2}.$$

При $\varphi = 2/3$ π получим

$$E = 7.4 \cdot 10^5 \text{ σ/m}.$$

В. Г. Светmozаров

Ф190. Груз привазан на веревке к брусу квадратного сечения $c$ ребром $a$ (рис. 8). Длина веревки $l = na$ ($n$ — целое число). Грузу сообщена скорость $V$ в направлении, перpendicularном веревке. За какое время все веревка намотается на брусу?

Рассмотрим сучай, когда в начальной момент веревка параллельна одной из боковых граней бруса ($\alpha = 0$). Груз начинает движаться вокруг ребра $A$ по окружности радиуса $l$ с линейной скоростью $V$. Через четверть оборота веревка коснется грани бруса, груз становится с прежней линейной скоростью по окружности радиуса $l - a$. Еще через четверть оборота радиус окружности станет $l - 2a$ и т. д.

30

Закон сохранения энергии — один из fundamentальных законов природы. Он утверждает, что энергия не возникает и не исчезает; в любых физических процесах она только превращается из одного вида в другой или переходит от одного тел к другим. Можно сказать, что этот закон устанавливает условия энергетического баланса физических процессов.

Закон сохранения энергии не является следствием каких-либо других физических законов. Он получен в результате обобщения всей совокупности опытных фактов, которые охватывают как градинозные явления космических масштабов, так и собственные проискоды в мире молекул, атомов и элементарных частиц. Факты, характеризующие механические, тепловые, электромагнитные, ядерные, химические, биологические процессы, не дают оснований сомневать в справедливости закона сохранения энергии.

Математические в наиболее общей форме этот закон можно записать так:

$$\Delta E + \Delta U = A + Q.$$ (1)

Здесь $\Delta E$ — изменение механической энергии системы, равное сумме изменений кинетической и потенциальной энергии тел, входящих в рассматриваемый систему; $\Delta U$ — изменение внутренней энергии тел системы; $A$ — работа внешних сил; $Q$ — тепло, получаемое системой.

При рассмотрении каких-либо конкретных процессов закон сохранения энергии часто записывается в более простой форме. Так, при решении механических задач обычно не применяется во внутренние теплопередача ($Q = 0$). В этом случае выполняется равенство:

$$\Delta E + \Delta U = 0.$$

Примером такое процесс, в котором механическая энергия превращается во внутреннюю, является неупругий удар.

Если в системе действуют механические силы, зависимости только от взаимного расположения тела, то

$$\Delta E = A,$$

а в изолированных системах

$$\Delta E = 0.$$

Два последних равенства могут быть получены непосредственно из законов Ньютона. (Рассмотите, например, свободное падение тел в поле тяжестеки, как это сделано в школьном учебнике физики для 8 класса). Поэтому можно сказать, что закон сохранения энергии в механике не является самостояльным, хотя общий закон сохранения и превращения энергии (заметим это еще раз) нельзя вывести ни из каких других физических законов.

В теории тепловых процессов обычно рассматривают такие задачи, в которых можно пренебречь изменением механической энергии с-

31

стемы. Из этого следует, что
$$\Delta U = A + Q.$$
Закон сохранения энергии в таком виде называют первым началом термодинамики *). Для теплозолюрованных систем $Q = 0$, и потому
$$\Delta U = A.$$
В некоторых задах на электромагнитные явления также упрощается запись закона сохранения энергии, например, когда $\Delta E = 0$ или $Q = 0$. При этом следует помнить, что энергия электрического и магнитного полей, существующих в данной системе, входит во внутреннюю энергию системы.
Закон сохранения энергии (наряду с законом сохранения импульса и других извлечными в физике законами сохранения, которые в средней школе не изучаются) — мощное орудие для решения физических задач. Главная причина этого состоит в том, что законом сохранения энергии справедлив всегда, независимо от хода процесса и от характера действияших сил. Этот закон может быть использован и тогда, когда ход процесса вообще неизвестен — извлечные лишь начальное и конечное состояние системы. Так обстоятель дело, например, в физике элементарных частиц.
Тепер разберем несколько задач, в которых применение закона сохранения энергии позволяет разобраться в ситуации, в котором диамантические закономерности приводят к весма сложным математическим выкладкам, а иногда и вовсе заводят в тупик.
Все задачи взяты из письменных работ на применных экзаменах в МФТИ в 1970—1972 годах.
Задача 1. По наклонной плоскости с высоты $h$ скамывается без прокалывания монки обруч. Определить его скорость в конце наклонной плоскости.
Эту задачу можно решить, используя только законы Ньютона. Но

*) Часто первым началом называют более общее соответствие (1).

Рис. 1.
такое решение в рамках школьного курса практического неосуществимо.
Воспользовемся законом сохранения энергии.
Вначале обруч обладает потенциальной энергейой $mgh$ (м — масса обруч); к концу пути по наклонной плоскости все эта энергия перешла в кинетическое, которая складывает из энергии поступательного движения $\frac{mv^2}{2}$ (v — конечная скорость центра масс обруч) и энергии врашательного движения. Так как обруч не просkalывает, линейная скорость всех его точка равна скорости поступательного движения обруч как целого, то есть $v$. Поэтому кинетическая энергия врашательного движения, как и поступательного, равна $\frac{mv^2}{2}$.
Таким образом,
$$2 \cdot \frac{mv^2}{2} = mgh$$
и
$$v = \sqrt{gh}.$$
Задача 2. Два сообщающихся сосуда с площадью сечения $S_1 = 100 \text{ cm}^2$ и $S_2 = 200 \text{ cm}^2$ заполнены водой и закрыты лекции поршнями. Система нахождения в равновесии. В этом положении на больший поршень помещаются шрифты массы $m = 1$ ке. Определить, сколько метла выделится в системе при переходе в новое положение равновесия (рис. 1).

32

Под действием веса груза всегда система придет в движение. Можно неисредственно подсчитать количество теплы, выделившегося при движении, но для этого необходимо знать много дополнительных данных — количество воды, ее вязкости, форму соединительного трубки, характер движения воды и т. д. Решение существенно упрощается, если воспользоваться законом сохранения энергии.

Поскольку в начальной и конечный моменты и вода и гиря покопились, теплое выделение только за счет уменшения потенциальной энергии системы $W$

$$Q = W_{\text{н}} - W_{\text{к}},$$

(1)

где $W_{\text{н}}$ и $W_{\text{к}}$ — начальное и конечное значение потенциальной энергии. Нетрудно видеть, что потенциальная энергия гиря уменшилась, а воды — увеличилась.

Запишем выражения для $W_{\text{н}}$ и $W_{\text{к}}$ (за нулевой уровень примем до сосудов):

$$W_{\text{н}} = \rho g \frac{h^2}{2} (S_1 + S_2) + mgh$$

(2)

(h — начальный уровень воды в обихосудах),

$$W_{\text{к}} = \rho g \frac{h^2}{2} S_1 + \rho g \frac{h^2}{2} S_2 + mgh_2$$

(3)

($h_1$ и $h_2$ — конечные уровня в первом и втором сосудах соответственно).

Величины $h_1$ и $h_2$ можно найти из условия равновесия системы и неизменности массы воды:

$$\rho gh_1 = \rho gh_2 + \frac{mg}{S_2},$$

(4)

$$\rho h_1 S_1 + \rho h_2 S_2 = \rho h (S_1 + S_2).$$

(5)

Решая систему уравнения (1)—(5), найдем

$$Q = \frac{m^2 g S_1}{2 \rho S_2 (S_1 + S_2)} \approx 0,08 \text{ дж.}$$

Задача 3. Какое метод выделяется в цепи, изобранной на рис. 2.

сунке 2, при переключении ключа $K$ из положения 1 в положение 2?

Эта задача, на первый взгляд не имеющая ничего обещ его с предыдующей, очень похожа на переходом положения — наоборот. Следовательно, произел процесс перезаряда конденсатора, и по цепи прошел электрический ток. Если известны сопротивления проводов и источников тока, то можно определить ток как функцию времени и вычислить выделившееся в цепи тепло.

Закон сохранения энергии позволяет получить даже не зная величины процесса заряд, а значит, и энергия конденсатора не изменилось (в первом случае, как и во втором, суммарная э. d. c. источников, заряжающих конденсатор, равна $E$). Поэтому все работы, совершенная источниками тока, должны перейти в тепло. А работу этого подсчитать нетрудно. Источник, обладающий э. d. c. $2E$, никакой работы не совершает, так как в положении 2 он отключен от цепи. Источник же с э. d. c. $E$ совершает работу по пересечению заряда $q = 2CE$.

Таким образом, выделившееся в цепи тепло равно

$$Q = A = E \cdot 2CE = 2CE^2.$$

Задача 4. Конденсатор емкостью $C_1 = 1$ мкф заряжен до разности помещаемов $U_0 = 300$ в. $K$

33

Рис. 3.

нему через диод D и индуктивность L подключают незаряженный конденсатор emкостью $C_2 = 2$ мкф (рис. 3). До какой разности поменчалов он зарядится после замыкания ключа K? Сопротивление проводов пребрежимо мало. Сопротивление диода в прямом направлении можно считать равным нулю, а в обратном — бесконечно большим. Величина индуктивности L достаточно велика, так что процесс перезарядки происходит медленно.

В начальной момент заряженной конденсатор обладает запасом электрической энергии $\frac{C_1 U_0^2}{2}$.

После замыкания ключа в цепи возникает электрический ток; заряд, а значит, и энергия первого конденсатора уменьшается, а второго — увеличивается. По окончании процесса, когда ток в цепи прекратиется, конденсаторы будут обладают электрической энергий $\frac{C_1 U_1^2}{2}$ и $\frac{C_2 U_2^2}{2}$ соответственно.

Тепловыми потерями в системе во время процесса можно пребрежить, так как ничтожно мало сопротивление цепи. Излучение энергии в пространство пребрежимо мало, так как процесс перезарядки происходит медленно в связи с наличием в цепи большой индуктивности.

Поэтому закон сохранения энергии можно записать в таком виде:

$$\frac{C_1 U_1^2}{2} + \frac{C_2 U_2^2}{2} = \frac{C_1 U_0^2}{2}.$$ (1)

Кроме того, в системе, конечно, сохраняется заряд, то есть

$$C_1 U_1 + C_2 U_2 = C_1 U_0.$$ (2)

Из системы управления (1) и (2) получим искому увеличину

$$U_2 = \frac{2 C_1 U_0}{C_1 + C_2} = 200 \text{ e}.$$

Затем и е. Подсчитайте напряжение на первом конденсаторе $U_1$ и объявите полученный результат.

Задача 5. Телловой формиемик (рис. 4) представляет собой полую камеру с площадью внутренней поверхности $S = 2 \text{ cm}^2$, имеющую небольшое отверgence площади $\sigma = 1 \text{ mm}^2$. Внутренняя поверхность камеры незначительно часть света полощает (козффициент положения $k = 0,01$), а остальное часть рассеивает. Какая часть светового потока, попадающего на входное отверgence камеры, выходит через него обратно?

Качественный поведение светового излучения внутри камеры можно описать так. Свет попал на стенку, один процент его энергии поглотился, остальная энергия рассеяла. Часть рассеянного света выдает через отверgence, остальное вновь упадет на поверхности фотоприемника, причем один процент от этой энергии (ужнее меньше, чем начальная) поглотится, а 99 процентов рассеется, и т. д.

Так как ответственное мало и мал коэффициент поглощения, то каждая небольшая «порция» света, прежде чем она выйдет обратно через ответ

34

Рис. 5. Рис. 6.

стные или будет поглощена стенками, как правило, много раз пересечет по различным направлениям полость приемника. Поскольку направление света определяется случайными факторами, потоки энергии по различным направлениям должны выровнять. В камере возникает изotropное (равномерно распределение по всем направлениям) излучение.

Запишем условие энергетического баланса для такого излучения. Пусть в камеру попадает световой поток (энергия в единицу времени) $P_0$, выходит обратно поток $P_1$ и поглощается — $P_2$. Согласно закону сохранения энергии

$$P_0 = P_1 + P_2.$$ (1)

Выразим $P_2$ через $P_1$. Так как излучение изotropно, то на любую площадку попадает световой поток, пропорциональный величины этой площадки. Если через ответные площадью $\sigma$ выходит поток $P_1$, то на стенки камеры площадью $S - \sigma$ приходится поток, равный $\frac{P_1}{\sigma}(S - \sigma)$.

Позному

$$P_2 = k \frac{P_1}{\sigma}(S - \sigma) \approx kP_1 \frac{S}{\sigma}.$$ (2)

Из (1) и (2) находим искому воеличину

$$\frac{P_1}{P_0} = \frac{1}{1 + k \frac{S}{\sigma}} = \frac{1}{3}.$$

В заключание предлагаем решить самостояльно задачи, аналогичные разобранным в статье.