Квант 1973, №8 · Страницы

Квашт
1973
8
Научно-полуярный
физико-математический
журнал

VII ВСЕСОЮЗНАЯ
ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ
ПО MATEMATИКЕ

Заключительный тур VII Всесоюзной математической олимпиады школьников продолжил в Кишине с 11 по 16 апреля 1973 года. Подробную информацию о нем мы помещим в следующем номере нашего журнала.

1

Главный редактор
академик И. К. Кионн
Первый заместитель
главного редактора
академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:
М. И. Башмаков,
С. Т. Беляев,
В. Г. Болтянский,
Н. Б. Васильев,
Ю. Н. Ефремов,
В. Г. Зубов,
П. Л. Капица,
В. А. Кирилин,
главный художник
А. И. Климанов,
С. М. Козел,
зам. главного редактора
В. А. Лешковцев,
Л. Г. Макар-Лиманов.
А. И. Маркушевич,
Н. А. Патрикеева,
И. С. Петраков,
Н. Х. Розов,
А. П. Савин,
И. Ш. Слободецкий,
зам. главного редактора
М. Л. Смолянский.
Я. А. Смородинский.
В. А. Фабрикант,
А. Т. Цветков,
М. П. Шаскольская,
С. И. Шварцбург,
А. И. Ширшов.

Редакция:
В. Н. Березин,
А. Н. Виленкин,
художественный редактор
Т. М. Макарова,
И. Б. Мамулова,
Н. А. Минц,
Т. С. Петрова,
В. А. Тихомирова,
зав. редакцией
Л. В. Чернова

В НОМЕРЕ:
4. С. Г. Гиндикин. Блез Паскаль (К 350-летию со дня рождения)
19. Блез Паскаль. Трактат о равновесии живкости
22. А. Д. Бендукидзе. Золотое сечение
28. О. Н. Карпухин. Физика химического взаимодействия
35. Л. Я. Шевелев. Объем тела вращения
38. М. Милл. Что сказал проводник?
47. И. Ф. Шарыцин. Об одном геометрическом месте точек

Математический кругок
49. Л. Ю. Березина. О графах с цветными ребрами

54. У нас в гостях журнал «Альфа»
55. В. Фосс. Элементы теории графов

Задачник «Квата»
60. Задачи M216—M220; Ф228—Ф232
62. Решения задач M174 —M178

Информация
69. А. Н. Виленкин. VII городская научная конференция школьников Киева

«Квант» для младших школьников
70. Задачи
71. Л. Фладе. Маленькие слова с большим значением

78. Ответы, указания, решения
    Смесь (смр. 18, 21, 33, 54)

На первой странице обложки изображена раковина скопаемого холодного молока — аммонита. Форма раковины связана с золотым сечением, о котором вы можете прочитать в статусе А. Д. Бендукидзе (см. с. 22).

© «Квант», 1973 год

2

27 мая 1973 года скончался член редакционной коллекции журнала «Квант», один из крупнейших советских ученых, выдавшийся организатор науки и общественный деятельности, Председатель Верховного Совета РСФСР, вице-президент Академии наук СССР, заместитель директора Института атомной энергии им. И. В. Курчатова, заместитель Председателя Совета по координации деятельности академий наук соозных ресурублик, главный редактор журнала «Вестник Академии наук СССР», Председатель научного совета по комплексной проблеме «Методы прямого преобразования тепловой энергии в электрическую», Герой Социалистического труда, лауреат Ленинской и Государственных премии, академик Михаил Дмитриевич Миллионщиков.

М. Д. Миллионщиков родился 16 января 1913 года в городе Грозном. В 1932 году он окончил Грозненский нефтяной институт, а в 1938 году — аспирантуру Московского авиационного института. В дальнейшем он работал в Центральном аэроподинамическом институте имени Н. Е. Жуковского, а с 1949 года и до последних дней жизни — в Институте атомной энергии имени И. В. Курчатова.

Михаил Дмитриевич рано начал самостоятельные научные исследования. Еще в двадцатилетнем возрасте он исследовал ряд проблем теории фильтрации нефти и газа в пористой среде, неосредственно связанных с нуждами развивающейся нефтяной промышленности Советского Союза. В период учebы и работы в Московском авиационном институте М. Д. Миллионщиков начал заниматься теории турбулентности под руководством академика А. Н. Колмогорова. Турбулентное движение жидкости и газов является весом распространения примородным явлением. При таком движении частицы среды движутся неупорядоченно, образуя вхри. Турбулентное движение играет важнейшую роль во многих технических процесах (обтекание крыла самолета или корпуса карабля, движение жидкости по трьбам и т.п.). Оdnako теоретический анализ такого движения связаан с большими трудностями. М. Д. Миллионщиков разработал тонкий математический аппарат, который позволяет существению продвинуты вперед изучение турбулентности.

В 1949 году, по приглашению академика И. В. Курчатова, М. Д. Миллионщиков включился в разработку проблем использования ядерной энергии. Проведенные им исследования внесли существенный вклад в развитие советской атомной техники. В частности, им были получены очень важные результаты в области создания высокотемпературных атомных реакторов.

М. Д. Миллионщиков много заняла вопросы магнитной гидродинамики, то есть изучением движения проводящих газов в магнитном поле. Исследования этих вопросов имеют большое значение при разработке методов прямого преобразования тепловой энергии в электрическую.

В работах М. Д. Миллионщикова считалось интуция инженера с глубокой математической культурой.

Учитывая крупный вклад, внесенный М. Д. Миллионщиков в научку, Академия наук СССР избрала его в 1953 году своим членом-корреспондентом. В 1962 году он был избран академиком и вице-президентом Академии.

Более тридцати лет М. Д. Миллионщиков преодолал в ряде высоких учебных заведений, занимаясь подготовкой научных работников.

Международной извесностью пользовалась деятельности М. Д. Миллионщикова на посту Председателя Верховного Совета РСФСР, а также на посту Председателя Советского Пагушского комитета, объединяющего учebых в борьбе за мир, разоружение и разрядку международной направления.

Светлая память о Михаиле Дмитриевич Миллионщикове насerca сохраняется в сердцах советских людей.

5

БЛЕЗ
ПАСКАЛЬ

К 350-ЛЕТИЮ
СО ДНЯ
РОЖДЕНИЯ

С. Г. Гиндикин

Паскаль носил в душе водоворот без дня.
Ш. Бодлер. «Пропасть» *)

19 июня 1973 года исполняется 350 лет со дня рождения Блеза Паскаль — одного из самых значительных людей в истории человека. Паскаль входит в число великих французов, портеры которых воспроизведены на ассигнациях (наряду с Корнеlem, Расином, Вольтером и Пастером). Очень внутренлено выглядит собранное высказываний великих людей о Паскале, и соблазнительно хотя бы перечислить некоторые из них, но нас остановливает предостережение самого Паскала: «…когда мы цитируем авторов, мы цитируем их доказательства, а не их имена…». Мы лишь заметим, что разные люди в разных времена воспроизведали Паскала — мыслители и писатели — как своего современника.

Правильно оценить Паскала — математика и физика — можно ли в исторической перспективе. Сердняя об открытия Паскала рассказывает на страницах школьных учебников. Для того, чтобы понять великие открытия, нужно научиться удивиться тому, чем удивляться его современники. Заодно мы можем заметить, сколько различаются скопи́тки «старания» естественного научных и гуманитарных открытий.

Упомянем еще об одной грани наследия Паскала — его практических достижениях. Некоторые из них удостоились высшего отличия — сегодня мало кто знает имя их автора. Многие ли известно, что самую объективную точку изобрел Паскаль (а не безымянный умелец в Древнем Египте или Китае)? А еще Паскало принадлежит идея omnibucos — общеступных карет («за 5 су») с фиксированными маршрутами — первого вида регуляного городского транспорта.

1. Палочки и монетки

Когда мыучимся рисовать графики, то в калейдоскопе безымянных кривых иногда появляются кривые, имеющие какое-то название или носящие чье-то имя: спираль Архимеда, трезубец Ньюотона, конхонд Никомеда, лист Декарта, локон Марии Анbezе, улитка Паскала (рис. 1)… Редко, кто усommится в том, что это тот же Паскаль, который принадлежит «закон Паскала». Однако в названнии замечательной кривой 4-го порядка увековено имя Этъена Паскала (1588—1651) — отца Блеза Паскала. Э. Паскаль, как было принято в роде Паскале, служил в парламенте (суде) города Клермон-Феррана. Совмещение юридической деятельности с занятыми наукими, далекими от юридического транспорта, было делом

*) Перевод К. Бальмonta.

Рис. 1.

6

нередким. Примерно в это же время посвящал математике свой доступ советник тулузского parlamentа Пьер Ферма (1601—1665). Хотя собственные достижения Э. Паскаль были скромными, его основательные познания позволили ему поддерживать профессиональные контакты с большинством французских математиков.

С великим Ферма он обменвался трудными задачими на построение треугольников; в споре Ферма с Рене Декартом (1596—1650) о задачах на максимум и минимум Паскаль выступал на стороне Ферма. Б. Паскаль унаследовал добрые отношения отца со многими математиками, но вместе с тем к нему перешли и направженные отношения с Декартом.

Рано овдовев, Этъен Паскаль посвящает себя главным образом воспитанию своих детей (кроме сына, у него были две дочеги — Жильберта и Жаклина). У маленького Блеза очень рано обнаруживается妒азительное дарование, но, как это часто бывают, в сочетании с плохим здоровым. (Всю жизнь с Б. Паскалем служились страницы прописствия; в раннем детстве он едва не погиб от непонятной болезни, сопровождающей припадками, которое семейная легенда связьает с колдуней, сглазившей малчика.)

Этъен Паскаль тщательно продумывает систему воспитания детей. На первых порах он решительно исключает математку из числа предметов, которые обучает Блеза: отец боялся, что увлеченность математкой помещает гармоничному развитию, а неизбежные направленные размышления повредят слабому здоровью сына. Однако 12-летний мальчик, узнав о существовании тинстенной геометрии, который занимался отец, уговорил его рассказать немного о запретной науке. Полученных сведений оказалось достаточно для того, чтобы наать увлекательную «игру в геометрию», доказывать теорему за теорею. В этой игре участвовали «монетки» — круги, «треуголки» — треугольники, «столы» — прямоугодыки, «палочки» — отрезки. Мальчик был застигнут отцом в тот момент когда он обнаружил, что углы треугольки составляют столко же, сколько два угла стола. Э. Паскаль без труда узнал знамените 32-e предложение первого книги Евклида — терему о сумме углов треугольника. Результатом были следы на главах отца и доступ к шкафам с математическими книгами.

История о том, как Паскаль сам построил вкладную геометрию, известна по восторженному рассказу его системы Жильберты. Этот рассказ породил очень распространенное забудение, заключающее в том, что раз Паскаль открыл 32-e предложение «Начал» Евклида, то он открыл перед этим все предыдущие теоремы и все аксионы. Нередко это воспринялись как аргумент в ползы того, что аксиоматка Евклида — единственное возможная. На самом же деле, вергоно, геометрия у Паскаль находится на «доевкинском» уровне, когда интутивно неочувствительные утверждения доказывают путем сведения к очень видным, причем набор последних никак не фиксируется и не ограничивается. Лишь на следующем, существенно более высоком уровне делается великое открытие, что можно ограничиться конечным сравнительно небольшим набором оченьвидных утверждений — аксиом, предложенной истинностью которых можно оставлять геометрическим утверждением доказать. При этом, наряду с неочувствними утверждениями (такими, как, например, теоремы о замещательных точках треугольника), приходится доказать «очевидные» теоремы, в справедливость которых легко поверить (например, простые признаки равенства треугольников). Собственно 32-e предложение — первое неочувствное в этом смысле предложение «Начал». Нет сомнения, что у юного Паскаль не было ни времени для огромной работы по отбору аксиом, ни, скорее всего, потребности в ней.

Это интересно сопоставить со свидетельством А. Эйнштейна, который в те же 12 лет в значительной степени самостояльно построил геометрию (в частности, нашел доказательство теоремы Пифагора, о которой узнал от дяди): «Вообще мне было достаточно, если я мог в своих доказательствах опираться на такие положения, справедливость которых представлялась мне бесплатно».

7

фаянсовой тарелки и проведя поразительно хорошо организованную серию экспериментов при помощи подручных средств, он объясил запитересовавшее его явление колебанием частическую воздействие.

2. 《Мистический шествершинник》 или «великая паскалева теорема».

В 13 лет Б. Паскаль уже имеет доступ в математический кругок Мерсенна, в который входило большое паряжских математиков, в том числе Э. Паскаль (Паскали жили в Париже с 1631 года).

Французский монах Марен Мерсенн (1588—1648) сыгral в истории науки большую и своевозную роль ученого-организатора*). Его основная заслуга состоит в том, что он вел обширную переписку с большистом кругпных ученых мира (у него было несколько сот корреспондентов). Мерсенн умело концентрировал информацию и сообщал ее запитересованным ученым. Эта деятельности требовала своего своего своего договора: умення быстро понимать новое, хорошо ставить задачи. Обладающий высокими правственными качествами, Мерсенн пользовался доверием корреспондентов. Наряду с заочным коллективом корреспондентов существовал и очень кругок — «четверги Мерсенна», — в которых и попал Блез Паскаль. Здесь он нашел себе достойного учитель. Им был Жерар Дезарг (1593—1662), инженер и архитектор, создатель оригинальной теории перепекты. Его главное соучение «Черновой набросок вторжения в области того, что происходит при встрече конуса с плоскостью» (1639 г.) нашло лишь несколько читателей и средних особое место занимает Б. Паскаль, сумевший существенно продвинутся вперед.

*) При оценке деятельности Мерсенна надо иметь в виду, что первый научный журнал — «Журнал ученых» — был основан в 1665 году.

Блез Паскаль в юности

Рисунок Жана Дока.

Хотя в то время Декарт прокладвал в геометрии совершенное новые пути, создавая аналитическое геометрию, в основном геометрия едва достигла уровня, на котором она находится в Древней Греции. Много из наследия греческих геометров оставалось неясным. Это прежде всего относилось к теории конечческих сечений. Самое выдающееся соучение на эту тему — 8 книг «Копika» Аполлоня — было известно лишь частично. Предпринимались попытки дать модернизированные изложения теории, среди которых наиболее известное приладлежит Клоду Ми dorжу (1585—1647), члену кружка Мерсенна, но это сочинение фактически не содержало новых идеи. Дезарг заметил, что систематическое применение метода перепекты позволяет построить теории конечных сечений с совершенной новыми позициями.

Рассмотрим центральную проекцию из некоторой точки O картинок на плоскости α на плоскость β (рис. 2). Применять такое преобразование в теории конечных сечений очень естественно, поскольку само их определение — какечение прямого кругового конуса — можно перефазировать так (рис. 3): все они получаются при центральном проектировании из вершины конуса на различные плоскости одного из них (например, окружность). Далее, заметив, что при центральном проектировании пересекающей прямые могут перейти или

8

в пересекающей или в параллельные, объединим два последних свойства в одно, считая, что все параллельные друг друг прямы пересекаются в одной «бесконечно удаленной точке»; разные лучи параллельных прямы дают разные бесконечно удаленные точки; все бесконечно удаленные точки плоскости заполют «бесконечно удаленную прямую». Если принять эти соглашения, то две любые различные прямы (ужие не исключаая параллельных) будут пересекаться в единственной точке. Утверждение, что через точку $A$ вне прямой $m$ можно proveсти единственную прямую, параллельную $m$, можно переформулировать так: через общную точку $A$ и бесконечно удаленную точку (отвечающего семейству прямы, параллельных $m$) проходит единственная прямая — в результате в новых условиях без всяких ограничений справедливо утверждение, что через две различные точки проходит единственная прямая (бесконечно удаленная, если обе точки бесконечно удалены). Мы видим, что получается очень изящная теория, но для нас важно то, что при центральном проектировании точка пересечения прямы (в обобщенном смысле) переходит в точку пересечения. Важно продумать, какую роль в этом утверждении играет введение бесконечно удаленных элементов (при каких условиях точки пересечения переходит в бесконечно удаленную точку, когда

Рис. 2.

Рис. 3.

да прямая переходит в бесконечно удаленную прямую, и обратно). Не останавливаясь на использовании этого простого сообщения Дезаргом, мы рассекем о том, как заменять по применим его Паскаль.

В 1640 году В. Паскаль напечатал свой «Ольт о кончексных сечениях». Небезынтересный сведения об этом издании: тираж — 50 экземпляров, 53 строки текста на печатаны на афисе, предназначенной для расклейки на углах домов (про афису Паскаль достоверно не известно, но Дезарг заведomo рекламировал таким способом свои результаты). В афисе, подписанной инициализами автора (В.Р.), без доказательства сообщения следующего теорема, которую ныне назвают теорей Паскаль. Пусть на кончексом сечении $L$ (на рис. 4 $L$ — парабола, на рис. 5 — эллипс) произвольно выбраны и занумерованы 6 точек.Обозначим через $P$, $Q$, $R$ точки пересечения трех пар прямы (1, 2) и (4, 5); (2, 3) и (5, 6); (3, 4) и (6, 1). При простейшей нумерации («по порядку» — рис. 5) — это точки пересечения промивоположных строки шес-

9

Рис. 4.

тицульника. Тогда точки P, Q, R лежат на одной прямой *).

Паскаль вначале формулирует теорему для okружности и ограничивает простейший нумерационный точек. В этом случае это элементарная, хотя и не сликом простая задача **). А вот переход от okружности к любому конечскому сечению очень прост. Нужно преобразовать при помощи центральной проекции такое сечение в okружность и воспользоваться тем, что при центральном проектировании прямые переходят в прямые, а точки пересечения (в обобщенном смысле) — в точки пересечения. Тогда, как уже доказано, образы точки P, Q, R при проектировании будут лежать на одной прямой, а отсюда следует, что и сами точки P, Q, R обладают этим свойством.

*) Сформируйте самостояльно следствия, получающие из этой теоремы, когда некоторые из рассматриваемых точки является бесконечно удаленными.

**) Ее решение можно найти в статье Лоповок Л. М. Вписанный шестиугольник. «Квант» № 1, 1973, с. 18.

Teorema, которое Паскаль называет теоремой о «мистическом шестиугольнике», не была самоцелью; он рассматривал ее как ключ для построения общей теории конечских сечений, покрывающий теорию Аполлония. Уже в афише упоминаются обобщения важных теorem Аполлония, которые не удавалось получить Дезаргу. Дезаргу высоко оценил теорему Паскаль, называв ее «великий паскальвой»; он утверждал, что в ней содержатся первые четыре книги Аполлония.

Паскаль начинает работу над «Полным трудом о конечских сечениях», который в 1654 году упоминается как оконечный в последии «Знаменительный Парижской математической академии». От Мерсена известно, что Паскаль получил около 400 следствий из своей теоремы. Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646—1716) был последним, кто видел трактат Паскаль уже после его смерти, в 1675—1676 году. Несмотря на совет Лейбница, родные не опубликовали рукопись, а со временем она была утеряна.

В качестве примера приведем одно из самых простых, но и самых важных следствий из теоремы Паскалья. Конечское сечение однозначно определяется любыми свойствами точками. Действительно, пусты {1, 2, 3, 4, 5} — точки конечного сечения (рис. 6) и $m$ — произвольная прямая, проходящая через (5). Тогда на $m$ существует единственная

10

Рис. 6.

точка (6) конечного сечения, отличная от (5). В обозначениях теоремы Паскаля точка $P$ является точкой пересечения (1, 2) и (4, 5), $Q$ — точка пересечения (2, 3) и $m$, $R$ — точка пересечения (3, 4) и $PQ$, а тогда (6) определяется как точка пересечения (1, $R$) и $m$.

3. «Паскалево колесо»

2 января 1640 года семья Паскалей переезжает в Руан, где Этъен Паскаль получает место интеграта произниц, фактически ведающего всеми делами при губернаторе.

Этому назначению предшествовали любопытные события. Э. Паскаль принял активное участие в выступлениях парикскихRANTверов, за что ему грозило заточение вБастилию. Он был вынужден скрывать, но в это время заболела осной Жаклина, иотец, несмотря на страшную угрозу,навешает ее. Жаклина выздоровела и даже участвовала в спектакле, на котором присутствовал кардинал Ришелье. По просбке коной актрисы кардинал простил ее отца,но одновременно назначил его на должность. Бывший смутян должен был проводить в жизнь политику кардинала (читатель «Трех mysшкетеров» это коварство, наверное, неудивит).

Теперь у Этъена Паскаля было очень много счетной работы, в которой ему постояно помогает сын. В конце 1640 года Блезу Паскалю приходит мыслить постройта машину, чтобы освободить ум от расчетов «с помощью пера и жетонов». Основной замысел возник быстро и оставался неизменным на протяжении «…каждое колесо илистержень неокоторого разряда, совершая движение на десять арфметических цифр, заставляет движаться следующее только на одну цифру». Однако блестящая идея — это только первый шаг. Несравненно больших сил потребовала ее реализация. Позднее в «Предведомлении» тому, кто «будет имеет любознательность видеть арфметическую машину и пользоваться его», Блез Паскаль скромно написет: «Я не экономил ни время, ни труд, ни средства, чтобы довести ее до состояния быть тебе полезной». За этими словами стояло пять лет напряженной работы, которая привела к созданию машинны («паскалева колеса», как говорили современники), надежно, хотя и довольно медленно, производившей четые действия над пятизначными числами. Паскаль изготовил около пятидесяти экземпляров машинны; вот только перечень материалов, которые он переробовал: дерево, слоновая кость, эбеновое дерево, латунь, медь. Он потратил много сил на поиск лучших ремесленников, владеющих «такарным станком, напильником и молотком», и ему много раз казалось, что они не в состоянии достичь необходимой точности. Тщательно продумывается система испытаний, в их числе включается перевозка на 250 лыbe. Паскаль не забывает и о рекламе: он заучается подержкой канцеляя Сегье, добавляется «королевских привилегий» (нечто вроде патента), много раз демонстрирует машину в салонах и даже посылает экземпляр шведской королеве Христине. наконец нааживается произведенными машинными неизвестно, но до настоящего времени сохранилось восемь экземпляров.

Поражает, как блестящие умел делать Паскаль самые разные вещи. Сравнительно недавно стало известно, что в 1623 году Шиккард, друг Кеплера, построил арфметическую машину, однако машина Паскаля была горячдо совершенней.

11

4. «Боязнь пустоты» и «Великий эксперимент равновесия жидкости»
   В конце 1646 года до Руана докатилась молва об удивительных «итальянских опытах с пустотой».
   Вопрос о существовании пустоты в природе волновал еще древних греков; в их взглядах на этот вопрос проявлялось присуще древнегреческий философии разнообразие точек зрения: Эпикур считал, что пустота может существовать и действительно существует; Герон — что она может быть получена искусственно, Эмпедокл—что ее нет и ей неоткуда взятся, и, наконец, Аристотель утверждал, что «природа бountя пустоты».
   В средние века считания упростились, поскольку истинность учения Аристотеля была установлена практическими в закономедальном порядке (еще в XVII века за выступление против Аристотеля во Франции можно было попасть на каторгу). Классический пример «Боязня пустоты» демонстрирует вода, поднимающаяся вслед за поршнем, не давя образователься пустому пространству. И вдруг с этим примером произведел казус. При сооружении фонтанов во Флоренцини обнаружилось, что вода «не желает» подниматься выше 34 футов (10,3 метра). Недоумевающие стороны обрабатись за помощью к преставлении Галию Галию (1564—1642), который составил, что, верятоно, природа перестает богатся пустоты на высоте, превышающее 34 фута, но все же предложил разобрать в страном явлении своим ученикам Эванджелиста Торрицелли (1608—1647) и Винченцо Вивани (1622—1703). Вероятно, Торрицелли (а, возможно, и самому Галию) принадлежит мысль, что высота, на котором может подняться жидкость в насосе, обратно пропорциональна ее удельному весу. В частности, ptrуть должа подняться на высоту в 13,3 раза меньше, чем вода, т. е. на 76 см. Опыт прибрел масштабы более благоприятные для лабораторных условий и был проведен Вивани по иниционные Торрицелли. Этот опыт хорошо известен, но все же напомним, что запанаяная с одной конца метровая стеклянная трубка заполняется ртутью, открыты конец закимается пальцем, после чего трубка переворачивается и опускается в чашку с ртутью. Если отчет палец, то уровень ртути в трубке упадет до 76 см. Торрицелли делает два утверждения: во-первых, пространство над ртутью в трубке пусто (потом его назовут «торрицелевой пустотой»), а, во-вторых, ptrуть из трубки не выливается полностью, поскольку этому преятствует столб воздуха, давящей на поверхность ртути в чашке. Принаяв эти гипотезы, можно все объяснить, но можно получить объяснение и введя специальные довольно сложное действующее силы, преятствующее образование вакуума. Принаять гипотезы Торрицелли было непросто. Лишь немного из его современников смирились с тем, что воздействие на воздухность получения вакуума, но поверить, что легчайший воздействие в трубке тяжелую ртуть, было почти невозможно. Упомянем, что Галилей пытается объяснить этот эффект свойствами самой жидкости, а Декарт утверждал, что кажущаяся вакуум всегда заполнен «тончайшей материей».

Паскаль с увлечением повторяет итальянские опыты, придумав много оструумных условийстворовании. Восем таких опытов описаны в трактете, опубликованном в 1647 году. Он не ограничивается опытами с ртутью, а экспериментрует с водой, маслом, красным вином, для чего ему потребовались бочки вместе с шек и трубки длиной около 15 м. Эффективные опыты выносятся на улицы Руана, радуя его жителей. (До сих пор гравюры с винным барометром любят воспроизведение в учебниках физики.)

На первых порах Паскаль более всего интересует вопрос о доказательстве того, что пространство над

12

ртутою пусто. Была распространена точка зреня, что кажущийся вакуум заполняет материя, «не имеющая свойств» (вспоминается подпоручик Киже из повести Ю. Н. Тынянова, «не имеющий фигуры»). Доказать отсутствие такой материи просто невозможно. Четкие высказывания Паскаля очень важны в плане постановки более широкой проблемы о характере доказательств в физике. Он пишет: «После того как я доказал, что ни одна из материи, которые доступны нашим чувствам и которые нам известны, не заполняет это пространство, кажущее пустым, моем мне, пока мне не докажут существование какой-то материи, заполняющей его, — что это пространство в самом деле пусто и лишено всякой материи». Менее академические высказывания содержатся в письме ученому-незуиту Нозлю: «Но у нас больше оснований отрицать ее (точайшей материи. — С. Г.) существование, потому что нельзя доказать, чем верить в нее по той единственной причине, что нельзя доказать, что ее нет». Итак, необходимо доказывать существование объекта и нельзя требовать доказательства его отсутствия (это ассоциируется с юридическим принципом, состоящим в том, что суд должен доказать винновость и неправе требовать от обвиняемого доказательства невиновности).

На родине Паскаля в Клермоне жила в это время старшая сестра Б. Паскаля Жильберта; ее муж Флорен Перье, служеб в суде, свободное время посвящал научам. 15 ноября 1647 года Паскаль отправляет Перье письмо, в котором просит сравнить уровни ртути в трубке Торричелли у подножия и на вершине горы Пюн-дЕ-Дом: «Вы понimaете, если бы высота ртути на вершине горы оказалась меньше, чем у подошвы (я так думаю по многим основаниям, хотя все, письше об этом предмете, придерживаются другого мнения), то из этого можно было бы заключить, что единственная причина явления — тяжестЬ воздуха, а не прессовый horror vacui (боязнь пустоты — С. Г.). Ясно, в самом деле, что внизу горы воздействух должен быть сгущеннее, чем наверху, между тем как нелоно предполагать в нем больший страх пустоты у подножия, нежели на вершине». Эксперимент по разным принимам откладывался и состоялся лишь 19 сентября 1648 года в присутствии пяты «увлажаемых життелей Клермона». В конце года вышла брошюра, в которой были включены письмо Паскаля и ответ Перье с очень скрупулезным описанием опыта. При высоте горы около 1,5 км разница уровней ртути составляет 82,5 мм; это «повергло участников эксперимента в восхщение и удивление» и, верятно, было неожиданным для Паскаля. Предположить существование предварительных оценок невозможно, а илиозия легкости воздуха была очень велика. Результат был столбцитим, что уже одному из участников эксперимента аббату дела Мару приходит в голову мысль, что результаты может дать эксперимент в куда более скромных масштабах. И, действительно, разница уровней собора Нотр-Дам-дЕ-Клермон, имеющего высоту 39 м, составляет 4,5 мм. Если бы Паскаль допускал такой возможность, он не стал бы ожидать десять месяцев. Получив известное от Перье, он повторяет эксперименты на самых высоких данным Парижа, получая те же результаты. Паскаль называл этот эксперимент «великим экспериментом равновесия жидкости» (это название может вызвать удивление, поскольку речь идет о равновесии воздуха и ртути и тем самым воздействии на Декарта).

Паскаль продолжает экспериментать, использую harry с баро-

14

там с кавалером де Мере, человеком высоко образованным и умным, но несколько самоуверенным и поверхностным. С де Мере охотно общались великие современники, и только поз тому его имя сохранили в истории. При этом он умудрился писать Паскаль письма с почечениями по разным вопросам, не исключая и математики. Сейчас все это выглядит наивным и, по словам Сент-Бева, «такого письма вполне достагоно, чтобы погубить человека, его письшего, во мнении потомства». Тем не менее довольно длительное время Паскаль охотно общался с де Мере, он оказался способным учеником кавалера по части светской жизни.

Мы переходим к истории о том, как «задача, поставленная перед суровым яисенством светским человека, стала источником теории вероятности» (Пуассон). Собстгенно, задач было две и, как выясили источники математики, обе они были известны задолго до де Мере. Первый вопрос состоит в том, сколько раз нужно кинуть две игравные кости, чтобы вероятность того, что хотя один раз выпадет две шестерики, превысит вероятность того, что две шестерики не выпадут ни разу. De Мере и сам решил эту задачу, но, к сожалению… двумя способами, давшими разные ответы: 24 и 25 бросов. Будучи утверенным в одинаковой достоверности обих способов, де Мере обращивается на «непостоянство» математики. Паскаль, убедившись в том, что правильный ответ — 25, даже не приводит решения. Основные его условия были направлены на решение второй задачи — задачи «о справедливом разделе ставок». Проискот игра, все участники (их число может быть больше двух) вначале делают ставки в «банк»; игра разбивает на несколько партии, и для выигрыша банка надо выиграть некоторое фиксированное число партии. Вопрос состоит в том, как следует справедливо разделить банк между игроками в зависимости от числа выиграчных имми партий, если игра не доведена до конца (никто не выиграл числа партий, достаточно для получения банка). По словам Паскаль, «де Мере.. даже не смог подступиться к этому вопросу…».

Никто из окружения Паскаль не сумел понять предложенное им решение, но все же достойный собственник нашелся. Между 29 и 27 октября Паскаль обменивает письми с Ферма (при посредничете Пьера Каркави, унаследовавшего функиции Мерсенна). Часто считают, что в этой переписке родилась теория вероятности. Ферма решает задачу о ставках иначе, чем Паскаль, и первоначально возникают некоторые разногласия. Но в последнем письме ПаскальCONSTATИРУЕТ: «Наше взаимопонижение полностью восстановлено», и далее: «Как я вижу, истина одна и в Тулузе и в Париже». Он считлив тем, что нашел великого единомышления: «Я и впредь хотел бы по меревозможностей делиться с вами своим мыслими».

В том же 1654 году Паскаль опубlikовал одну из самых популярных своих работ «Трактат об аргументе трехгольника». Тепер его называют трехгольником Паскаль, хотя оказалось, что он был известен еще в Древней Индии, а в XVI веке был переоткрыт Штифелем. В основе лежит простой способ вычислять число сочетаний $C_n^k$ индykцией по $n$ (по формуле $C_n^k = C_{n-1}^k + C_{n-1}^{k-1}$). В этом трактате впервые применялся ранше, формулируется в привчной для нас форме.

В 1654 году Паскаль восплани «Знаменительный Парижской математической академии» перечисляет работы, которые готовятся им к публикации, и в их числе трактат, который «может по праву претеновать на оценломляшение название «Математica случая»».

16

казательные нельзя использовать ничего, кроме аксиом и ранее доказанных теорем. Никогда нельзя злоупотреблять тем обстоятельством, что развитие вещи нередко обозначаются одним и тем же словом, поэтому определяемое слово должно быть мысленно заменено определением. В другой месте Паскаль заменяет, что обязательно существуют неопределенные понятия. Исходя из этих высказывания, Жак Адамар (1865—1963) считал, что Паскало оставался маленький шаг, чтобы произвести «глубокую революцию во всей логике — революцию, которое Паскаль мог бы осуществить tremя веками раныше, чем это действительное случайность». Вероятно, здесь имеется в виду тот взгляд на аксиоматические теории, которые сложился после открытия неевклидовой геометрии.

7. Амос Деттонвилль

《Я провел много времени в изучении отвлеченных наук; недостаток сообщаемых им сведений отбил у меня охоту к ним. Когда я начал изучение человека, я увидал, что эти отвлечения ему несовойственны и что я еще больше запутался, углубляясь в них, чем другие, не зная их». Эти слова Паскаль характеризуют его настроение в последние годы жизни. И все же полтора года из них он занимался математикой …

Началось это весной 1658 года как-то ночной, когда во время страшного приступа зубной боли Паскаль вспомнил одну нерешенную задачу Мерсена про циклоду. Он замечает, что направленные размышления отвлекают от боли. К утру он уже dokазал цель рядом результатов о циклиде и … исцелился от зубной боли. Поначалу Паскаль считает случайнее грехом и не собирается записать полученные результаты. Позднее, под влиянием герцога де Роанне, он изменяет свое решение; в течение восемми дней, по свидетельству Жильберты Перье, «он только и делал, что писал, пока рука могла писать».

Азатем в июне 1658 года Паскаль, как это часто делалось тогда, организовал конкурс, предложив крупнейшим математикам решить шесть задачи про циклоду. Набольших успехов добавись Христан Гюйгенс (1629—1695), решивший четыре задачи, и Джон Валлис (1616—1703), у которого с некоторыми проблемами были решены все задачи. Но налиущей была признана работа неизвестного Аmos Деттонвилля. Гюйгенс признавал позднее, что «эта работа выполнена столь тонко, что к ней нельзя добавить». Заметим, что «Аmos Dettonville» состоит из тех же букв, что «Louis de Montalte». Так был придуман новый псевдомим Паскалу. На премильные 60 пистолей труды Деттонвилля были изданы.

Телерь несколько слов о работе. Прежде всего приведем слова Паскаль о кривой, называемой циклюдой или рулетой: «Рулетка является линейной столь общиной, что после прямой и окружности нет более часто встречающейся линни; . . . либо это ни что иное, как путь, описываемый в воздухе гвоздем колеса, когда оно катится своим движением с того момента, как гвоздь начал подниматься от земли, до того, когда неперивное качество колеса не приводит его опять к земле после окончания целого оборота, считая, что колесо — идеальный круг, гвоздь — точка его окружности, а земля — идеально плоская» (см. рис. 7). Паскаль считал, что циклюду открыл Мерсенн, хотя на самом деле это сделал Галилей. Первоначальный интерес к этой кривой стимулировался тем, что ряд интересных задач для нее удалось решить элементарно. Например, по теореме Torричелли, чтобы проверить касательную к циклюде в точке A (рис. 8), нужно взять соответствующое этой точке положение производащего (катящегося) круга и соединить его верхиной точку B с A (попытайте это доказать!). Вот еще одна теорема, которую Torричелли и Виванини приписывают Галилей: площадь кривойной фигуры, ограниченной

17

аркой циклонды (на рис. 9 она закрашена), равна утроенной площади производащего кругга.

Задачи, рассмотренные Паскалем, уже не допускают элементарных решений (плошадь и центр тяжестей произвольного сегмента циклонды, объемы соответствующих тел врашения и т. д.). На этих задачах Паскаль разработал по существу все, что необходимо для построения дифференциального и интегрального исчисления в общем виде. Лейбниц, который делит с Ньютоном славу создателей этой теории, пишет, что, когда, по совету Гюйгена, он ознакомился с работами Паскаль, его «озарило новый светом», он удивился, насколько был близок Паскаль к построению общей теории, и неожиданно остановился, будто «на его глазах была пелена».

Для работы, предвосхивающих появление дифференциального и интегрального исчисления, было характерно то, что интуция их авторов сильно опережала возможность проведения строгие доказательства; математический язык был недостаточно развит, чтобы переести на бумагу ход мыслей. Выход был найден позднее путем введения новых понятий и специальной символьки. Паскаль не прибегал ни к какой символьке, но он так виртуозно владел языком, что временами кажется, что у него в этом просто не было потребности. Приведем высказывание Н. Бурбаки: «Валис в 1655 году и Паскаль в 1658 году составили каждый для своего употребления языки алгебраического характера, в которых, не записывая ни единой формулы, они дают формулировки, которые можно немедленно, как только будет понят их механизм, записать в формулах интегрального исчисления. Язык Паскаль особенно ясен и точен; и если не всегда понятно, почему он отказылся от применения алгебраических обозначений не только Декарта, но и Виета, все же нельзя не восхитаться его мастерством, которое могло проявиться лишь на основе совершенного владения языком». Хочеется сказать, что здесь Паскаль писатель помог Паскало-mатематику.

8. «Мышли».

После середины 1659 года Паскаль уже не возврашает ни к физике, ни к математике. В конце мая 1660 года он в последний раз признает в родной Kleermon; Ферма приглашает его заехать в Тулузу. Горько читать ответное письмо Паскалу от 10 августа. Вот несколько выдержек из него: «… в настоящее время я занимаюсь вещеми, столделками от геометрии, что с трудом вспоминаю о геометрии… хотя Вы тот человек, кого во всей Европе я считаю самым крупным математиком, не это качество привлекает меня; но я нахожу столдело ума и прямоты в Вашей беседе и поэтому usu obшения с Вам…»

18

я нахожу математику наиболее возвышенным занятием для ума, но в то же время я знаю, что она столбецполезна, что я делаю мало различие между человеком, который только геометр, и искусством ремесленником. Поэтому я называл ее самым красивым ремеслом на свете, но в конце концов это лишь ремесло. И я часто говорил, что она хорошо, чтобы испытать свою силу, но не для приложения этой силы…». И, наконец, строчки, говорящие о физическом состоянии Паскаль: «Я так слаб, что не могу ни ходить без пальки, ниездить верхом. Я не могу даже ехать в экипаже более двух или трех лыbs…». В декабря 1660 года Гюйгенс давал посетил Паскаль и нашел его глубоким стариком (Паскаль было 37 лет), который не в состоянии вести беседу.

Паскаль отделет последние годы жизни «изучению человека». Ему так и не удалось завершить свою главную книгу. Оставшиеся материалы были изданы посеттно в разных вариантах под разными заглавиями. Чаще всего эту книгу называют просто «Мыши».

Блез Паскаль скончался 19 августа 1662 года.

Литература

Кляус Е. М., Погребысккий И. Б., Франкфурт У. И. Паскаль. М., «Наука», 1971.

Разглядывая сквозь щель

В этой задаче вам предстоит обяснить результат эксперимента, который вы сами должны проделать. На рисунке 1 показана решетка из вертикальных и горизонтальных линей. Возьмите кускок картона, проведите по нему лезвием бритвы и посмотрите на рисунок одним глазом через образавшуюся в картоне тонкую щель.Щель держите рядом с глазом и расположите ее горизонтально. Расстояние от глаза до рисунка должно быть 30—40 см. Вы обнаружите, что в решетке сохранились только вертикальные линии, а горизонтальные исчезли. Куда они девальись?

Рис. 1.

У вас не получился эксперимент? Вы видите всю решетку? Или, наоборот, ничего не видите? В первом случае у вас слищком ширика щель, во втором — слищком узкая. Надо немного повозиться: попробуйте слегка сгибать картон, чтобы ширина щели менялась (оптимум — порядка 1—10 микрон). Опыт лучше удается, если решетка сльно освешена, а обращенная к глазу стороны картона не освешена совсем.

Ну, вот, наконец, у вас получилось. Не правда ли, несколько странное зреление?

(Окончание см. c. 21)

19

Тракт о равновесии жидкости

Мы помещаем здесь первый главу из трактата Паскаль, в котором он формировал свой знаментий закон об условиях равновесия жидкости, обосновал принцип действия гидравлических машин и развясил так называемый гидростатический парадокс (все эти проблемы рассматриваются в курсе физики для шестого класса). Полное название этого сочинения звучит следующим образом: «Тракты о равновесии жидкости и все массы воздуха, содержание объяснения принцип различных явлений природы, которые до сих пор не были достагоно известны и, в частности, тех, которые приписывают богатии пустоты». Оно было опубlikовано в 1663 году, то есть через год после смерти автора. Паскаль написал его в 1651—1653 годах.

На русском языке этот трактат в переводе А. Н. Долгова опубликован в книге «Начала гидростатики; Архимед, Стэвин, Галилей, Паскаль», изданной в 1933 году Государственным техническим издательством. Приведенные в статье рисунки занимаvolны из трактата. Публикацию подготовил В. А. Лешковцев.

ГЛАВА I

О том, что жидкости имеют вес, соответствующей высоте их строения

Если прикрепить к стене несколько сосудов, один такой, как на рисунке первом, другой наклонный, как на втором, затем более широкий, как на третьем, потом узкий, как на четвертом, затем такой, который представляет собой не что иное, как узкую трубку, примыкающий внизу к широкому, но не имеющему почти высоты сосуду, как на рисунке пятом, наполнить их все водой до одинаковой высоты, сделать у всех внизу одинаковые отверстия, каковые закрыть пробками, чтобы удержать воду, то опыт показет, что нужно одинаковая сила для того, чтобы воспрепятствовать этим пробкам выпасть, хотя вода в этих различных сосудах находится в весы

20

различных колчеств. Происходит это потому, что вода имеет одинаковую высоту во всех сосудах, и мерой указанной силы является вес воды, содержащейся в первом сосуде, однородном по своей форме. И если это колчество воды весит сто фунтов ), то нужно сила в сто фунтов, чтобы удержать каждую из пробок, даже и у пятого сосуда, хотя вода, заключенная в нем, не весит и одной унции*).

Чтобы проверить это точно, надо закрыть отверстие пятого сосуда круглым куском дерева, обернуть примыть, как поршень насоса. (Поршень должен входить в отверстие и проходить через него с такой точностью, чтобы не застреть и в то же время препятствовать выходу воды.) Затем прикрепить к середине этого поршня нитку, которая проходила бы через эту тонкую трубку, привязать ее к одному плецу кормысла весов, а на другое плецу повесить груз в сто фунтов. Тогда мы увидим полное равновесие этого груза в сто фунтов с водой в тонкой трубке, которая весит одну унцию. Если же немного уменьшить груз в сто фунтов, то вода опустит поршень, а следующее колчествах.

*) 1 фунт равен 453,6 г.
**) 1 унция равна 28,35 г.

довательно, и то плечо кормысла весов, к которой он прикреплен, и поднимет то, на котором висит груз немного менееста фунтов. Если же вода замерзнет, а лед не пристынет к сосуду, то, чтобы удержать его в равновесии, достаточно будет иметь на другом плече кормысла весов всего лишь одну унцию. Если же приблизить к сосуду огонь и растить лед, то попадаются уже сто фунтов, чтобы уравновесить тяжеть этого льда, расплавленного в воду, хотя мы располагаем всего только одной унции ее.

To же произойдет, если отверстия, которые закрывают пробками, будут сбоку или же в верхней части сосудов; проверить это будет еще легче, именно следующим образом.

Надо взять сосуд, закрытый со всех сторон, сделать в верхней части его два отверстия, одно очень узкое, а другое более широкое, и укрепить над тем и другим трубки такого же размера, как и отверстия (рис. VI). Если вставить теперь в широкую трубку поршень, а в тонкую нильтЬ воды, то легко видеть, что на поршень надо будет положить больший груз, чтобы вес воды в тонкой трубке не вытолкнул его вверх, подобно тому как в первых опытах нижна была сила в сто фунтов, чтобы воспрепятствовать выталкивание поршня вниз,

21

когда и ответите находилось внизу.
Если бы ответите находилось сбоку,
то нужно была бы такая же сила,
что бы все воды не вытолкнул поршень в сторону.

И если бы трубка, заполненная водой, была во сто раз шире или во сто раз уже, но вода стояла бы во всех случах на одной высоте, то всегда попадобился бы один и тот же груз, чтобы уравновесить воду. Как только груз этот будет уменшен, вода опустится и поднимет уменшенный груз.

Если же напить воду в трубку на двойную высоту, то для уравновесивания воды попадобится действие на поршень двойного груза. Точно так же, если сделать ответение, в которой вставлен поршень, вдвое больше размера, то надо будет удвоить и сили, необходимую для удержания удовеного поршня. Отсюда видно, что сила, нужно для того, чтобы воспрепятствовать воде вытекать из ответствия, пропорциональная высоте стояния воды, а не ширине сосуда, и что мерой этой силы всегда является вес воды, заключающейся в колонне ее с высотой, равной высоте стояния воды, и основанием, равным величине ответия.

To, что я сказал о воде, относится и ко всем другим видам жидкости.

Разглядывая сквозь щель

(Окончание. Начало см. с 18)

А теперь поверните щель на 90° и вы увидите, что исчезли вертикальные линии решетки и появились горизонтальные. Для того чтобы разобраться в увиденном, советум посмотреть еще на колыцо. При вертикальной щели вы увидите размытыми левую и правую стороны колыца, при горизонтальной — верхнюю и нижнюю (рис. 2). Повторите опыт при разных наклонах щели. Оказывается, что всегда размытая те участки колыца, которые идут вдоль щели, и сохраняются душие поперек.

Рис. 2.

Если, однако, у вас все наоборот (сохранились линия, параллельные щели, и исчезли перpendикулярные), то это значит, что вы не соблюдали условия (у вас слищком широкая щель и вы слищком приближаться к решетке). Телер, согласно картон так, чтобы щель разошлась до 0,5—1 мм (или прорезза в новую щель нужной ширины), приблизительно с него к решетке на расстояние 5—7 см. И вы увидите обратное тому, что было в предыдущей задаче: при горизонтальном положении щели отсутствив будут видны горизонтальные линии, при вертикальном — вертикальные!

Видимо, это тоже можно обьясить. Но сделать это надо так, чтобы не пострадала наша диффрационная теория. Иначе вам придется заного обьясить предыдущей результат. А он ведь противоложен данному.

22

А. Д. Бендукидзе

Золотое сечение

Иоганн Кеплер говорил, что геометрия владеет двумя сокровищами — теоремой Пифагора и золотым сечением. И если первое из этих сокровищ можно сравнить с мерой золота, то второе — с драгоценным камнем.

Теорему Пифагора знает каждый школьник, а что такое золотое сечение — далек не все. Вот мы и решили рассказать читателям об этом драгоценном камне.

Что такое золотое сечение?

Говорят, что точка $C$ производит золотое сечение отрезка $AB$, если $AC : AB = CB : AC$. (1)

Итак, золотое сечение — это такое деление целого на две неравные части, при котором больше часть так относится к целому, как меньше — к больше. В геометрическе золотое сечение называется также делением отрезка в крайнем и среднем отношении.

Если длину отрезка $AB$ обозначает через $a$, а длину отрезка $AC$ — через $x$, то длина отрезка $CB$ будет $a - x$ (рис. 1), и пропорция (1) примет следующий вид:

$$x : a = (a - x) : x$$ (2)

Из этой пропорции видно, что при золотом сечении длина больше отрезка есть среднее геометрическое, или, как часто говорят, среднее про-

Рис. 1.

порциональное длин всего отрезка и его меньше части:

$$x = \sqrt{a(a - x)}$$

Легко сообщить, что верно и обратное: если отрезок разбит на два неравных отрезка так, чтолина большего отрезка есть среднее геометрическое длин всего отрезка и его меньше части, то мы имеем золотое сечение данного отрезка.

Геометрические золотое сечение отрезка $AB$ можно построить следующим образом: в точке $B$ воспставляем перpendикуляр к $AB$ (рис. 2) и на нем откладываем $BD = 0,5AB$; далее, соединив точки $A$ и $D$, откладываем $DE = BD$ и, наконец, $AC = AE$. Точка $C$ является искомой — она производит золотое сечение отрезка $AB$. В самом деле, заметим, что по теореме Пифагора

$$(AE + ED)^2 = AB^2 + BD^2$$

и построению

$$AE = AC, ED = BD = 0,5AB.$$

Из этих равенств следует, что

$$AC^2 + AC \cdot AB = AB^2,$$

а отсюда уже легко получается равенство (1).

Решая уравнение (2) относительно $x$, мы находим, что

$$x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} a \approx 0,62a.$$

Значит, $a - x \approx 0,38 a$. Таким образом, части золотое сечение составляет приблизительно 62 % и 38 % всего отрезка.

23

Немного истории

Древнейшим литературным памятником, в котором встречается деление отрезка в отношении золотого сечения, являются «Начала» Евклида (III в. до н. э.). Уже во II книге «Начала» Евклид строит золотое сечение, а в дальнейшем применяет его для построения некоторых правильных многоугольников и многогранников.

Но золотое сечение было известно и до Евклида. В частности, знали о нем Пифогор и его ученики (VI век до н. э.). В философской школе Пифогора помимо философии и математики изучали и гармонию. Занимаясь теории гармонии, пифогорейцы пришли к заключению, что качественные отличия звуков обусловлены количественными различиями между длинами струн. Это вдохновило их, и они постарались пояты дальше — выразить все закономерности мира через числа, полагая, что в основу мирового порядка бог положил именно число. Позному пифогорейцы в числах и их отношениях (а последние рассматривались как отношения отрезков) исчисали магический, сверхъестественное. И в геометрии не обошлось без мстики. Здесь особо следует отметить любые пифогорейцы к звездчатому пятуугольнику, составленному из диагоналей правильного пятуугольника.

Вот что пишет об этом известный математик и историк математики ван дер Варден в своей превосходной книге «Пробуждающаяся наука»: «Эта фигура, символь здоровья, служила опознавательным знаком для пифогорейцев. Когда на чужбине один из них лежал на смертном одре и не мог запалить человеку, который ухаживал за ним вплоть до его кончины, то он велел ему изобразить на своем жилище звездчатый многоугольник; если когда-нибудь mismo пройдет пифогореец, то он не преминет осведомиться об этом. Действительно, несколько лет спустя один пифогорец увидел этот знак, и хозяйн дома получил богатое вознаграждение» *).

Звездчатый пятуугольник для нас интересен в первую очередь тем, что каждая из пяты линей, составляющих эту фигуру, делит другую в отношении золотого сечения. В самом деле, так как треугольники ACD и ABE подобны (рис. 3), то AC : AB = AD : AE. Но AD = BC, а AE = AC, и поэтому AC : AB = BC : AC — уже известная нам пропорция золотого сечения. Именно это свойство звездчатого пятуугольника и могли использовать пифогорейцы для построения правильного пятуугольника, либо строить золотое сечение они, безусловно, умели.

К началу эпохи Возрождания успешился интерес к золотому сечению.

*) Б. Л. ван дер Варден. «Пробуждающаяся наука». М., Физматиз, 1959, с. 139.

Рис. 2.

Рис. 3.

24

Лука Пачоли (около 1445 — позже 1509) — итальянский математик, написавший трактат о золотом сечения «Божественная пропорция».

Портрет Монны Лизы (Джоконды) был написан Леонардо да Винчи (1452—1519) — генеральным иtalяянским художником и ученым эпохи Возрождания. Картина привлекла внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на «золотых треугольниках» (точнее, на треугольниках, являющихся кусками правильно звездчатого пятнугольника).

Он был вызван, в первую очередь, многочисленными применениями золотого сечения как в самой геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре. Следствием этого явилось появление книги «Божественная пропорция», автором которого был крупнейший математик XV века иальнаяец Лука Пачоли. В своем труде Пачоли приводит тринадцать свойств золотого сечения, которое он сначала такими эпитетами, как «исключительное», «несказанное», «превосходнейшее», «сверхъестестенное» и так далее. Впрочем, называние книги само говорит об отношении автора к описываемому предмету. Небезынтересно, что иллюстрировал книгу один из инцицаторов ее написания, друг Пачоли, великий Леонардо да Винчи. Между прочим, именно он ввел сам термин «золотое сечение».

Наблюдения показывают, что с естеческой точки золотое сечение имеет определенные достоинства. Это подтверждается экспериментом, который был проведен в конце прошлого века: из десяти прямоугольников, среди которых были «золотой» (с стороны, относение длины которых давало золотое сечение), испытуемый должен был выбрать один. И вот, около 22% общего числа испытуемых выбрало именно «золотой прямоугольник». Нельзя обойти молчанием и то, что книги, почтовые открытки, бумажники, шоколадные плитки и множество других предметов имеют форму золотого прямоугольника. Отметим здесь же, что если от «золотого» прямоугольника отрезать квадрат или к большей сторене «золотого» прямоугольника пристроить квадрат, то получится снова «золотой» прямоугольник.

Широкое применение находится в архитектуре и искусстве. Множество архитектурных шеедевров построено по пропорции золотого сечения. Эта же пропорция лежит в основе многих бессмертных творений Фидия, Тищана, Леонардо да Винчи, Рафаэля.

25

Отдали дать золотому сечению также композиторы и позты. Известно, например, что на золотом сечении стройл многое свой произведение выдающийся венгерский композитор Бела Барtok. Что же касается позтов, то здесь в первую очередь следует назвать генерального грузинского позта Шота Руставели. Как показали новейшие исследования академика Г. В. Церетели, в основе строения позмы Ш. Руставели «Витязь в тигровой шкрере» положены симметрия и золотое сечение. В частности, из 1587 строф позмы больше половины — 863 — построены по пропорции золотого сечения (см. стр. 34, 53).

Золотое сечение встречает и в природа. На рисунке 4 повторено изображение раковины, помещенное на первой странице обложки. Точка C делит отрезок AB приблизительно в «золотом отношении».

Отношение золотого сечения и его замечательные свойства

Если в пропорции (2) положить $x = a\tau$, то относительно $\tau$ получится следующое уравнение:

$$\tau^2 + \tau - 1 = 0$$

(3)

Греческий скульптор Леохар (4 в. до н. э.) создал статую Аполона Бельведерского,vollотившего представления древних греков о мужской красоте. Линии, проведенные на снимке, определяют основные пропорции тела. Эти пропорции связаны с золотым сечением.

Положительный корень этого уравнения равен относению золотого сечения:

$$\tau = \frac{x}{a} = \frac{a-x}{x} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$$

Это понятие замечательное число, обладающее рядом интересных свойств. Вот некоторые из них.

1. Непосредственные вычисления показывают, что

$$\tau = 0,618033989\ldots, \frac{1}{\tau} = 1,618033989\ldots$$

—число, обратное $\tau$, на единицу больше самого $\tau$. Легко проверить, что это — единственное положительное число, обладающее таким свойством. В самом деле, если положительное $z$ удовлетворяет соответствию $\frac{1}{z} = 1 + z$, то $z$ должно быть корнем уравнения $z^2 + z - 1 = 0$. Но это уравнение имеет единственный положительный корень: $z = \tau$.

26

2. Переписав равенство (3) в виде $\tau = \frac{1}{1 + \tau}$ и подставив в правую часть этого равенства $\frac{1}{1 + \tau}$ вместо $\tau$, получим:

$$\tau = \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \tau}}.$$

Этот процесс поддерживает в результате мы получим следующие представления числа $\tau$ в виде бесконечной цепной дроби*):

$$\tau = \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \dots}}}$$

Нельзя не отметит предельную простоту этого представления!

3. Вот еще одно представление числа $\tau$:

$$\tau = \frac{1}{\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \dots}}}}.$$

Чтобы придать смысл равенству (5), изучим последовательность $\sqrt{1}, \sqrt{1 + \sqrt{1}}, \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1}}}, \dots,$

общий член которого (обозначим его через $\varphi_n$) содержит $n$ радиkalов.

Непосредственно видно, что $\{\varphi_n\}$ — возрастоящая последовательность. Кроме того, она ограничена. В самом деле, так как $\varphi_1 = 1 < 2$ и $\varphi_{n+1} = \sqrt{1 + \varphi_n}$, то из $\varphi_n < 2$ следует, что $\varphi_{n+1} < \sqrt{3} < 2$, и по индукции заключаем, что $\varphi_n < 2$ для любого (натурального) $n$.

*) О цепных дробях рассказано в статьях Н. М. Бескина («Квант» № 1, 8, 1970). Более подробное изложение можно найти в книге Хинчин А. Я. «Цепные дроби» (М., Физматгиз, 1961), а также в учебном пособии для 9-х классов средних школа с математической специализцией «Алгебра» Виленкина Н. Я. и др. (М., «Просвещение», 1968).

Итак, $\{\varphi_n\}$ — возрастоящая, ограниченная последовательность. А как известно, такая последовательность является сходящейся. Обозначив предел последовательности $\varphi_n$ через $\varphi$, можно написать: $\varphi = \lim_{n \to \infty} \varphi_n = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1}}}.$

С другой стороны, переход к пределу в равенстве $\varphi_{n+1} = \sqrt{1 + \varphi_n}$, получим: $\varphi = \sqrt{1 + \varphi_n}$.

Таким образом, (положительное) число $\varphi$ является корнем квадратного равеннения $\varphi^2 - \varphi - 1 = 0$, а число $\psi = \frac{1}{\varphi}$ — корнем равенения $\left(\frac{1}{\psi}\right)^2 - \frac{1}{\psi} - 1 = 0$, или умножая на $-\psi^2$, $\psi^2 + \psi - 1 = 0$, откуда $\psi = \tau$, $\varphi = \frac{1}{\tau}$ — получаем равенство (5). И здесь бросятся в глава предельная простота представления!

Приближение числа $\tau$ рациональными числами

Представление (4) очень удобно для приближения irrationalного числа $\tau$ рациональными числами. С этой целью обратимся к «подходящим» дробям:

$$\tau_1 = \frac{1}{1}, \quad \tau_2 = \frac{1}{1 + \frac{1}{1}}, \quad \tau_{(3)} = \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1}}}$$

и вообще для любого $n$

$$\tau_n = \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \dots}}} + \frac{1}{1 + \frac{1}{1}}$$

Послеовательность этих дробей имеет предел число $\tau$, и поэтому каждое $\tau_n$ является приближением этого числа. Непосредственные вычисления показывают, что

27

$$\tau_1 = \frac{1}{1}, \tau_2 = \frac{1}{2}, \tau_3 = \frac{2}{3}, \tau_4 = \frac{3}{5}, \dots$$

Этот ряд добей построен по очень простому закону: числитель каждой доби равен знаменателю предыдущей доби, а знаменатель — сумме числителя и знаменателя той же доби. А как будет дальше? Сохраняется ли эта закономерность? Легко доказать, что это так. В самом деле, как видно из формулы (6), соседние подходящие доби $\tau_n$ и $\tau_{n+1}$ связываны соотношением

$$\tau_{n+1} = \frac{1}{1 + \tau_n},$$

и поэтому из равенства $\tau_n = \frac{m}{k}$ следует, что $\tau_{n+1} = \frac{k}{m + k}$.

Этот простой закон образования подходящих добей числа дает возможность легко выписать их последовательность:

$$\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{5}, \frac{5}{8}, \frac{8}{13}, \frac{13}{21}, \frac{21}{34}, \dots$$

Из теории цепных добей известно, что подходящие доби с нечетными номерами убывают и приближаются к порождающей эти доби числу справа, а доби с четными номерами возрастают и приближаются к тому же числу слева. Применяя это свойство в нашем случае, можно написать:

$$\frac{1}{2} < \frac{3}{5} < \frac{8}{13} < \frac{21}{34} < \frac{55}{89} < \dots < \tau < \dots < \frac{34}{55} < \frac{13}{21} < \frac{5}{8} < \frac{2}{3} < \frac{1}{1}$$

Связь с чисlami Фибоначчи

Последовательность Фибоначчи называется последовательностью, первый два члена которого равны 1, а каждой последующей — сумме двух предыдущих *). Таким образом, эта последовательность (обозначим ее через $\{u_n\}$)

*) Воробьев Н. Н. «Числа Фибоначчи». М., «Наука», 1969.

Вот первые этой последовательности: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

Вспомним о приближениях числа т подходящими добями, мы заметим, что отношение любого члена последовательности Фибоначчи к последующему члену является подходящей добью числа $\tau$, то есть приближенным значением отношения золотого сечения. Это приближение тем лучше, чем больше номер взятого члена.

Если же взяты три последовательных члена: $u_n, u_{n+1}, u_{n+2}$, то числа $\frac{u_n}{u_{n+1}}$ и $\frac{u_{n+1}}{u_{n+2}}$ являются соседними подходящими добями числа $\tau$, причем одна из этих добей больше $\tau$, а другая меньше.

Наконец, поставим следующее вопрос: как разделить целое число $a$ на две целые части так, чтобы их относительно $\tau$?

Так как $\tau$ — irrationalное число, то такое деление, конечно, невозможно, интересующое нас относительно может лишь приближенно равнять $\tau$. Каково же это приближение? Ответ на этот вопрос дает теория цепных добей.

Пусть знаменатель подходящей доби $\tau_n$ есть $a$. Расмотрим множество всех добей со знаменателями, не большими $a$. Оказывается, из множества этих добей близке к числу $\tau$ находится именно $\tau_n$.

No знаменатель подходящей добей является членом последовательности Фибоначчи, поэтому если $a$ — член последовательности Фибоначчи, то деление $a$ с помощью $\tau_n$ будет хорошо приближением золотого сечения.

Таким образом, разделить золотым сечением на две целые части с хоршим приближением можно числа, являющиеся членами последовательности Фибоначчи. Например, золотое сечение числа 8 дает (3,5,) числа 13 — (5,8) и т. д.

28

Химическая реакция — это превращение одних веществ в другие. Однако нас могут интересовать не только продукты химического превращения, но и общие законы, по которым протекает химический процесс: как изменяется концентрация веществ, как влияют на ход реакции температура, давление и другие внешние условия.

Для решения этих задач необходимо знания не только химии, но еще, быть может даже в большей мере, физики и математики.

Мы публикуем статью, в которой рассматривается одна из основных химических физики — закон действия масс, с помощью которого можно описать ход химического реакции во времени.

В химической реакции одни вещества могут превращаться в другие. Горение приводит к образованию воды и углекислого газа, при смешивания кислоты и щелочи образуется соль. Однако, изучая химию, мы как бы закрываем глаза на то время, когда молекулы взаимодействуют между собой, и раскрываем их внешь тогда, когда продукты химического реакции уже образовались. Между тем, именно те процессы, которые происходит во время взаимодействия молекул между собой, и определяют состав продуктов химического реакции.

Химическая реакция состоит из двух основных стадий. Сначала реакцию между собой частицы должны встречаться, а затем происходит собственно химическое превращение, при котором электронные оболочки молекул перестраиваются, и из исходных частицы образуют продукты реакции.

В соответствии с этим химическая физика делится на два больших раздела: химическую кинетку и теорию элементарного акта.

Химическая кинетика изучает вопросы о том, каким образом реакцию

шие частицы могут встречаться между собой, какие внешние силы на них действуют, какими уравнениями можно описать изменение концентрации реагирующих частиц с течение времени, как зависит скорость химического процесса от концентрации реакентов (то есть веществ, вступающих в реакцию), от температуры, и других условий, в которых протекает химический процесс.

Теория элементарного акта химического превращения рассматривается в результате взаимодействия частиц, изменение конфигурации электронных оболочных молекул и расстояний между атомами, входящими в молекулы.

В этой статье мы ограничимся рассケaramом о кинетке химического реакции.

Основной вопрос химической кинетики — это вопрос о частице встречания веществ.

Частцы, встречанные в реакцию, — не обязательно молекулы. Это могут быть и нейтральные атомы, ионы, и какие-либо другие частицы. Поэтому до тех пор, пока мы не говорим о каких-то конкретих веществ-

29

вах, участуюших в реакции, будем рассматривать просто взаимодействие между пронзовольными частицами.

Пусть в некотором объеме протекает реакция между частицами двух сортов $A$ и $B$, практические равномерно распределеными по всему объему. Такая реакция называется бимолекулярной. И те, и другие частицы имеют форму шара радиуса $r$. Пусть в каждом кубищеком сантиметре находится $a_0$ частиц сорта $A$ и $b_0$ частиц сорта $B$. Известно, что частицы в газе движутся хаотически, то есть их скорости все время изменяются как по величины, так и по направлению. Однако средняя квадратичная скорость движения части $<v>$ практические неизменения и определяется только температурой среды $T$ и массой частицы $m^*$):

$$<v> = \sqrt{\frac{3kT}{m}}.$$

Таким образом, каждая часть сорта $A$ за время $t$ пройдет путь, равный в среднем

$$s = \sqrt{\frac{3kT}{m}} t.$$

Будем считать, что частицы сорта $B$ неодвижны, и скорость части сорта $A$ не меняется после стольновейный.

Во время движения части сорта $A$ будет стальивать со всеми частицами сорта $B$, центры которых находится на расстоянии, меньше $2r$, от траектории движения ее центра, то есть с теми частицами, которые как бы попадают в цилиндр, отмещенный пунктом на рисунке 1. За время $t$ одна часть сорта $A$ столкнет со всеми частицами сорта $B$, находящимся в объеме

$$V = 4\pi r^2 s.$$

Частца сорта $A$ может встреться, конечно, не только с частицами сорта $B$, но и с другими частицами сорта $A$, а также со всеми иными частицами, находящимся в среде. Но эти встречи нас не интересуют, поскольку они не могут привести к химической реакции между веществами $A$ и $B$.

Мы уже говорили, что в каждом кубищеком сантиметре среды находится $b_0$ частиц сорта $B$; следовательно, каждая часть сорта $A$ встретилась с $b_0V$ частицами сорта $B$. Всего же в $1cm^3$ присутствует $a_0$ частицы сорта $A$. Таким образом, общее число $n$ встреч частц сорта $A$ и $B$ за время $t$ будет

$$n = Va_0b_0.$$

За единицу времени происходит $\frac{n}{t}$ таких встреч:

$$\frac{n}{t} = 4\pi r^2 \sqrt{\frac{3kT}{m}} a_0b_0.$$

При расчете мы не учитывали, что движутся не только частицы сорта $A$, но и частицы сорта $B$, что скорость движения части изменяется после стольновейния, что распределение части по объему можно только в среднем считать равномерным. Но более точный расчет с учетом этих факторов приводит к изменению найdenного числа встреч не более чем на 10%.

Конечно, не при каждой встрече части $A$ и $B$ происходит химический превращение; одна часть сорта $A$ приводит к изменению пропорционально числу встреч.

Число химических превращений в единице объема за единицу времени обычно называют скоростью химического реакции. Скорость химического

30

peakii между частицами $A$ и $B$ определяется соответствием

$$W = \alpha 4\pi r^2 \sqrt{\frac{3kT}{m}} a_0 b_0,$$

(1)

где $\alpha$ — безразмерный коэффициент пропорциональности между числом встреч и числом химических превращений.

Величина $\alpha$ по существу означает вероятность того, что при встрече двух взаимодействующих частицы между ними произойдет химическая реакция. Какова эта вероятность и чем она определяется — это уже задача теории элементарного акта химического превращения, и на этом вопросе мы останавливаемся не будем.

Соотношение (1) выражает закон действияющих масс: скорость химического реакции в любой момент времени пропорциональна произведению концентрации реагирующих веществ в этот момент времени. Коэффициент пропорциональности, стоящий перед произведением концентрации, называется константой скорости химического реакции при данной температуре; обозначим его буквой $K$.

В реакции взаимодействия двух частиц с одинаковой массой величины $K$ равна

$$K = 4\pi r^2 \sqrt{\frac{3kT}{m}}.$$

Попробуем рассчитать величины скорости какой-нибудь простейшей химической реакции.

Задание 1. В среде, представляющей собой идеальный газ при нормальных условиях (давление 760 мм. см, температура 0°C) протекаем биомолекулярная реакция. Концентрации объектов веществ равны между собой, и наких посторонных веществ в среде нем.

Масса молекул $A$ и $B$ около 30 улепродных единиц ($1 \text{ y. e.} = 1,67 \cdot 10^{-24} \text{ e}$). Радиус молекул считать равным

$$r = 2,5\mathring{\text{A}} = 2,5 \cdot 10^{-8} \text{ cm}.$$

Найти скорость реакции.

Выразим массу молекул в граммах:

$$m = 30 \cdot 1,67 \cdot 10^{-24} \text{ e} \approx 0,5 \cdot 10^{-22} \text{ e}.$$

Средняя квадратичная скорость движения молекул

$$\langle v \rangle = \sqrt{\frac{3kT}{m}} =$$

$$= \sqrt{\frac{3 \cdot 1,38 \cdot 10^{-16} \text{эрэ/эрэд} \cdot 273 \text{эрэд}}{0,5 \cdot 10^{-22} \text{e}}} =$$

$$= 4,8 \cdot 10^4 \text{cm/c} = 480 \text{ m/c}.$$

Константа скорости реакции

$$K = 4\alpha r^2 \langle v \rangle = 4\alpha \pi(2,5 \cdot 10^{-8} \text{cm})^2 \times 0,48 \cdot 10^5 \text{cm/c} \approx 3,8\alpha \cdot 10^{-10} \text{cm}^3/c.$$

Отсюда видно, что константа скорости реакции выражается в единицах ($cm^3\text{c}^{-1}$). По закону Авогадро один molль идеального газа ($6 \cdot 10^{23}$ частиц) занимает при нормальных условиях объем 22,4 л. Это означает, что в 1 $cm^3$ содержится 2,7 $\cdot 10^{19}$ частиц (число Лошмида), то есть по 1,3 $\cdot 10^{19}$ молекул $A$ и $B$ ($a_0 = b_0 = 1,3 \cdot 10^{19} \text{cm}^{-3}$).

Таким образом, скорость реакции

$$W = 3,8\alpha \cdot 10^{-10} \frac{cm^3}{c} (1,3 \cdot 10^{19} \text{cm}^{-3})^2 \approx 6,5 \cdot 10^{28} \alpha \frac{cm^3}{c}.$$

Это означает, что в каждом кубищеском сантиметре газа происходит 6,5 $\cdot 10^{28}$ встреч молекул $A$ и $B$ в секунду.

Представим себе, что произойдет бы, если бы каждая встречка приводала к химической реакции. Тогда все молекулы успели бы прореагировать за очень короткое время, равное

$$t' = \frac{a_0}{W} = \frac{1,3 \cdot 10^{19} \text{cm}^{-3}}{6,5 \cdot 10^{28} c^{-1} cm^{-3}} = 2 \cdot 10^{-10} \text{c}.$$

Реально ли это?

Массу около 30 у. e. имеет молекулы этана (30 у. e.) и кислорода (32 у. e.). Таким образом, реакцию, которое мы рассматриваем, можно считать моделью реакции газа в домашней газовой плите. А вы знаете, что газ не загорится, если к нему не поднести спику. Значит, в реакции между молекулами этана и кислорода величины коэффициента $\alpha$ очень мала.

Если химический процесс происходит при постоянной температуре, то достаточно знать лишь величины константы скорости реакции $K$, чтобы определить, как изменяются концентрации

31

рацини веществ в течение всего процесса. Поэтому закон действующих масс может быть записан в таком виде:

$$W = K [A][B],$$

(2)

где символами $[A]$ и $[B]$ обозначены концентрации реагирующих веществ, изменяющиеся в ходе реакции.

Рассчитать теоретически величины константы скорости химического реакции довольно трудно, поэтому в большинстве случаев следует ее определют, исходя из экспериментальных данных.

Задача 2. Определить константу скорости реакции между веществами $R$ и $S$, если из эксперимента известно, что их начальные концентрации 1 mol/L и за одну секунду в акте химического превращения указывает 10% каждого из веществ.

За одну секунду в 1 л объема расходуется 0,1 mol вещества; значит, в каждом кубическом сантиметре происходит 6·10$^{19}$ актов химического превращения, то есть скорость реакции

$$W = 6 \cdot 10^{19} \text{ cm}^{-3} \text{c}^{-1}.$$

Подставляя в уравнение (2) значение начальных концентраций и скорости реакции $W$, определяем величины константы скорости реакции:

$$K = \frac{W}{[R]_0 [S]_0} = 0,1 \frac{\lambda}{mol \cdot c} = 1,7 \cdot 10^{-20} \frac{cm^3}{c}.$$

Мы рассчитали значение константы $K$ при постоянных концентрациях $[R]_0$ и $[S]_0$. Если бы скорость процесса была неизменной, вещества $R$ и $S$ должны были бы израсходовать полностью за 10 c, поскольку как уже было сказано, за 1 c расходуется 10% всего количество исходных веществ. Однако в действительности это не так. Концентрации реакентов во время реакции с течение времени уменышаются, соответственно уменышается и скорость их расходования, то есть скорость реакции. За один и тот же промежуток времени на разных этапах реакции расходуется различное количество времени скорость реакции постоянна.

Возьемем промежутки $\tau$ в 6 c, 2 c и 1 c. На рисунке 2, а зелена линия соответствует расчету концентраций при $\tau = 6$ c, черная — при $\tau = 2$ c, синяя — при $\tau = 1$ c. На рисунке 2, б

32

показано изменение скорости реакции при таких же приближениях.

Поскольку на самом деле концентрация реакентов изменяется непрерывно, наш расчет будет тем точнее, чем меньше промежуток τ. Чтобы получить точное значение концентрации реакентов в данной момент времени, нужно перейти к предельу при τ→0, учитывая, что скорость реакса изменяется непрерывно.

Дифференциальное исчисление позволяет точно решить эту задачу. Концентрация реакентов [N]₄ в каждой данный момент времени определяется соответствием

$$[N]_t = \frac{[N]_0}{1 + K[N]_0 t},$$

где [N]₀ — начальная концентрация, t — время, произведение от начала реакции *).

Подставляя в уравнение (3) найдемные нами значения константы скорости и исходных концентраций, находим, как должны изменяться со временем концентрации реакентов и скорость процесса:

$$[R]_t = [S]_t = \frac{1}{1 + 0.1t} \text{ mol/l} = \frac{6 \cdot 10^{20}}{1 + 0.1t} \text{ cm}^{-3},$$

$$W_t = \frac{0,1}{(1 + 0.1t)^2} \text{ mol/l} \cdot c = \frac{6 \cdot 10^{19}}{(1 + 0.1t)^2} \text{ cm}^{-3} \cdot c^{-1}.$$

Эти зависимости показаны красными линиями на рисунках 2, а, б.

Истинные кривые изменения скорости химического процесса и концентрации реакрующих веществ существенно отличаются от аналогичных кривых, полученных приближенным методом.

Уравнение (3) позволяет рассчитать концентрацию реакентов и скорость процесса в любой момент времени и при любой начальной концентрации реакентов.

Однако не всегда химический процесс представляет собой одну элементарную реакцию взаимодействия исходных веществ с another. Общий процесс бывают более сложным, он состоит из нескольких элементовных реакций, протекающих одновременно.

Например, продукты реакции могут взаимодействовать между собой или реагировать с исходными веществами. Очевидно, что в этом случае уравнение (3) уже не будет описывать кинетку процесса, и необходимо выводить другие, более сложные уравнения, в которой возникает скорость всех элементовных реакций, происходящих до времени процесса.

В связи с этим возможно не только определить константы скоростей элементовных реакций, но и убедиться в том, что процесс действиялено предполагается собой совокупностью данных реакций.

Задание 4. На рисунке 3, а мощами показаны результаты изменения концентрации соляной кислоты в реакции хлорирования циклоекена в присутствии камализатора,

$$\text{a на рисунке 3,6 — результаты изменения концентрации формальдеена в реакции получения диметилдиокана.}$$

Выяснить, какую из этих реакций можно описать уравнение биомолекулярной реакции.

33

Если реакция бимолекулярная, изменение концентрации реагентов с течением времени должно удовлетворять уравнению (3).

Перепишем уравнение (3) несколько иначе:

$$\frac{1}{[N]_t} = \frac{1}{[N]_0} + Kt. \quad (4)$$

Уравнение (4) представляет собой уравнение прямой линии в координатах обратная концентрация — время. Константа скорости бимолекулярной реакции равна тангенсу угла наклона этой прямой к оси $t$.

Взяв значения концентраций по рисункам 3, $a$, $b$, построим кривые зависимости обратных концентраций исходных веществ от времени (рис. 4, $a$, $b$). Видно, что в случае хлопирования циклогексада действительное получается прямая линия. Значит, это бимолекулярная реакция. Константа скорости этой реакции:

$$K = \text{tg}\varphi \approx 0,02 \text{ л/моль} \cdot \text{с.}$$

Для второй реакции получившаяся кривая существенно отличается от прямой. Значит, это более сложная

Теорема Гюльдена *) говорит об объеме тела braшения, получающейся, если плоская фигура braшается вокруг оси, лежащей в ее плоскости. А что, если овсяння не лежит в плоскости фигуры? Как в этом случае вычислить объем тела braшения? В этом случае могут помочь следующее две теоремы.

Теорема 1. Пусть α и β — две переменные плоскости и l — линия их пересечения. Пусть, далее, F — некоторая плоская фигура, плоскость γ которой переменную плоскости β, а F₁ — проекция фигуры F на плоскость α. Тогда объем тела, получающейся при braшении фигуры F вокруз оси l, равен объему тела, получающейся при braшении фигуры F₁ вокруз оси l.

Доказательство. Проведем плоскость р, переменный плоскую прямой l, и пусть эта плоскость пересекает фигуру F по отрезку AB (если пересечение плоскости р с фигурой F состоит из нескольких отрезков, расчуженная не меняются). Отрезок AB переменный плоскости β и потому его проекцией на плоскость α будет отрезок A₁B₁, равный отрезку AB. Отрезок A₁B₁ представляет собой пересечение плоскости р с фигурой F₁. На рисунке 1 изображен случай, когда отрезок AB не пересекается с плоскостью β (случай, когда этот отрезок пересекается с плоскостью β, представляем рассмотреть читателю). Тело V, получающейся при bra-

*) См. «Квант» № 6, 1973, с. 4.

Рис. 1.

37

него фигура, состоящая из двух треугольников $BB_1D_1$ и $A_1B_1D_1$ эквивалентны при врашении относительной диагонали $BD_1$, то есть дают одно и то же тело (проверьте это!). Искомый объем $v = v_1 + v_2$, где $v_1$ и $v_2$ — объемы, полученные врашением треугольников $BB_1D_1$ и $A_1B_1D_1$ вокруг оси $BD_1$. Так как $BD_1 = a\sqrt{3}$ и $B_1O_1 = \frac{a\sqrt{6}}{3}$ (где $B_1O_1 \perp BD_1$), то $v_1 = \frac{1}{3}\pi \cdot B_1O_1^2 \cdot BD_1 = \frac{2\pi a^3\sqrt{3}}{9}$.

Объем $v_2$ равен объему тела, полученного врашением треугольника $A_1B_1D_1$ относительно оси $B_1D_1$, умножением на cos $\theta$, где $\theta$ — угол наклона диагонали $BD_1$ к плоскости треугольника $A_1B_1D_1$ (по теореме 2).

Заметив, что cos $\theta = \frac{B_1D_1}{BD_1} = \frac{\sqrt{6}}{3}$, легко найти $v_2 = \frac{1}{3}\pi \cdot A_1O_1^2 \cdot B_1D_1 \times \cos \theta = \frac{\pi a^3\sqrt{3}}{9}$. Искомый объем $v = v_1 + v_2 = \frac{\pi a^3\sqrt{3}}{3}$.

Задача 2. Одна из двух взаимно перpendикулярных плоскостей параллельна основанием правильно шестмугольной прізмы и относим от ее центра на 3 а; другая относим от центра прізмы на 2a$\sqrt{3}$. Большая диагональ относия прізмы параллельна линии $l$, по коморой пересекаются указанные плоскости, а ребра прізмы равны $a$. Найти объем тела,

$$v_2 = \left( \frac{3}{2} a^2 \sqrt{3} \right) \cdot 2\pi (2a\sqrt{3}) = 18\pi a^3.$$

Искомый объем: $v = 30\pi a^3$.

В заключение — несколько задач для самостоятельного решения.

1. Найти объем тела, полученного врашением круга радиуса $R$, если ось врашения наклона к плоскости круга под углом $\theta$, а ее проекция на его плоскость: а) проходит через центр круг; б) проходит на расстоянии $m > R$ от центра круг.

2. Плоскость $\alpha$ параллельна основанием цилиндра с радиусом основания $R$ и высотой $2R$ и проходит на расстоянии $2R$ от его центра. Примяя $l$ лежит в плоскости $\alpha$ и находится на расстоянии $2R$ от проекции цилиндра на плоскость $\alpha$. Найти объем тела, полученного врашением цилиндра вокруг оси $l$.

39

При $n = 1$ наше утверждение, очевидно, справедливо. (В этом нет, правда, ничего удивительного: если цифрой вверх будет перевернуть всего одна карточка, то, разумеется, перед нами оказывается одна цифра.)

Докажем теперь, что если утверждение $Y_n$ верно при $n = k$ (где $k$ — любое целое число от 1 до 99), то оно верно и при $n = k + 1$.

Положим на стол цифрой вверх $k + 1$ карточку. Оdnу карточку (назовем ее $A$) на минутку симметром стола. На столе остатся $k$ карточек. На них (по предположению индукции) написана одна и та же цифра (некоторая цифра $X$).

Итак, на всех карточках — кроме, быть может, $A$ — написана цифра $X$.

Заменим теперь одну из $k$ карточек на столе карточкой $A$. На столе по-прежнему $k$ карточек, значит, по предположению индукции, на них всех написана одна и та же цифра (которую мы выше обозначили через $X$). В том числе цифра $X$ написана и на карточке $A$, которое мы вначале сяли, а теперь вернули на стол.

Итак, на карточке $A$ тоже написана цифра $X$.

Значит, на всех $n$ карточках ($n = k + 1$) написана цифра $X$, что и требовалось доказать.

аким образом, в терминах § 1 утверждение $Y_1$ верно, и за каждым верным утверждением $Y_h$ ($1 \leq k \leq 99$) следует верное утверждение $Y_{k+1}$. Следовательно, все утверждение $Y_n$ верны ($1 \leq n \leq 100$). И как ни паразителен наш фокус с карточками, он теперь обязаан всегда получаться — это строго доказано!

§ 3. На пальцах

Из меня вывалися большой, крайне рассеженный двумальный ленивец.

Дж. Даррел. Три билета до Эдвенчер.

Рассудядая так же, как в § 2, можно доказать немало удивительных теорем. Например, нетрудно установить, что все числа равны между собой или что у всех девушек глаза одинакового цвета.

Посленее утверждение заслуживает, нам кажется, того, чтобы оставиться на нем подробнее. Итак, соберем вместе совершенное произвольных $n$ девушек, — моеda (сейчас мы это доказем) $y$ них $y$ всех глаза окажутся одинакового цвета.

При $n = 1$ это утверждение очевидно (хотя и малосодержательно). Переход от $n = k$ к $n = k + 1$ посямым буквально «на пальцах» (рис. 1). Для этого возьмем $k = 4$, $k + 1 = 5$, по числу пальцев на руке.

40

Согласно предположению индукции, у всяких четырех девушек глаза одинакового цвета. Соберем вместе (рис. 1, а) 5 совершенно произвольных девушек (A, B, C, D и E). По предположению индукции у любых четырех из них глаза одинакового цвета. В частности, у всех, кроме A, глаза такого же цвета, как у C (рис. 1, θ), и у всех, кроме E, глаза тоже такого же цвета, как у C (рис. 1, c). Итак, у любых пятей девушек глаза одинакового цвета.

При бóльших k доказательство проходит без всяких изменений (только, если вы захотите проводить его «на пальцах», вам, возможно, придется пригласить на помощь нескольких приятелей).

У разнения

1. Если вы сомневаете в справедливости доказанного утверждения, «можете испытать экспериментальный подход, заглянув в глаза нескольким девушкам» (Пояя. Математика и правдоподобные рассуждения.)

2. Если имя биология и писателя Дж. Даррела не было знаком вам раньше, то эпиграф к § 3 уже сыгral свой основную роль: настоящего совету вам скорее познакомиться с книгами Даррела, интересными и полными своеобразного мягкого комора. Выбирая эпиграф, мы преследовали, однako, кроме чисто пропагандистских целей, еще одну цель. Как вы думаете — какую?

У казан и е. Эпиграф имеет некоторое отношение и к заглавию § 3, и к его содержанию, и к содержанию § 2: (Отметим, что в случае ассоциации с заголовком § 4, напротив, случайны.)

§ 4. О ленивых мудрецах

Три даты A, B и C сидят в куне железнодорожного вагона с испачками лицами и все три сметются. Внезапно A сообщаяем: почему В не попадает, что C смется над ней?— О, более! Они сметятся надо мной.

Дж. Литлвуд. Математическая смесь.

Едут в вагоне поезда N мудрецов. За окнами прелестный пейзаж.

41

Поезд то и дело ныряет в туннелли. Дух захватывает. Собращись все мудрецы в коридоре варона, в открытые окна глазят, не наглядятся.

Вдруг в одном туннеле грохот, дым, пыль! Грязь какая-то в окна посыпалась. Проехали туннель — входит проводник. «Тут коe- кто испачкался, — говорит. — В поезде, к сожалению, воды нет. Но сейчас подряд большее остановки пойдет, так что можно будет выйти из поезда и помыться».

Надобно вас теперь предупредить — мудрецы в вароне собращись как на подбор: столь же умные, сколько ленивые. Никто, скажем, зря мытся не пойдет (если не знает наверняка, что испачкался). И у соседей не спросят, чистое у него ли грязное — зачем направно лодейт тревожить и самому беспокоиться? — проше сообщать.

Что же сделают мудрецы после обьявления проводника?

Утверждается, что если у n из них испачканы лица, то robно на n-й остановке все эти n мудрецов выйдет из поезда мыться.

Докажем сделанное утверждение по индукции.

Случай n = 1. При n = 1 утверждение оченьindo. Мудрец $M_1$ с гризным лицом узнет из обьявления проводника о том, что в вароне имеются пассажеры с испачкными лицами. Оглядев соседей, он обнаруживает, что у них лица чистые. Значит, грязное лицо — именно у него. Поэтому на 1-й остановке он идет мыться.

Переход от n = k к n = k + 1. Покажем, что если утверждение справедливо при n = k, то оно верно и при n = k + 1

Пусть лица испачканы у мудрецов $M_1$, …, $M_{k+1}$. Тогда $M_{k+1}$ видит вокруг k гризных лиц ($M_1$, …, $M_k$) и рассуждает так:

«Возможны два случая:

1. у меня чистое лицо;
2. у меня грязное лицо.

В 1-м случае все k мудрецов с гризными лицами, которые я вижу вокруг, выйдет умываться на k-й остановке (так как по предположению индукини при n = k утверждение справедливо).

Поскольку 1-й случай возможен, мне не следует выходить ни на k-й остановке, ни раныше: если я чистый, это было бы непростительной тратой сил! Ктакому выводу при шел белы на моем местелю буйный и не склонный к направной суете человека*).

Но возможен, разумеется, и 2-й случай: может быть, у меня тоже гризное лицо. Тогда, однако, каждый из перемазавшихся мудрецов $M_1$, …, $M_k$ видит вокруг себя k испачканных лицы. В этой ситуации никакого из них — мудреxis и неторопливых — не пойдет умываться на k-й остановке (см. предыдущий абзац).

Итак, если мудрецы $M_1$, …, $M_k$ не пойдет мыться на k-й остановке, значит, я — гризный, и мне надлежит идти умываться. Дождусь k-й остановки. Если на ней никак не пойдет умываться, придетя выйти на следующее — (k + 1)-й остановке и вымыть лицо!»

Так же рассуждается все мудрецы с гризными лицами. Следовательно, на (k + 1)-й остановке все они пойдет умываться, что и требовалось доказаать.

Задачи

1. Изменим слегка наш рассказ.

Знача, что в вароне едут мудрецы, и увидав, что mnoeце из них испачкались, проводник решает сократить свое обьявление.

«Зачем же мне говорить, что коекто испачкался, — думает он, — когда они и сами это видят!» И пропускает первуго фразу обьявления.

Можно ли по-прежнему утверждать, что если лица испачканы у n человек, то на n-й остановке они пойдет мыться?

2. Внесем в рассказ другое изменение.

*) Вероятно, так мысленно изменет он своего лень.

42

Пусть в тот момент, когда поезд проходил через злосчастный туннель, часть мудрецов была в своих куples: кто в окно смотрел, кто дремал . . .

Громкий голос проводника, который на этот раз опять произнес полный текст обьявления, по счастливой случайности услышали все, но поручиться, что и другие слышали обьявление, никакой не смог. Через некоторое время (еще до первого остановки) все мудрецы собратьсь в коридоре варона . . .

Вопрос тот же, что в задаче 1.

Предупреждение. Если вы хотите решить предложенные задачи сами (без подсказок), то не читайте пока § 5.

§ 5. Что сказал проводник?

Иль думал, что я думала, Что думал он: я сплю!

С. Маршак. Из Ковентри Палмора.

Пусть мудрецы и сами — без проводника — знали и про то, что в позде нет воды, и про то, что после туннелей пойдут долгие стоянки, на которых можно умыться. Кроме того, пусть в грязном туннеле испачкался больше чем один человек. Тогда в обьявлении проводника нет как будто вообще ничего нового ни для кого из мудрецов!

Так что же — если бы проводник вовсе не приходил — пошли бы n испачкавшихся мыться на n-й остановке?

Велик соблазн ответить «Да»: раз ничего не изменилось в условиях задачи, то не должны, казалось бы, измениться и ответ! И все же здравый смысл подсказывает, что без обьявления проводника мыться, пожалей, никакого не поддет!! И потом — что значит: «ниччего не изменилось в условия»? Все-tаки в одном варианте проводник вообще не приходил, а в другой — приходил и что-то сказал!!!

Что же, наконец, он сказал?

Одним восклицаниями этот вопрос, по-видимому, не решить. Поэтому хладнокровно и скрупулезно проанализируем простейший возможный случай: n = 2 (положить n = 1 мы не можем, так как дано, что испачкался больше чем один человек).

Случай n = 2. Лица испачканы у мудрецов M₁ и M₂. Они видят друг друга, и поэтому каждый из них, действително, знает, что кто-то испачкался.

Поставив себя на место M₂, по-proбudem повторить рассудения § 4.

«Возможны 2 случай:

1. у меня чистое лицо;
2. у меня грязное лицо.

В 1-м случае M₁ видит только чистые лицо, но знаем, что кто-то испачкался, но открыda об этом известно M₂? Откуда, собственно, M₂ знает, что M₁ знает, что кто-то испачкался?

… Наконец-то, мы, кажется, нашуали ключ к решению.

Если проводник проходил, то его обьявление, и правда, не было новостью для M₁ и M₂. Но M₂ видел, что M₁ служал это обьявление. Поэтому-то, если проводник приходил, то M₂ знает, что M₁ знает, что кто-то испачкался.

Если же проводник не приходил, то знамь M₂ об этом неоткуда. В самом деле, мы-то знаем, что у M₂ грязное лицо, и поэтому знаем, что M₁ знает, что кое-кто (может быть, молко M₂, а может быть и он може) испачкался, но сам M₂ допускает возможность, что у него чистое лицо, и что M₁ видит, следовательно, только чистые лицы. Но если M₁ не видит грязных лиц и если проводник не приходил, то M₁ неоткуда узнать, что кто-то испачкался. Значит, если проводник не приходил, то M₂ неоткуда узнать, что M₁ знает, что кое-кто испачкался.

У разжене. Пусть проводник не приходил, n = 2; испачкались мудрецы M₁ и M₂, мудрец M не испачкался. Какие из следующих утверждений верны?

a) M₂ знает, что M знает, что кое-кто испачкался,

43

b) $M$ знает, что $M_1$ знает, что кое-кто испачкался,
c) $M_2$ знает, что $M$ знает, что $M_1$ знает, что кое-кто испачкался,
d) $M_2$ знает, что $M_1$ знает, что кое-кто не испачкался.

Дальнейший анализ. При $n > 2$ каждому мудрецу и без объявления проводника становится известно не только то, что кое-кто испачкался, но и то, что все остальные знают об этом. Пусть, например, границы мудрецов — трое: $M_1$, $M_2$ и $M_3$. Тогда $M_2$ знает, что $M_1$ видит гразное лице $M_3$. Тем самым, $M_2$ знает, что $M_1$ знает, что кое-кто испачкался, а если не приходил, то $M_3$ знать об этом неоткуда.

Различие между вариантом, когда проводник приходил или не приходил, при $n > 2$ становится поэтому еще тоньше. Сформулируем его точно для $n = 3$.

Случай $n = 3$. Если проводник приходил, то $M_3$ знает, что $M_2$ знает, что $M_1$ знает, что кое-кто испачкался, а если не приходил, то $M_3$ знать об этом неоткуда.

У разжене. Проверьте последнее утверждение.

Общий случай. Один знаменитый философ как-то заметил:
Если человек говорит фразу
«Я думаю о том, что я думаю о том, …», то уже на премьем — чемвертом обороте мерляем смысл произносимого.

Нам в общем случае придется сделать не три — четые, а $n$ оборотов. Обозначим через $U_k$ такое утверждение: $M_k$ знает, что $M_{k-1}$ знает, …, что $M_2$ знает, что $M_1$ знает, что кое-кто испачкался.

Тогда различие между сравниваемыми вариантом сформулировать в виде следующей теоремы:
Пусть проводник приходил, и пустыла испачканы у мудрецов $M_1$, …, $M_n$ (и может быть, еще у коо-нибудь). Тогда утверждение $U_n$ справедливо.

Пусть проводник не приходил и пустыла испачканы у мудрецов $M_1$, …, $M_n$ (и только у них). Тогда утверждение $U_n$ справедливо.

Докажем эту теорему по индикции.

При $n = 1$ она оченьна: если проводник приходил, то $M_1$ знает из его объявления, что кто-то испачкался, если же проводник не приходил, и лице испачкано только у $M_1$, то ему неоткуда знать об этом; то есть в первом варианте $U_1$ справедливо, а во втором — несправедливо.

Переход от $n = k$ к $n = k + 1$ проводится так.

I вариант (проводник приходил). Лица испачканы у $M_1$, …, $M_{k+1}$. Значит, в частиности, они испачканы у $M_1$, …, $M_k$. Значит, по предположению индикции утверждение $U_k$ справедливо. Это, разумеется, известно мудрецу $M_{k+1}$, то есть $M_{k+1}$ знает, что $M_k$ знает, …, что $M_2$ знает, что $M_1$ знает, что кое-кто испачкался. Тем самым, утверждение $U_{k+1}$ справедливо.

II вариант (проводник не приходил). Мудрец $M_{k-1}$ допускает, что у него, может быть, чистое лице. В этом случае, с его точки зрения, лица испачканы только у $k$ мудрецов $M_1$, …, $M_k$, и, следовательно, — по предположению индикции — утверждение $U_k$ справедливо. Итак, допустив, что у него чистое лице, $M_{k+1}$ вынужден допустить, что $M_k$ не знает, что $M_{k-1}$ знает, …, что $M_2$ знает, что $M_1$ знает, что кое-кто испачкался*).

И вместе с тем выясено, наконец, что же сообщил мудрецàm проводник. Чем $n$ больше, тем, оказывается, больше узнали из его объявления мудрецы — имеющий удида слышит!

Другими словами, $M_{k+1}$ не знает, что $M_k$ знает, …, что $M_2$ знает, что $M_1$ знает, что кое-кто испачкался, то есть утверждение $U_{k+1}$ справедливо.

Теорема доказана.

*) Фактически $M_k$ знает об этом, то есть фактически — а не с точки зрения $M_{k+1}$, предположившего, что у него чистое лице — утверждение $U_k$ справедливо. Проверьте это.

44

§ 6. Точки над 1

Читательм, добавшимся через все препятствия до конца § 5, вряд ли попадобятся следующие разъяснения. Все-tаки, «для порядка», даим их.

1. В § 3 переход от $k=4$ к $k+1=5$ продолжан без ошибок. Верно и то, что при больших $k$ доказательство проходит без изменений. Нетрудно также перейти от $n=2$ к $n=3$ и от $n=3$ к $n=4$. Не получается «только» переход от $n=1$ к $n=2$. Он не может получить потому, что при $n=2$ утверждение неверно: не у любых двух девушек глаза одинакового цвета.

Если все-tаки попытаться proveсти доказательство «на пальцах» и в этом случае, то ничего не выйдет (в § 3 мы соединили $A$ и $E$ «мостиком» $C$: и у $A$, и у $E$ глаза оказысь такого же цвета, как у $C$; если пальцев всего два, то такого мостика нет).

Двупалый ленивец из эпиграфа признан был привлечь внимание к указанному исключительно случанию.

2. В § 2 утверждение $Y_2$ верно, а все утверждение $Y_n$ начиная со второго, неверны. Переход от $n=k$ к $n=k+1$ обоснован правильно для $k \ge 2$. Переход от $n=1$ к $n=2$ содержит ошибку: когда мы убираем карточку $A$, на столе остается одна карточка; на ней написана одна цифра, но вовсе не обязательно цифра $X$.

3. Если оставить в стороне вопрос, знал ли $M_2$, что $M_1$ знает, что умываться нужно не в позе, а на стоянках (и если знал, то знал ли об этом $M_3$ и т. д.), то разобранная в § 5 задача эквивалентна задаче 1 из § 4. Тем самым, если проводник не объявил, что «кое- кто испачкался», тоникто из мудрецов мыться неойдет (ни на $n$-й, ни на какой другой остановке).

Никто неойдет мыться и в том случае, когда $n>1$ и не все $n$ испачкашихся мудрецов находится во время объявления проводника (задача 2 из § 4). Доказательство аналогично проводному в § 5, только индукцию нужно найти с $n=2$: при $n=1$ единственный испачкаший мудрецойой может мыться на 1-й ос-

тановке независимо от того, где он был во время объявления проводника.

4. В 1-м упражнения из § 5 утверждения a), b) и d) верны, а утверждения c) неверно.

5. Наряду с утверждением $U_e$ (справедливым, если проводник приходил, и неверным, если он не приходил) для различия сравнимых в § 5 вариантов можно использовать еще $n!$ утверждений, которые получаются из $U_n$ всевозможными перестановками букв $M_1$, . . . , $M_n$. Например, $M_1$ знает, что $M_2$ знает, . . . , что $M_n$ знает, что кто-то испачкался.

Все эти $n!$ утверждений содержат по $n$ оборотов. «Более короткие» (содержание не более чем $n-1$ оборот) утверждение не позволяет различить варианты, когда проводник приходил или не приходил. Например, утверждение $U_{n-1}$ справедливо и без объявления проводника, так как $M_{n-1}$ знает, что $M_{n-2}$ знает, . . . , что $M_2$ знает, что $M_1$ знает, что $M_n$ испачкался.

6. Смешливая дата из эпиграфа к § 4 договорась, что у нее грязное лицо, хотя никакой проводник не делал никаких объявлений. Роль проводника сыгral несержанный смесе соседок. Степенные мудрецы, конечно, не позволили бы себе ничего подобного!

45

И. Ф. Шарыzin
Об одном геометрическом месте точек

В «Кванте» №11 за 1972 год в «Задачике «Кванта» была предложена задача M174. Вом ее условия.

На сторонах треугольника ABC, как на основаниях, построены равноведные треугольники AB₁C, BA₁C и AC₁B (рис. 1). Доказите, что перпендикуляры, опущенные из точки A, B и C соответственно на прямые B₁C₁, C₁A₁ и A₁B₁, пересекаются в одной точке.

В публикуемой статье расссказано об одном довольно общем методе решения задачи макого типа, в частности, решения задачи M174. В конце статьи приведены задачи для самостоятельного решения.

Довольно часто встречаются задачи, в которых требуется доказать, что какие-то три или более прямых пересекаются в одной точке. Нередко эти задачи можно решать так: доказать, что две из расматриваемых прямых пересекаются в точке, удовлетворяющей некоторому условию, которое удовлетворяют все точки третьей прямой и только они. В качестве примера можно привести следующие две теоремы из школьного учебника: bicсектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке; перпендикуляры, восставленные к середinem сторонам треугольника, пересекаются в одной точке.

Аналогично, если требуется доказать, что какие-то три или более точки лежат на одной прямой, то можно попытаться доказать, что все расматриваемые точки удовлетворяют условию, которое удовлетворяют все точки некоторых прямой и только они (подобные расужения можно проводить не только для прямых, но и, например, для окружностей).

Об одном геометрическом месте точек, помогающим решать подобные задачи, мы сейчас и рассакжем.

Формулировки утверждения

Утверждение 1. Пусть A₁ и A₂ — две фиксированные (различные) точки плоскости; k, k₁ и k₂ — действительные числа. Тогда геометрическим местом точки M таких, что

k₁ (A₁M)² + k₂ (A₂M)² = k,
будем:

a) окружность или одна точка, или пустое множество, если k₁ + k₂ ≠ 0;

b) прямая линия, перпендикулярная отрезку A₁A₂, если k₁ + k₂ = 0 (но k₁ ≠ 0).

Рис. 1.

46

Справедливо и обобщение утверждения 1 для большого числа точек.

Утверждение 2. Пусть $A_1, A_2, \dots, A_n$ — фиксированные точки плоскости, $k_1, k_2, \dots, k_n$ (все $k_i \neq 0$) — данные числа. Тогда геометрическим местом точек $M$ также, что сумма
$$k_1(A_1M)^2 + k_2(A_2M)^2 + \dots + k_n(A_nM)^2$$
постоянна, будем
a) округность, точка или пустое множество, если $k_1 + k_2 + \dots + k_n \neq 0$;
b) пряма или вся плоскость, если $k_1 + k_2 + \dots + k_n = 0$.

С помощью утверждения 16 можно доказать следующее весма полезное условие.

Утверждение 3. Для того, чтобы перепределки, опущенные из точек $A_1, B_1$ и $C_1$ соответствовали на стороны BC, AC и AB треугольника ABC, пересекались в одной точке, необходимimo и достаточно, чтобы выполнять равенство
$$(A_1B)^2 - (BC_1)^2 + (C_1A)^2 - (AB_1)^2 + (B_1C)^2 - (CA_1)^2 = 0.$$ (1)

Из последнего утверждения вытекает такое следствие.

Утверждение 4. Если перепределки, опущенные из вершин $A_1, B_1, C_1$ треугольника $A_1B_1C_1$ на стороны BC, AC и AB треугольника ABC, пересекаются в одной точке, то и перепределки, опущенные из точек $A, B$ и $C$ на прямые $B_1C_1, A_1C_1$ и $A_1B_1$, также пересекаются в одной точке.

Попробуйте самостояльно доказать все эти утверждения. Мы же сначала покажем, как с помощью утверждения 3 или 4 решить задачу M174, а затем докажем сами утверждения.

Решение задачи M174

Согласно утверждения 3 нам надо проверить справедливо следующую равенства (см. рис. 1):
$$(AB_1)^2 - (B_1C)^2 + (CA_1)^2 - (A_1B)^2 + (BC_1)^2 - (C_1A)^2 = 0.$$

Рис. 2.

47

откуда
$(MD)^2 = \frac{k - k_1(A_1D)^2 - k_2(A_2D)^2}{k_1 + k_2} = C$.

В правой части последнего равенства мы получили постоянную величины и обозначили ее через $C$. Таким образом, $(MD)^2$ постоянно, то есть точка $M$ лежит на окружности с центром в точке $D$ и радиусом $\sqrt{C}$, если $C > 0$; совпадает с точкой $D$, если $C = 0$; точек $M$, удовлетворяющих условию задачи, нет, если $C < 0$.

Легко проверить и обратное утверждение: какая точка $M$ полученного множества удовлегворяем соотношение $k_1(A_1M)^2 + k_2(A_2M)^2 = k$, для этого достаточно подставить в формулу (2) выражение для $(MD)^2$.

Мы рассмотрели случай $k_1 > 0$, $k_2 > 0$. Случай $k_1 < 0$, $k_2 < 0$ совпадается к рассмотренному заменю знаков $k_1$, $k_2$ и $k$ на противоположные, а в случае $k_1 > 0$, $k_2 < 0$ (или $k_1 < 0$, $k_2 > 0$) можно действовать так же, как в самом первом случае, только точка $D$ будет лежать вне отрезка $A_1A_2$ (рис. 3; проведите самостояльно все выкладки). Формула (2) остается в силу в любом случае, в дальнейшем мы это использем.

Утверждение 16. Соотношение
$$k_1(A_1M)^2 - k_1(A_2M)^2 = k$$

эквивалентно соотношение
$$(A_1M)^2 - (A_2M)^2 = \frac{k}{k_1}$$.

Рис. 3.

Рис. 4. Рис. 5.

Пусть $D$ — проекция точки $M$ на прямую $A_1A_2$. Тогда по теореме Пифогора (см. рис. 4, 5)
$$(A_1M)^2 = (A_1D)^2 + (MD)^2,$$
$$(A_2M)^2 = (A_2D)^2 + (MD)^2,$$
откуда
$$(A_1M)^2 - (A_2M)^2 = (A_1D)^2 - (A_2D)^2 = \frac{k}{k_1}.$$

Итак, задача свелась к нахождению на прямой $A_1A_2$ точек $D$, удовлетворяющих последнему соотношению. Такую точку легко найти (проверьте), причем она единственная. точка $M$ должна лежать на перпендикуляре, восставленном к прямой $A_1A_2$ в точке $D$.

Справедливо и обратное утверждение (доказите его самостояльно): для всех точек прямой, перпендикулярной отрезку $A_1A_2$, разность квадратов расстояний до $A_1$ и $A_2$ носится.

Утверждение 1 доказано.

Утверждение 2. Доказательство будем проводить по индукции. Для $n = 2$ мы уже доказали утверждение 2. (Для $n = 2$ геометрическим местом точек будет все плоскость, если $k_1 + k_2 = 0$ и $A_1$ совпадает с $A_2$. Тогда для всех точек плоскости $(A_1M)^2 - (A_2M)^2 = 0)$.

Пусть теперь утверждение 2 верно для некоторого $n$. Доказем, что оно верно и для $(n + 1)$. Заметим, что если $n \geq 2$, а все $k_1, k_2, \dots, k_n, k_{n+1}$ не равны нулю, то среди них

48

найдуться два, сумма которых не равна нулю. Пусть это будет $k_1$ и $k_2$. Возьмем точку $D$, построенную в доказательстве утверждения 1а, и воспользовемся формулой (2). Тогда равенство
$$k_1(A_1M)^2 + k_2(A_2M)^2 + k_3(A_3M)^2 + \dots + k_{n+1}(A_{n+1}M)^2 = k$$
можно записать в виде
$$(k_1 + k_2)(DM)^2 + k_3(A_3M)^2 + \dots + k_{n+1}(A_{n+1}M)^2 = k - k_1(A_1D)^2 - k_2(A_2D)^2.$$
Тепер справа стоит построенная, а следва число точек уменьшилось на единицу, сумма же коэффициентов не изменилась. Согласно предположению индекции для последнего равенства утверждения 2 выполняется. Значит, оно выполняется и для $(n+1)$ точки. Утверждение 2 доказано.

Утверждение 3. Необходимость. Пусть $P$ — точка пересечения перепределкиров, опущенных из $A_1$, $B_1$ и $C_1$ на BC, AC и AB. Из утверждения 16 следуют равенства
$$(A_1B)^2 - (CA_1)^2 = (PB)^2 - (CP)^2,$$
$$(B_1C)^2 - (AB_1)^2 = (PC)^2 - (AP)^2,$$
$$(C_1A)^2 - (BC_1)^2 = (PA)^2 - (BP)^2.$$
Сложив эти три равенства, получим, что в этом случае условие (1) выполняется.

Достаточность. Пусть выполнен условие (1) и пусть $P$ — точка пересечения перепределкиров, опущенных из $A_1$ на BC и $B_1$ на CA. Из утверждения 16 следует, что
$$(A_1B)^2 - (CA_1)^2 + (B_1C)^2 - (AB_1)^2 = (PB)^2 - (AP)^2.$$
Но из условия (1) следует, что левая часть последнего равенства равна $(BC_1)^2 - (C_1A)^2$, то есть $(BC_1)^2 - (C_1A)^2 = (PB)^2 - (AP)^2$, а это и означает, что точка $P$ лежит на перепределкуре, опущном из $C_1$ на AB, что и требовалось доказать.

Утверждение 4. Его справедливо следует из симметриности условия (1) относительно $A$ и $A_1$, $B$ и $B_1$, $C$ и $C_1$.

Упражнения

1. Используя утверждение 3, доказать, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

2. Даны три попарно пересекающей окружности. Доказать, что все общеные любых двух из этих окружностей проходят через одной точку.

3. Доказать, что если перепределкиры, опущенные из точки $A_1$, $A_2$, …, $A_n$ на прямые $B_1B_2$, $B_2B_3$, …, $B_nB_1$, пересекаются в одной точке, то
   $$(B_1A_1)^2 - (A_1B_2)^2 + (B_2A_2)^2 - (A_2B_3)^2 + \dots + (B_nA_n)^2 = 0.$$

4. Возьмем три окружности, каждая из которых касется одной стороны треугольника и продолжения двух других сторон. Доказать, что перепределкиры, воспставленные к сторонам треугольника в точках касания этих окружностей, пересекаются в одной точке.

5. Пусть расстояния от некоторой точки $M$ до вершин $A$, $B$ и $C$ треугольника ABC выражаются числа $a$, $b$ и $c$. Доказать, что при каком $d \neq 0$ ни для одной точки плоскости расстояния до вершин в том же порядке не могут выражаться числами

$$\sqrt{a^2 + d}, \sqrt{b^2 + d}, \sqrt{c^2 + d}.$$

6. Дан правильный треугольник ABC и произвольная точка $D$. $A_1$, $B_1$ и $C_1$ центры окружностей, вписанных в треугольника BCD, ACD и ABD. Доказать, что перепределкиры, опущенные из вершин $A$, $B$ и $C$ на $B_1C_1$, $A_1C_1$ и $A_1B_1$ соответственно, пересекаются в одной точке.

7. Пусть $A_1$, $A_2$, $A_3$ и $A_4$ произвольные точки плоскости. Доказать, что найдуться такие четыре числа $x_1$, $x_2$, $x_3$ и $x_4$, не все равны нулю, что $x_1(A_1M)^2 + x_2(A_2M)^2 + x_3(A_3M)^2 + x_4(A_4M)^2$ построено для любой точки $M$ этой плоскости.

8. Дан треугольник ABC. Расмотрим всевозможные пары точки $M_1$ и $M_2$ таких, что $AM_1 : BM_1 : CM_1 = AM_2 : BM_2 : CM_2$. Доказать, что все прямые $M_1M_2$ проходят через фиксированную точку плоскости.

9. Okружность касется стороны $AB$ треугольника ABC и продолжения сторона $AC$ и CB соответственно в точках $M$ и $N$. Другая okружность касется стороны $AC$ и продолжения сторона $AB$ и $BC$ соответственно в точках $P$ и $K$. Доказать, что точка пересечения прямых $MN$ и $PK$ лежит на высоте треугольника ABC, проходящей через вершину $A$.

10. Даны два отрезка $AB$ и $CD$. Найти геометрическим местом точки $M$ таких, что сумма $S_{\triangle ABM} + S_{\triangle CDM}$ построена.

11. Используя результат предыдущей задачи, доказать, что середины диагоналей описанного четырехугольника и центр вписанного в него кругл лежат на одной прямой (задача Ньютона).

12. Доказать, что геометрическим местом точки, относительной от которых до двух фиксированных точок плоскости построено и отлично от единицы, является okружность (окружность Аполлони).