Квант 1973, №11 · Страницы

КЕАНМ
1973
11
Научно-популярный
физико-математический
журнал

Зам. председателя жюри И. С. Петраков инструктирует школьников.
Нелегки олимпiadные задачи! (Первый день олимпiadы.)

1

Главный редактор
академик И. К. Киони
Первый заместитель
главного редактора
академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:
М. И. Башмаков,
С. Т. Беляев,
В. Г. Болтянский,
Н. Б. Васильев,
Ю. Н. Ефремов,
В. Г. Зубов,
П. Л. Капица,
В. А. Кириллии.

главный художник
А. И. Климанов,
С. М. Козел,
зам. главного редактора
В. А. Лешковцев,
Л. Г. Макар-Лиманов,
А. И. Маркушевич,
Н. А. Патрикесва,
И. С. Петраков,
Н. Х. Розов,
А. П. Савин,
И. Ш. Слободский.

зам. главного редактора
М. Л. Смолянский,
Я. А. Смородинский,
В. А. Фабрикант,
А. Т. Цветков,
М. П. Шаскольская,
С. И. Шварцбург,
А. И. Ширшов.

Редакция:
В. Н. Березин,
А. Н. Виленкин,
художественный редактор
Т. М. Макарова,
И. Б. Мамулова,
Н. А. Минц,
Т. С. Петрова,
В. А. Тихомирова.
зав. редакцией
Л. В. Чернова

В НОМЕРЕ

2 В. З. Кресин. Природа сверхпроводимости
11 P. С. Гумер, Ю. Л. Полунов. Машина управляет
17 M. А. Гинцбург. Измерение магнитных полей на Луне
25 H. Б. Васильев. Последовательность прыжков

Лаборатория «Кванта»
32 И. И. Воробьев. Поверхностное натяжение чертиг гиперболу

Математический кружок
34 М. Б. Балк, Н. А. Григорьев. Механика помогает геометрии

Задачик «Кванта»
40 Задачи M231—M235; Ф243—Ф247
42 Решения задач M191—M194; Ф203—Ф207

Практику абитриента
52 С. В. Овчинников, И. Ф. Шарыцин. Числовые данные в геометрических задачах
57 И. П. Гурский. Кinematika прямолинейного движения материальной точки
61 М. В. Дражеев. Университет Дружбы народов имени Патриса Лумутмы
62 А. Н. Борзяк, В. И. Давыдов, П. Т. Дыбов, И. И. Наслузов. Телевидение готовит вуз

ХV международная математическая олимпиада школьников
64 И. С. Петраков, В. А. Сворцов. XV математическая
71 М. Л. Смолянский. История Международных олимпиад

Рецензии, библиография
74 А. Н. Колмогоров. Полезнак книга
75 В. Н. Березин, Н. М. Доронина. Книга о международных математических олимпиадах

«Квант» для младших школьников
76 Задачи
77 Почему подушка мягкая?
78 Ответы, указаны, решены

Смеся (с. 33, 51)

Рисунок, проведенный на первой странице обложки, шлястрирует эффектив Мейснера — необничное взаимодействие сверхпроводического тока с магнитным полем. Рассказ о явлении сверхпроводимости мы помещаем в этом номере журнала (см. с. 2).

2

В начале XX-го века физика удалось проникнуть в области температур, близких к абсо-
лотному нулю. Это привело к возникновению современного новой области науки — физики
низких температур.

Вещесто, изучаемое в столь «холодных» лабораториях, находится в современно не-
объчных условиях. Они отличятся от привчных условий тем, что температура понi-
жена почти на 300°.

В мире низких температур наблюдается цельный ряд веса своегообразных явлений. И самые
замечательные из них — это два «сверхъявления»: сверхпроводимость, о которой по-
дет речь в этой стате, и сверхтекучесть жидкого геля.

Сверхпроводящие состояния вещества

Открытие сверхпроводимости. Явление сверхпроводимости было открыто немногим более
60 лет тому назад, в 1911 году. В лаборатории голландского физика Камерлинг-Оннеса исследовалось электрическое сопротивление металлов при сверхизких температурах.

Камерлинг-Оннеса интерсервало, как изменяется способность чистых металлов проводить электрический ток при попежни температуры. Сопротивление движению электронов в чистом металле возникает за счет тепловых колебанийонов, расположенных в узлах кристаллической решетки. При попежни температуры эти колебания становятся менее интенсивными, что приводит к уменьшению сопротивления. В качестве объекта исследования была выбрана ptrуть, так как ее можно было легко очистить от примесей. Вначало при $T = 3,71^\circ$*) (в дальнейшем эта точка получила название критической температуры и стала обозначать

*) Здесь и ниже мы приводим значения температуры по шкале Кельвина.

Рис. 1.

3

Отсутствие электрического сопротивления означает, что при протекции тока полностью отсутствует потери энергии. Ведь тепловые потери при прохождении тока по объчным, несверхпроводящим металлам (такие металлы называют нормальными) обусловлены сопротивлением проводника. Это видно из известной формулы, выражающего закон Джоуля — Ленца:

$$Q = I^2 Rt.$$

В сверхпроводнике электроны не испытывают сопротивления и не теряют энергии. Поэтому сверхпроводящий ток не затугает.

В 1959 году был поставлен такой эксперимент. В металлическом колце был наведен сверхпроводящий ток. Через два с половиной года приборы не отметили никакого уменьшения этого тока. Отсутствие тепловых потерь приводит к тому, что время циркуляции тока по колцу практически бесконечно велико.

Сверхпроводящие вещества есть в первые эфектив сверхпроводимости был обнаружен при использовании других. Однако вскоре были открыты новые сверхпроводники.

В настоящее время известно около 25 элементов, переходящих при понижении температуры в сверхпроводящее состояние. Самая высокая критическая температура у нюбия ($T_K = 9,2^\circ$), а самая низкая — у придиния. У придиния сверхпроводимость обнаруживается при температуре всего 0,140°. Сейчас достигнуты температуры в тысячиные доли градуса. Возможно, многие элементы оказываются сверхпроводниками при темперарах более низких, чем $T_K$ придиния.

Основную часть сверхпроводящих веществ составляют не чистые вещества, а сплавы и соединения. Сейчас известно около 500 таких сверхпроводящих веществ, и их число все время увеличивается. Во многих laboratorиях мира ведется интескивный поиск новых сверхпроводящих материалов.

Самые высокие температуры, при которых сохраняется свойство сверхпроводимости, наблюдаются именно в сплавах. Долгие годы «рекордсменом» были сплавы низья с овлом Nb$_3$Sn, критическая температура которого 18,1°. В настоящее время самой высокой $T_K$ обладает сложное ссединение Nb$_3$Al·Nb$_3$Ge, синтезированное несколько лет тому назад и сохраняющее свойство сверхпроводимости вплоть до температуры $T_K = 20,1^\circ$.

Уже простое изучение свойств сверхпроводников позволяет сделать некоторые интересные выводы.

Существуют сплавы (например, сплав меди с серой CuS или золота с bicмутом Au$_2$Bi), компоненты которых порозь сверхпроводниками не являются.

Берилий становится сверхпроводящим только в том случае, если образец приготовлен в виде тонкой пленки, толщина которого не превышает 10$^{-5}$ см.

Различные металлы неодинаково проводят электрический ток. Можно было бы ожидать, что такие хорошие проводники, как медь, золото, серебро, у которых сопротивление в обычных условиях и так очень мало, легче других веществ переходят в состояние сверхпроводимости. Однако на опыте наблюдается совсем другая картина. Именно в этих металх сверхпроводимость не обнаружена. Важность этого факта отмечалась физики еще задолго до создания теории сверхпроводимости. Так, в книге Я. Г. Дорфмана и И. К. Кикона, вышедшей 40 лет тому назад (*), читаем: «To obstruction, что ни Ag, ни Cu, ни другие наплучшие проводники не переходят в сверхпроводящие состояния, но, наоборот, … плоские проводники… обладают этой удивительной особенностью, свидетельствует о том, что механизм сверхпроводности совершено отличен от механизма обычной проводимости».

*) Я. Г. Дорфмана, И. К. Кикона. Физика металлов. ГТТИ, 1933.

4

Недавно было обнаружено, что некоторые полупроводники также могут при низких температурах переходить в сверхпроводящие состояния.

Особое состояние вещества. Слово «сверхпроводимость» отражает способность веществ проводить электрический ток без всякого сопротивления. Но это — не единственная особенность сверхпроводников. Сверхпроводящий переход — это не только исчезновение электрического сопротивления. Это переход в сверхшенное новое физическое состояние. В сверхпроводниках наблюдаются аномали почти всех известных физических свойства. О чем бы ни шла речь — о тепломкости, о поглощении света или звука, о повышении в магнитном поле — всегда отмещают особые свойства сверхпроводников, резко отличующие от свойств обычных металлов. При переходе через критическую температуру $T_k$ мы попадаем в мир особых законов. Именно поэтому мы и будем говорить не просто о сверхпроводимости, а о сверхпроводящем состоянии вещества.

Остановимся сначала на главном вопросе: какова природа сверхпроводимости? Как объясняется явление сверхпроводимости и что происходит в веществе, когда его температура приближается к абсолотному нулю?

Как объясняется явление сверхпроводимости?

Сверхпроводимость была открыта, как упоминалось выше, в 1911 году. Открытие Kamерлинг-Оннеса вызвало огромный интерес. Многие физики пытались разными способами объяснить исчезновение электрического сопротивления и другие особенности сверхпроводшего состояния. Среди них были А. Эйштейн, еще в 1920 году отмечавший аналогию сверхпроводимости и ферромагнетизма; один из создателей квантовой механики В. Гейзенберг, пытавать

Рис. 2.

шийся обязывать сверхпроводимость особенной электростатической возраста. Только в 1957 году появились работы американских физиков Д. Бардина, Л. Купера и Д. Шрифера, в которой была изложена теория сверхпроводимости.

Прияжение между электронами. Название этого раздела может вызвать закономе удовлетворение. В самом деле, электрины как частицы с одномимыми электрическими зарядами должны не притягивать, а отталкивать друг от друга. Оказывается, однако, что эфект сверхпроводности определяется именно наличием сил между электронного прияжения.

Электронный газ в металле или полупроводнике находится под воздействием кристаллической решетки, благодаря чему и появляется механический прияжение. Попробуем наглядно представить себе механизм возникновения этого прияжения. Расстояние взаимодействие каких-нибудь двух электронов $e_1$ и $e_2$, находящихся в металле (рис. 2). Между ними действуют, прежде всего, общные силы кулоновского отталкивания. Но, кроме того, наличие кристаллической решетки приводит к появлению дополнительного механического взаимодействия. Электрон $e_1$

5

притягивает один из нововкристаллической решетки и смешает его (например, он $I$ на рис. 2) из положения равновесия. Электрическое поле, создавое наном $I$, действует и на остальные электроны, поэтому смешение она сказывается и на них. Таким образом, с «помощью» нововкает дополнительное электрическое взаимодействие электронов. Теория сверхпроводимости доказывает, что оно носит характер притяжения.

Таким образом, кристаллическая решетка и есть та промежуточная среда, которая создает притяжение между электронами. Само притяжение можно представить себе следующим образом. Электрон притягивает новые кристаллические решетки. В результате деформации решетки электрон оказывается окружным «облаком» положительным заряда. Представьте, что величина этого положительного заряда превышает по величины заряд электрона, тогда электрон вместе с окружающей его и притягивает к другому электрону. При высоких температурах достаточно интенсивное тепловое движение отбрасывает частицы друг от друга, размывает нонную «шубу», что фактически уменьшает спиры притяжения. При низких же температурах силы притяжения играют очень важную роль.

Может возникнуть вопрос: не противоречит ли существование между электронного притяжения известным законом физики? Если два электрона находится в вакууме, то, конечно, они отталкивают друг от друга. В среде сила их взаимодействия равна
$$F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{e}{r^2}$$

(ε — диэлектрическая проницаемость среды). Среда может иметь отрицательную диэлектрическую проницаемость ε < 0. Это приводит к изменению знака силы, и электроны в такой среде будут притягивать друг к другу. Решетка кристалла и оказывается той средой, которая делает отрицательной диэлектрическую проницаемость в сверхпроводнике.

Таким образом, при температуре, близких к абсолотному нулю, между электронами действует кулоновское отталкивание и дополнительное притяжение. Все дальнейшее зависит по величины. Если вплоть до абсолотного нулю преобладает отталкивание, металл остается нормальным и его свойства радикальное не изменяются. Если же при некоторой температуре начинают преобладать силы притяжения, то вещество переходит в сверхпроводшее состояние.

Электронные париы. Притяжение между электронами, приводящей к сверхпроводимости, характеризуется рядом интересных особенностей. Если мы будем следить за поведением какого-нибудь электрона в сверхпроводнике, то оказывается, что этот электрон неодинаково притягивает к разным электронам. Он «выберет» один определенный электрон, к которой будет притягивать наиболее сильное. В частности, этот «выбранный» в данной момент электрон будет иметь противоположный имплус.

Электронная система в сверхпроводнике оказывается разбитой на пары связанных электронов. Состав электронных пар не стабилизен. Он все время меняется, так что электронная система веса диаманта. Это выражит так, как будто электроны собрать на балу и исполянятся танец, во время которого постоянно меняются партнеры.

Особое следствие остановится на вопрос о размере электронной пары. Он составляет величины порядка $10^{-4}$ cm. Для сравнения заметим, что период кристаллической решетки примерно $10^{-8}$ cm, так что электроны, входящие в пару, находятся друг от друга на огромном расстоянии в $10^4$ периодов решетки. И тем не менее именно они наиболее сильно притягивают

6

гиваются друг к другу. Если состояние одного из электронов, входящих в пару, меняется под действием какой-нибудь силы (например, под влиянием магнитного поля), то это изменение сразу же скажется и на поведении другого электрона. В сверхпроводниках наблюдается редчайший в неживой природа пример дальней связи.

При повышении температуры возрастает роль хаотического теплового движения. Междулектронное приятие ocлабается, и, наконец, при некоторых температуре (это и есть критическая температура $T_k$) вещество переходит из сверхпроводящего в обычное, нормальное состояние.

Отсутствие электрического сопротивления. Сверхпроводники замечательны тем, что в них электроны не отталкивают, а пригиваются друг к другу.

Под действием сил прияжения электронная система превращается в связанный коллектив. Междучастами действуют силы сцепления.

В нормальных металлах электронный газ может увеличивать свою энергию любыми скольгу угдоно малыми порциями. В сверхпроводнике электронный газ не может поглощать любую энергию. Минимальная порция энергии, которое он может поглощать, — энергия связи электронной пары. Картина разрыва электронной пары похожа на распад atomного ядра. Нейтроны и протоны связаны в единое целое, и для разрыва системы требуется конечная энергия — энергия связи atomного ядра.

Электрическое сопротивление связано, как известно, с рассеянием электронов тепловыми колебаниями решетки или примесями *). Механическая энергия движущихся электронов при этом переходит в теплую

*) Подробнее о природе сопротивления рассказано в статье М. И. Каганова и Г. Л. Любарского «Электрон движется с тренем» («Квант», 1973, № 6).

Рис. 3.

7

При температуре, больших $T_k$, силовые линии магнитного поля проникают в вещество, как во всякий нормальный металл (рис. 3, а). Начнем понжать температуру, не выключая при этом магнитного поля. Как только достигается критическая температура $T_k$, происходит переход в сверхпроводящие состояние; при этом силовые линии выталкивают из толщи образца (рис. 3, б). Это явление, называемое эффектом Мейсснера, было открыто в 1933 году.

Как же происходит выталкивание магнитных силовых линии из сверхпроводника? Ответ на этот вопрос тесно связаан с самим эффектом сверхпроводимости, то есть с возможностью протекания незаутхаюших электрических токов.

Предположим, что мы хотим в веществе поддерживать постоянный электрический ток. В нормальном металле для этого необходимо создать постоянное электрическое поле. Магнитное поле не подходит для этой цели, так как оно не совпадает никакой работы, а это не необходим, поскольку существует движение электровов, возникают тепловые потери, и поэтому необходим непрерывный подвод энергии.

Совершенно иные процессы развиваются в сверхпроводниках. Сопротивление в них равно нулю, и поэтому для поддержания электрического тока никакой работы не требуется. Постоянный ток в сверхпроводниках может создавать магнитным полем. Это очень важная особенность электромагнитизма сверхпроводников.

Вернемся теперь к эффекту Мейсснера. Когда сверхпроводник восстанавлива во внешнее магнитное поле, в его поверхности слще возникнет вызванный этим полем сверхпроводящий ток. Этот ток, как и в случае движения зарядов, создает собственное магнитное поле, которое противоположно внешнему магнитному полю. В теории сверхпроводимости доказывается, что внутрен сверхпроводника происходит полная компенсация этих полей, поэтому магнитное поле там отсутствует. Таким образом, поверхностный слой сверхпроводника является магнитным экраном, не пропускаюшим внутрен вещества магнитное поле.

«Гроб Магомета». Эффект Мейсснера дает возможность наблюдать цельряд очень небольших явлений.

Вот, например, одно из них. Если взять металлическое колюц, в котором циркулирует сверхпроводящий ток, и над ним помещить сферу, также нахождение в сверхпроводящем состоянии, то мы увидим, что сфера (если она не очень тяжелая) видит над колюцом без всякой поддержки.

На рисунке 4 изображена сфера, высшая над сверхпроводящими колюцами. Как же объясняется возможность такого подвешивания?

При протекании тока по колюцу в окружающей пространстве появляется магнитное поле. Выше мы говорили о том, что сверхпроводящий ток может создавать магнитным полем. Именно такой ток и возникнет в металлической сфере. Этот ток имеет такое направление, при котором его собственное магнитное поле противоположно полю, создаваемому током в колюце. Это следует из закона сохранения энергии так же, как и правило Ленца, определяющее направление индукционного тока.

8

Направления токов в колце и в сфере оказываются противоположными, а это приводит к появлению силы отталкивания. Сфера висит на высоте, определяемой равенством силы ее тяжестии и силы отталкивания токов.

На рисунке 5 показан другой эксперимент. Постоянный магнит вид металлическим образцом, в котором магнитным полем индуцируется сверхпроводящий ток. Этот эксперимент похож на предыдущий. Роль колес, созданной магнитное поле, играет постоянный магнит. Этот эксперимент получилшуюся значение «гроб Магомета» (по преданию, гроб порока Магомета видел в воздухе без всякой поддержки).

Сверхпроводники в магнитном поле. Критическая поле. Если увеличить внешнее магнитное поле, то при некоторых его значении $B_K$ (это значение называется критическим магнитным полем) сверхпроводшее состояние разрушается, и вещество переходит в обычное нормальное состояние. Величина $B_K$ зависит от температуры. Чем больше мы подходим к критической температуре, тем меньше величины $B_K$ и тем легче разрушается состояние сверхпроводимости.

На рисунке 6 показано, как с ростом температуры изменяется величина критического поля $B_K$. Наболее устойчиво сверхпроводшее состояние при абсолотном нуле (значение $B_K$, соответствующое $T = 0^\circ$, максимальное). Когда температура становится равной $T_K$, величина критического магнитного поля, естественно, образуется в нуль.

Таким образом, металл можно перевести из сверхпроводшего в нормальное состояние и не повышая его температуры. Такой переход может произойти при воздействии на сверхпроводник магнитного поля.

Не следует считать поэтому, что вещество при температуре, меньших $T_K$, — обязательно сверхпроводник. Оно может быть и нормальным металлом, если величина окружающей магнитного поля превышает $B_K$.

На первый взгляд может показаться, что сверхпроводящий ток, протекающий без тепловых потерь, идеально подходит для создания скольудно сильных магнитных полей. Ведь при использовании обычных электромагнитов большую роль играют джоулевы потери. Если мы хотим получить очень сильные магнитные поля, то необходимо в обмотках создавать достаточно сильные точки; при этом из-за тепловых потерь провода могут просто расплавиться.

В сверхпроводниках из-за отсутствия тепловых потерь такой опасности нет. Поэтому и может показаться, что при увеличении сверхпроводшего тока мы можем получить любое требуемое значение индукции магнитного поля. Однако как только поле

9

достигает значения $B_k$, сверхпроводимость разрушается, и поэтому дело обстоит не так просто.

Был обнаружен тем не менее класс сверхпроводящих веществ, способных создавать мощные магнитные поля и выдерживать сильные токи. Но описание их свойств — это предмет особого рассказа.

Говоря об электромагнитных свойств сверхпроводников, следует отметить еще одну любопытную особенность, обусловленную наличие пар связываных электронов.

Основным законом, описывающим постоянный ток в нормальном металле, является закон Ома, который может быть записан в так называемой локальной форме: $j = E/\rho$ ($\rho$ — удельное сопротивление проводника, $E$ — напряжение электрического поля, $j$ — плотность тока). Согласно закону Ома, величины тока в определенном месте металла определяется значением электрического поля в этом же месте.

В сверхпроводниках все выглядит совершенно иначе. Постоянный сверхпроводящий ток создает, как мы уже отмечали, не электрическим, а магнитным полем. Но разница состоит не только в этом. Из-за межэлектронной связи оказывается, что если внешнее поле подействует на какой-нибудь электрон в сверхпроводнике, то это действие «почувствует» и другой электрон, связанный с ним в пару.

Поместим сверхпроводник во внешнее магнитное поле. Электроны, находящиеся в поверхностном слесе (в толщу образца поле не пропикает), приходит в движение, и создается сверхпроводящий ток. При этом электрон движется как благодаря непосредственному действию на него внешнего магнитного поля, так и под влиянием других, связанных с ним электронов, также нахождения под воздействием поля. Поэтому ток, возникший в данной месте сверхпроводника, определяется не только значением внешнего поля в этом месте,

Рис. 7. Теплопроводность χ нормального металла отмечена на рисунке синей линий, теплопроводность сверхпроводника — красной.

но и значением его в некоторой области. Такая связь тока с внешним полем, в отличие от случая нормального металла, называется нелокальной.

Тепловые свойства сверхпроводников при температуре, делих от $T_k$, оказывается очень малой величиной, намного меньше теплопроводности нормального металла, взятого при той же температуре (переход в нормальное состояние при этой же температуре можно осуществить с помощью магнитного поля). Поэтому температура сверхпроводников очень легко изменяется при подведении или, наоборот, при отводе теплоты.

Очень необходимо картина передачи тепла в сверхпроводнике. Теплопроводность обычного металла меняется при изменении температуры. Например, способность сплавов проводить тепло уменшается с поняженем температуры. Сверхпроводящий сплав ведет себя связыванию. После перехода в состояние сверхпроводности его теплопроводность не убивает, а возвращает с поняженем температуры, затем она достигает максимума и только после этого начинает убывать (рис. 7).

Это еще раз показывает, что сверхпроводимость — не только отсутствие

10

Электрического сопротивления, а особое состояние вещества.

Эффект Джозефсона. Расстояние контакт (рис. 8), состоящий из двух сверхпроводящих пленок, разделенных тонким (около $10^{-7}\text{cm}$) слоем изолирующего вещества. Электроны могут переходить из одной пленки в другую. Мы не станем здесь обсуждать вопрос о механизме прохождения электронов сквозь диэлектрический слой, поскольку это не относится непосредственно к предмету нашего рассказа. Отметим только возможность наблюдания удивительного явления, открыто всего лишь несколько лет тому назад.

Если к контакту приложить постоянное потенциальное, то через него потребет переменный ток. Этот переменный ток, так же, как, например, ток в колебательном контуре, будет излучать электромагнитные волны, и это излучение наблюдается на опыте.

Этот эффект носит имя англійского физика Джозефсона, теоретически предсказавшего в 1962 году возможность его наблюдания.

Как мы уже говорили, в сверхпроводнике возникают связанные электронные пары. Эти пары проходят через диэлектрический слой и приобретают при этом энергию $2eU$ (U — разность потенциальов, приложенная к контакту). В обычном металле эта энергия превращалась бы в теплую. При протекании сверхпроводшего тока сопротивления нет, и полученная электронной парой порция энергии $2eU$ излучается в виде кваента с энергией $hv = 2eU$. На опыте и наблюдается излучение с частотой $v = 2eU/h$.

Излучать электромагнитные волны может только переменный ток. Именно такой ток и течет через контакт Джозефона.

В выражение для частоты излучения входит удовoenый заряд электрона. Это связано с существованием электронных пар; полный заряд каждой равен $2e$. Одиночный электрон при прохождении разности потенциальов $U$ прибретает энергию $eU$. Тот факт, что на опыте действительно наблюдается излучение с частотой $v = 2eU/h$, можно рассматривать как экспериментальное подтверждение правильностипедализации о существовании в сверхпроводниках связанных электронных пар.

Эффект Джозефсона позволяет создавать переменный ток с помощью постоянной разности потенциальов.

Мы расссказали о природах сверхпроводимости и о некоторых эффектах, наблюдаемых в сверхпроводниках. Физика сверхпроводимости еще очень можно ожидать раскрытия еще многохитин.

11

Машина управляет
Р. С. Гутер,
Ю. Л. Полунов

Недавно сотрудники американского журнала «Компьютер энд аутомейшн» подсчитали, что из шестисот «профессии» электронных вычислительных машин около стала пятидесети приходится на долю так называемых «управляющих» машин — машин, которые управляют быстротекущими техническими и экспериментальными процесами. Мы хотим здесь расссказать о том, как машины управляют и почему для этого понадобились вычисления.

Как управляет человек

По шоссе мчится автоматиль. Шофер управляет движением машин. Обгоняя попутный транспорт и разъезжаясь со встречными машинами, водитель непрерывно следит за дорогой. Он намечет траекторию и скорость движения и изменяет положение pedalей и руля машины так, чтобы фактические траектория и скорость как можно меньше отличались от намеченных. Мозг — руки — машина — глаза — мозг — вот система управления автоматием.

В электронской печи существует формы для отливок. Температура в печи не должна выходить за определенные пределы. Работий следит за стрелкой прибора, связанного с электронским термометром внутри печи. Если стрелка приближается к заданным границам, то рабочий увеличивает или уменьшает ток в нагревателном элементе, передвигая движок реостата, чтобы стрелка возвращалась в нужное положение.

На плите варится борщ. Повар пробует борщ и добавляет те или иные

12

продукты или изменяет силу огня до тех пор, пока содержимое кастрюли не придет в соответствии с его представлениями о готовом и вкусном блюда. Легко видеть, что приципы его действий те же, что и шофера, и рабочого у сушильной печи. Различие в действиях определяется лишь особенностями технологических процессов.

Алгоритмы управления

Во всех наших примерах фигурировал человек. Однако его можно исключить из системы управления. Если закон управления каким-либо объектом точно сформирован в виде последовательности правил действий (алгоритма), то, в принципе, можно создать устройство и составить программу, осуществляющую этот алгоритм без участия человека. Такие системы принято называть системи автоматического управления.

Например, для управления сущнымной печью достаточно выходной сигнал электрического термометра подать в устройство управления двигателя, связанного с движком реостата. Алгоритм управления ясен: если температура в печи начала падать, то двигатель должен повернуть в одну сторону, увеличивая ток в печи; если же температура растет, то двигатель должен уменьшить ток, повернуть в противоположную сторону.

Отвлекаясь от физической системы процессов, протекающих в системе управления, мы можем выделить блоки, общее для этих систем: объект управления, управляющая система, исполнительные органы и органы (устройства), передающие в управляющую систему информацию о целях и результатах управления. Графическое изображение такой системы (блок-схема) приведено на рисунке 1. Советуем читателю определить, что именно играет роль или иного блока в каждом из приведенных примеров.

Описанные системы управления замкнутыми системами

или системами с обратной связи. На принципие обратной связи — передаче информации с выхода системы на ее вход — основано регулирование процессов в живых организмах, технических устройств, экономических и общественных систем.

Чтобы понять роль обратной связи, надо познакомиться с разомкнутыми системами, в которых такая связь отсутствует. Примером может служить автомат по продаже газированной воды.

Как работает этот автомат? Опущенная в ответе монета проверяется по весу и, падая затем дальше, замыкает электрическую цепь. Включенный его электромагнит принятывает рычаг, открывающий клапан (кран) на время, достаточно для наполнения стакана воды.

Бывают случаи, когда автомат «не доливает». Он делает это, разумется не по «злому умыслу», просто за время эксплуатации изменились свойства электромагнита или рычага, и он открывает клапан на более короткий срок.

Попробуем видизнить автомат так, чтобы возникла обратная связь. Для этого нужно иметь устройство, изменяющее уровень жидкости в стакане. Выходной сигнал этого устройства надо подать в обмотку электромагнита так, чтобы клапан оставался открытым до тех пор, пока не придет сигнал «стакан полон». Такая система будет более гибкой,ей не страшны изменения.

Замкнутые системы автоматического управления появились за

Чительно позже разомкнутых. Автомат для открывания дверей был создан Героном Александрийским около двух тысячи лет тому назад. Первые же регуляторы с обратной связи — регулятор температуры Дребеля, паровой регулятор уровня Ползунова, регулятор оборотов Уатта — появились в XVII—XVIII столетиях. Они выполляли сравнительно простую работу: поддерживали какой-либо параметр на определенном уровне.

Управление без обратной связи

По мере развития технических сложностей объектов управления неизмеримо возрастла. Человек становится все труднее и труднее управлять созданным им машинами. К примеру, оператор скоростного прокатного станка прихождения выполнять доста (!) операций в минуту — нажимать кнопки, поворачивать штуралы и рукотки, передвигать рычаги. Работать в таком темпе без ошибок человека должно не может.

На помощь пришли вычислительные машины. Нанболее типичным примером использования вычислительной машины в разомкнутой системе управления является работа станков с программным управлением. Вот как они работают.

Исходная информация для составления программы обработки заготовки берется из рабочого чертежа. Технолог намечает нужную последовательность обработки, разбивает геометрический контур детали на участки, образуемые прямыми или кривыми линяями, определяет координаты опорных точек (мест сопряжения отдельных участков контура, центров дуг и т. д.) и задает параметры линей, соединяющих опорные точки. Вся эта информация кодируется (в двойной или десятичной системе численения) и наносится на перфоленту или перфокарты, которые вспециально управляются вычислительной управляющей машину — интегралатором.

Технолог задает координаты лишь некоторых (опорных) точек на поверхности детали. Но движение рабочих органов станка необходимо обеспечить в как驳ы момент времени. Следовательно, информация должна поступать в управляющую систему станка непрерывно в соответствии с законом движения инструмента по каждой координате. Этот поток числовой информации создает интерполятором, вычисляющим положение рабочих органов станка для каждой элемента детали.

Результаты вычисления интерполятора либо неисредственно поступают в управляющую систему станка, либо предварительно записывается на магнитную ленту в так называемом унитарном коде (с основанием, равным единице) и лишь затем передаются в управляющую систему.

В унитарном коде каждое число записьвается последовательностью единиц в количестве, равном записьемому числу. Например, число 5 записьется так: 11111. Необходимость преобразования двойно-кодированной информации в унитарный код, то есть в последовательность единичных импульсов, определяется конструкцией исполнительных органов станков с программным управлением — шаговых двигаемелей. Шаговый двигает так, что каждый единичный импульс, поступающий в его обмотку, вызывает поворот вала двигается на строго определенный угол. Следовательно, перемещение рабочого органа (резца, фрезы и т. п.), связанного с валом двигается, будет пропорционально числу импульсов, приведших в управляющую устройство станка.

Преобразование информации в интерполяторе осуществляется таким образом, чтобы выходных единичных импульсов было равно двойно-кодированной координате, а время, за которой выдается это число импульсов, — заданному времени обработки участка контура от одной точки до другой.

Станки с программным управлением, впервые появились в конце 50-х годов, в настоящее время получили повышенное распространение. Они составляют основу будущих, полностью автоматизированных предприятий.

14

Управление с обратной связи

Замкнуть системы управления, используемые вычислительные машины, получили наиболее широкое распространение в химической и металлургической промышленности, в тепловой иatomной энергетике. В замкнутых системах управления воздействие вырабатывается с учетом информации о ходе процесса. Устройства, собирающие эту информацию, называют датчиками.

Выходной сигнал таких датчиков, как правило, представляет собой неокторную физическую величины, имеющую непрерывный характер. Чтобы цифровая вычислительная машина восприняла информацию датчиков, непрерывная (часто говоря — аналоговая) величина должна быть преобразована в цифровую форму в двойной системе численения. Поэтому важной составной частью управления машины является аналого-цифровой преобразователь.

Входной величиной аналого-цифрового преобразователя является напряжение или ток, угловое или линейное перемещение или положение какого-либо устройства. Значую аналоговая величина превращается из своей исходной формы в другую, более удобную для преобразования, например, давление преобразуется в перемещение.

Рассмотрим в качестве примера одну из возможных схем преобразования напряжения в число импульсов. Пусть на входе преобразователь подается напряжение $U_{bx}$ (рис. 2, а). Преобразователь работает дискретно, то есть изменяет напряжение через определенные промежутки времени (такты), в течение которых входное напряжение можно считать приближительно постоянным.

Начало каждого такта отмещается максимальным импульсом, который испускается генератор максимых импульсов (рис. 2, б). Таковый импульс запускает генератор счетных импульсов (рис. 2, с), генератор пилообразного напряжения (рис. 2, e) и включает счетчик.

Пилообразное напряжение и входное напряжение $U_{bx}$ подаются на два входа схемы совпадения, которая в момент их совпадения (рис. 2, д) выдает импульс (рис. 2, e), запирающий счетчик. Число счетных им-

Рис. 2.

пульсов (рис. 2, ж), попавших в счетчик, будет пропорционально промежутку времени между тактовым и запирающим импульсами, а этот промежуток пропорционален величине входного напряжения $U_{bx}$.

Таким образом, в этом analogо-цифровом преобразователь осуществляется следующая цепь преобразования: аналоговая величина $\rightarrow$ напряжение $\rightarrow$ временной интервал $\rightarrow$ цифровая форма. Блок-схема такого преобразования показана на рисунке 3.

Кроме преобразования analogов в цифровую форму, передко требуется и обратное преобразование. Дело в том, что вычислительная машина

15

шина выработывает сигнал в цифровой форме. Если исполнительным органом системы автоматического управления является шаговый дигитель, который управляет цифровым сигналом, то никаких дополнительных преобразований не требуется. Если же в качестве исполнительного органа применяется общий дигитель (засlonка, регулятор), требующий непрерывного входного сигнала, то нужен цифро-аналоговый преобразователь. Такие преобразования основаны на тех же принципах, что и рассмотренные выше аналогичными объектом.

Блок-схема замкнутой системы управления техническим процессом с использованием электронной вычислительной машины изобранена на рисунке 4. Видно, что, кроме вычислительной машины, система управления содержит довольно много дополнительного оборудования, необходимого для связи машин с управляемым объектом.

Прежде всего, необходимы датчики величины, характеризующих управляемый процесс. К ним относятся:

a) входные параметры процессов (давление, температура, расход сырья, потребление тепловой и электрической энергии и т. д.). Эти величины могут быть управляемыми (если мы можем их изменить с помощью урра в ля ю щ и х сигналов) или неуправляемыми (если мы не можем их изменить);

b) возмущения, нарушающие нормы ход процессов (колебания температуры окружающей среды, сетевого напряжения и т. д.);

b) выходные параметры процессов (колебания и качество основного и побочного продуктов, их температура, состав и т. д.).

Все информация должна быть преобразована в цифровой вид и введена в вычислительной машину. Кроме информации, в машину необходимо ввести алгоритм управления, переведенный на машинный язык (прорамму управления). Именно благодаря программе машина может расчитать, какие управляющие воздействия нужны в данной ситуации, чтобы регулируемый процесс шел навыгоднойшим образом.

Как составляется алгоритм

Составление алгоритма управления для каждой системы или, точнее, для каждой управляемого процесса, представляет собой сложную задачу. Очень часто не удается получить строгое математическое описание сложных процессов и выразить зависимости между характеристиками их величины в аналогичной форме. Тогда приходит прибегать к экспериментальным методам установления таких зависимости.

Полученные сведения и описания используют для построения математического модели объекта, которая представляет собой сложную задачу. Кроме того, необходимо также точный критерий оптимального процесса, определяющий цель управления *). Чаще всего

*) Насоклько важна четкая формулировка целей управления, читатель может судить по рассказу американского писателя-фантаста P. Шекл и, Страж-птица, М., «Молодая гвардия», 1968 (Библиотека научной фантастики. Т. 16).

16

целью управления является достижение максимального экономического эффективта. Однако, иногда приходит именно дело и с другими критериями, например максимальной производительностью, минимальными затратами или кратчайшим сроком.

В ряде случаев управления алгоритм удается сначала «способностью самообучения». Это означает, что программа будет иметь возможность анализировать результаты управления воздействий и соответствие выбранной математической модели процесса его реализации течение и внесить требуемые коррективы в математическую модель.

Система «СТАРТ»
Все читатели, наверное, видели автоматический светофор — простейшую незамкнутую систему. В нем свет переключается в определенном порядке через определенные промежутки времени без учета фактической ситуации на перекрестке. Летом 1972 года на площади Серпуховской заставы в Москве (с довольно сложной схемой движения, см. рис. 5) была включена система автоматического управления транспортным потоком. От датчиков, расположенных под проездей частью улиц, выходящих на площадь, в системе подаются сведения о числе машин, движущихся по каждой возможного положения светофоров вычислительной машина подчиться число движущихся и простаявших автоматин и определяет среднее время простоя в расчете на одну машину, после чего выбирает положение светофоров так, чтобы время простоя было минимальным.

В 1974 году в Москве должа быть введена в эксперименто системе автоматического регулирования транспортных потоков «СТАРТ», которая будет «заведовать» всем светофорами внутри Садового колца столицы. Для каждой внутреннего узла схемы можно будет расчитать число машин, подходящих к этому узлу по различным направлениям.

Алгоритм управления для такой системы включает в себя расчет среднего времени простоя машин; критерий оптимального протекания процесса) — минимальное этого времени простоя.

17

Коротко о приборе

Еще в глубокой древности было известно, что Земля действует на магнитную стрелку, как если бы она была гигантским магнитом. И до сих пор учены не могут ответить на вопрос о причине возникновения земного магнитного поля и законах его изменения во времени (он медленно меняется на протяжении тысячелетия). Поэтому огромный интерес для науки представляет вопрос о том, есть ли магнитные поля у других космических тел — у Луны, Марса, Венеры и так далее, отличнохисся от Земли внутринем строением, размерами и периодом суточного врашения. Из сравнения магнитизма планет и магнитизма Земли можно будет понять, что явилось причиной появления магнитного поля на Земле.

Magнитные поля, правда, очень слабые — примерно в 6000 раз меньше земного, — есть и в межпланетном пространстве. Во всей Солнечной системе от Солнца и до Нептуна нельзя указать места, где бы не было этих слабых полей.

Для измерения магнитных полей на планетах и в межпланетном пространстве почти на всех космических кораблях устанавливаются специальные приборы — так называемые феррозондовые магнитометры. Это один из основных космических приборов.

Феррозондовый магнитометр СГ (название нашего советского прибора этого типа) был установлен на третьем советском искусственном спутнике Земли (он измерял магнитное поле

Рис. 1.

18

Этот прибор, по существу, — специальная разновидность трансформатора.

Объчисленный трансформатор состоит из двух обмоток, первичной и вторичной, навитых на общий ферромагнитный сердечник *. В магнитометре СГ сердечником служит тонкая лента из пермалоя—специального сплава железа (20%) и никеля (80%).

Индукция В результирующего магнитного поля в сердечнике складывается из двух частей: индукции $B_0$ поля, создаваемого током намагничивающей катушки, и индукции $B_\phi$ поля, создаваемого ориентированными элементарными токами в самом веществе. Отношение $\frac{B}{B_0} = \frac{B_0 + B_\phi}{B_0} = \mu$, называемое магнитной проницаемостью вещества, для ферромагнитков много большие единицы (то есть $B_\phi \gg B_0$) **).

Произведение индукции В на площадь S сечения сердечника, перpendикулярного вектору B, то есть BS, называется магнитным потоком.

По закону электромагнитной индукции изменение магнитного потока во времени порождает во вторичной обмотке электродвижущую силу индукции, величины которого пропорционально скорости изменения магнитного потока и числу витков во вторичной обмотке. Если число витков во вторичной обмотке больше, чем в первичной, мы получим в ней напряжение больше, чем в первичной (повышаюший трансформатор). Начание трансформатора — повышить (или понзить) напряжение, поданное в первичную обмотку.

*) Напомним, что ферромагнитными называют материалы, способные сильно намагничивать, даже когда они находятся в сравнительно слабом внешнем магнитном поле (в основном это железо, никель и некоторые их соединения и сплавы).

**) Величана магнитной проницаемости может сильно менять при изменении внешнего магнитного поля. В частности, пермалой отличается тем, что при очень слабых внешних полях значение μ резко изменяется с изменением внешнего поля.

В магнитометре, как и в трансформаторе, имеется perвичная и вторичная обмотки, навиты на общий пермалоевый сердечник (схему магнитометра см. на рис. 8 в Приложении). В первичную обмотку от специального генератора подается переменный ток с частотой 5000 2ц. Этот ток создает в.perмалоевом сердечнике переменный магнитный поток Ф, а изменение во времени этого потока индуирует во вторичной обмотке э. д. с. индукции. Величана э. д. с. изменяется специальными приборами, устанавливаемых на космическом аппарате, и передается по радио на Землю.

Однако цель магнитметра — не повышение или попужнение напряжения, а изменение постоянного во времени слабого внешнего магнитного поля, в котором находится прибор.

Внешнее поле изменяет магнитную проницаемость сердечника и тем влияет на вторичное напряжение (приципл действия магнитметра подробнее описан в Приложении). Сердечники трансформаторов изготавливаются из трансформаторной стали — сплава железа и кремния; слабые внешние магнитные поля не меняют магнитной проницаемости этого материалов.

Magнитометр имеет три взаимно перpendикулярные катушки; они изменяют составляющие поля в трех взаимно perpendикулярных направлениях.

Чувствительность прибора очень высока. Так, например, магнитметр, установленный на искусственном спутнике Луны «Луна-10», регистрации изменения магнитной индуктивной в 1 гамму. (γ — единица измерения магнитной индуктивции; 1γ = 10⁻⁹ mL. Magнитное поле у поверхности Земли — 30÷60 тысця гамм, междуланетное поле — 5γ.)

Первое изменение магнитных полей Луны («Луна-2»)

Стаunchя «Луна-2» была запущена в Советском Союзе 12 сентября 1959 года и достигла Луны 14 сентября 1959

19

Рис. 2.

года. На ракете был установлен магнитометр СГ.

На рисунке 2 приведены показания всех трех катушек магнитометра при padении пакеты на Луну. Вверху показан модель (абсолотная величины) поля $B = \sqrt{B_x^2 + B_y^2 + B_z^2}$. Чувствительность прибора составляет 30γ. Как видно из рисунка 2, постоянного поля, большего 100γ, прибор не обнаружил. Если бы такое поле на поверхности Луны существовало, то при чувствительной при-
рис. 3.

бора 30γ оно было обнаружено. Последнее свое показание прибор передал с высоты 55 км над лунной поверхностью. Следовательно, постоянного поля, превышающего 100γ, на участке поверхности, куда уплата пакета, нет.

В чем значение этого результата?

Во-первых, он важен для понимания внутренней структуры Луны. Земное магнитное поле создается, повышимо, сложной системой течений расплавленных металлов в ядре Земли (рис. 3). Отсутствие на Луне магнитного поля, близкого по величины к земному, говорит о том, что в ядре Луны нет токов, создающих магнитное поле.

Во-вторых, отсутствие в недрах Луны магнитного поля в корне меняет характер взаимодействия Луны с юнами и электронами, падающим на ее поверхности.

Солнце кроме видимого света, ультрафиллетовых, инфракрасных иRENTгеновских лучей испускает также потоки электронов ионов — так называемый солнечный ветер. Скорость ионов солнечного ветра (на 95% это ионы водорода — протоны) — от 300 до 700 км/c в зависимости от условий на Солнце (от его активности). Кроме этого ветра Солнце испускает и частицы города больших энергий, так называемые солнечные космические лучи. Если средняя энергия протонов солнечного ветра

$$W = \frac{mv^2}{2} \approx \frac{1,6 \cdot 10^{-24} (5 \cdot 10^7)^2}{2} = 2 \cdot 10^{-9} \text{эрэ} \approx 3200 \text{эрэ},$$

то средняя энергия частиц, входящих в состав солнечных космических лучей, — 100 ÷ 200 миллионов электрон-вольт. Солнечные космические лучи летят от Солнца во все уголки Солнечной системы, они летят и к Земле. Но на поверхности Земли эти частицы не попадают: магнитное поле Земли на высотах в 60—80 тыссч км от ее поверхности преграждает путь солнечных космических лучам. Поясним, как это происходит.

20

Рис. 4.

Движущая ноны — это ток. На ток в магнитном поле действует сила F, перpendикулярная направление поля и вектор скорости.

На рисунке 4 показано, как влияет магнитное поле Земли на движение ионов солнечного ветра. Из рисунка видно, что прямолинейная траектория она при попадании его в магнитное поле Земли искривляется и переходит в окружность.

Однако поток быстрых ионов может искажать магнитное поле, на котором он налетает. Теория показывает, что результат взаимодействия солнечного ветра с магнитным полем Земли зависит от соответствия между кинетической энергией ионов, нахо-

дяшихся в единице объема пространства, «заполненного» солнечных ветром, — $n \frac{mv^2}{2}$ (n — плотность ионов) и плотностью энергии магнитного поля (энергии, приходящей на единицу объема пространства), которая пропорциональна величины $B^2/2$ (B — величина индукции магнитного поля Земли на данной высоте от ее поверхности). Далеко от Земли, на расстояниях свыше 100 000 км, магнитное поле Земли малое и $n \frac{mv^2}{2}$ » $\frac{B^2}{2}$ — солнечный ветер движется бесплатно. На меньше расстояниях $n \frac{mv^2}{2} < \frac{B^2}{2}$, траектории ионов искривляются магнитным полем Земли, и на расстояния, меньше ~ 60 тысяч км от поверхности Земли, солнечный ветер не проникает.

Однако, не будучи в состоянии «пробить» магнитный шит, солнечный ветер деформарует магнитное поле Земли. Область магнитного поля Земли, несколько деформарованного солнечного ветром, называется магнитосферой.

За Землей магнитосфера образует магнитный хвост Земли. Искаженные силовые линии поля Земли в этой

Рис. 5.

21

области замыкаются на расстояниях порядка 1 миллиона км от ее поверхности. На рисунке 5 область магнитосферы показана голубым цветом (черные линии — магнитные силовые линии).

В области, примыкающей снаружи к границе магнитосферы, магнитное поле солнечного ветра искажено влиянием земного поля. Эта область (на рисунке 5 она более темная, чем магнитосфера) — область «возмущенного» солнечного ветра. Ее близкая к Земле внешняя граница проходит на расстоянии ~ 100 000 км от поверхности Земли. За этой границей существует невозмущенный солнечный ветер (черный цвет на рисунке 5), движущийся от Солнца прямолинейно.

Magнитосфера Земли — это внешний шит толщиной 60 000 км, предохраняющий нас как от губительного действия солнечных космических лучей, так и от менее опасныхонов солнечного ветра. Следующий, внутренний шит образует земная атмосфера.

Magнитные изменения, выполненные на пакете «Луна-2», впервые показали, что на Луне нет сильного магнитного поля. Там нет и второго шита — атмосферы. Поэтому солнечные космические лучи беспрерывственно bombardируют лунную поверхность; радиационная опасность на Луне намного больше, чем на Земле.

Измерения на искусственных спутников Луны

На рисунке 6 показаны орбиты искусственных спутников Луны. На всех этих спутников были установлены феррозондовые магнитометры.

Чувствительность магнитометра, установленного на первом в истории искусственных спутников Луны «Луна-10» (он был запущен в Советском Союз в апреле 1966 года), была 1γ. Magнитная съемка выполнялась вдоль траектории спутника на высотах от 350 до 1017 км над лунной поверхности.

В 1967 году был выведен на орбиту вокруг Луны американский спутник «Эксплореер-35». На нем был установлен феррозондовый магнитометр, аналогичный нашему СГ.

Результаты измерений «Луны-10» и «Эксплореера-35» подтвердили измерения «Луны-2». Луна не имеет собственного магнитного поля (поля ядра) и ведет себя по отношению к магнитному полю солнечного ветра как немагнитный шар с низкой электропроводностью (что указывает на отсутствие жидкого ядра). Ионы солнечного ветра и космические лучи беспрерывственно достигают ее поверхности.

В 1971 году были запущены искусственные спутники «Луна-19» и «Аполлон-15а» (на рисунке 6 орбита «Аполлон-15а» показана пунктиром; этот спутник был запущен с косми-

22

Чесского корабля «Аполлон-15»). Эти спутники летали на небольших высотах над лунной поверхностью («Аполлон-15а» — 110 ÷ 140 км) и подвергали вывод об отсутствии на Луне магнитного поля, создаваемого ядром, с еще большей точностью.

Намагничивание лунных образцов

Магнитного поля ядра на Луне нет. Но вот на Землю были доставлены образцы горных пород Луны, и измерения показали, что эти образцы намагничены.

Как возникло это намагничение?

Первое естественное объяснение — гипотеза о существовании у Луны в далеком прошлом магнитного поля, которое впоследствии исчезло. Допустим, что когда-то Луна имела расплавленное ядро, создавшее сильное магнитное поле (рис. 7a). Это поле намагнитило горные породы на поверхности, содержащие железо. Затем, при отсутствии Луны и замедления ее суточного врашения, магнитное поле ядра исчезло. Однако намагниченные толщи лунной поверхности сохранили свои магнитные свойства — так называемое остатное намагничение (рис. 76).

Основную долю остаточного намагничивания порода приобретает при оставании: следовательно, при оставании Луны поле ядра было. По остаточному намагничанию, зная состав образца, можно судить и о величины магнитного поля, в котором этот образец остывал. С другой стороны, возраст горных пород можно определить по относительной суточной среджаню радиоактивных элементов и продуктов их распада*).

Такие совместные изменения радиоактивности и намагничивание образцов лунной породы показали, что примерно 3,1 миллиарда лет назад на Луне существовало собственное магнитное поле не менее 1000γ.

Магнитометры на поверхности Луны («Аполлон-12, -14, -15», «Луноход-2»)

Возникает и новая задача — измерить распределение поля этого остаточного намагничивания по поверхности Луны.

Почему магнитометры, установленные на спутниках Луны, не за_

*) О радиоактивных методах определения возрата горных пород можно прочитать в статье: Кузнецов В. И. Часы на миллиарды лет. «Квант», 1973, № 4.

23

регистировали поля остаточного намагничивания на Луне? Дело в том, что изменения на спутников Луны для этой цели непригодны. Поле ядра, если оно существует, у поверхности планеты существенно меняется (убывает) на расстояниях порядка радиуса планеты. Поэтому магнитное поле Земли на высоте в 6000 км приблизительно в 8 раз меньше его значения у поверхности и составляет около 4000γ. И если на высотах 100—1000 км над лунной поверхности магнитного поля не обнаружено, то это означает лишь, что у Луны нет поля ядра, но ничего не говорит о поверхности магнитном поле.

Поле остаточного намагничивания — поверхности, оно быстро убывает с высотой, и для его регистрации надо установить магнитометр на поверхности Луны.

Такой эксперимент был осуществлен космонавтами космического коабля «Аполлон-12» 19 ноября 1969 года. Они установили феррозондовый магнитометр, привели его в действие. Прибор продолжал работать много месяцев и в отсутствие космонавтов, а его показания автоматически передавались радиопередатчик на Землю.

На рисунке 6 черными. точками (A-12, A-14, A-15) показаны места установки магнитометров космонавтами коабля «Аполлон».

На протяжении нескольких месяцев по лунной поверхности дивgalяса самоходный аппарат «Луноход-2», управляемый по радию с Земли. На нем также был установлен феррозондовый магнитометр СГ.

Magнитные изменения на поверхности Луны показали, что полезная лунной поверхности имеет разную величины: 38γ («Аполлон-12»), 43γ, 100γ (переносный магнитометр с «Апполона-14»).

Насколько быстро это поверхности поле убывает с высотой, показывает следующий пример. Когда спутник, запущенный с ракеты «Аполлон-15», проелал на высоте 100 км над участком лунной поверхности, где «налуний» магнитометр «Аполлон-14» зарегистрировал поле в 100γ, он не обнаружил никакого следа этого поля.

За последний, 1973 год, в результате изменения, полученных с помощью коабля «Аполлон-17», наши взгляды на строение Луны претерпели эволюцию. Получено много данных в ползу горячего ($t^\circ > 1000^\circ$ С) ядра. Но токов, которые создают бы магнитное поле, в ядре нет. Magнитное поле Луны обусловлено остатным намагничиванием коры и, возможно, процессами в слоях под корой, на глубинах 100—200 км.

Марс, Юпитер, Венера

Советский феррозондовый магнитометр СГ, установленный на станции «Венера-4», изменил магнитное поле (~ 10 γ) на расстояниях вплоть до 200 км от поверхности Венеры. Собственого магнитного поля Венеры на этих расстояниях не обнаружено.

Ценную информацию для магнитометр СГ, установленный на искусственных спутников Марса «Марс-2» и «Марс-3». На высоте 2000 км над поверхности Марса обнаружено поле в 27γ, что в 8 раз превышает межпланетное поле. Если последующие изменения подтвердают, что это собственное поле Марса, то таким может быть только поле ядра: поле поверхности на высотах 1000—2000 км исчезает.

Наряду с изменениями на Марсе на очереди изменения магнитных полей на самом большой планете — Юпитер. По спектру радионзлучения Юпитера в диапазонах метровых и сантиметровых волн можно с достающим уверенностью утверждать, что Юпитер обладает сильным магнитным полем — в сотни раз более сильным, чем поле Земли. Природа и характер поля Юпитера еще совсем неонятны. Для изменения магнитных полей на Юпитере на космических кораблях

24

ПРИЛОЖЕНИЕ

Феррозондовый магнитометр

Поле, возникающее в сердечнике, определяется суммарным полем, создаваемым током первичной катушки и тем слабым внешним постоянным (или мало меняющимся во времени) полем, в котором находится магнитометр: $B = \mu B_{\text{cym}} = \mu(B_1 \sin \omega t + B_0)$. Магнитная пропицаемость материалов сердечника—пермалоя—зависит от величины индукции $B_{\text{cym}}$: $\mu = a - b B^2_{\text{cym}}$ ($a, b$—некоторые постоянные коэффициенты, $a$—безразмерный, размерность $b$[$b] = \frac{1}{[B^2]}$). Так что магнитный поток через сердечника, перпендикулярное сливым линиям суммарного магнитного поля, равен

$$\Phi = S(a B_{\text{cym}} - b B^3_{\text{cym}}) = S[a(B_1 \sin \omega t + B_0) - b(B_1 \sin \omega t + B_0)^3] = S(a B_1 \sin \omega t + a B_0 - b B_1^3 \sin^3 \omega t - 3b B_0 B_1^2 \sin^2 \omega t - 3b B_0^2 B_1 \sin \omega t - b B_0^3).$$

Приципп действия магнитометра: он «выделяет» четвертый член $(-3b B_0 B_1^2 \sin^2 \omega t) = \frac{3}{2} b B_0 B_1^2 (1 - \cos 2\omega t)$ и по создаваемой им во вторичной обмотке электродвижущей силы изменяет $B_0$. Но как подавить остальные слагаемые потока?

Для этой цели на сердечник надеваются не одна, а две первичные обмотки, намотанные в противоположные стороны (см. рис. 8). Эти обмотки создают в вакууме поля $B_1 \sin \omega t$ и $-B_1 \sin \omega t$ соответственно. В сердечнике суммарный поток от двух обмоток $\Phi_{\text{cym}} = S[a(B_1 \sin \omega t + B_0) - b(B_1 \sin \omega t + B_0)^3] + S[a(-B_1 \sin \omega t + B_0) - b(-B_1 \sin \omega t + B_0)^3] = S(2a B_0 - 2b B_0^3 - 3b B_0 B_1^2 + 3b B_0 B_1^2 \cos 2\omega t)$ имеет частоту в два раза большею, чем частота питающего тока. Соответственно такой прибор называется датчиком второй гармоники.

Если бы прибор работал в линейном режиме (то есть магнитный поток в сердечнике был равен $\Phi = S[a(B_0 + B_1 \sin \omega t)]$, то созданный слабым механизмом полем магнитный поток $\Phi_1 = a B_0 S$ был бы трудно регистрации из-за его малости. Переменный во времени поток $\Phi_2 = a S B_1 \sin \omega t$ ничего бы для изменения поля не давал, он не зависит бы от изменяемого поля $B_0$. Кубическая (то есть нелинейная) зависимость $\Phi = \Phi(B_{\text{cym}})$ вносит в поток слагаемое $(3b B_0 B_1^2 \cos 2\omega t)$, пропорциональное как индукции $B_0$ изменяемого внешнего поля, так и квадрату индукции возбужданного поля. Это уже не малая величина, к тому же ее можно регулировать, изменяя ток возбуждения.

Почему из ряда ферромагнитных материалов выбран именно пермалой? Прежде всего, кривая намагничивающая пермалоя содержит нелинейные кубические члены. Кроме того, благодаря высокой магнитной пропицаемости пермалоя, достигающей уже в слабых полях величины $\mu = 100 000$, мы не намагничивающие поля создают в сердечнике большую индукцию. Изменение этой индукции во времени вызывает большую э. д. с. во вторичной обмотке, амплитуда которой пропорциональная велиние изменяемого поля, а частота равна удвоенной частоте питающего тока. Создаваемый этой э. д. с. ток во вторичной обмотке успешна специальной схемой, выприямыется, и его постоянная составляющая служит мерой поля $B_0$.

25

Последовательность прыжков

В этой заметке мы решим задачу M190 из «Заданияка Кванта» — задачу о блюхе, прыгающей по двум прямым. Ее можно решать по-разному. Мы сведем эту задачу к таким вопросу: путь задано два или несколько перемещений плоскости, оставляющих данную точку O неподвижной (это могут быть повороты или симметрины); какое преобразование плоскости получится, если последовательно выполнить данные преобразования одно за другим?

Поскольку этот вопрос интересен и сам по себе, а не только в связи с решением задачи про блюху, мы будем иногда отклоняться в сторону и предлагать упражнения, не относится непосредственно к задаче M190.

Вначале напомним формулировку задачи.

На плоскости даны две пересекающие прямы a и b. В точке A₀, находящейся на прямой a на расстоянии меньше 1 от прямой b, сdim блюха. Затем блюха последовательно прыгает в точки B₀, A₁, B₁, A₂, B₂, …, руководствуясь следующими правилами (рис. 1):

1. точки A₀, A₁, A₂, … лежат на прямой a, точки B₀, B₁, B₂, … — на прямой b;

2. A₀B₀ = B₀A₁ = A₁B₁ = =B₁A₂ = A₂B₂ = … = 1;

3. точка Aₙ+1 не совпадает с Aₙ, кроме случая, когда A_rB_n ⊥ a (и аналогично Bₙ+1 совпадает с Bₙ только, если BₙAₙ+1 ⊥ b).

(Условия 1) — 3) последовательность прыжков определяется однозначно.)

Докажите, что если угодли прямые a и b изменяется рациональным числом градусов, то путь блюхи будет перiodически, то есть в некоторый момент она попадет в начальное точку A₀ и затем будет последовательно проходить неже самые точки B₀, A₁, B₁, …, как в начале пути; а если — irrationalным числом, то блюха не попадет ни в какую точку более двух раз.

Конечно, интересно разобраться не только в том, «зациклистя» путь блюхи или нет, но и вообще разобраться, как устроена последовательность точки A₀, B₀, A₁, B₁, …, (1)

например, научиться по номеру n определять положения точки Aₙ и Bₙ. В нашем решении будет получен ответ и на этот вопрос. В дальнейшем вместе с слова «блюха» мы часто будем употреблять слова «точка».

Рис. 1.

26

1. Точка прыгает по двум прямым
   Естественно начать с эксперимента:
   провести две прямые, вооружиться цирклелем (еше удобнее — измеритель) и, взяв какую-то точку $A_0$ в качестве начальной, посмотреть, как выглядит «траектория» бложи. На рисунке 1 построен один такой пример: точки $A_0$, $B_0$, $A_1$, $B_1$, … последовательно соединены красными и головными отрезками (со стрелками), указывающих путь бложи. Можно повторить такой эксперимент, взяв другой угол между прямыми или другую начальную точку. После нескольких пробстановия ясно, что точки $A_n$ (и $B_n$) попадают то по одному, то по другую сторону от точки пересечения $K$ прямых $a$ и $b$. Правда, строой перiodичности тут нет:
   например, на рисунке 1 бложа былает на каждой из лучей с вершиной $K$ иногда подряд два раза, иногда — три. И, конечно, эксперимент не позволяет узнать, попадает ли бложа через несколько шагов в начальную точку $A_0$: ведь построения мы можем выполнять только приближению, так что по чертежу мы никак не сможем уловить разницу между разциональным и irrationalным угг-

Рис. 2.

Рис. 3.

лом. (Сразу ясен лишь случай, когда угол — прямой; рис. 2.)

No загона рисунки могут подсказать более простую закономерность, определяющую путь бложи, чем правило 1) — 3), сформированные в условиях задачи.

2. Направления прыжков
   Послеовательные звены ломаной — траектории бложи — это векторы единичной длины

$\vec{A}_0\vec{B}_0, \vec{B}_0\vec{A}_1, \vec{A}_1\vec{B}_1, \vec{B}_1\vec{A}_2, \dots$ (2)
(KаждыЙ вектор показывает, каков очередной прыжок.)

Заметим, что если мы знаем вектор $\vec{u} = A_n\vec{B}_n$ (пусть он нарисован где-то в стороне, на плоскости), то мы сможем определить, где лежат точки $A_n$ и $B_n$.

Действительно, верна такая Лемма. Пусть $a$ и $b$ — пересекающие прямые. Для любого вектора $\vec{u}$ (на плоскости) найдет две точки $A$ (на прямой $a$) и $B$ (на прямой $b$) также, что вектор $\vec{AB}$ равен данному вектору $\vec{u}$. Точки $A$ и $B$ определяются однозначно.

Доказательство (рис. 3). Если мы хотим, чтобы начало вектора лежало на прямой $a$ и этот вектор равнялся $\vec{u}$, то конец его должен попасть на прямую $a'$, полученную параллельным переносом прямой $a$ на вектор $\vec{u}$ (на рисунке 3 прямая $a'$ проведена пунктиром). Поэтому точка $B$ должна лежать в точке пересечения прямой $b$ с прямой $a'$. После этого легко находится и точка $A$.

У разжене 1. Данны две точки $C$ и $D$ и две прямые $a$ и $b$. Найдите на прямых $a$ и $b$ соответствующего точки $A$ и $B$ также, что們 сегмент отрезков $AC$ и $BD$ совпадает; б) четырехугольник $ABCD$ был трапецией, у которой основание $AB$ вдвое больше основания $CD$.

Возьем на плоскости точку $O$ и будем все векторы последовательности

27

Рис. 4.

(2) откладывать от этой точки. Эти векторы, равные соответствию вектора последовательности (2), обозначим так:

$$\overrightarrow{OC_0}, \overrightarrow{OD_0}, \overrightarrow{OC_1}, \overrightarrow{OD_1}, \dots$$

(3) Из леммы следует, что, зная последовательность (3), мы можем воспользовать последовательность точек (1):

например, зная $\overrightarrow{OC_n}$, можно найти и $A_n$ и $B_n$.

На рисунке 4 изображены «направления пряжков» (3) для последовательности, изображенной на рисунке 1. Заметьте, что красные векторы $\overrightarrow{OC_n}$ (отвечающее пряжкам с прямой $a$ на прямую $b$; $n = 0, 1, 2, \dots$) образуют между собой равные углы. Оказывается, что это — общий факт, справедливый для любой последовательности пряжков. Сформулируем его в виде теоремы.

Теорема. Если уелем между прямыми $a$ и $b$ равен $\gamma$, то уелем между

ду векторами $\overrightarrow{OC_n}$ и $\overrightarrow{OC_{n+1}}$ равен $2\gamma$.

Это — основное сообщение в задаче М190. Теорему можно доказать, пользоваться тем, что любые два соседних звена ломаной в последовательности (2) являются боковым сторонами равнобедренного треугольника, причем основание этого треугольника попеременно лежит то на прямой $a$, то на прямой $b$. Основная трудность доказательства связи с тем, что звены ломаной могут быть по-разному расположены относительно данных прямых. Например, чтобы доказать теорему для $\gamma = 60^\circ$, пришлось бы рассмотреть 10 случайных изображенных на рисунке 5 (остальные положительные из них симметрией относительно точки пересечения прямых $a$ и $b$). Мы поступим иначе: пользоваться понятиями «преобразование» и «произведение преобразования», мы приведем общее доказательство, охватывающее сразу все случаи.

28

3. Точка прыгает по окружности

Сравним еще раз рисунки 1 и 4. Выделим из них фрагменты, состоящие из двух последовательных звеньев (те самые «правобедренные треугольники», о которых шла речь выше; рис. 6, а, б и 7, а, б). Глядя на эти рисунки, легко сформировать простое правило, по которым строится последовательность (3).

Обозначим через $p$ и $q$ прямые, проходящие через точку $O$ и параллельные соответствующего прямым $a$ и $b$; тогда в последовательности (3)

после вектора $OC_n$ идет вектор $OD_n$, симметричный ему относительно прямой $p$; после вектора $OD_n$ идет вектор $OC_{n+1}$, симметричный ему относительно прямой $q$ (здесь $n = 0, 1, 2, \dots$).

У разженние 2. Проверьте, что это правило в точности соответствует правилам 1)—3) в условиям задачи (в том числе в «выражениях» случая).

У разженние 3. а) Докажите, что если последовательность (1) попадет в точку $A_0$ более двух раз, то она будет перiodичкой и при этом неоторая точка $C_n$ совпадает с $C_0$.

6. Приведите пример, когда последовательность попадает в точку $A_0$ дважды: $A_1$ совпадает с $A_0$, но $B_1$ уже не совпадает с $B_0$.

У казан и е. Для точки $A$ на прямой $a$ существует не более двух векторов, начинающихся в $A$, кончающихся на прямой $b$ и имеющих длину 1.

Сформируем теперь еще раз задачу M190 (вернее, ту задачу, к которой она свелась), но будем говорить не о преобразованиях в кто-торов $OC_n$ и $OD_n$, а о преобразованиях их концов — точек, лежащих на единичной окружности.

Пусть $p$ и $q$ — две прямые, проходящие через точку $O$. Обозначим через $S_p$ преобразование симметричного относительного прямой $p$ и через $S_q$ преобразование симметричного относительного прямой $q$. (Мы можем рассматривать эти преобразования, как преобразования всех плоскости на себя; например, $S_p$ каждой точке $X$ плоскости ставит в соответствие точку $S_p(X)$, симметрично точке $X$ относительно прямой $p$. Но в дальнейшем нам потребуется рассматривать точки на единичной окружности с центром $O$. Ясно, что преобразования $S_p$ и $S_q$ отображают единичную окружность на себя.) Пусть $C_0$ — неокоторая точка, нахождения на расстоянии 1 от $O$, и

$$C_0, D_0, C_1, D_1, C_2, D_2, \dots$$

— последовательность, определяемая условиями

$$D_n = S_p(C_n), C_{n+1} = S_q(D_n)$$

(рис. 8). Мы должны доказать, что точка $C_n$ при неокотром $n$ совпадает с $C_0$ в том и только в том случае, если угол $\gamma$ между прямыми $p$ и $q$ выражается рациональным числом градусов.

Итак, задача о прыжках по двум прямым свелась к задаче о прыжках по окружности.

А теорема, которая мы должны доказать в первую очередь, ути-

29

верждает, что $C_n C_{n+1} = 2\gamma$. где $\gamma$ — угол между $p$ и $q$.

4. Произведение преобразования

Наше правило переход (5) еще упрощится, если мы каждые два последовательных прыжка объединим в один: в последовательности

$$C_0, C_1, C_2, \dots$$

(6)

каждая последующая точка получается из предыдущего по такому правилу:

$$C_{n+1} = S_q (S_p (C_n))$$

(7)

то есть надо к $C_n$ применить $S_p$, а затем к полученной точке $-S_q$.

О пределене. Пусть $K$ и $L$ — два преобразования множества $M$ на себя. Произведение преобразования $K$ и $L$ называется такое преобразование $R$, которое точке $X$ из $M$ ставит в соответствие точку $L(K(X))$.

Таким образом, произведение преобразования $K$ и $L$ — это просто результат последовательного выполнения двух преобразований: сначала $K$, а затем $L$. Произведение $R$ обозначает так: $R = L \cdot K$. Запись $K$ и $L$ именно в таком порядке («справа налево») удобна тем, что для любой точки $X$ имеет место равенство:

$$R(X) = L \cdot K(X) = L(K(X))$$

(8)

Мы специально уточнили, в каком порядке записьются «сомножители», потому что для умножения преобразования, вообще говоря, не выполняется равенство $L \cdot K = K \cdot L$ (см. ниже упражнение 4).

Точно так же определяется произведение трех и большого числа преобразования: $R = R_1 \cdot R_2 \cdot R_3$ означает, что нужно сделать сначала $R_3$, затем $R_2$, затем $R_1$. Наконец, запись $R = (R_1)^n$ означает, что $R$ — это результат $n$-кратного применения преобразования $R_1$.

Вернемся к нашим $S_p$ и $S_q$ — преобразованиями симметрины относительно прямых $p$ и $q$. Каково будет их произведение? (Сейчас нам удобнее считать, что $S_p$ и $S_q$ — преобразования в сея плоскости на себя.) Ясно, что точка $O$ остается при преобразования $S_q \circ S_p$ на месте: она переходит в себя и при преобразования $S_p$, и при преобразования $S_q$. Что происходит с остальными точками?

Наглядно это преобразование можно представить себе так. При преобразования $S_p$ всегда плоскость переворочивается вокруг прямой $p$ и накладывается на себя «другой стороной». После второго преобразования $S_q$ — симметричное относительное прямой $q$ — плоскость снова переворочивается на переходю сторону. Ясно, что перемещением плоскости, имеющим неподвижную точку $O$ и не меняющим «ориентации» плоскости (не переворочивающим плоскость на другую сторону), может быть только поворот вокруг точки $O$. Таким образом, $R = S_q \circ S_p$ — это поворот плоскости на некоторый угол вокруг точки $O$. На какой именно угол? Для того чтобы ответить на этот вопрос, достаточно взять одну какую-то точку и посмотреть, что произойдет с ней. Пусть угол от прямой $p$ до прямой $q$ равен $\gamma$ (мы будем отсчитывать углы против часовой стрелки). Возьмем точку $E$ на прямой $p$ (рис. 9) и найдем $R(E)$. Ясно, что $S_p(E) = E$: какая точка прямой $p$ при преобразования $S_p$ переходит в себя. А затем точка $E$ попадает на прямую, симметрично прямой $p$ относительно прямой $q$, то есть поверхности вокруг точки $O$ на угол $2\gamma$. Итак, если угол от $p$ до $q$ равен $\gamma$, то $R = S_q \circ S_p$ — поворот на угол $2\gamma$. Отсюда следует наша основная теорема:

$$\cup C_n C_{n+1} = 2\gamma.$$

30

Рис. 10.

У пряженние 4. Убедитесь в том, что преобразование $S_p \circ S_q$ — поворот на угол $(-2\gamma)$, то есть поворот на $2\gamma$ по часовой стрелке (см. синтегрина на рис. 4). Таким образом, если угол $\gamma$ отличен от нулевого или прямого угла, то $S_p \circ S_q \neq S_q \circ S_p$.

5. Запись поворотов и симметрий окружности

Вычислить произведение преобразованной можно и формально. Для этого нужно ввести координаты. Поскольку нас интересют только перемещения плоскости, имеющие данные точку $O$ неподвижной, мы можем вместе преобразованный плоскости говорить об отображениях единичной окружности с центром $O$ на себя — о поворотах и симметриях.

Координату окружности введем так. Выберем начало отчета $E$ — одну из точек пересечения прямой $p$ с единичной окружностью. Каждый точке $X$ окружности поставим в соответствие величины угла $EOX$, отчитываем от $OE$ против часовой стрелки и измеряемого в градусах (рис. 10); при этом точке $X$ соответствует множество чисел

$$\varphi, \varphi \pm 360^\circ, \varphi \pm 2 \ 360^\circ, \dots$$

— числом, отличающихся на целое кратное $360^\circ$, соответствует одна и та же точке окружности.

У пряженние 5. a) Преобразование $S_p$ — симметрия относительно прямой $p$ — задается формулой $S_p(\varphi) = -\varphi$.

6. Преобразование $R^\alpha$ — поворот на угол $\alpha$ (против часовой стрелки) — задается формулой $R^\alpha(\varphi) = \varphi + \alpha$.

b) Пусть прямая $q$ составляет угол $\gamma$ с прямой $p$. Преобразование $S_q$ мы будем далее обозначать через $S_\gamma$, чтобы явно указать, какой угол сбразует прямая $q$ с «начальной» прямой $p$. (В частиности, вместе $S_p$ мы будем писать $S_0$.) Тогда

$$S_\gamma(\varphi) = 2\gamma - \varphi$$

Замечание. Конечно, $R^\alpha + 360^\circ = R^\alpha$ и $S_\gamma + 180^\circ = S_\gamma$ для любого целого $n$ (угодл, который составляет прямая $q$ с прямой $p$, определялен с точностью до прибавления любого кратного $180^\circ$). Это как раз соответствует тому, что $\varphi$ определялен с точностью до прибавления целого кратного $360^\circ$.

У пряженние 6. a) Докажите, что $R^\gamma S_0 R^{-\gamma} = S_\gamma$. Каков геометрический смысл этого равенства?

6. Докажите, что $S_{\gamma_1} S_{\gamma_2} = R^{2\gamma_1 - 2\gamma_2}$ (отсюда, в частиности, следует, что $S_0 S_\gamma = R^{-2\gamma}$ и $S_\gamma S_0 = R^{2\gamma}$)

b) Проверьте, что $R^\alpha R^\beta = R^\alpha + \beta$

г) Докажите, что $S_\gamma R^\beta = S_\gamma - \frac{\beta}{2}$

d) Чему равно произведение $R^\alpha S_\gamma$?

Решим для примера задачу г). Пусть точке $X$ соответствует число $\varphi$. Тогда точке $S_\gamma^\circ R^\beta(X)$ соответствует число

$$S_\gamma\left(R^\beta(\varphi)\right) = S_\gamma(\varphi + \beta) = 2\gamma - (\varphi + \beta) = 2\left(\gamma - \frac{\beta}{2}\right) - \varphi.$$

позному, как мы знаем (упражнение 5 в)), $S_\gamma^\circ R^\beta = S_\gamma - \frac{\beta}{2}$.

У пряженние 7. Докажите, что a) $(R^\alpha)^n = R^\alpha n$

6. $(S_\gamma)^2 = I$, где $I$ — тожественное преобразование ($I$ оставляет все точки на месте).

6. Окончание решения задачи про блoxy

Итак, мы выясили, что в последовательности (6) точка каждой следующая из предыдущей поворотом на угол $2\gamma$, где $\gamma$ — угол между прямыми $p$ и $q$. Поэтому $C_n$ получается из $C_0$ поворотом на угол $2\gamma n$. Для того чтобы $C_n$ и $C_0$ совпали, необходимо и достаточно, чтобы угол поворота был целым, кратным $360^\circ$. Ясно, что если

$$2\gamma n = 360^\circ k,$$ где $k$ — целое, то $\gamma$ изменяется рациональным числом градусов. Обратно, если $\gamma = \frac{p}{q}$ градусов, то для $n = 180^\circ q$ получим

$$2\gamma n = 360^\circ p,$$ где $p$ — целое, поэтому $C_n = C_0$.

31

Рис. 11.

В заключение еще раз предлагаем вам поправяться в «прыжках, поворотах и симметриях».

7. Неколько упраженный

Хотя большиство вопросов сформировано ниже для конкретных чисел, очень советуем вам попытаться отвести на анализчные вопросы в общем виде (для произвольных значений параметров). Иного эта же даже проще.

8. Пусть угол $\gamma$ между прямыми $a$ и $b$ равен $60^\circ$, а угол отрезка $A_0B_0$ с лучом $KA_0$ — $7^\circ$. Какой угол будет составлять с этим лучом отрезок $A_{100}B_{100}$? Отрезок $B_{100}A_{101}$?

9. Пусть угол $\gamma$ равен одному радиану и $KA_0=1$. Выясните, принадлежит ли точка $A_{1973}$ лучу $KA_0$ или находится на другой половине прямой $a$.

10. Докажите, что период траектории блоки (наименьшее $n>1$, при котором $A_n=A_0$) зависит только от угла $\gamma$, но не зависит от того, из какой точки стартует блока. Чему равен этот период, если $\gamma=72^\circ$? Пробуйте проверить этот факт «экспериментальис».

11. Пусть $\gamma=37^\circ$. Сколько раз подряд точки последовательности $A_0, A_1, A_2$, … будут встречаться на луче $KA_0$ (указите наименьшее и наименьшее значения)?

Если вы захотите решить в общем виде и следующее упражнение — про узоры в круге, — то вам придется, вероятно, воспользоваться той небольшой теорией, которая содержится в упражнениях 6 и 7. Под узором мы понимаем просто неексторое множество точки $M$, выделенное внутри единичного круга: можно считать, что круг белый, а это множество

32

Поверхность натяжение чертит гиперболу

И. И. Воробьев

Один из методов измерения коэффициента поверхности поверхности натяжения жидкости основан на поднятии столбика смачивающей жидкости в капиллале. Однако не всегда под рукой имеются капиллярные трубочки и микрокопп для определения их внутреннего диаметра.

Оказывается, капилляры в полне можно заменить двумя стеклянными пластинками. Опустите пластинки в сосуд с водой и постепенно сближайте их параллельно друг другу. Вода поднимается между пластинками — ее втягает сила поверхности натяжения (рис. 1).

Легко расчитать коэффициент поверхности поверхности натяжения σ по высоте подъема воды y и зазору между пластинками d. Сила поверхности поверхности натяжения F = 2 σL, где L — длина пластинки (двойка появляется из-за того, что вода соприкается с объемами пластинками). Эта сила удерживает слой воды массы m = ρLdy,

где ρ — плотность воды. Таким образом,

2 σL = ρLdy.

Отсюда можно найти коэффициент поверхности поверхности натяжения

σ = 1/2 ρgdy. (1)

Но интереснее сделать так: с одной конца скать пластинки вместе, а с другой оставить небольшой зазор (рис. 2). Вода поднимается и образует между пластинками удивительное правильную поверхность (конечно, если стекло чистое и сухое).

Негрудно сообщать, что сечение этой поверхности гертикальной плоскостью — гипербола. В самом деле, достаточно в формулу (1) вместе d подставить новое выражение для зазор в данном месте. Из подобия соответствующих треугольников (см. рис. 2)

d = D x/L · Здесь D — зазор на конце,

L — по-прежнему длина пластинки, а x — расстояние от места соприкосновения пластинок до места, где определяется зазор и высота уровня. Таким образом,

σ = 1/2 ρgdy D x/L,

или

y = 2σL/ρgD · 1/x. (2)

Уравнение (2) действительное является уравнением гиперболы.

Для проведения опыта можно взять пластинки размером 10×

34

Механика
помогает геометрии
M. B. Балк, Н. А. Григорьев

… Я счел нужным написать мне и… изложить неко-
торный особый метод, при помощи которого мы получив
возможность при помощи механики находить неко-
торные математические теоремы. Я уверен, что этом метод бу-
дем мне ничуть не менее полезен и для доказательства
симх теорем.

Архимед. «Послание к Эрамосфену.
О механических теоремах».

Со времен Архимеда простейшие по-
нятия механики — и, в первую оче-
редь, понятие о центре тяжестии системы материальных точек — неод-
нократно и с большим успехом при-
влекательisce для доказательства геометрических теорем. Так, с помощью неко-
матических соображений Архимед впервые доказал теорему о трех медианах треугольника, нашел формулу для вычисления объема шара.
Воспследствие механических соображения использясь для вычисления объемов различных тел вращения, находления геометрических мест точек, доказательства неравенств и для решения многох других задач из геометрии и алгебры *).

Эта статья написана по материалам занятый, проведенных с учащими X классов в Смоленском городском физико-математическом кружке (19 октября 1972 г.) и в Ивановской ЮМШ (1 декабря 1972 г.). В ней мы рассекем об одной механической теореме, принадлежшей известному французскому математике Лагранжу (1736—1813), и показем, как эта теорема позволяет сравнить легко решать трудные задачи из области элементарной геометрии. Как мы увидим, эта теорема по су-
*) См. также М. B. Балк, Геометрические приложения поятия о центре тяжестии, М., Физматиз, 1959 («Библиотека математического кружка», выпуск 9), и В. А. Успенский, Некоторые приложения механики к математике, М., Физматиз, 1958 («Популярные лекции по математике», выпуск 27).

шеству является прямым следствием из теоремы Пифагора.

Центр тяжестии

Пусть имеются (см. рис. 1) две матеріальные точки (точные массы): A массы $m_1$ (будем писать короче так: $(A, m_1)$) и B массы $m_2$ $(B, m_2)$.

Центр тяжестии C двух матеріальных точек $(A, m_1)$ и $(B, m_2)$ — это точка, расположенная на отрезке AB и удовлевorioцая следующее соотношение («правило рычага» Архимед):

$$m_1 \cdot AC = m_2 \cdot CB.$$

Если в точке C помещить массы обеих матеріальных точек $m_1$ и $m_2$, то возникалоusoю при этом матеріальну точку $(C, m_1 + m_2)$ условимся назвать матеріальным центром точки $(A, m_1)$ и $(B, m_2)$. Материальный центр трех матеріальных точек $(A_1, m_1), (A_2, m_2), (A_3, m_3)$ (рис. 2) определяется так: сначала следует найти матеріальный центр $(C, m_1 + m_2)$ точки $(A_1, m_1)$ и $(A_2, m_2)$, а затем — матеріальный центр $(Z, m_1 + m_2 + m_3)$ точки $(C, m_1 + m_2)$ и $(A_3, m_3)$. Точка Z будет центром тяжестии системы трех матеріальных точек $(A_1, m_1), (A_2, m_2), (A_3, m_3)$.

Рис. 1.

35

Аналогичным образом определяют материальный центр и центр тяжести системы из любого числа (n) матерialных точек*).

Тепер решим одну задачу.
Задача 1. В треугольнике ABC (рис. 3) длины строки BC, CA и AB равны соответствию a см, b см и c см. Поместим в вершины A, B, C массы a e, b e и c с соответствию. Найти центр тяжести этих материальных точек.

Обозначим через Z центр тяжести материальных точек (A, a), (B, b), (C, c), а через C₁ — центр тяжести материальных точек (A, a) и (B, b).

Тогда
$$a \cdot AC_1 = b \cdot C_1B,$$
откуда
$$AC_1 : C_1B = b : a = AC : CB.$$

Отсюда следует, что CC₁ — биссекторica угла C. Заменим точки (A, a) и (B, b) их материальным центром (C₁, a + b). Тогда центр тяжести Z должен оказаться на отрезке CC₁. Точно так же можно убедиться в том, что точка Z должна оказаться на биссекторice AA₁. Следовательно, Z — точка пересечения биссектора tresугульника ABC.

Отметим здесь одно полезное свойство центра тяжести.

*) Можно доказать, что положение центра тяжести не зависит от номера точки, то есть что данное нами определение «корректно».

Рис. 2.

Рис. 3.

Пусть Z — центр тяжести n материальных точек (A₁, m₁), (A₂, m₂), …, (Aₙ, mₙ), расположенных на плоскости по одному и ту же сторону от некоторой прямой α (рис. 4). Пусть y₁, y₂, …, yₙ и z — расстояния от точки A₁, A₂, …, Aₙ, Z до прямой α. Тогда
$$z = \frac{m_1y_1 + m_2y_2 + \cdots + m_ny_n}{m_1 + m_2 + \cdots + m_n}.$$ (1)

В справедливости этой формулы при n = 2 легко убедиться, воспользоваться правилом рычага. Затем легко доказать формулу (1) при n = 3, сведя этот случай к случае n = 2. Для произвольного n формула (1) доказывается метод математического индукции. Попробуйте проверить это доказательство самостояльно.

Момент инерции

Понятие «мoment инерции» было введено Леонардом Эйлером (1707—

Рис. 4.

36

Рис. 5.

1783. более 200 лет тому назад. Пусть имеется система из $n$ материльных точек $(A_1, m_1), (A_2, m_2), \dots, (A_n, m_n)$, и пусть выбрана еще некоторая точка $S$. Моментом инерции данной системы точек относительно точки $S$ называется величины

$$J_S = m_1 \cdot SA_1^2 + m_2 \cdot SA_2^2 + \dots + m_n \cdot SA_n^2$$

(sумма произведений масс материльных точек системы на квадраты их расстояний от точки $S$). Короче записьюот формулу (2) так:

$$J_S = \sum_{i=1}^{n} m_i \cdot SA_i^2.$$

Задча 2. Около преуездника $ABC$ со стороны $a, b, c$ описана окружность (рис. 5). Обозначим через $Z$ точку пересечения медиан преуездника, через $S$ — центр описанной окружности. Вычислить моменты инерции системы материльных точек $(A, 1), (B, 1), (C, 1)$ относительно точки $Z$ и относительно точки $S$.

Пусть $AA_1, BB_1, CC_1$ — медианы треугольника, $Z$ — точка их пересечения. Тогда

$$J_Z = 1 \cdot ZA^2 + 1 \cdot ZB^2 + 1 \cdot ZC^2 = \frac{4}{9} \left( AA_1^2 + BB_1^2 + CC_1^2 \right) = \frac{1}{3} \left( a^2 + b^2 + c^2 \right),$$

$$J_S = 1 \cdot SA^2 + 1 \cdot SB^2 + 1 \cdot SC^2 = 3R^2,$$

где $R = \frac{abc}{4S_{\triangle ABC}}$ ($S_{\triangle ABC}$ находится по формуле Герона).

Teорема Лагранжа

В 1783 году Лагранжа обращил внимание на справедливость следующого утверждения.

Пусть $J_S$ — момент инерции системы материльных точек $(A_1, m_1), (A_2, m_2), \dots, (A_n, m_n)$ относительно произвольной данной точки $S$, $J_Z$ — момент инерции этой системе относительно ее центра мяжести Z. Тогда

$$J_S = J_Z + M \cdot SZ^2,$$

(4)

еде

$$M = m_1 + m_2 + \dots + m_n.$$

Доказательство *. Пусть $\alpha$ — такая прямая, что все точки $A_1, A_2, \dots, A_n$ лежат по одному сторону от нее и $\alpha \perp SZ$ (см. рис. 4). Пусть $B_1, B_2, \dots, B_n, B$ — проекции точки $A_1, A_2, \dots, A_n, Z$ на прямую $\alpha$; $A_1B_1 = y_1, A_2B_2 = y_2, \dots, A_nB_n = y_n, BZ = z, BS = s$. Из трапеций $A_1B_1BZ$ и $A_1B_1BS$ имеем:

$$SA_1^2 - ZA_1^2 = (y_1 - s)^2 - (y_1 - z)^2 = [(y_1 - z) - (s - z)]^2 - (y_1 - z)^2.$$

Упростив правило часть и умножив обе части на $m_1$, получим:

$$m_1 \cdot SA_1^2 - m_1 \cdot ZA_1^2 = m_1 \cdot SZ^2 - 2(s - z)(m_1y_1 - m_1z).$$

*) Мы ограничиваем случае, когда все данные материльные точки лежат в одной плоскости; однако утверждение справедливо и при произвольном расположении точки в пространстве (см. упомянутую выше книгу: М. Б. Балк, Геометрические приложения понятия о центре тяжесте, с. 75—76).

37

Аналогично

$$m_2 \cdot SA_2^2 - m_2 \cdot ZA_2^2 = m_2 \cdot SZ^2 - 2(s - z)(m_2y_2 - m_2z),$$

$$m_n \cdot SA_n^2 - m_n \cdot ZA_n^2 = m_n \cdot SZ^2 - 2(s - z)(m_ny_n - m_nz).$$

Складывая почленно эти равенства и учитывая определенное momentа инерции (2) и формулу (1), получим требуемое равенство:

$$J_S - J_Z = M \cdot SZ^2.$$

Задание 3. Ребро правильного метраэдра SABC равно a. Вычислить радиус R описанного около метраэдра шара.

Поместим в четырех вершинах тетраэдра массы по 1 грамму. Тогда центр тяжестии образованшихся четырех материалов точек совпадает с центром Z описанного шара. Имеем $J_S = 3a^2$, $J_Z = 4R^2$, $M = 4$ и по формуле (4) получаем: $3a^2 = 4R^2 + 4R^2$, откуда $R = \frac{a\sqrt{6}}{4}$.

Задание 4. Зная длины a, b, c стороны треугольника ABC, вычислить длину биссектрицы CC$_1$ (рис. 6).

Поместим в точки A и B такие массы, чтобы точка C$_1$ оказалась их центром тяжестии. Для этого заметим, что по известному свойству биссектрицы AC$_1$: C$_1$B = AC:CB, то есть $a \cdot AC_1 = b \cdot C_1B$. Значит, в точку A надо поместить массу в a граммов, а в точку B – b граммов, центром тяжестии материалов точек (A, a) и (B, b) будет точка C$_1$.

По формуле (4) имеем $(a + b) \times CC_1^2 = J_C - J_{C_1}$, то есть $(a + b) CC_1^2 = (a \cdot CA^2 + b \cdot CB^2) - (a \cdot C_1A^2 + b \cdot C_1B^2)$.

Из равенств AC$_1$: C$_1$B = b: a, AC$_1$ + C$_1$B = c находится:

$$AC_1 = \frac{bc}{a + b}, \quad C_1B = \frac{ac}{a + b}.$$

Позному из (5) следует:

$$CC_1^2 = ab \left[ 1 - \frac{c^2}{(a + b)^2} \right].$$

Задание 5. Зная стороны a, b, c треугольника ABC, вычислить расстояние между точкой Z пересечения медиан эмного треугольника и точкой H пересечения его высот.

Поместим в вершины A, B, C (рис. 7) равные массы (по 1 грамму). По формулам (3) и (4) имеем:

$$3HZ^2 = J_H - J_Z = HA^2 + HB^2 + HC^2 - \frac{1}{3}(a^2 + b^2 + c^2).$$

Для вычисления расстояний HA, HB, HC построим треугольник A’B’C’, стороны которого параллельны сторонам данного треугольника ABC и проходят через его вершины. В треугольнике A’B’C’ точка H – центр описанной округности (проверьте!),

38

Рис. 8.

и поэтому $HA' = HB' = HC' = R'$, где $R'$ — радиус окружности, описанной около $\triangle A'B'C'$. Так как
$$\frac{A'B'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{C'A'}{CA} = 2,$$
то $R' = 2R$, где $R$ — радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$. Отсюда $HA^2 = C'H^2 - a^2 = 4R^2 - a^2$, $HB^2 = 4R^2 - b^2$, $HC^2 = 4R^2 - c^2$. Поэтому
$$HZ^2 = 4R^2 - \frac{4}{9}(a^2 + b^2 + c^2),$$
где $R = \frac{abc}{4S}$, а площадь $S$ треугольника $ABC$ вычисляется через его стороны по формуле Герона.

Другая формула для момент инерции
Остановимся теперь еще на одной формуле для момент инерции, которая находится вяжные применения в механике (особенно в небесной механике при исследовании так называемой «задачи $n$ тел»). Эта формула оказывается очень полезной и для решения чисто геометрических задач.

Пусть имеется $n$ материалов точек $(A_1, m_1), (A_2, m_2), \dots, (A_n, m_n)$ (рис. 8). Расстояние между точками $A_i$ и $A_k$ обозначает через $r_{ik}$. (Например, $r_{24}$ — это расстояние $A_2A_4$.) Выражение
$$\sum_{i \leqslant k \leqslant n} m_i m_k r_{ik}^2$$
обозначает сумму всех возможных слагаемых вида $m_i m_k r_{ik}^2$, где $i$ и $k$ — любые целые числа между 1 и $n$,

$i$ менше, чем $k$. (Например,
$$\sum_{1 \leqslant i < k \leqslant 3} m_i m_k r_{ik}^2$$
обозначает $m_1 m_2 r_{12}^2 + m_1 m_3 r_{13}^2 + m_2 m_3 r_{23}^2$.)
Оказывляется, что момент инерции $J_Z$ системы матерциальных точек относительно ее центра мяжести Z можно выразить через взаимные расстояния между этих тонами и их массы:
$$J_Z = \frac{1}{M} \sum_{1 \leqslant i < k \leqslant n} m_i m_k r_{ik}^2$$
($M = m_1 + m_2 + \dots + m_n$ — суммарная масса всей системы$)$.
Доказательство мы проведем только для случая $n = 4$, но из расчужdenей будет ясно, что оно пригодно при любом $n$.
По теореме Лагранжа имеем:
$$m_1 \cdot J_{A_1} = m_1 J_Z + m_1 \cdot M \cdot ZA_1^2,$$
или, подробнее:
$$m_1 m_2 r_{12}^2 + m_1 m_3 r_{13}^2 + m_1 m_4 r_{14}^2 = m_1 J_Z + m_1 \cdot M \cdot ZA_1^2.$$
Аналогично
$$m_2 m_1 r_{12}^2 + m_2 m_3 r_{23}^2 + m_2 m_4 r_{24}^2 = m_2 J_Z + m_2 \cdot M \cdot ZA_2^2,$$
$$m_3 m_1 r_{13}^2 + m_3 m_2 r_{23}^2 + m_3 m_4 r_{24}^2 = m_3 J_Z + m_3 \cdot M \cdot ZA_3^2,$$
$$m_4 m_1 r_{14}^2 + m_4 m_2 r_{24}^2 + m_4 m_3 r_{24}^2 = m_4 J_Z + m_4 \cdot M \cdot ZA_4^2.$$
Складывая эти равенства по лучеем:
$$2 \sum_{1 \leqslant i < k \leqslant 4} m_i m_k r_{ik}^2 = M \cdot J_Z + M \cdot J_Z,$$
что равенство требуемому равенству (6) (при $n = 4$).
Задание 6. В окружность радиуса $R$ виссан правый 100-уоллник $A_1A_2A_3 \dots A_{100}$. Вычислить сумму σ квадратов длины всех его диаzoналей и всех его сторонон.

39

Рис. 9.

Поместим в каждую вершину многоугольника массы по 1 грамму. Центр тяжести возникшей системы материальных точек совпадает с центром O кругга. По формуле (6) имеем
$$\sigma = \sum_{1 \leq i < k \leq 100} A_i A_k^2 = M J_0 = (100R)^2.$$
Задание 7. Зная радус R округности, описанной около данного треугольника ABC, и радус r округности, описанной в этом же треугольнике, вычислить расстояние d между их центрами.

Пусть S — центр описанной округности, Z — центр вписанной округности, a, b, c (см) — длины сторон треугольника. Поместим в вершины A, B, C массы соответствующего a, b и c граммов. Центр тяжести этой системы okажется точка Z. По формуле (4) имеем
$$J_S - J_Z = (a + b + c) d^2.$$
По формулам (2) и (6) находим:
$$J_S = a \cdot SA^2 + b \cdot SB^2 + c \cdot SC^2 = (a + b + c) R^2,$$
$$J_Z = \frac{abc^2 + bca^2 + cab^2}{a + b + c} = abc.$$
Кроме того, по известным формулам для плошади треугольника имеем
$$S_{\Delta ABC} = \frac{abc}{4R} = \frac{1}{2} (a + b + c) r,$$
откуда
$$abc = 2Rr (a + b + c).$$
Из формул (7) — (10) следует, что
$$d^2 = R^2 - 2Rr.$$
Это и есть искомая формула («формула Эйлера»).

Задание 8. Известно, что в параллелограмме разность между суммой квадратов длины всех точек плоскости, для которых сумма квадратов расстояний от вершин заданного в этой плоскости квадрата A_1 A_2 A_3 A_4 со стороны a есть постоянная величины c^2, если c^2 > 2a^2?

Поместим в вершинах четырехугольника A_1 A_2 A_3 A_4 равные массы (по 1 грамму), и пусть Z — центр тяжести образованшейся системы материальных точек. По определению (2) и по формуле (6) имеем
$$J_Z = ZA_1^2 + ZA_2^2 + ZA_3^2 + ZA_4^2 = \frac{1}{4} \left( A_1 A_2^2 + A_2 A_3^2 + A_3 A_4^2 + A_1 A_4^2 + A_2 A_4^2 \right).$$
Рассмотрим теперь систему из двух материальных точек (A_1, 1) и (A_3, 1) (их центр тяжести — середина P отрезка A_1 A_3). Приимем формулу (4):
$$ZA_1^2 + ZA_3^2 = PA_1^2 + PA_3^2 + 2ZP^2 = \frac{1}{2} A_1 A_3^2 + \frac{1}{2} PQ^2.$$
Аналогично
$$ZA_2^2 + ZA_4^2 = \frac{1}{2} A_2 A_4^2 + \frac{1}{2} PQ^2.$$
Из (11), (12) и (13) следует искомая формула Эйлера:
$$(A_1 A_2^2 + A_2 A_3^2 + A_3 A_4^2 + A_4 A_1^2) - (A_1 A_3^2 + A_2 A_4^2) = 4PQ^2.$$
Упражнения

1. Решите задачу 4 других способом, воспользовавшись формулой (6).
2. Пусть Z — центр окружности вписанной в треугольник ABC (BC=a, CA=b, AB=c). Доказите, что
   $$a \cdot ZA^2 + b \cdot ZB^2 + c \cdot ZC^2 = abc.$$
3. Какую формулу представляется собой множество всех точек плоскости, для которых сумма квадратов расстояний от вершин заданного в этой плоскости квадрата A_1 A_2 A_3 A_4 со стороны a есть постоянная величины c^2, если c^2 > 2a^2?
4. В некоторых треугольника расстояние между точкой пересечения медиан и центром описанной окружности в три раза меньше радиуса этой окружности. Доказите, что треугольник прямойный.