Квант 1973, №12 · Страницы

КВАНТ
1973
12
Научно-популярный
физико-математический
журнал

12

«В начале XVIII столетия английане Северни и Ньюкомен постропли машину для выкачивания воды из каменочного льных копей. Она представлена на чертеже. В конце b образуется пар, который через трубку e переходит в цилиндр d и поднимает поршень; когда поршень доходит до верха, запирают кран e, открывают h и через трубку i вырызгают в цилиндр из резервуара n струю холодной воды, которая стушает пары; внутри цилиндра делается пустота — поршень опускается от давления атмосферы; вода, образующаяся от струиния пара и вырызгая из резервуара n, выpusается посредством трубки m. Таким образом, открывая и закрывая краны e, h, m, можно заставить поршень двигаться вверх и вниз. Поршень имеет стержень, который с помощью цепи соединин с коромыслом, имеющим точку опоры в средине. На другом конце коромысла тоже висит цепь, а к ней прикреплен стержень насоса, который выкачивает воду из каменочного льных копей.

Это описание одной из первых паровых машин приводилось в книге «Руководство физики», составленной А. Малинным и К. Буренным. Седьное издание этой книги для гипназий и реальных училищ вышло в свет в 1883 году.

О приципке действия тепловых машин рассказывается в этом номере нашего журнала в статье Ю. И. Соколовского (см. с. 12).

1

Главный редактор
академик И. К. Киоин
Первый заместитель
главного редактора
академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:
М. И. Башмаков,
С. Т. Беляев,
В. Г. Болтянский,
Н. Б. Васильев,
Ю. Н. Ефремов,
В. Г. Зубов,
П. Л. Капица,
В. А. Кириллии.
главный художник
А. И. Климанов,
С. М. Козел,
зам. главного редактора
В. А. Лешковцев,
Л. Г. Макар-Лиманов,
А. И. Маркушевич,
Н. А. Патрикева,
И. С. Петраков,
Н. Х. Розов,
А. П. Савин,
И. Ш. Слободецкий.
зам. главного редактора
М. Л. Смолянский,
Я. А. Смородинский,
В. А. Фабрикант,
А. Т. Цветков,
М. И. Шаскольская,
С. И. Шварцбург,
А. И. Ширшов.

Редакция:
В. Н. Березин,
А. Н. Виленкин,
художественный редактор
Т. М. Макарова,
И. Б. Мамулова,
Н. А. Минц,
Т. С. Петрова,
В. А. Тихомирова,
зав. редакцией
Л. В. Чернова

В НОМЕРЕ

2 Л. А. Калужкин. К 100-летию теории множества
Георга Кантора
9 Д. Б. Фукс, М. Б. Фукс. Радиональные приближения и
трансцендентность
12 Ю. И. Соколовский. Тепловые машины
21 О. А. Жаутыков. О границах корней кубического уравнения
24 В. Н. Березин. Что видит внимание глаз

Математический кружок
26 Ю. П. Лысов. Каких чисел больше?

Задачник «Квант»
29 Задачи M236—M240; Ф248—Ф252
31 Решения задач M179, M196—M199; Ф208—Ф210

Практикум абитуриента
39 Я. И. Груденов. Поиск решения задачи
45 А. Н. Борзак, В. И. Давыдов, П. Т. Дыбов, И. И. Наслу-
зов. Телевидение готовит вуз

Информация
46 Л. Новикова, В. Стрельцов. Полигон логических структур
49 И. Г. Венецкий, Ю. И. Соркин. IV математическая олимпида МЭСИ
50 В. В. Алексадров. Преподавание математики на подготов-
тельных отделенияхузов
52 В. Н. Березин, М. Л. Смолянский. Наша почта

«Квант» для младших школьников
54 Задачи
55 В. М. Розентилер. Часы-календарь

Ответы, указания, решения
59 Напечатано в 1973 году
63 Анкета

Уголок коллекционера
(3-ая с. обложки)
В. А. Лешковцев. Первая пакета к Марсу

Смесь (с. 8, 20, 23, 28, 38)

© «Квант», 1973 г.

3

К 100-летию теории множества Георга Кантора

Если вы захотите, чтобы дерево приносило больше плодов, чем обычно, вам нечего делать с его ветвями, а нужно взрыхлить землю и подложить новую почву под корни.

Френис Бэкон

В конце XIX века для математического анализа — центральной области чистой и прикладной математики — стало необходимым уточнить смысл таких основных понятий, как функия, неперьявность, схождение. Для этого нужно было строого определить, что такое действительное число и, более того, что такое натуральное число.

Этот комплект вопросов был успешно решен, в первую очередь, немецкими математиками К. Вейерштрассом (1815—1897), Г. Кантором (1845—1918) и Р. Дедекиндом (1831—1916). Их труды заполнили основы современного анализа.

Надо заметить, что общая обстановка, сложившаяся к тому времени, благоприятствовала развитию новых, плодовных идей в науке.

В конце XIX — начале XX столейный процессодит пересмогт старых представления буквально во всех областях знания. При этом внедrax старых ученийрождались новые представления.

Сейчас мы — свидетель научнотехнической революции — уже не порожаемся таким проявлением че

*) Г. Кантор родился в Санкт-Петербурге в 1845 г. В Германии — с одинаковыми лет. В 1867 г. окончил Берлинский университет. Основной вклад Г. Кантора в науку состоит в создании теории множества.

Умер в 1918 г.

ловечского гения, как космонавтика, atomная энергетика или ЭВМ. Это качество нам обиденным. И очень немногие представляют себе, какой огромный вклад внесли ученыые прошло в сокровищницу мировой науки.

Чтобы проследить путь развития современной науки и техники и иметь возможность предвидеть их дальнейшее развитие, нужно вернуть к истокам.

Крупнейшиеfundamentальные достижения науки — такие, как открытие теории относительнойности или появление кибернетики, стали возможными не только благодаря увеличению объема научных знаний, но и в силу критического переосмысления самых основных и привлечных понятий.

В математическом анализе основные определения также подверглисьрезвчайномуобобщению,«… исследовались функции с самых необъективными свойствами и алгоритм… Это дело возможно только математиком о превращении или вырождении математического анализа в «клинику и патологический функций», либо правильное течение функции стало редчайшим исключением» (Н. Н. Лузин). Подгрозными ударами критики основ математического анализа началась перестройка всей математической науки.

В результате дальнейшего приведения в порядок основ анализа в конце XIX века возникла новая функция

4

mentальная область математики — теория множеств. Ее становление проходило в обстановке резкой критики, особенно со стороны Л. Кронека*). Критика была вызвана смелыми воззрениями Кантора, которые шли вразз с многоевковой традицией. Но это не могло помешать плодотворным применением новой теории к многочисленным разделам математики. С начала XX века теория множествства стала базой всех математических дисциплин, а теперь ее методы и понятия постепенно проникают и в школьную математку. Исходные положения этой науки не более трудны, чем положения арифметики или элементарной алгебры и геометрии. Если они тем не менее не так широко известны, то это связано с тем, что теория множествства возникла сравнительно недавно — всего это лет назад. Ее родоначальником был один из величайших математikов — Георг Кантор. Мы можем даже точно назвать «день рождения» этой науки — 7 декабря 1873 года. В этот день Кантору удалось доказать первое нетривиальное утверждение о бесконечных множествах — «меoremу о несетности множества действительных чисел». Тем самым был открыт путь к построению новой большой математической дисциплины — учения о бесконечных множествах. О том, как это произошло, мы знаем из переписки Кантора с Дедекиндом. Нам кажется, что расскад об этом с выдержками из письм Кантора представляется несомненный интерес для наших читателей.

В начале 70-х годов прошло столета молодой профессор. старинного немецкого университета в Галле Георг Кантор задумался о существии натуральных чисел, которые мы получаем для счета предметов в каком-тоибудь конечном множестве, и о том, нельзя ли и бесконечным множествам, например множеству всех точек плоскости или множеству всех целых чисел, приписьвать некоторые «числа» неизвестной пока природы. Интерес к подобным вопросам возникок у Кантора под влиянием его учитель, профессора Вейерштрасса. Мы уже говорили о том, что внимание крупнейших математikов было приковано к действительным числам. Это объясняется тем, что, в конечном смете, именно с недостаточно точным определением того, что такое действительное число, и были связаны трудности, возникшие в анализе. Постепенно математики этой эпохи переходили ко все более простым понятиям: от действительных чисел к рациональным, целым и, наконец, к натуральным.

Можно считать, что натуральные числа не следует сводить к более простым понятиям. Такого мнения придерживаются некоторые математики и сейчас. Но многое говорить о том, что понятие натурального числа не является простейшим: есть более простые, более наглядные понятия. Ребенок освивает это понятие не сразу, а обучается ему постепенно. Из анализа языка хорошо известно, что общие натуральные числа появились довольно поздно. Их «изобретение» сравнимо по своему значению только с изобретением письменности. В допустиме времени (анало-

5

гичные явления можно наблюдать у некоторых племен и сегодня) люди залили лишь числа «1», «2», иногда еще «3», а далее шло «много», «тЬма».
И все-tаки, не умяя считать, люди могли ответить на вопрос, в каком из двух множества большие элементов. Разумеется, в этом случае сравнимых множества конкретиных элементов: поголовье скота, размеры войск и другие. Сейчас этот метод сравнения множества называется установлением взаимно однозначного соответствия. Вот в чем он заключется.

Пусть мы имеем два конечных множества $M_1$ и $M_2$. Элементы первого множества обозначим условно собачками, а второго — кошками. Для сравнения этих множества поступают так: извлекают по одному элементу из каждой множества и сопоставляют их друг с другом, образуя пары (см. рисунок).

Если собачки и кошки кончаются одновременно, то говорят, что между множествами $M_1$ и $M_2$ установлено взаимно однозначное соответствие и что эти множества содержат одинаковое число элементов (что они равны численными или эквивалентны). Легко представить себе другую ситуацию: некоторые элементы множества $M_1$ остались без направника. Тогда следует считать, что множество $M_1$ содержит большие элементов, чем множество $M_2$. Очевидно, что описанная процедура сравнения конечных множества не нуждается в понятии «натуральное число». Наоборот, понятие взаимно однозначного соответствия, по-видимому, является более простым, и можно определить понятие «натуральное число» исходя из него.

Matematики и логики прошло столетия (Г. Фрег, Б. Рассел и другие) предлагали делать это на основе, примерно, следующих рассуждений.

Разобъем все конечные множества на классы таким образом, что в каждой классе входят те и только те множества, которые эквивалентны между собой, вне зависимости от природы элементов образующих данное множество. Тогда то общее свойство, которое характеризует все конечные множества из какого-либо класса, и определяется как число элементов в множествах этого класса. Так, например, 5 — это то общее свойство, который обладает все конечные множества, эквивалентные множеству пальцев моей правой руки. Из вышеизложенного ясно, как сравнить определенные таким образом числа «по величины». Пусть $m_1$ и $m_2$ — два натуральных числа, а $M_1$ и $M_2$ — два множества, характеризующих которых является эти числа. Если $M_1$ и $M_2$ неэквивалентны и имеет взаимно однозначное соответствие между $M_1$ и некоторой частью множества $M_2$, то $m_1 < m_2$. Таким образом мы определили понятие «натуральное число» и свойства этих чисел ($n_1 = n_2; n_1 < n_2; n_1 > n_2$).

Но ведь при таком способе сравнения совсем не обязательно предполагать, что множества $M_1$ и $M_2$ конечные. Поэтому у Кантора возникла

6

мысль, что таким же образом можно разбит на классы и все бесконечные множества.

Все множества, входящие в один класс, то есть имеющие одну и ту же мощность, называются равно мощью.

Тогда всем множества, входящим в один класс, соответствует определенное число, которое называется крдинальным числом или мощностью.

Отсюда ясно, что мощность — это обобщение понятия натурального числа.

Простейшим примером бесконечного множества является множество $N$ всех натуральных чисел. Позному Кантор стал сравнивать различные бесконечные множества с множестром $N$. Очень скоро выяснилось, что для многих бесконечных множества довольно просто устанавливается взаимно однозначное соответствие с этим множеством. Расмотрим, например, $N_2$ — множество всех положительных четных чисел. Несмотря на то, что $N_2$ является частью $N$, между $N_2$ и $N$ можно установить взаимно однозначное соответствие: числу $2n$, входящему в множество $N_2$, сопоставим число $n$, входящем в множество $N_1$. Ясно, что такое соответствие будет взаимно однозначным. На первых порах казалось парадоксальной возможность установить взаимно однозначное соответствие между множестром и его частью: ведь для конечных множества такая ситuation невозможна. Но споры по этому поводу представили довольно скоро — было установлен, что для бесконечного множества $A$ всегда можно указать такое его подмножество $B$, что между $A$ и $B$ можно установить взаимно однозначное соответствие. Дедекинд даже предложил считать это определением бесконечного множества.

Еще больше удивление вызывало то, что существует взаимно однозначное соответствие между множестром всех положительных разциональных чисел и множестром $N$. Тем не менее указать такое соответствие не так уж трудно. Постраайтесь сделать это самостояльно *).

Естественно возникнет вопрос: существует ли бесконечные множества, для которых взаимно однозначное соответствие с $N$ невозможно?

Если бы таких множества не оказалось, то тем самым все бесконечные множества были ли бы равномощными, и понятие кардиального числа (для бесконечных множества) потеряло бы всякий смысл—он было бы одним и тем же для всех бесконечных множества.

В начале 70-х годов прошло века Кантор заподозрил, что бесконечным множестром, не равномощным множеству $N$ натуральных чисел, является множество $R$ всех действительных чисел (или даже множество всех действительных чисел какого-либо отрезка — скажем, множество всех чисел отрезка [0, 1]). Но как это можно доказать? Ведь во всех рассмотренных выше случаях доказательство состояния в нахождения некоторых операторов вполне определенного взаимно однозначного отображения. В данном же случае требуется установить, что построение подобного отображения невозможно. Утверждение такого рода называется «теоремии невозможности», и их доказательство обычно требует совершения квадратуры круг и трисекции угла, или доказательство невозможности решения алгебраических уравнений степени большие чем четыре с помощью операций сложения, умножения, вычитания, деления и извлечения корней различных степеней). О работе Кантора над доказательством неравномощности множества действительных чисел и множества $N$ натуральных чисел довольно подробно извлечено из его переписки с Дедекиндом. Вот некоторые выдержки из этой переписки:

*) Если вам это не удалось, прочитите статью «Каких чисел больше?» (с. 26). Приведенные в ней указания помогут вам справиться с этой задачей.

7

«Галле, 29 ноября 1873 г.
… Разрешите обратиться к Вам с вопросом, представляющим для меня некоторые теоретический интерес, но на который я не могу найти ответа. Может быть, Вы это можете и будете так любезы мне об этом написать. Речь идет о следующем.

Рассмотрим совокупность всех положительных целочисленных объектов и обозначим ее через $(n)$. Кроме того, рассмотрим, скажем, совокупность всех положительных действительных числовых величины и обозначим ее через $(x)$. Вопрос состоит просто в том, возможно ли так поставить в соответствии $(n)$ и $(x)$, что каждому индивдудуу одной совокупности будет ответать один и только один индивдудум другой.

С первого взгляда кажется, что нет — это невозможно, так как $(n)$ состоит из дискретных частей, а $(x)$ образует континуум. Но таким аргументом ничего не выигрывается, и как бы я ни склонялся к мнению, что $(n)$ и $(x)$ не допускают однозначного соответствия, причину этого я найти не могу, а именно это мне и нужно. Возможно, что причина совсем простая.

Разве на первый взгляд не склоняешь к мнению, что $(n)$ не допускает однозначного соответствия с совокупностью $(p/q)$ всех положительных рациональных чисел и тем не менее совсем не трудно показать…》(что это так. — Л. К.).

29 ноября 1873 г. в дневнике Дедекинда, где он отмечал содержание полученных им письм на научные темы и свои мысли по их поводу, появляется следующая запись: «… Я ему незамеглительно ответил, что я не могу решить его первый вопрос, но одновременно высказал и полностью доказал теорему, что даже совокупность всех алгебраических чисел может быть указанным образом сопоставлена совокупности $(n)$ натуральных чисел…».

А вот письмо от 2 декабря.

«… Я был очень рад получить сегодня Ваш ответ на мое последнее послание. Мой вопрос я Вам поставил по той причине, что уже года, как я в сомнении, являлся ли возникшие передо мной трудности трудностями чисто субъективного характера или же они связаны с существом дела. Так как Вы мне пишете, что и Вы не в состоянии на него ответить, то я могу считать, что верно последнее…».

И, наконец, письмо от 7 декабря 1873 г.

«… В последние дни у меня было время более интенсивно продумать высказанную много гипотезу; только сегодня, как мне кажется, я смог довести дело до конца. Если я ошибаюсь, то, несомненно, я не встречу более снисходительного критика, чем Вы. Я осмеливаюсь предложить Вашему приговору то, что я успел записать на бумаге со всеми несовершенствами первой мысли…».

Затем следует доказательство нечетности множества действительных чисел из интервала [0, 1]. Оно длино и сложно — редко самые первых доказательства какого-либо утверждения оказываются самыми простыми. Мы не будем его здесь приводить. Уже 9 декабря Кантор предложет более простое доказательство, а Дедекинд в свою очередь находится дальнейшие упрощения.

Вскоре возникло доказательство, известное как «диагональный метод Кантора», который пользовался в настоящее время. Приведем это доказательство.

Затем, что каждое действительное число $\rho$, $0 \leqslant \rho \leqslant 1$, можно записать как бесконечную десятичную дробь вида $0, a_1, a_2, \dots$, где $a_i, i = 1, 2, \dots$, — какие-либо цифры — знаки 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9. Представление всех чисел в подобном виде однозначно, исключающее здесь представлен лишь тот случай, когда в записи числа, начина с некоторого $k$, все $a_i$ равны 0. Такие числа могут быть записаны так же и по-другому: нужно заменить все $a_i$, начина с того же разряда $k$, цифрами 9 и уменьшить предшествующую им цифру на 1 — так, например, число 0,3500… можно

8

записать и в виде 0,34999… Других возможностей разного представления числа в виде бесконечных десятичных дробей нет. Условимся (для определения), что, если возможны две записи числа, мы будем выбирать ту из них, которая оказывается девятками.

Предположим теперь, что удалось установить взаимно однозначное соответствие между всеми действительными числами, лежащими между 0 и 1 и всеми натуральными числами, так что мы можем выписать все эти действительные числа в бесконечную последовательность

$$1 \leftrightarrow 0, a_1^1 a_2^1 a_3^1 \dots$$
$$2 \leftrightarrow 0, a_1^2 a_2^2 a_3^2 \dots$$
$$\dots$$
$$p \leftrightarrow 0, a_1^p a_2^p a_3^p \dots$$

Покажем, что такая последовательность не может содержать всех действительных чисел. Для этого построим такое число $b = 0, b_1, b_2, \dots$, что $b_i \neq a_i^i$ для всех $i$. Мы определим это число так:

$$b_i = 5, \text{ если } a_i^i \neq 5,$$
$$b_i = 9, \text{ если } a_i^i = 5.$$

Число $b$ не может встретиться в выписанной выше последовательности. Ведь в противном случае оно должно быть записать некоторое (скажем, $n$-е) место. Но от $n$-го числа число $b$ отличается по построению в $n$-м разряде. Итак, предполагаемый пересечет всех действительных чисел невозможен, и, следовательно, множество $N$ и множество действительных чисел $R$ неравномощны.

Так впервые было доказано, что и среди бесконечных множества имеются неравномощные.

Вскоре Кантором было установлено, что можно указать сколь годно много попарно неэквивалентных бесконечных множества, так что сама совокупность бесконечных кардиальных чисел оказывается неограниченной, и в 70—80-х годах прошло столета — в основном Кантором — была построена новая математическая наука — теория множества.

10

где $m_1, m_2, m_3, \dots$ — неокоторая возрастиющая последовательность, составленная из целых чисел, больших 1. Положим
$$\alpha_k = 0, \underbrace{10 \dots 0}_{m_1-1} \underbrace{10 \dots 0}_{m_2-1} \underbrace{10 \dots 0}_{m_k-1} 1.$$
Очевидно, $\alpha_k$ — рациональное число со значением
$$q_k = 10^{m_1} + \dots + m_k + 1$$
и что
$$|\alpha - \alpha_k| = \alpha - \alpha_k = 0, \underbrace{0 \dots 0}_{m_1+ \dots + m_k+m_k+1} 10 \dots < 2 \times 10^{-m_k+1}.$$
Предположим теперь, что последовательность $m_1, m_2, m_3, \dots$ настолько быстро возрастает, что $m_{k+1} \geq k(m_1+ \dots + m_k+2)$ при любом $k$. (Такова, например, последовательность $1^1, 2^2, 3^3, 4^4, \dots$ — докажите!) Тогда при любом $k$
$$\frac{1}{k q_k^k} = \frac{10^{-k(m_1+ \dots + m_k+1)}}{k} > 10^{-k(m_1+ \dots + m_k+1)} = 10^{-k(m_1+ \dots + m_k+2)} \geq 10^{-m_k+1} > |\alpha - \alpha_k|,$$
и потому если $n, N$ — любые положительные числа и $k > n, k > N$, то
$$|\alpha - \alpha_k| < \frac{1}{k q_k^k} < \frac{1}{N q_k^n}.$$
Таким образом, $\alpha$ — хорошего приближаемое число.
Докажем теперь следующее теорему.
Теорема *). Хорошо приближаемое irrationalное число не может быть алгебраическим.
Доказательство. Возмем irrationalное алгебраическое

*) Эту теорему доказал известный французский математик Жозеф Лиу-виль (1809—1882).

число $\alpha$ и показkem, что оно не является хорошего приближаемым. Поскольку $\alpha$ алгебрачно, существует многочлен
$$P(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \dots + a_n$$
с целыми коэффициентами такой, что $P(\alpha) = 0$.
Будем считать, что $P(x)$ не имеет рациональных корней. Действительно, если $P(x)$ имеет рациональный корень, скажем, $a$, то $P(x)$ делится без остатка на $(x-a)$. Частное, очевидно, имеет рациональные коэффициенты, так что, умножая его на надлежащее целое число, мы получим многочлен с целыми коэффициентами, для которого $\alpha$ по-прежнему является корнем и у которого степень на единицу меньше, чем у исходного многочлена. Повторяя эту операцию, мы получим многочлен с целыми коэффициентами и с корнем $\alpha$, уже не имеющий рациональных корней.

Обозначим через $A$ наиболее из чисел $|a_0|, |a_1|, \dots, |a_n|$ и положим $B = |\alpha| + 1, N = n^2 AB^{n-1}$.
Покажем теперь, что, какова бы ни была дробь $p/q$, имеет место неравенство
$$|\alpha - \frac{p}{q}| \geq \frac{1}{N q^n},$$
из чего и будет следовать, что число $\alpha$ не является хорошего приближаемым.
Пусть $p/q$ — любая дробь. Если $|\alpha - \frac{p}{q}| > 1$, то неравенство (*), очевидно, выполнен, так что мы можем ограничиться случаем, когда $|\alpha - \frac{p}{q}| \leq 1$. В частности (и это очень важно), $|\frac{p}{q}| \leq |\alpha| + 1 = B$.
Из сказанного выше следует, что
$$P\left(\frac{p}{q}\right) \neq 0.$$
Так как
$$q^n \left[ a_0 \left(\frac{p}{q}\right)^n + a_1 \left(\frac{p}{q}\right)^{n-1} + \dots + a_n \right]$$

12

Современная жизнь и современное производство немыслимых без машин. А чтобы приводить в движение машины, нужны двигатели, задача которых — поставлять необходимую машинам энергии.

Земная кора и вода океанов обладают огромными запасами внутренней энергии. Но эту энергию нельзя непосредственно использовать для приведения машины в движение, — она переходит к другим телам лишь способом теплопередачи.

Понятно поэтому, что нужно устройства, которые, получая энергию в процессе теплопередачи, передавало бы ее другим телам (в частности, машинам), совершая работу. Чтобы это устройства могло действовать неограниченно долго (а не до исчерпания каких-то своих внутренних ресурсов), оно должно работать циклическим, периодически возвращаться к одному и тому же состоянии. Такое устройство существенно называется тепловым двигателем. Короче говоря, тепловой двигатель преобразует подводимую к нему теплоту в работу. Схематически это можно представить так, как на рисунке 1.

Заметим, что противоположная задача — отдавать в форме теплоты энергию, получаемую в процессе механической работы, — решается свсем просто. Годится своего рода «мельница», работающая вхлопоту (рис. 2): за рукойку $P$ врашают жернов $A$, который третья о другой, неподвижный, жернов $B$, так что оба они греются. Вначале за счет совершаемой внешними силами работы прогревается сама мелница — растет ее внутренняя энергия, а с ней и температура. Этот этап длится до тех пор, пока энергия, передаваемая мелничцем окружающим телам в виде теплла, не сравняется с затрачиваемой механической энергией. После этого наступает динамическое равновесие, процесс становится Staционным (стационным процесс можно считать циклическим). Таким образом, мелничца становится «механической печкой», то есть прямой противоположностью тепловому двигателю.

Такого рода устройство было известно нашим далеким предкам, которые умели добиться огонь тренем. Придумать тепловой двигатель было

Рис. 1.

Рис. 2.

13

значительное труднее. В основу его можно положить различные принципы. Но чаще всего используется то обстоятельство, что внутренняя энергия идеального газа (то есть, в существии, кинетическая энергияxaотическая движения его молекул) при определенных условиях внешне проявляется себя как потенциальная энергия упругой деформации: газ, скатый в цилиндре поршнем, вполне аналогичен скатой пружине, он может совершить работу (когда шла речь о невозможности неосредственно получения работы за счет внутренней энергии, имелись в виду только твердые и жидкие тела).

Попробуем мысленно сконструировать простейший тепловой дигатель, рабочим телом которого является идеальный газ. Пусть скатый газ находится в цилиндре под поршнем (рис. 3). Если поршень имеет возможность двигаться, газ расширяется и совершает работу.

Когда газ теплопроводан (то есть окружен теплопроводицей оболочкой), он при аднабатическом расшириении остывает, и за счет его внутренней энергии совершается работа ($A = -\Delta U$). Но если стены цилиндра достаточно хорошо проводятся

Рис. 3.

Рис. 4.

дят теплоту, а сам цилиндр находится в термостате, то температура, а значит и внутренняя энергия газа, поддерживает постоянной — работа совершается за счет подводимой теплоты ($A_1 = q_1$). Здесь уже наличии превращение теплоты в работу, но это еще не тепловой двигаться, так как в его работе нет циклиности.

Чтобы возвратить газ в начальное состояние, его необходимо сделать. Но это потребует затраты как раз такой же работы $A_1$, какая была получена при расшириении, и приведет к возвращению в термостат полученной ранее от него теплоты $q_1$. Чтобы этого избежать, газ следует перед сжатием охладить. При одном и том же объеме давление холодного газа ниже; так что процесс сжатия потребует меньше работы ($A_2 < A_1$) и в термостат вернет меньше количество теплоты $q_2 = A_2$. Для охлаждения газа устанавливается тепловой контакт между цилиндром и вторым термостатом с более низкой температурой. Сжав газ до исходного объема, снова восстанавливают контакт цилиндра с первым термостатом.

Один из простейших тепловых дигателей

Одна из возможных схем движения представлена на рисунке 4.

$A_3$ — аднабатическая (телопроводицейемые) заслоники, передвигающие перерывот или установливают тепловой контакт между термостатами и цилиндром. $KM$ — кулачковый механизм, при помощи которого горизонтальное перемещение поршня преобразуется в подъем груза $\Gamma$. Профиль кулачка (линия $BCD$) выбирается таким, чтобы при любом положении поршня действующие на кулачок с обенх сторон силы были почти уравновешены (использовается эффектив наклонной плоскости). Благодаря этому процесс расшириения газа будет квазистатическое, то есть представляющим собой последовательность почти равновесных состоя-

14

Рис. 5.

ний. Только в равновесном состоянии газ подчиняется уравнению Менделеева — Клапейрона. В верхней точке подмена часть груза снимается, что опять обеспечивает приблизительное равновесие поршня в процессе скатания при более низкой температуре (а значит, и меньше давления).

Происходящие в движетеlope процессы графических изображений на диаграмме в координатах $p$, $V$ (рис. 5). Точка $K$ — исходное состояние газа. Изотерма $KL$ — расширенное газа при постоянной (сравнительно высокой) температуре $T_1$ в контакте с «горячим» термостатом. Изохора $LM$ — постепенное освивание газа в контакте с «холодным» термостатом до температуры $T_2$ (постепенно, а значит, квазистационность процесса в газе обеспечивает плоской теплопроводностью цилиндра). Изотерма $MN$ — скатание газа при сравнительно низкой температуре $T_2$. Изохора $NK$ — нагревание газа от температуры $T_2$ до $T_1$ при тепловом контакте с горячим термостатом.

Работа совершается только на участках $KL$ ($A_1$) и $MN$ ($A_2$). Величина работы, совершаемой за весь цикл $A = A_1 - A_2$, численно равна площади, ограниченной контуром цикла. Теплота подводится к газу от «горячого» термостата во время расширения на участке $KL$ ($q_1$) и при нагревании на участке $NK$ ($q$). Теплота отделяется газом холодному термостату при охлаждении на участке $LM$ (количество этой теплоты равно $q$ и соответствует разности внутренних энергий газа при температуре $T_1$ и $T_2$) и при скатании на участке $MN$ ($q_2$). Всего за цикл горячий термостат отделет теплоту $Q_1 = q_1 + q$, а холодный термостат получает теплоту $Q_2 = q_2 + q$.

В термодинамике горячий термостат называют нагреваемым, а холодным — охладителем. Как мы видели, для циклического функционирования теплового диггателя охладитель столже необходим, как и нагреваемый: скимая неохлажденный газ, мы свели бы к нулю вес эффициент, полученный при расшиREN. В то же время, в полезную работу превращается лишь часть энергии, получаемой от нагреваемя; остальная энергия передается охладителю.

Крайне желательно, чтобы охладитель отделалось как можно меньше энергии (так как диггательство для совершения работы, а вовсе не для нагреваемя охладителя). Чем больше береется теплоты от нагреваемя, тем больше нужно материалов затрат на поддержание его температуры (приходится, например, скигать больше топлива). Передача неокоторого количества теплоты холодному термостату требует дополнительных забот по его охлаждению (ведь в случае повышения температуры охладителя до $T_1$ диггательство остановится).

Техническое совершение теплового диггателя характеризуется его «термическим к. п. д.», который, как известно, определяется отношением

$$\eta = \frac{A}{Q_1} = \frac{Q_1 - Q_2}{Q_1} = 1 - \frac{Q_2}{Q_1}.$$

Ведь в соответствии с первым законом термодинамики работы диггателя за цикл $A = Q_1 - Q_2$, так как после каждого цикла восстанавливается исходное состояние газа, а значит, и первоначальное значение его внутренней энергии. (Работа совершается исключительно за счет теплоты.)

15

Рис. 6.

Усовершенствование теплового дигитателя

Для повышения к. п. д. дигитателя желательно уменьшить количество теплоты, не превращаемой в работу, а только «протекающий» через дигитель от нагрева к охладителю. С этой точки зрения прежде всего привлекают к себе внимание изохорические процессы $LM$ и $NK$, не связанные с совершением работы. Изохорические охлаждаясь ($LM$), газ отделен вследко же теплоты $q$, сколько потом приходит к нему подвеси при изохорическом нагревании ($NK$).

Разобъем обе изохоры промежутными (синним) изотермами на очень маленькие участки (рис. 6). Тогда можно считать, что в процессе охлаждения на любом участке — скажем, на участке $\alpha$ — теплота отделяя в том же количестве, в каком подводится на участке нагрева (участок $\beta$) между теми же изотермами, при одной и той же температуре.

Целесообразно ли при этих условиях «сбрасывать» соответствующее энергию в охладитель, а потом заново брать столко же от нагрева?

Не лучше ли сохранить ее в какомибудь аккумуляторе энергии (или генераторе) при дигителе, а затем вновь использовать?

Таким генератором мог бы служить специальный термostat, разделенный на множество секций аднабатических перегородками (рис. 7).

Каждая секция имеет свою температуру (приблизительно соответствующее одной паре участков изохор $LM$ и $NK$), так что последовательность всех секций в целом обеспечивает более или менее плавный переход от $T_1$ к $T_2$. В частности, при $T_1 = 450^\circ$ К и $T_2 = 300^\circ$ К секции могут иметь, например, температуры $440^\circ$, $430^\circ$, …, $320^\circ$, $310^\circ$ К (чем больше секций, тем больше реализующий процесс к теоретическому).

Охлаждение по изохоре $LM$ осуществляется, изолировав цилиндр от горячего термостата и последовательно установливая тепловой контакт со все более и более холодными секциями генератора — например, передвигая его сизу вверх (см. рис. 7; ТС — теплопроводный стержень).

Аналогично при нагревании по изохоре $NK$ к цилиндру поочередно «подключают» все более и более горячие секции генератора. В итоге по завершения цикла все секции будут снова иметь первоначальный запас энергии, так что генератор не нуждается ни в каком энергетическом взаимодействии с внешним миром.

При той же величины работы $A$ за цикл использование генератора снижает (на величины $q$) потребность дигитателя как вриток теплоты от нагрева, так и в передаче ее

16

охладитель, так что $Q_1 = q_1 = A_1$, $Q_2 = q_2 = A_2$, где $A_1$ и $A_2$ — рабочты, совершаемые на изготовических участках $KL$ и $MN$ соответственно (см. рис. 8). Численное эти величины равны площадям кривolinейных трапеций $KLRS$ и $NMRS$. Сравним эти площади.

При любом $V_i$ давления $p_2$ и $p_1$ (ординаты обенх изготов) пропорциональны абсолотным температурам (закон Шарля):

$$\frac{p_2}{p_1} = \frac{T_2}{T_1}.$$

В таком же соответствии находится, очевидно, и интересующие нас площади, а следовательно, и соответствующие количества теплоты $Q_2$ и $Q_1$:

$$\frac{Q_2}{Q_1} = \frac{T_2}{T_1}.$$

Поэтому к.п. д. теплового диггаателя с регенератором

$$\eta = 1 - \frac{Q_2}{Q_1} = 1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{T_1 - T_2}{T_1}.$$

К.п. д. диггаателя с регенератором выше, чем к.п. д. диггаателя без регенератора, поскольку разность $Q_1 - Q_2$ в обенх случах одинакова, а теплота $Q_1$, отданная горячим термостатом, уменьшается на величины $q$.

Из-за технической сложности (ведь для идеального регенератора нужно разбивать интервал $\Delta T$ на бесконечно малые участки) такой регенератор практический неприменим.

Как мы увидим далее, применимость последней формулы гораздо ширие, чем для рассмотренного частного случая диггаателя с регенератором. Так определяется к.п. д. любой тепловой машины, работающей по обратному циклу.

Обращение теплового диггаателя

Тепловой диггаатель с регенератором — это обратная машина. Значит, он может функционировать и «вспять» по тому же самому циклу, проходя через все те же самые состояния, но только в обратной последовательности $KN \rightarrow NM \rightarrow ML \rightarrow LK$. При этом и все переходы энергии (работы и теплопередачи) меняют свое направление. Изхорченное охлаждение (KN) сопровождается передачей теплоты от газа к регенератору; изготовления расширясь (NM), газ получает от холодного термостата теплоту $q_2$ и совершает работу $A_2$; изхорченное нагрева (ML) идет за счет теплопередачи от регенератора (возвращащегося при этом в начальное состояние); изготовление скатите (LK) при более высокой температуре $T_1 > T_2$ требует совершения внешними силами работы $A_1 > A_2$ с одновременной передачей теплоты $Q_1 = A_1$ горячему термостату.

Это уже не диггаель! Ведь совершаемая им за цикл работа

17

$A_2 - A_1$ отрицательна — его самого приходится приводить в движение каким-нибудь посторонним дивигательем. Зато он отбирает от более холодного термостата теплоту $Q_2$ и передает ее горячему термостату, да еще с некоторой добавкой за счет работы постороннего.divигателя (рис. 9), то есть как бы «накачивает» теплоту. Такой «телловой насос» может использоваться как холодильник и для «динамического отопления» за счет теплла, отбираемого, скажем, от льда и снега на улице.

Итак, машина с генератором обратима: совершив один цикл как.divигатель и поднять груз, она может потом за счет его потенциальной энергии совершить еще один цикл уже в качестве теплового «насоса». В результате машина и все окружающие тела вернутся в исходное состояние.

Как мы увидим далее, различие между обратными и не обратными машинами играет в термодинамике очень большую роль.

Цикл Карно

Регенератор повышает к.п.д., избавляя.divигатель от внешних теплопередачи при пожженении и повышении температуры газа. Но их можно избежать и без такого громоздкого устройства. Ведь совсем не обязательно отводить теплоту, чтобы охладить газ. Вместо этого заставить газ совершить работу, дав ему возможность расширяться аднабатические (то есть без подвода или отвода теплла).

Когда при изготовлении расшириния газ достигнет состояния $L$ (рис. 10), закрываются аднабатические заслоники и газу дается возможность расширяться, совершая работа за счет внутренней энергии (для этого надо, конечно, постепенно разгружать поршень, что может быть заранее обеспечено надлежащим выбором продукции кулачкового механизма). В процессе аднабатического расшириния меняются и температура, и объем, и давление газа. На диаграмме $p$, $V$ этот процесс изобрабатывается кривой, называемой аднабатой (на рисунке 10 аднабата — $LB$).

Когда температура газа в процессе расшириния попизится до $T_2$ (точка $B$), открывается нижняя заслоника и устанавливается тепловой контакт с охладителем. После этого газ изотермические скимиют (изотермма $BD$)*.

Теперь надо нагреть газ до температуры $T_1$; это опять-tаки делается без теплопередачи, аднабатической скатием (аднабата $DK$). За ним снова следует изотермическое расшириние ($KL$), процесс повторяется (для обратного хода поршня на кулачке передаочного механизма предусматривается вторая дорогка).

Работы на аднабатических участках $LB$ и $DK$ равны по величины и противоположны по знаку. (ведь они энергетические заменены теплопередачи $q$).

Двигатель, работающий по расстоянию нам циклу, был впервые описан в книге Сади Карно «Размышления о движущей силе огня»

*) Если из начального состояния $K$ производить аднабатическое расшириние газа, то в момент, когда его температура станет равной $T_2$, остальные параметры будут иметь определенные значения $p_2$, $V_2$. Именено до такого состояния ($p_2$, $V_2$, $T_2$), которое соответствует точке $D$, и производится изотермическое скатием (изотермма $BD$).

18

и о машинах, способных развивать эту силу» (1834 г.), его называют машиной Карно, а цикл — циклом Карно. Цикл Карно образимый.

Рассчитать коэффициент полезного действия двигателя Карно сложнее, чем двигателя с генератором. Но в этом нет надобности, так как для всех обратных тепловых двигателей справедлива следующая теорема.

Теорема Карно. При заданных температурах нагреваля и охлаждения все обратные тепловые двигатели имеют одинаковые к. п. д. (при этом предполагается, что двигатели не вступают в тепловой контакт ни с какими телами, кроме нагревая и охлаждения).

Доказательство теоремы Карно основывается на втором законе термодинамики.

Второй закон термодинамики
Первый закон термодинамики, выражющий закон сохранения энергии, не накладывает ограниченный на направление процессов (ведь при переходе из состояния А в состояние В энергия остается неизменной, то она сохраняется также и при обратном переходе из B в A). Если, например, погрузить теплый камень в холодную воду, то с законом сохранения энергии одинаково совместимы как нагревание воды за счет охлаждения камня, так и дальнейший разогрев камня за счет остывания воды — лишь бы изменения энергии обихы тел были по величины и протиоположны по знаку.

Однако никто не наблюдается, чтобы теплый камень сам собой раскалился за счет замерзания воды, в котором он брошен! Весь опит человека утверждает, что при тепловом контакте теплота всегда переходит от более горячого тела к более холодному, так что температуры обихх тел постепенно выравнивают. Именно с этим свойством и связано определенное понятие «температура».

Но сколько ни убедительных эти факты, они касаются лишь тепло-сбмена при простом тепловом контакте. Мы ведь знаем уже, что «телловым насосом» можно отнять энергию от холодного тела и передать горячему. Но чтобы «насос» действовал, внешнее тела должны совершать работу, так что по завершении цикла не всё возврашает в исходное состояние.

Второй закон термодинамики утверждает, что даже и косвенным путем невозможен некомпенсированный переход теплоты от более холодного тела к более горячему. «Некомпенсированный» — значит не оставляющий после себя никаких следов (то есть никаких изменений в каких бы то ни было телах, кроме разогрева горячого тела и остывания холодного). Нельзя так усвоершенствовать тепловой насос, чтобы он путем теплопередачи отнимал энергию от холодного тела и отдавал горячему с возвращением всех процесх тел (включая и сам насос) в начальное состояние.

Понятно, что никаким опитом (или даже серий опытов) доказать такой рода отрицательное утверждение нельзя (как нельзя доказать экспериментально невозможность вечного движения). Как и многие другие законы, второй закон термодинамики принимается в физике как аксиома, из которой выводятся многочисленные и далекую души следствия. Незмененное согласие всех следствий с опитами и практикой и успешное предсказание на их основе новых фактов всеяет обоснованную уверенность в истинности закона.

Исходя из второго закона термодинамики можно показать, что невозможно циклически действующие, которое получало бы энергию путем теплопередачи и совершало за ее счет работу, не оставляя никаких других изменений в окружающей мире.

Такое фантастическое устройство настоящего заманчива, что оно получило название «perpetuum mobile»

19

Второго рода. Практическая выгода от него была бы не многим меньше, чем от пресловутого «perpetuum mobile», (то есть вечного двигателя) первого рода, способного совершать работу вообще без затраты энергии. Дейстивтельно, «perpetuum mobile второго рода» мог бы совершать работу за счет незначительного охлаждения огромных масс земной коры или воды океанов.

Доказательство теоремы Карно
Приименим теперь второй закон термодинамики для доказательства теоремы Карно.
Доказательство будем вести от противного. Допустим, что есть два обратных двигателя с различными к. п. д. Совершая одинаковую работу, они получают от нагрева и отдают охланитель различные количества теплоты (рис. 11).

Использовая обратимость, превращим худший из двигателя (на нашем рисунке — правый) в тепловой «насос» с механическим приводом от другого двигателя (рис. 12). Полученный сложный агрегат не производит никаких внешних эффектов, кроме передачи теплоты от холодного термостата к горячему (a сам он периодически возвращается в исходное состояние). Противоречие со вторым законом термодинамики доказывает недопустимость сделанного предположения, а следовательно, доказывает и теорему Карно.

Для пары необратимых двигателей такое доказательство не проходит — они могут иметь и разные к. п. д.

А что, если один двигатель обратным, а другой — нет? Как видно из рисунка 12, к абсурду ведет предположение о худшем к. п. д. у обратному двигателя (превращаемого в насос). Следовательно, необратимый тепловой двигатель не может иметь больший к. п. д., чем обратный.

В соответствии с теоремой Карно равен выведенная формула для к. п. д. обратного теплового двигателя с генератором

$$\eta = \frac{Q_1 - Q_2}{Q_1} = \frac{T_1 - T_2}{T_1}$$

автоматически распространяется на все обратные тепловые двигатели.

Следовательно, для всех обратных тепловых двигателей выполняется условие

$$\frac{Q_2}{Q_1} = \frac{T_2}{T_1},$$

или

$$\frac{Q_2}{T_2} = \frac{Q_1}{T_1}.$$

Отношение количества теплоты к температуре расматривается тела, участвущего в теплопередаче, в термодинамике называют приведенным теплом. Как видим, обратный двигатель отделяет охланитель столько же приведенного тепла, сколько получает от нагрева (тогда как просто теплоты он отделяет меньше, чем получает).

20

Последняя формула, размещается, не зависит от направления работы обратной тепловой машины, то есть остается справедливой и для теплового насоса (хотя о к.п. д. в этом случае говорить уже неуместно).

Для небратимых двигателей
$$\eta = \frac{T_1 - T_2}{T_1} \text{ является верхним пределом, то есть}$$
$$\eta = \frac{Q_1 - Q_2}{Q_1} = 1 - \frac{Q_2}{Q_1} \leq 1 - \frac{T_2}{T_1},$$
откуда следует, что в небратимых двигателях
$$\frac{Q_2}{T_2} > \frac{Q_1}{T_1}.$$

У разнения

1. Какую минимальную работу надо совершить, чтобы с помощью обращенного теплового двигателя с генератором отнять 600 дж теплоты от тела с температурой 250° К и передать ее телу, имеющему температуру 300° К? Теллоемкость тел очень велики.

2. Электрическая плитка мощностью 1 кВт поддерживает в комнате температуру $t_1 = 17°\text{C}$ при температуре наружного воздуха $t_2 = -12°\text{C}$. Какая минимальная мощность потребовала бы для этого при диапазоне отопления с помощью теплового насоса?

3. В качестве гипотезы рассмотрим человеческий организм как тепловой двигатель, для которого охладитель является атомоферный воздух, имеющий температуру 14°С. Какая минимальная температура «нагреватель» (расположенного внутри организма!) обеспечила бы экспериментально наблюдающийся к.п. д. 30%? Что можно на этом основании сказать о праводоподобии гипотезы? Теорему Карно считать доказанной.

4. На основе второго закона термодинамики доказante (от противного), что невозможен некомпенсированный переход теплоты в работу.

5. Как проводится доказательство теоремы Карно в том случае, когда рассматривается тепловые двигатели совершают за цикл неодинаковые по величины работы? Когда продолжительность их циклов различна?

6. Исходя из неосуществимости «реpetition mobile второго рода» как из аксиомы, выражающей второй закон термодинамики, докажите невозможность некомпенсированного перехода теплоты от более холодного тела к более горячему.

7. Принаяв теорему Карно за аксиomy, выражающую второй закон термодинамики, докажите невозможность некомпенсированного перехода теплоты от более холодного тела к более горячему, а также некомпенсированного преобразования теплоты в работу.

Из старого словаря

В 1842—1843 гг. вышли в свет четыре тома «Словаря церковно-славянского и русского языка», составленного Академией наук*). Интересно и почучительное посмотреть, как в те годы объявления физических терминны; ведь физика за 100 лет очень сильно изменила свой облик, так что многое сейчас может показаться курьезным. Но не надо забываать, что физика в первой половине прошло века быстро развивалась и объясняется, о которых мы поговорим, доходили последние годы.

Итак посмотрим, что такое теплота. В словаре написано: «… То же, что теплород, тепловор». Смотрим: «Теллоород — вещественная причина жара, теплла и холода; неопустимо тонкая жидкость, изливающаяся из Солнца и пропикающая весь физический мир, невидимая, неосомая и только осзаанием ошибаемая».

Еще Ломоносов объяснял теплоту движением, об этом говорили и философы древности и средних веков; но когда стали пытаться приписывать теплоте количественно меру, говорить о перехождение теплоты от одного тела к другому, то к середине XVIII века пришли к теории флористическа-терпорода: представленное о теплоте как о жидкости, описанной выше. Только после того, как было выясено, что теплота может переходить в другие виды энергии (слова «энергия» в словаре еще нет!) и что тела состоит из движущихсяatomов и молекул, физики отказылись от теплорада.

(Продолжение см. с.23)

*) В 1868—1869 гг. вышло второе издание (не измененное) Словаря.

21

О границах корней кубического уравнения

Как известно, формулы, позволяющие точно выразить корни кубического уравнения через его коэффициенты, веса громодики. Поэтому часто выдается важно приближение оценить корни кубического уравнения.

В этой статье оценывают границы, в которых могут лежать действительные корни кубического уравнения.*)

Рассмотрим кубическое уравнение
$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0,$$
(1)
козффициенты $a, b, c, d$ — действительные числа, $a \neq 0$. Первое слагаемое $ax^3$ в левой части уравнения (1) называется его стариим членом, последнее слагаемое $d$ — свободным членом.

Как известно**), уравнение (1) имеет три корня, один из которых — действительный, а два других — либо действительный, либо комплексно-сопряженные. Нас будут интересовать только действительные корни уравнения (1). Наша цель такова: не вычисляя самих корней, получим некоморные границы (оценки) для них, то есть указыва на действительной оси интегралы, в которых лежат эти корни.

Для этого вместе с уравнением (1) рассмотрим многочлен третий степени
$$y = ax^3 + bx^2 + cx + d.$$

Что можно сказать о поведении этой функции при больших по абсолотной величины значениях $x$? Если аргумент $x$ принимает возрастание по абсолотной величины значения, то абсо-

*) Эта статья—продолжение цикла материалов, посвященных кубическим уравнением (см. «Квант», 1971, №11, 1972, №6).
**) См. «Квант», 1971, №11, c. 20—21.

лотная величина каждого члена правой части уравнения (2) будет возрастать, причем тем быстрее, чем выше степень этого члена.

Ясно, что быстрее всего будет возрастать абсолотная величина старшего члена $ax^3$. Поэтому можно ожидать, что если выбрать значение $|x|$ достаточно большим, то абсолотная величина старшего члена $ax^3$ будет больше абсолотной величины суммы всех остальных членов, то есть
$$|ax^3| > |bx^2 + cx + d|.$$

Докажем, что это неравенство справедливо для всех $x$, достаточно больших по абсолотной величины.

Поскольку абсолотная величина суммы не превышает суммы абсолотных величины слгаемых, то
$$|bx^2 + cx + d| \leq |b| \cdot x^2 + |c| \cdot |x| + |d|.$$

Положив, $|x| = v$, перепишем это неравенство:
$$|bx^2 + cx + d| \leq |b| \cdot v^2 + |c| \cdot v + |d|.$$

Козффициенты $|b|, |c|$ и $|d|$, стоящие в правой части неравенства (4),—неотрицательные действительные числа; обозначим наибольшее из них через $M$:
$$M = \max(|b|, |c|, |d|).$$

Если в правой части неравенства (4) вместо каждой из коэффициентов $|b|, |c|, |d|$ подставить число $M$,

22

то неравенство (4) от этого только успешся. Следовательно, справедливо неравенство
$$|bx^2 + cx + d| \leq M(v^2 + v + 1),$$
которое, если воспользоваться известным тождеством,
$$v^2 + v + 1 = \frac{v^3 - 1}{v - 1}, \quad v \neq 1,$$
можно записать в виде
$$|bx^2 + cx + d| \leq M \frac{v^3 - 1}{v - 1}.$$
Так как нас интересют большие значения $|x| = v$, то будем считать, что $v > 1$. Но тогда
$$\frac{M(v^3 - 1)}{v - 1} < \frac{Mv^3}{v - 1},$$
и потому неравенство (6) примет вид
$$|bx^2 + cx + d| < \frac{Mv^3}{v - 1}, \quad |x| = v > 1.$$
(7)

Если нам удостся показать, что абсолотная величины старшего члена $ax^3$ для всех достаточно больших по абсолотной величины значений $x$ (таких, что выполнен и условие $v > 1$) большие выражения $\frac{Mv^3}{v - 1}$, стоящого в правой части неравенства (7), то неравенство (3) будет доказано. Посмотрим, как надо выбрать $|x| = v$, чтобы выполнялось неравенство $|ax^3| > \frac{Mv^3}{v - 1}$, то есть
$$|a|v^3 > \frac{Mv^3}{v - 1}.$$
Решая полученное неравенство относительно $v$, находим, что оно заведomo выполнен для всех
$$v > \frac{M+|a|}{|a|}.$$
Так как $\frac{M+|a|}{|a|} \geq 1$ (ибо $M \geq 0$), то при условии (8) всегда выполнен и неравенство $v > 1$. Тем самым установлено, что неравенство (3) справедливо для
$$|x| \geq \frac{M+|a|}{|a|}.$$
Отсюда следует, что для значений $x$, удовлетворяющих условия (9), функция (2) не может обратиться в нуль. Другими словами, все действительные корни уравнения (1) удовлетворяют неравенству
$$|x| \leq \frac{M+|a|}{|a|}.$$
Положительное число $A = \frac{M+|a|}{|a|}$ называется верхней границей действительных корней кубического уравнения (1).
Okазывается, что можно найти и нижнюю границу действительных корней кубического уравнения (1), то есть такое неотрицательное число $B$, что все действительные корни уравнения (1) удовлетворяют неравенству $|x| \geq B$.
Для этого следует в уравнения (1) замену
$$x = \frac{1}{z}.$$
(11)

Тогда после очередных преобразований получим уравнение
$$dz^3 + cz^2 + bz + a = 0.$$
(Bудем считать, что в уравнения (1) свободный член $d \neq 0$, либо случай $d = 0$ интереса не представляется (уравнение (1) в этом случае имеет корень $x = 0$, а остальные его корни определяются из квадратного уравнения).
Так как $|x| = \frac{1}{|z|}$ (см. (11)), то ясно, что из неравенства $|z| < K$, где $K > 0$, следует неравенство $|x| > \frac{1}{K}$.
Позному если в качестве $K$ взять верхнюю границу действительных корней уравнения (12), то число $\frac{1}{K}$ будет ижней границей действительных корней уравнения (1). Но верхнюю границу $K$ действительных корней уравнения (12) находится мы уже умеем (см. (5), (10)):
$$K = \frac{N+|d|}{|d|},$$
где
$$N = \max(|c|, |b|, |a|).$$
(13)

23

Позному нижняя граница действительных корней кубического уравнения (1) такое:

$$B = \frac{|d|}{N + |d|}.$$

Остается заметить, что эта формула годится и в случае $d = 0$, тогда нижняя граница, очевидно, равна нулю (ибо имеет нулевой корень), и именно этот же результат получается по формуле (14) (при этом, конечно, $N \neq 0$, либо в уравнения (1) по предположению $a \neq 0$).

Подведем итог: все действительные корни кубического уравнения (1) удовлетворяют неравенству

$$B \leq |x| \leq A,$$

еде числа $A$ и $B$ определяются через коэффициенты уравнения по формулам (10), (5) и (14), (13). Другими словами, действительные корни кубического уравнения (1) могут лежать только на отрезках $[-A, -B]$ и $[B, A]$ действительной оси; вне этих отрезков действительных корней уравнения (1) заведено не имеет.

При мер. Рассмотрим уравнение

$$2x^3 + 5x^2 - 4x - 3 = 0.$$

Здесь $M = 5$, $|a| = 2$, а потом $A = \frac{7}{2}$. Таким образом, верхняя граница действительных корней рассматривается равна $\frac{7}{2}$. Далее, $N = 5$, $|d| = 3$, а потом $B = \frac{3}{8}$. Следовательно, нижняя граница действительных корней рассматривается равна $\frac{3}{8}$. Другими словами, вещественные корни рассматривается лежать на отрезках $(-7/2, -3/8)$ и $(3/8, 7/2)$.

Из старого словаря

(Продолжение Начало см. c. 20)

Посмотрим на словоэлектрическо. Читаем: «… Вещесво, тончайшее из всех известных жидких тел, сообщающее почти со всеми телами, в большей или меньшей мере, и движущееся с необыкновенной скоростью».

К этому описанию можно добавить, что в начале XIX века считалось, что существуют две электрические жидкости, отвечающие двум зарядам — положительнымному и отрицательному. К этим жидкостям добавились еще две магнитные (северный и южный магнитизм), жидкость, связанная с силой тяжестеги, и теплород.

Интересно, что в Словаре различаются «тяжестеги сила, побуждающая всяя всяя телятемь к низу или к центру Земли», и «всеобщее тяготение — взамное привлечение всех небесных тел».

Можно понять, почему с теплотой и электрическом связывании существование специфических жидкости. Физики заметили, что в природае нечто, что сохраняет. Простейшим и самым понятным законом был закон сохранения вещества — в частиности, жидкости. Этим законом широко пользовались в гидродинамике. Поэтому и с другими сохраненными долгов питания долговпись связываться специфические жидкости. То, что эти жидкости должны быть необычайно легко проникать во все тела, на первых порах малого смуса: тела представлялись простыми, а жидкости «тонкими».

(Окончание см. c. 28)

24

ЧТО ВИДИТ
ВНИМАТЕЛЬНЫЙ ГЛАЗ

На обложке нарисован правильный 24-угольник. Внимательно рассматривая его, можно обнаружить несколько правильных многоугольников, получившихся в пересечении диагоналей, отрезков диагоналей и сторон.

Виды, например, равносторонние треугольники и квадраты, причем их центры могут быть отличными от центра данного 24-угольника. Заметили ли вы их, глаза на рисунок? Если нет — не беда. Некоторые из квадратов выделены на рисунке 1, некоторые правильные треугольники — на рисунке 2.

Впрочем, нужно еще убедиться в том, что эти многоугольники действительно правильные; чертеж сам по себе, как бы тщательно онни был выполнен, таких гарантий не дает.

Для доказательства представим себе мысленно, что 24-угольник вписан в окружность, и рассмотрим углы, образованные ее ходами, а также заметим, какие отрезки на чертежке равны и почему (само доказательство проведите самостояльно). Рисунки 1 и 2, соответственно иллюстрирующие характеристики случай образования квадратов и правильных треугольников, помогают сравнить и с более сложной задачей: выяснить, сколько на обложке нарисовано правильных треугольников и квадратов.

Обратимся вновь к обложке. Отчетливо видно, как, пересекаясь, диагонали 24-угольника, близжайте к его центру, образуют фигуру, которое глаз решительно отказывается от окружности (в действительности это, конечно, правильный 24-угольник). В некоторых удалении от центра данного 24-угольника видим концентрические вторую и третью и не только явно выраженные четырьмя и пятую «окружности». Другие «окружности» диаметром подобше не видны, не заметны, Сколько их? Ответ на этот вопрос может подсказать рисунок 3.

На рисунке 4 изображен правильный звездчатый 24-угольник. Можно проверить непосредственно, проядя глазом по каждому из звенев ломаной, действительно ли это многоугольник, то есть является ли начертанная ломанная замкнутой, не распадается ли фигура на несколько замкнутых ломанных.

При этом остается, однако, невьясенным вопросом: возможно ли другие правильные звездчатые 24-угольники? Если смотреть только на рисунок, то проверить это трудно. При помощи визуальных наблюдающих проверить, что если вершины 24-угольника соединяются через одну, то ломанная замкнется в 12-угольник, если через две, то в 8-угольник… Почему это произошло? Не связано ли это с тем, что деление числа сторона данного 24-угольника на два приводит к числу 12, а на 3 дает 8? Телерь вы, наверное, может установить число правильных звездчатых 24-угольников, и не прибегая к рисунку (как?

Красивое решение имеет следующая задача: «В скольких точках пересекаются диагонали $n$-угольника ($n \geq 4$), если известно, что никакие три из его диагоналей не пересекаются в одной точке, получаем, что точек пересечения диагоналейровно столько, сколькими способами можно выбрать 4 из $n$, то есть $C_n^4$.

В случае 24-угольника, у которой никакие три диагонали не пересекаются в одной точке, точек пересечения диагоналей были бы $C_{24}^4$. Но раз данный 24-угольник —

25

правильный, то таких точек меньше $C_{24}^4$ дает оценку сверху. На рисунке (см. обложку) видно, что в некоторых точках пересекаются по три и более диагоналей. Но, может быть, зрение нас обманывает и в действительности на чертеже приводится не одна точка пересечения трех прямых, а две очень близкие, а потом и неразличные на глаза точки пересечения пар диагоналей?

В некоторых случаях несложные расуждения подтверждают правильность виденного. Например, почти очевидно, что более чем двухкратными являются точки пересечения диагоналей, принадлежащие диагоналям правильного 24-угольника, которые являются осями его симметрии. Установите наличие (или отсутствие) более чем двухкратных точек пересечения диагоналей на рисунках 5, 6.

Можно показать, что в верхних виделенных на рисунке 6 правильных треугольников пересекаются более двух diагоналей данного правильного 24-угольника. Попробуйте это сделать.

Попробуйте уточнить оценку числа пересечений diагоналей правильного 24-угольника.

Попробуйте получить правильный 24-угольник, пользовать только перегибанием листа бумаги.

В. Н. Березин

26

КАКИХ ЧИСЕЛ БОЛЬШЕ?
Ю.П. Лысов

Каких чисел больше — натуральных или четных? Где больше точек — на отрезке или прямой? Можно ли найти множество, у которого больше элементов, чем у данного множества? Выясняя эти естественные вопросы, Георг Кантор в математике иден и рассуждая, из которых выросла теория множества — фундамент основных разделов современной математики *).

Попробуем на этом и одном из следующих занятий математического кружка ответить на вопросы, которые ставил перед собой Кантор.

Что мы делаем, если железом ответить на вопрос: коео в классе больше — девочек или мальчиков? Obъчно мы поступаем так: перечисываем девочек, мальчиков, а затем сравниваем полученные два числа. Этот способ дает возможность сравнивать различные конечные множества. Но всегда ли мы им пользовемся?

Представьте себе, что вы входите в зрительный зал кинотетра после третього звонка и пытается выяснить, чего больше — зрителей или креSEL. Посмотрев в зал, вы заметаете, что все зрители сидят, и в то же время несколько креSEL остались свободными. Ответ на вопрос ясен — креSEL больше.

Вы установили соответствие между зрителями и частю креSEL. Этот принципи взаимного соответствия помещет нам в сравнение бесконечных множества. (Впрочем, в нейном виде соответствие было установлено и в первом примере с девоками и мальчиками.)

О пределене 1. Взаимно однозначным соответствием множества A и B называется правило, которое каждаому элементу множества A сма-

*) Подробнее об этом рассказано в статье Л. А. Калужнина. К 100-летию теории множества Георг Кантора, с. 2.

вим в соответствие один определенный элемент множества B, так что при этом каждый элемент множества B поставлен в соответствие число — k, принадлежшее множеству B. Легко заметить, что это соответствие является взаимно однозначным.

Построенное соответствие показывает, что в множестве A столко же элементов, сколько в B. Полученный результат хорошо согласуется с нашими наглядными представлениями.

Задание 2. Установите взаимно однозначным соответствием множества A науральных чисел и множества B четырех чисел.

Натуральному числу n поставим в соответствие число 2n.

Получаем, что науральных чисел (A) столко же, сколько и четырех чисел (B). Но множество B целиком содержится в множестве A. Нет ли здесь ошибки? Ошибки нет.

27

Все верно, и в этом легко убедиться, если на одной числовой прямой отметить натуральные числа, а на другой — четные и расположить эти прямые одну под другой (см. рисунок; на прямых разный масштаб).

Здесь проявляется важное отличие конечных множества от бесконечных: часть бесконечного множества может быть в определенном смысле равной всему множеству. Такое равенство называют эквивалентностью.

Определение 2. Два множества A и B называются эквивалентными (количество эквивалентными, равномочными), если между ними существует взаимно однозначное соответствие.

Задание 3. Докажите, что множества A и B называются эквивалентными (количество эквивалентными, равномочными), если между ними существует взаимно однозначное соответствие.

Задание 4. Докажите, что множества A и B называются эквивалентными (количество эквивалентными, равномочными), если между ними существует взаимно однозначное соответствие.

Задание 5. Докажите, что множества A и B называются эквивалентными (количество эквивалентными, равномочными), если между ними существует взаимно однозначное соответствие.

Определение 3. Множество называется счетным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел, то есть элементы этого множества можно вычисать в строку в соответствие с присвоенными им номерами.

В множестве целых чисел у каждой элемента имеются два «соседних». Может быть, в множестве, в котором не для каждой элемента можно указать «соседа», будет больше элементов, чем в счетном? Рассмотрим, например, множество правилных дробей. Для любых двух дробей a и b (a < b) найдется правильная дробь

![Graph showing the division of two integers a and b by a common denominator.]

c такая, что a < c < b, то есть «соседа» нет. И тем не менее это множество тоже счетно.

Задание 4. Докажите, что множество правилных дробей счетно.

Указан и е. Воспользуйтесь тем, что число правилных дробей со значенателем, равным N, конечно.

Задание 5. Докажите, что множество всех рациональных чисел счетно.

Решение задачи 5 можно получить, используя в качестве леммы задачу 4.

Возникает гипотеза, что все бесконечные множества эквивалентны множеству натуральных чисел. Однако это не так. Величайшим достинением Кантора было решение следующего задачи.

Задание 6. Докажите, что нельзя установить взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел и множеством бесконечных последовательностей из 0 и 1.

Решение этой задачи приведено на с. 8, но если вы еще его не читали, попробyte решить задачу самостояльно. (Автор статьи знаком с большим количеством школьников, решивших ее.)

Итак, мы убедились в существование несчетных множества, но это тема одного из следующих занятый кругжка, а сейчас познакомимся еще с несколькими счетными множествами.

Задание 7. Множество всех возможных русских слов счетно (мы, разумеется, считаем, что каждое слово состоит из конечного числа букв).

Задание 8. Множество всех возможных конечных наборов целых чисел счетно.

Если учеть, что любое уравнение степени n имеет не более n корней, то легко получается решение следующего задачи.

Задание 9. Множество чисел, каждое из которых является решением какого-то уравнения с целыми коэффициентами, счетно.

Множество чисел из задания 9 называется множеством алгебраических

28

чисел. Докажите, что все рациональные числа и всевозможные комбинации радиkalов и рациональных чисел являются алгебраическими числами. Алgebraические являются и неоторные числа, которые нельзя записать в радиkalах (существование таких чисел в 1824 году доказал норвежский математик Нильс Хенрик Абель). Из задач 6 и 9 следует существование неалgebraических чисел. Такие числа называются трансцендентными.

В заключение предлагаем вашему вниманию более трудные задачи.

Задание 10. Множество М состояит из восьмерок, лежащих на плоскости и не пересекающих друг друга (восьмерка — пара касающейся окружности, какдая из которых может быть любого размера). Докажите, что М конечно или счетно.

Нетрудно заметить, что, располагая на плоскости непересекающей буквы «Г» или «О», можно получить нечетное множество. Существует ли ещё какая-нибудь буква, обладающая тем же свойствам, что и восьмерка?

Задание 11. Множество М состояит из буквы «T», лежащих на плоскости и не пересекающей буква. Докажите, что М конечно или счетно.

Решив предыдущую задачу, вы без особого труда можно сказать про каждой букву русского алфавита, может ли эта буква находиться на плоскости в нечетном количестве, или при любом расположении она образует не более чем счетное множество.

Задание 12. Число $x_0$ называется максимумом функции $f(x)$, если существует положительное число $\delta$ такое, что $f(x)$ в интервале $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ больше всего одного значения функции в этом интервале. Докажите, что множество максимумов любой функции конечно или счетно.

Из старого словаря

(Окончание. Начало см. с. c. 20, 23)

Такая картина была ответгнута лишь к концу века, когда был открыт электрон.

Еще одно слово: «Эфир — материя жидкая, как воздух, но не сравненно его тоньше…»

Общепринято было считать, что всего Вселенную заполняет эфир, который проникает во все тела и служит средой, передающей свет, подобно тому, как воздух есть среда, передающая звук. Весь XIX век (особенно его конец) был посвящен попыткам построить теорию эфира. Лишь в начале XX века Эйнштейн показал, что существование эфира является лишней гипотезой, которая без всякого вреда может быть отброшена. Так и было сделано. Ложная уверенность в необходимости среды для передачи света была столбная, что гипотеза эфира была использована. Максимум в его теории электромагнитного поля, которая, как мы сейчас знаем, совсем не нуждается в эфиле.

Итак, мы приведели три определения, от которых уже давно не осталось и следа. Но строки в Словаре, как раскопанные курганы, помогают нам осознать, сколько стремительно развивается наука.

Я. С.

29

Задачи

M236—M240; Ф248—Ф252

М236. а) Имеется 51 двузначное число. Доказите, что из этих чисел можно выбрать по крайней мере 6 чисел так, чтобы никакие два из выбранных чисел ни в одном разряде не имели одинаковой цифры.

6. Даны натуральные числа $k$ и $n$, $1 < k < n$. Для каждого наименьшего $m$ верно следующее утверждение: при любой расстановке $m$ ладей на доске размером $n \times n$ можно выбрать $k$ ладей из этих $m$ так, чтобы никакие две из выбранных лодей не были друг друга?

А. Ю. Сойфер и С. Г. Слободник

M237. Углы остроугольного треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Какие массы нужно поместить в его вершинах, чтобы центр тяжестей этих трех масс попал

a) в точку пересечения высот?

6. в центр описанной окружности?

Стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. Какие массы нужно поместить в его вершины, чтобы центр тяжестей попал

b) в точку пересечения отрезков, соединяющих вершины и точки касания противоположных им сторон со вписанной окружностью?

г) в центр описанной окружности?

Б. Д. Гинзбуре

M238 * Доказите, что сумма $C_n^1 + C_n^3 \cdot 1973 + C_n^5 \cdot (1973)^2 + C_n^7 (1973)^3 + \ldots$ делится на $2^{n-1}$.

(Здесь $C_n^k$ — коэффициенты многочлена)

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^k b^{n-k}$.

Ф. Г. Шлейфер

30

М239. На плоскости задны две точки A и B. Пусть C — неокоторая точка, одинаково удаленная от A и B. Построим последовательность точек $C_1 = C, C_2, C_3, \dots, C_n, C_{n+1}$, где $C_{n+1}$ — центр окружности, описанной около треугольника $AC_nB$. При каком положении точки C
a) точка $C_n$ попадет в середину отрезка AB (при этом $C_{n+1}$ и дальнейшие члены последовательности не определяны)?
б) точка $C_n$ совпадает с C?
Н. Чернов, ученик 10 класса (Кривой Роэ)

М240. По заданному $x$ значения $x^8$ можно найти за три арифметических действия: $x^2 = x \cdot x, x^4 = x^2 \cdot x^2, x^8 = x^4 \cdot x^4$, а $x^{15}$ — за пять действия: первые три — те же самые, затем $x^8 \cdot x^8 = x^{16}$ и $x^{16} : x = x^{15}$. Доказите, что
a) $x^{1000}$ можно найти за 12 действия (умноженный и делений);
б)* для любого натурального $n$ значения $x^n$ можно найти более чем за $\frac{3}{2} \log_2 n + 1$ действия.

Э. Г. Белаза

Ф248. Tonкий тяжелый обруч радиуса $R$ с очень легкими спицами может свободно врашаться вокруг горизонтальной оси. К обручу прикреплили маленький шарик, масса которого равна массе обруча. Найти перiod малых колебаний обруча с шариком. Для этого можно попытаться найти аналогию в движении обруча с шариком и математического матрика.

Ф249. Невесомыйстержень, на концах которого закреплены шарики массами $m$ и $M$, опирается серединой на жесткую подставку, вокруг которого он может свободно врашаться в вертикальной плоскости.
В начальной моментстержень расположен горизонтально, а скорость его равна нулю. С какой силой давит он в этот момент на подставку?

Ф250. Одинаковые заряды $q$ находятся на расстояниях $a$ и $b$ от за-
земленной сферы малого радиуса $r$ (рис. 1). Расстояние до поверхности земли и других заемленных предметов много больше $a$ и $b$. Найти силу, с которой заряды действуют на сферу.

Рис. 1.

Ф251. На фотографини летящей пули (рис. 2) видны звуковые волны, которые возбуждаются при движении пули. (Такую фотографию удалось получить благодаря тому, что областки, в которых плотность воздуха различана, по-разному преломляют световые лучи.) Воспользовавшись линейкой, определяйте примерную величины скорости пули. Скорость звука в воздухе равна 340 м/с.

Рис. 2.

Ф252. На цилиндрический столб намотан канат. За один из концов каната тянут с силой $F$. Для того чтобы канат не скользил по стольу, когда на столб намотан только один виток каната, второй конец каната нужно удерживать с силой $f$. С какой силой нужно удерживать этот конец каната, если на столб намотан $n$ его витков? Как изменится сила $f$, если взять столб вдвое больше радиуса? (Сила $f$ не зависит от толщины каната.)

31

Решения задач

M179; M196–M199; Ф208, Ф209

М179. В «Кванте» № 8 за 1973 год было опубликовано решение задачи M179. При этом мы предложили читательам самостояльно закончить решение задачи. Мы надемся, что вы это сделали и можете сравнить свое решение с нашим.

Напомним формулировку задачи.

Для каждого треугольника $T$ строится последовательность треугольников
$$T_0 = T, T_1, T_2, T_3, \dots,$$
еде $T_n$ — треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника $T_{n-1}$. Требуется выяснить, сколько существует попарно неподобных друзей друзей треугольников $T$ таких, для которых $T_n$ подобен $T$ (при каждом фиксированном $n$).

Обозначим через $(\alpha, \beta, \gamma), (\alpha_1, \beta_1, \gamma_1), \dots, (\alpha_n, \beta_n, \gamma_n)$ углы треугольника $T$ и соответствующих ему треугольников $T_1, \dots, T_n$. Требуется узнать, сколько существует треок $(\alpha, \beta, \gamma)$ таких, для которых трейка $(\alpha_n; \beta_n, \gamma_n)$ совпадает с $(\alpha, \beta, \gamma)$ или получается из нее перестановкой, причем $\alpha \geqslant \beta \geqslant \gamma$.

Тройки $(\alpha, \beta, \gamma)$ и их преобразования
$$\begin{align*} (\alpha, \beta, \gamma) &\rightarrow (\alpha_1, \beta_1, \gamma_1), (\alpha, \beta, \gamma) \rightarrow \\ h^n &\rightarrow (\alpha_n, \beta_n, \gamma_n) \end{align*}$$

удобно представлять себе геометрические следующие:

Нарисуем треугольник $Y$, у которой дляна каждой высоты равна $\pi$, и будем изобразать трейку неотрицательных чисел $(\alpha, \beta, \gamma)$, для которого $\alpha + \beta + \gamma = \pi$, точкой $y$ внутри этого треугольника, расстояния от которой до сторона равны соответствующим $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ (рис. 1). Такое соответствие
$$(\alpha, \beta, \gamma) \rightarrow y$$

между трейками $(\alpha, \beta, \gamma)$ и точками $y \in Y$ будет взаимно однозначным. Перестановкам чисел в трейке $(\alpha, \beta, \gamma)$ соответствуют перемещения треугольника, совмещаются его с самим собой (повороты и симметрины относительно высот). Напомним, что преобразование $h$ геометрическим описывается так. На средних линиях треугольника $Y$ (точкам $y$ средних линий соответствуют прямогольные треугольники $T$) $h$ не определяено, а каждый из четырех треугольников, на которые средние линия разбиают треугольник $Y$, $h$ отображает на весь $Y$, причем это отображение — преобразование подобия с коэффициентом 2, переводящей каждый отрезок в параллельный ему отрезок. Стсюда индикцией по $n$ получаем, что преобразование $h^n$ устроено аналогично: на прямых, параллельных сторонам и разбиающих высоты на $2^n$ равных частей, $h^n$ не определяено; в каждом из $2^{2n}$ треугольников, на которые эти прямые разбиают $Y$, $h^n$ — преобразование подобия с коэффициентом $2^n$, отображающей этот треугольник на весь $Y$. (На рисунке 2 изображено $h^2$.) Условия $\alpha \geqslant \beta \geqslant \gamma$ выделяют один из шести треугольников, на которых разбиают треугольник $Y$ его высоты. Этот прямой

32

угольный треугольник обозначим $Y_1$, остальные — как показано на рисунке 3 — обозначим соответствующее $Y_2$, …, $Y_6$. Пусть $f_j$: $Y - Y$ — перемещение $Y$ такое, что $f_j(Y_j) = Y_1$. Если каждый из $2^{2n}$ маленьких треугольников, которые отображаются преобразованием $h^n$ на весь треугольник $Y$, разбить высотами на шесть треугольников, то $Y_1$ будет разбит на $2^{2n}$ подобных ему (с коэффициентом $2^n$) треугольников, которые мы обозначим через $X_j$, $1 \leq j \leq 2^{2n}$ (рис. 4). После отображения $h^n$ каждый $X_i$ перейдет в некоторый $Y_j$, и если затем переставить числа в той же ($\alpha_n, \beta_n, \gamma_n$) в порядке убывания — применить $f_j$, то произведение двух преобразования $f_j \cdot h^n$ отображает $X_i$ на $Y_1$ (преобразование подобия с коэффициентом $2^n$).

Мы утверждаем, что в каждом из $2^{2n}$ треугольников $X_i \subset Y_1$ существуетровно одна «неподвижная точка» $y_i$ также, что $y_i \in X_i$ и $f_j(h^n(y_i)) = y_i$. Из ответа нужно еще исключить неподвижные точки тех треугольников $X_i$, у которых больше категории $Y_1$ (их существует именно столбко, каков коэффициент подобия), поскольку для этих (и как нетрудно видеть, только для этих) треугольников «неподвижная точка» попадает на границу, где отображение $h^n$ не определяено. Отсюда сразу следует, что ответ в нашей задаче: $2^{2n} - 2^n$. (На рисунке 4 в каждом из 12 головных треугольников лежит по одному точке ($\alpha, \beta, \gamma$), для которого ($\alpha_n, \beta_n, \gamma_n$) после перестановки в порядке убывания совпадает с ($\alpha, \beta, \gamma$).)

Осталось только доказать наше утверждение. Для этого мы применим к треугольнику $Y_1$ и отображению $p$ этого треугольника на $X_i \subset Y_1$, обратному к $f_j h^n$, следующее теорему.

Теорема. Пусть $Z$ — некоморяя фигура на плоскости (причем все границы точки $Z$ считаются принадлежащими $Z$), $p: Z \rightarrow Z$ — преобразование подобия с коэффициентом $k < 1$. Тогда существуетровно одна «неподвижная точка» преобразования $p$, принадлежащая $Z$, то есть молко одна $z_0 \in Z$, для которой $p(z_0) = z_0$.

Доказательство теоремы для ограниченной фигуры $Z$ (а именно этот случай нам нужен) проще всего проверить так. Пусть $Z_n = p^n(Z)$ (результат $n$-кратного применения $p$ к $Z$). Тогда $Z \supset Z_1 \supset Z_2 \supset Z_3 \supset \dots$ и пересечение всех $Z_n$ состоит из одной точки $z_0$ (рис. 5). Эта точка и будет неподвижной точкой преобразования $p$.

Другое доказательство, позволяющее явно указать неподвижную точку и пригодное для неограниченных фигуры $Z$, можно получить с помощью компликционных чисел. Любое преобразование подобия плоскости можно записать как результат последовательного выполнения поворота, растяжения в $k$ раз, параллельного перенаса: $z| \rightarrow az + b$ и быть может, еще предварительно симметрично относительно прямой: $z| \rightarrow az + b$ (здесь $a$ и $b$ — компликственные числа, $|a| = k$, $z = x - iy$ — сопряжение $k = z + iy$; см. статью «Мнимые числа и геометрические задачи», «Квант» №3, 1973, с. 22). В первом случае неподвижная точка находится как решение уравнения уравнения.

$$z_0 = az_0 + b > z_0 = \frac{b}{1 - a} = \frac{b + \bar{a}b}{1 - k^2},$$

во втором — как решение системы уравнений

$$\begin{cases} z_0 = \bar{a}z_0 + b \\ \bar{z}_0 = \bar{a}z_0 + \bar{b} \end{cases} > z_0 = \frac{b + \bar{a}b}{1 - \bar{a}},$$

$$= \frac{b + \bar{a}b}{1 - k^2}.$$

34

Примечання 1. Заметим, что при перемене мест чисел, который мы произведем, сумма произведений строго увеличивается. Отсюда следует, что сумма произведений равна максимальной в том и только в том случае, когда таблица получается из таблицы с упорядоченным строками путем перестановки столбцов.

2. Если не предполагается, что в таблице стоит положительные числа, то утверждение неверно. Простейшим примером может служить таблица $2 \times 3$ (рис. 7).

В. М. Макаревич

M198. Дан параллелограмм ABCD. На прямых AB и BC выбраны точки соответствующего H и K так, что треугольники KAB и HCB равноведренные (KA = AB и HC = CB (рис. 8)). Докажите, что треугольник KDH — может равноведренный.

Это совсем простая задача. Расмотрим треугольники AKD и CDH. Они равны, поскольку AD = CH, AK = DC и DAK = DCH (см. рис. 9, а, б, с). Поэтому длины отрезков KD и DH одинаковы. Легко убедиться и в том, что треугольники KDH, AKB и BHC подобны (сделайте это).

В. Л. Гутенмахер

M199. a) Докажите, что сумма
$$C_n^0 - C_{n-1}^1 \frac{1}{4} + C_{n-2}^2 \frac{1}{4^2} - \dots +$$
$$+ (-1)^i C_{n-i}^1 \frac{1}{4^i} + \dots,$$
(sумма берется по всем целем i, 0 ≤ i ≤ $\frac{n}{2}$) равна $\frac{n+1}{2^n}$.

б)* Докажите, что если p и q — различные числа u p + q = 1, то сумма
$$C_n^0 - C_{n-1}^1 pq + C_{n-2}^2 p^2 q^2 - \dots +$$
$$+ (-1)^i C_{n-i}^1 p^i q^i + \dots,$$

рис. 9

35

$$\frac{p^{k+1}(1-q) - q^{k+1}(1-p)}{p-q} = \frac{p^{k+2} - q^{k+2}}{p-q}$$

(напомним, что $p+q=1$).

Остается проверить базу индукции. При $n=0$ $S_n=1$ и $\frac{p-q}{p-q}=1$ – формула верна.

При $n=1$ $S_n=1$, а $\frac{p^2-q^2}{p-q}=p+q=1$ – формула снова верна.

Таким образом, и индукционный шаг и база индукции проверены. Следовательно, формула справедлива при всех $n$.

Замечание. В нашем решении мы пользовались тем, что $C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^k$ Выведите это соответствие самостояльно из формулы для $C_n^k$, приведенной в условии задачи.

Л. Г. Лиманов

Почти все читатели, приславшие решения задач M190—M199, успешно справились с задачими M191, M198. Мы получили более 150 правильных решений задачи M196. Правильные решения остальных задач пришли (жирная цифра после фамилии — последняя цифра номера решенной задачи): С. Абрамов (Москва) 7; С. Адеев (Воронеж) 2; Д. Азов (Челябинск) 2; Ю. Акумин (Москва) 5; П. Баньковский (Уральск) 7; А. Бараов (Старый Урух КБАССР) 7; Е. Башкиров (Минск) 2, 7; А. Берлин (Бобрый) 2, 7; А. Блох (Харьков) 2, 4, 7, 9; А. Бузанов (Днепропетровск) 2; А. Вайновский (Баку) 2; А. Вальков (Ташкент) 2, 7, 9; А. Васицеев (Ставрополь) 7; Р. Вассерман (Одеска) 9; С. Вилкомир (Москва) 2; А. Волков (Челябинск) 3; В. Гавриин (Ковылин Морд. АССР) 2, 7; А. Гончаров (Никопол) 2; А. Грицорян (Баку) 0, 2, 4, 7, 9; С. Гриценко (ст. Ленинградская Краснодарского края) 7; С. Гродский (Корсунь—Шевченковский) 7; Е. Гусев (Павлоград) 2, 7, 9; Г. Гутин (Клинцы Брянской области) 2, 4, 7, 9; А. Дадомов (Ленинград) 2, 4; К. Данильченко (Волгоград) 2, 9; П. Дедик (Москва) 7; В. Дупцов (Душанбе) 7; А. Ермененко (Харьков) 2, 9; К. Ермененко (Челябинск) 2; А. Жданов (Славянск—на—Кубани) 2; А. Журавлев (Москва) 2, 7; М. Закс (Пермь) 2; А. Заславский (Калинин) 7, 9; В. Карапетян (Севан) 2, 9; Д. Карпов (Павлоград) 7, 9; М. Кац (Кишинев) 7; И. Кирова (Болгария) 2; Л. Клименок (Москва) 7; Ю. Князикин (Таллин) 7; М. Кобозев (Киев) 9; К. Козел (Польша) 0; С. Коняesen (Саратов) 0; В. Кошарный (Волоногорск Днепропетровской области) 4, 7; А. Кукуш (Киев) 4; Р. Купец (Польша) 0; А. Курляндик (Ленинград) 2, 4; Г. Левант (Фрунзе) 2; Д. Лифшиц (Кутанси) 7; М. Любиц (Харьков) 0, 7; А. Макарцев (Львов) 2—4, 7, 9; Г. Малашонок (Львов) 2, 7; Д. Мамедов (Дивич Азерб. СССР) 9; С. Мельник (Харьков) 2; Д. Мостовой (Грозный) 3; Г. Мустафаев (Сназаны) 9; В. Нападов (Харьков) 2, 4; А. Николаев (Москва) 0; С. Нужный (Куйбышев) 2, 4; М. Осипов (Москва) 7; И. Панин (Апатиты) 2; В. Паньков (Минск) 0, 3, 5, 7; П. Парамонов (Москва) 5, 7; Е. Парилис (Ташкент) 7, 9; Е. Пасик (Харьков) 2, 3, 4, 7, 9; В. Перевалов (Комсомольск—на—Амуре) 2; В. Прунс (Москва) 2; А. Разуляев (Клин) 7; А. Райин (Москва) 0; А. Резников (Киев) 2, 4; С. Родонов (Саратов) 9; Р. Рожков (Рязан) 2, 7; Ф. Рожков (Рязан) 2, 7; В. Розенштейн (Каменец—Подольский) 7; А. Рязанов (Н. Кузнецк Кемеровской области) 7; Г. Самородницкий (Нежин) 2; В. Сац (Киев) 2; А. Сахаров (Ярославль) 7; Г. Скляр (Харьков) 7, 9; В. Слепой (Фрунзе) 3; В. Слепенко (Челябинск) 7; А. Слесаренко (Рубцовск Алтайского края) 2, 4; А. Сликин (Москва) 0, 2, 4, 7, 9; И. Слуцкий (Минск) 2; Я. Сойбельман (Киев) 2; К. Стемиак (Польша) 2, 3; С. Табачников (Москва) 0, 2—5, 7, 9; В. Ткаченко (Киев) 7; Э. Туркевич (Черновцы) 0, 2—4, 7, 9; С. Фомин (Ленинград); 2, 3; С. Церковный (Ленинград) 7; Н. Чекрыков (Набережные Челны) 3; А. Черебамов (Омск) 2, 3, 7; Н. Чернов (Кривой Рог) 2, 3, 7, 9; А. Шерстюк (Николаев) 0, 7, 9; В. Шляков (Харьков) 2, 3, 4, 7; И. Шербина (Днепропетровск) 0,2—4, 7, 9; А. Шехорский (с. Старики Житомирской области) 9; Р. Юлухаметов (д. Иткулово Башк. АССР) 7; И. Юнус (Харьков) 2, 7, 9.

Ю. П. Лысов

Ф208. У автоматизация, участвуцоцезо в конце, лопаемся шина. Оценить, с какой скорость должен examб автоматизив, чтобы шина не сминалась.

Будем считать, что автоматизив движется равномерно и без просkalзывания, и рассмотрим, какие силы действуют на участок шины одного колеса, который сорпкасается с дорогой: В инерциальной системе координат, связанной с центром колеса, этот участок шины движется по окружности радиуса $R$ (радус колеса) с линейной скоростью, равной по величине скорости автоматизив v. Центростремильное ускорение этого участка равно $a_u = \frac{v^2}{R}$.

Какие силы действуют на такой участок шины (назовем его «ведущим»)? Если пребегчь деформацией шины и связанным с ней силами, то на ведущий участок действия только одна сила — сила реакции дороги $N$.

(Сила также mg, действующая на этот участок, много меньше $N$, и его можно пребегчь).

Так как у обычных автоматизив 4 колеса,

36

то эта сила (в среднем) равна $N = \frac{1}{4} Mg$,

где $M$ — масса автоматическая. Ускорение, сообщаемое ведущему учаску шины массы $m$ силой $N$, и есть центристриментальное ускорение, то есть

$$\frac{1}{4} Mg = m \frac{v^2}{R}.$$

(1)

Так как левая часть равенства (1) построена (для данного автоматчика), то условия $R =$ const (условие несминаемости шины) и, как следствие, $m =$ const однозначно определяют необходимую скорость:

$$v = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{M}{m} g R}.$$

(2)

Для получения количественной оценки подставим в эту формулу следующие значения: $g = 10 \, m/c^2$, $R = 0,5 \, m$, $M = 2 \cdot 10^3 \, \text{кг}$. Величину $m$ нужно оценить. Масса шины порядка 30 кг, а с дорогой соррикается ее небольшой участок. Будем считать, что его длина $l = 10 \, \text{см}$. Тогда

$$m = m_{\text{ш}} \cdot \frac{l}{2\pi R} \approx 30 \cdot \frac{10}{2 \cdot 3,14 \cdot 0,5} \approx 1 \ (\text{кг})$$

(мы считаем, что радиусечение шины мал по сравнению с радиусом колеса).

Подставив теперь все эти величины в формулу (2), получим

$$v = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2000}{1} \cdot 10 \cdot 0,5} = 50 \, m/c = 180 \, \text{км/ч}.$$

Для геоного автоматия эта скорость совсем невелика.

Ф209. Смоделировать траекторию заряженной частицы в магнитном поле можно, помещив в однородное магнитное поле закрепленный на концах циклипровник, по которым пропускается ток. Каким будет намяшение макое провода при може 1 а, если он имитирует траекторию движения протона с энергейой 1 Мэв, вламацезо в магнитное поле перpendикулярно магнитным силовым линям?

$$F = IB\Delta l,$$

перpendикулярная элементу $\Delta l$ (рис. 11). Со стороны приложающих участков действуют силы $T_1$ и $T_2$ натяжения проводок ($|T_1| = |T_2| = T$). Так как рассматриваемый элемент проводки находится в равновесии, то равновесийшая сила $T_1$ и $T_2$ должны быть по абсолотной величины равна силе $F$, то есть

$$2T \sin \frac{\alpha}{2} = IB\Delta l;$$

отсюда

$$T = \frac{1}{2} \frac{IB\Delta l}{\sin \frac{\alpha}{2}}.$$

Но $\Delta l = \alpha R$, где $R$ — радиус окружности, которое представляет проводок. Кроме того, так как элемент проводки мы взяли малим (по сравнению с $R$), то угол $\alpha$ мал и

$$\sin \frac{\alpha}{2} \approx \frac{\alpha}{2}.$$

Позуму

$$T = \frac{1}{2} \frac{IBR\alpha}{\alpha/2} = IBR.$$

Итак, для того чтобы найти $T$, нужно определить $R$.

Протон в магнитном поле движется по окружности под действием силы Лоренца

$$F = evB$$

(v — скорость протона, e — его заряд). Эта сила сообщает протону центристриментное

37

Ф210. Два одинаковых открытых соединины двумя одинаковыми прубками и доверху заполнены водой. Трубки закрыты кранами $K_1$ и $K_2$ (рис. 12). Температура воды в сосудах поддерживается постояной, причем $t_1^\circ > t_2^\circ > 4^\circ$ С. Что будет проискодить с водой в сосудах, если сначала открытый кран $K_2$, а затем (при открытом кране $K_2$) открытый кран $K_1$?

После открывания крана $K_2$ сосуды станут сообщающимся. Поэтому в них установятся такие уровни воды, при которых давления в нижних точках сосудов будут одинаковыми (инначечность перетекала бы из одного сосуда в другой):

$$\rho_1 g h_1 = \rho_2 g h_2$$

($\rho_1, \rho_2$ — плотности воды в сосудах с температурами соответствующего $t_1^\circ$ и $t_2^\circ$, $h_1$ и $h_2$ — соответствующее уровни воды).

Так как $t_1^\circ > t_2^\circ > 4^\circ$ С, то $\rho_1 < \rho_2$. Это означает, что $h_1 > h_2$, то есть вода перетечет из правого сосуда в левый и часть ее выпLETся.

Что будет проискодить с водой при открывании крана $K_1$, зависит от соответствия между давлениями воды в сосудах на уровне трубки. А так как давление линейно связано с высотой уровня и $h_1 > h_2$, то на любом уровне $0 < h < h_1$ давление в левом сосуде больше, чем в правом (рис. 13). Следовательно, $p_1(h_0) > p_2(h_0)$. Поэтому, когда мы открыем кран $K_1$, вода начинает перетекать по верхней трубке из левого сосуда в правый. При этом давление в правом сосуде будет увеличивать, а в левом — уменьшаться. Благодаря этому в нижней трубке появится поток воды из правого сосуда в левый.

Эта задача имеет прямое отношение к техническе. Батареи водяного отопления подсоединяют к одной трубке, и тем не менее вода циркулирует по такой батарее, а не просто теет по труббе, не захода в батарею.

И. Ш. Слободецкий

Рис. 12.

ускорение

$$a = \frac{v^2}{R},$$

то есть

$$evB = m \frac{v^2}{R},$$

или

$$BR = \frac{mv}{e} = \frac{1}{e} \sqrt{2 \frac{m^2 v^2}{2}} = \frac{1}{e} \sqrt{2 m \frac{mv^2}{2}}.$$

Так как $\frac{mv^2}{2} = W$ — кинетическая энергия протона, то $BR = \frac{1}{e} \sqrt{2 m W}$.

Таким образом, $T = \frac{1}{e} \sqrt{2 m W}$.

Подставляя в эту формулу $I = 1a$, $e = 1,6 \cdot 10^{-19} \kappa$, $m = 1,67 \cdot 10^{-27} \kappa$, $W = 1 Mэв = 1,6 \cdot 10^{-13} \partial x$, найдем

$$T = \frac{1}{1,6 \cdot 10^{-19}} \sqrt{2 \cdot 1,67 \cdot 10^{-27} \cdot 1,6 \cdot 10^{-18}} \approx 14 (\text{н}).$$