Квант 1974, №3 · Страницы

КВАНТ
1974
3
Научно-популярный
физико-математический
журнал

На первой странице обложки помещена композиция на темы статей А. П. Савина «Проектная плоскость» и Е. Я. Гика «Проектные шахматы» (с. 9—19).

На фоне перспективного изображения шахматной доски нарисована модель проективной плоскости — круг, диаметрально противоположные точки которого считаются склеенными. ШестЬ разноцветных области на этом круге попарно граничит друг с другом, поэтому для правильной раскраски полученной карты нужно шесть красок. Рисунок в средней области относится к теореме Дезарга — одной из красивейших теорем проективной геометрии (см. также с. 36).

На второй странице обложки вы видите бумажное колюцо, разрезанное по длине. Это колюцо склеено из перекрутенной бумажной полоски. Если полоску до склеивания закрутить на пол-оборота, то после склеивания получится лист Мебнуса; на приведенном рисунке полоска перекрутенна на полтора оборота.

Видно, что после разрезания по длине колюцо не распадается на два куска. Оказывается, можно изготовить такое колюцо, что, разрезав его по длине, мы получим цепь из двух или даже трех колцц. Об этом рассказано в статье В. А. Кордемского «Топологические опыты своих руками» (с. 73—75).

1

Главный редактор
академик И. К. Кикони

Первый заместитель
главного редактора
академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:
М. И. Башмаков.
С. Т. Беляев,
В. Г. Болтянский,
Н. Б. Васильев,
Ю. Н. Ефремов,
В. Г. Зубов,
П. Л. Капица,
В. А. Кириллии,

главный художник
А. И. Климанов,
С. М. Козел,
зам. главного редактора
В. А. Лешковцев,
Л. Г. Макар-Лиманов,
А. И. Маркушевич,
Н. А. Патрикеева,
И. С. Петраков,
Н. Х. Розов,
А. П. Савин,
И. Ш. Слободецкий,

зам. главного редактора
М. Л. Смолянский,
Я. А. Смородинский,
В. А. Фабрикант,
А. Т. Цветков,
М. П. Шаскольская,
С. И. Шварцбург.
А. И. Ширшов.

Редакции:
В. Н. Березии,
А. Н. Виленкин,
И. Н. Клумова,
художественный редактор
Т. М. Макарова,
Н. А. Мини,
Т. С. Петрава,
В. А. Тихомирова.

зав. редакцией
Л. В. Чернова

В НОМЕРЕ:
2 Л. А. Арцимович. Плазма — четвертое состояние вещества
9 А. П. Савин. Проектная плоскость
15 Е. Я. Гик. Проектные шахматы
20 Я. А. Смородинский. Сколько времени идет свет от Меркурия?
24 В. Я. Саннинский. Об одной интерсной книге

Лаборатория «Кванта»
26 Г. И. Покровский. Гидроинмaceutical механизм в падаюшей пробирке

Математический кругхок
27 М. Л. Гервер. 20 задач на предыды
32 Победители конкурса «Кванта»
34 Задачи M251—M255; Ф263—Ф267
36 Решения задач M200, M208—M210; Ф218—Ф222

Практикум абитуриента
48 Н. Х. Розов. Читатель советуют
52 Г. Я. Мякищев. О законе сохранения энергии в механике
60 Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
62 А. Н. Борзк, В. И. Давыдов, И. А. Дьяковов, П. Т. Дыбов. Телевидение готовит вуз

Рецензии, библиография
64 И. М. Яелом. Удачная серия
66 Т. С. Петрова, М. Л. Смолянский. Новые книги
67 Ф. Кедров. Брошюры по физике

Информация
68 А. И. Орлов, А. Л. Розенмаль. Встречи с темя неизвестными
69 В. А. Лешковцев. XXIV Международный астронавтический конкурс

«Квант» для младших школьников
72 Задачи
73 В. А. Кордемский. Топологические опыты своих pupils
76 Ответы, указаны, решения

Уголок коллекционера
А. В. Алтыкис. Марки, посвященные Бенджамину Франклину (З-я с. обложки)

Смесь (с. 8, 23, 25, 47)

© «Квант», 1974 год.

2

Плазма — весма распространенное в природе состояние вещества. Ее изучение началось сравнительно недавно. С физикой плазмы человеку связывает очень большое надежды, прежде всего, в области энергетики. Именно физика плазмы должны решить проблемы осуществления управления термодерных реакций и создания термодерных электростанций. К ней же относятся работы по новым методам получения электрической энергии за счет обчного топлива без помощью паровых котлов и турбин, а также электрических генераторов.

Помещаемая ниже статья принадлежит недавно скончавшему члену редакционной коллекции нашего журнала академику Льву Андреевичу Арцимовичу. Он был руководителем советских исследований в области управления термодерных реакций. Именно ему и его сотрудникам удалось впервые осуществить такие реакции в laboratorных условиях.

Текст статьи замистован изведения к научно-популярной книге Л. А. Арцимовича «Элементарная физика плазмы», выпущен в свет издательством «Атомиздат» третьим изданием в 1969 году. Публикацию подготовил В. А. Лешковцев.

Пусть в замкнутом сосуде, сделанном из очень тугоплавкого материала, находится небольшое количество какого-либо вещества. Начнем подогревать сосуд, постепенно повышая его температуру. Если первоначально вещество, содержащейся в сосуде, было в твердом состоянии, то при возрастании температуры оно в неокотый момент начинает плавится, а при еще более высокой температуре испарится, и образовавшийся газ равномерно заполнит весь объем. Когда температура достигнет достаточно высокого уровня, все молекулы газа (если это молекулярный газ, как, например, водород, азот или кислород) диссоциируют, то есть распадуется на отдельные atoms. В результате внутри сосуд будет содержаться газообразная смесь элементов, из которых состоит вещество. Атомы этих элементов будут быстро и совершенно беспорядочно двигаться, испытывая время от времени случайные стольновения между собой.

Средняя скорость хаотического теплового движения atomов растет пропорционально квадратному корню из абсолотной температуры газа. Она тем больше, чем легче газ, то есть чем меньше atomный вес вещества. Величину средней скорости $\bar{v}$ можно найти с помощью следующей формулы:

$$\bar{v} = 1,3 \cdot 10^4 \sqrt{\frac{T}{A}}.$$ (1)

Здесь $T$ — абсолотная температура и $A$ — atomный вес вещества. Из формулы (1) следует, например, что, при $T = 1000^\circ\text{K}$ средняя скорость atomов водорода составляет $4 \cdot 10^3\text{ m/c}$, а средняя скорость atomов ртути — всего лишь $3 \cdot 10^2\text{ m/c}$.

Изменя температуру от наиболее низкого уровня, соответствующего техническим глубокого охлаждения (несколько градусов от абсолотного нуля), до нескольких тышей градусов, мы можем заставить практические лю-

бое вещество пройти через три состояния — твердое, жидкое и газообразное. Естественно возникает вопрос: как будет изменяться свойства вещества, если нагревание продолжится дальше и температура выйдет за пределы нескольких тыс градусов? Конечно, при очень высокой температуре изображаемую нами картину нагревая вещества в тугоплавком сосуде можно представить только теоретически, так как предел термической стороны даже самых тугоплавких материалов сравнительно не велик — не более 3000—4000 °К. Однако это практическое воздействие не снимает вопросы о том, как будет вести себя вещество при непрерывном повышении его температуры. Поэтому мы не будем пока отказывать от принятой простой схемы. Допустим, что стенки сосуда обладают волшебной способностью противостоять угдоно высокой температуре, не разрушаясь и не испытывая никаких изменений. Итак, нагревание продолжается. В таком случае уже при 3000—5000 °К мы сможем заметить первые признаки появления новых процессов, которые будут связаны с изменением свойств самих atoms вещества.

Как известно, каждый atom состоит из положительного заряженного ядра, в котором сосредоточена почти все масса atoms, и электронов,вращающихся вокруг ядра и образующих в совокупности так называемую электронную оболочку atoms. Эта оболочка и в особенности ее внешний слой, содержащий электроны, сравнительно слабо связанные с atomным ядром, обладают довольно хруплкой структурой. При столкновении atoms с какой-либо быстро диггающейся частицей один из внешних электронов может быть оторван от atoms, который превращится в положительное заряженный ion. Именно этот процесс описан и будет наиболее характерным для рассматриваемой стадии нагрева вещества. При достаточно высокой температуре газ передает быть

нейтральным: в нем появляется положительныеоны и свободные электроны, оторванные от atomов.

С увеличением температуры относительной доляонов и электронов в этой смеси очень быстро возрастает. В условиях, когда нагретое вещество находится в тепловом равновесии с окружающей средой (в нашем случае со стенками вообразаемого идеального сосуда) при температуре в несколько десятиков тыс градусов, подавляющая часть atomов в любом газеонизирована и нейтральные atoms практически отсутствуют.

Кривая на рисунке показывает, как должны расти с температурой относительной доляонов и свободные электроны, оторванные от atomов в водороде. По оси абсцисс отложена абсолотная температура, по оси ordinат — величины α — отношение числа положительныхонов к числу нейтральных atomов, первоначально имеющих в газе, в процентах. Степеньонизации α зависит не только от температуры, но и от плотности газа (хотя и не так сильно). Поэтому для определения отметим, что рисунок относится к тому случае, когда в 1 cm³ газа полное число положительныхонов и нейтральных atomов равно 7·10¹⁶. При комнатной температуре газ с такой плотностью будет иметь давление, близкое к 1 mm рм. cm. При T = 10 000 °К числоонизированных atomов меньше 10% общего числа atomов водорода, тогда как при T = 30 000 °К на 2·10⁴ положительныхонов (про-

4

тонов) приходит всего лишь один нейтральный atom.

Электронная оболочка atomа водорода содержит только один электрон, и поэтому с потеря электронаонизация заканчивается. В atomах других элементов электронная оболочка имеет более сложную структуру. В ее состав входят электроны, обладающие разной степенью связи с atomом в целом. Электроны, принадлежшие к внешним слоям оболочки, отрывются сравнительно легко. Как уже говорилось выше, при температуре порядка 30 000 °К почти не должно оставаться примеси нейтральных atomов. Это означает, что можно говорить о полнойонизации газа. Однако отсюда не следует, что процессионизации заканчились, так как положительныеоны в упомянутой области температур сохраняют значительную часть своего «электронного одеяния».

Чем больше порядковый номер элемента в периодической системе Менделеева, тем больше число электронов в atomе и тем прочее связаны электроны внутриних слояв оболочки с atomным ядром. Поэтому окончательнаяонизация atomов таких тяжелых элементов происходит только при очень высоких температурах (миллионы или даже десяти миллионов градусов). Отметим, что в тяжелом газе при окончательнойонизации на каждый положительныйон будет приходится только же свободных электронов, сколько их первоначально находится в связанном состоянии в atomе. При этом газ в целом остается нейтральным, так как процессыонизации сами по себе не создают избытка в зарядах того или другого знака.

Вонизации газа при высокой температуре принимают участие различные процессы взаимодействия между отдельными atomами, с одной стороны, и электронами, ионами и световым излучением — с другой.

Газ, в котором значительная часть atomов или молекулонизирована, называется плазмой. Это название было предложено в 1923 году американскими физиками Ленгмюром и Тонком. Плазма — нормальная форма существования вещества при температуре порядка 10 000 °К и выше. Вместе с тем и наиболее распространенное состояние вещества в природных условиях. Солнце и все звезды представляют собой не что иное, как гигантские густки высокотемпературной плазмы. Верхний слой атмосферной оболочки Земли также образованы из плазмы — это так называемаяонизефера.

Для того чтобы подойти к понятному плазмы, мы воспользовались весом простой идеей о нагревании вещества в некотором идеальном состоянии. Однако практические это совсем не напулящий и уж, во всяком случае, не наиболее легко осуществимый метод получения плазмы. Как влабораторных опытах, так и в техническими условиями для получения плазмы считаются различные виды электронических разрядов в газах. При электронческом разряде через газ проходит ток. Носителями этого тока является электроны ионы, которые образуют в результатеонизации газа. Самый процессонизации неразрывно связаан с прохождением тока. Только благодарна наличие тока в газе все время возникают новые ионы и электроны, и поэтому степеньонизации поддерживается на определенном уровне. Будь то молния, электронская дуга, нарядно окрашенный разряд в рекламной трубке или разряд в люминесцентной лампе дневного света — во всех случаях мы имеем дело с явлениями, разыгрывающимся в сильноонизированной плазме.

Вместе с тем между плазмой, сравновавшейся при нагревании вещества задно с сосудом, в котором оно находится, и плазмой газового разряда имеет одно существование различие. Плазма газового разряда не является в термическом (телловом) относительной равновесной. Она нагре-

5

вается изнутри за счет энергии, выделяющей при прохождения тока, и охладается с поверхности вседствие контакта с холодными стенками газоразрядного прибора или же с окружающими слоями обчного газа. Плазма, образующаяся при интенсивных газовых разрядах, может иметь во много раз более высокую температуру, чем металл, стекло или нейтральный газ, которые ее окружают. Кроме того, такая плазма термически неравновесна еще в одном относении. Она состоит из смеси нескольких компонент, неодинаково нагретых. Однако из этих компонент является электроны, другой — положительныеоны и третьей — нейтральные atoms. Они также равномерно перемешаны между собой, как кислород и азот в атмосфере.

В противоположность общной газовой смеси, все части которых неравниимо от их принадлежности к той или иной другой составляющей имеют одинаковую среднюю кинетическая энергия беспорядочного теплового движения, у электронов, инов и нейтральных atoms плазмы газового разряда средняя кинетическая энергия различна. Электроны, как правило, обладают городаю более высокими энергиями, чем ионы, а кинетическая энергия инов может превышать энергию нейтральных atoms и молекул. Позному можно сказать, что плазма представляет собой смесь компонент с различными температурами. Как известно, средняя величина кинетической энергии $\bar{E}$ части газа, участвуших в беспорядочном теплом движении, связана с температурой $T$ следующей простой формулой:

$$\bar{E} = \frac{3}{2} k T,$$

где $k$ — постоянная Больцмана.

Из-за различия в величины средней кинетической энергии электронов, инов и нейтральных части в плазме вместе одной общей температуры следует различать три разные температуры — электронную $T_3$, иннную $T_и$ и atomную $T_a$. Обычно $T_3 \gg T_и > T_a$. Очень большое различие между $T_3$ и $T_и$, характерное для большистива формы газового разряда, обусловлено громадной разнишей в величины массы электронов ионов. Внешние источники электрической энергии, с помощью которых создается и поддерживает газовый разряд, передают энергию непосредственно электронам плазмы, так как именно легкие электроны являются носителями тока. Они приобретают свою энергию благодар столковением с быстро движущимся электронами. Однако при каждом отдельном столковении из-за большого различия в массе легкий электрон передаетону лишь небольшую часть своей кинетической энергии, отскакивая от него, как шарик для пинг-понга, ударившийся о массивной стальной шар.

Простой анализ, основанный на применении закона сохранения энергии и закона сохранения количества движения, показывает, что если тело малой массы $m_1$ стalkивается упруго с телом во много раз большей массы $m_2$, то относительная доля кинетической энергии, которой легкое тело в состоянии передать тяжелому, не может превышать $\frac{4m_1}{m_2}$ (попробуйте доказать это сами). Отношение массы электрона к массе она равно $1:1840 A$, где $A$ — atomный вес вещества, которое принадлежатоны. Следовательно, наиболее относительная величаемая передаваемой в одном соударении энергии составляет всего лишь около $2 \cdot 10^{-3} \cdot \frac{1}{A}$.

Позному электрон должен испыть очень много столковений с понами для того, чтобы полностью отдать имеющихся у него излишек энергии.

Поскольку параллельно процесам, при которых происходит обмен энергиями между электронами и ионами, идет процесс приобретения энергии электронами от источников электри-

6

рического тока, питающего разряд, в плазме при газовом разряде обычно все время подерживается большой перепад температур между электронами и ионами. Так, например, в упоминавшихся выше газоразрядных приборах (рекламные трубки, лампы дневного света, рутные выпрямители и т. д.) величины $T_3$ обычно лежит в пределах нескольких десятиков тысяч градусов, в то время как величины $T_1$ и $T_2$, как правило, не превышает одной—двух тысяч градусов. При дугом разряде, который использовется для электросварки, электронная и ионаная температуры близкие друг к другу вседствие того, что в этом случае разряд происходит в газе с большей плотностью и частище стольновения между электронами и ионами быстро выравнивают разность температуры. Однако и в дугом разряде $T_3$ все же больше $T_1$ ($T_3$ порядка несколько десятиков тысяч градусов, а $T_1$ и $T_2$ порядка 6000 °K).

При некоторых специальных условиях в сильно инизированной плазме и ионаная температура может значительно превышать электронную. Такие условия возникают, например, при кратковременных электрических разрядах очень большой мощности в экспериментальных условиях, предназначенных для исследования способов генерации так называемых термоядерных реакций.

Теперь несколько утончим общее представления о плазме и ее основных характеристиках. Плазма, то есть инизированный газ, может обладаать довольно сложным составом. Даже в том случае, если плазма образуется в результате инизации химических процес года, например азота, кислорода или паров ртути, ее ионаная компонента будет содержатьоны различных сортов — с одним, двумя, третьями или более элементарными зарядами. Следует отметить, что кроме атомарных ионов могут присутствовать молекулярные ионы, а также нейтральные атомы и молекулы. Каждый из этих компонент будет характеризовать термозначения $n_1$ и температур $T$. В простейшем случае, когда все они — однозарядные атомарные ионы, а нейтральная компонента полностью диссоциирована и состоит только из атомов, в плазме будут присутствовать электронные, ионы и нейтральные атомы. Такие условия создают только при интенсивных разрядах в водороде, действии или тритии. В приведенном примере концентрация ионов $n_1$ приблизительно равна концентрации электронов $n_3$. В более общем случае, когда в плазме присутствует однозарядные ионы с концентрацией $n_1$, двухзарядные — с концентрацией $n_2$, трехзарядные — с концентрацией $n_3$ и т. д., можно записать следующей приблизительной равенство:

$$n_3 = n_1 + 2n_2 + 3n_3 + \dots$$

Такое соответствие между концентрацией отрицательных и положительных зарядов в плазме говорит о том, что плазма в целом квазинейтральна, то есть в ней нет заметного избытка зарядов одного знака над зарядами другого знака.

На этом свойства плазмы нужно остановиться несколько подробнее, так как оно имеет существенное значение и, в конечном случае, в нем содержится само определение понятия «плазма».

Возникает естественный вопрос: с какой степенью точности в инизированном газе должно соблюдаться условия квазинейтральности? Каким бы путем ни создавалась инизация, заранеесовет не оченьindo, что положительных и отрицательных зарядов должны быть поровну. Из-за различия в скорости движения электронов и ионов perвыые могут с большей легкостью покидать объем, в котором они возникли. Поэтому если благодаря процессам инизации атомов первоначально образуется одинаковое число зарядов противоположных знаков, то из-за быстрое исчезновения электронов, погибающих на стенках

7

аппаратуры, внутри которого находится ионизированный газ,оны, казалось бы, должны оставаться в значительной большем числе, то есть ни какой квазинейтральности не должно быть и речи.

С другой стороны, нужно учеть, что при премишtectвенной утечке зарядов одного знака (электронов) в ионизированном газе немедленно образуется избыточный заряд другого знака, который способствует выравнинию потока электронов ионов и преяствует увеличению разницы между концентрациями частиц обихх знаков. Условия, при которых этот эффект будет достаточно для того, чтобы поддерживать квазинейтральность, можно разъяснить с помощью следующих соображений.

Допустим для простоты, что в ионизированном газе преяствуют кроме электронов только однозарядныеоны. Квазинейтральность означает, что $n_3$ очень мало отличается от $n_1$. Как отразится на поведении отдельных частиц заметное отклонение $n_3$ от $n_1$? Очевидно, что все будет зависеть от того, насоклько сильным окажется образное влияние электрического поля, возникшего при таком отклонении, на движение заряженных частиц. Здесь сразу же выделяются два крайних случая. Если число заряженных частиц в объеме невелико, то создаемые имми электрические поля слищком слабы для того, чтобы повляять на их движение, даже если все поля складываются. В этом случае отдельные электроны ионы в своем поведении никак не связаны друг с другом и каждой из частиц движения так, как будто бы другие отсутствуют. Следовательно, условия квазинейтральности здесь не обязательны. Противоположный случай соответствует ионизированному газу с высокой концентрацией заряженных частиц, занимающей достаточно большой объем. В этом случае избыточные заряды, возникшие при сильном нарушении равенства между $n_3$ и $n_1$,

$$r \gg 5 \sqrt{\frac{T_3}{n_3}}.$$

(3)

В этом соответствии $n_3$ — концентрация заряженных частиц (число электронов в единице объема) и $r$ — линейный размер области, занятой ионизированным газом, например, радиус сферического колбы, в которой этот газ находится. Появление величины $r$ в данном выражении нетрудно раз辩нить. При заданной концентрации заряженных частиц создаемые имми потенциал, а следовательно, и потенциалная энергия отдельной частицы зависит от размеров области, в которой находится эти частицы. Поэтому величина, характеризующая данный размер, должна обязаться воходить в формулу, выражающего условия квазинейтральности. Величина $5 \sqrt{\frac{T_3}{n_3}} = r_D$ носит название дебаевского радиуса по имени немецкого физика Дебая.

Согласно условия (3), если размеры области, занываемой ионизированным газом с заданной концентрацией $n_3$ и электронной темпера-

8

турой $T_3$, значительное превосходят $r_D$, то внутри этой области $n_3 \approx n_n$.
В этом случае при сильном отклонении $n_3$ от $n_n$ образуется электронное поле будет выталкивать частицы одного знака (присуствующие в избытьке) и задерживать уход частиц другого знака. Такой механизм, автоматически поддерживающий равенство $n_3$ и $n_n$, передает действовать в случае, когда $r \ll r_D$. В объемах с линейными размерами, значительное меншими, чем $r_D$, электронное поля, возникающее при отклонении $n_3$ от $n_n$, будут слишком малы, чтобы оказать заметное влияние на движение отдельных частиц.

Тепер можно вложить более определенный смысл в понятие «плазма». До той поры, пока мы имеем дело с относительно небольшим числом заряженных частиц, которые не в состоянии создать достаточно сильное поле для того, чтобы оно могло существенно сказаться на поверхности каждой из частиц, не имеет смысла говорить о наличии какого-то нового состояния вещества. Новая форма вещества — плазма — соответствует таким состоянию, когда число электронов ионов настоящего велико, что даже небольшие смесиные электронной компоненты по отношению к ионной оказывается невозможным из-за сильных электронских полей, возникающих при нарушении равенства между $n_3$ и $n_n$. Таким образом,онизированный газ имеет право навываться плазмой только в том случае, если условие (3) выполняено с достаточно запасом.

Нужно подчеркнуть, что квазинейтральность плазмы соблюдается только в пределах достаточно больших объемов. Если выделить внутри плазмы куб со стороны $x$, значительное меншей, чем $r_D$, то в пределах этого куба число ионов может значительно отличаться от числа электронов. чем меньше относение $x/r_D$, тем больше может быть различие между величины относения $n_3/n_n$ и единицей.

Как появился знак корня
Извлечение корня обозначает знак $\sqrt{}$. Не все знают, что это — видимение латинской буквы $r$, первой в латинском слове «гадix», ознакомлен «корень».
В XVI веке знак корня служила не строчная, а прописная буква $R$, а рядом с него ставилась первая буква латинских слов «цадратус» — «квадратный» (q) или «субисц» — «кубический» (c), чтобы указыть, какой именно корень требуется извлечь. Например, писали $R.q.4352$ вместе новый него $\sqrt{4352}$.

Найти число

1. Найти трехзначное число, которое будет прочитано справа налево, сохраняет свое значение, если считать, что в этом случае оно изображен в девятеричной системе числения.
2. 3, 5, 7 — при последовательных нечетных простых числа. Имеются ли в натуральном ряде чисел эти последовательных нечетных простых числа?
3. Найти четырехзначное число, равное квадрату числа, образованного двумя последними цифрами этого числа.
4. Найти двухзначное число, квадрат которого равен кубу суммы его цифр.
5. Найти четырехзначное число, равное 4-й степени суммы его цифр.
6. Найти число, являющееся точным квадратом, если известно, что в пятеричной системе оно оказывается числом четырехзначным, а если его записать в семиридной системе, то оно изобрается одинаковыми цифрами.

9

Рисунки и планы

Недавно, переписывая учебник природедения для 3-го класса, я обращил внимание на две картины: класс, нарисованный художником (рис. 1), и план того же класса (рис. 2). Взгляните на них. Класс на рисунке 1 изображен таким, каким вы его видите, стоя у доски. А план? Takим вы свой класс наверняка не видели, даже забравшись на стул, поставленный на пары.

Однако сделать хороший рисунок класса, комнаты, двора — задача гораздо более трудная, чем нарисовать соответствующий план. Действительно, чтобы нарисовать план, достаточно набраться терпения и изменить размеры предметов и расстояния между ними, а затем в соответствиицем масштабе переести на лист бумаги. Задча, волне посильная любому третьекласснику.

А рисунок? «Для этого нужен талант», — скажете вы. Что же, несомненно, Галя Мисевич из Киева — талантливая девочка, рисунок, сделанный его в семилетнем возрасте (рис. 3), украшал обложку журнала «Мурзилка». Оdnako что-то в нем не так. В нем… отсутствует персонка!

Впервые правильным изображением персонтуры сервисно занитересовались художники эпохи Возрождения, в особенности Альбреxt Дюер (1471—1528) и Леонардо да Винчи (1452—1519). Затем к решению этой задачи присутствили математики и создали красивую науку — проектныйную геометрию, ее основы были заложены Жераром Дезартом (1593—1661) и Блезом Паскалем (1623—1662).

Рис. 1. Рис. 2.

10

Рис. 3.

Взгляните в окно. Вы увидите пейзаж. А теперь представьте себе, что это не окно, а картина. «Автору» этой картины, очевидно, невозможно поставить в упрек плохую перспективу. Попробуем повторить эту картину, например, мелом прямо на оконном стекле. Встановим и подем к окну. И тут же «картина» начинает изменяться — на ней появятся новые предметы, а те, которые были прежнее, станут перемешаться и менять свою форму. Однако doit до okна и попытаться изобразить то, что мы видим. Наскетет неудача: маленьшее движение головой, и картина меняется, изобразения передвигаются на другие места. Что же делать?

Взгляните на гравюру А. Дюрера (рис. 4). С помощью остроумного приспособления художник рисует базу так, как она видна из точки, в которой ввервка прикреплена к стене. Пользовесь этим инструментом и вы сможете правильно изобразить перспективу пейзажа в вашем окне. Однако не думайте, что вы уже стали художником. Еще точнее эту картину воспроизведет фотоаппарат, а для того, чтобы картина стала действительным художственным произведением, нужно талант.

Но оставим на время живопись и перейдем к геометрии. Расссмотрим схему метода Дюрера (рис. 5). Зададим в пространстве плоскость P и точку O. Для того чтобы построить изображение точки N на плоскости P, проведем прямую через точки N и O. Точка N₁, в которой эта прямая пересечет плоскость P, и будет изображением точки N на плоскости P. Такой метод построения изображения называется центральной проекцией на плоскость P из точки O.

Расссмотрим центральную проекцию из некоторой точки O фигур, ле-

11

Жаших в горизонтальной плоскости $Q$, на вертикальной плоскость $P$ (рис. 6). Заметим, что при этом приемые будут переходить в прямые. Действительно, проведем плоскость через прямую на плоскости $Q$ и точку $O$. Линия ее пересечения с плоскостью $P$ и будет изображением выбранной прямой. Ясно, что если две прямые пересекаются (не на прямой $l_2$, см. далее рис. 8), то их изображения тоже пересекаются. Могут пересекаться даже изображения параллельных прямых (рис. 7), причем точка $N_1$ пересечения этих прямых лежит на прямой $l$, проходящей через точку $O$ и параллельной плоскости $Q$ (так «пересекаются» на горизонтте рельсы железной дороги).

А какой прямой на плоскости $Q$ соответствует «горизонтальная» прямая $l_1$ на плоскости $P$ — «линия горизонтала»? Такой прямой нет. В то же время для любой другой прямой плоскости $P$ найдется прямая на плоскости $Q$, которая ей соответствует (проверьте). С другой стороны, для прямой $l_2$ пересечения плоскости $Q$ с плоскостью $R$ (R параллельна плоскости $P$ и проходит через точку $O$, см. рис. 8) и только для этой прямой не найдется изображения на плоскости $P$ ни для одной из ее точек, да и образы прямых, параллельных $l_2$ и лежащих в $Q$, на $P$ не пересекаются. Стремление устранить такую «дискриминацию» привело к созданию понятия проективной плоскости.

рис. 5.
рис. 7.

рис. 6.
рис. 8.

12

Проектная плоскость

Мышленно дополним общную плоскость точками еще одной «прямой», который будем называть «бесконечно удаленной» (ее точки также будем называть «бесконечно удаленными»). Связжем элементы плоскости с новым введенными элементами.

Во-первых, будем считать, что любая прямая плоскости пересекается с бесконечно удаленной прямой и притом в единственной точке (эта точка, естественно, будет бесконечно удаленной, поскольку она принадлежит бесконечно удаленной прямой).

Во-вторых, будем считать, что любая прямая, параллельная данной, пересекается с бесконечно удаленной прямой в той же точке, что и данной. тогда эта точка является точкой пересечения всех прямых, параллельных данной (в смысле параллельности на общий плоскости).

Тепер при центральном проектировании прямую $l_1$ можно считать образом «бесконечно удаленной прямой» плоскости $Q$, а образом прямой $l_2$ — «бесконечно удаленную прямую» плоскости $P$, при этом лишь для точки пересечения «бесконечно удаленной прямой» плоскости $Q$ с прямой $l_2$ не найдется места на прямой $l_1$, то есть эта точка остanetся «бесконечно удаленной» (и аналогично для «бесконечно удаленной прямой» плоскости $P$ и прямой $l_1$).

Каковы же свойства полученной проективной плоскости? А это зависит от того, с какой точки зрения их расматривать. Наболее естественного расматривать те свойства проективной плоскости, которые не меняются при центральном проектировании. Действительно, при этом страется разница между прямыми на первоначальной плоскости и бесконечно удаленной прямой, поскольку свойства бесконечно удаленной прямой плоскости $Q$ будут в таком случае полностью соответствовать свойствам прямой $l_1$ плоскости $P$.

Перечислим основные из этих свойств:

1. Для любых двух точек существуют одна и только одна прямая, который они одновременно принадлежат.
2. Любые две прямые пересекаются в одной и только в одной точке.

При этом придается и обуглах между прямыми, плосккими их величины не сохраняются при центральном проектировании, и о расстояниях между точками. Каждый это обстоятельство обедняет геометрию проективной плоскости. Тем не менее получается больше и содержательная теория, которая носит название проективной геометрии и отличается чрезвычайным изящностью своих теорем. Вот одна из них.

Теорема Дезагра. Пусть данные при прямые, пересекающиеся в точке $O$. Пусть на одной прямой лежат точки $A$ и $A_1$, на другой — $B$ и $B_1$, на третьей $C$ и $C_1$. Тогда точки пересечения прямых $AB$ и $A_1B_1$,

Рис. 9.

Рис. 10.

13

AC и A₁C₁, BC и B₁C₁ лежат на одной прямой (рис. 9).

На общий плоскости в этой теореме приходит отделно отоваривать ряд случаев, когда какие-либо прямые параллельны. А вот еще одна теорема.

Теорема Паппа. Пусть на одной прямой даны точки A, B и C, а на другой — точки A₁, B₁ и C₁, мода точки пересечения прямых AB₁ и A₁B, AC₁ и A₁C, BC₁ и B₁C лежат на одной прямой (рис. 10).

И эта теорема на общий плоскости нуждается в уточнениях в случае параллельности тех или иных прямых.

Одним из самых замечательных свойств проектной геометрии является «приицп двойственности»: на проектной плоскости какая теорема остается справедливо, если в ней всё слоо «мочика» заменить на слоо «прямая», слоо «прямая» на слоо «мочика» и помещать местами выражения: «лежим на…» и «проходим через…». Примером такой двойственности могут служить указанные выше свойства проектной плоскости.

Упражнение
Сформируйте теоремы, двойственные теорем Дезарга и Паппа.

Тем, кого заинтересовала проектная геометрия, рекомендуем прочитать книги, указанные в конце статьи. А сейчас вернемся к самой проектной плоскости, как к геометрическому объекту.

Модели проектной плоскости

Мы получили проективную плоскость, введя «бесконечно удаленные точки» и «бесконечно удаленную прямую». Можно ли посмотреть, что же из этого получилось? «Бесконечно удаленную прямую» (без одной точки) мы увидели, когда спроектировали проективную плоскость Q на плоскость P. Но при этом «ушли на бесконечноность» другие точки — прямая l₂. Хотелось бы получить такую модель проектной плоскости, в котором были «видны» все точки.

Одна такая модель уже почти построена. А именно, зафиксируем точку O в пространстве и назовем «точками» прямые, проходящие через точку O, а «прямыми» — плоскости, проходящие через точку O. Посмотрите еще раз на рисунки 6—8. Каждый точке.projectивной плоскости действительно соответствует единственной «точка» модели — прямая, проходящая через точку и точку O, а каждой прямой — прямая — плоскость, проходящая через точку и точку O. При этом бесконечно удаля-

14

Рис. 13.
ленной прямой будет соответствовать горизонтальной плоскость — «прямая», а бесконечно удаленным точкам — лежащие в горизонтальной плоскости прямые (например, $ON_1$ на рисунке 7) — «точки». В этой модели наболее ярко видно равноправие всех точек и прямых проективой плоскости.

Полученная модель очень хорошо для исследования свойств проектной плоскости, однако хотеть бы иметь такую модель, в которой точки были бы точками, а прямые — линиими. Оказывается, такую модель не трудно получить из предыдущего. Добавим еще полусферу с центром в точке $O$, касающийся плоскости $Q$ (основание полусферы параллельно плоскости $Q$). Тогда каждой прямой, соединяющей точку $O$ с точкой на плоскости $Q$, будет соответствовать точка на полусфере — та самая, в которой эта прямая пересекается с полусферой. Примым обичной плоскости при этом будет соответствовать полукружности на полусфере, проходящие через диаметрально проектированные точки границы полусферы. Семейству параллельных прямых на плоскости $Q$ будет соответствовать две диаметрально проектированные точки на границе полусферы (рис. 11), а бесконечно удаленной прямой — граница полусферы.

К сожалению, каждой «бесконечно удаленной точке» (точке «бесконечно удаленной прямой») соответствует две диаметрально проектированные точки границы полусферы. Чтобы избежать от этого недостатка модели, надо лишь склить между собой две полукружности границы полусферы, но так, чтобы при этом склENVALISHЬ диаметрально проектированные точки. Это сделать, оказываться, совсем не просто. Мало того, что полусферу придает изгибать, придает еще и разрешить ей пересекать саму себя. То, что получится в результате, можно увидеть на рисунке 12 — поверхность сама себя пересекает по линии $AB$.

В этой модели, естественно, уже трудно хорошего изобразить прямые. Поэтому чаще всего пользоваться другой моделью: круг, диаметрально проектированные точки которого мысленно считаются склеенными. Такая модель получается из модели на полусфере (рис. 11), если эту полусферу проектировать на плоскость $Q$.

На проектной плоскости можно нарисовать шесть страны, каждые две из которых граничат друг с другом (рис. 13). Заметим, что на обычной плоскости таких странах может быть не больше четырех. Было доказано, что шести красок достаточно для правильной раскраски любой карты на проектной плоскости ( раскраска называется правильной, если любые две страны, имеющие общую границу, раскрашения в разные цвета), а для обычной плоскости до них пор не найдено карты, для правильной раскраски которой не хватило бы четырех красок, но и не доказано, что любую карту можно правильно раскрасти четырьмя красками.

Литература

1. П. С. Александров, Лекции по аналитической геометрии, «Наука», М., 1968.
2. Дж. В. Юнг, Проектная геометрия, ИЛ, М., 1949.
3. Г. С. М. Кокстер, Введение в геометрия, «Наука», М., 1966.

15

На страницах «Квант» уже рассывалось о том, как играть в шахматы на различных досках, получающихся при помощи геометрических преобразований из обычной шахматной доски. Именно таким способом возникают, например, цилиндрические и тороидальные шахmatы *). Сейчас мы познакомимся с шахматной игрой еще на одной необъичной доске. В основе этой игры лежат элементы проектной геометрии, поэтому шахматы называются проектными.

Проектная плоскость
О ней рассыано в этом номере журнала в статье А. П. Савина (см. с. 9). Коротко повторим: к общий плоскости добавляется некоторое множество дополнительных точек. Каждый из этих точек соответствует семейству параллельных прямых плоскости и называется беконечно удаленной точкой проектной плоскости. Параллельные прямые пересекаются в беконечно удаленной точке. Различным множеством параллельных прямых соответствует различные беконечно удаленные точки—в каждом направлении имеется свой точка. Совокупность всех беконечно удаленных точек объязывается «прямо», она называется беконечной прямой проектной плоскости. Точки и прямые исходной плоскости называются конечными.

Итак, на проектной плоскости все прямые обязаться по пересекаются, причем в единственной точке: конечной, если на общий плоскости они не параллельны, и в бесконечно удаленной, если параллельны. Если же одна из прямых беконечно удаленная, то она пересекается со второй прямой в бесконечно удаленной точке.

Проектная шахматная доска
Расширяя раскраску общейной шахматной доски на всю беконечную плоскость, мы получаем клетчатую черно-белую плоскость, которую будем называть беконечной шахматной доской Ш. Естественный образом ведем на ней декартову систему

*) См. «Квант», 1970, № 5 и 1971, № 8. Рис. 1.

16

координат $xOy$ (см. рис. 1). При этом каждое поле докси Ш обозначает парой чисел $(x, y)$ — абсциссной и ординатой центра этого поля. Например, конь на рисунке 1 стоит на поле (10,7). Конечно, если события «протекают» в пределах обычной шахматной докси (на рисунке 1 она виделана), то можно пользоваться и шахматной нотацией. Так, поле (1,6), на котором находится пещка, есть просто a6.

Теперь добавим к доксе Ш четыре беконечно удаленных поля: поле $O_x$, в котором пересекаются все горизонтали, поле $O_y$ — в котором пересекаются все вертикали, и два поля $M_1$ и $M_2$, в которых пересекаются соответственно два множества диагоналей (рис. 1).

Доску Ш, дополнительно беконечно удаленных полями $O_x, O_y$, $M_1$ и $M_2$, называем проективной шахматной докской П. Аналогия между рассмотрением выше проективной плоскостью и полученной докской П очень видна. Вместо точек.projectивной плоскости (конечных и беконечно удаленных) здесь мы имеем дело с полями докси П (соответственно конечными или беконечно удаленными). Поскольку «шахматными» направлениями являются только горизонтали, вертикали и диагонали, то мы ограничиваем лишь четырьмя направлениями в плоскости, а значит и четырьмя беконечно удаленными полями. Можно считать, что эти поля лежат на беконечно удаленной прямой докси Ш.

Заметим, что если фигура непрерывно движется вдоль произвольной линии в заданном направлении, то она пройдет при этом беконечно

18

тельскую, стояцую на бесконечно удаленом поле.

7. На каждом бесконечно удаленом поле не могут находиться одноременного две фигуры.

8. С одной бесконечно удаленого поля на другое ходить нельзя (перемещение по бесконечно удаленой прямой запрещено).

9. Пещка не может делать двойной ход или превращаться в другую фигуру.

Впрочем, если разработать «начальную позицию», то это правило можно модифицировать в соответствии с обычными шахматами.

Таким образом, правила игры в проективные шахматы построены на основе строгих геометрических расчудений. Любопытно, что абстрактные геометрические понятия находят в данном случае практическое применение.

Шахматно-проективные задачи

В проективных шахматах открывается богатые и неожиданные возможности по сравнению с обычной игрой. Расширение площади «стражения» фактически ведет к изменению силы фигур. При этом возникают новые оригинальные идеи. Не случайно шахматные композиторы в своих изысканях часто прибегают к проективным шахматам. Особой популярностью они получются в Югославии *).

В начальной позиции шахматно-проективной задачи фигуры, как правило, расположятся внутри обычной доски 8×8. При этом ее рисунот без краев как фрагмент доски Ш. Это означает, что решение следует искать на шахматно-проективной доске П.

Сейчас мы разберем две шахматно-проективные задачи. Все варианты в них мы будем записьать в обычной шахматнойотации.

*) В частности, в основе настоящего статьи лежат материалы, опубликованные югославским проблемом и инженером H. Петровичем в различных номерах югославского журнала «Problem».

Рис. 3. Мат в два хода

1. Крh 2—g1! Теперь у черных несколько возможностей, рассмотрим каждую из них в отдельности.

Если на любое поле уходит конь с поля b6, что обозначает 1… … Кb6~, то матует 2. Фс5 — a7 — $M_2$ (здесь и далее промежуткое поле указывает направление, в котором фигура отправляется в бесконечность). С поля $M_2$ ферз нападает на черного короля и, кроме того, держа

Рис. 4. Мат в три хода

20

Я.А.СМОРОДИНСКИЙ
СКОЛЬКО ВРЕМЕНИ
ИДЕТ СВЕТ
ОТ МЕРКУРИЯ?

Уже давно никто не удивляется тому, что свету нужно время, чтобы дойти от небесного тела до Земли. Свет от Солнца «траит» на свою дорогу около 8 минут. Эту цифру нетрудно проверить. Расстояние от Земли до Солнца составляет 150 миллионов км, то есть 1,5·10¹¹ м. Скорость света — скло 3·10⁸ м/c. Поделив одно число на другое, получим 500 с≈8 мин.

Общая теория относительнойности вносит, однako, хотя и небольшое, но очень важные поправки в такие рассуждания. Эффекты общей теории относительнойности заметны лучше всего у Меркурия. О нем и будет идти речь.

Максимальное и минимальное значение расстояние Меркурия—Земля принимает в момент «соединения» Меркурия с Солнцем, то есть в моменты, когда Земля, Солнце и планета лежат практически на одной прямой. Вверхнем соединении, когда расстояние Меркурий — Земля максимально,

оно равно $r_{\text{max}} = 1,38$ астрономических единиц (1 а.е. — расстояние Земля — Солнце); в нижнем соединении оно минимально и равно $r_{\text{min}} = 0,62$ а.е. (рис. 1) *). Если умножить эти числа на 8 минут, то получим грубое время прохождения света от Меркурия до Земли в обихх положениях. Такой расчет, конечно, дает правильный результат, если мы не интересуемся мелкими подробностями. Но именно о «мелочах» и будет речь.

Путь луча света в случаех, когда Меркурий находится в верхнем соединении, проходит mismo Солнца. Общая теория относительнойности приводит к выводу, что в поле тяжесте Солнца скорость света меньше, чем в пустоте (как в веществе). Такое уменьшение

*) Наломним, что планеты движутся почти в одной плоскости—плоскости эклиптики. Мы не учитьаем, что орбиты планет —эллипсы; учет этого приведет к небольшим варианям $r_{\text{max}}$ и $r_{\text{min}}$.

Рис. 1.

21

скорости очень мало, оно по расчетам приведет к увеличению времени прохождения света на 0,000 24 секунды (за такое время свет проходит 72 км). Современная радиная техника оказалась в состоянии зарегистирования такой экзотическая эфект.

Как можно понять это число 72 км? Ясно, что вычислить его сложно. Однако можно получить представление о порядке величины, если знать только о том, что такое гравитационный радиус и уметь работать с размерностями.

Количество характеристикой поляяжестии массивного тела является потенциальной поля, определяемый согласно закону всемирного тяготения Ньютона:

$$\varphi = -\frac{\gamma M}{r}.$$

В эту формулу входят две величины: произведение $\gamma M$, которое характеризует источник поля — в нашем случае Солнце, и $r$ — расстояние. Вместо $\gamma M$ часто в теории относительности поляужестяя другой величины, отличнойся от $\gamma M$ только можно телелем, но имеющей размерность длины

$$R_{\text{rp}} = \frac{2\gamma M}{c^2}.$$

Эта величина называется гравитационным радиусом. Гравитационный радиус Солнца равен 3 км, гравитационный радиус Земли — 9 мм *).

Закон всемирного тяготения можно записать теперь так:

$$\frac{\varphi}{c^2} = -\frac{1}{2} \frac{R_{\text{rp}}}{r}.$$

Слева стоит потенциаль поляяжестии в безразмерных единицах; справа стоит также безразмерная величина.**)

*) Обратите внимание, что приято определять $R_{\text{rp}}$ с коэффициентом 2. Иногда встречаются формулы без этого коэффициента.
**) Безразмерной величины называется величина, которая не изменяется с изменением единиц измерения.

Величиной $\frac{\varphi}{c^2}$ обычно и характеризуют величины поляяжестии массивного тела.

Можно ожидать, что когда свет проходит у поверхности Солнца (при $r \approx R_{\odot}$), то его скорость будет уменьшаться на величины, пропорциональную $\frac{\varphi}{c^2} \sim \frac{R_{\text{rp}}}{R_{\odot}}$ (так как это единственная величина, которая характеризует поле Солнца):

$$\Delta v = \frac{c \cdot R_{\text{rp}}}{R_{\odot}}.$$

Можно сказать, что пространство около Солнца имеет оптические свойства среды с показателем преломления, немного больше единиц.

Если бы также действовала на свет только в близки Солнца, например, на участке пути, протяженность в 3—4 диаметра Солнца (возьмем для определения 10 радиусов), то можно было бы сказать, что время проходения света увеличается на величины $\Delta t$, определяемую из уравнения

$$t + \Delta t = \frac{10R_{\odot}}{v_{\text{cb}}} = \frac{10R_{\odot}}{c - \Delta v} \approx \frac{10R_{\odot}}{c} \left(1 + \frac{\Delta v}{c}\right),$$

или

$$\Delta t \approx \frac{10R_{\odot}}{c} \cdot \frac{\Delta v}{c} = \frac{10R_{\odot}}{c} \cdot \frac{R_{\text{rp}}}{R_{\odot}} = \frac{10R_{\text{rp}}}{c}.$$

Такая оценка дает для $\Delta t$ время, необходимое свету для проходения пути в 30 км. Конечно, наша оценка грубая; особенно не последовательен выбор коэффициента 10. Более того, как оказалась, правильная формула содержит еще и расстояние от Солнца до планет и радиус Солнца, так как на всем пути (а не только в близких радициях). Мы этого не заметили, так как пренебрегли действием Солнца на свет на больших расстояниях. Тем не менее наша оценка

22

Рис. 2.

ка полезна для того, чтобы ориентироваться в задаче. Более точная формула теории относительной гласит

$$\Delta t = \frac{2R_{1p}}{c} \left\{ 1 + \ln \frac{R_{\odot}^2}{r_1 \cdot r_2} \right\},$$

где под логарифмом *) радиус Солнца и расстояния от Солнца до Земли и до Меркурия. Именно логарифм мы и «прозевали» в наших рассуждениях. Этот логарифм вовсе не мал, а равен 11,2, так что точная формула имеет вид:

$$\Delta t = \frac{22,4R_{\text{rp}}}{c}.$$

Чтобы проверить эту формулу по данным наблюдаемий, надо хорошо знать момент, отвечающий верхнему соедининию в случае, если бы Солнце не оказывало влияния на свет. Для этого надо знать астрономические расстояния с точностью до 1—2 км. Такие требования на пределе современных возможностей.

Опыт встретает и другие трудности. Так, не очень просто узнать, от какой точки поверхности планеты отразился сигнал — измеряется время путешествия сигнал от Земли к планете и (после отражения) обратно (радарное эхо).

Тем не менее такие были проделаны группой американских физиometers.

*) Логарифм в этой формуле «натуральный», то есть по основанию $e$. Он в 2,3 раза больше десятичного логарифма.

зиков. Измерялись сигналы, последные на Меркурий, Венеру и Марс. Результаты согласовались с предсказанием теории; одноко ошибки обработки опытов были еще велики (около 5—10%).

На рисунке 2 показана одна из кривых запаздывания сигнала в разные дни. Ноль на шкале абсцисс — момент верхнего соединения.

Отклонение луча света в поле Солнца

Выше было сказано, что пространство около Солнца действует на свет как среда с показателем преломления немного больше единицы. Это значит, что свет dalleки звезд, проходя около Солнца, должны искривляться свой путь подобно тому, как это проискодит в признаме. В принципиле этот эффект был известен уже давно. Еще когда Ньютоон выдвинул теории, согласно которой свет представляет собой поток мелчайших частиц — корпускул, ему было ясно, что свет должен притягивать к Солнцу. Так как в поле тяжелостиускорение всех тел одинаково, то путь света не зависит от массы корпускул и представляет собой парабoly. Напомним, что в законы Кеплера не входит масса планет. Зандеман в 1801 году вывел из этих сообщений формулу, согласно которой луч света, проходящий влизи края солнечного диска, отклоняется на угол $\theta = R_{\text{rp}} / R_{\odot} \approx 0,85''$. Этот результат оказался ошибочным. В 1915 году Эйнштейн на основе созданной им общей теории относительной поверхности новой формы, которая давала для эфекта вдвое больше значения

$$\theta = \frac{2R_{\text{rp}}}{R_{\odot}} \approx 1,7''.$$

Впервые отклонение луча света было изменено в 1919 году. 27 сентября 1919 года Эйнштейн писал материю: «Сегодняя хорошее новости! Лоренц телеграфировал мне, что британская экспедиция действительно до-

23

казала смешение света в близи Солнца».
С тех пор эффект Эйнштейна изменяли во время почти каждой затмения Солнца. Однако получить достаточно точное значение оказалось очень трудно. Надо очень точно изменить положение звезды около Солнца и примерно через полгода, когда Солнце покинет эту область неба.
Но при двух изменениях изменяется состояние атмосферы, изменяется преломление в атмосфере Солнца, короче, возникает целяя система поправок, которые ухудшают условия для сравнения.
Тем не менее сейчас в результате огромной работы многих астрономов удалось уменьшить ошибку настоящего, что можно говорить о согласини теории с опытом в пределах ошибок, составляющих не более 1% от величины эффекта.
Лучшие до сегодня результаты получены при изучении затмения квазаров — мощных источников радиоизлучения. Премущество наблюдения радиоисточников очень полезна их изучения не требует затмения и можно производить изменения все время.
Таким образом, уже сейчас можно считать установленным, что скорость света в близи массивных небесных тел изменяется — такие тела действуют как огромные собирающие линзы.
При этом предположение зависит больше, чем это следует из эффекта прияжения квана света к Солнцу по закону Ньютона. Это значит, что для света закон всемирного тяготения оказывается не точным, свет приятывает сильнее, чем просто тело с массой, вычисленной по формуле $mc^2 = hv$ (энергия квана). Это и есть эффект искривления пространства около Солнца.

Ньютон и этика

Приводим отрывок из письма Ньютона и секретарю Англійского Королевского общества Астону, отправляющегося в загранничное путешествие.
Это письмо представляет большой интерес для характерастики личности ученого.
«Сэр,
В письме Вашем Вы позвольете мне, не стесняясь, высказать мое суждение о том, что может быть для Вас полезным в путешествия, поэтому и делаю это значительно свободное, чем было бы прилично в ином случае.
Когда Вы будете в новом для Вас обществе, то:

1. наблюдайте права; 2) приноравливайте к ним, и Ваши отношения будут более свободны и открытены;
2. в разговорах задавайте вопросы и выражайте сомнения, не высказывая решительные утверждения и не затевая споры. Вы мало или ничего не выиграете, если будет казаться умнее или менее нежежевенным, чем общество, в котором Вы находитесь; 4) если Вы будете оскорблены, то в чужой стороне лучше смолать или свернуть на шутку, хотя бы и с неокоторым бесчестием, чем страстья отомстить. …
   Если положение будет безвыходным, то, полагаю, лучше всего сделать свою страсть и язык в пределах умеренного тона, не разражая противника и его друзей и не доводя дело до новых оскорблений. Однако словом, если будут будет господствовать над страстью, то он и настоящoenность станут Вашими лучшими зачитниками».

24

В свое время я прибрел сборник «Математика в современном мире» (М., Мир, 1967). При чтении его у меня возникли непредвиденные трудности. На «участке» страниц 113—144 порядок страниц оказался весом свесбразным. Прочитав с. 113, каждый ожидал на сборте того же листа увидеть с. 114, а видит — с. 118. Далее должа быть с. 115, а в моем экземпляре здесь оказалась с. 119 и так далее. Иными словами, порядок страниц на этом участке можно представить такой последовательностью:
(113, 118), (119, 116), (117, 114), (115, 120), (121, 126), (127, 124), (125, 122), (123, 128), (129, 134), (135, 132), (133, 130), (131, 136), (137, 142), (143, 140), (141, 138), (139, 144).

Составив такую «схему расположения страниц» для выделенного участка книги, я уже не испытывал прежних трудностей при перехождение от прочитанной страницы к следующей по порядку.

Можно было бы этот эпизод с необычным экземпляром книги оставить без визмания. Однако в полне естественного возникнет вопрос — как образователься такой порядок страниц в книге, в чем состоит ошибка печатика?

Высказем неокоторые сообщения по этому вопросу, представив полное его решение читателю.

В выходных данных о книге сообщается «Бумага… 70 × 108¹/₁₆ = 6,5 бум. л.». Эта условная фраза означает следующие:

кига сшита из 6,5 тердей, каждая полная тердь образована четырехным складыванием пополам листа форматом 70 × 108 cm (полутerdь — из листа форматом 70 × 54 cm, полная тердь содержит 16 книжных листов форматом 17,5 × 27 cm.

Чтобы избежать ошибок при сборке тердей в книгу, они нужуются. В нашей книге получается идет под номером 3. Необучная тердь имеет номер 5.

Условимся о таком порядке типографского изготовления полной тердии: набираем в отдельности все 32 ее страниц вместе с их порядковыми номерами, формируем из них пару «матриц» по 16 страниц каждой, производим с обеих матриц оттиски на обеих сторонах листа, образуем тердь последовательным складыванием бумажного листа пополам.

Введем два понятия, необходимые для дальнейшего.

Назовем схемой книжной тердии прямогоЛЬную таблицу, за-

25

Полненный ориентированный по вертикали парамет чисел ( нормально расположенными или перевернутыми), первый компоненты которых обозначают номера страниц одной, а второй — другой стороны бумажного листа.

На рисунке 1 приведена одна из возможных схем книжной терминологии. Наозем поря до к складывания пополам листа нормально мы, если последняя страница будущей терради ни разу не перевор�aчивается и после складывания она пригодна для сшивания по корешку (все сгибы здесь вложены друг в друга).

На рисунке 2 показано, как посредством нормального складывания из листа, приведенного на рисунке 1, получить соответствующее террадь.

Нетрудно показать, что для случая терради из 8 страниц существует только одна схема, из которой нормальный складыванием можно ее получить. Для случая терради из 16 (или 32) страниц таких схем уже несколько.

Задание

1. Составить всевозможные схемы книжной терради № 5 упомянутой книги, из которых нормальный складыванием можно получить террадь с неперепутанным страницами. Указать соответствующий каждой схеме порядок нормального складывания.
2. Та же задание для терради с перепутными страницами.
3. Указать наиболее разнональный способ исправить ошибку печатика.

Конфуз с «Обратной теоремой»

Не часто, совсем не часто прибегают писатели к математической терминологии. А художственное произведение с «математическим названием» — вообще большая редкость. Поэтому не могла не привлечь к себе естественного интереса повесь А. Жаренова «Обратная теорема» (журнал «Искатель», 1972 г., № 2).

Скажем сразу, о математике как такое в повести речь специально не идет. Там расссказывается о жизни Виктора Назарова, однажды нечестным путем завладевшего веса крутиной суммой детей. Собственно, деньги были целым и смыслом его жизни. Однако после этого его жизнь, вместе того чтобы стать, как он надялся, счастливой и безоблачной, наполнилась сплошными кошмарами и постоянным страхом перед возмездием. Обогащение Назарова стало известно уголовным элементам, и за «подпольным миллионером» устроили настоящую охоту, окончившуюся его убийством. Параллельно с жизньописанием Назарова разворачивается детективная линия повести — расследование этого представления.

Вот как описывает автор тяжкие размышления Назарова, на создание которого постояно давит совершенное им представление:

«В тумане лицо школьного учителя математики: «Дети, теоремой мы называем такие рассуждения… Если в теореме заключение сделать условием, а условие заключением, то первый будет прямой, а вторя обратной… Дети, если верна прямая теорема, то это еще не значит, что верна и обратная ей…»

(окончание см. на c. 47)

26

Гидродинамический механизм в падаюшей пробирке

Г. И. Покровский

Налейте воды в обычновенную пробирку и, придерживая ее рукой как показано на рисунке, дайте ей упасть (с небольшой высоты), сохраняя вертикальное положение, на поверхности стола. Эта поверхность должна достигнуть верхней части воды, чтобы оно проникки произвело жесткий удар. В момент такого удара меняск воды в пробирке, имеющий (вследствие действия капиллярных сил) вогнутую форму, быстро выравниется, и из его центральной части по оси проникки стремительно вывертся вверх тонкая струя воды. Эта струя распадается на капли, причем первая из них взлетает на высоту, существенно превозходящую высоту падения пробирки. Это значит, что энергия воды в пробирке в момент удара перераспределяется таким образом, что небольшая часть воды вблизи центральной части меняска получает большую скорость и стремительно выбрасывается вверх.

Устройство, перераспределение энергии, можно назвать механизмом. Объчно этим словом называют сочетание деталей, сделанных из твердого вещества (рычаги, шестерни и т. п.). Однако могут быть механизмы из жидкости и даже из газов. Примером механизма такого рода и является вода в пробирке.

Гидродинамические механизмы имеют особое значение тогда, когда действия очень большие силы, которые не могут выдержать обычные детали из твердого вещества. Например, при взрыве заряда взрывчатого вещества большой мощности можно сконцентрировать часть энергии этого взрыва, сделав в заряде выемку и вложив в нее металлическую волну облицовку. Сила взрыва созмет металл облицовки и создает тонкую металлическую струю. Скорость этой струи может (при соответствующей форме облицовки) достигнуть второй космической скорости.

Таким образом, наблюдание и анализ оценки простого и скромного явления, произходшего в пробирке, раскрывает одну из интереснейших проблем гидродинамики сверхвысоких скоростей.

Всплеск воды в падаюшей пробирке. Пунктир 1 — форма поверхности воды до удара, сплошная линия 2 — сразу после удара.

27

20 задач на предельы

М.П. Гервер

Многие, вероятно, знают определение предела последовательности: «Чи сло а называется пределом последовательности $x_n$, если для любого $\varepsilon > 0$ найдет такое $N$, что для всех $n > N...$. Но одно дело — помнить его, и совсем другое — уметь свободно с ним обращаться, доказывать теоремы, не путаясь со всеми «найдется», «для любого» и т.п. Это, пожалуй, самая крупная ступенька на пути к «высшей математике», которую с трудом предолевают не только школьники, но и студенты.

Если Вам удостраняется решить задачи, которые собранны в этой статье — или хотя бы разобраться в их решениях— то дальнейшее метематическое анализом Вам будет намного проще и интереснее.

1. Докажите, что при любом натуральном $n$
   a) $\frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{n-1}{n+1}$;
   b) $\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{2n} \geq \frac{1}{2}$.

В дальнейшем буквой $n$ мы будем обозначать только натуральные числа.

2. а) Докажите, что найдет такое $n$, что $2^n > 10^{10}$.
   b) Докажите, что найдет такое $k$, что при любом $n > k$ справедливо $1 + a)^n \geq 1 + na$.
   b) Докажите, что найдет такое $k$, что при любом $n > k$ справедливо $10^n > n^{10}$.
   г) Пусть $|q| < 1$. Докажите, что найдет такое $k$, что при любом $n > k$ справедливо $|q|^n < 10^{-10}$.
   д) Существует ли такое положительное число, которое при любом $n$ меньше, чем $1/n$?

e) Пусть $|q| < 1$. Докажите, что для любого $\varepsilon > 0$ найдет такое $k$, что при любом $n > k$ справедливо $\left|q\right|^n < \varepsilon^*$.
ж) Можно ли найти такое $k$, чтобы при любом $n > k$ и при любом $\varepsilon > 0$ выполнялось наравенство $\left(\frac{1}{2}\right)^n < \varepsilon$?
Затем ие. Сравнивая 2е и 2ж, мы видим, что порядок слов — вещевая!
з) Положим $s_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots + \frac{1}{2^n}$. Докажите, что для любого $\varepsilon > 0$ найдет такое $k$, что для лю-

*) $\varepsilon$ — греческая буква, читается: «эписilon», употребляется обычно для обозначения маленьких положительных чисел. Точно смысл слова «маленькие числа» из имеются, — что значит «маленькое»: 0,01 или $10^{-10}$? Вот и говорят; «для любого $\varepsilon > 0$»—подаzymевая под этим объчно: «как бы мало ни было». 1Ло отношению к задаче сказано очень:center: положим $\varepsilon = 0,01$, тогда найдет такое $k$, что при любом $n > k$ будет $|q|^n < 0,01$; положим $\varepsilon = 10^{-10}$, тогда найдет другой $k$ (побольшие) такое, что при всяком $n$, большем, чем это новое $k$, будет $|q|^n < 10^{-10}$; вообще для любого $\varepsilon > 0$ (как бы мало оно ни было) можно подобрать такое $k$ (может быть, очень большое), что при всейком $n > k$ будет $|q|^n < \varepsilon$.

28

бого $n > k$
$$|s_n - 1| < \varepsilon.$$
Числовые последовательности. Напишем какое-нибудь число: $x_1$, потом другое: $x_2$, потом третье: $x_3$ и т. д.

Мы получим числовую последовательность
$$x_1, x_2, x_3, \dots, x_n, \dots$$
Номер рядаом с буквой $x$ указывает, на каком месте стоит число в последовательности: $x_1$ — на 1-м, $x_2$ — на 2-м, $\dots$, $x_n$ — на $n$-м, $\dots$.

Короче, она обозначается символом $\{x_n\}$. Разумеется, для обозначения последовательностей можно употреблять и другие буквы: $\{s_n\}, \{y_n\}, \{z_n\}$ и т. д.

Выпишем десяток последовательностей, используемых в следующих задачах:

(1) $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$

(2) $1, 0, \frac{1}{2}, 0, 0, \frac{1}{3}, 0, 0, 0, \frac{1}{4}, 0, 0, 0, 0, \dots$

(3) $\{s_n\}, s_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots + \frac{1}{2^n}$.

(4) $\{y_n\}, y_n = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{8} - \dots - \frac{(-1)^n}{2^n}$.

(5) $1, 1, 1, 1, \dots$.

(6) $1, -1, 1, -1, \dots$.

(7) $1, \frac{1}{2}, 1, \frac{1}{3}, 1, \frac{1}{4}, 1, \frac{1}{5}, \dots$.

(8) $1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, -\frac{1}{4}, \frac{1}{5}, -\frac{1}{6}, \dots$.

(9) $\frac{1}{1}, \frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{1}, \frac{1}{3}, \frac{1}{1}, \dots, \frac{1}{9}, \frac{1}{1}, \frac{1}{10}, \frac{1}{2}, \frac{1}{11}, \frac{1}{2}, \dots, \frac{1}{99}, \frac{1}{2}, \frac{1}{100}, \frac{1}{3}, \dots$

(знаменатель дроби, стоящий на четном месте, равен числу знаков знаменателя предыдущего дроби).

(10) $\frac{1}{2}, \frac{2}{1}, \frac{2}{3}, \frac{3}{2}, \frac{3}{4}, \frac{4}{3}, \frac{4}{5}, \frac{5}{4}, \dots$

Определение 1. Число $a$ называется пределом последовательности $\{x_n\}$, если для любого $\varepsilon > 0$ найдется такое $k$, что для любого $n > k$
$$|a - x_n| < \varepsilon.$$
Тот факт, что число $a$ является пределом $\{x_n\}$, записью так:
$$\lim_{n \to \infty} x_n = a$$
(читается: «предел $x_n$ при $n$, стремящемся к бесконечности, равен $a$») или так:
$$x_n \rightarrow a \text{ при } n \rightarrow \infty$$
(читается: «$x_n$ стремится к $a$ при $n$, стремящемся к бесконечности»). Иnorда упоминание про $n$, стремящемся к бесконечности, опускают и пишут просто:
$$\lim x_n = a \text{ при } x_n \rightarrow a.$$
Последовательности, имеющие предел, называют сходящимся.

3. a) Сформируйте задачи 2е и 23, используя определение 1.

6. Докажите, что 0 есть предел последовательности (1), (2), (8) и (9).

b) Найдите предел последовательности (3), (4) и (10).

г) Докажите, что 1 не есть предел последовательности (1).

d) Имеют ли пределы последовательности (5), (6) и (7)?

e) Пусть $x_n - n$-член последовательности (9). Укажите такое $k$, чтобы при $n > k$ выполнялось нераевенство $x_n < \frac{1}{2}$.

ж) Могут ли два разных числа быть пределями одной и той же последовательности?

4. Пусть $\{x_n\}$ — произвольная последовательность. Выпишем какой-

30

О пределене 4. Говорят, что последовательность $\{x_n\}$ стремимся к бесконечности (это записьют так: $x_n \to \infty$ при $n \to \infty$), если для любого $C$ найдет такое $k$, что для любого $n > k$ $|x_n| > C$.

7. Какие из следующих последовательностей к бесконечности и какие являются неограниченными?

a) $x_n = n$, $6)$ $x_n = (-1)^n \cdot n$,
b) $x_n = n^{(-1)^n}$
g) $x_n = \begin{cases} n^2 \text{ при } n \text{ четном,} \\ \sqrt{n} \text{ при } n \text{ нечетном.} \end{cases}$

О пределене 5. Число $a$ называется предельной точкой последовательности $\{x_n\}$, если для любого $\varepsilon > 0$ и для любого $k$ найдется такое $n > k$, что $|a - x_n| < \varepsilon$.

8. Докажите a) что предел сходящейся последовательности является ее предельной точкой,

6. что если $x_n \to a$ и $b \neq a$, то $b$ не есть предельная точка $\{x_n\}$.
   b) что если $a$ — предельная точка $\{x_n\}$, то $\{x_n\}$ содержит подпоследовательность, сходящуюся к $a$.

9. Придумайте последовательность $\{x_n\}$, предельными точками которого являются:
   a) все натуральные числа (и только они),
   b) все числа $1/n$,
   b) все рациональные числа.

10. a) Придумайте последовательность, удовлетворяющую задаче 9a, в котором при этом нет целых чисел.

6. Пусть $\{x_n\}$ удовлетворяет задаче 96. Можно ли 0 не быть ее предельной точкой?
   b) Укажите все предельные точки последовательности, удовлетворяющей задаче 9b.

16 услови. «Апу» по-англійски значит «любоий», «Exist» — «существовать». Символы $\vee$ и $\exists$ — перевернуть 1-e буквы этих слов — ознакомют соответственно:
«для любого» и «найдется такое, … что».
Рассмотрим следующие 16 услови:

1. $\exists \varepsilon > 0 \exists k \exists n > k |x_n - a| < \varepsilon$,
2. $\exists \varepsilon > 0 \exists k \exists n > k |x_n - a| \geqslant \varepsilon$,
3. $\exists \varepsilon > 0 \exists k \forall n > k |x_n - a| < \varepsilon$,
4. $\exists \varepsilon > 0 \exists k \forall n > k |x_n - a| \geqslant \varepsilon$,
5. $\exists \varepsilon > 0 \forall k \exists n > k |x_n - a| < \varepsilon$,
6. $\exists \varepsilon > 0 \forall k \exists n > k |x_n - a| \geqslant \varepsilon$,
7. $\exists \varepsilon > 0 \forall k \forall n > k |x_n - a| < \varepsilon$,
8. $\exists \varepsilon > 0 \forall k \forall n > k |x_n - a| \geqslant \varepsilon$,
9. $\forall \varepsilon > 0 \exists k \exists n > k |x_n - a| < \varepsilon$,
10. $\forall \varepsilon > 0 \exists k \exists n > k |x_n - a| \geqslant \varepsilon$,
11. $\forall \varepsilon > 0 \exists k \forall n > k |x_n - a| < \varepsilon$,
12. $\forall \varepsilon > 0 \exists k \forall n > k |x_n - a| \geqslant \varepsilon$,
13. $\forall \varepsilon > 0 \forall k \exists n > k |x_n - a| < \varepsilon$,
14. $\forall \varepsilon > 0 \forall k \exists n > k |x_n - a| \geqslant \varepsilon$,
15. $\forall \varepsilon > 0 \forall k \forall n > k |x_n - a| < \varepsilon$,
16. $\forall \varepsilon > 0 \forall k \forall n > k |x_n - a| \geqslant \varepsilon$.

11. Какие из этих условий выражают уже знакомые вам свойства последовательности (быть ограниченной, имеет $a$ пределом или предельной точкой, стремится к бесконечности) или отрицания этих свойств? Каков смысл остальных условий?

О пределене 6. Последовательность $\{x_n\}$ называется monotonной, если выполняется одно из двух условий:

1. $x_1 \leqslant x_2 \leqslant x_3 \leqslant \dots \leqslant x_n \leqslant \dots$,
2. $x_1 \geqslant x_2 \geqslant x_3 \geqslant \dots \geqslant x_n \geqslant \dots$.
   В первом случае $\{x_n\}$ называется возрастающей, во втором — убывающей.

12. a) Докажите, что любая последовательность содержит monotonную подпоследовательность.

6. Докажите, что предельная точка monotonной последовательности является ее пределом.
   b) Докажите, что всякая monotonная ограниченная последовательность имеет предел (иногда это свойство действительных чисел принимает за аксиomy).

13. a) Докажите, что всякая ограниченная последовательность имеет хотя одну предельную точку.

6. Проверьте, что утверждение 12в и 13a эквивалентны: каждое можно вывести из другого (так что 13a тоже можно принять за аксиomy).

14. a) Пусть $|q| < 1$, $s_n = 1 + q + \dots + q^{n-1}$. Докажите, что последовательность $\{s_n\}$ сходится, и

31

найдите ее предел.

6. Проверьте, что при $|q| \geq 1$ последовательность $\{s_n\}$ не имеет предела.

15. Пусть $x_n \rightarrow a$, $y_n \rightarrow b$ при $n \rightarrow \infty$. Докажите, что тогда

a) $x_n + y_n \rightarrow a + b$,
b) $x_n - y_n \rightarrow a - b$,
c) $x_n y_n \rightarrow ab$,
d) если $b \neq 0$, то $x_n/y_n \rightarrow a/b$.

Заметание. Среди $y_n$ могут быть нули, но если $b \neq 0$, их (докажите это) лишь конечное число: $\exists N \forall n > N y_n \neq 0$; последовательность $x_n/y_n$ зависит от предела, таким образом, для $n > N$.

д) Если $b = 0$, то последовательность $x_n/y_n$ (если она определяна) может не иметь предела, может стремиться к любому числу или к бесконечности,—приведите соответствующие примеры.

16. a) Докажите, что если $x_n \geq 0$ при всех $n$ и $x_n \rightarrow a$ при $n \rightarrow \infty$, то $a \geq 0$.

6. Можно ли утверждать, что $\lim_{n \rightarrow \infty} x_n > 0$, если все $x_n > 0$?

b) Пусть $x_n \leq y_n \leq z_n$, и пусть $x_n \rightarrow a$ и $z_n \rightarrow a$ при $n \rightarrow \infty$. Докажите, что тогда $y_n \rightarrow a$ при $n \rightarrow \infty$.

17. a) Последовательность $\{x_n\}$ обладает следующим свойством: для любого $\varepsilon > 0$ найдется такое $k$, что для любого $n > k$ и любого натурального $p$
    $$|x_{n+p} - x_n| < \varepsilon.$$
    Докажите, что тогда $\{x_n\}$ имеет предел.

6. Докажите обратное утверждение: если $x_n$ — сходящая последовательность, то $\forall \varepsilon > 0 \exists k \forall n > k \forall p |x_{n+p} - x_n| < \varepsilon.$
   b) Последовательность $\{x_n\}$ обладает следующим свойством: $\forall \varepsilon > 0 \exists k \forall n > k |x_{n+p} - x_n| < \varepsilon.$
   Обязана ли $\{x_n\}$ свойству?

18. Построим последовательность $\{x_n\}$ так: $|x_n| = 1/2^n$, знаки $x_1, x_2, x_3, \dots$ выберем произвольно. Далее положим $s_n = x_1 + \dots + x_n$.

a) Докажите, что последовательность $\{s_n\}$ сходится.

6. Укажите все значения, которые может принять $\lim_{n \rightarrow \infty} s_n$ (когда знаки $x_n$ выбираются всевозможными различными способами).

Комплексные $\{x_n\}$. До сих пор мы рассматривали последовательности, состоящие из действительных чисел.

Пусть теперь $x_n$ — любые комплексные числа.

Определение предела в этом случае — дословно такое же, как прежде. Но геометрический смысл егоиной: неравенство $|x_n - a| < \varepsilon$ означает теперь, что $x_n$ лежит внутри круга радиуса $\varepsilon$ с центром в точке $a$; следовательно, число $a$ служит предел $\{x_n\}$, если все любого круга с центром $a$ лежит лишь конечное число $\{x_n\}$.

19. a) Пусть $x_n = a_n + ib_n$. Последовательность $\{x_n\}$ сходится тогда и только тогда, когда сходятся об последовательности: $\{a_n\}$ и $\{b_n\}$. Докажите.

6. Пусть $|x_n| = r_n$, arg $x_n = \alpha_n$. Верно ли, что $\{x_n\}$ сходится тогда и только тогда, когда сходятся и $\{r_n\}$, и $\{\alpha_n\}$?

20. Пусть последовательность $\{x_n\}$ стремится к 0. Построим последовательность $\{s_n\}$ так:
    $$s_1 = x_1, \quad s_2 = x_1 + x_2, \dots, \quad s_n = x_1 + x_2 + \dots + x_n, \dots$$
    Выясните, может ли $\{s_n\}$ иметьровно две предельные точки:

a) если $x_n$ — действительные числа,
b) если $x_n$ — комплексные числа (в этом случае определение предельной точки — дословно такое же, как раньше).

32

ПОБЕДИТЕЛИ
КОНКУРСА „КВАНТА“

В соответствии с решением Оргкомитета Весесоюзной олимпиады школьники, регуляро присылавшие особенно оригинальные и полные решения задач «Задачика «Кванта», получают право участвовать в областных турах Весесоюзной олимпиады наравне с победителями районных и городских олимпиад.

За прошлий, 1973 год, редакция получила более шести тысяч писем с решениями задач. Редколлегия журнала «Квант» совместно с Оргкомитетом Весесоюзной олимпиады отбрала авторов правильных и наиболее интересных решений.

Ниже публикуется список школьников, — победителей конкурса «Кванта», — которые получили право участвовать в областных, краевых и ресурсных (в АССР и союзных ресурсных без областного деления) олимпиадах 1974 года.

К участю в математической олимпиаде допущены

П. Адаронов — Баку, с.ш. 56, 10 кл.
Л. Басов — Пряжевалск, с.ш. 11, 10 кл.
И. Бахмутский — Львов, с.ш. 52, 9 кл.
Е. Башкиров — Минск, с.ш. 50, 10 кл.
С. Белолипецкий — Киржач Владимирской обл., с.ш. 5, 10 кл.
А. Берлин — Бобруйск, с.ш. 3, 10 кл.
А. Блох — Харьков, с.ш. 27, 9 кл.
А. Брысцев — р.п. Тюльган Оренбургской обл., Тюльганская с.ш., 9 кл.
А. Вальков — Ташкент, с.ш. 110, 10 кл.
Р. Вассерман — Одеcca, с.ш. 116, 10 кл.
А. Векслер — Ташкент, с.ш. 50, 10 кл.
А. Войновский — Баку, с.ш. 221, 10 кл.
А. Гончаров — Никопол, с.ш. 13, 8 кл.
А. Гриzdорян — Баку, с.ш. 221, 10 кл.
Г. Гутин — Клинцы Брянской обл., с.ш. 2, 10 кл.

К. Данильенко — Волгоград, с.ш. 35, 9 кл.
А. Еременко — Харьков, с.ш. 27, 10 кл.
М. Закс — Пермь, с.ш. 7, 10 кл.
А. Заславский — Калинин, с.ш. 20, 10 кл.
С. Зенович — Ташкент, с.ш. 50, 10 кл.
С. Ильинков — Харьков, с.ш. 27, 10 кл.
М. Кобозев — Киев, с.ш. 173, 10 кл.
В. Кобылецкий — Баку, с.ш. 134, 9 кл.
С. Корщунов — п. Монино Московской области, с.ш. 1, 9 кл.
А. Кукуш — Киев, с.ш. 145, 10 кл.
М. Левин — Витебск, с.ш. 2, 10 кл
М. Любич — Харьков, с.ш. 27, 8 кл.
А. Макариев — Львов, с.ш. 14, 10 кл.
С. Мельник — Харьков, с.ш. 27, 9 кл.
А. Мехович — Владивосток, с.ш. 75, 10 кл.
В. Мильман — Минск, с.ш. 19, 10 кл.
Л. Михлин — Курск, с.ш. 6, 9 кл.
Г. Мустафаев — Синаань Аз. ССР, с.ш. 1, 10 кл.
С. Нужный — Куйбышев, с.ш. 135, 10 кл.

34

Задачик кванта

Решения задачи из этого номера можно посылать не позднее 1 мая 1974 г. по адресу: 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15, издательство «Наука», журнал «Квант». После адреса на конверте написите, решения каких задач вы посылаете, например: Задачик «Кванта», М251, М252 «или»… Ф263». Решения задач по каждому из предметов (математике и физике), а также новые задачи просылать в отдельных конвертах. Задачи из разных номеров журнала присылите в разных конвертах. В письмо вложите конверт с написанным на нем адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки ваших решений). Условия оригинальных задач, предлагаемых для публикации, присылайте в двух экземплярах вместе с вашими решениями этих задач (на конверте пометьте: «Задачик «Кванта”», «новая задача по физике» или «…новая задача по математике»).

После формирования задачи мы обычно указываем, кто предложил нам эту задачу. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Наиболее трудные отмечены звездочек.

Задачи

M251-M255; Ф263-Ф267

M251. Дано $n$ физек несколько цветов, причем физек каждой цвета не более $\frac{n}{2}$. Докажите, что их можно расставить на окружности так, чтобы никакие две физки одинакового цвета не стояли рядом.

Ф. Г. Шлейфер

M252. a) На плоскости лежит правильный восмытогольник со стороны $a$. Его разрешается «перекатывать» по плоскости, переворочная (симметрично отражая) относительно любои стороны. Докажите, что для любои точки $M$ плоскости и любою $\varepsilon > 0$ можно перекать восмытогольник в такое положение, что центр его будет находиться от точки $M$ на расстоянии меньше $\varepsilon$ (рис. 1).

6. Решите аналогичную задачу для правильного пятугольника.

в *) Для каких правильных $n$-угольников верно аналогичное утверждение?

Г. А. Гальперин

M253. На плоскости заданы три точки, являющиеся соответствующими вписанной, описанной и одной из внешисанных окружностей треугольника. Как по этим данным восстанавливайте треугольник?

(Напомним, что внешисанный окружность треугольника называется окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолженной двух других сторон.)

Б. В. Мартынов

М254. Вычисление значения
$$\sqrt{0,11111\ldots11111} \approx 100$$ с точностью
a) 100 знаков после запятой;
b) 101 знака после запятой; в *) 200 знаков после запятой.

А. А. Егоров

М255 *. АВ и CD — две различные касательные к двум данным шарам (А и С принадлежат поверхностям одного шара, В и D — другого). Докажите, что проекции отрезков AC и BD на прямую, проходящую через центры шаров, равны.

И. Ф. Шарыцин

Ф263. Матрирование стекло (одна из поверхностей стекагладая, другая шероховатая) прикладывают к чертежу: один глазгла驹 поверхность кверху, другой глаз — книзу. В одном случае чертеж виден хорошего, в другом — разобрать его невозможно. Почему?

Ф264. Две одинаковые круглые плоские металлические пластины, расположенные так, как показано на рисунке 2, врашают с угловой скоростью $\omega$ в противоположные стороны в магнитном поле, перепendlулярном плоскостям пластин. Индукция магнитного поля равна $B$, расстояние между пластинами $a$. Оси пластин соединяют проводником. Найти установившееся распределение плотности зарядов на пластинах.

Рис. 2.

Ф265. Мальчик, сидящий на санках, хочет поднять себя к стене с помощью вервки, прикрепленной к санкам и перекинуточей через блоки

Рис. 3.

Рис. 4.

(рис. 3). Каким должен быть для этого коэффициент треня мальчика о санки, если масса санок $m$, масса мальчика $M$, коэффициент треня полозьев санок о снег равен $k$?

Ф266. U-образная трубка движется с постоянной скоростью $v$ параллельно поверхности жидкости (рис. 4). Сечение нижней части трубки, опущенной в воду, равно $S_1$, а верхней, находящейся над водой, — $S_2$. Какая сила приложена к трубке? Плотность жидкости $ρ$. Треннем и образованем волн на поверхности жидкости пребрежь.

Ф267. Космический корабль сферической формы движется вокруг Солнца по круговой орбите. Какова температура корабля, если энергия, излучаемая единицей площади поверхности Солнца и корабля, пропорциональна четвертой степени их абсолотных температур? Космонавты, которые находятся на корабле, видят Солнце в угле 30°. Термературу поверхности Солнца принять равной 6000 °К.

36

Решения задач
M200, M208-M210; Ф218-Ф222

M200. a) На рисунке 1 изображены шесть точек, которые лежат по три на четырех прямых. Доказите, что можно 24 разными способами отобразить это множество из шести точек на себя mak, чтобы каждый три точки лежат одной прямой, отображались в три точки, также лежащие на одной прямой.

6. На рисунке 2 две точки лежат по три на четырех прямых, причем через каждую точку проходит по три максимальным значением «конфигурацию Паскала». Сколькими способами можно множество наших девятых точки отобразить на себя mak, чтобы каждый трейка точка, лежащая на одной из девятых прямых, отображалась на同一 точке.

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

троичку точки, которая лежит на некомторой прямой из нашей конфигурации?

b) Тот же вопрос для конфигурации Дезарга (из десяти точки и десяти прямых), изображенной на рисунке 3.

В пунктах 6) и в) задачи значительное решение найти ответ, чем его обосновать.

Ответ можно получить так. Изовем треугольник тройки точки, не лежащих на одной прямой и таких, что каждый две из них лежат на одной прямой *), принадлежащей разумется, нашей конфигурации. Легко заметить, что если указано, какая точка переходит в каждой вершину данного треугольника (эти три точки тоже должны образовать треугольник), то положение всех остальных точки благодарна нашему условия — три точки, лежащие на одной прямой, переходит в три точки, лежащие на одной прямой, — определяется однозначно во всех трех случаях: a), 6), в).

Разберем для примера случай в). Пусть при отображении точки i, j, k перешли в точки 1, 2 и 3 соответственно. Тогда в точку 4 должна перейти та точка l, которая соединена прямыми с каждой из точки i, j, k, — две точки, лежащие на прямой, должны перейти в две точки, лежащие на прямой, — а в точки 5, 6, . . . , 10 должны перейти третий точки, лежащие на прямых, проходящих через пары точки i, j, k, l.

Позному в случае a) действительно есть 24 разных отображения: в первую вершину выделенного треугольника можно отобразить любую из шести точки, во вторую — любую из четырех точки, лежащих с ней на одной прямой, а точка, перехождения в третью вершину, определяется однозначно. Всего 6·4=24 отображения. Аналогично, в пунктах 6) и в) ответы: 9·6·2=108 и 10·6·2=120 (здесть в третью вершину треугольника может перейти не одна, а две точки). Однако обосновать наши подсчеты не просто: производа их, мы пользовались «равноправим» всех треугольников. Например, могло оказаться, что точки l, c которой соединены прямыми точки i, j, k, вообще нет или что таких точки две. Хотя это равноправие, по-видимому, имеется, его все же нужно доказать. Разумеется, это можно сделать «в люб», взяв в случае a) 24 треугольника, в случае b) 108 треугольников, а в случае c) 120 треугольников (мы различаем треугольники с разным порядком вершин). Но можно поступить и по-другому. Поскольку для описания наших конфигураций существует только, какие точки лежат на данной прямой и какие прямые проходят через данной точку, — именно эти сведения необходимо и достаточно для того, чтобы изучать отображения, — можно задавать наши конфигурации с помощью модели: указыть на

*) Порядок точки, входящих в трейку, существует.

37

бор «прямы», «точек» и указыть, какие точки и прямые инцидентины. Точка i и прямая j инцидентины, если точка i лежит на прямой j или, что то же самое, прямая j проходит через точку i. На рисунке 4 приведено несколько моделей одной и той же конфигурации.

Мы построим для каждой из конфигураций a), 6), в) такие модели, для которых равноправные треугольников будут очевидным.

Пункт a). Рассмотрим tetraэдр — правильную треугольную парамиду — и наозем прямыми его вершины, а точками — ребра. Скажем, что точка i инцидентина прямой j, если вершина j инцидентина ребру i. Проверьте, что получилось модель конфигурации пункта a). Треугольникам в этой модели отвечают три ребра, приложающие к одной границе, а нашим отображением — повороты и симметрины tetraэдра. Эти преобразования показаны на рисунке 5. Проверьте, что они переводят три точки, лежащие на одной прямой, в три точки, лежащие на одной прямой. В этой модели равноправные всех треугольников очень удобно.

Конфигурация Паскала. Модель конфигурации Паскала будет несколько более замыслованой. Рассмотрим сетку из правильных треугольников, образованную третья семействами параллельных прямых (см. рис. 6). Изготовим «точки» и «прямы» из прямых и узлов этой сетки следующим образом. Обведним все параллельные прямые через три в одну «прямую» и, аналогично, все узлы, находящиеся на прямых, через три объединим в одну «точку». На рисунке 6 узлы, входящие в одну «точку», занутерованы одинаково, а прямые, входящие в одну «прямую», имеют один и тот же цвет. «Точка» и «пряма» инцидентины, если инцидентины составляющие их узлы и прямые.

У разженее. Убедитесь, что получилась модель конфигурации Паскала.

Треугольник в модели отвечает набор треугольников, изображенный на рисунке 7. Легко убедиться, что повороты, параллельные переносы и симметрины плоскости, переводящие сетку в себя, являются допустимыми *) отображениями. Поэтому равноправные всех треугольников очень полезно — любой треугольник можно перевести в любой другой с помощью допустимого отображения.

У разженее. Докажите, что другие допустимых отображений нет.

Конфигурация Дезарга. Конфигурацию Дезарга мы представим следующим образом. Возьмем tetraэдр и отметим середины его ребер (см. рис. 8). Точка наозем вершины tetraэдра и середины его ребер, а прямыми — его ребра и середины ребер, лежащих в одной границе. Примой-ребру принадлежат лежащие на нем вершины и его середина.

*) Так для краткости мы будем называть отображения, удовлетворяющие условиям задачи.

38

Рис. 9.

У пряженее. Убедитесь, что получалась модель конфигурации Дезарга.

Какие тройки точек нашей модели являются треугольниками? Это вершины, лежащие в одной грани, или вершина и середины прилегающих к ней ребер, или середины ребер, прилегающих к одной вершине (см. рис. 9).

Хотя с точки зрения общих преобразований tetrahedra — поворотов и симметрии (см. рис. 5) — эти треугольники не равноправны, достаточно добавить еще одно преобразование $T$ (оно показано на рисунке 10), чтобы убедиться в равноправности всех треугольников и тем самым в правильности ответа.

У пряженее. Убедитесь, что повторы, симметрины и отображение $T$ являются допустимыми отображениями. Укажите все допустимые отображения.

Задача решения.

В заключение еще несколько вопросов для самостоятельного продумывания. Сколько существует допустимых отображений наших конфигураций, оставляющих неподвижными:

a) данную точку;
b) данную пару точек;
b) данную прямую (то есть отображенный, переставляющих точки, лежащие на данной прямой);
г) данную пару прямых и т.п.

M208. Известно, что разность между наибольшим и наименьшим из вещественных чисел

$$x_1, x_2, x_3, \dots, x_{10}$$

правна 1. Какой:
a) наибольший;
b) наименьший
— может быть разность между наибольшим и наименьшим из 10 чисел

$$x_1, \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \dots, \frac{x_1+x_2+\cdots+x_{10}}{10}$$

Каков будет ответ, если чисел не 10, а n?

Будем решать задачу сразу для $n$ чисел. Сделаем несколько предварительных замечаний.

Обозначим через $y_k$ число $\frac{x_1+x_2+\cdots+x_k}{k}$, где $k=1, 2, \dots, n$. Если прибавить ко всем $x_i$ неокоторое число $a$, то вместо чисел $y_i$ мы получим числа $y_i+a$. Максимальные разности для чисел $y_i$ и для чисел $y_i+a$ совпадают. Поэтому от набора $\{x_i\}$ с помощью подхождения выбора $a$ можно перейти к таким набору $\{x_i'\}$, что все $x_i' \geq 0$, наименьшие $x_i$ равны нулю, а наибольшие — единице. В дальнейшем мы будем рассматривать только такие наборы. Аналогично, если заменить числа $x_i$ на $1-x_i$, то $y_i$ заменяется на $1-y_i$. Следовательно, от набора $\{x_i\}$ можно перейти к набору $\{1-x_i\}$: максимальные разности между числами $y_i$ и числами $1-y_i$ одинаковы.

Решим теперь задачу a). Пусть $y_k$ — наименьшее, а $y_l$ — наибольшее из чисел $\{y_i\}$. Если $k < l$, то

$$y_l - y_k = \frac{ky_k}{l} + \frac{x_{k+1}+\cdots+x_l}{l} - y_k = \frac{x_{k+1}+\cdots+x_l}{l} - \frac{l-k}{l} y_k \leq \frac{x_{k+1}+\cdots+x_l}{l} \leq \frac{l-k}{l} = 1 - \frac{k}{l} \leq 1 - \frac{1}{n}.$$

Если же $l > k$, то $y_l - y_k = \frac{k-l}{k} y_l - \frac{y_{l+1}+\cdots+y_k}{k} \leq 1 - \frac{l}{k} \leq 1 - \frac{1}{n}$. Следовательно, максимальная разность не больше 1 – $\frac{1}{n}$. Набор с такой разностью легко указыть: $x_1 = 0, x_2 = x_3 = \dots = x_n = 1$.

Перейдем к решению задачи 6). Оценим, чем равна максимальная разность, если в наборе $\{x_i\}$ $x_k = 1, x_l = 0$. Будем считать, что $k < l$ (если это не так, то от набора $\{x_i\}$ перейдем к набору $\{1-x_i\}$).

Если $k = 1$, то разность не меньше $\frac{1}{n}$.

Действительно, тогда $y_1 = 1$, а $y_n = \frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n} \leq \frac{n-1}{n}$, поскольку все $x_i < 1$, а один из них равен нулю. Пусть $\Delta_1 = y_k - y_{k-1} = \frac{1}{k-1} - \frac{y_k}{k-1}, \Delta_2 = y_{l-1} - y_l = \frac{y_{l-1}}{l}$, и если $y_k \leq y_{l-1}$, то $\Delta_2 \geq \frac{y_k}{l}$.

39

Наибольшие из чисел $\Delta_1$ и $\Delta_2$ не меньше $\frac{1}{k+l-1}$, поскольку $1 \leqslant (k-1)\Delta_1 + l\Delta_2 \leqslant (k+l-1)M$, где $M = \max(\Delta_1, \Delta_2)$. Если же $y_k > y_{l-1}$, то рассмотрим еще разность $\Delta_3 = y_k - y_l = y_k - y_{l-1} + \frac{y_{l-1}}{l}$. $\Delta_3 + (k-1)\Delta_1 = (l-1)(y_k - y_{l-1}) + 1 > 1$, откуда max($\Delta_1, \Delta_3$) $\geqslant \frac{1}{k+l-1}$. Итак мы доказали, что разность не меньше $\frac{1}{k+l-1}$. Поэтому для произвольного набора она не меньше $\frac{1}{2(n-1)}$ ($l \leqslant n, k \leqslant n-1$). Такую разность реализовать можно: достаточно, например, рассмотреть набор $x_1 = x_2 = \dots = x_{n-2} = \frac{1}{2}$, $x_{n-1} = 1$, $x_n = 0$. Итак, нашеньшая разность равна $\frac{1}{2(n-1)}$

Л. Г. Лиманов

M209. Для любого треугольника ABC можно вычислить максимум:

$$S = \text{tg}^2 A/2 + \text{tg}^2 B/2 + \text{tg}^2 C/2.$$

Докажите что

a) $S \leqslant 2$ для всех остроугольных и прямоугольных треугольников;

b) $S \geqslant 2$ для многоугольных треугольников с тульным углом, большим или равным 2 arcctg 4/3;

b) среди треугольников с тульным углом $\varphi$ максим, что $\frac{\pi}{2} < \varphi < 2$ arcctg 4/3, имеются $u$ максим, что $S > 2$, $u$ максим, что $S < 2$.

Приведем одно из наиболее коротких решений, близкое к присланному С. Берко-laйко (Белгородская обл.) и А. Грицоряном (Баку).

Из формулы

$$\text{tg} \left( \frac{\pi}{2} - \frac{A}{2} - \frac{B}{2} \right) = \frac{1 - \text{tg} \frac{A}{2} \cdot \text{tg} \frac{B}{2}}{\text{tg} \frac{A}{2} + \text{tg} \frac{B}{2}}$$

следует, что положительные числа $x, y$ и $z$ могут служить тангенсами полиномов $\Delta ABC$ в том и только том случае, когда $xy + yz + zx = 1$. (1)

Такжество (1) позволяет вместе с суммой $S = x^2 + y^2 + z^2$ рассматривать более простую сумму $T = x + y + z$: поскольку $T^2 = S + 2$, то условия $S > 2$, $S = 2$ и $S < 2$ равносильны соответственно условиям $T > 2$, $T = 2$ и $T < 2$.

Задча сводится, таким образом, к следующей.

Пусть $xy + yz + zx = 1$, $x + y + z = T$, $0 < x \leqslant z$, $0 < y \leqslant z$.

Тогда

a) $T \leqslant 2$ при $z \leqslant 1$;

b) $T \geqslant 2$ при $z \geqslant 4/3$;

b) для всякого $z$ между 1 и 4/3 найдется и такие $x, y$, что $T < 2$, и такие $x, y$, что $T > 2$.

Докажем утверждение a), б) и в).

a) Если $z \leqslant 1$, то $S = x^2 + y^2 + z^2 \leqslant xz + yz + z^2 < xy + yz + z^2 = 1 + z^2 \leqslant 2$, так что и $S < 2$, и $T < 2$.

6. Если $z = \frac{4}{3} + d$, $d \geqslant 0$, то $x + y \geqslant \frac{2}{3}$ – d.

Докажем это от противного: предположим что $x + y < \frac{2}{3} - d$.

Тогда

$$xy \leqslant \frac{(x+y)^2}{4} < \frac{1}{9} - \frac{d}{3} + \frac{d^2}{4},$$

$(x+y)z < \left(\frac{2}{3} - d\right)\left(\frac{4}{3} + d\right) = \frac{8}{9} - \frac{2d}{3} - d^2,$

так что

$$1 = xy + (x+y)z < 1 - d - \frac{3d^2}{4} \leqslant 1.$$

Полученное противоречие доказывает, что $x + y \geqslant \frac{2}{3} - d$, и $T = (x+y) + z \geqslant \frac{2}{3} - d + \frac{4}{3} + d = 2.$

b) Пусть теперь $1 < z < \frac{4}{3}$.

Сначала найдем такие $x$ и $y$, что $T < 2$. Возьмем $x = y$. Согласно тождеству (1) тогда $x = y = \sqrt{z^2 + 1} - z$, $T = 2\sqrt{z^2 + 1} - z$. Так как $z < 4/3$, $4(z^2 + 1) < 4 + 4z + z^2$, $2\sqrt{z^2 + 1} < z + 2$, и значит, $T < 2$.

Заметание. Вернушись к исходной формулировке задачи, мы видим, что для равноведренных типуугольных треугольников с типым углом $\varphi < 2$ arcctg $4/3$ сумма $S < 2$.

Теперь найдем такие $x$ и $y$, что $T > 2$. Используя тождество (1), записем $T$ в виде $T = (x+y) + z = \frac{1 - xy}{z} + z$.

Сумма $z + \frac{1}{z} > 2$, $T$ отличается от нее на величины $\frac{xy}{z}$. Так как $y \leqslant z$, то $\frac{xy}{z} \leqslant x$.

Значит, если взять $x < z + \frac{1}{z} - 2$, то $T$ оказывается