Квант 1974, №7 · Страницы

1974
7
Научно-популярный
физико-математический
журнал

66

С 4 по 9 ноября 1973 года в Батуми проходил пяный праздник юных математиков Закавказы. Здесь вы видите два симка, сделанные во время праздника. На верхнем — «ванна Архимеда», на нижнем — сцена из спектакля «Бал у принцессы Арифметики». О празднике и о спектакле вы можете прочитать на страницах 62 и 66.

Возьмите в руку журнал с изображенными на первой странице обложки кругами и сделайте рукой несколько равномерных врашательных движений в плоскости страниц с изображением. Круги начут «вращаться». О том, как создается эта иллюзия, можно прочитать в заметке «Вращение, которое нет» на с. 12 этого номера журнала.

1

В НОМЕРЕ:

3 Академик П. Л. Каппце
4 М. А. Гинцбург. Планеты, о которых мы мало знаем
13 М. И. Рейтман. Транспортная задача
21 М. А. Грабовский. Как физики определяют кривизну параболы
24 Н. С. Рубина. О языках иностранных

Математический кружок
29 Э. Г. Белаяда. Вычисление многочленов — от Ньютона до наших дней

Задачник «Квант»
36 Задачи M271—M275; Ф283—Ф287
38 Решения задан M231—M235; Ф238—Ф242

Практикум абитриента
Вариants вступительных экзаменов вузы
49 С. С. Белаядий. Белорусский государственный университет им. В. И. Ленина
50 Э. А. Голубов. Уральский государственный университет им. А. М. Горького
52 С. Е. Каменецкий, В. И. Крупич, Н. Е. Парфентьева, Л. П. Постиникова, М. М. Чернецов, Г. А. Шадрин. Московский государственный педагогический институт им. В. И. Ленина
54 Г. Л. Лукакин, Ю. М. Коляzin. Московский областной педагогический институт им. Н. К. Крупской
56 И. В. Коновальцев, В. И. Новиков. Московский авиационный технологический институт им. К. Э. Циолковского
57 В. С. Колпаков, Р. Н. Сахарова. Ярославский политехнический институт
58 Н. Р. Гулькаров, Ф. З. Закриллаев, Е. В. Пак, А. У. Умирбеков. Ташкентский автономно-дорожный институт

Рецензии, библиография
60 Т. С. Петрова, М. Л. Смолянский. Новые книги

Информация
62 Л. Г. Лиманов. Пятый праздник юных математиков Закавказья

«Квант» для младших школьников
65 Задачи
66 Бал у прицессы Арифметики
69 Н. А. Родина. Можно ли взвесить молекулу?

Ответы, указания, решения
Смеся (с.12, 20, 23, 35, 48)

© «Квант». 1974 год

2

9 июля 1974 года исполняется 80 лет со дня рождения члена редакционной коллекции журнала «Квант», выдавшегося советского физика, члена Президиума Академии наук СССР, члена Лондонского Королевского общества, иностранного члена Академий наук США, Швеции, Дании, Польщи, Индии и ряда других государств, директора Института физических проблем Академии наук СССР, главного редактора «Журнала экспериментальной и теоретической физики», представителя координationalного совета Московского физico-технического института, Героя Социалистического Труда, лауреата Государственных премий СССР академика Петра Леонидовича Капицы.

Академик П. Л. Капице

Дорогой Петр Леонидович!
Редакционная коллекция журнала «Квант», членом которого Вы является,orgenю поздравляет Вас в день Ващенко восемдесятии.
Вы — один из крупнейших советских физиков нашего времени.
Ваши работы в области физики сверхсильных магнитных полей, физики и техники низких температур, физической электроники пользовятся широким международным признанием. В руководством Вам с момента его основания Институте физических проблем Академии наук СССР выросло и получило прекрасное физическое образование много талантливых ученых, обозначивших нашу научку своим исследованием. Нам, как и нашим читателем, которые успели за короткий срок существования журнала «Квант» познакомиться с несколькоими Вашими статьями, особенно приятно отметить постоянную проявление Вам любовь к молодежи, исквой интерес к проблемам образования.
Отмечая Ваш славный юбилей, мы надемся, что Вы еще не раз породете наших читателей оригинальных идеями и великолепными статьями.
Желаем Вам, дорогой Петр Леонидович, долих лет жизни в наш необычайно интересный век, жизни, которая служит прекрасным примером для молодежи, вступающей на трудные дороги научки.

4

М.А.Гинцбург

ПЛАНЕТЫ,
О КОТОРЫХ
МЫ
МАЛО
ЗНАЕМ

Юпитер
Церера
Географос
Марс
Земля
Солнце
Эрос
Гармония
Психея

…кроме таких больших планет, как Земля, Юпитер, Марс. Венера, существует еще сотни других, которые даже имену не даны, и среди них также маленькие, что их и в телесоп трудно разгладить.

Антуанде Сент-Экзюпери
«Маленький прииц»

5

Введение

Кроме больших планет — Меркурия, Венеры, Земли, Марса, Юпитера, Сатурна, Урана, Нептуна и Плутона — вокруг Солнца обращаются и планеты меньших размеров — астроиды. Первую такую планету, названную Церерой, открыли в 1801 году. Ее diameter 740 км. Затем были открытые Паллада — 490 км, Юнона — 200 км, Веста — 400 км. Почти все орбиты астроидов расположены между орбитами Марса и Юпитера (см. рис.). В настоящее время определены орбиты для 1700 астроидов. В современные телескопы различны около 50 000 астроидов. Вначале названная астроидов брали из греческий мифологии, потом их назвали жениками именами. Есть астроиды Вера, Ольга, Валерия, Людмила, Татьяна. Есть астроид Зоя, названный в честь Зон Космодемьянской.

В последние годы астрофизики говорят о важности исследования вещества астроидов и высказки на них космонавтов.

Вшеество Земли, особенно земная кора, подвергалось многочисленным превращением (расплавление, вулканические процессы и другие), изменившим ее первоначальный облик. Луна имеет свою, особую историю, пока еще не разгаданную.

Есть веряность, что вшеество астроидов, напротив, не плавилось и сохраило особенность прошлых эпох. Тогда по нему можно узнать о начальных этапах развития Солнечной системы 4 — 5 миллиардов лет назад — эпохе обращения планет.

Можно найти астроидам и практическое применение — сила тяжести на этих малых планетах ничтожна, они могли бы послужить взлетными плоскаками для градинозных космических кораблей будущего.

Но существуют и такие планеты, иногда очень большие, раз в десять большие Земли, которые нельзя различить даже в самый лучший телескоп. Это планеты других миров, они обращаются не во кругг Солнца, а во кругг иных светил — далеких звезд. Расстояния до ближайших звезд — несколько световых лет — в тысячи раз больше расстояния от Земли до самой далекой планеты нашей Солнечной системы — Плутона. Свет проходит 300 000 км в секунду, за год это составляет 9,46·10¹² км, а до Плутона «всего» 5,9·10⁹ км. В этой статье рассказываться, как можно сбнаржить эти планеты и определить их параметры.

Астероиды

Мыслу о полете на астроиды и обусловиях на этих малых планетах подробно развивал пionер космонавтики К. Э. Циолковский еще 50 лет назад. Циолковского привлекла прежнее осенонь небольшая сила тяжести, облегчающая посадку и взлет космического корабля и передвижение человека по поверхности астроида. Возьмем, как и Циолковский, в качестве примера астроидом в 6 км, что примерно в 2000 раз меньше астроида Земли. Таких планеты в порядке астроидов несолько тысяч.

Посмотрим, какова сила тяжести на таком астроиде. Ускорение силы тяжести $g = \gamma M/R^2$, где $M = \frac{4\pi}{3}\rho R^3$ — масса планеты, $\rho$ — плотность, $R$ — радиус, $\gamma = 6,68 \cdot 10^{-11} m^3/кгс^2$ — постоянная всемирного тяготения. Или $g = \frac{4\pi}{3}\gamma\rho R$. Так же, как это делал Циолковский, применяют астроида равной $\rho = 5,3 \times 10^3$ кг/м³, то есть почти равной средней плотности Земли ($\rho_3 = 5,5 \times 10^3$ кг/м³). Это значение несолько зависит от имеющейся ядро, как Земля, и их средняя плотность около $3 \cdot 10^3$ кг/м³. Но для примерных оценок эта.resуществена. Ускорение $g$ пропорционально радиусу $R$, значит, на астроиде ускорение силы тяжести примерно в 2000 раз меньше земного: $g = 4,9 \cdot 10^{-3} m/c^2$.

6

Человек на астероде подобен сказочному велику. Он легко поднимет и снова положит космический корабль массой 10 тонн (на нашем астероде корабль весит 50 н). Этот великан владеет еще сказочными семимильными салогами — без всякого напряжения он совершает гигантские прыжки (его тело весит не 900 н, а 0,45 н).

Прыгнем на Земле на высоту $S = 0,5$ м. Путь и ускорение связи формулой $S = gt^2/2$, $g = 9,81 \text{ m/c}^2$. Отсюда $t = \sqrt{2S/g} = 0,315$ с. Необходимая начальная скорость $v_0 = gt = 3,08 \text{ m/c}$.

В первом приближении можно считать импульсы, придаваемые телу на Земле и на астероде, одинаковыми — они определяются, в основном, мускулами ног, а не силой тяжестии (разницей в механике отрыва, в длительности взаимодействия ног с поверхностью придется пренебречь, без пренебрежений нельзя решить никакую физическую задачу). Поэтому одинаковая и начальная скорость. Мы будем также считать, что ускорение $g$ не меняется во время прыжка. При $v_0 = 3 \text{ m/c}$ на астероде $S = v_0^2/2g = 1000 \text{ m} = 1 \text{ км}$. Время «прыжка» $t = v_0/g = 7 \cdot 10^3 \text{ c} = 110 \text{ мин}^*$).

Предоставим теперь слово Циолковскому**).

《Вы стоите на поверхности астерода прямо, пq-земному, но маленьшее ваше движение вздымает вас, как пружинку, на воздух. Усиление, нужное для того, чтобы впрыгнуть на земной порог в 2 вершка, вздымает вас тут на высоту 120 сажен, то есть немного ниже базни Эйфеля***). Тяжесть настолько низера, что с получаенной высоты вы бу-

*) Мы считаем, что формулы, справедливы для прыжков на Земле, можно применять и на астеродах. На самом деле это правильно, когда высота подема не велика по сравнению с радиусом планеты.

**) К. Э. Циолковский. Путь к звездам. Изд. АН СССР, 1960.

***) 1 сахень=48 вершков=2,13 метра.

дете падать в течение 22 секунд — чуть не полинуты!

Если вы нарочно наклонитесь и захотите повалиться на почву подобно подпиленному дереву, то вы будете ждать окончания этого удовольствия несколько минут и удара от падения, конечно, никакого не почувствуете. Если вы подожмитеоги, чтобы есть, то ноги ваши будут в пространстве без опоры секунд 10, в течение которых вы успеете закрутить папиросу…

Лежать и стоять вы можете на острых камнях и тела не изрежете, бока не отложите…

Бежать по планете и даже ходить очень недобно: при малейшей такой попытке вы улетаете кверху. Впрочем, можно безать гигантскими шагами в несколько сахен какдый, действующей, однако, ногами крайне нежно. Чуть посильнее — и вы начинаете кувыркаться в пространстве на пером же шагу, так что другой шаг приходит сделать не ногами, а головой, руками, боком, чем придется. Неудобно, неудобно! — хотя сами испытайте》.

Все эти факты — не только теория, но уже и практика космонавтики. Вот что пишет космонавт Нейл Армстронг- о печатаниях от бета на Луне*): «Скачки похожи на без впрыпрыжку, но при скачках на Лу-

*) См. журнал «Земля и Вселенная», № 5, 1970.

8

атмосферы, ни сільного магнитного поля, и человек должны уметь защищать себя от солнечной радиации (реентген, ультрафиолет), быстрых частиц (космические лучи) и микрометеров. Но за 15 лет космической эры человек этому в какой-то степени уже научился.

Пофантазируем на более конкретные темы: спросим, к каким астроидам люди полетят в ближайшее время. Прежде всего, это астроид Эрос (см. рис. с. 4). Он подходит к Эмле на расстояние в 2,3·10⁷ км (ближе него к нам подходит только маленький астроид Икар, он приближается на 5,7·10⁵ км). Такая «встреча» Эрос с Эмлей произойдет в июне 1975 года.

Задолго до полета космонавты и инженеры должны хорошо знать, какие на этом астроиде разрешены скорости и ускорения, чтобы какая-нибудь деталь или даже космонавт не улетели в космос. Длина Эроса 35 км, его диаметр 10 км. Вращается Эрос вокруг своей короткой оси, перpendикулярной к направлению, в котором он вытянут, с периодом в 5 часов.

Для численных оценок можно принять две упрощенные модели Эрос: а) цилиндр, б) сиграобразное тело. Для этих двух модели можно оценить, во-первых, силу тяготения $F_g$, которая различна в разных точках поверхности и наименьшую величину имеет на концах астроида, а ввторых, можно по известной угловой скорости врашення найти центростремильное ускорение. Набольшое центростремильное ускорение на концах «сигары». В таблице 1 приведены результаты такого расчета на концах астроидов Эрос и Географос.

| Расчетная величины | Эрос | Сиграа | Географос |
| :— | :— | :— | :— |
| Перiod врашения (ч) | 5,2 | 5,2 | 5,2 |
| Длина (км) | 35 | 31 | 31 |
| Диаметр (км) | 10 | 0,7 | 0,7 |
| Ускорение силы тяготения ($\times 10^3$ м/с²) | 6,64 | 0,414 | 0,121 |
| Центростремильное ускорение при суточном врашении ($\times 10^3$ м/с²) | 1,92 | 0,173 | 0,173 |
| Относительное ускорение силы тяготения (измерение на поверхности) ($\times 10^3$ м/с²) | 4,72 | 0,241 | -0,052 |

Как мы видим на примере Географос, астроид может врашаться настолько быстро (расчет при сигрообразной форме), что сила тяготения оказывается слишком малой, чтобы обеспечить нужное центростремильное ускорение для тел, лежащих на поверхности астроида. Поэтому камни и другие предметы будут улетать с поверхности астроида в окружающей пространство. Вес тел оказывается как бы отрицательным *).

В 1976 году Географос подойдет к Эмле на расстояние в 40·10⁶ км. В 1972 году недалеко от Эмли (21·10⁶ км) прошел астроид Торо (диаметр 10 км).

В качестве космической ракеты хорошо бы использовать небольший, диаметром 1 км, астроид

9

Икар. На рисунке 2 показана орбита Икара: в перигелини он подходит к Солнцу на расстояние в $28 \cdot 10^6$ км, то есть вдвое близке Меркурия, а в афелии уходит за орбиту Марса.

В перигелини и афелии — двух крайних точках орбиты — ускорение перпендикулярно к скорости. В эти два момента (точки 1 и 2 на рис. 2) сила прятяжения к Солнцу сообщает Икару центростремительное ускорение $a = v^2/R$, но, с другой стороны,

$$a = \gamma M/R^2.$$

Перигелиний Икар проходит очень быстро и большую часть времени проводит далеко от Солнца, поэтому средняя температура его довольно низка.

To, что спутники с сильно вытянутой орбитой проводят большую часть времени не в перигелини, не в близки светила, а наоборот, в афелии, далеко от него, используется при запуске научных спутников Земли. Их орбита вытянута, поэтому наиболее интерсную часть пути — вдалеке от Земли — они проходят медленно и дают подробные показания о свойствах среды.

Однако в полете к Икару есть свои трудности — это малень размеры и большая скорость астроида относительно Земли.

В Икар трудно «попасть».

Исследовать вещество астроидов не обязательно на их «родине» — за орбитой Марса. Обсуждаются планы искусственного изменения орбиты. Один из таких путь — взрыв на астроиде. Взрывные газы полетят в одну сторону, а астроид (по закону сохранения имплуса) — в другую, при этом он немного изменит свою орбиту (рис. 3), приобретя дополнительную скорость $\Delta v$. Земля своим прятяжением доверщит остальное — астроид станет спутником Земли, удобным для изучения.

Планеты других звезд

Планеты других звезд не видны в телесопп. Тем не менее эти планеты были обнаружены.

Звезду хорошо видно, а на движение звезды влияет своим тяготением ее невидимый спутник — планета. Планеты обнаруживают по отклонениям звезды от прямолинейного движения. Внешние силы на системе звезд — планета не действуют (другие звезды далеко), поэтому центр масс движется obliчно по прямой и притом равномерно. Звезда, имеющая планету с большой массой, движет-

10

ся зигзагами (рис. 4), поскольку звезда и планета расположены по разные стороны их центра масс.

На рисунке 5 показан видимый путь звезда в созвездии Эридана. Это оранжево-желтая звезда, похожая на нашей Солнце, но с меньшей массой (ее масса составляет 0,7 массы Солнца) и меньшей светимостью (30% светимости Солнца). Она отсутствит от нас на расстояние 10,7 световых лет. По отклонению видимого путь звезда от прямой линии удалость установить характеристики планеты: перiod обращения — 25 лет, среднее расстояние от звезда — 8 астроνομических единиц (1 а. е. = 149 000 000 км — расстояние от Солнца до Земли). Аналогичные искусственные траектории обнаружены недавно и у звезды Лаланда 21 185 (расстояние от Земли — 8 световых лет); возможно, и у нее есть планеты.

Звезды, из-за их удаленности, для нас — точные источники света. Но земная атмосфера приводит к мерцанию, размещению звезды, и вместе точки на фотопластике оказывается круглоконечного радиуса. (Есть еще и другая причина размещости изображения звезды — погрешности телескопа. Но погрешности современных telescопов меньше atmosферных.) Минимальный диаметр изображения звезды — 0,5 угловой секунды.

Положения звезды на рисунке 5 показаны кругками с диаметром 0,05″ (4 мм—0,1″) И в каталогах координаты звезд приводятся с точностью до 0,1″. Такое повышение точности (от 0,5″ до 0,05″) достигается многократными измерениями и статистической обработкой результатов. Но и отклонения траектории, вызванные планетами, не превыходит 0,05″, то есть они находится «на пределе точности» измерений. Поэтому таблицу 2, в котором приведены результаты измерения движения ближайших звезд, вызванных их темными спутниками

11

с массовим порядка масс Юпитера, можно назвать так: «Ближайшие звезды, у которых существуют или подозреваются темные спутники».

Таблица 2

Наименование звезды | Перiod обращения спутника в годах | Полуось орбиты в секундах дутги
—|—|—
η в созвездии Кассопеля | 24 | 0,019
614 по каталогу России | 16,5 | 0,306
Ci 1244 | 26,5 | 0,11
Лаланда 21 185 | 8,0 | 0,034
70 в созвездии Змееносца | 17 | 0,015
61 в созвездии Лебедь | 4,9 | 0,010

Экспериментально трудно обнаружения планет показывает пример со звездой Барнарда.

Вблизи нашего Солнца оказалась звезда, очень подходящая для попска у нее планет. Это звезда Барнарда, называная по имени открывшего ее астронома-любителя. Звезда эта слабая, но движется она с достаточно большой скоростью — 10,3″ в год (1/360 градуса). Ее расстояние от Земли — 5,9 световых лет. Ближе нее расположена только двойная звезда в созвездии Центавра. Нарисуне 6 показана измененная астрономомванде Кампом траектория звезды Барнарда и вычисленные по этой траектории орбиты ее планет.

Рис. 5.

30 лет (с 1937 по 1967 год) велисъ наблюдается. За эти годы ван де Камп изучил и промерил свыше 3.000 фотографий звезды с точностью до 0,01″, то есть до 3 миллионных долей градуса. На фотографиях также угловое смesшение давало линейное смesшение в 6 микрон.

Вначале предполагалось, что звезда Барнарда имеет одну планету с периодом обращения 25 лет, масса этой планеты примерно в 1,5 раза больше массы Юпитера. Более тщательный анализ траектории звезды привел в 1969 году к гипотезе о двух планетах с периодами обращения 26 лет и 12 лет и массами, примерно равными массе Юпитера. Орбиты планет почти круговые, расстояния от звезды 2,8 и 4,7 астрономических единиц. Для сравнения напомним, что Юпитер отстол от Солнца на 5,2 а. е. и имеет период обращения

12

12 лет (рис. 7). Но в конце 1973 года была опубликована работа других астрономов, в которой статистический анализ фотосимков звезды привел к иной траектории, для обяснения которого не нужно предполагать существование планet.

Можно ли предолеть погрешности наших наблюдений и поисковлению траекторий звезд с достоверностью установить существование планet?

В этом могут оказать помощь наблюдения звезд не с земной, а с лунной поверхности — у Луньи нет атмосферы, а диаметр изображений звезд на фотопластике будет значительное меньше, чем при наблюдениях с Земли. Могут помочь и изменения со спутников, вынесенных за пределы атмосферы Земли, при достагоно совершенной системе их стабилизации в пространстве.

Вращение, которое нет

Возьмите в руку журнал с изображенными на обложке кругами и сделайте рукой несколько равномерных врашательных движений в плоскости страниц с изображением. Рисунок «оживает»: круги начинают врашаться. Нетрудно «закрутить» круги и в другую сторону. Как обязывается эта nilюзия?

Наш глаз обладает свойством удерживать зрительное впечатление в течение долей секунды после того, как видимый предмет уже исчез из поля зрения. Это же относится и к части изображения, которое мы наблюдаем. При перемещении нашего рисунка контрастные по яркости части концентрических кругов перемещаются на сетчатке в такт круговым движением рук. Мы не можем отличить одну от другой детали однотонного круга, но каждый светящий элемент круга остается в нашем восприятии на определенном месте несколько долше, чем на самом деле. Так возникает nilюзия перемещения элементов светых окружностей, а при подхождения скорости—полная nilюзия врашления светых частей фигуры. На этой стадии эфект аналогичен тому, который мы видим, наблюдая слившиеся воедино спицы быстро врашающего колеса.

Основа этой nilюзии — так называемый строкосоппический эфект. Он состоит, во-первых, в том, что при первымтом наблюдении быстро врашающийся предмет каждой неподвижным, а, во-вторых, в том, что быстрая смена изображений отдельных фаз движения тела дает врачательное непрерывного движения.

Первая возможность полнее всего реализуется в строй

(окончание см. с. 23)

13

Джо принимает план Бэйта

— Все хорошо, план операции мне нравится, Бэйт, — говорил Джо, расхаживая по номеру дезввой гостинцы и запивая каждый затяжку сгарой добрым глотком вискки. Старина Бэйт сидел в креслу у жалкого камина, привчено ощущая подмышкой рукоятку пистолета.

— Еще бы! — прошедил Бэйт сквозь искусственные зубы. — Недаром за мной уже пятнадцать лет гоняется полция всех шатов. Вряд ли я вошел бы в такую цeny, если бы только и мог орудовать касетом. Новинки науки — вот мой конек. Вспомни, Джо, это я впервые ввел вертолеты при ограничении банков. А как я…

— Постой! — первый Джо расхавставшегося коллегу. — Я ценю тебя, потому и работаю с тобой. И эта творя новая идея — общистить за одну ночь три склада с мануфактурой — тоже великолепна. Но шоферы…

— Это железные парни! — воскликнул Бэйт. — Можешь на них положиться! Таких не сцапает ни один фараон!

— Я доверю этим парнем, Бэйт. Но цена! 10 dollarов за тонно-милю на грузовиках — да за такую цeny я готов такать вручную! Мы разоримся, даже если все выгорит.

И Джо показал на дешевом гостинчном стиле, как он готов скать грузы. Стул жалобно скрипнул: именно в таких гостиницах любил Джо обговаривать трудные операции, в них меньше шансов наскнуться на спрятанный полицейский микрофон.

— Но не забывай, Джо, чем парни рискуют… И кроме того, кроме того… я позаботился о том, чтобы запалить им поменше. Нет, нет, не надуть — с таким не выйдет. Дело совсем в другом: я применно научный метод.

Джо посмотрел на Бэйта с уважением (как-nикак тот когда-то кончил коледж), но все-tаки возразил:

— Слушай, Бэйт. Поимми меня, я включаю большешие деньги, тышчи доларов. Я хочу быть посвященным в суть дела. Только ты попроще, ты же знаешь, я больше отмычкой…

— Хорошо, Джо, — серьено кивнул Бэйт, понимая, что должен напрячь все свои педагогические способности, иначе дело неойдет, и он сдет на мель.

— Сколько скупшков крадено берут мануфактуру?

— Четыре. Первые два по шестьдесят тонн, а два других — по сорок.

— А сколько на складах, помнишь?

— Ты что, смеешься, Бэйт? Я помню эти числа даже во сне: 75, 75 и 50.

14

Табл. 1.

— Правильно, Джо! Давай я зашишу все это в таблице.
Бейт сорвал внесший на стене календарь и на обороте изобразил таблицу 1.
— А в правом верхнем углу каждой клетки здесь… — начал Бейт, но Джо перебил его.
— Ох! Лучше б я не знал этих чисел! Конечно, я узнал их! Столько эти внутри дьявола просят за перевозку одной тонны груза по каждой маршруту. Например, 100 доларов за тонну с третьero склада к четвертом скупшнику, там 10 млль. Нет, лучше я поташу сам!
— Парни рискуют, Джо, — возразил Бейт. — Давай будем называть эти стоимость тарифами. Итак, как же мы будем возить? По каким маршрутам?
— Ясно дело, где подешевле, — пробормотал Джо, чуя подох.
— Правильно! Давай занимать перевозками те маршруты, где тарифы поменше. Здесь делевле все

Табл. 2.

— Во взти товар от первого склада к четвертом скупшнику — всего пятьдесят доларов. Наозем этот путь маршрутом (1, 4). Его мы наверняка будем использовать!
— Еще бы! И провезти по нему надо как можно больше!
— Правильно! Но больше 40 тонн не проверешь — четвертый скупшик не примет, он тоже рискует. Поставим на этот маршрут 40 тонн, а на маршрут (3, 2) — там тоже 50 доларов — 50 тонн: больше на третьем складе не нашаршь! Получится таблица 2. Я тут заодно подправил емкость и потребности. И в дальнейшем будем ставить перевозки на те маршруты, где поменше тариф.
— Ты хочешь сказаить, что дальше нужно поставить 60 на маршрут(2,1)— там 60 доларов, 10 на (2, 2), в обшем… — и Джо нарисовал таблицу 3.
— Именно так!
— Ха-xa-xa! Значит, и мы что-то смыслим! Ну а теперь осталось только завести третьему скупшнику — Скряге Tomу, кстати мы его еще и надуем при расчете. Вот так, как изобразил в таблице 4.
— Ну и все в порядке! — довольно потер Джо жирные руки. — Нам это обойдется в
$$35 \times 150 + 40 \times 50 + 60 \times 60 + 10 \times 70 + 5 \times 90 + 50 \times 50 = 14500$$
доларов. Не так ли, старина Бейт? И это называется научный метод? Ставлю долар против пяты центов, что любой полицейский сообщит,

15

как найти этот план перевозок за 14 500 — ох-ох — 14 500 долларов. Правда, нам приходится здесь использовать маршрут (1, 3) — 150 долларов за тонну, — вдруг помрачnel Джо, вглядевшись в таблицу.

— Ага, Джо, — настал через торжествовать Бейту. — Выходит наука все-tаки нужна? Мы рассуждали вполне здраво, а все-tаки нарушились на использование самого дорогого маршрута. Давай теперь пытаемся уличить план перевозок. Поставим тонну груза на маршрут (1, 1).

— Не выйдет, — возразил Джо. — Нарушится баланс в первом столбце, если я что-то смыслю в этом деле.

— Смыслшь, смыслшь, — успокоил Бейт. — Но баланс можно восстановить, снять одну тонну с маршрута (2, 1), не так ли?

— Постой, тогда и во второй строке не будет баланса — на тонну меньше. Хотя, хотя… если добавить еще тонну на (2, 3) и снять с (1, 3), каждая все будет о’кэй.

— Давай представим это в новой таблице 5 (емкость и потребности нам уже не нужны).

— Там, где я добавлял тонну, стоит знак плюс, а где убирал — минус. А набор клеток, в которых мы произвели изменения (они связаны пунктом), давай называем циклом *). Итак, что же это нам дает? Провоз одной тонны по маршруту (1,1) — 80 долларов. Их надо добавить. А 150 долларов — провоз тонны на маршруте (1, 3) — наоборот, долой, как и 60 с маршрута (2, 1). Ну и 90 придется прибавить за лишню тонну на маршруте (2, 3). Итого,

*) Циклом называется последовательность клеток, в которых поворачивает «ладья» (она может двигаться лишь по строкам или столбцам таблицы), возвращающаяся в ту же клетку, из которой она вышала.

При этом в каждой строке и в каждом столбце таблицы в цикл входят или две клетки, или ни одной, и, помимо исходной, в цикл включаются лишь заполненные клетки.

Табл. 4.

транспортные расходы изменятся на 80+90—150—60=—40 долларов.

— Здорово! 40 долларов можно сберечь! — восхитился Джо. Но это мы поставили на маршрут (1, 4) только тонну. Давай поставим 100 тонн и сбережем 4000, или нет, поставим 400 тонн и тогда еще нам будет дополнитель!

В главах Джо загорелся огонек алчности, но тут же потux:
— Нет, здесь что-то не так.
— Ясное дело, не так, — согласно Бейт. — Ведь сколько мы добавим на маршрут (1, 1), столь же придется с (1, 3) и (2, 1). А оттуда самое большее можно снять 35 тонн. Ведь не хочешь же ты взети ману-фактуру обратно на склад!
— Еще бы!
— Значит, самое большее удastoreти по маршруту (1,1) 35 тонн; это позволяет сэкономить 40×35=1400 долларов, и новый план перевозок будет таким, как в таблице 6.

Табл. 5.

16

Табл. 6.

В клетках, которые не вошли в цикл, все осталось по-старому.

— 1400 доларов — кругленская сумма! Давай проверять другие пустьые клетки. Можно набредем на маршрут, который тоже стоит использовать. Вот, например, начнем с клетки (1, 2). Для нее расходы изменятся на 120+60—70—80=30 > 0.

Тысяча чертей! Маршрут (1, 2) использовать не стоит. А, может быть, воспользоваться…

— Не трудись, Джо. Я уже проверял: больше из этого плана не выжмет ни долара сам Данциг.

— Данциг, Данциг… это не тот ли, который обчислил «Бэнк оф…»?

— Нет, Джо, он не из наших. Это тот малый, который придумал этот метод. Правда, еще до него какие-то красные…

… Испектор Клифф сидел у себя в кабинете на Авеню-стрит, снова и снова вматриваясь в вещественныеулики: три мастерски взломанных замка и пепел от тщательно сохраняемого календаря в гостинце, где совещались грабители. И больше ничего. И все-tаки… это напоминает почерк Бэйта, за которым он, Клифф, охотится уже столько лет! К примеру календарь. Зачем он? Может, на нем делались выкладки? Возможно. Но где же искать Бэйта?

— Сержант! Усиленные нарушы во все бары города! — крикнул он, осознавая в то же время полную безнадежность своего приказа: в барах Бэйта не будет. На столе испекторазавонил телефон. Клифф сначала трубку, послушал и закричал:

— Сержант, отставить! Оценить научную библиотеку штата! Мне — машину и набор наручников!

Немного теории

Что же позволяет сэкономить на трансортильных расходах 1400 доларов? Проследим за действиями ловких гангстеров. Сначала Бэйт нашел допустимый план перевозок. Метод, который он при этом воспользовался называется методом минимального элемента и понятно поочему: в нем перевозки все время ставятся на маршруты с минимальным тарифами, а если будут два маршрута с одинаковым тарифом, то предпочтение, естественно, нужно отдать тому из них, для которого возможная перевозка большеше.

Получив допустимый план, Бэйт и Джо стали пытаться улучшить его распределенным методом. Это, пожалуй, самый простой, хотя и не самый быстрый способ улучшения плана перевозок. Но прежде чем излагать этот метод в общем виде, формулируем строго трансортиную задачу линейного программирования.

Пусть имеется $m$ поставшихков (складов) и $n$ потребителей, $a_i$ — емкость $i$-го склада, а $b_j$ — потребность $j$-го потребителя. Пусть $x_{ij}$ — перевозка от $i$-го поставщика к $j$-му потребителю. Допустимы только такие планы перевозок, для которых $*$

$$\sum_{j=1}^{n} x_{ij} = a_i \quad (i=1, 2, \dots, m),$$

$$\sum_{i=1}^{m} x_{ij} = b_j \quad (j=1, 2, \dots, n),$$

то есть из каждой склада вывозится все, что там есть, и каждому потребителю.

*) Мы рассматриваем так называемую «закрытую» модель трансортиной задачи, для которой $\sum a_i = \sum b_j$, то есть сумма емкости (складов) равна сумме потребностей.

18

Табл. 9.

есте теперь оказывает выгодным маршрут (1, 3). Его использование с перевозкой 25 тонн приведет к транспортировкам расходам в сумме $z_3 = 595 - 25 = 570$.

Математическая модель, которую применил Бэйт, — модель транспортировки линейного программырования, — сейчас очень широко применяется в экономике и управлении производством. Именно с помощью подобных модели во многих местах управляют перевозкой продуктов в магазины и кирпича на стройки, добавясь большого сокращения транспортивных расходов.

Недостатком описанного метода решения транспортировки задачи является необходимость строить циклы, при счете на машине на это уходит основная часть времени, требующого для решения задачи. Поэтому получили распространение другие методы решения транспортировки задачи, которые позволяют сократить число рассматриваемых циклов (метод потенциальный, предложенный впервые советскими учеными), или вообше не требуют пост-

Табл. 10.

Табл. 11.

роения циклов. Если число складов или число потребителей не слишком велико (до 3—4), то применимо динамическое программирование.

Транспортная задача имеет ряд разновидностей и самые неожиданные приложения. Однако из таких приложений мы сейчас рассмотрим.

Задача о назначениях

Два немолоды джентльмена цинно сидели в научной библиотеке штата.

… Уверен, ищейки сюда не супутся. Итак, в банке 4 входа. Каждый из парней согласен занять любой, но они им каждуся по-разному описыми: у одного входа джурит полицейская машина, другой выходит на лодную улицу, в третьем циклом узкая дверь. Их требования в долларах сведены в таблицу 9.

— Да, аппетиты у парней — дай бог! Но, знаешь, Бэйт, все просто. Ставим Билла на вход № 4, Джека — на № 1, Джима — на № 2, Боба — на № 3, как я пометил крестиками. Каждый лучше не придумaeшь.

— Да, здесь-то все ясно. На каждый вход ставим парня, который за него меньше всего требует. Но, Джо, когда ребята узнали, что нами интересуется инспектор Клифф, они запросили больше! Вот в таблице 10 их новые требования.

— Это не честные гангстеры, а вымогатели! — взмолился Джо. — Я уже разорен. И главное, как их

20

Табл. 16.

| Колодцы | Участики | Возможности |
| :— | :— | :— |
| 1 | 10 | 80 |
| 2 | 23 | 30 |
| 3 | 43 | 50 |
| Потребности | 100 | 120 | 90 |

Табл. 17.

3. Найти оптимальный по числу тоннокилометров план перевозки угля от шахт (на рисунке они обозначены квадратиками, в которых стоит дневная производительность) к электростанциям (они обозначены кружками, в которых стоит дневная потребность). Мальные кружки обозначют дополнительные промежуточные пункты, все расстояния в километрах.

4. Назначить пять станков на выполнение 4 видов работ (один станок останется свободным), если стоимость работы каждого станка дается таблицей 15, а производительность одинаковы.

5. — Все! С завтрашнего дня начинаем новую жизнь,— обратился Витя к Боре, Саше, Юре и Коле, которые уныло рассматривали свои четвертные таблицы. — Нужно подтягнуться. Каждый из нас будет проверять других по одному предмету.
   — А кто по какому?
   — Это мы решим, сравнив оценки. Вот их выписал (см. табл. 16).
   Долго спорили друзья, глаза на таблицу. А как в действительности им лучше всего распределить обязаности?

6. Для поливки разных участков сада, на которых растут сливы, яблони и груши, служат три колодца, но они могут дать ограниченное количество воды. Потребность в воде разных участков сада, возможно колодцев (в ведрах) и среднее расстояние от каждой из них до соответствующего участка сада (в метрах) указаны в таблице 17.
   Очевидно, в колодах воды не хватит (80 + 30 + 50 < 100 + 120 + 90), но сад тянется вдоль реки, до которого 120 м. Как лучше организовать полив?

7. Показать, что в оптимальном плане перевозок заполненные клетки не должны содержать циклов.

Читатели о пространственном лабиринте
В «Кванте» № 3 за этот год на 4-й с. обложки была направлена заметка «Про-страстенный лабиринт». Многие читатели заметили, что проятки по этому лабиринту невозможно, тем самым есть возможность занять свои дружей на цельный вечер. Оdnako наш читатель О. М. Костенок из Москвы предлагает решить другую задачу: как проделать еще одно ответственное, чтобы по лабиринту можно было проятки? О. М. Костенок предлагает сделать ответственное в получ второго этажа (на клетке d4 по шахматной терминологии).
Наверняка есть и другие варианты размещения еще одного ответствия, после чего по лабиринту можно будет проятки. Вопрос лишь один: где сделать это ответственное, чтобы лабиринт был возможно более запутанным?

21

М.А.ГРАБОВСКИЙ

КАК ФИЗИКИ ОПРЕДЕЛЯНОТ КРИВИЗНУ ПАРАБОЛЫ

Рассмотрим движение под действием силы тяжести тела (материальной точки массы $m$), которое в начальной момент сообщена горизонтальная скорость, равная $v_0$. Выберем систему отчета, связанную с Землей. Относительно этой системы отчета тела участует в двух движениях — горизонтальном (вдоль оси $x$) и вертикальном (вдоль оси $y$). Уравнение движения тела по горизонтали

$$x = v_0 t,$$
(1)

по вертикали —

$$y = \frac{gt^2}{2}.$$

Суммарное движение тела проинсходит по кривой, которое нетрудно определить, установив зависимости между координатами $x$ и $y$ различных точек траектории тела. Для этого из уравнения (1) и (2) выразим $y$ через $x$. Получим

$$y = \frac{gt^2}{2} = \frac{gx^2}{2v_0^2}.$$

Уравнение (3) выражает зависимость между координатами $x$ и $y$ всех точек кривойнейной траектории, описанной брошенным телом.

Известно, что камень, брошенный горизонтально с крыши высокого здания или высокого объема, движется по кривой, которая называется параболой. Траектория камня во время полета искривляется, отклоняясь от прямолинейного горизонтального движения. Степень искривления может быть большей или меньше в зависимости от начальной скорости. Можно ли как-нибуд оценить степень искривления траектории? Для этого пользоваться понятным кривизны кривой.

22

Что такое кривизна плоской кривой линни?

Рассмотрим этот вопрос на примере параболы, описанной телом, большинством горизонтальной с некоторой высоты с начальной горизонтальной скоростью $v_0$ (см. схематический рисунок). «Достроим» левую часть параболы, которая могла бы быть описана телом, если бы ему сообщили начальное горизонтальное скорость в противоположном направлении ($-v_0$). Эта часть параболы на рисунке вычерена пунктиром. Выделим у вершины параболы (точка $M$, координаты которого (0, 0)) небольшую дуг $AMB$ такую, чтобы середина дуги совпадала с вершиной параболы. Теперь подберем окружность такого радиуса, чтобы она прошла через три точки дуги $AMB$, то есть через середину дуги и ее концы. Это можно сделать, так как известно, что через три точки, не лежащие на одной прямой, всегда можно проверить окружность иритом только одну. Обратная величины радиуса полученной окружности $1/R$ определяют приближение значения кривизны параболы в ее вершине. Это приближение будет тем точнее, чем меньше длина дуги $AMB$. Кривизна в точке и определяется величины, обратной радиусу этой «предельной» окружности.

Теперь определяем кривизну параболы в произвольной точке $M_1$. Для этого выделим необольшую дуг параболы $A_1M_1B_1$ такую, чтобы точка $M_1$ была серединой этой дуги. Вновь будем подбрать окружность такого радиуса, чтобы она прошла через точки $A_1$, $M_1$ и $B_1$. Эта окружность большего радиуса, чем в первом случае ($R_1 > R$). Кривизна параболы в точке $M_1$ приближенного равна $1/R_1$. Таким же образом можно определить кривизну параболы в любой ее точке. Следовательно, парабoly можно рассматривать как кривую линию, состоящую из бесконечного большого числа бесконечного малых дуг убывающей кривизны, по которым движется тело.

Радиус кривизны любой плоской кривой находится с помощью дифференциального исчисления. Что же касается кривизны параболы — траектории движения тела, точнее, его центра тяжестки под влиянием прияжения к земле, то ее можно определить, пользоваться сведениями из механики.

Итак, в какой-то момент времени $t$ тело находится в точке $M_1$ параболы (см. рис.). На тело во время его движения действует только сила жекстии *). Сила жекстии сообщает всем телам одинаковоеускорение, направленное по вертикали вниз и равное $g$. Ускорение силы жекстии $g$ можно разложить на две составляющие: $g \sin \alpha$ — направленная по касательной, то есть по направлению суммарной скорости тела $v$ в данной момент времени $t$ (тангенциальная) составляющая, и $g \cos \alpha$ — нормальная (центрстремительная) составляющая, где $\alpha$ — угол, образованный начальной скоростью $v_0$ и касательной скоростью $v_1$ в точке $M_1$. По мере продвижения тела по параболе разложение постоянногоускорения $g$ на составляющие будет проискодить по-разному, так как угол $\alpha$ возрастает от нуля до $\pi/2$. Тангенциальная составляющаяускорения по мере продвижения тела по параболе будет увеличивать а нормальная — уменьшаться.

Определим значение центристремительной составляющейускорения тела в момент времени $t$ при движении его по бесконечному малой дуг радиуса $R_1$:

$$a_{\text{ис}} = \frac{v_1^2}{R_1}, \text{ или } g \cos \alpha = \frac{v_1^2}{R_1},$$

но так как $v_1 = \frac{v_0}{\cos \alpha}$, то

$$g \cos \alpha = \frac{v_0^2}{R_1 \cos^2 \alpha}.$$

*) Предполагается, что высота, с которой брошено тело, не очень велика, так что не следует учитывать изменение $g$.

23

Отсюда радиус кривизны параболы в точке $M_1$
$$R_1 = \frac{v_0^2}{g \cos^3 \alpha}.$$

Итак, радиус кривизны в любой точке параболы определяется величины квадрата скорости $v_0$ и величины куба косинуса угла $\alpha$, образованного векторами начальной скорости $v_0$ и полной скорости $v$. Радиус кривизны параболы уvelичивается (кривизна ее уменшается) по мере продвижения по ней леташего тела.

Теперь, пользовая формулой (4), определяем радиус кривизны в вершине параболы. В этом случае угол $\alpha$ равен нулю, так как $v_0$ совпадает с $v$. Значит, $R = \frac{v_0^2}{g}$.

Этот же результат можно было получить сразу. В начальной момент движения тела испытывает только центростремительное ускорение
$$g = \frac{v_0^2}{R}.$$

Найдем радиус кривизны параболы в близости точек парабия тела, где скорость, касательная к траектории движения, направлена почти отвесно. В этом случае $R = \frac{v_0^2}{g \cos^3 \alpha} \rightarrow \infty$, так как $\alpha \rightarrow \frac{\pi}{2}$, а $\cos \alpha \rightarrow 0$. Отметим, что теперь ускорение силы тяжести направлено почти по касательной к траектории, а роль центростремительного ускорения свелась к нулю.

Найдем теперь радиус кривизны в такой точке $M_2$ параболы, где касательная скорость $v_2$ в два раза больше начальной скорости $v_0$:
$$R_2 = \frac{v_0^2}{g \cos^3 \alpha} = \frac{v_0^2}{g} \frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^3} = \frac{8v_0^2}{g},$$

так как угол $\alpha = 60^\circ$.

Можно решать и задачи другого типа. Например, задав координаты точки, определять радиус кривизны параболы в этой точке.

Вращение, которое нет

(Окончание. Начало см. c. 12)

боскопических аппаратах. Если часть засечивающихся импульсов (при инвервалме между имплусами менее 0,1 с) в точности равна частоте исследуемого периодического процесса, то глаз исследования видит одну «застывшую» стадию этого периодического процесса. Стало быть, зафиксировав в таком эксперименте неподвижную картину, можно, зная частоту вспышек, установить частоту исследуемого процесса. Точность современных строкослов порядка 0,001%.

Вторая возможность, реализованная в нашем забавном примере, на самом деле имеет значительное больше сердезные примения. На этом принципие работыют современный кинематограф и телевидение.

Диск с прорезями (обтиратор) вращается перед объективом кинопроскинного аппарата. Затемния на экране необходимы, чтобы скрыть продергивание кадров фильма. Общий кадр сменяются 24 раза в секунду (обтиратор прерывает свет вдвое чаше), а угловые перемещения движенияся на экране тел не прерывают 0,03 рад/с относительно зрителя. При этих условиях наблюдается знакомая всем картина непрерывного движения объекта на экране.

Электронный луч телевизонной трубки пробгает строка за строкой все поле экрана и возвращается в исходное положение за время, созмеренное с так называемой критической частотой мелкання (50—60 $2\mu$), при которой глаз в силу инерции зрения не отличает прерывatorio изменения яркости от непрерывного.

Л. Верес

24

Антоон Павлович Чехов о неизнании иностранных языков. «Зачем я не знаю языков? Мне кажется, беллетристику я переводил бы великоелепно. Когда я читаю чужие переводы, то произвожу в своей мозгу перемены слов и перестановки, и получается у меня нечто легкое, эфирное, подобное кружевам».

Зависть белая! Она ведь не порок. Наборот, один из сильнейших стимулов в любом творчестве. Приди она к писателю раныше, заставь его изучать языки, и мы читали бы теперь произведения многих зарубежных авторов в переводе Чехова. Но этого не произшло. Правда, не ясно, нужно ли нам сожалеть об этом.

Я был там словно глухонемой

…Успех всякой умственной деятельности зависит главным образом от того, насколько макая деятельности сочетается с желанием овладеть предметом

П. Хэгболдт

Знаете ли вы, сколько существует на свете языков? Ученые полагают, что около трех тысяч языков и примерно столько же «мертвых»!

Язык является как наукой, так и средством обшения. Как наукой языком интерсуются в основном только языковеды. Но любой человек, независимо от его наклонностей, всегда интерсуютя языком как средством обшения. И как средство обшения языка, несомненно, доступен каждому независимо от его способностей.

Ах, с каким бы удовлетворием я себя выпорол!

«Не знаю языков. Ах, с каким бы удовлетворием я себя выпорол! Без знания языков чувствуешь себя, как без паспорта». Вот как горько сожалет великий мастер русского слова

Мнение, что всякий образованный человек обязательно должен в той или иной степени владеть иностранным языком, прочно вошло в нашу жизнь. И mnение этоникто не пытается опровергнуть, дабы не бытьскомпрометированным и не прослить невежной. Более того, если раныше школьник слышал о пользованию языка (а заодно и учил его) с пятого класса, то теперь все это зачастую начинается уже в детском саду и передко не кончается даже с завершениям образования. Таким образом, число лет, отведенных на изучение одного иностранного языка, получается двухчанным. Но факт этот, несомненно положительный, не в полной мере соответствует закону о перехождение с качеством. Речь идет о многократно наблюдаемом явлении: те, кто по много лет изучают иностранный язык, в конеч-

25

ном итоге либо не владеют им совсем, либо почти не владеют.

Недавно из поездки в Лондон вернулся один мой знакомый. Талантливый математик, он блестящие зашитил докторскую диссертацию, когда ему не было еще тридцати лет. Несмотря на свою молодость, он завоевал авторитет в науке, работы его были переведены на многое языки, и вот ему предложили поехать в Англлюд для встречи и обмена опытом с зарубежными коллегами. В этой поездке советскую делегацию сопровожделал переводчик, и молодой ученыый, хотя он и не говорил на английском языке, чувствовал себя уверенно, даже не подозреваю о трудностях, с которых предстояло ему столькося.

《Я был там словно глухонемой, — жаколовся он по приезде, — никакого контакта с зарубежными математики не получилось. Доклад свойя с помощью переводчика сделал, на этом все и кончилось. Русский язык там почти никто не знает, а я не владею английским. Литературу по своей специальности читаю на трех европейских языках, но говорить не могу ни на одном из них. Переводчик? Переводчик хорошо знает языку, но не математику. Я пытаемся вести научную беседу через переводчика, но получалось очень длинно и как-то беспомощно, так как он обычно не мог уяснить себе даже субъесть проблемы. Да разве можно требовать от переводчика знания математики, физики и других наук? А вот мне бы не мешало овладеть навыками английской речи в школе, инструкте и спирантype, где я этот язык изучал. Тогда я не придавал ему никакого знания и, «проходя» его тринадцать лет, фактически прохолим mismo него. Вот я и наказан. Поездка, от которой я так много ждал и которая могла бы привести мне столько пользы, оказалась пустой…».

Итак, еще один человек, который бы с удовлетворением себя выпорлза то, что сам себя ограничил.

Самооргравление, кстати, будучи явленем, в существии, редким, при изучении иностранных языков стало почти закономерностью. А о причине этой закономерности несложно договорается, прочитав высказывание Питера Хэгболдта.

В известном сборнике «Физикиprodолжаютшитить» (М., «Мир», 1968) напечатана новелла о том, что думал о целесообразности изучения иностранных языков представители типичного «не языковых» профессии.

Говорят, что великий физик Гибсб был очень замкнутым человеком и обычно молчал на заседаниях ученого совета университета, в котором он преподавал. Но на одном из заседаний, когда решался вопрос о том, чем уделять в новых учебных программах больше места — математике или иностранным языкам, он не выдержал и произнес речь. «Математика — это язык!» — сказал он.

Что же мнение придерживался и мой знакомый. До некоторых пор.

На каком, собственно, языке вы делали доклад?

Кто возьмет на себя смелость утверждать, что овладеть иностранным языком — дело не хитroe? Разве что тот, кто никогда этим не знамался. А вот пытаемся ли кто-нибудь установить, насколько хорошего налададь иностранным языком, чтобы использовать его в своей работе, не попадая при этом в курьезную ситуацию? Это, по-видимому, не пытается сделать никто. А практика между тем показывает, что разница между независимым языком и знанием его «постолько-поскольку» порой веса незначительная! В уже упоминав-

26

шемся сборнике есть прекрасный пример такого «знания».

Известный венгерский физик Лео Сцилард читал свой первый доклад на английском языке. Последдая к нему подошел физик Джексон и спросил: «Послушайте, Сцилард, на каком, собственно, языке Вы делали доклад?». Сцилард смутился, но тут же нашелся и ответил: «Разумеется, на венгерском, разве Вы этого не поняли?». «Конечно, понял. Но зачем же Вы натолкали в него столько английских слов? — отпарировал Джексон.

Пример этот не только весма поччителен, но и полезен: он помогает определять минимальный уровень владения языком.

Определение это можно сформулировать так: уровень владения иностранным языком не должен быть нижемою, при котором иностранное безошибочно узнет в нем свой родной язык.

А что, если знать все слова?

Вилка 1. Предмет из столового прибора в виде ручки с двумя, преемя или четмырьязьями, который берет иkladум в ром куски пищи. 2. В различных областях механики — орудие, присрособление или какое-нибудь устройство в виде был, с развоенной концом. 3. В шахматной церем — положение, при котором пещка урожаем сразу двум фигурам.

Только словарь русского языка

15 сентября Вчера поспорил с Сергеем, что к концу года выучу все английские слова. Вот удивится Анна Ивановна! Анна Ивановна — самая лучшая наша учительница. Ничего ей пока говорить не буду . . .

25 октября Больской словарь открыл и закрыл. Его наверняка былникогда не осилл. Я взял пока маленький, на 10 000 слов. Учу слова на «A». Серга сметется, говорит, чем словарь зубить, лучше рыбок разводить . . .

12 ноября СEROния на уроке Анна Ивановна сказала, что для того, чтобы научиться говорить по английски, надо больше читать. А я вот так, например, думало: чего жчитать, когда слова еще не все знают?

Сначала все слова надо вычитать, а потом уже браться за чтение. Начал читать слова на «B» . . .

28 декабря Как-то получается. Слово знаю, а в тексте его не узнал. В четверти по английскому тройка вышла. Столько слов знаю, а говорить пока совсем не могу. Ничего, вот когда все слова выучу, тогда наверняка заговорю. Еще две четверти впереди . . .

23 января СEROния не выдержал и все расскаазал Анна Ивановне. Не могу больше слова читать. Пока на «В» учил, на «A» все заблились. Столько вызывил слов и все без толку: ни говорить, ни читать, ни переводить лучше не стал. Только время зря потратил. Прав был Серга, чем словарь зубить . . .

Из дневника Витки Л. ученика 7-го класса

Успех всякой деятельности, несомненно, во многом зависит от того, какие методы использются для его достижения. Это в полной мере относится к изучению иностранных языков. По количеству методов, использующих для их изучения, иностранные языки занимают положый, одно из первых мест. Правда, по качеству этих методы далеко не равноценны, но каждый из них не прееменно находится себе поклонников.

Так, известный французский метод Гузн, обладая феноменальной памяти, взял только немецкий словарь и, вореки головным утверждением Витки Л., что это, десять, невозможно, выучил из него наизусть все слова. Кроме того, он основательно освоил немецкую граматнику. Полягая, что всестороннее овладел языком, Гузн поехал в Германию слушать лекции в университете.

Велико, однако, было его разочарование, когда он обнаружил, что, несмотря на приобретенный им «багаж», он не только не понимает немецкой речи, но и сам ничего не может сказать. Говорить и поннимать — вот чему, оказалось, он не научился.

Но в чем же дело? Почему, не смотря на вложенный труд, «словоизубрежный» метод не принес успеха?

Прежде всего, видимо, потому, что любое слово живет полной жизни

27

только во фразе. Взятое отделлено, оно мертво. Мертвым оказался и весь «словарный запас» Гузна.

К тому же в разных предложениях одно и то же слово может иметь не только разное, но даже противоположное значение. Так например, английское слово odds переводится как переменство, разновласие, преимущество, шансы.

Совершенно очевидно, что значение одного из значений этого слова не дает возможность даже угадать другие его значения.

Слово odds — не исключение. Большинство слов в языке имеют не одно, а множество значений, которые позволяют из множества фраз путем языкового опыта. Из одного предложения можно узнать только одно значение слова.

Таким образом, читит нас языковый опит, а не словарь. Словарь — лишь посредник при первом знакомстве, и злоупотреблять им не следует.

Залог успеша

Со значением должно быть обязательно связано умеение…
Печальное явление, когда долова ученика наполнен большим или меньшим количеством знаний, но он не научился их применять, так что он не приходимся ксказам, что хотя он коe-что знаем, но ничего не умеет.

А. Дистерверг

Из чего же складывает языковый опит и как его приобретится?

Если мы обратимся к толковому словарю за значением слова «опыт», то получим определенное, которое, несомненно, поможет нам ответить на поставленный вопрос. Согласно толковому словарю опит — это совокупность практических условий знаний, умений, навыков.

Значит, для накопления языкового опита необходимо, прежде всего, практическое применение полученных знаний. Иными словами, для того, чтобы научиться говорить и поннимать, писать и читать на иностранном языке, следует как можно чаще это делать, используя для этого всею висхивную информацию, поэтому при выборе книг на иностранном языке желательно сочетать приятное с полезным и читать то, что вас особенно интересует, — будь то классика, приключенияская литература или детективы. Кроме того, старшеклассик рекомендуется читать интересующие их статьи из иностранных научно-популярных журналов, так как это подготовливает их к чтению зарубежной литературы по выбранной специализации.

Важно также соблюдать следующие правила: читать систематически, прочтитьать ежедневно хотя одну страницу иностранного текста.

Далее, при чтении на иностранном языке по возникновении следует

28

избегать перевод. Перевод зачастую сравнивают с костыlem, который нам не нужен, когда мы можем ходить без него. «Ходить» в данном случае означает читать так, чтобы улавливать содержание, не остававливаясь на форме. Полное понимание при чтении приходит только с практикой.

Это же относится и к психанию «на слух». «Научить» своеухо воспринимать иностранную речь не менее важно, чем научиться говорить, писать и читать на этом языке. Нередко даже хорошо владеющие языком люди, впервые оказываись за границей, чувствуют себя понacular растерянными, ничего не понимая из того, что говорят вокруг. У них даже создается впечатление, будто они слышат магнитофонную запись, восприизводимую на повышенной скорости. Однако через некоторое время оценение беспомощности проходит, так какухо постепенно адаптируется к непrivычному темпу речи.

Научиться понятие «на слух» — одна из основных задач при изучении иностранного языка. Для этого необходимо постояния практика. Иначе говоря, чтобы научиться слышать, надо как можно больше слушать.

Начинать лучше всего с пластинок, прослушивая один и тот же текст до тех пор, пока не будет достигнут полное его понимание. При выборе пластинок на иностранном языке следует придерживать того же принципа, что и при выборе материалов для чтения: «от простого к сложному».

Когда понятие пластинок не будет вызывать трудностей, можно начать прослушивание радиопередачи на иностранном языке. Воспринимать естественный речь, конечно, намного сложнее, чем работать с пластинкой или магнитофонной лентой. Но отмечаться, столько вызывать трудностями, не следует: понятие радиопередачи на иностранном языке приходит постепенно. Поэтому так же, как и читать, слушать речь на иностранном языке желательно ежедневно, удаляя этому бы минут пятнадцать.

Не правда ли, трудно представить себе шофера, который безупречно залыпила уличного движения, все приемы вождения машины, залыбы, как машина устроена, но… не умел бы ее водить? Не менее трудно вообразить себе математика, знающето множество формул, но не умело ими пользоваться при решении простейших задач. Зато ни у кого почему-то не вызывает изучения тот факт, что, много лет изучая иностранный язык, основательно усвоив его грамматику и выучив к тому же массу слов, многоне не могут заставить себя произнести на нем фразу. В чем же дело?

Учась выполнять математические операции, мы делаем ошибки и не стыдимся этого. Учась водить машину, шофер тоже неизбежно где-то ошибается, но продолжает свой путь. Но вот многое из тех, кто изучает иностранный язык, настолько страшатся (или стесняются) своих бокок, что предпочитают «правильно» молчать. Результат говорить сам за себя: никакому пока еще не доводилось научиться говорить, сохраняя при этом молчание.

Об этом же свидетельствует высокая извлеченность полиглота, член Академии наук Эстонской СССР, профессора Пауля Арнетз:

«… В языках я больше всего люблю и ценно возможность общения, живого разговора. Свои научные работы я пишу на 15 языках, а говорю на 20 языках. Эти «ножники» объясняются тем, что новый язык я начинаю учить с разговорной части.

… Уже больше 30 лет преподаю я в Тартуском университе иностранные языки. Мой главный принцип — как можно скорее заставить студентов «заговорить»… Те, кто стесняются, бося сделать ошибку в ударении, неправильно употребить тот или иной оборот, никака не научаться свободно говорить. Смелость, так же как и в любом другом деле, — залог успеха при изучении языков».

29

§ 1. Многочлены — инструмент вычислителя

Ну, начнем! Кодда мы доберемся до конца этой истории, будем знать больше, чем менее.

Г. Х. Андерсен

В небозримом царстве функций многочлены занимают, на первый взгляд, очень скромное место. Однако это первоое впечатление обманчиво.

Многочлены, действительно, предельно просты: алгебраическая запись
$$f(x) = x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + \dots + a_{n-1}x + a_n$$ (1)
является одновременно и формулой для вычисления значений многочлена$^*$). Хотя выражения типа $\cos x$, $\sqrt[5]{x}$, $10^x$ или $\log_2 x$ намного лаконинее, с вычислительной точки зрения они бессодержательны: для вычисления, скажем чисел $\cos 17^\circ$, $\sqrt[5]{2}$, $10^{0.13}$ или $\log_2 7$ нужны специальные приближенные формулы (или таблицы, составленные с помощью тех же формул). Как правило, в таких формулах появляются многочлены: например,
$$\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!}$$

(ошибка в интервале $0 \leq x \leq \pi/4$ меньше одной десятимиллюнной!).

*) Что бы упростить выкладки, мы ограничимся многочленами с единичным коэффициентом при старшем член ($a_0 = 1$); там, где это будет необходимо, мы появим, как поступать в общем случае ($a_0 \neq 1$).

А ведь тригонометрические, степенные и т. п. (элементарные) функции — это самые простые из функций анализа, изучаемых и использовых математиками, физики, инженерами. Известный математик-вычислитель пишет в своей книге *): «Поскольку с многочленами легко обращаться, больше часть классического численного анализа основывается на приближении многочленами».

Так как вычислить многочлены приходится часто, то важно научиться делать это как можно проще. Мы раскажем об эволюции методов вычисления значений многочленов с момента зарождания (XVII век). Впрочем, слово «эволюция» здесь не вполнеуместно: история этих методов — скорее очень длинный роман с интересной, но краткой завязкой, однообразным действием и неожиданной развязкой.

§ 2. Схема Горнера

По праваде говоря, здесь возникнет сомнение, или вернее вопрос, который минимать нельзя, не поставив его и на него не ответив.

А. Данте. Пир (1303 г.)

Общеприятный сейчас способ вычисления многочленов восходит к Ньютону и называется схемой Горнера. Эта универсальная (то есть применняя к любому многочлену) схема предельно проста и изящна. Она получается из формулы (1) вы-

*) Р. В. Хемминг. Численные методы. М., «Наука», 1972.

31

Такие схемы можно было бы искать либо исходя из особенностей отдельного многочлена (искусно комбиниру его коэффициенты), либо сконструировав универсальный метод построения схем, намного более экономных, чем схема Горнера, но, возможно, для некоторых многочленов не наилучших. Недостаток первого подхода в том, что для каждого многочлена придется придувать свои приемы, и нет никакой гарантии, что нам это всегда удался; позже (в § 10) мы увидим, что второй надежнее во всех отношениях.

Само собой разумеется, что оба эти методы уменьшает лишь в тех случаях, когда конкретный многочлен приходит в время, и усилия, чтобы построить для него хорошего схему. Многочлены же «разового пользования» проще вычислять, скажем, по схеме Горнера.

Возможно, подобные рассуждения и привели в 1955 году к открытию универсальной схемы совершенного типа для многочлена шестой степени. Мы проиллюстрируем основную идею этой схемы на примере более простой схемы — для многочленов степени 4. Пусть
$$f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d;$$
положим
$$\begin{cases} p_1 = x \cdot (x + A); \\ p_2 = (p_1 + B)(p_1 + x + C) + D \\ f(x) = p_2 \end{cases}$$
где A, B, C и D — параметры.

Пример. Многочлен $x^4 + 3x^3 + 6x^2 + 3x + 2$ можно вычислять по схеме: $p_1 = x(x + 1), f(x) = (p_1 - 1)(p_1 + x + 5) + 7$, содержащей два (вместо трех по Горнеру) умножения и пять (вместо четырех) $(\pm)$-операции; здесь A = 1, B = -1, C = 5, D = 7.

Выпишем явное выражение для $p_2(x)$:
$$p_2(x) = x^4 + (2A + 1)x^3 + (A^2 + A + B + C)x^2 + (AB + B + AC)x + BC + D;$$
приравняя коэффициенты $f(x)$ и $p_2(x)$, выразим параметры, входящие в форму (5), через коэффициенты (4):
$$A = (a - 1)/2;$$
$$B = c - b \cdot A + A^2(A + 1);$$
$$C = b - B - A(A + 1);$$
$$D = d - BC.$$
Из этих формул ясно, что схема (5) универсальная.

Операции (6) мы будем назвать превращимый обработкой коэффициентов многочлена; разумеется, они не включаются в число операций схемы: ведь для каждого данного многочлена они выполняются лишь однажды, а наша задача — научиться быстро считать значения произвольного, но фиксированного многочлена при разных $x$.

§ 5. Универсальная схема степени n

—Я думало, — сказал глубокомысленно Пятанок, — что если бы На всем под деревом, а Пух вставал к нему на спину, а я вставал на плещи Пуха…
—И если бы спина На-На неожиданно преснула, то мы бы все здорово посмелись, — сказал На.

A. A. Милл. Винни Пух

В 1958 году была найдена общая универсальная схема с превращительным обработкой коэффициентов. Структура этой схемы для многочлена четной степени ($n = 2k$) напоминает пирамиду — в основании лежит схема (5) (в ее «прочности» мы уже убедились), содержащаяся в схеме степени 6, которая содержится в схеме степени 8 и т. д.:
$$\begin{cases} p_1 = x(x + b_1), \\ p_2 = (p_1 + b_2)(p_1 + x + b_3) + b_4, \\ p_3 = p_2(p_1 + b_5) + b_6, \\ \dots \\ p_k = p_{k-1}(p_1 + b_{2k-1}) + b_{2k}, \\ f(x) = p_k, \end{cases}$$

схема (7.2) — это и есть схема (5). Результат схемы (7.k) — многочлен $p_k(x)$ степени $n = 2k$; многочлен же нечетной степени $n = 2k + 1$ можно представить в таком виде:
$$f(x) = x(x^2k + a_1x^{2k-1} + \dots + a_{2k}) + a_{2k-1};$$
многочлен в круглых скобках вычисляется по схеме (7.k). В итоге

32

схема содержит $k$ умножений и $2k+1$ сложений для многочлена четной степени $n=2k$ и $k+1$ умножений и $2k+2$ сложений для многочлена нечетной степени $n=2k+1$ (с учетом (7.k) и (8.)).

Упражнения
4. Найдите формулы предварительной обработки коэффициентов, аналогичные формулам (6), для схемы (7.3) вычисления многочленов шестой степени.
5. Докажите индукцией по $k \geq 2$ универсальной схемы (7.k).

Начиная с третьей строки, схема (7.k) очень напоминает схему Горнера (3); разница лишь в том, что теперь после каждого умножения степень увеличивается не на единицу, а на два.

Итак, нам удалось уменьшить число умножений по сравнению со схемой Горнера вдвое. Какой ценой? Из решения упражнения 5 видно, что процесс вычисления параметров $b_1, b_2, \dots, b_{2k}$ по коэффициентам $a_1, a_2, \dots, a_n$ очень сложен, — он включает в себя решение серии уравнений с одним неизвестным степенью $k-1, k-2, \dots$. Это означает, в частности, что при $k \geq 6$ ($n \geq 12$) формул вычисления параметров нет *), хотя, разумеется, их значения могут быть найдены приближенными методами с любой степенью точности.

Здесь возникает еще одно затруднение, оказывается, правда, предполимым. До сх пор мы не уточняли, значения каких — действительны или комплиексны — многочленов мы вычисляем. Схема Горнера применима и в том, и в другом случае, схема же (7.k)

*) Под формулой обычно понимают набор арифметических операций, корней, степеней. Вы, наверное, знаете, что Э. Галу и Н. Абель, генциальные (и оба очень рано умершие) математики XIX века, доказали, что для нахождения корней многочленов пятой и более высоких степеней таких общих формул не существует (см. «Квант», 1973, № 10, с. 3—12).

премущественно «комплексная» — действительным коэффициентам могут соответствовать комплисные параметры. Появление комплисных чисел при вычислении действительных многочленов намного увеличивает число арифметических операций *). К счастью, в 1960 году схему (7.k) необходим усложненем удалось превращать в действительную; однако полные доказательства в этом случае уже очень непросты.

§ 6. О схемах вообще…

— Минуточку, минуточку — раздались проместующие колоса. — Избегайте, пожалуйста, научных терминов, обязывайте популярно…
— Верно! — подтвердили остальные.— Говорите понятнее. Что такое лес?
Я. Осенка. Загородная прогулка в 2050 году.

Пришло время спросить, нет ли схем, более экономных, чем схему (7.k)? Но тогда неизбежен и вопрос — что такое схема?

Определене. (I). Схема с предварительной обработкой коэффициентов — это последовательность арифметических операций, в которых участвуют переменная $x$, параметры $b_1, b_2, \dots, b_m$ и результаты прешвестующих операций. Результат последней операции называем результатом схемы. (II). Если при некотором наборе значений параметров $b_1, \dots, b_m$ результат схемы есть данный многочлен степени $n$, то мы скажем, что схема представляем этот многочлен. (III). Если схема представляется многочлен, то процесс вычисления по его коэффициентам соответствующего набора значений параметров называем предварительной обработкой коэффициентов. (IV). Схема называется `упервсальной степени $n$, если она представляется любой многочлен степени $n$ вида (1).

*) Одно «комплексное» сложение — это два «действительных», одно «комплексное» умножение — четые (!) умножения и два сложения.

36

Задачи

M271 — М275; Ф283 — Ф287

M271. Можно ли расставить числа 1, 2, 3,…, n в таком порядке, чтобы ни для каких двух чисел их получим не равнялись ни одному из чисел, поставленных между ними? (9, 10 кл.)

A. И. Плоткин

M272. Даны две окружности радиусов $R$ и $r$, касающиеся внешним образом. Строятся различные трапеции $ABCD$ так, чтобы каждая из окружностей касалась обеих боковых сторон и одного из оснований трапеции. Найдите наименьшую возможность длину боковой стороны $AB$. (9 кл.)

E. В. Саллинен

M273. На отрезке $0 \leq x \leq 1$ задана функция $f$. Известно, что эта функция неотрицательна и $f(1) = 1$. Кроме того, для любых двух чисел $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_1 \geq 0$, $x_2 \geq 0$ и $x_1 + x_2 \leq 1$, выполнен неравенство

$$f(x_1 + x_2) \geq f(x_1) + f(x_2).$$

a) Доказите, что какова бы ни была функция $f$, удовлетворяющая перечисленным условиям, для всех $x$ будет выполнено неравенство $f(x) \leq 2x$.

6. Верно ли, что для всех $x$

$$f(x) \leq 1,9 \ x ?$$

(10 кл.)

A. В. Попов

M274. Найдите наименьшее число вида

a) $|11^k - 5^l|$;

b) $|53^k - 37^l|$,

где $k$ и $l$ — натуральные числа.

Ф. Г. Шлейфер

37

М275* a) На плоскости даны $n$ векторов, длина каждого из которых равна 1. Сумма всех $n$ векторов равна нулю влевому вектору. Доказите, что векторы можно занумеровать так, чтобы при всех $k = 1, 2, \dots, n$ выполнялось следующей условие: сумма первых $k$ векторов имеет длину не более 3.

6. Доказите аналогичное утверждение для $n$ векторов с суммой 0, длина каждого из которых не превышает 1.

в) Может ли заменить число 3 в задаче a) меньше? Постайтесь уличить оценку также в задаче 6). (9, 10 кл.)

М. Л. Гервер

Ф283. Заряженные шарики с одинаковой массой, расположенные на расстоянии $l$ друг от друга, отпустили (без начальной скорости). Через $t$ секунд расстояние между ними удвоилось. Через какое время удвоится расстояние между шариками, если их отпустить с начальной расстояния $3l$? (9 кл.)

Ф284. Найти ускорение $a$, с которой падает круглая металлическая пластинка в однородном магнитном поле, паралельном поверхности Земли. Пластинка падает вертикально вниз и ориентирована своей плоскостью паралельно магнитному полю и перpendикулярно поверхности Земли. Толщина пластинки $d$ много меньше ее радиуса $R$, масса $m$, индикция магнитного поля $B$, ускорение свободного падения $g$. (10 кл.)

Ф285. В неотапливаемом помещении работах холодильник с терморегулятором. В момент подключения холодильника к сети температура на улице, в помещении и в холодильнике была одна и та же. Считая температуру на улице постояной, изобразите приближение на графиках, как менялась температура в помещении

38

Решения задач

M231. Найдите все решения в натуральных числах уравнения
$$n^x + n^y = n^z.$$
Очевидно, что $n$ должно быть не меньше двух. Считая $x \leq y \leq z$, перепишем наше уравнение в виде
$$n^{z-x} - n^y-x = 1.$$ ()
Если предположить, что $y$ строго больше $x$, то из () будет следовать, что единица делится на $n$ ($n \geq 2$); но это не так, значит, $y = x$. С учетом этого равенства получаем:
$$n^{z-x} = 2,$$
откуда $n = 2$, $z - x = 1$.
Итак, данное уравнение имеет бесконечное множество решений в натуральных числах: $n = 2$, $y = x$, $z = x + 1$, $x$ — любое натуральное число.
Р. Егорян.

M232. a) Докажите, что к конечному множество точек на плоскости, обладающей тем свойством, что любые три точки из этого множество являются вершинами невыроженного мулуоульного треугольника, всегда можно добавить еще одну точку так, что это свойство сохраняется.
b) Справедливо ли аналогичное утверждение для бесконечного множества точки на плоскости?

a) Отметим, что для заданных точек $A$ и $B$ точка $C$, лежащая вне прямой $AB$ и вне полосы, образованной перпендикулярами к прямой $AB$ в точках $A$ и $B$, образует с точки $A$ и $B$ невыроженный тупоульный треугольник (см. рис. 1). Для каждой пары точек из заданного конечного множества построим полосу и прямую в соответствии с рисунком 1. Конечное число полос конечной ширины и прямых, оченьindo, не покроют всей плоскости, следовательно, существует точка, образующая с каждой парой точки из заданного множества тупоульный треугольник, что и требовалось доказать.
b) Ответ: вообше говоря, не справа или во.
Приведем следующий пример. Расстояние множество, состоящее из точки полокружности без одного конца диаметра (рис. 2). Легко видеть, что такое множество

39

Рис. 6.

удовлетворяет условием задачи. Докажем что к нему нельзя добавить уже ни одной точки (это почтие оченьindo). В самом деле, если точка лежит внутри полукружности на ее диаметре (рис. 3, точка X), то всегда можно найти такую точку C на полукружности, что треугольник ACX будет остроугольным. То же самое имеет место для всех точек, лежащих в неполукружности или внутри, но вне ее диаметра (рис. 4, точки X’ и X’’; соответствующие точки B’, C’ и B’’’, C’’ выбираются «достаточно близки»). Если же точка выбирается на диаметре в неполукружности (рис. 5, точка M), то имеет место врожде — на рисунке 5 точки M, N, K оказываются на одной прямой.

П. С. Панков

M233. В концу отрезка пisuутся две единицы. Посередние между ними пisuется их сумма — число 2. Затем посередние между каждой двумя соседними из направных чисел снова пisuется их сумма и максимум — 1973 раза. Сколько раз будет написано число 1973?

Выпишем подряд строки чисел, образующие в результате очередного шага, — всего 1973 строки (рис. 6). Получим некоторую таблицу. Попробуем выяснить, сколько раз в n-й строке этой таблицы встречается число n (понятно, что в каждой следующей строке — с номером, большим n, — число n будет встречается точно столько же раз, сколько и в n-й: все новые образующие числа будут уже больше n).

Будем говорить, что в нашей таблице встречается пара натуральных чисел (a, b), если числа a и b стоит рядом в одной строке, причем b справа от a. Докажем следующее утверждение:

Если 1973 — простое (проверьте!). Поэтому оно встречается 1972 раза.

Н. Б. Васильев

40

М234. Дан квадрат со стороной 1. От него отсекают четыре угоды — четыре треугольника, у каждой из которых две стороны идут по сторонам квадрата и составляют 1/3 их длины. С полученным 8-угодным делом мо же самое: от каждой вершины отрезалом треугольник, две стороны которого составляют по 1/3 соответствующим сторонам 8-угодника, и так далее. Получается последовательность многоугольников (каждый содержится в предыдущем). Найдем площать фигуры, являющиеся пересечением всех этих многоугольников (мо есть образованной точками, принадлежащими всем многоугольникам).

Обозначим через $M_0$ исходный квадрат, через $M_1, M_2, M_3, \dots$ многоугольники, получаемые из $M_0$ последовательным отрезанием угловов. Удобно рассмотреть также многоугольник $N_h$, вершинами которого служат середины сторона $M_h$ ($k = 0, 1, 2, \dots$).

Пусть $A$ — произвольная вершина многоугольника $M_h$ — а $B$ и $C$ — соседние с ней вершины. Чтобы получить из многоугольника $M_h$ многоугольник $M_h+1$, нужно от каждой вершины $A$ многоугольника $M_h$ отрезать треугольник $B_2AC_2$ (см. рис. 8) такой, что точки $B_2$ и $C_2$ делят, соответственно, отрезки $[AB]$ и $[AC]$ в отношении 1:2. Пусть $B_1$ и $C_1$ — середины отрезков $[AB]$ и $[AC]$, то есть соседние вершины многоугольника $N_h$; тогда

$$\begin{align*} |AC_2| &= \frac{2}{3}|AC_1|, \\ |AB_2| &= \frac{2}{3}|AB_1|. \end{align*}$$

При переходе от многоугольника $N_h$ к многоугольнику $N_{h+1}$ точки $B_1$ и $C_1$ остаются его вершинами, но уже не соседними: между ними появляется новая вершина $A_1$—середина отрезка $[B_2C_2]$. Таким образом, многоугольник $N_{h+1}$ получается из многоугольника $N_h$ добавлением к каждой его стороне $[B_1C_1]$ треугольника типа $B_1A_1C_1$.

Рис. 8.

41

Чается из предыдущего скатнем к точке $a$ в $4\frac{1}{2}$ раза. Таким образом, точка $a$ является единственной общей точкой всех этих отрезков. (Можно выписать и точные формулы для $x_h$ и $y_h$: $x_h = \frac{5}{7} - \left(\frac{2}{9}\right)^k \times \frac{3}{14}$, $y_h = \frac{5}{7} + \left(\frac{2}{9}\right)^k \cdot \frac{2}{7}$; но нам они не попадаются. Читатель, знакомые с понятием предела последовательности, конечно, заметил, что $a$ является общим пределом последовательностей $x_h$ и $y_h$; по существу мы именно это и доказали.) Отсюда уже следует, что площад искомой фигуры $M$ (являющейся пересечением всех многоугольников $M_h$) равна $a$; действительно, $M$ содержится в любом $M_h$ и содержит любой $N_h$ (доказите!)*); следовательно, площад $M$ должна быть заключена между $x_h$ и $y_h$ (при всех $k$), а этому требованию удовлетворяет единственное число: $a = \frac{5}{7}$.

Можно было бы решать эту задачу и не вводя многоугольников $N_h$, используя лишь соответствие, определяющее последовательность $y_0 = 1$, $y_1 = \frac{5}{9}$, $y_2$, $y_3$, …

$$y_h - y_{k+1} = \frac{1}{9} (y_h - y_{k-1}).$$

При этом площад $M$ находится как предел площад $M_h$ (последовательность $(y_h - y_{k-1})$ представляет собой бесконечную убывающую геометрическую прогрессию).

*) Это число теоретико-множественный факт: если $M_h \supset M_{k+1} \supset N_{k+1} \supset N_h$ для каждой $k = 0, 1, 2, \dots$, и $M = \bigcap_k M_h$, то $M \supset N_h$.

A. Зеленский (г. Шахтерск) обобщил задачу M234 на тот случай, когда от каждой стороны отсекаются отрезки, составляющие $\frac{1}{p}$ этой стороны, где $p$ — любое число, больше 2. Площад получаются в таком случае фигуры равна $\frac{p^2 - 2p + 2}{p^2 - 2p + 4}$; при $p = 3$ получаем ответ $\frac{5}{7}$.

C. Коняzin

M235. По аргене круглого цирка радиуса 10 м бегаем лев. Двигаясь по ломаной линии, он пробежал 30 км. Доказите, что сумма всех углов, на котором он поворачивает, — через $\alpha_1, \dots, \alpha_{k-1}$ (всего $k$ отрезков и $k-1$ поворот). Представим движение льва следующим образом.

Обозначим отрезки, которые пробегает лев, через $x_1, x_2, \dots, x_h$, а углы, на которые он при этом поворачивает, — через $\alpha_1, \dots, \alpha_{k-1}$ (всего $k$ отрезков и $k-1$ поворот). Представим движение льва следующим образом.

Пусть лев пробежал отрезок $AA_1 = x_1$. Повернем вектор него (то есть вектор точки $A_1$) арену на угол $\alpha_1$ так, чтобы отрезок $x_2$ оказался продолжением отрезка $x_1$. После того как лев пробежал отрезок $A_1 A_2 = x_2$, повернем вектор него арену на угол $\alpha_2$ так, чтобы отрезок $x_3$ стал продолжением отрезка $x_2$ и так далее. Тогда лев будет бежать по прямой и пробежит отрезок $AA_k = 30000(m)$, где $A$ — начальная точка, а $A_k$ — конечная.

Проследим за движением центра арены — точки $O$. Вначале точка $O$ поворачивается вектор точки $A_1$ на угол $\alpha_1$, затем — вектор точки $A_2$ на угол $\alpha_2$ и так далее. Всякий раз центр арены $O$ отстоит от центра врашения не больше, чем на 10 $m$, так как центр врашения — это лев, находящийся внутри арены. Поэтому при первом повороте точка $O$ переместится не более чем на $\alpha_1 \cdot 10(m)$, при втором — не более чем на $\alpha_2 \cdot 10(m)$ и так далее ($\alpha_1, \dots, \alpha_{k-1}$ измеряются в радианах). Все точки $O$ переме-

Рис. 10.

42

Рис. 11.

стится не более, чем на $(\alpha_1 + \dots + \alpha_{k-1}) \cdot 10(m)$, то есть
$$O'O'' \leq (\alpha_1 + \dots + \alpha_{k-1}) \cdot 10(m)$$
(cм. рис. 11 — здесь $O'$ — начальное, $O''$ — конечное положение точки $O$).

Поскольку $O'A \leq 10(m)$, $O''A_k \leq 10(m)$ и $AA_k = 30000(m)$, то $O'O'' \geq 29980(m)$. Отсюда
$$\alpha_1 + \dots + \alpha_{k-1} \geq \frac{O'O''}{10} \geq 2998(m)$$

И. Н. Берништейн

Ф238. Имеются две проволки квадратного сечения, сделанные из одного и того же материала. Сторона сечения одной provолоки $a_1 = 1$ мм, а другой $a_2 = 4$ мм. Для того чтобы расплавить перую provолоку, через нужно пропустить ток $I_1 = 10$ а. Какой ток нужно пропустить через вторую provолоку, чтобы она расплавилась?

Синимать, что количество телла, уходящего в окружающей среду за 1 с, пропорционально разности температур provолоки и среды и площади поверхности provолоки, причем коэффициент пропорционально осинков для обеих provолок.

Если проволока находится в тепловом равновесии со средой (ее температура не меняется), то количество телла, которое выделяется в provолоке при прохождения тока за единицу времени, равно количество телла, отделаемому в окружающей средантоу увеличию тока, чтобы provолока начала плавиться — добавочное количество телла, выделяемое током, будет идти на плавление. Поэтому нам необходимо найти ток, который соответствует температуре плавления provолоки.

Количество телла, отделаемые provолоками за единицу времени, равны $Q_1 = k S_1 \Delta T = 4ka_1 l \Delta T$ и $Q_2 = k S_2 \Delta T = 4ka_2 l \Delta T$, где $k$ — коэффициент пропор-

43

правлено перpendикулярно к скорости $v$ точки и равно по абсолотной величины $\frac{v^2}{R}$, где $R$ — радиус этой окружности. Поэтому ясно, что мы сможем определить $R$, если будем знать скорость точки $v$ и ее ускорение $a$ в направлении, перpendикулярном к этой скорости.

Вначале найдем скорости точек $A$ и $B$ относительно Земли. Это можно сделать, например, складывая линейные скорости врашення точек в системе координат, связанной с центром колеса и движущейся поступательно параллельно горизонтальной плоскости, со скоростью движения этой системы координат, то есть со скоростью центра колеса относительно плоскости. Можно воспользоваться менее прививчным, заго более простым способом. В рассматриваемый нами момент времени точка $C$, касающаяся плоскости, неподвижна относительно плоскости, и можно считать, что все колесо поворачивается относительно этой точки (мгноенного центра врашення). Угловые скорости врашення всех точек колеса относительно мгновенного центра врашення одинаковы и равны, в частности, угловой скорости врашення центра колеса:

$$\omega = \frac{v_0}{r}$$

($v_0$ — скорость центра колеса). Это означает, что скорость точки $B$, перpendикулярная к отрезку $BC$, равна

$$v_B = \omega \cdot BC = \frac{v_0}{r} BC.$$

Из треугольника $BCD$ видно, что $BC = 2r \cos \frac{\alpha}{2}$. Следовательно,

$$v_B = 2v_0 \cos \frac{\alpha}{2}.$$

Аналогично, скорость точки $A$ $v_A$, перpendикулярная к $AC$, равна по абсолотной величины

$$v_A = \omega \cdot AC = 2v_0 \cos \frac{\pi}{4} = v_0 \sqrt{2}.$$

Теперь найдем ускорения точек $B$ и $A$, перpendикулярные к скоростям этих точек. Полные ускорения этих точек — это, очевидно, центростремительные ускорения $a_\mu$ в системе координат, связанной с центром колеса. Действительно, так как колесо движется относительно плоскости равномерного, то ускорения точки колеса в системе координат, связанной с плоскостью, совпадает с их ускорениями в системе координат, движущейся поступательно вместе с центром колеса. Поэтому центростремительные ускорения точек

$$A$$ и $B$ направлены к центру колеса и равны по абсолотной величины $a_\mu \cdot A = a_\mu \cdot B = \frac{v_0^2}{r}$.

Ускорения же точек $A$ и $B$, перpendикулярные к скоростям $v_A$ и $v_B$, — это проекции ускорения $a_\mu \cdot A$ и $a_\mu \cdot B$ на направлении, перpendикулярные к $v_A$ и $v_B$. Они равны соответствующим.

$$a_A = a_\mu \cdot A \cos \frac{\pi}{4} = \frac{v_0^2}{2r} \sqrt{2},$$

$$a_B = a_\mu \cdot B \cos \frac{\alpha}{2} = \frac{v_0^2}{r} \cos \frac{\alpha}{2}.$$

Таким образом, в данной момент точки $A$ и $B$ движутся по окружности, радиус которых определяется из соответствий

$$\frac{v_A^2}{R_A} = \frac{v_0^2}{2r} \sqrt{2}$$

и $$\frac{v_B^2}{R_B} = \frac{v_0^2}{r} \cos \frac{\alpha}{2},$$

или

$$\frac{(v_0 \sqrt{2})^2}{R_A} = \frac{v_0^2}{2r} \sqrt{2}$$

и $$\frac{(2v_0 \cos \frac{\alpha}{2})^2}{R_B} =$$

$$= \frac{v_0^2}{r} \cos \frac{\alpha}{2}.$$

Отсюда

$$R_A = 2r \sqrt{2}$$ и $$R_B = 4r \cos \frac{\alpha}{2}.$$

Ф240. Шар-зонд, имеющий нерастяжимую оболочку, поднялся на максимальную высоту и совершаем маленькое колбанный, сцимая, что на макой высоте плотность воздуха $\rho$ убивает с высотой равномерно на величины $\delta = 1,2 \cdot 10^{-2}$ $\rho$ через каждые $h = 100$ м. Тренец шара о воздухи пребрежень.

Прежде всего покажем, что шар-зонд действительно колбанется. На него действуют две силы: сила тяжестей $mg$ и выталкивающая архимедова сила $F_B$. Обе силы направлены по вертикали, но в противоположные стороны. Очевидно, что в положении равновесия

$$mg = F_B,$$

где $m$ — масса шара, $F_B = \rho Vg$ ($V$ — объем шара).

Если в силу каких-то случайных объектов т挛ар шар сместится из положения равновесия, изменится величина выталкивающей силы. Причем, при смешении шара вверх $F_B$

*) Так как колесо катится без просальывания, то линейные скорости врашения всех точек на ободе колеса равны скорости построительного движения центра колеса.

44

уменныйся, а при смешении вниз — увеличится. Таким образом, в обих случаях возникнет равнойствующая сила, равная изменению выталкивающей силы и направленная к положению равновесия. Найдем ее величины.

Пусть шар смешится из положения равновесия на $x$. Так как плотность воздуха изменяется с высотой равномерно, то

$$\frac{\Delta \rho}{\delta} = \frac{x}{h},$$

где $\Delta \rho$ — изменение плотности воздуха на высоте $x$. Тогда

$$\Delta F_B = -\Delta \rho Vg = \frac{-\delta Vg}{h} x$$

(знак «минус» указывает на то, что сила $\Delta F_B$ направлена всегда к положению равновесия).

Мы видим, что равнойствующая сила, действующая на шар, направлена к положению равновесия и пропорциональна отклонению шара от положения равновесия. Это означает, что шар совершает гармоничное колбания, подобные колбаням груза наружнее (для которого $F = kx$). Роль коэффициента жесткости пружины в этом случае играет величины

$$k' = \frac{\delta Vg}{h}.$$

Позному перiod колбаний шара равен

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k'}} = 2\pi \sqrt{\frac{mh}{\delta Vg}}.$$

Так как $m = \rho \cdot V$, то

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{h\rho}{\delta g}} = 2 \cdot 3,14 \sqrt{\frac{100 \cdot \rho}{1,2 \cdot 10^{-2} \rho \cdot 10}} \approx 180$$ (с).

Ф241. Кольцо массы $m$ может скользить по стержню длины $L$. Сила претензия между ним $F$. Определить, какую минимальную скорость $v_0$ нужно сообиться стержню, чтобы он пролемел сквольь колбю, если вначале колбю покоштся.

Опыт проводится в невесомости.

Задча решения точно так же, как задача Ф228 (см. «Квант», 1974, № 5). Поэтому

$$v_0 = \sqrt{2LF \frac{M + m}{Mm}},$$

где $M$ — масса стержня.

Ф242. Камера-обскура представляет собой прямоугольный ящик, в одной из стенок коморого имеется круглое отверстие. Освещенность изображения Colnца, которое получается на промивоположной стенке камеры — экране, nada ввода при удалении от центра изображения к краю на 0,9 радуса изображения. Во сколько раз освещенность передней стенки камеры больше, чем освещенность в центре изображения?

Каждая точка изображения Colnца освещается не всем Colnцем, а только тем его участком, который виден из этой точки в малом телесном угле, ограниченном отверстием камеры-обскурцы. Так как отверстие камеры мал и Colnце находится очень далеко, то можно считать, что этот телесный угол одинаков для всех точек изображения Colnца. Ясно, что освещенность точки изображения Colnца пропорциональна той плоскости Colnца, которая видна из данной точки.

Изменение освещенности изображения связывано с тем, что по мере удаления точки от центра изображения участок Colnца, освещащий данную точку, приближается к краю Colnца, и когда участок «заходит» за край Colnца, его площадь уменьшается. Освещенность изображения точки падает вдвое, когда уменышается вдвое площадь «освещающего» точку участка Colnца. При этом, как видно из рисунка 13, в данной точке попадает луч, идущий от края Colnца и прохождение через центр отверстия камеры. Это позволяет найти угол, под которой видно Colnце из точки передней стенки камеры-обскурцы:

$$\frac{\alpha}{2} \approx tg \frac{\alpha}{2} = \frac{0,9R}{l},$$

где $l$ — длина камеры-обскурцы. Угол же, рис. 13.

46

П. Кацыло (Москва) 16, 26—29; П. Кирсанов (Москва) 26; Л. Клименок (Москва) 27; М. Кобозев (Киев) 21, 22, 27; В. Кобилецкий (Баку) 16, 18, 20, 26, 27; А. Колодин (Коломья Ивано-Франковской обл.) 21, 22, 24, 26, 27; С. Коляда (Киев) 16, 21, 22, 24, 27, 30; Л. Конытковский (Лунинец Брестской обл.) 27; С. Корцунов (Монино Московской обл.) 16, 17; В. Костманян (Баку) 27; С. Костмена (Челябинск) 27; А. Команов (п. Цалка ГССР) 27; Л. Кофман (Таллин) 16; И. Крюков (Старый Самбор Львовской обл.) 21, 22; Н. Кудрин (Коломна Московской обл.) 27; А. Кукуши (Киев) 26, 27, 30; А. Кумахов (с. II Лесен КБАССР) 27; А. Курляндик (Вильнюс) 26, 27; А. Кутыркин (Пенза) 21, 22; С. Лапасиков (Обоянь Курской обл.) 26, 28, 30; М. Левин (Витебск) 17, 18, 27; М. Левин (Таллин) 23; С. Лифцц (Харьков) 16, 21; Ю. Лобан (Евпатория) 26, 27; М. Люби (Харьков) 16, 19—23, 25—27, 29, 30; С. Ляпин (Петриков Гомельской обл.) 16, 17, 21, 27; Г. Мавзимов (д. Средние Челны ТАССР) 27; М. Малян (Ереванн) 27; А. Макариев (Львов) 16—18, 20—22, 24, 26—29; С. Макаров (Саратов) 26—28; С. Малинский (Полтава) 21—24, 27, 28, 30; Г. Мамедов (Баку) 27; А. Марков (Москва) 26, 27, 29; С. Мельник (Харьков) 16, 18, 20—26, 28, 29; А. Мехович (Владивосток) 27; В. Мильман (Минск) 26, 27; А. Мирошинченko (Харьков) 18; Ю. Михайлов (Ленинград) 21—23; Л. Михлин (Курск) 16, 18, 20—22, 27—30; А. Морозов (Новосибирск) 21; Ю. Муранов (Москва) 21; Г. Мустафаев (Сизань Аз. СССР) 27; К. Мхитарян (Ереванн) 16—22, 25—28; А. Навасарди (Ереванн) 27; Ю. Неретин (Москва) 26, 27; Н. Нечемаемев (Ленинград) 16, 20—23, 25—28, 30; А. Николаев (Москва) 20; И. Новиков (Куйбышев) 16, 18, 21, 23—25, 27—30; С. Охитин (Оренбург) 16, 20, 26—28; И. Панин (Апатиты) 16, 20—23, 26, 27; Е. Пасике (Харьков) 26, 27; В. Пелиненko (Воронеж) 26—29; О. Печерский (Орджонникдзе) 16; Ю. Пинелис (Кзыл-Орда) 16—18, 20, 26, 27, 29, 30; М. Половинник (Мена Черниговской обл.) 16; А. Поносов (Пермь) 21, 22, 24—30; В. Порцейн (Ростов-на-Дону) 18, 21, 24, 27, 30; Р. Портной (Черновцы) 21, 27, 29, 30; Д. Поцшивили (Тбилис) 27; В. Прасолов (Ворошиловград) 26, 27, 29; Ю. Промас (Кагул МССР) 18, 23, 27; С. Путинцев (Кемерово) 16, 18, 20, 22, 23, 25—28; Л. Рабинович (Тула) 21—23, 25—30; А. Разуллев (Клин Московской обл.) 18, 20—23, 25, 27; А. Рашковский (Харьков) 26, 27; А. Резников (Киев) 16, 21, 22, 26, 27; А. Репцейн (Краматорск Донецкой обл.) 16, 18—21; Г. Родин (Ленинград) 21, 23; Р. Рожков (Москва) 26, 27; Ф. Рожков (Рязань) 26, 27; М. Рожкова (Киев) 18; Е. Романовский (Киев) 26—28, 30; В. Рубаевский (Киев) 20, 21, 27, 28; Н. Рундковист (Свердловск) 16; А. Рыбаков (Муром)

47

Приводим список читательей, приславших решения задач Ф223—Ф242. Задачи Ф223 и Ф233 правильно решили почти все читатели; правильные решения остальных задач присладали (жирные цифры после фамилии — две последние цифры номера решенной задачи):

Н. Абраменко (Могилев) 30, 36, 38, 40; Д. Азов (Челябинск) 38; С. Акмерцев (Москва) 28, 34; А. Амельченко (Магнитогорск) 25, 32, 36, 37; И. Анкудинов (Нальчик) 34, 36, 37; П. Анццферов (Фатеж) 34, 36, 38, 39, 40; В. Бакуров (Новосибирск) 25, 28, 29, 32, 34, 36, 38, 40; А. Бараов (Москва) 24, 28, 34, 40; А. Барсуков (Пятигорск) 28, 39; Р. Басыров (Д. Каракитяны Тат. АССР) 28, 38, 40; М. Белкин (Пинск) 24—29, 30, 32, 34, 36, 38—41; А. Белусов (Москва) 28, 30, 32, 34; В. Беллев (Москва) 28, 38, 40, 41; В. Бенхан (Калинин) 37; С. Березин (Кимры) 38; Ю. Бляхер (Душанбе) 28; Л. Боzemолов (Одеcca) 33, 41; С. Бороздин (Новгород) 25, 28, 29, 32; А. Браславец (Новосибирск) 34—36, 38, 40; И. Брамовская (Новосибирск) 24; Ю. Бучинскас (Шильбский р-н Лит. ССС) 34, 36, 38—40; И. Вандакуров (Ленинград) 28; С. Васильев (Ленинград) 22, 38—40; И. Виняр (Орегев) 28, 38; А. Волецов (Свердловск) 36; П. Волохов (п. Криуляны Молд. ССС) 40; А. Восканян (Ереван) 24, 25, 28, 29, 34, 36; Р. Габдулин (Казань) 37; Д. Габрильян (Белая Калитва) 40; В. Гаврилок (Минск) 40, 41; М. Газда (п. Клевань Ровенской обл.) 24—27; В. Гальцев (Оренбург) 38; А. Галоченko (Харьков) 29, 30, 32, 34, 36; С. Гаркуша (ТАшкент) 40; А. Герман (Воронеж) 25; С. Герц (Хуст) 32, 40; Р. Гирдянис (Вильнос) 40, 41; Ю. Гладё (Терноволь) 24; Л. Глазман (Харьков) 25, 26, 29, 30, 34—38; 40, 41; А. Гриорьев (Грозный) 28; А. Грибере (Кишинев) 29, 40; С. Гришин (Вязывам) 36; М. Гулянский (Магнитогорск) 25, 30, 32, 38; А. Гуревич (Минск) 25, 26, 28—32, 38, 40, 41; С. Давтян (Октемберян) 34, 36, 38, 40, 41; А. Давыдов (Магнитогорск) 25, 29—32, 34, 36; С. Даркембаев (Алма-Ата) 26; С. Демидов (д. Сосновка Вологодской обл.) 36; О. Денисов (Баку) 37; Ю. Докуаев (Ленинград) 28—30, 38; Н. Дубровский (Омск) 38—41; Р. Егорян (Ереван) 25, 28, 31; Г. Erkhanpetян (Ереван) 29, 31, 32; К. Жакунбеков (с. Баршатас Семипалатинской обл.) 40; В. Железов (п. Октябрьский Амурской обл.) 36, 38, 40; В. Жук (Грозный) 27—29, 31, 32, 36, 38—41; С. Зазовский (Новомосковск) 38; М. Закс (Пермь) 40; С. Зенович (ТАшкент) 40; Е. Зубко (ИвановФранковск) 25, 28, 29, 32, 34, 38, 40; В. Иванов (Железнодорожный) 28; В. Ненатев (Волгоград) 24—27; А. Измайлов (Баку) 34, 40; А. Илькун (Зеленодольск) 25, 38, 40; А. Казков (Рудный) 24; С. Каляев (Сосновый Бор) 38; В. Канзова (Депроедержинск) 24, 26; В. Карлин (Волоколам-ский р-н Московской обл.) 24; В. Качман (Мытщиц) 38; М. Качановский (д. Вишневчи Брестской обл.) 24, 25; В. Ковалевский (Витебск) 24; Л. Коран (Ленинград) 40; Я. Коран (Глазов) 24, 25, 32, 40; С. Корнеев (Новокузнецк) 25—27; С. Коршунов (п. Монно Московской обл.) 24, 25, 38, 40, 41; Л. Кофман (Таллин) 24, 34, 40; И. Коцеарова (Рыбинск) 28; Г. Коява (Цхинвалы) 32, 36, 38; С. Кривонос (Днепропетровск) 24, 25; И. Крюков (Стайый Самбор) 28; Н. Кудрин (Коломна) 38, 40, 41; А. Кудряшов (Саратов) 36; В. Кузьмин (Грозный) 24, 40; П. Кузьмин (Улан-Уде) 28—32; А. Куманов (Фрунзе) 24; А. Кумилиумаров (Хорезмская обл. Узб. ССС) 27, 27; И. Куцик (Ярославль) 28, 30, 31, 36, 40, 41; Р. Кучаров (Хорезмская обл. Узб. ССС) 28, 32; Ю. Лавров (ст. Каневская Краснодарского кр.) 32, 40; А. Левитас (Киев) 36; А. Лекциинов (Шахты) 24, 28; А. Лукьянов (Дубовский) 36; П. Лыеденов (с. Кижинга) 40; А. Львов (Саратов) 28; С. Ляпин (п/o Блокорович Житомирской обл.) 24; В. Мазалов (Шауляй) 36, 40; М. Машил (Ереван) 24; А. Макарцев (Ливов) 24, 34, 36—38, 40; А. Макаров (Харьков) 36; С. Макаров (Саратов) 24, 26, 38—40; С. Максимов (Алма-Ата) 37; Г. Мамедов (Баку) 34—38, 40; Ю. Маркин (Харьков) 38; А. Марков (Москва) 38, 42; С. Мельник (Харьков) 24, 28, 32, 38, 40, 41; Е. Метт (Ленинград) 36, 38, 40; Л. Миродошвили (Тбилиси) 38—40; А. Молотков (п/o Кубинка Московской обл.) 36, 38, 40; В. Момковский (Киев) 34; Р. Мусин (с. Никитино Оренбургской обл.) 24; Р. Назарудлов (Стерлитамак) 28, 29; И. Никитин (Ленинград) 29; И. Никитин (Североморск) 28; А. Николаев (Москва) 24, 26, 28, 29, 31—32, 34, 36, 38—41; Г. Оданисан (с. В. Арташат Арм. ССС) 36; А. Окунь (Одеcca) 28; С. Омельченко (Запорожье) 36; С. Очунцин (Пермь) 38, 40; Р. Оспанов (Байрам-Aли) 25, 28, 31, 32; С. Островская (Харьков) 34, 38; А. Паровичников (Обнинск) 24; Ю. Перфильев (Саратов) 36, 40; Ю. Пинелис (Кзыл-Орда) 24, 26, 28—30, 40—42; К. Пираминский (Кишинев) 36, 40; О. Поваляев (Подольск) 24, 34, 36, 38—40; А. Поедуля (Уфа) 24, 34, 36; М. Поликарпов (Москва) 24, 35, 36, 38, 40; В. Поляков (Петропавловск) 37; А. Поляянский (Челябинск) 34; С. Поляруш (Жабинка) 40; В. Прасолов (Ворошиловград) 31; В. Разин (Белорец) 38; А. Резников (Киев) 24; А. Ремеев (ТАшкент) 33, 34, 36, 38—40; С. Рендзинк (Стрый) 34, 36, 37; В. Решетняк (Киев) 34, 40, 41; А. Решетняк (Киев) 34, 40, 41; Я. Ряписов (Ломоносов) 25, 38, 40; Ш. Самцев (Дангаринский р-н Тадж. ССС) 28, 29; В. Свиридов (Соронежская обл.) 39; Р. Сереев (д. Перебродье Витебской обл.) 38; В. Сержеанов (д. Средне-Беляя

48

Амурской обл.) 36, 37; Р. Сирома (Харьков) 24, 28, 29, 34; В. Смоленков (Ленинград) 24, 38; Ю. Смоленцев (Ессентуки) 24, 25, 28—30, 32, 34—38, 40; А. Степанович (Москва) 24; В. Сторчак (Кировоград) 24; М. Стрибуть (Лида) 28, 32; В. Сусленаров (Кунгур) 38, 40; В. Сыцев (Грозный) 35; А. Теванян (п. Сисан Арм. СССР) 35, 36, 38; Т. Токарев (Тула) 24; Требулева (Ташкент) 38, 40; М. Тульчинский (Киев) 28; Д. Узенко (Магнитогорск) 24, 25, 28, 31, 32, 34, 36, 40; И. Усвят (Ташкент) 25—29, 31, 32, 34, 36, 39, 40; Н. Федин (Омск) 25—28, 32, 34, 36, 38, 40—42; Е. Федоров (Магнитогорск) 24, 25, 34, 36, 41; Д. Фушман(Черновцы) 26, 27; В. Хацимовский (Краснойск) 24—27; А. Холматов (с. Ярбаши Анджанской обл.) 28—30, 32; И. Цифра (с. Велигино Закарпатской обл.) 28; Ю. Цыданов (п. Вербилки Московской обл.) 38, 40; А. Черников (Воронеж) 36; А. Ченулин (Уфа) 39; А. Шабalin (Магнитогорск) 24, 25; М. Шаймухамбетов (Алма-Ата) 38, 39, 41; Ж. Шамурадов (Ашхабад) 40; В. Шапкин (Октябрьский) 24; В. Шапопинков (Фрунзе) 40; К. Шварцман (Кишинев) 24, 39, 40; В. Шендрик (Алма-Ата) 34—36, 38, 39; А. Шень (Москва) 40; А. Шестак (Макаров) 34, 36; Е. Шестаков (Д. Ровкович Гомельской обл.) 34, 36; Е. Шестаков (Москва) 38, 40; С. Шицкин (Медвежberger) 24—29, 30, 32; В. Шнейдман (Харьков) 25, 26, 28—32, 34, 36, 38—42; С. Шульea (Киев) 38; А. Юдин (Сызрань) 38.

С. Г. Семенчинский

Ответы к кроссворду
(см. «Квант», 1974, № 6)

ПОГОРИЗONTALI

2. Луч. 5. Пульсар. 8. Мезон. 9. Осмий. 13. Люмен. 14. Гук. 15. Катет. 20. Линия. 21. Зеркало. 22. Аргон. 27. Минус. 28. Герц. 29. Свет. 30. Сдвиг. 35. Ответ. 36. Деление. 37. Частное. 38. Бином. 42. Волыт. 43. Бром. 45. Анод. 46. Слюда. 49. Катод. 50. Отрезок. 51. Волна. 54. Точка. 55. Три. 56. Конус. 59. Планк. 60. Герон. 62. Пифагор. 63. Бор.

ПОВЕРТИКАЛИ

1. Фурье. 3. Кулон. 4. Масса. 6. Вебер. 7. Дирак. 10. Кюрий. 11. Функция. 12. Генри. 16. Синус. 17. Ленц. 18. Плюс. 19. Хорда. 23. Гиперон. 24. Серебро. 25. Нейтрон. 26. Цилиндр. 31. Сто. 32. Век. 33. Ион. 34. Ток. 39. Дьюар. 40. Алгебра. 41. Длина. 44. Метр. 45. Азот. 47. Сорок. 48. Фокус. 52. Шкала. 53. Фотон. 57. Индий. 58. Метод. 61. Закон.

49

Белорусский государственный университет им. В. И. Ленина

Ниже мы помещаем варианты вступительного письменного экзамена по математике, предлагавшие поступившим на факультеты физико-математического профили Белорусского государственного университета в 1973 году.

Mathematical факультет
Вариант 1

1. Внутри окружности радиуса $R$ расположены четырьмя равных окружности меньше радиуса. Каждый из них касается большей окружности и двух равных ей соседних. Вычислить площадь фигуры, ограниченной всеми равными окружностями.

2. Варифметический прогресси $a_m = n$, $a_n = m (m \neq n)$. Найти $a_p$.

3. Решить неравенство
   $$|x|^{x^2-x-2} < 1.$$

4. Найти значения $x$ в промежутке $[-2\pi, \pi]$, при которых функция $f(x) = \sin x - \cos x$ имеет наименьшее значение. Вариант 2

5. В треугольной парамиде все шесть ребер одинаковы. Найти расстояние от центра основания до боковых граней, если радиус висиного шара равен $R$.

6. Упростить выражение
   $$\frac{\sqrt{(a+x)(x+b)} + \sqrt{(a-x)(x-b)}}{\sqrt{(a+x)(x+b)} - \sqrt{(a-x)(x-b)}},$$
   если $x = \sqrt{ab}$, $a > b > 0$.

7. Решить уравнение
   $$\sin^2 x + \sin^2 2x = 1.$$

8. В треугольнике $ABC$ проведена bicсетриса $AD$. Доказать, что если $AB + BD = AC + CD$, то треугольник $ABC$ равноведенный.

Факультет прикладной математики
Вариант 3

1. Отношение периметра паралелограмма к его большей диагонали равно $k$, $k > 2$. Найти углы паралелограмма, если известно, что большая диагональ делит угол паралелограмма в отношении 1:2.

2. Найти два натуральных числа, разность которых 66, а наименьшее общее кратное 360.

3. Определить, при каких значениях $a$ уравнение
   $$2 \lg (x+3) = \lg (ax)$$
   имеет единственный корень. Найти этот корень.

4. Привести к виду, удобному для логарифмирования,
   $$\sin 2\alpha + \cos 4\alpha - \sin 6\alpha.$$

Вариант 4

1. Отношение объема шара, вписанного в конус, к объему шара, описанного около этого конуса, равно $k$, где $0 < k < 1/8$. Найти угл между образующей конуса и плоскостью его осиования.

2. Два моториклеста отправляются одновременно настречну друг другу из пунктов $A$ и $B$, расстояние между которых 660 км. В то время, как первый проходит 250 км, второй проходит 200 км. Найти скорость движения моториклестов, считая их движение равномерным, если первый моториклест приходит в $B$ на 3 часа раныше, чем второй в $A$.

3. Решить уравнение
   $$-2 + 4 \cos^2 x = \cos x + \sqrt{3} \sin x.$$

4. Решить неравенство
   $$\frac{|x+2| - x}{\sqrt{4-x^3}} > 0.$$

Физический факультет
Вариант 5

1. В правильной треугольной признаме плоскость, проведенная через центр основания и центры симметричных двух боковых граней, составляет с плоскостью основания острый угол $α$. Найти площадь сечения, образованного этой плоскостью, если сторона

50

Основания равна $a$.
2. Решить неравенство $\log_{0,5}(x+1) > \log_{2}(2-x)$.
3. Решить уравнение $\sin^4 x + \cos^4 x = \sin 2x - 0,5$.
4. Найти три числа, образующие геометрическую прогрессию, если известно, что их произведение равно 64, а их среднее арithmeticое равно $\frac{14}{3}$.

Вариант 6

1. В основании прямой прямой прямой равновобочная трапеция, диагонали которого перпендикулярны к соответствующим боковым сторонам. Ostрый угол между диагоналями трапеция равен $\alpha$. Отрезок прямой, соединяющий вершину при остром угле верхнего основания с центром окружности, описанной около нижнего основания, равен $l$ и образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найти объем прямых.
2. Решить уравнение
   $$\frac{6\cos^3 2x + 2\sin^3 2x}{3\cos 2x - \sin 2x} = \cos 4x$$.
3. Решить неравенство
   $$\frac{x^2 - 3x + 1}{|x^2 - 1|} > 1$$.
4. Решить систему уравнений
   $$\begin{cases} y - \log_3 x = 1, \\ x^y = 3^{12}. \end{cases}$$
   С. С. Белаяский

Уральский государственный университет им. А. М. Горького

В «Кванте» № 7 за 1973 год мы уже расказывали об Уральском ордена Трудового Красного Знамени государственном университете имени А. М. Горького. В этом номере мы приводим образцы вариантов письменного экзамена по математике и образцы билетов устного экзамена по физике на математикомеханическом и физическом факультетах в 1973 году.

Математика
Matematiko-mеханический факультет
Письменный экзамен по математике

Вариант 1

1. В сосуде имеется несколько одинаковых кранов, которые открывают один за другим через равные промежутки времени. Через 8 часов после того, как был включен последний краан, сосуд был заполен; при этом оказалось, что первый краан работал в 5 раз больше времени, чем последний. За сколько часов заполнится сосуд, если открыть все краны одновременно?
2. В конус вписан куб с ребром $a$ так, что одно его ребро лежит на диаметре основания конуса; вершины куба, не принадлежащие этому ребру, лежат на боковой поверхности конуса, а центр куба лежит на высоте конуса. Определить объем конуса.
3. Решить уравнение
   $$\cos^2 x \cdot \cos 2x + \cos 4x + \cos 3x \cdot \cos x + 2\cos^4 x = \frac{1}{2} \cos \frac{x}{2}$$
4. Данны значения $\lg 24 \approx 1,38021$ и $\lg 25 \approx 1,39794$. Определить без помощью таблицы, сколько нулей содержится после запятой до первого значений цифры в десятичной записи числа $\sin^{1000}\left(\frac{5\pi}{3}\right)$.

Вариант 2

1. Два рабочих разной квалифICATION выполнили за 3 часа, некоторую работу. Если бы первый рабочий начал работу на час работы, а второй на полчаса позже, то они закончили бы работы на 18 минут работы, чем в действительности. Если бы второй рабочий начал работу на час работы, а первый на полчаса позже, то первый рабочий заработал бы на 5 руб. 60 коп. меньше, чем на самом деле. Сколько заработал каждый рабочий в действительности?
2. В треугольной парамиде $SABC$ ребро $AB$ равно $a$, а все плоские углы трехгранных углов с вершинами в точках $A$ и $B$ равны $a$. Определить объем парамиды.
3. Найти решения уравнения
   $$\sqrt{1 - \cos x} + \sqrt{1 + \cos x} = 4\sin x$$
   лежащие в интеграле $(0, 2\pi)$.
4. Решить неравенство
   $$2^{-|x-2|}\log_2(4x-x^2-2) \ge 1$$

Дополнительные вопросы, предлагшиеся на устном экзамене по математике

1. Найти область определения функции $y = \tg \sqrt{6-x-x^2}$.
2. Построить график функции $y = \sqrt{\cos^2 x} \cdot \sin x + \sqrt{\sin^2 x} \cdot \cos x$.
3. Решить уравнение $\sqrt{x+1} - \sqrt{x} = a$.
4. Какое из чисел больше: $(\sqrt{2})^{v_3}$ или $(\sqrt{3})^{v_2}$?
5. Решить уравнение $2^{\sin 3x} = \frac{\sin x}{2}$.
6. Доказать неперiodичность функции $y = \cos x + \sin(x\sqrt{2})$.

51

7. Существует ли возможность геометрической прогрессия, у которой первые 7 членов — целые, а следующее — не целые?

8. Существует ли четырехугольная парамида, у которой две противоложные боковые грани перpendикулярны к основанию?

9. Можно ли плоскость пересекать пять ребер треугольной парамиды?

Физическая факультет
Письменный экзамен по математике

Вариант 3

1. В озеро впадают две реки, скорости течение которых одинаковы, на озере течение отсутствует. Пароход выходит из порта B, расположенного на первой реке, и пливет в порт A, расположенный у устяя реки, потратив на этот путь $2^{3/4}$ часа. Затем пароход пливет дальше из порта A через озеро в порт C на второй реке, затратив на этот путь 3,5 часа. На путь из C в A пароход трапит 3 часа. Сколько времени потребуется пароходу, чтобы поднять вверх по первой реке из порт A в порт B, если известно, что порт A расположен посередине между портами B и C?

2. В равноведренном треугольнике с углом при основании, равным $\alpha$, высота, опущенная на основание, больше радиуса вписанного круга на $m$. Определить радиус описанного круга.

3. Решить уравнение
   $(\cos 2x)^2 \cos 3x + 4 \cos x - 1 = \sec 2x$.

4. Для каждого вещественного $a$ решить неравенство
   $$\sqrt{2ax - x^2} \geq a - x.$$

Вариант 4

1. Оdnому буксиру нужно перевести за наименьшее время два pontona виз по реке на $l$ км. Было решение, что один pontон будет отправлен по течение реки самостояльно, а другой будет некоторое время транспортироваться буксиром, после чего буксир оставит его, вернется за первым pontоном и отбукирует его до конечного пункта. Сколько времени потребуется на транспортировку буксиром второго pontона, если к конечному пункту оба pontона пришли одновременно и если собственная скорость буксира $v$ км/ч, а скорость течение реки $u$ км/ч?

2. Высота правльной треугольной парамиды равна $h$, а расстояние от основания высоты до бокового ребра равна $a$. Определить двугранный угол между боковым граями парамиды.

3. Решить систему уравнений
   $$\begin{cases} \frac{1}{x+y} + \frac{1}{x+z} = \frac{7}{12}, \\ \frac{1}{x+y} + \frac{1}{y+z} = \frac{8}{15}, \\ \frac{1}{y+z} + \frac{1}{x+z} = \frac{9}{20}. \end{cases}$$

4. Доказать, что для всех значений $x$, при которых левая часть имеет смысл, справедливо неравенство
   $(\text{ctg}^2 x - 1) (3 \text{ctg}^2 x - 1) \times (\text{ctg} 3x \cdot \text{tg} 2x - 1) \leq -1.$

Физика

Matematiko-механический факультет

Билет 1

1. Третий закон Ньютона. Устройство реактивного движения.

2. Разложение белого света призмой. Спектр. Невидимые области спектра. Устройство спектроскопа. Понятие о спектральном анализе.

3. К аккумулятору с внутренним сопротивлением 1Om подключена проволока сопротивлением 4Om, а затем параллельно ей еще одна такая же. Во сколько раз изменится количество теплоты, выделяющейся в первой проволоке, после подключения второй?

Билет 2

1. Гармоническая колбательное движение. Перiod и частота колбатей. Математическая матрик и период его колбатей.

2. Строение ядра atoma. Деление ядра урана. Выделение энергии при делении тяжелых ядр.

3. За какое время тело сокользет с наклонной плоскости с углом $\beta$, если по наклонной плоскости с углом $\alpha$ оно движется вниз равномерно ($\beta > \alpha$)?

Билет 3

1. Понятие о волновой и квантовой природа света.

2. Электрическая колбательный контур. Превращение энергии в колбательном контуре. Связ перiodа колбатей контура с его индуктивностью и emкостью.

3. Открытия с двух стороны погружена в руть. Верхнее отверстие закрывают пальцем и трубку вынимают из рутины, при этом в ней остается столь ртути высотой $h = 22$ см. Определить внешнее атмосферное давление, если длина трубки $L = 80$ см.

Билет 4

1. Механическая работа. Единица измерения работы. Мощность, единицы ее измерения.

2. Электрическая явления в вакууме. Явление термозлектронной эмиссии. Электронно-лучевая трубка.

3. Два точных зарядов величины $q = 3,4$ ед. заряда СГСЭ находится на расстоянии 17 см. С какой силой и в каком направлении они действуют на единичный положительный заряд, находящейся на расстоянии 17 см от каждой из них?

53

В течение всего года занимающимся на курсах высылаются задания и специальные подготовительные материалы. В июле слушатели курсов вызываются в Москве для очень занятый.

Ниже приведятся варианты письменного экзамена по математике и задачи устного экзамена по физике на математический и физический факультеты МГПИ им. В. И. Ленина в 1973 году.

Математическая факультет

Вариант 1

1. Решить неравенство
   $$\log_{x^2-3}8 < -3.$$
2. Найти все решения уравнения
   $$\sqrt{1-\sin 2x} = \sin 3x + \cos 3x$$
   удовлетворюшение условия $\frac{3}{2}\pi \leq x \leq 2\pi$.
3. Через вершину основания правильно треугольной парамиды под углом $\alpha$ к нему проведено сечение, параллельное противоложшей стороне основания и перpendикулярное к противоложшей боковой грани. Определить объем парамиды, зная ее апофему $a$.
4. От пристини $A$ одновременно отправились вниз по течению катер и плот. Катер спустился вниз по течению на 96 км, затем повернул обратно и вернулся в А через 14 часов. Найти скорость катера в стоячей воде и скорость течения, если известно, чтокатер встретил плот на обратном пути на расстоянии 24 км от А.

Вариант 2

1. Решить неравенство
   $$\log_{5}\frac{x+7}{16-2x} > \log_{5}x.$$
2. Найти все решения уравнения
   $$\text{ctg}x - \text{tg}x = \frac{2\sqrt{3}\cos 2x}{1+\cos 2x},$$
   удовлетворюшение условия $|x| < \pi$.
3. Основанием парамиды служит равноведенный треугольник, равные стороны которого имеют длину $a$. Соответствие им боковые грани перpendикулярны к плоскости основания и образуют между собой угол $\alpha$. Угол между треугольником боковой грани и плоскостью основания также равен $\alpha$. Определить объем парамиды.
4. Два поезда отправляются одновременно из пунктов $A$ и $B$ на встречу друг друга. Скорость первого поезда на 10 км/ч больше скорости второго. Оба поезда встречаются на расстоянии 28 км от середины $AB$. Если бы первый поезда отправился из пункта $A$ на 45 мин позже второго, то оба поезда встретились бы на середине $AB$. Найти расстояние $AB$ и скорости обихх поездов.

Физический факультет

Вариант 1

1. В основании прямой треугольной признамы лежит равноведенный треугольник $ABC$, у которого стороны $AB = BC = a$ и угол $A$ равен $\alpha$. Через сторону $AC$ проведена плоскость под углом $\varphi\left(\varphi < \frac{\pi}{2}\right)$ к основанию. Найти площадсе сечение, если известно, что в сечении получился треугольник.

2. Найти четые числа, составляющие геометрическую прогрессию, так, что сумма крайних членов равна 35, а сумма средних 30.

3. Решить уравнение:
   $$\sin^2x - \sqrt{3}\sin x \cos x = 0.$$

4. Решить уравнение:
   $$\frac{2^{2x+1}-9}{4} + \frac{2}{4^{x+\frac{1}{2}}} = 0.$$
   Вариант 2

5. Основанием парамиды служит равноведенный треугольник, у которого боковая сторона равна $a$, а угол при вершине равен $\alpha$. Все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом $\beta$. Найти объем парамиды.

6. Вычислить:
   $$\sqrt{3\sqrt{5\sqrt{3}\sqrt{5}}} \dots$$

7. Решить уравнение:
   $$\cos 2x + \cos x + 1 = 0.$$

8. Решить уравнение:
   $$\frac{\log_5(2x+3)}{1-\log_5(2x+3)} + \frac{3}{5-\log_5(2x+3)} = 0.$$
   Вариант 3

9. Определить объем парамиды, основанием которого является прямой треугольник с острым углом $\alpha$. Ребра наклонены к плоскости основания под углом $\beta$ и равны $b$.

10. Написать арифметическую прогрессию, первая член которого равен 1, причем сумма первых пятей членов равна $1/4$ суммы следующих пятей членов.

11. Решить уравнение:
    $$4\sin^2x + 3\cos^2x = 6,5\sin 2x.$$

12. Решить уравнение:
    $$\frac{\log_2(3x-1)}{1+\log_2(3x-1)} = \frac{2}{3+\log_2(3x-1)}$$.