Квант 1974, №11 · Страницы

1974
11
Квант
Научно-популярный
физико-математический
журнал

«Автомат» для игры в шахматы играет с Наполеоном» (рис. А. Унеховского).

Этот «автомат», созданный венгерским изобретателем и механиком В. Кемпелемом в 1769 году, был обыскновеной мистефикцией, хотя и свидетельствовал о больших конструкторских способностях Кемпелема. В основания шахматных фигур были внотированны сильные магниты. Они притяговали железные шарики, расположенные под dockкой, и таким образом сигнализировали шахматисту, сидящему в «автомате», о ходах соперника. Управление «туроком», сидящим за dockой, осуществлялось с помощью сложной системы рычагов.

Встреча с Наполеоном проходала в 1809 году, в «автомате» сидел один из лучших венгерских шахматистов того времени Альгайер.

По-настоящему играть в шахматы машину «обучили» лишь в 60-х годах нашего века. О том, как совершенные электронно-вычислительные машины играют в шахматы, вы можете прочитать в этом номере (см. с. 17).

1

В НОМЕРЕ:

2 Г. Я. Мякшцев. Вынужденные механические колебания
8 А. Г. Мордкович. Экстремумы многочлена третьей степени
12 У нас в гостях журнал «Земля и Вселенная»
В. А. Бронштэн. Противостояния Марса
17 Р. С. Гумер, М. В. Донской. Машина играет в шахматы
23 В. Н. Ваумен. Задачи о графах или сказка «Иван-царевич и Серый Волк»

Лаборатория «Квант»
30 В. Драчев, А. Мазур. Фотокамера «Рыбий глаз»

Математический кругок
32 Н. Б. Васильев. Семейство паралельных п-угольников
Задачик «Квант»
40 Задачи M291-M295; Ф303-Ф307
42 Решения задач M251-M255; Ф260-Ф268

Практикум абитриента
54 Г. В. Дорофеев. Пределя послеовательности
60 Е. П. Кузнецов. «Космические» задачи на вступительных экзаменах

Рецензии, библиография
64 Т. С. Петрова, М. Л. Смолянский. Новые книги
66 Е. П. Левитан. Приглашение в дальнейй космической рейс.

Информация
67 Заочная олимпиада школьников Азнатской части СССР
71 В. А. Лешковцев. Ленинские премии 1974 года.
73 С. Иванов, А. Вараксин. День юного физика

«Квант» для младших школьников
74 Задачи
75 А. И. Мостовой. Нет ли другого решения?

Ответы, указания, решения
Уголок коллекционера (3-я с. обложки)
Смесь (с. 11, 16)

На первой странице обложки — форматфикация, сделанная в цепите подготовки космонавтов им. Ю. А. Гаарина.
Лемицки- космонавты СССР Герой Советского Союза Анатолий Филипенко и Николай Руководников после генерировки в корабле-тренжере «Союз». Фото А. Маклецова (АПН). Эма форматфикация с помощью объектива «Рыбий глаз».
О том, как можно самим делать подобные форматфикации, рассказывается в этом номере журнала (см. с. 30).

© Главная редакция физico-mатематической литературы издательства «Наука», «Квант» 1974 год.

2

Основное уравнение движения в механике — это второй закон Ньютона:

$$m a = F.$$

Чтобы найти положение тела и его скорость в любой момент времени, достаточно знать силу как функцию координат тела и проекций его скорости, а также начальные условия: координаты и проекции скорости тела в начальной момент времени.

Простейший случай — движения под действием постоянной силы $F = const$ (в частности, сила может равняться нулю). Тогда ускорение постоянно ($a = const$); координаты и скорость тела легко определяются с помощью известных kinematических уравнений.

При колебательном движении, весьма распространном в природе и широко использующом в технике, ускорение не постоянно. Это сильно усложняет решение механических задач. Только свободные гармонические колебания тела под действием силы, пропорциональной смесению тела из положения равновесия, можно исследовать полностью, не прибегая к вышей математике. Но уже учет силы тремя, пропорциональной скорости, требуется уменнять дифференциальные уравнения. Еще сложнее (математически) задача о вынужденных колебаниях, когда на системе действия дополнительно вешняя перiodическая сила. В этом случае в системе наблюдается любопытное и практическую важное явление — резонанс. При совпадении частоты внешней силы с частотой собственных колебаний системы амплитуда колебаний резко возрастает.

Можно, однако, не прибегая к решению сложного уравнения движения, проанализировать процесс вынужденных колебаний с помощью наглядных физических сообщений. В частности, можно понять, почему наблюдается резонанс. Этому и посвязывана данная статья.

No вначале напомним некоторые основные положения, касающиеся свободных гармонических колебаний.

Свободные гармонические колебания

Самой простой колебательной системы является система, в которой действует сила, пропорциональная смесению тела из положения равновесия, направленная противоположно смесению. Трение, конечно, есть всегда. Но если оно мало, то на протяжении не слишком интервала времени действием силы тремя можно пребесть. К подобным системам относятся: груз наружие, математический матник (при небольших углах отклонения), плавающее на поверхности воды тело с неизменным сечением и т.п. Для определения будем говорить только о грузе наружие. На груз действуют две силы: сила тяжесте и сила упругости пружины. Постоянная сила тяжесте $F_T = mg$ никак не влияет на процесс колебаний. Она лишь смешает положение равновесия груза. Ее легко исключить

3

из уравнения движения, если начало системы отсчета совместить с концом деформарованной грузом пружины, когда груз находится в покое (рис. 1). Координатную ось $OX$ направим вертикально вниз. Тогда колебания будут проинсходить только под действием силы упругости $F_y = -kx$, где $k$ — коэффициент упругости, а $x$ — смешение груза из положения равновесия. Уравнение движения запишется так:

$$ma_x = -kx. \tag{1}$$

Разделив это уравнение на $m$ и введя обозначение $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$, получим общепризнаную форму уравнения, описывающего гармоничическую колебания с циклической частотой $\omega_0$:

$$a_x = -\omega_0^2 x. \tag{2}$$

Решение этого уравнения, то есть нахождение функции $x = x(t)$, можно получить элементарно, но довольно длиным путем. Результат такой:

$$x = x_0 \cos(\omega_0 t + \varphi_0). \tag{3}$$

Здесь $x_0$ — амплитуда колебаний, а $\varphi_0$ — начальная фаза. Эти величины находятся из начальных условий.

Obviously мы возбуждаем колебания груза на пружине, оттянув его вниз и отпустив. При этом на начальной момент (при $t = 0$) $x = x_0$, а $v_x = 0$. Это соответствует тому, что $\varphi_0 = 0$. Тогда

$$x = x_0 \cos \omega_0 t. \tag{4}$$

Гармоничические колебания можно описывать, использую равноправие.

Рис. 1.

ные трионометрические функции косинус и синус. Вместо (3), конец, можно записать:

$$x = x_0 \sin(\omega_0 t + \varphi_0). \tag{5}$$

Но тогда при обычных начальных условиях $\varphi_0 = \frac{\pi}{2}$, а не нулю. Поэтому запись через косинус несколько предпочтительнее, хотя, конечно, можно использовать и синус.

Скорость при гармоничическах колебаниях тоже меняется по гармоничческому закону. Ее амплитуда равна $v_0 = \omega_0 x_0$, а сдвиг по фазе относительно координаты равен $\frac{\pi}{2}$:

$$v_x = \omega_0 x_0 \cos\left(\omega_0 t + \frac{\pi}{2}\right) = -\omega_0 x_0 \sin \omega_0 t. \tag{6}$$

Ускорение колебляется в противофазе с координатом (смешено по фазе на $\pi$) и имеет амплитуду $a_0 = \omega_0^2 x_0$, то есть

$$a_x = \omega_0^2 x_0 \cos(\omega_0 t + \pi) = -\omega_0^2 x_0 \cos \omega_0 t. \tag{7}$$

Вот и все, что нужно знать для дальнейшего относительной свободных гармоничских колебаний.

Уравнение движения для вынужденных колебаний

Пусть на колебательную систему (груз на пружине в нашем примере) действует внешняя периодическая сила $F_x = F_0 \cos \omega t$. Кроме того, на тело действуют силы упругости $F_y = -kx$ и сила треня, пропорциональная скорости $F_{\tau p} = -\mu v_x^*$), где $\mu$ — коэффициент треня. Тогда уравнение движения запишется так:

$$ma_x = -kx - \mu v_x + F_0 \cos \omega t. \tag{8}$$

Пересечя влевую часть уравнения все силы, кроме внешней, получим:

$$ma_x + \mu v_x + kx = F_0 \cos \omega t.$$

*) При малых скоростях движения тела действительно можно считать, что сила треня (или, по-другому, сила сопротивления) прямо пропорциональна скорости.

4

Рис. 2.

Удобнее записать это уравнение в несколько другом виде, разделив правую и левую его части на $m$ и введя обозначение $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$:

$$a_x + \frac{\mu}{m} v_x + \omega_0 x = \frac{F_0}{m} \cos \omega t.$$ (9)

Движение тела, подчиняющегося этому уравнению, достаточно сложно, особенно вначале, когда оно не является гармоничским.

Установление колебаний

Механизм установления вынужденных гармоничских колебаний можно пройти так. Под действием внешней силы система получает «толчок», в результате чего в ней возникают свободные колебания частоты $\omega_0$. С течение времени свободные колебания будут затухать тем быстрее, чем больше коэффициент трения $\mu$. Но одновременно с этим в системе действия внешняя периодическая сила, которая вызывает в ней колебания с частотой $\omega$. Таким образом, в течение некоторого промежутка времени в системе произходят и свободные, и вынужденные колебания одновременно, то есть к колебательным движениям применим принцип суперпозицини.

Амплитуда вынужденных колебаний с течение времени нарастает (рис. 2), пока не установится некоторое Staционарное значение. Это произойдет тогда, когда работа внешней силы станет равна работе сил трения, то есть когда энергия, поступающая в системе извне, станет равна потерям механической энергии внутри системы.

Таким образом, лишь спустя время установления колебаний в системе затухут свободные колебания и остаются только вынужденные гармоничские колебания с частотой $\omega$ и амплитудой $x_0$:

$$x = x_0 \cos (\omega t + \varphi_0).$$ (10)

Внешне уравнения для свободных и вынужденных колебаний совпадают. Но если при свободных колебаниях $x_0$ и $\varphi_0$ определялись только начальные условиями, то при вынужденных колебаниях они определяются (как мы видим в дальнейшем) параметрами как самой системы, так и внешней силы. Прежде всего, играет существенную роль соответствие частот собственных и вынужденных колебаний. Заметим, кстати, что величины $\varphi_0$ в случае вынужденных колебаний называют сдигром по фазе между колебаниями смесения и внешней силы.

Скорость и ускорение тела, совершающего вынужденные колебания, определяются равенствами, аналогичными (6) и (7) для свободных колебаний:

$$v_x = \omega x_0 \cos \left(\omega t + \varphi_0 + \frac{\pi}{2}\right),$$ (11)

$$a_x = -\omega^2 x_0 \cos (\omega t + \varphi_0).$$ (12)

Поскольку скорость всегда характеризует быстрое изменение координаты со временем, а ускорение характеризует быстрое изменение скорости со временем, то, зная зависимость координаты от времени $x(t)$, можно однозначно определить функцию $v_x(t)$ и $a_x(t)$.

Теперь приступим к решению основных задачи. Выясним, от чего и как зависит амплитуда $x_0$ вынужденных колебаний и сдигром по фазе $\varphi_0$. Для этого рассмотрим три предельных случая.

5

Первый случай: $\omega \ll \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$, то есть часть внешней периодической силы много меньше частоты собственных колебаний системы $^*$).

Второй случай: $\omega \gg \omega_0$; выполняется противоположное условие.

И, наконец, самый важный случай: $\omega \approx \omega_0$. Это случай резонанса.

Вынужденные колебания малой частоты

Перепишем еще раз уравнение (9)—уравнение движения для вынужденных колебаний:

$$a_x + \frac{\mu}{m} v_x + \omega_0^2 x = \frac{F_0}{m} \cos \omega t.$$

Если $\omega \ll \omega_0$, то из трех членов левой части этого уравнения самим большим будет последний член $\omega_0^2 x$. Действительно, амплитуда первого слагаемого пропорциональна $\omega^2 x_0$, второго — $\omega x_0$, а последнего — $\omega_0^2 x_0$. Поэтому приближение (учитывая, что $\omega \rightarrow 0$)

$$\omega_0^2 x = \frac{F_0}{m} \cos \omega t,$$

откуда

$$x = \frac{F_0}{m \omega_0^2} \cos \omega t = \frac{F_0}{k} \cos \omega t.$$ (13)

Колебания координаты пропорциональны, а фаза колебаний совпадает с фазой внешней силы.

*) Необходима для точности одна огорочка. При наличии треящего собственная частота $\omega_c$ свободных колебаний не равна $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$. На самом деле она несколько меньше: $\omega_c = \sqrt{\omega_0^2 - \frac{\mu^2}{4m^2}}$. Но при малом коэффициенте треяния ($\mu \rightarrow 0$) $\omega_c \approx \omega_0$. Практические наиболее интересные случаи именно малого треяния. Поэтому мы с полным основанием может считать собственную частоту колебаний системы равной $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$.

Заметим, что амплитуда колебаний тем меньше, чем больше жесткость пружины. Качественно этот случай можно описать так. При малой частоте внешней силы происходит почти то же самое, что и при действии на пружину постоянной силы. В соответствии с законом Гука смещение увеличивается пропорционально внешней силы, и в любой момент внешняя сила почти точно уравновешается силой упругости пружины.

С энергетической точки зрения условия для перекачки энергии в колебательную систему от внешних тел, действующих на систему с периодической силой, очень неблагоприятны. В самом деле: четырьмя перiodиа, когда тело смещается от положения равновесия, внешняя сила совершает положительную работу, так как сила и скорость тела, а значит, и перемещение направлены в одну сторону (рис. 3). Но в следующую четырьмя перiodиа, когда тело возврашает к положению равновесия, сила и скорость (а значит, и перемещение) направлены в противоположные стороны (рис. 4). Работа внешней силы будет при этом отрицательной. Так же картина будет наблюдаться во вторую половину перiodиа. В целом за период работы внешней силы почти точно равна нулю. Лишь малая часть работы внешней силы идет на компенсацию работы силы треяния, так как скорость движения тела при $\omega \ll \omega_0$ очень мала, и поэтому малая величина силы треяния.

6

Здесь имеет неокоторая тонкость, иногда затрудняющая понимание сути дела. Если смение от положения равновесия прямо пропорционально силе в любой момент времени, то, казалось бы на первый взгляд, работа должна быть все время положительная. Однако, надо иметь в виду, что знак работы зависит от совпадения направления силы и направления перемещения, то есть скорости, а не знака координаты. Для того чтобы работа была положительной, необходимо не совпадение знаков $F_x$ и $x$, а необходимо, чтобы $F_x$ и $\Delta x$ (или $\frac{\Delta x}{\Delta t} = v_x$) имели одинаковые значки.

Вынужденные колебания большой части

В случае $\omega \gg \omega_0$ в левой части уравнения (9) в любой момент времени наиболее будет первый член, амплитуда которого пропорциональная квадрату частоты. Он будет игrate основную роль, поэтому можно записать:

$$a_x = \frac{F_0}{m} \cos \omega t.$$

По фазе с силой совпадает теперь не координата, а ускорение, а колебания координаты проискодят в противофазе с колебаниями внешней силы. Амплитуда координаты равна

$$x_0 = \frac{a_0}{\omega^2} = \frac{F_0}{m\omega^2}.$$

Таким образом, колебания тела пропускают по закону

$$x = -\frac{F_0}{m\omega^2} \cos \omega t.$$ (14)

При $\omega \to \infty$ (это эквивалентно условию $\omega \gg \omega_0$) $x_0 \to 0$, то есть амплитуда колебаний мала. Этот результат вполне естественен. Сила столбцовяет направление, что тело, обладающее инертностью, не успевает заметно сdvигаться относительно положения равновесия.

Как и в предыдущем случае, когда $\omega \ll \omega_0$, половину перiodа внешняя сила совершает положительное работу, а другую половину — отрицательную. половину перiodа сила и перемещение направлены одинаково, а другую половину перiodа они направлены в противоположные стороны. Энергия опять почти не поступает в системе.

Резонанс

Самый интересный часть случай вынужденных колебаний — это случай совпадения частоты внешней перiodической силы с собственной частотой колебаний системы ($\omega \approx \omega_0$).

В этом случае первый уравнение (9), который можно записать так:

$$a_x = -\omega_0^2 x,$$

взамимо уничтожается с третьим членом, равным $\omega_0^2 x$. Эти два члена в любой момент времени одинаковы по величины, но имеют противоположные знаки, так как ускорение и координата при любом гармоническом колебании сdvинуты по фазе на π.

В результате уравнение (9) принимает вид:

$$\mu v_x = F_0 \cos \omega_0 t.$$ (15)

Это простое уравнение и содержит всю суть резонанса. При $\omega \approx \omega_0$ в любой момент времени (еще раз подчеркинем, что ребь идет об установившихся вынужденных колебаниях) внешняя сила как бы выключает из игры слугу треня. В результате ускорение только слий упругости приходы. В сущести реализуется очень небольшая ситуация: гармонические колебания существуют в системе сколь угодно длитьное время, несмотря на действие слий треня.

Из (15) видно, что при резонансе фаза колебаний скорости совпадает с фазой внешней сили. Работ внешней сили при этих условиях положительная на всем протяжении пе-

7

риода. Создаются оптимальные условия для перекачки энергии от внешних тел к колебательной системе.

Положительная работа внешней силы в точности равна по величины отрицательной работе силы треня. Из-за этого механическая энергия системы не меняется. Поступающая извне энергия за счет работы силы треня переходит в тепло (пружина с грузом и окружающей воздуш нагреваются).

Амплитуда колебаний при резонансе равна

$$x_0 = \frac{v_0}{\omega_0} = \frac{F_0}{\mu\omega_0}.$$

Она тем больше, чем меньше коэффициент треня. При $\mu \rightarrow 0$ $x_0 \rightarrow \infty$, то есть очень/no, что при $\omega \approx \omega_0$ амплитуда максимальная. Если $\mu$ имеет достаточно большое значение, то резонансная амплитуда колебаний не велика.

Уравнение колебаний при резонансе имеет вид

$$x = \frac{F_0}{\mu\omega_0} \cos \left( \omega t - \frac{\pi}{2} \right),$$

так как смешение отстает от скорости на четверть периода. Тепер можно изобразить примерный вид зависимости амплитуды $x_0$ и сdwга фаз $\varphi_0$ вынужденных колебаний от частоты. Мы знаем, что при малых частотах ($\omega = 0$) амплитуда колебаний равна $\frac{F_0}{k}$, а сdwг по фазе равен нулю.

При больших частотах ($\omega \rightarrow \infty$)

8

Экстремы многочлена третий степени

Эта статья является четвертой в цикле статей, посвященных кубическим функциям и уравнениям *) В ней речь пойдет о нахождения точек максимума и минимума функций $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$

Для начала обратимся к функции $y = ax^2 + bx + c$ (1)
$(a \neq 0)$. Пусть $x = \alpha$ — корень функции (1). Как выглядит график этой функции в достаточно малой окрестности точки $x = \alpha$?

Здесь возможны четыре случая — они представлены на рисунках 1—4. В первом и втором случах говорят, что функция monomonна в точке $x = \alpha$ (в первом случae она возрастает, во втором — убивает). В третьем и четвертом случах говорят, что функция имеет экстремум в точке $x = \alpha$

*) См. статьи: В. Г. Янкелевич, 《Неприводимый》 случай, 《Квант》, 1971, № 11; О. А. Жаутыков, График кубического четырехслучения, 《Квант》, 1972, № 6; О. А. Жаутыков, О границах корней кубического уравнения, 《Квант》, 1973, № 12.

(в третьем случae — минимум, в четвертом — максимум)*.

В чем принципиальное отличие первого и второго случаев от третього и четвертого? В том, что в первых двух случах функция меняет знак при перехождение точку $x = \alpha$ (например, в первом случae $y < 0$ при $x < \alpha$ и $y > 0$ при $x > \alpha$;

*) Иногода говорят, что функция имеет локальный экстремум (максимум, минимум). 《Локальный》означает «местный»: в некоторых окрестностях точки $x = \alpha$ значения функции не превыходит $f(\alpha)$, хотя «далеко» от точки $x = \alpha$ значения $f(x)$ могут превышать $f(\alpha)$. В приняной нами терминологии (см. также Б. Е. Вейц, И. Т. Демидов, Алгебра и начала анализа, 9 класс, профный учебник под редакцией академика А. Н. Колмогорова, § 69) функция может иметь много максимов и миниммов, которые определяются как локальные понятия.

Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3. Рис. 4.

9

здесь значения $x$ выбираются достаточно близко от точки $x = \alpha$), а в последних двух случаях функции не меняет знака при перехождение точки $x = \alpha$.

Попробуем найти необходимое и достаточно условие для того, чтобы точка $x = \alpha$ корень многочлена $y = ax^2 + bx + c$ была точкой экстремума. Преобразуем функцию (1) к виду

$$y = a (x - \alpha)(x - \beta)$$

($\alpha$ и $\beta$ — корни квадратного треугольника; попробуйте доказать, что если $x = \alpha$ — корень функции (1), то ее можно представить в таком виде, где $\beta$ — действительное число).

Если $\alpha \neq \beta$, то в достаточно малой окрестности точки $x = \alpha$ (при $|x - \alpha| < |\alpha - \beta|$) выражение $a (x - \beta)$ сохраняет постоянный знак, а значит, функция $y = a (x - \alpha) \times (x - \beta)$ меняет знак при перехождение через точку $x = \alpha$. В этом случае экстремума нет. Если же $\alpha = \beta$, то получаем $y = a (x - \alpha)^2$; эта функция не меняет знака при перехождение точку $x = \alpha$.

Итак, корень квадратного треугольника является его точкой экстремума модели и molько модели, когда этом корень — двухкратный.

Обобщением полученного результата является следующая:

Теорема 1. Для того чтобы точка $x = \alpha$ была точкой экстремума функции $y = ax^2 + bx + c$, необходимо и достаточно, чтобы существовал макое число $m$, при котором многочлен $ax^2 + bx + c - m$ имеет двухкратный корень $x = \alpha$.

Для доказательства этой теоремы достаточно знать точку $x = \alpha$ тогда и только тогда, когда в этой точке имеет экстремум функция $y = f(x) - m$, где $m = f(\alpha)$.

Этот результат использует на практике.

Пример 1. Найти точки экстремума функции

$$y = ax^2 + bx + c.$$

Подберем числа $\alpha, m$ так, чтобы выполнялось тожество

$$ax^2 + bx + c - m = a (x - \alpha)^2.$$

Имеем

$$ax^2 + bx + c - m = ax^2 - 2a\alpha x + a\alpha^2.$$

Но два многочлена тожестевно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях; поэтому мы получаем систему уравнений

$$\begin{cases} -2a\alpha = b, \\ a\alpha^2 = c - m, \end{cases}$$

из которой находится

$$\alpha = -\frac{b}{2a}, \quad m = \frac{4ac - b^2}{4a}.$$

Итак, $x = -\frac{b}{2a}$ — точка экстремума функции $y = ax^2 + bx + c$ (причем точка локального максимума, если $a > 0$, и локального минимума, если $a < 0$).

Теперь обратимся к функции

$$y = ax^3 + bx^2 + cx + d.$$

Ниже мы уbidим, что для нее можно сформировать и доказать теорему, аналогичную теореме 1. Но сначала мы докажем неокоторая вспомогательные результаты.

Лемma. Пусть дан многочлен степеней $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a \neq 0$), и пусть $x = \alpha$ — его действительный корень. Тогда

$$ax^3 + bx^2 + cx + d = a (x - \alpha)(x^2 + px + q),$$

еще $p$ и $q$ — некоморые действительные числа.

Доказательство. По условиям $a\alpha^3 + b\alpha^2 + c\alpha + d = 0$.

Тогда

$$ax^3 + bx^2 + cx + d = (ax^3 + bx^2 + cx + d) - (a\alpha^3 + b\alpha^2 + c\alpha + d) = a (x^3 - \alpha^3) + b (x^2 - \alpha^2) + c (x - \alpha) = (x - \alpha) [ax^2 + (a\alpha + b) x + (a\alpha^2 + b\alpha + c)] = a (x - \alpha)(x^2 + px + q),$$

где

$$p = \frac{a\alpha + b}{a}, \quad q = \frac{a\alpha^2 + b\alpha + c}{a}.$$

10

Попробуем теперь найти необходимые и достаточно условные условия для того, чтобы точка $x = \alpha$ корень многочлена (2) является точкой экстремума функции $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$.

Воспользуемся формулой (3). Если $x = \alpha$ не является корнем квадратного трехчлена $x^2 + px + q$, то в достаточно малой окрестности точки $x = \alpha$ этот трехчлен сохраняет постоянный знак, а потому функция $y = a(x - \alpha)(x^2 + px + q)$ меняет знак при перехождения точку $x = \alpha$. То же самое будет в случае, когда $x = \alpha$ — двукратный корень трехчлена, то есть $x^2 + px + q = (x - \alpha)^2$ и, следовательно, $y = a(x - \alpha)^3$. В рассмотренных случаях экстремума нет. И лишь в одном случае функция не меняет знак при перехождения точку $x = \alpha$ — когда $x = \alpha$ — однократный корень квадратного трехчлена, то есть $x^2 + px + q = (x - \alpha)(x - \beta)$, или, что то же самое, $x = \alpha$ — двукратный корень многочлена (2), то есть

$$y = a(x - \alpha)^2(x - \beta),$$

где $\alpha \neq \beta$.

Итак, корень многочлена имеет степеня является его точкой экстремума моеда и molько моеда, когда этом корень двукратный.

Обобщением полученного результат является следующая:

Теорема 2. Для того чтобы точка $x = \alpha$ была точкой экстремума функции $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$, необходимо и достаточно, чтобы существовал макое число $m$, при котором многочлен $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ имеет двукратный корень $x = \alpha$, то есть

$$P(x) = a(x - \alpha)^2(x - \beta),$$

(4)

еде $\alpha \neq \beta$.

Теорема 3 (достаточные условия максимума и минимума). Пусть функция $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ имеет экстремум в точке $x = \alpha$ и $m$ — значение функции в точке $x = \alpha$. Представим многочлен $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ в виде (4). Тогда, если $a(\beta - \alpha) > 0$, то $x = \alpha$ — точка максимума; если $a(\beta - \alpha) < 0$, то $x = \alpha$ — точка минимума.

Доказательство. Если $a > 0$ и $\alpha < \beta$, то в окрестности точки $x = \alpha$, не содержащей внутри себя точку $x = \beta$ (рис. 5), имеем $P(x) \leq 0$, то есть $y \leq m$. Значит, $x = \alpha$ — точка максимума. Если $a < 0$ и $\alpha > \beta$, то также получается точка максимума. Объединяя эти два случая, получаем, что если $a(\beta - \alpha) > 0$, то в точке $x = \alpha$ функция $y$ имеет максимум. Вторая часть теоремы доказывается аналогично.

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию

$$y = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$$

(5)

и построить ее график.

Попробуем подобрать числа $m$, $\alpha$, $\beta$ так, чтобы выполнялось тожество $x^3 - 3x^2 - 9x + 5 - m = (x - \alpha)^2 \times (x - \beta)$ (причем $\alpha \neq \beta$). Отсюда $x^3 - 3x^2 - 9x + 5 - m = x^3 - (\beta + 2\alpha)x^2 + (2\alpha\beta + \alpha^2)x - \alpha^2\beta$. Для отыскания значений $m$, $\alpha$, $\beta$ мы получили систему уравнений:

$$\begin{align*} \alpha_1 &= -1, \quad \beta_1 &= 5, \quad m_1 &= 10; \\ \alpha_2 &= 3, \quad \beta_2 &= -3, \quad m_2 &= -22. \end{align*}$$

Рис. 5.

11

Рис. 6.

Таким образом, функция (5) имеет экстремумы в точках $x_1 = -1, x_2 = 3$.

Теорема 3 позволяет установить и характер экстремумов: $x_1 = -1$ — точка максимума, $x_2 = 3$ — точка минимума.

Точки $x_1 = -1, y_1 = 10$ и $x_2 = 3, y_2 = -22$ являются важными контрольными точками для построения графика функции $y = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ (он изображен на рисунке 6).

Заметим, что не всекий многочлен третий степени имеет точки экстремума. В этом вас убедит упражнение 3 или 4 (в них получается система уравнения, не имеющая действительных решений).

Уражения

Исследуйте на экстремум следующие функции:

1. $y = 2x^3 - 15x^2 + 36x + 6$.
2. $y = -3x^3 + 9x^2 + 135x + 405$.
3. $y = x^3 - 2x^2 + 19x - 4$.
4. $y = -x^3 + 3x^2 - 4x + 5$.

Ребусы

В этих примерах неко-
торые цифры заменены звездочекми или буквами (одинаковым буквам соответствует одинаковые цифры). Восстановите примеры.

Найти результат.

Л. П. Мочалов

14

Дившим за последнее столетие, представлены в таблице 2.

Таблица 2

Дата Великого противостояния | Расстояние от Земли до Марса, а.е. | мин. км | Интервал, сут. |
| :— | :— | :— | :— |
| 1877 IX 5 | 0,3767 | 56,35 | 5447 |
| 1892 VIII 4 | 0,3773 | 56,45 | 6259 |
| 1909 IX 24 | 0,3890 | 58,20 | 5447 |
| 1924 VIII 23 | 0,3728 | 55,77 | 5447 |
| 1939 VII 23 | 0,3880 | 58,05 | 6259 |
| 1956 IX 10 | 0,3781 | 56,56 | 5447 |
| 1971 VIII 10 | 0,3760 | 56,25 | |

За последнее столетие даты Великих противостояний Марса были заключены между 23 июля и 24 сентября, охватывая двухмесячный период с датой перигелиного противостояния — 23 августа — после дения. Именно такое, очень редкое, противостояние было в 1924 году.

Интервалы между двумя противостояниями принято только два значения: 5447 суток (15 лет без одного месяца) или 6259 суток (17 лет и 50 суток). 15-летние интервалы встречались почти вдвое чаще. Можно показать, что имеет место частная закономерность: после двух 15-летних интервалов следует один 17-летний, затем снова два 15-летних и т. д. Но не всегда бывают так. Как видно из таблицы, после такого 47-летнего цикла data Великого противостояния Марса свидетельства почти на две недели назад (сравните, например, 1909 и 1956 года) и может выйти из «разрешенного» периода (см. рис. 1). Тогда Великим будет уже не то противостояние, которое наступит через 47 лет после данного, а следующего. Так, казалось бы, очередное Великое противостояние после 1971 года должно наступить спустя 15 лет, в 1986 году (через 47 лет противостояния 1939 года). Но противостояние 1986 года придет на 10 июля и уже не будет Великим (хотя и довольно благоприятным для наблюдателей южного полушария и тропического поляса). Следующое Великое противостояние Марса наступит только 29 сентября 1988 года.

Таким образом, границы дат Великих противостояний несколько шире, чем было в прошедшем столетии. Они заключены между 15 июля и 2 октября. Объчно, если Великое противостояние наступает в конце июля или начале августа, за ним следует (через 2 года и 75—80 суток) тоже очень благоприятное противостояние, когда Марс ненамного дальше от Земли, чем во время Великого. Пример такой «последеликого» противостояния — противостояние 25 октября 1973 года. Например, если Великое противостояние приходится на сентябрь, ему предшествует весма благоприятное «предвеликое» противостояние в конце июля или начале июля. Примером могут служить «предвеликие» противостояния Марса 24 июня 1954 года или 6 июля 1907 года.

Возможно, вообще говоря, как наступление двух противостояний 15 июля и 2 октября на равных расстояниях от перигеля. Тогда их оба можно считать Великими.

Вернемся к циклам повторяемости Великих противостояния Марса. Чтобы их расччитать, возьмем отношения

16

вместе с наблюдениями Тихо Браге.
Искать нужные данные в социенях Кеплера? Автор решил по более простому пути.

Возьем 284-летний цикл. Как мы уже говорили, через такой период противостояние наступает с отставанием на трое суток. В 1604 году условия видимости Марса должны быть близки к условиям 1888 года, когда уже издавался английский астрономический ejegrodnik «Морской альманах». В нем сказано, что в 1888 году противостояние Марса наступило 9 апреля. Значит, в 1604 году оно должно быть наступить бапреля. Самозванец выступил в положив августа 1604 года. Следовательно, во время похода на шировах Кракова (50°), Чернигова (51°,5) и других городов, через которые проходил путь армии Самозванца, Марс был еще виден по вечерам низко над горизонтом (его склонение составляло около — 20°) и мог дать основание для заглавия позиы Жабчица.

Таковые особенности настоялений и чердований противостояний Марса — явленной, не менее популярных среди любителей астрономии, чем солнечные и лунные затмения.

Лабиринт-алфавит

В 64 клеточки квадрата вписаны буквы алфавита. Начина с буквы А в верхнем левом углу, проведите ломанную несамопересекающую линию, которая проходила быровно через 33 буквы алфавита и заканчивается в нижнем правом углу буквой Я. Ломанная может пересекаться стороны маленьких квадратков, но не должна проходить через их вершины.

А Б Н Ю Р Д Е Ю
Ж Ш М Д К Ш Ж Р
Ё УЫ Л М Б Ё А
ОЫ В Ф Э У Е Х
Ч ЁЩ С Б Г Л Н
Ц Ф З Ш С Т Ё К
П Ё Т Б П Э Ц Ч
И В Е Г З О И Я

А Х Е Б Ё Ж К Ш
Н С П Р Ш О Ш О
З Ё У Ё Е М Ё Ё
В Х В И П Ф Ч Н
Ш У Г Л Ц Ю Д Ё
А МЫ Э Ц Л И З
Т Ж Ч Б Э Ю Ё Р
Й Б К С Г Д Ф Я

Л. П. Мочалов

17

Составление программы шахматной игры для электронной вычислительной машины требует решения следующих проблем:

1. создание способа записи и хранения в машине информации о позиции на доске и о хode;
2. создание алгоритма, с помощью которого машина должна выбирать очередной ход;
3. реализация этого алгоритма в виде программы при известном способе записи и хранения информации.

Запись позиции

Занumerем клетки шахматной доски двумя начными числами, первая цифра которых означает номер вертикали (в общей шахматнойотации он обозначает буквой), а второй — номер горизонтали (обе номера начиная с цифры 0). Так как горизонталей и вертикалей по восемь, то можно воспользоваться удобной для машины восеммерной системой числами, в которой применяются цифры 0, 1, 2, …, 7*). Таким образом, после а1 будет иметь номер 00, после а8 — номер 07, после d5 — номер 34, а после h8 — номер 77.

Занumerем также и шахматные цифры, присвоив пешке номер 1, коню — 2, слону — 3, ладье — 4, ферзю — 5 и королю — 6, причем белым цифрам — положительные номера, а черным — отрицательные. Каждый докси в позиции сопоставим число — номер стоящей на этом поле цифры или 0, если поле свободно.

В предложенной нумерации номером цифры является восеммерная цифра, для изображения которой достаточно трех двойных разрядов, и знак (цвет цифры), для записи которой нужно еще один разряд. По-

*) Читатель будет полезно вспомнить или прочитать статьи: P. C. Гутер, Вычислительные машины и системы числения, «Квант», 1971, № 9, Язык человека и языки машин, «Квант», 1971, № 10,

18

этому для записи позиции нужно отводить четыре разряда на каждое поле. Первый разряд отведем для записи знака (0 — «плюс», 1 — «минус»), а следующее три — для записи номера фигуры. В одной ячейке память помещится информация об одной горизонтали, при этом в ячейке памяты будет занято 32 разряда. Вся информация о позиции на доске займет 8 ячейек (по 1 на каждую горизонталь).

На рисунке 1 показана запись первого горизонтали начальной позиции. Читатель легко разберется в ней, вспоминив представление восемеричных цифр в виде тринадцат двойных:
$$0_8 = 000_2, 1_8 = 001_2, 2_8 = 010_2, 3_8 = 011_2, 4_8 = 100_2, 5_8 = 101_2, 6_8 = 110_2, 7_8 = 111_2$$
(здесь индекса у числа ознакомится систему численения, в которой оно записано).

Запись хода
Ход можно представить в виде пары чисел: номера поля, на котором фигура была, и номера поля, на которой фигура пошла. Удобнее, однako, как это делается в шахматной позиции, сообщить оба поля, а также наименование и цвет (то есть номер и знак) ходившей фигуры. Тогда потребуется уже три числа, причем первоое из них будет однозначным (но со знаком), а два других — двузначными.

Так, запись
+1 41 43
означает ход белой (+) пешкой (1) с поля e2 (41) на поле e4 (43), то есть в общей шахматной позиции весь-

ma популярий ход e2 — e4, известный даже О. Бендеру. Запись
—5 37 64
соответствует ход черных, общно записьваемому как Фd8 — g5.

Выбор хода
Довольно просто «научить машину» делать ход, то есть проверить его возможность и ввести соответствующее изменение в записи позиции. Незмерimo сложнее научить ее быстрохотя и нескольких возможных в данной позиции один «наилучший». Для этого нужно умет сравнивать различные ходы.

Одним из способов может служить перебор вариантов. Но перебор «до конца», то есть до позиции, в которой известен результат, невозможен из-за необозримых размеров требуемого числа вариантов. Приходится ограничиться рассмотрением неокоторого определенного количества ходов. Но тогда нужно умет сравнивать позиции и ответать на вопрос, какая из них лучше. После этого мы можем считать, что лучшим ходом является тот, который ведет к лучшей позиции.

Нанболее простой оценкой может служить разница материалов ресурсов белых и черных. При этом каждая фигура оценвается определенным числом очков (баллов). Для оценки позиции достаточно подсчитать сумму баллов, соответствующих на доске белым и черным фигурам, и найти их разность. Конечно, такая оценка является слишком рубой: известно, что часто приходится жертвовать материалом ради

Горизонталь
Номера полей
Запись в ячейке

Рис. 1.

19

прибретения позиционных или тактических премишестств. Поэтому более тонкие оценки включают также и тактические факторы: возможность формирования выигрыша материала, наличие сдовеных пешек у себя или у противника, возможность рокировки, занятие ладьей или ферзем открытой линии и т.п.

Каким же образом воспользоваться умением оценить позицини с помощью той или иной выбранной оценочной функции? Ясно, что недостаточно оценивать позицини, получающей послед одного сделанного хода, а необходимо рассматривать все возможные позицини на несколько ходов вперед. Естественно, что чем больше «глубина перебора», то есть число ходов, после которых оценяется, тем лучше выбор хода. Однако необходимо считаться с тем, что увеличение глубины на 1 ход увеличивает время выбор хода приближительно в 40 раз.

Выбор хода осуществляется при помощи минимальной процедуры, которая мы проиллюстрируем на примере перебора на 1 ход. Пусть из позицини $A$ (ход наш) возможны ходы, приводащие к позициям $B_1, B_2, B_3$ … (рис. 2). Из полученных позиций возможны ходы противника, приводащие к позициям $C_1, C_2, C_3, C_4$, …, оценки которых нам известны. Поскольку в позиции, скажем, $B_1$, противник выберет скорее всего самый сильный возможный ход, то за оценку $B_1$ следует принять минимальную из оценок позицини $C_1, C_2, C_3$. Так же определяются оценки остальных позицини $B_2, B_3$, …, получающихся после различных наших ходов.

Зная оценки позицини $B_1, B_2, B_3$, …, мы можем выбрать из них наиболее suitable. Ход, ведущий в позицию с этой максимальной оценкой, и будет лучшим при выбранной глубине перебора.

Аналогичная стратегия выбор хода применяется и при любой другой глубине перебора: из данной позиции делается заданное число ходов, и полученная позиция оценвается с помощью выбранной оценочной функции. Затем изменяется последний ход и оценвается новая полученная позиция. После того как проверены все возможные последние ходы, изменяется предпоследний и так далее, чтобы в конечном случае были оценены все позиции, которые могут получить из исходной последнего числа ходов. Полученные «на нижнем уровне» оценки переосстанавливаются «вверх», причем для позиций с ходом противника выбирается минимальная, а для позиций с нашим ходом — максимальная из оценок «ниже расположенных» позиций.

Таким образом, свой ход и ход противника следует рассматривать по-разному. В дальнейшем мы будем назвать их полуходами. Пример схемы выбор хода при переборе на

20

три получода приведен на рисунке 3. Здесь кружки ознакомют позиции, красные отрезки — свой ходы, сине — ходы противника.

Цифры в кружках ознакомют оценки позиций, полученные описанным выше путем (для «низких» позиций — с помощью оценочной функции, для «вышетorious» — по минимальной процедуре). Цифры возле отрезков показывают последовательность расстояния соответствующих ходов при переборе. Двойными линиями отмещены лучшие ходы из каждой позиции.

Отметим только, что для большей наглядности рисунка мы ограничились небольшим числом возможных ходов из каждой позиции. В результате перевести этот алгоритм на язык машинны, превращив его в программу игры. Это тяжелая работа, требующая программистского искусства, так как от качества программы осуществления алгоритмов в заменной степении зависит время работы программы, то есть время выбора хода. Мы не в состоянии, естественно, воспроизвести устройство такой программы сколько-нибудь подробно, опишем его лишь в самых общих чертах.

Существуют шесть подпрограмм $P_1$—$P_6$ (по одной на каждой типи игры). Каждая из них составляет список ходов, возможных из данной позиции игрой данного типа. Подпрограмма $P_7$ координирует эти шесть подпрограмм и выписьвает все ходы, возможные в данной позиции.

Кроме перечисленных подпрограмм, имеется подпрограмма $P_8$, которая выполняет оценкой ход, получая новую позицию, подпрограмма $P_9$, вычисляющая оценку

полученной позиции, подпрограмма $P_{10}$, реализующая минимальную процедуру, и, наконец, управляющая программа $P_0$. Последняя решает, к какой из подпрограмм обратиться, назначает, какая позиция расматривается и какой ход из нее делается, и собственно реализует алгоритм выбора хода.

Подпрограммы $P_1$—$P_7$ могут использовать вспомогательную информацию относительно позиции. Так, при построении возможных ходов удобно использовать «растр возможностей», который для каждой игры записывается следующим образом. Для каждой кедетки шахматной доски отводится один разряд; для всех доски достаточно занять две ячейки памяти, по 32 разряда в каждой. В разрядах, соответствующих полям, на которые можетойти данная игруга, ставится 1, остальные разряды содержат 0.

Например, для позиции, приведенной на рисунке 4, растр возможностей для ладьи Лс4 показан на рисунке 5. Нижняя ячейка соответствует здесь нижней полине доски (горизонтали 4—1 по шахматной терминологии).

Работу подпрограммы $P_4$, строящей этот растр, можно представить себе так. В записи позиции подпрограмма выделяет tetradу (четыре двойных знака), соответствующую соседнему полю в той же горизонтали, и анализирует ее.

Если эта tetradа нульева, то поле свободно, ладья может на него пойти — в растреставится 1 в разряд, соответствующей данному полю. После этого проверяется, является ли данное поле крайним полем доски. Если не является, то рассматривается следующей

21

Дующее соседнее поле; если же поле было крайним, то подпрограмма переходит к расстотрению другого направления.

Если выделенная террада не является нулевой, то подпрограмма $P_4$ анализирует ее первую цифру, определяющую цвет занимающей это поле фигуры. Если эта цифра — 0 (знак +, фигура белая), то поле занято своей фигурой. Подпрограмма $P_4$ ставит в соответствующий разряд расстра 0 и переходит к расстотрению нового направления. При цифре 1 (знак —, фигура черная) подпрограмма также переходит к расстотрению нового направления, но в разряд, соответствующей данному полю, ставит 1: ладья может пойти на данное поле, побив стояшую здесь черную фигуру.

При расстотрении возможных ходов ладьи по горизонтали нужно выделять террады из одной и той же ячейки. Для вертикали нужно выделять террады, занимающие одно и то же положение в соседних ячейках, соответствующих различным горизонтальным.

На таких же принципах основана работа остальных подпрограмм. Так, подпрограмма $P_3$, определяющая ходы слона, для выделения террады соседнего поля производит и сдвиг на 4 разряда, и переходит к соседней ячейке. Подпрограмма $P_5$ для ферзя строит все возможные ходы для ладьи с помощью подпрограммы $P_4$ и все возможные ходы для слона с помощью подпрограммы $P_3$, а затем обединияет их.

Объчно работа программы «выбора хода» заканчивается тем, что она выбирает ход, который следует сделать в данной позиции, печатает его и оставливается. Ход можно печать в описанной выше форме, например:

$$+2\ 10\ 22,$$

а можно воспользоваться алфавитно-цифровым печатающим устройством и напечать тот же ход в привьюном для шахматства виде

К b1 — c3.

Тепер нетрудно организовать «полную игру». Для этого в дополнительке программы «выбора хода» нужна программа, связывающая ша-хматную программу «с внешним миром». Эта программа должна уметь в машину позицию, в которой требуется выбрать ход, условия выбора хода (например, глубину перебора), и обеспечивать контROL корректности введенной информации.

У этой программы есть «главаная докса», позиция на которой остается неизменной в процессе выбора хода, она изменяется лишь после того, как ход выбран и напечатаан.

Не нужно думать, что описанные нами способы решения основных проблем программирования шахматной игры являются единственными. Это совсем не так, возможно и другие. Расматривая каждую из этих проблем изолированно, можно найти способы упростить или улучшить те или иные детали решения одной из них, однокого перекоискается, что это отрицательно сказывается в других частях программы. Например, можно выбрать иной способ записи позиции, отличующаяся значительно большей компактностью, то есть экономящий объем машинной памяти. Но оценка позиции при таком способе записи может потребовать газдо большого числа действия. Доступнуть же улучшения «по всем параметрам» хотя и возможно, но весма затруднительно.

Сформирование три основные проблемы программирования шахматной игры относят не равноправны, и их решение весма по-разному влияет на качество программы. Если раньше способы решения первого

22

и третий проблем могли как-то влиять на время работы программы, то сейчас здесь резервов почти не осталось. Совсем иначе обстоит дело с алгоритмом выбора хода: его влияние на качество и силу является решающим.

В «Канссе-72» эта проблема решена так: перебираются все варианты до глубины 7 получдов, после этой глубины перебираются только так называемые «форсированные ходы» — взяття, шахи и ответы на них. Общая глубина перебора колблется от 7 до 30 получдов.

Читатель может заметить, что при полном переборе на 7 получдов (при среднем числе в 40 ходов из каждой позиции) придется рассматривать 40⁷ позиций, даже не считая форсированных ходов. Это слишком много. Однако авторы «Канссы-72» проведели огромную работу по выработке правил, позволяющих отрабасывать некоторые позиции или ходы, что позволило существению сократить перебор. Фактически при переборе на 7 получдов (вместе с форсированными вариантими) рассматривалось около 750 000 позиций, что занимало меньше часа работы машины.

В лучшей американской шахматной программе, созданной в Массачусетском техническом институте Гринблатом, в каждой позиции рассматривают 10 ходов, «лучших» по некоторой оценке, отличной от оценки позиции, возникшей после соответствующего хода, и произвольная перебор, глубина которого колблется от 6 до 16 получдов. Есть и другие способы решения этой проблемы.

Однако, несмотря на имеющиеся условия, пока все еще нет алгоритма выбора хода, позволяющего достаточно сильные ходы при естественной ограничении на время выбора. Для нахождения такого алгоритма необходимо принципиально новые идеи. Поиск этих идеей требует детального изучения «поведения» программы при выборе хода, причин, влияющих как на выбранный ход, так и на время выбора. Это можно проследить при большом числе экспериментов с шахматной программием.

23

В. Н. Вадутен

Задчи о графах или сказка
«Иван-царевич и Серый Волк»
Посвящается учительнице школа № 7
г. Батуми Медее Илларионовне Женти

Похвальное слово Серому Волку
Читая сказку «Иван-царевич и серый волк» *), неволно удивляешься:
Иван-царевич практически ничего не делает, а ему достаются все сокровища — Жар-птица, конь златогривый и даже Елена Прекрасная. Все Ивану-царевичу добавает Серый Волк. Оdnako дело обстоит несовсем так, как каждое на первый взгляд.

Иван-царевич выдерживает вступительный экзамен — он не спит ночь, как его братья, и благодаря этому видит Жар-птицу. Ему удается даже схватить Жар-птицу за хвост. Правда, в руке у него остается только одно перо.

Позтому нам кажется, что Серый Волк не случайно обратил внимание на Ивана-царевича и сыел его коня.

*) Имеется в виду русская народная сказка в пересказе А. Толстого (М., «Детская литература», 1973).

24

Серый Волк — блестящий педагог. Он использует за обучение Ивана-царевница. Сначала он заставляет самого Ивана-царевница пробовать решить все задачи: заполучить Жар-птицу у царя Афрона, потом коня златогривого у царя Кусман и, наконец, Елену Прекрасную у царя Далмата. Всякая задача становится по-настоящему привлекательной только после того, как попробуешь ее решить. Когда Иван-царевница под руководством Серого Волка по достоинству оценил все сокровища, Серый Волк сам решает для него все задачи.

В результате Иван-царевич получает все, что пожелал. Однако приходит ему выдержать еще одно испытание — быть убитым своим же братьсями, завистливыми конкурентами, не сдавшими вступительного экзамена. Тут надо еще раз отдать должное Серому Волку, который в этот трудный час спадает Ивана-царевница. Можно только пожелать каждому трудолюбивому ученику такого руководителя.

Метод обучения, принадлежащий Серому Волку, понавился нам, и мы хотим изложить несколько задач как продолжение этой сказки.

О том, как Серый Волк показывает, что не всякое желание выполнить можно

Итак, собраться Иван-царевич желится на Елене Прекрасной. Да не тут-то было. Съехалось на сведбу много гостей, и вдруг царь Афрон, царь Кусман да царь Далмат пожаловал. Говорят они:

— Обманул ты нас, Иван-царевич, все забрал. Ну, да ладно. Загадаем тебе загадки. А не разгадаешь — все назад возьмем.

Первым царь Афрон печь держал, и сказал он так:

— Соберется у меня завтра несколько гостей, да не все они друзья. Скажу только, что у каждой из них число друзей четное. Докажки, что смогу их посадить за круглыми столами так, чтобы каждый гость рядом с друзьями сидел.

Тут Иван-царевич еще раз Серого Волка позвал, хотя и простился было с ним навечно. Спрашивает Серый Волк:

— Что, Иван-царевич, сидшь — пригорюнился, голову повесил?

— Как же мне не печалиться, Серый Волк? Как мне гостей за круглыми столами усадить?

Серый Волк ответает:

— Много я задач решал, да и много из них решил. Но эту задачу не всегда можно решить. Позови, Иван-царевич, семь гостей твоих, каждую тебе контрирмер.

Позвал Иван-царевич семь гостей. Тут Серый Волк превращил каждого из них в точку, а эти точки дугами соединили. И увидел тут Иван-царевич рисунок 1. А Серый Волк этот рисунок так пожелал:

— Если две точки дугей соединины, то, значит, гости, которые в эти точки превращились, друзьями будут. Так вот, знай, что всех этих гостей за круглыми столами никак разсадить нельзя.

Побежал Иван-царевич к царю Афрону и контрирмер Волка показал. Царь, как только контрирмер увидел, с испугу где стоял, там и упал. А как пришел в себя, говорит: Рис. 1.

25

— Забыл я сказать, что у всех моих гостей одно и то же число друзей.
С тем Иван-царевич к Волку и отправился.
— Лиходей твой царь Афрон, — сказал Серый Волк и зубами щелкнул. — Да ладно уж, рассадим его гостей за круглыми столами. Только ты пойди, узнал сначала, что царь Кусман и царь Далмат хотят. Может, это нам и помощь.

О том, как Иван-царевич про «перешеек» забыл

Говорит царь Кусман:
— Сослухи мне, Иван-царевич, службу. Всего в царстве у меня десять городов есть, некоторые из них дорогами соедиены. От каждой города четное число дорог отходит. Ты, Иван-царевич, из града столного выездя, все дороги по одному разу обезди и назад в столцуворотись.
Пуще прежнего приготовления Иван-царевич. Пошел он снова к Серому Волку. А Серый Волк ему:
— Не тужки, Иван-царевич, а послушай мои советы. Выезжай из столцы по одной дороге и дальше езжай, как хочешь, но только так, чтобы по одной и той же дороге два раза не проехать. Гляди, раныше времени в столцу не поворачивая, да еще гляди, чтобы никакая дорога для тебя перешёл не стала.
Обрадовался Иван-царевич и не заметил, как в столце царя Кусмана очутился. Вскочил он на коня slaютгривого и поскаал по дорогам. Понравился ему совет Волка: езжай, как хочешь, — так и помчался, смотрел только, чтобы по своему следу не ехать!
Долго ли, коротко ли, а приезжает он снова в столцу. Смотрит, на всех дорогах из столцы он следовил, значит, дальше ему ехать нельзя, а еще несколько дорог не пройдет. Вспомним он тут последний совет Волка, да ведь забыл спросить, что тот «перешеек» называет! Так и вернулся ни с чем.
Стал ему Серый Волк выговаривать:
— Э, брат, с разумом поехал, да без разума приехал.
Превратил тут Волк города в точки, дугами их соединил так, как дороги идут, и неудачный путь Ивана-царевча нарисовал. Увидел тут Иван-царевич рисунок 2.
— Ну, прости же меня, прости, Серый Волк.
— То-то прости… Да уж ладно… Давай лучше послушаем, что царь Далмат скажет.

Про чередующес цепи

Говорит царь Далмат:
— Живут у меня в замке десять добрых молодцев и десять красных девиц. Знаю я, что каждый добрый молодец с двумя красными девицами знаком и каждая девица двух молодцев знает. Ты, Иван-царевич, их всех посватый, да так, чтобы незнакомые сосватаны не оказались.
Пришел Иван-царевич к Серому Волку и рассказывает:
— Дал мне царь Далмат задачу легче легкого.
Усмехнулься Серый Волк:

Рис. 2.

26

— Не спеши радоваться, сначала задачу решения, а потом уж говори.

Превратил Серый Волк добрых молодцев в синне точки, а красных девиц — в красные точки, да еще перенумеровал, чтобы не запутаться. Потом эти точки отрезками соединили так, что видно стало, кто с кем дружит. И увидел Иван-царевич рисунок 3. Начал он молодцев и девиц, как придется, зелеными линяями на пары разбиать, и получилось у него вот что (см. рис. 4): два молодца (7 и 10) однокими остались и двух девиц (2 и 7) он обидел.

Схватился Иван-царевич за голову и заплаkal. Утешил его Серый Волк:

— Ничего, Иван-царевич, я твое решение исправлю. Откуда же знать тебе метод чередуощихся цепей? Смотри лучше, что я делать буду. Сейчас я еще 7-го молодца поставю.

Посмотрел Серый Волк рисуки 3 и 4 и начал новый рисуок рисовать. Взял 7-го молодца и со знакомой ему 10-й красной девицей красным отрезком соединил, снова взглянул на рисуок 3, и ее с 8-м женихом зеленной линейной связи. Потом от 8-го молодца красную линю проел. Привела эта линяя ко 2-й девице, которая еще не поставана (см. рис. 4, 6).

Получалась у Серого Волка такая цепь: красный отрезок, зеленный отрезок, красный отрезок, … Говорит Волк:

— Вот это чередуощейся целью и называется. Сейчас мы красные отрезки на зеленные помещаем, а зеленный уберem. Остальные, как ты хотел, так и будем сватать. — ИPrevратил волк рисуок 4, а в 4, 6.

— Теперь уж 7-й молодец и 2-я девиц обженены не будут. Ну скажи сам, что нам с 10-м молодцем делать, как его поставать?

Взял тогда Иван-царевич и рисуок 4, е нарисовал, а потом сватство еще раз исправил. Получился у него рисуок 5.

Так Иван-царевич всех и посватал.

Вдруг слышат они с Волком, как кто-то им с дуба человекам головом говорит. Посмотрел, а там Вороненок сидит, сын того Ворона, который живую(body) раныше приносил.

27

— Карр, карр. Можно и проще эту задачу решить — сразу на рисунке 3 обводить отрезки, чтобы цвета чередовались: красный, зеленый, красный, зеленый…
Подумал Серый Волк и говорит:
— Правильное замечание Вороненок сделал. Но мой метод тем и хорош, что годится для любых слуаев, даже для такого, когда много молодцев и столько же девиц, каждый из них с $m$ девицами знаком, а каждая девица $m$ молодцев знает. Суть его в том, что сватай, как хочешь, а потом чередующимся цепями исправляй.
Потрепл ласково Волк Вороненка.
— Оставайся с нами и слушай, что дальше будет.
Пошел Иван-царевич к царю Далмату и рисунок 5 показал. Нечего делать, уехал царь Далмат воосьяси.

Рис. 5.

Рис. 6.

О том, как Иван-царевич сам договора, что «перешейком» называется
— Дай-ка, Серый Волк, я сам подумаю, как мне кусанову задачу решить, — и снова Иван-царевич на рисунок 2 посмотрел.
Долго думал Иван-царевич и понял, наконец, какая дорога для него роковой стала. Если дороги, по которым он проехал, одну за другой с земли стирать (рис. 6), то плохой та дорога оказывается, после «стирания» которой все царство на такие две части разбиается, что из одной в другую никак не проедешь. Значит, на дорогу-перешеек (ее Волк пунктиром нарисовал) сворочать не надо было.
Стал Иван-царевич на карте другой путь искать, такой, чтобы ни одна дорога перешейком не была, и нашел. «Эх, — подумал Иван-царевич, — спасибо Волку, что карту нарисовал и советы хорошие дал». Пошел к царю Кусану, путь показал. Тот и уехал прочь.

Сказочное решение
Осталось Иван-царевич первого задачу решить — ту, что царь Афрон загадал. Пошел он в чистое поле и подумался. Похвалил его Серый Волк, к царю Афрону отправил.
Говорит Иван-царевич:
— Будут у тебя, царь Афрон, $n$ гостей, у каждой из них $2m$ друзей. Объясню я тебе, как эти гостей за круглыми столами усадить.
— Построй каждому гостю город, а если два гостя другат, то ты дорогу между этим городами пропожки. Потом обезжай эти дороги так, как я царство Кусанна объехал. А где ехать будет, там на дороге стрелку ставы (рис. 7).
Получится у тебя, что у каждой города по $m$ дорогам стрелки к нему ведут, а по другим $m$ дорогам стрелки из него выходят. Это потому, что сколько раз ты из города выедешь, столько раз и выедешь.

28

Рассердился царь Афрон:
— Не пойму тебя, Иван-царевич.
Мне гости нужно за круглые столь усадить, а ты про какие-то города рассказываешь.

Отвецет ему Иван-царевич:
— Потерпи, до конца дослушай.
Пусть у каждой твоERO гостя места есть, так что сколько гости-добрых молодцев, столько и красных девиц будет. Теперь смотри; если от какого-нибудь города- гости в другой город- гости стрелка идет, то ты этого гостя сестрой второго познакомь.

Поскольку из каждой города $m$ стрелок выходит, и в каждой города $m$ стрелок входит, то оказывается, что каждой гость с $m$ девицами знаком, а каждой девица $m$ молодцев знает.

Теперь посватей их всех так, как я у царя Далмата сватал.

После этого можно и гости рассказывать. Возьми любого гостя и за круглый стол посади. Справа рядом с ним того посади, с чейей местной первый гость посватан. Получится, что первый гость со своим шурином сидит. Справа от второго гостя тоже его шурина посади. Так далее и рассказывает. Вот у тебя круглый стол и получится.

Если же так не всех гостей усадил, то еще один стол поставить придется. Снова какого-нибудь гостя бери, который за первый стол не попал, а рядом его шурина усадивой. А дальше все делай, как в первый раз.

И Иван-царевич для наглядности три рисунка 7 показал.

Смотрел, смотрел царь Афрон, премудрости этой не понял, но на слово поверил. С тем к себе и уехал.

А Иван-царевич поклонился Серому Волку и простился с ним навечно. Женился на Еlene Прекрасной, и стали они жить-поживать, да горя не знать.

30

Фотокамера «Рыбий глаз»
В. Драчев,
А. Мазур

В 9-м номере нашего журнала за 1974 год мы расссказывали о научной конференции учащихся физико-математических школ-интегратов, которая проходит в марте этого года в г. Тбилиси. На этой конференции было заслушано сообщение В. Драчева обустройстве и работе прибора для получения фотографий с углом обзора, близким к 180°. Этот прибор был сконструирован группой учащихся школ-интеграта № 165 г. Новосибирска. О том, как сделать самим подобную фотокамеру, расссказывается в этой статье.

Представим себе пловца, который без маски нырнул под воду. Какая картина откроется ему, если он будет смотреть вверх через спокойную поверхность водоема?

При условии, что водоем сравнительно небольший, пловец увидит следующее. На темном потолке (поверхность воды) — яркое круглое окно, в котором «зажато» все небо от горизонта до горизонта. Все предметы, окружающие водоем, стоят по краям этого окна, устремленные своим «верхшками» к его центру. Более того, можно будет видеть даже часть прибрежного дня.

Все это можно легко объяснить на основе явления полного внутреннего отражения света. Известно, что при перехождения из оптически более плотной в оптически менее плотную среду существует предельный угол падения (угол $\alpha_0$ на рисунке 1), начиная с которого свет не будет выходить из первой среды во вторую. Говорят, что в этом случае свет испытывает полное внутреннее отражение. Например, для перехода вода — воздуха $\alpha_0 = 49^\circ$.

А теперь представим себе, что все лучи идут в обратном порядке, то есть из воздуха в воду. Тогда, если полезна с которого свет не будет выходить из первой среды во вторую, угол растора оклона $98^\circ$ (то есть два предельных угла $\alpha_0$), то угол обзора в воздухе будет $180^\circ$. Поле обзора становится гораздо шире.

Именно так видят, например, рыбы (рис. 2). Правда, предметы, размещенные по краям воздуха полусферы, оказываются сльно искаженными и, конечно, смещенными из своего положения.

Рыба может также видеть предметы, находящиеся в воде и не попада-

Рис. 1.
Рис. 2.

31

Рис. 3. Камера «Рыбий глаз». 1 — крышка; 2 — стекло; 3 — диафрагма; 4 — оргстекло; 5 — фотопластинка; 6 — корпус.

юшне, казалось бы, в поле зреня рыбы (например, маленькая рыба на рисунке 2). Все дело в том, что при полном внутреннем отражении поверхность воды становится хорошим зеркалом, так как резко увеличивается коэффициент отражения света. Для углов padения, близких к нулю, коэффициент отражения у воды примерно 2%, а для углов, больших предельного, он почти 100%. На рисунке показано, что зеркальное отражение рыбы видно под меншим углом зреня, чем сама рыба. Конечно, изобравжение будет хорошим, если поверхность водоема глазкая.

Для моделирования этого явления мы сделали фотокамеру, которая называется «Рыбий глаз». Камера (рис. 3) состоит из жесткой круглой коробки (диаметром 18 см, высотой 4 см) — корпуса, оргстекла, фольги с дырочкой — диафрагмы, кружочка объIkновеного плоского стекла *) и фотопластинки.

Преломление света проинсходит на верхней поверхности оргстекла, то есть оргстекло здесь играет ту же роль, что и вода в описанных выше экспериментах.

Стекло, которое является произрачной крышкой, закрывающий сверху диафрагму, представляет собой тонкую плоскопаралельную пластинку, поэтому оно никаких существенных дополнительных эффектов не дает.

Коробка обязаетло должа быть заполнена жидкостью с показателем преломления примерно таким же, как у оргстекла (мы используем смесь воды и глицерина), иначе свет по выходе из стекла приmet направление, паралельное исходному, и ожидаемого изображения на фотопластинке не получится. (Аналогично: не увидит вышеописанной картины плоцев, нырнуший в маске.)

При расчете диафрагмы надо учитывать следующий фактор. Изображение на фотопластинке получается с помощью дырочной камеры, поэтому диаметр отверстия должен быть малым по сравнению с расстоянием до фотопластинки. Но с уменьшением диаметра диафрагмы все заметнее проинсходят себя диафрагция света. Это приводит к ухудшению качества изображения. Теоретический расчет дает, что оптимальное значение диаметра отверстия должно быть порядка $d = \sqrt{\lambda h}$, где $\lambda$ — длина волны света, $h$ — расстояние от отверстия до фотопластинки.

У нас лучше по качеству сигнки получались в солнечный день при диаметре диафрагмы 0,3 мм; чувствительность фотопластинки была 180 ед.

На рисунке 4 приведена одна из таких фотографий.

*) Tonkoе стекло можно резать ножницами, если погрузить и то и другое в воду,

32

Семейство паралельных п-угольников
Н. Б. Васильев

Иногда размышления над искусственной частиной задачей неожиданного приводят к любопытной и естественной теореме. Об одном таким случае, проискедшем с задачей M248 из «Задачника «Кванта», расссказывается ниже. Хотя задача эта — геометрическая, основными инструментами нам будут служить линейная и квадратная функция — главные ordия школьной алгебры.

«…держите к задаче возможно ближе, но будьте готовы от задачи настолько далеко, насолько вас вынуждают остоятьства».

Д. Пой а. Математическое открытие браженный на рисунке 2. Симметрия рисунка позволяет сравнить легко выразить все площади через стороны, высоты и другие удобные параметры. При различных значениях параметров можно надеться получить всевозможные наборы $P, Q, S$.

(Мы начнем с четырехугольников, а не с треугольников, поскольку случай $n = 3$ особый; в этом случae $S$ однозначно определяется по $Q$ и $P$; мы еще вернемся кнему ниже *).)

В нашем примере внешний четырехугольник — равноочная трапеция с основаниями 2a и 2b (пусть $a < b$) и высотой $k + h$, так что

$$P = (a + b)(k + h).$$

Диагонали среднего четырехугольника взимно перепendlukлярны и равны $k + h$ и

$$2c = 2a \frac{h}{k + h} + 2b \frac{k}{k + h},$$

позетом

$$S = ah + bk.$$

Если эти два четырехугольника уже зафиксированы, то внутреннюю трапецию

*) Этот случай был разобран в «Кванте» № 10, с. 24 при решении M248.

33

можно еще менять так, что она будет оставаться параллельной внешней трапеции. Можно представить себе, что вершины трапеции равномерно передвигаются по красным отрезкам в интервале времени $0 \leq t \leq 1$, причем, в момент времени $t = 0$ трапеция вырождается в отрезок $2c$, в момент времени $t = 1$ – в равноведренный треугольник с основанием $2b' = 2c \frac{b-a}{b}$ и высотой $k + h'$, где $h' = h \frac{a}{b}$, а каждому значению $t$ между 0 и 1 соответствует настоящая трапеция с основаниями $2c(1-t), 2c(1-t) + 2b't$ и высотой $tk + th'$. Тогда ее площадь равна

$$Q(t) = c \left(2(1-t) + \frac{b-a}{b} t\right) \times \left(k + \frac{ha}{b}\right) t = \frac{(ah + bk)^2}{b^2(k+h)} \times t[2b - (a+b)t].$$

(3)

Посленее выражение – квадратный треугольен от $t$ – достаточно максимума при $t = \frac{b}{a+b}$, и, очевидно, при $0 < t < 1$ принимает всевозможные значения в таком промежутке:

$$0 < Q \leq \frac{(ah + bk)^2}{(a+b)(k+h)} = \frac{S^2}{P}.$$

(4)

Уражения

1°. Вода, налитая в аквариум, постепенно испаряется.

a) Каков уровень воды сейчас, если $h$ часов назад он равнялся $b$ см (от дна), а через $k$ часов будет $a$ см?

6. Каков уровень воды в момент времени $t$, если при $t = 0$ он равен $c$ см, а при $t = 1$ он равен $d$ см?

Ответы. a) $a \frac{h}{h+k} + b \frac{k}{h+k}$,

6. $c(1-t) + dt$.

2°. Купец знает, что продать $t \cdot 100\%$ своего товара он сможет только в том случае, если назначит цeny не больше $2b - (a+b)t$ рублей за пуд ($a$ и $b$ – известные положительные числа). Как он может выручить побольше денег?

Ответ. Продать $\frac{b}{a+b} 100\%$ товара по цене $b$ рублей за пуд.

Итак, в нашем первом примере $Q, P$ и $S$ могут принимать любые значения, для которых выполнены неравенства $S < P$ и $QP \leq S^2$, или, что то же самое, $\sqrt{QP} \leq S < P$. Действительно, по заданным $P$ и $S$ ($S < P$) мы можем подобрать $a, b, k, h$ так, чтобы выполнялись равенства (1) и (2), например, решив систему уравнений

$$a + b = k + h = \sqrt{P},$$

$$(b-a) \times (k-h) = 2S - P,$$

а затем (если только выполнено (4)!) выбрать $t$ так, чтобы $Q = Q(t)$ прияло нужное значение.

Уражения

3. Докажите, что если $QP = S^2$, то трапеции на рисунке 2 подбны.

4. Докажите, что если наш параллельные многоугольники – прямогольники (рис. 3), то тоже $Q \leq S^2/P$.

Нужели всегда будет выполняться это странное неравенство:

$$S^2 \geq QP?$$

(5)

Попытка опровержения

Рассмотрим еще один, менее симметричный пример, когда многоугольник, когда многоугольник, когда многоугольник, когда многоугольник, где $h$ часов назад он равнялся $b$ см (от дна), а через $k$ часов будет $a$ см?

Ответы. a) $a \frac{h}{h+k} + b \frac{k}{h+k}$,

6. $c(1-t) + dt$.

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

34

ник $S$ вырождается в треугольник $OAC$, а многоугольники $P$ и $Q$ — в параллельные четырехугольники $OABC$ и $OGEH$ (рис. 4). Условия обозначать сами многоугольники теми же буквами, что и их площади: $S$, $P$ и $Q$. (Можно представить себе, что на рисунке 4 изображены три $n$-угольника ($n \geq 4$), у которых все вершины, кроме двух $S$ и трех $P$ и $Q$, расположены чрезвычайно близко к точке $O$. Ясно, что если нам удостранить построить вырожденный пример, в котором $S^2 < PQ$, то, следка его «пошевель», мы сможем получить пример с настоящими, невырожденными $n$-угольниками).

Будем считать, что вершины $O$, $A$, $B$, $C$ зафиксированы, а $E$ может передвигаться по отрезку $AC$ (при этом точки $G$ и $H$ передвигаются по отрезкам $OA$ и $OC$).

Заметим, что если $E$ попадает в точку $E_0$ пересечения $OB$ и $AC$, то четырехугольники подбены и $S^2 = PQ$. Действительно, в этом случае отношения площадей $P/S$, $S/Q$ и соответствующие отношения площадей треугольников, на которые делятся $P$, $S$ и $Q$ прямой $OB$, все равны относительной $\frac{|OA|}{|OG_0|} = \frac{|OB|}{|OE_0|} = \frac{|OC|}{|OH_0|}$ (рис. 5).

Теперь найдем, при каком положении точки $E$ на отрезке $AC$ сумма площадей двух треугольников $AGE$ и $HEC$ минимальная. Пусть $H'$ — точка пересечения прямых $AB$ и $CD$, $G'$ — прямых $CB$ и $AD$ (D — четвертая вершина параллелограмма $OADC$, рис. 6), $M_1$ и $M_2$ — площади треугольников $AH'C$ и $AG'C$. Если точка $E$ делит отрезок $AC$ в относительной $\frac{|AE|}{|EC|} = \frac{t}{1-t}$ ($0 < t < 1$), то сумма площадей треугольников $AGE$ и $HEC$ равна $M_1t^2 + M_2(1-t)^2 = (M_1 + M_2)t^2 - 2M_2t + M_2$ (6)

и минимальная при $t = t^* = \frac{M_2}{M_1 + M_2}$, то есть для такой точки $E^*$, которая делит отрезок $AC$ в относении $\frac{t^*}{1-t^*} = \frac{M_2}{M_1}$.

А площадь $Q$ четырехугольника $OGEH$ (при фиксированных точках $O$, $A$, $B$, $C$) при этом положении $E = E^*$ максимальная.

Уражение 5°. Через точку $E$ на диагонали $AC$ трапеци $ABCD$ проводится прямая, параллельная основанием трапеции и пересекающая боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $G$ и $H$. При каком положении точки $E$ сумма площадей треугольников $AGE$ и $HEC$ минимальная?

Ответ. Когда $\frac{|AE|}{|EC|} = \frac{|AD|}{|BC|}$, то есть когда точка $E$ совпадает с точкой пересечения диагонали ($|GE| = |EH|$).

Итак, мы знаем, что для $E = E_0$ выполнен равенство $Q = S^2/P$, а для $E = E^*$ площадь больше!

Недача в попытке построить пример, определяющий неравенство (5), может поступнуть нас только в том случае, если всегда, при любом выборе точки $B$ внутри треугольника $ADC$, точка $E^*$ совпадает с $E_0$, то есть выполняется равенство

$$\frac{|AE_0|}{|E_0C|} = \frac{M_2}{M_1}$$ (7)

(где $M_1 = S_{\triangle AH'C}$, $M_2 = S_{\triangle AG'C}$).

Казалось бы, почему эти отношения должны быть связаны друг с другом?

35

Подтверждение гипотезы

Однако оказывается, что равенство (7) всегда верно.

Докажем его, используя понятие центра тяжести.

Поместим в вершинах параллелограмма OADC массы так, чтобы центр тяжести масс $m_A$ и $m_D$ попал в точку $G'$, масс $m_C$ и $m_D$ — в точку $H'$, масс $m_O$ и $m_D$ — в середину диагонали параллелограмма: возьмем

$$m_D = m_O = 1,$$
$$m_A = \frac{M - M_2}{M_2},$$
$$m_C = \frac{M - M_1}{M_1},$$

где $M = S_{\triangle ADC}$, $M_1$ и $M_2$ — также, как в (7).

Тогда центр тяжести трех масс $m_A$, $m_D$, $m_C$ оказется в точке $B$ пересечения прямых $AH'$ и $CG'$, а значит, центр тяжести всех четырех масс лежит на отрезке $OB$. С другой стороны, пару $m_O$ и $m_D$ можно заменить парой масс, тоже единичных, расположенных в вершинах $A$ и $C$ параллелограмма OADC, поэтому центр тяжести всех четырех масс $m_A$, $m_D$, $m_C$ совпадает с центром тяжести двух $\frac{M}{M_2}$ и $\frac{M}{M_1}$, помещенных соответственно в точки $A$ и $C$, и делит отрезок $AC$ в отношении $M_2 : M_1$. Итак, мы докажали, что отрезок $OB$ делит отрезок $AC$ в отношении $M_2 : M_1$, то есть $E^* = E_0$.

У пряжене 6.° Пусть прямая $l$ пересекает стороны $AB$ и $AD$ параллелограмма $ABCD$ в точках $G$ и $H$, диагональ $AC$ — в точке $E$. Докажите, что

$$\frac{|AC|}{|AE|} = \frac{|AB|}{|AG|} + \frac{|AD|}{|AH|}.$$

Таким образом, наша попытка построить пример, определяющий неравенство (5), проводилась. Но можно взглянуть на ситуацию и с другой точки зрения: из гипотезы, что неравенство (5) всегда выполняется, мы получили неожиданное следствие — равенство (7) — и смогли его доказать. Это обстоятельство, конечно, сильно укрепляет веру в справедливость такой гипотезы.

Мы рассказали только о некоторых попытках провергнуть неравенство (5). На самом деле их было гораздо больше — здесь выбранты только те, которые удалось изложить коротко (упражнения со значком °), хотя и не имеют прямого отношения к задаче, признаны выделить основные сообщения, используемые в наших доказательствах). Последняя попытка, приведшая к равенству (7), в действительности стала переломным моментом в решении задачи: сомнений, что неравенство $S^2 \geq PQ$ всегда выполняется, уже не оставалось, и все силы были направлены на то, чтобы это доказать. Однако и здесьdaleko не первая выбранная тропинка была к целю.

Заманчивые тупики

Вот, например, попытки доказать утверждение задачи, использующие разбиение $n$-угольника на треугольники и четырехугольники.

У пряжене 7. Из произвольной точки внутринего многоугольника $Q$ проведем лучи, проходящие через все вершины многоугольника $S$, и обозначим через $S_i, P_i, Q_i$ ($i = 1, 2, \dots, n$) части площадей $S, P$ и $Q$, заключенные в углах между соседними лучами (рис. 7). Докажите, что для каждой $i$ верно неравенство $S_i^2 \geq Q_iP_i$.

8. Разобем «зазор» между контурами многоугольников $P$ и $Q$ на $n$ трапецей $T_i$ (рис. 8). а) Докажите, что $Q$ можно разить

Рис. 7.
Рис. 8.
Рис. 9.

36

на части $Q'_i$ так, что $Q'_i$ лежит между продолжениями боковых сторон трапеции $T_i$. 6) Доказите, что при таком разбиении для площадей $Q'_i$, $P'_i = Q'_i \cup T_i$ и $S'_i = (S \cap T_i) \cup Q'_i$ выполняется неравенство $(S'_i)^2 \geq Q'_i P'_i$.

9. Пусть $S_i^2 \geq P_i Q_i$ для каждой $i = 1, 2, \dots, n$. Следует ли стсюда, что $(\Sigma S_i)^2 \geq (\Sigma P_i)(\Sigma Q_i)$? *)

Омьем. Нет, не следует.

Попробуем перевести задачу на язык алгебры и доказать полученное неравенство.

Средний — лишний

В одном отношении эта попытка оказалась успешной: она позволяет упростить нашу задачу, выбросив из нее упоминание о «промежутном» многоугольнике $S$ и оставив только $P$ и $Q$. Вот как это получается.

Обозначим стороны внутринего многоугольника $Q$ через $a_i$, параллельные им стороны $P$ — через $b_i$ ($i = 1, 2, \dots, n$); теми же буквами мы будем обозначать и длины сторон); расстояния между прямыми, на которых лежат $a_i$ и $b_i$, — через $h_i$. Тогда

$$S = Q + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} a_i h_i,$$

$$P = Q + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} (a_i + b_i) h_i.$$

Уже отсюда видно, что $n$-угольник $S$ особенно не нужен: если его вершины двигать по сторонам $b_i$ (от этого он превращится в $2n$-угольник, рис. 9), то площадь $S$ не меняется. Введем такие обозначения:

$$R = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} a_i h_i,$$

$$T = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} (a_i + b_i) h_i.$$

*) Здесь $\Sigma x_i$ обозначет сумму $x_1 + \dots + x_n$.

Тогда гипотетическое неравенство (5) запишется так:

$$(Q + R)^2 \geq Q (Q + T),$$

или, после упрощения:

$$R^2 \geq Q (T - 2R).$$

Введем еще одно обозначение:

$$K = T - 2R = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} (b_i - a_i) h_i;$$

(10)

и тогда наше неравенство примет тот же вид, что и (5):

$$R^2 \geq QK,$$

(11)

— но с той приятной разницей, что теперь все величины относятся только к двум параллельным многоугольникам и их взаимному расположению.

Упражнение 10. Верно ли, что $T > 2R$, то есть $K > 0$?

Ответ. Не всегда. (Впрочем, если $K < 0$, неравенства (11), а следовательно, и (5) оченьны.)

Попытемся теперь доказать, что для любых параллельных выпуклых $n$-угольников, один из которых лежит внутри другого, неравенство (11) выполняется.

Сразу же отметим, что это утверждение, по крайней мере на первый взгляд, значительное количество многоугольников можно встать третий: «шель» между ними может оказаться слишком большей (рис. 9). Правдоположение (11) во всех случаях?

Из пары — семейство

Мы сейчас увидим, что нашей обозначение довольно удално: неравенство (11) выражает неокоторое естественное свойство целого семейства параллельных многоугольников.

Получается это семейство из данных двух многоугольников $Q$ и $P$ очень просто. Представим себе, что $n$ точек, совпадших в момент времени $t = 0$ с вершинами многоугольника $Q$, начали двигаться — какая со своей постоянной скоростью — так, чтобы

37

в момент времени $t=1$ попасть в соответствии вошины многоугольника $P$ (рис. 10). В любой момент времени $t$ (по крайней мере между 0 и 1) эти $n$ точек будут, очевидно, вершинами выпуклого многоугольника, паралельного $Q$ и $P$. Обозначим этот многоугольник (а также его площадь) через $F(t)$. Поскольку длины сторона $n$-угольника $F(t)$ и их расстояния от паралельных сторона $Q$ изменяются со временем равномерно, имеем

$$F(t) = Q + \sum_{i=1}^{n} \frac{(a_i(2-t) + b_i t) h_i t}{2} = Q + 2Rt + Kt^2. \quad (12)$$

Мы видим, что $F(t)$ выражается, как функция времени $t$, квадратным трехчленом; неравенство же (11) означает, что дискриминант этого трехчлена $R^2-QK$ должен быть больше или равен нулю. Неотрицательность дискриминаента эквивалентна утверждению, что трехчлен $F(t)$ имеет вещественный корень (но, конечно, этот корень никак не может оказаться на отрезке $[0, 1]$, где $F(t) > 0$ по самому определению).

Уражения

11. Докажите, что дискриминант квадратного трехчлена

$$F^*(t) = F(\alpha + \beta t) = (Q + 2R\alpha + K\alpha)^2 + 2(R + K\alpha)\beta t + K\beta^2 t^2$$

имеет тот же знак, что и дискриминант $F(t)$ (здесть $\alpha$ и $\beta$ — любые числа, $\alpha \neq 0$).

Замечание. Замена $t$ на $\alpha + \beta t$ означает просто выбор другого начала отсечета и другой единицы масштаба на оси $t$. Отсюда следует, что неотрицательность дискриминаента — это свойство всего семейства $F(t)$ паралельных многоугольников, не зависит от того, какие именно два из них $Q = F(0)$ и $P = F(1)$ соответствуют $t = 0$ и $t = 1$.

12°. Со дня колодца глубиной $h$ рабочий бросает камень вертикально вверх с начальной скоростью $v$. Вылетит ли камень из колодца?

Ответ. Да, если дискриминант трехчлена $y(t) = -h + vt - (gt^2)/2$ положитель (г — ускорение свободного давления камня): $v^2 > 2gh$.

Итак, мы облекили нашу гипотезу (5) в форму следующего:

1. Площадь $F(t)$ как функция $t$ выражается квадратным трехчленом:

$$F(t) = Q + 2Rt + Kt^2 \quad (0 \leq t \leq 1).$$

2. Diskриминант эмодо трехчлен неотрицательен:

$$R^2 - QK \geq 0.$$

3. Diskриминант равен нулю в том и только том случае, если $n$-угольник не меняет со временем свой форму (остается подобным первооначальным).