квант

1975
1

Научно-популярный
физико-математический
журнал

На фотографии — две электростатические машины из коллекции Государственного музея истории естествознания в Лейдене (Нидерланды).

Справа — электростатическая машина, изготовленная в 1788 году в Амстердаме Джоном Катбертсоном. Диаметр стеклянных кругов достигает 165 см. Машина соединена с лейденской банкой. Машина Катбертсона интересна тем, что это — первая электростатическая машина, которая использовалась не только для генерирования игрушечных молний. С ее помощью в 1799 году впервые был произведен электролиз воды.

Современные демонстрационные электростатические машины мало чем отличаются от машины Катбертсона.

Слева — старинная электростатическая машина. В ней заряд накапливался на стеклянном глобусе под стеклянным колоколом. При откачивании воздуха под колоколом возникал заряд.

Работа электростатических машин основана на явлении электростатической индукции. О том, как происходит наведение зарядов при электризации через влияние, рассказывается в этом номере нашего журнала на с. 74.

1

Главный редактор
академик И. К. Кикоин
Первый заместитель
главного редактора
академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:
М. И. Башмаков,
С. Т. Беляев,
В. Г. Болтянский,
Н. Б. Васильев,
Ю. Н. Ефремов,
В. Г. Зубов,
П. Л. Капица,
В. А. Кириллин,

главный художник
А. И. Климанов,
С. М. Козел,
зам. главного редактора
В. А. Лешковцев,
Л. Г. Макар-Лиманов,
А. И. Маркушевич,
Н. А. Патрикеева,
И. С. Петраков,
Н. Х. Розов,
А. П. Савин,
И. Ш. Слободецкий,

зам. главного редактора
М Л. Смолянский,
Я. А. Смородинский,
В. А. Фабрикант,
А. Т. Цветков,
М. П. Шаскольская,
С. И. Шварцбург,
А. И. Ширшов.

Редакция:
В. Н. Березии,
А. Н. Виленкин,
И. Н. Клумова,
художественный редактор
Т. М. Макарова,
Н. А. Минц,
Т. С. Петрова,
В. А. Тихомирова,
зав. редакцией
Л. В. Черпова

В НОМЕРЕ:

2 И. Н. Бронштейн. Эллипс
9 А. С. Компанец. Размерность физических величины и подобные явления
18 Н. Д. Кришталь. Метод размерностей
22 Б. С. Ратнер. Оценка физической величины
24 Ю. А. Гастев. С чего начинается логика
30 А. М. Лопшиц. Функциональные уравнения

Математический кругжок
36 Я. Н. Суконик. Арифметик-геометрическая прогрессия

Задачик «Квант»
41 Задачи M301—M305; Ф313—Ф317
43 Решения задач M261—M268; Ф273—Ф277

Практикум абитриента
55 Г. В. Дорофеев. Отношение отрезков, площадей и объемов
60 Л. П. Баканина. Задачи о воздушных шарах
64 А. И. Забоев, Г. И. Пантюхов, В. И. Ростокин, Н. В. Шолохов. Московский инженерно-физический институт

Спрашивайте — ответаем

Информация
68 Новый прием во Всесоюзную зачную математическую шкалу.

Рецензии, библиография
70 В. А. Лешковцев. Всесоюзный конкурс общества «Знание» на лучшие произведения научно-популярной литературы
71 В. А. Рудов. Будущее научки

«Квант» для младших школьников
73 Задачи
74 В. А. Тихомирова. Электризация через влияние

Ответы, указания, решения
Смесь (с. 23, 39, 59, 63)

На первой странице обложки вы видите формула одно из базисных Московского университета. Если просмотр вас, какую форму имеет шкафа формуларованного термометра, то вы, разумется, ответите — форму окружности. Однако на формулании вы видите вовсе не окружность, а некоторую кругую эллипс. Об этом кривой и некоморых ее свойства вы можете прочитать в стамье И. Н. Бронштейна на с. 2—8.

© Главная редакция физico-matематической литературы издательства «Нука», «Квант», 1975 год.

ЭЛЛИПС

И. Н. Бронштейн

Три замечательные кривые — эллипс, гипербола и парабола, объединенные общим названием «конические сечения» — были известны еще в Древней Греции. Их открыл около 360 года до нашей эры Менехм, один из учеников знаменитого астронома, врача и математика Евдокса. Сочинения Менехма до нас не дошли, но нам известно замечательное сочинение Аполлония, посвященное этому же вопросу и написанное примерно 200 лет спустя после Менехма.
В этом номере мы начинаем цикл статей о конических сечениях.

Растяжение-сжатие плоскости (РС)

Возьмем в плоскости $\pi$ некоторую прямую $l$ и зададим положительное число $k$. Будем называть растяжением-сжатием (сокращенно РС*)) плоскости $\pi$ относительно оси $l$ с коэффициентом $k$ такое преобразование плоскости в себя, при котором

---

*) Это преобразование обычно называют сжатием к оси, понимая под этим также и растяжение (при $k>1$). По нашему мнению, такое название неудачно, так как оно иногда приводит к путанице. Например, эллипсом считают линию, полученную только с ж а т и е м окружности (см. ниже), и поэтому часто думают, что в уравнении эллипса всегда $a>b$, что не обязательно.

каждая ее точка $m$ переходит в точку $M$ по следующим правилам:

1. точки $m$ и $M$ лежат на одном перпендикуляре к оси $l$ по одну сторону от нее; точка, лежащая на самой оси, переходит в себя;

2. расстояние от точки до оси умножается на $k$, то есть $m_0M = k \cdot m_0m$, где $m_0$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $m$ на ось $l$ (см. рис. 1 а, б).

Если $k > 1$, то все точки плоскости (кроме точек самой оси) удаляются от оси — плоскость растягивается, а если $k < 1$, то приближаются к оси — плоскость сжимается. При $k = 1$ все точки плоскости остаются на месте; в этом случае мы по-

Рис. 1 а.

Рис. 1 б.

2

3

Рис. 2 а. $k=^1/_2$.

Рис. 2 б. $k=2$.

лучаем тождественное преобразование плоскости.

Пусть в плоскости $\pi$ дана какая-нибудь фигура $\omega$ (то есть некоторое множество точек). Нас будет интересовать множество $\Omega$ всех точек, полученных из $\omega$ в результате РС (см. рис. 2 а, б). Важно отметить, что при РС прямая линия перейдет в прямую, параллельные прямые — в параллельные, а середина отрезка — в середину. Например, если $cd\|be$, $cm=md$, то $CD\|BE$, $CM=MD$ (см. рис. 2). Доказательства этих фактов предоставляем читателю.

Определение эллипса. Элементы эллипса

Эллипсом называется фигура, полученная в результате РС окружности (или круга *)). Пусть $a$ — радиус окружности (рис. 3; ось РС будем считать проходящей через центр окружности). Тогда диаметр $cd$, лежащий на оси, перейдет в себя ($CD=2a$),

---

*) Окружность — линия, а круг — часть плоскости внутри нее. Для эллипса двух аналогичных слов нет; как сама кривая, так и часть плоскости внутри нее называются одинаково — говорят «длина эллипса», «площадь эллипса». Читатель в каждом случае без труда установит, о каком смысле слова «эллипс» идет речь.

1*

а перпендикулярный к нему диаметр $eh$ — в отрезок $EH$ ($EH=2ka$). Обозначим $OE(=OH)$ через $b$, тогда $ka=b$.

Отрезки $CD$ и $EH$ называются осями эллипса, а их половины $OC$, $OD$, $OE$, $OH$ (а также числа $a$ и $b$) — его полуосями. Если $k>1$ (растяжение), то $b>a$ (рис. 3), если же $k<1$ (сжатие), то $b<a$ (см. следующие рисунки). При $k=1$ окружность перейдет в окружность *).

---

*) Чтобы не нарушать общности определения, окружность считается частным случаем эллипса ($b=a$).

Рис. 3.

4

Больший из отрезков CD, EH называется большой осью эллипса, а меньший — малой осью. Значит, если $k > 1$, то $a$ — малая полуось, а $b$ — большая, а если $k < 1$, то наоборот. В обих случаях $k = \frac{b}{a}$.

Точка $o$ — центр окружности — при PC переходит в себя, эта точка $O$ называется центром эллипса, точки $C, D, E, H$ — его вершинами. Квадрат $pqrs$, описанный вокруг окружности («матери» эллипса) так, что $pq \parallel rs \parallel l$, а $qr \parallel sp \perp l$, преобразуется в прямоугольник $PQRS$ со стороны $2a$ и $2b$, описанный вокруг эллипса; его называют фундаментальным прямоугольником для нашего эллипса. Стороны этого прямоугольника касаются эллипса в его вершинах.

Как намерить эллипс

Если заданы оси эллипса, то проще всего намерить эллипс от руки, построив сначала фундаментальный прямоугольник, а затем в него овальный кривую. Но этот метод не точен, существует много овальных кривых с одним и теми же осями симметрии (несколько таких кривых изображено на рисунке 4), но только одна из них (на рисунке 4 — красная) является эллипсом. Можно точно построить сколько угодно точек эллипса. Наиболее употребитный

Рис. 5.

и простой способ такого построения изображен на рисунке 5.

На нем две концентрические окружности имеют радиусы $a$ и $b$. Разбериться сами в этом построении и докажите, что $m_0M = m_0m \cdot \frac{b}{a}$.

Сделав такое построение для нескольких точки $m_1, m_2, m_3, \dots$ окружности, можно получить соответствующие точки эллипса. Останется соединить их плавной линии от руки или с помощью лекала.

Начертить эллипс непрерывным движением, не отрывая карандаша от бумаги, подобно тому, как мы вычеркиваем окружность циркулем, можно специальным прибором — эллипсо-

Рис. 4.

Рис. 6.

графом *). В конце статьи мы укажем простой способ непрерывного вычерчивания эллипса при помощи нити.

Сопряженные диаметры эллипса

Отметим следующее интересное свойство эллипса: середины всех параллельных хорд эллипса образуют отрезок, проходящий через центр эллипса (рис. 6). Это свойство очевидно для окружности: для нее середины параллельных хорд лежат на диаметре, перпендикулярном к этим хордам. При сжатии параллельные хорды окружности переходят в параллельные хорды эллипса, а середины хорд окружности — в середины хорд эллипса. Отсюда и вытекает справедливость сформулированного свойства.

Хорда, проходящая через центр эллипса, называется его диаметром. У эллипса длины диаметров, вообще говоря, не одинаковы. Наибольший из них — большая ось эллипса, а наименьший — малая. Если провести в эллипсе вторую серию хорд, параллельных полученному диаметру, то их середины лежат на диаметре, принадлежащем к первой серии хорд (рис. 6). Два полученных диаметра называются взаимно сопряженными. Для каждого диаметра эллипса существует ему сопряженный. У окружности каждая пара сопряженных диаметров взаимно перпендикулярна, а у эллипса есть только одна пара взаимно перпендикулярных сопряженных диаметров, это — большая и малая оси.

Уравнение линии. Уравнение эллипса

Одним из самых замечательных открытий XVII века является метод координат **),

---

*) В первой публикации настоящей статьи («Квант», 1970, № 9, с. 32) приведено описание и теоретическое обоснование эллипсографа.

**) Он обычно излагается в курсе аналитической геометрии.

Рис. 7.

позволяющий переводить геометрические понятия на алгебраический язык. Этот метод дает возможность устанавливать соответствие между линиями, лежащими на плоскости, на которой введена система координат, и уравнениями, содержащими две буквы $x$ и $y$.

Уравнением линии называется такое уравнение относительно $x$ и $y$, которое обращается в тождество при подстановке вместо $x$ и $y$ значений $x_0$, $y_0$ в том и только в том случае, когда точка с координатами $x_0$, $y_0$ лежит на этой линии. Например, уравнение $y = x$ есть уравнение биссектрисы I и III координатных углов, а уравнение окружности радиуса $a$ с центром в начале координат имеет вид $x^2 + y^2 = a^2$.

Пусть данный эллипс с полуосями $a$ и $b$ получен как РС окружности радиуса $a$ с коэффициентом $k = \dfrac{b}{a}$ (рис. 7). Введем на плоскости, содержащей обе эти линии, систему координат следующим образом: ось $Ox$ направим по оси РС, а ось $Oy$ — через центр окружности $o$, который является и центром эллипса, перпендикулярно к оси $Ox$. Пусть $m$ — точка на окружности, а $M$ — та точка эллипса, в которую перейдет $m$ при РС.

Координаты точки $m$ обозначим через $x_{\text{окр}}$, $y_{\text{окр}}$, а точки $M$ — $x_\text{э}$, $y_\text{э}$. По определению РС $x_\text{э} = x_{\text{окр}}$, $y_\text{э} = k y_{\text{окр}}$, откуда

$$x_{\text{окр}} = x_\text{э}, \quad y_{\text{окр}} = \frac{y_\text{э}}{k} \, . \qquad (*)$$

Если подставить в уравнение окружности $x^2 + y^2 = a^2$ координаты любой точки $(x_{\text{окр}},\ y_{\text{окр}})$, то будет верно равенство $x_{\text{окр}}^2 + y_{\text{окр}}^2 = a^2$, и, значит, на основании $(*)$ верным будет равенство

$$x_\text{э}^2 + \frac{y_\text{э}^2}{k^2} = a^2.$$

5

Рис. 8.

Если же точка $M'(X', Y')$ не лежит на эллипсе, то точка $m'(x', y')$, переведенная в $M'$ в результате РС, не лежала на окружности, и равенство $(x')^2 + (y')^2 = a^2$ неверно, значит, неверно и равенство

$$(X')^2 + \frac{(Y')^2}{k^2} = a^2.$$

В соответствии с определением уравнения линии мы получили такое уравнение эллипса: $x^2 + \dfrac{y^2}{k^2} = a^2$. Поскольку $ka = b$, последнее уравнение приводится к виду

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1. \tag{Э}$$

Это и есть уравнение эллипса в наиболее удобной (так называемой канонической) форме.

Наклонные сечения кругового цилиндра

Пересекая круговой цилиндр плоскостями, наклоненными к его основанию под острым углом $\alpha$, мы получаем овальные кривые. Докажем, что они являются эллипсами. Для этого достаточно установить, что каждый такой овал получается из окружности в результате РС (а именно — растяжения) с коэффициентом $k = \dfrac{1}{\cos\alpha}$.

Возьмем (рис. 8) в основании цилиндра два диаметра: $cd$ — параллельный и $eh$ — перпендикулярный к линии пересечения плоскости основания с плоскостью сечения ци-

линдра. Проведем через них и ось цилиндра плоскости $cdDC$ и $ehHE$, а также плоскость $M_0Mmm_0$, параллельную $ehHE$, проходящую через некоторую точку $M$ сечения. Зная, что проекция отрезка на некоторую прямую равна длине этого отрезка, умноженной на косинус угла между ним и его проекцией, получаем

$$\frac{M_0M}{m_0m} = \frac{OE}{oe} = \frac{1}{\cos\alpha} = k.$$

Если положить обе фигуры $CEDH$ и $cedh$ на одну плоскость так, чтобы $CD$ совместилась с $cd$, то они займут положение, показанное на рисунке 3, причем $M_0M : m_0m = k$, где $k > 1$. Этим наше утверждение доказано.

Каждый эллипс с малой полуосью $a$ и большой $b$ можно получить как сечение кругового цилиндра, радиус которого равен малой полуоси эллипса. Для этого достаточно провести сечение цилиндра плоскостью, наклоненной к основанию цилиндра под углом, косинус которого равен $\dfrac{a}{b}$. Это всегда возможно, так как здесь $\dfrac{a}{b} < 1$.

Проекция окружности — эллипс

Если спроектировать окружность, лежащую в некоторой плоскости, на вторую плоскость, пересекающую первую под острым углом $\alpha$, то в проекции получится эллипс. Доказательство этого читатель легко проведет сам, пользуясь рисунком 8, на который нужно теперь смотреть с другой точки зрения: будем линию $CEDH$ считать окружностью ($OC = OD = OE = OH = a$), а проектирующий цилиндр — не круговым, а овальным. Здесь $cd = CD = 2a$, $eh = EH \cdot \cos\alpha = 2b$. Нужно доказать, что $cedh$ — эллипс (поверхность в этом случае называется эллиптическим цилиндром — по форме перпендикулярного сечения).

Путь доказательства тот же, что и для наклонного сечения кругового ци-

6

7

линдра. На этот раз $m_0m = M_0M\cos \alpha$. Следовательно, овал седh получен из $CEDH$ в результате PC (на этот раз — скатия) с коэффициентом $k = \cos \alpha = \frac{b}{a}$.

Перпендикулярные диаметры окружности проектировятся во взаимно сопряженные диаметры эллипса. Этот факт имеет большое значение в теории изобравжения пространственных фигур на плоскости*).

Фокальное свойство эллипса

Мы переходим к наиболее важному свойству эллипса — фокальному (фокальный — прилагательное от слова фокус**); так называются две заменательные точки, лежащие на большой оси симметрично относительной центра эллипса).

Будем рассматривать эллипс как сечение кругового цилиндра — мы видели, что всегда имеем право это сделать. Вкатим теперь в цилиндр с обонх его концов по шару (того же радиуса, что и цилиндр) так, чтобы она шара стукнулась о плоскосте этого сечения (рис. 9), на геометрическом языке — впищем шары в цилиндр так, чтобы они касались плоскости сечения.

Точки прикосновения $F_1$ и $F_2$ и будут фокусами нашего эллипса.

Каждай шар касается цилиндра по окружности (красной). Возьмем любую точку $M$ эллипса и отметим ту образушую $PQ$ цилиндра, на которой точка $M$ лежит ($P$ и $Q$ — точки этой образушей, лежащие на красных окружности). Ясно, что $MF_1 = MQ$, так как это длины двух касательных к правому шару, проведенных из $M$ до точек прикосновения

Рис. 9.

ния $F_1$ и $Q$ (эти отрезки равны как образушую конуса с вершиной $M$, описанного около правого шара). Рассуjdая так же для левого шара, получаем: $MF_2 = MP$. Сложив оба равенства, имеем

$$MF_1 + MF_2 = MQ + MP = PQ.$$

No длина $PQ$ одна и та же для всех образуших цилиндра, это расстояние между плоскостями красных окружностей. Значит, какую бы точку $M$ на эллипсе ни взять, будет удовлетворять равенство $MF_1 + MF_2 = const$.

Таким образом, сумма расстояний от любой точки эллипса до двух его фокусов — величины постоянная. В этом и состоит фокальное свойство эллипса. Часто эллипс и определяется как множество точки, лежащих в одной плоскости, для которых сумма расстояний до двух точек (фокусов)—величана постоянная.

Расстояние от каждой фокуса до конца малой оси равно половине длины большей оси эллипса (рис. 10) или, иначе,

$$c^2 = a^2 - b^2.$$

В этой формуле $a$ — большая полуось, $b$ — малая *) $c$ — половина

*) См. статью Н. М. Бескина «Изображение пространственных фигур», «Квант», 1970, № 12.

**) Латинское слово «focus» означает очаг. О проинскожении этого термина будет рассказано в следующих странах.

8

Рис. 10.

расстояния между фокусами. Для доказательства этой формулы рассмотрим конец большой оси эллипса (точка $C$ на рисунке 10). По фокальному свойству $CF_1 + CF_2 = \mathrm{const}$; вследствии симметрии $CF_1 = DF_2$; значит, постоянная const равна $CF_2 + F_2D$, то есть большой оси $2a$. С другой стороны, для конца малой оси, например, $E$, $EF_1 + EF_2 = 2a$, а так как, в силу симметрии, $EF_1 = EF_2$, то каждый из этих отрезков равен $a$. Это дает способ построения фокусов эллипса по его осям (рис. 10).

Вычерчивание эллипса при помощи нити

Положим лист бумаги на чертежную доску и приколем к нему две кнопки (или булавки, рис. 11). Набросив на них нитяное кольцо (длина кольца должна быть больше удвоенного расстояния между кнопками), натянем нить острием карандаша, чтобы получился треугольник $F_1MF_2$. Если вести карандаш по бумаге так, чтобы нить оставалась натянутой, то треугольник будет деформироваться, но его периметр останется постоянным. Постоянной будет и длина стороны $F_1F_2$; значит, $F_1M + F_2M = \mathrm{const}$ и карандаш опишет эллипс.

Этот способ вычерчивания эллипса используют садовники при изготовлении цветочных эллиптических клумб. Вместо кнопок к землю вты-

Рис. 11.

кают два колышка, кольцо делается из толстой веревки, а эллипс вычерчивается на земле не карандашом, а палкой.

* *
*

Мы не объяснили происхождения названия «эллипс» (на древнегреческом «эллипсис» означает «недостаток» — причем здесь недостаток?), не рассказали о других интересных свойствах этой кривой — свойствах, общих для всех конических сечений: эллипса, гиперболы и параболы. Этому будет посвящена отдельная статья. Но предварительно в ближайших номерах мы познакомимся с гиперболой и параболой.

Размерность физических величин и подобие явлений

А. С. Компанеец

Смысл размерности физических величин

Все знают, что числа бывают именованные и отвлеченные. Именованные числа зависят от выбранных единиц измерения, неименованные не зависят. Если, например, в одном участке земли 100 квадратных метров ($м^2$), а в другом — 200 $м^2$, то 100 и 200 — именованные числа, а их отношение $^1/_2$ — число отвлеченное. Оно не изменится, если перейти от метрической системы мер к любой иной, измеряя площадь в квадратных аршинах или квадратных футах *). Так же точно отношение двух денежных сумм не зависит от того, в какой валюте эти суммы выражены. Важно только, чтобы обе суммы выражались в одинаковой валюте.

Можно делить друг на друга именованные числа, выражающие и совсем разные понятия, например рубли на квадратные метры. Участок земли в 100 $м^2$, который стоит 100 рублей, продается по цене 1 рубль за 1 $м^2$. Но числовое выражение результата зависит от того, в какой валюте выражена сумма и в каких единицах измерялась площадь. Иначе говоря, в результате такого деления получается опять именованная величина. Другим примером может служить ско-

---

*) 1 аршин $= 71{,}1$ см; 1 фут $= 30{,}5$ см.

9

10

рость — столько-то единиц длины за единицу времени. Иногда единица измерения скорости получает специальное наименование: одна морская миля (или $1852$ м) в час — один узел.

Всякое уравнение в физике выражает соотношение, объективно существующее в природе, независимо от воли того, кто это уравнение пишет. И, конечно, обе части уравнения должны выражаться величинами, измеряемыми в одних и тех же единицах.

Единицы измерения каждой физической величины выражаются через основные единицы измерения, выбор которых в значительной степени условен. Формула, выражающая единицу измерения данной величины через основные единицы измерения, называется размерностью этой величины. Обе части каждого физического уравнения должны иметь одинаковую размерность.

Сколько основных единиц измерения необходимо выбрать? Механическое движение описывается в терминах расстояния, то есть длины, и времени. Эталоны этих двух величин необходимы во всяком случае. Но двух эталонов недостаточно. Действительно, если, например, взаимодействуют два тела одинаковой формы и размеров, то их ускорения могут быть существенно различными. Ускорение каждого из них, согласно второму закону Ньютона, зависит от его массы. Следовательно, необходим по крайней мере еще один эталон — массы. В настоящее время не известны какие-либо физические закономерности в механике, для описания которых нужны были бы новые основные эталоны, кроме длины, времени и массы. Для единиц измерения этих основных величин введены соответствующие символы $\mathrm{L}$, $\mathrm{T}$ и $\mathrm{M}$. Для обозначения размерности какой-нибудь величины $A$ пользуются символом $[A]$. Таким образом, размерность длины обозначается $[l] = \mathrm{L}$, размерность времени — $[t] = \mathrm{T}$, а раз-

мерность массы — $[m] = \mathrm{M}$. Длину, время и массу называют основными величинами, а все остальные физические величины — производными.

Заметим, что о размерности есть смысл говорить только по отношению к определенной системе единиц. Формулы размерности одной и той же физической величины в разных системах единиц могут быть различными. В данной статье мы в основном будем пользоваться системой СГС. В этой системе единиц все формулы размерности имеют вид степенных функций типа

$$[f] = \mathrm{L}^{\alpha}\,\mathrm{M}^{\beta}\,\mathrm{T}^{\gamma}.$$

Такой вид формул обусловлен следующими физическими соображениями. Очевидно, что отношение двух численных значений какой-либо производной величины не должно зависеть от выбора единиц измерения основных величин. Например, будем ли мы измерять время в секундах или минутах, отношение двух промежутков времени, измеренных в секундах, будет таким же, как и отношение этих промежутков, измеренных в минутах. А это требование выполняется всегда при условии, что формула размерности имеет вид степенного одночлена.

Рассмотрим теперь размерности некоторых производных физических величин. Начнем с кинематической величины — ускорения $a$. По определению это — изменение скорости за единицу времени. Следовательно, размерность ускорения есть размерность скорости, деленной на время, то есть

$\dfrac{\mathrm{L}}{\mathrm{T}} : \mathrm{T}$, или

$$[a] = \frac{\mathrm{L}}{\mathrm{T}^2}.$$

По второму закону Ньютона сила $F$ равна массе, умноженной на ускорение. Отсюда можно получить размерность силы:

$$[F] = [m]\,[a] = \left[\frac{ml}{t^2}\right] = \frac{\mathrm{ML}}{\mathrm{T}^2}.$$

Эвристическое значение размерности

Итак, физическое равенство может иметь смысл только между величинами одной и той же размерности. Если, скажем, при решении задачи проверка показала, что размерности обеих сторон полученного равенства не совпадают, значит, в решении допущена ошибка.

Цель этой статьи — показать, что понятие размерности помогает не только находить ошибки, но и получать новые результаты.

Даже тот, кто забыл самый закон Архимеда, конечно, помнит предание о том, что Архимед при открытии этого закона воскликнул «эврика», что в переводе с греческого на русский язык означает «нашел». Отсюда прилагательное «эвристический», что по-русски значит «помогающий находить», или «наводящий», «указывающий истину». Именно об этом значении теории размерности пойдет речь в этой статье.

Рассмотрим связь между законом тяготения Ньютона и третьим законом Кеплера. Заранее формулировать закон Кеплера пока нет надобности: он сам получится из дальнейших рассуждений. Чтобы не писать одни формулы, дадим волю воображению и попробуем сочинить научно-фантастический рассказ.

Итак, пусть в семье космонавтов, летящих к далекой звезде, в пути родился ребенок. Когда он подрос, отец захотел помочь ему получить наглядное представление о родной Земле и ее спутнице Луне. Для этого было решено запустить искусственный спутник космического корабля. Нельзя ли сделать это таким образом, чтобы спутник обращался вокруг космического корабля за то же время, за которое Луна обращается вокруг Земли? Каковы должны быть при этом другие параметры, описывающие движение такого спутника?

Еще Галилей установил, что в пустоте все тела свободно падают с одинаковыми ускорениями. Этот закон

справедлив, если масса притягиваемого тела во много раз меньше массы тела притягивающего. Пусть масса космического корабля, предназначенного для дальнейшего путешествия, около 100 т. Тогда закон Галилея может быть применен, например, к детскому мячику, взятому в качестве спутника этого корабля. Обычно масса $m$ такого мячика не больше 1 кг, что, действительно, гораздо меньше, чем масса корабля.

Закон всемирного тяготения в элементарной форме $\left(F = \gamma\,\dfrac{m_1 m_2}{r^2}\right)$ применим к материальным точкам, то есть к таким телам, размеры которых гораздо меньше расстояния между ними. Предположим, что расстояние от космического корабля до мячика гораздо больше корабля в любом его измерении (дальше это будет подтверждено расчетом). Орбита Луны приближенно круговая, следовательно, надо, чтобы и орбита мячика была круговой — иначе не будет желаемого подобия. Такая орбита характеризуется радиусом $r$ и периодом обращения $\tau$. Покажем, как найти период обращения из учения о размерностях физических величин.

Так как сила тяготения $F$ для заданных материальных точек зависит только от расстояния между ними, а на круговой орбите расстояние не изменяется, сила тоже постоянна по величине. Именно эта сила и может сообщить спутнику необходимое центростремительное ускорение. Но вместо того, чтобы написать соответствующее уравнение движения и из него найти период обращения, воспользуемся только размерностями. Нам заданы следующие постоянные величины: сила $F$ размерности $\dfrac{\mathrm{ML}}{\mathrm{T}^2}$, радиус орбиты $r$ размерности $\mathrm{L}$ и масса $m$ движущегося тела размерности $\mathrm{M}$. Надо найти период обращения $\tau$ размерности $\mathrm{T}$.

Будем искать выражение для времени обращения в виде

$$\tau = A F^x r^y m^z,$$

11

12

где $x$, $y$ и $z$ — неизвестные показатели степени, $A$ — некоторое отвлеченное число. Перепишем уравнение для $\tau$ как равенство размерностей:

$$[\tau] = |F|^{x}\,[r]^{y}\,[m]^{z} = \left(\frac{\mathrm{ML}}{\mathrm{T}^{2}}\right)^{x}\ \mathrm{L}^{y}\ \mathrm{M}^{z}.$$

Запишем левую часть в виде $\mathrm{M}^{0}\mathrm{L}^{0}\mathrm{T}^{1}$, а правую часть — $\mathrm{M}^{x+z}\mathrm{L}^{x+y}\ \mathrm{T}^{-2x}$ и сравним показатели степени при $\mathrm{M}$, $\mathrm{L}$ и $\mathrm{T}$. Получим три уравнения с тремя неизвестными:

$$\begin{array}{c} x + z = 0,\\ x + y = 0,\\ -2x = 1. \end{array}$$

Отсюда $x = -\dfrac{1}{2}$, $y = \dfrac{1}{2}$, $z = \dfrac{1}{2}$.

Следовательно, искомое выражение для $\tau$ должно иметь вид

$$\tau = Am^{1/2}r^{1/2}F^{-1/2} = A\left(\frac{mr}{F}\right)^{1/2}. \qquad (1)$$

Если космонавты хотят, чтобы период обращения мячика был равен периоду обращения Луны вокруг Земли, они должны подобрать соответствующие величины так, чтобы отношение $\frac{mr}{F}$ было таким же, как для Луны. Как же это сделать?

Выпишем выражение для силы притяжения $F$:

$$F = \gamma\,\frac{mM}{r^{2}}. \qquad (2)$$

Здесь две новые величины: масса притягивающего тела $M$ и универсальная постоянная тяготения $\gamma$. Подставим выражение для силы $F$ в равенство (1) и запишем это равенство два раза:

для системы Земля — Луна

$$\tau_{1} = A\left(mr_{1}\ \frac{r_{1}^{2}}{mm_{1}\gamma}\right)^{1/2} = A\left(\frac{r_{1}^{3}}{m_{1}\gamma}\right)^{1/2} \qquad (3)$$

($m$ — масса Луны, $m_{1}$ — масса Земли, $r_{1}$ — расстояние от Луны до Земли);

для системы корабль — мячик

$$\tau_{2} = A\left(\frac{r_{2}^{3}}{m_{2}\gamma}\right)^{1/2} \qquad (4)$$

($m_{2}$ — масса корабля, $r_{2}$ — расстояние от мячика до корабля).

Тогда отношение периодов обращения

$$\frac{\tau_{1}}{\tau_{2}} = \left(\frac{m_{2}}{m_{1}}\ \frac{r_{1}^{3}}{r_{2}^{3}}\right)^{1/2}. \qquad (5)$$

Масса Земли $m_{1} = 6\cdot10^{27}$ г, масса корабля $m_{2} = 100\ m = 10^{8}$ г, радиус лунной орбиты $r_{1} = 3{,}84\cdot10^{10}$ см. Космонавты хотят, чтобы $\tau_{1} = \tau_{2}$. Для этого надо взять $r_{2} \approx 10^{4}\ см = 100\ м$. Легко проверить, что при этих условиях мячик будет обходить корабль за столько же времени, за сколько Луна обходит Землю, то есть за 29 суток.

Перепишем равенство (5) так:

$$\frac{\tau_{1}^{2}}{\tau_{2}^{2}} = \frac{m_{2}}{m_{1}}\ \frac{r_{1}^{3}}{r_{2}^{3}}. \qquad (6)$$

Если два разных тела обращаются вокруг общего центра (то есть $m_{1} = m_{2}$), как, например, планеты солнечной системы, то равенство (6) и выражает третий закон Кеплера *): квадраты времен обращения планет относятся как кубы их средних расстояний до Солнца. Слово «средних» можно было бы и опустить, потому что эллипсы планетных орбит вытянуты мало и близки к окружностям.

Напомним, что Кеплер жил до Ньютона. Фактически закон тяготения был получен из законов Кеплера, а не наоборот, как это было сделано в нашем «научно-фантастическом» примере и как это делается теперь в учебниках физики и астрономии. Покажем, что для вывода закона тяготения из законов Кеплера достаточно воспользоваться учением о размерностях. Тем самым еще раз подчеркнем эвристическую, то есть наводящую силу размерностей.

---

*) Приведем формулировки и первых двух законов Кеплера.

I. Планеты описывают эллипсы, в одном из фокусов которых находится Солнце.

II. Радиус-вектор, соединяющий Солнце с планетой, ометает в равные промежутки времени равные площади.

Заметим, что III закон в более общем виде формулируется так: квадраты периодов обращения планет относятся как кубы больших полуосей орбит.

Предположим, что сила притяжения планет к Солнцу имеет вид

$$F = Bmr^n. \qquad (7)$$

Здесь $B$ — величина, одинаковая для всех планет, $m$ — масса планеты, $r$ — расстояние от планеты до Солнца. Как можно догадаться, что сила $F$ зависит от массы $m$ именно линейно? Это видно из закона Галилея: ускорения всех тел под действием сил тяжести на одном и том же расстоянии от притягивающего тела одинаковы. Но ускорение равно силе, деленной на массу тела, так что ускорение при свободном падении тел может быть одним и тем же только в том случае, когда сила пропорциональна массе. Показатель степени $n$ в законе тяготения будем считать пока неизвестным, его-то нам и предстоит определить из закона Кеплера. Ведь мы как бы стали на место Ньютона и хотим прийти к закону тяготения, зная общий закон движения (то есть второй закон Ньютона) и результаты ранее живших Кеплера и Галилея.

Рассуждая так же, как при выводе формулы (5), используя предположение (7), получим

$$\frac{\tau_1}{\tau_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^{\frac{1-n}{2}} \qquad (8)$$

Чтобы это равенство совпало с законом Кеплера, надо положить $n = -2$, а это приводит выражение (7) к закону Ньютона, по которому сила тяготения обратно пропорциональна квадрату расстояния между телами.

Можно еще спросить, почему закон притяжения был заранее выбран в степенной форме (7)? Дело в том, что только отношение степенных функций дает степенную же функцию отношения. Равенство

$$\frac{f\,(r_1)}{f\,(r_2)} = f\left(\frac{r_1}{r_2}\right)$$

выполняется, только если $f\,(r) = r^n$. А именно степенная функция отношения входит в третий закон Кеплера:

$$\frac{\tau_1}{\tau_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^{3/2}.$$

Так с необходимостью из законов Кеплера и Галилея получается ньютоновский закон тяготения.

Размерности универсальных постоянных

В закон тяготения входит универсальная постоянная $\gamma$, которая одна и та же для всех тел. Физика знает и другие универсальные постоянные. Например, скорость света в вакууме $c$, постоянная Планка $h$, элементарный электрический заряд $e$ и т. д.

Определим, в каких единицах измеряются $h$ и $e$, найдем размерности этих величин.

Для электромагнитной волны частоты $\nu$ справедливо равенство

$$E = h\nu, \qquad (9)$$

где $E$ — энергия, переносимая волной. Величина $h\nu$ называется квантом энергии. Так как частота — это число колебаний в единицу времени, $\nu$ имеет размерность обратного времени:

$$[\nu] = \left[\frac{1}{t}\right] = \frac{1}{\mathrm{T}}\,.$$

Универсальный коэффициент пропорциональности между энергией и частотой и есть постоянная Планка $h$. Размерность $h$, таким образом, это размерность энергии, умноженной на время

$$[h] = [Et].$$

Размерность энергии можно определить двумя способами. Либо это размерность работы — то есть силы, умноженной на путь, —

$$[E] = [Fl] = \left[\frac{ml^2}{t^2}\right] = \frac{\mathrm{ML}^2}{\mathrm{T}^2}\,,$$

либо размерность кинетической энергии $\dfrac{mv^2}{2}$ —

$$[E] = [mv^2] = \left[\frac{ml^2}{t^2}\right] = \frac{\mathrm{ML}^2}{\mathrm{T}^2}\,.$$

В обоих случаях размерность должна быть одной и той же. Отсюда

$$[h] = \left[\frac{ml^2}{t}\right] = \frac{\mathrm{ML}^2}{t}\,.$$

13

14

Теперь с помощью закона Кулона найдем размерность электрического заряда $e$ (в системе единиц СГСЭ). Положим, что два единичных заряда в вакууме на единичном расстоянии отталкивают друг друга с силой, равной единице. Так как единицы длины и силы определены в механике, то можно найти единицу заряда через M, L и T. По закону Кулона

$$F_\text{э} = \frac{e^2}{r^2},$$

где $F_\text{э}$ — электростатическая сила. Ее размерность, как и размерность всякой силы, есть $\dfrac{\mathrm{ML}}{\mathrm{T}^2}$. Следовательно, размерность квадрата заряда равна

$$[e^2] = \frac{\mathrm{ML}^3}{\mathrm{T}^2},$$

а размерность заряда есть

$$[e] = \frac{\mathrm{M}^{\frac{1}{2}}\,\mathrm{L}^{\frac{3}{2}}}{\mathrm{T}}. \qquad (10)$$

Природные единицы измерения

Все наши предыдущие рассуждения о размерностях основывались на произвольном выборе основных единиц измерения — сантиметра, грамма, секунды. Для этих единиц (или для кратных им единиц) были созданы соответствующие эталоны длины, массы и времени.

Известно, что хранение и сверка эталонов метрической системы мер представляют большие трудности. Знаменитый парижский эталон метра, изготовленный из сплава платины с иридием, несколько изменил свою длину и продолжает ее изменять вследствие процессов рекристаллизации. Земля вращается вокруг оси не строго равномерно, так что и эталон времени имеет погрешность. Масса одного кубического дециметра воды при $4^\circ$ C (таким был первоначальный эталон массы в 1 кг) зависит от источника воды: в обычной воде H$_2$O в виде примеси содержится некоторое коли-

чество тяжелой воды, в которой один из атомов водорода замещен дейтерием. Вот почему ученым приходится искать более надежные эталоны.

К счастью, такие более надежные эталоны есть, их хранит сама природа без усилий с нашей стороны. Такие эталоны уже частично перечислены: это скорость света $c$, элементарный заряд $e$ и другие универсальные постоянные величины. Иначе говоря, вместо эталонов длины, времени и массы можно выбрать эталоны других величин, изготовленные не искусственно, а содержащиеся прямо в законах физики. Количество основных величин, а значит, и основных единиц измерения, вообще говоря, можно выбирать произвольно. Но оказывается, что наиболее удобно выбирать три основные величины. Какие же тройки величин подходят для этой цели, а какие не дают полного описания размерностей?

Для примера покажем, что если в качестве эталонов выбраны $e$ и $h$, то нельзя третьим эталоном выбрать $c$. Составим отношение $\dfrac{e^2}{h}$ и найдем его размерность (например, в системе СГС):

$$\left[\frac{e^2}{h}\right] = \left[\frac{ml^3}{t^2}\,\frac{t}{ml^2}\right] = \left[\frac{l}{t}\right] = \frac{\mathrm{L}}{\mathrm{T}}.$$

Это размерность скорости, значит, величина $\dfrac{e^2}{h}$ вполне может служить эталоном скорости, так что скорость света $c$ в качестве эталона уже не нужна.

Какой же выбрать третий эталон?

Если нас интересует поведение электронов в атомах, то оказывается, что для его описания разумно в качестве третьей основной величины взять массу электрона $m$. Добавим еще, что в уравнения для электронов фактически входит не сама величина $h$, а $h$, деленное на $2\pi$. Это частное принято обозначать $\hbar$.

Тогда в качестве трех независимых эталонов удобно выбрать следую-

щие величины: $e$, $\hbar$ и $m$. Размерность ни одной из них нельзя выразить через комбинацию размерностей двух других, в чем легко убедиться путем немногих попыток.

Если мы захотим в выбранной нами системе единиц найти радиус орбиты электрона — величину, имеющую размерность длины, то, используя метод размерностей, получим выражение

$$r = \frac{\hbar^2}{me^2}, \qquad (11)$$

то есть размерность длины в нашей системе

$$[r] = \frac{[\hbar^2]}{[m]\,[e^2]}\;.$$

Легко проверить, подставив размерности для $\hbar$, $m$ и $e$, например, в системе СГС (именно этой системой единиц чаще всего пользуются физики), что величина $\frac{\hbar^2}{me^2}$, действительно, имеет размерность длины:

$$\left[\frac{\hbar^2}{me^2}\right] = \left[\frac{m^2l^4}{t^2}\;\frac{1}{m}\;\frac{t^2}{ml^3}\right] = [l] = \mathrm{L}.$$

Аналогично из величин $\hbar$, $m$ и $e$ можно единственным образом получить величину с размерностью энергии:

$$E = \frac{me^4}{\hbar^2}, \qquad (12)$$

то есть

$$[E] = \left[\frac{me^4}{\hbar^2}\right].$$

Предоставим читателю убедиться по способу, которым была получена формула (7), что других величин с такими размерностями из $e$, $\hbar$ и $m$ построить нельзя.

Формулы (11) и (12) содержат в себе результаты фундаментальной важности; они позволяют оценить, по крайней мере по порядку, величины, характеризующие атом: его размеры, энергию, необходимую для удаления из него электрона. Точные значения этих величин получаются при строгом решении соответствующих уравнений. Но как бы строго ни решалось

уравнение, ответ должен иметь всегда одну и ту же размерность, а она однозначно определяется формулами (11) и (12). Остается, конечно, вопрос о численных коэффициентах при размерных величинах. Эти коэффициенты могут быть получены только из строгих решений. При этом оказывается, что в ряде случаев численные коэффициенты отличаются от единицы не более чем в 2—3 раза. Например, для электрона в атоме водорода значение радиуса орбиты электрона из формулы (11) получается абсолютно точно:

$$r = \frac{\hbar^2}{me^2} = 0{,}5\cdot 10^{-8}\ \textit{см},$$

а значение энергии ионизации

$$E = \frac{me^4}{\hbar^2} = 4{,}3\cdot 10^{-11}\ \textit{эрг}$$

оказывается в 2 раза больше истинного.

Некоторые природные единицы измерения можно получить и не из атомного мира, например, выбрав в качестве основных величин скорость света $c$ и гравитационную постоянную $\gamma$. Они дают столь же надежные эталоны, как $e$, $\hbar$ и $m$. Но из двух эталонов нельзя получить любые величины. Третий эталон берется произвольно.

Если оставить в стороне величину $c$, то в добавление к $\gamma$ понадобится два произвольных эталона. В качестве таких эталонов можно взять сантиметр и секунду, тогда грамм не понадобится. Ведь вместо него взята гравитационная постоянная, равная в системе СГС $6{,}7\cdot10^{-8}$ см³/г·с². Но теперь она принята за единицу, так что единицей массы стал не один грамм, а новая величина, равная $1/(6{,}7\cdot10^{-8})$ грамма, что, как легко убедиться, составляет примерно 15 тонн. Такая единица была бы удобна для оптовой торговли с представителями внеземных цивилизаций, если они согласятся выбрать в качестве двух других единиц сантиметр и секунду.

15

Механика жидкостей и газов и теория подобия

Когда проектируют самолет или судно, сначала их рисует художник по замыслу конструктора, чтобы наметить общие пропорции. По такому рисунку выполняются более детальные чертежи и делаются расчеты. Но самые совершенные вычисления не могут предусмотреть всего — ведь новая конструкция должна обладать и новыми свойствами. Если сразу построить самолет или судно по чертежам и расчетам, то испытывать их будет слишком опасно и очень дорого обойдется доводка до серийного выпуска. Поэтому сначала делают уменьшенную модель, подобную проектируемому изделию, и испытывают в аэродинамической трубе или в бассейне для опытов с судами.

При каких условиях обтекание модели воздухом или водой будет подобно обтеканию оригинала? Иначе говоря, когда получится модель, а не просто игрушка, внешне похожая на предмет, пусть даже детально уменьшенная копия?

На основании учения о размерностях можно дать общий ответ на поставленный вопрос. Истинное динамическое подобие между объектом и моделью получится, когда отношения всех величин, входящих в уравнения движения газа или жидкости, одинаковы для натуры и для модели. Что же это за величины?

Так как модель геометрически подобна натуре, все ее размеры определяются одним-единственным размером. Если, например, в натуре размах крыльев самолета 50 м, а длина фюзеляжа 30 м, то модель с размахом крыльев 10 м должна иметь фюзеляж в 6 м. Тогда все сравнения достаточно производить с каким-то одним выбранным размером $d$.

Текущую жидкость или газ характеризует скорость $v$. При моделировании делают так, чтобы сама модель покоилась, а газ или жидкость на нее натекали. Все относительные

скорости от этого не изменятся, а только они и важны для испытания динамических свойств. Достаточно производить сравнение с одной характерной скоростью, в качестве которой берется скорость натекания потока или скорость самого объекта (в натуре). С механической точки зрения не существенно, что именно выбрать. Кроме скорости, движущаяся среда характеризуется плотностью $\rho$, то есть массой единицы объема. Жидкости и газы различаются еще и по вязкости: вода течет легче растительного или смазочного масла, масло течет легче меда и т. п. Иначе говоря, течение зависит от особой характеристики среды, называемой коэффициентом вязкости $\eta$.

Выясним, какую размерность имеет $\eta$. Еще в прошлом веке Пуазейль экспериментально установил, что скорость, с которой жидкость протекает через узкий капилляр, прямо пропорциональна разности давлений $\Delta p$ (на разных концах капилляра), квадрату его радиуса $r$ и обратно пропорциональна длине капилляра $l$ и коэффициенту $\eta$. Запишем соответствующее уравнение для размерностей:

$$[v] = \left[\frac{\Delta p r^2}{\eta l}\right].$$

Отсюда размерность $\eta$

$$[\eta] = \left[\frac{\Delta p r^2}{v l}\right].$$

Но произведение $\Delta p r^2$ имеет размерность силы (давление — это сила, приходящаяся на единицу площади), так что

$$[\eta] = \left[\frac{mlt}{t^2 ll}\right] = \left[\frac{m}{lt}\right] = \frac{\mathrm{M}}{\mathrm{LT}}.$$

В системе СГС единица измерения коэффициента вязкости называется «пуазом» (по имени Пуазейля). Один пуаз — большая вязкость; например, у воды при комнатной температуре вязкость всего лишь $0{,}01$ пуаза.

Итак, при равномерном движении объекта в среде его обтекание полностью задается четырьмя величинами $d$, $v$, $\rho$ и $\eta$. При данной форме обтекаемых тел картины течения пол-

16

ностью подобны, если безразмерные отношения размерных величин одинаковы. Но, оказывается, из четырех перечисленных размерных величин можно построить только одну безразмерную комбинацию. Она называется числом Рейнольдса и обозначается символом $\mathrm{Re}$:

$$\mathrm{Re} = \frac{dv\rho}{\eta}.$$

(Здесь можно снова воспользоваться методом неизвестных показателей степени $x$, $y$, $z$, что и при выводе формулы (1).)

Два течения, обладающие одинаковыми числами $\mathrm{Re}$, во всем подобны. (Строго говоря, это справедливо до тех пор, пока не надо учитывать сжимаемость среды, которая дает лишнюю постоянную в уравнениях движения. Так будет при скоростях, близких к скорости звука, но этот вопрос мы оставим в стороне). Заметим, что если можно построить несколько безразмерных отношений из величин, характеризующих течение, то динамическое подобие достигается только при равенстве всех отношений, не имеющих размерности. Действительно, только в этом случае два явления можно считать подобными и по заданным характеристикам одного явления можно получить характеристики другого простым пересчетом, подобно тому, как мы переходим от одной системы единиц к другой.

Для примера допустим, что испытываемая модель в 5 раз меньше натуры. Тогда надо либо обдувать ее со скоростью, впятеро большей, либо вместо воздуха взять газ, для которого отношение $\frac{\rho}{\eta}$ в 5 раз больше, чем для воздуха, либо поменять и скорость, и газ, но так, чтобы $\mathrm{Re}$ не изменилось. Таким образом, можно, в частности, измерить подъемную силу или сопротивление воздуха для модели самолета и пересчитать их для натуры. Определяются так же силы, действующие на отдельные точки самолета, что важно для расчетов на прочность.

2 Квант № 1

Исходя из размерностей величин, можно показать, как производится пересчет с модели на объект. Из $d$, $v$, $\rho$ и $\eta$ величину с размерностью силы удается построить двумя способами:

$$F_1 = \rho v^2 d^2$$

и

$$F_2 = d\eta v.$$

Какому из них отдать предпочтение? Возьмем отношение $\frac{F_1}{F_2}$:

$$\frac{F_1}{F_2} = \frac{dv\rho}{\eta} = \mathrm{Re}.$$

Оказывается, это отношение равно числу Рейнольдса. Следовательно, если у модели и натуры числа Рейнольдса одинаковы, оба выражения для силы равноценны и можно пользоваться любым. Таким образом, сила, действующая на модель, во столько раз отличается от силы в натуре, во сколько раз отличаются произведения $dv\eta$ (или $\rho v^2 d^2$) для модели и для натуры.

На этом конкретном примере мы хотели показать, что теория размерностей лежит в основе моделирования.

17

Метод размерностей

Н. Д. Кришталь

В этой статье рассматриваются несколько задач, при решении которых используется метод размерностей. Об этом методе подробно рассказывается в статье А. С. Компанейца «Размерность физических величин и подобие явлений» в этом номере журнала.

Удобнее всего продемонстрировать основные положения метода размерностей на конкретных примерах. Мы сделаем это, анализируя деформации и давления, возникающие при упругом взаимодействии двух тел. Абсолютная величина силы $F$, с которой тела сопротивляются внешнему воздействию, стремящемуся изменить их форму и размеры, определяется законом Гука:

$$F = kx, \qquad (1)$$

где $x$ — величина деформации, $k$ — коэффициент упругости. Для деформации растяжения (или сжатия) выражение (1) можно переписать в развернутом виде:

$$F = \frac{ES}{l}\,\Delta l. \qquad (2)$$

Рис. 1

18

Здесь $E$ — модуль упругости (модуль Юнга) — величина, характеризующая способность материала сопротивляться внешнему воздействию, она не зависит от формы и размеров исследуемого образца, $S$ — площадь сечения, перпендикулярного к направлению действующей извне силы, $l$ — длина и $\Delta l$ — изменение длины деформируемого тела.

Рассмотрим упругое соударение шариков.

З а д а ч а 1. Два шарика радиусом $R$, изготовленные из материала с плотностью $\rho$ и модулем упругости $E$, двигаются навстречу друг другу по прямой, соединяющей их центры, с одинаковыми по величине скоростями $v$ (рис. 1). Между шариками происходит абсолютно упругий удар. Найти максимальную величину деформации $x$ во время удара.

Очевидно, что величина $x$ может зависеть от всех параметров, характеризующих шарики в процессе удара, то есть от $v$, $\rho$, $R$ и $E$:

$$x = x(v,\ \rho,\ R,\ E).$$

Будем искать эту зависимость в виде *)

$$x = A v^{p}\, \rho^{b}\, R^{c}\, E^{d}, \qquad (3)$$

где $A$ — безразмерный коэффициент пропорциональности ($[A] = 1$), $p$, $b$, $c$ и $d$ — неизвестные пока безразмерные показатели степени.

Согласно учению о размерностях формулы размерностей левой и правой частей равенства (3) должны быть одинаковыми:

$$[x] = [v^{p}]\ [\rho^{b}]\ [R^{c}]\ [E^{d}]. \qquad (4)$$

Это налагает определенные условия на значения показателей $p$, $b$, $c$ и $d$. Выпишем размерности всех величин, стоящих в обеих частях равенства (3).

Длина — это основная единица измерения, поэтому сразу записы-

---

*) Представление искомой зависимости в виде степенной функции является допущением, справедливость которого нужно доказать. При строгом использовании метода размерностей такое допущение не делается.

19

ваем
$$[x] = \mathrm{L}, \quad [R] = \mathrm{L}.$$
Отсюда следует, что объемы и площади имеют размерности $\mathrm{L}^3$ и $\mathrm{L}^2$. По определению скорость характеризует путь, проходимый в единицу времени, значит,
$$[v] = \frac{\mathrm{L}}{\mathrm{T}} = \mathrm{LT}^{-1}.$$

Плотность материала — это количество вещества в единице объема, следовательно,
$$[\rho] = \frac{\mathrm{M}}{\mathrm{L}^3} = \mathrm{ML}^{-3}.$$

Размерность модуля упругости можно установить, воспользовавшись законом Гука и II законом Ньютона. Из формулы (2) следует, что
$$E = \frac{F}{S}\,\frac{l}{\Delta l}.$$

По II закону Ньютона сила равна массе, умноженной на ускорение:
$$F = ma.$$
Значит,
$$E = \frac{ma}{S}\,\frac{l}{\Delta l}. \qquad (5)$$

Ускорение — это изменение скорости в единицу времени, поэтому
$$[a] = \frac{[v]}{[t]} = \mathrm{LT}^{-2}.$$

Размерности остальных величин, входящих в уравнение (5), можно выписать сразу:
$$[m] = \mathrm{M}, \quad [S] = \mathrm{L}^2,$$
$$[l] = [\Delta l] = \mathrm{L}.$$
Следовательно,
$$[E] = \frac{\mathrm{MLT}^{-2}}{\mathrm{L}^2}\,\frac{\mathrm{L}}{\mathrm{L}} = \mathrm{ML}^{-1}\mathrm{T}^{-2}.$$

Подставим размерности соответствующих величин в равенство (4):
$$\mathrm{L} = (\mathrm{LT}^{-1})^p\,(\mathrm{ML}^{-3})^b\,(\mathrm{L})^c\,(\mathrm{ML}^{-1}\mathrm{T}^{-2})^d,$$
или
$$\mathrm{L}^1 = \mathrm{L}^{p-3b+c-d}\ \mathrm{M}^{b+d}\ \mathrm{T}^{-(p+2d)}. \qquad (6)$$
Формулы размерностей левой и правой частей одинаковы, если равны показатели степени у одинаковых символов в левой и правой частях. Перепишем уравнение (6) в виде
$$\mathrm{L}^1\mathrm{M}^0\mathrm{T}^0 = \mathrm{L}^{p-3b+c-d}\mathrm{M}^{b+d}\mathrm{T}^{-(p+2d)}.$$

2*

Приравнивая показатели степени при одинаковых символах в левой и правой частях, получим систему уравнений
$$\begin{cases} 1 = p - 3b + c - d, \\ 0 = b + d, \\ 0 = p + 2d, \end{cases}$$
из которой находим
$$c = 1, \quad b = \frac{p}{2}, \quad d = -\frac{p}{2}.$$

Подставим эти значения в (3):
$$x = Av^p\,\rho^{p/2}E^{-p/2}R,$$
или
$$\frac{x}{R} = A\left(\frac{\rho^{1/2}v}{E^{1/2}}\right)^p = A\left(\frac{\rho v^2}{E}\right)^{p/2}. \qquad (7)$$

Полученное выражение определяет вид уравнения для относительной деформации $\dfrac{x}{R}$ шариков. При этом $A$ и $p$ по-прежнему неизвестны.

Сравнивая выражения (3) и (7), можно заметить, что рассмотрение размерностей величин позволило заменить соотношение между пятью размерными величинами ($x$, $v$, $\rho$, $R$, $E$) соотношением между двумя безразмерными величинами:
$$\left[\frac{x}{R}\right] = 1, \quad \left[\frac{\rho v^2}{E}\right] = 1.$$

Если бы мы искали зависимость $x = x(v,\ \rho,\ R,\ E)$ с помощью эксперимента, то использование метода размерностей позволило бы исследовать вместо влияния на $x$ четырех размерных величин влияние только одной безразмерной величины $\dfrac{\rho v^2}{E}$ на $\dfrac{x}{R}$. Это дает большие удобства экспериментатору, так как позволяет намного уменьшить число необходимых опытов.

Следует обратить внимание на то, что коэффициент $A$ невозможно определить методом размерностей, поскольку он никак не связан с показателями степени в формулах размерностей величин. Показатель $p$ связан формулами размерностей, поэтому в некоторых случаях его можно

определить. Попробуем выделить случаи, когда это можно сделать.

В нашей задаче четыре неизвестных показателя $p$, $b$, $c$, $d$ и три уравнения для их определения. Число уравнений, которые можно составить для отыскания неизвестных коэффициентов, равно числу основных единиц измерений. Для определения численных значений всех неизвестных показателей необходимо, чтобы их число было равно числу независимых уравнений в системе. Это возможно только в двух случаях: если выбрать систему единиц измерений с четырьмя основными единицами или если обоснованно уменьшить число независимых переменных (а значит, и число неизвестных показателей).

Мы рассмотрим второй путь. Предположим, что возникающая при ударе деформация зависит только от модуля упругости $E$ и от кинетической энергии шара $\mathrm{K} = \dfrac{mv^2}{2}$, где $m$ — масса шара. Здесь мы учитываем размер шара только в выражении для кинетической энергии: $\mathrm{K} = \dfrac{1}{2}\ \dfrac{4}{3}\ \pi R^3 \rho v^2$.

(Это грубое допущение, потому что величина деформации зависит не только от кинетической энергии, но и от радиуса шара $R$.) Такое допущение позволяет приближенно записать:

$$x = A_1 \mathrm{K}^{p_1} E^{b_1}.$$

Размерность кинетической энергии

$$[\mathrm{K}] = [mv^2] = \mathrm{ML^2T^{-2}}.$$

Если теперь составить систему уравнений и определить значения $p_1$ и $b_1$ (аналогично тому, как это было сделано выше), то получим

$$\frac{x}{R} = \frac{A_1}{R}\left(\frac{\mathrm{K}}{E}\right)^{1/3} = A_2 \left(\frac{\rho v^2}{E}\right)^{1/3}. \qquad (8)$$

Показатель степени $^1/_3$ в формуле (8) близок к показателю степени $^2/_5$, полученному при строгом математическом решении задачи*).

---

*) Еще об одном способе получения формулы (8) см., например, статью Г. Л. К о т к и н а «Столкновение шариков», «Квант», 1973, № 3.

При использовании метода размерностей очень важно правильно сформулировать задачу, потому что формулировка задачи выделяет те параметры, от которых зависит искомая величина. Решая задачу об упругом соударении шаров, мы учли способность материала шаров сопротивляться распространению деформации внутри шара ($E$), форму и размер исследуемой области (шары радиуса $R$), внешнее воздействие на исследуемую область (через скорость $v$ и плотность материала каждого шара $\rho$).

З а д а ч а 2. Найти деформацию, возникающую в шарах радиуса $R$ при действии на них двух сжимающих сил $F$, направленных по линии, соединяющей центры шаров. Материал шаров одинаков, и его модуль упругости $E$.

Здесь нам, как и в первой задаче, известны форма и размеры объектов (шары радиуса $R$), внешнее воздействие на шары (силы $F$) и свойства материала шаров (модуль Юнга $E$).

Для решения задачи нам нужно найти зависимость величины деформации $x$ от величин $F$, $R$ и $E$. Будем опять искать эту зависимость в виде

$$x = A_3 F^n R^s E^t, \qquad (9)$$

или для размерностей

$$[x] = [F^n]\ [R^s]\ [E^t]. \qquad (10)$$

Размерность силы $F$ равна

$$[F] = [ma] = \mathrm{MLT^{-2}}.$$

Подставив размерности величин $x$, $F$, $R$, $E$ в (10), получим

$$\mathrm{L} = (\mathrm{MLT^{-2}})^n \mathrm{L}^s (\mathrm{ML^{-1}T^{-2}})^t,$$

или

$$\mathrm{L^1M^0T^0} = \mathrm{L}^{n+s-t}\mathrm{M}^{n+t}\mathrm{T}^{-2n-2t}.$$

Приравняем показатели степени при одинаковых символах в левой и правой частях этого уравнения:

$$\begin{cases} 1 = n + s - t, \\ 0 = n + t, \\ 0 = -2n - 2t. \end{cases}$$

Отсюда

$$t = -n, \quad s = 1 - 2n.$$

Следовательно,

$$x = A_3 F^n R^{1-2n} E^{-n} = A_3 R \left(\frac{F}{ER^2}\right)^n,$$

20

Рис. 2.

или
$$\frac{x}{R} = A_3 \left(\frac{F}{ER^2}\right)^n. \qquad (11)$$

В общем случае внешнее воздействие на шары изменяет состояние материала шаров. Это изменение состояния материала характеризуют понятием «напряжение». Напряжением материала в сечении $S$ (рис. 2) под действием внешних сил $F$ называется величина $\sigma = F/S$, где $S$ — площадь сечения. Напряжение, возникающее под действием сил, направленных перпендикулярно к рассматриваемому сечению, называется нормальным напряжением или давлением. Напряжение характеризует удельную нагрузку на материал (нагрузку на единицу площади сечения тела). При увеличении удельных нагрузок материал сначала становится неупругим, а потом разрушается. Поэтому определение напряжений представляет практический интерес.

З а д а ч а 3. Найти напряжение $\sigma$ в месте соприкосновения двух шаров радиуса $R$, возникающее под действием сжимающих сил $F$ (см. рис. 2), если шары изготовлены из материала с модулем упругости $E$.

Очевидно, что $\sigma$ зависит от $F$, $E$ и $R$:
$$\sigma = \sigma(F,\ E,\ R).$$
Будем снова считать, что эта зависимость имеет вид
$$\sigma = A_4 F^{n_1}\ R^{s_1}\ E^{t_1}. \qquad (12)$$
Из определения напряжения следует, что размерность напряжения — это

размерность силы, поделенная на размерность площади:
$$[\sigma] = \frac{[F]}{[S]} = \frac{\mathrm{MLT}^{-2}}{\mathrm{L}^2} = \mathrm{ML}^{-1}\mathrm{T}^{-2}.$$

Следовательно, учитывая (12),
$$\mathrm{ML}^{-1}\mathrm{T}^{-2} = (\mathrm{MLT}^{-2})^{n_1}\ \mathrm{L}^{s_1}\ (\mathrm{ML}^{-1}\mathrm{T}^{-2})^{t_1},$$
откуда
$$\left\{ \begin{array}{l} 1 = n_1 + t_1, \\ -1 = n_1 + s_1 - t_1, \\ -2 = -2n_1 - 2t_1. \end{array} \right.$$

Проделав соответствующие выкладки, получаем
$$\sigma = A_4 F^{n_1} R^{-2n_1}\ E^{1-n_1},$$
или
$$\frac{\sigma}{E} = A_4 \left(\frac{F}{ER^2}\right)^{n_1}. \qquad (13)$$

Заметим еще раз, что метод размерностей широко используют в тех задачах, где из-за большого числа переменных и сложности уравнений, описывающих явление, аналитическое решение невозможно. В этом случае для отыскания нужных зависимостей проводят эксперимент. Результаты эксперимента обрабатывают с помощью безразмерных комбинаций параметров задачи, которые позволяет выделить метод размерностей. Так, в задачах, рассмотренных в этой статье, метод размерностей позволяет утверждать, что относительные деформации и напряжения определяются не отдельными численными значениями параметров $v$, $\rho$, $E$, $R$ или $F$, $E$, $R$, а численным значением безразмерных комбинаций параметров $\dfrac{\rho v^2}{E}$ и $\dfrac{F}{ER^2}$.

У п р а ж н е н и я

1. Показать, что напряжение, возникающее в шарах, движущихся навстречу друг другу со скоростью $v$, в момент столкновения определяется выражением
   $$\frac{\sigma}{E} = A \left(\frac{\rho v^2}{E}\right)^n.$$

2. Показать, что при столкновении двух шаров с радиусами $R_1$ и $R_2$ напряжение в месте соприкосновения описывается формулой
   $$\frac{\sigma}{E} = A \left(\frac{\rho v^2}{E}\right)^n \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^r.$$

21

Оценка физической величины

Б.С. Ратнер

В физике, как, впрочем, и в других науках, значения различных величин, получаемые в результате расчетов или экспериментов, определяются с неодинаковой точностью. В одних случаях значение физической величины важно знать с наибольшей точностью, в других случаях достаточно оценить ее примерное значение. Точность подобных оценок может изменяться от порядка величины до нескольких процентов.

В качестве примера оценочного, неточного расчета найдем период колебаний $T$ математического маятника несколько необычным способом. Из школьного курса физики известно, что для малых углов отклонения нити маятника от вертикали величина $T$ находится с большой точностью из формулы $T = 2\pi \sqrt{\dfrac{l}{g}}$, где $l$ — длина нити маятника и $g$ — ускорение свободного падения. Наш пример поэтому носит характер чисто

Рис. 1.

22

иллюстративный — никто в реальных условиях не станет приблизительно оценивать величину, уже известную точно. Зато мы сразу будем знать, насколько близка к истине полученная оценка.

Пусть в начальный момент маятник находится в точке $A$ — точке максимального удаления от положения равновесия $B$, при этом нить составляет с вертикалью малый угол $\alpha$ (рис. 1). Период колебаний $T$ — это учетверенный промежуток времени $t$, за который маятник опишет дугу $AB$:

$$T = 4t = 4\,\frac{\smile AB}{v_{\mathrm{ср}}},$$

где $v_{\mathrm{ср}}$ — средняя скорость на этом участке.

Так как угол $\alpha$ мал, дугу $\smile AB$ можно заменить хордой $AB$. Из прямоугольных треугольников $ACO$ и $ACB$

$$AC^2 = l^2 - (l-h)^2$$

и

$$AC^2 = AB^2 - h^2,$$

следовательно,

$$AB = \sqrt{2lh}.$$

Предположим, что

$$v_{\mathrm{ср}} = \frac{v_0 + v_t}{2} = \frac{0 + \sqrt{2gh}}{2}.$$

Здесь $v_0$ — скорость в начальный момент времени, а $v_t$ — скорость маятника при прохождении положения равновесия. Неточность такого предположения очевидна, так как оно соответствует равноускоренному движению, то есть движению под действием постоянной силы. В нашем же случае на шарик действует переменная по времени сила — тангенциальная составляющая силы тяжести. К сожалению, более близкое к истинному значение $v_{\mathrm{ор}}$ с помощью элементарной математики получить нельзя.

Подставим значения для $\smile AB$ и $v_{\mathrm{ср}}$ в выражение для периода колебаний $T$ и получим

$$T = 8 \sqrt{\frac{l}{g}}.$$

Рис. 2.

Рис. 3.

Значение периода колебаний, полученное путем оценки, примерно на 27% больше истинного. Чем вызвано такое расхождение? В основном, выбранным нами значением средней скорости, замена дуги хордой малосущественна. На рисунке 2 показаны графики зависимости силы от перемещения для двух случаев: гармонического колебания, когда сила $F_2$ линейно уменьшается по мере приближения к положению равновесия, и использованного при оценке равноускоренного движения, когда сила $F_1$ постоянна. Площади под графиками, равные энергии движения, естественно должны быть равны. Попробуем теперь сравнить про-

межутки времени, затрачиваемые в обоих случаях. Воспользуемся для этого зависимостью $v = v(t)$ (рис. 3). При равноускоренном движении график $v = v_1(t)$ — прямая линия. При гармоническом колебании кривая $v = v_2(t)$ вначале идет выше (тангенс угла наклона кривой при $t = 0$ в два раза больше тангенса наклона прямой), в середине пути наклоны кривых примерно одинаковы, а в конце тангенс угла наклона кривой $v_2(t)$ равен нулю. Но площади под обеими кривыми должны быть равны, так как равны пути. Следовательно, $t_1 > t_2$, что соответствует знаку расхождения в значении периода колебаний.

Случай на олимпиаде

Только что закончилась школьная олимпиада. Всегда самой легкой задачей бывает первая, но в этот раз начались споры даже из-за ответа. В условии первой задачи было сказано: Найти все значения параметра a, при которых уравнение $x^2 - |x| + a = 0$ имеет единственный корень.

— Я решал задачу так,— сказал ученик Крестиков. — Известно, что $x^2 = |x|^2$, поэтому вместо дан-

ного уравнения можно написать такое:

$$|x|^2 - |x| + a = 0.$$

Так как оно квадратное относительно $|x|$, то единственный корень может быть только в случае, когда дискриминант равен нулю, то есть при $a = \frac{1}{4}$. Значит, $a = \frac{1}{4}$.

— Вовсе нет,— сказал ученик Нуликов.— Смотри, как решал я. Пусть данное уравнение имеет корень $x_0$. Ясно, что $-x_0$ тоже будет его корнем. А для того чтобы корень был единственный, необходимо, чтобы $x_0 = -x_0$. Это возможно только при

$x_0 = 0$. Подставив это значение $x$ в уравнение, видим, что $a = 0$, а не $\frac{1}{4}$ !

— Вы оба не довели решение примера до конца,— сказал ученик Квадратиков.— Надо было еще…

— Ничего уже не надо,— безапелляционно заявил ученик Треугольников.— Все и так ясно.

Попробуйте ответить на такие вопросы.

1. Чей ответ верен?

2. Что имел в виду Квадратиков?

3. Что ясно Треугольникову?

В. И. Рыжик

23