Квант 1975, №5 · Страницы

Квашт
1975
5
Научно-полуярный
физико-математический
журнал

На этом рисунке, взятом из изданной в 1504 году книги «Margarita philosophica» Георга Рейша, вы видите состояние между «абакистом» и «алгористом». О том, кто такие «абакисты» и «алгористы», вы можете узнать из статьи «Про счеты».

1

Главный редактор
академик И. К. Кикони

Первый заместитель
главного редактора
академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:
М. И. Башмаков,
С. Т. Беляев,
В. Г. Болтянский,
Н. Б. Васильев,
Ю. Н. Ефремов,
В. Г. Зубов,
П. Л. Капица,
В. А. Кириллин,

главный художник
А. И. Климанов,
С. М. Козел,

зам. главного редактора
В. А. Лешковцев,
Л. Г. Макар-Лиманов,
А. И. Маркушевич,
Н. А. Патрикеева,
И. С. Петраков,
Н. Х. Розов,
А. П. Савин,
И. Ш. Слободецкий,

зам. главного редактора
М. Л. Смолянский,
Я. А. Смородинский,
В. А. Фабрикант,
А. Т. Цветков,
М. П. Шаскольская,
С. И. Шварцбург,
А. И. Ширшов.

Редакция:
В. Н. Березин,
А. Н. Виленкин,
И. Н. Клумова,
художественный редактор
Т. М. Макарова,
Н. А. Минц,
Т. С. Петрова,
В. А. Тихомирова,
зав. редакцией
Л. В. Чернова

В НОМЕРЕ:

2 Великий подвиг советского народа
5 Ю. В. Матиясевич. Формулы для простых чисел
14 А. В. Чаплик. Волновая механика
22 С. Г. Веров. Касательные к рулетам
31 И. Н. Бронштейн. Общие свойства конических сечений

Лаборатория «Квант»
41 М. П. Голловей. Опыты со струей воды

Математический кругхок
45 И. Ф. Шарыцин. Выход в пространство

Задачик «Квант»
50 Задачи М321—М325; Ф333—Ф337
52 Решения задач М286—М290; Ф296—Ф298

Практикум абитриента
58 К. И. Кашин. Институт начинается со школьы
60 Г. И. Розенблам. Как присутствь к решению задачи по физике?
64 Ж. М. Михайлов, В. Н. Слудский, А. В. Устинова. Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Информация
68 А. Л. Стасенко. ФАЛТ — что это такое?
70 А. А. Быков, Ю. И. Ионин. Школа-интернат при Ленинградском государственном университете им. А. А. Жданова

«Квант» для младших школьников
71 Задачи
72 О. П. Чопенко. Про счеты

Ответы, указания, решения

Уголок коллекционера
76 А. В. Алтыкис. XXX лет победы над гитлеровским фашизмом (3-я с. обложки)

© Главная редакция физico-mатематической литературы издательства «Нука», «Квант», 1975 200

2

Великий подвиг советского народа

9 мая советские люди и вместе с ними все прогрессивное человечество праздуют тридцатлетие победы над гитлеровой Германней. Эту великую победу одержали не только советские вооруженные силы, страяясь на передовой, но и весь советский народ под руководством Коммунистической партии Советского Союза.

Не остались в стороне и советские учены, плоть от плоти народа. Они внесли весомый вклад в победу, страяясь на фронтах и работая в научных laboratorиях.

Незабываем митинг в Коммунистической аудитории Московского государственного университета на Моховой, когда университетская комсомольская организация объявила себя мобильизованной «для выполнения любого задания партии и правительства — на фронте, на заводах, на транспорте, на колхозных и совхозных полях». Фронтовики-учены самоотверженно сражались с врагом; все помыслы их были направлены на победу. Но и тогда, в дни горячных боев, они оставались верными науке. Одному из них писал в марта 1945 года замечательный советский математик и педагог А. Я. Хинчин:

«…Вы заставили меня задуматься над тем, почему в эту войну такие, совсем юные бойцы, как Вы, при каждой небольшей передышке со всей страстью рруться к своему любимому делу — к тому делу, которое они отдали себя еще до войны и от которого были оторваны войной. В прошлую мирную войну этого не было. Тогда юноша, попавший на фронт, почти всегда чувствовал, что жизнь его переломилась, что все, чем он жил прежде, стало для него невозможной сказал. А сейчас ведь есть такие, которые в перерывах между боями пишут диссертации и защищают их, приехав в короткий отпуск! Не потому ли это, что Выощущаете всем существом Ваш_PATHный труд и Ваш любимое занятие — наук, искусство; практическую деятельности — как два звена одного и того же великого дела? И если это так, то не есть ли этоощущение одна из главных движущих пружин Ваших побед, которые мы здесь, в тылу, так восхищаемся?..»

Не все дожили до дня великой победы. Немало учены отдали свою жизнь за независимость нашей Родины. Мы с благоговением произносим их имена.

Герой Советского Союза Евгения Максимовна Руднева — выпускница механико-mатематического факультета МГУ. Перед войной она завведала отделом Всесоюзного астроном-геодезического общества. Гвардии старшийлейтенант, штуман гвардейского авнационного полка, она совершила 645 боевых вылетов. Дневники и письма Евгения Максимовны Рудневой собраны в книге «Пока стучит сердце», выпущенной издательством «Молодая гвардия».

3

Тем, кто интересуется научно-популярной литературой, должны быть известны имена талантливых популяризаторов науки — Ростислава Николаевича Бончковского и Горгия Николаевича Бермана. Ростиславу Николаевичу принадлежит книга о первых математических олимпидах для школьников, проводившихся у нас в стране. Он был основным редактором сборников «Matематическое просвещение», издавшихся до войны. И все вы, конечно, читали замечательные научно-популярные книги Горгия Николаевича Бермана: «Циклопда», «Число и наука о нем» и другие. Тяжело раненный, он нашел в себе силы продолжать любимую работу и буквально за два дня до смерти правил корректуру своей книги.

В 1937—1941 годы одной из секций математического кружка для школьников при МГУ руководил молодой талантливый математик Давид Оскарович Шклярский. С первых дней войны щелел он на фронт и в 1944 году пал смертью храбрых. Но до сих пор осуществляли влияние Д. О. Шклярского на математическое образование. С 1946 года выходит серия книг «Библиотека математического кружка», где использовался материалы кружка, который руководил Давид Оскарович. Он ни разу не держал в руках этих книг, но в знак признания его особых заслуг на первом месте среди авторов стоит фамилия Д. О. Шклярского.

Живы в памяти народа имена ученых, погибших в боях с фашистами. Вечная им память и слова!

Неоценим вклад ученых, которые, не желая сил, работали днем и ночью, привнося в труд весь свой опит, знания и талант, помогая вооруженным силам и оборонной промышленности. В том, что Советская Армия была основана современным оружием, большая заслуга наших ученых и конструкторов. Мы упомяем лишь о некоторых работах современных математиков и физников.

«Богом войны» называют артиллерию. Наука помогала артиллерии более метко «накрывать» цель и сообщать снаружам разязыю силу. Большую роль в выполнении этой задачи сыграли работы советских математиков, механиков, в частности, шклы академика А. Н. Колмогорова по теории стрелбы, академика М. А. Лаврентьева по направлении взрывам, члена-корреспондента АН СССР А. А. Ильюшина по пластическому течение металлов.

Еще до войны группа специализитов Ленинградского физико-технического института, возглавляемого академиком А. Ф. Иоффе, начал разработать актуальную для флота проблему — размагничивание кораблей. В то время на вооружение многих флотов мира были взяты так называемые магнитные мины, которые автоматически взрывали при прохождения корабля над ними. Дело в том, что всякое стальное тело (в данном случае корпус корабля) в большей или меньшей степени намагнитоно и тем самым создает вокруг себя магнитное поле. Это поле и «чувствовали» мины. Чтобы обезопасить корабль от магнитных мин, его нужно размагнитить. Размагнитивание кораблей производилось системой определения образом расположенных проводов, по которым пропускался электрический ток.

Во время войны работы по размагнитиванию кораблей велись непосредственно на военно-морских базах. Эти работы проводились группой физиков под руководством академиков А. П. Александрова и И. В. Курчатова. Размагнитивание оказалось настолько эффективным, что наш флот практически не несет потерю магнитных мин. Благодар этому была сохранена жизнь соответствих моряков.

Учены занимались не только проблемами защиты от вражеских мин — велиcis работы и по созданию подрывных снарядов. Так, группа физиков были разработаны

4

противотранспортные мины, на которых подрывают немецкие танки, поезда и автотобили. Немецкие миномскатели оказались бессильны в попытках обезвредить эти мины.

Ленинградским физикам, руководимым членом-корреспондентом АН СССР П. П. Кобеко, совместно с моряками военно-морского флота во время блокады Ленинграда пришлось решать не совсем обичную задачу: разработать методы, обеспечивающие безопасное прохождение транспорта по ледовой дороге. Как известно, в период блокады город снабжался продовольством, сырьем и снарядами по единственной дороге, прохождение по льду Ладожского озера. В невероятно тяжелых условиях осаденного города, находящeroся под obstрелом и бомбежкой, учены-физики и моряки обеспечили бесперебойную работу «дороги жизни».

Эффективными оказались результаты труда уральских физиков, разработавших метод магнитной дефектоскопии, который позволяет обнаруживать опасные изъяны в стальных корпусах артиллерийских снарядов. Метод основан на том, что у изделия, имеющих «внутренние» дефекты в металле, магнитное поле влизи этих дефектов отличается от магнитного поля в «здоровых» частях изделия. Эти отклонения и удавалось обнаружить специальными приборами, получившими название магнитных дефектоскопов. Миллионы снарядов, забракованных по внешним механическим признакам, но в действительности вполне пригодных для стрельбы, с помощью этих приборов были признаны годными и возвращены на фронт.

Хорошо известна та исключительная роль, которую сыграли в войне радиолокаторы. Идея создания этого прибора принадлежит академику Ю. Б. Кобзарву.

Заслужги советских ученых получили высокую оценку партии и правительства: многоим из них были при своевеня Героя Советского Союза, Героя Социалистического Труда. Многие нагружены ordenами и медалими Советского Союза и других государств, удостоены государственных премии.

Задача овладения боевой техники, в разработке которой активно участвуют советские учены, теперь стала еще актуальной и сложней. Генеральный секретарь ЦК КПСС Л. И. Брежнев отметил: «Вoenная техника в наших дни — это не обучительные парисной «фарманы» 20-х годов и даже не «ястребки» и «уточки» периода Отечественной войны. Сегодня защищки Советской родины должны владеть искусством управления международными пакетами, вожение сверхзвуковых самолетов, атомных подводных лодок, быть знакомами многохых других сложнейших видов оружия. Сегодня нужны уже не только просто смелые, тренированные, мужские ребята с метким глазом и твердой рукой, но и инженеры, математики, знакомые с тайнами электроники и кибернетики. Задачи, таким образом, и в этой области стали более сложными, ответственных, поднялись на новый уровень. Но комсомольская хватка, энтузизм, деревние молодости, мужские свойства и отвага нужны сегодня так же, как и во времягажданской войны и первых пятилеток, как в огненные годы Великий Отечественный» *).

Со времене окончания войны минуло уже трудно лет. Но подвиг советского народа навеки остался в памяти человека. Наш народ высоко ценит вклад, который внесли в дело победы учены. Честы им и слова!

*) Бр.жнев Л. И. Речь на торжественной Пленме ЦК ВЛКСМ 25 октября 1968 г. — В книге: «Ленинским курсом». Речи и статьи, т. 2. М., 1973, с. 273.

5

Что требуется?

Простые числа разбросаны в натуральном ряду очень прихотливым образом, и не удивительно, что изделия математики стремились найти «формулу для простых чисел». Таким образом можно назвать формулы, обладающие различными свойствами, и здесь очень важно понять, что нам требуется на самом деле.

Самая простая формула для простых чисел выглядит, по-видимому, так:

$$p = p_n,$$

(1)

где $p_n$ обозначает $n$-е простое число. Чем же эта формула не устанавливает нас? Дело в том, что права часть этого равенства вычисляется с помощью образом — попробyte, например, самостояльно найти $p_{1975}$! Мы же хотим получить аналогичную формулу с возможно более простым способом вычисления правой части (однако, как мы видим, простота вычисления — понятие совсем не оченьное). Это так сказаить, программа-маскимут.

Ради простоты формулы можно отказывать от требования явной зависимости от номера $n$ и искать формулы, дающие простые числа, быть может, не по порядку. Далее, можно отказывать от желания задать одной формулой сразу все простые числа и требовать только того, чтобы формула давала бесконечно много простых чисел. Можно, наконец, допустить, чтобы эта формула давала наряду с бесконечно много простыми числами и нековотые составные числа. Это — программа-минимум.

Формулы, каждщесяя очень простыми, надел могут оказаться не лучшие формулы (1). Именно к таким примерам мы сейчас и переходим.

Teorema E. M. Райта

В 1947 году В. X. Милл с опубликовал следующий результат:

Существует вещественное число $\lambda$ макое, что при любом $n=1, 2, \dots$ число

$$[\lambda^{3^n}]$$

(2)

является простым *).

В последствии появился еще ряд формул такого же типа. Однако все это были результаты, формулировка которых выглядит заманчивой и многообещающей, но доказательство разочаровывает. Тому, кто хочет понять, почему это так, мы предлагаем разобрать в доказательстве следующей теоремы E. M. Райта:

Существует вещественное число $\mu$ макое, что всякое число вида

$$[2^2 \cdot 2^{\mu}]$$

(3)

является простым.

Ключевым пунктом в доказательстве теоремы Райта является так называемый постулат Бертрана. Согласно этому постулату при $x \geq 4$ между $x$ и $2x-2$ всегда есть

*) Здесь и ниже [$\alpha$] обозначает целую часть числа $\alpha$, то есть наиболее целое число, не превышает $\alpha$.

6

простое число. Эту гипотезу впервые высказал французский математик Бертран: докаазать ее он не смог, а потому использовал в своих рассужdenях в качестве недоказуемого построата. Докаазательство гипотезы Бертрана было найдено впоследствии выдающимся русским математиком П. Л. Чебышевым *).

Чтобы найти нужное число μ, выберем сначала последовательность простых чисел $q_1, q_2, \dots$, такую, что при любом $n=1, 2, \dots$
$$2^q < q_{n+1} < 2^{q+1} - 1. \quad (4)$$
(B качестве $q_1$ можно взять любое простое число, возможно же неограниченного продолжения последовательности $\{q_n\}$ с соблюдением неравенства (4) гарантирует построат Бертрана.)

Обозначим для краткости число
$$2^2,$$
где берется $n$ возведений в степень, через $\exp^n \alpha$, а обратную функцию,
$$\log_2 \log_2 \dots \log_2 \beta - \text{через } \log_2^n \beta.$$

Попробуем выбрать число μ так, чтобы при $n=1, 2, \dots$
$$[\exp^n \mu] = q_n. \quad (5)$$
Согласно определению целой части числа равенство (5) эквивалентно неравенству
$$q_n \leqslant \exp^n \mu < q_n + 1.$$

Пропагандировав его $n$ раз по основанию 2, получим еще одно двойное неравенство, эквивалентное (5):
$$\log_2^n q_n \leqslant \mu < \log_2^n (q_n + 1). \quad (6)$$

Проверьте сами, что из (4) следует
$$\log_2^1 q_1 < \log_2^2 q_2 < \dots < \log_2^n q_n < \log_2^{n+1} q_{n+1} < \dots < \log_2^{n+1} (q_{n+1} + 1) < \log_2^n (q_n + 1) < \dots < \log_2^2 (q_2 + 1) < \log_2^1 (q_1 + 1).$$

Таким образом, последовательность
$$\log_2^1 q_1, \log_2^2 q_2, \dots, \log_2^n q_n, \dots$$
строго возрастает и ограничена сферу; следовательно, она имеет предел. Его-то мы и возьмем в качестве числа μ; докажите, что так выбранное μ удовлетворяет даже более сильному, чем (6), неравенству
$$\log_2^n q_n < \mu < \log_2^n (q_n + 1), \quad (7)$$
и, следовательно, равенство (5) справедливо. Теорема Райта доказана.

Основным недостатком формул (2) и (3) является то, что они (точнее, их доказательства) не дают никакого

*) Прочитать об этом доказательстве можно в статье М. И. Башмакова, «Квант», 1971, № 5.

способа нахождения простые числа, либо чтобы вычислить какое-лобо простое число по формулам (2) или (3), нужное число λ и μ знать с достаточной точностью. Таким образом, формулы (2) и (3) в некоторых смысле являются всего лишь замакированными (иухудшенными) вариантами формулы (1). Кроме того, вид формул (2) и (3) на самом деле почти ничего не говорит именно о множестве простых чисел. Из доказательства теоремы Райта видно, что формулы, аналогичные (2), (3), можно указать для любого «достаточного густаго» множества.

Недостатки формул (2) и (3) порождают тем, что в них входят вещественные числа λ и μ, задаваемые некоторым косвенным образом. В дальнейшем мы будем рассматривать лишь формулы, в которых входят только целочисленные коэффициенты. Такие формулы обладают важным преимуществом: они могут быть (в принципие) выписаны явно:

Простые числа Мерсенна и Ферма
Формулы Милласа, Райта и другие подобные формулы остались изолированными фактами, не приведшими к новым результатам. Однако в других случаях возможность представить некоторых простых числа в том или ином специальном виде имеет неожиданные и глубокие следствия.

Рассмотрим сейчас две формулы, имеющие совместим простой вид:
$$p = 2^n - 1, \quad (8)$$
$$p = 2^n + 1. \quad (9)$$

Очевидно, что формула (8) не всегда дает простые числа; например, если $n$ — составное число, $n = kl, k > 1, l > 1$, то $p$ делится на $2^k - 1$ и на $2^l - 1$. Но и при простом $n$ получающейся по формуле (8) число может оказаться составным:
$$2^{11} - 1 = 2047 = 23 \cdot 89.$$

Простые числа, получающие по формуле (8), называются числами Мерсенна в числе Марина Мер-

7

сенна, который еще в 1664 году указал все простые значения $n$, не превосходящие 257, для которых, по его мнению, формула (8) дает простые числа. Однако Мерсенн не дал доказательства; впоследствии выяснили, что его предсказание было частично ошибным.

Интерес к числам Мерсенна вызван их связью с так называемыми совершенными числами — числами, равными сумме всех своих делительей, отличных, конечно, от самого числа. Еще Евклид доказал (доказатель и вы), что если простое число $p$ имеет вид, указывающий в формуле (8), то число $p \cdot (p+1)/2$ является совершенным. Например,

$$3 = 2^2 - 1, \quad 7 = 2^3 - 1$$

— простые числа, и соответственно

$$6 = (3 \cdot 4)/2 = 1 + 2 + 3, \quad 28 = (7 \cdot 8)/2 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14$$

— совершенные числа. Спустя несколько столетий Леонард Эйлер доказал (попробyte и здесь свои силы), что все четные совершенные числа имеют вид, указывающий Евклидом. Таким образом, вопрос, конечно или бесконечно множество четырех совершенных чисел, свелся к вопросу, конечно или бесконечно множество простых чисел Мерсенна, то есть к вопросу, реализует формула (8) нашу программу-minимум. Ответ на этот вопрос не известен до сих пор *).

Формула (9) также не всегда дает простые числа, например, если $n$ имеет простой нечетный делитель $m$, то $p$ делится на $2^{m/2} + 1$, а если $n$ само нечетно, то $p$ делится на 3. Таким образом, вместо $n$ в формулу (9) имеет смысл подставлять только 0 и степень числа 2. При $n=0, 2^0, 2^1, 2^2, 2^3$ и $2^4$ формула (9) действительно дает простые числа, и Пьер

*) Об истории и современном состоянии исследовании по совершенным числам и простым числам Мерсенна вы можете прочитать в статье И. Я. Депмана, «Квант», 1971, № 8.

Форма, живший в XVII века, высказал предложение, что и при любом $n$ вида $2^k$ формула (9) дает простое число; в его числе простые числа вида $2^{2k} + 1$ получили название чисел Ферма. Гипотезу Ферма опроверг Эйлер, указывающий, что число $2^{25} + 1$ делится на 641. В настоящее время известно несколько значений $n$ вида $2^k$, при которых по формуле (9) получаются составные числа, но не найдено ни одного нового простого числа Ферма, отличного от указанных выше.

Простые числа Ферма обнаруживают неожиданную связь с геометрией. Выдающийся немецкий математик Карл Фридрих Гаусс доказал, что правильный $p$-угольник можно построить циклелем и линейкой при простом $p$ в том и только том случае, когда $p$ — число Ферма*). Более общий результат таков: правильный $m$-угольник допускает построение циклелем и линейкой тогда и только тогда, когда $m=2^s \cdot p_1p_2 \dots p_l$, где $p_1, p_2, \dots, p_l$ — попарно различные простые числа Ферма.

Скатерть Улама

Формулы (8) и (9) содержат возведение в степень. А нельзя ли задания бесконечного многохиспель объятиться лишь сложением, вычитанием и умножением? Поищем ответ на этот вопрос.

Начнем с рассмотрения многочленов от одной переменной с натуральными коэффициентами; посмотрим, какие многочлены будут свойствами и в каком количестве.

Возьемем вначале многочлены первой степени (то есть линейные многочлены). Очевидно, что приведенный многочлен $x$ задает бесконечного многочленных чисел, более того, все простые числа, но это неинтересный случай. А что можно сказать о многочлене $ax + b$ (где $a, b$ и $x$ — натуральные числа)? Ясно, что если $a$ и $b$ имеют общий делитель, отличный

*) Подробнее об этом открытии тогда ещесовсем молодного Гаусса расссказано в статье С. Г. Гиндикна, «Квант», 1972, № 1.

8

Рис. 1.

от 1, то значение многочлена $ax + b$ — число составное, кратное этому делителью. Случай же, когда $a$ и $b$ взаимно просты, гораздо менее оцениден.

Французский математик Лежандр (живший в XVIII веке) высказал гипотезу, что если $a$ и $b$ взаимно просты, то в арифметической программе с первым членом $b$ и разнотою $a$ встречается бесконечно много простых чисел. Эта гипотеза была доказана лишь в прошлом столетинемецим математиком Леженом Дирихле.

Перейдем теперь к квадратным многочленам. Среди них есть «рекордсмены», например, многочлен $x^2 + x + 41$ — его изучал еще Леонард Эйлер. Этот многочлен принимает простые значения при $x = 1,2,...,40$. При $x=41$ его значение — составное.

Доказано, что никакой многочлен (отличный, разумется, от конструкты) не может иметь в качестве значений только простые числа, но до них пор не извесно, существует ли многочлен (кроме линейного), среди значений которого встречается бесконечно много простых чисел.

9

Прис. 2

Прис. 3.

Интерес к представлению простых чисел в виде значений квадратных многочленов недавно возникли в связи с необходимым наблюдением С. М. Улама*). Начав на спирали из всех натуральных чисел (рис. 1) отмечать простые числа, Улам с удивлением обнаружил, что простые числа выстраивают по диагоналям, образуя довольно длиные цепочки. (Доказите, что числа, расположенные вдоль какой-либо диагонали в пределах, ограниченных на рисунке 1 красными линиями — это значения некоторого квадратного многочлена с целыми коэффициентами). Еще более удивительным оказалось то, что закономерность эта наблюдалась и тогда, когда спираль была продолжена (с помощью ЭВМ) до больших чисел — на рисунке 2 светлими точками отмеченены простые числа на спирали из первых 10 000 чисел. Узор, изобранный на рисунке 2, получил название «скатерть Улама».

Чтобы отмеченная закономерность проявилась, не обязательно начинать спираль с единицей. Например, значения многочлена $x^2 + x + 41$ выстраиваются по диагоналям у спирали, начинаяшейся с числа 41 (рис. 3). Возможно, что читатели «Кванта», проявив изобретательность и должное терпение, смогут найти новые красные «геометрические» закономерности расположения простых чисел среди многочеств всех чисел.

Феномен со стремлением простых чисел располагается в цепочки вдоль диагоналей был обнаружен сравнительно недавно и еще не получил какого-либо математического объяснения.

О представлении простых чисел с помощью многочленов от многих переменных мы сказем в конце статьи.

Экспоненциальный многочлен Джулии Робинсон

Экспоненциальные многочлены отличаются от обычных тем, что в них показатели степени могут быть не только конкретные натуральные числа, но и линейные многочлены от переменных с натуральными коэффициентами, то есть многочлены вида $a_1x_1 + a_2x_2 + \ldots + a_kx_k + b$, где $a_1, a_2, \ldots, a_k, b$ — целые неотрицательные числа.

Простейшим примерами экспоненциальных многочленов от переменной $n$ являются правила части формул (8) и (9).

В дальнейшем мы всегда будем представлять, что все встречшиеся у нас переменные принимают целые положительные значения.

В 1952 году американский математик Джулия Робинсон*) опубликовала следующий результат:

*) Так было сделано это наблюдание, красочно рассказывает М. Гарднер в «Matематических досугах», М., «Мир», 1972.

10

Существует экспоненциальный многочлен $R(x_0, \dots, x_h)$, такой, что любое его положительное значение при целых положительных значениях переменных является простым числом; любое простое число можно представить в маком виде.

В результате получается такая «формула для простых чисел»:

$$p = R(x_0, \dots, x_h).$$

Эта формула заменяется вот чем. Во-первых, в нее входят только целые числа, и потому, в отличие от формул Миллса, Райта и им подобных, формула Джулии Робинсон может быть выписана явно. Во-вторых, она задает все простые числа, а не только какие-то избранные из них, в отличие от всех рассмотренных выше формул. В-третьих, хотя формула (10) задает и не только простые числа, у нас есть очень простой способ отсеивания «лишних» чисел: каждое не простое значение $R$ при целых положительных значениях неизвестных не преводходит нуля. Этим формула Джулии Робинсон выгодно отличается от формул (8) и (9), а также и от только что рассмотренных полномomialных формул *).

Доказательство Джулии Робинсон совершено элементарно. Ниже излагаются его основные идеи; доведение же доказательства до формальной строгости мы оставляем читателя: все промежутные результаты формулированы в виде пятей лемм, — их-то и нужно доказать. Как мы увидим, из этих лемм следует не только существование экспоненциального многочлена $R$, но и его явный вид.

Что мы должны сделать?

Чтобы доказать теорему Джулии Робинсон, мы, очевидно, должны указать экспоненциальный многочлен $R$, такой, что уравнение (10) разрешимо

*) Полномomialная формула — это формула, задаваемая многочленом.

в натуральных числах относительно переменных $x_0, \dots, x_h$ тогда и только тогда, когда выполнен следующее условие:

$$p - \text{простое число.}$$

Это — пример условия на переменное $p$.

Приведем еще несколько примеров условия на набор переменных:

$$\lambda_1, \dots, \lambda_n, x_0, \dots, x_h.$$

Если мы потребуем, чтобы набор чисел (11) удовлетворял системе уравнения вида

$$F_i(\lambda_1, \dots, \lambda_n, x_0, \dots, x_h) = 0$$

($i=1, \dots, s$), (11’')

или допустим словесное описание типа: «все $\lambda_i$ — простые числа», или «$\lambda_1$ — простое число, $ax_0, \dots, x_h$ — целые числа» и т. д., то тем самым мы из множества в сех наборов (11’’) выделим некоТОрые, подчиняющие наложению на них условия.

Мы не станем точно определить, условия какого вида является для нас допустимыми. Приведенное описание примеров уравнений для определения того способ действия, который мы в дальнейшем будем пользоваться.

В последующем изложении мы будем различать переменные, называя неокоторые из них параметры, так что деление переменных на параметры и неизвестные у нас является чисто условным.

Если все левые части системы уравнения (11’’) являются экспоненциальными многочленами от $\lambda_1, \dots, \lambda_n, x_0, \dots, x_h$, и решения этой системы ищутся в целых положительных числах, то такая система называется экспоненциально диофантовой; если $F_i$ — объIkновенные многочлены, то система уравнения (11’’) называется просто диофантовой.

Уравнение (10) является примером экспоненциального диофантова уравнения относительно переменных $p, x_0, \dots, x_h$.

Мы будем говорить, что две системы уравнений, имеющие одни и те же параметры, эквивалентны другому относительно этих параметров, если множество тех значений параметров, при которых имеем решение одна из этих систем, совпадает со множеством тех значений параметров, при котором имеем решение и другая система. (Обратите внимание, что в этом определении ничего не говоряем.)

11

рится о связи значений неизвестных—для наших целей это неважно, эквивалентные в нашем понимании системы могут вообще не иметь общих неизвестных.)

Приером эквивалентных условий относительно параметра $\lambda$ могут служить неравенство

$$2^n < \lambda < 2^{n+1}$$

и равенство

$$\lambda = (2x_0 + 1) \cdot x_1.$$

Ясно, что каждое из этих условий имеет решение тогда и только тогда, когда параметр $\lambda$ принадлежит множество чисел, не являющихся целыми степени числа 2.

В этой терминологии наша цель формулируется так: найти эквивалентный многочлен $R(x_0, \dots, x_h)$, такой, что условие (10) эквивалентно условию (11) относительно параметра $p$.

Однако требование, чтобы параметр $p$ стоял только в левой части равенства (10), является, как мы сейчас увидим, излишне жестким.

Пусть удовлетворяя такой: найти эквивалентный многочлен $Q(p, x_1, \dots, x_h)$, такой, что эквивалентно диофантово уравнение (условие на $p, x_1, \dots, x_h$)

$$Q(p, x_1, \dots, x_h) = 0$$

(12) эквивалентно условию (11).

Положим

$$R(x_0, \dots, x_h) = x_0 \cdot (1 - Q^2(x_0, \dots, x_h)).$$

Лемма 1. Если эквивалентные многочлены $R$ и $Q$ связаны соотношениям (13), то уравнения (10) и (12) эквивалентны относительно параметра $p$.

Нам достаточно даже найти не уравнение, а хотя бы систему эквивалентного диофантовых уравнений

$$\begin{cases} Q_1(p, x_1, \dots, x_h) = 0, \\ Q_l(p, x_1, \dots, x_h) = 0, \end{cases}$$

эквивалентную условию (11) относительно $p$.

Лемма 2. Если

$$Q(p, x_1, \dots, x_h) = \sum_{i=1}^{l} Q_i^2(p, x_1, \dots, x_h),$$

мо системе (14) эквивалентна уравнению (12).

Именно понском системы эквивалентного диофантову уравнения, эквивалентной условию (11), мы и будем занимать.

Что такое простое число?

Страный вопрос, — удивится читатель. Каждый знает, что простое число — это число, большее единиццы, которое делится только на единицу и на себя. Конечно, это так, но с таким определенным работать нелегко — ведь оно предполагает, что проверка простоты числа состоит в переборе бесконечного числа потенциальных делителей — всех натуральных чисел, кроме 1. Для наших же целей больше подходит следующее определение:

число $p$ является простым, если $p > 1$ и $p$ не делится ни на какое число, меньше $p$ и отличное от 1.

В этом определении нет ограничения $q \neq 1$, и, что более важно, оно позволяет переменное число уравний H.O.Д. (1, $p$) = 1, H.O.Д. (2, $p$) = 1, …, H.O.Д. (p - 1, $p$) = 1 свести в одно условие:

H.O.Д.((p - 1)!, $p$) = 1.

Сделанное замечание позволяет нам написать первую систему уравнения, эквивалентную условию (11) относительно параметра $p$:

$$\begin{cases} p = r + 1, \\ s = r!, \\ H.O.Д. (s, p) = 1. \end{cases}$$

Первое из этих условий имеет исключый вид эквивалентного диофантова (более того, диофантова) уравнения, а третье легко приводится к таким же виду за счет введения двух новых неизвестных:

*) H.O.Д. (a, b) — это наиболее общий делитель чисел $a$ и $b$.

12

Лемма 3. Условие (17) эквивалентно относительной параметров $r$ и $s$ условия

$$x_1 \cdot s - x_2 \cdot p = 1^*).$$

Так как уравнение (18) экспоненциально диофантово, то нам осталось лишь найти систему экспоненциально диофантовых уравнений, эквивалентную относительной параметров $r$ и $s$ условия (16).

Как вычислить факторial?

В условия (16) входит $r!$; этот-то факторial и «мешает» нам. Вспомним, что факторial функирует в выражении для биомпальных коэффициентов**): при $t \geq r$

$$C_t^r = \frac{t(t-1) \dots (t-r+1)}{r!},$$

то есть

$$r! = \frac{t(t-1) \dots (t-r+1)}{C_t^r}.$$

Многочлен, стоящий в числитель, имеет довольно сложную структуру. Попытаемся заменить его более простым—a именно, многочленом $t^r$. При $t \geq r$ имеем:

$$\frac{t^r}{C_t^r} = \frac{t^r}{t(t-1) \dots (t-r+1)} \times \frac{t(t-1) \dots (t-r+1)}{C_t^r} = \left(1 + \frac{1}{t-1}\right)\left(1 + \frac{2}{t-2}\right) \times \dots \times \left(1 + \frac{r-1}{t-r+1}\right) \cdot r! \geq r!.$$

Легко видеть, что

$$r! = \lim_{t \to \infty} \frac{t^r}{C_t^r},$$

(*) Сравните эту лемму с леммой 2 из «Кванта» № 6 за 1972 год, с. 33.

**) О свойствах биомпальных коэффициентов «Кванта» рассказывал недократно; см., например, № 6 за 1970 год, с. 17—25, или № 2 за 1973 год, с. 27—34.

однако эта запись факторила нам ничего не дает, поскольку $t$, будучи параметром в исходной системе уравнений, может принимать любые, сколько угодно больше, но конечные значения. Но мы и не будем переходить к предлу, а воспользовемся целочисленностью $r!$ — из (19) и (20) следует, что при достаточно больших $t$

$$r! = \left[ \frac{t^r}{C_t^r} \right].$$

Лемма 4. Формула (21) верна как молоко $t \geq 2 r^{r+2}$.

Лемма 4 позволяет преобразовать условия (16) в эквивалентную ему относительно параметров $r$ и $s$ системы (проверьте эквивалентность!)

$$\begin{cases} t = 2r^{r+2}, \\ c = C_t^r, \\ t^r = s \cdot c + (x_3 - 1), \\ (x_3 - 1) + x_4 = c. \end{cases}$$

Здесь условия (22), (24) и (25) имеют требуемый вид, и нам остается лишь найти систему экспоненциально диофантовых уравнений, эквивалентных условия (23) относительно параметров $r$, $t$ и $c$.

Итак, нам осталось «избавиться» от биомпального коэффициента.

Биомпальные коэффициенты — это коэффициенты биома!

Только что мы использували выражение биомпальных коэффициентов через факторial; но биомпальные коэффициенты имеют много и других определений. Воспользовемся теперь, что

$$(u + 1)^t = \sum_{i=0}^{t} C_t^i u^i.$$

Эта формула является определением биомпальных коэффициентов, если рассматривается как мождество относительно $u$. Но нам нужно, чтобы $u$ было неизвестной, принимающей в качестве конкретином решении исходной системы лишь одно значение.

13

Заметим, что
$$C_t^i \leq \sum_{i=0}^{t} C_t^i = (1+1)^t = 2^t,$$
и, таким образом, если
$$u > 2^t,$$
то $C_t^0, C_t^1, \dots, C_t^t$ — это цифры в записи числа $(u+1)^t$ в позиционной системе числения с основанием $u$.
Следовательно, биомпальные коэффициенты однозначно определяются тем условием, что равенство (26) и неравенства (27) и (28) одновременно выполнены хотя бы при одном значении $u$.

Лемма 5. Условие (23) эквивалентно относительной параметров $r, t$ и $c$ системы условия
$$\begin{cases} u = 2^t + 1, \\ x_5 = u + 1, \\ x_5^t = x_6 u^{r+1} + cu^r + x_7, \\ x_7 + x_8 = u^r, \\ c + x_9 = u. \end{cases}$$

Здесь все условия уже имеют необходимый нам вид.

Итак, мы показали, что условия (11) эквивалентно относительной параметра $p$ системе, состоящий из экспоненциального диофантовых уравнений (15), (18), (22), (24), (25), (29) — (33). Чтобы получить требуемый экспоненциальный многочлен, осталось переменовать переменные $r, s, t, c$ и $u$ в $x_{10}, x_{11}, x_{12}, x_{13}, x_{14}$, объединить по лемме 2 все уравнения в одной и преобразовать по лемме 1 это уравнение к использованию виду (10).

Дальнейшие шаги
Формула (10) не содержит явно номера задаваемого его простого числа. Описанный выше способ построения экспоненциального многочлена $R$ не дает прямого пути для включения номера простого числа в формулу (10). Используя существенно более сложную технику, Мартин Дейвис, Хилэри Патnam и Джуляя Робинсон в 1961 году доказали одну очень сильную теорему, которая имеет такое с ледств и е.

Существует экспоненциальный многочлен $P(x_0, \dots, x_k, n)$ макой, что при каждом фиксированном значении параметра $n$ и произвольных значениях остальных переменных, многочлен $P$ принимает одно положительное значение, и этим значением является $n$-е простое число.

В 1970 году автор этой статьи удалось использовать другие результаты Джулия Робинсон, построить такое диофантовую равенение:
$$M(a, b, c, z_1, \dots, z_m) = 0,$$
(34) которое разрешимо тогда и только тогда, когда параметры $a, b$ и $c$ связаны соотношением $a = b^c$. Этот результат позволяет осуществить в формулировке предыдущей теоремы слово «экспоненциальный», то есть позволяет построить многочлен, заданной простые числа. Об этом, однako, мы поговорим в другой раз. Те же читатели, кого заинтересовала подобная тематика и кого не страшат трудности, могут попробовать самостоятельно разобраться в статье автор «Диофантовы многочества», опубликованной в журнале «Успех математических наук», XXVII, № 5, 1972 год.

Темы для размышлений

1. Докажите, что варифметических прогрессиях 3, 7, 11, . . . и 5, 11, 17, . . . бесконечно много простых чисел.
2. Каково множество тех многочленов, значения которых лежат вдоль диагонали, если спираль (см. с. 9) начата с 1? с некоторого числа $u$? с некоторого числа $u$, и по спирали стоит член арифметической прогрессии $u, u + v, u + 2v, \dots$?
3. Теорема Вильсона утверждает, что если $p$ — простое число, то $(p-1)! + 1$ делится на $p$. Как можно использовать этот результат, чтобы уменьшить число неизвестных в экспоненциальном многочлене $R$, заданной простые числа?
4. Постройте экспоненциальный многочлен $S(x_0, \dots, x_h)$, который задает множество получим простых чисел-близнецов, то есть такой, что если $S(x_0, \dots, x_h) > 0$, то оба числа $S(x_0, \dots, x_h) - 1$ и $S(x_0, \dots, x_h) + 1$ являются простыми, и наоборот, если $s-1$ и $s+1$ простые числа, то $S(x_0, \dots, x_h) = s$ при некоторых $x_0, \dots, x_h$.
5. Постройте экспоненциальный многочлен $T(q, x_0, \dots, x_m)$, такой, что если $q$ — простое число, то существует числа $x_0, \dots, x_m$ такие, что $T(q, x_0, \dots, x_m) > 0$;
   если $q$ — простое число и $T(q, x_0, \dots, x_m) > 0$, то $T(q, x_0, \dots, x_m)$ — простое число, следующего за $q$;
   если $q$ не является простым числом, то всегда $T(q, x_0, \dots, x_m) \leq 0$.

Этот экспоненциальный многочлен дает «формулу для следующей простого числа».

14

Волновая механика

Около пятидесети лет назад родила квантовая механика — наука о законах движения микросоппических частиц материалов (атомов, атомных ядер, электронов и т. п.). Эти законы оказались настолько удивительными, настолько не похожими на то, с чем стalkивались физики до сих пор, что вначале даже крупные учены отказывались верить выводам квантовой механики. Да и в наши дни не прекрашаются дискуссии о физических основах этой науки, хотя многие ее разделы уже стали инженерными дисциплинами.

В первые годы существования квантовой механики ее называли волновой механикой. Сейчас это название уже начало забывать, а между тем в нем содержится указание на самую главную черту, присущую явлениям микромира. Ведь квантовый, то есть дискретный характер процессов, в которых участвует микрочастицы, связан именно с их волновыми свойствами. Например, тот факт, что энергия электронов в atomе может принимать лишь определенный дискретный набор значений, есть следствие волновой природу электрона.

В этой статье мы постараемся разобраться, что означает слова «волновая природа электрона» и почему она приводит к дискретности его свойств. Начать придется издалека.

Частцы и волны

Как мы описываем движение больших тел, например, движение артиллерийского снаряда, спутника Земли, планеты вокруг Солнца? Такие тела называют микросоппическими (в отличие от микрочастицы), и особенностями движения хорошего известны. Конецно, спутники Земли и артиллерийские снаряды вредли ли можно считать волне обиденными вещеми. Но законы, которые управляют их движением, легко понять на основе нашей посеедневного опыта.

Мы привыкли к тому, что каждое тело занимает определенное место в пространстве, и это место можно указать, задавая координаты тела. Если тело движется, то оно с течение времени меняет свое положение в пространстве. Чтобы описать движение тела, можно указать положения, которые оно занимает в последовательные моменты времени, то есть (выражаясь более точно) можно задать зависимость координат тела от времени. Это — язык механики, вернее даже, — ее азбука. Но отсутства берегся уверенно, что можно в каждый момент времени определить положение тела в пространстве, задав его координаты? Ответ совершенно ясен: оттуда же, откуда берегся вообще все наши знания — из опыта. Именно повседневный опыт служит источником понятей и представленной, которые пользовется общая механика — механика микросоппических тел (ее также называют классической). Важно запомнить это обстоятельство: в повседневном опите мы имеем дело с микросоппическими телами, поэтому привычные

15

представления о перемещении в пространстве относится как раз к таким темам. Согласно этим представлениям каждое движущесе тело имеет траекторию, и в каждой точке траектории можно указать скорость тела, его ускорение и т. д. Так описывается движение тел в классической механике.

По-инному приходится поступать при описании волновых процессов, например, звука или волн на поверхности воды. Первое, что нужно отметить, это бессмысленность понятия траектории для волн. Ведь звук распространяется от своего источника по всем направлении. Если все-tаки задают вопрос: где в данной момент находится звуковая волна, то ответ должен быть следующим: это некооторая часть пространства, ограниченная поверхностью, до которой волны успел доойти к данному моменту времени. Внутри этой поверхности в каждой точке (разумеется, если источник работы не перерывно) существует колебания плотности воздуха, которые и являются звуком. Значит, бессмысленное говорить о координате звука, о точке пространства, в которой находится звук. Это становится особенно ясным в случае волн в замкнутой полости, где могут возникнуть стоящие волны. Примером могут служить резонансный ящик для камерона, духовые музыкальные инструменты (такие, как орган или сокофон), барабан и т. д. Когда по барабану ударят, то внутри него устанавливаются стоящие волны, и при этом звучит весь объем воздуха, заключенный внутри барабана. Таким образом, можно сказать, что волна заполняет все доступное ей пространство, и такие понятия, как координата или траектория, к волнам не применены. Здесь следует пользоваться другими другими методами. Волны характеризуются их амплитудой, частотой, фазой, скоростью распространения, длиной волны.

Остановимся еще на одном различии в свойств волн и частиц, которые очень важно для дальнейшего изучения основных волн является исключительно привлекательной волн. Волна, в прямом смысле слова, может завернуть за угол, частота — нет. Например, можно услышать речь, стоя за углом дома и не видя разговаривающих людей.

С явлением дифракции тесто связано поведение волн при их отражении от шероховатой поверхности. Если бы отражающая поверхности была идеально гладкой, то волны и частицы волны были себя совершенно одинаково (рис. 1). Для тех и других выполнялся бы известный закон: угол падения равен углу отражения (разумеется, надо оворить, что удар частиц поверхности поверхности предполагается абсолютию упругим). Легко собрать, что в этом идеальном случае параллельный пучок летяших частц остается параллельным и после отражения от поверхности, так как скорость каждой частицы поворачивается на один и тот же угол. То же самое относится к волнам.

Посмотрим теперь, что происходит в реальном случае, то есть когда поверхость не является идеально плоскостью, а имеет неекоторые

16

шероховатости. Начнем с частиц. Следует разлиать два случая. Первая, изображенный на рисунке 2, соответствует маленьким частицам. Их размеры горизонтом меньше высоты и ширины зубцов поверхности, поэтому можно рассматривать такие частицы как материльные точки. Каждый из этих частиц попадает на некоторый участок поверхности, на некоторый склон зубца, и отражается от этого склона все по тому же закону: угол падения равен углу отражения. Но так как каждый зубц наклонен под своим определенным углом к направлению perвичного потока частиц, то частицы, попавшие на разные зубцы, отлетают в разных направлениях. В результате отраженные частицы уже не образуют параллельного пучка, а размещаются хаотически под разными углами.

Если же на поверхности падают большие частицы, которые при соприкосновении с поверхностью накрывают сразу много зубцов, то картина получаетсяиной (рис. 3). «С точки зрения» такой частицы поверхность с мелкими зубцами мало отличается от идеальной плоскости. Например, стол для пинг-понга называется (неровно обработана фанера, краска легла не взделе одинаковым слоем и т. д.), тем не менее шарик отскакивает почти так же, как отровной плоскости. Дело в том, что большой шарик, касаясь при ударе сразу многох мелких зубцов поверхности, как бы upsредняет их действия, и это upsреднение действие оказывается почти таким же, как для идеальной плоскости. В таких случаях говорят о зеркальном отражении.

Отражение волн от шероховатой поверхности также может произойти двояким образом. Длинные волны (длина волны больше размеров неровности) диффрагируют на неровности; в результате отражение оказывается близким к идеальным. Например, неровности поверхности обичного зеркала гориздо меньше длины волн видимого света. Отражение света происходит направлено (зеркальное). Однако жесткиеRENTенские лучи, длина волны которых в тысячи раз меньше чем у видимого света, отражаются от того же зеркала рассеянию (диффузно) — отраженные лучи идут в различных направлениях.

Итак, при отражении потоков частиц или волн от неровностей поверхности решающего роль для частиц играет соответствие между размерами неровностей и размерами частиц, а в случае волн — соответствие между размерами неровностей и длиной волны.

Мы подошли теперь к главной части нашего расссказа.

Как ведут себя электроны
Когда Дж. Дж. Томсон в самом конце прошло века открыл электрон,

17

он представлял его себе как частицу, несущую определенную порцию электрического заряда. Действительно, все опыты как будто говорили за то, что электрон — это частица, заряженная отрицательным электричеством и ведущая себя так, как и полагается частицам. Мы уже знаем, что это означает. Во-первых, электроны можно считать поштучно (например, измеряя полный заряд и деля его на заряд одного электрона); никто еще никогда не наблюдал половины электрона. Во-вторых, каждый электрон пучка характеризуется своей траекторией, которую можно изменять, воздействуя на пучок электрическим или магнитным полем. Момент попадания электрона в мишень можно фиксировать по вспышке в люминесцирующем покрытии мишени. Эта вспышка практически точечная, а это значит, что электрон оказывает действие лишь на очень малую область мишени. Следовательно, можно говорить о координате электрона, о его траектории, то есть обо всем, что характеризует его как частицу.

Именно на основе представлений об электроне как о частице возникла так называемая планетарная модель атома, предложенная Резерфордом. В этой модели атом рассматривался как миниатюрная Солнечная система, в которой вокруг «Солнца» — атомного ядра — движутся по орбитам «планеты» — электроны. Размеры атома, то есть радиусы электронных орбит, вскоре удалось выяснить. Они оказались величинами порядка $10^{-8}$ см, или одного ангстрема. Относительно размеров самого электрона имелись расхождения во мнениях, но все сходились на том, что его радиус должен быть, конечно же, меньше $10^{-8}$ см. Ведь электрон — часть атома, а часть, во всяком случае, не может быть больше целого. Но вот в 1927 году американские физики Дэвиссон и Джермер осуществили свои знаменитые опыты с пучками электронов. И сразу стало ясно, что взгляд на электроны как на малень-

кие твердые шарики, мягко говоря, наивен. Природа электрона оказалась гораздо более сложной.

Мы разберем здесь лишь один из опытов Дэвиссона и Джермера. Параллельный пучок электронов направлялся на грань кристалла и отражался от нее. Отраженный пучок оставался параллельным (как в случае отражения видимого света от зеркала). Вот и все. На первый взгляд в этом факте нет ничего удивительного. Ведь мы знаем, что при определенных условиях частицы могут испытывать зеркальное отражение от твердой поверхности. Но не нужно забывать, что «с точки зрения электрона» поверхность кристалла ни в коем случае не является сплошной поверхностью. Кристалл состоит из атомов, разделенных промежутками пустого пространства. Размеры промежутков примерно равны размерам самих атомов и составляют величину порядка $10^{-8}$ см. А электроны — это маленькие частицы, радиус их много меньше, чем $10^{-8}$ см. Значит, при соударении пучка электронов с кристаллом должна иметь место ситуация, когда размеры частиц меньше размеров неровностей. Следовательно, отражение электронов должно быть диффузным.

Таким образом, либо надо считать электроны очень большими шарами, гораздо больше самих атомов (тогда они отражались бы от кристалла зеркально), либо… либо электроны не подчиняются законам классической механики и не являются частицами в привычном смысле этого слова. Первая возможность приводит к явной бессмыслице: большой шар не может кружиться по орбите внутри маленького атома. Значит, остается вторая возможность, сколь бы невероятной она ни казалась.

Зеркально отражаться от поверхности кристалла могут лишь волны, длина которых больше расстояния между атомами в кристалле. Следовательно, нужно считать, что пучок электронов ведет себя подобно вол-

2 «Квант» № 5

18

нам, а тогда возникает вопрос о характерных параметрах этих волн: об их частоте, длине волны и т.д. Ко времени опытов Дэвиссона и Джермера уже была известна «сумасшедшая» гипотеза французского ученого де Бройля (высказанная в 1923 году) о том, что всякая частица ведет себя подобно волне, длина которой $\lambda$ связана с импульсом $p=mv$ частицы следующей формулой (формула де Бройля):

$$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}.$$

Заметим, что величина $h$ в этой формуле — знаменитая постоянная Планка, равная $6{,}62 \cdot 10^{-27}$ $эрг \cdot с$. Она связывает частоту $\nu$ колебаний электромагнитного поля с энергией $E$ его кванта (фотона) по формуле Планка: $E = h\nu$, или длину волны с импульсом фотона: $\lambda = \dfrac{h}{p}$. Идея де Бройля возникла из предположения о симметрии в природе. Теория показала, что волны обладают в некотором смысле свойствами частиц. Не могут ли частицы в свою очередь обладать волновыми свойствами? Гипотеза де Бройля состоит в том, что указанные соотношения одинаково применимы как к фотонам, так и к частицам вещества. Многочисленные эксперименты, проведенные впоследствии, это действительно подтверждают.

Формулы Планка и де Бройля связывают механические характеристики частиц (импульс, энергию) с их волновыми характеристиками (длиной волны и частотой). Чрезвычайно малая (с точки зрения привычных нам масштабов) величина постоянной Планка показывает, что волновые эффекты в движении частиц становятся существенными лишь в области микромира. В самом деле, шарик для пинг-понга массой 1 $г$, летящий со скоростью 1 $м/с$, имеет дебройлевскую длину волны, равную $6{,}6 \cdot 10^{-29}$ $см$. Это фантастически малая длина, в триллионы раз меньшая размеров атомного ядра.

Совершенно ясно, что никаких волновых эффектов (например, дифракции) в движении такого тела обнаружить нельзя. Напротив, для электрона в атоме длина волны де Бройля равна примерно $10^{-8}$ $см$ ($m \approx 9 \times 10^{-28}$ $г$, $v \approx 10^{8}$ $см/с$), то есть порядка размеров самого атома, в котором движется электрон. В этих условиях волновое поведение электрона играет определяющую роль. Вся специфика атомных явлений и, в частности, их квантовый характер связаны именно с этим волноподобным поведением электронов. Мы рассмотрим сейчас простейший пример, показывающий, как дискретность свойств атома вытекает из волновой природы электрона.

При обычных условиях электроны удерживаются внутри атома силами электростатического притяжения и не могут удалиться от ядра на слишком большое расстояние. Таким образом, принадлежащие атому электроны движутся в ограниченной области пространства. Их обычно называют связанными электронами. Наоборот, электроны в пучке, созданном электронной пушкой, могут, в принципе, попасть в любую область пространства, поэтому называются свободными. Пример, о котором идет речь, схватывает именно эту особенность атомного электрона: ограниченность области пространства, доступной для его движения.

Для простоты рассуждений представим себе, что электрон может двигаться только вдоль некоторой прямой и не выходит за пределы отрезка $AB$ (рис. 4). Скажем, в точках $A$ и $B$ находятся твердые стенки, сквозь которые электрон не может проникнуть. Такая система является одномерной моделью атома. Разумеется, атомы устроены гораздо сложнее, и наш пример не претендует на количественное соответствие реальному атому. Но главную качественную ссобенность атомов — существование дискретных энергетических уров-

19

ней — нам удасться проследить даже на этой простой модели. (Впрочем, следует заметить, что такая модель может иметь и неосредственный физический смысл. Например, она довольно хорошо описывает поведение электронов в тонких пленках металлов или полупроводников. В этом случае отрезок $AB$ изображает толщину пленки, а две поверхности пленки играют роль стенок, не выpusкойших электрон наружу.) Чтобы рассчитать характеристики такого одномерного атома, воспользоваться формулой де Бройля. Поскольку электрон «заперт» в ограниченной области пространства (в данном случае — на отрезке прямой), то мы должны говорить о стоянных волнах. Аналогичные механические одномерные stories волны возникают, например, при колбанях струны, закрепленной в двух точках. Естественно, что эти точки закрепления следует сопоставить точкам $A$ и $B$, за которым электрон не может проникнуть. Колбанная струны также не проникают сквозь закрепленные концы. Это означает, что смешення точек струны при колбанях всегда таковы, что точки $A$ и $B$ являются узловыми (их смешення всегда равны нулю). Отсюда сразу следует, что на отрезке $AB$ должно укладывать целое число полуволн. Таким образом, колблющая струна с закрепленными концами может находиться лишь в определенных состояниях движения, которые можно нумеровать по числу полуволн, укладывающийся между точками $A$ и $B$. Другими словами, в струне возможны лишь такие волны, длина которых $\lambda$ удовлетворяет следующему соотношению: $AB = n\lambda/2$, где $n$ — целое число, принимающее значение 1, 2, 3 и т. д. На рисунке 4 слуан I, II, III, IV соответствуют $n$, равному 1, 2, 3 и 4. Обозначим длину отрезка $AB$ буквой $L$. Тогда возможные длины волн $\lambda_n$ задаются формулой

$$\lambda_n = \frac{2L}{n}; \quad n = 1, 2, 3, \dots$$

Тепер вернемся к электрону, бегающему между двумя стенками, и применим к нему формулу де Бройля. Поскольку может существовать лишь дискретный набор волн $\lambda_n$, то скорость электрона $v_n = \frac{h}{m\lambda_n}$ может принимать также лишь дискретный набор значений:

$$v_n = \frac{h}{m\lambda_n} = \frac{h}{m2L} n; \quad n = 1, 2, 3, \dots$$

Кинетическая энергия электрона равна $E = mv^2/2$, и она тоже не может быть произвольной. Существуют лишь дискретные энергетические уровни:

$$E_n = \frac{h^2n^2}{8mL^2}; \quad n = 1, 2, 3, \dots$$

(число $n$ называется квантовым числом). Мы получили одну из первых формул квантовой механики — энергетическая уровни электрона, «запертого» между двумя непроницаемыми стенками. С точки зрения классической механики сама постановка вопроса о дозвольных значениях энергии для этого случая бессмысленна. Если классический шарик прыгает между двумя стенками, упруго отракаясь от них, то его энергия $E = \frac{mv^2}{2}$ зависит от начальной скорости $v_0$ и может принимать любые значения. Никакой энергетической «лестицы» не существует, возможно значения энергии заполняют

20

всю шкалу энергий. Для микрочастицы, как мы видели, дело обстоятельноному. Ее энергия может иметь лишь дискретный набор значений, и эта дискретность есть прямое следствие волновой природы микрочастицы.

Вобобще говоря, выражение для энергетических уровней можно формировать и к классическому частите, например, все к тому же пинг-понговому шарику. Пусть его масса $m = 1 \, e$, а расстояние между стенками $L = 10 \, cm$; тогда вследствие чрезвычайной малости $h$ расстояния между соседними уровнями оказывается невообразимо малыми; например,

$$E_{21} = \frac{h^2}{8mL^2} (2^2 - 1) \approx 16 \cdot 10^{-55} \, \text{эр}.$$

Энергетическая лестница получается настолько густой, что практический энергия может изменяться непрерывно, как и должно быть для классической частицы. В этом заключается предельный переход от квантовой механики к классической.

Помимо волновой природы микрочастицы для возникновения дискретного спектра чрезвычайно существенно оказывается тот факт, что движение частицы происходит в ограниченной области пространства. В этом случае, как мы уже говорили, возникна状態 волны, а также колебания характеризуются дискретными значениями длины волн, и следовательно, частот. Частота же, помноженная на $h$, равна энергии частицы. Общая tendенция такого, что чем меньше размеры доступной области движения, тем больше расстояние между соседними уровнями энергии (см., например, формулу (*)).

Если же микрочастица движется под действием таких сил, которые разрешают ей уйти на бесконечность, то стояние волны не возникают, и энергия может иметь любое значение. В этом случае говорят, что квантовая система имеет непрерывный спектр энергии (например, луч электронной пушки).

В атоме водорода электрон удалявается вблизи ядра силами электростанческого притяжения. Если состояние электрона таково, что у него не хватает энергии предолеть притяжение и уйти на бесконечно большое расстояние от ядра, то он обладает дискретным спектром. Однако, если каким-либо способом сообщить электрону достаточно энергии (это можно сделать, например, освещая atom светом), то электрон предоляет притяжение к протону и может уйти от него сколь угодно дальше. Начиная с этой энергии, спектр электрона становится непрерывным, то есть энергия электрона может принимать любые значения.

На рисунке 5 изображены возникшие значения энергии электрона в атоме водорода. Наинизший возникший уровень энергии называется нормальным или основным. В разобранном выше примере с электроном, «бегающим» между двумя стенками, основному уровню соответствует значение числа $n$, равное 1. Формула () для уровня энергии оказывается довольно полезной для оценки энергии основного состояния и других квантовых систем. В этом случае под $L$ следует помнить размер доступной области пространства, в котором движется электрон. Например, диаметр atomа водорода равен приблизительно $10^{-8} \, cm$, масса электрона $\approx 9 \cdot 10^{-28} \, e$. Подставляя эти значения в формулу (), получим для

21

Энергии основного состояния атома водорода $E_1 = 0,6 \cdot 10^{-10} \text{эр} = 37,5 \text{эр}$. Точное значение этой энергии 13,5 эр, то есть мы ошиблись почти в три раза. Но ведь это именно оценка, грубая прикидка, которая дает представление только о порядке интересушей нас величины.

В заключение следует подчернуть, что события, произходящие в микромире на уровне атомов, молекул и атомных ядер, стали понятными лишь после того, как появились идея о волновой природа микрочастиц. Их двойственная природа (с одной стороны, — это частицы, с другой волны) не имеет аналогий в привящном нам макросоппереском мире, поэтому было бы бесполезно пытаться представить себе, например, на что похож электрон, движущийся в атоме. Он не похож ни на что, известное нам до сих пор. Электрон обладает одновременно и свойствами частиц, и волновыми свойствами, но не является ни частицей в общим смысле слова, ни обычной волной. Говорить об электроне как о частице можно лишь приближению, не забывая о его волновых свойствах. Например, для обычной, классической частицы можно точно задать ее координату, импульс, энергию в любой момент времени. Что можно сказать об этих параметрах при описании поведения микрочастиц?

Согласно формуле де Бройля частице, обладающей данным импульсом, то есть определяны мзначением скорости, соответствует волна определенной длины. Определим значением длины волны характераизуются только гармоничские волны. Но гармоничская волна безгранична в пространстве. Значит, мы не можем говорить о локализации, о пространственных координатах микрочастицы в данной момент времени.

Если же мы считаем, что частица локализована в пространстве, то тем самым мы ограничили область, в которой сосредоточен колебательный процесс, описываемый волновыми свойствами данной частицы. Но описать такие колебания одной гармоничческой волной определяенной длины нельзя. Следовательно, согласно соотношению де Бройля ничего неелья с определенно скзаать об импульсе частицы в тот момент времени, в которой мы считаем зафиксированными ее координаты.

Таким образом, нет смысла говорить об одновременных точных значениях координат и импульса микрочастицы. Эти параметры могут быть определены в один и тот же момент времени лишь приближительно, с определенной степенью точности. В 1927 году немецкий физик Вернер Гейзенберг показал, что между неточностями $\Delta x$ и $\Delta p$ в определении координат и импульса микрочастицы в данной момент времени существует соотношение:

$$\Delta x \cdot \Delta p \geq h^*).$$

Это соотношение называется соотношением неопределенностей.

Сегодня мы не можем ответить на вопрос, почему микрочастиц устроен именно так, а не инчае, да и вряд ли такой вопрос относится к числу правилно поставленных. Но мы теперь твордо знаем, что самые привычные, кажущие незыбленные микрочастицы определяются о природе могут быть определены потоком новых фактов и наблюданий. Поэтому с большой осторожностью относится ко всякого рода категорических суждений о свойствах и законах окружащего нас мира, либо каждое такое «абсолютное» утверждение основано в действительности на ограниченном человеком опыте.

*) $\Delta p$ — составляющая полного импульса частицы на соответствующую ось координат. В данной случае — на ось $X$.

22

Сначала расскажем о приеме, разработанном Торриелли и (1608—1647) и Робервалем (1602—1675); этот прием основывает на сложении скоростей.

Рассмотрим движение материальной точки. Если в момент времени $t_0$ прекратить действие сил, то точка остановится или начнет равномерно движаться по касательной к траектории (скорость возникшего равномерноного движения называется меновенной векторной скоростью исходного движения при $t = t_0$). Это утверждение вытекает из законов Ньютона. Но можно, как это часто делали математики в XVII века, принять его за cinematическое определение касательной, убедившись, что оно согласуется с наблюдениями над простейшими движениями (прежде всего врашательным). Встав на такую точку зрения, мы сможем строить касательные ко многим интересным кривым, используя при этом лишь простые факты о скорости.

Будем рассматривать только плоское движение. Зафиксируем на плоскости точку $O$ — начало отсчета. Если движущаяся точка в момент времени $t$ занимает положение $A_t$, то через $r(t)$ обозначим вектор $\vec{O A_t}$. Задание векторов $r(t)$ для всех значений $t$ полностью определяет движение. Мгновенную векторную скорость в момент времени $t$ обозначим через $r(t)$; напомним, что вектор $r(t)$ направлен по касательной к траектории движения. Его длина $|r(t)|$ называется велииной скорости. Если движение проискит по фиксированной прямой, на которой ведены координаты, то векторы $r(t)$

23

и $\dot{\mathbf{r}}(t)$ направлены по этой прямой, и их можно характеризовать координатами $s(t)$ и $\dot{s}(t)$.

П р и м е р 1. Галилей показал, что для прямолинейного движения $s(t)=\dfrac{gt^2}{2}$, скорость будет равна $\dot{s}(t)=gt$.

П р и м е р 2. Пусть точка, находящаяся на расстоянии $R$ от точки $O$, равномерно вращается вокруг $O$. Тогда вектор $\dot{\mathbf{r}}(t)$ направлен по касательной к окружности, по которой движется точка, в сторону, соответствующую направлению вращения, и $|\dot{\mathbf{r}}(t)|=\dfrac{2\pi R}{T}$, где

$T$ — период вращения (время полного оборота). В частности, при $T=2\pi$ имеем

$$|\dot{\mathbf{r}}(t)|=|\mathbf{r}(t)|=R.$$

Закон сложения скоростей

Пусть имеется два движения $\mathbf{r}_1(t)$ и $\mathbf{r}_2(t)$. Назовем их суммой движение, для которого $\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_1(t)+\mathbf{r}_2(t)$, где справа стоит векторная сумма. Закон сложения скоростей утверждает, что скорость движения $\mathbf{r}(t)$ равна $\dot{\mathbf{r}}_1(t)+\dot{\mathbf{r}}_2(t)$, то есть сумме (векторной) скоростей составляющих движений. Закон сложения скоростей легко установить для суммы движений с постоянными скоростями; общий же случай получается из этого частного случая предельным переходом.

Всякое движение $\mathbf{r}(t)$ может быть представлено в виде суммы двух прямолинейных движений. Для этого достаточно ввести любую декартову систему координат так, чтобы $O=(0,0)$ и рассмотреть изменение со временем координат $x(t)$, $y(t)$ вектора $\mathbf{r}(t)$. Очевидно, что исходное движение $\mathbf{r}(t)$ и будет суммой движений $x(t)$ и $y(t)$ по координатным осям. Скорости этих движений $\dot{x}(t)$ и $\dot{y}(t)$ являются компонентами вектора $\dot{\mathbf{r}}(t)$ (в силу закона сложения скоростей).

Рассмотрим пример 2 при $R=1$, $T=2\pi$, и пусть вектор $\mathbf{r}(0)$ направлен по положительному направлению оси $x$. Тогда $\mathbf{r}(t)=(\cos t,\sin t)$, $\dot{\mathbf{r}}(t)=(-\sin t,\cos t)$, и мы получаем, что $\dot{s}(t)=-\sin t$, если $s(t)=\cos t$, и $\dot{s}(t)=\cos t$, если $s(t)=\sin t$. Читатель, знакомый с дифференцированием, безусловно, заметит, что выявился очень простой кинематический смысл формул для производных $\sin t$ и $\cos t$.

Кинематическое определение касательной к параболе

Галилей (1564—1642) обнаружил, что если тело бросить под углом к горизонту, то оно летит по параболе. При доказательстве этого факта Галилей исходил из предположения, что такое движение является суммой равномерного движения по инерции и свободного падения. Однако Галилей не воспользовался своими вычислениями для построения касательной к параболе. Сделал это Торричелли. В приводимых ниже задачах 1, 2 сформулирован его результат.

З а д а ч а 1. Докажите, что касательная, проведенная в точке $A_t$ траектории горизонтально брошенного тела: $A_t=(x(t),y(t))=(vt,-gt^2/2)$, соединяет эту точку с точкой $(0,-y(t))=(0,gt^2/2)$.

Все вычисления легко обобщаются на случай тела, брошенного под углом к горизонту со скоростью $(u,v)$. В этом случае движение разбивается на движение $\{x_1(t)=ut,\;y_1(t)=vt\}$ с постоянной скоростью $(u,v)$ и свободное падение $\{x_2(t)=0,\;y_2(t)=-gt^2/2\}$. Поэтому результирующее движение записывается так: $\{x(t)=ut,\,y(t)=vt-gt^2/2\}$ (при сложении векторов с началом в $O$ координаты их концов складываются).

З а д а ч а 2. Докажите, что касательная к параболе, по которой летит тело, брошенное со скоростью $(u,v)$, соединяет точку касания $(x(t),y(t))$ с точкой $(0,-y_2(t))=(0,gt^2/2)$.

Заметим, что указанный Торричелли способ построения касательных к параболе был известен и раньше; однако его кинематическая интерпретация, безусловно, поучительна.

Касательная к циклоиде

Циклоидой Галилей назвал кривую, которую описывает точка, лежащая на границе круга, катящегося по прямой (рис. 1); название означает — «происходящая от круга».

23

24

Рис. 1. Циклонда.

Во Франции циклонду незаависимо от Галлия открытый Мерсенн (1588—1648); здесь ее называли рулетмой или трохоидой. Крупнейшие учены и Италии, и Франции (Торричели, Виванни (1622—1703), Ферма (1601—1665), Декарт (1596—1650), Робервал) решили разнообразные задачи о циклонде. Вероятно, первый касательную к циклонде построил Виванни. Оdnako, поскольку циклонда определялась kinematически, естественно было найти такой способ построения касательной к ней, который исходил бы из kinematических сообщений. Это сделали Робервал и Торричели.

Пусть в начальной момент времени $(t=0)$ $O$ — центр производащего (катящегося) кругла, а наблюдаемая точка $A$ является точкой, в котором производающий круг касается направляющей прямой $l$. Очевидно, что движение точки $A$ является перiodическим; поэтому достаточно наблюдаать за ней лишь до тех пор, пока она вновь не попадет на прямуную $l$. Пусть, далее, в момент $t$ наблюдаемая точка занимает положение $A_t = K$ (рис. 3). Вектор $\dot{r}_1(t)$ направлен по касательной к границе производающего кругла, вектор $\dot{r}_2(t)$ — горизонтальное; длины их одинаковы. По правилам параллелограмма

$\cdot$ Имеем $c = \frac{2\pi R}{T}$, где $R$ — радиус производающего кругла, $T$ — время его полного оборота. В частности, если $T=2\pi$, то $c=R$.

25

Рис. 4.

(в данном случае это ромб) находим искомую скорость $\dot{r}(t)$, а значит, и касательную к циклоне.

Заддача 3. Докажите, что касательная к циклоне в точке $K$ соединяет эту точку с верхней точкой $D$ производащего круга при его соответствующем положении.

(Для решения задачи нужно доказать лишь простой геометрический факт: вектор $\dot{r}(t)$ направлен по прямой $KD$.)

Заметим, что величины скорости $|\dot{r}(t)|$ не постоянна: она максимальная, когда точка заняла наиболее положение (при этом векторы $\dot{r}_1(t)$ и $\dot{r}_2(t)$ лежат на одной прямой и совпадают по направлению), и равна нулю, когда точка попадает на прямую $l$ (в этом случае векторы $\dot{r}_1(t)$ и $\dot{r}_2(t)$ противоположны(рис. 4)).

Можно показать, что равенство нулю скорости в точках соприкосовения круга и прямой во все моменты времени эквивалентно приямому раннее определению качения без скольжения.

Итак, получаем, что там, где циклона имеет заострення, скорость наблюдаемой точки обращается в нуль. Оказывается, что, вообще, какова бы ни была траектория, в точках заострення скорость всегда равна нуль. Иногда говорят, что траектория не может «сломаться» на ненулевой скорости. Приямято считать, что в точках заострения у кривых нет касательных. Все сказанное здесь нужноется в серьеных уточнениях, но мы этого делать не будем.

Нормальное к кривой в точке $A$ называется прямая, проходящая через $A$ перpendикулярно к касательной в этой точке.

Рис. 5.

Из задания 3 следует, что нормаль к циклоне проходит через нижнюю точку производащего круга (точку $E$ на рисунке 3; угол $DKE$ — прямой, так как опирается на диаметр).

Укороченные циклоны

Пока мы следили только за одной (фиксированной) граничной точкой производащего круга; однако ясно, что и другие граничные точки будут движаться по таким же циклондам, только сдиинутым вдоль прямой $l$ (рис. 5). Проследим теперь за траекторями внутренних точек круга. Возникающие кривые называются укороченными циклондами (рис. 6); они характеризуются отношением $k = \frac{\rho}{R}$, где $R$ — радиус производащего круга, $\rho$ — расстояние от центра

Рис. 6. Укороченная циклона.

26

Круга до наблюдаемой точки. При $k=0$ получаем прямую, по которой движется центр круга, а при $k=1$ — циклонду.

Задача 4. Докажите, что нормаль к укороченной циклонде проходит через нижнюю точку производашего круга.

Заметим, что точка, движущаяся по укороченной циклонде, нигде не имеет нулевой скорости. В нижней точке скорость направлена горизонтально и ее величины равна $R-\rho$. Это означает, что к качею окружности радиуса $\rho$ добавляется скольжение со скоростью $R-\rho$ (поступательное движение).

Удлиенные циклонды

Вовлечем в качестве круга его внешние точки (можно представить себе, что на колесо, движущеся по рельсу, одет обод). Эти точки движутся по кривым, которые называются удлиенными циклондами (рис. 7). Все рассуждания, которые были приведены для укороченных циклонд, дословно переносятся на удлиенные. Здесь только $k=\frac{\rho}{R}>1$. Заметим лишь, что в нижней точке удлиенной циклонды скорость направлена в сторону, противоположную движению круга ($|\dot{r}_1|=\rho, |\dot{r}_2|=R, \rho>R$).

Обращали ли вы внимание на то, что нижние точки обода колеса вагона движутся назад?

Мгновенный центр вращения

Итак, мыовлекли в качестве круга по прямой все точки плоскости. Каждый точка движется по своей траектории, но все эти траектории согласены, так как движущаяся точки составляют твердое тело. Характеристикам свойством твердого тела с точки зрения kinematики являются то, что при движении расстояния между всеми его точками остаются неизменными. Мы ограничимся здесь рассмотренем лишь таких движений твердых пластин, которые можно производить, не выводя пластины из плоскости (запрещается, например, их переворочивать). Нас будет интересовать, какие ограничения на скорости точки пластины условие твердости (заметим, что вопрос о движении трехмерных твердых тел намного сложнее расматриваемой нами плоской задачи).

Вот некоторые закономерности движения твердых пластин.

Приципов ввлечения. Движение твердой пластины однозначно определяется движениями любых двух ее мочек. Движение двух различных мочек, при котором сохраняется расстояние между ними, можно, и приом edисственный образом, продолжить до движения всей плоскости как твердой пластины. Это утверждение носит чисто геометрический характер. Мы не будем приводить его доказательства, ограничиваясь

27

ничившись наглядным пояснениями. Во-первых, движение прямолинейного стержня полностью характеризуется движением двух его точек, а, во-вторых, если треугольник составлен из жестких стержней, то движение одного из них однозначно приводит в движение весь треугольник. В результате в движение двух точек, $A$, $B$, можно вовлечь прямую $AB$, а затем всякую точку $C$ вне $AB$.

Приницп иерции. Если намерду пластину не действуют никакие внешние силы (а лишь внутренние силы, обеспечивающиемердость), то она совершаем равномерное прямолинейное или равномерное врачамельное движение.

При рассмотренении произвольных движений пластин нам потребуется один фундаментальный принцип механики. Скорость не может измениться меновенно (для изменения скорости требуется ненулевое время). В частности, если в момент времени $t_0$ изменить силы, действовавшие на движущуюся точку, то скорость $r(t_0)$ не изменится, а значит, если $r(t_0) \neq 0$, не изменится и касательная к траектории в момент $t_0$ (хотя сама траектория начиная с этого момента может стать иной).

Пусть в момент времени $t_0$ на движущуюся треугольную пластину перестали действовать внешние силы. Тогда, с одной стороны, скорости точки в момент времени $t_0$ остаются прежними, а, с другой стороны, движение должно подчиняться формулированному прицилиу иерции. Поэтому при движении треугольной пластины в каждой момент времени $t$ может изменять лишь одна из двух возможностей:

a) скорости всех точек равны (как векторы);
b) существует единственная точка $O_t$, в котором скорость равна нулю; в произвольной же точке $A$ пластины скорость направлена перpendикулярно к вектору $O_tA$, а ее велича пропорциональна расстоянию от $A$ до $O_t$. (Коэффициент пропорциональности зависит только от момента времени $t$ и не зависит от $A$.)

Из того, что скорость не может измениться мгновенно, нетрудно вывести, что переход от ситuation $a$ к $b$ и наоборот возможен лишь в те моменты, когда пластина останавливается (скорости всех точек равны нулю). Поэтому в промежутках между остановками либо всуду имеет место ситuation $a$, либо всуду $b$. Можно показать, что в случае $a$ траектория любой точки $A$ получается из траектории некоторой точки $B$ параллельным переносом на вектор $BA$. Мы будем рассматривать случай $b$ (то есть считать, что в каждой момент времени имеет единственная точка $O_t$ с нулевой скоростью). Будем назвать $O_t$ меновенным центром врацшения в момент $t$. (В примере с качением круга по прямой мгновенным центром врацшения является точка соприкосновения круга с направляющей прямой).

Если известен мгновенный центр врацения $O_t$, то нормали к траекторям в момент времени $t$ (приемые $O_tA_t$), а следовательно, и касательные, строятся автоматически. Наоборот, если в момент $t$ известны скорости двух точек пластины, то взяв точку пересечения нормальной к этим скоростям, мы получим мгновенный центр врацения $O_t$.

Пусть теперь треугольная пластина движется по неподвижной плоскости. Расмотрим на этой плоскости кривую $L$, составленную из мгновенных центров врацения во все моменты времени; кривую $L$ называют неподвижным центромом; мы будем назвать ее «рельсом». С другой стороны, рассмотрим на плоскости кривую $C$, составленную из всех таких точек, которые оказываются мгновенными центрами врацения в какие-то моменты времени; $C$ называют подвижным центромом; мы будем назвать $C$ «колесом». Введенные «несеверзные» термины, вероятно, подсказали вам, что исход-

28

ное движение можно получить, если рассмотреть качение без скольжения и нашего кривого «колеса» по кривому «рельсу» и вовлечь в это качение остальные точки (рис. 8).

Будем при этом считать, что отсутствие скольжения означает равенство нулю мгновенных скоростей в точках соприкосновения «колеса» и направляющего «рельса» во все моменты времени (это согласуется с определением мгновенного центра врашения).

Отсюда можно вывести равенство длины дуги «колеса» и соответствующей дуги направляющего «рельса» (по которой эта дуга «колеса» прокатилась). При этом разрешается, чтобы при качении «колеса» пересекало «рельс».

Часто под рулетами понимают траектории, которые описывают точки плоскости при ее движении как твердой пластины с условиям (6) во все моменты времени, то есть при некотором качении. Ko всем рулетам мы научились проводить нормали и касательные. При этом оказалось, что не нужно даже уметь проводить касательные к «колесу» и «рельсу» (это было бы необходимо, если пользоваться сложением скоростей).

В наших механических рассмотренных мы вышили за пределы XVII века; заменалено, однako, что способ проведения нормальной к общим рулетам открыл Декарт, определяющий их при помощи качения (не зная, конечно, сколь общий характер носит движения, порождаемые качениями).

Эпициклопды

Рассмотрим теперь рулеты, получшиеся при качении круга по кругу. Пусть круг радиуса $r$ катится по внешней стороне окружности радиуса $R$. Траектории граничных точек катшегося круга («колеса») называются эпициклопами. Их вид зависит от $k = \frac{R}{r}$ (рис. 9). Если $k$ — целое, то подвижный круг, прокатившись один раз по границе неподвижного, сделает $k$ оборотов и эпициклопа будет иметь $k$ острнев и $k$ арок. Эпициклопу при $k = 1$ называют кардиоидой (она напоминает стилизованное изображение сердца). Если $k = \frac{p}{q}$ — несократимая дробь, то подвижный круг, сделав $q$ оборотов, $p$ раз прокатится по неподвижному. Если же $k$ будет ирациональным числом, то никакой периодичности не будет, и наблюдаемая точка никакогда не вернется в исходное положение.

Можно доказать, что получающаяся в этом случае бесконечная траектория заполняется кольцо ($R \leqslant OA \leqslant R + r$), подходя скольгодно близко к любой его точке, но не в каждую попадания.

Касательные к эпициклопам легко строятся с помощью мгновенного центра врашения — точки соприкосновения круга. Докажите, что касательная к эпициклопе (в некоторых точке) прокодит через точку соответствующего подвижного круга, диаметрально противоположную точке соприкосновения с неподвижным.

Замечание. При построении эпициклопа и решения задач нужно помнить следующие. Если $A$ — начальное положение наблюдаемой точки (рис. 10), а в некоторых момент времени подвижный круг касается неподвижного в точке $B$, то эпициклопе принадлежит такая точка его границ $C$, что дуга $BA$ равна по длине дуг $BC$; учитывая разницу радиусов, получаем

$$\frac{BC}{BA} = \frac{R}{r} = k.$$

Траектории движения внутрихих (соответственно внешних) точек подвижного круга при рассматриваемом качении называются укоренными (соответственно удиñеными) эпициклопами (рис. 11; мы ограничиваем целыми $k$).

29

Рис. 9. Эпициклоиды.

30

Гипоциклопды

Рулетты, получающие при качении круга радиуса $r$ по внутренней стороне окружности радиуса $R > r$, называются гипоциклопдами (соответственно удилиенные и укороченные).

Если $r > R$, то можно в качестве аналого такого движения рассмотреть качение обруча радиуса $r$, внутренней стороны касающейся границы неподвижного круга радиуса $R$. Соответствующие рулетты называются перициклопдами. Но оказывается, что они совпадают с эпициклопдами (см. «Квант», 1975, № 1, задача M261).

Вид гипоциклопдзависит от арифметической природу $k = \frac{R}{r}$, и читатель легко разберется с этим самостояльно по аналоги с эпициклопдами.

Задача 5’. Пусть вращения, описанные в задаче 5, произходят в противоположных направлениях (одно—п о, а другое—п роти в часовой стрелки). По каким траекториям будет при этом движаться точка $A$?

Подчерком в заключение, что мы не ставили перед собой целый строго доказать все результаты, полученные нами из kinematических сообщений. В некоторых случаях это сделать просто: механические рассуждания заменяются математически. Почти автоматически (для этого оказывается достаточно скорости заменить производными). В других случаях «заменители» найти сложнее (например, там, где рассматривается движение пластин, или изменяются силы). Однако чисто математические рассмотрения не могут полностью заменить механическую интерпретацию, во многих случаях дающий возможность увидеть простой и красный ответ.

Рис. 11. Укороченные и удилиенные эпициклопды.

Задача 5. Пусть точка $A$ равномерно вращается вокруг точки $O_1$, в свою очередь равномерно вращается вокруг точки $O; |OO_1| = r_2, |O_1A| = r_1$. Пусть оба вращения произходят по часовой стрелке; $v_1$ и $v_2$ — величины линейных скоростей. Покажите, что движение точки $A$ будет произходить по какой-то эпициклопде (быть может, укороченной или удилиенной). Какими соотношениями определяется характер кривой?

31

Конические сечения

В статях «Эллипс», «Гипербола» и «Парабола»*) эти кривые определялись по-разному: первая — как результат растяжения или скатия окружности, а вторя и третья — как графики некоторых функций. Каждая из них имеет свое фокальное свойство, которое часто принимается за определение кривой. Напомним эти «фокальные определения» (предполагается, что все рассматриваемые точки для каждой линии лежат в одной плоскости):

Эллипс — это множество всех точек, сумма расстояний каждой из которых до двух точек (фокусов) одна и та же.

Гипербола — множество всех точек, разность расстояний каждой из которых до двух точек (фокусов) одна и та же.

Парабола — множество всех точек, одинаково удаленных от точки (фокуса) и от не проходящей через нее прямой (директорицы).

Древнегреческий математик Менехм, открывший эти кривые, определял их иначе: как сечения кругового конуса плоскостью, перпендикулярной к одной из образующих. Он называл полученные кривые сечениями остроугольного, прямогоугольного и mynoугольного конуса, в зависимости от освенного угла конуса. Первое, как мы видим ниже, представляет собой эллипс, второе — парабoly, третье — одну ветвь гиперболы (рис. 1, а, б, и в). Название «Эллипс», «Гипербола» и «Парабола» были введены Аполлонем*. До нас должно получить (7 книг из 8) сочинение Аполлоня «О кончексных сечениях». В этом сочинении Аполлоний рассматривает обе полы конуса (рис. 2) и пересекает конус плоскостями, не обязательно перепедикулярими к одной из образующей.

Теорема. Если плоскость сечения пересекает все образующие конуса (молько одну его полу), то линяя пересечения (красная линия на рисунке 2) — эллипс;

если плоскость паралельна одной образующей (и может пересекает одну полу), то линяя пересечения (синяя) — парабола;

если плоскость паралельна двум образующим ( пересекаем обе полы), то линяя пересечения (черная) — эпербола.

Изящное доказательство этой теоремы было предложено в 1822 году сельгийским инженером Данделом, использовшим сферы, которые приятно теперь называть сферами Данделена.

Эллипс. Впишем в конус две сферы, касающиеся плоскости сечения.

*) См. «Кваит», 1975, № 1, 3 и 4. Предполагается, что читатель знаком с этим статями.

32

выходящих из $M$; аналогично, $MF_2 = MP_2$. Следовательно, $MF_1 + MF_2 = MP_1 + MP_2 = P_1P_2$.

Длина отрезка $P_1P_2$ — одна и та же для всех точек $M$ нашего сечения: это образующая усеченного конуса, ограниченного параллельными плоскостями $I$ и $II$, в которых лежат окружности $k_1$ и $k_2$. Следовательно, линяя сечения конуса плоскостью $\Pi$ — эллипс с фокусами $F_1$ и $F_2$.

Гиperбола. Этот случай аналогичен только что разобранному. Читатель предлагается доказать, пользоваться рисунком 4, а, 6, что в сечении получается гипербола.

Парабола. Этот случай расстоян в статье «Парабола» *), исходя из аналогичного определения этой кривой. Но можно проверить и расчужение со сферай Данделена (рис. 5).

*) «Квант», № 4, c. 16.

Рис. 1.

ния П с разных сторон (рис. 3, а, 6). Обозначим через $F_1$ и $F_2$ точки касания этой плоскости со сферами. Возьмем на линяя сечения конуса плоскостью П произвольную точку $M$. Отметим на образующей конуса, проходящей через $M$, точки $P_1$ и $P_2$, лежащие на окружности $k_1$ и $k_2$, по которым сферы касаются конуса. Ясно, что $MF_1 = MP_1$ как отрезки двух касательных к первой сфере,

33

Рис. 3.

Рис. 4.

3 «Квант» № 5

34

Плоскость П пересекает круговой конус параллельно образующей $St$. Впишем в конус сферу, касающуюся плоскости П. Точка касания $F$ и есть фокус. Конус и сфера соприкасаются по окружности $k$, плоскость I которой пересекает П по прямой $d$. Это и есть директриса.

Для доказательства проведем через точку $M$, лежащую на образующей $SHM$ конуса, плоскость II, параллельную I. Она пересечет конус по второй окружности $k'$. Затем опустим из $M$ перпендикуляр $MD$ на прямую $d$. Легко видеть, что он параллелен образующей $St$ и что фигура $MDEB$ — параллелограмм. Имеем: $MF = MH$ (как две касательные из точки $M$ к сфере); $MH = BE$ (как две образующие усеченного конуса, ограниченного плоскостями I и II); $BE = MD$ (как противоположные стороны параллелограмма). Из равенства $MF = MD$ для любой точки $M$ сечения следует, что это сечение — парабола.

Директориальное свойство конических сечений. Эксцентриситет

Фокальному свойству параболы можно придать такую формулировку: отношение $\dfrac{MF}{MD}$ расстояний любой точки параболы до фокуса $F$ и до директрисы $d$ (рис. 5) — величина постоянная (равная единице).

Аналогичное свойство имеет место также для эллипса и гиперболы.

В плоскости эллипса (гиперболы) для каждого фокуса $F$ существует такая прямая $d$ (директриса), что отношение расстояний от любой точки $M$ эллипса (гиперболы) до фокуса $F$ и до директрисы $d$ — величина постоянная. Она называется эксцентриситетом эллипса (гиперболы) и обозначается греческой буквой $\varepsilon$ (эпсилон). Для параболы, таким образом, $\varepsilon = 1$; из дальнейшего выяснится, что для эллипса $\varepsilon$ меньше 1, а для гиперболы $\varepsilon$ больше 1. У параболы одна директриса, а у эллипса (гипер-

болы) — две, по одной для каждого фокуса (рис. 6).

Докажем это свойство, например, для эллипса. Директрисы $d_1$ и $d_2$ — это линии пересечения плоскости П с плоскостями I и II (см. рис. 3). Для эллипса они расположены вне конуса и, значит, вне кривой. Из подобия треугольников $MD_1P_1$ ($MD_1 \perp d_1$) и $MD_2P_2$ ($MD_2 \perp d_2$) имеем: $MP_1 : MD_1 = MP_2 : MD_2$. Обозначим эти отношения через $\varepsilon$. Так как $MP_1 = MF_1$, $MP_2 = MF_2$, то $MF_1 = \varepsilon \cdot MD_1$, $MF_2 = \varepsilon \cdot MD_2$. Складывая эти равенства, получаем

$$MF_1 + MF_2 = \varepsilon (MD_1 + MD_2) = \varepsilon \cdot D_1D_2.$$

Но левая часть, по фокальному свойству эллипса, постоянна и равна $2a$, длина $D_1D_2$ (расстояние между директрисами) тоже постоянна. Значит, $\varepsilon = \mathrm{const}$.

Аналогично проводится рассуждение и для гиперболы.

Рис. 5.

35

Фокусы эллипса разошлись друг от друга по отношению к длине 2a его фокальной оси, то есть какова растянутость эллипса.

Проискождение названный эллипса и гиперболы. Кривые второго порядка

Назовем главной хордой эллипса, гиперболы, парабoles ту хорду, которая проходит через фокус перепределкулярно к фокальной оси (так называется ось, проходящая через фокус кривой). У эллипса и гиперболы, в отличие от парабoles, по две главные хорды. Длину половины главной хорды будем обозначать буквой p и называть фокальным параметром кончческого сечения *).

Для любой точки M кончческого сечения построим желтый прямоугольник ABCD (высота которого равна главной хорде) и синий квадрат NMEH (рис. 7, a, 6, b). Как мы знаем **), для парабoles эти прямоугольник и квадрат имеют одинаковую площадь.

Ниже мы увидим, что для эллипса квадрат имеет меньше площадь, чем прямоугольник, то есть этот квадрат имеет не достаточно (elleipsis). Для гиперболы же квадрат имеет больше площадь, чем прямоугольник, то есть имеет избыток (hyperbole). Этот факт, известный еще Аполлоню, последующий основой для названия обихих кривых.

Доказательство. Каноническое уравнение эллипса имеет вид

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1.$$

Если, однако, сливнуть эллипс вправо на a единицу (так, чтобы в начале координат находился не центр, а левый конец фокальной оси эллипса), то в этом новом положении (синий эллипс на рис. 8,a) он будет иметь уже другое уравнение, которое получает

*) Рекомендуем возобновить в память соответствующие сведения о главной хорде и фокальном параметре парабoles («Квант», № 4, c. 12).

**) «Квант», № 4, c. 12.

36

Рис. 7.

чается из прежнего, если в нем $x$ заменить на $x - a$:

$$\frac{(x - a)^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1,$$

или

$$y^2 = \frac{2b^2}{a} x - \frac{b^2}{a^2} x^2.$$

Заметив, что $p = \frac{b^2}{a}$ (это получается непосредственно вычисленем; см. рис. 7,6)

Рис. 8.

и $\frac{b^2}{a^2} = \frac{a^2 - c^2}{a^2} = 1 - \varepsilon^2$, мы можем записать это уравнение так:

$$y^2 = 2px + (\varepsilon^2 - 1)x^2.$$

Точно к таким же виду приводится уравнение гиперболи (десь кривая сдиггается так, чтобы в начале координат оказался правый конец фокальной оси (см. рис. 8, 6) и $x$ заменяется на $x + a$).

Заметим, что и парабола (рис. 8, в), у которой $\varepsilon = 1$, имеет то же уравнение:

37

$y^2=2px$). Таким образом, все три кривые выражаются одним и тем же уравнением (2). Оно называется уравнением относительной вершины, так как начало координат в этом случае находится в вершине кривой (рис. 9).

Второй член в правой части (2) отрицатель для эллипса, равен нулю для параболы

*) В «Кванте» № 4 (с. 13) уравнение параболы было получено в виде $x^2=2py$, а здесь мы пишем его так: $y^2=2px$. Дело в том, что оси координат мы здесь переставили (сравните рисунки 8 в, в этой статье и 6 в статье «Парабола» в «Кванте» № 4).

Существенно, что уравнение конечского сечения (2) — второй степени относительно входящих в него переменных. Это относится к конечческим уравнением всех трех кривых. Вообще, любая кривая, уравнение которого в прямогольной системе координат имеет вторую степень, то есть $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$, является конечским сечением *). Поэтому конечские сечения называются также кривыми второго порядка.

От эллипсов к гиперболам через парабoly

Рассмотрим плоскость П, пересекающая конус по окружности, и возьмем в этой плоскости прямую $l$, касающийся этой окружности. Если теперь начать поворачивать плоскость П вокруг прямой $l$, то она будет

*) Правда, при такой формулировке приходится считать конечским сечением не только кривую линю, но и, например, пару пересекающих прямых (уравнение $x^2-y^2=0$). Однако это в полное естественное, так как плоскость, проходящая через вершину конуса, может пересекаться его по двум прямым, то есть по «вырожденому» конечскому сечению.

Рис. 9.

Рис. 10.

38

пересекать конус по все более вытянутым эллипсам. Наконец (когда поворачивающаяся плоскость оказывается параллельной одной из образующих конуса), сечение превращится в парабoly, а затем (при дальнейшемращении плоскости) оно будет представлять собой гипербoly *). На рисунке 10 показаны кривые, построено появляющейся в поворачивающейся плоскости.

Из сказанного ясно, что парабoly — это граничный случай между эллипсами и гиперболами. Для окружности (ε=0) второй фокус с первым. С увеличением экцентриситета второй фокус удаляется от первого, но пока ε меньше 1, кривая остается эллипсом, построено растягивающимся. При ε=1 эллипс деформируется в парабoly (его второй фокус «уходит в бесконечность»), а дальше (при ε больше 1) второй фокус вновь появится на фокальной оси (с другой стороны, внутри второй ветви гиперболы).

Перемещая и поворачивая лампу, лучи которой ограничены круглым абажуром (рис. 11), мы можем получить контур в виде любо кончечного секения, кроме гипербол с большим экцентрисетом (ε > 1/cos α).

Оптические свойства конических секений

На рисунке 12 изображена густая сеть из двух серий концентрических окружностей с центрами F₁ и F₂; разность радиусов двух соседних окружностей каждой серии равна d. Сеть разбиает плоскость на маленькие 4-угольники, которые можно считать

*) Несложные вычисления (мы их не приводим) показывают, что экцентриситы гипербол, которые можно получить при сечении данного кругового конуса плоскостью, не преводятся 1/cos α, где α — угол между осью и образующей конуса. (Это вытекает из того факта, что угол между асимптотами гипербол, получившихся в сечении, не преводится 2α.)

Рис. 11.

39

Это следует из фокальных свойств обенх кривых: для эллипса $F_1N = F_1M + d$, $F_2N = F_2M - d$ и $F_1N + F_2N = F_1M + F_2M$; аналогично и для гиперболы. Вот новый способ построения эллипса и гиперболы по фокусам и одной точке! Начинать можно с любого узла сети, и мы получаем два семейства «софокусных» эллипсов и гипербол. Это построение тем точнее, чем меньше $d$.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, значит, каждая пара софокусных эллипса и гиперболы пересекается под прямым углом $*$). Диагональ ромба делит угол ромба пополам, значит, касательная к эллипсу (гиперболе) является биссертриской каждой угла ромбической сети, внутри которого она проходит. Из того, что каждый радиус окружности пересекает ее под прямым углом, следует, что касательная $MN$ в каждой точке $M$ эллипса образует равные углы с прямыми $F_1M$ и $F_2M$. Значит, по закону «угол падения равен углу отражения», луч $F_1M$, падающий из $F_1$ в точку $M$ эллипса, отражается из него по прямой $MF_2$ (рис. 13, а). Это будет для каждой точки эллипса.

Таким образом, все лучи, выходящие из фокуса $F_1$, отражаются от эллипса, совершается в другом его фокусе $F_2$. В этом и состоит оптическое свойство

*) Под углом между двумя кривыми понимают угол между касательными к ним, проведенными в точке их пересечения.

40

эллипса, отсюда и называние фокус (латинскоеfocus — очаг).

Для гипербольы оптическое свойство звучит так: лучи, выходящие из одного фокуса, отражаясь от зипербольы, будут расходиться максим образом, что каждуся выходящими из второго фокуса (рис. 13, 6).

Случай парабольы — промежуточный между эллипсом и гиперболю. Второй фокус «уходит в бесконечность» по фокальной оси, и лучи, выходящие из единственного фокуса, отражаясь от парабольы, почти паралельно оси *) (рис. 13, в).

Некоторые другие свойства

В заключение приведем без доказательства еще несколько свойств кончических сечений.

Свойство сопряженных диаметров, доказанное для эллипса **), с некоторыми варианями переносится на парабольу и гипербoly. У парабольы множество середин паралельных хорд лежит на луче, паралельном оси симметрини парабольы — каждый такой луч и является диаметром парабольы. У одной ветви гипербольы середины паралельных хорд также лежат на луче. Прямая, на которой этот луч лежит, проходит через центр гипербольы и называется диаметральной. Исследуйте сами, где лежат середины паралельных хорд другого вида — отрезков, один конец которых лежит на одной, а другой — на другой ветви гипербольы.

Если взять на кончексом сечении шесть последовательных точек A, B, C, D, E, F (огранничаясь в случае гипербольы одной ветью), то в полученном вписанном шестиугольнике ABCDEF при моки пересечения nap

*) На этом свойстве парабольы основаноустройство проекторов — у них внутренняя зеркальная поверхность получена вращением парабольы вокруг ее оси (параболюд вращения). Если источник света помещить в фокусе параболона, то лучи отрезятся от зеркала паралельным лучом.

**) См. «Квант» № 1 за этот год, с. 5.

промышленных сторона AB и DF, BC и EF, CD и FA лежат на одной пряной (теорема Паскаля). Могут оказаться исключения, когда имеется пара паралельных противоположных сторон или две такие пары (тогда и стороны третьей пары паралельны). Подумайте, что можно сказать о трех точках пересечения в этих случах.

Вот еще два интересных свойства — одно у эллипса, другое — у гипербольы.

Если отрезок AB постоянной длины скользит своими концами по двум взяняниям небесных тел — планет, комет, спутников. Если материалная точка M движется в пространстве только под действием прятяжения другой матриальной точки C (которую будем считать неподвижной), причем сила прятяжения подчиняется закону Ньютона F = a/r² (где r — расстояние между C и M, a — постоянная), то траектория движения является конечским сечением с фокусом в точке C (либо же точки M движется по пряной, проходящей через C). Кеплер пришел к этому закону эмпирических, изучая наблюдания Тихо Браге; математически закон был доказан впоследствии Ньютоном. Планеты и естественные их спутники движутся по эллипсам, кометы — по эллипсам, гипербольам и параболам **). Космическим кораблом можно придать любую из этих траекторий.

*) Доказательство этого факта читателя «Кванта» могут найти в первой публикации статьи «Эллипс» («Квант», 1970, № 9).

**) Небольшая дуга сильно вытянутого эллипса, близкая к фокусу, плох отличма от аналогичной дуги парабольи и гипербольы (ε≈1, см. с. 37). Из-за этого возникот трудности при определении орбиты кометы—вернется она или не вернется?

41

Опыты со струей воды
M. П. Головей

Наука, изучающая законы равновесия и движения жидкости и способы применения этих законов к решению различных практических задач, называется зидравликой. Трудно называть область техники, где бы не применялись законы гидравлики. Они используются при строительстве гидроэлектростанций, местов, водопроводов, каналов; они нужны для конструкрования поливальных машин и джедевальных установок.

С различными гидравлическими устройствами мы встречаемся и дома: это водопровод, канализация, теплоснабжение. Истечение воды из крана, шланга, ответствия в сосуде — во всех этих, на первый взгляд, простых явлениях определять закономерности на так просто.

За примерами не надо далеко ходить. Как вы думаете, какую форму имеет поперечное сечение струи воды, вытекающий из ответствия в форме квадрата? А из ответствия в форме треугольника? круга? Не торопитесь с ответом. Попробуйте посмотреть на опите, как вытекает вода из ответсти с различными сечениями, и вы получите совершенно неожиданный результат.

Оказывается, поперечное сечение струи, вытекающий через квадратное ответствие, имеет вид креста с четырьмя тонкими ребрами (рис. 1, а). Если ответствие треугольное, сечение струи прибретает форму креста с темя тонкими ребрами (рис. 1, б), если круглое — форму элиппса (рис. 1, в).

Форма сечения струи по мере удаления от стены соуса непрерывно меняется. На рисунке 1 показаны формы сечений струи на разных расстояниях от сосуда. Особенно заметные изменения проискодят при квадратном и треугольном ответствиях. Так, поперечное сечение струи, выходящей из квадратного ответствия, сначала имеет форму восмигулбника, а затем становится крестообразным. Это явление называется инверсией струи.

Все вы, наверное, видели, как вытекает струи воды из поливального шланга. В конце шланга обычно делают наконецник из куска трубы, слегка сплющенной с одной стороны. В этом случае струя летит дальше. Есть ли какая-нибудь закономерность в этом явлении? Оказывается, есть. Кончесне насадки с углом сложения $\beta \approx 13^\circ$ (рис. 2) дают в 1,3—1,4 раза больший рас-

Рис. 1.

42

ход *) воды, чем цилиндрические (при одинаковых площадях выходных секений). Это оптимальный угол для получения наиболее расхождения воды. Кончение схода исчезана дают сплошную струю с большими скоростями и поэтому широко применяются на практике в брандспойтах, соплах гидромониторов.

Обратимся теперь к истечению воды через отверстие в стенке сосуда.

Возьемем заполненый водой цилиндрический сосуд, в боковой стенке которого имеет малое отверстие площадью $s_1$ (рис. 3). Через это отверстие вода вытекает под давлением столба жидкости высоты $H$. Отверстие считается малым, если его размеры по крайней мере в десять раз меньше высоты столба $H$, создающего напор. При этом условия все точки малого отверстия находится приблизительно на одной и той же глубине от поверхности жидкости, и скорости течение во всех точках можно считать одинаковыми.

Отверстием в тонкой стенке называется отверстие, края которого имеет достаточно острую кромку, чтобы толщина стенки не влияла на форму и условия истечения струи. Это условия выполняется в том случае, когда толщина кромки меньше трех диаметров отверстия.

*) Расходом называют количество воды, вытекающей в единицу времени.

От чего зависит скорость, с которой вытекает вода через малое отверстие в тонкой стенке сосуда? Чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся законом сохранения энергии.

Пусть за малый промежуток времени $\Delta t$ из сосуда вытекает небольшое количество воды $\Delta m$. Потенциальная энергия воды в сосуда при этом уменьшилась на величины $\Delta mgH$ (время достаточно малое, чтобы считать уровень $H$ воды в сосуда не меняющимся). Это изменение потенциальной энергии равно кинетической энергии массы воды $\Delta m$, вытекающей из отверстия со скоростью $v$, то есть $\frac{\Delta mv^2}{2} = \Delta mgH$. Отсюда

$$v = \sqrt{2gH}.$$

Сколько времени будет вытекать вода из сосуда? Очевидно, это зависит от скорости истечения и от площади отверстия. Разберемся сначала со скоростью.

Как мы уже показали, $v = \sqrt{2gH}$. Но эту скорость можно считать постоянной лишь на протяжении малого промежутка времени (пока можно считать $H = const$). По мере истечения жидкости уровень попажается, и следовательно, скорость истечения уменшается от $v_0 = \sqrt{2gH}$ (в начальной момент времени $t = 0$) до $v_T = 0$ (тем вытекания). Каков характер изменения скорости со времени? Пусть в начальной момент времени $(t_1 = 0)$, когда открывают от-