Квант 1975, №6 · Страницы

1975
6

Квашт
Научно-популярный
физико-математический
журнал

На приведенном рисунке вы видите схематический разрез нейтриного детектора, установленного в близи ядерного реактора. В этом детекторе впервые удалось зарегистрировать «следы» самой неуловимой из всех элематриных частц — нейтрино. Основными элементами детектора служат базки (I, II, III) с жидким сцинитиллатором, снабженные системой фотоэлементов.
Деление ядер урана сопровождается возникновением нейтрино и антинейтрино. Захват антинейтрино протоном приводит к возникновению нескольких γ-квантов, которые дают световые вспышки в сцинитиллаторе.

Система фотоэлементов преобразует световые сигналы в электрические, одновременно усиливая их.
Подробнее об открытии и свойствах нейтрино вы можете прочитать в статье Б. Г. Ероозолимского (с. 10).

На первой странице обложки вы видите геометрический орнамент, сконструированный из двух семейств подобных парабол и семейств подобных квадратов. Его удается правильно раскрасть в два цвета. Подумайте над тем, какие орнаменты допускают подобную раскраску.

1

Главный редактор
академик И. К. Кикоин
Первый заместитель
главного редактора
академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:
М. И. Башмаков,
С. Т. Беляев,
В. Г. Болтянский,
Н. Б. Васильев,
Ю. Н. Ефремов,
В. Г. Зубов,
П. Л. Капица,
В. А. Кириллин.

главный художник
А. И. Климанов,
С. М. Козел,
зам. главного редактора
В. А. Лешковцев,
Л. Г. Макар-Лиманов,
А. И. Маркушевич,
Н. А. Патрикесва,
И. С. Петраков,
Н. Х. Розов,
А. П. Савин,
И. Ш. Слободецкий,

зам. главного редактора
М. Л. Смолянский,
Я. А. Смородинский,
В. А. Фабрикант,
А. Т. Цветков,
М. П. Шаскольская,
С. И. Шварцбург.
А. И. Ширшов.

Редакция:
В. Н. Березин,
А. Н. Виленкин,
И. Н. Климова,
художественный редактор
Т. М. Макарова,
Н. А. Минц,
Т. С. Петрова,
В. А. Тихомирова.

зав. редакцией
Л. В. Чернова

В НОМЕРЕ:

2 В. Д. Нильме. Циркулем и линейкой
10 Б. Г. Ерозолимский. Бета-превращения ядер и свойства нейтрино

Лаборатория «Кваита»
18 Н. М. Ростмовцев. Как можно изменить толщину зер-кального слоя?
21 В. Н. Березин. Одиннадцать кругов.

Задачик «Кваита»
22 Задачи M326—M330; Ф338—Ф342
24 Решения задач M292—M295; Ф300—Ф302

Практикум абитуриента
31 Л. Е. Садовский. Прикладная математика и математики
39 А. Я. Яковлев. Абитуриент-1975
43 В. Н. Слуудский. Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
44 И. А. Молотков, В. Ф. Осипов, С. Ю. Славянов, П. Е. Товстик. Ленинградский государственный университет им. А. А. Жданова

Рецензии, библиография
50 Е. П. Левитан. Как создавалась современная физика звезд и галактик
51 Т. С. Петрова, М. Л. Смолянский. Новые книги

«Кваит» для младших школьников
54 Задачи
55 Е. Я. Гик. Шахматно-mатематические задачи С. Лойда

59 Ответы, указания, решения
Смесь (с. 9, 17, 20, 42)

1-я с. обл. — геометрический орнамент, сконструированный из двух семейств подобных парабол и семейства подобных квадратов. Его удается правильно раскрасть в два цвета. Подучайте над тем, какие орнаменты допускают подобную раскраску.
4-я с. обл. — рисунок к замемке «Одиннадцать кругов» (см. с. 21).

© Главная редакция физico-mатематической литературы издательства «Нука», «Кваит», 1975 год

2

Легко указывать задачи на построение, не имеющие решения. Нельзя, например, проведи касательную из данной точки к данной окружности, если точка лежит внутри окружности. Значительно интереснее случая, когда фигура, которую нужно построить, зависит с существием пользовых инструментов. Многие из вас, наверно, слышали, что две деревни задачи: о трисекции угла и обудоении куба — неразрешимы циркulum и линейкой. Что означает эти слова, какие построения можно и какие нельзя проводить циркulum и линейкой — вот о чем расскажается в этой статье.

1. Решение задачи о трисекции угла циркulum и линейкой

Пусть на рисунке 1 отрезок AB равен радиусу окружности: AB = OB = OC = OD.

Тогда $\Rightarrow BAO = \Rightarrow BOA = \alpha$, $\Rightarrow CBO = \Rightarrow BCO = 2\alpha$ ($\Rightarrow CBO =$ внешний угол $\Delta ABO$), $\Rightarrow COD = 3\alpha$ (как внешний угол $\Delta ACO$). Отсюда вытекает следующий простой способ деления произвольного угла на три равные части.

Сделаем на линейке две отметки A и B. Радиусом AB описем окружность с центром в вершине O данного угла (который нужно разделить на три равные части). Точки пересечения ее со сторонами угла обозначаим через C и D. Будем двигать линейку так, чтобы ее край все время проходил через точку C, а точка A скользывала по прямой OD, пока точка B не попадает на окружность. Когда это произойдет, мы получим расположение, изображенное на рисунке 1, так что $\Rightarrow BAO$ оказывается равным трети $\Rightarrow COD$.

Описанное построение может создать впечатление, что задача о трисекции угла (о делении угла на три равные части) решается с помощью циркulum и линейки. Чтобы обьясить, что нас не устранает в этом построении, обсуждим решение следующего физического задачи.

Как, находясь на крышке многоэтажного дома, изменить его высоту с помощью барометра и часов?

Решение. Надо сбросить барометр с крыши, засечь время падения t и вычислить высоту дома h по формуле $h = \frac{gt^2}{2}$, где g — ускорение свободного падения.

Рис. 1.

3

2. Что же разрешается делать циркуль и линейкой?

Линейкой разрешается проводить прямы, проходящие через две данные (или ранее построенные) точки, а циркуль — окружности с данными (или построенными) центром и радиусом *).

На первый взгляд, ответ — четкий и недвусмысленный. Во всяком случае, он разрешает делать на линейке отметки и дивигать ее по плоскости. Тем самым он разрешает построение из п. 1 или, например, такое построение проходящей через точку $A$ касательной к окружности $S$ (А вне $S$): будем дивигать линейку так, чтобы она все время касалась $S$; когда ее край пройдёт через точку $A$, проведем касательную.

Однако и здесь тягется подводные камни. Что значит, например, что проведена прямая? Значит ли это, что данные все точки?

Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим задачу об уводении куба.

Зная ребро куба, построить ребро другого куба, имеющего вдвое больший объем.

Нам дан отрезок $AB$ (ребро куба). Проведем через $A$ и $B$ прямую. Если считать, что все точки даны, то дана и такая ее точка $C$, что $AC=AB^3\sqrt{2}$ и исключое ребро $AC$ «построено». Из разобранного примера видно, что нужны дальнейшие уточнения. Нужно четко выяснить, что ознакомим слова «дана точка» и «дана прямая».

3. Элементарные построения

Перечислим, какие элементы построения можно проводить циркуль и линейкой, когда на плоскости проведено конечное число прямы и окружности и отмечено число точок.

$\cdot$ О построениях циркуль мы уже писали (см. «Квант», 1974, № 10).

$\alpha$. Если отмечены точки $A$ и $B$ (и $A$ не совпадает с $B$), то можно проведи прямую $AB$.

$\beta$. Если отмечены точки $O$, $A$ и $B$ (и $A$ не совпадает с $B$), то можно проведи окружность с центром $O$ и радиусом $AB$.

$\gamma$. Если проведены две окружности (или две прямы, или прямая и окружность) и если они пересекаются или касаются (но не совпадают!), то можно отметить любую из их общих точек.

Упражнение 1. Пусть на плоскости проведена прямая $l$ и на ней отмечена точка $A$. Можно ли с помощью конечного числа элементов построений $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ проведи через точку $A$ прямую $p$, перpendикулярную к $l$?

4. Как формулировать задачи на построение?

Пусть на плоскости проведено конечное число прямы и окружностей и отмечено конечное число точок — совокупность этих линей и точек будем называть конфигурацией. Скажем, что точку $A$ можно построить (циркуль и линейкой), исходя из данной конфигурации, если можно сделать конечное число элементов построений $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, так что в результате точка $A$ оказывается отмеченной.

Всякую геометрическую задачу на построение можно формулировать так.

Дана некоторая конфигурация. Построить, исходя из нее, точки $A_1,...,A_k$, удовлетворяющие некоторым условиям.

Примеры. А. Задчача «построить прямую, равнодаленную от двух данных точки и данной окружности» в этих терминах формулируется так.

Исходная конфигурация: проведена окружность $S$ и отмечены точки $A$ и $B$. Построить точки $A_1$ и $A_2$ так, чтобы $A_1$ не совпадает с $A_2$ и прямая $A_1A_2$ была равнодалена от $A$, $B$ и $S$.

В. Задчача «Дан $\Delta ABC$. Построить внешписанную окружность, касающую стороны $BC$» формулируется так.

Отмечены точки $A$, $B$ и $C$. Построить точки $O$ и $D$, удовлетворяющие следующим условиям

4

Ловиям: $O$ удалена от прямых $AB$, $AC$ и $BC$ на одно и то же расстояние, равное $OD$ и лежит вне $\triangle ABC$; $D$ лежит на отрезке $BC$.

С. Задча «Построить $\triangle ABC$ по темм биссертикам» формулируется так.

Проведена прямая $l$, на ней отмещены точки $O$, $D$, $E$ и $F$. Построить точки $A$, $B$ и $C$ так, чтобы в $\triangle ABC$ биссертисы $b_A$, $b_B$ и $b_C$ равнялись соответствию $OD$, $OE$ и $OF$.

5. О «произвольных точках»

Если вы сумели построить циркулем и линейкой прямую $p$ из упражнения 1, то, значит, вы невинимательно прочитали п. 3: к исходной конфигурации $\{l, A\}$ нельзя применить ни одно из элематриных построений, так как $\alpha$ и $\beta$ требуют, чтобы в конфигурации были отмещены хотя бы две различные точки, а $\gamma$ — чтобы было проведено хотя бы две различные линии.

Для того чтобы можно было начать работу, мы потребем, чтобы в исходной конфигурации всегда было отмещено не менее двух различных точки. После этого упражнение 1 переформулируется так.

У разжене 2. Пусть на плоскости проведена прямая $l$ и на ней отмещена точка $A$. Кроме того, пусть на плоскости отмещена еще одна точка $B$ (отличная от $A$). Построите прямую $p$, проходящую через $A$ и перпендикулярную к $l$.

У разжене 3. Пусть в исходной конфигурации отмещены хотя бы две различные точки. Докажите, что тогда можно — многоократно использовать элематриные построения $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ — отметить точку,

a) заведено принадлежащую неокоторой из проведенных линии — или даже любому фиксированному отрезку (или дуг) этой линии,

b) заведено не принадлежащую ни одной из линии исходной конфигурации,

c) заведено принадлежащую (или не принадлежащую) какой-либо фигуре, образованной проведенными линиими (кругу, треугольник и т. п.).

Объчно в задачах на построение встречаются построения следующого типа: «отметим произвольную точку на дуг $EF$» или «отметим произвольную точку вне $\triangle ABC$». Упражнение 3 показывает, что любое такое по-

Сформулируем основную теорему (ее доказательство будет дано в п. 8), которая показывает, какие алгебраические действия соответствуют элементарным построениям $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$.

О п р е д е л е н и е. Сложение, вычитание, умножение и деление чисел, а также извлечение квадратного корня из положительного числа будем называть основными действиями.

Т е о р е м а 1. Если исходная конфигурация имеет параметры $p_1, \ldots, p_n$, то точку $(x, y)$ можно построить тогда и только тогда, когда $x$ и $y$ выражаются через $p_1, \ldots, p_n$ с помощью конечного числа основных действий.

З а м е ч а н и е. Иногда задачи на построение удобно формулировать так.

Даны отрезки с длинами $d_1, \ldots, d_n$. Построить отрезок длины $x$. К таким задачам удобнее применять не теорему 1, а следующую теорему.

Т е о р е м а 1’. Пусть даны отрезки, длины которых выражаются числами $d_1, \ldots, d_n$, и пусть среди них есть единичный отрезок. Тогда циркулем и линейкой можно построить отрезок длины $x$ (то есть построить две точки на расстоянии $x$) в том и только том случае, когда $x$ выражается через $d_1, \ldots, d_n$ с помощью конечного числа основных действий.

У п р а ж н е н и е 4. Выведите теорему 1’ из теоремы 1.

У п р а ж н е н и е 5. В теореме 1’ сказано, что одно из чисел $d_1, \ldots, d_n$ равно 1. Покажите, что без этого условия теорема 1’, вообще говоря, неверна.

7. Неразрешимость задач об удвоении куба и о трисекции угла

Согласно теореме 1’ вопрос разрешимости задачи об удвоении куба (см. п. 2) можно сформулировать так.

Дано число 1. Можно ли выразить через него с помощью конечного числа основных действий число $\sqrt[3]{2}$?

У п р а ж н е н и е 6. Докажите, что $\sqrt[3]{2}$ — иррациональное число.

Неразрешимость задачи об удвоении куба вытекает из этого упражнения и следующей общей теоремы, доказательство которой будет дано в п. 9.

Т е о р е м а 2. Пусть кубическое уравнение $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ с рациональными коэффициентами $a$, $b$ и $c$ не имеет рациональных корней, и пусть $x_0$ — его корень. Тогда $x_0$ нельзя выразить через целые числа с помощью конечного числа основных действий.

Действительно, как следует из упражнения 6, уравнение $x^3 - 2 = 0$ не имеет рациональных корней, а значит, его корень $x_0 = \sqrt[3]{2}$ нельзя выразить через 1 с помощью конечного числа основных действий. Поэтому, исходя из единичного отрезка, нельзя построить циркулем и линейкой ребро куба с объемом 2.

Перейдем к задаче о трисекции угла. Это, собственно говоря, не одна задача, а целая серия: каждому углу соответствует своя задача. Некоторые из них разрешимы — например, угол в $90°$ можно разделить циркулем и линейкой на три равные части. Мы покажем, что в общем виде задача о трисекции угла неразрешима. Для этого достаточно указать хоть один угол $\varphi$, который нельзя разделить на три равные части. Мы возьмем $\varphi = 30°$.

Этот угол можно построить циркулем и линейкой (см. рис. 3), исходя

Рис. 3.

5

6

из конфигурации $\{A, B\}$, состоящий из двух точек $A$ и $B$ ($AB = 1$). Если бы его можно было разделить циркл и линейкой на три равные части по $10^\circ$, то мы смогли бы, исходя из конфигурации $\{A, B\}$, построить и угол в $10^\circ$, а значит, и отрезок длиной $s = \sin 10^\circ$ (см. рис. 4, где $\Rightarrow C = 10^\circ$, $CD = 1$, $DE \perp CE$, и значит, $DE = \sin 10^\circ$).

Докажем, что этого сделать нельзя, то есть число $s = \sin 10^\circ$ нельзя получить с помощью конечного числа основных действий из числа 1.

Используя формулу $\sin 3\alpha = 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha$, получаем уравнение $\frac{1}{2} = \sin 30^\circ = 3s - 4s^3$, или $s^3 - \frac{3}{4}s + \frac{1}{8} = 0$. (1)

По теореме 2 нам достаточно доказать, что (1) не имеет рациональных корней. В этом можно убедиться неосредственно, но проще воспользоваться следующим общим примемом.

Лемма. Пусть уравнение $x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + \dots + a_{n-1}x + a_n = 0$ (2) с целью коэффициента $a_1, \dots, a_n$ имеет рациональный корень $x_0$. Тогда $x_0$ — обязательное число число $u$ $|x_0|$ является делимелем числа $|a_n|$.

Доказательство. Запишем $x_0$ в виде несократимой дроби $p/q$ ($p$ — целое, $q$ — натуральное, в частиности, если $x_0$ — целое, то $q = 1$). Подставим $x_0 = p/q$ в (2), умножим все члены на $q^{n-1}$ и пересечем первое слагаемое в правую часть. Получим $a_1p^{n-1} + a_2p^{n-2}q + \dots + a_{n-1}pq^{n-2} + a_nq^{n-1} = -p^n/q$.

Слева стоит целое число, значит, $p^n/q$ — тоже целое, и поскольку $p$ и $q$ взаимно просты, то $q = 1$ и $x_0$ — целое. Переписав (2) при $x = x_0$ в виде $a_n = x_0(-a_{n-1} - a_{n-2}x_0 - \dots - a_1x_0^{n-2} - x_0^{n-1})$, получаем, что $|a_n|$ делится на $|x_0|$. Лемма доказана.

Чтобы воспользоваться леммой, сделаем в (1) замену $x = 2s$. Получим уравнение $x^3 - 3x + 1 = 0$. (3)

Так как 1 и —1 не является его корнями, то (по лемме) оно не имеет рациональных корней, а значит, и уравнение (1) не имеет рациональных корней. По теореме 2 число s нельзя выразить через 1 с помощью конечного числа основных действий, и значит, задача о трисекции угла в $30^\circ$ неразрешима.

Упражнение 7. Можно ли угол в $19^\circ$ разделить циркл и линейкой на 19 равных частей?

8. Доказательство теоремы 1

Будем говорить, что число $x$ можно построить, исходя из данной конфигурации, если, исходя из нее, можно построить такие точки $C$ и $D$, что $CD = |x|$ (то есть $CD = x$, если $x \ge 0$, и $CD = -x$, если $x < 0$).

Упражнение 8. Докажите, что a) если числа $z$ и $t$ можно построить, то можно построить и числа $z + t$, $z - t$, $zt$, $z/t$ (при $t \neq 0$) и $\sqrt{z}$ (при $z \ge 0$), b) точку $(x, y)$ можно построить тогда и только тогда, когда можно построить ее координаты — числа $x$ и $y$, c) исходя из конфигурации с параметрами $p_1, \dots, p_n$, можно построить числа $p_1, \dots, p_n$.

Из упражнения 8 с и 8a следует, что, исходя из данной конфигурации, можно построить любое число, которое выражается через ее параметры $p_1, \dots, p_n$.

7

ла основных действий. Тем самым, согласно упражнению 8b, можно построить любую точку $(x, y)$, координаты которой выражаются с помощью основных действий через $p_1, \ldots, p_n$. Половина теоремы 1 доказана.

Остается доказать обратное утверждение: если точку $(x, y)$ можно построить, то $x$ и $y$ выражаются через параметры исходной конфигурации с помощью основных действий. Это утверждение сразу вытекает из следующей леммы.

Л е м м а. Пусть к конфигурации с параметрами $q_1, \ldots, q_N$ применено одно из элементарных построений $\alpha$, $\beta$, $\gamma$. Тогда параметры полученной конфигурации выражаются через $q_1, \ldots, q_N$ с помощью основных действий.

Доказательству леммы предпошлем следующее упражнение.

У п р а ж н е н и е 9. Докажите, что

а) прямая, проходящая через две различные точки $(c_1, c_2)$ и $(d_1, d_2)$, задается уравнением

$$x = c_1 \text{ при } c_1 = d_1$$

и

$$y = \frac{c_2 - d_2}{c_1 - d_1}x + \frac{c_1d_2 - c_2d_1}{c_1 - d_1} \text{ при } c_1 \neq d_1,$$

b) расстояние между точками $(c_1, c_2)$ и $(d_1, d_2)$ равно $\sqrt{(c_1-d_1)^2+(c_2-d_2)^2}$,

c) если две прямые задаются уравнениями

$$y = k_1x + b_1 \text{ и } y = k_2x + b_2,$$

то при $k_1 = k_2$ они либо параллельны, либо совпадают, а при $k_1 \neq k_2$ пересекаются в точке

$$\left(\frac{b_2-b_1}{k_1-k_2},\ \frac{k_1b_2-k_2b_1}{k_1-k_2}\right);$$

прямые $y = k_1x + b_1$ и $x = a_2$ пересекаются в точке $(a_2, k_1a_2 + b_1)$; прямые $x = a_1$ и $x = a_2$ либо параллельны, либо совпадают,

d) окружность с центром $(c, d)$ и радиусом $r$ задается уравнением $(x-c)^2 + (y-d)^2 = r^2$.

Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы. При построении $\alpha$ к параметрам $q_1, \ldots, q_N$ добавляется одно или два числа — коэффициенты уравнения $x = c$ или $y = kx + b$, задающего проведенную прямую. Согласно упражнению 9а они выражаются через $q_1, \ldots, q_N$ с помощью основных дей-

ствий (так как координаты отмеченных точек, через которые проводится прямая, входят в число параметров $q_1, \ldots, q_N$).

При построении $\beta$ проводится окружность с центром $O$ и радиусом $CD$. Координаты точек $O$, $C$ и $D$ входят в число параметров, а радиус выражается через них с помощью основных действий согласно упражнению 9b.

При построении $\gamma$ возможны три случая.

Первый — когда отмечается точка пересечения двух прямых — разбирается с помощью упражнения 9с.

Во втором случае пусть отмечается точка $(x_0, y_0)$ пересечения или касания окружности $(x-c)^2+(y-d)^2=r^2$ (см. упражнение 9d) и прямой $y = kx + b$. Координаты $(x_0, y_0)$ удовлетворяют обоим уравнениям. Подставив $y=kx+b$ в первое уравнение, получаем для определения $x_0$ квадратное уравнение

$$(x-c)^2+(kx+b-d)^2=r^2.$$

Если применить формулу для решения квадратного уравнения, то $x_0$ (а стало быть, и $y_0=kx_0+b$) выразится через $k, b, c, d$ и $r$ с помощью основных действий. Для прямой, заданной уравнением $x = a$, аналогичный результат получается еще проще.

В третьем случае отмечается точка пересечения или касания окружностей

$$(x-c)^2+(y-d)^2=r^2,$$
$$(x-c')^2+(y-d')^2=r'^2.$$

Раскроем скобки и вычтем одно уравнение из другого. Получим линейное уравнение

$$Px+Qy=R,$$

где $P=2(c'-c)$, $Q=2(d'-d)$, $R=r^2-r'^2+c'^2-c^2+d'^2-d^2$. Если $Q \neq 0$, то перепишем его в виде $y=kx+b$ (где $k=-P/Q$, $b==R/Q$), а если $Q=0$, $P \neq 0$ — то в виде $x=a$ (где $a=R/P$), и тем самым сведем все к уже разобранному второму случаю; равенство $P=Q==0$ невозможно (если $R \neq 0$, окружности не имеют общих точек, если $R = 0$ — совпадают).

7

8

9. Доказательство теоремы 2

Разделим основные действия на простые — сложные, вычитание, умножение и деление и сложное — извлечение квадратного корня.

Пусть имеется неокоторое множество чисел. Расмотрим все числа, которые можно получить из них с помощью конечного числа простых действия.

Определение. Если обозначить исходное множество через $M$, то полученное множество $P$ называется полем, порождаемым $M$.

Ясно, что если числа $z$ и $t$ принадлежат полю $P$, то и числа $z + t$, $z - t$, $zt$ и $z/t$ (при $t \neq 0$) принадлежат $P$.

Примеры. А. Множество $M$, состоящее из одного числа 1, порождает поле рациональных чисел.

В. Множество $M$, состоящее из всех рациональных чисел и числа $\sqrt{2}$, порождает поле $P$, в котором входят все числа вида $a + b\sqrt{2}$ (где $a$ и $b$ рациональные) и только они. Проверьте это, обратив особое внимание на деление. Отметим, что то же поле $P$ порождается двумя числами: 1 и $\sqrt{2}$.

Упражнение 10. Принадлежит ли $\sqrt{3}$ полю $P$ из примера В?

Пусть $x$ — какое-нибудь число, которое выражается через 1 с помощью конечного числа основных действия. Это значит, что имеется числа $x_1, \ldots, x_n$, где $x_1 = 1$, $x_n = x$, и каждое число $x_k$ ($1 < k \leq n$) выражается через предыдущие с помощью одного основного действия. Например, для $x = \sqrt{2} - 5\sqrt{3}$ можно взять $x_1 = 1$, $x_2 = 1 + 1 = 2$, $x_3 = \sqrt{2}$, $x_4 = 1 + 2 = 3$, $x_5 = \sqrt{3}$, $x_6 = 2 + 3 = 5$, $x_7 = 5\sqrt{3}$, $x_8 = \sqrt{2} - 5\sqrt{3} = x$.

Построим цепочку полей $P_1, \ldots, P_n$, где $P_k$ — поле, порождаенное множествором чисел $x_1, \ldots, x_k$. В этой цепочке для каждой поля $P_k$ имеются две возможность:

1. Если $x_k$ принадлежит $P_{k-1}$, то $P_k$ совпадает с $P_{k-1}$.
2. Если $x_k$ не принадлежит $P_{k-1}$, то $P_k$ порождается множествором, которое получается добавлением к полю $P_{k-1}$ числа $x_k$ (при этом $x_k^2$ обязаτεльно принадлежит $P_{k-1}$).

Из сказанного ясно, что для доказательства теоремы 2 достаточно установить следующие.

Лемма 1. Пусть число $s$ не принадлежит полю $P$, $s^2$ принадлежит $P$ и $Q$ — поле, порождаенное множествором, которое получается добавлением к $P$ числа $s$. Пусть уравнение

$$x^3 + ax^2 + bx + c = 0$$

с коэффициентами, принадлежащими $P$, не имеет корней в поле $P$. Тогда оно не имеет корней и в поле $Q$.

Прежде, чем доказать эту lemму, описем, как устройно поле $Q$.

Лемма 2. Любое число $q$ из поля $Q$

1. представляется в виде $q = p_1 + p_2s$, где $p_1$ и $p_2$ принадлежат $P$,
2. удовлетворяет квадратному уравнению $x^2 + dx + e = 0$ с коэффициентами $d$ и $e$, принадлежащими $P$.

Доказательство lemмы 2.

1. Ясно, что все числа вида $p_1 + p_2s$ принадлежат $Q$. Чтобы доказать, что других чисел в $Q$ нет, достаточно проверить, что простые действия над числами вида $p_1 + p_2s$ снова принадлежат к числам того же вида. Это следует из формулы

$$(p_1 + p_2s) \pm (r_1 + r_2s) = (p_1 \pm r_1) + (p_2 \pm r_2)s,$$

$$(p_1 + p_2s) \cdot (r_1 + r_2s) = (p_1r_1 + p_2r_2s^2) + (p_1r_2 + p_2r_1)s$$

9

(напомним, что $s^2$ принадлежит полю $P$),
$p_1 + p_2 s) : (r_1 + r_2 s) =$
$$\frac{(p_1 + p_2 s) (r_1 - r_2 s)}{r_1^2 - r_2^2 s^2} =$$
$$= (p_1 + p_2 s) \left( \frac{r_1}{r_1^2 - r_2^2 s^2} - \frac{r_2 s}{r_1^2 - r_2^2 s^2} \right)$$
$(r_1^2 - r_2^2 s^2 \neq 0$, так как иначе $s^2 = r_1^2/r_2^2$, и $s = \pm r_1/r_2$ принадлежит $P$ вопроси условию).

2. Положим $\bar{q} = p_1 - p_2 s$, тогда число $q = p_1 + p_2 s$ удовлетворяет уравнению $(x - q)(x - \bar{q}) = x^2 + dx + e = 0$, где $d = -(q + \bar{q}) = -2p_1$, $e = q \bar{q} = p_1^2 - p_2^2 s^2$.

Доказательство леммы 1. Докажем лемму 1 от противного. Пусть уравнение (4) имеет корень $q$ в поле $Q$. Тогда по лемме 2 число $q$ удовлетворяет системе уравнений
$$x^3 + ax^2 + bx + c = 0,$$
$$x^2 + dx + e = 0.$$
(4’) Умножив уравнение (4’) на $(x + a - d)$, вычитем его из уравнения (4). Получим $[b - e - (a - d)d]x + [c - (a - d)e] = 0$. Обозначим первую скобку через $f$, а вторую — через $g$. Тогда $fq + g = 0$. Если $f \neq 0$, то $q = -g/f$ принадлежит полю $P$, что противоречит условию. Если $f = 0$, то и $g = 0$, и значит,
$$x^3 + ax^2 + bx + c - (x + a - d) \times (x^2 + dx + e) = fx + g = 0$$
то есть
$$x^3 + ax^2 + bx + c = (x + a - d) + (x^2 + dx + e).$$
No тогда уравнение (4) имеет корень $q = d - a$, принадлежший полю $P$, — вопроси условию.

Полученное противоречение доказывает лемму 1, а вместе с ней и теорему 2.

Задание
наших читателей

1. Сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. На диагонали $AC$ взята точка $P$ так, что $|PC| = |AC|/4$. Пусть $E$ — точка пересечения $BP$ и $CD$, $O$ — центр квадрата, $M$ — точка пересечения $BP$ с перпендикуляром $OK$, проведенным из точки $O$ на сторону $BC$.

a) Найти $|CE|$.

b) Доказать, что треугольник $OEM$ равноведренный.

M. И. Айзенберг

2. Вокруг треугольника $ABC$ описана окружность. Из произвольной точки этой окружности на стороны $AB$, $BC$ и $AC$ треугольников опущены соответственно перпендикуляры $h_c$, $h_a$ и $h_b$. Затем из этой же точки опущены перпендикуляры $H_a$, $H_b$ и $H_c$ на касательные к данной окружности соответственно в точках $A$, $B$ и $C$. Доказать, что $H_a + H_b + H_c \geq h_a + h_b + h_c$.

H. В. Шербина

3. Дан 1974-угодник. Его разрешают на $k$ 987-угодников таких, что их вершины либо совпадают с вершинами 1974-угодника, либо лежат внутри него, причем ни одна из вершин какого-либо 987-угодника не является внутренней точкой стороны другого 987-угодника.

Найти наименьшее значение $k$.

M. Биктимиров

4. На плоскости расположены 1973 прямые общего положения (никакие две прямые не параллельны,никакие три прямые не пересекаются в одной точке). При их пересечении образовались 100 многоугольников. Определить число точек пересечения прямых.

П. Иванов

10

Бета-превращения ядер и свойства нейтрино

Б. Г. Ерозолимский

Весь доступный нашему знанию мир, как известно, состоит из взаимодействующих друг с другом частиц материи—из так называемых элементарных частиц. Это, прежде всего, электроны, протоны, нейтроны, фотоны и десятки других частиц. Сейчас уже стало очевидным, что термин «элементарные частицы» неудачен. На самом деле эти частицы нельзя рассматривать как элементарные кирпичики мироздания, они сами являются сложными образованиями. Главным доказательством этому служит то, что все известные сейчас элементарные частицы способны превращаться друг в друга. По-видимому, понять «устройство» частиц невозможно, не поняв особенностей их взаимодействий друг с другом, которые, в частности, приводят к взаимным превращениям частиц.

В настоящее время известно четыре типа взаимодействия частиц материи: гравитационное, электромагнитное, ядерное (сильное) и так называемое слабое.

Читатель, безусловно, знаком в той или иной степени с первыми тремя типами взаимодействия. Напомним лишь, что наиболее интенсивным является ядерное взаимодействие (именно поэтому его и называют еще сильным взаимодействием). Силы притяжения между нуклонами, то есть протонами и нейтронами в ядре, и обусловливают стабильность атомного ядра. Чтобы разрушить ядро, преодолеть ядерные силы, необходимо за-

тратить огромную энергию. Ядерные силы очень быстро спадают с расстоянием и проявляются лишь при непосредственном «контакте» нуклонов друг с другом.

Несколько слабее, но все же достаточно интенсивно электромагнитное взаимодействие. Это — обычное притяжение или отталкивание электрически заряженных частиц.

Гравитационное взаимодействие— наименее интенсивное из всех взаимодействий, оно не имеет никакого практического значения в жизни элементарных частиц.

Последний вид — слабое взаимодействие. Его так назвали потому, что оно действительно значительно слабее ядерного и электромагнитного взаимодействий. Однако его роль в микромире велика. Оказывается, благодаря слабым взаимодействиям и происходит бо́льшая часть превращений одних элементарных частиц в другие.

Впервые с такими превращениями наука встретилась при изучении естественной радиоактивности, открытой в самом конце XIX века. Исследования ученых, прежде всего Марии и Пьера Кюри и Эрнеста Резерфорда, показали, что ядра некоторых химических элементов способны самопроизвольно распадаться, то есть превращаться в ядра других элементов. Такие превращения сопровождаются излучением. Известны излучения трех типов, которые обозначаются буквами $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Как оказалось,

α-лучи — это потоки ядер атомов гелия, β-лучи — потоки электронов, а γ-лучи — потоки фотонов. Мы будем говорить подробно только о β-распадах (когда превращения ядер сопровождается вылетом быстрых электронов).

Откуда берутся электроны, вылетающие с огромной скоростью? По-видимому, из ядра, тем более, что при β-распаде электрический заряд ядра изменяется как раз на единицу. Значит, в ядре есть электроны? Первая ядерная модель действительно была построена из протонов и электронов. Лишь позднее стало ясно, что такое устройство ядра невозможно, свойства атомных ядер и элементарных частиц несовместимы с этой гипотезой. С современной точки зрения ядра всех элементов состоят из протонов и нейтронов. Как же тогда объяснить β-распад? Здесь-то и начинаются превращения частиц друг в друга!

Оказывается, что при β-распаде ядра один из нейтронов в ядре превращается в протон, что сопровождается рождением энергичного электрона *):

$$n \rightarrow p + e^-. \tag{1}$$

При этом порядковый номер элемента (заряд ядра) соответственно увеличивается на единицу. Например,

$${}_{82}\mathrm{Pb}^{214} \rightarrow {}_{83}\mathrm{Bi}^{214} + e^-$$

— изотоп свинца превращается в изотоп висмута с тем же атомным весом.

Следует особо подчеркнуть содержащийся в процессе (1) полный и решительный разрыв с глубоко укоренившимся в сознании ученых прошлого века представлением о том, что частицы вещества не могут рождаться или исчезать. Вылет электрона из ядра при β-превращении рассматривается здесь не как следствие того, что он (электрон) там и был до этого, а

---

*) В самом деле при таком превращении рождается еще одна частица, но об этом будет рассказано позже.

как акт возникновения электрона в самом процессе β-распада. Это подтверждается множеством фактов. В частности, в конце 40-х годов было доказано, что свободный нейтрон (не входящий в состав ядра) нестабилен и самопроизвольно превращается в протон и электрон с периодом полураспада всего около 10 минут. За последние два десятилетия с помощью ускорителей открыто большое число новых элементарных частиц: мезонов (частиц легче протона, но тяжелее электрона), гиперонов (частиц тяжелее протона). Все они, как оказалось, недолговечны и тоже превращаются друг в друга, наподобие свободного нейтрона.

Появление атомных реакторов, а также техники разделения изотопов привело к открытию и получению большого количества новых искусственных радиоактивных веществ. Среди них много таких, при β-распаде которых происходит вылет не электрона, а позитрона ($e^+$). Заряд ядра (атомный номер) при этом соответственно уменьшается на единицу. Это означает, что в таких ядрах осуществляется превращение одного из протонов в нейтрон и позитрон по схеме *)

$$p \rightarrow n + e^+. \tag{2}$$

Например, превращение магния в натрий, происходящее с периодом полураспада 11,6 секунды, можно записать так:

$${}_{12}\mathrm{Mg}^{23} \rightarrow {}_{11}\mathrm{Na}^{23} + e^+.$$

Процесс (2) возможен, правда, лишь в ядре; в свободном состоянии именно нейтрон превращается в протон. Дело в том, что масса нейтрона, а значит, и его собственная энергия больше, чем у протона. И потому превращение свободного протона в нейтрон нарушало бы закон сохранения энергии.

Таким образом, способность к взаимному превращению из уникаль-

---

*) Эта реакция так же, как и реакция (1), записана пока неправильно.

11

12

ного диковинного свойства, проявившегося в β-распаде ядер, стала неотъемлемой характеристикой практических всех известных элементарных частиц. В настоящее время эта область физики — физика слабых взаимодействий — буро развивается. С 30-х годов, когда Э. Ферми создал первую теорию β-распада ядер, сделано уже немало для того, чтобы все известные факты получили теоретическое обоснование. Правда, существующие пока представления очень далеко от той стройности и законченности, которые отличают, например, в настоящее время картину электромагнитного взаимодействия.

Согласно современным воззрениям всякое взаимодействие может быть описано с помощью неокоторого поля, причем возникновение сил прятяжения или отталкивания между частицами обусловлено их способностью «рождать» и поглощать кванты этого поля. Теория установливает глубокую связь между механизмом взаимодействия сил, действующих между частицами—источниками данного поля, и возникными «превращениями» этих частицы, которые сопроводятся рождеством квантов этого поля.

Например, взаимодействие между электрическими зарядами обусловлено электромагнитным полем, кванты которого — фотоны. Это же взаимодействие приводит к возникновению рождения кванта (фотона), скажем, при торможении быстро летящего заряда (электрона). Реакция «превращения» тут такая:

$$e \rightarrow e' + \gamma,$$

где $e'$ — это электрон с измененной энергией.

Аналогичная ситуация оказывается и в случае слабого взаимодействия. Сами силы взаимодействия частиц, например нуклонов, при этом столбничны на фоне ядерных и электромагнитных сил, что их проявления удалось обнаружить лишь косвенно, и то в очень тонких экспериментах. А вот процессы превращений, при которыхрождаются кванты этого поля, нам давно известны — им и являются β-превращения ядер и слабые распады электромагнитных частиц.

В этом смысле реакции (1) и (2), реакции превращения протона и нейтрона друг в друга, можно интерпретировать как процессы рождания квантов поля слабого взаимодействия ($e^{-}$ и $e^{+}$). Подробное изучение, однако, показало, что ситuation здесь оказывается существенно сложнее. Поле слабых сил на самом деле представлено квантими двух сортов: электронами (позитронами) и частицами с совершенной удивительными свойствами, а именно — нейтрино, так что реакции (1) и (2) записаны неверно. Вместе с электромом или позитроном должны обязательно рождаться и нейтрино.

История открытия нейтрино-является одной из самых блескущих страниц науки XX века и заслужива.

Рис. 1. Красным показана проекция внутреной траектории электрона.

13

Рис. 2. Бета-спектр свободного нейтрона.

ет того, чтобы вкратце о ней расскаазать. Существование нейтрино было теоретически предсказано В. Паули в результате попыток осмыслить страный факт, обнаруженный в β-распаде ядер. Измерения энергии вылетающих при β-распаде электронов показали, что электrons не обладают фиксированной энергейей, которая была бы свойственна данному β-превращению. Имеется широкий диапазон, или, по-другому, спектр энергий, пространнойся от нуля до некоторого максимального значения.

Измерение энергии электронов производится с помощью специальных прибора — бета-спектрометров, в которых электrons разных энергий различаются либо по траекториям в магнитных или электрических полях, либо по амплитуде электрических импульсов, возникающих в детекторах спектрометрического типа (например, в сцинитляционных счетчиках). На рисунке 1 изображена схема простого магнитного спектромета с продолжным полем. Электrons из источника И попадают в магнитное поле, образованное соленом С. Траектория электрона в таком поле представляется винтовую линию с осью, параллельной оси соленона *). Можно показать, что электrons, вы

Рис. 3. Бета-спектр радиоактивного изотона золота.

шедшие из источника достаточно малого размера с одной и той же энергейей, сфоксируются в близи определенной точки, где и установливается диффрагама Д, за которой стоит счетчик Сч. Траектории части с другой энергейей при этом таковы, что эти частицы через диффрагуму Д не проходят. От прямого же попадания электронов (вдоль силовых линей поля) в ответие диффрагумы Д предохраняют колыцевые диффрагимы К. Изменяя величины магнитного поля (тока в соленоне), можно таким образом «просмотреть», сколько электронов, испускаемых источником, обладают той или иной энергейей, то есть исследовать их энергетический спектр.

Вот как выглядит, например, β-спектр свободного нейтрона (рис. 2) или спектр радиоактивного изотона золота $^{79}\text{Au}^{198}$ (рис. 3). По оси ординат отложено в произвольном масштабе число части с энергейей E (точнее, с энергейей в достаточно малом интервале $\Delta E$, от E до E + $\Delta E$), а по оси абсцисс — энергия в килюлектроновольтах. Из рисунков 2 и 3 видно, что β-спектр непрерывен, присутствует электроны с любыми энергиями от 0 до $E_{\text{max}}$.

В спектре, представленном на рисунке 3, видны отдельные узкие линии. Это свидетельствует о том, что кроме электронов с непрерывным спектром есть еще несколько групп электронов с волне определенными энергиями (так называемые «монохроматические» электроны). Однако, природа таких

14

Линний совершенню иная, соответствующие этим линям электроны нижкого относения к β-распаду не имеют.

Если процесс β-распада представляет по схеме (1) или (2), то наличие непрерывного спектра электронов совершенню неопонятно. В самом деле, процесс β-превращения сопровождается выделением вполне определенной энергии, которая распределяется между двумя образующимся частицами (электроном и ядром отдачи — ядром нового элемента) единственно возможным образом, так что энергия электрона должна быть в полне определенной. Это непосредственно следует из законов сохранения энергии и количества движения. Так как первоначальное ядро покопится, то его количество движения (импульс p) равно 0. Суммарное количество движения образующихся частиц так же должно равнять нулю, то есть электрон и ядром отдачи должны разлетаться в противоположные стороны. Обозначим массу электрона и его скорость через $m_e$ и $v_e$, а массу ядра отдачи и его скорость — $M$ и $u$ и запишем закон сохранения количества движения:

$$m_e v_e - Mu = 0.$$

(3)

С другой стороны, сумма кинетических энергий образованшихся частицами должна быть равна $E_0$ — полной энергии, выделенной при β-распаде:

$$E_e + E_M = E_0.$$

(4)

Для простоты расчетов можно принять, что связываем энергий и импульсом частицы дается классической формулой $E = \frac{p^2}{2m}$.

Из уравнений (3) и (4) следует, что скорость $v_e$, а значит, и энергия электрона $E_e$ определяны однозначно ($E_e = \frac{E_0}{1+m_e/M}$). Следовательно, β-спектр должен быть представлять собой одну единственную линию. Кстати, легко убедиться в том, что поскольку $M \gg m_e$, то $E_e \approx E_0$, то есть ядро отдачи уносит весьма малую долю всей энергии распада.

Какова же величины этой ожидаемой энергии электрона? Для примера рассмотрим β-распад свободного нейтрона. Чтобы изменения показали, что масса нейтрона несколько больше массы протона, а именно:

$$m_n - m_p = 2,5 m_e.$$

Согласно одному из функентальных положений теории относительной энергии, связанная с ней соответствием $E = mc^2$, где $c$ — скорость света. Тогда энергия, которая должна выделиться при превращении нейтрона в протон и электрон, равна

$$E_0 = (m_n - m_p - m_e)c^2 = 1,5m_e c^2 = 780 \text{ кэв.}$$

Из рисунка 2 видно, что энергия $E_0$ как раз и есть $E_{\text{max}}$ — граничная энергия β-спектра. Это значит, что практические всегда электрон уносит не всю энергию распада (с точностью до энергии ядра отдачи), а лишь часть ее, причем величины этой части от раза к разу принимает различные значения.

Куда же deveется остальная энергия? Многократно проводившие изменения, в которых β-радиоактивный препарат помещался внутри калиорметра с очень толькими стенками, показали, что нет никаких известных излучений, которые уносили бы часть энергии, а в калиорметре при этом выделяется энергия, которая в среднем составляет лишь половину от полной энергии β-распада.

Это «исчезновение» энергии, которое даже давало повод подвергать сомнению справедливость закона сохранения энергии в микромире, и наolkнуло Паули на мысль о том, что β-распадерождает еще одна часть. Она не обладает электрическим загрязом, а масса ее чрезвычайно мала. Ферми назвал эту часть нетийрино. Нейтрино может свободно преодолить через весьма большие толщи вещества и поэтому не улавливается стенками калиорметров. Полная же энергия β-превращения распределяется между нейтрино и электроном,

15

оставляя в среднем на долю электрона лишь половину *). Таким образом, вместе реакций (1) и (2) нужно записать такие реакции:

$$n \rightarrow p + e^- + \tilde{v},$$
$$p \rightarrow n + e^+ + v.$$

Символ v соответствует нейтрино а $\tilde{v}$ — антинейтрино (о различных между ними будет расссказано далее).

Важным подтверждением этой гипотезы является эксперименты, в которых исследовалась отдельа ядер, образующихся в результате β-распада. Было показано, что ядро отдели и электрон вовсе не разделаются в противоположные стороны. Это также свидетельствует о рождеении еще одной какой-то частицы при β-распаде. Ведь закон сохранения количества движения (импульса) требует, чтобы центр масс всех разделающихся в результате β-распада частиц оставался на месте — ведь разделашеся ядро первоначально поконтся (с точностью до теплового движения). Образование ядро отдели и электрон, как показывает опыт, разделяется под любыми углами друг к другу. Но тогда суммарный вектор их количество движения не равен нулю! Если же учесть, что вылетающая часть уносят с собой некоторый импульс, то закон сохранения импульса может быть выполнен.

Но самое замечательное то, что между недостающим значением энергии $E_v$ и величины «нескомпенсированного» импульса $p_v$ оказается всегда имеет место очень простое соотношение: $E_v = p_v c$, где $c$ — скорость света. Но ведь это известное соотношение между энергией и импульсом фотона — частицы, движущая со скоростью света и имеющей нулевую массу покоя. Такое же соотношение устанавливает теория относительности для тел, движущихся со скоростью, близкой к скорости света, то есть для тел с весма малой или

*) С точностью до энергии ядра отдели.

Далее равной нулю массой покоя *). Итак, предположив, что при β-распаде вылетает нейтрино, мы обеспечиваем выполнение общих функенательных законов сохранения (энергии и импульса) и получаем возможность равильно расчитать энергии частиц — продуктов распада.

Для примера еще раз рассмотрим распад свободного нейтриона. Пусть электрон и протон разлетлись под углом 90°, кинетическая энергия электрона $E_e = 200$ кэв. Какова при этом энергия протона?

Составляем два уравнения: закон сохранения энергии

$$E_0 = E_v + E_p + E_e$$

и закон сохранения импульса (рис. 4)

$$p^2_v = p_e^2 + p_p^2.$$

Здесь $E_0 = 780$ кэв — полная энергия, выделяющаяся при β-распаде нейтриона (см. рис. 2), $E_v$ и $p_v$ — энергия и импульс нейтрино, причем $E_v = p_v c$. Импульс электрона $p_e$ и его кинетическая энергия с учетом поправок теории относительной связи между собой так:

$$p_e^2 c^2 = E_e^2 + 2 E_e m_e c^2.$$

Действительно, импульс электрона равен $p_e = \frac{m_e v}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ (ме — масса покоя электрона), полная энергия электрона равна $E = \frac{m_e c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$, энергия покоя равна $E_\pi = m_e c^2$. Тогда кинетическая энергия электрона

$$E_e = E - E_\pi = m_e c^2 \left( \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} - 1 \right).$$

*) См., например, статью И. П. Стаханова «Масса и энергия в теории относительной связи», «Квант», 1975, № 3.

16

Возведя обе части равенства в квадрат и учтя выражение для импульса электрона, получим записанное выше соотношение между кинетической энергией и импульсом электрона.

Связь между импульсом и кинетической энергией протона можно записать классической формулой $p_p^2 = 2M_pE_p$ ($M_p$ — масса протона), так как скорость протона много меньше скорости света.

Решение уравнений (7) и (8) с учетом соотношений между кинетической энергией и импульсом частиц даст для энергии протона величину $E_p \approx 50\ эв$.

Итак, при $\beta$-превращении ядра всегда образуется не две частицы, а три. Именно это и приводит к тому, что $\beta$-спектр оказывается сплошным: доля энергии, уносимой электроном, зависит от того, с какой энергией вылетело нейтрино. Первая теория этого процесса была предложена в начале 30-х годов Э. Ферми.

Современная теория объединила явления $\beta$-распада ядер с аналогичными превращениями других частиц в общий класс явлений универсального слабого взаимодействия. Одним из наиболее примечательных утверждений теории явилось предсказание возможности процессов, обратных процессам (5) и (6):

$$\overset{\sim}{\nu} + n \rightarrow p + e^-, \tag{9}$$
$$\overset{\sim}{\nu} + p \rightarrow n + e^+. \tag{10}$$

Теория предсказала также и интенсивность таких процессов. Оказалось, что прежде чем произойдет захват нейтрино (с энергией 1 мэв), эта частица может (в среднем) пройти слой вещества (например, воды) толщиной около $10^{15}$ км!!! Нейтрино свободно может пройти сквозь всю Землю так, что лишь одна из $5 \cdot 10^{12}$ частиц поглощается Землей, то есть вызывает «обратный» $\beta$-распад. Вот почему никакие калориметры в ранних экспериментах по $\beta$-распаду не могли задержать эту «неуловимую» частицу.

Тем не менее, такой процесс был обнаружен в чрезвычайно тонком и рекордном по чувствительности эксперименте американских ученых Райнеса и Коуэна в 1953 году (экспе­

римент проводился вблизи мощного промышленного атомного реактора).

Этот опыт явился окончательным доказательством существования нейтрино. В опыте регистрировалось в среднем около трех событий захвата нейтрино за час. Такая частота событий находится в отличном согласии с количественными предсказаниями теории.

Изучение свойств этой частицы продолжается и в настоящее время. Например, было установлено, что нейтрино, вылетающие при распаде нейтрона (процесс 5), и нейтрино, вылетающие при превращении протона в нейтрон (процесс 6), являются на самом деле разными частицами. Оба вида нейтрино, как оказалось, обладают собственным вращательным моментом — спином, направленным по оси вращения. Однако у нейтрино из распада (5) направление спина соответствует правовинтовому вращению, а у нейтрино из реакции (6) — левовинтовому. В соответствии с этим нейтрино первого типа называют «антинейтрино» и обозначают его $\overset{\sim}{\nu}$.

Далее, исследования распада мезонов, проведенные на больших ускорителях в Брукхейвене (США) и Церне (Швейцария), показали, что существует еще одна пара нейтрино — антинейтрино, которая чем-то существенно отличается от нейтрино, участвующих в распадах типа (5) и (6). Во всяком случае, под действием тех нейтрино (именуемых мюонными) не происходит обратный $\beta$-процесс Райнеса — Коуэна (процесс 10). Зато происходят аналогичные процессы захвата нейтрино нейтроном или протоном, при этом вместо электрона или позитрона рождаются $\mu$-мезоны соответствующего знака:

$$n + \nu_\mu \rightarrow p + \mu^-, \tag{11}$$
$$\overset{\sim}{\nu}_\mu + p \rightarrow n + \mu^+. \tag{12}$$

Установлено также, что у всех нейтрино масса покоя действительно очень мала (либо вовсе равна нулю); так, например, про массу обычного

(электронного) нейтрино известно, что она по крайней мере меньше 1/7000 массы электрона.

Во многих лабораториях мира, в том числе и в Советском Союзе, ведутся интенсивные экспериментальные работы по изучению нейтрино. Цель этих работ — выяснить, какими еще свойствами обладают нейтрино. В частности, ведутся поиски других процессов, которые согласно теории слабых взаимодействий должны происходить под действием нейтрино.

Огромное внимание уделяется также поиску пока еще не обнаруженного нейтринного излучения от Солнца и других звезд. Современные представления о природе солнечной и внутризвездной энергии связаны с картиной интенсивных ядерных процессов, происходящих в сверхгорячей плазме (при температуре в несколько десятков миллионов градусов), из которой состоят внутренние области Солнца и других звезд. Возникновение в этих процессах нейтрино должно существенно сказываться на общем энергетическом балансе, а следовательно, и на всей динамике развития звезд, поскольку нейтрино, свободно проникая сквозь всю толщу Солнца или звезды, улетают в космическое пространство и уносят с собой заметную долю общей энергии. Для обнаружения солнечных нейтрино сооружаются огромные подземные лаборатории на большой глубине в угольных шахтах или в тоннелях под большими горами с тем, чтобы обеспечить минимальный «уровень фона» от космических лучей в нейтринных детекторах.

Так в решении проблем, связанных с изучением слабых взаимодействий и нейтрино, тесно сомкнулись пути развития физики элементарных частиц — физики микромира — и науки о звездах и других галактических объектах — современной астрофизики.

Элементарная

исповедь

Хорошо быть нейтриной. Летишь себе куда хочешь, пролетаешь все насквозь. Заряда нет, масса нулевая, никто тебя не трогает, не регистрирует… Чего еще надо?

А тут вертишься, как проклятый, вокруг ядра, с переменной вероятностью, с уровня на уровень скачешь. Энергию излучаешь. Все до последнего кванта отдаешь, а тебя все по Бору да по Дираку квантуют.

Поле открыли. Электромагнитное называется. $E$ по иксу, $H$ по игреку, $V$ по зету. С ума можно сойти. Орбиты, говорят, стационарные, вертись, пожалуйста, сохраняя энергию.

Вот друг у меня на 1-й Боровской работает, у Водорода. А живет где-то у черта на куличках. Пока на работу доберется, так намучается бедняга, что хоть на ядро падай. А на работе что? Кванты разные, фотоны. Хулиганье. Шастают кругом, так и смотрят, кого с орбиты сшибить. Непорядок. Больше $10^{-8}$ $c$ на одном атоме не удержишься.

А свободному и того хуже. То поле, то яма, а чего доброго и $U$ ускоряющее. Вот деверь мой как-то в яму попал, теперь у него что-то с $\psi$-функцией не в порядке. Не совсем гладкая, с вывихом, значит.

В общем, что и говорить. Вот раньше, бывало, бежишь себе спокойно от «—» к «+». Ток тебе навстречу. У него новости спросишь, сам расскажешь. Добежишь, передохнешь. А теперь… Даже остановиться нельзя. Остановишься — такую неопределенность в импульсе получишь, что аж закачаешься, а импульс уменьшишь — по пространству размажут. Нет, нейтриной быть лучше.

Из газеты Московского физико-технического института «За науку».

2 «Квант» № 6

17

18

Как можно изменить толщину зеркального слоя?

Н. М. Ростмовцев

При изготовлении зеркал на полированную поверхность стекла наносят тонкий слой металла, хорошо отражающего свет. Особенно широкое распространение получили зеркала из серебра, осажденного на стекло химическим путем.

Но серебро, как известно, металл дорогой. Как проконтроллеровать расход серебра, то есть изменить толщину его слоя на зеркальной поверхности? Вы сумете ответить на поставленный вопрос и произвести изменения толщины зеркального слоя, если познакомитесь с методом, предложенным Физю в 1861 году. Этот метод основан на химическом взаимодействииода с серебром, он до сих пор применяется на практике.

Для изменения толщины зеркального слоя серебра на негоkladут круплинку подая зветовая волна (луч 1 на рис. 6), то она частично отражается от внешней поверхности слоя AgI (точка A, луч 2), частично проходит внутри слоя, отражается от второй его поверхности, то есть от границ с серебром (точка B), и выходит наружу (точка C, луч 3). Полученные таким образом отраженные волны (лучи 2 и 3) когерентны, поэтому они будут интерференовать. Результат интерференции зависит от геометрической разности хода δ лучей 2 и 3, которое можно подсчитать по формуле

$$\delta = AB + BC.$$

Если угол падения света равен нулю или близок к нему, то $AB = BC$, поэтому

$$\delta = 2AB = 2d,$$

(1)

где $d$ — толщина «линизы» в месте падения светаового луча. От края к центру слоя толщина его $d$ постепенно растет, увеличивается и разность хода $\delta$. При освещении monoxроматических светом (например, красным) максимумы освещенности (красные колца) наблюдаются там, где разность хода лучей равна целому числу длины волн света в подистом серебре. Темные колца (minимумы освещенности) образуют там, где разность хода лучей кратна половине

19

длины волны $\lambda$ в этом веществе:

$$\delta = (2k-1)\,\frac{\lambda}{2}. \qquad (2)$$

Здесь $k = 1, 2, 3, \ldots$ — номер темного кольца. Первым считается крайнее внешнее темное кольцо.

Из соотношений (1) и (2) следует, что там, где наблюдается темное кольцо с номером $k$, толщину слоя AgI можно подсчитать по формуле

$$d = (2k-1)\,\frac{\lambda}{4}. \qquad (3)$$

Если последнее темное кольцо с номером $k_{\max}$ совпадает с краем центрального прозрачного пятна, то максимальная толщина слоя $d_{\max}$ равна

$$d_{\max} = (2k_{\max}-1)\,\frac{\lambda}{4}. \qquad (4)$$

В действительности же последнее темное кольцо обычно не совпадает с краем прозрачного пятна, а находится на некотором расстоянии от него (как, например, на рис. $a$). Поэтому на самом деле $d_{\max}$ несколько больше значения, рассчитанного по формуле (4). Попробуем оценить эту неточность. Разность толщин «линзы» в местах, соответствующих двум соседним темным кольцам, равна половине длины волны. Следовательно, погрешность в определении $d_{\max}$ не превышает $\lambda/4$. Тогда, можно считать, что $d_{\max}$ равно приблизительно

$$d_{\max} = (2k_{\max} - 1)\,\frac{\lambda}{4} + \frac{\lambda}{4} =$$

$$= k_{\max}\,\frac{\lambda}{2}. \qquad (5)$$

Длина волны света в веществе $\lambda$ связана с длиной волны света в вакууме $\lambda_0$ соотношением $\lambda = \dfrac{\lambda_0}{n}$, где $n$ — показатель преломления вещества. Учитывая это, запишем

$$d_{\max} = k_{\max}\,\frac{\lambda_0}{2n}. \qquad (6)$$

Оказывается (см. упражнение в конце статьи), толщина $h$ серебряного слоя на зеркале связана определен­

ным образом с максимальной толщиной иодистого серебра $d_{\max}$:

$$h = \frac{d_{\max}}{4} = k_{\max}\,\frac{\lambda_0}{8n}. \qquad (7)$$

Для иодистого серебра $n = 2{,}15$. Подставив это значение в (7), получаем формулу для определения толщины слоя серебра:

$$h = k_{\max}\,\frac{\lambda_0}{17{,}2}.$$

Пусть картина, изображенная на рисунке $a$, наблюдается через красный светофильтр (длина волны красного света $6{,}2 \cdot 10^{-5}$ см); тогда

$$h = \frac{3 \cdot 6{,}2 \cdot 10^{-5}}{17{,}2} \approx 10^{-5}\ см.$$

Если наблюдение проводят в белом свете, то под $k_{\max}$ понимают число цветных колец, а $\lambda$ берут равной $5{,}6 \cdot 10^{-5}$ см (длина волны зеленого света, к которому наиболее чувствителен наш глаз).

Темные кольца
Прозрачное пятно
$a)$
$1\ 2\ 3$
$I$
$AgI$
$Ag$
$A$
$C$
$B$
$Ag$
$б)$

2*

20

Погрешность измерения толщины слоя AgI методом Физо, как было показано выше, равна $\frac{\lambda}{4} = \frac{\lambda_0}{4n}$. Толщина слоя Ag в 4 раза меньше толщины слоя AgI, поэтому погрешность в определении толщины слоя сереба равна $\frac{1}{4} \cdot \frac{\lambda_0}{4n} = \frac{\lambda_0}{34,4}$.

Для оптово измерению толщины зеркального покрытия проще всего воспользоваться шариком из набора.elочных украшений. Такой шарик надо осторожно разбит на кусочки с размерами порядка $1 \times 1$ см. Можно использовать и обычное маленькое зеркало. Слой сереба в зеркалах обычно покрывают краской, но ее легко удалить ваткой, смоченной в скипидаре или ацетоне. Опытные можно проводить и с пластинками слюды, покрытыми тонким слоем сереба. Такие пластинки имеются в сложных конденсаторах emкостью 100—1000 $n\phi$.

Крупинки под можно найти в школьном кабинете химии. Для оптово подойдут крупинки размерами с маковое зернышко или несколько большие. Если крупинки под достаточно не удается, то можно воспользоваться настоящей пода. Спичку смачивают в настоящей пода, и после впитьвания растора отрезают кусочек длиной 1—1,5 мм. Его икладут на исследуемый слой сереба.

Если колбаца располагаются очень близко друг к другу, то следует воспользоваться луной. Колбаца видны более четко и сосчитать их легче, если расматривать картину через красное стекло.

У разжене

Показать, что толщина слоя сереба приблизительно в 4 раза меньше толщины слоя подистого сереба, если известно, что плотность сереба — 10,5.10$^3$ к$^2$/м$^3$, плотность подистого сереба — 5,73.10$^3$ к$^2$/м$^3$, атомный вес сереба — 107,8, молекулярный вес подистого сереба — 234,7.

У казан и е. Запишите реакцию образования подистого сереба и сравните объем, занимаемый прореагировавшим серебром, с объемом полученного подистого сереба. Средние площади сечения обихх слоев считать одинаковыми.

Задачи на делимость чисел

Ниже приведятся несколько задач, которые мы советумппробовать решить с помощью метода математической индукции. Этот метод зачастую позволяет решить многое задачи такого типа «в любе» и избавляет нас от пописков более «хитрых» решений. Правда, эти «хитрые» решения зачастую короче, но заато их труднее придумать!

Приведем сразу одно указание — индукцию прихождения иногда применять многоократно.

1. Докажите, что $n^3 + 5n$ делится на три, $n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n$ делится на четыре при любом натуральном $n$.

2. Докажите, что $4^n + 15n - 1$ делится на 9, $5^n - 4n - 1$ делится на 16, $7^n - 6n - 1$ делится на 36, $8^n - 7n - 1$ делится на 49, $(m + 1)^n - m \cdot n - 1$ делится на $m^2$ при любых натуральных $m$ и $n$.

3. Докажите, что $3^{n+1} + 2^{n+1}$ делится на 7, $5^{2n} - 3^n$ делится на 16, $5^{2n+1} + 3^{n+2}$ делится на 19 при любом натуральном $n$.

4. Докажите, что $n^2 - n$ делится на 2, $n^3 - n$ делится на 3, $n^5 - n$ делится на 5, $n^7 - n$ делится на 7, … $n^{p-1}$ где $p$ — простое число, делится на $p$ при любом натуральном $n$.

О. С. Берлянд, Б. О. Берлянд

21

Одиннадцать кругов

На четвертой странице обложки в круге размещены двадцать три круга. Положение каждой из них определяно точками касания либо с опорными окружностями, либо с опорными прямыми, либо друг с другом. Центры всех опорных окружностей лежат на вертикальном диаметре, точки их пересечения с этим диаметром — или крайние точки диаметра, или центр круга, или середина радиуса.

Одинаково окруженные круги кажутся конгрузентными, не так ли? Но, может быть, зрене нас обманывает? Во всяком случае, с помощью циркуля различение между ними установить не удалось. Так какое же выполняется равенство — точное или приближенное?

На рисунке 1 из рисунка с обложки удалены части, содержащие круги, явно конгрузительные оставшимися однозветным. Двенадцать кругов исчезло, оставшиеся пропусерованы. В том же порядке занутерем их радиусы. Ясно, что если удается провести доказательство гипотезы для кругов на рисунке 1, то его легко распространить на рисунок с обложки.

Проверку начем с желтых кругов. Пусть радиус наибольший из опорных окружностей равен R. Из рисунка 2 видно, что

$$\left(\frac{R}{4}\right)^2 + \left(\frac{R}{2} - r_1\right)^2 = \left(\frac{R}{4} + r_1\right)^2,$$

откуда $r_1 = R/6$. Аналогично из рисунка 3 получаем равенство

$$\left(\frac{R}{2} + r_2\right)^2 + \left(\frac{R}{2}\right)^2 = (R - r_2)^2,$$

из которого следует, что и $r_2 = R/6$. Теперь вы без труда докажете самостояльно, что $r_3 = R/6$.

А вот для того, чтобы докажать, что $r_4 = R/6$, теоремы Пифогора недостаточно; приходимся восполивать теоремой Стюарта: если в треугольнике со строконами a, b и c из вершины A к строконе a проведится отрезок длины d (рис. 4), который делит ее на отрезки m и n, mo

$$d^2 a = b^2 m + c^2 n - amn.$$

Доказательство теоремы Стюарта следует из равенств $c^2 = d^2 + m^2 - 2mp$ и $b^2 = d^2 + n^2 + 2np$, где p — проекция отрезка d на основание треугольника.

Радиус любого из белых кругов равен R/8. Чтобы докажать это для десятиого круга, можно рассмотреть прямуюугольный треугольник, выделенный красным цветом на рисунке 5.

Доказано почти все, остальное вы без труда сделайте самостояльно. А может быть, вы найдете другое доказательство?

В. Н. Березин

22

задачник кванта

Решения задач из этого номера можно посылать не позднее 1 августа 1975 г. по адресу: 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15, издательство «Наука», журнал «Квант». После адреса на конверте напишите, решения каких задач вы посылаете, например: «Задачник «Кванта», М326, М327» или «… Ф338». Решения задач по каждому из предметов (математике и физике), а также новые задачи просьба присылать в отдельных конвертах. Задачи из разных номеров журнала присылайте также в разных конвертах. В письмо вложите конверт с написанным на нем адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки ваших решений). Условия оригинальных задач, предлагаемых для публикации, присылайте в двух экземплярах вместе с вашими решениями этих задач (на конверте пометьте: «Задачник «Кванта», новая задача по физике» или «… новая задача по математике»). После формулировки задачи мы обычно указываем, кто предложил нам эту задачу. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Наиболее трудные задачи отмечены звездочкой.

Задачи

М326—М330; Ф338—Ф342

М326. Хорда окружности удалена от центра на расстояние $h$. В каждый из сегментов, стягиваемых хордой, вписан квадрат так, что две соседние вершины квадрата лежат на дуге, две другие — на хорде (рис. 1). Чему равняется разность длин сторон этих квадратов?

Э. Г. Готман

Рис. 1.

М327. В компании $N$ человек. Каждому из них нравится ровно $k$ людей из этой компании. При каком наименьшем $k$ можно утверждать, что обязательно найдутся два человека из этой компании, которые нравятся друг другу?

А. Колодин, ученик 10 класса
(г. Коломыя)

М328. По правильному тетраэдру ползают муха и два паука. Муха ползает только по ребрам, а пауки — по всей поверхности. Максимальная скорость мухи в 2 раза больше максимальной скорости пауков.

а) Докажите, что при любом начальном расположении пауки смогут поймать муху.

б) Верно ли это, если максимальная скорость мухи более чем в 2 раза превосходит максимальную скорость пауков?

в) Как изменится ответ, если разрешить паукам ползать только по ребрам тетраэдра? по всему объему

23

тетраэдра? (Муха по-прежнему двигается только по ребрам.)
О. Ефремов, ученик 9 класса (г. Ангарск)

М329. Выпуклый $n$-угольник помещен в квадрат его сторой 1. Доказите, что найдет три вершины $A, B, C$ этого $n$-угольника также, что площадь треугольника $ABC$ меньше $8/n^2$.
Г. Шмелев, ученик 10 класса (г. Ярославль)

М330. На плоскости расположены два выпukлых многоугольника $M_1$ и $M_2$. Обозначим через $M$ множество точек, в которых может попасть середина отрезка, один конец которого принадлежит $M_0$, второй — $M_1$. Доказите, что $M$ — выпukлый многоугольник.

a) Сколько сторон может иметь $M$, если $M_0$ имеет их $n_0$, а $M_1$ — $n_1$?
b) Каков может быть перimeter $M$, если perimeter $M_0$ равен $P_0$, а $M_1$ — $P_1$?
b)* Какова может быть площадь $M$, если площадь $M_0$ равна $S_0$, а площадь $M_1$ — $S_1$?

Н. Б. Васильев

Ф338. Два стержня из разных металлов с коэффициентами линейного расширения $a_1$ и $a_2$ при температуре $0^\circ C$ имеют малоразличнуюся длины $l_1$ и $l_2$ и поперечные сечения $s_1$ и $s_2$. При каких температуре стержни будут одинаковые a) длины? b) поперечные сечения? b) объемы?

Б. Б. Буховцев

Ф339. Теннисный мяч попадает на тяжелую ракетку и упруго отраскается от нее. Масса мяча много меньше массы ракетки, а скорость мяча до стольновения с ракеткой равна $v$ и составляет угол $\alpha = 60^\circ$ с перпендикуляром к ракетке. С какой постоянной скоростью должна построяться двигается ракетка для того, чтобы мяч отразился от нее под прямым углом к направлению движения? Как до, так и после стольновения с ракеткой мяч не врашается.

Ф340. Спутник Земли массой $m = 10$ кц, движущийся по круговой орбите в высоких слоях атмосферы, испытывает сопротивление разреженного воздуха. Сила сопротивления $F = 5 \cdot 10^{-4}$ н. Определьть, насоклько изменится скорость спутника за один оборот вокруг Земли. Высоту полета спутника над поверхностью Земли считать малой по сравнению с радиусом Земли.

С. М. Козел

Ф341. В простейшей схеме магнитного гидродинамического генератора плоский конденсатор с площадью пластин $S$ и расстоянием между ним $d$ помещен в поток проводящей жидкости с удельной проводимость σ. Жидкость движется с постоянной скоростью $v$ параллельно пластинм. Конденсатор находится в магнитном поле с индукцией $B$, направленной перpendикулярно скорости жидкости и параллельно плоскости пластин. Какая мощность выделяется во внешней цепи, имеющей сопротивление $R$?

Ф342. Найти заряд конденсатора 2 (рис. 2), если $C_1 = C_2 = C_3 = C$. Э. д. с. источника $E$, внутреннее сопротивление источника $r$.