Квант 1975, №11 · Страницы

1975
11

Квашт
Научно-популярный
физико-математический
журнал

Весоюзная
олимпида школьников
по физике

Председатель Оргкомитета олимпиды
академик И. К. Кикоин со школьниками

Участики олимпиды на экспериментальном
тype

Главный редактор
академик И. К. Кикоин
Первый заместитель
главного редактора
академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:
М. И. Башмаков
С. Т. Беляев
В. Г. Болтянский
Н. Б. Васильев
Ю. Н. Ефремов
В. Г. Зубов
П. Л. Капица
В. А. Кириллин
(главный худомскик)
А. И. Климанов
С. М. Козел
(зам. главного редактора)
В. А. Лешковцев
Л. Г. Макар-Лиманов
А. И. Маркушевич
Н. А. Патрикеева
И. С. Петраков
Н. Х. Розов
А. П. Савин
И. Ш. Слободецкий
(зам. главного редактора)
М. Л. Смолянский
Я. А. Смородинский
В. А. Фабрикант
А. Т. Цветков
М. П. Шаскольская
С. И. Шварцбург
А. И. Ширшов

Редакция:
В. Н. Березин
А. Н. Виленкин
И. Н. Клумова
(художественный редактор)
Т. М. Макарова
Т. С. Петрова
В. А. Тихомирова
(зав. редакцией)
Л. В. Чернова

В НОМЕРЕ:

2 Я. М. Гельфер, В. А. Лецковце. Андре-Мари Ампер
12 М. Г. Кач. О плоских правильных графах
16 Е. Г. Николаев. Равноправны ли все цифры?
21 В. Н. Ланде, Т. И. Ланде. К механике буерного спорта
Лаборатория «Кванта»
22 М. П. Головой. Отражательные поляризаторы
Математический кругок
26 Г. А. Тоноян. Одаза задача о расположении точек
Задачик «Кванта»
30 Задачи М351—М355; Ф363—Ф367
32 Решения задач М314, М316, М317; Ф322—Ф327, Ф329
Практикум абитриента
45 С. В. Романов, И. Ф. Шарыцин. Алгебраческий метод решения геометрических задач
50 С. М. Козел. Физические аналогии
56 Л. И. Воронин и др. Завод-втуз при Московском авто-mobильном заводе им. И. А. Лихачева
IX Всесоюзная оптимизация школьников
60 В. Л. Гутенахер. Олимпида по математике
62 Т. С. Петрова, Л. В. Чернова. Олимпида по физике
Рецензии, библиография
68 В. А. Рудов. Жизнь науки
70 Спрашивайте — ответаем
Информация
71 А. В. Чернавский. Олимпида в МИИТе
«Квант» для младших школьников
72 Задачи
73 Е. Е. Семенов. Точка, пряма… — что это такое?
75 Ответы, указания, решения
Смесь (с. 11, 20, 29, 44)

На первой странице обложки вы видите обыкновенное пласт-mассовое лекало. Но сформирафицирован оно в поляризованном свете. Этот и обясняется его красивая интерференционная окраска. О том, как можно наблюдать поляризацию света, рассказывается в стате «Отражательные поляризаторы» (см. с. 22).

© Главная редакция физико-mатематической литературы издательства «Нука», «Квант», 1975 200.

2

В этом году исполнилось 200 лет со дня рождения великого французского ученого Андре-Мари Ампер. В истории науки он известен главным образом как основоположник электродинамики. Между тем он был универсальным ученым, имеющим заслуги и в области математики, химии, биологии, и даже в лигвистике и физиофии. Это былlectraционный ум, поражавший своими энциклопедических знаниями всех близко значших его людей. Но наиболее прочно имя Ампера вошло в историю физики, что нашло свое отражение в таких терминах, как «ампер» — для единиц силы тока, «закон Ампера», «сила Ампера» и т. д.

Сам Ампер был большим мастером изобретать новые научные термины. Именно он ввел в обиход ученых такие слова, как «электростатика», «электродинамика», «соленид». Интересно также отметить, что, занимаясь важной проблемой наученения — вопросом классификации наук, Ампер высказал мысль о том, что в будущеем, верятно, возникнет новая наука об общих закономерностях процессов управления. Он предложил именно ее «кибернетикой».

Предвидение Ампера оправдалось. В настоящее время такая наука существует и носит предложенное им название.

Свою родословную Андре-Мари Ампер ведет от лингвистических remesленников. Его отец Жан-Жак Ампер вместе со своим братыми торговал лингвистики шелками. Он получил хорошее образование, неплохо владел древним языкам и старался быть в курсе всего, чем учили великие французские просветители XVIII века. У него была прекрасная библиотека, составленная из сочинений известных философов, писателей и ученых.

В возрасте 38 лет Жан-Жак Ампер вступил в брак с Жанной Сарсе, dochерью одного из крупных лингвистических торговцев. Андре-Мари Ампер родился 22 января 1775 года. Детство его прошло в небольшом помеще Полемье, купленном Жан-Жаком в окрестностях Лиона.

Исключительные способности Андре проявились еще в раннем возрасте. Чтению и аргументы с выучился очень быстро. Читал он все подряд, что находил в отцовской библиотеке. Биографы Ампера рассказывают, что свсе увлечение чтением юный Андре

3

скрывал от отца. Однажды, забравшись в его кабинет, он с любопытством стал рассматривать обемные тома знаменитой «Энциклопедии», подготовленной Дидро и Даламбером. За этим занятием и застал его отец. «Что ты читaelь, Андре?» — спросил он. «Я читаю статью об aberрации» — ответил мальчик, который в ту пору было 11 лет. «Но что же ты понимаешь в этом?» — снова спросил отец. И Андре без тени смущения изложил ему суцность этого сложного явления.

Поверив в исключительные способности сына, отец открыл ему свободный доступ в свою библиотеку. Андре жадно читал «Энциклопедию» том за томом, и перед ним раскрывались необъявные горизонтны науки. Такое чтение, хотя оно и было лишено определенной системы, не прошло бесследно: именно в этот период у юного Андре появился настоящий интерес к различным областям человека. Он никогда не ходил в школе и не прошел обязательного классического курса обучения, который систематически знакомит детей с основами наук. В свои детские годы он знал очень многое. Но эти знания были разрознеными, в них были существенные проблемы.

Особый интерес Андре проявлял к физico-mатематическим наукам. Но как раз в этой области отцовской библиотеки явно не хватало, и Андре начал посещать библиотеку Линонского колледжа, чтобы читать труды великих математиков — Эйлера, Бернулли, Лагранжа. Однако многие из этих трудов были написаны пользовиными, который он не владел. Несколько месяцев ушло на изучение этого языка, причем он изучил его почти самостояльно и настолько хорошо, что без труда смог постчь сочинения классиков математики и физики XVII—XVIII веков.

Родители пригласили к Андре учитель математики. Уже при первой встрече он понял, с каким необыкновенным учеником имеет дело. «Знаешь ли ты, как производится извлечение корней?» — спросил он Андре. «Нет, ответил мальчик, — но заго я умело интерпровать!». Вскоре учитель отказыл от уроков, так как его знаний явно не хватало для обучения такого ученика.

История науки знает аналогичные случаи, когда великие учены не получили систематического школьного образования в силу тех или иных причины. Тем не менее их природный ум, страстное стремление к знаниям, трудолюбие делали свое дело. В качестве примера можно вспомнить таких знаменитых самоучек, как Фарадей и Эдиссон.

Изучение трудов классиков математики и физики было для юного Ампера творческим процессом. Он не только читал, но и критически воспринимал прочитанное. У него возникали свои мысли, свои оригинальные идеи. Именно в этот период, в возрасте 13 лет, он представил в Линонскую академию свои первые работы по математике.

Наступил 1789 год. Началсь Великая французская буржуазная революция. 14 июлятуром была взята Бастлия, символ королевской власти Бурбонов. Эта весть быстро дошла и до Лиона. Андре воспринял ее как известное о настоящей новой эпохи, о котором мечтали просветители. XVIII века. Однакоревощные события сыграли трагичесу роль в жизни Ампера. В 1793 году в Лионе вспыхнул мятеж, который вскоре был подавлен. За сочувствие математикам был обезглавлен Жан-Жак Ампер. Смерть отца Андре переживал очень тяжело; он надолго выбился из привченной колен и был близок к потере расудка. Лишь год спустя он с трудом обрела душевное равновесие и смог вернуться к своим занятиям.

Казнь отца имела и другие последствия. По приговору суда почти все импущество семьи было конфисковано, и ее материальное положение резко ухудшилось. Андре пришлось думать о средствах к существованию. Он ре-

4

шил пересилиться в Лион и давать частью уроки математики до тех пор, пока не удался устроиться шатным преподавателем в какое-либо учебное заведение.

Этот период жизни Ампера сыгral большую роль в его развития как ученого. В Лионе он познакомился с любозначательными молодыми людьми, такими же поклонниками науки, как и он сам, и споры с ними на научные темы во многом способствовали развитие его интеллекта. Андре много занимался с учениками, много читал. Его работу день начиная в честь часа утра — нужно было успеть выполнить общинуную программу.

В 1799 году Ампера женился на Катрин Каррон. В следующем году у них родился сын. Это радостное событие было означено более быстро Катрин. Расходы на жизнь неуклонноросли. Несмотря на все страния и экономию, средств, заработанных частными уроками, не хватало. Наконец, в 1802 году Ампера пригласили преподавать физику и химию в Центральную школе старинного провинциального города Бурк-ан-Бреса, в 60 километрах от Лиона. С этого момента началась его регулярия преподавательская деятельности, продолжавшаяся всего же жизнь.

Ампера мечтал перестроить традиционное преподавание курса физики. Вместо изложения разрозненных фактов и гипотез, теории и экспериментов он хотел развернуть перед случаем шателейми градинозну картину мироидания, где все взаимосвязано и взаимосвязанно. Но это только мечты. Скучные преподаватели-чиновники, убогая лаборатория и бедный физический кабинет, повседневные будние заботы — вот реальная действительность, которое он нашел в Буркан-Бресе. Однако он много работал, восполнял пробелы в своих знаниях. Вместе с тем его покидала возникда возвратиться в Лион к жене и сыну. И вскоре она ссущетилась.

Назревали перемены в школьном образовании. В старой королевской Франции большиство учебных заведений находилось под руководством и влиянием духовенства. Французская реполюция смела эту систему. Была проводглашена ия всеобщого образования, освобождания преподавания от церковного догматизма, и установлена трехстепенная система образования: начальное, среднее и высшее. В каждом департаменте учреждались лице, дающие среднее образование с практическим уклоном. 4 апреля 1803 года Ампера был назначен преподавателем математики Лионского лице. Счастливым он возвратился в Лион, но вскоре тяжёлый удар обрушился на Ампера — умерла его жена.

В конце 1804 года Ампера покинул Лион и переехал в Париж, где он пслучил должность преподавателя знаментийной Политехнической школи. Эта высшая школа организация в 1794 году и вскоре стала национальной городской Франции. Основная задача школа заключалась в подготовке высокообразованных технических специалистов с глубокими знаниями физико-mатематических наук. Средние ее преподавателей были также известные учены, как Лагранж, Монж, Бертолле. Недвижительное, что и среди питомцев Политехнической школи мы встречаем именно прославленных учены и инженеров, таких как Френель, Гей-Люссак. Клапейрон, Понселе, Араго, Дюлонг.

В Париже Амперачевовал себя однокомм. Он находился всеSELо во властии восполнимой о своей недолой счастливой жизни. Это — главная тема его писем к родным и друзьям. Он и ранее ссылался на рассерянным человеком. Телер је эти черты его характера стали еще более заметными. К ним прибавились чрезмерная неуравновешенность. Все это мешало ему хорошего излагаать своим случаем материл, который он в действительности владел превосходно.

Несоклько важных событий в жизни Ампера в это время

5

ма: в 1806 году он вступил во второй брак, в 1807 году был назначен профессором Политехнической школе, в 1808 году новое назначение — главным инспектором университетов. Все это улущило его материальное положение и принесло неокоторое услоокение, но ненадолго. Второй брак был очень неудачным, его новая жена Женини Пото оказалась весомной и ограниченной особой. Амперарилам много усилий, чтобы как-то примириться с ней во имя дочери,рожденной от этого брак. Однако эти усилия оказались тщетными. К переживаниям на этой почве прибавились новые — в 1809 году скончалась мать Амперара, безграничную преданность и доброту которой онощущал все годы. Эти печальные события не могли не сказаться на его научной деятельности. Тем не менее в период между 1809 и 1814 годами Амперара опубликовал несколько ценных работ по теории рядов.

Лишь одно приятное событие этого времени утешило Амперара. В 1813 году во Францию с научной целью приехал знаменитый английский химик Дэви в сопровождаении свесо ассистента Фарадея. Между Дэви и Ампераром состоялась встреча, на которой обсуждались главным образом химические проблемы. Амперар изложил знаменитому ученому неокоторые из своих новых идеи, которые тот воспринял с интересом и пониманием.

Время расцвета научной деятельности Амперара приходится на 1814—1824 года и связано главным образом с Академией наук, в числе членов которого с был избран 28 ноября 1814 года за свои заслуги в области математики.

Какие же научные проблемы волновали Амперара в это время? Практически до 1820 года его основные интересы исследования на проблемы математики, механики и химии. Вопросами физики в это время с занимался очень мало: известны лишь две работы этого периода, исследенные оптике и молекулярно-кинитическую теорию газов. Что же касается математики, то именно в этой области он достиг результата, которые и дали основание выдвинуть его кандидатуру в Академию по математической отделению.

Амперар всегда рассматривал математики как мощный аппарат для решения разнообразных прикладных задач физики и техники. Уже его первая опубликованная математическая работа, посвященная теории вероятностей, носила по существу прикладной характер и называлась «Сообщения о математической теории игры» (1802 г.). Вопросы теории вероятностей интересовали его и в дальнейшем.

В исследовании многохпроблем физики и механики большое значение имеет так называемые дифференциальные уравнения в частих произвольных. Решение таких уравнений связано со значительными математическими трудностями, над предолением которых работали крупнейшие математики. Свой вклад в математической физике, как называют этот раздел науки, внес и Амперар. Только в одном 1814 году он выполнил несколько ученых. К его достижением в области химии следует отметить открытие, независяimo от Авогадро, закона равенства молярных объемов различных газов, который по праву следует назвать законом Авогадро — Амперара, а также первый попытку классификации химических элементов на основе сопоставления их свойств. Но не эти исследования, интересные сами по себе, и не его математические работы сделали имя Амперара знаменитым. классиком науки, всемирно известным ученым он стал благодарной своим исследованием в области электроннаяизма.

6

Электрические и магнитные явления к началу XIX века во многом еще представлялись тинстевными, природа их была не ясна. Учены были знакомы лишь со свойством статических зарядов и с постоянными магнитами. Все обнаруженные на опите электрические и магнитные явления объяснялись как результат действия особых электрических и магнитных жидкости («флюидов»). Так, например, петербургский академик Эпинус в своем труде «Ольт теории электричева и магнитизма», изданном в 1759 году, писал:

«Существует жидкость, производающая все магнитные явления, которое позволяет назвать магнитной. Эта жидкость чрезвычайно тонка, может проходит через любые перы в телах; ее частицы, как и частицы электрической жидкости, взаимно отталкивают друг друга. Эта жидкость в большей части других тел, обнаруживаемых в мире, не вызывает никаких реакций; она не приятается и не отталкивается им. Однако существует определенный ряд тел, части которых принятыют магнитную/material и его принятыются; телом, наделенным таким свойством, является преждевое железо, а затем все тела, именуемые железыми…».

Единостенной количественной характеристикой электрических и магнитных явлений был закон Кулона, открытый в конце XVIII века.

Прогресс наметился только после того, как впервые был получен электрический ток. В 1800 году Волта изобрел первый источник тока, который был назван волтовым стольом. Весь об этом изобретении вызвала огромный интерес в научном мире. Наполеон пригласил ильянского физика в Париж, чтобы тот повторил свои опыты перед избранной аудитории. Там же Волта быстроил с докладом, в котором высказал мысль о тождественной природе статического электричества и электрического тока — «движущого электрического» го флюида», по терминологии того времени.

Многочисленные опыты показали, что электрический ток способен вызывать различные эффекты — тепловые, химические, световые. Естественно было также предположить, что должна существовать связь между электрическством и магнитизмом, отплавшаяся учеными на протяжении нескольких столетий. В начале XIX века многое учены предпринимали попытки сбнаржить эту связь. Искал ее и датский профессор физики Ганс-Христан Эрстед. Еще в 1807 году он объявил о своем намерении исследовать действие электрического тока на магнитную стрелку. Однако в течение многих лет эксперименты, подтверждавшие существование такого действия, ему не удавались. Только в 1820 году, поместив магнитную стрелку параллельно проволоке, соединяющей два конца волтова стольба, он воочию увидел то явление, которое ждал столько лет: под влиянием тока в проводнике стрелка отклонилась с своего собычного направления. Так было открытоFundamentальное явление, положившее начало электридинамке.

В июле 1820 года Эрстед опубликовал свое открытие в небольшой статье под названием «Ольт теории электрического конфикта на магнитную стрелку». «Электрическим конфиктом» он назвал электрический ток.

Месцц спустя опыты Эрстеда построил в Женеве шевейцарский физик Огюст де ла Рив. При демонстрации присутствовали многое учены и средних — знаменитый французский физик Араго. По возврашении в Париж Араго на двух заседанных Академии наук сделал об этом доклад и воспроизведел опыты Эрстеда. Свой доклад он начал следующими словами: «Господа, профессор в Копенгаген Эрстеду удалось сделать прекрасное открытие…, котороечеваго таким последствиями, которые сейчас еще не в состоянии предустретить пытливый, но ограничи-

7

ченный человекский ум…». Взволновано слушал докладчика Ампер, забывший в этот момент свои математические проблемы. Физика — вот чем сейчас следует занять! Ведь опыты Эрстеда подтверждают то, о чем он думал еще в Бурк-ан-Бресе — единство сил приоды, взаимосвязь явлений.

Ампер был, главным образом, теоретиком и редко обращался к экспериментам. Но он понял, что серверное исследование электромагнитных явлений невозможно без постановки опыта, которые должны подвергнуть или опровергуть его идеи. Однако средств на эти опыта Академия наук не опустила. Ампер пришлось нанять слесаря, который изготовил все необходимое за его счет. Многое было сделано и самим Ампером. Прежде всего он повторил опыта Эрстеда, пытаясь глубже понять природу открытого датским физиком явления. Опытным путем он доказал, что статистическое электричесво не действует на магнитную стрелку. Только движущеся электричесво — электрический ток — в состоянии вызывать такой эффект. «В чем же причина этого явления? — задал себе вопрос Ампер. — Почему проводник с током действует на магнитную стрелку?».

Естественно было бы предположить, что электричесный ток, проходя по проводнику, превращает его в магнит. Так и считали многое физики, в частности, известный французский физик Био. Ампер придерживался иной точки зрения. Он высказал генеральную идею: единственный принцип действия проводника с током на магнитную стрелку является движущеся электричесво; магнетизм—лишь одно из его многочисленных проявлений. Не проводник, по которым течет ток, становится магнитом, а наоборот, магнит представляет собой совокупность токов. В магните есть множество элементарных круговых токов, текущих в плоскости, перепедикулярных его сси.

Гипотеза Ампера по тем временам казалась исключительно смелой и неправодополенной, поэтому она была встречена учеными весы критических.

Новый взгляд на природу магнитных явлений вознику у Ампера в результате целой серии экспериментов. Уже в конце первой недели направленного труда он сделал открытие не менеешей важности, чем Эрстед — открыл взаимодействие токов. Если два налекторизованных тела взаимно приятigiрованются или отталкиваются, то не будут ли аналогично вести себя проводника, по которым течет ток? Ампер расположил параллельно прямолинейные участки двух проводников, соединяющих концы двух столбцов Волга. Один проводник закрепил, другой сделал подвижным (рис. 1). Пропустив через проводники ток, он наблюдается из взаимодействие: при одинаковых направлениях токов они приятigiрованны, при противоположных — отталкивающихся. Оказалось также, что силы, действующие между проводниками с током, не являются центральными, то есть радиальное отличия от электростатических сил. Столь резкое отличие проявлен статического электричесва и электрического тока Ампер предложил отразить и в соответствии терминах. Область явлений, связанных с покоями电磁истики зарядами, он называл электростатикой, а с движущимися зарядами — электродинамикой.

Прошла еще одна неделя. Ампер произвел новые опыты, развивошие и подтверждало его идеи. Если магнит представляет собой систему круговых параллельных токов, направленных в одну сторону, то спираль из металлической проводки, по которой проходит ток, должна вести себя как магнит — имеет два полюса и принимаать определенное положение под воздействием магнитного поля Земли (рис. 2—3). Эксперимент подтверждил эти предположения.

О полученных результатах Ампер сразу же сообщил в Академию. В до-

8

Рис. 1. Прибор для изучения взаимодействия проводников с током. АВ — неподвижный проводник, EDF — подвижный проводник, укрепленный на стеклянной оси EF. Для защиты от воздействия колебаний прибор накрыт стеклянным колпаком. (Рисунок Ампера)

Рис. 2. Первый прибор для исследования влияния магнитного поля Земли на соленoid. АВ — соленoid, намотанный на тонкую стеклянную трубку и подвешенный подобно стрелке компаса. Прибор оказывается недостаточно подвижным, и ожидаемый эффект зарегистирован не был. (Рисунок Ампера)

Рис. 3. Прибор для исследования влияния магнитного поля Земли на виток с током. ABCD — подвижный виток с током. Второй (неподвижный) виток больше радиуса фиксированал вертикальную плоскость, перpendикулярную к магнитномуMerдиану в данной точке. При включении тока виток ABCD поворачивался до совпадения с неподвижным витком. (Рисунок Ампера)

9

кладе, сделанном 18 сентября 1820 года, он продемонстрировал свои первые опыты и заключил их следующими словами: «В связи с этим я свел все магнитные явления к чисто электрическим эффектам». На заседании 25 сентября он развил эти идеи далее, демонстрируя опыты, в которых спирали, обтекаемые током (соленoidы), взаимодействовали друг с другом как магниты.

Новые идеи Ампера были поняты далеко не всему ученым. Не согласился с ним и некторые из его именных коллег, в том числе и Био. Выступив против существования магнетизма как самостоятельного явления, Ампера перечеркнул тем самым и теории Био, согласно которой магнит состоит из совокупности элементарных микросоппических магнитников, каждый из которых по своим свойствам подобен большому магниту. Теория эта по существу ничего не объясняла, она лишь переводила вопрос о природе магнетизма с большого куска намагниченного металла на его крокотные части. Био и его стороныки стремились доказать, что в опытах Ампера нет ничего принципиально нового, что все они по сутки делая — лишь варянты опыта Эрстеда.

Современники рассказывают, что после первого доклада Ампера о взаимодействии проводников с током произойдет следующий эпизод. «Что же, собственно, нового в том, что вы нам сообщили? — спросил Ампера один из его противников. — Само собой ясно, что если два тока оказывают действие на магнитную стрелку, то они оказывают действие и друг на друга». Ампера не сразу нашелся, что ответить на это возвращение. Но тут на помощь пришел Араго. Он вынул из кармана два ключа и сказал: «Вот каждый из них тоже оказывает действие на стрелку, однако же они никак не действуют друг на друга, и потому ваше заключение ошибочно. Ампера открыл по существу новое явление, куда больше значения, чем открытие уважаемого мной профессора Эрстеда».

Несмотря на нападки своих научных противников, Ампера продолжал свой эксперимент. Он решил найти закон взаимодействия токов в виде строгой математической формулы и нашел этот закон, который носит теорь его имя. В самом общем виде выражение для величины силы, действующего со стороны малого отрезка проводника $\Delta l_1$, по которой течение ток с силой $I_1$ (первого элемента тока), на произвольное расположенный отрезок $\Delta l_2$ другого проводника с током $I_2$ (второй элемент тока), имеет следующий вид:

$$F_{12} = k \frac{I_1 \Delta l_1 \sin \alpha_1 I_2 \Delta l_2 \sin \alpha_2}{r_{12}^2}.$$

Здесь $r_{12}$ — абсолотная величина вектора $r_{12}$, направленного от первого отрезка ко второму (см. рис. 4). Направление векторов $\Delta l_1$ и $\Delta l_2$ совпадает с направлениями текущих по ним токов; $\alpha_1$ — угол между векторами $\Delta l_1$ и $r_{12}$, $\alpha_2$ — угол между векторами $\Delta l_2$ и $n$ — перpendикуляром к плоскости, содержащей $\Delta l_1$ и $r_{12}$. Направление $n$ совпадает с поступательным движением буравики привращении его рукойки от $\Delta l_1$ к $r_{12}$. $k$ — коэффициент, зависит от выбора системы единиц. Сила $F_{12}$ перpendикулярна вектору $\Delta l_2$ и лежит в плоскости, содержащей $\Delta l_1$ и $r_{12}$. При этом направление силы определяется правилом буравики: при

10

вращения его рукойки от $r_{12}$ к $n$ поступательное движение буравика совпадает с направлением силы $F_{12}$.

Эту же формулу можно переписать в более привычном для школьников виде:

$$F = 1 \Delta l B \sin \alpha,$$

где $B$ — величины магнитной индукции, создаваемой одним элементом тока в том месте, где находится другой, исследуемый элемент тока.

Так шаг за шагом в работах Ампера выразла новая наука — электродинамика, основанная на экспериментах и математической теории. Все основные идеи этих науки, по выражению Максвелла, по сути дела «вышли из головы этого Ньютона электричества» задее недели.

С 1820 по 1826 год Ампер публикует ряд теоретических и экспериментальных работ по электродинамике и почти на каждом заседании физического отделения Академии выступает с докладом на эту тему. В 1826 году выходит из печати его итоговый классический труд «Teория электродинамических явлений, выведенная исключительно из опыта». Работа над этой книгой проходила в очень трудных условиях. В одном из писем, написанных в это время, Ампер сообщал: «Я принужжен читением двух курсов лекций, я тем не менее не хочу полностью забросить мои работы о волтанческих проводниках и магнитах. Я располагаю считанными минутами». Здесь речь идет о lekциях Ампера по вышей математике, которые привлекали многочисленные случаи. Однако из них в 1822—1824 года был молодой математик из России Михал Васильевич Ostropradский.

Слава Ампера быстро росла; особенно лестно ученые отзывались о его экспериментальных работах по электромагнитизму. Его посещали знаменитые физики, он получил ряд приглашения из других стран выступить с докладами о своих работах. Но здоровье его было подорванно, неустойным было и материальное положение. Его тяготила работа в Политехнической школе и испекторские обязаности. Он по-прежнему мечтал читать курс физики, а не математики, и читать нерадициноно, включив в курс новый раздел — электродинамику, твором которого он сам являлся. Наболее подходящим местом для этого было одно из старейших учебных заведений Франции — Коллекж де Франс. Основанное еще в 1530 году, это учреждение как бы соемещало в себе функции учебного и научноисследовательского институтов. Здесь были все условия для плодотворной творческой деятельности. После многих непряняностей и интугг в 1824 году Ампер был избран на должность профессора Коллекж де Франс. Ему предоставили кафедру общеей и экспериментальной физики.

Как видно из письем, которые Ампер писал в этот период, он был чрезвычайно рад своему избранному. Правда, эту радость орачала необходимость времени выступать против порядков, царивших в институте. Особенно возмущали Ампера интугги, возникавшие при выборе кандидатов на освобождениеся важных. Он всегда был нетерпим по отношению к файли и неправедливости. Тем более он не мог оставаться равнойшным, когда личные интересы, погоня за высокими титулами и званяями заслония подлинную научную ценность кандидатов.

Закончики наиболее плодотворный период деятельности Ампера. В 1831 году Фарадей открыл явление электромагнитной индукции. В разработку электродинамики включились многое выдающейся физики середины XIX века — Вебер, Ф. Нейман и К. Нейман, Видeman, Ленц и другие. Полное завершение она получила в классическом труде Максвелла «Трактат об электричестве и магнитизме», вышедем в свет в 1869 году.

Посление годы жизни Ампера была омрачены многими семейными и

11

Задание
наших читателей

1. Докажите, что число
   $$1 + \frac{111 \ldots 111}{n} \times \frac{222 \ldots 222}{n} \times \frac{333 \ldots 333}{n - 1} \times \frac{333 \ldots 333}{n - 1}$$
   является квадратом натурального числа.

A. Гулцев

2. Докажите, что $a^{2n} - 1$ делится на $2^{n+2}$, если $a$ — нечетно.

H. Черепинский

3. Докажите, что
   $$7^{7777} - 7^{777}$$
   делится на 1 000 000.

M. Штеребер

4. Найдите четыре натуральных числа, образующих геометрическую прогрессию, члены которого является делительми суммы
   $$25^{1975} + 79^{1975}$$

Ю. Крьлов

Другим увлечением Ампера была классикация наук. Эта важная в методологическом и общеначном плане проблема интересовала Ампера давно, еще со времен его работы в Бурк-ан-Бресе. Он разработал свою систему классификации наук, которое намервался изложить в двухтомном соцининини. В 1834 году вышел первый том «Опытаta философия наук или анализческого изложения естественной классификации всех человека знаний». Второй том был издан сыном Ампера уже после его смерти.

Ампера умер от воспаления легких 10 июля 1836 года в Марселе, во время инспекционной поездки. Там же он и был похоронен. В 1869 году его прав был переведен в Париж на Монмартрскоеkladбище. На его надгробном памятнике высечены следующие слова: «Он был так же добр и так же прост, как и велик».

12

О плоских правильных графах

М. Г. Кац

Начнем с определений.
Графом называем конечное множество точек и соединяющих их кривых на плоскости (эти точки будем называть вершинами, а кривы — ребрами).
Будем рассматривать графы, обладающие следующим свойствами:

1. ребра графа не пересекаются (графы, обладающие этим свойством, называются плоскими);
2. никакие две вершины не соединены более чем одним ребром;
3. любые две вершины графа соединены звеном ребер (такой граф называется связным);
4. каждое ребро соединяет две разные вершины.

Если разрезать плоскость по ребрам графа, то она распадется на несколько частей — граней графа. Неограниченно часть будем называть внешней граью. Остальные грани — внутренние.

Грань называется $n$-реберной, если число ребер, встречающихся при обходе грани вдоль границ, равно $n$. Пример. На рисунке 1,a грань всего одна — внешняя шестипереберная, на рисунке 1,6 — две грани: внутренняя трехпереберная и внешняя трехпереберная.

Ребро называется внешним (соответственно внутренним), если при обходе внутренних граней графа оно встречается соответственно один или два раза. Пример. На рисунке 2 ребро $a$ — внешнее, ребро $b$ — внутреннее; на рисунке 1,a нет ни внешних, ни внутренних ребер.

Обозначим через $B$, $P$ и $\Gamma$ соответственно число вершин, ребер и всех граней графа, включая внешнюю. Эти три величины связаны известной формулой Эйлера$^*$

$$B - P + \Gamma = 2.$$

Обозначим через $a_i$ число $i$-реберных граней, включая и внешнюю. Тогда справедливо такое соотношение:

$$2P = 3a_3 + 4a_4 + 5a_5 + \dots$$

Докажите это самостояльно.

Поскольку $\Gamma = a_3 + a_4 + \dots$, то соответствие (1) можно записать в виде

$$2P = 3\Gamma + a_4 + 2a_5 + \dots,$$

или

$$\Gamma = \frac{2}{3}P - \frac{1}{3}(a_4 + 2a_5 + \dots).$$

Подставив это значение $\Gamma$ в формулу Эйлера, получим

$$B - P + \frac{2}{3}P - \frac{1}{3}(a_4 + 2a_5 + \dots) = 2,$$

*) См. «Квант», 1974, № 8.

13

$$3B - P = 6 + \sum_{i=1}^{i+3} i a_{i+3}.$$

Назовем степенью $\deg V_i$ вершины $V_i$ число ребер, выходящих из этой вершины. Так как каждое ребро соединяет две вершины, то $\sum_{i=1}^{i+3} \deg V_i = 2P$.

Введем величины $\deg V$, называемую средней степенью графа:

$$\deg V = \frac{\sum_{i=1}^{i+3} \deg V_i}{B}.$$

Из определения вытекает, что $\sum_{i=1}^{i+3} \deg V_i = B \deg V$, то есть $2P = B \cdot \deg V$, откуда $P = \frac{1}{2} B \cdot \deg V$.

Подставив это выражение для $P$ в формулу (2), получим

$$3B - \frac{1}{2} B \cdot \deg V = 6 + \sum_{i=1}^{i+3} i a_{i+3},$$

или

$$B \cdot (6 - \deg V) = 12 + 2 \sum_{i=1}^{i+3} i a_{i+3}.$$

Таким образом, средняя степень графа всегда меньше 6, но она может быть сколько угодно близка к 6 — доказите это.

Назовем граф $n$-угольник, если из каждой его вершины выходит одинаковое число ребер. Очевидно, что средняя степень правильного графа равна числу ребер, выходящих из каждой вершины (будем назвать ее просто степенью правильного графа).

Из формулы (3) вытекает

Теорема 1. Степень правильного графа не превозходит 5.

Нибольное интересный тип правильных графов — это графы степени 5. Посмотрим, сколько вершин может иметь правильный граф степени 5.

Очевидно (см. формулу (3)), что меньше 12 вершин у правильного графа такой степени быть не может. Правильный граф с 12 вершинами действительное существует и представляется собой проекцию икосаэдра на плоскость (рис. 3). Из четности же произведения $B \cdot \deg V = 2P$ получаем, что графов степени 5 с нечетным числом вершин не существует.

Сейчас мы опишем способ построения правильных графов с любым четыREM числом вершин (не меншим 12), кроме графов с 14, 18 и 22 вершинами. О графах с 14 и 18 вершинами см. замещение в конце статы; граф с 22 вершинами изображен на рисунке 4.

Возьем выпуклый $n$-угольник $A = (A_1, A_2, \dots, A_n)$. Внутри него помещим $n$-угольник $B = (B_1, B_2, \dots, B_n)$. Соединив середины соседних сторон $n$-угольника $B$, получим $n$-угольник $C = (C_1, C_2, \dots, C_n)$, где $C_i$ — середина $B_i B_{i+1}$, $i = 1, 2, \dots, n-1$; $C_n$ — середина $B_n B_1$.

Рис. 3.

Рис. 4.

14

Рис. 5.

Соединив середины соединих сторон $n$-угольника $C$, получим $n$-угольник $D = (D_1, \dots, D_n)$, где $D_i$ — середина $C_{i-1}C_i$, $i = 2, \dots, n$; $D_1$ — середина стороны $C_nC_1$. Соединив теперь $A_i$ с $B_i$, $B_{i+1}$ и $C_i$, а $B_i$ — с $D_i$, получим граф степени 5 с $4n$ вершинами. Пример построения графа с 20 вершинами (для $n = 5$) избражен на рисунке 5.

Покажем теперь как к уже построениюу графу с $4n$ вершинами можно добавить еще 2 вершины.

Уберем одно из внешних ребер графа с $4n$ вершинами. Телерь в графе есть две вершины, из которых выходит по 4 ребра — на рисунке 6 это вершины $A$ и $B$. Выберем точку на несоседнем ребре—точку $C$, и соединим ее с вершинами $A$ и $B$. К вершинам исходного графа добавилась вершина $C$, из которого выходит 4 ребра. Уберем еще одно внешнее ребро и аналогично построим точку $C'$. Соединив точку $C$ с точкой $C'$, получим новый граф степени 5, у которого уже на 2 вершины больше, чем у исходного (см. рис. 6).

Заметим, что описанное добавление двух вершин к графу с $4n$ вершинами возможно лишь в том случае, когда у исходного графа не меньше шести внешних ребер (позмоту-то наша конструкция и не дает способа построения для графов с 14, 18 и 22 вершинами).

Итак, доказана.

Теорема 2. Число вершин правильного графа степени 5 можно быть

15

две неконцевые точки любых двух несовпадающих ребер этой грани. Тем самым теорема 3 для графов степени 3 доказана.

2°. Графы степени 4. Из формулы (3) получаем, что у правильного графа степени 4 не менее шести вершин. Граф с шестю вершинами изображен на рисунке 7. Из формулы (3) также следует, что у графа степени 4 с числом вершин, строго большим 6, всегда имеет нетрехреберная грань. Отбросим (см. рис. 8) ребро AB этой грани и соединим вершины A и B с любой точкой на неоседнем с ребром AB ребре (таксе ребро найдется, поскольку выбирается нетрехреберная грань). Тем самым к исходному графу с числом вершин, строго большим 6, добавлена одна вершина (пример построения — на рисунке 8). Базисом индекции может служить граф с 8 вершинами, изображенный на рисунке 9.

Итак, мы доказали, что существует графы степени 4 с 6 вершинами и с любым числом вершин, не меньше 8.

Докажем, что не существует графа степени 4 с 7 вершинами. Для этого докажем, что такой граф содержит подграф, изображенный на рисунке 10, который, как известно, без самопересечений на плоскость не укладывается.

Рассмотрим произвольную вершину A изходного графа и вершины A₁, A₂, A₃, A₄, с которых она соединина. Оставшиеся две вершины нашей

Рис. 9. Рис. 10.

го графа обозначим через A’ и A’’. Возможны два случая.

1°. Вершины A’ и A’’ не соединены между собой.

Тогда, для того чтобы из A’ и A’’ выходило по четыре ребра, они должны быть соединены со всеми четырьмя вершинами A₁, …, A₄ (из вершины A уже выходят четыре ребра. В таком случае искомый подграф выбрать легко: в качестве вершин I II, III (см. рис. 10) можно взять вершины A, A’ и A’’, а в качестве вершин IV, V, VI — вершины A₁, A₂, A₃.

2°. Вершины A’ и A’’ соединины между собой.

В этом случае из вершин A’ и A’’ выходит еще по три ребра к некоторым из вершин A₁, …, A₄. Поэтому хотя бы две из вершин A₁, …, A₄ соединены и с A’, и с A’’. Пусть это вершины A₁ и A₂. Расстоянием снова два случая.

1. Одна из вершины A₃ и A₄ соединина и с A’, и с A’’. В таком случае искомый подграф — это подграф с вершинами A, A’, A’’, A₁, A₂, A₃.

2. A₃ и A₄ соедининыровно с одной из вершин A’ и A’’ какдая, скажем A₃ с A’, а A₄ с A’’. Отбросим ребро AA₄ и заменим два ребра A₃A₄*) и A₄A’’ одним ребром A₃A’’’. Искомый подграф получен — это подграф с вершинами A, A’, A’’, A₁, A₂, A₃.

Заметание. Из формул (3) и (1) следует, что правильный граф степени 5 с 14 вершинами должен иметь лишь один четырьмя ребрами и 22 трехреберника. Непредседательным перебором можно убедиться, что такого графа не существует.

Для графа степени 5 с 18 вершинами имеются три возможности:

1. 3 четырьмя ребрами, 26 трехреберников;
2. 1 пятиеберник, 1 четырьмя ребром, 27 трехреберников;
3. 1 шестиеберник, 28 трехреберников.

В этом случае не предусмотрены перебор затруднительен, и вопрос о существовании правильного графа степени 5 с 18 вершинами пока остается открытым.

*) Ребро A₃A₄, оченьindo, должно существовать.

16

Результаты экспериментов

Вопрос заголовка этой статьи выгляделит страно: неужели какая-либо цифра достойна особого внимания? Чтоы проверить это, автор статьи повторил эксперимент современного американского математика Хэмминга. Оба эксперимента заключлись в следующем. Из нескольких справочников по химини и металлургии случайным образом было выбрансто именованных констант. В получившийся набор попали высота дымовой трубы одного из типов мартеновских печей, удельный вес каменной coli, теплотворность пропана и даже такой экзотическая для неспециализта параметр, как «константа скорости шелочного омыления» одного сложного эфира. Словом, образователья «винегрет» из самых разнообразных величины.

Чтоы их как-то упорядочить, давайте условия называть i-числом всяко число, в старшем значшем разряде которого стоит цифра i (i = 1, 2, …, 9). Так, число 1 будет 1-числом, а 3,7 и 0,0371 будут 3-числами.

На первый взгляд кажется, что наиболее естественно ожидать равномерно распределения констант по девятти группам, где в i-ю группу попадают i-числа. Посокльку выбраносто констант, у нас должно быть бы получитьсяprimерно по одинадцать i-чисел для каждой цифры i. Конечно, надяться при этом на точное выпадание числа 11 для всех цифр i нельзя (это и невозможно, поскольку 9·11 ≠ 100). Но вот как средних константы распределились i-числа на самом деле (см. таблицу):

| i | Kolчество i-чисел |
| :— | :— |
| Xэмминг | Автор | Теоретическое* |
| 1 | 34 | 25 | 31 |
| 2 | 12 | 17 | 17 |
| 3 | 13 | 16 | 13 |
| 4 | 15 | 11 | 9 |
| 5 | 7 | 9 | 8 |
| 6 | 3 | 8 | 7 |
| 7 | 4 | 6 | 6 |
| 8 | 4 | 4 | 5 |
| 9 | 8 | 4 | 4 |

Всего 100 100 100

Как видно из средних колонок этой таблицы, 1-чисел в обихх экспериментах было обнаружено больше, чем, например, 7-чисел. Чем это объяснить? Можно быть, при осуществлении экспериментов была бессознанно проявлена «либоовь» к цифре 1?

Хэмминг не дал описания способа, который он пользовался, выбирая свои числа. Автор же выбрал произвольныйprimерно так. В течение некоторого времени он выписьвал первыше шесть цифр семизначных номеров своих дележных знаков; в результате образователься некий список

*) О «теоретическом» колчестве i-чисел печь поддет ниже.

17

«случайных чисел». По первой цифре такого случайного числа выбирался справочник (справочники предварительно были пронумерованы), по следующим двум цифрам — страница; остальные три цифры соответствовали номерам строки и столбца, из которых и бралось число. Строго следовать этому правилу, конечно, удавалось не всегда.
Поэтому приходилось применять целый ряд уточнений, но мы на них останавливаться не будем. Во всяком случае ясно, что особое положение 1-чисел основано на чем-то более важном, чем лишь на произволе экспериментаторов.

В чем же дело?

Всякая константа в справочнике получается в результате некоторого измерения. Измерение же есть сравнение с эталоном (килограммом, метром, секундой). Учитываем ли мы где-нибудь использование конкретных эталонов, считая естественным равномерное распределение $i$-чисел среди выбранных констант? Нет. Поэтому можно ожидать, что вид этого распределения существенно не изменится, если выбрать аналогичные константы из американских таблиц, где используется, например, не метр, а фут. Ведь с «американской» точки зрения равномернсе распределение $i$-чисел столь же естественно.

Как мы сейчас увидим, у нас н е т оснований ожидать, что распределение $i$-чисел получится равномерным как раз потому, что равномерное распределение не сохраняется при изменении масштаба измерений.

Проиллюстрируем это следующим примером. Создадим равномерное распределение $i$-чисел искусственно. Возьмем числовую ось и приложим к ней «гребенку» с $n$ зубцами (черная гребенка, рис. 1).

Пусть нумерация зубцов гребенки начинается с нуля, и гребенка такова, что если ее нулевой зубец расположить против числа 1, то последний $((n-1)$-й) зубец не «дотянется» до числа 10 на величину одного промежутка между зубцами. Поскольку между зубцами гребенки $(n-1)$ промежутков, то величина одного промежутка равна $9/n$. Следовательно, на числовой оси зубцам гребенки соответствуют числа

$$x_k = 1 + \frac{9}{n}k, \ \ k = 0, 1, \ldots, n-1, \ (1)$$

образующие арифметическую прогрессию. В этой группе чисел $i$-числа распределены примерно равномерно: количество $i$-чисел среди них для любой цифры $i$ приблизительно равняется отношению $n/9$ (возможная ошибка здесь $\pm 1$, почему?).

Изменим теперь масштаб, умножив каждое число (1) на некоторое число $a$, причем

$$2 \leqslant a < 10. \qquad (2)$$

Посмотрим, как это умножение повлияет на количество 1-чисел. Для них (только для них), очевидно, имеем:

$$10 \leqslant a + a\,\frac{9}{n}\,k < 20.$$

Следовательно, номера новых 1-чисел заключены в интервале

$$\frac{10-a}{9a}\,n \leqslant k < \frac{20-a}{9a}\,n,$$

Рис. 1.

2 «Квант» № 11

18

и, поскольку $k$ — целое, 1-чисел будет примерно столько, какова длина инвервала — около $10n/9a$. Иными словами, количество 1-чисел возрастет примерно в $10/a > 1$ раз (причем эта оценка тем точнее, чем больше число $n$).

Итак, изменив масштаб в $a$ раз ($2 \leqslant a < 10$), мы увеличим долю 1-чисел среди чисел набора (1), хотя в старом масштабе, по построению, 1-числа ничего не выделялись. Это и свидетельствует о том, что предположение о равномерном распределении $i$-чисел — неестественно.

«Логарифмический» масштаб

На рисунке 2 изображены две шкалы. Вместе они образуют как бы «таблицу логарифмов»: под всяким числом на верхней шкале (с неравномерными делениями) можно визу化 (на шкале с равномерными делениями) прочитать десятичный логарифм этого числа, и наоборот, — по логарифму, отмеченному на нижней шкале, легко найти само это число на верхней шкале (которая поэтому логично было бы назвать шкалой антиполагирфов, но мы будем назвать ее логарифмической шкалой).

Логарифмическая шкала обладает одним чрезвычайно важным свойством: изображенные на ней числа очень легко умножать и делить. Вспомним основное свойство логарифмов:

$$\lg ab = \lg a + \lg b.$$

Поэтому умножение чисел $a$ и $b$ можно произвести так: взять эти числа

ла на логарифмической шкале, найти прямо внизу под ними $\lg a$ и $\lg b$, затем сложить найденные величины (ввиду равномерности нижней шкалы это значит—сдвинуть от точки $\lg b$ на расстояние $\lg a$) и, наконец, прочитать результат на логарифмической шкале (рис. 2). Направление сдига определяется знаком числа $\lg a$: если $\lg a > 0$, сдвиг проискдит вправо, если $\lg a < 0$ — влево. (На этом принципике, кстати, основано устройство логарифмической линейки).

Вернемся, однako, к нашей гребенке. Будем считать, что гребенка приложена к нижней шкале, причем промежуток между зубцами равняется $1/n$. Зубцу с номером $k$ на нижней шкале соответствует число $k/n$, а на логарифмической (верхней) шкале — число

$$y_h = 10^{k/n}, k = 0, 1, \dots, n - 1. \quad (3)$$

Числа (3) образуют геометрическую прогрессию со значением $n/10$. Колчество $i$-чисел среди них теперь уже зависит от $i$. Груб говоря, оно равняется отношению длины промежутка нижней шкалы, соответствующого $i$-числом логарифмической шкале, к длине промежутка нижней шкале, которое соответствует числу $i$.

Умножим теперь все числа (3) на $a$. Для этого нам нужно просто сдигить все гребенку на расстояние $\lg a$ (в единицах нижней шкалы). Если для $a$ выполнены неравенства (2), то 1-числа, получившиеся после такого сдиги, будут находиться на

логарифмической шкале в интервале от 10 до 20. Но длина этого интервала (в единицах нижней шкалы) равна мантиссе числа $\lg 20$, то есть она совпадает с длиной интервала от единицы до двух (см. рис. 2). Поэтому с точностью до $\pm 1$ количество 1-чисел останется прежним. На самом деле при этом сдвиге сохраняется количество $i$-чисел для любого $i$, причем условие (2) на величину $a$ можно отбросить. Попробуйте доказать это самостоятельно (см. з а д а ч у 2).

Верно даже обратное утверждение (хотя дать его точную формулировку и доказательство не просто): всякое распределение i-чисел, сохраняющееся при умножении на произвольное число $a > 0$, должно быть близким к «логарифмическому» распределению, задаваемому гребенкой.

Воспользуемся «распределением гребенки», чтобы ответить на главный вопрос статьи. Вспомним нашу таблицу (см. с. 16). В ее последней колонке указаны как раз количества $i$-чисел среди образующих геометрическую прогрессию чисел (3) при $n - 100$. Мы видим, что 1-числа среди них действительно преобладают и, кроме того, что все данные этого распределения довольно хорошо согласуются с экспериментальными. Это наблюдение позволяет предположить, что распределение i-чисел среди образующих геометрическую прогрессию чисел (3) — наиболее вероятное (поэтому-то мы и назвали последнюю колонку таблицы «теоретической»).

Удалось ли нам, однако, д о к а з а т ь гипотезу, что в произвольной таблице распределение $i$-чисел будет соответствовать «логарифмическому» распределению? Конечно, нет. Доказать это в общем виде нельзя. Для этого нужны дополнительные предположения о характере случайности набора рассматриваемых констант. Отметим здесь только, что существуют таблицы именованных констант (например, расписания поездов) с совсем иным распределением $i$-чисел.

Предпочтительные числа

Перед человеком, планирующим производство, стоит задача: наметить выпуск вариантов одного и того же изделия, отличающихся типоразмерами. Например, электрические лампы бывают нужны мощностью от долей ватта (для освещения шкал приборов) до десятков киловатт (для огней маяков). Как составить набор типоразмеров, чтобы удовлетворительно обеспечить любую потребность?

Конечно, хотелось бы, чтобы при этом количество типоразмеров не было чересчур большим. Для этого намечаемые варианты должны хорошо соответствовать неизвестному нам распределению возможных потребностей. Об этом распределении мы почти ничего не знаем, но трудно поверить, что оно может сильно зависеть от применяемых единиц измерения.

Здесь уместно вспомнить гипотезу, высказанную нами в конце предыдущего пункта, касающуюся исключительности «логарифмического» распределения $i$-чисел среди чисел (3).

Оказывается, в нашей стране варианты типоразмеров зафиксированы специальным законодательным постановлением: государственным стандартом (ГОСТ). С 1957 года в СССР действует ГОСТ 8032-56, согласно которому во всех отраслях промышленности при введении нового типоразмера рекомендуется придерживаться некоторых вполне конкретных коэффициентов: предпочтительных чисел.

Эти числа представляют собой округленные значения чисел логарифмической шкалы, определяемых «гребенками», т. е. чисел (3), при $n - 5$, 10, 20, 40! Множество предпочтительных чисел, соответствующее одной гребенке, называется рядом и обозначается через $Rn$. Букву $R$ связывают обычно с именем французского инженера Ш. Р е н а р а, применявшего в конце XIX века такие числа для подбора толщин аэростатных тросов. Вот как

2*

19

20

В магазинах бытовых электротоваров продаются лампы следующих мощностей: 15w, 25w, 40w, 60w, 100w, 150w и 200w. Читатель видит, что за исключением последней величины это слегка подправленный ряд R5.

Если отказаться от слишком высоких требований к точности вычисления, то можно считать, что произведение предпочтительных чисел также является предпочтительным числом (почему?).

Поэтому предпочтительныеми будут площики (объемы) прямогольников (параллелепипедов), если только их линейные размеры выражены предпочтительным числам. То же самое справедливо для площики кругга и объема цилиндра, поскольку предпочтительное число 3,15 близко к числу л. Это — еще один аргумент за то, чтобы при составлении наборов типоразмеров использовать предпочтительные числа.

Задание

1. Какая цифра встречается чаще во втором значшем разряде именованного числа?
2. Докажите «закон сохранения» количество i-чисел при «логарифмическом» распределении (с. 18).
3. Докажите, что величины
   $$\max \left[ \min \left( \frac{x_0}{x} + \frac{x}{x_0}, \frac{x_1}{x} + \frac{x}{x_1}, \dots, \frac{x_n}{x} + \frac{x}{x_n} \right) \right],$$
   где $1 = x_0 \leqslant x_1 \leqslant \dots \leqslant x_{n-1} \leqslant x_n = 10$, принимает наименьшее возможное значение, когда числа $x_k$ образуют геометрическую прогрессию.

21

К механике буерного спорта

В. Н. Ланге, Т. И. Ланге

Буер — это установленная на коньках платформа, на которой укреплена мачта с парусом.

Первые спортивные гонки на буерах в России состоялись в 1890 году в Петербурге. С начала XX века буерный спорт приобретает большое популярность, особенно в Прибалтийке. С 1947 года регулярно проводятсячемпонаты СССР по буерному спорту.

Буерные гонки — очень красивое зрелище. Стремительно скользят на металлических полозях по гладкой ледяной поверхности легкие белокрыльные платформы. Скорость буера при умелом управлении достигает 100 км/ч. И вот что妒зительно: если в это время изменить скорость ветра, она может оказаться в два, а то и в три раза меньше!

Получается, что не имеющий собственного движения буер обгоняет ветер! Каким же образом? Ведь разгон происходит за счет силы давления на парус со стороны воздуха. Каждый бы, наибольшая скорость, которой можно достигнуть, это скорость ветра. Но не надо забывать, что буерным парусом можно управлять. Имененно «парусные маневры» и позволяет достигать «сверхветровых» скорости.

Что разбраться в механиме разгона буера, рассмотрим следующий пример.

Пусть по прямолинейным направляющим MN и PQ (см. рисунок) может скользить брусок ABCD, грани которого AB и AD образуют угол α. Тренние между бруском и направляющими настолько мало, что уженичтожное успление приводит к перемещению бруска. Пусть в точке O в направлении, указанном на рисунке стрелкой, на брусок действует некоторая постоянная сила. Например, на грань AD давит стержень. Вследствие незначительное сил сопротивления брусок придает в движение даже при легком воздействии, и за то время, пока конец стержня пройдет путь ООО’, брусок переместится по направляющим на расстояние, равное AA’, заняв положение A’B’C’D’. Нетрудно видеть, что

$$AA' = \frac{OO'}{tg\alpha}.$$

Будем для простоты считать движение стержня и бруска равномерным. Подель обе части равенства на время движения t, получим связь между скоростью бруска и стержня:

$$v_{бр} = \frac{v_{с}}{tg\alpha}.$$

Отсюда видно, что при 0 < α < 45° скорость бруска будет превышать скорость стержня, поскольку tg α < 1.

Тепер вернемся к буеру. Если считать, что положя буера расположены по линям MN и PQ, его парус установлен в направлении AD, а ветер дает вдоль ООО’, то, оченьindo, для соответствия между скоростью буера и ветра можно получить аналогичное выражение:

$$v_{\sigma} = \frac{v_{в}}{tg\alpha}.$$

Мы рассмотрели лишь случай, когда ветер дает перpendикулярно курсу буера; анализ остальных читателью предоставляется выполнить самостояльно.

22

Наблюдая солнечные зайчики, отраженные от стекла или от поверхности воды, вы, быть может, никогда не задумывались над тем, что же представляет собой отраженный свет. На первый взгляд кажется, что отраженный луч ничем, кроме направления, не отличается от луча падающего. На самом же деле это не так. Причина этого в поперечности световых волн.

Еще в 1808 году французский ученый Этъен-Луи Малюс обнаружил, что свет, отраженный от стекла, частично поляризован. Это означает, что интенсивность волн, составляющих отраженный свет, уже не одинакова для колебаний разных направлений, как у естественного света. Появляется изображение направления. В отраженном луче интенсивность волн с этим направлением колебаний максимальная, а интенсивность волн с направлением колебаний, перпендикулярным изображением, минимальная. Частная поляризация света имеет место при зеркальном отражении от границ двух любых диэлектриков.

Как же свет поляризуется при отражении, и от чего зависит степень поляризация? Чтобы понять это явление, познакомимся с ним подробнее.

Посмотрим через поляризатор на блок света, отраженного от стеклянной пластинки под большим углом. Поворачивая поляризатор вокруг его оси, можно убедиться, что отраженный луч частично поляризован с премишественным направлением колебаний, perпендикулярным плоскости

Рис. 1.

23

тем менше, чем больше отклонение угла падения от угла Брюстера.

Далее при перепределкулярном padенице света на стекло внутри стека проходит только 96% падающего света. Плокопаралельная пластинка имеет две поверхности, следовательно, даже если пренебречь поглощением света в стекле, она пропускает не более 92% падающего на нее света. А ведь современные объекты и оптические приборы могут состоять из десятков оптических деталей. Позмоту ясно, какую важную роль должны играть в технике вопросы, связанные с изучением отражения света от границы двух диэлектриков.

Поляризатор изготовить самим можно довольно просто. Показатель преломления объчно стека равен примерно 1,5—1,6. Угол Брюстера в этом случае составляет 56—58. Значит, любой кусок листового стека, наклоненный так, чтобы свет падает на него под углом 56 к нормали, будет служить достаточно хорошо поляризатором, и с его помощью можно наблюдать все эфекты, связанные с поляризцией света. Еще более удобными поляризаторами могут служить непрозрачные темные диэлектрики, например, черное стекло или засвеченные и проявленные негативы. В этом случае наблюдаю не менее проходящий сквозь пластинку свет. Однако из возможных конструкций отражательного поляризатора приведена на рисунке 1. Поляризатор состоит из цилиндрического или прямогольного корпуса, который можно склить из картона и покрыть изнутри черной краской. Под углом, равным 90° — φ₀ ≈ 30° к оси корпуса, укрепляется стеклянная пластинка или зачеренный негатив. Сбоку в корпусе делается отверстие для наблюдания. Луч света, направленный вдоль оси корпуса, падает на стекло или какой-нибудь другой диэлектрик с гладкой поверхности под углом Брюстера и наблюдается глазом через отверстие в корпусе. Имея пару таких поляризаторов, можно изготовить поляризаторы и несколько других конструкций.

Так как свет, отраженный от границы двух диэлектриков, поляризован с применением направленным колбаний, перепределкульным плоскости падения, то и преломленный луч должен быть поляризован. При padениии под углом Брюстера поляризация преломленных лучей максимальная, но далеко не полная. Свет, проходящий через границу воздуха — стекло, заметно поляризован. Если свет проходит внутри плоскопаралельной пластинки, то на второй поверхности вновь происходит преломление под тем же углом Брюстера, и поляризация прошедшего через пластинку света еще увеличивается. Если сложить последовательное несколько пластинок (несколько сложенных пластинок называются стопой), то поляризация проходитшего света будет быстро возрастать при увеличении числа пластинок в стопе. После проходения 8—10 пластинок и прошедший, и отраженный свет будет практическим полностью поляризованны. Интейсивности отраженного и прошедшего лучов в этом случае равны между собой и составляют какая половину интенсивности падающего света (если, конечно, можно пребречь поглощением в стекле). Оправу для такого поляризатора можно также склить из картона, только наблюдание следует вести теперь вдоль оси корпуса, на просвет. Многие изotropные произведения материалов, например, стекло, полностью целлюфан, могут приобретать заметную анизотропию под действием внешних механических нагрузок или под действием внутренних напряжений, возникших при изготовлении. Если такие материалы помещить между скрещенными поляризаторами и рассматривать в проходящем свете, можно увидеть на

24

Рис. 2.

участках с неоднородностями цветные полосы или пятра. В качестве отражательного поляризатора удобно использовать стопу, сделанную из стеклянных пластинок.

Появление окраски связывано с тем, что поляризованный свет, попадающий на анизотропный сбразец из первого поляризатора, распадается в образце на два пучка, имеющие разные скорости распространения и взаимно перпендикулярные направления поляризации. На выходе из исследуемого образца эти два пучка складывают. Поскольку скорости этих лучей в образце были разными, лучи прибретают разность фаз, величины которого зависит от величины анизотропии образца и от длины волны падающего света. Поэтому, складываясь, лучи света дают интерфейсционную окраску.

Рассматривая между поляризаторами разные произные предметы, вы легко обнаружите изделия с оптическими анизотропными участками. Посмотрите, как красиво выглядит между поляризаторами доньшко стаканчика от кофейной меланцы (рис. 2). Обыкновенный целлофан, полизтеленовая пленка, слюда прибретают окраску, похожую на окраску мыльных пленок или нефтяных пятен на воде. Из кусочков таких материалов можно изготовить мозничный орnament или небольшую картинику, причем нужный цвет можно подбирать вращением отдельных кусочков вокруг оси или накладывая их друг на друга. Таким способом изготовлена из целлофана картиника, показанная на рисунке 3. Целлофан был взят из общих упаковочных пакетков, в которых в магазинах продавют конфеты. Несколько труднее сделать картиники из полизтеленовой пленки. Чтобы окраска пленки была достагоно яркой и сочной, пленку необходимо предварительно сильно растянуть.

Можно наблюдать и поляризацию рассеяного света.

Возьмите какой-нибудь сосуд с произрачными стенками любои формы: цилиндрический стакан, сферическую колбу или кюеету с плоскими стенками, пол-литровую или литровую стеклянную банку. Можно взять и бутылку из неокрашенного стекла. Наполните сосуд годой, затем добавьте в него несколько капель чернил или туши и размешайте. Осветите сосуд каким-нибудь источником, создающим направленный пучок света, например, электронским фонарем, диапиликопроектором. Взвешенные в воде мелкие частицы будут заметно рассеявать свет. Сосуд лучше всего

Рис. 3.

ставить как можно ближе к источнику света, чтобы диаметр пучка был минимальным. Чтобы не было мешающих наблюдению бликов света от стенок сосуда, лучше всего на фонарь или проектор наклеить бумажную диафрагму, так, чтобы поперечный размер светового пучка был в несколько раз меньше диаметра сосуда.

Если смотреть перпендикулярно направлению распространения света, то вы увидите след луча в колбе. Это и есть рассеянный частичками свет. Наблюдая его через поляризатор, можно сбнаружить, что он плоскополяризован, поскольку при вращении поляризатора след пучка света в колбе погасает два раза за один оборот поляризатора. То же самое обнаруживается, если смотреть на сосуд вертикально сверху или снизу.

Такой же эффект можно наблюдать и при рассеянии солнечного света в атмосфере.

Свойство сеета поляризоваться при отражении от диэлектрика широко используется в технике, некоторые особенности этого явления вы можете наблюдать и сами. Пользуясь поляризаторами, можно устранить или ослабить свет, отраженный от стекла, эмали, пластмассы, асфальта, жидкостей и других неметаллических поверхностей. Например, при фотографировании можно ослабить или совсем убрать блик от стекол очков, мешающих видеть глаза; отражение неба в оконных стеклах зданий или на воде; блики, затрудняющие рассматривание застекленных картин или вещей в витринах и так далее.

Очень интересные эффекты можно получить при наблюдении и фотографировании поверхностей водоемов. При наклонном падении света на поверхность воды часть его зеркально отражается и слепит глаза, засвечивает фотопленку, мешает наблюдать подводные объекты. Однако, если воспользоваться соответствующим сбразом ориентированным поляризатором (нужная степень гашения бликов достигается просто вращением поля-

ризатора вокруг его оси), бо́льшая часть зеркально отраженного света будет поглощаться, и соотношение яркостей предметов намного улучшится. Поэтому поляризаторы необходимы летчикам при наблюдении с самолета за подводными лодками.

Листья деревьев и трава частично поляризуют наклонно падающий свет. Интенсивность отраженного листьями излучения солнца и неба имеет наибольшую величину при таком наклоне листьев, при котором зеркально отраженный свет направлен в сторону наблюдателя. Сквозь нейтральные (серые) поляризационные солнечные очки окраска листьев, травы и цветов мягче и насыщеннее, чем без поляризаторов.

Окна из поляроидов применяются в диспетчерских башнях аэропортов для улучшения видимости посадки и взлета самолетов. Поляризаторы используются также на сборочных линиях и при проверке качества изделий для улучшения видимости мелких дефектов. Поляризационные особенности отраженного света используются даже в рыбной промышленности для защиты глаз от блеска рыбной чешуи при сортировке рыбы на промыслах.

На практике мы довольно часто сталкиваемся не с естественным, а с частично поляризованным светом. Изготовив поляризаторы, вы и сами сможете в этом легко убедиться.

25

26

Одна задача о расположении точек

Г. А. Тоноян

Пусть на плоскости даны $n$ точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой (только такие множества точек мы и будем рассматривать). Ясно, что если $n \geq 3$, то можно найти простейший выпуклый *) многоугольник — треугольник — с вершинами в трех из этих точек.

А всегда ли при $n > 3$ можно найти выпуклый четырехугольник с вершинами в этих точках? Если $n = 4$ и точки являются вершинами невыпуклого четырехугольника, то следует это не удостсая. Если же $n \geq 5$, то при любом расположении точек найти выпуклый четырехугольник можно. Действительно, если выпуклой оболочкой нашего множества **) является $k$-угольник, где $k > 3$, все в порядке — любые четыре вершины этого $k$-угольника являются вершинами искомого четырехугольника. Пусть $k = 3$, выпуклой оболочкой является треугольник $ABC$. тогда найдется по крайней мере две точки — $D$ и $E$,— лежащие внутри этого треугольника (см. рис. 1). Примая $DE$ не проходит через вершины треугольника $ABC$. Поэтому две из

*) Напомним, что выпуклым называется многоугольник, который вместе с каждой двумя точками содержит соединяющий их отрезок.
**) Выпуклой оболочкой множество точки на плоскости называется минимальный выпуклый многоугольник, который их содержит. Поскольку пересечение двух выпуклых многоугольников является выпуклым многоугольником, это определяение корректно.

Рис. 1.

27

Рис. 2.
лочку множества $N \setminus K$ — множества, получающей удалением из $N$ его подмножества $K$, а через $M$ — множество $(N \setminus K) \setminus L$.

Рассмотрим следующие возможности: 1) множество $M$ пусто; 2) множество $M$ состоит из единственной точки; 3) множество $M$ содержит не менее двух точек.

1. Множество $M$ пусто. Тогда $N$ содержит только вершины многоугольников $K$ и $L$, то есть не больше 8 точек (поскольку каждый из многоугольников $K$ и $L$ является треугольником или четырехугольником).

2. Множество $M$ содержит единственный точку; обозначим ее через $P$. Если $L$ — четырехугольник, то проведя одну его диагональ, мы разобем его на два треугольника; точка $P$ лежит внутри одного из них (рис. 3). Обозначим вершины этого треугольника буквами $A, B, C$. Если же $L$ — треугольник, то обозначим

Рис. 3.

его вершины через $A, B, C$; точка $P$ лежит внутри этого треугольника.

В любом случае среди вершин многоугольника $L$ найдет также три вершины $A, B, C$, что $P$ — внутренняя точка треугольника $ABC$.

Проведем из точки $P$ лучи $PA, PB, PC$. Они разбиают плоскость на три угла $APB, BPC, CPA$. Легко видеть, что в каждом из этих углов содержится не более одной вершины многоугольника $K$. В самом деле, пусть, например, угол $APB$ содержит две вершины многоугольника $K$, а значит, содержит некоторую сторону $RQ$ многоугольника $K$. Тогда точки $A, P, B, Q, R$ являются вершинами выпуклого пятугольника (рис. 4), что невозможно. Поэтому $K$ имеет самое большее три вершины (по одной в каждом из рассмотренных углов). Поскольку $L$ имеет, самое большее, четыре вершины, а $M$, по предположению, состоит из одной точки $P$, множество $N$ содержит не более восемми точек.

3. Множество $M$ содержит не менее двух точек. Обозначим через $E$ и $F$ любые две точки множества $M$.

Предположим сначала, что $L$ — четырехугольник. Примяем $EF$ не проходит через вершины многоугольника $L$ и пересекает две его стороны. Если бы $EF$ пересекала две смежные стороны четырехугольника $L$ (рис. 5), то три других вершины $B, C, D$ четырехугольника $L$ вместе с $E$ и $F$ были вершинами выпуклого пятугольника. Следовательно, $EF$ пересека-

28

кает две противоположные стороны четырехугольника $L$.

Пусть, например, луч $EF$ пересекает сторону $AB$, а луч $FE$ пересекает сторону $CD$ (рис. 6). Проведем лучи $FA$, $FB$, $EC$ и $ED$. Вместе с отрезком $EF$ они разбиают плоскость на 4 части. Если бы внутри угла $AFB$ (являющегося одной из этих четырех частей) лежали две вершины многоугольника $K$, а значит, и неоторая сторона $TR$ многоугольника $K$, то точки $A$, $F$, $B$, $T$, $R$ были вершинами выпуклого пятугольника (рис. 7). Следовательно, внутри угла $AFB$ лежит не больше одной вершины многоугольника $K$. Точно так же, внутри угла $CED$ лежит не больше одной вершины многоугольника $K$. Что же касается оставшихся двух частей, то в них восше не могут расположаться вершины многоугольника $K$ (иначе вместе с точки $A$, $F$, $E$, $D$ или $B$, $F$, $E$, $C$ они образованы бы выпуклый пятугольник, рис. 6).

Рис. 5.

Рис. 6.

Рис. 7.

лучается, что $K$ имеет не более двух вершин (по одной внутри углов $AFB$, $CED$), что невозможно, так как $K$ — треугольник или четырехугольник.

Предположим, наконец, что $L$ — треугольник. Примяем $EF$ отделяет одну вершину этого треугольника.

Пусть, например, луч $EF$ пересекает сторону $AB$, а луч $FE$ — сторону $AC$ (рис. 7). Рассудяная, как и прежде, найдем, что в углах $AEC$ и $AFB$ содержится не больше чем по одной вершине многоугольника $K$, а часть плоскости, ограниченная лучами $EC$, $FB$ и отрезком $EF$, совсем не содержит вершин многоугольника $K$.

Итак, предположение, что $M$ содержит не менее двух точек, приводит к противоречию. Если же $M$ пуст или содержит одну точку, то $N$ имеет не более всех точек. Этим и завершается доказательство.

Уражнения

1. Докажите, что если все четырехугольники с вершинами в некоторых $n$ точках — выпуклы, то эти $n$ точек являются вершинами выпуклого $n$-угольника.
2. На плоскости данной $n$ точек. Докажите, что существует не менее $\frac{C_n^3}{n-4}$ выпуклых четырехугольников с вершинами в этих точках.
3. На плоскости данной бесконечное множество точки. Докажите, что при любом $k$ найдется выпуклый $k$-угольник с вершинами в этих точках.
   (Напоминаем, что рассматриваются только такие многоугольники, в которых никакие три точки не лежат на одной прямой.)

29

Шашечная головоломка Сэма Лойда

Старина Руб Перкинс, в течение сорока летникому не уступавший звание чемпиона своего округа по шашкам, однажды вышел из себя, вундер-кинд-четвероклассик. нанес ему решительное поражение. Когда же вундер-кинд во второй партии выиграл у Перкинса три шашки за одну, чемпион окончательно потерял голову и, первая игра так, как это показано на рисунке, поклялсяникогда больше не садиться за доску.

Попробуйте-ка. вновь скленть шахматную доску из восыми имеющих ее кусков. Для этого нет необходимости вырезать куски из рисунка. Скопируйте их или перенесите на кальку.

30

Задачи

М351—М355; Ф363—Ф367

М351. Восстановите треугольник, если на плоскости отмещены три точки: O — центр описанной окружности, P — центр тяжестии и H — основание одной из высот этого треугольника.

М. М. Имершивили (ученик 9 класса, Тбилиси)

М352 *. Пусть $n$ — целое число, для которого
$$n < \left(45 + \sqrt{1975}\right)^{30} < n + 1.$$
Докажите, что $n$ нечетно.

Д. К. Фаддеев

М353 *. Пусть $ABCD$ — произвольный треугольр. Докажите, что:
a) сумма двухгранных углов треугольра, ребрами которых служат $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$, меньше 2π;
b) сумма всех двухгранных углов треугольра больше 2π, но меньше 3π;
b) сумма косинусов всех двухгранных углов треугольра положительная и не превысит 2, причем эта сумма равна 2 в том и только в том случае, когда все грани треугольника;
г) если $|AB| + |CD| = |BC| + |DA|$, то сумма двухгранных углов с ребрами $AB$ и $CD$ равна сумме двухгранных углов с ребрами $BC$ и $AD$.

Н. Ф. Шарынн

М354. Можно ли расставить числа 1, 2, 3, …, $4n + 2$ в вершинах и серединах сторона правильно $(2n + 1)$-угольника так, чтобы сумма трех чисел, стоящих в концах и середине каждой стороны, была для всех сторон одинаковой?

Рассмотите в качестве примеров случай $n = 3$, $n = 8$.

С. Т. Берколайко

М355. $N$ ребят перекидывают $N$ мячами. В начале игры каждый из нихbrosает свой мяч кому-нибудь из своих товаров и сам ловит брошенный крем-нибудь мяч (он может подбросить и попытать свой собственный мяч) так, что снова у всех оказывается по мячу. Затем ребята опятьbrosают мяч тем же, кому ониbrosали их в первых раз, и так далее. Игра останавливается, когда все мячи вер-

31

нулись к своим владелцам (что мычи не перепутались, будем считать их разноцветными).
Докажите, что
a) к каждому из участников мяч вернется впервые не более чем через $N$ бросаний;
b) игра обязательно закончится;
b)) для 5, 10 и 15 участников она может закончится самоое большее через соответствие 6, 30 и 105 бросаний (а какова максимальная возможность игры для $N = 7$, $N = 8$, $N = 20$?);
г)) длительность игры всегда является делительом числа $N!=1\cdot 2\cdots N$;
d)*) длительность игры не может превышать $3N/3$.

Э. Г. Белаea

Ф363. На цилиндр намотаны нити, как показано на рисунке 1. Правые концы нити тянут со скоростью $v_1$, а левые — со скоростью $v_2$. С какой угловой скоростью врашается при этом цилиндр вокруг своей оси? Радиус цилиндра равен $R$.

Ф364. Каким должен быть коэффициент трения $k$ резины о внешнюю поверхность конуса с углом при вершине $2\alpha$, чтобы мотоикLIST мог двигаться по поверхности конуса по горизонтальной окружности радиуса $R$ со скоростью $v$ (рис. 2)?

Ф365. Найти емкость системы конденсатора, соединенных так, как показано на рисунке 3.

В. Е. Белонучкин

Ф366. Колба-шар емкостью $V = 1\lambda$ была откачана и закрыта. На стенках колбы остался мономолекулярный слой воздуха. Оценить давление, которое будет в колбе, нагretой до 300 $C$, если известно, что при такой температуре стенки колбы полностью обезгружаются.

А. В. Митрофаон

Ф367. Построить изображение квадрата, даваемое собирающей линзой (см. рис. 4). Середина стороны квадрата, лежащей на главной оптичекой оси линзы, находится от линзы на расстоянии, равном фокусному.

32

Решения задач

M314, M316, M317; Ф322—Ф327, Ф329

М314. Среди всех 9-значных чисел, в десятичной записи комorbых нём цифры 0, найти макое, для коморого разность между самим числом и произведением его цифра a) наименьшая;
б) наибольшая;
Каков будем ответ для п-значных чисел при любом n?

Будем решать задачу сразу для n-значных чисел.
Начнем с задачи a). Пусть искомое число — обозначим его через A — записывается цифрами $a_1, \dots, a_n$: $A = \overline{a_1, \dots, a_n}$. Тогда
$$A = a_1 \cdot 10^n - 1 + a_2 \cdot 10^n - 2 + \dots + a_{n-1} \cdot 10 + a_n.$$
Обозначим разность между числом A и произведением его цифр через B:
$$B = a_1 \cdot 10^n - 1 + \dots + a_{n-1} \cdot 10 + a_n - a_1 \cdot a_2 \dots a_n.$$
Покажем, что если B — наименьшая разность, то у числа A не может быть одновременного двух цифр, отличных от единицы или девятки.
В самом деле, пусть есть две такие цифры: $a_k$ и $a_l$. Тогда, у увеличив, а затем уменьшив цифру $a_k$ на единицу, мы можем составить новые для n-значные числа (среди цифр которых не будет нулей):
$$A_1 = a_1 \cdot 10^n - 1 + \dots + (a_k + 1) \cdot 10^n - k + \dots + a_{n-1} \cdot 10 + a_n;$$
$$A_2 = a_1 \cdot 10^n - 1 + \dots + (a_k - 1) \cdot 10^n - k + \dots + a_{n-1} \cdot 10 + a_n.$$
Запишем разности $B_1$ и $B_2$ между числами $A_1, A_2$ и произведением их цифр:
$$B_1 = A_1 - a_1 \cdot \dots \cdot (a_k + 1) \cdot \dots \cdot a_{n-1} \cdot a_n = (A - a_1 \cdot \dots \cdot a_n) + 10^n - k - a_1 \cdot \dots \cdot a_{k-1} \cdot a_{k+1} \cdot \dots \cdot a_n = B + (10^n - k - a_1 \cdot \dots \cdot a_{k-1} \cdot a_{k+1} \cdot \dots \cdot a_n);$$
$$B_2 = A_2 - a_1 \cdot \dots \cdot (a_k - 1) \cdot \dots \cdot a_{n-1} \cdot a_n = B + (-10^n - k + a_1 \cdot \dots \cdot a_{k-1} \cdot a_{k+1} \cdot \dots \cdot a_n).$$
По предположению B — наименьшая разность; поэтому одновременное должно быть выполнться неравенства $B \leqslant B_1$ и $B \leqslant B_2$:
$$\begin{cases} 10^n - k - a_1 \cdot \dots \cdot a_{k-1} \cdot a_{k+1} \cdot \dots \cdot a_n \geqslant 0, \\ -10^n - k + a_1 \cdot \dots \cdot a_{k-1} \cdot a_{k+1} \cdot \dots \cdot a_n \geqslant 0. \end{cases}$$
откуда
$$a_1 \cdot \dots \cdot a_{k-1} \cdot a_{k+1} \cdot \dots \cdot a_n = 10^n - k.$$

Точно так же получим, что
$$a_1 \cdot \dots \cdot a_{l-1} \cdot a_{l+1} \cdot \dots \cdot a_n = 10^n - l.$$

Деля (1) на (2), получаем:
$$\frac{a_l}{a_h} = 10^{l-k} \quad (l \neq k),$$

но этого быть не может, поскольку $a_l$ и $a_k$ — натуральные числа, меньше 10.

Значит, у искомого числа одновременного двух цифр, отличных от 1 и 9, быть не может.

Предположим, что у искомого числа есть одна цифра, отличная от 1 и 9, — пусть это цифра $a_{n-p}$. Тогда, как и выше, имеем
$$10^p = a_1 \cdot \dots \cdot a_{n-p-1} \cdot a_{n-p+1} \cdot \dots \cdot a_n,$$

33

где цифры $a_1, \dots, a_{n-p-1}, a_{n-p+1}, \dots, a_n$ равны 1, либо 9. Но при $p \geqslant 1$ такое равенства быть не может: левая часть его делится на 10, а правая — не делится.

Если же $p = 0$, то тогда все цифры $a_1, \dots, a_{n-1}$ должны быть единицами, а цифра $a_n$ может быть любой. Само число при этом имеет вид $\underbrace{1 \dots 1}_{n-1} a_n$. Отметим, что разность между числом такого вида и произведением его цифра построена и не зависит от последней цифры $a_n$:

$$\underbrace{1 \dots 1}_{n-1} a_n - 1 \dots 1 \cdot a_n = \underbrace{1 \dots 1}_{n-1} 0.$$

Ниже мы показем, что именно эта разность и является наименшей (то есть, что цифра $\underbrace{1 \dots 1}_{n-1} a_n$ — искомые).

Птак, если у исключого числа есть цифра, отличная от 1 и 9, то оно обязательно вида $\underbrace{1 \dots 1}_{n-1} a_n$.

Предположим теперь, что все цифры исключого числа — единицами или девятки. Пусть это число состоит из $k$ девяток и $n-k$ единиц. Тогда произведение его цифра равно $9^k$ — построенным числу, и для того, чтобы разность между числом и произведением его цифра была наименшей, нужно, чтобы само число (составленное из $k$ девяток и $n-k$ единиц) было наименшим.

Понятно, что таким числом будет число $\underbrace{1 \dots 1}_{n-k} \underbrace{9 \dots 9}_{k},$ у которого все единицы стояят в старших разрядах.

Составим разность

$$B' = \underbrace{1 \dots 1}_{n-k} \underbrace{9 \dots 9}_{k} - 9^k.$$

Возьем теперь число, у которого на одну единицу больше: $\underbrace{1 \dots 1}_{n-k+1} \underbrace{9 \dots 9}_{k-1}$. Для него соответствующая разность равна

$$B'' = \underbrace{1 \dots 1}_{n-k+1} \underbrace{9 \dots 9}_{k-1} - 9^k - \underbrace{1 \dots 1}_{n-k+1} \underbrace{9 \dots 9}_{k-1} + 9^k-1 = 8(10^k-1-9^k-1) \geqslant 0$$

(Cравенство достаточно при $k=1$); то есть $B' \geqslant B''$.

Значит, заменяя всякий раз первую слева девятку единицей, мы тем самым уменьшаем разность между получаемыми числом и произведением его цифр. Поэтому числом, состоящим из одних только единиц и девяток, для которого указанная разность минимальная, является число $\underbrace{1 \dots 1}_{n-1}$.

В силу сказанного равше, от того, какая цифра стоит на последнем месте у числа, все остальные цифры которого равны единице, разность не зависит; то есть на последнем месте может быть любая цифра.

Итак, ответ в задаче a) такое: исключение $n$-значные числа имеет вид $\underbrace{1 \dots 1}_{n-1} a_n$, где $a_n$ — любая цифра.

Перейдем теперь к задаче b).

Рассуждая, как и прежде, получаем, что если число обладает тем свойством, что разность между ним и произведением

34

дением его цифр — наиболееяя, то все его цифры — либо единицы, либо девятки.

Пусть есть число, состоящее из $k$ девяток и $n - k$ единиц. Произведение цифр такого числа построено — равно $9^k$, поэтому для того, чтобы разность была наиболееяя, нужно, чтобы самое число было наиболеешим средним всех чисел, составленных из $k$ девяток и $n - k$ единиц.

Понятно, что таким числом является число $\underbrace{9 \dots 9}_{k} \underbrace{1 \dots 1}_{n - k}$.

Обозначим разность между ним и произведением его цифр через $A'$:

$$A' = \underbrace{9 \dots 9}_{k} \underbrace{1 \dots 1}_{n - k} - 9^k.$$

Посмотрим теперь, каково должно быть $k$, чтобы разность $A'$ между числом $\underbrace{9 \dots 9}_{k} \underbrace{1 \dots 1}_{n - k}$ и произведением его цифр была наиболееяя.

Увеличим $k$ на единицу: возьмем число $\underbrace{9 \dots 9}_{k + 1} \underbrace{1 \dots 1}_{n - k - 1}$.

Для получения числа разность равна

$$A'' = \underbrace{9 \dots 9}_{k + 1} \underbrace{1 \dots 1}_{n - k - 1} - 9^{k + 1}.$$

Уменьшим $k$ на единицу: получим

$$A''' = \underbrace{9 \dots 9}_{k + 1} \underbrace{1 \dots 1}_{n - k + 1} - 9^{k + 1}.$$

Имсем:

$$A' - A'' = \underbrace{9 \dots 9}_{k} \underbrace{1 \dots 1}_{n - k} - 9^k - \underbrace{9 \dots 9}_{k + 1} \underbrace{1 \dots 1}_{n - k - 1} + 9^{k + 1}$$

$$- 8 \cdot 10^{n - k - 1} + 9^k (9 - 1) = 8 \left( -10^{n - k - 1} + 9^k \right) \geq 0,$$

(3)

так как $A'$ по предположению наиболееяя разность.

Аналогично

$$A' - A''' = \underbrace{9 \dots 9}_{k} \underbrace{1 \dots 1}_{n - k} - 9^k - \underbrace{9 \dots 9}_{k + 1} \underbrace{1 \dots 1}_{n - k - 1} + 9^{k + 1}$$

$$= 8 \cdot 10^{n - k} - 9^{k + 1} (9 - 1) = 8 \left( 10^{n - k} - 9^{k + 1} \right) \geq 0.$$

(4)

Из (3) и (4) получаем систему неравенств:

$$\begin{cases} 9^k \geq 10^{n - k - 1}, \\ 10^{n - k} \geq 9^{k + 1}, \end{cases}$$

из которой

$$\begin{cases} k \geq \frac{n - 1}{\lg 9 + 1}, \\ k \leq \frac{n + \lg 9}{\lg 9 + 1}, \end{cases}$$

то есть

$$\frac{n - 1}{\lg 9 + 1} \leq k \leq \frac{n - 1}{\lg 9 + 1} + 1.$$

(5)

35

Так как $k$ — число целое, то из (5) следует, что

$$k = \left[ \frac{n-1}{\lg 9 + 1} + 1 \right],$$

где $[x]$ — целая часть числа $x$.

Итак, в задаче 6) искомое число имеет вид

$$\underbrace{9 \dots 9}_{k} \underbrace{1 \dots 1}_{n-k},$$

где $k = \left[ \frac{n-1}{\lg 9 + 1} + 1 \right].$

И. Н. Клумова, А. Г. Лейдерман

a) Вычислим сумму квадратов $2n+1$ последовательных натуральных чисел. Обозначив менше из них через $x-n$, получим:

$$S_{2n+1} = (x-n)^2 + (x-n+1)^2 + \dots + x^2 + (x+1)^2 + \dots + (x+n)^2 = (2n+1)x^2 + 2(1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2) = (2n+1)x^2 + \frac{1}{3}n(n+1)(2n+1).$$

В частности, $S_3 = 3x^2 + 2$, $S_5 = 5x^2 + 10$, $S_7 = 7x^2 + 28$, $S_9 = 9x^2 + 60$, $S_{11} = 11x^2 + 110$. Сумма квадратов трех последовательных целых чисел не может быть точным квадратом, так как квадрат любого целого числа либо делится на 3, либо при делении на 3 дает остаток 1, а число $S_3 = 3x^2 + 2$ при делении на 3 дает остаток 2.

Докажем, что ни одно из чисел $S_5$, $S_7$ и $S_9$ также не является точным квадратом ни при каком целом $x$. Для этого воспользуемся таким очевидным свойством, вытекающим из единственной разложения на простые множители: если квадрат делится на простое $p$, то он должен делиться на $p^2$. Остается заметить, что $x^2 + 2$ никакого не делится на 5, $x^2 + 4$ никакого не делится на 7, а $3x^2 + 20$ никакого не делится на 3.

6. Это — числа 18, 19, …, 27, 28. В самом деле, число $S_{11} = 11(x^2 + 10)$ должно делиться на $11^2$, следовательно, и число $x^2 - 1 = (x^2 + 10) - 11$ должно делиться на 11. Но так как $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$, то либо $x - 1 = 11l$, либо $x + 1 = 11k$. При $l = 2$ получим $x = 23$, $S_{11} = 77^2$, так что

$$x - n = 23 - 5 = 18$$

и

$$18^2 + 19^2 + 20^2 + \dots + 28^2 = 77^2.$$

Э. Г. Готман

Рассмотрим сначала случай, когда все золото было сосредоточено в одной — «богатой»—стране. Тогда, если после перераспределения в этой стране остатется золотой запас $M$, то в страны, имеющие с ней общую границу, нужно распределить золота не меньше, чем $M/13$, в страны, имеющие с ними общую границу — не меньше, чем $M/169$, и так далее.

Введем понятие рассмотрения $\rho(A, B)$ между двумя странами $A, B$. Будем считать, что $\rho(A, B) = k$, если из страны $A$ можно проехать в страну $B$, пересекая границы $k$ раз, и нельзя, пересекая их меньше число раз. Теперь высказанное

*)Решение задачи M315 было опубlikовано в предыдущем номере.

36

дая страна лишилась не более половины именшегося у нее золота.

Страна, находящаяся на расстоянии $k > 0$ от «богатой» страны, должны граничить хотя бы с одной страной, находящаяся от «богатой» страны на расстоянии $k-1$, и поэтому не может граничить более чем с шестю странами, отстоящими от «богатой» страны на расстоянии $k+1$. Значит, количество страна, находящихся от «богатой» страны на расстоянии $k+1$, превыходит количество страна, находящихся на расстоянии $k$, не более, чем в 6 раз. Стран же, отстоящих от «богатой» на расстоянии 1, не больше 7. Из сказанного следует, что количество страна, находящихся от «богатой» страны на расстоянии $k$, не превыходит числа $7 \cdot 6^{k-1}$. Распределив в каждую страну, находящихся на расстоянии $k$, не превышает числа $7 \cdot 6^{k-1}$ золота (напомним, что «богатая» страна после распределения «получила» золотой запас $M$), мы истратим золота не больше, чем

$$M + 7 \cdot \frac{M}{13} + 7 \cdot 6 \cdot \frac{M}{13^2} + \dots = M + \frac{7}{6} M \left[ \frac{6}{13} + \left( \frac{6}{13} \right)^2 + \dots \right] = 2M.$$

Значит, первоначально в «богатой» стране было не больше 2$M$ золота, и тем самым после описанного перераспределения она лишилась не более половины именшегося у нее золота. То, что описанное перераспределение — требуемое, следует из того, что две граничные друг с другом страны $B$ и $C$ лежат либо на одном и том же расстоянии от третьей страны $A$, либо же эти расстояния отличия на единицу. Это — частный случай «неравенства треугольника»:

$$\rho (A, B) + \rho (B, C) \geq \rho (A, C)$$

при $\rho (B, C) = 1$ ($\rho (A, B)$ — расстояние от $A$ до $B$); доказите это «неравенство треугольника» для нашего расстояния в общем случае.

Заметим еще, что в случае, если на расстоянии $k$ от «богатой» страны находится ро вно $7 \cdot 6^{k-1}$ стран (см. рис. 1), то золотой запас, который необходимо перераспределить, в точности равен 2$M$, а потому $M$ — равно половина на первоначальное именование у «богатой» страны золота. Докажем, что распределив в каждую страну $A_i$

$$\sum_{k} M_k \cdot 13 - \rho (A_i, A_k)$$ золота, мы получим требуемое распределение. В самом деле, во-первых, каждая страна $A_i$ получает не менее $M_i$ золота, и, следовательно, лишается не больше половины именшегося у нее запаса в силу выбора $M_i$. Во вторых, если $A_i$ и $A_j$ граничящие страны, то $\rho (A_i, A_j) = 1$.

Страна $A_i$ получает $\sum_{k} M_k \cdot 13 - \rho (A_i, A_k)$ золота, страна $A_j - \sum_{k} M_k \cdot 13 - \rho (A_j, A_k)$. Подставляя $\rho (A_i, A_j) = 1$ в неравенства треугольника:

$$\rho (A_j, A_k) + \rho (A_i, A_j) \geq \rho (A_i, A_k),$$

$$\rho (A_i, A_k) + \rho (A_j, A_j) \geq \rho (A_j, A_k),$$

37

получаем:
$$\rho(A_j, A_k) + 1 \geq \rho(A_i, A_k),$$
$$\rho(A_i, A_k) + 1 \geq \rho(A_j, A_k),$$

то есть
$$1 - \rho(A_i, A_k) \geq -\rho(A_j, A_k),$$
$$- \rho(A_j, A_k) \geq -1 - \rho(A_i, A_k),$$

откуда для любого номера $k$:
$$13 \cdot M_k \cdot 13 - \rho(A_i, A_k) \geq M_k \cdot 13 - \rho(A_j, A_k) \geq$$
$$\geq \frac{1}{13} \cdot M_k \times 13 - \rho(A_i, A_k),$$

то есть
$$13 \sum_{k} M_k \cdot 13 - \rho(A_i, A_k) \geq \sum_{k} M_k \cdot 13 - \rho(A_j, A_k) \geq$$
$$\geq \frac{1}{13} \sum_{k} M_k \cdot 13 - \rho(A_i, A_k),$$

и каждые две границы друг с другом страны действительно после перераспределения отличия по количеству золота не более, чем в 13 раз.

Замечание. Суммы $\sum_{k} M_k \cdot 13 - \rho(A_i, A_k)$ всегда существует, если число страна конечно (очевидно), или же если можно указать такое число $C$, что во всех странах не больше $C$ золота (доказhte; вам помогет стать М. Л. Гервера «От перемены мест слагаемых…», опубликованная в «Кванте» № 9 за 1974 год). Существование такого числа $C$ предполагается в условиях задачи, — иначе утверждение задачи становится неверным. Постройте соответствующий пример.

Г. В. Егоров

Ф322. Две звезды врачаются вокруг общего центра масс с постмояными по абсолютной величине скорости $v_1$ и $v_2$ с перiodом $T$. Наимм массы звезды и расстояние между ними.

Так как скорости звезд при врашении вокруг центра масс системы по абсолютной величине постоянны, звезды движутся по окружности, причем эти окружности концентрические и их общий центр находится в центре масс системы. Взаимное расположение звезд и общего центра масс (точки $O$) показаны на рисунке 2.

Обозначим через $m_1$ и $m_2$ массы звезд, а через $r_1$ и $r_2$ — радиусы соответствующих окружностей. Центростремительное ускорение ($v^2/r$) каждой звезде сообщает сила тяготения $F = \gamma \frac{m_1 m_2}{r^2}$, где $r = r_1 + r_2$ — расстояние между звездами.

Запишем уравнение движения звезд:
$$\gamma \frac{m_1 m_2}{r^2} = m_1 \frac{v_1^2}{r_1}$$ и $$\gamma \frac{m_1 m_2}{r^2} = m_2 \frac{v_2^2}{r_2}.$$

Скорости звезд с перiodом врачания и радиусами соответствующих окружностей:
$$v_1 = \frac{2\pi r_1}{T}$$ и $$v_2 = \frac{2\pi r_2}{T}.$$