Квант 1975, №12 · Страницы

1975
12

Квашт
Научно-популярный
физико-математический
журнал

ХVII Международная олимпиада школьников
по математике

В июле этого года в болгарском городе Бургас прошла XVII математическая Международная олимпиада школьников. Подробно об этой олимпиаде вы можете прочитать в статье на с. 57. Редколлегия и редакция «Кванта» поздравляют участников советской команды, успешно выступившей на олимпиаде.

На этом симме вы видите участников, советской математической команды. Слева направо сидят: А. Резников, И. Юнус, В. А. Сковорцов (руководитель команды), З. И. Монисеева (зам. руководителя команды), Б. Юсин; стоят: Г. Шмелев, Т. Хованова, С. Финашин, Ю. Неретин, А. Корнюшкин.

Фото Н. Васильева

В НОМЕРЕ:

Главный редактор
академик И. К. Кикоин
Первый заместитель
главного редактора
академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:
М. И. Башмаков
С. Т. Белев
В. Г. Болтянский
Н. Б. Васильев
Ю. Н. Ефремов
В. Г. Зубов
П. Л. Капица
В. А. Кириллин
А. И. Климанов
(главный художник)
С. М. Козел
В. А. Лешковцев
(зам. главного редактора)
Л. Г. Макар-Лиманов
А. И. Маркушевич
Н. А. Патрикева
И. С. Петраков
Н. Х. Розов
А. П. Савин
И. Ш. Слободецкий
М. Л. Смолянский
(зам. главного редактора)
Я. А. Смородинский
В. А. Фабрикант
А. Т. Цветков
М. П. Шаскольская
С. И. Шварцбург
А. И. Ширшов

Редакция:
В. Н. Березин
А. Н. Виленкин
И. Н. Клумова
Т. М. Макарова
(художественный редактор)
Т. С. Петрова
В. А. Тихомирова
Л. В. Чернова
(зав. редакцией)

2 С. Г. Гиндикин. Феликс Клейн
10 Н. Я. Виленкин, А. Г. Мордкович. Что такое производная
19 В. Г. Болтянский. Оптические свойства эллипса, гипербольы и парабольы
24 М. И. Файнгольд. Этот удивительный параболид
29 С. Г. Веров. Брахистохрона, или еще одна тайна циклопы

Задачик «Квант»
36 Задачи М356—М360; Ф368—Ф372
38 Решения задач М318—М320; Ф328, Ф330—Ф332, Ф334

Практикум абитуриента
46 Э. Г. Готман. Медицины и средние линни
51 Г. Я. Мякицев. Расчет участа цепи, содержащого э. д. с.

Международные олимпиды школьников
57 З. И. Моисеева, В. А. Сковорцов. XVII Олимпида по математике
59 В. Г. Разумовский, Г. С. Тарасок. VIII Олимпида по физике

Рецензи, библиография
64 В. М. Яворский. Школьникам о физике творного тела

Информация
66 И. Г. Венецкий, Ю. И. Соркин, Н. Б. Шкундина. VI Математическая олимпида МЭСИ

«Квант» для младших школьников
67 Задачи
68 Е. Е. Семенов. Точка, пряма… – что это такое?
71 Ответы, указания, решения
78 Напечатано в 1975 году
Смесь (с. 18, 35, 50, 56)

На первой странице обложки — шлострация к стате В. Г. Болтянского «Отическое свойство эллипса, гипербольи и парабольы». Переед рефлектором электронами помещена свена. Лучи свена, отражая от поверхности рефлектора, попадают в объектные фооаппарата — на фотографиче светится весь рефлектор. А если вместе электронами включаются 40-ваттную лампочку, то получится неплохой проектор. Попробуйте!

© Главная редакция физико-mатематической литературы издательства «Наука», «Квант», 1975 год

2

1. «Рыцарские шпоры»

Ф. Клейн родился в 1849 году в Дюссельдорфе. Здесь он окончил гимназию; в 1865 году поступил в Боннский университет. Уже на следующий год профессор Юлиус Плюкер (1801—1868) привлек семнадцатилетнего студента в качестве ассистента по физике. Плюкер начал свою научную деятельности как геометр, но постепенно переключился на занятия экспериментальной физики. Однако в последние годы жизни, после даватилетнего перерыва, Плюкер возвратился к геометрии. «Этот поворот сыграл решаюшую роль в моем собственном развитию»—писал Клейн. Посмертное издание последнего метуара Плюкера (1869 г.) было подготовлено Клейном. Возможно, это и последнюю причины тому, что его диссертация (1868 г.), которой, по словам самого Клейна, он «заслужил рыцарские шпоры», и его первая публикация (1869 г.) была геометрическими.

Лишьшись учитель, Клейн становится «странствуошим рыцарем». Он посещает основные математические центры Германии (Геттигрен, Берлин), устанавливает личные контакты с Клебшем, Вебером, Вейерштрассом. На подающей надежды молодого ученого, который хочет иумет учиться, сразу обращают внимание. Не менее важны контакты Клейна со сверстниками. Особенно счастьевой была другка Клейна с великим норвежцем Софусом Ли (1842—1899); они познакомились в 1870 году в Берлине. С. Ли был на семЬ лет старше Клейна, но в 1870 году делал лишь первые шаги в геометрии.

Вскоре Клейн и Ли отправляются в Париж. Здесь они знакомятся с приемами французских геометров, ко-

3

торые умели с удивительной легкостью, «по воздуху» (С. Ли), получать важные геометрические результаты. Особое значение для дальнейшей научной судьбы Клейна и Ли имели встречи с Камиллом Жорданом (1838—1922). Как раз в 1870 году Жордан выпустил обширный труд по теории конечных групп, привлекший широкое внимание к работам Галуа (1811—1832). Возможно, «пропуском» к Жордану послужила для друзей первая работа Клейна, посвященная геометрическому исследованию так называемой поверхности Куммера, алгебраическое исследование которой перед этим предпринял Жордан.

Покинуть Францию Клейна заставила франко-прусская война. В самом начале войны Клейн заболел тифом; оправившись от болезни, он поселяется в Геттингене. Для Клейна наступает время великих свершений. Н. Бурбаки пишет, что Клейн завершил «золотой век» геометрии. Но прежде чем рассказывать о блестящем завершении этого века, вспомним о его начале.

2. «Золотой век» геометрии

Еще в XVII веке Дезаргу (1593—1662) и Паскалю (1623—1662) удалось при помощи центрального проектирования получить замечательные геометрические результаты. Об этих результатах забыли почти на полтора века. На большие возможности метода проектирования вновь обратил внимание Гаспар Монж (1746—1818); он рассказывал об этом в курсе начертательной геометрии, который читал в Политехнической школе. От «Описательной геометрии» Монжа (1795) и отсчитывает Н. Бурбаки «золотой век» геометрии.

Среди слушателей Монжа был Виктор Понселе (1788—1867). «Черта, которая возвышает его над всеми предшественниками,— это новый вид геометрической интуиции,— «проективное мышление» (Клейн). Проектив-

ную геометрию Понселе создал в течение двух лет, проведенных им в плену в Саратове после войны 1812 года. Свои результаты Понселе рассказывал товарищам по плену, также слушавшим Монжа в Политехнической школе. Опубликованы эти результаты были в 1822 году в «Трактате о проективных свойствах фигур».

Как и его предшественники, Понселе каждую прямую пополняет бесконечно удаленной точкой, считая, что все параллельные друг другу прямые имеют общую бесконечно удаленную точку («пересекаются» в ней). Все бесконечно удаленные точки образуют бесконечно удаленную прямую. На пополненной плоскости параллельность становится частным случаем пересечения и не требует специального рассмотрения (например, утверждение, что через точку вне прямой проходит единственная прямая, ей параллельная, превращается в утверждение, что через две различные точки, одна из которых обычная, а другая — бесконечно удаленная, проходит единственная прямая). При центральном проектировании конечная точка может не иметь образа («уйти на бесконечность»), но на пополненной бесконечно удаленными точками плоскости это отображение уже взаимно однозначно.

Центральное проектирование переводит одну плоскость в другую; выполнив же несколько проектирований подряд, мы можем вернуться на исходную плоскость, получив преобразование этой плоскости. К таким преобразованиям (их стали называть проективными) относятся перемещения, гомотетии, растяжения. Проективные преобразования взаимно однозначны (на пополненной плоскости) и переводят прямые в прямые (позднее выяснилось, что всякое преобразование с этими свойствами проективно). Проективные преобразования, переводящие в себя бесконечно удаленную прямую, называются аффинными; аффинные преобразования взаимно однозначны на обычной плоскости. Понселе исследовал геометрические объекты, сохраняющиеся при проективных преобразованиях. Оказывается, при проективных преобразованиях коническое сечение также переходит в коническое сечение (но, например, гипербола может перейти в параболу, а всякое коническое сечение проективным преобразованием можно перевести в окружность). Чрезвычайно плодотворным оказалось следующее наблюдение. Пусть $A$, $B$, $C$, $D$ — точки, лежащие на одной прямой, $\{A,\ B,\ C,\ D\} =$
$$= \frac{|AC| \cdot |BD|}{|AD| \cdot |BC|}$$
— двойное или ангармоническое отношение четырех точек. Пусть при некотором проективном преобразовании точки

1*

4

$A$, $B$, $C$, $D$ перешли в точки $A'$, $B'$, $C'$, $D'$ (они обязательно будут лежать на одной прямой). Тогда $\{A,\ B,\ C,\ D\}=\{A',\ B',\ C',\ D'\}$, то есть при проективных преобразованиях двойное отношение четырех точек сохраняется. Если одна из точек, например, $D$ — бесконечно удаленная точка, то $\{A,\ B,\ C,\ D\}$ полагается равным $\dfrac{|AC|}{|BC|}$, и мы получаем, что при аффинных преобразованиях сохраняются отношения длин отрезков, лежащих на одной прямой (почему?).

Далее Понселе пытается устранить исключительные случаи взаимного расположения конических сечений. Почему, например, два эллипса могут пересекаться в четырех точках, а пара окружностей — не более чем в двух? На этот вопрос дается удивительный ответ. Кроме пары в е щ е с т в е н н ы х точек пересечения, у окружностей имеется у н и в е р с а л ь н а я (одна и та же для всех окружностей на плоскости!) пара общих точек, не замеченных из-за того, что они являются…мнимыми и бесконечно удаленными одновременно. Эти точки называются циклическими.

Теперь — несколько слов о четырех немецких математиках: Фердинанде Мебиусе (1790—1868), Якобе Штейнере (1796—1863), Христиане фон Штаудте (1798—1867) и уже упоминавшемся Плюкере. С их именами связана ожесточеннейшая борьба между аналитическим и синтетическим направлениями в геометрии.

Здесь слова «анализ» и «синтез» употребляются в нестандартном смысле: аналитическая геометрия использует метод координат, в результате чего делается возможным применение алгебры и анализа в геометрии; синтетическая геометрия оперирует с непосредственными пространственными конструкциями.

Наиболее ожесточенным был поединок между аналитиком Плюкером и синтетиком Штейнером; Мебиус (аналитик) и Штаудт (синтетик) держались в стороне от борьбы. Клейну было очень легко оказаться вовлеченным в борьбу на стороне аналитиков, но он сумел остаться над схваткой, возможно, руководствуясь правилом его знакомого физиолога Людвига: «Нужно удалиться на 600 километров от места споров и оттуда пересмотреть отношения».

Деятельность аналитиков прежде всего требовала усовершенство-

вать метод координат. В плане синтетическом важно было дать б е з к о о р д и н а т н ы е определения объектов проективной геометрии, например, кривых второго порядка. Это сделал Штейнер — очень колоритная фигура в истории математики. Швейцарский крестьянин, «до 19 лет ходивший за плугом», он начал заниматься математикой в зрелом возрасте. Штейнер был решительно настроен против мнимых величин в геометрии, называя их «призраками» или «царством теней». Впрочем, фон Штаудт показал, что с мнимыми объектами, возникающими в проективной геометрии, можно связать эквивалентные им чисто вещественные конструкции. Другое важное достижение Штаудта состояло в том, что он сумел определить двойное отношение четырех точек непосредственно, без использования р а с с т о я н и й (которые не сохраняются при проективных преобразованиях).

И наконец, еще одно имя — английского математика Артура Кели (1821—1895), долгое время занимавшегося математикой без отрыва от адвокатской практики. Мы остановимся на одном сочинении Кели — знаменитом «Шестом мемуаре о формах» (1859 г.). Кели заметил, что евклидовы перемещения выделяются из всех проективных преобразований тем, что сохраняют циклические точки. В результате, с использованием циклических точек, все объекты евклидовой геометрии (расстояния, величины углов и т. д.) можно определить через проективные понятия (сохраняющиеся при проективных преобразованиях). Кели называет проективную геометрию дескриптивной, а евклидову — метрической и пишет: «Метрическая геометрия есть, таким образом, часть дескриптивной, а дескриптивная геометрия— вся геометрия». Следует иметь в виду, что раньше положение казалось прямо противоположным, а именно, что проективная геометрия — сравни-

5

тельно бедная частьевклидовой. Далее Кели замечает, что исходя из проектной геометрии можно вести расстояния, отличные отевклидова (метрики или метропределеня Кели): каждое такое расстояние на плоскости связьается с некоторой кривой второго порядка (вшественной или минимой), так что это расстояние не меняется при всех проектных преобразованиях, сохраняющих расстояние кривой.

3. Модель Кели — Клейна

В 1869 году Клейн познакомился с теории Кели, а в конце того же года — довольно поверхностно — с геометрией Лобачевского. Тотчас же у него возникла мысль, что одна из метрик Кели приводит к геометрию Лобачевского. Это была договора, почти лишенная аргументации. Теория Кели и теория Лобачевского радиkalно отличались внешне (вычисления с двойным отношением у Кели и аксиоматическое изложение у Лобачевского), а геометрия Кели были еще недостаочно разработаны для того, чтобы можно было проверять аксиомы геометрии Лобачевского. В febrero 1870 года Клейн, делая доклад по теории Кели на семинаре Вейерштрасса, решился обнадовать свою гипотезу. На этом семинаре было не принято обсуждать фантастические проекты: «зарвашемуся» молодому человеку объяснили, что «это две далеко отстоящие друг от друга системы»; Клейн же был столмало подготовлен к защите гипотезы, что «позволил переубедить себя». Позднее он жаловался на Вейерштрасса, что у того «не было склонности распознавать с отделения очередания еще не достигнутых высот». Но Клейн не перестаел верить в свою гипотезу. Летом 1871 года он с помощью своего друга Штольца уже основательно изучил неевклидую геометрию и убедился в справедливости своейогдаки. Далее обладая доказательством, Клейну было нельзя okружаюших в своей правоте. Вероятно, наиболее подходящего было Клейну то, что среди не согласных с его утверждением до конца своей жизни оставался Кели. «Составившийся двух не в состоянии сделать выводы из созданных им самим положений», — писал Клейн.

Несколько слов о самом модели Кели—Клейна. «Точками» в этой модели является внутреннее точки круга (круг можно заменить облактью, ограниченной любой кривой второго порядка), а «прямыми» — хорды этого круга (без концов). Точка пересечения «прямых» определяются естественным образом; ясно, что через «точку» вне «прямой» проходит бесконечное число «прямых», не пересекающих исходную, то есть налицо отрицание аксиомы параллельных изевклидовой геометрии. Над еще убедиться в том, что все остальныеевклидовы аксиомы для описанной модели выполняются: это и будет означать, что модель Клейна — это модель геометрии Лобачевского. Сравнительно просто проверяются аксиомы, касающиеся взаимного положения точки и прямых. Но когда дело доходит до проверки аксиом равенства, то прежде всего надо довериться, какие отрезки считать конгруэнтными; унаследовать соответствующие понятияевклидовой геометрии нельзя. Клейн, следуя Кели, полагает длину отрезка $AB$ равной: $|AB| = |\ln \{A, B, \alpha, \beta\}|$, где $\alpha$ и $\beta$ — точки пересечения «прямой» $AB$ с границей расматриваемого круга (эту окружность называют абсциомом). Проектные преобразования, сохраняющие абсциот, сохраняют так определенное «расстояние», т. е. являются перемещениями в модели Кели—Клейна геометрии Лобачевского.

Итальянский математик Эудженино Белгтрами (1835—1900) наметил другую путь к обоснованию геометрии Лобачевского еще в 1868 году. Он обнаружил повреждность — псевдосферу — кратчайшие линии на которой (егодезинские) ведут себя так, как прямые в геометрии Лобачевского. Затем Белгтрами отбрасил неокоторым образом псевдосферу

6

в круг и получил те же формулы, что позже и Клейн в своей теории.

Клейн исследовал другие неевклидовы геометрии, к которым приводят метрики Кели, обнаружив, в частности, модель геометрии Римана (в геометрии Римана сумма углов треугольника больше $\pi$, в геометрии Лобачевского она всегда меньше $\pi$).

Обсудим теперь, что же дает модель Кели—Клейна для геометрии Лобачевского. Прежде всего — это отличный от аксиоматического способ изложения, более наглядный. Клейн предваряет свою публикацию (1871 г.) словами, что его цель —«дать новое наглядное изложение математических результатов работ, относящихся к теории параллельных, и сделать их доступными ясному пониманию» (примерно так же формулирует свою цель и Бельтрами). Однако построение модели решает далеко не только методическую проблему. Ныне модель Кели—Клейна рассматривается прежде всего как средство доказательства непротиворечивости геометрии Лобачевского. В модели Кели—Клейна объекты геометрии Лобачевского формируются на языке евклидовой геометрии, так что после перевода на этот язык теоремы геометрии Лобачевского превращаются в теоремы евклидовой геометрии, и, таким образом, геометрия Лобачевского непротиворечива, если непротиворечива евклидова геометрия.

Клейн видел основное значение построенной им модели в другом. Он ставил во главу угла проективную геометрию, равноправными и независимыми частями которой являются геометрии Евклида и Лобачевского. В этом плане подчеркивалась независимость построенной модели геометрии Лобачевского от евклидовой геометрии, для чего, в свою очередь, была важна возможность строить проективную геометрию, не пользуясь евклидовой (по Штаудту, см. п. 2). Именно этот момент вызывал у Кели подозрения в существовании порочного круга. Клейн писал: «Вместо того чтобы внутри нашей метрической геометрии строить образы неевклидовой геометрии, мы обосновываем свободную от всяких метрических представлений проективную геометрию, которая содержит в себе как частные случаи, поддающиеся отчетливой классификации, все известные геометрические системы».

4. Эрлангенская программа

Веками слово «геометрия» употреблялось только в единственном числе. Но вот появилась геометрия Лобачевского, затем геометрия Римана, и наконец, математики поняли, что

существует много различных геометрий. Возник естественный вопрос: что же такое геометрия? В 1872 году Клейн высказал свою точку зрения в лекции, прочитанной им в связи со вступлением в профессорскую должность в Эрлангене. Так появилась «Эрлангенская программа», по-видимому, самое известное сочинение Клейна. По существу в нем нет новых результатов, все внимание сконцентрировано на поисках принципа, позволяющего систематизировать очень аморфное образование, в которое превратилась к тому времени геометрия.

По Клейну, основным атрибутом всякой геометрии является некоторый набор $G$ взаимно однозначных преобразований некоторого множества $M$. Преобразований должно быть достаточно много для того, чтобы каждую точку множества $M$ можно было перевести в другую некоторым преобразованием из $G$ (в этом случае говорят, что $G$ действует на $M$ транзитивно). Такая точка зрения была навеяна, конечно, проективной геометрией, в которой с самого начала первичными были некоторые преобразования (центральные проектирования), в то время как в евклидовой геометрии (в традиционном изложении) первичны другие объекты: прямые, отрезки, конгруэнтные фигуры и т. д.

Следующее положение состоит в том, что набор преобразований $G$ должен быть группой. Это означает, что любые два преобразования из $G$, выполненные подряд, можно заменить одним преобразованием, также из $G$; кроме того, вместе с каждым преобразованием $g \in G$ в $G$ входит и обратное к нему: $g^{-1}$ (если $g$ переводит $x$ в $y$, то $g^{-1}$ переводит $y$ в $x$).

Итак, с каждой группой преобразований $G$ связывается некоторая геометрия. Что же составляет содержание такой геометрии? Прежде всего — нахождение инвариантов группы $G$ — свойств, которые сохраняются при действии преобразований из $G$ (точнее, если какой-то объект нашей геометрии обладает инвариантным

7

свойством, то каким бы преобразованием из $G$ мы на него не действовали, получится объект, также обладающий этим свойством). Для группы переменной включовой геометрии инвариантами является все известные геометрические свойства, так как мы не различаем положения фигур на плоскости. Однако и в традиционном курсе геометрии имеются нетривиальные утверждения об инвариантах преобразования, не являющихся переменными. При готовых сохраняются конгрузность углов, свойство кривой быть окружностью, отношение длины отрезков, отношение площадей. Имея некоторый запас инвариантных свойств, можно конструкровать новые. Относительно готовый инвариантными будут свойство прямой бить биссертиской угла, свойство кривой быть полученную. Относительно освых растяжений свойство кривой быть окружностью уже не будет инвариантом, но будет инвариантом свойство кривой быть эллипсом (а также гиперболой или параболой); сохраняется отношение длины отрезков, лежащих на одной прямой (но не на разных), относение площадей. Следствием является инвариантность свойства точки делить отрезок в данном отношении, свойства прямой бить медианой треугольника. Можно показать, что всякое аффинное преобразование можно представить в виде композиции переменной и освых растяжений, а потому все указанные свойства инвариантных относительно аффинных преобразований (примеры проектных инвариантов приведены на с. 3).

Выделение инвариантов — только первый слой геометрии. Ее основное содержание состоит autour теоремы о соответствии между инвариантными свойствами (их называют сизящими). Например, медианы треугольника являются его аффинными инвариантами; существование общей точки, делющей медианы в отношении 2:1, — нетривиальное соответствие между этим треугольниками. В теоремах о пересечении биссертиrics и высоттязывании зависимости между инвариантами готовый.

На возможность использования геометрических преобразований для получения новых теорем обратил внимание в 1837 году Шаль: «Телерь каждой в состоянии взять какую-нибудь известную истину и применить к ней различные общепринципы преобразования; так он получит другие истинны… Геней больше не является необходимым для того, чтобы вносить свою лепту в построение величины храма науки». Однако если понятно решет Шаль буквально: взять любую теорему и применить к ней произвольное преобразование, — то получится верное утверждение, но с такой корой формулировкой, что у него будет мало шанс составяя в «храме науки». Подумайте, например, во что превращается теорема о пересечении биссертиrics, если сделать освое растяжение? Как обяснить, в какую прямую перейдет биссертиrica? Клейн обясняет, что важно, напротив, понять, какие из преобразованной утверждения не меняют, подобрать преобразования, максимальное упрощение картину, и доказать утверждение в полученной (более простой) форме. Вот традиционный пример. Аффициным преобразованием любой треугольник можно превращать в равносторонний, и поскольку в теореме о точеке пересечения медианей редientной площади: например, пусть $\lambda$ — площадь шестиугольника, образованного «мридианами» — прямыми, соединяющими вершины треугольника с точки, делящими противоположную сторону на три равные части (число $\lambda$ однозначно определено). Тогда в лию бом треугольнике отношение площади шестиугольника, образованного тридианами, к площади всего треугольника равно $\lambda$. Телерь вы легко может придать другие теоремы такого рода.

Один из важнейших моментов в рассуждениях Клейна — это выяснение взаимнотошения между геометриями, связанных с группами $G_1$ и $G_2$, если $G_1 \subset G_2$. (Говорят, что $G_1$ — подерупна группы $G_2$.) У большей группы $G_2$ меньше инвариантов, чем $G_1$, и все теоремы, связанные с группой $G_2$, верны и для геометрии, связанной с меньшей группой $G_1$.

8

Позному в каждой конкретной геометрии важно найти такие утверждения, которые остаются справедливыми и для геометрии с более широкими группами преобразований. Иногда возможность «перенесения» утверждения в геометрию с более широкой группой преобразований становится ясно лишь после переработки формулировки утверждения.

Идеология Келли на языке эргангенской программы состоит в том, что можно дивигаться обратным путем, рассматривая группу преобразования, сохраняющих некоторые фиксированный объект. При этом часто инварианты для подгруппы можно конструкировать при помощи инвариантов для группы (расстояния в ενклидовой и неевклидовых геометриях — при помощи двойного отношения).

Инварианты для большей группы и соответственно между ними обычно описывают процесс. В частности, для проектной группы задачу нахождения инвариантов можно сделать полностью алгебраической и решить.

«Эргангенская программа» завершила «золотой век» классической геометрии. Число новых геометрий возрастает; постепенно геометрический язык произвляется значительно часть математики. «Классическая геометрия переросла себя, и из живой самостоятельной науки превращалась в универсальный язык современной математики, обладающий исключительно гибкостью и удобством» (Н. Бурбаки).

5. Экстерн в школе Римана

После «Эргангенской программы» Келли обращается к теории алгебраических функций — области, в которой работали Гаусс, Лежандр, Абель, Якоби, Вейерштрасс, Риман. Нанболее близкими Клейну оказались идеи Римана (1826 — 1866), с которым он не был лично знаком. По словам Келли, он был «экстерном в школе Римана, … а экстерны, как известно, если берутся за какое-нибудь дело, то работают с особенным временем, либо к работе их побуждает только глубокий интерес». Позднее Келин писал, что видел свою задачу в сочетании Римана с Галya,— то есть в проникновении теории группы в геометрическую теорию функций комплексного переменного. По собственному мнению Келина это была главная область его научной деятельности.

К сожалению, об этой деятельности Келина рассказы мы не сумем, поскольку здесь уже нужно требовать от читателя специальных знаний, далеко выходящих за рамки школьной программы. Но все же об одном обстоятельстве мы упомянем.

Клейн занимается так называемой проблемой униформации. Расматривая важные случаи с временем разобразия и с общей задачей. Но в 1881 году Клейн обнаружил серийныйник не известного французского математика Анри Пуанкаре (1854—1912), который по существу пробелу униформации решил *). Это драматическое событие Клейн встретил достойно. Он начал переписку с Пуанкаре; они обменялися 26 письмами. Клейн, уже известный математик (хотя только на 5 лет старший Пуанкаре), выступает в роли очень тактического учителья. Он знакомит Пуанкаре с теории Римана, о которой тот не имел представления, но мгновенно усвоил. Клейн решается на современные с Пуанкаре: улучшает доказательство основного результатата и намечает его обобщение. Эта история окончалась для Келина печально: «Цена, которую мне пришлось запалить за мои работы, была во всяком случае очень велика, так как мое здоровье оказалось совершенство расшатанным … Только к осени 1884 года положение нескольких, норежней степени творческого активности я уже не достигнigma … Моя собственная творческая деятельность в области теоретической математики закономлась в 1882 году».

*) Общая проблема униформации ещё фирурировала в числе проблем Гильберта (1900·г.) и была полностью решена в 1907 году независимо Пуанкаре и Кебе.

9

6. Последние 40 лет

Начная с 1886 года Клейн работает в Геттингене. Благодаря Клейну этот город превращался в подлинную столицу математики. По его инциативе в Геттинген приглашают талантливые молодые математики (средние них — Гильберт). Клейн никогда не переставал интересовать новыми идеями. Его лекционные курсы, частично записанные и изданные, посвящены самых разных областям математики, механики, физики. Многогранана организационная и общественная деятельности Клейна. 50 лет руководил он изданием одного из основных математических журналов «Mathematische Annalen». Своеобразной лебединой песней Клейна были его «Лекции о развитии математики в XIX столетии», читанные в 1914—1919 годах и изданные посмертно его учениками Курантом и Нейбауэром. Приведем выдержку из их предисловия: «Эти лекции являются зрелым плодом богатой жизни, проведенной в центре научных событий, выражением проникновенной мудрости и глубокого исторического понимания, высокой человекаской культуры и мастерского дара изложения».

Значательную часть времени и силу тратил Клейн на разработку проблем школьного преподавания математики и подготовку учительей, чем, верятно, до него не занимался ни один математик такого масштаба. «Вряд ли есть предмет,— писал Клейн,— в преподавании которого царила бы такая рутина, как в преподавании математики. Курс элементарной математики вылился в определенные рамках и точно замер раз навсегда в установленных пределах. Время от времени по тому или иному поводу один задачи заменюются другими, исключаются один параграф и вводятся другие; но по существу на всем материале школьной математики это почти не отражается. Новые учебники алгебры носят отпечаток алгебры Эйлера, как новые учебники геометрии отпечаток геометрии Лежандра. Можно подумать, что математика — мертвая наука, что в ней ничего не меняется, что в этой области знания нет новых идеей, по крайней мере таких, которые могли бы сделать достоянием несpecialистов, предметом общего образования».

Клейн стремится учеть в преподавании состояние современной науки, связь математики и физики. Он рекомендует систематически пользоваться преобразованиями в геометрии, отказывать от традиционного развития школьной математики на предметы. Школьный курс должен пронизан понятным функциями; тщательно продумываются пути восплитания у учеников «функционального мышления». Изложение геометрии, по мнению Клейна, должно начиниться в неаксиоматическом варианте, а аксиоматический метод должен появляться уже тогда, когда ученики в состоянии его осознать.

С большим таким поддерживам Клейн контакты с людьми, занимающими школьной математикой, четко ограничив круг своей компетенции, никогда не вмешиваться в вопросы, требовавшие опыта непредставенной работы в школе. Клейн читал лекции для учительей, которые частично изданы. Наболее известна его «Элементарная математика с точки зрения высшей». Это не лекции по методике математики и не расширений курс школьной математики. «Я хочу, чтобы настоящая книга оказалась полезной тем, что побудит иногучителя нашей средней школи к самостоятельному развитию материала, позволяющей использовать материалы, которые он преподает. Исключительно с такой точки зрения надо смотеть на мою книгу, а не считать ее готовым учебным планом; преработку последнего я всецело представляют тем, кто работает в школе. Если кто-нибудь предподает, что я иначе понимам свою деятельности, то это недоразумение» (Клейн).

10

1. Тайны планетных орбит

Древнегреческий ученые умел решать лишь немогие задачи кинematики — они могли расчитать либо равномерное прямолинейное движение, либо равномерное врашение вокруг оси. Но описать движение планет столбствми способами не удалось.

Планеты дивgalись по самым замысловатым кривым, иногда быстро продвигаясь вперед, а иногда замедляя свое движение и даже возвращаясь назад. Что бы светлия к круговым, алексадрийский астроном Птолемей, живший в III в. до н. э., придумал сложнейшую систему окружности; центры малых окружностей равномерного врашлись по большим, а планеты равномерного врашлись по малым окружностям. Но и система Птолемея не согласивалась с наблюдениями, и ее приходилось все время усложнять. Лишь в XVII века немецком ученому Юранну Кеплеру удалось на основе созданной вликим полским астрономом Николаем Коперником гелюцентрической системы мира формулировать законы движения планет.

Оказалось, что планеты движутся не по окружностям, а по эллипсам, и притом неравномерно. Объяснить, почему это так, Кеплер не смог — в то время не были известны ни общее законы механики, ни математические методы, позволяющие изучать криволинейное и неравномерное движение.

Лишь в конце XVII века Исаак Ньюотон открыл законы динамики, формулировал закон всемирного тяготения и развил математические методы, позволяющие свойства неравномерное к равномерному, неоднородное к однородному, криволинейное к прямолинейному. В основе лежала простая идея — движение любого тела за малый промежуток времени можно приближенно расматривать как прямолинейное и равномерное.

Методы, развитыные Ньюотом, для возникновения по заданному закону движения тела находить его скорость иускорение в любой момент времени, а также решать обратную задачу — по заданномуускорению сначала находить скорость, а потом закон движения тела. А если вспомнить, что по второму закону Уbiorонаускорение тела постояной массы пропорционально действующей на него силе, то станет ясно, что новые методы установливали связь между движением тела и действующими на него силами, то есть решили основную задачу механики.

Одновременно с Ньюотом немецкий философ и математик Готтфрид Вильгельм Лейбниц изучал, как проводить касательные к произвольным

кривым. Он также развил новое исчисление, которое оказалось по сути дела тождественным построенному Ньютоном. Обозначения, введенные Лейбницем, оказались настолько удачными, что сохранились и по сей день.

Новая математика Ньютона и Лейбница состояла из двух больших частей — дифференциального и интегрального исчислений. В первом из них говорилось, как, изучая малую часть явления, сводить неравномерное к равномерному, а во втором — как из малых равномерных частей конструировать сложное неравномерное явление.

Дифференциальному и интегральному исчислениям и их дальнейшему развитию (вариационному исчислению, дифференциальным уравнениям, теории функций комплексного переменного и т. д.) посвящены многотомные монографии. В этой статье мы расскажем лишь об основных понятиях дифференциального исчисления — о производной и дифференциале.

2. Свойство «линейности в малом»

Три линии на рисунке 1 являются частями одной и той же параболы $y = x^2$, изображенной в разных масштабах. Рисунок а сделан в мелком масштабе, рисунок б — в масштабе покрупнее, рисунок в — еще круп-

нее. На всех рисунках взята одна и та же точка $M\,(1;\,1)$ параболы, чтобы можно было изучить поведение кривой в окрестности этой точки.

На рисунке 1, а ясно видно, что парабола искривлена. На рисунке 1, б это искривление уже менее заметно, а на рисунке 1, в его практически нет — график функции $y = x^2$, сделанный в крупном масштабе, на глаз почти неотличим от прямой линии. Чем крупнее мы выберем масштаб, тем меньше график функции $y = x^2$ будет отличаться от некоторой прямой линии, проходящей через точку $M\,(1;\,1)$. То же самое было бы, если бы мы стали строить во все увеличивающемся масштабе график функции $y = x^2$ в окрестности любой другой точки.

Не только парабола «напоминает» вблизи любой своей точки прямую — этим свойством обладают окружность, гипербола, синусоида и т. д. Его можно назвать свойством линейности в малом (термин объясняется тем, что прямая — это график линейной функции $y = kx + b$). Но геометрический язык, на котором мы выразили это свойство, расплывчат. Поэтому попробуем сформулировать его на суховатом, но зато точном языке формул.

3. Приращение функции

На рисунке 2 изображен квадрат со стороной длины $a$; площадь $y$ такого

Рис. 1. а) б) в)

11

12

квадрата равна $a^2$. Если длину стороны квадрата увеличить на $p$, то и площадь увеличится — на величины площади фигуры, закрашенной на рисунке 2. Эту площадь называют приращением площади квадрата. Она равна $(a+p)^2-a^2$, то есть $2ap+p^2$.

Положим $p=\Delta x$ (читается «дельма икс»), а приращение площади квадрата обозначим через $\Delta y$. Получим

$$\Delta y=2a \cdot \Delta x+(\Delta x)^2.$$ (1)

Точно так же можно определить понятие приращения для любой функции $y=f(x)$: чтобы вычислить приращение функции при перехождение от точки $a$ к точке $a+\Delta x$, нужно:

a) найти значение $f(a)$ функции в точке $a$;
b) найти значение $f(a+\Delta x)$ функции в точке $a+\Delta x$;
b) из второго значения вычесть первое.

Иными словами, приращение функции при перехождение от точки $a$ к точке $a+\Delta x$ равно $\Delta y=f(a+\Delta x)$—$f(a)$.

Например, приращение функции $y=x^3$ при перехождение от точки $a$ к точке $a+\Delta x$ будет

$$\Delta y=(a+\Delta x)^3-a^3= =3a^2 \cdot \Delta x+3a \cdot (\Delta x)^2+(\Delta x)^3.$$ (2)

Рис. 2.

Слова «приращение аргумента», «приращение функции» обманчны: может создаться впечатление, что и аргумент, и функция увеличиваются. На самом деле и $\Delta x$, и $\Delta y$ могут быть отрицательными числами. Быть может, было бы лучше вместе «приращение» говорить «изменение», но мы будем придерживать традиционной терминологии.

4. Дифференцируемые функции

Тепер уже можно точнее обязывать,почему график функции $y=x^2$ «выпрямляется», когда мы увеличиваем масштаб. Поскольку все рисуки $1, a-\beta$ одного и того же размера, то с увеличением масштаба на них уменьшаются все меньше и меньше частки кривой. Это означает, что мы рассматриваем нашу функцию при все меньше и меньше значениях $\Delta x$. Таким образом, «выпрямление» графика функции связано с особым поведением приращения этой функции при уменьшении приращения аргумента.

Чтобы разобраться в этом, выразим приращение функции $y=x^2$ в точке $M(1; 1)$ через приращение аргумента. Мы получим:

$$\Delta y=(1+\Delta x)^2-1=2 \cdot \Delta x+(\Delta x)^2.$$

Мы видим, что приращение функции состоит из двух слагаемых: $2 \cdot \Delta x$ и $(\Delta x)^2$. Первое из них пропорционально $\Delta x$, а второе обладает следующей особенность: если $\Delta x \rightarrow 0$, то оно стремится к нулю города быстрее, чем $\Delta x$. Например, если $\Delta x=0,1$, то $(\Delta x)^2=0,01$; если $\Delta x=0,001$, то $(\Delta x)^2=0,000001$ и т. д. Таким образом, $\Delta y$ при малых $\Delta x$ почти равно $2 \cdot \Delta x$. Так как $\Delta y=y-1$, $\Delta x=x-1$, то $y-1 \approx 2(x-1)$, то есть $y \approx 2x-1$. Но $y=2x-1$ это уравнение прямой с угловым коэффициентом, равным 2. Значит, чем меньше окрестность точки $M(1; 1)$ мы берем, темнее в этой окрестности парабола примыкает к прямой $y=2x-1$. Говорят, что парабола $y=x^2$ в точке $M(1; 1)$ касается прямой $y=2x-1$.

Итак, «выпрямление» графика функции $y=x^2$ при увеличении мас-

13

штаба оказалось связанным с возможностью разложения приращения функций на два слагаемых, из которых одно пропорционально приращению аргумента, а второе при малых значениях Δx пребрежимо мало по сравнению с Δx. Но слова «пренебрежимо мало» еще нуждаются в уччении.

Будем говорить, что величина β пребрежимо мала по сравнению с Δx при стремлении Δx к нулю, если ее отношение к Δx стремится к нулю: β=α·Δx, где limα=0.

Тепер мы уже можем сформулировать основное определение.

О пределене 1. Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке a, если ее приращение в этой точке можно представить в виде суммы двух слагаемых, первое из которых пропорционально приращению Δx аргумента, а второе пребрежимо мало по сравнению с Δx. Иными словами,

$$\Delta y = A \cdot \Delta x + \alpha \cdot \Delta x,$$

(3)

где A — число, а α — стремится к нулю, когда Δx стремится к нулю.

Рассмотрим приращение функций y=x³ в точке x=a. Из равенства (2) получаем Δy = 3a²·Δx + [3aΔx + (Δx)²] Δx. Слагаемое 3a²·Δx пропорционально Δx, а второе слагаемое [3a·Δx + (Δx)²] Δx является произведением Δx и множитель 3a·Δx + (Δx)², который стремится к нулю, когда Δx стремится к нулю. Значит, функция y=x³ дифференцируема, причем для нее A=3a².

Коэффициент A в равенстве (3) зависит от того, в какой точке мы его вычисляем. Например, для функции y=x³ в точке a=1 имеем A=3, а в точке a=2 имеем A=12. Если считать значение аргумента, для которого вычисляется коэффициент A, переменным, то удобно обозначить его буквой x. При изменении x коэффициент A является функцией от x. Эта функция называется произведенной от функции y=f(x) и обозначена:

$$f'(x), \text{ или } y'$$ (читается «эфффициximом икс», «иерекitimix»).

Слагаемое A·Δx, то есть f’(x)·Δx называют дифференциалом функции y=f(x) и обозначают dy. Таким образом, dy=f’(x)Δx. Общно Δx обозначают dx и пишут dy=f’(x)dx.

Из определения 1 следует, что при значениях Δx, близких к нулю, приращение дифференциалом функции Δy почти пропорционально приращению аргумента. Точнее, для такой функции Δy=(A+α)Δx, где слагаемое α, характеризущее отклонение от «точной» пропорциональнойности, стремится к нулю, когда Δx стремится к нулю. Эта «почти пропорциональноность» приращения функции приращению аргумента и лежит в основе «выпрямления» графика при увеличении масштабы изображения.

Не следует думать, что все функции дифференцируемых в любой точке. Дифференцируемся, говоря наглядно, ознакомьтесь заменить график функции в окрестности точки прямой линии. Если же график функции имеет в некоторой точке излом, а тем более — разрыв, то функция не будет дифференцируемой в такой точке. Например, функция y=|x| не является дифференцируемой в точке O (0; 0) (рис. 3).

Интупция подсказывает, что точки, в которых данная функция y=f(x) не является дифференцируемой, не могут лежать слишком гус-то — не может же кривая иметь из-

14

лом в каждой своей точке! Во многих учебниках математики XIX века это утверждение так и было сформировано. Каково же было изучение ученых, когда во второй половине XIX века немецкий математик Карл Вейерштрасс опубликовал пример функций, непрерывной во всех точках, но нигде не дифференцируемой! График этой функции имел излом в каждой своей точке. Позже выяснили, что за несколько лет до Вейерштрасса функцию с таким же свойством построил чешский математик Бернард Больцано; эта работа Больцано была опубликована лишь через много лет после его смерти.

5. Производная

Вернемся к рассмотрению дифференцируемых функций — «хорошие» функции, которые изучаются в средней школе, и те, которые чаще всего встречаются в приложениях математики, как правило, дифференцируемые. Для этих функций из основного равенства (3) получаем, что $\frac{\Delta y}{\Delta x} = A + \alpha$. Если теперь устремить $\Delta x$ к нулю, то в равенстве (3) $\alpha \rightarrow 0$, откуда

$$A \equiv f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}.$$

Для обозначения производной иногда используется запись $\frac{dy}{dx}$. В этом обозначении сохраняется воспоминание об отношении приращений $\frac{\Delta y}{\Delta x}$, из которого путем предельного перехода получалась производная.

Операция отыскания производной данной функции называется дифференцированием.

В учебном пособии «Алгебра и начала анализ» для 9-го класса, вышедшем под редакцией академика А. Н. Колмогорова в 1975 году, читатель найдет выбор формул и правил дифференцирования, позволяющих произвольноровать любую дробно-рациональную функцию. Ниже мы показем, как выводятся формулы для дифференцирования показатель и триюномерических функций. Для этого остановся сначала на геометрическом смысле производной.

6. Геометрический смысл производной

Мы видели, что в малой okрестности точки, в котором функция дифференцируется, ее график почти неотличим от некоторой прямой. Эту прямую называют касательной к графику функции в данной точке. Для точек этой прямой равенство $\Delta y = A \cdot \Delta x$ является уже не приближенным, а точным. Так как $\Delta y = y - b$, $\Delta x = x - a$, то для всех точек касательной выполняется равенство $y - b = A(x - a)$. Значит, угловой коэффициент касательной равен $A$. Но $A = f'(a)$, следовательно, значение производной в заданной точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке. Это и есть геометрический смысл производной.

Вернемся к уравнению касательной: $y - b = A(x - a)$. Так как $A = f'(a)$, а $b = f(a)$, то уравнение касательной к графику функции, дифференцировой в точке $(a, b)$, можно записать в таком виде:

$$y - f(a) = f'(a)(x - a).$$

Например, уравнение касательной к параболе $y = x^2$ в точке, в которой $x = 3$, будет $y = 6x - 9$ (проверьте это).

7. Производная показатель функции

При записи законов физики, связанных с показатель функцией, удобно пользоваться особым числом — числом $e$. Это число можно определить следующим образом.

Начертим в декартовой прямой системы координат графики функций $y = 2^x$, $y = 3^x$, $y = 5^x$ (рис. 4). Мы видим, что чем больше основание, тем меньше угол с осью $Oy$ в точ-

15

ке $M(0;1)$ образует график функции (под углом между кривой $y=f(x)$ и осью $Oy$ понимается угол между касательной к кривой $y=f(x)$ в точке $M(0;f(0))$ и осью $Oy$). Угол между осью $Oy$ и графиком функции $y=2^x$ равен примерно $55^\circ$, а угол между осью $Oy$ и графиком функции $y=3^x$ равен примерно $42^\circ$. Оказывается, между числами 2 и 3 имеется такое число, что график показательной функции, в основании которого находится это число, пересекает ось $Oy$ под углом $45^\circ$. Это число и обозначает буквой $e$. Оно irrationalно, подсчеты показываются, что $e=2,7182818284590$…

По определению, касательная к графику функции $f(x)=e^x$ в точке $M(0;1)$ образует с осью $Oy$, а значит, и с осью $Ox$ угол $45^\circ$. Поэтому для функции $f(x)=e^x$ имеем $f'(0)=\text{tg}45^\circ=1$. Расмотрим теперь функцию $g(x)=e^{x-a}$. График этой функции получается из графика функции $e^x$ сдигром на $|a|$ вправо, если $a>0$, и влево, если $a<0$ (рис. 5). При сдвиге касательная, проведенная к графику функции $y=e^x$ в точке $M(0;1)$, перейдет в касательную, проведенную к сдинутой кривой в точке, абсцисса которой равна $a$. Следовательно,

8. Производная — это скорость!

Во второй половине XIX века курс математической физики в Кембриджском университете читал знаменитый ученый Вильям Томсон, позднее получивший за научные заслуги звание лорда Кельвина (в его честь, в частиности, назван шкафа Кельвина), а курс «чистой математики» — профессор Тодгентер. Однако, войдя в аудитории, Томсон внесло обратился к студентам с вопросом: что такое $\frac{dx}{dt}$? В ответ он получил все мыслиные строгого логического определения. Все они были ответгнуты: «Ах, бросьте вы этого Тодгентера, $\frac{dx}{dt}$ — это скорость!»

Здесь читатель может удивиться — только что производная выступала

как угловой коэффициент касательной к графику функции, а теперь она объявляется скоростью. Тем не менее оба ответа на вопрос: «что такое производная?» — верны, только в первый раз объяснялся г е о м е т р и ч е с к и й смысл производной, а во второй — ее ф и з и ч е с к и й смысл. Чтобы стало яснее, какое отношение имеет производная к скорости движения, рассмотрим точку, движущуюся по прямой.

Выберем на этой прямой начало отсчета, единицу измерения и направление. Тогда положение точки на прямой будет определяться ее координатой $x = f(t)$ (закон движения точки). Средней скоростью движения за промежуток времени в физике обычно называют величину, равную отношению перемещения точки к промежутку времени, в течение которого перемещение произошло. Перемещение — это не пройденный путь, а изменение (приращение) координаты движущейся точки. Если, скажем, точка за промежуток времени от $t_1$ до $t_2$ прошла путь от $A$ до $B$ и вернулась обратно в $A$, то перемещение равно нулю, и средняя скорость $v_{\mathrm{cp}} = 0$. В общем случае имеем $v_{\mathrm{cp}} = \dfrac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}$, или

$$v_{\mathrm{cp}} = \frac{f(t_2) - f(t_1)}{t_2 - t_1}.$$

Если положить $t_1 = t$, $t_2 = t + \Delta t$, то средняя скорость за промежуток $[t,\ t + \Delta t]$ окажется равной

$$v_{\mathrm{cp}} = \frac{f(t + \Delta t) - f(t)}{\Delta t} = \frac{\Delta x}{\Delta t}.$$

Мгновенной скоростью в момент времени $t$ называют предел средней скорости движения за промежуток времени $[t,\ t + \Delta t]$, когда $\Delta t \to 0$. Значит,

$$v_{\mathrm{мгн}} = \lim_{\Delta t \to 0} v_{\mathrm{cp}} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}.$$

Но $\lim\limits_{\Delta t \to 0} \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$ — это производная координаты $x$ по времени $t$. Значит, численное значение мгновенной скорости

16

прямолинейно движущейся точки действительно оказалось равным производной перемещения по времени.

9. Скорость криволинейного движения

Для того, чтобы изучать движение пушечных ядер и планет, частей механизмов и машин, изложенного выше метода недостаточно — ведь все эти тела движутся по кривым линиям, а мы умеем справляться лишь с прямолинейным движением. Но, проектируя положение движущейся точки на оси координат, можно свести криволинейное движение к двум прямолинейным. При этом, если траектория движения плоская, то закон движения задается двумя функциями, дающими значения координат точки в момент времени $t: x = x(t)$, $y = y(t)$. Впрочем, можно взять и одну функцию, только принимающую не числовые, а векторные значения. Для этого проведем направленный отрезок от начала координат $O$ к движущейся точке $M$ и обозначим $\overrightarrow{OM}$ через $\vec{r}(t)$. Из рисунка 6 видно, что разложение вектора $\vec{r}(t)$ по единичным векторам $\vec{i}$ и $\vec{j}$ имеет вид

$$\vec{r}(t) = x(t)\,\vec{i} + y(t)\,\vec{j}.$$

Мгновенная скорость точки $M$ определяется точно так же, как и в случае прямолинейного движения: берут

Рис. 6

17

промежуток времени $[t, t + \Delta t]$, расстояние перемещение точки $M$ за этот промежуток времени, делят его на $\Delta t$ и устремляют $\Delta t$ к нулю. Разница состоит лишь в том, что перемещение точки $M$ выражается не числом $\Delta x$, а вектором, идущим из положения точки $M$ в момент времени $t$ в ее положение в момент времени $t + \Delta t$ (рис. 7). Этот вектор обозначает $\Delta r$, и он равен $\vec{r}(t + \Delta t) - \vec{r}(t)$, то есть $\Delta xi + \Delta yj$. При делении на $\Delta t$ получаем вектор, параллельный вектору $\Delta r$, но имеющий инную длину. Он показывает среднюю скорость движения точки за промежуток времени $[t, t + \Delta t]$, $\vec{v}_{cp} = \frac{\Delta r}{\Delta t}$.

Если устремить $\Delta t$ к нулю, то полученный вектор $\vec{v}_{cp}$ будет поворачивать векруг точки $M$, и в пределе окажется направленный по касательной в сторону движения точки. Вектор $\lim_{\Delta t \to 0} \vec{v}_{cp}$ обозначает $\vec{v}_{mfr}$ и называют вектором меновенной скорости в момент времени $t$. Таким образом,

$$\vec{v}_{mfr} = \lim_{\Delta t \to 0} \vec{v}_{cp} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta r}{\Delta t} = \frac{dr}{dt}.$$

Иными словами, вектор меновенной

Рис. 7.

скориси являются производной вектор-функции $\vec{r}(t)$. По другому его можно записать так:

$$\vec{v}_{mfr} = x'(t)\vec{i} + y'(t)\vec{j}.$$

Поскольку вектор $\vec{v}_{mfr}$ направлен по касательной к траектории движения точки, относение $\frac{y'(t)}{x'(t)}$ равно угловому коэффициенту этой касательной: $k_{kac} = \frac{y'(t)}{x'(t)}$.

Наглядный смысл имеет длина вектора $\vec{v}_{mfr}$. Она выражает линейную скорость движения точки в момент времени $t$. Иными словами, если обозначает длину других траектории, пробегаемую за промежуток времени $[t, t + \Delta t]$, через $\Delta l$, то

$$|\vec{v}_{mfr}| = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta l}{\Delta t} = \frac{dl}{dt}.$$

No, по теореме Пифагора, длина вектора $x'(t)\vec{i} + y'(t)\vec{j}$ равна $\sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2}$. Значит,

$$\frac{dl}{dt} = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2},$$

то есть

$$dl = \sqrt{dx^2 + dy^2}.$$

Формула (4) лежит в основе вычисления длины могих кривых. Например, с ее помощью можно найти длину циклоды (кривой, получаемый при качении окружности по прямой), эвольвенты круга (кривой, получаемый при размытывании нити, намотанной на окружность), и т. д.

10. Производные тригонометрические функции

Покажем, как с помощью физических соображений можно найти производные тригонометрические функции. Пусть по окружности единичного радиуса с единичной угловой скоростью движения точки, и пусть в начальной момент времени она находится в

18

Рис. 8.

положения $A_0$, а в момент времени $t$ — в положении $A_t$ (рис. 8). Дуга $A_0A_t$ имеет длину $t$, то есть центральный угол $A_0OA_t$ содержит $t$ радиан. По определениям синуса и косинуса ordinata точки $A_t$ равна $\sin t$, абсцисса точки $A_t$ равна $\cos t$. Значит, проекция $B_t$ точки $A_t$ на ось абсциссы движения по закону $x = \cos t$, а проекция $C_t$ точки $A_t$ на ось ordinат — по закону $y = \sin t$. Найдем скорсти этих движений.

Заметим, что линейная скорость точки $A_t$, как и угловая скорость, равна 1. Разложим линейную скорость на две составляющие — горизонтальную и вертикальную. Вектор $\vec{v}$ скорости точки $A_t$ (имеющий длину 1) направлен по касательной к окружности, проведенной в точке $A_t$, и потому образует с осью $Ox$ угол $t + \frac{\pi}{2}$, а с осью $Oy$ — угол $t$. Следовательно, проекция вектора $\vec{v}$ на ось $Ox$ (то есть скорость движения точки $B_t$) равна $v_x = \cos (t + \frac{\pi}{2}) = -\sin t$, а его проекция на ось $Oy$ (то есть скорость движения точки $C_t$) равна $v_y = \cos t$.

Так как скорость есть произведение от путь по времени, то, учитывая, что закон движения точки $B_t : x = \cos t$, а скорость $v_x = -\sin t$, получаем, что $(\cos t)' = -\sin t$.

Для точки $C_t : y = \sin t$, $v_y = \cos t$, откуда $(\sin t)' = \cos t$.

Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы

В. Г. Болтянский

Хорошо известна задача о нахождении на прямой $l$ такой точки $M$, для которой сумма расстояний от двух заданных точек $A$, $B$, лежащих по одну сторону прямой $l$,— наименьшая. Искомой будет точка пересечения отрезка $A_1B$ с прямой $l$, где $A_1$ — точка, симметричная $A$ относительно прямой $l$ (рис. 1). В самом деле,
$$|AM| + |MB| = |A_1M| + |MB| = |A_1B|,$$
тогда как для любой другой точки $M'$ прямой $l$ имеем
$$|AM'| + |M'B| = |A_1M'| + |M'B| > |A_1B|.$$
Иначе говоря,
$$|AM'| + |M'B| > |AM| + |MB|. \quad (1)$$

Все это хорошо, может возразить нетерпеливый читатель, но задача эта проста и хорошо известна. И какое отношение все это имеет к эллипсу или параболе? Минуточку терпения! Взглянем еще раз на чертеж:

Рис. 1.

$\angle 1 \cong \angle 3$, а так как, кроме того, $\angle 2 \cong \angle 3$, то $\angle 1 \cong \angle 2$. Поэтому из решения рассмотренной задачи вытекает следующее утверждение:

Пусть $A$ и $B$ — две точки, лежащие по одну сторону прямой $l$, и $M$ — такая точка прямой $l$, что отрезки $AM$ и $MB$ образуют с прямой $l$ равные углы. Тогда для любой точки $M'$ прямой $l$, отличной от $M$, справедливо неравенство (1).

Вот теперь мы достаточно «вооружены» для рассмотрения оптического свойства эллипса. Возьмем на эллипсе, имеющем фокусы $A$ и $B$, произвольную точку $M$ (рис. 2). Для любой точки $N$, принадлежащей эллипсу, справедливо равенство

$$|AN| + |BN| = |AM| + |BM|, \text{*)}$$

а для точки $N$, лежащей внутри эллипса, сумма $|AN| + |BN|$ будет м е н ь ш е, чем $|AM| + |BM|$. Построим прямую $l$, проходящую через $M$ и образующую равные углы с отрезками $AM$ и $BM$. Если теперь $M'$ — произвольная точка прямой $l$, отличная от $M$, то как мы видели, сумма $|AM'| + |BM'|$ будет б о л ь ш е $|AM| + |BM|$, и потому точка $M'$ лежит в н е эллипса.

Итак, прямая $l$ имеет только о д н у общую точку с эллипсом, а именно, точку $M$; все же остальные точки

---

*) Это свойство можно считать определением эллипса (см. статью Н. Н. Б р о н ш т е й н а «Эллипс», «Квант» № 1, 1975).

2 *

19

20

Примой $l$ расположены вне эллипса. Такую прямую называют касательной к эллипсу. Таким образом, касательная к эллипсу, проведенная в точке $M$, образует конгузнительные углы с радиусами-векторами $\vec{AM}$ и $\vec{BM}$. Это и есть оптическое свойство эллипса.

О том, почему это свойство называется «оптическим», мы поговорим ниже, а сейчас обратимся к гиперболе и параболе. Оптические свойства этих линей ясны из рисунков 3 и 4. На рисунке 3 точки $A$ и $B$ являются фокусами гиперболы, а на рисунке 4 точка $A$ — фокус, а прямая $d$ — директриса параболе. В обих случаях оптическое свойство выражается условием $\angle 1 \cong \angle 2$.

Для гиперболы доказательство оптического свойства аналогично доказательству, проведеннойному для эллипса.

Са, только надо воспользоваться задачей о нахождения на прямой $l$ такой точки, для которой разность расстояний от двух заданных точек $A$, $B$ наболь шяя. Предоставляем читателю самостояльно проведи это доказательство.

Рассматривая парабoly, надо воспользоваться тем, что для точки $N$, лежащей на самом параболе, справедливо равенство $|AN| = |NH|$ (рис. 5), а для точки $N'$, лежащей во внутренней области парабoles, $|AN'| < |N'H'|$. Если теперь проведи биссертрису $l$ угла $AMK$ (рис. 5), то для любой отличной от $M$ точки $M'$ прямой $l$ найдем:

$$|AM'| = |M'K| > |M'K'|,$$

то есть точка $M'$ лежит во внешней области парабoles. Итак, все прямая $l$, кроме точки $M$, лежит во внешней области, то есть внутренне

Рис. 6.

ня область параболы лежит по одну сторону от $l$, а это означает, что $l$ — касательная к параболе. Это и дает доказательство оптического свойства параболы: $\angle 1 \cong \angle 2$, так как $l$ — биссектриса угла $AMK$ *).

Можно указать еще один способ доказательства оптического свойства; рассмотрим его на примере гиперболы. Возьмем на гиперболе две очень близкие точки $M$ и $M_1$ (рис. 6), и пусть $P$ — точка пересечения прямых $AM$ и $BM_1$, а $Q$ — точка пересечения прямых $AM_1$ и $BM$. Посмотрим теперь «через лупу» на четырехугольник $M_1PMQ$ (рис. 7). Мы можем считать (приблизительно), что $[PM_1] \parallel [MQ]$ и $[PM] \parallel [M_1Q]$, так как точки $A$ и $B$ находятся очень далеко — сравнительно с размерами четырехугольника $M_1PMQ$. Итак, будем считать (приближенно), что $M_1PMQ$ параллелограмм. Проведем теперь окружности с центрами $A$ и $B$, проходящие через точку $M_1$. Вблизи рассматриваемого параллелограмма (см. рис. 7) дуги этих окружностей будут представляться прямыми $M_1K$ и $M_1L$, перпендикулярными сторонам параллелограмма. Мы имеем:

$$|AM| - |BM| = (|AK| + |KM|) - (|BL| + |LM|) = (|AM_1| + |KM|) - (|BM_1| + |LM|) = (|AM_1| - |BM_1|) + (|KM| - |LM|).$$

Но так как обе точки $M$, $M_1$ лежат на гиперболе, то $|AM| - |BM| = |AM_1| - |BM_1|$, и потому $|KM| = |LM|$. Полученное равенство означает, что прямоугольные треугольники $KMM_1$ и $LMM_1$ конгруэнтны (по гипотенузе и катету), и, следовательно, $\angle 1 \cong \angle 2$.

---

*) Другие доказательства оптических свойств эллипса, гиперболы и параболы см. в статье И. Н. Бронштейна «Общие свойства конических сечений», «Квант», 1975, № 5.

Рис. 7.

Это и дает доказательство оптического свойства (для того чтобы это «приближенное» рассуждение сделать точным, нужно еще перейти к пределу при $M_1 \to M$).

Теперь рассмотрим некоторые оптические и механические интерпретации доказанного свойства. Предположим, что эллипс представляет собой «зеркальную» кривую, от которой луч света отражается по закону «угол падения равен углу отражения». Если в одном фокусе такого зеркального эллипса помещен точечный источник света, то после отражения от стенок эллипса все лучи пройдут через второй фокус,— это является непосредственным следствием оптического свойства. Описанное явление можно наблюдать реально, в трехмерном пространстве. Для этого нужно взять поверхность, получающуюся вращением эллипса вокруг прямой, проходящей через его фоку-

Рис. 8.

21

22

Рис. 9.

сы. Если такую поверхность, называемого эллипсодом врацения, покрыть изнутри зеркальный слоем, а в одном из фокусов помещить точный источник света («солнце»), то наблюдаете, нахождение внутри эллипсона, увидит двя «солнца».
В самом деле, обратив взгляд к первому фокусу, наблюдаете непосредственно увидит размешенное там «солнце». Но и, посмотрев в направлении второго фокуса (где в действительности ничего нет), он также увидит «солнце» (рис. 8). И как бы ни перемещался наблюдаемый внутри эллипсона, на него почти взделе будет светить два «солнца».
Аналогичную картину можно наблюдать внутри эллипсного эллипсона, решил принять меры, которые избавят его от «минного солнца», и поместил во втором фокусе небольшее непрозрачное тело («экран»), преграждающее путь отражений лучам. Результат оказывается несколько неожиданным: теперь все лучи, исходящие от «солнца» А, после отражения от эллипсона собираются («фокусируются») на «экране» В, и это может вызвать интенсивный его разогрев. И заметьте, для такой фокусировки не обязательно иметь цель зеркальный эллипсид, а можно использовать лишь часть его поверхности.

Рис. 10.

А что увидит «несторамый» наблюдаете, оказывающей во втором фокuse В зеркального эллипсона, если в первый его фокус A помещить источник света? Все лучи, выходящие из точки A и отражаются от эллипсона, попадают в точку B. Таким образом, для наблюдаемого весы эллипсид будет светиться.

Иллюстрацию этого явления вы видите на первой странице обложки — в качестве источника света используются его от «минного солнца», и поместил во втором фокuse небольшее непрозрачное тело («экран»), преграждающее путь отражений лучам. Результат оказывается неожиданным: теперь все лучи, исходящие от «солнца» А, после отражения от эллипсона собираются («фокусируются») на «экране» В, и это может вызвать интенсивный его разогрев. И заметьте, для такой фокусировки не обязательно иметь цель зеркальный эллипсид, а можно использовать лишь часть его поверхности.

Если, например, изготовить эллипсный эллиптический отражатель, в одном фокuse которого находится Солнце (настоящее!), а в другом — котел с водой, то можно добиться кипения воды в котле за счет сфокусированного отражателем излучения Солнца.

Удивительного в этом ничего нет: ведь отражатель имеет большую площадь, и со всей его поверхности солнечная энергия направляется на обогрев котла. Такие солнечные устройства имеют неокоторое применение. А в будущеем (кто знает?), может быть, удastore, построив огромный эллипсный отражатель (рис. 9), использовать энергию лучей, которые проходят mismo Земли?

23

Если считать солнечные лучи приблизительно параллельными, то для их фокусировки можно использовать оптическое свойство параболы (рис. 10). Впрочем, сравнительно необольшаядуга очень вытянутого эллипса практически не отличается от других параболы.

Применяются параболические рефлекторы (отражатели) и в современных телекопах. Конечно, в этом случае свет далеко звезды фокусируют не с целью разогрева, а для того, чтобы звезду можно было увидеть (например, чтобы собранного рефлектором света было достаточно для возникния на фотопленку).

Если в солнечных установках и телекопах свет, идущий от далеко источника (пraktические «из бесконечности»), собирается в фокусе, то в проекторе — наоборот: свет от мощной лампы, помещенной в фокусе, после отражения от параболического рефлектора уходит параллельным лучом лучей (черные линии на рис. 11)*). Если же лампу чуть удалить от зеркала, то рефлектор действия на подобие эллиптического — получается «почти» сходающийся лучок лучей (красные линии). Приближение же лампы к зеркалу дает пример такую же картину лучей, что и в гиперболии

*)О «физических» особенностей этого явления рассказывается в статье М. И. Фай и нольда «Этот удивительный параболид» (с. 24).

ческом отражатель: лучи расходятся (синные линии). Такие рефлекторы используются не только в проекторах или автоматных фарах, но и в проекционных аппаратах, обогреваемых приборах, медицинских установках (lamпы синего света, кварцевые лампы и др.).

Наконец, указываем еще одно — на этот раз механическое — применение оптического свойства. На рисунке 12 изображен эллипс $E_1$ и симметричный ему относительно касательной $l$ эллипс $E_2$. Из чертежа видно, что точки $A, M$ и $C$ лежат на одной прямой, причем

$$|AC| = |AM| + |MC| = |AM| + |MB|,$$

то есть расстояние между точками $A$ и $C$ равно больший оси эллипса. Закрепим теперь эллипсы в точках $A$ и $C$ так, чтобы они могли врашаться вокруг этих точек. Если врашать эллипс $E_1$ вокруг точки $A$, то для каждого его положения существует точка $M$, в которой эллипс пересекает отрезок $AC$; проведя в точке $M$ касательную, найдем единственное соответствующее положение эллипса $E_2$. Иными словами, эллипс $E_2$ будет также врашаться (вокруг точки $C$), увлекаемый эллипсом $E_1$. На этом основаностройство эллиптической зубчатой передачи: она преобразует равномерное врашение эллипса $E_1$ вокруг точки $A$ в неравномерное врашение эллипса $E_2$ вокруг точки $C$.

24

В статье В. Г. Болтянского (см. с. 19) рассказано об оптических свойств конических сечений, в частности — параболы. «Физические» определяние оптического свойства параболы можно сформировать так: луч света, падающий на параболу парапельно ее оси симметрины, после отражения проходит через фокус параболы. Из свойства обратности световых лучей следует, что луч, идущий из фокуса параболы, после отражения от нее становится парапельным ее оси симметрины.

В настоящей статье мы расскаем о некоторых числах «физических» особенностей отражения света от параболида — поверхности, образованной врашением параболы вокруг оси симметрины.

Параболический зеркало — это параболид, внутренняя поверхность которого зеркально отражает падающий на нее свет. Если свет падает на такое зеркало парапельно оси симметрины параболида, то после отражения все лучи проходят через его фокус, как бы собираются в нем. И наоборот, лучи от точного источника, расположенного в фокусе, отразившись от поверхности параболида, выходят парапельным лучом.

Важно отметить, что каждый из упомянутых эффектов является результатом только одного отражения лучей от поверхности параболида. Но если сделать параболический зеркало достаточно глубоким, то большеинструменты в него лучей испытает два отражения (рис. 1). После первого отражения каждый луч, пройдя через фокус, снова отражается от «противоположной» стороны зеркала. Иначе говоря, фокус становится как самостояльным точечным источником света *). Но лучи от

*) В действительности определяние «точный» для такого источника подходит лишь частично — в смысле малости размеров. О том, чем отличается этот источник от точного, мы расскаем далее.

Рис. 1.

Рис. 2. а) Картина распределения интенсивности в поперечном сечении выходящего пучка. б) График изменения интенсивности в зависимости от расстояния до оси пучка.

те на рисунок 2. Он иллюстрирует результаты следующего несложного опыта. На оси симметрии зеркала перпендикулярно ей установлена фотопластинка. Светочувствительная поверхность ее обращена «внутрь» параболоида. Зеркало освещается пучком света, параллельным оси симметрии, причем, распределение энергии в поперечном сечении падающего пучка однородно, то есть через единичную площадку, перпендикулярную распространяющемуся пучку, в любом месте проходит за одно и то же время одно и то же количество энергии. Это означает, что падающий свет засвечивал бы фотопластинку равномерно. Но на светочувствительную по-

верхность пластинки попадают отраженные лучи. И пластинка оказывается засвеченной так, как показано на рисунке 2.

Сначала объясним этот факт с помощью наглядных соображений. Пусть $OZ$ — ось симметрии, $r'$, $r''$ — расстояния от оси до падающего и соответствующего ему выходящего луча (рис. 3). Чем дальше от оси $OZ$ падает луч, тем ближе к ней он выходит, то есть чем больше $r'$, тем меньше $r''$. Поэтому энергия «периферийных» областей входящего пучка «перебрасывается» к оси выходящего. Если падающий пучок достаточно широкий (большой радиус зеркала), то это приведет к существенной концентрации энергии вдоль оси. В результате наружу энергия выходит практически в виде узкого «светового шнура», причем, чем шире входящий пучок, тем уже выходящий шнур.

Итак, мы приходим к выводу: параболоид может концентрировать энергию не только в фокусе, но и вдоль оси симметрии.

Нетрудно произвести количественный расчет этого эффекта. Рассмотрим параболу, вращением которой относительно оси $OZ$ создается поверхность параболоида. Если начало координат находится в фокусе, то уравне-

Рис. 3.

25

26

Рис. 4.

ние параболи имеет вид
$$z = \frac{r^2}{4f} - f,$$
(1)

где $f$ — фокусное расстояние, а $r$ и $z$ — «абсцисса» и «ордината» произвольной точки параболи. Входящий луч, «встретивший» парабoly в точке $a'$ на расстоянии $r'$ от оси симметрины, отражется, пройдет через фокус и снова встретит парабoly в точке $a''$ на расстоянии $r''$ от оси $OZ$ (см. рис. 3). Обозначим через $\theta$ угол между $OZ$ и «промежутным» отрезком $a'a''$ нашего луча. Уравнение прямой $a'a''$ записывается в виде
$$z = -r \text{ ctg } \theta.$$ (2)

Точки $a'$ и $a''$ принадлежат одновременно и параболе (1), и прямой (2). Поэтому для них мы можем приравнять правые части (1) и (2):
$$r^2 + 4fr \text{ ctg } \theta - 4f^2 = 0.$$ (3)

Решая это уравнение, находим:
$$r_1 = -2f \text{ ctg } \frac{\theta}{2}, \quad r_2 = 2f \text{ tg } \frac{\theta}{2}.$$ (4)

Корни $r_1$ и $r_2$ — это значения координаты $r$ для точки $a'$ и $a''$. Таким образом, $r' = |r_1|, r'' = r_2$. Из (4) следует
$$r'r'' = 4f^2.$$ (5)

Формулу (5) можно получить с помощью теоремы Виета, не решая уравнения (3). Этот результат подтверждает вывод, полученный выше из качественных соображений: расстояния парабoly и выходшего лучей от оси $OZ$ обратно пропорциональны друг другу.

Формулу (5) можно «прочитать» следующим образом. Представим себе плоскость $A$, перпендикулярную оси $OZ$. Пусть каждый

три кольца шириной $\Delta r''$ с внешним радиусом $r''$. То есть внешнему радиусу $r' + \Delta r'$ «падающего» кольца соответствует внутренний радиус $r'' - \Delta r''$ «отраженного» кольца. Согласно (5) произведение этих радиусов равно $4f^2$ *), то есть

$$(r' + \Delta r')\,(r'' - \Delta r'') =$$
$$= r'r'' + r''\Delta r' - r'\Delta r'' - \Delta r'\Delta r'' = 4f^2.$$

Учитывая, что $r'r'' = 4f^2$, получим:

$$r''\Delta r' - r'\Delta r'' - \Delta r'\Delta r'' = 0.$$

Так как $\Delta r' \ll r'$ и $\Delta r'' \ll r''$, последним членом в этом выражении можно пренебречь и записать

$$r''\Delta r' - r'\Delta r'' = 0.$$

Отсюда следует, что

$$\frac{\Delta r''}{\Delta r'} = \frac{r''}{r'} = \frac{4f^2}{r'^2},$$

или

$$\frac{\Delta r''}{\Delta r'} = \frac{4f^2}{r'^2}, \quad \Delta r'' = \Delta r'\ \frac{4f^2}{r'^2}. \qquad (6)$$

Таким образом, энергия, которая в падающем пучке проходила через кольцевую площадку шириной $\Delta r'$, после двойного отражения лучей от зеркала проходит через кольцевую площадку $\Delta r'' < \Delta r'$. Это означает, что количество энергии, проходящей за единицу времени через единицу площади (эту характеристику называют интенсивностью), в «отраженном» кольце больше, чем в «падающем». Мы рассматривали случай, когда $r' > 2f$. Если $r' < 2f$, то «отраженное» кольцо шире «падающего», и значит, интенсивность отраженного света меньше, чем интенсивность падающего.

Итак, в результате отражения света от параболического зеркала происходит перераспределение интенсивности света. Найдем, как изменяется интенсивность в зависимости от расстояния до оси симметрии параболоида. Пусть интенсивность падаю-

---

*) Не будем загромождать запись знаками модулей и будем под $r$ подразумевать численное значение расстояния.

щего света равна $J_0$. Тогда количество энергии, проходящей за единицу времени через кольцевую площадку шириной $\Delta r'$ (то есть световой поток через кольцо), равно произведению $J_0$ на площадь кольца, то есть

$$\Delta \Phi = J_0 2\pi r' \Delta r',$$

где $r'$ — внутренний радиус кольца *). После двойного отражения света от зеркала весь этот поток выйдет через площадку $2\pi r''\Delta r''$. Поэтому в выходящем пучке интенсивность равна

$$J = \frac{\Delta \Phi}{2\pi r''\,\Delta r''} =$$
$$= J_0\ \frac{r'\,\Delta r'}{r''\,\Delta r''} = \frac{16f^4}{(r'')^4}\ J_0. \qquad (7)$$

Формула (7) описывает резкое возрастание интенсивности по мере уменьшения $r''$, то есть по мере приближения к оси симметрии параболоида.

Однако, это не означает, что на самой оси интенсивность становится бесконечно большой. Ведь ближе всего к оси выходят те лучи, которые находились на периферии падающего пучка. Очевидно, что максимальное расстояние $r'_{\max}$ от падающего луча до оси симметрии равно радиусу зеркала. Ему соответствует минимальное расстояние $r''_{\min}$ в выходящем пучке. При уменьшении $r''$ до $r''_{\min}$ интенсивность в выходящем пучке возрастает по закону (7), а при $r'' < r''_{\min}$ интенсивность становится практически равной нулю *). Именно поэтому на рисунке 2 образуется «провал» интенсивности вблизи оси пучка. Однако максимальное значение интенсивности, наблюдаемое вблизи «края провала», может во много раз

---

*)Площадь кольца, ограниченного окружностями радиусов $r$ и $r+\Delta r$, равна $S=\pi(r+\Delta r)^2-\pi r^2=2\pi r\Delta r+\pi(\Delta r)^2$. Если $\Delta r \ll r$, то членом с $(\Delta r)^2$ можно пренебречь и считать $S=2\pi r\Delta r$.

**) Фактически интенсивность в выходящем пучке меняется несколько сложнее из-за дифракции на краях зеркала.

27

28

превышать интенсивность $J_0$ padающего пучка.

Вот сколько информации мы извлекли из простой формулы (5)!

Обратимся теперь к соответствиям (4). Они описываютход лучей «внутри» параболона между двумя отражениями. Именно эти лучи, сходясь в фокусе и расходясь из него, как бы образуют здесь фиктивный точчный источник света. Однако, этот источник отличается от реального точного. Он излучает неизotropно, то есть сила света, испускаемого им в разных направлениях, различна.

Есть что-то мистический красное во всех этих свойств параболона!

Однако, сделанные нами выводы справедливых лишь в рамках идеализированных представлений, которые не точно соответствуют действительности. Мы говорили о параболоне как о математически идеальной поверхности. Реальное зеркало лишь приближенно соответствует этому «идеалу». Его поверхность не строго симметрина, имеет шероховатости и т. п.

Далее, мы оперировали понятиями луча и параболного пучка лучей. На самом деле всякий пучок лучей распространяется внутри некоторого telescopного угла, не равного нулю. Мы можем говорить лишь о практически параболном пучке, то есть о пучке, который хотя и расходится, но настолько незначительно, что этой расходимость внутри определяемой области пространства можно пребежать. Например, пучок лучей, упавший на параболид от какой-либо звезды, можно считать практически параболным. Но даже в этом случае выходящий пучок подвергнется так называемой дифракционной расходимость, обусловленной волновой природой света*). Причем чем уже этот пучок (то есть чем больше

$$\alpha \approx \frac{\lambda}{r_{\min}^2},$$

где $\lambda$ — длина волны параболшего света. Таким образом, чем тонше и концентрированнее «световой шнур», тем больше он расходится. Оценим расстояние $z$, на котором увелищение радиуса шнра из-за расходимости равно самому радиусу $r''_{\min}$ «в начале пучки» (вплоть до этого расстояния выходящей шнур можно считать практически параболным). Очевидно,

$$z \approx \frac{r''_{\min}}{tg\alpha} \approx \frac{r''_{\min}}{\alpha} \approx \frac{(r''_{\min})^2}{\lambda}.$$

Согласно этой формуле, чем тонше и интенсивнее пучок, тем меньше, при прочих равных условиях, его «длина параболности». Следовательно, создание очень глубокого параболона не только невозможно практически, но бессмысленно и с теоретической точки зрения. Волновая природа света не позволяет получить скольгу годно сильный и параболный пучок лучей, подобный описанному в романе А. Толстого «Гиперболонд инженера Гарина».

Таким образом, красные и неожиданные эфективы, связанные с двумя кратным отражением света от параболона вращения, возникли в тех пределах, в которых допустимо ингорировать волновой характер света, а именно, когда даже наименьший из всех размеров системы — радиус $r''_{\min}$ — во много раз больше длины волны. Это условия накладывает ограничение на степень «усиления» света.

*) Более подробно об этом можно прочитать, например, в «Кванте» № 4 за 1972 г. в статусе В. Е. Белонучкина и С. М. Козела «Отичский телефон».

29

Брахистохрона, или еще одна тайна циклопы

Эта статья заканчивает цикл, посвященный одной из самых популярных в математике XVII века кривых — циклопидes: «Касательные к рулетам», «Тайны циклопиды».
Во всех статьях рассказывает о том, как величины математики XVII века Галилей, Гюйгенс, Ньюотон, Лейбниц, братья Иоганн и Яков Бернулли решили математические задачи, пользоваться физическими соображениями.

Ошибка Галилея

В самом начале XVII века юный Галилей пытался экспериментально проверить свою догадку о том, что свободное padение — равноукорененное движение. Когда он перенес наблюдения с Пизанской башни в лабораторию, ему стало очень мешать то, что тела падают «слишком быстро». Чтобы заменить это движение, Галилей решил заменить свободное padение тел их движением по наклонной плоскости, предположив, что и оно будет равноукоренным. Провода эти опыты, Галилей обратил внимание на то, что в конечной точке величина скорости тела, статившегося по наклонной плоскости, не зависит от угла наклона плоскости, а определяется только высотой H и совпадает с конечной скоростью тела, свободно упавшего с той же высоты (как выше хорошо знаете, в обихх случах $|\vec{v}| = \sqrt{2gH}$). Изучив движения по наклонным плоскостям*), Галилей перешел к рассмотрению движения математicalной точки под действием силы

*) О некоторых наблюдаемых Галилей, связанных с движением тела по наклонным отрезкам, см. в статье С. Г. Верова «Тайны циклопиды» (Задачи Галилея), «Квант», 1975, № 8.

Рис. 1.

30

тированный выбор, что четверть окружности, соединяющая пару заданных точек А, В (не лежащих на одной вертикали), и будет для материальной точки, движущейся под действием силы тяжести, линейная наскорейшее спуска (позже линio наскорейшего спуска стали называть брахистохроной). В последствии выяснили, что это утверждение Галилея было не только необоснованным, но и ошибным.

Швейцария. Конец XVII века

«Процульваясь по улицам Базеля и обсуждая всевозможные математические вопросы, Иоганн и Яков Бернулли намknились на следующий вопрос: какую форму модель бы прияmbь свободно высцая цепь, укрепленая в двух своих концах? Они скоро и легко совпись на том взгляде, что цепь приметит ту форму равновесия, при котором ее центр мяжести будем лежать возможно ниже… Физическая часть задачи этим исчерпана. Определение кривой с наиболее низким центром мяжести при данной лице между двумя точками А и В есть уже задача молко математическая.» (Мах).

Исследовав цепную линию (так называется линия, форму которой принимает гибкая тяжелая нерастражная нить, подвешенная в двух точках), братья Бернулли запитересовались другими задачими, в которых разыскиваются кривы, отвечающие наименьшую значению той или иной величины. В 1696 году Иоганн Бернулли опубликовал заметку «Новая задача, к разрешению коморои прилашаются математики». Впрочем, эта «новая» задача уже рассматривалась Галилеем. Речь шла о нахождения брахистохроны — линия, соединяющей фиксированную пару точек, по комороий матерциальная точка спустимся под действием силы тяжелей высшего. Задча о брахистохроне, недоступная в начале века даже велиkomу Галилею, оказалась очень своевременной в конце века. Она была очень быстро решена и самим Иоганном Бернулли и его братом Яковом, и их учитель Лейбницем, а также Ньюотоном и Лопиталем. Мы рассакжем о решении Иоганна Бернулли: оно совершено неожиданным образом использует собравнения из геометрической оптики!

«Без всякого еще метода, при помощи одной своей геометрической фантации Иоганн Бернулли одним взглядом решает задачу умело, пользоваться при этом тем, что случая извлечено,— картина понятие заменыная и удивительное красивая. Мы должны признавать в Иоганне Бернулли истинно художественно натуру, действующую в области естественного обшивания. Брат его, Яков Бернулли, был научным характером совсем другого рода. Ему было удалено больше критики, но гораздо меньше творческой фантации. И он решил ту же задачу, но гораздо более тяжеловесным образом. Зато он не упустил случая развить с большей основательностью обшивания метод для решения задачи этого рода. Таким образом, мы находим в обихах браться разделенными те две стороны научного таланта, которые в величайших исследованиях природы, каким бы направер, Ньюотон, бывают соединены с необычайной силой.» (Мах).

Прицип Ферма

Еще в 140 году до н.э. Клавдий Птолемей составил подробную таблицу зависимости угла преломления светового луча при переходе из воздуха в воду от угла падения; но лишь в 1621 году Снеллиус угадал анаимущескую закономерность, связывающую эти углы:

$$\frac{\sin \alpha_{\text{наденя}}}{\sin \alpha_{\text{преломления}}} = k,$$

где $k$ — коэффициент преломления, константа для фиксированной пары сред.

В 1650 году Ферма дал замечательную интерпретацию этого закона. Он отправлялся от известного еще Герону Алексаандрийскому факта, что равенство углов падения и отражения можно вывести из предположения, что при отражении свет выбирает наикратающий путь (рис. 2).

31

Рис. 2.

Ферма предположил, что путь распространения света между двумя точками есть макой путь, для прохождения коморого света пребуется наименьшие время по сравнению с любым другим путем между этим точками,— теперь это утверждение носит название «причина Ферма».
Из принципи Ферма, в частности, следует, что поскольку в однородной среде скорость света постоянна, то наименьшее время приходит на путь наименьшей длины. Отсюда следует, что путь света в однородной среде, не имеющей прегативный, прямолинейен, а также — закон отражения.
Если же среда имеет переменную плотность, и скорость света в различных ее участках различана, то путь распространения света, на проходение коморого уходит наименьшее время, уже не должен быть прямолинейным. Посмотрим, что происходит в случае прегломления.
(Все наши дальнейшие рассмотрения относятся к плоскому случанию).

Рис. 3.

Пусты пряма $l$ разделяет две среды (на плоскости), в первой из которых скорость света равна $c_1$, а во второй — $c_2$; $A_1$ и $A_2$ — точки, лежащие по разные стороны $l$. Найдем на $l$ такую точку $B$, что $\frac{\sin \alpha_1}{\sin \alpha_2} = \frac{c_1}{c_2}$, где $\alpha_1$ — угол падения, $\alpha_2$ — угол преломления (см. рис. 3). Существование и единственность такой точки $B$ легко доказывается. Пусты $C$ — любая другая точка прямой $l$. Опустим из нее переменнику $CE$ и $CF$ на $A_1B$ и $A_2B$ соответственно.

Тогда $ECB = \alpha_1$, $FCB = \alpha_2$, и проходение отрезка $BE$ со скоростью $c_1$ займет столько времени, сколько проходение отрезка $BF$ со скоростью $c_2$. Значит, свету на проходение пути $A_1BA_2$ нужно столько же времени, сколько на проходение двух отрезков: $A_1E$ со скоростью $c_1$ и $FA_2$ со скоростью $c_2$. Так как длинны отрезков $A_1C$ и $A_2C$ больше длины отрезков $A_1E$ и $FA_2$ соответственно, то свету на проходение пути $A_1CA_2$ нужно больше времени, чем на проходение пути $A_1BA_2$, и, значит, точка $C$ не годится.

Таким образом, из принципи Ферма следует закон прегломления Снеллиуса, причем коэффициент прегломления светового луча из одной среды в другую оказывается равным отношению скоростей света в этой среде $*$).

Из принципи Ферма также следует, что в сложной сложной оптической среде, состоящей из горизонтальных «полос», в каждой из которых скорость света постоянна: $c_1, c_2, \dots$ (рис. 4),— свет будет распространяться по плоской ломаной с вершинами на разделяющих эти полосы прямых, причем если $\alpha_j$ — угол, который звено ломаной, лежащей в области со скоростью света $c_j$,

*) Приципи Ферма получил обоснование в волновой теории света,строенной Гюйген-com в 1672—1673 годах.

32

рис. 4.

образует с вертикалью, то $\frac{\sin \alpha_j}{c_j} =$ const для всей ломаной.

Действительно, если $\frac{\sin \alpha_j}{c_j} \neq \frac{\sin \alpha_{j+1}}{c_{j+1}}$ для некоторого $j$, то по принципу Ферма по такой ломаной свет распространется не может: вершину ломаной на границе соответствующих сред можно передвинуть так (не меняя остальных вершин), что общее время, затраченое светом, уменьшится.

Если же в некоторой неоднородной оптической среде скорость света меняется непрерывно, но так, что в точках горизонталей (т. е. в точках с одинаковыми ordinатами) она одна и та же: $c(y)$ (значение $y = 0$ соответствует начальному положению точки, из которой выходит луч), то предельным переходом получаем, что в этой среде путь распространения света между двумя точками есть такая кривая $L$, что

$$\frac{\sin \alpha(y)}{c(y)} = \text{const},$$

где через $\alpha(y)$ обозначает угол, который касательная, проведенная к кривой $L$ в точке с ordinатой $y$, образует с вертикалью.

Чтобы перейти к задаче о брахистохроне, затем теперь, что соответствие (1) мы получили из принципи Ферма, пользовясь лишь тем, что в фиксированной точке нашей неоднородной среды величины скорости света фиксирована и не зависит от направления распространения света (в наших примерах она была построена на горизонталях). Но, как мы уже отмечали выше, для тела, движущегося только под действием силы тяжести, $|v(y)| = \sqrt{2gy}$, где $y$ — пройденный по вертикали путь, «потеря» высоты,— и мы получаем, что и в этой задаче величины скорости в каждой фиксированной точке плоскости фиксирована и не зависит от того, по какому пути проискот движение. Поэтому все выводы из принципи Ферма могут быть пересечены и сюда. Следовательно, чтобы попасть из одной заданной точки в другую за минимально возможное время, материальная точка должна двигаться по такому пути $L$, соединяющей эти две точки (мы предполагаем, что точки не лежат на одной вертикали),

Рис. 5. Циклонда — кривая, которая описывает точка, лежащая на границе кругларадиуса $r$, катящегося без скольжения по направляющей прямой (совпадающей с осью $Ox$); $r$ называется радиусом циклонди. По определению,лина дуги $A_tB$ равна длине отрезка $A_0B$, по которой эта дуга прокапливается.

для которого

$$\frac{\sin\alpha\,(y)}{\sqrt{y}} = \mathrm{const}, \qquad (2)$$

где $\alpha\,(y)$ — угол между вертикалью и касательной к кривой $L$, проведенными в точке с ординатой $y$.

Нам остается лишь отыскать кривую, удовлетворяющую условию (2).

Опять циклоида!

Циклоида (см. рис. 5) была популярнейшей кривой у математиков XVII—XVIII веков. Одно из самых замечательных свойств циклоиды было обнаружено Гюйгенсом и состояло в том, что циклоида — таутохрона. Это означает, что если изготовить желоб по форме перевернутой циклоиды и пускать по такому желобу шарик, то с любой высоты в нижнюю точку (совпадающую с вершиной перевернутой циклоиды!) он придет за одно и то же время*).

Математики XVII века «привыкли» к тому, что циклоида — это «палочка-выручалочка» во многих вопросах. И вот ей снова было суждено подтвердить свою «репутацию» — брахистохрона также оказалась циклоидой!

В самом деле, если через $\alpha\,(y)$ обозначить угол, который касательная, проведенная к циклоиде радиуса r (получающейся при качении без скольжения по прямой $\{y = 0\}$ круга радиуса $r$) в точке с ординатой $y$ составляет с вертикалью, то

$$\sin\alpha\,(y) = \sqrt{\frac{y}{2r}} \qquad (3)$$

(см. «Квант» № 8, с. 21, соотношение (1)).

Можно показать, что циклоида является единственной кривой, удовлетворяющей соотношению (3). Таким образом, брахистохроной, соединяющей две данные точки A и B

---

*) О таутохроне и о свойствах циклоиды см. в уже упоминавшихся статьях «Касательные к рулеттам» и «Тайны циклоиды» «Квант», 1975, № 5 и № 8. В этих статьях приводятся доказательства всех утверждений, которыми мы ниже пользуемся.

3 «Квант» №12

Рис. 6.

(не лежащие на одной вертикали), служит часть арки (или арка) перевернутой циклоиды (см. рис. 6), причем в «верхней» точке $A$ находится острие этой циклоиды. Поскольку мы рассматриваем только о д н у (первую) арку циклоиды, то ее радиус $r$ по точке $B$ определяется однозначно.

Дуга циклоиды, являющаяся брахистохроной, может быть больше полуарки циклоиды. В этом случае материальная точка, двигаясь под действием силы тяжести по брахистохроне, сначала спустится вниз (дойдя до вершины перевернутой циклоиды), а затем начнет снова подниматься вверх. И тем не менее, такое движение оказывается более экономным по времени, чем если бы материальная точка отправилась из $A$ в $B$ по прямой!

Для сравнения отметим, что хотя перевернутая циклоида является и таутохроной, и брахистохроной, в первом случае нужно брать дугу с концом в вершине циклоиды, а во втором — с началом в острие.

Несколько задач

Вернемся к оптике. Теперь мы знаем, что если в плоской неоднородной среде величина скорости света меняется по закону $c\,(x, y) = k\sqrt{H-y}$ (т. е. аналогично изменению величины скорости материальной точки, движущейся под действием силы тяжести), то в такой среде свет между двумя точками будет распространяться по дугам перевернутых циклоид с остриями на прямой $\{y = H\}$.

33

34

Попробуйте сейчас решить несколько задач на отыскание в оптически неоднородной среде пути распространения света между двумя точками, если в этой среде задан закон изменения величины скорости света.

Задание 1. Велична скорости света меняется по закону $c(x, y) = k \cdot (y - a)$. Докажите, что свет между двумя точками будет распространяться по двум полукругжностей с диаметрами на прямой $\{y = a\}$ (причем «начальная» точка находится на этой прямой).

Задание 2. Велична скорости света меняется по закону $c(x, y) = \frac{k}{\sqrt{a - y}}$. Докажите, что в этом случае свет между двумя точками будет распространться по двум парабол.

Пока во всех задачы велична скорости света зависит только от $y$. Если же оптическая среда такая как эта зависимость более сложная, например, велична скорости света постоянна не на горизонталях, а на каких-то кривых — линия постоянства скорости света,— то свет между двумя точками будет распространться по такой кривой $L$, для которого

$$\frac{\sin \alpha \left(c(x_0, y_0)\right)}{c(x_0, y_0)} = \text{const},$$

где $\alpha \left(c(x_0, y_0)\right)$ — угол между касательной к кривой $L$ и нормальной к линии постоянства скорости света $c(x, y) = c(x_0, y_0)$.

Задание 3. Велична скорости света меняется по закону $c(x, y) = k \sqrt{1 - r^2}$, где $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ — расстояние от начала координат. Докажите, что в такой среде свет между двумя точками будет распространться по двум окружностей, перепределкульных к окружности радиуса 1 с центром в начале координат.

Задание 4. Велична скорости света меняется по закону $c(x, y) = kr$. Докажите, что в этом случае свет между двумя точками будет распространться по двум zonопиклoud (см. упражнения Ньюмона в конце статьи «Тайны циклопды», «Квант», 1975, № 8, с. 27).

Если в задачах 1—4 $c(x, y)$ интерпретировать как величну скорости неоднородного механического движения, то полученные при решении этих задач траектории распространения света будут брахистохронами для соответствуют механическим систем.

Аналогия между механикой и оптикой

Основная задача механики заключается в том, чтобы определить положение движущесся тела в любой момент времени.

И. К. Кикоин, А. К. Кикоин, Учебное пособие по физике для 8-го класса средней школи.

Итак, в механике обычно ищется траектория материального точки, если известны действующие на точку силы и заданы начальные положение и вектор скорости (начальные условия). Однако можно интерсовать не индивидальными траекториями, а описанием все свойности траекторий при заданном законе изменения действующих сил (дополнительное задание начальных условий будет тогда выделять из этой совокупности траекторий конкретирую траекторию). Так, классический результат Галилея о движении брошеного тела (горизонтально или под углом к горизонту) заключается в том, что в случае силыяжесте множесто траекторий состоит из друг парабол.

Использование оптики в чисто механических задах на мысль попытаться выделить возможность траекторий для конкретиной механической системы, каким-нибудь условием минимального ферма. Об этом думал Лейбницц, но первая формулировка приладлежит Мопертион. Однако его построения касались всего мироzdания в целом и не содержали точных утверждений. Первая точная формулировка приладлежит Эйлеру (учившемся математике у Иоганна Бернулли). Она относится к следующей специальной ситуации.

Пусть материальная точка движется по плоскости под действием такой силы, что потенциальная энергия зависит только от положения точки: $U = U(x, y)$. В силу закона сохранения энергии велична скорости точки $|v|$ тогда также зависит