Квант 1976, №1 · Страницы

Квашт
1976
1
Научно-популярный
физико-математический
журнал

«Вечный двигатель» на основе
архимедова витга
(см. статью на с. 41).

1

Главный редактор
академик И. К. Кионн
Первый заместитель
главного редактора
академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:
М. И. Башмаков
С. Т. Беляев
В. Г. Болтянский
Н. Б. Васильев
Ю. Н. Ефремов
В. Г. Зубов
П. Л. Капица
В. А. Кириллин
А. И. Климанов
(главный худомник)
С. М. Козел
В. А. Лешковцев
(зам. главного редактора)
Л. Г. Макар-Лиманов
А. И. Маркушевич
Н. А. Патрикеева
И. С. Петраков
Н. Х. Розов
А. П. Савин
И. Ш. Слободецкий
М. Л. Смолянский
(зам. главного редактора)
Я. А. Смородинский
В. А. Фабрикант
А. Т. Цветков
М. П. Шаскольская
С. И. Шварцбург
А. И. Ширшов

Редакция:
В. Н. Березин
А. Н. Виленкин
И. Н. Клумова
Т. М. Макарова
(худомсетвенный редактор)
Т. С. Петрова
В. А. Тихомирова
Л. В. Чернова
(зав. редакцией)

В НОМЕРЕ:

2 В. Савченко. Полуправильные многогrafники
8 В. Гамаюнов. Тайна геометрических чертежей
12 С. Овчинников. Плоские переключительные схемы
19 Г. Коткин. Всплывающий воздушный пузырек и закон Архимеда
24 М. Хапланов. Трансцендентные числа
28 З. Тьмеладзе. Нелинейное программирование

У нас в гостях журнал «Человек и закон»
35 Я. Шестопал. Нука читает невидимые следы

Лаборатория «Квант»
40 М. Головей. «Водная улитка» Архимеда

Matematический кругхок
44 В. Рыжик. Давайте складывать точки…

Задачик «Квант»
49 Задачи М361—М365; Ф373—Ф377
51 Решения задач М321—М325; Ф333, Ф335—Ф338

Практикум абитуриента
60 И. Шарыцин. Достраивание терраэдра
65 А. Забоев, Г. Пантюхов, Н. Шолохов. Московский инженерно-физический институт

Рецензии, библиография
67 В. Лешковцев. Плазма — четвертое состояние вещества

Информация
68 Ж. Раббот. Новый прием во Всесоюзную заочную математическую школа
70 В. Аслаянн, А. Кирьянов, Т. Чугунова. Заочная физиотехническая школа при Московском физиотехническом институте

«Квант» для младших школьников
73 Задачи
74 А. Савин. Как нарисовать пятниковчную звезду?

Ответы, указания, решения
Смесь (с. 18, 23, 43, 59)

Первая и четвертая страницы обложки выполненны архитектором В. А. Сомовым по эпире В. Н. Гамаюнова (см. статью на с. 8).

© Главная редакция физико-mатематической литературы издательства «Нука», «Квант», 1976 год.

2

В. Савенко

Полуправильные многогранники

Читатель журнала «Квант» не раз встречались с правильными многогранниками*). У правильных многогранников грани — равные правильные многоугольники, и все многогранные углы равны. Но есть еще и такие многогранники, у которых все многогранные углы равны, а грани — равные многоугольники нескольких видов. Они не могут быть отнесены к правильным — их называют равноугольно полуправильными многогранниками.

Простейшим из полуправильных многогранников является правильная $n$-угольная призма ($n = 3, 5, 6, \dots$), все ребра которого равны, а боковые грани — квадраты. Основания, например, шестиугольной призмы — правильные шестиугольники: у нее 12 вершин, 8 граней и 18 ребер.

Другой представитель равноугольно полуправильных многогранников — так называемая антипризма. Представьте себе, например, два правильных шестиугольника, расположенных в параллельных плоскостях, один из которых повернуть вокруг центра относительно другого на $30^\circ$. Каждый вершина как нижнего, так и верхнего шестигины соединена с двумя близкими вершинами другого.

У правильных многоугольников также шестиугольники (основания) подбирается так, чтобы боковые границы были правильные треугольники (рис. 1) — в случае шестиугольной антипризмы это расстояние (высота) равно $H = a\sqrt{3} - 1$ (проверьте, что это так). У шестиугольной антипризмы 12 вершин, 14 граней и 24 ребра, все ребра и все четырехгранные углы равны между собой.

Используя для призма и антипризм все правильные многоугольники, мы получим бесконечные серии полуправильных многоугольников. Однако эти серии не исчерпывают всех равноугольного полуправильных многоугольников: существует и другие полуправильные многоугольники.

Простейший из них получится, если средать углы правильного tetraэдра плоскостями, каждая из которых отсекает третью часть от ребер, выходящих из одной вершины (рис. 2); этот многогранник имеет 12 вершин, 8 граней и 18 ребер, и называется усеченным метрадром. Все его трехгранные углы равны между собой — каждый из них содержит по два плоских угла в $120^\circ$ и один плоский угол в $60^\circ$. У усеченного tetraэдра четырегранные грани являются правильными шестиугольниками, и еще четыре — правильными треугольниками.

*) См., например, статью В. Н. Березина и «Правильные многоугольники», «Квант», 1973, № 5.

Рис. 2.

Если описанным образом средать вершины правильного кокаэдра, то мы получим еще один полуправильный многогранник (см. рис. 3). Он называется усеченым ikocaэдром и напоминает изображение футбольного мяча, которое можно видеть на экране телевизора.

Из других правильных многогранников можно получить еще несколько полуправильных многогранников. Наболее сложный из них называется плосконосим дodeкаэдром и имеет 60 вершин, 92 грани и 150 ребер.

Сколько же всего существует полуправильных многогранников? Более двух тысяч лет думали, что только тринадцать(их называют мелами Архимеда), не считая двух бесконечных серий, составленных из прим и антипризм. Но совсем недавно советский математик В. Г. Ашкинезе нашел еще один полуправильный многогранник. Посмотрите на рисунок 4: если в этом многограннике верхиной «восьмиугольную чашу» повернуть на 45°, то получится многогранник, изображенный на рисунке 5. Именно его и обнаружил Ашкинезе. Правда, этот многогранник «не совсем архимедо» тело: он не обладает неокоторыми свойствами, которые сладают первы тринадцать представителей (но загоу у него есть свои свойства). Мно-

Рис. 3.

гогранник Ашкинезе иногда называют «псевдархимедовым» телом.

Но оказывается, что тела Архимеда не исчерпывают всех видов полуправильных многогранников. Возьмем шестиугольную признаку (рис. 6) и проведем плоскости через середины каждой тройки ребер, выходящих из одной вершины.

Взаимно пересекаясь, эти плоскости образуют новый многогранник, имеющий столько же граней, сколько вершин было у признамы (в данном случае — 12). Одна из таких плоскостей — SFG — содержит отрезок AB, принадлежащий основанию признамы, а другая плоскость — PFG — содержит отрезок CD, принадлежащий нижнему основанию признамы.

Рис. 4. Рис. 5.

4

Так как $[AB] \parallel [CD]$, то плоскости $SFG$ и $PFG$ пересекаются по прямой $FG$, паралелной $AB$. Образовавшийся многогранник представляет собой объединение двух равных правильных шестиугольных парами, вершины $S$ и $P$ которых лежат по разные стороны их общого основания. Многогранник такого вида называется бипирамидой. ШестЬ плоскости, проходящие через точку $S$, пересекаются с плоскостями, проходящими через точку $P$, образуя правильный шестиугольник, середина стороны которого является середины боковых ребер признаны. Отсюда следует, что бипирамида, получившаяся из шестиугольной признамы, имеет 8 вершин и 18 ребер. Она содержит многогранные углы двух видов: шестигранные и четырехгранные. Так как все грани бипирамиды — равные между собой равноведренные треугольники, то ее относ к равноэгранино полуправильным многогранником.

Аналогично можно получить еще один равногранно полуправильный многогранник, если проведится плоскости через середины каждой четверки ребер антипризмы, выходящих из одной вершины. Так, плоскость $SM_1QT_1$ (рис. 7) проходит через середины $M, T, G$ и $H$ ребер $BA, BC, BD$ и $BE$. Число граней этого многогранника равно числу вершин антипризмы, то есть 12. Подсчитаем число вершин такого многогранника. Через середину каждой ребер антипризмы проходит ребро нового многогранника, образуя пространственный двенадцатугольник. Прибавив к его двенадцати вершинами точки $S$ и $P$, получим, что всего 14 вершин. Нетрудно видеть, что этот многогранник имеет 24 ребра. Все его грани равны между собой и является четырехугольником, сложенными из двух равноведренных треугольников с общим основанием (такой четырехугольник называется дельтмоидом). Многогранник содержит два шестиугольных угла и две-

5

Рис. 8.

надцать треугольных углов. Все углы правильные. (Выпуклый многоугольный угол называется правильным, если все его плоские углы

*) Из рисунка 7 видно, что вершина S может быть определена как точка пересечения осевой линии SP с прямой KR, где K и R — середины параллельных отрезков MT и GH. Одновременное прямая KR определяется точку Q на ребре PN.

Рис. 9. Рис. 10.

7

граней и ребер каждой пары расстояний многогранников.

У шестиугольной призмы 12 вершин, 8 граней и 18 ребер, а полученная из нее бипирамида имеет 8 вершин, 12 граней и 18 ребер. Таким образом, числа вершин и граней у призмы и у бипирамиды как бы «переставлены», а число ребер остаются неизменными. Убедитесь, что такое же соответствие наблюдается и у остальных пар расстояний многогранников. Установленная закономерность вытекает из принципа двойственности, который состоит в следующем: для всякого предложения относительно мочек, прямых и плоскостей всегда можно сформулировать двойственное ему предложение, заменив слов «мочка» словом «плоскость», а слово «плоскость» — словом «мочка», оставив слов «прямая» без изменения.

Приципид двойственности относится не только к многогранникам: он распространяется на все фигуры и утверждения, которые рассматриваются в проективной геометрии. Там же этот принцип находится обоснование, а здесь мы доказываются его не будем.

Выше указывалось, что существует 14 равногольно полуправных многогранников. Каждый из них соответствует определенный двойственный ему равногоранно полуправный многогранник. На рисунке 11 вы видите три архимедовых тела (в левой колонке), изображенных вместе с их равногоранно полуправными «двойниками» (в правой колонке). С полным перечнем всех этих многогранников читатели могут ознакомиться по статье В. Г. Ашкинузе, помещенной в Энциклопедии Элементарной Математики, книга четвертая (M., «Наука», 1963).

Проверьте, есть ли равногоранно полуправный многогранник, отвечающий телу, найденному Ашкинузе. Подумайте, какие свойства равногоранно полуправных многогранников обеспечивают наличие «двойственных» или равногоранно полуправных многогранников.

Уражнения

1. Что представляет собой антипризма, основаниями которого служат правильные треугольники? Определите двойственный ей многогранник.

2. Вычислите объем антипризмы с шестиугольным основанием (рис. 1), считая, чтолина ребра равна $a^*$).

3. Многогранник, показанный на рисунке 9 и 10, можно получить другим способом. Достаточно на каждую грань правильного tetraэдра поставить правильную треугольную парамиду. Вычислите высоту этой парамиды и плоский угол при ее вершине, если ребра tetraэдра равна $a$.

4. В условиях упражнения 3 вычислите объем равногоранно многогранника.

5. Вычислите плоский угол $\psi$ при вершине грани многогранника, показанного на рисунке 7, и построите его развертку.

6. Срезая углы правильного octaэдра, построите полуправный многогранник, у которого 8 граней — правильные шестиугольники и 6 граней — квадраты, и найдите его объем.

7. Определите многогранник, двойственный к усечению окмаэдру (упражнение 6). Найдите плоский угол $\varphi$ при вершине его грани.

Рис. 11. Равногольно полуправные многогранники вместе с двойственными к ним равногоранно полуправными:
a) ромбонкасэдр;
b) ромбоусеченный икосодекаэдр;
c) курносый куб.

9

Средние полуправильных тел, о которых рассказывается в стате В. Савченко (см. с. 2), наиболее интересны с точки зрения конструктора равнограничные полуправильные многогранички и правильные платоновы тела.

Дело в том, что если продолжить плоскости граней любого равнограничного полуправильного тела, то линии их пересечения с каждой из плоскостей образуют конгрузные между собой системы. (Например, на заставке к стате приведена система линей, получающейся в каждой из плоскостей граней равнограничного полуправильного 120-гранника, изобразенного на рис. 11, б на с. 6.) С другой стороны, продолженные грани равнограничного многограничка «вырубают» в пространстве огромное множество всехозможных многограничных образованный, порой самой приудилиной формы. И все эти образования, благодаря отмеченному свойству, удобно задавать на системе псевдоребер, лежащих в одной плоскости (псевдоребром мы будем назвать линей пересечения продолженных граней).

Поясним это на примере. Возьмем равнограничный 24-гранник (см. рис. 11, б, с. 6). Система его псевдоребер, принадлежих одной плоскости, показана на рисунке 1. Пометим на нем ссобы точки O, O₁, O₂, O₃, … и некоторые углы с вершинами в этих точках. Что это за точки и углы и как их находить, мы скажем немного позже. Пока лишь заметим, что если одно из псевдоребер, проходящих через эту же точку, другой на отмеченый угол, то оно перейдет в другое псевдоребро, проходящие через эту же точку, так, что все точки пересечения, лежащие на этих псевдоребрах, совместятся.

*) Исключением является лишь «псевдоребранный» многограничик, двойственный так называемому псевдархимедову телу, найденному В. Ашкинуze.

Сконструируем с помощью рисунка 1 многограничик, состоящий из двух пересекающих неправильных треугольных пирамид.

Сначала построим эти пирамид. Возьмем отмеченную точку O (см. рис. 1), проходящие через псевдоребра и точки S’ и S’’ на этих псевдоребрах, переходящие друг в друга при повороте на отмеченый угол вокруг точки O. Точки S’ и S’’ — это точки пересечения двухх псевдоребер; возьмем вторые псевдоребра, проходящие через них. Пересекаясь с раневыбранными, они задают нам точку A’ (на прямой OS’’’) и точку B’’’ (на прямой OS’). Получаются два треугольника S’OA’ и S’‘OB’’’. Поскольку ребро OS’ конгрузно ребру OS’’’, то эти два треугольника можно по этим ребрам «приклент» друг к другу; примем их за две боковые грани одной из будуших пирамид. Заметим теперь, что при повороте вокруг точки O на отмеченый угол против часовой стрелки точка A’ переходит в точку A, а при повороте вокруг точки B’’’ переходит в точку B. Вместе с точки O эти две точки образуют треугольник ABO, который «приклент» к выбранным боковым гранам по ребрам OB (к грани S’‘‘‘OB’’’: [OB’’’] ≈ [OB]) и OA (к грани S’OA’: [OA’] ≈ [OA]). Прием этот треугольник за основание будушей пирамид们.

Осталось найти еще одну боковую грань так, чтобы ее можно было приклентить к уже выбранным боковым грамам и к основанию. И тут просходит чудо!

Возьмем отмеченную точку O₂ на ребре A’S’ и повернем вокруг в 180° точку A’ и точку S’. Эти точки перейдет в точки A’’ и S’’ соответствующего, причем [A’S’] ≈ [A’‘S’]. Вторые псевдоребра, проходящие через точки A’’ и S’’, пересекаются в точке B’’’, образуется треугольник S’‘A’‘B’’’. Отмеченая точка O₁ является точкой пересечения ребер A’‘B’’ и AB, так

10

ЧТО ПРИ ПОВОРОТЕ НА ОТМЕЧЕННЫЙ УГОЛ ВОКРУГ $O_1$ ЭТИ РЕБРА СОВМЕЩАЮТСЯ ($A''$ переходит в $A$, $B$ переходит в $B''$, и $[AB] \cong [A''B'']$). Таким образом, треугольник $S''A''B''$ приклеивается к основанию по ребру $A''B''$ и к боковой грани $S'OA'$ по ребру $A''S''$. Осталось приклеить $S''A''B''$ к грани $S''OB''$. Но тут нас снова «спасает» отмеченная точка — ее не видно на рисунке, дужкой помещен только угол с вершиной в этой точке; она является точкой пересечения ребер $S''B''$ и $S''B''$; так что при повороте на отмеченный угол вокруг этой точки ребра $S''B''$ и $S''B''$ совмещаются ($[S''B'] \cong [S''B'']$); по этим ребрам и осуществляется последнее приклеивание.

Точно так же удается выбрать вторую парамиду: ее ребра на рисунке 1 отмечены сним цветом (причем треугольник $DEF$ — это основание второй парамиды).

Теперь нужно понять, как эти парамиды пересекаются. Здесь возжана большая свобода: грань прирамды, например, ее основание, в расматриваемом примере может занимать 24 различных положения в пространстве (по числу пересекающихся плоскостей), а потом столько же различных положений может занимать и каждой парамида. Однако взaimное размещение этих двух прирамд можно задать всего одной линей — линей пересечения каких-нибудь двух их граней; например, на рисунке 1 линии $l_0$ и $l'_0$ конгруэнтны и представляют собой ту один линей в пространстве, по которой пересекаются основания $ABO$ и $DEF$ построенных парамид. Приаям $l_0$ имеет с каждой из ребров основания по одной общей точке (или на самом ребре, или на его продолжении; всего — три точки); например, с ребром $BO$ — точку $M$. Но основание $ABO$ «приклеивается» по ребру $BO$ к боковой грани $S''OB''$, значит, точке $M$ на ребре $B''O$, конгруэнтном $BO$, будет соответствовать точке $M'$ (точки $M$ и

11

$M'$ на нашем рисунке — шестье по счету точки). Через точку $M'$ в грани $S''OB''$ проходит, кроме ребра $B''O$, еще одна прямая — сбозначим ее $t_0$. В основании DEF ей соответствует прямая $t_0$. По линии, задаваемой $t_0$ и $t_0$, и пересекает основание DEF второй прямиды грань $S''OB''$ первой прямиды. Точно так же находится линей пересечения всех остальных граней первой прямиды с основанием второй. Затем находится линей пересечения всех граней второй прямиды с основанием первой.

На рисунке 1 справа изображена развертка получающего тела, а на рисунке 2 — его общий вид.

Объясним теперь вкратце, откуда берется наш отмеченные точки и углы. Мы уже говорили, что в каждой из плоскостей граней равногранного правильного или полуправильного многогранника в результате ее пересечения с остальных плоскостями-гранями образуют конгруэтные системы линей (это получается благодаря тому, что многограничок равногранно полуправильный, и существует перемещение пространства, которое одну из его граней переводит в любую направню, так, что при этом сам многограничок переходит в себя). Зафиксируем плоскость какой-нибудь грани нашего многограничка и получившуюся в ней систему линей пересечения с остальных плоскостями-гранями. Возьмем еще какую-нибудь грань и отметим линию ее пересечения с первой выбранной гранью на нашем чертеже — пусть это прямая $l_1$. Повернем теперь наш многограничок вокруг некоторой оси так, чтобы вторая грань перешла в первую (эта особа вращения либо пересекается с линей пересечения двух выбранных граней, либо ей паралельна — попробуйте доказать это смостотельно). При этом первая выбранная грань перейдет в еще какую-то грань, а их линя пересечения — в линю пересечения $l_2$ первой грани с той гранью, в которой она перешла в результате поворота. Найдем теперь прямую, соответствующего линни $l_2$ на нашем «плоском» чертеже — пусть это прямая $l_2'$. Точка пересечения прямых $l_1$ и $l_2'$ и есть отмещения точка, а угол между этим прямыми — отмещенный угол.

На первой странице обложки приведен более сложный чертеж — он получен в результате продолжения плоскостей граней многограничка, изобравенно на рисунке 11, а с. 6. Аспираты кафедры прикладного искусства МГПИ им. В. И. Ленина под руководством автора этих строк сконструировали по этому чертежу много сложных и красных многограничных форм; некоторые из них легли в основу реализации проектов: комплекс университета в Калабрии (Италия), оперного театра в Софии (Болгария), дворца культуры в Ногинске. На 3-ей странице обложки вы видите один из таких проектов.

Мы расссказали вам «резец», по которым получаются все эти замечательные тела, и теперь вы можете приступить к конструкрованию своего, еще иником не найdenного многограничка*). Желаем вам удачи!

*) Многограничок «голову», изобравенный на заставке к статье (с. 8), «изобрела» студентка 2 курса МГПИ Марина Бойцова.

12

С. Овчинников

Плоские переключательные схемы

Что такое переключательная схема, легко понять из рисунка 1. Имеются две группы по $n$ полюсов — группа входов и группа выходов (на рис. 1 $n = 4$). Каждый полос входа соединен связью с одним и только с одним полосом выхода. Читатели, знакомые с понятием графа, могут заметить, что переключательная схема представляется собой граф специального вида. Такие графы называются семями.

При создании технических устройств, использующих переключательные схемы, требуется, чтобы пересекающие связи были изолированы друг от друга. В обычных устройствах соединения осуществляется проводами, и поэтому это требование легко удовлетворяется. Примером такого устройства можетлужить переключательная схема,

Рис. 1.

Рис. 2.

13

изображена схема, реализующая симметрию $n$ чисел: $i$-й вход соединин с $(n-i+1)$-м выходом. Для этой схемы необходимо $n$ слое, так как каждой пара связи должна лежать в разных слоях.

Сформулируем теперь строго условия задачи и доказем основную теорему.

Пусть нам задана переключителяная схема с $n$ входами и $n$ выходами; занутерум их целыми числами 1, 2, …, $n$. Каждая такая схема задает взаимно однозначное отображение на себя множество чисел $\{1, 2, ..., n\}$; иными словами, схема задает перестановку $P$ множество чисел $\{1, 2, ..., n\}$, ставящую в соответствии номеру входа номер соедининого с ним выхода. Например, переключителяной схема на рисунке 1 соответствует перестановка $1 \rightarrow 2, 2 \rightarrow 4, 3 \rightarrow 1, 4 \rightarrow 3$. Очевидно, что каждой перестановке, в свою очередь, соответствует некоторая переключителяная схема. Поэтому в дальнейшем мы не будем различать переключителяные схемы и соответствующие им перестановки.

Число $n$ называется степенью перестановки $P$. Связь, соединяющего вход $i$ с выходом $j$, будем обозначать $(i, j)$. Тогда перестановка $P$ может быть определена как множество $\{(i, j)\}$ всех связей.

Рассмотрим некоторые примеры. Схема на рисунке 1 соответствует перестановка степеня 4, которое можно записать в виде множества связей:

$$P_1 = \{(3, 1), (1, 2), (4, 3), (2, 4)\}.$$

Перестановки степеня $n$, соответствующие схемам на рисунках 3 и 4, записываются так:

$$P_2 = \{(1, 1), (2, 2), ..., (n, n)\},$$
$$P_3 = \{(n, 1), (n-1, 2), ..., (1, n)\}.$$

Заддача 1. Докажите, что две связи $(i, j)$ и $(p, q)$ пересекаются тогда и только тогда, когда $(i-p)(j-q) < 0$.

Подмножество связей называется «слоем перестановки $P$, если никакие две связи из этого подмножества не пересекаются. На рисунке 2 изображены два слоя перестановки $P_1$. Перестановка $P_2$ сама является слоем, а для перестановки $P_3$ каждый слой состоитровно из одной связи.

Толщиной перестановки $P$ называется минимальное число слое, на которых ее можно разложить. В наших примерах толщина $P_1$ равна 2, толщина $P_2$ равна 1, а толщина $P_3$ равна $n$. Очевидно, что толщина люборей перестановки не превыходит ее степеня $n$.

Заддача 2. Докажите, что для любого целого $p \leq n$ существует перестановка $P$ степеня $n$ и толщины $p$.

Перестановки толщины 2 называются 2-реализуемыми (их можно разложитьровно на два слоя) и обладают следующим свойствам. Наозем связи $(i, j)$ правой, если $i \geq j$, и левой, если $i < j$ (на рисунке 5 изображена перестановка, правые связи которой выделены красным цветом, а левые — синим). Оказываться, что множество всехлевых связей 2-реализуемой перестановки является слоем. (Докажите это.)

Например, перестановка на рисунке 5 не 2-реализуема: ее левые

14

Рис. 5.

связи (2, 5) и (3, 4) пересекаются. Противоположим по смыслу понятие слоя является понятие пучка. Подмножество связей называется пучком, если любые две связи из этого подмножества пересекаются. Толщиной пучка называется число входящих в него связи. Каждую связыва мы будем считать пучком толщины 1.

Вернемся к нашим примерм. У перестановки $P_1$ (см. рис. 1) имеется три пучка толщины 2:
$\{(3, 1), (1, 2)\}, \{(3, 1), (2, 4)\}$ и $\{(4, 3), (2, 4)\}$.

Все пучки перестановки $P_2$ (рис. 2) имеют толщину 1. У перестановки $P_3$ (рис. 3) любое подмножество связыва является пучком. В частности, сама перестановка $P_3$ является пучком.

Среди пучков данной перестановки особый интерес представляют пучки максимального толщины. Такие пучки называем максимальным.

Задача 3. Докажите, что максимальный пучок произвольной перестановки не может состоять из одних только левых ее связыва.

Между толщиной перестановки и толщиной ее максимального пучка существует очевидная зависимость: чем более толстые пучки имеются у перестановки, тем она сама толще. Следующая теорема конкретизирует эту зависимость.

Теорема 1. Толщина перестановки равна молщине ее максимального пучка.

Так как связыва из максимального пучка должна лежать в разных слоях, то число словев не может быть

меньше толщины пучка. Поэтому для доказательства теоремы достаточно построить такое разложение данной перестановки, число словев которого равно числу связыва в максимальном пучке. Иными словами, в каждом слое такое разложения должна лежатьровно одна связыва из максимального пучка.

Прежде, чем доказывает теорему 1, установим одно важное свойство максимального пучка.

Лемма. Пусть
$(i_1, j_1), (i_2, j_2), \dots, (i_p, j_p)$
— связыва, входящие в максимальный пучок, причем
$j_1 < j_2 < \dots < j_p$.

Если некоторая связыва $(i, j)$ пересекаем связыва $(i_1, j_1)$, то $i < i_1$.

Доказательство. Предположив противное, из результата задачи 1 получим, что $j < j_1$. Но тогда связыва $(i, j)$ пересекает все связыва Dannого пучка, а это противоречит его максимальной.

Будем говорить, что связыва $(i, j)$ начинается в полное $j$. тогда доказанное свойство геометрической изначает, что любая связыва начинающаяся левее максимального пучка, не пересекает самой левой его связыва. Аналогично, всякая связыва, начинающаяся правее максимального пучка, не пересекает его самой правой связыва. Перестановка на рисунке 6 или построирует нашу лемму. Красным отмечены связыва максимального пучка. (1, 5) — самая правая связыва максимального пучка, (4, 2) — самая левая. Заметим, кстати, что максимальных пучков может быть несколько. Для перестановки на рис.

15

сунке 6 их три:
{(4, 2), (3, 4), (1, 5)}, {(7, 3), (3, 4), (1, 5)} и {(7, 3), (6, 6), (5, 7)}.

Доказательство теоремы 1.

Мы даим конструктное доказательство, то есть указываем процесс, с помощью которого можно каждую перестановку разложить на минимальное число слов.

Обозначим толькоину максимального пучка через $p$. Отнесем связь $(u_1, 1)$ (то есть самую левую связь перестановки) в первый слой и обозначим ее $(u_1, v_1)$. Среди всех связей $(i, j)$, не пересекающих $(u_1, v_1)$, рассмотрим связь с наиболее шиммем $j$. Ее собственным $(u_2, v_2)$ и тоже относим в первый слой. Перебирая подряд связи, начиная с самой левой, и относая к первому слюю те, которые не пересекают уже выбранных, мы получим множество попарно непересекающих связей $(u_1, v_1), (u_2, v_2), \dots, (u_h, v_h)$, которые и образуют первый слой.

Связи, не попавшие в первый слой, сами образуют неокоторую перестановку. Применяя к этой перестановке предыдущей построение, мы получим второй слой и так далее.

Постотрим, что при этом построении произходит с максимальным пучком. Обозначим связи, входящие в этот пучок через $(i_1, j_1), (i_2, j_2), \dots, (i_p, j_p), j_1 < j_2 < \dots < j_p$. Согласно лемме, связь $(i_1, j_1)$ не пересекается ни с одной связью, начинающаяся слева от нее, и, следовательно, должна попасть в первый слой. Никакие другие связи из этого максимального пучка в первый слой уже не попадут, так как они пересекают связь $(i_1, j_1)$. Поэтому из каждого максимального пучка в первый слой попадет по одному связи.

Выделим из нашей перестановки первый слой. Легко видеть, что в оставшейся перестановке максимальные пучки имеют только $p-1$. Выделив второй слой, мы получим в оставшейся перестановке максимальные пучки только $p-2$. Продолжая этот процесс выделения слов, мы на $(p-1)$-м шаг получим перестановку, максимальные пучки которого имеют только 1. Но это означает, что связи в этой перестановке не пересекаются, и, следовательно, она сама образует последний $p$-й слой.

Итак, мы показали, что любую перестановку можно разложить на слой, число которых равно тольконице максимального пучка; это разложение и доказывает теорему.

Уражениее. Проверьте справедливость теоремы для $P_1, P_2$ и $P_3$.

Рассмотрим переключательные схемы, соответствующие перестановкам тольконы 2, то есть 2-реализуемым перестановкам; они представляют особый интерес, так как для их изготовления требуется всего два проводаших слоя. Пусть две такие переключательные схемы соединены так, как показано на рисунке 7. Очевидно, что получившаяся на рисунке 7 схема эквивалентна переключательной схеме на рисунке 8. Обозначим перестановку, соответствующее схеме рисунка 8, через $P$, а перестановки, соответствующие верхней и нижней схемам рисунка 7 — через $P_1$ и $P_2$ соответствующего. Будем говорить, что перестановка $P$ равна произведению перестановок $P_1 \cdot P_2$.

Аналогичным образом можно определить произведение любого числа перестановок. Порядок сомножителей в таком произведение важно: например, если взять перестановку

16

Оказывается, любую перестановку можно разложить в произведение нескольких 2-реализуемых! (Доказите это.)

Если перестановка представляется в виде произведения s «штук» 2-реализуемых перестановок, то говорят, что она s-каскадно реализуема. (Так, изображенная на рисунке 8 перестановка P (толщины 3) 2-каскадно реализуема; разложение P на 2 каскада 2-реализуемых перестановок осуществляют перестановки P₁ и P₂ рисунка 7.) Технологии s-каскадно реализуема перестановка имеет два проводаших слоя и один изолирующий, переванный s — 1 раз. Первыению изолирующего слоя соответствует разрыв между каскадами; очевидно, что в разрыве изолирующего слоя пересечения связи не проискодит. Каждый изолирующего слоя соответствует разрыве 2-реализуемых) проходит через каждый каскад, но, быть может, в разных проводах слоя — см. рисунок 10; связи, лежащие в одном проводшем слое, обозначаны одним цветом.

Итак, как мы сказали, для любой перестановки каскадное разложение существует. А чему равно минимальное число каскадов, необходимых для каскадного разложения данной перестановки? Попробем это выяснить.

Начнем с перестановки Kₚ, ставшей в соответствии числу i число p — i + 1, то есть реализушей симметрию p чисел.

Как уже отмечалось, перестановка Kₚ совпадает со своим максимальным пучком и имеет только равную p. Сейчас мы построим некоторое каскадное разложение перестановки Kₚ на двуслойные перестановки и затем показем, что построенное разложение минимально.

При p = 2 перестановка K₂ сама является каскадом (единивным). Как разложить перестановку K₄ (p = 4), видно из рисунка 11. Использование идеи разложения на каскад

17

ды для перестановки $K_4$, построим каскадное разложение перестановки $K_8$ ($p = 8$) — см. рисунок 12. Теперъ уже ясно, как построить каскадное разложение перестановки $K_p$, если $p$ равно степени двойки. Верхний каскад (для $p = 2^r$) изобразен на рисунке 13. Остальные каскады симметрично реализуют перестановки положives 1, 2, …, $2^{r-1}$ и положives $2^{r-1} + 1$, $2^{r-1} + 2$, …, $2^r$; при этом $k$-й каскад перестановки степени $2^r$ получается объединением двух одинаковых ($k-1$)-х каскадов перестановки степени $2^{r-1}$. Очевидно, что число каскадов в построенном каскадном разложении перестановки $K_2^r$ равно $r$.

Пусть теперь $p$ не является степенью двойки; тогда существует такое $r$, что $2^r < p < 2^{r+1}$. Расмотрим каскадное разложение перестановки $K_{2r+1}$ степени $2^{r+1}$ и видим в нем связи, начинающие в положах с номерами, не превыходящими $p$. Очевидно, что эти связи определяют перестановку $K_p$ (входы с номерами $2^{r+1} - p + 1$, $2^{r+1} - p + 2$, …, $2^{r+1}$ нужно переумеровать, начиная с единиц: 1, 2, … $p$), а данное каскадное разложение перестановки $K_{2r+1}$ осуществляет также разложение перестановки $K_p$. Например, на рисунке 14 каскадное разложение для перестановки $K_6$ выделено из разложения для $K_8$.

Итак, для перестановок $K_p$, являющихся пучками, мы построили каскадные разложения. Если $p$ такое, что $2^{r-1} < p \leq 2^r$, то число каскадов равно $r$. Иначе это можно записать так: $r = \log_2 p$, где $|a|$ обозначает наименьшее целое, не меньше $a$.

Покажем теперь, что построенные каскадные разложения перестановок $K_p$ состоит из минимального числа каскадов. Для этой примера индекцию по $p$. Заметим, что если $p < q$, то для минимального каскадного разложения перестановки степени $q$ требуется каскадов не меньше, чем для минимального разложения перестановки степени $p$.

При $p = 2$ нашей утверждение очевидно. Пусть утверждение доказано для $p = k$. Расмотрим два случая.

a) $2^{r-1} < k < 2^r$.

Для перестановки $K_k$ степени $k$ имеем $r$-каскадное разложение. При переходе от $k$ и $k+1$ число каскадов, как следует из нашей замечания, не уменьшается. Но так как $k$ — число целое, то $k+1 \leq 2^r$, и, значит, мы можем построить $r$-каскадное разложение перестановки $K_{k+1}$ степени $k+1$; понятно теперь, что оно и является минимальным.

b) $k = 2^r$.

Расмотрим перестановку $K_{k+1} = K_{2r+1}$. Так как $2^{r+1} < 2^{r+1}$, то мы можем построить для перестановки $K_{k+1}$ $(r+1)$-каскадное разложение. Покажем, что $r$ каскадов для разложения перестановки $K_{k+1}$ недостаточно (тогда $(r+1)$-каскадное разложение как раз и будет минимальным).

Предположим противное: пусть имеется $r$-каскадное разложение перестановки $K_{2r+1}$ степени $2^{r+1}$. Расмотрим верхний каскад этого раз-

18

ложения. Однако из двух слоев этого каскада содержит больше половины связи, то есть больше, чем $2^{r-1}$ связи. Эти связи не пересекаются и, следовательно, оставшиеся $r-1$ каскадов должны реализовать разложение пучка этих связи, что невозможно, так как степень этого пучка больше $2^{r-1}$. Полученное противоречие завершает доказательство.

Так как для каскадного разложения произвольной перестановки (не являющейся, как $K_p$, пучком) требуется каскадов не меньше, чем для разложения ее максимального пучка, то справедлива.

Теорема 2. Минимальное число каскадов, необходимое для двустойной реализации перестановки стелени $n$ и молцны $p$, не меньше, чем $\log_2 p$.

Мы получили оценку «снизу» для минимального числа каскадов. Используя очень похожие расчёжения, можно получить оценку «сверху»:

Теорема 3. Произвольная перестановка стелени $n$ допускает $\log_2 n [-\text{kаскадную реализацию}]$.

Задча 4. Докажите теорему 3.

Полученные «верхняя» и «низняя» оценки мало отличются для «толстых» перестановок. Однако для перестановок малой толщины различие веса сушистенено, и возникнет необходимость в более точных оценках. Следующие две задачи дают неокоторое продвижение в этом вопросе, однако точная формула для минимального числа двустойных каскадов, необходимых для разложения данной перестановки, пока неизвестна.

Задча 5. Докажите, что перестановка толщины $p$ допускает $(2 \cdot \log_2 p [-1])$-каскадную реализацию.

Задча 6. Докажите, что перестановка толщины $p$ допускает $(2 \cdot \log_2 \frac{p}{3} [+2])$-каскадную realizацию.

Пленники царя Дадона

Во время набета царь Дадон захватил 100 пленников. Их посадили в одиночные камеры, а по тюремному коридору ходила до зубов вооруженная стража. Каждая камера запиралась на замок; ко всем ста замкам подходил ключ, хранившийся у царя Дадона на порсе. Один поворот ключа отпирал замок, еще один поворот вновь запирал, следующего поворот опять отпирал и т. д.

Ко дня своего рождения царь решил освободить заklюченных, и еще накануне послал человека, который вставил ключ в замок каскадой камеры и поворачивал на один оборот. Все двери оказались отпертыми. Однако день рождения еще не наступил, и выйти из камер было неозможно: вдоль коридора ходила вооруженная стража.

Едва посыльный успел возвратить ключ, как царь Дадон изменил свое решение. Он поручил новому посланцу повернуть ключ в замке каскадой второй камеры. Двери второй, четвертой, шестой и всех остальных четырех камеры оказались вновь запертыми. Следующий сделал по одному обороту в замках третий, шестой, девятой, двенадцатой и т. д. камер. Еще один — в каждой четвертой камере. То же самое повторили следующим посланием царя — до сотого включительного, который повернул ключ лишь в замке сотой камеры.

Наконец день рождения царя настояил. Стража была снять и сдевшие в открытых камерах вышли на свободу.

Сколько пленников отпустил на свободу царь Дадон?

20

и сила, действующая со стороны воды на пузырек, зависит отускорения самой воды. Закон Архимеда, записанный в общном виде $F_{выт} = V\rho g$, неприменим к пузырьку, движущемуся ускоренно!

Оказывается, задача о пузырьке очень близка к задаче о движении грузников, связанных переброшенной через неподвижный блок нитью (рис. 1). Нетрудно увидеть аналогию между ними. Действительно, один из грузников (с массой $m$) как бы играет роль пузырька, другой (с массой $M$) — роль воды, а наяжение ниги $T$ — роль выталкивающей силы.

Второй закон Ньютона в применении к грузнику массы $m$ можно записать так:

$$ma = T - mg. \tag{2}$$

Если грузик массы $m$ удерживает, то наяжение ниги $T$ оказывается численно равным весу грузика $Mg$ (всеу «вытесненной» воды). Подставив $T = Mg$ в уравнение (2), получаем:

$$a = \frac{M - m}{m} g \quad (\text{неверно!}). \tag{3}$$

При $M \gg m$ оказывается $a \gg g$. Этот вывод своей неполностью похож на вывод об огромном ускорении пузырька (см. (1)). Причина обихок одна и та же: необходимо учитывать движение грузика массы $M$ и движение «вытесненной» воды. Напомним, что для правильного решения задачи о грузиках нужно записать еще уравнение второго закона Ньютона для грузика массы $M$

$$Ma = Mg - T \tag{4}$$

и решить систему уравнения (2) и (4). Отсюда

$$a = \frac{M - m}{M + m} g, \tag{5}$$

$$T = \frac{2mM}{M + m} g.$$

При $m \ll M$ оказывается $a \approx g$, $T \ll Mg$, что вполне соответствует действительности.

Можно решить эту задачу и другими способами — воспользоваться законом сохранения энергии. При смешении грузика массы $m$ вверх (и соответственно, грузика массы $M$ вниз) на расстояние $h$ потенциальная энергия системы уменшится на величины $Mgh - mgh$. Кинетическая энергия станет равной $\frac{mv^2}{2} + \frac{Mv^2}{2}$, где $v$ — скорость грузков (начальную скорость считаем равной нулю). Приравняв величины

$$Mgh - mgh = \frac{mv^2}{2} + \frac{Mv^2}{2},$$

находим

$$v^2 = 2 \frac{M - m}{M + m} gh,$$

или (см. (5))

$$v^2 = 2ah. \tag{6}$$

Такая связь скорости и перемещения характера для движения с постоянным ускорением $a$. (В данном случае $a = \frac{M - m}{M + m} g$.)

Воспользовемся этим для решения задачи о движении тела в жидкости. Правда, привести полное решение задачи о воздействии на пузырьке мы не сможем. Дело в том, что распределение скоростей жидкости вокуг

21

пузырька слишком сложно (рис. 2).
Оdnako мы решим положую задачу.
Рассмотрим движение длиного стержня радиуса $r$, длины $l$ и массы $m$ вдоль оси заполенной жидкостью плотности $\rho$ трубки радиуса $R \ll l$ (рис. 3). В этом случае движение жидкости легко расчитать. Вытесняемая верхней часть стержня жидкость смещается вниз и заполняется место, освобождаемое нижней часть стержня. Если исключить небольшие участки вблизи торцов стержня, то скорость жидкости всюду между стержнем и стенками трубки

Рис. 2.

Рис. 3.

ки оказывается одной и той же. Обозначим через $v$ скорость стержня, а через $v_1$ — скорость воды, движущейся между стержнем и стенками трубки, в тот момент, когда стержень поднялся на высоту $h$ от того уровня, на котором его скорость была равна нулю. Приравняв объем $\pi r^2 v \Delta t$ жидкости, вытесненной стержнем за малый промежуток времени $\Delta t$, объем $\pi (R^2 - r^2) v_1 \Delta t$ жидкости, прошедшей за это же время между стержнем и трубкой, находится

$$v_1 = \frac{r^2}{R^2 - r^2} v.$$

За то время, пока стержень поднимаются на высоту $h$, масса жидкости, равная $V\rho (V = \pi r^2 l - объем стержня),$ опустится тоже на $h$, тогда уменьшение потенциальной энергии стержня и жидкости равно $V\rho g h - m g h$. Кинетическая энергия системы равна $\frac{m v^2}{2} + \frac{m_1 v_1^2}{2}$, где $m_1$ — масса движущей жидкости. Кинетическая энергия жидкого записать в таком виде:

$$\frac{m_1 v_1^2}{2} = \frac{\pi (R^2 - r^2) l \rho}{2} v_1^2 = \frac{V \rho r^2}{2 (R^2 - r^2)} v^2 = \frac{m' v^2}{2},$$

где $m' = \frac{V \rho r^2}{R^2 - r^2}$.

Воспользовавшись законом сохранения энергии, получим

$$V \rho g h - m g h = \frac{m v^2}{2} + \frac{m' v^2}{2},$$

откуда

$$v^2 = 2 \frac{V \rho - m}{m + m'} g h.$$

Такой зависимости скорости $v$ от перемещения $h$ отвечает движение сускорением (см. (6))

$$a = \frac{V \rho - m}{m + m'} g.$$ (7)

Таким образом, стержень движется так, будто его масса увели-

22

Чилась на величину $m'$, а величина сила осталась равной гидростатической архимедовой силе ($V\rho g$). Величину $m'$ называют присоединенной массой. Это число формулы, но удобное толькование равенства (7). Формула (7) получается из неправильной формулы (1) добавлением в знаменатель слагаемого $m'$. Отметим, что подобным же образом формула (5) получается из (3) добавлением в знаменатель слагаемого $M$.

Силу $F_{\text{выт}}$, с которой движущаяся жидкость действует на стержень, теперь легко получить из второго закона Ньютона

$$ma = F_{\text{выт}} - mg,$$

откуда

$$F_{\text{выт}} = m(g + a) = mg \frac{V\rho + m'}{m + m'}. \tag{8}$$

В частности, если $m \ll m'$, то $F_{\text{выт}} \approx \approx mg \frac{R^2}{r^2}$; при $R \sim r$ величинающая сила оказывается порядка веса стержня (и не имеет отношения к весу вытесненной воды). Если же $m \gg m'$, то $F_{\text{выт}} \approx V\rho g$, то есть мы возвращаемся к закону Архимеда в общном виде.

Для шарика (в частности, для пузырька) расчет дает такой результат: кинетическая энергия жидкости равна $\frac{1}{4} V\rho v^2$, где $V$ — объем шарика, $v$ — его скорость. тогда присоединенная масса для пузырька $m' = \frac{1}{2} V\rho$, т. е. она равна половине массы вытесненной воды. Пузырек всплывает сускорением

$$a = \frac{V\rho - V\rho_0}{V\rho_0 + V\rho/2} g \approx 2g.$$

Выталкивающая сила определяется из уравнения (8), она приблизительно равна $F_{\text{выт}} \approx 3 mg$, т. е. тройному весу неподвижного пузырька (и во много раз меньше веса вытесненной воды).

Рис. 4.

Теперь вспомним о силе сопротивления. Для пузырька газа в жидкости она определяется формулой $F_c = 12\pi \eta rv$, где $r$ — радиус пузырька, $v$ — его скорость, $\eta$ — так называемый коэффициент вязкости среды $^*$). С учетом силе сопротивления уравнение движения пузырька запишется так (см. (7)):

$$(m + m') a = V\rho g - mg - F_c. \tag{9}$$

Очевидно, что $F_c$ уменьшается (а значит, и скорость) пузырька по сравнению с тем слугаем, когда мы не учитываем сопротивление жидкости. Однако, если $\frac{4}{3} \pi r^3 \rho g \gg 12\pi \eta rv$, т. е. при $v \ll \frac{r^2 \rho g}{9\eta}$, силе сопротивления можно пренебреть. Например, если ребёнт о пузырьке радиуса $r = 3 \text{ mm}$ $^*$), движущемся в воде ($\rho = 1 \text{ e/cm}^3$, $\eta = 1,0 \times 10^{-2} \text{ e/(cm} \cdot \text{сек)}$), то его скорость должна быть много меньше величины $v_0 = \frac{r^2 \rho g}{9\eta} = 10 \text{ m/сек}$. Прикинем, на каком пути $h_0$ пузырек достигает

$$^*$$) Приведенная формула справедлива при $\rho vr \gg \eta$, если $\rho vr \ll \eta$, коэффициент 12π следует заменить на 4π. Для твердого шарика при $\rho vr \ll \eta$ коэффициент равен 6π (формула Стокаса).

$$^*$$) Пузырек большего радиуса не может сохранить шарообразную форму (подносно padаюшей джедевой капле, деформируемой силой давления воздуха; см., например, статую И. Ш. Слободецкого «О форме джедевой капли», «Квант», 1970, № 8).

23

Рис. 5. Рис. 6.

такой скорости. Для грубой оценки воспользовемся равенством $v_0^2 = 2ah_0$, где $a = 3g$:

$$h_0 = \frac{v_0^2}{6g} \approx 1.5 \text{ m}.$$

Таким образом, на пути 1,5 м силой сопротивления можно пренебречь. При этом $v_0 = 10 \text{ m/сек}$ — это предельная скорость, которая может достичь всплывающий пузы-рек газа в воде.

У практики

1. Цилиндрическая трубка, состоящая из двух частей с радиусами $R_1$ и $R_2$ (рис. 4), соединенных плаваным переходом, заполнена водой. Вдоль оси трубы движется линейный стержень радиуса $r$ и плотности $\rho_0$. Скорость стержня в левой части трубы равна $v_1$. Какой станет его скорость после перехода в правую часть трубы?

2. В жидкости плотности $\rho$ плавает шарик радиуса $R$ с грубой радиуса $r \ll R$ (рис. 5). Масса шарика с грубой равна $m$. Шарик удален от поверхности жидкости, дна и стенок сосуда на расстояние, много больше его радиуса. Шарик слегка приподняли за грубку и отпустили. Определить период возникших колбанный шарика.

3. Вдоль оси трубки с водой всплывает стержень массы $m$ (рис. 6). Определить силу, действующего на дно.

Ребусы

В каждом из следующих примеров цифры заменены буквы (каждой цифре соответствует одна буква), вместе звездочек могут стоять любые цифры. Восстановите первоначальный вид примеров.

1. $\times$ и к с
   и к с
   e * * *

   • т * *
     д е в я ть

2. $\times$ и к с
   и к с

   ---

   ---

   e * * *
   ч е ты р е

3. $\times$ и к с
   и к с

   ---

   и к с

   ---

   ш е с ть

4. $\times$ д в а
   д в а
   к * * *

   ---

   и г р е к

5. $\times$ с т о
   с т о

   ---

   ---

   ---

   и г р е к

6. $\times$ з е т
   з е т

   ---

   ---

   ---

   с о р о к

Э. Рекстин

24

М. Хапланов

Трансцендентные числа

Понятие о числе формировалось на протяжении тысячелетия. И лишь древти лет тому назад — прежде всего в трудах Л. Эйлера (1707—1783) — в математике вошли комплексные числа, и завершилось развитие понятия о числе.

Напомним этапы (нехронологические) этого развития:
a) натуральные числа 1, 2, 3, …
b) целые числа … —3, —2, —1, 0, 1, 2, 3, …
c) рациональные числа, т. е. числа вида $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое, $q$ — натуральное число;
d) комплексные числа, т. е. числа, выражемые бесконечными десятичными дробями;
e) комплексные числа, т. е. числа вида $a+bi$, где $a$ и $b$ — действительные числа, а символь $i$ определяется условием $i^2 = -1$.

В этой последовательности каждый следующий класс содержит все числа предыдущего класса и дополнительно «новые» числа. При каждом расширении класса чисел мы прибретаем возможность произвольить во всех случаях те или иные действия, которые не всегда выполним в «старых» числах. Так, в классе целых чисел всегда выполимо вычитание, а в классе рациональных сверх того всегда выполимо деление, в классе действительных чисел всегда выполним чисел из только четырех арифметических действия, но — для положительных чисел — извлечение корня, и вообще возведение в любую действительную степень, а также нахождение логарифма. Наконец, как доказал в 1799 году Гаусс (1777—1855), в комплексных числах всегда разрешимы алгебраические уравнения любой степени: уравнение
$$a_0z^n+a_1z^{n-1}+\dots+a_n=0,$$
(1)
где $n$ — натуральное число, а коэффициенты — комплексные, имеет $n$ комплексных корней. Еще равшие (1748 г.) Эйлер построил теорию показательной, логарифмической, трионометрических и обратных им функций от комплексного аргумента.

В настоящее время мы рассмотрим другую классификацию чисел, именно, разбиение их на алгебраические и неалgebraические (начание — трансцендентные)*.

Оределене. Число называется алгебраическим, если существует алгебраское уравнение с целыми коэффициентами, корнем коморого оно является.

Подчеркием, что для того, чтобы число было алгебраическим, уравнение (1), которое оно удовлетворяет, должно иметь коэффициенты целые числа (или может быть приведено к такому уравнению).

Очевидно, рациональные числа являются алгебраическими: $\frac{p}{q}$ есть корень уравнения $qz-p=0$ с целыми коэффициентами $q$ и $-p$. Алгебраические числа являются корни квадратных уравнений с целыми коэффициентами, например: число $i$ (корень уравнения $z^2+1=0$), число $-\sqrt{5}-1$ (корень уравнения

*) См. также статью Д. Б. Фукса и М. Б. Фукса «Рациональные приближения и трансцендентность» и статью Л. А. Калл уж и на «К 100-летию теории множества Георга Кантора», «Квант», 1973, № 12.

25

$z^2+2z-4=0$, число $1-i\sqrt{5}$ (корень уравнения $z^2-2z+6=0$).

Существуют ли трансцендентные числа?

Естественно возникает вопрос: а есть ли вообще трансцендентные числа?

Положительный ответ на него дал в 1844 году французский математик Ли увилль (1809—1882). В 1873 году Эрмит доказал трансцендентность числа $e$, в 1882 году Линдeman — трансцендентность числа $j$. В 1900 году на ПМ Международном конгрессе математиков в Париже Д. Гильберт (1860—1940), среди поставленных им и ставших знаменитыми 23 проблем, формулировал следующие проблемы: трансцендентные ли числа вида $\alpha^\beta$, где $\alpha$ — алгебраическое число, описанное от нуля и единицей, а $\beta$ — irrationalное алгебраическое число?

Положительный ответ на этот вопрос дал в 1934 году выдающийся советский математик А. О. Гельфонд (1906—1968).

Результаты Лиувилля

В дальнейшем мы будем предложать, что алгебраические и трансцендентные числа — действительные, хотя все остется справедливым и для комплексы чисел (см. упражнения в конце статьи).

Теорема 1. Пусть $\alpha$ — irrationalное число, являющееся корнем уравнения

$$f(z) \equiv a_0 z^n + a_1 z^{n-1} + \dots + a_n = 0.$$ (2)

По коэффициентам уравнения и произвольному $A > |\alpha|$ можно найти такое число $M$, что для любой дроби $\frac{p}{q}$, $\left|\frac{p}{q}\right| \leqslant A$, не является корнем уравнения (2), справедливо неравенство

$$\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| \geqslant \frac{1}{M q^n}.$$ (3)

Доказательство. По условиям теоремы имеем:

$$f(\alpha) = a_0 \alpha^n + a_1 \alpha^{n-1} + \dots + a_{n-1} \alpha + a_n = 0,$$

$$f\left(\frac{p}{q}\right) = a_0 \left(\frac{p}{q}\right)^n - \alpha^n + \dots + a_{n-1} \left(\frac{p}{q}\right)^{n-1} + \dots + a_n = 0.$$

Отсюда

$$f\left(\frac{p}{q}\right) = f\left(\frac{p}{q}\right) - f(\alpha) = a_0 \left[ \left(\frac{p}{q}\right)^n - \alpha^n \right] + a_1 \left[ \left(\frac{p}{q}\right)^{n-1} - \alpha^{n-1} \right] + \dots + a_{n-1} \left(\frac{p}{q}\right)^{n-1} + \dots + a_n = 0.$$

$$\times \left\{ a_0 \left[ \left(\frac{p}{q}\right)^n - \alpha^n \right] + \left(\frac{p}{q}\right)^{n-2} \alpha + \dots + \left(\frac{p}{q}\right)^{n-2} + \alpha^{n-1} \right] + \alpha_1 \left[ \left(\frac{p}{q}\right)^n - \alpha^n \right] + \dots + a_n = 0.$$

Так как $|\alpha| < A$, $\left|\frac{p}{q}\right| \leqslant A$, то

$$f\left(\frac{p}{q}\right) \leqslant \left|\frac{p}{q}\right| - \alpha |M|,$$ (4)

где

$$M = |a_0| n A^{n-1} + |a_1| \times (n-1) A^{n-2} + \dots + |a_{n-1}|.$$ (5)

Но

$$\left| f\left(\frac{p}{q}\right)\right| = \frac{\left| a_0 p^n + a_1 p^{n-1} q + \dots + a_n q^n \right|}{q^n}.$$ (6)

В числитель дроби (6) $a_0, a_1, \dots, a_n, p, q$ — целые числа, поэтому числитель (6) — целое число, а так как $f\left(\frac{p}{q}\right) \neq 0$, то он не меньше единицы.

Следовательно,

$$\left| f\left(\frac{p}{q}\right)\right| \geqslant \frac{1}{q^n}.$$ (7)

Из (4) и (7) следует (3). Теорема доказана.

26

Теорема 2. Число

$$\alpha = c_0 + \frac{c_1}{10} + \frac{c_2}{10^{21}} + \frac{c_3}{10^{31}} + \dots + \frac{c_k}{10^{k1}} + \dots,$$

еде $c_0$ — произвольное целое, а $c_1, c_2, \dots$ принимают одно из значений 0, 1, 2,…, 9 и не равны нулю подряд, начиная с некоторого, — прасценденно.

Доказательство. Положим

$$c_0 + \frac{c_1}{10} + \frac{c_2}{10^{21}} + \dots + \frac{c_k}{10^{k1}} = \frac{p}{q}.$$

Тогда

$$\alpha - \frac{p}{q} = \frac{c_k+1}{10^{(k+1)1}} + \frac{c_k+2}{10^{(k+2)1}} + \dots > 0,$$

и так как $q = 10^{k1}$, то

$$\alpha - \frac{p}{q} = \frac{c_k+1}{q^{k+1}} + \frac{c_k+2}{q^{(k+1)(k+2)}} + \dots.$$

Отсюда

$$\alpha - \frac{p}{q} \leqslant 9 \left( \frac{1}{q^{k+1}} + \frac{1}{q^{(k+1)(k+2)}} + \dots \right) < \frac{9}{(q-1)q^k}.$$

Чтобы доказать трансцендентность числа $\alpha$, предположим противное — что оно алгебраическое; тогда $\alpha$ удовлетворяет уравнению (1), коэффициенты которого — целые числа. Обозначим через $d$ кратчайшее расстояние от корня $\alpha$ до других действительных корней уравнения.

Положив $A = |\alpha| + d$, вычислим по формуле (5) число $M$ и выберем натуральное число $k$ таким большим, чтобы одновременно выполнялись следующие три неравенства:

$$k > n, \frac{9}{(q-1)q^k} < d,$$

$$\frac{9}{(q-1)q^{k-n}} < \frac{1}{M}.$$

В силу неравенства (9) и среднего из условия (10), $\frac{p}{q}$ отстоит от $\alpha$ меньше чем на $d$, и потому $\frac{p}{q}$ не является корнем уравнения (1). Так как

$$\left| \frac{p}{q} \right| = \left| \alpha - \left( \alpha - \frac{p}{q} \right) \right| \leqslant \leqslant |\alpha| + \left| \alpha - \frac{p}{q} \right| < |\alpha| + d = A,$$

то выполняются условия теоремы 1, и следовательно,

$$\left| \alpha - \frac{p}{q} \right| \geqslant \frac{1}{Mq^n}.$$

С другой стороны, из неравенства (9) и последнего из условия (10)

$$\left| \alpha - \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{Mq^n}.$$

Таким образом, предположение, что $\alpha$ — алгебраическое число, привело к противоречным неравенствам (11) и (12). Следовательно, $\alpha$ — трансцендентное число.

Итак, теорема 2 позволяет нам строить трансцендентные числа. Именно, трансцендентное число можно получить из всякой бесконечной дроби, у которой не все цифры, начиная с некоторой, нулей, по следующему способу: нужно $k$-ю цифру после запятой поставить на место с номером $k!$, а остальные места заполнит hylaми. Например, из числа 0,314159… получается такое трансцендентное число:

$$0,3100040 \dots 010 \dots 050 \dots$$

Заключение

С одной стороны, действительные трансцендентные числа составляют всех действительных чисел. Но приведенный в конце предыдущую пункта пример показывает, что в некоторых смысле трансцендентных чисел «столько же», сколько и действительных, — именно в том смысле, что из каждой действительной числа (кроме конечных десятичных

чисел) можно образовать трансцендентное.

Однако в некотором другом смысле почти все действительные числа — трансцендентные, алгебраические же составляют лишь ничтожную часть действительных чисел!

В 1878 году немецкий математик Г. Кантор (1845—1918) доказал, что алгебраические числа можно занумеровать так, что каждое алгебраическое число получит свой номер, и под каждым номером будет алгебраическое число (см. Приложение). Возьмем отрезок сколь угодно малой длины, например длины $\varepsilon=10^{-15}\,см$ (напомним, что радиус электрона равен приблизительно $10^{-12}\,см$). Изобразив действительные числа точками числовой прямой, покроем алгебраическую точку № 1 отрезком длины $\frac{1}{2}\varepsilon$, алгебраическую точку № 2 — отрезком длины $\frac{1}{2^2}\varepsilon$, алгебраическую точку № $n$ — отрезком длины $\frac{1}{2^n}\varepsilon$ и так далее.

Сумма длин покрывающих отрезков равна $\varepsilon$, хотя они частично и накладываются друг на друга и покрывают не только все алгебраические числа, но и часть трансцендентных. Вся числовая ось бесконечна, а сумма длин отрезков, покрывающих алгебраические точки, составляет всего тысячную долю радиуса электрона! Это наглядно показывает, что почти все числа — трансцендентные, алгебраические же числа являются редкими исключениями.

Приложение

Назовем рангом уравнения (1) число $r$:
$$r=n+|a_0|+|a_1|+\ldots+|a_n|; \tag{13}$$
здесь $n\geq1,\ |a_i|\geq1$, следовательно, $r\geq2$.

Для каждого натурального $r\geq2$ неопределенное уравнение (13) имеет конечное число решений в целых неотрицательных числах. Следовательно, существует конечное число уравнений каждого ранга. Например, ранг 2 — два уравнения: $\pm x=0$; ранг 3 — шесть уравнений:
$$\pm x^2=0,\qquad \pm x\pm1=0;$$

ранга 4 — уравнения
$$\pm x^3=0,\qquad \pm x^2\pm x=0,\qquad \pm x^2\pm1=0,$$
$$\pm x\pm2=0,\qquad \pm2x\pm1=0.$$

Найдем корни этих уравнений и выпишем их друг за другом: сначала корни уравнений ранга 2, затем — корни уравнений ранга 3 и так далее; корни уравнений одного ранга выписываем в произвольном порядке, причем если число является корнем нескольких уравнений, то выписываем его только один раз. Получим последовательность чисел:

$$0,\ 1,\ -1,\ i,\ -i,\ 2,\ -2,\ \frac{1}{2},\ -\frac{1}{2},$$

далее — корни уравнений ранга 5 и т. д.

Каждое алгебраическое число, таким образом, будет выписано и получит свой порядковый номер в последовательности. Если интересуются только действительными алгебраическими числами, то комплексные опускают.

Упражнения

1. Докажите, что число

$$\alpha=c_0+\frac{c_1}{2}+\frac{c_2}{2^2}+\ldots+\frac{c_k}{2^{2k}}+\ldots,$$

где $c_0$ — целое, а $c_1,c_2,\ldots$ принимают одно из значений $0$ или $1$, — трансцендентно.

2. Докажите, что теорема 2 справедлива и в том случае, если числа $\{c_k\}$ принимают любые целые значения, ограниченные в совокупности, т. е. если существует такая константа $B$, что $\{c_k\}<B$ для всех значений индекса $k$.

3. Докажите, что в теореме 2 можно положить

$$\alpha=c_0+\frac{c_1}{10^{n_1}}+\frac{c_2}{10^{n_2}}+\ldots,$$

где $\{n_k\}$ — любая последовательность натуральных чисел, подчиненная условию

$$n_{k+1}\geq\lambda_kn_k,\qquad k=1,2,\ldots,$$

а $\{\lambda_k\}$ — произвольная бесконечно возрастающая последовательность действительных чисел, например, $\lambda_k=\lg k$.

В следующих упражнениях под целым комплексным числом мы понимаем число вида $a+bi$, под рациональным комплексным — число $(a+bi)/q$, где $a,b$—целые, $q$ — натуральное число, а $i$ — такое, что $i^2=-1$.

4. Докажите, что если число $\alpha$ удовлетворяет уравнению (1) с целыми комплексными коэффициентами, то оно алгебраическое.

5. Докажите, что теорема 1 справедлива, если в ее условиях $\alpha$ — комплексное иррациональное, а $p/q$ — комплексное рациональное число.

6. Докажите, что теорема 2 и утверждения упражнений 1, 2, 3 справедливы и тогда, когда коэффициенты $\{c_k\}$ принимают целые комплексные значения.

27

28

3. Тымеладзе

Нелинейное программрование

Земля! Земля!

Густая мгла тропического почи обволокла островов, но люди, почувствовав под ногами твердую почву, поверили в спасение. Поверили впервые за неделю, прошедшую с тех пор, как смыло за борт бочонки с водой, впервые за те тринадцать суток, что прошли после кораблекрушения.

— Пить! — бормотали переохшие губы, когда група отошла подальше от моря вглубь острова. Никаких припасов не осталось — только бесполезные судовые приборы ташили они с собой, словно не решаясь расстаться с этой последней реликвей с затонувшего судна.

— На острове должа была вода. Утром мы зайемся ее понским.

— Боюсь,кое для кого к утру будет уже поздно,— через силу произнес Зейдель. — Искать нужно сейчас. Внизне должен быть ручей.

— Но как мы доберемся до низины? У нас нет ничего, кроме нескольких слабых фонарей, которые хватит ненадолго, а тьма такая, что я не вижу собственной руки, — устало возразил Коши. — Вот если мы можно было подняться над местностью на воздушном шаре и осветить ее…

— Воздуший шар? — хрипло воскликнул Растригин. — Проjekто-

Рис. 1.

29

bot и он. Давайте действовать так: сначала установим уровень, ориентируя его с запада на восток, — он показывает снижение местности к востоку, видите? Пойдем на восток до тех пор, пока местность будет понжаться, как нам любезно подсказал господин Ферма. А doitя до этой точки, снова приложим уровень к земле, но уже в направлении с юга на север. Допустим он указыва на снижение местности к северу. Тогда отправимся на север и будем идти, пока местность будет понжаться. Так мы будем сворчивать до тех пор, пока не придет в низую точку. В ней уровень будет горизонтален, как его ни поверни. Не так ли?

— Я думаю, сын мой, вы правы, и через час мы уже будем здесь с полнымми фляжками,—ответил Гауссс, и она побрел к востоку, захватив с собой компас и один из уровней. Ферма отправился за ним.

— Они правы, правы, — приготовивал деятельности Коши, нетерпеливо поглядывая на другой уровень, — но не во всем. Гауссс и Зейдель отправились на восток. И действительно, местность понжается к востоку. Но понжается слабо. Смотите, сльнее всего снижение проискодит в направлении на северовосток. Может, туда и стоит отпавиться? Пожалуйста, я так и сделаю. Пройду несколько шагов и снова проверю, в каком направлении нужно спускаться, и снова сделаю несколько шагов. Где моя фляжка? Ах, вот она. Минут через сорок она уже будет полна!

— Месь! Кажется, можно прийти к цели и проше! — крикнул ему всед Канторович, с трудом раскрывая пересохшие губы. — Вам не следует оставываться через несколько шагов. Последуйте лучшие советы господина Ферма и идите до тех пор по выбранному направлению, пока местность снижения. На уменьшении числа промеров вы изрядно экономите время!

No энергичного Коши уже поглощила мгла, и Канторович был вынужден поспешить с фляжкой за ним.

— Ну как? Догнал он его? — зачем-то спросил Иномата.

— Куда там! — возразил ему со вздохом Кумада, который в этот момент возникся с глобусом, снимая его с оси. — Им уже не встретиться. Они могли бы уже здесь сказыть друг другу «до свидания». Ну что, двинулись и мы, Иномата-сан?

— Конечно! Зачем нам уровень, а тем паче компас? Вот этот шар доведет нас до цели. Пусть он свободно катится, а мы просто поддем вслед. Ведь шар сканится в самую низкую точку.

И оба скрылись в темноте, стараясь не упустить шар из виду.

Цетлин утомленно смотрел всед людям, растаяшим в ночи.

— О чем вы думаете? — спросил его Гельфанд, с трудом поднимаясь с земли. — Не о том ли, что Гауссс и Зейдель придут не туда, куда направлялись?

— Вы уgradали. Они собирались найти самую низкую точку, представляя себе местность в виде впадины с гладкими стенками (рис. 2). Но судьба может сыграть с ним злую шутку: им может встретиться

30

на пути овраг. И он быстро начертил на листке из судового журнала ricсунок 3.

— Их счастье, если по дну оврага протекает ручей. А если родник в самой низкой точке?

— Да, тогда судьбе Гаусса и Зейделя не позавидешь: идея на восток, они придут в точку А — это самое низкое место на их пути. А в направлении север — юг самая низкая точка — это снова точка А. Таким образом, бедняги придут к выводу, что А — самая низкая точка на местности и умугт в ней от жажды.

— Но может быть, их спасет фляжка Коши?

— Боюсь, что и фляга Коши останется пустой, если он встретился с оврагом. Оказавшись у дня оврага, он будет искать направление самого кругого спуска, и оно неизбежно приведет его в точку по другую сторону оврага. Из этой точки он вернется на прежнюю сторону и дальше пойдет небольшими шажками до тех пор, пока жажда не свалит его. Ведь весь овраг он увидеть не может — его фонарь способен осветить местность лишь у самых ног. Нado придуть что-нибудь другое…

— А что если Канторович достигнет целли? Хотя не думало: если овраг искривлен, а овраги редко бывают прямыми, то он начинает metastасу по дну оврага, почти не приближаясь к целли. Нado страться дивигаться по дну оврага.

— Разумеется, но как? Впрочем… каждется, придумал. Посмотрит на рисунок 4. Давайте мы оба, вы и я, подем из двух разных точек методом Канторовича. Скажем, я отсюда, а вы — отойдя шагов на стою в любом направлении.

— Понятно, а дальше? Ага, дальше мы оба спустимся на дно оврага и поставаемся увидеть фонари друг друга. Допустим, нам это удостся. Тот из нас, чей фонарь выше, дивнется по направлению к тому, чей фонарь ниже.

— Но встретились, не останоится, аройдет дальше в том же направлении до точки D. Из этой точки он снова спустимся на дно оврага, и мы опять попытаемся увидеть друг друга. И так до тех пор, пока уровень на дне оврага не указывает горизонтальной участок.

И, выбрав фонари поприметнее, оба отправились каждый своим путем.

— А вы, я вижу, не торопитесь к влаге? — спросил Растригина Винер. — Иначе почему бы вам не воспользоваться одним из весыма ра-

Рис. 3.

Рис. 4.

31

зумных способов, которые предложили наши друзья по несчастью?

— У всех этих способов один недостаток — слишком много приходится возиться с уровнем, пока найдешь нужное направление. А что если почти по какому-либо направлению научад, пока оно ведет на спуск? Потом изменить направление и снова спускаться по нему. Изменить, разумется, тоже научад. Разве таким образом я не приду к целю? Стоит ли терять время на отыскание направления наскорейшего спуска, если уже через несколько шагов оно перестает им быть?

И не успел Винер возразить или согласиться, как Растригин закрыл глаза, повернулся несколько раз на месте, как делают при игре в жмурки, и отправился в темноту.

Методы спуска

Необходимость найти максимум или минимум (объединяемых названем «экстремум» — «крайнее значение») некоторой функции возникает во многих задачах экономики и техники. А местность можно считать макетом функции двух переменных, скажем широты и долготы. Значение функции — это высота местности (над уровнем моря) в данной точке, горизонтали — линни уровня, вдоль них функция постоянна. И ситуация, возникающая при поиске экстремума, во многом сходна с той, в которой оказывается неудачливые путешественики. Поиск экстремума производит как бы в темноте, единственным средством ориентации служебная минимизируемой (максимизируемой) функции в какой-то точке, а также направления ее наскорейшего убывания или возрастания.

Придумано уже немало методов отыскания экстремума. Не случайно, как заметил читатель, фамилии потеревших кораблекрушение совпадют с фамилиями ряда математиков прошло и настоящего, которые решали эту проблему. А путь, который они отправились, показывает сущесть их методов отыскания экстремума.

Великий француз П. Ферма (1601—1665) первый ясно осознал и сумел описать аналитические свойства экстремума гладкой непрерывной функции: касательная в этом месте должна быть горизонтальна. К. Гаусс (1777—1855) и А. Зейдель (1821—1896), следуя своему методу покоординатного спуска, по очереди спускались то вдоль одной, то вдоль другой координаты. Спускались до тех пор, пока касательная к направлению движения не станет горизонтальной. А положение уровня естественно определяет направление касательной.

Обратите внимание на то, что Гаусс и Зейдель не стремились спускаться по тому направлению, где кругизна больше всего. К этой идеерывым приSEL О. Коши (1789—1857). Вектор, указывающий направление (вверх) с наиболее крупизной, называется граденом, а сам метод Коши — граденным методом. Именно по градиенту стал бы прокладывать свой путь Коши, если бы его цель была смая высокая точка местности, чтобы осмотреть. Но вспомним, что на острове стояла мгла кромешная и целью Коши была вода. Поэтому он отправился по направлению наскорейшего убывания высоты местности, или по направлению антиградиента. Для определения антиградиента функции существенно и приближенные методы, но нам достаточно представить себе уровень, который мы прикладываем к земле и разыскиваем то направление, при котором воздушный пузырек быстрое всего убегает к краю шкалы. Конечно, способ этот весыма неточен, да и морки с ним немало. Но и для определения градиента с помощью упомянутых аналитических методов тоже приходится повозиться.

А потому нетрудно понять наших современников, японцев

32

С. Иномату и М. Кумаду, которые попытались придать процессу спуска по антиградиенту вышеописанный физический смысл. Между прочим, их метод так и называют «метод мягкого шарика». Только размещется, при его использовании некатают глобус по макету функции, а лишь решают дифференциальные уравнения движения.

Немало трудностей ждет того, кто цветет экстремум функции, но одна из самых коварных — это овраги. Любой из методов, даже наиболее совершенный в вычислительной отчислении метод наскорейшего спуска Л. В. Канторовича, известного советского математика, приводит к беспомощному метанию по дну оврага. Поэтому советские математики И. М. Гельфанд и М. Л. Цетлин и предложили «овражный поиск», который позволяет выследить дну оврага. Итак, как мы видим, почти все численные методы поиска наличищего направления спуска так или иначе связаны с антиградиентом. Правда, оказалось, что труды по отысканию антиградиента не всегда вознаграждаются качеством найденного направления спуска, и советский ученый Л. А. Растригин предложил вообще не траитить сил и машинного времени на поиск антиградиента, а шагать куда себе вздумается, то быш по случайному направлению. И представьте, результаты такого образа действия оказалисьничут не хуже в вычислительной отношении, чем поиск наличиших путей. Иначе говоря, не настоящее эти наличищие пути превоходят по качеству случайный, чтобы стонло траитить время на их понск. Разумеется, чтобы выбрать направление спуска случайным образом, не кругтятся на месте с закрытыми глазами — для этого в машине использовут датчики случайных чисел. И вообще численную сторону методов непленного программирования трудно продемонстрировать на бумаге — это существенно машинные методы.

Но вернемся к потерпевшим кораблекрушение и узнаем, кому из них сопутствовал успех в понске воды.

Там, за перевалом

Итак, все разбрелись в понсках воды, кроме кучки Скелтников.

— Дьявольская жажда! — промолвил один из них. — Нeyжели вас она не мучит?

— Не меняше, чем вас, — ответил Винер от имени остальных. И я охотно движился бы на понски воды, если бы меня убедил какой-то из предложенных способов. Но увы! Если мы начнем таким способом искать высшую точку Земли, то вместе Эвереста окажемся на вершине соседнего холмика. И самое ужасное то, что у нас нет никакого средства отличить этот холмик от Эвереста. Если, конечно, не привлечь на помощь математике обыкновенную географию.

— Как это нет? Почему? —pointerсовался молодой Скелтник, которое скелтрицзм не отучил еще задавать вопросы.

— Очень просто. С помощью фонарика мы способны лишь убедиться, что из данной точки пути ведут визз. А что там, дальше? Вот тут наши

Рис. 5.

33

друзья предложили ряд способов, — сн сисходительно показал на оставшиеся листки из судового журнала. — Они исходили из того, что на острове только одна низина. А если их много, и вода лишь в самой низкой из этих низин (рис. 5)? Спуск приведет нас в точку А, а вода в точке B — там гуше горизонтали и, следовательно, ниже отметка. Задумайтесь над этим.

— Я уже задумывался, — сказал первый Скелтик. — И решил действовать так. Сначала пойдут куда глаза глазят. Потом спушут в близкойшую низину и затем ее высоту высотомером. Запомню ее расположение и перейду в новую случайную точку. Из нее снова спушут в низину и снова взгляну на высотомер. Допустим, он показет на себя раз меньше высоты. Это значит, что вторая низина ниже первой, и там больше шанссов найти воду. Затем…

— Что будет затем, ясно, — перевалил его. — Но уверены ли еще, что найдете воду прежде, чем свалиесь с ног?

— Могу ли я быть в этом уверен? Ведь я же Скелтик! Просто это лучше, чем стоять сложа руки.

И первый Скелтик скрылся в темноте.

Второй Скелтик привязвал в это время шлагат к футбольному мячу, невесты как оказавшемся среди приборов.

— Уж не собирается ли вы по следам Кумады? — спросил его Винер, одновременно к чем-то прислушиваясь.

— Вы почти угадали. Но я поступло несколько иначе. Спустившись в низину, я замерю ее высоту, а затем буду быть по мячу ногой в разных стороны. Если мяч будет каждой раз скатывать назад, значит, пользовости нет перевала, за которым новая низина. Если мяч не скатится ко мне, я отправюсь по шлагату за ним, приду в низину, в которой он застрял, и замерю ее высоту. И так далее…

— Но так можно обнаружить лишь недалекий перевал.

— Что вы! У меня сильный удар. Меня обещно просит ударить отворот.

— В таком случае может произойти еще худшее: вы перебете мяч через низину, которое ищите. Мяч не вернется к вам, но уведет вас от цели.

— Вы правы… Тогда, пожалуйста, я не буду статься каждой раз ударить посильнее. Я буду чередовать сильные и слабые удары. Или, скажем, буду постепенно усиливать их, начав со слабых.

— Что же, я желаю вам успеха. Если наградой вам и не послужит вода, то во всяком случае вы повышитесь ссно спортивную форму.

— А я поступлю иначе, — обратился третий Скелтик к Винеру. — Я отправлюсь просто бродить по строву, не стаясь найти наличище направление, и буду поглядывать на высотомер. Побродив, замечу, где самая низкая точка, и уже там начну понски воды. Все эти разговоры убедили меня, что если у нас нет карты острова, то никакой разумной стратегии движения быть не может. Так зачем же тогда tratить время на возню с приборами? Но вы, кажется, не случайете меня?

Где кончается acфальт

Когда приходится определять экстремум функции, у которой их много, задча намного условиями. В этом случае обычно требуется не только найти экстремум (скажем, минимум), но и определить «лобальный» экстремум, или «minimum минимум». К великомому созалению, большинство реализых математических задач, для которых ищется минимум, многоэкстремальный. Точно так же трудно найти местность, на которой одна вершина господствовала бы безразделно на очень большом пространстве. Obviously выслуших вершин имеются вершины

34

поменьше, но есть и относительно небольшая область, из которой подъем безусловно приведет к высочайшей вершине. Эта область называется oblastью приятиения глобального экстремума. Достаточно выйти за границы этой области или оказаться за ним в начале понска, как достижение глобального экстремума уже становится трудно гарантировать. Увеличиваются шансы попасть в местный (локальный) экстремум.

Существует много способов борьбы с многоэкстремальнымностью, однако ни один из них не гарантирует успеха. Эти методы носят нестрогий, как говоря математики, эвристический характер. Сторонники трех разных многоэкстремальных методов встретились в группе Скептиков. Мы не приводим их именно: фронт научных исследований в этой области за последнее время настолько расширился и столбнее вступил в борьбу с многоэкстремальнымностью, что указываемые методы трудно связать с чьими-то конкретными именами.

Одни пробовали выскакивать из экстремума, если уже попали в него, и по успешности или неспешности этих попыток судить о достижении глобального экстремума. Другие пытались спускаться из нескольких случайно выбранных точек. Наконец, третьи (верх скептиизма!) пришли в выводу, что разумнее всего не направлять разума, а просто борить по острову, поглядывая на высотомер.

Все эти три образа действий находят приверженцев среди ученых, хотя третьий — все же реже. Составлены специальные программы для вычислительных машин, которые реализуют каждой из этих способов и еще многое другие. Тем не менее не только завзятые скептики, но и неунывающие оптимизиты не рискуют сегдня считать проблуему решенной. И первое побужение при анализе какой-либо функции на экстремум — это попытка доказать ее однознакство. Нередко это достижение почтиется не ниже, чем правильность математической модели вообще. Так, например, отсутствие локальных экстреммов в задачах линейного программирования — важный довод в попытку линейных моделей, перевышивающий многое их недостатки.

Существуют всема изошренные способы обедининия разных методов. Например, всех трех скептиков можно было обединить в один коллектив. Вы скажете, между ними мало родства? А много и не требуется. Достаточно того, что они мало верят в свои собственные методы. Можно отправить их на поиск низины общей группой из трех человек, порешив, что на каждом шаге попска будет действовать тот из них, на которой падет жребий. Скажем, все трое будут тянут из шапки свернутьые бумажки, на одной из которых стоит крестик. И, представьте себе, в попытку такого образа действий есть свои доводы.

Эпилог

— Простите, что вы сказали? — переспросил Винер.

— Я говорю, вы, какется, не слышите меня? Разве мои метод не разумен?

— Прошу прощения, быть может, ваш метод и хороший, хотячно я поострегся бы назвать его методом. Но меня отвлекиной звук. Слушите?

— Нет… впрочем, да. Кажется, это журчание. Но почему здесь, а не в низине?

Обаbrosлись на слабый звук, который раньше заглушали голова, и припали к роднику, было ему изскалы. Хрустальные стружки, истекая, тут же терялись среди камней.

— Как видите, в нашем случае решить проблуему отыскания воды было веса просто — сказал Винер, света фонарем своего спутника. — Достаточно было всем замолчать на минуту.

У нас в гостях журнал «Человек и закон»

Я. Шестопал

Наука читает невидимые следы

Никто не упрекнет историка, если он не знает первого закона термодинамики. Зато его безусловно должен знать физик. Никого не удивит, если специалист по ботанике плохо разбирается в математических законах, как не удивит и математик, не разбирающийся в законах живой природы. Как говорится, каждому — свое.

Но есть законы, знать которые обязан каждый. Это — правовые нормы государства, в котором мы живем. Им должны подчиняться люди разных профессий, рангов и званий, разных возрастов — и подросток, и убеленный сединами старик.

Часто можно слышать, особенно в среде подростков, ссылку на незнание законов. «Я не знал, что этого делать нельзя». «Не думал, что то-то и то-то влечет за собой уголовную ответственность». Можно ли в таком случае остаться безнаказанным? Нет! Нормами права предусмотрено, что незнание законов не освобождает от ответственности. Вот почему совсем недавно приказом министра просвещения СССР с нового учебного года в восьмых классах общеобразовательных школ страны введено преподавание курса «Основы советского государства и права». Право изучается и в ПТУ. Однако, овладение этим предметом еще впереди. А пока… Пока расскажем о том, как математика и физика помогают бороться с правонарушениями.

Публикуемый ниже материал подготовлен по нашей просьбе редакцией научно-популярного журнала Министерства юстиции СССР «Человек и закон».

Наверное, многие читатели «Кванта» искренне удивятся, узнав, что М. В. Ломоносов занимался судебными экспертизами. Между тем, это действительно так. Его участие в большом количестве экспертных работ по делам о подделке золотых и серебряных изделий, об изготовлении фальшивых монет и т. д. в свое время сыграло важную роль в установлении истины.

Довольно часто следователи и судьи обращались за помощью к таким ученым, как Д. И. Менделеев, А. М. Бутлеров, Н. Н. Зинин, Н. Д. Зелинский, Н. И. Пирогов, А. Н. Крылов и другим, чьи имена известны всему миру. Произведенные ими экспертизы позволили юристам раскрыть ряд серьезных преступлений, найти истинных виновников.

Впрочем, список таких имен можно продолжить, и о каждом рассказать множество интересных историй, связанных с детективными изысканиями, которые проводились задолго до зарождения подлинно научной криминалистики. В наше время в научных институтах и лабораториях Министерства юстиции СССР, которые имеются во всех союзных республиках, в научно-технических отделах органов внутренних дел бок о бок с юристами трудятся физики, математики, химики, биологи. На службу правосудию поставлены высшая математика и электронно-вычислительная техника, лазеры и невидимые лучи, микробиология и тончайший химический анализ.

Здесь же речь пойдет лишь о том, что наиболее близко читателям «Кванта», — о применении достижений физики и математики в криминалистических исследованиях.

Широкое применение в криминалистике нашел люминесцентный анализ, основоположником которого по праву считается советский физик С. И. Вавилов, чей вклад в изучение природы люминесценции неоспорим. С именем американского физика Р. Вуда связано фотографирование в инфракрасных и ультрафиолетовых лучах, что также используется в криминалистических целях.

…Возникло подозрение, что у гражданина Х. поддельный военный

3*

35

figureного билета, сделанные в обычном свете и в ультрафиолетовых лучах.

билет. Эксперт сфотографировал документ в ультрафиолетовых лучах. В результате удалось прочитать текст, невидимый при обычном свете. Как это ему удалось?

Ультрафиолетовые лучи, подчиняясь общим законам поглощения, отражения и преломления электромагнитных волн, вместе с тем поглощаются и отражаются рядом веществ иначе, чем видимые лучи. Одни вещества обладают свойством поглощать ультрафиолетовые лучи, другие, наоборот, беспрепятственно их пропускают, оставаясь в то же время непрозрачными для лучей видимого света. Под воздействием ультрафиолетовых лучей многие вещества люминесцируют, т. е. испускают видимый свет. Наблюдение этого свечения — самый удобный и распространенный способ исследования ультрафиолетовых лучей. При облучении изучаемого объекта (например, картины или документа) ультрафиолетовыми лучами становятся видны детали, невидимые при обычном освещении. Можно получать и фотографии в ультрафиолетовых лучах (см. рис. 1). Для этого на светочувствительный слой фотопластинки накладывают слой люминесцентного вещества, который преобразует невидимое излучение в видимое. Фотографии, полученные таким образом, оказываются более четкими, с большим количеством деталей.

Так именно и засветилась старая запись в военном билете. Оказалось, что он принадлежал другому человеку, был присвоен X., который вытравил фамилию и другие данные, относящиеся к прежнему владельцу.

На свойстве инфракрасных лучей поглощаться и отражаться некоторыми веществами не так, как видимый свет, основано их применение в судебно-экспертной практике. Например, фотографирование в инфракрасных лучах позволяет выявить подчистки в документах, читать залитые или замазанные тексты (см. рис. 2).

Так же, как в случае ультрафиолетовых лучей, присутствие инфракрасного излучения можно обнаружить с помощью люминесценции. Известны некоторые кристаллофосфоры (твердые люминесцентные вещества), которые дают вспышки свечения под действием инфракрасного излучения. Правда, для этого атомы вещества должны быть предварительно возбуждены. Иногда инфракрасные лучи оказывают, наоборот, гасящее действие на возбужденный кристаллофосфор. В обоих случаях результат действия невидимого излучения становится видимым. Сравнительно недавно для наблюдений в инфракрасных лучах стали использоваться электроннооптические преобразователи. В этих приборах (см. рис. 3) изображение предмета в инфракрасных лучах по

36

лучается на поверхности светочувствительного слоя. Электроны, «выбитые» с поверхности слоя под действием инфракрасных лучей, ускоряются электрическим полем, попадают на люминесцентный экран и заставляют его светиться. Такой метод обнаружения инфракрасного излучения оказывается гораздо чувствительнее, чем обнаружение с помощью прямого действия инфракрасных лучей на люминесцентный экран.

Известно, что рентгеновские лучи обладают большой проникающей способностью. Это позволяет использовать их для выяснения внутреннего устройства оружия, боеприпасов, замков и т. п. С помощью этих лучей можно, например, легко обнаружить частицы металла или другие инородные предметы в теле человека, в деревянных предметах и т. д. Между прочим, первым в России начал исследования по применению рентгеновских лучей в криминалистических целях изобретатель радио А. С. Попов. В частности, им были проведены успешные исследования в кронштадском морском госпитале, которые позволили обнаружить ружейную дробь в теле человека.

В настоящее время эксперты, владеющие современными научными методами исследований, порой не только помогают установить истину при разоблачении преступников, но и оказывают большие услуги науке. Так, во Всесоюзном научно-исследовательском институте судебных экспертиз Министерства юстиции СССР умеют восстанавливать «угасшие» тексты. Удалось, например, прочесть рукописи и документы прошедших веков. Делается это с помощью радиоактивных изотопов. Дело в том, что некоторые сорта бумаги интенсивно собирают на своей поверхности радиоактивные ионы. А выцветшие чернильные штрихи эти ионы не притягивают. Поэтому, если пропитать «угасший»

Рис. 2. Фотографии трудовой книжки с текстом, залитым чернилами, и той же книжки с текстом, выявленным с помощью инфракрасных лучей.

текст реактивом, содержащим радиоактивные изотопы, и затем сделать отпечаток, фиксирующий их излучения (например, опять с помощью люминесцентного экрана), то получится негативное изображение «угасших» записей.

Теперь немного расскажем об использовании в криминалистике одного из самых современных методов исследования внутренней структуры веществ — спектрального анализа.

…Из охотничьего дробовика убит человек. Как найти убийцу? Следователь изъял у нескольких подозреваемых лиц дробь одного и того же калибра. Казалось бы, что может быть более схожим между собой, чем одинаковые, как капли воды, дробинки? В отличие от пуль на них даже не остается следов канала ствола ружья. И все же сходство дробинок кажущееся. На самом де-

37

38

Рис. 3. Схема электроннооптического преобразования. 1 — объект, освещенный инфракрасными лучами; 2 — объектив; 3 — фотокатод (светочувствительный слой); 4 — световое изображение; 5—5′ — фокусирующие электроды; 6 — электронное изображение; 7 — лиминесцирующий экран (α — алюминевая пленка, защищющая фотокатод от излучения кристаллофсора, δ — слой кристаллофсора, ε — стеклянная подложка); 8 — глаз наблюдателя.

ле, свинец, из которого они сделаны, имеет различные примеси. Количества этих примесей в различных партиях доби, хотя и очень незначительное, но все таки различются. Для тщательного исследования в таких случаях применяется спектральный анализ. Каждый химический элемент имеет свой собственный и только ему присущий спектр излучения и, соответственно, спектр поглощения. Если кусочек свинца, из которого была изготовлена добь, скигать в пламени, например, электроннойдуги, то в спектрокопто можно будет видеть «следы» примесей в виде соответствующих черных линей на фоне сплошного спектра излучениядуги. По «интенсивности» этих черных линей можно судить и о количестве каждой примеси. Таким образом была установлена тождестенность химических составов добинок, обнаруженных в теле убитого и изъятых у одного из подозреваемых, т. е. был найден человек, совершший убийство.

Или такой случай… Хулиган нанес человеку удар трехгранным слесарным инструментом — шабером. Из раны пострадавшего был извлечен крошечный околок металла, а у подозреваемого обнаружили свежезаточный шабер. По всейверятности инструмент и заточили спецально для того, чтобы замскировать следы облома. Необходима тщательная проверка. Для этого следствие прибегло к серверному комплектному исследованию. С помощью спектрального анализа определили, какие металлы и в каких соответствии входят в состав материалов шабera и найденного околка. Рентгеносpektральный анализ дополнително выявил микропримеси, не обнаруженные спектральным анализом. В результате удалось установить полное совпадение химических составов металлов околка и шабera и таким образом найти представника.

Все чаше и чаше для криминалистических исследований используются различные математические методы и электронно-вЫЧИСЛИТЕЛЬная техника.

…В одном городе участился огравления учреждений. Исчезали пышшие maшинки, вентиляторы, настольные лампы и личные вещи, оставленные сотрудниками. По всему было ясно, что орудует одна и та же хорoso организационная и очень осторожная группа. Но как пожать представников?

Тут на помощь следствием органам пришли математики. Они про-

39

анализировали все точки, где были совершены ограничения, иверяные трансportные пути, по которым следовали представки. Затем с помощью электронно-вЫЧИСЛЕТНЫЙ мащины был просчитан возможный пункт следующего ограничения. Расчет оказался настолько точным, что грабителей задержали прямо на месте представления.

Электронно-вЫЧИСЛЕТНЫЕ мащины широко использовались в правовой стравочно-inформационной службе, судебной статистике, для проведения различных судебно-экспертивных исследований. В частности, для идентификации фотопортеров (т. е. для установления их勘дественности). Существуют этого метода в следующем.

Как известно, любое изобравжение на плоскости можно представить в виде отдельных точки. Для установки идентиности фотопортеров на них на самых характерных зонах — глазах, бровях и т. п. наносят группы точки. Затем соответствующие сочетания точки и их положения на плоскости сравнивают между собой.

Криминалистицы проводят такие исследования с помощью ЭВМ, сабженных специализмистами устройства ввода и вывода. Мащины сами проводят точки на фотографиях, проводят сравнения и выделют готовые результаты.

В заключение — немного о Международной выставке криминалистической техники, которая проходила недавно в Москве. В выставке приняли участие более шестидесятей стран и фирм. Здесь были представлены самые современные приборы и аппараты, всего около десяти тысяч экзопонов.

Послетели выставки могли увидеть охранные устройства, излучющие на десяти метров вокруг электромагнитные волны, которые, собственно, и создают охранное поле. Стоит представнику попасть в него, как моментально сравнять сигнал опасности, по которым вызываются патрульные машины. Или аппарат, фотографирующий даже в Кроме того, и портативные телеустановки, которые фиксируют и передают джуроному по городу информации с места производства. Любопытное новщество — электронноуправляемые печатающие автоматы. Они экономят много времени, уходящего обычно на составление различных протоколов, постановлений. Из заранее запрограммированных стандартных предложений, фраз, слов автомат со скоростью 50 000 знаков в минуту находит нужный вариант и печатает необходимый документ со скоростью 900 знаков в минуту.

Были представлены на выставке сравнительные микросокрыты, помогающие криминалистичам идентифицировать мелчайшие частики пыли, волос, ниток, бумаги; масс-спектрометр, обнаруживающий и исследующий один пикограмм (10⁻¹² e) вещества (причем большая часть работы производится автоматически); телефонный анализатор—гроза телефонных хулиганов, определяющий номер аппарата, с которой звонят абоненту, и записывающий голосоворящего на пленку.

Рассказ о том, как служатости достижения физики и математики, мог бы заполнить солидную книгу. В этой статье мы ограничились лишь незначительным количеством примеров. Но и их достаточно, чтобы понять, какое общирное поле деятельности может ожидать будущеих специализитов, окончивших физико-mатематические факультеты, если они захотят посвятить себя борбе с представностью и нарушениями закона. Приведенные примеры дают также понять, что любое представление может быть раскрыто. Невидимые следы остатуса всегда, и современная наука научилась с достающим полототой их читать.

40

Физика — наука экспериментальная. Каждый физический исследование начинается с наблюдения и изучения какого-либо явления и заканчивается сравнительной теории с результатами эксперимента.

Многие законы и явления природы в основе своей не так уж сложны, а их характерные черты можно проследить даже в сравнительно простых экспериментах. Галилей открыл законы padения тел, наблюдая за тем, как они padали с вершины Пизанской башни. Ньюотон установил, что солнечный свет является сложной смесью различных цветов, с помощью простой стеклянной признамы. Поразительно простыми, но необъчайно глубокими по содержанию и выводам были многое опыты Фарадея.

Конечно, сегодня очень мало надежды на то, что с подручными средствами можно открыть новый закон природы. Физика наихиз дней нужны очень сложные экспериментальные установки — ускорители заряженных частиц, атомные реакторы, электронные и протонные микросопы и т. п. Но многое из того, что уже известно наук, можно самому проверить в простых домашних экспериментах. Движение магнитков, рост кристаллов, диффракция и интерференция волн, поверхностное натяжение или сухое треннее — все это можно исследовать простыми подручными средствами. Деревянные кубики или шары, лист бумаги, швейная игла, мыльный пузьрь или струя воды из открытого крана, не говоря уже о компасе и карманном фонаре, — все это можно использовать для разнообразных и почучительных физических экспериментов. Такие эксперименты — первая ступень к самостоятельным исследованием. Они помогают глубже проникнуть в суть различных физических явлений, развивают наблюдаательность и сообщательность.

Раздел «Лаборатория «Квана»» принадлежит к числу систематических разделов нашего журнала. В нем мы стремемся дать нашим читателем возможность произвести простые, но весыма почучительные эксперименты, не требующие специального лабораторного оборудования.

Из писем наших читателей мы видим, что многое из них охотно продельывают предлагаемые нами эксперименты и даже стремятся творчески видимization их (варьировать условия — менять температуру, например или другие участующие в опите физические величины, подбирать другие вещества и материалов и т. д.). При этом у них возникает много неожиданных и интересных вопросов, с которых они обращаются в нашу редакцию.

При воспроизведении описываемых нами опытов необходимо обращать особое внимание на техническую и строго выполнать рекомендации в статьях меры предосторожности.

Мы надеемся, что «Лаборатория «Квана»» поможет нашим читателям лучше разобраться в своих способностях, развить навыки будущих исследовательей природы.

41

М. Головей
«Водная улитка»
Архимеда

Насколько это великолепно, предоставляю решать тем, кто это до конца поимет.

Галилео Галилей

Начальный этап развития физики тесно связан с изобретением различных механизмов, облачащих труд человека. Получаясь совершенню применными средствами и материалов, познавая на практике в процессе работы основные законы геометрии, механики, гидравлики, учены еще задолго до нашей эры создавали машины, которые и поей день поразжают нас глубиной конструкской мысли, оструемем и мастерством исполнения.

Одним из самых выдающихся изобретателей древности был Архимед.

И хотя в настоящее время с его именем связывают прежде всего закон о выталкивающей силы, действующей на тело, погруженное в жидкость, Архимеду принадлежит огромное число хитроумнейших изобретений. И самоое выдающееся из них — подъемный витт, который до сих пор так и называется виттом Архимеда. Галилей в одной из своих работ писал, что это изобретение «не только великолепно, но просто чудесно, поскольку мы видим, что вода подымается в витте, беспрерывно опускаясь».

И действительное, при первом знаком знакомстве с этим устройством даже трудно себе представить, как может вода, опускаясь по лопасти витата или виттовому каналу, на самом деле поднимается вверх по трубе. В одном из своих сочинений Галилей дает подробное описание принципа действия этой машины, называя ее «водяной улиткой Архимеда». Издали эта машина действительное чем-то напоминает улитку.

Как же работает витт Архимеда? Взгляните на рисунок 1, а. На нем изображен цилиндр AKCB, на боковой поверхности которого сделан виттовой канал AEOPXTHC, по которой может, не выливаясь, протекать вода или скатывать шарик.

Если опустить конец виттового канала A в воду, наклонить цилиндр

Рис. 1.

42

так, как показано на рисунке 1, б, и начать врашать его вокруг опор $M$ и $M'$, то вода потечет по каналу и начнет выливаться из верхнего отверстия $C$. Как это ни кажется парадоксальным, но вода, начиная движаться из точки $A$, все время опускается относительно поверхности вентита, и в результате этого поднимается вверх до точки $C$. Попытаться разобрать, как это происходит. Пусть участок желоба $AE$ составляет угол $\alpha$ с «дном» цилиндра $AB$. Наклоним цилиндр с желобом на угол, больший $\alpha$. Тогда вода заполнит участок $AE$ и часть участка $EO$.

Начнем врашать цилиндр вокруг оси. Все точки участка $AE$ (кроме точки $A$) начнут подниматься, в то время как все точки участка $EO$ (кроме точки $E$) будут опускаться, и вода будет постепенно перемещаться из «заотпленного» участка дальше по желобу, опускаясь относительно него вниз и поднимаясь относительно поверхности земли. Это будет произходить потому, что при врашении различные части желоба, последовательно, замещая одна другую, будут находиться по отношению к воде в таком же положении, в каком находится участок $AE$; поэтому вода начнет опускаться по желобу, но в конце концов оказывается, что она поднялась из точки $A$ в точку $C$.

У некоторых читателей уже, наверное, возник закономерный вопрос: «А не противоречит ли все эти рассуждения закону сохранения энергии, не представляется ли собой этот механизм вечный движения?» Действительно, на первый взгляд кажется, что так оно и есть. Мы врашаем колесо, вода стекает по винту, как по наклонной плоскости, под действием собственного веса и выливается из верхнего отверстия. Остается только преобразовать запасаемую водой энергию в энергию врашения самого вентита, и вечный движения готов!

Если бы эту задачу вам предложили на уроке физики, то, по-видимому, многие из вас сразу же возникли бы, что такое рассудение противоречит закону сохранения энергии, а некоторые из вас пошли бы в рассуждании еще дальше и добавили бы, что вода поднимается по желобу за счет энергии, подводимой извне и приводящей вентиту во врашение, поэтому потенциальная энергия воды всегда будет меньше затрачиваемой на ее подъем работы.

Все это, конечно, верно, но каким образом желоб передает воде подводимую извне энергию? В каких его участках это происходит? Как направлена при этом действующего на воду сила? Попробуйте ответить на эти вопросы сами. Для упрощения рассмотрения движения воды в желобе можно заменить движения шарика по винтовому каналу.

Прититивную модель вентита Архимеда легко сделать и в домашних условиях. Возьмите кусок трубки диаметром 3—5 см и длиной 20—30 см или круглый деревянный брусок таких же размеров. Роль желоба может выполнять любая резиновая, полихlorвиниловая (кембрик) или медная трубка диаметром несколько миллиметров (чем больше диаметр, тем лучше и нагляднее будет модель). Очень хорошо, если в вашем распоряжении имеется произрачная гибкая трубка; тогда движение воды или шарика можно прослеживать и внутри вентита Архимеда.

Сделайте из этой трубки вентитовой желоб, обмотав его выбранный вам цилиндр по винтовой линни, и закрепите концы трубки у верхнего и нижнего основания этого цилиндра с помощью ниток или проводок. Вот и все, ваша модель готова к работе. Опустите один конец в сосуд с водой и наклоните его на угол, больший угла наклона спирали к основанию цилиндра. Если теперь врашать вентита Архимеда так, чтобы казалось, что он как бы

43

Ввиничвается в поверхность жидкости, оставляя его при этом на одной и той же высоте, то через несколько оборотов вода попает из верхнего конца трубки. Вместо воды можно взять маленький шарик. И если помещить его в нижний конец желоба, то через несколько оборотов вита вокруг его оси шарик выпадет из верхнего конца этого необъчного желоба:

Таким же способом можно изготовить и настоящий насос, приводимый в движение, например, от ветряного или какого-либо другого двигателя. По сравнению с поршневыми насосами, приготовили для откачивания только чистой воды, у них есть важное преимущество: они могут откачивать и сильно загрязненную воду. В сравнению же с центробежными насосами Архимедов вит является устаревшим механизмом и совершенню неконкурентоспособен с ним, а поэтому в настоящее время для подема воды он употребляется очень редко. Отдельные его экземпляры можно встречать еще и до сих пор только в слаборазвитьх странах.

Устройство типа Архимедова вината, изображенного на рисунке 1, называемое в техническом (в переводе с немецкого буквально «улитка»), ширококо используется в различных машинах для перемещения и смешения сыпучих, жидких и текстообразных материалов. Однако из наиболее распространенных его разновидностей является винтовой ротор общий мясорубки.

44

В. Рыжик

Давайте складывать точки…

Математику можно изучать по-разному. Можно слушать лекции или взять только книгу и читать ее подряд: определения, теоремы, доказательства. А можно действовать более активно: прочитать только определения и формулировки теорем, отложить книгу в сторону и придумывать доказательства самому. Первый способ дает возможность попачалу двигаться быстрее. Но mismo тех, кто придерживает исключительно этого способа условия информатии, зачастую проходят приемы и методы, с помощью которых были получены рассматриваемые результаты. Читатель и не подозревает, как много он пропустит интересного, увлекательного, полезного, обрекая себя на роль пассивного воспринимателя истин.

Второй способ, хотя он и отличает больше времени, позволяет глубоко разобраться в математической теории, учит выделять то, что в данном контексте является наиболее важным, дает возможность надолго запомнить полученные собственным трудом результаты, развивает математические способности школьников и открывает перед ним все новые пути применения математических знаний. Поэтому именно такой способ — самостояльное открытие известных истин (иногда нарушу с ним открываются и ранее неизвестные) обусловило использование в работе математических семинаров, школь и кружков.

Именно на такую активную работу читатель расчитаны статьи, помещаемые в разделе «Математический кружок». Значителяная часть содержания статьи преподносится обычно в виде задач. Некоторые из них решены в тексте, но большиносто — и лекциях, и трудных — оставлены для самостоятельного решения читателя. Краткие решения этих задач, указания или ответы к ним иногда помещаются на последних страницах журнала, но мы советуем попробовать решить задачи без подсказки.

Как правило, наш «Математический кружок» доступен ученикам 8—9, а иногда и 7 класса. Письма с замечаниями и пожеланиями по поводу этого раздела просылаться с помощью «Математический кружок» на конверте.

45

но, точку $D$, которая получится, если из вектора $\overrightarrow{OA}$ вычесть вектор $\overrightarrow{OB}$, называем разностью точек $A$ и $B$: $D = A - B$.

Ясно, что при этом сумма точек зависит от того, где мы выбрали полос. Но как только полос зафиксирован, сложение точек свойства к сложению векторов.

Упражнения

1. Как надо выбрать полос, чтобы сумма двух точек $A$ и $B$ лежала на прямой $AB$? На луче $AB$? На отрезке $AB$?
2. Сложите три вершины равностороннего треугольника при различном выборе полоса: в вершине треугольника, в его центре, в произвольной точке.
3. $A, B, C$ — три любые точки, не лежащие на одной прямой. Выберите полос так, чтобы их сумма лежала внутри треугольника $ABC$; вне его.
4. Пусть $A_1, A_2, \dots, A_n$ — правильный многоугольник. Де надо выбрать полос $O$, чтобы выполнялось равенство $A_1 + A_2 + \dots + A_n = O$? Однозначно ли определяется полос этим условием?
5. Докажите, что четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом тогда и только тогда, когда $A + C = B + D$.

Тепер несложно сообщить, что значит умножить точку на число. Пусть полос $O$ задан. Возьмем присвизовальную точку $A$. Предположим, что ее нужно умножить на 2. Умножим на 2 вектор $OA$, получится вектор $OB$; точка $B$ и будет искомой. Мы пишем: $B = 2A$. Вообше, если $\overrightarrow{OB} = \lambda \cdot \overrightarrow{OA}$, то точку $B$ мы будем называть произведением точки $A$ на число $\lambda$: $B = \lambda A$. Так как умножение точек на числа мы определили через умножение векторов на числа, то для умножения точек на числа выполняются равенства $1^\circ - 3^\circ$, если заменить в них векторы на точки.

Назовем выражение $\alpha \cdot A + \beta \cdot B$, где $\alpha$ и $\beta$ — числа, линейной комбинацией точек $A$ и $B$.

Упражнения
6. Постройте разность точек $A$ и $B$. Постройте, взяв точки $A, B$ и полос $O$ не на одной прямой, точки $-B, -A, -A-B, -A+B$.
7. Докажите, что если полос не лежит на одной прямой с точки $A$ и $B$, то всяку точку плоскости можно представить как линейную комбинацию точек $A$ и $B$, причем единственным образом.
8. Полос выбран в центре правильно шестиугольника $A_1A_2 \dots A_6$. Запишите точки $A_3, A_4, A_5, A_6$ в виде линейных комбинаций точек $A_1$ и $A_2$.
9. Может ли точка $2 \cdot A + 3 \cdot B$ лежать на прямой $AB$? При каком условия?

В предыдущих задачах результаты действия с точками зависит от выбора полоса и тем самым были неоднозначны. Однако существует такой способ действия с произвольной системе точки, результат которого уже не зависит от этого выбора (этот способ оказывается полезным нам в дальнейшем, при решении «настоящих» геометрических задач). Посмотрим, когда не будет зависеть от выбора полоса линейная комбинация двух точек $A$ и $B$.

Пусть $X_1 = \alpha \cdot A + \beta \cdot B$, если полосом является точка $O_1$, и $X_2 = \alpha \cdot A + \beta \cdot B$, если полосом является точка $O_2$. Мы хотим, чтобы точки $X_1$ и $X_2$ совпали; для этого необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенство $\overrightarrow{O_1X_1} = \overrightarrow{O_1X_2}$. Имеем: $\overrightarrow{O_1X_2} = \overrightarrow{O_1O_2} + \alpha \cdot \overrightarrow{O_2A} + \beta \cdot \overrightarrow{O_2B} = \overrightarrow{O_1O_2} + \alpha \cdot (\overrightarrow{O_1A} - \overrightarrow{O_1O_2}) + \beta \cdot (\overrightarrow{O_1B} - \overrightarrow{O_1O_2}) = \alpha \cdot \overrightarrow{O_1A} + \beta \cdot \overrightarrow{O_1B} + [1 - (\alpha + \beta)] \cdot \overrightarrow{O_1O_2} = \overrightarrow{O_1X_1} + [1 - (\alpha + \beta)] \cdot \overrightarrow{O_1O_2}$. Для равенства векторов $\overrightarrow{O_1X_2}$ и $\overrightarrow{O_1X_1}$