Квант 1976, №4 · Страницы

Квашт
1976
4
Научно-популярный
физико-математический
журнал

Рисунок М. Эшера «Пространство» дает хорошее представление о кристаллической решетке кубического формы (см. статью на с. 6).

1

В НОМЕРЕ:

2. М. Башмаков. Что такое вектор?
3. Я. Гегузин. Классические опыты с кристалами
4. В. Левин. Парабола и неравенства

Лаборатория «Квант»
20. В. Майер. Поучительный опыт с кумулятивной структей
Математический кругхок
22. Н. Васильев. Сложение фигур

Задачик «Квант»
30. Задачи M376—M380; Ф388—Ф392
32. Решение задач M336, M337, M339; Ф348—Ф352

Практикум абитриента
40. Н. Розов, В. Степанова. Читатель советуют
46. И. Молотков, В. Осипов, С. Славянов, П. Товстик. Ленинградский государственный университет им. А. А. Жданова
47. Г. Меледин. Новосибирский государственный университет

Рецензии, библиография
50. И. Клумова, М. Смолянский. Новые книги

«Квант» для младших школьников
52. Задачи
53. Л. Фладе. Необходимо или достаточно?
56. Ответы, указания, решения
Уголок коллекционера
64. В. Лешковцев. Подвгг, который будет жить в веках

Сместь (с. 19, 55)

В третьем номере журнала мы писали о различных моделях плоскости Лобачевского. В частиности, в статьи С. Гиидникина рассказываюсь о модели Пуанкаре в верхней полуплоскости, а в статьи В. Болтянского — о той же модели, но в кругге. Замечательному голландскому художнику М. Эшеру удалось разбить плоскость Лобачевского (в модели Пуанкаре внутри круга) на конгрузные (разуметя, на плоскости Лобачевского) части двух сортов: «дьяволов» и «ангелов» (см. первую страницу обложки). Эшер назвал эту картину «Рай и Ад».

© Главная редакция физico-mатематической литературы издательства «Нука», «Квант», 1976 год

2

Что такое вектор?

Слово «вектор» встречается в математике, физике и прикладных дисциплин. Эти словом обозначают совем разные объекты, не похожие друг на друга. Так, в школьном учебнике геометрии понятие вектора отложетляется с понятем параллельного перенока (плоскости или пространства). В физике при описании ряда величины говорят, что они имеют векторный характер — таковые скорость механического движения, сила притяжения, направленность магнитного поля. Что же то обшее, что позволяет назвать все эти объекты одинаково? Как нужно построить математическую теорию, чтобы получитьшееся понятие обслуживающего потребности и математики, и физики? Об этом и рассказывается в статье.

1. Векторное пространство

Математика имеет замечательный способ определить новое понятие, описая его свойства. Так, например, вместо того, чтобы прямо определить, что такое действительное число (с помощью десятичных дробей или какнибуд еще), в большинстве книг перечисляют их основные свойства, которые и пользовются в дальнейшем. Такой подход — он называется аксиоматическим — очень распространен в современной математике. Школьный курс геометрии построен именно так. Аналогично построают и с векторами — перечисляют общие свойства, присущие всем векторным величинам, встречающийся и в математике, и в ее приложениях.

Как и всегда при аксиоматическом подходе, мы будем определять не что такое отдельно взятый, изолированный «вектор», а сразу всего сокупность векторов — векторное пространство.

Векторное пространство — это многожество М с двумя операциями, удовлевorioции определенным пребованием *). Однако эти операции (ее принято называть сложением) каждой паре a, b элементов множества M ставит в соответствии третий элемент (этот элемент называется суммой элементов a и b и обозначает a + b). Вторая операция каждой элемента a множества M и каждой действительному числу λ ставит в соответствии элемента множества M, называемый произведением элемента a на число λ (это «произведение» обозначает λa).

Перечислим требования (аксиомы векторное пространство), которые должны удовлетворять указанные операции:

1°. Сложение векторов подчиняется сочетательному (ассоциативному) и переместительному (коммунативному) законам:
$$x + (y + z) = (x + y) + z;$$
$$x + y = y + x.$$

2°. Существует нулевой вектор: 0, такой, что x + 0 = x.

3°. Для каждой вектора существует вектор, сумма которого с исходным вектором есть нулевой вектор.
$$4^\circ. (\lambda_1 \lambda_2)x = \lambda_1(\lambda_2x).$$
$$5^\circ. (\lambda_1 + \lambda_2)x = \lambda_1x + \lambda_2x.$$
$$6^\circ. \lambda(x + y) = \lambda x + \lambda y.$$
$$7^\circ. 1 \cdot x = x.$$

Здесь x, y, z — произвольные векторы, $\lambda, \lambda_1$ и $\lambda_2$ — любые действительные числа.

2. Примеры векторов пространства

Ниболье прививные для нас векторы — это направленные отрезки на плоскости. Однако устроить из направленных отрезков векторное про-
*) Сравните с определением колба в «Кванте», 1974, № 2, с. 4.

3

странство совсем не легко. Поэтому мы начнем с более простых примеров.

1. Линейные функции
   Рассмотрим всевозможные линейные функции (заданы на множество R всех действительных чисел). Каждый такая функция задается равным: $x \rightarrow ax + b$. Понятно, что сумма двух линейных функций есть снова линейная функция. Точно также, если линейную функцию умножить на число, то получится опять линейная функция. При этом все аксимы $1^\circ - 7^\circ$ выполняются, и таким образом, множество линейных функций с этим операциями является векторным пространством.

2. Параллельные переnosы
   Рассмотрим множество всех параллельных переnosов плоскости. Их можно складывать, последовательно выполняя друг за другом, умножать на числа. С этим векторным пространством вы и встречаете в школе.

3. Пространство строк
   Рассмотрим строки фиксированной длины $n$ из действительных чисел: $(a_1, a_2, \dots, a_n)$. Определим сложение строк и умножение их на числа поэлементно:
   $$(a_1, a_2, \dots, a_n) + (b_1, b_2, \dots, b_n) = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, \dots, a_n + b_n);$$
   $\lambda (a_1, a_2, \dots, a_n) = (\lambda a_1, \lambda a_2, \dots, \lambda a_n)$. Очевидно, что строки длины $n$ с так определенными операциями образуют векторное пространство.

4. Квадратные трехпlexы
   Множество квадратных трехпlexов $\{ax^2 + bx + c\}$ (числа $a, b, c$ могут быть и нулями) также образует векторное пространство по отношению к общным операциям сложения многочленов и умножения их на числа.

5. Многочлены
   Множество всех многочленов с теми же операциями тоже образует векторное пространство.

6. Функции
   Все функции, заданные на каком-то числовом множество A, образуют векторное пространство по отношению к общим операциям A, образуется сначала на числом B (т. е. от B откладывают направленный отрезок, принадлежащий второму классу), и если точка C — конец второго отрезка, то AC — направленный отрезок, принадлежащий классу, соответствующему сумме векторов. Поставляется самостоятельное доказать, что это определение суммы корректно, т. е. что результат не зависит от того, какой направленный отрезок из первого класса мы выбираем. Дайте графическое определение умножения на число. (Обращаться со свободными векторами трудно потому,

4

что каждый из них представляет целый класс направленных отрезков. Графические же мы всегда изображаем каждый класс каким-то одним отрезком, выбирать который мы можем по своему произвольу. Поэтому приходится проверять, что результат не зависит от произвольного выбранных нами представителей.

3. Координаты

Вернемся к нашему первому примеру — векторному пространству линейных функций.

Рассмотрим две функции:
$$f_1: x \rightarrow x,$$
$$f_2: x \rightarrow 1.$$

Любая функция $f: x \rightarrow ax+b$ может быть представлена в виде линейной комбинации этих функций: $f=af_1+bf_2$. Пара чисел $(a, b)$ называется координатами линейной функции $f$.

Замечательно то, что при сложении линейных функций их координаты складываются, как строки:
$$f_1: x \rightarrow ax+b \leftrightarrow (a, b),$$
$$f_2: x \rightarrow cx+d \leftrightarrow (c, d),$$
$$f_1+f_2: x \rightarrow (a+c)x+(b+d) \leftrightarrow (a+c,b+d);$$
но
$$(a+c,b+d)=(a,b)+(c,d).$$

Приведем еще несколько примеров. В векторном пространстве паральных переносов плоскости можно выбрать два паральных переnosа (например, на два непаральных вектора длины 1), по которым раскладывается любой перенос; коэффициенты этого разложения называются координатами соответствующего переnosа.

Рассмотрим в векторном пространстве строк длины $n=4$ строки
$$f_1=(1,0,0,0), f_2=(0,1,0,0),$$
$$f_3=(0,0,1,0), f_4=(0,0,0,1).$$

Любую строку $f=(a_1,a_2,a_3,a_4)$ мы можем представить в виде
$$f=a_1f_1+a_2f_2+a_3f_3+a_4b_4;$$
числа $(a_1,a_2,a_3,a_4)$ называются координатами строки $f$.

В векторном пространстве квадратных трехчленов для произвольного трехчлена $f=ax^2+bx+c$ имеем:
$$f=af_1+bf_2+cf_3,$$
$$f_1=x, f_2=x^2, \dots, f_n=x^n, \dots.$$

Тогда любой многочлен $F$ записется в виде конечной линейной комбинации выбранных многочленов; коэффициенты разложения многочлена $F$ по многочленам $f_0, f_1, \dots$ — это его координаты:
$$F(x)=a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+...$$
$$...+a_1x+a_0=a_mf_m+a_{m-1}f_{m-1}+...$$
$$...+a_1f_1+a_0f_0 \leftrightarrow (a_m,a_{m-1},...,a_1,a_0).$$

Тепер мы уже можем задать ряд вопросов. Как в данном пространстве выбрать систему векторов, по которой раскладывается бы любой вектор этого пространства? Когда эти системы можно выбрать конечной? В какой мере разложение однозначно? И как связаны между собой коэффициенты разложения по разным системам векторов?

Ответы на эти вопросы дает раздел математики, имеемый линейной алгеброй. Вот краткий обзор некоторых результатов.

1. Векторные пространства вывраток конечномерные и бесконечномерные. В конечномерных существуют конечные системы векторов, по которым раскладывается любой вектор пространства. В наших примерах пространства линейных функций, квадратных трехчленов, строк, параллельных переnosов и свободных векторов — конечномерные. Пространства же всех многочленов и всех функций бесконечномерны.

2. Для конечномерного пространства можно указать наименьшее число $n$ такое, что существует $n$ векторов, по которым раскладывается любой вектор пространства. Это число $n$ называется размерностью пространства. Так, пространство линейных функций имеет размерность 2, пространство квадратных трехчленов

6

Я. ГЕГУЗИН
КЛАССИЧЕСКИЕ
ОПЫТЫ
С КРИСТАЛЛАМИ

Каким должен быть опит, чтобы заслужить выщий титул—классический? Быть простым и красным? Неожиданным по постановке и по полученному результату? Оказышим больше вяяние на развитие какой-то области науки? Проилко-стрюровшимfundamentalныйзаконприоды? Видимо, все эти признаки в различной степени присущимклассичекому опиту.

8

оценить величины предела прочности кристалла.

Предел прочности кристалла есть отношение силы, при которой он развивается, к площади сечения, по которой произойдет разрыв: $\sigma_{\text{np}} = F/S$.

Естественно считать, что сила $F$ есть сумма сил $f$, действующих на каждую из $n$ пар взаимодействующихонов: $F = nf$. Если площадь сечения образца в месте разрыва $S$, а расстояние между онами (постоянная решетки) $a^*$, то $n = S/a^2$. А так как кристалл понный и сила взаимодействия между онами описывается законом Кулона, то

$$f = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q^2}{a^2},$$

где $q$ — абсцилная величина заряда иона.

Итак,

$$\sigma_{\text{np}} = \frac{F}{S} = \frac{nf}{S} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q^2}{a^4}.$$

В кристаллах NaCl заряд она совпадает с зарядом электрона, т. е. $q = e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ к}$, величина $a = 5,3 \cdot 10^{-10} \text{ м}$, следовательно, $\sigma_{\text{np}} \approx 2,6 \cdot 10^9 \text{ н/m}^2$. Эта величина близка к следующей из точной теории.

Простота и очевидность сделанной оценки не должны в глазах читателя умалить проницальность теоретика. Польвека спустя нам легко и просто понять идею расчета, так как за нами величея Борна. Он же в 1915 году, не имея предшествников, мысли независимо и революционно. Борн был Великим мастером.

Осьмысливая противоречия между точным расчетом и экспериментальными данными, Иоффе должен был осуществить следующие возможности: ошибись либо теоретическим, либо экспериментатор. Второе предположение следовало отбросить, не колёсясь, потому что даже если бы произшло невероятное и лабораторные исследования.

*) Каменная соль (NaCl) имеет кристаллесую решетку кубического формы — чередуюшесяной ноны натрия и хлора располагаются в верхинах кубов.

Основись в 500 раз, их поправила бы многоевековая практика обращения человека с кристалами NaCl. Если, действительно, их прочность была в согласии с теорией, то не так просто было бы добиться в штольне солянную глыбу, орудия киркой, и не просто была бы задана истолочь эту глыбу в порошок. В 500 раз экспериментаторы не ошиблись!

И теоретик вряд ли ошибался так сильно: и мысли его логичны, и многое иные факты он объясил веса успешно.

Истину следовало искать где-то в другом месте. Вот здесь необходимо ознакомиться, нужен неожиданный взгляд на сложившуюся ситуацию. Абрама Федоровича Иоффе озарила блескшая идея.

Неожиданная идея

Иоффе рассуждает так: теоретик не ошибается, но расчитывает он идеальный ситуацию, когда одновременно прекрашают взаимодействия всех $n$ паронов. А если это происходит не одновременно, т. е. связи между онами рвутся последовательно друг за другом? Тогда, оченьindo, разрушение образца будет проискодить не мгновенно, и при этом возниккашшее напряжение будет значительное меншше того, которое следует из теории.

Иоффе придумал конкретирую причину требующей ему неодновременности разрыва связи. Он предположа-

Рис. 1.

жил, что на поверхности кристалла имеются микросоппические трешинки. При нагружении кристалла до величины ниже «теоретической» прочитности вUCTе трешины (область $a$ на рисунке 1), в маленьком объеме кристалла, могут возникнуть напряжения, при которых связи между юнами начнут разрушаться. А это значит, что трешина будет распространяться в глубь образца, проникнет его и расчленит на две части. Но кристалл разрушится не потому, что в плоскости разрыва одновременно порвались все связи, а потому, что последовательное разрушение связи должно возникнуть трешине вырасти и расчленить кристалл.

To, как Иоффе представлял себе механизм разрушения кристалла, можно наглядно проиллюстрировать модельным опитом. Он прост, и его результаты не оставляют сомнений. На предметом столике микросоппа растягиваясь тонкая пластинка плексигласа, на боковом торце которой сделан острый и неглубокий надрез. Пластика моделирует кристалл, надрез — трешину на его поверхности. При специальном освешении (в поляризованном свете) можно отличить напряженные участки в плексиглесе: чем больше напряжение, тем соответствующий участок темнее. Так вот, на последовательности кадров засигнего нами кинофильма (рис. 2) видно, что вUCTе надреза напряжения действительное максимальное и что пластинка разрушается вседствие движения напряженногоUCTя сквозь нее. Причем проискот это при напряжениях, значительное менших тех, которые необходимы для разрушения пластинки без надреза.

В упрощенном варианте подобный опит вы можете сделать сами, не прибегая ни к микросоппу, ни к поляризованному свету, ни к кинофильме. Вы просто можете убедиться в том, что порвать полоску бумаги, растявая ее, намного легче, если предварительно сделать на ней маленький надрез.

11

ри шарика, а поверхность слон оставались недостаочно напряженными. Трешины не росли, и кристалл сохранял целостность.

Были и иные возражения против предложенных Иоффе обьясенней. Его laboratorия спорила с оппонентами, проводя множество контрольных опытов, отставая (и отстояв) и существую эффекта, и его толкование.

Но все-tаки возникает вопрос: почему трешины на поверхности кристалла оказались определенными его прочностью? Нeyжели обьемная структура образца абсолютоно бездефекта, свободна от «объемных» трешин, которые были бы одинаково безразличны и к наличии, и к отсутствию воды на поверхности образца? Действительно, могло бы оказаться и так, что роль поверхностей трешинок не была бы определяющей. Могло бы, а вот в случае соли не оказалось!

Быть может, это обстоятельство умаляет значимость и общность эффекта? Быть может, речь идет о случае новой нахождения экспериментатора, находке, имеющей ограниченный, частный интерес? Конечно же, нет! Речь идет о другом. Благодаря тому, что отыскался объект, где поверхность трешинки себя проявляют предельно отчетливо, физика обогатилась ясным пониманием возможного влияния поверхностных дефектов на механическое свойство кристаллов. Кусеч垦ной правды о законах природы оказался заключенным в «эффекте Иоффе».

Абрам Федорович Иоффе был считливым ученым, он видел при жизни учебники физики с параграфом «эффект Иоффе» и видел карточки техческих технологических процессов, в которых достигается значительное употребление изделия вследствие удаления трешин с поверхности.

II. ОПЫТ ЛУКИРСКОГО

Война, 1943 год, большая комната в Казанском университе шкфами условия разделена на несколько малиных, в каждой из них — группа физиков Ленинградского физико-технического института, эвакуировавшегося в Казань. В одной из импровизированных laboratorий — сотрудники профессора Петра Ивановича Лукирского. Много дел связывано с работой на оборону, ими и занят профессор со своим сотрудниками. Но как дань естественного любозательности шушшего ученого — опыты с монокристаллими каменной coli. Они стали классикой кристаллофизики, они я и хочу расскаать.

И по замыслу, и по осуществлению эти опыты токдействены и отличаться лишь объектом исследований, точнее, формои изучавшегося образца.

Один вариант опыта был таким. Длительному высокотемпературному отжигу подвергался тщательно отполированный цилиндр, изготовленный из монокристалла каменной coli; осцилиндра была ориентированна параллельно ребру куба естественного ограниченной кристалла. Если до отжига цилиндр бесшумно скатывался по слегка наклоненной поверхности стекла, то после отжига скатывалице сопроводалось равномерным поступиванием, как если бы на поверхности цилиндра появились ребра — четыре ребра, равно отстоящие одно от другого. Эти ребра можно было и увидеть, расматривая отожженный цилиндр в отраженном свете.

В другом варианте опыту также отжигу подвергалась тщательно отполированная monокристалла сфера. После отжига на ее поверхности можно было отчетливо увидеть в отраженном свете фирурные блики (рис. 3) *); до отжига их не было.

*) На приведенной фотографии вы видите блики различных формы. Это связывано с тем, что в кристаллах существуют оси симметрины разного порядка. (Некоторые прямая называется осью симметрины $k$-го порядка для данного тела, если при повороте тела вокруг этой прямой на угол $360^\circ/k$ оно совмещается с самим собой.) В частности, эллиптический блок соответствует оси симметрины второго порядка, а квадратный блок — оси симметрины четвертого порядка.

12

Результат обих опытов можно сформировать так: кристаллы каменной solи, которые придутьно придана не свойственная им цилиндрическая или сферическая форма, стремятся к восстановлению формы куба — своей естественной огранички, или, как говорят кристаллографы, «естественного газуса». Высокая температура в этих опытах нужна лишь для того, чтобы придать активность какому-нибудь механизму переносса массы кристалла, необходимого для формирования «естественного газуса». кристаллы, разумеется, «предпочтут» тот из механизмов, который дает им возможность посорее избавиться от придутьного заданной формы и восстановить свою естественную форму.

Почему же кристалл стремится к естественной ограничке? Оказывается, среди несметного числа прочих мыслиных именно она обеспечивает наименьшую поверхностную энергию кристалла при заданном его объeme *). А именно минимум энергии характерен для равновесного, т. е. наиболее естественного, состояния кристалла. Математически такое поведение кристалла описывается правилом Кюри—Вульфа. Его можно сформировать так: если кристалл имеет объем $V$, ограничен $n$ граями, его $i$-я грайн имеет поверхность $s_i$ и поверхность энергию $\alpha_i$, то

$$\sum_{i=1}^{n} s_i \alpha_i \rightarrow \text{minimum при } V = \text{const.}$$

В этой записи стрелкой обозначает стремление кристалла сделать свою суммарную поверхностную энергию минимальный при условии, что объем постоянен. Опыт Лукирского сделал зримым то, что символьческая обозначает стрелкой.

Мудрое правило Кюри—Вульфа может показаться противоречным не менее мудрому утверждению геометрии, согласно которой из всех тел данного объема минимальную поверхность имеет сфера. Поэтому, если сферический монокристалл стремится к уменьшению поверхностной энергии, ему, казалось бы, не следует ограничаться, так как при этом его поверхность лишь увеличится. Поверхность и в самом деле увеличится — геометрия права. А вот энергия уменьшится, потому что при ограничении исчезают участки поверхности, которые имеют большую удельную поверхность энергию (т. е. поверхностную энергию, относную к единице площади поверхности), и развиваются поверхности, представленные в естественной ограничке, которые имеют меньшую поверхностную энергию. И этот эффект играет большую роль, чем энергия увеличения поверхности. Увеличивается поверхность, а энергия при этом уменьшается! Процесс преобразования формы и цилиндра, и шара происходит так, что на каждом из последующих этапов энергия их

13

поверхностей меняше энергини на предыдущем этапе.

Опыты Лукирского очень зрimo качественно проиллюстрировали основную tendенцию, который следуют кристаллы, самопроизвольное преобразуя собственную форму. Эти опыты вызвали многоесто других, в которых этот процесс продолжал изучаться. Ставились, например, такие опыты. Тщательно полировали плоскость произвольного сечения кристалла, но при высокой температуре зеркальная гладь нарушалась, появлялись различные элементы так на

Рис. 4.

поверхностей меняше энергини на предыдущем этапе.

Рис. 5.

зываемой «естественный шероховатости».

На стене нашей лаборатории много лет высят фотографии поверхностей кристаллов. Посмотрите на фотографию кристалла меди, приведенную на рисунке 4. Она у нас называется «лестница Петерфского фонтана»—на ней отсутствиво видны чередушие светые и темные полосы, действительное наполняющее лестницу, по которой сплошным потоком течение вода. Поверхность среда кристалла была тщательно отполирована, а после отжига она стала шероховатой, превращалась в совокупность ступеней, ребра которых направлены так же, как и ребра в ограниченном монокристалле меди.

Другая фотография поверхности кристалла (рис. 5) называется «палаточный городок». На ней видна совокупность остроконечных трехгранных выступов, которые ограничены теми же плоскостями, что и равновесной монокристалл.

Почему же кристалл, рассеченный по произвольной плоскости, не ограничется в целом, подобно сфере в опите Лукирского, а допускается формирование «петерфской лестницы» и «палаточного городка»? Да просто потому, что и «лестница», и «городок»—лишь этапы на пути к истинному равновесию, этапы, которые достигаются быстрее, при меньшем переносе массы, чем истинно равновесия форма всего кристалла. И на поверхности образцов Лукирского можно было наблюдать промежуточные формы. Однако, благодаря тому, что при высокой температуре у кристаллов каменной соли быстро осуществляется нужный перенос массы, в опитах Лукирского процесса стремления к равновесной форме зашел настоящко далеко, что можно было на сфере наблюдать блики, а при качении цилиндра — слышать постукивание.

14

В. Левин

Парабола и неравенства

Праодителем всех тождественных неравенств является тот факт, что квадрат любого действительного числа неотрицательен: $x^2 \geq 0$. Этот факт можно сформировать еще так: график функции $y = x^2$ (парабола) не проходит ниже оси абсцисс (рис. 1). Знак равенства в неравенстве $x^2 \geq 0$ имеет место только при $x = 0$ (парабола $y = x^2$ касается оси абсцисс в начале координат).

В этой заметке мы расскажем о том, как, исходя из этого элементного неравенства, можно построено получить неравенства более сложные.

1. Рассмотрим квадратный трехчлен

$$y = Ax^2 + 2Bx + C, \quad A \neq 0;$$

графиком его также является парабола. Найдем необходимые и достаточно условия того, чтобы для всех действительных значений $x$ выполнялось неравенство

$$Ax^2 + 2Bx + C \geq 0. \quad (1)$$

Эти условия находятся очень легко. Во-первых, необходимо, чтобы $A$ было положительным, так как при $A < 0$ всегда существует значения $x$, для которых неравенство (1) зависит неверно (это ясно, конечно, из того, что при $A < 0$ парабола либо пересекает ось абсцисс, либо все расположена ниже оси). Возьмем, например, $x = x_0 = m + \sqrt{m^2 + m}$, где $m$ выбра-

Рис. 1.

15

Рис. 2.

$$AC = B^2, \text{ и именно при } x = -\frac{B}{A} \text{ (рис. 2 и 3).}$$

2. Возьмем произвольные действительные числа

$$a_1, a_2, \dots, a_N; b_1, b_2, \dots, b_N; N \geqslant 1,$$

и некоторое $x$, и написем такое очевидное неравенство:

$$(a_1x + b_1)^2 + (a_2x + b_2)^2 + \dots + (a_Nx + b_N)^2 \geqslant 0. \tag{3}$$

Его можно переписать в виде $Ax^2 + 2Bx + C \geqslant 0,$

где

$$A = a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_N^2,$$

$$B = a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_Nb_N,$$

$$C = b_1^2 + b_2^2 + \dots + b_N^2.$$

Предположим, что не все $a_n$ ($n = 1, 2, \dots, N$) равны нулю. Тогда мы можем утверждать, что $A > 0$.

Поскольку мы знаем, что неравенство (3) обязано выполнять для всех действительных значений $x$, то в силу условия $AC \geqslant B^2$ должны быть

$$(a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_N^2) \times (b_1^2 + b_2^2 + \dots + b_N^2) \geqslant (a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_Nb_N)^2. \tag{4}$$

Очевидно, что это неравенство справедливо, причем со знаком равенства, и тогда, когда $a_1 = a_2 = \dots = a_N = 0$, так что требование отличия от нуля хотя бы одного $a_n$ мы можем отбросить.

Неравенство (4) называется неравенством Коши (Огистен Луи Коши (1789–1857) — известный француз-

16

Рис. 4.

то простейшее неравенство Коши (5) представляется в виде
$$|\vec{a}|^2 \cdot |\vec{b}|^2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta)^2 \leqslant \frac{|\vec{a}|^2 \cdot |\vec{b}|^2}{c_1^2}, \dots, \frac{|\vec{a}|^2 \cdot |\vec{b}|^2}{c_N^2}.$$
то есть $\cos^2\varphi \leqslant 1$, где $\varphi = |\alpha - \beta|$ – угол между векторами $\vec{a} = (a_1, a_2)$ и $\vec{b} = (b_1, b_2)$.

В случае произвольного $N > 2$ неравенство (К) также может быть записано в виде $\cos^2\varphi \leqslant 1$, если соответствующим образом помещать угол $\varphi$ между двумя векторами $(a_1, a_2, \dots, a_N)$ и $(b_1, b_2, \dots, b_N)$ в $N$-мерном пространстве.

3. Неравенство Коши имеет многочисленные приложения. Мы воспользуемся им для вывода других, несколько более сложных неравенств.

Рассмотрим две последовательности: последовательность $a_1, a_2, \dots, a_N$ и последовательность $c_1, c_2, \dots, c_N$ с отличными от нуля членами.

По неравенству (К) имеем
$$(a_1 + a_2 + \dots + a_N)^2 = \left(a_1 c_1 \cdot \frac{1}{c_1} + a_2 c_2 \cdot \frac{1}{c_2} + \dots + a_N c_N \cdot \frac{1}{c_N}\right)^2 \leqslant \left(a_1^2 c_1^2 + a_2^2 c_2^2 + \dots + a_N^2 c_N^2\right) \left(\frac{1}{c_1^2} + \frac{1}{c_2^2} + \dots + \frac{1}{c_N^2}\right).$$
Положим
$$\frac{1}{c_1^2} + \frac{1}{c_2^2} + \dots + \frac{1}{c_N^2} = C_N,$$
и запишем неравенство (6) в виде
$$(a_1 + a_2 + \dots + a_N)^2 \leqslant C_N \left(a_1^2 c_1^2 + a_2^2 c_2^2 + \dots + a_N^2 c_N^2\right).$$
(7)

Знак равенства в (7) имеет место тогда и только тогда, когда последовательности $a_1 c_1, a_2 c_2, \dots, a_N c_N$ и $\frac{1}{c_1}, \frac{1}{c_2}, \dots, \frac{1}{c_N}$ пропорциональны (легко убедиться в том, что это равно сильно пропорциональности последовательностей $a_1, a_2, \dots, a_N$ и $\frac{1}{c_1^2}, \frac{1}{c_2^2}, \dots, \frac{1}{c_N^2}$).

Коэффициент $C_N$ в неравенстве (7) называем константой неравенства *).

Нибольное интересными неравенствами типа (7) являются такие неравенства, константы которых меньше некоторого числа $C$ при любом $N$: $C_N < C$. Это будет так, если существуют предел

$$\lim_{N \to \infty} C_N = \lim_{N \to \infty} \left(\frac{1}{c_1^2} + \frac{1}{c_2^2} + \dots + \frac{1}{c_N^2}\right) = C,$$
то есть, если бесконечный ряд
$$\frac{1}{c_1^2} + \frac{1}{c_2^2} + \dots + \frac{1}{c_N^2} + \dots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{c_n^2}$$
сходится к сумме $C^*$.

Пример. Положим $c_n = n$, $n = 1, 2, \dots, N$.

Тогда неравенство (7) примет вид $(a_1 + a_2 + \dots + a_N)^2 \leqslant C_N \left(a_1^2 + 2^2 a_2^2 + 3^2 a_3^2 + \dots + N^2 a_N^2\right)$ (8)
с константой
$$C_N = 1 + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{N^2}.$$

*) Константой потому, что $C_N$ – одно и то же для всех последовательностей $a_1, a_2, \dots, a_N$.

**) О пределах см. статью М. Гервера «20 задач на пределы», «Кваант», 1974, № 3; о бесконечных рядах – статью того же автора «От перемены мест слагаемых …», «Кваант», 1974, № 9.

18

где $\alpha_n$ — величины угла между отрезками $OM_{n-1}$ и $OM_n$, $n = 1, 2, \dots, N$.
Таким образом, мы можем записать равенство
$$t = \sqrt{t^2 + (n-1)^2} \quad \sqrt{t^2 + n^2} \sin \alpha_n$$
из которого
$$\sin \alpha_n = \frac{t}{\sqrt{t^2 + (n-1)^2} \sqrt{t^2 + n^2}} > \frac{t}{t^2 + n^2},$$
то есть
$$\frac{t}{t^2 + n^2} < \sin \alpha_n, n = 1, 2, \dots, N.$$
Позатем
$$C_N = \frac{t}{t^2 + 1} + \frac{t}{t^2 + 2^2} + \dots$$
$$\dots + \frac{t}{t^2 + N^2} < \alpha_1 + \alpha_2 + \dots$$
$$\dots + \alpha_N < \frac{\pi}{2},$$
и мы получаем неравенство
$$(a_1 + a_2 + \dots + a_N)^2 < \frac{\pi}{2} \left( tP + \frac{1}{t} Q \right),$$
справедливо при любом положительном значении $t$.

Положим $t = \sqrt{\frac{Q}{P}}$; при таком выборе $tP + \frac{1}{t} Q = 2\sqrt{PQ}$, и мы получим неравенство Карлсона которого обычно записывают в форме
$$(a_1 + a_2 + \dots + a_N)^4 < \pi^2 (a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_N^2) (a_1^2 + 2^2 a_2^2 + \dots + N^2 a_N^2).$$

Неравенство этого справедливо при любом $N \geqslant 1$; оно может быть распространено и на бесконечные ряды. В этом неравенствеCONSTANTA $\pi^2$ —

*) Изложенный здесь вывод неравенства Карлсона (кроме элементарной оценки $C_N$) принадлежит известному англійскому математнику Годфри Гарольду Харди (1877—1947).

тоочная, однако простого доказательства этого факта мы привести не можем.

Tochnostь полученной константы $\pi^2$ в неравенстве Карлона означает, что приведенная выше элементарная оценка $C_N$ через углы $\alpha_n$ — не слишком грубая.

Неравенство Карлона имеет многочисленные обобщения. Приведем без доказательства только два из них (знак $\Sigma$ означает суммирование по $n$ от 1 до $N$ или же бесконечный ряд, то есть суммирование по $n$ от 1 до $\infty$):
$$(\Sigma a_n)^6 < 54 (\Sigma a_n^2) (\Sigma na^2) (\Sigma n^2 a_n^2),$$
$$(\Sigma a_n)^15 < 300 000 (\Sigma a_n^3) \times (\Sigma na^3) (\Sigma n^2 a_n^3) (\Sigma n^4 a_n^3).$$

В этих неравенствахCONSTANTы 54 и, соответственно, 300 000—точные. У практики

1. Пусть
   $$a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2 = 1$$
   $$b_1^2 + b_2^2 + \dots + b_n^2 = 1.$$
   В каких пределах значение выражения
   $$a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n?$$
2. Доказать, что для любых положительных $a_1, a_2, \dots, a_n$ справедливо
   $$(a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_k)^2 \leqslant k (a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_k^2).$$
   Когда соблюдается равенство?
3. Доказать, что для неотрицательных $a_1, \dots, a_k, b_1, \dots, b_k$:
   $$\sqrt{a_1 b_1} + \sqrt{a_2 b_2} + \dots + \sqrt{a_k b_k} \leqslant \sqrt{a_1 + a_2 + \dots + a_k} \times \sqrt{b_1 + b_2 + \dots + b_k}.$$
4. Неравенство Гельдера.
   Пусть $p > 1$ и $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ ($p$ и $q$ — рациональные положительные числа). Доказать, что
   $$a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_k b_k \leqslant \left( a_1^p + a_2^p + \dots + a_k^p \right)^{\frac{1}{p}} \times \left( b_1^q + b_2^q + \dots + b_k^q \right)^{\frac{1}{q}}.$$

20

Поччительный опыт с кумулятивной стреей

Мы уже расссказывали о том, как можно наблюдать образование тонкой сільной струпи, вызванной концентрацией энергии в определенном направлении (см. статью Г. Покровского «Гидродинамический механизм в падающей пробирке», «Квант», 1974, № 3). Такой эффект называют кумулятивным (от латинского ситulo — собираю), а образование струпи — кумулятивной.

Тепер мы публикуем статью В. Майера, в которой расссказывает еще об одном опите с кумулятивной струпей, а также предлагается несколько экспериментальных задач, связанных с образование струпи в падающей пробирке.

В простом и изящном опите профессора Г. И. Покровского струпа образуется при ударе о твердую поверхность стола вертикально падающей пробирки (с высоты нескольких сантиметров), частную заполненной водой. Поскольку вода смачивает стекло, поверхность воды в пробирке образует волнутий мениск. При ударе о стол пробирка и нахождения в ней вода резко тормозится, возникают очень большиеускорения, жидкость становится как бы очень тяжелой и ее поверхность выравнивается. Края опускаются вниз, а из центральной части небольшие колическую воды выбрасывается в воздух в виде узкого кратковременного фонтачика.

Мы предлагаем вам поставить аналогичный эксперимент, быть может,

21

воды толщиной примерно 1 см. Поверхность воды в трубке должна находиться на одном уровне с поверхностью воды в стакане.

Расположите трубку вертикально и закрепите ее в штатные. Телерс слегка ударьте пальцем по резиновой пленке: немедленно внутри трубки возникнет кумулятивная струя, поднимающаяся до самого пленки!

На рисунках 1 и 2 приведены фотографии опыта, полученные в разных моменты времени для разных ударов, поэтому на них зафиксированы различные фазы образования и разы

Рушеня разных кумулятивных струй; на первых двух фотографиях вы видите собственно струю, на остальных — распадение струи на отдельные капли.

Сопоставив этот опыт с экспериментом, описанным Г. И. Покровским, попробyte объяснить его результат.

Предлагаемый опыт особенно интересен тем, что в нем можно наблюдать сам процесс образования кумулятивной струи. В опыте с падающей пробиркой сделать это гораздо сложнее: глаз не успевает фиксировать явления, произходящие в момент образования струи при ударре пробирки о стол. Тем не менее, мы советем вам еще раз вернуть к опыту с падающей пробиркой и подробнее использовать принцип образования струи. С этой целью предлагаем вам несколько экспериментальных задач.

1. Выясните, влияет ли форма дна пробирки на образование струи. Можно быть, струя возникнет за счет фокусировки во нутым дом поевляющейся в воде ударной волны?

Припаяйте к тонкостенной медной трубке жесткое до любой интерсуошей вас формы (например, плоское или волнутое). Опыты, проделанные с получившими пробирками, показут, что форма дна на образование струи не влияет. Таким образом, фокусировкой ударной волны объяснить результат опыта нельзя.

2. Обязательно лижидкость должна быть стенки пробирки?

Поместите внутренний пробирки небольшой кусочек парафина и расплавьте его на пламени сухого горючего. Вращая удаленную из пламени пробирку, покройте ее изнутри тонким слоем парафина и проведите опыт Г. И. Покровского. В этом случае кумулятивная струя не образуется. Следовательно, смачиваемость стенок пробирки жидкостья является существенным условием опыта.

3. Какие опыты можно проведити, чтобы получить кумулятивную струю в неподвижной относительной наблюдается пробирке?

Рис. 2.

22

Н. Васильев

Сложение фигур

По-видимому, каждый из читателей появляется, что от него требуется, если его попросит сложить из трех одинаковых треугольников трапецию или из четырех углов — уголок вдвое большого размера. Но в нашей заметке пойдет речь о «сложении» совсем другого рода. Суммой двух треугольников у нас будет, как правило, выпуклый шестугольник, суммой двух одинаковых кругов — круг вдвое большого радиуса, а суммой двух отрезков — параллелограмм. Чтобы отличить операцию, о котором мы будем расссказать, от объного «объединения», ее называют «векторной суммой» или «суммой Минковского» — по имени изучившего ее замечательного немецкого математика Германа Минковского (1864—1909). Наболее интересные примения этого понятия относятся к выпуклым телам в трехмерном и вообще n-мерном пространстве. Но мы будем иметь дело главным образом с плоскими фигурами.

Поводом для этой заметки послужила задача М330 из «заданияка «Кванта», которое мы здесь решим. Вотее формулировка.

На плоскости расположены два выпуклых многоугольника F и G. Обозначим через H множество точек, в котором может попасть середина отрезка, один конец которого принадлежит F, второй — G. Докажите, что H — выпуклый многоугольник.

a) Сколько сторон может иметь H, если F имеет их n₁, a G — n₂?

b) Каков может быть периметр H, если периметр F равен P₁, a G — P₂?

в)* Какова может быть площадь H, если площадь F равна S₁, а площадь G — S₂?

§ 1. Множество середин

Начнем с разбора более простой задачи.

Задача 1. Данны два отрезка: [AB] и [CD]. Найти множество точек, в которых может попасть середина отрезка, один конец которого P лежит на [AB], а другой конец Q — на [CD].

Решен ие. Рассмотрим сначала общий случай, когда отрезки [AB] и [CD] не параллельны. (Частный случай [AB] || [CD] мы обсуждим ниже.) Обозначим середину отрезка [PQ] через M. Зафиксируем сначала положение точки Q. Если P пробегает весь отрезок [AB], то при этом M пробегает среднюю линию треугольника QAB (рис. 1a)— отрезок с концами в серединах отрезков [QA] и

Рис. 1a.

Рис. 16.

23

[QB]. Если теперь заставить точку Q пройти весь отрезок [CD], то средняя линия треугольника QAB, очевидно, заметет целый параллелограмм (рис. 16)—вершинами его будут середины отрезков [AC], [AD], [BC] и [BD].

Заметим, что если [AB] и [CD] пересекаются, то искомое множество — параллелограмм с вершинами в серединах сторон выпуклого четырехугольника ACBD, а если [AB] и [CD] не лежат в одной плоскости, то наш параллелограмм получится в сечении тетраэдра ABCD плоскостью, параллельной [AB] и [CD] и проходящей посередине между ними.

Выясним, во что превращится этот параллелограмм, когда отрезки [AB] и [CD] параллельны. (Можно считать, что они и одинаково направлены.) Если [AB] и [CD] принадлежат различных параллельным прямым, то ABDC — трапеця, а середины M отрезков PQ заполют среднюю линию этой трапеции (рис. 1в)—отрезок с концами в серединах отрезков [AC] и [BD].

Такой же ответ получается и в том случае, когда [AB] и [CD] принадлежат одной прямой. Здесь, чтобы не разбирать различных расположений точек A, B, C, D на прямой, удобно перевести задачу на язык альгебры. Будем считать, что наш прямая — числовая ось, координаты данных точек — $k_A, k_B, k_C, k_D$ ($k_A < k_B, k_C < k_D$), и воспользовемся таким фактом: множество чисел ($x_P + x_Q)/2$, где $x_P \in [k_A, k_B]$, $x_Q \in [k_C, k_D]$—отрезок $[(k_A + k_B)/2, (k_C + k_D)/2]$

Рис. 1в.

Рис. 1г.

24

Рис. 2.

Пример 2. Полусумма двух прямугольников F и G размерами $a \times b$ и $c \times d$, у которых стороны $a$ и $c$ параллельны,— прямугольник размерами $(a+c)/2 \times (b+d)/2$ (рис. 2).

Действительно, в системе координат $Oxy$, у которой ось $Ox$ параллельна сторонам $a$ и $c$, координаты $x$ точек прямугольников F и G пробегают отрезки длиной $a$ и $c$, координаты $y$— отрезки длиной $b$ и $d$, а полусуммы этих координат— отрезки соответствующего длиной $(a+c)/2$ и $(b+d)/2$. (Здесь вновь пригодится тот «очевидный факт», который мы использовали в конце решения задачи 1.)

Задание 2. Найти полусумму следующих прямугольников;

а) двух непараллельно расположенных прямугольников;

б) правильного треугольника и его стороны;

в) двух треугольников, на которые квадрат разрезается диагональю;

г) квадрата и правильного треугольника, имеющих одну общую сторону;

д) отрезка и кругга;

e) двух окружностей разного радиуса;

ж) полукругности с самой собой;

з) полукругностей, составляющих вместе окружность;

и) одна фигура— две соседние стороны правильного пятугольника, другая— три остальные его стороны.

Решение задачи 2a). Будемлейтовать так же, как при решении задачи 1. Зафиксируем точку $P$ прямугольника $F$ (рис. 3). Тогда множество точек $P, Q$, где $Q$ пробегает $G$, — прямугольник $\{P\}$. Громотетчный $G$ с коэффициентом 1/2 (и с центром гомотетии $P$). Мы должны теперь обедининие всех прямугольников $\{P\} \ast G$, где $P$ пробегает $F$. Нетрудно видеть, что нужно обедининие $F \ast G$ (фигура, заметаемая голубым прямугольником на рис. 3, когда нижняя синяя вершина пробегает розовый прямугольник, гомотетчный прямугольнику $F$ с коэффициентом подобия $\frac{1}{2}$—выпуклый восмнутольник, стороны которого параллельны сторонам данных прямугольников, а по длине равны их половина.

Сопоставляя задачу 2a) с предшествующим ей примером 2, мы видим, что форма фигуры $F \ast G$ может существенно измениться при повороте одной из фигур $F$ или $G$.

Восемь ответов к пунктам 6)— и) задачи 2 в беспорядке приведены на рисунке 4.

Задание 3. Найти полусумму следующих фигур в пространстве:

а) двух параллельно расположенных прямугольников параллелепидов;

25

§ 2. Полусумма выпуклых многоугольников

Напомним, что множество точек F называется выпуклым, если для любых двух точек P и Q из F весь отрезок [PQ] содержится в F.

Возможно, вы заметили, что нахождение полусумму выпуклых фигур прошел, чем не выпуклы, причем если F и G — выпуклы фигур, то F*G — тоже выпукло.

Докажем это. Пусть $M_1$ и $M_2$ — произвольные точки из FG. тогда $M_1 = P_1 * Q_1$, $M_2 = P_2 * Q_2$ при некоторых $P_1 \in F$, $P_2 \in F$, $Q_1 \in G$, $Q_2 \in G^*$). Поскольку F и G выпуклы, то $[P_1 P_2] \subset F$ и $[Q_1 Q_2] \subset G$. тогда $[P_1 P_2] * [Q_1 Q_2] \subset F * G$. Но, как мы знаем (пример 1), полусумма отрезков — параллелограмм, причем точки $M_1$ и $M_2$ — его вершины (параллелограмм может выродиться в отрезок, содержащий точки $M_1$ и $M_2$). Раз фигур FG содержит этот параллелограмм, она содержит

$$*) Мы используем общие обозначения: F \cap G — пересечение фигур F и G, F \cup G — их объединение, G \subset F (или F \supset G) означает, что G содержится в F, P \in F — что точка P принадлежит F.$$

и отрезок $[M_1 M_2] : F * G \supset ([P_1 P_2] * [Q_1 Q_2]) \supset [M_1 M_2]$.

Из примеров, встретившихся в задачах 2 а)—и), видно, что получима выпуклы многоугольников F и G — многоугольник, стороны которого параллельны сторонам F и G, но вдвое короче. Доказать этот факт (и даже точно его формулировать) прошел всего, представив выпуклы многоугольник как пересечение полуплоскостей.

Bydem говорить, что две полуплоскости $σ_1$ и $σ_2$ имеют одинаковое направление, если $σ_1 \supset σ_2$ или $σ_2 \supset σ_1$. Разумеется, края таких полуплоскостей $l_1$ и $l_2$—параллельные прямые, а их получима $σ_1 * σ_2$—полуплоскость того же направления, края которой — прямая $l_1 * l_2$, расположенная посередине между $l_1$ и $l_2$. (Доказите это аккуратно!)

Назовем полуплоскость $σ_F$ опорной для многоугольника F, если $σ_F \supset F$ и пересечение F с граничной прямой $l_F$ полуплоскости $σ_F$ не пусто. Это пересечение $l_F \cap F$ назовем опорным многожестом. Ясно, что для каждой направления σ есть свой опорная полуплоскость. Соответствие её опорное множество — либо одна точка (вершина многоугольника), либо отрезок (сторона многоугольника).

Опорное множество мы обозначим $F_\sigma$.

Пусть F и G — два выпуклых многоугольника, $σ_F$ и $σ_G$ — их опорные полуплоскости одного и того же направления, $F_\sigma$ и $G_\sigma$ — соответствующие опорные многожества. Легко найти опорное множество того же направления для полусуммы F*G: оно равно полусумме опорных многожестов $F_\sigma$ и $G_\sigma$, то есть

$$(F * G)_\sigma = F_\sigma * G_\sigma.$$

Действительно (рис. 6), середина M любого отрезка PQ, где P ∈ F, Q ∈ G, лежит в полуплоскости $σ_F * σ_G = \sigma_F * G$, причем на граничную прямую полуплоскости $σ_F * G$ точка M может попасть в том и только в том случае, если одновременно P ∈ F_\sigma$и Q ∈ G_\sigma$.

26

Теперь мы можем сформировать удобное правило, позволяющее найти полусумму F * G выпуклых многоугольников F и G.

Нужно рассмотреть какое направление σ, для которого хотя бы одно из соответствующих опорных множества Fσ и Gσ является отрезком (сторной F или G), и построить полусумму Fσ и Gσ — отрезок Fσ * Gσ (пользуясь примерами 16), в)). Объедининие всех этих отрезков Fσ * Gσ по разным направлениям σ — граница фигур F * G.

Применение этого правила иллюстрирует рисунок 6, где каждому из направлений σ соответствует свой цвет. Ясно, что опорные множества Fσ, Gσ, а значит, и (F * G)σ = Fσ * Gσ для остальных «промежутных» направлений состоит из отдельных точек (вершин соответствующих многоугольников). Мы уже доказали, что фигура F * G выпукла. Теперь, найдя ее границу, мы видим, что F * G — выпуклый многого-

Рис. 6.

у голень к, причем направления его сторон — те же, что у F и G.

Задачка 4. а) Докажите, что если σ и τ — полуплоскости разных направлений, то σ*τ — вся плоскость.

б) Попробуйте решить задачи 2a) — г), пользовать правлом, сформированным выше.

в) Приведите пример пятугольника F и треугольника G, для которых F * G имеет 5, 6, 7 и 8 сторон.

Теперь уже легко даbt ответы на вопросы a) и б) задачи M330:

a) количество сторон полусуммы n1-уольника и n2-уольника может быть любым числом, которое не больше n1+n2 и не меньше, чем наиболее из чисел n1, n2;

b) периметр F * G равен полусумме периметров F и G*).

Найти ответ на вопрос b) задачи M330 и обосновать его намного труднее. Мы узнали его в § 4. А пока рассскажем о том, что такое сумма и линейная комбинация фигур.

§ 3. Суммы и линейные комбинации фигур

Мы очень много раз использовали слово «полусумма» и заменяющий его знаок *. Пора сказать, что такое сумма двух фигур.

Зафиксируем некоторую точку O (начало отсечена или полос).

О пределене 2. Можество всех концов M векторов

$\vec{OM} = \vec{OP} + \vec{OQ}$, где P и Q — произвольные точки фигур F и G соответственно, называется суммой (или суммой Минковского) фигур F и G (рис. 7). Сумма F и G обозначает F + G.

О пределене 3. Можество всех концов M векторов

$\vec{OM} = \lambda \cdot \vec{OP}$, где P — произвольная точка фигур F, λ — данное положительное число, называется произведением F на λ (рис. 8). Эта фигура обозначает λF.

*) Действительно, если длину точки считать равной 0, то длина (F * G)σ равна полусумме длин Fσ и Gσ для каждой направления σ.

27

Пример 3. «Полусумма» $F*G$ (определение 1) есть как раз $\frac{1}{2}(F_1 + F_2)$: ведь условие $\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OP} + \vec{OQ})$ ознакомает, что $M$ — середина отрезка $[PQ]$.

Фигуру $\lambda F + \mu G$, где $\lambda$ и $\mu$ — положительные числа, мы будем называть линейной комбинацией фигура $F$ и $G$.

Пример 4. Линейная комбинация $\lambda F + \mu G$ прямогольников $a \times b$ и $c \times d$, у которых стороны $a$ и $c$ параллельны (как в примере 2), прямогольник $(\lambda a + \mu c) \times (\lambda b + \mu d)$.

Задача 5. Как выглядят линейные комбинации $\lambda F + \mu G$ тех фигура $F$ и $G$, получим которых требовалось найти в задачах 2—4?

Задача 6. Докажите следующие свойства введенных операций:
1°) $F_1 + F_2 = F_2 + F_1$;
2°) $(F_1 + F_2) + F_3 = F_1 + (F_2 + F_3)$;
3°) $\lambda(\mu F) = (\lambda \mu) F$;
4°) $\lambda(F_1 + F_2) = \lambda F_1 + \lambda F_2$;
5°) если $F_1 \subset F_2$, $G_1 \subset G_2$, то $\lambda F_1 + \mu G_1 \subset \lambda F_2 + \mu G_2$;
6°) $\lambda F + \mu F \supset (\lambda + \mu) F$; если $F$ выпукло, то $\lambda F + \mu F = (\lambda + \mu) F$;
7°) $\lambda(F \cup G) = \lambda F \cup \lambda G$ и $H + (F \cup G) = (H + F) \cup (H + G)$;
8°) $\lambda(F \cap G) = \lambda F \cap \lambda G$ и $H + (F \cap G) \subset (H + F) \cap (H + G)$;

9°) если $\lambda + \mu = 1$, то линейная комбинация $\lambda F + \mu G$ не зависит от того, в какой точке $O$ помещен «полюс».

Вообщие говоря, при другом выборе полюса $O$ и при параллельном переносе данных фигура $F$ и $G$ линейная комбинация $\lambda F + \mu G$ меняется, но не существует — она просто подвергается параллельному переосению. Таким образом, если условия две фигуры, получающие друг из других параллельными переосами, не различаются, считать эквивалентными, то можно не указывать, где выбран полос — результат $\lambda F + \mu G$ будет однозначно определен.

Заметим, что любая линейная комбинация $\lambda F + \mu G$ фигура $F$ и $G$ получается из «нормированной» комбинации $\frac{\lambda}{\lambda + \mu} F + \frac{\mu}{\lambda + \mu} G$ (такой, у координат сумма коэффициентов равна 1) умножением на число $(\lambda + \mu)$, то есть просто готовей. Таким образом, линейные комбинации $c \lambda + \mu \neq 1$. не даут новых по форме фигура.

Опишем один способ представить себе все нормированные линейные комбинации двух выпуклых многоугольников $F$ и $G$. Пересечем один из них (не поворачивая) в параллельную плоскость и построим «выпуклую оболочку» $F$ и $G$ — выпуклый многоугольник, все вершины которого совпадают с вершинами $F$ и $G$ (например, правильный октадр на рисунке 5 — выпуклая оболочка верхнего и нижнего треугольников; его «среднее сечение» — полусумма этих треугольников). Тогда сечение этого многоугольника плоскости, параллельными $F$ и $G$, даут как раз линейные комбинации $\lambda F + \mu G$, где $\lambda + \mu = 1$; относение $\lambda/\mu$ равно отношению расстояний от секущей плоскости до плоскости $F$ и $G$.

Следующие пять задач с разных сторон иллюстрируют понятие «суммы Минковского».

Задача 7. Из точки $O$, лежащей на границе полуплоскости, внутри полуплоскости направлено $n$ векторов длины 1. Дока-

Рис. 7.

Рис. 8.

28

Жите, что если $n$ нечетно, то длина их суммы не меньше 1.

Задание 8. Пусть $F$ — выпуклый многоугольник, $S$ — его площадь, $P$ — перimeter, $K$ — круг радиуса $1$ с центром $O$. Докажите, что площадь фигуры $F + \rho K$ (ρ-окрестности многоугольника $F$) равна $S + \rho P + \rho^2\pi$. Напишите аналогичную формулу для объема $\rho$-окрестности выпуклого многоугольника.

Задание 9. Докажите, что следующие три свойства выпуклого многоугольника $F$ эквивалентны: (1) $F$ имеет центр симметричности; (2) $F$ можно разрезать на параллелограммы; (3) $F$ есть сумма нескольких отрезков.

Задание 10. Докажите, что следующие два свойства выпуклого многоугольника эквивалентны: (1) все грани $F$ — параллелограммы; (2) $F$ есть сумма нескольких отрезков, никакие три из которых не параллельны одной плоскости. Сколько граней имеет такой многоугольник, если количество отрезков — $k$?

Задание 11. От незаагащенного округа в одной точке загорелся лес. Ветер дул в течение времени $t_1$ со скоростью $v_1$, затем $t_2$ со скоростью $v_2$, …, $t_n$ со скоростью $v_n$. Пожар распространяется от загоревшихся участков со скоростью ветра (причем эти участки продолжают гореть). Какой участок выгорел за это время? А если пожар, кроме того, распространяется равномерно по всем направлениям со скоростью $u$? (А. Савин)

§ 4. Площадь суммы фигуры

Площадь фигуры $F$ будем обозначать через $S_F$. Теорема о площадях гомотетических фигуры гласит:

$$S_{\lambda F} = \lambda^2 S_F.$$

Посмотрим, что можно сказать о площади суммы и, вообще, линейной комбинации двух фигуры. Начнем с частного случая, когда $F$ и $G$ — прямоугольники $a \times b$ и $c \times d$, причем стороны длины $a$ и $c$ параллельны. Тогда $\lambda F + \mu G$ — прямоугольник $(\lambda a + \mu c) \times (\lambda b + \mu d)$ и

$$S_{\lambda F + \mu G} = (\lambda a + \mu c)(\lambda b + \mu d) = \lambda^2 ab + \mu^2 cd + \lambda \mu (ad + bc) \geq \lambda^2 ab + \mu^2 cd + 2\lambda \mu \sqrt{abcd} = (\lambda \sqrt{ab} + \mu \sqrt{cd})^2,$$

то есть

$$S_{\lambda F + \mu G} \geq (\lambda \sqrt{S_F} + \mu \sqrt{S_G})^2.$$

(мы воспользовались неравенством $p + q \geq 2\sqrt{pq}$). Получить какое-то еще, кроме неравенства (2), ограничения на величины $S_{\lambda F} + \mu G$ при заданных $S_F$ и $S_G$ нельзя. Действительно, положив в (2) $b = a$, $c = ke$, $d = e|k$ ($k$ — какое-то положительное число), мы получим: $S_F = a^2$, $S_G = e^2$, $S_{\lambda F} + \mu G = \lambda^2 a^2 + \mu^2 e^2 + \lambda \mu e \left( k + \frac{1}{k} \right) = (\lambda a + \mu e)^2 + \left( k + \frac{1}{k} - 2 \right) \lambda \mu e$.

При фиксированных $a$, $e$ и $\lambda$, $\mu$ вторая скобка принимает любое неотрицательное значение (в зависимости от $k$), поэтому $S_{\lambda F} + \mu G$ может принять любое значение, не меньше $(\lambda \sqrt{S_F} + \mu \sqrt{S_G})^2$.

Теперь мы можем, наконец, привести ответ на вопрос в задачи М330: площадь получемых выпуклых многоугольников площадей $S_1$ и $S_2$ может принимать любое значение, больше или равное $(\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})^2/4$.

Тот факт, что меньше значения площадь получемых принимать не может, вытекает из следующей замечательной теоремы.

Теорема Брунна — Минковского. Неравиственное (2) выполнение для любых двух выпуклых фигуры $F$, $G$ и любых положительных чисел $\lambda$, $\mu$.

Доказательство. Прежде всего, использую соображения подобия и формулу (1), легко свести до к случая, когда площади данных фигуры равны, а линейная комбинация — нормирована. Для этого случая неравенство (2) выглядит очень просто:

$$\text{если } S_F = S_G = S \text{ и } \lambda + \mu = 1, \text{ то } S_{\lambda F} + \mu G \geq S.$$

Покажем, как из (3) выводится неравенство (2) для любых $F$, $G$, $\lambda$ и $\mu$. Расмотрим вместе с $F$ и $G$ готовыми им фигуры площади $S$:

$$F^* = \sqrt{S/S_F} F, \quad G^* = \sqrt{S/S_G} G.$$

29

Тогда
$$\lambda F + \mu G = \lambda \sqrt{S_F/S} F^* + \mu \sqrt{S_G/S} G^* = \left( \lambda \sqrt{S_F/S} + \mu \sqrt{S_G/S} \right) \left( \lambda^* F^* + \mu^* G^* \right),$$
где $\lambda^* + \mu^* = 1$. Применяя (3) к $\lambda^* F^* + \mu^* G^*$ и получим (2):
$$\sqrt{S_{\lambda F} + \mu G} \geq \left( \lambda \sqrt{S_F/S} + \mu \sqrt{S_G/S} \right) \sqrt{S} = \lambda \sqrt{S_F} + \mu \sqrt{S_G}.$$

Вот основное сообщение, используемое при доказательстве неравенства (3). Если фигура F разбита горизонтальной прямой $l$ на две части: верхнюю $F_B$ и нижнюю $F_H$, и аналогично, G другой горизонтальной прямой $m$ разделена на две части $G_B$ и $G_H$, то множество $\lambda F_B + \mu G_B$ и $\lambda F_H + \mu G_H$ не налегают друг на друга: первое лежит выше прямой $\lambda l + \mu m$, второе — ниже.

Тепер доказательство в двух словах можно закончит так.

Разобем многоугольники $F$ и $G$ на $N$ узких горизонтальных полосок и занумеруем их по порядку сверху вниз: $F_1 \cup F_2 \cup ... \cup F_N = F$, $G_1 \cup G_2 \cup ... \cup G_N = G$. Каждый полоску можно считать прямойником площади $S/N$ (если $N$ велико, это «с точностью до сколь угодно малого ε» не влияет на площади фигур $F$, $G$ и $\lambda F + \mu G$). Но для прямогольников с параллельными сторонами основное неравенство (2) уже доказано, поэтому площад каждой из полосок $\lambda F_i + \mu G_i$, $i=1,2,...,N$ (мы складываем лишь полоски с одинаковыми номерами!), не меньше $S/N$. А поскольку эти $N$ полосок не налегают друг на друга и, разумеется, содержатся в $\lambda F + \mu G$, то площад $S_{\lambda F} + \mu G$ не меньше $S$.

Итак, неравенство Брунна — Минковского доказано. Приведем здесь только одно его следствие. Это — заменята и операторическая теорема: площад любой фигур с периметром $P$ не больше

ше, чем площад круда с длиной окружности $P$. Докажем ее для выпуклого многоугольника $F$. Используя обозначения и результат задачи 8, применим к сумме $F + K$ (К — круг единчного радиуса) неравенство Брунна. Получим:

$$\sqrt{S + P + \pi} \geq \sqrt{S} + \sqrt{\pi},$$

или, после упрощения, $S \leq P^2/4\pi$. Это и есть нужное неравенство!

Задача 12. a) Докажите, что для площад линейной комбинации двух выпukлых многоугольников верна формула $S_{\lambda F} + \mu G = S_F \lambda^2 + 2S_F G \lambda \mu + S_G \mu^2$, где число $S_F,G$ зависит только от $F$ и $G$ (это число называется смешанной площадью фигур $F$ и $G$). Найдите $S_F,G$ для фигур $F$, $G$ из задачи 2a) — д).

6. Докажите, что всегда $S_F,G \geq S_F S_G$, причем равенство имеет место, только если многоугольники $F$ и $G$ готовятся.

Задача 13. Докажите, что неравенство (2) верно для произвольных фигур (не обязательно выпukлых). Подумайте, как сформировать и доказать аналогичную теорему для объемов пространственных фигур.

В заключение нашей знаменитого знакомства с суммой Минковского перечислим некоторые книги и статьи, в которых расссказано о сложении фигур, применении этой операции к теории выпukлых множества, в частности, о различных доказательствах неравенства Брунна — Минковского, его обобщения и геометрических следствиях.

И. М. Яглом, В. Г. Болтянский. «Выпukлые фигуры» (книга из серии «Библотека математического кружка», вып. 4). Гостехтеориздат, 1951 г.

Л. А. Люстерник. «Выпukлые фигур и многоугольники». Гостехтеориздат, 1956 г.

Б. Н. Делоне. Доказательство неравенства Брунна — Минковского. «Успех математических наук», вып. II (1936 г.).

Н. Б. Васильев. Семейство параллельных $n$-угольников. «Квант», №11, 1974 г.; решение задачи М295, «Квант», №6, 1975г.

Г. Хадвигер. Лекции об объеме, площад поверхности и изоперметрины. М., «Hayka», 1966 г.

30

Задачи
M376—M380; Ф388—Ф392

Решения задач из этого номера можно присылать не позднее 1 июня 1976 г. по адресу: 113035, Москва, Ж-35, ул. Б. Ордынка, 21/16, редакция журнала «Квант».
После адреса на конверте написите, решения каких задач вы посылаете, например: «Задачик «Кванта» М376» или «…Ф388».
Решения задач по каждому из предметов (математике и физике), а также новые задачи просба присылать в отдельных конвертах. Задчи из разных номеров журнала присваивают также в разных конвертах. В письмо вложите конверт с написанным на нем адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки ваших решений). Условия оригинальных задач, предлагаемых для публикации, присваивают в двух экземплярах вместе с вашими решениями этих задач (на конверте помещьте: «Задачик «Кванта», новая задача по физике» или «… новая задача по математике»).
После формирования задачи мы обычно указываем, кто предложил нам эту задачу. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Нанболее трудные задачи отмечены звездочкой.

M376. a) В ряд расположено 30 клеток. На самом правой клетке стоит белая фишка, на самом левой — черная. Каждый из двух играющих по очереди передвигает свою фишку на одно поле — вперед или назад. (Пропускать ход нельзя.) Проиграшим считается тот, у кого нет хода. Кто выигравает: начинающий или его партнер?
6) Решите задачу, заменив в условия 30 на N.
A. Талалай

M377. Дан треугольник ABC. Найти на стороне AC такую точку D, чтобы перimetр треугольника ABD равнялся длине стороны BC.
C. Охитин

M378. Докажите, что существует бесконечного много натуральных чисел, не представимых в виде
a) $x^3 + y^3 + z^3$, где x, y, z — целые числа;
b) $x_1^n + x_2^n + \ldots + x_n^n$, где $x_1, \ldots, x_n$ — целые числа.
b)* Докажите, что любое рациональное число можно представить в виде $x^3 + y^3 + z^3$, где x, y, z — рациональные числа.
B. Колосов

M379. На каждом из нескольких кусков бумаги произвольной формы поставлена кляска (произвольной формы). Изовем промокашку подхождение для данного куска, если ее можно размещить внутри этого куска так, что она закроет кляску. Пусть набор промокашек, имеющих форму кругов разных радиусов, обладает таким свойством: для произвольных двух данных кусков найдется промокашка, подхождения для каждой из них. Докажите, что тогда в этом наборе найдется одна промокашка, подхождения для всех кусков.
B. Произвольов

M380* a). На плоскости дана выпуклая фигура и внутри нее — точка O. К каждой прямой l, проходящей через точку O, проводится перpendикуляр в точке O и на нем по обе стороны от точки O открываются два отрезка, длины которых равны длине отрезка, получающейся при пересечении данной фигуры с прямой l. Объедините всех этих отрезков.

31

резков — новая фигура с центром симметрии $O$. Будет ли полученная фигура выпуклой?
6) В пространстве данного выпуклое центрально-симметриное тело с центром $O$. Каждай плоскости $\alpha$, проходящей через точку $O$, проводится перpendicularly в точке $O$ и на нем по обе стороны от этой точки $O$ откладываются два отрезка, длины которых равны площади сечения данного тела плоскостью $\alpha$. Объединение всех этих отрезков — новое тело с тем же центром симметрии $O$. Доказите, что полученное тело тоже выпуклое.

С. Пухов

Ф388. В расположенном вертикальном цилиндре переменного сечения (рис. 1) между поршнями находится $n$ молей воздуха. Массы поршней — $m_1$ и $m_2$, их площади — $S_1$ и $S_2$, соответственно. Поршни соединены стержнем длины $l$ и находятся на одинаковых расстояниях от стыка частей цилиндра с различными diamетрами. На сколько сместятся поршни при повышении температуры в цилиндре на $\Delta t$ градусов?

Е. Кузнецов

Ф389. Найти сопротивление между точками $A$ и $B$ и точками $A$ и $C$ бесконечной цепочки, показанной на рисунке 2. Сопротивление проводок между узлами схемы 1 ом.

Ф390. Два запаянных сообщающихся сосуда цилиндрической формы разных diamетров частично заполнены водой (ртутью) (рис. 3). Возду их сосудов откачан, так что над жидкостью имеются только ее пары. Как распределится количество жидкости в сосудах $a$) на земле? 6) в невесомости?

Ф391. Гладкий Г-образный стержень врашается в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через конец стержня $O$. Маленькая муфта массы $m$ прикреплена к стержню в точке $A$ с помощью пружины жесткостью $k$ (рис. 4). Длина пружины в 1,2 раза больше ее длины в нерастинутом состоянии. С какой угловой скоростью врашается стержень?

Ф392. Доска массы $M$ расположена горизонтально и опирается на два врашающихся цилиндра (рис. 5). Расстояние между осями цилиндров $l$. Козффициент трения между dockой и цилиндрами $k$. Доказать, что если dockу, находящую в горизонтальном направлении, она будет совершать гармоничное колбания, и найти период этих колбаний. Каким будет движение dockи, если изменить направление врашения цилиндров на противоположное?

32

Решения задач
M336, M337, M339; Ф348—Ф352

М336. В плоскости данного конечное множество многоугольников, каждый два из которых имеют общую точку. Доказим, что существует прямая, которая имеет общую точку с каждой из этих многоугольников.

Рис. 1.

М337. Дан равносторонний треугольник ABC со стороны длины 1. Первые церрок выбираем точку X на стороне AB, второй — точку Y на стороне BC, затем первый — точку Z на стороне AC.
а) Цель первого церрок — получить треугольник XYZ наибольшей площади, второй — наибольшей площади. Какую наибольшую площадь обеспечить первый?
б) Цель первого церрок — получить треугольник XYZ наибольшего периметра, второго — наибольшего периметра. Какой наибольший перimeter может обеспечить первый?

Спроектируем все многоугольники на какую-нибудь горизонтальной прямую прямую m. Проекцией каждого многоугольника будет отрезок. Среди правых концов этих отрезков выберем самый левый (пуст его будет правый конец A проекции многоугольника M — см. рисок 1) и проведем через него прямую l, перепendlкулярную прямой m. Примая l пересекает все многоугольники, так как нижкой многоугольник не может лежать целиком левее нее (тогда правый конец его проекции был бы левее A), и нижкой не может лежать целиком правее (так как тогда он не имел бы общих точек с многоугольником M).

С. Фомин

Рис. 2.

Рис. 3.

a) Докажем сначала, что наличишая стратегия второго игрок — поставить точку Y на стороне BC, так, чтобы прямая XY оказалась параллельной стороне AC. Действительно, если (XY’) || (AC), а Y∈[BY’] (см. рис. 2), то первый игрок своим вторым ходом поставить точку Z в вершину C; тогда SXYC > SXY’C, так как у этих треугольников высота одна и та же, а основание первого больше. Если же Y∈[Y’C], то первый игрок поставит точку Z в вершину A, и опять будет SXYA > SXY’A, поскольку у этих треугольников одно и то же основание, а высота y треугольника XYA больше (рис. 3).

Поэтому (XY) || (AC), и от того, где на [AC] первый игрок поставит точку Z, уже ничего не зависит:

$$S_{XYZ} = S_{XYA} = \frac{1}{2} \cdot |XY| \cdot (H - h),$$

(здесь H = \frac{\sqrt{3}}{2} – высота треугольника ABC, h – высота треугольника XBY). Выразив |XY| через h, получим, что есть искомая площадь является квадратным треугольником от h. Этот трехчлен принимает максимальное значение $\frac{H^2 \sqrt{3}}{12} =$

34

Рис. 7.

М339*). Дана горизонтальная полоса на плоскости, края коморой — паралельные прямы, и n прямы, пересекающих эту полосу. Каждый две из этих n прямы пересекаются внутри полоси и никакие прямы не проходит через одну точку. Расстояние все пути, начинающие на нижней краюмке полосы, идущее по данным прямы и заканчивающей на верхней краюмке, обладающие максимальным свойством: одна по максиму пути, мы все время поднимаемся вверх; другой до точки пересечения прямы, мы обязаны перейти на другую прямую. Доказим, что среди максимумей

a) есть пути, состоящий не менее чем из n отрезков;
b) есть пути, проходящий не более чем по $\frac{n}{2} + 1$ прямы;
c) есть пути, проходящий по всем n прямы.

Рис. 8.

Возведя обе части уравнения (*) в квадрат, получим:

$$2x^2 - 3x + 2 = 2(1 - x)\sqrt{x^2 + x + 1},$$

откуда

$$8x^3 - 17x^2 + 8x = 0,$$

$$x = |AE| = \frac{17 - \sqrt{33}}{16}$$

(проверьте, что это действительное корень уравнения (*)). Искомый перimetр равен

$$2|EC| = 2\sqrt{x^2 - x + 1} = \frac{3}{8}\sqrt{2(17 - \sqrt{33})}.$$

М. Бронштейн

Обозначим точки пересечения прямых с нижней краюмкой полосы по порядку (слева направо) через $A_1, A_2, \dots, A_n$ (рис. 7). Точки пересечения тех же прямых с верхней краюмкой полосы мы обозначим соответствующее $B_1, B_2, \dots, B_n$.

Перечислим некоторые свойства пути, о которых говорится в условиям.

1°. По каждой отрезку каждой прямой проходимровно один пути. Действительно, правильная, формулированные в условиям, позволяют единственным способом продолжить пути вверх и вниз до краев полосы.

2°. Существует n различных пути: из каждой точки $A_1, \dots, A_n$ выходит свой пути. Занутерум их по порядку: 1-й, 2-й, …, n-й.

3°. Путь, начинающийся в точке $A_k$, заканчивается в точке $B_k$. В самом деле, согласно правилам, каждый пути в точке пересечения прямых переходит на другую прямую, поэтому (рис. 8) пути не могут пересечать друг друга, а лишь соприкасаются вершинами. Таким образом, $k$-й пути делит полосу на две области — левую, в которой расположены все пути с номерами $i < k$, и правую, в которой расположены пути с номерами $i > k$. Поэтому $k$-й пути окончится в $B_k$ (рис. 9).

Перейдем к доказательству отдельных утверждений задачи.

a) Посчитаем двумя способами общее количество отрезков во всех путих вместе. С одной стороны, каждая прямая разбита на n отрезков, поскольку она пересечена n-1 других прямых; следовательно, общее число отрезков равно $n^2$. С другой стороны, ту же сумму $n^2$ мы должны получить, сложив количество отрезков во всех n путих (мы используем здесь $1^\circ$ и $2^\circ$). Отсюда следует, что хотя бы в одном из пути не менее n отрезков.

b) Оценим количество отрезков в двух крайних путих: 1-м и n-м. Эти пути, оченьindo, ограничивают выпуклые множества: первый — множество точек, лежащих в всех прямых, последний — множество точек, лежащих в всех прямых (рис. 10). Ясно, что первый путем лежит слева от ломаной $A_1PB_1$, последний — справа от ломаной $A_nPB_n$, где $P$ — точка пересечения ($A_1B_n$) и ($A_nB_1$), и лишь начальные и конечные отрезки того и другого пути лежат на прямых $A_1B_n$ и $A_nB_1$. Что же касается каждой из остальных n-2 прямых $A_2B_{n-1}, A_3B_{n-2}, \dots, A_{n-1}B_n$, то они могут иметь об-

*) Решение задачи M338 см. в статье Ю. Ионина и Л. Курляндика «Понск инварианта», опубликованной в «Кванте», 1976, № 2.