Квант 1976, №5 · Страницы

Кeaнм
1976
5
Научно-популярный
физико-математический
журнал

1

Главный редактор
академик И. К. Кикоин
Первый заместитель
главного редактора
академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:
М. И. Башмаков
С. Т. Беляев
В. Г. Болтянский
Н. В. Васильев
Ю. Н. Ефремов
В. Г. Зубов
П. Л. Капица
В. А. Кириллин
А. И. Климанов
(главный художник)
С. М. Козел
В. А. Лешковцев
(зам. главного редактора)

Л. Г. Макар-Лиманов
А. И. Маркушевич
Н. А. Патрикеева
И. С. Петраков
Н. Х. Розов
А. П. Савин
И. Ш. СLOBODEЦКИЙ
М. Л. Смолянский
(зам. главного редактора)

Я. А. Смородинский
В. А. Фабрикант
А. Т. Цветков
М. П. Шаскольская
С. И. Шварцбург
А. И. Ширшов

Редакция:
В. Н. Березин
А. Н. Виленкин
И. Н. Клумова
Т. М. Макарова
(художственный редактор)
Т. С. Петрова
В. А. Тихомирова
Л. В. Чернова
(зав. редакцией)

В НОМЕРЕ:

2. Н. Виленкин, В. Лицевский. Нильс Хенрик Абель
3. И. Воробьев. Троянцы
4. А. Земляков. Математica биллиард
5. В. Новиков. Энергия магнитного поля контура с током
6. В. Саннинский. Артиллерия и математica

Лаборатория «Квант»
В. Майер. Волны на бумаге

Matематический кругхок
А. Мордкович, В. Смышляев. Антье

Задачик «Квант»
Задачи M381—M385; Ф393—Ф397
Решения задач M340—M342

Практикум абитуриента
С. Бельй. «Ключ» к решению — подобные треугольники
62. Н. Бурmistрова, Н. Еверафова. Московский электротехнический институт связи
65. В. Коноваленко, Т. Стельмахович, А. Чернявский. Ленинградский электротехнический институт им. В. И. Ульянова (Ленин)

Информация
А. Митрофанов. Экзамены по физике в Англии
A. Халамайзер. Экзамены по математике в ГДР

«Квант» для младших школьников
Задачи
A. Розенталь Встречи в океане

Ответы, указания, решения
Смеся (с. 42, 61, 72)

На 2-ой странице обложки воспроизведены записи, которые Нильс Хенрик Абель делал на свои математических рукописах (статью об Абеле см. на с. 2–10).

© Главная редакция физico-matематической литературы издательства «Нука», «Квант», 1976 год

2

В центре Осло, в Королевском парке, установлен памятник выдающему норвежскому математику Нильсу Хенрику Абелю. Но сам Абель воздвигся себе более впечатляющий памятник. Теоремы Абеля, абелевы интегралы, уравнения Абеля, абелевы группы, преобразования Абеля навечно вошли в различные разделы математики, причем все свои результаты Абель получил за семь лет творчества: он умер, когда ему еще не было двацати семи лет.

Абель родился 5 августа 1802 года в небольшей деревушке Финнейна юге Норвегини, в семье пастора. Нильс был вторым сыном; онросупитим болеененным мальчиком.

Осенью 1815 года пастор Абель отправил двух своих старших сыновей в Христаню (так называлось тогда Осло), в Кафедральную школе. До тех пор он учил их сам.

Школа не оправдала ожиданий Нильса. Еще в 1811 году лучшие учителя ушли в только что организованный университет. Новые преподаватели не отличались глубокими знаниями. Зачастую они избивали учеников. Особенно жесток был преподаватель математики Бадер. Недивительно, что вскоре Нильс охладел к учебе и перестал получить отличные отметки даже по математике. Только посещения театра, который Абель горяче полюбил, игра в шахматы и беседы с друзьями скрашивали жизнь подростка.

Все изменилось в один из дней 1818 года. Бадер так сильно избил одного ученика, что тот через несколько дней скончался. Бадера увоилли, и в школьный новый учитель математики Бернт Микель Хольмбое. Сам Хольмбое почти ничего не сделал в математике, заго он первым заметил и выпестовал математический талант Нильса Абеля.

Основная цель Хольмбое заключалась в том, чтобы заинтересовать

своих учеников математикой. Очень скоро Нильс искренне увлекая «королевой наук» и стал решать сложные задачи, недоступные его товарцам. В последствии Хольмбое писал: «Абель со всем пылом отдался занятым математикой и продвигался вперед с быстротой, отличующей гения. Через короткий срок он совершенно освоился с элементарной математикой и проспил меня занятся с ним высшей. По собственной инициативе он глотал одну за другой книги Лакруа, Франкера, Пуассона, Гаусса, Гарнье и с особенным интересом — работы Лагранжа. Он уже начал самостоятельно разбираться в некоторых разделах математики».

Вскоре в отчете Хольмбое появился такой отзыва об Абеле: «Несомненный математический гениий . . . Он сочетает безусловно гениальные математические способности с неистощным интересом к науке. Если с ним ничего не случайся, он станет большим математиком». В первоначальном варианте отчета стояло даже «самым выдahoщимся математиком мира»; но, по-видимому, школьное начальное решение, что такая оценка слишком высока для семнадцатлетнего юношии.

Еще не закончив школа, Абель начал самостоятельные исследования. Со свойственной юности самонаденностью он принял за задачу, не подававшуюся услями многих выдahoщихся математков XVII и XVIII веков — за решение уравнения пятой степени. После того, как в XVI веке Тарталья получил формулу для решения кубических уравнений, а Феррари — для решения уравнения четвертой степени, перед математики встала задача: вывести формулу, выражающую корни уравнения пятой степени $a_0x^5 + a_1x^4 + a_2x^3 + a_3x^2 + a_4x + a_5 = 0$ через коэффициенты $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ с помощью арфметических действия и извлечений корней. Хотя при исследовании этой задачи были получены многоные важные результаты, ее окончное решениеник не удалось. После нескольких надельных направлений работы Абель показалось, что задача решения — искомые формулы получены. Работу юного математика проверали и Хольмбое, и многое профессора университета в Осло, и крупнейший из складинских математков профессор Копенгагенского университета Деген. Никто из них не смог найти ошибки в его вычислениях. Но Деген дал юноше делый совет: проверить полученные формулы на конкретных уравнениях. И тут оказалось, что ответы получаются неверными; формулы Абеля были ошибочными.

Закончив в 1821 году школа и выдержав экзамен в университет, Нильс обратился с просьбой предоставить ему бесплатное общежитие и стипендию. Стипендия была ему необходима: в 1820 году отец Абеля скончался, оставив семью без средств к существованию.

Университет не располагал средствами, но несколько профессоров, зная об исключительной одаренности молодого студента, «дабы сохранить для науки это редкое дарование» решили выплачивать ему стипендию из своих личных средств. «Эту заботу, — писал Хольмбое, — Нильс Хенрик вполне заслужил своим постояным усердением и примерным поведением».

Получив стипендию, Абель выписал к себе младшего брата, чтобы облегчить жизнь других членов семьи. Небольшой стипендии, едва расширанной на одного, не могло хватить на двух молодых людей, и Нильссу пришлось подработать репетитором. С этого времени и до самого смерти Нильс был вынужден ejedневно думать о том, как заработать немного денег, чтобы не умереть с голоду и расплатився с многочисленными долгами.

В июне 1822 года Абель успешно сделал экзамены за первая курс и получил званце кандидата философии. За время учебы в школе и университете он прочел все книги

4

по математике, которые смог достить, и неустанно размышлял над математическими проблемами. Вскоре у него появились печатные работы. К несчастью, они остались незамеченными, так как были написаны на норвежском языке, а этого языка не знал никто из выдающихся математиков того времени. Однако из работы была посвящена нахождение линии, по которой матерIALная точка падает по заранее предписанному закону. Абель свел решение этой задачи к уравнению, в котором искомая функция находится под знаком интеграла. Теперь также уравнения называют интегральными.

Никто до Абеля интегральных уравнений не решал: математики того времени интерсовались дифференциальными уравнениями, т. е. уравнениями, содержащими произведение от искомых функций. Лишь в конце XIX века стала развивать общая теория интегральных уравнений, и тогда поняли, что Абель на многое десятилетия предвосчитил будущее математические исследования.

Зимой 1822—1823 годов Абель написал работу, посвященную интеграровию функций.

Если продиференцировать любую элементарную функцию, то снова получится элементарная функция. А вот с интерированным дело остолонте сложнее. Проинтегрировать какую-то функцию — значит найти новую функцию, производная от которой равна данной. Поиск этой функции обычно влись, как писал сам Абель, на основе; ученый жdal озарения, позволяющего ему вычислить тот или иной интеграл. Результаты проведенных поисков были подъитены вfundamentalном социнении одного из величайших математиков XVIII века Леонарда Эйлера «Интегральное исчисление». Но мно-

5

гне интегралы все же не подавались вычислению. И неопонятно было, в чем тут дело: в недостаточной проэрловости учены или в том, что эти интегралы невозможно выразить через элементарные функции.

Абель подошел к вопросу с совершению новой точки зреня. Он решил выяснить, при каких условиях интеграл от данной функции можно выразить через элементарные функции.

Его работа, по-видимому, содержала очень интересные математические идеи; дать же ей точную оценку невозможно: рукопись впоследствии бесследно исчезла, и мы можем судить о ней лишь по сухим строкам протоколов ученого совета и намекам, разбросанным в других рукописях Абеля.

В жизни Абеля она сыграла важную роль: после девятимесячного изучения (видно, жива была еще память о неудание Абеля с уравнениями пяной степени) профессора одобрил эту работу и решил, что Абель заслуживает математной поддержки от государства. Кроме того, его последний провести каникулы в Копенгагене и обещали по окончании университета послать за границу для продолжения образования.

Копенгагенские каникулы (1823 год) были полны незабываемых впечатений. Абель встречался с местными математиками и думал над Великой теоремой Ферма («Квант», 1972, № 8 и 1974, № 5, с. 29).

Хотя Абель и не удалось доказать эту теорему (она не доказана и понятно!), он получил ряд интересных результаты. Например, он доказал, что если натуральные числа a, b, c являются решением уравнения $a^n = b^n + c^n$ (n > 2), то a должно иметь одну из формул $\frac{1}{2} (x^n + y^n + z^n)$, $\frac{1}{2} (x^n + y^n + n^{n-1} z^n)$, где x, y, z — взаимно простые числа. Эти результаты были опубликованы лишь после смерти Абеля.

Профессор Деген посоветовал Абелю заняться теорий так называемых эллиптических интегралов.

Matematики уже давно разделили все функции на алгебраические и transcendentные. Алgebraические называют функции $y = f(x)$, которые удовлетворяют какому-нибудь уравнению вида (1), называют transcendentными. К ним относятся, в частности, изучаемые в школе показательная, логарифмическая, trigonometрическая и обратные тригонометрические функции.

При дифференцировании некоторых transcendentные функции превращаются в алgebraические, например

$$\ln x)' = \frac{1}{x}, \arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$$

Действие, обратное дифференцированию, называют интеграрованием. Значит, при интеграровании из некоторых алgebraических функций получается transcendentные функции. Однако не для всех алgebraических функций их интегралы выразяются через элементарные функции, изучаемые в школе. Например, при вычислении длинны других эллипса получается интеграл вида

$$\int \frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}.$$

Если $k=0$, получается интеграл, равный arcsin x (дело в том, что служебю $k=0$ отвечает эллипс с равными полусимми, то есть окружность, а arcsin x связана с длиной других окружности). При других же значениях $k$ выразить этот интеграл через элементарные функции не удалось. Пришлось ввести класс transcendentных функций — эллиптические интегралы. Так называют интегралы, содержащие квадратные корни из многочленов четвертой степени. Цель ряда заменять выходов о таких интеграх получили Эйлер, Гаусс, Лежандр.

Абель удовлетворяет всему общую формулу, частными случаями которой были многочлены известные соотношения для таких интегралов. Вскоре он пришел к идее, позволившей коренным образом изменить его тематку этого направления: вместо эллиптических интегралов изучать обратные им функции

6

При $k=0$ это соответствует переходу от изучения функций $y=\arcsin x$ к изучению обратной функции $y=\sin x$. Новые функции получили название эллиптических. Так как $(\sin x)'=\cos x=\sqrt{1-\sin^2x}$, функция $y=\sin x$ удовлетворяет дифференциальному уравнению $y'=\sqrt{1-y^2}$. Абель поставил перед собой задачу получения дифференциальных уравнений для эллиптических функций и блестящие справился с ней. Он доказал также, что эллиптические функции являются перiodическими. Оказалось, что, в отличие от trigonometрических функций, эллиптические функции имеют два периода, причем один из них—действительный, а другой — компликсный. Это потребовал углубления в только что созданную в то время теории функций компликсной переменной.

Вернувшись из Копенгагена, Абель снова занялся алгебраическим уравнениями. Анализируя свое решение уравнения пятой степени, он понял, что ложным было не только это решение, но и сам подход к задаче. Вот что написал он об этом позже:

«Одной из интереснейших проблем алгебры является алгебраческое решение уравнения. Почти все выдалишееся математики исследовали этот вопрос. Без труда были получены общее выражения для корней уравнений perвых четырех степени *). Для решения этих уравнений был открыт единый способ, и найдился, что он применим к уравнением любой степени; но, несмотря на все условия Лагранжа и других выданнойшихся математков, поставленная цель не была достигнута… Предполагали решать уравнение, не зная, возможно ли это решение. В случае существования решения могли его получить, ничего о нем предварительно не зная; но если, к несчастью, решения не существовало, то его могли бы шестино искать целую вещеность. Для того чтобы получить наверняка некоторые результаты по этому вопросу, надо было выбрать иную дорогу, придав probleme такой вид, чтобы она была всегда разрешима, а это можно сделать с любой проблемой. Вместо того чтобы искать не

*) «Квант», 1971, № 11, c. 20 или 1973, № 3, c. 30.

которое соответствие не зная, существует оно или нет, надо просить, возможно ли такое соответствие… Этот метод, который без сомнения является единственной научным, поскольку лишь он позволяет быть заранее уверенным в достижении поставленной цели, мало применяется в математике только потому, что его применение связано с исключительно трудностями…»

Абель удалилось предложить эти трудности: он доказал, что общее уравнение пятой степени неразрешимо в радиках — решения такого уравнения нельзя выразить через его коэффициенты с помощью арифметических действия и известения корней.

Таким образом, проблемы, над которой математики были исследованы, чтобы скорее сделать полученный результат достоянием математков, Абель отпечал брошюру с доказательством на французском языке за свой счет; из-за отсутствия средств ему пришлось сократить изложение до 6 страниц и предоставить читателю доступать детали многохиссужdenей. Неудивительно, что лишь немного математики смогли полностью разобраться в содержании этой работы. Далее Гаусс, больше всех интересоващийся теорией алгебраических уравнений, затерял брошюру Абеля среди своих бумаг. Воспследствии Абель опубликовал развитие доказательство своей теоремы, занявшее несколько десятиков страниц.

Вскоре выяснили, что за несколько лет до Абеля аналогичный результат получил и инальянский ученый Паоло Руффини. И хотя доказательство Руффини было непополным, все же теорему о неразрешимости уравнения пятой степени в радиках теперь называют теорему Руффини — Абеля.

Но, хотя общее уравнение пятой степени и нельзя решить в радиках, существует целый ряд частных случаев.

7

чавв, в которых такое решение возможно. Например, разделить угол $\alpha$ на $n$ равных частей значить cos $\alpha$ через cos $\frac{\alpha}{n}$ и решить получшеся уравнение относительно cos $\alpha/n$. Так как cos $\alpha = 4\cos^3\alpha/3$ — 3 cos $\alpha/3$, то при $n = 3$ получаем кубищеское уравнение $4x^3 - 3x = \cos \alpha$, которое, как и в случае кубищеское уравнение, решается в радикалах. Оказывается, такие уравнения решаются в радикалах при любых значениях $n$. Аналогичные уравнения получаются и при переходе от тригонометрических функций к эллиптическим. Абель удалость написать эти уравнения, выразив эллиптические функции аргумента $x$ через функция аргумента $x/n$.

Абель знал, что вопрос о разрешимости уравнения в радикалах связаан с соответствием между корнями уравнения. Например, все корни уравнения

$$x^{n-1} + x^{n-2} + \dots + x + 1 = 0,$$

возникающего при делении круга на $n$ частей (позному уравнению (2) называется уравнением деления круга), можно выразить через один из них следующим образом:

$$x_2 = x_1^2, \quad x_3 = x_1^3, \quad \dots, \quad x_{n-1} = x_1^{n-1}.$$

Функции $y = x, y = x^2, \dots, y = x^{n-1}$ рациональны. При этом они обладают следующим замечательным свойством: если взять любые две такие функции, заменить в одной из них $x$ другой функции и вместе $x$ подставить $x_1$, то полученное число снова будет одним из корней уравнения. В самом деле, из уравнения (2) следует, что $x_1^n = 1$, а потом $(x_1^k)^l = x_1^{kl} = x_1^m$, где $m$ — остаток от деления $kl$ на $n$.

Абель понял, что именно с этим свойством связана разрешимость в радикалах уравнения деления круга. Поэтому он рассмотрел такие уравнения, что:

a) все корни каждого из них могут быть представлены в виде рациональных функций от одного из корней, например, от $x_1$:

$$x_1 = \theta_1(x_1), \quad x_2 = \theta_2(x_1), \quad \dots, \quad x_n = \theta_n(x_1);$$

б) функция $\theta_1(x)$, $\dots, \theta_n(x)$ таковы, что для любых $k$ и $l$ найдется такое $m$, что $(l \theta_k(x_1)) = \theta_m(x_1)$.

Оказалось, что для разрешимости уравнения в радикалах достаточно выполнения еще одного условия: для любых $k$ и $l$ $\theta_k(\theta_l(x_1)) = \theta_l(\theta_k(x_1))$. Иными словами, нужно, чтобы не имело значения, подставим для мы $\theta_k(x_1)$ в $\theta_l(x)$ или $\theta_l(x_1)$ в $\theta_k(x)$. С тех пор совершности преобразования, результат после

довательного выполнения которых не зависит от порядка выполнения преобразования, называют абелевым (или коммутитивным).

При изучении эллиптических функций и интерполяков Абель широко использовал теорию степениных рядов. (Степеньм рядом называется выражение вида $\sum a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_n x^n + \dots$)

Он доказал, что множество значений $x$, для которых сходится ряд $^*$)

$$a_0 + a_1 x + \dots + a_n x^n + \dots,$$

является или промежутком вида $(-l, l)$ (где $l$ может также равнять нулю или бесконечности), или таким же промежутком, к которым присоединены один или оба конца. Он доказал, что на промежутке сходимости степенной ряд можно получить дифференцировать и интеррировать, и использовать поведение суммы ряда при приближении $x$ к концам промежутка сходимости. Все эти результаты после их опыликования стали классическими и вошли во все курсы вычислений математики.

Описанный круг и Абель разрабатывают на протяжении 1824—1826 годов, когда, окончив университет, отправился за границу для продолжения образования. Он повышал в Германии, Австрии, Италии, Швейцарии, Франции, Бельгии, позначокомлся с Якобом Штейнером, Андриеном Лежандром, Огюстеном Коши и многими другими математками.

30 октября 1826 года на очередном заседении французской Академии наук ее бессменный секретарь Фурье представил собственным норвежского математика Нильса Хенрика Абель и его «Мемуар об общих свойствах весы широкого класса трансцендентных функций». Заключение о представлении работе было поручено дать Лежандру и Коши.

*) Это значит, что существует

$$\lim_{n \to \infty} \left( a_0 + a_1 x + \dots + a_n x^n \right).$$

8

Памятник Абелю в Осло

Докладчиком утвердили Коши. Трудно было найти менее подходящую кандидатуру: Коши был настоящо увлечен собственными исследованиями, что у него не оставалось времени на что другое. «Мемуар» Абеля затерлялся среди рукописей, загромождающих кабинет Коши. Напрасно Абель жadal признания французских ученых: «Мемуар» нашелся только после его смерти *).

К сожалению, встречи с французскими математиками мало что дал Абелю. Некоторые из них, прекратив научные исследования, занимались собственной карьерой. Другие интересовались лишь прикладной математикой — исследование Абеля казались им совершенню неприменимыми на практике. Они не могли предвидеть, что через сто лет теоретически встречи с французским роль Коши сыграл в судьбе другого молодого гения — Эвариста Галуа («Квант», 1973, № 10, с. 5).

тико-групповые методы, ведущие свое начало от работ Лагранжа, Абеля и Галуа, станут основой всех расчетных методов квантовой механики.

Сохранились воспоминания одного математика о париском перiode жизни Абеля: «Абель одинаково хорошо говорил на французском, немецком, датском и норвежском языках. Он был немного выше среднего роста, на его худошавом, болеененном лице лежала печать утомления и тревоги. Держался он с необычайной скоростью и легко терялся, проявляя удивительное мягкость характера. Судя по простоте, с которой он одевался, по тому, что он позволял покупать себе какую-нибудь еду не более одного раза в день и довольствовала весма бедной квартирой на улице Сент-Маргерит, он располагаал очень скудными средствами. Однако Абель встретил какого-то человека, который показал ему следы побеев на своей теле и посоветовал остерегаться грабителей.

9

«Мне нечего бояться. Что могу отнять у меня грабители?» — с улыбкой ответил ему Абель.

Он в самом деле пожодил на того мудреца, все сокровища которого хранились в голове. Если говорить о таком богатстве, Абель действительно владел несметным состоянием.

Оставаясь в Париже, Абель продолжал работать над общей теории эллиптических функций. В письме к Берntу Хольмбое он сообщал: «Я открыл столкко замечательных теorem, что просто не верится».

Скоро Абель понял, что денег, отпущенных ему на загранничную командировку, не хватит на все время, и решил вернуть домой. На обратном пути он заболел туберкулезом. Эта болезнь впоследствии свела его в могилу.

20 мая 1827 года Абель вернулся в Осло. После восторженной встречи и торжественных приемов наступил разочаровывающее будни. Нильс понял, что он никогда не нужден; ему даже не представили места с постоянным заработком, например, преподавателя в университете или хотя бы школьного учителья. Абель был вынужден обратиться срошением в Коллегию: «В настоящий момент я не располагаю никакими средствами к существованию. В этом положении я находусь с момента возврашения на родину и буду оставаться до тех пор, пока не получначеня. Для того чтобы как-то заработать себе на жизнь, мне придется почти полностью отказыться от научных занятий… Вот почему я осмеливаюсь обратиться в высоковажаемую Коллегию с просбой оказать мне помощь в той форме, которая будет сочета наиболее удобной». 4 сентября 1827 года Коллегия приняла решение выплачивать Абель 200 далеров в год —ровно столько, сколько он получал в студенческе годы.

В марта 1828 года профессор Кристофер Ханстин, руководивший научными занятиями Абеля в университете, отправился в экспедицию в Сибирь. Своим заместителем на время научной командировки Ханстин рекомендовал Абеля.

Нильс начал вести занятия по механике и астрономии в университете и в Военной академии, где ранее преподавал Хацстин. Теперь Абель получал значительное по тем временамжалование: 533 далера в год, но жил по-прежнему очень бедно. Все деньги уходили на погашение накопившихся долгов.

В этом же году Нильса Хенрика Абеля избрали в Королевское научное общество Норвегии. Это было единственным официальным признанием заслужги Абеля, которое он удостолился при жизни.

Но март 1828 года принес Абель не только радости: перелистывающая журнал «Астрономические известия», он обнаружил, что его тематикой очень успешно занимается еще один ученый — немецкий математик Карл Густав Якоби.

Весь 1828 год прошел в содержимое变速ive двух молодых ученых. За этим «состязанием» с большим интересом следил геттингенский отшельник Гаусс: ведь в его юношеских дневниках, написанных, когда ни Абеля, ни Якоби еще не было на свете, содержащим многое совершаемые имноткрытия. Но Гаусс не торопился печать своей результаты: о них узнали только после посмертной публикации его дневников. Ни Абеля, ни Якоби в этом время уже не было в живых. Они и не подозревали о работах своего великого предшественника, хотя не только их теоремы, но даже иногда и обозначения совпадали с гауссовскими. Все же в одной области АбельPrevзошел не только Якоби, но и Гаусса. Он разработал общую теорию интерголов от алгебраических функций, частным случаем которого является эллиптических функций. Именно этот темуар лежал непрочитанным среди бумаг Коши.

10

Соперничество с Якоби было нелегким для Абеля. Он недосыпал, неодедал; все это сказавалось на его здоровье. Абеля часто лихорадило, усилился кшель.

В середине декабря 1828 года Абель решил поехать нарождественские праздники к своим друзьям во Фроланд. Хотя вчая Абеля возражал против этого путешествия, Нильс все же решил ехать.

Он приехал во Фроланд 19 декабря. В дороге Абель сильно простудился. Его беспокойл кашель, озноб, но Нильс продолжал заниматься математикой.

Отъезд из Фроланды был назван на 9 января. В этот день с утра Абеля ожидали запряженные сани. Но перед самым отъездом Нильсу стало плохо. Вызванный вчая предписал постельный режим и полный покой.

Недели через две-три настоящие, но оно оказалось недолгим. 21 февраля по просбеме Нильса вчая написал в письме в Коллегию, что в связи с болезнью Абель не может приступить к исполнению своих обязанностей в университете ранее весны 1829 года.

Надеждам вчая на вызововление Абеля не суждено было бы сбыться. Нильс слабел все больше и больше. В марте он уже почти не встал с постели. 6 апреля в 4 часа дня Абель умер.

Признание гения Абеля произшло лишь после его смерти. 11 июня 1829 года на засеединении французской Академии наук Лежандр объявил о смерти Абеля. Теперь Коши потребовалсь всего неделя, чтобы подготовить свое заключение. На очередном засеединении Академия заслушала сообщение Коши и приняла решение опубlikовать «Мемуар» Абеля в серии работ иностранных ученых и нагрить Абеля вместе с Якоби Большой премией за выдающиеся математические открытия.

В заключение приведем несколько высказываний выданной математикой об Абеле.

Из письма Гаусса к Шумахеру: «…Я не видел в газетах ни одного сообщения о смерти Абеля. Это большая потеря для науки. Если где-нибудь будет опубlikована биография этого в высшей степени замещательного человека и Вам попадется в руки экземпляр, дайте мне знать.»

Из письма Лежандра к Якоби: «…К своему величайшему огорченю, получил известие, что Ваш достойный соперник, господин Абель, умер в Осло от более лигких, который он страдал уже неокоторое время и которая обстрилась из-за суровой зимы. Это тяжелая потеря для всех, кому дорого развить высших разделов математического анализа. Прохив совсем короткую жизни, он успел сделать так много, что этого вплоне достанет на то, чтобы оставить о нем долгую памяти; легко представить себе, чего бы он достиг, если бы судьба решила иначе.»

Из письма Якоби к Лежандру: «…Пришла печальная весть о смерти Абеля… Как妒азительно широк круг вопросов, которые он занимался! Находение необходимого и достаочного условия, позволяющего предложить, может ли данное алгебраической уравнение быть разрешено в радиках, подобное же условия для определения возможностей выражения произвольного интервала в замкнутом виде, заменаеловое открытие общего свойства всех функций, являющихся интерраlamми алгебраических функций и т. д. и т. п. Все эти проблемы краянехаактерны для Абеля, до него ихникто не осмеливался даже ставить. Он ушел от нас, но след, который он оставил, неизгладим.»

Об Абеле можно прочитать в книге О. Оре «Замечательный математик Нильс Хенрик Абель» (М., Физматиз, 1961).

11

Можно ли разобраться, как движутся тела, взаимодействующие по закону всемирного тяготения? Например, как движутся планеты? Пусть в некоторых начальных моментах времени нам известны точные координаты $n$ планет, их скорости и известно, что на каждую из планет действуют только силы притяжения со стороны остальных ($n-1$) планет. Исходя из данных начальных условий надо определить движение планет в дальнейшем.

Законы, управляющие этим движением, это знакомые нам второй закон Ньютона и закон всемирного тяготения. Пользовясь имми, можно представать движение планет. Для системы, состоящей из двух тел ($n=2$), эта задача впервые была решена Ньютоном. В этом случае можно, исходя из начальных условий, определить состояние системы (координаты тел, их скорости и т.п.) в любой момент времени с любой точностью.

Но когда ученые занялись системой, состоящей из нескольких тел, они натолкнулись на колосальные трудности чисто математической характеристике. Уже для случая $n=3$ получить точное решение задачи в общем случае не удалось. И до середины него дня, несмотря на двухсотпятидесятлетние усилия математиков всего мира, точно решить эту задачу с помощью известных математических средств не удалось. Именно поэтому «задача $n$ тел» — так называют эту проблему механики — привлекке внимание математиков.

Другим стимулиром служит огромная важность задачи $n$ тел для небесной механики и космонавтики. Неудивительно поэтому, что общее число работ, посвязываемых ей, доходит до двух тысяч, и ежегодно появляется 15—20 новых исследований.

12

Сейчас существует целый ряд методов для приближенного решения задачи $n$ тел, позволяющих для каждой конкретной системы тел с заданным конкретным начальным условиями построить траектории движения с любой нужной для практики точностью для любого ограниченного отрезка времени.

Эффективность и надежность этих методов были недократно проверены, в частности, при расчетах траекторий космических кораблей и межпланетных станций.

Ползуясь именно таким методами, Адамс и Леверье сумели открытый планету Нептун «на кончке пера».
— Позвольте, но причем здесь трудны? — удивится читатель. Да просто астрономы — большие любители мифологии, а группа астроидов с таким общим названием связана с темой статей тестияшим образом. Но о троянцах — несколько позже, а пока продолжим разговор о задаче $n$ тел.

Задча Лагранжа

Итак, точно решение задачи $n$ тел нет. Но для частиного случая $n = 3$ при некоторых «специальных» начальных условиях точные решения были найдены 200 лет назад замечательным французским математиком Лагранжем.

Его решения — их называют лагранжевыми решениями задачи $n$ тел — единственные точные решения этой задачи, известные в настоящие время.

Мы в этой статье рассмотрим наиболее простой частий задачи Лагранжа.

Пусть три тела, не лежащие на одной прямой, врашают по концентрическим окружностям, лежащим в одной плоскости, с одинаковыми угловыми скоростями. То есть эти тела можно рассматривать как точки вообразаемого треугольного тела, врашующие вокруг него подвижной оси (оче

Рис.1.
видно, что эта ось проходит через центр концентрических окружностей — «орбит» тел).

При каком расположении масс это возможно? С какой скоростью должны врашаться это вообразаемое треугольное тело, чтобы не «разлетаться» по частям? Так поставил свою задачу Лагранж.

Итак, попытаемся след за Лагранжем решить эту задачу.

Треугольник масс

Пусть три тела с массами $m_1, m_2, m_3$ врашают по концентрическим окружностям, центр которых находится в точке $O$ (см. рис. 1). Радиусы орбит тел $r_1, r_2$ и $r_3$ соответственно, расстояния $R_1, R_2, R_3$ между телами много большие размеров смихов тел. Центрстремтельное ускорение каждой точки сообщают силы прятяжения, действующие на него со стороны соседей, т. е. сила, равная сумме (векторной!) этих сил. Запишем уравнение движения тела:

$$\begin{align*} F_{12} + F_{13} &= m_1 a_1, \\ F_{21} + F_{23} &= m_2 a_2, \\ F_{31} + F_{32} &= m_3 a_3. \end{align*}$$

Здесь $|F_{ij}| = \gamma \frac{m_i m_j}{r_{ij}^2}$ — значение силы nbютоновского прятяжения, с которой тел $m_j$ действует на тело $m_i$. Поскольку все тела врашают с одной и той же угловой скоростью $\omega$ (по условиям задачи), то

$$a_1 = -\omega^2 r_1, \quad a_2 = -\omega^2 r_2, \quad a_3 = -\omega^2 r_3,$$

13

Рис. 2.
где $r_i$ — радиус-вектор точки $m_i$ относительно центра врашения $O$. (Расстояния между телами много большие размеров тел, поэтому можно считать тела точками).

Все дальнейшие наши рассуждания будут чисто «аррифметическими», и может показаться сначала, что они не имеют отношения к задаче. Но именно они и приведут нас к решению задачи (вернее, первой ее части) — позволят определить конфигурацию тел.

Сложим почленно равенства из системы (1):

$$F_{12} + F_{13} + F_{21} + F_{23} + F_{31} + F_{32} = m_1 a_1 + m_2 a_2 + m_3 a_3 = -\omega^2 (m_1 r_1 + m_2 r_2 + m_3 r_3).$$

Левая часть этого равенства равна нулю — ведь согласно III закону Ньютона сумма всех внутренних сил в замкнутой системе равна нулю. (Левую часть можно записать так:

$$\sum_{i,j=1}^{3} F_{ij} + \sum_{i,j=1}^{3} F_{ji} = 0, \text{ так как } F_{ij} = -F_{ji}.$$

Итак, имеем

$$m_1 r_1 + m_2 r_2 + m_3 r_3 = 0$$

(поскольку $\omega \neq 0$). Равенство (2) по существу задает положение центра врашения: он находится в такой точке $O$, что радиус-векторы тел $m_1, m_2, m_3$ относительно этой точки должны удовлетворять условия (2).

Введем векторы $R_2$ и $R_3$ так, как показано на рисунке 2. Тогда

$$r_1 = r_2 + R_3,$$

$$r_1 = r_3 + R_2.$$

Рис. 3.
Выразим вектор $r_1$ через векторы $R_2$ и $R_3$. Для этого умножим первое равенство из (3) на $m_2$, а второе — на $m_3$ и сложим получившееся равенства почленно:

$$m_2 r_1 + m_3 r_1 = m_2 r_2 + m_3 r_3 = -m_1 r_1$$

(это следует из (2)), имеем:

$$(m_1 + m_2 + m_3) r_1 = m_2 R_3 + m_3 R_2.$$

Отсюда

$$r_1 = \frac{m_2}{m_1 + m_2 + m_3} R_3 + \frac{m_3}{m_1 + m_2 + m_3} R_2$$

Таким образом, вектор $r_1$ является суммой векторов $\rho_2 = \frac{m_3}{m_1 + m_2 + m_3} R_2$ и $\rho_3 = \frac{m_2}{m_1 + m_2 + m_3} R_3$, параллельных сторонам $R_2$ и $R_3$ треугольника масс.

А теперь изобразим на схеме треугольника масс векторы сил, действующих на тело $m_1$ (см. рис. 3). $F_{12}$ — сила, действующая со стороны тела $m_2$, $F_{13}$ — сила, действующая со стороны тела $m_3$. Эти силы направлены по сторонам $R_3$ и $R_2$ треугольника масс. Их результатируются направлена по вектору $r_1$ к точке $O$ (векторускорения тела $m_1$ направлен к центру врашения). Но это означает, что параллелограмм силы и параллелограмм, построенный на векторах $\rho_2$ и $\rho_3$, подобны! Тогда

$$|F_{12}|:|\rho_3| = |F_{13}|:|\rho_2|,$$

16

равносторонних треугольников с основанием Земля — Луна обширные облака космической пыли. Здесь в роли троянцев выступают мириды пылинок, захваченных совместимыми прияжением Земли и Луны.

Так решения, опубликованные Лагранжем в 1772 году и самому автору представляющейся лишь любопытной теоретической задачей, оказались связаны с позднейшим астрономическими открытиями.

Устойчивость движения

Но все ли конфигурации трех тел мы нашли? Нет, мы не разобрали случай прямолинного расположения тел; существует и подобная конфигурация трех тел, которая может врашаться как одно целое. Оказывается, такая конфигурация неустойчива. Стоит тем немного «сдвинутся» от прямой, как сразу согласование сил нарушится, и отклонение начнет возрастать.

Устойчива ли треугольная конфигурация? Не всегда. В 1843 году Гашо впервые определил условия устойчивости лагранжа треугольника. Он показал, что конфигурация будет устойчивой, если массы больших тел (лежащих в основании треугольника) таковы, что их отношение (отношение меньше массы к большей) достаточно мало и выполняется условия

$$\frac{(m_1 + m_2)^2}{m_1 m_2} > 27.$$

Если космическая частьца, масса которой много меньше $m_1$ и $m_2$, движущаяся с относительной небольшой скоростью, случайно попадет в вершину равностороннего треугольника, в основании которого лежат массы $m_1$ и $m_2$, то она оказывается «в ловушке». При этом частица может описывать весма замысловатьую траекторию около вершины

лангранжева треугольника, но все конфигурация будет врашаться как одно целое.

Масса Юпитера в тысячу раз меньше массы Солнца. По сравнению с любым из них общая масса троянцев пренебрежимо мала. Условие устойчивости выполняется с большим запасом. Неравенство выполняется и для системы Земля — Луна: массы отличаются в 81 раз.

Как вывести это условие? Можно быть, простой вывод и есть, но проблема эта все же сложная и, во всяком случае, требует особого разговора.

Упражнения

1. В статье не вычислена угловая скорость вращения треугольника масс. Докажите, что $\omega^2 = \gamma \frac{m_1 + m_2 + m_3}{R^3}$, где $R$ — расстояние между массами.

2. Мы рассматривали треугольник масс «жестким». Но оказывается, если векторы скорости по величине пропорциональны расстояниям до центра вращения и все направлены под одним и тем же углом к отрезкам, соединяющим тела с центром, то конфигурация тела остается подобной начальной в любой момент времени. Равносторонний треугольник, врашаясь, будет растягивать или скжаться. Попробуйте это доказать.

От редакции

Приносим извивання нашим читателем за оплошность, допущенную в третьем номере журнала. На фоне на второй странице обложки за подпись Нильса Бора следует подпись не Феликса Клейна, а физика Огюста Клейна — большого друга Нильса Бора.

17

А. Земляков

МАТЕМАТИКА
БИЛЛИАРДА

Посвящаемся
светлой памятии
Александра Абрамовича
Шерцевского,
Учимеля математики.

Биллиарды, о которых рассказывает в этой статье, не очень похожи на обычные. Отличный много: Биллиардный стол не всегда прямогольный, шар только один и нет ни луз, ни кия. Но не расстраивает мы постараемся показать, что и один шарик на Биллиардном поле может задать немало головоломок любительям математики.

§ 1. Общая проблема Биллиарда
Согласно законм механики, при отражении абсолотно упругого Биллиардного шара от прямолинейного борта MN «угол падения» шара равен «углу его отражения» — более точно, угол APM равен углу BPN.
Ниже мы будем ссылаться на этот факт как на закон упруgeo отражения.
Уже здесь мы предположили, что Биллиардный шарик мочечный, т. е., как говорят физики, «размерами шарака в данных расстояниях можно пренебречь». Таким образом, мы считаем, что Биллиардный шар — это движущаяся точка, и поэтому можно говорить о траектории Биллиардного шара — о ломаной линии, по которой движется шар в соответствии с законом упруго отражения (рис. 1). Точки излома этой ломаной лежат на «бортах Биллиардного столла». Мы будем рассматривать Биллиардные столы произвольной формы.
В принципие борты Биллиарда могут быть и кривolinейными — тогда закон упруго отражения формулируется, как и раньше, только под углами падения и отражения следует понимать углы между соответствующими («падающий» и «отраженным») звеньями траектории и касательной MN к кривolinейному борту в точке P соударения шара с бортом. Мы не даем обещало определения касательной к кривой — достаточно интуитивно

22

Рис. 9.

и его качеки тесно связаны с так называемыми собственными колебаниями упругой_memбраны, имеющей форму области Q. Грубо говоря, если сделать барабан в форме области Q (с каркасом в форме кривой Γ), то издаваемые этим барабаном музikalные звуки как раз и связаны с соответствующим билиардом! К сожалению, чтобы обьясить этот позазительный факт, нам пришлось бы углубиться в слишком сердезные для «Кванта» разделы математики. Занитересовавшемся читателю можно только посоветовать изучить математку в таком объеме, чтобы самому обьясить связь между билиардом и барабаном.

§ 3. Экстремальные свойства траекторий билиарда

Способ построения билиардной траектории, ведущей из одной данной точки A в другую данную точку B после одного отражения от прямолинейного борта MN, вытекает из закона упругого отражения: стронм точку B′, симметрично точке B относительно прямой MN, и соединяем A с B′ (рис. 9); точка P пересечения прямых AB′ и MN и будет точкой соударения шара с бортом MN, а ломана APB — это искомая траектория (поясните). Из построения оченьindo, что билиардная траектория APB — кратчайшая из всех ломанных вида AP′B с точкой P′ на прямой MN, ведущих из A в B! (Дайте подробное доказательство.) Это утверждение есть часть и простейший случай фундаментального принципа классического механики — принцип наименьшего действия (в оптике он называется принципом Ферма)*. В нашей ситуации этот принцип можно сформировать так: билиардный шарик «умный» и из всех возможных путей выбирает самый короткий. Пока «приицп наикратчайшего пути» установлен нами лишь в случае одного отражения от прямолинейного борта. В задачах 5—7 предлагается проверить его в тех случаях, когда шар отражается не один раз, а несколько, но от прямолинейных бортов.

Задача 5. Внутри острою угла MON даны точки A и B. Постройте кр ачайшую ломанную AP₁P₂B с вершинами P₁ на [OM) и P₂ на [ON). Докажите, что эта ломанная является траекторией билиарда внутри угла MON, ведущей из A в B.

Задача 6. (А). В данной острой угол МON впишите треугольник ABC наименьшего периметра, вершина A которого находится в данной внутрении угла точке, а две другие лежали на сторонах угла.

(Б). «Задача Фаньяно». В данной острой треугольник MLN впишите треугольник ABC наименьшего периметра. Докажите, что этот треугольник ABC дает периодическую траекторию билиарда внутри треугольника MLN.

Задача 7. На прямогольном билиардном столе KLMN лежат два шара A и B. В каком направлении нужно толкнуть шар A для того, чтобы после четырех последовательных отражений от бортов KL, LM, MN, NK он ударился бы о шар B? При любых ли положениях шаров A и B задача имеет решение? Будет ли эта траектория AP₁P₂P₃P₄B кратчайший из всех ломанных такого вида (начинаяшихся в точке A, заходящих на борты стола в указанной последовательности и кончшихся в точке B)?

Оказывается, что замена прямолинейного борта кривой нёмбраны настолько «сбивает с тольку» билиардный шарик, что он иногда движется не самым коротким, а, напротив, самым длиным путем! Рассмотрим эту ситуацию подробно.

Теорема 2. Если ломаная APB с кончами A и B и с точкой из

*) Подробно об этом см. в статье С. Г. Верова «Брахистохрона, или еще одна майна циклопы», «Квант», 1975, № 12.

23

Заметание. Далее для краткости слова «локальный» мы опускаем. При доказательстве формулированного «причина экстремального» (т. е. минимального или максимального) пути для билиардных траекторий мы воспользовемся распространенным примем исследования задач на максимум и минимум; его описание в общем случае можно найти в книжке Н. Б. Васильева и В. Л. Гутенмахера «Прямы и кривы», § 7, или в статье В. Г. Болтянского и И. М. Яглома «Геометрические задачи на максимум и минимум» в V томе «Энциклопедии элементарной математики».

Доказательство теоремы 2. Для каждой числа $c > |AB|$ рассмотрим множество $\Gamma_c$, состоящее из тех точек $M$, для которых $|AM| + |MB| = c$. Как известно (см., например, упомянутую выше книгу «Прямы и кривы», § 5, или статью И. Н. Бронштейна «Эллипс», «Квант» № 1 за 1975 год), множество $\Gamma_c$ — это эллипс с формумированием точках $A$ и $B$; они образуют семейство софокусных эллипсов $\{\Gamma_c\}$. Нетрудно видеть, что если ломанная $APB$ минимальная или максимальная, то точка $P$ является точкой касания кривой $\Gamma$ с одним из эллипсов семейства $\{\Gamma_c\}$ — докажите это с помощью рисунков 10, а и б. (Отметим, что не все точки касания дают максимум или минимум — см. рис. 10, в.) В такой точке $P$ кривая $\Gamma$ и касающейся ее эллипс $\Gamma_c$ имеют общую касательную $MN$. Согласно оптическому свойству эллипса *), отрезки $PA$ и $PB$, соединяющие точку $P$ с формуми эллипса $\Gamma_c$, образуют равные углы с касательной $MN$ к $\Gamma_c$ в точке $P$ (рис. 11). Поскольку прямая $MN$ одновременно является и касательной к кривой $\Gamma$ в точке $P$, ломанная $APB$ — билиардная траектория, идущая из $A$ в $B$ после отражения от $\Gamma$ в точке $P!$ Теорема 2 доказана.

Обращение к приоритетным читателям. Если наша рассуждение показались вам сликом нестрогими — например, из-за отсутствия точных определений $P$.

*) См., например, статью В. Г. Болтянского в «Кванте» № 12 за 1975 год.

24

Рис. 11.

лейный касания кривых, локальные экстремумов и т. д., — то мы советем обратиться к упоминавшейся выше статьи В. Г. Болтянского и И. М. Яглома в том том «Энциклопедии элементарной математики» (с. 270—346).
В свое оправдание заметим, что строое обсуждение всех этих понятный увело бы нас слишком далеко от билиардов.

Пример. Пусть Г — окружность, А и В — точки внутри Г. Рассматривая семейство {Γ_c} софокусных эллипсов с фокусами А и В, можно показать, что существуетровно четыре траектории, ведущих из А в В после одного отражения от Г, причем две из них отвецют минимум, а две другие — максимум суммы |AP| + |PB| (см. рис. 12).

Задча 8. Утверждение, обратное принципиу экстремального пути, гласит: билиардная траектория APB, удущая из точки А в точку В после отражения от кривой Г, является либо минимальной, либо максимальной. Приведите пример, показывающий, что для невеликих кривых Г это утверждение неверно. Будет ли оно верно для великих кривых Г (т. е. для кривых, лежащих целиком по одному сторону от любой своей касательной)? Докажите этот «обратный принципи» в том случае, когда кривая Г выпуклая и обращена свойей выпуклостью к точкам А и В (как на рисунке 10, а).

Приименим теперь принципи экстремального пути к упомянутой в §2 теореме Биркого:

если Q — выпуклая область, ограниченная кривой Γ без точки излома, то для произвольного n≥3 существуют хотя бы одна периодическая траектория билиарда в области Q, состоящаяровно из n звенев.

Рис. 12.

Доказательство. Рассмотрим всевозможные несамопересекающие замкнутые n-звенные ломаны P_1P_2…P_nP_1, вписанные в области Q (т. е. с вершинами P_i на кривой Γ). Выберем среди их ломаню наибольшей длины (подумайте, почему такая ломанная существует?).

Задча 9. Докажите с помощью принципиэ экстремального пути, что эта самая длинная ломанная является билиардной траекторией в области Q.

Из задачи 9 следует, что «наидлиннейшая» ломана P_1P_2…P_nP_1 и будет замкнутой перiodической траекторией, и теорема Биркофа доказана (мы не хотим лишать читателя удовлетворяния от самостояльного решения задачи 9).

Задача 10. (А) Проанализируйте утверждение теоремы Биркофа при n=2.

(B). Подумайте, будет ли настоящего n-звенной перiodической траекторией ломанная, «наидлиннейшая» среди всех (в том числе и самопересекающихся) n-звенных ломанных, вписанных в кривой Γ? (Рассмотрите случай n=4 и n=5.)

(B). Какие затруднения возникнут при доказательстве теоремы Биркофа, если вместо самой длиной ломанной P_1P_2…P_nP_1 взять самую коротку?

Задача 11. Какой из вписанных в окружность n-угольников имеет наиболее периметр?

Сформируем две задачи про билиард внутри эллипса Γ с фокусами А и В. Согласно оптическому свойству эллипса (см. выше), если выпустить билиардную траекторию из фокуса, то ее звенья будут поочередно проходит через фокусы А и В, причем эта траектория будет неограннично приближаться к большой

25

оси эллипса — к отрезку $A_1B_1$ (рис. 13, а).

Задача 12. Пусть начальное звено билиарной траектории в эллипсе $\Gamma$ не пересекаем отрезок $AB$ между фокусами. Докажите, что и все следующие звены этой траектории не будут пересекаать отрезок $AB$. Более того, если построить меньший эллипс $\Gamma_1$ с теми же фокусами, касающийся начального звена траектории, то $\Gamma_1$ будет касаться и всех остальных звенев $^*$ (см. рис. 13, б).

Задача 13. Докажите, что если начальное звено билиарной траектории в эллипсе $\Gamma$ пересекаем отрезок $AB$ между фокусами, то и все следующие ее звены пересекают отрезок $AB$. Более того, если построить гиперболу с теми же фокусами $A$ и $B$, касающийся начального звена $P_1P_2$ (или прямой $P_1P_2$), то ветви этой гиперболы будут касаться и всех остальных звенев $P_kP_{k+1}$ (или их продолжений — прямых $P_kP_{k+1}$)**.

Задачи 12 и 13 показывают, что для билиарда в эллипсе с фокусами $A$ и $B$ качественные задачи, относится к об-

*) Задача 12 уже была опубликована в «Кванте» — см. № 12 за 1975 год, в разделе «Задачник «Кванта». Ее решение, а также решения остальных задач мы приведем в следующем номере журнала.

**) Определение и нужные свойства гиперболы см. в статье И. Н. Бронштейна «Гипербола», «Квант», 1975, № 3, а также в вышепомняют статье В. Г. Болтянского.

шей проблеме билиардов в многоугольниках.

Задача 14. Докажите, что любая неперiodическая траектория билиарда в прямогольнике всюду плотно заполняет весь (!) прямогольник (сравните с задачей 2; отметим, что отпудь не всегда неперiodическая траектория всюду плотно заполняет неоторую область — например, траектория билиарда в эллипсе, проходящая через фокусы, этим свойством не обладает!).

Задача 15. Докажите то же самое для билиарда в равностороннем треугольнике.

Дополнитель к § 2

(A) Теорема Якоби.
Напомним, как она формулируется.

Пусть $\alpha$ — несоизмеримое с $\pi$ число, $\{P_0, P_1, P_2, \dots\} = \{P_k\}$ — последовательность мочек окружности $\Gamma$ макая, что каждая следующая мока последовательно $P_{k+1}$ получается из предыдущей моки $P_k$ повтором на угол $\alpha$ радиан. Тогда для любой дуги $\Delta$ окружности $\Gamma$ хотя бы одна мока последовательно $\{P_k\}$ лежит на этой дуги $\Delta$.

Доказательство. Пусть $\Delta$ — произвольная дуга, $\varepsilon$ — ее радианная мера. Выберем натуральное число $N$ такое, что $2\pi/N < \varepsilon$. Разобъем окружности $\Gamma$ на $N$ равных по длине дуги $\Delta_1, \Delta_2, \dots, \Delta_N$; радианная мера каждой из них равна $2\pi/N$ и меньше $\varepsilon$. Расмотрим первые $N+1$ точки последовательности $\{P_k\}$, т. е. точки $P_0, P_1, P_2, \dots, P_N$. Согласно принципу Дирихле, хотя бы на одной из $N$ дуг $\Delta_1, \dots, \Delta_N$ лежат по крашней мереве из этих точок. Пусть, например, точки $P_n$ и $P_m$, где $m=n+1>n$, лежат на дуге $\Delta_i$. Так как $\alpha$ несоизмеримо с $\pi$, то $P_m \neq P_n$ (поясните!). Пусть радианная мера дуги $P_nP_m$ равна $\delta$; тогда $\delta < 2\pi/N$ и тем более $\delta < \varepsilon$.

26

Рассмотрим теперь точки последовательности $P_n$ с номерами $n, n+l, n+2l, \dots$ (рис. 14). Они образуют подпоследовательность $\{P_n, P_{n+l}, P_{n+2l}, P_{n+3l}, \dots\}$, каждый следующий точка которого $P_{n+(r+1)l}$ получается из предыдущей точки $P_{n+rl}$ поворотом на угол $l\alpha$, т. е. точно так же, как точка $P_{n+l}=P_m$ получается из точки $P_n$. Таким образом, соседние точки выделенной подпоследовательности отстояют друг от друга на дугу радианной меры $\delta$. Так как $\delta < \varepsilon$, хотя бы одна из точек $P_n, P_{n+l}, P_{n+2l}, \dots$ обязана попасть на дугу $\Delta$. Тем самым теорема Якоби доказана.

(Б) ВЫВОД ТЕОРЕМЫ 1 ИЗ ТЕОРЕМЫ Якоби.

Пусть $\alpha$ — несоизмеримое с $\pi$ число, $\Gamma_1$ — окружность, который касаются звены каждой отвечающей углу $\alpha$ траектории билиарда внутри окружности $\Gamma$. Пусть $K$ — колюц между $\Gamma_1$ и $\Gamma$, а $D$ — произвольный кругок внутри колюца $K$. Проведем через его центр хорду $MN$ окружности $\Gamma$, касающийся окружности $\Gamma_1$ (рис. 15). Очевидно, что если взять достаточно малую дуг $\Delta$ окружности $\Gamma$ с серединой в точке $M$, то для любой другой точки $M'$ дуги $\Delta$ касательная к окружности $\Gamma_1$, проведенная из точки $M'$ по ту же сторону от $\Gamma_1$, что и $MN$, обязаательно пересекает кругок $D$ (поясните!).

Рассмотрим теперь любую траекторию $P_0 P_1 P_2 \dots$ билиарда внутри окружности $\Gamma$, отвечашую углу $\alpha$. Требуется доказать, что хотя бы одно из ее звенев пересекает кругок $D$. Согласно теореме Якоби, точки $P_0, P_1, P_2, \dots$ вседу плотно заполняют окружность $\Gamma$, и поэтому хотя бы одна из них, скажем, $P_n$, лежит на выбранной выше дуге $\Delta$. В силу выбора этой дуги $\Delta$ одно из двух звенев траектории, выходящих из точки $P_n$, обязаательно пересекает кругок $D$. Тем самым теорема 1 доказана.

Кроме теоремы 1 теорема Якоби имеет и много других интересных следствий*). Мы сформулируем два из них как задачи.

Задание 16. Докажите, что если число $d$ играющего, то для любого числа $a$ последовательность дробных частей членов арифметической прогрессии $a, a+d, a+2d, \dots$, т. е. последовательность чисел $a_n={a+nd}$, всюду плотно заполняет отрезок $0 \leq x \leq 1$ на числовой оси. ($\{x\} = x-[x]$).

Задание 17. Докажите, что если десятичный логарифм числа $c$ играющий, то десятичная запись натуральных степеней $c$, т. е. чисел $c, c^2, c^3, \dots, c^n, \dots$, может начинаться с любого наперед заданного набора цифр. (Например, найдется такая натуральная степень числа 17, которая начинается с семнадцати идущих подряд наборов цифр 1976!)

*) Некоторые приложения теоремы Якоби можно найти в статье А. А. Егорова «Решетки и правильные многоугольники». «Квант», 1974, № 12.

27

К пониманию того, что магнитное поле электрического тока обладает энергнейшей, легко прийти, анализируя является электромагнитной индукции. Будем мысленно проводить опыт со схемой, изображенной на рисунке. Если перемешать движок резистата так, чтобы сопротивление резистата уменьшалось, то должен возрасть электрический ток в цепи. Чем больше значение тока, тем больше значение индукции магнитного поля, создаемого этим током. С увеличением магнитного поля растет поток вектора магнитной индукции через плоскку, ограниченную контуром с током. Но согласно закону Фарадея при изменении потока магнитной индукции в контуре возникает электродвижущая сила самонидуции, равная

$$E_{is} = -\frac{\Delta \Phi}{\Delta t},$$

где $\Delta \Phi$ — изменение потока магнитной индукции за время $\Delta t$. Вызываемыйемый этой этоя $3. d. c.$ индукционный ток создает магнитное поле, направление индукции которого противоложно направлено индукции магнитного поля основного тока. Таким образом, магнитный поток создаемого поля стремится компенсировать изменение магнитного потока основного поля, т. е. фактически стремится удержать постоянной величины основного тока. Чтобы противодействовать этому эффекту, необходимо совершать некоторую работу против электродвижущей силы самонидуции. Подсчитаем эту работу.

Если ток за время $\Delta t$ увеличился от значения $I$ до значения $I + \Delta I$ и при этом возникла $\mathcal{E}_{is}$, то работа источника тока против этой этоя $3. d. c.$ равна

$$\Delta A = -\mathcal{E}_{is}I\Delta t.$$

Подставив сюда выражение (1) для этоя $3. d. c.$ самонидуции, получим

$$\Delta A = \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}I\Delta t = I\Delta \Phi.$$

28

Теперь вспомним, что каждый контур может быть охарактеризован некоторой величины $L$, называемой коэффициентом саминдукции или индуктивностью. Значение $L$ обычно определяют как коэффициент пропорциональности в формуле, связывающей магнитный поток $\Phi$ с величиной силы того token $I$, который вызывает этот token, т. е.

$$\Phi = LI.$$

Позтому, если ток изменяется на величины $\Delta I$, то поток магнитной индуктивности изменяется на величины

$$\Delta \Phi = L \Delta I.$$

Таким образом, выражение (2) для работы мы можем записать так:

$$\Delta A = LI \Delta I = \Phi \Delta I.$$

На рисунке 1 изображена зависимость магнитного потока $\Phi$ от силы token $I$. Работа $\Delta A$ численно равна площади трапеции $ABCD$.

Если ток в цепи изменяется от значения $I = 0$ до некоторого значения $I_0$, то работу источника token против э. д. с. саминдукции можно получить, суммируя все элементарные работы $\Delta A$. Эта полная работа численного равна площади прямоугольного треугольника $OEF$ на рисунке 1:

$$A = \frac{LI_0^2}{2}.$$

Убедимся теперь в том, что в контуре не проискдало дополнительного выделения тепла, связанного с возникновением э. д. с. саминдукции.

Представим себе, что перед началом опыта мы деформировали контур так, что ограниченная им площадь стала равной нулю (рис. 2). В этом случае при увеличении token в цепи от нуля до $I_0$ э. д. с. саминдукции не возвращает. Сопротивление проводки, из которой изготовлен контур, не изменилось. Поэтому в деформированном контуре при увеличении token от нуля до $I_0$ выделяется такое же количество тепла, как и в недеформированном. (Конечно, при условии, что в обонх случаях скорости увеличения token до значения $I_0$ одинаковы. Напомним, что в первом эксперименте мы должны увеличивать token, т. е. уменьшать сопротивление, доставочно медленно, для того чтобы при каждом значении $R_t$ в цепи установилась ток $I_t = \frac{E}{R_t}$ (если внутреннее сопротивление источника претензioso мало).)

Итак, выделение тепла в контуре не зависит от того, совершает источник дополнительную работу (6) или нет.

Поскольку мы знаем, что энергия не исчезает и не возникает вновь, а лишь переходит из одного вида в другой, а совершаемая работа численного равна изменению энергии системы, мы впраve поставить вопрос: во что перешла совершенная источник дополнительная работа (6)? Причиной того, что необходимо было совершить эту работу, является способность контура «сопротивляться» попыткам увеличить магнитный поток через площадь, ограниченной контуром. Поэтому естественно назвать энергию, в которой перешла совершенная работа, энергий магнитного поля контура с током. В том, что именно магнитное поле контура с током обладает указанной энергией, можно убедиться, если проведены опыт, который показал бы, что эта энергия может быть переведена в какие-либо другие виды энергии (например, в тепловую). Такой опит мог бы состоять в следующем. Пред-

29

иставим себе, что между точками $A$ и $B$ наших контуров мгновенно произшло короткое замыкание. Разность потенциаль между точками $A$ и $B$, создаваемая внешним источником тока, стала равной нулю. В деформационном контуре ток немедленно прекратиется. В случае недеформационного контура уменьшение тока до нуля не может произойти мгновенно, так как согласно закону электромагнитной индукции при уменьшении тока возникнет э. д. с. самонидукции, которая стремиется подержать ток на прежнем уровне. В результате уменьшение тока от значения $I_0$ до нуля будет происходить в течение некоторого времени. За это время в контуре выделится неокторое количество теплла. Энергия, за счет которой будет происходить выделение теплла, черпается из энергии магнитного поля, «запасенной» контуром. Попробуйте самостоятельно показать, что при коротком замыкании между точками $A$ и $B$ в цепи выделяется количество теплла, равное найdenной выше энергии магнитного поля контура с током, т. е. $L I_0^2/2$.

Итак, мы приходим к выводу, что контур, характеризующий индуктивность $L$, при протекании по нему тока $I$ создает вокруг себя магнитное поле, энергия которого равна

$$W_M = \frac{L I^2}{2}.$$

Рассмотренный пример инлострирования случай, когда энергия магнитного поля тока создается внешним источником тока. Очевидно, что энергия магнитного поля тока не должна зависеть от способа получения тока, подобно тому как $\frac{mv^2}{2}$ — книетическая энергия движения тела — не зависит от того, каким путем тела была сообщена скорость. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим еще один пример, который будет использовать возможность непосредственного перехода кинетической энергии движения тела в энергию магнитного поля. Этот пример поможет нам также понять механизм возникновения магнитного поля тока на так скаазать, «микросопперсом» уровне. Под словами на «микросопперсом» уровне мы понимаем то, что возникновение электрического тока будет прослежено путем анализа уравнения движения электронов ионов.

Рассмотрим металлическое колюдо длинны $l$, равномерно врашающей вокруг оси, проходящей через центр колюца перепendlukулярно его плоскости (рис. 3). Будем считать, что колюдо достаточно тонкое, так что линейная скорость всех его участков постоянна и равна $v_0$. Предположим, что в момент времени $t = 0$ на колюдо начинает действовать постоянная тормозящая сила $F$, направленная по касательной к окружности. В результате процесса торможения колюто останавливается. Однако этим не исчерпывается роль силы $F$.

30

Нетрудно видеть, что в коллеце должны возникнуть электрический ток. Чтобы убедиться в этом, вспомним в общих чертах, как устройы твердые металлы. Атомы вещества металла находятся в низах кристаллической решетки, совершают лишь небольшие колебания около положенной равновесия. Можно считать, что кристаллическая решетка образует как тывердый каркас металлического тела. В противоположность онам электрины проводимости в металле могут довольно свободно перемешаться в промежутках между узлами решетки, образуя своего рода электриный газ.

Обратимся теперь вновь к нашему металлическому колцу. Мы можем его представить как совокупность двух вдетых одного в другое колец, подобно тому, как это изобразено на рисунке 4. Синний цвет здесь относится к кристаллической решетке, красный — к электронному газу. Вначале, когда колцо вращалось с постоянной скоростью, в этом движении принимали одинаковое участие как кристаллическая решетка, так и электриный газ. При торможении слая $F$ прикладывается, так сказать, к твердому каркасу колца, т. е. к кристаллической решетке. Электронный же газ должен был бы начать тормозиться лишь в результате непосредственного взаимодействия электронов с онами решетки. Это взаимодействие обусловливает электрическое сопротивление металла. Поэтому простоты ради мы можем им вовсе пребежать, считая, например, что нашей колцо охладили перед торможением до таких низких температуры, что металл перешел в сверхпроводящие состояние, т. е. его сопротивление стало равным нулю.

Таким образом, при торможении колца электрины проводимости в металле начинают в своей движении операять кристаллискую решетку. Это различие в скорости движения онов и электринов и приводит к появлению электрического тока. Подсчитаем величины тока.

Обозначим через $v_i$ скорость онов кристаллической решетки, а через $v_e$ — скорость направленного движения электрионов проводимости. Тогда полный заряд, протекающий через сечение $s$ колца за время $\Delta t$, складывает из заряда кристаллической решетки, заключенной в дуге длиной $v_i \Delta t$, и заряда электриного газа, заключенного в дуге длиной $v_e \Delta t$ (см. рис. 4). Если обозначить полный заряд всех онов в кристаллической решетке через $Q$, то полный заряд электрионов проводимости в колце будет равен — $Q$ (так как в целом металлическое колцо электриейрально). Поэтому заряды в соответствии with their directions, $Q \frac{v_i \Delta t}{l}$ и $-Q \frac{v_e \Delta t}{l}$, где $l$ — длина колца. Теперь мы можем найти полное количество энергии металлического колца за единицу времени, т. е. вычислить электрический ток в колце:

$$I = \frac{1}{\Delta t} \left[ Q \frac{v_i \Delta t}{l} - Q \frac{v_e \Delta t}{l} \right] = \frac{Q}{l} \left(v_i - v_e\right).$$

31

Мы договорились пренебрегать неосредственным взаимодействием электронов проводимости с юнами кристаллической решетки. Однако в процессе торможения в игру вступают силы, которые все-tаки будут тормозить и электроны. Это силы вихревого электрического поля.

При возникновении тока в колце индуцируется магнитное поле. Поскольку сила тока меняется, это поле не постоянно. Следовательно, оно порождает в металле колца вхревое электрическое поле. Силы, действующие на заряды со стороны вхревого поля, преятствуют изменению тока в колце, т. е. стремятся уменьшить относительной скорость электронов и ионов (см. (8)). Следовательно, эти силы тормозят электроны иускоряют ионы кристаллической решетки. Работа этих сил по перемещению единного положительного заряда вдоль колца и представляется собой э. д. с. индукции (напомним, что работа вхревого поля на замкнутом пути не равна нулю).

Чтобы более наглядно представить себе диамнику движения кристаллической решетки и электронов проводимости (электронного газа), удобно мысленно их разделить и рассматривать порознь. На рисунке 5, а изображено отдельно все относшее к диамнике движения кристаллической решетки (синее колцо), а на рисунке 5, б — все относшее к диамнике движения электронного газа (красное колцо). Теперь мы уже легко сможем записать П закон Ньютона в применении к кристаллической решетке и электронам. Пусть массы синнего и красного колцо равны соответствующим $M$ и $m$, аускорения их $a_i$ и $a_e$. Тогда

$$Ma_i = QE - F, \quad (9)$$

$$ma_e = -QE,$$

где $E$ — напряженное вихревого электрического поля. Вычислим значение этой напряженности.

Так как работа сил вхревого поля по перемещению единного заряда вдоль колца равна э. д. с. саминдукции, т. е. $El = \mathcal{E}_{is}$, то

$$E = \frac{\mathcal{E}_{is}}{l} = -\frac{1}{l} \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = -\frac{L}{l} \frac{\Delta I}{\Delta t} = -\frac{QL}{l^2} \left( \frac{\Delta v_i}{\Delta t} - \frac{\Delta v_e}{\Delta t} \right) = -\frac{QL}{l^2} \left( a_i - a_e \right).$$

Таким образом, уравнение (9) движения кристаллической решетки и электронного газа примут следующее:

$$Ma_i = -\mu \left( a_i - a_e \right) - F, \quad (10)$$

где для краткости мы введим обозначение $\mu = \frac{Q^2 L}{l^2}$. Решая систему (10) относительно $a_i$ и $a_e$, находимускорения торможения наших колц:

$$a_i = -\frac{F}{M + \frac{m\mu}{m + \mu}}; \quad a_e = \frac{\mu}{m + \mu} a_i. \quad (11)$$

32

Знак минус ознакомец, что в процессе торможения проискодит заменление как кристаллической решетки, так и электронного газа.

Зная ускорения, мы можем найти время, прошедшее от начала торможения до момента остановки кристаллической решетки колыза:

$$t = -\frac{v_0}{a_i} = \frac{v_0}{F} \left( M + \frac{m\mu}{m+\mu} \right).$$

Тепер легко найти скорость $v_e = v$, которую будут иметь электроны в конце торможения:

$$v = v_0 + a_e t = \frac{m}{m+\mu} v_0.$$

Следовательно, конечное значение силы тока в колысе (при $v_e = v$, $v_i = 0$) равно

$$I = -\frac{Q}{l} v = -\frac{Q}{l} \frac{m}{m+\mu} v_0.$$

Вот теперь мы можем перейти к решению поставленной в начале задачи: определить энергию магнитного поля тока, возникающего в колысе в результате его торможения. Для этого удобно воспользоваться законом сохранения энергии.

В начальной момент времени ($t = 0$) вся энергия колыса складывается из кинетической энергии электронов и кристаллической решетки, т. е.

$$E_0 = \frac{mv_0^2}{2} + \frac{Mv_0^2}{2}.$$

За время торможения часть энергии пошла на работу против силы $F$. Эта «потеря» энергии равна, очевидно, $\Delta E = A = FS$, где $S$ — путь, пройденный любой точкой колыца (кристаллической решетки) за время торможения:

$$S = v_0 t + \frac{a_i t^2}{2} = \frac{v_0^2}{2F} \left( M + \frac{m\mu}{m+\mu} \right).$$

Так что

$$A = \frac{v_0^2}{2} \left( M + \frac{m\mu}{m+\mu} \right).$$

Возникающий в процессе торможения электронный ток в колысе индушировал магнитное поле. Следовательно, к концу торможения, когда скорость кристаллической решетки равна нулю, энергия колыса складывается из кинетической энергии электронов

$$K_e = \frac{mv^2}{2} = \frac{mv_0^2}{2} \left( \frac{m}{m+\mu} \right)^2$$

и энергии магнитного поля $W_M$. Согласно закону сохранения энергии

$$E_0 = K_e + W_M + A,$$

откуда

$$W_M = E_0 - A - K_e = \frac{Mv_0^2}{2} + \frac{mv_0^2}{2} - \frac{v_0^2}{2} \left( M + \frac{m\mu}{m+\mu} \right) - \frac{mv_0^2}{2} \left( \frac{m}{m+\mu} \right)^2 = \frac{mv_0^2}{2} \frac{m\mu}{(m+\mu)^2}.$$

Подставив в это выражение значение $\mu$ и учтя, что $\frac{mv_0}{m+\mu} = -I \frac{l}{Q}$ (см. (14)), получим

$$W_M = I^2 \frac{l^2}{Q^2} \frac{Q^2 L}{2l^2} = \frac{LI^2}{2}.$$

Итак, мы вновь пришли к получению ранее выражению для магнитной энергии контура с током $I$.

Отметим в заключаении любопытное обстоятельство. Как известно, среднее арифметическое двух положительных чисел не может быть меньше среднего геометрического этих чисел, т. е. $m + \mu \geq 2\sqrt{m\mu}$, и следовательно, $\frac{m\mu}{(m+\mu)^2} \leq \frac{1}{4}$. Поэтому из выражения (15) можно заключить, что

$$W_M \leq \frac{1}{4} \frac{mv_0^2}{2}.$$

Таким образом, мы приходим к выводу: при торможении первого рановального раскрученного контура в энергии магнитного поля тока может перейти не более 25% исходной кинетической энергии направленного движения электронов проводимости. Это ограничение не зависит от величины индутивности контура.

33

В этой статье ветеран Великой Отечественной войны рассказывает о математических задачах, которые ему приходилось решать, командуя батарейой 120-мм минометов, стреллявших на дальность до 6 км. С той поры прошло уже более 30 лет. Многие задачи, связанные с управлением стрелбой, решают теперь вычислительные машины. Однако их математическая суспность осталась прежней.
Предполагается, что читатель известно, что такое географическая карта, географические координаты точки земной поверхности, географические и магнитные полюсы, экватор, меридианы, паралелии и азимуты.

Стрельбе артиллерийской батареи по объektам в лагере противника представляет подготовка данных — определение дальности и направления стреллы. Чтобы найти эти величины, нужно прежде всего «привязать» батарею и цель — а именно: определить их географические координаты.

Объясним, что это значит. Введем некоторые понятия, они понадобятся нам в дальнейшем.

Топографические карты

Топографический картой (топокартой) называется крупномасштабная географическая карта. На листах топокарта изображаются относительно небольшие участки земной поверхности, поэтому кривизна Земли неучиться (ниже мы всюду считаем Землю шаром).

Основной топокартой является карта масштаба 1:1000000; ее именуют международной миллионной топокартою. Листы миллионной топокарты представляют собой равновобочные трапеции, которые получают так. Сначала земную поверхность покрывают паралелями через каждые 4° от экватора к полюсом — получают ряды. Затем поверхность Земли покрывают меридианами через каждые 6° от меридиана, противоположного гривизскому, в восточном направлении — получают колонки. Пересекаясь, ряды и колонки образуют тра-

34

пеции, которые и изображаются на листах миллионной топокарты.

Каждай лист миллионной топокарты имеет «географический адрес», состоящий из двух символов — номенклатуру. Первый символ указывает на принадлежность листа к определенному ряду, второй — к определенной колонке. При этом ряды номеруются буквами латинского алфавита (A, B, C, D,…) от эkvatorа к полюсам, а колонки — числа (1, 2, 3, 4, …) от меридиана, противоположного гривичскому, в направлении на восток. Таким образом, точка $M$ земной поверхности с географическим координатами $75^\circ 54'$ восточной долготы и $13^\circ 12'$ северной широты принадлежит листу миллионной топокарты с номенклатурой $D-43$ ([13°12’ :4°] + 1 = 4 — четвертый от эkvatorа ряду — буква $D$, и 43-я колонка от указанного меридиана:

$$\left[ \frac{180^\circ + 75^\circ 54'}{6^\circ} \right] + 1 = 43^*$$

Для дальнейших расчетов применяем длину дуги земного шара в $1^\circ$ по эkvatorу и по меридиану равной 111,0 км. тогда размеры участка земной поверхности, изображенного на листе $D-43$, будут такими: основания трапеции — 653,6 км и 640,2 км, высота трапеции — 444,0 км (первые две величины вычисляются как 6-градусные дуги $12^\circ$ и $16^\circ$ параллелей:

$$653,6 = 6 \cdot 111 \cdot \cos 12^\circ,$$
$$640,2 = 6 \cdot 111 \cdot \cos 16^\circ,$$

а третья величина — 4.111 — как 4-градусная дуга большого кругга земного шара).

Послеовательным делением листов миллионных топокарта на равные по долготе и по широте части получают топокарты более мелких масштабов: 1:100000, 1:50000, 1:25000 и 1:10000. Чтобы получить топокарту 1:100000, лист миллионной топокарты

*) Здесь $[x]$ — это целая часть $x$ — ближайшее к $x$ целое число, не превысая $x$ (см. статью «Антье», с. 43).

35

делят на 12 части по долготе и 12 части по широте: получают 144 «кусочка». Чтобы получить топокарту 1:50000, нужно один из получившихся 144 кусочков разделить еще на 2 равные по долготе и на 2 равные по широте части (см. рис. 1). Если один из получившихся кусочков снова разделить на 2 равные по долготе и 2 равные по широте части, получим топокарту 1:25000. Повторить же самую операцию (деления на четые «кусочка») с этой топокарту, получим топокарту 1:10000.

Частки каждой листа топокарты при делении нумеруются: «слева — направо — вниз» (рис. 1). Для обозначения частей к номенклатуре исходной миллионной топокарты каждой раз добавляется новый индекс: один — если карта 1:100000: число от 1 до 144 (рис. 1, а); два — если карта 1:50000: индекс листа стотычной топокарты, из которого она получилась, плос одна из первых четырех заглавных букв русского алфавита A, B, B, Γ (рис. 1, б); три — если карта 1:25000: индекс соответствующей пятидесятысячной карты, плос одна из букв a, б, в, г (рис. 1, с), и наконец, четырех — если карта 1:10000: индекс соответствующей карты 1:25000 плос одна из цифр 1, 2, 3, 4 (рис. 1, е).

При подготовке исходных данных для стрелых обычно пользовются топокартими масштаба 1:10000. Лист карты такого масштаба, содержащий упомянутую выше точку M (заданную географическими координатами), имеет номенклатуру D-43-104-Б-г-3; проверьте это. Можно подсчитать, что этот лист изобрабатывает участок земной поверхности формы трапеции со средней линией 6,8 км и высотой 4,6 км.

Топографические координаты

Система координат, употребляемая в топографии, отлична от декартовой. В этой системе за ось X прият серединный географический мирдиан каждой колонки, параллельно сесенный на 500 км к западу, а за ось Y прият экватор. Найдем, к примеру, в этой системе отчета координаты нашей точки M — они называются monoэффективными координатами, и измеряются в метрах. Точка M находится на расстоянии 1465,2 км от экватора и на расстоянии 97,26 км вправо от серединного meridiana колонки с номером 43. Поэтому для нее

$$\begin{cases} X_M = 1465200, \\ Y_M = 597260. \end{cases}$$

На территории каждой страны установлены специальные, видимые изделяка пункты досударствейной треначуляции. Все они, как и другие высокие сооружения на земной поверхности, имеют точно определенные топографические координаты; эти координаты занимаются в особые каталоги, которые используются лишь в службных целях.

В учебных целях довольствующая условия координатами. координаты первого, отправного пункта местности заданного произвольно. К нему «привязываются» нужные пункты. Получается плоская система точки, определенных координатами, соответствующая действительной системе точки местности. Узнать в случае необходимости топографические координаты одной из точек этой системы, мы можем найти действительные координаты всей сети точек.

Встановить в какую-нибудь точку в сверверном полушарии с соответствующей топокартой и попробем сорентировать ее по странам света. Через каждую точку проходят три meridiana: магнитный, географический и топографический (параллельный серединному географическому meridанну для основного листа соответствующей топокарты). Упомянуть meridianны, вообше говоря, не совпадают. Они пересекаются под неокоторыми углами. Углы эти относительно малы, и мы импренеб

36

режем. Будем считать все меридианы в точке совпадающих с магнитным, то есть с направлением на север магнитной стрелки компаса.

Каждай имеет пользоваться компасом. Поэтому можно считать, что мы умеем сорентировать нужную топокарту по направлению на север.

В дальнейшем мы будем пользоваться следующими обозначениями:

$X_A$ и $Y_A$ — monографические координаты пункта $A$ на местности;

$|AB|$ — расстояние между пункта $A$ и $B$ (в метрах);

$[AB]$ — азимут направления из $A$ на $B$, то есть угол между $AB$ и направлением на север, отсчитываемый по часовой стрелке.

Задачи

Рассмотрим теперь основные задачи на координаты, которые прихоедят решать в процессе подготовки исходных данных для стрелки.

Задача 1. (Прямая задача на координаты.) Дано: $X_A$, $Y_A$, $|AB|$ и $[AB]$. Наимен: $X_B$, $Y_B$.

Имеется в виду, что расстояние $|AB|$ (в метрах) найдет при помощи мерной ленты, угол $[AB]$ — при помощи буссоли или теодолита (без учета поправок на углы между меридианами).

Из рисунка 2 находится

$$X_B = X_A + \Delta X$$

и

$$Y_B = Y_A + \Delta Y,$$

где $\Delta X = |AB| \cdot \cos [AB]$ и $\Delta Y = |AB| \cdot \sin [AB]$.

Задача 1 позволяет нам «привязать» пункт $B$ местности (определить топографические координаты точки $B$) по «привязанной» точке $A$.

При решении конкретных задач на координаты принято пользоваться 5 значными математическими таблицами *). Решите, например, такую задачу:

*) Вы можете воспользоваться таблицами Брадиса.

Рис. 2.

1. Найти $X_B$ и $Y_B$, если $X_A = 53\ 817$, $Y_A = 38\ 629$, $|AB| = 2182$ и $[AB] = 321^\circ 14'$.

Задача II. (Обратная задача на координаты.) Дано: $X_A$, $Y_A$, $X_B$, $Y_B$. Наимен: $[AB]$, $|AB|$.

Из того же рисунка 2 находится $\Delta X = X_B - X_A$ и $\Delta Y = Y_B - Y_A$. Далее имеем

$$tg[AB] = \frac{\Delta Y}{\Delta X}.$$

По вычисленной величины $tg[AB]$ с учетом знака нахождения угол $[AB]$.

Наконец, из $\Delta ABC$ имеем

$$|AB| = \frac{|\Delta Y|}{\sin [AB]} = \frac{|\Delta X|}{\cos [AB]}.$$

Вычисление $|AB|$ производится по обеим формулам. Совпадение результатов — неокторая гарантия безопасности производных подчетов.

Решите теперь конкретную задачу:

2. Найти $[AB]$ и $|AB|$, если $X_A = 12\ 850$, $Y_A = 98\ 713$, $X_B = 13\ 519$ и $Y_B = 97\ 314$.

Решив ее, вы сможете подать на батарею команду: «Батарея, к бою! Дальность …, азимут …!» Наводчик каждой орудия батареи, получив такую команду, при помощи приспособления нужным образом наведет свое орудие по вертикали (одно деление прицела составляет — 50 м) и по горизонтали (одно деление угломера составляет 3,6’).

Учитатель может возникнуть недоумение. В точке $A$ находится первоое орудие, другие — на неоктором расстоянии от него, левее. Значит

37

попадет в $B$ только первое ordine. На самом деле, если цел $B$ по площади значительна, то все будет в порядке (почему?). А как же быть, когда цел mala — сконцентрирован в точке $B$? В этом случае упомянутая команда дополнительная указанием: «вверхосредомочный» (если же цел $B$ по площади велика, то командается: «вверх паралельный»), и командиры ordий, в зависимости от их удаления от первого, вычисляют и вносят поправки в указанный батарее азимут.

Читатель может сам проделать соответствующее вычислительное работу за командира второго ordия, считая его удаление от первого, например, равным 50 м (в условиях той же конкретной задачи II). Можно допустить, что фронт батареи перендикулярен направлению стрелбы первого ordия.

Итак, мы уже поработали и за командира батареи, и за командира ordия. Однако мы пока не учили самого главного: ведь чтобы стрелять из $A$ в $B$, надо эти пункты предварительно «привязать». В условиях войны пункта $A$ находится на нашей территории, а пункта $B$ на территории противника: туда с мерной ленточной не проijdешь. Отсюда возникает новая задача — задача «привязки» недоступного пункта местности.

Задача III. (Прямая засечка с двух пунктов.) Дано: $X_A, Y_A, X_B, Y_B$, целы $\alpha$ и $\beta$ (см. рис. 3). Наимену: $X_C, Y_C$.

Имеется в виду, что пункты $A$ и $B$ местности уже «привязаны». Нало «привязать» пункта $C$ при условии, что величины $\alpha$ и $\beta$ могут быть найдены непредставенным изменением.

Если знать величины $[AC]$ и $|AC|$, или $[BC]$ и $|BC|$, то наша задача сведется к задаче I. Определим эти величины.

Для $\Delta ABC$ (см. рис. 3) по теореме синусов имеем

$$\frac{|AC|}{\sin \beta} = \frac{|BC|}{\sin \alpha} = \frac{|AB|}{\sin (\alpha + \beta)}$$

Отсюда

$$|AC| = \frac{|AB|}{\sin (\alpha + \beta)} \cdot \sin \beta$$

и $|BC| = \frac{|AB|}{\sin (\alpha + \beta)} \cdot \sin \alpha$.

Кроме того, $[AC] = [AB] - \alpha$ и $[BC] = [AB] + \beta$.

Величины $|AB|$ и $[AB]$ находится так же, как в задаче II.

Координаты для контроля вычислют двумя способами: и по точке $A$, и по точке $B$.

Решите теперь конкретную задачу:

3. Найти $X_C$ и $Y_C$, если $X_A = 12850, Y_A = 98713, X_B = 13519, Y_B = 97314, \alpha = 39^\circ43', \beta = 82^\circ25'$.

Задачу III приходит решать в следующей ситуации. Пусть $A$ и $B$ — пара наблюдаемых пунктов, расположенных на расстоянии 1,5—2,5 км друг от друга, недалеко от переднего края обороны. Эти пункты заранее «привязаны», с них ведется наблюдаение за противником. При появлении в лагере противника цел $C$ наблюдается ее «засекают», то есть любым способом замерют углы $\alpha$ и $\beta$. Остается только решить треугольник $ABC$ по стороне $AB$ и двум прилежащим к ней углам $\alpha$ и $\beta$: анализические, как было описано выше, или графические — на планшете.

Наконец, еще одна задача на координаты.

Задача IV. (Обратная засечка с трех пунктов.) Дано: $X_A, Y_A, X_B, Y_B, X_C, Y_C, ADC = \alpha, BDC = \beta$

38

(см. рис. 4). Найти: $X_D, Y_D$.*

Координаты точки $D$ могут быть вычислены через приращения координат любой из точек: $A, B$ или $C$. Во избежание ошибок их принято находить через приращения от двух точек, например, точек $A$ и $B$.

Мы уже знаем, как вычислить величины $[AC]$ и $|AC|$, $[BC]$ и $|BC|$. Сделав это, мы сможем найти угол $\widehat{ACB}$:

$$\widehat{ACB} = [AC] - [BC].$$

Положим $\widehat{CAD} = \gamma$ и $\widehat{CBD} = \delta$. Определим эти углы.

Из четырехугольника $ACBD$ имеем

$$\frac{\gamma + \delta}{2} = 180^\circ - \frac{\alpha + \beta + \widehat{ACB}}{2}.$$

Из треугольников $ACD$ и $BCD$ по теореме синусов находим

$$\frac{|CD|}{|AC|} = \frac{\sin \gamma}{\sin \alpha}$$

$$\frac{|CD|}{|BC|} = \frac{\sin \delta}{\sin \beta}.$$

Исключив из этих равенств величины $|CD|$, получим

$$\frac{\sin \delta}{\sin \gamma} = \frac{|AC| \sin \beta}{|BC| \sin \alpha}.$$

Положим здесь

$$\frac{|AC| \sin \beta}{|BC| \sin \alpha} = \text{tg} \lambda.$$

Вычислив по этой формуле $\text{tg} \lambda$, мы найдем вспомогательный угол $\lambda$.

*) Эта задача известна под названием задачи Поменона. Оней уже расссказывалось в «Кванте» — см, статью Л. С. Хренова, «Квант», 1973, № 4, с. 30.

Теперь

$$\frac{\sin \gamma}{\sin \delta} = \frac{1}{\text{tg} \lambda},$$

откуда

$$\frac{\sin \gamma + \sin \delta}{\sin \gamma - \sin \delta} = \frac{1 + \text{tg} \lambda}{1 - \text{tg} \lambda},$$

то есть

$$\text{tg} \frac{\gamma - \delta}{2} = \text{tg} \frac{\gamma + \delta}{2} \cdot \text{ctg} (45 + \lambda).$$

Все величины, стоящие в правой части, известны. Поэтому мы можем найти полуразность нужных углов $\gamma$ и $\delta$.

Зная же их получим и получаность, легко находим сами эти углы.

Затем из треугольников $ACD$ и $BCD$ по теореме синусов находим

$$|AD| = \frac{|AC| \sin (\alpha + \gamma)}{\sin \alpha}$$

$$|BD| = \frac{|BC| \sin (\beta + \delta)}{\sin \beta}.$$

Азимуты $[AD]$ и $[BD]$ находят по формулам

$$[AD] = [AC] + \gamma$$

$$[BD] = [BC] - \delta.$$

Далее, как и в задаче I, находят $X_D$ и $Y_D$.

Вот конкретная задача:

4. Найти $X_D$ и $Y_D$, если $X_A = 12850$, $Y_A = 98713$, $X_B = 13519$, $Y_B = 97314$, $X_C = 12406$, $Y_C = 96956$, $\alpha = 72^\circ 28'$, $\beta = 31^\circ 46'$.

Обратной засечкой с трех пунктов обычно «привязываются» наблюдаемые пункты и батареи. Можно таким способом «привязать» и цель. Но для этого надо иметь свое представителя на территории противника. Как и предыдущие, последнюю задачу можно решить графически: для этого нужно построить точку, из которой данные два отрезка видны под данными углами.

На этом мы кончаем наш рассказ о задачах, которые приходит решать артиллерии. Добавим только, что разобранными задачи далеко не исчерпывается «математика в артиллерии».

39

Возьмите стеклянную трубку длиной около полметра и диаметром 4—7 мм. Однако рукой держите ее за середину, а другой рукой плавно без особого нажима проведите от конца трубки к ее середине полотняной трипочкой, смоченной спиртом или одеколоном. При этом вы услушите довольно сільный чистый звук.

Этот опыт по своей идее очень прост, но чтобы он получился, следует немного стеклянной трубкой, полностью опеределяются тем, насколько удално вы сумете возбудить трипом колебания трубки, поскольку именно трипе является источником энергии колебаний трубки в данной случае *).

*) Более подробно о роли силы треня при возникновении колебаний можно прочитать, например, в статье Л. Аслама зовна «Почему звучит скрипка», «Квант», 1975, № 10.

Изучение таких колебаний начал еще в прошлом вке знаментий англійский физик Дж. Рэлей, второй (вслед за Дж. Максвеллом) директор не менее знаментий «веревоно-сургучной» Кавендиской лаборатории *).

Любопытно отметить также, что в 1903 году один из учеников П. Н. Лебедева — тогда еще студент — сконструировал звуковой генератор, построенный по описанному принципу. Этот источник звуковых колебаний использовал при исследовании звукового давления. В приборе неза-

*) В этом неофициальном названнии физический лаборатории при Кембриджском университете отражено восхшение целыми поколенями англійских физиков, которые, пользоватьсяprimитивнейшим средствами, вроде сургуча, картона, веревочек, умудрлясь получать важнейшие научные результаты. Правда, перечисляя оборудование лаборатории, мы забили упомянуть . . . интеплект исследователя.

40

тухающие колебания стеклянной трубки, вызывающие стол сільный звук, «что вынести его можно было не иначе, как затыкаяущий стеклянными шариками», возбудались специально устроенным врашающимся шкивом при его трении.

С помощью звучащей трубки можно поставить немало красивых и почительных опытов. Расмотрим один из них. Покройте стол слоем поролона толщиной не менее 1 см, а сверху положите лист плотной белой бумаги. В наших опытах мы использовали лист толщиной 0,3 мм и размерами 200×290 мм. Равномерно посыпьте лист мелкораздробленных кристаликами марганцовокислого калия. Взяв посередине стеклянную трубку длиной 30—40 см, расположите ее вертикально и слегка прикосновиться ее концом к листу бумаги на расстоянии несколько смитметров от его края. Тренем возбудите колебания трубки. При этом, как только вы услышите звук, кристаллики марганцовокислого калия придут в движение и соберуться вместе, образуя некие линии.

Опыт очень красив, и на всех, кто видит его первый раз, производит большее впечатление. Но нужно сказать, что успешая поставка опыта требует определенного экспериментального искусства. Трубку необходимо держать так, чтобы она только чуть-чуть касалась бумажного листа. Можно быть, лучше, обернуть трубку посередине несколькими слоями бумаги, закрепить ее в шатите.

При возбудении колебании не следует сильно давить на трубку, иначе между ее концом и листом получится сликом хороший «акустический контакт», и опыт не удался. Трубка и трипочка должны быть чистыми. Одиним словом, на первых порах от вас потребуется немало изобретательности и настоящности, чтобы получить нужный результат.

А результат этот достон изучения! В самом деле, разве не интересно, почему равномерно насыпанный на бумагу порошок закономерным образом собирается в определенных местах, лишь только трубка начинает звучать? Почему появляющийся на листе рисунок зависит от длины трубки? Отчего картина меняется в зависимости от расстояния между концом трубки и краем листа (рис. 1)?

Далее беглый взгляд на лист с перераспределенными кристаликами марганцовокислого калия позволяет высказать предположение, что линии, где собираются кристалки, представляют собой семейство гипербол. Проверьте, так ли это. Ostro отточенным карандашом обозначьте на листе исследуемые линии и положение конца трубки. Убрав марганцовокислый калий, наложите лист бумаги на другой, иглой «переколите» экспериментальные точки, а карандашом отметьте положение края листа. Соединив точки плавными линиими, вы получите чертеж, подобный тому, который изображен на рисунке 2. Постройте на этом чертеж точку $S'$, симметрично относительно края листа точке $S$ касания трубки.

По определению гипербола — это геометрическое место точек, разность расстояний которых до двух данных точки, называемых фокусами гиперболы, есть величины постоянная. Если предположение, что полученные в эксперименте линии есть гиперболы, верно, то очень, что точки $S$ и $S'$ — фокусы семейства гипербол. На любой из линей чертежей выберите произвольную точку. Измерьте расстояния от нее до точки $S$ и $S'$. Вычислите разность этих расстояний. Телерь на той же линей возьмите любую другую точку и для нее проделайте то же самое. Вы получите результат, в пределах ошибок опыта совпадающих с первым. Взвв еще несколько точки на выбранной линии, нетрудно убедиться, что эта линя действительно является гиперболой.

41

Теперь подсчитайте разности расстояний от фокусов до точек, принадлежих различным линям чертежа. Вы заметите, что при переходе от первой линии ко второй эта разность увеличивается в 3 раза, от первой к третьей — в 5 раз и т. д. Позному для разностей расстояний — обозначим ее через δ — можно записать экспериментально формулу

$$\delta = (2k + 1) a, \quad k = 0, 1, 2, \dots$$

Здесь $a$ — некоторая постоянная, имеющая размерность расстояния. Опытным путем нетрудно убедиться, что значение этой постоянной не зависит от положения точки касания трубкой листа бумаги, а определяется только длиной трубки: чем длиннее трубка, тем больше значение $a$. С другой стороны, длиной трубки задается частота ее собственных колебаний (аналогично свободным колебаниям шнура или струны; см. учебное пособие для 10 класса), а трубка возвращает колебания в бумажном листе. Что же это за величины, зависит от частоты колебаний и имеющая размерность расстояния? Очевидно, это ни что иное, как длина волны или, по крайней мере, величина, пропорциональная ей.

Таким образом, мы приходим к предположению, что в листе бумаги распространяется какая-то волна. Но какая? Бегущая волна не может дать неподвижного распределения порошка на листе, а в опыте оно получается. Следовательно, если здесь и есть волна, то она не бегущая, а стоячая, которая образуется в результате интерференции двух бегущих волн.

Источником одной волны является конец колеблюшей трубки. Откуда берется вторая волна, корерентная первой? Разумно предположить, что она появляется в результате отражения бегущей волны краем листа бумаги. Если это в самом деле так, то можно считать, что имеется как бы два источника волн: действительный источник, расположенный в точке $S$ (см. рис. 2), и