Квант 1976, №6 · Страницы

1976
6
Квашт
Научно-популярный
физико-математический
журнал

1

Главный редактор
академик И. К. Кикоин
Первый заместитель
главного редактора
академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:
М. И. Башмаков
С. Т. Беляев
В. Г. Болтянский
Н. Б. Васильев
Ю. Н. Ефремов
В. Г. Зубов
П. Л. Капица
В. А. Кириллин
А. И. Климанов
(главный художник)
С. М. Козел
В. А. Лешковцев
(зам. главного редактора)
Л. Г. Макар-Лиманов
А. И. Маркушевич
Н. А. Патрикева
И. С. Петраков
Н. Х. Розов
А. П. Савин
И. Ш. Слободецкий
М. Л. Смолянский
(зам. главного редактора)
Я. А. Смородинский
В. А. Фабрикант
А. Т. Цветков
М. П. Шаскольская
С. И. Шварцбург
А. И. Ширшов

Редакция:
В. Н. Березин
А. Н. Виленкин
И. Н. Клумова
Т. М. Макарова
(художественный редактор)
Т. С. Петрова
В. А. Тихомирова
Л. В. Чернова
(зав. редакцией)

В HOMEPE:
Леонард Беве. Мини-геометрия
А. Кикоин. Температура, теплота, термометр

Лаборатория «Кваита»
В. Майер. Беспокойная дуга

Математический кругок
А. Тоом. Решения задач ВЗМШ

Задачик «Кваита»
Задачи M386—M390; Ф398—Ф402
Решения задач M343—M350; Ф353—Ф357

Практикум абитуриента
А. Мыцикс, Л. Садовский. Прикладная математика
Г. Дорофеев, Н. Розов. Чертеж в геометрической задаче

Вариantsы вступительных экзаменов вузы
И. Горев. Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
А. Саржевский, С. Галко. Белорусский государственный университет им. В. И. Ленина
Е. Беговамов, Р. Галцуллин, В. Лаптев. Казанский государственный университет им. В. И. Ульянова (Ленина)
Э. Голубов, Р. Емлин. Уральский государственный университет им. А. М. Горького
А. Назаремов. Московский технический институт

Рецензии, библиография
В. Лешковцев. Над чем думают физики?

«Кваит» для младших школьников
Задачи
А. Бендукидзе. О двойной системе счисления

Ответы, указания, решения
Смесь (с. 12, 27, 40, 56)

Краисные стеклиные приборы, которые вы видите на второй странице обложки, это термометры, сделанные во флорентиско-академии оптов в середине XVII века. Об истории создания термометров расссказывается в статье А. Кикона (с. 13).

Главная редакция физico-mатематической литературы издательства «Нука», «Кваит», 1976 200

ЛЕОНАРД БЕВЕ
МИНИ-
ГЕО-
МЕТРИЯ

Леонард Беве
МИНИ-
ГЕО-
МЕТРИЯ

КОМБИНАТОРНО
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ
И ОТЧАСТИ
АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ
ТРАКТАТ

Известна прича об умной сороконожке, которая разучилась ходить, размышляя о том, в каком порядке ей следует переставлять свои многочисленные ножки. Восемьдесят-девяносто лет тому назад пожажняются произошла с математиками: они задумались над тем, насколько обоснованы их умозаключения при доказательстве теorem. После почти двадцати лет волнений и напряженных трудов были выработаны те нормы математической строости, по которым строится любая «уважающая себя» теория и в наши дни, и стало, наконец, ясно, что математика избежит учати несчастной сороконожки.

Тогда же было спасено от разрушения и реставрирования величественного и вместе с тем строойное зданиеевклидовой геометрии; с тех пор ее вечным фундаментом стали 20 аксиом, описанных Давидом Гильбертом в его «Основаниях геометрии»*). Евклидову геометрию можно сравнить со значенным Кельским собором (который строился, доставвался и перестраивался многоими поколениями строителей, насегда сельшихся рядом с соборной площадью и передавших детям свое ремонство и рабочое место).

Совсем иначе устроены конечные геометрии: минимум строительного материала — конечное число точек, прямых и плоскостей, минимум правил обращения с этим материалом — три-четыре аксиомы, регулярующие отношения между точками, прямыми и плоскостями.

Может показаться, что в этом царстве «стекла и алюминия» нет ни тайн, ни загадок. Это далеко не так, и вот пример: несмотря на усилия трех поколени математков, до сих пор неизвестно, существует ли аф-

*) Эта замечательная книга учит нас скромности и точности: даже просто полистав ее, нельзя не понять, что мы умем доказывать кое-какие теоремы планиметрии, не зная, однako, из чего мы при этом исходим.

финная конечная плоскость (см. § 1) из 100 точек.

§ 1. Мини-евклидова, а точнее — конечная аффинная плоскость

Элементы, из которых строится мини-плоскость — «точки» и «прямы». (Это всего лишь название, которые, как увидит читатель, далек от привьюного значения этих слов. Д. Гильберт говорил, что «точки», «прямы» и «плоскости» можно было бы с тем же успехом называть «стульями», «столами» и «кружками».) Точка A может лежать на прямой a; то же можно выразить иначе: точка A принадлежит прямой a, прямая a проходит через точку A, прямая a содержит точку A. О точках и прямых допустимы любые другие высказывания, которые можно выразить через это основное отношение: утверждение «прямы a и b пересекаются» означает, что существует единственная точка, которая лежит как на прямой a, так и на прямой b; «прямы a и b параллельны», если они не пересекаются, и т. д.

Конечную совокупность точек и прямых с отношением «лежать на» или «принадлежать» мы будем называть конечной аффинной плоскостью, если выполены следующие три аксимы:

Аксима A1. Через любые две точки плоскости проходим единственная прямая.

Рис. 1. a) «Вырожденная» геометрия (нарушена Аксима A3!).

Аксима A2. Через всякую точку, не лежащую на прямой, проходим единственная прямая, параллельная данной прямой.

Аксима A3. Существуют три точки, не лежащие на одной прямой.

Пояснения к аксиомам A1—A3

1. Первая аксиома пересекающая сюда изевклидовой геометрии без изменений, вторая соответствует аксиоме о параллельных вевклидовой геометрии (знаменитый Пятый Постулат), третья аксиома избавляет нас от выраженных геометрий, вроде той, которая изобрается на рис. 1, a).

2. В нашей мини-планimetринии лишены смыслы высказывания: «точка A принадлежит отрезку BC», отрезок AB конгрузен отрезку CD», «точка A лежит внутри угла BCD», «углы ABC и DEF конгрузены» и многое другое других привченных нам понятия и утверждения.

3. Вся информация о любой прямой содержится в перечне точек, которые лежат на этой прямой; поэтому волне допустим (хотя совсем и не обязательен) такой взгляд на вещи: плоскость — это конечное множество точек, прямые — разные наборы из этих точек.

Минимальная из мини-плоскостей, удовлетворяющих нашим трех аксимам, содержит четыре точки и шесть прямых; ее условное изображение приведено на рис. 1, б). Условность этого рисунка в нашем тракте в том, что на нем общные точки соответствуют точкам конечной плоскости, общчные прямые — прямым конечной плоскости, а общное отношение

5

существует возможность наложения одной прямой на другую. В конечной аффициной геометрии такой возможность у нас нет. Поэтому попытаться обойти тем, что имеет в нашей распоряжении: проводить прямые, искать точки пересечения прямых и т. п.

Теорема A9. Любые две прямые e и e’ конечной аффициной плоскости содержат одинаковое число точек.

□ Каждый из прямых e и e’ пересекается по крайней мере с двумя из прямых a, b и с Теоремы A5. Поэтому одна из этих прямых, скажем a, пересекается как с прямой e, так и с прямой e’. Установим теперь с помощью этой прямой a взаимно однозначное соответствие между точками прямых e и e'.

Для этого каждой точке A на e сопоставим ту точку A’ на e’, которая получается от пересечения e с прямой a’ (A2)*), проходящей через A и параллельной a. При этом разным точкам на e будет соответствовать разные точки на e’ (A2); очевидно, также, что любая точка B’ на e’ будет отвечать некоторой точке B на e (см. рис. 3a).

Определение. Порядком конечной аффициной плоскости называется число точек на любой прямой плоскости.

Порядок — самая важная числовая характеристика аффициной плоскости. Как мы увидим, нетрудно построить плоскость, порядок равен любому заранее указанно.

*) Мы и далее будем для краткости писать A2, A5 и т. д. вместе «Аксиома A2», «Теорема A5».

Рис. 36. Через точку A проходит столько прямых, сколько точек лежит на прямой a, плоскода.

ному простому числу; сложнее (и мы не сможем удалить этом месте в нашем трактate) построить плоскость, порядок которого равен степени простого числа. Известно, что не существует плоскости порядка 6, и неизвестно, существует ли плоскость порядка 10.

Теорема, к которой мы сейчас перейдем, является, в каком-то смысле, перевернутым изображением A9: в ней помещались местки точки и плоскости. Такие теоремы называют двойственными друг другу.

Теорема A10. Через любую точку плоскости проходит одинаковое число прямых: для плоскости порядка n это число равно n+1.

□ Пусть a — произвольная прямая; и пусть точка A не принадлежит прямой a (A3). Тогда существует единственная прямая, проходящая через точку A и параллельная прямой a (A2), а любая другая прямая, проходящая через точку A, пересекается с прямой a в единственной точке (A4), причем разные прямые пересекаются (см. рис. 36) в разных точках (A1). Отсюда следует, что число прямых, проходящих через точку A, равно числу точек на прямой a, т. е. порядку аффициной геометрии (см. A9), увеличенном на единицу.

Задание 2. Докажите, что условие задачи M364 («Квант», 1976, № 1, см. также эпиграф) эквивалентно утверждению: существует конечная аффициная плоскость порядка 4.

Теорема A11. Если порядок плоскости равен n, то любая прямая плоскости принадлежит семейству (пучку), состоящему из n разичных попарно паралельных прямых.

6

Рис. 4. Пучок прямых, паралельных $e$, строится по точкам прямой $a$.

Пусть $e$ — произвольная пряма, тогда одна из трех прямы, скажем $a$, теореми A5 пересекается с прямой $e$ в точке $E$. Очевидно, что через любую точку на прямой $a$, исключающая точку $E$, проходит единственная пряма, паралельная прямой $e$ (A2), и наборот (рис. 4), любая пряма, паралельная прямой $e$, пересекает прямую $a$ в некоторой точке (см. А6). Мы установили взаимно однозначное соответствие между прямим прямой $a$ и прямыми пучка паралельных прямы, которое принадлежит прямя $e$.

Теорема A12. Любая плоскость порядка $n$ содержит $n^2$ точек $n^2+n$ прямы.

Любой пучок прямы, паралельных данной прямой, будет содержать все точки конечной плоскости: в противном случае, по Аксиме A2 это семейство можно было бы дополнить еще одной прямой, паралельной данной прямой и проходящей через «не охваченную» пучком точку. Но в любом таком семействе $n$ прямы (A11), а на каждой прямой $n$ точек (A9), т. е. всего $n^2$ точек (рис. 5).

Рис. 5. Два пучка паралельных прямы, пересекаясь, дают все точки плоскости.

§ 3. О ползве военных парадов, когда их наблюдает великий математик

Свою знаменитуго головоломку о 36 офисах Леонард Эйлер придумал, по-видимому, скучая на одном из многочисленныхпетербургских дворцовх парадов. Вот ее формулировка: среди 36 офисов поровну уланов, драгунов, гусаров, кирасиров, кавалергардов и гренадеров, и, кроме того, поровну генералов, полковников, майоров, капитанов, поручков, и подпоручков, причем полк каждой из «родов войск» представлен офисерами всех шести рангов. Можно ли выступить этих офисов в каре $6 \times 6$ так, чтобы в любой колонне и любой шерегне встречались офисеры всех полков и всех рангов? (Решение этой задачи, когда требуется по тем же правилам построить каре из 25 офисов, изобравено на обложке журнала.)

Проницаательный читатель уже связал головоломку Эйлера с задачей построения конечной аффициной плоскости порядка 6. в котором точки будут офисами, а прямые объединяют офисов либо одного полка, либо одного ранга. Читатель, разумеется, прав, но с одной оговоркой: мы покажем, что если для некоторого $n$ ($n > 2$) существует конечная аффициная плоскость порядка $n$, то существует и требуемое расположение $n^2$ офисов в каре $n \times n$ (у Эйлера $n=6$); однако обратное, вообще говоря, неверно. Например, при $n=14$ плоскости порядка 14 не существует (см. ниже Теорему 2), а задача Эйлера имеет решение.

7

Рис. 6. Таблица «хороших», «плохих» и «еще не проявивших себя» чисел.

Задание 3. Построите 196 офисеров (по 14 офисеров всех 14 рангов из 14 полков) в каре Эйлера $14 \times 14$.

Согласно Теореме A12 плоскость порядка $n$ содержит $n^2$ точек — они-то и будут нашими офисерами. Из $n+1$ семейства параллельных прямых (см. А10 и А11) выберем четыре различных семейства (для этого должно выполняться неравенство $n+1 \geq 4$, т. е. $n > 2$). Чтобы различать эти семейства прямых, присвоим одному из них номер один, другому номер два и т. д. Так же в произвольном порядке занумерем прямые в каждой из этих четырех семейств. Все точки, принадлежшие первой прямой первого семейства, называемы, второй прямой этого семейства — уланами и т. д. — всего $n$ называний полков. Все точки из первой прямой второго семейства мы называем генераlami, второй прямой этого семейства — полковниками и т. д. — всего $n$ рангов.

Задание 4. Докажите, что среди гусов встречаются офисеры всех рангов; то же с уланами, драгунами и т. д.

Для построения каре мы рассмотрим третье семейство параллельных прямых и формируем первую колонну каре из «офисеров» первой прямой третьего семейства, вторую колонну — второй прямой и т. д., причем порядок офисеров в каждой колонне будет определяться прямыми четырьмя последнего семейства: в первой шеренге нашего каре размещается «участники» первой прямой четверого семейства, вторую

шеренгу составят офисеры из второй прямой и т. д.

Задание 5. Докажите, что описанный способ построения каре приводит к целю.

§ 4. Красное, черное и синее

Головоломка Эйлера привела нас к одному из самых интересных вопросов теории конечных геометрии: какие бывают конечные аффициные плоскости? Для нас, начинающих мин-геометров, было бы достаточно найти ответ на более узкий вопрос: для каких $n$ существует конечная аффициная плоскость порядка $n$?

Полного решения этой проблемы до сих пор нет. Все, что известно, исчерпывается двумя замещенными теоремими.

Теорема 1. Если число $n$ просмотр или сттепень просмотр, мо плоскость порядка $n$ существует.

Мы доказем эту теорему в § 5 для всех простых чисел $n^*$).

Теорема 2. Если число $n$ при делении на 4 даем в остатке 1 или 2 и если в разложении этого числа на простые множители встречается в нечетной степених хотя бы одно просмотр число $p$ вида $p = 4k+3$, то конечной аффициной плоскости порядка $n$ не существует.

Первое из чисел, удовлетворiousх условий теоремы 2, — число $n=6: 6=4+2$ и $6=2 \cdot 3$. Итак, плоскости из 36 точек не существует!

(Замечательная интуция Эйлера)

*) Для степени простых чисел доказательство сложнее. (См., например, книгу М. Холла «Комбинаторика», «Мир», 1970. Эту великолепную книгу можно читать выборочно, «обходя» непонятные места.)

8

Рис. 7. Так вводятся координаты на аффициной плоскости (например, точка А имеет координаты (2,2)). Наоборот, из набора $n^2$ точек ($n = 5$), заданных координатами, можно построить аффициную плоскость.

позволила ему выбрать единственный «сомнительный» случай из большого числа близких: $n^2 = 9, 16, 25, 49, 64$; когда плоскость по Теореме 1 благополучно существует $^*$).

Как уже известно читателю, это еще не доказывает неразрешимость глобального числа близких: $n^2 = 9, 16, 25, 49, 64$; однако она действительно неразрешима! Это было доказано в 1900 году скрупулезным перебором всех возможных вариантов построения каре.

Трудная Теорема 2 была доказана сравнительно недавно (1949 год); она позволяет исключить из рассмотрения бесконечного много числа, например числа 77 и 78. На рисунке 6 приведены первые сто натуральных

$^*$) Заслуживает быть отмещенным удивительное, хотя и не столь уж редкое в истории математики совпадение: именно Эйлеру принадлежит термин «аффициный» (на латыни «affine» означает смejный, соседний; аффициная геометрия — это геометрия смejности, соседства, геометрия, лишенная расстояния, но сохранившая параллельность), и Эйлером же была формулирована (пусть в «развлекательной» форме) первая проблема, имеющая прямое отношение к теории конечных аффициных плоскостей.

чисел, раскрашенные в три цвета: синие — это чищла, для которых по Теореме 1 существует плоскость соответствующего порядка, красные — чищла, для которых по Теореме 2 такой плоскости не существует, а для черных чищла открыта пока как первая, так и вторая возможность.

Terra incognita $^*$) черных чисел начинается с числа 10 (хотя $10 = 2 \cdot 4 + 2$, но $10 = 2 \cdot 5$, причем ни 2, ни 5 при делении на 4 не дают в остатке 3). С момента открытия конечных аффициных геометрий (начала XX века) было немало попыток построить плоскость такого порядка, в том числе и совсем недавних — с помощью самых современных вычислительных машин, но все они окончились неудачно: никаку не удалось построить больше шести семейств параллельных прямых разискиваемой плоскости, хотя по (А12) таких семейств должно бытьровно одинаковать!

§ 5. Koординатный метод

Пусть $n$ — целое число, большее единиццы. Мы попытаемся построить конечную аффициную плоскость порядка $n$, введя на нашем множестве координаты. Действия так, мы подражаем велиkomу примеру Рене Декарта, систематически сводившего именно геометрическое задачи на ввскладной плоскости к соответствующим алгебраическим задачам.

Итак, расположим $n^2$ точек в виде квадрата $n \times n$ в узлах разграфленной в клетку бумаги, как это сделано на рисунке 7 для $n = 5$. Перенумеруем вертикальные и горизонтальные ряды узлов целыми числами от 0 до $n - 1$ и сопоставим каждой точке на будущее конечной плоскости пару координат $(x, y)$, где $y$ — это номер горизонтального, а $x$ — номер вертикального из тех двух рядов, на пересечении которых лежит эта точка.

$^*$) Неведомая земля (лат.).

Что же считать прямыми плоскости? Разумеется, любой горизонтальной или вертикальной ряд узлов. Кроме того, любой набор (не менее двух) узлов, лежащих на одной еклидовой прямой в пределах квадрата $n \times n$. Условимся только «возвращать» всяку такую прямую так, как это показано на рисунке 8.

Задача 6. Докажите, что после некоторого числа таких «скачков» мы вновь попадем на исходную прямую и что число узлов, через которых мы при этом «пройдем», не превысит $n$.

Набор «пройденных» нами вдоль одной «скачущей» прямой узлов мы и будем считать прямой.

Эта идея действительно позволяет построить плоскость порядка $n$, когда $n$ — простое число. Мы рассмотрим арифметический вариант такого определения плоскости, оставив читателю аккуратное проведение намеченной нами геометрической конструкции.

Задача 7. Покажите, что если $n$ — произвольное натуральное число (не обязательное простое), то таким способом можно определить $\varphi(n) + 1$ семейств параллельных прямы, где $\varphi(n)$ — функция Эйлера (!) ($\varphi(n) =$ количество натуральных чисел, меньше $n$ и взаимно простых с $n$).

Итак, пусть $n = p$ — простое число. Очевидно, что для любого целого числа $m$ найдется единственное число из набора чисел $F_p = \{0, 1, 2, \dots, p-1\}$, равное остатку от деления $m$ на $p$; обозначим это число через $\{m\}_p$. Теперь для любых двух чисел $a$ и $b$ из набора $F_p$ мы определим две операции: $p$-сложение и $p$-умножение, положив:

$$a \oplus_p b = \{a+b\}_p, \quad a \otimes_p b = \{a \cdot b\}_p,$$

где $a+b$ и $a \cdot b$ — общные сумма и произведение чисел $a$ и $b$. Очевидно, что для любых двух чисел $a$ и $b$ из набора $F_p$ $p$-сумма и $p$-произведение снова принадлежат $F_p$. Столь же очень dniные простые свойства этих операций, формулированные ниже в Теореме П1—П9 (пожалуйста, лишь Теорема П8 потребнее остальных).

11

Рис. 10. Каждому семейству параллельных ответает свой цвет; для трех семейств (синнего, черного, пунктирного) на каждом рисунке изображено по одному прямой.

на на рисунке 10. Одновременно этот рисунок служит решением уже упомянутой (эпиграф к § 2) задачи о 16 космонавтах: каждое семейство параллельных прямых — это разделение 16 космонавтов на 4 экипажа, каждая прямая такого семейства — один экипаж.

Приведем без доказательства основную теорему о конечных полях.

Теорема. Число q элементов любого конечного поля есть степень простого числа q=p^m. Наоборот, для любого q=p^m, где p — простое число, a m — произвольное натуральное, найдется единственное конечное поле F_q с q элемнами *).

Из справедливости этой теоремы и вытекает существование конечной аффинной плоскости порядка q=p^m.

*) Доказательство этой теоремы можно найти направлено в классической книге вандер Вардена «Современная алгебра», т. 1, с. 153 (Гостехидат, 1947). Единственное поля нужно понимать в том смысле, что любое другое поле с тем же числом элементов изоморфно полю F_q; между элементами этих двух полей можно установить такое взаимное однозначное соответствие, чтобы нуль соответствовал нулю, единица — единица, сумма — сумме и произведение — произведение.

12

§ 6. Эпиклог

В отличие от романа и пьесы преждевременное раскрытие замысла не является недостатком научного исследования.

Дж. Гэлбрейт

Итак, вопрос о существовании конечных аффинных плоскостей данного порядка несколько проясняется: есть запрещенные значения (красные числа на рис. 6), есть неисследованные значения (черные числа там же) и есть разрешенные значения — простые числа и их степени (синные числа), для которых существует способ построения плоскости.

Но вот единственный ли этот способ?! Нет ли каких-либо других плоскостей для данного порядка $q=p^m$?

В самом деле, Теорема о конечных полях (§ 5) запрещает существование полей, отличных от неокоторых стандартных полей $F_q$ (их называют в честь Эвариста Галуа полями Галуа); с простейшим из этих полей—полями $F_p$ — вы на самом деле уже встречались на страницах «Кванта»—в стате А. Бельского и Л. Садовского «Кольца» («Квант», 1974, № 2—см. задачи 2 и 3 на с. 7. этого номера), но не превращает существование плоскостей того же порядка $q=p^m$, отличных от стандартных. Удалось показать, что все плоскости, чей порядок не превосходят числа 8, могут быть лишь стандартными, и построить нестандартную плоскость порядка 9.

Прощаясь с читателем, автор трактата горячего рекомендает ему прочесть две замечательные книги Э. Артина и М. Холла*), где предмет трактата освещен одинаково интересно, хотя и с разных сторон.

Удивительные числа

Напишите четыре трехначных числа:

360, 351, 362, 402.

Возьмите теперь любое число января, например, 15/1, прибавьте к числу 15 первого цифру из написанных — 3, и сумму 15+3 разделите на 7 (число дней недели): $(15+3):7$. В остатке вы получите 4 — 15/1 — 76 приходимся на 4-й день недели, т. е. на четверг.

Если взять какое-нибудь число февраля, например 15, и прибавить вторую цифру из ряда трехначных чисел, разделить на 7, то в остатке получится 0, что указывает, что 15 февраля приходимся на воскресевне.

Если взять 7/1V, то по этому правилу к 7 придется прибавить 3, тогда получим $(7+3):7$ — в остатке 3, значит, 7/1V будет третьим днем недели, т. е. средой.

Словом, записанный ряд трехначных чисел — это 12 постоянных слагаемых (записанных поквартально) для всех двенадцатей месяцев 1976 года, с помощью которых можно быстро определить день недели любой даты года по очень простому правилу:

Интересующое вас число + постоянное слагаемое данного месяца: 7 = частное и остаток — ответ.

Попробуйте по календарю на 1976 года определить, откуда взялись эти 12 цифр, и составить такие 12 цифр для 1977 года.

П. Сорокин (Астрахань)

13

Температура — одна из тех не очень многох физических величины, о которых человек узнал не только до того, как научет изучать физику, но и до того, как научится грамоте. Уже в раннем детстве мы узнали, что словам горячее, теплое, холодное, отражающим наши ощущения, соответствуют различные значения температуры. Мы слышим о том, что летом температура высокая, а зимой низкая, что у здорового человека температура тела 36,6 градуса, а если она выше, то нужно вызывать врача…

Из-за привлечности понятия температуры мы обычно не отделем себе отчет в том, насколько эта величина своеобразна, насколько она отличается от других привлечных величины, таких как длина, масса, объем. А разлиние здесь очень существенно. Состоит оно вот в чем.

Если соединить десять стержней длиной в 1 м каждый, приставив их один к другому, то получится стержень длиной в 10 м. Десять масс в 1 кг каждый в сумме дадут массу в 10 кг и т. д. Но если соединить десять тел, каждое из которых имеет температуре 20 градусов, то мы получим тело, температура которого 20 градусов, а не 200. Температуры тел при их соединении не складываются, как складываются их длины, объемы, массы и т. д. Длина в 100 м — это сумма ста длин в 1 м, но температура в 100 градусов — это не сумма ста температур в 1 градус каждой, подобно тому, как человек в возрасте 15 лет — это не то же самое, что 15 годовых детей! Температура, как говоря, величина не аддитивная. В этом — одна из важнейших особенностей этой величины.

С этой особенность связыван и способ изменения температуры. Чтобы изменить длину тела, нужно сравнить его с другим телом, длина которого принята за единицу. Определить массу тела — значит сравнить ее с другой массой, принятой за единицу. Ведь и длина, и масса тела равны соответственно сумме длины и масс его частей.

Но температуру так изменить нельзя. Но это значит, что величина температуры вообще не может быть изменена, раз ее нельзя сравнить с эталоном температуры. Каким же образом температуру всегда изменяют?

Немного истории

Прибор для измерения температуры — термометр — впервые был изобретен Галилеем около 1592 года (само слово «термометр» впервые встречался в литературе в 1624 году). Способ

14

измерения температуры, предложенный Галилеем, принимающий не отличаться от того, который пользовется и в нашей время.

Схема придуманого им прибора показана на рисунке 1.

Небольшой стеклянный баллон (a) припаян к тонкой длиной трубке (b) с открытым концом. Баллон нагревают руками и погружают нижний конец трубки в сосуд с водой (c). По мере того как баллон охлаждается до температуры окружающей воздуха, уровень воды в трубке поднимается над уровнем воды в сосуде.

Легко понять, что в приборе Галилея используется тот факт, что объем газа в баллоне с трубкой зависит от температуры. Поэтому по изменению объема газа можно судить и об изменении температуры.

Конечно, описанный прибор еще не температур. По нему нельзя отсчитывать числовое значение температуры. Поэтому его следует называть не температуром, а термоскопом. Но если термоскоп тем или иным способом снабить шкафой, то он станет термоскопом. На решение этой задачи потребовалось почти 150 лет. Пока для нас важно, что уже в приборе Галилея содержится принципи изменения температуры, и принципи этот не пришлось изменять вплоть до наших дней: температура непредставенно не изменяется. Измеряется величины, зависящая от температуры. В термоскопе Галилея такой величины был объем газа. В современном ручном термометре величины, зависящей от температуры, по изменению которого судят об изменении температуры, тоже является объем, но не газа, а рутуи. Наряду с объемом газа такой величины может быть давление газа (при постоянном объеме),лина твердого стержня, электрическое сопротивление проводника и т. д.

Закон природы, который нельзя открыть без термометра

Уже первые несовершенные термометры и даже термоскопы позволили открыть один из важнейших законов природы — закон теплового равновесия. Закон этот многим кажется и казался настолько очевидным, что на его открытие не претендует ни один ученый и никто не может указыть даты его открытия. Состоит этот закон в том, что любая изолированная группа (система) тела сама собой с течение времени приходит в состояние, при котором температуры всех тел системы одинаковы. Такое состояние и называется состояние теплового равновесия.

Ясно, что закон теплового равновесия мог бы открыть только после изобретения термометра. С другой стороны, само изобретение термометра с помощью термометра основано на законе теплового равновесия. Ведь термометр тоже тело, имеющее определенную температуру. И он изменяет именно собственную температуру. А если мы хотим с его помощью изобретить термометру какого-то другого тела, оно должно быть в тепловом равновесии с термометром, потому что в этом случае термометры тела и термометра одинаковы. Вот почему при изменении температуры тела с помощью термометра всегда приходит жадать некоторое время — ждать установления теплового равновесия между телом и термометром.

Еще немного истории

Итак, термоскоп позволяет в конце XVI века. Термометром он стал при-

15

мерно в середине XVIII века. Но что именно изменяет термометр? Что такое температура? Правильный ответ на этот вопрос был еще черезсто лет после того, как появился термометр.

Термература — величина, которая характеризует тепловое состояние тела. О холодных и горячих телах мы говорим, что у них разная температура. Следовательно, вопрос о том, что такое температура, свидетельяк к вопросу: чем отличается холодное тело от горячого?

Первый ответ на этот вопрос дал сам Галилей. Из того легко наблюдаемого факта, что когда вблизи горячого тела находится холодное, то горячое тело охлаждается, а холодное нагревается, Галилей сделал естественный выбор, что от горячого тела к холодному что-то переходит (с таким же правом можно было считать, что что-то переходит от холодного тела к горячему!). Галилей считал, что это «что-то» есть особое тепловое вещество. И большинство исследователей XVII—XVIII веков придерживались такой же точки зрения и называли это вещество теплородом.

Согласно теории, основанной на представлении о теплороде, горячое тело отличается от холодного тем, что в нем больше теплорода, чем в холодном. Установление теплового равновесия по этим представлениям состоит в том, что теплород переходит от горячого тела к холодному. Значит, всякое тело состоит как бы из двух веществ — вещества самого тела (вода, медь, железо, стекло) и теплорода. Каждое тело — это смесь вещества тела и вещества теплоты (телорода). Слово температура как раз и означает смесь. И в течение почти получается лет считалось, что изменяем температуру, мы изменяем концентрацию теплорода в теле. Отсюда и называние единиц температуры — градус. Именно в таких единицах измерили, например, концентрацию воды растровов.

Такой взгляд на температуру держался очень долго — до конца XVIII века. Так и говорили — градусы теплоты.

Но одновременно с «вещественной» теории теплоты существует, деревво загорается пламенем; при удале кремния об огню появляется искры; железо накаливается от проковывания частями и сильными ударами…》 Отсюда делался вывод, что теплота — это не вещество, а движение маленьких частиц, из которых состоит все тела («нечувствительные частиц», как их тогда называли).

Свыше двухот лет шла борба между этим двумя теориями. В течение долгого времени господствовала первая теория, но в конце концов победу одержала вторяя.

Уже в XVIII века были выполнены опыты, которые заставили многие физиков переместить представление о том, что температура — это концентрация теплоты (телорода) в теле.

В 1760 году английский физик и врач Блек показал, что одно и то же количество теплоты, подведенное к равным массам различных веществ, приводит к различным изменениями температуры. Но если температура действительно представляет концентрацию теплоты в теле, то получение одного и того же количества теплоты должно быть вызывать у равных масс любых веществ одно и то же изменение температуры. В этих опытах Блек открыл, как мы теперь знаем, что у разных веществ различная теплоемкость. Но с теории теплорода это несовместимо.

В 1764 году тот же Блек показал, что прилавлен ли льда им поглощет-

16

ся значительное количество теплоты, но температура его при этом остается неизменной. Эту теплоту со времен Блека часто называют скрытой теплотой плавления. Точно так же, при отвердевании воды выделяется теплота и опять—без изменения температуры. Ясно, что если температура — это концентрация теплоты в теле, то невозможно поглощение теплоты без повышения температуры и невозможна потеря теплоты теплом безопожжения его температуры.

Что же в действительности представляет собой температура — величина, смысл которой так долго оставался непопояться?

Это стало ясным лишь после того, как появился кинетическая теория строения вещества. И мы понем смысл температуры из сопоставления двух как будто бы совсем разных веще — одного из результатов кинетической теории и способа измерения температуры.

О молекулярном хаосе и о его законах

Основой кинетической теории строения вещества является утверждение о том, что всякое вещество состоит из маленьких частиц — молекул, непрерывно и беспорядочно движущихся. Молекулы действуют сложные силы притяжения и отталкивания. Но в газах при обычных давлениях эти силы малы. И можно представить себе газ, в котором силы взаимодействия между молекулами вообще отсутствуют. Так как такой газ можно себе лишь представить, то он получил название идеального газа.

Ideальный газ — это скопление огромного числа молекул, беспорядочно движущихся по всем направлениям со скоростью в сотни метров в секунду, то и дело скопирования между собой и со стенками соуда. В этом невообразимом хаосе (возможно, что само слово газ произойдет от древнего слова хаос) действуют, однako, строigne и нерушимые законы. Благодаря тому, что в идеальном газе не надо учитывать сил взаимодействия между молекулами, эти законы можно установить теоретически. В частности, можно пользоваться законами механики, вычислить давление газа, то есть силу, с которой газ действует на единицу стенки соуса. Сила эта есть результат ударов движущихся молекул о стенки.

Расчет показывает, что если в состоянии объемом $V$ находится $N$ молекул газа, то давление, оказываемое газом на стенки соуса, равно

$$p = \frac{2}{3} \frac{N}{V} \bar{E},$$

где $\bar{E} = \frac{mv^2}{2}$ — кинетическая энергияxaотического движения, приходящая в среднем на 1 молекул газа. Формула (1) показывает, что давление газа равно $\frac{2}{3}$ средней кинетической энергииxaотического движения молекул, содержащихся в единице объема (ведь $\frac{N}{V}$ — это как раз и есть число молекул в единице объема).

Для реализации газов расчет давления довольно сложный, но при определенных условиях формула (1) достаточно точна. Она тем точнее, чем меньше величины $N/V$ и $\bar{E}$. Практические этой формулой можно пользоваться при давлениях около 1 ампм и менше.

Но какое отношение все это имеет к температуре? Ведь в формулу (1) температура не входит!

Что бы понять, вернемся к незааконному нами рассмотренному способа измерения температуры.

О температурных шкарах

Первыми термометрами, которые практические пользовались, были жидкостные термометры, изготовленные групной флорентиских ученых. Вслед за ними их стали конструкровать и изготовлять и в дру-

17

Гих странах. В них использовались различные жидкости, но главным образом — спирт и ртуть (иногда масло).
Жидкостьные термометры представляют собой тонкие стеклянные трубки, заканчивающиеся внизу небольшим шариком или цилиндром. Шарик и нижняя часть трубки заполнялись жидкостью (спиртом, ртутью, масло). На второй странице обложки вы видите образцы флорентийских термометров. (Неправда ли, это не только приборы, но и, своевого рода, произведение искусства. Вообщество приборы изготовлялись с «художественным подходом».)
Что касается термометрических шкаfs, то использовались самые личные способы их построения. Каждый конструктор и изготовитель термометров придумывают и способ создания шкаfs к ним. К концу XVIII века в ходу было около двух десятиков различных термометрических шкаfs, из которых до наших дней сохранились три (что тоже слишком много).

В конце концов восторжествовал принципи построения термометрических шкаfs, предложенный голландским стеклодувом и физиком-люби-telem Фаренгейтом и шведским астрономом Цельсенем. Приципиоп основан на использовании двух так называемых перерных точек, то есть тепловых состояния, отличающся своим построением. Такими точками-

18

ми были температуры тайня льда и кипения воды при атмосферном давлении. (Температура плавления любого твердого вещества и температура кипения любой жидкости при данном давлении также постоянны, но вода и лед наиболее доступны.)

В 1742 году Цельсий предложил такой способ градировки, т. е. создания шкал термометров (рис. 2). Термометр, каков он ни был, приводится в контакт с такой льдом и после установления теплового равновесия уровень жидкости в термометре (если это жидкость термометр) отмещается неокотorbим числом. Затем такой лед заменяется кипящей воды, и новый уровень жидкости в термометре отмещается числом, которое отличается от первого на 100. А разность уровней делится на 100 равных частей — градусов. Сейчас кажется курьезом, что Цельсий отмещал уровень жидкости в термометре при температуре кипения воды цифрой нуль, а уровень ее при температуре тайшего льда — числом 100. Впрочем, через 8 лет, в 1750 году, шкала была перевернута, и в таком виде его пользовется и теперь.

Еще до Цельсия, в 1724 году, Фаренгейт, тоже использует в качестве перепрыхных точек температуры тайшего льда и кипящей воды, изготовлял термометры, в которых температура тайшего льда отмещалась числом 32, а температура кипящей воды — числом 212, так что интервал температур тайший лед — кипящая вода оказывается разделенным не на 100, а на 180 равных частей — градусов. Французский ученый Ромюр, подобно Цельсию, приписывал температуре тайшего льда значение 0, но термометру Ромюра вода кипит при температуре 80 градусов.

Как видим, в построении термометрических шкал был немалый произволь. Произвольным было число градусов, на которых делился

$$\frac{V - V_0}{t - t_0} = c,$$

где $c$ — постоянная величины. Если принять, что $t_0 = 0$, то $V - V_0 = ct$, и $V = V_0 + ct$.

Можно ли проверить, что объем в самом деле линейно зависит от температуры? Очевидно, нет. Ведь для опытной проверки необходимо

20

Чтобы не порывать со ставшей за двести лет привьюной стоградусной шкалой Цельсия, по-прежнему полагают, что

$$T - T_0 = 100.$$

(3)

Разность давления при температуре кипения воды и такой его льда делят на 100 равных частей — градусов. Это значит, что и теперь мы заранее полагаем, что температура линейно зависит от давления газа при постоянном объеме. Более того, мы можем считать, что температура газа при propioциональна его давлению. Проверить это допущение, разумеется, нельзя по той же причине, по которой в приведенном выше анекдоте нельзя по пушечному выстрелу проверять правильность хода часов, а по часам — своевременность выстрела. Проство само изменение температуры основано на том, что давление газа и его температура считаются пропорциональными друг другу.

Приписывать температуре такой его льда значение нуль теперь необходимости. Ее можно просто вычислить. В самом деле, если температура газа прямо пропорциональная давление, то относение давления газа при температуре кипящей воды и такой его льда равно относению смих этих температур, то есть

$$\frac{p}{p_0} = \frac{T}{T_0}.$$

(4)

Но относение, стоящее в левой части этого равенства, равно 1,3661. Следовательно, и права часть равна этому числу:

$$\frac{T}{T_0} = 1,3661.$$

Отсюда получаем

$$T = 1,3661T_0.$$

Подставив это значение для $T$ в равенство (3), находим

$$1,3661T_0 - T_0 = 100,$$

и мы сразу получаем

$$T_0 = \frac{100}{0,3661} \approx 273,15.$$

Рис. 4.

Этим и отличается новая шкала от старой шкалы Цельсия: температура таяния льда по этой шкале равна не нулю, а 273,15 градуса. А нуль температуры на 273,15 (для краткости на 273) градуса ниже температуры таяния льда. Это — та температура, при которой давление идеально газа стало бы равным нулю, если бы такая температура была достигнута и если бы газ еще оставался при этой температуре газом. Так как давление газа не может быть меньше чем нулю, то температура на такой шкале отрицательной (менные нулы) быть не может.

Описанная только что температура шкала (некоторые тонкости в ее определении, практические несуществующие, мы опускаем) носит название абсолотной шкалы температур или шкалы Кельвина. И сама температура, отсутствияая по этой шкале, называется абсолотной температурой. Обозначается она буквой $T$ и выражается в градусах Кельвина (сокращенно °К), так что температура таяния льда равна 273,15°К, температура кипения воды равна 373,15°К и т. д.

Но шкалоЙ Цельсия тоже пользовется на практике. Temperature,

21

отсутстваему по этой шкале, обозначают буквой $t$ и выражают в градуах Цельсия (сокращенное °C). По этой шкале температура такая льда равна 0°C, температура кипения воды равна 100°C и т. д. Ясно, что $t^{\circ}\mathrm{C}=(T-273,15)^{\circ}\mathrm{K}$.

В физике почти всегда пользоваться шкалой Кельвина.

Теперь нам будет нетрудно выяснить, в чем же состоит истинный смысл температуры.

Что же такое температура?

Итак, по принятому терверу способиизмерения температуры давление $p$ произвольной массы газа $M$, то есть произвольного числа $N$ молекул газа, в сосуде объемом $V$ пропорционально его абсолотной температуре $T$.

Это видно из уравнения (4), которое можно переписать в виде

$$\frac{p}{T} = \frac{p_0}{T_0}.$$

Соотношение (5) показывает, что при постоянном объеме относение давления газа к его абсолотной температуре — постоянная величины. С другой стороны, давление газа, как мы видели, определяется формулой (см. (1))

$$p = \frac{2}{3} \frac{N}{V} \bar{E}.$$

Подставив это значение $p$ в выражение (5), получаем

$$T = \frac{2}{3} \frac{N}{V} \frac{T_0}{p_0} \bar{E}.$$

Уравнение (6) относится к газу в закрытом сосуде постоянного объема. Поэтому число $N$ молекул газа сохраняет постоянное значение; относение $\frac{T_0}{p_0}$, как мы видели, тоже постоянно. Следовательно, коэффициент при $\bar{E}$ в формуле (6) — постоянная величины для любого газа, то есть молей газа равно $\frac{M}{\mu}$; а поскольку в каждом молега имеется $N_A$ молекул ($N_A$ — число Авогадро), то число молекул $N$ в массе $M$ газа равно $N = \frac{M}{\mu} N_A$. Итак, значение массу газа $M$, его молярную массу $\mu$, объем сосуда $V$ и давление газа $p_0$

22

при температуре $T_0$, можно определить значение постоянной Больцмана $k$.

Такого рода измерения (а также и многое другое) неоднократно проводились. Все они дают для постоянной Больцмана значение

$$k = 1,38 \cdot 10^{-23} \text{ дж/эрад.}$$

Как мы видим, значение $k$ очень мало. Это значит, что средняя кинетическая энергия беспорядочных движений одной молекулы, и определяющая то, что мы называем температурой, чрезвычайно мала. При температуре в $1^\circ\text{K}$ средняя кинетическая энергия молекулы $\bar{E}$ равна

$$\frac{m v^2}{2} = \frac{3}{2} \cdot 1,38 \cdot 10^{-23} \approx 2 \cdot 10^{-23} \text{ дж/mолекулу.}$$

Таково соответствие между градусом Кельвина и джоулем на молекулу.

В заключение нам остается еще выяснить, какова связь между температурой и теплотой — двуя понятыми, которые в течение веков считались чуть ли не синономами.

Известно, что теплотой называется энергия тепловых беспорядочных движений, передаваемая от одного тела к другому (при теплопередаче). Ясно поэтому, что теплота не является величины, характеризующей состояние тела. О ней нельзя сказать, что она содержится в теле. температура же характеризует состояние тела, потому что она определяется средней кинетической энергейой его молекул. Понятно, что между теплотой и температурой в существии никакой связи нет. Можно только сказать, что если два тела имеют различную температура, то более высокой является температура мою из них, которое передаем методу друgosу. Temperatura тела — это величина, которая определяет, будет ли данное тело одавать теплоту другим телам или получать ее от них. Такое определение температуры в своей время для Максвелл.

Нужна ли величина, которая называется температурой?

Тemperature как понятие и как физическая величина появляется в начале до того, как можно было понять ее истинный смысл. Но теперь, когда он известен, стоит ли сохранять эту как будто бы арханческую величины? Не лучше ли всюду, где мы привыклили говорить о температуре, о градуках Кельвина, о градуках Цельсия, заменить их тем, что они есть в действительности — средней кинетической энергейой частицы, и изменять ее в джоулях?

No нетрудно видеть, что для отказа от температуры и от градусов нет оснований.

Во-первых, едва ли будет удобно, например, врачу считать пациента больным на том основании, что средняя кинетическая энергия его молекулы равна $6,64 \cdot 10^{-21} \text{ дж}$, вместе того, чтобы говорить о температуре в $38^\circ\text{C}$.

Во-вторых, замена градусов джоулями может породить и недоразумения. Ведь энергия, например, в $100^\circ\text{дж}$, вообще говоря, означает, что за ее счет может быть получена и работа в $100^\circ\text{дж}.$ Между температура тела равна $100 \text{ дж/mолекулу}$ (для температуры — это фантастическое значение), то это вовсе не значит, что за ее счет можно получить такое же работу.

У разжения

1. Каким числом выражается абсолитный нуль температуры на шкалах Фаренгейта и Реомюра?
2. Вычислить среднюю кинетическую энергию молекулы газа при температуре $1000^\circ\text{K}$.
3. При взрыве ядерной бомбы образуется газовый шар, температура которого можно считать равной 20 миллионам градусов. Какова средняя кинетическая энергия частицы в этом шаре?
4. В atomной и ядерной физике прияго-to выражать энергию частиц в особых единицах — электрон-вольтах (эθ).
   Выразить в электрон-вольтах среднюю кинетическую энергию молекулы газа при комнатной температуре.
5. Вычислить значение постоянной Больцмана, попытясь градусом Фаренгейта.

23

В. Майер

Беспокойная дуга

Этот красный и несложный опыт принадлежит нашему выдающему соотечественнику изобретателю радио А. С. Попову.

Из латунного или жестяного листа толщиной около 1 мм вырежьте полоску размером примерно 30×100 мм. Полоску аккуратно образотайте напильником и шкуркой, снять заусенцы с ее краев, и изогните ее так, чтобы получалась дуга радиусом 3—4 см. На пластинку алюминия или диорая положите слюдной листок толщиной не более 0,2 мм. Нужный по толщине листок нетрудно получить, расщепляя лезвием бритвы слюду, которое можно прибрежти в хозяйственном магазина. На пламени сухого горючего или газовой горелки разогрейте изготовленный дугу и быстро помещите ее на листок слюды. При этом, даже если вы остатите дугу совершенно неподвижной, она начинает раскачиваться, и это колебательное движение может продолжаться несколько минут.

Вот как обьясил результат этого интерсного опыта сам А. С. Попов.

«Причина движения проста: слюда, нагреваем только с одной стороны, вспучивает в сторону нагретого тела и приподнимает его слегка, следствие этого в прикосновение с нагретом телом приходит новые точки на поверхности слюды, а прежде нагреты остыают от соседства с холодным телом. Дуга наклоняется в одну сторону до тех пор, покаяжет не преодолеет образуощейся таким образом движущей силы, тогда начинается движение в обратную сторону и т. д.».

Таким образом, в описанном опите тепловая энергия нагретий дуги переходит в механическую энергию колебаний этой дуги. Это — типичный автороклебательный процесс, подробнее разобраться в особенностях которого мы предоставляем вам самим.

А теперь несколько экспериментальных заданий для самостоятельного исследования.

1. Выясните, является ли существенный наличие в опите алюминиевой пластинки, обладающей хорошего теплопроводности.
2. Какую дугу — широкую или узкую, толстую или тонкую — лучше использовать в опите?
3. Получится ли опит, если и латунная дуга, и алюминиевая пластинка будет нагреты до одной температуры? (Для того чтобы ответить на этот вопрос, вовсе не обязательно ставить соответствующий эксперимент).
4. Каким образом можно существенно увеличить продолжительность качания дуги? Разработайте и проверьте в действии соответствующий эксперимент.
5. Продумайте и поставьте опит, аналогичный описанному, в котором нагретое тело совершенно бы не колебательное, а врашательное движение.

1 — алюминиевая пластинка, 2 — листок слюды, 3 — жестяная дуга.

24

А. Тоом

Решения задач В 3 М Ш

В этом номере мы публикуем решения некоторых задач из вступительного работы в ВЗМШ 1976 года (см. «Квант» № 1, с. 68).

Задание 2. Три прямые пересекаются в одной точке马克, что каждые две из них образуют угол 60°. Точка М находится на расстоянии 3 см от одной прямой и на расстоянии 5 см — от другой. На каком расстоянии от прямой прямой может находиться точка М?

Решение задачи основано на следующем факте, обещем для всех точок плоскости. Для любой точки расстояние до одной из прямых, указанных в условиям, равно сумме расстояний до двух других. Поэтому искомое расстояние может быть равно либо 5+3=8 см, либо 5-3=2 см. Легко проверить, что она эти значения действительно возможны.

Задание 3. Какую цифру ознакомим какдая из букв М, И, Л, А, Н в равенстве НАЛИМ × 4 = ЛИМАН?

Ясно, что Н≤2, так как иначе число НАЛИМ × 4 было бы шестиначным. С другой стороны Н четно, как последняя цифра числа ЛИМАН, делается на 4. Поэтому Н=2. Отсюда следует, что А<5, иначе получим шестиначное произведение. Кроме того, А=1 или 3, поскольку A2—последние две цифры числа, делая

25

Рис. 2.

ков или подъем на их пути, — если первым вернулся
a) внук,
b) дедушка?
Обозначим протяженное подъем через x, а протяженное спуск через y. (Ровное место можно воспользоваться не учитьвать, так как на нем скорости деда и внука одинаковы.)
Тогда время деда на подъемах и спусках равно $\frac{x}{6} + \frac{y}{8}$, а внука равно $\frac{x}{4} + \frac{y}{20}$. Пусть известно, какое из этих чисел другого, что мы запишем так: $\frac{x}{6} + \frac{y}{8} \sqrt{\frac{x}{4} + \frac{y}{20}}$.
Преобразуя, получаем: $9y \sqrt{10} x$. Если внук вернулся равше, то $9y > 10x$, откуда $y > x$. Если же дед вернулся равше, то $9y < 10x$, что возможно как при $y < x$, так и при $y > x$.
Задача 6. Сколько сторон может иметь многоугольник, являющийся:
a) пересечением;
b) объединением треугольника и выпуклого четырехугольника? (Указите все возможные значения и парисуйте примеры.)
a) На рисунке 2 показано, как при пересечении могут получиться многоугольники с 3, 4, 5, 6, 7 сторонами. Большое сторон получится не может, так как все стороны пересечения лежат на сторонах пересекающих фигур, причем на разных, а их всего семь.
b) На рисунке 3 показано, как при объединении могут получиться многоугольники с числом сторона от трех

Рис. 3.

26

Рис. 4.

до тринадцати. Большие тринадцати вершин объединение имеет не может, потому что каждая вершина объединения — это

1. либо вершина одной из объединениях фигура, а их всего семь;
2. либо точка пересечения их стороны, а их не более чем по две на каждой стороне треугольника.

Задача 7. На плоскости нарисованы три конгерзимных отрезка. Сколько осей симметрины может иметь это множество (объедение данных трех отрезков)?

На рисунке 4 показаны множества, имеющие 0,1, 2, 3, 4, 6 осей симметрики соответственно. Доказем, что инного числа осей симметрики фигура имеет не может.

Убедитесь самостояльно, что если несовпадающих отрезков меньше трех, то осей симметрины не больше четырех.

Пусть наше множество состоит из трех несовпадающих отрезков. Легко понять, что симметрия фигуры переводит один из отрезков в себя.

Для каждого отрезка есть лишь две симметрики, переводящие его в себя (их осями служат прямая, на которой лежит отрезок, и его серединный перпендикуляр). Значит, всего осей симметрини не более шести.

Остается доказать, что не может быть пяты осей симметрини. Для этого мы воспользуемся следующим фактом. Если прямые I и II являются осями симметрики фигуры Ф, то прямая III, симметричная прямой II относительно прямой I, тоже является осью симметрики для Ф. (См. рис. 5, на котором показано, как получить точку $A_4$, симметрично $A_1$ относительно III.) Пусть осей симметрины пяты. Тогда множество осей включает прямую I, содержащую неокоторый отрезок, и серединный перпендикуляр к нему — иначе осей было бы меньше четырех. Но тогда осей — четное число; можно объединить в пары оси, симметричные относительно I, а осей, перпендикулярных I, кроме оси II, нет — иначе их было бы бесконечное число (см. рис. 6).

Рис. 5. Рис. 6.

27

ШГРАМШДА ИЗ ДЕМИШД

Расположите компплект домино
(28 косточек) в виде пирамиды
(см. рисунок), соблюдая следующие условия.

1. В каждой строке сумма
   очков на косточек должна

быть точным квадратом.
2. В строках косточки укла-
дываются согласно правилом
игры в домино: 0 к 0, 1 к 1
и т. д.

Л. Мочалов

27

28

Задачик
М386—М390; Ф398—Ф402

М386. Квадратная комната разгорожена перегородками, параллельными стенам, на несколько меньше квадратных комнат. Длина стороны каждой комнаты — целое число. Докажите, что сумма длины всех перегородок делится на 4.

С. Фомин

М387*. Существует ли такое натуральное число, что если приписать его само к себе справа, то получится точный квадрат?

В. Кукушкин

М388 a) На плоскости отмеченое конечное число точек. Докажите, что среди них найдется точка, у которой не более трех ближайших (то есть, нахождение от нее на наименьшем расстоянии; таких точек, вообще говоря, может быть несколько).

6. Существует ли на плоскости конечное множество точек, у каждой из которых в этом множестворовно три ближайших?

А. Карабеон

М389. Можно ли бесконечный лист клетчатой бумаги разбитить на «dominoшки» (каждая доминошка покрывается две соседние клетки) так, чтобы каждая пряма, идушая по линии сетки, разрезала пополам лишь конечное число dominoшки?

С. Фомин

М390*. Докажите, что существует бесконечного много натуральных $n$, для которых сумма цифр числа $2^n$ больше суммы цифр числа $2^{n+1}$.

С. Коняzin

Ф398. При подключении в сеть трехламповой листры с двумя выключателями была допущена ошибка. В результате этого при замыкании одного из выключателей все три лампы горели неполным накалом. При замыкании другого выключателя горела нормально только одна из ламп (две другие не горели), и тот же эффект давало замыкание обихых выключателей одновременно. При разомкнутых выключателях все три лампы не

29

горели. Нарисуйте возможность схему выполненного монтажа, объясните наблюдаемые эффекты. (8 класс)

Ф399. Три небольших одинаковых металлических шарика, находящихся в вакууме, помещены в вершинах равностороннего треугольника. Шарики поочередно по одному разу соединяют с удаленным проводником, потенциального поддерживается постоянным. В результате на первом шарике оказывается заряд $Q_1$, а на втором — $Q_2$. Определить заряд третього шарика. (9 класс)

Ф400. Две заряженные частицы имели первоначально одинаковые по величины и направлениях. После того как на некоторое время было включено однородное электростатическое поле, вектор скорсти одной из частиц повернулся на $60^\circ$, а численное значение скорсти уменьшилось вдвое. вектор скорсти другой частицы повернулся на $90^\circ$. Во сколько раз изменилось численное значение скорсти второй частицы? Определите отношение заряда к массе для второй частицы, если для первой частицы оно равно $k_1$. (9 класс)

Ф401. Схему, изобразенную на рисунке 1 (мостик Уитстона), применяют обычно для измерения неизвестного сопротивления $x$. Как, используя подобную схему, измерить сопротивление $R_G$ самого галванаметра $G$, если второго галванаметра нет? (10 класс)

Ф402. Рассенвающая линза с фокусным расстоянием $F = -0,6$ м расположена так, что один из ее фокусов совпадает с полюсом вогнутого зеркала. Каково фокусное расстояние $F_1$ зеркала, если известно, что система дает действительное изображение предмета, помещенного на любом расстоянии перед линзой? Изображение создается лучами, вторично прошедшим через линзу после отражения от зеркала. (10 класс)

Решения задач

M343—M350; Ф353—Ф357

М343. В некоторых государстве города соединены дороги. Для любой дороги меньше 500 км и из любой города в любой можно по дорогам

Будем обозначать города буквами $A, B, C, D, \dots$. Прежде всего заметим, что: 1) если какой-то путь $A$ — … — $B$ — … — $C$ — … — кратчайший между городами $A$ и $C$, то часть его, например, от $A$ до $B$ — кратчайший путь между соответствующими городами; 2) кратчайший путь не проходит по одной дороге дважды.

30

менее 500 км. Коеда одну дорогу закрыли на ремонт, выяснили, что из любого города можно проехать в любой другой по оставшимся дорогам. Доказим, что это можно сделать, проехав не более 1500 км.

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

M344. На шахматной доске отмещены цепи всех 64 полей. Можно ли проверить на доске 13 прямых так, чтобы в каждой из частей, на коморье эти прямы делят доску, оказалось не более одной отмещенной точки? (Прямы не должны проехать через цепи полей.)

M345. В последовательности 1 9 7 5 2 3 … каждый цифра, начиная с пямы, равна последней цифре суммы предыдущего цепи. Встречается ли в этой последовательности подряд

Допустим теперь, что закрыли дорогу, соединяшую города A и B; обозначим ее через AB. Поделим все города на две группы: к первой группе отнесем город A и те города, кратчайший путь из которых в город A не проходил по дороге AB, а ко второй — все остальные. Нужно считать, что город B оказывается во второй группе — иначе во второй группе не будет вообще ни одного города; ведь если AB — не кратчайший путь из A и B, то ни один из кратчайших путь не может проехать по дороге AB, то есть дорога AB тогда — бесполезная.

Пусть M и N — города, кратчайший путь между которыми составляет теперь больше 500 км. Значит, равные кратчайший путь между M и N проходил по дороге AB. Но тогда кратчайший путь в город A из одного из этих городов проходил по дороге AB, а из другого — нет (см. замечание в начале решения); следовательно, города M и N принадлежат разным группам. Рассуждая от противного, получаем, что любые два города, принадлежащие одной и той же группе, могут быть соединены путем длины меньше 500 км.

Поскольку из города A по-прежнему можно проехать в город B, то найдется два города C и D такие, что C принадлежит первой группы, а D — второй, и город C соединен дорогой с D. Тепер понятно, как из любого города M первый группы попасть в любой город N второй группы, проехав меньше 1500 км: нужно из M поехать вначала в город C (это путь меньше 500 км, так как M и C принадлежат одной и той же группе), затем — из C в D (длина дороги CD меньше 500 км по условию), и, наконец, из города D — в город N (города D и N — из одной группы, поэтому путь из D в N снова меньше 500 км) — см. рисунок 1.

Оценку 1500 км нельзя улушить. Действительно, если четыре города A, B, C и D расположены так, как показано на рисунке 2 (ABCD — трапецная такая, что при проджении ее боковых сторон получается равносторонний треугольник), то, закрыв дорогу AB, получим, чтолина кратчайшего пути между A и B равна (500+2a) км, где a можно сделать скольгу уголно близким к 500.

С. Елисеев

На рисунке 3 показано, как проверсти 14 прямы (на рисунке эти прямы — красные), разделяющих все центры полей шахматной доски.

Однако 13 прямы для этого недостаточно.

Действительно, рассмотрим квадрат, проходящий через цепи всех 28 граничных клеток (на рисунке 4 это квадрат из черных точек). Ясно, что 13 прямы пересекают его не более чем в 26 точках, и поэтому разрезают не более чем на 26 частей, то есть два «граничных» центра окажутся в одной части. Значит, для разделения 28 граничных, а следовательно, и всех центров попадения не менее 14 прямы.

Ю. Лысов

Для решения задачи пункта a) достаточно заметить, что в последовательности 1975… после каждой четверной цифры идут подряд четыре цифры. Поэтому четверка 1 2 3 4 в этой последовательности встретиется не может.

Пункты 6) и в) разберем более подробно.

В условиях данной правли, как по четырем рядом стоящим цифрам определять следующую цифру. Попробуем

31

а) цетыре цифры 1 2 3 4?
б) вторичное цифры 1 9
7 5?
e) цифры 8 1 9 7?

сделать «наоборот»: по четырем рядом стоящим цифрам $a b c d$ определять предшествующее им цифру $x$. Поскольку цифра $d$ следует за четверкой цифра $x a b c$, то цифра $d$ равна последней цифре суммы $x + a + b + c$, значит, $x + a + b + c = 10k + d$ при некотором целом $k$. Отсюда, $x = 10k + (d - a - b - c)$. Поскольку $x$ — цифра, то из последнего выражения следует, что $x$ равно остатку от деления на 10 числа $(d - a - b - c)$. Разделить число $p$ на число $q$ с остатком, — значит, найти числа $s$ и $r$ также, что $p = sq + r$ и $0 \leqslant r < q$. (Обратите внимание, что остаток от деления числа — 13 на 10 равен 7, а не — 3!) Остаток от деления одного числа на другое определяется однозначно; значит, цифра $x$ также определяется однозначно.

Например, чтобы определить цифру, предшествующее четверке 1 9 7 5, надо от 5 отнять 1, 9, 7 и разделить полученное число (-12) с остатком на 10. В остатке получим 8; значит цифра 8 предшествует четверке 1 9 7 5.

Рис. 4.

1 9 7 5 2 3 … x a b c d … y a b c d … (*)

Рис. 5.

Поскольку под последовательностью (*) эту же последовательность еще раз, но «сдвинутую», так, чтобы под первой четверкой $a b c d$ оказалась вторяя (см. рис. 5). Согласно доказанному выше утверждению, цифры в первом столбце, расположенном левее красной линии, совпадают, т. е. $x = y$. Аналогично, совпадают цифры и в предшествующем $x$ и $y$ столбце, и так далее. Таким образом, в каждом из столбцов, расположенных левее красной линии, цифры совпадают. Поэтому под четверкой 1 9 7 5 в «верхней» последовательности стоит четверка 1 9 7 5 в «низней» последовательности. А это и означает, что четверка 1 9 7 5 встречает в последовательности 1 9 7 5 2 3… вторичное.

Как было показано выше, перед четверкой цифра 1 9 7 5 встречает в последовательности 1 9 7 5 2 3… во второй раз, будет стоять цифра 8. Значит, в рассматриваемой последовательности встреется и четверка 8 1 9 7.

Г. Гуревич

♦

Положим квадрат на клетчатую бумагу со стороны клетки, равной $1/4$ стороны квадрата, так, как показано на рисунке 6 (точки $K$ и $L$ при этом попадут в узлы решетки!). Очевидно, что треугольники $KNL$ и $MLD$ конгруэнтны, $\Rightarrow LDM \cong KLN$, и значит, $DLM + KLN = 90^\circ$. Поэтому $DLK = 180^\circ - (DLM + KLN) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$, что и требовалось доказать.

Л. Лиманов

32

М347. Двое церам в макую церру. Первый заадываем два числа от 1 до 25, а второй должен их уедать. Он может назвать любые два числа от 1 до 25 и узнать у первого, сколько из названных им чисел — 0,1 или 2 — совпадает с зааданными. За какое минимальное число вопросов он-smожет наерняка определить зааданные числа?

| Ответ | Зааданные числа |
| :— | :— |
| 1,1 | 2i,25 |
| 1,0 | 2i-1,23 |
| 0,1 | 2i-1,24 |
| 0,0 | 2i-1,25 |

Рис. 7.

М348. В таблицу 10×10 записаны числа от 1 до 100 по порядку. Затем в каждой строке и в каждом столбцеровно уполовины чисел поставлен знак минус. Доказите, что в получившейся таблице сумма всех чисел равна нулю.

М349. Какому условию должны удовлетворять длины строки треугольника, чтобы треугольник, сосо-

Многие читатели успешно справились с определением зааданных чисел за 14 вопросов. Покажем, что всегда можно определить зааданные числа не более чем за 13 вопросов.

Называя пары (1,2), (3,4),…,(21,22), мы используем 11 вопросов; при этом возможны следующие 4 случая:

a) после какого-то вопроса получен ответ «2»;
b) на все вопросы получены ответы «0»;
b) на какое-то два вопроса — i-й и j-й — получены ответы «1»;
г) только на один i-й вопрос получен ответ «1», на остальные вопросы—«0» (невнимательное рассмотрение этого случая многохаставило считать, что нельзя гарантировать определение зааданных чисел за 13 вопросов).

Укажем дальнейшие действия отгадавающего в каждом из этих случаев.

a) После ответа «2» зааданные числа определены.
b) Загаданы два числа из чисел 23,24,25. Задаем вопрос (23,24). Если ответ «2», то эти числа и зааданы, если ответ «1», то вопросом (23,22) определим, какое из чисел — 23 или 24 — заадано наряду с числом 25.

b) Числа в i-й паре (2i-1) и 2i, в j-й паре —(2j-1) и 2j. Задаем вопросы (25,2i), (25,2j). Ответ «1» на первый (двенадцатый) вопрос означает, что в i-й паре заадано число 2i; ответ «0» указывает на число (2i-1). Аналогично со вторым (тринадцатым) вопросом.

г) Вопросы (2i,23), (2i,24) при всех возможных ответах определяют зааданные числа. В самом деле, ответ «2» на первый или второй вопрос не требует посящения. Для других комбинаций ответов на эти два вопроса мы сообщаем зааданные числа (легко проверяется, что другого мнения о том, какие числа зааданы, не может быть)—см. таблицу на рисунке 7.

Итак, мы показали, что за 13 вопросов всегда можно определить зааданные числа; естественно, как следует из решения, иногда хватает и меньше количество вопросов.

Для завершения решения доказем, что нельзя гарантировать определение зааданных чисел за 12 вопросов. После 11 вопросов все ответы могут быть «0»; при этом всегда существует три числа, не включенные в вопросы. Если двенадцатый вопрос не содержит ни одного из этих трех чисел, то ответ «0» позволяет любым двум из них быть зааданнымми. Если же в двенадцатый вопрос входит одно или два из этих трех чисел, то после ответа «1» также нельзя однозначно указыть зааданные числа.

Ю. Лисов

◆ Представим данную таблицу A в виде суммы двух таблиц B и C (рис. 8). Расставим знаки в каждой из таблиц A, B и C одинаковым образом — так, что в каждой строке и в каждом столбцеровно уполовины чисел будет минут минус. Тогда в полученной таблице B сумма чисел будет равна нулю в каждом столбце, а в полученной таблице C сумма чисел будет равна нулю в каждом столбце. Следовательно, сумма чисел в таблицах B, C, а значит, и в A=B+C будет равна нулю.

Н. Васильев

◆ Обозначим данный треугольник через ABC, длины его стороны BC, AC и AB — через a, b и c, величины противления этих сторон углов — через A, B и C соответствующего. Предположим, что a≤b≤c (тогда и A≤B≤C). Пусть h_a, h_b, h_c—

34

Если $a=c$, то треугольник $ABC$ — равносторонний: $a=b=c$ (так как $a \leq b \leq c$), и мы получаем это условие как частный случай условия $2b^2=a^2+c^2$.

Легко видеть, что если $2b^2=a^2+c^2$, то справедливо и условие (2). Поэтому если длины $a, b$ и $c$ ($a \leq b \leq c$) сторона треугольника $ABC$ связаны соотношениям $2b^2=a^2+c^2$, то этот треугольник подобен треугольнику, составленному из его медиан.

в) Снова нужно выяснить, какие стороны у треугольника $ABC$ и у треугольника из его биссертрис могут быть сходственными (в предположении, что эти треугольники подобны). Например, что у нас $a \leq b \leq c$. Докажем, что тогда $l_a \geq l_b \geq l_c$.

Выразим $l_a, l_b$ и $l_c$ через $a, b$ и $c$. По теореме косинусов и теореме о биссертриссе внутри него угла треугольника имеем (рис. 10):

$$l_a^2 = c^2 + \left( \frac{ac}{b+c} \right)^2 - 2c \frac{ac}{b+c} \cos B = c^2 + \left( \frac{ac}{b+c} \right)^2 - \frac{2ac^2}{b+c} \cdot \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = bc \left[ 1 - \frac{a^2}{(b+c)^2} \right].$$

Аналогично

$$l_b^2 = ac \left[ 1 - \frac{b^2}{(a+c)^2} \right] и l_c^2 = ab \left[ 1 - \frac{c^2}{(a+b)^2} \right].$$

Поскольку $a \leq b$, получаем $b+c \geq a+c$, то есть $\frac{a}{(b+c)^2} \leq \frac{b}{(a+c)^2}$, и $\frac{a^2b}{(b+c)^2} \leq \frac{ab^2}{(a+c)^2}$; следовательно, $c \left[ b - \frac{a^2b}{(b+c)^2} \right] \geq c \left[ a - \frac{ab^2}{(a+c)^2} \right],$ то есть $l_a \geq l_b$. Неравенство $l_b \geq l_c$ доказывает аналогично.

Итак, если треугольник $ABC$ ($a \leq b \leq c$) подобен треугольнику из биссертриссе, то должны быть выполнены равенства $l_c:l_b:l_a = a:b:c$, то есть $\frac{l_c}{l_a} = \frac{a}{c}$ и $\frac{l_b}{l_a} = \frac{b}{c}$.

Посмотрим, когда эти условия выполнются.

Если $\frac{l_c}{l_a} = \frac{a}{c}$, то $al_a = cl_c$. Но аналогичное соотношение всегда имеет место для высот: $ah_a = ch_c$ (см. пункт a). Значит (рис. 11), прямоугольные треугольники $AH_aL_a$ и $CH_cL_c$, где $|AH_a| = h_a$, $|AL_a| = l_a$, $|CH_c| = h_c$, $|CL_c| = l_c$, подобны, причем стороны длины $h_a, h_c$ и $i_a, l_c$ у них сходственные. Следовательно, углы, образуемые сторонами $AH_a$, $AL_a$ и $CH_c$, $CL_c$, будут равны: $H_a\widehat{AL_a} = H_c\widehat{CL_c}$. Посчитаем эти углы.

Напомним, что у нас $a \leq b \leq c$, то есть $A \leq B \leq C$. Из этого условия следует, что $L_c \in [AH_c]$, а $L_a \in [BH_a]$.

Позмоту $H_a\widehat{AL_a} = \frac{\pi}{2} - \frac{A}{2} - B$, $H_c\widehat{CL_c} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2} - A$,

и так как $H_a\widehat{AL_a} = H_c\widehat{CL_c}$, то $\frac{A}{2} + B = \frac{C}{2} + A$, то есть

36

М350. С белого углового поля шахматной доски размерми $n \times m$ ($n$ и $m$ больше 1) начинает дв歧аться слон. Дойдя до края доски, слон поворачиваем под прямым углом. Попав в угол, он останавливается.

a) При каких $n$ и $m$ слон обойдем все белые поля доски?
b) Сколько всего полей он обойдем на доске $n \times m$?
Рассмотрим в качестве примеров доски размерми $10 \times 15, 10 \times 25, 15 \times 25$.

Рис. 13.

Рис. 14.

Рис. 15.

a) Рассмотрим прямой угловый к $A_{00}A_{01}A_{11}A_{10}$ с вершинами в центрах угловых полей (рис. 13) $|A_{00}A_{10}| = n - 1, |A_{00}A_{01}| = m - 1$. Возьмем решетку, порождаем его прямойником (рис. 14). Обозначим узлы такой решетки через $A_{ij}$, $i,j = 0,1,2,...$ (Узел $A_{ij}$ — это точка пересечения прямой, проходящей через $A_{i0}$ параллельно ($A_{00}A_{01}$), с прямой, проходящей через $A_{0j}$ параллельно ($A_{00}A_{10}$); точки $A_{i0}(i = 1,2,...)$ лежат на прямой $A_{00}A_{10}$, точки $A_{0j}(j = 1,2,...)$ — на прямой $A_{00}A_{01}$, причем $|A_{(i-1)}A_{i0}| = |A_{i0}A_{(i+1)}| = |A_{00}A_{10}|$, $|A_{(j-1)}A_{0j}| = |A_{0j}A_{(j+1)}| = |A_{00}A_{01}|$.

Проведем из точки $A_{00}$ луч $d$ под углом $45^\circ$ к прямой $A_{00}A_{01}$ (бисекторсу прямого угла решетки). Тогда пути слона $A_{00}B_1B_2B_3...$ по доске будет соответствовать последовательность точки $A_{00}, B_1, B_2', B_3',...$, в которых луч $d$ пересекается со стороны решетки. Слон остановливается на $l$-м ходу (попав в угол) тогда и только тогда, когда точка $B'_l$ попадает в узел решетки.

Пусть $A_{pq}$ — первый (не считая $A_{00}$) узел решетки, лежащий на луче $d$ (он соответствует достигнутому слоном угловому полю доски). Поскольку $A_{00}A_{0q}A_{pq}A_{p0}$ — квадрат, $p(n-1) = q(m-1) = a$; (1) и число $a$ — наименьшее общее кратное число $m-1$ и $n-1$ (напомним, что узел $A_{pq}$ — первый).

Между узлами $A_{00}$ и $A_{pq}$ луч $d$ пересекает стороны решетки $p+q$ раз, и соответствует $p+q$ раз слон попадет на край доски. На границе доски $2m+2n-4$ полей — поровну белых и черных. Слон побивает на всех белых полях доски в том и только том слуаче, если он побивает на всех граничных белых полях, т. е. если $p+q = m+n-2$.

(2)

Из (1) и (2) следует, что $\frac{a}{m-1} + \frac{a}{n-1} = (m-1)+(n-1)$, откуда $a = (m-1)(n-1)$. Но наименьшее общее кратное двух чисел равно их произведение тогда и только тогда, когда они взаимно просты; и мы получаем ответ на пункт a) задачи: слон обойдет все белые поля доски тогда и только тогда, когда числа $m-1$ и $n-1$ взаимно просты.

6. Если бы каждое «внутреннее» белое поле доски, через которого слон проходит два раза, считалось дважды, то число белых полей, проходимых слоном, было бы равно $a+1$ (поскольку для стороны квадрата $|A_{00}A_{0q}| = a$, $a$ — целое число, на диагонали $A_{00}A_{pq}$ лежат центры $a+1$ квадратической со стороны единица). Чтобы найти, сколько белых полей обойдет слон на самом деле, нужно из $a+1$ вычесть число внутренних белых полей, проходимых слоном дважды. Посчитаем, сколько таких полей.

Обозначим через $b$ наибольший общий делитель чисел $m-1$ и $n-1$ (сейчас мы уже предполагаем, что числа $m-1$ и $n-1$ не взаимно просты; тогда $b > 1$ и $(m-1) \times (n-1) = ab$). Положим $M = \frac{m-1}{b} + 1$, $N = \frac{n-1}{b} + 1$. Числа $M-1$ и $N-1$ взаимно просты, поэтому, если взять доску размерми $N \times M$, то слон, начав дв歧аться с белого углового поля, обойдет все ее белые поля. Примогутыни $A_{00}A_{10}A_{11}A_{01}$ и $A_{00}A_{10}'A_{11}'A_{01}'$ (рис. 15) подобны, поэтому числа самопересечений пути слона на обеих досках (размерми $n \times m$ и $N \times M$) одинаковы. Но так как слон попадает на все граничные белые поля доски $N \times M$ и проходит по всем ее диагоналям, то во

38

2,1 квт. Напряжение семи равно 220 в, сопротивление подводящих проводов 1 ом. Каким необходимо сделать сопротивление наревательного элемента печи?

Ф355. На pV-диа грамме (рис. 17) изображен замкнутый процесс, проведенный с одной молем заза. Участки 1→2 и 3→4 графика — прямы, проходящие через начало координат, а участки 2→3 и 4→1 — изотермы. Нарисовать график этого процесса на TV-диа грамме. Найти объем $V_3$, если известны объемы $V_1$ и $V_2 = V_4 = V$.

Рис. 17.

Рис. 18.

Здесь $U = 220$ в — напряжение сети, $I$ — ток в цепи.

Тепловая мощность, выделяющая на нагрузке, равна $P = I^2R$. (2)

Исключая из уравнения (1) и (2) ток $I$, получим квадратное уравнение для $R$:

$$PR^2 + R(2rP - U^2) + Pr^2 = 0.$$

Из этого уравнения неосредственно находится $R_1 \approx 21$ ом, $R_2 \approx 0,05$ ом.

При обихах значения $R$ на нагрузке будет выделяться мощность 2,1 квт, но при $R=0,05$ ом на подводящих проводах выделяется мощность в $\frac{I^2r}{I^2R} = \frac{1}{0,05} = 20$ раз больше, чем на нагрузке! Ясно, что это недопустимо. Следовательно, нужно выбрать сопротивление наревательного элемента $R=21$ ом.

Н. Слободецкий

Для того чтобы построить график данного процесса на диаграмме зависимости абсолютиной температуры от объема, найдем прежде всего зависимости между $T$ и $V$ для процессов 1→2 и 3→4. На pV-диаграмме графики этих процессов — прямы, проходящие через начало координат, поэтому можно записать:

для процесса 1→2 $p=\alpha V$, где $\alpha =$ const;
для процесса 3→4 $p=\beta V$, где $\beta =$ const ($\beta<\alpha$).

Сопоставляя эти уравнения процессов с уравнением состояния идеального газа $pV = vRT$ ($v = 1$ mol), получим, что в процессе 1→2 $T = \frac{\alpha}{vR} V^2$,

а в процессе 3→4 $T = \frac{\beta}{vR} V^2$.

Таким образом, оба процесса на TV-диаграмме изображаются параболами (рис. 18), причем парабола для процесса 1→2 идет более крупу, так как $\alpha > \beta$. Состояния 2 и 4 характеризуются одинаковыми объемами $V_2=V_4=V$ (по условияю), следовательно, на TV-диаграмме они лежат на одной вертикальной прямой $V =$ const, пересекающей обе парабoles. Изотермы 2→3 и 4→1 на TV-диаграмме изображаются горизонтальные отрезки, начиная ширими в точках 2 и 4 и душими до пересечения с соседней параболой в точках 3 и 1.

Теперный найдем объем $V_3$. Поскольку участки 2→3 и 4→1 — изотермы,

$$T_2 = T_3 \text{ и } T_1 = T_4.$$

Перепишем эти равенства, воспользовавшись уже известными нам выражениями температур через соответствующие объемы:

$$\frac{\alpha}{vR} V^2 = \frac{\beta}{vR} V_3^2$$

и

$$\frac{\alpha}{vR} V_1^2 = \frac{\beta}{vR} V_2^2.$$

Поделив первое равенство на второе, найдем

$$V_3 = \frac{V^2}{V_1}.$$

39

Ф356. С какой скорость движется мень Луны по земной поверхности во время полного солнечного затмения? Затмение наблюдается на экваторе. Для простоты считать, что расстояние Луны до Земли $R_1 = 384\ 000$ км, а период обращения вокруг Земли $T_1 = 28$ сут. $cym = 2\ 419\ 200$ сек. Аналогично применяем, что радиус Земли $R_2 = 6\ 400$ км и Земля делает полный оборот вокруг своей оси за время $T_2 = 1$ сут. $cym = 86\ 400$ сек. Тогда скорость движения Луны по круговой орбите

$$v_1 = \frac{2\pi R_1}{T_1} \approx 995\ m/sec,$$

Свет от Солнца

Рис. 19.

а линейная скорость точек земной поверхности

$$v_2 = \frac{2\pi R_2}{T_2} \approx 465\ m/sec,$$

причем, для той области поверхности Земли, где наблюдается тень от Луны, обе скорости направлены в одну сторону (рис. 19).

Поскольку солнечные лучи можно считать параллельными и размеры Луны малы, тень Луны движется относительно земной поверхности в полдень со скоростью

$$v = v_1 - v_2 = 2\pi \left( \frac{R_1}{T_1} - \frac{R_2}{T_2} \right) \approx 530\ m/sec.$$

Ф357. Кубик массы m прикреплен к двум пружинам с жесткостьми $k_1$ и $k_2$ и длинами внедеформированном состоянии $l_1$ и $l_2$ соответствующего. Прикрепленные другие концы (рис. 20), так что кубик

Введем систему координат с началом в точке $O$ (на левой стенке) и с положительным направлением оси $OX$ вправа. Пусть координата кубика равна $x$ ($0 < x < L$); следовательно, он находится на расстоянии $x$ от левой стены и на расстоянии $L - x$ от правой стены (см. рис. 20).

Обозначим через $F_1$ проекцию силы, действующей на кубик со стороны левой пружины. По закону Гука

$$F_1 = k_1(l_1 - x).$$

Рис. 20.

41

Прикладная математика

1. Что такое прикладная математика?

Трудно указать предмет, который вызвал бы в последние годы столб罢сточенные споры среди людей, имеющих отношение к математике. Пока идут эти споры, во всех промыщенно развивых странах развернулсь широкая подготовка специалистов в области прикладной математики; в частности, и в наших институтах специальность «прикладная математика» превращается в одну из наиболее популярных. В то же время многие выдавшиеся специалисты утверждают, что никакой прикладной математики вообще нет . . .

Что же это за область, которое нет? И чем занимаются специалисты в этой области (или необласти)?

Matematika начала применять еще до того, как стала наукой. Проctype арифметические и геометрические понятия и закономерности пропикали во все области человекаской деятельности. Во времяена же расцвета английого мира произошло оформление математики как науки с ее характерным деуктивным методом, согласно которой все ее утверждения выводятся по строгим логическим правилам из немногочисленных исходных положений, принимаемых без доказательства, как аксиомы. С этого периода начаLOBь построение градиного здания математики.

Попутно с развитием математики расширился к круге ее приложений. Многие важные математические понятия и методы были созданы специально для решения прикладных задачи и лишь затем анализировались, развивались и обобщались в «чисто математического» плане. Отдельные дисциплины — небесная механика, теоретическая электротехника, теория прочности, теоретическая физика и некоторые другие — оказались буквально «нашпигованными» математикой.

Одноко до последних десятилетий сравнительно сложные разделы математики применяются все же лишь в небольшим числе традиционных области науки и техники; да и там сложные задачи часто не удаваюсь довести до практических примелого решения.

В нашей электронные цифровые вычислительные машины в корне изменили представление о возможности применения математики. С помощью ЭВМ были решены многие ранее поставленные математические задачи прикладного характера, а также и новые задачи и проблемы, относящиеся к традиционным области приложений, так и к новым области, где ранее математика не находила применения. Оказалось, что не только конкретные математические результаты, но и сам строй математического мышления приносит неценному полезу в самых разных областях науки, техники, экономики, всей человеческой деятельности. Наступает качественно новый период развития математики — период «всеобщее математизация».

И вот стало очень видно, что математика в процессе ее приложений прибретает ряд характерных особенностей, черт, родственных для различных областей приложения и в то же время порой существенно отличиях от привчанных черт «чисто» математики. Tradиционное вывжение на первый план логическое со-

42

вершенства, глубины и общности формировок далеко не всегда отвечает жестким требованиям современных приложений — своевременности, эффективности, экономности. Вследствие этого получилось, что специализы в области «чистоя» математики часто оказывались не в состоянии математку эффективно применять. Возникла настоящая потребность в специализах нового типа.

Прикладная математика признана создавать, изучать, развивать и совершенствовать методы применения математики к задачам, возникающим за ее пределами. Таким образом, при достаточно широком взгляде на математку прикладная математика является неотъемлемой часть «математики вообще». При этом не следует представлять себе упрощенно, что будто бы математку можно отчетливо разделить на «чистою» и «прикладную» или что прикладная математика — это математическая дисциплина типа алгебры или геометрии. Применяться могут самые разнообразные разделы математики, и огромное число математических понятий и методов являются как «чисстыми», так и «прикладными» (или «примущественно чисстыми», «примущественно прикладными» и т.п.), т. е. могут входить как в чисто математическое, так и в прикладные исследования. Поэтому более правильно говорить о чистою и прикладной математике не как о разделах математики, а как о ее аспектах, подходах к ней, ответающих соответствующим темисам «математика как целый» и «математика как средство». И оказаваться, что многие понятия, методы, утверждение в этих двух подходах не только играют существенно различную роль, но порой наполняются и различным содержанием (см. п. 2)!

Пока дисциплин, основанных на систематическом применении математики, было немного, а сами методы этого применения были не слишком сложны, потребности в большом числе специализов — прикладных математиках — не было. С легкими математическими задачами справлялись сами представители этих дисциплин, а более трудные и принципальное новые задачи изучали также великие учены как В. Риман, А. Пуанкаре, А. М. Ляпунов и другие (которые были одновременно как чистыми, так и прикладными математиками!). Однако в период всеобщей математизации, когда прикладные математические задачи становятся все более сложными и разнообразными, такого сочетания условий не недостаточно: великих учены не хвасят на все задачи!

В то же время существенный вклад в решение таких задач из самых разнообразных областей человека деятельности сейчас могут внести лишь специализы с широким математическим образом, владющее методами применения математики и обладающие соответствующими интересами и навkillами. Это и есть прикладные математики. В зависимости от темпераента и источательств они могут специализироваться либо в какой-то определенной области приложения математики, либо же, будучи в первую очередь математики, переходит от одной области к другой; могут работать в составе группы или же самостоятельно.

И, наконец, отметим, что, несмотря на многоvekовою историю применения математики и огромный опыт такого приложения к конкретным задачам, изучение принципов и общих методов этого приложения только начинается. Возможно, некоторые из наших читателейPrimут участе в изучении, систематизации и совершенствования этих приложов и методов, то есть в оформлении своего дисциплины — общей прикладной математики.

2. Каковы особенности прикладной математики?

Говоря теперь о чистой и прикладной математике, мы будем, с одной стороны, иметь в виду «академичскую»

43

математику, изучаемую на математических факультах университетов и целиком основанную наедуктивном методе; а с другой стороны — математику в том обличье, которое она приобретает в процессе приложений.

Естественно, что содержание многих понятий, утверждений, методов в чистой и прикладной математике одинаково или почти одинаково. (Пример — теорема Пифагора.) Однако сейчас мы сосредоточим внимание на случаях, когда это не так.

a) Существование решения

Вопрос «имеет ли данная задача решения?» не так прост, как может показаться на первый взгляд; иначе что «чистый» и «прикладной» математики дают на него прямое противоложные ответы. Не вдаваясь в физические и логические дебри, посним сказанное следующее примером.

Американские студенты изобрели игру в «гекс». Играют две на четырехсторонней доске из правильных шестиугольников (в качестве доски, например, можно использовать кафельный пол) физами двух цветов: «черными» и «полосатыми». Объчно размеры доски — это 11×11 шестиугольников — см. рисунок. Две противоположные стороны доски обьявляются «черными», две другие — «полосатыми». Игроки по очереди выкладывают свои фишки-шестиугольники: один — «черные», другой — «полосатые», причем финику можно классify на любое свободное поле. За каждым из игроков закреплена пара сторон доски — одинаковых по цвету с его фишками. Цель каждой игрока — соединить связным путем стороны своих фишками.

Естественно поставить вопрос: а существует ли выигрышная стратегия для первого или второго игрок («стратегия» состоит в указании хода в любом уже создавшемся положении)? На этот вопросdal ответ известный американский математик Дж. Нэш: он доказал, что существует выигрышная стратегия для первого (начинаяшего) игрок и не существует для второго. Приведем схему его острумного доказательства.

Прежде всего, можно доказать (мы предоставляем это читателю), что данная игра обязательно заканчивается выигрышем одного из игроков, т. е. чтоничих здесь не бывают. Считая это известным, доказем существование выигрышной стратегии для первого игрок методом «от противного», т. е. допустим, что такой стратегии нет. Это означает, что, как бы ни старался первый игрок, второй может уйти от поражения, т. е. в силу невозможностиничих выигрыть. Но тогда второй игрок имеет выигрыш-

45

рассуждания, непримемые с точки зрения чистой математики, но при разумном их применении приводящие к правильным практическим результатам. Такие рассуждания типичны для всех дисциплины (физика, химия, биология, медицинна и т. д.), кроме чистой математики; так что в этом отношении прикладная математика находится как бы на стыке математики с этим дисциплинами.

Эвристические рассуждания могут включать аналоги, численные и физические эксперименты, общее выводы на основе анализа типичных случаев (это — так называемая «неполная индекция») и другие подобные способы рассужданий. Все эти способы в чистой математике доказательной силы не имеют, однако в прикладных задачах они вполне правомерны и поступanno применяются.

В прикладных математических рассуждаениях за математическим понятиям обычно стоит реализовать объекты. Поэтому при решении прикладной математической задачи часто оказываются полезными сведениями, не содержащие явно в формулировке задачи, но вытекающие из ее физического смысла.

Однако в ряде случаев наиболее целесообразными, а порой и единственно возможными оказались действия методы. Поэтому прикладной математик должен владеть всем способами рассужданий.

Почему же все-tаки в прикладной математике далеко не всегда удается проводить все построения так же строго, как в чистой математике? Дело в том, что часто эвристическим путем можно получить решения задачи именно в тех случаях, когда число делительных методы не приводят к целли или требуют колоссальных, неоправданных услуг. Кроме того, переход от реализации объекта к его математической модели (об этом см. ниже) всегда является эвристическим и осуществляется лишь с некоторой точностью. Решение математической задачи — это только часть полного исследования.

3. Математические модели

Прикладной математик все время имеет дело с математическим моделими. Models могут быть геометрические фигуры, числовые множества, различные уравнения и системы уравнений и т. п., описывающие какие-либо свойства изучаемого реализации объекта или явления.

Рассмотрим простой пример. Пусть нас интересует объем жидкости, которое вместе вместе с математическим моделими, которая дает возможность получить ответ:

$$V = \frac{\pi}{4} d^2 H - \text{без эксперимента, но и без учета несовершенства реализации страны, или поверхностного натяжения, и т. п.}$$

Конечно, как мы уже говорили, математическая модель описывает реализный объект совершенного неправильного, как говоря, модель оказается недекватной реализации объекта. Составление математической модели — дело очень ответственное. Реальный объект может иметь много различных, неравно-сильных моделей; и понски адекватной и в то же время достаточно простой модели зачастую прибрегают драматический характер. Кроме того, изучаемой модель, мы можем столько с совершенной непредвиденными математическими трудностями.

Позному прикладному математнику недостаточно только хорошо математического образования. Он должен обладать и математической эрудицией, и интупцией, чтобы при решении конкретной прикладной задачи применять именно те методы, которые дают наиболее эффективный эффект. Он должен

46

уметь развивать эти методы и создавать новые. И, конечно, — довести решение до результата, используя для этого все необходимые средства, в том числе и ЭВМ.

4. Как стать математиком-прикладником?

Подготовка математиков-прикладников в нашей стране осуществляется в университетах и в ряде крупных высших технических учебных заведений. При этом наблюдается определенное слияние университетского и технического образования, в основном за счет существенного повышения общегооретического потенциала выпускников вузов, специальнуюшихся по прикладной математике (специальность 0647).

В то же время во втузах сохранется и некоторые особенности — ориентация на приложения математических методов в практических задачах, возникших в соответствии with областях экономики, технических, транспорта, управления и т. д. Поэтому наряду с математическим курсами общегооретического и прикладного характера (1700—2050 часов) в учебном плане (всего 4700 часов) специальности 0647 предусмотренных дисциплины, связанные с ЭВМ (300—600 часов), АСУ, теория управления, физика, механика, электротехника и радиоэлектроника. На последних семестрах читают курсы, связанные со специальизации: методы прикладной математики, численные методы, алгоритмизации процессов управления, теория систем, системное моделирование и некоторых другие. Прикладная математика имеет три основные специальизации:

1. применение средств вычислительной техники к решению задач народного хозяйства — техники, экономики, управления, планирования;
2. математическое обеспечение АСУ;
3. математическое обеспечение ЭВМ.

Первая из этих специальций начиная играть главенствующего роль, и вот почему. Програмс вычислительной техники и создание все более совершенных, сложных, все более быстроствующих (до 2·10⁸ операций в секунду) ЭВМ сопровождается явной унифкацией: меньше становится разнообразие типов машин. Унификация модели наблюдается даже в мировом масштабе: в результате соглашения между отдельными фирмами различные типы вычислительных машин оказываются совместными в экспериментии.

ЭВМ второго поколения (на полупроводниках), подобные БЭСМ-6, пришедшие в 60-х годах на смену лампповым машинам первого поколения (50-e годы), обладают быстроствием до 10⁶ операций в секунду, т. е. в 10³ раз большим быстроствия машин первого поколения, и примерно в 10⁶ раз большим быстроствия человека. Эти ЭВМ весы наDEX-6, пришедшие в 60-х годах на смену лампповым машинам первого поколения (50-e годы), обладают быстроствием до 10⁶ операций в секунду, т. е. в 10³ раз большим быстроствия машин первого поколения, и примерно в 10⁶ раз большим быстроствия человека. Эти ЭВМ весы наDEX-6, пришедшие в 60-х годах на смену лампповым машинам первого поколения (50-e годы), обладают быстроствием до 10⁶ операций в секунду, т. е. в 10³ раз большим быстроствия машины, позволяют соответствовать соответствующим переводить соответствующим алгоритмым решения задачи на внутренний язык машин, понятный ей. Приято считать, что опытный программист отработывает 3—4 команды в день. При такой технологии требуется сотни человек-лет предварительной работы, чтобы загрузить, например, одну машину БЭСМ-6 на один час. Выход был найден на пути передачи существенной части труда человека по созданию программы самим машinem. Однако и это не решило многохпроблем; во всяком случае — для машины третьего поколения (на интерральных схемах), машин 70-х годов с быстроствием до 2·10⁷ операций в секунду. Эти проблемы обретают новый характер. Машины становятся все более «прожорными»: они требуют задач в огромном объеме, задач, облеченных в математическую

47

форму, специально подготовленных для «машинного чрева». Поэтому, если созданию машин второго поколения сопутствовало выdvijжение на первый план специализа в области построения и совершенствования внутреннего математического обеспечения, то «жизненный тонус» машин третьего поколения требует наличия широкого круга лиц, способных подготовить задачу: вникнуть в ее смысловое содержание (в ее физической смысле), построить математическое модель,выбрать методы ее изучения, подготовить алгоритм решения, использовать машину для его осуществления.

Естественно, что это — грубая схема, но зачастую даже она не может быть реализована.

Дело в том, что многие задачи, особенно экономического, социально-ческого, общественного типа, настолько сложны, что не поддаются формализация средствми современной математики. Иными словами, неудается построить математическое модель рассматриваемого явления. В такой ситуации возникнет особенно острая потребность в сочетании формализованного и неформализованного подходов, сочетания математических и эвристических методов, вычислений и интуиции. Этот путь приводит к понятию имитационной модели. Имитационная модель изобразает, импитует изучаемый процесс; она служит для всестороннего его анализа, позволяетарьировать различными параметрами процесса и изучать последствия этих изменений. Отделные элементы имитационной модели могут допускать формализацию, для других ее может не быть. Во всех случаях, однако, предполагается создание возможностей машины (быстро прочита большего числа вариантов) и интуиции, опыта человека. Имитационное моделирование — важнейшее направление в совершенствующей прикладной математике. Об этом много интересного можнопочпнуть в увлекательной книге

H. H. Монсеева «Математик задает вопросы» (М., «Знание», 1974).

В конце 70-х годов найдет применение разработываемые в настоящее время машины четверго поколения. По-видимому, они оказываются «высокого интеллектными», позволяят упростить диалог между человеком и машиной (неизбежный при исследовании имитационной модели), возьмут на себя многое функции, выполняемые ниже программыми и специализами по внутреннему математическому обеспечению, и потребуют обильного материала для «размышления». В этом одна из причины того, что подавляющая часть математиков-прикладников ориентируется теперь на специализацию по применению ЭВМ в задачах народного хозяйства. Другая, столже важная, причина — в математизации наук, во все более разнообразном и глубоком использовании математических методов как в традиционных, так и в совершенню новых областях знаний.

Специально математика-прикладника можно овладеть, обучаясь во многих вузах страны. Средние них — известные вузы: МИНТ, МИНХиГП, МАИ, МИЭМ, МИФИ, МФТИ, Алтайский, Тульский, Донецкий, Львовский политехнические институты, Днепропетровский институт инженеров железнодорожного транспорта, Казанский авнационный, Харьковский радиотехнический институты и некоторые другие.

Кроме того, специализить «прикладная математика» есть в средних специальных учебных сведениях: в Московском математическом техническом технике (в этот техническом только москович), в Ленинградском механическом техническом технике (у этого техническа тоже нет общежития), в Минском политехнику, в Киевском механико-mеталлическом технике, в Днепропетровском технике автоматики и телеханки, в Днепропетровском промышленно-экономическом технике-

48

me, в Ростовском электронческом техническом технике, в Кировоканском политехнике, в Ковровском энергомеханическом технике, на среднетехническом факультете Тульского политехнического института.

Каждай выпускник восbmилетней школи, желающий получить углубленную математическую подготовку и одновременно интерсуцию его специальность, может сделать заявление в один из этих техническов. [Особый интерес представляет собой новое открываемая специальность: «Обработка информации в АСУ». По этой специальности на общий курс математики отводится (для поступающих после 8-го класса) свыше 500 учебных часов; сюда включены элементы математической логики, теории вероятностей и математической статистики. В общепещальном цикле изучается вычислительная математика в объеме 100 учебных часов, основы программирования и алгоритмические языки в объеме 128 учебных часов. Набор по специальности «Обработка информации в АСУ» будет проводиться в Ленинградском промышленно-экономическом технике.]

5. А что делать в школе?

Конечно, — освивайте математку, либо прикладная математика — это прежде всего математика. Нужно овладеть делутивным методом рассужdenия, научиться давать точные определения, тренироваться в решении задачи различного типа, в частности задачи, развивающихся логическое и алгоритмическое мышление.

Не пренебрегать «тестовыми» задачими, решение которых требует представительного составления управления. К сожалению, текстовые задачи школьного курса математики, как правило, мало имеют общее с теми задачими, с которых сталкивается прикладной математик. Однако важна привчка не робеть перед нематематическими текстами!

Полюбить вычисления, начиная с самых грубых прикидок порядка величины и самых грубых подсчетов и кончая самыми точными вычислениями с помощью всех известных вам методов и доступных вычислительных средств.

Осваивает физку и отделные разделы других дисциплин (в том числе не включенные в школьную программу), в которых применяется математика. Научиться мыслить на «физическая» языке, проводить неформальные рассуждения, научиться пользоваться эвристическими определениями, проводить эвристические доказательства, типичные для прикладных дисциплин.

А для начала мы предлагаем вам решить несколько задач и список полезных книг и статей.

Уражнения

1. Докажите, что при игре в «гекс» ничего не было.
2. Докажите оценку общего числа S стратегий для первого игре в «гекс»:
   $$121 \cdot 119^{120} \cdot 117^{118} \cdot \dots \cdot 101^{102} < S < 121 \cdot 119^{120} \cdot 117^{118} \cdot 3^4.$$
3. Сравните S с возможным числом элементов частies во Вселенной.
4. В стенгаете клуба «Рога и копыта» «Интертурной газеты» появилось сообщение о том, что начальник пожарной охраны Камского элеватора Матвей Толстобрюхов подсчитал, что емкость этого хранилаша составляет 839522634175293648209 зерен пшеницы. Укажите две грубые ошибки в этом подсчете.
5. Выведите простую приближенную формулу для увеличения продолжительности дня (по сравнению с 22 декабря) N-го января, в зависимости от N.
6. Оси двух круговых цилиндров радиусов R₀ и R пересекаются под прямым углом. Получите приближенные формулы для объема V полученного тела при R₀=const и R→0 либо R→∞.

Литература

1. Математика в современном мире, «Мир», Москва, 1967.
2. И. И. БLEXMAN, А. Д. Мышкис, Я. Г. Пановко, Прикладная математica. Предмет, логика, особенность подходов, «Наукова думка», Киев, 1976.
3. Г. Штейнгуз, Задачи и размышления, «Мир», Москва, 1974.
4. Л. Садовский, Прикладная математica — новая специальность в технических.byхах, «Квант», 1974, № 6.

49

Чертеж в геометрической задаче

На роль чертежа в решении геометрической задачи поступающие смотрят по-разному. Один думал, что чертеж вообще не нужен, и выполняют его подчернуть небрежно. Другие, наоборот, считают сам чертеж достаточно аргументом в рассуждении и даже не находят нужным каклюбо обосновывать то, что «видно из чертежа». Обе эти крайние точки зрения неправильны.

Разумеется, никакой чертеж, даже самый аккуратный, не может заменить логического доказательства, а является лишь иллюстрацией к рассуждении. Любой геометрический факт, который мы «увидели» на чертеже, необходимо строго обосновать — только тогда можно утверждать, что этот факт действительное имеет место, а не получен из верного (или, что гораздо опаснее, неверного) рисунка.

В то же время наглядный чертеж — хорошо помощник при решении задачи: он может подсказать идею необходимых рассуждений и вычислений, наолкнуть на мысль использовать некоторую теорему или придумать удачное дополнительное построение. Недаром математики вообще часто прибегают к геометрическим иллюстрациям, чтобы сделать идеи доказательства более понятными.

Однако помочь решить задачу может только чертеж, правильно отражающий существенные геометрические особенности конфигурации, о котором идет речь в условиях. Именно поэтому к чертежу следует относиться очень внимательно.

Часто поступающие ограничиваются первым более или менее удално выполненным рисунком, не интересясь, насолько точно сделанный чертеж отвевает условия задачи. Между тем во многих задах провести полное решение по одному чертежу в принципине невозможно, поскольку условие задачи допускает существование геометрических различных конфигураций. Кроме того, такая привязанность к одному «случайному» чертежу приводит и к инной непрярности: в ходе решения задачи может обнаружиться противоречие между получающимся результатами и исходным чертежом, которое обычно ставит поступающие в тупик. Однако при правильном понимании чертежа в этом нет ничего страшного — следует просто отказывать от первогоначального изобравжения и сделать новый чертеж, соответствующий появившейся геометрической информации (конечно, при условии, что проведенные рассуждения и вычисления правильны).

При построении чертежа бывают полезно делать не примерный экскиз, дающий лишь общее представление о геометрической конфигурации, а стремиться последовать конструировать чертеж, опираясь на данные задачи и общие геометрические факты. При таком подходе легче «увидеть» те идеи, которые можно применить в решении.

Задание 1 (МГУ, ф-т повоеведения, 1974). В треугольнике ABC угодл В равен 90°, AB = 4. На стопоне BC взята точка D так, что BD = 1. Окружность радиуса $\sqrt{5}/2$ проходит через точки B и D и касается в точке B окружности, описан-

50

ной около треугольника ABC. Наимплощадь треугольника ABC.

Прежде всего построим треугольник ABC с прямым углом B (рис. 1). Для построения окружности, описанной около этого треугольника, выясним сначала, где находится ее центр O и чему равен ее радиус. Как известно, центр окружности, описанной около прямого угольного треугольника, лежит в середине гипotenузы, а ее радиус равен половине гипotenузы. Это дает возможность построить описную окружность.

Займется теперь построением другой окружности. Отметив на стороне BC точку D, мы можем утверждать, что центр этой окружности лежит на перпендикуляре, проведенном через середину K отрезка BD. Из условия касания окружностей заключаем, что центр расматриваемой окружности лежит на радиuce описанной окружности, проведенном в точку касания, т. е. в точку B. Иначе говоря, центр S окружности, о котором идет речь в условия, есть точка пересечения прямой SK и медианы BO.

Построение чертежа законечно. В ходе этого построения мы установили два факта, на которых и основывается решение задачи: во-первых, центр S лежит на стороне BO равновесного треугольника BOC; во-вторых, перпендикуляр, опущенный из центра S на катет BC, проходит через середину отрезка BD.

Теперь проведем необходимые вычисления. Из прямого угольного треугольника BSK по теореме Пифаго-

ра находим SK = 1, а тогда ctg (↗ SBK) = 1/2. Но ↗ ACB = = ↗ OBC, и поэтому BC = AB ctg (↗ ACB) = 2. Следовательно, площадь треугольника ABC равна 4.

Итак, задача полностью решена, и идею решения мы получили благодаря последовательному конструкрованию чертежа. Однако, как это ни удивительно на первый взгляд, чертеж, изображенный на рисунке 1, полностью условию задачи не соответствует. В самом деле, проведенные вычисления показывают, что BC = 2, а AC = 2/√5. Следовательно, BO = √5 = 2·SB, т. е. BO — диаметр окружности с центром S, которая, таким образом, проходит чертеж точку O. Другими словами, площадь соответствует данным заданным рисунком 2.

В чем же причина неполного соответствия рисунка 1 данных задачи? Дело в том, что проведенное конструкрование чертежа касалось только его геометрической стороны, но не учитывало всех конкретных числовых данных. Более того, мы и не могли их учеть, поскольку все числовые размеры конфигурации, а следовательно, и ее геометрические точки вид, удается установить только после соответствующих вычислений.

Тем не менее изложенное выше решение является исчерпывающим, хотя, как мы теперь убедились, основався на неточном чертеже. Это объясняется просто: в наших рассуждениях нигде не использовалось

51

взаимное расположение точки $O$ и окружности с центром $S$, выяснение их взаимного расположения при данном способе решения задачи не обязательно.

Подобная ситуация является в геометрической задаче типичной. Практическиеники, приступая к решению, мы не в состоянии построить чертеж, абсцилтоно точно отображающий всю специфку конфигурации, — многое ее особенности вскрывают только в ходе рассужdenи. Поэтому важно прежде всего выявлять геометрические свойства, существующие в данной задаче. Это требует особого внимания и осторожности, поскольку с первого взгляда далеко не всегда очевидно, какие именно особенности конфигурации оказываются существенными и в какой мере допустимо несоответствие между данной конфигурацией и чертежом.

Разумеется, если в процессе решения выясняется, что чертеж явно не соответствует данным задачи, его следует заменить на правильный. Например, в следующей задаче даже развитие геометрической воображение не может помочь сразу выполнить чертеж, точно отражающей существенные особенности конфигурации.

Задача 2 (МГУ, механизм, 1972). В треугольной парамиде $SABC$ боковое ребро $SC$ равно ребру $AB$ и наклонено к плоскости основания $ABC$ под углом $60^\circ$. Известно, что вершины $A, B, C$ середины боковых ребер парамиды расположены на сфере радиуса 1. Доказать, что ценир указанной сферы лежит на ребре $AB$, и найти высоту парамиды.

Для решения задачи сделаем традиционный чертеж парамиды $SABC$ (рис. 3), построим ее высоту $SH$ и проведем отрезок $HC$. Так как по условиям задачи $\angle SCH = 60^\circ$, то из треугольника $CHS$ находится $SH = a\sqrt{3}/2$, $HC = a/2$, где через $a$ обозначана длина ребра $SC$.

По условиям вершины $A, B, C$ и середины $A_1, B_1, C_1$ соответствуют ших боковых ребер лежат на одной сфере. Отсюда, в частности, следует, что через точки $A, A_1, B, B_1$ проходит окружность — сечение этой сферы плоскостью грани $SAB$. Так как $A_1B_1 \parallel AB$, то четырехугольник $AA_1B_1B$ — трапеця, и притом равновобочная, поскольку она вписана в окружность. Поэтому

$$AA_1 = BB_1 = \frac{1}{2} SA = \frac{1}{2} SB.$$

Аналогичные распределения для четырехугольника $BB_1C_1C$ показывают, что парамида $SABC$ имеет равные боковые ребра: $SA = SB = SC = AB = a$. Отсюда видно, что треугольник $ASB$ — равносторонний, а поэтому апофема $SM$ этой боковой грани равна $a\sqrt{3}/2$, т. е. $SM = SH$.

Таким образом, высота парамиды совпадает с апофемой боковой грани $ASB$. Но тогда точка $H$ совпадает с $M$, а грани $ASB$ и $ABC$ взаимно перpendикулярны. Поэтому изображенная на рисунке 3 картина на

52

самом деле не соответствует условиям задачи, верным будет рисунок 4.

Дальнейшее решение не представляется труду. Проекции на плоскость ABC (рис. 4) равны наклонных SA, SB, SC равны: $HA = HB = HC = a/2$, следовательно, точка H — центр окружности, описанной около треугольника ABC, а потом центр сферы лежит на перпендикуляре к плоскости основания, восставленном из точки H, т. е. на высоте SH парамиды (или на ее продолжении). Центр этой сферы равно лен, например, от точек A и A₁. Поскольку $HA_1 = a/2$ как средняя линия треугольника ASB, то $HA_1 = HA$, так что точка H, лежащая на ребре AB, как раз и является центром сферы. Но радиус этой сферы по условиям равен 1, $HA = a/2 = 1$, а = 2 и $SH = \sqrt{3}$.

Иного само условия задачи умышленно было сформировано несколько неопределенно — так, что оно явно допускает геометрические существование различных чертежки, и неопределенно по исходным данным неясно, какая именно из конфигураций имеется в виду. В таком случае надо изобразить на нескольких чертежках все возможности, отвечающие условиям задачи, а затем, исследуя каждой чертежки, найти истинную геометрическую конфигурацию.

Задача 3 (МГУ, ф-т почвоведения, 1975). В равновойной границе лежат две окружности. Одна из них, радиуса 1, описана в границе, а вторая касается двух строки границы и первой окружности. Расстояние от вершины угла, образованное двумя строками границы, касаются второй окружности, до точки касания окружностей вдвое большие диаметры второй окружности. Найти площадь границы.

Неопределенно из условия задачи неясно, в какой из углов трапеции — в тупой или в острый — описана вторая окружность. Поэтому мы должны рассмотреть оба варианта (рис. 5) и попытаться выяснить, какой из них согласуется с конкретными числовыми соотношениями, заданных в условиям.

Пусть $O$ — центр окружности, описанной в трапецию $ABCD$, $O_1$, $O_2$ — центры второй окружности (два варианта!), $P_1$, $P_2$, $M_1$, $M_2$, $N_1$, $N_2$ — точки касания. Радиусы второй окружности обозначаим через $r_1$, $r_2$. Из подобия треугольников $OM_1C$ и $O_1N_1C$ в первом случае и $OM_2D$ и $O_2N_2D$ во втором имеем

$$\frac{OM_1}{O_1N_1} = \frac{OC}{O_1C}, \frac{OM_2}{O_2N_2} = \frac{OD}{O_2D},$$

и, поскольку $OC = OP_1 + P_1C = 1 + 4r_1$, $OD = OP_2 + P_2D = 1 + 4r_2$, то в общих случаях

$$\frac{1}{2r} = \frac{1 + 4r}{3r},$$

откуда $r = 1/2$. По теореме Пифагора из треугольников $OM_1C$ и $OM_2D$ соответственно получаем теперь, что

$$M_1C = 2\sqrt{2}, M_2D = 2\sqrt{2}.$$

Итак, если вторая окружность описана в тупой угол трапеции, то меньше основание трапеции равна $4\sqrt{2}$; если же вторая окружность описана в острый угол трапеции, то больше основание трапеции равна $4\sqrt{2}$. Между тем, если в равновую трапецию с основаниями $a$ и $b$, где $a < b$, описана окружность диаметра $d$, то выполняется

53

неравенство $a < d < b$ это следующет, например, из легко доказываемого и весма полезного соответствия $d = \sqrt{ab}$. Поэтому в нашей задаче меньше основание трапеции должны быть меньше 2, так что окружность с центром $O_1$ условию задачи не удовлетворяет, и следует рассматривать лишь окружность с центром $O_2$. Теперь уже легко найти площадь $S$ трапеции. Пользовся соответствием между основаниями трапеции и диаметром вписанной в нее окружности $d = \sqrt{ab}$, мы получаем равенство

$$2 = \sqrt{AD \cdot BC} = \sqrt{4 \sqrt{2} \cdot BC},$$

откуда $BC = \sqrt{2}/2$ и $S = \frac{1}{2}(AD + BC) \cdot 2 = 9 \sqrt{2}/2$.

В разобранной задаче возможность существования двух принципиального различных геометрических конфигураций была совершенно очевидна. Однако не всегда это так, и нужно обладать хорошо геометрическим воображением и проявлять достаточно осмотрительность, чтобы при выполнении чертежа «увидеть» все конфигурации, которые следует рассмотреть в решении.

Задача 4 (МГУ, географич. ф-т, 1968). Высота прямой призмы равна 1, ее основанием служит ромб со сторной 2 и острым углом $30^\circ$. Через сторону основания проведена секущая плоскость, наклонная к плоскости основания под углом $60^\circ$. Найти площадь секущей плоскости.

На экзамене многогеометрические, выполив рисунок 6, для примерного следующего «решение» этой задачи: «Пусть $MN$ — линя пересечения секущей плоскости $\alpha$ с плоскостью грани $DCC_1D_1$; опустив перpendикуляр $MK$ на $AB$, по теореме о трех перpendикулярах получим, что $KD \perp AB$. Позному $\Rightarrow MKD$ — линейный угол двугранного угла между плоскостью $\alpha$ и плоскостью основания, так что $\Rightarrow MKD = 60^\circ$. Тогда

$$MK = \frac{KD}{\cos 60^\circ} = \frac{AD \sin 30^\circ}{\cos 60^\circ} = 2.$$

В этом рассужdenнии есть существенный пробел: чертеж, на котором оно основано, выполнен при нейном предположении, что плоскость $\alpha$ пересекает прямогольник $DCC_1D_1$. Между тем при заданных числовых данных это вовсе не очевидно, более того — неверно: в действительности плоскость $\alpha$ «выходит» из данной призмы через верхиной граны, а точка $M$ лежит на продолжении ребра $DD_1$. В самом деле, найдем так же, как и выше, что $MK = 2$ (заметим, что это вычисление не зависит от положения точки $M$ на прямой $DD_1$), из треугольника $MDK$ мы получим, что $MD = \sqrt{3}$, так что $MD$ больше $D_1D$. Следовательно, ребь в задане идет о конфигурации, указанной на рисунке 7, и искать надо площадь паралелограмма $AQPB$, а не

54

AMNB. Дальнейшее решение задачи не вызывает принципиальных затруднений, и мы предоставляем это читательям; искомая площад $S = 4\sqrt{3}$.

Еще больше вызывает принципиальных затруднений, и мы предоставляем это читательям; искомая площад $S = 4\sqrt{3}$.

Еще больше вызывает принципиальных затруднений, и мы предоставляем это читательям; искомая площад $S = 4\sqrt{3}$.

Еще больше вызывает принципиальных затруднений, и мы предоставляем это читательям; искомая площад $S = 4\sqrt{3}$.

Окончательный ответ записьется в виде

$$S = \begin{cases} 2/\cos \varphi, & \text{ если } \varphi < 45^\circ, \\ 2\sqrt{2}, & \text{ если } \varphi = 45^\circ, \\ 2/\sin \varphi, & \text{ если } \varphi > 45^\circ. \end{cases}$$

Можно, разумеется, включить второй случай в любой из двух других, и записать ответ более компактно.

С аналогичной ситуации мы встречаемся и в следующей задаче. Правда, окончательный ответ в ней от вида конфигурации не зависит и одинаков для всех значений параметра, однако промежутные вычисления проводятся по-разному для различных конфигураций. Естественно, что решение, в котором рассмотрен не все геометрические различные случаи, не может считаться полноценным, хотя форма по получается правильный ответ.

Задание 5 (МГУ, механизм, 1970). Шар радиуса $r$ касаемая плоскости $P$ в точке $A$. Прямая l образует с плоскостью $P$ угол $\varphi$, пересекает эту плоскость в точке $C$ и касаемая шара в точке $B$. Наимен длину отрезка $AB$, если $AC = 2r$.

Изображим конфигурацию, о которой идет речь в условия (рис. 8). Из точки $B$ опустим перpendикуляр $BB_1$ на плоскость $P$ и проведем отрезок $CB_1$; ясно, что $\Rightarrow BCB_1 = \varphi$. Далее, $OA = OB = r$, а $CB = CA = 2r$ по свойству касательных к шару, проведенных из одной точки.

Искомый отрезок $AB$ является гипотенузой прямого углового тре-

Рис. 8.

55

угольника $BB_1A$, катет $BB_1$ которого определяется из прямогольного треугольника $CB_1B$: $BB_1 = 2r \sin \varphi$. Остается найти катет $AB_1$. Прямые $OA$ и $BB_1$, перпендикулярные к плоскости $P$, лежат в одной плоскости. Проведем в ней прямую $ON \parallel AB_1$; тогда $AONB_1$ — прямогольник, и следовательно, $AB_1 = ON$, $NB_1 = OA = r$. Так как $NB = BB_1 - NB_1 = 2r \sin \varphi - r$, то из треугольника $ONB$ $ON^2 = OB^2 - NB^2 = 4r^2 \sin \varphi (1 - \sin \varphi)$, а из треугольника $BB_1A$ $AB = \sqrt{AB_1^2 + BB_1^2} = \sqrt{ON^2 + BB_1^2} = 2r \sqrt{\sin \varphi}$.

Не следует, однako, думать, что задача решения. В самом деле, при вычислении отрезка $NB$ мы существенно используем тот факт, что точки $B, N$ и $B_1$ расположены именно так, как это изображено на рисунке 8. Но из условия задачи вовсе не следует, что точка $N$ лежит между $B$ и $B_1$; точка $B$ может лежать между точки $N$ и $B_1$, точки $N$ и $B$ могут даже совпадать. Только рассмотрев все эти случаи, мы можем утверждать, что проведи исчерпывающие решения задачи.

Если точка $B$ лежит между $N$ и $B_1$ (рис. 9), то $NB = NB_1 - BB_1 = r - 2r \sin \varphi$, а дальнейшее вычисление отрезков $ON$ и $AB$ проводится точно так же,

Рис. 9.

Упражнения

1. (МГУ, мехмат, 1961). На плоскости даны четыре различные точки $A, B, C, D$ также, что $AB \perp CD$ и $AC \perp BD$. Доказать, что $AD \perp BC$.

2. (МГУ, мехмат, 1961). В треугольной прямиле две грани — равносторонние треугольники со сторонами $a$, а две другие грани — равнобедренные прямогольные треугольники. Определить радиус шара, вписаного в прямиду.