Квант 1976, №7 · Страницы

Кеанм
1976
7
Научно-популярный
физико-математический
журнал

На этой странице изображены общий вид и схема суммирующей машины, конструкционной одним из самых значительных людей в истории человека — Блезом Паскалем (1623—1662). Его портрет помещен слева. О Паскале, о его жизни, многочисленных научных достижениях, открытия, идеях и изобретения уже рассказывалось в «Кванте» (1973, № 8, с. 4). Там же рассказывалось и о построенной им машине (с. 10—11). Современники Паскале называют «паскалеевым колесом». О вычислительных машинах, об истории их изобретения, об устройстве (логическая и физическая) современных вычислительных машин и об их применениях подробно рассказано в интерсейной книге Р. С. Гутера и Ю. Л. Полунова «Математические машины», выпущенной издательством «Просвещение» в 1975 году. Советум ваме прочесть. С решением на эту книгу вы можете познакомиться на с. 50 этого номера журнала.

1

Главный редактор
академик И. К. Кикоин
Первый заместитель
главного редактора
академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:
М. И. Башмаков
С. Т. Беляев
В. Г. Болтянский
Н. Б. Васильев
Ю. Н. Ефремов
В. Г. Зубов
П. Л. Капица
В. А. Кириллин
А. И. Климанов
(главный художник)
С. М. Козел
В. А. Лешковцев
(зам. главного редактора)
Л. Г. Макар-Лиманов
А. И. Маркушевич
Н. А. Патрикеева
И. С. Петраков
Н. Х. Розов
А. П. Савин
И. Ш. Слободецкий
М. Л. Смолянский
(зам. главного редактора)
Я. А. Смородинский
В. А. Фабрикант
А. Т. Цветков
М. П. Шаскольская
С. И. Шварцбург
А. И. Ширшов

Редакция:
В. Н. Березин
А. Н. Виленкин
И. Н. Клумова
Т. М. Макарова
(художственный редактор)
Т. С. Петрова
В. А. Тихомирова
Л. В. Чернова
(зав. редакцией)

В НОМЕРЕ:
2 Б. Алейников, П. Бузицкий, М. Дубсон. Симплекс-метод
9 Э. Казарян, Р. Саакян. Об одном методе решения задачи по электростатике
14 А. Дозоров. Зачем трансформатору сердечник?

Лаборатория «Кванта»
18 М. Головой. Фигура Гайдингара
Математический кругхок
21 Э. Готман. Задачи на доказательство
25 Я. Понарин. Вычисление площадей
Задачник «Кванта»
28 Задачи M391—M395; Ф403—Ф407
30 Решения задачи M351 — M353; Ф358 — Ф361

Практикум абитриента
37 Донецкий государственный университет
38 Московский институт управления им. С. Орджоникидзе
39 Московский институт электропровода машиностроения
40 Белоруссий институт инженеров железнодорожного транспорта
41 Донецкий политический институт
43 Марийский политический институт им. М. Горького
43 Ярославский политический институт
44 Московский государственный педагогический институт им. В. И. Ленина
45 Московский областной педагогический институт им. Н. К. Крупской

Х Всесоюзная олимпиада школьников
48 В. Березин, В. Тихомирова. Московская городская олимпиада школьников

Рецензии, библиография
50 Э. Белага. «Математические машины»
51 Л. Кармазина, Н. Меллер. «АЛГОЛ 60»
52 И. Клумова, М. Смолянский. Новые книги
«Квант» для младших школьников
54 Задачи
55 А. Орлов. Понск предмета
58 Ответы, указания, решения
Смесь (с. 47)

© Главная редакция физico-mатематической литературы издательства «Нука», «Квант», 1976 200

4

Решение $x_1^0, x_2^0, \ldots, x_n^0$ системы (1) называем допустимым решением ОЗЛП, если числа $x_1^0, x_2^0, \ldots, x_n^0$ неотрицательны. Оптимальный будем называть то из допустимых решений, которое обращает целевую функцию (2) в минимум.

Конкретная ОЗЛП может и не иметь решения: система (1) может быть несовместной, т. е. вообще не имеет решения; она может быть совместной, но не имеет допустимых решений; наконец, она может даже имеет допустимые решения, но среди них может не быть оптимального: функция (2) может быть не ограничена сизу на множество допустимых решений. Однако все эти описности поддержают нас только в специально придуманных задачах; в естественной возможности практических задач решение, как правило, существует.

Предположим, что система (1) совместна и ее уравнения линейно незаависимы, т. е. никакое из них не может быть выведено из других. Можно доказать, что тогда $m \leq n$.

Рассмотрим вначале случай, когда число уравнений $m$ равно числу переменных $n$. В линейной алгебре доказывается, что в этом случае система (1) имеет единственное решение. Если это решение допустимое, оно автоматически будет оптимальным.

Интерес представляет случай, когда $m < n$ (на практике это соответствует возможность выбора различных планов действия). Обозначим $n - m$ через $k$. В линейной алгебре доказывается, что можно какое-то $m$ переменных (они называются базисными) выразить через остальные $k$ переменных (их называют свободными). Система (1) имеет в рассмотрении случай бесконечное множество решений: придавая свободным переменным произвольны е значения и вычисляя соответствие базисных переменных, мы будем каждой раз получать новое решение системы (1). Некоторые решения системы (1) называется опорным, если значения по крайней мере $k$ переменных равны нулю. В теории линейного программирования доказывается, что оптимальное решение является опорным.

Из этой последней теоремы вытекает следующий план решения ОЗЛП: как-нибудь выбираем $k$ свободных переменных; разрешаем систему относительно $m$ оставшихся базисных переменных; полагая свободные переменные равными нулю, находим опорное решение; вычисляем соответствующее значение целевой функции. Перебрав все возможности выбора свободных переменных, увидим, на каком из опорных решений целевая функция примет наименьшее значение, — это и будет искомое оптимальное решение.

Для простых задач, в которых число переменных $n$ неверло, такой метод решения — «слепым» перебор — в принципие годится. Однако в задачах, возникших на практике, число переменных и число наложенных ограничений $m$ обычно очень велики — порядка сотен и даже тысяч. Для таких задач простой перебор практическим невозможен: число возможных способов выбора свободных переменных становится огромным!

Позмоту в теории линейного программирования были разработаны различные методы, позволяющие находить оптимальное решение не «слепым» перебор, а так, чтобы каждый следующий выбор свободных переменных приближал нас к решению.

Старейшим и наиболее известным из них является симплекс-method, созданный в конце сороковых годов американским математиком Дж. Данцгом.

Симплекс-method

Пусть, например, в качестве свободных переменных выбраны переные $k$ переменных $x_1, x_2, \ldots, x_k$, а остальные $m$ переменных выражены через

5

них:

$$\begin{align*} x_{k+1} &= \alpha_{k+1,1} x_1 + \alpha_{k+1,2} x_2 + \\ &\quad + \dots + \alpha_{k+1,k} x_k + \beta_{k+1}, \\ x_{k+2} &= \alpha_{k+2,1} x_1 + \alpha_{k+2,2} x_2 + \\ &\quad + \dots + \alpha_{k+2,k} x_k + \beta_{k+2}, \\ x_n &= \alpha_{n,1} x_1 + \alpha_{n,2} x_2 + \\ &\quad + \dots + \alpha_{n,k} x_k + \beta_n. \end{align*}$$

Положив все свободные переменные равными нулю, получим следующие системы (1):

$$\begin{align*} x_1^0 &= x_2^0 = \dots = x_k^0 = 0, \\ x_{k+1}^0 &= \beta_{k+1}, x_{k+2}^0 &= \beta_{k+2}, \dots \\ \dots, x_n^0 &= \beta_n. \end{align*}$$

Если все свободные члены $\beta_{k+1}, \beta_{k+2}, \dots, \beta_n$ неотрицательны, решение (6) является допустимым.

Чтобы проверить, является ли оно оптимальным, выразим целевую функцию $L$ через свободные переменные $x_1, x_2, \dots, x_k$, подставив выражения для $x_{k+1}, x_{k+2}, \dots, x_n$ из (5) в (2):

$$L(x_1, x_2, \dots, x_n) = d_0 + d_1 x_1 + d_2 x_2 + \dots + d_k x_k.$$

Из (6) вытекает, что $L(x_1^0, x_2^0, \dots, x_n^0) = d_0$. Посмотрим, не может ли мы уменшить значение целевой функции $L$, увеличивая значения свободных переменных $x_1, x_2, \dots, x_k$ (уменьшать мы их не можем, так как в решении (6) они равны нулю, а мы ищем допустимое решение).

Если все коэффициенты $d_1, d_2, \dots, d_k$ в равенстве (7) неотрицательны, то, увеличивая значения свободных переменных, мы будем уменшать значение функции $L$, т. е. будем уличать решение. В этом случае нам решение не является оптимальным.

Пусть, например, в равенстве (7) отрицательен коэффициент $d_1$. Если в системе (5) все коэффициенты при $x_1$ неотрицательны, то любое увеличение значения переменной $x_1$ оставит значения переменных $x_{k+1}, x_{k+2}, \dots, x_n$ неотрицательными и мы не выйдем из области допустимых решений. Значение же функции $L$ будет при этом неограниченно уменьшаться. Таким образом, в этом случае уравнения системы (5) есть также, в которых коэффициент при $x_1$ отрицательен. Для переменных, стоящих в левых частях этих уравнений, увеличение значения переменной $x_1$ описано: оно может сделать их отрицательными.

Если, например, $\alpha_{k+1,1} < 0$, то, очевидно, значение переменной $x_1$ можно уменшить только до $-\frac{\beta_{k+1}}{\alpha_{k+1,1}}$. (При $x_1^0 = -\frac{\beta_{k+1}}{\alpha_{k+1,1}}$, $x_2^0 = \dots = x_k^0 = 0$ получим $x_{k+1}^0 = 0$.)

Средние переменных, для которых увеличение значения переменной $x_1$ описано, выберем ту, которая равше всех обратится в нуль, т. е. ту, для которой увеличина $-\frac{\beta_l}{\alpha_l,1}$ меньше всего.

Пусть такая «наиболее угрожаемая» переменная будет $x_r$.

Выведем теперь из числа свободных переменных $x_1$ и переведем вместе в группу свободных переменных $x_r$, т. е. разрешим систему (1) относительно базисных переменных

$$x_1, x_{k+1}, \dots, x_{r-1}, x_{r+1}, \dots, x_n.$$

Дальше все повторяется: положив все свободные переменные $x_2, \dots, x_k, x_r$ равными нулю, найдем соответствующое решение; выразим целевую функцию $L$ через новые свободные переменные; если все коэффициенты при переменных в полученном выражении

6

Для $L$ неотрицательны, найденное решение — оптимальное; в противном случае процесс выбора базисных переменных и улучшения решения продолжается.

Описанный алгоритм и называется симплекс-методом. (Обратили ли Вы, читатель, внимание, что в нашем изложении алгоритма оставлена одна «дырка»: одна возможность не рассмотрена?)

Два примера

Рассмотрим сначала общую школьную задачу.

Задача 1. Три циклника хотим добраться до лесного озера, расположенного в 20 км от дома. У них есть один двухместный мoped, на котором можно ехать со скоростью 36 км/час. Пешком каждой циклника может идти со скоростью 4 км/час. Как организовать движение, чтобы всем проимь быстрее добраться до озера? Каково наименьшее время, за которой это можно сделать?

Очевидно, что многократная смена пассажиров на море не сможет дать никакой выгоды во времени по сравнению с однократной. Поэтому составим такой план организации движения: в начальной момент времени из дома $\Delta$ одновременно выезжают на моредева школьника и выходит пешком третий школьник. В промежуточной точке $T$ водитель мореда высказывает свое определение $t_1 = t_2$.

Нам надо найти такое $x$, при котором функция $t = \max (t_1, t_2)$ принимает наименьшее значение. Кроме того, нам надо найти значение функции $max (t_1, t_2)$ при этом $x$, т. е. числом ($\max (t_1, t_2)$). Из рисунка 2 (на нем красным цветом нарисован график функции $t_1(x)$, черным — функция $t_2(x)$, синним — функция $max (t_1, t_2)$) сразу видно, что искомое $x$ определяется из уравнения $t_1 = t_2$.

Тем не менее, чтобы проиллюстрировать общий метод, поставим и решим данную задачу как задачу линейного программирования. Переформулируем ее так: найти наименьшее $t$, для которого одновременно $t \geq t_1$ и $t \geq t_2$. Итак, нам надо найти неотрицательные значения переменных $x$ и $t$, которые удовлетворяют бы системе неравенств

$$\begin{cases} t \geq \frac{x}{36} + \frac{20-x}{4}, \\ t \geq \frac{5}{9} + \frac{2}{45} x \end{cases}$$

7

и обращали в минимум функцию $L$:
$$L(x, t) = 0 \cdot x + 1 \cdot t = t. \tag{9}$$
Мы получили задачу линейного программирования. Сведем ее к ОЗЛП.
Система (8) равносильна системы
$$\begin{cases} 2x + 9t - 45 \geq 0, \\ -2x + 45t - 25 \geq 0. \end{cases} \tag{10}$$

Обозначим $2x + 9t - 45$ через $y_1$, $-2x + 45t - 25$ через $y_2$. Тогда $2x + 9t - 45 = y_1$, $-2x + 45t - 25 = y_2$ и $y_1 \geq 0, y_2 \geq 0$. Нашу задачу мы можем теперь сформулировать так: найти неотрицательные значения переменных $x, t, y_1, y_2$, которые удовлетворяют бы системе уравнения
$$\begin{cases} 2x + 9t - y_1 = 45, \\ -2x + 45t - y_2 = 25 \end{cases} \tag{11}$$

и обращали в минимум целевую функцию $L(x, t, y_1, y_2) = t$. А это уже ОЗЛП. Решим ее симплекс-методом.

Выберем в качестве базисных переменных $y_1$ и $y_2$ (систему (11) легче всего решить относительно них) и выразим их через свободные переменные $x, t$:
$$\begin{cases} y_1 = 2x + 9t - 45, \\ y_2 = -2x + 45t - 25. \end{cases} \tag{12}$$

Полагая свободные переменные равными нулю, получим решение системы (12) и (11):
$$x^{(1)} = t^{(1)} = 0, y_1^{(1)} = -45, y_2^{(1)} = -25.$$
Это решение не является допустимым.

Выберем теперь в качестве базисных переменных две другие переменные, например $t$ и $y_2$. (В теории линейного программирования существует метод, указывающий, каким образом выбирать новые свободные переменные так, чтобы приближаться к области допустимых решений. Здесь мы этот метод не излагаем.) Разрешим систему (11) относительно них:
$$\begin{cases} t = -\frac{2}{9}x + \frac{1}{9}y_1 + 5, \\ y_2 = -12x + 5y_1 + 200. \end{cases} \tag{13}$$

Полагая свободные переменные равными нулю, получим решение системы (13) и (11):
$$x^{(2)} = y_1^{(2)} = 0, t^{(2)} = 5, y_2^{(2)} = 200. \tag{14}$$

Решение (14) уже является допустимым. Чтобы проверить, является ли оно оптимальным, выразим целевую функцию $L$ через свободные переменные $x$ и $y_1$. Из (9) и (13)
$$L(x, t, y_1, y_2) = -\frac{2}{9}x + \frac{1}{9}y_1 + 5. \tag{15}$$

Значение целевой функции $L$ на решении (14) равно 5.

Поскольку коэффициент при $x$ в (15) отрицательен, решение (14) не является оптимальным: увеличивая значение переменной $x$, мы будем уменьшать значение целевой функции $L$.

В общих уравнениях системы (13) коэффициенты при $x$ отрицательны. Поэтому увеличение значения переменной $x$ описано как для $t$, так и для $y_2$. Это увеличение может сделать их отрицательными. Из первого уравнения системы (13) следует, что значение переменной $x$ можно увеличать до $-5 / \left(-\frac{2}{9}\right) = \frac{45}{2} = 22 \frac{1}{2}$ (при таком значении $x$ и при $y_1 = 0$ получим $t = 0$; при дальнейшем увеличении $x$ значение переменной $t$ становится отрицательным); из второго — до $-\frac{200}{12} = \frac{50}{3} = 16 \frac{2}{3}$. Таким образом, при увеличении значения переменной $x$ равше обратится в нуль переменная $y_2$: она находится в «болееугрожаемом» положении, чем $t$.

8

Выведем теперь из числа свободных переменных $x$ и переведем вместо нее в группу свободных переменных $y_2$, т. е. разрешим систему (11) относительно базисных переменных $x$ и $t$:

$$\begin{cases} x = \frac{5}{12} y_1 - \frac{1}{12} y_2 + \frac{50}{3}, \\ t = \frac{1}{54} y_1 + \frac{1}{54} y_2 + \frac{35}{27}. \end{cases}$$

Полягая свободные переменные равны нулю, получим решение системы (16) и (11):

$$y_1^{(3)} = y_2^{(3)} = 0, \quad x^{(3)} = \frac{50}{3}, \\ t^{(3)} = \frac{35}{27}.$$

Выразим целевую функцию $L$ через $y_1$ и $y_2$. Из (9) и (16)

$$L(x, t, y_1, y_2) = \frac{1}{54} y_1 + \frac{1}{54} y_2 + \frac{35}{27}.$$

Значение целевой функции $L$ на решении (17) равно $\frac{35}{27}$.

Поскольку все коэффициенты при переменных в (18) неотрицательны, решение (17) является оптимальным. Итак, задача решения: попеду надо ссадить пассажира на расстоянии $x^{(3)} = \frac{50}{3} = 16\frac{2}{3}$ (км); наименьшее время, за которое можно добрать до озера, равно $t^{(3)} = \frac{35}{27} = 1\frac{8}{27}$ (час).

Приведем теперь типичную практическую задачу, естественно ставшую как задача линейного программирования. Это так называемая «задача о диете», или «задача о пищевом рационе».

Задча 2. Директору столовой нужно составить меню. В его распоряжении имеется 5 видов продуктов: хлеб, овощи, фрукты, мяса, рыба.

Известно, что килограмм хлеба стойит $c_1$ рублей, килограмм овощей — $c_2$ рублей и м. д. Известно также, что килограмм хлеба содержит $a_{11}$ ке белков, $a_{12}$ ке жиров и $a_{13}$ ке углеводов и м. д. (содержание белков, жиров и углеводов в килограмме каждой вида продуктов указано в таблице на рисунке 3). Требуется максимальное меню, чтобы в нем содержалось не менее $b_1$ ке белков, не менее $b_2$ ке жиров и не менее $b_3$ ке углеводов, причем стойимость его была минимальной.

Обозначим через $x_1$ количество хлеба, которое войдет в меню, через $x_2$ — количество овощей и т. д. Общая стоимость меню $L$, очевидно, выразится равенством

$$L(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) = \sum_{i=1}^{5} c_i x_i.$$

Ограничения на питательность меню выражаются системой неравенств

$$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{21}x_2 + a_{31}x_3 + a_{41}x_4 + \\ + a_{51}x_5 \geq b_1, \\ a_{12}x_1 + a_{22}x_2 + a_{32}x_3 + a_{42}x_4 + \\ + a_{52}x_5 \geq b_2, \\ a_{13}x_1 + a_{23}x_2 + a_{33}x_3 + a_{43}x_4 + \\ + a_{53}x_5 \geq b_3. \end{cases}$$

Наша задача приняла вид: найти неотрицательные значения переменных $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$, которые удовлетворили бы системе неравенств (20) и обращали в минимум функцию $L$ из (19). Это — задача линейного программирования.

9

Изучая постояние (не изменяющиеся со временем) электрические поля, создавемые заряженными проводниками, прежде всего следует иметь в виду, что направность электросетиского поля внутри проводников равна нулю. Отсюда непосредственно следует, что заряды в проводниках распределются по их поверхности. Таким образом, задачи электросетики обычно связаются к нахождению электрического поля вне проводников и к определению распределения зарядов на поверхности проводников.

Сформируем несколько типичных электросетиских задач.

Задание 1. Точный заряд q находится на расстоянии d от поверхности замещенного сферического проводника радиуса r (рис. 1). Определить заряд q’, индуцированный на этой поверхности.

Задание 2. Между двумя замещенными концентрическими сферами расчетными поверхностями, радиусы которых r₁ и r₂, помещены мощный заряд q (рис. 2). Расстояния от заряд до сферических поверхностей равны соответствующим d₁ и d₂. Наимену индцированные на сферах заряды q’₁ и q’₂.

Задание 3. Точный заряд q находится на расстоянии d₁ и d₂ от проводящих замещенных бесконечных плоскостей (рис. 3). Наимену заряды q’₁ и q’₂, наведенные на этих плоскости.

Observe methods решения подобных задач изучаются в соответствиишем разделе математической физики, не входящей в школьную программу. Однако существует ряд сравнительно простых частных методов, которые позволяют решать задачи по электросетике, не выходя за пределы элементной математики (например, метод изображений, о котором упоминалось в статье Г. Мякишева «Электросетиское поле»; см. «Квант», 1975, № 4). Здесь мы рассмотрим один из

10

таких методов, основанный на теореме (или прициппе) взаимности.

В чем заключается существ этой теоремы? Ее можно формулировать так: если в системе из $n$ проводников проводники, несуществующие $q_1, q_2, \dots, q_n$, имеются помещцы $\varphi_1, \varphi_2, \dots, \varphi_n$, соответствующего, а при зарядах $q'_1, q'_2, \dots, q'_n$ помещцы проводников равны $\varphi'_1, \varphi'_2, \dots, \varphi'_n$, то справедливо равенство

$$\sum_{i=1}^{n} q_i \varphi'_i = \sum_{i=1}^{n} q'_i \varphi_i.$$ (1)

Покажем, что это действительное так.

Согласно принципу суперпозиции потенциальы проводников находится в линейной зависимости от зарядов. Или, наоборот, заряды на проводника линейно зависит от потенциальов. Расмотрим сначала частный случай—внутри заземленной проводящей поверхности находится два заряженных проводника 1 и 2 (рис. 4). Соединим второй проводник с заземленной проводностью, тогда потенциаль этого проводника обратится в нуль (см. рис. 4, а). Потенциаль первый проводника обозначает через $\varphi_1$. Заряды на каждой из проводников должны быть пропорциональны $\varphi_1$, т. е.

$$\Delta q_1 = C_{11} \varphi_1 \quad \text{и} \quad \Delta q_2 = C_{21} \varphi_1.$$ (2)

Здесь $\Delta q_1$ и $\Delta q_2$ заряды на первом и втором проводника соответственно, а $C_{11}$ и $C_{21}$ — постоянные величины, называемые коэффициентами емкости и зависящие от формы и взаимного расположения проводников. $C_{11}$ и $C_{21}$ характеризуют заряды первого

$$q_i = C_{i1} \varphi_1 + C_{i2} \varphi_2 + \dots + C_{in} \varphi_n = \sum_{k=1}^{n} C_{ik} \varphi_k \quad (i=1, 2, \dots, n).$$ (3)

Здесь коэффициент емкости $C_{ik}$ характеризует заряд $i$-го проводника, когда все проводники, кроме $k$-го, за-

11

Рис. 5.

землены, а потенциаль $k$-го проводника равен единице. Пусть теперь заряд $i$-го проводника равен $q'_i$, а его потенциаль $\varphi'_i$. Умножим равенство (4) почленно на $\varphi'_i$:

$$q'_i \varphi'_i = \sum_{k=1}^{n} C_{ik} \varphi_k \varphi'_i,$$

а затем просуммируем обе части полученного равенства по всем значениями $i$ от 1 до $n$:

$$\sum_{i=1}^{n} q'_i \varphi'_i = \sum_{i,k=1}^{n} C_{ik} \varphi_k \varphi'_i.$$

Но

$$\sum_{i,k=1}^{n} C_{ik} \varphi_k \varphi'_i = \sum_{i,k=1}^{n} C_{ik} \varphi'_i \varphi_k = \sum_{i=1}^{n} q'_i \varphi'_i$$

(так как $i$ и $k$ принимают все значения от 1 до $n$), поэтому окончательно получаем

$$\sum_{i=1}^{n} q'_i \varphi'_i = \sum_{i=1}^{n} q'_i \varphi'_i.$$

Таким образом, теорема взаимности доказана, поскольку равенства (1) и (5) идентичны.

Прежде чем применить теорему взаимности для решения сформулированных выше задач, рассмотрим две дополнительные задачи.

Дополнительная задача 1. Имеется система проводников, которые все, кроме $i$-го, заземлены, а $i$-й проводик имеет поенциusal $\varphi'_i$ (рис. 5). В некоторых точке $A$ системы поенциusal равен $\varphi$. Определить заряд $q'_i$, индуцируемый

$$q \varphi + q'_i \varphi'_i = 0,$$

откуда

$$q'_i = -q \frac{\varphi}{\varphi'_i}.$$

Дополнительная задача 2. В замкнутой проводящей поверхности 1, помещаем комороди $\varphi_1$, находимся проводник 2 (рис. 6). Ето помещаем равен $\varphi_2$, а помещаем точки $A$, находящейся между проводниками, равен $\varphi$. Найти заряды $q'_1$ и $q'_2$, индуцируемые на проводиках, если проводники заземились, а в точку $A$ помещить заряд $q$.

12

Имеем два состояния системы:
a) заряд в точке $A$ равен нулю, ее потенциаль $q$, а потенциаль проводников равны $\varphi_1$ и $\varphi_2$ (см. рис. 6, а);
б) заряд в точке $A$ равен $q$, потенциаль проводников равны нулю, а индуцированные на них заряды равны $q'_1$ и $q'_2$ (см. рис. 6, б).

Для простоты здесь и далее мы будем говорить о заряде и о потенциалье мощи $A$, подзаумевая, что в этой точке находится проводник (как это было сделано в задаче 1).

По теореме взаимности
$$q'_1 \varphi_1 + q'_2 \varphi_2 + q \varphi = 0. \tag{6}$$

Из одного этого равенства нельзя, конечно, найти оба индуцированных заряда. Однако можно воспользоваться еще тем условием, что проводящая проводность $1$ во втором случае замещена. Это означает, что электрическое поле снаружи отсутствует, а значит, алгебраическая сумма всех зарядов, находящихся внутри замещенной проводности, равна нулю, т. е.
$$q'_1 + q'_2 + q = 0. \tag{7}$$

Решая совместно уравнения (6) и (7), получим
$$q'_1 = q \frac{\varphi_2 - \varphi}{\varphi_1 - \varphi_2}$$
и
$$q_2 = -q \frac{\varphi_1 - \varphi}{\varphi_1 - \varphi_2}.$$

Теперь уже можно вернуть к основным тем задачам. Для их решения будем пользоваться теоремой взаимности. Метод, основанный на применении этой теоремы, несколько формальный, но очень простой и удобный. Вся сложность состоит только в том, чтобы разумно выбрать рассматриваемые два состояния системы и записать для них равенство (1).

Решение задачи 1. По условию задачи точный заряд $q$ находится на определенном расстоянии от замещенной проводшей сферы, на которой находится заряд $q'$ (соответие 1).

Предположим, что сферическая поверхность не замещена и имеет потенциаль $\varphi_0$, а заряд $q$ нет. Тогда на его месте потенциаль поля равен
$$\varphi = \varphi_0 \frac{r}{r + d} (r - \text{радис сферической поверхности}, d - \text{расстояние от заряда } q \text{ до этой поверхности}).$$ Это — второе состояние системы.

Запишем для этих двух состояния системы теорему взаимности:
$$q \varphi + q' \varphi_0 = 0,$$
или
$$q' = -q \frac{\varphi}{\varphi_0} = -q \frac{r}{r + d}.$$

Полученный результат можно применить к случаяю, когда заряд $q'$ находится на бесконечной проводящей плоскости. Действительно, бесконечную плоскость можно рассматривать как сферическую поверхность с бесконечной большим радиусом, т. е.
$$r \rightarrow \infty.$$ Следовательно, в пределе при $r \rightarrow \infty$ имеем
$$q' = -q \frac{r}{r + d} = -q \frac{1}{1 + d/r} = -q,$$
т. е. индуцированный на бесконечной плоскости заряд равен по значению, но противоположен по значению с точки точки точки, где бы этот заряд ни находился.

Решение задачи 2. Согласно условиям задачи первое состояние системы таково: заряд $q$ находится в заданной точке между замещенными сферическими проводениями, на которых находится заряд $q'_1$ и $q'_2$.

В качестве второго состояния расстояним случай, когда внешняя сфера замещена, внутренняя сфера имеет потенциаль $\varphi_1$, заряд $q$ отсутствует, но на его месте потенциаль поля равен $q$.

Исходя из решения дополнительной задачи 1, получим
$$q'_1 = -q \frac{\varphi}{\varphi_1}. \tag{8}$$

13

Рис. 7.

Заряд $q'_2$, индуцированный на внешней сфере, найдем из условия, что алгебраическая сумма зарядов, находящихся внутри заемленной поверхности, равна нулю:

$$q'_1 + q'_2 + q = 0.$$ (9)

Таким образом, нам остается найти отношение $\varphi/\varphi_1$. Предположим, что, когда внешняя сфера заемлена, а внутренняя имеет потенциаль $\varphi_1$, заряд внутренней сферы равен $q_0$. Очевидно, что при этом на внешней сфере наведется заряд $-q_0$. Выразим потенциальы $\varphi$ и $\varphi_1$ через заряды $q_0$ и $-q_0$:

$$\varphi = \frac{q_0}{r_1 + d_1} + \frac{-q_0}{r_2},$$

$$\varphi_1 = \frac{q_0}{r_1} + \frac{-q_0}{r_2}.$$ (10)

Тогда окончательно из равенств (8) – (10) получим:

$$q'_1 = -q \frac{r_1 d_2}{(r_1 + d_1)(d_1 + d_2)},$$

$$q'_2 = -q \frac{r_2 d_1}{(r_1 + d_1)(d_1 + d_2)}.$$

Решение задачи 3. Оно непосредственно следует из решения задачи 2, поскольку две параллельные бесконечные плоскости можно

Рис. 8.

расматривать как две концентрические сферы с бесконечно большими радиусами.

Запишем результат решения задачи 2 в виде:

$$q'_1 = -q \frac{r_1 d_2}{(r_1 + d_1)(d_1 + d_2)} = -q \frac{d_2}{(1 + d_1/r_1)(d_1 + d_2)},$$

$$q'_2 = -q \frac{r_2 d_1}{(r_1 + d_1)(d_1 + d_2)} = -q \frac{d_1}{(1 - d_2/r_2)(d_1 + d_2)}.$$

Если $r_1 \to \infty$ и $r_2 \to \infty$, то

$$q'_1 = -q \frac{d_2}{d_1 + d_2},$$

$$q'_2 = -q \frac{d_1}{d_1 + d_2}.$$

Уражнения

1. Центр шара, несуществующего $q$, находится на расстоянии $a$ от центра заемленного шарового проводаника радиуса $r$ (рис. 7). Определить заряд $q'$, индуцированный на заемленном шаре.

2. Из двух концентрических сфericalных проводников, радиусы которых $r_1$ и $r_2$ ($r_1 < r_2$), внутренний заемлен, а внешний имеет заряд $q$ (рис. 8). Найти заряд $q'$, наведенный на внутренней сфере.

14

Вспомним, как устрой трансформатор и по какому причины работает.

Простейший трансформатор (см. рисунок) представляет собой две катушки (обмотки), намотанные на общий стальной сердечник. Одана обмотка (первичная) подключается к источнику переменного тока. Устройство, потребляющее электрозергию (так называемая нагрузка), подключается ко второй обмотке (вторичной). И первыйную, и второйную обмотки пронизывают один и тот же переменный магнитный поток, созданный переменным током источника. В первыйной обмотке с числом витков $n_1$ возникает Э.Д. с. индукции $e_1 = -n_1 \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}$ (ΔΦ — изменение магнитного потока через один виток за время $\Delta t$), а во вторичной — Э.Д. с. индукции $e_2 = -n_2 \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}$.

Предположим, что вторичная обмотка разомкнута, т. е. расмотрим режим холодного хода трансформатора. Будем также считать, что активное сопротивление первичной катушки очень мало по сравнению с ее индуктивным сопротивлением. По закону Ома сумма всех Э.Д. с. в замкнутом контуре равна сумме паедений напряжения в этом контуре (часто закон Ома, записанный в таком виде, называют правилом Кирхгофа):

$$u_1 + e_1 = i_1 R_1.$$

Здесь $u_1$ — напряжение источника тока, $i_1$ — ток и $R_1$ — активное сопротивление perвичной обмотки. Поскольку $R_1$ очень мало ($R_1 \rightarrow 0$), $u_1 + e_1 = 0$, или

$$u_1 = -e_1.$$

При разомкнутой вторичной обмотке ($i_2 = 0$) напряжение на ее концах

$$u_2 = -e_2.$$

Таким образом, относение напряжения $\frac{u_2}{u_1} = \frac{e_2}{e_1}$, или для действия шначки

$$\frac{U_2}{U_1} = \frac{\mathcal{E}_2}{\mathcal{E}_1} = \frac{n_2}{n_1}.$$

Это соответствие и порождает вопрос, сформированный в заголовке. Действительно, относение напряжения зависит только от отношения числа витков в обмотках, а параметры сердечника в соответствии (1) отсутствуют. Могут ли эти параметры быть произвольными? Можно ли трансформатор работать вообще без сердечника? Если да, то при каких условиях?

При выводе соответствия (1) подразумеваюсь, что магнитные потоки через perвичную и вторичную катушки равны. Однако это условие может и не выполняться: часть магнитного потока, создаваемого perвичной катушки, может рассеивать и не пронизывать вторичную обмотку трансформатора, что с неизбежностью должно уходить техническую цен-

15

ность трансформатора. Так, может быть, основное назначение сердечника — уменышать рассеяние магнитного потока? Но расселяния можно избежать и другими способами! Например, намотав вторичную обмотку пряmo на первичную или намотав обмотки на тор (баранку). И снова возникает вопрос, формирование в заголовке: зачем трансформатор нужен тяжелый сердечник, в котором, кроме всего прочего, возникают энергетические потери — токи Фуко, гистерезис? В обшем, у сердечника масса недостатков. Так зачем же он нужен?

Итак, вопрос сформирован и осужden; пора переходить к ответу на него.

Реальные устройства, как правило, обладают худшими свойствами по сравнению с теми идеальным моделями, которые описывают теория, особенно простейшая. Это относится к трансформатору. Какой же трансформатор разумно называть идеальным? Попробуем качественно разобраться в этом. В трансформаторе электромагнитная энергия передается из первичной катушки во вторичную. В лучшем случае энергия, выделяемая в цепи вторичной обмотки, будет равна энергии, потребляемой первичной обмоткой от источника. Можно говорить не об энергии, а о мощности. Желательно, кроме того, чтобы мощность была максимальной, т. е. коэффициент мощности с ф≈1. Математически эти требования записьваются в системе коэффициентов.

Рассмотрим длинную катушка с большим числом витков (солеонд). Иndукция магнитного поля, созданного проводником с током, всегда пропорциональная силе тока и зависит также от конфигурации проводника, от местоположения точки, магнитное поле в которой нас интересует, от магнитных свойства среды. Внутри соленода магнитное поле однородно. Можно показать, что индукция этого поля равна $B = \mu_0 \mu I n/l$. Здесь $\mu_0$ — магнитная постоянная, $\mu$ — относительная магнитная проницаемость среды, $n$ — число витков соленода, $l$ — его длина. Тогда из равенства (3)
$$\Phi = B S n = \mu_0 \mu I n^2 S/l.$$

Сравнивая это выражение с (4), най-

16

дем индуктивность соленона:
$$L = \mu_0 \mu n^2 S/l. \quad (5)$$

Аналогичным образом вводится понятие коэффициента взаимной индуктивности (ваимной индуктивности) $M$ двух контуров. В нашем случае — понятие взаимной индуктивности первичной и вторичной обмоток трансформатора. При замыкании вторичной обмотки на нагрузку во вторичной цепи появляется ток. Обозначим его действующее значение $I_2$. Одновременно с этим изменяется ток в первичной обмотке. Теперь его действующее значение $I_1$ уже не такое, как в режиме холодного хода трансформатора. Магнитный поток $\Phi_2$ через вторичную обмотку, создаваемый током $I_1$ первичной обмотки, пропорционален этому току:
$$\Phi_2 \sim I_1, \text{ или } \Phi_2 = MI_1.$$
Аналогично магнитный поток $\Phi_1$ через первичный обмотку, вызванный током $I_2$ вторичной обмотки,
$$\Phi_1 \sim I_2, \text{ или } \Phi_1 = MI_2.$$
Коэффициент пропорциональности $M$ — коэффициент взаимной индуктивности, или взаимная индуктивность обмоток трансформатора. Аналогично выводу величины индуктивности соленона можно получить выражение для $M$:
$$M = \mu_0 \mu n_1 n_2 S/l. \quad (6)$$
Из выражений (5) и (6)
$$M = \frac{n_2}{n_1} L_1 = \frac{n_1}{n_2} L_2. \quad (7)$$

Заметим, что на самом деле магнитный поток в сердечнике трансформатора, конечно, один. Практический он целиком определяется напряжением источника тока, включенного в цепь первичной обмотки. Однако для наглядности можно рассматривать по отдельности магнитные потоки, созданные токами $I_1$ и $I_2$.

Вернемся теперь снова к трансформатору и продолжим обсуждение его работы в рабочем режиме. Запишем закон Ома (правило Кирхгофа) сначала для замкнутой цепи первичной обмотки, а затем — вторичной. В пер-

17

Здесь $A, B, \alpha$ и $\beta$ — постоянные величины.
Скорость изменения первого тока

$$\frac{\Delta i_1}{\Delta t} = \frac{i_1(t + \Delta t) - i_1(t)}{\Delta t} =$$

$$= A \frac{\sin [\omega(t + \Delta t) - \alpha] - \sin (\omega t - \alpha)}{\Delta t} =$$

$$= 2 \frac{A}{\Delta t} \sin \frac{\omega \Delta t}{2} \cos \left(\omega t - \alpha + \frac{\Delta t}{2}\right).$$

Устремляя $\Delta t$ к нулю $\left(\sin \frac{\omega \Delta t}{2} \approx \frac{\omega \Delta t}{2}\right)$,

$$\cos \left(\omega t - \alpha + \frac{\Delta t}{2}\right) \approx \cos (\omega t - \alpha)),$$

получим

$$\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta i_1}{\Delta t} = A \omega \cos (\omega t - \alpha).$$

Аналогично

$$\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta i_2}{\Delta t} = B \omega \cos (\omega t - \beta).$$

После чего уравнения (8) и (9) превращаются в тригонометрические:

$$U_0 \sin \omega t - p MA \omega \cos (\omega t - \alpha) - MB \omega \cos (\omega t - \beta) = 0,$$

(8a)

$$- \frac{1}{p} MB \omega \cos (\omega t - \beta) -$$

$$- MA \omega \cos (\omega t - \alpha) = RB \sin (\omega t - \beta).$$

(9a)

Каждеое из этих уравнений после элементов преобразования (раскрытия скобок) можно записать в виде

$$a \sin \omega t + b \cos \omega t = 0,$$

(10)

где коэффициенты $a$ и $b$ не зависит от времени.

Уравнение (10) справедливо в любой момент времени $t$ только в том случае, если $a=0$ и $b=0$ одновременно. Таким образом, два уравнения преобразуют в четыре:

$$\begin{cases} U_0 - p MA \omega \sin \alpha - MB \omega \sin \beta = 0, \\ p A \cos \alpha + B \cos \beta = 0, \\ - \frac{1}{p} MB \omega \sin \beta - MA \omega \sin \alpha = RB \cos \beta, \\ \frac{1}{p} MB \omega \cos \beta + MA \omega \cos \alpha = RB \sin \beta. \end{cases}$$

Решив эту систему, найдем амплитуды токов в первичной и вторичной цепях и сdwги токов по фазе относительно внешнего напряжения.

Окончательно получим

$$I_{0_1} = A = \frac{U_0}{p^2 R} \sqrt{1 + \left(\frac{p R}{M \omega}\right)^2},$$

$$I_{0_2} = B = \frac{U_0}{p R},$$

$\alpha = \arctg \frac{p R}{M \omega}, \beta = \pi$.

Удовлетворяет ли найденное нами решение требованием идеального трансформатора (соответственно (2))? Проверим. Найдем отношение амплитудных значений токов:

$$\frac{I_{0_1}}{I_{0_2}} = \frac{A}{B} = \frac{1}{p} \sqrt{1 + \left(\frac{p R}{M \omega}\right)^2}.$$

Посленее выражение совпадает с соответствием (2), если под корнем второе слагаемое стремится к нулю:

$$\frac{R}{M \omega} = \frac{R l}{\mu_0 \mu S n_1 n_2 \omega} \rightarrow 0$$

(отношение числа витков $p$ должно оставаться постоянным). Таким образом, трансформатор можно считать идеальным, если

a) магнитная проницаемость среды $\mu$ достаточно велика,

b) частота переменного напряжения $\omega$ достаточно велика,

b) число витков в первичной и вторичной обмотках велико,

г) активное сопротивление вторичной обмотки мало,

d) длина катушки минимальная, т. е. обмотки намотаны плотно.

Для создания трансформатора, близкого к идеальном, нужно выбрать наиболее удобное в практическом смысле преобразование. Таковым является, прежде всего, преобразование большой магнитной проницаемости среды. Для вакуума $\mu=1$, а для ферромагнитков $\mu \approx 10000$. Увеличение числа витков практическими невыгодно (резко возрастают размеры и стоимость трансформатора), а увеличение частоты ток в несколько тысяч раз связано со значительными техническими проблемами. Существующие же высокочастотные трансформаторы действительно применяются без сердечника, а их свойство близки к свойству идеального трансформатора.

18

Постотрите внешательно на фотографии произчных кристаллов на рисунке 1. Это кристаллы углекислого кальция (кальция) или, как его иногда называют, испандского шпата. Ребра кристаллов, которые мы видим через их толщу, кажутся двойными. Свойство кристаллов кальция «раздаваивать» изображение было обнаружено еще в XVII веке. Но объяснение этого явления, которое называют двойным лучепрелломлением, было дано лишь после признания электромагнитной теории света.

В испускаемой обчным источником световой волне векторы направления Е электрического поля и индекции В магнитного поля колеблюются во всевозможных направлениях, перpendикулярных направлениях распространения волны. Такой свет называется естественным. Если же в световой волне направление колебаний вектора Е (а следовательно, и вектора В) все время постояно, то такой свет называют плоско- или линейнополяризованным. направление, перpendикулярное направление колебаний вектора Е, называют направлением поляризация. Естественный свет можно представить как сумму волн с всевозможными направлениями поляризация. Во многих веществ скорость распространения световых колебаний (а следовательно, показательное, показательное) построена не зависит от направления колебаний вектора Е световой волны. Для двух взаимно перpendикулярных направлений вектора Е существует два значения показателя преломления. Эти и обьясняется явление двойного лучепрелломления. Световой луч, попадающий в кристалл, разделяется на два луча, в которых колебания вектора Е взaimно перpendикулярны. В силу перечности световых волн направление колебаний вектора Е в каждом луче лежит в плоскости, содержащей луч, и перpendикулярно лучу. Так что, попадая в кристалл испандского шпата, луч естественного света разделяется на два луча плоскополяризованного света с взaimно перpendикулярными плоскостями (направлениями) поляризация. Убедиться в этом можно с помощью любого поляризатора. (О том, как изготовить самодельный поляризатор, мы расскажали в 11-м номере журнала за 1975 год.)

*) Разумеется, для данной длины волны.

20

распространения света. Позному в световой волне, идущей от источника $S$ к точке $O$, колбания вектора $E$ лежат в плоскости $YOZ$. Если наблюдаются свет, рассеяный частией в точке $O$, в направлении $YO$, то ясно, что в этом направлении распространяется лишь волны, в которых колбания вектора $E$ набращены вдоль $OZ$. А это значит, что свет, рассеяный под прямым углом к падающему, полностью поляризован.

Наблюдения показывают, что поляризация света в атмосфере не былает полной. Кроме того, степень поляризации зависит от времени дня.

Убедиться в том, что свет неба поляризован, можно с помощью любого поляризатора. Но, как мы уже говорили, некоторые люди могут наблюдать поляризацию света и невооруженным глазом. Так как попадающий к наблюдаемой свет оказывается поляризованным неполностью, видная им картина не очень четкая. Эту картину и описал Л. Н. Толстой. Гораздо заметнее она будет, если увеличить степень поляризации света с помощью поляризационных свето-фильтров.

Какой же вид должен иметь поле зрения в идеальном случае? Гайдингер установил, что наблюдаемый, глаза в течение нескольких секунд на однородное поле, освещенное линейнополяризованным светом, или на экран, освещенный естественным светом, но наблюдаемый через поляризационный светофильтр, должен видеть слабо выраженную бледно-желтую фи-

Рис. 2.

Рис. 3.

21

В новую программу по геометрии (для девятого класса) входит понятие скалярного произведения векторов. Скалярное произведение векторов широко применяется при решении различных геометрических задач и доказательстве теорем. Ниже мы помещаем две заметки — Э. Готмана и Я. Понарина, и которые на несколько примерах демонстрируют применение векторного метода. От читателя требуется знакомство с простейшими операциями — сложением векторов и умножением вектора на число, а также с понятием скалярного произведения векторов.Напомним определение и некоторые свойства скалярного умножения векторов.

Скалярным произведением двух неулевых векторов называется число, равное произведению числовых значений длины этих векторов на косинус угла между векторами.

Обозначается скалярное произведение векторов a и b через a·b; согласно определению a·b = |a|·|b|·cos a, b). Свойства, которые обладает скалярное умножение векторов, аналогичны законом операций над числами:

1. a·b = b·a;
2. (λa)·b = λ(a·b), где λ — некоторое число;
3. a·(b+c) = a·b+a·c

(их доказательства см. в учебном пособии по геометрии для 9-го класса, с. 59).

Э. Готман

Задчи

на доказательство

Из полученного результат следует выжать все, что он может дать.

Д. Пой а. Как решать задачу.

Плоский четырехугольник

Легко видеть, что если диагонали AC и BD четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны (рис. 1), то

длины его стороны удовлетворяют соотношению

$$|AB|^2 + |CD|^2 = |BC|^2 + |AD|^2.$$

А верно ли обратное: можно ли утверждать, что диагонали четырехугольника

23

нее изложеного в предыдущем пункте (с применением теоремы косинусов), а применяется его оченьНЫ: ведь теперь мы знаем, что равенство (2) справедливо для любое расположения четырех точек $A, B, C$ и $D$, а не только тогда, когда эти точки являются вершинами плоского четырехугольника.

Применя равенство (3), мы сейчас получим много новых интересных результатов.

Следствия

1. Промышленное ребра $AC$ и $BD$ метраэдра $ABCD$ перепределили моеда и молко моеда, когда суммы квадратов длины других промышленных ребер: $AB$ и $CD$, $BC$ и $AD$ — равны между собой.

В самом деле, угол между ребрами $AC$ и $BD$ может быть найден по формуле

$$\cos(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{DB}) = \frac{|AB|^2 + |CD|^2 - |BC|^2 - |AD|^2}{2|AC| \cdot |BD|}.$$

но $\cos(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{DB}) = 0$ тогда и только тогда, когда

$$|AB|^2 + |CD|^2 = |BC|^2 + |AD|^2.$$

2. Множество точки $D$ плоскости, разность квадратов расстояний от каждой из которых до двух данных точки $A$ и $C$ — величины постоянная, есть прямая, перепределочная прямой $AC$.

Доказательство. Пусть эта разность равна $k^2$. Построим на рис. 3.

прямою $AC$ точку $B$ так, чтобы $|AB|^2 - |BC|^2 = k^2$. Для этого через точку $C$ проведем перепределкур к прямой $AC$ и отложим на нем отрезок $CM$ длины $k$ (рис. 2). Середний перепределкур отрезка $AM$ пересечет прямую $AC$ вискомой точке $B$.

Действительно, из прямогоного треугольника $BCM$, $|BM|^2 - |BC|^2 = |CM|^2$. Но $|BM| = |AB|$ согласно свойству середининого перепределкура, а $|CM| = k$. Следовательно, $|AB|^2 - |BC|^2 = k^2$.

Очевидно, точка $B$ всегда существует, притом единственная. Пусть теперь $D$ — точкаискомого множества. Применив к точкам $A, B, C$ и $D$ плоскости формулу (3), получим, что $|AD|^2 - |CD|^2 = |AB|^2 - |BC|^2$ тогда и только тогда, когда прямая $BD$ перепределкура прямой $AC$.

Заметание. Множество точек пространства, обладающих указанным свойствам, есть плоскость, перепределкура к прямой $AC$.

3. Если $ACBD$ — выпуклый четверехольник, промышленной стороны $AC$ и $BD$ коморого перепределкуры (рис. 3), то сумма квадратов длины его диагоналей равна сумме квадратов длины двух других его промышленных сторон.

Доказательство. Поколку $(AC) \perp (DB)$, $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DB} = 0$, т. е. права часть равенства (3) обращается в нуль. Следовательно,

$$|AB|^2 + |CD|^2 = |BC|^2 + |AD|^2.$$

24

Рис. 5.

4. Сумма квадратов длины диагоналей пррапеции равна сумме квадратов длины ее боковых сторониллюс удовеное произведение длины оснований.

Доказательство. Пусть AC и DB — основания трапеции ACBD (рис. 4). Поскольку векторы $\vec{AC}$ и $\vec{DB}$ сопправлены, $\vec{AC} \cdot \vec{DB} = |AC| \cdot |DB|$, и равенство (3) принимает вид $|AB|^2 + |CD|^2 - |BC|^2 - |AD|^2 = 2|AC| \cdot |BD|$, т. е.

$$|AB|^2 + |CD|^2 = |BC|^2 + |AD|^2 + 2|AC| \cdot |DB|$$

что и требовалось доказать.

5. (Известная теорема.) Сумма квадратов длины диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длины всех его сторонил.

Доказательство. Векторы AC и DB сопправлены (рис. 5), следовательно, $\vec{AC} \cdot \vec{DB} = |AC| \cdot |DB| = |AC|^2$, поскольку $|AC| = |DB|$.

Подставляя найденное значение $\vec{AC} \cdot \vec{DB}$ в (3), получим

$$|AB|^2 + |CD|^2 = |BC|^2 + |AD|^2 + 2|AC|^2 = |BC|^2 + |AD|^2 + |AC|^2 + |BD|^2$$

и теорема доказана.

Напомним, что квадрат расстояния между двумя точками равен скалярному квадрату вектора, определяемого этих точками. Решив задачу, не спешите: подумайте, нельзя ли результаты использовать для решения какой-нибудь другой задачи.

3. а) Около треугольника $ABC$ описана окружность и построена точка D, симметричная центру O относительно стороны AB. Выразите вектор $\vec{CD}$ через векторы $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ и $\vec{OC}$. Докажите, что

$$|CD|^2 = R^2 + a^2 + b^2 - c^2,$$

где a = |BC|, b = |AC|, c = |AB|, R = |OA|.

6. Докажите, что для всякого треугольника $ABC$ справедливо неравенство

$$\cos 2\hat{A} + \cos 2\hat{B} - \cos 2\hat{C} \leq \frac{3}{2}.$$

Выясните, когда имеет место равенство.

2. а) Докажите, что расстояние от центра O окружности, описанной около треугольника $ABC$, до его центроид грани ABC, M — точка, удовлетворяющая условию $|OM| = 3 |OG|$. Выразите расстояние от вершины D до точки M через длины ребер треугольника и радиус описанной около треугольника сферы.

6. Докажите, что если a, b, c — длины ребер треугольника, имеющих общую вершину, a1, b1, c1 — длины трех остальных ребер и R — радиус описанной около него сферы, то

$$a_1^2 + b_1^2 + c_1^2 \leq 4R^2 + a^2 + b^2 + c^2.$$

4. Докажите, что расстояние от центра O сферы, описанной около треугольника $ABC$, до его центроид грани ABC, M — точка, удовлетворяющая условию $|OM| = 3 |OG|$. Выразите расстояние от вершины D до точки M через длины ребер треугольника, имеющих общую вершину, a1, b1, c1 — длины трех остальных ребер и R — радиус описанной около него сферы, то имеет место равенство

$$|OG|^2 = R^2 - \frac{1}{16} (a^2 + b^2 + c^2 + a_1^2 + b_1^2 + c_1^2),$$

где a, b, c, a1, b1, c1 — длины ребер треугольника, R — радиус описанной сферы.

5. Докажите, что если A, B, C, D — четырепольные точки пространства, M и N — середины отрезков AC и BD соответственно, то имеет место равенство

$$|AC|^2 + |BD|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 + |CD|^2 + |DA|^2 - 4 |MN|^2.$$

Какие следствия можно вывести из этой теоремы?

*) См. статью Э. Готмана «Пряма Эйлера» («Кваант», 1975, № 2, c. 32).

25

Я. Понарин

Вышение плошадей

Площадь треугольника
Известно, что площад треугольника ABC можно вычислить по формуле
$$S = \frac{1}{2} ab \sin \hat{C},$$
(1)

где a, b и c — длины сторона треугольника, лежащих соответственно против углов $\hat{A}, \hat{B}$ и $\hat{C}$.

Обозначим векторы $\vec{CB}$ и $\vec{CA}$ сторон треугольника через $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Из определения скалярного произведения векторов следует, что $\cos \hat{C} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$, откуда $\sin^2 \hat{C} = \frac{a^2 b^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2}{a^2 b^2}$
(скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины).

Возведем обе части формулы (1) в квадрат и подставим найденное выражение для $\sin^2 \hat{C}$; получим
$$4S^2 = a^2 b^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2.$$
(2)

Формула (2) пригодится нам в дальнейшем (в частности, из нее легко получить формулу Герона для плошади треугольника).

Площадь четырехугольника
Если p и q — длины диагоналей произвольного плоского четырехугольника (противоположные стороны которого не пересекаются во внутренних точках), то его площадь можно найти по формуле
$$S = \frac{1}{2} pq \sin (\vec{p}, \vec{q}).$$
(3)

Как и в случае треугольника, перепишем эту формулу в виде, аналогичном (2):
$$4S^2 = p^2 q^2 - (\vec{p} \cdot \vec{q})^2.$$
(4)

Чтобы оценить полученные формулы (2) и (4), решим несколько задач (если вы попытаете решить их иначе, без использования скалярного произведения, вы увидите, насолько усложняет решение).

Задача 1. Вычислить площадь грани ABC метраэдра ABCD, если a, b, c — длины его ребер DA, DB и DC, а α, β, γ — плоские углы при вершине D, соответствующего промиолежащей ребрам BC, AC и AB.

Решение е. Введем такие обозначения: $\vec{DA} = \vec{a}, \vec{DB} = \vec{b}, \vec{DC} = \vec{c}$. Тогда для плошади S грани ABC имеем
$$4S^2 = |\vec{CA}|^2 \cdot |\vec{CB}|^2 - (\vec{CA} \cdot \vec{CB})^2 = (\vec{a} - \vec{c})^2 \cdot (\vec{b} - \vec{c})^2 - ((\vec{a} - \vec{c}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}))^2 = (a^2 + c^2 - 2ac \cos \beta)(b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha) - (ab \cos \gamma - ac \cos \beta - bc \cos \alpha + c^2)^2.$$

Фактически задача уже решена, но в полученное выражение длинны a, b, c и углы α, β, γ входят несимметрично, хотя по условию задачи значения a, b, c, а также α, β, γ должны

27

Задание 4. Через вершину правильного метраэдра с ребром a проведен а плоскость так, что линия ее пересечения с плоскостью основания параллельна стороне и делит основание на две равновеликие части. Найти площадь сечения метраэдра указанной плоскостью (рис. 3).

Решение. Обозначим в данном правильном tetraэдре $ABCD$ $\vec{DA} = \vec{a}$, $\vec{DB} = \vec{b}$, $\vec{DC} = \vec{c}$, причем $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = a$. Пусть плоскость сечения пересекает плоскость $ABC$ по прямой $MN$, $M \in (AB)$, $N \in (AC)$ и $(MN) \parallel (BC)$. Нужную площадь сечения можно посчитать по формуле

$$4S^2 = |\vec{DM}|^2 \cdot |\vec{DN}|^2 - (\vec{DM} \cdot \vec{DN})^2.$$

Эта формула подсказывает, как решать задачу.

Имеем $\vec{DM} = \vec{DA} + \vec{AM}$, где $\vec{AM} = k \cdot \vec{AB}$.

Число $k$ находится из того условия, что прямая $MN$ делит основание $ABC$ на две равновеликие части, причем так, что треугольники $AMN$ и $ABC$ подобыны; поэтому

$$S_{AMN} : S_{ABC} = |\vec{AM}|^2 : |\vec{AB}|^2 = k^2 = \frac{1}{2},$$

откуда $k = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Поэтому

$$\vec{DM} = \vec{DA} + k \cdot \vec{AB} = a + \frac{1}{\sqrt{2}} (\vec{b} - \vec{a}) = \frac{(\sqrt{2} - 1) \vec{a} + \vec{b}}{\sqrt{2}}.$$

Аналогично $\vec{DN} = \frac{(\sqrt{2} - 1) \vec{a} + \vec{c}}{\sqrt{2}}$.

Подставляя выражения для $\vec{DM}$ и $\vec{DN}$ в формулу для $S$, получаем

$$16S^2 = ((\sqrt{2} - 1) \vec{a} + \vec{b})^2 \cdot ((\sqrt{2} - 1) \vec{a} + \vec{b}) \times ((\sqrt{2} - 1) \vec{a} + \vec{c})^2.$$

Так как для правильного tetraэдра с ребром длины $a$

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} = \frac{1}{2} a^2,$$

то после всех прошеней получаем

$$S = \frac{1}{8} a^2 \sqrt{11 - 4\sqrt{2}}.$$

Решите самостояльное следующие задачи:

1. Дан произвольный четырехугольник $ABCD$. Точки $A_1$ и $C_1$ являются образами и вершин $A$ и $C$ при пектором параллельном пересечении. Докажите, что четырехугольник $A_1BC_1D$ равновелик данному четырехугольнику $ABCD$.

2. В tetraэдре $ABCD$ известны длины всех шести ребер: $|DA| = a$, $|DB| = b$, $|DC| = c$, $|BC| = a_1$, $|AC| = b_1$, $|AB| = c_1$. Через середину ребра $DB$ проведена плоскость параллельно ребрам $AD$ и $BC$. Найти площадь сечения tetraэдра этой плоскостью.

3. В правильной треугольной примите плоский угол при вершине равна $\alpha$, а длина бокового ребра равна $a$. Найти площадь сечения примыdlos плоскостью, проходящей через сторону основания и середину противного бокового ребра.