Квант 1976, №9 · Страницы

Кеанм
1976
9
Научно-популярный
физико-математический
журнал

Вы не раз уже видели на обложках нашего журнала репродукции картин замечательного голландского художника М. Эшера (1898—1971). Почти во всех его работ незаурядная изобретательность сочетается с точным математическим расчетом. Эту картину, в которой осуществлен переход от плоского изображения к объемному, Эшер называл «Небо и вода».

1

Основан в 1970 году 1976

Кваим 9
Научно-популярный физико-mатематический журнал
Академи наук СССР и Академии педагогических наук СССР

Издательство «Наука»
Главная редакция физико-mатематической литературы

Главный редактор академик И. К. Кикоин
Первый заместитель главного редактора академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:
М. И. Башмаков
С. Т. Беляев
В. Г. Болтянский
Н. Б. Васильев
Ю. Н. Ефремов
В. Г. Зубов
П. Л. Капица
В. А. Кириллин
А. И. Климанов
(главный художник)
С. М. Козел
В. А. Лешковцев (зам. главного редактора)
Л. Г. Макар-Лиманов
А. И. Маркушевич
Н. А. Патрикеева
И. С. Петраков
Н. Х. Розов
А. П. Савин
И. Ш. Слободецкий
М. Л. Смолянский (зам. главного редактора)
Я. А. Смородинский
В. А. Фабрикант
А. Т. Цветков
М. П. Шаскольская
С. И. Шварцбург
А. И. Ширшов

Редакция:
В. Н. Березин
А. Н. Виленкин
И. Н. Клумова
Т. М. Макарова (художественный редактор)
Т. С. Петрова
В. А. Тихомирова
Л. В. Чернова (зав. редакцией)

В НОМЕРЕ:
2 С. Гиндикин. «Великое искусство»
11 И. Клумова, Д. Фукс. Формула существует, но…
17 А. Резников. Формула Карданов и геометрия
18 А. Краснодемская. Графикаское решение кубических уравнений
20 А. Ноффе. Броуновское молекулярное движение

У нас в гостях журнал «Земля и Вселенная»
26 А. Шпилевский. Новая интерпретация танистенного радиоэха
31 Л. Гиндилис. Модель контакта

Лаборатория «Кваанта»
36 Д. Горбушина, В. Майер. Прохождение света через плоскопаралельную пластинку

Математический кругок
39 М. Балк. Поиск решения

Задачник «Кваанта»
46 Победители конкурса «Кваанта»
47 Задачи M401—M405; Ф413—Ф417
49 Решения задач M361—M363; Ф369—Ф372

По страницам школьных учебников
56 В. Гейдман. Осевая симметрия

Практикум абитуриента
59 Е. Ирошиков. Воспоминания… о предстоящих экзаменах

Республиканские оптимиды школьников
63 А. Савин, М. Смолянский, В. Тихомирова. Всеросскийская оптимида школьников
66 В. Березин, Л. Кованцова. Математическая оптимида на Украине

Рецензии, библиография
67 И. Зорич. Мир звуков
68 И. Рахлин. Научно-популярные книги по астрономии
69 И. Клумова, М. Смолянский. Новые книги

«Кваант» для младших школьников
71 Задачи
72 А. Бендукидзе. Может ли часть равнять целому?
76 Смесь (с. 25, 35, 58, 65)

На первой странице обложки изображен пространственный «слой» из ромбических додеказдров. О том, как можно построить этот замечательный многогранник, рассказано на с. 25.

© Главная редакция физико-mатематической литературы основательство «Наука», «Кваант», 1976 год

2

С. Гиндикин

«Великое искусство»

Эта статья посвящена истории главного достижения математики XVI века — решения алгебраических уравнений третий и четвертой степени. Любителей математики до сих пор привлекют драматические события, связанные с этим открытом, в которых приuidлю переплелись судьбы четырех учены — дель Ферро, Тартальи, Кардано и Феррари. В 1976 г. исполянется 475 лет со дня рождения Кардано, 400 лет со дня его смерти и 450 лет со дня смерти дель Ферро.

В нашем рассаке об этих математиках и их открытии коев-что остановся непроясненным: многоГО мы не знаем о событиях четырехлетней давности.

Заглавие статьи — это часть названия книги Кардано, выведей в 1545 году. Феликс Клейн писал о ней: «Это в высшей степени ценное произведение содержит зародыш современной алгебры, выходящие за пределы античной математики».

XVI век был веком возрождания европейской математики после средневековой спячки. Сначала европейские учены пытались разобраться в том, что было сделано их античными и восточными (индийскими и арабскими) предшественниками. Первые собственные достижения математiques XVI века относились к алгебре. (Это связано с тем, что в XVI веке алгебра только зарождалась, тогда как геометрия представляла из себя сложившуюся научку.)

Состояние алгебры на рубеже XVИ и XVI веков было подготовлено в одной из первых печатных книг по математике «Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениями и пропорциональности», написанной в Венеции в 1494 году. Книга была написана на инальянском языке. Это была одна из первых научных книг, написанных не на латыни. Ее автор—монах Лука Пачоли, друг великого Леонардо да Винчи. В конце книги Пачоли пишет: для решения кубических уравнений «искусством алгебры еще не дан способ, как не дан способ квадратуры круга». Эти слова, по-видимому, были восприняты как утверждение о невозможности формуля们 для решения кубических уравнений.

Сциппон делы Ферро

Нашелся человек, который мне Пачоли не остановил. Это был профессор математики в Болонье Сциппон делы Ферро (1465—1526), сумевший найти способ решать уравнение

$$x^3 + ax = b.$$

(1)

Поскольку отрицательными числами в то время еще не пользовались, буквенные коэффициенты в уравнения (1) (и всуду далее в этой статье) предполагаются положительным. Поэтому уравнения (1) и

$$x^3 = ax + b$$

(2)

восприннимались как совсем разные уравнения! Изложение самого делы Ферро до нас не дошло. Свой способ делы Ферро сообщил это и преемнику по кафедре Аннибалу делла Наве и ученику Антонио Марю Фиоре. После смерти учитель Фиоре решил воспользоваться доверенной ему тайной, чтобы стать непобедимым водействиях по решению задач. В конце 1534 года он вызвал на подлинок математика из Венеции Никколо Тарталью.

Никколо Тарталья

Тарталья родился около 1500 года в Брешии, в семье бедного конного

почтальона Фонтане. В детстве, когда его родной город был захвачен французами, он был ранен в гортань и с тех пор говорил с трудом. Отсюда и его произведение — «Тарталья» («занка»). Никколо рано остался на попечении матери. По бедности он проучился в школе всего две недели. За это время в классе письма до буквы «К». Тарталья покинул школа, так и не научившись писать свою фамилию. Оdnako он продолжает учиться самостояльно и становится «магистром абака» (что вроде учитель арифметики в частном коммерческом училище). С 1534 года Тарталья живет в Венеции.

Научные занятия Тарталья стимулировались обещением с инженерами и артиллерии из знаменитого венецанского арсенала. В 1537 году он публикует книгу «Новая наука», посвященной вопросам механики. Эта книга сыграла важную роль в развитини баллистики. В 1546 г. он печатает книгу «Проблемы и различные изобретения». Если в первой из этих двух книг Тарталья всегда за Аристotelем еще утверждает, что брошенное под углом тело вначале летит по наклонной, затем по дуге окружности и, наконец, по вертикали падает вниз, то во второй книге он уже пишет, что траектория не имеет ни одной части, которая была бы совершенно прямой. Тарталья перевед на итальянский язык (который он, в противовес латыни, называет «народным») Архимеда и Евклида.

Получив вызов Фиоре, Тарталья надеялася oderжать легкую победу. Он не испугался даже тогда, когда обнаружил, что все 30 задач Фиоре содержат уравнения (1) при разных a и b. Тарталья полагал, что Фиоре и сам не имеет решать предложенные им задачи: «Я думал, что ни одна из них не может быть решена, потому что брат Лука (т. е. Пачоли — С. Г.) уверяет в своей труда, что такого рода уравнения невозможно решить общей формулой».

Когда уже почти прошли 50 дней, после которых решения надлежало сделать потариус, до Тарталья дощили слухи, что Фиоре все-tаки об-

4

ладает каким-то танистенный способ решения уравнения (1). Перспектива угодить парадным обедом друзей Фиоре в количестве, равном числу задач, решенных победителем (таковый был правила!), не привлекала Тарталью. Он прилагает танические условия, и за восемь дней до назначенного срока (срок истекал 12 февраля 1535 г.) счастье улыбается ему: искомый способ найти задачи Тарталья (страным образом, он не справился даже с задачей, которое можно было решить методом делы Ферро).

Вскоре Тарталья нашел способ решать уравнение (2).

О подиннике Фиоре — Тарталья и пообеде Тарталья знали многое. К нему обращаются с просбами раскрыть его секрет. Он открывается, но нашелся проситель — Джероламо Кардано, который уговорил его.

Джероламо Кардано
Кардано родился 24 сентября 1501 года в Павни, в семье юриста. Окончив университет, Джероламо решает посвятить себя медицинне. Поскольку он был незааконногоределим ребенком, ему вначале пришлось долго практиковать в провинции. Лишь в августа 1539 г., специально изменив для этого правила, Кардано принял в коллегию врачей Милана. Позже он стал даже ректором этой коллегии. Кардано был одним из самых знаменитых врачей своего времени; верятно, вторым — после своего друга Bezалия.

На склоне лет Кардано написал автобиографию «О моей жизни». В ней он всего несколько раз упоминает о занятиях математкой и подробно рассказывает о своих исследованиях по медицинне. Кардано утверждает, что он описал приемы_LEчения до пяты тысяч более, что число решенных им проблем доходит до сорока тысяч, а число мелких указаний — до двухсот тысяч. Конецно, к этим цифрам следует относиться с должной долей скептицзима. Все же слова Кардано-врача была несомненной. Кардано утверждает, что в медицинской практике его постигли лишь три недаччи.

Однако занятия медицинной не полностью поглощали Кардано. В свободное от медицинны время он занимался «всем на свете»: философей, астрологей, физикой, механикой, математикой.

Кардано составлял гороскопы и живых, и мертвых (Христа, Петраки, Дюрера, Bezалия, Лютера). Услугами Кардановстролога пользовался Папа Римский. (По одной недоброй легенде, Кардано покончил с собой, чтобы подтвердить составленный им собственный гороскоп.)

Книга Кардано «О тонких материалов» (1550 г.) была переведена на французский и в течение всего XVII века служила популярным учебником по статике и гидросатике. Галилей при наблюдении над качанием естественного матрика — паникадила в соборе — пользовался указанием Кардано об использовании собственного пульса для измерения времени. Кардано писал о необходимости вечного двигаателя. Некоторые его замечания можно интерпретировать как принцип возможных перемещений. Опытным путем Кардано установил отношение плотности воздуха и воды. Для королевской кареты он изобрел систему соединения двух валют, которая ниже называется кардом (карданный подвес, карданный вал, карданное сошленение) и широко применяется в автоматике. (Впрочем, справедливо требует отметить, что идея такой системы восходит к античности; кроме того, на одном из рисунков у Леонардо да Винчи изобранен компас с карданным подвесом.)

Некоторые сочинения Кардано были своевообразными энциклопедиями. В эпоху Возрождения энциклопедии писались одночками. Первые энциклопедии, созданные коллективным трудом, появились лишь через полтора века.

Кардано написал огромное количество книг (часть из них была напечатана, часть осталась в рукописах, часть он уничтожил, ожидая arrestа (см. ниже)). Однако только их описание составило целую книгу «О собственных сочинениях». Многие годы были получены его книги по философии и этике. Его книга «Об утверении» была переведена на английский язык и оказала влияние на Шекспира. Некоторые шестпироведы утверждают даже, что Гамлет произносит свой

5

замененный монолог «Быть или не быть…», держа эту книгу в руках.

Кардано сорок лет играл в шахматы («я никогда не мог бы выразить в кратких словах, сколько ушерба, без всякого за него возмещения, причинили они моим домашним делам»), двадцать пять — в кости («но еще более шахмат повредили мне кости»). Ради игры он временами бросал все занятия. Побочный продукт этой страсти Кардано была «Книга об игре в кости», написанная в 1526 году, но напечатанная лишь в 1663 году. В этой книге рассматривают некоторые вопросы теории вероятности и комбинаторики; она содержит наблюдения над психологическим играров.

Кардано и Тарталья

К 1539 году Кардано заканчивает свою первую книгу, целиком посвязыванию математике «Практика общеей аргуметики». По его замыслу, она должна была заменить книгу Пачоли. Услышав о секрете Тарталья, он загорелся желанием украсить им свою книгу.

В января 1539 года Кардано обращается к Тарталье с просьбой передать ему правило решения уравнения (1) или для опубликования в своей книге, или под обещание держать сообщенное в секрете. Тарталья открывается: «Передайте его светлости, чтобы он простил меня, но если я захочу опубликовать свое открытие, то я сделаю это в моем собственном труде, а не в книге другого». 12 февраля Кардано повторяет свою просьбу. Тарталья неумолим. 13 марта Кардано приглашает Тарталью к себе в Милан, обещая представить его губернатору Ломбардии. По-видимому, эта перспектива представила Тарталью: он принимает приглашение. 25 марта в доме Кардано состоялась решающая беседа.

Вот отрывок из записи этой беседы (следует иметь в виду, что запись сделана Тарталей; ученик Кардано Феррари утверждает, что она не вполне соответствует действительности):

«Никколо. Я говорю Вам: я отказал Вам не из-за одной только этой главы и сделанного в ней открытия, но из-за тех вещи, которые можно открыть, зная его, так как это ключ, отмыкающий путь для исследованияbecищеленного количества других разделов. Я бы уже давно нащел общее правило для многих других проблем, если бы не был в настоящее время занят переводом Евклида на народный язык (в настоящее время ядовел перевод до конца 13-й книги). Но когда эта работа, которую я уже нацал, будет закончена, я собираюсь издать труд для практического применения вместе с новой альгеброй… Если я вдам ее какому-нибудь теоретику (каким является Ваша светлость), то он легко может с помощью этого обяснения найти другие главы (и это обяснение легко приложить к другим вопросам) и опубликовать плоды моого открытия под собственным именно. Эти будут разбиты все мои планы.

Мессер Джероламо. Я клянусь Вам связыванием господа бога и не только даю Вам слово чистого человека Никогда не опубликовать этого Вашого открытия, если Вы мне его доверите, но обещаю, и да будет моя совесь истинного христианна Вам порукой, защищать его так, что после моей смерти никто не сможет прочитать написанное. Если я, по Вашему мнению, заслуживаю доверия, то сделайте это, если нет, то оставим этот разговор.

Никколо. Если бы я не поверил этой Вашей клагте, то, конечно, заслужил бы того, чтобы меня самого сочили неверующим».

Итак, Тарталья дал уговорить себя. По приведенной записи трудно понять, что его заставило изменить решение. Нужели его так потрясликляты Кардано? Сообщив тайну, Тарталья немедленно узжает из Милана, отказывшись от свидетельства с губернатором, ради которого он предприял путемстворение. Уж не загиппотизировал ли его Кардано?

Когда Тарталья получил 12 мая свеженепечатанную «Практику общеей аргуметики» без своего «решетта» (свой способ решения уравнения (1) он сообщил в форме латинского стихотворения: формул тогда писать не умели), он несколько успокоился.

Кардано получил от Тартальи готовый способ решения уравнения (1) без всяких намеков на доказательство. Он затрагил много сил на тщательную проверку и обоснование правила. С нашей колокольни нельзя понять, в чем проблема: подставь в уравнение и проверь! Однако отсутствие развитой алгебраической символьки делало то, что

6

Милан (гравюра на дереве 1493 года)

сегодняя автоматическая выполняет любой школьник, доступным лишь изображим. Не познакомившись с подлинными текстами того времени, нельзя оценить, насоколько алгебраический аппарат «экономит» мышление. Читатель должен все время иметь это в виду, чтобы не забудаться относительно «привилносты» проблем, вокруг которых клиент страсти в XVI веке.

Луиджи Феррари
В математических занятиях Кардано с неокотрьх пор помогал юный Луиджи Феррари (1522—1565). В составленном Кардано списке его 14 учеников Феррари фигурирует как один из трех наиболее выдающихся.

В 1543 г. Кардано и Феррари поехали в Болонью, где делла Наве позволил им познакомиться с бумагами покойного делу Ферро. Там они убедились, что последнему уже было известно правило Тартальы.

По-видимому, современники почти не знали про формулу делы Ферро. Вряд ли Кардано так настоящую атаковал бы Тарталью, если бы он знаал, что ту же информацию он может получить у делла Наве.

Сейчас почти все истории математики соглашаются, что делу Ферро придумал формулу, что Фиоре знаал ее и что Тарталья переоткрыл ее, зная, что у Фиоре она есть. Оdnako ни один из этих фактов строго не доказан!

В конце жизни Тарталья писал: «…я могу заверить, что эта описанная теорема не была еще доказана ни Евклидом, ни кемлюбо другим, а одним лишь Джероламо Кардано, которое мы ее показали… я в 1534 году (в другом месте написано, что это произшло 4 февраля 1535 года — С. Г.) нашел в Венеции обшую формулу уравнения…»

Трудно свести концы с концами в этой запутанной истории.

К 1545 году Кардано научился решать не только уравнения (1) и (2), но и уравнение
$$x^3 + b = ax,$$
(3)
а также «полное» кубическое уравнение, т. е. уравнение, содержащое член с $x^2$. К тому же времени Феррари придумал, как решать уравнение четырехей степени.

«Великое искусство»
Знакомство ли с бумагами делы Ферро, сильное ли давление со стороны Феррари или, скорее всего, нежелание похоронить результаты многолетней работы привели к тому, что

7

Кардано включил все известное ему о кубических уравнениях вышедую в 1545 году книгу «Великое искусство или о правилах алгебры».

В предисловии Кардано излагает историю вопроса: «… в нашей время Сциппон дель Ферро открыл формулу, согласно которой куб неизвестного плоскости неизвестное равен числу. Это была очень красивая и замечательная работа. Так как это искусство превосходит всю человеческуюLOBкость и всю ясность ума смертного, то его нужно рассматривать как подарок небесного произхождения, а также как способность силы ума, и это настолько слабое открытие, что от того, кто мог его достингать, можно ждать, что он достинг всего. Соревнуясь с ним, Николло Тарталья из Брешии, наш друг, будучи вызван на составление с учеником дель Ферро, по имени Антоно Марио Фиоре, решил, дабы не быть побежданым, ту же самую проблему, и после долгих просыпал ее мне. Я был введен в забужждение словами Луки Пачоли, который говорит, что нет общего решения такого рода уравнения, и, хотя я обладал уже многоми, много самим сделанным открытиями, я все же не отчаивался найти то, чего я не смел искать. Однако, когда я получил эту главу и добавляю ее решения, то я увидел, что с ее помощью можно многое сделать еще; и уже с повышенной уверенностью в своих делах я, при использовании, открыл дальнейшее, часть сам, часть с Лодовико Феррари, моим бышним учеником».

В модернизированном виде способ, который Кардано находит решение уравнения (1), можно изложить следующим образом. Будем искать решение уравнения (1) в виде $x = \beta - \alpha$. Тогда $x + \alpha = \beta$ и

$$x^3 + 3x^2\alpha + 3x\alpha^2 + \alpha^3 = \beta^3.$$ (4)

Поскольку $3x^2\alpha + 3x\alpha^2 = 3x\alpha(x + \alpha) = 3x\alpha\beta$, равенство (4) можно переписать в виде

$$x^3 + 3\alpha\beta x = \beta^3 - \alpha^3.$$ (5)

Попытемся по пале $\langle a, b \rangle$ так подобрать пару $\langle \alpha, \beta \rangle$, чтобы (5) совпало с (1). Для этого необходимо, чтобы пара $\langle \alpha, \beta \rangle$ была решением системы

$$\begin{cases} 3\alpha\beta = a, \\ \beta^3 - \alpha^3 = b \end{cases}$$

или равносильно ей системы

$$\begin{cases} \beta^3 \cdot (-\alpha^3) = -\frac{a^3}{27}, \\ \beta^3 + (-\alpha^3) = b. \end{cases}$$

По теореме Виета $^*)$ $\beta^3$ и $-\alpha^3$ будут корнями всломогательного квадратного уравнения $y^2 - by - \frac{a^3}{27} = 0$. Поскольку ищутся положительные корни уравнения (1), $\beta > \alpha$. Значить, $\beta^3 = \frac{b}{2} + \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{a^3}{27}}$ и $-\alpha^3 = \frac{b}{2} - \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{a^3}{27}}$. Следовательно,

$$x = \sqrt[3]{\frac{b}{2} + \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{a^3}{27}}} - \sqrt[3]{\frac{b}{2} + \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{a^3}{27}}}.$$

При положительных $a$ и $b$ корень $x$ также положительен.

Приведенная выкладка лишь в идеином отношении следует ходути рассужданий Кардано. Сам он рассуждает на геометрическом языке: если куб со стороны $\beta = \alpha + x$ разрезать плоскости, параллельными граням, на куб со стороны $\alpha$ и куб со стороны $x$, получается, кроме двух кубов, при прямогольных параллелипеда со стороны $\langle \alpha, \alpha, x \rangle$ и три со стороны $\langle \alpha, x, x \rangle$; соответственно между объемами дает (4); для перехода к (5) параллелипеды разных типов попарно обединиются.

«Так как я сознавал, что тот отдел, который передал мне Тарталья, был открыт им при помощи геометрического доказательства, то я думал, что это и есть царский путь, ведущий ко всем другим отделам».

$^*)$ Сам Виет (1540—1603) жил позже Кардано, но тот частный случай его теоремы, который в школе называют теореми Виета, был по существу известен Кардано.

8

Уравнение (2) можно решить при помощи подстановки $x = \beta + \alpha$, но здесь уже может возникнуть случай, когда исходное уравнение имеет три действительных корня, а вспомогательное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это так называемый «неприводимый» случай*). Он достивил много хлопот Карданов (и, вероятно, Тарталье).

Карданов решил уравнение (3), дав очень смелое по тем временам расчужение, обгрузывающее отрицательность корня. Никто до него не пользовался так решительно отрицательными числами, хотя и Карданов еще далек от свободного обращения с ними: уравнения (1) и (2) он рассматривает отдельно!

Карданов полностью разобрался и с общим кубическим уравнением $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ (здесь уж Тарталья совсем ни причем!), затем, говоря на современном языке, что подстановка $x = y - \frac{a}{3}$ уничтожает член с $x^2$.

Карданов решается рассматривать не только отрицательные числа (он называет их «чисто ложными»), но и комплексные (их он называет «посистние софистическими»). Он заметает, что если с ними операровать по некоторым естественным правилам, то квадратному уравнению, не имеющему действительных корней, можно приписать комплексные корни. Возможно, к комплексным числам Карданов приSEL в связи с «неприводимым» случайем.

В «Великоом искусстве» был отражен и личный вклад Ferrari — решение уравнения четвертой степени.

На современном языке метод Ferrari для уравнения
$$x^4 + ax^2 + bx + c = 0$$
(полное уравнение четвертой степени легко совпадется к уравнению (6)) состоит в следующем.

*) О нем в «Кванте» уже писалось: 1971, № 11, с. 20 и 1973, № 3, с. 30. См. также с. 11 в данной номере.

Введя вспомогательный параметр $t$, перепишем уравнение (6) в равносильной форме:
$$\left(x^2 + \frac{a}{2} + t\right)^2 = 2tx^2 - bx + \left(t^2 + at - c + \frac{a^2}{4}\right).$$

Подберем теперь значение параметра $t$ так, чтобы квадратный (относительно $x$) трехлен, стоящий в правой части уравнения (7), имел два совпадающих корня. Для этого нужно, чтобы дискриминант этого трехлен равнялся нулю:
$$b^2 - 4 \cdot 2t \cdot \left(t^2 + at - c + \frac{a^2}{4}\right) = 0.$$

Мы получили вспомогательное кубическое уравнение для $t$. Найдем по формуле Карданов какой-нибудь его корень $t_0$. Уравнение (7) можно теперь переписать так:
$$\left(x^2 + \frac{a}{2} + t_0\right)^2 = 2t_0 \left(x - \frac{b}{4t_0}\right)^2.$$

Уравнение (8) распадается на пару квадратных уравнений, дающих четыре искомых корня.

Таким образом, согласно методу Ferrari, решение уравнения четвертой степени совпадется к решению вспомогательного кубического уравнения и двух квадратных уравнений.

Место «Великого искусства» в истории математики определяется, в первую очередь, не конкретными результатами об уравнениях третьей и четвертой степени, а тем, что в нем впервые появляются общие алгебраические понятия (например, кратность корня) и утверждение (если уравнение $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ имеет три вещественных корня, то их сумма равна — $a$).

Фerrari и Тарталья

Нетрудно себе представить, какое впечатление произвел на Тарталью выход в свет «Великою искусства» (1545). В последней части книги «Проблемы и различные изобретения» (1546) он публикует переписку с Карданов и записи бескед с ним и обрушивается на него с бранью и упреками. Карданов не реагирует на выпад.

9

10 февраля 1547 г. Тарталье, вместе Кардано, ответает Феррари. Он возражает против упреков Тартальи, указывает на недочеты в его книге, в одном случае упрекает его в присвоении чужого результата и в положий памяти (похоже, что по тем временам это тяжело обвининие). В заключение Тарталья вызывается на публичный диспут «по геометрии, арифметике или связанным с ними дисциплиnam, таким, как Астрология, Музька, Космография, Перспектива, Архитектура и др.»

19 февраля Тарталья в своей ответе пытается в перепалку самого Кардано: «Я писал там в таком горячем и оскорбитальном тоне для того, чтобы заставить его светлость (а не Вас) собственного написатькое, либо у меня с ним старые счеты».

Обсуждение условий диспута затягивается. Тарталья начинает понять, что Кардано останется в сто-

роне. Тогда он начинает подчеркивать несамостояльность Феррари, именно его «креатурой Кардано», как тот сам назвал себя в своем вызове. Свои «Вопросы», которые он по традиции послал в ответ на вызов, он адресует им обомим: «Вы, мессер Джероламо, и Вы, мессер Луиджи…»

В конце концов Тарталья согласился наDISPUT с Феррари. DISPUT состоялся 10 августа 1548 года в Милане, в присутствии многих знаных особ, но в отсутствии Кардано. ОDISPUTE сохранились лишь короткие записи Тарталья, по которым почти невозможно восстановить истинную картину. Похоже, что Тарталья потерел порядке.

Впрочем, к проблеме, из-за которой возникок спор, DISPUT не имел никакого отношения. Да и вообще к выяснению истинных DISPUTей имели столъ же малое отношение, что и дуэли.

10

Дальнейшая судьба героев

За год до смерти Тартальы (он умер в 1557 году) начал выходить его «Общий трактат о числе и меры», содержащий полученные им в те годы результаты по комбинаторике и теории вероятности. О кубических уравнений в «Трактате» говорится очень мало. Кончил печататься «Трактат» уже после смерти автора.

Феррари после диспута получил большую известность: он читает публичные лекции в Риме, руководит управлением кадрами в Милане, участвует в воспитании сына короля. А вот следов в науке он больше не оставил! Умер он в 43 года (1565 г.).

Дольше их обонх прожил Карданов. Но жизнь его была не легкой. Один его сын отравил изревности жени и был казен. Другой сын стал брадяной и ограниченого отца. В 1570 году сам Карданов был посажен в тюрьму, и имущество его было конфискованно. (Причина его ареста неизвестна. Известно лишь, что в ожидании ареста он уничтожил 120 своих книг.) Кончил свои дни Карданов в Риме, на положении «частного человека» (его выражение), получшего скромную пенцию от Папы. Конец своей жизни он посвятил составленную автobiографической книги «О моей жизни». Последний упоминаемый в этой книге факт датируется 28 апреля 1576 года. Карданов умер 21 сентября 1576 года.

В своей книге Карданов несколько раз вспоминает Тарталью. Он пишет, что Тарталья предпочел имеет в нем «соперника и победителя, чем друг и человека, обязаного благодариями». В другом месте он относит Тарталью к числу своих книг, которые «не выши за пределы грамматики». Однако на последних страницах он пишет: «Сознаюсь, что в математике коe-что, но в самом деле ничтожное количество, я заимствовал у брата Никколо».

Неспокойно, видимо, было у него на душе!

---

К проблеме Тарталья — Карданов истории математики вернулся лишь в начале XIX века, обнаружив существование общенного Тарталья, который к тому времени был практическим забыт. Почти забытая история получила огласку, и за счет Тарталья были готовы стражаться не только профессIONALы, но и любители. При многократных передачах истории и проникновении ее в популярную литературу Карданов порой превращался в аванториста и злоедя, украшшего у Тарталья его открытые и давшего этому открытию свое имя.

К концу XIX века часть дискусии стала носить характер сервисных историком-математических исследований. Математики поняли, какую большую роль сыграли в науке XVI века работы Карданов. Стало ясно то, что еще раныше отмеgal Лейбниц: «Карданов был Великим человеком при всех его недостатках; без них он был бы совершенством».

Крупнейший историк математики Мориц Кантор (1829—1920; не путь с создателем теории многовеста Георгом Кантором!) высказал предположение, имеющее еще у Феррари, что Тарталья не переоткрыл правильное деление Ферро, а узнал его в готовом виде из вторых рук.

Полтора века то утихали, то новь разгорались страсти. Но, может быть, это один из тех вопросов, на которые теперь уже нельзя дать однозначный ответ?

А за формулой для решения кубического уравнения прочно укоренилось навание «формула Карданов».

12

такого простого уравнения. Так что этот результат можно записать нашей формуле в актив.
Второй пример: $x^3 + 3x - 4 = 0$.
Формула (3) дает:
$$x = \sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}}.$$
Ответ более громоздок. Это число можно найти при приближении с помощью таблицы, и чем точнее будет таблицы, тем ближе будет результат к единице. Причина проста: это число равно единице *). Но из формулы этого не видно, и это, пожалуйста, недостаток формулы: ведь решая квадратные уравнения с целыми коэффициентами, мы сразу видим, является ли решение разнональным.
Третий пример: $(x + 1) \times (x + 2)(x - 3) = 0$.
Сразу видно, что это уравнение имеет три решения: -1, -2 и 3. Но попробуем решить его по формуле. Раскрываем скобки
$$x^3 - 7x - 6 = 0$$
и применяем формулу (3):
$$x = \sqrt[3]{3 + \sqrt{-\frac{100}{27}}} + \sqrt[3]{3 - \sqrt{-\frac{100}{27}}}.$$
Под знаком квадратного корня стоит отрицательное число. Сталкиваясь с подобной ситуацией при решении квадратных уравнений, мы делаем вывод, что уравнение не имеет решений («уравнение не имеет действительных решений», — скажут более обозначенные; но образованность в данном случае мало помогает). Однако, мы знаем, что уравнение решения имеет, даже целых три. Формула наша в данном случае просто проверилась.

*) Доказательство: единица есть, оченьно, корень нашего уравнения, а наше уравнение имеет только одно решение — см. ниже п. 4.

Эти примеры и другие подобные примеры наводят на мысль, что причина непопулярности формулы (3) лежит не в ее громоздкости (не так уж она и громоздка!), а в ее ненадежности: то она вовсе не дает решений, то дает их в неудовлетворительной форме.

Такое заключение, в общем, справедливо.

Попытаемся все же разобраться, что дает и чего не дает наша формула. Начнем с самого простого.

3. Теорема

Если выражение $\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}$ неотрицательно, то права часть формулы (3) является решением уравнения (2).

Доказательство. Положим
$$\alpha = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}},$$
$$\beta = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}.$$

Очевидно, права часть формулы (3) как раз равяется сумме $\alpha + \beta$. А произведение $\alpha \beta$ равно $-\frac{p}{3}$:

$$\sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} \times \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} = \sqrt[3]{(-\frac{q}{2})^2 - (\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27})} = \sqrt[3]{-\frac{p^3}{27}} = -\frac{p}{3}.$$

13

Теперь подставим $\alpha + \beta$ в левую часть уравнения (2):

$$(\alpha + \beta)^3 + p(\alpha + \beta) + q = \alpha^3 + 3\alpha^2\beta + 3\alpha\beta^2 + \beta^3 + p(\alpha + \beta) + q = \alpha^3 + \beta^3 + 3\alpha\beta(\alpha + \beta) + p(\alpha + \beta) + q = -\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}} - \frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}} - p(\alpha + \beta) + p(\alpha + \beta) + q = 0.$$

Теорема доказана.

4. Сколько решений имеет уравнение (2)?

Это естественный вопрос: ведь решение уравнения — значит найти все его решения, а для этого полезно знать, сколько оно имеет решения.

Выясним сначала, при каких $x$ функция $y = x^3 + px + q$ возвращает, а при каких — убивает *). Для этого сравним значения нашей функции в точке $x$ и в точке $x + \delta$, где $\delta$ — маленькое положительное число (см. рис. 1). Что больше:

$$x^3 + px + q$$

или

$$(x + \delta)^3 + p(x + \delta) + q?$$

Вычисляем разность:

$$(x + \delta)^3 + p(x + \delta) - (x^3 + px + q) = \delta (3x^2 + p + 3\delta x + \delta^2).$$

Знак этой разности определяется знаком сложения $3x^2 + p + 3\delta x + \delta^2$ (поскольку $\delta > 0$). Что же касается этой суммы, то:

1. если $3x^2 + p > 0$, то при достаточно малом $\delta$ она положительная;
2. если $3x^2 + p < 0$, то при достаточно малом $\delta$ она отрицательна.

Таким образом:

1. если $3x^2 + p > 0$, то функция $y = x^3 + px + q$ в достаточно не

*) То, что делается дальше, представляет собой очень распространенный в математике прием, называемый дифференцированным. Конецно, многое чители знаком с этим приемом, но мы постарались сделать изложение понятным и для тех, кто его не знает.

Рис. 2.

большой окрестности точки $x$ возвращает;

2. если $3x^2 + p < 0$, то убивает. Далее, хорошо известно, что

3. если $p > 0$, то $3x^2 + p > 0$ при всех $x$;

4. если $p < 0$, то $3x^2 + p > 0$ при $x > \sqrt{-p/3}$ и при $x < -\sqrt{-p/3}$, и $3x^2 + p < 0$ при $-\sqrt{-p/3} < x < \sqrt{-p/3}$.

Позному

1. если $p > 0$, то функция $y = x^3 + px + q$ возвращает при всех $x$;
2. если $p < 0$, то функция $y = x^3 + px + q$ возвращает при $x < -\sqrt{-p/3}$, убивает при $-\sqrt{-p/3} < x < \sqrt{-p/3}$ и снова возвращает при $x > \sqrt{-p/3}$.

14

Заметим, что при достаточно большом $x$ выражение $x^3 + px + q$ зависит положительно, а при достаточно большом по модулю отрицательном $x$ оно зависит отрицательно. Тепер мы можем схематически нарисовать график функции $y = x^3 + px + q$ (рис. 2a)—в).

На этих схематических графиках отражены только зоны возрастания и убывания функции $y = x^3 + px + q$ и еще тот факт, что $y > 0$ при достаточно больших $x$ и $y < 0$ при отрицательных достаточно больших по модулю $x$. Но уже этих схематических графиков достаточно, чтобы судить о числе решений уравнения. Мы видим, что:

1. уравнение имеет одно решение, если $p > 0$; или если $p < 0$ и значения функции в точках $-\sqrt{-p/3}, \sqrt{-p/3}$ имеют одинаковые знаки — рис. 2a) и 2в).

2. если же $p < 0$ и значения функции в точках $-\sqrt{-p/3}, \sqrt{-p/3}$ имеют противоположные знаки, то уравнение имеет три решения — рис. 26).

Можно сформулировать этот результат в более удобной форме. Для того чтобы узнать, одинаковые или противоположные знаки имеют значения функции в точках $-\sqrt{-p/3}, \sqrt{-p/3}$, можно вычислить эти значения и переменные положительно, то знаки соответствующей, а если оно отрицательно, то — различны. Проделаем это вычисление:

$$\left[(-\sqrt{-p/3})^3 + p(-\sqrt{-p/3}) + q\right] \times \left[(\sqrt{-p/3})^3 + p\sqrt{-p/3} + q\right] = \left[p/3\sqrt{-p/3} - p\sqrt{-p/3} + q\right] \times \left[-p/3\sqrt{-p/3} + p\sqrt{-p/3} + q\right] = \left(q - 2/3p\sqrt{-p/3}\right) \times \left(q + 2/3p\sqrt{-p/3}\right) = q^2 + 4/27p^3.$$

Итак, если $p < 0$ и $q^2 + \frac{4}{27}p^3 > 0$, то решение одно, а если $p < 0$ и $q^2 + \frac{4}{27}p^3 < 0$, то решение три. Заметив, что если $p > 0$, то уже заведено $q^2 + \frac{4}{27}p^3 > 0$, мы можем сформулировать результат так:

$$q^2 + \frac{4}{27}p^3 > 0, \text{мо уравнение}$$
(2) имеем одно решение.
$$q^2 + \frac{4}{27}p^3 < 0, \text{мо уравнение}$$
(2) имеем три решения*).

5. Неожиданный вывод

Заметили ли вы, что у нас получилась удовлетворяющаяweisь? Ведь выражение $q^2 + \frac{4}{27}p^3$ только на несущественный (с точки зрения знака) множество отличается от опасного подкоренного выражения в формуле (3):

$$q^2 + \frac{4}{27}p^3 = 4\left(\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}\right).$$

Значит, именно тогда, когда уравнение имеет три решения, подкоренное выражение отрицательно, и формула не дает ни его (мы видели это на примере, но теперь ясно, что это не случайно). Если же уравнение имеет всего одно решение, то наша формула его и дает.

Итак, феномен, наблюдающийся нами в п. 2, получил свое объяснение. Осталось посмотреть только, нельзя ли что-нибудь все же выжать из нашей формулы, когда уравнение имеет три решения и под квадратным корнем оказывается отрицательное число.

*) Мы всегда оставли без рассмотрения случая, когда что-нибудь обращается в нуль. В действительности, если $q^2 + \frac{4}{27}p^3 = 0$, то уравнение имеет два решения, за единственным исключением: если $p = q = 0$, то решение, очевидно, одно.

15

6. Не помогут ли комплекские числа?

Все, что написано далее, рассчитано на читателя, знакомого с комплекскими числами.

Впрочем, «знакомство» с комплекскими числами, в существии, есть не более чем привчка к употреблению определенных слов. Комплексные числа появились в математике примерно так же, как несколько раныше — отрицательные числа или дроби. Поскольку не из всякого действительного числа можно извлечь квадратный корень, удобно дополнить запас чисел новым числом $i$, квадрат которого равен —1 (как равше, желая сделать универсальный операцию вычитания, введи отрицательные числа). Вместе с $i$ вводят числа вида $a + bi$, где $a$ и $b$ — действительные числа, и условливаются, что действия над этим числами производятся по таким правилам:

$$(a + bi) + (c + di) = a + bi + c + di = (a + c) + (b + d)i,$$
$$(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$$

(в последнем равенстве мы учили, что $i^2 = -1$). Построенные числа называются комплекскими числами; числа $a$ и $b$ называются соответствующим действительным и минимальным числам $a + bi$; два комплекских числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их минимые части. Приведем еще формулу Муавра (она нам понадобится ниже):

$$(\cos \alpha + i \sin \alpha)(\cos \beta + i \sin \beta) = \cos (\alpha + \beta) + i \sin (\alpha + \beta),$$

которая является немедленным следствием формулы для переменжения комплекских чисел и известных трионометрических формул.

Вернемся к формуле (3). В случае, когда $\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27} < 0$, можно попытаться найти решение уравнения (2) с ее помощью, извлекая кубическое корни из комплекских чисел.

Извлечь кубическое корень из комплекского числа $a + bi$ — это значит решить уравнение

$$(x + iy)^3 = a + bi,$$

то есть уравнение $x^3 - 3xy^2 + i(3x^2y - y^3) = a + bi$. Последнее равенство означает, что

$$\begin{cases} x^3 - 3xy^2 = a, \\ 3x^2y - y^3 = b. \end{cases}$$

Система же эта различными способами приводится опять-tаки к кубическому уравнению. Например, так:

$$y^2 = \frac{x^3 - a}{3x} (\text{из первого уравнения}),$$

$$y \left( 3x^2 - \frac{x^3 - a}{3x} \right) = b,$$

$$y = \frac{3bx}{8x^3 + a},$$

$$x^3 - 3x \cdot \frac{9b^2x^2}{(8x^3 + a)^2} = a,$$

$$(x^3 - a)(8x^3 + a)^2 - 27b^2x^3 = 0,$$

или, полагая $x^3 = z,$

$$(z - a)(8z + a)^2 - 27b^2z = 0. \quad (4)$$

Конечно, можно снова обратиться к формуле (3). Но оказывается, что применение этой формулы к уравнению (4) всегда приводит к отрицательному под квадратным корнем. Впрочем, это и не удивительно, поскольку, как легко доказать, кубический корень из комплексного числа имеет призначение.

Таким образом, на этом пути формулой (3) воспользоваться неудается. Но все же с ее помощью можно находить приближенные значения корней уравнения (2). Для этого нужно иметь, кроме таблицы квадратных и кубических корней, еще трионометрические таблицы и применить формулу Муавра, из которой следует, что

$$\cos \alpha + i \sin \alpha = \left( \cos \frac{\alpha}{3} + i \sin \frac{\alpha}{3} \right)^3.$$

Кубический корень из комплексного числа $a + bi$ с помощью этой формулы нужно также. Сначала пред-

16

ставим $a + bi$ в виде
$$\sqrt{a^2 + b^2} \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} i \right).$$

Затем находим такое $\alpha$, что
$$\cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$ и $$\sin \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$ (это можно сделать, потому что
$$\left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right)^2 + \left( \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right)^2 = 1).$$
Искомый кубический корень запишется тогда как
$$\sqrt[6]{a^2 + b^2} \left( \cos \frac{\alpha}{3} + i \sin \frac{\alpha}{3} \right).$$

(Заметим, что $\alpha$ определяено с точностью до слагаемого $2k\pi$, $\frac{\alpha}{3}$ определяно с точностью до слагаемого $\frac{2k\pi}{3}$ и $$\cos \frac{\alpha}{3} + i \sin \frac{\alpha}{3}$$ имеет три значения — так и должно быть!)
Этим способом можно приближенно найти кубические корни, входящие в формулу (3). Впрочем, нам достаточно найти только действную часть одного из них: если один из двух корней разен $c + di$, то другой равен $c - di$ (доказите это!) и их сумма равна $2c$.

Но, пожалуйста, этот способ решения кубического уравнения с помощью таблицы квадратных и кубических корней и тригонометрических таблиц еще более громоздок и неточен (ведь все табличные значения определяются лишь с какой-то точностью, а при каждом арифметическом действии ошибка увеличивается), чем метод подбора и последовательных приближений, которые полностью объчно.

Позному-то мы и не запоминаем формулы (3): для практического решения кубических уравнений она не приспособлена.

7. Заключение: зачем нужна формула (3)?

Значение формулы (3) заключается в том, что она дает ответ на классический вопрос о «разрешимости уравнений третий степени в радикалах». Поясним это.

Первые irrationalные числа, с которых нам приходится стalkивать, — это корни (самое первоое $-\sqrt{2}$, диагональ квадрата со стороны единица). Извлечение корней, вместе с арифметическими действиями, расширяет запас чисел (присоединяя к разциональным числам такие числа, как $\sqrt[3]{2} + \sqrt{3}$, $\sqrt{\sqrt{5}/(\sqrt{2} + \sqrt{3})}$ и т.п.). Хватает ли этого расшириенного запаса для решения алгебраических уравнений с целыми коэффициентами? Наша формула показывает, что для решения кубических уравнений его хватет — во всяком случае, если мы допускаем в качестве подкоренных выражений не только действительные, но и комплексные числа.

Оказывается, что в радикалах решаются и уравнения четвертой степени; уравнения же прямой степени и выше неразрешимы в радикалах. Очень верятно, что об этой последней теореме читатель уже слышал. Доказательство ее на самом деле гораздо проще, чем принято считать; но это — предмет для отдельного разговора.

17

Формула Карданов и геометрия

А. Резников

Вы хорошо знакомы с тем, как по коэффициентам уравнения второй степени $x^2 + px + q = 0$ определять, сколько у него действительных корней. Если $p^2 - 4q > 0$, то корней два, если $p^2 - 4q = 0$, то корень один и, наконец, если $p^2 - 4q < 0$, то корней нет.

В этом номере на с. 14 выводится аналогичное условие для уравнения третьей степени $x^3 + px + q = 0$. С помощью этого условия можно получить одно хитрумное неравенство, связывающее элементы произвольного треугольника. Вот как это делается.

Пусть $ABC$ — треугольник со стороны $a, b, c$; $p$ — его полуперimeter, $S$ — площадь, а $R, r, r_a, r_b, r_c$ — радиусы описанной, вписанной и внешисанных окружностей. Оказывается, верны такие соотношения:

$$r_a + r_b + r_c = 4R + r, \quad r_a r_b + r_b r_c + r_c r_a = p^2, \quad r_a r_b r_c = p S.$$ (1)

Равенства (1) означает, что числа $r_a, r_b, r_c$ являются корнями следующого уравнения:

$$x^3 - (4R + r)x^2 + p^2 x - p S = 0.$$ (2)

Это вытекает из того, что $r_a, r_b, r_c$ — корни многочлена $(x - r_a)(x - r_b)(x - r_c) = x^3 - (r_a + r_b + r_c)x^2 + (r_a r_b + r_b r_c + r_c r_a)x - r_a r_b r_c$.

Записав для уравнения (2) условия действительности всех трех его корней*) мы, после нескольких преобразований и с помощью формулы $S = pr$, придем к такому неравенству:

$$\left[ p^2 - (2R^2 + 10Rr - r^2) \right]^2 \leq 4R (R - 2r)^3$$ (3)

Из (3) следует, что

$$R \geq 2r$$ (4)

и что

$$\left| p^2 - (2R^2 + 10Rr - r^2) \right| \leq 2 \sqrt{R(R - 2r)^3}$$ (5)

Равенство в (3) и в (5) достигается, когда два из чисел $r_a, r_b, r_c$ равны, т. е. когда треугольник равноведенный.

Уражения

1. Докажите формулы (1). Выведите для этого следующие выражения для $S: S = rp = r_a(p - a) = r_b(p - b) = r_c(p - c) = \frac{abc}{4R} = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$.

2. Выясните условия достижения равенства в (4).

3. Докажите, что $16Rr - 5r^2 \leq p \leq 4R^2 + 4Rr + 3r^2$.

4. Исследуйте, для каких равноведенных треугольников число $p^2 - (2R^2 + 10Rr - r^2)$ неотрицательно.

*) См. с. 14. Для того чтобы воспользоваться приведенным там условием, продолжите замену $x = y + \frac{4R + r}{3}$.

18

Графическое решение кубических уравнений
А. Краснодемская

Известная формула Карданов
$$x = \sqrt[3]{\frac{k}{54} + \sqrt{\frac{-D}{108}}} + \sqrt[3]{\frac{-k}{54} - \sqrt{\frac{-D}{108}}} - \frac{b}{3a},$$
где $k = (2b^3 - 9abc + 27a^2d)/a^3$, $D = (b^2c^2 - 4ac^3 - 4b^3d + 18abcd - 27a^2d^2)/a^4$, позволяет точно находить корни кубического уравнения
$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0.$$ (*)

Правда, вычисления по этой формуле занимают много времени, не говоря уже о том, что во многих случаях приходится операровать с комплисными числами. А нельзя ли находить корни уравнения (*) пусты приближению, но быстро, скажем, графические — с помощью циркуля и линейки? Оказывается, одним лишь циркулем и линейкой обойтись нельзя — как было показано в статье В. Нильме («Квант», 1975, № 6), циркулем и линейкой можно строить лишь величины, выражающие через исходные данные с помощью действия сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня (скажем, так выражаются через коэффициенты корни квадратного уравнения, поэтому квадратные уравнения можно решать графические с помощью циркуля и линейки — об этом расскажано в статье А. Пресмана, «Квант», 1972, № 4).

А корни кубического уравнения требуют еще извлечения кубического корня, поэтому в обшем случае их нельзя построить с помощью циркуля и линейки. Конкретный пример такого «геометрического неразрешимого» уравнения: $x^3 - 2 = 0$, — был приведен в той же статье В. Нильме.

В то же время многое задачи, неразрешимые с помощью циркуля и линейки, решаются с помощью других приборов или хитрым использованием линейки (например, задача трисекции угла — в той же статье В. Нильме). Не являются исключением и кубические уравнения — их

20

Броуновское молекулярное движение
А. Ноффе

В самом начале школьного курса физики, в шестом классе, учащся знакомятся с двумя интересными физическими явлениями — броуновским движением и диффузей, непредседательно связанным с движением молекул. Эти явления служат экспериментальной основой молекулярно-kinетической теории. Теория этих явлений в школе не изучается. Поэтому остается непонятным даже такой очень важный вопрос — а почему в процессе диффузии молекул могут перемешаться на значительные расстояния? Ведь они движутся совершенно случайно, все направления движения для них равноправны, и казалось бы, за большие промежутки времени они должны были бы фактически оставаться почти на одном и том же месте.

Teория броуновского движения была создана Альбертом Эйнштейном. Она содержится в его работе «О движении взвешенных в покоящей жидкости частиц, требуемом молекулярно-kinетической теории теплоты», опубликованной в 1905 году. Экспериментальные исследования, проведенные вскоре французским физиком Жаном Перреном, полностью подтвердили эту теорию, а вместе с ней и наши представления о молекулярном строении вещества.

Мы приводим здесь изложение основ теории броуновского движения, заимствованное из научно-популярной книги академика Абрама Федоровича Иоффе «Основные представления совершенной физики», выпущенной Государственным издательством физико-математического литературы в 1949 году.

Существует непосредственное доказательство непрерывного теплового движения молекул — так называемое броуновское молекулярное движение. Еще в 1827 году английский броун заметил в растительных препаратах под микросом постоянное движение или дрожжные мелких взвешенных в жидкости частиц. Воспледствии оказалось, что это свойство не ограничивается живой природой, что всякая достаточно мелкая крупинка, помещенная в среду, где она может двигаться, совершает постоянные перемешения самого случайного характера. Исследование этого явления показало, что оно не может быть обязывано побочных причины, например, потоками, которые возникают в жидкой или газообразной среде под влиянием неравномерного

21

нагревания, электризации, освещения и т. п. Это движение никака не прекрашается, оно тесно связывано с тепловым состоянием жидкости: с повышением температуры интенсивность броуновского движения воздуха. Можно считать доказанным, что в совершенном способе живимое непрекрашающее движение мелчайших частиц, так как только такое движение способно сообщить те точки, которые передвигают наблюдаемую крупинку то в одну, то в другую сторону.

Легко понять, почему понадобились микросоппические крупинки, чтобы обнаружить тепловое движение. Далее в сравнительно разреженном веществе, в газе, при нормальных условиях заключится 2,7·1019 молекул в каждой кубическом сантиметре; все эти молекулы движутся с громадными скоростями по всевозможным направлениям. Поэтому число толчков, испытываемых телом объченных размеров, так велико, что мы не только не успеваем подметить отдельного толчка, но и не замечаем случайного преобладания толчков в одном направлении над толчками в противоположном направлении. Чем меньше тело, тем меньше толчков оно испытывает, а для микросоппических пылинок число испытываемых им们 толчков уже так не велико, что преобладание толчков то одного, то другой направления случайности постоянно, и пылинка кидается именно из стороны в сторону. Такая пылинка заключит в себе еще миллионы молекул, поэтому ее беспорядочное движение, которое мы видим, не есть собственно молекулярное движение; мы не замечаем только отдельной молекулы, а только преобладание толчков какого-нибудь направления; но это пылинка является верным показателем существования молекулярного движения, подобно тому, как вид качающегося на море судна указывает на существование волн.

Рис. 1.

Чтобы составить себе представление о хаотическом характеристике броуновского движения, рассмотрим рисунок, полученный Перреном, подробно исследовавшим это явление (рис. 1). На рисунке отмечено положение одной и той же частицы в поле микросоппала через каждые 1/2 мин. Приемые линии, соединяющие эти положения, ни в какой степени не соответствуют действительному пути частицы за протекшное 1/2 мин. Наоборот, пусть между двумя положениями представляется собой такую же сложную запутанную картину, как вес рисунок. Каждый следовение частицы с молекулой окружающей жидкости немного меняет направление ее движения, а таких следовений — до 1012 в течение 1 сек. Изображить действительный пути частицы мы не можем; однако даже наблюдаемые положения частицы в определенные моменты времени уже выясняет неоторные типичные черты теплового движения.

Как и следовало ожидать, через каждые 1/2 мин частица оказывается смешенной вправо, влево, вверх или вниз, причем, по смесению за пределы предсказания о направлении смешения за следующее 1/2 мин. Be-

22

личина смешення различна, но все же большей частью близка к некоторому среднему значению (около 5 мм на рисунке 1). Отступления и в ту, и в другую сторону тем реже, чем дальнейшее смешення отходят от среднего. Много, например, смешений в 3 или в 8 мм, но значительно меньше в 2 или 12 мм и совсем не видно смешений в 1 или 20 мм за 1/2 мин. Если бы мы проследили не 200 смешений, как на рисунке 1, а тысячи, как это сделал Перен, то встретили бы и больше отступления, но их было бы мало.

Это свойство мы можем описать графическими (рис. 2), нанося по оси абсцисс величины смешения Δx и по оси ordинат — число случав n, когда наблюдаюсь данное смешение Δx, причем, все возможные их значения мы разобъем на группы, например, смешения от 0 до 1 мм, от 1 до 2 мм и т. д. График показет некоторый максимум величины 5 мм. Отсюда кривая будет спадать до нуля в ту и другую сторону. Это сладание происходит настолько быстро, что число случав, соответствующих очень далеким от 5 мм смешениями, оказываетсяничтожно малым.

Мы привыклих характеризовать движение частицы скоростью v, понимая под него отношение смешения за данный промежуток времени t к величины этого промежутка. Когда движение равномерно, пусть пропорционален времени. Когда движение неравномерно, мы можем, постепенно уменьшая промежуток времени t, получать все более сходящая значения, и наконец, перейти к предлуэ этого отношения при бесконечном малом Δt. Этот метод, однако, совершенно не применим к наблюдениям, изобравенным на рисунке 1.

Перейдем от смешений AB и BC (рис. 3) за один промежуток времени, например, за каждые 1/2 мин, к смешиям AC за двойные промежутки времени — 1 мин. Так как второе смешение BC никакогда не связано с предыдущим AB и с одинаковой вероятностю может произходить под любым углом φ к нему, то общее смешение AC за 1 мин обычно будет меньше, чем AB + BC, а иногда может равнять нулю, когда AB = BC и угол φ = 0. Таким образом, смешение за 1 мин может принимать все значения от AB + BC до AB — BC в зависимости от угла φ. Предсказать результаты каждого отдельного смешения мы не можем, но, наблюдая очень сильно смешений, можно установить некоторую связь между средним значением смешения частцы за 1/2 мин и средним значением ее смешения за 1 мин.

При любом угле φ между AB и BC мы имеем AC² = AB² + BC² — 2AB·BC·cos φ. Вместо угла φ можно ввести дополнительный угол α между BC и продолжением линии AB:

cos φ = cos(180° - α) = — cos α,

рис. 2.
рис. 3.

23

позтому
$$AC^2 = AB^2 + BC^2 + 2AB \cdot BC \cdot \cos \alpha.$$ (1)

Наблюдая дилтельное движение частицы, мы составим для каждой пары последовательных смещений уравнение, подобное уравнение (1). Сложим все эти уравнения почленно и разделим на число этих уравнений. Тогда получим

$$\frac{A_1C_1^2 + A_2C_2^2 + \cdots + A_nC_n^2}{n} = \frac{A_1B_1^2 + A_2B_2^2 + \cdots + A_nB_n^2}{n} + \frac{B_1C_1^2 + B_2C_2^2 + \cdots + B_nC_n^2}{n} + \frac{2}{n}(A_1B_1 \cdot B_1C_1 \cdot \cos \alpha_1 + A_2B_2 \cdot B_2C_2 \cdot \cos \alpha_2 + \cdots + A_nB_n \cdot B_nC_n \cdot \cos \alpha_n).$$ (1a)

Если движение совершеноxaотично, то все значения угла $\alpha$ должны встречаться одинаково части. Слгаемые последнего члена, благодаря множительм cos $\alpha_i$, одинаково части приннимают положительные и отрицательные значения, поэтому их алгебраическая сумма, а вместе с тем и весь последний членрезвычайно близки к нулю. По сравнению с остальных членами, состоящими из одних положительных слгаемых, он будет настолько мал, что им можно пребежать. Оставшиеся члены выражают связь между средним значением квадратов всех смещений части за каждую минуту, которые мы обозначим через $(\Delta x_2)^2$, и средним значением квадратов смещений за 1/2 мин (его обозначим $(\Delta x_1)^2)$. Уравнение (1a) перепишется при этих обозначениях так:
$$(\Delta x_2)^2 = 2(\Delta x_1)^2.$$
Точно так же можно убедиться, что средний квадрат смещения части $(\Delta x_3)^2$ за тройной промежуток времени будет
$(\Delta x_3)^2 = 3(\Delta x_1)^2.$

Обозначим через $A, B, C, D, E, \ldots, Y, Z$ (рис. 4) положения крупинки через ряд последовательных и равных между собой промежутков времени $\Delta t$ и вычислим, на сколько в среднем крупинка удалится от своего начального положения в точке $A$ в результате $n$ смещений за время $n\Delta t$.

Для удаления крупинки $AZ$ через $n$ промежутков времени $\Delta t$ получим
$$AZ^2 = (AB^2 + BC^2 + CD^2 + \ldots + YZ^2) + (2AB \cdot BC \cdot \cos \alpha_1 + 2AC \cdot CD \cdot \cos \alpha_2 + \ldots + 2AY \cdot YZ \cdot \cos \alpha_n).$$

Сумма членов в выражении для $AZ^2$, содержащих многочлен cos $\alpha_1$, cos $\alpha_2$, …, cos $\alpha_n$, одинаково часто может иметь и положительный и отрицательный знак, так как все значения углов $\alpha_i$ одинаково верятны. Позтому при повторении опыта среднее значение этой суммы будет тем близке к нулю, чем больше число ответов. При вычислении среднего результата его можно пребрать по сравнению с суммой положительных величины $AB^2, BC^2, \ldots, YZ^2$. Средние значения квадратов каждой смещения будут, очевидно, одинаковы:

$$AB^2 = BC^2 = CD^2 = \ldots = YZ^2.$$

Мы обозначим их через $(\Delta x)^2$. Среднее значение квадрата полного смещения $AZ$ будет в $n$ раз больше.

Итак, в результатеxaотическая смещения крупинки в течение $n$ промежутков времени $\Delta t$ среднее значение квадрата окончательно уда-

24

ления ее $L = AZ$ в каком-нибудь направлении от исходного положения выразится формулой:

$$\overline{L^2} = n(\Delta x)^2.$$

Обозначим через $t$ продолжительность опыта, в течение которого произло $n$ стшейний $\Delta x$, измененных через промежутки времени $\Delta t$. Тогда

$$n = \frac{t}{\Delta t}, \quad \overline{L^2} = \frac{(\Delta x)^2}{\Delta t} t.$$

Отметим прежде всего, что, участву в хаотическом движении, крупинка с течение времени в среднем удаляется от первого嗽ального положения на величины $L$, квадрат которого (а не сама величина $L$) растет пропорционально времени $t$.

Среднее смшение $L_0$ за время $t$ мы определим как $\sqrt{\overline{L^2}}$:

$$L_0 = \sqrt{\overline{L^2}} = \sqrt{\frac{(\Delta x)^2}{\Delta t}} \cdot \sqrt{t} = B \sqrt{t}.$$

Среднее смшение $\sqrt{\overline{L^2}}$ с одинаковой вероятностью может иметь любое направление в пространстве. Мы можем утверждать, что крупинка, находившаяся в начальной момент времени в точке $A$, через $t$ сек окажется в среднем где-нибудь вблизи поверхности шара радиусом $R = B\sqrt{t}$. Радиус этого шара растет не пропорционально времени $t$, а пропорционально корню квадратному из $t$. Указанное значение радиуса определяется тем точнее и тем увеличением, чем больше отделных значений $\Delta x$ входит в состав смшения $L$ или чем чаще повторяется опыт для вычисления среднего значения $\overline{L^2}$.

Легко убедиться, что понятие скорости движения частицы как отношенная смшення $L_0$ частицы за некоторый промежуток времени к величины $t$ этого промежутка теряет смысл для хаотического движения. Действительно,

$$\frac{L_0}{t} = \frac{L_0}{\sqrt{t}} \cdot \frac{1}{\sqrt{t}} = \frac{B}{\sqrt{t}}.$$

В противоположность скорости упо-

рядоченного движения тела, которая стремится к определенному пределу $v$ по мере уменьшения промежутка времени $t$. И только тогда, когда $t$ сделается меньше, чем время между двумя соударениями с молекулами среды, движение в течение этого времени можно считать упордочным и общим образом определить скорость этого движения.

Если проследить весь запутанный путь частицы и разделить общую его длину на промежуток времени, то это относительно скорость $\overline{v}$ теплового движения частицы, а величины $\frac{1}{2} \overline{mv^2}$ — среднюю кинетическая энергия молекул среды

$$B = \frac{1}{3\pi\eta} \frac{1}{2} \overline{mv^2}.$$

(2)

(a — радиус крупинки, η — коэффициент, определяющий вззвость среды).

Вычисленное из уравнения (2) значение $\frac{1}{2} \overline{mv^2}$, как показывает опит, не зависит ни от свойств среды, ни от выбора крупинок, ни от других условий опыта, пока он производится при неизменной температуре. Наблюдая же броуновское движение частицы при различных температурах, можно установить прямую связь средней кинетической энергии $\frac{1}{2} \overline{mv^2}$ с абсолотной температурой $T$:

$$\frac{1}{2} \overline{mv^2} = \frac{3}{2} kT,$$

где $k$ — универсальная постоянная, одинаковая для всех веществ и в любых состояниях. Постоянную $k$ называют постоянной Больцмана.

25

Заполнение пространства

Среди правильных и полуправильных многогранников (платоновых и архимедовых тел) и равнограно полуправильных многогранников*) есть многогранники, которые можно плотно, «без дыр», заполнить пространство. На рис.1 приведены многогранники — заполнители, а на рис.2—4 несколько пространственных слоев, полученных из них. Одно из заполнения пространства очень — заполнение кубами. Пространство можно заполнить и другими многогранниками одного вида: усеченные октаэдрами или ромбическими дodeкаэдрами, а также — комбиниру многогранники разных видов, — например, tetraэдры и октаэдры (рис. 2); усеченные октаэдры, кубы и ромбокубооктаэдры (рис. 3); ромбокубооктаэдры, усеченные кубы и усеченные tetraэдры (рис. 4 а, 6).

На первой странице обложки изображен пространственный «слой» из ромбических дodeкаэдров. После добавления повторяя такие слои, вы получите «упаковку» пространства. На рис.1 обьясняется, как можно построить этот замечатый многогранник. Кубы имеют общий центр и готовятся с коэффициентом два. Вершины октаэдра — центры граней большого куба. Доказите, что четырехугольник, выделенный цветом — ромб.

Р. Гольцева

*) См. «Квант», 1976, № 1, с. 2 и с. 8.

26

А. Шпилевский

Новая интерпретация тайнственного радиоэха

В января 1965 года вышел из печати первый номер нового научно-популярного журнала Академии наук СССР «Земля и Вселенная».

За годы своего существования журнал опубликовал много интересных материалов, посвященных исследованием Луньи и планет солнечной системы, квазарм, пульсарм, реликтовому излучению и другим загадочных объектам, открытым радиоастроимей. Он рассказал об изучении нашей Галактики и процессов, происходящих в других галактиках, о «черных дырах», причинах землетрясений, цунами, о движении земных материалов и т.п. Материалы, публикуемые в журнале «Земля и Вселенная», имеют различный уровень трудности. Часть из них рассчитана на хорошего подготовленных читателей; другая — не требует никакой специальной подготовки и в поле доступа учащимся старших классов.

Мы помещаем с небольшим сокращением две статьи, посвященные probleme поисков космических цивилизций. Они были опубликованы во втором номере журнала за 1976 год в разделе «Гипотезы, дискусии, предложения», регуляро появлящемся на страницах журнала. Позnakомившись с ними, мы можете попытаться дать свою интерпретацию «послания космического зонда».

Журнал «Земля и Вселенная» выходит шесть раз в год.

В 1960 году радиоастроом Р. Брейсуэл высказал мысль, что именно космические зоны — наиболее экономичный и эффективный способ установки perвых контактов между соседними развитиями цивилизации. Как будет действовать такой зон, доступный околоземной или окололунной орбиты? Сначала, чтобы дать о себе знать, зонд должен применять радиосигналы с Земли и отпавлять их обратно, как радиоэхо, с большой, но разумной задажкой. Только наладив двустороннюю связь, он перейдет к другим формам передачи информации, например, передаст телевизionное изображение участика неба, откуда он прибыл, и т. д. Оdnako ни Брейсуэл, ни кто-либо другой в течение более десятилетия не смогли найти конкретного примера для использования своих общих сообщений. Сделал это молодой англійский астроном из университета в Глазго Д. Луенен. Он предположил, что ра-

27

диозхо с большим временем запаздывания (задержки), наблюдавшиеся К. Штермером и Ё. Халсом в 1928 году, переданы космическим зондом. Гипотеза Луенена выглядит фантастической. Но «когда область исследований нова, — писал известный физик Р. Фейнман, — «прошупливание» научад и составляет первые шаги науки».

Интерпретация Луенена
11 октября 1928 года Халс и Штермер, отправляя через каждые 20 секунд в иносферу радиосигналы на длине волны 31,4 м, условия в ответ на них радиозхо с таким временами задержки: 8, 11, 15, 8, 13, 3, 8, 8, 12, 15, 13, 8 и 8 секунд. Луенен попытался обяснить результат этого опыта. Суть его интерпретации прошедшего изложить, если перечислить предположения, используемые им.

1. Серия варьериоших времен запаздывания радиозха в опите Халса и Штерма — это последнее космического зонд, точнее, его «визитная карточка», понять которой можно, если построить график «номер отправленного сигнала — время задержки радиозха» и сравнить его с подходящим участком звездного неба.

2. ШестЬ точек этого графика, лежащие справа от вертикального восмысекундного барчера, идентифицируем как неполное созвездие Волопаса.

3. Расположению на графике слева от барчера точку трехсекундного радиозха считаем звездой в Волопаса, выделенной из созвездия с целю указать нам, что зонд отправлен именно от этой звезды.

4. Различие расстояний между Арктуром и в Волопаса на звездной карте и на график можно обязывать большим собственным движением Арктура, если предположить, что зонд передал нам изображение своего созвездия, «сфотографированное» им много лет назад, сразу по прибитии к Земле.

График Луенена. Если расположить сигналы радиозха в соответствии с их временем задержки, то семь точек вытянутся в вертикальной барере, правее которого шесть точек образуют конфигурацию, весма напоминающего рисуок созвездия Волопаса на современных звездных картах. Левее барerea лежит только одна точка. Если эту точку зеркально перенести вправо от барerea, то ее новое местоположение почти совпадает со звездой в Волопаса.

28

Интерпретация радиоэха, предложенная Луненом, может удовлетворить далеко не каждого, и прежде всего потому, что она неоднозначна. На графике Лунена точку трехсекундного радиоэха можно вполне считать не звездой в Bolопаса, а Арктуром. Можно попытаться идентифицировать график Лунена с другими созвездием или даже вообще по-другому постройть график.

Звезда в Bolопаса — двойная. Ее компоненты: красный гигант и спекрально-двойная звезда — объektы, малоподходящие для развития цивилизации на планете, если такое имеется вблизи них.

Удивляет отсутствие на графике Лунена близкой к ε Bolопаса звезд от и р, сравнимых по блеску с имеющейся на графике звездой ζ Bolопаса. В то же время на фоне отмеченной неполотны созвездия Bolопаса поражает многооточие вертикального восмыскунного барBERа. Трудно поверить, что он был сооружен только для выделения звезды ε Bolопаса. Связать же барBER со звездами, расположенными слева от главных звезд созвездия Bolопаса, невозможно.

Все эти недостатки и побудили меня искать новую интерпретацию радиоэха.

Зонд от т Кита

При построении графика «номер отправленного сигнала — время задержки радиоэха» мы ничего не ограничены в выборе направлений координатных осей. Поэтому для упоминавшейся серии радиоэха можно построить и другой график. Пристотревшись внимательно к шести точкам, лежащим ниже восмыскунного барBERа (телер горизонтального), каждый, кто видел в куЛЬМИнации созвездие Кита, обязаательно отметит ходство их конфигурации с этим созвездием. Далее, следуя идее Лунена, прежде всего вывигаем предположения.

Созвездие Кита.

29

1. Серия радиоэха в опыте Халса и Штермара — это послание космического зонда, для расшифровки которого стром графики и сравниваем его с подходящим участком звездного неба.

2. ШестЬ точек этого графика, лежащих ниже восемисекундного барера, идентифицируем как неполное созвездие Кита.

Заметим, что о полоте и неполоте созвездия можно говорить лишь с нашей, земной точки зрения. Как известно, в прошлом различные народы объединяли звезды в созвездия по-разному. Создатели зонда в своей космической послании, по-видимому, должны указать лишь самые яркие объекты, окружающие звезду, от которой послан зонд. Представляется более вероятным, что изображение их созвездия (вместе с программой его передачи) было заложено в память зонда перед отправкой. А значит, вид их созвездия с Земли должен быть расчитан на основе астроνομических наблюдений. Ошибки этих наблюдений и расчетов, безусловно, отражаются на нашем графике. Кроме того, нельзя забивать и об ошибках в опыте Халса и Штермара. Моменты отправления радиосигнала и возврашения радиоэха вряд ли фиксировались в 1928 году с точностью, лучше ±1 секунды. Все это, включая собственное движение звезд за время перелета зонда к Земле, искажения на звездных картах, связанные с построением плоских картин сферического небосвода, должны объяснять несовпадение относительных положений звезд на графике и звезд на карте.

3. Лежащая выше барера точка трехсекундного радиоэха — это звезда т Кита, выделенная из созвездия с целью указаать нам, что именно от нее и послан космической зонд.

Действительно, перенос этой точки ниже барера дает волне удовлетворительное попадание ее внутренфигуры из шести звезд. Напомним, что сходство т Кита с нашим Солнцем, одиночность звезды и ее близость к нам (11,8 световых лет) давно заставили астрономов обратить на нее особое внимание. А в 1960 году, осуществляя проект «Озма», радиоастрооны несколько местцев с надежной ждали от т Кита радиосигналы на длине волны 21 см.

4. Восмыскудный горизонтальный барер — это отрезок либо небесного экватора, либо эклиптики для земного наблюдаателя.

Мысль об этом возникает при сравнинии нашей графика с картозидного неба. Не только конфигурация шести точек на графике на помощьнет рисунок созвездия Кита, но и шесть соответствующих последнего располагаются относительно экватора и эклиптики примерно так же, как шесть точек графика относительно барера. Однако маловерятно, чтобы с расстояния в 11,8 световых лет удалось измерить угол наклона земной оси к плоскости земной орбиты (а значит, узнать, как проходит небесный экватор землян среди звезд). Скорее всего, барер — это отрезок эклиптики, которая доступна определению с гораэдом больших расстояний, чем 11,8 световых лет. Кстати, несовпадения наклона барера и эклиптики к линине, соединяющей звезды β и ν Кита, можно, например, объяснить тем, что с т Кита скорее всего доступна определению лишь средняя орбитальная плоскость для всех планет Солнечной системы (и вред ли можно узнать число этих планет). Не исключено, что когда составители космического послания решили в нем отрезок эклиптики для облегчения идентификации их созвездия, им и «пришло в голову» использовать получившийся барер для выделения т Кита.

5. Семь точек барера и точка пересечения перпендикулара, опущенного из трехсекундной точки на барер, — это сообщение о существовании восемми планет около т Кита.

30

Такая интерпретация точек, составляющих барер, возникает уже потому, что в барере кажутся лишими две правые точки, соответствующие тринадцатому и четвернадцатому радиоэху. Следовательно, их добавление в данную серию радиоэха (а началом другой, повторной серии они не могут быть) попадилось для увеличения уже имеющегося числа точек. С какой целью? Здесь надо заметить, что космическое послание, вообще говоря, обязательно должно быть максимально простым для широких и делифровки и максимального информационного. Поэтому на нашем графике ничего не должно упускаться из виду. Далее точку пересечения перепределения, используемого для выделения т Кита из созвездия, надо причислить к семи точкам барера. Кроме того, если мы уже знаем из послания, что зонд прибил от звезды т Кита, то справливается, какую же информация мы могли бы извлечь из послания? Логично думать, что это будет сообщение о том, сколько планет вблизи т Кита и с какой из них отправлен зонд. Восемь точек барера, по-видимому, говорят как раз об этом: число планет у т Кита равно восемми. Замечательно, что нашей Солнце (звезда чуть больших размеров, чем т Кита) имеет девять планет. Возможно, так и должно быть: у физических пожжих звезд в сходных условиях образуются аналогичные планетные системы.

6. Зонд отправлен с третий по порядку удаленности от т Кита планеты.

Судя по графику, точка, соответствующая планете, от которой был послан зонд, лежит на пересечении перепределения, проведенного из трехскундиной точки барера. Это — третия точка на барере, считая по порядку следования радиоэха. Причемлено, что наша Земля — третия по удаленности от Солнца планета. Без сомнения, такое совпадение не случайно. Как известно, зона «обитаемости» в окрестности звезды необходимо приходится на планету, не слишком близку к своей звезде и не слишком далекую от нее. Не надо также забывать о сходстве т Кита и Солнца. Правда, сегодняняя светимость т Кита почти вдвое меньше солнечной. Но это остояльство, возможно, свидетельствует о том, что т Кита много старше Солнца. Значит, планетная система т Кита тоже старше и, наконец, цивилизация, отпавившая зонд, старше и более развията по сравнению с земной.

Итак, тот же метод рассужdenи и те же исходные идеи, которые восполнялись Лунен, приводят к другой интерпретации таниственного радиоэха. Какая из них правоподобнее, сказать трудно. Очевидно, только новые эксперименты и астроνομические наблюдения смогут привести к научному решению проблем таниственного радиоэха.

31

Модель контакта
Л. Гиндилис

Итак, новая интерпретация таниственного радиоэха… Прежде всего о чем идет речь? Еще в 20-х годах нашей石器时代 было обнаружено, что при определенных условиях сигналы передающих радиостанций, многократно отразившись от наносферы, возвращаются в исходную точку и могут быть зарегистированы спустя некоторое время после основного сигнала как своеобразное радиоэхо. Время запаздывания для такого эха составляет доли секунды. Однако отмечены и очень редкие случаи эха с более длительным задержками — от нескольких секунд до нескольких десятиков секунды. Это явление иногда называют «парадоксом Штерма» или «мировым эхом», очень часто добавляют эпитет «загадачное» (оно и в самом деле не имеет еще удовлетворительного объяснения). В научной же литературе употребляется более скромный термин — LDE (long-delayed echoes — эхо с длительным задержками).

В 1927—1929 года известный норвежский геофизик профессор К. Штермер в сотрудничестве с доктором Ван дер Полом и инженером И. Халсом организовал серию экспериментов для изучения LDE. Передатчик радиостанции в Эйндховене (Голландия), работающий на волне 31,4 м, передавал в определенной последовательности импульсы, которые регистрировались Халсом в Осло. Не все детали этого эксперимента сохранились до настоящего времени, не все данные были опубликованы. Насколько можно судить по публикациям, первоначально каждой сигналы представлял собой последовательность трех точек Морзе. Эти сигналы повторились каждые 5 секунды. В сентября 1928 года режим передатчика был изменен: промежуток времени между сигналами увеличился с 5 до 20 секунды. Днем 11 октября 1928 года Халс и Штермер зарегистировали длинуную последовательность эха: сначала время задержки составляет 3 секунды, за-

32

тем 4 секунды, потом возросло до 5 секунды, а после этого стало беспорядочно меняться (!) от 5 до 18 секунды.

Передатчик в Эйндховене работал в течение почти целого года. Режим передачи сигналов несколько раз менялся. Радиоэхо, регистрациишеся в Осло, имеющие временные задержки, колебавшиеся от 3 секунд до 3,5 минут. 7 ноября 1929 года эксперимент в Эйндховене был прекращен.

Интересное исследование LDE выполнили Ж. Голль и Г. Талон в мае 1929 года во время работы французской экспедиции, наблюдающей солнечное затмение в Индокитае. Установленный на борту судна передатчик мощностью 500 бт генерировал на волне 25 м последовательность сигналов с интервалом 30 секунд. Были зарегистрированы длиные серии LDE с переменной временной задержкой.

Наблюдения французских исследований, как и наблюдения Вандер Поля, Халса и Штермара, не нашли в то время удовлетворительно обьяснения. Действительно, минимальной задержке, равной тем секундам, соответствует расстояние 450 000 км от Земли, то есть отражающая материя должна располагаться дальше за пределами земной атмосферы, где-то в районе лунной орбиты. Между тем мощность эха превышала треть мощности сигнала, что не соответствовал ожидаемой мощности при естественном отражении от объекта, нахождения на расстоянии Лунны или дальше. Еще сложнее обьяснить изменение задержки эха. Если оно связано с перемещением отраженной материи в пространстве, скорость ее движения должна быть слишком. Высокой. И уже совсем трудно было представить, как возникает двойное и тройное эха (от одного и того же сигнала). Тайна мирового эха осталась неразгаданной.

В 1934 году LDE наблюдал английский исследователь Е. Эпплтон. Позднее сльно возросший уровень радиопомех стал прейстровать регистрации LDE. В 1947—1949 годах К. Буден и Дж. Ятис попытались исследовать радиозко на волне 14,5 м и не обнаружили его. Об удивительном феномене постепенно заблили, хотя время от времени радиолюбителей все-таки наблюдали эхо от своих собственных передач (регистрирования разговорая речь или сигналы Морзе, повторенные через несколько секунд). Как можно судить по этим сообщениям, области частот, в которых наблюдается LDE, пространства от 0,8 до 140 Мец.

В 1967 году изучение LDE началось в Стэнфордском университете (США) под руководством профессора Ф. Кроуфорда. Реальность феномена была подтверждена. Правда, в Стэнфорде, в отличие от 20-х годов, не наблюдались длиные последовательности эха. Особенно часто встречались эхо с задержками, приблизительно равными 2 и 8 секундам. Обнаружено, что частота эха смешается на десятигерц по сравнению с частотой исходного сигнала, а временной промежуток между импульсами в сигнале эха меньше, чем в исходном.

Аналізруя имеющиеся данные об LDE, английский астроном Луен обращает внимание на некоторые особенности штермеровских эхо по сравнению с эхо, исследованным в Стэнфорде. Во-первых, ехо, наблюдается в 20-х годах, были свободны от времениного скатания и частотных (доплееровских) искажений, которые обусловлены штермеровским эхо оставалась постоянной независящим от времени запаздывания. Этот результат довольно трудно понять: ведь чем долше путешествует волна, чем большее расстояние она проходит до того, как возвратится в исходную точку, тем

34

удастся постичь ход рассужdenий этого совершенного неизвестного создания … Физику и в голову не придет, что кто-то нарочно расположил так электроны на орбитах, чтобы люди ломали голову над их конфигурациями. Он прекрасно знает, что гипотеза о создателье орбит в его физике абсолютоно излишняя, более того, вообще недопустима. Учены, в отличие от теологов, никогда не покупались разгадывать мотивы, кроищеся в закономерности материалов мира. Но в проблемы контакта «именено отладывание мотивов, то есть занятие, дискретированное всей истории эмпирических наук», может привести нас к успеху. Это не учитывают некоторых критики Лунена, упрекающие его в произвольной манипуляции данныхми.

Представьте себе, что мы исследуем какое-то естественное явление и обнаруживаем, что некоторые экспериментальные точки отклоняются от ожидаемой теоретической зависимости. Если у нас есть уверенность, что это отклонение не связано с ошибками измерений, мы вынуждены отказаться от своей теоретической схемы. Любая попытка обяснить, почему эти точки отклоняются от ожидаемой кривой, будет рассматривать как «подгонка под ответ». У природы не может быть никаких мотивов для выделения определенных точек, если только исходная зависимость действительного справедлива. В проблемы контакта также мотивы легко представить, как это иллюстрируется, например, в схемах Лунена и Шпилевского. Более того, без этих мотивов и соответствующей процедуры отладывания контакт вообще может оказаться неосуществимым. Конечно, допуска определенный процедур, мы рискуем выпустить из бытлки джина неограниченных спекуляций. В этом состоянии сервисная трудность. И все же мы должны читать, что психология контакта отличается от психологии природедения; процесс установления контакта скорее

напоминает игру, поэтому кнему нельзя подходить с обычной меркой естественнойспытателя. После таких предварительных замечаний попытемся проанализировать предложенную интерпретацию.

Первая мысль, которая невольнорождается: открыта им (волопасцам или татуитнам) известно, как мы проводим границы своих созвездий, ведь созвездия выделены на небе созвездию условия. Это, конечно, верное замечание. Но метод зонда не связаан с нашими созвездиями. Изображая область звездного неба, зонд ограничивается только ярким звездами, объektами до определенной звездной величины и получает конфигурацию, которое мы отложевляем с тем или иным созвездием. Так, Лунен отложевил конфигурацию зонда с группой звезд в созвездии Волпаса, а Шпилевский ту же конфигурацию — с группой звезд в созвездии Кита.

Сложнее обстоит дело с выбором единиц и масштабов. Использование одинакового масштаба по обеим осям представляется в поле оправданных. Но открыта зонда знает, что мы изменяем время в секундах? Единница времени, использованная зондом, если и не точно равна секунду (учитывающая ошибки измерения при приеме эха на слух), то во всяком случае порядка секунды. Очевидно, он определял ее из анализа сигналов, посылаемых с Земли (?).

Если нам задана произвольная конфигурация точек, мы почти вседа может найти подходящий узор на карте звездного неба. Каждый может убедиться в этом, просматривая, например, «Звездный атлас» А. А. Михайлова. Чем точнее воспроизводается детали узора, тем меньше верятность случайного совпадения. В связи с этим возникнет вопрос о точности. Но как можно оценить точность, не договорившись с зондом ни о эпохе, ни о типе проекта? Очевидно, совпадение узора мо-

Жет быть только приближенным. Но тогда для исключения произвольной важно сначала карту определёнными ориентирами. В этом смысле безусловно логичным кажется сообщение Шпильевского о том, что воспоминаний барер должен соответствовать определению кругу на небесной сфере — экватору или эклиптике. Хотя конфигурация точек довольно отделено напоминает созвездие Кита (совпадение с Волпасом, пожалуйста, несколько лучше), это отождествление благодаря привязке к экватору представляется более уверенным.

Остроимыми кажутся сообщения о планетной системе зонда, хотя требование максимальной информаности не всегда обязательно. Главная задача зонда — сделать убедительный шаг к контакту, а когда контакт устанавливает, можно передать дополнительную информацию о своей планетной системе.

Итак, т Кита или ε Волпаса? С точки зрения наших сегодняих представлений об условиях существования жизни в космосе, т Кита, конечно, предопчитательнее. Вспомним, что во всех проектах международной связи эта звезда — первый кандидат. Но здесь kroется и коварная опасность: всегда можно подозревать подознатьный, непроизвольный элемент подгонки. В этом смысле позиция Лунена сильнее, либо трудно заранее подозревать такую малоподходящую звезду, как ε Волпаса. Любопытно, что если смотреть с т Кита, наше Солнце, как отмечает Луенен, будет видно в созвездии Волпаса. может быть, посление зонда одновременного дает информацию о том, как выглядит наша область неба, если смотреть от них, и о том, как выглядит их область неба, если смотреть на нас? Болгарские любителистроими во главе с Илией Илиевым применилиинойной способ дешфровки послания («Техника молодежки», № 4, 1974, с. 54) и пришли к выводу, что зонд приблибл.so звезды ζ Льва. Их способ рассуждения неамного произвольнее и может показаться столь же «оправданным». Такая многоозначаность интерпретации настоящего послания должна строиться на каких-то иных логических принципах, исключающих любую недозначность.

Предприятые попытки раскрыть тайну мирового эха — поччительный и наглядный пример трудностей, возникших в проблеме межзвездной связи.

Геометрические задачи

1. Пусть D — середина стороны BC треугольника ABC и O — центр окружности, вписанной в этот треугольник. Обозначим через Q точку пересечения перpendикуляра, опущенного из точки D на AO, с перpendикуляром, опущенным из точки A на BC. Доказать, что перpendикуляр, опущенный из точки Q на DO, проходит через точку касания вписанной окружности и стороны BC.

2. a) Высоты AD, BE, CH треугольника ABC пересекают его стороны в точках D, E, H. Доказать, что прямые, соединяющие вершины A, B, C с серединами отрезков EH, HD и DE соответственно, пересекаются в одной точке.

6. Доказать ту же теорему, заменив высоты биссергиками или медианами.

3. Длины медиан AM, BN, CQ треугольника ABC образуют геометрический прорезсцию. Доказать, что $2\cos \hat{B} = 2h \pm \sqrt{3(h^2 - 1)}$

где $h = \frac{a^2 + c^2}{ac}$.

4. Через точку E, лежащую внутри окружности, проведена хорда HEK. Пусть EM и EP — перпендикуляры, опущенные из точки E на касательные к окружности, проведенные в точках H и K. Доказать, что $\frac{1}{|EM|} + \frac{1}{|EP|}$ не зависит от выбора хордаы.

5. Найти все прямые треугольники, длины стороны которых — натуральные числа, причем сумма и разность длины гипотенузы и одного из катетов является точными квадратами.

H. B.

36

Прохождение света через плоскопарелльную пластинку

Казалось бы, что может быть проще плоскопарелльной проэрхности пластинки? В элементарных учебниках физики ей уделяется несколько слов: луч света, прошедший через пластинку, параллелен padающему и лишь несколько смещен относительно него. Между тем, явления, которые можно наблюдать при прохождения света через пластинку, чрезвычайно любопытны. Уже не одно столетие они изучаются исследователями, а в настоящее время широко применяется в науке и технике. Например, тонкие плоскопареллыные пластинки (слон) используются в интерференционных светофильтрах и зеркалах. Без пластинок не может быть построен интерферометр — один из самых точных оптических приборов.

Чтобы получить представление о многообразии и красоте оптических явлений, произходящих в плоскопареллной пластинке, рассмотрим такой опит *). Допустим, что пластинка освещается расходящимся лучом лучей. Нижняя проэрхность пластинки матовая, а точный источник света, дающий расходящейся лучок, расположен внутри пластинки на этой поверхности (рис. 1). Очевидно, что лучок света от источника не может полностью выйти из пластинки: лучи, падающие на границу раздела стекло — воздух под углом, равным или бóльшим пределю, испытают полное отражение на верхней проэрхности пластинки и вернутся к нижней. Поскольку поверхность пластинки матовая, падающий на нее свет будет рассеивать — поверхности будет освещена. Если в этих условиях посмотреть на плоскопареллную пластинку свету, то будет видна яркая светящая точка — источник света S, — окруженная слабым светым коллом срезкой внутренней границы.

Вычислим внутренний диаметр D светлого колца (или внешний диаметр темного колца). Согласно закону преломления (см. рисунок 1) sinα/sinβ=n2/n1, где n1, n2 — соответствие абсцидные показатели преломления пластинки и среды над верхней ее поверхности. Угол падания α называется предельным, если угол преломления β равен π/2. Следовательно, предельный угол падания можно найти из соответствия sinαпр=n2/n1. Из треугольника SAB sinαпр=SB/SA=D/4/√h²+D²/16. Исключая из двух последних формул угол αпр, получаем

$$\frac{n_1}{n_2} = \frac{\sqrt{D^2 + 16 h^2}}{D} = \sqrt{1 + 16 \frac{h^2}{D^2}}.$$

Рис. 1.

37

то $n_2 = 1$. Тогда внутренний диаметр светлого колба связан с показателем преломления пластинки $n = n_1$ и ее толщиной $h$ соответственно

$$D = \frac{4h}{\sqrt{n^2 - 1}}.$$

Пользуясь полученной формулой, можно определить одну из трех входящих в нее величины, измерив две другие. Практическое значение, конечное, имеет определение показателя преломления материала пластинки.

Тепер убедимся экспериментально в существовании предсказанного явления и проверим формулу (*). Для оптового можно использовать плоскопаралельные пластинки из стекла или оргстекла толщиной не менее 2 мм. Одну поверхность пластинки нужно сделать матовой, образовать ее

Рис. 2. Детали экспериментальной установки: 1 — пластинка с матовой поверхностью, 2 — укрепленная в спиечном коробке лампока, 3 — крышка коробка (чтобы свет, выходящий через щелл спиечного коробка, не мешал наблюдениям, на крышку наклеен листок черной бумаги).

Рис. 3.

наждающий бумагой или покрасив тонким слоем белой краски. Остается каким-то образом «внести» точный источник света внутри пластинки. Сделать это не так сложно. Действительно, если на матовый поверхности пластинки сизу или сверху пустить узкий пучок света, то небольшой освещенный участок этой поверхности будет рассенвать свет внутри пластинки по всем направлениям, т. е. выполнять роль точного источника света.

Соберем экспериментальную установку (рис. 2). Внутрь спиечного коробка помещим лампоку для карманного фонаря и закрепим ее в вертикальном положении с помощью пластлина. Провода от лампоки, пропущенные через отверстия в стенке коробка, соединим с батарейкой. Закроем коробок крышкой, и иглочек проколем в ней над нитью лампоки небольшие круглое отверстие. Отгуляриум положение лампоки в спиечном коробке так, чтобы получился яркий «точенный» источник света (проколить отверстие точно над нитью вряд ли удался, поэтому регулятор необходима). На коробок положим плоскопаралельную пластнику матовой стороной вниз.

Если в полной темноте посмотреть на пластинку сверху, будет видно то светлое колба (вокруг точного источника света), которое предсказывает теория.

Опыт можно несколько видно изменить. Сделаем на пластинке по ее периметру пластинные бортики высотой около 5 мм и нальем на поверхности пластинки тонкий слой воды. (Plastинка должна быть чистой, чтобы вода равномерно покрывала всю ее поверхности.) При этом вокруг светашейся точки появляется второе светло колба, имеющее больший диаметр, чем то, которое получалось при отсутствии воды. Первое колба, если слой воды тонок, имеет такой диаметр, как в случае, когда воды нет.

Объяснить возникновение второго колба не сложно. Световые лучи

38

Этом опыте испытывают полное отражение от границ раздела сред стекло — вода (рис. 3). Откуда береется первое светлое колюто вокруг источника? Разумно предположить, что его появление объясняется полным отраженением света от границ вода — воздух. Если это предположение верно, то диаметр первоого светлоого колюца должен зависеть от толщины слоя воды над пластинкой. Проверим это.

Если воды нет совсем, видно одно светлое колюто (рис. 4; к сожалению, темный круг, в центре которого находится источник, виден не очень четко; при увеличении толщины пластинки условия наблюдая улучшаются). Будем постепенно доливать воду в кювету, образованную пластинкой с пластиновыми бортиками. При этом растут размеры первоого светлоого колюца, в то время как диаметр второго остается неизменным (рис. 5). Сначала первое колюто меньше второго (см. рис. 5a) затем оно совмещается со вторым и, наконец, становится больше второго (см. рис. 56). Итак, сделанное предположение верно.

В заключение рассмотрим такой опит. На спиечный коробок положим листок панироской (или другой тонкой белой) бумаги, прекрасно рассеивающий свет. На нее помещим проэрачную стеклянную пластинку (без матовой поверхности). Включим лампочку. При этом вместе окружающего источник светлоого колюца с четкой внутренней границей мы увидим светлый круг с резкой внешней границей (рис. 6)!

Объясняется этот несколько неожиданный результат тем, что теперь источник света находится не внутри, а вне пластинки. Подробное объяснение опыта мы предоставляем вам проевсти самостояльно.

Уражнения

1. Пользовать формулой (*), экспериментально определите показатели преломления стекла и оргстекла.
2. Измерьте показатели преломления жидкости, наlintой поверхности.

39

Между первым знакомством с «нестандартной», «нетиповой» задачей и окончательным, компактным изложением ее решения лежит полоса понска этого решения. Как же проводить этот поиск? Единого, «универсального» метода для достижения этой цели нет. Однако есть простые общие приемы, которые помогают найти способ решения данной, конкретной задачи. Обсуждение таких приемов посвящены преосхождные книги Д. Пойа «Как решать задачу», «Математика и правдоподобные рассудения», «Математическое открытие», а также ряд книг и статей других авторов. В предлагаемом внимание читателя очеремы попытаемся проследить, как «сраватьают» такие общие приемы.

Встреча первая
11 марта, 8 часов утра
Они ежедневно ходили по одной и той же тихой улице — ученик селього класса Саша Тихомиров и учитель математики Георгий Данилович Селиванов. Они давно зали друг друга, а с прошло года Саша стал ходить в городской математический кругок, который руководил Георгий Данилович. Сегодня, увидев Сашу, учительpointerсовался:
— Ну как, отослал ты уже вступительно контрольную работу в Заочную школа? Ведь срок истекает 20 марта *).
— Нет еще, — ответил Саша, — из 11 задачи я пока решил 10, а самую первогоника кешить не могу.
— Что же это за коварная задача?
Саша извлек из своего портфеля журнал «Квант» № 1 за 1974 год, раскрыл его на 73 странице и стал читать.
«Задача 1. Три друга сырали некоторое число партий в шахматы, причем каждый сырал с каждым одинаковое число партий. Помом стали решать, кто победил. Первый сказал: «У меня больше, чем у каждой из вас, вывершей». Второй сказал: «У меня меньше, чем у каждой из вас, произвлечей». Но когда подсчитали очки, то оказалось, что больше всего окновен набрал премей (вызеры — 1 очко, ничья — 1/2 очка, произвлечей — 0). Модел ли макое быть? Если нет, то доказите; если да, то приведите пример.»
— Любопытная задача! — сказал Селиванов. — Знаешь, ведь и я сразу не виду, как ее решить. Зайди ко мне сегодня вечером, подумаем над него вместе.

*) Имеется в виду Всегоизная Заочная математическая школа (ВЗМШ).

40

Встреча вторая
11 марта, 19 часов
Усевшись подобнее в «свое» кресно в комнате Селиванова, Саша рассказывает.

— Я рассматривал конкретные случаи, когда каждый из ребят сыграл с каждым из остальных по 2, 3, 4, 5 партий. Но так, как требуется в условиях задачи, у меня ни разу не получилось.

— Но, быть может, — размышлял всуху учитель, — это получится при большем числе партий?

— Возможно, — вздохнул Саша. — Говорят, кто-то перебал 237 вариантов возможных туриров, пока не наткнулся на требуемый. Но разве перебор вселупю—это решение? Должна же математика подсказать более умный путь! А как его найти? Я даже не знаю, с чего начать.

— Видим ли, один из первых вопросов, который полезно поставить себе при решении любой задачи, такой: «Что в задаче ищется?». Как бы ты на него ответил?

— Ищется… — Саша пожал плечами. — Ищется довольно необучная вщь: турир.

— Верно. А вот другой важный вопрос: «Нельзя ли свести решение задачи к понску каких-то чисел?»

— Вроде бы я могу это сделать,— сказал. Саша. — Чтобы восстановить вить турир, мне надо узнать, сколько всего партий первый выиграл у каждой из двух остальных, сколько партий он каждому из них проиграл, сколько сыграл с каждым вничью. Вот уже 6 неизвестных. И, пожоже, также же неизвестные надо ввести и для второго и третього… Набирается 18 неизвестных! Многоvatо…

— А нельзя ли все эти неизвестные «собрать в одну горсть», раздумывал всуху учитель. — Хорошо бы их представить себе наглядно, изобразить на схеме…

— Это я могу, — сказал Саша. — Недавно мы с Колей и Витей сыграли друг с другом по две партии, и получились вот такая итоговая таблица (см. табл. 1). Я по одной партии выиграл у каждой из них, в таблице это обозначено «+1», и по одной париграл, это обозначено «—1». А числоничих мы обозначали знаком равенства, вот в таблице стоит «=2», — это Коля с Витей обе партии сыграли вщь. И в нашей задаче можно составить похожую таблицу (см. табл. 2), в каждой строке которой записаны нужные нам сведения об игре — сколько партии и кому он проиграл, сколько выиграл, сколько свел вщь. Правда, все эти числа неизвестны и обозначены буквами. Например, второй игрок выиграл у третьего с партий, проиграл ему f партий, а k партий сыграл с ним вщь. А

| | Саша | Коля | Витя | Итого | очков |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| Саша | | +1 -1 =0 | +1 -1 =0 | +2 -2 =0 | 2 |
| Коля | +1 -1 =0 | | +0 -0 =2 | +1 -1 =2 | 2 |
| Витя | +1 -1 =0 | +0 -0 =2 | | +1 -1 =2 | 2 |

Табл. 1.

Табл. 2.

41

ведь неизвестных оказывается не 18,
а только девять!
— Хорошая схема, — одобрил
таблицу Георгий Данилович, — Что
же ты дальше намерен делать?
— Подобрать числа $a, b, \dots, k$
так, чтобы выполнялись все условия задачи. А, может быть, такого
набор чисел нет? Тогда как это доказать? Нясно…
— А что тебе известно об исключых
числах? Нельзя ли это записать в
виде уравнения или неравенства? Подумай над этим дома, и давай встретися завтра.

Встреча третья
12 марта, 19 часов
— Я заполил дома пустые клетки
в таблице 2, — сказал Саша, — и из
условия задачи получились неравенства

$$\begin{cases} a+b>c+d, \\ a+b>e+f, \\ a+f<d+e, \\ a+f<b+c, \\ e+\frac{1}{2}h+f+\frac{1}{2}k> \\ >a+\frac{1}{2}g+b+\frac{1}{2}h, \\ e+\frac{1}{2}h+f+\frac{1}{2}k> \\ >d+\frac{1}{2}g+c+\frac{1}{2}k. \end{cases}$$

— И это все? — спросил учитель.
— Нет. Если обозначить через $n$ число партий, сыгранных каждой
игроком с каждой из остальных, то еще
$$a+d+g=b+e+h=c+f+k=n.$$

Причем все эти 10 чисел — целые и
неотрицательные. С помощью по-
следних равенств мне удалось изнезить из неравенств $g, h$ и $k$. Получилась такая система:

$$\begin{cases} a+b-(c+d)>0, \\ a+b-(e+f)>0, \\ d+e-(a+f)>0, \\ b+c-(a+f)>0, \\ d+2e+f-(a+2b+c)>0, \\ a+2f+e-(b+2c+d)>0, \\ a+d+g=b+e+h= \\ =c+f+k=n. \end{cases}$$

— Как же ты станешь ее решать?
— Дажке не представляю себе. Ведь
в школе мы такое не проходили.
— А нельзя ли свести данную задачу к другой, более простой?
— А что значит «более простой»? Чтоы неравенства стало меньше? Или
чтоы неизвестных в неравенствах стало меньше?
— Пожалуйста.
— Ну, вот первые шесть строк — это шесть неравенств с шестью неизвестными. Если решить эту систему, то есть найти $a, b, c, d, e, f$, то в последних равенствах можно положить $n$ равным достаточно большому натуральному числу и найти $g, h$ и $k$. Значит, надо решить лишь система из шести неравенств с шестью неизвестными.
— А нельзя ли упрощить неравенства введением новых неизвестных?
— Попробую. В первое неравенство входят четыре неизвестных. А было бы, наверное, проще иметь дело только с двумя. И пожая картина в других неравенствах. Положу-ка я

$$\begin{cases} a+b=x, \\ c+d=y, \\ e+f=z, \\ a+f=t, \\ d+e=u, \\ b+c=v. \end{cases}$$

Тогда неравенства системы (1) станут проще:

42

А можно еще упростить, ввести неизвестные… зге, их будет всего четыре:

$$\begin{cases} x - y > 0, \\ x - z > 0, \\ u - t > 0, \\ v - t > 0, \\ z + u - (x + v) > 0, \\ z + t - (y + v) > 0. \end{cases}$$

А можно еще упростить, ввести неизвестные… зге, их будет всего четыре:

$$\begin{cases} x - y = \alpha, \\ x - z = \beta, \\ u - t = \gamma, \\ v - t = \delta, \end{cases}$$

и тогда система (3) примет вид

$$\begin{cases} \alpha > 0, \\ \beta > 0, \\ \gamma > 0, \\ \delta > 0, \\ \gamma - (\beta + \delta) > 0, \\ \alpha - (\beta + \delta) > 0. \end{cases}$$

А подбрать решение системы (5) — это нам запросо, — весело закончил Саша.

— Как так: запросо?
— Вот посмотрите, Георгий Данилович. Ведь можно за числа β и δ взять любые натуральные числа, скажем, единцы, а затем взять немного бóльшие γ и α… тройки.
— Да, можно. А что дальше?
— Дальше я найду x, y, z, u, t, v из системы (4), а потом из системы (2) найду a, b, c, d, e, f. Решить ее — дело пусташное.
— Допустим, — сказал учитель. — Хотел бы я посмотреть, какой получится результат. Занесим его завтра.

Встреча четвертая

15 марта, 19 часов
— Видите ли, — начал Саша смешенно, — система (4) вроде бы простенькая, но неизвестные из нее не находятся. Уравнение всего четыре, а неизвестных шесть, и найти их не удается.

— Да, такие системы называются «неопределенными», потому что неизвестные из них однозначно не находятся. У таких систем есть или бесконечно много решений, или ни одного.

— Зачем мне «бесконечно много»? Мне хватит и одного. Может, взять произвольно x и t? Тогда система можно будет решить?

— Ну, во всяком случае у тебя будет четыре уравнения и четыре неизвестных в системе (4). Но удаться ли после этого решить систему (2)? Пока я советую тебе послать в Заочную шкалу решения остальных 10 задач, ведь они же пишут, что не обязаательно решить все задачи.

Встреча пятая

21 марта, 19 часов
— Георгий Данилович! У меня получается какая-то ерунда!
— А в чем дело?
— Я положил x=4, t=1. Но тогда при β=δ=1 и α=γ=3 из системы (4) получается y=1, z=3, u=4, v=2. Система (2) принимает вид

$$\begin{cases} a + b = 4, \\ c + d = 1, \\ e + f = 3, \\ a + f = 1, \\ d + e = 4, \\ b + c = 2. \end{cases}$$

Вертел я ее и так, и этак, — не решается! Тогда я попробовал найти сумму всех шести неизвестных. Сложил первый уравнение, получил a+b+c+d+e+f=8.

А сложил последнее три, получил a+b+c+d+e+f=7.

Так же не было! Значит, система

43

(6) не имеет решений, и требуемого турнира не могло быть! А как же говоря, что кто-то нашел его?

— Ну, ты не совсем прав. Система (6) действительно не имеет решений; но ты же выбрал x и t совершенно произвольно. Можно быть, их надо подбирать более осторожно?

— А как же их подбирать? Ведь уравнения у меня больше нет.

— Почему же? У тебя получилось, что должно быть x+y+z=t+u+v. А, может быть, есть еще какие-нибудь соответствия?

— А как же искать такие соответствия?

— Как их искать, — это другой вопрос. Нам сейчас надо найти хотя одно решение задачи. Кстати, срок подачи решения в Заочную школе истек. Надеюсь, ты послал свою работу?

— Да, решения десяти задачи я послал. Но у меня из головы не выходит задача о шахматистах. Конечно четверти, надо готовиться к контрольной, а я думаю только об этом турнире.

— Ну что же, давай подумаем вместе. Зачем нам решать систему (4) при слуайном наборе чисел x, t, α, β, γ, δ? Не лучше ли выразить из нее, скажем, y, z, u, v через x, t, α, β, γ, δ, подставить их в систему (2) и решать ее методом исключения неизвестных? Скоро у тебя каникулы, времени будет много, попробуй. А пока отложи эту задачу и готовся к контрольным.

— Хорошо, я так и сделаю.

Встреча шестая

3 апреля, 14 часов

— Георгий Данилович! Я нашел, — договоря учитель, кричал Саша. — Я решил эту задачу!

— И какой же ответ?

— Такое могло быть! Вот турнирная таблица (см. табл. 3). И, наверное, она не единственная возможность.

— Как же ты ее нашел?

— А я решил сначала не искать f, временно считать его известным, а потом подобрать. Кроме того, уравнение, которое мы с вами нашли — x+y+z=t+u+v, дает после подстановки (из системы (4))

3x=3t+α+β+γ+δ, откуда

x=t+\frac{1}{3}(\alpha+\beta+\gamma+\delta),

и ясно, что сумма в скобках должна делиться на три. А дальше последовательно из четырого, первого, шестого, второго и пятого уравнений системы (2), использует (4), я нашел:

$$\begin{align*} a &= t-f, \\ b &= x-a = \frac{1}{3}(\alpha+\beta) + \gamma+\delta) + f, \\ c &= v-b = t-\frac{1}{3}(\alpha+\beta) + \gamma+\delta) - f + \delta, \\ d &= y-c = \frac{2}{3}(\alpha+\beta) + \gamma+\delta) - \alpha-\delta + f, \\ e &= u-d = t-\frac{2}{3}(\alpha+\beta) + \gamma+\delta) - f + \alpha+\delta + \gamma. \end{align*}$$

После этого я подобрал такие натуральные числа α, β, γ, δ, t, f, чтобы числа a, b, c, d, e были целыми и неотрицательными. Я положил α=5, β=1, γ=4, δ=2, t=10, f=2.

Табл. 3.

44

А затем взял $n=18$ и из равенств системы (1) нашел
$$g=7, h=1, k=10.$$
Вот и все!
— Да, все верно, — улыбнул Георгий Данилович. — Только я был положил $n=17$ и уменьшил числочных. Ведь $h$ может равнять и нулю!

«Еще раз — и лучше!»
(Д. Пойа)

Они вернулись к задаче «о трех шахматистах» через полтора года, когда обдумывали очередное занятие математического кружка. Саша готовил сообщение об общих приемах поиска решения задач. Просмотрев старое решение, они задумались над следующей задачей: указать способ нахождения в секс турниров, удовлемворяющих условий задачи 1.
— Эта задача, — заметил Саша, — оченьно, равносильно такой: указать способ нахождения в секс турниров, удовлемворяющих условий задачи (1).
— Разумеется, — подтвердил Георгий Данилович.
— Меня одно обстоятельство смущает в старых наших рассуждениях, — продолжал Саша. — Мы вошли в вспомогательные неизвестные $x$, $y$ и $t$. Д., а потом от них освобождались. А что если сразу от них освобождаются? Тогда, например, вместе неравенства $a+b-(c+d)>0$ мы сразу получим равенство $a+b-(c+d)=\alpha$. И точно так же — с остальным неравенствами системы (1).
— Хорошая идея, — сказал учитель. — Воспользовся его, чтобы дать на занятии кружка компактное окончательное решение задачи.
…Вот это решение.
«Задача сводится к нахождению всех возможных наборов из десяти целых неотрицательных чисел
$$a, b, c, d, e, f, g, h, k, n, (*)$$
удовлемворяющих системы (1) (здесь Саша расскаал, как именно она сво-

дится, мы этот рассказ не приводим).
Запишем ее в виде системы управления
$$\begin{cases} a+b-c-d & =\alpha, \quad (8_1) \\ a+b & -e-f =\beta, \quad (8_2) \\ -a & +d+e-f =\gamma, \quad (8_3) \\ -a+b+c & -f =\delta, \quad (8_4) \\ -a-2b-c+d+2e+f =p, \quad (8_5) \quad (8) \\ a-b-2c-d+e+2f =q, \quad (8_6) \\ g=n-a-d, \quad (8_7) \\ h=n-b-e, \quad (8_8) \\ k=n-c-f \quad (8_9) \end{cases}$$

и будем искать ее решения в целых неотрицательных числах при натуральных $\alpha, \beta, \gamma, \delta, p, q$. Сначала решим систему первых шести уравнений относительно $a, b, c, d, e, f$.

Складывая почленно уравнения (8$_2$) и (8$_4$) и вычитая эту сумму из уравнения (8$_3$), получаем
$$-a-2b-c+d+2e+f=\gamma-(\beta+\delta),$$
а вычитая эту сумму из уравнения (8$_1$), получаем
$$a-b-2c-d+e+2f=\alpha-(\beta+\delta).$$
Сопоставляя эти два уравнения с (8$_5$) и (8$_6$), видим, что для совместности системы (8) необходимо выполнение равенств
$$\gamma=\beta+\delta+p, \alpha=\beta+\delta+q,$$
и тогда уравнения (8$_5$) и (8$_6$) будут следовать уравнения (8$_1$) — (8$_4$). Из этих четырех уравнений можно выразить как une-lюб четые из шести неизвестных $a, b, c, d, e, f$ через два других и свободные члены. Заметим еще, что из уравнения (8$_5$) и (8$_6$) следует
$$-b-c+e+f=\frac{p+q}{3},$$
откуда видно, что число $s=\frac{1}{3}(p+q)$ — натуральное, причем $q<3s$, $p=3s-q$. Тепер выразим $a, b, d, e$ через $c, f, \beta, \delta, q, s$ (исключением переменных). Получим

45

$$a = c + \beta + s, \quad (9_1)$$
$$b = f + \beta + \delta + s, \quad (9_2)$$
$$d = f + \beta + 2s - q, \quad (9_3)$$
$$e = c + \beta + \delta + 2s. \quad (9_4)$$

Видно, что $b + e > a + d > c + f$, то есть $k > g > h$. Тепер из уравнения $(8_8)$

$$n = c + f + h + 2\beta + 2\delta + 3s, \quad (9_5)$$

и из $(8_7)$ и $(8_9)$

$$g = h + 2\delta + q, \quad (9_6)$$
$$k = h + 2\beta + 2\delta + 3s. \quad (9_7)$$

Итак, если целые неотрицательные числа () удовлетворяют системе (1), то существует такой набор целых неотрицательных чисел $\beta, \delta, s, q, c, f, h$ ($\beta > 0, \delta > 0, s > 0, 0 < q < 3s, q \leqslant f + \beta + 2s, c \geqslant 0, f \geqslant 0, h \geqslant 0$), что числа () связаны с ними соответствиями (9).

Обратно, нетрудно убедиться (например, неосредственной подстановкой), что при любом выборе целых чисел $\beta, \delta, s, q, c, f, h$, удовлетворющих перечисленным условиям, числа (*), определяющие формулики (9), будут удовлетворять системе (1). Следовательно, при всевозможных таких наборах «параметров» $\beta, \delta, s, q, c, f, h$ получаются все решения задачи о трех шахматистах.

— Хороше решение трудной задачи, — сказал учитель. — Но «все концы тщательно опущены вводу». Как же ты договора, что два уравнения в системе — следствия остальных, что следует сложить уравнения $(8_5)$ и $(8_6)$ и найти $\frac{1}{3}(p + q)$?

— Про себя, — ответил Саша, — я все время имел в виду те рассуждания, которые были ранее проведены при поиске решения. Вы посмотите: сейчас я неоторое выражение — левую часть пятого неравенства системы (1) — обозначил через $p$; а раньше, в ходе поиска частного решения, я ведь уже работал с тем же самым выражением (см. (1), (3), (5)) и видел, что оно равно $\gamma - (\beta + \delta)$; значит, должно быть: $\gamma - (\beta + \delta) = p$.

В ходе решения я и показываю справадивость этого равенства, минуты выкладки, ненужные для окончательного решения. Так же обстоит дело и с равенством $\alpha = \beta + \delta + q$. Кроме того, в ходе поиска решения я встретил выражение $\frac{1}{3}(\alpha + \beta + \gamma + \delta)$ (см. (7)), которое должно быть натуральным числом. Но это выражение равно $\beta + \delta + \frac{1}{3}(p + q)$. Значит, $\frac{1}{3}(p + q)$ должно быть целым числом. А чтобы показать это в ходе окончательного решения, я и сложил почленно равенства $(8_5)$ и $(8_6)$.

— Ну, а почему ты выбрал в качестве «свободных переменных» $f$ и $c$, а не, скажем, $a$ и $b$?

— Я имел перед глазами системы (7), полученную в ходе поиска: если в ней освободится от лишнего переменного $t$ (например, учеть, что $t = a + f$, и поставить это выражение в остальные равенства (7)), то сразу видно, что удобно выбрать за «свободные переменные» $f$ и $c$.

Оглядываясь на понск, проведенный Сашей, мы можем выделить те вопросы:

1. «Что в задаче ищется?»
2. «Нельзя ли свести задачу к понску каких-то чисел?»
3. «Что извесно из формулировки задачи об исключах? Нельзя ли это запись в виде уравнения или неравенства?»
4. «Нельзя ли свести данную задачу к другой, более простой?»
5. «Нельзя ли улучшить решение (получить более простое или более компактное решение, решить более общую задачу и т.п.)?»

Вопросы для размышления

1. Какое наименьшее число партий должен быть в тринире сыграть каждый из трех шахматистов, чтобы могли выполнять условия задачи 1?
2. Нет ли в задаче 1 лишних условий?