Квант 1976, №10 · Страницы

КВАНТ
1976
10
Научно-популярный
физико-математический
журнал

Эта картина — копия с гравюры 1636 года.
В руках у мальчика стеклянный сосуд, наполненный водой. Сфокусировав с помощью этой своеобразной линии солнечные лучи, мальчик зажет пучок соломы.

А не задумывались ли вы над тем, почему, сфокусировав солнечные лучи, можно разжечь костер, а зажечь бумагу с помощью линзы звездным светом не удается? Если это вам интересно, прочитайте статью «В фокусе линзы» (с. 13).

1

Главный редактор
академик И. К. Кионн
Первый заместитель
главного редактора
академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:
М. И. Башмаков
С. Т. Беляев
В. Г. Болтянский
Н. Б. Васильев
Ю. Н. Ефремов
В. Г. Зубов
П. Л. Капица
В. А. Кириллин
А. И. Климанов
(главный художник)
С. М. Козел
В. А. Лешковцев
(зам. главного редактора)
Л. Г. Макар-Лиманов
А. И. Маркушевич
Н. А. Патриеева
И. С. Петраков
Н. Х. Розов
А. П. Савин
И. Ш. Слободецкий
М. Л. Смолянский
(зам. главного редактора)
Я. А. Смородинский
В. А. Фабрикант
А. Т. Цветков
М. П. Шаскольская
С. И. Шварцбург
А. И. Ширшов

Редакция:
В. Н. Березин
А. Н. Виленкин
И. Н. Клумова
Т. М. Макарова
(художественный редактор)
Т. С. Петрова
В. А. Тихомирова
Л. В. Чернова
(зав. редакцией)

В НОМЕРЕ:

2 А. Колмогоров. Группы преобразований
6 Л. Садовский, М. Аршинов. Группы
13 П. Блюх. В фокус линзы
Лаборатория «Кванта»
21 С. Соскин. Капиллярные волны в струе
Математический кружок
24 Э. Белага. Алгебра — древняя и современная
Задачник «Кванта»
32 Задачи М406 — М410; Ф418 — Ф422
34 Решения задач М365 — М370; Ф373 — Ф377
По страницам школьных учебников
41 А. Земляков. Осторожно — максимум!
Практикум абитриента
46 Я. Суконик, П. Горштейн. Наш выбор — теорема сн-hусов!
Рецензии, библиография
51 В. Лешковцев. Новое о гравитации
Информация
52 XXV Олимппада по физике в Польше
55 М. Алексеев, В. Белков, О. Боуславская. Лингвистика+математика
«Квант» для младших школьников
56 Задачи
57 А. Дейнега. Логическая задачи и неравенства
60 Б. Кордемский. Считайте обдуманно
61 Ответы, указания, решения
63 Анкета
Смеся (с. 5, 20, 31, 42)

© Главная редакция физico-mатематической литературы издательства «Нука», «Квант», 1976

2

Понятие группы занimaет очень большое место в современной математике и физике. В то же время элементы группы группы просты и волне доступны школьникам. Читательям, знакомым с понятиями «отображение множества на множество» и «композиция отображения» (которые входят по новой программе в курс геометрии VI—VIII классов), прошедшего начать знакомство с теории группы на примерах группы преобразования, в частности, группы перемещения на плоскости. Небольшая статья А. Колмогорова о группах преобразованияной может служить введением к изучению группы симметрии. Общей, «абстрактной», теории группы посвящена статья Л. Садовского и М. Аршинова. В ней, впрочем, также содержится много материнала, относ哉ся специально к группам преобразованияной. Наконец, в статье Э. Белги, помещен в разделе «Matематический кругок», вы найдете множество задач, решая которые, вы овонтеесь с операцией «композиция» (не только отображений) и увидите, как применяется теория группы при решении задач.

А. Колмогоров

ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Задча моей короткой заметки состоит в том, чтобы сделать более доступным и связать с новыми школьными учебниками содержание публикуемой dalle статья Л. Садовского и М. Аршинова «Группы».

По новым школьным программам школьники в пятом классе знакомятся с понятием «отображение множества на множество». В шестом классе они знакомятся с понятием «обратимое отображение» (в другой терминологии, привченной многим читательям «Кванта», — «взаимно однозначное отображение»).

Кажде обратимое отображение имеет обратное отображение. Например, поворот $R_0^{70^\circ}$ вокруг точки $O$ на $70^\circ$ против часовой стрелки (рис. 1) имеет своим обратным отображением поворот вокруг точки $O$ на $70^\circ$, но уже по часовой стрелке. В новом учебнике геометрии этот поворот обозначает $R_0^{-70^\circ}$ (поворот вокруг точки $O$ на минус $70^\circ$).

В следующом и воспомним классах школьники знакомятся с понятием «композиция отображения». Расмотрим для примера два перемещения плоскости, то есть два отображения плоскости на себя, сохраняющих расстояния. В качестве первого перемещения возьмем освую симметрию $S_x$ с осью $x$, в качестве второго — освую симметрию $S_y$ с осью $y$, перепendlukулярной оси $x$ (рис. 2). Что получится, если произвести эти два отображения последовательно: сначала $S_x$, а потом $S_y$?

Точка $P$ при освоей симметрии $S_x$ перейдет в симметриную ей относительно оси $x$ точку $P_1$, а при симметринии $S_y$ точки $P_1$ перейдет в точку $P_2$. Сказанное можно записать в виде равенства

$$P_2 = S_y(S_x(P)).$$

С другой стороны, точку $P_2$ можно получить непосредственно из точки $P$ при помощи центраной симметрии $Z_0$ с центром $O$ — точкой пересечения прямых $x$ и $y$:

$$P_2 = Z_0(P).$$

Доказайте самостояльно, что для любого точки $P$ плоскости

$$S_y(S_x(P)) = Z_0(P)$$

(предполагается, как было сказано, что прямые $x$ и $y$ перепendlukулярны и пересекаются в точке $O$).

Говорят, что отображение $Z_0$ есть «композиция» отображений $S_x$ и $S_y$; записьюют этот факт в виде равенства

$$Z_0 = S_y \circ S_x.$$

Здесь кругочек $\circ$ есть знак операции над отображениями. Подобно тому, как операции сложения (знак «+») или умножения (знак «×»), примененные к паре чисел $\langle a, b \rangle$, дают новые числа:

$$c = a + b, \quad d = a \times b,$$

операция композиции, примененная к двум отображениям, порождает новое отображение.

Нас будут занимать обратные отображения неокоторого множества $M$ на себя. Такие отображения называют «преобразованиями множества $M$». В качестве примеров приведем перемещение плоскости, готовую, преобразование подобия.

Пусть множество $M$ есть плоскость. Расмотрим множество $G$ всех перемещений этой плоскости, то есть множество всех отображений $F$ плоскости $M$ на себя, сохраняющих расстояния: для любых двух точек $P$ и $Q$ плоскости $M$

$$|F(P)F(Q)| = |PQ|.$$

Все перемещения обратными, и поэтому по указанной выше терминологии они являются преобразованиями плоскости.

Нашие множество $G$ обладает двумя интересными свойствами:

(1) композиция двух преобразований из $G$ приадлежит $G$, т. е. композиция двух премещений есть премещение;

(2) вместе с преобразованиям $F$ множеству $G$ всегда приадлежит и обратное преобразование, то есть преобразование, обратное к премещению, также есть премещение.

О пределене. Совокупность преобразований множества $A$, обладающего свойствами (1) и (2), называют группой преобразований множества $A$.

В силу сказанного множество всех перемещений плоскости может служить примером группы преобразования плоскости. Другим примером может служить множество всех преобразований подобия.

Существуют, однако, и гораздо более простые примеры. Расмотрим, например, множество $G_1$ всех перемещений, которые равносторонний треугольник $ABC$ (рис. 3) отображают на самое себе. Легко указыть шесть таких перемещений:

1. тожедействное отображение $E$, отображающее любую точку $P$ плоскости на себя;

2. поворот $R_0^{120^\circ}$ вокруг центра треугольника $O$ на $120^\circ$ против часовой стрелки;

3. поворот $R_0^{-120^\circ}$ вокруг центра $O$ на $120^\circ$ по часовой стрелке;

4), 5), 6) осевые симметрины $S_{OA}$, $S_{OB}$, $S_{OC}$.

4

Решив задачи 2 и 3, вы установите, что множество $G_1$ обладает свойствами (1) и (2) из определения группы преобразования, то есть что $G_1$ — группа преобразования плоскости.

Можно доказать более общий факт: множество $G_\Phi$ всех перемещений плоскости; которые отображают какую-либо заданную фигуру $\Phi$ на себя, есть группа преобразования плоскости. Доказательство не сложно (проведите его!). Группа $G_\Phi$ называется группой симметричной фигуры $\Phi$.

Из таблицы композиций множества $G_1$ мы видим, что композиция перемещений не всегда переместимена:

$$S_{(OA)} \circ S_{(OB)} = R_0^{-120^\circ} \neq R_0^{120^\circ} = S_{(OB)} \circ S_{(OA)}.$$

Можно, однако, доказать, что операция композиции преобразования множества $M$ всегда обладает свойством ассоциативности:

$$F_3 \circ (F_2 \circ F_1) = (F_3 \circ F_2) \circ F_1$$

(попробуйте сделать это).

Таблица 1

| $\circ$ | $E$ | $S_{(OA)}$ | $S_{(OB)}$ | $S_{(OC)}$ | $R_0^{120^\circ}$ | $R_0^{-120^\circ}$ |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $E$ | $E \circ E = E$ | $E \circ S_{(OA)} = S_{(OA)}$ | $E \circ S_{(OB)} = S_{(OB)}$ | $E \circ S_{(OC)} = S_{(OC)}$ | $E \circ R_0^{120^\circ} = R_0^{120^\circ}$ | $E \circ R_0^{-120^\circ} = R_0^{-120^\circ}$ |
| $S_{(OA)}$ | $S_{(OA)} \circ E = S_{(OA)}$ | $S_{(OA)} \circ S_{(OA)} = E$ | $S_{(OA)} \circ S_{(OB)} = R_0^{-120^\circ}$ | | | |
| $S_{(OB)}$ | | $S_{(OB)} \circ S_{(OA)} = R_0^{120^\circ}$ | | | | |
| $S_{(OC)}$ | | | | | | |
| $R_0^{120^\circ}$ | | | | | | |
| $R_0^{-120^\circ}$ | | | | | | |

6

Л. Садовский,
М. Арциинов
ГРУППЫ

Математика двадцать первого века может сливно отличаться от нашей; возможно, школьник начинает изучение алгебры с теории групп подстановок, что он может сделать сейчас, если бы не установленше традиции.
Саймон Ньюкомб, 1893 год

Алгебра изучает различные действия (операции) и заюны, которые они подчиняются. Эти операции могут быть определены не только над числами, многочленами и векторами, что вам известно из школьного курса математики и физики, но и над элементами инной природу.
В статье А. Колмогорова вы познакомились с операцией композиции перемещений и понятием «группа преобразования». Здесь речь пойдёт об абстрактной алгебраической конструкции, называемой группой.

Чтобы выработать понятие группы в его современной форме, математикам потребовалось почти это лет. Двеси лет назад знаменитый французский ученый Жозеф-Луи Лагранж (1736—1813), изучая решение алгебраических уравнений в радиалах, операровал фактически с понятием группы, хотя и не пользовался самим этим термином. Им была формулирована и доказана в 1771 году первая существенная теорема в теории групп.

Исследования Лагранжа продолжили норвежский математик Нильс Хенрик Абель и француз Эварист

7

Галуа*), которые впервые вели термин «группа». Элементами рассматриемых им групп были подстановки корней алгебраического уравнения
$$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0.$$
Группы подстановок изучали также Огюстен-Луи Коши (1789—1857), Артур Кэли (1821—1903), Камилл Жордан (1838—1922) и другие известные математики. Приятое ныне определение группы было предложено Кэли в 1854 году.

С понятным группы тесно связывано широко распространенное в природе свойство симметрицы. Симметрицы не только сnejинки, пчелинные соты, кристаллы поваренной соли и кварца. Элементарные частицы тоже подчиняются «закону симметрии» — зарядовому сопряжению, согласно которой каждой частице соответствует античастица. Провыленем симметрии окружающего нас мира является принципи относительной Галиллея, законы сохранения энергии, количество движения, электрического заряда и др.

Изучение закономерностей симметрии, общих для самых различных ее проявлений, и привело к созданию специального математического аппарата, называемого теорейей групп.

В основе определения группы лежит понятие бинарной операции.

Бинарная операция
Предположим, что каждой упорядоченной паре $a$ и $b$ элементов неокоторого произвольного множества $G$ поставлен в соответствие некоторый элемент $c$ того же множества. Тогда говорят, что на множестве $G$ определяна бинарная операция. Результат применения этой операции к заданной паре элементов записью в символьческом виде
$$a * b = c.$$
*) Об этих математических см. «Квант», 1973, № 10 и 1976, № 5.

Иногда для бинарной операции избирают прививчный термин, имея ее сложением, умножением или композицией. Примером бинарной операции является композиция перемещений на плоскости.

Произведение $a * b$ и $b * a$ могут оказаться одинаковыми или различными. В первом случае говорят, что $a$ и $b$ компутируют (перестановочные), во втором — не компутируют. Бинарная операция * называется компутативной, если для любых $a, b$ будет $a * b = b * a$, и некомmutативной, если найдется хотя бы одна пара элементов $a, b$, для которых $a * b \neq b * a$.

Задача 1. Проверьте, что
a) обичное сложение является бинарной операцией на множестве $Z$ всех целых чисел;
b) умножение также является бинарной операцией на множестве $Z$.

Таким образом, на одном и том же множестве можно, вообще говоря, определить различные бинарные операции.

Задача 2. Являются ли на множестве $Z$ бинарными операциями
a) деление;
b) вычитание?
Комmutативны ли эти операции?
Задача 3. Являются ли сложение, вычитание, умножение и деление бинарными операциями на множестве всех нечетных чисел?

Есть лишь две возможность переможить заданную тройку элементов $a, b, c$, не меняя их порядка: $(a * b) * c$ или $a * (b * c)$. Если
$$(a * b) * c = a * (b * c),$$
то тройка элементов $a, b, c$ называется ассоциирующей; для нее воплощен определенный смысл имеет символ $a * b * c$. Если же операции * каждая тройка элементов ассоциирует, то и сама операция * называется ассоциирующей.

Задача 4. Ассоциативны ли следующие операции:
a) композиция перемещений;
b) сложение и умножение действительных (комплексных) чисел;
b) деление и возведение чисел в степень $(a * n = a^n)$?

8

Определение группы

Множество $G$ с определенной на нем бинарной операцией * называется группой, если выполняются три аксимы:

Аксиома I (существование единчного элемента). Существует единственный элемент $e$ множества $G$ макой, что

$$e * a = a * e = a$$

для любого элемента $a$ из $G$.

Аксиома II (существование обратного элемента). Для каждого элемента $a$ множество $G$ существует элемент $a^{-1}$ макой, что

$$a * a^{-1} = a^{-1} * a = e.$$

Аксиома III (ассоциативность бинарной операции). Для любой тройки $a, b, c$ элементов из $G$ выполняется равенство

$$a * (b * c) = (a * b) * c.$$

Если бинарная операция коммутативна, то группа называется абелевой (в честь Абеляя) или коммутативной, в противном случае — неабелевой или некоммутативной.

Итак, множество превращается в группу, как только на нем задается бинарная операция, подчиняющая трех указанным аксиомам. При этом ничего не предполагается относительно самых элементов этого множества: ими могут быть числа, многочлены, перемещения или объекты какой-либо иной природы.

Теперь, когда дано определение группы, каждый обнаружит, что с группами он, оказывается, давно знаком. В самом деле, многие числовые множества относительно общих операций сложения и умножения образуют группу. Так, группой является множество целых чисел с операцией сложения, ее называют addимной группой целых чисел. Это абелева группа, ее «единичным» элементом служит число: $0 + c = c + 0 = c$, обратным для произвольного числа — ему противоположное: $c + (-c) = 0$.

Рис. 1.

Группу образует также множество $G$ всех переменений, отображающих на себя некоторую функцию (телю) $F$. Эта группа служит характеристикой симметриности функций $F$ и называется группой симметричной функции $F$.

Задача 5. Проверьте, что множества рациональных и действительных чисел с операцией сложения являются группами (addимые группы рациональных и действительных чисел).

Задача 6. Докажите, что
a) положительные рациональные;
b) положительные действительные числа по умножению образуют группы (мультипликативные группы положительные рациональные и положительные действительные чисел).

Задача 7. Образуют ли группы множества рациональных и действительных чисел с операцией умножения?

Три лица одной группы

Лицо первоое (арифметическое). Зафиксируем натуральное число $n$ ($n \neq 1$) и рассмотрим множество (обозначаемое через $T_n$) остатков от деления каждого натурального числа на $n$. Ясно, что различных остатковровно $n$, они равны соответствию 0, 1, 2, . . . , $n-1$. Всякие два числа $k$ и $l$, которые при делении на $n$ дают равные остатки, называют сравнимыми по modulo $n$ и пишут

$$k \equiv l \pmod n.$$

Разобъем теперь множество $N$ натуральных чисел на $n$ классов по следующему принципу.

В нулевой класс (для его обозначения удобно пользоваться тем же числом 0) собираем все числа, которые при делении на $n$ дают в

9

остатке 0, то есть такие $a$, что $a \equiv 0$ (mod $n$).

В первый класс собственным числа $a \equiv 1$ (mod $n$), т. е. далоше остаток 1 при делении на $n$.

Вообще в $k$-й класс помещаем все числа $a \equiv k$ (mod $n$). Для обозначения этого класса используем то же число $k$ (рис. 1).

Определим теперь бинарную операцию на множество $Z_n$ построенных классов. Пусть $k$ и $l$ — два любых класса. Выберем в каждой из них по любому числу, например, $a$ и $b$: $a \equiv k$ (mod $n$), $b \equiv l$ (mod $n$).

Составим общную сумму $a+b$ и разделим ее на $n$. Тогда в остатке получим либо $k+l$ (если $k+l < n$), либо $k+l-n$ (если $k+l \geq n$).

Значит, имеет смысл следующее операция $\oplus$ (назовем ее «сложением классов»):

$$k \oplus l = \begin{cases} k+l, & \text{ если } k+l < n, \\ k+l-n, & \text{ если } k+l \geq n. \end{cases}$$

Например, при $n=3$ имеется три класса: 0, 1, 2. Таблица сложения этих классов выглядает следующим образом:

| $\oplus$ | 0 | 1 | 2 |
| :— | :— | :— | :— |
| 0 | 0 | 1 | 2 |
| 1 | 1 | 2 | 0 |
| 2 | 2 | 0 | 1 |

Множество $Z_n$ относительно операции $\oplus$ образует группу, называемую группной вычётной по modulo $n$. В самом деле, все групповые аксиомы выполнены: нейтральным элементом служит нулевой класс; элементом, противоположным классу $k$ ($k \neq 0$), является класс $n-k$ ($-0=0$). Наконец, операция $\oplus$ ассоциативна (проверьте!).

Лицо второе (геометрическое). Множество поворотов плоскости вокруг центра $O$ правильного $n$-угольника на углы $\alpha$, при которых этот $n$-угольник отображается на себя, также образует группу относительно операции $\oplus$ композиции переменной. Поворотом, обратным для $R^\alpha$, является $R^{-\alpha}$:

$$R^\alpha \circ R^{-\alpha} = E.$$

В этой группе $n$ элементов (повороты $R^{\alpha_k}$, где $\alpha_k = k \cdot \frac{360^\circ}{n}$, $k=0, 1, \dots, n-1$; см. рис. 2), а правильном композиции поворотов можно записать так:

$$R^{\alpha_k} \circ R^{\alpha_m} = \begin{cases} R^{\alpha_k+m}, & \text{ если } k+m < n, \\ R^{\alpha_k+m-n}, & \text{ если } k+m \geq n. \end{cases}$$

Это правильное положение на правильное (1) сложения классов, используя его, мы могли бы написать:

$$R^{\alpha_k} \circ R^{\alpha_m} = R^{\alpha_k+m}.$$

Лицо третье (комплексное). Его смогут разгладеть те, кто знаком с компплексными числами и действиями над ними. Нас интересует сейчас множество всех компплексных корней степени $n$ из единиц, то есть множество решений уравнения $z^n=1$.

Если $z=\cos \alpha+i\sin \alpha$ — трионометрическая форма такого числа, то, согласно правилу умножения компплексных чисел, $z^n=\cos n\alpha+i\sin n\alpha$. Равенство $z^n=1$ выполняется при $n\alpha=2\pi k$, где $k$ — целое, поэтому все $n$ различных корней из единиц задаются формулой

$$z_k=\cos \frac{2\pi}{n} k+i\sin \frac{2\pi}{n} k$$

($k=0, 1, \dots, n-1$). Легко проверить,

10

что множество всех этих корней образует группу со следующим правилом умножения:

$$z_h \cdot z_l = z_{k \oplus l}.$$

(3)

Напомним, что каждое комплексное число $z = r$ (со $\alpha + i \sin \alpha$) с моделем $r$ и аргументом $\alpha$ изображается в прямогольной системе координат вектором длины $r$, составляющим с осью $Ox$ угол $\alpha$. Поэтому числа $z_h$ изображается векторами длины 1 так, что каждые два соседних вектора составят между собой угол $2\pi/n$. Иными словами, концы этих векторов размещаются в вершинах правильного $n$-угольника (рис. 3).

Тепер ясно, что группа корней $n$-й степени из единиц и группа поворотов $R^{\alpha_k}$ по существу «не отличются» и «схожи» с группой $Z_n$. Дабы уточнить последнюю фразу, следует ввести одно из важнейших понятий математики.

Понятие изоморфизма

Рассмотрим какие-либо две группы $G$ и $H$. Предположим, что между элементами этих групп установлено взаимно однозначное соответствие (обозначим его буквой $\varphi$), то есть задано обратное отображение $\varphi$ множество $G$ на множество $H$. Выберем в $G$ произвольную пару элементов $a, b$; им соответствует некоторые элементы $\varphi(a), \varphi(b)$ в $H$. Так как $G$ и $H$ — группы, то определены произведение $ab \in G$, $\varphi(a) \varphi(b) \in H$, а также $\varphi(ab) \in H$.

О пределене. Группы $G$ и $H$ называются изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение $\varphi$ группы $G$ на группу $H$, сохраняющее произведение, то есть такое, что для любых $a, b \in G$ будет $\varphi(a) \varphi(b) = \varphi(ab)$.

Это отображение называется изоморфизмом.

Изоморфизм двух групп ознакомится, что законы, которые подчиняются операции в обенных группах, идентины, и что всякое свойства, присущое операции в одной из групп, в равной

мере присущение операции в изоморфной ей группе. Поэтому изоморфные группы называют «абстрактно равными» и отождествляют между собой, что приводит к возникновению одной абстрактной группы: группы, относительно природу элементов которого не делается никаких конкретных предположений.

Примером изоморфных групп является три только что рассмотренные группы: и группа вычетов, и группа поворотов, и группа корней из единиц в действительности — лишь три реализации одной и той же абстрактной группы.

Изоморфизмом $\psi$ между группой поворотов и группой $Z_n$ является отображение

$$\psi (R^{\alpha_k}) = k.$$

Ясно, что при этом произведение вращений будет соответствовать, как это следует из формулы (2), сумма вычетов.

Изоморфизм $\varphi'$ между группой поворотов правильного $n$-угольника и группой корней $n$-й степени из единиц установляется соответствием

$$\varphi (R^{\alpha_k}) = z_k.$$

Правило (4), конечно, выполняется, оно вытекает из равенства (3).

Задача 8. Установите изоморфизм между группой корней $n$-й степени из единиц и группой $Z_n$ вычетов по модулю $n$.

Задача 9. Построите изоморфизм между адитивной группой всех действительных чисел и мультипликативной группой положительных действительных чисел.

11

Группы симметрии

Отличить симметрично фигуру от несимметричной легко — в этом нам помогает интуиция. Она подсказывает нам, что квадрат симметричее ромба, а окружность симметричее злппса. Но одной интуициии недостаточно. Сообравенная более обстоятельные возникают при рассмотрении перемещений пространства (или плоскости), при коморых данных фигур F отображется на себя. Можетство таких преобразований (с операцией композиции перемещений) образует группу, называемого группой симметричной фигур F. Об этом вы уже знаете из статьи А. Колмогорова (см. с. 4.), да и мы уже привели этот пример группы. Теперь мы изучим группы симметрины некоторых фигур.

Начнем с окружности, которая издревле представлялась людям воплошением совершенства и образцом симметрини. При любом повороте относительно центра и при зеркальном отражении относительно произвольного диаметра окружность самосовмещается. Таким образом, группа симметрики окружности состоит из всех поворотов $R_0^\alpha$ вокруг центра $O$ окружности и всех осевых симметрий $S_l$ с осями $l$, проходящими через точку $O$.

Значительно меньше группа симметрины злппса — она состоит из двух осевых симметрий относительно взаимно перпендикулярных сопряжающих диаметров эллипса (об эллипсе рассказано в «Кванте», 1975, № 1), поворота $R_0^{180^\circ}$ (центральной симметрии) вокруг эллипса и, конечно, тоже действенного отображения $E$. Такой же будет группа симметрини ромба.

А вот у квадрата группа симметрини побольше, ее мы сейчас и расстотим.

Нарисуем на плоскости квадрат и обозначим его вершины цифрами 1, 2, 3, 4. При любом самосовмещении квадрата каждая его вершина оказывается на месте некоторой вершины. Так, например, при повороте $R_0^{90^\circ}$ ($O$ — центр квадрата) вершины 1, 2, 3, 4 перейдут соответственно в вершины 2, 3, 4, 1 (рис. 4): $R_0^{90^\circ}(1) = 2$, $R_0^{90^\circ}(2) = 3$, $R_0^{90^\circ}(3) = 4$, $R_0^{90^\circ}(4) = 1$. Это факт можно записать иначе:

$$1 \rightarrow 2, 2 \rightarrow 3, 3 \rightarrow 4, 4 \rightarrow 1.$$

Подобным же образом поворoty $R_0^{180^\circ}$ сопоставляется запись

$$1 \rightarrow 3, 2 \rightarrow 4, 3 \rightarrow 1, 4 \rightarrow 2.$$

Сказанное можно записать и виной форме, смысл которого ясен из предыдущого:

$$R_0^{90^\circ} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}, R_0^{180^\circ} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{pmatrix}.$$

Мы получили то, что математики называют подстановкой: обратное отображение конечного множества $M$ на себя (десь — множество четырех точек — вершин квадрата). Занутеровав элементы этого конечного множества чисlamи 1, 2, …, $n$, мы сложем записать каждую подстановку в виде таблицы

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & ... & n \\ a_1 & a_2 & a_3 & a_4 & ... & a_n \end{pmatrix},$$

в нижней строке которой записаны же числа, что и в верхней, но в ином порядке. Подстановка, следовательно, состоит в том, что каждому элементу $a_k$ из $M$ ставится в соответствие единственной элемент $b_k$ из того же множества, и разным элементам $a_k$ соответствует разные $b_k$.

12

При такой точке зрения для одной и той же подстановки можно принять различные записи, например:

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & 4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 4 \\ 3 & 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}.$$

Объчно элементы верхней строки располагают в естественном порядке, и потому в общем виде подстановку из $n$ элементов записывают в виде

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & \dots & n \\ a_1 & a_2 & \dots & a_n \end{pmatrix}.$$

Пусть $\sigma$ и $\tau$ — две подстановки множества $M$. Произведением $\tau \circ \sigma$ подстановки $\sigma$ на $\tau$ называем такую подстановку $\omega$, которая возникает в результате последовательного выполнения сначала $\sigma$, а затем $\tau$. Таким образом, если $\sigma$ элементу $a$ ставит в соответствии $b$, а $\tau$ элементу $b$ ставит в соответствии $c$, то произведение $\tau \circ \sigma$ элементу $a$ сопоставляет $c$. Произведение зависит от порядка компонентей. Действительно, если $\tau$ сопоставляет элементу $a$ элемент $d$, а $\sigma$ элементу $d$ сопоставляет $f$, то произведение $\sigma \circ \tau$ отображает $a$ в $f$.

Тождественная подстановка

$$e = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \dots & n \\ 1 & 2 & \dots & n \end{pmatrix},$$

не изменяющая расположения элементов, играет роль единцы. Для каждой подстановки $\omega$ имеется единственная её обратная $\omega^{-1}$ такая, что $\omega \circ \omega^{-1} = \omega^{-1} \circ \omega = e$.

Задание 10. Докажите, что определение выше умножение подстановок ассоциативно.

Задание 11. Покажите, что подстановка $\omega^{-1}$ возникает из заданной, если помещать местами ее верхнюю и нижнюю строки.

Множество подстановок из $n$ элементов образует группу (обратимых отображений конечного множества $M$ на себя), ее называют «симметрической группой $n$-й степени» и обозначают через $S_n$.

Задание 12. Выпишите подстановки, соответствующие осевым симметримам квадрата (рис. 5) $S_{(24)}$, $S_{(13)}$, $S_l$, $S_m$ и повороту $R_0^{270^\circ}$ (здесь (24) — прямая, проходящая через точки 2, 4 и т. п.).

Задание 13. Докажите, что группа подстановок четырех элементов состоит из 24 элементов.

Задание 14. Убедитесь, что не каждой из этих подстановок можно поставить в соответствии с соответствие с самосовмещение квадрата.

Последания задача показывает, что в группе симметрики квадрата меньше 24 элементов — каждому самосовмещению квадрата соответствует подстановка (4 вершин квадрата), но не каждой подстановке соответствует самосовмещение квадрата.

Этим квадрат отличается от треугольника: у треугольника группа симметрики состоит из шести элементов и подстановок 3 вершин треугольника тоже шесть, причем группа симметрики треугольника изоморфна группе подстановок 3 элементов.

Заметим, что группа симметрики квадрата (как и треугольника) некоммутиативна:

$$S_{(13)} \circ S_l = R_0^{-90^\circ} \neq R_0^{90^\circ} = S_l \circ S_{(13)}.$$

Задание 15. Найдите все переменные плоскости, отображующие квадрат на себя (их будет всего во всем).

Задание 16. Составьте таблицу компонций переменной плоскости, отображающих квадрат на себя (подобно таблице умножения чисел от 1 до 9).

Задание 17. Докажите, что число различных подстановок множества из $n$ элементов равно $n!$ ($n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n$).

В заключение заметим, что свойства и строение абстрактных и конкретичных реализующих групп изучаются математически дисциплиной, называемой теорейей групп, которая не нашла широкое применение во многих разделах математики, теоретической физики, химии, кристаллографии, теории связи и в других наук.

13

П. Блюх В ФОКУСЕ
ЛИНЗЫ

«… все тела, на которые попадает злучшие, нагреваются, т. е. приобретают некоторые колическую энергии».
Р. П. о. л.ь. Оптика и атомная физика

Возьмите увеличительное стекло, направьте его на Солнце, а в фокусе помещите лист бумаги. Наверное, каждый читатель «Кванта» знает, что произойдет дальше. В том месте, где возникает ослепительно яркое изображение Солнца, температура так сильно повышается, что бумага начинает дымиться и даже может загореться. Если попробовать повторить тот же опыт ночной, направив уве-
личительное стекло на какую-нибудь звезду, то бумага, конечно, не загорится, хотя изобравняя звездо увидеть. Никого этого, разумется, не удивит, и на вопрос, почему от Солнца бумага загорается, а от звезд—нет, обычно следует простой ответ: все дело в том, что Солнце светит сильно, а звезда — слабо.

Ошибки в таком обьясении нет, но если попробовать подтвердить его расчетами (без них ответ останется всего лишь догадкой, а не обьясением), то оказывается, что дело обстояит не так просто.

14

1. Легко объяснить, почему от Солнца загорается бумага (первая правильная формула для коэффициента усиления линзы)

Все тела на Земле получают от Солнца неоторую энергию. Изовем интегисовностью количество энергии, получаемой единицей площади за единицу времени.

Попробуем рассчитать, во сколько раз повышается интегисовность солнечного излучения в результате фокусировки его линзой. Расчет очень прост и основывает на законе сохранения энергии. Очевидно, что полная мощность $P_0$ излучения, проходящого сквозь линзу, равна

$$P_0 = S_0 I_0,$$

(1)

где $S_0$ — площадь линзы (эту величины называют также площадью апертуры), а $I_0$ — интегисовность излучения до фокусировки. Мощность излучения в фокальном пути $P_F$ определяется аналогичным образом:

$$P_F = S_F I_F.$$

(2)

Здесь $S_F$ — площадь фокального пути (изображения Солнца), а $I_F$ — интегисовность в фокусе (рис. 1).

В фокальное пути попадает вся та мощность, которая проходит через апертуру линзы *). Поэтому $P_0$ и $P_F$ равны друг другу. Если теперь приравнять и правые части равенств

*) Это утверждение не строгое. Часть излучения «теряется» при отражении от поверхности линзы и в результате поглощения в стекле. Но мы будем рассматривать «идеальный» случай, преобразая эти примеры.

(1) и (2), можно найти относение интегисовностей:

$$\frac{I_F}{I_0} = \frac{S_0}{S_F}.$$

Это относение называют коэффициентом усиления линзы по интегисовности, или, короче, просто коэффициентом усиления. Обозначим его буквой $K^*$. Итак, коэффициент усиления равен относению плоскей апертуры и изображения источника в фокусе:

$$K = \frac{S_0}{S_F}.$$

(3)

Для того чтобы этой формулой можно было практически воспользоваться, необходимым выразить обе площади через основные параметры линзы — ее радиус $a$ и фокусное расстояние $f$.

Площадь апертуры определяется немедленно: $S_0 = \pi a^2$. Подобную же формулу написем и для площади фокального пути, радиус которого обозначим через $r_F$:

$$S_F = \pi r_F^2.$$

Теперь остается найти $r_F$. Фокальное пятно представляется собой изображение Солнца. Его радиус можно определить из сравнения двух подобных треугольников, показанных на рисунке 2:

$$r_F = f \frac{r_\odot}{R} = f \theta_0.$$

*) Не спутайте коэффициент усиления линзы с коэффициентом уvelичения изображения. Это совсем разные понятия. Например, наша линза не уvelичает, а уменшает изображение, так как размеры фокального пятна, конечно, меньше размеров Солнца.

16

стом $K$ и интенсивность в фокусе останется неизменной, как бы далеко ни удалялось нашей светило!

Сначала выразим $I_0$ через полную мощность $P$, которое излучает Солнце по всем направлениям (рис. 3):

$$I_0 = \frac{P}{4\pi R^2}.$$

Таким образом, $I_0$ убивает обратно пропорционально $R^2$. С другой стороны, в знаменатель формулы (4) стоит величины $\theta_0^2 = \frac{r^2}{\dot{R}^2}$. Поэтому с ростом расстояния до Солнца коэффициент усиления линзы будет расти пропорционально $R^2$, а произведение $I_0 K$, то есть интенсивность в фокусе, останется неизменным:

$$I_F = I_0 K = \frac{P}{4\pi R^2} \cdot \frac{a^2}{f^2 \theta_0^2} = \frac{P}{4\pi R^2} \cdot \frac{a^2}{f^2} \cdot \frac{R^2}{\dot{R}^2} = \frac{P}{4\pi r^2} \cdot \frac{a^2}{f^2}.$$

Но среди звезд есть очень много таких, которые подобны нашему Солнцу по своим размерам и излучаемой мощности. Значит, все они будут создавать в фокусе линзы одинаковую с Солнцем интенсивностью, при которой загорается бумага и обугливается дерево? Чувствуется, что здесь что-то не в порядке: с одной стороны, формула как будто бы правливая, а с другой стороны, зажчь бумагу от света звезды все равно не удается!

Прежде всего на ум приходит такое обясение: бумага не загорается, наверное, потому, что хотя интенсивность в фокусе остается неизменной, но при удалении источника уменышается размер изображения. Прогревается очень малая площадь, и теперь все время отводится к соседним более холодным частям бумаги. Действительно, площадь фокального пятна, куда поступает энергия излучения, убивает по мере удаления источника обратно пропорционально $R^2$: $S_F = \pi r^2 F = \pi f^2 \theta_0^2 = \pi f^2 \frac{r^2}{\dot{R}^2}$. В то же время

мя граница пятна $L$ (через нее происходит отвод теплла) убивает обратно пропорционально $R$: $L = 2\pi r_F = 2\pi f \frac{r}{\dot{R}}$. Таким образом, с ростом $R$ нагрев бумаги уменышается быстро, чем ее охлаждение, и в фокусе устанвливается более низкая температура.

Объяснение в полне праводоподобное, и формула как будто бы спасена. Давайте, кстати, определяем, чем будет равен размер изображения, когда Солнце удалится хотя бы до ближайшей звезды, то есть на расстояние $R = 4 \cdot 10^{13}$ км. Для линзы, которое мы уже выбирали в качестве примера, с фокусным расстоянием $f = 10$ см, радUNC пятна

$$r_F = f \frac{r}{\dot{R}} \approx 1,75 \cdot 10^{-7} \text{ см}.$$

Солнца сократилось до размеров одной молекулы! После этого расчета тот факт, что бумага не загорается от света звезд, представляется уже в полне естественным. Но тут нас поджидает новая непританость. Размер изображения оказывается примерно в 250 раз меньше, чем длина волны видимого света ($\lambda \approx 4,5 \cdot 10^{-5}$ см). Это совершенню недопустимо! Ведь для того чтобы волна существенно пространство, охватывающее хотя бы несколько длины волны. В противном случае волна там просто «не помещится».

Означает ли это, что в нашем примере «нарушилась» волновая природа света? Или, быть может, по каким-то причинам линза никакого не создается изображения, меньше чем длина волны?

3. Все дело в том, что свет — это волна (вторая правильная формула для коэффициента усиления линзы)

Справедливо, конечно, второе предположение, и причина, ограничивающая изображения, в настоящее время хорошо известна — это дифракция света.

17

Рис. 4.

Нам представит снова вышести формулу для коэффициента усиления линзы, но уже с учетом диффрации. Взгляните на рисунок 4. Здесь нарисован пучок параллельных лучей, пришедших от очень далеко источника. Лучи преломляются в стекле таким образом, что после прохождения через линзу все они сходятся в одной точке — фокус. Тот же процесс фокусировки можно обьясить и иначе, рассматривая не пересечение лучей, а взаимодействие волн, распространяющихся от каждой точки апертуры линзы. Наши рассужждение основывает на так называемом принципе Гюйгена. Согласно этому принципу каждой точке пространства, в котором распространяется волна, сама становится источником вторичных волн. Эти волны рассходятся от апертуры во все стороны. Попадают они и в фокус линзы. Точка $F$ (фокус линзы) отличается от всех других точек пространства тем, что фазы волн, идущих от любого места на апертype — от краев, от середины и т. д., — совпадает друг с другом. Синфазность волн в точке $F$ достигается специально подобранной формулой стекла. В этом, собственно, и заключается фокусировка: при сложении колебаний с совпадующими фазами они взаимно усилывают, и интенсивность волны в точке $F$ оказывается наиболее.

Может показаться, что волновое обьясение ничуть не лучшие лучевого, разве что более длинное и менее понятное. Но сейчас мы убедимся, что оно имеет очень важное преимущество. Давайте немного сме-

стимся из фокуса в направлении, перпендикулярном оси линзы: перейдем из $F$ в $F'$ (см. рис. 4). Что произойдет при этом с интенсивностью?

Согласно геометрической оптике ответ таков: через точку $F'$ лучи не проходят, поэтому при смешении из $F$ в $F'$ интенсивность упадет до нуля, каким бы мальми ни был отрезок $FF'$.

Совсем иначе обстоит дело, когда мы рассматриваем взаимодействие волн. Если смешение $FF'$ мало, то фазы волн, идущих от разных точек апертуры, «чут-чут» сdwинуются относительно друг друга. Интенсивность при этом несколько уменьшится, но спад интенсивности произойдет постепенно, плавано.

Вычислим величины смешения $FF'$, при котором волны, идущие от краинных точек апертуры, оказываются в противофеазе. Это будет означает, что волны станут гасить друг друга и интенсивность сильно упадет. Длину отрезка $FF'$, при которой разность хода лучей $AF'$ и $BF'$ составляет половину длины световой волны, можно принять за радиус фокального пятна $r_F$ (такому смешению как раз соответствует фазовый сдвиг $180^\circ$).

Итак, мы имеем условия:

$$AF' - BF' = \frac{\lambda}{2}.$$

Рассмотрим прямуюльные треугольники $ACF'$ и $BCF'$. На основании теоремы Пифагора

$$(AF')^2 = (AC)^2 + (CF')^2,$$
$$(BF')^2 = (CF')^2 + (BC')^2,$$

или, пользоваться нашими старыми обозначениями:

$$(AF')^2 = (a + r_F)^2 + f^2,$$
$$(BF')^2 = (a - r_F)^2 + f^2.$$

Вычитем из первого равенства второе и воспользуемся формулой для разности квадратов, тогда получим:

$$(AF' - BF')(AF' + BF') = 4ar_F.$$ При малых смешениях $FF'$ сумму отрезков $AF' + BF'$ можно приближенно заменить на $2AF$. Если, к тому же, фокусное расстояние $f$ велико

18

по сравнению с радиусом линзы $a$, то $AF$ мало отличается от фокусного расстояния, то есть $2AF \approx 2f$.

После этих упрощений искомая разность хода $AF' - BF'$ может быть записана так:

$$AF' - BF' = \frac{4ar_F}{AF' + BF'} \approx \frac{2ar_F}{f}.$$

Согласно условия (5) ее надо приравнять $\lambda/2$, и мы получим формулу для радиуса фокального пятна:

$$r_F \approx \frac{\lambda}{4a} f.$$

Ввиду приближенного вывода этого формулу следует рассматривать лишь как оценку радиуса по порядку величины. Поэтому не имеет смысла оставлять в ней численный коэффициент, а лучше переписать ее в следующем виде:

$$r_F \approx f \frac{\lambda}{a}.$$

(6)

Что бы наглядно представить себе полученный результат, взгляните на рисунок 5. На нем изображено обычное построение лучей, пересекающих после предположения в линзе, но каждый луч симметрично «размывается» на угол $\pm \theta_d$. Пучки лучей, пересекаясь в фокальной плоскости, создают изображение в виде кругка с радиусом

$$r_F \approx f\theta_d.$$

(7)

Если при построении выбрать угол $\theta_d$ равным $\lambda/a$, то мы как раз получим формулу (6). Угол $\theta_d \approx \lambda/a$ называют углом диффрационного размытия.

Теперь самая трудная часть вычисления осталась позади. Определив площадь фокального пятна и воспользоваться соответствием (3), получим новую формулу для коэффициентаусиления линзы:

$$K_d \approx \frac{a}{\lambda^2f^2}$$

(8)

(мы добавили индекс «$d$», чтобы не забыть, что формула выведена с учетом диффрациции).

4. Со звездами все в порядке, но новая формула не годится для Солнца!

Вернемся снова к нашему мысленному эксперименту с удалением Солнца на межзвездные расстояния. Посмотрим, как будет изменяться фокальная интенсивность, если воспользоваться новой формулой для коэффициентаусиления. Так же как и раньше, $I_F = I_0K_d$, но, в отличие от первого формулы, величина $K_d$ не зависит от расстояния до источника (см. формулу (8)). Поэтому интенсивность в фокусе будет уменьшаться вместе с $I_0$, то есть обратно пропорционально квадрату расстояния. Сказанное подтверждается соответствующей формулу

$$I_F = I_0K_d \approx \frac{P}{4\pi R^2} \cdot \frac{a^4}{\lambda^2f^2}.$$

Ясно, что при очень больших $R$ интенсивность станет в конце концов исчезающее малой, какой бы мощность излучения $P$ ни обладал источник. В этом и заключается обьясение, почему не загорается бумага в фокусе линзы от света звезд.

Вторая непряятность — беспрередельное сокращение радиуса фокального пятна — теперь также устранена. Действительно, согласно формуле (6) радиус фокального пятна никакогда не может стать меньше длины волны (дробь $f/a$ всегда больше единиц). Поэтому беспокониться от том, что волна «не помещится» в фокусе линзы, уже не приходит.

Итак, новый расчет свободен от тех противоречий, которые мы обнаружили раньше, пока не учитывали

Дифракции света. На этом можно бы и закончить нашу статю, сделав выбор, что волновая теория оказалась более правильной, чем геометрическая оптика. Но прежде чем поставить точку, давайте еще раз оценим интенсивность фокусированного солнечного излучения, то есть посмотрим, к каким результатам приводит волновая теория в том случае, когда мы успешно обходились и без нее.

Линзу возьмем ту же самую ($a=2\text{ cm}, f=10\text{ cm}$), но воспользовемся новой формулой для коэффициента усиления. В формулу (8) входит длина волны света $\lambda$. Ее можно считать равной $4500\mathring{\text{A}}=4,5\cdot 10^{-5}\text{ cm}$.

Тогда $K_d \approx \frac{a^4}{\lambda^2 f^2} \approx 8\cdot 10^7$. Далее, вспомнить, что $I_0 \approx 0,14 \text{ bm/cm}^2$, найдем искому интенсивность: $I_F = I_0 K_d \approx 1,1\cdot 10^7 \text{ bm/cm}^2 = 11 \text{ Mb/m/cm}^2$.

Получалась колосальная величины, почти в 200 000 раз превышшая результаты нашего старого расчета, который хорошо согласуется с экспериментом!

Согласитесь, что окончить статью на этом месте никак нельзя. Оказывается, дифракционная формула тоже преоднеска нам «сюорприз», и необходимо разобраться, в чем тут дело.

5. Почему две правильные формулы приводят к разным результатам?

Получается, что формула (4) для коэффициента усиления, выведенная на основе геометрической оптики, хорошо описывает фокусировку излучения Солнца, но не годится для звезд. Дифракционная формула (8) правильно описывает фокусировку света звезд, но приводит к неверным результатам для Солнца. Разгадка «парадокса» заключится в том, что, пользоваться той или иной физической формулой, совершенню недостаточно правильного привода волновая теория в том случае, когда мы успешно обходились и без нее.

Как же формулировать условия применения в данной случае? Анализируя выводы лучевой и дифракционной формул, можно заметить, что разница между ними возникла при расчете радиуса фокального пятна.

Перепишем формулы для определения $r_F$ еще раз, напомнить, как они выводились.

1. «Солнечная» формула: $r_F = f\theta_0$. При выводе рассматривается источник с угловым размером $\theta_0$, дифракционное развитие не учитывающее его есть $\theta_d = 0$.

2. «Звездная» формула: $r_F = f\theta_d$. При выводе учитываясь дифракционное развитие лучше на угол $\theta_d \approx \frac{\lambda}{a}$, угловой размер источника считался исчезающее малым (паралельные лучи), то есть $\theta_0 = 0$.

На самом деле, конечно, дифракция света существенно всреда, а «точных» источников, строго говоря, в природе не былает. Поэтому нужно было бы учеть одновременного и того, и другое. Тогда радиус фокального пятна определялся бы по формуле

$$r_F \approx f(\theta_0 + \theta_d).$$

Как получается это соответствие, легко понять из рисунка 6. Здесь повторено построение, выполнение на рисунке 2 (источник конечных угловых размеров $\theta_0$), но учитывается дифракция света (размытие лучей на угол $\theta_d$).

20

Теперь понятно, когда применяма формула (4), а когда (8). Если угловой размер источника велик по сравнению с дифракционным размером ($\theta_0 \gg \theta_d$), дифракцию можно не учитывать. Это условие применности (4). Если, наоборот, угловые размеры источника малы ($\theta_0 \ll \theta_d$), дифракцию надо учитывать обязательно, а источник можно считать «точенным». При этих условиях справедлива формула (8).

Итак, все дело в том, в каком соответствии находится углы $\theta_0$ и $\theta_d$. Давайте проверим это на нашем старом примере с Солнцем. Угловой размер источника мы уже знаем ($\theta_0 \approx 4,7 \cdot 10^{-3}$ рад), а угол дифракции $\theta_d \approx \frac{\lambda}{a} = 2,25 \cdot 10^{-5}$ рад. Выполняется неравенство $\theta_0 \gg \theta_d$, то есть выполняется условие применности формулы (4). Если же Солнце «удаляется» до близкой звезды ($R \approx 4 \cdot 10^{13}$ км), его угловой размер сокращается до $1,75 \cdot 10^{-8}$ рад. Угол дифракции при этом сохраняет старое значение, и справедливо обратное неравенство $\theta_0 \ll \theta_d$. Следовательно, для звезды выполняется условие применности формулы (4).

1. Вернемся снова к мысленному эксперименту с удалением Солнца на звездные расстояния ($R = 4 \cdot 10^{13}$ км). Чему станет равна интенсивность фокусированного солнечного света в этом случае? Параметры линзы остаются прежними ($a = 2$ cm, $f = 10$ cm).

2. Выведите формулу для расчета коэффициента усиления линзы при любых соответствии между углами $\theta_0$ и $\theta_d$.

3. Мы нашли, что интенсивность солнечного излучения в фокус линзы радиуса $a = 2$ cm с фокусным расстоянием $f = 10$ cm составляет 250 вт/cm².

Каким должен быть радиус линзы, чтобы после фокусировки интенсивность излучения звезды, находящейся на расстоянии $R = 4 \cdot 10^{13}$ км, была того же порядка, например, 100 вт/cm²? Считать, что соответствие между фокусным расстоянием линзы и ее радиусом остается неизменным, а звезда имеет те же параметры, что и Солнце.

Задачи
наших
читателей

1. Докажите следующие соответствия между элементами треугольника ($A, B$ и $C$ — вершины треугольника; $O$ — центр вписанного круга; $\alpha, \beta, \gamma$ — углы с вершинами $A, B$ и $C$ соответственно; $a, b, c$ — длины сторон, противложащих соответствию углам $\alpha, \beta, \gamma$; $R$ — радиус описанного круга; $h_a, h_b, h_c$ — длины высот, опущенных на стороны $a, b$ и $c$, соответственно или на их проджении; $S$ — площадь треугольника $ABC$):

$$\frac{|AO|^2}{bc} + \frac{|BO|^2}{ca} + \frac{|CO|^2}{ab} = 1;$$

$$\frac{|AO|^2}{h_a} + \frac{|BO|^2}{h_b} + \frac{|CO|^2}{h_c} = 2R;$$

$$S = \frac{1}{2} \times \left( |AO|^2 \sin \alpha + |BO|^2 \sin \beta + |CO|^2 \sin \gamma \right);$$

$$S = \frac{1}{2} \left( |AO|^2 h_b h_c + |BO|^2 h_a h_b \right)^{1/2}.$$

У. Алла

(г. Выру Эстонской ССР)

2. Обозначим через $O$ центр окружности, описанной вокруг треугольника $ABC$, через $H$ — точку пересечения высот, через $O_1$ — центр вписанной окружности и через $O_2$ — центр окружности, касающейся стороны $BC$ и продженной стороне $AB$ и $AC$. Доказать, что если $|O_1O| = |O_1H|$, то один из углов треугольника равен $60^\circ$, а если $|O_2O| = |O_2H|$, то либо $A = 60^\circ$, либо величина одного из углов $B, C$ равна 120°.

3. Построить прямоугольный треугольник с данной гипотенузой, стороны которого образуют геометрическую прогрессию.

H. B.

21

На IX Городской конференции юных физиков города Киева (апрель 1975 года) ученик 8 класса средней школы № 145 Станислав Соккин сделал доклад на тему «Волны в стреуе при наличии преграда».
В докладе расссказалось об опытах, проводимых со стреуей воды или какой-нибудь другой жидкости.
Эти опыты, очень простые и наглядные, не требующие никакого специального оборудования, дают возможность познакомиться с довольно сложным физическим явлением — возникновением капиллярных волн на поверхности жидкости.
Здесь мы публикуем (с некоторые сокращениями) текст этого доклада.

Если пристотеться внимательно, то даже в стреуке воды можно увидеть много интересных явлений. Попытаться описать и объяснить одно из них.

Под тонкую водопроводную струю подставим пластинку (или даже просто палец) на расстоянии 1—7 см от крана (где поток еще можно считать ламинарным). Тотчас же часть струи над пластинкой станет похожей на гармошу (рис. 1). Что же произило?

22

Причина всему — поверхностное натяжение в жидкости. Из-за него струя оказывается как бы obtянутой пленкой (подобной резиновой трубке или натянутой струне). Под влиянием случаных внешних воздействий эта пленка деформируется, и в ней начинаются колебания. Колебания распространяются по поверхности, и в струе возникают поверхостные волны, называемые капиллярными волнами. Междузм их образование качественно обьяснить несложно.

Пусть поверхность жидкости в некотором месте сluчайно изогнута, например, стала вогнутой (рис. 2, а). Давление в жидкости под вогнутой поверхностью, благодаря силам поверхностного натяжения, меняше, чем в соседних областях, где поверхность осталась плоской. Под действием разности давления жидкости из соседних участков начет приливать под вогнутую поверхность, пока поверхность снова не станет плоской. Но движение жидкости не прекратиется и будет продолжаться по инерции. Поэтому поверхность станет выпуклой, давление под ней возрастет, и жидкость будет вытекать из-под нее (рис. 2, б) и т. д. Такие колебания в жидкости естественно вызовут аналогичные колебания в соседних участках, то есть возникнет волна.

Вoceше говоря, поверхность волны возникают и под действием силы тяжестки. Но при малых амплитудах колебаний и малых длинах волн основную роль играют силы поверхностного натяжения. Волны в этом случае и называют капиллярными.

Можно непосредственно на опите убедиться в том, что в струе при наличии преграды возникают именно поверхности волны. Слега косемся острнем уголки только поверхности струи — гармошка получается точно такая же, как при внесении преграды по всему сечению струи (рис. 3).

Проделав несколько опытов, можно вывести и неокопые колическенные закономерности. Теоретический

23

Объем $V$ воды, вытекающий из крана за время $t$, равен

$$V = Svt = \frac{\pi d^2}{4}vt,$$

где $S$ — площадь секции струи, $d$ — диаметр этого секения, $v$ — скорость вытекания воды, равная скорости распространения волны. Отсюда

$$v = \frac{4V}{\pi d^2t}.$$

Объем воды можно измерить с помощью мензурки, диаметр струи — линейкой, а время — секундомером.

Полученный нами экспериментально график зависимости между $\lambda$ и $v$ показан на рисунке 4.

Может возникнуть вопрос — почему мы видим гармошу? Амплитуды капитлярных волн очень малы (порядка десятых и даже сотых долей миллиметра), поэтому неосредственно различить выпуклости и вплинны на поверхности струи невозможно. Однако эти неовновости по отношению кpadioщему на них свету ведут себя подобно выпуклым и вогнутым линзам (собирают и рассеивают свет). Фактически мы видим чередующие светые и темные полосы соответственно в течение выпуклостей и вплинн.

Заметим, что опыты можно проводить, использя самые разные преграды: пластмассовую, металлическую или бумажную пластинки и даже просто водяную поверхность. Упругие свойства материалов преграды различны, но скорость и длина волны в струе воды во всех случаях одни и те же.

В заключение предлагаем вам несколько экспериментальных заданий.

Уражнения

1. Исследовать гармоши в струях не только воды, но и других жидкостей.
2. Получить и исследовать гармоши в горизонтальной струе.
3. Исследовать гармоши в струях с различным направом.

24

Э. Белага
АЛГЕБРА —
ДРЕВНЯЯ
И СОВРЕМЕННАЯ

Вы уже прочитали статьи А. Колмогорова «Группы преобразования» и Л. Садовского и М. Аршинова «Группы», в которых вводятся понятия бинарной операции и группы. Чтобы привлекнуть к этим новым для вас понятям, надо разобрать несколько примеров «с карандашом в руке». В этом вам и поможет помещаемая ниже статья. В ней расссказывает об умножении слов, самосовмещений правилных многогранников, узлов и подстановок, о применении астрактной теории к решению конкретных задач. Внимательный и терпельный читатель сможет самостоятельно вывести много заменательных свойств операций над этим объектами, разбиая условия и отыскивая решения задач (они служат продолжением основного текста). Найболее интересные и, как правило, при этом довольно трудные задачи отмечены звездочкой.

I. ВСЕ ПРОЧЕЕ — ДЕЛО РУК ЧЕЛОВЕЧЕСКИХ…

У первобытных племен названия чисел были неотделимы от названия перечисляемых предметов. Не «два» или «tri», а лишь «две реки» или «tri воина». С появлением отвлеченного понятия о числе родилась математика. Возможно, поэтому выдающийся немецкий математик Леопольд Кронекер произнес когда-то свою столь же парадоксальную, сколь и знамениту фразу: «Целое число создал господбог, все прочее — дело рук человека».
Потребовалось несколько тысячетей, чтобы человека научиться, чтобы человека научиться задач в виде формул. Потом в этих формулах вместо чисел появились буквы. Новая «буквенная» арифметика стала назваться алгеброй. А затем алгебраическая символька и алгебраическая действия были распространены на самые разнообразные объекты неарифметической природы — подстановки, матрицы, геометрические преобразования и др., а числовая пряма (или компплексная плоскость) оказалась всего лишь одной из многоих, очень многоих алгебраических структур, изучаемых в новой алгебре.

II. О «ВЕЩАХ», КОТОРЫЕ МОЖНО «ПЕРЕМНОЖАТЬ», А ИНОГДА И ДЕЛИТЬ, ХОТЯ ОНИ И НЕ ЧИСЛА

К тому, что числа можно складывать, умножать, вычитать и делить, нас приучают очень рано. Удивительно — и к этому тоже нужно привыкать,— что «складывать» (или «умножать») можно и «веши» не числовой природу.

Пример первый: слова
Алфавитом будем назвать любую совокупность символов. Мы ограничимся конечными алфавитами (в алгебре и математической логике поль-

25

зуются и бесконечными). Вот два примера алфавитов:

$A_1$. Алфавит, состоящий из двух греческих букв: α и β.

$A_2$. Аргументический алфавит: цифры от 0 до 9, символы аргументических действины, знак равенства и крулеще скобки:

$$\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, +, -, :, \times, =, ),\}$$.

Словом над алфавитом $A$ мы будем называть любую конечную последовательность символов из $A$. Вот примеры слов над двумя описными выше алфавитами (чтобы отделить запись слова от окружающего текста, мы «упаковываем» его в угловые скобки):

$$(A_1): \langle \alpha\beta \rangle, \langle \alpha\beta\alpha\beta \rangle, \langle \rangle;$$
$$(A_2): \langle 1976 \rangle, \langle 2 + 2 = 4 \rangle,$$
$$\langle - \rangle +): \langle 3 \rangle).$$

Слово может быть и «пустым», то есть вовсе не содержать символов (последнее «слово» в первом примере), такое слово обозначают буквой $\lambda$: $\lambda = \langle \rangle$. Множество слов над данным алфавитом $A$ обозначим через $C(A)$. Его элементы, то есть слова, мы будем обозначать малыми латинскими буквами (они не принадлежат алфавитам, которые нам здесь приходит расматривать).

Произведением, или комποизценей, двух слов $a$ и $b$ из $C(A)$ мы будем называть слово $c$ ( и писать: $c = a \otimes b$), полученное приписываем к слову $a$ справа от него слова $b$. Вот примеры комποизценей слов:

$$(A_1): a = \langle \alpha \rangle, b = \langle \alpha\beta \rangle,$$
$$c = a \otimes b = \langle \alpha\alpha\beta \rangle;$$
$$(A_2): a = \langle 2 + 2 \rangle, b = \langle 4 \rangle,$$
$$c = a \otimes b = \langle 2 + 2 = 4 \rangle.$$

Пустое слово не содержит символов, поэтому $a \otimes \lambda = \lambda \otimes a = a$ для любого слова $a$ из $C(A)$, то есть пустое слово $\lambda$ при переложении слов ведет себя как единца при переложении чисел.

Если продолжить поиск сходства и различий между умножением слов и умножением чисел, то можно заметить, что операция «⊗» ассоциативна:

$$(a \otimes b) \otimes c = a \otimes (b \otimes c),$$

позному имеет смысл запись $a \otimes b \otimes c$.

Задача 1. Для любого слова $a$ из $C(A)$ определяем его неотрицательные степени, положив $a^0 = \lambda$, $a^1 = a$, $a^2 = a \otimes a$, вообще $a^{n+1} = a \otimes a^n$. Доказите, что для любых целых неотрицательных чисел выполняется равенство

$$a^m \otimes a^n = a^{m+n}.$$

Справедливо после него равенства позвольяет нам сокращать запись неотрицательных слов: вместе $a = \langle \alpha \rangle^3 \otimes \langle \beta \rangle^3 \otimes \langle \alpha \rangle^4$ или, допуская неотрицательную волность записи, $a = \langle \alpha^3\beta^3\alpha^4 \rangle$. Но менять порядок букв в слова, вообще говоря, нельзя говорить «⊗» может быть не коммутиативной, то есть $a \otimes b$ может не совпадать с $b \otimes a$.

Задача 2. а) Над каким алфавитом операция «⊗» коммутиативна, то есть для любых слов $a$ и $b$ будет $a \otimes b = b \otimes a$?

6)* Как должны быть устроены два слова $a$ и $b$ над алфавитом $A$, содержащим два или более символов, чтобы композиция этих слов не зависяла от их порядка?

Пример второй: самосовмещения

Как известно, конгрузимность (раньше говорили «равенство») фигур и тел в геометрии установливается переменением: если существует перемещение плоскости (или пространства), при котором одна фигура отображается на другую, то эти фигуры конгрузимны. Перемещение, при котором неотрицательная на себя, будем называть ее самосовмещением.

Для куба, например, найдется всего 48 различных самосовмещений. Действительно, закрасим одну грань куба и отметим направление на одном из ребер, ограничивающих эту грань (рис. 1). Тогда самосовмещение куба определяется тем, в какую грань куба отображается окрашенная грань, в какое ребро этой грани переходит отчеченное ребро и в какой конец этого ребра направлена стрелка (по этим данным однозначно опре-

26

Рис. 1.
Деляется положение куба). У куба 6 граней, у каждой грани 4 ребра, у каждой ребра 2 конца, итого $6 \times 4 \times 2 = 48$ способов.

Произведение $c = a \circ b$ самосовмещений $a$ и $b$ правильно многограника $\Delta$ определяется как общная композиция перемещений: сначала выполняется $b$, а затем $a^*$). Проверьте, что $(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)$ для любых трех самосовмещений $a, b, c$ из множества $\Gamma (\Delta)$ всех самосовмещений тела $\Delta$ (ассоциативность; сравните с описанием группы на с. 8 и аксимой III группы там же).

Задание 3. Докажите, что последовательное выполнение двух поворотов куба: сначала вокруг оси $AB$ (рис. 2) на угол $90^\circ$, а затем вокруг оси $CD$ на угол $120^\circ$, — можно записать одним повортом вокруг оси $EF$ на $180^\circ$, что и является произведением двух поворотов. Зависит ли это произведение от порядка выполнения поворотов?

*) Такой порядок записи удобен тем, что образ $(a \circ b)(M)$ точки $M$ при отображении $a \circ b$ будет $a(b(M))$.

Рис. 2.
Задание 4. Докажите, что существует всего четырех различных самосовмещения прямогоЛЬНИКА в пространстве (рис. 3): тождественное $e$, поворот $a$ вокруг $AB$, $b$ – вокруг $CD$, $c$ – вокруг $EF$, причем $a^2 = b^2 = c^2 = e$, $a \circ b = b \circ a = c$, $b \circ c = c \circ b = a$, $a \circ c = c \circ a = b$.

Посление равенства задачи 4 можно записать в виде следующей таблицы умножения:

| $e$ | $a$ | $b$ | $c$ |
| :— | :— | :— | :— |
| $e$ | $e$ | $a$ | $b$ |
| $a$ | $a$ | $e$ | $c$ |
| $b$ | $b$ | $c$ | $e$ |
| $c$ | $c$ | $b$ | $a$ |

Очевидно, что всякому самосовмещению $a$ фигуры или тела $\Delta$ соответствует единственное «обратное» $a^{-1}$, возвращающей тело в начальное положение ($a^{-1}$ может и совпадать с $a$, как в задание 4). При этом, если $a^{-1}$ обратно $a$, то $a$ обратно $a^{-1}$:

$a \circ a^{-1} = a^{-1} \circ a = e$.