Квант 1977, №1 · Страницы

КЕАНМ 1
1977

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - MATEMATIЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

18

УКАЗ ПРЕЗИДИУМА ВЕРХОВНОГО СОВЕТА СССР

о награжении генерального секретаря ЦК КПСС
Героя Советского Союза, Героя Социалистического Труда
Товарища БРЕЖНЕВА Леонида Ильича
орденом Ленина и второй медалью «Золотая Звезда»

За выдающиеся заслуги перед Коммунистической партии и Советским государством в коммунистическом строительстве, активную, плодотворную деятельности по управлению мира и безопасности народов, за большой личный вклад в дело победы над немецко-фашистскими захватчиками в Великой Отечественной войне, в укрепление экономического и оборонного могущества Советского Союза и в связи с semiидесителем со дня рождения генерального секретаря ЦК КПСС, Героя Советского Союза, Героя Социалистического Труда товарища Брежнева Леонида Ильича орденом Ленина и второй медалью «Золотая Звезда» Героя Советского Союза.

Председатель Председума Верховного Совета СССР Н. ПОДГОРНЫЙ.
Секретарь Председума Верховного Совета СССР М. ГЕОРГАДЗЕ.

Москва, Кремль, 18 декабря 1976 г.

В номере:

2 Всенародная забота о сельской школе
4 В. Ефремович. Пространство и внутренняя геометрия поверхностей
10 С. Шамаш, Э. Эвенчик. Цикл Карно

Лаборатория «Кванта»
18 В. Майер, Р.-Э. Шафир. Струйный авторенатор звука

Математический практикум
20 В. Вавилов. Шарнирные механизмы. Кривые Уатта

Задачик «Кванта»
26 Задачи М421—М425; Ф433—Ф437
28 Решения задачи М379, М381—М384; Ф387—Ф392

По страницам школьных учебников
36 А. Земляков, В. Ивлев. 17 задач по анализу

«Квант» для младших школьников
40 Задачи
41 Ю. Горст. На рыбале

Практикум абитуриента
43 Г. Дорофеев, Н. Розов. Перiodичность и неперiodичность функций
48 Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Рецензии, библиография
50 И. Клумова. Задачи и олимпиды

Информация
52 Ж. Раббот. Всегоизная заочная математическая школа
53 А. Кирьянов, А. Кутасов, Т. Чугунова. Зоочная физико-техническая школа
56 А. Колмодоров, В. Вавилов. Физико-mатематическая школа-интернат при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова
58 И. Наслузов. Голубой экран — абитуриенту-77

Новости научки
60 Л. Беве. Любая карта может быть раскрашена в четыре цвета
61 Ответы, указания, решения
Смесь (с. 24; 25; 39; 42; 59)

© Главная редакция физико-mатематической литературы издательства «Наука», 1977.

2

Всенародная работа
о сельской школе

Сельская общеобразовательная школа имеет важное значение в решении задач, поставленных XXV съездом КПСС в области социально-экономического и культурного строительства. Ведь в сельских школах занимается около половины всех учащихся страны.

Конкретные пути развития школьного образования на селе намечень Постановлением ЦК КПСС и Совета Министров СССР «О мерах по дальнейшему лучшению условий работы сельской общеобразовательной школи». В нем содержится общая программа строительства новых и расширения имеющихся школьных зданий и интернатов в сельской местности, укрепления учебно-materialной базы сельских школ, обеспечения их квалифицированными педагогическими кадрами, совершенствования форм и методов обучения и воспитания сельской школьной молодежи.

Летом 1976 года по инициативе Министерства просвещения СССР, ЦК ВЛКСМ и ЦК профессионза работников просвещения, высшей школьи и научных учреждений началось Всесоюзное социальстическое совершенование за лучшие условия условий работы сельской общеобразовательной школи. Итоги этого совершенования, в котором участвует учреждения системы Министерства просвещения СССР сельских районов, будут подводиться ежегодно в сентябре. Журнал «Квант» привелствует развертывание этого совершенования и сделает все возможности, чтобы помощь его учасникам в совершенствовании обучения сельских школьников математике и физике.

Научно-технический прогресс предъявляет особенно высокие требования к подготовке молодежи — как в городе, так и в деревне. Сегодняшие старшеклассники завтра придут на заводы и поля, на стройки и предприятиях транспорта, в научные laboratories и учреждения культурны, будут своим трудом превращать в реальность градинозные планы десятий пятилетки. Для того, чтобы этот труд был эффективным и творческим, нужно уже сейчас, на школьной смыть, упорно и настойчиво овладеть знаниями и трудовыми навыками.

Заботы сельской школьи стали по-настоящему кровным делом многих физиков и математиков. Отрадно отметить, что список научных учреждений и учебных заведений, тесно связанных со школьниками из cela, непрерывно растет, а формы такой связи весна разнообразны. Учены, преподаватели вузов, научные работники, студенты стремиться обеспечить сельским школьником широкое воздействие для углубленного изучения математики и физики.

Сотни популяриных книг и брошюр по математике и физике написаны известными учеными. Эти книги составили золотой фонд научно-популярной и учебной литературы для юношества и хорошего известны школьником во всех уголках нашей необходимости. Все больше сельских школьников вовлекают в юношеские научные общества, участвуют в

3

традиционные физические и математические описания. Широкое распространение получили летние школьные лагеря, где юноши и девушки сочетают активный отдельс с продуктивными занятыми людьми предметом под руководством студентов и молодых ученых. Для талантливой молодежи из сельской местности открыты специальные физико-математические школы-интернаты в ряде городов страны. Десяты тысяч школьников, проживающих в сельхах, рабочих поселках, небольших городах, вдали от научно-педагогических центров, систематически получают квалифицированное руководство вnekлассными занятыми по математике и физике в заочных предметных школах, созданных при университетах, технических и педагогических институтах. Эффективную помощь сельской молодежи оказывают заочные подготовительные курсы, организацией для поступающих многимиузами и техническими.

Редакционная коллекция и редакция журнала «Квант» также видят одну из основных своих задач в том, чтобы всемерно содержать повышенное качество знаний сельских школников по физике и математике, создать благоприятные условия для проживания и развития их интереса к этим наукам.

Публикуемые в журнале общее статья преследуют цель расширить кругозор юного читателя, в получяной доступной форме познакомить его с дополнительными главами математики и физики, с новейшими достижениями научки, рассказать о крупнейших ученых, раскрыть роль и место физики и математики в общей системе человекаских знаний и в практической деятельности человека. Материалы раздела «По страницам школьных учебников» признаны помочь школьнику, в том числе сельскому, лучше осмыслить узловые темы новых школьных программ, получить по ним дополнительную информацию. Раздел «Спрашивайте — ответаем» предназначен для ответов на вопросы, которые часто задают в своих письмах в редакцию школьники. Статы, помещаемые в разделах «Matематический кругок» и «Лаборатория «Кванта»», направлены на то, чтобы воспinitать у читателя вкус к самостоятельным развшилениями, исследованием, экспериментам. Любители сервисных развшилений всегда научут в разделе «Задачик «Кванта» интересные и разнообразные задачи — от относительной простых до довольно сложных. Большой интерес для школьников представляет раздел «Практику абитриента», позволяющий конкретно познакомиться с требованиями вступительных экзаменов вузы и техническими. Самые юные читатели находят занимаемые и вместе с тем содержательные материалы в разделе «Квант» для младших школьников».

Многочисленные письма учащихся и учитель сельских школ, поступающие в редакцию, свидетельствуют о том, что материалы журнала оказают большое влияние на классной иnekлассной работе, способствует углубленному изучению физики и математики сельских школниками. «Число читателей журнала «Квант» с каждым годом возрастает, — пишет в своем письме Турдали Мулдабеков, учитель из совхоза «Социальism» Ворошиловского района Сыр-Дарбинской области Узбескской ССР. — Очевидна причина этого: каждый человек, занимающий математикой и физикой, найдет на его страницах интересные материалы. Известно, что «Квант» — журнал для учащихся старших классов. Но и учитель, работающие в сельской местности, с интересом читают журнал и решают задачи и примеры, публикуемые в нем».

Редакция обращается к сельским школьникам с просьбой и приглашением чаще всего в журнал письма, сообщать свое мнение об опубликованных материалов, письвать конкретные вопросы, высказывать пожелания. Такие письма особенно важны для нас, либо только живая образная связь с сельскими читателями позволяет журналу максимально удовлетворять их нужды и запросы.

4

В. Ефремович

ПРОСТРАНСТВО И ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

1. Наше пространство — каково оно?

Геометрия, которое мы изучаем в школе, — это эклидова геометрия. Но верно ли, что пространство, в котором мы живем, устройно именно так? Евклидово ли оно? Выполняются ли в нашем реальном пространстве аксиомы Евклида?

А как же иначе? Ведь аксиомы так оченьны: «Через две точки проходят только одна прямая»; «Каждая прямая бесконечна в обе стороны»; «Перpendикуляр и наклонная к одной прямой непресекаются» и т. д.

Кажется, все это так очевидно, что иначе и быть не может! Так и говорил знаменитый немецкий философ И. Кант: «Иначе мыслить нельзя!», то есть существуют истинны, познаваемые нами без всякого опыта — «априори». А в подтверждение существования таких «априорных» истин Кант приводил как раз геометрические аксиомы, как факты самоочевидные, обладающие несомненной достоинностью, независимые от всякого опыта. Но вот великий наш соотечественный Н. И. Лобачевский показал, что прекрасно можно мыслить иначе!

5

Он построил геометрию, в котором все аксиомы Евклида выполняются, кроме одной — третьей из приведенных выше*). Оказалось, что эта геометрия не только не хуже евклидовой, но в некоторых отношениях даже совершеннее ее, богатое.

А можно ли отказывать от других аксиом? Можно ли вообразить, что прямая имеет конечную длину? Разве не ясно, что она бесконечна? Но, позволяет, разве кто-нибуд уходил по прямой так далек, что убедился в ее бесконечности? Быть может, если мы уйдем по прямой очень-очень далек, то вдруг оказывается в исходной точке путьствия? «Какое нелепое предложение!» — верятно, подумали некоторые читатели. А между тем, именно так и произошло бы с человека, который, полагая, что Земля плоская, отправился бы в некотором направлении, страясь все время ити по кратчайшей линии (на сфере это — окружность «большого круга»); он думал бы, что идет по прямой, и вдруг пришел бы в начальную точку путьствия.

Быть может, мы только думаем, что прямая бесконечна, а она однажды оказется замкнутой линейной вроде окружности, только очень большой длины? Мало ли было чрезвычайно ясных вещея, которые потом оказались просто неверными. Ведь ясно же было (пока люди не знали, что Земля — шар), что вертикали строго параллельны, а бесконечь, что они пересекаются в центре Земли. Спутник Магеллана казалось, что если они будут аккуратно каждой день делать записи в судовом журнале, то, объехав вокруг света (то есть) вокруг Земли) и вернулись домой, они не ошибутся в счете дней. А все же оказалось, что один день пропал.

Есть всекие основания предложать, что нашей пространство устроено сложнее, чем думал Евклид. Как можно изучать пространство, отличное от «употребительного» (выражение Н. И. Лобачевского), очень хорошо показал сам Лобачевский, построив свою геометрию, поэтому для первого знакомства с «неевклидовым» пространствами часто выбирают геометрию Лобачевского. Мы же расскажем о более наглудных вещеях.

2. Внутренняя геометрия поверхностей

Obviously систематическое изучение геометрии начинают с пламетрии, то есть изучения фигур на плоскости. Можно изучать фигуры на какой-нибудь другой поверхности, например, на поверхности цилиндра, шара, эллипсоида.

Говоря «поверхность», мы обычно подразумеваем некоторую «пленку», как-то расположенную в пространстве. Однако, говоря «плокость», мы не пытаемся как-то вложить ее в окружающей пространство. Занимая «внутренняя геометрия» плоскости, мы изучаем свойства плоскости, отвлекаясь от всего, что находится вне нее, для нас плоскость становится как бы самостояльным миром; в этом смысле она сама может быть назван «пространством» (двух измерений).

Аналогично, изучая геометрию некоторой поверхности, полезно не пытается вложить ее в пространство, то есть не различать, скажем, плоскость, цилиндрическую поверхность, построенную на параболе, и двугранный угол (рис. 1) — они получаются друг из других изгибанием, не меняющим «внутренних свойств» этих поверхностей.

Чтобы лучше понять это определение, вообразим двумерное существующее «Кляксу», живущее в поверхности. Все, что может узнать «Клякса» об этой поверхности, изменяя гибким шнуром длины линей на поверхности, транспортиром — углы и т. д., и составляет внутреннюю геометрию поверхности. Для «Кляксы» весь мир свойства к поверхности, в котором она живет, и ничего реального для нее не этой поверхности нет!

Но оказывается, что для произвольной поверхности построить геометрию, вообще говоря, не просто — на этой поверхности может не найти даже конгруэнтных треугольников, а ведь именно на конгруэнтности треугольников основываются

6

Рис. 1.

первые доказательства в планиетрии!
Удобнее всего строить геометрию на поверхности «однородных» и «изotropных».

В школе вы изучали перемещения плоскости. Напомним, что перемещением плоскости называется отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния, то есть длины отрезков, соединяющих две точки. Аналогично перемещением поверхности называется отображение этой поверхности на себя, сохраняющее длины всех линей на ней. Такие отображения называются также изометриями. Подчеркием, что мы не определяем здесь понятие «длина линей»; вам достаточно представлять себе линей на поверхности как нитку, которое можно отделить от поверхности, приложить к «метру» и изменить ее длину.

Поверхность называется однородной, если для любых двух ее точки A и B можно указать изометрию поверхности, при котором точка A отображается в точку B. Это значит, что поверхность «однаково устроена около любой своей точки». Такова, например, поверхность бесконечного круглого цилиндра (рис. 2).

Поверхность называется изометриой в некоторой ее точке A, если какие бы два «направления» Am и An, исходящие из A, на ней ни взять (рис. 3), существует перемещение поверхности, при котором точка A остается на месте, а Am переходит в An. Например, любая поверхность braшения, пересекающая ось braшения в точке A, изотопна в A.

Поверхность называется изометриой, если она изotropна в каждой своей точке. Интересно, что изotropная поверхность всегда однородна.

Один из примеров изotropных поверхностей является плоскость; ниже мы рассмотрим еще один — сферу.

3. Геодезические линии

Рассмотрим между точками A и B на поверхности естественного названия длину кратчайшей линии, соединяющей эти точки и целиком лежащей на поверхности. Поэтому во внутренней геометрии любой поверхности особенно важны геодезические линии: они играют роль прямы. Эти линии определяются так: для любых двух неслишком удаленных друг от друга точек A, B такой линии ее кусок AB короче любой другой линии, соединяющей A с B и лежащей на поверхности.

Вот простой пример. Навернем (без растяжений и скатей) лист бу-

Рис. 2. Рис. 3.

7

Рис. 4.

маги на прямой круглый цилиндр. Прямы этого листа при таком изгибании даут геодезические трех родов: некоторые из них вовсе не изогнутся и лягут на образушие цилиндра; другие превращаются в окружности; наконец, третьи превращаются в винтовые линии (рис. 4). Только для геодезической 1-го рода любой ее отрезок будет кратчайшим на поверхности; для геодезических 2-го и 3-го родов только не сликом больше их отрезки будут действительно кратчайшими.

Такое же навертывание можно выполнить на конечскую поверхность; там некоторые геодезические будут сами себя пересекать! Проделяйте это.

Довольно просто исследовать геодезические на сфере. Оказывается, на сфере геодезических являются окружности большого кругга.

Докажем это. Предположим, что точки A и B на сфере радиуса R удалось соединить линейной M длины l и l = AB/k (k>1), где AB — дуга большого кругга. Разделим кривую M на n равных по длине частей (рис. 5), причем выберем n так, чтобылина l/n каждый полученной части была достаточно мала, а именно: чтобы в кругге радиуса R для любой хорды PQ длины, меньшей l/n, и стягиваемой его меньшей дуги выполнялась соответствие PQ<|PQ|·k (что это возможно при k>1, следует из определения длинокружности). Соединим соседние точки деления хордами и меньшими дугами больших кругов. Пусть длины этих дуг равны c1, c2, …, cn, а длины хорд d1, d2, …, dn. Телерь заметим, что c1 + c2 + … + cn ≥ AB = lk (доказите это самостояльно). Отсюда следует, что хотя бы для одной дуги, например, для дуги с номером i, l/n ≤ c_i/k.

Но c_i/k < d_i/k = d_i, то есть l/n < d_i, что невозможно, поскольку отрезок прямой — кратчайшая из линей, соединяющихся две точки.

Подобно тому как на плоскости из точки во все стороны выходит прямые, так и на сфере из любой ее точки по любому «направленно» выходитровно одна геодезическая. Для полосов таких геодезических будут тердины.

Телерь легко доказать, что даже маленький кусок сферического поверхности нельзя разогнуть (без растяжений и скатия, хотя бы и очень малых) в кусок плоскости. Для этого из какой-либо внутренней точки сферического кусака (прием ее за северный полос сферы) по тердианам отложим одну и ту же маленькую длину r (маленькую, чтобы не выйти за пределы кусака), тогда концевые точки образуют окружность; еелина l, понятно, будет меньше 2πr, потому что прямолинейный радиус этой окружности меньше r (ее «геодезического радиуса»). Между тем, если бы наш кусок сферы возможно было разогнуть на плоскость,лина окружности и ее геодезический радиус не изменился бы (ведь при изгибании ни одна длина не изменяется, поэтому

9

что слабая весма далекая туманность М.83 есть просто вид «сзади» на большую внегалактическую туманность М.31 в Андромede. Но эта гипотеза отпала, так как вскоре в астрономии стали доступны значительное большое расстояния, чем сумма расстояний до М.83 и М.31. Значит, если прямая замкнута и имеет конечную длину, то эта длина много большше.

Как и в планиетрии, на сфере решения задачи обычно сводится к расстоянию ряда треугольников. Сферический треугольник составлен из трех вершин, попарно соединенных кратчайшими дугами — это его стороны. Но на сфере существуют и двууедлыки, например, два полюса, соединенных двумя меридианами.

Докажем, что сумма углов сферического треугольника всегда большше π*). Для этого вычислим площадь S_{ABC} сферического треугольника ABC, если известны величины его углов Å, В, С (в радианах).

Для наглядности чертеж построим так, чтобы точка A попала в сверный полос сферы (рис. 7). Вычислим сначала площадь S_{AA’} двуугольника, который получится, если продолжить стороны AB и AC до взаимного пересечения в точке A’, диаметрально противоположной точке A. Пусть площадь всей сферической поверхности равна S. Ясно, что S_{AA’} = S·Å/2π (так как площадь двуугольника с углом в 2π, очень/no, равна S — это вся сфера). Таким же образом, продолжая стороны угла B, получим двуугольник с площадью S_{BB’} = S·Ê/2π, а угол C приведет нас двуугольнику с площадью S_{CC’} = S·Ê/2π. Продолжая стороны тех же углов в противоположные направления, получим дополнительные двуугольники таких же площадей. Какая часть сферы будет покрыта этим парами двуугольников? Ясно, что они покройот всю сферу, причем треугольники ABC и A’B’C’ будут покрыты трижды (для наглядности сделайте такое построение для треугольника ABC на плоскости!). Итак,

*) Велищной уела (или просто уелом) между двумя пересекающими кривыми называется угол между касательными к этим кривым, проведенными в точке пересечения кривых.

$$\frac{2S}{2\pi} \hat{A} + \frac{2S}{2\pi} \hat{B} + \frac{2S}{2\pi} \hat{C} = S + 4S_{ABC};$$

отсюда

$$S_{ABC} = \frac{S}{4\pi} (\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} - \pi).$$

Площадь треугольника оказывась проорциональной так называемому «сферическому избытку»

$$\varepsilon = \hat{A} + \hat{B} + \hat{C} - \pi.$$

Заметим, что числа S и S_{ABC} положительны, значит, положитель избыток ε, иначе говоря, сумма углов сферического треугольника всегда большше π.

Интересно, что на плоскости Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше π, а его площадь проорциональная «дефекту» δ = π—(Å + B + C).

В геометрии на сфере справедливые те же признаки равенства треугольников, что и в плоimetрии (по стороне и двум углам, по двум сторонам и углу между ними, по тем сторонам), но есть еще один: по трем углам — на сфере нет подобных треугольников! (Доказательства — те же, что и в плоimetрии.)

Уражнения

1 (с очень длинной «бородой»). Дан прямой угольный параллелипед размером 30×12×12. Найти кратчайший путь по его поверхности между точки A и A’, расположенными симметрично относительно центра параллелипеда на квадратных его гранах на средних вертикальных (для наглядности считаем грани 30×12 полом и потолком), точка A — на высоте 1 над полом, A’ — на 1 под полом. Многие, верятоно, потолопятся: «Длина кратчайшего пути равна 42!» Оdnako это неверно — есть путь заметно более короткий! Найдите его.

2. Краснойрск и Москва лежат почти на одной параллели (56° северной шипоты). Зная их долготу (93° и 38°) и радиус Земли (6370 км), узнать, насолько кратчайший путь короче пути вдоль параллели.

3. Доказать, что:

a) сумма углов Å1 + Å2 + … + Ån сферического n-угольника A1A2…An всегда большше, чем (n-2)π;

b) площадь сферического n-угольника A1A2…An проорциональная избытку ε = Å1 + Å2 + … + Ån — (n-2)π.

4. Доказать, что в сферическом треугольнике сумма длины сторон больше длины треугольника ABC на плоскости!

5. Доказать признак равенства сферических треугольников по трем сторонам.

10

Этот буровозому гномнику около семиосот лет.
В «молодости» он был своеобразным духовным домашнего очага. В фигурку наливал body и ставил ее на тлеющие углы. Вскоре изо рта гномика начinal вырываться пар. Фигурку помещали перед очагом так, чтобы струя пара была направлена в под печи. Так что гномик раздувал пламя в печи. Дырка в теле гномика является следствием «несястного случая».

Хотя эту фигурку можно считать просто забавной игрушкой, она несомненно представляется пример использования физического явления. Ведь иЛИЗЫ, и МАГНИТЫ, прежде чем стать научными инструментами, считались просто игрушками. А к обнаружению гироскопического эфекта привед обыкновенный игрушчный волчок.
В настоящее время этот гномик хранится в Венском музее истории искусств.

11

С древнейших времен люди пользовались внутренней энергии обладают моря и океаны*. Масса воды в мировом океане составляет около $10^{21}$ кк. Охлаждение ее только на 1 градус привело бы к выделению энергии порядка $10^{24}$ дж. Это в 100 000 000 раз больше всего энергии, вырабатываемой на земном шаре за год!

Казалось бы, энергетическая запасы на земном шаре почти безграничны. Однако внутреннюю энергию атмосферы и океанов не причисляют к энергетическим запасам. Это связано с особенностями использования этого вида энергии.

Для использования внутренней энергии тела нужно ее «отнять» у него. Это может быть осуществлено двумя способами — в процессе теплопередачи, когда тело отдает некоторое количество теплоты, или при совершении им работы.

Теплореduction пользовется например, в ряде технологических процессов, связанных с нагреванием тела, а также для обогрева помещений за счет внутренней энергии горячого пара или воды.

Но, как уже отмечалось, наиболее значение имеет использование внутренней энергии тела для совершения механической работы.

Механическая работа совершается лишь тогда, когда происходит упорядочение движения — перемещение тела. Внутренняя же энергия — это энергия беспорядочно (хаотическая) движущихся молекул. Следовательно, для того чтобы за счет внутренней энергии совершалась работа, необходимо найти способ, позволяющий «преобразовать» хаотическое движение молекул в упорядоченное движение какого-либо макросоппечского тела. А это задача не простая! Всякое упорядоченное движение тела в реальных условиях (при

$U = \frac{3}{2} \frac{m}{\mu} RT$

Нетрудно оценить каким огромным запасом внутренней энергии обладает окружающая Землю атмосфера, масса которой равна примерно $10^{18}$ кк.

*) Внутренняя энергия океана больше той, которая получается из приведенной выше формулы для внутренней энергии идеального газа, так как молекулы воды обладают еще и потенциальной энергейной взаимодействия.

12

наличи трения) «преобразуется» в беспорядочное движение молекул (тела нагреваются). Обратное же преобразованиеxaотическая движения молекул в упорядоченное требует специальных условий.

Такие условия могут быть созданы, например, при использовании цилиндра с поршнем. Веспорядочное движение молекул газа в цилиндре вызывает перемещение поршня. Цилиндр с поршнем составляет главную часть огнестрельного оружия. За счет внутренней энергии газов, возникших при сторании пороха в стволе (цилиндр), совершается механическая работа по перемещению снаряда (поршень).

Огнестрельное оружие, таким образом, является свеобразным тепловым двигателем. Но это не движатель непрерывного действия, который необходим для того, чтобы приводить в движение станки, генераторы на электростанциях, транспорт и т. д.

Для того чтобы двигатель работали непрерывно, необходимо, чтобы поршень после расшириния газа возвращался к каждой раз в исходное положение, и газ вновь мог расширяться. А для этого внешняя сила должна совершать работу по скатню газа в цилиндре. Если работа по скатнию, которая совершается внешней силой, равна работе, совершаемой газом при расширинии, то коэффициент полезного действия также двигатель, очевидно, равен нулю. Необходимо, чтобы работа была меньше работы расшириния газа.

Как известно, элементарная работа, совершаемая при изменении объема газа от значения $V_i$ до значения $V_i + \Delta V_i$, равна

$$A_i = p_i \Delta V_i.$$

Позному ясно, что для того чтобы работа внешней силы при скатни газа была меньше работы, совершаемой газом при расширинии, необходимо, чтобы каждому значению объема газа при скатни соответствовала меньше давление, чем при расширинии. Как известно, давление газа при одном и том же объеме тем меньше, чем ниже его температура. Значит, газ перед скатнем должен быть охлажден.

Казалось бы, охладить газ — задача простая. Например, можно для этого привести его в контакт с телами более низкой температуры. Но в этом случае энергияxaотическая движения молекул газа преобразуется в энергию такжеxaотическая движения других тел, и для совершения работы она будет потребна. Вот почему первые тепловые движения, в которых использятся этот способ охлаждения пара перед его скатнем, имеющиечайно низкий коэффициент полезного действия — до 5%. Очевидно, нужно было найти другой способ охлаждения газа.

Так потребности технически поставили перед научкой задачу исследовать работу тепловых двигателей и найти способы повышения эффективности их работы.

Процесс расшириния газа

Итак, внутренняя энергия, отпятая у нагретого тела при соприкосновении его с более холодным телом, совершенное бесполезона для совершения работы. Она лишь увеличивает энергиюxaотическая движения молекул холодного тела.

Позмоту, если мы хотим получить максимальный работу при расширинии газа, надо, чтобы газ в этом процессе не соррикался с телами, имеющими более низкую температуру.

Исключить контакт работы тела с более холодными телами можно двумя способами: поместить газ в сосуд, стенки которого сделаны из теплопроводующего материала, или подерживать постоянный контакт газа с телами, имеющими ту же температуру, что и он сам. Расмотрим оба способа.

Адиабатный процесс

Представим себе, что скатный газ находится в цилиндре с подвижным поршнем (рис. 1). Цилиндр и поршень сделаны из идеального теплопроводующего материала. В этих условиях газ будет расширяться и совершать некоторую работу $A$ без передачи теплы в окружающей среду ($Q = 0$). Такой процесс, при котором тепл-

13

передача исключена, называется адиабатным *).

Из первого закона термодинамики
$$Q = \Delta U + A^*$$
следует, что в адиабатном процессе
$$\Delta U = -A.$$

При расширении газа сны, с которых он действует на поршень, совершает положительное работу ($A > 0$), поэтому внутренняя энергия газа уменьшается ($\Delta U < 0$).

Мы видим, что при адиабатном расширении газа его внутренняя энергия уменьшается как раз на величины совершенной работы, то есть газ совершает максимальную работу, равную уменьшению его внутренней энергии. При этом происходит положение температуры. Легко доказать, что при адиабатном скатин газа его внутренняя энергия увеличивается за счет работы, совершенной над газом других телами.

Итак, при адиабатном скатин газа нагревается, а при расширении охладается. Вспомните, например, опыт с воспламенением ватки, смоечной эфиром, при резком скатин паров эфира в цилиндре. Охлаждением воздуха и водяных паров, содержащихся в нем, при адиабатном расширении объясняется образование облаков. Нагретий у поверхности Земли

*) Адиабатный процесс может присходить и в том случае, когда газ не находится в теплопроводной оболочке, но расширяется или скимается так быстро, что теплопередача не успевает присходить.

**) Напомним, что $Q$ — количество теплопроводной полученное системы, $\Delta U$ — изменение внутренней энергии, $A$ — работа, совершенная сны системы над внешними телами.

Рис. 1.

Рис. 2.

14

термическом процессе внутренняя энергия газа не меняется ($\Delta U = 0$). Тогда из первого закона термодинами следует, что

$$Q = A,$$

то есть при изотермическом расширении количество теплоты, полученное газом от источника энергии, равно совершенной работе.

Кроме рассмотренных, возможны самые различные процессы расширения газа. Но в аддабатном и изотермическом процессах наиболее полезно использовать внутренняя энергия для совершения работы. В этих процесах газ отдаем энергию мелам молко при совершении работы. В аддабатном процессе газ совершает работу за счет своего внутренней энергии, и эта энергия уменьшается. В изотермическом процессе газ совершает работу за счет внутренней энергии другого тела (источника энергии), от которого он получает неокоторое количество теплоты.

Циклические процессы

Do six поры рассматривают лишь однократные процессы расширения газа, которые прекращают, когда давление газа становится равным внешнему. Но для непрерывной работы двигается необходимое, чтобы процесс расширения газа повторяется периодически. А для этого надо, чтобы после расширения газа снова был скат, чтобы поршень вернулся в исходное положение и газ мог снова расшираться. Процессы, при которых работе тела периодически возвращается в начальное состояние, называют циклическими. Так что непрерывная работа теплового двигается состоит из повторяющихся циклов.

Из таких процессов должны состоять цикл, чтобы к. п. д. двигается был максимальным? Очевидно, он должен состоять из таких процессов, которые даут возможность совершать максимальную работу за счет количество теплоты, полученного от источника энергии, и внутренней энергии работы тела. Таким процессами является, как было выясnedо, изотермический и аддабатный. Поэтому при расширении и скатии газа должны быть использованы именно эти процессы, так как только они позволяют исключить контакт горячого тела с холодным, то есть исключить уменьшение энергии без совершения работы.

Впервые такой наболее совершенный циклический процесс был предложен замечательным французским физиком и инженером Сади Карно в 1824 г.

Карно прожил коротку жизни — всего 36 лет, но оставил яркий след в науке. В своей труде «Размышления о движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу», обеспечившем его имя, он заложил основы теории тепловых машин. По существу он был основоположником науки о тепловых явлениях — термодинамики.

Сади Карно искал пути решения актуальной для его времени задачи — установить принцип несовершенства тепловых машин и найти наиболее эффективного их использования.

Его труды — наболее яркий пример в истории физики взаимного влияния науки и техники.

Цикл Карно

Допустим, что скатый газ, имеющий температуру источника энергии $T_1$

15

(температура нагрева), нахождение в цилиндре, стенки и поршень которого сделаны из теплозоляционного материала, а дно — из материалов с высокой теплопроводностью. Объем, занимаемый газом, равен $V_1$.

Приведем цилиндр в контакт с нагреваемым газу возможность изготовления расширяться и совершать работу. Газ получает при этом от нагреваемого количества теплоты $Q$. Этот процесс графического изображения изготовления называется изготовой (кривая $ab$ на рисунке 3, а).

Далее газ должен быть скат, но, как уже было выясено, при более низкой температуре, то есть изотерма скатия должна быть ниже изотермы расшириния. Ведь только в этом случае работа скатия будет меньше работы расшириния. Но мы помним, что газ не следует охлаждать сопротивлением с более холодным телом, чтобы исключить теплопередачу без совершения работы. Сади Карно писал: «В телах, употребляемых для развития движущей силы теплла, не должны быть ни одного изменения температуры, произходшего не от изменения объема». Другими словами, температура работаю тела не должна изменяться без совершения теплами работы. Значит, остается единственная возможность — охлаждать газ, представив ему возможность расширяться адиабатно.

Позному изготовнический процесс расшириния не доводят до конца хода поршня в цилиндре. Когда объем газа становится равным некоторому значению $V_1'$,do цилиндра изолируют от нагреваемые; после этого газ расширяется адиабатно до объема $V_2$, соответствующего максимальной возможности ходу поршня в цилиндре (адиабата $bc$ на рисунке 3, б). При этом газ охлаждается до температуры $T_2$.

Теперь охлажденный газ можно изготовлением скатия при температуре $T_2$. Для этого его нужно привести в контакт с телом, имеющим ту же температуре $T_2$ (холодильник), и скатать газ внешней силой. Однако в этом процессе газ никакого невернется в первоначальное состояние — температура его $T_2$ будет все время меньше, чем $T_1$.

Рис. 3.

Позному изготовческое скатие доводят до некоторого промежуточного объема $V_2'$ (изотерма $cd$ на рисунке 3, е). При этом газ obtains холодильнику некоторое количество теплоты $Q_2$, равное совершению над ним работы скатия. После этого газ скани-

16

мают аднабатно до объема $V_1$, чтобы его температура вовь повыслась до $T_1$ (аднабата $da$ на рисунке 3, е). Теперь газ вернуляя полностью в первоначальное состояние, при котором объем его равен $V_1$, температура — $T_1$, давление — $p_1$, и цикл можно повторять вновь.

Итак, на участке $abc$ газ совершает работу ($A > 0$), а на участке $cda$ работа совершается над газом ($A < 0$). На участках $bc$ и $da$ совершение работы происходит только за счет изменения внутренней энергии газа. Поскольку $\Delta U_{bc} = -\Delta U_{da}$, то и $A_{bc} = -A_{da}$. Так что полная работа, совершаемая за цикл, определяется разносно работ, совершаемых на участках $ab$ и $cd$. Численное эта работа равна площади фигуры, ограниченной кривой цикла $abcd$ (рис. 3, е).

На участке $ab$ газ получает некоторое количество теплоты $Q_1$ от нагревателя с температурой $T_1$, а на участке $cd$ газ непреемно obtает при скатии количество теплоты $Q_2$ холодильнику с температурой $T_2$. Значит, в полезную работу фактически преобразуется только часть количества теплоты $Q_1$, полученной от нагревателя, равная $Q_1 - Q_2$. Поэтому к. п. д. цикла равен

$$\eta = \frac{Q_1 - Q_2}{Q_1}.$$

Если же газ не охлаждать перед скатием и, следовательно, не одавать некоторое количество теплоты более холодному телу, то полезная работа за цикл будет равна нулю. В этом состоянии особенно совершения механической работы тепловыми двигателями: невозможно все количество теплоты, полученное от нагревателя, преобразовать полностью в работу при циклическом процессе. Нензбежно приходится какую-то часть этого количества теплоты отделить третьему телу с более низкой температурой. Значит, для работы тепловыми машин недостаточно иметь только источник энергии (нагреватель) и рабочое тело. Необходимо еще третье тело с более низкой температурой (холодильник). Таким холодильником часто служит окружающая атмосфера. Для непрерывной работы любого теплового двигателя необходимо иметь нарезаватель, рабочое место и холодильник.

Итак, цикл Карно был на всех стадиях проведен таким образом, что нигде не было соприкосновения тела с различными температурами. Это исключающее возможность теплопередачи без совершения работы, то есть исключающее переход беспорядочного движения молекул одного тела в беспорядочное движение молекул других тел.

Как показал Сади Карно, коэффициент полезного действия идеального цикла может быть выражен через температуры нагревателя ($T_1$) и холодильника ($T_2$):

$$\eta = \frac{Q_1 - Q_2}{Q_1} = \frac{T_1 - T_2}{T_1},$$

или

$$\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}.$$

В результате движения не удалось осуществить цикл, состоящий из идеальных изотерм и аднабат. Дело в том, что процессы в двигателях проходят достаточно быстро, и изотермность процессов нарушается—понижение температуры в результате элементарного расширения «не успевает» скопперсировать повышем температуры за счет контакта с нагревателем. Материалы, из которых изготовливаются стены цилиндра и поршень, не могут быть идеальным изоляторами, как это необходимо для осуществления аднабатного процесса. Поэтому к. п. д. цикла, осуществляемого в результате движения, всегда меньше, чем к. п. д. цикла Карно (при одних и тех же температурах нагревателя и холодильников).

Вместе с тем рассмотрение идеального цикла Карно имеет огромное значение, так как оно указывает пути повышения к. п. д. тепловых двигателей. Из формулы (*) видно, что к. п. д. двигатель тем больше, чем выше температура нагревателя и чем ниже температура холодильника.

В современных двигателях обычно к. п. д. увеличит этот счет повышения температуры нагревателя. В мощных паровых турбинах в на-

17

стоящее время использует пар, температура которого достигает 600°С. В газовых трубках температура газа достигает 900°С. Дальнейшие повышение температуры нагреваеля ограничивается жаростойкостью материалов, имеющих в настоящее время.

Ограничения, накладываемые на полное использование внутренней энергии для совершения механической работы в тепловых двигагательях, не вытекают из первого закона термодинамики. Этот закон «запрещает» лишь получение работы большей, чем затраченная энергия. Но если энергия нагреваеля уменьшилась, например, на 100 джоулей, и при этом тепловой двигагатель совершил работу 100 джоулей, то это не противоречило бы первому закону термодинамики. Однако, как было выясено, невозможен такой циклический процесс, при котором все количество тепломы, полученное от нагреваеля, идем на совершение работы. Незбежно неокоторая часть этого количества теплоты отделяется другим телам с более низкой температурой.

Указанные выше ограничения на совершение непрерывной работы в циклических процесах за счет внутренней энергии составляют содержание другого важнейшего закона природы — второго закона термодинамики.

Особенно использование внутренней энергии позволяет понять, почему неокотые источники энергии, находящиеся вокруг нас, бесполезны. Очевидно, не может быть использована энергия таких тел, температура которых равна температуре окружающей среды.

Насколько заманчивим казалось бы использование почти безгранничного запаса внутренней энергии, которая содержится в атмосфере и водах океанов! Однако для получения работы за счет этой энергии необходимо иметь столже гигантский холодильник, который принимал бы часть этого огромного количества теплоты и при этом не нагревался сам до температуры океана. Именно поэтому, как уже указывалось, энергия океанов не причисляют к энергетическим запасам на земном шаре.

Однако в настоящее время высказываются предложения о возможности использования разности температуры в глубинных и поверхностных слоях морей и океанов, хотя это и связано с огромными техническими трудностями.

У разженния

1. Чему равно изменение внутренней энергии киломоля идеального газа при его охлаждении на 20 градусов?
2. Какая энергия выделилась бы при охлаждении на 1 градус все массы воздуха, окружающей земной шар? Удельная тепломкость воздуха $c=10^3 \text{ km/кг.эрад}$.
3. Постройте график изображенного процесса по данным таблицы:

| $V, \lambda$ | 10 | 15 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $p, \text{атм}$ | 60 | 40 | 30 | 20 | 15 | 12,5 | 10 |

Пользовать этим графиком, определяйте работу газа при изменении его объема от 20 до 40 л.

4. На графике (рис. 4) изображены различные процессы изменения состояния газа: $AB_1, AB_2, AB_3$. При переходе из первого состояния ($A$) в одно из последующих ($B_1, B_2$ или $B_3$) газ получает неокоторая теплота. Совершает ли газ работу и изменяется ли его внутренняя энергия в каждом из этих процессов?

5. Восходящий от поверхности Земли поток воздуха представляет собой своеобразный тепловой двигагель. Укажите в нем основные части, присущение любому тепловому двигагелю.

Рис. 4.

18

Струйный авторенатор звука

Для проведения описанного ниже опыта вам понадобится, прежде всего, стеклянная трубка с небольшим отверстием. Конечно, вы можете воспользоваться обычной стеклянной пипеткой, но нетрудно и самим изготовить нужную трубку.

На пламени сухого горючего или газовой горлки растяните легкоплавную стеклянную трубку диаметром 4—6 мм так, чтобы образовавшаяся перегружка имела внутренний диаметр около 1 мм. Ребром напильника или надфиля аккуратно надпилите трубку посредние пергейжи и затем разломите ее. У вас получится две трубки с оттянутыми, как у пипетки, концами. Можно сделать и по-другому. Введите конец трубки в пламя и равномерно врашайте трубку так, чтобы конец ее стал оплавляться, а отверстие — затягиваться расплавлением стеклом. Когда внутренний диаметр оплавленного конца трубкистанет равным примерно 1 мм, трубку удалите из пламени и остудите.

Изготовленную стеклянную трубкуставьте в отверстие резиновый пробки, а пробку вденьте в резиновый шланг подходящero диаметра (рис. 1). Шланг соедините с краном водопровода и пустите по нему воду. При этом из отверстия стеклянной трубки будет быть тонкая водная струя, в которой можно выделить две области. Ближайшая к отверстию часть струи совершена и выгладит неподвижной, ниже струя

Рис. 1.

20

Вопрос распространенияму заблужению, значительная часть деятельности математика (или физика-теоретическа) является экпериментальной. Прежде чем что бы ни было доказать, математик траит много времени на то, чтобы, рассматривая разнообразные примеры и частные случаи, освободся с новыми объектами и отыскать закономерности, которые затем удассятся представить в виде «правильной задачи» или «теоремы». Только после большой работы, исписав горы бумаги конкретными вычислениями или исчертив ее графиками, математик принимается за решение астрактной математической задачи или за доказательство теоремы. Многие важные для практических приложений результаты математической науки также представляют собой не астрактные теоремы, а таблицы для расчетов, графики, схемы, программы для вычисления.

Этот «экспериментальной» части математики и посвящен наш новый раздел «Matематический практикум». Выполняя задания «Matематического практикума», вы научитесь по нескольким частным наблюданием нахождения общие закономерности, сможете, если tema задания вам понявится, разобраться в ней глубке и, возможно, сделайте первые самостоятельные открытия. Как правило, наши задания по математическому практикуму будут составлять из двух или нескольких ступеней: первый — проделать «эксперимент» (написовать несколько кривых или фигур, решить серий уравнение и т.п.), следующего — сформулировать общую задачу, написать общее уравнение изучаемого явления или процесса, одним словом, проверти неокоторое исследование.

В каждом нашем задании мы приводим конкретный образец, который нужно следовать и описываем план работы. Просим письма с выполненными заданиями письать в редакцию с пометкой «Мат. практикум». Графики и чертежи выполняйте на стандартных листах бумаги. Просим при пересылке не сворачивать листы в трубку. В письмо включите конверт с обратным адресом для ответа.

Большая часть заданий, которые начинается этот отдел, родилась в стенах физико-mатематической школи при МГУ.

В первом задании математического практикума решить поддет о некоторых кривых, рассматривашихся в прошлом в связи с трудной (по тем временам) и важной технической проблемой: как связать поршень с точкой maxового колеса дивигателя таким образом, чтобы вращение колеса сообщало поршню прямолинейное движение?

В. Вавилов

Шарниные механизмы. Кривые Уатта

«Хоть я и не особенно забочусь о clause, однako параллелограммом горячесь больше, чем каким-либо другим изобретением, сделанным много».
Дж. Уатт (из письма к сыну)

1. Шарниный механизм, изобранный на рисунке 1, был предложен Джемсом Уаттом в 1774 году *), когда он решал также проблему: как связать поршень с точкой maxового колеса, чтобы вращение колеса сообщало поршню прямолинейное движение? На рисунке 1 изобран так

*) Джемс Уатт (1736—1819) — выдающийся английский изобретатель. Работая механиком университета в Глазго, занимался усвоениемствованным паровых дивигателей.

называемый сокращенный параллелограмм Уатта: он состоит из двух стержней $O_1A_1$ и $O_2A_2$ одинаковой длины (коромысла и отводного радиуса), соединенных между собой при помощи шарниров стержней $A_1A_2$ (шатуном). Стержни $O_1A_1$ и $O_2A_2$ врашаются вокруг закрепленных точек $O_1$ и $O_2$, и, если позволяют длины стержней, можно получить целый ряд различных «крестообразных» фигур р (рис. 2, а, б).

Тщательно исследовав движение точки $M$ шатура $A_1A_2$, Уатт убедился, что средняя точка шатура $A_1A_2$ незначительно уклоняется от прямой линии, когда все системы в целом приходит в движение (рис. 3).

Трехвенник $O_1A_1A_2O_2$ обладает одним недостатком: расстояние между точки $O_1$ и $O_2$ (между осями вращений коромысла и отводного радиуса) должно быть довольно значительным, чтобы пригодная часть траектории (то есть часть кривой, мало отличующая от прямой линии) движения средней точки шатура была протяженной; это приводило к недопустимому увеличению размеров ма-

21

шинного отделения. Чтобы избежать этого, Уатт добавил пантографикае расширени и к трехзвенинику, получив полный паралелограмм (рис. 3; $|O_1A_1| = |O_2A_2| = |B_2A_2| = |B_1A_1|$, $|B_1B_2| = |A_1A_2|$, $|MA_1| = |MA_2|$, стержень $O_2B_2$ в точке $A_2$ не изгибается), после чего сам механизм и стали называть паралелограммой Уатма. В силу подобия треугольников $O_2A_2M$ и $O_2B_2B_1$ точки $O_2$, $M$ и $B_1$ всегда лежат на одной прямой. На том же основании $|O_2B_1|$ вдвое больше $|O_2M|$; следовательно, точка $B_1$ описывает траекторию, готовичную траекторию точки $M$, в удовлетворном масштабе. На практике лучшешение состояло в том, что поршень прикреплялся не в точке $M$ трехзвеника $O_1A_1A_2O_2$, а в точке $B_1$ — вершине паралелограмма $A_1B_1B_2A_2$; таким образом, Уатту удалось размеры механизма полностью согласовать с размерами объчного машинного отделения.

На рисунке 3 изображена замкнутая кривая, которую описывает точка $M$ (если движения трехзвеника не ограничивается); только дуга $MN$ этой кривой может использоваться в машине.

Шарнирыми механизмами много и плодотворно занимаются замечательный русский ученый Пафун Львович Чебышев (1821—1894). К ним он проявляет особую склонность с малых лет. Ими он не переставал занимается в течение всей жизни. Чебышев собственного изготовил много самых разнообразных шарнирных механизмов, среди них — лодка с гребным аппаратом, шагающий человек («сто-походящая машина») и другие замечательные вещи.

П. Л. Чебышева интересовали главным образом те механизмы, которые наиболее точно могли воспроизводить прямолинейное движение. В частности, он выясил, что в случае паралелограмма Уатта «самые хорошо» кривые получаются тогда, когда выполено соответствие $(2|O_1A_1|)^2 + |A_1A_2|^2 = |O_1O_2|^2$, которое означает, что должно существовать такое состояние механизма,

22

Когда $[O_1A_1] \perp [A_1A_2]$ и $[O_2A_2] \perp [A_1A_2]$.

Задачу отыскания точного прямолинейно-направляющего механизма ему, однako, разрешить не удалось. В 1864 году французский офицер Поселье изобрел аппарат, называющий инверсором (рис. 4), преобразовывающий врашательное движение в безукоризенное прямолинейное.

Задача (мрудная). Докажите, что если точка $B$ (см. рис. 4) описывает некоторую окружность, проходящую через точку $O$ (это можно добиться, добавив к инверсору сельмой стержень $O'B$ такой, что $|O'B| = |OO'|$, и точку $O'$ закрепить), то точка $M$ описывает прямую линию *).

Дальнейшие исследования показали, что с помощью шарнирных механизмов можно реализовать очень многоные кривые.

Отметим особо, что при изучении параллелограммов Уатта перед Чебышевым возникла следующая математическая задача: при каких соответствии длин стержней механизма Уатта функция, описывающая движение средней точки шатура, наименье всего отклоняется на заданном промежутке **) от линейной функции. Такая постановка вопроса послужила толчком к многочисленным теоретическим исследованием и созданию современной конструктивной теории функции.

2. Мы предложаем вам проследить за траекторий движения точек $M$ отрезка $A_1A_2$ (или неразрывно связанных с ним, см. ниже п. 3); эти траектории называются кривыми Уатма. Ограничивая расстоянием только симметрического случая ($|MA_1| = |MA_2|$), положим

$$|O_1O_2| = 2l, |A_1A_2| = 2d,$$

$$|O_1A_1| = |O_2A_2| = R.$$

*) См. «Квант», 1971, № 8, с. 27—28.
**) До Чебышева участок кривой $MN$ (см. рис. 3) сравнивали с касательной к этой кривой, проведенной в центральной точке. Если же нужно достигнуть хорошего приближения «между данных» пределами» (в нашем примере — между точками $M$ и $N$), то касательной следует пред讳честь некоторую другую прямую, «лучше» представляющую другую прямую $MN$, чем соответствующий отрезок касательной.

23

Рис. 7.

Точки $A_1$ и $A_2$ могут перемещаться по окружности радиуса $R$ с центрами $O_1$ и $O_2$. Заметим, что наиболее возможное значение расстояния $|A_1A_2|$ равно $2(l + R)$ (рис. 5,a), а наиболее равно $2(l - R)$ (при $l \geq R$) или $0$ (при $l \leq R$) (рис. 5,a, 6). Отсюда следует, что для существования механизма Уатта необходимо, чтобы параметры $d$, $R$ и $l$ удовлетворили неравенствам
$$l - R \leq d \leq l + R.$$
Мы будем говорить, что участок $M_1M_2$ кривой оплинается от отрезка прямои $[M_1M_2]$ не более, чем на $k\%$, если каждая точка $M$ этого участка кривой удалена от отрезка $M_1M_2$ на расстояние, не превысая величины $a_0 = \frac{k}{100}|M_1M_2|$ (имеется в виду длина перепределения из точки $M$ на отрезок $M_1M_2$; рис. 6).

Теперь все готовы для того, чтобы формировать задание математического практикума.

Задание
По параметрам $d$, $R$ и $l$ (см. таблицу) плоского шарнирного механизма Уатта:

Таблица

| $d$ | 4 | 4 | 1 | 1 | 2 | 1 | 1 | 4 | 13 | 3 | 2 | 4 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $R$ | 3 | 8 | 6 | 5 | 3 | 2 | 3 | 3 | 12 | 4 | 3 | 7 |
| $l$ | 5 | 5 | 5 | 2 | 2 | 1 | 1 | 2 | 5 | 2 | 1 | 2 |

24

Рис. 8.

3°. Если построенную кривой нужно «повернуть» на 90°, то в каждих точках $O_1$ и $O_2$ плоскости мы должны закрепить механизм?

4°. Прикните «на глаз» на чертежке, какой вид будет иметь кривая Уатта, если $3|MA_1| = |MA_2|$.

5°. Какой участок построенной кривой точка $M$ проходит быстрее (медленнее) всего? Как это можно доказать?

3. Данное задание может стать началом (мы надеемся, что так и будет) настоящего математического исследования (теоретического). Вот его возможности программы:

a) найти уравнение кривой Уатта (в декартовых и полярных координатах);

b) определить все возможные типы кривых Уатта в симметрическом случае. Под типом кривой мы понимаем ее форму. Оказывается, что различных траекторий существуют только 12 (соответствующие им значения параметров отражены в таблице).

b) какие типы кривых можно получить при помощи механизмов, показанных на рисунке 8?

Спищи и думай

Каждая буква здесь обозначает определенную цифру. Суммы чисел по любым вертикалям, горизонталям и диагоналям квадрата одинаковы. Восстановите запись чисел в клетках квадрата.

Л. Мочалов

Ребус

В двух примерах на сложение одинаковые цифры были заменены одинаковыми буквами, то, что получилось, изображено на рисунке. Попробуйте расшифровать примеры.

В. Акулии,
И. Акулии

25

Лемниската Бернулли

На первой и четвертой страницах обложки изображены положение кривые. На четвертой — лемнискатоны, или кривые Уамма (о них рассказывает статья В. Вавилова в этом номере — с. 20). На первой — лемниската Бернулли*). При определении соответствия параметров, задающих лемнискатони (l = d = R√2 в обозначениях статьи Вавилова), она распадается на лемнискату Бернулли и окружность.

Лемниската Бернулли — заменательная кривая, привлекательная enimание многих математиков. Определить ее можно по-разному.

Например, лемниската Бернулли является множество точек на плоскости, произведение расстояний каждой из которых от двух фиксированных точек F₁, F₂ равно (|F₁F₂|/2)².

*) Речь идет о Якобе Бернулли (1654—1705), выдающейся ученом-математике, автор работы, относящаяся, главным образом, к математическому анализу, геометрии и теории вероятностей. Семья Бернулли дала миру много выдающихся ученых, в том числе математиков. В истории науки учены из этой семьи с одинаковыми именами называют как королей — Даниил I, Иоганн 11, … «Лемниската» — греческое слово; лемнискатой в античной Греции называли ленточку, при помощи которого к голове победителя прикрепляли венок.

На первой странице обложки нарисована также знакомая вам гипербола, точнее, равносторонняя гипербола, асимптоты которого перепendикулярны). Если проделать преобразование инверсии (см. «Квант», 1971, № 8, с. 23) с центром в центре симметрики гиперболы относительно касающейся ее окружности, то гипербола перейдет в лемнискату.

Получить лемнискату с помощью этой же гиперболы можно и по-другому. Построим все окружности, произведение через центр симметрики гиперболы, с центрами на этой гиперболе. Кривая, касающаяся всех этих окружностей, и есть лемниската (именено это построение и приведено на обложке).

Вот еще один способ построения лемнискаты. В два квадрата (рис. 1) вписывается по окружности. Проводается всевозможные секущие через центр O и образуются всевозможные хорды окружностей LM’. Переносим эти хорды по лучам, которые они принадлежат так, чтобы каждая точка L попадала в точку O. Тогда можно точек M образует лемнискату.

Можно построить лемнискату и с помощью чертежных инструментов. Для этого проведем некоторые дополнительные построения на рисунке 1. Проведем NF параллельно OM, а также AC (где C — центр окружности).

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

сти) и NM перепendикулярно OM (рис. 2). Поскольку |OC| = 1/2 |OF|, то и |AC| = 1/2 |ED| = 1/2 |MN|. Кроме того, |LA| = 1/2 |LM’| = 1/2 × |OM|. Следовательно, треугольники LAC и OMN подобны. Длина отрезка |ON| = 2 |LC| = постоянна. На этом основан способ построения лемнискаты, показанный на рисунке 3. Здесь используются два угольника и окружность радиуса |QF|. Качет одного из угольников должен содержать отрезок NF. Точка M принадлежит лемнискате.

Постарайтесь доказать, что все описанные способы построения дают одну и ту же кривую.

В. Березин

26

Задачи
M421 — М425; Ф433 — Ф437

M421*. При каких натуральных $m$ и $n$ ($m < n$) можно закрасть некоторые клетки бесконечного листа клетчатой бумаги в черный цвет так, чтобы любой прямогольник размер $m \times n$ содержалровно одну черную клетку? Начните с более простой задачи: рассмотрите случай $m=2$ и $n=3, 4, 5$ (рис. 1).

С. Охитин, ученник 10 класса

M422. Разбейте произвольный треугольник на семь равноведренных треугольников, из которых три конгруэнтны между собой.

А. Хабелашвили

M423*. Докажите, что для любых действительных $x, y$ и $z$ выполнен неравенство
$(x^2 + y^2 - z^2)(x^2 + z^2 - y^2)(y^2 + z^2 - x^2) \leqslant (x + y - z)^2(x + z - y)^2(y + z - x)^2$.

Р. Шейчвит

M424. Через каждую вершину tetraэдра проведена плоскость, содержащая центр окружности, описанной около противоположной грани, и перпендикулярная противоположной грани. Докажите, что эти четыре плоскости пересекаются в одной точке.

А. Ягубьянц

M425*. Существует ли такое натуральное $N$, что каждое рациональное число между и единицей представляется в виде суммы $N$ чисел, обратных натуральным?

Ф433. Две одинаковые плоско-выпukлы линзы с фокусным расстоянием $F=20$ см каждый расположены на расстоянии 30 см друг от друга. Оптические оси линз совпадают, линзы обращены друг к другу плоскими сторонами. Где будет находиться изображение источника, находящого на расстоянии 40 см от левой линзы, если пространство между линзами заполнить стеклом с показателем преломления таким же, как у линз?

В начале каждого письма просим указывать ваше имя, фамилию, номер школа и класс, в котором выучите.

27

Ф434. Какое количество теплоты на сопротивлении $R$ при установлении равновесия после замыкания ключа $K$ (рис. 2), если конденсатор был предварительно заряжен до разности потенциалов $2U$? Э. д. с. источника $U$, емкость конденсатора $C$. Внутреннее сопротивление источника пребрежимо мало.

Ф435. В установке, показанной на рисунке 3, муфта $M$ прикреплена к двум одинаковым пружинам, коэффициенты жесткости которых $k=10 \text{ н/м}$. муфта без треня может скольнить по горизонтальном стержню $AB$. Установка вращается с постоянной угловой скоростью $\omega=4,4 \text{ rad/сек}$ вокуг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Найти перiod малых колебаний муфты. Масса муфты $m=0,2 \text{ ке}$.

При каком значении $\omega$ колебаний муфты не будет?

Ф436. Плотность газа, состоящего из смеси гелия и аргона, при давлении $152 \text{ кн/м}^2$ и температуре $27^\circ\text{C}$ равна $2,00 \text{ ке/м}^3$. Сколько.atомов гелия содержится в $1 \text{ cm}^3$ газовой смеси?

Ф437. Проволочная рамка, имеющая форму прямогоугольного треугольника с углом $\alpha=30^\circ$, помещена в вертикальной плоскости так, как показано на рисунке 4. По проводке могут без треня скольнить связанные друг с другом нитью два грузика с массами $m_1=0,1 \text{ ке}$ и $m_2=0,3 \text{ ке}$. Чему равно натяжение нити и угол $\beta$ в положении равновесия грузков? Является ли это равновесие устойчивым?

Решения задач
M379, M381 — M384; Ф387 — Ф392

М379. На каждом из нескольких кусков бумаги произвольной формы поставлена кляска (произвольной формы). Назовем промокашку подходящей для данного куска, если ее можно размешить внутри эмодю куска mak, что она закроет кляску. Пусть набор промокашек, имеющих форму кругов разных радиусов, обладает максимальным свойством: для произвольных двух данных кусков найдется промокашка, подходящая для каждой из них. Докажите, что модель в этом наборе найдется одна промокашка, подходящая для всех кусков.

Рассмотрим один куск бумаги. Пусть $p$ и $P$ — промокашки наименшшего и наиболее радиусов, подходящие для данного куска.

Докажем, что круглая промокашка $P$ любого промежутного радиуса — также подходящая для данного куска. (Заметим, что для промокашек другой формы, — например, для подбыхих прямогольников — аналогичное утверждение, вообще говоря, неверно.) Пусть кругги $p$ и $P$ расположены на куске так, что каждый из них закрывает кляску. Тогда кругг $P$ можно расположить так, что он будет содержаться в объединении и содержать пересечение $p$ и $P$ (рис. 1):

кляска $\subset (p \cap P) \subset \Pi \subset (p \cup P) \subset \text{кусок}$.

Докажем теперь утверждение задачи. Поставим в соответствии каждому из данных $n$ кусков отрезок $[r, R]$ числовой оси, где $r$ и $R$ — радиусы наименшней и наименшей подходящей для него промокашки. По условиям, любые два отрезка имеют общую точку.

Пусть $p$ — наибольший из левых концов этих отрезков; это число $p$, оченьindo, не меньше левого конца любого от-

28

резка и не больше наименьшего правого конца, то есть $\rho$ принадлежит всем $n$ отрезкам.

Число $\rho$ — радиус некоторой из наших промокашек. По доказанному, она будет подходящей для всех кусков.

В заключительной части решения мы использовали одномерный вариант теории. Хелл и для выпуклых фигур на плоскости: если какдые три из $n$ выпуклых фигур имеют общую точку, то и все $n$ фигур имеют общую точку — для выпуклых фигур на прямой, т. е. для отрезков, достаточно потребовать, чтобы любые два имели общую точку.

Н. Васильев

Решение задачи M380 будет опубликовано в следующем номере нашего журнала.

M381. 6 активистов класса образовательи 30 различных комиссии. Каждый две комиссии отличаются составом, но обязательно «пересекаются», то есть именом общего имена. Доказим, что можно образовать еще одну комиссию, пересекающую с каждой из этих 30 комиссии.

Рис. 1.

M382. Дан полином $f(x) = x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + \dots + a_n$ с целью коэффициентами и натуральные числа $k$ и $p$. Доказим, что если ни одно из чисел $f(k), f(k+1), \dots, f(k+p)$ не делится $p+1$, то уравнение $f(x) = 0$ не имеет рациональных корней.

Нетрудно показать, что у множества из $n$ элементовровно $2^n$ подмножества. В частности, из шести активистов в принципе можно было бы составить 64 комиссии (включая сюда и «пустую» комиссию).

Разобем все возможные 64 подмножества множества активистов на пары; в каждой паре — два непересекающихся подмножества $A$ и $A',$ объединение которых есть все это множества (рис. 2). Поскольку пар 32, а комиссия — 30, то в каждой нибудь паре оба подмножества не пусты и не является комиссиями. Рассмотрим одно из этих подмножества $A$. Если оно пересекается со всеми 30 комиссиями, то задача решения. Если оно с каждой нибудь комиссии $B$ не пересекается, то второе подмножество из выбранной пары $A$ содержит эту комиссию $B$, а раз $B$ пересекается со всеми остальные комиссиями, то рассматривается подмножество $A \supset B$ — тем более.

В заключение отметим, что больше, чем 32 комиссии, с соблюдением условий создания вообще нельзя (доказите!).

С. Фомин

Прежде всего заметим, что если уравнение $f(x) = 0$ имеет рациональный корень, то этот корень — целое число. В самом деле, пусть $p/q$, где $p$ и $q$ взаимно просты, — корень нашего уравнения. Тогда $p^n + a_1p^{n-1}q + a_2p^{n-2}q^2 + \dots + a_nq^n = 0$, откуда следует, что $p$ не взаимно прост с $q$.

Предположим теперь, что уравнение $f(x)$ есть целый корень $x_0 = m$, то есть $f(m) = 0$. Тогда по теореме Безу мы можем представить полином $f(x)$ в виде

$$f(x) = (x - m)g(x),$$

где $g(x)$ — полином с целыми коэффициентами.

Подставив в соответствии (*) вместе $x$ значения $k, k+1, \dots, k+p$, получим

$$f(k) = (k - m)g(k),$$

$$f(k+1) = (k+1 - m)g(k+1),$$

$$f(k+p) = (k+p - m)g(k+p).$$

Поскольку одно из $p+1$ последовательных целых чисел $k - m, k+1 - m, k+2 - m, \dots, k+p - m$ делится на $p+1$, то и одно из чисел $f(k), f(k+1), \dots, f(k+p)$ на $p+1$ делится. Из этого следует, что полином, о котором говорится в задаче, не имеет целых корней.

Т. Райков

29

М383. Пусть $a$ и $b$ – два натуральных числа. Доказим, что если $ab$ целно, то найдумся также натуральные числа $c$ и $d$, что $a^2 + b^2 + c^2 = d^2$, а если $ab$ не целно, то максим $c$ и $d$ найти нельзя.

Рис. 3.

М384. Два одинаково ориентированных квадрата $OABC$ и $OA_1B_1C_1$ имеем общую вершину $O$. Доказим, что прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ проходят через одну точку.

Рис. 4.

Ф387. Два bellосипедиса в цирке edум с одинаковыми линейными скорстями $v$ по окружностям радиусов $R_1$ и $R_2$, центры которых на расстоянии $l$ другом другом ($l < R_1 + R_2$). Один из bellосипедисмов движется по часовой стрелке, другой — против. Наименом описываемые скорстями bellосипедисмов (в системе координат, связанной с одним из них) в том момент, когда они оба находятся на линейные проходящие через центры окружности, в точках: а) $A_1$ и $A_2$; б) $A_1$ и $B_2$; с) $B_1$ и $B_2$; е) $B_1$ и $A_2$ (рис. 5).

1). Пусть $ab$ четно.

a) Если $a$ и $b$ разной четности (одно – четно, другое – нет), то $a^2 + b^2 = 2N + 1$. Положим тогда $c = N$, $d = N + 1$. Получим
$$d^2 - c^2 = (d + c)(d - c) = 2N + 1 = a^2 + b^2.$$

6. Если $a$ и $b$ оба четны, то $a^2 + b^2 = 4N$. В этом случае положим $d = N + 1$, $c = N - 1$. Тогда
   $$d^2 - c^2 = (d + c)(d - c) = 2N \cdot 2 = a^2 + b^2.$$

2). Пусть $ab$ нечетно: $ab = 2n + 1$. Тогда числа $a$ и $b$ – оба нечетные, а сумма их четна: $a + b = 2m$. Имеем:
$$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 4m^2 - 4n - 2,$$
то есть $a^2 + b^2$ делится на 2, но не делится на 4. Поэтому $a^2 + b^2 \neq d^2 - c^2$ ни при каких натуральных $c$ и $d$: если $c$ и $d$ одинаковой четности (оба четны или оба нечетны), то $d^2 - c^2 = (d + c)(d - c)$ делится на 4, а если $d$ и $c$ разной четности, то $d^2 - c^2$ не делится на 2.

М. Гервер

Наше решение показет, что аналогичное утверждение верно и для правильных $n$-угольников с общей вершиной, и вообще для подобных друг друга вписанных $n$-угольников $OAB \dots Z$ и $OA_1B_1 \dots Z_1$.

Опишем вокруг обихих $n$-угольников окружности. Пусть они пересекаются в точках $O$ и $L$ (рис. 3). Если прямая $l$, проходящая через $L$, равномерно вращается вокруг $L$ с угловой скорстью $\omega$, то вторые точки пересечения $M$ и $M_1$ прямой $l$ с той и другой окружностью движения каждой по своей окружности равномерно с угловой скорстью $2\omega$ (градиные величины друг $\overline{OM}$ и $\overline{OM}_1$ вдвое больше градусов величины $\widehat{MLO} = \widehat{M_1LO}$). Таким образом, точка $M_1$ проходит вершины $O$, $A_1$, $B_1$, …, $Z_1$ многоугольника $OA_1B_1 \dots Z_1$ как раз в те моменты времени, когда $M$ проходит, соответственно, вершины $O$, $A$, $B$, …, $Z$ многоугольника $OAB \dots Z$. Отсюда ясно, что все прямые $AA_1$, $BB_1$, …, $ZZ_1$ пересекаются в одной точке – точке $L$, второй точке пересечения окружностей, описанных вокруг вокруг $(рис. 4)$.

H. Васильев

В условии задачи дана скорость каждой вершины $O$, $A_1$, $B_1$, …, $Z_1$ многоугольника $OA_1B_1 \dots Z_1$ как раз в те моменты времени, когда $M$ проходит, соответственно, вершины $O$, $A$, $B$, …, $Z$ многоугольника $OAB \dots Z$. Отсюда ясно, что все прямые $AA_1$, $BB_1$, …, $ZZ_1$ пересекаются в одной точке – точке $L$, второй точке пересечения окружностей, описанных вокруг $(рис. 4)$.

В условии требуется найти относительное системе координат (связанной, например, с ареной цирка). Такую скорость принято назвать абсолитной скорстью.

По условию требуется найти относительное скорстия величинства его скорсть по относению к движущей системе координат, связанной с одним из них) в том момент, когда они оба находятся на линейные проходящие через центры окружности, в точках: а) $A_1$ и $A_2$; б) $A_1$ и $B_2$; с) $B_1$ и $B_2$; е) $B_1$ и $A_2$ (рис. 5).

30

ная скорость второго влосипедства в точке $A_2$ равна

$$\vec{v}_{\text{пер}}^{\text{отт}} = \omega \cdot O_1 A_2 = \frac{v}{R_1} (l + R_2),$$

а в точке $B_2$ —

$$\vec{v}_{\text{пер}}^{\text{отт}} = \omega \cdot O_1 B_2 = \frac{v}{R_1} (l - R_2).$$

В обеих точках переносные скорости перпендикулярны к пря-
мой $A_1 A_2$ и направлены в одну сторону (на рисунке 6 —
вверх).

Абсолютная, относительная и переносная скорости точки
связаны соотношением

$$\vec{v}_{\text{абс}} = \vec{v}_{\text{отт}} + \vec{v}_{\text{пер}},$$

то есть абсолютная скорость всегда равна векторной (гео-
метрической) сумме относительной и переносной скорости.
Следовательно,

$$\vec{v}_{\text{отт}} = \vec{v}_{\text{абс}} - \vec{v}_{\text{пер}}.$$

Найдем относительно скорость второго влосипедства, когда он находится в точке $A_2$. В этом случае абсолютная скорость равна по модели $$\vec{v}_{\text{абс}} = v$$ и направлена вниз (рис. 7), а переносная скорость по модели равна $$\vec{v}_{\text{пер}} = \frac{v}{R_1} (l + R_2)$$ и направлена вверх. Позетому

$$\vec{v}_{\text{отт}} = v + \frac{v}{R_1} (l + R_2) = v \frac{R_1 + R_2 + l}{R_1}.$$

Найравлена эта скорость вниз. Полученный результат не зависит от того, в какой точке в данной момент находится первый влосипедст.

В тот момент, когда вторый влосипедст находится в точке $B_2$, $$\vec{v}_{\text{абс}} = v, \quad \vec{v}_{\text{пер}} = \frac{v}{R_1} (l - R_2)$$ и обе скорости направлены одинаково (вверх на рисунке 7). Следовательно, в этот момент скорость второго влосипедства относительно первого равна по модели

$$\vec{v}_{\text{отт}} = v - \frac{v}{R_1} (l - R_2) = v \frac{R_1 + R_2 - l}{R_1}$$

и направлена вверх. Этот результат также не зависит от того, в какой точке в данной момент находится первый влосипедст.

Совершенно аналогичным образом определяется скорость первого влосипедства в системе координат, связанной со вторым. В точке $A_1$ она направлена вниз и равна по модели

$$\vec{v}_{\text{отт}} = v \frac{l + R_1 + R_2}{R_2},$$

а в точке $B_1$ относительная скорость направлена вверх и по модели равна

$$\vec{v}_{\text{отт}} = v \frac{R_1 + R_2 - l}{R_2}.$$

Ф388. В расположенном вертикальном цилиндре переменного секения (рис. 8) между поршнями находятся п моле воздуха. Массы поршней $m_1$ и $m_2$, их площади $S_1$ и $S_2$ соответственно. Порщи соедиены стержнем дины $l$ и находятся на одинаковых расстояниях от стыка ча-

32

Рис. 11.

на рисунке 10, можно заменить эквивалентными схемами, показанными на рисунке 12. При этом (рис. 12, а)
$$R_{AB} = R_{BC} = R + R_1 \text{ и } R_{AC} = 2R.$$

Рис. 12.

Сопротивления $R_{A'B'}$ и $R_{A'C'}$ найдем, последовательно заменяя одним сопротивлением несколько сопротивленный, включенных параллельно или последовательно. Для участика $A'B'$ (рис. 13)
$$R_{A'B'} = 2r + R^{***} = 2r + \frac{rR^{**}}{r + R^{**}} =$$
$$= 2r + \frac{r(R + R^*)}{r + R + R^*} = 2r + r \frac{R^2 + 2R_1R + R_1r + Rr}{(r + R)^2 + 2(r + R)R_1}.$$

При вычислении сопротивления $R_{A'C'}$ учтем, что точки $O$ и $E$ (рис. 14), благодаря симметрични цепи, имеют одинаковый потенциал, и поэтому сопротивление $R_1$ можно просто исключаить. В результате получим
$$R_{A'C'} = 2r + R' = 2r + \frac{2rR}{r + R}.$$
Так как $R_{AC} = R_{A'C'}$,
$$2R = 2r + \frac{2rR}{r + R},$$
откуда
$$R = \frac{1}{2}r(1 + \sqrt{5}).$$

Рис. 13.

35

l. Козффициент прения между dockой и цилиндрами k. Доказать, что если dockу, находящуюся в положении равновесия, следует молкуть в горизонтальном направлении, она будет совершать гармоничное колесанция, и найти перiod этих колебаний. Каким будет движение dockи, если изменить направление цилиндров на противоположное?

Рис. 17.

Рис. 18.

При вращении цилиндров в направлении, указанном в условиях, сила, приложенная со стороны левого цилиндра, направлена вправа, а со стороны правого цилиндра — влево (см. рис. 17). Если dockа находится в равновесии, то силы трения равны по modulo. Следовательно, равны и силы нормальной реакции каждой из цилиндров. Это означает, что центр тяжесте dockи при равновесии находится на одинаковом расстоянии от каждой из них.

Пусть теперь dockа смешена от своего положения равновесия на расстояние $x < l/2$, например, вправа (рис. 18).

В этом положении силы нормального давления $\vec{N}_1$ и $\vec{N}_2$ уже не будут равны друг другу, а потому не будут компенсировать друг друга и силы сухого трения $\vec{F}_1$ и $\vec{F}_2$. Результирующая сила $\vec{F}_1 + \vec{F}_2$ сообщит dockе горизонтальное ускорение.

Найдем его, вычислив предварительную $|\vec{N}_1|$ и $|\vec{N}_2|$ из условия отсутствия вертикального ускорения:

$$|\vec{N}_1| + |\vec{N}_2| - M |\vec{g}| = 0$$

и условия равенства нулю момент внешних сил относительной оси, проходящей через точку $B$:

$$|\vec{N}_2| \left( \frac{l}{2} - x \right) - |\vec{N}_1| \left( \frac{l}{2} + x \right) = 0.$$

Отсюда

$$|\vec{N}_1| = M |\vec{g}| \left( \frac{1}{2} - \frac{x}{l} \right), \quad |\vec{N}_2| = M |\vec{g}| \left( \frac{1}{2} + \frac{x}{l} \right).$$

Следовательно, процесс F результирующей силы на ось X, направленную вправа, равна

$$F = |\vec{F}_1| - |\vec{F}_2| = k |\vec{N}_1| - k |\vec{N}_2| = - \frac{2kM |\vec{g}|}{l} x.$$

Мы видим, что результирующая сила пропорциональна по modulo смешению $x$ dockи от положения равновесия и направлена в стороны, противоположную смешению, то есть к положению равновесия. Таким образом, эта сила является возвращающей силой, аналогичной той, которая возникает при колебании маятника. Следовательно, dockа совершает гармоничное колебания.

Перiod колебаний можно найти, записав уравнение движения dockи. Для проекций на ось X

$$Ma_x = - \frac{2kM |\vec{g}|}{l} x, \quad a_x = - \frac{2k |\vec{g}|}{l} x.$$

Модуль коэффициента пропорциональности между смешением и ускорением представляется собой квадрат циклического частоты колебаний:

$$\omega_0^2 = \frac{2k |\vec{g}|}{l}.$$

Перiod колебаний

$$T = \frac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{2k |\vec{g}|}}.$$

При изменении направления врашения цилиндров на противоположное результирующая горизонтальная сила также изменит свое направление. При смешении dockи эта сила не будет возвращаться ее к положению равновесия, а, наоборот, будет уводить тем больше, чем больше пероначальное смесение. В результате dockа сокочит с цилиндров.

Рассмотренный прибор впервые был предложен профессором Н. Е. Жуковским и носит его имя.

Б. Буховцев

36

17 задач
по анализу
(пределялы, непрерывность,
монotonность, производаная)

Приводимые ниже задачи адресованы девятиклассикам. Для их решения не нужно делать никаких вычислений: достаточно понимать соответствующие определения из учебника «Алгебра и начала аналiza 9» и их интерпретацию на графиках функций.

§ 1. Предельы функций (п. 38)

1. На рисунках 1, $a - \theta$ изображены графики функций $y = f(x)$, определенных при $x \neq 0$. Укажите:
   a) в каких случаях существует предел $\lim_{x \to 0} f(x)$ (и чему он равен);

6. в каких случаях предела $f(x)$ при $x \to 0$ не существует (и объясните, почему).

График на рисунке 1, $\theta$ — это бесконечнозвенная ломанная, точки излома которой имеют абсциссы $x = \pm 1/n$, где $n = 1, 2, 3, \dots$ (четным $n$ соответствует точки минимума, нечетным — точки максимума).

2. Функции $y = f(x)$, графики которых изображены на рисунках 2, $a - \theta$, определены при $x < 0$. Доппределите эти функции при $x > 0$ (достроите графики) так, чтобы для получения функций:
   a) существует предел $\lim_{x \to 0} f(x)$ (всегда ли так можно сделать? если нельзя, то объясните, почему);

6. не существует предела $\lim_{x \to 0} f(x)$ (всегда ли так можно сделать?).

Дайте не один, а, скажем, два или три разных способа построения графика (в тех случаях, когда требованием задачи можно удовлетворить).

§ 2. Непрерывность функций (п. 38)

3. Нарисуйте график всоду определенной функции $y = f(x)$, которая была не перерывна во всех точках $x$, кроме: a) $x = 100$; 6) $x = \pm 1$; b) $x = 1, 2, 3, 10$; г) $x = n$, где $n$ — произвольное целое число.

4. Среди функций, графики которых изображены на рисунках 3, $a - \theta$, указите те, которые не перерывны (разрывны) в точке $x = x_0$ или $x = x_1$.

5. Дорисуйте (желательно несколькими способами) графики на рисунках 4, $a - \theta$ так, чтобы получились графики всоду определенных и всоду непрерывных функций. Во всех ли случае это возможно?

§ 3. Монotonность функций

6. Функция $f$ всоду определенна и убивает на всей числовой оси. Может ли при этом функция $f$ быть:
   a) всоду положительной (то есть такой, что $f(x) > 0$ при любом $x$)?
   b) всоду отрицательной? в четной? г) нечетной? д) периодическая?

7. Укажите промежутки возрастания и убивания функций, графики которых изображены на рисунках 5, $a - \theta$.

8. Известно, что функция $f$ убивает на промежутках: a) $[0,1]$ и $[1,2]$; b) $[0,1]$ и $[1,2]$. Можно ли утверждать, что функция $f$ убивает:

1. на обеединении этих промежутков — на полуперверале $[0,2]$?
2. на «подпромежутке» $[0,1/2]$?

9. Нарисуйте график функций $y = f(x)$ так, чтобы она:
   a) убивала на промежутках $[-\infty, -2]$ и $[1,4]$ и возрастала на промежутках $[-2,1]$ и $[4, +\infty]$;
   b) возрастала на каждом промежутке вида $[n, n + 1]$, где $n$ — целое, но не возрастала на каждом промежутке длины большие единицы;
   b) возрастала на множество всех целых значений $x$ и убивала на множество всех остальных чисел.

Можно ли при этом «сделать» функцию $f$ всоду отрицательной?

39

§ 4. Экстремы функций

10. А) Нарисуйте график всюду определенной и всоду непрерывной функции так, чтобы у нее былоровно:
    a) 0, 6) 1, в) 2, г) 3, д) 10, е) бесконечно много — точек экстремума.
    Б) Можно ли при этом сделать так, чтобы все точки экстремума лежали на отрезке [0,1]?

11. Для функций, графики которых изображены на рисунках 6, a—з, указываете все точки максимума и минимума, если они есть.

§ 5. Производная

12. На рисунках 7, a—e изображены графики функций $y = f(x)$. В тех же системах координат (или же по д графикам функций $y = f(x)$) нарисуйте примерные графики произвольных $y = f'(x)$ (при тех значениях $x$, при которых произвольная существует; напомним, что в точках разрыва и в точках «излома» графика функции произвольной не существует).

13. По графикам произвольных $y = f'(x)$, изображенных на рисунках 8, a—e, воспользуйте примерные графики функций $y = f(x)$. Одна ли такая функция $f$ существует в каждой из случаем? Иными словами, не могут ли две различные функции иметь одну и ту же произвольную?

14. Можно ли утверждать, что:
    a) произвольная любой четной функции является 1) четной? 2) нечетной?
    b) произвольная любой нечетной функции является 1) нечетной? 2) четной?
    b) произвольная периодическая функция является периодической?

15. Может ли:
    a) произвольная всюду положительной функции быть: 1) всоду отрицательной? 2) всоду положительной?
    b) произвольная entiremente не периодической функции быть периодической?
    b) произвольная entiremente не периодической функции, не являющейся ни четной, ни нечетной, быть: 1) четной? 2) нечетной?

§ 6. Многочлены

16A) На рисунках 9, a—e изображены графики cubicских многочленов вида $y = ax^3 + bx + c$; масштаб не указаан. В каждом из случаемов произвольные знаки коэффициентов $a, b, c$.

Б) Могут ли эти графики быть графиками cubicских многочленов вида $y = ax^3 + bx^2 + c$?

17. Какую наименьшую степень могут иметь многочлены
    $P_n(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0$, если их графики выглядают так, как показано на рисунках 10, a—б?

Физики шутят

Однажды в гостях у голландского физика-теоретика Пауля Эренфеста собрались Нильс Бор, Вольфганг Паули и Абрам Федорович Иофе. Эренфест, Бор и Иофе расположились на диване, а Паули, по своему объIkновению, ходил по комнате из угла в угол. Немного погода Бор сказал ему:
— Персстань, пожалуйста, ходить! Это меня разражает!

— А что именно тебя разражает? Спросил Паули. Пока Бор обдумывал ответ, Эренфест, извстый своим остроумем, произнес:
— Его разражает, что ты возврашается.

40

Задания

1. В чемпонате мира среди профессионалов по крестикам-поликам на бесконечной клетчатой доске участвовали 10 игроков. Проигравший партию, потеряв надежду на главный приз, уезжал с чемпоната. Какое максимальное число участников могло выиграть по две партии? (В «крестиках-поликах» на бесконечной доске выиграет тот, кто поставит пять своих значков подряд по одной линии — вертикали, горизонтали или диагонали; ничных не бывают.)

2. Когда одного любителя головойомок спросили, отчето он так успешно решает задачи, то в ответ было написано

H:E=0, СТАРЕЮ СТАРЕЮ СТАРЕЮ

Попробуйте рашшфровать эту запись.

3. В этом примере на умножение (см. рисунок) одинаковыми буквами зашифрованны одинаковые цифры, разными — разные, вместе звездочек могут стоять любые цифры. Расшифруйте пример.

4. В неверном равенстве из спичек (см. рисунок) переложить одну спичку так, чтобы оно превращилось в верное.

41

Ранним юньским утром Коля, Петя и Вася отправились на рыбалку. Дорогой между ними завязалсянеторопливый разговор.
— Не вернутьсь бы нам с рыбалки с пустыми руками.
— А ты знаешь, это еще не самоое плохое. Недавно на уроке математики учительница рассказала нам, что один известный физик, решая в детстве на экзамене задачу о трех рыболовах, получил в ответе минутс две рыбы.
— Да, минутс две рыбы — это хуже нуля. А какая же задача была?
— Вот какая. При рыболова,аловив окуней, заночевали у реки. Ночью один из них проснулся и решил, не тревожка товаровшей, отправиться домой. Число подманных рыб не делилось на три, поэтому он одну из них выборил в воду, взял третью часть оставшихся рыб и ушел. Ночью проснулся и второй рыболов и, не зная, что первый уже ушел, тоже пересчитал рыб, одну выкинул, треть оставшихся взял себе и ушел. Точно так же поступил и третий рыболов, ничего не знающий об уходе своих товаровней. Спрашивается, сколько рыб поймали рыболовы.
— Интересная задача. Ну-ка, проверим ответ. Значит, подмали они «минус две» рыбы — на три, действительно, не делится. Первый рыболов одну рыб выбросил — стало «минус три» рыбы, теперь на три делится. Значит, «минус одну» рыбу рыболов взял себе, осталось… опять «минус две» рыбы. Ну, а дальше ясно: так же будет и у двух других рыболовов. Ты смотри, все получается. А как зовут этого физика?
— Вот забыл. Ты, Петя, случайно не запомнил?
— Запомнил. Поль Дирак. Он потом прославился тем, что предсказал существование античасти. Наверное, ему в этом помогло уменьшить отрицательные «решения»: ведь античастиа — это вроде «минус частицы».
Несколько минут ребята шли молча, затем разговор возобновился.
— В рыбаком деле многое зависит от удачи. Вот я — неверзучий во всем. Помните, была последняя контрольная по физике, так я тогда двойку получил. Ведь вы оба не лучшие меня все знали, а двоек избежали. Я и на рыбалке на успех не надеюсь.
— Это ты потому двойку получил, что Николай Геннадиевич тебе задачу на повторениеdal. А наш Иннокентный Петрович dal контрольную на то, что мы недавно проходили.

42

Вот и речка. Забросив удочки в воду, ребята стали внимательно следить за поплавками.
— Смотри, у тебя клюет.
— И правда. Так… так… Есть!
Гляньте, какой красавик этот окунек.
— Не говори так громко, всю рыбу распугаешь. Когда только ты научился шепотом говорить? И на уроках все время нам замечания: разговоры, разговоры… Ого, и у меня клюнуло. Тожде окунь!
С утра рыба kleевала хорошего, а затем, когда припекло солнце и kleев ослабел, ребята стали подсчитывать свой улов.
— Смотрите-ка, я больше всех рыбы поймал.
— Да у тебя рыба-то всё мелкая: один erшин да плотва.
— Это ничего, что у него рыба мелкая: из erwей как раз уха вкусная получается.
Покончив с подсчетами и искусственным ребята отправились домой. Настроение у всех было хорошо, но особенно был доволен Петя — он, новичок в рыбалке, наловил рыбы больше, чем заявленный рыболов Вася.

---

Вы прочитали этот рассказ? Тогда попробуйте ответить на два вопросы.

1. Как зовут васиного читмеля физики?
2. Каков наименьший (положимый!) объем в задане, который решал Дирак?

Квадраты
в квадрате

В квадрате 3×3 записаны цифры от 1 до 9. Переставьте эти цифры так, чтобы три образовательных трехначных числа были точными квадратами.

Звездочка

Каждая буква — некоторая цифра. А какая именно?

Ребусы

Поставьте вместе звездочек цифры так, чтобы получились правильно выполненые примеры на умножение.

Л. Мочалов

44

скки очевидным утверждением: если все перiodические функции обладают некоторым свойством, а данной функции этим свойством не обладает, то данной функции не является перiodической.

Конечно, для того чтобы этот охходной путь был эффективным, надо иметь набор общих свойств перiodических функций. Указем несколько таких свойств.

ШестЬ свойств periodических функций

I. Если точка $x_0$ принадлежит области определения periodической функции $f(x)$ с периодом $T$, то ее области определения принадлежат и все точки $x_0 + nT$, $n \in \mathbb{Z}$.

В частности, области определения periodической функции содержимое сколь уздно больше по абсолитной величины положительные и отрицательные числа.

Это свойство есть оченьследствие определения periodической функции. Отсюда, например, вытекает, что функция, заданная только на положительной полуоси $[0, \infty[$, не может быть periodической. Поэтому не является periodической, например, логарифмическая функция $y = \ln x$.

II. Перiodическая функция принимает какое свое значение в бесконечном числе значений аргумента, среди которых есть сколь уздно больше по абсолитной величины положительные и отрицательные числа.

В частности, periodическая функция не может быть возрастной или убивающей на все области определения.

Это свойство неедленно вытекает из равенства

$$f(x + nT) = f(x), \quad n \in \mathbb{Z},$$

справедливо для periodической функции $f(x)$ с периодом $T > 0$. Отсюда, например, следует, что функция, возрастющая на все числовой прямой, не может быть periodической.

Расссказывая о свойствх показательной функции $y = ax^x$, поступающие, как правило, не в состоянии доказать, что она не является perio-

дической. Между тем эта функция возвращает (при $a > 1$) или убивает (при $0 < a < 1$) на $R$ (что доказывает в учебнике), а потом неperiodическая.

III. Если $f(x)$ — periodическая функция, определенная на все числовой прямой, то уравнение

$$f(x + T) = f(x),$$

еде $T$ рассматривается как неизвестное, а $x$ — как параметр, имеем по крайней мере одно положительное решение $T = T_0$, удовлетворяющее сразу при всех значениях параметра $x \in R$.

Это свойство фактически представляет собой переформулировку определения: ведь если функция $f(x)$ — periodическая, то существует такое число $T_0 > 0$, что для любого $x \in R$

$$f(x + T_0) = f(x),$$

а это и означает, что число $T_0$ является корнем уравнения (2) для всякого значения параметра $x$.

С последним свойством связан следующий стандартный способ доказательства неперiodичности функций $f(x)$: если нам удается указывать также два значения аргумента $x = a$ и $x = b$, что уравнение

$$f(a + T) = f(a)$$

и

$$f(b + T) = f(b)$$

не имеет общего положительного решения $T = T_0$, то функция $f(x)$ не является periodической.

IV. Если для periodической функции $f(x)$ с периодом $T$ на некотором отрезке $[\alpha, \alpha + T]$ выполняено неравенство

$$|f(x)| \leq M,$$

то это неравенство выполняется и для любого значения аргумента.

В частности, для periodической функции $f(x)$, определенной на все числовой прямой, существует такое число $M > 0$, что неравенство (3) выполняется для всех $x \in R$.

Свойство IV вытекает из следующих рассужений. Пусть функция $f$ — periodическая с периодом $T$ и пусть неравенство (3) справедливо для $x \in [\alpha, \alpha + T]$. Тогда в силу равенства (1) это неравенство справедливо и на любом отрезке

45

[α+nT, α+(n+1)T], n ∈ Z. Однако любое значение аргумента принимают одному из таких отрезков.

V. Если перiodическая функция дифференцируема, то ее произведение — перiodическая функция с тем же периодом.

Это свойство доказывает так. Прежде всего из определений произвольной и периодической функции следует, что если периодическая функция f(x) с периодом T имеет произвольную f’(x) в некоторой точке x, то она имеет произвольную и в точке x + T. Другими словами, если x ∈ D(f’), то и x + T ∈ D(f’). Остатся убедиться, что

$$f'(x + T) = f'(x)$$

при x ∈ D(f’). Обозначим через g(x) функцию f(x + T) и рассмотрим ее как сложную функцию с «внутренней» функцией x + T и «внешней» функцией f(x). Тогда по формуле для произвольной сложной функции будем иметь

$$g'(x) = f'(x + T) \cdot (x + T)' = f'(x + T).$$

Но в силу периодности g(x) = f(x), так что

$$g'(x) = f'(x).$$

Из равенств (5) и (6) вытекает равенство (4). Таким образом, f’(x) — периодическая функция с периодом T.

VI. Если f(x) — периодическая функция, определяная на всей числовой прямой и опущная от постояной, то не существует предела функции f\left(\frac{1}{x}\right) при x → 0.

Это свойство можно получить из нетроих графических соображений. Пусть x стремится к нулю, оставаясь положительным; тогда выражение 1/x неограниченно возрастает. Так как периодическая функция f при возрастании аргумента «колебляется», то функция g(x) = f\left(\frac{1}{x}\right) «колебляется» в окрестности точки x = 0 и потому не имеет предела при x → 0.

Строое доказательство формулирования своего свойства проведем методом от противного. Допустим, что

$$\lim_{x \to 0} g(x) = A.$$

Сначала убедимся, что функция g(x) хотя бы в одной точке x > 0 принимает значение, отличное от A. В самом деле, если g(x) = A при любом x > 0, то f(x) = g\left(\frac{1}{x}\right) = A

при всех x > 0. Но тогда из периодичности функции f(x) следует, что f(x) постоянна на всех числовой прямой, а это противоречит условиям.

Следовательно, существует такая точка x₀ > 0, что

$$g(x₀) = \alpha \neq A.$$

Возьмем ε = \frac{1}{2} |A - \alpha| > 0. По определению предела из равенства (7) вытекает существование числа δ > 0 такое, что для любого x ≠ 0, удовлетворяющего неравенству |x| < δ, (8)

выполняется неравенство |g(x) - A| < ε. (9)

Однако для достаточно большого n ∈ Z число

$$x^* = \frac{x_0}{1 + nTx_0}$$

неравенству (8) удовлетворяет , а неравенству (9) при x = x не выполняется:

$$g(x^*) = g\left(\frac{x_0}{1 + nTx_0}\right) = f\left(\frac{1 + nTx_0}{x_0}\right) = f\left(\frac{1}{x_0}\right) = g(x_0) = \alpha,$$

и поэтому

$$|g(x^*) - A| = |\alpha - A| > \frac{1}{2} |\alpha - A| = \varepsilon.$$

Мы пришли к противоречию с равенством (7).

Примеры

Покажем теперь на несколько примерах, как можно использовать приведенные выше свойства периодических функций для доказательства неperiodичности конкретиной функции.

Пример 1. Доказать неperiodичность функций

$$f_1(x) = \cos \ln |x|; \quad f_2(x) = \sqrt{x(x - 1)}; \quad f_3(x) = \arcsin x.$$

Если бы функция f₁(x) была периодической с периодом T > 0, то, поскольку T ∈ D(f₁), по свойству

$$\frac{x_0}{1 + nTx_0} < \delta.$$

46

I выполняюсь бы условия
$$0 = T - T \in D(f_1),$$
что, очевидно, неверно.

Предположим, что функция $f_2(x)$ — периодическая с периодом $T$. Возьмем такое целое $n$, что
$$x^* = \frac{1}{2} + nT > 1.$$
Тогда $x^* \in D(f_2)$, и по свойству I
$$x^* - nT = \frac{1}{2} \in D(f_2),$$
что неверно.

Функция $f_3(x)$ определяна на отрезке $[-1,1]$ и, следовательно, не является периодической в силу свойства I.

Пример 2. Доказать неперiodичность функций
$$f_1(x) = \frac{3x^2 - x + 2}{x^2 + x + 1}, \quad f_2(x) = \cos x + \cos(x\sqrt{2}) + \cos(x\sqrt{3}),$$
$$f_3(x) = 2x - \cos x.$$
Уравнение
$$\frac{3x^2 - x + 2}{x^2 + x + 1} = a$$
(где $a \in \mathbb{R}$ может иметь, как легко видеть, не более двух корней. Поэтому функция $f_1(x)$ каждое значение принимает не более чем в двух точках и потому по свойству II не является периодической.

Функция $f_2(x)$ при $x = 0$ принимает значение 3. Решим уравнение
$$\cos x + \cos(x\sqrt{2}) + \cos(x\sqrt{3}) = 3.$$
(10)

Так как $|\cos t| \leq 1$, то уравнение (11) равносильно системе
$$\begin{cases} \cos x = 1, \\ \cos(x\sqrt{2}) = 1, \\ \cos(x\sqrt{3}) = 1. \end{cases}$$

Но первое уравнение системы удовлетворяется при $x = 2k\pi$, а второе—при $x = \frac{2n\pi}{\sqrt{2}}(k, n \in \mathbb{Z})$, как нетрудно убедиться, обе эти серии значений $x$ имеют лишь единственную общую точку $x = 0$, которая, очевидно, удовлетворяет и третьему уравнению системы. Следовательно, уравнение (10) имеет только один корень. Другими словами, функция $f_2(x)$ принимает значение 3 только один раз и по свойству II не является периодической.

Вычислом производную функция $f_3(x)$:
$$f_3'(x) = 2 + \sin x.$$
Мы видим, что $f_3'(x) > 0$ при любом $x \in \mathbb{R}$, и, следовательно, функция $f_3(x)$ — возрастющая на всей числовой прямой; по свойству II она не является периодической.

Пример 3. Выяснить, является ли периодическая функция
$$f(x) = \{x\} + \sin x.$$
Для решения этой задачи используем путь, связанный со свойством III. Предположим, что $f(x)$ — периодическая функция с периодом $T > 0$. Тогда при любом значении $x$ справедливо равенство
$$\{x + T\} + \sin(x + T) = \{x\} + \sin x.$$
В частности, при $x = 0$ отсутствие $\{T\} + \sin T = 0,$ (11) а при $x = -T$ получаем
$$0 = \{-T\} - \sin T.$$ (12)
Складывая равенства (11) и (12), мы приходим к равенству
$$\{T\} + \{-T\} = 0.$$
Вспомним, что дробная часть $\{x\}$ любого числа $x$ неприцательна. Поэтому последнее равенство возможно только если $\{T\} = \{-T\} = 0$, то есть если $T$ — целое число. Далее, если $\{T\} = 0$, то из равенства (11) следует, что $\sin T = 0$, то есть что $T = k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. Между тем число $k\pi$ при любом целом $k \neq 0$ не является целым числом, поскольку $\pi$ — irrationalное, и потому уравнения (11) и (12) имеют лишь один общий корень $T = 0$. Таким образом, функция $f(x)$ не является периодической.

Пример 4. Доказать неперiodичность функции
$$f(x) = 2x \cos(x^2).$$
Допустим, что функция $f(x)$ — периодическая и $T > 0$ — ее период. Так как $f(x)$ определяна на всей числовой прямой и $|f(x)| \leq 2T$ при $x \in [0, T]$, то согласно свойству IV при любом $x \in \mathbb{R}$
$$|f(x)| = |2x \cos(x^2)| \leq 2T.$$
Однако это неравенство не выполня-