Квант 1977, №4 · Страницы

КВАНМ 4
1977

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - MATEMATIЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

Приципп построения этого орнамента совсем прост: каждая сторона квадрата поделена на двеять равных частей и все точки деления попарно соединины отрезками друг с другом.
Постарейтесь ответить на ряд вопросов, относящихся к этому орнаменту. В скольких точках пересекаются отрезки внутри квадрата? Сколько точек пересечения, в которых пересекаются три отрезка, четые, пяты и т. д.? Сколько точек пересечения могут лежать на сторонах квадратов с вершинами в точках пересечения (найдите наиболее и наиболее числа)? Присутствуют ли другие правильные многоугольники на рисунке? Ждем ваших писем с ответами.

2

УСКОРИТЕЛИ

Л. Гольдин

Редколлегия журнала «Квант» уже давно просила меня написать статью об ускорителей. Я тянул с этим несколько лет. Нужно ли знать читателя журнала о почти военных хитростях, которые непрерывно применывают физики и инженерами для того, чтобы заставить работать эти колосальные, ни с чем не сравнимые сооружения: не слишком ли все это специально? Потом я все-tаки решился, поняв, что материал можно изложить так, чтобы читатель не только усоволл строение зоологического дерева ускорительного семейства, но ипочерпнул для себя сведения и идеи, которые ему всегда пригодятся. Наколько мне это удалось, скажут мои читатели.

Уже несколько десятилетий развините физики atomных ядер и физики элементарных частиц определяется тем, какие ускорители имеются в распоряжении ученых. И сегодня в этой каждой нового крупного ускорителя предшесят новые открытия и переместор основных теоретических положений. Для изучения глубин Вселенной строят гипотезные приборы. Многометровые зеркала оптических телекопов и растянувшиеся на километры антенны радиотелекопов ни у кого не вызывали удивления. Однако еще более крупные установки — огромные многоклиметровые ускорители — создают для изучения

6

Рассчитаем для примера, какой должа быть длина трубки дрейфа, в котором попадает протон с энергией 10 Мэв. Напишем формулу (2) в виде

$$K_n = \frac{m_0 c^2}{2} \left( \frac{v_n}{c} \right)^2.$$

Из этой формулы найдем

$$v_n = c \sqrt{\frac{2K_n}{m_0 c^2}}.$$

Подставляя $K_n = 10$ Мэв и $m_0 c^2 = 938$ Мэв, найдем $v_n = 0,146$ с=4,4×10⁷ м/секк. Мы видим, что при энергией 10 Мэв скорость протона всего в 7 раз меньше скорости света. При больших энергиях она еще выше.

Какую же длину должны иметь трубки дрейфа? С помощью формулы (4) найдем, что при частоте колебаний напряжения $f = 1/T = 100$ сцдлина трубки дрейфа, которое протон с энергией 10 Мэв, должна составлять $2,2 \cdot 10^5$ м=220 км, при частоте 1 Мцц — 22 м, при частоте 10 Мцц — 2,2 м. Все эти значения слищом велики. Чтобы получить это, достаточно вспомнить, что мы «конструировали» ускоритель на очень небольшую энергию 30 Мэв и печь-заки шла о 60 трубках дрейфа! Чтобы получить линейный ускоритель разумных размеров, нужно существенно более высокие частоты.

В протонных ускорительных выбирают общую частоту от 150 до 300 Мцц, а в электронных — еще выше. Для сравнения указываем, что длиновольные радиостанции работают на частотах порядка 200 кцц, диапазон средних волн лежит при частотах ~1 Мцц, а коротковольные радиостанции работают при частотах ~10 Мцц. Частота, с которой приходит менять потенциальы на трубках дрейфа линейного ускорителя, в 10÷20 раз выше, чем высота, на которой работают коротковольные радиостанции! При таких частотах волновые свойства полей оказываются очень существенно и даже выступают на первой план.

Заметим, что частотам 150÷300 Мцц соответствуют длины волн $\lambda = c/T = cf$ от 1 до 2 м. В этих условиях схема, изображенная на рисунке 2, оказывается очень низкой и не позволяет на первом радиоволнении, что часто полезно для вычисления мощности существенного протрансиве, но и в замкнутых объемах (которые принято называют резонантом). «Поведение» электромагнитных волн в резонантах очень похожие на поверхности звуковых волн. Вспомним (в качестве полезной аналогии), как происходит актические колебания в трубах органа. Музикант вызывает эти колебания, используя например, фуги Баха. Воздух, прохождение через трубку, раскачива-

7

ет языки, движение которых возникает в воздухе звуковые колебания.

В трубе можно возбудить не любые колебания, а только такие, на которые труба настроена. Настройка трубы определяется соответствием между ее длиной и длиной волны. В трубе, закрытой с обих торговом, можно возбудить только такие волны (стояние), для которых половина длины волны укладывает в трубе целое число раз. Чтобы исполнять на органе музыкальные произведения, нужно возбудить в трубах самые разные звуки. Orgанны содержат поэтому тысячи труб.

Аналогичным образом устанавливаются электромагнитные колебания в замкнутых металлических трубах. Длина трубы должна быть хорошо согласована с частотой электромагнитных колебаний, на которых она должна работать. В эту тщательно сделанную полированную изученную трубу — в резонантор линейногоускорителя — и помещают вдоль ее струбки дрейфа. Чтобы возбудить колебания, в трубу вводят излучатель — антенну или виток.

На рисунке 3 изображена картина с纵овых линей высокочастотного поля, которое создает в резонанте в некоторый момент времени. Стрелками изображены纵овые линей электрического поля. Силовые линей магнитного поля на рисунке не показаны. Они имеют вид колец, окружающих пучки линей электрического поля. Через половину перiode электромагнитных колебаний с纵овые линей изменят свое направление на обратное.

Напряжение электрического поля, создавемого в резонанте, максимальная около его оси и падает почти до нуля у стенок. Если бы это было не так, то электрическое поле создавало бы в стенках большие точки, которые приводили бы к нагреву стенок — к бесполезной затрате мощности. Поле такой конфигурации можно создать в трубе лишь в том случае, если ее диаметр согласован с длиной волны. Мы видим, что как длина, так и поперечные размеры резонанта должны подбираться очень тщательно.

Помещенные в резонантор трубки дрейфа несколько искажают картину электромагнитных колебаний. Внутри трубок возникает свободное от колебаний пространство, так как поле не может проникнуть сквозь их проводящие стенки. Поле вытесятся из трубок дрейфа вускорющие промежутки.

Приускорении частиц до очень больших энергий отпадает необходимость «пряятать» частицы в трубки дрейфа. Черезускоритель можно проускать обычные электромагнитные волны. Если скорость частицы близка к скорости света, то, попав на удачный участок волны, где вектор направленности электрического поля достигано величине направление, частица все время будетускориться.

《Очень большие》 энергии, о которых мы говорили, для разных частиц могут сливно отличаться друг от друга. Для протонов и других тяжелых частиц это энергии порядка многих тысяч Мэв. А для электронов энергия порядка нескольких Мэв является уже очень большей.

Ускорители, о которых мы сейчас говорили, называются ускорителями с бегущей волной. Большой линейныйускоритель с бегущей волной дляускорения электронов до энергии 2000 Мэв построен в физico-техническом институте АН УССР в Харькове.

8

Циклические ускорители

Линейные ускорители на большие энергии оказываются очень дорогими. Для примера указем, что линейный ускоритель электронов в Степфорде (США) на энергию 20 000 Мэв имеет длину более 3,5 км. На всем этом протяжении непрерывной через расположены уничкальные по мощности и очень дорогие высокочастотные станции.

Более экономным оказывается свернуть траекторию ускоряемых частиц в спираль или в колюцо, непрерывно возврашая их к одним и тем же ускоряющим станциям. Такие ускорители называются циклическими. Для исключения траектории применяются магнитные поля. Как ни дороги магниты, как ни велики расходы на электрозергию, необходимо для их питания, эти затраты с лихвой перекрываются экономей на высокочастотных устройствах.

Напишем несколько простых формул. Искривление траектории вызывается силой Лоренца, действующей на частицу со стороны магнитного поля. Эта сила, как известно, равна

$$F = evB,$$

где $e$ — заряд частицы, $v$ — ее скорость, а $B$ — индукция магнитного поля (предполагается, что направление $v$ переpendикулярно направлено $\vec{B}$). Сила Лоренца переpendикулярна как направлено магнитного поля, так и направлено скорости частицы. Она сообщает частицеzentроительное ускорение $a = \frac{v^2}{R}$, так что движение пропускит по кругу. Величина силы $F$ и радиус окружности связанны, как известно, формулой

$$F = \frac{mv^2}{R}.$$

Приравнивая правила части формул (5) и (6), найдем

$$evB = \frac{mv^2}{R},$$

или

$$p = mv = eBR,$$

где $p = mv$ — импульс частицы. Если понятно под массой релятивистскую массу частицы, определяемую формулой

$$m = m_0 \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}},$$

то соответствие (7) оказывается справедливым и при релятивистских энергиях.

Формула (7) показывает, что с индукцией магнитного поля и с размерами ускорителя простим соотношение связана не привчная нам энергия частицы, а ее импульс. Импульс и кинетическая энергия в релятивистской механике связаны довольно сложной формулой

$$p = \frac{1}{c} \sqrt{K(K + 2m_0c^2)}.$$

Под корнем этого выражения стоит величины, имеющая размерность квадрата энергии. Если умножить это выражение на $c$, то получим

$$pc = \sqrt{K(K + 2m_0c^2)}.$$

Эта формула показывает, что вместе импульса $p$ удобно рассматривать пропорциональную ему величины $pc$, имеющий размерность энергии ($pc$ принего измерять в электрон-вольтах). При $K \ll m_0c^2$ (нерелятивистский случай) это выражение переходит в знакомую формулу $p = \sqrt{2m_0K}$, а при $K \gg m_0c^2$ (большие энергии) имеем просто $pc = K$. В этих единицах формула (7) принимает знакомый всем физкам вид.

$$pc (\theta) = 3 \cdot 10^8 BR (m \cdot m).$$

При помощи формулы (9) можно оценить размеры циклических ускорителей. Магнитные поля всегда строятся выбирать последнее, чтобы ускоритель меньше размеров и веса. Но при индукции $2m \lambda$ железо, из которого делают электромагниты, насыщается. Поэтому получать более сильные поля в ускорительных схеме магнитопроводами не удалось. В вакуумной камере ускорителя индукция поля обычно не преосходит 1,6 $m \lambda$. Объчно в ускорительных механиках приходится поставлять промежутки, необходимые для размещения ускоряющих станций, корректирующих устройств, аппаратуры для ввода и вывода частиц и т. д. В результате этого среднее значение $|\vec{B}|$ оказывается еще

9

ниже — около 1,2 мл. Подставляя в формулу (9) $B=1,2$ мл, найдем

$$R \approx 3 \cdot 10^{-9} \text{ pc.}$$

Приведем некоторые оценки для протонов. Для ускорения протонов до энергии 20 Мэв (pc=200 Мэв) необходимо ускорить с радиусом $R \approx 60$ см. При энергии 600 Мэв (pc=1200 Мэв) $R \approx 3,6$ м. При ускорении до 10 Гэв * (pc=11 Гэв) $R=30$ м (ускоритель Института теоретической и экспериментальной физики в Москве, ускоритель Лаборатории высоких энергий в Дубне). При энергии 70 Гэв (Серпуховский ускоритель) $R \approx 200$ м, а при энергии 500 Гэв (ускоритель Лаборатории имени Ферми, США) $R \approx 1,5$ км. Эти оценки определяют масштаб сооружений и ставят жесткие экономические преграды на пути повышения предельной энергии ускорителей. Размеры, а вместе с ними и стоимость циклических ускорителей в конце концов определяются просто магнитными свойствами железа.

Возможен ли здесь какой-либо прогресс? Предельные индекции, достижимые при использовании различных ферромагнетиков, очень близки друг к другу, так что надяется на изобретение сплава с существенно большей индекцией насыщения не приходит. Единственным реализим путем является отказ от обычных магнитов и переход к магнитам на сверхпроводниках. При этом индекция может быть поднята в 2—3 раза. Как ни дороги сверхпроводники и как ни сложно работать с низкими темперами, ускорительная техника должна начать двигаться в эту сторону. Сооружение первого сверхпроводшего ускорителя уже осуществляется в Лаборатории имени Ферми.

Вернемся к формуле (9). По мере ускорения частиц их импульс $p$ увеличивается, а значит, должны возрастать либо радиус траектории $R$, либо индекция поля $B$. Проще всего, конечно, работать в постоянном магнитном поле. Traектория ускоремых частиц имеет в этом случае вид раскручивающейся спрали. Формула (10) определяет радиус ее наружного витка. Магнитные поля электронигаются имеют форму дискков, перекрывающих всю спраль. Так устройены циклотроны. Сделать сплошной магнитный полос радиусом 60 см или 3,6 м еще можно. Однако для ускорения протонов до энергии 10 Гэв необходимо полос радиусом около 30 м. Делать также сплошные полосы невозможно. Именено это обстоятельство ограничивает предельные энергии, доступаемые при помощи циклотронов.

В ускорителях на большие энергии магнитное поле создается только на узкой колцевой дорогже. Радиус $R$, по которым должны двигаться частицы, таким образом, задан, и траектория частиц в конце и в начале ускорения одна и та же. Увеличение импульса частиц должно при этом сопровождается возниканием магнитного поля. Ускорители с колцевым возрастанию во времени полем носят название синхромронов (магнитное поле возрастает синхронно с импульсом).

Циклотроны, фазотроны и микротроны

Циклотроны применяются для ускорения протонов и тяжелыхонов. Они были придуманы Дж. Лоуренсом. Схема устройства циклотрона изображана на рисунке 4. Магнитное поле, «заворачивающее» частицы, создается в зазоре между полосами электронигаента. В этот зазор помещается аккумулятор камера, наполняющий по форме гигантскую консервную банку. В вакуумной камере расположены электроны, между которых создается ускорящее электрическое поле. Они тоже похожи на консервную банку. Чтобы получить электроны, эту банку надо разрезать по диаметру и слегка развинуть половинки так, чтобы между ними образовалась щель. Каждый из половин и образует электрон. К ним подводится высокочастотное ускорящее напряжение. Как видно из рисунка 4, б, электроны направляются по форме латинского букву $D$. Они называются дуаннами. Шель между двумями выполняет функцию ускорящего промежутка.

Дуанты в циклотроне играют ту же роль, что и другие трубки в

10

Линейном ускоритель. Пока траектория частиц проходит внутри дуантов, они зашищены от действия электрического поля, а когда поле между дуантами прибретает нужное направление и величины, частицы вылетают в зазор, ускоряются в нем и вовь пручется внутри дуантов. Таким образом произходит ускорение.

От чего зависит период $T$ обращения частицы в циклотрене? Частца, движущаяся со скоростью $v$, проходит окружность радиуса $R$ за время $2\pi R/v$. Так как $v = \frac{eBR}{m}$ (см. (7)), то

$$T = 2\pi \frac{m}{eB}.$$ (11)

Перiod обращения определяется массой частицы и величиной индекции магнитного поля. При небольших энергиях вместе релятивистской массы $m$ можно подставлять массу покоя $m_0$. Если магнитное поле постоянно во всем промежутке между дуантами (плоские магнитные полosci), права часть равенства (11) превращается в константу и период обращения оказется постоянным. Этот результат имеет важнейшее значение. Частота питающего циклотрон высококастного напряжения неизменна, неизменен и период обращения частиц. Если частота выбрана правильно, то в течение всего цикла ускорения частицы возвращаются попадают в ускоряющий промежуток между дуантами и вовремя пручется внутри дуантов.

Частцы непрерывно вводятся в камеру циклотрона в близости от ее центра. Прибретая энергию, они раскручиваются по виткам спирали и покидат циклотрон. Пока они частицы заканчиваются цикл ускорения, другие находятся на середине пути, а третьи его еще только начинают. Вылетоющая из циклотрона «струя» ускоренных частиц состоит из следующих друг за другом сгустков частиц, пропающей их ускорющие промежутки в подходящие для ускорения моменты времени.

На странице 2 приведена фотографика циклотрона для ускорения многоэнергийной и который находится в Объединенном институте ядерных исследований в Дубне.

Обратимся к подводным камнем, которые пока ускоризули от нашейвининия. Главное затруднение связано с релятивистскими поправками. Заменять $m$ на $m_0$, как мы это делали до сих пор, можно только при необходимости для ускорения моменты времени.

На странице 2 приведена фотографика циклотрона для ускорения многоэнергийной и который находится в Объединенном институте ядерных исследований в Дубне.

Вернемся к формуле (11). Не первый взгладл не представляется труда обеспечить постоянство периода обращения и в этом случае. Масса частицы $m$ постепенно возрастает. Вместе с тем возрастает радиус описываемого витка спирали. Казалось бы, нетрудно обеспечить постоянство отношения $m/B$, а значит, и постоянство $T$. Для этого достаточно создать между полосами в циклотроне поле, индекция которого увеличивается бы от центра к периферии. Однако этот путь закрыт. Оказывается, что при такой форме магнитного поля движение частицы становится неустойчивым:

11

Даже при небольших отклонениях от средней горизонтальной плоскостиускоряемые частицы быстро уходятверх или вниз и ударятся о крышкидантов. Поэтому обычные циклотроны, в которых не принимается мердля компенсации эфективов, связанных с релятивистским возрастанием массы, могутускорять протоны толькодо небольших энергий — приблизительно до энергии 20 Мэв.

Второй путь заключится в том, чтобы примириться с тем, что период обращения частиц постепенно возрастает, и соответствен изменять периодускоряющего напряжения. Именно так чаще всего и поступают. При этом, однако, циклотрон уже не может работать непрерывно. В тот момент, когда период высокочастотного напряжения увеличился в соответствии с энергийускоряемых частиц, впускать новые частицы не имеет смысла — их период обращения не равен периоду изменения высокочастотного поля. Когда циклускоряющая закончен, частоту можно снова поднять и инжектировать новые частицы. Cyklotрон, таким образом, будет выделать отдельные порции или, как часто говорят, «плеевки»ускоряных частиц. Ускорители подобного типа строят до энергии порядка 1 Гэв (приускорении до больших энергий применяют колцевые машины). Такиеускорители называют фазомронами.

Есть и третий путь. Можно добиться того, чтобы период обращения не зависит от энергии частицы, услови-

Рис. 5.

Рис. 6.

нив форму ее траектории. Так поступают в изохронных циклотронах. Как мы выяснили, при круговой (или, точнее говоря, спиральной) форме траектории период обращения частиц возрастает с радиусом. Чтобы избежать этого, искусственно увеличим время движения частицы при малых энергиях. Это можно сделать, удалив траекторию, например, приведей вместе окружности форму многоугольника со скругленными углами. Traектории такого вида избражены на рисунке 5. По мере увеличения энергии частицы углы многоугольника все более скругляются, и траектория частицы приближается к круговой.

Чтобы заставить частицу двигаться по такой траектории, надо создать магнитное поле сложной конфигурации. Для этого электромагнит изохронного циклотрона делают из нескольких отдельных магнитов, расположихся на участках, где траектория должны скругляться. Полосы электромагнита имеют сложную форму (см. рисунок 6).

Указанный путь — при каждые его привлекательности — очень сложен. Но по нему приходит идти, если нужны большие интенсивности, а значит, не отдельные «плеевки», а добротная «струя»ускоряных частиц.

Заканчивая обзорускорителей, использующих постоянные во времени магнитные поля, скажем несколько слов о микромронах. Так называютсяускорители электронов, придуманные

12

в свое время академиком В. И. Векслером, затем незаслуженно забиты и, наконец, недавно вновь возвращенные к жизни. Траектории электронов в таких условиях имеют вид окружности, касающейся друг друга в одной точке, как это изображено на рисунке 7. В общей для всех окружностей точке помещен ускоряющий промежуток (резонатор). Пройдя через него очередной раз, частота ускоряется и переходит на следующую окружность. Другие электроны при этом движутся по предыдующим окружностям.

Для успешной работы микропрона необходимо, чтобы электроны приходили к ускорящему промежутку в тот момент, когда поле имеет нужное направление. Можно показать, что это условие выполняется, если частота при прохождения ускорящего промежутка прибретает энергию, равную (или кратную) ее энергии покоя $m_0 c^2$. (Этот расчет очень прост, и пользовably уже приведеныими нами формулами, читатель может сделать его самостоятельно.) Тогда каждый следующий виток траектории электроны будет проходить долше, чем предыдущий, на время, равное одному или несколько перiodам колебаний ускоряющего поля. И каждый раз он будет попадать в резонатор в тот момент, когда ускорящее поле будет направлено в нужную сторону.

Такие ускорители можно построить только для электронов, потому что для более тяжельых частиц необходимый прирост энергии оказывается фантастическим большим. А для ускорения электронов микропроны с успехом применяются и позволяют получить почты непрерывные лучки большой интенсивности.

Уражнения

1. В технике линейных ускорителей длину трубок древфа выражают не через период электромагнитных колебаний, а через длину их волны. При этом вместе с скорости частиц $v$ вводят относительно скорость $\beta = v/c$, где $c$ — скорость света. Получите соответствующее формулу.

$$E^2 = p^2 c^2 + m_0^2 c^4.$$

В этой формуле $E$ — полная энергия, равная $K + m_0 c^2$. Показите, что формула

$$p = \frac{1}{c} \sqrt{K (K + 2 m_0 c^2)},$$

которой мы пользовались, эквивалентна этому соответствию. (Напоминаем, что для протонов $m_0 c^2 = 938$ Мэв.)

3. Фазотрон в Дубне ускоряет протоны до энергии 680 Мэв. Во сколько раз должнася частота ускорящего высокочастотного поля за время ускорения? Считать, что магнитное поле от радуса не зависит.

4. Показите, что для успешной работы микропрона нужно, чтобы при каждом прохождении ускорящего промежутка частца прибретала энергию $m_0 c^2$ (или несколько $m_0 c^2$).

Задачи
наших читателей

1. Даны две окружности с радиусами $R$ и $r$. Их общие внутренние касательные взаимно перpendикулярны. Найти площадь треугольника, образованного этих касательными и общей внешней касательной к данным окружностям.

Ж. Лев (г. Черновцы)

2. Дана трапеция $ABCD$ с основанием $|AD|=a, |BC|=b$. Примая $l$ параллельна основанием и пересекает сторону $AB$ в точке $M$, сторону $CD$ в точке $N$, причем $(MC) \parallel (AN)$. Найти $S_{AMCN}:S_{ABCD}$.

В. Ленкарев (г. Луховиц)

3. Решите следующие уравнения $(xy - yz) = 1$; $(\frac{1}{x}) = 0,1 \ xx \ ...$;

$$xx \cdot yy = (x-1) xx (x-1).$$

И. Михалкович (Минская обл.)

4. Найти все действительные корни уравнения $1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \dots + 1977 x^{1976} = 0$.

П. Парамонов (г. Москва)

13

Цельные точки в многоугольниках и многогранниких

В этой статье мы будем занимать многоугольники, все вершины которых лежат в целых точках координатной плоскости — в узлах клетчатой бумаги. Пусть $F$ — такой многоугольник, а $S(F)$ — его площадь. Если $N(F)$ — число узлов, попавших внутри и на гранису многоугольника $F$, то $S(F) \approx N(F)$. Для $S(F)$ есть и точные формулы, например, формула Пика («Квант», 1974, № 12):

$$S(F) = N(F) - B(F)/2 - 1,$$

где $B(F)$ — число узлов, попавших на гранису $F$.

Формула Пика обладает одним недостатком: она не имеет прямого анализа в пространстве. Приведенный на рисунке 1 пример показывает, что объем $V(F)$ многогранника $F$ с вершинами в узлах кубического решетки нельзя выразить через $N(F)$ — число узлов, попавших внутри и на гранису $F$, и через $B(F)$ — число узлов, попавших на гранису $F$. Можно, однако, придумать похожие формулы, которые прекрасно обобщаются на пространственный случай.

В этой статье будет построена небольшая теория, которая позволяет уладать и доказать все мыслиные аналоги формулы Пика на плоскости и в пространстве *).

*) См. задачу М385, «Квант», 1976, № 5.

§ 1. Введение

Сколько решений имеет система уравнений

$$\begin{cases} P(x, y) = 0, \\ Q(x, y) = 0, \end{cases}$$

где $P$ и $Q$ — многочлены от $x, y$ с действительными коэффициентами?

Что ответить на этот вопрос, для каждой однолетена $x^m y^n$, входящero с ненулевым коэффициентом хотя бы в один из многочленов $P$ или $Q$, отметим на координатной плоскости точку с координатами $(m; n)$. Возьмем выпуклу оболочку отмещенных точки — наименьший выпуклый многоугольник, содержащий все отмещенные точки. Этот многоугольник называется многоугольником Ньютона *) системы (1). Его удобно рисовать на клетчатой бумаге.

Решив пару десятков системы вида (1), я стал подозревать, что справедлива такая

Теорема 1. Число ненулевых решений системы (1) либо бесконечно, либо не превосходит удовеной площади ее многоугольника Ньютона.

Рис. 1. $N(T_n) = 4$, $B(T_n) = 4$, $V(T_n) = n/6$.

14

(Решение $(x_0, y_0)$ называется ненулевым, если $x_0 \neq 0$ и $y_0 \neq 0$.) Пытаясь доказать теорему 1, я почти доказал, что справедлива похожая на нее

Теорема 2. Число ненулевых решений системы (1) либо бесконечно, либо не преосходит $N(2F) - 2N(F) + 1$, где $2F$ — многоугольник, полученный из $F$ расстоянием в два раза относительно начала координат (рис. 2).

Чтобы окончить довольно длиное доказательство теоремы 2, мне оставалось показать, что

a) для любого целочисленного многоугольника $F$ функция $N(nF)$ — многочлен второй степени от $n$ при целых $n \geq 0$ (я называю многоугольник целочисленным, если его вершины лежат в узлах).

Пытаясь понять, какая из теорем — 1 или 2 — сильнее, я убедился что

b) для любого целочисленного многоугольника

$$2S(F) = N(2F) - 2N(F) + 1,$$

т. е. теоремы 1 и 2 по существу совпадают.

Оказывается, что и a) и b) в два счета выводятся из формулы Пика.

Уражение 1. Выведите a) и b) из формулы Пика.

Задание 1. Сформируйте аналог теоремы 1 для системы уравнения $P(x, y, z) = Q(x, y, z) = R(x, y, z) = 0$ и аналог формулы b) для многоугольников. Приуманную формулу проверьте, глаяя на рисунок 3.

$$2S(F) = N(2F) - 2N(F) + 1$$

§ 2.

Мы начнем построение обещанной выше теории с того, что честно доказем эту простую формулу. Обозначим ее правую часть через $P(F)$. Покажем, что если целочисленный многоугольник $F$ разбит диагональю $I$ на многоугольники $F_1$ и $F_2$, для которых формула 6) верна, то она верна и для $F$. Действительно, так как $N(F) = N(F_1) + N(F_2) - N(I)$, то и $P(F) = P(F_1) + P(F_2) - P(I)$. Очевидно, что $S(F) = S(F_1) + S(F_2)$. Поэтому $2S(F) = 2S(F_1) + 2S(F_2) = -P(F_1) + P(F_2) = P(F) + P(I)$. Легко проверить непосредственно, что для любого целочисленного отрезка $I$ (т. е. отрезка, концы которого — целые точки) $P(I) = 0$. Значит, $2S(F) = P(F)$. Таким образом, из справедливости 6) для треугольников по индекции вытекает справедливость 6) для $n$-угольников: целочисленный четырехугольник можно разрезать на два целочисленных треугольника, пятуюугольник — на четырехугольник и треугольник и т. д.

Формулу 6) легко проверить непосредственно для прямоугольников, составленных из целых клеток (рис. 4). Возьмем «половинку» такого прямоугольника $F$ — прямоугольный треугольник $F_1$. Мы уже знаем, что $2S(F) = P(F)$. По симметрию $S(F_1) = S(F_2) = S(F)/2$ и $P(F_1) = P(F_2)$. Так как $P(I) = 0$, то $P(F) = 2P(F_1)$, откуда $2S(F_1) = P(F_1)$. Таким образом, формула 6) доказана нами

Рис 3. $N(F) = (p+1)(q+1)(r+1)$,
$B(F) = N(F) - (p-1)(q-1)(r-1)$,
$V(F) = pqr$.

15

Рис. 4 $N(F) = (p+1)(q+1)$, $N(2F) = (2p+1)(2q+1)$, $S(F) = pq$.

для прямогольных треугольников (с катетами, параллельными осями).

Произвольный целочисленный треугольник можно получить, последовательно отрезая от подходящого прямогольника прямогольные треугольники (рис. 5). Значит, формула 6) верна для любого целочисленного треугольника, что и оставалось доказать.

§ 3. Как мы будем обобщать рассужения из § 2

Для того, чтобы доказать другие формулы, например, формулу Пика, мы могли бы повторять рассужения § 2 и доказывать совпадение двух функций, определяемых на множество всех целочисленных многоугольников. В § 2 таких функций были 2S(F) и P(F) для доказательства формулы Пика мы взяли бы S(F) и N(F)—B(F)/2—1 и т. д. Такой подход плох по трем принимам. Во-первых — это очень скучно. Во-вторых — так можно доказывать уже угаданные формулы, но нельзя придумать новые. В третьих — действия таким образом, мы никогда не будем увеличены в том, что получили все интересные формулы.

В двух аксиоматического подхода, выработанного математкой XX века, мы постараемся сразу описать весь класс функций, к которым применены рассужения § 2. Для этого нужно хорошо проанализировать решение задачи 6). Стандартная схема такого анализа в нашем случае выглятит так:

Шаг 1. Нужно перечислить те свойства функций, определяемых на множество целочисленных многоугольников, которые используются при решении исходной задачи.

Шаг 2. Нужно изучить все функции, обладающие этим свойствами. (Мы назовем их удобными.)

Шаг 3. Нужно доказать критерий совпадения функций и описать все удобные функции. (Критерий должны быть простым, и его применение должно сразу решать исходную задачу.)

Шаг 4. Нужно применить полученный критерий для обобщения исходной задачи.

§ 4. Замечательные функции на множество плоских целочисленных функур

Одиним многоугольниками не обойтись

Читатель, верятоно, уже заметил, что в рассужениях § 2 встречались не только многоугольники, но и отрезки.

Оределение. Плоской целочисленной функции (или просто функций) мы будем назвать целую точку, целочисленный отрезок или целочисленный многоугольник. Множество всех плоских целочисленных функур обозначает Ф.

Мы будем рассматривать обрабатываемая Ф в множестве действительных чисел — функции на множестве Ф.

16

Рис. 6. «Перекос». $T(x, y) = (x+y; y);$
$T(1; 3) = (4; 3)$.
Каждая горизонтальная прямая $\{(x; y)|y=c\}$ под действием «перекоса» $T$ сдигается сма по себе на расстояние $c$. Каждая вертикальная прямая «перекашивается» подобно оси $y$, которая переходит в пунктарную прямую.

Шаг 1 — какие функции на Ф мы будем рассматривать.

Функцию $f$ на множество $\Phi$ будем называть addимивной, если она обладает следующим свойствам:

A) если целочисленные функции $F, F_1, F_2$ максимы, что $F = F_1 \cup F_2$, а $F_1 \cap F_2$ — мощка или отрезок, мо
$f(F) = f(F_1) + f(F_2) - f(F_1 \cap F_2)$.

Введем на плоскости координаты $x, y$. Допустимыми будем называть преобразования четырех типов:

1°. параллельные переносы на целочисленный вектор $(a; b)$: $T(x; y) = (x+a; y+b)$;
2°. симметрины: $T(x; y) = (\pm x; \pm y)$;
3°. перестановку координат: $T(x; y) = (y; x)$;
4°. «перекосы»: $T(x; y) = (x+ay; y)$, где $a$ — произвольное целое число (рис. 6).

Функция $f$ на множество $\Phi$ называется инвариантной относительной преобразования $T$, если для любой функции $F \in \Phi$ выполено равенство $f(TF) = f(F)$.

Функцию $f$ будем называть инвариантной, если она инвариантна относительно любого допустимого преобразования.

У разженние 2. Докажите, что функция $R$, принимающая на любой целой точке значение 0, на любом целочисленном отрезке значение 2, а на любом целочисленном $n$-угольнике — значение $n$, инвариантна, но не адитивна.

Основное определение. Функцию $f$ на множество $\Phi$ будем называть addимивной, если она адитивна и инвариантна.

Примеры удобных функций

Множество всех удобных функций на $\Phi$ мы обозначим через $Y$. Удобные функции существуют. Например, функция $E$, сопоставляющая каждой целочисленной функре число 1, является удобной. Очевидно, что функция $N$, сопоставляющая каждой целочисленной функре $F$ число $N(F)$, является удобной. Ясно, что функция $S$ — адитивна. Очевидно также, что $S(TF) = S(F)$ для любой функции $F$ и для любого допустимого преобразования $T$ типов $1^\circ - 3^\circ$. Интуитивно очевидная инвариантность функции $S$ относительно «перекосов» следует из принципа Кавальери (см. «Алгебра и начала анализа 10», п. 107). Значит, функция $S$ — удобная. Из уже известных удобных функций можно получить новые по следующему правилу.

У разженние 3. Для любой функции $F \in \Phi$ обозначим через $nF$ функру, полученную из $F$ растяжением в $n$ раз относительно начала координат. Докажите, что если $f \in Y$, то функция $f_n$, сопоставляющая каждой функре $F$ число $n(F)$, также является удобной.

В частности, функция $N_n$, сопоставляющая функре $F$ число $n(F)$, является удобной.

Задание 2. Докажите, что всякая удобная функция $f$ обладает следующим свойствам:

B) $f$ принимает одинаковое значение на всех целочисленных отрезках $I$ максим, что $N(I) = 2$.

Заметим, что выбор аксиом, описывающих множество удобных функций, является в значительной степени произвольным. Мы предложили такой набор аксиом, который легче всего обобщается на трехмерный случай; но можно было бы обойтись и меншшим числом аксиом. Вот пример.

Задание 3. Обозначим через $Y'$ множество адитивных функций, инвариантных относительно преобразования типа $1^\circ - 2^\circ$ и.addимых свойствам B). Докажите, что $Y' = Y$.

Эту задачу стоит решать после того, как будут найдены все удобные функции.

18

Рис 8. $F = F_1 \cup F_2$.

Еще один пример удобной функции
Можно ли применить основную теорему для доказательства формулы Пика? Беда в том, что функция $B$ определяна пока лишь на множество настоя щи и х целочисленных многоугольников. Как определять ее на отрезках и точках? Если мы хотим продолжить $B$ до удобной функции на Ф, то из рисунка 8 видно, что нам следует положить $B(I) = B(F_1) + B(F_2) - B(F)$, и из этого же рисунка ясно, что права часть этого равенства есть $2 + 2 \cdot (\text{число неконечных мочек отрезка } I)$. Наконец, если $X$ — точка, то по тем же причине нам следует положить $B(X) = 0$.

У права не ие 4 (устное). Докажите, что определяющая выше функция $B$ действительно является удобной.

Докажем теперь формулу Пика. Из определения функции $B$ вытекает, что вопросительный знак в шестой строке таблицы 1 можно заменить на $B$. Но выше мы выяснили, что эта строка соответствует функции $2N$ — $2E$—$2S$. Значит, по основной теореме, $N$—$E$—$B/2 = S$.

Вопрос — предстержение. Почему из равенства $\vec{R} = \vec{B}$, где $R$ — функция из управления 2, не вытекает, что $R = B$?

Шаг 4 — обобщаем формулу 6) и формулу Пика.

Пусть $e, f, g, h$ — четыре удобные функции, $e, f, g, h$ — соответствующее им четыре вектора в пространстве. Однако из них всегда можно представить как сумму трех других с действительными коэффициентами. По основной теореме то же верно и для исходных функций. Выбирая в качестве $e, f, g, h$ различные удобные функции (определенные чисто геометрические), мы будем получить новые геометрические формулы. Выразим, например, $B(F)$ через $N(F)$ и $N(2F)$. Возьмем четыре удобные функции $B, E, N, N_2$. Будем искать числа $c_1, c_2, c_3, c_4$ также, что $B = c_1E + c_2N + c_3N_2$. Эта задача свидетелься к решению следующей системы управления (см. таблицу 1):

$$\begin{cases} 0 = c_1 + c_2 + c_3, \\ 2 = c_1 + 2c_2 + 3c_3, \\ 3 = c_1 + 3c_2 + 6c_3. \end{cases}$$

Решая ее, получим $c_1 = -3, c_2 = 4, c_3 = -1$, т. е. $\vec{B} = 4\vec{N} - \vec{N}_2 - 3\vec{E}$. Значит, для любого целочисленного многоугольника $F$

$B(F) = 4N(F) - N(2F) - 3$.

У права не ие 4 (устное). Докажите, что определенная выше функция $B$ действительно является удобной.

§ 5. Замечательные функции на множество пространственных целочисленных функур

Целочисленной функцией (или просто фигурой) в трехмерном пространстве мы назовем целочисленную функцию, целочисленную отрезок, целочисленный многоугольник или целочисленный многоугольник. Множества целочисленных функур обозначим, как в двумерном случае, через $\Phi$.

Строое определение удобной функции на множество $\Phi$ мы даим в «Приложении». Сейчас для нас будет важно то, что функция $E, N, N_n, V$ оказывается удобным. Пусть $A_1, A_2, A_3, A_4$ — точки трехмерного пространства с координатами $(0; 0; 0), (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1)$. Пусть $X_1$ — точка $A_1, X_2$ — отрезок $A_1A_2, X_3$ — треугольник $A_1A_2A_3, X_4$ — тетрадр $A_1A_2A_3A_4$.

Каждай удобной функции $f$ сопоставим четырьмя чисел — ее значения на функрах $X_1, X_2, X_3, X_4$. Какие четырьмя получаются для известных нам функций $V, E, N, N_2, N_3$ показано в строках 1—5 таблицы 2.

Предположим еще, что для удобных функций на множество $\Phi$ справедливо обозначение основной теоремы из § 4:

Если $h$ — удобная функция на Ф, и $h(X_1) = h(X_2) = h(X_3) = h(X_4) = 0$, то функция $h$ есть точдействий нулы.

19

§ 6. Приложение

Доказательство основной теоремы.

Если $X$ — целая точка, то параллельным пересечением ее можно перевести в точку $X_1$. Поэтому $h(X) = h(X_1) = 0$.

Если $I$ — целочисленный отрезок и $N(I) = 2$, то согласно решению задачи 2 $h(I) = h(X_1) = 0$.

Если $N(I) > 2$, то разобем отрезок $I$ точкой $X$ на два отрезка $I_1$ и $I_2$ такие, что $N(I_1) < N(I)$, $N(I_2) < N(I)$. Согласно А), $h(I) = h(I_1) + h(I_2) - h(X) = h(I_1) + h(I_2)$. Приемняя индикцию, получаем, что $h(I) = 0$ для любого целочисленного треугольника $F$. Из свойства А) и рисунка 5 следует, что это равенство будет справедливо, если $h$ обращается в нуль на всех прямогольников со стороны, параллельными осем координат, параллельными осем координат.

Оказывается, если $h$ обращается в нуль на прямогольник со стороны, параллельными осем координат, параллельными осем координат, то $h$ обращается в нуль на прямогольник треугольника $F$. Из свойства А) и рисунка 5 следует, что это равенство будет справедливо, если $h$ обращается в нуль на всех прямогольников со стороны, параллельными осем координат, параллельными осем координат.

Оказывается, если $h$ обращается в нуль на прямогольник со стороны, параллельными осем координат, параллельными осем координат, то $h$ обращается в нуль на прямогольник треугольника $F$. Из свойства А) и рисунка 5 следует, что это равенство будет справедливо, если $h$ обращается в нуль на всех прямогольников со стороны, параллельными осем координат, параллельными осем координат.

Оказывается, если $h$ обращается в нуль на прямогольник со стороны, параллельными осем координат, параллельными осем координат, то $h$ обращается в нуль на прямогольник треугольника $F$. Из свойства А) и рисунка 5 следует, что это равенство будет справедливо, если $h$ обращается в нуль на всех прямогольников со стороны, параллельными осем координат, параллельными осем координат.

Пусть теперь $F$ — произвольный целочисленный многоугольник. Разбивая $F$ диагональю $I$ на два многоугольника $F_1$ и $F_2$ с меньшим, чем $y$, числом сторон, мы получаем, согласно А), что $h(F) = h(F_1) + h(F_2) - h(I) = h(F_1) + h(F_2)$. Приемняя индикцию, получаем, что достаточно доказать равенство $h(F) = 0$ для любого целочисленного треугольника $F$. Из свойства А) и рисунка 5 следует, что это равенство будет справедливо, если $h$ обращается в нуль на всех прямогольников со стороны, параллельными осем координат, параллельными осем координат.

Действительно, разобем такой прямогольник $F$ диагональю $I$ на треугольники $F_1$ и $F_2$. Тогда $h(F) = h(F_1) + h(F_2)$. Предположим, что $h(F) = 0$, тогда $h(F_1) + h(F_2) = 0$. Доказем, что $h(F_1) = h(F_2)$. Пусть $F'_1$ — треугольник, симметричный $F_1$ относительно одной из координатных осей, а $F'_2$ — треугольник, симметричный $F_2$ относительно другой координатной оси. Поскольку $h$ инварианта относительно симметричной получаем $h(F_1) = h(F_1')$, $h(F_2) = h(F_2')$. Но $F'_1$ можно перевести в $F'_2$ па-

Рис. 9.

20

Рис. 10.

раплельным переносом, поэтому $h(F_1') = h(F_2')$. Отсюда $h(F_1) = h(F_2)$ и, значит, $h(F_1) = h(F_2) = 0$.

Осталось показать, что $h$ обращается в нуль на прямогольниках со стороны, параллельными координатным осям. Разбивая такой прямогольник на меньше прямогольники, мы получаем по индукции, что достаточно доказать обращение $h$ в нуль на единичном квадрате $X_3 \cup Y_3$, изображенном на рисунке 10. Согласно А), $h(X_3 \cup Y_3) = h(X_3) + h(Y_3)$. По условию теоремы $h(X_3) = 0$. Выше мы доказали, что $h(Y_3) = h(X_3)$, поэтому и $h(Y_3) = 0$. Отсюда $h(X_3 \cup Y_3) = 0 + 0 = 0$. Доказательство теоремы законено.

Решение задачи 2.

Будем говорить, что функция $F_1$ и $F_2$ эквивалентны (обозначается: $F_1 \sim F_2$), если функция $F_1$ получается из функций $F_2$ целочкой допустимых преобразований. Ясно, что всякая удобная функция принимает одинаковое значение на эквивалентных функрах. Обозначим через $I_a,b$ отрезок с концами $(0; 0)$ и $(a; b)$. Покаем, что всякий отрезок $I_a,b$ эквивалентен отрезку $I_{n,0}$. Преобразование $1^\circ$ любой отрезок $I$ переводится в $I_a,b$. Сделав преобразования $2^\circ$ и $3^\circ$, можно считать, что $a \geq b \geq 0$. Если $b > 0$, то рассмотрим все отрезки, которые можно получить из $I_a,b$ с помощью «перекосов». Из рисунка 11 видно, что среди таких отрезков обязательно есть отрезок $I_c,b$, где $0 \leq c < b$. Сделав $3^\circ$, получаем, что $I_a,b \sim I_b,c$. Повторив несколько раз те же расхождения, мы получим, что $I \sim I_{n,0}$. Если дополнительно известно, что $N(I) = 2$, то $N(I_{n,0}) = 2$, т. е. $n = 1$. Таким образом, удобная функция $f$ на любом отрезке $I$, для которого $N(I) = 2$, принимает такое значение, как и отрезке $I_{1,0}$.

Определение удобных функций на Ф в пространственном случае.

Адитивность. Функция $f$ на множество $\Phi$ называется $\Phi$ на функция $F \in \Phi$ на функцию $F_1$, …, $F_k \in \Phi$, удовлетворяющего условиям $F_1 \cap F_2 \cap \dots \cap F_k \neq \emptyset$ и $V(F_i \cap F_j) = 0$ при $i \neq j$, выполено ра-

21

Об уравнения
$$C_n^m = C_{n+1}^{m-1}$$

А. Ширшов

К уравнению, указаноному в заглавии, я пришел, рассматривая 14-ю строку треугольника Паскала:
1, 14, 91, 364, 1001, 2002, 3003, 3432, 3003, 2002, 1001, 364, 91, 14, 1.

О треугольнике Паскала рассылается в пунктах 7 и 8 учебного пособия «Алгебра и начала аналiza 9».

Коротко рассакjem о нем тем, кто с ним еще не знаком.

В n-й строке треугольника Паскала на m-m месте стоит число $C_n^m$, причем нумерация как строк, так и чисел в каждой строке начинается с нуля (первые 15 строк треугольника Паскала приведены на рисунке).

Для понимания статьи достаточно о числах $C_n^m$ знать только одно:
$$C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$$

($n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n; 0! = 1$). Из (1) легко выводится
$$C_n^m + C_{n+1}^{m+1} = C_{n+1}^{m+1}.$$

С помощью этого соответствия можно строить треугольник Паскала, не пользоваться формулой (1) (см. рисунок).

В 14-й строке бросается в глаза, что 1001+2002=3003, то есть
$$C_{14}^4 + C_{14}^5 = C_{14}^6.$$

Ввиду (2) это равенство можно переписать так:
$$C_{15}^5 = C_{14}^6.$$

Равенство (3) показывает, что пара (6, 14) является решением уравнения, указаноного в заглавии.

А какие еще пары чисел являются решением этого уравнения? В статье дается ответ на этот вопрос. Чтобы ответ имел более красивую форму, заменим в нашем уравнения m на y, а n — на x—1. Тогда верна такая теорема. Все решения уравнения $C_x^{y-1} = C_x^{-1}$ имеют вид
$$x_k = \gamma_{2k} \gamma_{2k+1}; \quad y_k = \gamma_{2k-1} \gamma_{2k}, \quad k = 1, 2, 3, \dots, \text{еде } \gamma_n - n-\text{й член последовательности Фибоначчи}^*): 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, \dots$$

Доказательство.

1. Воспользовемся формулой (1) и перепишем наше уравнение:
   $$\frac{x!}{(y-1)!(x-y+1)!} = \frac{(x-1)!}{y!(x-y-1)!}.$$

После очевидных преобразований оно приводится к таким виду:
$$(x-y+1)(x-y)=xy.$$

Обозначим через w наиболее общий делитель чисел x и y. Тогда x=uw, y=vw, где u и v взаимно просты. Подставив выражения для x и y в (4), после сокращения на w получим, что $(u-v)[(u-v)w+1]=uvw.$

Числа u и v взаимно просты. Поэтому u-v и uv тоже взаимно просты. Взаимно просты и числа w и $(u-v)w+1$. Но тогда должны выполнять такие равенства:
$$\begin{cases} (u-v)w+1=uv, \\ u-v=w. \end{cases}$$

*) Для этой последовательности $\gamma_n = \gamma_{n-1} + \gamma_{n-2}$ для n > 2.

22

Эта система равnocильна такой системе:

$$\begin{cases} v^2 + vw - w^2 = 1, \\ v + w = u. \end{cases}$$

Поэтому решение нашего уравнения совпадается к решению уравнения

$$v^2 + vw - w^2 = 1$$

в натуральных числах.

2. Сделаем три простых замена о решении уравнения (7). Пусть пара $\langle v, w \rangle$ является решением уравнения (7). Тогда

a) $v$ и $w$ взаимно просты;
b) если $v = w$, то $v = w = 1$;
c) $v \leq w < 2v$;
d) пары $\langle v + w, v + 2w \rangle$ и $\langle 2v - w, w - v \rangle$ являются решением уравнения.

Напомним, что $v$ и $w$ — натуральные числа.

в) вытекает из равенства $w = \frac{v + \sqrt{5v^2 - 4}}{2}$, получающегося, если (7) рассмотреть как уравнение относительно $w$, а г) можно проверить, подставив соответствующие пары в уравнение (7).

С помощью преобразования

$$\langle v, w \rangle \Rightarrow \langle v + w, v + 2w \rangle,$$

исходя из решения $\langle 1, 1 \rangle$, построим последовательность решений $\langle 2, 3 \rangle, \langle 5, 8 \rangle, \langle 13, 21 \rangle, \langle 34, 55 \rangle, \dots$.

ВЫПисанные решения имеют вид

$$v_h = \gamma_{2h-1}, w_h = \gamma_{2h}.$$

Докажем, что других решений уравнения (7) не имеет. Допустим, что пара $\langle v, w \rangle$ является решением уравнения (7). Докажем, что она является одной из пар (8).

23

Если $v \neq w$, то с помощью преобразования
$$\langle v, w \rangle \Rightarrow \langle 2v - w, w - v \rangle$$
перейдем от этой пары к паре $\langle v_1, w_1 \rangle$ с меньшими компонентами. Если $v_1 \neq w_1$, то проделаем такой переход еще раз. Если $v_2 \neq w_2$, еще раз…
Каждай раз мы будем получить пары меньших натуральных чисел. Поэтому после конечного числа шагов мы получим пару $\langle v_l, w_l \rangle$ из одинаковых чисел — по нашим правилам процесс может оборвать только на такой паре. Но, как мы уже знаем, тогда $v_l = w_l = 1$. Заметим теперь, что переходы () и (**) взаимно обратны: если $v = 2v - w$, $w = w - v$, то $v = v + w$, $w = v + 2w$. Поэтому наша пара $\langle v, w \rangle$ может быть получена из пары $\langle 1, 1 \rangle$ с помощью () за $l$ шагов, то есть $\langle v, w \rangle = \langle v_l, w_l \rangle$.

Итак, множество решений уравнения (7) состоит из пар $\langle \gamma_{2k-1}, \gamma_{2k} \rangle$.

3. Теперь мы можем подвести итоги: $u_k = v_k + w_k = \gamma_{2k+1}$, значит, $x_k = u_k v_k = \gamma_{2k} \gamma_{2k+1}$, $y_k = v_k w_k = \gamma_{2k-1} \gamma_{2k}$. Теорема доказана.

4. Последнее замечание. Если мы захотим проверить нашей решения и посмотреть, какому $k$ соответствует 14 строка, то оказывается, что $k = 2$. Ачему же соответствует $k = 1$? Не получили ли мы лишнего решения? $k = 1$ соответствует равенство $C_0^2 = C_1^1$, но стоящих подряд трех чисел как будто не видно. Однако на самом деле они есть, просто первоое из них — нуль — не написано.

Историческая справка. Рассматриваемое уравнение уже встречалось в математической литературе, правда, в несколько иной форме. (The American Mathematical Monthly, т. 37. с. 508, автор задачи — Norman Anning.) Решение ее, опубликованное в томе 38, с. 351, ничего общего ни по методам, ни по форме ответа не имеет с решением, приведенным в этой заметке.

Задание наших читателей

1. По дороге едут с одинаковыми скоростями две одинаковые автоматические. Однако машина ведет тяжелый груз, а другая идет порожняком. Если машина одновременно начнут тормозить так, что пойдет «изом» (колеса у них не будет крутиться), то какая из них остановится раныше?

Б. Коэан (Москва)

2. Однаконыйстержень закреплен в центре тяжелости так, что он может легко врашать в вертикальной плоскости. К концамстержня: прикреплены одинаковые грузы. Такая система в любом положении находится в состоянии равновесия. А рычажные весы, на обеих частях которых лежат одинаковые грузы, устанавливаются только горизонтально. Как вы думаете, почему?

E. Гудесблам (Одесса)

3. Доказать, что если в треугольнике $ABC$ для длины $a, b, c$ его сторон выполняются неравенства $c > b > a$ и $\beta_A, \beta_B, \beta_C$ — длины биссертрис внутрихлов, $\beta_A', \beta_B', \beta_C'$ — длины высот, то справедливы следующее равенство:

$$\frac{1}{a \beta_A \beta_A'} + \frac{1}{c \beta_C \beta_C'} = \frac{1}{b \beta_B \beta_B'}$$

6. $$\frac{h_a}{\beta_A \beta_A'} + \frac{h_c}{\beta_C \beta_C'} = \frac{h_b}{\beta_B \beta_B'}$$

У. Алла (г. Выру)

Наблюдения над утренней чашкой кофе

В. Шефер

Эта статья заимствована нами из журнала «Успехи физических наук» (1972 г., том 108, выпуск 3).
Автор статьи Винсент Дж. Шефер является директором Исследовательского центра по изучению атмосферы при Университете штата Нью-Йорк в Ольбэни, США.
Статья печатается с неокотыми сокращениями.

Внимательные наблюдения над повседневными явлениями позволяют узнать много чрезвычайно интересных химических и физических явлений, если чашку очень горячого черного кофе осветить сильным пучком света, паралельным поверхности жидкости. Первый раз я наблюдал эти явления, глаза вдоль края кипящих источников зимой в Йеллоустонском парке*). Через несколько лет я обнаружил их вовь за утренней чашкой кофе, вскоре после вскода Солнца. На этот раз все проискодило в сухом воздуха Северной Аризоны.

В Йеллоустоне наблюдение было часто затрудено влагой, поднимающейся от горячего воды, которая кон-
*) Йеллоустонский Национальный парк известен своим горячими источниками и особенно гейзерами. (Прим. перев.)

денсировалась в воздухе и бóльшую часть времени скрывала от глаз наблюдателя поверхности жидкости. В Аризоне, наоборот, чистый воздух раннего утра и яркий свет восходящо Солнца создавали идеальные условия для наблюдения интересных эффектов, к описанию которых я и хочу приступить.

Если наполить чашку до краев черным кофе (быстрорастимым или obычным), близким к закипанию, и посмотреть на него при подходящем освещении, то первое, что бросится в глаза, это причудливые ячейки, которые образуют на поверхности кофе под поднимающимся паром (см. рисунок). Ячейки поперечным размером от 1 до 3 см имеют форму неправильных многоугольников и выглядают как пыльные светлые пятна, ограниченные узкими темными линиями. Пятнами отмечаются места выхода на поверхности вскоре жидкости. Затем эти потоки растекаются по поверхности, слегка охлаждаются и в тех местах, которые отмечаются темными линиями, выход погружаются внутри кофе, образуется структуру, известную под названем выходных ячейек Бенара.

Эти ячейки присутствуют во всех жидкостях и газах в тех случаях,

25

если их нижние слоны имеют более высокую температуру, чем верхние. Не важно, чем создан такой перепад температуры: тем ли, что жидкость подгревается сизу или охлаждается сверху, — существенно только, чтобы температура уменьшалась сизу вверх. Явление может проявляться в самых разных масштабах. Француз Анри Бенар, который в 1900 году впервые заметил его, пользовался для наблюдения микросkopом*). Однако это явление можно видеть и в области над землей, и на поверхности воды в морях, и даже в структуре фотосферы Солнца.

На поверхности горячего кофе ячеки Бенара хорошо видны благодаря следующему явлению. Интенсивный поток молекул водыного пара, поднимающегося от горячего поверхности кофе, действует на непосредственное прилегающее к поверхности жидкости слоны более холодной атмосферы с силой, направленной вверх. Бóльшая часть водыных капель, конденсирующихся в насыщенном влагой воздуха, либо опускается назад в жидкость, либо поднимается в атмосферу и испаряется в ней. Однако именно и такие капельки, которые слишком велики, чтобы подняться вверхние слоны воздуха, и одновременно — слишком малы, чтобы их сила тяжелости могла преодолеть давление восшенных в воздухе над поверхности горячего кофе. На границах же ячеек Бенара имеется низходящий поток пара, капельки оседают, и здесь черная поверхность кофе обжадает. Если воспользоваться микросkopом, обладающим небольшим увеличением, то можно заметить, что пылевидные пятна над восходящими потоками горячего кофе составят из

*) При отсутствии построенных возможностей на поверхности жидкости видна почти правильная сетка шестиугольных завихрей, причем по оси каждой ячеки жидкость поднимается, а вдоль ее внешних границ стекает вниз. (Прим. ред.)

плотно упакованных крошечных однородных водяных капелек. Размеры капелек и высота их локализация над уровнем жидкости определяются давлением паров воды, числом центров конденсации в данной объеме и силой тяжести.

To, что число и размеры капелек определяются начиным центров конденсации, можно доказать с помощью захженной спички, поднесенной ниже края чашки. Пламя спички создает, как известно, дополнительные центры конденсации*), в результате чего концентрация капелек резко уменьшается, размеры их становятся заметно меньше, и они локализуют близкие к поверхности горячего жидкости.

Если поверхности жидкости осветить ярким горизонтальным паралельным пучком света (например, лучами восходшего Солнца, световым пучком из проектора для диапазитов или из яркого фонаря) и вести наблюдение в направлении освещения и близко к оси светового пучка, то над поверхности темной жидкости можно увидеть спектрально разложенный свет. Явление дифракции света на мелких капельках в высоких слоях atmosферы приводит иногда к появлению окраски венцов вокруг Солнца или Луны, когда они закрывают облаками, состоящими из почти однородных капелек**).

Искусный и настоящий экспериментатор может заметить также характерное и довольно любопытное электрическое явление. Если к поверхности жидкости поднести назначительизованный предмет (например, эбонитовый гребенку), то взвешенные в воздухе капельки влаги исчезают. Это показывает, что капельки сильно заряжены. Если жеизлектризованный предмет заряжен не очень

*) Под действием пламени спички часть молекул воздуха инцирруется. Образовавшиесяоны действуют как центры конденсции. (Прим. ред.)

**) Большое подробно о явлении дифракции света на мелких капельках можно прочитать, например, в книге М. Мин нарта «Свет и цвет в природе» (М., «Нука», 1969 г., с. 222 и далее). Заметим только, что дифракция света на капле происходит точно так же, как на круглом ответсти в экране. (Прим. ред.

26

сильно, то одновременно с наличии взлизи поверхности жидкости стабильной зоны уравновешенных капелек возникает поток капелек, конденсирующихся на ионах, распространяющихся от заряженного тела.

Чашка горячего кофе является идеальным прибором для наблюдания всех или некоторых из описанных явлений. Однако по мере оставления кофе эффекты быстро ослабают. Для более продолжительных наблюдания я пользовался следующим устройством. Чисто вымытая жестяника из-под консерверов наполнялась водой, подкрашенной черными чернилами, и подогревалась на горячее подставке. В качестве горячего подставки служил электрический утюг, перевернутый вниз ручкой, которая зажималась в настольные тиски. Это приспособление позволяет поводить наблюдания сколь угодно долго. Прекрасным источником света служил проект для показа диапазитов, а наблюдая расположение, размеры и другие характеристики «плавающий» капелек можно было в микросокоп. Восплед–

«Иззаоблачное» сияние

Когда в солнечный день на небе былаот облака, передко можно наблюдае является от солнца, закрыто облаком, в разные стороны расходятся лучки лучей. По мере удаления от облака лучки постепенно расширяются. Если их мысленно продолжить за облако до взамного пересечения, то они «сойдуться» в том месте, где находится солнеце.

В то же время известно, что лучи от солнца идут на землю почти паралельно (угловой диаметр солнца около 30′).

Почему же лучи от солнца, закрыто облаком, так широко расходятся? И почему столб�то расшириние отдельных световых лучей «иззаоблачного» сияния?

А. Митрофанов

27

О хордах непрерывных кривых

Обобщая понятие хорды окружности, хордой произвольной кривой α мы будем называть любой отрезок, концы которого принадлежат α. Например, у кривой α, изображенной на рисунке 1, хордиami являются не только отрезки PQ и RS, но и составляющий часть кривой α отрезок TU.

1. О задаче M413

В этой задаче («Квант», 1976, № 11) представлены выяснить, для каких положительных чисел α верно следует утверждение: для любой функции f, определенной на отрезке [0, 1], непрерывной в каждой точке этого отрезка и максим, что f(0)=f(1)=0, уравнение

$$f(x+a)-f(x)=0$$

(1) имеет решение.

Решим ее. Перепишем уравнение (1) в равnocльной форме

$$f(x+a)=f(x).$$

Мы считаем (см. условие задачи), что в уравнениях (1), (2) a>0, а функция f определяена на отрезке [0, 1], непрерывна в каждой точке этого отрезка и f(0)=f(1)=0.

График α функция f — это непрерывная кривая, соединяющая точки A〈0, 0〉 и B·〈1, 0〉. График β функция y=f(x+a) получается параллельным переносом кривой α вдоль оси абсцисс влево (поскольку a>0) на a (рис. 2).

Существование решения у уравнения (2) означает, что график α и β пересекаются: если f(x₀+a)=f(x₀)=y₀, то точка с координатами〈x₀, y₀〉 принадлежит и α, и β (рис. 3).

Оказывается, для того чтобы кривые α и β пересекались, необходимо и достаточно, чтобы у α была параллельная оси абсцисс хорда длины a. Это утверждение вытекает из такой леммы (доказите ее самостояльно):

Лемма. Кривая α, соединиющая точки A и B,_MODEA и молко_MODEA имеем паралельную AB хорду длины r, коеда кривая β, полученная из α паралельным переносом в направлении BA на расстояние r, пересекается с α.

Таким образом, мы можем «перевести» задачу M413 на «язык хорд»: требуется выяснить, при каких положительных α график любой функции f, определенной на отрезке [0, 1], непрерывной в каждой точке этого отрезка и максим, что f(0)=f(1)=0, имеем паралельную оси абсцисс хорду длины a.

2. «Пложение» числа: a≠1/n.

Покажем, что для любого положительного α, не равного $\frac{1}{n}$ (n=1, 2, 3, 4, …), существует функция описанного вида, график которого не имеет паралельной оси абсцисс хорду длины a.

Очевидно, у любой такой функции для любой хорды CD ее графика, параллельной оси абсцисс, |CD|≤|AB|=1 (рис. 4). Поэтому можно делать считать, что 0<a<1.

Если $\frac{1}{2}<a<1$, проведем через A и B любые прямые u₁||u₂ и через середину R₁ отрезка AB — любую пересекающую их прямую v₁. Легко видеть, что функция f₂, график которого является ломаная α₂=AP₁Q₁B (рис. 5), — искомая, поскольку для любой хорды CD ее графика, параллельной оси абсцисс, |CD|≤1.

Пусть теперь $\frac{1}{3}<a<\frac{1}{2}$. Разделим отрезок AB точками R₁, R₂ на три равные части и, независимо от этого, точкой S₁— пополам. Проведем

28

через $A$, $S_1$ и $B$ любые параллельные между собой прямы $u_1 \parallel u_2 \parallel u_3$ и через $R_1$, $R_2$ — любые пересекающие их параллельные между собой прямы $v_1 \parallel v_2$. Функция $f_3$, график которого является ломаная $\alpha_3 = AP_1Q_1P_2Q_2B$ (рис. 6), — искомая: для любой хорды $CD$ ее графика, параллельной оси абсцисс, либо $|CD| \leq \frac{1}{3}$, либо $|CD| \geq \frac{1}{2}$. В самом деле. Если точки $C$ и $D$ лежат на сеседних звеньях ломаной $\alpha_3$ (т. е. на $AP_1$ и $P_1Q_1$ или на $P_1Q_1$ и $Q_1P_2$ и т. д.), то, очевидно, $|CD| \leq \frac{1}{3}$. Если точки $C$ и $D$ лежат «через одно звено», то либо $|CD| = \frac{1}{3}$ (когда $C \in P_1Q_1$, $D \in P_2Q_2$), либо $|CD| = \frac{1}{2}$. В остальных случаях $|CD| > \frac{1}{2}$.

Аналогично строится ломаная $\alpha_n$ (график функции $f_n$), соединяющая $A$ и $B$ и не содержащая никакой параллельной оси абсцисс хорды $CD$ такой, что $\frac{1}{n} < |CD| < \frac{1}{n-1}$. Разделим отрезок $AB$ точками $R_1, R_2, \dots, R_{n-1}$ на $n$ равных частей и, независяimo от этого, точками $S_1, S_2, \dots, S_{n-2}$ — на $n-1$ равных частей. Проведем через $A, S_1, S_2, \dots, S_{n-2}$ и $B$ любые параллельные между собой прямы $u_1, u_2, \dots, u_n$ и через $R_1, R_2, \dots, R_{n-1}$ — любые пересекающие их параллельные между собой прямы $v_1, v_2, \dots, v_{n-1}$. Ломаная $\alpha_n = AP_1Q_1P_2Q_2 \dots P_{n-1}Q_{n-1}B$ (на рисунке 7 изображена ломаная $\alpha_6$) — искомая. Установливается это опять-tаки перебором различных возможных положений точек $C$ и $D$ (проверьте!).

У пряжен и е 1. Проверьте, что при $n = 2, 3, 4, \dots$ график функции $g_n$:
$$g_n(x) = \sin(2\pi(n-1)x)$$
на отрезке $[0, 1]$ не имеет параллельной оси абсцисс хорды длины $\frac{1}{n} < a < \frac{1}{n-1}$. Нарисуйте этот график.

У пряжен и е 2. Докажите, что при любом положительном $a$, не равном $\frac{1}{n}(n=1,2,3,4,\dots)$, график функции $h_a$:
$$h_a(x) = \sin^2\left(\frac{\pi}{a}x\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{a}\right)x$$

29

3. 《Хорошие》числа: $a = \frac{1}{n}$

Мы докажем, что при $a = \frac{1}{n}$ ($n = 1, 2, 3, 4, \dots$) график любой функции $f$ рассматривается вида имеет на отрезке [0, 1] паралельную оси абсцисс хорду длины $a$.

В самом деле: путь $M_0$ и $N_0$ — точки на графике функции $f$, соответствующие наибольшем и наименьшем значению этой функции. Проведем через $M_0$ и $N_0$ прямые $m$ и $n$, паралельные оси абсцисс. Ясно, что весь график функции $f$ расположен в полосе $\Delta$, ограниченной прямыми $m$ и $n$ (рис. 8).

Допустим теперь, что график функции $f$ не имеет паралельной оси абсцисс хорду длины $a = \frac{1}{n}$.

Обозначим через $\alpha_0$ график рассматриваемой функции $f$, а через $\alpha_h$ — линю, получающийся из $\alpha_0$ паралельным переносом в направлении оси абсцисс вправа на расстояние $ka$ ($k = 1, 2, \dots, n$).

Согласно лемме, кривые $\alpha_0$ и $\alpha_1$ не имеют общих точек. Дуга $M_0N_0$ графика $\alpha_0$ (на рисунке 8 она выделена жирно) делит полосу $\Delta$ на две части — правую и левую. Так как кривая $\alpha_1$ не пересекается с $\alpha_0$ и не перерывна, она целиком расположена в правой из этих частей.

Следовательно, если $M_kN_k$ — дуга линия $\alpha_k$, получающая из $M_0N_0$ паралельным переносом, то при $l > k$ вся линя $\alpha_l$ расположена в полосе $\Delta$ с правой от дуги $M_kN_k$, а при $l < k$ — слева от $M_kN_k$.

В частности, линя $\alpha_0$ расположена в полосе $\Delta$ слева от $M_1N_1$, а линя $\alpha_n$ — справа от $M_1N_1$, и потому ли-

ни $\alpha_0$ и $\alpha_n$ не имеем общих точек.

С другой стороны, линя $\alpha_n$ получается из $\alpha_0$ паралельным переносом на расстояние $na = 1$. При этом перенос точки $A \in \alpha_0$ переходит в точку $B$, то есть $B \in \alpha_n$. Так как, кроме того, $B \in \alpha_0$, то лини $\alpha_0$ и $\alpha_n$ имеем общую точку.

Полученное противоречие и доказывает, что линя $\alpha_0$ имеет паралельную оси абсцисс хорду длины $1/n$. Тем самым задача M413 решена полностью.

У праванке 3. Докажите, что это утверждение (о существовании хорды длины $1/n$, паралельной оси абсцисс) справедливо не только для лини $\alpha_0$, являющейся графиком и коем функцией, но и для произвольной непрерывной кривой, соединяющей точки $A = < 0, 0>$ и $B = < 1, 0>$.

4. Обобщение

Проведенное в предыдущем пункте рассуждание можно осмыслить следующим образом. Пусть $\alpha_0$ — произвольная непрерывная кривая, соединяющая точки $A$ и $B$. Предположим, что число $a = \frac{1}{n}$ является для этой кривой «плохим», то есть при паралельном переносе на расстояние $a$ получается линя $\alpha_1$, не имеющая с $\alpha_0$ общих точек. Тогда числа $2a, \dots, na$ также является для лини $\alpha_0$ «плохими», откуда и получается противоречение, завершающее доказательство.

Читатель может самостоятельно проверить (повторяя то же рассужение), что справедливо следующей более общее утверждение:

Если непрерывная кривая $\alpha$, соединяющая $A$ и $B$, не имеет паралельной AB хорды длины $p$ и не имеет паралельной AB хорды длины $q$, то она не имеет также и паралельной AB хорды длины $p + q$.