Квант 1977, №5 · Страницы

КВАНТ 5
1977

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

36

УЛИТКИ ПАСКАЛЯ

На этом рисунке вы видите семейство кривых, которые называются «улиитками Паскала». Каждый из них получается следующим образом. Нарисуем на плоскости окружность некоторого радиуса и вооржимся вырезанным из бумаги кругом того же радиуса «с ручкой» — планкой, в которой проделаны дырочки. Будем катить без прокальзывания круг снаружи по нарисованно новой окружности, а в одну из дырочек ручки вставим карандаш. Тогда карандаш опшет как раз улитку Паскала.

Красная линия на рисунке — кардионада, которая является одной из улиток Паскала (карандаша был вставлен в точку на окружности подвижного круга).

О других способах построения и свойств улитки Паскала рассказано на с.36.

1

Главный редактор академик И. К. Кикоин
Первый заместитель главного редактора академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:
М. И. Башмаков
С. Т. Беляев
В. Г. Болтянский
Н. Б. Васильев
Ю. Н. Ефремов
В. Г. Зубов
П. Л. Капица
В. А. Кириллин
А. И. Климанов
(главный худомик)
С. М. Козел
В. А. Лешковцев
(зам. главного редактора)
Л. Г. Макар-Лиманов
А. И. Маркушевич
Н. А. Патрикеева
И. С. Петраков
Н. Х. Розов
А. П. Савин
И. Ш. Слободецкий
М. Л. Смолянский
(зам. главного редактора)
Я. А. Смородинский
В. А. Фабрикант
А. Т. Цветков
М. П. Шаскольская
С. И. Шварцбург
А. И. Ширшов

В НОМЕРЕ:
В. Болтянский. О понятях площади и объема
М. Мамикон. Объем шара
А. Дозоров. Можно ли поднять себя за волосы?

Лаборатория «Кваита»
Г. Новинский, В. Хомазик. Закон Архимеда и …
решение уравнения
В. Смыцллев. Сообщающее состояние и …
уравнения

Задачник «Кваита»
Задачи M441—M445; Ф453—Ф457
Решения задач M396, M397, M400—M402; Ф407—Ф412

По страницам школьных учебников
А. Виленкин, Ю. Ионин. Площадь и интерgal

«Кваит» для младших школьников
Задачи
Е. Турецкий, Н. Цейтлин. Семиклассиком оверяности

Спрашивайте — ответаем
Практикум абитуриента
Е. Галкин. Рациональное или irrationalное?
Ю. Никольский, В. Федосов, В. Чехлов, А. Шеладин.
Московский физico-технический институт
Ю. Иванилов. Факультет управления и прикладной математики МФТИ

Примерные задачи вступительных экзаменов по математике вузы в 1977 году

Рецензии, библиография
Л. Слукин. Ошибки в «Ошибках…»

Информация
С. Войнов. Форум юных астрономов

Ответы, указания, решения
Смесь (с. 9, 16, 36, 43, 56)

© Главная редакция физico-mатематической литературы издательства «Нука», «Кваит», 1977

2

Обычно говорят, что площад $S(F)$ фигуры $F$ есть число, показывающее, из скольких единиц площад «составляется» эта фигура (за единицу площад берется квадрат, сторона которого равна единице длины). Однако такое наглядное погсение не может служить точным математическим определением понятия площад. Няясно, например, каким образом из единиц площад «составляется» круг заданного радиуса.

Один из способов уточнения понятия площад основывается на рассмотрении палетки — разбиения плоскости на конгрузные квадраты. Пусть сторона квадрата палетки имеет длину 1. На рисунке 1 фигура $F$ содержит фигуру, составленную из 9 квадратов палетки, и содержится в фигуре, составленной из 29 квадратов; поэтому $9 \leq S(F) \leq 29$. Для более точной оценки можно использовать палетку, квадраты которой имеют стороны длиной 1/10 (так что в каждой квадрате приходят палетки содержится 100 квадратов новой палетки). Если, скажем, $F$ содержит фигуру, составленную из 1716 квадратов новой палетки, и содержится в фигуре, составленной из 1925 таких квадратов, то $17,16 \leq S(F) \leq 19,25$. Еще раз измельчая палетку (т. е. уменшая в 10 раз длины сторона квадратов), мы сможем еще точнее оценить $S(F)$ и т. д.

Описанный процесс измерения используется не только для вычисления площади, но и для самого определенения понятия площад. Именно, рассмотрим палетку, у которой длины сторона квадратов равны $1/10^k$. Пусть $F$ содержит фигуру, составленную из $a_k$ квадратов этой палетки, и содержится в фигуре, составленной из $b_k$ таких квадратов (например, выше у нас $a_1 = 1716$, $b_1 = 1925$). Тогда можно сказать, что $\frac{a_k}{10^{2k}}$ есть значение площад фигуры $F$ с недостатком, а $\frac{b_k}{10^{2k}}$ с избытком.

Неограниченно увеличивая $k$, мы можем рассмотреть предыдую

$$S(F) = \lim_{k \to \infty} \frac{a_k}{10^{2k}}, \quad S(F) = \lim_{k \to \infty} \frac{b_k}{10^{2k}},$$

4

внутренних точек, то $S(F_1 \cup F_2) = S(F_1) + S(F_2)$;
($\gamma$ функция $S$ инвариантна относительной перемещений, т. е. если $F_1 \cong F_2$, то $S(F_1) = S(F_2)$;
($\delta$ единный квадрат имеет площадь 1.

После рассмотрения этих свойств наступает поворотный пункт в теории плошадей. Дело в том, что справедлива следующая теорема существования и единственности: на классе всех квадриумных фигур существуют, и при этом только одна, функция $S$, обладающая свойством $(\alpha), (\beta), (\gamma), (\delta)$. Теорема эта играет весна важную роль. Изложенное выше определение плошади (с помощью палеток) можно назвать конструктивным, поскольку плошадь определяется с помощью чего описанной конструкции (процесс измерения). Теперже можно дать другое описание понятия плошади; грубо говоря, площадь есть «то, что обладает свойством $(\alpha), (\beta), (\gamma), (\delta)$». В самом деле, согласно теореме существования и единственности, кроме плошади, нет никакой другой функции, обладающей указанным свойством. Более точно, мы можем теперь сказать, что площадь называется числовая функция, заданная на множество всех квадриумных фигур и удовлетворяющая условием $(\alpha), (\beta), (\gamma), (\delta)$. При таком подходе свойства $(\alpha), (\beta), (\gamma), (\delta)$ доказывается не нужно (они рассматривают как аксиомы плошади), а само определение становится аксиоматически, а не конструктивным, как прежде.

При аксиоматическом определении плошади палетки становятся неизжными $^*$), а все дальнейшие свойства плошадии выводятся из аксиом $(\alpha), (\beta), (\gamma), (\delta)$ как теоремы. Например, из аксиом можно вывести, что при $F \supset G$ справедливо неравенство $S(F) \geq S(G)$ (свойство мономонности плошади); что для любых квадриумных фигур $F_1, F_2$ справедливо соответствие $S(F_1 \cup F_2) = S(F_1) + S(F_2) - S(F_1 \cap F_2)$; что относение плошадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия и т. д.

Перейдем, наконец, к вопросу о вычислении плошадей. Самым простым методом вычисления плошадей, известным еще из глубокой древности, является метод разложения. Для уяснения этого метода рассмотрим фигуры $F$ и $H$, изображенные на рисунке 3. Пунктные линии разбиают эти фигуры на одинаковое число соответствующего конгруэнтных частей, т. е. фигуры $F$ и $H$ равно составлены. Вообщество две фигуры называются равносствальными, если, разрезав одну из них на конечное

Рис. 3.

число частей, можно (располагая эти части иначе, т. е. рассматривая фигуры, конгруэнтные этим частям) составить из них вторую фигуру.

Из аксиом $(\beta)$ и $(\gamma)$ непредставлено следует, что две равносствленные фигуры равновелики, т. е. имеют одинаковую плошадь. На этом и основан метод разложения: фигуру, площадь которого нужно вычислить, питания разбит на конечное число частей так, чтобы из этих частей можно было составить более простую фигуру (плошадь которой уже известна). Например, параллельграмма равносствлен с прямой угловиком, имеющим то же основание и ту же высоту (рис. 4), и потому, зная формулу площади прямой угловика, мы установливаем формулу площади параллельграмма. Треугольник равносствлен с параллельграммом, который имеет то же основание и вдвое меньшую высоту (рис. 5), и это позволяет вычислить площадь треугольника.

Умя вычисляется площадь треугольника, легко вычислить площадь

через $S(x)$ обозначим площадой той части фигуры $F$, которая расположена левее проведенной через точку $x$ прямой.

Нетрудно доказать, что функция $S$ является первообразной для $f$ на отрезке $[a, b]$, т. е. $S'(x) = f(x)$ при $x \in ]a, b[$. В самом деле, пусть $\varepsilon$ — произвольное положительное число, меньше $f(x)$. На прямой, параллельной оси ordinат и проходящей через точку $x$, возьмем точки $M, N, P, Q$, отстоящие на $\varepsilon/2$ от концов отрезка, по которой взята прямая пересекает фигуру $F$ (рис. 10). Точки $M, Q$ расположены вне фигуры $F$, а $N, P$ — внутренние точки этой фигуры. Следовательно, существует такое $\delta > 0$, что отрезки длины 2$\delta$, параллельные оси абсцисс и имеющие середины в точках $M, N, P, Q$, расположены: первый и последний — вне фигуры $F$, а второй и третий — внутри нее. Пусть теперь $\Delta x$ — положительное число, меньше $\delta$. Разность $\Delta S(x) = S(x + \Delta x) - S(x)$ равна площади защитыхованной на рисунке 10 фигуры. Эта площадь заключит между площадями прямогольников $NLTP$ и $MKRQ$, т. е.

$$(f(x) - \varepsilon) \Delta x < \Delta S(x) < (f(x) + \varepsilon) \Delta x.$$

Отсюда

$$f(x) - \varepsilon < \frac{\Delta S(x)}{\Delta x} < f(x) + \varepsilon$$

при $0 < \Delta x < \delta$.

Аналогично проверяется, что полученное неравенство выполняется

7

и для всех отрицательных $\Delta x$, если только $-\delta < \Delta x < 0$. Таким образом, при любом $\varepsilon > 0$ найдет такое $\delta > 0$, что при $0 < |\Delta x| < \delta$ выполняется неравенство (*). По определению предела это означает, что

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta S(x)}{\Delta x} = f(x),$$

т. е.

$$S'(x) = f(x).$$

Доказанное равенство позволяет вычислить площадь функции $F$. Пусть $\varphi$ — какая-нибудь первогообразная для функции $f$. Так как $S$ — также первогообразная для этой функции, то $\varphi$ и $S$ отличаются на константу, т. е. существует такое число $c$, что $\varphi(x) = S(x) + c$ для любого $x \in [a, b]$.

Следовательно,

$$\varphi(b) - \varphi(a) = (S(b) + c) - (S(a) + c) = S(b) - S(a) = S(F)$$

(поскольку $S(a) = 0$, а $S(b)$ есть площадь всей функции $F$). Итак, если $\varphi$ — какая-нибудь первогообразная для функции $f$, то разность $\varphi(b) - \varphi(a)$ равна площади функции $F$, т. е. $S(F) = \int_a^b f(x) dx$.

Если, например, $F$ представляет собой «криволинейный треугольник», ограниченный параболю $y = x^2$ и прямыми $y = 0$, $x = b$ (рис. 11), то прямая, которая проходит через точку $x$ отрезка $[0, b]$ и параллельна оси ordinат, высечает из этого «треугольника» $F$ отрезок длины $x^2$, т. е. в данном случае $f(x) = x^2$. Для функции $f(x) = x^2$ одной из первообразных является функция $\varphi(x) = \frac{1}{3} x^3$. Следовательно, площадь функции $F$ находится по формуле

$$S(F) = \varphi(b) - \varphi(0) = \frac{1}{3} b^3.$$

Заметим, что, вычитая из площади прямогоугольника $ABCD$ (рис. 12) удовлетворяют площадь «треугольника» $F$, мы получаем площадь сегмента парабола, которая, таким образом, оказывается равной $\frac{4}{3} b^3$. Как видите, с помощью первогообразной оцень просто получается тот результат, который Архимед выводил с помощью сложного расчёжения, основанного на использовании метода исчерпывания *). Сегодняшие школьники знают намного больше того, что было известно великом Архимеду!

Заканчивая рассказ о понятии площади, рассмотрим так называемый прицили Кавальери**). Пусть,

*) Подробно об этом см. в статье А.Д.Бен}дукидзе «Архимед и квадратура параболы« (Квант), 1971, № 7, с. 7).

**) Приципп Кавальери для площадей уже упоминался на страницах «Квант» — в статье С. Верова «Тайны циклопды» («Квант», 1975, № 8, с. 21) и в статье С. Пухова «Задача о выпуклых телах» («Квант», 1977, № 2, с. 30).

8

кроме $F$, имеется еще одна фигура $H$ (рис. 13), проекцией которого на основе слияния тот же отрезок $[a, b]$. Предположим, кроме того, что каждой пряма, параллельная оси ordinат, пересекает фигуры $F$ и $H$ по конгруентным отрезкам. Тогда площад фигуры $H$ выражается тем же интергралом, что и площад фигуры $F$, т. е. $S(H) = \int_{a}^{b} f(x) dx$, и потому $S(F) = S(H)$. Итак, если любая пряма, параллельная заданной фиксированной прямой (например, оси ordinат), пересекает фигуры $F$ и $H$ по конгруентным отрезкам, то фигуры $F$ и $H$ равновелики: $S(F) = S(H)$. Это и есть принципи Кавальери (для площадей). Мы вывели его с помощью формулы, выражающей площад фигуры через интерграл. Кавальери же высказал свой принцип (и применял его для вычисления площадей и объемов) еще до того, как в трудах Ньютона, Лейбница и других ученых

Рис. 13.

Рис. 14.

были введены понятия первого и интеграла.

На рисунке 14 показаны две фигуры, которые, в силу принципи Кавальери, являются равновеликами. Впрочем, равенство площадей этих фигур можно легко установить и методом разбиения (как?).

Понятие объема вводится аналогично понятию площади. При конструктивном определении расматриются кубиляжи (аналгори палеток), т. е. разбиения пространства на конгруентные кубы. Расмотрим кубиляж, у которого длина ребер кубов равна $1/10^k$. Пусть пространственная фигура $F$ содержит фигуру, составленную из $a_h$ кубов этого кубиляжа, и содержится в фигуре, составленной из $b_h$ таких кубов. Тогда $\frac{a_h}{10^{3k}}$ есть значение объема фигуры $F$ с недостатком, а $\frac{b_h}{10^{3k}}$ — с избытком. Если фигура $F$ такова, что предель

$$V(F) = \lim_{k \to \infty} \frac{a_k}{10^{3k}}, \quad V(F) = \lim_{k \to \infty} \frac{b_k}{10^{3k}}$$

совпадают, то фигура $F$ называется кубируемой, а число $V(F) = \overline{V}(F)$ называется объемом фигуры $F$ и обозначается через $V(F)$. Объем $V$ представляет собой функцию, заданную на классе всех кубируемых фигур и приннимающего числовые значения.

Как и площадь, объем может быть определен аксиоматически, причем аксиомы, на которых основывается понятие объема, совершено аналогичным аксиомам площади:

(α) функция $V$ неотрицательна, т. е. $V(F) \geq 0$ для любой кубируемой фигуры $F$;

(β) функция $V$ аддитивна, т. е. если $F_1$ и $F_2$ — кубируемые фигуры, не имеющие общих внутренних точек, то

$$V(F_1 \cup F_2) = V(F_1) + V(F_2);$$

(γ) функция $V$ инвариантна относительно перемещений, т. е. если $F_1 \cong F_2$, то $V(F_1) = V(F_2);$

(δ).edиничный куб (т. е. куб, ребро которого имеет длину 1) имеет объем 1.

9

Как и в случае площадей, имеет место теорема существования и единственности.

Не останавливаясь на других методах, рассмотрим вычисление объемов при помощи интегрирования и принцип Кавальери для объемов.

Пусть в пространстве задана система координат и взята некоторая фигура $F$, проекция которой на ось абсцисс представляется собой некоторий отрезок $[a, b]$. Через $S(x)$ обозначим площадь фигуры, высекаемой из $F$ плоскостью, которая перепendlкулярна оси абсцисс и проходит через точку $x$ отрезка $[a, b]$. Далее, через $V(x)$ обозначим объем той части фигуры $F$, которая расположена левее проведенной плоскости (рис. 15). Тогда справедливо равенство $V'(x) = S(x)$, т. е. $V$ является первообразной для функции $S$. Доказательство этого равенства — такое же, как и в случае площадей.

Конечно, чтобы доказательство прошло, следует сделать некоторы предположения. Фигура $F$ должна быть кубируемой, ее сечения — квадратными.

Рис. 15.

Рис. 16.

приуемыми. Кроме того, следует сделать некоторы предположения о характеристике границы тела $F$ (что выполня рассудение, аналогичное показанному на рис. 10). В учебнике X класса, например, справедливо равенства $V'(x) = S(x)$ обосновывается для случая, когда $F$ — фигура врашшения специального вида. Мы на этом не останавливаемся. Из равенства $V'(x) = S(x)$ следует, что для объема фигуры $F$ справедлива формула

$$V(F) = \int_a^b S(x) dx.$$

Наконец, из этой формулы вытекает прицили Кавальери для обтемов: если любая плоскость, параллельной фиксированной плоскости, пересекает пространственные фигуры $F$ и $H$ по фигурам, имеющим одинаковую площадь (рис. 16), то фигуры $F$ и $H$ равенники: $V(F) = V(H)$. Изящный пример применения прицили Кавальери к вычислению объемов имеет в публикуемой в этом номере заметке М. Мамикона.

Советуем купить!

Виленкин Н. Я. Популярная комбинаторика. Ц. 35 к.
Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. Ц. 35 к.
Кошкин Н. И. Справочник по элементарной физике. Ц. 97 к.
Пойа Д. Математиское открытие. Ц. 1 р. 62 к.

Заказы направляйте по адресу: 103031, Москва, Петровка, 15. Магазин № 8 «Техническая книга».

10

Наверное, каждый школьник хорошо знает, чем равен объем шара. А знаете ли вы, что первый объем шара посчитал древний грек Архимед еще в третьем веке до н. э.?

Объем шара Архимед нашел двумя способами. Первый способ заключается в составлении интерральных сумм и, по существу, был очень близок к современному методу интеграрования (см. «Алгебра и начала анализа 10», pp. 104, 107). Второй, более элементарный способ Архимед состоит в использовании механического принципа, сочетающего в себе принцип поперечных сечений и найdenное им же правило рычага.

Архимед установил, что объем шара в полтора раза меньше объем цилиндра, описанного около шара:

$$V_{\text{ш}} = \frac{2}{3} v_{\text{ш}}.$$

Этот результат Архимед считал самим большим своим достижением. По завершению Архимеда на его могиле был высечен шар, вписанный в цилиндр. Именно по этом признаку могилу Архимеда через полтора столета разискал Цицерон. Сейчас она снова утеряна.

В первой части статьи мы рассакжем, как Архимед нашел объем шара с помощью своего механического метода. А затем решим эту задачу число геометрических.

Еще до Архимеда был известен принцип поперечных сечений, новые известный как «приицп Кавальери» (см. статью В. Болтянского «О понятиях площади и объема», с. 2). Этот принцп состоит в следующем.

Пусть в пространстве заданы два тела (см. заставку), и пусть любая плоскость, параллельная данной, в сечении с этим телами образуется две фигуры, площади которых равны друг другу: $S_1 = S_2$. (При этом сечение каждой тела, вообще говоря, является переменным.) Тогда эти два тела имеют равные объемы: $V_1 = V_2$.

Представим себе, что оба тела выложены из очень тонких плоскопаралельных слоев одинаковой толщины. Если каждой слой одного тела весит столько, сколько весит соответствующей ему слой в другом теле, то и целиком оба тела весят одинаково.

Очевидно теперь, что принцп поперечных сечений справедлив и в более общей форме: если заданы три тела и в каждой из плоскопаралельных сечений площади сечений первого двух тел в сумме равных площади сечения третьего тела: $S_1 + S_2 = S_3$, то сумма объемов первого двух тел равна объему третьего тела: $V_1 + V_2 = V_3$.

Как мы увидим ниже, Архимед, применя более общие механические развитие принцип поперечных сечений, сумм выразить обем шара через обемы цилиндра и конуса. Посление же были посчитаны еще до Архимед. В частности, Евдокс показал, что обем конуса в три раза

11

Меные объема описанного около него цилиндра.

Метод Архимеда

Нарисуем, следуя Архимеду, круг радиуса $R$ и прямогольник, имеющий с кругом общий центр $O$, со стороны длины $2R$ и $4R$. Впишем в этот прямогольник равноведенный прямогольный треугольник с прямым углом при вершине $A$ (рис. 1).

Если врашать наш рисунок вокруг оси $AB$, то круг при врашении образует шар радиуса $R$, прямогольник — круговой цилиндр с радиусом основания $2R$, а треугольник — конус, вписанный в цилиндр, с тем же основанием.

Выберем на оси врашения $AB$ точку $C$ на некотором расстоянии $x$ от точки $A$ и проведем через точку $C$ плоскость $\alpha$, перепедикулярную $(AB)$. В сечении с цилиндром она образует круг радиуса $2R$, в сечении с конусом — круг радиуса $|CD| = |AC| = x$ (поскольку угол при вершине конуса прямой); в сечении с шаром — круг радиуса $|CE|$. Из рисунка 1 видно, что

$$|AE|^2 = |CE|^2 + |AC|^2 = |CE|^2 + |CD|^2.$$

С другой стороны, $AE$ — это катет прямогольного треугольника $AEB$ ($AB$ — диаметр круга), а потом $|AE|^2 = |AB| \cdot |AC|$. Следовательно,

$$|AB| \cdot |AC| = |CD|^2 + |CE|^2.$$

Умножив обе части этого равенства на число $\pi \cdot |AB|$, получим

$$\pi \cdot |AB|^2 \cdot |AC| = \pi \cdot |CD|^2 \cdot |AB| + \pi \cdot |CE|^2 \cdot |AB|.$$ (1)

Величина $S_K = \pi \cdot |CD|^2$ — это площадь круга, получающегося при пересечении конуса плоскостью $\alpha$. Величина $S_{III} = \pi \cdot |CE|^2$ — это площадь круга, получающегося в сечении шара.

Площадь же круга, получающегося в сечении цилиндра, равна $S_{II} = \pi \cdot |AB|^2$. Поэтому равенство (1) мы можем переписать так:

$$x \cdot S_{II} = 2R \left( S_{III} + S_{II} \right).$$ (2)

Если бы можнотель $x$ был постоянный, то с помощью принизап по переченьх сечений мы выразили бы друг через круг объемы шара, конуса и цилиндра.

Но можнотель $x$ — переменный, и это сильно осложняет ситуацию. Казалось бы, дальше не продвинутся. Но тут Архимед осеняет генциальная догадка, смысл которого состоит в следующем.

Отложим на прямой $AB$ blevо от точки $A$ отрезок $AT : |AT| = |AB|$. Представим теперь, что отрезки $AB$ и $AT$ являются плецами рычага; точка опоры которого совпадает с точкой $A$. Тогда соответствие к круговые сечения шара $S_{III}$ и конуса $S_K$ в точку $T$, то они «уравновесят» по отношению к точке $A$ круговое сечение цилиндра $S_{II} = \pi \cdot |AB|^2$, оставленное на своей месте $C^*$. Архимед заменает, что подсбное соответствие установливается и для любых других сечений шара, конуса и цилиндра, лежащих в одной и той же «вертикальной» плоскости. Тут важно отметить, что сечения шара и конуса «подещиваются» все время. В одной и той же точке $T$, на расстоянии $2R$ от точки опоры рычага $A$, а сечения цилиндра — на расстоянии $x$ от точки опоры $A$. Расматривая различные сечения наших трех тел вертикальных плоскостей (отстоящими от точки $A$ на различные расстояния $x$), мы каждый раз подвешиваем сечения цилиндра в разных местах (сечения конуса и шара

*) Мы предполагаем, что сечения $S_{III}$, $S_K$ и $S_{II}$ сделаны из одного матернала в виде очень тонких круглых дисков сдинаковой толщины.

12

Рис. 2.

меняются по величине при изменении $x$). Меняя $x$ от нуля до $2R$, т. е. расстояния всего изменяемые сечения трех тел, мы, соответственно, уравновешаем каждые три сечения (см. рис. 2). В результате слева в точке $T$ оказываются подвешенными все сечения шара и конуса, а справа — все сечения цилиндра (рис. 3). Архимед пишет *): «Если теперь, бере также кругги, заполнить им как цилиндр, так и шар с конусом, то цилиндр, оставясь в том же положении, будет относительно точки $A$ находиться в равновесии со вместе взятыми шаром и конусом, если перести их на рычаг в $T$ и помещить так, чтобы центр тяжести каждой из них оказался под $T$». Но центр

*) Именно в этих рассуждениях усматривается остроимое сочетание принципа поперечных сечений с правилом механического равновесия рычага.

Рис. 3.

Рис. 4.

13

Рис. 5.

Вращая рисунок 4 вокруг вертикальной оси AB, мы получим шар радиуса R, описанный около шара цилиндр и вписанный в цилиндр «двойной» круговой конус с вершиной в центре шара O. На рисунке 5 изображены эти три тела.

Возьемем точку C на оси вращения AB на некотором расстоянии x от центра шара и проведем через C горизонтальный плоскость (MN). Эта плоскость в сечении с цилиндром образует круг радиуса $|CM| = R$, в сечении с конусом — круг радиуса $|CD| = |OC| = x$ (так как угол при вершине конуса прямой) и в сечении с шаром — круг радиуса $|CE|$. По теореме Пифагора $|OE|^2 = |CE|^2 + |OC|^2$, или

$$|CM|^2 = |CE|^2 + |CD|^2.$$

Умножив обе части этого соотношения на число π, получим $\pi \cdot |CM|^2 = \pi \cdot |CE|^2 + \pi \cdot |CD|^2$, т. е.

$$s_ц = S_ц + s_к,$$

(3)

где $s_ц$, $S_ц$ и $s_к$ — соответственно, площади кругов, получающихся при пересечении цилиндра, шара и конуса плоскостью (MN).

Соотношение (3) выполняется для любых других сечений цилиндра, шара, и конуса, лежащих в одной и той же горизонтальной плоскости. Воспоминания принципи поперечных сечений, перейдем от соотношения (3) для плоскадей к таким же соотношенияю для объемов:

$$v_ц = V_ц + v_к.$$

Поскольку объем цилиндра второе больше объема вписанного в него «двойного» конуса (у которого те же основание и высота), т. е. $v_к = \frac{1}{3} v_ц$, мы получаем результат Архимеда:

$$V_ц = v_ц - v_к = v_ц - \frac{1}{3} v_ц = \frac{2}{3} v_ц,$$

а именно, что объем шара в полтора раза меньше объема описанного цилиндра.

Задание
На рисунке 6 изображены шар и цилиндр с двумя конечками воронками на основании. Высота и диаметр основания цилиндра равны диаметру шара. Какое из этих двух тел весит больше?

14

Можно ли поднять себя за волосы?

Решение самой сложной технической задачи, как правило, начинается с рассмотрения идеального варианта, часто весма делкого от реализации проблемы. Аналогичным образом позволяет себе действовать автор этих строк и научет издадлека.

Вариант первый
Задание. На носу лодки установлен цитм, в котором мальчик с кормы лодки бросает камни. Считая удар камня о цитм абсолитно неупрузым и пренебрегая силой претеня лодки о воду и камня о воздуху, найти перемещение центра масс системы.

Решение. Расмотрим систему лодка (со шитом) — мальчик — камень. Все силы, действующие на тела в этой системе, — это силы взaimодействия между телами системы. Никакие внешние силы на систему не действуют (ведь силами претеня камня о воздуху и лодки о воду мы пренебрегаем). Но это означает, что импульс (количество движения) системы остается неизменным. И если в начальной момент времени (до бросания камня) центр масс системы был неодвижным (лодка находится в стоячей воде) или движался с некоторой скоростью $v$ (лодка плавет по течение), то и в любой другой момент времени он будет неодвижен или будет движаться с той же самой скоростью $v$. И бросание камня, и удар камня о шитнике не скажутся на положении центра масс. Иными словами, силы взaimодействия между телами изолированной (замкнутой) системы не могут изменить положения центра масс системы.

Вариант второй, в котором задача несколько условияется
Задание. На носу лодки установлен цитм, в котором мальчик с кормы лодки бросает камни. Считая удар камня о цитм абсолитно неупрузым, а абсолитная величина силы претеня лодки о воду равна $F$, и пренебрегая силой претеня камня о воздуху, найти перемещение центра масс системы*).

Решение. Если до бросания камня центр масс системы был неодвижен, то скорость лодки $v_{\text{л0}}$ сразу после броска и скорость камня $v_{\text{к}}$ связаны соотношением

$$mv_{\text{к}} + Mv_{\text{л0}} = 0$$

(m — масса камня, M — масса лодки). После броска, как только лодка начинает движаться со скоростью $v_{\text{л0}}$, система лодка — мальчик — камень

*) В жизни сила претеня зависит от скорости движения тела. Поэтому говорить о постоянной силе претеня несовсем корректно. Однако все качественные расуждения и выводы, которые мы получим в этом варианте, будут справедливы; под силой $F$ следует попомнить среднее (за время $t$) значение силе претеня.

15

перестановкой. На нее начинает действовать внешняя сила — сила $\vec{F}$ треня лодки о воду (знак «—» перед $\vec{F}$ означает, что направление этой силы противоположно направлению $\vec{v}_{\pi0}$). Сила треня будет уменьшать скорость движения лодки, и к моменту удара камня о шит (через время $t$ после броска) скорость лодки станет $\vec{v}_{\pi t} < \vec{v}_{\pi0}$, так что к этому моменту абсолотная величины импульса лодки уменьшится:
$$M |\vec{v}_{\pi t}| < M |\vec{v}_{\pi0}| = m |\vec{v}_{\kappa}|.$$
Значит, суммарный импульс всей системы сразу после удара камня о шит будет отличен от нуля и направлен в сторону движения камня. Абсолотную величины $\vec{u}$ все системы (ее центра масс) после удара можно определить из соответствия (см. рис. 1)
$$(M + m) |\vec{u}| = m |\vec{v}_{\kappa}| - M |\vec{v}_{\pi t}|,$$
или (так как $M |\vec{v}_{\pi t}| = M |\vec{v}_{\pi0}| - |\vec{F}| t = m |\vec{v}_{\kappa}| - |\vec{F}| t)$
$$(M + m) |\vec{u}| = |\vec{F}| t.$$
А зная величины $\vec{u}$ и $\vec{F}$, нетрудно найти и перемещение центра масс системы в любой момент времени.

Итак, наличие силы треня лодки о воду приводит к следующим особенностям:

Рис. 1.

1. скорость лодки после удара камня о шит будет направлена в сторону бросания;
2. чем больше сила, тем быстрее убивает скорость «отдачи» лодки, тем меньше $\vec{v}_{\pi t}$, тем, следовательно, больше конечная скорость всей системы.
   Таким образом, бросая камни с кормы на нос лодки, можно перевигаться без использования весел. После того как все камни с кормы будут переброшены на нос, необходимо очень медленно переташить их назад. Затем все можно повторить сначала.
   Если в лодке нет камней, а весла потеряны, то все равно положение не безвыходное. Роль камня может играть с кормы на нос и медленно возврашается назад.
   Если путешествиеник изобретатель, то совершение диких пряжков с кормы на лодку он поручит механизм. Достаточно установить на лодке эксцентрик, который в разные стороны движется с нединаковыми скоростями.
   Описанный выше способ перевижения не является оригинальным. Уже много лет в журналах появляются заметки о подобных самодвижениях тележках. А в последние годы созданы и большие модели таких экпажей.

Вариант третий, в котором все учитвается

Учтем теперь и силу $\vec{F}$ треня лодки о воду, и силу $\vec{F}$ треня камня о водух.

После того как мы разобрались со вторым вариантом, мы можем сразу записать, чем будет равен суммарный импульс системы после удара камня о шит:
$$(M + m) \vec{u} = \vec{F} t + \vec{F} t.$$
Здесь по-прежнему $\vec{u}$ — скорость центра масс системы, $t$ — время полета камня до удара о шит. Заменив векторные величины их проекциями на направление движения лодки и прияв направление полета камня

16

Задачи
наших
читателей

1. На сторонах треугольника ABC внешним образом построены равносторонние треугольники. Пусть D, E, F — центры тяжестестих треугольников. Доказать, что $S_{DEF} \geq S_{ABC}$.
   А. Ермилов
   (г. Коломна)

2. Три точки на плоскости являются концами диаметров трех окружностей, причем одна из окружностей проходит через три точки.
   Доказать, что площадь большого круга равна сумме площадей двух менших.
   М. Васнецов
   (г. Москва)

3. На плоскости данных треугольники ABC и MNK, причем прямая MN проходит через середины сторон AB и AC, а в пересечении этих треугольников образуется шестиугольник площади S с попарно параллельными противоположными сторонами.
   Доказать, что
   $3S < S_{ABC} + S_{MNK}$.
   Я. Темралиев
   (с. Новый Рычан
   Астраханской обл.)

17

Закон Архимеда и… решения уравнений

В прошлом году в девятом номере нашего журнала было расссказано, как решать кубичесные уравнения с помощью формулы Карданов и графических способом. Теперь мы хотим познакомить вас еще с одним способом решения уравнений третьей степени — с помощью… некоторые физики.

Переписывая страницы старого, но очень интересного журнала «Вестник опитной физики и элементарной математики» (1903 г., № 348), мы обнаружили описание давно забитой весма остроумной машины Меслина для решения алгебраических уравнений. Меслиnn предложил нахождение корни уравнения
$$a_n y^n + a_{n-1} y^{n-1} + \dots + a_1 y + a_0 = 0,$$
(1) определяя глубину погружения в воду специально изготовленных грузов, подвешенных к кормыслу весов (см. рисунок).

Что же собой представляют эти грузы? Оказывается, грузы должны быть такой формы, чтобы объем вытесняемой ими воды был численно равен глубине погружения, возведенной в соответствии со степенью (1, 2, 3, …, n). Другими словами, каждому члену в уравнения (1) должен соответствовать определенный груз.

Удобнее всего в качестве грузов использовать тела вращения*). Для члена $a_1 y$ соответствующим телом вращения будет цилиндр с площадью

*) См., например, главу IV «Геометрии 10».

основания, равной единице. Объем воды, вытесняемой таким цилиндром, будет численно равен глубине погружения (y). Для члена $a_2 y^2$ надо изготовить тело, называемое параболюном вращению. Она образуется при вращении параболы (точнее, дуг параболы) вокруг своей оси. Если парабола описывается уравнением $y = \frac{\pi}{2} x^2$, то объем параболюда вращения $V = \frac{1}{2} S y = \frac{1}{2} (\pi x^2) y = y^2$.

При погружении этого тела на глубину $y$ объем вытесняемой воды будет равен $y^2$—квадрату глубины погружения. Члену $a_3 y^3$ соответствует конус, образующая которого описывается уравнением $y = \sqrt{\frac{\pi}{3}} x$. Такой конус вытесняет объем воды, равный $y^3$—кубу глубины погружения (проверьте это!).

Можно показать, что и в общем случае, если для члена $a_h y^h$ изготовить соответствующее тело, вращая кривую (точнее, дуг кривой) $y = \sqrt[k-1]{\frac{\pi x^2}{k}}$ вокруг оси ординат, то объем вытеснения этого телом воды будет численно равен $y^k$.

Как же все-tаки работает машина Меслина? Расмотрим конкретный пример — экспериментально найдем корни кубического уравнения
$$y^3 - 16 y^2 + 83 y - 140 = 0.$$ (2)
Для работы понадобится рычажные весы, три сообщающихся сосуда с водой (или один большой произрачный сосуд) и три груза—цилиндр, параболюд вращения и конус. Коромысло весов лучше не прикреплять к стойке (как показано на рисунке), а, подобно аптекарским весам, подвешить на

18

нити. На правом и левом плечах кормься дляной 20 cm сделаем отметки в миллиметрах. Грузы можно изготовить, например, из алюминия. Высота всех грузов пусты будет одинаковая и равна 10 cm. Площадь основания цилиндра возьмем равной 1 cm², тогда его объем будет равен 10 cm³, а масса — 27 г. Однако разумно массу цилиндра уменьшить до 10 г (т. е. сделать ее численно равной объему): необходимые расчеты существенно упростятся. Для этого можно изнутри, вдоль оси цилиндра, выверлить соответствующее отверстие (но не до дня!). Аналогично изготовим и другие тела вращения. Параболонд вращения будет иметь объем 100 cm³ и массу 100 г (и в этом случае часть металла изнутри придет удалить). А вот конус лучше сделать в 100 раз меньше по объему и массе, чем предлагалось Меслиным. Иначе при высоте конуса 10 cm диаметр его в верхней части будет порядка 20 cm! Таким образом, образующая нашго конуса описывается уравнением $y = 10 \sqrt{\frac{\pi}{3}} x$, объем конуса (при высоте 10 cm) равен 10 cm³, а масса (с учетом внутреннего отверстия) — 10 г. При этом диаметр верхней части конуса ≈ 2 cm, так что никаких «технических» затруднений не возникнет.

Теперь присутствим непредределенно к эксперименту. Для удобства перешем уравнение (2) иначе, пересечены члены с отрицательными коэффициентами вправо:

$$y^3 + 83y = 16y^2 + 140.$$

(3) Развесим грузы на кормься весов и приведем весы в равновесие. Конус, соответствующий члену $y^3$, подвесим к левому плечу кормься. Поскольку коэффициент при $y^3$ в уравнении (3) равен 1, было бы разумно прикрепить конус на расстоянии 1 mm (будем измерять расстояния в мм) от оси вращения кормься. Но масса конуса у нас в 100 раз меньше, чем она должна быть. Чтобы скопперровать это, подвесим конус на отметке 100 мм. Цилиндр, соответствующий члену 83y, подвесим тоже к левому плечу кормься на расстоянии 83 мм от его середины. На правое плечу кормься подвесим параболонд вращения на отметке 16 мм. Ясно, что весы не будут в равновесии: сумма моментов сил, врашащих кормься против часовой стрелки, не равна сумме моментов сил, вызывающих врашение по часовой стрелке. Однако равновесия можно легко добиться, причем самых разными способами. Например, прикрепим к делению 100 мм на правом плечу кормься необходимый добавочный грузик. Из условия равенства моментов силяжестии легко найти массу этого грузика — она равна 2,3 г.

Затем начнем постепенно заполнять водой сообщающееся сосуда. Как только вода doit до подвешенных грузов (заметим, что их нижние вершины должны находиться на одном уровне), равновесие нарушится. Это и понятно: при погружении на одну и ту же глубину разные тела вытесяют разные объемы воды, т. е. возникают разные вытalkивающие силы. А дополнительный грузик и вовсе не погружается в воду.

Можно ли восстановить нарушенное равновесие? Да, если суммарные моменты вытalkивающих сил, действующих на кормься весов слева и справа, станут одинаковыми. Пусть глубина погружения тел равна $y$. тогда момент вытalkивающей силы, действующей на конус, пропорционален $y^3$, на цилиндр — 83 $y$, а на параболонд вращения — 16 $y^2$ (козффициент пропорционального является ускорение свободного падения). Но все эти величины входят в уравнение (3)! Только свободный член оказывается «не приделе». Включим и его в работу. Чтобы представить вытalkивающий момент, соответствующий свободному члену нашего кубического уравнения, создадим на левом плечу кормься момент, пропорциональный величины этого свободного члена (140). Для этого можно, например, еще один дополнительный грузик массой 1,4 г подвесить на отметке 100 мм левого плечу кормься.

Таким образом, уравнение моментов вытalkивающих сил будет выглядеть так:

$$y^3 + 83y = 16y^2 + 140.$$

Измеряя глубину погружения $y$ соответствующего положения равновеси

19

сия, найдем корни нашего исходного уравнения. В первый раз равновесие восстановления при глубине погружения 4 см, во второй раз — при глубине 5 см и в третьий раз — 7 см. Обратите внимание, что каждый раз при переходе положения равновесия наклон кормыса изменяется на противоположный. До глубины 4 см кормысло наклонено влево, от 4 до 5 см — вправо и т. д.

В принципие таким методом можно находить и отрицательные корни. Для этого достаточно положить $y = x - \frac{a}{3}$.

Рассмотрим частный случай последнего уравнения, когда $p \geq 0$, а $q < 0$. Сделаем еще одну замену: пусть $x = y\sqrt{p}$. Получим уравнение вида

$$y^3 + y = a,$$

где $a = \frac{-q}{p\sqrt{p}}$ ($a > 0$). Найдем положительный корень этого уравнения.

Возьем два сосуда одной и той же высоты $h$ (см. рисок): один — цилиндрический с плоскостью основания 1 см$^2$, другой — кончческий с объемом $h^3\left(\frac{h}{r} = \sqrt{\frac{\pi}{3}}\right)$. Соединним их тонкой трубкой с краном. Нальем в один из сосудов $a$ см$^3$ воды и откроем краан. Вода будет перетекать во второй сосуд до тех пор, пока уровни воды в обихх сосудах не станут одинаковыми. Обозначим через $y_0$ высоту уровня воды. При этом объем воды в цилиндрическом сосуде будет численно равен $y_0$, в кончском сосуде — $y_0^3$, а суммарный объем воды равен $a$. Следовательно,

$$y_0^3 + y_0 = a$$

(объем воды в соединнительной трубке мы пренебрегаем).

Значит, $y_0$ — один из корней уравнения (*).

20

Задачи
M441 — M445; Ф453 — Ф457

M441. Внутри выпуклого $2n$-угольника взята произвольная точка $P$. Через каждую вершину и точку $P$ проведена прямая. Докажите, что найдется сторона многоугольника, с которой ни одна из проведенных прямых не имеет общих точек (кроме, быть может, концов стороны).

Г. Гуревич

M442. Дано простое число $p>2$. Для каждого $k$ от 1 до $p-1$ обозначим через $a_k$ остаток от деления числа $k^p$ на $p^2$. Докажите, что
$$a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_{p-1} = (p^3 - p^2)/2.$$
C. Охитин

M443. Имеется таблица $n \times n$ клеток, в каждой клетке которой вначале стоит число 0. Разрешается произвольное выбрать $n$ чисел, стоящих в разных строках и разных столбцах, и увеличить каждое из них на 1.
a) Можно ли за несколько шагов получить таблицы, изобразенные на рисунках 1 и 2?
b) Можно ли получить таблицу с попарно различными числами?
b) * Какие вообще таблицы можно получить через $T$ шагов?

Ф. Шлейфер

M444. a) На рисунке 3 четыре прямые разбивают плоскость на одинаковать область: четырех

Рис. 1.
Рис. 2.

21

угольник (1), два треугольника (2 и 3), три угла (4, 5 и 6), четыре «бесконечных треугольника» — области, ограниченные каждая отрезком и двумя лучами (7, 8, 9 и 10), и «бесконечный четырехугольник» — область, ограниченную двумя отрезками и двумя лучами (11).

Будет ли сказано верно для любых четырех прямы на плоскости, среди которых нет параллельных и нет треек прямы, проходящих через одну точку?

6. Три больших кругга, не проходящих через одну точку, разбивают сферу на восемь треугольников. На какие области разбивают сферу четыре больших кругга, никакие три из которых не проходят через одну точку? (Большим кругом на сфере называют окружность, являющийся пересечением сферы с плоскостью, проходящей через центр сферы; рис. 4.)

в) На какие области могут разбить сферу пять больших кругов, никакие три из которых не проходят через одну точку?

А. Колмодоров

M445. Центры одинаковых непересекающихся окружностей находятся в центрах правильных шестиугольников, покрывающих плоскость так, как указано на рисунке 5. Пусть $M$ — многоугольник с вершинами в центрах окружностей. Окрасим в красный цвет те окружности или их части (други), которые лежат внутри $M$. Покажите что сумма градуных величины красных дуг равна $C \cdot 180^\circ$, где $C = C(M)$ — целое число, и дайте этому числу геометрическую интерпретацию.

А. Сосинский

Ф453. Система грузов, показанная на рисунке 6, стоит на гладком горизонтальном столе. Массы кубиков $m_1, m_2$ и $M$. Кубик массы $m_2$ удерживает на высоте $l$ над столом. Если система предоставить самой себе, то она придет в движение, причем верхний кубик будет скольнить по нижнему. Козффициент трения между кубиками равен $k$. На какое расстояние переместится нижний кубик к тому моменту, когда кубик массы $m_2$ коснется столе?

Ф454. Если на первичную обмотку неагруженного трансформатора подать напряжение $u_0 = 220 \text{ В}$, то напряжение на вторичной обмотке будет $u_1 = 127 \text{ В}$. Какое напряжение будет при $u_0 = 220 \text{ В}$ на нагрузке $R = 10 \text{ Ом}$, подключенной ко вторичной обмотке этого трансформатора?

Активное сопротивление первого обмотки трансформатора $r_1 = 2 \text{ Ом}$, а вторичной — $r_2 = 1 \text{ Ом}$. Внутреннее сопротивление генератора пока пряньт равным нулю.

В. Скороваров

22

Ф455. Потери мощности в линии электрон передачи составляют 5% от мощности, получаемой потребителем. Как нужно изменить напряжение на входе линии и сопротивление потребителя для того, чтобы при той же мощности, получаемой потребителем, потреби в линии сизить до 1%?

И. Слободецкий

Ф456. Какую минимальную скорость нужно сообщить на Земле космического кораблю для того, чтобы он попал на Солнце? Каким будет время полета корабля к Солнцу?

Ф457. Два плоских воздушных конденсатора с одинаковыми обкладками заряжены до одинаковых зарядов. Расстояние между обкладками у первого конденсатора вдвое больше, чем у второго. Как изменится энергия электронского поля системы, если второй конденсатор вставить между обкладками первого так, как показано на рисунке 7, а и б?

С. Козел

Решения задач

M396, M397, M400—M402*); Ф407—Ф412

М396. Треугольник, все стороны которого больше 1 см, называем «большим». Дан правильный треугольник ABC со стороны 5 см. Доказите, что: а) из треугольника ABC можно вырезать 1000 «больших» треугольников; б) треугольник ABC можно разрезать на 1000 «больших» треугольников; с) треугольник ABC можно разрезать его так, чтобы любые два треугольника либо не имели общих мочек, либо имели молко общую вершину, либо имели общую стороны; д) сделайте пункты б) и в) для правильного треугольника со стороны 3 см.

Мы решим пункты б) и в) задачи для треугольника со стороны 3 см (рис. 1). Пусть K и L — точки, делящие стороны AC на три равные части, P — середина стороны BC. Восстановим из точки K и L перепедикуляры KN и LM к стороне AC; пусть $N_1 = [AP] \cap [KN)$, $M_1 = [CN_1] \cap [LM)$, $N_2 = [AM_1] \cap [KN)$, $M_2 = [CN_2] \cap [LM)$, и т. д. Мы получаем разбиение треугольника на треугольники АBP, CPN$_1$, AN$_1$M$_1$, CM$_1$N$_2$, AN$_2$M$_2$ и т. д. Все эти треугольники — «большие» стороны каждого из них больше 1 см (|BP| = |CP| = 1,5 см, а остальные стороны больше 1 см, поскольку их проекции на AC не меньше 1 см). Из решения ясно, что вместе числа 1000 можно было бы написать любое другое сколью угоду большего число.

*) Решение задачи M398 будет помещено в следующем номере журнала; задача M399 решена в статье A. Савина «От школьной задачи — к проблеме» (см. «Квант», 1976, № 12).

23

Построение триангуляции треугольника $ABC$ на «большие» треугольники (пункт в) задачи основано на той же идее.

Пусть точки $K, L$ и $P$ — такие же, как и раньше, $KN$ и $LM$ — перпендикуляры к $AC$, точка $N_1 = [AP] \cap [KN]$.

Возьем на отрезке $KN_1$ точку $N_2$ и соединим ее с точками $A, P$ и $C$ (рис. 2). Обозначим через $M_1$ точку пересечения $[LM]$ с $[CN_2]$: $M_1 = [CN_2] \cap [LM]$. На отрезке $LM_1$ возьмем точку $M_2$ и соединим ее с точками $A, N_2$ и $C$. Через $M_3$ обозначим точку пересечения $[KN]$ с $[AM_2]$; на отрезке $KM_3$ возьмем точку $M_4$, соединним ее с точками $A, M_2$ и $C$ и т. д.

Продолжая этот процесс, мы получим (по той же причине, что и выше) исключую триангуляцию треугольника $ABC$ на «большие» треугольники $ABP, APN_2, CN_2P, AN_2M_2, CN_2M_2$, … (число треугольников может быть сделано каким угодно).

С. Фомин

**M397. На плоскости данных три окружности одинакового радиуса. а) Доказите, что если они пересекаются в одной точке, как показано на рисунке 3, то сумма отмеченных дуг $AK, CK, EK$ равна $180^\circ$. b) Доказите, что если они расположены так, как показано на рисунке 4, то сумма отмеченных dуг $AB, CD, EF$ равна $180^\circ$.

Рис. 3.

Рис. 4.

**M400. Послеовательность намуральных чисел $a_1, a_2, \dots, a_k$ наовет универсальной для заданного $N$, если все можно получить вычеркиванем частями членов любую последовательность из $N$ чисел, в котором каждое a) Выписав подряд $N$ групп вида 1, 2, …, $N$, мы получим универсальной последовательность длины $N^2$. b) Вот пример $N$-универсальной последовательности длины $N^2 - N + 1$. Выпишем подряд $N - 1$ группу чисел 1, 2, …, $N$ и в конце пример число 1. Доказем, что эта последовательность действительное $N$-универсной.

24

дое из чисел 1, 2, …, N входит по одному разу.
a) Приведите пример универсальной последовательности из $N^2-N+1$ членов.
b) Докажите, что любая универсальная последовательность состоит не менее чем из $\frac{N(N+1)}{2}$ членов.
c) Докажите, что при $N=4$ сама коротка универсальной последовательности состоит из 12 членов.
d) Попробуйте найти длину данного $N$ как можно более коротку универсальной последовательности.

Пусть $q = (b_1, b_2, \dots, b_N)$ — произвольная перестановка чисел 1, 2, …, $N$. Если эта перестановка вида $q = (N, N-1, \dots, 1)$, то вычеркием в нашей последовательности в первой группе все числа, кроме $N$, во второй — все числа, кроме $N-1$, и т. д. Если же $q$ не такого вида, то для некоторого $k$ будем иметь: $b_k < b_{k+1}$. В этом случае, если $i < k$, то вычеркием в $i$-й группе нашей последовательности все числа, кроме $b_i$; в $k$-й группе вычеркием все числа, кроме $b_k$ и $b_{k+1}$, а если $j > k$, то вычеркием в $j$-й группе все числа, кроме $b_j+1$. И, наконец, вычеркием самое последнее число 1, — получим перестановку $q = (b_1, b_2, \dots, b_N)$.

Для решения пункту д) нам понадобится некоторое обобщение этой конструкции*. А именно: пусть $1 \leq k \leq N$. Выпишем подряд $k-1$ группу чисел 1, 2, …, $N$, а за ним укороченную $k$-ю группу вида 1, 2, …, $N-k+1$ (например, при $N=5$, $k=3$ получим 1234512345123); получим последовательность длины $kN-k+1$. Совершенно аналогично доказывается, что из этой последовательности вычеркииваем части членов можно получить любую последовательность длины $k$, в которой встречются числа 1, 2, …, $N$ — каждое не более одного раза. Такое свойство мы будем называть $(N, k)$-унверсальностью.

Построим теперь $N$-унверсальную последовательность длины $N^2-2N+4$ (это является уличшением предыдущей оценки, начиная с $N=4$). Выпишем подряд $N-2$ группы чисел 1, 2, …, $N-1$. За ним написем укороченную $(N-1)$-ю группу, состоящую всего из двух чисел: 1 и 2. Затем вставим в эту последовательность $N$ экземпляров числа $N$ по следующему правилау: первый экземпляр написем в самом начале, второй — в первой группе, после первого входения числа $N-1$, третьий экземпляр — во второй группе, после второго входения в нашу последовательность числа $N-2$ и т. д. Послений, $N$-й экземпляр числа $N$ вставим в последнюю укороченную группу после последнего входения числа 1 (например, при $N=5$ получим последовательность 5123451235412534152). Получим последовательность длины $(N-1)(N-2)+2+N=N^2-2N+4$; обозначим ее через $P$. Докажем, что последовательность $P$ является $N$-унверсальной. В самом деле, пусть $q$ — произвольная перестановка чисел 1, 2, …, $N$, и пусть число $N$ встречается в последовательности $q$ на $k$-м месте. Число $N$ разбивает последовательность $q$ на две части: левую — длины $k-1$ и правую — длины $N-k$. Нам нужно из $P$ вычернуть часть членов так, чтобы получилась последовательность $q$. Вычеркием сначала все экземпляры числа $N$, кроме $k$-го. Слева от невычернутього $N$ остается, очевидно, $(N-1, k-1)$-унверсальная последовательность, из которой вычеркииваем можно получить последовательности $q$, стоящую от $N$ справа. Значит, построенная последовательность $P$ (длины $N^2-2N+4$) действительно $N$-унверсальна.

Перейдем теперь к оценкам сизу. Мы решим одновременно пункты в) и г), доказав более сильное утверждение и е: при $N \geq 2$ длина любой $N$-унверсальной последовательности не меньше $\frac{N^2+3N-4}{2} = \frac{N(N+1)}{2} + N-2$.

*) Изящное решение задачи d) присладачили А. Касчинук из Николаева и А. Мошонкин из Ленинграда.

25

Прежде всего заметим, что если число $N$ впервые встреется в $N$-унверсальной последовательности $P$ на $k$-м месте, то часть $P$, расположенная справа от этого $N$, образует $(N-1)$унверсальной последовательность, так как для получения любой перестановки чисел 1, 2, …, $N$, начнашося с числа $N$, нужно вычернуть из $P$ все числа с номерами до $k-1$-го включительно.

Будем доказывать утверждение по индуцини. При $N=2$ оно легко проверяется. Пусть оно верно при $N=M$, и пусть $P=(a_1, \dots, a_L)$ — произвольная $(M+1)$-унверсальная последовательность. Если какое-то число встреется в $P$ только один раз, то, изменив в случае необходимости обозначения, можно считать, что это число есть $M+1$, и тем самым справа и слева от него стоит $M$-унверсальные последовательности; дляна каждой из них по индуционному предположению не менее $\frac{M^2+3M-4}{2} (M \geq 3)$. Тогда $(\Delta \text{лина } P) \geq 1+2\left(\frac{M^2+3M-4}{2}\right) \geq \frac{(M+1)^2+3(M+1)-4}{2}$, что дает доказательство шага индуцини. Итак, можно считать, что каждое число в $P$ встреется не менее двух раз. Пусть $k$ — наименьший номер такой, что среди чисел $a_1, a_2, \dots, a_k$ встреется все числа 1, 2, …, $M+1$. Изменив, если потребуется, обозначения, можно считать, что $a_k=M+1$. Тогда очевидно, что $k$ есть номер первого входения числа $M+1$ в последовательность $P$. Слева от него стоит числа от 1 до $M$ — всего не менее $M$ штук. Кроме того, в $P$ найдется по крайней мере два числа $M+1$, а если все их выбросить, то справа от $a_k$ останется $M$-унверсальной последовательностью, дляна которой по индуционному предположению не менее, чем $(M^2+3M-4)/2$. Отсюда общая длина $P$ не менее $\frac{M^2+3M-4}{2} + M+2 = \frac{(M+1)^2+3(M+1)-4}{2}$. Утверждение доказано. Применя его в случае $N=4$, получим доказательство пункт г) (унверсальный последовательность из 12 членов постройте теперь легко; например, 123412314213).

Д. Берништейн

M401. Внутри остроугольного треугольника ABC дана точка $P$ makая, что $\widehat{APB} = \widehat{ABC} + 60^\circ, \widehat{BPC} = \widehat{BAC} + 60^\circ, \widehat{CPA} = \widehat{CBA} + 60^\circ$. Докажите, что точки пересечения продолжений отрезков $AP, BP, CP$ (за точку $P$) с окружностью, описанной вокруг $\triangle ABC$, лежат в вершинах равностороннего треугольника.

M402. Докажите, что не существует строю возрастицей последовательности целых неотрицательных чисел $a_1, a_2, a_3, \dots$, для которых при любых $n$ и $m$ выполняется соответствие $a_{nm} = a_n + a_m$.

Обозначим точки пересечения продолжений отрезков $AP, BP, CP$ с окружностью, описанной вокруг треугольника $ABC$, через $A', B'$ и $C'$ соответственно (см. рис. 5). Величина угла с вершиной внутри круга равна получиме угловых величины двух других из которых одна заключина между сторонами этого угла, а другая — между продолжениями сторона; а величина вписаного угла равна половине угловой величины других, на которой он опирается. Позмоту $\widehat{APC} = \frac{1}{2}(AB'C + A'BC') = \widehat{ABC} + A'B'C'$; но по условию $\widehat{APC} = \widehat{ABC} + 60^\circ$, открываем $\widehat{A'B'C'} = 60^\circ$.

Аналогично доказывается, что и $\widehat{A'C'B'} = C' \widehat{A'B'} = 60^\circ$. А. Ягуььяч

Первое решение. Заметим, что $a_{22} = a_2 + a_2 = 2a_2, a_{23} = a_{22} = 2a_2 + a_2 = 3a_2$, и вообще $a_{2n} = na_2$ для любого $n$. Возьмем часть последовательности $a_1, a_2, a_3, \dots, a_{2n}$. Если последовательность строю возрастицей, то, поскольку числа и неотрицательные, $a_{2n} \geq 2^n$. С другой стороны, $a_{2n} = na_2$. Значит, если такая последовательность $a_1, \dots, a_n$,..

26

существует, то для любого $n$ должно выполняться неравенство $2^n \leq n a_2$. Доказем, что это невозможно; именно, показем, что отношение $\frac{2^n}{n}$ стремится к бесконечности с ростом $n$.

Обозначим отношение $\frac{2^n}{n}$ через $b_n$ и рассмотрим отношение $b_{n+1}: b_n$:

$$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2^{n+1}}{n+1}: \frac{2^n}{n} = 2 \cdot \frac{n}{n+1} = 2 \left(1 - \frac{1}{n+1}\right) \geq \frac{4}{3},$$

если $n \geq 2$. Из этого следует, что $\frac{b_n}{b_2} \geq \left(\frac{4}{3}\right)^{n-2}$, т. е.

$$b_n = \frac{2^n}{n} \geq 2 \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^{n-2} > \left(\frac{4}{3}\right)^{n-2}.$$

Очевидно, что $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{4}{3}\right)^{n-2} = \infty$, следовательно, $\lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{n} = \infty$.

Значит, строго возрастишей последовательности $a_1, \dots, a_n, \dots$, о котором говорится в условиям, быть не может.

Второе решение. Предположим, что такая последовательность существует. Пусть $n$ — натуральное число, большее, чем $a_2$. Тогда $a_{2n} = a_n + a_2 < a_n + n$; значит, натуральные числа $a_{n+1}, a_{n+2}, \dots, a_{2n}$ лежат в промежутке $[a_n+1, a_n+n-1]$ и различны, чего не может быть, так как в этом промежутке всего $n-1$ целое число.

С. Фомин

Ф407. Машинистм пассажирского поезда, движение со скоростью $v_1 = 108$ км/час, замемил на расстоянии $s_0 = 180$ м впереди движущемся в ту же сторону со скоростью $v_2 = 32,4$ км/час movарный поезд. Машинистм сразу включил мороз, блаодарчему пассажирскому поезд начал движаться с ускорением $a = -1,2$ м/ сек $^2$. Достаточно ли это ускорения для мого, чтобы поезда не столкнулись?

Ф408. Из сопротивления в 1, 2, 3 и 4ом собрана схема, показанная на рисунке 7. Какой ток quem через амperметр $A_2$, если ток quem амperметр $A_1$ 5а? Показанная волтметра 10 в. Измерительные приборы идеальны.

Нарисуем графики зависимости координат поездов от времени. За начало отсчета выберем точку, в которой началось торможение пассажирского поезда, а за направление оси координат примем направление скоростей поездов. В такой системе координаты поездов в момент времени $t$ равны

$$x_{\text{пас}} = v_1 t + \frac{at^2}{2},$$

$$x_{\text{TОВ}} = v_2 t + s_0,$$

где $v_1 = 108$ км/час = 30 м/ сек, $v_2 = 32,4$ км/час = 9 м/ сек.

Из графиков (рис. 6) видно, что в момент времени $t'$ и $t''$ координаты поездов равны. Это означает, что в момент $t'$ и $t''$ произойдет стольновое поезд. Найдем значения $t'$ и $t''$ из ускорения $x_{\text{пас}} = x_{\text{TОВ}}$:

$$30t - 0,6t^2 = 9t + 180,$$

или $t^2 - 35t + 300 = 0$, откуда $t' = 15$ сек, $t'' = 20$ сек.

координаты поездов в момент $t = t'$ равны $x_{\text{пас}} = x_{\text{TОВ}} = 315$ м.

Согласно показанным волтметра и амperметра $A_1$, сопротивление всей изображенной на рисунке 7 цепи $R = \frac{U}{I} = 2$ ом.

Найдем, каковы при этом сопротивления $R_1, R_2, R_3$ и $R_4$. Так как амperметр $A_2$ идеальный, его сопротивление можно считать равным нулю, и точки $a$ и $b$ при расчете сопротивления можно считать соединиными друг с другом накоротко. Положим $R_1 = 1$ ом. Тогда простым перебором убеждаемся в том, что $R_2 = 4$ ом, а для сопротивления $R_3$ и $R_4$ возможны два варианта: или $R_3 = 2$ ом и $R_4 = 3$ ом, или $R_3 = 3$ ом и $R_4 = 2$ ом.

Рассмотрим точку разветвления цепи, например, точку $a$. Алгебраическая сумма токов, схождения в этой точке, равна нулю:

$$I_1 - I_3 - I_5 = 0.$$ (*)

Следовательно, чтобы определить ток $I_5$, текущий через амperметр $A_2$, достаточно знать $I_1$ и $I_3$. Найдем их.