Квант 1977, №9 · Страницы

КВАНМ 9
1977

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - MATEMATIЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

2

Научное творчество учашихся

Весной 1977 года Секретariat ЦК ВЛКСМ, Коллегия Министерства просвещения СССР, Председум Всегоозного совета научно-технических обществ и Председум правления Всегоозного общества «Знание» принял совместное постановление «О научном обществе учашихся». В этом постановлении утверждено примерное Положение о научном обществе учашихся (НОУ) и поставлена задача «принять конкретные меры по созданию научных обществ учашихся повсеместно».

Цель НОУ — привлечь школьников к активной творческой деятельности. В нашей стране уже давно и успешно работают научные объединения учашихся Малая академия наук (МАН) «Искатель» (Крымская обл.), Челябинское научное общество учашихся, научное общество учашихся «Винторул» (Кишинев), математическое общество «Понск» (г. Малая Вишера), научно-техническое общество учашихся г. Норильска. Значительный вклад в развитие позначательной активности и творческих способностей учашихся внесет Дворцы и Дома пionеров и школьников. Многочисленные научные объединения, крупки и секции для учашихся созданы при научно-исследовательских и проектных организациях, при вычисках и средних специальных учебных заведениях. О большой и плодотворной работе членов НОУ красноречиво свидетельствуют итоги первого Всегоосной слета активных обществ учашихся (об этом следует расссказывать в «Кванте», 1975, № 9).

Перед научными обществами учашихся стоит важные задачи. НОУ признаны активно содержавать школе в коммунистическом воспитании учашихся, в их вестороннем развитии, в выработке у них творческого отношения к труду, привить школьникам интерес к изучению основ общественного-пolitических, гуманитарных, естественных и математических наук, познакомить школьников с методами и приемами доступных им научных исследований и чтения научной литературы.

Редакционная коллегия и редакция журнала «Квант», горячего поддерживая решение о создании сети научных обществ учашихся, намерены систематически помогать этим обществом в их деятельности, рассказывать читательам об опыте работы лучших обществ.

Материалом для работы членов НОУ могли бы послужить циклы помещаемых в журнале тематических близких статей по физике или математике, подготовка докладов и сообщений по этим статям, коллективное обсуждение отдельных проблем, выяснение непонятного с учетом или научным руководителем, решение задач и обобщение этих решений и т. д. Богатыые возможности для творческой работы членов НОУ открывают публикуемые в журнале описания экспериментов и разнообразные задачи. Поддержкам, что многое из этих задач, по существу, являются темами для содержательных самостоятельных исследований.

Не нужно думать, что исследовательская работа школьников может носить лишь учебно-познавательный характер, что они в состоянии только выступать с рефератами статей или решать «известные» задачи. Опыт многих НОУ свидетельствует: школьникам доступны и серверные содержательные проблемы, решения которых интересны для научки и техники. В качестве примера приведем сообщение, недавно опубликованное газетой «Известия»: «Устройство «Антисон», созданное горьковскими радиолюбителями — конструктором А. С. Шербаковым и школьниками И. Буровым и Э. Сeedневым, занимаевало специалистов. Это устройство чутко реагирует на ослабление внимания автоводителей во время движения». Напомним также итоги первого Всероссийского слета активных обществ учащихся: из представленных на селе работ 79 нашли различное применение в народном хозяйстве, а 37 были опубликованы в журнале и сборнике.

В редакции «Кванта» всегда с особым внимание относятся к материалам, которые присылают наши читатели-школьники. Консультанты журнала страются подробно и всесторно оценить каждую работу, дать полезные советы по ее продолжению иadoraотке, ответить на вопросы. Для ответов на вопросы, представляющие общий интерес, в журнале создан специальный раздел «Спрашивайте — ответаем». Наболее удалные и содержательные материалы школьников появились в виде статей на страницах журнала; за истекшие годы в «Кванте» было опубликовано около двадцати таких статей. И в настоящее время журнала читатели найдет работу школьника Вадима Книжника из Москвы. Журнал намерен и впредь продолжать эту практику.

Большой популярностью пользовется проводимый журналом конкурс решения задач, помещаемых в «Задачике« «Кванта»». Редакция журнала приглашает всех членов НОУ, интересующихся физикой и математикой, к участию в этом конкурсе.

Членам и руководителем научных обществ учащихся, особенно вновь созданных, будет, несомненно, интересно и полезно познакомиться с опытом работы других НОУ. Вот, например, письмо, которое прислал в «Квант» от имени членов математического общества школьного отделения МАН «Искатель» Павел Корняков, Олег Конник и Алексаンド Мебель.

«Сообщаем Вам, что у нас, по-прежнему, работает школьное отделение МАН «Искатель» Крыма. Отделение продолжает поиск новых, более интересных, полезных форм работы. Сейчас отделение включает четыре общества: математическое, физическое, химическое и биологическое. Математическое общество проводит olимпиды, конкурсы, вечера, общественные смотры знаний, математическое «бои» и др. Все это дает положительные результаты. Члены и кандидаты в члены МАН нашей школы являются победителями районаных, городских и областных olимпидов по математике.

Команда Крыма на республиканской олимпиде, как правило, включает учащихся нашей школы № 40 г. Симферополя. И выступают наши юные математики довольно неплохо. На последней олимпиде України наши учащесы заняли два первых и два третьих мест, а наш девятиклассик Алексаンド Беспалов был включен в команду України.

Все команды нашей школы выписывают журнал «Квант», решают задачи, публикуемые в этом журнале. Выпускник нашей школы прошло год Олег Годин за успешное решение задач был премирован годичной подписью на журнал «Квант»…»

Редакция «Кванта» намерена информаровать своих читателей о наиболее интересных научных обществ учащихся и о работах членов НОУ. Приглашаем руководителей секций физики и математики НОУ писать в журнале о своих планах, тематике и формах занятий, о научных исследованиях ученков.

4

В этом году наша страна разднует 60-летие Великой Октябрьской социалистической революции. Как сказал Генеральный секретарь ЦК КПСС Л. И. Брежнев, отвевая на вопросы главного редактора газеты «Асахи» С. Хата, «за прошедшие 60 лет советский народ под руководством Коммунистической партии прошел путь, который мы впервые гордиться. При жизни одного поколения было поконечно с вековой отсталостью. Наша страна вышла на высокий уровень экономического и научно-технического развития. Если на долю доверологии Российской прихождения лишь немного более 4 процентов мировой промышленной продукции, то сегодня Советский Союз производит пятую ее часть»).

Новый огромный скачок, который представляет совершить нашей стране в 10-й пятилетке, требует дальнейшего укорения темпов научно-технического прогресса, быстрошего использования достижений научно-технической революции для лучшення качеств и эффективности работы во всех звеньях народного хозяйства. Современная elektrонная вычислительная техника является одним из определяющих факторов в научно-технической революции, в дальнейшем прогрессе научки, технически и производства.

«Основными направлениями развития народного хозяйства СССР на 1976—1980 годы» предусмотрено увеличение выпуска средств вычислительной техники в 1,8 раза, дальнейшее развитие производства универсальных и управляющих вычислительных комплексов, поставленные большее задачи по дальнейшему развитию применений ЭВМ в научных исследованиях, на производстве и в экономике.

Сама вычислительная техника, начиная с появления первого elektrонного компьютера, также находится в процессе бурного развития. Если основная функция машин первого поколения в реализации простой системы команд, то в современных машинах устройства должны выполнять целый ряд новых функций. В течение прошло пяты лет летелки наша промышленность перешла навыпуск единой системы (EC) ЭВМ третьего поколения. Переход к ЕС ЭВМ коренным образом меняет организацию использования вычислительной техники, включая также элементы этой организации, как технически программирования, организация данных, организация вычислительного процесса, характер взаимодействия пользователя с ЭВМ и др. Необходимость подобной перемены обслуживания в полне определённым и неизбежным этапом в истории ЭВМ, а именно переход их из разряда получения научных инструментов для решения особо сложных задач в разряд инструментов, обслуживающих массивы (и весма разнообразных) потребителей.

Совершенствование компьютеров и способов их применения требует решения многоих специфических проблем какFundamentalного, так и чисто прикладного характера. О решении некоторых проблем, связанных с созданием и использованием ЭВМ, расскавается в публикуемом ниже статье Председателя научного совета по вычислительной технике и системам управления Государственного комитета Совета Министров СССР по науке и технически и Председанию АН СССР академика В. М. Глушкова.

Проблема автоматизации сложных вычислений привлека к себе внимание ученых уже давно. Однако лишь около 30 лет назад она впервые нашла себе достагоно полное решение в связи с созданием универсальных elektrонных вычислительных машин —компьютеров. Мы будем расматривать развитие вычислительных систем именного этого класса, хотя и в более ранний период существования специализированные вычислительные устройства, автоматизированные отделные классы вычислительных процессов.

Первый советский компьютер(МЭСМ) был создан в Академии наук УССР в Киеве под руководством академика С. А. Лебедева в 1951 году. При создании МЭСМ были независимо переоткрыты основные принципы, на которых были построены первые амерikanские и английские компьютеры, — так называемые приццы фон Неймана.

5

Во-первых, это нацице оперативной памяти, разбитой на одинаковые ячейки. Каждая ячейка предназначена для заполнения одного машинного слова, представляющего собой упорядоченный набор двойный цифр 0 и 1. Ячейки памяти снабжены адресами, в качестве которых выступают последовательные целые неотрицательные числа 0, 1, …, n — 1; число ячеек n — объем памяти.

Следующий принцип — нацице специального арифметического устрояства (АЛУ), предназначенного для выполнения простейших операций над словами, в частности, операции сравнения с целым установлениями совпадения или различия двух слов. Другой класс операций составляют арифметические операции (сложения, вычитания, умножения и деления) над словами, рассматриваемых как числа в двойной системе численения.

Кроме того, имеются операции обмена информацией (одно машинное слово за один текст обмена) между АЛУ и памятью, а также между АЛУ и специальными вводо-ввыводными устройствами. Важной черной рассматриваемой прицена является простота и элементарность системы машинных операций.

Операции управления вычислительными процессом связаны с третьим принципом фон Неймана — командо-adресьим прицном организации управления. Машинная команда состоит из условийкого кода операции, которое требуется выполнить, и адресов операндов (то есть слов, над которых выполняется операция, и результатата этой операции). Например, в операции сложения a + b = c имеются 3 операнда: a, b, c. Если один или несколько операндов хранятся в заранее определенных ячейках памяти или в специальных запоминающих ячейках — так называемых резистрах АЛУ, то адреса соответствующих операндов в команде могут опускаться. Нанболее существует момент третьего принципа фон Неймана является возможность запоминания в оперативной памяти не только операндов, но и программы вычислительной процесса, представляемой в виде конечной последовательности машинных команд, записанных двойными кодами.

Команды программы обычно располагаются в последовательных ячейках памяти и выбираются из нее специальным устройством управления (УУ) последовательно одна за другой и используются по одному за один раз. Однако такая последовательность исполнения команды может нарушаться специальными командами перехода, когда адрес следующего команда определяется управляющей командой.

Четвертый принцип состоит в неизменности структуры связи устройствами.

Вместе с первыми комьютерами возникла и задача программырования, то есть представления в виде последовательности машинных команд тех или иных вычислительных процессур или других процессов преобразования дискретной информации (совокупностей машинных слов).

Рассмотрим задачу программырования для простейшей задачи нахождения факторала n! заданного натурального числа n. Для хранения операндов нам потребуется четые ячейки памяти, в качестве которых мы выберем ячейки с адресами 0, 1, 2, 3. Для управления опустим программму ввода исходных данных и предположим, что к моменту начала работы программы в нулевой ячейке хранится число n, а в первой, второй и третьей ячейках — единицы. Тогда программа вычисления факторала представится следующей программиной (числа следующего сообщения команда); через(i) обозначено содержимое ячейки с адресомi):

4. Сравнить(2) с(0) и, если «равно», то на 8, иначе на следующую команду.
5. Прибавить(3) к(2), результат заслать в 2.
6. Умножить(2) на(1), результат заслать в 1.
7. Перейти к 4.
8. Останов.

Первая команда программы (с адресом 4) представляет собой так называемую команду условия перехода, а четвертая (с адресом 7) — команду безусловного перехода. Заметим, что

6

одну команду перехода можно было бы сэкономить, но для дальнейшего нам удобна именно эта запись. Представляя каждую операцию двойным кодом:

сравнение 001
сложение 010
умножение 011
переход 100
останов 101,

а адреса ячеек от 0 до 8 соответствующими четырехначными двойными кодами, запишем программу в закодированном виде (символом ~ обозначены неиспользовные адреса):

001 0010 0000 1000
010 0011 0010 0010
011 0010 0001 0001
100 0100 ~ ~
101 ~ ~ ~

Заметим, что программа будет работать правильно только тогда, когда она помещена в заданные выше ячейки (от 4-й по 8-ю).

Легко понять, что описанный способ программырования (в машинных кодах) чрезвычайно громоздок и утомительен, в силу чего даже опытные программы в сколько-нибудь сложных программах делают немало ошибок. Ошибки исправляются в процессе отладки программы — последовательной (команда за командой) программы для управления наборов данных (в данном случае, скажем, при n = 2 или n = 3), и контrole работы машины.

Сложность задачи программы управленияусугубляется начиным в компьютерах запоминающих устройств (3У) различных типов: быстрых 3У относимельно малое обмена (внутренних) и более медленных 3У большого обмена (внешних).

В 1951—1955 годах программы выполнялись в машинных кодах. Однако уже в этот период начались исследования путей управления программы за счет автоматизации различных его этапов. Важным этапом является символьческая (буквенные) адресов в исходной записи программы с последующим выбором конкретных числовых значений для этих адресов специальной, составленной один раз программиной. Возникли строение математической постановки задачи миниизация использования объема памяти. Для их решения были выбранные специальные комбинаторы методы.

Введение символьческих адресов вместе с символьческим обозначением машинных операций ознакомлено появление первых языков программирования, отличных от языка машинных кодов и более удобных для использования. Тем не менее языки этого класса, получившие впоследствии наименование ассемблерных языков, являются машинногоцентированными, поскольку используют в качестве элементов операторов лишь те машинные операции, которые имеются в той или иной конкретиной машине.

Важной весой в развитии программырования было введение понятия подпроераммы и введение в языки ассемблерного типа оператора обращения к подпроераммам. Самоеже включение подпрограммы в основную программу выполнялось в процессе трансляции исходной записи программы в окончательное (машинное) представление с помощью специальной программы, — так называемого ассемблера.

Новый шаг вперед на пути управления программырования был сделан в результате создания процесурно-ориентированных универсальных языков программы и соответствующих трансляторов. Подобные языки не привязываются к особенностям выполнения программы в конкретных машинах, широко использоват формулы языка алгебры. Первым отмеченным процессурно-ориентированным языком был так называемый адресный язык, разработанный в 1955—1956 годах В. С. Королюком и Е. Л. Юшенко. Важную роль в развитии теории программырования сыгraf операторный язык, предложенный А. А. Ляпуньым в 1954 году. Программа в этом языке представляется в виде конечной последовательности операторов $P_i$ и логических условий $\alpha_j$, принадлежащих заданным множеством операторов и условий. Переходы, возникшие в результате проверки логических условий, обозначаются стрелками или специальными символами. В записанной выше про-

7

грамме вычисления $n!$ участуют операторы сложения $P_1$, умножения $P_2$, останова $P_3$ и логическое условие $\alpha$ — условие равенства содержимого нулевой и второй ячеек. Программа в операторном языке запишется в следующем виде:

$$S = \prod_{i=1}^{n} P_1 P_2 \prod_{j=1}^{n} P_3.$$

Наличие относительной простой формы записи программы поставило вопрос о формальных преобразованиях программы. Разработкой теории таких преобразований много и успешно заималисы Ю. И. Янов, А. П. Ершов и другие советские математики.

Важным шагом в теории вычислительных систем было становление на начале 50-х годов понятия конечного автоматма. Это устройство, которое может находиться лишь в одном из состояний $a_i$, образующих конечное множество, может переходить из одного состояния в другое под действием приходящих в определенные моменты времени $t = 1, 2, \dots$ входных сигналов $x_j$, образующих конечное множество, и может выдавать выходные сигналы $y_k$, являющиеся функциями пары $(a, x)$ состояния и входного сигнала.

Наряду с аппаратом булевой алгебры теория автоматов составила формальный аппарат, с помощью которого стало возможным формилизовать, а впоследствии и автоматизировать значительную часть труда по проектированию вычислительных систем. В виде конечного автомата оказалось возможным представить любую программу (как машинную, так и операторную).

В 60-е годы шло дальнейшее развитие вычислительных систем и программирования. Высказанная автором еще в 1958 году идея о повышении уровня машинного языка нашла свое положение в миникомпьютере «МИР-1» (1965 г.), а затем в еще более продвинутой форме в машине «МИР-2» (1969 г.). В машине «МИР-2» внутренний язык особенно богат. Он позволяет операровать не только с целыми числами и десятичными дробями, но и с объIkновенными дробями, а также с формулами, использующими

8

элементарные функции (логарифм, снус и др.) и операции дифференцирования и интеррирования.

Благодаря богатству внутреннего языка процесс трансляции программы со входного языка на машинный практический исход. Специальное многоугольное устройство управления обеспечивает быстро интерпретацию сложных операторов (например, операторов аналитического дифференцирования и интеррирования), благодаря этому «МИР-2» при выполнении формальных преобразований успешно составляется в скорости работы с гораддо более мощными компьютерами, построенными по традиционной неймановской схеме.

Повышение уровня машинного языка означает фактически открытого второго принципиала фон Неймана. После машин серии «МИР» по этому пути пошла американская фирма «Барроуз», а в 70-е годы это направление стало общеприятной линейной развитией вычислительных систем. Другое направление, получившее широкое развитие в 60-е годы, — создание специальных систем программ (так называемых операционных систем) для управления вычислительных процессом и управления программирования в части, касающейся использования сложных неархитических систем памяти.

Компьютеры в этот период превращались в сложные вычислительные системы, объединяющие многогнезда таких различных устройств, в том числе разнообразные ввод-выводные устройства и устройства внешней памяти. Организовадает эффективную согласованию работы всех этих устройств одна из важнейших программ операционной системы — машинный диспетчер. Каждое из устройств работы в своем темпе, диспетчер же согласует их работы, организовывает связи между устройствами и соответствующие информационные обмены. В результате появилось возможность мультипрораммирования, то есть одновременной загрузки в системе неодной, а многох программ и их параллельного исполнения по командам диспетчера: в то время, когда центрный процессор ведет счет по одному программе, другие программы могут осуществлять операции ввод и вывод, поиск информации во внешней памяти (занмающено особенно много времени) и т.п.

Таким образом, удалось в определенной мере отличить от четырого принципиала фон Неймана — неизменности структуры связи — за счет возникновения оперативного отключения и подключения различного рода периферийных устройств (ввод, вывод и внешние 3У). Программист получил возможность не приявывать операции с периферийными устройствами к определенным единицам оборудования: их выбор и включение в соответствующую процесс осуществляется операционной системе.

Специальная часть операционной системы осуществляет управление данных. Она не только размещает сложные системы данных по 3У различных видов, но и осуществляет их поиск и передачу в оперативную память. В ряде систем программ операционной системы организуют так называемую виртуальную память. При этом программист как бы получает в свое распоряжение каждую оперативную память, равную сумму мощности всех 3У системы. Фактические же пересылаки необходимых данных и программных блоков в действительно оперативную память осуществляется автоматически.

Системы автоматизации программы и машины в этот период включают много входных языков, так что отдельные блоки одной и той же программы стало возможным записьвать на разных языках. Увеличивающийся международный объем программы привел к необходимости создания международных универсальных процессурно-ориентированных языков. Особо большое распоряжение получил язык «Алгол-60». В современных системах автоматизации программы и машины ширино приемаются и другие языки («Фортран», «PL-1» и др.).

Программисты, разработавшиешие операционные системы и системы автоматизации программирования, называются общно системными программами, в отличие от программтов, разработавших при-

9

кладные программы в той или иной конкретиной предметной области. Если во втором случае главное требование — хорошее значение программы соответствующего предметной области, то в первом случае от программы требуется хорошее владение всем секретами программыского мастерства и понимание архитектуры современных вычислительных систем.

В 60-e годы в СССР сложились сильные школьные системных программ в Москве, Новосибирске, Киеве и в ряде других городов.

Хотя в принципе многое задачи оптимизации операционных систем могут быть облачены в точные математические формулировки, современная математика, как правило, не может еще их решать. Поэтому при оптимизации операционных систем и структуры вычислительных систем широко использовются методы машинного моделирования. Разработаны специальные языки, ориентированные на такое моделирование, например, язык «СЛЭНГ» (1968 г.).《Недис》 (1974 г.) и др.

Важным направлением программрования со второй половины 60-х годов стало создание пакетов приложных программ в различных областях применения. Пакет — это не просто механическое объединение различных программ, но и набор специальных сервисных программ, облачащих их использование, то есть небольшая специализированная операционная система с проблемно ориентированным входным языком. Пакет для формальных вычислений позволяет в машину форматы в привящном для человека виде, например: $x = \sqrt{5,26 + 7,32 \cdot 8,04}$, $y = \sin(\pi/16)$ и т.п.

В теории вычислительных систем автору в 1966 году удалось найти новый подход, позволивший записывать программы в виде формат в некоторых специальной алгебры алгоритмов. В отличие от обычной школьной алгебры, в которой значения переменных принадлежат области всех вещественных чисел, в алгебре алгоритмов имеется две разные предметные области. Однако переменные латинскими буквами) интерпретируют как операторы, отображающие некоторое заданное множество $M$ в себя. Другие переменные (обозначемые греческие буквами) интерпретируют как логические условия, принимающие на множество $M$ два значения: 0 и 1.

Как операторы, так и условия могут быть определены не на всем множестве $M$, а на некоторой его части. Алгебра условий (булева алгебра) и алгебра операторов (полугрупла) изучалась уже давно. Суть идеи автора состоит введение смецанных операций, в которых участвуют как условия, так и операторы. Это следующее операция:

$$\alpha - \text{диизjonция} (P \vee Q),$$

$$\alpha - \text{итерация} \left\{ P \right\},$$

умножение условий на оператор $P \cdot \alpha$.

Не вдаваясь в подробное определение этих операторов, затем лишь что рассмотрена выше программы $S$ может быть записана в виде $\alpha$-итерации: $S = \left\{ P_1 P_2 \right\}$. Доказано, что любая программа, составлена из операторов $P_1, \dots, P_m$ и условия $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ может быть записана в виде формальных алгебры алгоритмов с переменными $P_1, \dots, P_m$ и $\alpha_1, \dots, \alpha_n$.

В алгебре алгоритмов, как и в обычной школьной алгебре, существует эквивалентные преобразования формул, то есть преобразовывать программы, не меняя определения его сложного оператора (преобразования на множество данных). Использование подобного алгоритма позволяет в 1969—1973 году построить автоматизированную систему проектирования компьютеров вместе с любыми реализуемыми на них системами программы, повышающего производительность труда при проектовании в 20—30 раз.

В 70-e года теория программрования и вычислительных систем продолжает развивать всема быстрыми темпами. Особенно большое внимание в этот период уделялось технологии составления и методов проверки пра-

10

вильности больших программ. Развильись идеи так называемого структурного программирования. Одной из вариантий этих новых технологий программы является развиваемый у нас в стране метод формирования механических задачи. Суть его состоит в том, что для написания сложной программы создается язык круппоблочных операторов и условия, с помощью которых удается записать требуемую программу достаточно кратко. Например, при построении шахматных программ в качестве операторов могут выступать процедуры проверения решки вферизи против одинокого короля, мата ладьей и королем, а в качестве условия—наличие проходной решки или открытой линии.

Затем создается новый язык с более мелкими операторами и условиями, и программа переписывается на этом языке. Строя серию таких языков и представлений, на каком-то этапе встречают полностью формированный язык, для которого существует автоматическая система транслирования.

Важным направлением развития теории вычислительных систем в 70-е годы стала теория многопроцессорных систем и общее достижение современной микроэлектроники приложенных обработки информации, заложенных в человеке мозгру. Существенно, что здесь фактически страдает разница между памятью и процессорами (АЛУ), а обработка информации идет сразу по всей памяти. Тем самым обеспечивает наиболее высокий уровень распараллеления и максимальное быстрое восстановление системы.

Турнирная таблица

По окончании школьного футбольного туринира (в один круг) ребята вручили Степе Мошкину все записи и поручили оформить итоговую таблицу. Степа заготвил таблицу, поставил в нее команды согласно заданным им местам и общее число забитых и пропущенных мячей, а потом пошел сам играть в футболь. Придомой, он увидел, что младшая сестра порвала все записи, оставалась только таблица. Помогите Степе ее заполнить, учитьвая, что за победу Степа ставил команде 2 очка, заничью — 1, за поражение — 0; при равенстве очков, набранных двумя командами, Степа ставил выше ту команду, у которой была больше разность забитых и пропущенных мячей, а если и эти разности были равны, то команду — победительницу личной встречи.

Э. Туркевич

11

Шестиметровый телефон

В 1609 году Галилей впервые направил на новое небо самодельную зрительную трубу (телекоп), составленную из двух очковых стекол, и получил увеличенное изображение небесных объектов. Эта зрительная труба давала лишь трехкратное увеличение. Уже в следующем году Галилей сделал еще два телекопа, затем еще несколько. Лучший из телекопов увеличивал в 30 раз. С этим инструментом Галилей сделал ряд замены телных открытей: он увидел четыреспутника Юпitera, обнаружил фазы у Венеры (напоминающие фазы Лунны), заметил горы на Луне, и «разложил» Млечный Путь на множество слабых, невидимых простым глазом, звезд.

Что такое увеличение телефона и от чего оно зависит? Телекоп Галилей состоит из двух основных частей: объектива (образенного к объекту) и окуляра (образенного к глазу). Объективом служила собирающая линза, а окуляром — рассеивающая, причем эти линзы были расположены так, что их задние фокусы совпадали. Ход лучей в таком телефоне (сейчас его обычно называют трубой Галилей) показан на рисунке 1. Параллельный лучок лучей от удаленного источника после преломления в объективе становится сходящимся, а по выходе из окуляра снова оказывается параллельным. Попадая затем в глаз на белюдателя, лучи сходятся на сетчатке глаза и дают действительное изображение источника. Угол α′, под которым лучи выходят из зрительной трубы, больше угла α, который составляют с осью лучи, падающие на объектив (или непосредственно в глаз наблюдается). Другими словами, зрительная труба увеличивает угол, под которым виден источник. Это увеличение равно (см. рис. 1).

$$K = \frac{tg \alpha'}{tg \alpha} = \frac{F_1}{F_2},$$

где $F_1$ — фокусное расстояние объектива, а $F_2$ — окуляра.

Современник Галилея Кеплер заменил рассеивающий окуляр короткофокусной собирающей линзой, играющий роль лучы при рассматривании созданного объективом изображения увеличенного источника. Ход лучей в трубе Кеплера приведен на рисунке 2. Премишестом этой трубы по сравнению с трубой Галилея является то, что она дает действительное изображение в фокальной плоскости объектива, куда можно поместить измерительную шкалу или фотопластику. Увеличение трубы Кеплера, как и трубы Галилея, равно отношению фокусных расстояний объектива и окуляра.

12

Рис. 1. Ход лучей в зрительной трубе Галилея.

Рис. 2. Ход лучей в зрительной трубе Кеплера.

И телефон Галилея, и телефон Кеплера впоследствии были названы рефракторами (от латинского слова frango — ломаю). Стремление получить как можно большее увеличение привело к построке очень длинных зрительных труб, что повлияло на качество изображения: его яркость уменшилась. Это можно было избежать, увеличив диаметр объекта, то есть увеличив количество света, прохождение через телефон *). Однако увеличение размеров объекта приводит к резkomу ухудшениючеткости изображений — они становятся распливчатыми и с цветными камками. Это связано с недостатками линз — прежде всего, со сферический и хроматический аберрации.

Причина возникновения первого недостатка довольно наглядно проиллюстрирована рисунком 3. Лучи,

*) Кстати сказаны, собрать как можно большее света, идущего от небесного объекта,—одно из основных назначений телефонка.

проходящие через различные участки линзы, расположенные на разных расстояниях от оси линзы, дают изображения точного источника, лежащие на разных расстояниях от линзы. В результате изображения светящейся точки получается в виде светлого распливчатого пятна. Эту погрешность линзы и называют сферический аберрацией.

Явление хроматической аберрации состоит в том, что изображение, даваемое линзой, оказывается окрашенным, окаймленным цветными камками. Эта погрешность возникнет из-за того, что лучи разного цвета одной и той же линзой преломляются по-разному — филотовые лучи сильнее, а красные слабее (рис. 4).

Во времяна Галилея и Кеплера считалось принципиально невозможным сделать объектив свободным от сферической и хроматической аберрации. Лишь во второй половине XVIII века был найден способ избавиться от этих недостатков, сделав

13

объектив составным из двух различных линз *). Однако трудности получения однородных и оптически совершенных стекол остались.

Для устройства хроматического аберрации англичанин Грегори в 1663 году предложил использовать в качестве объекта не линзу, а волну зеркало, которое совершило свободно от хроматизма, так как, по выражению Ньютона, «угол падения равен углу отражения для всех цветов». Причем, чтобы избежать от сферической аберрации, отражающая поверхность зеркала должна иметь форму параболида вращения, который coincide в одну точку лучей, параллельных оси параболида. Довольно скоро научились шлифованием придавать зеркалу нужную форму. Однако еще долго не умели покрывать поверхность стекла отражающим свет слоем сербра, и зеркала делались из специального сплава меди с оловом, который хорошо полируется и имеет достаточный отражательную способность. В качестве окуляра предлагалось использовать собственную линзу.

Грегори не удалось сделать предложенного им зеркального телексана — рефлектора, получившего название от латинского reflecto — загибано назад. Его сделал в 1668 году Ньютон, но лишь в 1722 году Джон Хадлей в Англии, а затем Шорт в Эдинбурге начали изготовление параболических рефлекторов, которые не уступали самым большим рефрактором того времени.

С тех пор началось совершование между двумя прициппально различными конструциями телексов — между рефракторами и рефлекторами. Рефракторы было делать труднее: во-первых, приходилось шлифовать у двух линз четыре поверхности и, во-вторых, предъявлялись более высокие требования к материалу — оптически однородному стеклу. Лишь в 1824 году знаменитый оптик Фраунгофер в Мюнхене сделал для обеспечения в Дерпте (ныне Тарр)

*) Более подробно об исправлении недостатков линз можно прочитать, например, в «Элементарном учебнике физики» под редакцией академика Г. С. Ландсберга.

Рис. 3. Возникновение сферической аберрации.

Рис. 4. Хроматическая аберрация.

ту в Эстонии) рефрактор с диаметром объектава 9 дюймов (24 см), а его преемник Мерц в 1839 году изготовил для Пулковской обсерватории 15-дюймовый объектив. Самый большой объектив в 40 дюймов (104 см) был сделан в 1896 году А. Кларком в США, и с тех пор еще никогда не удалось увеличить размеры рефракторов.

Меншие трудности встречались при построке больших рефлекторов. Особые случаи в этом приналежат англичанину Вильяму Гершелю, который в 1774—1789 года сделал несколько рефлекторов; наиболее из них имеем объект на диаметром 120 см при фокусном расстоянии 12,5 м (рис. 5). С помощью собственного изготовления телексов он открыл планету Уран, ряд туманностей и звездных скоплений и исследовал строение галактиckой системы. Еще больший рефлектор построил в середине прошло века лорд Росс в Англии. Зеркало этого телексана име-

14

ло диаметр 185 см и фокусное расстояние 16 м.

Если по оптическим параметрам рефлекторы намного превосходили рефракторы, то по удобству наблюданий и разносторонности применений они им сильно уступали. Большое и менее громоздкие рефракторы уже давно стали сначала специально монтировкой, в котором одна из двух взаимно перpendикулярных осей установливаясь параллельно оси мира. Равномерное вращение вокруг этой оси со скоростью один оборот в сутки позволяет следить за видимым движением звездного неба и все время удерживать в поле зреня наблюдаемый объект. Другая ось служит для того, чтобы направлять телесоп в любую точку небосвода.

Что касается рефлекторов, то из-за огромных размеров и веса они монтировались гораздо проще и могли применять для наблюданий лишь взлизи меридиана, поворачиваясь самым примененным образом с помощью блоков и канатов; наблюдаемый же приходилось громоздиться на крайне неудобных поместах. Кроме того, недостатком рефлекторов было потернение металлических зеркал от атмосферных воздействий, что требовало повторной трудной полировки.

Рис. 5. Большой рефлектор Гермеля.

Рис. 6. 2,5-метровый рефлектор на оссеватории Муhnt Вильсон.

Таким образом, рефлекторы не сдавали своих позиций и применялись там, где требовалось производить точные угловые измерения — в меридианных инструментах для определения сферических координат звезд, при микрометрических измерениях, например, двойных звезд, а позже — для фотографирования звездного неба.

Новые возможности получили рефлекторы в шестидесятых годах прошло века, когда Германский химик Либих нашел способ покрывать стекло тончайшим слоем блескшего себра. Тогда же французский физик Фуко начал делать зеркала рефлекторов из стекла с последующим себрением отражающей поверхности. Такие зеркала были гораздо легче металлических, что позволило и для них применять специальный монтировку. В случае потускнения себраный слой легко смывался азотной кислотой, и зеркало вновь себриловось химическим способом без дополнительной полировки.

В результате с конца прошловека началось быстroe освоение рефлекторов. Однако из первых был установлен в 1895 году 36-дюймовый (92 см) Кросслевский рефлектор Ликской оссеватории в США, с которым был получен ряд замечательных фотографи множества туманности, звезд-

15

Рис. 7. 5-метровый рефлектор, установленный на горе Паломар.

ных скоплений и Млечного Пути. Затем в 1908 году последовал 60-дюймовый (152 см) рефлектор на горе Вильсон (Маунт Вильсон) в Калифорнии. Такие большие зеркала, несмотря на значительное толщину (достигающую $1/8$ доли диаметра), заметно проигнализация под влиянием собственного веса при разных наклонах к горизонту. Для устройства этого вредного явления была придумана так называемая разгрузка, состоящая из многочисленных рычагов с противовесами, которые подпирают тылову часть зеркала с силой, зависшей от наклона зеркала.

К этому времени окончательно определялась область применения больших рефлекторов. Это, с одной стороны, fotografические наблюдения наиболее слабых и удаленных объектов — туманностей (главаным образом, внегалактических, нахождения на расстояниях во много десятиков и сотен миллионов световых лет), а с другой стороны, fotografирование спектров для исследования физических свойств и химического состояния и их атмосфер. Сюда же относится открытие и изучение спектрально-двойных звезд и вспыхивающих новых звезд. Для всех этих целей нужно собрать как можно больше света, что действительно можно сделать с помощью больших зеркала. Кроме того, для спектральных наблюдений важно полная ахроматичность рефлекторов.

Большие успехи, достигнутые с помощью упомянутых рефлекторов, поставили вопрос о создании еще более мощных инструментов. Так, в 1917 году вступил в строй 100-дюймовый (254 см) рефлектор тоже на основе которого было применено новшество: полярная ось окачивалась двумя большими поплавками, наполовину погруженными в полушиндрическое соеды со ртутью, чем достигалось очень легкое и плавное вращение (рис. 6).

В начале тридцатых годов в калифорнийском горode Пасадена начались подготовительные работы по проектированию рефлектора вдвое большого диаметра — в 200 дюймов (508 см) и в 1946 году был закончен его montаж на горе Паломар (в 200 км от Лос-Anжелеса, штаг Калифорния) на высоте 1750 м над уровнем моря. Рефлектор (рис. 7) установлен в круглой башне под получением куполом диаметром в 42 м, который имеет широкий люк, поворотом купола направляемый в нужную сторону неба (рис. 8). Что касается зеркала, то первоначально оно оказалось не-

16

удовлетворительной формы и его пришлоось доводить местной полировкой уже в самом телефоне. К этому времени вместе серебрення был изобретен способ покрытия стека алюминим путем испарения в высоком вакууме. Оказалось, что алюминевый слой прочнее серебряного и очень хорошо отражает свет, особенно в его коротковой части. До самого последнего времени это был самый большой рефлектор в мире.

В Советском Союзе до войны самый большой рефлектор имел зеркаλο диаметром 1 м; он был изготовлен в Англии и находился в Симеизской обсерватории в Крыму. С ним академик Г. А. Шайн с сотрудниками выполнили ряд интересных спектрооптических исследований по движению звезд и составу звездных атмосфер. Во время войны этот инструмент погиб. Раньше наша оптико-механическая промышленность не имела опыта по изготовлению больших астрономических инструментов (особенно в отличке и шлифовке зеркал). Однако Ленинградский завод освоил это трудное дело и сделал несколько рефлекторов в 1, 1,25 и 1,5 м, а в 1960 году на новой Крымской астрофизической обсерватории Академии наук СССР завершлась установка рефлектора в 2,6 м, который и теперь остается одним из самых больших в Европе.

Удачный опыт позволил поставить еще более сложную задачу. По инциативе крупнейшего советского оптика Д. Д. Максутова был разработан план построки рефлектора с бметровым зеркалом (см. заставку кстатье). При этом главный конструктор Б. К. Иоаннисини не стал копировать американские образцы, а пошел по новому, оригинальным путем. Развитие электронных вычислительных машин позволило открыться от обычной экваториальной монтировки, а применить более простую — горизонтальную, в котором одна ось направлена вертикально, а перпендикулярная к ней — горизонтально. Это сильно упростило механическую часть конструкции и монтировку зеркала с его разгрузкой, поскольку зеркало в зависимости от положения наблюдаемого объекта налобо-няется только в одном направлении и не испытывает боковых наклонов. Это осложнил сложение телефона за腕шением небесной сферы: вместе одного равномерного движения вокруг полярной оси теперь нужно строго согласованного вращать телефоп с переменной скоростью вокруг другого ксегетную часть с фотопластикой прихождения вращать тоже неравномерно. Эти сложные движения удалость осуществить с помощью электронных машин, которые перечисывают координаты наблюдаемой точки неба, определяют скорости их изменений и дают соответствующие команды движения телефоп motoram (подвижная часть телефоп имеет массу почти 700 тонн).

Главное зеркало телефоп диаметром 6 м было отлито и обработано на стекольном заводе под Московой, для чего там были сооружены два специальных цеха. После отливки из особого сорта стека с малым коэффициентом расшириния, раскаленная масса медленно охлаждалась с электронским подгревом во избежание возникновения вредных напряжений, которые обычно приводят к разрыву стеклянного блюда. Такой процесс «отжигта» обычно продолжается не менее года, лишь после чего можно узнать, удалясь отливка или нет.

Огромная и сложная монтировка телефоп была выполнена на оптико-механическом заводе в Ленинграде при участии ряда других ленинградских заводов тяжелого машиностроения. В результате получился инструмент, по gabариту и массе соответствующей самым большим металлическим конструкциям, а по точности и тонкости не уступающий техническим микросопа.

Отшлифованное зеркало имеет фокусное расстояние 24 м; на таком расстоянии перед зеркалом образуется изображение наблюдаемого объекта. Сюда нужно поместить фотопластику или другой светоприемник, которые, таким образом, оказывается на пути световых лучей, induceх от объекта к зеркалу. Здесь же на распорках внесит небольшая кабина в форме ци-

18

Сверхгяжелые элементы — не открытие, а ошибка!

В новьском номере «Кванта» за 1976 год было расскадано о возможности открытия сверхгяжелых элементов, которые должны стоять в таблице Менделеева под номерами 116, 124, 126.

Напомним, что открытие, если бы оно подтвердилось, поставило бы перед физиками очень трудный вопрос: как сверхгяжелые atoms попали в образцы слюды, где они были обнаружены.

После того как было обнаружено о предполагаемом открытии, во многих laboratorиях заняли же, но для них нашлось более простое объяснение. Оказалось, что все линни этих спектров совпадают с линямиRENTеновом тем более плоским качеством изобразений.

В конце 1975 года большой телефонной приятности комиссий Академии наук СССР и включен в состав Специальной астрофизической общеватории Академии.

Итак, наиболее и самый мощный телефон-Reфлектор сооружен и находится в Советском Союзе. Естественно возникнет вопрос: можно ли ожидать, что в не очень отдаленном времени будет сделан еще больший телефон? На это приходится ответить отрицательно, поскольку современная техника открывает совсемины, новые пути для исследования космоса. Это, прежде всего, путь, по которой уже пошли радиоastronomы — синтезирование изобразений, даваемых несколько типов телекопами более скромных размеров, установленных близко друг к другу или даже на некотором расстоянии один от другого. При этом сложение изобразений может произвольиться не непрерывно, а выборочно — лишь в сравнительно редкие моменты отличной видимости и наиболее четкости изобразений, что, конечно, можно сделать только с помощью современной электронной техники.

Другой многообещающий путь — вынесение наблюдаемых средств за пределы атмосферы: наискусственные спутники Земли и даже на Луну, где можно получить прочную основу для установки даже больших инструментов. Шаг в этом направлении уже делаются и начинают давать интересные результаты.

Сверхгяжелые элементы — не открытие, а ошибка!

В новьском номере «Кванта» за 1976 год было расскадано о возможности открытия сверхгяжелых элементов, которые должны стоять в таблице Менделеева под номерами 116, 124, 126.

20

Рис. 1.

Рис. 3.

Рис. 2.

бы мы ни выбирали прямые $a_1, a_2$ и точки $A, S, T$.

Мы докажем этот факт для одного простого случая — когда прямые $a_1$ и $a_2$ перпендикулярны, а пары прямых $SA, a_1$ и $TA, a_2$ параллельны. Поместим начало координат в точку $O=A$, ось $Ox$ направим по $AS$, ось $Oy$ — по $AT$ (рис. 3). Обозначим координаты точек $S$ и $T$ соответственно через $(s; 0), (0; t)$. Пусть уравнение прямых $a_1$ и $a_2$ имеет вид $y=r_2$, $x=r_1$. Если точка $M$ лежит на кривой, определяемой прямыми $a_1, a_2$ и точки $A, S, T$, то точки $M(x; y), A_1(x_1; r_2)$ и $S(s; 0)$ должны лежать на одной прямой. Точки $M(x; y), A_2(r_1; y_2)$ и $T(0; t)$ должны лежать на другой прямой, а точки $A_1(x_1; r_2), A_2(r_1; y_2)$ и $A(0; 0)$ — на третьей прямой (рис. 3).

Точки $M, S$ и $A_1$ лежат на одной прямой, если угловые коэффициенты прямых $MS$ и $A_1S$ равны (см. «Алгебра 6», п. 21 и «Алгебра и начала анализа 9», п. 52):

$$\frac{r_2}{x_1-s} = \frac{y}{x-s_r}.$$

Аналогичные равенства получаются для треек точки $A, A_1, A_2$ и $M, A_2, T$:

$$\frac{y_2}{r_1} = \frac{r_2}{x_1},$$

$$\frac{y_2-t}{r_1} = \frac{y-t}{x}.$$

Исключая из этих равенств $x_1$ и $y_2$, получим уравнение, которое должно удовлетворять $x, y$:

$$(r_2x+sy-sr_2)(tx+r_1y-r_1t)-r_1r_2xy=0$$

$(s, t, r_1, r_2$ у насCONSTANTЫ). Раскрывая скобки и приводя подобные члены, мы видим, что это уравнение — второй степени относительно $x, y$:

$$tr_2x^2+tsxy+sr_1y^2-sr_1(t+r_2)y-tr_2(r_1+s)x+tsr_1r_2=0.$$

Таким образом, все точки построенной кривой лежат на кривой второго порядка.

Итак, кривая, построенная метод Грассмана по прямым $a_1, a_2$ и точки $A, S, T$, оказывается кривой второго порядка. Верно и обратное утверждение: для всякой кривой $m$ второго порядка найдется такие прямые $a_1, a_2$ и точки $A, S, T$, что метод Грассмана по ним получается именно кривая $m$.

Вот способ нахождения таких прямых и точки по кривой $m$. Возьмем кривую $m$ второго порядка (рис. 4).

21

Зафиксируем на этой кривой три произвольные точки $S, T, L$. Через точку $L$ проведем произвольные прямые $a_1, a_2$; пусть они пересекают $m$ в точках $P$ и $Q$, а прямые $TP$ и $SQ$ пересекаются в точке $A$. Тогда точки $A, S, T$ и прямые $a_1, a_2$ определяют «по Грассману» как раз кривой $m$.

Способ прост, а вот доказать, что он дакт именно кривую $m$, нелегко. Мы здесь только наметим ход доказательства.

Прежде всего надо показать, что на кривой, определяемой прямыми $a_1, a_2$ и точки $A, S, T$ и прямые $a_1, a_2$ определяют «по Грассману» как раз кривой $m$.

Это же точки лежат и на исходной кривой $m$, то есть построенная нами «кривая Грассмана» имеет с кривой $m$ уже пять общих точек. А дальше надо показать, что пять точек определяют не более одной кривой второго порядка. Проще всего это сделать с помощью уравнения.

Уравнение кривой второго порядка имеет вид

$$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0.$$

Все три коэффициента $A, B, C$ не могут одновременно равнять нулю, так как тогда это уравнение определяит кривую первого порядка — прямую линейю. Допустим, что $C \neq 0$. Тогда левую часть этого уравнения можно разделить на коэффициент $C$, в результате получим уравнение

$$A_1x^2 + B_1xy + y^2 + D_1x + E_1y + F_1 = 0,$$

где $A_1 = A/C, B_1 = B/C$ и т. д.

Если в полученное уравнение подставлять вместе $x, y$ координаты точки $S, T, L, P, Q$, то получится система из пятей линейных уравнений относительно коэффициентов $A_1, B_1, D_1, E_1, F_1$. А также система при условии, что никакие три точки из $S, T, L, P, Q$ не лежат на одной прямой, имеет единственное решение.

Кривые высших порядков

Для кривых третьего порядка метод Грассмана состоит в следующем. На плоскости задатятся точки $S$ («вход»), $T$ («выход») и два набора («блока»), каждый из которых состоит из двух прямых и одной точки: $a_1, A, a_2$ и $b_1, B, b_2$ (рис. 5). Затем для некоторых $M$ плоскости произвольная такое построение: проводится прямая $MS$ и нахождение точки $A_1$ ее пересечения с прямой $a_1$, затем проводится прямая $A_1A$ и нахождение точки $A_2$ ее пересечения с прямой $a_2$, после

*) Например, если $M = L$, то $A_1 = (SM) \cap \bigcap a_1 = L, (AA_1) \cap a_2 = L$ и $(TA_2) \cap (MS) = L$; аналогично проводится остальные точки.

Рис. 5.

этого проводится прямая $MA_2$ и нахождение точки $B_1$ ее пересечения с прямой $b_1$, дальней так же нахождение точки $B_2$ и проводится прямая $MB_2$. Если эта прямая проходит через «выход» (точку $T$), то точка $M$ принадлежит кривой, а если не проходит, то не принадлежит. (Терминология в полное естественное: «войдя» на рисунке 5 во «вход», мы «вышли» через «выход».)

Заметим, что при построении кривой второго порядка (см. рис. 2) точка $M$ участвует в построении два раза, а при построении кривой третьего порядка (рис. 5) — три раза.

Описанные построения Грассман называют линейными. Эти построения были полностью исследованы Грассманом в общем случае, то есть для кривой $n$-го порядка. А именно, Грассман показал, что если на плоскости задать вход, выход и $n - 1$ блок, то всякая точка $M$ плоскости, удовлетворяющая схеме, изобраненной на рисунке 6 (мучствует в линейных построенияхровно $n$ раз), принадлежит некоторой кривой $n$-го порядка. И обратно, любая алгебраическая кривая $n$-го порядка укладывается в схему рисуника 6, то есть можно так за

23

Интерференционный опыт Брюста

Экспериментальная установка

В 1817 году английский физик, член Лондонского корпельского общества Д. Брюстер (1781—1868) обнаружил, что если две плоскопаральные стеклиные пластинки одинаковой толщины расположить почти паралельно друг другу, то, глядя сквозь них, можно наблюдать интерференционную картину.

Оптическая схема опыта Брюста изображена на рисунке 1. Свет, падая от лампы накапливания S на лист белой бумаги B, рассеивается на нем и, проходя через плоскопаральные пластинки P₁ и P₂, попадает в глаз Γ наблюдается. Интерференционная картина видна на черном фоне непрозрачного экрана Э.

Чтобы повторить опит Брюста, нужно в первую очередь подобрать подходяще стекло: пластинки P₁ и P₂ должны быть плоскопаральны и установлены паралельно друг другу. Стекло толщиной около 7 мм, которое часто используется для изготовления зеркаал и витрин магазинов, наболее доступно и нередко в полне пригодно для постановки тонких интерференционных экспериментов. Достав кусок такого стекла, расположите его перед глазом так, чтобы в нем на светлом фоне отражался какой-либо темный предмет с четыкими границами (например, на фоне дневного неба отражалась рama оконного переплета). Сфокусируйте (аккомодируйте) глаз на поверхности стекла так, чтобы была видна граница изобразения темного предмета. Если при этомровные края предмета видны слегка волнистыми или «размытыми» в каких-то местах, то, значит, поверхности стекла не гладкие и такое стекло не годится для опитов. Объчно удается подобрать стекло, поверхности которого настолько гладкие, что граница между изобразением темного предмета и светлым фоном выглядает в полне резкой. Именно такое стекло следует использовать в опытах.

Из отображенного стекла творцовным или алмазным стеклорезом вырежьте кусок размером примерного 80 × 70 мм и разрежьте его пополам, так, чтобы получились две пластинки P₁ и P₂ размером 40 × 70 мм. Эти пластинки, оченьindo, имеют с доставочное высокой точностью одинаковую толщину вблизи линии разреза. Приготовьте также третий стеклянную пластинку C такой же толщины, как и две первыя, размером 30 × 40 мм.

Чтобы при работе не пораниться об острыке края пластинок, отшлифуйте их (смочите их водой и обработайте на абразивном бруске или круге). Страяйте при этом не поцапать поверхности пластинок. Обработанные стеклянные пластинки вымойте водой, насухо протрите чистой мягкой трипочкой и удалите с их поверхностей оставшиеся пылики и ворсинки.

Для успешной постановки описанных ниже опитов соберите специаль-

24

лисъ рядом. Угол между пластинками можно отрегулировать болтами 3 и перемещением пластинки C вверх или вниз.

При включном источнике посмотрите на нижние части пластин. На черном фоне экрана вы увидите несколько широких горизонтальных полос различной яркости. Слегка изменяя угол между пластинами, можно отрегулировать его так, что одна из ярких горизонтальных полос покрыется почти вертикальными интерференционными полосами.

На рисунке 3 приведена фотографика интерференционных полос Брюстера, полученная в белом свете. Эта фотографика, конечно, не идет ни в какое сравнение с тем прекрасным явлением, которое можно наблюдать непосредственно глазом.

Немного теории

Пусть на плоскопаarlельную стеклянную пластинку толщины $d$ под неокотorbим углом $\varphi$ падает световой луч (рис. 4). В результате многоократных отражений и преломлений света на поверхности пластинки из нее выйдет множество паралельных и равностоящих друг от друга лучей. Ясно, что интенсивность каждого последующего луча, выходшего из пластинки, меньше интенсивности предыдущего и быстро уменшается с увеличением порядкового номера луча. Поэтому из дальнейшего рассмотрения можно исключить все лучи, кроме лучей 1, 2 и $1'$, $2'$. Нетрудно

ный прибор, устройство которого в полне понятно из приведенной на рисунке 2 фотографии. Стеклянные пластинки $P_1$, $P_2$, $C$ закреплены на алюминиевой стойке 1 прибора скобой 2 из винипласта или жести. В качестве экрана $\exists$ использован расположенный за пластинкой $P_2$ листок черной бумаги. Источник (lamпу накаливания) помещите за экраном $\exists$. При сборке прибора расположите пластинки $P_1$ и $P_2$ так, чтобы их области, близкие к линии разреза $aa'$, оказали

25

видеть, что эти пары лучей в общем-то эквивалентны, следовательно, достаточно проанализировать «поведение» лучей 1 и 2.

Лучи 1 и 2, которые указывают направления распространения световых волн, получились из одного луча, падающего на пластинку. Следовательно, они когерентны. А это означает, что световые волны, идущие в направлениях этих лучей, будучи светены вместе, должны интерферировать.

Вычислим разность хода между лучами 1 и 2, возникающего после прохождения первого пластинцы (рис. 4). Проведем из точки B отрезок AB, перpendикулярный к этим лучам. Разность пути, проходных когерентными волнами от точки их образования D до точки B и A (идущие дальше в бесконечность волны дополнительной разности хода не прибретают), равна геометрической разности хода

$$\delta = DC + CB - AD = 2DC - AD.$$

Если стеклянная пластинка имеет показатель предолемления $n$, то световая волна проходит пути DCB в стекле со скоростью, в $n$ раз меньше скорости света в воздухе, двигаясь в котором она за то же время прошага бы расстояние $2n \cdot DC$. Кроме того, при отражении света в точке D от оптически более плотной среды проискодит «потеря полуvolны» (изменение фазы отраженной волны на π). Поэтому истинная, или, как принято говорить, оптическая разность хода между когерентными волнами равна

$$\Delta = 2n \cdot DC - AD + \frac{\lambda}{2}.$$ (1)

Из геометрических сообщений

$$DC = \frac{d}{\cos \psi}, BD = 2DC \cdot \sin \psi = 2d \cdot \frac{\sin \psi}{\cos \psi},$$

$$AD = BD \cdot \sin \varphi = 2d \cdot \frac{\sin \varphi}{\cos \varphi} \cdot \sin \varphi.$$

Согласно закону предолемления света

$$\sin \psi = \frac{1}{n} \sin \varphi.$$

Подставляя найденные значения DC и AD в формулу (1) и учитывая закон предолемления, получим

$$\Delta = 2n \frac{d}{\cos \psi} - 2d \frac{\sin \psi}{\cos \psi} \cdot \sin \varphi + \frac{\lambda}{2} = 2d \cdot \sqrt{n^2 - \sin^2 \varphi} + \frac{\lambda}{2}.$$ (2)

Максимы интенсивности света (светые интерференции полосы) будут в том случае, если оптическая разность хода равна целому числу длин волн света:

$$2d \sqrt{n^2 - \sin^2 \varphi} + \frac{\lambda}{2} = k\lambda, k = 1, 2, \dots$$ (3)

Проходя пластинку $P_2$, лучи 1 и 2 прибретают дополнительную разность хода, которая, как это следует из симметриности устройства, также определяется формулой (2). Нетрудно сообщать, что разность хода световых волн, прошедших обе пластинки и induceх в глаз наблюдаются (см. рис. 1), выражается формулой

$$\Delta = \Delta_1 - \Delta_2 = 2d \left( \sqrt{n^2 - \sin^2 \varphi_1} - \sqrt{n^2 - \sin^2 \varphi_2} \right),$$ (4)

где $\varphi_1$ – угол падения света от источника на пластинку $P_1$, а $\varphi_2$ – угол падения паралельных лучей 1 и 2 на пластинку $P_2$.

С помощью «геометрических» вычислений формулу (4) можно привести к виду

$$\Delta = \alpha d \frac{\sin 2\varphi}{\sqrt{n^2 - \sin^2 \varphi}},$$

где $\alpha$ — двумя уголами между пластинами.

Выходящие из пластин когерентные лучи паралельны между собой, а значит, пересекаются в бесконечности и образуют интерференции на экране, помещенном за линзой в ее фокальной плоскости.) Фотография, помещенная на рисунке 3, подтверждает сказанное: чтобы получить резкое изображение интерференции

26

полос на пленке, пришлось сформировать объектив фотоаппарата на бесконечность; при этом детали установки получились на фотографии нерезким.

Опыты и наблюдения

Внимательно рассмотрите получающийся в установке Брюстера интерфейсционную картину. Если вы удачно подбрали стеклянные пластинки и угол между ними, то увеличите почти прямы параллельные между собой разноцветные полосы, расположенные симметрично по обе стороны от центральной белой полосы. Рядом с этой белой полосой проходят две наиболее темные полосы.

Центральная белая полоса соответствует тем углам padения света на пластинки, при которых оптическая разность хода между интерфейсующими волнами равна нулю. Действительно, вообще интерфейсционное условие максимумов интенсивности имеет вид

$$\Delta = k\lambda, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$$

Если $k = 0$, то $\Delta = 0$ для любых длины волны. А значит, при одних и тех же углах, соответствующих $\Delta = 0$, максимумы интенсивности даут все monoxроматические волны, входящие в состав белого света. Это приведет к тому, что центральный максимум интенсивности (максимум нульового порядка) оказывается белым.

Все другие интерфейсционные полосы окрашены, причем красные части полос расположены дальше от центрального максимума, чем филотовые или синее.

Введите сизу между пластинами $P_1$ и $P_2$ полоску черной бумаги шириной 5 мм. Перемешая ее, вы можете перекрыть один из интерфейсующих пучков и уничтожить тем самым интерфейсционную картину.

Лучше это сделать так. К краям пластинок $P_1$ и $P_2$ пластинном прикрепите расположенную между ними горизонтальное или слегка наклонное полоску картона, отделяющий пучков от другого. Тогда, перекрывая один из пучков непрозрачной бумаги, можно добиться исчезновения картины.

Тепер вместе полоски бумаги введите в один из интерфейруших пучков полоску стека толщиной 1—2 мм. Интерфейсционная картина вовь исчезнет! Попробуйте объяснить результат опыта самостоятельно.

Расположите между пластинами $P_1$ и $P_2$ небольшую спираль, изготовленную из тонкой нихромовой проволоки. Подключив концы спирали с помощью многожильных проводников к батарейке, разогрейте спираль. При этом интерфейсционные полосы изогнутся и примут самую причудливую форму!

Можно поставить более простой вариант этого опыта, если поднести сизу под пластинки $P_1$ и $P_2$ пламя горяшей спички (пламя должно быть расположено достаточно далеко от пластинок, так, чтобы в промежуток между ними попадал лишь нагретий от пламени воздуха).

Чем же объясняется результат опыта? Очевидно, при нагревании воздуха изменяется его плотность, а следовательно, и его показатель преломления. Это ведет к тому, что между кореентными пучками возникает дополнительная разность хода, и интерфейсционная картина смешается. Положим, что картина смешалась на $k$ полос. Это означает, что разность хода изменилась на $k$ длин волны света. Посколькулина световой волны очень мала, то в опите можно изменить очень небольшие изменения разности хода и показатель преломления воздуха.

Приборы, служащие для измерения различных физических величины с помощью интерфейсции света, называются оптическими интерфейсомами. Они позволяют произвольным изменения с очень высокой степенью точности. Описанный в статье прибор для наблюдания полос Брюстера физических является простейшим интерфейсомом.

27

Решения задач ВЗМШ

В этом номере мы публикуем решения некоторых задач из вступительного работы в ВЗМШ 1977 года («Квант», 1977, № 1, с. 53).

Задача 1. В равенстве двух дробей, числители и знаменатели компорых двухначные числа, цифры заменены буквами: одинаковые — одинаковыми, разные — разными:

$$\frac{KY}{PE} = \frac{KA}{KY}.$$

Какую цифру означает каждая из букв (достаточно привести все возможные ответы)?

Решение. Обозначим через $\frac{y}{x}$ несократимую дробь, равную $\frac{KY}{PE}$. Иными словами, пусть $\frac{KY}{PE} = \frac{y}{x}$, и натуральные числа $x$ и $y$ не имеют общих делителей, отличных от 1. Таким образом, $PE = ax$ и $KY = ay$, и в то же время $KY = bx$ и $KA = by$. Тогда $ay = bx$, откуда, так как $x$ и $y$ не имеют общих делителей, $a = cx$, $b = cy$. Итак, $KY = cxy$, $KA = cy^2$, $PE = cx^2$, где $c$, $x$, $y$ — натуральные числа.

С одной стороны, $|KY - KA| = |Y - A|$ и $Y \neq A$. Значит, $0 < |KY - KA| < 10$. С другой, $KY - KA = cy(x - y)$. Следовательно,

$$0 < cy|x - y| < 10.$$

(1) Отсюда $c < 10$. Поскольку $PE = cx^2$ и $P \neq 0$, получаем $x > 1$. Аналогично заключаем, что $y > 1$. Из $y \geq 2$ и (1) вытекает $c < 5$. Итак, $1 \leq c \leq 4$. Рассмотрим сначала возможности $c = 2, 3, 4$. Учитывая отсутствие общих делителей $y$ и $y$, и неравенство (1), получаем для $c, y$ и $x$ девять вариантов (см. таблицу). Проверка показывает, что ни один из этих вариантов не подходит. Пусть теперь $c = 1$. Неравенство (1) принимает вид $0 < y|x - y| < 10.$

(2) Поскольку $KA = y^2$, $PE = x^2$, имеем $4 \leq x \leq 9$ и $4 \leq y \leq 9$. Из $y \geq 4$ и (2) следует $0 < |x - y| \leq 2$. Значит, $|x - y| = 1$ или $|x - y| = 2$. Покажем, что $|x - y| \neq 2$. Если $y \geq 5$, то из (2) $|x - y| < 2$. Если $y = 4$ и $|x - y| = 2$, то $x = 6$ — противоречие с отсутствием общих делителей $y$ и $y$. Итак, $|x - y| = 1$. Следовательно, $4 \leq x \leq 8$ и $y = x + 1$ или $5 \leq x \leq 9$ и $y = x - 1$. Проверка всех 10 вариантов дает три возможных ответа:

1. $KY = 20$, $KA = 25$, $PE = 16$;
2. $KY = 30$, $KA = 36$, $PE = 25$;
3. $KY = 42$, $KA = 49$, $PE = 36$.

Задача 3. Дополнительный куру $4 \times 4$ (рис. 1) буквами В, 3, М, Ш, объединение их рамках четырех минов (квадрат, ромб, круг, треугольник) и раскрасьте их в четырех цепей макс, чтобы выполнялись следующие условия: 1) в каждой строке и в каждой столье должны встречаться все буквы, цвета и типы рамы; 2) каждая буква должна быть раскрасиена по разу каждой цепи; 3) рама каждой цепи должна содержать каждую букву и каждой цепи. (Достаточно нарисовать требуемую картину.)

29

треть пути быстрее, чем автоматиль — две трети. Поэтому скорость велосипеда составляет более половины скорости автоматили. Посмотрим теперь, что происходит после того, как велосипедист снова трагается в путь. Ему остается две трети расстояния от $A$ до $B$. Автомобиль же остается четыре трети этого расстояния: одна треть туда и целый путь от $B$ до $A$ обратно. Таким образом, велосипедист предстит проехать вдвое меньше, чем автоматильно; по нейденному выше, велосипедист приедет раныше.

Задча 9. Большой прямоуzelник разбит на клетки $1$ см $\times$ $1$ см. Внутри ккедой клетки написано число. Известно, что сумма чисел в ккедой горизонтальной строчке равна 1, а в ккедом вертикальной строчке — равна 2. Может ли площадь прямоуzelника равняться $1976$ см$^2$?

Ответ: не может.

Решение. Докажем это от противного, то есть допустим, что площадь такого прямоуzelника равна $1976$ см$^2$, и приdem к противоречию. Пусть число строчек равно $m$, а число стольников равно $n$. Тогда $mn = 1976$. Вычислим двумя способами сумму всех чисел, написанных в клетках. С одной стороны, сумма чисел в ккедой строчке равна 1, а строчек $m$, значит, сумма всех чисел равна $m$. С другой стороны, сумма чисел в ккедом стольнике равна 2, а стольников $n$, значит, сумма всех чисел равна $2n$. Итак, $m = 2n$, откуда $2n^2 = 1976$, $n^2 = 988$, что невозможно при целом $n$.

Задча 10. Несколько ящцов весят вместе 10 тонн, причем какый из них весит не больше одной тонны. Какое наименьшее количество трехтонок зависит достамочно, что мы увеличим этом груз?

Ответ: 5 трехтонок.

Решение. Покажем сначала, что четырех трехтонок может не хватить. Так будет, например, если имеется 13 одинаковых ящков весом по $\frac{10}{13}$ тонны. Тогда в одну трехтонику мы не можем поместить больше трех ящков.

30

Построение альgebraических кривых с помощью шарнирных механизмов

Эта заметка родилась из доклада, сделанного Московским школьником, учеником 9 класса Вадимом Книжником на школьной конференции. В ней расссказывает, как с помощью механизмов, состоящих из планок с прорезями и винтов, можно строить графики различных функций.

Механизмы

Шарнирным механизмом мы будем называть систему из планок с прорезями и дырками, соединенных винтими. При этом прорези и дырки располагаются строго по оси планки. При соединении винтом планки с дырками могут лишь поворачивать вокруг винта, а планки с прорезями — поворачивать и смещаться (рис. 1; сизу на рисунке приведены обозначения соединений).

Работают эти механизмы так. На плоскости закрепляются две перпендикулярные планки, образующие прямуюольную систему координат $Oxy$. К этим планкам винтими креплятся механизмы, имеющий один «вход» — дырку, перемещающегося по оси $Ox$, и один «выход» — дырку, которая все время находится на одной вертикали со входом, но на высоте, зависящей от положения входа. Если в «выход» вставить карандаш, а «вход» вести по оси $Ox$, то карандаш нарисует кривую — график некоторых.

Для дальнейшего полезно вести еще один блок «угол», состоящий из трех планок (с дырками), скрепленных винтими. Этот блок, при винченной теми же винтами к любым двум планкам с прорезями, позволяет им лишь смещаться, сохраняя между собой постоянный угол (обозначение на рисунке — угол).

Примеры

На рисунке 2, $a$ изображен механизм со входом $A$ и выходом $B$, строящий график функции $y=x$. Он основан на том, что прямогольник, диагональ которого образует угол $45^\circ$ с основанием, является квадратом. На рисунке 2, $b$ изображен механизм, строящий график постоянной $(y=c)$. Механизм, строящий график функции $f$ (рис. 2, $\theta$), мы будем обозначать на рисунке волнистой линей, соединяющей вход $A$ и выход $B$, в середине волнистой линей будем писать $f$ в кругочке, у выхода будем ставить стрелку; а в тексте мы такой механизм будет обозначать буквой $f$.

Таким образом, у нас уже есть две функции. Научимся умножать, складывать, делить функции и извлекать из функции корень.

Блоки алgebraических операций

Блок сложения. По определению, назовем блоком сложения способ скрепления механизмов $f$ и $g$, при котором точка $C$ — выход $g$,— выписывает график функции $y(x) = f(x) + g(x)$. Block сложения изображен на рисунке За. Ось абсцисс

31

механизма $g$ совпадает с осью $O'x'$ на рисунке, входом его является точка $B$ — выход механизма $f$.

Блок умножения. Это способ скрепления механизмов $f$ и $g$, при котором выход $D$ выписывает график функции $y(x) = f(x) \cdot g(x)$. Блок умножения избражен на рисунке 36. Здесь $|AM| = 1$, $(PD) \parallel (CM)$, поэтому

$$\frac{|AD|}{|AP|} = \frac{|AC|}{|AM|}.$$

Но $|AP| = |AB|$, $|AM| = 1$, отсюда $|AD| = |AC| \cdot |AB| = f(x) \times g(x)$.

Блок деления. Этот блок получается из блока умножения, если выход $f$ переместить в точку $D$; тогда в точке $C$ получится выход механизма $f/g$.

Блок извлечения корня. Этот блок получается из блока умножения, если точки $B$ и $C$ объединить, а в точку $D$ помещить выход механизма $f$, тогда в точке $C$ получится выход механизма $\sqrt{f(x)}$. Аналогично строится блок $\sqrt[n]{f(x)}$.

Графики управления

С помощью описанных механизмов и блоков можно конструкровать механизмы для построения графиков различных функций типа многочленов, алгебраических дробей и т.п. Можно сделать и механизм для построения графика управления $P(x,y) = 0$, где $P(x,y)$ — неокоторый многочлен. Для этого сначала собирается механизм, избраженный на рисунке 4. Точки $X$ и $Y$ рассматриваются как выходы для «функций» $y = x$, $y = y$. Затем собирается механизм $P(x,y)$, входы которого — $X$ и $Y$, а выход помещается в точку $C$ (то есть нахождение такое положение точки $Y$, что выход оказывается в точке $C$). После этого точка $Y$ может перемещаться только так, что для ее координат $x$, $y$ будет справедливо равенство $P(x,y) = 0$. Если встать в точку $Y$ карандаш, то он может двигаться только по графику управления $P(x,y) = 0$.

33

Задчи

M461—M465; Ф473—Ф477

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задчи не стандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки ньюшней школьной программы. Наноблее трудные задчи отмечены звездочкой. Решения задч из этого номера можно присылать не позднее 1 ноября 1977 года по адресу: 113035, Москва, М-35, Б. Ордынка, 21/16, редакция журнала «Квант».
После адреса на конверте написите номера задч, решения которых вы посылаете, например, «M456, М457» или «Ф468». Решения задч по каждому из предметов (математике и физике), а также новые задчи — просба присылать в отдельных конвертах. Задчи из разных номеров журнала присылайте также в разных конвертах. В письмо вложите конверт с написанным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки решений). Условия оригинальных задч, предлагаемых для публикации, присылайте в двух экземплярах вместе с вашими решениями этих задч (на конверте пометьте: «Задчник «Кванта», новая задча по физике» или «… новая задча по математике»). После формирования задчи мы обычно указываем, кто предложил нам эту задчу. Разумеется, не все эти задчи публикуются впервые. В этом номере «Задчник «Кванта» составлен в основном из задч, предлагашихся на последней Всесоюзной олимпиаде.

M461. На столе стоиташечные весы и $n$ гирь различных масс. Грип по очереди ставятся наашки весов (на каждом шаге со стола берется любая гиря и добавляется на ту или другуюашку весов).

a) Докажите, что грип можно ставить в таком порядке, чтобы сначала перевести левая чашка, затем правая, потом снова левая, снова правая и так далее.

Этот последовательности результатов взвешивания сопоставим слово из букв $L$ и $R$: LRLRLR… Здеся буква $L$ означает, что перевести левая чашка, а буква $R$ означает, что перевести правая чашка.

6)* Докажите, что для любого слова длины $n$ из букв $L$ и $R$ можно в таком порядке ставить грип наашки весов, чтобы это слово соответствовал последовательности результатов взвешивания.

M462. Плоскость пересекает боковые ребра правильной четырехугольной прямиды в точках, отстоящих от вершины на расстояния $a$, $b$, $c$ и $d$ (рис. 1). Докажите, что

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{1}{b} + \frac{1}{d}.$$

К. Шварцман

M463.* Даны натуральные числа $x_1, x_2, \dots, x_m, y_1, y_2, \dots, y_n$. Суммы $x_1 + x_2 + \dots + x_m$ и $y_1 + y_2 + \dots + y_n$ равны между собой и меньше mn. Докажите, что в равенстве $x_1 + x_2 + \dots + x_m = y_1 + y_2 + \dots + y_n$ можно вычернуть часть слагаемых так, чтобы снова получилось верное равенство.

К. Сибирков

M464.* На плоскости данного 1000 квадратов со стороны, параллельными осями координат. Пусть $M$ — множество центров этих квадратов. Докажите, что можно отметить часть квадратов так, чтобы каждой точка множества $M$ попала не менее, чем в один и не более, чем в четыре отмеченных квадратов.

А. Плоткин

34

М465*. Имеется тысяча билетов с номерами 000, 001, …, 999 и сто ящков с номерами 00, 01, …, 99. Билет разрешается опускать в ящик, если номер ящика можно получить из номера этого билета вычеркиванием одной из цифр. Докажите, что
a) можно разложить все билеты в 50 ящков;
b) нельзя разложить все билеты менее, чем в 40 ящков;
b) нельзя разложить все билеты менее, чем в 50 ящков.

Пусть вообще имеется $10^k$ билетов с $k$-значными номерами от 00…0 до 99…9. Билет разрешается опускать в ящик, номер которого можно получить из номера этого билета вычеркиванием некоторых $k$-значных билетов, можно разложить по 34 ящикам.
d) Найдите минимальное количество ящиков, в которых можно разложить $k$-значные билеты. Попробуйте решить эту задачу для $k=4$, 5, 6, …

С. Фомин

Ф473*. Рисунок 2 сделан со строкосоппической фотографией движения двух стальниковших шариков одинаковых диаметров, но разных масс. Стрелкой на рисунке показано направление движения одного из шариков до столковения.

1. Определить отношение масс шариков.
2. Указать, в каком направлении движения этого шариков в стороны шар. (9 кл.)

Ф474. Цель, показанная на рисунке 3, собранна из одинаковых волтметров. Первый волтметр показывает $U_1=10$ В, а третий — $U_3=8$ В. Каково показание второго волтметра? (9 кл.)

Ф475*. На рисунке 4 приведена волтметрная характеристика лампочки от карманного фонаря. Лампочка включана в схему, показанную на рисунке 5.

1. Найти графически ток в лампочке.
2. При каком положении движка потенциометра направление между точками $A$ и $B$ равно нулю?
3. При каком положении движка потенциометра направление между точками $A$ и $B$ почти не будет меняться при небольших изменениях з. д. с. батареи?

Внутренним сопротивлением батареи пренебречь. (10 кл.)

Ф476. Природный уран состоит из смеси двух изотопов с относительной atomными массами 235 и 238 и относением концентрации 7:1000. Для увеличения концентрации $^{235}$U, который применяется в atomных реакторах, используется истечение газообразного соединения $UF_6$ (шестифтористый уран) в вакуум через маленькие отверстия. Газ пропускается через трубу $T$ с пористыми стенками

35

Решения задач

M421—M425; Ф432—Ф437

М421. При каких намуральных m и n (m < n) можно закрасить некоморные клетки бесконечного листа клетчатой бумаги в черный цвет Mak, чтобы любой прямугодник размера m × n содержалровно одну черную клетку?

Рис. 1.

Рис. 2.

(рис. 6). Прошедший через стенки трубы газ откачивается из сосуда C. Оценить отношение концентрации $^{235}$UF$_6$ и $^{238}$UF$_6$ в откачиваемом газе. Относительная atomная масса фтора равна 19. (10кл.)

Ф477. Резиновое колюто массы M лежит на гладкой горизонтальной плоскости. Колюто немного расстояния так, что оно сохраняет форму окружности и центр его остается неподвижным. После этого колюто отпускают. Описать дальнейшее поведение колюца. Козффициент упругости резинового жгута равен k.

А. Абрамян

Решения задач

M421—M425; Ф432—Ф437

Докажем, что требуемая раскраска клетчатой плоскости для пары (m, n), m < n существует в том и только в том случае, когда n делится на m.

Если раскраска плоскости такова, что в любом ряде (вертикальном и горизонтальном) закрашена черным каждая k-я по счету клетка (как на рисунке 1, где k=3), то в любом прямоугольнике 1×k будетровно одна черная клетка. Из такой periodичной раскраски для пары (1, k) нетрудно получить periodичную раскраску для пары (m, km): нужно измельчить в m раз сетку и в каждой черной клетке старой (крупной) решетки оставить черной только одну, скажем, левую нижнюю клетку (рисунок 2 получен из рисунка 1 и именно таким примером; здесь k=3, m=2). Итак, мы показали, как построить нужную раскраску для пары (m, n), если n делится на m.

Предположим теперь, что для пары (m, n), где n не делится на m (n > m > 1), построена нужная раскраска, и придем к противоречию.

Рассмотрим два служеб.

1. Пусть n ≤ 2m – 1. Если два вертикального расположенных прямогольника m × n имеют общую угловую черную клетку, как показано на рисунке 3, то в их объединении больше не может быть черных клеток. Но в нем можно размещить горизонтальный (красный) прямогольник n × m, не содержащий черной клетки. Противоречие.

2. Пусть n > 2m – 1. Докажем сначала, что если K — черная клетка, то n-я клетка в том же ряду (считая от K) — тоже черная. Рассмотрим два вертикального расположенных прямогольника m × n с общей нижней угловой клеткой K и еще два прямогольника, полученные из них сдигром на одну клетку вверх (голубой и желтый на рисунке 4). Поскольку в них должны быть по одной черной клетке, то черным цветом должны быть закрашены либо одна из желтых клеток и одна из голубых, либо одна зелена клетка. Но первая возможность исключается, так как в горизонтальном красном прямогольнике не может быть двух черных клеток; значит, зеленую клетку нужно закрасить в черный цвет.

Рассмотрим теперь квадрат n×n с черной клеткой в нижнем левом углу. Если n = mk + r, где 0 < r < m, то квадрат можно разрезать на k горизонтальных прямогольников n×m и «остаток» — прямогольник n×r (рис. 5).

37

М424. Через какдуго вершину метраэдра проведена плоскость, содержащая центр окружности, описанной около промивоположной грани, и перпендикулярная к промивоположной грани. Доказим, что эти четырые плоскости пересекаются в одной точке.

Рис. 7.

М425. Существует ли такое нагуральное $N$, что какдое рациональное число между нулем и единицей представляется в виде суммы $N$ чисел, обратных нагуральным?

Пусть $S$ — одна из вершин tetraэдра, $SH$ — его высота, $O_1$ — центр окружности, описанной вокруг грани, противоположной вершине $S$. Плоскость, проходящая через вершину $S$, содержит высоту $SH$ и отрезок $SO_1$ (рис. 7). Проведем через точку $O_1$ прямую, параллельную $SH$; очевидно, что она принадлежит нашей плоскости. С другой стороны, ясно, что эта прямая проходит через центр сферы, описанной вокруг плоскости. Поэтому все четырые плоскости, содержащие центр описанной вокруг tetraэдра сферы, пересекаются в одной точке.

А. Ягубьянц

Обозначим через $A_n$ множество чисел, представимых в виде суммы не более, чем $n$ слагаемых, обратных нагуральным. Тогда $A_{n+1} = \{ \alpha + 1/q \}, \alpha \in A_n, q \in \mathbb{N}$ (нагуральное); ясно, что $A_{n+1} \supset A_n$.

Мы сейчас докажем, что $A_n$ (ни при каком $n$) не содержит все рациональные числа промежутка ] 0; 1 [ для этого докажем индукцией по $n$ более сильное утверждение:

I. В любом отрезке $[a; b] \subset ]0; 1[$ найдется целый отрезок $[c; d]$, не пересекающий с $A_n$*).

Для $n = 1$ это очевидно. Докажем это утверждение для некоторого $n$, считая, что для $n - 1$ оно доказано.

Пусть задан отрезок $[a; b] \subset ]0; 1[$. Выберем отрезок $[c_0; d_1] \subset [a; b]$, не пересекающий с $A_{n-1}$, и возьмем число $m \in \mathbb{N}$, такое что $d_1 - c_0 > 2/m$ (т. е. $2/(d_1 - c_0) < m$. Тогда ни одно из чисел вида $\alpha + 1/q$, где $\alpha \in A_{n-1}, q \geq m$, не лежит в правой половине $[c_1; d_1]$ отрезка $[c_0; d_1]$: если $\alpha \leq c_0$, то $\alpha + 1/q < (c_0 + d_1)/2 = c_1$. Мы можем, далее, последовательно выбирать $[c_1; d_1] \supset [c_2; d_2] \supset [c_3; d_3] \supset \dots \supset [c_m; d_m]$ так, что $[c_k - 1/k; d_k - 1/k]$ не пересекается с $A_{n-1}(k = 1, 2, \dots, m)$. В промежутке $[c_2; d_2]$, тем самым, не будут содержаться числа вида $\alpha + 1/2$ и $\alpha + 1/q$, где $\alpha \in A_{n-1}, q \geq m$; в промежутке $[c_3; d_3]$ не содержится числа вида $\alpha + 1/2$, $\alpha + 1/3$ и $\alpha + 1/q$ для $q \geq m$, $\alpha \in A_{n-1}, q \in \mathbb{N}$. То есть отрезок $[c_m; d_m]$ не пересекается с $A_n$, что и требовалось доказать.

Таким образом, ответ на вопрос, поставленный в задаче М425, отрицательный: такого натурального числа $N$ нет.

В решении, присладаемых читателями, был замечен целый ряд свойства множества $A_n$; некоторые из них сильнее, чем доказанное выше I.

*) Как говоря, множество $A_n$ не плоско.

38

Другие свойства $A_n$, которые также отличают его от множества всех рациональных чисел:

II. $A_n$ не содержит никакой без конечной возрастанию последовательности.

Это свойство эквивалентно таким двум.

III. Для каждой точки $x \in A_n$ существует близкая к ней слева.

IV. В каждом подмножестве $A_n$ есть наиболее число.

V. Пределом последовательности различных чисел, содержащих $A_n$, может быть только число, содержащей $A_{n-1}$ или 0 (а не любое действительное число на отрезке, как было бы, если бы $A_n$ содержало все рациональные числа этого отрезка!)

Доказательство этого последнего свойства особенно изучено.

Пусть $x_m = \frac{1}{q_1^{(m)}} + \dots + \frac{1}{q_n^{(m)}}$, $q_1^{(m)} \leq q_2^{(m)} \leq \dots \leq q_n^{(m)}$, $m = 1, 2, \dots$ — неокоторая последовательность чисел из $A_n$, стремящаяся к пределу $a$. Мы можем выбрать из последовательности $q_1^{(m)}$ (на тура льны х чисел!) либо возрастающего под последовательность, либо «стασионарную», в котором повторяется одно и то же число; потом (выбросив все остальные $x_m$) ту же операцию проделать для $q_2^{(m)}$ и т. д. Поскольку все $x_m$ различны, неокоторая последовательность $q_1^{(m)}$ обязана возрастать и стремиться к бесконечности. Таким образом, мы получим, перейдем к последовательности, такие $x_m$, что для неокотого $r < n$

$q_1^{(i)} = q_2^{(i)} = q_3^{(i)} = \dots = q_i$ при $i \leq r$ и $q_i \rightarrow \infty$.

Тогда число $a = \lim_{m \to \infty} x_m = \frac{1}{q_1} + \frac{1}{q_2} + \dots + \frac{1}{q_r}$ принимает оказывать нулем, если уже из последовательности $q_1^{(m)}$ мы сможем выбрать возрастающего.

С другой стороны, оченьindoно, что каждая точка $A_{n-1}$ действительно будет предельной точкой $A_n$.

Телерч читатель без труда докажет и свойства II, III, IV множества $A_n$. Разумеется, из V легко вывести и утверждение задачи (по индукции), и свойства I.

H. Васильев

Ф432. В стеклянном шаре имеется возможность сферической пузырек. Необходимо найти способ измерения диаметра эмного пузырька. Шар должен остаться целым. Способ должны быть описаны как можно менее.

Рис. 8.

Прежде всего выясним, на каком диаметре шар находится центр возушного пузырька. Для этого положим шар на горизонтальной поверхности и подождем, пока прекратятся его качания. В положении устойчивого равновесия шар центр пузырька лежит на вертикальном диаметре, выше центра шара (рис. 8).

Затем найдем положение центра тяжесте шара с пузырьком. Поместим шар на наклонную плоскость и будем медленно увеличивать угол наклона плоскости к горизонту. При этом шар будет поворачивать вокруг горизонтальной оси, проходящей через его геометрический центр, так, чтобы в любой момент центр тяжесте шара находился на вертикали, проходящей через точку касания шара с плоскостью. Шар начинает скатывать (при достаточно большом коэффициенте треня скольжения между шаром и плоскостью), когда центр тяжесте самого правое из всех возможных его положений (рис. 9). Это позволяет определить положение центра тяжесте шара с возушным пузырьком: он отстoit от геометрического центра шара на расстояние

$$l = R \sin \alpha,$$

где $R$ — радиус шара, $\alpha$ — угол наклона плоскости к горизонту, при котором шар начинает скатывать.

Телерч займется непредеделенно определением размеров пузырька и его положения внутри стеклянного шара. Предположим, что мы заполнили плоскость стеклом, из которой

39

рого изготовлен шар. Центр тяжелости переместителя в геометрической центр шара. Это означает, что

$$\frac{4}{3} \pi r^3 \rho a = \frac{4}{3} \pi (R^3 - r^3) \rho l.$$

Здесь $r$ — радиус воздушного пузырька (полости), $\rho$ — плотность стекла, $a$ — расстояние от центра пузырька до центра шара (рис. 10). Возвес шар в воздухе и в воде (с известной плотностью $\rho_0$), можно записать еще два уравнения:

$$\frac{4}{3} \pi (R^3 - r^3) \rho |\vec{g}| = P_1,$$

$$\frac{4}{3} \pi (R^3 - r^3) \rho |\vec{g}| - \frac{4}{3} \pi R^3 \rho_0 |\vec{g}| = P_2.$$

Решив систему трех уравнений с третья неизвестными, найдем радиус пузырька $r$ и его положение $a$.

Возможен другой способ измерения $r$ — оптический. Достаточно помещить шар в жидкость с показателем преломления, равным показателю преломления стекла, чтобы шар в этой жидкости стал невидимым. Расматривая ход лучей, например, от точного источника, можно найти $r$ (проверьте это самостояльно).

Можно, конечно, предложить и много других способов. Поэтому мы обязаательно еще раз вернемся к этой задаче, когда ознакомимся со всеми письмами наших читателей.

Ф433. Две одинаковые плосковыпуклы линзы с фокусным расстоянием $F = 20$ см какждая расположены на расстоянии $l = 30$ см друже от друга. Оптические оси линз совпадают, линзы обращены друг к другу плоскими сторонами. Где будем находиться изображение источника, нахождение на расстоянии $d = 40$ см от левой линзы, если просматривать между линзами заполнить стеклом с показателем преломления максим же, как у линз?

Обозначим через $f$ расстояние от левой линзы до изображения источника, которое образуется при преломлении на выпуклой сферической поверхности левой линзы. Это расстояние связывано с расстоянием $d$ от источника до левой линзы соответствием

$$\frac{1}{d} + \frac{n}{f} = (n - 1) \frac{1}{R},$$

где $n$ — показатель преломления стекла, $R$ — радиус сферического поверхности линзы.

Аналогичное равенство можно записать для преломления на выпуклой поверхности правой линзы:

$$\frac{n}{d'} + \frac{1}{f'} = (n - 1) \frac{1}{R}.$$

Здесь $d^1 = l - f$ — расстояние от первого изображения, которое является «источником» для второго изображения, до правой линзы, а $f'$ — искомое расстояние от правой линзы до изображения, даваемого системе. Кроме того, для каждой линзы в отдельности выполняется соответствие

$$(n - 1) \frac{1}{R} = \frac{1}{F}.$$

Решая все три уравнения совместно, найдем $f'$:

$$f' = \frac{F \left[ l (d - F) - ndF \right]}{(d - F) (l - nF) - ndF}.$$

Полагая $n = 1,5$, получим $f' = 10$ см.

Ф434. Какое количество менломы выделяется на сопротивлении $R$ при установлении равновесия после замывания ключа $K$ (рис. 11), если конденсатор был предвариanted заряжен до разности помен-

41

Колебаний муфты не будет, если при смешении муфты из положения равновесия ее ускорение $\vec{a}$ относительно стержня окажется направлением от оси вращения, то есть

$$\frac{2k}{m} - \omega^2 < 0,$$

или $\omega > \sqrt{\frac{2k}{m}} = 10$ рад/c.

Ф436. Плотность $\rho$ газа, состоящего из смеси zeilия и аргона, при давлении $p = 152$ кН/$m^2$ и температуре $T = 300$ К равна 2,0 кк/м³. Сколько атомов zeilия содержится в 1 см³ газовой смеси?

Для того чтобы найти число молекул (атомов) гелия $N_1$ в объеме $V = 10^{-6}$ м³, надо определить относение массы гелия $m_1$ к его молярной массе $\mu_1 = 4 \cdot 10^{-3}$ кг/mоль:

$$N_1 = \frac{m_1}{\mu_1} N_A.$$

(1)

Запишем уравнения газового состояния для гелия и аргона:

$$p_1 V = \frac{m_1}{\mu_1} RT, \quad p_2 V = \frac{m_2}{\mu_2} RT$$

($p_1$ — давление гелия, $p_2$ — давление аргона, $m_2$ — масса аргона, $\mu_2 = 40 \cdot 10^{-3}$ кг/mоль — его молярная масса). Согласно закону Дальтона давление смеси газов $p = p_1 + p_2$, то есть

$$p = \left( \frac{m_1}{\mu_1} + \frac{m_2}{\mu_2} \right) \frac{RT}{V}.$$

(2)

Плотность $\rho$ смеси равна сумме плотностей гелия и аргона:

$$\rho = \rho_1 + \rho_2 = \frac{m_1}{V} + \frac{m_2}{V}.$$

(3)

Из равенств (2) и (3) найдем относение $\frac{m_1}{\mu_1}$, подставим его в выражение (1) и получим

$$N_1 = N_A V \frac{\rho \mu_2 - \rho RT}{RT (\mu_2 - \mu_1)} \approx 4 \cdot 10^{15} \text{ m}^{-3} = 4 \cdot 10^9 \text{ cm}^{-3}.$$

Ф437. Проволочная рамка, имеющая форму треугольника с углом $\alpha = 30^\circ$, помещена в вертикальной плоскости马克, как показано на рисунке 14. По проводке мощ без треня скользывание druze с друzem нитью два грузика с массами $m_1 = 0,1$ кк и $m_2 = 0,3$ кк. Чему равно намяжение нитии и угол $\beta$ в положении равновесия грузиков?

Является ли это равновесие устойчивым?

На рисунке 14 показаны все силы, действующие на грузики. Силы $\vec{T}_1$ и $\vec{T}_2$ натяжения нитя равны по абсциссной внешне и противоположно направлены: $\vec{T}_1 = -\vec{T}_2$ и $|\vec{T}_1| = |\vec{T}_2| = T$. Силы реакции $\vec{N}_1$ и $\vec{N}_2$ перpendикулярны к сторонам рамки и, следовательно, образуют друг с другом угол $90^\circ$. Силы тяжестеки $m_1\vec{g}$ и $m_2\vec{g}$, как всегда, направлены вертикально.

Так как система из связанных нитю грузов находится в равновесии, то

$$\vec{N}_1 + \vec{N}_2 + \vec{T}_1 + \vec{T}_2 + m_1\vec{g} + m_2\vec{g} = 0,$$

или

$$\vec{N}_1 + \vec{N}_2 + m_1\vec{g} + m_2\vec{g} = 0.$$

Это означает, что векторы $\vec{N}_1, \vec{N}_2$ и $m_1\vec{g} + m_2\vec{g}$ образуют треугольник (рис. 15), причем этот треугольник прямойный: $\widehat{BAC} = 90^\circ$. В равновесии находится из грузков. Следовательно,

$$m_1\vec{g} + \vec{N}_1 + \vec{T}_1 = 0, \quad \vec{N}_2 + m_2\vec{g} + \vec{T}_2 = 0.$$

42

Из этих равенств следует, что вектор $\vec{T}_1$ соединяет вершину $A$ треугольника $ABC$ с точкой $E$, а вектор $\vec{T}_2$ — точку $E$ с точкой $A$.

В треугольнике $AEC$ $\widehat{ACE} = \alpha$ и $\widehat{CAE} = 90^\circ - \beta$, а в треугольнике $ABE$ $\widehat{ABE} = 90^\circ - \alpha$ и $\widehat{BAE} = \beta$. Согласно теореме синусов

$$\frac{T}{\sin \alpha} = \frac{m_1 |\vec{g}|}{\sin (90^\circ - \beta)} = \frac{m_1 |\vec{g}|}{\cos \beta}, \quad \frac{m_2 |\vec{g}|}{\sin \beta} = \frac{T}{\sin (90^\circ - \alpha)} = \frac{T}{\cos \alpha}.$$

Решая эти уравнения совместно, найдем

$$tg \beta = \frac{m_2}{m_1} \text{ctg} \alpha = 3\sqrt{3}, \quad \beta \approx 79^\circ;$$

$$T = m_1 |\vec{g}| \frac{\sin \alpha}{\cos \beta} \approx 2.7 \text{ H.}$$

Теперь выясним, является ли найденное положение равновесия устойчивым. Положение равновесия устойчиво, если потенциальная энергия системы в этом положении минимальная, то есть центр тяжести системы грузов находится в нанизшем положении. Для того чтобы выяснить, выполняется ли это условие, найдем координату центра тяжести системы.

Обозначим длину стороны $DK$ проволочного треугольника (рис. 16) через $a$, а длину нити — через $l$. Центр тяжести системы (точка $O$) делит длину нити в отношении $\frac{m_2}{m_1}$.

Следовательно, он находится на расстоянии $b = \frac{m_2}{m_1 + m_2} l$ от левого грузника. Из рисунка 16 видно, что $y_0 = (a - l \cos \beta) \sin \alpha - b \sin (\beta - \alpha) = a \sin \alpha - l (\cos \beta \sin \alpha) + \frac{m_2}{m_1 + m_2} \sin (\beta - \alpha))$.

Это выражение минимально, когда максимальное выражение

$$y_1 = \cos \beta \sin \alpha + \frac{m_2}{m_1 + m_2} \sin (\beta - \alpha).$$

Преобразуем выражение (*):

$$y_1 = \cos \beta \sin \alpha + \frac{m_2}{m_1 + m_2} (\sin \beta \cos \alpha - \cos \beta \sin \alpha) = \frac{m_2}{m_1 + m_2} \sin \beta \cos \alpha + \frac{m_1}{m_1 + m_2} \cos \beta \sin \alpha = \sin (\beta + \varphi),$$

где $\sin \varphi = \frac{m_1}{m_1 + m_2} \sin \alpha$, $\cos \varphi = \frac{m_2}{m_1 + m_2} \cos \alpha$ и $tg \varphi = \frac{m_1}{m_2} \text{tg} \alpha$.

Очевидно, что выражение (*) максимальное при

$$\beta + \varphi = \frac{\pi}{2},$$ или $tg \beta = \text{ctg} \varphi = \frac{m_2}{m_1} \text{ctg} \alpha$.

Следовательно, найденное положение равновесия устойчиво. Тот, кто имеет дифференцировать, мог бы это значение $\beta$ из условия экстремума (максимума) выражения (*).

И. Словодечкий

43

Нефроид

Нефроид можно определить как траекторию фиксированной точки подвижной окружности $(O_1, r)$, которая связана с кругах в окружности $L$ и имеет с $l$ общую точку; 6) в каждой точке касательная $y_l$ и у соответствующей кривой из $L$ — общая. В частности, если $L$ — семейство прямых, то каждая из них должна касаться огибающей в некоторой ее точке. На чертеж часто огибающая не наносится, но, тем не менее, в днём, если кривысные $L$ нарисовано «много». Именно так представлен нефроид на второй странице обложки — как огибающая семейство окружности. Что такое нефроид на второй странице обложки — как огибающая семейство окружности. Что такое нефроид на второй странице обложки — как огибающая семейство окружности.

Укажем некоторые свойства нефроид и используем их для другого ее построения. Пусть $RN$ — диаметр окружности $(O_1, r)$ и $T=(MR)\cap(O, 2r)$. Пусть, далее, $U=(OT)\cap(MN)$. Можно доказать, что $UN$ — касательная к нефроиде в точке $M$ (см., например, построение касательной к делютиде в «Кванте», 1977, № 3).

Треугольники $O_1MR$ и $ROT$ — равноведенные. Значит, $O_1MR=O_1RM=O_{RT}=O_{TR}$. Поэтому $UT||MO_1$. Треугольники $MO_1N$ и $UON$ подобны. Следовательно, треугольник $UON$ равноведенный и $|UO|=4r$. $UMT$ — прямогольный треугольник. Описем около него «синюю» окружность $(O_2, 3r)$. Тогда $MT=2\varphi.3r=3\varphi.2r=M_0T$. На этом основан второй способ построения нефроиды: катим по неодвижному кругу $(O, 2r)$ окружность $(O_2, 3r)$, касающийся его так, как показано на рисунке 1. Нефроид описывает точка $M\epsilon(O_2, 3r)$.

Для дальнейшего введем понятие «огибающая семейства кривых $L$». Оценя́

байошая — непрерывная кривая $l$ такая, что: а) каждая ее точка принадлежит одной из кривых семейства $L$ и, обратно, каждая из кривых в $L$ имеет с $l$ общую точку; 6) в каждой точке касательная $y_l$ и у соответствующей кривой из $L$ — общая. В частности, если $L$ — семейство прямых, то каждая из них должна касаться огибающей в некоторой ее точке. На чертеж часто огибающая не наносится, но, тем не менее, в днём, если кривысные $L$ нарисовано «много». Именно так представлен нефроид на второй странице обложки — как огибающая семейства окружности. Что такое нефроид на второй странице обложки — как огибающая семейства окружности.

Чирнгауз, о котором говорилось в подписи к второй странице обложки, изучал главным образом «оптичские» кривые, среди которых видно место занимали камакayстики. Катакустика данной кривой — это огибающая отрезких от нее лучей света. Пусть $CP$ — один из таких параллельных лучей, идиших, например, от Солнца. Если $CP$ попадает на вогнутую «синюю» цилиндрическую поверхность (рис. 2), то он отракается от нее под углом $\theta$, равным углу падения. Расстоярим окружности

$(O, \frac{|OP|}{2})$ и $(O_1, \frac{|OP|}{4})$ (рис. 2).

Тогда $CPO=POX=OPQ=\theta$. Ясно, что $OO_1M=2\theta$ и точка $M$ может быть получена проектированием окружности $(O_1, \frac{|OP|}{4})$ во круг $(O, \frac{|OP|}{2})$ на угол $2\theta$ из положения $M_0$. Следовательно, луч света $PQ$ действительно касается нефроиды в точке $M$.

Пользовку нефроиды при ярком солнечее можно ввидеть утром над чашкой кофе. Нефроид может быть также получена как огибающая следующую семейства прямых. Расстоярим с центром в $O$ и два ее взаимно перpendicularных диаметра $Ox$ и $Oy$. Выберем произвольно на диаметре $Oy$ точку $B$ и сделаем с помощью окружности $(B, |BO|)$ засечку $A$ на исходной окружности. Проведем для всевозможных точек $B$ через точки $B$ и $A$ прямые $BA$. Огибающая семейства этих прямых — нефроид. Докажите это.