Квант 1977, №10 · Страницы

КВАНМ 10
1977

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - MATEMATIЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

Константин Эдуардович
Циolkовский
(1857—1935)

1

В НОМЕРЕ:

К 60-летию Великого Октября
И. Кикон. Как создавалась советская физика
П. Алексадров. Лузинская математическая школа
XX лет космической эры
В. Большаков. Оптическоеондирование Земли и Луны из космоса

Лаборатория «Кванта»
В. Майер. Зеленая красная лампа

Математический кругхок
А. Егоров. Уравнения и предыds

Задачик «Кванта»
Задачи М466—М470; Ф478—Ф482
Решения задачи М426—М430; Ф438—Ф441

По страницам школьных учебников
Б. Гейдман. Гомотетия и замечательные точки в треугольнике

«Квант» для младших школьников
Задачи
Е. Семенов. Степа Мошкин повторяет геометрию
В. Гутемахер, Пантограф

Практикум абитриента
Н. Андрианова, Т. Шорцеина. Подготовительные курсы при МИСИ

Спрашивайте — ответаем

Рецензии, библиография
В. Рудов. Настольная книга по астрономии

Ответы, указания, решения
Смесь (с. 33, 39, 63)

© Главная редакция физico-mатематической литературы издательства «Нука», «Квант», 1977

2

Как создавалась советская физика

Редакция обратилась к Герою Социальностного Труда, академик И. К. Кикониу с просьбой рассказать об основных этапах становления советской физики. Исаак Константинович Кикони нацал занимается физикой в 1927 году — в год десятилетия Советской власти. Ему посчастливилось работать со многими замечательными учеными, которые по праву можно считать основоположниками советской физики. Позотому его рассказ — это рассказ очевидца и участника описываемых событий.

В этом номере мы начнем публикацию воспоминаний академика И. К. Кикониа. Публикация подготовлена Т. Петровой и И. Слободецким.

С первых же лет своего существования молодое советское государство уделяло огромное внимание развитию отечественной науки. По инциативе и при активной поддержке Владимира Ильича Ленина в стране было создано немало новых научных центров. Одним из них был Ленинградский физик-технический институт, основанный в 1918 году академиком Абрамом Федоровичем Иоффе. В этом институте и начал заниматься физикой.

Do revoilionn hayka в России развивалась в основном в университетах и была оторвана не только от практической жизни, но даже и от настоящего современной науки. Абрам Федорович Иоффе рассказывает, что, когда он начал заниматься физикой, в университетах России господствовала такая точка зрения на работу ученого-физика: дело научного работника — повторять опыты, которые ставились за границей, а новые идеи и самостоятельные работы считались немыслыми, потому что, мол, у нас нет достагоно подготовленных ученых.

Еще в 1918 году, сквозь дым пожара гражданской войны, А. Ф. Иоффе сумел увидеть будущее контур социальностной страны и понять, что будущее технически и промышленно-

3

ность должны базироваться на хорошо развивой физической наук. А для этого нужны были физики, знакомые с технической, которые могли бы в будущем связать физическую наук с потребностями техники. Для подготовки таких специалистов Иоффе создал в Ленинградском политехническом институте физico-mеханический факультет. На этот факультет я и поступил в 1925 году.

Учитывая на факультете было трудно, потому что физico-mатематические дисциплины преподавались на уровне университетской программы, а вместе с тем студенты должны изучать инженерные дисциплины. Поступив в институт, я сразу погрузился в атмосферу настояшей науки.

Мы, студенты, знали, что наш декан — знаментий учены, имеем которого назван открытый им эфект. Эффект Иоффе заключится в том, что при смчивании поверхности кристалла каменной coli (NaCl) водой его прочность возрастает в несколько сот раз. Результаты необсячайно простого по использованию опыта, поставленного Иоффе, имели чрезвычайно важное значение. И вот почему.

В 1915 году замечательный немецкий физик Макс Борн создал строую теории кристаллов. Эта теория объясняя оптические, электрические и другие свойства различных кристаллов. Многочисленные экспериментальные данные, имеющиеся в то время, подтверждали справедливость теории. И только в одном теории резко расходилась с экспериментом — в оценке прочности кристаллов. Было, например, известно, что кристалл каменной coli при его растяжении разрушается, когда возникающие в нем в результате деформации направления составляют приблизительно 4,5·10⁶ H/m². (Напряжение σ называют относительной силы упругостии |Fγуп| к площади S поперечного сечения образца, перpendикулярного направлению деформации: σ = |Fγуп|/S. Значение σ, при котором образец разрушается, называют пределом прочности.) А теоретический расчет давал совершению иную оценку —

Абрам Федорович Иоффе (1880—1960)

порядка 10⁹ H/m². И объявить это расхождение в рамках теории Борна никакому не удавалось.

А. Ф. Иоффе предложил, что рассматриваемая в теории модель разрушения кристалла отличается от того, что происходит в результате кристалле при его деформации. Теоретические расчеты предела прочитности делались в пределах詹ни, что кристалл разрушается мгновенно по всему сечению образца. Иоффе же предложил, что разрушение кристалла просходит постепенно. Начинается оно в каком-то самом «слабом» месте, а потом распространяется вдоль по сечению образца. Постепенно разрушения связана с тем, что на поверхности кристалла имеются микросокопические трещины. С такой трещинки и начинается разрушение при направлениях, конечно, меньше, чем теоретические значения пределов прочности. Трещинка постепенно разрабатывается и приводит к разрыву всего кристалла.

Идея опыта, которой А. Ф. Иоффе поставил для проверки своего предложения, была необсячайно проста. Tonкий монокристаллический образец каменной coli погружался

4

частчно в теплую воду. Вода постепенно расторяла соль, мокрая часть образца становится тонше, но поверхность ее делалась гладкой, трещинны ищезали. В таком виде образец подвергался растяжению. Обыты показали, что сухая часть образца разрушалась при напряжении 4,5×10⁶ H/m², а погруженная в воду часть образца выдерживала напряжение до 1,6·10⁹ H/m². Так блескяще подвергалась гипотеза А. Ф. Иофе.

Многие физики считали, что предложенная Иофе модель разрушения кристалла не соответствует действительности. Но многократно повторенные убедительные опыты подтвердили ее правление. И обнаруженному Иофе явлению повышения прочности кристаллов при сглаживании их поверхности было присвоено название «эффекта Иофе».

На одной из своих популярных lekций студентам-первокурсникам А. Ф. Иофе использовал свою идею следующими простыми опытими. Он брал прямогольную полоску бумаги и пытался ее разорвать, неосредственно растягивая ее руками. Для этого ему приходилось прилагать значительное усилие. Но стонло эту полоску чуть надорвать поперек (то есть создать в ней «трешинку»), как разрыв ее проискодил при ничтожном усилинии. (Читатель легко сам может повторить этот опыт.) Другой опыт проводился со стеклянными палочками. Абрам Федорович приготовил к lekции стеклянные палочки диаметром 2—3 мм, которые в течение нескольких часов были погружены в сосуд с дистиллированной водой. Такие же, но сухие палочки лежали рядом на столе. Попытка согнуть сухие палочки в «дугу» неизменено кончались неудачей — палочки ломались. Палочки же, только что вынуты из воды, легко сгибались в обруч! Объясняется это тем, что, хотя и много медленнее, чем соль, но стекло тоже расторяется в воде, и вода «смывает» трещинки с поверхности палочки.

Мы, студенты, очень внимательно следили за научными успехами на-

Александр Алексадрович Фридман
(1888—1925)

ших профессоров, более за них. Мы очень гордились тем, что у нас на факультете работы Алексадрович Фридман — один из крупнейших механиков в мире. Мы знали, понасыщке, что он внес очень существенный вклад в общую теорию относительной плотности, поправив самого Эйнштейна.

Эйнштейн в первой четверти XX столетия сформировал вслед за специализной теорией относительной плотности общую теорию относительной плотности. Эта теория позволяет создать математическое модель Вселенной — составить систему уравнений, решения которой описывало состояние Вселенной. Сам Эйнштейн нашел статионарное решение, и модель Вселенной, построенная Эйнштейном, была статичной, неизменной во времени. Фридман договорался, что нарушу со статическим решением Эйнштейна существу диамическое решение. Это означает, что состояние Вселенной построено изменяется во времени, Вселенная расширяется.

Известно, что понacular Эйнштейн встретил эту работу Фридмана в шты-

5

ки, но потом понял, что идея, которую высказал Фридман, справедлива*.) Оказалось, что расширение Вселенной следует из общей теории относительнойности. Когда это было учтено, теория относительнойности стала практическим законченой теорией. Таким образом, Фридман наряду с Эйнштейном является одним из авторов общей теории относительнойности. Мы этим очень гордились.

У нас в институте Фридман читал курс механики. А в нашей студенческой библиотеке был отпечатанный курс лекций, прочитанных Фридмом в Военно-морской академии. Назывался он «Опыт гидромеханики скимаемой жидкости». Мы тогда еще не понимали, что это означает. И только потом мы узнали, что в нем впервые была решена задача о движении жидкости или газа с очень большими скоростями, когда жидкость или газ прициппально нельзя считать идеальным и надо учитывать их скимаемость. Теперь эта работа Фридмана стала общеприятной теорией, на которой основана вся гидромеханика сверхзвуковых скоростей. Этот раздел гидромеханики называется газовой динамикой. Так что родоначальник газовой динамики был наш профессор А. А. Фридман. К сожалению, он погиб очень soon — в 1925 году, когда ему было всего 37 лет.

Напротив нашего института, через улицу, которая называлась «Дорога в Сосновку», находился Ленинградский физico-технический институт (тогда он назывался физico-техническийRENTНОВСКИЙ INSTITUT). Директором его был академик А. Ф. Иоффе. Зрелых физков в этом институте было очень мало. Были сам академик

*) 18 сентября 1922 года Эйнштейн опубlikовал свое «Замечание к работе А. Фридмана» «О кривизне пространства», в котором он писал: «Результаты относительной несущинонородного мира, содержащиеся в упомянутой работе, представляются мне подозрительные». Но уже 31 мая 1923 года Эйнштейн писал: «В предыдущей заметке я подверг критике работы Фридмана… Оdnako моя критика, как я убедился… основываясь на ошибке в вычислениях. Я считаю результаты Фридмана правильными…»

демик Юоффе; он привлек к работе профессора Дмитрия Аполлинариевича Рожанского, крупного радиофизика; привлек Ивана Васильевича Обренова, недавно окончившего университет (ныне академика); пригласил работать недавно кончившего университет Николая Николаевича Семенова (ныне академика, Нобелевского лауреата); крабote был привлечен профессор Яков Ильич Френкель, крупный ученый, один из основателей советской теоретической физики; был привлечен Алексаандр Алексеевич Чернышев — крупный электрик, который занимался вопросами электротехники. Основную массу сотрудников составляли молоды люди, наавшие работы, будучи студентами физico-технического факультета. На этом основании недруги коренного, я бы сказал,революционного преобразования в физике и в развитинах работ, которое нациализь в физico-техническом институте, называли этот институт детским садом. Тем не менее, ЛФТИ уже стал одним из основных центров физической науки в СССР.

Отбирались студенты на работу в институт таким способом. Преподавали факультета — сотрудники института, в том числе и студенты старших курсов, которые руководили лабораторными работами студентов, имели указания А. Ф. Иоффе пристмативаться к студентам, которые проявляют интерес и способности к экспериментальной физике, и приглашать их на работу в физico-технический институт. В 1927 году, будучи студентом второго курса, я был приглашен на работу в физico-технический институт. Там молодежь сразу приближалась к современной науки. С нами не очень ничились и не считались с тем, что у себя на факультете мы еще чего-то «не проходили». На научных семинарах, которые происходили регулярно по пятнищам, с 5 до 7 вечера, разбиались научные работы, только что сделанные сотрудниками института или опубликованные в зарубежных журналах. Мы принимали участие в работе семинара, должны были случаи и понятия, о чем идет речь, а если не понимали, то справивать.

В первое время мы даже не решались спрашивать, потому что не понимали ничего. Но довольно быстро понимание наступило, по-видимому, потому, что мы привыкли к стилю изложения и сами много читали.

У нас на факультете были, конечно, учебные студенческие семинары. Одиним из них руководил профессор Рожанский, а другим — профессор Френкель. На этих семинарах разбиались самые современные вопросы физики, и мы довольно быстро усваивали, какие проблемы волнуют физики. В частности, в 1927 году на семинаре профессора Рожанского разбиался только чтоышедшая работа Дэвиссона и Джермера, в котором впервые было экспериментально показано, что при отражении электровоток кристаллов наблюдается дифракционная картина, как при рассеянии самого объчного света на дифракционной решетке. Мы знали, что дифракция света объясняется тем, что свет — это волна. Но электрон считался нормальной частицей, подчиняющейся законом механики. И сначала представлялось просто невозможным понять, почему отражение электровоток происходит так, как будто на поверхности кристалла падает не пучок частиц, а пучок света. Этот вопрос мы и разбиали на семинаре Рожанского, на котором подробно разбиался опыт Дэвиссона и Джермера (докладывали студенты) и обслужалась его интерпретация. Этот опыт был первым убедительным доказательством справедливости предложения, сделанного в 1924 году французским физиком де Бройлем, о том, что движущаяся электроны проявляют свойства не только частиц (корпускул), но и волн, подобно тому, как электромагнитное излучение, например, свет обладает свойством как волн, так и частиц. И еще де Бройль предложил, что соответствия между корпускулярными характеристиками и волновыми должны быть одним и тем же для электровоток и излучения. Опыт Дэвиссона и Джермера показал, что действительное электроны при отражении от поверхности кристалла ведут себя как волны, и чтолина волны λ, соответствующая движущемуся электрону, равна h/mv, где h — постоянная Планка, m — масса электрона, v — его скорость. В нашей дни это стало уже тривильноство.

На семинаре Френкеля тоже разбиался вопрос, который волновал физикого времени. Вопрос касался не отдельных atoms и не отдельных электровов, а строения вещества. Мы уже знали, что atoms притягиваются, пока расстояние между ними примерно равно размеру atoms. А при дальнейшем сбижении atoms между ними начинают действовать силы отталкивания. Но было неопонятно, почему atoms располагаются в твердом теле, образуя правильную кристаллческую решетку.

Тогда теорий твердого тела занимались довольно мало. Начало создания современной теории твердого тела положил Эйнштейн. В 1907 году он разработал квантовую теорию телоемкости твердого тела. Твердое тело Эйнштейн рассматривал как совокупность atoms, совершающих колебания около положения равновесия с одной и той же частотой. При

7

Яков Ильич Френкель (1894—1952)

нагревании тела меняется амплитуда этих колебаний, следовательно, меняется и энергия колеблошихся атомов. Изменение энергии тела при его нагревании на один градус и есть теплокость тела. Формула Эйнштейна для теплокости твердого тела равильно описывала характер изменения теплокости с температурой, но при низких температурах расчитанные по этой формуле значения теплокости не совпадали с экспериментальными результатыми.

Теорию Эйнштейна усовершенствовал Дебай в 1912 году. Он предложил, что atoms в твердом теле колеблотся не независимо, они связаны между собой и образуют единую колебательную систему. Расчеты, основанные на этом предложении, дали прекрасное совпадение теоретических значений теплокости с экспериментальными данными. Они, в частности, согласовались с давно известным фактом — так называемым законом Дюлонга и Пти, по которым теплокость одного моля любого твердого вещества одна и та же и равна 25 Дж/(моль·К).

Но в разработанной теории теплокости было одно «темное место» — это теплокость металлов. Металл, как известно, состоит из ионизированных atoms, образующих кристаллический решетку, и свободных электронов. Эти свободные электроны ведут себя как общный идеальный газ (его называют электронным газом). Каэлось бы, теплокость 1 моля металла должна складывать из теплокости решетки (25 Дж/(моль·К)) и теплокости электронного газа. А последнюю подсчитать совсем нетрудно — как теплокость одноатомного идеального газа: энергия E одного моля газа равна $^3/2RT$ (R — универсальная газовая постоянная), а теплокость

$$C = \frac{\Delta E}{\Delta T} = \frac{3}{2} \cdot \frac{R \Delta T}{\Delta T} = \frac{3}{2}$$

$R \approx 12,5$ Дж/(моль·К).

Итак, теплокость моля металла должна быть равнять приблизительно 37,5 Дж/(моль·К). А изменения показывают, что она равна 25 Дж/(моль·К). Это было настоящее неопоняное, что физики называют парадокс «катастрофой теплокости».

Объяснить этот факт стало возможно только с появлением квантовой механики. Квантовом механическую теорию электронного газа в металле разработали Зоммерфельд в Германии, а у нас в Советском Союзе профессор Яков Ильич Френкель. Согласно теории свойства электронного газа существенно отличия от свойств одноатомного газа. В частности, при обычных (не очень высоких) температуре энергия свободных электронов в металле практически не зависит от его температуры, тогда как кинетическая энергия atoms газа при propioциональна температуре. Иными словами, при нагревании металла его внутренняя энергия изменяется только за счет изменения энергии колебания atoms (точнее — ионов) кристаллической решетки; энергия же электронного газа остается неизменной. Следовательно, теплокость металлов — это теплокость atoms его решетки и равна 25 Дж/(моль·К). Так

была устранена «катастрофа теплоемкости».

На семинаре Я. И. Френкеля он сам рассказывавал нам элементы теории Зоммерфельда и о своих исследований в этом направлении.

Была еще одна проблема в физике металлов, которая волновала ученых. Есть такое явление, которое называется эффектом Холла. Заключается оно в следующем. Представим себе прямогольную металлическую пластину, вдоль которой чётчик электрический ток $I$ (рисунок 1). Очевидно, что между точками $A$ и $A'$ пластины направление равно нулю. Но если эта пластина помещена в магнитное поле, индикция $\vec{B}$ которого перепределулана плоскости пластины, то между точками $A$ и $A'$ возникает неокоторное направление $U$, которое называют э.д. с. Холла. Э.д. с. Холла можно изменить с помощью гальванометра, подсоединенного проводниками к точкам $A$ и $A'$.

Возникновение в проводнике с томом под действием магнитного поля разности потенциальов в направлении, поперечном по отношению к направлению тока, и называется эффектом Холла. (Это явление было теоретически представано в шестидесятых годах прошло столетия Максвеллом.) Как объяснить возникновение э.д. с. Холла?

Известно, что ток представляет собой движение электровов, а на электрон, движущийся в магнитном поле со скоростью $\vec{v}$, перепределулана плоскости поля $\vec{B}$, действует сила Лоренца $\vec{F}_\pi$, равная по абсолотной величины $e|\vec{v}||\vec{B}|$. направление сила Лоренца определяется правом левой руки (если левую руку расположить так, чтобы вектор $\vec{B}$ «входил» в ладонь, четые сложенных пальца были вытянуты вдоль направления, противоположного направлению скорости $\vec{v}$ электрона, то отогнутый большой палец указывает направление сила Лоренца). Пусть пластина расположена в магнитном поле так, как показано на рисунке 1. По пластине вдоль оси $Y$ чётет ток (скорость электровов направлена в противоположную сторону!). Тогда под действием сила Лоренца электровы будет отклоняться к грани $a'$ пластины, и на этой грани скопится избitable количество электровов. Накопившиеся электровы создают внутренний пластин электростатического поле, направленность которого пропорциональна их числу. В этом поле на электровы действует сила $|\vec{F}_\alpha|=e|\vec{E}|$, направленная противоположно силе Лоренца, то есть тормозящая их. Очевидно, что когда эта сила становится силе Лоренца, действующей на «протекаюший» по пластине электрон, поперечное перемещение электровов прекратится. Из условия равенства этих сил можно найти направленность $|\vec{E}|$ установленного поля внутреннего пластины:

$$e|\vec{E}|=e|\vec{B}||\vec{v}|,$$

откуда

$$|\vec{E}|=|\vec{B}||\vec{v}|.$$

При этом между точками $A$ и $A'$ пластины установленся разность потенциальов:

$$U=|\vec{E}|b=|\vec{B}||\vec{v}|b,$$

где $b$ — ширина пластины. Скорость электровов легко определять, зная ток $I$, концентрацию $n$ электровов в области (число их в единице объема) и площадь $S$ секения пластины, перепределуланого направления тока. Действительно,

$$I=ne|\vec{v}|S,$$

откуда

$$|\vec{v}|=I/neS=I/nebd$$

(d—толщина пластины).

Таким образом, напряжение $U$, возникающее между точками $A$ и $A'$ пластинны, равно

$$U = |\vec{B}| I/ned.$$

Эту разность потенциальов впервые обнаружил и измерил американский физик Холл.

Итак, электронная теория металлов довольно просто объявляет эффективность. Из приведенного выше объявления следует, что знак $э. d. c$. Холла определяется только направлением тока, протекающего через пластину, и направлением магнитного поля и должны быть одним и тем же для всех металлов. Между тем опыты показали, что у ряда металлов $э. d. c$. Холла имеет обратный знак, как будто в них носители тока не электроны, а положительные заряды. Этому никто не мог найти объявления.

И только в тридцатых годах ученик Зоммерфельда Рудольф Пайерлс дал объявление этому явлению. Он сумел это сделать на основе квантовомеханических представлений о поведении электронов в металх. Как почти всем квантовым явлениям, дать наглядное объявление возникновения обратной $э. d. c$. Холла нельзя.

Когда работа Пайерла появилась в печати, Френкель поручил мне расказать ее на нашем «пятничном» семинаре в институте. Плох понимая эту работу, я все же выполнил поручение Френкеля. И только после «дополнитель» к моему докладу, сделанных Яковом Ильчом, я сам и, думало, служатели, понали, о чем писал Пайерлс.

В теории металлов был еще один вопрос, связанный с эффективом Холла. Дело в том, что в время эффектив Холла наблюдали только в твердых металх, и никаку не удалось наблюдать его в твердых металх. А из теории следовало, что эффектив в твердых металх может быть меньше, чем в твердых, но все же он должен быть.

Когда я начал работать в Ленинградском физico-техническом институте, под влиянием лекций и семинаров Я. И. Френкеля, который рассказывал нам о современных идеях в физике металлов, я решил заняться вопросами именно этой области физики и, прежде всего, эффективом Холла. Я решил проверить, возникает ли эффектив Холла в жидких металх. Этот вопрос разросом ранее, в начале века, занимались такие корифен науки, как Нернст, Друде. Процмотрев имешущая по этому вопросу литературу, я пришел к выводу, что выбор жидких металлов в проводившихся ране опытах был сделан неудачно. В первых экспериментах в качестве объявца выбирали ртуть, потому что при комнатной температуре она всегда в жидком состоянии. Эффекта Холла в ней не обнаружили. Как потом, оказалось, и в твердой рутини этот эффектив очень мал, и его трудно измерить. Проводились опыты и сvicмутом. Висмет казался очень подходящим образом, поскольку в твердом высоте э. d. c. Холла на несколько порядков больше, чем в других металх: в «обичных» металлах она изменяется в микровольтах, а в высоте — в милливольтах. Однако в жидком высоте эффектив не обнаружили. Тепер известино, что анomalьно больший эффектив Холла в твердом высоте связаан с особенностями его кристалической структуры. В жидком состоянии эта структура пропадает. А экспериментаторы, собирашиеся измерить больший эффектив, увидев, что в 1000 раз меньше ожидемого, пришли к выводу, что эффектив просто нет.

Я решил взять в качестве объявца металл, который является наиболее простым. Это — целочонный металл. Шелочные металлы хорошо тем, что у них практические все теоретические представления относительно их свойств хорошего опытовогося в опытах. Я выбрал для эксперимента сплав натрия с калем, который при известиной концентрации компонент становится жидким уже при комнатной температуре.

Мне представлялось, что прицательные результаты в предыдущих опытах связаны не только с неудачным выбором образцов, но и с недостастояно точной постановкой эксперимента. Дело в том, что когда

10

через жидкий металл, нахождение в магнитном поле, пропускают ток, то со стороны магнитного поля на металл начинают действовать силы, которые приводят к смешению отдельных слоев жидкого металла друг относительно друг. (В твердом металле этого перемешения слоев, естественно, нет.) В результате возникот выходные токи, которые «смазывают» эфект Холла в жидком металле. Так что необходимо, если не свести на нет, то максимальное уменьшение этих «паразитных» токов. Для этого мы взяли образец в виде тонкого слоя жидкого металла. Тщательно проведенные измерения обнаружили наличие эфекта Холла. Года через полтора вышла работа Зоммерфельда, в которой рассказывалось об опытах, подтверждающих современную теорию металлов. Ссылался Зоммерфельд и на наш опыт. По правде говоря, я был необыкновеню гордской — такой авторитет, как Зоммерфельд, оценил мою работу.

Была еще одна проблема в физике металлов, которая тогда очень волновала физков-теоретическов — вопросо ферромагнетизме. Было хорошо известно, что из всех металлов, которые имеются в природе, только три металла являются ферромагнитными — это железо, nickel и кobalt. (Сейчас их известно значительно больше.) Они отличятся тем, что их намагниченность, появляющаяся в очень слабом магнитном поле, довольно большая, в несколько сотен тысяч раз большие, чем у обычных металлов. Например, чтобы в обычном металле получить такое намагничность, какая появляется у железного образца в поле ~0,01 T, необходимо иметь внешнее магнитное поле ~1000 T. Для объяснения этого непонятного явления французский физик Вейсс создают теорию, согласно которой в ферромагнитных металх — в железе, nickel и кobalte — существуют области, в которых магнитные поля отдельных atomов ориентированы стого параллельно друг другу. Так что суммарное магнитное поле такой области — ее называют доменом (от французского слова «domain» — область) — достаточно большое. Размеры этих области очень маленькие — порядка долей микрона, но в каждой из них уменьшается много сотен тысяч орентированных «элементарных магнитников». Сами домены распределены по металлу совершенноеxaотическая, так что в общном состоянии (в отсутствие внешнего магнитного поля) намагничность ферромагнитного образца равна нулю.

Когда такой образец помещается в магнитное поле, то происходит ориентация магнитных полей отдельных доменов вдоль внешнего поля, и образец в целом намагничается. А ориентировать целые домены легче, чем огромное количество отдельных «элементарных магнитников».

Вот так, грубо говоря, выглядела теория ферромагнетизма, предложенная Вейссом. Для того чтобы объяснить наличие доменов — наличие области с ориентированными «элементарными магнитками» — Вейсс предложил существование внутри металла особого магнитного поля, которое ориентирует магнитные поля внутри доменов. Это поле — Вейсс называет его молекулярным магнитным полем — по подсчетам Вейсса должно быть порядка 1000 T. Однако присходение этого поля было совершено неопонятою.

Чтобы обнаружить это огромное гипотетическое поле, профессор Яков Григорьевич Дорфман, в лаборатории которого я тогда работал в Ленинградском физico-техническом институте, продолжал такой опит. Он установил в магнитном поле тонкую железную фольгу так, что плоскость листочка фольги была параллельна индекции поля. Фольга очень сильно намагничилась. Сквозь фольгу, перpendикулярно ее поверхности, и следовательно, perpendикулярно внешнему магнитному полю, пропускался путем быстрых электронов, испускаемых радиоактивным источником, «вырезаемый» установленной перед фольгой щеллю (рисунок 2). За фольгой была установлена фотопластика. Провелевшие через фольгу электроны попадали на пластинку,

11

вызывая ее поеренение. Если, проходя фольгу, электроны попадают в громадное молекулярное поле, то оно должно привести к смешению положения поеренения на пластинке. Однако это смешение в эксперименте не наблюдаюсь. Отсюда следует, что если существуют такие силы, которые ориентируют «элеметарные магнитики» в отдельных доменах, то они не магнитные, потому что на движущейся электрон они практически не действуют.

И только в 1928 году Я. И. Френкель в Ленинградском физико-техническом институте и почти одновременно с ним немецкий физик Гейзенберг создали квантовомеханическую теорию ферромагнитизма. Они показали, что на самом деле никакого молекулярного поля нет. Силы, которые ориентируют «элеметарные магнитики» внутри доменов — электрические силы специфического характера. Их называют теперь обменными силами. Небольшая статья об этом была опубликована Френкелем в 1928 году в ионьском номере немецкого физического журнала «Zeitshrift für Physik», а в иольском номере этого же журнала появился подробная статья Гейзенберг. Так что независямо друг от друга они создали теорию ферромагнитизма. (В последствии Яков Ильич Френкель говорил мне, что он занялся ферромагнитизмом потому, что мы, экспериментаторы, постояно его «намагничивали»).

После создания теории ферромагнитизма появилось много работ, посвященных вопросам магнитизма в металлах. В частности, было показано, что, как и следует из теории, обменные силы могут возникать только в кристаллах. Жидких ферромагнитков быть не может. Было также показано, что вдоль разных направлений внутри кристалла обменные силы различны. Το есть было показано, что имеется резко выраженная анизотропия магнитных свойств ферромагнитных кристаллов. Это и сейчас имеет очень большое значение при создании новых магнитных материалов, на которых базируется вся электротехника. И трансформаторы, и генераторы, и электродвигатели — все сделаны из ферромагнитных материалов, и их характерistics существенно зависит от свойств самого ферромагнитного материала. Несколько позже теорию ферромагнитизма развили нашы выдающийся теоретический Лев Давыдович Ландду и его ученник Евгений Михайлович Лифшиц. Телерь современная теория ферромагнитизма целиком базируется на работах Френкеля, Гейзенберг, Ландду и Лифшиц.

Как я уже говорил, у нас на физico-mеханическом факультете были учебные семинары. Однако из таких семинаров был организован для студентов 4—5 курсов. Назывался этот семинар расчетным, и вел его наш профессор академик Владимир Алексадрович Фок. Проходил семинар несовсем облично. Фок придумывал какую-нибудь хитрую задачу, решения которой он сам не знал. И тут же у докси он вместе с нами (вернее, мы вместе с ним) начали решать ее. Так что мы могли наблюдать, так сказаны, «творческую кухню» такого замечательного теоретика, каким был В. А. Фок.

И вот мы видели, как он подходил к решению задачи: пробовал один способ — не получалось; он стирал с докси, пробовал другой способ — тоже не получалось. В конце концов, рано или поздно, решение отыскивалось. Иногда на этом же занятии, иногда на следующем. Мы видели не просто готовое решение, а как постепенно находились пути к этому решению. Это было очень почучитель-

12

но для нас. Однако на семинаре Владимира Александровича был такой случай. Решили мы какую-то сложную несимметриную задачу по электростатике. На первом семинаре мы решения не нашли, а на следующем, в конце концов, получили длинище дифференциальное уравнение. Оно занимало всю доку. За математические выкладками мы сделали очень внимательно, так что с математикой все было в порядке, а вот устотреть физический смысл скрытый за этой длиной формулой, мы не могли. Кто-то из студентов спросил Владимира Александровича: «А какой физический смысл имеет это уравнение?». Он на нас посмотрел с укром и сказал: «А физический смысл этого уравнения заключется в том, что оно имеет решение».

В А. Фок занимался различными проблемами теоретической физики. Но нарушу с этим он не гнушался решений прикладных задач, чисто практических. В частности, его привлекли геофизики для решения ряда задач о распределении электрического поля внутри Земли. Это решение было очень важным для геологической разведки. Фок решил эту задачу вместе с В. К. Фредериксом. Вообще, для всего стиля работы Ленинградского физического технического института было характерно, что нарушу с разработкой теоретических и экспериментальных проблем физики больше внимание уделялось решению этих прикладных задач, связанных с нуждами техники, промышленности и сельского хозяйства.

В 1930 году, когда я только что окончил институт и получил звание инженера-физика, по рекомендации А. Ф. Иоффе меня направили в командировку в Германию, чтобы ознакомиться с физическим laboratorийми запада. Я пробил в Германии около трех местев и смог познакомиться с работами физических laboratorий Лейпцига, Монхена, Гамбург. И нужно сказать, что я был очень удоблетворен, когда убедился, что уровень наших физков, в частности, мой собственный уровень, былничут не ниже уровня физков, с которым я встречался в laboratorиях за рубежом. Правда, они имели некоторые преимущество по сравнению с нами: их laboratorии были очень хорошо оснашены приборами. У нас в Советском Союзе не было еще тогда отечественного приборстроения, нам часто приходилось самим делать приборы, либо покупать их за рубежом, а это было трудно в те времена, когда больше средств затрачивались на развитие народного хозяйства. Но в смысле уровня знаний, уровня понимания, даже технически эксперимента мы находились, как я убедился, не ниже, чем самые крупные университетские laboratorии Германии.

Находясь в командировке, я около месца работы в laboratorии в Монхене, в бывшей laboratorии Рентгена. Там работали и университетские доктораны (так назывались у них заканчивающие университет студенты, которые готовят дипломные работ). Однако я заметил, что доктораны, готовясь к выпускным экзаменам, читают книгу Я. И. Френкеля «Курс электродинамики», изданную на немецком языке. Я спросил: «А кому вы сделете экзамены?», они ответили: «Зоммерфельду». Тому самому Зоммерфельду, крупнейшем теоретическому мирового класса, про которой у нас, когда мы были студентами, ходила поговорка «нет Бора кроме Бора, и Зоммерфельд его порок». Я знал, что имеется пятимый курс физики самого Зоммерфельда, и спросил, почему доктораны учат электродинамику не по Зоммерфельду, а по Френкелю. А потому, ответили они, что Зоммерфельд сказал, что он будет принять экзамен только по курсу Френкеля, поскольку лучше его курса в мире сейчас нет. Когда я сказал, что лично знаком с Френкелем, то почувствовал, что мой авторитет в их глазах резко возрос. А я испытал чувство истинной гордости за наших советских физков, заслуживших широкое признание в среде крупнейших теоретических мира.

13

Лузинская математическая школа

П. Алексаидров

Автор этой статьи — один из крупнейших советских математиков, Герой Социалистического Труда, академик Павел Сергеевич Алексаидров. В статье расссказывает о становлении одной из самых плодотворных математических школ — школа академика Н. Н. Лузина. Слева (вузкой колонке) разьянются мало знакомые школьникам термины, встречались в статье.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ — часть геометрии, изучающая главные кривые линии и поверхности методами дифференциального исчисления. В ней рассматривается свойства касательных прямых к плоским и пространственным кривым, касательных плоскостей к кривым поверхностям, различные типы линий.

Современная Московская математическая школа теоретико-множественной математики возникла в первые годы революции в стенах Московского университета. Ее основатели были Дмитрий Федорович Егоров и Николай Николаевич Лузин.

В предшествовавшие ее возникновению десятилетия, начиная с семидесятых годов девятнадцатого века, интересы математков Москвы концентрировались главным образом вокруг проблем дифференциальной геометрии и механики.

Эти проблемы, тесно связанные с теорией дифференциальных уравнений с частными произвольными и теорийной конформных отображений, культурноровались, с одной стороны, прожившим в Москве и занимашим скромную должность учитель гимназии выдahoшимся латышским геометром Карлом Михайловичем Петерсоном, а, с другой стороны, были связаны с замечательными работами великих Московских механиков: Николая Егоровачия Жуковского и его ученика Сергея Алексеевича Чаплыгина. Деятельность этих ученых была тесно связана с основным в середине 1860-х годов Московским математическим обществом, служившим во все последние десятилетия прошло и

14

ний и поверхностей (например, цилиндрические, коничские, винтовые поверхности), изменение длины линей, площадей области и углов на кривых поверхностях, а также свойства поверхностей, не изменяющиеся при тех или иных отображениях. Важным разделом дифференциальной геометрии является теория геодезических линей на поверхности, то есть кратчайших линей, соединяющих две точки поверхности (на плоскости — это отрезок прямой, на сфере—дуга большого кругга). В работе Московской дифференциально-геометрической шкалы изучались, в частности, изгибания поверхностей, то есть отображения, не изменяющиеся длины линей на них. По существу вы имели дело с дифференциальной геометрией, когда занимались в 9-м классе проведением касательных к графику функции.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ — уравнения, содержащие произведение от искомых функций. Если эти функции зависит от одного аргумента, дифференциальные уравнения называют обикновенными, а если от нескольких — уравнениями в частих производных, эти последние часто называют уравнениями математической физики.

КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ — отображения поверхности на поверхности, сохраняющие углы между линями. Пример—пробразование подбия, которые вы изучали в геометрии. Еще пример — стереоэрафическая проекция сферы на плоскость (проекция, при которой сфера проектировется из сверхного полока на плоскость, касающийся ее в южном полюсе). Конформные отображения играют важную роль в картофелини, гидромеханике, аэромеханике и других областях науки.

Дифференциальной геометрии принимают на рублей прошло и нынешнего столетия и математические интерсы Б. К. Млодезевского и Д. Ф. Егорова, бышших в ту пору наиболее популярными профессорами-математиками в Московском университете. Фундаментальное участие Д. Ф. Егорова в создании Московской шкалы теории функций относится к 1911—1913 годам, когда он доказал (1911) свою значенную теорему о последовательности измененных функций и поставил в связи с этой теоремой перед своим лучшим ученком Н. Н. Лузинным задачу доказательства одной из основных теorem развивающейся в то время теории функций. Το отношение, которое к созданию Московской шкалы теории функций имел Б. К. Млодезевский, конечно, не может быть даже сравниваемого с основополагающим участием Д. Ф. Егорова, но тем не менее должно быть упомянуто: оно заключается в том, что Б. К. Млодезевский,nikaогда сам не работавший в этой области, но являющийся широко образованным математиком, имеющим представление об всем, что делалось в ней в его время, был первым профессором Московского (и вообще какого-либо русского) университета, прочитавшим в университете курс общей теории функций действительного переменного. Курс этот служал и Н. Н. Лузин и недократно с большим признанием отзывался о нем.

Два самых выдающихся профессора-математика, преподавшие в Московском университете в первой трети текущого столетия: Д. Ф. Егоров и Н. Н. Лузин как лекторы и вообще профессора университета принимали к двум противоположным типам. Д. Ф. Егоров принимаел, я бы сказал, к классическому типу, а Н. Н. Лузин — к романтическому. В lekциях Д. Ф. Егорова, всегда безукоризненно тщательно приготовлены, все доказательства были до конца продукны и изложены в абсолютином строгой форме. В них не было места никаким элементам импровизации, и они соответствовали подготовке и уровня понимания тех случаях, для которых были предназначаны. Внешнее Д. Ф. Егоров всегда был крайне серджан, он не пользовался никакими оратерскими приемами или украшениями и на непrivыщшего к его манере изложения сушателя его лекции могли даже производить впечатление несколько суховатых. В действительности в его изложении были настоящей подъем, но подъем этот, как и все вообще эмпирональная сторона его личности ученого и профессора, был подчинен строю продуканной и даже несколько суровой на вид форме. В противном состоянии этому Н. Н. Лузин был ярким представителем «романтического» типа профессора

15

ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА — множество методов конструирования измененных множества методом данной статьи академиком П. С. Александровым — в те годы начинавшим свои занятия математкой студентом университета.

ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ — функция, обладающая тем свойством, что для любых $a$ и $b$ множество точек $x$, для которых $a \leq f(x) < b$, изменимо. Любая нерерывная функция изменима. Примером всего разрывной, но изменемой функцией может служить функция Дирихле, равная нулю во всех инициале во всех разциональных точках. Если выкинуть из области определения функции Дирихле все разциональные

университета. Все его преодавание былорезвычайно эмощонально. Форма этого преодавания далеко не всегда бывал безукоризненной. Н. Н. Лузину случайность на lekцию и плохо подготовленным и тут же, стоя у докси перед студентами, импровизировать еще неготовое доказательство. При этом он часто ошибался, путался в выкладках и откладывал до следующей лекции материал, предназначающийся для данного лекции, но оказавшийся не подготовленным. Словом, образцовым его преодавание называть было нельзя. При этом он иногда и несколько кокетничал этой своей «необразцовостью». Но лекции Лузина, в эпоху расцвета его педагогической деятельности в Московском университете, были полны новыми и интересными идеями, способными побудить службы к дальнейшим самостоятельным занятиям. Даром увлекать умы и воспламенять сердца Н. Н. Лузин обладал в высшей степени. Естественно, что результаты этого увлечения и воспламенения были различны в зависимости от того горючего материала, на котором падали брошенные в него искры вдохновения. Способные молоды начинаяше математики, а их было немало среди студентов, слушавших Н. Н. Лузина, побуждались к серверзным и глубоким собственным исследованием, осуществляющим дальнейшее продвижения в математической науке. Но были и просто восторженныеdevицы, вослицавшие, что служить Лузина лучше, чем служать Шаляпина, чем и ограничиваясь их воспряние математических идеей великого учителя.

Не менее важным, чем характер лекций Лузина, побуждающий и, я бы сказал, вдохновляющий службы к самостоятельным исследованием в области математики, был и введенный Лузиным в практику нашего факультета совершенню новый стиль взаимодействия между профессором и студентами. В нем порожали большая свобода и непринужденность, отсутствие всякой официальности и замена внешних проявлений почтительности со стороны студентов действительного глубоким уважением, часто переходившим в восторженное преклонение. Это уважение и делало невозможным вырождение свободы и непосредственности в отношениях между Н. Н. Лузиным и его студентами в какое-либо панибратство.

Я впервые встретился с Н. Н. Лузиным в 1914 году, будучи студентом 2 курса. Впечатление от этой встречи было, можно прямо сказать, потерясающим и навсегда запомнилось мне. Обратившись к Лузину после окончания его лекций за советом, как мне занимается математикой дальнейше, я был прежде всего порожен внимательность и (не могу найти другого слова) уважением к собственнику, как ни страно звучит это слово, когда речь идет о бескеде уже знаменито, хотя еще и молодого

16

В. В. Голубев

ные точки (которые с некоторой точки зрения «меньше», чем ирациональных), то функция Дирихле превращается в константу, т. е. становится непрерывной на сокращенной области определения. Большим достинением анализа является попытка того, что развивные функции, имеющие интерес для анализа, «в основном» непрерывны. Такими и является функция, «измеримые по Лебегу». В выясненении всех отношений сюда вопросов большую роль сыграли результаты Д. Ф. Егорова и Н. Н. Лузина.

АКСИОМА ЦЕРМЕЛО — использование инальянским математиком Цермело утверждение, что для любой совокупности попарно не пересекающихся множества можно построить новое множество, выбрав по одному элементу из каждой множества. Несмотря на свою каучущую оценность, это утверждение (называемое также аксимой произвольного выбора) приводит к весма парадоксальным результатам (например, к утверждению, что сферу можно разбить на 4 конгузительных друг друг множества так, что из двух множества можно получить сферу, повернуть их относительно центра). Ряд исследовании Московской математической шкалы был посвящен выяснению того, как ученого с 18-летним студентом, еще только начинающим интерсоватився математикой. Выслушав меня, Лузин посредством умело поставленных вопросов очень скоро разобрался в характере моих математических склонностей и сразу же в доступной мне форме обрисовал основные направления, которые он мог мне предложить для дальнейших занятий; очень осторожно он сам меня склонил к выбору одного из этих направлений, причем все это сделано было тонко, без всякого нажима и, как я теперь могу сказать, правильно. Я стал тогда же учеником Лузина.

Мое знакомство с Лузинным пришлось довольно точно в середину того десятилетия, в котором он получил самые значительные свои результаты. Он жил тогда совершенню один в меблированных комнатах (Кокоревское подворье на Балчуге), жил только наукой. Мне запомнилась одна его фраза, сказанная в одну из многочисленных наших встреч: «Я дни и ночи думаю над аксиомой Цермело (аксиома произвольного выбора в теории множества). Если бы только кто-нибудь знал, что это за веще!».

Видя Лузина в эти годы, я действительное видел то, что может назваться вodoxновенным отношением к науке, и я не только учился у него математике, но и получил урок того, что такое настоящий ученый, а также и того, каким должен быть профессор университета.

Тогда же я понял, что наука и приобретение к ней новых молодых людей — две стороны одной и той же деятельности — деятельности ученого. Все это осталось мне на всю жизнь. Педагогическая деятельности в Московском университете осуществлялась школе Егорова — Лузина в нескольких направлениях. Д. Ф. Егоров читал обязательные курсы дифференциальной геометрии, дифференциальных уравнений и варианционного исчисления. Кроме того, он читал ряд специкурсов, которые хотя и не были обязаательными, но пользовались большой популярностью и посещались большим числом студентов. Курсы Д. Ф. Егорова могли служить и первым введением в только что возникавший тогда функциониальный анализ.

Н. Н. Лузин ежедневно читал тот или иной курс теории функций действительного (иногда и комплексно) переменного, меняя его специальную тематику, но довода изложение каждой раз до вопросов непосредственного интерсовавших его самого и составляющих в данной области сегодня день науки.

К старшему поколению учеников Д. Ф. Егорова принадлежали кроме Н. Н. Лузина В. В. Голубев, И. И. Привалов и В. В. Степанов, принимающие активное участие в Московской математической жизни, в частности в преподавании в Московском университете. В. В. Голубев и И. И. Привалов выполняли интенсивную научную работу и читали курсов в направлении,

17

И. И. Привалов

кне утверждения теории множества можно получить, не опираясь на аксиму Цермело. В настоящее время доказано, что аксиму Цермело нельзя ни вывести, ни опровергнуть, опираясь на остальные аксимы теории множества.

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ — ветвь математики, изучающая задачи на максимум и минимум функций, зависит от линейных других функций и т. д. (например, отискание геодезических линей на поверхности, отискание линей наименьшей длины, ограничивающей область данной площади и т. д.). Многие причины физики и механики имеют вариант варианта (например: всем распространемся так, что время, за которым он проходит от одной точки до другой, минимально).

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ — ряды, состоящие из гармоничских колбаний с кратными частотами:
$$A_0 + A_1 \cos(\omega x + \alpha_1) + A_2 \cos(2\omega x + \alpha_2) + \dots + A_n \cos(n\omega x + \alpha_n) + \dots$$
Физики часто представляют колбания весьма общего вида как результат наложения друг на друге бесконечного множества гармоничских колбаний, то есть как сумму тригонометрического ряда. Такое представление функций используется и при решении многохл. задач тео-

продолжавшем проблемику Н. Н. Лузина. В. В. Степанов, обладающий исключительной широкой математическойрудции и математических интерсесов, читал курссы и вел семинары по самым различным вопросам математического анализа в широком смысле слова. Мне, например, запомнился один прослушанный много с большим интерсесом курс В. В. Степанова по проблеме Дирихле, очень увлекательный, хотя и прочитанный в строгой манере Д. Ф. Егорова, верным учеником которого был и считал себя В. В. Степанов. Хочу также вспомнить, что первый получившие широкую известность работы А. Н. Колмогорова по теории функций (а именно, по теории тригонометрических рядов) были сделаны им, когда он был участником семинара В. В. Степанова. Упомянув об этом семинаре, я уже забегаю вперед, в первую половину двадцатьх годов, когда первогочально единшая школа Егорова—Лузина уже дала начало ряду новых школа, разработавших различные области математики и живших самостояльной жизни.

В первые годы педагогического деятельности Н. Н. Лузина в Московском университете (а это были годы, неосредственно предшествовавшие революции) в университете работал один-единственный математический семинар. Он имел своим руководителем Д. Ф. Егорова и так и назывался: Математический семинар или, точнее, Математический семинарий. Теперешнее слово «семинар» получило распространение в Московском университете лишь в середине двадцатьх годов и было приведено в Москве О. Ю. Шmidtом из Киева, где, по-видимому, было распространено в школе Д. А. Граве. Так вот, Математический семинарий Д. Ф. Егорова проискодил каждой год в весеннее получение; tema его менялась от года к году. Я впервые принял участие в этом семинаре в 1914 году, будучи еще студентом второго семестра первого курса; считая, что он предназначен для старших курсов, я не сразу и лишь после настоящего рекомендации В. В. Степанова решил записаться на этот семинар. (Тогда в Университете еще господствовала так называемая предметная система, и каждый студент мог записаться на любой курс или семинар по своему выбору, что было, в частности, связано с платностью обучения и отсутствием государственных стипендий для студентов.) Как я уже говорил, каждой год семинар Д. Ф. Егорова был посвящен одной какой-нибудь теме. В 1914 году семинара была «Бесконечные последовательности». Тема разбивалась на несколько подtem, работа над которым шла параллельно; участники семинара, занимающиеся данной подtemой, образовывали определенную «группу» семинара. Моя группа называлась «Функциональные последовательности». Мы изучали работы о различных обобщениях понятия равномерной схемности. Была также и группа, занимающая более элементар-

18

ретичской физики. Докторская диссертация Н. Н. Лузина «Интерgal и тригонометрический ряд» была посвящена изучению многохончайших вопросов теории тригонометрических рядов с помощью понятный измеримой функции, интерgal Лебега и т. д. Эту тематику продолжали многочестия Лузина (А. Н. Колмогоров, Д. Е. Меньшов, Н. К. Бари и др.).

ными вопросами: рядами с постояными членами и различными признаками сходимости этих рядов. Каждая группа несколько раз собиралась на дому у Д. Ф. Егорова. На первом из этих собраний Д. Ф. Егоров распределял литературу между участниками группы, и эта литература докладывалось соответствующими участниками на последующих собраниях группы. Наконец, в заключение работы группы один или два участника группы должны были выступить с докладом уже на пленарном собрании семинара. Так, один доклад был посвящен рядам с постояными членами, по функциональным рядам было два доклада и т. д. Плеенарные собрания семинара Д. Ф. Егорова собирали фактически всех активно работающих математиков Москвы и в этом отношении в некоторых родае даже конкуррировали с математическим обществом. Эти пленарные собрания проходили всегда очень�ивенно. Доклады, делавшие на них, в большинстве случаеев вызывали интересные высказывания многочисленных случаев, среди которых особенно активными были Н. Н. Лузин и В. В. Степанов, имеющие, впрочем, совершенное различные темпераменты.

19

М. А. Лаврентьев
Н. К. Бари
А. Н. Колмогоров
Л. Г. Шнирельман
В. В. Степанов
П. С. Новиков

Оживленный, хотя и совершенно «камерный» характер имели и немногоданные собрания отдельных групп семинара, произсодившие, как уже было сказано, на дому у Д. Ф. Егорова. Ton на этих собрания задавал всегда сам Дмитрий Федорович.

Сформировавшаяся еще в 1914—1916 гг. группа старших учеников Н. Н. Лузина состояла из Д. Е. Меньшова, А. Я. Хинчина, М. Я. Суслина и меня. К 1919—1920 гг. она пополнилась рядом молодых математиков: П. С. Урысон, Л. А. Люстерник, М. А. Лаврентьев, Н. К. Бари, несколько других учеников и учениц Н. Н. Лузина. Так возникокочень других коллективов, к которым вскоре присоединились два таких выдающихся математика, как А. Н. Колмогоров и Л. Г. Шнирельман. В этот коллектив сразу же включился из математков несколько более старшего поколения В. В. Степанов. Несколько позже в этот коллектив вошли П. С. Новиков и Л. В. Келдыш. Так возникла знаменитая Лузитания — сообщесто молодых математков, спаянных не только темными друзжескими отношениями между его сочелами, но и горячей любовью и живым беспорhicтным интересом к математической науке.

Лузитания сразу осознала себя как нечто целое и провозгласила себя «орденом» с «командером» Н. Н. Лузным и «гросснейстером» Д. Ф. Его-

20

ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.
Функции, являющиеся в окрестностях любой точки $x_0$, где они определяны, суммами рядов вида
$$a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)^2 + \dots + a_n(x-x_0)^n + \dots$$
(когда фиксиенты такого ряда выражаются через произвольные исходной функции в точке $x_0$), называются аналитическими функциями.
К их числу относится изучаемые в школе рациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции, а также почты все функции, встречащиеся в приложениях математики.
Разрывные функции и функции, графики которых имеют изломы (например, $y = |x|$ или $y = [x]$), не аналитичны.
Замечательно, что две аналитические функции, совпадающие на скольудно малом промежутке, равны друг другу всуду. В полной своей красоте теория аналитических функций раскрывается, если рассматривается не только для действияных, но и для комплектных значений аргумента.
Позому эта теория называется также теорей комплексной переменной. Она тесно связана с теории конформных отображений.
В комплексной области можно выразить значения аналитической функции внутри некоторой области через ее значения на границе области. Однако эти граничные значения могут оказаться не только не аналитической, но даже разным.

Луизитная была коллективом большого трудового, творческого и эмпионального подъема, отражавшего в «микрокосме» тогдашнего математического факультета Московского университета грандозный и всеобъемлющий подъем, пережившийся всей страной в те годы, в первые годы революции, годы становления новой жизни. Об этом особенно хочется вспомнить сейчас, в год шестидцетейлета Великой Октябрьской революции.

Существием элементом общения Н. Н. Лузина с его учениками были встречи и беседы, которые Н. Н. Лузин имел с совсем небольшими их группами (примерно в 1—3 человек, занимающими какой-нибудь темой). Кроме того, был еженедельный общий применный день для всех учеников Николая Николаевича. Однако время это были четверги, потом среды.

На этих еженедельных собрания на дому у Н. Н. Лузина кроме непредставленных учеников Н. Н. Лузина часто бывал В. В. Степанов, иногда и И. И. Привалов. Эти вечера у Н. Н. Лузина составили из двух частей: сначала была математическая часть в кабинете Николая Николаевича, очень уютной комнате, в которой, как, впрочем, и во всей тогдашней квартре Н. Н. Лузина (Арбат, 25, трейтий этаж), было (по желанию хозяйна) керосиновое освещение. Никогда не забуду тех насыщенных самой живой математкой разговора, которые тогда проискодили. Эти разговоры иногда затягивались за полное, но, когда бы они кончались, за ними следовал чай с неизменным очень вкусным тортом. За этим чем — уже не в кабинете, а в столовой квартре Лузиных — разговоры принимали другой, нематематической характер и касались самых различных вопросов культурной и общественной жизни. Иногда что-нибудь читалось всуху. В. В. Степанов с большим увлечением читал стихи Блока, чаше же читались менее сердезные вещи. Так, например, Н. Н. Лузин с большим мастерством и артистичночно читал предназначенные собственно для детей произведения Корнея Чуковского. Я, помню, однажды прочитал рассказ Анатоля Франса «Чудо свягого Николая».

Собраня у Н. Н. Лузина кончались глубокой почью. После их окончания участники большой группы выходит на Арбат и его переулки и постепенно, в различных последовательных комбинациях проводя друг друга, наконец расходились — общно уже к утру— по своим домам.

Луизитная жила не только другно, она жила весело, и еще как весело! Это веселье даже захлебывало «старших», и не только Н. Н. Лузина, но и Д. Ф. Егорова, принимавших, так сказать, полноправное участие в наших ожидениях веселых собрания. Собраня эти были многочисленные и проискодили по различным поводам. Встреча Нового года и Татьянин день, именны Д. Ф. Егорова и Н. Н. Лузина, дни рождения отдельных луизитан-

21

рывной (хотя и изменимой по Лебегу) функцией. Ряд работ Н. Н. Лузина и его учеников (И. И. Привалова и других) посвязывает изучению свойств граничных значений аналитических функций.

РАЗМЕРНОСТЬ—число изменений данной функции (например, размерность отрезка и окружности равна единице, размерность квадрата, кругга и сферы — двум, а размерность куба и шара — трех). После введения в математку множество веса общей природу возникла задача общего определения понятия размерности и изучения свойств этого понятия. В окончательном формировании теории размерности основное значение имеет работы П. С. Урьсона («Кваант», 1974, № 8), а позднее П. С. Алексадрова. В работах П. С. Алексадрова и его учеников обнаружены очень тонкие связи между размерностью, и другими геометрическими свойствами множества.

Лузинская школа, Лузинная, была единственная в своей роде, неповторимым коллективом молодых, в большинстве своей одаренных и жизнирадостных математиков.

В августа 1924 года этот коллектив пережил тяжелый удар: погиб один из самых талантливых членов Лузинции и вообще один из самых талантливых советских математиков — Павел Самулювич Урьсон.

Члены Лузинции восприняли этот удар судьбы как личноего胳 каждаго из них, а Лузинная как целое недолго его пережила. К этому времени в недрах Московской, тогда еще единой, математической школе начался процесс формирования отдельных школа по различным областям математики: по теории функций комплексного переменного, по топологии, по теории вероятностей, по дифференциальным уравнением и др. Повторяю, школе эти возникали в рамках самой Лузинции, но, раз возникнув, они сразу, как новорожденные киты, зажили самостоятельной жизни и быстро и успешно росли и развивались.

Лузинная как таковая перестала существовать, превращшись в непроходяще восполнение каждого из ее участников, слившееся с восполнением его собственной юности.

22

XX ЛЕТ

4-го октября 1957 года впервые в истории человека был запущен искусственный спутник Земли. Эта дата является началом космической эры человека. Мы можем гордиться, что эта эра началась в нашей стране — первый спутник был запущен в Советском Союз.

Академик С. П. Королев — Главный конструктор первых ракетно-коосмических систем.

Старт космического корабля «Союз».

Первый в мире искусственный спутник Земли.

23

За прошедшие двадцать лет в космосе были проведены многочисленные научные исследования. Достаточно сказать, что только в Советском Союзе запущено свыше тысячи различных аппаратов для исследования космоса.

Освоение космоса идет гигантскими шагами. Нашей стране — родоначальние космонавтики — принимает приоритет в этапных событиях, связанных с освoeniem космоса. Советский Союз первым осуществил запуск спутника с человека на борту — первый в мире космонавтом стал гражданин Советского Союза коммунист Юрий Алексеевич Гагарин. Первый человек, вышедший в открытое космическое пространство, был гражданин Советского Союза коммунист Алексей Архипович Леонов. Советский Союз впервые осуществил запуск многоместных летательных аппаратов, автоматически стыковку летательных аппаратов на орбите, фотографирование обратной стороны Луны, мягкую посадку станции на

Первый космонавт Ю. А. Гагарин.

Первая женчина-космонавт В. В. Николаева-Терешкова.

Космонавт А. А. Леонов — первый человек, совершивший выход в открытий космос.

24

Луне, создание спутников Луны, облегт Луны и возврашение космических аппаратов на Землю, доставку на Землю лунного грунта автоматически станциями, создание самодвижихся дистанционно - управляемых лунных аппаратов (луноходов), посадку автоматических станций на поверхность Венеры и Марса.

Влияние космиатики на изучение Вселенной огромно. Космические исследования оказали стимулирующее воздействие на развитие научной и технической мысли, экономики и культуры. Они привели к резkomу подъему уровня науки и техники в таких актуальных и передовых областях, как аэродинамика, теллофизика, химическая физика, радиотехника и техника телевидения, техника систем автоматического управления, применение в промышленности электронных машин, проблемы miniatуризации технических конструкций.

В настоящее время космические исследования вступают в новую фазу. Спустя двадцать лет после выхода человека в космос они все большее становятся нормальным видом научно-исследовательской деятельности, а космос — рабочим местом,лабораторий ученых. После первых, можно сказать, рекогносцировочных экспериментов началась эпоха систематических исследований, и грудящие десятилетия, несомненно, будут отмечены еще более крупными достижениями.

Публикация подготовил
М. Смолянский.

Фото ТАСС

Лунный грунт, доставленный станцией «Луна-16».

На месте признания космического корабля «Союз-19»
А. А. Леонов и В. Н. Кубасов с понсковой группой.

«Луноход-1».

27

Через два месяца после возврашения станции «Зонд-5» (в ноябре 1968 года) к Луне стартовала советская автоматическая станция «Зонд-6», которая выполнила в соответствии с программой полета два сеанса photographerия Земли и Луны (рис. 2) и совершила виртуозный спуск на поверхность Земли. В результате полета станции «Зонд-6» впервые в мире были получены и доставлены на Землю снимки обратной стороны Луны, позволившие приступить к составлению топографических карт.

Для автоматических станций «Зонд» характерны высокость и совершенство системы ориентации и стабилизации. Так, точность выдерживания оптической оси съемной камеры в процессе photographerия, вычисленная по не-

29

Рис. 4. На черно-белом снимке, полученном при фотографировании с автоматической станции «Зонд-8» с расстояния 9,6 тыс. км, видна часть поверхности Луны, которая ограничена меридианом 17 (линия терминатора) и 150° западной долготы. Северо-восточную область снимка занимает Океан Бурь. На светлой части фотографирирования выделяется Море Восточное с окаймляющими его горами.

Рис. 5. На рисунке показан вид ландшафта обратной стороны Луны и приведены основные характеристики ее фотографирования с автоматической станции «Зонд-8».

Дата сэмки: 24 октября 1970г.
ВРЕМЯ ФОТОГРАФИРОВАНИЯ: 1449мин-2416мин
МИНИМАЛЬНОЕ РАССТОЯНИЕ DO Луны 1100 км
РАССТОЯНИЕ DO Земли 400 000 км
ЗАСНЯТАЯ ПЛОЩАДЬ 2000 000 кв. км

привязки gravitationного поля к ориентирам лунной поверхности, изучения ее физической природы, геологических структур и т.п. необходимо знать форму именного физической поверхности. Фотографирование Луны с помощью станций «Зонд» позволяет получить изображения как видимой, так и невидимой с Земли частей лунной поверхности. А это дает возможность построить пространственную модель Луны и определить ее фигуру.

Другой целью фотографирования Луны с «Зондов» было детальнее изучение лунной поверхности, в частности, топография обратной стороны Луны (рис. 5), а также изучение отражательных свойства лунной поверхности.

По фотографическим материалам, полученным с автоматических станций «Зонд», впервые составлена топографическая карта обратной стороны Луны. Оказалось, что невидимая сторона нашего спутника по характера

30

Рис. 6. Симмок акватории восточной части Атлантического океана получен с борта научной орбитальной станции «Салют-3». На первом плане над необозримым пространством океана, сливаясь, закручиваются отдельные спирали слонстокучевых облаков. На втором плане до линни горизонта пространется мощный покров облачности с незначительным просветами морской глади. Тон изображения облаков недородный: от голубового-белого до ярко-белого.

Рис. 7. На космическом chimке Земли, полученном при съемке с орбитальной станции «Салют-3», сквозь слон облачных образований пространства Прикасипская низменность, северная и восточная части аkvatorии Каспийского моря, русло реки Волги, ее дельта. К востоку от делты Волги на фоне сплошного облачного покрова заметно темное пятно — «глаз» циклона (облачность наиболее попиженого давления). Растительный покров в пределах Прикасипской низменности на chimке можно различить по красным и пурпурным пятнам, водная гладь Каспийского моря имеет голубой тонн, облачность — от светло-серого до ярко-белого.

ландшафта совершенно не похожа на ту, которое видели и изучали астрономы. На ней мало морей, все пространство занято колщевыми образованными. Это различие встроении двух полушарий Луны еще не нашло исчерпывающего объяснения и стоит перед учеными очередной, джушей решения, задачей.

К числу научно-прикладных задач экспериментов принадлежит составление более точных карт Луны, необходимых для научных исследований, ориентировки во время полетов в окололунном пространстве и привязки орбит космических аппаратов к физической поверхности Луны.

Непосредственное摄影рование Земли с больших высот тоже позволяет получить ряд важных данных. Например, по снимкам земной поверхности можно установить

32

В замечательной книге У. Брэгга «Мир света. Мир звука»*) описан красный опыт, демонстрирующий одно любопытное свойство глаза. Опыт этот настолько прост, что каждый из вас без особых затруднений может повторить его у себя дома.

Прибор для постановки опыта (рис. 1) можно собрать из деталей механического конструктора. На алюминиевом основании (1) размером 15 × 60 × 110 мм скобой из железили алюминия закрепите микрозлектродвигатель (2). В ответия двух стоке (3) высотой примерно 60 мм вставьте вал (4) со шкивом (5) внутренним диаметром 15—25 мм. К торцу вала предварительно должен быть прикреплен картонный диск (6) диаметром 100—140 мм (если вал с резьбой, диск можно закрепить двумя гайками с шайбами). На основании прибора расположите алюминиевую стойку (7) с ответием для лампочки (8). Наденьте на вал микрозлектродвигателя и шкив резиновое колюцо (9). Двигаель подключите к одной или двум последовательным соединенным батарейкам карманного фонаря. По рекомендации Брэгга диск должен враться со скоростью 2—3 об/c. Сскорость врашения диска в некоторых пределах можно регулировать, приормализивая шкив пальцем.

*) У. Брэгг. Мир света. Мир звука, 1967.

После предварительного испытания подготовьте прибор для опыта. В картоном диске вырежьте сектор с другойprimерно 45° и оклейте одну половину оставшегося сектора белой бумаги, а другую — черной (рис. 2). Стеклянный балон лампочки карманного фонаря, расчистанной на напряжение 3,5 В, покройте красной нитрозмалюю (можно попробовать использовать лак для ногтей). Когда краска высохнет, вверните лампочку в отверстие стойки прибора и подключите к ее электронам проводники. Перед диском на расстоянии 20—50 см от него расположите настольную лампу так, чтобы свет от нее паал на диск. Подсоедините лампочку к батарею и включите микрозлектродвигатель.

Если направление врашения диска такое, что при каждом обороте лампочки сначала перекрывает черная часть диска, то при любых освещенности и скорости врашения лампочка выглядит красной. Если, поменяв полярность источника питания, изменить направление врашения, то есть заставить крутиться диск так, чтобы лампочка перекрывала сначала его белая часть, то лампочка будет… зеленой или сине-зеленой! Если условия эксперимента (скорость врашения диска, краска, которое покрыта лампочка) подобраны недостаточно хорошо, лампочка выглядит не сине-зеленой, а светло-голубой с белесоватым оттенком.

Попробуем обязывать результат опыта. Диск врашает быстро, и когда прорезь в нем оказывается перед красной лампкой, на сетчатке глаза на мгновение получения красное изображение лампочки. Если при дальнейшем врашения диска лампочку перекрывает его белая половина, то на сетчатку глаза попадает рассеянный белый свет настольной лампы. Белый цвет действует на сетчатку в течение более длительного промежутка времени, чем красный цвет. После того как перед глазом прокрутится черная половина диска, процесс повторяется. При этом лампочка воспринимается сине-зеленой.

33

Задание
наших читателей

1. В мокрую погоду при быстрой издее на величине без «крыльев» на спине величине остается grузная полоса от попавших на нее брызг. Почему?
   Г. Барваянн (г. Очамчира)

2. При игре в билиард иногда возникает ситuation, позволяющая загнать одним ударом два шара в разные лучы. Можно ли сделать это при таком положении шаров, которое показано на рисунке?
   Ю. Балацов (г. Москва)

3. Тонкая плоско-выпуклая линза, имеющая в воздухе фокусное расстояние $F$, встроена в стенку акваринума, в которой налита жидкость с коэффициентом преломления $n$. На каком расстоянии от линзы будет coincipаться паралельный пучок света, падающий на сферическую поверхность линзы?

А. Шведов (г. Запороже)

34

А. Егоров

Уравнения и предыды

1. Простой пример

Для приближенного вычисления квадратного корня из положительного числа $a$ поступают следующим образом (см., например, книгу «Алгебра и начала анализа 9», с. 83).

В качестве первого приближения берет произвольное число $a_0 > \sqrt{a}$. Следующое приближение $a_1$ находится по формуле

$$a_1 = \frac{1}{2} \left( a_0 + \frac{a}{a_0} \right),$$

по $a_1$ находят $a_2$:

$$a_2 = \frac{1}{2} \left( a_1 + \frac{a}{a_1} \right)$$

и вообще

$$a_n = \frac{1}{2} \left( a_{n-1} + \frac{a}{a_{n-1}} \right).$$

Послеовательность $\{a_n\}$ монotonно убивает и ограничена. По теореме Вейерштрасса она имеет предел. Пусть $\lim_{n \to \infty} a_n = s$. Тогда $s > 0$ и $s = \frac{1}{2} \left( s + \frac{a}{s} \right)$, то есть $s^2 = a$, а так как $s > 0$, то $s = \sqrt{a}$.

Если взять достаточно большое $n$, то $a_n$ будет достаточно мало отличаться от $\sqrt{a}$.

Уражнение

1. Докажите, что послеовательность $\{a_n\}$ монotonно убивает.
2. Оцените разность $|a_n - \sqrt{a}|$.

Проанализируем наш способ вычисления послеовательных приближений для $\sqrt{a}$. Послеовательность $\{a_n\}$ задавалась рекуррентно: $a_n = \varphi(a_{n-1})$, где $\varphi(x) = \frac{1}{2} \left( x + \frac{a}{x} \right)$. Установив сходимость последовательности $\{a_n\}$, мы заключили, что ее предел $s$ удовлетворяет равенству $s = \frac{1}{2} \left( s + \frac{a}{s} \right)$, то есть является корнем уравнения

$$\varphi(x) = x.$$

(1)

На рисунке 1 изображен график функции $y = \frac{1}{2} \left( x + \frac{2}{x} \right)$, $x > 0$, и показаны три первых члена последовательности

$$\begin{cases} a_0 = 2, \\ a_n = \frac{1}{2} \left( a_{n-1} + \frac{2}{a_{n-1}} \right). \end{cases}$$

Уражнение 3. Выразите $a_n$ через $n$, если $a_0 = 1$ и a) $a_n = a \cdot a_{n-1}$; 6) $a_n = a^a_{n-1}$; 7) $a_n = \sqrt{a + a_{n-1}}$; 8) $a_n = \frac{a_{n-1}}{\sqrt{1 + a_{n-1}^2}}$; 9) $a_n = \frac{1}{1 + a_{n-1}}$.

2. Уравнения и предыды

Пусть нам нужно решить уравнение (1), где $\varphi$ — некоторая функция. Возьмем произвольное число $a_0 \in D(\varphi)$ и определим рекуррентно последовательность $\{a_n\}: a_n = \varphi(a_{n-1})$. Предположим, что $a_n \in D(\varphi)$ для всех $n \in \mathbb{N}$.

Рис. 1.

35

Теорема 1. Если последовательность $\{a_n\}$ сходится к s и функция φ непрерывна при $x = s$, то s является корнем уравнения (1).

Эта теорема и была фактически применена в п. 1. Выбор первого приближения (или «нулевого члена» последовательности) диктуется сообщениями удобства — $a_0$ естественно быть поближе к исходному корню.

Как будет видно из дальнейшего, уменне исследовать разрешимость уравнения (1) позволяет иногда решить вопрос о сходимости соответствующей последовательности $\{a_n\}$.

Упражнения
4. Исследуйте сходимость последовательностей:

a) $a_n = \sqrt{a + a_{n-1}}, a_0 = 0$;
b) $a_n = \frac{1}{1 + a_{n-1}}, a_0 = 1$.
5. Укажите способ нахождения положительного корня уравнения
$$x^3 - x - 1 = 0.$$ (1)
6. (С пособ приближенного в вычисления $\sqrt[3]{a}$.) Последовательность $\{a_n\}$ строится по следующему правилу:
$$\begin{cases} a_0 = a > 0, \\ a_n = \frac{1}{3}(2a_{n-1} + \frac{a}{a_{n-1}}). \end{cases}$$
Докажите, что $\lim_{n \to \infty} a_n = \sqrt[3]{a}$.
7. Пусть $a > 0, b > 0, p > 0, q > 0$. Расмотрим последовательность
$$\frac{a}{b}, \frac{b}{pa+qb}, \frac{pa+qb}{pb+q(pa+qb)}, \dots, \frac{a_n}{b_n}, \dots$$
где $a_{n+1} = b_n, b_{n+1} = pa_n + qb_n$. Существует ли у этой последовательности предел?
(Эту задачу предложил наш читатель В. Фищук.)

3. Главный пример

Остальная часть статьи посвящена вопросу о сходимости последовательности
$$\begin{cases} \alpha_0 = 1, \\ \alpha_n = a^{\alpha n-1}, \end{cases}$$ (2)
то есть 1, $a, a^a, a^{a^a}, a^{a^{a^a}}, \dots$. Эта сходимость зависит, конечно, от параметра $a$.

Оказывается, для больших $a$ выяснить существование предела сравнительно легко, а для маленьких —

гораздо труднее. Приведем несколько примеров.

При $a = 2$ получаем последовательность
1; 2; 4; 16; 65536; …
(она, очень/no, расходится).

При $a = 1,5$ — последовательность
1; 1,5; 2,106; 2,349; 2,592; …
$\alpha_{11} \approx 10,99; \alpha_{12} \approx 86,163; \alpha_{13} > 10^{16}$
(она тоже расходится, но здесь с самого начала это далеко не так очень/no).

При $a = \sqrt{2} = 1,4142$ …— последовательность
1; $\sqrt{2}$; 1,632; 1,761; …
$\alpha_8 \approx 1,966; \alpha_{25} \approx 1,9999$ (тут, как мы увидим, предел существует и равен 2).

При $a = 1$
1, 1, 1, …
(предел, очень/no, существует и равен 1).

При $a = 0,5$
1; 0,5; 0,707; 0,613; 0,654; …
$\alpha_{12} \approx 0,641206; \alpha_{13} \approx 0,641177$.

При $a = 0,01$
1; 0,01; 0,955; 0,0123; 0,945; 0,013; …
$\alpha_{15} \approx 0,013; \alpha_{16} \approx 0,941$ (поведение двух последних последовательностей мы прокомментируем в конце статьи).

Из теоремы 1 мы знаем, что если $\lim_{n \to \infty} a_n = s$, то s является корнем

36

Уравнение
$$a^x = x$$
(функция $x \rightarrow a^x$ непрерывна во всех точках числовой прямой). Следовательно, если уравнение (3) при некотором $a$ не имеет корней, то соответствующая последовательность (2) расходит.

На рисунке 2 изображен график функции $y = a^x$ и первые члены последовательности (2) — при $a > 1$ и предположении, что уравнение (3) имеет корни; на рисунке 3 — то же при $0 < a < 1$.

4. $a > 1$
   При $a > 1$ последовательность (2) монотно возрастает (проверьте!).

Теорема 2. При $a > 1$ последовательность (2) сходится моеда и molъко моеда, когда уравнение (3) имеет хотя бы один корень. В этом случае ее предель равен меньшему из корней уравнения (3).

Доказательство. Мы только что отмечали, что если последовательность (2) сходится, то ее предель является корнем уравнения (3). Пусть теперь уравнение (3) имеет корни. Обозначим через $s_0$ наименьший корень. Покажем, что $\alpha_n < s_0$ при всех $n \in \mathbb{N}$. Легко видеть, что $s_0 > 1 = \alpha_0$. Если же $s_0 > \alpha_n$, то $s_0 = a^{s_0} > a^{\alpha_n} = a_{n+1}$. Из теоремы Вейерштрасса следует, что последовательность (2) сходится, причем, очевидно, к $s_0$. Теорема доказана.

5. $0 < a < 1$
   В этом случае последовательность (2) ограничена: $0 < \alpha_n < 1$. К сожалению, она не монотна. В самом деле, поскольку $0 < a < 1$, функция $y = a^x$ убивает, и $\alpha_2 = a^a < 1 = \alpha_0$, следовательно, если уравнение (3) при некотором $a$ не имеет корней, то есть $\alpha_3 > \alpha_1$. Далее, $\alpha_4 = a^{\alpha_3} < a^{\alpha_1} = \alpha_2$, то есть $1 = \alpha_0 > \alpha_2 > \alpha_4$. Пользовать метод математической индукции, легко доказать, что подпоследовательность $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_5, \dots, \alpha_{2n-1}, \dots$ нашей последовательности монотно возрастает, а подпоследовательность $\alpha_0, \alpha_2, \alpha_4, \dots, \alpha_{2n}, \dots$ монотно убивает. При этом всегда $\alpha_{2n} > \alpha_{2n-1}$. По теореме Вейерштрасса каждая из этих подпоследовательностей имеет предел. Пусть $\lim_{n \to \infty} \alpha_{2n-1} = s_1$ и $\lim_{n \to \infty} \alpha_{2n} = s_2$. Ясно, что $s_2 \geq s_1$ и подпоследовательность (2) будет сходящейся в том и только в том случае, когда $s_1 = s_2$ (доказательство!).

Что можно сказать про числа $s_1$ и $s_2$? Поскольку $\alpha_{2n+2} = a^{a^{\alpha_{2n}}}$, $\alpha_{2n+1} = a^{a^{\alpha_{2n-1}}}$ и функция $x \rightarrow a^{a^x}$ непрерывна во всех точках числовой прямой, числа $s_1$ и $s_2$ являются корнями уравнения (3).

Теорема 3. Числа $s_1$ и $s_2$ являются соотношением, меньшим и большим корнями уравнения (4).

Доказательство. Пусть $s$ — произвольный корень уравнения (4). Для доказательства теоремы достаточно установить, что $\alpha_{2n-1} < s < \alpha_{2n}$ для всех $n \in \mathbb{N}$.

Прежде всего заметим, что $s < 1$. В самом деле, если $s \geq 1$, то, ввиду $a^s > 0$, $a^{a^s} < 1$, то есть $a^{a^s} \neq s$. Кроме того, очень удобно, $s > 0$. Из $0 < s < 1$ следует $a^0 > a^s > a^1$, то есть $\alpha_0 > a^s > \alpha_1$. Значит, $a^{\alpha_0} < a^{a^s} < a^{\alpha_1}$, то есть $\alpha_1 < s < \alpha_2$. Индукционный шаг проделывается аналогично.

Следствие 1. Если уравнение (4) имеет более одного корня, то последовательность (2) расходится.

Следствие 2. Если уравнение (4) имеет более одного корня, то последовательность (2) сходится, и предель

37

Рис. 4.

этой последовательности есть корень уравнения (3).

Легко видеть, что всякий корень уравнения (3) удовлетворяет также и уравнению (4). Но при $0 < a < 1$ уравнение (3), очевидно, имеет корень (нарисуйте графики!). Значит, при таких $a$ и уравнение (4) обязаτεльно имеет хотя бы один корень.

Упражнение 8: Рассмотрим последовательность $\alpha_0 = x > 0, \alpha_n = a^{\alpha n-1}$. При каких $x$ эта последовательность сходится? (Рассмотите отдельно случай $a > 1$ и $0 < a < 1$).

Итак, вопрос о сходимости последовательности (2) совпается к вопросу о числе корней уравнения (3) при $a > 1$ и уравнения (4) — при $0 < a < 1$.

6. Исследование уравнения (3) при $a > 1$

Уравнение (3) равносильно уравнению

$$\frac{\ln x}{x} = \ln a.$$ (рис. 4). Эта функция определяна при $x > 0$, достигнет максимума, равного $1/e$, при $x = e$, убивает при $x > e$ и возвращает при $0 < x < e$.

Упражнение 9. Проведите подобное исследование функций $y = \frac{\ln x}{x}$.

Следовательно, при $\ln a > 1/e$, то есть $a > e^{1/e}$, уравнение (5) корней не имеет.

Рис. 5.

При $0 < \ln a < 1/e$, то есть $1 < a < e^{1/e}$, уравнение (5) имеет два корня.

При $a = e^{1/e}$ оно имеет один корень.

Заметим для дальнейшего, что при $\ln a \leq 0$, то есть $0 < a \leq 1$, уравнение (5) имеет единственный корень.

7. Исследование уравнения (4) при $0 < a < 1$

Мы уже знаем, что все корни уравнения (4) заключены в интервале $[0; 1]$. Уравнение (4) равносильно уравнения $a^x = \log_a x$, $x = \log_a \log_a x$ или $x = \frac{1}{\ln a} \ln \frac{\ln x}{\ln a}$. Обозначим через $\varphi$ функцию

$$\varphi(x) = \frac{1}{\ln a} \ln \frac{\ln x}{\ln a} - x.$$

Мы хотим выяснить, сколько корней в зависимости от параметра $a$ имеет уравнение $\varphi(x) = 0$, равносильно уравнению (4). Чтобы это сделать, нужно посчитать, сколько существует точек пересечения графика функций $\varphi$ с осью абсцисс.

Прежде всего заметим, что к этим точкам пересечения заведomo принадлежит точка $s_0$, где $s_0$ — единственный корень уравнения (3), (5),— см. заменяния в конце пп. 6 и 5.

Исследуем функцию $\varphi$.

Так как $\ln a < 0$, функция $\varphi$ определяна при $0 < x < 1$. При $x \rightarrow 0$ (справа) $\varphi(x) \rightarrow -\infty$; при $x \rightarrow 1$ (слева) $\varphi(x) \rightarrow +\infty$.

38

Найдем экстремумы функции $f$; для этого исследуем ее производуно:

$$\varphi'(x) = \frac{1}{x \ln x \ln a} - 1.$$

Приравняв ее к нулю, мы получим уравнение

$$x \ln x = \frac{1}{\ln a}.$$

(6)

На рисунке 5 изображен график функции $y = x \ln x$.

Упражнение 10. Исследуйте функцию $y = x \ln x$ и построите ее график.

Мы видим, что при $x = 1/e$ функция $y = x \ln x$ достигает минимума, равного $-1/e$. Поэтому, если $1/\ln a < -1/e$, то есть $\ln a > -e$ или $a > e^{-e}$, то уравнение (6) корней не имеет. Так что при $e^{-e} < a < 1$ производаная функция $f$ строго больше нуля, то есть при таких значениях $a$ функция $f$ строго возрастает. Значит, уравнение $f(x) = 0$ при $e^{-e} < a < 1$ имеет единственный корень $s_0$ (примерный график функции $f$ для $e^{-e} < a < 1$ изображен на рисунке 6).

Если $a = e^{-e}$, то $\varphi'(x) = 0$ при $x = 1/e$ и $\varphi'(x) > 0$ при всех остальных $x \in [0; 1/e] \cup [1/e; 1]$.

В этом случае $f$ тоже строго возрастает во всей области определения, и уравнение $f(x) = 0$ лю-прежнему имеет единственный корень $x = 1/e$ (график функции $f$ для $a = e^{-e}$ изображен на рисунке 7).

Итак, если $e^{-e} \leq a < 1$, уравнение (4) имеетровно один корень.

Если же $0 < a < e^{-e}$, то уравнение (6) имеет два корня: $x_1$ и $x_2$ (рис. 5). Причем при $x \in [0; x_1]$ $x_1$ [∪] $x_2$; 1 [производаная $\varphi'(x)$ положительная, а при $x \in [x_1; x_2]$ — отрицательна, так что $x_1$—точка максимума, а $x_2$—точка минимума функции $f$; значит, $\varphi$ при $x \in [0; x_1]$ [возрастает и при $x \in [x_1; x_2]$ 1 [возрастает, а при $x \in [x_1; x_2]$ убывает (разберитесь в этом!).

Покажем теперь, что $s_0 \in [x_1; x_2]$. Для этого достаточно доказать, что $\varphi'(s_0) < 0$. Имеем

$$\varphi'(s_0) = \frac{1}{s_0 \ln s_0 \ln a} - 1 = \frac{1}{(\ln s_0)^2} - 1$$

(так как $\frac{\ln s_0}{s_0} = \ln a$). Докажем, что $\ln s_0 < -1$ (тогда $\varphi'(s_0) < 0$). Для этого обратимся вновь к функции $y = \frac{\ln x}{x}$ (рис. 4). Поскольку она при $0 < x < 1$ возрастает, а $\ln a < -e$, корень $s_0$ уравнения (5) лежит левее корня уравнения $\frac{\ln x}{x} = -e$, то есть левее точки $e^{-1}$. Значит, $s_0 < 1/e$ и $\ln s_0 < -1$.

Итак, про функцию $f$ нам теперь известно, что

1. $\varphi(x) \rightarrow -\infty$ при $x \rightarrow 0$;
2. $\varphi(x) \rightarrow +\infty$ при $x \rightarrow 1$;
3. $\varphi$ возрастает на промежутке $|0; x_1|$, в точке $x_1$ имеет максимум, убывает на промежутке $|x_1; x_2|$, в точке $x_2$ имеет минимум и снова возрастает на промежутке $|x_2; 1|$;

40

Задачик
кванта

М466—М470; Ф478—Ф482

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи не стандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки ньюшенней школьной программы. Наноблее трудные задачи отмещены звездочек. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач из этого номера можно присылать не позднее 1 декабря 1977 года по адресу: 113035, Москва, М-35, Б. Ордынка, 21/16, редакция журнала «Квант».
После адреса на конверте написите номера задач, решения которых вы посылаете, например, «M466, М467» или «Ф478». Решения задач по каждому из предметов (математике и физике), а также новые задания просбапись присылать в отдельных конвертах. Задач из разных номеров журнала присылайте также в разных конвертах. В письмо вложите конверт с написанным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результат проверки решений).
В начале каждого письма просим указать вашим имя, фамилию, номер шкoles и класс, в котором вы учитель. Условия оригинальных задач, предлагаемых для публикации, присылайте в двух экземплярах вместе с вашими решениями этих задач (на конверте пометьте: «Задачик «Кванта», новая задач по физике или «… новая задач по математике»). После формирования задачи мы обычно указываем, кто предложил нам эту задачу.

М466. Среди 1977 монет 50 фальшивых. Каждый файлшивая монета отличается от настоящего на 1 г (в ту или другую сторону). Имеютсяашечные весы со стрелкой, показывающей разность масс одной и другой чашки. За одно взвешивание про одну выбранную монету нужно узнать, файлшивая она или настоящая. Как это сделать?

С. Фомин

М467. Точки D и E делят стороны AC и AB правильно треугольника ABC в отношениях |AD| : |DC| = |BE| : |EA| = 1 : 2. Прямы BD и CE пересекаются в точке O. Докажите, что угол AOC — прямой.

А. Краснодемская

М468. Точки A, B, C и D плоскости таковы, что для любой точки M этой плоскости скалярные произведение векторов $\vec{MA} \cdot \vec{MB}$ и $\vec{MC} \cdot \vec{MD}$ не равны друг другу. Докажите, что $\vec{AC} = \vec{DB}$. Верно ли обратное утверждение?

Ю. Ионин

М469. a) Уравнение $x^4 + ax^3 + bx + c = 0$ имеет четые различных вещественных корня. Докажите, что $ab < 0$.

б*) Уравнение $x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_{k-1}x^{n-k+1} + a_{k+1}x^{n-k-1} + \dots + a_n = 0$ имеет $n$ различных вещественных корней. Докажите, что $a_{k-1}a_{k+1} < 0$.

В. Вавилов

М470*. Докажите равенства

a) $\frac{1}{C_n^0} - \frac{1}{C_n^1} + \frac{1}{C_n^2} - \dots + \frac{(-1)^k}{C_n^k} + \dots + \frac{(-1)^n}{C_n^n} = \frac{(n+1)(1+(-1)^n)}{n+2}$;

41

6. $$\frac{1}{C_n^1} + \frac{1}{C_n^2} + \frac{1}{C_n^3} + \dots + \frac{1}{C_n^n} = \frac{n+1}{2^{n+1}} \left( \frac{2}{1} + \frac{2^2}{2} + \frac{2^3}{3} + \dots + \frac{2^n}{n} \right).$$

Л. Курляндчик, А. Лисицкий

Ф478. На кубик, лежащий на гладкой горизонтальной поверхности, налегает точно такой кубик, причем кубики стальваются своим параллельными гранями. Скорость налегающего кубика до стольновения была направлена под углом α к боковым граням (рис. 1). Как будут двигатся кубики после стольновения, если коэффициент треня между гранями кубков равен μ?

Ф479. Для определения неизвестного объема $V_1$ баллона I собирают схему, приведенную на рисунке 2. Объем баллона II равен $V_2$ и $V_2 \ll V_1$.

Сначала система откачивается до давления $p_0$, близкого к нулю. Затем закрывается кран B и заполняется баллон I газом до давления $p_a$. После этого закрывается кран A, открывается кран B и изменяет установившееся в системе давление $p_1$ манометром C. Затем при закрытом кране B вновь наполняется баллон газом до давления $p_a$, открывается кран B и изменяет установившееся в системе давление $p_2$. Эту операцию повторяют n раз. Покажите, что относение $\frac{p_n - p_0}{np_a}$ есть величины постоянная и равная $\frac{V_2}{V_1 + V_2}$.

А. Митрофанов

Ф480. Корабль приводится в движение водометным двигателем, выбрасывающим с корпы струю воды со скоростью u. Ежесекундно выбрасывается масса воды μ, которая береется из реки. При каком значении скорости корабля к. п. д. движателя максимален? Силой треня и сопротивлением воды пренебречь.

Ф481. В старой аккумуляторной батарее, состоящий из n последовательно соединенных аккумуляторов, резко возросло внутреннее сопротивление одного из аккумуляторов и стало равным $\rho = 10 \, r$, где r — внутреннее сопротивление нормального аккумулятора. Считая э. д. с. всех аккумуляторов одинаковыми, определять, при каких сопротивлениях нагрузки R мощность, выделяемая на нагрузке, не изменится при коротком замыкании повреженного аккумулятора.

Ф482. Капля воды равномерно падает в воздухе. На сколько отличается радиус кривизны $R_1$ поверхности капли в ее верхней точке от радиуса кривизны $R_2$ в нижней точке, если расстояние между этим точками равно $d = 2 \cdot 10^{-3} \, \text{m}$? Козффициент поверхности воды равен $\sigma = 7 \times 10^{-2} \, \text{H/m}$.

43

ком не более чем с (n-1) участником. В этом случае он не знаком не менее чем с (m-1)n-(n-1)=(m-2)n+1 участниками. По предложению индукции среди них либо найдется (m-1) участников, попарно не знакомых между собой — в этом случае они вместе с ранее выбранным образуют группу из m участников, попарно не знакомых друг с другом; либо среди них найдется участник, знакомый не менее чем с n других участниками olимпиды. Утверждение доказано.

Э. Туркевич

M429. а) Сколько решение имеет уравнение
[x] - 1977 {x} = 1978?
(Здесь [x] — целая часть x, a {x} = x - [x].)
б) Докажите, что при любых p ≠ 0 и q уравнение [x] + p {x} = q имеет [|p|] или [|p|] + 1 решение.

Рис. 2.

Рис. 3.

Приведем одно из наиболее коротких решений, присланных читателями. Пусть p ≠ 1. (Случай p=1 тривailен: уравнение [x] + p {x} = q
(1) превращается в x = q.) Тогда (1) эквивалентно

$$[x] + px - p[x] = q \Leftrightarrow [x] = \frac{px - q}{p - 1}.$$

Примяя y = (px - q)/(p - 1) пересекает края полосы, ограниченной прямыми y = x и y = x - 1 и заключитей график y = [x], в точках A₀(q; q) и A₁(q - p + 1; q - p) (рисунки 2 и 3; чтобы найти абсциссы x₀, x₁ этих точек, нужно лишь решить уравнение px₀ - q = x₀(p - 1) и px₁ - q = (x₁ - 1)(p - 1)). Ясно, что число решений уравнения (2), то есть число горизонтальных прямых y = h (h целое), пересекаемых отрезком [A₀A₁] [(без точки A₁), равно количеству целых чисел, заключитей между q и q - p (включая q, если оно целое, но не включая q - p). Тепер нетрудно привести ответ в задаче a): отрезок [1978; 1978 + 1977] содержит 1977 целых точек, — и доказать утверждение задачи 6): на любом отрезке длины |p| числовой прямой лежит [|p|] или [|p|] + 1 целых точек.

Можно решать эту задачу, оставив в уравнение x и {x} («дробную часть» x). Некоторые читатели, которые шли по этому пути, ошибались в определении {x} при x < 0 (обратите внимание, что {-0,1} = 0,9; {-√2} = -2 + √2 и т.п.).

Наше решение приятно тем, что случай разных знаков p (рисунки 2 и 3) рассматриваются одновременно. Разбавшись в нем, вы сможете проверить исследование множества решений такого уравнения: ax + b [x] + c = 0 (эту задачу прислал нам Н. С. Петраков); не забудьте рассмотреть особые случаи, когда решения заполют целый интервал, или составляют бесконечную арифметическую програмсию.

M430. а) Докажите, что любое випуклое полообразие в прямой и/or плоскости в прямой полообразие 2S.
б) Докажите, что любое випуклое полообразие в прямой полообразике 2S.

Назовем диаметром выпуклой фигуры (или выпуклого тела) отрезок, соединяющий две точки, расстояние между которых наибольшее (диаметров может быть, конечно, больше одного; существует диаметра для выпуклого многоугольника и многоугольника очень одного — им будет отрезок, соединяющий наибольшее далекие друг от друга вершины; существует диаметра произвольного замкнутого ограниченного множества на плоскости или в пространстве мы оставим здесь без доказательства).

а) Пусть [MN] — диаметр данной выпуклой фигуры Ф. Примыте, проходящие через точки M и N, перpendикулярные к отрезку MN, будут опорными для фигуры Ф, то есть Ф целиком заключена внутри полосы, ограниченной им: ведь

44

Для любой точки $X$ вне этой полосы либо $|XM| > |MN|$, либо $|XN| > |MN|$. Проведем еще две перепределения этих прямых опорные прямые, содержащие некоторые точки $K$ и $L$ фигуры $\Phi$ (рис. 4). Полученный прямогольник $\Pi$ удовлетворяет нуждному условию: если площадь прямогольника $\Pi$ равна $s$, то площадь $\Phi$ не меньше $S_{\triangle KMN} + S_{\triangle LMN} = s/2$.

6. Пусть $[MN]$ — диаметр данного выпуклого тела $T$, $\Phi$ — проекция тела на опорную плоскость $\alpha$, проходящую через нижний конец $M$ диаметра (мы считаем $[MN]$ вертикальным, рис. 5, а). Докажем, что если заключить фигуру $\Phi$ в прямогольник $\Pi$ такой, как в задание $a$, то прямогольный параллелепид с основанием $\Pi$ и высотой $[MN]$ — нижняя прямогольная коробка для $T$. Сделаем с $T$ такое преобразование: каждый отрезок $l \cap T$, где $l$ — вертикальная прямая, сместим вниз так, чтобы нижний конец попал на плоскость $\alpha$. Обедининие полученных отрезков обозначим $\hat{T}$ (рис. 6, а; на рис. 5, б и 6, б показано преобразование отдельных сечеений). Ясно, что объемы $T$ и $\hat{T}$ совпадают [это — аналог причина Кавальери, о котором говорилось в «Кванте» № 2 (статья С. Пухова) и № 5 — (статья В. Болтянского), но здесь тела пересекаются не семейством параллельных плоскостей, а семейством параллельных прямых]. При этом $\hat{T}$ содержит конус с основанием $\Phi$ и высотой $[MN]$ — это нетрудно доказать, рассмотрев вертикальные сечения. Если объем построенной нами прямогольной коробки равен $V$, то объем цилиндра с основанием $\Phi$ и высотой $[MN]$ не меньше $V/2$, а объем конуса — не меньше $(V/2)/3 = V/6$. Значит, и объем нашего тела не меньше $V/6$.

Н. Васильев

Ф438. Оdnородная палочка лежит внутри шероховатой сферической полости. Длина палочки равна радиусу сферы. Коэффициент времени равен $\mu$. Какой наиболее точел с горизонтом можно составлять палочка?

Очевидно, что палочка будет составлять наиболее угол $\alpha$ с горизонтом, когда плоскость большого кругга, проведенная через точки касания палочки со сферы, вертикальная.

В этой плоскости на палочку действуют силы тяжестями $Mq$, силы нормальной реакции сферы $\vec{N}_1$ и $\vec{N}_2$ и силы трения $\vec{F}_1$ и $\vec{F}_2$ (рис. 7).

Палочка находится в покое, если сумма проекций этих сил на любое направление и сумма моментов сил относительной любой неподвижной оси равна нулю. Запишем условие равновесия палочки в проекции на ее направление:

$$|\vec{N}_1| \cos \varphi - |\vec{N}_2| \cos \varphi + |\vec{F}_1| \sin \varphi + |\vec{F}_2| \sin \varphi - |\vec{Mg}| \sin \alpha = 0.$$

Проектируя силы на направление, перепределения к палочке, получим

$$|\vec{N}_1| \sin \varphi + |\vec{N}_2| \sin \varphi - |\vec{F}_1| \cos \varphi + |\vec{F}_2| \cos \varphi - |\vec{Mg}| \cos \alpha = 0.$$

Уравнение моментов удобно записать относительно оси, перепределения к плоскости рисуна и проедшей через центра сферы:

$$|\vec{F}_1| R + |\vec{F}_2| R - |\vec{Mg}| R \sin \varphi \sin \alpha = 0.$$

Здесь $\varphi = \pi/3$, $R$ — длина палочки, равная радиусу сферы. При наиболее точел с горизонтом можно составлять палочка в проекции на ее направление:

$$|\vec{F}_1| = \mu |\vec{N}_1| \text{ и } |\vec{F}_2| = \mu |\vec{N}_2|.$$

45

Решив полученную систему пяты уравнения, найдем

$$tg \alpha_{\text{max}} = \frac{\mu}{\sin^2 \varphi - \mu^2 \cos^2 \varphi} = \frac{4\mu}{3 - \mu^2},$$

$$\alpha_{\text{max}} = \arctg \frac{4\mu}{3 - \mu^2}.$$

Задачу можно решить так же, используя так называемую «теорему о трех силах»: если тело находится в равновесии под действием трех приложенных к нему непараллельных сил, то линей действия этих сил пересекаются в одной точке.

В нашем случае tremя силами, приложенными к палочке, является сила тяжесте $\vec{Mg}$ и результатующее сил реакции $\vec{R}_1 = \vec{F}_1 + \vec{N}_1$ и $\vec{R}_2 = \vec{F}_2 + \vec{N}_2$ (рис. 8). Поскольку сила tremя при наибольшем угле $\alpha_{\text{max}}$ налобна палочки максимальны, сила $\vec{R}_1$ и $\vec{R}_2$ составляют с радиусами сферы, проведенными в точках касания, один и тот же угол $\beta = \arctg \mu$ (угол tremя).

Рассмотрим треугольник $ACB$, в котором палочка является основанием, а точка $C$ пересечения линей действия сил — противоложей вершиной. Линняя действия силы тяжесте делит упомянутый треугольник на два, имеющих общую сторону длиной $l$ (medianу треугольника $ACB$) и конгречные основания длиной по $R/2$. Применив к каждому треугольнику теорему синусов, получим

$$\frac{\sin(\pi/2 + \alpha - \varphi - \beta)}{R/2} = -\frac{\sin(\varphi + \beta)}{l}$$

и

$$\frac{\sin(\pi/2 - \alpha - \varphi + \beta)}{R/2} = \frac{\sin(\varphi - \beta)}{l},$$

где $tg \beta = \mu$ и $\varphi = \pi/3$.

Поделив эти два уравнения одно на другое, получим

$$\frac{\cos(\alpha - \varphi - \beta)}{\cos(\alpha + \varphi - \beta)} = \frac{\sin(\varphi + \beta)}{\sin(\varphi - \beta)},$$

из которой найдем

$$tg \alpha = \frac{(1 + tg^2 \varphi) tg \beta}{tg^2 \varphi - tg^2 \beta} = \frac{4\mu}{3 - \mu^2}.$$

Б. Буховцев

Ф439. Неоновая лампочка (НЛ) загорается, когда направление на ней достигаем значения $U_1$. При этом сопротивление лампочки становится пренебрежимо малым. Коеда направление на ламне nadaем до значения $U_2$, лампа засетит, и ее сопротивление становится бесконечно большим. Эту ламну включили в цепь, как показано на рисунке 9. Считая $\gg U_1 > U_2$, построить примерный график зависимости направления на конденсаторе от времени после замыкания ключа $K$.

После замыкания ключа $K$ в цепи потечет ток, и направление на конденсатор начинает растить, пока не достигнет значения $U_1$, при котором загигается неоновая лампочка. Поскольку $\gg U_1$, можно считать, что в течение всего времени зарядки конденсатора ток $I = \mathcal{E}/R$ и направление $U_C$ на конденсатор растет по линейному закону (рис. 10).

46

В момент времени $t_1$, когда напряжение на конденсатор станет равным $U_1$, загорится лампочка. Время $t_1$ можно найти из условия

$$It_1 = Q = CU_1, \text{ и } t_1 = \frac{CU_1R}{\mathcal{E}}.$$

При загорании лампочки конденсатор практически мгновенно разрядает до напряжения $U_2$, при котором лампочка гаснет. Затем в течение промежутка времени $t$ конденсатор снова будет заряжаться до напряжения $U_1$ и т. д.

Таким образом, напряжение на конденсатор периодически изменяется с периодом

$$\tau = \frac{(U_1 - U_2)CR}{\mathcal{E}}.$$

Рассмотренная схема представляет собой так называемый генератор пилобразного напряжения.

В. Копылов

Ф440. Оцените приближение, при каком минимальном радиусе планы она сложет удерживаемый аммосферу, состоящую в основном из классора и азота, если температура поверхности планы $T = 300$ K. Среднюю плотность вещества планы прияmb равной $\rho = 4 \cdot 10^3$ кг/м³.

Рассмотрим молекулу, входящую в состав атмосферы планы. Эта молекula будет удерживать в непосредственной близости от поверхности планы, если ее кинетическая энергия не превозходит потенциальной энергии молекулы в гравитационном поле планы:

$$\frac{mv^2}{2} \leqslant \gamma \frac{mM}{r}.$$

Здесь $m$ — масса молекулы, $v^2$ — средний квадрат ее скорости, $\gamma$ — гравиционная постоянная, $M$ — масса планы и $r$ — ее радиус. Оценку минимального радиуса планы можно проверить, используя кинетический и потенциальный энергий по порядку величины:

$$\frac{mv^2}{2} \approx \gamma \frac{mM}{r_{\min}}.$$

Средний квадрат скорости молекулы газа связаан с температурой $T$ газа соответствием

$$\overline{v^2} = \frac{3kT}{m} = \frac{3RT}{\mu},$$

где $k$ — постоянная Больцмана, $R$ — унверсальная газовая постоянная, $\mu$ — молярная масса газа. Массу планы можно выразить через среднее значение $\rho$ плотности вещества планы и ее минимальной радиус:

$$M = \frac{4}{3} \pi r_{\min}^3 \rho.$$

Тогда соответствие (1) можно переписать в таком виде:

$$\frac{3RT}{2\mu} \approx \frac{4}{3} \gamma \pi r_{\min}^2 \rho,$$

откуда

$$r_{\min} \approx \sqrt{\frac{9RT}{8\gamma \pi \mu}}.$$

Из формулы (2) следует, что $r_{\min}$ зависит (при прочих равных условиях) от молярной массы $\mu$: $r_{\min}$ тем меньше, чем больше $\mu$. По условию задачи атмосфера планы состоит в основном из классора и азота, для которых молярные массы равны соответствующим $\mu_k = 32 \cdot 10^{-3}$ кг/моль и $\mu_a = 28 \cdot 10^{-3}$ кг/моль. Очевидно, для оценки минимального радиуса планы достаточно найти $r_{\min}$, считая, что атмосфера состоит только из азота.

Итак,

$$r_{\min} \approx \sqrt{\frac{9RT}{8\gamma \pi \mu_a}} \approx 3 \cdot 10^5 \text{ м} = 300 \text{ км}.$$

C. Козел

47

Ф441. Между пластинами замкнутого плоского конденсатора находится мощный заряд q. Площадь пластин беконено величка, расстояние между ними равно d. Первоначальное заряд находится на расстоянии $\frac{1}{3} d$ от левой пластины.

Какой заряд пройдет по проводнику, замкающему пластинами конденсатора, при перемещении заряда q в новое положение, при котором он будет находиться на расстоянии $\frac{1}{3} d$ от правой пластины?

Рис. 11.

Так как пластины конденсатора большие, индуцированные на них заряды не изменятся при перемещении заряд q параллельно плоскостям пластин (краевыми эффектами мы пренебрегаем). Это означает, что не изменятся заряды пластин и в том случае, если заряд q равномерно «размазать» по плоскости, параллельной пластинам конденсатора и находящей перевоначально на расстоянии $\frac{1}{3} d$ от левой пластины.

Обозначим через $q_1$ заряд левой пластины конденсатора. Тогда заряд правой пластины (согласно закону сохранения заряда) равен $-q_1$. Заряды $q_1$ и $-q_1$ пластин конденсатора создают между пластинами электростатическое поле с напряженнойностью $|\vec{E}_1| = \frac{q_1}{\varepsilon_0 S}$ ($S$ — площад каждой пластины), а находящая внутренняя конденсатора пластина с зарядом $q$ — поле с напряженнойностью $|\vec{E}| = \frac{q}{2\varepsilon_0 S}$ (рис. 11). С одной стороны от пластины направления направленной обихой полей совпадает, а с другой стороны — противоположны друг другу. Поэтому разность потенциальов $\Delta\varphi$ между пластинами конденсатора равна

$$\Delta\varphi = \left( |\vec{E}_1| - |\vec{E}| \right) \frac{1}{3} d + \left( |\vec{E}_1| + |\vec{E}| \right) \frac{2}{3} d.$$

С другой стороны, так как пластины конденсатора замкнуты, направление между ними равно нулю: $\Delta\varphi = 0$. Следовательно,

$$\frac{1}{3} d \left( \frac{q_1}{\varepsilon_0 S} - \frac{q}{2\varepsilon_0 S} \right) + \frac{2}{3} d \left( \frac{q_1}{\varepsilon_0 S} + \frac{q}{2\varepsilon_0 S} \right) = 0.$$

Из этого уравнения найдем заряд $q_1$:

$$q_1 = -\frac{1}{6} q.$$

Аналогично можно найти заряд $q'_1$ левой пластины конденсатора, когда средняя пластина (заряд q) находится от нее на расстоянии $\frac{2}{3} d$:

$$q'_1 = \frac{1}{6} q.$$

Таким образом, при перемещении внутренней конденсатора точного заряд q (или заряженной пластины) по проводнику, соединяющему пластинами конденсатора, проходит заряд

$$\Delta q = q'_1 - q_1 = \frac{1}{3} q.$$

И. Слободецкий

48

Гомотетия и замечательные точки в треугольнике

В этой заметке мы рассакжем, как с помощью гомотетии решаются многоные трудные планимерские задачи — в частности, задачи про замечательные точки в треугольнике.

Задача про грапецю

Начнем с задачи про грапецю. Вот ее формулировка:

Доказать, что пряма, проходящая через точку пересечения продолженной боковых сторонн們 грапеци и точку пересечения ее диагоналей, проходим через середины оснований грапеци.

Как ее решать? Нарисуем грапецю, продолжим ее боковые стороны, проведем диагоналей, соединним середины оснований (см. рис. 1). Мы видим, что образуется много пар подобных треугольников. С подобными фигурами связано отображение плоскости на себя, которое называется геометрией. При гомотетии с центром O и коэффициентом $k \neq 0$ образом произвольной точки X является точка $X_1$ такая, что $\overrightarrow{OX_1} = k\overrightarrow{OX}$ (см. «Геометрию 7», п. 79). Попробуем решить нашу задачу про грапецю, используя гомотетию.

Пусть $S$ — точка пересечения продолженной боковых сторон $AB$ и $CD$ грапеци $ABCD$, $O$ — точка пересечения ее diагоналей (рис. 1).

Рассмотрим две гомотетии: $H_S$ с центром $S$ и $H_O$ — с центром $O$, переходящие основание $AD$ грапеци в основание $BC$. Середина $M$ отрезка $AD$ и в той и в другой гомотетии печейдет в середину $N$ отрезка $BC$, а потом точки $M$ и $N$ лежат на прямой $OS$, проходящей через центры гомотетии $H_S$ и $H_O$.

Разберем это решение подробнее.

Гомотетия $H_S$ задается своим центром $S$ и парой соответствующих точек $A$ и $B$. По свойству гомотетии пряма $AD$ при этом перейдет в паралельную ей прямую $BC$. Образ точки $D$ будет находиться на прямой $BC$. С другой стороны, точка, соответствующая точке $D$, лежит на прямой $SD$, проходящей через центр гомотетии $S$.

Таким образом, гомотетия $H_S$ переводит точку $D$ в точку пересечения прямы $BC$ и $SD$, т. е. в точку $C$, а основание грапеци $AD$ — в основание $BC$: $H_S([AD]) = [BC]$.

Аналогично доказывается, что $H_0([AD]) = [CB]$ (гомотетия $H_O$ задается центром $O$ и парой соответствующих точек $A$ и $C$).

Средину отрезка гомотетия переводит в середину образа этого отрезка, так как при гомотетии все расстояния между точками умножаются на одно и то же число, равное modulo коэффициента гомотетии.

И, наконец, середины оснований грапеци, как соответствующие точки гомотетии, лежат на прямой, проходящей через ее центр.

Центр тяжести треугольника

Докажем теперь с помощью результата задачи о грапеции теорему о медианах треугольника, а именно, докажем, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2:1, считая от вершины.

Доказательство. Пусть $AD$, $BE$ и $CF$ — медианы треугольника $ABC$ (рис. 2). В грапеции $AFDC$ медианы $AD$ и $CF$ служат диагоналями, а потом точка $M$ их пересечения лежит на прямой, соединяющей середину $E$ основания $AC$ грапеци с точки пересечения продолженной ее боковых сторон $AF$ и $CD$, то есть — с вершиной $B$ треугольника. Таким образом, точка $M$ пересечения медиан $AD$ и $CF$ лежит и

49

Ортоцентр треугольника
Докажем еще одну теорему.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке. (Точка пересечения высот называется ортоцентром треугольника.)

Доказательство. Пусть $M$ — центр тяжестии данного треугольника $ABC$; $F, D$ и $E$ — середины его сторона (рис. 3). Расмотрим готовую $H_M^{-2}$ с центром в точке $M$ и коэффициентом $k = -2$. Эта готовая переводит точки $F, D$ и $E$ соответственно в вершины $C, A$ и $B$ треугольника $ABC$, а высоты треугольника $FDE$ — в высоты треугольника $ABC$. Но высоты треугольника $FDE$, являясь серединными перпендикулярами к сторонам треугольника $ABC$, пересекаются в одной точке $O$ — центр описанной около треугольника $ABC$ окружности. Следовательно, их образы (при готовении $H_M^{-2}$) также пересекаются в одной точке $R$ (ортоцентр треугольника $ABC$).

Попутно мы доказали такое важное следствие:

Центр тяжестии $M$ любое треугольника, его ортоцентр $R$ и центр $O$ описанной около него окружности лежат на одной прямой (она называется прямой Эйлера), причем точка $M$ расположена между точками $O$ и $R$ так, что $|MR| = 2 |OM|$.

Задание

1. Найните готовые, переводящие один из двух данных параллельных отрезков в другой.
2. На плоскости заданы окружность и две точки $A$ и $B$ на ней. Пусть $N$ — произвольная точка этой окружности, $M$ — центр тяжестии треугольника $ABN$. Найните множество точки $M$.
3. На плоскости заданы две концентрические окружности. Проведите хорду в большей из них так, чтобы она делилась меньше окружностью на три конгрузные части.
4. Две окружности касаются внешним образом. Точки касания общих внешних касательных последовательно соединены. Докажите, что в получившейся четырехугольник можно вписать окружность.
5. Дан острый угол $AOB$ и внутри него точки $C$. Найните на стороне $OB$ точку $M$, равноудаленную от стороны $OA$ и от точки $C$.
   6*. Докажите, что во всяком треугольнике основания высот, середины сторона и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника, лежат на одной окружности. (Эта окружность называется окружностью девящи мочек.)