Квант 1977, №11 · Страницы

КВАНМ 11 1977
НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - MATEMATIЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

60 ЛЕТ ОКТЯБРЯ

Советские физики линдируют в области исследования проблем управления термоядерных реакций и возможности использования термоядерной энергии в мириных целях. Особенно важные результаты получены на экспериментальных термоядерных установках «ТОКАМАК», созданных в Институте атомной энергии имени И. В. Курчатова.

На помещенной здесь фотографии изображена самая мощная установка этого типа — «ТОКАМАК-10». Полученная в ней водородная плазма имеет рекордные характеристики. На этой установке мы уже имеем развитую термоядерную реакцию влабораторных условиях.

По образу и подобию советских tokamakов созданы термоядерные установки во многих странах мира. «ТОКАМАК-10» послужит прообразом будущих термоядерных электростанций.

1

Главный редактор
академик И. К. Киоин
Первый заместитель
главного редактора
академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:
М. И. Башмаков
С. Т. Беляев
В. Г. Болтянский
Н. Б. Васильев
Ю. Н. Ефремов
В. Г. Зубов
П. Л. Капица
В. А. Кириллин
А. И. Климанов
С. М. Козел
В. А. Лешковцев
(зам. главного редактора)
Л. Г. Макар-Лиманов
А. И. Маркушевич
Н. А. Патрикеева
И. С. Петраков
Н. Х. Розов
А. П. Савин
И. Ш. Слободецкий
М. Л. Смолянский
(зам. главного редактора)
Я. А. Смородинский
В. А. Фабрикант
А. Т. Цветков
М. П. Шаскольская
С. И. Шварцбург
А. И. Ширшов

В НОМЕРЕ

К 60-летию Великого Октября
2 Наука общества, строящего коммунизм
4 И. Киоин. Как создавалась советская физика
18 Б. Гнеденko. О математике Страны Советов
27 В. Лешковцев. Доступения советских физikов
31 С. Демидов. Проблемы Гильберта и советская математика
38 И. Толина. Планета Жени Рудневой
▲
40 В. Левитина. Как Математик помог Бригадиру

Лаборатория «Кванта»
44 В. Майер. «Липкая» струя

Математический кругхок
45 Повороты и пересечения многогранников

Задачник «Кванта»
47 Задачи М471—М475; Ф483—Ф487
49 Решения задач М431—М433; Ф442—Ф444

По страницам школьных учебников
53 А. Савин. Что значит «больше»?

«Квант» для младших школьников
55 Задачи
56 В. Козан. Цветные тени

ХI Весоюзная олимпиада школьников
58 И. Клумова, М. Смолянский. Олимпиада по математике
63 Л. Лиманов. Решение задач олимпиады
65 Т. Петрова, Л. Чернова. Олимпиада по физике
69 П. Дик. Экспериментальные задания олимпиады по физике
72 Победители XI Весоюзной олимпиады
▲
74 М. Башмаков. Ленинградская олимпиада средних профессии
75 И. Васильев. Задачи ресурсиванских олимпиад

Практикум абитуриента
77 В. Грушин, А. Диденko, Г. Дубровский. Задачи на законы динамики математальной точки
82 Э. Шувалова. Координатный метод

Рецензии, библиография
90 И. Клумова, М. Смолянский. Новые книги
92 В. Рудов. Жизнь — научный подвиг
94 Ответы, указания, решения

Смесь (с. 52, 91)

© Главная редакция физико-математической литературы издательства «Нука», «Квант», 1977

2

Ста́ть 25. В СССР существует и совершенствуется единая система народного образования, которая обеспечивает общеобразовательную и профессиональную подготовку граждан, служит коммунистическому воспитанию, духовному и физическому развитию молодежи, готовит ее к труду и общественной деятельности.

Ста́ть 26. В соответствии с потребностями общества государство обеспечивает планирование развития научных кадров, организаует ведение результатов научных исследований в народное хозяйство и другие сферы жизни.

Конституция СССР

Наука общества, строящего коммунизм

60 лет отделют нас от того знаменательного дня, когда рабочие и крестьяне России взяли власть в своих руки, создав первое в мире пропагарское государство. Великая Октябрьская социальная революция открыла человечество путь к социальному С тех пор на этот путь сознаненно вступили десяти государств. Социализм с каждым годом становится все более могучеей политической, экономической и социальной системе современного мира.

Октябрьская революция коренным образом изменила роль и место научки в государстве. Еще Карл Маркс, разработавая идеи научного социальизма, пришел к выводу, что социальным будет по-научному относиться к процессу своего развития и совершенствования. В. И. Ленин глубоко и весомно разработал вопрос о роли научки в строительстве социальизма и коммунизма. В своей знаменительной речи на III Всероссийском съезде комсомола, произнесенной в 1920 году, он говорил: «Мы знаем, что коммунистическое общество нельзя построить, если не возродить промышленности и земледелия, причем надо возродить их не по-старому. Надо возродить их на современной, по последнему слову научки построенной, основе».

Несмотря на чрезвычайно неблагоприятные условия — гражданскую войну, разруху, чудовизну отсталость и низету,— Ленин уделял огромное внимание научному молодой советской научки. Она и сейчас опирается на принципы, завищенные Ильчом. Впервые в мировой истории организации и планирование научки стали осуществляться как одна из важнейших государственных задач. При этом большое внимание уделилось развитию физико-mатематических наук, которые всегда были основой технически и производственной.

До революции в России существовал только один физический институт (в Москве), да и тот был построен без какой-либо поддержки со стороны царского правительства. Он возник по инициативе выданного русского физика П. Н. Лебедева на части пожертвования. Но уже в 1918 году по указанию В. И. Ленина в Петрограде были созданы физико-технический и Оптический институты, в Нижнем Новгороде (Горьком) — специальная радиолаборатория. Вскоре к ним приединились физико-mатематический институт Академии наук и Радиевый институт в Петрограде, Центральный аэропродинамический институт в Москве. Телер в стране работал сети научно-исследовательских институтов, специальизирующихся в области физико-mатематических наук. Многие из них, такие, как физико-технический институт АН СССР имени А. Ф. Иоффе, физический институт АН СССР имени П. Н. Лебедева, институт физических проблем АН СССР имени С. И. Вавилова, институт atomной энергии имени И. В. Курчатова, математический институт АН СССР имени В. А. Стеклова, стали крупнейшими центрами мировой научки. Научно-исследовательские физико-mатематические институты имеются во всех ресурсных нашей страны. Успешно развивал советскую научку институты, принадлежшие и другим академям, в том числе Академии педагогических наук СССР, а также высшие учебные заведения.

4

Как создавалась советская физика

Мы продолжаем публикацию воспоминаний Героя Социалистического Труда, академика И. К. Кикона, научную в 10 номере.

В конце 30-х годов академик Абрам Федорович Иоффе поставил перед своим сотрудниками новую задачу: исследовать особый по своим электрическим свойством класса веществ — полупроводники. Как известно, полупроводники — это вещества, проводимость которых слищом мала, чтобы считать их металлими, и слищом влика, чтобы относить их к диэлектрикам.

В то время полупроводники не имели широкого применения. И тем не менее, Иоффе, интуитивно поняемая, что в будущем они приобретут большое практическое значение, с самого начала удаляли много внимание работам по исследованию их свойства. А исследование эти были нелегкими. И вот почему. У разных образцов одного и того же по химическому составу полупроводника физические характеристики оказывались совершенно различными. Например, у разных образцов закиси меди (Cu₂O) проводимость оказывалась различной, так же как и зависимость проводимости от температуры. Полученные разными способами образцы вели себя одни как диэлектрики, другие — как проводники. Ясно, что выявить какие-то общие закономерности, исследуя стол «капризные» вещества, очень трудно. И связано это с тем, что, как оказалось, свойства полупроводников необсячайно сильно зависит отничтожных количеств примесей, имеющих в образцах. Например, если в образце закиси меди atomов кислорода на стольсячную долю процента больше, чем в «чистой» закиси меди (то есть при точном химическом состоянии меди и кислорода), то он ведет себя как проводник, хотя чистая закись меди — диэлектрик.

Эта особенность полупроводников в каком-то смысле предопределяла направление исследований. Прежде всего необходимо было установить, как зависит свойства полупроводников от количества содержащихся в них примесей. А для этого надо было иметь образцы с точно известным химическим составом и количеством примесей.

В эти работы очень активно включился Борис Васильевич Курчатов (брат И. В. Курчатова). Он нашел способ получения образцов закиси меди с заданным избыточным количеством кислорода. Создав несколько таких образцов, он исследовал, как меняется проводимость закиси меди в зависимости от примеси кислорода. Оказалось, что проводимость резко растет с увеличением количества примеси. Эта классическая работа полужила начало созданию полупроводников с заданным свойством введением определенного количества той или иной примеси. Сейчас они находят огромное практическое применение.

После того как Абрам Федорович Иоффе переключит наше внимание на полупроводники, я решил занять исследование так называемого внутреннего фотоэфекта. Явление этого заключится в том, что под действием света в полупроводнике появляется дополнительные свойства электроны и проводимость образца увеличивается. Мне хотелось выяснить, обладают ли эти дополнительные электроны той же подвижностью, что и темновые электроны (то есть свобод-

5

ные электроны, которые имеют в неосвесенном образце). А получить такую характеристику, как подвижность электронов, можно было, измеряя эффектив Xолла и проводимость образца. Поэтому было решено использовать этот эффектив в полупроводниках. (Напомню, что эффектив Xолла заключится в том, что если помещить образец, по которой течет ток, в магнитное поле, то между точками образца, лежащими на прямой, перpendикулярной направлению поля и направлению тока, возникнет разность потенциальов — э. д. с. Xолла.

Начав исследование, мы столкнулись со страным явлением, которое мешало проводить измерения. Пришипальная схема эксперимента была приближительно такой, как на рисунке 1. И мы сизумлением обнаружили, что при освещении образца в магнитном поле даже при отсутствии текущего через образец тока прибор регистрации наличие разности потенциальов между точками А и А’, на которых мы собирались измерять э. д. с. Xолла. Чтобы измерить «чистую» э. д. с. Xолла, надо было как-то установить этот побочный эффектив. И мы его установить. Окаазалось, что если пластинку закисси меди, с которой мы проводили измерения, освещать не белым, а красным светом (а сама закисси меди — это произчный кристалл красного цвета), то побочный эффектив исчезает, и можно измерить «чистую» э. д. с. Xолла, определять тот «вклад», который дают в нее фотоэлектроны, и вычислить их подвижность. Она оказалась такой же, как и у темновых электронов. (Сейчас я не стал бы проводить подобных исследований, потому что теперь хорошо известно, чторождающиеся под действием света фотоэлектроны точас же стальковются с atomами и в дальнейшем по своим свойством ничего не отличают от темновых электронов.)

После этого надо было выяснить, с чем связан возникший побочный эффектив. Мы взяли в качестве образца пластинку из закисси меди длиной около двух сантиметров, присоединили к ней с помощью электронов измерительной прибор, помещили пластинку в магнитное поле, параллельное плоскости пластинки, и осветили ее светом от сильной лампы. Схема опыта была такая, как на рисунке 2. Окаазалось, что при небольшим магнитном поле — порядка 1 Т — на-

6

И. К. Кикоин

пряжение на электродах достигало 20 В!

Явление было совершено неопорным. И когда на одном из семинаров у нас в Физiko-техническом институте я докладывал об этой работе, сущатели отнеслись к моему рассказу очень недоверчиво. Я тут же перед аудиторней продемонстрировал наш простой опыт. И хотя сомнения в существовании самого эфекта прошали, загадочность его не уменшла. Качественная и количественная теория этого эфекта (мы назвали его тогда формагнитным) была разработана позже. Не буду сейчас более подробно расссказать об этом эфекте, потому что в одном из ближайших номеров журнала появится стать на эту тему. Скажу только, что, исследуя этот эфект в полупроводниках, можно выяснить целый ряд их свойства, которые важны в технике.

Описанными выше работами, конечно, не исчерпывает круг исследований полупроводников, проводившихся в Ленинградском физico-техническом институте. Под руководством А. Ф. Иоффе и при его непосредственном участии осуществлялась община программы работ по выяснению природных электрических и fo-

тоэлектрических явлений в полупроводниках. Однакоенное разработываясь вопросы практического применения этих явлений.

Одним из основных направлений научной работы в Физiko-техническом институте было также изучение электрических свойств диэлектриков. В числе сотрудников, занимающих этим вопросом, был Игорь Васильевич Курчатов. Лаборатория, которое он тогда возглавил, занялась исследованием свойств так называемой сегнетовой soli (химическая формула NaKC₄H₄O₆·4H₂O). Кристаллы сегнетовой soli очень красивы. Они достигают огромных размеров. Я с удовлетворением наблюдал, как Игорь Васильевич выращивал их из растров в больших стеклянных сосудах.

Сегнетова соль — типичный представитель диэлектриков с аномальной диэлектрической проницаемостью. (Напомним, что диэлектрическая проницаемость — это число, указывающее, во сколько раз электрическое поле внутри диэлектрика меньше того внешнего поля, в котором находится диэлектрик.) Так вот, у обычных диэлектриков проницаемость порядка нескольких единиц (у стекла—3÷5, у слюды—7÷8); диэлектрическая проницаемость воды, равная 80, считалась аномально большой. А у сегнетовой soli значение этой величины может достигать нескольких десятиков тысяч единиц! И еще одна аномalia — необучное «поведение» этой проницаемости при изменении внешнего электрического поля: в сильных полях значение ее не велико, а в слабых полях она достигает огромных значений. Естественно, что исследование свойств сегнетовой soli представляет большую интерес. Использовая ее как заполнитель, можно было создать конденсаторы необольших размеров с очень большой емкостью. Правда, аномальные свойства сегнетовой soli проявляются в довольно узкой области температур (примерно от —30°C до +30°C).

Подробными исследованиями Курчатов показал что поведение сегне-

7

тоэлектриков (так называют диэлектрики с таким же аномальными свойствами, как у сегнетовой соли) во многом аналогично поведению ферромагнетиков. Например, зависимости электрической индекции (так называют электрическое поле внутренней шестева) в сегнетэлектриках от величины внешнего электрического поля аналогична зависимостьм магнитной индекции в ферромагнетиках от внешнего магнитного поля. В кристаллических сегнетэлектриках, так же как и в ферромагнетиках, наблюдается резкая анизотропная свойств: их электрические характеристики существенно зависит от ориентации внешнего поля относительно различных осей кристалла. Нагревая сегнетэлектрики, наблюдают, что при перехождение «критического» температуру (для сегнетовой соли, как мы уже говорили, это ~30°C) их электрические свойства скачком меняются — исчезает аномалия диэлектрической пропищемости и в дальнейшем они ведут себя как общные диэлектрики. Это явление совершенно аналогично поведению ферромагнетиков при перехождение точку Кюри — когда они переходят из ферромагнитного состояния в параметрное. Исследуя переход сегнетэлектриков через точку Кюри (так по аномалии называют критическую температуру для сегнетэлектриков), Курчатов показал, что, так же как и в случае ферромагнетиков, этот переход сопровождается выделением теплла. Этот эффект называется электрокалорийческим эффектом (аномалий эффект для ферромагнетиков называется магнетокалорийским). Сходство между сегнетэлектрическим и ферромагнетизмом так велико, что зарубежные учены называют явление сегнетэлектричества.

Результаты своих исследований И. В. Курчатов собрал в отдельную книгу, которая повсюду была признана какfundamentalное исследование является сегнетэлектричества.

Несколько позже в Физическом институте имени П. Н. Лебедева

А. Ф. Иоффе (слева) со своим учениками А. И. Алихановым и И. В. Курчатовым в одной из laboratorий физико-технического института.

9

кого химка Боденштейна. Он писал, что опыты Н. Н. Семенова неубедительные. Давление кислорода изменялось в них манометром, а чтобы пары фосфора не повредили его, между манометром и сосудом, в котором пронсходила реакция, помещали ловушку, охлаждаемую жидким воздуха. Пары фосфора конденсировались в ловушке, благодаря чему возникал поток паров фосфора, направленный к ловушке. Кислород же по пути в сосуд также проходил mismo ловушки, но в направлении, противоположном направлению потока паров фосфора. Боденштейн считал, что при небольших давлениях кислорода он просто «сдувался» параметrios фосфора и вовсе не попадал в сосуд, так что реакция не возникала, потому что в сосуде не оказалось кислорода.

Ознакомившись с этой заметкой, Семенов решил повторить свои опыты. При этом он убедился, что критика Боденштейна частично верна — давление кислорода действительно изменялось несовсем точно. Но и после исключания возникных ошибок оказалось, что реакция взамодействия фосфора с кислородом в газообразном состоянии все-tаки начнется только при некоторых минимальном давлении. При этом было обнаружено еще одно совершенное непонятное явление. Само критическое давление зависит от размеров сосуда, в котором пронсходила реакция. Если сосуд шарообразный, то критическое давление растет пропорционально диаметру сосуда. Чем больше сосуд, тем больше давление, при котором начинается реакция. Как писал позднее Н. Н. Семенов, обнаружив это явление, онсовсем перстал что-либо понимать.

Семенов расссказал о своей работе на семинаре в Физико-техническом институте. Все уже знали критики Боденштейна и снова стали придаться к опытом. Как ни убеждал Семенов приступовавших в том, что никаких ошибок в его опытах больше нет, к этому отнеслись с недоверием, тем более что объяснить столенные результаты Николай Николаевич в то время не мог.

Н. Н. Семенов

Будучи твордо утверенным в своей правоте, Н. Н. Семенов опубликовал несколько статей о полученных результатах. После этого пришло письмо от Боденштейна, в котором онполностью согласился с этим результатами, признал большее значение обнаруженных явлений и предложил Семенову дальнейшие работы печать в журнале, который он сам редактировал. Вскоре после этого Н. Н. Семенов создал качественный теорию обнаруженных им явлений.

Это было крупнейшее открытие, которое получило всемирное признание. Оно последило нацелом нового направления в науке — изучения развевленных цепных химических реакций, которое успешно развивалось не только у нас, но и зарубежом. За эти работы Н. Н. Семенову, вместе с англійским химиком Хиншельвудом, который занимался теми же вопросами, в 1956 году была присуждена Нобелевская премия.

Н. Н. Семенов — основатель целой школе по кинетике химических реакций. К ней принадлежит много ученных. Крупнейшими ее представителями являются академики Юлий

10

Борисович Харитон и Виктор Николаевич Кондратев. Ю. Б. Харитон продолжал много работ, связанных с химическими реакциями взрывного характера. Крупнейшим теоретиком в этой области является еще один ученик Семенова — академик Яков Борисович Зельдович. Он разработал и теорию цепных реакций, и теорию горения. Эти теории имеют большое значение для техники, в частности, для взрывной техники.

В 1928 году на одном из очередных семинаров Абрам Федорович Иоффе сказал: «Я должен вам прочитать небольшую заметку, оттиск которого мне прислал профессор Раман из Индии». Это был оттиск заметки, который опубликовал в известном английском журнале «Nature» (по-русски — «Природа»). В нем есть раздел под названием «Писма к редактору», где ученыые обычно кратко сообщают о своих новых работах. Журнал этот ежедневный, и поэтому можно быстро опубликовать необходимую информацию.

В заметке Рамана шла речь о том, что при рассейнии света в жидкости спектр рассеяного света отличается от спектра падающего света. Если жидкость освещается светом определенной длины волны, например, желтым, то в рассеяном свете содержится та же самая длина волны (от же цвет), но, кроме того, появляется еще другие цвета, новые спектральные линии. В этом и заключается явление, о котором писал Раман, — появление дополнительных линей в спектре рассеяного жидкости.

Когда Иоффе прочитал эту заметку, сделший рядом со мной профессор Рожанский, который обычно на семинарах внимательно слушал, но редко выступал, вдруг проявил необходимую взволнованность. Он встал и сказал: «Я ничего не понимаю. Я хорошо знаю, что работы, о которых рассказывает здесь, были проделаны Мандельштамом в Москве примерно два года тому назад. Мне точно известно, что это явление было открытого Мандельштамом на критICALх,

Л. И. Мандельштам

и в течение двух лет он штастельно его исследовал». Так мы — молодые физики — узнали, что в Москве существует крупная научная школа физков, возглавляемая Леонидом Исааковичем Мандельштамом.

Из заметки Рамана следовало, что он только что сделал свое открытие. А Леонид Исаакович Мандельштам, как мы узнали, не только обнаружил это явление, но вместе с Григорием Самуиловичем Ландсбергом проводилось исследование, нашел основные закономерности, дал полную теорию этому явлению и уже направил в печать обстоятельную статью. Но она была получена редактией Журнала, в которой ее послам Мандельштам, на две недели позже, чем заметка Рамана в «Nature». Эта заметка была продуктована по радио, поскольку Раман очень торопился. К сожалению, эфект появления дополнительных спектральных линей в рассеяном свете теперь нередко называют эфективом Рамана. Правда, обективные загубенные ученыые, вскоре после того как это явление было открыто, в соответствии со обозначением и книгах назвали его эфективом Мандельштам — Ландсберга — Рамана.

12

Г. В. Курдомов

ских физиков во главе с Петром Саввичем Тартаковским, а в Днепропетровск — во главе с Георгием Вячеславович Курдомовым, ныне академиком.

К сожалению, в Томске инцизация ленинградских физиков не встретила большой поддержки со стороны местных физиков, и этот институт практически распался. Зато институт, организованный в Днепропетровске, быстро окреп и прославился своим работами. В первую очередь это объясняется тем, что он находился в центре украинской металлургии, а сам директор института Г. В. Курдомов был крупнейшим специалистом именно в этой области. Работы, которые он проделал еще в Ленинградском физico-техническом институте, относились кRENTгенографическому исследованию одного из важнейших процессов металлургии — маркетингных превращений в сталях. Курдомов впервые показал, в чем заключается природа маркетингных превращений, которые происходят при закалке стали. Эта классическая работа снискала ему всемирную известность. Она имеет важнейшее техническое значение.

В 1932 году из состава Ленинградского физico-технического института был выделен Уральский физico-технический институт (Ураль ФТИ), обосновавшийся позднее в Свердловске — крупнейшим промышленном центре Урала. Туда был включен и я. Хотя мы и назывались Уральским физico-техническим институтом, но до построки здания в Свердловске работали в Ленинграде и переехали в Свердловск только в 1936 году. Ныне этот институт называется институтом физики металлов; он стал одним из крупнейших физических институтов нашей страны. Сейчас им руководит известный физик-теоретический академик Сергей Васильевич Вонсовский, который в момент создания института был молодым сотрудником, только что окончившим университет.

В период первой пятилек физика в нашей стране очень бурно развивалась, и количество научных сотрудников быстроросло. Я помню, что при мне за 1927—1930 года Ленинградский физico-технический институт выроса в три. В конце концов из него выделился несколько самостоятельных институтов: Институт химического физика под руководством Н. Н. Семенова, который впоследствии переехал в Москву; Институт связи во главе с профессором Д. А. Рожанским; Высококультурный институт под руководством А. А. Чернышева. Был организован также Агрофизический институт, который возглавил сам А. Ф. Иоффе. Он считал, что физик надо применять не только в промышленности, но и в сельском хозяйстве.

Таким образом, начиная с 1928 года, руководствуясь решениями партии и правительства и собственной инцизационной, А. Ф. Иоффе сумел насадить физические институты в ряде промышленных центров Советского Союза, что немало способствало развитие науки и промышленности в нашей стране. Ленинградский физico-технический институт стал свое-

13

образным рассадником физики по всему Советскому Союзу.

В 1934 году в Советский Союз вернулся из Англлии, из длительного научной командировки, известный физик Петр Леонидович Капица. Во время работы в Англлии он прославился тем, что исследовал ряд свойства веществ в сильных магнитных полях. Объчные магнитные поля, которые создавали в лабораториях в то время, были порядка 1—2 Т. Для получения более сильных полей нужно было применять электромагнитные больших размеров, которые стонили очень дорого. Можно, конечно, создать сильные магнитные поля внутри соленода без железа. Но для этого необходимо питать соленод очень сильным током, что связано с большим выделением теплла и перегревом обмотки соленода.

Капица рассуждал так. Не обязательно иметь постоянное большое поле в течение длительного времени. Явления, произходящие в веществе, помещенном в магнитное поле, носят атомный характер. А подобные явления разыгрываются очень быстро — за миллионные и даже миллиарды доли секунды. Поэтому достаточно создать сильное магнитное поле, существующее в течение короткого промежутка времени, и за это время проводится в нем необходимые исследования. Эту идею Капица осуществил следующее образом. Magнитное поле создавалось в солениде, через который пропускался большой ток от генератора переменного тока в течение одного полеринада (0,01 секунды).

Якорь генератора переменного тока раскручивания с помощью электродвигателя. При этом клеммы генератора были разомкнуты. Когда якорь раскручивания до расчетаного (номинального) числа оборотов, дивгатель отключали, и якорь продолжал врашаться по инерции. Например на разомкнутых клеммах обмотки (э.д.с.) при этом менялось по синусоидальному закону. В тот момент, когда оно «проходило» через нуль, с помощью специального рубильника клеммы генератора замыкали на обмотку соленода. А через половину периода, то есть через 0,01 секунды, когда направление снова падает до нуля, цель размыкалась. Размыкание цепи необходимо проводить в момент, когда ток проходит через нуль, чтобы избежать возникновения электрическойдуги. В течение получения по обмотке протекал ток большой силы (и следовательно, существовало большое магнитное поле), а катушка не успевала сильно нагреться. Но возникла еще одна трудность. Когда через соленид протекает ток, на каждый его виток действуют радиальные силы, стремится его разорвать. При достижении большим токе эти силы могут превойти предел прочности материала обмотки, и она разрушится. (Петр Леонидович расссказывает, что когда он в Англлии в лаборатории впервые проводил этот эксперимент, катушка разорвалась, ее обломки разлетлись в разные стороны. И в тот же день сотрудники лаборатории поспешили застraxовать свою жизнь.) Так что возникло получение сильных магнитных полей таким способом ограничивается прочитыванием материалов, из которых сделана обмотка. Капица сделала обмотку из специальной высокопроводной бронзы. Катушка была необольшая — диаметр ее было 25 мм, длина — около 100 мм. Через эту катушку пропускали в течение сотой доли секунды ток, который позволял получать поле около 30 Т.

В таких полях Капица исследовал ряд физических явлений. В частности, он очень подробно изучил влияние магнитного поля на сопротивление проводников. При малых полях изменение сопротивления проводников в магнитном поле растет примерно пропорционально квадрату магнитной индукции. Предполагалось, что и в сильных полях будет также же зависимости. Но оказалось, что в сильных полях квадратная зависимость изменения сопротивления от величины магнитной индукции нарушается. Была обнаружена совпадение значения сопротивления проводника от величины индукции магнитного поля.

14

Большой интерес представило исследование свойств различных веществ в условиях, когда сильные магнитные поля сочетаются с низкими температурами. И Капица занялася рассмотрением вопроса о способах получения низких температур, близких к абсолотному нулю. Известно, что самой низкотемпературной жидкость является жидкий гелий. При нормальном давлении температура кипения жидкого гелия равна 4,2 К.

Впервые жидкий гелий был получен голландским ученым Kamерлинг-Оннесом в 1908 году. Установка, которую он построил в своей лаборатории в Лейдене, позволяла получить небольшое количество жидкого гелия. Подобные установки были очень дороги. П. Л. Капица разработал более производительную и экономичную установку, на котором он мог получить достаточно большое количество жидкого гелия.

К тому времени физики заинтересовались свойствами самого жидкого гелия. Дело в том, что жидкий гелий — единственное вещество, которое, как говоря, претерпевает фазо-вое превращение, находясь в жидком состоянии: при температуре 2,19 К его физические свойства резко меняются. Выше этой температуры гелий ведет себя как обживенная жидкость, а при $T \leq 2,19$ К у него появляется ряд совершенню необъчных свойств: теплопроводность его резко возрастает, а вззость резко падает. Принято назвать гелий при температуре выше 2,19 К гелием I, а при $T \leq 2,19$ К — гелием II.

Впервые гелий II обнаружил Kamерлинг-Оннес. Потом его изучением заняла в Лейденской лаборатории Кeeзом. Он обнаружил, что теплопроводность гелия II во много раз больше, чем у самых теплопроводных металлов. Поэтому Кeeзом назвал гелий II сверхтелопроводным веществом.

П. Л. Капица заняла исследование свойства гелия II в 1937 году. Анализируя имеющиеся к тому времени экспериментальные данные, он пришел к выводу, что чрезвычайно высокую теплопроводность гелия II нельзя объяснить обычными процесами выравнивания температуры

15

внутри вещества. Он предположил, что интегисивная передача тела в гелини II может быть связана с конвекцией. Подсчеты показали, что конвекционные потоки должны осуществляться в гелини II с необходимой легкостью, без треня. Можно было предполагать, что гелини II является сверхтекуей жидкостью, то есть жидкостью, которая не имеет вззости.

Чтобы проверить это предположение, Петр Леонидович в 1938 году поставил такой эксперимент. Он проускал гелини II через зазор между двумя плоскими полированными стеклянными пластинками, прижатыми друг к другу. Пластики были отполированы так тщательно, что зазор между ними был не более полумикрона. И через такой зазор под действием собственной тяжестей гелини II протекал со скоростью, которая возможна только при почти полном отсутствии вззости!

Так было открыто явление сверхтекуести в гелини II.

Оставалась нерешенной еще одна загадка, связанная с изменением вззости гелиния II. Дело в том, что вззость можно определить двумя способами. Один из них — изменение скорости истечения жидкости из капиллярного сосуда (или через узкую щель, как это было в экспериментах П. Л. Капицы). При данной разности давления на концах капилляра количество протекающей через него жидкости за данные время тем больше, чем меньше ее вззость. Второй способ определения вззости — исследование затухания круглых колбаний твердого тела в жидкости. В жидкость на нити опускают тонкий диск так, чтобы плоскость его была горизонтальной, и наблюдают его собственные круглые колбания вокруг оси, проходящей через нить. Естественно, что чем больше вззость жидкости, тем быстрее затухают колбания. Для всех жидкости значения вззости, измененные этим двумя способами, были одинаковыми. А для гелини II эти значения были различными. Первый способ давал исчезающее малое значение вззости, демонстрируя сверхтекуесть гелиния II, а второй приводил к малым, но в полне измененным значением.

Л. Д. Ландду

Ответ на все эти вопросы для гидродинамического теория сверхтекуести, созданная в 1941 году академик Львом Давидовичем Ландду. Он показал, что общий классический подход для объяснения свойства вещества при столбных темперарах, неверен. Ландду удалось разрабатывать квантовую теория сверхтекуести Не II. Онаlectraце объясняла результаты оптовок Капицы и предсказала ряд новых явлений, которые вскоре были обнаружены экспериментами.

Сверхтекуесть жидкого гелика пока не нашла широкого применения. Но созданная Ландду теория сверхтекуести оказала большое влияние на развитие теоретической физики. Она явлась ключом к созданию теории другого замечательного явления, произходшего при низких темперарах — сверхпроводимости. И хотя это произошло значительное позже, мне кажется, будетуместно рассказыть об этом именно сейчас, нарушая хронологический порядок, которое я

16

старался более или менее придерживаться.

Напомню, что явление сверхпроводимости было открыто Камерлинг-Оннесом в 1911 году. Он обнаружил, что при температуре 4,15 К электрическое сопротивление ртути полностью исчезает, и называл это явление сверхпроводимостью. После этого было обнаружено, что многое металлы и сплавы при низких температурах теряют электрическое сопротивление, становится сверхпроводящим. Разумеется, существование проводников без сопротивления сулило заманчивые практические перспективы, и изучением сверхпроводимости физики заялись очень активно. Однако создается общую теорию явления не удавалось.

После создания квантовой механики была построена микрокоппическая теория твердого тела, то есть теория, которая рассматривала свойства твердых тел с точки зрения поведения электронов и атомов. Она полностью качественно обязывала все свойства металлов, диэлектриков, полупроводников в различных условиях. А сверхпроводимость оставалась загадочным явлением. И только в 1957 году, то есть через 46 лет после открытия этого явления, оно получило свое объяснение в микрокоппической теории, созданной советским ученым академиком Николаем Николаевичем Боголюбовым и, независяimo от него, американским физиками Бардином, Купером и Шрифером (БКШ, как называют эту группу).

К тому времени экспериментально были изучены многие свойства сверхпроводников. Было установлено, что под действием магнитного поля сверхпроводимость металлов разрушается — они становятся обичными проводниками. Значение магнитной индукции поля, при котором исчезает сверхпроводимость, называется критической полем (критическая индукцией). У разных металлов эта величины различна. критическое поле зависит от температуры сверхпроводника. Чем выше температура, тем меньше критическое поле. При критической температуре критическое поле равно нулю.

Далее было также показано, что магнитное поле внутрень сверхпроводное

Л. В. Шубников

ника не проникает, а если оно в металле уже было, то при его переходе в сверхпроводшее состояние (при понжении температуры) оно выталкивается наружу. Таковые самые фундаментальные свойства сверхпроводников.

Когда они были обнаружены, стало ясно, что возможность использования сверхпроводников для получения больших незагрузочных токов и создания сильных магнитных полей ограничены. Действительно, ток, текущий по проводнику, сам создает магнитное поле. Чем больше ток, тем больше это поле. Но как только индекция этого поля достигает критической значения, сверхпроводник перейдет в нормальное состояние. Обыты показали, что значения критических полей невалки — порядка $10^{-2} - 10^{-1}$ T.

Микрокоппическая теория сверхпроводности была создана в 1957 году. Но это не означает, что до тех пор не существовало никакие позволяющие учесть установливать связь между различными величиными, характеризующими свойства и поведение сверхпроводников.

17

А. И. Шальников

Так, в 1937 году Л. Д. Ландду, анализируя имеющиеся к тому времени экспериментальные данные, теоретически predсказал новое явление, относящееся к процессу перехода металла из сверхпроводящого состояния в нормальное в магнитном поле. Согласно его теории, этот переход происходит постепенно. Начная с некоторого значения индикции магнитного поля, еще не достигшего критического, поле частично проникает в сверхпроводник. При этом в нем образуется чередующая слой — сверхпроводящие и несверхпроводящие. При достижении критического значения индикции внешнего поля сверхпроводящие состояние полностью разрушается.

Обыты, которые в скором времени были проведены в Харьковском физico-техническом институте Львом Васильевичем Шубниковым и в Московском институте физических проблем членом-kорреспондентом АН СССР Алексадром Иосифовичем Шальниковым,lecturee подтвердили predсказания теории Ландду. Мне довелось наблюдать эти эксперименты и в Москве, и в Харькове. Они наглядно продемонстрировали структуру «сложного» промежутного состояния, так сказать, топографию чередующся сверхпроводящих и нормальных слоев внутренней сверхпроводящого шара. Такое состояние сверхпроводника за рубежом обычно называют «фазой Шубникова».

В 1950—1952 годах группа советских физиков — академики Виталий Лазаревич Гинзбург и Лев Давидович Ландду, члены-корреспонденты АН СССР Алексей Алексеевич Абриковов и Лев Петрович Горьков — разработала теория, из которой следовало, что должны существовать сверхпроводники с необходимыми свойствами. Теперь ее называют теорей ГЛАГ (Гинзбург, Ландду, Абриковов, Горьков). Такие сверхпроводники называют сверхпроводниками второго рода, в отличие от обычных сверхпроводников. Для них значения критического поля должны быть значительно большими.

Очень скоро были проведены эксперименты, которые полностью оправдали эти predсказания. Как оказалось, к сверхпроводником второго рода принадлежат металлический нобий и цельный ряд сплавов. Значения критических полей для таких сверхпроводников, действительного, оказались очень большими. Так, например, у сплава нобия с овлом оно достигает 20—30 Т. Большое значение критического поля позволяет использовать сверхпроводники второго рода для создания сильных магнитных полей. При этом, несмотря на большие затраты, связанные с получением жидкого геля, использование сверхпроводников оказывается значительно выгоднее, чем использование обычных электромагнитов. Уже существует генераторы и электродвигатели со сверхпроводящими объектами мощностью около 10 000 килюватт. В настоящее время рассматривается проблема передачи электроэнергии на большие расстояния по «сверхпроводящим» линяям передач.

Таким образом, теория советских физиков сыграла огромную роль в создании новой техники.

18

О математике Страны Советов

Доревольционная Россия дала миру ряд выдающихся математиков, обогативших нашу научку первоклассными идеями и результатами. Достагоно вспомнить имена Н. И. Лоачевского, М. В. Остроредского, П. Л. Чебышева, А. А. Маркова, А. М. Ляпуова, Н. Е. Жуковского, чтобы понять, как много ценного внесла наша страна в развитие математики. И это было сделано в эпоху, когда редкость были не только высшее и среднее, но даже начальное образование. Для прогресса же научки необходимо не только наличестве потенциальных талантов, но и высокий уровень культуры больших масс населения, хорошо организованная школа, наличие развитой экономики и промышленности. Всего этого древольционная Россия была лишена. В общии были лишь талантливые люди, как правило, не находившие себе места в жизни.

Великая Октябрьская revolución вызвала огромный научный энтузизм молодежи, стремление к таким же решительным переменам в научке, какие произошли в социальной жизни, веру в успех и необходимость научного поиска. Этому способствовали то, что научка и научные открытия perceptали быть только личным делом ученого, прибрежи общегоударственного значимости, необходимость для прогресса всея жизни народа и страны.

В первые же годы существования Советской власти, в годы разрухи, гражданской войны, интервенции, голода, эпидемий правительство оказало действную помощь университетам, заботилосьо создании новых университетов и специальизированных научно-исследовательских институтов и laboratorий.

Так, в 1918 г. был издан декрет об организации ЦАГИ — Центрального аэрофидроннамического института и назначен Н. Е. Жуковского его директором. В том же году была создана Нижегородская радиолаборатория. Оба эти учреждения оказали огромное влияние на развитие отечественного самоответствия и радиотехники, но и на привлечение интересов советских математиков к новым прикладным проблемам большого общественного значения.

В 1921 г. — в разгар разрухи — по инциативе В. А. Стеклава был организован Физико-mатематический институт Академии наук. Впервые в истории нашей страны развитем теоретической и прикладной математики стало заниматься специальное научное учреждение. Уже одним этим подчеркивалось отношение нового государственного строя к научке и не только в прикладном, но и в теоретическом ее аспекте. В 1934 г. Физико-mатематический институт разделился на ряд самостоятельных научных учреждений, среди которых для нас особый интерес представляют Математический институт Академии наук СССР, носящий имя создателя — В. А. Стеклава. За более чем получековой период своего существования Институт имени Стеклава внес большой вклад в развитие теоретической математики.

Позднее, по мере организации Республики Академий наук, в каждой союзной республике начали работать с специальизированные математические институты. Создание широкой сети научно-исследовательских учреждений в нашей стране являлось новой форма организации

19

научных исследований. Талантливые исследования, увлеченные стороны перед ними научными проблемами, получили возможность полностью отдаться любимому делу.

Мне не хотелось бы только что сказаным создать у читателей ложные представления о том, что в нашей дни полноценно научу можно развивать лишь в стенах академических институтов. В действительности крупные научные открытия удается делать и в заводских laboratorиях, и накафедрах взов, и в научно-исследовательских институтах прикладного процесса. Все дело в человеке, его таланте, увлеченности, окружающей его атмосфере. Если для него интересны научки стоит на первом плане, а проблемы личной карBERы его не волнуют; если он является генератором новых идей и способен находить подходы к их решению; если он способен критически относиться к своим результатам и выслушивать предложения других; если в учреждениях имеются здоровое научное содержание и взаимопомощь, то успех обеспечен.

В связи с математизацией научки и укрепенным научно-техническим прогрессом фундаментальные научные проблемы возникают в нашей дни в учреждениях прикладного процесса.

Важно не пренебрегать задачи практики, поскольку из них вырастают постановки математических задач большой важности. Чтобы зачастными задачи практики устотеть общие проблемы, необходимо в существую этих задач и их базе строить математические модели реальных явлений. Важно также за общими математическими построениями видеть возможность отражения реальных явлений окружающей нас мира — биологических, физических, экономических, инженерных, организационных. В нашей время, когда математические методы произвели буквальное все научки, когда многое тысячи математиков работают в научных учреждениях прикладного процесса, особенно важно, чтобы возникности математики были видны достаточно широкого как самим математикам, так и представителем других областей знания и деятельности.

Мы уже сказали, что Великая Октябрьская революция являсь мощным толчком к прогрессу математики в нашей стране, создала исключительное благоприятные условия для развития абстрактных ее направлений и применения математических методов в естествознании, инженерном деле, организации производства. Это остоятьство вызвало огромный прилив способной молодежи в университеты, ее стремление испытать свои силы в научных исследованиях и ввести свою лепту в прогресс математики. Поэтому за годы Советской власти были воспитаны многое сотни крупных исследователей-математиков, получивших в различных областях математической научки крупные результаты, продолживших в нашей науке собственные перспективные пути, создавших новые направления научных исследований.

Далее краткое описание того, что сделали советские математики за истекшие шестьдесят лет, потребовали бы многоотномого сочинения и работы большой группы специалистов. Именно поэтому здесь мы вынуждены ограничиться лишь беглом обзором небольшой доли важных направлений научных исследований. При этом мы будем вынуждены упомянуть лишь небольшое число имен, хотя многое из тех, кто здесь не будет упомянут, заслуживают за свои научные открытия самых высоких похвал.

Пожалуйста, самым крупным явлением в математической жизни нашей

20

страны следует считать возникновение Московской математической школе теории функций и теории множества. У ее истоков стояли два выдающихся математика и педагога — Д. Ф. Егоров и Н. Н. Лузин. С их именами связано широкое привлечение студенческого молодежи к научным исследованиям.

Непосредственно перед Октябрьской революцией Н. Н. Лузин зашифил свою докторскую диссертацию «Интеграл и тригонометрический ряд». Многочисленные результаты, красивые построения, постановка большого числа новых задач для дальнейших исследований, живое изложение — все это привлекло внимание математической молодежи к идеям Лузина. К тому же Лузин умел заинтересовывать своих специалистов, убеждать последователь в важности возникших вопросов для научки, прививать веру в наличие творческих способностей. Эти качества еще в 1916—1917 гг. привлекли кнему первую группу ученников — Д. Е. Меньшов, П. С. Александров и А. Я. Хинчина. Первые их самостоятельные работы были в кругу идей учитель — теория интеграла, сходимость тригонометрических рядов, строение так называемых борелевых множеств. Эти работы в значительной степени определяли дальнейшие интересы наванных исследований. Д. Е. Меньшов основные свои работы посвятил теории тригонометрических рядов и рядов ortogonalных функций; А. Я. Хинчин — методический теории функций и ее применением в теории чисел, теории вероятностей и статистической физике; П. С. Александров — теория множеств, а позднее — топологии.

Уже первые приемы студентов в Московский университет после 1917 года дал второе поколение активных ученников Лузина. Лузин организовал семинар, на котором каждому участнику предложалось проектировать определению монографии; затем установить обсуждение реферата с постановкой вопросов, с выявлением возможностей управления и обобщения доказательств. Такие обсуждения прекрасно воспитвали научноаоших математиков и приучали к самостоятельному мышлению.

В двадцатье годы ученники Лузина назвали свой коллектив «Лузитанцев». Этот подчеркивалось восхождение своим учительом, его научными идеями, лекциями. Ученики Лузина гордились своей причастностью к группе, разработывающей его идеи, и стремились даать максимум того, на что они способны в науке. Как вспоминает П. С. Александров, «своей идеейной почвой этот научный энтузизм имел великие патриотические идеи советской научной культуры, возбудившие в учащся и ученых то подлинное научное горение, которое с такой силой никогда не проявлялось в степени доверологии математического факультета Московского университета».

Конечно, каждое чрезмерное увлекание несет в себе и отрицательное начало. Лузитанцы были чрезмерно

21

увлечены лишь одним направлением математического развития и некоторых из них несколько свысиока относились к классическим области математики. Это нашло отражение в шуточных наваниих ряда дисциплин: так, теория вероятностей называлась у них теории непряятности, уравнения в частиных произвольных — уравнениями с несчастными произвольными, конечные разности — произвольными конечностями и т. д. Однако эта недоценка других областей математики продолжалась недолго, поскольку внутри самого Луизитии начался процесс расширения интересов. Так, П. С. Александров и П. С. Урьсон увлеклись проблемами теоретико-множественной топологии и вскоре положили начало существования Московской топологической школи, из которого вышили многочисленные первоклассные учены и которая подарила миру большое число оригинальных идей, понятый и направленный исследованием. А. Я. Хинчин в двадцатье годы начал интересаться проблемами метрической теории чисел, от нее подошел к вопросам теории вероятностей и к концувадцатых годов целиком направил свою энергию на эти два направления исследовании. Теория вероятностей вскоре стала одной из существенных частей интересов Московской математической школи. Создание Московской школи теории вероятностей является заслугодой двух выдающихся учены — А. Я. Хинчина и А. Н. Колмогорова. Далее интересы Москвых математиков обратились к классическому анализу. При этом выяснили, что идеи теории функций дают возможность серверного продвижения. Качественная теория дифференциальных уравнений, дифференциальные уравнения в частиных произвольных становятся объектом исследований Москвычей. Среди представителей этого направления следует назвать В. В. Степанови и И. Г. Петровского.

Не следует думать, что только Москва была центром математической мысли того времени. Первоклассные исследования в это время продлились на Україне — в Киве и Харькове. В Киве следует отметить, в первую очередь, исследования по аспектной алгебре, культивируемые Д. А. Граве и его учениками. В начале революции один из его учеников О. Ю. Шmidt — разносторонний ученый и превосходный лектор — начал попаганду новых алгебраических идей в Москве. О. Ю. Шmidt явился создателем Московской алгебраической школи. В Харькове С. Н. Берштейн развивал идеи П. Л. Чебышева в области налучшенного приближения функций полиномами и успешно работал в области теории вероятности.

В Ленинграде успешно развивались исследования в области математической физики и теории чисел. Оба эти направления исследовании были традиционными для ленинградцев и берут свое начало от Л. Эйлера, М. В. Ostrogradского и П. Л. Чебышева.

22

Грузинские математики (слева направо): А. М. Размадзе, А. К. Харадзе (стонт), Г. Н. Николадзе, Н. И. Мусхелшвили

По аналитической теории чисел замечательные результаты были получены И. М. Виноградовы м. В. 1924 г. он показал, что многие проблемы аналитической теории чисел допускают сведение к оценкам «тригонометрических сумм», т. е. суммы вида

$$\sum e^{2\pi i f(x)},$$

где $f$ — неокоторая функция, а $x$ пробегает ту или иную последовательность целых чисел. В 1934 г. И. М. Виноградову удалось на этом пути почти полностью решить значентиную задачу Гольдбаха: всякое нечетное натуральное число представимо в виде суммы не более трех простых чисел.

Новые университеты, образованные в ряде городов страны в первые годы революции, быстро превращались в значительные математические центры. В первую очередь мы должны назвать здесь Тбилиси и Ташкент, которые славились своим исследованием математической физике (Тбилиси), нелинейным дифференциальным уравнением и математической статистике (Ташкент). Организаторы Грузинской математической школа были Н. И. Мусхелшвили, Г. Н. Николадзе, А. М. Размадзе и А. К. Харадзе*). Создателем Ташкентской математической школы был В. И. Романовский.

К началу Великой Отечественной войны советская математика завоевала огромный научный авторитет во всем мире. Своими исследованиями она охватила практические все направления математической мысли. Многие математики принимали участие в решении задач естественного, технически и организации производства. Особенно значительные были результаты математков в связи с проблемами, вывггаемыхми развитием авторации. Именено задачи по лета в скимаемой жидкости было вызван построение теории квазиконформы отображений М. А. Лаврентьевы м. Крупный успех накануне Великой Отечественной войны был достигнут в построении математической теории «шимми» и «штопора», явившихся причиной гибели многих самолетов. Как правило, попав в «штопор» или «шимми», самолет погибал вместе с находившимся в

*) См. «Квант», 1975, №9, c. 12

23

нем людьми. Из математической теории, построенной М. В. Келдышом, удалось сделать практические выводы, которые позволили разделно бороться как с «шимми», так и со «штопором».

Великая Отечественная война не прошла много советских математиков: тысячи из них пошли на фронт, многие переключились на решение задач, необходимых для победы, остальные не переставали трудиться на своих постах, веря в победу и создавая для будущего новые научные ценности. На фронтах стражались такие крупные учены, как Ю. В. Линник, А. А. Ляпунов, М. В. Бебутов. К сожалению, не все вернулись с полей войны, и советская математика потеряла многохалитивных учены. Некоторые молодые математики,ройдя в рядах Армии все военные годы, нассегда связывали с ней свою жизнь. Немало крупных военных специалистов, сделавших серверный вклад в советскую военную науку, начинали перед войной свой путь как математики.

Уже первые дни войны показали, что советская наука может быть действенным орудием борбы. Были созданы таблицыombометания с самолетов, обладающих малыми скоростями («кукурузников»). А. Н. Колмогоров создал теория искусственного рассеивания для увеличения вероятности поражения целл. Эта теория нашла применение при минных атаках судов военноного флота, а также при стрелбе зенитной артиллерии.

М. А. Лаврентьев создал теорию действия кумулятивного заряда, идея которого была известна горякам и использовалась при подрыве горных пород. Во время войны она была использована как нами, так и другими воюющими государствами. После войны эта теория широко использовая в мирной практике при строительстве плотин, каналов, разного типа насыпей.

Огромной важности математике задачи возникли и в связи с обеспечением качества массовой промышленной продукции. Индивидуальная проверка качества каждой изготовленного изделия требовала огромного числа контролеров. На это идти было нельзя, поскольку и без того былатастрофический недостаток работы силы. К тому же в ряде случаев проверка каждой изделия недопустима, поскольку она приводит к непоправимой его порче. Например, чтобы проверить взрываатель, надо его взорвать. Именно в это время возникла идея построения теории статистического контроля качества продукции. В ее создании активное участие принял А. Н. Колмогоров. В настоящее время эта теория энергично развивается по двум пути: 1) проверка качества уже изготовленных партий (приемочный контроль) и 2) управление качеством изделия в процессе изготовления (техущий или оперативный контроль).

Я вспоминаю такой эпизод. На одном из крупных заводов, выпускающих прибора управления стрелбой с самолетов иombометанием,

24

С. Л. Соболев
И. М. Гельфанд
Л. В. Канторович

скопплюсь огромное количество нестандартной по размерам продукции. Дело в том, что на заводе работали преимущественно неквалифицированные малчики и девочки, а квалифицированных рабочих не осталось — они были признаны в армюю. Нужно было продумать возможность использования деталей, забракованных из-за размера. Решение удалось найти следующее пути. Поскольку приборы можно было считать не подлежащими ремонту, было предложено разить все детали на несколько групп по количественному признаку. Детали из соответствующих групп уже допускали сопряжение (сборку), и получившиеся приборы давали достаточно точность. В результате был получен огромный резерв для увеличения производства крайне необходимой для фронта продукции. Вобавок на заводе удалось освободить большие площади для производственных целей.

Конечно, здесь указана лишь ничтожная доля того, что было сделано советскими математиками в помощь фронту и вошло весомой составной частью в завоевание победы.

В период Великой Отечественной войны не прекрашались и теоретические исследования в области математики. В ту пору было выполнено много превосходных исследований в области алгебры, топологии, теории вероятности, функционального анализа, теории функций и геометрии. Развитие теоретической математики было абсолютно необходимо для по-

слевоенного развития как науки, так и всего народного хозяйства. Это создало прекрасную базу для последовенного развитияatomной физики, создания электронной вычислительной техники, первых побед в освободении космического пространства.

Послевоенные годы характерны стремительным процессом математизации значений и практической деятельности. Математики потребовались для решения задач организации производства и для исследования биологических процессов, для продвижения в области физики и при создании технических систем, для изучения экономических вопросов и при рациональном размешении производственных предприятий. Но этого мало. Оказалось, что математические методы оказывают помощь археологии и истории, лингвистиу и медику. Появились новые направления математической мысли. Математическая логика прибора неравенно большее значение, чем до войны. В этом большую роль сыграли электронные вычислительные машины и вызванная им потребность в тщательном логическом анализе процессов при программировании для ЭВМ, а также при составлении математических модели является новые ветви, теоно связанные с экономикой и организацией производства, а также с задачами физики.

Если прекрашке физика свободно обходилась при вычислении для математики общим понятием функции, то теоре-

25

тическим построением современной физики в этих рамках стало тено. В конце сороковых годов физики все чаще и чаще стали допускать операции с объектами, которые не укладывались в классическое понятие функции. В самом начале пятидесных годов появились работы С. Л. Соболев и французского математика Л. Шварца, в которых было положено начало широкому и продуктивному обобщению понятия функции — было введено понятие обобщенной функции и разработаны правила действия с этим функциями. Несолько позднее И. М. Гелль-фан и в результате обобщенные случаи процессы, используемых для этой цели и/en обобщенных функций.

Это перечисление новых ветвей математики, в становлении и развитики которых деятельности участники советские математики, можно продолжать и далее. Однако у нас нет возможности коснуться всех их даже включает. Именно поэтому мы вынуждены оставиться лишь на нескольких направлениях мысли, которые по тем или иным принципам представляют особый интерес.

Прежде всего следует упомянуть большое направление исследований, связанное с отысканием экстремальных решений. Важность этогорода исследований вывилась в полной мере только в последнее время: при внешних масштабах народного хозяйства неудачное использование материалов ресурсов приводит к огромному перерасходу, неудачным выбор направления движения заменяет доставку пассажиров и грузов; неудачное распределение работы между оборудованием влечет неполное использование станков и аппаратуры. Первые задачи такого рода появились давно и были известны еще в Древней Греции.

Непосредственное перед Великой Отечественной войной Л. В. Канторович рассмотрел ряд новых задач на разискание максимального и минимального значений, связанных с распределением работ, раскроем материалов, организацией перевозок и т.п. Эти задачи послужили началом создания новой математической теории — линейного программирования, получившей после войны быстрое развитие. Теперь эти perвичные постановки задач получения общеформулировки, для них предложены методы решения, построена интересная теория, эти результаты распространены на более общие случаи (нелинейное программирование).

Большое направление исследований, вызванное необходимостью поручать автоматом управление технологическими процессами, движением самолетов, космических аппаратов и т.д., было разработано Л. С. Понгяги и и/en учениками. Это направление получило наименование теории оптимального управления. Теория и вывинутье в ней принципи немедленно получили многочисленные практические примения. Другой подход к решению тех же задач связан

26

А. Н. Тихонов

с именем крупного американского математика Р. Беллмана. Он получил название диапазонного программирования.

К новым задачам в теории случайных процессов приведены задачи практики, как управление качеством продукции и определение момента наладки оборудования. На эти задачи обратил внимание А. Н. Колмогоров, направивший на их вимание ряда своих ученников.

Один из крупнейших математиков современности Н. Н. Боголов, начав работать под руководством академика Н. М. Крылова, свой первый результат опубликовал в семнадцатилетнем возрасте. Его научные интересы быстро расширились, охватив математический анализ, дифференциальные уравнения, выраженное исчисление, теории функций, математической физики, теории вероятности. Совместно с Н. М. Крыловым им были разработаны математические методы нелинейной механики. После Великой Отечественной войны Н. Н. Боголов перешел почти исключительно на решение задач современной физики и в этой области добавился крупных успехов.

Нельзя не упомянут о математике исключительно широкого профиля, результаты которого относятся к топологии, теории дифференциальных уравнений, математической физике, геофизике, вычислительной математике, электронная математика — А. Н. Тихонове. В первую половину нашего столета под влиянием взглядов заменыального французского математика Адамара сложилось убеждание, что для физики и практики интересны только так называемые корректные задачи, решения которых, полученные при близких начальных данных, не могут расходиться между собой слишком сильно. Постоянный интерес к задачам практики убедил А. Н. Тихонова в ошибочности этой точки зрения. Оказалось, что много естественных задач физики, экономики и других областей знания по своему существу является некорректно поставленными. Тихоновым был разработан подход к решению такого типа задач.

В краткой стать нетвозможности, да и необходимости, упомянутые имея всех, даже наиболее крупных математиков, сыграших серверную роль в развитию советской математики. Именно поэтому в настоящее_STATEでは только общий взгляд на программирование в нашей стране за истекшие шесть лет. Если у читателя создают убеждание в том, что за этот короткий исторический срок в Советском Союзе произвели попытки в развитию математической науки, воспитаны многочисленные кадры активно работаюших математиков, возникли многоные новые направления математической мысли, то цель, которую была поставлена много, доступнула.

Програмс страны требует непрерывного развития науки как в теоретическом, так и прикладном плане. Важно подготовить себя психологически к тому, что основным источником математических теории является практика, и что задача математики состоит не только в доказательстве новых теорем, но и изучения явлений окружающего нас мира. Как правило, случайная так, что явления пригоды и процессы экономики шреже имеющихся средства математики. Это является вечным стимулиом для развития самой математики, ее понятий и теории.

27

Достижения советских физikов

Краткая хроника выдающихся открытый советских физikов включает, в основном, «имененные» открытия. Конечно, не каждое крупное открытие непреемно приобретает впоследствии имена сделавших его ученых. Поэтому приведенный здесь список не охватывает даже самых крупных открытий, сделанных нашими учеными в области физики. Подробный рассказ о достижениях советских физikов, изданный к 50-летию Октябрь, с трудом уменьшился в двух общирных томах. Но мы надемемся, что даже краткий перечень «именных» открытий помогет нашим читателем почувствовать, как велик вклад советских учены в сокровищницу мировой науки. Хроника подготовлена В. А. Лешковцевым.

Известно, что прочность твердого тела, определяемая на опыте, во много раз меньше ее значения, вычисленного теоретически. Причину этой разницы первым раскрыл академик Абрам Федорович Юффе. Оказаюсь, что в предыдувременном разрушении материалов повинны различные дефекты кристаллической структуры, например, микросоппереские трещины на поверхности кристаллов. Погрузив кристалл каменной solи в воду и расторив поверхностью слой, Юффе достит увеличения прочности в сотни раз. Упрочение кристаллов при расторении поверхного слоя получило название «эффекта Юффе».

В 1919—1920 годах академик Леонид Исаакович Мандельштам теоретически показал, что микросоппереские неоднородности плотности вещества, возникающее в результате тепловых колбаний молекул, изменяют спектр рассеяного света, добавляя в него новые спектральные линии, которые очень трудно наблюдают. (Эти линии впервые были обнаружены членом-корреспондентом АН СССР Евгенем Федоровичем Гроссом.) Явление, в результате которого они возникают, было назван «эффектом Мандель-

штама — Бриллюэна», так как несколько позднее аналогичное предсказание было сделано французским физиком Бриллюэном.

В 1922 году профессор Александрович Фридман получил два новых решения основного уравнения общей теории относительной длины Вселенной. Оба они описывали не Staционарную Вселенную, как у Эйштейна, а Вселенную, которая непрерывно развивается. В дальнейшем «модель расширяющей Вселенной Фридмана» получила экспериментальное подтверждение и теперь является общепризнанной.

Академик Владимир Александрович Фок с момента возникновения квантовой механики работал над ее развития. Уже в 1926 году он обобщил основное уравнение этой теории на случай наличия магнитного поля и получил релятивистское уравнение квантовой механики, известное физиком как «уравнение Фока — Клейна». В дальнейшем академик В. А. Фок одновременно с английским физиком Хартри создал метод расчета спектров atomов, содержащих большое количество электронов, и даже спектров сложных молекул. Этот метод вошел в историю физики под именем «метода Фока — Хартри». До создания этого метода расчет сложных atomов был совершен недоступной задачей для квантовой механики.

В 1926 году академик Леонид Исаакович Мандельштам и Григорий

28

Самуилович Ландсберг, исследуя рассеяние света в кристаллах кварца, обнаружили в спектре рассеяного света дополнительные спектральные линии, не принадлежшие падающему на кристалл света. Эти спектральные линии возникают в результате взаимодействия падающего света с отдельными молекулами, образующими кристаллическую решетку. Несколько позднее аналогичное явление было обнаружено индиским физиком Раманом при изучении рассеяния света в жидком бензоле. Оно получило название «эффект Мандельштама — Ландсберг — Рамана» или «комбинанционное рассеяние света». Комбинанционное рассеяние стало мощным средством изучения строения молекул.

В 1928—1929 годах академик Петр Леонидович Капица с помощью конструкированной им оригинальной установки для создания сверхсильных магнитных полей установки, что в таких полях изменение электрического сопротивления металлов растет не пропорционально квадрату магнитной индукции, как ожидалось на основе существовавших тогда теории, а является линейной функцией магнитной индукции. Это неожиданное явление, которое не удавалось объяснить около 30 лет, называют «законом Капицы».

В начале 30-х годов профессор Лев Васильевич Шубников, работая влаборатории голландского физика Де-Гааза, обнаружил, что электрическое сопротивление высута, помещенного в магнитное поле, по мере увеличения магнитной индукции поля то возвращает, то убивает (как говорят, сопротивление высута осцилирует). Этот «эффект Шубникова — De-Гааза» ширококо использовется для исследования энергетического спектра электронов в металле.

В 1930 году академик Лев Давидович Ланду теоретически показал, что свободные электроны в металле под действием внешнего магнитного поля могут двигаться только по строю определенным (как говорят физики — квантовым) траекторям. Это означает, что в магнитном поле возникают особые энергетические уровни, получившие наименование «уровней Ланду».

Из этой же теории следовало, что действие магнитного поля на свободные электроны в металле приводит к возникновению дополнительного магнитного момента, направленного в сторону, противоположную внешнему магнитному полю. Такой момент называется диамагнитным, а описанное явление называют «диамагнитизмом Ланду». Заметим, что эта же теория обязывала и эффект Шубникова — De-Гааза.

В 1962 году за выдалося заслу в области теоретической физики Л. Д. Ланду была присуждена Нобелевская премия.

Член-корреспондент АН СССР Яков Ильич Френкель первый в 1931 году в обиход физков особычно квазичстицу, которое теперь называют «экспетоном Френкеля». Он обратил внимание на то, что в кристаллической решетке может существовать особое воздействие состояния электронов. Возникнув в какой-либо ячейке кристалла, это возникнение перемещается по кристаллу, подобно свободе образной частице. Существование экстонов было впервые доказано в экспериментах члена-корреспондента АН СССР Евгения Федоровича Гросса. Экспетоны играют большую роль в физике твердого тела и в современной химии.

В 1933 году академик Игорь Евгеньевич Тамп теоретически predсказал существование на поверхности кристаллов свободных энергетических состояний («лювшек»). Они вошли в научу под названием «поверхностных уровней Тампа».

29

В 1934 году академик Исаак Константинович Кикони открыл фотоэлектромагнитный эфект, показав в экспериментах, что при освещении полупроводника, находящемся в магнитном поле, в нем возникает электродвижущая сила. Кванты света создают носитель тока — свободные электроны и дырики, которые диффундируют вдоль направления падения света, а магнитное поле разводит их в противоположных направлениях. Это явление давно уже называют «эффектом Кикона».

Академик Павел Алексеевич Черенков вместе со своим учительом академиком Сергеем Ивановичем Вавиловым обнаружили в 1934 году эффект «сверхветового электрона». Оказалось, что в жидких и твердых средах электроны могут дивгаться со скоростью большей, чем скорость света в этих средах (но, конечно, не большей скорости света в пустоте!). Электроны могут обгорать испускаемый имми свет. Этот эффект, получивший название «эффекта Черенкова», нашел ряд ценных практических применений, в частности, для регистрации быстрых заряженных частиц (так называемые черенковские частицы). Теория, объясняющая эффект Черенкова, была создана академиками Игorem Евгеньевичем Тамом и Ильей Михайловичем Франком. За открытие и обяснение этого явления П. А. Черенкову, И. Е. Таму и И. М. Франку в 1958 году была присуждена Нобелевская премия.

В 1936 году член-корреспондент АН СССР Яков Ильич Френкель разработал электрокапиллярную теория atomных ядер, в котором ядра рассматривают как капли заряженной жидкости. Вслед за Френкелем эти же идеи развил датский физик Нильс Бор. В историю физики они вошли под названием «капельной модели ядра Бора — Френкеля».

С именем академика Петра Леонидовича Капицья связывано еще одно явление, открытое им в 1938 году. Изучая свойства жидкого геля, он обнаружил, что при температуре ниже 2,19 К геля течет сквозь узкушель практически без всякой вззости. В дальнейшем это явление было назван сверхтекучеством. Теорию этого явления создают «уравнение Власова».

Профессор Московского университета Анатолий Алексаидрович Blасов в 1938 году первым вывел уравнение, описывающее поведение разреженной плазмы, в котором не происходит стольновейный заряженных частиц. Оно вошло в научку под именем «уравнение Власова».

В 1944 году академик Евгений Константинович Завойский открыл электронный параметрнитный резонанс, положив начало новой области физики твердого тела. Суть этого явления заключается в том, что вещества, находящиеся в постоянном магнитном поле, избирательно поглощают энергию перпендикулярного к нему высокочастотного магнитного поля.

В 1944 году академик Владимир Иосифович Векслер открыл носящий его имя прицип аптофазировки частиц,ускоряемых в циклическихускорительях. На нем основана работа всех современных циклическихускорителей. Неколько позже, независимо от Вексера, этот же прицип открыл американский физик Макминлан. За это открытие она они были удостоены международной научной премии.

В 1947 году академик Лев Давидович Ланду показал, что даже при отсутствии стольновейный частиц плазмы распространяющейся в ней электромагнитные волны испытывали затухание. Это явление играет существенное role в повышении плазмы. Физики всего мира назвают его «затуханием по Ланду».

30

Некоторые металлы и сплавы при охлаждении до очень низких температур полностью утрачивают сопротивление протекающей по ним току. Это является навано сверхпроводимостью. В 1950 году академики Виталий Лазаревич Гинзбург и Лев Давидович Ландду построили теорию сверхпроводимости, учитывающий квантовые эффективы в сверхпроводниках. Пользователь теории, члены-корреспонденты АН СССР Алексей Алексеевич Абриковов и Лев Петрович Горьков создали теорию сверхпроводящих сплавов, имеющего большое значение. Эта теория известна во всем мире как «теория ГЛАГ» (Гинзбург — Ландду — Абриковов, — Горьков).

Микросоппечская теория сверхпроводимости, объясняющая механизм этого загадачного явления, была создана в 1957 году академиком Николаем Николаевичем Боголюбовым и американским физиками Бардином, Купером и Шрифером. Она так и называется «теории сверхпроводимости Боголюбова — Бардина — Купера — Шрифера».

В начале 50-х годов академики Алексадр Михайлович Просоров и Николай Геннадиевич Басов разработали основы новой области физики — квантовой электропики и создали первый квантовый молекулярный генератор на молекулах amмика. За эти выдающиеся работы в 1964 году им, совместно с американским физиком Таунсом, была присуждена Нобелевская премия.

Сложные молекулы организации веществ имеют спектры, состоящие из широких сплошных спектральных полос. В 1952 году профессор Эдуард Владимирович Шпольский показал, что, расторяя организационные вещества в специально подобранных расторительях и охлаждая полученные расторы до очень низких температур, можно получить спектры поглощения, состоящие из очень низких спектральных линей, однозначно связанных со строением и свойством молекул. Так была создана новая область молеку-

лярной оптики. Это является в научной литературе повсеместно называют «эффектом Шпольского».

Полупроводники, так же как и другие вещества, могут поглощать свет, длины волн которого заключит в определенных пределах. Для света с большими длинами волн они прорачны. Таким образом, существует граница для длины волн, при которой полупроводник передает поглощать свет. В 1958 году академик Леонид Вениаминович Кельыш теоретически predсказал, что под действием внешнего электрического поля эта граница должна смщаться в сторону больших длины волн. Аналогичное предсказание сделал немецкий физик Франц. В 1960 году профессор Виктор Сергеевич Вавилов получил экспериментальное подтверждение этого явления, известного теперь как «эффект Кельыша — Франца».

В 1966 году в СССР вступил в строй самый мощный для того времениускоритель заряженных частиц — синхрофазотрон,ускоряющий протоны до энергии в 70 миллиардов электрон-вольт. Он был построен вниз города Серпухова. С помощью этого успilitеля было показано, чтовероятность стольновения заряженных частиц при энергии, большей 20 миллиардов электрон-вольт, не уменьшается и не остается постоянной с ростом энергии, как предсказывала теория, а продолжает растор. Это необходимо явление было назван «Серпуховским эффектом».

Учены всего мира, исследующие физические процессы в горячей плазме, ширококо использовут установки, названные необъемным русским словом «ТОКАМАК». Так сокращенно называют «торондальные камеры в магнитном поле» — советские термодерные установки в Институте atomной энергии ини. В. Курчатова под руководством академиков Льва Андреевича Арцимовича и Бориса Борисовача Кадомцева.

31

Проблемы Гильберти и советская математика

Собитием номер один на Международном математическом конгрессе, проходившем в августе 1970 года во всемирно известном французском курортном городе Нищце, было известное решение десятичной проблемы Гильберти. Героем дня стал двадцатилетний советский математик Ю. В. Матиясе в чи, доклад которого был включен в повестку дня конгресса сверх зананести составленной программы. Так закончился дивизяя 70 лет история этой проблемы Гильберти.

Решение каждой из двадцатилетных проблем Гильберти, даже каждый частичный успех в их решении принимается всем математическим миром как крупное математическое достижение. В чем секрет такой популяриости Гильбертиских проблем, той значимости, которое придает их решение? Ведь число нерешенных задач, поставленных в математике

Д. Гильберт (1862—1943)

ской литературе, огромно, и лишь некоторые из них (как, например, problema Ферма) приобретают широкую известность. А здесь не одна, а целых двадцать три задачи, некоторые из которых — не просто задачи в узком смысле этого слова, а планы разработки целых математических направлений! Чтобы ответить на этот вопрос, нам придется отступить в 1900 год и оказаться в Париже на заседании второго Международного конгресса математиков, на котором 8 августа выступил Д. Гильберт с докладом «Математические проблемы».

Давид Гильберт родился в 1862 году в Кенигсберге. В этом городе он закончил школу и университет, здесь он начал свой путь в науке, на котором с первых же шагов ему сопутствовал успех. Полученные им результаты получили широкую известность. В 1895 году знаменитый геометр Ф. Клейн приглашает его в Геттинген занять должность ординарного профессора местного университета, с которым оказался связанной всядальнейшая деятельности Гильберти. Ko времени своего выступления на конгрессе 1900 года Гильберти прославился замечательными результаты по теории инвариантов и теории алгебраических чисел. В 1899 году вышел в свет его труд «Основания геометрии», составивший эпоху в основаниях математики. В этих работах в полной мере проявились удивительные разносторонности и обобщающие силы его дарования, позволяющие ему легко ориентироваться в самых различных областях математики, необходимая сила его математической интущии. За Гильберти наряду с А. Пуанкаре утверждается слова крупнейшего математика своего времени. Поняten поэтому тот исключительный

32

интерес, с которым встретили участики конгресса его доклад со столмногообещающим названем — «Математические проблемы».

«Кто из нас не хотел бы приоткрыть завесу, за которой скрыто наше будущее, чтобы хоть одним взглядом проникнуть в предстоящие условия нашего знания и тайны его развития в ближайшие степени? Какие новые методы и новые факты будут открыты в новом состоянии на широком и богатом поле математической мысли? — такими словами Д. Гильберт начал свой доклад. Затем он продолжал. — История учит, что развитие науки протекает непрерывно. Мы знаем, что каждый век имеет свои проблемы, которые последующая эпоха или решает, или отодвивается в сторону как бесплатные, чтобы заменить их новыми. Чтобы представить себе возможность характер развития математики в ближайшем будущем, мы должны переработать на нашем воображении вопросы, которые еще осталось открытыми, обозреть проблемы, которые ставит современная наука, и решения которых мыждем от будущего. Такой обзор проблемы кажется мне сегодня, на рубеже нового столетия, особенно своевременным». И Гильберт предложает внимание слушателей двадцать три проблемы из различных областей математики, «исследование которых может значительностимулировать дальнейшее развитие науки».

Первые шесть проблемы доклада Гильберта относятся к обоснованию различных математических дисциплин, следующие девять — к более специальным вопросам алгебры, алгебраической геометрии и теории чисел, остальные восемь — к теории функций, дифференциальным уравнениям и выражением и выраженной исчисленению.

Следует отметить, что некоторые из этих проблемы постановлены до Гильберта. Так, первая в списке — проблема контирума — была поставлена Г. Кантром в 1878 году, вопросы, относящиеся к третьей проблеме, обсуждались еще К. Гауссом в его переписке с Германом. Что касается вопросов, составляющих содержание восемь проблемы, то один из них — единственная о нулях дземафункции — был поставлен Б. Риманом в 1859 году, другой, именуемый единственным о нулях Гольбаха, — еще в 1742 году в письме последнего к Л. Эйлеру, наконец, 21-я проблема — задача, выдвинутая Б. Риманом в 1857 году. Остальные проблемы, автором которых был сам Гильберт, составляют лишь часть задач, поставленных им к тому времени. Эти остоятельства поддерживают особый характер выбора проблема, содержащихся в документе,— здесь лишь те наиболее важные, по мнению Гильберта, задачи, которые стояли тогда перед математикой, размышления над которых могли помочь «представить себе возможность развития математического знания в ближайшем будущем».

Дальнейший ход событий показал, что выбор проблема, сделанный Гильбертом, был в основном правлении: разработка идеей, связанных с их содержанием, составила значительное часть математики XX века. В решении этих проблем принимали участие очень многое талантливые математики из различных стран мира, в том числе сам Гильберт и его многочисленные ученики. Замечательное место среди них принадлежит отчетственным математикам. В то время России не была еще мощной математической державой, подобной Германии или Франции, хотя и обладала уже признанными математическими школами и для миру ряд выдающихся математиков, среди них—в лицеших математических генев—Н. И. Лобачевского, П. Л. Чебышева. Однако золотой век отчетственной математики был еще вперед. На конгрессе в Париже русская делегация была сравнительно небольшой—9 человек (сравните: Франция — 90, Германия — 25) и выступила всего с одним сообщением «Об исчезновении (мы бы сказали — о нулях — С. Д.) функции Н нескольких переменных», которое сделал харьковский профессор М. А. Тихомандрикий.

33

В дальнейшем мы в основном будем придерживать хронологическая приципа.

Первой работы в России, посвященной разработке глобертовых проблем, было исследовано В. Ф. Кагана 1903 года, который значительно сократил и упростил появшеся незадолго до этого доказательство М. Дена, дававшее положительное решение третьей проблемы глоберта, относительной к степени В. 1904 года С. Н. Берништейн, молодой ученый из России, впоследствии академик, прославившийся выдалошимся результаты в теории дифференциальных уравнений, теории функций и теории вероятности, дал решение девятнадцатой проблемы глоберта — трудной задачи теории дифференциальных уравнений с частными произвольными. Это решение составило содержание докторской диссертации Бернштейна,ащшенной им в том же году в Париже. Им же в работах 1908—1909 годов были получены важные результаты, связанные с двацатой проблемой, также относящейся к теории дифференциальных уравнений с частными произвольными.

В дальнейшем развите направленный, связанных с разработкой этих проблем, стало одним из основных для получения всемирную известность советской школи теории дифференциальных уравнений, истоки которой мы находим в творчестве В. А. Стеклова и А. М. Ляпунова. Блестящие результаты по девятнадцатой проблеме были получены в 1937 году И. Г. Петровским, впоследствии академик, одним из крупнейших специалистов в области теории дифференциальных уравнений.

И. Г. Петровский занимается также шестнадцатой проблемой глоберта, включавший в себя ряд задач топологии алгебраических кривых и поверхностей. В 1933 году он решил одну из этих задач, а в работе 1949 года (совместно с О. А. Олейник) обобщил свой результат.

В 1960 году ленинградским математиками О. А. Ладыженской и Н. Н. Уральцевой было получено «смыкание» результатов по девятнадцатой и двацатой проблемам глоберта. Исследования по ним оказались в теории связи с варианционным исчислением, признав к развитию которого составляют содержание глоберта. Ответом на этот признасъ съявали исследования советских авторов (С. Н. Бернштейна, Л. А. Люстерника, Л. Г. Шнирельмана, Л. С. Понтрягина, О. А. Ладыженской и др.).

Шестая проблема глоберта ознакомлена так: «Математическое изложение аксиом физики» (при этом имелась в виду также теория вероятности). Любопытно отмечить, что для глоберта, как и для многих математиков его времени, теория вероятности представлялась разделом физики (подобным механике), в котором математические методы играют выдающийся роль. Такая точка зрения в значительной мере объяснялась слабой разработкой аксиоматического функента теории вероятности, что влекло за собой подчас слабую вывлечение собственно математического ее содержания. Аксиоматическое построение теории вероятности позволяет было справедливо сформулировано глобертом в виде одной из основных задач, стоящих математикой.

Такую аксиоматизацию дал впервые С. Н. Бернштейн в работе, появившейся в год Великой Октябрьской социалистической революции. В 1936 году выдающийся математик современности А. Н. Колмогов, ныне академик, предложил другую аксиоматическую систему теории вероятности, основанной на понятиях теории меры. Эта система, связанная withследствии общеприятной, занимала собой начало нового этапа в истории теории вероятностей и появились как в фокусе идеей, с одной стороны, Московской школи теории функций действительного переменного, основанной Д. Ф. Егоровым и Н. Н. Лузиным, с другой — знаментий Петербургской школи П. Л. Чебышева, являющейся ведущей в области теории вероятности

36

твердилесь, то оказалась бы решенной более сложная и важная задача о возможности представления аналогичной функции трех переменных посредством суперпозицини достагоно главных функций только двух переменных (но оказалось бы невозможным).

Немецкий математик Л. Бибербах называл тринадцатую проблуем «самой несчастливой» — в данном случае число 13 определяло свою дурную славу, решение проблемыускользано от исследователей, уводих назывные пути, приводившие к неверным заключением. Так, некоторые время полагали, что Бибербаху удалось подтверить гипотезу Гильберта, однако его построение оказалось ошибным. Были получен цельй ряд результатов, самым сильным из которых был результат молодого советского математика А. Г. Витушкина, косвенно вводе бы подтверждавших гипотезу Д. Гильберта.

Тем более неожиданным оказался результат, полученный в 1954 году академиком А. Н. Колмогоровым и В. И. Арнольдом, тогда еще студентом механико-математического факультета Московского университета, впследствии профессором и лауреатом Ленинской премии. Они провергли гипотезу Гильберта, показав, что всякая неперивная функция трех переменных представляем собой сумму девятим функций, каждая из которых является однократной суперпозицией функций двух переменных.

Вторая проблема Гильберта состояла в доказательстве непротиворечности арифметики. При этом Гильберт сильно ограничивал средства доказательства рамками подхода, получившего впследствии навание «финтизма Гильберта». Сам Гильберт совместно с учениками затратил много сил на решение этой проблемы и даже одно время испытывал уверенность, что такое доказательство им получено. Однако результаты К. Геделя 1931 года положили конец этой уверенности — выяснили, что такое доказательство в рамках «финтизма Гильберта» прициппально не может быть получено. Начались поискы такого доказательства при отказа от необходимости ограничения, накладываемых «финтизмом Гильберта». Однако смых замечательных доказательств такого рода получил в 1943 году академик П. С. Новиков.

Суть десятиой проблемы, окончательно решенной Ю. В. Матиясевичем, состоит в следующем: дано произвольное диофантовое уравнение с целыми рациональными коэффициентами; указать способ, при помощи которого возможно после конечного числа операций установить, разрешим ли данное уравнение в целых рациональных числах.

К примеру, целочисленными решениями уравнения

$$x^2 + y^2 - z^2 = 0,$$

возникающего в связи со значением теоремии Пифагора, являются наборы ($\alpha \in \mathbb{Z}$)

$$x = \alpha^2 - 1, y = 2\alpha, z = \alpha^2 + 1.$$

Эти формулы приписьвали Пифагору, однако они не охватывают всех целочисленных решений (пифагоровых точек) данного уравнения. Общешее решение

$$x = \xi^2 - \eta^2, y = 2\xi\eta, z = \xi^2 + \eta^2$$

($\xi, \eta \in \mathbb{Z}$) мы находим у Диофанта, хотя оно, без сомнения, было известно задолго до него. В работе Диофанта теория таких уравнений получила значительное развитие, поэтому впследствии они были названы его именем.

Исследованием диофантовых уравнений, или диофантовым анализом, как передко говорят сегодня, занимались П. Ферма, Л. Эйлер, Ж. Лагранж и К. Ф. Гаусс. Последние две попытки решить решенные уравнения второй степени с двумя неизвестными. Можно назвать еще целый ряд выдающихся математков XIX столетия, проводавших свои силы в диофантовом анализе, однако к 1900 году, времени поставки Гильбертом указанной задачи, успехи в решении уравнений высших степени были довольно скромными. Ставя указанную выше проблему, Гильберт намерен решать, по-видимому, привлечь внимание математков к разработке проблемы диофантового анализа.

В 1908 году А. Туэ получил из самых замечательных решатов

37

диофантового анализа: уравнение $P(x, y) = c$, где $c$ — целое число, $a$ $P(x, y)$ — неприводимый многочлен, у которого все слагаемые имеют одинаковую степень, не меньше трех, может иметь лишь конечное числочисленных решений (многочлен называется неприводимым, если он не разлагается в произведение двух многочленов с целыми коэффициентами).

Но ни метод Туэ, ни последующие методы не давали алгоритма для нахождения смих решений. Результаты, полученные для диофантовых уравнений степеня выше двух (работы советского математика Б. Н. Делоне, немецкого математика К. Зигеля и др.), относились к поискам алгоритмов для отдельных классов диофантовых уравнений. И хотя успех в поисках общего метода для произвольных диофантовых уравнений были в высшей степени незначительными, математики тем не менее полагали, что рано или поздно он будет найден.

Однако в середине тридцатых годов в математике формировалась четкое понятие «алгоритма» и продолжается представление о проблемах, для которых не существует алгоритма, задающего их решения, — об алгоритме неразрешимых проблемах. Примеры таких проблем даны в 30—40-e годах А. Черч, А. Тыюринг, Э. Пост, А. А. Марков. В 1952 году П. С. Новиков доказывает алгоритмический неразрешимость одной важной проблемы теории групп — проблем точек действия слов. Примеры алгоритмических неразрешимых проблем, с одной стороны, и трудности, связанные с попытками нахождения исходного алгоритма, с другой, породили сомнение: а может быть, алгоритма, решающего десятию проблем, не существует вовсе? Результаты американских математиков (М. Дэвиса и др.), полученные в 50—60-e годах, давали косвенное подтверждение такому предположению. Им удалось показать, что для неокоторого более общего класса уравнения, так называемых «показательно-диофантовых уравнений с целыми коэффициентами» такого алгоритма не существует. Но это для показательно-диофантовых уравнений, а для более специального случая — диофантовых уравнений — такой алгоритм мог и существовать. Так вот, Ю. В. Матиясевич и было показано, что и для класса таких уравнений искомого алгоритма нет.

Мы рассказали здесь лишь о наиболее ярких достинениях советских математиков в решении проблем Гильберта. Большой и подробный рассказ — tema не статьи, а книги. Такая книга, расссказывающая о достижении ученых всего мира в решении проблем Гильберта, написанная крупными специалистами по соответствующим области математики, вышла в нашей стране в 1969 году. Правда, говоря об этой книге, следует иметь в виду, что, во-первых, для чтения книги требуется значительная математическая подготовка — для понимания отдельных ее разделов неxbатит даже знания университета курса, а, во-вторых, за время, протекшее с момента ее опубликования, положение дел с изучением Gilбертовых проблем сильно изменилось. Математика нахождения сейчас в стадии бурного развития, она постояно ставит перед учеными новые и новые проблемы. Да и многое старые (в том числе некоторые из проблем Gilберта) до сих пор не нашли своего решения. Можно быть уверенным, что советские математики и в дальнейшем будут радовать нас замечательными успехами в решении наиболее важной математики.

Литература

1. Проблемы Гильберта. Сборник под редакцией П. С. Алексадрова. М., «Наука», 1969.
2. И. Г. Башмаков. Диофант и диофантовый уравнения. М., «Наука», 1972.
3. В. Г. Болтянский. Равновеликие и равносствленные фигуры. М., Гостехидат, 1956.
4. Ф. Кыман. История числа М., «Наука», 1971.
5. С. Г. Гиндикин. К. Ф. Гаусс. «Квант», 1977, № 8.
6. В. И. Арнольд. О представлении функций нескольких переменных в виде суперпозиции функций меньше числа переменных. «Matематические процесшения», 1958, № 3, 41—61.

38

И. Тюлина

Планета
Жени Рудневой

В этом юбилейном году одной из малых планет Солнечной системы — астрофунду 1907, открытоу 11 сентября 1972 г. сотрудничей Крымской общественной Академии наук СССР Л. И. Черных, — присвоено наименование «Руднева» в честь студентки Московского государственного университета Евгения Рудневой. Что же сделала выдающегося студенткастроом механико-математического факультета МГУ и почему ее имя присвоено планете?

И в школе, и в университете, и потом еще трижестоких года войны Жени страстно любила звездное небо, любила по-особому, как свое кровное, за что она несет ответственность. Вот запись в дневнике Жени-девятиклассницы:

«Темно. С реки дуем легонький ветерок, пряятный-пряятный. Звезды горят в небе. Я еще не отказалась от мечтаний, и мне кажется, что не откажсь. Зачем отнимать у себя счастливые минуты? Вом я смотрю на звездное небо, на Оршон, на Сирус и мечтаю о том, как я буду изучать их спектры, я виду себя в обсерватории… А на самом деле? Ведь сколько мне еще учиться! Но как я уже сейчас смотрю на небо, как на свою будучую собственность.»
Способности у Жени были разностроные. В школе все ей давалось легко. Она очень много читала сверх программы: по химини, по литературе, по истории, но больше всего по астрономии и математике. В МГУ она едди-ла на кружки и лекции. «Коеда я подумаю что я — я! — моу быть студенткой университета, мне что-то не верится, уж сликом большее уважение пытаю к университету. Скорее всего меня муда и не приумут.» Она записьает в дневнике, что год назад было четыре отличника на одно место, а из года в год это число увеличивается.

Женя живо реагировала на все международные события и на успехи нашей страны: события в Испании, опубликование проекта Конституции, первый выбор в Верховный Совет СССР. После просмотр кинофильма «Ленин в Октябре» (я помню, как всех тогда волновал этот прекрасно поставленный фильм) Женя записьает в своем дневнике слова, которые оказались вещеми:

«Коеда смотришь эту картину, не можете быть равнодушной: смотришь на экран, а думаем о себе. О, я очень хорошо знаю, для чего я живу, но сейчас я это поняла, почувствовала так, как никогда раньше: настанет час, я смоту умерть за дело моев народа так, как умирали они, безвестные герои из этого чудного фильма. Я хочу посвятить свою жизнь наук, и я это сделаю: все условия создания Советская власти для моев, чтобы какдый мое осуществить свою мечту, какой бы смею она ни была. Но я комсомолка, и общее дело дороже, чем свое личное (именно так я рассматривал свою профессию), и если партия, рабочий класс этого помребует, я надолго забуду астрофономию, сделаюсь войтом, санитаром, промышленником. Побольшие таких фильмов: они надолго заряжают…»

На механите Женя поступила. Училась там онаlectraше. Уже на втором курсе у нее появились печатьные работы. Женя сделала несколько докладов в Отделе переменных звезд. Один из них был посвящен спектроскопическими-двойным звездам. Помните, как она мечтала у реки, что будет изучать спектры звезд? Так все и получилось. Ее дарование заметили профессора и студенты. Известный астроном Павел Петрович Паре-

40

В. Левитина

Как Математик помог Бригадиру

Главная цель статья — показать, что самые простые задачи, возникшие в практике, естественно приводят кfundamentalным понятиям математики.

1. Бригадир получает задачу

Наш Бригадир возглавляет бригаду из 10 человек, которая должна погрузить кирпич, находящийся на двух складах. На первом складе — 4 тысячи кирпичей, на втором — 8 тысячи. Склады устройства так, что на первом складе одновременно должны вести погрузку не менее шести рабочих, на втором могут работать от трех до шести рабочих. Бригадиру нужно распределить рабочих так, чтобы вся работа была выполена за минимальное время.

Как может поступить Бригадир? Например, так: отправить сначала всех рабочих на первый склад, а после окончания его погрузки шесть рабочих — максимальное допустимое число — перевести на второй склад. Предположим для простоты, что каждый рабочий за один час порузаем темыку кирпичей. Тогда время, за которое бригада выполнит всю работу по этому расписанию, очень high, равно $\frac{4}{10} + \frac{8}{6} = 1\frac{11}{15}$ (часа).

Будет ли такая организация работы налучшей? Если да, то почему? А если нет, то насколько она далека от оптимальной? Ответить на эти вопросы сам Бригадир не может. А вы? Попытайте — тогда вам будет значительно интереснее прочесть в следующих параграфах о встрече Бригадира с Математиком, к которой Бригадир обратился со своей задачей.

2. Математик создает модель задачи

Прежде чем взяться за решение задачи, Математик должен создать ее математическую модель.

Если обозначить через $u$ и $v$ количество на первом и втором складах, то для каждой момента времени числа $u$ и $v$ удовлетворяют следующим условиям:

1. $u \in \mathbb{Z}$ и $v \in \mathbb{Z}$,
2. $6 \leq u \leq 10$ или $u=0$,
3. $3 \leq v \leq 6$ или $v=0$,
4. $u + v \leq 10$.

Этим условиям удовлетворяют такие тринадцать режимов работы: $\langle 6,4 \rangle$ (на первом складе работает 6 человек, на втором — 4), $\langle 7,3 \rangle$, $\langle 6,3 \rangle$, $\langle 10,0 \rangle$, $\langle 9,0 \rangle$, $\langle 8,0 \rangle$, $\langle 7,0 \rangle$, $\langle 6,0 \rangle$, $\langle 0,0 \rangle$, $\langle 0,3 \rangle$, $\langle 0,4 \rangle$, $\langle 0,5 \rangle$ и $\langle 0,6 \rangle$. Изображим их точками координатной плоскости (рис. 1).

Порядок, в котором применяются различные режимы работы, безразличен. Например, если бы Бригадир послал сначала шесть рабочих разгрузить второй склад, а затем всего бригади направил на первый, работа бы выполнена за те же $1\frac{11}{15}$ часа. Поэтому мы можем считать, что погрузка организована так: сначала $t_1$ часов применяется режим $\alpha_1$, затем $t_2$ часов — режим $\alpha_2$ и т. д. При этом $t_i$ может равнять нулю, т. е. режим $\alpha_i$ может не использоваться. Например, при погрузке, расстояненной в п. 1, нулю не равны только $t_4 = \frac{4}{10}$ и $t_{13} = \frac{8}{6}$.

Пренебрежем временем переходов со склада на склад. Тогда общее время погрузки $t$ будет равно

$$t = t_1 + t_2 + \dots + t_{12} + t_{13}. \tag{1}$$

Поскольку каждый рабочий грузит в часычку кирпичей, количество рабочих, погруженного с первого склада ($x$ тысяч штук) и со второго склада

41

Рис. 1.

(у тысяч штук), выразятся равенствами
$$x = 6t_1 + 7t_2 + \ldots + 0t_{12} + 0t_{13},$$
$$y = 4t_1 + 3t_2 + \ldots + 5t_{12} + 6t_{13}.$$
Фиксируем $t$. Подставляя в (2) и (3) различные неотрицательные числа $t_1, t_2, \ldots, t_{13}$, удовлетворяющие условиями (1), мы будем получить, различные точки плоскости $\langle x, y \rangle$. Множество всех таких точек обозначаим через $A_t$; назовем его множество доступимости за время $t$. Это называние естественно: $A_t$ состоит из точек плоскости с координатами, равными колчеству кирпича (в тысяч штук), который может погрузить бригада — соответственно, с первого и второго складов — за время $t$.

Тепер задача Бригадира может быть сформирована следующим образом: составить такое расписание погрузки, при котором точка с координатами $\langle 4, 8 \rangle$ (эта точка соответствует заданным колчеством кирпича на складах) принадлежит множество $A_t$ и $t$ минимально.

3. Математик решает задачу

Первым делом Математик просит задачу: он ограничится отисканием множества $A_1$, поскольку любое множество $A_t$ готовится множество $A_1$ с коэффициентом готовности $t$ и центром готовности — началом координат.

Покажем, что множество $A_1$ является выпуклой оболочкой коей точек $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_{13}$.

Вспомним, что множество $M$ точек на плоскости называется выпуклым, если вместе с любой парой своих точек оно содержит весь отрезок с концами в этих точках («Геометрия 6», п. 39). Примеры выпуклых множества приведены на рисунке 2, множества на рисунке 3 не являются выпуклыми.

В выпуклая оболочка множества $M$ — это наименьшее выпуклое множество, содержащое $M$ (рис. 4). Поскольку пересечение произвольного числа выпуклых множества выпукло (доказите!), выпуклая оболочка произвольного множества $M$ совпадает с пересечением всех выпуклых множества, содержащих $M$ (такие множества всегда — каково бы ни было $M$ — существует; почему?). Выпуклую оболочку множества $M$ принято обозначать через сопр $M^*$).

Чтобы доказать, что множество достижимости $A_1$ является выпуклой оболочкой множества $\{\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_{13}\}$, даим понятие выпуклой оболочки другое определение.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4. В обеих парах правое множество есть выпуклая оболочка левого множества.

*) От латинского сопрхius («выпуклый»).

42

Для этого введем две операции с точками координатной плоскости. Суммой точек $\langle x_1, y_1 \rangle$ и $\langle x_2, y_2 \rangle$ мы будем называть точку $\langle x_1 + x_2, y_1 + y_2 \rangle$. Произведением точки $\langle x, y \rangle$ на число $t$ называем точку $\langle tx, ty \rangle$. Если каждой точке $\alpha$ сопоставить вектор, определяемый парой точек $O$, $\alpha$ ($O$ — начало координат), то введенные операции с точками совпадут с обычными операциями над векторами.

Докажите, что если множество $M$ выпукло, то и множество $tM$ (т. е. множество точек $t\beta$, где $\beta \in M$) тоже выпукло.

Определение. Точка $\beta$ называется выпуклой комбинацией точек $\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n$, если существует также неотрицательные числа $t_1, t_2, \dots, t_n$, что $t_1 + t_2 + \dots + t_n = 1$ и $\beta = t_1\beta_1 + t_2\beta_2 + \dots + t_n\beta_n$.

Теорема. Выпуклая оболочка множество $M$ состоит из всевозможных выпуклых комбинаций точек из $M$.

Доказательство. Обозначим множество выпуклых комбинаций точек из $M$ через $Q$. Если $\gamma$ и $\delta$ — произвольные точки, то множество точек вида $t\gamma + (1-t)\delta$, где $0 \leq t \leq 1$, совпадает с отрезком с концами $\gamma$, $\delta$. Отсюда легко вывести, что $Q$ — выпуклое множество (проделяйте это!). Кроме того, очень/no, $M \subset Q$. Следовательно, совп $M \subset Q$. Докажем теперь индукцией по $n$, что любая выпуклая комбинация $t_1\beta_1 + t_2\beta_2 + \dots + t_n\beta_n(t_1 + t_2 + \dots + t_n = 1)$ точек из $M$ принимает совп $M$. Это будет означает, что $Q \subset \text{conv } M$. При $n = 1$ соответствующое утверждение принимает вид: если $\beta \in M$, то $\beta \in \text{conv } M$. Это верно по определению выпуклой оболочки. Пусть теперь все выпуклы комбинации $n$ точек из $M$ принимают совп $M$. Докажем, что тогда и выпуклая комбинация $\delta = t_1\beta_1 + t_2\beta_2 + \dots + t_n\beta_n + t_{n+1}\beta_{n+1}$ (где $\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n, \beta_{n+1}$ — точки из $M$) принимают $M$:

$$\delta = (1 - t_{n+1}) \left[ \frac{t_1}{1 - t_{n+1}}\beta_1 + \frac{t_2}{1 - t_{n+1}}\beta_2 + \dots + \frac{t_n}{1 - t_{n+1}}\beta_n \right] + t_{n+1}\beta_{n+1}.$$

Из $t_1 + t_2 + \dots + t_n + t_{n+1} = 1$ следует, что

$$\frac{t_1}{1 - t_{n+1}} + \frac{t_2}{1 - t_{n+1}} + \dots + \frac{t_n}{1 - t_{n+1}} = 1.$$

По предположению индукции

$$\eta = \frac{t_1}{1 - t_{n+1}}\beta_1 + \frac{t_2}{1 - t_{n+1}}\beta_2 + \dots + \frac{t_n}{1 - t_{n+1}}\beta_n \in \text{conv } M.$$

Из (4) вытекает, что точка $\delta$ лежит на отрезке с концами $\eta$ и $\beta_{n+1}$. Так как $\beta_{n+1} \in M \subset \text{conv } M$, а conv $M$ — выпуклое множество, получаем $\delta \in \text{conv } M$. Теорема доказана.

Таким образом, каждая точка из conv $M$ является выпуклой комбинацией неокоторого конечного точек из $M$. Если множество $M$ конечно, то можно считать, что каждая точка из conv $M$ есть выпуклая комбинация в всех точек из $M$.

Оказывается, для произвольного множество $M$ на плоскости каждой точки $\beta$ множество совп $M$ может быть получена как выпуклая комбинация трех точек $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ из $M$ (разумеется, для разных $\beta$ точки $\beta_1, \beta_2, \beta_3$, вообще говоря, разные). Эта теорема, вернее — ее $n$-мерный аналог, называется meoremой Кармедори. Попробуйте доказать ее!

По определению множество достижимости $A_1$ состоит из всевозможных точек $t_1\alpha_1 + t_2\alpha_2 + \dots + t_{13}\alpha_{13}$, для которых $t_1 + t_2 + \dots + t_{13} = 1$ (п. 2). Другими словами, $A_1$ состоит из всевозможных выпуклых комбинаций точек $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{13}$. По доказанному теореме

$$A_1 = \text{conv} \{ \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{13} \}.$$

Из рисунка 1 ясно, что $A_1$ — множество точек четырехугольника $\alpha_1\alpha_2\alpha_3\alpha_{13}$ (точка $\alpha_2$ лежит на прямой $\alpha_1\alpha_4$).

Чтобы найти минимальное $t$, при котором множество $A_t = t \cdot A_1$ содержит точку $\beta$ ($\langle 4, 8 \rangle$ (рис. 5), вычислим координаты точки $\gamma$ пересечения прямых $\alpha_9$ $\beta$ и $\alpha_1\alpha_{13}$. Уравнение прямой, проходящей через

43

Жима работы $\alpha_1$ в течение $t \cdot t_1 = \frac{8}{9}$ (часа) и режима работы $\alpha_{13}$ в течение $t \cdot t_{13} = \frac{2}{3}$ (часа). Время, которое заняла бы вся работа по расписанию, составленному Бригадиром в п. 1, было равно $1 \frac{11}{15}$ часа, что больше найдеенного минимального времени в $1 \frac{4}{35}$ раза.

Подведем итоги. Мы видим, что совсем не геометрическая задача Бригадира естественно привела нас к выпуклым фигурам на плоскости. Оказывается, понятие выпуклости может быть определено не только для геометрических — плоских или пространственных — объектов, но и в значительной более общей ситуации (например, в так называемых векторных пространствах — см. «Квант», 1976, № 4, с. 2). В таком обобщенном виде оно «работает» во многих областях математики (функциональный анализ, математическое программирование, теория игры).

С интересными задачими, решаемыми с помощью понятия выпуклости, вы можете познакомиться в книге И. М. Яглома и В. Г. Болтянского «Выпуклые фигуры» (М. — Л., Гостехидат, 1951).

Задачу Бригадира можно решать и чисто алгебраически — методами линейного программирования. О том, как это делается, расскажалось в «Кванте», 1976, № 7, с. 2. При таком подходе полезно заметить, что можно (см. рис. 1) рассматривать только те расписания, при которых

$$t_3 = t_5 = t_6 = t_7 = t_8 = t_9 = t_{10} = t_{11} = t_{12} = 0.$$

Упражнения

1. Составить для Бригадира расписание, если
   a) на первом складе — 16 тысяч кирпичей, на втором — 4 тысяч;
   b) на первом складе одновременного должны работы не менее 7 человек.
2. Есть сковорода, на которой можно одновременно поджаривать две котлеты. Каждая котлета поджаривается с одной стороны одну минуту. За сколько времени удается поджарить три котлеты?

44

В. Майер

«Липка» струя

Объяснить теоретически результат эксперимента, который мы предлагаем вам проделать, довольно сложно. Но наблюдаемый эффект очень красив, а сам по себе опыт настоящего прост, что вы без особого труда сумете его выполнить.

Стеклянную трубку диаметром примерно 6 мм с оттянутым, как у пипетки, концом, ответственное имеет диаметр около 1 мм, резиновым шлангом соедините с краном водопровода. Пусть воду, получите струю и направьте ее на верхний конец стоящей вертикальной чистой стеклянной трубки диаметром 4—6 мм и длиной около полуметра. При этом в зависимости от направления и угла между трубками вы будете наблюдать замечательные явления: струя «прилипнет» к трубке, изменит направление своего движения, обогнет трубку и, наконец, несколько раз обовет ее!

Интересно, что эффектив приложения струй жидкости или газа к твердой поверхности обратил на себя внимание молодого румынского авнатора Анри Koанда. В 1910 году, испытывая реактивный самолет, он обнаружил, что пламя двигателей «присасывается» к защитным плоскостям фюзеляжа. Эффект Koанда в настоящее время нашел и практическое применение.

А не встречались ли вы раны с этим эффектом в быту?

45

Повороты и пересечения многогранников

Школьная программа удаляет большое внимание геометрическим преобразованиям и, в частности, поворoty фигур. На заседанных математическом кружка мы рассматривали «нестандартные» задачи, когда поворчивают не плоскую фигуру, а пространственную. В таких задачах нужно хорошо представлять себе, как расположятся фигуры в пространстве после поворота, поэтому без геометрического воображения наметь путь решения трудно. А развить это воображение можно практикой. Думаем, что предложенные задачи помогут читателям в этом.

Задача 1. Куб с ребром а повернули на 90° вокруг прямой, соединяющей двех параллельных ребер, не принадлежих одной грани куба. Найти объем общей части исходного и повернутого кубов.

Наметим путь решения. Пусть $M$ и $N$ — середины двух параллельных и не принадлежих одной грани ребри.

Рис. 1.

Бер куба (рис. 1). Разрежем куб диагональной плоскостью, перпендикулярной отрезку $MN$. Получим две признамы. После поворота общая часть каждой призмы и ее образа будет состоять из прямогоного параллелепида, основанием которого является квадрат со сторонай $a$, и правильной четырехугольной парамиды с этим же основанием и вершиной в точке $M$ или $N$ (рис. 2), поэтому искомый объем $V$ общей части кубов равен удвоенной сумме общим параллелепидам и призмы. Найди длину высоты $AA_1$ параллелепида

$$|AA_1| = |EA_1| = a \sqrt{2}/2 - a/2 = a(\sqrt{2} - 1)/2$$

и высоту призмы

$$|MN|/2 - |AA_1| = a/2,$$

получаем:

$$V = 2 \left( \frac{a^3 (\sqrt{2} - 1)}{2} + a^2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{1}{3} \right) = a^3 \left( \sqrt{2} - \frac{2}{3} \right).$$

Задача 2. Две диагонали двух кубов с ребром а лежат на одной прямой. Вершина второго куба совпадает с центром первого и второй кубов вовернум вокруг диагона на 60 по отношению к первому. Найти объем общей части этих кубов.

Пусть $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — данный куб, и второй куб получается из него параллельным переносом, переводшим вершину $B$ в середину $O$ диаго-

46

Рис. 3.

нали $BD_1$, и поворотом вокруг оси $BD_1$ на 60° (рис. 3). Можно сначала произвести поворот, а потом переносить. После поворота точка $B_1$ оказывается в плоскости $BA_1D_1$ (доказите это самостояльно), поэтому легко найти, что после переноса отрезок $OB_1$ (образ отрезка $BB_1$) пересечет отрезок $A_1D_1$ в точке $L$ такой, что $|LD_1| = 3a/4$. Общая часть кубов будет составлять из двух треугольных парами $D_1KLM$ и $OKLM$, боковые ребра каждой из которых попарно образуют прямые углы, а длины этих ребер равны $3a/4$. Отсюда получаем ответ:

$$V = 2 \cdot \frac{1}{6} \cdot \left( \frac{3}{4} a \right)^3 = \frac{9a^3}{64}.$$

Задание 3. Доказать, что если правильный метраэдр поверхности на 90° вокруг прямой, соединяющей середины любых двух его скрещивающих ребер, а затем получивший метраэдр поверхности на 90° вокруг прямой, соединяющий середины двух любых его скрещивающих ребер, по последний метраэдр совпадаем с исходным.

Если через каждое ребро правильного метраэдра проведится плоскость, параллельную противоположному ребру, то эти плоскости ограничат куб (рис. 4). Соединия отрезками «через одну» вершины куба, мы снова получим метраэдр — исходный (на рисунке красный) или еще один (синний). Нетрудно убедиться, что при поворотах, описанных в задание, красный метраэдр переходит в синний, а синний — в красный. Поэтому после двух поворотов метраэдр перейдет в себя.

Уражнения

1. Правильная треугольная парамида состоитороной основания $a$ поверхности в боку на угол 60°. Определить объем объей части исходной и поверхности парамид, если боковые грани парамид — прямоугольные треугольники.

2. Два куба с ребром $a$ получают один из другого поверхности на 60° вокруг поверхности диагонали. Найти объем их объей части.

3. Два одинаковых правильных метраэдра с ребром $a$ имеют общую высоту, а вершина каждой из них лежит в центре основания другого. Основание второго метраэдра поверхности на 60° по отношению к основанию первого. Найти объем их объей части.

4. Два одинаковых правильных метраэдра с ребром $a$ имеют общий отрезок, соединяющий поверхности двух противоположных ребер, но один метраэдр поверхности на 90° по отношению к другому. Найти объем их объей части.

Страмы подdomовлена математическая кругком 71 шкoles

им. Н. Островского

(e. Киев, старосма С. Ефименко)

47

Задачик
кванта

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи не стандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки ньюшней школьной программы. Найболее трудные задачи отмечены звездочкой. Решения задач из этого номера можно присылать не позднее 1 января 1978 года по адресу: 113035, Москва, М-35, Б. Ордынка, 21/16, редакция журнала «Квант». После адреса на конверте написите номера задач, решения которых вы посылаете, например, «M471, М472» или «Ф483». Решения задач по каждому из предметов (математике и физике), а также новые задания просылая в отдельных конвертах. Задачи из разных номеров журнала присылайте также в разных конвертах. В письмо включите конверт с написанным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки решений). Условия оригинальных задач, предлагаемых для публикации, присылайте в двух экземплярах вместе с вашими решениями этих задач (на конверте помещьте: «Задачик «Кванта», новая задач по физике» или «… новая задач по математике»). В начале каждого письма просим указать ваш имя, фамилию, номер шкoles и класс, в котором вы учитесь. После формирования задачи мы общно указаем, кто предложил нам эту задачу. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые.

M471. Две пересекающие окружности вырезают из плоскости три ограниченные непересекающие области. Докажите, что не существует окружности, деляшей пополам площадь каждой из этих трех области.

С. Фомин

M472. Внутри куба расположен выпуклый многогранник, проекция которого на каждую из граней совпадает с этой гранью. Докажите, что объем многогранника не меньше 1/3 объема куба.

В. Прасолов

M473. Имеется две группы по $n$ гирь, в каждой из которых гири расположены в порядке возрастания их масс. Покажите, что
a) $2n-1$ взвешивания можно расположить и все $2n$ гирь в порядке возрастания их масс;
b) $*$ меньше $2n-1$ числом взвешивания этого сделать, вообще говоря, нельзя.
(За одно взвешивание сравнимаются массы двух гирь; массы $2n$ гирь попарно различны.) В. Грибере

M474. Натуральное число называется совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей (кроме самого себя); таковы, например, числа $6=1+2+3$ и $28=1+2+4+7+14$. Докажите, что число $N$ несовершенно, если известно, что оно
a) при делении на 4 дает остаток 3;
b) при делении на 6 дает остаток 5.
(Do sins por вообщше неизвестно, существует ли нечетные совершенные числа.) К. Сатаркулов, С. Юдей

M475. a) Докажите, что правильный треугольник нельзя на клетчатой бумаге так, чтобы его вершины попали точно в узлы (в вершины клеток).
b) $*$ Докажите, что на клетчатой бумаге со стороны клетки, равной 1, можно при любом $\varepsilon>0$ нарисовать правильный треугольник, вершины которого находились бы на расстояниях меньше $\varepsilon$ от трех различных узлов.

в) * Верно ли, что для любого многоугольника $M$ и любого $\varepsilon > 0$ можно нарисовать на клетчатой бумаге подобный $M$ многоугольник, все вершины которого находились бы на расстояниях меньше $\varepsilon$ от различных узлов?

В. Калинников

Ф483. С каким горизонтальнымускорением должен двигатся клин с углом $\alpha$ (рис. 1), чтобы лежащий на нем груз поднимался вверх, если коэффициент треня между грузом и клином равен $\mu$?

Ф484. Внутри шара радиуса $R$, равномерно заряженного с объемной плотностью $\rho$, находится заземленная металлическая сфера радиуса $r$ (рис. 2). Найдите зависимости потенциала этой системы от расстояния до центра сферы.

Ф485. Чему равен период малых колебаний четырех одинаково заряженных тел, связанных одинаковыми нитями длины $l$ так, как показано на рисунке 3? На рисунке стрелками указаны направления движения тел при колебаниях в один и тот же момент времени. Масса и заряд каждого тела соответствен $m$ и $q$.

Ф486. На рисунке 4 изображена схема масс-спектрометра. В понизаторе $A$ образуютсяоны, которые ускоряются наприяжением $U = 10$ кВ и входят через щель $C$ в магнитное поле с индукцией $|\vec{B}| = 0,1$ T. После поворота они попадают на фотографическую пластинку $D$ и вызывают ее почеренение. На каком расстоянии друг от друга будут находиться на фотопластике полосы,онов $H^{+}, ^{2}H^{+}, ^{3}H^{+}, He^{+}$? Какова должа быти ширина щели, чтобы полосы понов $^{16}O$ и $^{15}N$ разделились?

Ф487. Жука фотографируют в двух масштабах: с расстояния $l_{1} = 3F$, где $F$ — фокусное расстояние объекта, и с расстояния $l_{2} = 5F$. Во сколько раз надо изменить диаметр диафрагмы объекта, чтобы освещенность изображения напленке в обих случаях была одной и той же? Считать, что диаметр объекта в обих случаях много меньше $F$.

49

Решения задач
M431—M433; Ф442—Ф444

M431. В лесу растут деревья цилиндрической формы. Связность нужно протянуть по лесу провод из точки A в точку B, расстояние между которыми равно l. Доказите, что для этой цели связность достаточно имеет кусок провода длиной 1,6 l.

Соединим точки A и B примоий. На участках, где нет деревьев, проведем провод по этой грамой. Там же, где прямая AB пересекает контур ствола, пустим провод по меньшей из двух друг окружности, ограничивающей сечение ствола плоскостью, перепendlukлярной к стволу (см. рис. 1). Покажем, что в этом случае длина провода не превышает $\frac{\pi l}{2}$.

Пусть $a_1, \dots, a_n$ — длины прямойных участков провода, а $b_1, \dots, b_k$ — длины участков прямой AB, нахождения внутри стволов. Поскольку каждое $b_i$ ($i=1, \dots, k$) не превышает диаметра соответствующей окружности, суммарная длина криволинейных участков провода не превышает $\frac{\pi b_1}{2} + \dots + \frac{\pi b_k}{2}$, а общая длина провода не превышает $\frac{\pi l}{2}$ нельзя заменить в этом неравенстве меньше, так как легко указыть пример, когда потребуется провод длины провод $\frac{\pi l}{2}$: в лесу растет единственное дерево диаметра l, а точки A и B — диаметрально противоположные точки окружности его ствола.

A. Альтшиллер

Рис. 1.

M432. Существует ли полный квадрат, сумма цифр которого равна
a) 1977;
b) 1978?
в) Выясните, какие натуральные числа могут быть суммами цифр квадрата целого числа.

Решим сразу пункт b) задачи. Прежде всего заметим, что сумма цифр квадрата не может быть произвольной. Действительно, квадрат числа любителя на 9, либо дает при делении на 9 остатки 1, 4, 7. По признаку деления на 9 то же верно и для суммы цифр квадрата, так что у квадрата сумма цифр может быть любим вида 9k, либо 9k+1, либо 9k+4, либо 9k+7. Покажем, что все такие числа действительно могут быть суммами.

В самом деле, число 9k — сумма цифр квадрата числа $10^k-1$:

$$(10^k-1)^2 = (10^k-2) \cdot 10^k + 1 = \underbrace{99 \dots 98}_{k} \underbrace{00 \dots 01}_{k};$$

50

число $9k+1$ ($k \neq 0$) — сумма цифр квадрата числа $10^k-2$:
$$(10^k-2)^2 = (10^k-4) \cdot 10^k + 4 = \underbrace{99 \ldots 96}_{k} \underbrace{00 \ldots 04}_{k}$$

(sлучай $k=0$ оченьiden: $1=1^2$); число $9k+4$ ($k \neq 0$) — сумма цифр квадрата числа $10^k-3$:
$$(10^k-3)^2 = (10^k-6) \cdot 10^k + 9 = \underbrace{99 \ldots 94}_{k} \underbrace{00 \ldots 09}_{k}$$

(при $k=0$ получаем число 4, а $4=2^2$). Число $9k+7$ — сумма цифр квадрата числа $10^k+1-5$:
$$(10^k+1-5)^2 = (10^k+1-10) \cdot 10^k+1 + 25 = \underbrace{99 \ldots 90}_{k+1} \underbrace{00 \ldots 025}_{k+1}$$

Таким образом, число 1978 может быть суммой цифр квадрата, а 1977 — нет.

Л. Лиманов

M433. В выпуклом пятu-
целовике ABCDE сторона
BC параллельна диагонали
AD, сторона CD — диагонали
BE, сторона DE — диагонали
AC и сторона AE —
диагонали BD (рис. 2). Докажите, что сторона AB параллельна диагонали CE.

Рис. 2.

Пусть $F = [AD] \cap [BE]$, $G = [AC] \cap [BE]$ и $K = [BD] \cap [AC]$ (см. рис. 2).

Из подобия треугольников $AEF$ и $BCD$ следует, что
$$\frac{|AF|}{|EF|} = \frac{|BC|}{|CD|}.$$ Следовательно, $$\frac{|AF| + |BC|}{|EF| + |CD|} = \frac{|BC|}{|CD|}$$

и $$\frac{|AD|}{|BE|} = \frac{|BC|}{|CD|},$$ поскольку $|BC| = |DF|$, $|BF| =$
$= |CD|$, то есть
$$\frac{|BC|}{|AD|} = \frac{|CD|}{|BE|}.$$ (1)

Аналогично, из подобия треугольников $BKC$ и $AED$ получаем, что
$$\frac{|AE|}{|BD|} = \frac{|DE|}{|AC|}.$$ (2)

Наконец, из подобия треугольников $BKG$ и $AGE$
$$\frac{|BG|}{|BK|} = \frac{|CD|}{|AE|},$$ откуда $$\frac{|BE|}{|BD|} = \frac{|CD|}{|AE|},$$

или
$$\frac{|CD|}{|BE|} = \frac{|AE|}{|BD|}.$$ (3)

Из соответствия (1) — (3) следует, что
$$\frac{|BC|}{|AD|} = \frac{|CD|}{|BE|} = \frac{|AE|}{|BD|} = \lambda.$$ (4)

Далее:
$$\vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DE} + \vec{EA} + \vec{AB} = \vec{0},$$
$$\vec{AD} + \vec{BE} + \vec{DB} + \vec{CA} + \vec{EC} = \vec{0},$$

и $$\vec{BC} = \lambda \vec{AD}, \vec{CD} = \lambda \vec{BE}, \vec{DE} = \lambda \vec{CA}, \vec{EA} = \lambda \vec{DB}.$$

Позетом
$$\vec{0} = \lambda (\vec{AD} + \vec{BE} + \vec{CA} + \vec{DB}) + \vec{AB} = -\lambda \vec{EC} + \vec{AB},$$

откуда $$\vec{AB} = \lambda \vec{EC},$$ что и означает параллельность стороны $AB$ диагонали $EC$.

Более короткое решение получается с помощью косугоЛЬНОЙ системы координат. Пусть точки $D, C$ и $E$ имеют координаты $D(0; 0), C(1; 0), E(0; 1)$ (рис. 2). Тогда $A$ и $B$ имеют координаты $(1; a)$ и $(b; 1)$, так как $(CD) \parallel (BE), (DE) \parallel (AC).$

51

Условия параллельности $(AE) \parallel (BD)$ и $(BC) \parallel (AD)$ записьваются так:

$$\frac{a-1}{1-0} = \frac{1-0}{b-0} \quad \text{и} \quad \frac{1-0}{b-1} = \frac{a-0}{1-0},$$

то есть $b(a-1)=1$, $a(b-1)=1$, откуда $a=b$ и $\frac{a-1}{1-b} = \frac{1-0}{0-1}$, то есть $(AB) \parallel (EC)$.

Заметим, что пятнуюльник $ABCDE$, о котором идет речь в этой задаче, можно аффинным преобразованием (или просто перекосом) превращать в правильный.

И. Клумова, Э. Туркевич

Ф442. Шарики с массами 1, 2, 3 и 4 ке соединины легкими стержнями длиной 1 м каждый. Стержни скреплены, так что они образуют крест (рис. 3). Система может свободно врацать в окружающей оси, проходящей через точку О перpendикулярно к плоскости рисунка. Найти амплитуду колебаний системы, если в начальной момент стержень, соединяющий ryзы с массами $m_2=2$ ке и $m_4=4$ ке, был вертикален и шары были неподвижны.

Рис. 3.

Ф443. Как известно, земной шар делает полный оборот вокруг своей оси за 23 часа 56 минут 4 секунды. Следовательно, за сутки все часы, циферлат которых разделен на 24 часа, должны отстаивать почти на 4 минуты. Это составляет почти полный оборот вокруг своей оси за 23 часа 56 минут 4 с. Поэтому неподвижному наблюдаемого на земле каждой, что звезды на небосводе за время $T$ совершают полный оборот вокруг вокруг своей оси за 23 часа 56 минут 4 с, Солнце «обходит» Землю за 24 ч (и именно на 24 ч, в связи с этим, разделен циферлат всех земных часов).

Это происходит потому, что за время полного оборота вокруг своей оси Земля в своей орбитальном движении вокруг Солнца успевает продвинутся приблизительно на 1/365 часа длины орбиты (рис. 5). Например, хотя земной шар совершает полный оборот вокруг своей оси, Поэтому земной наблюдаемый увидел Солнце, грубо говоря, на прежнем месте (и отметил, например, наступление полудня по своим часам), земной шар должен дополнительно совершить 1/365 часа оборота, что и занimaет почти 4 минуты.

Б. Буховцев

52

Ф444. Тяжелый ящик массы M скатывается по роликам, образующим наклонную плоскость (рис. 6). Рассстояние между роликами l, их радиусы r и массы m. Угод накладна плоскости к горизонту равен α. Найти скорость движения ящика, если известно, что она построена. Считать, что ролики полые и толщина их стенок d << r.

Рис. 6.

При движении ящика визз по наклонной плоскости нахождения под ним ролики приходят в движение — начнают раскрутиваться. Тот факт, что ящик движется с постоянной скоростью, означает, что на него со стороны роликов действует сила сопротивления $\vec{F} = -M\vec{g} \sin \alpha$.

Предположим, что ящик движется со скоростью $\vec{v}$ и его длина достаточно велика, так что он успевает раскрутив ролики до линейной скорости $u = |\vec{v}|$. Ролик раскруивается благодаря слепя треня $\vec{f}$, действующей на него со стороны ящика до тех пор, пока его линейная скорость не станет равной $|\vec{v}|$. После этого трене между этим роликом и ящиком исчезает.

Из сообщений симметрии ясно, что действие силы треня на ролика равноенное действию такой же по абсолотному значению силы $|\vec{f}|$, приложенной к ролику в любой его точке по касательной к ободу ролика и «вращающейся» вместе с роликом. Так как действующая на ролика постоянна по абсолотному значению, линейная скорость врашения ролика под действием силы $|\vec{f}|$ изменяется со временем по линейному закону. Пусть Rolик раскруивается за время $\tau$ до линейной скорости $u = |\vec{v}|$. Сила $\vec{f}$ совершает при этом работу $|\vec{f}||\vec{v}| \tau/2$ (средняя скорость Rolika равна $|\vec{v}|/2$, пусть, проходимый точкой приложения силы, равен $|\vec{v}| \tau/2$). Эта работа равна кинетической энергии Rolika:

$$\frac{|\vec{f}| |\vec{v}| \tau}{2} = \frac{m |\vec{v}|^2}{2}.$$

Поскольку Rolик раскруивается до линейной скорости $|\vec{v}|$ за время $\tau$, под ящиком все время нахождения $N = |\vec{v}| \tau/l$ Rolиков, линейная скорость которых меньше $|\vec{v}|$. Сила треня, с которой эти Rolики действуют на ящик, равна

$$|\vec{F}| = N |\vec{f}| = \frac{|\vec{v}| \tau}{l} |\vec{f}| = M |\vec{g}| \sin \alpha.$$

Из (1) имеем: $|\vec{v}| \tau |\vec{f}| = m |\vec{v}|^2$. Подставив это выражение в (2), получим:

$$\frac{m |\vec{v}|^2}{l} = M |\vec{g}| \sin \alpha.$$

Отсюда

$$|\vec{v}| = \sqrt{\frac{M}{m} |\vec{g}| l \sin \alpha}$$

T. Петрова

Как решить кубическое уравнение?

Многие из вас читали о драматическом истории, связанном с решением кубических уравнений (см. «Квант», 1976, № 9). Современная алгебраическая символька позволяет теперь справиться с этой задачей даже школьнику, а в XVII веке это было не по силам даже ведущим математикам. Вот какой изящный способ предложает наш читатель В. Криво шеев (г. Черкассы).

Известно, что любое кубическое уравнение может быть приведено к виду

$$y^3 + by + c = 0.$$

Случайно я обнаружил следующие подстановки для его решения.

a) Пусть $b > 0$. Положим

$$y = \sqrt{\frac{b}{3}} \left( z - \frac{1}{z} \right),$$

получится (легко проверить) уравнение

$$\frac{b}{3} \sqrt{\frac{b}{3}} \left( z^3 - \frac{1}{z^3} \right) + c = 0.$$

Далее положим $z^3 = t$, после приведения к общему знаменателю получится квадратное относительное $t$ уравнение.

6. Пусть $b < 0$. Положим

$$y = \sqrt{\frac{b}{3}} \left( z + \frac{1}{z} \right)$$

и далее аналогично п. a).

53

А. Савин
ЧТО ЗНАЧИТ „БОЛЬШЕ“?

Про любые два числа мы всегда можем сказать, какое из них больше; для этого достаточно сравнить их десятичные записи. Не вызывает кривотолков и вопрос «Какой из двух отрезков больше?» Очевидно, тот, у которого больше длина. Сравнить длины отрезков мы можем и не вычисляя их, а просто переместив их так, чтобы они оказались на одном и том же луче, и один из концов каждой отрезка совпал с началом луча. Так и в споре двух ребят — «Кто выше» — дело, как правило кончается тем, что они становятся спиной друг к другу и кто-то с помощью ладони разрезает этот спор.

А вот как понять такое утверждение: «Ребята в нашем классе выше чем в вашем!»? Можно его понять так:

«Самый высокий ученик нашего класса выше, чем самый высокий ученик вашего класса», или — «Самый низкий ученик нашего класса выше самого низкого ученика вашего класса» или — «Любой ученик нашего класса выше любого ученика вашего класса». Можно предложить еще несколько способов сравнения, но очень трудно какому-либо из них отдать предпочтение.

Как мы увидим, подобная ситuation возникает при попытке решить задачу № 137 из учебника геометрии для 10 класса. Напомним ее формулировку.

137. В правильной шестицелюльной парамиде больше диагональное сечение — равноведренный прямоугольный треугольник с zипоменузой с. Найдите объем парамиды.

Чтобы понять условие задачи, следует вспомнить, что такое диагональное сечение. В условия задачи № 89 было дано определение:

«Сечение парамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не лежащих в одной грани, называется диагональным сечение».

К сожалению, в учебнике не оказалось определения сечение парамиды (и вообще тела) плоскостью, но из того, как это слово употребляется, можно сделать вывод, что

«Сечение тела плоскостью — это геометрическая фигура, состоящая из всех точек, одновременного приадлежих и мелу и плоскости» (пересечение тела и плоскости).

Осталось понять, что значит «большое». Поскольку диагональные сечение парамиды, очевидно, является треугольник, то осталось выяснить, что значит, что один треугольник больше, чем другой.

Вариант ответа можно предложить очень много. Например, «Тот, у которого больше перimetр», или «Тот, у которого больше площадь», или «Тот, у которого больше площадь описанной окружности», или «Тот, у которого больше площадь описанной окружности», или «Тот, у которого больше большая сторона»…

Нужно заметить, что в реальных ситuations «величину» треугольника может характеризовать какое из перечисленных выше чисел, связан-

54

ных с треугольником. Однако чаще всего в качестве числа, характеризующего величины плоской фигуры, берет площадь этой фигуры (а для пространственных фигуры — их объем). Две плоские фигуры, имеющие одинаковые площади, принято называть равновеликми.

По-видимому, в задаче 137 имеется в виду, что «большее диагональное сечение» — это диагональное сечение, проходящшее через большую диагональ.

В этом случае решение задачи не сложно. Высота парамиды совпадает с высотой треугольника, равной $\frac{c}{2}$, а длина стороны шестиугольника также равна $\frac{c}{2}$. Отсюда площадь основания парамиды равна $\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(\frac{c}{2}\right)^2$, а объем $\frac{c^3\sqrt{3}}{16}$. Именно этот ответ и приведен в учебнике.

Ну, а если понятно под величины треугольника его площадь? И в этом случае задача также не слишком сложно решается. Во-первых, заменим, что диагональные сечения паральной парамиды являются треугольниками с двумя конгрузными сторонами, являющимися боковыми ребрами парамиды. Если обозначить длину бокового ребра через $l$, то площадь рассматривается треугольника равна $\frac{1}{2}l^2\sin\alpha$, где $\alpha$ — угол между указанным сторонами, и то из сечений большие, у которой большие синусоترу угла.

Во-вторых, заменим, что если указывающий угол — прямой, то из скзаанного выше следует, что такое сечение и является наиболее简便.

Случай, в котором наиболее сечение проходит через большую диагональ, уже разобран. Осталось рассмотреть случай, когда оно проходит через другую диагональ. В этом случае длина этой диагонали равна $c$, длина большей диагонали $\frac{2c\sqrt{3}}{3}$, а стороны шестиугольника $\frac{c\sqrt{3}}{3}$. Длина бокового ребра равна $\frac{c\sqrt{2}}{2}$, а высота парамиды $h = \sqrt{\frac{c^2}{2} - \frac{c^2}{3}} = c\sqrt{\frac{1}{6}}$. Окончательное получаем, что площадь основания равна $\frac{c^2\sqrt{3}}{2}$, а объем парамиды $\frac{c^3\sqrt{2}}{12}$.

В чем цель этой заметки? Конечно же, не в том, чтобы указыть на неудачную задачу в учебнике, а в том, чтобы раз dáть вам возможность убедиться, что математика — это наука, в котором все понятия и отношения между ними должны быть строго определены (конечно, за исключением основных, не определяемых понятей, таких, как точка, плоскость, прямая).

Хочется еще отметить и тот факт, что один и тот же термин может в разных книгах выступать в разных ролих. Естественно, что в соответствии с книгей или статья дает строго определение этого термину.

И в заключение — задача.

Про прямой круговой конус известно, что максимальная площадь сечения его плоскостью, проходящenteх сечения, в два раза больше площади основного сечения. Найти угол основного сечения.

55

Задчи

1. a) На очередном занятии математического кружка, посвященном проблеме четырех краскок, шесть участвников кружка решили поспериментировать — чертить разные карты и пытаться их раскрашивать в четыре цвета так, чтобы соседние «страны» были раскрашены разными цветами. Для этого потребовались карандаши четырех разных цветов.

У учитель было много красных, синих, желтых и зеленьх карандашей, но он не хотел, чтобы каждый школьник раскрашивал карты в одиночку. Он решил так разить ребятам карандаши, чтобы никакие два школьника (из шести!) не имели карандашей всех четырех цветов, но любые три — имели.

Сумет ли он это сделать?

6)* Попробуйте выяснить, при каких n можно так разить шести ребятам карандаши n цветов, чтобы каждые troе имели (вместе) карандаши всех n цветов, а никакие две — не имели.

2. Какими цифрами нужно заменить буквы, чтобы равенство

$$\frac{ab}{+bc} = \frac{ca}{abc}$$

выполнялось?

3. Мне сейчас в 4 раза больше лет, чем было моей сестре, когда она была моложе меня в два раза. Сколько лет сейчас каждому из нас, если через 15 лет нам вместе будет 100 лет?

4. Найдите все целые числа m, n, удовлетворяющие уравнению

$$\sqrt{m + \sqrt{m}} = n.$$

56

Б.КОГАН ЦВЕТНЫЕ ТЕНИ

В этой заметке расссказывается о двух простых опытах, в которых наблюдается интересное изменение цвета. Эти опыта вы, конечно, сможете продолжать сами. Для их проведения требуется очень немного — лишь несколько цветных источников свет. Например, красная лампочка (ее можно купить в магазинах phototоваров) и сияя (такие лампочки продаются в магазинах электротоваров наряду с обычными).

Зеленая тень

В комнате, освещенной обычным белым светом,ажгите настольную лампу, предварительно ввернув в ее патрон красную лампочка. Положите на стол лист белой бумаги и поместите между ним и лампой какой-нибудь небольший предмет, например, карандаш. На листе бумаги появится его тень, но она будет совершенно неожиданной по цвету — не черной и не серой, а … зеленой.

Этот эффект, видимо, связан не только и не столько с физикой, сколько с физологией и психологии. Тень от предмета кажется нам зеленой вследствие контраста с окружающим фоном, который, будучи на самом деле красноватым, ощущается нами как белый, либо мы знаем, что бумага белая. Видимо, отсутствие красного цвета на участке, занятом тенью, наше сознание воспринимает как наличие зеленого цвета на этом участке. Но почему именно зеленого?

Дело в том, что красный и зеленый цвет является дополнительным.

Так называют цвета, дополняющие друг друга до белого. А что это означает? Еще в XVII века Ньюотон обнаружил, что белый солнечный свет является сложным, представляет собой совокупность простых цветов — фиолетового, синено, голубого, зеленого, желтого, оранжевого и красного. В этом можно убедиться, например, с помощью стеклянной призмы. Если солнечный свет пропустить через узкую щель и направить на признам, то получится разноцветное изображение этой щели. Ньюотон проводил и другие опыты — «собирал» вместе цвета (например, с помощью линзы) и в результате вновь получал белый цвет (рис. 1). При этом оказывается, что, если «задержать» какой-нибудь цвет, скажем, зеленьй, то изображение щели становится цветным, и притом красным (рис. 2). Или, если «задержать» желтый цвет, изображение щели получится синим и т. д. Именно в этом смысле зеленый и красный, желтый и синий и т. п. цвета называются дополнительными (рис. 3).

Этот интересный опыт можно проводить и с лампочами других цветов. Так, если лампочка будет зеленой, то тень становится красной. Если лампочка будет синией, то тень получится желтой, а если лампочка будет желтой, тень оказывается синией. Вообще цвет тени всегда получается дополнительным к цвету лампочки.

57

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Описание явление можно часто наблюдать зимой вблизи газоветных городских вывесок. Когда на земле лежит снег, на нем ясно видны тени, цвет которых дополнителен к цвету светяшейся вывески.

Красные листья

Погастие в комнате свет и зажигте лампу, предварительно помещав в ней обличную лампочку на синию. Посмотрите при свете этой лампочки на листья растений: зеленыые листья, освешенные снимом светом, кажутся не зелеными и не синими, а … красными.
В чем же дело? Оказывается, стекло синей лампочки пропускает не только синий, но частично и красный свет.

Вместе с тем, листья растений отражают не только зеленьй свет, но отчасти и красный поглощая другие цвета. Поэтому когда на листья падает свет от синей лампочки, они отражают molько красный свет и, следовательно, кажутся нам красными.

Описанный эффект можно получить и иначе: посмотрите на листья растений через синие очки или через синий светофильтр. Рассказывая об опыте с таким очками, известный советский ученый К. А. Тимирязев писал: «Стоит их только надеть, и весь мир представляется в «розовом свете». Под ясным синем небом развивается фантастическийландшафт с караллово-красными лугами и лесами…».

58

ХI Всесоюзная олимпиада ШКОЛЬНИКОВ

И. Клумова, М. Смолянский

Олимпиада
по математике

В этом году XI Всесоюзная олимпиада школьников была посвящена 60-летию Великого Октября.

Заключительный тур по математике XI Всесоюзной олимпиады проходил в столице Эстони—город Таллине.

В Таллиннике 153 школьника — победители ресурсивикских олимпиад и ребята, занявшие I и II места на предыдущее олимпиаде. Впервые на олимпиаде была представлена команда (3 человек) учеников профессионально-технических училищ, победителей олимпиады ПТУ г. Ленинграда. Хозяева заключительного тура олимпиады — талинцы — также выступили своего команду из 3-х человек.

В современных приняли учащие 42 восемиклассника, 56 девятиклассников и 55 десятиклассников.

Открытие заключительного этапа XI Всесоюзной олимпиады состоялось 14 апреля в актовом зале Таллинского политического института. Председатель Оргкомитета академик АН Эстонской СССР А. К. Хумал поздравил участников олимпиады, с началом составания, пожелал им успехов и защотал приветь и поздравление министра просвещения СССР Прокофьева М. А.

Почти полгода жюри придирчив отбирало задачи для олимпиады из большого списка задач-«кандидатов», представленных математиками из разных городов. Чтобы читатели заметить эти задачи, мы полностью приводим их условия. Большинство из них уже было опубликовано в «Задачнике «Кванта» (см. №№7—9)*.

Как обычно, заключительный этап олимпиады проводился в два тура.

К решению задач первого тура школьники присутствили 15 апреля. На решение задач каждойому классу ответилось по 5 часов.

Ниже мы приводим список задач первого тура.

8 класс

1. На плоскости дана несамопересекающаяся замкнутая ломанная, никакие три вершины которого не лежат на одной прямой. Известно что если прямая проходит через две или более отрезанных точек, то сумма всех чисел, написанных около этих точек, равна нулю. Докажите, что число особенных пар четно. (M457)

2. На плоскости отмечено несколько точек, не лежащих на одной прямой, и около каждой написано число. Известно что если прямая проходит через две или более отрезанных точек, то сумма всех чисел, написанных около этих точек, равна нулю. Докажите, что все числа равны нулю. (M451)

3. Отрезок, соединяющий середины двух AB и AC окружности, описанной около треугольника ABC, пересекает стороны AB и AC в точках K и L. Докажите, что точки A, K, L и центр O описанной окружности треугольника ABC — вершины ромба.

4. По окружности расположено несколько черных и белых фишек. Доее по очереди проделывают такую операцию: первый убирает все черные фишки, имеющие белого соседа (хотя бы с одной стороны), а второй

*) В скобках после условия мы проводим номер, под которым соответствующая задача помещена в «Задачнике».

59

после этого убирает все белые фишки, имеющие черного соседа. Так они делают до тех пор, пока не остатся все фишки одного цвета.

a) Пусть вначале было 40 фишек. Можно ли слушаться, что после того, как каждый следа два хода, на окружности остатся одна фишка?

6. На окружности сначала было 1000 фишек. Через какое наменьшее число ходов на окружности может остаться одна фишка?

9 класс

1. В окружность вписаны треугольники $T_1$ и $T_2$, причем вершины треугольника $T_2$ являются серединами дуг, на которые окружность разбивает вершины треугольника $T_1$. Докажите, что в шестиугольнике $T_1 \cap T_2$ диагонали, соединяющие противоположные вершины, параллельны сторонам треугольника $T_1$ и пересекаются в одной точке. (M452)

2. Дана бесконечная числа последовательность $a_1, a_2, \ldots, a_n$, ИЗВЕСТНО, что $\lim_{n \to \infty} \left( a_{n+1} - \frac{1}{2} a_n \right) = 0$. Докажите, что $\lim a_n = 0$.

3. См. задачу №1 из 8-го класса.

4. В некоторых странах из каждой города в любой другой можно проехать, минут остальные города. Известна стоимость каждой такого проезда. Составлены два маршрута по городам страны. В каждый из этих маршрутов каждой города входитровно по одному разу. При составлении первого маршрута руководствовались следующим принципом: начальный пункт маршрута выбирается произвольно, а на каждом следующем шаге среди городов, через которые маршрут еще не проходит, выбирается тот, поезда в которой из предыдущего города имеет наименьшую стоимость (если таких городов несколько, то выбирается любои из них); и так до тех пор, пока не будет пройдет все города. При составлении второго маршрута начальный город тоже выбирается произвольно, а на каждом следующем шаге среди городов, через которые маршрут еще не проходит, выбирается тот, поезда в каждом из предыдущего города имеет наименьшую стоимость. Докажите, что общая стоимость проезда по первому маршруту не больше общей стоимости проезда по второму маршруту. (M459)

10 класс

1, 2. См. задачи №1 и №2 из девятого класса.

3. В каждом вершине выпускло многогранника $M$ сходится 3 ребра. ИЗВЕСТНО, что каждая его грань является многоугольником, вокруг которого можно описать окружность. Докажите, что вокруг этого многогранника можно описать сферу. (M456)

4. Написан многочлен $x^{10} + x^9 + x^8 + \ldots + x^2 + x + 1$. Двое играют в такую игру. Сначала первый элемент любую из звездочек некоторых элементов любую из оставшихся звездочек, затем снова первый элемент допуну из звездочек числом и так далее (всего 9 ходов). Если у полученного многочлена не будет действительных корней, то выигрывает пер-

60

выйгрок, а если будет хотя бы один корень — выиграет второй. Может ли второй игрок выиграть при любой игре первого? (M458)

5. См. задачу № 1 из 8-го класса.

Самой трудной для школьников восмого класса оказалась задача № 2. После проверки работ выяснили, что ее решили только четые целовека. Трудности вызвала и задача № 4, особенно пункт 6).

У десятиклассников трудной оказалась задача № 4 — ее решили всего лишь три целовека.

А девятиклассники решили свои задачи примерно одинаково. Как именно школьники справились с задачими, видно из приведенной таблицы. В ней для каждой класса показано, сколько человек решили ту или иную задачу полностью (оценка «+»), сколько — «почти» полностью, с небольшими недочетами (оценка «±»), сколько — в целом не решивших задачу, но высказавших существные иден по поводу ее решения (оценка «≠»). Вы, конечно, обратили внимание на то, что у десятиклассов число участников в первом и во втором турах не одно и то же. Один из участников — С. Самигулин (из команды РСФСР) ехал в Таллин из Башкирии; он задержался из-за нелетной погоды и опоздал на первый тур. В Таллине пришлось специально для него срокно составить еще один варант задач (утвержденные задачи I типа были уже известны). Во втором.type С. Самигулин решал уже одинаковые со всеми задачи: десятиклассников стало 55, как и должно было бы с самого начала.

16 апреля все школьники приняли участие в коммунистическом субботнике. А жюри олимпiadы в это время проверяло работы.

Продолжение составной просходило 17 апреля. Школьники восмых и девятых классов снова решили по 4 задачи, школьники десятиклассов — три. Вот эти задачи.

8 класс

5. За круглым столом сидят 7 гномов. Перед каждым стонт кружка. В некоторых из этих кружек налито молоко. Один из гномов разливает все свое молоко в кружки остальных поровну. Затем его сосед справа делает то же самое. Затем то же самое делает et следующий сосед справа и так далее. После того как последний, седьмой, гном разил все остальные свое молоко, в каждой кружке оказалось столько же молока, сколько было в ней вначале. Во всех кружках вместе молока 3 литра. Сколько молока было первоначально в каждой кружке? (M454)

6. Будем называть 2n-значное число особым, если оно само является точным квадратом, и числа, образованные его первыми n цифрами и его последними n цифрами, также являются точными квадратами; при этом второе число начинается с цифры 0, но не должно быть равно нулю.

a) Найдите все двухначные и четырехначные особые числа.

6. Возможны ли шестизначные особые числа? (Докажите, что их нет, или приведите пример такого числа.)

7. Дано множество положительных чисел {a₁; a₂; …; aₙ}. Для каждой его подмножества выпишем сумму входящих в него чисел (расматривается суммы из одного, двух, …, n слагаемых). Докажите, что все выписанные числа можно так разить на n групп, чтобы в каждой группе относение наибольшего числа к наиболее шумному не превышению 2. (M453)

8. Имеется тысяча билетов с номерами 000, 001, …, 999 и сто ящиков с номерами 00, 01, …, 99. Билет разрешается опускать в ящик, если номер ящика можно получить из номера этого билета вычеркиванием одной из цифр. Докажите, что a) можно разложить все билеты в 50 ящиков;

6. нельзя разложить все билеты менее чем в 40 ящиков;

b) нельзя разложить все билеты менее чем в 50 ящиков.

9 класс

5. Дан квадратный лист клетчатой бумаги 100×100 клеток. Проведено несколько несамопересекающихся ломанных, душих по сторонам клеток и не имеющих общих точек. Эти ломанные идут строго внутри квадрата, а концами выходит на его границу. Докажите, что, кроме вершин квадрата, найдется узел (внутри или на границе), не принадлежащий ни одной ломаной.

6. Данны натуральные числа x₁, x₂, …, xₙ, y₁, y₂, …, yₙ. Суммы x₁+x₂+…+xₙ и y₁+y₂+…+yₙ равны между собой и меньше mn. Докажите, что в равенстве x₁+x₂+…+xₙ=y₁+y₂+…+yₙ можно вычеркить часть слагаемых так, чтобы снова получилось верное равенство.

7. На плоскости дано 1000 квадратов с стороными, параллельными осем координат. Пусть M — множество центров этих квадратов. Докажите, что можно отметить часть квадратов так, чтобы каждой точка множества M попала не менее чем в один и не более чем в четырехчленных квадратов.

8. На столе стоит чашечные веси и n гриры различных масс. Гриры по очереди ставятся на чашки весов (на каждом шаге со стола берется любая грия и добавляется на ту или ин другую чашку весов).

a) Докажите, что грири можно ставить в таком порядке, чтобы снова появились

61

Левая чашка, затем права, потом снова левая, снова права и так далее.

Этот последовательности результатов взвешивания сопоставим слов из букв L и R: LRLRLR… Здесь буква L обозначает, что перевести левая чашка, а буква R означает, что перевести правая чашка.

6. Докажите, что для любого слова длины n из букв L и R можно в таком порядке ставить гири на чашки весов, чтобы это слово соответствовать последовательности результатов взвешивания.

a) Для каждого числа α найдите все многочлены Q степени не выше трех, коммутирующие с многочленом P (x)=x²−α.

6. Пусть P — многочлен степени 2, k — натуральное число. Докажите, что существует не более одного многочлена степени k, коммутирующего с P.

b) Найдите все многочлены степени 4 и 8, коммутирующие с данным многочленом P степени 2.

г) Многочлены Q и R коммутируют с одним и тем же многочленом P степени 2. Докажите, что они коммутируют между собой.

д) Докажите, что существует бесконечная последовательность многочленов P₂, P₃, P₄, …, Pₙ, …, где Pₙ — многочлен степени k, в котором любые два многочленов коммутируют и многочлен P₂ имеет вид P₂(x)=x²−2.

7. Пусть A — 2n-значное число (первая цифра не нуль). Будем называть число A особым, если оно само является точным квадратом, и числа, образованные его первыми n цифрами и его последними n цифрами, также являются точными квадратами: при этом второе число начинается с цифры 0, но не должно быть равно нуль.

a) Найдите все двух значные и четые значные особые числа.

6. Докажите, что существует хотя бы одно 20-значное особое число.

b) Докажите, что существует не более 10 особых 100-значных чисел.

г) Докажите, что существует хотя бы одно 30-значное особое число. (M460)

8. Марсианский алфавит состоит из 10 букв, и любое трехбуквенное слово образует марсианскую фамилию (то есть на Марсеровно 1000 различных фамилии). По марсианским законом имя марсианна должна состоять из двух букв и получаться из его фамилии вычеркиванем одной буквы.

a) Докажите, что можно составить список из 50 имени так, чтобы марсианн с любой фамилией мог выбрать себе одно из этих имен.

6. Докажите, что нельзя составить такой список менее чем из 40 имен.

b) Докажите, что нельзя составить такой список менее чем из 50 имен.

г) В прошломве марсиане носили четырехбуквенные фамилии, а двубуквенное имя получалось из фамилии вычеркивания любых двух букв. Докажите, что в прошломве можно было обойти список из 34 имен.

д) Найдите минимальный список имен (двубуквенных), который годился бы, если бы фамилии марсиан составили из k букв. Попробуйте решить эту задачу для k=4, 5, 6 и так далее.

Пожалуйста, второй оказался для восемиклассников более тяжелым (как, впрочем, и для других классов). А особенно сложной — последняя задача № 8 (конечно, если не принять во внимание совсем уже «непосильную» задачу № 7, до которой школьники не дошли, потратив много времени на поиск ответов в других задачах). Последний пункт этой задачи решила всего одна частьница — Гаянэ Шахбозан — ученица физико-mатематической школи № 45 при Ленинградском государственном университете, получившая в результате I премию. Лучшей же работа по итогам двух дней составляет была признана работа ученика той же школи Ильи Захаревича. Вообще надо отметить, что ФМШ при ЛГУ добилась на оптимиде прекрасных результатов: ееоспитники получили 3 первых, 1 вторую и 2 третьих премии; эта школа была нагружена специальным призм «За лучшие результаты».

Вторым днем в десятом классе был исследовательский тур (в прошлом году такой тур был в каждой классе). Десятиклассикам было предложено три сложных задачи, каждая из которых была разбит на несколько пунктов, расположенных в порядке возрастания трудности. Задача № 6 связана с алгеброй, № 8 — арифметической, а задача № 7 — это развитие задачи № 6 для восьмого класса. Листки с условиями задачи, розданные школьником, начиная с словами обращения жорни: «Во второй день оптимизации мы предлаем вам при трудные задачи. Рекомендуем выбрать одну из них и продвинутся в ее решении как можно дальше. Жорни будем значимельно выше оценывать более глубокое исследование одной задачи, чем ответы на лекцию вопросов в нескольких задачи». К сожалению, значительное продвижение в каждой из

62

Восьмиклассики, нагруженные дипломами I степени (слева направо): С. Хлебутин, А. Ляховец, Г. Шахбозян, И. Захаревич.

Девятиклассики, нагруженные дипломами I степени (слева направо): Л. Лисничук, В. Бугаенko, В. Книжник, В. Гальперин, В. Нейман.

Десятиклассики, нагруженные дипломами I степени (слева направо): Д. Флаасс, А. Чурбанов, Г. Рыбников, Л. Гандельман.

предложенных задач ни у одного десятиклассика не оказалось. Так как исследовательский тур проводился в порядке эксперимента, жюри приняло решение считать основными результаты первого дня. Результаты второго дня могли их только уличшить.

В свободное от решения задач время ребята совершили несколько экскурсий по Таллину и его музеям (ведь Таллин — это город-музей средневековья, один из красивейших и интереснейших городов Советского Союза), побивали в laboratorиях самого крупного в Таллине вуза — попыткического института, были в театре оперы и балета «Эстония», встречались с учеными, с талинскими школьниками. 18-го и 19-го апреля для ребят было прочитано несколько интересных лекций: «Геометрия Лобачского и небесная механика» (лектор — профессор МГУ В. А. Алексеев), «Как изменяют расстояния между кривыми» (лектор — доцент МГУ В. А. С кворцов), «Системы счисления» (лектор — профессор И. М. Яглом), «Теорема Абеля-Rуффини» (лектор — кандидат физико-математических наук Д. Б. Фукс), «Теория групп и оптимизации задачи» (лектор — кандидат физико-математических наук А. К. Толпыго). Председатель жюри по 8-му классу кандидат физико-математических наук Н. Н. Константинов провел со школьниками восьмых классов неболько занятий «Matематического кружка». Была организационна встреча жюри с учениками математических школ Таллина.

Пока мы все время говорили только о победительных (ведь все участники Всесоюзной олимпiadы — это победители школьных, областных, и, наконец, ресурсиканских олимпiad). А теперь мы обращаемся к любительям «царицы наук», не попавшим в число победителей. Не огорчайтесь! Недача на олимпiadе — вовсе не показатель несособности к математике. Многие математики не принадлежат к «спортивному» или «олимпидному» типу. Они медленно решают трудные задачи и доказывают сложные теоремы. Важно быть успешным и трудолюбивым человеком, глубоко интересоваться научкой. Научиться математике можно лишь, постоянно решающей, обдумывая всевозможные обобщения, придумывая свои задачи и

63

теоремы. В этом большею помощь может оказать вам «Квант».

Торжественное закрытие олимпиды состоялось 19 апреля. Заместитель представления жорри М. И. Башмаков зачитал решение жорри XI Всесоюзной математической олимпиды. Итак, по итогам двух дней состояний было решено присуditь 13 первых, 24 вторых, 24 третьих премии и отметить пожавляемыми отзывами I степени 32 участника олимпиды и пожавляемыми отзывами II степени — 36 участников. Имена победителей XI Всесоюзной олимпиды мы публикуем на с. 72.

Кроме того, различные организации и предприятия Эстонии учредили специальные призы (за лучший результат, за самое оригинальное решение, лучший по ресурсике, представитель самого отделенного уголка Советского Союза и т. д.), которые были направлены многое школьники. Специальный приз жоррала «Квант» — подшивку жоррала за 1976 год с авторфом главного редактора академика И. К. Кикона — получил школьник 8-го класса из г. Таллина Марк Левин (он участвовал в соревнованиях вне конкурса, и поэтому ему не было присужденоникакого официального места). Подпиской на жоррала «Квант» на 1978 год были направлены также восьми классики: Ляховец Андрей (Краснодар), Хлебутин Сергей (Пермь), Бернотас Андрюс (Вильнюс), Власов Вячеслав (Киев), Ирматов Андар (Наманган УзССР).

По итогам олимпиды была составлена команда для участия в XIX Международной олимпиде школьников по математике. В состав команды вошли: А. Амброладзе (Тбилиси), А. Аузинш (Рига), Я. Виннишин (Киев), В. Гальперин (Москва), А. Кодрян (Рыбница), Г. Рыбников (Москва), Д. Флаасс (Новосибирск) и А. Чурбанов (Москва). XIX Международная олимпида проходила в Белграде (Югославия). Мы рассекем об этой олимпиде в одном из следующего номеров жоррала.

Л. Лиманов

Решение
задач
олимпиды

В этой статье разбираются три задачи заключительного типа XI Всесоюзной математической олимпиды, которые не вошли в «Задачник« Жванта». Решения задач, опубликованных в «Задачнике« Жванта», появятся в соответствии with номера жоррала в следующем году. (Условия задач см. на с. 58—61.)

8 класс. Задачка 4.

Вместо того чтобы убрать фишки, будем ставить их, начав с одной черной фишки. Добавим к ней белые фишки так, чтобы у каждой из них был черный сосед (одну или две). Затем поставим несколько черных фишек так, чтобы у каждой из них был белый сосед и чтобы у «старой» черной фишки белых сосед не было. Следующим ходом снова ставятся белые фишки с соблюдением этих двух условий и т. д.

Обозначим через $b_i$ число черных фишек, выставленных после $i$ ходов, а через $w_i$ число белых. Если на $i+1$-м ходу приставляются черные фишки ($i$ четно), то $b_{i+1} = b_i + 2w_i$, $w_{i+1} = w_i$. Если же — белые фишки ($i$ четно), то $b_{i+1} = b_i$, $w_{i+1} = w_i + 2b_i$; мы каждойх ходом все фишки какого-нибудь одного цвета okружаем двумя фишками другого цвета. Ясно, что большего числа приставить невозможно.

Условия записываются положение фишек на okружности после $i$-го хода в виде вектора $\langle b_i; w_i \rangle$ и вычислить несколько векторов:

$$\langle 1;0 \rangle \rightarrow \langle 1;2 \rangle \rightarrow \langle 5;2 \rangle \rightarrow \langle 5;12 \rangle \rightarrow \langle 29;12 \rangle \rightarrow \langle 29;70 \rangle \rightarrow \langle 169;70 \rangle \rightarrow \langle 169;408 \rangle \rightarrow \langle 985;408 \rangle.$$

Убедимся теперь, что в задаче a) ответ положительный, а в задаче b) наименование числа ходов — восемь.

Действительно, послечетвертохода будет выставлено $29+12=41$ фишек. При перехождение от $\langle 5;12 \rangle$ к $\langle 29;12 \rangle$ добавляются 24 фишки. Из них не больше $2 \times 5=10$ ответа за выполнение второго условия — отдельют старые черные фишки от белых. Изозвем эти фишки обязательными. Пометим их

64

Докажем индукцией по $i$ такое неравенство:

$$\frac{1}{2^i} a_n - 2\varepsilon < a_{n+i} < \frac{1}{2^i} a_n + 2\varepsilon,$$

где $n$ — любое число, большее $m$. Действительно,

$$\frac{1}{2^{i+1}} a_n - 2\varepsilon = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2^i} a_n - 2\varepsilon \right) -$$

$$-\varepsilon < \frac{1}{2} a_{n+i} - \varepsilon < a_{n+i+1} <$$

$$< \frac{1}{2} a_{n+i} + \varepsilon < \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2^i} a_n + 2\varepsilon \right) + \varepsilon =$$

$$= \frac{1}{2^{i+1}} a_n + 2\varepsilon.$$

Но для любого $\varepsilon > 0$ можно указать такое $i$, что $\left| \frac{a_n}{2^i} \right| < \varepsilon$. Из этого следует, что для произвольного $\varepsilon > 0$ можно указать такое $k$, что для всех $l > k$ выполняется неравенство $-3\varepsilon < a_l < 3\varepsilon$. По определению предела это и означает, что $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$.

9 класс. Задча 5.

Будем считать, что на границе квадрата свободных узлов нет. Докажем, что любая система ломаных, удовлетворяющих условиям задачи и этому условию, проходит через четверное число узлов.

Занутерум узлы на границе квадрата так, как это показано на рисунке 2. Легко сообщить, что ломаная, соединяющая точки с номерами $i$ и $j$, проходит через $1+i-j+2l$ узлов, где значение $l$ зависит от ломаной. Подсчитаем теперь увоенное число узлов, через которого проходят наши ломаные. Поскольку из каждой точки квадрата, кроме вершин, выходит ломаная, это число равно $4.99 + \sum i - \sum j + 2\sum l (i,j)$, где $l(i,j)$ — значение $l$ для ломаной с началом в точке $i$ и концом в точке $j$. Легко заметить, что $\sum l(i,j)$ четна, поскольку каждое слагаемое встречается в ней дважды: $l(i,j) = l(j,i)$. Следовательно, наша система ломаных проходит через число узлов, а всего узлов, не лежащих на границе нашего листа, $99^2$ — нечетное число. Таким образом, действительное непройдетным хотя бы один узел.

65

Олимпида
по физике

Заключительный этап XI Всегоозной олимпиды школьников по физике проходил с 14 по 19 апреля этого года в городе Фрунзе. Участники этого этапа, как всегда, были победители ресурсиванских олимпид, зональных олимпид, проходивших в РСФСР, олимпид городов Москва и Ленинград и победители X Всегоозной олимпиды, получившие Дипломы I и II степени. Всего во Фрунзе приехали 136 человек: 50 десятиклассников, 47 девятиклассников, 39 восbmиклассников.

Открытие заключительного этапа олимпиды состоялось 14 апреля. С приветствными словами и пожеланиями успехов к участникам обработлись замечательные минстра народного образования Киргизской ССР 3. Д. Джантакова, представитель юридиции олимпиды по физике профессор Киргизского государственного университета Л. В. Тузов и др.

15 апреля начался первый — теоретический — тур. Как всегда, он проходил по классам. Восьмиклассик был предложен 4 задачи, девятиклассик — 5 задач, десятиклассик — 5 задач. В подготовке и составлении этих задачи принимающие преподаватели различных физических условий страны и преподаватели школа: Л. Г. Асламазов, Л. П. Баканина, В. Е. Белонучкин, Ю. М. Брук, Е. И. Бутиков, Н. И. Гольдфарб, М. В. Грабиленков, А. Р. Зильберман, О. Ф. Кабардин, С. М. Козел, А. С. Кондратьев,

С. С. Кротов, З. В. Оганесова, В. А. Орлов, Е. Л. Рамишевский, Н. А. Родина, О. Я. Савченко, В. Е. Скороваров, И. Ш. Слободецкий, А. Л. Стасенко, Е. Л. Сурков, В. Г. Харитонов и др.

Ниже мы приводим полные тексты задач теоретического типа заключительного этапа XI Всегоозной олимпиды (все эти задачи вошли в «Задачник «Кванта»» (см. «Квант», 1977, №№ 7, 8, 9)).

8 класс

1. Действующая модель подъемного крана способна поднять 10 бетонных лит без объема троса. Сколько лит поднимет реализный краан, изготовленный из тех же материалов, если линейные размеры крана, троса и лит в 12 раз больше, чем в модели?

2. Две льдины движутся поступательно с одинаковыми по абсолотному значению скорости: одна — на север, другая — на запад. Оказалось, что в любой момент времени на обеих льдинах можно так расположить часы, что скорости концов секундных стрелок относительно Земли будут равны, причем для каждой момента времени такое расположение единственно. Определить, на какое расстояние перемещаются льдины за сутки, если длина каждой секундной стрелки равна 1 см. Циферблаты часов расположены горизонтально.

Рис. 1.

Рис. 2.

66

3. При подключении галванического элемента напряжением 1,5 В к зажимам A и B амператор показал ток 1 А (рис. 1). Когда полярность элемента изменили на противоположную, ток упал в 2 раза. Какая электрическая цель находится внутри кооробки?

4. Рисунок 2 сделан со стrobоскопичесской фотографики кубика, движущегося вдоль наклонной плоскости. Промежутки времени между последовательными всышками лампы равны 0,1 с. Определить коэффициент трея кубика о плоскость.

9 класс

1. Цель, показанная на рисунке 3, собрана из одинаковых резисторов и одинаковых волтметров. Первый волтметр показывает $U_1=10$ В, а третий — $U_3=8$ В. Каково показание второго волтметра?

2. На рисунке 4 изображены два замкнутых цикла: $ABBA$ и $ABΓA$. Оба цикла проведены с идеальным одноатомным газом. 1) Указать, на каких участках циклов газ получает и на каких участках отдает тепло. 2) У какого из циклов коэффициент полезного действия выше? Во сколько раз?

3. В высоковольтном электристатическом генераторе заряды переносятся диэлектрической лентой и заряжают высоковольтный сферический электрод радиуса $R=1,5$ м (рис. 5). Оценить максимальные значения

Рис. 3.

Рис. 4.

Рис. 5.

Рис. 6.

Рис. 7.

Рис. 8.

68

Победители XI Всесоюзной олимпiadы школьников по физике, получшие Дипломы I степени. Внизу (слева направо): В. Решетов, В. Шукин, Д. Ковригин, К. Третьяченко, М. Цыпин; вверху (слева направо): Е. Зудин, А. Мирлин, С. Шпилькин, А. Ганопольский.

этого протона — кривая AA’. Почему меняется кривизна траектории протона? Определить энергию протона в точке C его траектории. Масса протона равна 1,67·10⁻²⁷ кг.
2) Определить, ядро какого элемента расположь в точке A, если треки частиц, начинающих в этой точке, идентифицированы как следы двух протонов и двух α-частиц.

5. На рисунке 11 приведена волтамперная характеристика лампоки от карманного фонаря. Лампока включана в схему, показанную на рисунке 12. 1) Найти графиски ток в лампоке. 2) При каком положении движка потенциометра направление между точками A и B равно нулю? 3) При каком положении движка потенциометра направление между точками A и B почти не будет меняться при небольших изменениях э. д. с. батареи? Внутренним сопротивлением батареи пребрежь.

16 апреля все участники олимпiadы приняли участие в Ленинском коммунистическом субботнике. Жорри олимпiadы в этот день проверило работу теоретического типа. Успешно справились с задачами многочестики. Наивысший балл, который давался за безукоризненно правильное решение задачи, был 1. Оdnako некоторые школьники привели также оригинальные решения, что жорри присудило им дополнительно еще 0,25 балла. Это был Л. Боеданов (Ленинград), А. Забродин (Московская обл.), О. Лиценко (Киев), А. Моржаков (Кемеровская обл.), А. Морозов (Москва), А. Московев (Токмак), И. Мошков (Ленинград), А. Поманов (Московская обл.), А. Шафаренко (Караганда), В. Шукин (Ленинград), О. Ющук (Киев).

17 апреля проходил экспериментальный тур. Задачи этоготура и оборудование для его проведения подготовили сотрудники физического факультета Киргизского государственного университета. Подробный разбор этих задач вы найдете в помещенной в этом номере статье П. Дика — ответственный секретаря жорри XI Всесоюзной олимпiadы по физике.

Нанболее успешно выполнили задание экспериментальноготура В. Бекмацев (Новосибирск), Л. Боеданов (Ленинград), А. Ганопольский (Минск), А. Дик (Фрунзенская обл.), Д. Коврицин (Ленинградская обл.), Т. Круузе (Тарту), А. Морозов (Москва), В. Решетов (Московская обл.), А. Сухинин (Приморский кр.), К. Третьяченко (Киев), С. Шпилькин (Московская обл.), А. Юрешенон (Омск), О. Ющук (Киев).

18 апреля жорри олимпiadы после шательного анализа теоретических и экспериментальных работ участников определило лучших из них.

19 апреля на закрытии XI Всесоюзной олимпiadы школьников по

69

физике было объявлено решение жюри. Имена победителей, получивших Дипломы I, II и III степени, приведены на 73 странице этого номера. Многие участники олимпиады нагружены различными грамотами и призами. Специальный приз — подшивку журнала «Квант» за 1976 год с автором главного редактора журнала академика И. К. Кикона — получил Б. Барпцев (восьмиклассик из cela Успеновка КиргССР). Подпиской на журнале «Квант» на 1978 год нагружены А. Абольный (Рига), Г. Ваякас (Тарту), И. Гусев (Воркута), В. Пивоваров (Краснойрск) и В. Таураймис (Вильнюс).

Согласно постановлению Министерства просвещения СССР о проведении Всесоюзной олимпиады школьников, победители XI Всесоюзной олимпиады, нагруженные Дипломами I и II степени, получили право участвовать в заключительном этапе XII Всесоюзной олимпиады.

Десятиклассики А. Ганопольский, В. Решетов, К. Тремьяченko, Р. Шарипов и В. Шукин стали участниками X Международной физической олимпиады школьников, которая проходит в этом году в городе Градец Кралové (Чехословакия). Об этой олимпиаде мы рассекем в одном из следующего номеров нашего журнала.

Жюри заседает.

Идет эксперимент.

П. Дик

Экспериментальные задачи олимпиады по физике

17 апреля в laboratorиях физического факультета Киргизского государственного университета проходил экспериментальный тур заключителого этапа XI Всесоюзной олимпиады школьников по физике. Каждый участник олимпиады предлагалось решить две экспериментальные задачи. Рассказем об этих задах и их решениях.

8 класс

Задача 1. Определите плотность металла, нахождение в одном из двух кусков пластмина, если известно, что масси пластмина в общих кусках одинаковы. Оцените мощность получения результата. Извлекать металла из пластмина не разрешается.

Оборудование: 1) вес с разновесами, 2) стакан с водой, 3) штампы.

Пользовать весами с разновесами, можно определить массу куска пластмина с металлом ($m_{\pi\pi}+m_{\mu}$), массу чистого пластмина ($m_{\pi\pi}$) и по их разности — массу металла ($m_{\mu}$), нахождение в одном из кусков пластмина. Возвив данные куски пластмина сначала в воздухе, а потом в воде, можно найти вытальниковую силу и, зная плотность воды, можно вычислить объемы кусков ($V_{\pi\pi}+V_{\mu}$ и $V_{\pi\pi}$). Объем металла ($V_{\mu}$) можно определить по разности этих объемов. Тогда плотность металла

$$\rho_{\mu}=\frac{m_{\mu}}{V_{\mu}}.$$

Было два варианта: в одних кусках пластмина нахождения куска чистого пластмина массой, равной массе пластмина в составном куске, давался проектилін (в неопределенном количестве). В этом случае для решения задачи надо было бы взять куско чистого пластмина, масса которого равна массе ($m$) составного куска (объем $V$), и определить его объем ($V_0$). Плотность металла можно найти, ре-

70

шив следующую систему четырех управлений с четырьмя неизвестными ($\rho_M, \rho_{II}, V_M$ и $V_{III}$):

$$\begin{align*} m &= \rho_{II} V_{III} + \rho_M V_M \\ V &= V_{III} + V_M \\ V_0 &= V_{III} + \frac{\rho_M}{\rho_{II}} V_M \\ \rho_{III} &= \frac{m}{V_0}. \end{align*}$$

Задача 2. С помощью двух диамометров и двух измерительных линейок определите возможность механической схемы и параметры составных элементов в коробочке (рис. 1), не вскрывая ее.

Примечние. Не разрешается избытать выстинающее проводное конец и расстояние их с силой, превышающее предельные показания диамометрс.

Эту задачу с «черным ящиком» решили многоге учатники олимпиды. Внутри коробочки была механическая схема, состоящая из свободно перемещаются рычажа, пружинки и четырех проводных выводов с кричками на концах (рис. 2). Разгадать эту схему можно было, сравнивая почередно смесения проводных концов при неподвижном одном из них.

Пусть сначала остается неподвижным конец $A$, а конец $D$ смещается, например, вправо на $\Delta x_D = 2$ см. При этом конец $B$ смещается тоже вправо, но на величины $\Delta x_B = 3$ см, а конец $C$ смещается неподвижным. Если оставить неподвижным конец $B$, а конец $D$ переместить на $\Delta x_D = 1$ см, то концы $A$ и $C$ переместятся в ту же сторону, но на $\Delta x_A = \Delta x_C = 3$ см. Если же оставить неподвижными сразу два конца: $A$ и $B$ (для чего между соответствующими кричками можно было зажать линейку), то концы $D$ и $C$ никака не сместятся. Но если при этом к концу $C$ прикрепляется к рычажу непосредственно, а конец $C$ — через пружинку. Конкретные изменения дают возможность определить соответствие площы рычажа, жесткость пружинки и ее предельно допустимое растяжение.

9 класс

Задача 1. Определить объем воздуха, удаляемого насосом Комовского за один цикл, и аммосферное давление.

Оборудование: 1) насос Комовского, 2) вакуумная марлека с колпаком, 3) манометр, 4) линейка, 5) математические таблицы.

С помощью линейки можно изменить внутренний диаметр и среднюю высоту колпака и определить объем $V_0$ воздуха под колпаком.

Обозначим атмосферное давление через $p_0$, давление под колпаком после первого оборота рукоятки насоса через $p_1$, объем удаленного за один оборот воздуха через $\Delta V$. Тогда при медленном врашении рукоятки (когда температура воздуха не меняется) выполняется такое соответствие:

$$p_0 V_0 = p_1 (V_0 + \Delta V).$$

После второго оборота можно записать аналогичное равенство:

$$p_1 V_0 = p_2 (V_0 + \Delta V).$$

В принципиале из этих двух управлений можно найти атмосферное давление $p_0$ и объем $\Delta V$ удаленного за один оборот воздуха. Однако практические неудобно изменять давления воздуха после каждого оборота ($p_1$ очень низначительно отличается от $p_2$). Лучшие изменения давления после изменений к $n$ оборотов и составить соответствующее систему управления:

$$\begin{align*} p_0 V_0^k &= p_k (V_0 + \Delta V)^k \\ p_0 V_0^n &= p_n (V_0 + \Delta V)^n. \end{align*}$$

Отсюда

$$V_0^{n-k} = \frac{p_n}{p_k} (V_0 + \Delta V)^{n-k}.$$

Проголагарифмовов это управление, можно найти $\Delta V$, а затем и $p_0$.

Задача 2. Второй задачей для деятивиклассников, как и для восbmиклассников, была задача с «черным ящиком». Только в этом случае схема внутри была несколько инной (рис. 3), причем концы $B$ и $D$ были прикреплены к рычажу шарнирно.

10 класс

Задача 1. Определите, как можно менее, показатель предомления жидкости.

Оборудование: 1) колба с использованием жидкости, 2) стеклянная ковета,

Рис. 1.

Рис. 2.