Квант 1977, №12 · Страницы

КВАНМ 12
1977

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - MATEMATIЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

На этом рисунке изображена одна из замечательных кривых — кардиона (так она была названа в 1741 году французским математиком Кастильоном из-за сходства с сердцем (жарбια по-греческий — сердце).

Здесь приведен один из способов ее построения. На окружности выбираем произвольную точку и проводим через нее все возможные хорды (на рисунке они чёрного цвета). Возьмем произвольную из этих хорд и проводем из второго ее конца еще одну, «красную» хорду, конгрузнутую «чёрной». Оценающее (см. «Квант», 1977, № 9, заметку «Нефроида») семейства этих «красных» хорд и будет кардиона.

Подробнее о кардионе читайте на с. 33.

1

Главный редактор
академик И. К. Кикоин
Первый заместитель
главного редактора
академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:
М. И. Башмаков
С. Т. Белев
В. Г. Болтянский
Н. Б. Васильев
Ю. Н. Ефремов
В. Г. Зубов
П. Л. Капица
В. А. Кириллин
А. И. Климанов
С. М. Козел
В. А. Лешковцев
(зам. главного редактора)
Л. Г. Макар-Лиманов
А. И. Маркушевич
Н. А. Патрикеева
И. С. Петраков
Н. Х. Розов
А. П. Савин
И. Ш. Слободецкий
М. Л. Смолянский
(зам. главного редактора)
Я. А. Смородинский
В. А. Фабрикант
А. Т. Цветков
М. П. Шаскольская
С. И. Шварцбург
А. И. Ширшов

В НОМЕРЕ:
3 И. Кикоин. Как создавалась советская физика
12 С. Гиндикин. Пьер-Симон Лаплас
22 М. Мамикон. Задча оферзях

Лаборатория «Квант»
M. Голубев, А. Каедаленко. Капля на горячей поверхности

Математический кругхок
В. Войскунский. Сегодня — фигурное катание

Задачик «Квант»
Задачи М476—М480; Ф488—Ф492
Решения задач М434, М435; Ф445, Ф446

По страницам школьных учебников
А. Бендукидзе. Производная показательной функции

«Квант» для младших школьников
Задачи
И. Шепочкина. Дважды об одном

Практикум абитуриента
Я. Суконик, П. Горницейн. Задачи на площади и двугранные углы
Н. Гольдфарб, В. Новиков. Импульс тела и системы тел

Ответы, указания, решения
Список читателей, приславших правильные решения задач из задачника «Квант» (с. 32, 43, 51, 59)

Напечатано в 1977 году

Смеся (с. 27, 29, 33)

© Главная редакция физiko-mатематической литературы
издательства «Нука», «Квант», 1977

2

И сполнилось 70 лет члену редколлеции нашего журнала, действительному члену Академии педагогических наук СССР, доктору физико-математических наук, профессору Валентину Александровичу Фабриканту.
Редколлеция и редакция журнала «Квант» от своего имени и от имени многих тысяч читателей поздравляют Валентина Александровича с его semiдесертителем и желают ему здоровья, должны лет жизни и новых больших успехов в его благородной деятельности ученого и педагога.

3

Как создавалась советская физика

Мы заканчиваем публикацию воспоминаний академика И. К. Кикона.
Начало см. «Квант» №10, 11.

Do конца двадцатых годов нашего столетия основные условия физики мира, в том числе и советских, были направлены на решение проблемы строения atoms, его электронной оболочки и физики металлов.

Что же касается проблемы строения atomного ядра, то его заимались немногое физики. В основном это были физики школа Резерфора в Англии и Марии Кюри во Франции. В Советском Союзе ядерной физикой заимались ленинградские учены Л. В. Мысовский в Государственном радиевом институте, Д. В. Скобельцын в Ленинградском политехническом и Ленинградском физико-техническом институтах.

В то время нас обучали, а потом мы сами обучали тому, что ядро состоит из протонов и электронов, что число протонов равно atomному весу элемента, а число электронов в ядре равно разности atomного веса и порядкового номера элемента.

В начале 30-х годов в ядерной физике произвел информационный взрыв — в течение двух-трех лет на нас буквально обрушился поток новых фундаментальных открытий. В 1931 году в лаборатории Резерфора Кокрофт и Уолтон впервые осуществили расчетление ядер лития путем bombardировки их протонами с энергей в несколько сот кэВ. При этом из лития вылетали α-частицы с энергей около 8 МэВ. Сообщение об этих опитах ожидлено обсуждалось нами в лабораториях, в коридорах и даже за обедом. Это был первый случай, когда энергия образовашился частиц значительно превышала энергию bombardирових частиц.

Несколько позже эти опыты были повторены во многих laboratorиях мира и, в частности, у нас харьковскими физками под руководством К. Д. Синельникова.

В 1932 году английский физик Чэдвик (ученик Резерфора) открыл нейtron — частиц, масса которой близка к массе протона, но не имеющего электрического заряда. Это было настоящей сенсцией. Тем более, что независимо до этого аналогичные опыты были проведены немецкими и французскими физками, которые так же как и Чэдвик наблюдали проникающие излучение, испускаемое легкими элементами (например, бериллием) при bombardировке их α-частицами. Это излучение легко проникало сквозь тольтый слой свинца и при попадании на парафин выбивало из него протоны. Эти физики считали, что проникающие через свинце излучение представляют собой γ-лучи, но не стали изменять их энергию. Чэдвик же провел такие измерения и убедился, что такой энергий γ-лучи не могут обладать. Он убедительно показал, что сквозь свинце проникают незаряженные частицы, которые оказались нейтроны. Для нас это было дополнительной иллюстрацией того, как важны количественные опыты в физике.

В том же 1932 году появилось сообщение об открытии в космических лучах новой элементарной частицы — позитрона, которая представляла собой положительное элементарное электрон.

Все эти сообщения публикаались краткими заметками, без подробностей, в научно-популярных журналах.

4

налах, и мы с нетерпенем ждали появления подробных статей уже в серъезных научных физических журналах.

Для быстро введения советских ученых в русло современных идеей физики atomного ядра А. Ф. Иоффе решил организаовать Всесоюзную конференцию по физике atomного ядра с участем крупнейших зарубежных ученых. Эта конференция состоялась в конце сентября 1933 года. Она проходила в актовом зале Академии наук в Ленинграде. По составу участников и по широком программистом конференция имела международный характер. В ней приняли участие англійский физик Паулли, французские физики Перрен, супруги Жоллю-Кюри и другие всемирно известные ученые.

Уже после первых опытов по расширению ядра лития А. Ф. Иоффе понял, что физика atomного ядра вступает в новую эру, и присутствил к организации исследований в этой области в нашем физico-техническом институте. Поначалу был организован постояно действующий семинар по ядерной физике (отделно от общефициского традиционного семинара, о котором я уже рассказывал).

На этом семинаре (насколько я помню, он собирался по средам) детально обсуждались все новые работы по ядерной физике. Хотя я не собирался стать «ядерщиком», потому что был увлечен своим исследованием полупроводников и металлов, но аккуратно посещал эти семинары, чтобы быть в курсе новых событий в физике. Когда на семинаре обсуждалось очередное сенсционное сообщение, зал было переполнен. Довольно скоро в институте организации две группы «ядерщиков». Одана под руководством И. В. Курчатова, другая под руководством А. И. Алиханова. Обе эти группы заялялись созданием новой для них экспериментальной техники. Над было обзавести источником α-частиц, β-частиц (электронов), γ-частии и нейтронов. Такими источниками были продукты радиоактивного распада радия, запасы которого были сосредоточены в Ленинградском радиовом институте. Источником нейтронов служили amпульы, содержащие газообразный радон (продукт распада радия), излучащий α-частицы, и порошок берилля (берилли, облучаемый α-частицами, испускает нейтроны). Одновременно готовились приборы для регистрации частиц — счетчики, камеры Вильсона,онизационные камеры и многое другое вды техники, без которых нельзя начинить экспериментов по ядерной физике. Все это было сравнительно быстро разработано, изготовлено собственными руками, и экспериментальная работа закипела.

Вскоре после открытия позитрона в космических лучах многое физики стали искать возможность получения позитронов в лабораторных условиях. Эти попытки не только увенчались успехом, но и привели к открытию искусственной радиоактивности. Ирэн и Фредерик Жоллю-Кюри обнаружили, что во время облучения α-частицами легких элементов, например, алюминия или магния, они испускают позитроны. Испледуя это явление, они неожиданное обрабатывающее его экспериментальное закону интенсивность. Так супруги Кюри сделали двойное открытие. Они впервые обрабатывали искусственный радиоактивность и открыли новый вид радиоактивного распада — позитронный распад.

Сообщение об этих опытах было на нас не менее сенсцией, чем открытие нейтрона. Искусственная радиоактивность при облучении α-частицами наблюдается только у легких элементов. У тяжелых элементов ее обрабатывали. Это объяснялось тем, чтовероятность произвольного заряженных частиц (например, α-частиц) внутреннего мала. Именно по этим причинам итальянский физик Ферми

ных элементов, наполнитель на трудности. Известно, что электrons, испускаемые при β-распаде, имеют различные кинетические энергии, значения которых лежат в пределах от нуля до некоторого максимального значения, которое характерно для каждой ядра. Между тем, очевидно, что при радиоактивном превращении ядра оно переходит из определенного начального состояния в конечное состояние, то же совершено определенно. При этом должны выделяться вполне определенная энергия, которая и передается вылетешему из ядра электону. Почему же вылеташие электrons имеют различные энергии? Например, ядра $^{210}_{83}$Bi в результате β-распада превращаются в ядра $^{210}_{84}$Po. Максимальная энергия вылетших электронов для этой реакции — $1,05 \cdot 10^6$ ЭВ. Иными словами, энергия каждого ядра $^{210}_{83}$Bi уменьшается на $1,05 \cdot 10^6$ ЭВ. Средняя же энергия, приходящая на каждой вылетащий электрон, оказывается равной $0,39 \cdot 10^6$ ЭВ. Следовательно, у некоторые из вылетших электронов энергия меньше чем энергия, «потерянная» ядром. Куда же deveется остальная часть энергии?

Этот вопрос в начале тридцать годов был одним из наиболее животрепещущих. Нильс Бор решился даже предложить, что в элементарных ядernых процесах может нарушаться закон сохранения энергии.

«Выход» из создавшегося положения предложил швейцарский физик Паули. Он предложил, что при распаде ядра вместе с электроном вылетает еще одна часть ничтожно малой массы, не имеющая заряда, которая и «уносит» с собой «недостаточно» энергию. Этот частице для назначения нейтрино (по-русски «нейтришка»). Однако все попытки обнаружить нейтрино на опите успеха не имели. нейтрино оставалась «частицей секретной, фигуры не имеющей», как мы ее в шутку назвали, перефазируя соответствующое место из повести Тынянова «Поручик Киже».

Первый опыт, результаты которого явились косвенным подтверждением существования нейтрино, принимают А. И. Лейпунскому, который

10

ло возможности нашего мирного строительства》.

С начала 50-х годов в нашей институте началась интескивная разработка проблем, связанных с мирным использованиемatomной энергии. Первым итогом этих работ был пуск в 1954 году в подмосковном городе Обнинске первой в мире atomной электростанции. Она имеет небольшую мощность, всего 5000 кВт. Но сегодня у нас в стране работает atomные электростанции различных типов и средних — гигант atomной энергетики Ленинградская АЭС мощностью в 2 000 000 кВт. В X пятиле мощность советских АЭС значительно вырастет.

Более 10 лет успешно трудится построенный под научным руководством физков нашего института первой в мире atomной ледокол «Ленин», немало способствовавший развитие навигации в полярных шипотах. Недавно построенный atomный ледокол «Арктика» уже совершил плавание к Северному полюсу. Готовится вступить в строй еще более мощный atomный ледокол «Сибирь».

В начале 50-х годов у физков возникла идея использования энергии, выделяющегося в так называемых термодерных реакциях. Еще до войны появлась теория немецкого физика Бёте и других физков, согласно которой огромная энергия, излучаемая Солнцем, обеспечивает термодерной реакцией, протекающий следующим образом. При удовлетворении высоких температурх легкие ядра, обладающие громадной кинетической энергей, способны преодолеть кулоновские силы отталкивания и могут сливаться в более тяжелые ядра. Этот процесс сопровождается выделением огромной энергии, значительное превышающее энергию сливающихся ядер.

В «земных» условиях термодерная реакция впервые была использована для получения взрыва громадной мощности — была создана термодерная bomба. После этого вступал вопрос о возможности использования термодерной энергии в мирных целях. Природные запасы

11

урна, используемого в atomных реакторах, ограничены. Запасы железного элемента как действий (тяжелый водород $^3\text{H}$), которые может быть использован для термоядерных реакций, огромны — действий входит в состав тяжелой воды, которая составляет 1/6000 долю всей воды, имеющейся на земном шаре. А при слиянии двух ядер действия энергия около 13 МэВ, что намного превышает первоначальную энергию сливоцикся ядер. Так что эта классовая энергия практически неисследованя в этом направлении.

Но для того чтобы использовать эту энергию в мирных целях, необходимо преждевременно переоначальную энергию сливоцикся ядер. Так что эта классовая энергия практически неисследованя в этом направлении.

Прежде всего необходимо было научиться нагреть водород до высокой температуры, при которой ядра способны вступать в термоядерную реакцию. Самое простое — нагревать газ электрическим током. Для этого создают в газе разряд, и при больших значениях силы тока газ нагревается за счет джоулева тепла. При этом газ полностью ionизируется, превращается в плазму. При очень высоких температурах водородная плазма представляется собой «смесь» электронов и ядер, которые могут вступать в термоядерную реакцию. Однако высокотемпературная плазма очень неустойчива — при огромных токах, протекающих через разряд, одномерно заряженные слой плазмы расталкиваются, попадая на стенки газоразрядной трубки и быстро охлаждаясь.

Проблема «удержания» плазмы — одна из самых сложных проблем, которое необходимо решить на пути осуществления управления термоядерной реакции. И советские физики внесли неоценный вклад в решение этой проблемы. Под руководством академиков Л. А. Арцимовича и М. А. Леонтовича в Истичите atomной энергии была конструкрована установка, в которой специальным образом подобранное и ориентированное магнитное поле позволяет удерживать высокотемпературную плазму. Это — так называемый ТОКАМАК — «тороидальная камера в магнитном поле». Сейчас во всем мире опыты по удержанию плазмы осуществляют в основном на установках подобного типа. И называют их во всем мире ТОКАМАК.

В настоящее время исследования по проблеме управления термоядерной реакции на таком уровне, что уже инженеры и конструкторы приступают к рассмотрению чисто инженерных, технических вопросов, связанных с осуществлением прототипа будущего термоядерной станции. Можно надеться, что к концу века или немного раны также прототип будет построен, испытан, и тогда можно будет решить вопрос о промышленном использовании термоядерной энергии.

Конечно, я не могу дать исчерпывающую картину развития советской физики. Я расссказываю, в основном, лишь о тех работах, с которых мне, так или иначе, пришлось сталкивать. Поэтому я не расссказал о многих выдоощихся достижениях советских физиков — таких какрожение квантовой электронки в работе луреатов Нобелевской премии академиков Н. Г. Басова и А. М. Прохорова, открытие электронного параметриного резонанса академиком Е. К. Завойским, открытие принципи аWTO саряженных частц академиком В. И. Векслером и многое другое. Однако я надеюсь, что мой расссказ помог читателям «Кванта» представить себе, какой огромный вклад внесли советские физики в развития науки и техники за 60 лет Советской власти.

12

С. Гиндикин

Пьер-Симон Лаплас

Канцлер императорского Сената, полуавший более 100 тысяч ливров годовой ренты, с неменьшим усердием, чем простой академик, Лаплас стремился уважать все неправильности и возмущения в движении светил с прицелом всемирного тяотеня, распространить метод математического анализа на явления земной физики и подчинить своим формулам явления общественного жизни, в которых обыстатель видит тайну или слепой слуаей.

Араго

5 марта 1827 года в 9 часов утра умер маркиз Лаплас, пэр Франции, один из первых кавалеров ordenа Почетного Легиона, удостоенный высшего отличия ordenа — Большого

Креста. «To, что мы знаем, мак ничтожно по сравнению с тем, чего мы не знаем» — были последние его слова. Лапласа называли «французским Ньютоном»; умер онровно через сто лет после смерти Ньютона, былшего его кумиром.

Посмертные почетки Лапласу отдавались с некоторой растерянностью. В речи Фурье говорилось: «Можем быть, мне следовал бы упомянуть об успехах Лапласа на порции полимического деятельности, но все это не существует: мы чистым Великого математика. Мы должны отделить бессмертного творца «Небесной механики» от министра и семантора». Окружающийся смущало, что Лаплас успел побить республиканцем и монархистом, атенстом и католиком, получать почетки при Империи и после Реставрации. (Впрочем, бывший якобинец Фурье тоже впоследствии стал бароном.)

13

Бомон — Париж, 1749—1789

Будущий маркз родился 23 марта 1749 года в семье крестьянна в маленьком Бомоне (Нормандия). Позднее он неохотно говорил о своем детстве и после 21 года никакда не виделся с родителями. Благодаря неизвестным покровителем Лаплас заканчивает колледж Ордена бенедиктицев. В 17 лет он уже преподает математику в военной школе.

Лаплас начинает интенсивно заниматься математикой и механикой. В 1770 году, запасщись рекомендаться письмом к велиkomу Даламберу, он отправляется в Париж. Ему долго не удается пустить в ход рекомендации, пока не приходит в голову счастливая идея — изложить свои сображения по механике письменно. Оргинальнаяность мыслей юноши произвела сльное впечатление на Даламбера: «Вы зарекомендовали себя сами и этомо мне совершенно достамоно. Моя помочь к Вашим услугам».

При помощи Даламбера Лаплас устранвается преподавателем военной шкOLS, а потом занimaет освободившееся после смерти Безу место экзаменатора в королевском корпусе артиллеристов. В 1784 году ему блестящие сдел экзамен молодой Бонапарт, о чем Лаплас имел возможность вспомнить в 1804 году: «Я хочу к приветствиям народа присоединить и свое приветствие императору Франции,Zeroю, коморому двадцать лет тому назад я имел счастливую привлечению открытых карьеру, осуществленную им с макой слабой и с максимом для Франции».

В 1772 году Лаплас баллотируется в Академии наук *) на место адьюнкта

*) В то время во Франции существовал пять академий. Отметим среди них Французскую академию, основанную в 1635 году кардиалом Рищелье для совершенствования французского языка и составления словаря, и Академию наук, созданную в 1666 году. Французская академия состоит из 40 пожизненных членов. Новых членов выбирают на место умерших. Членов французской академии часто называют «бесмертными». Академию наук (L’Académie des Sciences) точнее было бы называть по-русски Академией естественных х наук, потому что французское «science» применяется только к таким наукам.—Прим. ред.

(младшая должность) по геометрии*), но его не выбирают. По-видимому, одной из причин этого было не слишком благоприятное мне французских ученых о молодом коллеге. Лагранж занимает более сисходительную и оптимистическую позицию: «Меня несколько удивляем мою, что Мы мне пишем о Лапласе: кищиться первыми успехами — недостаток, свойственный, главным образом, очень молодым людей. Однако при увеличении значений самонадлежность общино уменышается» (письмо непретенному секретario Академии наук Кондорсе). Лаплас уже подумывает о переезде в Берлин, к Лагранжу, но в 1774 году получает место адьюнкта по механике.

Почти вся научная деятельности Лапласа была посвящена небесной механике (см. ниже). Но его интересы значительное шире. Так, в 1779—1784 года он сотрудничает с Лавузьею по самым разным вопросам (определенные теллоемкости, проблемы филогистона, атмосферное электричесво): «Я, право, не знаю, каким образом я dal себя увлечь в работу по физике, и Вы найдете, быть может, что лучше бы сделал, если бы воздержался от этого; но я не могуать против насной моей другая Лавузье, который включает в эту совместную работу столько приятности и ума, сколько лишь я мог бы пожелать. Кроме того, как как он очень богат, он не желает ничего, что бы придать опытом моейности, необходимую при таких монких исследованиях». Принимает Лаплас участие и в общественной жизни: он входит вコミссюю Академии наук, обслуживает большицы для бедных, санитарное состояние городаских боен.

Авторитет Лапласа растет. В 1784 году он становится академиком (по механике).

Путь биомонского крестьянна не был уникален. К концу XVIII века во Франции почти пользовала членов Академии наук были простого проискождения. Налример, Монж был сыном деревенского точильщика, Фурье—

*) Геометрией в XVIII века называли все математические отделения Академии наук называют отделением геометрии.

14

Пьер-Симон Лаплас.
(портрет начала XIX века).

сын портного, Пуассон — сын солдата. Участие вышено сословия в науке обычно ограничивалось меценатством и почетным членством в Академии. Даламбер жалуется: «Меченов в наше время разведь мною, что нем возможности всех их должным образом восхвалять и благодарить».

В 1788 году Лаплас женился. Через год у него родился сын. Размерная, благополучная жизнь была превращана собственными, решительно измененными жизньми.

Революция, Империя, Реставрация

Революционные события захватили значительный часть французских ученых. Друг Лапласа астроном Байы был первым зерром Парижа, Кондорсе — членом мунципалитета, выдавшийся математик Монж — морским министром. В 1791 году рядом академков выдвинулли свои кандидатуры в Законодательное собрание (Кондорсе, Лавузье). В связи с этим составным памфлетом «Современные шарлатаны» выступил Марат. Задно досталось и Лапласу: «К числу лучших математиков-акademików относится Лаплас, Монж и Кузень: род автором, привикших следовать известным формул и прилазать их веленю, как мелничная лошадь, комора привыка делать определен-ное число крутов, прежде чем османовать».

Лапласа вместе с Лагранжем, Монжем, Лавузье привлекли к работе в Метрической комиссии, целюко которой было создание единой системы мер. В период якобинской дикатуры Лапласа отозвал из комиссии внуду «недостаточности ресурublikанских добродетелей и слишком слабой неавистии к тиранам». В 1799 году он вернулся в комиссию и под его наблюдением были изготовлены этаоны метра и килограмма.

Летом 1793 года по признаву Комитета общественного спасения большая группа ученых занялась научными исследованиями для организации обороны от ожидавшейся агрессии. Лапласа среди них не было. Он удалился в тихий Мелен, где присутствил к работе над многотомной «Небесной механикой» — главным делом своей жизни.

В 1793 году Конвент управил существовавшие академии. В 1793—1794 года некоторые академики кончили свои дни на глютоте. Вместе с делутами жирондистами был приговoren к смерти, но скрылся Кондорсе. По «Закону о подозрительных» был казен как откупщик Лавузье. На эшафоте погиб и Байи, который Лаплас пытался прятать у себя в доме в Мелене.

Лаплас вернулся в Париж после термидиранского переворота осенью 1794 года. Наряду с Лагранжем и другими крупнейшими учеными. он занял место профессора в Нормальной школе. Это учебное завершение нового типа было задумано еще при Конвенте; оно было признано готовить преподавателей и ученых для всей Франции. Привлечение крупных ученых в качестве преподавателей было новинкой. Позднее для подготовки инженеров на столъже высоком уровне была создана Политехническая школа. Лаплас читал лекции и здесь. Он становится председателем Палаты мер и весов, активно сотрудничает в Бюро долгот, созданном для упорядочения астроνομоеедических изменений и службы времени.

В 1795 году Директория учредила Национальный институт наук иис-

15

кусств (во Франции его часто называют простой «Институт»). Институт делился на разряды. Первым был назван разряд физических и математических наук.

Генерал Бонапарт всячеки поддерживал контакты с Институтом, принимал активное участие в работе отделения геометрии. Во время Египетского похода свон прокламации он подписьвал: «Бонапарт, главнокомандующий, член Института».

В 1799 году вышли два первых тома «Небесной механики» и Лаплас — буквально за несколько дней до переворота 18 бриомера (12 ноября) — подарил I том Наполеону. В ответе генерала сказалано: «С блаодарностью принципа, гражданин, присланий Вами экземпляр Ващее прекрасно.mpruда. Первые же шесть месяцев, который я буду иметь возможность располагаать, почти на мо, чтобы просить Ващей прекрасно произведение».

После установления консулата Наполеон решает предоставить пост минстра внутренних дел ученому. Выбор пал на Лапласа, вероятоно — ввиду его большой известности и личного знакомства с Наполеоном. Однако деятельности Лапласа на посту минстра была малоупешной. В отличие от своих коллег по кабинету Талейрана и Фуше, Лаплас не сумел вовремя сорентироваться, куда направлены помыслы консула, покрытательствовшего научкам. Не без наивности преследует он роялизм и религию: «Не упускайте ни одного случая доказать вашим содержанием, что существует не больше роялизма вышеем от перемен, просследших 18 бриомера» (из циркуляра минстра Лапласа). Прошло не многоим более месяцев, и Наполеон заменил Лапласа своим братом Люсьеном. Воспоминаниях Наполеона, написанных на острове св. Елены, сказалано: «Первоклассныйgeomер вскоре заявил себя администратором более чем посредственным; первые его шаги на этом поприще убедили нас в том, что мы в нем обманульись. Замечательно, что ни один из вопросов практической жизни не представлялся Лапласу в его истинном смете. Он взделе искал субмильности, мелочи; идеи его отличились заадоностью; наконец, он весь был пропикнут духовом «бесконечно малых», который он вносил и в администрацию».

Тем не менее обмен любезности между Наполером и Лапласом не прекратился. Став Первым консулом, Наполеон назначает Лапласа пожизненным членом «Охранительного сената». (Впрочем, никакой роли в политической жизни этот сенат не играл.) С 1803 года Лаплас — кандидат сената. В числе немногих актов сената была отмена — по докладу Лапласа —революционного календаря. Учреждается орден Почетного Легина, и Лаплас — в числе первых его кавалеров. В 1808 году он — граф имперации.

Тем временем Лаплас продолжает работать над «Небесной механикой». В 1802 году выходит третий том, посвященный Наполеону — «дерюю, умиротворимело Европы, который Франция обязана своим проеванием, своим величем и самой блестичей элохой своей слабы». В ответе Наполеона говорится: «Истинно созалено, что сила обстоятельств удалила меня от ученого поприца». Несолько позже, уже император, Наполеон написет: «Мне кажется, что «Небесная механика» возвщена блеск нашей века». 12 августа 1812 года, находясь под Смоленском, Наполеон получает «Аналитическое теорию вероятности» и вновь созалет: «В иное время, располагая досуем, я с интересом прочитал бы Вашу «Теорию вероятности»… И далее: «Распространение, усвоениестворение математических наук место соединицы с блаоденстем государства».

Наполеон активно вмешивается в деятельности Института. В 1801 году для членов Института ввели обязательную форму. Члены Института выступали после месяцев в шеерегу в гостиной Тюльры для представления императору. В это время императору можно было передать научные труды и получить его «отечественное» настоящего. Покровительству точным научкам, он с недоверием относился к гуманитарным. В 1803 году НаполеонLINKидировал в Институте разряд моральных и политических наук. Когда до него дошли слухи, что в разряде французского языка и словесности ведутся разговоры о политике, он заявил Сегюру: «Вы председательствуете во втором разряде Института. Я приказываю Вам передать ему, что

16

я не желаю, чтобы на заседанных говорили о политике. Если разряд не будем повиноваться, я сломаю его, как негодную просточку».

В 1814 году перед padением Парижа сенат прошил неожиданную активность: по инциативе Талейрана он призвал Бурбонов. Лаплас подписался под этим решением одним из первых. Во время Ста дней он не покидал провинции.

После Реставрации разряды Института слова получили наименование академия. Академия наук безропотно удалила из своих рядов неугодных монархии Монжа и Карно. На Лапласаже посыпались почетки. В первый год правления Людовика XVIII он ставився маркизом и прером Франции, получает Больший Крест Почетного Легинана. В 1816 году он — президент Бюро долгот и председатель комиссии по реорганизации Политехнической школи, его выбирают в «Академию бессмертных» — редкое отличие для представителя точных наук. Выступления Лапласа в палате разров были редкими, бесцветными и бескомпромиссно монархическими. Когда часть Института протестила против введения Карлом Х цензуры, Лаплас в печати открылся от этого протеста. Сен-Симон неодовал: «Господа, изучающее неорганизованную материю, бесконечно маленььи, аллебру и арифметику! Кто dal вам право занимать meter передовые позиции?… Вы вынесли из научки молоко odно налодение, именно, что том, кто льстит великим мира, пользовся их бласклонностью и цедромами».

Сохранились много рассказов о поведении Лапласа в Академии наук. Вот два из них.

Араго и Пуассон претензовали на одно место в Академии. Лаплас заявил, что надо отделить предопочтение более старшему Пуассону. Произошел резкий обмен мнениями.

Лагранж. Но Вы сами, господин де Лаплас, были избраны в члены Академии, когда не сделали еще ничего выдающейся, подавали только надежды и все Ваши великие открытия были сделаны уже позднее.

Лаплас с. А я все-tаки считаю, что на звание академика нужно указывать молодым людям, как на будущею награду, чтобы поощрить их усилия.

Галл е. Вы пожожи на кучера, который привязывает к洛克 сена к концу дышла своей повозки для приманки ложадей.

Такая хитрость кончается тем, что люди выбивают из сил и околевают.

Лапласу пришлось уступить.

В другой раз, в 1822 году, Фурье и Бюго баллотировались на должность непременного секретаря. Лаплас взял два биологического одного. Его сосед увидел, что он на обонх написал имя Фурье. После этого Лаплас положил бicolletен в шляпу, попросил соседа выбрать один из них, другой разорвал и громко заявил, что он не знает, кому из кандидатов отдал свой голос.

После смерти Лагранжа в 1813 году влияние Лапласа в Академии наук сделалось особенно сильным. В 1826 году, за год до смерти Лапласа, в Париже появился юный Абель. Он пишет: «Имак, «Небесная механика» закончена. Автор макоего труда может с удовлетворением олегнутся на путь, который он прощел в науке». В другой месте: «Очевидно, что любая теория Лапласа городадо выше всего, что может создать какой-либо математик меньшего масимаба. Мне кажется, что, если желаемое число-нибудь достигается в математике, нужно изучать математов, а не подматерев».

Небесная механика

Начало научной деятельности Лапласа приходится на сложное время. Завершился большой этап в построении анализа бесконечного малых. Задач, вокруг которых концентрировались бы услия крупнейших математиков, не было. Многим казалось, что дни чистой математики сочтены. Далее разносторонний Лагранж, алгебраические работы которого опередили свое время, в какой-то момент прекратил занятия математикой. «Не каждется ли Вам, что выcisая геометрия близится очасти к упадку? Ее поддерживаете молоко Вы и Эйлер», — писал он Даламберу в 1772 году.

В этих условиях центр интересов переместился в сторону прикладной математики, где бесспорное перевести было за проблемой построения теории движения небесных тел на основе закона всемирного тяготения.

Предыстория этой проблемы такова. В начале XVIII века Кеплер, продумывая с точки зрения теории Коперника скрупулезные наблюдания Тихо де Браге, формулировал три закона, которые подчиняется движение планет вокруг сокруг Colнца. Геннадья догадка Ньютона заклочалась в том, что

17

Эти законы являются следствием единого универсального закона всемирного тяготения, который управляет и взаимодействием небесных тел, и земным прияженением. Земная и небесная механика объединились. В рамках закона тяготения удалость объяснить движение Луны, приливы и отливы, предавлениеравнодействия и другие эффекты. Но теория Ньютона не легко завоевывает признание. В нее не верили Гюйгенс и Лейбницц. Юганн Бернулли потратил много сил на объяснение эллиптическости орбит, не использовшее закона тяготения. Во Франции Ньютону противостояли последователь Декарта, имеющие противоположную точку зрения по большимструмов. Например, в рассмотрении Ньютона было важно, что Земля сплошена, а изменения французских геодезистов (оказавшиеся ошибками) показывали, что она вытянута у полосов. Волтер шутил в 1727 году: «…в Париже Земло считаю вытянуту у полосов, как яцо, а в Лондоне она скята, как мыка…»

В одном отношении позиция противников Ньютона была сильной. Тщательно анализизавший показывал, что законы Кеплера выполняются лишь приближенно, а небольшие отклонения могут с течение времени накопиться и резко нарушить устойчивость Солнечной системы. Ньютон не видит возможности разобраться в этих «вековых» возможности: «…едва заменные неравноства, мощные процессы от взаимодействия планем и комет…, вероятно, будут увеличивать в течение весма долого времени, до тех пор, пока, наконец, система не будет нуждаться в приведении ее в порядок руками Творца». В ответ на это Лейбницц заметил: «Ньютоон и его приверженцы имеютрезвчайно забавное представление о возможном творении. С их точки зрения Бое должен время от времени заводить свои микровые часы… Бое созdal макую несовершенню машину, что он должен по временам ошибать ее от грязи и даже чинить, как часовик исправляем свою работу». Математические трудности состоит в том, что при вывода законов Кеплера из закона Ньютона имеют дело с задачей двух тел (Солнце и планета). Желание учеть влияние хотя еще одного объекта приводит к задаче трех тел, решить которой в общей ситуации не удается по сейчас день.

Деятельность Ньютона продолжили Эйлер, Клеро, Даламбер. Эйлер занимается возможностями в движении Юптера и Сатурна. Всеroe для свой вариант движения Луны. Клеро выведел управления для задачи трех тел, но отсутствил со словами: «Пустимегируем, кто сможем». Наболее эффективным результатом было представление Клеро точно времени возвращения кометы Галлея. Ее ждали в 1758 году, но вычисления Клеро показывали, что под влиянием прияженения Юптера она «задержится» более чем на год. Эйлер и Клеро построили теорию движения Земли с учетом возможностей других планет.

С 70-х годов XVIII века задами об аномалиях в Солнечной системе начиная интерсоваться Лагранж. С них же начинает молодой Лапас. Эйлер и Даламбер разобрались с рядом эфективов, связанных с взаимным прияженением Юптера и Сатурна, но одно явление оставалось необъясненным. Это так называемые «большие неравноства», открыты в 1676 году Галлеем из сопоставления современных наблюдающих древних. Оказалось, что движение Юптера медленно, но систематическиускоряется, а Сатурна — замедляется.

Лапас, как до него Эйлер и Лагранж, ищет приближенное решение задачи трех тел, рассматривая бесконечный ряд возможных членов. Для получения приближенной формулы надо решить, сколько членов в этом ряду оставить и какова погрешность от отбрасывания остальных членов. Для простых рядов также упражнения продельывают студенты. К ряду для возможной непонятного было как и подойти. Лапас рассчитывает, что можно достигнуть успеха, подбирая нужное число членов и построило сопоставляя полученный результат с данными наблюдающей: «Чрезвычайная трудность задачи, относящая к системе мира, приидала геометров прибрежным к приближенным, при котором вседа можно описать, как бы отбрасываемые величины не оказали заметно влияния. Коеда наблюдая указывали им на макое влияние, они снова обращались к их анализу; при проверке они всегда находили приинузенные отклонения; они определили их закон, открывая неравноства, которые не были указаны наблюдаями. Таким образом, можно сказать, что через каждые 5 полных оборотов Юптера и Затора Сатурна занимают почти почти по же самое положение и возможности накапливаются. Все же, как показывают вычисления Лапаса, возможности не накпливаются не «вековыми», а

18

перiodическая с огромным периодом (913 лет). Итак, хотя компенсация производит крайне медленно, наступит время, когда движение Юпitera начинает замедляться, а Сатурна — ускоряется.

С загадкой Галлея о «больших неравенствах» удалось покончить к 1784 году. «Коеда я выясил эти неравенства и определил с большим вниманием, чем это делалось до сих пор, мне, которые были уже вычислены, я убедился, что все наблюдения, древние и современные, представлены моей теорейью во всей их мощности. Прежде они казались необъяснимыми при помощи закона всемирного мяотенения; теперь же они служат одним из наиболее ярких его подвергеджений. Такова судьба этого блестящого открытия: всякое затруднение, которое возникало мут, превращалось в его моржесство, и это являемся вернейшим признаком его соответствия испинной системе природы».

Много успешный потребовалось от Эйлера, Даламбера, Клеро для построения теории движения Лунны, согласно щейшейся с наблюдениями. Главный эффект, который требовалось объяснить, — это быстroe (на 41° в год) перемещение эллиптической орбиты. Вычисления всех троих давли перемещение, не превышающее 20°. Лишь в 1849 году Клеро удалось уточнить вычисления настоящего, что получилось нужное перемещение (а уже всегда думали о поправочных членах в законе Ньютона!). Однако оставалась еще одна «мелочь», замененная все тем же Галлеем в 1693 году. Анализируя «Альмагест» Полемея и средневековые сведения о затменях, он достоверно показал, что движение Лунныускоряется; более поздние вычисления показали, чтоускорение равно 11″ в 100 лет!

Эту загадку Лаплас разрезил в 1787 году. В укорении оказалось повинно ранее обнаруженное дополнительное экзистриента*) земной орбиты: когда экцентриситет уменьшается (орбита становится более похожей на окружность), средняя скорость движения Лунны увеличивается. Еще одно возможно, казавшееся «вековым», оказалось дополнительное!

Лаплас не пропускает ни одной загадки астрономии. Он имел правосказать: «Помомство, вероятно, с blameдарностью увидим, что новейшее геометрие не передали ему ни одного астрономического явления, не предельное зааконов и причины». Он показывает, что колца Сатурна не могут быть сплошными, а сама планета сильно сказана (Гершель подтверждает это наблюдаемыми еще при жизни Лапласа). Лаплас существует утончяет теорию приложов, показывает при помощи теории возмущений, как наблюдания над Лунной можно использовать для определения астрономического единцы (расстояния от Земли до Солнца), для уточнения формы Земли.

Разумеется, Лаплас не прошел много задания о спутниках Юптера, которая была традиционной для всех великих астрономов с тех пор, как эти спутники были открыты Галлеем. В 1774 году эта задача была выбрана Академией наук в качестве темы для премии. В 1789 году Лаплас строит теорию движения спутников Юптера, учитывающий влияние Солнца и их взаимодействия. Он, в частности, показывает, что время обращения первого спутника плос увоенное время обращения третьего равно утроенному времени обращения второго.

Главной задачей, волновавшей Лагранжа и Лапласа в 1773—1784 году, была задача устойчивости Солнечной системы в целом. Были систематически исследованы возмущения для всех планет, и, хотя строго доказательства устойчивости не было получено, согласование всех кажущихся аномалий с теорией тяготения было бесспорным. Доверие к теории возмущений было таково, что, когда обнаружились необъяснимые отклонения в движении Урана, Леверье решила обязывать их существование новой планеты.

«Плять геометров: Клеро, Эйлер, Даламбер, Лагранж и Лаплас — разделили между собой мир, существом»

20

рассыпается на колъца на месте нынешних орбит планет (за счет уравновешивания центробежной силы и силы тяготения). Разнообразные неустойчивости в движении частик колъца, их взаимное прияжение приводят к спиланню частиц в планеты. Аналогично происходит образование системы спутников планет, причем пример Сатурна показывает, что иногда спиланне частиц колъца могло не произойти. Основные moments модели Лапласа: все врашення происходят в одну сторону (отвечающую направлению первоначального врашення туманности), траектории близки к круговым, а их плоскости близки к экваторialной плоскости туманности, по мере удаления от центра перiod врашення увеличивается.

Первые удары по гипотезе Лапласа были нанесены Гершелем еще при жизни Лапласа: у Урана обнаружилсь спутники с «обратным» направлением врашення и с плоскостями орбит, почти перpendикулярными плоскостями орбиты планеты. Далее число противоречий стало быстро растянуть. Гипотезу многократно пытались поравить, включить в более сложные построения.

Гипотеза Лапласа сыграла огромную роль в истории космогоники как первая гипотеза, опирающаяся на большой объем точных фактов механики и астроνομии (предшествовавшие ей гипотезы Биофона и Канта этим требованием не удовлетворили, хотя имеется много точек соприкосовения между гипотезой Лапласа и неизвестной ему гипотезой Канта). Еще в начале нашего века Пуанкаре писал о гипотезе Лапласа: «Для ее возрасма на ней не так много морщин».

«Уточненный здравый смысл»
Так образно называл Лаплас теории вероятности. Это вторая научная любовь Лапласа, который он оставался в течение всей своей научной деятельности, начиная с первых работ 1774 года.

Стиль занятый Лапласа в этой области отличен от того, который был характерен для автора «Небесной механики». Здесь нет одной большой задачи и много времени уделяется осмысливанию того, что было сделано прежде, начиная с задачи о дележке ставок, стоявшей у истоков теории вероятности.

В центре внимания находится закон больших чисел Я. Бернулли, состоящий в том, что при большом числе испытаний частота события в некотором смысле приближается к его вероятности. Отправляясь от результа Муавра, Лаплас получает оценку вероятности того, что это отклонение велико. Это одна из центральных теорий вероятностей—меторема Муавра — Лапласа. Ее доказательство использует средства математического анализа, что было новинкой для теории вероятности.

Лаплас оценил и сделал достоянием научки результаты англичского свяшенняка Байеса об оценке вероятности конкуррирующих гипотез, если известны результаты их проверок.

Результаты деятельности Лапласа были подъятены в его «Аналитическая теория вероятности»,ышедший при его жизни трема изданиями (первое — в 1812 году). Здесь уделяется много места созданию аппарата, прежде всего — метод произвольных функций, применяющихся на далеки за пределами теории вероятности. От Лапласа идет «класисчское определение» вероятности, при котором события определяются как множество равноверятных слуаев: «Теория вероятности состоит в сведении всех событий одного и того же рода к некоторому числу равноверятных слуаев, мо есть слуаев, относимельно осуществления компонных мы в равной мере не оседомлены, и в определенных числах слуаев, которые благоприятны для события, вероятность которого мы ццем».

Наряду с книгой для «знаatokов» Лаплас пишет книгу для широкой публики. Это его «Ольтфилософия теории вероятности», выросший из лекций, читанных в Нормальной школе в 1795 году, и помещенный во 2-е издание «Аналитическая теория вероятности» (1814 год).

Лаплас был одним из первых авторов, который в книге по теории вероятности приводил примеры не

21

только из заартных игр, но и из реальный статистики. Так, он приводит цифры, показывающие, что число писем во Франции, не доставленных из-за отсутствия на них адреса, практические не меняется год от года.

Точка зрения Лапласа состоит в том, что вероятность расстояния нужны только там, где часть информации не известна: «… мы должны рассматривать настоянце состояние Вселенной как следствие ее предыдущую состоянию и как причиную последующую. Ум, который был бы известны для какого-либо данного момента все силы, одушевляющие природу, и относительной положение всех ее составных частей, если бы добавок он оказался достаточно общим, чтобы подчинить эти данные анализу, обнял бы в одной формуле движения величины мел. Вселенной наравне с движением мелчайших атомов: не осталось бы ничего, что было бы для него недостроверно, и будущее, как же как и прошедшее, предсказало бы перед его взором. Ум человекский в совершенстве, которое он сумел придать астрономии, даем нам представление о слабом наброске мого разума…» Гипотетическое существо, о котором говорится в цитате, называют сейчас демонм Лапласа.

Размышления Лапласа по теории вероятности в значительной степени stimулировались его занятыми астрономией и космогоней. Но его волновала также роль случая в общественной жизни. Чаще всего его высказывания по этому поводу не содержат конкретных вычислений. Вот пример: «Не будем промисловлять бесплатное и часо опасно сорописления неизбежным следствием процесса решения, но будем лишь крайне осторожно менять наши�uреждения и общан, к которым мы давно уже применились. Мы хорошо знаем по опыту прошло неуедобства, которые они представляют, но мы не знаем, как велико будет это, которое может причинить их изменение. При такой неизвестности метода вероятности предписываем избежать всякого изменения; особенно следуем избежать внесенных изменений, которые в правильном порядке, как и в физическом, никогда не просходят без большой помощи животными».

Был один вопрос, на форматизации которого Лаплас расчитывает,— применение теории вероятности к судопроизводству. Отправной является точка зрения, что абсolutно достоверное решение в случае необходимости, а нужно заботиться лишь о том, чтобы решение было правильным с наиболееверной стороны. Она восходит к Кондорсе и тесно связывана с практикой судопроизводства при решении. Позициция Лапласа более осторожна, и все же он считает, что нужно вычислять вероятность «мою, что решение суда, который может осуществить только при данном большимстве, будет справедливо, мо есть будем соответствовать истинному решению поставленного вопроса», и поскольку «большая часть наших существений основана на вероятности свидетельских показаний, очень важным является подчинение их исчисления». Предполагается включать в оценки политических симпатиций судей, степени запутанности дела, интеллектуальные характеристики судей и т. д. Жизнь показала ошибочность и общественную опасность таких исчислений.

Мы имеем возможность остановиться лишь на важнейших направлениях научной деятельности Лапласа. Многое осталось за пределами нашей работы по капиталярности, звуку и свету, математические результаты, следы которых сохранили в названях «преобразование Лапласа», «уравнение Лапласа» и т. д.

Жизнь Лапласа в значительной степени отражает сложность этих, в которой он жил. Однако через всю свою жизнь он проесвость научке, ни при каких обстоятельствах не прерывая занятый. Роль Лапласа в истории научки трудно переоценить.

«…Лаплас был рождеен для мою, чтобы все улыблать, отодвиваем все границы, чтобы решать мою, что казалось неразрешимым. Он кончил бы научку о небе, если бы эта научка могла быть окончена». (Фурье)

22

М. Мамикон

Задача о ферзях

1. Постановка задачи
   На общий шахматной доске 8×8 пя ть ферзей можно расставить так, чтобы они были все поля доски. Четырех же ферзей для этого не достаточно (доказите!). Доска 3×3 будет одним ферзем, находящимся на центральной клетке. Для доски 6×6 дое ее поле. Значит, $F(11) \leq 5$. Из рисунка 2 можно усмотреть, что $F(10) \leq 5$ и $F(9) \leq 5$.

Найти точное $F(n)$ при больших $n$ довольно сложно. Далее совершенная быстроедующая вычислительная машина не может за разумное время перебрать все варянты расстановки, скажем, десяти ферзей на доске 20×20.

Позному представляется интересный найти хотя бы оценки — верхнюю и нижнюю — для $F(n)$. В этом и будет состоять наше постановка задачи о ферзях.

2. Оценка сизу
   Если на доске $n \times n$ расставить $n$ ферзей вдоль одной из главных диагоналей, а потом убрать два крайних ферзя, то оставшиеся $n-2$ ферзя тоже будут быть все поля доски. Значит,

$$F(n) \leq n-2.$$

Если при расстановке $F(n)$ ферзей, при которой каждое поле бито, на краю доски нет ни одного ферзя, то $4(n-1)$ краевых клеток, образляющих доски, должны быться ферзями изнутри этой рамки. Так как каждый ферзь будет в восмыни направлениях, то он будетровно 8 клеток этой рамки. Если бы даже все ферзи были разные клетки рамки, то необходимо было бы иметь $$\frac{4(n-1)}{8} = \frac{n-1}{2}$$

Рис. 1.

достаочно трех ферзей (рис. 1), двух мало.

Обозначим через $F(n)$ минимальное число ферзей, при надлежащей расстановке которых на доске $n \times n$ каждое ее поле находится под ударом (поле, занятое ферзем, считается битым). Для $3 \leq n \leq 8$ число $F(n)$ известно:

| $n$ | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $F(n)$ | 1 | 2 | 3 | 3 | 4 | 5 |

На рисунке 2 изображена доска $11 \times 11$ и 5 ферзей на ней, быющие каж-

23

$$\frac{1}{2}n - \frac{1}{2} \text{ферзей. Итак, в этом случае}$$
$$F(n) \geq \frac{1}{2}n - \frac{1}{2}. \quad (2)$$

Оценка (2) верна и в обшем случае. Доказите ее. (Указание. Из (1) вытекает, что при любой расстановке $F(n)$ферзей на доске остатуса, по крайней мере, две свободные отферзей вертикали и две свободные горизонтали.)

Из (2) $F(11) \geq 5$. В п. 1 мы указывали, что $F(11) \leq 5$. Значит, $F(11) = 5$. Аналогично получается $F(10) = 5$. Любопытно, что равенство $F(9) = 5$ таким путем не получается. Доказите его самостояльно!

Рис. 3.

Рис. 4. $k = 3, l = 1$.

Займется теперь улучшением верхней оценки (1).

3. $\langle k, l \rangle = \text{решетка}$
   Рассставимферзей на бесконечной шахматной доске левым ходом $\langle k, l \rangle$-коня (объичный шахматный конь—это $\langle 2, 1 \rangle$-конь), а именно: поставим сначалаферзя на произвольную клетку; затем поставим еще четырехферзей так, как показано на рисунке 3; с каждым из поставленныхферзей поступим таким же образом, и т. д. Полученную расстановку бесконечного числаферзей называемферзой $\langle k, l \rangle$-решеткой. Каждая $\langle k, l \rangle$-решетка является квадратной решеткой, повернуть относительно шахматной доски (рис. 4).

Двигаясь вдоль ряда $^*$), мы периодически будем встречатьферзей. Обозначим длину перiodа решетки по ряду через $W_p$. Например, для $\langle 3, 1 \rangle$-решетки $W_p = 10$ (рис. 4).

Двигаясь вдоль диагонали, мы также будем встречатьферзей периодически. Обозначим длину перiodа решетки по диагонали через $W_\partial$. Для $\langle 3, 1 \rangle$-решетки $W_\partial = 5$ (рис. 4).

Уражнения

1. Для $\langle k, l \rangle$-решетки $W_p = \frac{k^2 + l^2}{d}$, где $d$ — наиболее общий делитель чисел $k$ и $l$.

2. Для $\langle k, l \rangle$-решетки $W_\partial = \frac{k^2 + l^2}{c}$, где $c$ — наиболее общий делитель чисел $k + l$ и $k - l$.

3. Если $k$ и $l$ — взаимно простые числа разной четности, то $W_p = W_\partial = k^2 + l^2$.

4. Перiodы $W' \langle tk, tl \rangle$-решетки и перiodы $W \langle k, l \rangle$-решетки связаны соотношениями $W_p = tW_p$ и $W_\partial = tW_\partial$.

5. Фундаментальная расстановкаферзей
   Пусть $k$ и $l$ — взаимно простые числа разной четности. Расмотрим $\langle k, l \rangle$-решетку. Для нее оба перiodа $W_p, W_\partial$ равны $W_0 = k^2 + l^2$ (упражнение 3).

Вырежем из нашей бесконечной доски квадратную доску $W_0 \times W_0$ так, чтобы ферзь попал в централь-

$^*)$ Ряд—это вертикаль или горизонталь.

25

Докажем, что битые клетки симметрины относительно любой главной диагонали.

Если битая клетка — серая (рис. 6), то симметриная (относительно расстоянием главной диагонали) клетка — тоже серая, а все клетки биты. Если же битая клетка — белая, то на одной из проходящих через нее диагоналей стоит ферзь. Если эта диагональ перендикула и куля рена расматриваемой главной диагонали, то интересующая нас симметриная клетка будет тем же ферзем. Если она пара лельна — центрально- симметриным ферзем (см. зеленье диагонали на рисунке 6).

Из того, что при симметрином относительной главной диагонали и повороте на 90° битые клетки переходят в битые, легко следует симметримножества битых клеток относительно центральной вертикали и центральной горизонтали (почему?).

Значит, с точки зрения битых-небитых клеток все восемь октантов, на которые доска делится центральными рядами и главными диагоналими, равноправны (на рисунке 7 один из таких октантов обозначен буквой O).

6. Дополнительные ферзи

В конце п. 4 мы отметили, что все четыые диагонали доски быются ферзямиFundamentalной расстановки. Поэтому остается расмотреть лишь диагонали с нечетными номерами.

Число нечетных диагоналей одного направления на все доске без главной диагонали и угловых «одноклеточных» диагоналей (бьющихся центральным ферзем) равно 2 ($W_0-1$); по одному сторону от главной диагонали их будет $W_0-1$, а в одном октанте — еще в два раза меньше: $\frac{W_0-1}{2}$.

Это число совпадает с числом ферзей Fundamentalной расстановки, находящся по одному сторону от главной диагонали выделенного направления. Каждый ферзь из заштрихованной на рисунке 7 положит на одной из нечетных диагоналей, проходящих через октант $O$. Поэтому среди нечетных диагоналей октаента «пустых» диагоналей (на которых нет ферзей), оченьindo, столько, сколько ферзей в угловом треугольнике $T$. Обозначим это число через $\varphi(n)$.

Рассмотрим одну из пустых диагоналей октаента $O$. Дополнитель ее до симметричной крестообразной фигуры (рис. 8). В силу симметриных клеток на остальных трех диагоналях этой фигуры тоже нет ферзей. Чтобы побить клетки этой фигуры, достаточно расположить два дополнительных ферзя в симметричных клетках $A$ и $B$ центральной горизонтали (рис. 8).

Поскольку в одном октанте число пустых диагоналей равно $\varphi(n)$, то всего достаточно расставить $2\varphi(n)$ дополнительных ферзей.

26

Рис. 9. $k = 3, l = 2$.

Итак,
$$F(n) \leqslant W_0 + 2\varphi(n).$$

7. Ферзи и площади

Чтобы оценить сверху число $\varphi(n)$ ферзей в угловом треугольнике $T$ (рис. 7), вспомним, что ферзи функциональный расстояний расположены в узлах решетки со стороны длины $\sqrt{(2k)^2 + (2l)^2} = 2\sqrt{k^2 + l^2}$ (длина клетки доски принята за единицу), повернуть относительно шахматной доски (рис. 4, 6).

Сдвинем эту решетку так, чтобы ферзи оказались в центрах квадратов (рис. 9). Тогда число ферзей в треугольнике $T$ не будет превосходить числа «сдвинутых квадратов», центры которых лежат в $T$. Поскольку каждой такой квадрат целиком лежит в $\frac{d}{2}$-окрестности треугольника $T$ (рис. 10; $d$ — длина диагонали квадрата), их число не превосходит относительно площади этой окрестности к площади квадрата.

Упражнение 5. $\varepsilon$-окрестность плоской фигуры $F$ называется объединение кругов радиуса $e$ с центрами в каждой точке фигуры $F$. Доказите, что площад $\varepsilon$-окрестности выпуклого многоугольника равна $S + P\varepsilon + \pi e^2$, где $S$ — площад многоугольника, $P$ — его перimetр.

Длина кататов треугольника $T$ равна $\frac{n}{2}$. Сторона квадрата, из которого построена решетка, равна $2\sqrt{k^2 + l^2} = 2\sqrt{\frac{n-1}{2}} = \sqrt{2}\sqrt{n-1}$.

Значит, искомое отношение площад равно
$$\frac{n^2}{8} + \left(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)n\sqrt{n-1} + \pi(n-1) \over 2(n-1)$$.

Поскольку $W_0 = k^2 + l^2 = \frac{n-1}{2}$, из (3)
$$F(n) \leqslant \frac{5}{8}n + \left(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\frac{n}{\sqrt{n-1}} + \frac{1}{8(n-1)} + \pi - \frac{3}{8}.$$

Ввиду того, что $\frac{n}{\sqrt{n-1}} < 2\sqrt{n}$ и $\frac{1}{8(n-1)} < 1$, при $n \geqslant 2$, а $1 + \frac{\sqrt{2}}{2} < 2$, получаем для досок со стороны в $2(k^2 + l^2) + 1$ клеток, где $k$ и $l$ — взаимно простые числа разной четности, окончательную оценку сверху:
$$F(n) \leqslant \frac{5}{8}n + 4\sqrt{n} + 5.$$

8. Произвольные доски

Пусть теперь у нас есть доска $n \times n$, где $n \geqslant 11$. Возьмем такое натуральное $m$, что $8m^2 + 3 \leqslant n < 8(m+1)^2 + 3$. Поскольку $n \geqslant 11$, такое $m$ найдется. Заметим, что $8m^2 + 3 = 2[(2m)^2 + 1^2] + 1 = 2(k^2 + l^2) + 1$, где $k = 2m, l = 1$.

28

Капля на горячей поверхности

Глядя на мир, нельзя не удивиться.
К. Прутков

Расположив утог горизонтального, капните на него немного воды. Если температура утого около 100 °C (немного больше 100 °C), то ничего особенного не произойдет. Капелька растется по поверхности утого и быстро, за несколько секунд, испарится. Если же температура утого значительно больше 100 °C (350—500 °C), картина является будет другой. Капелька, упав на утог, откочет от него, как мячик от пола (невысокого, на высоту 1—5 мм), и затем будет двигаться, не касаясь нагретий поверхности. Стабильность такого состояния зависит, прежде всего, от температуры поверхности — чем сильнее нагрет утог, тем способнее ведет себя капля. Кроме того, время прерывания капли на утоге до полного испарения увеличивается в 100—200 раз. Причем скорость испарения капли зависит от ее размера: больше капли быстрее уменьшается в размерах до 3—5 мм, а маленькие «живут» довольно долго без заметных изменений. В одном из наших опытов капля диаметром 3 мм продолжалась до полного испарения около 5 минут (300 секунд).

В чем причина столь странного поверхности капли? Вернемся к началу опыта — капля воды падает на раскаленную поверхность. В начальной моменте ее температура около 20 °C. Затем буквально за доли секунды нижнее слои нагревается до 100 °C, и начинается столь интенсивное испарение, что сила давления образуются паров воды становится больше силы тяжестеки капли. Капля подпрыгает, затем снова падает на утог. За несколько подскоков все вода в капле успевает прогреть до температуры кипения. Далее при достижении температуре нагретий поверхности капля быстро успокаивает и начинает двигаться на некоторый высоте над этой поверхности. Очевидно, в этом случае сила давления паров воды уравновешивает силу тяжестеки капли. В установившемся режиме капля довольно стабильна и «живет» весма значительное время.

Обратите внимание на форму капли. При малых размерах форма капли.

Рис. 1. Одна из фаз колбанной капли (мoment наиболее растяжения). Темное пятное в центре — образующийся внутрен капли пузырек водяного пара.

Рис. 2. Один из наиболее интересных колбанной: «треугольная» капля, в которой «впадины» и «выступы» постоянно меняются местами.

32

чем два комплекта оценок различны, если для неокоторого $i : 1 \leq i \leq n$ число $i$-х мест в одном комплекта не равно числу $i$-х мест в другом комплекта.

У пряжение 5. Доказать, что если сумма мест фигуриста не превыходит 20, то он занимает место не ниже четырого.

У пряжение 6. Для любого $k : 4 \leq k < n$ доказать, что если сумма мест фигуриста не превыходит $k + 16$ и в его комплекта оценок есть места больше $k$-го, то он занимает место не ниже $k$-го.

Докажем методом математической индукции, что при $k : 4 \leq k < n$ сумма мест, не превыходит $k + 16$, гарантирует фигуристу место не ниже $k$-го. Отсюда и из (1) следует $\alpha_k = k + 16$.

Базис индукции. $k = 4$ — вытекает из упражнения 5.

Иndукционный шаг. Предположим, что при $l : 4 \leq l < n - 1$ сумма мест, не превыходит $l + 16$, гарантирует фигуристу место не ниже $l$-го. Докажем, что тогда сумма мест, не превыходит $l + 17$, гарантирует место не ниже $(l + 1)$-го. Допустим противное: фигурист $A$ имеет сумму мест, не превыходит $l + 17$, и место ниже $(l + 1)$-го. Из упражнения 6 вытекает, что в комплекта оценок фигуриста $A$ все места не превыходит $l + 1$. Но тогда и в комплекта оценок фигуриста $B$, имеющего $(l + 1)$-е место, все места не превыходит $l + 1$. Из наших правил и условия задачи вытекает, что сумма мест фигуриста $B$ меньше суммы мест фигуриста $A$. Значит, она не превыходит $l + 16$. А это уже противоречит предположению индукции.

Наште утверждение доказано. Тем самым мы полностюдо решили нашу задачу.

Опустим в нашей задаче условия о том, что никакие два фигуриста не получили одинаковых сумм мест. Тогда несколько фигуристов могут иметь одинаковые комплекты оценок. В этом случае давайте считать, что все эти фигуристы занимают заняты четырое место, то будем считать, что они обладают четырое место, а остальные фигуристы претендуют не на пятое, а на шестое место.

У пряжение 7. Доказать, что как бы мы ни дополили Правило определения мест, при любом $4 \leq k < n$ фигурист, получивший сумму мест $k + 16$, может занять место ниже $k$-го.

Предположим, что сумма мест у фигуриста, занявшего первое место, не совпадает ни с одной из сумм мест, полученных остальных фигуристами.

Попробуйте установить, можно ли так при этом дополить Правило определения мест, чтобы все результаты нашей задачи остались без изменений.

Попробуйте также решить нашу задачу, если число арбитров на соревнованиях равно 2,7, $p$.

Список читателей, приславших правильные решения задач из «Задачника «Кванта»».

В этом номере мы публикуем фамилии тех, кто прислал правильные решения задач М421—М445 и Ф438—Ф447 (жирные цифры после фамилии — последние цифры номеров решенных задач).

Matematika

Большинство читателей, приславших нам письма, правильно решили решения: А. Аббасов (Джебральский р-н Аз. ССР) 27; Т. Абдулазабов (с. Ярашазмаляр ДАССР) 33; А. Азабаян (с. Балко Гр. ССР) 42; А. Азаев (с. Попровка Аз. ССР) 37; Р. Аззян (Баку) 26, 27, 31, 32, 37; А. Айнулин (Тюмень) 27, 29; В. Айриян (Раздан) 33, 37; М. Аймакалеев (Алма-Ата) 22, 33; А. Алексеев (Пермь) 22, 24, 26—28, 31—33, 35, 37, 39, а), 6), 41, 42; В. Алифанов (ст. Выселки Краснодарского края) 23, 26, 37; С. Антонов (Киев) 41, 42, 45; В. Аронов (Саратов) 21, 22, 24, 26, 27, 31—33, 35, 37, 38, 40; К. Архангельский (Херсон) 37, 44, 42; И. Архипов (Алма-Ата) 22, 23; А. Амабекян (Ереван) 33; Р. Аххамов (Стерлитамак) 22, 26, 37, 42, 45; К. Бакланов (Тула) 42; Е. Балакина (Москва) 31, 33; А. Балинский (с. Дубляны Львовской обл.) 37, 41, 42, 43, в); П. Баньковский (Уральск) 23, 41; П. Басараб (с. Ягановка Сумской обл.) 22; В. Батышрев (Москва) 22, 24, 26, 27, 29, 31, 33, 37, 38, 39, а), 6), 40—42, 44, 45; В. Бахтин (Воронеж) 22, 24, 25, 27, 28, 29; Ю. Баценко (с. Демидова Винницкой обл.) 29, 37,

(Продолжение см. с. 43)

33

Кардюона

Кардиона — это траектория точки M, лежащей на окружности (O₁, a), которая катится по неподвижной окружности (O, a) того же радиуса (рис. 1). В начальном положении точка M находится в точке A неподвижной окружности, называемой полосом кардиона. На рисунке 1 видно, что в полосе кардиона имеет острове. Отталкиваясь от приведенного определения, показем другие способы построения кардиона и неокторые ее свойства.

Касательная к кардионе в произвольной ее точке M проходит через точку P подвижной окружности, диаметрально противоположную точке ее касания Q с неподвижной (доказывается это так же, как в «Кванте», 1977, № 3, с. 19).

Ввиду того, что ∪ QM и ∪ QA конгрузить, точка M симметрина полосу A относительно общей касательной NQ подвижной и неподвижной окружностей. Следовательно, окружность (Q, |QA|) пройдет через точку M. Поскольку угол PMQ—примоий, касательная к кардионе PM будет также касательной к окружности (Q, |QA|). Позному кардиона может быть получена как описшая семейства окружностей (Q, |QA|) при внесемножих положениях точки Q на неподвижной окружности.

Длина отрезка AN равна 1/2 |AM|. Поэтому точка N описывает кардиону, готовится точно, который мы только что рассмотрели, с центром готовится в точке A и коэффициентом готовии, равным 1/2. Чтобы начертить «малую» кардиону, можно воспользоваться угольником, один катет которого во всех его положениях проходит через точку A, а второй касается неподвижной окружности. Тогда вершина прямого угла N опищет эту кардиону.

Пусть AM ∩ (O, a) = T (рис. 2). В четырехугольнике OO₁MT две стороны параллельны (AM || OO₁, поскольку они имеют общий перпендикуляр NQ), две другие стороны конгрузны. Значит, OO₁MT — равноведенная трапеция или параллелограмм. Из MO₁Q = AOQ следует, что

$$MO_1Q = AOQ$$

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

OO₁MT — параллелограмм. Поэтому кардиону можно строить, откладывая на прямой AT (при всевозможных положениях точки T на неподвижной окружности) от точки T отрезок TM длины |OO₁| = 2a. Откладывая его в обе стороны от T, мы получим всю кардиону*).

Докажите, что полярное уравнение («Квант», 1977, № 7, с. 46) кардиона имеет вид ρ = 2a (1 + cos φ), если за полосой полярной системы взят полос кардиона A и полярную ось направить по AO (рис. 2).

Рисунок 3 обязывает способ построения кардионы, о котором расскажется на второй странице обложки. Точка B показывает здесь положение точки M после того, как подвижная окружность прокаплива по неподвижной на поливну своей длины. Отрезок PC симметричен отрезку PB относительно радиуса OP, так как МРО₁ = 1/2 МО₁Q = 1/2 QOА = O₁PB и B ∈ (O, |OP|), C ∈ (O, |OP|). Поэтому BP |= |PC|. Кроме того, PC — касательная к кардионе.

Представим теперь, что в точке B помещен источник света. Ясно, что кардиона является описшей лучей, отраженных от окружности (O, |OP|). Поэтому кардиона является катакурткой этой окружности («Квант», 1977, № 9, с. 43).

Докажите, что если неокторая окружность касается внутренним образом окружности вдвое большого радиуса, то при качении «большей» окружности по «меньшей» любая ее точка опищет кардиону.

Выразите длины «синих» ходд на рисунке 3 через a.

В. Березин

*) Этот способ построения кардионы уже привелся без обоснования в затемке «Улитка Паскала» («Квант», 1977, № 5, с. 36)

34

Задачи

M476—M480; Ф488—Ф492

М476. а) Докажите, что если вершины выпуклого $n$-угольника лежат в узлах клетчатой бумаги, а вытри и на его сторонах других узлов нет, то $n \leq 4$.

6. Пусть пространство разбито tremя семействами параллельных плоскостей на одинаковые кубики. Вершины кубков называем узлами. Докажите, что если все $n$ вершин выпуклого многограника лежат в узлах, а на его ребрах, гранях и внутри многограника других узлов нет, то $n \leq 8$.

С. Миронов

M477*. Дан многочлен $P(x)$ с целыми коэффициентами такой, что для каждого натурального $x$ выполняется неравенство $P(x) > x$. Определим последовательность $\{b_n\}$ следующим образом: $b_1 = 1$, $b_{k+1} = P(b_k)$ для $k \geq 1$. Известно, что для любого натурального $d$ найдется член последовательности $\{b_n\}$, делящийся на $d$. Докажите, что $P(x) = x+1$.

M478. В волейбольном турире каждые две команды сыграли по одному матчу.

a) Докажите, что если для любых двух команд найдется треть, которая выиграла у этих двух, то число команд не меньше семи.

6. Постройте пример такого турира семи команд.

b)* Докажите, что если для любых трех команд найдется треть, которая выиграла у этих трех, то число команд не меньше 15.

M479. Существуют ли a) шесть, 6) 1000 таких различных натуральных чисел, что для любых двух $a$ и $b$ из них сумма $a + b$ делится на разность $a - b$?

Задачи M477—M479 предложил C. Коняенин

M480.* Последовательность $c_n$ строится по следующему правилу: $c_1 = 2$, $c_{n+1} = [3c_n/2]$ для $n \geq 1$*. Докажите, что

a) в этой последовательности бесконечно много четных чисел и бесконечно много нечетных чисел;

6. последовательность $e_n = (-1)^{c_n}$ неперiodическая;

b) существует число $\gamma$ такое, что $c_n = \left[ \frac{3}{2} \right)^n \gamma$.

*) Здесь $[x]$ — целая часть $x$.

35

Ф488. Прямоугольная проволочная рамка с размерами сторон $a = 0,020$ м и $b = 0,030$ м погружается в мыльную воду, благодаря чему на ней образуется мыльная пленка. При наблюдении в отраженном свете, угол падения которого $\alpha = 30^\circ$, пленка кажется зеленой ($\lambda = 5 \cdot 10^{-7}$ м).

1. Можно ли определить массу этой пленки с помощью весов, точность которых 0,1 мг? Плотность мыльного растворора $\rho = 10^3$ кг/м$^3$, показатель преломления пленки $n = 1,33$.

2. Какого цвета будет казаться самая тонкая из пленок, удовлетрящих условий задачи, если свет будет падать на нее и затем отражаться перпендикулярно пленке?

Указание. Учесть, что при отражении света от более плотной среды фаза волны скачком меняется на л.

Х Международная олимпiadа по физике

Ф489. Электроныускоряются в электронной пушке электростанческим полем, прохождение промежуток, направление на котором $U = 10^3$ В. Вылетев из пушки в точке $T$, электроны движут за тем по прямой $TT'$ (рис. 1). В точке $M$ на расстоянии $a = 5,0$ см от точки $T$ находится миншень, причем прямая $TM$ образует угол $\alpha = 60^\circ$ с прямой $TT'$.

1. Какой должана быть индукция $\vec{B}$ однородного магнитного поля, перpendикулярного плоскости рисуника, чтобы электроны, вылетевшие из пушки, попадали в миншень?

2. Какой должана быть индукция $\vec{B}_1$ однородного магнитного поля, паралельного прямой $MT$, чтобы электроны попадали в миншень?

Считать, что $|\vec{B}|$ и $|\vec{B}_1|$ не превышает 0,030 T.

Х Международная олимпiadа по физике

Ф490. При прохождения потока нейтронов через пластинку кадмия толщиной 1 мм количество части в пучке уменьшается на 15%, а их скорость не изменяется. Какая доля потока нейтронов прохождение пластинку из кадмия толщиной 10 мм?

Ф491. Большая тонкая проводящая пластина площади $S$ и толщины $d$ помещена в однородное электрическое поле $\vec{E}$, perpendикулярное пластине. Какое количество теплоты выделится в пластине, если выключить поле?

П. Зубков

Ф492. На шероховатой плоскости лежат два круглых цилиндра с диаметрами $D$ и $d$ (рис. 2). Вокруг большого цилиндра обмотан шнур, к концу которого приложена горизонтальная сила $\vec{F}$. Определить, при каком, одинаковом для всех соприкасающихся поверхностей, коэффициент трения $\mu$ большой цилиндр может быть перетащен через мыльный. Каким должано быть абсолотное значение силы $\vec{F}$ для того, чтобы это можно было сделать?

В. Керженцев

36

Решения задач

M434, М435; Ф445, Ф446

М434. Число $\frac{2}{1} + \frac{2^2}{2} + \frac{2^3}{3} + \dots + \frac{2^n}{n}$
представляемся в виде несократическим дроби $\frac{p_n}{q_n}$.

a) Докажите, что $p_n$ — чемное число.
b) Докажите, что если $n > 3$, то $p_n$ делится на 8.
c) Докажите, что для любого натурального $k$ можно указать какое $n$, что числа $p_n, p_{n+1}, \dots, p_{n+2}, \dots$ делятся на $2^k$.

a), б) Если несократическая дробь $\frac{p}{q}$ есть сумма нескольких несократических дробей, числитель каждой из которых делится на $2^k$, то и $p$ делится на $2^k$. Для решения задачи a) остается заметить, что числители дробей $\frac{2}{1}, \frac{2^2}{2}, \frac{2^3}{3}, \dots$ после сокращения остатуса четными (так как для любого натурального $m$ справедливо неравенство $2^{m-1} \geq m$). Для решения задачи б) достаточно было бы иметь неравенство $2^{m-3} \geq m$. Это неравенство, однако, справедливо, лишь начиная с $m = 6$. Поэтому проверим, что числители сумм $\frac{2}{1} + \frac{2^2}{2} + \frac{2^3}{3} + \frac{2^4}{4}$ и $\frac{2}{1} + \frac{2^2}{2} + \frac{2^3}{3} + \frac{2^4}{4} + \frac{2^5}{5}$ после сокращения будут делиться на 8. Этти суммы равны $\frac{32}{3}$ и $\frac{256}{15}$ соответственно.

в) Расмотрим функцию $L_n(x) = \frac{x}{1} + \frac{x^2}{2} + \dots + \frac{x^n}{n}$. Покажем, что многочлен $L_n(2x - x^2) - 2L_n(x) = f(x)$ имеет вид:

$$f(x) = x^{n+1} \cdot \left( \frac{a_0}{n+1} + \frac{a_1}{n+2} x + \dots + \frac{a_{n-1}}{2n} x^{n-1} \right),$$

где $a_0, a_1, \dots, a_{n-1}$ целые числа. Для этого достаточно показать, что многочлен $f'(x)$ имеет вид:

$$f'(x) = x^n \left( a_0 + a_1 x + \dots + a_{n-1} x^{n-1} \right).$$

Заметим, что $L_n'(x) = 1 + x + x^2 + \dots + x^{n-1} = \frac{1-x^n}{1-x}$. Поэтому,

$$f'(x) = L_n'(2x - x^2) \cdot (2 - 2x) - 2L_n'(x) =$$

$$= \frac{1 - (2x - x^2)^n}{1 - 2x + x^2} \cdot (2 - 2x) - \frac{2(1 - x^n)}{1 - x} =$$

$$= 2 \cdot \frac{x^n - x^n(2 - x)^n}{1 - x} = x^n \cdot \frac{2(1 - (2 - x)^n)}{1 - x}$$

и

$$1 - (2 - x)^n = (1 - (2 - x))(1 + (2 - x) + (2 - x)^2 + \dots +$$

$$+ (2 - x)^{n-1}) = (x - 1)(1 + (2 - x) + (2 - x)^2 + \dots +$$

$$+ (2 - x)^{n-1}).$$

Так как $f(2) = L_n(0) - 2L_n(2) = -2L_n(2)$, то, положив в равенстве (*) $x = 2$, получим

$$L_n(2) = -2^n \left( \frac{a_0}{n+1} + \frac{2a_1}{n+2} + \dots + \frac{2^{n-1}a_{n-1}}{2n} \right).$$

Из неравенства $n < 2^{\frac{n+1}{2}}$, справедливо для любого числа $n$, следует, что все знаменатели в правой

37

М435. В таблице размеры $m \times n$ записаны действительные числа, в каждой клетке по числу. В каждом столбце подчеркуто $k$ наибольших чисел ($k \leq m$), в каждой строке — $l$ наибольших чисел ($l \leq n$). Доказим, что по крайней мере $kl$ чисел подчеркуты дважды.

$$k = 1; \quad l = 2.$$

Рис. 1.

Ф445. Конденсатор емкостми $C = 0,04$ мкФ с помощью ключа $K$ перiodищески с частотой $v = 50$ раз в секунду заряжается от источника с э. д. с. % = 100 В и внутренним сопротивлением $r = 5$ Ом и разряжается через сопротивление $R = 1$ кОм (рис. 2). Определить мощность, выделяемого в наружке $R$, и к. n. д. макого устройства. Считать, что время замыкания конденсатора ключа достаточно, чтобы конденсатор успел полностью зарядиться (положение $I$) и полностью разрядиться (положение $II$).

Мы будем решать задачу по индукции в несколько более общей формулировке, предполагая, что в каждом столбце подчеркивается не менее $k$ наибольших, а в каждой строке — не менее $l$ наибольших чисел. Индукцию проводим по $m+n$.

При $m=n=k=l=1$ утверждение очевидно. Пусть у нас есть таблица размерами $m \times n$. Сведения задачу к таблице $m \times (n-1)$ или $(m-1) \times n$. Если в таблице все подчеркичные числа подчеркиты дважды, то их количество не меньше $kn$. В противном случае чисел, подчеркичных по одному разу, выберем наибольшее число $A$. Число $A$ является либо одним из наибольших в своей стольце, либо одним из наибольших в своей стольке. Предположим, что $A$ — одно из наибольших в своей стольце. Тогда, поскольку $A$ не является одним из наибольших в своей стольке и $A$ — наибольшее среднее по одному разу подчеркичных чисел, все подчеркиты (по строке!) наибольшие числа, стоящие в одной строке $A$, подчеркиты дважды (см. рис. 1). Выбросив из нашей таблицы эту строку, мы получим таблицу $(m-1) \times n$, в которой подчеркуто не менее $l$ наибольших чисел в каждой стольке. И не менее $k-1$ чисел — в каждом столбце. Предположение индукции заключается в том, что в этой меньше таблице дважды подчеркуто не менее $(k-1) l$ чисел. Этти же числа подчеркиты дважды и в большой таблице $m \times n$, в которой, кроме того, дважды подчеркиты не менее $l$ чисел в выброшенной строке. Так что всего в исходной таблице дважды подчеркуто не менее $(k-1) l+l=kl$ чисел, что и утверждалось в задаче.

С. Коняzin

Во время разряда конденсатора на сопротивлении $R$ выделяется все энергия, заключающая в конденсатор. Эта энергия

$$W = \frac{C \mathcal{E}^2}{2}.$$

За одну секунду конденсатор разрягается 50 раз (частица переключителя ключа $v=50$ 1/c). Следовательно, средняя мощность $P_{cp}$, выделяемая в нагрузке $R$, равна

$$P_{cp} = W v = \frac{C \mathcal{E}^2}{2} v = 10^{-2} B T.$$

Для того чтобы коэффициент полезного действия $\eta$ данного устройства, надо энергия $W$, выделяемого на сопротивлении $R$ во время разряда конденсатора, разделить на работу $A$, совершаемую источником тока во время заряда конденсатора. Так как

$$A = q \mathcal{E} = C \mathcal{E} \mathcal{E} = C \mathcal{E}^2,$$

38

$$\eta = \frac{W}{A} = \frac{C \mathcal{E}^2}{C \mathcal{E}^2} = \frac{1}{2},$$

то есть к. п. д. не зависит от значений сопротивления $R$ и $r$.

Если бы конденсатора не было, а источник с э. д. с. $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$ был бы непредседательной подключен к нагрузке $R$, то к. п. д. схемы был равен

$$\eta' = \frac{I^2 R}{I^2 (R + r)} = \frac{R}{R + r} = 0,995,$$

что значительное больше, чем в нашем случае.

◆

Направим ось координат $X$ вправо, а начало координат связи с положением тела в начальной момент (рис. 4). На тело, просkalывающей ее относительной ленты трансортера, действуют две силы. Одана из них — сила упругости пружины — пропорциональная координате $x$ тела и направлена в сторону, противоположную его смесению:

$$F_{\text{упр}} = -kx,$$

а другая — сила трансоржения — постоянна:

$$F_{\text{тр}} = \mu M |\vec{g}|,$$

где $\mu$ — коэффициент треня тела о ленту. Это означает, что, подобно обычному горизонтальному пружинному магнитнику, тело должно совершать свободные гармоничные колебания. Правда, эти колебания проискдают относительно положения равновесия — точки $O'$ с координатой $x_0$, где сумма проекций всех сил равна нулю:

$$F_{\text{упр}} + F_{\text{тр}} = 0,$$ или $-kx_0 + \mu M |\vec{g}| = 0,$

откуда

$$x_0 = \frac{\mu M |\vec{g}|}{k};$$

Покажем, что это действительное так. Для этого удобно перейти в другую систему координат, начало которого находится в точке $O'$, а ось $X'$ направлена вправо (см. рис. 4). Запишем уравнение движения тела в проекциях на выбранное направление:

$$Ma = F_{\text{упр}} + F_{\text{тр}}.$$

Здесь $F_{\text{упр}} = -k(x_0 + x') = -k \left( \frac{\mu M |\vec{g}|}{k} + x' \right)$ и $F_{\text{тр}} = \mu M |\vec{g}|.$

Позетом

$$Ma = -k \left( \frac{\mu M |\vec{g}|}{k} + x' \right) + \mu M |\vec{g}|,$$

или

$$Ma = -kx'.$$

(Заметим, что с таким же случаем мы встречаем при решении задач на колебания вертикального пружинного магнитка (рис. 5). Здесь роль постоянной силы треня играет тоже постоянная сила тяжесте.) Мы получили уравнение движения тела, совершающего свободные гармоничные колебания. Эти колебания проискдают по закону

$$x' = x_m' \cos(\omega_0 t + \varphi_0).$$

Циклическая частота колебания

$$\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{M}}.$$

Амплитуду $x_m'$ можно найти из энергетических соображений:

39

в начальной момент, когда скорость тела равна нулю, его смешение $x' = -x_0$. Следовательно, амплитуда колебаний

$$x'_m = x_0 = \frac{\mu M |\vec{g}|}{k}.$$

Начальная фаза $\varphi_0$ определяется начальным условиями: при $t=0$ $x' = -x_0$, откуда $\varphi_0 = \pi$.

Итак,

$$x' = x_0 \cos(\omega_0 t + \varphi_0) = -\frac{\mu M |\vec{g}|}{k} \cos \sqrt{\frac{k}{M}} t.$$

В системе координат $OX$ зависит ккординаты тела от времени будет такой:

$$x = x_0 + x' = x_0 (1 - \cos \omega_0 t) =$$

$$= \frac{\mu M |\vec{g}|}{k} \left( 1 - \cos \sqrt{\frac{k}{M}} t \right),$$

а проекции скорости и ускорения соответственно —

$$v = x_0 \omega_0 \sin \omega_0 t = v_m \sin \omega_0 t = \mu |\vec{g}| \sqrt{\frac{M}{k}} \sin \sqrt{\frac{k}{M}} t$$

и

$$a = x_0 \omega_0^2 \cos \omega_0 t = a_m \cos \omega_0 t = \mu |\vec{g}| \cos \sqrt{\frac{k}{M}} t.$$

Однако все наши рассуждения справедливы, только если амплитуда $v_m$ скорости тела не превыходит скорости $v_0$ движения ленты транспортера. Поэтому что только при условии

$$v_m \leq v_0,$$ или $\mu |\vec{g}| \sqrt{\frac{M}{k}} \leq v_0$

сила треня, действующая на тело, постоянна. Графики зависимости $x(t), v(t)$ и $a(t)$ для этого случая изображены на рисунке 6.

А что будет произходить с телом, если еще до прохождения смешенного положения равновесия (точки $O'$) абсцилотная величины его скорости станет равной $v_0$? Очевидно, что в этот момент тело «захватывает» лентой, и сила треня уменьшается до значения $|\vec{F}_{\text{Tp}}| = |kx| < \mu M |\vec{g}|$. Благодаря этому тело неокоторое время движется равномерно со скоростью движения ленты, пока не достигнет точки $O'$ с координатой $x_0 = \frac{\mu M |\vec{g}|}{k}$. В этот момент сила треня становится равной максимальной величины $\mu M |\vec{g}|$ и при дальнейшем движении тела будет оставаться постоянной.

Следовательно, начиная с этого момента, тело, как и в первом случае, будет совершать гармоничные колебания с той же частотой $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{M}}$, но с другой амплитудой $x_m$.

Поскольку амплитуда колебаний скорости равна $v_0$ (с такой скоростью тело проходит положение равновесия), амплитуда колебаний координаты

$$x_m = \frac{v_0}{\omega_0} = v_0 \sqrt{\frac{M}{k}}.$$

Аналогично амплитуда колебаний ускорения

$$a_m = v_0 \omega_0 = v_0 \sqrt{\frac{k}{M}}.$$

Соответствие графики зависимости $x(t), v(t)$ и $a(t)$ показаны на рисунке 7.

И. Слободецкий

40

А. Бендукидзе

Производная показатель функции

«График функции $\exp_{10}$ имеет вид «гладкой» кривой. На главе представляется, что этот график в каждой точке имеет касательную, угол наклона которого положитель. Поэтому естественно предполагается, что функция $\exp_{10}$ при любом значении аргумента имеет положительное произведение. Эта гипотеза верна, что доказывается в более полных курсах анализа. Мы примем без доказательства, что функция $\exp_{10}$ имеет положительное произведение в точке 0. Иначе говоря, допустим, что существует предел

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{10^0 + \Delta x - 10^0}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{10^{\Delta x} - 1}{\Delta x} \cdot (1)$$

Все дальнейшее будет отсюда следовать уже сравнительно просто.

Так начинается п. 109 — «Производная показатель функции. Число $e$》учебного пособия для 10-го класса — «Алгебра и начала анализа». Далее в этом пункте дается выбор формулы для производной функции $\exp_{10}$, а также и более общей формулы — для производной функции $\exp_a$, где $a > 0, a \neq 1$.

Все это, в самом деле, следует из существования предела (1) весма просто.

Но у любозначенного учашегося, а таким являются, безусловно, читатели «Кванта», может возникнуть вопрос: «Все-tаки, как доказывается существование и положительное предела (1)?» Доказательство этого факта, как и сказано в пособии, можно найти в полных курсах анализа. Там доказывается более общий факт, а именно: для любого положительного $a \neq 1$ существует предел

$$\lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h},$$

и он положитель, если $a > 1$, и отрицатель, если $0 < a < 1$. Но дело в том, что доказательство этого, как правило, опирается на целый ряд предвариательных лемм и теорем, в которых не всегда легко разобраться. Желательно было бы дать неопределенное доказательство. Такое доказательство и приводится ниже.

1. Пусть $a$ — произвольное число большие единицы. Рассмотрим последовательность $(x_n)$, общий член которого задается формулой

$$x_n = n \left( \frac{1}{a^n} - 1 \right).$$

Покажем, что $(x_n)$ — сложящая последовательность и предел ее положитель.

Начнем с вопроса о сходимости и будем проверять условия теоремы Вейерштрасса. Для любого натурального $n$

$$a^{-\frac{1}{n(n+1)}} - 1 > -1,$$

позному согласно неравенству Бернулли

$$a^{-\frac{1}{n}} = \left( 1 + \left( a^{-\frac{1}{n(n+1)}} - 1 \right) \right)^{n+1} > 1 + (n+1) \left( a^{-\frac{1}{n(n+1)}} - 1 \right).$$

Умножая это неравенство на $a^{\frac{1}{n}}$, получим

$$1 > a^{\frac{1}{n}} + (n+1) \left( a^{\frac{1}{n+1}} - a^{\frac{1}{n}} \right)$$

или, что то же самое,

$$n a^{\frac{1}{n}} + 1 > (n+1) a^{\frac{1}{n+1}}.$$

Этому неравенству очень легко придать следующее вид:

$$n \left( a^{\frac{1}{n}} - 1 \right) > (n+1) \left( a^{\frac{1}{n+1}} - 1 \right).$$

42

Поятому имеем
$$\begin{cases} n \left( \frac{1}{n+1} - 1 \right) < \frac{a^h - 1}{h} < \\ < (n+1) \left( \frac{1}{n} - 1 \right), \text{ если } h > 0, \\ \frac{n \left( \frac{1}{n+1} - 1 \right)}{a^{n+1}} < \frac{a^h - 1}{h} < \\ < (n+1) \left( \frac{1}{n} - 1 \right), \text{ если } h < 0. \end{cases}$$

Введем следующие обозначения:
$$n \left( \frac{1}{n+1} - 1 \right) = u_n,$$
$$(n+1) \left( \frac{1}{n} - 1 \right) = v_n,$$
$$\frac{u_n}{a^{n+1}} = u'_n, \quad \frac{v_n}{a^{n+1}} = v'_n.$$

Тогда полученные неравенства примут такой вид:
$$\begin{cases} u_n < \frac{a^h - 1}{h} < v_n, \text{ если } h > 0, \\ u'_n < \frac{a^h - 1}{h} < v'_n, \text{ если } h < 0, \end{cases}$$

а при любом $h$, по модулюшем $1/n$,

$$u'_n < \frac{a^h - 1}{h} < v_n.$$ (5)

Пусть теперь $n \rightarrow +\infty$. Тогда
$$\lim_{n \rightarrow +\infty} u_n = \lim_{n \rightarrow +\infty} v_n = \lim_{n \rightarrow +\infty} u'_n =$$
$$= \lim_{n \rightarrow +\infty} v'_n = \varphi(a).$$

В самом деле, так как
$$u_n = (n+1) \left( \frac{1}{n+1} - 1 \right) - \left( a^{n+1} - 1 \right) = x_{n+1} - \left( a^{n+1} - 1 \right),$$
$$v_n = n \left( a^{n+1} - 1 \right) + \left( a^{n+1} - 1 \right) = x_n + \left( a^{n+1} - 1 \right),$$

то согласно равенства (3) и (4)
$$\lim_{n \rightarrow +\infty} u_n = \lim_{n \rightarrow +\infty} x_{n+1} - \lim_{n \rightarrow +\infty} \left( a^{n+1} - 1 \right) =$$
$$= \lim_{n \rightarrow +\infty} x_{n+1} = \varphi(a).$$

Далее, согласно тому же равенства (4)
$$\lim_{n \rightarrow +\infty} a^n = \lim_{n \rightarrow +\infty} a^{n+1} = 1,$$
и поэтому
$$\lim_{n \rightarrow +\infty} u'_n = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{u_n}{a^{n+1}} =$$
$$= \lim_{n \rightarrow +\infty} u_n = \varphi(a), \lim_{n \rightarrow +\infty} v'_n =$$
$$= \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{v_n}{a^{n+1}} = \varphi(a).$$

Заметим при этом, что последовательность $\{v_n\}$ монотно убивает, а $\{u'_n\}$, — возвращает.

Итак, мы пришли к следующему выводу (см. рисунок): если $0 < |h| \leq 1$, то интересующей нас отношение, то есть $(a^h - 1):h$, можно «зажать» в промежуточок $]u_n, v'_n$ [(если $h > 0$) или в промежуточок $]u'_n, v'_n$ [(если $h < 0$), причем при стремлении $n \rightarrow +\infty$ концы этих промежуточков стремятся к одному и тому же числу $\varphi(a)$. Ясно, что иначе отношение стремится к тому же числу, то есть
$$a > 1 \Rightarrow \lim_{h \rightarrow 0} \frac{a^h - 1}{h} = \varphi(a) > 0.$$

Действительно, возможно любое $\varepsilon > 0$ и будем искать такое $\delta > 0$, что
$$|h| < \delta \Rightarrow |\varphi(a) - \frac{a^h - 1}{h}| < \varepsilon.$$

(Согласно определению предела функции, это и будет означает, что $\lim_{h \rightarrow 0} (1/h) \times (a^h - 1) = \varphi(a)$).

Так как последовательности $\{u'_n\}$ и $\{v'_n\}$ сходятся к $\varphi(a)$, притом первая возрастает, а вторая убивает, то по данному числу $\varepsilon > 0$ можно найти такое число $N$, что
$$-\varepsilon < u'_N - \varphi(a) \text{ и } v_N - \varphi(a) < \varepsilon.$$ (6)

Возьем теперь $\delta = 1/N$. Если $|h| < \delta = 1/N$, то имеют место (см. (5)) неравенства

44

«Квант» для младших школьников

Задания

1. Когда трехзначное число, две первыые цифры которого одинаковы, а третья равна 5, разделили на однозначное число, то в остатке получили 8. Найти делимое, делитель и частное.

2. Впишите в пустье клеточки на рисунке по цифре так, чтобы получились равильно выполненные (один за другим) два примера на деление.

3. Найти наименьшую пару натуральных чисел $a$ и $b$, удовлетворяющих условию $5a^2=2b^5$.

4. В каждом из следующих примеров буквами зашифрованы некоторые цифры. Расшифруйте примеры!

a) ТРИ +ДВА
ДВА ЯРД
ПЯТЬ

b) ТРИ·ТРИ=ШЕСТЬ

c) ПОДАЙ - ВОДЫ
ПАША

5. Число $A$ — натуральное, причем в его записи встречаются лишь цифры 1, 9, 7, 6, каждая — 1977 раз. Можно ли быть число $\sqrt[3]{A}$ целым?

44

45

Вероятно, многие из вас играли в лото или хотя бы слышали об этой игре. Предлагаем вам некоторое ее видимение. Как и в обычном варианте, главным предметом у нас является мешок с «бочонками», на которых написаны числа от 0 до 99. Правила игры таковы. Вам разрешается написать любое количество чисел от 0 до 99, каждое число не более одного раза. После этого из мешка вынимается один «бочонок». Если у какого-то из написанных вам чисел первая (или вторая) цифра совпадает с первой (соответствующего второй) цифрой вынутого числа, то ваше число получает 250 очков. Число, совпавшее с вынутом, получает 500 очков. Например, если вынуто число 95, то само оно получает 500 очков, числа 45 и 91 получают по 250 очков, а числа 59 и 04 не получают ничего (однозначные числа — 0, 1, 2, … — записьюются как двухначные — 00, 01, 02, …).

Чтобы лучше разобраться в правилах, давайте сыграм. У вас — листок бумаги и ручка, у меня — мешок с «бочонками». Например, на пиществе пару чисел. Я вынимаю 66. Сколько очков вы набрали? А сколько модели набрать? Видимо, не более 750. А какое наиболее количество чисел нужно написать, чтобы наверняка число-писью не нибудь набрать?

Не спешите, подумайте. Сколько у вас получилось? 10? Правильно. Например, можно написать числа 00, 01, 02, 03, …, 09, и тогда, какое бы число из мешка ни вынули, его вторая цифра совпадает со второй цифрой-одного из ваших чисел, а, значит, по крайней мере 250 очков вы получите. А меньшим количеством чисел не обойтись. Ведь если вы написете меньше десяти чисел, то найдет такая цифра a, которая не будет средней цифр ваших чисел, и такая цифра b, которая не будет средней цифр ваших чисел. А тогда если из мешка вынут «бочонок» с числом ab, вы не выиграете ничего.

Задача 1. Какое число было вынуто из мешка, если набор 07, 29, 45, 68, 84, 71, 32, 16, 53 ничего не получил?

А теперь вопрос потруднее.

Какое наиболее количество чисел нужно написать, чтобы наверняка число-писью не нибудь набрать?

Отвлечемся на минуту от лото и вспомним про шахматную доску и ладью, которая будет все поля, находящемся на одной горизонтали или одной вертикали с тем полем, на которой она стоит. Скажите, какое наиболее число ладей можно рассматривать на шахматной доске так, чтобы они не были другие другие?

46

Каждый, кто хоть немного знаком с шахматами, сразу ответит: конечно, восемь, например, как на рисунке 1.

Тогда еще один вопрос: пусть на доске расставлены 8 не быющих друг друга ладей. Сколько раз бется какое поле доски?

Если ладьи не быот друг друга, то они стоит на разных вертикальных и разных горизонтальных, а тогда на каждой вертикали и каждой горизонтали найдется по одной ладье. Любое поле, не занятое ладей, бется поэтому двумя ладями (одной — по вертикали, другой — по горизонтали).

Что же общего между лото и шахматами? А вот смотрите. Давайте выпишем все числа от 00 до 99 в квадратную таблицу 10×10:

| 00 | 01 | 02 | 09 |
| :— | :— | :— | :— |
| 10 | 11 | 12 | 19 |
| :— | :— | :— | :— |
| 90 | 91 | 92 | 99 |

Будем говорить, что число $ab$ будет число $cd$, если $ab$ получает очки, когда из мешка вынимают $cd$, то есть если $a=c$ или $b=d$. Посмотрим на нашу таблицу. Каждый быет числа, которые стоит с ним лADO на одной горизонтали, либо на одной вертикали. Мы уже знаем, что если 10 чисел не быот друг друга (например, 00, 11, 22, …, 99), то любое число от 0 до 99 будет либо совпадать с одним из этих 10 чисел, либо будет быться двумя выбранными. В обонх

Рис. 1.

случаях наш набор получает 500 очков. А меняше чем десять чисlam и 250 очков можно не набрать. Вот мы и ответили на вопрос о лото. Осталясь только одна неясность.

Задача 2. Обязательно ли быть 10 чисел не былоими друг друга, чтобы такой набор всегда получилось 500 очков?

Этот вопрос очень важно. Поэтому прежде чем читать дальше, проверьте свой ответ на с. 60.

А теперь мы уже можем решить и более сложную задачу — найти, сколько всего есть набор из 10 чисел, наверняка получающих 500 очков.

Мы уже знаем, что набор из 10 чисел has a certain number of squares, and each square has a certain number of points. We can use a simple algorithm to find the number of squares in the given table.

Мы уже знаем, что набор из 10 чисел has a certain number of squares, and each square has a certain number of points. We can use a simple algorithm to find the number of squares in the given table.

Эта задача хорошо известна математикам и даже имеет свое название: ее называют задачей о перестановках. Для ее решения заметим, что к цифре 0 можно приписать любую из 10 различных цифр. Приписать цифры к паре 0 и 1 можно так: сначала приписываем какую-нибудь из 10 цифр к паре 0 и 1. Таким образом, мы получаем 10·9 = 90 пар чисел, начиная их с 0 и 1, и так далее. Ответом на вопрос задачи является 10! (читается «10 факторials»).

Задача 3 (kontrolная). Сколько способами можно расставить на шахматной доске 8 одинаковых ладей так, чтобы они не были друг друга?

Предположим теперь, что мы хотим расставить не былоих друг друга ладей на врашающей шахматной доске. Сколько рассмотренок мы увидим в этом случае?

47

Рис. 2.

Хитрость этой задачи состоит в том, что когда дока врашается, мы не можем отличить данную расстановку от центрально-симметричной ей расстановки.

Задача 4 (kontrolная и с «изюминкой»). Может ли мы различит на врашающее шахматной доке те расстановки, которые на неподвижной доке получаются друг из друга поворотом на 90° относительно центра доки?

Обозначим число центрально-симметричных расстановок через $S$. Тогда общее число расстановок ладей на врашающее доке можно выразить формулой $S + \frac{8! - S}{2} = \frac{S + 8!}{2}$, и нам остается только найти $S$.

В верхнюю горизонталь у нас, как и обычно, есть 8 способов поставить ладью. Но если мы поставили ладью в верхнюю горизонталь, то придется поставить и симметрично ей ладью в нижнюю горизонталь. Позатем для ладьи во второй сверху горизонтали остается только 6 возможностей, в третьей — 4, в четвертой — 2, после чего расстановка определенена. Таким образом, имеется $8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2 = 2^4 \cdot 4!$ симметричных расстановок, а общее число расстановок равно $\frac{8! + 2^4 \cdot 4!}{2}$.

Задача 5 (kontrolная). Сколько расстановок восмини не былох друг друга ладей можно увидеть на нераскрашенной врашаюшей доке?

Пусть теперь на нашей шахматной доке выписаны подряд все числа от 1 до 64 (в верхней горизонтали слева направо числа от 1 до 8, в следующей — от 9 до 16 и так далее). Какие значения может принимать сумма чисел, написанных на тех полях, где стоям ладьи («ладейная сумма»)?

В начале этой статьи шахматная дока помогла нам решить задачу про ладо. Тепер наоборот: лодо поможет вам решить трудную задачу на доке. Пусть перед началом игры в лото каждой игрок получает некоторое число очков, и за возможность написать какое-то число нужно отдать столько очков, каково это число.

Задача 6 (kontrolная). Какой из 10! наборов не былох друг друга чисел выгоднее и каково требуемое число очков?

Решив эту задачу, вы фактически вычислите «ладейную сумму» на доке $10 \times 10$, здесь будет удобна десятичная запись чисел.

На доке $8 \times 8$ больше выгодной будет запись, связанная с числом 8. А именно, доку с числами можно представить в виде «суммы» двух досок (рис. 2), причем на каждой «слагаемом» ладейная сумма не зависит от расстановки ладей и равна

$$0 + 8 + 16 + \dots + 56 = 224$$

на первом слагаемом и

$$1 + 2 + 3 + \dots + 8 = 36$$

на втором слагаемом. Значит, при любой расстановке восмини не былох друг друга ладей ладейная сумма равна 260.

Вернемся к лото.

Задача 7. У вас хватило очков, чтобы написать все числа от 00 до 99. Из мешка вынули один бочонок. Увеличится выше числа очков (по сравнению с исходным) или уменьшится?

Задача 8. Дан набор из 10 не былох друг друга чисел. Всегда ли можно разить остальные 90 чисел на 9 наборов по 10 не былох друг друга чисел?

И наконец, две задачи на доке. Будем говорить, что числа от 1 до 64 выписаны на шахматной доке «правильным образом», если для всех расстановок восмини не былох друг друга ладей «ладейная сумма» одинакова.

Задача 9. Доказать, что существует по крайней мере $2 \cdot (8!)^2$ способа выписать числа от 1 до 64 на доке «правильным образом».

Задача 10. Какие значения может принимать «ладейная сумма», если числа от 1 до 64 выписаны «правильным образом»?

48

Задания
на площади
и двугранные углы

Рассмотрим следующую задачу.

Задание 1. Правильная преуольная парамida с двумерным углом α при ребре основания пересечена плоскостью, паралельной основанию, так, что площадь полученоо сечения равна площади боковой поверхности образованшейся усеченной парамиды. Определить отношение площади основания к площади сечения.

Если решать эту задачу, рассматривая сечение парамиды плоскостью, проходящей через высоту и апофему боковой грани, то после достаточно сложных вычислений получается ответ 1+cos α. Το обстоятельство, что искомое отношение про-

сто выражается через данную величины, ведет к дальнейшим размышлениям. Случайно ли это? Очевидно, нет. Скорее всего должно существовать и простое решение задачи. По-smотрим винмательно на ответ. По-лученое соответствие связи дает площадь S основания, площадь Q сечения (равную по условию площади боковой поверхности усеченной парамиды) и двугранный угол при ребре основания (рис. 1).

No格拉сно известной формуле *) площади ortogonalной проекции многоугольника S—Q=Q·cos φ, откуда

$$\frac{S-Q}{Q} = \cos \varphi, \frac{S}{Q} = 1 + \cos \varphi.$$

И во многих других случаях применение формулы площади проекции является тем элементом, который неопределенно ведет к решению задачи.

Задание 2 (МАИ, 1973). Основанием парамиды служит параллеродам, площадь коморого Q. Вершина парамиды проектировется в моче пересечения диагональной параллеродам. Одна из боковых границ с плоскостью основания угол α, друза — угол β. Найти площадь боковой поверхности парамиды.

*) См. «Геометрия 10», § 50.

Рис. 1.

Рис. 2.

49

Ввиду того, что
$$S_{\triangle BAC} = S_{\triangle DAE}, \quad S_{\triangle CAD} = S_{\triangle EAB},$$
$$S_{\triangle BOC} = S_{\triangle COD} = \frac{Q}{4}$$

(рис. 2), сразу находим:
$$S_{60k} = 2(S_{\triangle BAC} + S_{\triangle CAD}) =$$
$$= 2\left(\frac{S_{\triangle BOC}}{\cos \alpha} + \frac{S_{\triangle COD}}{\cos \beta}\right) =$$
$$= 2\left(\frac{Q}{4\cos \alpha} + \frac{Q}{4\cos \beta}\right) = \frac{Q(\cos \alpha + \cos \beta)}{2\cos \alpha \cos \beta}.$$

Задача 3 (КГУ, физак, 1975).
В основании пирамиды лежит ромб со сторной а и острым углом α.
Две боковые грани, которые содержат стороны острого угла основания, перепendlukулярны основанию, две другие наклонены к основанию под углом β.
Найти площадь боковой поверхности пирамиды.

Легко заметить, что проекция $E_1AD_1$ (рис. 3) боковой грани $EAD$ на плоскость боковой грани $BAC$ равновелика грани $BAC$, причем двумя уголями угол между этими гранями равен $\frac{\pi}{2} - \beta$, а проекцией грани $AED$ на плоскость основания ромба является треугольник $BED$. Поэтому
$$S_{60k} = 2(S_{\triangle EAD} + S_{\triangle BAC}) =$$
$$= 2(S_{\triangle EAD} + S_{\triangle E_1AD_1}) =$$
$$= 2\left[S_{\triangle EAD} + S_{\triangle EAD} \cos\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right)\right] =$$

Рис. 3.

Задача 4 (КПИ, 1975). Вправильнуючем перехуедельную пирамиду вписан шар; боковая грань этой пирамиды служит основанием другой пирамиды, вершина которой в центре шара и obtем коморой равен $1/6$ obtема данной пирамиды. Определить величины двумерного угла при основании и плоского угла при вершинечем перехуедельной пирамиды.

Известно, что $V_{\pi\rho} = \frac{1}{3} S_{\pi\operatorname{o}l n} \cdot r$ (рис. 4). Поэтому
$$\cos \alpha = \frac{S_{\operatorname{o}l n}}{S_{60k}} = \frac{S_{\pi\operatorname{o}l n}}{S_{60k}} - 1 =$$
$$= \frac{\frac{1}{3} S_{\pi\operatorname{o}l n} \cdot r}{\frac{1}{3} \left(4S_{\triangle CAD}\right) \cdot r} - 1 = \frac{V_{ABCDE}}{4V_{O_1CAD}} -$$
$$- 1 = \frac{6}{4} - 1 = \frac{1}{2},$$
$$\alpha = \frac{\pi}{3}; \text{tg} \frac{\beta}{2} = \frac{|DF|}{|AF|} =$$
$$= \frac{|OF|}{|AF|} = \cos \alpha = \frac{1}{2},$$
$$\beta = 2 \mathrm{arctg} \frac{1}{2}.$$

Задача 5 (ЛГУ, 1968). Установить зависимость между косинусом