Квант 1978, №4 · Страницы

КВАНМ 4
1978

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

На рисунке изображена сфericalная циклола, для которого $\frac{r}{R} = \frac{2}{3}$. О сфericalной циклоле читайте на стр. 13.

1

В НОМЕРЕ

2 Ленинский завет: «Учитесь, учиться и учиться!»
6 И. Шкловский. Астрономия невидимого
13 В. Березин. Циклопы на плоскости и на сфере
14 А. Земляков. Арифметика и геометрия столковенной Лаборатория «Кванта»
22 А. Дозоров. Демонстрация невесомости

23 И. Антимов, С. Шварцбург. Удивительный вычислитель Задачник «Кванта»
26 Задачи M496-M500; Ф508-Ф512
28 Решения задач M446-M448; Ф462-Ф466
По страницам школьных учебников
36 В. Дубровский. Шесть доказательств теоремы о медианах «Квант» для младших школьников
39 Задачи
40 Ф. Барменев. Наблюдения в математике
Практикум абитуриента
42 А. Кикoin. Что такое э. д. с.?
48 Н. Розов. Читатель советуют
53 С. Козел, Ю. Никольский, Б. Федосов, В. Чехлов, А. Шелазин. Московский физико-технический институт
Рецензии, библиография
56 И. Зорич. Красивая физика
Информация
58 Ю. Иванов. Всегоизная неделя науки, технически и производства для детей и юношества.
60 1 апреля
62 Ответы, указания, решения
Список читателей, приславших правильные решения задачи из «Задачника« «Кванта» (21, 38, 52, 57, 59)
Смесь (35)

На обложке журнала вы видите рисунок М. Эшера «Лист Мёбнуса» (см. с. 35).

© Главная редакция физико-математической литературы издательства «Нука», «Квант», 1978.

2

Ленинский завет:
«Учится, учиться и учиться!»

Ста́ть 45. Граждане СССР имеют право на образование. Это право обеспечивает бесплатность всех видов образования, осуществленным всеобщего образования среднего образования молодежи, широким развитием профессионального технического, среднего специального и высшего образования на основе связи обучения с жизни, с производством; развитием заочного и вечернего образования; предоставленем государственных stipendий и льгот учащимся и студентам; бесплатной выдачей школьных учебников; возможность обучения в школе на родном языке; созданием условий для самообразования.

Конституция СССР

«Выражая волю советского народа, выполняя его поручение, Верховный Совет СССР принял новую Конституцию Союза Советских Социалистических Республики. Утвержден Основной Закон первого в мире общенародного социальического государства. Конституционно закреплен новый исторический рубеж в нашем движении к коммунизму — построение развития страны и льгот учащимся и студентам; бесплатной выдачей школьных учебников; возможность обучения в школе на родном языке; созданием условий для самообразования.

Специальный раздел Конституции — «Государство и личность» — устанавливает права, свободы и обязанности граждан СССР. И отделная статья этого раздела закрепляет право каждой советского человека на образование. Причем право на образование не просто декларирует — Основной Закон указывает, чем конкретно гарантирует это право. Миллонны советских школьников, учащся профессионально-технических училищ, студентов техническим на своем личномповседневном опыте хорошо знают, как реализно обеспечивает право на образование, постоянно чувствуют отеческую работу Коммунистической партии, Советского правительства, всего нашего народа.

Конституция СССР гарантирует каждому советскому человеку право на образование. Наше государство берет на себя крупные расходы на образование и воспитание молодежи: так, затраты в год на одного учащего в общеобразовательной школе составляют 160 рублей (без учета расходов по бесплатной выдаче школьных учебников), в технические — 640 рублей, в взете — свыше 1000 рублей. Однако, обеспечивая право на образование, социальное общенародное государство в то же время требует от каждой своего гражданина максимального использования этой возможность. В Основном Законе страны прямо говорится: «Обязанность и делочести каждой способного к труду гражданина СССР — добросовестный труд в избранной им области общественного полезной деятельности, соблюдение трудовой дисциплины» (статья 60). Это положение Конституции СССР в полной мере относится к юным гражданам нашей Родины — к школьникам. Каждый

3

дый советский школьник должен настоящего и употребить, бороться за высокий уровень знаний, воспитывать в себе глубокую иденую убеждающую, трудолюбие, дисциплинированность, готовиться к общественному полезному труду.

На всех этапах истории Советского государстваparts и правительство уделяли особое внимание вопросам образования, обучения и воспитания подрастшего поколения. Свершилась Октябрьская революция — и перед Советской власти встали тысячи и тысячи неотложных, кардиальных проблем. От судьбы многих из них зависяло само существование молодой ресурсники. Но и в этих тяжелейших условиях В. И. Ленин всегда находил время направлять процесс формирования новой советской системы воспитания юношества, становления новой советской школи. Уже в первой нашей Конституции — Конституции РСФСР 1918 года — была формулирована жизньено важная задача «предоставить рабочим и беднейшим крестьянам полное, всестороннее и бесплатное образование». В годы интервенции и гражданской войны, в годы экономической разрухи, безработцы и голода в полной мере проявлась ленинская забота о детях — страна отдавала им всевозможное и все лучшее.

С первых дней своего существования Советское правительство под руководством В. И. Ленина энергично приступило к искоренению позорного наследия царизма — массовой безграмотности. И эта сервернейшая проблема была решена в невиданно короткий срок. В 1906 году русский журнал «Вестник воспитания» писал, что для.linkвидания неграммотности в Казахстане и Средней Азии потребуется 4600 (!) лет. Но Казахстан и ресурсники Средней Азии уже давно стали краем сплошной грамотности. В городах и сельх только одной Казахской СCP в настоящее время трудится свыше 160 тыссячел; до Великого Октябрь в Казахстане не было взов, а ныне в 50 высоких учебных заведениях ресурсники обучаются более 200 тыссячел студентов. Основа этих достижения — социальстический строй Страны Советов; ничего подобное невозможно в капиталистическом мире. Вот данные федерального бюро просвещения США: в самом богатой капиталистической стране, проведгласившей себя «государством всеобщого блаоденствия», сегодня насчитывается 23 миллиона взрослых людей, которые не могут прочитать даже железнодорожное расписание. По оценкам экспертов международной организации ЮНЕСКО, занимающейся проблемами образования, науки и культуры, сейчас на земном шаре до 800 миллионов человек полностью неграмотны, т. е. один взрослый из трех неумет ни читать, ни писать.

Славный путь прошла советская школа за 60 лет существования нашего государства, и все ее успехи — реализное вопросление в жизнь бессмертных ленинских заветов. Однако из заменательных социальных и культурных достижений советского народа за годы девятой пятилетки — переход ко всеобщему среднему образования. Тепер всеобщее обязательное среднее образование молодежи закреплено в Конституции СССР. Намечая перспективы десятилетки, пятилетки эффективности и качества, XXV съезд КПСС в «Основных направлениях развития народного хозяйства СССР на 1976—1980 года» указал на необходимость «осуществить дальнейшее развитие системы народного образования в соответствии с требованиями научно-технического прогресса и задачи неуклонного повышения культурно-технического и общеобразовательного уровня трудящихся». Выполняя это указание съезда, ЦК КПСС и Совет Министров СССР приняли ряд Постановлений, в которых намерены конкретизные пути совершенствования процесса обучения и воспитания учащихся средних общеобразовательных школа и профессиональной технических учебных заведений. В № 1 нашего журнала за 1977 год уже расскажалось о том специальном внимание условия правительствоуделянтов улучшению условий работы сельской общеобразовательной школе.

4

Широко известны слова В. И. Ленина, сказанные им на III Всероссийском съезде комсомола: «Коммунистом стать можно лишь тогда, когда обогатшь свою память знанием всех тех богатств, которые выработало человека». Эту задачу Владимир Ильич сормулировал на заре социальстического общества. Она была актуальной тогда — и она еще более актуальная сегодня. Ведь то, что делает сегодня рядом работ или колхозный механизатор, еще недавно считалось доступным только технически или инженеру. А это предъявляет все новые и новые требования к уровню и качеству знаний любого работника — независямо от того, трудится он на заводе или в поле, на строительстве или на транспорте, в научной laboratorии или в школе. Таким образом, для каждой члена общества, строящего коммунизм, среднее образование стало объективной необходимостью.

Именно поэтому в Постановлении ЦК КПСС и Совета Министров СССР «О дальнейшем совершенствовании процесса обучения и воспитания учащихся системы профессионального технического образования» поставлена задача «развивать и улучшать работу средних профессиональных технических училищ, … в которых созданы необходимые условия для молодежи по овладению современными работниками профессиями, получения полного среднего образования, всесторонней подготовке к самостоятельной трудовой жизни». Советская профессиональная техническим кругозором, способных освивать и совершенствовать новыйшую техническую училище, давая законченное среднее образование, открывает все пути для дальнейшего обучения как в технических — средних специальных учебных заведениях, так и в высшей школе. Более того, тот, кто с отличием окончил среднее профессиональное техническое училище, после успешной сделки вступительных экзаменов зачисляется вуз вне конкурса.

В самый канун 1978 года было опубликовано Постановление ЦК КПСС и Совета Министров СССР «О дальнейшем совершенствовании обучения, воспитания учащихся общеобразовательных школ и подготовки их к труду». В этом документе нашли широкое развитие актуальные вопросы трудового обучения, идено-politического и правственного воспитания, профессиональной ориентации учащихся. В нем, в частности, сказано: «В современных условиях, когда в стране осуществлен переход ко всеобъемлющему образованному, выпускнику средней школы за период учебных областей глубокими знаниями основ наук и трудовыми навыками для работы в народном хозяйстве, вплотную подготовки к овладению определенной профессии. Необходимость решительного поворота школ к лучшению подготовки молодежи к труду в сфере материального производства, к обеспечению выбору профессионального ориентации».

Решения партии и правительства по вопросам образования ставят перед редакционной коллегей и редакцией «Кванта» важные задачи, требуют дальнейшего повышения качества журнала в соответствии с актуальными проблемами школ. Развитие интереса молодежи к наук, укрепление связи между научкой и школе, пропаганда физических и математических знаний, всестороннее развитие роли и значения математики и физики для практики — все это, несомненно, будет способствовать как углублению знаний школьников, так и профессиональной ориентации.

Серодняшие старшеклассники завтра встанут в ряде активных стройтеелей коммунистического общества. И нет сомнения в том, что они отдут все свои силы и знания вопросению в жизнь бессмертных заветов Великого Ленина.

5

НАШИ ЮБИЛЯРЫ

АНДРЕЙ НИКОЛАЕВИЧ КОЛМОГОРОВ

В апреля 1978 года исполняется 75 лет со дня рождения первого замесителя главного редактора журнала «Квант», выданной государством математика, Героя Социалистического Труда, лауреата Ленинской и Государственных премии СССР академика Андрея Николаевича Колмогорова.

Помимо плодотворной научной деятельности Андрея Николаевича много времени и энергии отдаем педагогическим проблемам средней школы. Он—один из авторов новой программы по математике, автор и научный редактор ряда учебников для средней школы, председатель Комиссии по математике Учебно-методического совета Министерства просвещения СССР.

Редколлеция и редакция журнала «Квант» от своего имени и от имени многих мысieurs читателей поздравляю Андрея Николаевича с его semi-decemsiнимлением и желанием ему долих лет жизни, большого личного счастья, новых успехов в научной и педагогической деятельности.

АЛЕКСЕЙ ИВАНОВИЧ МАРКУШЕВИЧ

Исполнитель 70 лет члену редакции нацезо журнала, действительному члену Академии педагогических наук, профессор Алексею Ивановичу Маркушевичу.

Плодотворную научную работу Алексей Иванович соцета с большой организацией работ по перестройке школьного образования в нашей стране. Он один из авторов новой программы по математике для средней школы. Под редакцией Алексея Ивановича выил ряд учебников для средней школы по новой программе: учебники по математике для 4 и 5 классов, «Алебра-6», «Алебра-7», «Алебра-8». Редколлеция и редакция журнала «Квант» от своего имени и от имени многих мысieurs читателей поздравляю Андрея Николаевича с его semi-decemsiнимлением и желанием ему здоровья, долих лет жизни и новых больших успехов в его благородной деятельности ученого и педагога.

6

И. Шкловский

Астрономия
невидимого

Это просто чудо, что мы сквозь огромную толщу земной атмосферы можем видеть звезды! Ведь над каждым квадратным сантиметром поверхности нашей планеты находится один килогramм вещества atmosферы — факт, известный даже Остапу Бендеру…
Это настоящая броя. Почему же она поглощает только 15—20% падающего из космоса излучения? Но—стоп! Необходима существование оговорка: речь идем о видимом излучении.

Видимый нашими глазами свет — это очень узкая полоска в шкале электромагнитных излучений, ограниченная длинами волн 8·10⁻⁷ м (красные лучи) и 4·10⁻⁷ м (филюлетовые). В сторону длиных волн к этой полоске примыкает широкая полоса инфракрасных волн, простраюшаясяprimерно до длины волны 10⁻⁴ м. Еще дальнейшие огромная область радиоволн от субмиллиметровых до многокилометровых волн.
В сторону коротких волн от полоски видимого света располагаются ультрафилюлетовые волны с длиной до 10⁻⁸ м, еще более короткиеRENTгеновские и, наконец, самые короткие гамма-лучи.

Удивительная прорачность толстой брони земной атмосферы относится прежде всего к видимым лучам. Кроме того, земная атмосфера прорачана и для радиоволн с длиной от одного сантиметра до 15—20 метров. Существуют также отдельные «окна прорачности» и в инфракрасной области спектра. Все остальные видия электромагнитного излучения земная атмосфера полностью поглощает.

To obstruction, что земная атмосфера прорачана для видимых лучей, с точки зрения общих законов

10

Серпуховский радиотелекон Физическая института Академии наук СССР.

димой части спектра, которые «съехали» туда с далекой ультрафилотовой части. Ни у каких других астроνομических объектов (звезд, туманностей) эти линии никогда не наблюдались (ультрафилотовая часть спектра нацелло поглощается атмосферой). Далее, оказывается, что скорость удаления такой галактики близка к 250 000 km/c, что составляет 0,8 от скорости света в вакууме!

Наблюдаемое уже много лет является красного смещения современная космология, начиная от нашей заменательного физика и математика А. А. Фридмана, объявляет реальный распределением Вселенной. С течение времени расстояния между галактиками увеличивается все больше, следовательно, растут масштабы Вселенной. Наблюдая квазар с λ/λ₀=4, мы как бы заглядываем в далекое прошлое Вселенной, когда ее размеры были в 4 раза меньше нынешних, а средняя плотность вещества — в 64 раза больше. Ну, а что было еще равны?

Пока квазаров с λ/λ₀ больше 4,6 еще не обнаружено. Очень возникло, что их либо совсем не будет, либо будет очень мало. Это означает, что галактики (а следовательно, и их ядра) образовались на определенной стадии развития Вселенной, когда ее масштабы были в 4—5 раз меньше нынешних. Еще в более раннюю эпоху никаких галактик не было. А что же было? Оказывется, был газ, причем довольно простого химического состояния — смесь водорода и гелия. По мере расширения этого газа, связанного с расширением Вселенной, он уменьшал свою плотность и охлаждался. Значит, когда «возраст» Вселенной исчисляется несколько миллионами лет, температура заполняющего ее газа достигала несколько тысяч градусов. При такой температуре этот газ был частично низирован, то есть представлял собой плазму.

Важной особенность Вселенной на ранних стадиях ее эволюции было то, что она содержала огромное количество излучения. Спектральный состав этого излучения был такой же, как и у раскаленого до соответствующей температуры тела. Плотность энергии этого излучения (энергия, приходящая на единицу объема) была в сотни миллионов раз больше плотности тепловой энергии газа (так как вещество во Вселенной тогда имело еще сравнительно низкую плотность). Кванты лучистой энергии находится в равновесии с атомами газа, которые поглощали и излучали их. Это значит, что число квантов, поглощенных атомами, равно числу испускаемых имми квантов (за одно и то же время). По этой причине температуры вещества и излучения были одинаковы. Но это могло продолжаться лишь до поры, до времени.

Из-за расширения Вселенной плотность газа быстро убывала, и это причине обмен энергий между излучением и газом происходит все медленнее и медленнее. Наконец, эти процессы стали настоящко медленными, что излучение, наполяющей Вселенную, потеряло всякую с газом. Это произойдет как раз тогда, когда возраст Вселенной был несколько миллионов лет, а размеры примерно в тысячу раз меньше совершенных. По мере дальнейшего расширения Вселенной плотность излучения

11

чения, заполняющего Вселенную, быстро уменьшалась в соответствии с тем, что его температура изменялась пропорционально размером. И теперь, когда со времен «отклейки» излучения от вещества Вселенная увеличила свои размеры больше чем в тысячу раз, ожидая температура заполняющего ее излучения должна быть порядка нескольких градусов.

Величайшим достожением радиоastronomии является обнаружение этого заполняющего всю Вселенную излучения, по сравнению получшего названия «реликтового». Подано тому, как среды живущих на Земле видов животных и растений попадаются «живые анахронизмы» — представители фауны и флоры давно прошедшего состояния Вселенной, когда в ней еще не было галактик и звезд, а был только горячий газ и заполняющее весь мир излучение. Это открытие было сделано 12 лет тому назад. Оказаюсь, что на радиоволнах сантиметрового и миллиметрового диапазонов все незалучает одинаково по всем направлениям. Спектральный состав этого излучения соответствует телу, нагретому до температуры 2,7 градуса абсолотной шкалы Кельвина. Максимальная интенсивность приходит на длину волны около одного миллиметра. Значение этого открытия состоит прежде всего в том, что оно должно возникнуть изучать Вселенную, когда она была в десяти тысяч раз «моложе», чем сейчас, и совершено не похоже на нынешнюю. Вселенная имеет историю, она под действием внутренних причины непрерывно развивается и, конечно, усложняется. Ибо сейчас Вселенная неизмеримо богате и сложнее, чем это было в ту отдельную эпоху. Например, тогда вещество еще не имело того богатого химического состояния, как сейчас. Элементы, отличные от водорада и геля, образовались в недрах звезд значительной позже. Не следует также забивать, что и жизнь во Вселенной могла возникнуть только после образования тяжельых элементов.

Парадоксально, что мы знаем сейчас о той отдельной от нас эпохи, когда образовались «реликтовое» излучение, значительное больше, чем обуслових образования нашей Солнечной системы и, в частности, Земли, хотя это весна важное событие произойдет не так уж давно: всего «каих-нибудь» пять миллиардов лет тому назад, когда размеры Вселенной были раз в два меньше современных. Это хорошо пример тому, что наука развивается неравномерно, что прогресс наших знаний идет на «пропыве» в неизвестное.

Одно из важнейших направлений в радиоastronomии может быть назван «астропидекторскойция». Речь идет об исследовании различных спектральных линий, длины волн которых находится в радиодиапазоне. Чаще всего эти линии наблюдаются в отдельных области весма резреженной межзвездной среды, встроенное изучение которого в последние годы приобрело особенно большое значение. Самая «знаменитая» радиолиния имеет длину волны 21 см и принадлежит водороду. Так как водород является наиболее обильным элементом во Вселенной, изучение этой линии дает весма ценную информацию, относится ко всем нашей звездной системе — Галактике. Изучение этой линии позволяет выявить температуру межзвездной среды, ее плотность и характер движения облаков межзвездного газа.

Наряду с atomами в межзвездном газе содержится молекулы. Многие из них излучают радиолинии, которые успешно наблюдаются. Неожиданность было открытие в межзвездном пространстве сложных, многоатомных молекул, например, муравный кислоты, этилового и метилового спиртов и ряда других. Исследование радиолиния от молекул открывает изучение изотопного состояния вещества во Вселенной. Именно таким образом впервые был обнаружен межзвездный дейтерий — тяжельый водород, у которого радиолиния имеет длину волны около 92 см. Оказаюсь, что в межзвездной среде на каждые сто тысячи atomов облакного водорада приходит один atom тяжелого.

12

Это открытие имеет довольно неожиданные последствия. Дело в том, что действий никак не может образовать в недрах звезд. Уже при довольно «умеренной» температуре в несколько миллионов градусов происходит ядерные реакции, ведущее к разрушению ядер деятельности. Поэтому так же, как и обычный водород, действий должен имеет «реликтовое» происхождение. Оказывается, что ядерные реакции, при которых синтезировался действий, должны были проискать тогда, когда температура Вселенной была несколько миллиардов градусов, а возраст — всего лишь около 10 минут! Вот куда могут заглянуть «глаза» радиотелекопсв…

Особое место в космической радиоспектрокопии занимают исследование линей молекулы гидроксила OH, длины волн которых (их всего четыре) около 18 см. Дело в том, что на этой волне совершено неожиданное были обнаружены ядрыше, очень маленькие источники, обычно нахождения в газовых туманностях. Выяснились, что эти источники работают по тому же принципу, что и лазеры—квантовые генераторы электромагнитных волн ввидимом диапазоне спектра. Для радионапазона также источники называют мазерами. Кроме того, примерно в тех же местах неба были обнаружены очень яркие источники в линей водного пара H₂O с длиной волны 1,35 см, имеющие ту же природу. Таким образом, оказалось, что природа реализует в естественных условиях условий прибор, являющийся в нашей длине символьом переживаемой человекеством научно-технической революции! Всего любопытнее то, что эти удивительные источники находятся в непосредственной близости от области Галактики, где по всем данным проискот пока еще во многом загадочный процесс образования молоды звезд из межзвездной газовой среды. Таким образом, радиоастроения совершено неожиданное оказалась мощным средством изучения этой давно уже ставшей классической проблемы.

Перечисляя выдающиеся достижения радиоастронии за последнее 10—15 лет, нельзя умолчать об открытии, взвольновавшем человечество 10 лет тому назад. Речь идет об открытии пульсаров. Этот совершенню необычный класс радионсточников характерен строгой периодичностью радиосигналов. Самый короткий из известных периодов близок к 1/30 секунды, самый длинный — около 4 секунды. Исследования показали, что пульсары — это очень быстро врашающее нейтронные звезды, причем период врашения совпадает с наблюдаемой периодичностью радиомпульсов. Что же такое нейтронная звезда? Представьте себе нашей Солнце, скатое до размеров около 10 км. Так как радиус Солнца близок к 700 000 км, а его средняя плотность равна 1,4 г/cм³, то средняя плотность 10-километрового шара — нейтронной звезды — будет близка к 10¹⁵ г/cм³. Это — удивительно большая величина, близкая к плотности вещества atomного ядра.

Нейтронные звезды, как закономерный конец эвольции неокотрых звезд, были теоретически предсказаны свыше 40 лет тому назад. В оптических лучах эти звезды (за одним важным исключением) обнаружить невозможно. Только методы совершенню радиоастронии позволили в нашей дни обнаружить нейтронные звезды — мечту двух поколений физков и астрономов всего мира. Это — одно из величайших открытий в астрономии и физике XX века, столбогатого выдающимся достижениями науки.

13

Циклопы на плоскости и на сфере

Свойства циклопид изучали многие выдающиеся учены прошло год. Среди них Г. Галилей (1564—1642), давший циклопид имя (от греческого хухлос—«круг»).

Плосая циклопда — это траектория фиксированной точки окружности, катшейся (без скольжения) по заданной прямой. Если подвижная окружность катится по неподвижной, касаясь ее снаружи, фиксированная точка подвижной окружности описывает эпициклопду. При $r=R$ эпициклопда называется кардиопдою («Квант», 1977, № 12, с. 33), при $\frac{r}{R}=\frac{1}{2}$ — нефродою («Квант», 1977, № 9, с. 43).

Все описанное в предыдущем абзаце проискдило на плоскости. Для перехода к пространству, к циклопдам на сфере опшем плоскую циклопду по-другому: представим себе, что на неподвижную плоскость наложена подвижная плоскость, на котором нарисована окружность $\Sigma_1$, на котором нарисована окружность $l$. Сфера $\Sigma_2$ поворачивается так, что окружность $l$ катится (без скольжения) по окружности $L$. В этом случае траектория фиксированной точки окружности $l$ опшет на сфера $\Sigma_1$ сферическую циклопду $y$. На рисунке 1 показан один виток сферической циклопды. Если радиус окружностей $L$

Рис. 1.

Рис. 2.

и $l$ несоизмеримы, точки сферической циклопды заполняют на сфере полосу.

Попробуйте установить какую форму имеет сферическая циклопда, если $\frac{r}{R}=\frac{1}{2}$.

Декарт один из первых показал, как можно определить направление касательной к плоской циклопде в любой ее точке. Заменим подвижную окружность квадратом $ABCD$ того же периметра и заставим его катиться по данной прямой, следя за траекторией точки $A$ (рис. 2). При этом квадрат будет поочередно врашаться около своих вершин $D$, $C$, $B$, занмающих, соответственно, положения $D$, $C_1$ и $B_2$. Если центр врашения в данной момент находится, скажем, в точке $C_1$, нормаль (перpendикуляр к касательной) в точке $C$ будет проходить через точку $C_1$. Заменим квадрат на правильный пятугольник, шестиугольник, . . . , $n$-угольник того же периметра. Картина будет та же: нормаль будет проходить через вершину, около которого в данной момент проискдит врашение. В пределе при $n \rightarrow \infty$ правильный многоугольник превращится в окружность, траектория точки $A$ — в циклопду, а точка, через которой обязана проходить нормаль в данной точке циклопды, — в точку касания подвижной окружности (в соответствии тем положения) с опорной прямой. Имея нормаль, нетрудно proveсти касательную.

Подобные рассуждения можно proveсти для эпициклопды и гипопиклопды, только «правильные многоугольники» придетя стронть из дуг неподвижной окружности, а не из отрезков прямых. И вовь оказывается, что касательная к эпициклопде в данной точке будет проходить через точку касания подвижной окружности в соответствии тем положения.

Петербургский математик Я. Герман (1678—1733) показал, что это утверждение верно и для сферического циклопды.

В. Березин

15

то непосредственного решения системы можно заметить, что она имеет не более двух решений, либо подстановке $z_2 = v_1 + v_2 - z_1$ во второе уравнение системы получается квадратное уравнение относительно $z_1$; с другой стороны, два решения очень видны — это $\begin{cases} z_1 = v_1, \\ z_2 = v_2 \end{cases}$ и $\begin{cases} z_1 = v_2, \\ z_2 = v_1 \end{cases}$.

Первое из них лишено физического смысла: оно означает, что шары продолжают движение с прежними скоростями, как бы просакивая друг через друг. Следовательно, при абсолотно упругом соударении двух шаров одной массы проискодит обмен скорости: $z_1 = v_2$ и $z_2 = v_1$.

$2^\circ$. Этот вывод особенно удобно интерпретировать на графиках движения шаров на координатной плоскости $Otx$ (т — время, $x$ — координата по оси $Ox$). До стольновения шары движются по законам $x = x_1(t) = a_1 + v_1t$ и $x = x_2(t) = a_2 + v_2t$ (здесь $a_1$ и $a_2$ — начальные координаты шаров); их графики движения — прямы (точнее — отрезки или лучи) на плоскости $Otx$, с угловыми коэффициентами $v_1$ и $v_2$. Momentу соударения шаров соответствуют точке пересечения графиков. После соударения графики $x = x_1(t)$ и $x = x_2(t)$ также являются прямыми. После соударения графики $x = x_1(t)$ стал равен $z_1 = v_2$, то первый график после соударения является продолжением второго графика $x = x_2(t)$ до соударения; аналогично, второй график после соударения является продолжением первого.

§ 2. При шара разных масс: конфигурационный пространство

При стольновении двух шаров разных масс проискодит не обмен скорости, а более сложное перераспределение скоростей. В рассматриваемом случае (при шара разных масс) рассмотрение графиков на плоскости $Otx$ уже ничего хорошего не дает. Более того, совсем не оченьindo, что число стольновений будет обязательно конечным: представьте себе, что на легкий шарик с двух сторон (не одновременно!) налетают два массивных шара (см. рисунок на заставке); не будет ли маленький шарик бесконечно колебаться между большими?

Ниже будет показано, что максималь-

18

уравенный плоскостей, причем выбрали направлениями в соответствии полупространства, как показано на рисунке 5 (проверьте). Имеем

$$\cos \alpha = \frac{\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2}{\left| \vec{n}_1 \right| \cdot \left| \vec{n}_2 \right|} =$$

$$= \frac{1}{m_2} \sqrt{\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{m_2} + \frac{1}{m_3}} =$$

$$= \sqrt{\frac{m_1 m_3}{(m_1 + m_2)(m_2 + m_3)}}.$$

3°. Осталось чисто геометрическую задачу о максимальном числе отражений точки от граней двугранного угла данной величины $\alpha$. Из условия (А) и (Б) вытекает, что отрезок траектории точки после отражения от $P$ симметричен относительно плоскости $P$ продолжению исходного отрезка траектории за точку попадания на $P$ (рис. 6). Следовательно, любую ломаную — траекторию точки, движущейся по закону упругого отражения между гранями двугранного угла, — можно «выпрямить», то есть последовательными симметриями относительно граней угла превращать в прямую, как показано на рисунке 7, $a$ (при этом сам двугранный угол мы отражаем вместе с траекторией). Удобнее на эту картинику смотреть «сбоку» — со стороны общего ребра получающихся двугранных углов (инными словами, пространственный чертеж можно спроектировать на плоскость, перпендикулярную ребру двугранного угла, как на рисунке 7, 6). Если в первый раз точка $M$ содержается с гранью $P$, то после выпрямления продолжение траектории будет лежать по одному сторону от плоскости $P$ и может пересеать только те из получающихся последовательными симметриями полуплоскостей, которые лежат по ту же сторону от $P$. Ясно, что число таких полуплоскостей равно $[\pi/\alpha]$, если только $\alpha \neq \pi/n$, $n \in \mathbb{N}$; в случае, когда $\alpha = \pi/n$, последняя полуплоскость будет лежать в плоскости $P$, и выпряменная траектория ее пересечь не может — в этом случае число точек пересечения не больше $[\pi/\alpha] - 1$. Поскольку точкам пересечения

20

нем от противного, использую $n$-мерную геометрию, можно показать, что общее число содержений не может быть бесконечным; по такой схеме эта задача была решена в 1971 году ее автором профессором МГУ Я. Г. Синаем. Мы изложим другие решения, не требующие знания многомерной геометрии; идея решения была предложена учеником ФМШ при МГУ А. Авдеевым (ныне студентом МФТИ); позже аналогичные решения были найдены студентом Киевского университета А. Резниковым и аспирантом МГУ Г. Гальпериным).

$1^\circ$. Рассужждение будем вести индукцией по числу шаров. В § 2 было доказано, что при $n = 3$ число столковенной конечно. Допустим, что при любых начальных условий в группе из $k < n$ шаров за время от 0 до $T$ (где $T$ может быть равно $+\infty$) проискодит только конечное число столковений. Предположим, что при каждых-то начальных условий $n$ шаров за время от 0 до $T$ стальваются бесконечного много раз. Переумерумем шары в порядке их следования по оси $Ox$, но справа налево. В каждый момент времени рассмотрим суммарный имплус $k$ правых шаров:

$$P_k = m_1 v_1 + m_2 v_2 + \dots + m_k v_k (k = 1, 2, \dots, n)$$

При каждом парном столковении величины $P_k$ может только увеличиться: действительно, $P_k$ не меняется, если стальваются шары левее $k$-го или правее $(k+1)$-го; если $k$-й шар стальвается с $(k+1)$-ым, $P_k$ увеличивается, (ибо $(k+1)$-й шар только дает $k$-й вправо).

Обозначим теперь через $v_i^{(s)}$ скорость $i$-го шара после $s$-го по порядку стольновения (в котором $i$-й шар может и не участвовать), через $P_k^{(s)}$ — имплус $P_k$ после $s$-го стольновения. Из сказанного выше следует, что при каждом $k$ последовательность $P_k^{(s)}$ ($s = 1, 2, \dots$) — неубывающегося.

С другой стороны, при всех стольновениях суммарная kinетическая энергия всех шаров сохраняется:

$$\frac{1}{2} \left( m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2 + \dots + m_n v_n^2 \right) = E = \text{const.}$$

Отсюда следует, что при каждом $i$ в любой момент времени скорость ограничена:

$$m_i v_i^2 \leq 2E \text{ и } |v_i| \leq \sqrt{2E/m} \leq \sqrt{2E/m},$$

где $m$ — наименьшая из масс $m_1, \dots, m_n$. Отсюда вытекает ограниченность каждой из последовательностей $P_k^{(s)}$:

$$|P_k^{(s)}| \leq m_1 |v_1^{(s)}| + \dots + m_k |v_k^{(s)}| \leq (m_1 + \dots + m_k) \sqrt{2E/m}.$$

Итак, при каждом $k$ последовательность $P_k^{(s)}$ монotonная и ограниченная, поэтому, согласно теореме Вейерштраса, все эти последовательности имеют предель при $s \to \infty$. Но $P_1^{(s)} = m_1 v_1^{(s)}$, поэтому существует предель $v_1^{(s)} = w_1$. Далее, $P_2^{(s)} = m_1 v_1^{(s)} + m_2 v_2^{(s)}$, поэтому существует предель $v_2^{(s)} = w_2$ (объясните). Продолжая это рассужение, мы выводим существование пределов скоростей всех шаров:

$$\lim_{s \to \infty} v_k^{(s)} = w_k (k = 1, 2, \dots, n).$$

$2^\circ$. Тепер мы покажем, что все предельные скорости $w_k$ должны быть равны между собой. Расмотрим два соседних шара: $k$-й и $(k+1)$-й. За время от 0 до $T$ эти шары должны стальваться между собой бесконечного много раз, либо в противном случае из предоложения индукции следования бы конечность числа стольновейных шаров (объясните). Пусть $s$-е соударение произойдет между этим шарами. Запишем законы сохранения импульса и энергии для этого соударения:

$$m_k v_k^{(s)} + m_{k+1} v_{k+1}^{(s)} = m_k v_k^{(s-1)} + m_{k+1} v_{k+1}^{(s-1)},$$

$$m_k \left(v_k^{(s)} - v_{k+1}^{(s)}\right) = m_{k+1} \left(v_{k+1}^{(s-1)} - v_{k+1}^{(s)}\right),$$

21

$$m_k \left( \left(v_k^{(s)}\right)^2 - \left(v_k^{(s-1)}\right)^2 \right) = m_{k+1} \left( \left(v_{k+1}^{(s-1)}\right)^2 - \left(v_{k+1}^{(s)}\right)^2 \right).$$

Разделив последнее равенство на предпоследнее, получим соответствие
$$v_k^{(s)} + v_{k+1}^{(s-1)} = v_{k+1}^{(s-1)} + v_{k+1}^{(s)}.$$

Оно справедливо для бесконечного числа столковений, и в нем можно перейти к пределу при $s \to \infty$. Для предельных скоростей, таким образом, будем иметь: $2w_k = 2w_{k+1}$, откуда $w_k = w_{k+1}$. Итак, все предельные скорости равны между собой, $w_1 = w_2 = \dots = w_n = w$.

$3^\circ$. Пусть $v_1^0, \dots, v_n^0$ — начальные скорости; тогда из закона сохранения импульса следует
$$m_1 v_1^0 + \dots + m_n v_n^0 = m_1 v_1^0 + \dots + m_n v_n^0$$
при любом $s$. Поэтому, переход к пределу при $s \to \infty$, получим
$$m_1 v_1 + \dots + m_n v_n = (m_1 + \dots + m_n)w$$
где $w$ — общий предел всех скоростей. Следовательно,
$$w = \frac{m_1 v_1 + \dots + m_n v_n}{m_1 + \dots + m_n},$$
то есть $w$ есть скорость движения центра масс всех шаров.

Перейдем к системе центра масс, то есть к системе отсчета координат, которая движется относительно исходной системы отсчета со скоростью $w$. В этой системе все предельные скорости равны 0; следовательно, и предельная энергия в системе центра масс равна 0. Поскольку система центра масс также инерциальная, в ней справедлива закон сохранения энергии, поэтому и начальная суммарная энергия шаров в системе центра масс равна 0. Это может быть лишь тогда, когда все начальные скорости в системе центра масс были равны 0, то есть когда в исходной системе отсчета все начальные скорости были равны $w$; но при одинаковых начальных скорости столковений между шарами вообще не может быть — противоречие.

Читатель, который в доказательстве совпадения начальных скоростей не понвался переход к системе центра масс, может непосредственный вычисленем показать, что величины $\sum_{i=1}^{n} m_i \left(v_i^s - w\right)^2$ сохраняется (и должно стремиться к 0 при $s \to \infty$).

Отметим, что Московские математики Л. Вассерштейн и Г. Гальперин обобщили приведенные рассудения на случай шаров на плоскости или в пространстве, абсолютино упруго стальивающих между собой, и также доказали конечность числа столковений.

Список читателей, приславших правильные решения задач из «Задачника «Кванта»»

В этом номере мы публикуем фамилии тех, кто прислал правильные решения задач М446—М460 и Ф448—Ф462 (жирные цифры после фамилии — последние цифры номеров решенных задач).

Matematika

Т. Абдулазабов (С. Ярашазмаляр ДАССР) 52; К. Абдулхаликов (Алма-Ата) 46, 54, 60а), 6); А. Авоян (Кировакан) 46; А. Адаев (с. Попровка АзССР) 57; В. Айрикян (Раздан) 46; А. Алексеев (Пермь) 46, 47, 51, 53, 54; К. Архангельский (Киев) 46, 57; В. Баасандорж (МНР) 54; Н. Бабина (п. Научный Крымской обл.) 54; Е. Балакина (Москва) 47, 54; А. Балинский (с. Дубляны Львовской обл.) 46, 48, 51, 52, 56, 60а); В. Батырев (Москва) 47, 48, 50—52, 54, 56, 57, 60а); В. Бахрушин (Орджоникидзе) 46; Ю. Баценко (с. Демидова Винницкой обл.) 54; М. Бестина (СФРЮ) 46, 48; Н. Бовсуновский (с. Путлович Житомирской обл.) 54; В. Болом-ников (Харьков) 46, 51, 54; В. Бондаренко (Красновшерск) 51; А. Бржезинска (ПНР) 51; О. Вайнберг (Казань) 46, 52, 56, 60а); Н. Великоросов (Конаково) 46, 47, 50; Д. Виноградов (Дзержинск) 54; С. Галстян (с. Чахрлу АрмССР) 46, 47, 50—52, 54, 56, 57; Д. Голуб (Сумы) 48, 50, 51, 54; В. Гречка (Новокузнецк) 54; Н. Гриберг (Киев) 54; С. Гришечкин (Москва) 46—48, 50—59, 60а); В. Губа (Вологда) 60а), 6), г); А. Демушкин (Москва) 47; М. Дмафаров (Кировад) 52, 54; О. Евдокимов (Ленинград) 46, 47, 50—58, 60а), 6); А. Егоян (Тбилиси) 51; С. Железовский (Саратов) 54; В. Забелин (Саратов) 52, 54; И. Зайцев (Николаев) 54; И. Захаревич (Ленинград) 47, 48, 50—55; М. Зельдицк (Киев) 58; Е. Зиманов (Алма-Ата) 46, 56, 57, 60а); Я. Золомарев (Ташкент) 47, 56; Р. Измайлов (Баку) 47, 50—54, 56—58; С. Исаков (Пермь) 46, 53; И. Искендеров (с. Нюснос НахАССР) 47; Ф. Кабыкацров (Алма-Ата) 54; Л. Кабабадзе (Тбилиси) 46; В. Калинацев (Елизово) 46, 54; А. Каплан (Сумгант) 54; А. Карнаухов (п. Кутана ЯАССР) 54; А. Кач (Ташкент) 46, 48, 50; А. Качуровский (Новосибирск) 47, 50, 51;

(Продолжение см. с. 38)

22

Демонстрация неевесомости

Состояние неевесомости достигается в свободном полете. И спутник на орбите, и свободно летящий камень, и подпрыгнутый человек находится в состоянии неевесомости. Груз, подвешенный на нити, в свободном полете неевесом и, следовательно, не натягивает нить. Легко изготовить прибор, который дает возможность «наблюдать» состояние неевесомости.

На рисунке 1 дана прициппальная схема прибора.

В «нормальном» состоянии груз (Γ) натягивает нить, упругая пластина (VII) изгибается, разрывая контакт между клеммами (K1 и K2) цепи. При этом включенная в цепь лампа (Л), естественно, не горит. Если все устройство подброшено вверх, груз находится в состоянии неевесомости, а следовательно, не растяивает нить. Упругая пластина в неизогнутое положение, клеммы замыкаются, загорается лампочка. Лампочка горит лишь в том случае, если все устройство неевесомости. Обратите внимание, что состояние неевесомости осуществляется и при движении вверх, и при движении вниз.

Регулировочный винт (B) позволяет установить клеммы так, чтобы они при неподвижном положении устройства были слегаразвинуты. Все устройство креплится внутри прорачной коробки. На рисунке 2 показан общий вид прибора.

Несколько практических советов по изготовлению прибора. Чтобы можно было пользоваться как большой (плоской) батарейкой, так и маленькой «Кроной», лучше при изготовлении ориентироваться на более крупную плоскую батарейку. Чаще всего в приборе прихождения именно батарейку, поэтому доступ к ней должен быть простым; можно прикрепить ее к нарушенной части устройства, а для соединенных проводов сделать в корпусе небольшое отверстия.

В качестве упругой пластины годится любая тонкая полоска упругого металла, даже половинкаlezвия для безопасной бритвы.

Рис. 1
Рис. 2

23

Удивитель вычислитель

Многие из вас, наверное, слышали о маленьких вычислительных машинках, которые помещаются в кармане и умют считать «все, что угодно».
В этой статье расссказывается об одной из таких машинок: микрокалькулятор «Электронка Б3-18». Размеры этого прибора 160×90×46 мм, а масса — всего 400 граммов, но в этой «волшебной шкатулке» благодая достижениям современной электронки помещается более 60 тысяч элементов: трансисторов, резисторов, конденсаторов…! Так что непонятно чему удивляется, то ли тому, что она замечательно считает, то ли тому,

как удалось в такую маленькую коробочку уменьшить столько электронных приборов. Рассказать в одной статье и обустройстве «Электронки», и о том, что она уменьшить, невозможно. Поэтому мы ограничимся расскаазом о ее математических способностях.

Нам передко приходилось наблюдать за людьми, впервые взявшими «Электронки» в руки. Большинство из них пытались разобраться в ее возникностях самостояльно, не заглядывая в инструкцию. Пожалуйста, этот путь освoenяя калькулятор интереснее всего. Но для больших наших читателей этот путь закрыт. Поэтому мы предлагаем вам призвать на помощь воображение и представить, что у вас в руках оказалась «Электронка».

Первым делом, конечно, нужно нажать кнопку «вкл» (это всякий сообщит). При этом в самом правом разряде цифрового табло вывесиваются число 0 и запятая. Найдем с помощью калькулятора сумму 7+3. Естественно нажать клавиши с изображением цифр и знака операции. Итак, нажимаем клавишу «7» (см. рисунок) — на цифровом табло появляется число 7, вывесивающее зеленьм цветом. Далее нажимаем клавишу «+» — никаких изменений не наблюдается. Затем нажимаем клавишу «3»: с табло исчезает прежнее число и вместе него появляется число 3. Наконее, нажимаем на клавишу «=», и на табло появляется 10 — результат решения задачи (отметим, что все числа — 7, 3, 10 — вывесиваются в правой части табло).

Ясно, что точно так же следует решать любой аргументческий пример с однозначными числами. А как бы с многозначными числами? Нажем два раза подряд на клавишу 7. На табло загорается «77». А если нам нужно число 65? Какую клавишу следует нажать первой? Попробовать оба варианта, легко выяснить, что сначала нужно нажать на клавишу «6», а потом — на «5». Телерь понятно, как пользоваться кнопками с изображением цифр и tremя

24

кнопками с изображениями знаков операций: «+», «-», «×». Клавиша «÷» выполняет деление. Решив несколько задач, мы заметим, что все получаемые числа имеют не больше всехми разрядов, а самый левый — девятый — разряд табло предназанен для знака числа: в нем загорается «-», если результат — отрицательное число.

На калькуляторе можно вычислять значения выражений с несколькими операциями. Так, чтобы сложить несколько чисел, нужно набрать первоое слагаемое, нажать на клавишу «+», затем набрать второе слагаемое, снова нажать на «+» и т. д., а в самом конце нажать на «=». Клавиши «,» и «/—/» служат для введения десятичных дробей и изменения знака числа. Если нужно набрать десятичный дробь, то сначала набираются ее знаки до запятой, потом нажмите клавиша «,», а затем — ее остальные знаки. Чтобы сначала число знаком «minус» нужно нажать клавишу «/—/». Например, в таблице показано, как следует набрать число — 48,587.

Итак, калькулятор может выполнять любые арфметические действия: делает он это бесшумно и практическими мговенно. Те, кому приходитесь работать на арфметике, смотут оценить преимущества «Электроники».
Но этим возможно расматривать много прибора не исчерпываются. Он имеет так же быстро вычислять значения многих функций. Из рисунка видно, что кроме символа, размещенное неопределенно на клавише, над каждой клавишей записано неокоторое обозначение. В основном это обозначения функций: логарифмических, тригонометрических и др. Для того чтобы вычислять значения этих функций, нужно воспользоваться клавишей «F».

Пусть, например, требуется вычислить $\sqrt{20,25}$. Для этого следует набрать число 20,25; оно будет высвечено на табло. Затем нужно нажать клавиши «F» и «V^-» («V^-» — это та же клавиша, что и «9»), после чего на табло вывести результат — число 4,5.

Обратите внимание на последовательность символов-клавиш, используемых при решении данной задачи:

«2» «0» «,» «2» «5» «F» «V^-»

Выписанная последовательность символов является командой вычисления значения квадратного корня из заданного числа. В такой команде следует располагается исходное число — аргумент функции, затем признак функции F и далее — обозначение

25

функции (в отличие от обычной записи).

Аналогичным образом на калькуляторе вычисляется значения функций $1/x$, $10^x$, $e^x$, логарифмических функций (десятчного и натурального логарифма) и тригонометрических функций.

Рассскажем, как вычислять на калькуляторе значения функций $x^y$. Пусть, например, надо вычислить $5,1^{3,92}$. Сначала набираем число 5,1 (онно появляется на табло). После этого наживаем на клавиши «F» и «$x^y$». На табло появляется число 1,629241=ln 5,1 (дело в том, что калькулятор вычисляется $x^y$ по формуле $x^y = e^y \ln x$). Далее набираем число 3,92 (онно появляется на табло). Наконец, нажав на клавишу «=», получим на табло число 593,8486, представляющее собой исходный результат: $5,1^{3,92} = 593,8486$.

Чтобы оценить удобство решения вычислительных задач с помощью калькулятора, достаточно воспользоваться на уроках математики в школе — с использованием таблиц или логарифмических линейки. При этом приходится логарифмировать, потенцировать и выполнять другие операции. На все это уходит много времени. Калькулятор же, давая больший выигрыш во времени решения задачи, гарантирует точность решения и исключает разные технические ошибки.

Для вычисления значений обратных тригонометрических функций используется класса «arc»; а с помощью преключителя «rad/град» результат может быть выражен в градуках или радианах. Например, чтобы вычислить arctg 1 в градусах, необходимо установить переключителя в положение «град» и последовательно нажать клавиши «1», «F», «arc», «tg». На табло появится результат — число 45 (или, возможно, его приближение значение, например, без учета человека). Но в любом случае математик не может пожаловаться на то, что калькулятор как-то тормозит его работу. Пожалуйста, наоборот, — калькулятор приходит тратить слишком много времени на ожидание следующего команды.

В учебной практике калькулятор является достойным преемником математических таблиц и счетных линейек. Мы надеемся, что недалеко от времени, когда такие или им подобные вычислительные машинки станут необходимыми (и доступными!) приборами на уроках математики, физики, химии.

26

Задачи

M496-M500; Ф508-Ф512

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи не стандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки ньюшейн школьной программы. Наболее трудные задачи отмечены звездочки. После формирования задачи мы обычно указываем, кто предложил нам эту задачу. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые.

Решения задач из этого номера можно присылать не позднее 1 июля 1978 года по адресу: 113035, Москва, М-35, Б. Ордынка, 21/16, редакция журнала «Кванта», «Задачник «Кванта». После адреса на конверте напишите номера задач, решения которых вы посылаете, например: «M496, М497» или «Ф508». Решения задач по каждому из предметов (математике и физике), а также новые задания просылать в отдельных конвертах. Задании из разных номеров журнала просылайте также в разных конвертах. В письмо вложите конверт с написанным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки решений). Условия оригинальных задач, предлагаемых для публикации, просылайте в двух экземплярах вместе с вашими решениями этих заданий (на конверте помещьте: «Задачник «Кванта», новая задач по физике» или «… новая задач по математике»).

В начале каждого письма просим указываать ваше имя, фамилию, номер школьи и класс, в котором вы учитесь.

M496. Каких шестизначных чисел больше: представимых в виде произведения двух трехзначных чисел, или не представимых?

С. Фомин

M497. На сторонах BC, CA и AB остроугольного треугольника ABC взяты произвольные точки A₁, B₁, C₁; на отрезках AA₁, BB₁ и CC₁ как на диаметрах построены окружности. Доказите, что три общие хорды пар этих окружностей пересекаются в точке пересечения высот треугольника ABC.

В. Гутенхахер

M498*. Для каждой натурального n ≥ 3 указывайте наименьшее k такое, что любые n точек плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, можно разделить k прямыми. (Прямые разделю данные точки, если для любых двух из этих точек найдется прямая, от которой они лежат по разные стороны.)

H. Васильев, А. Егоров

M499. Наозовем число уравновешенным, если в его десятичной записи неокоторое начало совпадает с неокоторым концом (например, числа 1971, 19219 уравновешены, а числа 1415145 — нет.) Доказите, что существует число, которое после приписывания к нему справа любой из 10 цифр становится уравновешенным.

Г. Гуревиц

M500. N первоклассников выступены в однушerefу (плечом к плечу). По команде «нале-ВО» все одновременно повернутьсь на 90°, неокторы — налево, а другие — направо. Ровно через секунду каждой, кто стал лицом к лицу со своим соседом, поворачивается «круетом» — на 180°. Еще через секунду каждой оказывшийся теперь лицом к лицу с соседом снова поворачивается на 180° и т. д. (рис. 1).

a) Доказите, что через конечное время движение прекраится.

27

6. • Какое наиболее число раз мог повернуться «кругом» один человек?
     b) * Какое наиболее количество времени могло продолжаться движение в стройю?
     г) Пусть шеренга бесконечна в обе стороны, и по команде «halle-ВО» только конечное множество К первоклассников повернулось направо, а остальные — налево. Тогда по правлу задачи (выделенному курсивом) движение продолжалось бы бесконечно долго. Докажите, однako, что движение прекраится через конечное время, если это правило заменить таким: первоклассик поворачивается на 180°, только если первый (его сосед) и третий из стояших перед ним обращены к нему лицом (рис. 2).

Г. Курдимов, Ю. Неретин

Ф508. Перiod обращения Меркурия вокруг Солнца составляет 88 земных суток, а вокруг своей оси — 59 земных суток. Какова продолжительность дня и ночи на Меркурии?

E. Левитан

Ф509. В окане имеется течение, захватывающее лишь верхний слой воды. По течение плавет плот со звукоулавливающей установкой. На дне, впереди по течение, расположен неподвижный источник звука. Наблюдатель на плоту обнаружил, что в некоторых момент времени звук достигает плота по направлению, составляющего угол α с вертикалью. Какой угол с вертикалью составляется в этот момент направление на источник звука?

Скорость течение v, скорость звука в воде c, толщина движущегося слоя много меньше глубины океана.

Г. Коткин

Ф510. На резиновый шар натянута прочная резиновая сетка, ники которой идут по meridianам шара. Какую форму примет шар, если повышить в нем давление?

Ф511. Пластины плоского конденсатора площадью S образуют малый угол α (α << 1) друг с другом. Среднее расстояние между пластнами равно d. Нарисовать примерную картину силовых линей электростанческого поля конденсатора и найти емкость конденсатора.

Ф512. Цель, показанная на рисунке 3, включана в себя переменного тока частоты v = 50 Гц. С помощью коммутатора на вход осилографа подается переменное то направление между точками a и b, то направление между точками b и c. На экране осилографа получается изображения двух кривых. Рисунок 4 сделан с фотографию картины на экране осилографа. Определить индykтивность L контура, если C = 32 мкФ, R = 65 Ом.

B. Нжник

28

М446. Окружность длины 1 катмится снаружи по окружности длины $\sqrt{2}$. В начальной момент времени точка касания окружности отмечена линкой краской. При качении покращенные точки мои и другой окружности внешняя красятмочи, с коморыми они соприкасаются. Сколько различных точки неподвижной окружности будем запачано к тому моменту, когда подвижная окружность сделаем 100 оборотов вокруг неподвижной?

Рис. 1.

Выясним сначала, сколько красных следов оставит на неподвижной окружности $a$ (длины $\sqrt{2}$) первая красная точка $B$ подвижной окружности $b$ (длины 1) за $n$ оборотов.

Покатим окружность $b$ по прямой. Тогда (если принять первую красную точку на прямой за начало отчета $O$) следы точки $B$ попадут в точки с целыми неотрицательными координатами (рис. 1). Теперь намотаем прямую на окружность $a$, начав с точки $O$. Каждый оборот соответствует отрезок прямой длины $\sqrt{2}$. Ясно, что различные красные точки прямой перейдет при этом в различные точки окружности $a$, поскольку равенство $k_1 - k_2 = m \sqrt{2}$ при целых $m, k_1 \neq k_2$, невозможно (введ число $\sqrt{2}$ irrationalное). Таким образом, за первые $n$ оборотов точки $B$ оставит $[n \sqrt{2}] + 1$ следов: именно столько целых точек на отрезке $[0; n \sqrt{2}]$.

Попробуем учеть теперь все многократные следы, оставляемые на той и другой окружности. На первый взгляд

кажется, что их число растет по экспоненте в зависимости от числа оборотов $n$: после каждого оборота средняя плоскость точек (число точек, приходящая на единицу длины) возвращает примерно вдвое — ведь к имеющимся на каждой окружности красным точкам добавляются следы точек с другой окружности. Однако это предположение оказывается совершенно неверным: на окружности $a$ не появится никаких других красных точек, кроме тех, в которых попадает самая первая точка $B!$. Действительно, пустые некоторые точки $B' \in b$ красится при соприкосовении с красной точкой $A' \in a$. Поскольку $A'$ — красная, с ней уже соприкасаясь до этого первая точка $B$. Ясно, что, став красной, $B'$ будет попадает в те же самые точки (отстояние от $A'$ на расстоянии 1, 2, … в направлении врашения), в которых уже побила $B$ после своего соприкосовения с $A'$.

Точно так же можно доказать, что на окружности $b$ не появится никаких точек, кроме тех, которые закристятся самая первая красная точка $A \in a$, так что через $n$ оборотов на окружности $b$ появится $(n+1)$-я по счету красная точка.

Итак, число красных точек растет не по показательному, а всего лишь по линейному закону $[n \sqrt{2}] + 1$.

Н. Васильев

М447. В остроуедном треугольнике $ABC$ отрезки $BO$ и $CO$ (эде $O$ — центр опущенной окружности) продолжены до пересечения в точках $D$ и $E$ со стропами $AC$ и $AB$ треугольника. Оказалось, что $BDE = 50^\circ$, а $CED = 30^\circ$. Найдите величины углов треугольника $ABC$ можно с помощью теоремы синусов. Положим $EBD = \varphi$. Тогда $OEB = 100^\circ - \varphi$, $ABC = \varphi + 40^\circ$, $ACB = 90^\circ - \varphi$,

28

29

$OCD = 50^\circ - \varphi, ODC = \varphi + 50^\circ;$ таким образом, $0^\circ < \varphi < 50^\circ$.
Из треугольников $ODE, OBE$ и $OCD$ находится:

$$\frac{\sin 50^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{|OE|}{|OD|} = \frac{|OE|}{|OB|} \cdot \frac{|OC|}{|OD|} = \frac{\sin OBE}{\sin OEB} \cdot \frac{\sin ODC}{\sin OCD} =$$

$$= \frac{\sin \varphi \sin (\varphi + 50^\circ)}{\sin (100^\circ - \varphi) \sin (50^\circ - \varphi)} = 2 \sin 50^\circ,$$

Уравнение, из которого мы должны найти $\varphi$ ($0^\circ < \varphi < 50^\circ$):

$$\frac{\sin \varphi \sin (\varphi + 50^\circ)}{\sin (100^\circ - \varphi) \sin (50^\circ - \varphi)} = 2 \sin 50^\circ,$$

эквивалентно следует:

$$2 \sin 50^\circ (\cos 50^\circ - \cos (150^\circ - 2 \varphi)) =$$

$$= \cos 50^\circ - \cos (50^\circ + 2 \varphi),$$

$$\sin 20^\circ - \sin (2 \varphi - 40^\circ) + 2 \sin 50^\circ \cos (2 \varphi + 30^\circ) = 0,$$

$$\cos (\varphi - 10^\circ) \sin (30^\circ - \varphi) + \sin 50^\circ \sin (60^\circ - 2 \varphi) = 0,$$

$$\sin (30^\circ - \varphi) (\cos (\varphi - 10^\circ) + 2 \sin 50^\circ \cos (30^\circ - \varphi)) = 0.$$

Поскольку $\cos(\varphi - 10^\circ)$ и $\cos(\varphi - 30^\circ)$ положительные при $0^\circ < \varphi < 50^\circ$, последнее уравнение имеет единственный корень $\varphi = 30^\circ$.

Отсюда $A\widehat{BC} = 70^\circ, A\widehat{CB} = 60^\circ$.

Далее, $B\widehat{EC} = 70^\circ \Rightarrow |CE| = |CB|; \quad O\widehat{DC} = 80^\circ \Rightarrow \Rightarrow |CD| = |CO|; \quad A\widehat{DE} = 50^\circ \Rightarrow |EA| = |ED|$.

Равенства длины, которые требуется установить в задаче, подсказывают, какие углы должны иметь треугольник $ABC$. Но даже зная ответ, придумать данные выше тригонометрическое решение трудно. Вместо этого можно рассуждать иначе.

Заметим прежде всего, что условия $OED = 30^\circ, ODE = 50^\circ$ определяют ответ однозначно. Действительно (рис. 3), если на окружности с центром $O$ заключить точки $B$ и $C$ так, что $B\widehat{OC} = 100^\circ$, и перемешать точку $A$ по дуге $B'\ C'$ (симметричной дуге $BC$) от точки $B'$ к точке $C'$, то точка $D \in [B'\ O]$ будет приближаться к $O$, а $E \in [OC']$ — удалять от $O$; при этом величины угла $ODE$ будет возрастать, а угла $OED$ — убываать; значит, только при одном положении $A$ эти величины могут принять нужные значения ($50^\circ$ и $30^\circ$).

Теперь нужно лидить доказать, что треугольник с углами $A = 50^\circ, B = 70^\circ, C = 60^\circ$ удовлетворяет условиям, то есть что все углы — такие, как указано на рисунке 4. Это ясно для углов, других которых не закрашены. Несолько труднее доказать, что красные углы имеют указанные величины (достаточно это сделать для одного из углов). Приведем два доказательства.

1°. Достаточно проверить, что $DE - \text{биссектриса угла } ADB$:

$$\frac{|AE|}{|EB|} = \frac{|AE|}{|EC|} \cdot \frac{|EC|}{|EB|} = \frac{\sin 20^\circ \sin 70^\circ}{\sin 50^\circ \sin 40^\circ} =$$

$$= \frac{2 \sin 20^\circ \cos 20^\circ}{2 \sin 50^\circ \sin 40^\circ} = \frac{\sin 30^\circ}{\sin 50^\circ} = \frac{|AD|}{|DB|}$$.

Здесь мы снова используем теорему синусов. А вот чисто геометрическое доказательство.

2°. Треугольник $ECB$ имеет осимметрию, поскольку $C\widehat{EB} = C\widehat{BE}$. Пусть $K$ — точка, симметриная точке $O$ относительно этой оси (рис. 5). Тогда треугольник $KCD$ равностью $(|KC| = |OC| = |DC| = a, K\widehat{CD} = 60^\circ)$, и потому $|KD| =$

31

Ф462. Если терморегулятор электронное утиlua поставлен в положение «капрон», мои утиле перiodических включения на $\tau_1 = 10$ с и выключения на $\tau_2 = 40$ с. Поверхность утиlua при этом наревается до температуры $t_1 = 100^\circ C$. Если терморегулятор поставлен в положение «хлопок», мои утиле перiodических включения на $\tau_1 = 20$ с и выключения на $\tau_2 = 30$ с. Определить установившуюся температуру $t_2$ поверхности утиlua в этом положении терморегулятора. Наимен, до какой температуры $t_3$ наревается включенный утиlua, если терморегулятор выдает из строка.
Считать, что меллоотдача пропорциональна значению температуры и окружающей воздуха. Температура в комнате $t_0 = 20^\circ C$.

Ф463. Две льдины движутся посуманным с одинаковыми по абсолитному значению скоростими, одна — на север, другая — на запад. Окзадность, что в любой момент времени на обеих льдинах можно mak расположить часы, что скорости концов секундных стрелок относительно Земли будут равны, причем, для каждой момента времени макое расположение единственно. Определить, на какое расстояние перемещаются льдины за сутки, если длина каждой секундной стрелки равна 1 см. Циферблаты часов расположены горизонтально.

Пусть $P$ — мощность, выделяющаяся в утюге. Тогда за время $\tau_1$ в нем выделится энергия
$$W_1 = P\tau_1.$$
За время $\tau_1 + \tau_2$ утигот отдает энергию
$$W_2 = \alpha (t_1 - t_0) (\tau_1 + \tau_2),$$
где $\alpha$ — коэффициент пропорциональности.
При установившейся температуре утига $W_1 = W_2$:
$$P\tau_1 = \alpha (t_1 - t_0) (\tau_1 + \tau_2).$$
(1)

Точно так же в режиме, когда терморегулятор устанавливает в положении «хлопок»,
$$P\tau'_1 = \alpha (t_2 - t_0) (\tau'_1 + \tau'_2).$$
(2)

Подставив в (2) значение $P$ из (1), найдем $t_2$:
$$t_2 = \frac{\tau'_1}{\tau_1} \frac{(t_1 - t_0)(\tau_1 + \tau_2)}{\tau'_1 + \tau'_2} + t_0 = 180^\circ C.$$
С помощью аналогичных расчедений и расчетов найдем $t_3$:
$$t_3 = 420^\circ C.$$
В. Скороваров

Скорость $v$ конца стрелки относительно Земли равна векторной сумме скорости льдины $v_1$ и скорости $v_2$ конца стрелки относительно льдины.

Пусть вектор $\vec{OA}$ на рисунке 9 — скорость льдины; векторы $\vec{AB'}$, $\vec{AB''}$, $\vec{AB'''}$ — скорости конца стрелки относительно льдины при некоторых орентациях часов. Тогда векторы $\vec{OB'}$, $\vec{OB''}$, $\vec{OB'''}$ соответственно — скорости конца стрелки относительно Земли.

Ясно, что при всех возможных орентациях вектора $\vec{AB}$ ($\vec{AB'}$, $\vec{AB''}$, …) геометрическим местом точек $B$ ($B'$, $B''$, …) является сфера (при горизонтальном положении часов — окружность) с центром в точке $A$. Возможные скорости $v$ в таких «пространстве скоростей» изображаются соответствующими в точке $O$ и концом в точке $B$ на сфере (или окружности). Построение для второй льдины отличается поворотом вектора скорости льдины на $90^\circ$.

Рис. 9.

Рис. 10.

32

Поправка

В «Кванте» № 3 по вине типографии рисунок к решению задачи М445 (см. с. 35, рис. 8) воспроизведен неверно. Рисунок должен выглудеть так:

На рисунке 10 приведено построение сразу для двух льдин. Векторы $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OA'}$ есть скорости льдин, а окружности $S$ и $S'$ — геометрические места концов векторов $\vec{v}$ и $\vec{v}'$ при различных соответствии между величины скоростей льдин и концов стрелок. Если скорости концов стрелок сликом малы, то окружности $(S_1$ и $S_1')$ не имеют общих точек и скорости $\vec{v}$ и $\vec{v}'$ не могут быть равными ни при какой орентации часов. Okружности $S_3$ и $S_3'$ соответствуют случаю, когда орентация не единственная.

Условия задачи отвечает ситуации, изображаемая касающимся окружностями $S_2$ и $S_2'$. Как видно из рисунка, при этом $\left| \vec{v} \right| = \left| \vec{v}_2 \right|$, а скорость льдины $\left| \vec{v}_1 \right| = \left| \vec{v}_2 \right| V^2$. Секундная стрелка делает один оборот за 60 секунд, следовательно, скорость ее конца равна $\left| \vec{v}_2 \right| = 2\pi l/60 \approx 0,105$ см/c ($l=1$ см — длина стрелки). Для скорости льдины получаем $\left| \vec{v}_1 \right| \approx 0,15$ см/c≈130 м/cутки.

В. Белонуккин

Ф464. На рисунке 11 изображены два замкнутых цикла: АБВА и АВГА. Оба цикла проведены с идеальным одноатомным разом.

1. Указать, на каких участках циклов раз получаем и на каких участках отдаем менло.
2. У какого из циклов коэффициент полезного действия выше? Во сколько раз?

Рассмотрим цикл АБВА. Из $pV$-диаграммы видно, что $T_B > T_B > T_A$. Следовательно, на участке АБ и БВ газ получает телло, а на участке BA — отдает. При этом на участке АБ газ нагревается, не совершая работы ($\Delta V=0$), а на участке БВ и BA газ совершает работу, равную (изменение внутренней энергии газа за цикл равно нулю)

$$A_1 = Q_{AB} + Q_{BB} + Q_{BA} \quad (Q_{BA} < 0).$$

Таким образом, в цикле АБВА

$$\eta_1 = \frac{A_1}{Q_{AB} + Q_{BB}}.$$

Рассмотрим цикл АВГА. Из $pV$-диаграммы видно, что $T_B > T_G > T_A$, так что на участке АБ газ получает телло, а на участке БГ и ГА — отдает. На участке ГА газ совершает работу

$$A_2 = Q_{AB} + Q_{BG} + Q_{GA} \quad (Q_{BG}, Q_{GA} < 0),$$

так что

$$\eta_2 = \frac{A_2}{Q_{AB}}.$$

Сравним величины $\eta_1$ и $\eta_2$. Из $pV$-диаграммы видно, что $A_1 = A_2$ (поскольку работа, совершаемая за цикл, численно равна площади фигуры, ограниченной графиком цикла), так что

$$\frac{\eta_1}{\eta_2} = \frac{Q_{AB}}{Q_{AB} + Q_{BB}},$$

и так как $Q_{AB} + Q_{BB} > Q_{BA}$, то $\eta_2 > \eta_1$.

Вычислим отношение $\frac{\eta_1}{\eta_2}$. Для этого найдем $Q_{AB}$, $Q_{BB}$ и $Q_{AB}$.

Согласно $pV$-диаграмме $Q_{AB} = \Delta U_{AB}$, где $\Delta U_{AB}$ — изменение внутренней энергии газа на участке АБ. Для одного моля одноатомного идеального газа $\Delta U_{AB} = \frac{3}{2}R \times (T_B - T_A)$. Из уравнения газового состояния найдем $T_B = \frac{2p_0V_0}{R}$, $T_A = \frac{p_0V_0}{R}$. Таким образом,

33

$$Q_{AB} = \Delta U_{AB} = \frac{3}{2} R \left( \frac{2 p_0 V_0}{R} - \frac{p_0 V_0}{R} \right) = \frac{3}{2} p_0 V_0.$$

На участке $BB$ $Q_{BB} = \Delta U_{BB} + A_{BB}$, где

$$\Delta U_{BB} = \frac{3}{2} R (T_B - T_B) =$$

$$= \frac{3}{2} R \left( \frac{2 p_0 3 V_0}{R} - \frac{2 p_0 V_0}{R} \right) = 6 p_0 V_0$$

(для одного моля),

$$A_{BB} = 2 p_0 2 V_0 = 4 p_0 V_0.$$

Таким образом,

$$Q_{BB} = 6 p_0 V_0 + 4 p_0 V_0 = 10 p_0 V_0,$$

$$Q_{AB} + Q_{BB} = 11,5 p_0 V_0.$$

Но $Q_{AB} = -Q_{BA}$,

$$Q_{BA} = A_1 - (Q_{AB} + Q_{BB}) =$$

$$= p_0 V_0 - 11,5 p_0 V_0 = -10,5 p_0 V_0,$$

так что

$$Q_{AB} = 10,5 p_0 V_0.$$

Итак,

$$\frac{\eta_1}{\eta_2} = \frac{Q_{AB}}{Q_{AB} + Q_{BB}} = \frac{10,5}{11,5} \approx \frac{21}{23}.$$

А. Зильберман

Ф465. В высоковольтном электросматическом генераторе заряды переносится диэлектрической лентий и заряжают высоковольтный электросматический электрод радиуса $R = 1,5$ м (рис. 12). Оценить максимальное значение напряжения и мока, которые можно получить от макого генератора, если скорость лентий $v = 20$ м/c, а ее ширина $l = 1$ м. Пробой в возможности при напряжениисти электросматического поля $E_0 = 30$ кВ/cм.

Максимальный потенциал, до которого можно зарядить высоковольтный сферический электрод генератора, определяется электрической прочноъю воздуха: напряжениеэлектрического поля вблизи поверхности электрода не может превышать значения $E_0 = 30$ кВ/cм, при котором наступает пробой, то есть

$$E_{\max} = E_0.$$

Следовательно, максимальный возможный потенциал на электрод равен

$$\varphi_{\max} = E_{\max} R = E_0 R = 4,5 \cdot 10^6 \text{ B}.$$

(Это соответствие вытекает из закона Кулона и из выражения для потенциала кулоновского поля.)

Максимальный ток, который можно получить от генератора, также определяется электрической прочноъю воздуха. Обозначим через $\sigma$ поверхностную плотность зарядов, переносимых лентий. Тогда напряжениеэлектрического поля вблизи поверхности лентий $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$. Эта величины не должна превышать $E_0$. Следовательно, максимальная возможная поверхностная плотность зарядов на ленте равна

$$\sigma_{\max} = 2\varepsilon_0 E_0.$$

Максимальный ток равен, очевидно, максимальным заряду, переносимому лентий за единицу времени, то есть

$$I_{\max} = \sigma_{\max} lv = 2\varepsilon_0 E_0 lv \approx 10^{-3} \text{ A}.$$

Приведенный расчет показывает, почему электросатические генераторы должны иметь большие размеры.

С. Козел

35

Лист Мебиуса в искусстве

Лист Мебиуса — это наиболее популярный представитель односторонних поверхностей *). Что это такое, обьясняется уже не только в математической, но даже и в художественной литературе. Например, в романе коста-риканского писателя Хоакина Гутьерреса «Утрем, Федерико?…» («Иностранная литература», 1976, № 2) говорится:

*) Подробно о листе Мебиуса будет рассказано в одном из блинчайших номеров; кроме того, см. «Квант», 1974, № 3 и 1975, № 7.

«Сегодня учительница показала нам ленту Мебиуса. Вот это здорово. Возьмите бумажную полоску — лучше от газеты, чтобы была длинее, — и видшь, что полоска имеет две стороны; подтверждение этому — если муравей захочет пополать по одной стороне, он может сколько уггодно делать это, но чтобы попасть на другую, должен обязательно перелезть через кромку. Поэтому и говорят, что полоса имеет две стороны. А вот лента Мебиуса получается так. Надо перевернуть один конец полосы, словно собираясь ее закрывать, но делаем всего один поворот и скленаем концы. Тогда бумага будет иметь только одну сторону, и любой, кто хочет, может проверить, если сомневается. Ведя пальцем, будто преследуется муравья по всей ленте, вдруг убеждается в том, что обе стороны сошлись в одну и не надо пересекать кромку».
К листу Мебиуса не раз прибегали и художники, и скульпторы. Довольно много разнообразных рисунков с изображением листа Мебиуса оставил известный голландский художник М. Эшер (1898—1971). На обложке нашего журнала помещен один из них.
Целлюю серию вариантов листа Мебиуса создают скульптор Макс Билл (род. в 1908 г.). В течение почти двадцати лет он неоднократно обращался к листу Мебиуса, стремясь выразить в скульптуре идею вечного движения и развёртывающейся в пространстве формы. Однако из его произведений — скульптура «Узел без конца», находящаяся в Национальном музее современного искусства в Париже, — изображен на снимке.

Н. Х

36

В. Дубровский

Шестя доказательств теоремы о медианах

Капу маслом не испортишь

Теорема о пересечении медиан треугольника в учебниках «Геометрия 6, 7, 8» не доказывается, а предполагается в виде задачи. Эта теорема затем используется в учебнике «Геометрия 9». Здесь мы приводим сразу несколько ее доказательств.

Теорема. Медианы AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в некоторой точке M, причем каждая из них делится этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины:
|AM| : |MA₁| = |BM| : |MB₁| =
= |CM| : |MC₁| = 2. (1)

Во всех приводных далее доказательств, кроме шестого, мы установливаем только, что медиана BB₁ проходит через точку M, которая делит медиану AA₁ от отношений 2:1.

Если в соответствииующем рассужdenни заменить [BB₁] на [CC₁], то мы получим, что и [CC₁] проходит через M. Этим будет доказано, что все три медианы пересекаются в некоторой точке M, причем |AM| : |MA₁| = 2.

Поскольку все медианы равноправны, можно заменить [AA₁] на [BB₁] или [CC₁]; от сюда вытекает (1).

Первое доказательство (для 6-го класса). Пусть K — середина отрезка AM, B’ — точка пересечения прямой BM со стороной AC. Нам достаточно доказать, что |AB’| = |B’C|. Через точки K и A₁ параллельно прямой BM проведем отрезки [KL] и [A₁N] (рис. 1). По-

37

Угольники $MAC$ и $MA_1C$ (рис. 3).
Их высоты, опущенные из вершины $C$, совпадают, а длины противоложих этой вершине сторон относится как 2:1, поэтому $S_{AMC} = 2S_{A1MC}$.
Аналогично, $S_{AMB} = 2S_{A1MB}$.
Но $S_{A1MC} = S_{A1MB}$. Следовательно, $S_{AMC} = S_{AMB} = S_{BMC}$.
Таким образом, треугольники $MAB$, $MBC$ и $MCA$ равновелики. Пусть $B' = (BM) \cap (AC)$. Докажем, что $|AB'| = |B'C|$. С одной стороны, $\frac{|AB'|}{|B'C|} = \frac{S_{AB'M}}{S_{CB'M}}$. С другой стороны, $\frac{|AB'|}{|B'C|} = \frac{S_{AB'B}}{S_{CB'B}}$. Итак, $\frac{|AB'|}{|B'C|} = \frac{S_{AB'B}}{S_{CB'B}}$. Пользовать теоремой $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{c-a}{d-b} = \frac{a}{b}$.
отсюда получаем
$$\frac{|AB'|}{|B'C|} = \frac{S_{AB'B} - S_{AB'M}}{S_{CB'B} - S_{CB'M}} = \frac{S_{ABM}}{S_{CBM}} = 1.$$

Рис. 3.

Рис. 4.

Значит, $|AB'| = |B'C|$.
Четвертое доказательство (7 класс). Из рисунка 4
$$\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AM} =$$
$$= \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} + \frac{2}{3} \overrightarrow{AA_1} =$$
$$= \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} + \frac{2}{3} \left( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA_1} \right) =$$
$$= \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} + \frac{2}{3} \overrightarrow{AC} + \frac{1}{3} \overrightarrow{CB} =$$
$$= \overrightarrow{BC} - \frac{1}{3} \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} - \frac{2}{3} \overrightarrow{CA} =$$
$$= \frac{2}{3} \overrightarrow{BC} + \frac{1}{3} \overrightarrow{CA} =$$
$$= \frac{2}{3} \left( \overrightarrow{BC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{CA} \right) =$$
$$= \frac{2}{3} \left( \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CB_1} \right) = \frac{2}{3} \overrightarrow{BB_1}$$.

Следовательно, точка $M$ лежит на медиане $BB_1$.
Пятое доказательство (8 класс). Пусть опять $B' = (BM) \cap (AC)$ (рис. 3). Применяя теорему синусов сначала к треугольникам $AB'B$ и $CB'B$, а затем — к треугольникам $ABM$ и $A_1BM$, иучивая, что $\sin \overrightarrow{AB'B} = \sin \overrightarrow{CB'B}$, $\sin \overrightarrow{AMB} = \sin \overrightarrow{A_1MB}$, $|BC| = 2|A_1B|$ и $|MA| = 2|MA_1|$, получим
$$\frac{|AB'|}{|B'C|} =$$
$$= \frac{|AB| \sin \overrightarrow{ABM}}{\sin \overrightarrow{AB'B}}: \frac{|BC| \sin \overrightarrow{A_1BM}}{\sin \overrightarrow{CB'B}} =$$
$$= \frac{|MA| \sin \overrightarrow{AMB}}{2|MA_1| \sin \overrightarrow{A_1BM}} = 1.$$

Значит, $|AB'| = |B'C|$.
Шестое доказательство (9 класс). Проведем через точки $A$ и $B$ плоскость $\alpha$, не содержащую $C$, и построим в этой плоскости правильный треугольник $ABC'$ (рис. 5). Из общих свойств параллельной проекции («Геометрия 9», § 12) следует, что параллельная проекция вдоль прямой $CC'$ переводит $\triangle ABC$ в

38

Рис. 5.

$\Delta ABC'$, причем медианы треугольника $ABC$ проектируют в медианы треугольника $ABC'$. Но в правильном треугольнике медианы являются и bicсектрисами, а следовательно, пересекаются в одной точке. Легко доказать также (доказите!), что для треугольника $ABC'$ справедливый равенства (1).

Отсюда вытекает, что наша теорема верна и для $\Delta ABC$.

В заключение заметим, что $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MA}_1 = 0$, а если точка $P$ не совпадает с $M$, то $\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = \overrightarrow{PM} + \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{PM} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{PM} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{PM} \neq 0$. В общем случае точка $G$ называется центромом (или центром мяжести) системы точек $A_1, A_2, \dots$,

$$\frac{|AP|}{|PA_1|} = \frac{|BP|}{|PB_1|} = \frac{|CP|}{|PC_1|}.$$

Доказать, что $P$ — центroid треугольника $ABC$.

6. Доказать, что семь отрезков: отрезки, соединяющие вершины тетрадира с центроидами противоположных граней, и отрезки, соединяющие середины противоположных ребер, — пересекаются в одной точке. В каких отношениях эти отрезки делятся их общей точкой?

7. Доказать, что центroid треугольника является единственной точкой, в котором сумма квадратов расстояний до вершин треугольника достигает своего минимального значения.

(Начало см. с. 21)
Н. Кевхшивили (Тбилиси) 47, 52, 54; А. Королев (Горький) 57, 60а), 6), г); С. Корчанов (Ангарск) 46, 47, 49а), 50, 56, 57, 60а); В. Костмусак (Запорожье) 46, 48, 50; Л. Костмок (Киев) 54; Е. Кузьмин (Черповец) 46, 48, 54, 56, 57; А. Кудинов (Воронеж) 57; С. Кузнецов (Ангарск) 53; А. Кулеско (Донецк) 47, 50, 53—55, 60а), 6), в); П. Кулиниц (Воронеж) 54; А. Куркев (Николаев) 52; Е. Лапин (Алма-Ата) 52; И. Лозицкий (Ганцевич) 46, 48, 52, 53; Е. Лумельская (Пермь) 56, 57; В. Марццой (Алма-Ата) 54; Г. Мартиросян (п. Талин АрмССР) 46; Д. Мартинов (Черknзово) 57; Р. Мещоир (Москва) 51, 56, 57, 60а); А. Милевский (Мытиц) 51, 52, 57; Д. Миндлин (Ташкент) 46, 48, 50, 51, 54, 56; Б. Минцбере (Ленинград) 54; А. Мирлин (Ленинград) 46, 47, 49а), 50, 51, 53—58, 60а), 6), в), г); А. Молотовицков (Тейков) 54; Е. Мостшвенко (Сыктывкар) 51, 54; И. Мышё (Черновцы) 57; Н. Наумова (Камышин) 54; А. Ненашев (Ленинград) 46, 48, 50—59, 60а), 6), в), г); Н. Нестеренко (Новосибирск) 47, 48, 51—54; А. Никитенков (Великие Луки) 48; Г. Николов (НРБ) 52, 56, 57; А. Онарин (Горький) 47, 48, 53, 60а), 6); В. Остманенко (Алма-Ата) 54; Д. Папуш (Харьков) 46, 50—52, 54—57; И. Пашин (Темптуал) 46; И. Пономарев (Пенза) 46; А. Попов (Чусовой) 54, 60а), 6); В. Помемкин (Донецк) 52; Г. Пунинский (Бобрыйск) 46, 52, 54, 60а), 6), в), г); С. Путинцев (Невиномыск) 51—55; Х. Ривилис (Одесса) 496), 56—58; И. Ройзман (п. Калиновка Винницкой обл.) 51, 54; В. Романовский (Продолжение см. с. 52)

39

Задания

1. Дано трехначное число. Найдем сумму его цифр. Затем найдем сумму цифр результата. Каким было исходное число, если его и две полученные суммы можно записать так, как изображено на рисунке (одинаковые цифры соответствуют одинаковым цифрам)?

2. Имеется несколько кувшинов, среди которых есть два кувшина разной формы, а также два кувшина разного цвета. Докажите, что среди них найдется два кувшина одновременного и разной формы, и разного цвета.

3. Натуральное число А такое, что при делении на А любое нечетное число и его куб дают один и тот же остаток. Найditе все такие числа.

4. На белую плоскость пропили черные чернила. Верно ли, что:
   a) найдется две точки одного цвета, удаленные на расстояние 1 м;
   b) найдется две точки разных цветов, удаленные на расстояние 1 м?

40

Ф. Барменев

Наблюдения в математике

Свойства чисел, известные сегодня, по большей части были открыты путем наблюдения.

Леонард Эйлер

Как обычно исследуются законы природы?

Физики, химики, биология ставят эксперименты. Затем исследуют получающие результаты измерений, подмечают закономерности, делают те или иные выводы.

Как ни удивительно, но и учены-математики в своей научном творчестве зачастую пользоваются наблюдениями, как и естественными. Что бы глубоко понятно даже «школьную» математике, решать развитие замысловные задачи, нужно научиться наблюдать в математике.

Вот один интересный факт из истории науки. Выдающийся математик К. Гауссу и А. Колмогорову в детстве предложили аналогичные задачи: десятилетнему Гауссу — найти сумму 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100, а шестилетнему Колмогорову — сумму 1 + 3 + 5 + … + 95 + 97. Гаусс решил свою задачу почти мгновенно, заметив, что 1 + 99 = 2 + 98 = 3 + 97 = … Колмогоров, посчитав суммы 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 + 7, заметил, что 1 = 1², 1 + 3 = 2², 1 + 3 + 5 = 3², 1 + 3 + 5 + 7 = 4², и также быстро нашел ответ.

А как решить такую задачу:

Найти две последние цифры числа 311²²?

Не вычислять же в самом деле 28-ю степень числа 311? Конечно, нет! Достаточно заметить, что две последние цифры числа 311¹ — это 11, числа 311² — 21, 311³ — 31, …; так что у числа 311²² две последние цифры — это 81.

Рассмотрим еще одну похожую задачу:

Какими двумя цифрами оказаться число 7⁵¹?

Найдем вначале две последние цифры у чисел 7¹, 7², 7³, 7⁴ и 7⁵. Легко видеть, что у 7¹ всего одна цифра — 7; запишем это так: 07; у 7² — 49, у 7³ — 43 (две последние цифры произведения 49 на 7), у 7⁴ — 01, так что у 7⁵ две последние цифры — снова 07. Мы видим, что две последние цифры степеней семерки черезются, образуя так называемую перiodическую последовательность с периодом 4: 07, 49, 43, 01, 07, 49, 43, 01, 07, 49, …

Остается только найти остаток от деления числа 51 на 4 — он равен

41

трем, и посмотреть, какими двумя цифрами оказается куб семерки: у чисел $7^{51}$ и $7^3$ две последние цифры совпадают. Итак, вот ответ: две последние цифры числа $7^{51}$ — это 43.

Решим еще одну задачу, отличную от предыдуших.

Для каких чисел справедливо неравенство:
$$|a| + |b| > |a + b|$$

Рассмотрим несколько примеров. Для этого заполним несколько строк следующей таблицы:

| a | b | |a|+|b| | |a+b| |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| -3 | 2 | 5 | 1 | | | |
| -7 | -1 | 8 | 8 | | | |
| 0 | -4 | 4 | 4 | | | |
| 4 | 0 | 4 | 4 | | | |
| 2 | 3 | 5 | 5 | | | |
| 7 | -1 | 8 | 6 | | | |

Глядя на эту таблицу, уже не трудно догадаться, каков должен быть ответ в последней задаче: сумма абсцилтовых величины двух чисел больше абсцилной величины суммы этих чисел только тогда, когда она эти числа отличаются от нуля и имеют разные значения.

Конечно же, всякая «догадка», гипотеза, нуждается в строгом математическом доказательстве. Это мы оставляем нашим читателем.

Если вы разобрались в решении первых трех задач, попробуйте решить самостояльно еще три задачи немного последнее.

Задание 1.

1. Какими цифрами не могут оказаться суммы $1+2$, $1+2+3$, $1+2+3+4$, $1+2+3+4+...$?

2. По кругу расположены 60 положительных и отрицательных единиц (причем есть и те и другие). Известно, что произведение любых трех последовательных чисел равно -1. Найди сумму всех чисел.

3. Сколько потребуется разрезов, чтобы куб со стороны 3 см разрезать на кубики со стороны 1 см?

В заключение предоставляем читатель от скоропалительных выводов из результатов наблюдай. Чтобы доказать какое-либо утверждение, нужно убедиться, что оно справедливо в каждой части слияния; в то же время, чтобы проверить какое-либо утверждение, достаточно показать, что оно не справедливо хотя бы в одном частном случае (как говорят математики, приведи контриптор). Поясним, что мы имеем в виду.

Рассмотрим множество чисел вида $m = n^2 + 3n + 1$, где $n$ — любое натуральное число. Для значений $n = 1, 2, 3, 4$ и 5 получаем $m = 5, 11, 19, 29$ и 41, то есть первые пять значений $m$ — простые числа. Можно ли сделать вывод, что любой элемент нашего множества будет простым числом (для любого натурального $n$)? Разумеется, нет: уже при $n = 6$ получаем составное значение $m = 55$.

Задание 2.
4. Пусть $A$ — множество чисел вида $6n-1$, а $P$ — множество простых чисел. Верно или ложно высказывание: $A \subset P$, если $n \in N$?

5. Верно ли, что при любом целом $n$ справедливо неравенство $4n^2 + 40n + 99 > 0$?

Иногда найти контриптер, определяющий общее утверждение, очень трудно. Бывают, что легче доказать суцестовование соответствующего контриптера, чем его построить.

Например, очевидно, что если 100 школьников получили 101 террады, причем каждый школьник получил хотя бы одну терраду, то найдется школьник, получивший две терради.

Прием рассудений, с помощью которого мы сделали вывод в последнем примере, называется «приицном Дирихле» и часто применяется к решению задачи. Решим с его помощью следующего задачу:

Доказать, что из 101 числа можно выбрать два, разность которых делится на 100.

В самом деле, при делении на 100 в остатке может получаться одно из следующих чисел: 0, 1, 2, …, 99 — это разных чисел. Поэтому 101 числа обязательно найдется два, дающие при делении на 100 равные остатки. Следовательно, их разность делится на 100.

И, наконец, еще одна задача на принципи Дирихле.

Задание 6. В лесу растет 710 000 елочки. На каждой елочке не больше 100 000 елочки. Докажите, что в лесу есть по крайней мере 8 елочки с одинаковым числом елочки.

42

А. Кикойн

Что такое э.д.с.?

В самом начале XIX века италянский ученый Алексаандро Волleta создалустройство, способное поддерживать постоянный электрический ток в замкнутой проводящей цепи. Устройство это он называл электродвижущим аппаратом. Позднее его стали называть галваническим элементом. Волта полагал, и не без основания, что в этом устройстве действуют какие-то силы, заставляющие двигаться электрические заряды. может быть, поэтому основную характеристику устройства, придумного Волта, и всех других подобных устройств стали обозначать термин «электродвижущая сила». Так ее называют и в нашей дни.

Однако в действительности есть электродвижущая сила — э.д.с.?

Что разобрать в этом вопросе, напомним коротко основные сведения о таких понятиях, как электрический ток и электросистема поле.

Электрический ток и электросистема поле

Электрический ток — это упорядоченное, то есть направленное движение одноменных электрических зарядов. В металлах направлено движущимся заряженныеми частицами является электроны. «Направляет» эти частицы с которая на них действует электросистической поле, создаваемое в металле. Электросистические поле — поле, создаваемое неподвижными электрическими зарядами. Основная характеристика электросистического поля — направность $\vec{E}$.

В электросистическом поле работы при перемещении заряда из одной точки поля в другую не зависит от того, по какой траектории заряд перемещается между этими точками. Отсюда следует, что работа поля над зарядом при его движении по замкнутому пути равна нулю.

Работа, которое совершает поле при перемещении единного заряда между двумя точками, называется электрическим направлением между этими точками поля.

Из курса механики известно, что величина работы связывана с другой величины — потенциальной энергейой. Именно, работа при перемещении тела равна взятому с обратным знаком изменению потенциальной энергии тела при таком перемещении.

Для того чтобы зачать значение потенциальной энергии заряда в данной точке поля, нужно выбрать «нулевой уровень» — точку, в которой потенциальная энергия принимается равной нулю. В электротехнике за нульевой уровень принимается любая точка, соединенная проводником с Землей. В физике обычно выбирают любую точку, бесконечно удаленную от заряда, создавающего поле.

Так как работа при перемещении заряда между двумя точками в электросистическом поле не зависит от траектории, по которой действуется заряд, то потенциальная энергия заряда в данной точке поля не зависит от того, каким образом (по какому пути) попал заряд в данной точку. Отнесенная к единце положительного заряда эта энергия может служить харавтеристкой данной точки поля. Это — потенциаль в данной точке поля. Так что потенциаль поля в данной точке

43

ke — это в существии напряжение между этой точкой и точкой с нулевым потенциалом.

Таким образом, электрическое напряжение между двумя точками — это разность потенциалов между этим точками. (Следует заметить, что это справедливо только для электристатического поля. Существуют и такие электрические поля, для которых это не так.)

Положительный электрический заряд в электристатическом поле движется в направлении вектора напряженности поля. При этом поле совершает положительное работу, и следовательно, потенциальная энергия заряд уменьшается. Это значит, что положительный заряд в электристатическом поле движется от более высокого потенциала к более низкому. Наоборот, отрицательный заряд в поле движется от низкого потенциала к высокому.

Постоянный электрический ток и работа электристатического поля

Рассмотрим теперь замкнутую цепь, по которой чётте электрический ток. Мы обратимся к наиболее знакомому читательм примеру тока в цепи, составленной из металлических проводников. В этих проводниках движущемся зарядами (носятелями тока) являются свободные электрины. Это электрины, оторвашиеся от atomов и ставшие позтому «свободными».
Их свобода и состоит в том, что под действием электрического поля они могут передвигаться в металле. Сами атомы, потеряшие электрины, — это положительное зарядныеоны, которые образуют кристаллический резетку металла. Как известно, ток — это направление движения одноменных зарядов. «Направляет» эти заряды сила, с которой на них действует электристатическое поле, созданное в металле. Двигаясь в металле, электрины взаимодействуют сономи и передают им энергию, прибретенную им в электрическом поле. (Мы знаем об этом из опыта — металл при прохождения тока нагревается.) Прибретаемая электринами энергия равна, оченьindo, работе, совершаемой полем над электринами. Следовательно, эта работа не равна нулю. Но, как известно, работа электристатического поля при перемещении заряда по замкнутому контуру равна нулю. Значит, движение электринов по замкнутой цепи не может произойти только под действием электристатического поля. И если в цепи есть ток, то это означает, что где-то в цепи создано какое-то другое, не электристатическое, поле, работа которого над зарядами по замкнутому пути не равна нулю. Здесь должны действовать какое-то постоянное по отношению к электристатическим силы. Их общую называют стороными силами. Работа этих стороных сил, оченьindo, и компенсирует электринами туда энергию, которое они теряют при взаимодействии сономи. Так что в конечном случае именно эти силы и поддерживают постоянный ток в цепи.

Роль сторонних сил

Чтобы понять роль стороных сил в цепи постоянного тока, рассмотрим сначаلة низкнутую цепь, например, такую как на рисунке 1. Допустим, что каким-то образом в какой-то момент на конце A цепи собрано избыточное число электринов, так что он оказывается отрицательно заряженным. Тогда на другом конце цепи оказывается в избыточке положительный заряд. Внутри металла будет существовать электристатическое поле, и свободные электрины устремятся от A к B. В металле, следовательно, будет существовать электрический ток, направленный от B к A. Но этот ток не будет постоянным. За очень короткое время в A исчезнет избыточок электринов, а в B — избыточок положительного заряда. В металле исчезнет поле, а вместе с ним и электрическим ток.

Но представим себе, что в промежутке между A и B устроилась некая

44

вольшебная фей, да такая расторопная, что она успевает каждый приходящий в $B$ электрон снова переести в $A$.
Тогда, очевидно, в $A$ будет поддерживать постоянный отпускный заряд, а в $B$ — постоянный положитель заряд. В металле будет поддерживать постоянное электростанческое поле и постоянный электрический ток.

Заметим, однако, что наша фей должна при этом совершать работу против электростанческого поля. Ведь заряды в $A$ и $B$ создают такое поле не только внутри металла, но и вне его. И поле вне металла в промежутке между $A$ и $B$ тоже направлено от $B$ к $A$. Фее, значит, приходится переосить электроны от положительного заряженного конца $B$, к которой электроны приятываются, к отпусканию заряженного концу $A$, от которого они отталкивают. Электростанческие силы на это, конечно, не способны. Так что фей, которая это делает, действует на электроны не электростанческой силой, а какой-то другой — сторонней силой. Становится ясно роль сторонней силы в электрической цепи: переосить электрические заряды против электростанческих сил, отделять отрицательные заряды от положительных и «присоединять» их к отпускным. Сторонние силы своей работы замыкают цепь и обеспечивают постоянство точки. В электрической цепи существует два участка: в одном усилиями фей заряды различных знаков разделяются, а в другом (во внешней части цепи) они снова соединяются. Фей совершает работу, разделя заряды и создавая электростанческое поле. А это последнее соединяет заряды, и внутри металла эта работа обращается на грееванием металла. Действность фей наполнивает действость Сизифа, осуществного, согласно древнему мифу, включает на вершину горы камень, который, еда доступну вершины, скатывался вниз. Подобно тому как Сизиф, поднимая камень, совершал работу против силыяжестии только для того, чтобы камень, приобрета потенциальную энергию, мог под действием силыяжестия скатиться с горы, наша фей, разделя разноменные заряды, совершает работу против сил электростанческого поля только для того, чтобы приобрета потенциальную энергию, эти заряды могли под действием электростанческих сил вовь соединиться. Однако труд fen нельзя назвать Сизифым в том смысле, как это принято говорить. Ведь Сизифым называют «бессмысленный», бесполезный труд. А труд fen приводит к ощутым результатам — по цепи течет постоянный ток.

Вернемся вновь к нашей электрической цепи. Разумеется, никаких неэлектростанческих фей в действительности не существует. Но существуют особые устройства, в которых действуют неэлектростанческие (сторонние) силы, способные отделять отрицательное заряжение электроны от положительных зарядов. Называют эти устройства источниками тока, хотя в действительности они имми, как мы только что видели, не являются. Отличияются они источники тока от других характеристик в них сил и проискодиях в них процессов и конструкций самих устройств. Количество же они различются величиной, называемой электродвижущей силой.

Что же такое электродвижущая сила?

Рассмотрим неокторный участок электрической цепи между точками $a$ и $b$ (рис. 2), в котором существует электрический ток. Раз ток существует, значит, есть электростанческое поле. Пусть на этом участке существует напряжение $U$, или, что же самое, разность потенциальов $\varphi_1 - \varphi_2$. Тогда работа при перемещении неокторного заряда $q$ от $a$ к $b$ равна $A = qU$.

А теперь представим себе, что на участке $ab$ имеется также неокторный источник тока, в котором действуют стороны силы (рис. 3). Теперь к работе электростанческого поля $qU$ нужно добавить работу сторонних сил.