Квант 1978, №5 · Страницы

КВАНМ 5
1978

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - MATEMATIЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

На этом рисунке изображен тор — поверхности, наполняющая бу́льк, — и две окружности. Поверхность покрыта сетью «параллелей» и «меридианов». Обе выделенные окружности лежат, как это ни кажется страным на первый взгляд, в одной секущей плоскости (которая совпадает с плоскостью чертежа).

Эти окружности интересы не только тем, как они получены: они являются «линиями постояного курса» на торе, т. е. пересекают все его meridianны под одним и тем же углом. Такие линии называются локсодромиями; подробнее об этом математico-географическом термине вы можете прочитать на с. 17. Там же доказывается, что при рассмотрении плоском сечении torа действительное получается две окружности, а не только похожие на них замкнутые линии.

Взгляните внимание на чертеж — на сколько частей наших окружности разделяют тор?

1

Главный редактор
академик И. К. Кикоин
Первый заместитель
главного редактора
академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:
М. И. Башмаков
С. Т. Белев
В. Г. Болтянский
Н. Б. Васильев
Ю. Н. Ефремов
В. Г. Зубов
П. Л. Капица
В. А. Кириллин
А. И. Климанов
С. М. Козел
В. А. Лешковцев
(зам. главного редактора)
Л. Г. Макар-Лиманов
А. И. Маркушевич
Н. А. Патрикеева
И. С. Петраков
Н. Х. Розов
А. П. Савин
И. Ш. Слободецкий
М. Л. Смолянский
(зам. главного редактора)
Я. А. Смородинский
В. А. Фабрикант
А. Т. Цветков
М. П. Шаскольская
С. И. Шварцбург
А. И. Ширшов

В НОМЕРЕ:
В. Болтянский. Часто ли степени двойки начинаются с единицей?
А. Паташинский, С. Попов. Ускорители ИЯФ — метод встречных пучков
З. Литовченko. Лучший вариант

Лаборатория «Квант»
М. Грабовский. Плавание воскового шарика

В. Березин. Локсодромия

Математический кругок
В. Вавилов, И. Мельников. Касательная

Задачик «Квант»
Задачи M501—M505: Ф513—Ф517
Решения задач M450—M454; Ф467—Ф471

По страницам школьных учебников
В. Дубровский. В поисках определения площади поверхности

«Квант» для младших школьников
Задачи
А. Дозоров. Куда направлена сила треня?

Практикум абитриента
Л. Асламазов. Напряжение, напряжение, потенциал
А. Виленкин. Производная и касательные
П. Зубков, Л. Лукуянчиков, Г. Меледин, В. Харценко. Новосибирский государственный университет
В. Осипов, В. Матвеев. Ленинградский университет им. А. А. Жданова
В. Гутенмахер, П. Медвеедев. Отделение планирования и экономического кибернетики экономического факультета МГУ

Рецензии, библиография
Новая книга по истории астрономии

Ответы, указания, решения
Смесь (с. 34, 47)

© Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», «Квант», 1978.

2

В. Болтянский

Часто ли степени двойки начинаются с единицей?

Постановка задачи
Средний степеней двойки вновь и вновь встречаются числа, начинающиеся с единицей. Как часто они встречаются? Иными словами, какова вероятность того, что число наудачу выбранное из чисел $2^1, 2^2, \ldots, 2^n$, начинается цифрой 1, равна $a_n/n$. Эта вероятность зависит от $n$, т. е. от того, сколько первых степеней двойки было взято. Предел

$$p_1 = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n},$$

(если он существует) и называется вероятностью того, что произвольное взятое натуральное число делится на 3?

1. Какова вероятность того, что произвольное взятая цифра десятичного разложения числа $\frac{161}{222}$ является пятеркой? Двойной?

2. Какова вероятность того, что произвольное взятое натуральное число является точным квадратом?

Вышение предела (1)

Среди двухначных чисел, являющихся степенями двойки,ровно одно (а именно, 16) начинается с единиццы. Среди трехначных степеней двойки тожеровно одно число (а именно, 128) начинается с единиццы. То же верно для четырехначных степеней двойки.

Вообще, при $k > 1$ среди $k$-значных чисел, являющихся степенями двойки, имеетровно одно, начинающееся цифрой 1. В самом деле, наименьшее $k$-значное число, являющееся степенью двойки, обязательно начинается с единиццы (иначе, разделив на 2, мы получили бы, что и предыдущего степень двойки является $k$-значным числом). Другого же числа, начинающегося цифрой 1, среди $k$-значных степеней двойки нет: следующая степень двойки будет иметь на первом месте цифру 2 или 3, следующая — еще большеую цифру, пока мы не получим $(k+1)$-значное число.

Из сказанного следует, что если число $2^n$ является $m$-значным, то среди чисел $2^1, 2^2, \dots, 2^n$ имеетровно $m-1$ чисел, начинающихся с единиццы, т. е. $a_n = m-1$. Но утверждение «число $2^n$ является $m$-значным» означает, что

$$10^{m-1} \leq 2^n < 10^m,$$

то есть

$$m-1 \leq n \lg 2 < m.$$

Вспоминая, что $a_n = m-1$, получаем

Рис. 1.

$$\lg 2 - \frac{1}{n} < \frac{a_n}{n} \leq \lg 2,$$

и, следовательно,

$$p_1 = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = \lg 2 = 0,30103...$$

Итак, чуть больше 30% степеней двойки начинаются с единиццы.

3 адач и

4. Обозначим через $p_q$ вероятность того, что произвольно взятая степень двойки начинается цифрой $q^*$. Докажите равенства

$$p_2 + p_3 = p_1, \quad p_4 + p_5 = p_2, \quad p_6 + p_7 = p_3, \quad p_8 + p_9 = p_4.$$

5. Докажите, что $p_4 = 1-3 \lg 2 = 0,096...$

Как видите, степеней двойки начинаются цифрой 4 в три с лишним раза reже, чем цифрой 1 (рис. 2).

Рис. 2.

Общая задача

А какова вероятность того, что произвольно взятая степень данного наурального числа $l$ начинается (в десятичной записи) цифрой $q$?

Пусть число $l^n$ начинается в десятичной записи цифрой $q$, т. е.

$$q \cdot 10^m \leq l^n < (q+1) \cdot 10^m,$$

где $m$ — некоторое натуральное число. Разделив эти неравенства на $q \cdot 10^m$ и продолжарифмовав по основанию 10, получим:

$$0 \leq (n \lg l - \lg q) - m < \lg \frac{q+1}{q}.$$ (2)

Так как число, стоящее справа, меньше единиццы ($\frac{q+1}{q} = 1 + \frac{1}{q} \leq 2 < 10$), то неравенства (2) означает, что дробная часть числа $n \lg l - \lg q$ меньше $\lg \frac{q+1}{q}$ (напомним, что дробной часть)

*) Существование чисел $p_q$ вытекает из дальнейшего.

4

числа $x$ называется разность между числом $x$ и его целой частью: $\{x\} = x - [x]$, а целая часть $x$ это набольшее целое число, которое не превыходит $x$). Обратно, если дробная часть числа $n \lg l - \lg q$ меньше $\lg \frac{q+1}{q}$, т. е. если при некотором натуральном $m$ выполнены неравенства (2), то $l^n$ начинается в десятичной записи цифрой $q$. Таким образом, поставленная задача эквивалентна следующей: какова вероятность того, что для произвольного взятого намурального числа $n$

$$\{n \lg l - \lg q\} < \lg \frac{q+1}{q}$$

Решить эту последнюю задачу нам помогет

Теорема о дробных частях $x$. Пусть $\alpha, \beta$ — действительные числа, причем число $\alpha$ — irrationalное, и $I$ — некоторый промежуточок длины $h$, содержащийся в отрезке [0, 1]. Расстояние бесконечную последовательность $\alpha + \beta, 2\alpha + \beta, \dots, n\alpha + \beta, \dots$. Вероятность того, что произвольное взятое число этой последовательности имеет дробную часть, принадлежшую промежуточку $I$, равна $h$.

Доказательство этой теоремы мы приведем в конце статьи, а сейчас покажем, как она применяется к решению нашей задачи.

Прежде всего заметим, что если $l$ является степенью десяти, то все степени числа $l$ начинаются цифрой $1$, т. е. в этом случае задача тривиальная.

Если же $l$ не является степенью десяти, то число $\alpha = \lg l$ и разница он. По теореме о дробных частях вероятность того, что произвольное взятое число из последовательности $n \lg l - \lg q$ ($n = 1, 2, \dots$) имеет дробную часть, принадлежшую промежуточку $$\left[0, \lg \frac{q+1}{q}\right],$$ равна $$\lg \frac{q+1}{q}.$$ Это и дает решение рассмотренной выше задачи: вероятность того, что произвольное взятое намиральное число $l$ (не являющегося степенью десяти) начинается цифрой $q$, равна $$\lg \frac{q+1}{q}.$$

Обратите внимание на то, что эта вероятность не зависит от $l!$. Например, степени двойки и степени тройки одинаково часто (а именно, с вероятностью lg 2) начинаются цифрой 1.

3 адач и

6. Докажите, что если натуральное число $l$ не является степенью десяти, то число $\lg l$ играетально.

7. Вычислите вероятности $p_2, \dots, p_9$, указываемые в задаче 4. Дайте новое доказательство содержащихся там равенств.

8. Какова вероятность того, что произвольное взятая степень двойки начинается цифр 1000 (рис. 3)?

Рис. 3.

9. Какова вероятность того, что произвольное взятая степень числа $l$ (не являющегося степенью десяти) начинается комбинацией цифр $q_1 q_2 \dots q_r$ (где $q_1 \neq 0$)? Выведите отicioда, что степени числа $l$ могут начинаться либо комбинацией цифр $q_1 q_2 \dots q_r$ ($q_1 \neq 0$).

10. Докажите следующие утверждения:

a) Вероятность того, что у произвольного взятой степени числа $l$, не являющегося степенью десяти, вторая слава цифра есть 0, равна

$$p_0^{(2)} = \lg(11 \cdot 21 \cdot 31 \cdot \dots \cdot 91) - \lg(9!) - 9.$$

Указание: $p_0^{(2)}$ есть сумма вероятностей того, что произвольная степень числа $l$ начинается комбинациями 10, 20, …, 90.

6. Вероятность того, что у произвольного взятой степени числа $l$, не являющегося степенью десяти, $k$-я (слева) цифра есть $q$ (где $k > 1$, $q = 0, 1, \dots, 9$), равна:

$$p_k^{(2)} = \sum_{i=10}^{k-1} \lg \left(1 + \frac{1}{q+10i}\right).$$

11 *. Используя результат задачи 10, 6), докажите, что $\lim_{k \to \infty} p_k^{(2)} = 1/10$. Таким образом, при достаточно большом $k$ каждая из вероятностей $p_k^{(2)}, p_1^{(2)}, \dots, p_9^{(2)}$ как уголно малого отличается от 1/10.

6

член второй прогрессии, что модель их разности меньше 0,000001?

16. Лесом радуша е называем обедининие всех кругов радиуса $\varepsilon$, центрами которых служат точки с целочисленными координатами. Докажите, что если пряма образует с осью абсцисс угол $\varphi$, тангенс которого irrationalен, то она обязательно пересекает лес (как бы ни было мало $\varepsilon$; рис. 5).

Доказательство теоремы

Перейдем теперь к доказательству теоремы о дробных частях.

Возьем произвольное натуральное число $r$. Точки $\frac{1}{r}, \frac{2}{r}, \dots, \frac{r-1}{r}$ разбивают отрезок $[0, 1]$ на $r$ отрезков длины $\frac{1}{r}$. Изовем эти отрезки «клетками», а дробные части чисел $\alpha, 2\alpha, \dots, (r+1)\alpha$ называем «зайцами»*). Так как «клеток» $r$, а «зайцев» $r+1$, то найдется два «зайца», попавшие в одну клетку, т. е. найдется такие натуральные $p'$ и $p''$ ($p' > p''$), что дробные части чисел $p' \alpha$ и $p'' \alpha$ отличаются менее чем на $\frac{1}{r}$. Значит, $|(p' \alpha - p'' \alpha) - m| < \frac{1}{r}$ при некотором целом $m$. Положив $p = p' - p''$, мы можем написать: $|p \alpha - m| = \varepsilon$, где $\varepsilon < \frac{1}{r}$. Заметим, что $\varepsilon \neq 0$, так как $\alpha$ irrationalно. Обозначим через $s$ наименьшее натуральное число, превосходящие $\frac{1}{\varepsilon}$, т. е. $s - 1 \leqslant \frac{1}{\varepsilon} < s$.

Рассмотрим $s$ последовательных членов арифметической прогрессии с разностью $p \alpha$:

$$\gamma + p \alpha, \gamma + 2p \alpha, \dots, \gamma + sp \alpha,$$

(3) где $\gamma$ — некоторое действительное число. Обозначим дробные части чисел (3) через $x_1, x_2, \dots, x_s$. В силу равенства $|p \alpha - m| = \varepsilon$ числа $x_1, x_2, \dots, x_s$ отстояют друг от друга на $\varepsilon$ (рис. 6). В силу неравенств $\frac{1}{s} < \varepsilon \leqslant \frac{1}{s-1}$ рассстояние между точками $x_1$

*) Эта терминология связана с принципом Дирихле («Квант», 1977, № 2, с. 17). Теорему о дробных частях можно назвать «приицпом Дирихле для бесконечного числа зайцев».

Рис. 6.

и $x_s$ на рисунке 6, 6 меньше $\varepsilon$. Из скзаанного вытекает, что число точки $x_1, x_2, \dots, x_s$, попадающих на отрезок $l$ длины $h$, заключено между числом $\frac{h}{\varepsilon} - 1$ и $\frac{h}{\varepsilon} + 2$, т. е. между $sh-2$ и $sh+2$ (заметим, что $h < 1$).

Возьем теперь $ps$ последовательных членов $b_1, b_2, \dots, b_{ps}$ какой-либо арифметической прогрессии с разностью $\alpha$ (т. е. $b_{i+1} = b_i + \alpha$). Расположим их в виде таблицы представляется собой прогрессию вида (3). Так как число строк равно $p$, то количество тех членов расматриваемой прогрессии $b_1, b_2, \dots, b_{ps}$, дробные части которых попадают в промежуток $l$, заключено между числом $p (sh-2)$ и $p (sh+2)$.

Пусть, наконец, $n$ — произвольное натуральное число, большее $rps$. Разделив $n$ на $ps$ с остатком, получим $n = lps + q$, где $l \geqslant r$, $0 \leqslant q < ps$. Следовательно, из числа $\alpha + \beta, 2\alpha + \beta, \dots, n\alpha + \beta$ можно взять $l$ раз по $ps$ последовательных членов арифметической прогрессии с разностью $\alpha$,

8

Ускорители ИЯФ — метод встречных пучков

В 1967 г. академик Г. И. Будекру и его ближайшим сотрудником была присуждана Ленинская премия за развитие метода встречных пучков. Этот признанием был подведен итог первому этапу работы, положивших нацало использования в физике высоких энергий этого очень перспективного метода. О приемуществ метода встречных пучков, об истории его создания в Институте ядерной физики Сибирского Отделения АН СССР, основателем и директором которого был выделшийся советский физик и организатор научки академик Г. И. Будекр, рассказывается в этой статье.

О том, зачем нужны ускорители, и об устройстве общих ускорителей «Квант» уже расссказывал (см. № 4 за 1977 г.). Основным способом исследования микромира в настоящее время является стольновение элементарных частиц. Чем глубже мы хотим проникнуть в микромир, тем больше должны быть энергия соударения. В эксперименте элементарная частица стalkивает с другой элементарной частицей. Регистрируется результат стalkовения — скорости отклонившихся или родившихся при соударении частиц, их сорт. Глубина, на котором мы таким образом проникаем в микромир, определяется энергий ускоряемых частиц. Но на пути развития ускоритальной техники возникают две существенные трудности. Первая заключится в том, что для сообщения ускоряемых частицам все больших энергий необходимы ускорители огромных размеров, которые стоит очень дорого. Вторая же трудность носит принципный характер.

Для того чтобы понять, в чем она заключита, обратимся к хорошего знакомому нам процессу соударения шаров.

Рассмотрим «лобовое» соударение двух шаров одинаковых масс. При стalkовении шаров начинают деформироваться, и часть первогоальной кинетической энергии системы переходит в потенциальную энергию деформации шаров. Представим себе, что мы изучаем прочитать наших шаров, нас интересует, при каких условиях они разбиаются. Ясно, что эти условия определяются именно величиной потенциальной энергии деформации шаров. Какую часть состав-

9

ляет эта энергия от первоначальной кинетической энергии системы?

Рассмотрим сначала случай, когда один из шаров первоначально поконтится. Пусть на покоящей шар налетает шар, кинетическая энергия которого $E = \frac{mv^2}{2}$. Сразу после столковения шары начинают деформировать. Очевидно, что деформация шаров растет до тех пор, пока относительная скорость шаров не станет равной нулю. В этот момент шары движутся как одно целое (шар с массой $2m$) с некоторой скоростью $\vec{u}$, и энергия деформации шаров максимальная. Из закона сохранения импульса $-m|\vec{v}| = 2m|\vec{u}|$ — следует, что $|\vec{u}| = |\vec{v}|/2$. Согласно закону сохранения энергии $E = \frac{2mu^2}{2} + E_0$, где $E_0$ — максимальная энергия деформации шаров. Следовательно,

$$E_0 = E - \frac{2m(v/2)^2}{2} = \frac{1}{2} E.$$

Таким образом, максимальная энергия деформации шаров в случае, когда один из них первоначально поконтится, равна половине начальной кинетической энергии системы.

Иное дело, когда два шара движутся навстречу друг другу с одинаковыми по абсолотному значению скоростими $|\vec{v}|$. В этом случае энергия деформации $E'_0$ в процессе сохранения максимальная в тот момент, когда скорости шаров равны нулю. Из закона сохранения энергии следует, что

$$E'_0 = E'$$

где $E' = 2\frac{mv^2}{2}$ — начальная энергия системы. Итак, при соударении движущихся навстречу друг другу шаров все первоначальная кинетическая энергия системы переходит в энергию деформации.

Рассмотренный нами случай соударения двух шаров, из которых один первоначально поконтится, представляет собой модель ситuation, произходящей в общном ускоритель, — ускоренная частота налетает на ней подвижную мишень. Энергия деформации шаров — это аналог той энергии, которая при соударенииускоренных частцц с atomами мишени определяет проискодящие в atomах процессы, возможноностьрожения новых частцц, их энергии. Именно эта «полезная» энергия и интересует исследователь.

Тепер нам становится ясно та принципиальная трудность, которая возникла перед создателем ускорителя. Когда ускоренная частница стalkивается с atomами неподвижной мишени, часть ее энергии расходуется на сообщение скорости системы «частица+атом» (вернее, «частица+роженные в соударении частцы») как целому. И эта часть энергии «тратиться» без пользователя интересует энергияроженных в процессе соударения частцц, а энергия движения системы как целого — это своего рода «энергетическая издержки» в процессе. В случае, когда скорость частцца мала по сравнению со скоростью света, эти «издержки» составляют половину первоначальной энергииускоренных частцц. В результатеисток же случae доля «полезной» энергии сильно уменьшается с ростом энергии частцц. Так, при энергияхускоренных частцц порядка 10 ГэВ (1 ГэВ=10^9 ЭВ) эта доля меньше процента — порядка 100 МэВ (1 МэВ=10^6 ЭВ). Для того чтобы получить в процессе соударения «полезную» энергию 2 ГэВ, потребовалось быускорять электrons до энергии 4 ТэВ (1 ТэВ=10^12 ЭВ). Ускоритель электронов на такие энергии имел бы длину, сравнимую с окружностью Земли по экватору!

А если вместе неподвижной мишени использовать встречный пучокускоренных частцц? Модель процессов, произходящих в такой ускоритель, является рассмотренной нами случай соударения двух шаров, движущихся навстречу друг другу. И тогда «полезную» энергию в 2 ГэВ, почти недоступимо для общного электронногоускорителя, можно получить при соударении частццвстречных пучков,ускоренных до энергии 1 ГэВ на частццу.

На рисунке 1 приведен график, который позволяет найти оценить

11

Чтобы за часы вращения по круговой орбите пучок не был рассеян частицами газа в накопительном коллеще, необходимы высокий вакуум — не больше 10^7 частиц газа в 1 см³. Необходимо, чтобы впуск каждой новой порции частиц не «портил» уже накопленный пучок. Необходимо установить («подавить») неустойчивости пучка — при отклонении части от направления движения пучка возникают силы, выбрасывающие частицы на стенки коллеца. Эти и многие другие проблемы требуют сложнейших конструкторов и инженерных разработок.

В 1958 году по предложению И. В. Курчатова лаборатория новых методов ускорения переезжает в Сибирь. Здесь под Новосибирском нацелось стропельство Академгородка Сибирского отделения АН СССР. Лаборатория превращается в Институт ядерной физики (ИЯФ) СО АН СССР. Директором института стал Г. И. Будкер.

Институт возникал со скоростью взрыва. Директор его молод, большим сотрудником — учершине студенты и аспиранты. Будкер предлагает предложено направленный ритм работ, и коллектив принята этот ритм. «Средний уровень в науке неустойчив. Если мы не подем вперед на пределе возможностей — мы отстанем и скатимся на уровень низкий, — говорил Будкер. — Если мы не сделаем все, чтобы быть первыми, мы станем плоским институтом». Поставленная перед институтом задача была необходима трудна. Начинается стропельство ускорителя и накопительных колес первого установки на встречных электронных пучках — ВЭП-1. Элементы нового ускорителя должны работать в режимах значительно более сложных, чем элементы обчирного ускорителя. Каждый узел — новая проблема. Известны многое открытия Г. И. Будкера в физике, но когда говорят о «методе Будкера» — это о работе института. Метод Будкера — это понск новых, более совершенных решений поставленных задач. И понск людей, способных находить такие решения. «Каждай талантливый человек должен работать творческими и самостояльно», — утверждал директор и доверял своим ученикам все более сложные участки работы. Многие элементы установки ВЭП-1 были по существу открытия в техническую ускорителю на встречных пучках.

В 1963 году в накопителье ВЭП-1 столкнулись пучки электронов. Есть e⁻ e⁻-столкновения на встречных пучках! Кроме подтверждения возможности реализации ускорителя на встречных пучках, эксперимент на ВЭП-1 дал новую физическую информацию — была доказана выполнисть закона Кулона на расстояниях порядка 10⁻¹⁴ см. (Напомним, что «классический» радиус электрона 2,7·10⁻¹³ см.)

Параллельно с экспериментами на ВЭП-1 была смонтирован установка для осуществления столкновения пучков электронов и позитронов ВЭПП-2. В 1965 году на этой установке впервые в мире был осуществлен эксперимент по столкновению электронного и позитронного пучков.

Первые же опыты со встречными пучками приесли интереснейшие результаты, для в руки физикам-теоретикам огромный фактический материал. Но главную заслугу этих экспериментов Г. И. Будкер видел в том,

12

Академик Г. И. Будker беседует с учащимся физиком-математической школьей-интерната при Новосибирском государственном университете.

что «в результате этих исследований рассеяна атмосфера скрыто, а еще чаще открыто недоверия и скппизма к методу встречных лучков, применение которого открывает новую область энергии в физике элементарных частиц… Сегодня физикам, как теоретикам, так и экспериментаторам, надо готовиться к освободию этой новой области».

За прошедшие с тех пор 10 лет метод встречных лучков получил всемирное признание. В разных странах построено около 10 и строятся новые накопительные колыца. Растут энергии и токи в лучках. Эксперименты на встречных лучках приводят к потоку новых открытий в области физики высоких энергий, физики элементарных частиц.

История создания и развития этого метода у нас в стране неразрывно связана с Институтом ядерной физики СО АН СССР, с именем его первого директора академика Г. И. Будкера. Институт и сам поход наускоритель, построенный по методу Будкера. ИЯФ — это тоже своего рода эксперимент. Сейчас этот эксперимент продолжают ученики Будкера. Вперед — труднейшие проблемы, новые понки, новые результаты. Работа продолжается.

13

3. Литовченко

Лучший вариант

Представьте себе, что вы — директор школьи-интерната, и вам нужно составить меню для столовой на неделю. Детальное составление меню, конечно, дело повара, но вот проследить за тем, что денег будет истрачно не слишком много, нужно вам.

Вам известно, какие продукты можно купить, и их цены. Но, кроме цен, у них есть еще множество качеств, например, калорийность, содержание тех или иных витаминов и т.п. Поэтому, кроме цен, при покупке продуктов вам нужно учитывать довольно много условий. Если к тому же на складе много продуктов, то задача становится весма запутанной и без вычислительной машины решить ее трудно. Однако, если продукт и условия мало, справиться с ней не сложно.

Рассмотрим такой пример. Пусть меню уже почти полностью составлено, и вам нужно проследить только за тем, чтобы в нем оказалось достаточно витаминов А и С, причем на складе есть вшни и абрикосы. Один таблица с двумя фруктами А (гв1 кг) и С (гв1 кг)

Вишни 3 150
Абрикосы 24 75

$$\begin{cases} 0,003x + 0,024y \geq 6, \\ 0,15x + 0,075y \geq 75, \\ x \geq 0, y \geq 0, \end{cases}$$

и $z = 0,25x + 0,3y$ было бы минимальным. На плоскости $xOy$ легко указыть множество точек $M$, удовлетворяющих системе (рис. 1). Его называют многоугольником решений системы. Ясно, что прямые $z = 0,25x + 0,3y$ при различных $z$ параллельных одному и тому же направлению, причем прирост $z$ они удаляются от начала координат. Поэтому нам нужно найти ту из прямых этого направления, которая имеет с многоугольником $M$ общую точку и близке всего к началу координат. Легко сообщить, что такая прямая не должна пересекать $M$ по внутренним точкам — тогда бы она не была самой «низкой» (рис. 2). Следовательно, она должна проходить через одну из вершин многоугольника. Но тогда эта точка — вершина $C$. Итак, нужно купить 400 кг вшен и 200 кг абрикосов — лучший вариант!

Задание, подобные разобранной, называются задачи линейного программирования. В них требуется найти прямую (в трехмерном пространстве — плоскость, в многомерном — так называемую гиперплоскость), принадлежшую пучку параллельных прямых (плоскостей, гиперплоскостей), которая пересекается с некоторым многоугольником (многоугольником) и находится близке всего к началу координат. Можно дать и чисто алгебраическую форму-

14

Рис. 1.

нужно вырастить песцов и лисиц, чтобы средняя стоимость одной шкурики была минимальная, если стоимость вырашивания одной лисицы — 45 руб., а одного песца — 25 руб.?

Решение. Пусть $x$ — число вырашиваемых лисицы, а $y$ — песцов. Тогда

$$\begin{cases} 4x + 5y \leq 80000 \\ \frac{1}{2}x + y \leq 10000 \\ x \geq 3000 \\ y \geq 6000. \end{cases}$$

Средняя стоимость одной шкурики

$$z = \frac{45x + 25y}{x + y}.$$

Мулировку: имеется система линейных неравенств

$$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n \geq b_1, \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n \geq b_2, \\ \dots \\ a_{k1}x_1 + a_{k2}x_2 + \dots + a_{kn}x_n \geq b_k \end{cases}$$

и линейная функция $z = c_1x_1 + \dots + c_nx_n$. Нужно найти такое решение этой системы, для которого значение функции $z$ минимально. О линейном программировании в «Кванте» было уже много статей (1971 — № 3, с. 1 и № 4, с. 1, 1974 — № 7, с. 13, 1975 — № 10, с. 17, 1976 — № 7, с. 2, 1977 — № 8, с. 29).

Решим еще одну задачу: зверосовозы вырашивает песцов и лисиц; он имеет 10 000 клеток, причем в одной клетке могут жить две лисицы или один песец; по плану нужно вырасти не менее 3000 лисиц и не менее 6000 песцов; за сутки одной лисице скармливают 4 кормовых единиц, а песцу — 5 единиц; всего за сутки разрешается истранить не больше 80 000 кормовых единиц; сколько

15

Рис. 3.

стояние значения на прямых, проходящих через начало координат. Нам нужно найти ту из этих прямых, которая пересекает многоугольник F и на которой значение функции z минимально. Так же, как и выше, ясно, что эта пряма не должна содержать внутренних точек многоугольника F. Поэтому достаточно сравнить между собой прямы OA и OB. ОТВЕТ: $x=3000$, а $y=8500$.

Заметим, что при решении этой задачи нам повезло — мы получили целый ответ. Ведь если бы число лиисцц или песцов не оказалось целым, мы не смогли бы ответом воспользоваться. Более того, если бы мы получили не целый ответ, мы ничего не могли бы сказать о правильном ответе. Оказывается, можно так подобрать условия задачи, что эти ответы будут отличаться сколь годно сильно.

В тех случаях, когда ответ должен даваться целыми числами, мы имеем дело с задачи целочисленного программирования. Решение таких задач значительно сложнее решения задачи этого ограничения.

В заключение — упражнение для читателей:

Два судна должны перевести грузы в соответствии с таблицей 2.

Известно, что первое судно может сделать не больше 5 рейсов, а второе — не больше 9. Составить план перевозок, который обеспечивает бы а) максимальную приближение;
б) наименьшие затраты на перевозку одной тонны груза.

Поправки

В № 3 «Кваита» за 1978 г. на с. 11 в восемой строке сверху влевой колонке следует читать «M. П. Бронштейном».
В № 11 «Кваита» за 1977 г. на с. 27 во второй строке снизу в правой колонке следует читать «В 1928 году».

16

М. Гравовский

Плавание воскового шарика

Слепите из воска шарика и опустите его в воду. Поскольку плотность воска меньше плотности воды, шарик будет плавать на поверхности воды. Теперь выдавите внутри шарика небольшой кусочек металла так, чтобы средняя плотность получившего шарика чут-чут превышала плотность воды. Если шарик резко опустить или бросить в воду, он утонет. Если же очень осторожно положить на поверхности воды — он может там удержаться и не опуститься на дно.

Это своеобразное плавание можно обьясить так. Вода не смачивает воск, поэтому свободная поверхность воды испrivляется (рис. 1), появляется сны, действующие на шарик со стороны испrivленной поверхности воды. Эти сны обусловлены поверхностью натяжением и направлены в нашем случае вертикально вверх (можно считать, что вода абсолотно не смачивает воск). Вместе с силой Архимеда они уравновешивают силу тяжестии шарика, не давя ему опуститься на дно.

Можно дать несколько других обьяснения. Искривление поверхности воды обусловливает дополнительный объем вытескенной шариком воды — сила Архимеда возвращает и уравновешивает силу тяжестии шарика.

Этот опыт допускает интересный вариант. Опустите утяжеленный металлом восковой шарик на доно больше этого стеклянного сосуда, наполненного водой. Затем прогрузите в сосуд стакан, перевернуть вверх дом, и накройте стаканом шарик так, чтобы он плавал на поверхности воды внутри стакана (рис. 2). Теперь медленно поднимайте стакан — вместе с ним поднимается и плавающий шарик. (Таким образом можно поднять шарик со дна сосуда, не прикасаясь непосредственно к самому шарику.) Когда шарик поднимается до уровня воды в сосуде, осторожно уберите стакан. Для этого медленно приподнимайте край стакана с одной стороны, страясь не вызвать появления пузырей и не взболтать поверхностью слой воды в сосуде.

В заключение нескольких указаний к проведению опыта. Рекомендуемый диаметр воскового шарика — 2—3 см, а диаметр стакана — примерно в два раза больше. Для устойчивости плавания шарика кусочек металла лучше выдать не в центр шарика, а сместить в сторону. Перед опытом шарик нужно высушить.

Вместо шарика можно использовать кусочек парафиновой свечи диаметром приблизительно 2 см и длиной 4—5 см. Для утяжеления свечи можно воткнуть в нее несколько железных гвоздиков или привазать кусочек медной проволки. Дальше опыт проводится так же, как с шариком.

18

В. Василов, И. Мельников

Касательная

«Я не знаю, кем я представляюсь мир, но самому себе я представляюсь малчиком, который церает на берегу моря и время от времени находит камень, более гладкий, или раковину, более красивую, чем обычно, в то время как огромный океан истинный лесит перед много неозначный».

Исак Ньюотон

В «Геометрии 7» касательная к окружности определяется как прямая, имеющая с кривой лишь одну общую точку. Это определяние имеет частный характер и не вскрывает существа дела. Если попытаться применить его к параболе $y=x^2$, то в начале координат обе координатные оси подошли бы под это определение; между тем интуитивно ясно, что на самом деле касательной должна быть назван лишь ось абсцисс.

Мы даим сейчас определение касательной к графику функции. координаты точки касания $M_0=(x_0; y_0)$ считаются заданным: $x=x_0$, $y=y_0=f(x_0)$. Расмотрим, кроме точки $M_0$, еще одну точку $M=(x; y)$ на нашей кривой и проведем прямую $(M_0M)$ — секущую. Когда точка $M$ будет перемещаться по кривой, секущая, естественно, будет менять свое положение. Если точка $M$ стремится к точке $M_0$, может служиться так, что секущая будет стремиться занять некоторое положение положение, не зависящее от того, как точка $M$ приближается к точке $M_0$ (рис. 1). Это предельное положение секущей (если, конечно, оно существует) и есть касательная. Итак, касательной к кривой $y=f(x)$ в точке $M_0=(x_0; f(x_0))$ называется предельное положение *) секущей $(M_0M)$, когда точка $M$ стремится по кривой к $M_0$.

Подчеркием еще раз: в нашем определении касательной содержится допущение о том, что предельное положение секущей сущетует; не каждая функция $y=f(x)$ обладает касательной в любой точке своего графика. На рисунке 2, а, б показаны графики функций, которые не имеют касательной в отмещенных точках, так как, если уже предельное положение секущей сущетует, оно должно не зависять от того, «слева» или «справа» точка $M$ стремится к точке $M_0$. Отметим, что данное нами определение касательной не требует того, чтобы касательная и кривая имели только одну общую точку.

*) Под предельным положением секущей (ее уравнение будет $y-f(x_0)=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}(x-x_0)$) следует понимать прямую $y-f(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}(x-x_0)$.

20

ное рассуждение с нитью для левого конца дуги $AB$ и объединяя вместе полученные результаты, мы построим диаграмму касательных, соответствующее дуге $AB$ (рис. 7).

Если дуга кривой не всюду выпукла в одну сторону, если она, подобно кривой $AB$ на рисунке 8, имеет точку, в которой касательная к кривой переходит с одной ее стороны на другую (такая точка называется точкой перешiba), то в этом случае ее можно разбитить этой точкой на две выпуклы дуги. Если теперь для каждой из этих дуг построить соответствующее им диаграммы касательных, а затем «наложить» одну картинику на другую (см. рисунки 7, 9 и итоговый рисунок 10), то мы получим диаграмму касательных для всей дуги.

Задание:

Для функции $y=f(x)$ построите диаграмму касательных ее графика.

Функцию $f$ для выполнения данного задания математического практики можно взять из приведенной таблицы.

Построив диаграммы для всех функций этой таблицы (всем классом или силами участников кружка), вы получите полный атлас диаграммы касательных для функций вида $y = \frac{a_1x^2 + b_1x + c_1}{a_2x^2 + b_2x + c_2}$).

Образец выполнения работы дан на рисунке 11. Для обоснования построенной на рисунке 11 диаграммы касательных нам, конечно, нужно доказать, что касательная к графику функции $f$ в точке $A$ (точке перешiba) не пересекает участок графика функции $f$ при $x \in ]1,3[$.

*) Пример диаграммы касательных для функций другого типа изображен на первой странице обложки и на рисунке 12, эскиз которого предложила ученица 9 класса ФМШ при МГУ Конченко Лариса.

22

Задачик
кванта

М501—М505; Ф513—Ф517

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи не стандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки ньюшней школьной программы. Наноблее трудные задания отмечены чечены звездочкой. После формирования задачи мы обязаны указываем, кто предложил нам эту задачу. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задачи из этого номера можно присылать не позднее 1 июля 1978 года по адресу: 113035, Москва, М-35, Б. Ордынка, 21/16, редакция журнала «Кванта», «Задачик «Кванта». После адреса на конверте написите номера задач, решения которых вы посылаете, например: «M501, М502» или «Ф513». Решения задач по каждому из предметов (математике и физике), а также новые задачи просба присылать в отдельных конвертах. Задачи из разных номеров журнала присылайте также в разных конвертах. В письмо вложите конверт с написанным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки решений). Условия оригинальных задач, предлагаемых для публикации, присылайте в двух экземплярах вместе с вашими решениями этих задач (на конверте пометьте; «Задачик «Кванта», новая задача по физике «или»… новая задач по математике»).

В начале каждой письма просим указываать вашем имя, фамилию, номер школьи и класс, в котором вы учитесь.

М501. Выберем из последовательности степеней тройки:
3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, …
Все числа, начинающиеся с цифры 9; пусть эти числа (по порядку) $3^{f(1)}, 3^{f(2)}, 3^{f(3)}, ...$ (в частности, $f(1)=2$, так как первое из таких чисел $3^2=9$).
a) Найдите $f(2)$ и $f(3)$ — номера второго и третього тройка числа.
b) Докажите, что таких чисел бесконечно много.
b) * Докажите, что $f(n)$ при $n>1$ удовлетворяет условиям: (1) $f(n) - n$ нечетно,
(2) $\left| f(n) - \frac{n-1\lg 9}{1-\lg 9} \right| < 1$,
и определяется этим условием.
Э. Туркевич

М502. Даны три параллельных отрезка $AA_1, BB_1, CC_1$, не лежащих в одной плоскости. Пусть $M$ — точка пересечения плоскостей $ABC_1, BCA_1$ и $CAB_1$, а $M_1$ — точка пересечения плоскостей $A_1B_1C, B_1C_1A$ и $C_1A_1B$. Докажите, что отрезок $MM_1$ параллелен трех вершочных.

З. Скопец

М503. Набор из $2n+1$ чисел $a_0, a_1, a_2, ..., a_{2n}$ таков, что $a_h \geq \frac{a_{k-1}+a_{k+1}}{2}$ для всех $k=1,2, ...$.
…, $2n-1$. Докажите неравенство
$$\frac{a_1+a_3+a_5+\dots+a_{2n-1}}{n} \geq \frac{a_0+a_2+a_4+\dots+a_{2n}}{n+1}$$

и выясните, для каких наборов оно превращается в равенство.

B. Линкин

М504*. На шахматную доску $n \times n$ клеток уложено $k$ клеток размером $2 \times 1$, причем так, что положить $(k+1)$-ю клетку, не перемещая уже имеющих плинток, нельзя. Докажите, что свободных плинток

23

оста́льось не более чем
a) $(n^2+n+1)/3$;
b) $(n^2+2)/3$;
b) $n^2/3$.

Можно ли получить для некоторых $n$ еще более точную оценку?

В. Гроссман

М505*. a) Пусть на прямой помещены $n$ материалов точек одинаковой массы. Рассмотрим произвольный отрезок длины $2r$, содержащий хотя бы одну из этих точек, и найдем центр тяжесты $O_1$ всех попавших в него точек. Рассмотрим отрезок длины $2r$ с серединой $O_1$ и найдем центр тяжесты $O_2$ всех точек, которые попали в этот отрезок. Затем найдем центр тяжесты $O_3$ всех точек, попавших в отрезок длины $2r$ с серединой $O_2$, и т. д. Доказите, что, начиная с некоторого номера, все точки последовательности $O_1, O_2, O_3, \dots$ совпадают.

б) Пусть на плоскости помещены $n$ материалов точек. Рассмотрим произвольный круг радиуса $r$, содержащий хотя бы одну из этих точек; обозначим через $O_1$ центр тяжесты попавших в него точек и построим последовательность $O_1, O_2, O_3, \dots$, где $O_{n+1}$ — центр тяжесты точек, попавших в круг радиуса $r$ с центром $O_n$. Верно ли, что, начиная с некоторого номера, все точки этой последовательности совпадают?

П. Блесер, Г. Гальперин, М. Кельберт

Ф513. В ясный солнечный день, когда Солнце находится высоко над горизонтом, получите на гладком экране, например, на белой стене, тень отровного края куска картона. Если теперь поднести к листу картона пальц так, как это показано на рисунке 1, то на экране навстречу тени пальца из тени, отбрасываемой листом картона, высунется тень второго пальца. Проведите такой опит и обьясните его результат.

Г. Соловьянок

Ф514. Резино-кордное полотно изготовлено из прочных упругих нитей (корда), залитых мягкой эластичной резиной. Нити корда образуют угол $2\alpha$ друг с другом (рис. 2). Из такого полотна сделан круговой цилиндр, к торцам которого прикреплены металлические крышки (рис. 3). Внутрь цилиндра нагнетается воздуха. В опытах было замечено, что при нагнетании воздуха цилиндр принимает одну треть форму, показанных на рисунке 4. Форма зависит от величины угла $2\alpha$ между нитями. Каким значением угла соответствует каждая из форм?

Ф515. Легкийстержень длины $l$ закреплен в вертикальной плоскости на оси, проходящей через точку $O$, которая делитстержень в отношении 1:3.

24

К одному из концов стержня прикреплен тяжелый шарик массы $m$, другой конец стержня прикреплен к горизонтальной пружине жесткости $k$ (рис. 5). Пружина не растянула, когда стержень вертикален. Определить период малых колебаний стержня.

Ю. Левчук

Ф516. Тяжелый диск радиуса $R$ скатывается на двух нерастяжимых нитях, намотанных на него. Свободные концы нитей закреплены (рис. 6). Нити при движении диска постояно натянуты. В некоторых момент угловая скорость диска равна $\omega$, а угол между нитями $\alpha$. Какова в этот момент скорость центра диска?

А. Матвеев

Ф517. Пучок электронов с энергий $E=1,0$ кэВ проходит через два небольших конденсатора, остоящих друг от друга на расстоянии $l=20$ см. Оба конденсатора подключены параллельно к одному генератору. Изменением частоты генератора добавляется того, что пучок электронов проходит эту систему без отклонения. Определить отношение $e/m$ для электрона, если два последовательных значения частоты, при которых выполняется это условие, равны 141 МГц и 188 МГц.

Решения задач

M450—M454; Ф467—Ф471

М450. Система прямоугольников из n эмяжей (рис. 1) построена следующим образом. Начиная с нижнего прямоугольника, образующей первый эмяж, верхняя сторона какдого прямоугольника делится в отношений 1: 2: 3; на трех полученных отрезках как на основании строгая прямоугольника может же высеть, что и первоначальный, и так — до самого верхнего эмяжа. Из полученного множества прямоугольников выбрано некоторое подмножество, состоящее из попарно неконергузимых прямоугольников (одно.makeе подмножество на рисунке — красное). Докажите, что найдемся вертикальная прямая, пересекающая не более двух из выбранных прямоугольников.

Оценим общую площадь попарно неконгузимых прямоугольников. Площадь каждого из них равна $S/3k^2m$, где $S$ — площадь нижнего прямоугольника, $k$ и $m$ — целые, $k \geq 0, m \geq 0, k + m \leq n$. Сумма различных х чисел вида $1/3k^2m$ не превышает

$$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{3^n} +$$

$$+ \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3^2} + \dots + \frac{1}{2 \cdot 3^n} +$$

$$+ \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^2 \cdot 3} + \frac{1}{2^2 \cdot 3^2} + \dots + \frac{1}{2^2 \cdot 3^n} + \dots + \frac{1}{2^n} + \frac{1}{2^n \cdot 3} + \frac{1}{2^n \cdot 3^2} + \dots + \frac{1}{2^n \cdot 3^n}.$$

Сумма чисел в столбцах меньше соответствующего $2,2 \cdot \frac{1}{3},2 \cdot \frac{1}{3^2},\dots$

$$\dots,2 \cdot \frac{1}{3^n},a 2 \left(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{3^n}\right) < 2 \cdot \frac{3}{2} = 3.$$

Не если бы каждая вертикальная прямая пересекала три

25

М451. На плоскости отмечено несколько точек, не лежащих на одной прямой, и около каждой написано число. Известно, что если прямая проходит через или более отмеченных точек, то сумма всех чисел, написанных около этих точек, равна нулю. Доказим, что все числа равны нулю.

Обозначим для отмеченной точки $x$ через $a_x$ написанное около нее число, а через $n_x$ — количество попарно различных прямых, соединяющих точку $x$ со всем другим отмеченным точками. Пусть $S$ — сумма чисел, написанных около всех отмеченных точек. По условию, сумма чисел в отмеченных точек каждой из $n_x$ прямых, проходящих через $x$, равна нулю. Поэтому и сумма чисел по всем этим $n_x$ прямым равна нулю. С другой стороны, эта сумма равна $(n_x-1)a_x+S$, так что

$$(n_x-1)a_x+S=0.$$

Предположим, что для некоторой точки $x$ число $a_x>0$. Тогда найдется отмечная точка $y$, около которой написано число $a_y<0$ (доказите!). Воспользовавшись (1), получим равенство

$$(n_y-1)a_y=(n_x-1)a_x.$$

По условию все отмеченные точки не лежат на одной прямой. Поэтому $n_x>1$ и $n_y>1$. Мы пришли к противоречению, так как в равенстве (2) справа и следа стоит числа разных знаков.

Ф. Вайницей

М452. В окружность вписаны треугольники $T_1$ и $T_2$, причем вершины треугольника $T_2$ являются серединами душе, на котором окружность разбиается вершина треугольника $T_1$. Доказим, что в шестиугольнике $T_1 \cap T_2$ диагонали, соединяющие противоположные вершины, параллельны сторонам треугольника $T_1$ и пересекаются в одной точке.

Пусть $A, B$ и $C$ — вершины треугольника $T_1$, а $A', B'$ и $C'$ — вершины треугольника $T_2$ (причем $A'$ — середина дуги $BC$, $B'$ — середина дуги $AC$ и $C'$ — середина дуги $AB$, рис. 2). Прямые $AA', BB'$ и $CC'$, являющиеся бисекторисами углов треугольника $T_1$, пересекаются в центре $O$ вписанной в треугольник $T_1$ окружности. Пусть $MN$ — диагональ, соединяющая противоположные вершины $M$ и $N$ шестиугольника $T_1 \cap T_2$ ($M=[AB] \cap [B'C']$, $N=[BC] \cap [A'B']$). Доказем, что $(MN)$ параллельна $(AC)$ и проходит через точку $O$ (из этого будет следовать утверждение задачи). Для этого мы доказем, что отрезки $OM$ и $ON$ параллельны $AC$. Тогда $[OM] \parallel [ON] \parallel (AC)$, откуда следует, что точки $M$, $O$ и $N$ лежат на одной прямой, параллельной $(AC)$. Итак, нужно доказать, что $[OM] \parallel (AC)$ (доказательство параллельности $[ON]$ и $(AC)$ аналогично). Пусть $K=[OA] \cap [B'C']$. Заметим, что угол $C'KA'$ опирается на дуги, величины которых в сумме составляет $180^\circ$ (почему?), и, следовательно, прямой. Таким образом, $[B'K]$ в треугольнике $OB'A$ является одновременно бисекторисой и высотой. Следовательно, $[B'C']$ — серединный перпендикуляр к отрезку $AO$; поэтому $|AM|=|OM|$ и $OAM=AOM$. Но $OAM=OAC$ и, значит, $AOM=OAC$. А это и означает, что отрезок $OM$ параллель стороны $AC$, что и требовалось доказать.

Н. Нечеваем

26

М453. Дано множество положимельных чисел $\{a_1; a_2; \dots, a_n\}$. Для каждого его подмножества выписем сумму входящих в него чисел (расматриваются суммы из однозою, двух, …, n слааемых). Докажите, что все выписанные числа можно так разбить на n групп, чтобы в каждой группе отношение набольшего числа к наименьшему не превысило 2.

Достаточно указать $n$ отрезков вида $[b_i, 2b_i]$ ($i = 1, 2, \dots, n$), объединение которых содержит все суммы неокторых из данных $n$ чисел: тогда суммы, принадлежные каждому отрезку, образуют группу чисел, удовлетворяющих нужному условиям.

Эти отрезки можно строить по-разному. Приведем самый красивый способ (его указал Д. Берништейн).

Занутерем данные числа в порядке возрастания: $a_1 \leqslant a_2 \leqslant \dots \leqslant a_n$, положим $b_i = (a_1 + a_2 + \dots + a_i)/2$ и докажем, что каждая сумма неокторых из чисел $a_i$ попадает в один из отрезков $[b_i, 2b_i]$.

Ясно, что наименьшая «сумма» $a_1 \in [b_1, 2b_1]$, так как $2b_1 = a_1$, а наибольшая — $(a_1 + \dots + a_n) \in [b_n, 2b_n]$, так как $2b_n = a_1 + \dots + a_n$. Осталось доказать, что невозможен случай, когда неокторая сумма $s$ лежит между $2b_k$ и $b_{k+1}$. Пусть

$$s > 2b_k = a_1 + a_2 + \dots + a_k.$$

(1)

Тогда $s$ содержит неокторое $a_i \geqslant a_{k+1}$, то есть

$$s \geqslant a_{k+1}.$$

(2)

Сложив (1) и (2), получим $2s \geqslant a_1 + \dots + a_k + a_{k+1}$, то есть $s \geqslant b_{k+1}$. Значит, $s$ не может лежать между $2b_k$ и $b_{k+1}$.

М454. За круглым столом сидем 7 едимов. Перед каждой стомунку кружка. В некоторых из этих кружек наименьшее молоко. Один из едимов разливаем все свое молоко в кружки остальных поровну. Затем его сосед справа делаем по же самое. Затем по же самое делаем следующий сосед справа и так далее. После того как последний, седьмой,第八им разили всем остальных свое молоко, в каждой кружке оказалось столько же молока, сколько было в ней вначале. Во всех кружках вместе молока 3 литра. Сколько молока было первоначально в каждой кружке?

Ответ изображен на рисунке 3. Проверим его. После того как гном, помеченный красной точкой, разолёт свое молоко поровну остальным (по 1/7 л), вновь получится (с сдвигом на одного гнома) точно такое же распределение молока; при этом 6/7 л молока будет у того гнома, чья очередь разливает молоко. Ясно, что после семи переливаний мы вернемся к первоначальному распределению.

Покажем теперь, как можно было делать это ответа, и докажем его единственное. Заметим, что в условиях задачи проесс переливаний по кружу можно считать периодически продолженным; поэтому все гномы совершенно равноправны.

Естественно сначала искать такое распределение молока, которое повторится (с сдвигом на одного гнома) уже после одного по переливании. При этом каждый следующий гном будет разливать то же самое количество молока, что и предыдущий, — скажем, 6х литров (каждому гному наливается по x литров). Тогда после очередного переливания у разлившего будет 0 литров молока, у его сосед (разлившего перед ним) — $x$, у следующему (у него до этого было $x$) станет $2x$, …, у последнего, седьмого, гнома — $6x$ литров. Из уравнения $x + 2x + \dots + 6x = 3$ найдем $x = 1/7$ и получим указаный выше ответ.

Нужно, однako, еще выяснить, не может ли быть так, что гномы разливают разное количество молока (и исходное распределение восстанавливается лишь через семь переливаний). Пусть $k$-й гном разливает $6x_k$ литров молока (каждому по $x_k$ литров). Поскольку гномы равноправны, можно считать, что $x_1 \geqslant x_k$ для всех $k = 1, 2, \dots, 7$. После семи переливаний у 1-го гнома, разлившего $6x_1$ литров молока, снова должно набрать $6x_1$ литров, поэтому $6x_1 = x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7$. Это возможно лишь тогда, когда $x_1 = x_2 = \dots = x_7$. Таким образом, мы приходим к уже разобранному слушанию, когда все гномы разливают одинаковое количество молока. Значит, других ответов нет.

Заметим, что из общих теорем линейной алгебры, которые лежат в основе теории марковских цепей, следует не только единственное ответа в этой задаче, но и такой любопытный факт: как бы не были первоначально налиты 3 литра молока, его распределение будет стремиться (с ростом количества переливаний) к указанному в ответе распределению (0, 1/7, 2/7, …, 5/7, у разлившего — 6/7 литра). Об этих теоремах мы постараемся расскажать в одном из следующих номеров «Квата».

Рис. 3.

Н. Васильев

27

Ф467. Луна одновременно формираируется с одной и той же стороны с Земли и со спутника Луны. Орбитма спутника крутовая. Диаметр изображения Луны на формирации, полученной на Земле, равен 4 мм, а на спутнике Луны — 250 мм. Найти перiod обращения спутника Луны по его орбите, если она снимка сделана с помощью одинаковых объектов с фокусным расстоянием 500 мм. Прияmbть, что ускорение свободного падения на Луне в б раз меньше, чем на Земле, и расстояние от Земли до Луны равно 380 000 км.

Рис. 4. Рис. 5.

На спутник Луны, движущийся по круговой орбите радиуса $R$, действует со стороны Луны слапяжения, равная $F = \gamma \frac{M_{\perp} m}{R^2}$ (м — масса спутника, $M_{\perp}$ — масса Луны). Учтывая, что ускорение свободного падения на Луне $g_{\perp} = \gamma \frac{M_{\perp}}{r_{\perp}^2}$ ($r_{\perp}$ — радиус Луны), можно записать

$$F = mg_{\perp} \left( \frac{r_{\perp}}{R} \right)^2.$$

Эта сила сообщает спутнику центрастремительное ускорение. $|\vec{a}| = \omega^2 R = \frac{4\pi^2 R}{T^2}$, где $\omega = \frac{2\pi}{T}$ — угловая скорость вращения спутника, $T$ — период обращения его по орбите. Итак, $|\vec{F}| = m|\vec{a}|$, то есть

$$mg_{\perp} \left( \frac{r_{\perp}}{R} \right)^2 = m \frac{4\pi^2 R}{T^2}.$$

Отсюда

$$T = 2\pi \frac{R}{r_{\perp}} \sqrt{\frac{R}{g_{\perp}}}.$$

В эту формулу входят две неизвестные величины — $R$ и $r_{\perp}$. Найдем их, «воспользовавшись» фотографиями Луны, полученными с Земли и со спутника. Изображение Луны получается в фокальной плоскости объекта. Луна находится от Земли на расстоянии, много большем ее диаметра. Поэтому можно считать, что при фотографировании с Земли (рис. 4)

$$\frac{d_1}{2r_{\perp}} = \frac{F}{L}, \quad r_{\perp} = \frac{d_1 L}{2F}$$

($d_1$ — диаметр изображения, $L$ — расстояние Земля — Луна, $F$ — фокусное расстояние линзы).

При фотографировании со спутника (рис. 5) на пленке получается изображение части поверхности Луны, ограниченной касательными $OA$ и $OB$. Из подобия треугольников $OMN$ и $OCB$ имеем

$$\frac{BC}{MN} = \frac{R}{ON} \Rightarrow \frac{2r_{\perp}}{d_2} = \frac{R}{a},$$

где $a = \sqrt{F^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2}$. Отсюда

$$R = \frac{2r_{\perp}}{d_2} a = \frac{d_1 L}{d_2 F} a.$$

Подставив найденные выражения для $r_{\perp}$ и $R$ в (*), получим

$$T = 4\pi \frac{a}{d_2} \sqrt{\frac{d_1 L}{g_{\perp} d_2 F}} a \approx 6,23 \cdot 10^4 \text{ c.}$$

И. Словодечкий

◆ Максимальная нагрузка, которую выдерживает крана, определяется пределом прочности материалов троса — максимальным напряжением, при котором материал еще не разрушается.

Предположим, что все модели плиты — $q$, площадь поперечного сечения троса — $s$. Например, возникащее

28

же матерциаль, если линейные размеры крана, проза и плит в 12 раз больше, чем в модели?

при нагрузке в одну плиту, равно $\sigma = \frac{q}{s}$. Согласно данным задачи предел прочитности материала троса определяется условием

$$\frac{10q}{s} < \sigma_0 < \frac{11q}{s}$$

(1)

(условие того, что кран-модель поднимает 10 плит, а нагрузку в 11 плит трос не выдерживает).

При переходе к реальным крану и плитам все линейные размеры увеливаются в $n = 12$ раз. Значит, вес плиты увеливается в $n^3$ раз, поперечное сечение троса увеливается в $n^2$ раз:

$$Q = n^3q, S = n^2s$$

(2)

(так как плотность соответствующих материалов не меняется). Максимальное число плит, которые поднять реальный кран, определяется условием

$$\sigma_0 > N \frac{Q}{S} = N \frac{n^3q}{n^2s} = Nn \frac{q}{s},$$

(3)

откуда

$$N < \frac{\sigma_0}{12 \frac{q}{s}}.$$

Но из соответствии (1) следует, что

$$\frac{\sigma_0}{11 \frac{q}{s}} < 1.$$

Следовательно,

$$N < \frac{\sigma_0}{12 \frac{q}{s}} < \frac{\sigma_0}{11 \frac{q}{s}} < 1,$$

то есть реальный кран не может поднять ни одной плиты.

C. Кромов

Ф469. Рисунок 6 сделан со стромбокоптической формурацией кубика, движущемся вдоль наклонной плоскости. Промежутки времени между последовательными всыщками лампы равны 0,1 с. Определить коэффициент трения кубика о плоскосте.

Рис. 6.

Прежде всего определим значение ускорения, с которой движется кубик. Как известно, разность расстояний $l_1$ и $l_2$, проходных телом за последовательные равные промежутки времени $\tau$, равна $l_2 - l_1 = |\vec{a}| \tau^2$, где $\vec{a}$ — ускорение, с которой движется тело. Определив по рисунку с помощью линейки и заданного масштаба $l_2 - l_1$, найдем

$$|\vec{a}| = \frac{l_2 - l_1}{\tau^2} \approx \frac{0,07}{(0,1)^2} \text{ м/c}^2 = 7 \text{ м/c}^2.$$

Определим теперь, в каком направлении (вверх или вниз по наклонной плоскости) движется кубик. Максимальное ускорение, с которым может свободно сокальзывать кубик, — это ускорение, сообщаемое ему силой тяжестей в направлении оси $X$ (рис. 7) в отсутствии силей трения: $$|\vec{a}_{\max}| = |\vec{g}| \sin \alpha.$$ Из рисунка находим $\sin \alpha = \frac{3}{5}$, так что

$$|\vec{a}_{\max}| = |\vec{g}| \frac{3}{5} \approx 6 \text{ м/c}^2.$$

Мы же нашли, что $|\vec{a}| = 7 \text{ м/c}^2$. Значит, кубик движется вверх по наклонной плоскости, а ускорение вдоль оси $X$ ему сообщают силя тяжестей (ее проекция на ось $X$) и силя треня, направленная вниз на наклонной плоскости.

30

В состоянии равновесия число частиц, находящихся в полости, должно очень остаться постоянным. Это означает, что число частиц, попадающих в полость из объема I и II, должно быть равно числу частиц, выходящих из полости.

Число частиц, попадающих в полость из объема I за единицу времени, прямо пропорционально плотности $n_I$ частиц в объема I и средней квадратной скорости $\bar{v}_{KBI}$ частиц в этом объме (поскольку процессорная на любое заданное направление пропорционально средней квадратной скорости): $N_I \sim n_I \bar{v}_{KBI}$. Величина $n_I$ прямо пропорциональная давление $p$ в объема I и обратно пропорциональная значению $\bar{v}^2: n_I \sim \frac{p}{v_I^2}$. В свою очередь $\bar{v}^2_I \sim T$,

$$\bar{v}_{KBI} \sim T^{1/2}.$$

Таким образом,

$$N_I = \alpha p T^{-1/2},$$

где $\alpha$ — коэффициент пропорционального. Аналогично для числа частиц, попадающих в полость за единицу времени из объема II, может записать

$$N_{II} = \alpha p (2T)^{-1/2}.$$

Число частиц, попадающих полость за единицу времени через два ответствия, равно

$$N = 2 \alpha p_\pi T_\pi^{-1/2},$$

где $p_\pi, T_\pi$ — соответственное давление и температура в полости. В состоянии равновесия выполняется условие $N_I + N_{II} = N$, то есть

$$\alpha p T^{-1/2} + \alpha p (2T)^{-1/2} = 2 \alpha p_\pi T_\pi^{-1/2},$$

или

$$p T^{-1/2} + p (2T)^{-1/2} = 2 p_\pi T_\pi^{-1/2}.$$

(1)

В состоянии равновесия не меняется со временем и полная энергия частиц в полости. Это означает, что энергия, приносимая в полость за единицу времени $N_I$ и $N_{II}$ частицами, равна энергии, уносимой $N$ частицами, попадающим полость: $E_I + E_{II} = E$. Поскольку средняя энергия $E_{cp}$ приходится на одну частицу, прямо пропорционально температуре, то $E_I = NE_{cpI} \sim p T^{-1/2} T = \beta p T^{1/2}, E_{II} = \beta p (2T)^{1/2}, E = 2 \beta p_\pi T_\pi^{1/2}$, где $\beta$ — коэффициент пропорционального. Таким образом,

$$\beta p T^{1/2} + \beta p (2T)^{1/2} = 2 \beta p_\pi T_\pi^{1/2},$$

или

$$p T^{1/2} + p (2T)^{1/2} = 2 p_\pi T_\pi^{1/2}.$$

(2)

Решив совместно уравнения (1) и (2), найдем

$$T_\pi = T \sqrt{2}, \quad p_\pi = p \frac{\sqrt{2} + 1}{2 \sqrt{2}}.$$

И. Слободецкий

31

В понсках определения плошади поверхности

Определение плошади поверхности является одной из традиционно сложных тем школьной геометрии. Связано это с отсутствием достагоно простого обшено определения, которое охватывает бы по крайней мере все поверхности, изучаемые в школе: цилиндр, конус и сферу. В заменке рассматривается два подхода к таким определению и обсуждаются трудности, возникшие при этих подходах.

Все ли можно развернуть?

Проще всего определить и вычислить плошади поверхностей цилиндра и конуса — достаточно рассмотреть развертки этих поверхностей (см. «Геометрию 8», п. 127, 128). Однако определение плошади поверхности как плошади ее развертки не годится в качестве обшено определения просто потому, что поверхностей, которые можно было бы «развернуть», слишком мало. Мы обьясим, почему нельзя «развернуть» сферу; аналогичные рассудения применены и ко многим другими поверхностям врашшения.

Давайте точное определение развертки — дело довольно хлопотливое. Ясно, однако, что если бы удалось «развернуть» сферу, то, в частности, мы получили бы отображение $f$ какой-то достагоно маленькой «сферической шапочки» на части плоскости (рис. 1), при которомлина любой кривой $L$, лежащей на этой «шапочке», равняясь бы длине соответствующей ей кривой $f(L)$ на плоскости. В частности,лина $d(A, B)$ кратчайшей кривой, соединяющей точки $A$ и $B$ на сфере, должна равнять длине кратчайшей кривой, соединяющей точки $A'=f(A)$ и $B'=f(B)$ на плоскости, то есть длине отрезка $A'B'$:

$$d(A, B) = |A'B'|.$$

Можно доказать, что $d(A, B)$ есть длина меньше из двух других окружностей, проходящей через точки $A$ и $B$, определляемых этих точками, однако нам это не потребуется.

Рассмотрим множество $C$ точки $M$ сферы, для которых «сферическое расстояние» $d(M, P)$ от некоторой фиксированной точки $P$ равно фиксированному числу $R>0$. Очевидно, что если точки $M_1$ получается из точки $M$ повтором около диаметра сферы, проходящero через $P$, то $d(M_1,P)=d(M,P)$. Отсюда легко вывести (выведите!), что множество $C$ есть окружность. Ее центр $O$ совпадает с основанием перпендикулара, опу-

Рис. 1. Невозможно развертки сферы.

32

Рис. 2. Последовательность ломанных $l_n$ сходящихся к отрезку единчной длины (но не вписанных в него), длина каждой из которых равна $\sqrt{2}$.

шенного из любой точки $M \in C$ на радиус сферы, проходящий через точку $P$ (рис. 1); поэтому радиус этой окружности $r = |OM| < |MP|$. С другой стороны, $d(M,P)$ есть длина некоторой кривой, соединяющей $M$ и $P$, а отрезок $MP$ является кратчайшей из таких кривых; поэтому $|MP| \leq d(M,P) = R$. Следовательно, $r < R$. При развертке окружности $C$ перейдет в множество $C' = f(C)$ точек, удаленных от точки $f(P)$ на расстояние $R$, то есть в окружность радиуса $R$. Длина окружности $C$ равна $2\pi r$, а окружности $C' = 2\pi R > 2\pi r$. Это противоречит формулированному выше свойству сохранения длины, и, таким образом, развертка сферы невозможна.

Санор Шварца

Итак, развернуть поверхность, вообще говоря, невозможно; попытаться построить по-другому. Рассмотрим последовательность многогранных поверхностей $\Pi_n$, «сходящую» к данной поверхности $\Pi$. Допустим, что последовательность их площадей $S_n$ имеет предел $S$; тогда какется естественный приять число $S$ за площадь поверхности $\Pi^*$. Конечно, при этом нужно проявить осторожность, — ведь даже при определении длины кривой рассматривают не произвольные, а описанные ломанные (они соответствуют многогранным поверхностям), сходящие к кривой, инчае предел их длин будет зависеть от выбора последовательности ломанных (см. рисок 2 и задачу 3). Попробуем найти площадь поверхности цилиндра как предел площадей вписанных в него многогранных поверхностей. Поверхности эти определяим следующим образом.

Впишем в основание цилиндра правильный $n$-угольник; рассмотрим далее такой же $n$-угольник, расположенный над основанием на высоте $\frac{H}{k}$, где $H$ — высота цилиндра, $k$ — фиксированное натуральное число, и повернуть относительно первого $n$-угольника на угол $\frac{\pi}{n}$.

Продолжая такое построение, получим $(k+1) \cdot n$ точек — вершин $n$-угольников: соединним эти вершины ребрами, как показано на рисунке 3. В итоге образуется вписанная в цилиндр многогранная поверхность $\Pi(n,k)$, имеющая $nk$ конгруэнтных треугольных граней. Задавая различные по-

*) Именно такой подход применяется в старом учебнике геометрии А. П. Киселева при определении площадей поверхности цилиндра и конуса.

Рис. 3. «Санор Шварца» (П (6, 4)).

следовательности $\{k_n\}$, например,
$$k_n \equiv 1, k_n = n, k_n = n^{10}$$

и т. д., мы будем получить различные последовательности поверхностей $\Pi(n, k_n)$, причем все они «сходятся» к поверхности цилиндра (очевидно, что зазор между исходным цилиндром и цилиндром, касающийся «горизонтальных» ребер поверхностей $\Pi(n, k_n)$, с ростом $n$ делается скольγο годно малым; в то же время $\Pi(n, k_n)$ находится в этом зазоре). Найдем предел площадей $S(n, k_n)$ поверхностей $\Pi(n, k_n)$. Пусть $s(n, k)$ — площадь одной грани поверхности $\Pi(n, k)$, тогда (см. рис. 4) $s(n, k) = |AH| \cdot |CH|$. Если радиус основания цилиндра $R$, то $|AH| = |OA| \sin \frac{\pi}{n} = R \sin \frac{\pi}{n}$; далее, $|CH| = \sqrt{|HD|^2 + |CD|^2}$, $|HD| = R \left(1 - \cos \frac{\pi}{n}\right), |CD| = \frac{H}{k}$.

Таким образом,

$$s(n, k) = R \sin \frac{\pi}{n} \sqrt{\frac{H^2}{k^2} + R^2 \left(1 - \cos \frac{\pi}{n}\right)^2} = R H \sin \frac{\pi}{n} \sqrt{\frac{1}{k^2} + 4 \frac{R^2}{H^2} \left(\sin \frac{\pi}{2n}\right)^2}.$$

Позному

$$S(n, k) = 2\pi R H \frac{\sin \frac{\pi}{n}}{\pi n} \times \sqrt{1 + \frac{R^2 \pi^4}{4H^2} \frac{k^2}{n^4} \left(\frac{\sin \frac{\pi}{2n}}{2n}\right)^4}.$$

Пользовать тем, что $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$, можно легко найти $S = \lim_{n \to \infty} S(n, k_n)$ для различных последовательностей $k_n$. В частности, при $k_n \equiv 1$ (и вообще, при $k_n = \text{const}$) $S = 2\pi RH$ (правильный ответ!). Такой же ответ получается и при $k_n = n$. Но далее насжет разочарование: при $k_n = n^2$ предел будет уже другим, а при $k_n = n^3$ последовательность $S(n, k_n)$ и во все неогранчена (см. также задачу 4).

Рис. 4. Одна граны «сапога Шварца».

Причина в том, что при слишком быстром росте $k_n$ грани поверхностей $\Pi(n, k_n)$ расположются под большим углом к поверхности цилиндра, $\Pi(n, k_n)$ «собирается в гармошу»;ясно, что за счет таких складок площадь поверхности сльно увеличается.

Описанная конструкция была предложена в 1890 году известным немецким математиком Г. А. Шварцем; ее называют «сапогом Шварца». Из этой конструкции видно, что понятие «сходимости» последовательности $\Pi_n$ к $\Pi$ в нашем определении площади поверхности следует уточнить — так, чтобы учитьались не только расстояния между точками поверхностей $\Pi_n$ и $\Pi$, но и углы между гранями поверхностей $\Pi_n$ и поверхностью $\Pi$. С этим уточнениями определение становится сложным, громоздким и, конечно, неуместным в школьном курсе.

Как же быты?

И все-tаки можно дать общее определение площади поверхности, гораздо более простое, чем определение через вписанные многогранники. С его вариантими (для сферы, цилиндра, конуса) можно познакомиться в «Геометрии 10» (с. 63, 127). Подробнее об этом определении (его предложил один из крупнейших немецких математиков Г. Минковский) мы рассケjem в другой раз.

Задание

1. Докажите, что, хотя и не существует развертки сферы, можно построить
   a) отображение полусферы на плоскость, переводшее кратчайшие линии на сфере в кратчайшие линии на плоскости;
   b) отображение сферы на плоскость, сохраняющее площадь.
2. Объясните, почему приведенное в текст доказательство невозможности развертки