Квант 1978, №8 · Страницы

КЕАНМ
8
1978
НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - MATEMATIЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР И АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

На этом рисунке проиллюстрировано доказательство теоремы Морлея, принадлежшее самому Морлею. На нем изображено семейство кардионд, касаошихся всех трех сторон треугольника. Центры всех этих кардио-ind лежат на прямой, проходящей через некоторые точки пересечения трисектора треугольника. Подробности см. на с. 28. Рисунок выполнен ЭВМ по программе, составленной Ю. Котовым.

1

В НОМЕРЕ:

2. М. Башмаков. Диофантовы уравнения и рациональные точки
3. Л. Гольдин. И снова ускорители
4. З. Тьмеладзе. Следствие ведет Ферма
5. Н. Малов. Всетда ли отталкиваются противоположно направленные точки?

Лаборатория «Кванта»
26. В. Майер. Изгибная волна в пластинках

Математический кругхок
28. Г. Тоноян, И. Яглом. Теорема Морлея

Задачик «Кванта»
33. Задачи M516—M520; Ф528—Ф532
36. Решения задачи M466—M469; Ф482—Ф486
44. С. Фомин. Билеты и ящики

Астрономическая страница
48. Полное лунное заттение
48. Возможен звездный дждь!

«Квант» для младших школьников
49. А. Стариков. Необыкновенная девочка
50. Ю. Данилов. Стомахон

Рецензии, библиография
54. И. Клумова, М. Смолянский. Новые книги

Информация
56. И. Слободецкий. Х Международная olимпиада школьников по физике
61 Заочная физическая школа
62 Вечерняя физическая школа
63 Ответы, указания, решения

Смеся (47)

© Главная редакция физico-mатематической литературы издательства «Нayka», 1978

2

Диофантовы
уравнения
и рациональные
точки

Области теории чисел, в котором исследуют целочисленные решения уравнения вида $P(x, y, \dots) = 0$, где $P(x, y, \dots)$ — многочлен от нескольких переменных с целыми коэффициентами, называется диофантовым анализом, а сами эти уравнения — диофантовыми.

Названы они так по имену знаменного греческого математика Диофанта, жившего в III века и написавшего первый трактат о таких уравнениях.

Несмотря на то, что диофантовы уравнения составляют одну из самых старинных областей математики,

общие методы их решения наализоватьсясовсем недавно. В классических работах в основном расматривались линейные и квадратные диофантовы уравнения. Решение более сложных уравнений сильно продвинулось в последние 20—25 лет благодаря широкому привлечению к теории чисел ией из других областей математики, прежде всего — из геометрии и топологии. Говоря словами Н. Бурбаки, «…классическая геометрия… превращалась в универсальный язык всей математики, обладающий исключительной гибкостью и удобством». Геометрия предлагает не только языок, но и свои построения, своего интуицию.

Посмотрите, как нагляден геометрический язык. Возьмем, например, уравнение Ферма $x^n + y^n = z^n$, поделим обе его части на $z^n$ и обозначим $x/z$ через $u, y/z$ через $v$. Получим уравнение $u^n + v^n = 1$. Каждый решения $(x; y; z)$ уравнения Ферма в целях числа соответствует (при $z \neq 0$) решение уравнения $u^n + v^n = 1$ в рациональных числах.

Если мы рассмотрим теперь график этого уравнения на плоскости $(u, v)$,

4

Рассмотрим теперь кривую, задаваемую уравнением третий степени, которая тоже оказывается рациональной. Это кривая $y^2=x^3-x^2$. Она изображена на рисунке 3 и состоит из изолированной точки $O$ и ветви, симметричной относительной оси $x$.

Заддача 3. Обосновать рисунок 3.

Проведем через точку $O$ всевозможные прямые $y=tx$. Значения углового коэффициента $t$ можно откладывать на оси $t$, проведенной через точку $(1, 0)$ (рис. 4). Подставив $y=tx$ в уравнение кривой и сократив на $x^2$ (мы терем при этом особую точку $O!$), мы получим параметризацию

$$\begin{cases} x=t^2+1, \\ y=t(t^2+1), \end{cases}$$

при котором рациональный значением $t$ соответствует рациональные точки кривой $y^2=x^3-x^2$.

Заддача 4. Сформируйте и докажите обратное утверждение.

Итак, между рациональными точками кривой $y^2=x^3-x^2$ (без точки $(0, 0$)) и прямой $t$ удается установить взаимно однозначное соответствие. Геометрические они представляют собой центральное проектирование, изображенное на рисунке 4.

Аналогично можно найти рациональную параметризацию кривой $y^2=x^3+x^2$:

$$x=t^2-1, y=t(t^2-1).$$

Заддача 5. Постройте эту кривой и докажите, что если для значений параметра $t_1, t_2$ выполняется соответствие $(t_1-1)(t_2-1)(t_3-1)=(t_1+1)(t_2+1)(t_3+1)$, то три соответствующие точки лежат на одной прямой.

Итак, для каждой из рассмотренных нами рациональных кривых можно указать такое отображение прямой на кривой, при котором рациональные точки кривой отвечают рациональным точкам прямой. На самом деле это утверждение верно и для произвольной рациональной кривой, получаем из диофанта уравнения.

Возникают вопросы — бывают ли нерациональные кривы? Как описать все рациональные кривы? Ответ на эти вопросы известен. Например, все кривы первой и второй степени рациональных. Бывают рациональ-

5

Рис. 6.

ные кривые любой степени, но все такие кривые степени больше двух имеют особенность — точки самопересечения, точки самокасания и т. п. (рис. 5).

При $n > 2$ кривая Ферма $u^n + v^n = 1$ не является рациональной. Докажите, что это эквивалентно утверждению о том, что уравнение Ферма $x^n + y^n = z^n$ не имеет решений среди многочленов $x(t), y(t), z(t)$ степени не меньше единицы. (Этот факт доказан в статье Б. Мартынова «Teорема Ферма для многочленов» («Квант», 1976, № 8).)

Второй примем мы снова покажем сначала на примере окружности. Возьмем две рациональные точки на окружности — например, $P_1$ (3/5, 4/5) и $P_2$ (5/13, 12/13). Пусть $\alpha_1$ и $\alpha_2$ — углы, соответствующие точкам $P_1$ и $P_2$. Точка, соответствующая углу $\alpha_1 + \alpha_2$, тоже будет рациональной, поскольку

$$\cos(\alpha_1 + \alpha_2) = \cos \alpha_1 \cos \alpha_2 - \sin \alpha_1 \sin \alpha_2, \sin(\alpha_1 + \alpha_2) = \sin \alpha_1 \cos \alpha_2 + \cos \alpha_1 \sin \alpha_2.$$

Таким образом, мы можем «складывать» рациональные точки на окружности по формуле $(u_1; v_1) \oplus (u_2; v_2) = (u_1 u_2 - v_1 v_2; u_1 v_2 + u_2 v_1)$ и получать новые рациональные точки. Это свойство окружности лежит в основе многочних красивых задач.

Задание 6. a) Пусть $P_1$ — рациональная точка окружности, соответствующая некоторому углу $\alpha$. Докажите, что точки $P_n$, соответствующие углам $n \in \mathbb{Z}$, тоже рациональны.

б) Докажите, что попарные расстояния между точками, построенными в пункте a), рациональны.

в) Постройте $n$ точек на плоскости, нижкие три из которых не лежат на одной прямой и попарные расстояния между которых — целые.

Оказывается есть еще кривые с таким свойством: точки на них можно «складывать», причем «сумма» рациональных точек — рациональная точка. Для таких кривых иногда удается из двух рациональных точек «вытягнут» целую серию новых рациональных точек.

Рассмотрим в качестве примера кривую

$$y^2 + y = x^3 - x.$$

Задача 7. Докажите, что эта кривая не рациональная.

Возьмем две точки на этой кривой и проведем через них прямую. Эта прямая пересечет нашу кривую еще в одной точке (рис. 6). Действительно, если мы запишем уравнение проведенной нами прямой в виде $y = kx + b$ и подставим $y$ в уравнение кривой, то получим уравнение третьей степени относительной $x$. При корня этого уравнения соответствует абсциссам трех точек пересечения прямой и нашей кубической кривой. Пусть $P_1(x_1; y_1), P_2(x_2; y_2), P_3(x_3; y_3)$ — три точки пересечения прямой $y = kx + b$ и кривой $y^2 + y = x^3 - x$. Имеет место соответствие

$$x_1 + x_2 + x_3 = \left(\frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}\right)^2.$$

Для доказательства подставим $y = kx + b$ в уравнение кривой. Получим уравнение $x^3 - k^2 x^2 - (2kb + k + 1)x - b^2 - b = 0$. Можно доказать, что $x^3 - k^2 x^2 - (2kb + k + 1)x - b^2 - b = (x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$. Следовательно, $x_1 + x_2 + x_3 = k^2$. Угловой коэффициент $k$ прямой, проходящий через точки $P_1(x_1, y_1)$ и $P_2(x_2, y_2)$, равен $\frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}$. Тем самым мы получим (*).

Учитывая, что $y_3 = kx_3 + b$, $b = \frac{y_2 x_1 - y_1 x_2}{x_1 - x_2}$, мы видим, что координаты третьей точки пересечения рациональны, если рациональные координаты первых двух точек. Это дает возможность получить новые решения уравнения $y^2 + y = x^3 - x$ в рациональных числах.

6

Рис. 7.

Замечание. Расстояние выше кубического уравнения может иметь совпадание корни. Это будет означать, что пряма и наша кривая касаются.

Мы построим сейчас бесконечную серию рациональных решений уравнения $y^2+y=x^3-x$ с помощью проведения секущих и касательных через известные рациональные точки. Заметим предварительно, что точки нашей кривой расположены парами — вместе с точки $P(x_0; y_0)$ на кривой лежит точка $P'(x_0; -1-y_0)$, симметричная ей относительно прямой $y=-\frac{1}{2}$. Это вытекает из точки $y^2+y=(-1-y)^2+(-1-y)$. Начнем с оцененной рациональной точки $P_1(0; 0)$. Симметричная к ней точка $P'_1(0; -1)$. Проведем через $P_1$ касательную (см. замечание). Уравнение этой касательной $y=-x$. Найдем точку ее пересечения с нашей кривой: $P_2(1; -1)$. Те, кто не умеют находить касательную, могут непосредственной подстановкой проверить, что рациональная точка $P_2$ лежит на нашей кривой. Из $P_2$ получаем точку $P'_2(1; 0)$.

Итак, на нашей кривой лежат четыре рациональные точки:

$$P_1(0; 0), \quad P'_1(0; -1),$$
$$P_2(1; -1), \quad P'_2(1; 0).$$

Теперь запускаем «конвейер». Проведем через $P_1$ и $P'_2$ прямую — это ось $x$. Она пересекает нашу кривой еще в одной очевидной точке $P_3(-1; 0)$. Вместе с симметричной точкой $P'_3(-1; -1)$ мы имеем шесть точек исходной кривой. Телерь соединим точки $P'_3$ и $P_1$. Получим прямую $y=x$. Третья точка пересечения находится легко: подставив $y=x$, получим кубическое уравнение $x^3-x^2-2x=0$, два корня которого изменены. При помощи () получаем новую точку $P_4(2; 2)$ — неочевидное решение исходного уравнения. Продолжим этот процесс. Чтобы получить точку $P_5$, проведем прямую через точки $P'_4(2; -3)$ и $P_1$. Легко проверить, что получится точка $P_5(1/4; -3/8)$. По рисунку 7 проследить процесс построения новых точек просто. Вычисления по формуле () также несложны. В результате получаем серию точек, приведенную в таблице.

Вряд ли кто-то из читателей скажет, что все найденные нами решения очевидны.

В этом месте статьи у автора даже двух захватил — сколько содержательных вопросов можно поставить,глядя на безобидный рисунок 7. Вот несколько из них:

1. Получим ли мы проведением секущих и касательных бесконечную последовательность различных точек или наш процесс «зациклится»?
2. Все ли рациональные решения исходного уравнения встретились в нашей последовательности?

7

3. Появятся ли еще целочисленные решения (как, например, высказали точки (6; 14) и (6; —15)) или все последующие решения будут нецелыми?

4. Случайно ли в знаменательх решения стоит квадраты и кубы целых чисел?

5. Из картины видно, что, например, точку $P_5$ можно получить иначе — проводя прямую через $P'_3$ и $P'_2$. Случайно ли это?

6. Почти очевидно, что все точки с нечетными номерами расположены на одной ветви кривой, а с четными — на другой. Как это строго доказать?

Первые три вопроса очень трудны. Сообщу, что наша последовательность точек бесконечна и в ней встретиется все точки с разциональными координатами.

Вместо посясений я приведу еще один пример. Расмотрим очень похожую кривой $y^2 + y = x^3 - x^2$. Конфигурация, аналогичная построенной нами, объявается на третьем шаг — см. рисунок 8. Интересно, что эта кривая не имеет других разциональных точек, а уравнение $y^2 + y = x^3 - x^2$ не имеет решения в разциональных числах, кроме четырех тривиальных.

Мы прикоснулись с вами к одному из самых сложных вопросов современной теории чисел.

Известно, что на любой кубищеской кривой существует конечное число точек, начав с которых описанный процесс, можно получить все ее разциональные точки. Это было доказано около пятидесети лет назад, однако до сих пор нет общего способа, позволяющего найти эти точки.

Способ узнать, заиклипется процесс проведения прямых или дакт бесконечную конфигурацию, известен. Совсем недавно было доказано, что конечная конфигурация может иметь более 11 точек и все случаи (кроме случая 10 точек) встречаются и хорошо изучены.

На большинстве известных кривых число исходных точек для построения всех разциональных точек мало — одна-две. Однако есть гипотеза, что для всякого $n$ существует кривые, требующие для построения всех решений $n$ точек. Пока примеры построены для $n \leqslant 7$.

И, наконец, последнее замечание: если мы в нашем примере с кривой $y^2 + y = x^3 - x$ неможко изменим обозначения — напишем $A_1$ вместе $P_1$, $A_{-1}$ (вместо $A'_1$, $A_k$ вместе $P'_k$ и $A_{-k}$ вместе $P_k$ (для $k \geqslant 2$), а «сложение» заданным несколько хитрей («суммой» двух точек назовем не третью точку пересечения прямой и кривой, а точку, симметрично ей относительно прямой $y = -\frac{1}{2}$), то получим формулу

$$A_m \oplus A_n = A_{m+n},$$

справедливую для всех целых $m, n$.

8

И снова ускорители

В этой статье мы продолжаем беседу об ускорителях, начатую в № 4 за 1977 год. Тогда мы не успели расскаать о гигантских современных ускорителях — синхропонах с жесткой фокусировкой — и о ряде вопросов, играющих важнейшую роль в ускорительной — и не только в ускорительной — физике. Среди них центральное место занимает проблема устойчивости движения. Этим вопросам и будет посвящена наша статья. Но прежде чем перейти к основной теме, мы коротко напомним о том, как устроен и работает простейший циклический ускоритель — циклотрон.

Ускоряемые в циклотроне частицы движутся в вакуумной камере, имеющей форму гигантской консервной банки (рис. 1). Вакуумная камера заключена между полосами электромагнита, создающего в ней почти однородное вertikальное направление магнитное поле. Траектории частиц лежат в горизонтальной плоскости и, следовательно, перpendикулярны направлению вектора магнитной индукции. На заряженные частицы, движущие в магнитном поле, действует сила Лоренца, перpendикулярная как магнитному полю, так и скорости. Эта сила сворачивает в колью траектории частиц (если они движутся с постоянной скоростью).

Частцы в циклотроне ускоряются электрическим полем. Это поле создается расположенными внутри вакуумной камеры электродами —

$$\frac{q \overrightarrow{v} \overrightarrow{B}}{m} = \frac{v^2}{R}.$$

Перiod $T$ обращения частицы, движущаяся по окружности радиуса $R$ со скоростью $\overrightarrow{v}$, равен $2\pi R / |v|$. Таким образом,

$$T = \frac{2\pi R}{|v|} = \frac{2\pi R}{qR|\overrightarrow{B}|/m} = 2\pi \frac{m}{q|\overrightarrow{B}|}.$$

При небольших энергиях (общные циклотроны) масса части по-

9

стоянна, и период обращения не зависит от энергии частицы. При увеличении энергии (фазотроны) масса частицы возвращает в согласно с формулими теории относительной. Их период обращения при этом увеличивается. Частотаускорящего электрического поля все время должна быть равна частоте обращенияускоряемых частиц, чтобы частицы проходили зазор между двумяами в тот момент, когда электрическое поле имеет нужную величину и направление. Частотаускорящего напряжения в циклотронах постоянна, а в фазотронах — пульсирует, уменьшаясь по мереускорения данной партии частиц и увеличивая при захвате следующего.

Проблема поперечной источников

Do cих пор мы рассматривали движение частицы в циклотроне так, как если бы они могли двигна быть равна частоте обращенияускоряемых частиц, чтобы частицы проходили зазор между двумями в тот момент, когда электрическое поле имеет нужную величину и направление. Частотаускорящего напряжения в циклотронах постоянна, а в фазотронах — пульсирует, уменьшаясь по мереускорения данной партии частицы и увеличивая при захвате следующего.

В случае циклотрона это означает, что частица «вылетает» из горизонтальной плоскости или «соскакивает» со своей радиуса.

Позмоту ясно, что успешно работает могут лишь такиеускорители, у которых приняты надлежащие меры для того, чтобы a) обеспечитьускорение частиц, которые с самого начала движутся не по расчетной траектории, а влилизи от нее, b) обеспечитьускорение тех частиц, которые по каким-либо причине от горизонтальной плоскости от расчетной траектории в процессеускорения.

Посмотрим, что это означает применительно к циклотрону. Из сказанного понятно, что использовать однородное магнитное поле нельзя. Рисунок 2, a наглядно иллюстрирует, почему это так.

10

Попробуем использовать недорогое поле. Силовые линии недорогого магнитного поля искривлены. Посмотрим, как будут вести себя частицы в поле, силовые линии которого изогнуты так, как показано на рисунке 2, б. Из рисунка видно, что такое «вогнутое» поле нас не устранает — если частица по каким-либо принципам отклонится вверх или вниз от горизонтальной плоскости, в которой лежит ее траектория, то она уже не вернется на нее и «погибнет» на стенках вакуумной камеры. А если сделать поверхности полосов магнита таким, чтобы силовые линии поля были выпуклими? Из рисунка 2, в видно, что такое поле нас устранает — сила Лоренца, действующая со стороны поля на частицы, отклонившиеся по вертикали, не только обеспечивает их обращение, но, к тому же, только поднявшиеся частицы и поднимает опустившиеся.

Влияние рассмотренных недорогых магнитных полей на траектории движения заряженных частиц аналогично действию оптических lines на распространение световых лучей.

Действительно, на движущуюся частицу «вогнутое» поле действует так же, как на световые лучи — рассеивающая линза, а «выпуклое» — как собирающая линза. Эта аналогия настоящего удана, что подобные магнитные поля называют магнитными линзами.

Итак, при устойчивом движении на всякую частицу, отклонившуюся от средней горизонтальной плоскости вверх, должна действовать сила, направленная вниз. При той форме поля, которая изобразена на рисунке 2, в этом случае на нулю в средней плоскости и увеличивается при отклонении от нее. На языке формул это можно записать так:

$$f = -az.$$

В этой формуле $z$ — расстояние, на которой частица отклонилась от средней плоскости, $a$ — коэффициент пропорциональности, зависит от величины индекции поля. Знак минус показывает, что сила всегда «возвращающая» — она направлена к средней плоскости. Силы, подчиняющиеся шисясу таким закону, нам хорошо известны. В механике это — сила упругости руккины. Тело наружное совершает движениеускоряемой частицы: движясь по круговой орбите, она совершает скоряния около средней плоскостиускорителя. Мы видим теперь, как следует обеспечивать устойчивость движения, — это движение надо превращать в колебательное.

11

Как сделать, чтобы частицы не доходили до стенок камеры даже при заметном увеличении энергии поперечных (в нашем случае — вертикальных) колебаний? Пользов механической аналогей, мы можем ответить так: нужно поставитьружину пожесте. Разумеется, никаких пружин в вакуумной камереускорителя нет. Что же надо помнить под «пружиной пожесте»? При прочих равных условий, увеличивая жесткость пружины, на котором колеблется груз, мы увеличиваем частоту колебаний груза около положения равновесия (напомним, что коэффициент жесткости пружины $k$, масса груза $m$ и частота колебаний $\omega$ связываны соотношением $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$). Этот вывод может быть прямо пересечен в теорииускорителей. Устойчивость движения обеспечена тем лучше, отклонения от положения равновесия (в нашем случае — от «идеальной» орбиты) тем меньше, чем выше частота колебаний частц около равновесной орбиты! Вускорительной технике обычно говорят о том, сколько периодов колебаний приходит на один период обращения частицы.

Вернемся еще раз к движению частиц в магнитном поле, сливые линия которого искривлены так, как показано на рисунке 2, $\theta$. Казалось бы, с точки зрения установки также «выпуклое» поле нас полностью устранает. Однако до сих пор мы говорили только о вертикальной установленности частиц. А что будет проискать с частицами, которые, оставясь в горизонтальной плоскости, по каким-либо причинам «соскочат» со своей траектории — отклоняется по радиусу? Будет ли обеспечена радиальная установленность?

Что лучше понять существую вопросы, рассмотрим сначала упрощенно задачу — радиальное движение в однородном магнитном поле (которое, как мы выяснили, вертикальной установленности не обеспечивает). Отвлечемся также от процессаускорения — будем рассматривать движение частиц с постоянной энергей. Traектори таких части в однородном поле, как мы знаем, — окружности. Выберем одну из них в качестве «основной». Если частица с самого начала движется не по основной окружности, а вблизи нее, то она описывает другую окружность, как это изобразено на рисунке 3. Traектория этой частицы не уходит далеко от основной окружности. Радиальная установленность, таким образом, обеспечена. За период обращения частица пересекает основную окружность дважды; она находится сначала снаружи, а затем внутри нее (или наоборот). Значит, за один оборот совершается одно радиальное колебание.

Тепер посмотрим, как будет обстоятельлено с радиальной установленной пружиной в «выпуклом» поле, величина индукции которого спадает к периферии. Качественный ответ на этот вопрос дается нетрудно. В точке $A$ (см. рис. 3) поле будет слабее, чем раньше, траектория отклоненной частицы будет изгибаться меньше и, следовательно, медленнее приближаться к основной. В точке $B$, наоборот, величина индукции поля будет больше, чем прежде, траектория круге изогнется и, опять же, медленнее будет приближаться к основной. Следовательно, часть радиальных колебаний, а значит, и устойчивость движения по радиусу, уменьшается.

Оказывается, устойчивости по вертикали и по радиусу связываны друг с другой. И это не только в рассмотрении нами «выпуклом» магнитном поле. Исследование проблем устойчивости

12

привело в конечном итоге к следующему выводу: при движении заряженных частиц в полях, обладающих осевой симметрией, числа $n_z$ и $n_r$ вертикальных и радиальных колебаний около основной траектории за период обращения связи соотношения

$$n_z^2 + n_r^2 = 1.$$

Эта формула имеет очень большое значение в физике ускорителей. Вывод ее сложен; однако понять ее качественно мы теперь уже можем. В однородном поле вертикальных колебаний нет — $n_z = 0$, а число радиальных колебаний — $n_r = 1$. Ослабляя индукцию магнитного поля к перipherии вакуумной камеры, мы увеличиваем устойчивость по вертикали — увеличиваем $n_z$, или, как говоря, увеличиваем «жесткость фокусировки» по вертикали; вместе с тем мы уменьшаем устойчивость по радиусу — уменьшаем $n_r$. Что происходит, если сделать $n_z$ или $n_r$ больше единиц? Тогда уравнение (2) не имеет решений. Физические это означает, что движение прибретает вовсе неустойчивый характер. (Если вновь вернуть к аналогии с пружинкой, то это означает, что на смену пригravивающей пружинке придет отталкивающая.)

Таким образом, мы приходим к выводу, что магнитные поля, применяемые в циклических ускорителей, обязательно должны быть такими, чтобы величина индукции спада по радиусу и при этом не слишком быстрого.

Жесткая ускорировка

После того как была получена формула (2), в мире ускорительной физики наступило неокоторое уныние. Наличие поперечных колебаний необходимо для устойчивости движения частиц. Кроме того, нужно позаботиться о том, чтобы амплитуд этих колебаний около равновесной орбиты была помещше. (Большая амплитуда колебаний требует широкой вакуумной камеры и, следовательно, больших магнитов. Больших — значит дорогих в изготовлении и эксплуатации.) Амплитуду колебаний можно уменьшить, только став «жесткие пружинки», то есть увеличая ча-stоту. А на частоту колебаний имеется ограничение (2). Как же, всетаки, строить двешевые ускорители?

Выход из кажущего тупика был найден американским физиками Ливингстоном, Курантом и Снайдером, когда они предложили новую систему расположения магнитных полей. Так появились ускорители с жесткой фокусировкой. Чтобы получить прицип работы таких ускорителей, обратимся к конструкции синхротронов.

В синхротроне вакуумная камера имеет вид полей бараники. Камера располагается между полосами магнитов, поверхность которых имеет форму колбаца (рис. 4). Основная траектория частиц в синхротроне в течение всего времени ускорения неизменна — это окружность, проходящая в середине камеры. По мере ускорения энергия частиц возрастает. Чтобы «удерживать» частицы на переходе траектории, нужно все большие магнитное поле. Поэтому в течение циклиуса ускорения магнитное поле на колцевой дорогке синхротрона непрерывно возрастает. Увеличается и частота ускоряющего электрического поля: по мере ускорения частицы траят все меньше времени для прохождения неизменного пути. Когда ускорение некоторой партии частиц законено, магнитное поле снижается, частота ускоряющего электрического поля уменшается — синхротрон готов к приему новой партии частиц. Начиная с новейшей цикл ускорения.

Длина магнитных дорогек крупных синхротронов изменяется климетрами. Колцевой электромагнит собирается из сотен — или даже тысячи — отдельных магнитных блоков. В течение ускорительного цикла частицы проделывают в вакуумной камере сотни тысяч, если не миллионы, оборотов.

В ускорителей с жесткой ускорировкой на магнитной дорогке почередно располагаются электромагниты, создание сильно искривленных магнитных поля. Такие поля резко ускоряют пучок в одном из поперечных направлений и столбце сильно дефоксируют в другом. Расположение магнитных полов можно

13

Рис. 4. К устройству синхротрона. 1 — магнитные полюса, 2 — вакуумная камера, 3 — силовые линни магнитного поля.

но понять из рисунка 5. При рассмотрении этого рисунка нужно представить себе, что частица сначала пропетает через поле, изобразенное красным цветом, потом — через «синее» поле, потом снова через «красное» и т. д.

На частицы, отклонившиеся от основной траектории по вертикали, со стороны «синнего» поля действуют силы, возвращающие их к средней горизонтальной плоскости. А частицы, отклонившиеся в горизонтальной плоскости, либо увеличивают радиусовой траектории (если они отклоняются к перipherии вакуумной камеры и попадают в более слабое поле), либо уменьшают его (если они отклоняются к оси ускорителя и попадают в более сильное поле). Таким образом, «синнее» поля, обеспечивая необходимое центростремительное устройство, факсируют частицы по вертикали, но дефоксируют их по радиусу. В «красном» поле, наоборот, частицы, отклонившиеся по радиусу, возвращаются к основной траектории.

Рис. 6.

рини, а частицы, отклонившиеся по вертикали, еще больше отдаляются от средней горизонтальной плоскости.

Фокусирюшение и дефокусирюшение магнитные поля действуют на траектории частиц как собирающие и рассеивающие линзы — на световые лучи (об этой аналогии мы уже говорили). Так что аналогом системы дефокусишихся «красных» и «синных» полей можно считать оптическую систему, составленную из дефокусишихся собирающих и рассеивающих линзы. Различие состоит в том, что оптические оси в большинстве случаев прямолинейны (или это несколько отрезков, в местах пересечения которых стоит призмы), а основные траектории частиц в синхротронах (оси магнитных linns) замкнуты в колюцо. Мысленно распрямим ось магнитных linns и изобразим магнитные поля в виде последовательности собирающих и рассеивающих linns. На рисунке 6, а приведена картина дефоксировки в горизонтальной плоскости (фо-

Рис. 5.

14

кусировка по радиусу), а на рисунке 6, 6 — в вертикальной. Здесь проявляется второе — наиболее существенное отличие фокусировки заряженных частцом магнитными полями от оптической фокусировки. Собирающие оптические линии свойят лучи к оптической оси в обихх поперечных направлениях одновременно, в то время как магнитные линии собирают частцы в одном направлении и рассевают — в другом. В бесконечной последовательности лииз (магнитные линии расположены по окружности) верхняя и нижняя части рисунка 6 ничего не отличается друг от друга — это одна и та же картина, сдинутая на «пол-шаг». Какими фокусировщими свойствами обладает такая последовательность собирающих и рассеивающих лииз? На первый взгляд, в такой системе не возникнет ни фокусировки, ни дефокусировки. На самом деле это совсем не так. Последовательность таких лииз обладает заметным «собирающим» свойствами. Покажем это на системе, составленной из двух одинаковых по оптической силе стороны друг за другом лииз (рис. 7). Пусть на эту систему слева падает лучок, параллельный оптической оси. Мнимое изображение этого лучка находится в фокусе рассеивающей (дефокусирующей) лиизы. Обозначим через $l$ расстояние между лиизами и через $F$ — их фокусные расстояния. Как видно из рисунка, минимое изображение лучка, создаваемое рассеивающей лиизой, находится на расстоянии $F+l$ от собирающей лиизы и служит для нее источником. Найдем, на каком расстоянии $d$ от собирающей лиизы находится изображение этого источника, то есть на каком расстоянии от нее расположено изображение лучка, прошедшего через всю систему. По формуле лиизы

$$\frac{1}{d} + \frac{1}{F+l} = \frac{1}{F},$$

откуда

$$d = \frac{F(F+l)}{l} > 0.$$

Поскольку $d$ оказалось большей нуля, наша система является фокусирующей.

Сделаем два замечания. Можно показать, что фокусирующие (или дефокусирующие) свойства системы, составленной из двух «разноименных» лииз, зависит от порядка их расположения. Мы предлагаем читателю самостоятельную убедиться в том, что это не так. Если первый поставить не рассеивающую, а собирашую лиизу, то система в целом все равно остается фокусирующей (предполагается, что $F > l$). Второе замечание заключается в следующем. Степень, фокусировки в нашей системе зависит от расстояния между лиизами. Если уменьшить это расстояние, то фокусировка становится слабее и в пределе при $l \rightarrow 0$ вообще пропадает. Попытаемся понять, почему это происходит. Для этого обратимся к рисунку 8. На этом рисунке изображены лучи, проходящие через собирашую лиизу. Луч, идущий через центр лиизы, не меняет своего направления. Луч, проходящие сбоку от центраного, отклоняющего тем сильнее, чем они дальней от оси лиизы. Это утверждение полностью применено и к рассеивающей лиизе. Вернемся к рисунку 7. Из хода лучей ясно, что в рассеивающей лиизе лучи проходят существенно близке к оптической оси системы, чем в собирающей лиизе. Это различие в ходе лучей и объясняет, почему система, составленная из собирающей и рассеивающей лииз, имеющих одинаковую оптическую силу, в целом оказывается фокусирующей. Легко также видеть, что различие в расстоянии до оптической оси уменьшается при уменьшении дистанции между лиизами—вот почему при этом падает фокус-

15

рующе действие составленной из них системы.

Вернемся теперь к оптической системе, составленной не из двух lines, а из бесконечной последовательности черезушихся собирающих и рассеивающих lines. Отдельные лучи света (траектории ускоряемых частиц) проходят в оптической системе (в системе магнитных lines) разные пути, зависимости от начальных условий — от расстояния до оптической оси, от угла наклона к оси. Следить за этим отделными лучами очень трудно и малополезно. Важнее рассматривать «огибающий лучка» — линюю, отделяющий заполенную светом области от незаполненной (границу лучка частиц). Понятно, что вид огибающей лучка зависит от начальных условий. Однако по мере прохождения оптической системы всякий лучок становится со временем согласноим — форма его огибающей между любыми последовательными собирающими

Рис. 8.

Рис. 9. Огибающий согласноим лучка частиц (вертикальноеечение лучка).

(или рассенвающим) линзами одна и та же. Аналогично, всякий пучок частиц, достаточно долго кругящийся вускоритель, so временем становится согласноим. Именно такой пучок (его огибающая) изобразен на рисунке 9. В соответствии с нашими ожиданиями, размеры пучка увеличивается в собирающих linesах и уменьшается в рассенвающих. Так что суммарное действие системы линз оказывает формусирующим — она удерживает пучок влизаи от оси в течение всего времени ускорения.

Магнитные формусирующие системы, состоящие из последовательности формусирующих и дефоксирующих магнитов, называются жестко-фоксирующими. В таких системах отладает ограничение (2), величины $n_z$ и $n_r$ могут одновременно применять большие значения, амплитуда колбаний частиц уменьшается и нет необходимости в широкой вакуумной камере и в больших магнитах. Все крупные современные ускорители основаны на принципе жесткой формусировки.

На рисунке 10 изображена магнитная система Серпуховского ускорителя на энергии 76 ГэВ (1 ГэВ = 10⁹ эВ). Длина этой системы (а значит, и длина колбцевой вакуумной камеры) составляет 1,5 км. Вакуумная камера в течение имеет форму эллипса с осями 17 и 11,5 см. Частота поперечных колбаний составляет 9,8 на оборот.

Продольная устойчивость; принципи автофазировки

На рисунке 11 изображен график напряжения в ускоряшем зазоре циклического ускорителя. напряжение изменяется во времени по синусоидному закону. Амплитуда напряжения выбирается выше, чем то значение напряжения $U_0$, которое обеспечивает необходимый прирост энергии (на один период обращения частицы). Из рисунка ясно, что нужно «толчок» получить частицы, пришешие к зазору в момент времени $t_1$ и $t_2$. Эти частицы называют синхронными. Будем в дальнейшем именовать синхронные частицы $A$ и $B$. Как будут движаться частицы, подошше

16

кускоряющему зазору не точно в моменты $t_1$ и $t_2$, а с небольшим опереженем или запаздыванием? Будут ли эти частицы на следующих оборотах «догонять» синхронные? Иными словами, обладает ли продолжное движение частиц необходимой устойчивостью?

Рассмотрим частиц, которая несколько опережает синхронную. Если речь идет о частице $A'$ (будем так именовать частиц, подходящий к зазору в момент времени $t_1'$), то она приходит к зазору, когда направление меняше $u_0$. Если мы говорим о частице $B'$ (подходящий к зазору в момент времени $t_2'$), то в момент ее прихода к зазору направление оказывается выше $u_0$. Вследствие этого частица $A'$ получит недостаточно, а частица $B'$ — избыточную энергию, а значит, и скорость. Как скажется этот недостаток или избыточную энергию, на времене следующего прихода частицы кускоряющему зазору? Если частица будет стремиться приближаться (по времени) к синхронной частице, то движение оказывается устойчивым, а если удалиться — неустойчивым.

В какой же момент времени частица подойдет кускоряющему зазору в следующий раз? Как мы уже видели, при движении частиц в циклотрене период обращения не зависит от энергии частиц. Этот вывод справедлив для нерелятивистских частиц (скорость которых много меньше скорости света), движущихся в однородном магнитном поле. Ни одно из этих условий в синхронное не совпадено. Перiod обращения $T$ зависит как от длины орбиты $L$, так и от скорости частиц $v: T = L/v$. У частиц с разными энергиями — различные скорости и различные длины орбит. (Мы отмечали выше, что в синхронное положение, а следовательно, длина основной орбиты во времяускорения не меняется. Это происходит потому, что в течениеускорительного цикла направлено магнитного поля возрастает. Но мы сейчас говорим не об этом. Мы рассматриваем частицы с несколько различной энергии в один и тот же момент времени, а значит, при одном и том же магнитном поле. Частцы с разными энергиями проходят в такой поле за полный оборот пути разной длины.)

Оказывается, что в зависимости от конструкции синхронона частицы с большей энергейой могут иметь перiod обращения как больший, чем синхронные частицы, так и меньший.

Пусть, для определения частицы с большей скоростью возвращаются к зазору раныше, а частицы с меньшей скоростью — позже, чем синхронная. В этом случае слищком рано пришевая частица $A'$, получившая недостаточно энергию при первом прохождения через зазор, в следующий раз придет позже и, значит, приблизится (по времени) к частице $A$. Частца $B'$, получившая излишнюю энергию, придет еще раныше, еще больше «отстанет» (по времени) от частицы $B$. Значит, движение частицы $A'$ оказется устойчивым, а частицы $B'$ — неустойчивым. К тому же результату нетрудно прийти, рассматривая запаздывающие частицы $A''$ и $B''$.

Если же из-за увеличения длины пути частицы с излишней скоростью траят на совершение оборота большие времени, чем синхронные, движение частиц $A$ оказется неустойчивым, а частиц $B$ — устойчивым.

Сформируем вывод. Если амплитуда направления наускорящем зазоре превозходит значение, обеспечивающее необходимый прирост энергии, и если время обращения частицы зависит от их энергии, то существует два «класса» частиц, для одного из которых движение непрерывно оказывается устойчивым.

Это утверждение было высказано независяимо двумя учеными — советским физиком академиком В. И. Векслером и американским физиком Мак—Милланом — и носит название принципи астрофизовки или физовой устойчивости. На использовании этого принципа основано устойчивство всехускорителей, кроме изохронных (ускорителей, у которых время обращения от энергии не зависит).

17

Рис. 10. Устройство магнитной системы Серпуховскогоускорителя.

Заключение

Тот, кто кроме этой статьи прочитал уже упоминавшуюся нами статью из четвертого номера «Кванта» за 1977 год и статью обускорителей на встречных пунктах («Квант» № 5, 1978), теперь имеет представление о всех типах современныхускорителей. Остается добавить, чтоускорительная техника переживает новый подъем. В процессе сооржения нахождения накопительные колца со встречными электронным и позитронным пунктами на энергию 15 ГэВ.

В США начало сооржение первого протонногоускорителя со сверхпроводящими магнитами (на энергию 1000 ГэВ). Проектируются установки соbstречными пунктами электронов и протонов. Все реализнее становится создание накопительных колц соbstречными пунктами протонов и антипротонов.

Сооржение крупныхускорителей обходится настолько дорого, что становится не под силу даже большим странам. Государства, входящие в СЭВ (Совет экономической взаимопомощи), участвуют в финансовоавиании работ наускорителей Объединенного Института Ядерных Исследований в Дубне. Западные страны создали Европейский Центр Ядерных Исследований, построенный на границе Швейцарии и Франции. В этом центре сосредоточены наиболее крупныеускорители в Европе —ускоритель протонова на энергию 400 ГэВ и накопительные колца со встречными пунктами протонов с энергийой 2×30 ГэВ.

Рис. 11.

18

3. Тымеладзе

Следствие ведет Ферма

Удушающий зной не помещал угловой палате Тулузского парламента в полном составе собрания для службы дела. Все тринадцать членов палаты с любопытством смотрели на обвиняемого Пьера Криомона, корыстолюбивого наглеца, недавно вернущегося из Парижа. Подсудимый даже под пыткой не признал своего вины, но это ничего не меняло. По словам советника де Броваля, в день свягого Георгия, в десять часов утра состоятельный крестьянн Жан Морель из деревеньки Амбер, иду в церковь, услышал крик мелника Жака Криомона. Другой голос, напоминающий голос его сына Пьера, выкриквал проклятия. Когда Морель подбежал к несчастному, из его груди уже торчал кинжал, принадлежащий Пьеру.

Вот почему сегодня собрались все члены палаты: хотя времена худые — в королевстве неспокойно, лишь недавно опустили головы богоотступники-гугеноты, а на севере уже надвигается чума, — но все же не каждый день доводится видеть отцейбицу. Есть на что посмотреть: крючковатый нос, плечи чуть не выше головы, а голоса почти не слышно. Жаль, что королевский указ запретил публичное отправление правосудия — для черни было бы полезно взглянуть на эту нечестивую голову, когда палч отделит ее от тщедушного тела. А де Броваль продолжал:

— Сын и раныше жаловался на скупость отца и явно был не прочь поживиться наследством. Совершив злодение, негодий сразу же бросился в трактир в деревню Бенэ, что на другом берегу реки Сот. Посетители трактира, собрались к открытию, к 11 часов, отметили, что он был взволнован и растрелан. Мне кажется, все улики против этого мерзавца.

Все ясно, пора приннимать решение. Но нет, господин советник Ферма что-то хочеет уточнить. Нeyжели ему не так жарко, как остальные? Председатель палаты, ценивший Фер-

20

Рис. 2.

Пусть линия ADB на рисунке 2 изображает самый быстрый путь. В точке D этот путь пересекает реку Сот. Проведем окружность с центром в точке D единного радиуса — она пересекает путь ADB в точках C и E. Пусть CDE будет наискорейшим путь между C и E (если бы это было не так, то за счет избрания лучшего пути на участке CDE можно было бы улучшить и весить из A в B).

Наискорейший путь вполне определяется углами α и β (рис. 2). Найдем соответствие между этим углами.

Пусть Криомон проехал путь $|CD|=1$ со скоростью $u$, а путь $|DE|=1$ со скоростью $v<u$. Таким образом, вес путь CDE он проделал за время $z=\frac{1}{u}+\frac{1}{v}$.

Сместим теперь на величины ε точку пересечения D пути ADB с Сотом — обозначим новую точку через O. Согласно известной еще Евклиду теореме геометрии,

$$|CO|=\sqrt{1+\varepsilon^2}-2b\varepsilon,$$
$$|OE|=\sqrt{1+\varepsilon^2}+2a\varepsilon,$$

где для краткости обозначено $|FD|=b$, $|DH|=a$ (рис. 2). Поделив оба эти расстояния на соответствующие скорости, получим время движения по пути COE:

$$\bar{z}=\frac{\sqrt{1+\varepsilon^2}-2b\varepsilon}{u}+\frac{\sqrt{1+\varepsilon^2}+2a\varepsilon}{v}.$$

Если величины ε взять очень маленькой, то значения z и $\bar{z}$ почти не будут отличаться. Поэтому приравняем оба времени z и $\bar{z}$:

$$\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{\sqrt{1+\varepsilon^2}-2b\varepsilon}{u}+\frac{\sqrt{1+\varepsilon^2}+2a\varepsilon}{v}.$$

Чтобы избавиться от irrationalности, дважды возведем в квадрат обе части получшего уравнения—это нелегко, но ведь дело идет о жизни человека!

$$\frac{4}{u^2v^2}(1+\varepsilon^2-2b\varepsilon)(1+\varepsilon^2+2a\varepsilon)=$$
$$=4\left[\frac{1}{uv}+\varepsilon\left(\frac{b}{u^2}-\frac{a}{v^2}\right)\right]^2+$$
$$+\varepsilon^2\left(\frac{1}{u^2}+\frac{1}{v^2}\right)\left[\varepsilon^2\left(\frac{1}{u^2}+\frac{1}{v^2}\right)\right]+$$
$$+4\varepsilon\left(\frac{a}{v^2}-\frac{b}{u^2}\right)-\frac{4}{uv}.$$

Уничтожим член $\frac{4}{u^2v^2}$, после чего подelim обе части этого уравнения на ε и затем положим $\varepsilon=0$ *); получим: $au(u+v)=bv(u+v)$, или $\frac{b}{a}=\frac{u}{v}$.

А теперь заметим, что $b=\sin\alpha$, $a=\sin\beta$; значит,

$$\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{u}{v},$$

то есть синуцы углов падения и преломления относится как скорости движения в верхней и нижней средах, разделенных линейной KL…

— Постойте, — превращал Ферма председатель, — причем здесь углы падения и преломления?

— Простите, господа! Я невольно воспользовался здесь физической аналогией. Дело в том, что свет тоже избрал бы путь, который позволил ему быстрее всего доступь целли (и линей KL была бы уже не рекой, а границией раздела двух сред, а величины u и v представляли бы собой скорости распространения света в этих средах) *).

— Но, господин Ферма, к окончанию дела Криомона Вы ведете нас явно не скорейшим путь — сызывал де Броваль.

*) Читатель, знакомый с понятным произвольной, легко сообщить, что Ферма имеет экстремум функции.
**) Сейчас этот закон движения света называют «прииципом Ферма». Его вывод содержится в учебнике «Алгебра и начала анализа 9» (с. 159).

21

Осталось немного, господа. Поскольку мы генерли знаем, что для наискорейшего пути синусы углов α и β пропорциональны скоростью движения u и v, можно положить sin α = ku, sin β = kv, где k — коэффициент пропорциональности. Зная синусы углов, легко найти их тангенсы:

$$tg\alpha = \frac{ku}{\sqrt{1-k^2u^2}},$$
$$tg\beta = \frac{kv}{\sqrt{1-k^2v^2}},$$

а с их помощью совсем просто определить длины отрезков PD и DQ:

$$|PD| = |AP|tg\alpha, |DQ| = |QB|tg\beta.$$
Вспомнить, что |AP| = |QB| = 1 лье, u = 4 лье/час и v = 2,5 лье/час, получим:

$$|PD| = \frac{4k}{\sqrt{1-16k^2}},$$
$$|DQ| = \frac{2,5k}{\sqrt{1-6,25k^2}}.$$

Сумма этих величины равна 3 лье (см. рис. 1); то есть

$$\frac{4k}{\sqrt{1-16k^2}} + \frac{2,5k}{\sqrt{1-6,25k^2}} = 3.$$

Не справивайте меня, господа, как мне удалось найти подходящий корень этого уравнения — это увело бы нас в сторону. Его приближение значение k ≈ 0,23. Тогда |PD| = 2,36, |DQ| = 0,71 (невязкой 0,07 при подстановке в уравнение позвольительного пренебречь),

$$|AD| = \sqrt{1+(2,36)^2} = 2,56,$$
$$|DB| = \sqrt{1+(0,71)^2} = 1,22.$$

Значит, наискорейший путь приведет из Амбера в Бенэ за $\frac{2,56}{4} + \frac{1,22}{2,5} = 1,13$ часа. Ранше Криомон добавился не мог, а следовательно, не мог и совершить представления.

• Вы убедили меня, господин Ферма, - встреченную задаемаший было представлено. - Введите свидетель!

Стражник распахнул дверь, и в комнату вошли Роншар и Морель.

• Суд установил, - продолжал представлять, - что у господина Криомона есть альби. Припомните, морель, не пожодил ли голову убийцы на чей-нибуд ешце?

Морель сначала замер, но потом его маленькие глаза забегали по лицам судей. Наконец, он промямил:

• Мне сдается,аша часть, что это мог бы и голос господина Роншара.

• Негодяй! — прорычал могучий Роншар густым басом.

Он схватил маленького Мореля за отвороты кафтана и начал его неистово трясти. Морель беспомощно затрепыхался в его ручищах, теряя из карманов трубку, огниво, ключи, монеты. Одна из монет подкатилась к стулу Ферма, и он поднял ее. Стражники едва оторвалли Роншара от его жертвы и скрутили ему руки.

• Есть ли у вас еще вопросы, господин Ферма?

• Есть. К обомим… свидетельям — назовем их пока так. Не это ли приятое с краю экрю получил несчастный Жак Криомон в виде возвращенного долга?

Последствие

Герой нашей истории, юрист Пьер Ферма (1601—1665) — один из самых ярких математических талантов Франции XVII века, близже других сумел подойти к созданию дифференциального исчисления *).

Чтобы точнее представить себе метод, который пользовался Ферма при отыскании экстремумов, рассмотрим более простой пример, чем тот, который пришлось разобрать Ферма, чтобы спасти от внесения юношу.

Пусть задана сумма двух чисел x и y, x+y = C. Требуется найти такие x и y, чтобы их произведение z = xy было максимальным. Если учесть, что y = C — x, то нужно найти такое x, чтобы функция z = x(C — x) принадлежала наиболее значению.

Итак, нужно найти такую точку x, чтобы сdvинулись из нее на малую величины ε, мы не увеличвали бы z. А если мы сdvинуемся на очень малую величины, то изменение функции z

*) О жизнь и творчество Ферма см. «Квант», 1976, № 8, c. 3.

22

Должно быть почти неотличимо от нуля.

Ферма рассуждал примерно так. Пусть $x = x + \varepsilon$ — новое значение $x$. Тогда $z$, новое значение функции $z$, выражается формулой
$$z = (x + \varepsilon)(C - x - \varepsilon) = Cx - x^2 - 2x\varepsilon + C\varepsilon - \varepsilon^2.$$
Найдем разность $z$ и $z$.
$$z - z = -2x\varepsilon + C\varepsilon - \varepsilon^2.$$
Отношение $z - z$ к $\varepsilon$ есть тангенс угла $\varphi$ (рис. 3):
$$tg\varphi = \frac{z - z}{\varepsilon} = \frac{-2x\varepsilon + C\varepsilon - \varepsilon^2}{\varepsilon} = C - 2x - \varepsilon.$$

Если $\varepsilon$ очень мало, то секущая $AB$ становится неотличимо от касательной к кривой $z = x(C - x)$ в точке $x$. А тангенс $\varphi$ становится тангенсом угла наклона касательной к горизонтали. Чтобы получить тангенс угла наклона этой касательной, положим в последнем выражении $\varepsilon = 0$; мы получим
$$tg\varphi = C - 2x.$$
Остается приравнять этот тангенс нулю (введь в точке максимума касательная горизонтальна, — см. рис. 3):
$$C - 2x = 0,$$
и мы получим решение: $x = C/2$. Действительно, при заданной сумме произведения двух чисел становится максимальным, когда эти числа равны между собой. Или, на языке геометрии, из всех прямогольников с заданным перimetром наиболее площадь обладает квадрат.

Метод Ферма дает верный результат при отыскании экстремума функция

цини одной переменной. И все-tаки в этом методе есть изъян, который не позволяет считать Ферма создателем дифференциального исчисления. С позицией общной алгебры, за рамки которой не решался выйти Ферма, так поступать нельзя: мы делили на величины $\varepsilon$, а потом положили эту величины равной нулю. Выходит, мы делили на нуль! Чтобы предолеть это противоречие, Ньюотону и Лейбницу пришлось сделать следующий шаг — создать анализ бесконечного малых. Но это было сделано лишь спустя полвека после описанных событий, причем Ньюотон отмеgal заслуги Ферма.

Как же следовало поступить? В формуле (*) следовало перейти к пределу при $\varepsilon \rightarrow 0$:

$$tg\varphi = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{-2x\varepsilon + C\varepsilon - \varepsilon^2}{\varepsilon} = C - 2x.$$

Величину $\lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{z - z}{\varepsilon}$ Лейбници называют через $z'$. Приравняв в нашем случае $z'$ к нулю, получаем тот же результат: $x = C/2$. Таким образом, с алгоритмческой точки зреня метод Ферма аналогичен приравниванию нулю произвольной, но этому метод не хватает строгости.

Отъискание минимумов и максимумов функции с помощью дифференциального исчисления используется с технике, экономике и управлением. При этом удобно пользоваться правилами дифференцирования функции, которые сейчас изучаются в школе. Но в ряде случаев метод Ферма не уступает им: попробуйте найти наиболее путь из Амбера в Бенэ с помощью произвольной; вы убедитесь, что в этой задаче прямое дифференцирование функции ведет к успеху, не быстрее.

История Пьера Криомона — вымышленная: в общирной переписке с друзьями Ферма неуделяет ни слова своей деятельности советника угловой палаты. Но в этой истории отражены истинные условия судебной процедуры того времени — эпохи кардинала Ришелье, в которой протекала служба Ферма.

23

В 1820 году великий французский физик Амператор открыл магнитное взаимодействие электрических токов. В частности, он установил, что при проускании тока по двум параллельным проводкам они притягиваются друг к другу, когда оба тока направлены одинаково, и отталкивают друг от друга, если направления токов взаимно притягиваются.

Это можно увидеть на опите. Так, в § 114 учебника физики для 9 класса описан соответствующий опит: два вертикальных параллельных провода нижним концами подключены к источнику тока (аккумулятор), верхние концы замкнуты накоротко, при этом между проводами наблюдается заметное отталкивание (рис. 1).

Там же сказано, что провода не взаимодействуют до замыкания их концов (точнее, не обнаруживается заметного взаимодействия). Однако, так как провода находится под напряжением, на поверхности должны быть (и действительно есть) электрические заряды, причем — противоложных знаков. Следовательно, между проводами — до замыкания их концов — должны существовать электрические притяжение.

Что же изменилось после замыкания цепи? Изменилась разность потенциальов: незначительно, если источник обладает малым внутренним сопротивлением (по сравнению с сопротивлением проводов), или сильно, если внутреннее сопротивление относительно велико, в цепи возник ток. В соответствии с изменением разности потенциальов изменилась и величина поверхностных зарядов, но они обязательно оставались на проводах. Значит, электрическое притяжение должно сохранить и после замыкания цепи. Почему же оно не прявилось в опитах? Видимо, оно было малым по сравнению с магнитным отталкиванием.

Сам Амператор довольно определяло высказался по этому поводу. Источником тока в опитах Ампераса служил волтовой столб — ряд включенных последовательно галванических элементов, весы несовершенных с современной точки зрения. К зажимам волтова столба Ампера присоединял электросокоп. При ненагруженном столбе (при разомкнутой цепи) электросокоп давал заметное отклонение. Когда же к столбу подключались исследуемые провода, в цепи возникал ток, а показания электросока резко уменьшались (мы теперь пониваем, что это вызывалось большим внутренним сопротивлением волтова столба).

Отметив это уменьшение, а также обнаружив взаимодействие проводов с током даже на большом расстоянии от источника, Ампера заключил, что открытое им взаимодействие токов «не имеет отношения» к электрическому взаимодействию. Другими

24

словами, он считал, что магнитное взаимодействие присуше движущемуся, а электрическое — покоящемуся электрическу.

Нужно заметить, что в 1820 году не было точных прибора для измерения зарядов, напряжений, токов (кстати сказаны; именно Ампер изобрел один из первых гальванометров, основанный на взаимодействии проводника с током и магнитной стрелки).

Еще не было определены единицы этих величины, не существовало определенного понятия электрического сопротивления, а закон Ома был открыт пятью годами позже. Поэтому для своего времени высказывание Ампера было, конечно, весы содержательным. Оно верно отражало состояние между магнитными и электрическими силами в условиях опытов Ампера: сильное магнитное взаимодействие и слабое электрическое.

Но всегда ли существует такое соответствие? Вседа ли магнитное взаимодействие сильнее электрического? Чтобы ответить на эти вопросы, сделаем небольшие расчеты.

Рассмотрим электрическую цель (рис. 2) из двух параллельных проводов длины $l$, расположенных на расстоянии $h \ll l$ друг от друга и имеющих небольшое сопротивление $R_\pi$ (сопротивление линей). Левые концы проводов подключены к источнику, дающей напряжение $U$, а правые концы замкнуты на нагрузочное сопротивление $R_\pi$. При замыкании цепи токи по параллельным проводам текут в противоположных направлениях. Найдем сначала силу $\vec{F}_M$ их магнитного взаимодействия.

Пусть один из токов, например, ток, текущий по верхнему проводу, создает магнитное поле $\vec{B}$, а другой ток находится в этом поле.

Во-первых, индykция магнитного поля в вакууме всегда пропорциональная создающему поле току $I$ в проводнике. Во-вторых, она уменьшается по мере удаления от проводника. Строгий расчет, проведенный для прямойного проводника с током, дает, что индykция магнитного поля в точке, находящейся от проводника на расстоянии $h$, прямо проходит $I$ и обратно пропорционально $h$.

Согласно закону Ампера, на малый участок провода длины $\Delta l$, по которым течет ток $I$ (другими словами, на элемент тока $I \Delta l$), со стороны магнитного поля $\vec{B}$, составляющего с элементом тока угол $\alpha$, действует магнитная сила $\vec{F}_M$ также, что

$$\left| \vec{F}_M \right| = \left| \vec{B} \right| \left| I \Delta l \right| \sin \alpha.$$

В нашем случае $\alpha = 90^\circ$, а магнитное поле прямого пропорционального $I$ и обратного пропорционального $h$, поэтому

$$\left| \vec{F}_M \right| = k_1 \frac{I^2}{h} \Delta l,$$

где $k_1$ — коэффициент пропорционального, не зависит от тока.

Направление этой силы определяется правом левой руки. (Проверьте, что в данном случае провода откликаются друг от друга.)

Теперь о силе $\vec{F}_a$ электрического прияжения. Обозначим через $\lambda$ электрический заряд, приходящийся на единицу длины каждой провода. Заряды на одном проводе являются источником электрического поля, действующего на заряд $\lambda \Delta l$, находящейся на элементе длины $\Delta l$ другого провода.

Можно показать, что

$$\left| \vec{F}_a \right| = k_2 \frac{\lambda^2}{h} \Delta l,$$

где $k_2$ — коэффициент пропорционального, не зависит от тока. Действительно, сила, действующая на заряд в электрическом поле, пропорционально напряжению электрического поля и величине заряда. Оказывается, что напряжение поля, создаанная для линии загруженных проводом, пропорционально плотности заряда $\lambda$ и обратно пропорционально

25

рассстоянию от него (расстоянию $h$ в данном случае). Попробуйте это показать самостояльно.

Поверхностный заряд на проводах, конечно, пропорционален напряжению $U$, поэтому равенство (2) можно переписать в таком виде:

$$\left| \vec{F}_3 \right| = k_3 \frac{U^2}{h} \Delta l,$$

(3)

где $k_3$ — новый коэффициент пропорциональности (не зависит от $U$).

Найдем отношение магнитной и электрической сил, используя равенства (1) и (3):

$$\frac{\left| \vec{F}_M \right|}{\left| \vec{F}_3 \right|} = \frac{k_1 I^2 \Delta l/h}{k_3 U^2 \Delta l/h} = k \frac{I^2}{U^2}.$$

Применязаkon Ома, приходим к важному выводу — отношение сил определяется квадратом сопротивления цепи $R = R_\pi + R_H$:

$$\frac{\left| \vec{F}_M \right|}{\left| \vec{F}_3 \right|} = k \frac{1}{R^2}.$$

Строгий расчет дает для коэффициента $k$ такие значения:

$$k = 10^5 - 5 \cdot 10^5 (\Omega^2).$$

Позному оценидно, что при небольших сопротивлениях цепи ($R \ll 500 \Omega$) магнитные силы оказываются большие электрических. Именно такие условия были в опытах Ампера, они же создают при демонстрации взаимодействия проводов с током.

Но при достаточно больших сопротивлениях ($R \gg 500 \Omega$) на первый план выступают электрические силы.

Это можно подтвердить опытом, не требующим сложного оборудования. Две тонкие медные проводки длиной 25—30 см и диаметром около 0,1 мм натягиваются между двумя изолирующими планами (из сухого дерева, гетинкаса и т. п.); расстояние между проводками не велико: 3—5 мм. Все четыре конца проводок припанваются кажимам, укрепленным на планах. В средней части подставки, несущей планы, вырезается отверстие диаметром около 1 см.

Провода располагаются вертикально в плоскости магнитного меридина Земли, то есть в плоскости, где расположена горизонтальная магнитная стрелка, свободно поворачивающая вокруг вертикальной оси. При этом магнитное поле Земли практически не будет влиять на магнитное отталкивание проводов.

Параллельно плоскости проводок на расстоянии 3—4 м от них расположется экран. При помощи мощного источника света и собирающей линзы на экран процируют участок линни, находящейся против упомянутого выше отверстия. На экране, в тех местах, где получается увеличенное изображение проводок, натягивают две черные (или цветные) нити, отмешающие начальное положение проводок.

Затем производят два наблюдания:

1. Один конец линии замыкают на небольшое (несколько ом) сопротивление либо просто замыкают накоротко. Другой конец через амператр и реостат (10 Ом, 1 А) подключит к аккумулятору (3—6 В). Медленно уменьшшая сопротивление реостата, доводят ток до 0,9—1 А. Так как в этом случае электрические силы малы, а магнитные — относительно велики, то на экране наблюдается отталкивание проводов.

2. Один конец линии замыкают на большое сопротивление (3 МОм, 3 Вт). Другой конец, соблюдая осторожность, подключит к маломощному источнику высокого напряжения (2—3 кВ) (например, к школьному преобразователю напряжения «Разряд 1»). При этом в линии получается ток порядка миллиампера; магнитные силы, по сравнению с первым опитом, уменьшаются примерно в миллион раз. Во столкко же раз увеличивается электрическое сил. Отталкивание проводов линии смешается во поле отсутствивим притяжением их друг к другу.

Заметим, что в современных мощных высококовольных линях передачи электрической энергии электрические силы взаимодействия между проводами быстро магнитных. Однако и те, и другие обычно малы по сравнению с силой тяжестеки, приходящей на тот же участок линни $\Delta l$. Поэтому при проектировании линей передачи электрической энергии на электрические, ни магнитные силы во внешние не принятия.

26

В. Майер

Изгибная волна в пластинах

Волны, возникшие в пластинах, обладают очень интересными свойствами. С этим свойством можно познакомиться экспериментально. Но прежде надо научиться возбуждать волну. Это удобно сделать, например, с помощью звучащей стеклянной трубки.

Возьмите тонкую и длинную стеклянную трубку иажмите ее посередине в лапке шатива. Полотняной трипочкой, смоченной одеколоном или спиртом, плавно проведите от конца трубки к ее середине — вы услышите довольно сильный звук. Это в трубке возникла стоячая волна. В месте закрепления образователься узел смещений, а на концах — пучности (рис. 1).

Частота колебаний v и длина λ звуковой волны связаны с длиной l трубки:

$$v = \frac{v}{2l}$$

и

$$\lambda = 2l.$$

Здесь v — скорость распространения звука в трубке. Она определяется, прежде всего, материалом трубки и не зависит от частоты колебаний. Таким образом, для получения звуковых частот следует пользоваться трубками различных длины *). Например, если нужно получить звук вдвое более высокой частоты, стеклянную трубку необходимо укоротить в два раза.

Теперь сделайте следующее. Из диораля толщиной 1,5—2 мм вырежьте диск диаметром около 100 мм. Положите его горизонтально на слой поролона и равномерно посыпьте порошком марганцовского калия. Слегака коснувшись концом стеклянной трубки центра диска, трением возбудите звучание трубки. При этом

*) На самом деле, в каждой трубке можно возбудить не одно колебание, а целый набор. Колебание самой низкой частоты, определяемой формулой (1), называют основным моном. Все остальные частоты кратны основной; колебания с кратными частотами называют обертонами.

Рис. 1.

Рис. 2.

27

порошок собереется в несколько линий в виде концентрических окружностей с центром в точке касания трубки (рис. 2).

Объяснить результат этого опыта несколько. От конца трубки по диску распространяется круговая волна. Дойдя до края диска, она отражается от него — возникает отраженная волна. В результате интерференции падающей и отраженной волн в диске устанавливается стоячая волна, и порошок собереется в ее узлах. Расстояние между двумя соседними узлами, оченьindo, равно половине длины волны в диске.

Стояча волна в стеклянной трубке — продольная. А в диске? Казалось бы, в диске должна распростраться поперечная волна, поскольку источник — конец трубки — колеблется перpendикулярно диску. Оказывается, это не так. Испследования показали, что волна в диске одновременно и продольная, и поперечная (рис. 3). Такую волну называют иззебной. Для сравнения на рисунке 4 показана чисто поперечная волна.

Изгибная волна во многом отличается от обычной (продольной или поперечной) волны. Так, скорость $v_n$ изгибной волны не остается постоянной при изменении частоты колеба-

ний. Она изменяется пропорционально корню квадратом из частоты:

$$v_n \sim \sqrt{v}.$$

Заметим кстати, что явление зависимости скорости распространения волны от частоты называется дисерсей.

Поскольку длина изгибной волны $\lambda_n$, скорость $v_n$ и частота $v$ связаны соотношениям $v_n = \lambda_n v$ (общим для волн любой природу), можно записать

$$\lambda_n = \frac{v_n}{v} \sim \frac{1}{\sqrt{v}}.$$

Подставив сюда значение для частоты $v$ из формулы (1), получим

$$\lambda_n \sim \frac{1}{\sqrt{v}} = \sqrt{\frac{2l}{v}},$$

или

$$\lambda_n = k\sqrt{l},$$

(3)

где $k$ — постоянный коэффициент пропорционального.

Соотношение (3) можно проверить экспериментально. Приведем результаты одного из наших опытов. Мы использовали диоральный диск толщиной 1,7 мм и диаметром 120 мм. Изгибные волны в диске возникли стеклянными трубками длиной 60 и 30 см. Внутренний диаметр трубок был равен 0,5 мм, внешний — 4,5 мм.

В опите с первой трубкой (длина изгибной волны оказалась равной $\lambda_{n1} = 50,5$ мм, а в опите со второй трубкой — $\lambda_{n2} = 34,5$ мм. Отсюда

$$\frac{\lambda_{n1}}{\lambda_{n2}} = 1,46.$$

Согласно формуле (3), отношение длины волн должно быть равно отношению

$$\frac{\sqrt{l_1}}{\sqrt{l_2}} = \sqrt{2}.$$

Так как $1,46 \approx \sqrt{2}$, опыт, с некоторой степенью точности, подтверждает как сам факт существования изгибных волн; так и справедливо соотношение (3).

29

ном (вычислительное тригонометрическое доказательство) и М. Т. Нараньенгаром (чисто геометрическое доказательство; в 1922 году оно было переоткрыто английном Дж. М. Чилдом). В настоящее время известно уже, по крайней мере, несколько десятиков доказательств теоремы Морлеля. Оdnako интерес к ней не затухает, и все время появляются новые доказательства, обобщения и варианты этого изящного предложения.

Ниже мы приводим два элементарных доказательства теоремы Морлеля.

Доказательство первого (геометрическое; оно совпадает, по существу, с доказательством Нараньенгара — Чилда). Обозначим величины углов треугольника $ABC$ через $3\alpha$, $3\beta$ и $3\gamma$ (рис. 5). Так как $3\alpha + 3\beta + 3\gamma = 180^\circ$, то $\alpha + \beta + \gamma = 60^\circ$ и $\alpha + \beta = 60^\circ - \gamma$. Пусть $U$ — точка пересечения трискетрис $AY$ и $BX$. Так как $AZ$ и $BZ$ — биссектрисы треугольника $AUB$, то $ZU$ — тоже биссектриса этого треугольника. Позтому

$$\widehat{AUZ} = Z\widehat{UB} = \frac{1}{2} \widehat{AUB} =$$

$$= \frac{1}{2} (180^\circ - 2\alpha - 2\beta) = 90^\circ -$$

$$- (\alpha + \beta) = 90^\circ - (60^\circ - \gamma) = 30^\circ + \gamma.$$

Построим теперь равносторонний $\Delta X_1Y_1Z$, одна вершина которого совпадает с точкой $Z$, а вершины $X_1$ и $Y_1$ принадлежат соответствующим прямым $BX$ и $AY$ (несколько ниже будет доказано, что они совпадают с точками $X$ и $Y$). Для этого проведем через $Z$ под углом $30^\circ$ к лучу $ZU$ два луча $ZX_1$ и $ZY_1$; через $X_1$ и $Y_1$ мы обозначим точки пересечения этих лучей с $BX$ и $AY$ (т. е. с $BU$ и $cAU$). Так как, очевидно, $\Delta ZX_1U \cong \Delta ZY_1U$ (эти треугольники имеют равные углы и общую сторону), то $[ZX_1] \cong [ZY_1]$; поэтому $\Delta ZY_1X_1$ — равноведренный треугольник с углом при вершине в $60^\circ$, т. е. равносторонний треугольник.

Обозначим, далее, через $P$ и $Q$ точки, симметричные точки $Z$ относительно прямых $AY$ и $BX$. Так как $AY$ и $BX$ — биссектрисы углов $ZAC$ и $ZBC$, точка $P$ — принадлежит сто-

30

Рис. 5.

роне AC треугольника ABC, а точка Q — стороне BC.

Найдем величины углов $PY_1X_1$ и $QX_1Y_1$. Так как $Z\hat{X}_1Y_1 = 60^\circ$ (угол равностороннего треугольника), $Z\hat{X}_1B = X_1\hat{Z}U + X_1\hat{U}Z = 30^\circ + (30^\circ + \gamma)$ (внешний угол $\Delta ZX_1U$) и $Q\hat{X}_1B \cong Z\hat{X}_1B$ (эти углы симметрины относительно прямой BU),

$$Q\hat{X}_1Y_1 = 360^\circ - 60^\circ - (60^\circ + \gamma) - (60^\circ + \gamma) = 180^\circ - 2\gamma.$$

Точно так же доказывается и равенство $PY_1X_1 = 180^\circ - 2\gamma$.

Таким образом, $P\hat{Y}_1X_1 = Q\hat{X}_1Y_1$; кроме того, $[PY_1] \cong [Y_1Z] \cong [ZX_1] \cong [X_1Q]$ (первые два отрезка симметрины относительно прямой AU, а два последних — относительно прямой BU). Отсюда следует, что четырехугольник $PY_1X_1Q$ является равноведренной грапецей (с углами $Y_1$ и $X_1$, равными $180^\circ - 2\gamma$, и, значит, с углами P и Q, равными $2\gamma$).

Опишем теперь окружность вокруг трапеции $PY_1X_1Q$. Так как хорды $[PY_1]$, $[Y_1X_1]$ и $[X_1Q]$ этой окружности конгруэнтны, конгруэнтны и опирающиеся на эти хорды вписанные углы; поэтому $P\hat{QY}_1 = Y_1\hat{PX}_1 = \hat{X}_1PQ = \gamma$. Но $P\hat{CQ} = 3\gamma$;

позному описанная вокруг $PY_1X_1Q$ окружность S пройдет и через точку C. А теперь из конгруэнтности (стягиваемых конгруэнтными хордами) друг $PY_1$, $Y_1X_1$ и $X_1Q$ окружности S следует, что $P\hat{CY}_1 = Y_1\hat{CX}_1 = X_1\hat{CQ} = \gamma$, откуда и вытекает совпадение $\Delta X_1Y_1Z$ с $\Delta XYZ$.

Этим и завершается доказательство теоремы Морлея.

Доказательство второе (вычислительное — оно близко к доказательству М. Сатьянараяна). Будем по-прежнему считать, что $\hat{A} = 3\alpha$, $\hat{B} = 3\beta$, $\hat{C} = 3\gamma$; длины стороны BC, CA и AB треугольника ABC обозначаем через a, b и c, а диаметр описанной около него окружности — через d (рис. 6).

Попытаемся вычислить длину $|XY| = z$ стороны $[XY]$ треугольника XYZ. Для этого мы найдем, прежде всего, отрезки $|CX| = m$ и $|CY| = n$; после этого $|XY|$ можно будет найти по теореме косинусов из $\Delta CXY$. Для того же, чтобы вычислить m и n, воспользовемся теоремой синусов. Применив эту теорему к $\Delta AYC$ со стороны $|AC| = b$ и $|CY| = n$ и углами $\hat{A} = \alpha$, $\hat{C} = \gamma$ и $\hat{Y} = 180^\circ - (\alpha + \gamma) = 180^\circ - (60^\circ - \beta) = 120^\circ + \beta$ (здесь мы снова используем оценное равенство $\alpha + \beta + \gamma = 60^\circ$), получим

$$\frac{n}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin (120^\circ + \beta)}$$

или

$$n = b \sin \alpha / \sin (120^\circ + \beta).$$

Но в силу той же теоремы синусов (которую мы теперь будем применять уже к «большому» $\Delta ABC$)

$$b / \sin \hat{B} = d$$

или

$$b = d \sin \hat{B} = d \sin 3\beta.$$

Поз тому

$$n = d \sin \alpha \sin 3\beta / \sin (120^\circ + \beta) = d \sin \alpha \sin 3\beta / \sin (60^\circ - \beta).$$

31

Но (вот здесь придется немного запастись терпением!)
$$\sin 3\beta = \sin (2\beta + \beta) = \sin 2\beta \cos \beta + \cos 2\beta \sin \beta = 2\sin \beta \cos^2 \beta + (1 - 2\sin^2 \beta) \sin \beta = 2\sin \beta (1 - \sin^2 \beta) + \sin \beta - 2\sin^3 \beta = 3\sin \beta - 4\sin^3 \beta.$$

Посленее выражение можно далее преобразовать так:
$$\sin 3\beta = 3\sin \beta - 4\sin^3\beta = 4\sin \beta \left[ \frac{3}{4} - \sin^2 \beta \right] = 4\sin \beta \left[ \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 - \sin^2 \beta \right] = 4\sin \beta \left[ \sin^2 60^\circ - \sin^2 \beta \right] = 4\sin \beta (\sin 60^\circ + \sin \beta) (\sin 60^\circ - \sin \beta) = 4\sin \beta \cdot 2\sin \frac{60^\circ + \beta}{2} \times \cos \frac{60^\circ - \beta}{2} \cdot 2\cos \frac{60^\circ + \beta}{2} \sin \frac{60^\circ - \beta}{2} = 4\sin \beta 2\sin \frac{60^\circ + \beta}{2} \cos \frac{60^\circ + \beta}{2} \times 2\sin \frac{60^\circ - \beta}{2} \cos \frac{60^\circ - \beta}{2} = 4\sin \beta \sin (60^\circ + \beta) \sin (60^\circ - \beta).$$

Подставляя это выражение для sin 3β в формулу для n, получим $n = 4d \sin \alpha \sin \beta \sin (60^\circ + \beta)$.

Совершенно аналогично доказывается, что
$$m = 4d \sin \alpha \sin \beta \sin (60^\circ + \alpha).$$

Приименим теперь, как мы и собирались, теорему косинусов к $\triangle CXY$:
$$z^2 = |XY|^2 = m^2 + n^2 - 2mn \cos \gamma = 16d^2 \sin^2 \alpha \sin^2 \beta [\sin^2 (60^\circ + \alpha) + \sin^2 (60^\circ + \beta) - 2\sin (60^\circ + \alpha)] \times \sin (60^\circ + \beta) \cos \gamma.$$

Заметим теперь, что $(60^\circ + \alpha) + (60^\circ + \beta) + \gamma = 120^\circ + (\alpha + \beta + \gamma) = 120^\circ + 60^\circ = 180^\circ$; поэтому существует $\triangle EFG$ с углами $\widehat{E} = 60^\circ + \alpha$, $\widehat{F} = 60^\circ + \beta$ и $\widehat{G} = \gamma$ (рис. 7).

Предположим, что диаметр δ описанной вокруг этого треугольника окружности равен 1. Тогда в силу теоремы синусов стороны треугольника будут равны
$$e = |FG| = \sin (60^\circ + \alpha), f = |EG| = \sin (60^\circ + \beta) и g = |EF| = \sin \gamma.$$
Приименив к этому $\triangle EFG$ теорему косинусов, получаем, что
$$\sin^2 (60^\circ + \alpha) + \sin^2 (60^\circ + \beta) - 2\sin (60^\circ + \alpha) \sin (60^\circ + \beta) \cos \gamma = e^2 + f^2 - 2ef \cos \gamma = g^2 = \sin^2 \gamma.$$
Таким образом, получаем, что
$$z^2 = 16d^2 \sin^2 \alpha \sin^2 \beta \sin^2 \gamma$$
и, значит,
$$z = 4d \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma.$$
Но выражения для длины y = |XZ| и x = |YZ| отрезков XZ и YZ получаются из выражения для длины z отрезка [XY] циклической перестановкой углов α, β и γ. А так как углы α, β и γ входят в выражение для z симметрично, то x = y = z = 4d \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma — и, значит, $\triangle XYZ$ со стороны длины x, y и z — равносторонний.

32

Рис. 8.

У пряжения

1. На рисунке 8 наряду с вершинами X, Y и Z треугольника Морлея изображены также точки U, V и W пересечения (AY) и (BX) (эта точка имеет также на рисунке 5 — она играла большую роль в 1-м доказательстве теоремы Морлея); AZ и CX; CY и BZ. Докажите, что отрезки [XW], [YV] и [ZU] пересекаются в одной точке Q.

2. Докажите, что фигурирующая в задаче 1 точка Q является центром правильного треугольника Морлея XYZ.

3. Докажите, что

a) отрезки [AX], [BY] и [CZ] (где XYZ — «треугольник Морлея» для ΔABC) пересекаются в одной точке R;

b) прямые AW, BV и CU (рис. 8) пересекаются в одной точке S;

в) точки R, S и точка Q задачи 1 лежат на одной прямой.

4. Пусть $\bar{X}, \bar{Y}, \bar{Z}$ — такие точки внутри (произвольного) $\triangle ABC$, что $\hat{B}\hat{A}\hat{Z} = \hat{C}\hat{A}\hat{Y}$ ($= \alpha$), $\hat{B}\hat{X} = \hat{A}\hat{B}Z$ ($= \beta$), $\hat{B}\hat{C}\hat{X} = \hat{A}\hat{C}\hat{Y}$ ($= \gamma$). Докажите, что прямые AX, BY, CZ пересекаются в одной точке R (сп. с задачей 3a).

5. Дополнительное следующие «косвенное» доказательство теоремы Морлея для треугольника ABC с углами $\hat{A} = 3\alpha$, $\hat{B} = 3\beta$ и $\hat{C} = 3\gamma$. Пусть XYZ — произвольный равносторонний треугольник. На его сторонах построим две $\triangle XYZ$ равноведенные треугольники XYU, YZW и ZXV (сп. рис. 8) с углами при основаниях [XY], [YZ] и [ZX], соответствно равными 60°—γ, 60°—α и 60°—β. Обозначим, далее, точку пересечения прямых UY и VZ через A; UX и WZ — через B и VX и WY — через C. Докажите, что углы $\triangle ABC$ равны 3α, 3β и 3γ и что прямые AY и AZ; BZ и BX; CX и CY являются трисекгрисами этого треугольника. Это доказательство мы назвали «косвенным», так как в нем исходный $\triangle ABC$ строится по его треугольнику Морлея XYZ.

33

Задачи

M516—M520; Ф528—Ф532

М516. Три автомата печатают на карточках пары натуральных чисел. Автоматы работыются следующим образом. Первый автомат, прочитав карточку (a; b), выдает новую карточку (a+1; b+1); второй, прочитав карточку (a; b), выдает карточку $\left(\frac{a}{2}; \frac{b}{2}\right)$ (он работает только, когда a и b четные); третьий по двум карточкам (a; b) и (b; c) выдает карточку (a; c). Кроме того, автоматы возврашает все прочитанные карточки.

Пусть первоначально имеется одна карточка с парой чисел (5; 19). Можно ли использовать на любом порядке, получить карточку: a) (1;50)? 6) (1;100)?

в) Пусть первоначально имеется одна карточка (a; b), а <b>, а мы хотим получить карточку (1; n). При каких n это можно сделать? (8—10 кл.)

В. Гутенмахер

М517. В окружность радиуса R вписан n-угольник площади S. На каждой стороне n-угольника отмещено по точке. Доказите, что перimetр n-угольника с вершинами в отмещенных точках не меньше 2S/R. (8—9 кл.)

В. Дубровский

М518. Числа $x_1, x_2, \ldots, x_n$ принадлежат отрезку [a; b], где 0 < a < b. Доказите неравенство

$$\left(x_1 + x_2 + \ldots + x_n\right) \left(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \ldots + \frac{1}{x_n}\right) \leq \frac{(a+b)^2}{4ab} n^2.$$ (9 кл.)

С. Фомин

М519. Даны две кучки спичек. Вначале в одной кучке m спичек, в другой — n спичек, m > n. Двое игроков по очереди берут из кучки спички. За один ход игрок берет из одной кучки любое (отличное от нуля) число спичек, кратное число спичек в

34

другой кучке. Выигравает игрок, взявший последнюю спичку в одной из кучек.
a) Докажите, что если $m > 2n$, то игрок, делаюший первый ход, может обеспечить себе выиграш.
b) При каких α верно следует утверждение: если $m > \alpha n$, то игрок, делаюший первый ход, может обеспечить себе выиграш? (9 кл.)

A. Слинько

M520. Расстоянием последовательность чисел $x_n = (1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})^n$. Каждый из них приводится к виду

$$x_n = q_n + r_n \sqrt{2} + s_n \sqrt{3} + t_n \sqrt{6},$$

где $q_n, r_n, s_n, t_n$ — целые числа. Найдите предельы

$$\lim_{n \to \infty} \frac{r_n}{q_n}, \lim_{n \to \infty} \frac{s_n}{q_n}, \lim_{n \to \infty} \frac{t_n}{q_n}. \quad (10 \text{ кл.})$$

И. Берницейн

Ф528. На рисунке 1 приведена зависимость тока через автоматную лампочку от напряжения на ней. Лампочку подключит к источнику постоянного напряжения $U = 10$ В последовательно с сопротивлением $R = 4$ Ом. Определить мощность лампочки. (8 кл.)

Ф529. Используя фотографию, сделанную для рекламного плаката (рис. 2), определяйте: 1) фокусное расстояние объекта фотоаппарата; 2) на каком расстоянии от ладоней рук располагался объект при фотографировании; 3) размер рыбы, поиманной рыбаком; 4) диаметр объекта (предполагая,

Рис. 2.

Внимание! Срок присылики решений задач из «Задачника «Кваита» № 6 (1978)—до 1 сентября.

35

что размытие деталей изображения на фотографии не превосходит 0,2 mm). Объектив фотоаппарата рассматривать как тонкую линзу. (10 кл.)

Ф530. В схеме, приведенной на рисунке 3, $\mathcal{E}_0 > \mathcal{E}_1$. Определить заряд, который протечет через батарею с э. д. с. $\mathcal{E}_0$ при замыкании ключа $K$, полагая, что внутренние сопротивления батареи и сопротивление катушки равны нулю. Диод считать идеальным (его прямое сопротивление равно нулю, обратное — бесконечности); конденсатор до замыкания ключа был не заряжен. (10 кл.)

Ф531. Гейзеры могут рассматривать как большие подземные резервуры, наполненные грунтовой водой и подгреваемые земным телом (рис. 4). Выход из них на поверхность Земли осуществляется через узкий канал, который в «спокойный» период практической полностью заполнен водой. Считая, что «активный» период настояет, когда закипает вода в подземном резервуале, и что во время извержения канал заполнен только паром, который выбрасывает наружу, оценить, какую часть воды теряет резервуар гейзера во время одного извержения. Глубина канала $h=90$ м; теплота испарения воды $\lambda=2,26 \cdot 10^6$ Дж/кг; теплоекость воды $c=4,2 \cdot 10^3$ Дж/(кг·К). Зависимость давления насыщенного водяного пара от температуры приведена на рисунке 5. (9 кл.)

Ф532. Маятник представляет собой легкийстержень длины $l$ с грузом массы $M$ на конце. К другому концустержня прикреплена легкая цилиндрическая втулка $a$ с внутренним радиусом $r$, на детая на врашающую горизонтальную ось $b$ (рис. 6). Коэффициент треня между втулкой и осью равен $\mu$. Определить угол отклонениястержня от вертикали в состоянии равновесия. (8 кл., 10 кл.)

36

М466. Средний 1977 монет 50 фальшивых. Каждый фальшивая монета отличается от настоящей на 1 г (в ту или другую сторону). Имеются чашные весы со стрелкой, показывающей разность масс одной и другой чашки. За одно взвеливание про одну выбранную монету нужно узнать, фальшивая она или настроная. Как это сделать?

М467. Точки D и E делят стороны AC и AB правильно преуедлника ABC в отношениях |AD|:|DC| = |BE|:|EA| = 1:2. Приемые BD и CE пересекаются в точке O. Доказите, что угод AOC — прямои.

Пусть вообще имеется 2n+1 монет, из которых 2k фальшивых (k ≤ n), причем каждая фальшивая монета отличается от настоящей на 1 г (в ту или другую сторону). Пусть масса настоящей монеты равна a граммов. Отложим одну выбранную монету, а из оставшихся 2n монет положим n монет на первую чашку весов и n монет — на вторую. Заметим, что при этом масса гриь на каждой чашке весет отличается от na (массы n настоящих монет) на целое число же четности, что и число фальшивых монет на этой чашке весов.

Если отложенная монета настроющая, то общее число фальшивых монет на чашках — 2k (четно), значит, число их на той и другой чашке имеет одинаковую четность, следовательно, разность масс одной и другой чашки будет четна. Если выбранная монета — фальшивая, то число фальшивых монет, лежащих на чашках весов, нечетное — (2k-1); тогда нечетно и показание весов.

Итак, мы видим, что выбранная монета настроющая или фальшивая в зависимости от того, является показание весов четным или нечетным.

И. Клумова

◆ Рассмотрим точку F на стороне BC такую, что |BF|:|FC|=2:1. Проведем отрезок AF. Треугольник OPQ — правильный (рис. 1). Поэтому нам достаточно доказать, что величины угла AOD равна 30 градусам. Для этого, в свою очередь, нужно убедиться в том, что |OP|=|AP| (поскольку APO=120°). Но |AP|=|BO|, поэтому остается проверить, что |OP|=|BO|. Выясним, в каком отношении точки O и P делят отрезок BD. Про-
Рис. 1. Рис. 2.

введем прямые DE1 и DF1 параллельно CE и AF соответственно (рис. 2). Ясно, что |AE1|:|E1E|=1:2. Поскольку |AE|:|EB|=2:1, из этого следует, что |E1E|:|EB|=4:3. Значит, и |DO|:|BO|=4:3. Аналгорично можно убедиться, что |BF|:|FF1|=6:1, откуда |BP|:|DP|=6:1. Следовательно, |DP|:|OP|:|BO|=1:3:3. Отсюда |BO|=|OP|, и угод AOC — прямои.

Л. Лиманов

◆ Введем в плоскости прямогольную систему координат, приняв за начало одну из данных точек, скажем, точку A. Пусть при этом точка B имеет координаты (b1; b2), точка C — координаты (c1; c2) и точка D — координаты (d1, d2) (рис. 3).

37

МС·MD не равны другому другу. Доказиме, что $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{DB}$. Верно ли обратное утиверждение?

Пусть $M$ — произвольная точка плоскости, $(x; y)$ — ее координаты. Тогда векторы $\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{MB}, \overrightarrow{MC}, \overrightarrow{MD}$ имеют координаты $(-x; -y), (b_1-x; b_2-y), (c_1-x; c_2-y), (d_1-x; d_2-y)$ соответственно. Равенство $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MC} \cdot \overrightarrow{MD}$ запишется в координатах так:
$$-x (b_1-x) - y (b_2-y) = (c_1-x)(d_1-x) + (c_2-y)(d_2-y),$$
или
$$(c_1 + d_1 - b_1) x + (c_2 + d_2 - b_2) y = c_1 d_1 + c_2 d_2.$$ (*)

Утверждение «для любой точки $M$ скалярные произведения $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}$ и $\overrightarrow{MC} \cdot \overrightarrow{MD}$ не равны другому другу» означает, что равенство (*), расматриваемое как уравнение с двумя неизвестными $x, y$, не имеет решений. Это возможно в том и только в том случае, если
$$\begin{cases} c_1 + d_1 - b_1 = 0, \\ c_2 + d_2 - b_2 = 0, \\ c_1 d_1 + c_2 d_2 \neq 0. \end{cases}$$
Переписав первые два равенства в виде
$$\begin{cases} c_1 = b_1 - d_1, \\ c_2 = b_2 - d_2 \end{cases}$$
и заметив, что $(c_1; c_2)$ — координаты вектора $\overrightarrow{AC}$, а $(b_1-d_1; b_2-d_2)$ — координаты вектора $\overrightarrow{DB}$, мы убедимся, что эта система равенств эквивалентна равенству векторов $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{DB}$.

Условие $c_1 d_1 + c_2 d_2 \neq 0$ означает, что $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD} \neq 0$, то есть векторы $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{AD}$ не являются взаимно перпендикулярными.

Итак, условие «для любой точки $M$ скалярные произведения $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}$ и $\overrightarrow{MC} \cdot \overrightarrow{MD}$ не равны другому другу» эквивалентно следующему: «$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{DB}$ и $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD} \neq 0$».

Если точки $A, B, C, D$ не лежат на одной прямой, то равенство $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{DB}$ означает, что четырехугольник $ACBD$ — параллелограмм, а неравенство $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD} \neq 0$ означает, что этот параллелограмм не является прямойком.

Ю. Ионин

**M469. a) Уравнение $x^4 + ax^3 + bx + c = 0$ имеет чемуре различных действительных корня. Доказим, что $ab < 0$.

б) Уравнение $x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_{k-1}x^{n-k+1} + a_{k+1}x^{n-k-1} + \dots + a_n = 0$ имеет пrazичных действительных корней. Доказим, что $a_{k-1}a_k+1 < 0$.

Мы приведем для пунктов a) и б) различные доказательства. В основе обихеж лежит следующие утверждения: если все корни многочлена действительных и различны, то все корни произvodной многочлена тоже действительных и различны. В самом деле, многочлен степени $n$ это непрерывная (и дифференцируемая) функция на прямой. Следовательно, в некоторой внутренней точке интервала, концами которого служат любые два соседних корня исходного многочлена, он принимает или максимальноеное, или минимальное значение (рис. 4, a). В экстремальной точке произvodная многочлена обращается в нуль. Таким образом, в любом интервале любыми двумя соседними корнями многочлена имеет его произvodной (рис. 4, б). Следовательно, произvodная многочлена степеней $n$, у которой все корни действительных и различны, имеетровно $n-1$ действительных корней, причем все они различны.

a) Из доказаного утверждения следует, что уравнение
$$4x^3 + 3ax^2 + b = 0$$
имеет три различных действительных корня: $x_1, x_2$ и $x_3$. Поэтому