Квант 1979, №3 · Страницы

КВАНТ 3
1979

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - MATEMATIЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

50

Этот многогранник, сконструированный и изготовленный В. Гамаю-
новым, определяемый образом связан с равнограно полуправиль-
ным шестидесятигранником («Квант», 1976, № 1).
О том, как построить его развертку, рассказано на с. 50

В НОМЕРЕ:

100 лет со дня рождения Эйнштейна
Обращение в защиту мира
Я. Смородинский. Альберт Эйнштейн (1879—1979)
А. Эйнштейн. Автообографические заметки
Эйнштейн глазами современников
А. Эйнштейн. Е=mc²: настоящая проблема нашего времени
Математический кругок
Н. Ваумен. Арифметические прействия
Победители конкурса «Квант»
Задачик «Квант»
Задачи М551—М555; Ф563—Ф567
Решения задач М504,M506,M507;Ф513, Ф516, Ф517
По страницам школьных учебников
В. Рыжик. Где ошибка?
«Квант» для младших школьников
Задачи
А. Савин. Число — буква — число
Практикум абитуриента
Л. Асламазов. Работа и мощность электрического тока
С. Сефибеков. Доказательство геометрических нера-
венств
А. Васильев, А. Пономаренко. Ленинградский государственный университет им. А. А. Жданова
Хроника НОУ
Т. Кузнецова. 15 лет Челябинскому НОУ
Ответы, указания, решения
Наша обложка (с. 50)
Смесь (с. 40, 44, 55)

На первой странице обложки вы видите рисунок М. Эшера «Бельведер».
В его основе лежит идея «перепутанного куба», двумерное изображение которого не отличается от обычного.

2

14 марта исполняется 100 лет со дня рождения Альберта Эйнштейна, который В. И. Ленин отнес к великим преобразователем естественного наименования. С именем Эйнштейна связывано начало революции в физике, который ознакомленся XX век. Идеи созданной им теории относительнойности в корне изменили взгляды на физические явления, просходящие как в микромире, так и во всей Вселенной. Философский смысл этих открытий, их диалектический характер полностью раскрылись лишь в наших дни.

Эйнштейн внес свой вклад во многое разделы физики. Он был одним из создателей современных квантовых представлений о природе излучения и заложил основы теории лазеров. Его теория броуновского движения привела к окончательному утверждению молекулярной теории строения вещества.

Альберта Эйнштейн не был кабинетным ученым, равнодушным к судьбе человекачесства. Он необсячайно остро воспринимал все, что просходило вокруг него. Покинув в 1933 г. наистскую Германию, он активно выступал против войны, за взаимопониние между народами.

Эйнштейн был одним из первых, кто увидел опасность развития ядерного оружия. В своих выступлениях и статьях он стремился сделать все, что было в его силах, чтобы оставить гонку вооружений и прекратить проповедь войны. Когда он умер, на стопке возле его большичной кровати нашли неоконченную руколись, посвященную проблемам разоружения и всеобщего мира.

В этом номере мы помещаем материалы, цель которых — представить нашим читателем Альберта Эйнштейна и как ученого, и как человек.

4

Я. Смородинский

Альберт Эйнштейн
(1879—1979)

Сто лет назад в немецком городе Ульме появился на свет ребенок, который сужено было совершить одно из самых замечательных открытий в истории естественного — ему сужено было стать отцом теории относительнойности: 14 марта 1879 года родился Альберт Эйнштейн.

Не было в истории науки другой теории, которая выдержала столько споров, рассеяла такое упорное недоверие, как теория относительнойности. Очень немногие современники Эйнштейна смогли сразу принять новое учение — так оно отличалось от всего, что знали физики девятнадцатого века. И прошло немало времени, прежде чем теория относительнойности стала основой всей науки о природе.

Но слова Эйнштейна основываются не только на одном этом открытии. Когда в 1922 г. ему присуждалась Нобельская премия, теория относительнойности еще не была признана всеми, и применя было увенчано открытие законов фотоэфекта. Нам сейчас трудно понять нерешительность Нобельского комитета, но и работа о фотоэфекте открыла новую эпоху физики. Эта работа доказывала существование кванта света — фотона.

Эйнштейна всегда интересовали самые общие вопросы физики, он пытался понять, как устроен наш мир, стрался найти глобальные законы, которые им управляют. «Меня выводит из себя учены, — говорил он, — которые берет доку, выбирают в ней самое тонкое место и уже там, где сверлить легко, продолжают очень много дырочек». Сам Эйнштейн тратил свои силы только там, где сверлить было трудно.

Попробуем расссказать о его работах и о разных эпизодах из жизни великого физика в серии коротких, не очень связанных между собой тринадцатей очерков.

1. Первые работы

Свою первую работу Эйнштейн написал в 1901 г. Копии ее он посылал в разные laboratorии, пытаясь устроиться на работу после окончания Цюринского политехникума. Эти попытки оказались безспешными. (Через много лет те, кто не открылися на его просывы, приняли его с величайшими почетями.) Лишь в юоне 1902 г., через два года после окончания политехникума, Эйнштейн смог получить место технического эксперта в Швейцарском патентном бюро.

К началу 1905 г. у Эйнштейна было уже шесть опубликованных работ. Сам Эйнштейн впоследствии невысоко оценвал свои первые труды. Первая его работа, действительно, была довольно элементарным исследованием сил, действующих между молекулами в капиллярных явлениях. Следующее четыре работы были посвящены тепловым явлениям. В них Эйнштейн развивает общую теорию этих явлений. Работы эти имели бы исключительное важное значение, если бы… общая теория тепловых явлений не была сформулирована несколько ранше Гиббсом. Молодой Эйнштейн плох был знаком с научной литературой и не знал о работе великого американца.

Шестая работа называлась «Новое определение размеров молекул». Она была присплана в редакцию немецкого физического журнала «Annalen der Physik» («Анналы физики»), в котором были опубликованы и предыдущее пять статей Эйнштейна, 30 апреля 1905 г. Работа была посвящена диффузии в жидкостьх, и в ней, по существу, была заложены первые иден теории броуновского движения.

5

Эту работу Эйнштейн зашитил как диссертацию на степень доктора физиологии (так тогда называлась ученая степень).

II. Золотой год

1905 г. — год первой русской революции — оказался золотым годом в истории физики. В этом году в журнале «Annalen der Physik» появлялся одна за другой еще четые работы Эйнштейна. В период из них была создана теория фотоэфекта. Во второй — теория броуновского движения. В третьей были получены основные формулы механики и электродинамики в специальной теории относительнойности. В четвертой статье была получена одна из самых значительных формул XX века — формула, связывающая массу и энергия.

Какждая из этих работ обеспечивала их автору бессмертие. И эти открытия были сделаны человеком, который работал в полном одиночестве, не встречался с учеными-физиками, а о своих идеях рассказывали лишь близким друзьям.

С этих работ Эйнштейна начался новый век в физике.

III. Фотоэфект

В 1900 г. Планк вышивнул гипотезу о том, что atoms испускают свет отдельными порциями — квантами, энергия которых пропорциональна частоте света:

$$E = hv.$$

(1)

Такое предложение о характере изучения atoms позволяет объяснить некоторые закономерности изучения нагретого тела.

Эйнштейн пошел дальше Планка. Один из вопросов, который он разбирал, был вопрос об номинации газов света. Было известно, что свет с большой длиной волны не номизует atom: существует неокоторая критическая длина волны $\lambda_0$ такая, что только свет с длиной волны $\lambda < \lambda_0$ может номизовать atom (для разных atoms $\lambda_0$ разная). Загадочность этого явления исчезает, если предложить, что сам по себе свет состоит из порций — квантов, и энергия этих световых квантов связывана с частотой света тем же соответствием $E = hv$. Если перейти от частоты v к длине волны $\lambda = c/v$, то соответствие (1) примет вид $E = hc/\lambda$. Так что свет с длиной волны $\lambda < \lambda_0$ — это кванты, энергия которых $E < E_0 = hc/\lambda_0$, где $E_0$ — энергия иннзации атома.

Основываясь на предположении о квантовом характере света, Эйнштейн создал теории фотоэфекта, объясняющий основные его законы: существование для каждого вещества минимальный частоты света, ниже которой фотоэфект не возникает, и независимость кинетической энергии вылетающих под действием света электронов от интенсивности света.

Если электрон находится в близки поверхности тела и для того чтобы вырваться за его пределы ему надо совершить работу $P$ (против сил прияжения к положительным зарядам), то под действием света с частотой v (и соответственно, с энергейой квантов hv) он вылетит с кинетической энергейей

$$\frac{mv^2}{2} = hv - P.$$

Если энергия квантов света $E = hv \leq P$, то $v = 0$ — фотоэфект не возникает. Максимальная энергия электронов, вылетающих из тела под действием света, не зависит от интенсивности света — она определяется только частотой падающего света.

К формуле Fotoэфекта Эйнштейн пришел, размышляя над различием между описанием частиц и света: «… может оказаться, что теория света, операрующая непрерывными пространственными функциями, приведет к противоречению с опытом, когда ее будут применять к явлениям возникновения и превращения света», — писал он в начале работы под страны им названем «Об одной эвристчической точке зрения, касающейся возникновения и превращения света»*), полученной редакцией упомянутого журнала 18 марта 1905 г.

Еще много лет Эйнштейн продолжал обсуждать вопросы о том, состоит

6

ли электромагнитное поле из квантов или же, как думал Планк, дело только в том, что atom излучает и поглощает свет порциями, как авторат, который отмеряет порциями body или бензин.

Правильной оказалась точка зрения Эйшштейна. В его работе о фотоэфекте родилось понятие об элементарной частице — кванте света. Первой элементарной частией был электрон, второй стал квант света — фoton. С тех пор список элементарных частиц непрерывно пополняется.

IV. Броуновское движение

«О движении взвешенных частиц, требующем молекулярно-kinетической теории теплоты» — так называлась вторая работа «золотого года» (она поступила в редакцию 11 мая).

Эйшштейн сравнивает между собой движение молекулы в жидкости и движение малиького плавающего внутренней этой жидкости (как говорят, «взвешенно») шарика. И молекула, и микросопперсий шарик, подвергаясь ударам других молекул, движется в жидкостиxaотических. Расматривая это сходство более подробно, Эйшштейн, исходя из самых общих законов kinетической теории, показал, что средние kinетические энергииxaотических движущся молекулы и шарика должны быть одинаковы.

«…согласно молекулярной теории теплла, тела размерами порядка 1/1000 мм, взвешенные в жидкости, совершают видимое беспорядочное движение, обязательное теплову движению молекул. Такое движение на самом деле наблюдаюсь биологами, которые называют его броуновским движением» (из письма Эйшштейна к его другу Габихту весной 1905 г.).

Шарик в жидкости, движясь беспорядочно, будет все же медленно перемешаться в жидкости, «диффун-

7

дируя» в ней (как молекула). Эйнштейн показал, что среднее значение квадрата перемещения шарика пропорционально времени.

Подробную теорию броуновского движения Эйнштейн описывает неного позже (в 1906 г.) в другой статье. В ней он сообщает, что броуновское движение, которое наблюдается другие физики, действительное хорошо описывается его формулами. Эта работа Эйнштейна положила конец многолетним спорам о реальности существования молекул.

V. Рождение теории относительнойности

Многие крупнейшие физики и математики (особенно Лоренц и Пуанкаре) думали о том, как надо описывать оптические явления в движущейся системе координат. Свои взгляды на этот вопрос Эйнштейн изложил в статье «К электродинамике движущихся тел». Она поступила в редакцию 30 июля 1905 г.

В механике все инерциальные системы равноверны (прицип Галлея). Эйнштейн начинает стать с более широкой гипотезы: «… для всех координатных систем, для которых справедливый уравнение механики, справедливый один и те же электродинамические и оптические законы…». И дальнейшее он описывает теорию так: «Это предположение (содержание которого в дальнейшем будет называться «приципом относительной») мы намерены превращать в предосылку и сделать, кроме того, добавочное допущение, находящаяся с первым лишь в каждшем противоречи, а именно, что свет в пустоте всегда распространяется с определенной скоростью $v$, не зависит от состояния движения излучшего тела…».

Один из главных выводов теории, который нижехак не хотел принять ее критики, состоял в том, что длительность любого физического процесса и интервал между двумя собственнымиоказываются разными с точки зрения систем отчета, которые движутся с разными скоростями. Короче говоря, в различных системах отсчета, движущся другое относительное друea, время мечем по-разному. Сейчас это — твордо установленный факт. Мезоны, «родившиеся» в верхних слоях атмосферы на высоте, скажем, 10 км, доходят до поверхности Земли. Двигаясь со скоростью, близкой к скорости света, mezоны проходят это расстояние приблизительно за $10^{-4}$ с, хотя в покое mezон распадается за время $2 \cdot 10^{-8}$ с. С точки зрения теории относительнойности все ясно: в системе, где mezон поконтся, еще не успел пройти $2 \cdot 10^{-8}$ с. Остановшись в приборе на Земле, mezон распадается (именно так и был он открыт). Таких примеров можно привести сейчас много. Открытие Эйнштейна прочно вошло вfundamentсовременной физики.

В кабинете Эйнштейна внесли три портрета: Ньютона, Фарадей и Максвелла. В своей теории относительнойности он объединил в единую научку механику, созданную Ньютоном, и теории электричесва и магнетизма, созданную Фарадем и Максвеллом.

VI. Эйнштейн о себе

《Иногда меня справивалот, как я создал теорию относительнойности. Я думало, что это произошло по следующей причине. Нормальный взросленный человек никогда не размышляет о проблемах пространства и времени. О таких вещи он думает лишь в детстве. Мое же умственное развитие оказалось замененным, и я принялся размышлять о пространстве и времени, лишь доступну зрелого возраства. Естественно, что мне удалось глухже пропонкнуть в проблему, чем ребенку с обычными способностями…》.

VII. Масса и энергия

В работе, о которой мы только что говорили, Эйнштейн получил выражение для массы движущого электрона — формулы, определяющие связь между массой электрона и его скоростью.

Если сила перpendикулярна скорости электрона (электрон движется по окружности), то он ведет себя так, как будто его масса («поперечная масса») равна $\frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$, где $m_0$ — масса покоя электрона (ныuto-

8

новская масса), $v$ — его скорость.
Величину $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ называют сейчас лоренцевым фактором.
Если сила направлена вдоль скорости электрона (электрон движется прямолинейно), то он ведет себя так, как будто его масса («продольная масса») равна $m_0\gamma^3/2$.

Если над электромом произвольная работа (например, если он движется в электрическом поле), то его энергия возратает. Эйнштейн показал, что кинетическая энергия $K$ электрона связана с его скоростью соотношения

$$K = m_0(\gamma - 1)c^2.$$

Величину $m_0c^2$ называют энергийной покоя, величины

$$W = m_0\gamma c^2 = \frac{m_0c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$$

— полной энергийной электрона. Так что кинетическая энергия электрона равна разности полной энергии и энергии покоя.

Для тех, кто знает элементы дифференциального исчисления, приведем выбор formulы (2). Полное изменение энергии, очевидно, равно работе, то есть произведению силы на перемещение (напомним, что электрон движется прямолинейно):

$$\Delta W = f\Delta x = ma\Delta x,$$

где $a$ — ускорение электрона. Заменяя $a$ на относение $\Delta v/\Delta t$ и всоминая, что $v = \Delta x/\Delta t$, получим:

$$\Delta W = m\frac{\Delta v}{\Delta t}\Delta x = m\Delta v \cdot v,$$

или, заменя приращение дифференциальными,

$$dW/dv = mv.$$

Если мы подставим $m = m_0\gamma^3/2$ и решим это простое уравнение, то получим формулу (2). Поэтому с $W$ согласно формуле для продольной массы. Напомним, что сила, перpendикулярная скорости, не совершает работы!

27 сентября 1905 г. в редакцию того же журнала пришла совсем маленькая заметка Эйнштейна «Зависит ли инерция тела от содержащейся в нем энергии?». Если раньше говорилось об изменении массы тела с ростом скорости, то в этой заметке было доказано, что любое изменение энергии тела изменяет и его массу: «Масса тела есть мера содержащейся в нем энергии; если энергия изменяется на величины $L$, то масса меняется, соответственно, на величины $L/(9 \cdot 10^{16})$, причем здесь энергия изменяется в джойлях, а масса — в килогramмах».

Этим и установливается формула $E = mc^2$, как ее пишут сейчас (размерность $c$ — м/с).

Новый формулу было очень трудно проверить в то время. В следующей работе Эйнштейн, предложая способ изменения отношения продольной и поперечной масс, заметает: «Автор не в состоянии сначала подобный эксперимент и будет рад, если кто-нибудь из физков занит ресурсей предложенным методом». Сейчас формулы теории относительной поверхности проверены наускорителих, во многих приборах, но в начале века надо было понять всю глубину теории, чтобы в них поверить.

VIII. Работа Бозе

В 1900 г. Планк объявил, каковый закономерности распределения интенсивности света в спектре нагрето тела. Для этого ему пришлось сделать предположение, что свет излучается и поглощается квантими. Как мы уже говорили, через пять лет Эйнштейн доказал, что кванты существуют в свободном виде и поведение их очень похожие на поведение частиц. С такой точки зрения предложенный Планком формулу можно помнить как формулу, которая определяет, сколько квантов с определенным значением энергии вылетает из нагрето тела. Свет с этой точки зрения можно рассматривать как форонный газ, а распределение энергии между отдельными фotonами этого газа («сколько форонов имеют данную энергию?») описывается формулой Планка. Но никто, даже сам Эйнштейн, не воспользовался в то время этой идеей.

В 1924 г. Эйнштейн получил письмо от физика из Дакки (сейчас это столца Народной Республики Бангладеш). К письму была приложена статья, в которой идея Эйнштейна о квантах была использована смытным решительным образом. Не вдавалась в обсуждении тонких вопросов, автор

9

статы Бозе, принимая безоговорочно гипотезу световых квантов и расстатривая их собранные как идеальный газ, вывел формулу для распределения квантов по энергиям совсем так, как выводят формулы для идеального газа в кинетической теории.
При этом Бозе считал (хотя и не подчерknул этого в своей работе), что кванты абсолотно тождественны, если они имеют одинаковые энергии. Формула Планка получалась совершенно строго. Это означает, что гипотеза Эйнштейна о реальности квантов на самом деле доказывает уже формулой Планка, но никто этого Бозе не смог заметить. Эйнштейн был в восторге от того, что с квантими можно обращаться как с atomами. Он перевел статью Бозе на немецкий язык и сам послал ее в журнал, где она и была напечатана. В примечании Эйнштейн написал: «Вывод формулы Планка, предложенный Бозе, является большим достинением. Использованный им метод дает также квантовую теорию идеального газа, которое я изложу в другом месте».
Он увидел в формуле Бозе чего совершенно новое, что привед его к новому открытию.

IX. Статстика Бозе — Эйнштейна

Идея, которая возникла у Эйнштейна, когда он читал статью Бозе, состояла в том, что если, пользовясь гипотезой о тождественности фотонов с одинаковыми энергиями, можно было вывести формулу Планка, то можно попытаться применить тот же метод к идеальному квантовому одноатомному газу, атомы которого имеют отличную от нуля массу.

Результат был Великолепен. Срауз же получился формулы, описывающие все тепловые свойства такого газа, и можно было, продолжив аналогию с фотонами, задуматься о неожиданных волновых свойствах частиц, о которых в 1924 г. написал в своей диссертации Луи де Бройль.

В 1924 г. на физической конференции в австрийском городе Исбруке Эйнштейн обращил внимание на то, что из теории де Бройля следует существование явлений дифракции и интерференции в молекулярных пучках.

В теории одноатомного газа он эффективно использовал идею квантов для вывода уравнения состояния квантового идеального газа и изучения других его свойства.

Новая теория получила название статистики Бозе — Эйнштейна. Она была создана на год раныше, чем появился законченная квантовая механика. Дальнейшее развитие теории привело к созданию теории сверхтекучестигеля и многих других удивительных явлений в квантовом мире. Но Эйнштейн сам не был удовлетворен. Он продолжал считать, что метод Бозе «…ни в коей мере не является бесспорным, но кажется обоснованным лишь благодаря успеху в случае излучения…». Хотя Эйнштейн был первым, кто ввел гипотезу квантов в теории света, он до конца своих дней не мог применить с двойстенной природой частиц и излучения, страясь найти другое описание реальности. Так до конца своих дней основоположник теории квантов и не смог применить с современной квантовой физикой.

X. Вынужденное и спонтанное излучение

В 1916 г. размышления Эйнштейна еще раз привед его к замечательным результатам.

Вопрос, который интересовал Эйнштейна, был по существу прост. Над было понять, как гипотеза квантов должен представления о законах испускания и поглощения света.

Если свет состоит из квантов — фотонов, то почти очень, что вероятность поглотить свет заданной частицы должна быть тем больше, чем больше квантов этой частицы существенно изменяется излучения света данных частицы?

Ответ, данный Эйнштейном на этот вопрос, станет понятей, если мы рассматрием следующий пример из области механических колебаний. Как будет вести себя колеблюдая струна, если около не будет непрерывно

10

колебаться с той же частотой другая струна? Если колебания струп будут в фазе — размах колебаний первой струны возрастет; если колебания будут в противофезе — колебания первой струны затухнут. Оба процесса будут тем интенсивнее, чем с большей амплитудой колебляется струна-«донор», колебания которой поддерживает каким-то источником энергии. (Если струны-донора нет, то колебания первой струп будут затухать, даже если нет трения, и все ее энергия уйдет на создание звука в воздухе.)

Аналіз аналогичной ситуации для света и атом привел Эйнштейна к выводу, что если верятность поглощить квант пропорциональна числу имеющихся в луче света квантов, то верятность испустить квант состоит из двух слагаемых. Однако из них описывается индуцированное излучение — излучение, которое обусловлено воздействием на atom света (который «раскачивает» atom). Эта часть пропорциональна числу имеющихся в луче света квантов. Второе слагаемое не зависит от числа квантов и не обращается поэтому в нуль для atomа в вакууме. Это слагаемое описывает так называемое спонтанное, то есть самопроизвольное, излучение.

Если в среду попадает мощный световой поток, то есть большое количество квантов, индуцированное излучение преобразает, становится очень интенсивным.

С индуцированным излучением связан принцип работы лазера. Эффект, предсказанный Эйнштейном в 1916 г., стал сейчас основным для огромного количества приборов и установок.

Х1. Общая теория относительной и отклонение света в поле Солнца

Об общей теории относительной, или о теории тяготения, рассказывать трудно. Очень немогие поняли ее фундаментальное значение. Академик Ландду любил говорить, что хотя он сам глубоко поняет общую теория относительной Эйнштейна, он не может себе представить, как можно было до нее договора.

Но один из вопросов, с которой начал Эйнштейн, совсем прост: как влияет поле тяжесте, например, поле Солнца, на распространение света?

Как кто-то вспомнил много позже, этим вопросом интересовались еще в 18 веке, и тогда же был получен первый ответ. Ответ был тоже прост. Если согласиться с Ньютоном, что

11

свет есть поток корпускул, то корпускули должны пролетать около Солнца как кометы. Траекторию кометы, которая проходит около Солнца, сосчитать нетрудно. Расчет дает, что она отклонится от прямой на 0,85". Это мало отклонение было сосчитано еще в 1801 году немецким астрономом Зольдером.

В 1915 г. Эйнштейн получил другой результат: согласно созданной им теории тяготения отклонение в поле Солнца должно составлять 1,7". «Удвоение» эффективы было следствием того, что около Солнца перестал действовать законы геометрии Евклида и в результате изменяется сам закон всемирного тяготения Ньютона. Тела около Солнца пригravаются к нему сильнее, чем это следует из закона всемирного тяготения.

В 1915 г. Эйнштейн уже не был никакому не известным экспертом. К его словам прислушвался весь мир. И хотя в Европе бушевала война, астрономы начали обсуждать, как наблюдать предсказанное отклонение. Ведь в 1919 г. должно быть произойти солнечное затмение, во время которого можно было бы проверить, существует ли эффектив, предсказанный Эйнштейном. Затмение ожидалось 29 мая, когда вблизи Солнца проходило лучи света от многохоченья ярких звезд. В апреле две экспедиции покинули Англлюю. Одна направилась в Бразилию, вторая — на остров Присилии вблизи западного берега Африки. 29 мая на острове все утро щелл дожды, но перед самым затменем необходимо прояснить, и экспедиция смотла нахать фотографирование. Все же погода сделала свое дело: облака заслонили звезды, и когда спустя辟 дней снимки были обработаны, только один снимок дал хорошее подтверждения эффектива Эйнштейна. Снимки из Бразилии образовательись в Англлюю. Только четыре месяца спустя, 22 сентября (обычные почтовые связи были нарушены воной!), пришла телефонма от Лоренца из Голландии: «Эддингтон обнаружил смешение звезд у края Солнца…». Конечно, никакое наблюдение не может доказать теорию окончательно, но с тех пор в теории Эйнштейна мало кто сомневался. Лишь небольшая группа старых физков пыталась (и с большим упорством) отрицать ее выводы.

Но время классического физики прошло. Сейчас существует много фактов, подтверждающих общую теорию относительнойности. Самое главное для физков нашего времени — это то, что без этой теории нельзя понять, как развивается Вселенная.

XII. Эволюция Вселенной

Наверное, само вличественное в здании, построенном Эйнштейном, — это его космологические работы. В 1917 г. была опубликана работа под названием «Вопрос космологии и общая теория относительнойности».

Эта работа выделяется своей смелостью. Подобно Ньютону, который объявил о том, что закон падения тела на Земле тот же, что и законы, управляющие движением небесных тел, Эйнштейн заявил, что законы общей теории относительнойности, проверенные в пределах Солнечной системы, справедливы для всей Вселенной. Он написал и решил уравнение Вселенной. Решение, которое Эйнштейн получил, было удивительным: Вселенная оказалась замкнутой…

12

Однако при анализе этих уравнений Эйштейн не учел всех возможных решений. Пять лет спустя советский физик А. Фридман показал, что уравнения Эйштейна имеют другие решения, но эти решения не статистические — Вселенная расширяется. Эйштейн сначала не поверил Фридману и объявил, что тот ошибся. В Берлине в это время находился советский физик Ю. Крутков, который убедил Эйштейна в его неправоте, и 31 мая 1923 г. Эйштейн опубликовал маленькую заметку: «…я считаю — писал он — результаты Фридмана правильными и поливающим новый свет. Оказывается, уравнения поля допускают нарушу со статистическими также и динамические (т. е. переменные относительно времени) центрально-симметричные решения для структуры пространства».
Решение Фридмана не требовало, чтобы Вселенная была обязательно замкнута. Современные данные указывают скорее на то, что Вселенная бесконечно расширяется, причем скорость ее расшириния растет с расстоянием примерно по закону

$$v = \frac{R}{T},$$

где $T$ — постоянная, равная $2 \cdot 10^{10}$ лет. Этот закон носит имя открывшего его астронома Хаббла, а постоянную $H = 1/T$ называют постоянной Хаббла. Расширение Вселенной подтверждено многими наблюдениями, а закон Хаббла проверен до расстояния, которые свет проходит за 10—12 миллиардов лет.

Так Эйштейн заверил «покорение» законов Вселенной, начATOном. Человек на Земле понял законы, которые управляется космос. «Самое непонятное в природе — это то, что ее можно понять», — сказал Эйштейн.

XIII. Гравитационные волны

О гравиатционных волнах скажем лишь совем коротко.

Первым, кто понял, что гравиатционное взаимодействие распространяется со скоростью света, был Пуанкаре. Существование волнытяготения было простым следствием уравнения теории относительной энергии.

Теория не отвергала того, что никакой сигнал не может быть передан со скоростью, большей скорости света. В 1937 г. (вместе с Розеном) Эйштейн исследовал теоретически гравиатционные волны — это его работу продолжают и сейчас многое теоретики. Гравитационные волны пока не обнаружены, но повышиму, не очень далеко тот день, когда на Земле зарегистрирует гравиатционный сигнал от какой-нибудь великой космической катастрофы —рождения сверхновой звездили еще чего-нибудь в этом рода.

Эпилог

Мы кончаем на 1937 г. Эйштейн не перестал работать; он до самом своей смерти 18 апреля 1955 г. все больше и больше погружался в новые теории, о которых рассказать невозможно. Он хэтел найти еще более общие законы, чем законы тяготения — он работал над тем, что он сам называл единой теории поля. Последние слова в его последней научной статье были: «… сейчас ничего не знает, как найти основу для такой теории».

К работам последних лет Эйштейна относились по-разному. Многие считали, что успex ему изменил, и все, что он делал в эти годы, было неверным. Многие даже считали, что и сама задача бездействия. Так ли это? Можно ли сказать, что сейчас такое значение уже не кажется бесспорным. Все чаще на страницах журнала появляются слова «единая теория поля». Конечно, время течет, и новый путь — совсем не тот, который шел Эйштейн.

Но глубокие идеи Эйштейна не исчезают.

«Все, что исходило из его в высшей степени Великого интеллекта, было только ясным и красным, как хорошо произведенная искусства» — эти слова, написанные Эйштейном в память Лоренца, в полной мере относится к нему самому.

13

Автобогафический заметки

В 1949 году Альберт Эйнштейн написал «Автобогафические заметки». В них он рассказал об основных научных принципах, которые руководствовали в своей творчестве. Незадолго до смерти, в 1955 году, Эйнштейн написал также очечный краткие «Автобогафические наброски» — воспоминания о студенческих годах и о том, как зарождалась общая теория относительной.Mы помещаем здесь выдержки из этих работ, касающиеся раннего периода жизни великого ученого.

…В 1895 г. в шестинадцатилетнем возрасте я приехал из Италии в Цорих, после того как без школов и без учитель проводил год в Милане у родителей. Мой цель было поступление в политехнику, хотя я несовсем ясно представлял себе, как это можно осуществить. Я был своенравным, но скромным молодым человеком, который приобрел свои необходимые знания спорадических, главным образом путем самообразования. Я жаждал глубоких знаний, но обучение не казалось мне легкой задачей: я был мало приспособлен к заучиванию и обладал плохой памяти. С чувством вполне обоснованной неуверенности я являлся наступательный экзамен на инженерное отделение. Экзамен показал мне прискорбную недостаочность моей подготовки, несмотря на то, что экзаменаторы были сисходительны и полны сочувствия. Я понимал, что мой провал был вполне оправдан. Отрадно было лишь то, что физик Г. Вебер сказал мне, что я могу слушать его коллег, если остансь в Цорихе. Но ректор, профессор Альбин Герцог, рекомендовал меня в каntenальную школе в Аару, где после годичного обучения я сделал экзамен на аттестат зрелости. Эта школа оставила след благодаря своему/libеральному духу и скромной сервисности учительей, которые не опирались на какие-либо показные авторитеты; сравнение с шестилетним обучением в авторитарно управляемой немецкой гимназии убедительно показало мне, насколько воспитание в двух свободы и чувства личной ответственности выше воспитания, которое основано на муште, внешнем авторитете и честолюбии. Настоящая демократия не является пустой илилюзий.

В том же году в Аару у меня возник вопрос: если бы можно было погнаться за световой волной со скоростью света, то имели бы мы перед собой не зависшее от времени волновое поле? Такое все-таки кажется невозможным! Это был первый детский мысленный эксперимент, который относился к специальной теории относительнойности. Открытие не является делом логического мышления, даже если конечный продукт связаан с логичкой формуой.

1896—1900 гг. — обучение на отделении преподавателей специальных дисциплин швейцарского политехнику. Вскоре я заметил, что довольствующий роль последовательного студента. Для того чтобы быть хорошо студентом, нужно обладать легкостью восприятия, готовность сконцентрировать свои силы на всем том, что читается на лекции, любовью к порядку, чтобы записьать и затем добросовестно обрабатывать преподаванное на лекциях. Все этих качеств мне основательно недоставали, как я с сожалением установил… Неокоторые лекции я слушал с большим интересом. Но обыкновенно я много «прогулявал» и со связыванием временшудировал дома корифев теоретической физики… Это широкое самоостояльное обучение было простым продолжением более ранней привью-

14

ки; в нем принимала участие сербская студентка Милева Марич, которая позднее стала моей женой. Однако в физической лаборатории профессора Г. Вебера я работал со временем истрастью. Захватывали меня также лекции профессора Гейзера по дифференциальной геометрии, которые были настоящими шеедеврами педагогического искусства и очень помогли мне позднее в борьбе, развернушейся вокруг общеей теории относительнойности. Но высшая математика еще мало интересовала меня в студенческое году. Мне ошибочно казалось, что это настоящее развтвленная область, что можно легко растить всю свою энергию в дальнейшем. К тому же по своей наивности я считал, что для физики достаточно твордо услугу элементарные математические понятия и иметь их готовыми для применения, а остальное состоит в бесполезных для физики тонкости, — заблуждение, которое только позднее я с сожалением осознал. У меня, оченьно, не хватало математических способностей, чтобы отличить центральное иFundamentalное от перipherийного и неприциплального важного.

В эти студенческие годы развилась настоящая друзьяка с товарищем по учебе Марселем Гроссманом. Раз в неделю мы торжествовали шли с ним в кафе «Метрополь» на набережной Лиммат и разговаривали не только об учебе, но и, сверх того, о всех вещах, которые могут интересовать молодых людей с открытыми глазами. Он не был таким брадяной и чудаком, как я, но был связан со швейцарской средой и в пределах возможного не потерявней самостояльности. Кроме того, он обладал в избитке как раз теми данных, которые не хватало: быстрым воспрянием и порядком во всех отношениях. Он не только посещал все лекции, которые мы считали важными, но и образавывал их так замечательно, что если бы его терди перепечать, то их волне можно было бы издать. Для подготовки к экзаменам он одалживал мне эти терди, которые службы меня спасательным кругом; о том, как мне жились бы без них, лучше не гадать…

Для меня не подлежит сомнению, что нашей мышление протекает в основном, минуя символы (слова), и к тому же бессознательно. Если бы это было иначе, то почему нам следует иногда «удивляться», притом совершенное спонтанно, тому или иному воспрянию? Этот «акт удивления», по-видимому, наступает тогда, когда воспряние вступает в конфикт с достаточно установленным в нас миром понятый. В тех случаях, когда такой конфикт переживает остро и интенсивно, он в свою очередь оказывает сильное влияние на наш умственный мир. Развитие этого умственного мира представляется собой в известном смысле предоление чувства удивления — непрерывное бегство от «удивительного», от «чуда».

Чудо такого рода я испытал ребенком 4 или 5 лет, когда мой отец показал мне компас. То, что эта стрелка вела себя так определенно, никак не подходило к тому роду явления, которые могли найти себе место в моем неосознанном мире понятый (действие через прикосновение). Я помню еще и сейчас — или мне кажется, что я помню, — что этот случай произвел на меня глубокое и дилтельное впечатление. За вещеми должны быть что-то еще, глубоко скрытое. Человек так не реагирует на то, что он видит с малых лет. Ему не кажется удивительными padение тел, ветер и дождь, он не удивляется на луну и на то, что она не падает, не удивляется различию между живым и неживым.

В возрасте 12 лет я пережил еще одно чудо совсем другого рода: источником его была книжечка по вскладной геометрии на плоскости, которая попалась мне в руки в начале учебного года. Там были утверждения, например, о пересечении трех высот треугольника в одной точке, которые, хотя и не были сами по себе очень видны, могли быть доказаны с увеличенной, исключающей как будто всякие сомнения. Эта ясность и увеличенное произвел на меня неописуемое впечатление. Меня не беспокоило то, что аксимоны должны быть приняты без доказательства. Вообще мне было достаточно, если я

15

мог в своих доказательствах опираться на такие положения, справедливо которых представлясь мне бесспорной. Я помню, например, что теорема Пифагора была мне показана моим дядей еще до того, как в мои руки попала связенная книжечка по геометрии. С большим трудом мне удалось «доказать» эту теорему при помощи подобных треугольников; при этом мне казалось, однako, «очевидным», что отношение сторон прямоугольного треугольника должно полностью определяться одним из его острых углов. Вообще мне казалось, что доказывать нужно только то, что не «очевидно» в этом смысле. И предметы, с которых имеет дело геометрия, не казались мне других природы, чем «видимые и осзааемые» предметы, т. е. предметы, воспринимаемые органами чувств. Это примитивное понимание основано, конечно, на том, что бессознаательно учитываясь связь между геометрическими понятями и наблюдаемыми предметами (длина — твердый стержень и т. п.)…

Хотя это выглядело так, будто путем чистого размышления можно получить достоверные сведения о наблюдаемых предметах, но такое «чудо» было основано на ошибке. Все же тому, кто испытывает это «чудо» в первый раз, кажется удивительным самый факт, что человек способен достигнуть такой степени надежности и чистоты в отвлечении мышленки, какую нам впервые показали греки в геометрии…

В возрасте 12—16 лет я ознакомился с элементами математики, включая основы дифференциального и интегрального исчисления. При этом, на моем счете, мне попались книги, в которых обращалось не слишком много внимания на логическое строство, зато хорошего была выделена вещество главная мысль. Все это занятие было понятие увлекательно; в нем были взлеты, по силе впечатления неуступавшие «чуду» элементарной геометрии, — основная идея аналитической геометрии, бесконечные ряды, понятия дифференциальа и интеграла. Мне посчастливилось также получить понятие о главнейших результатах и методах естественных наук по очень хорошо用工упарному изданию, в котором изложение почти взделе о граничиваюсь качественной стороне вопроса (бернштейновские естественное научные книги для народа — труд в 5—6 томов); книги эти я читал, не переводя дыхания. К тому времени, когда я в возрасте 17 лет поступил в Цюрихский политехнику в качестве студента по физике и математике, я уже был немного знаком и с теоретической физикой.

Там у меня были прекрасные преподаватели (например, Гурвиц, Минковский), так что, собственно говоря, я мог бы получить солидное математическое образование. Я же большую часть用工упарных работ в физической laboratorии, увлеченный непосредственно соприкосновением с опытом. Остальные用工упарные главным образом для того, чтобы дома изучать труды Кирхгофа, Гельмгольца, Герца и т. д. Причиной того, что я до некоторой степени пренебреgal математкой, было не

16

Только преобладание естественного учных интересов над интересами математических, но и следующее своевременное чувство. Я видел, что математика делится на множество специальных области и каждая из них может занять всю отпущенную нам коротку жизни. И я видел себя в положении буриданова осла, который не может решить, какую же ему взять охапку сена. Дело было, очень видно, в том, что могу интуиция в области математики была недостаточно сильна, чтобы уверенно отличить основное и важное от остальной учености, без которой еще можно обойтись. Кроме того, и интерес к исследованию природы, несомненно, был сильнее; мне как студенту не было еще ясно, что доступ к более глубоким принципальным проблемам в физике требует тончайших математических методов. Это стало мне выяснться лишь постепенно, после многих лет самостоятельной научной работы. Конечно, и физика была разделена на специальные области, и каждая из них могла поглотить коротку трудового жизни, так и не удовлетворив жажды более глубокого познания. Отромное количество недостаточного увазанных эмпирических фактов действово и здесь подавляюще. Но здесь я вскоре научился выискивать то, что может повести в глубину, и отбрасывать все остальное, все то, что перегружает ум и отвлекает от существенного…

Эйнштейн
глазами
современников

Много книг и статей написано об Эйнштейне. Он оставил глубокий след в памятии всех, с кем друзьял, работал и встречался. Мы помещаем здесь высказывания выдаюшихся физиков разных стран: датуантана Нильса Бора, швейцарца Вильгельма Паули, советского физика Абрама Федоровича Юфё, поляка Леопольда Инфельда, немцев Арнольда Зоммерфельда, Макса Лауэ и Макса Борна, американца Робerta Оппенгеймера, — которые помогут нашим читателям лучше представить себе этого замечательного человека и оценить его вклад в развитие науки. Приводится также высказывание первого советского комиссара просвещения Анатолия Васильевича Луначарского, который встречался с Эйнштейном в 1922 году.

«… Человечество всегда будет в долгу перед Эйнштейном за устранение ограничений нашего мировозрения, которые были связаны сprimитивными представлениями об абсолютом пространстве и времени. Он дал нам картину мира, характеризующаяся единством и гармонией, которые превосходят самые смелые мечты прошлых лет…»

Нильс Бор

«… Как ученый, Эйнштейн — величина одного порядка с Исааком Ньюотоном… Подобно тому, как во времяна Ньюотона современники не могли предугадать богатство и глубину всех последствий его влияния, так же мало мы можем представить себе, какое влияние наследство Эйнштейна оказет на ход истории. Это показет время…»

Макс Лауэ

«… С глубокоммыслием и последовательностью философского мышления, не встречавшимся никакого до сих пор в умах…»

17

истествориспытатель, с математической силой, которая наполняет Гаусса и Римана, Эйнштейн возвел в течение десяти лет здание, перед которым мы, следившие из года в год за его работ с направлением вниманием, стоям, чувствуя изумление и головокружение…"

Арнольд Зоммерфельд

«…Я встречал в своей жизни многих ученых, более способных, чем я. Я восхищался их интеллектом, быстротой, с которой они решали проблемы, их быстроной диалекткой и тем, что они предолевали трудности, непредодолимые для меня. В такие моменты переживаешь удивительное чувство восхшения и унижения, потому что не может быть неомраченной радость, когда видшь, как другой одолел прерятствия, казавшие тебе неодолимыми. Но ни разу не возникло у меня и тени этого досадного чувства, когда я работал с Эйнштейном…"

Леопольд Инфельд

«…Жизнь его, устремления в будущее, будет всегда наполнить нам о редком в нашей время идеале человека, мыслителя и созерцателя, чьи помысли были безразделно отданы вликим проблеме строения Вселенной…

…Для нового мышления, введенного в физку Эйнштейном, характерен непредвзязтый, стройшийся в конечном счете на эмпирически проверяемых принципах анализ традиционных функentlichen поятий. При этом неокоторые гипотезы ока-
зывалися излишним и слишком узками, а неокторы понятия удается вообще исключить…"

Вильгельм Паули

«…Эйнштейн был передовым ученым и высокоценил построение социальizaция в нашей стране, осуществляющего заветные мечты лучших людей всех времени. В борьбе двух миров — коммунизма и капитализма — он был на нашей стороне и на моей прямой вопрос dal недувмыслений ответ…"

Абрам Федорович Юффе

«…И после войны он неустанно поднимал свой голос в защиту свободы и мира, прежде всего — против дальнейшего использования atomной бомбы. При этом, как старый борец за свободу, он выступил против преследования за убеждания, предприятых в Соединенных Штатах под эгидой сенатора Маккарти…"

Макс Лауэ

«…В частиной жизни Эйнштейн был скромным человеком, учреждавшимся почетей. Я помню, как, узнав о предполагавшемся прихождение его почитателей, он предложил скрыться от них и уйти часа на три в парк. Помню, как однажды Эйнштейн договорился, что придет за мной к знакомым, где его игре на скрипке должны были аккомпанировать на рояле. Хозяева квартиры хотели воспользоваться этим, чтобы продемонстрировать свои гостям знаменито Эйнштейна. Но,увидев посторонних, он надел шалку и остался только при условии, что все двери будут заперты и никакого, кроме аккомпанина-

18

торши, в комнате не будет. А игра Эйнштейна была чрезвычайно музыкальной и выражательной…»
Абрам Федорович Юффе

«… В его маленькой комнате не было никаких покрывал, ковров, картин — только кровать, стол, стул, книжный шкаф с несколько книгами и несколько печек оттисков. Любое имущество было ему втягость, и в стремлении к обладанию собственностью он видел самую глубокую осноу для ссор и воин между люdbми…»
Макс Борн

«…Эйнштейн был… по моему впечателеню… человеком одиноким… У него были, конечно, бесчисленные ученики, если под этим понимать людей, которые, читая его книги или слушая его лекции, учились у него новому взгляду на физику, на природу нашего мира, учились новому мировоззренияю. Но он не созdal шкOLS. У него было мало студентов, о которых бы он заботился как о своих учениках и последовательях. В нем всегда жил двух ученого-одиночки, резко отличавший его от научных коллективов, стол популярных в наши дни. Не было в нем двух сотрудние, под знаком которого протекает развитие некоторых других наук. В последние годы Эйнштейн работал вместе с некоторыми сотрудниками. Они обычно назывались его помошниками… Сотрудники для Эйнштейну то, чего ему не хватало в молодости…»
Роберт Оппенгеймер

«…Глаза у Эйнштейна близорукие, рассеянные. Кажется, что уже давно и раз нассегда больше половины его взоров обратились куда-то внутри. Кажется, что значительная часть зреня Эйнштейна постояно занята вместе с его мыслю каким-то начертанием исчисленей. Глаза позетому полные абстрактной думой и кажутся даже немного грустными. Между тем в общежитии Эйнштейн чрезвычайно веселей человек. Он любит, пошутить… он сметется добродушным, совершенню детским смехом. При этом на мгновение глаза его делаются совершенню детским. Его необыкновенная простота создает obяние, что так и хочет как-то приласкать его, пожать ему руку, пожлопать по плечу — и сделать это, конечно, с огромным уважением. Получается какое-то чувство нежного участия, признания большой беззащитной простоты и вместе с тем чувство беспредельного уважения…»
Анатолий Васильевич Луначарский

20

дальнейшего расширения закона сохранения энергии — применительно к химическим и электромагнитным процессам и вообщею ко всем процессам. Оказалось, что в нашей физической системе именно полная сумма энергии остается постоянной независимо от характера возможных превращений.

Тепер о принципе сохранения массы. Масса определяется как противодействие тела ускорению (инертаная масса). Она определяется также весом тела (тяжелая масса). Το обстоятельство, что два столбцы определяния приводят к одному и тому же значению массы тела, само по себе является порозительным. Согласно принципу сохранения (а именно: масса остается неизменной при любых физических или химических превращениях), масса является существенной (ввиду своей неизменности) характеристкой материи. Нагревание, плавление, испарение, образование химических соединений не должны изменять полной массы.

Физики считали этот принцип справедливым еще несколько десятилетий тому назад. Однако он оказался неостоятьным перед лицом специальной теории относительнойности. Поэтому он слился с законом сохранения энергии, подобно тому, как примерно шестюдесятую годами раньше закон сохранения механической энергии объединился с законом сохранения тела. Мы могли бы сказать, что закон сохранения энергии, поглотив ранее закон сохранения тела, включил теперь в себя и принцип сохранения массы и управляет всем единлично.

Эквивалентность массы и энергии принято выражать (хотя это и несовсем точно) формулой $E = mc^2$, где $c$ — скорость света, составляющая около 186 000 миль/сек, $E$ — энергия, содержащаяся в покоящем теле, $m$ — его масса. Энергия, соответствующая массе $m$, равна этой массе, умноженной на квадратную больший скорости света, т. е. на единницу массы приходит огромное количество энергии.

Не если каждый грамм вещества содержит столбцов колчество энергии, то почему это обстоятельство так должно оставаться неизменным? Ответ достаточно прост: до тех пор пока энергия не выходит на величину $E/c^2$. Я легко могу сообщить неокоторому телу энергии, нагрев, например, его на десять градусов. Так почему же никакогда не заменалось увеличения массы, или увеличения веса, связанного с этим изменением? Дело в том, что в принципе массы огромный множитель $c^2$ входит в значенатель дроби. Увеличение массы сликом мало, чтобы его можно было изменить непосредственно даже самыми чувствительными весами.

Чтобы увеличение массы было измененным, изменение энергии, приходящесся на единицу массы, должно быть невероятоно большим. Нам известно только одно явление, где освобождается такое порядка количества энергии в расчете на единицу массы; это — радиоактивный распад. Схематически процесс идет следующим образом: atom с массой $M$ расщепляется на два atoms с массами $M'$ и $M''$, которые разделяются с огромной kinетической энергейой. Если мы оставим эти atoms, т. е. заберем у них энергию движения, то они в совокупности будут обладать гораддо меньшей энергейой, чем исходный atom. Согласно принципу эквивалентности, суммарная масса $M' + M''$ продуктов распада должна быть несколько меньше, чем первоначальная масса $M$ распадающего atoms, что противоречит старому принципию сохранения массы. Относительная разность этих масс составляет примерно долю процента.

Сейчас мы не можем реализовать все отдельного atom. Однако существенно косвенные методы, позволяющие точно измерить все atoms, позволяющие получить продукта распада $M'$ и $M''$. Таким образом,

21

разом, оказалось возможным проверсти проверку и подтвердить соответствие эквивалентности. Кроме того, этот принцип позволяет нам расширать заранее по известным с большой точностьюatomным весам, какое именно количество энергии должно выделяться при любом интерсуцем насatomном распаде. Конечно, этот принцип ничего не говорит о том, когда (или каким образом) произойдет распад.

Происходящие события можно проиллюстрировать на нашем примере с богатом. Атом $M$ — это богатый кулец, который при жизни не расстается с денггами (с энергией). Но по завершению он передает свое состояние сыновым $M'$ и $M''$ при условии, что они выделят для общества некуло malую часть, меньше одного тысячи новой имущества (энергии или массы). Сыновья владелют вместе несколько мебшим состоянием, чем владелец отец (суммарная масса $M' + M''$ немного меньше, чем масса $M$ радиоактивного атома). Но часть, переданная обществу, хотя и относительно мала, все же настоящего огромна (если расматривать ее как кинетическая энергия), что несет с собой большую угрозу зла. Предотвращение этой угрозы стало настоящей проблем современности.

Эта работа была написана Эйнштейном в 1946 году. Русский перевод статьи впервые был опубликован во 11 томе «Собрания научных трудов» Альберта Эйнштейна (М., «Наука», 1966).

Эйнштейн писал:

Do конца жизни я буду думать о том, что такое свет!

С тех пор, как за теорию относительнойприялись математики, яEEE уже сам больше не поняла.

Если вы хотите узнать у физиков-теоретиков что-нибудь о методах, которые они пользовются, я советую вам твердо придерживать следующее prinципика: не следует, что они говорят, а лучше изучайте их работы.

Работать — значит думать. Поэтому точно учеть рабочий день не всегда легко. Obviously я работаю от четырех до шести часов в день. Я не слишком прилежен.

Сыдно должно быть тому, кто пользовется чудесами научки, вошлоными в обыкновенном радиоприемнике, и при этом ценит их так же мало, как корова те чудесы богатники, которые она жует.

Открытие цепных atomных реакций так же малорозит человечество, как изобретение спичек; нужно только сделать все для устройства возможность эллюпотребления этим средством.

22

Арифметические препятствия

Во многих математических теории и прикладных задачах, а также в математических играх и головоломках возникают вопросы такого рода: можно ли перейти от одной позиции к другой с помощью некоторых «допустимых» операций (ходов)? Как найти нужную целочкухход, если она существует, или доказать, что переход невозможен? В этой статье мы разберем несколько задач такого типа. Их обединият еще и внешнее состояние: в каждой из них фигурируют целые числа, а «препятствия» переходам, как правило, имеют арфметические природу.

Примеры, с которых начинается обсуждение каждой задачи, волне доступны даже ученикам младших классов. Упражнения «созвездкой» и доказательства общих результатов требуют от читателя сервезных размышлений. Заканчивается статья трудными олимпидными задачими, последняя из которых применяет к неэлементарной, бурно развивающейся сейчас теории arфметических групп.

1. Задча о коне

Задча 1. Даны натуральные числа m и n. На одном из полей бесконечной шахматной точки фигуря, которая ходит «буквой Γ» на m полей в одном из направлений и на n в перепendlкулярном; называем ее {m; n}-конem. На какое поля ходи этом конь может попасть?

Объичный шахматный конь ({1; 2}-конь) может из любого начального поля O попасть на любое другое: за три хода он может попасть на соседнее с O поле, а также элементарными шагами можно, конецно, прийти куда угодно.

А вот {1; 3}-конь, несколько ходов которого показаны на рисунке 1, никак не может попасть на соседнее (по горизонтали) с начальным поле. На шахматной доске очень легко объяснить, что препятствует такому переходу: {1; 3}-конь всегда ходит по полям одного цвета. С другой стороны, нетрудно показать, что {1; 3}-конь может обойти все поля одного цвета: за три хода он может сливнуться по диагонали на соседнее поле того же цвета (рис. 1), а также элементарными шагами уже легко обойти все однозвесные поля.

Попробуйте решить задачу 1 для чисел a) 2 и 5; b) 10 и 25; г) 19 и 79.

Оказывается, {m; n}-конь может попасть на любое том случae, когда m и n имеют разную четность и их наиболее общий делитель равен 1.

Полный ответ к задаче 1 приведен в конце пункта 3 (упражнение 10). Сейчас мы займемся более простым вопросом. Результат, который мы получим, полезен и для задачи о коне, и для более серверных математических задач.

Рис. 1. {1; 3}-конь может попасть на соседнее (по диагонали) поле того же цвета; таким шагами он может обойти все однозвесные поля.

23

2. Представление НОД
   З адач а 2. Даны намуральные числа a и b. За один ход разрезается прибавить к некоторому целому числу одно из чисел a, b или вычесть из него одно из этих чисел. Можно ли максим образом из числа 0 получить число c?

В этой задаче можноесто «позиций» — это множество Z всех целых точек числовой прямой.

Начнем с конкретного примера. Предположим, что у покупателя и кассира есть только купюры в 10 и 25 рублей, причем (чero не бывают в математических задачах!) в неограниченном количестве. Ясно, что покупатель может запланить кассиру c рублей в том и только том случае, когда c кратно 5.

Еще пример. Пусть на множество Z разрешены ходы ±19 и ±79. С помощью этих ходов можно получить любое целое число: их комбинация позволяет свиниться на расстояние 3, а затем и на расстояние 1 (рис. 2, a).

Более сложный пример: a=819, b=357. В этом случае тем же прием удается найти кратчайший сдигг — на 21 (рис. 3, a). Таким образом, здесь можно устроить переход на любое расстояние, кратное 21. С другой стороны, и a, и b делятся на 21, поэтому никакие другие переходы невозможны.

Заметим, что 21 — наиболее общий делитель чисел 819 и 357 (проверьте это!).

У разнение 1. a) Докажите, что если у покупателя и кассира есть (в неограниченном количестве) трешки и пятерки, то покупатель может запланить любое число рублей.

6. Можно ли перейти от 0 к 1000, если a=123, b=456? если a=589, b=1984?

b) Какие переходы возможны при a=18, b=81?

Теперь сформируем ответ к задаче 2 в общем виде. Пусть наиболее

24

ший общий делимель (НОД) чисел а и b равен d. Тогда переход от 0 к с возможен в том и molъко том слуае, коеда число с делимся на d. Попробуйте доказать это.

В несколько иной форме мы получим этот результат в следующем пункте.

У разженняя
2. Докажите, что ответ к задаче 2 не изменится, если число a разрешается только прибавлять, а b — только вычитать.
3. Можно ли на чашечных весах с помощью гирь 36 г и 60 г (эти грии имеются в неограниченном количестве, и их можно класть на обе чашки весов) отвечать a) 150 г; b) 132 г?

3. Алгоритм Евклида
   В следующей задаче позициями будут пары целых чисел.

Задача 3. Три атомама печатом на карточек пары целых чисел. Каждый атомам, прочитав некоморую карточу, выдаем новую карточу: первый атомам, прочитав карточу с парой (x; y), выдаем карточу (x—y; y), второй — карточу (x+y; y), третьий — карточу (y; x).

Пусть первоначально имеется одна картошка с парой чисел (1; 2). Можно ли, использя атомами в любом порядке, получить карточу (19; 79)? (819; 357)?

Какие вообшие карточки можно получить, если первоначально имеется картошка с парой чисел (a; b)?

Рис. 4. Каждый «марш» этой лестницы — один шаг алгоритма Евклида.

Обозначим операции, которые продельывают автоматы, соответственно, через L, R и S. Начнем опять с числовых примеров.

Пару (19; 79) из пары (1; 2) операции L, R, S получить можно. Чтобы осуществить нужный переход, удобнее не подниматься от (1; 2) к (19; 79), а спускаться в обратном направлении (рис. 4).

Записав получившуюся целочкув в обратном порядке (и, конечно, заменя при этом L и R), получим «подьем» от (1; 2) к (19; 79).

На рисунке 4 «спуск» от (19; 79) к (1; 2) мы продолжили до пары (1; 0); сокращенная запись этого «спуска» приведена на рисунке 2, в (Lᵉ означает, что операция L продельвается k раз подряд). Собственно говоря, тот же спуск мы уже продельвали в соответствии примере к предыдущей задаче (рис. 2, a).

Спуск, начинающийся с пары (819; 357), сокращенно записан на рисунке 3, в запишите его подробно. Здесь пара (1; 2) (или 1; 0) не получается. И не удивительно — тому есть преяя тствие: все получаемые числа делятся на 21. В каком бы порядке мы ни применяли операции L, R, S, избавиться от этого преяятствия неудоступа, поскольку, как нетрудно доказать, эти операции сохраняют общие делители чисел на карточеке: НОД (x—y, x) = НОД (x+y, y) = НОД (x, y). Поэтому ответ от пары = (819; 357) к паре (1; 2) или обратно нельзя.

У разженне 4. Можно ли с помощью операций L, R, S перейти a) от пары (1; 10) к паре (5; 25)? 6) от (18; 81) к (36; 63)? в от (589; 1984) к (31; 1953)?

Теперь мы можем сформировать ответ на последний, общий вопрос задачи 3: пару (a; b) можно перевести в пару (p; q) в том и molъко в том слуае, коеда НОД (a; b) = НОД (p; q). Это условие не обходимо, поскольку как мы уже говорили, наш операция сохраняет НОД. Но оно также и достаточно: если НОД (a, b) = НОД (p, q) = d, то каждую из этих пар операции L, R, S можно привести к паре (d; 0); проделав с пус к от (a; b) к (d; 0) и затем подъем от (d; 0) к (p; q), мы получим целочкув от (a; b) к (p; q).

25

Рис. 5. Операциями L, R, S можно поменять знак у одного числа на карточке.

Покажем, почему от любой пары $(a; b)$ можно перейти к паре $(d; 0)$. Заметим, что если один из элементов пары отрицательен, то его легко сделать положительным (рис. 5). А пару $(a; b)$ с натуральными и $b$ можно привести к паре $(d; 0)$ тем же способом, который мы применили в примерах: на каждом шаге (кроме перестановок-симметрий) больше элемент пары уменьшается до тех пор, пока мы не придем к финалу $\rightarrow (d; d) \rightarrow (0; d) \rightarrow (d; 0)$.

Решая задачу 3, мы получили удобный способ отыскания наиболее общого делителя двух чисел: от пары $(a; b)$, где $a > b > 0$, переходим к паре $(b; r)$, где $r$ — остаток от деления $a$ на $b$, и повторяем эту операцию до тех пор, пока не получим пару $(d; 0)$. Последний не равный нулю остаток $d$ и есть НОД $(a; b)$ (рис. 2, б, 3, б). Этот способ называется алгоритмом Евклида.

У праванения
5. Докажите, что из пары (1357; 2468) нельзя получить пару (1234; 5678); из пары (123; 457) нельзя получить (7890; 1979).

6. Приведите примеры, показывающие, что операция задачи 3 не перестановочные: $LS \neq SL, RS \neq SR$ (разумеется, $LR=RL$).

7. Найдите с помощью алгоритма Евклида НОД (589, 1984), НОД (123456789, 987654321).

Целочисленной решеткой $Z^2$ называется множество всех точек плоскости с целыми координатами.

Рис. 6. «Левый переок» $L(x; b) \rightarrow (x-b; b)$, «правый переок» $R(x; b) \rightarrow (x+b; b)$, «симметрия» $S(x; b) \rightarrow (b; x)$ — линейные преобразования плоскости, осуществляющие взаимно однозначные отображения целочисленной решетки $Z^2$ на себя.

26

Следующие упражнения и рисунок 6 проясляют геометрический смысл задачи 3:

8. Докажите, что если отрезок $OA$, где $O$ — начало координат, $A$ — узел целочисленной решетки $Z^2$, разбивает другими узлами на $d$ частей, то операции $L$, $R$ и $S$ узел $A$ можно перевести в узлы $(d; 0)$ и $(-d; 0)$ и нельзя перевести ни в какие другие точки оси $Ox$.

Упражнения 9 и 10 обобщют задачи 1 и 2:

9*. Пусть заданы $n$ натуральных чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$. Докажите, что целое число $c$ можно получить из 0 ходами $\pm a_1, \pm a_2, \dots, \pm a_n$ тогда и только тогда, когда $c$ делится на $HOД$ ($a_1, a_2, \dots, a_n$).

10*. а) Пусть на плоскости $Oxy$ заданы $n$ векторов $v_1, v_2, \dots, v_n$ с целочисленными координатами. Докажите, что множество точки $D$ плоскости, в которых можно попасть из точки $O$ ходами $\pm v_1, \pm v_2, \dots, \pm v_n$, представляет собой множество вершин некоторой косугульной решетки (так называется множество вершин параллелограммов, на которых два семейства равносторских параллельных прямых разрезают плоскость).

6. Пусть вместе с каждой вектором $v_i$ в семействе векторов $v_1, v_2, \dots, v_n$ имеется равный ему по длине и перpendикулярный. Тогда множество «достижимых» точки $D$ будет множество вершин некоторой квадратной решетки.

Теперь уже нетрудно найти ответ к задаче 1: пусть $m=dm_1, n=dn_1$, где $d=HOД(m, n)$; тогда, если $m_1+n_1$ нечетно, достижимы все поля $(dx; dy)$, где $x$ и $y$ — произвольные целые числа (решетка с шагом $d$); если же $m_1+n_1$ четно — поля $(dx; dy)$, где $x \in Z, y \in Z$ и $x+y$ четно (решетка с шагом $d\sqrt{2}$, повернуть на угол $45^\circ$ по отношению к линейным доки).

4. Некоторые итоги

В заключительной части статьи мы познакомим вас с двумя довольно трудными задачими. Но прежде, оглянувшись назад, попробем высказать общие сообщения, которые помогли нам — и помогут в дальнейшем — выяснять, возможно ли переход от одной «позиции» к другой, и назовем математическое «имена» тех понятей, которые встретились нам в задачах.

1°. Чтобы доказать невозможность того или иного перехода, мы обнаружили некоторое решение — характеристку позиции, сохраняющийшую (как говорят, инвариантную) при всех допустимых ходах, но различную для начальной и конечной позиций; таким образом, доказательство невозможности того или иного перехода сводилось к отрицанию инварианта. Таким инвариантом в задаче o {1; 3}-коне является цвет поля, в задаче 2 — остаток от деления числа на $HOД(a, b)$, в задаче 3 — НОД пары чисел на карточках. Подробнее об этом можно прочесть в «Кванте» 1974, № 2 (с. 26), 1976, № 2 (с. 32) и 1976, № 12 (с. 19).

2°. Чтобы построить целочкум переход на решетке, часто бывают полезно найти какой-то элементарный «ключевой» ход (или комбинацию ходов), либо свести до к какой-то простейшей кanonчесной позиции, — а затем уже формулировать общее правило (алгоритм) отискания переходов. Так, в задаче o {1; 3}-коне достаточно научиться делать ход по диагонали, в задаче 2 — сдвиг на $d=HOД(a, b)$, в задаче 3 — «спуск» кanonчесной позиции (d; 0).

3°. Во всех рассмотренных показах переходы были обратили к позиции $A$ можно было перейти к позиции $B$, то можно было вернуть и обратно — от $B$ к $A$. В таких задачах все множество позиций разбивается на классы эквивалентности: внутри одного класса от каждой позиции можно перейти к любоЙ другой, а никакие переходы между позициями из различных классов неозможно.

Сейчас мы рассмотрим задачу, в которой такой обратимость сообжения $1^\circ$ и $2^\circ$.

5. Избавление от двоеки

Задача 4. Три автората печатают на карточках пары натуральных чисел. Автоматы работыются следующим образом: первый авторат, прочитав карточку $(a; b)$, выдает карточку $(a+1; b+1)$; второй авторат, прочитав карточку $(a; b)$, выдает карточку $(a/2; b/2)$ (он работает только в том случае, когда она числа а и b четны); третьий авторат по двум карточкам $(a; b)$ и $(b; c)$ выдает карточку $(a; c)$.

Пусть первоначально имеет карточка $c$ парой чисел (5; 19). Можно ли, используя автораты в

27

лобом порядке, получить карточку a) (1; 50)? б) (1; 100)?

в) Пусть первоначально имеется карточка (a; b), a < b, а мы хотим получить карточку (1; n). При каких п его можно сделать?

Эта задача предлагалась на XII Всеюозной математической оптимизации ученикам 8—10 классов*. Впрочем, даже пятиклассик хватит знаний, чтобы решать ее.

Обозначим операции, которые выполняют наши новые автоматы, соответствующего через I, H и T. На рисунке 7 показано, как из карточки (5; 19) получить «простейшую» карточку (1; 8) и затем — карточку (1; 50) (вместо «k раз применить операцию I» мы снова пишем I^k). Таким образом, в задаче a) ответ утеверил те льный.

А вот карточку (1; 100), про которую спрашивает в задаче 6), из карточки (5; 19) получить неудается. Препятствие можно обнаружить, вымательно изучив тот же рисунок 7: разность чисел на каждой карточке делится на 7. В каком бы порядке мы ни применяли автоматы, избавиться от этого свойства не удалось — его сохраняют операции I, H и T. (Для I это оченьindo. Для H: если a и b — четные и b—a делится на 7, то и b/2—a/2 делится на 7. Для T: если разности b—a и c—a делится на 7, то и c—a=(c-b)+(b—a) делится на 7.) Но разность 100—1=99 на 7 не делится, так что ответ к 6) отрицательный.

Уражнение 11. Можно ли, использую автоматы I, H и T, a) из карточки (3; 33) получить карточки (5; 29), (1; 101), (1; 1978)?

6. Из карточки (5; 29) получить (3; 33), (1; 100), (1; 1979)?

Сформируем теперь ответ на последний, общий вопрос в) задачи 4: из карточки (a; b), в котором b—a=2^md, где d>0 и нечетно, можно получить me и только me карточки (p; q), в которых разность p—q>0 делится на d. Таким образом, можно избавиться от всех двое в разложении b—a, но нечетный делитель разности b—a служит непреодолимым прействием.

*) См. также задачу М516 из Задачника «Кванта» («Квант», 1978, № 8).

Рис. 7. С помощью операций I^q (увеличение на q), H (деление пополам), T («транзитивный» переход) из 519 получаем 150

Рис. 8. Большое число b на карточке можно уменьшить (d=b—a; a>1 или a=1, b нечетно).

В самом деле, как мы уже говорили (для d=7), из карточки, у которых разность делится на нечетное число d, с помощью операций I, H, T получаются только карточки, обладающие тем же свойствам. С другой стороны, от карточки (a; b), где b—a=2^md (d нечетно), можно перейти к карточке (1; d+1). (Один шаг такого перехода показан на рисунке 8.) Получив карточку (1; d+1), легко изготовить любую карточку (1; kd+1) (как

29

Рис. 9. Приведение к канонческому виду. При всех преобразованиях $L, R, S$ сохраняется площадь параллелограмма и расположение узлов целочисленной решетки внутри него.

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$ получится матрица с одинаковыми столбцами $\begin{pmatrix} p & p \\ q & q \end{pmatrix}$.

в) Матрицы $\begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 7 \end{pmatrix}$ и $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ тоже не эквивалентны; тут возникает новое препятствие: величина

$$\Delta = \Delta \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} = |ad - bc|.$$

Она сохраняется при всех преобразованиях $L, R, S$ матрицы $\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}$. Проверим это для $L: (a-b)d-b(c-d) = ad-bc$. (Для $R$ и $S$ проверите проверку сам.) Поскольку $\Delta \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 7 \end{pmatrix} = 3,$ а $\Delta \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1$, эти матрицы не эквивалентны. Заметим, что

$$\Delta \begin{pmatrix} p & p \\ q & q \end{pmatrix} = 0.$$

Величина $ad-bc$ очень часто возникает в разных задачах про матрицы и называется определенем матрицы $\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}$.

г) Матрицы $\begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 7 \end{pmatrix}$ и $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ эквивалентны: целочка преобразования, приводящих первый вектор $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ к канонческому виду $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, и небольшие дополнительные ихшренения приводят к целии (рис. 9). На рисунке 9 хорошо виден и наш инвариант $\Delta$: это — плошадь параллелограмма, построенного на векторах $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ и $\begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}$.

30

Рис. 10. В параллелограммах для матрицы $(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 3 \end{matrix})$ и $(\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{matrix})$ расположение узлов целочисленной решетки различно.

Осталось еще выяснить, д) эквивалентны ли матрицы $(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 3 \end{matrix})$ и $(\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{matrix})$. Оказывается, не т, хотя указывать прейстствие здесь не так просто. Его геометрический смысл ясен из рисунков 9 и 10.

Теперь мы можем дать ответ на общий вопрос задачи 5. Любую сокращенную матрицу операции $L, R, S$ можно преобразовать к канонческому виду

$$\begin{pmatrix} 1 & r \\ 0 & \Delta \end{pmatrix}, \quad \text{где } 0 \leq r < \Delta,$$

(1)

$$\text{НОД}(r, \Delta) = 1,$$

или

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \quad (\text{если } \Delta = 0).$$

Две матрицы эквивалентны модели и молко модели, когда выполенены условия (*) и соответствующие сокращенные матрицы имеют один и тот же канонческий вид. (Несколько иначе критерий эквивалентности формулирован в упражнения 20.)

В самом деле, любую сокращенную матрицу можно преобразовать к канонческому виду так же, как равше мы преобразовали матрицу $(\begin{matrix} 1 & 5 \\ 2 & 7 \end{matrix})$ (см. рис. 9). Тот факт, что $r$ является инвариантом, вытекает из упражнения 14, 15.

Уражнения

14*. Пусть матрица $\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}$ имеет канонческий вид (1). Тогда внутри параллелограмма $OABC$, построенного на векторах $\overrightarrow{OA} = (a; b)$ и $\overrightarrow{OC} = (c; d)$, лежит $\Delta-1$ целая точка. Все эти точки $M_1, M_2, \dots, M_{\Delta-1}$ могут быть получены при помощи векторных равенств:

$$\overrightarrow{OM}_j = \{j/\Delta\} \overrightarrow{OC} + \{j(1-r/\Delta)\} \overrightarrow{OA},$$

где $\{x\}$ — дробная часть числа $x$.

15. Пусть $\text{НОД}(a, b) = \text{НОД}(c, d) = 1, \Delta = |ad-bc| \neq 0$. Тогда существует единственное $r$ такое, что $0 \leq r < \Delta$, $\text{НОД}(r, \Delta) = 1$ и она числа $ra-c, rb-d$ делятся на $\Delta$, причем это $r$ сохраняет при преобразовании $L, R, S$ матрицы $(\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix})$.

Это упражнение удобно для конкретных вычислений числа $r$, если $\Delta$ не велико.

16. Какие матрицы среды следующих эквивалентны, а какие — нет:

$$\begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 7 & 2 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 & -5 \\ 2 & 7 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 9 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 5 & 8 \end{pmatrix},$$

$$\begin{pmatrix} 6 & 14 \\ 17 & 39 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 5 & 13 \\ 19 & 50 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 19 & 1 \\ 79 & 4 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 39 & 60 \\ 50 & 77 \end{pmatrix}?$$

17. Выше мы не рассматривали матрицы, у которых один из столбцов нулевой. В каком случае матрицы эквивалентны?

18. Докажите, что любые матрицы, у которых $\Delta=1$, эквивалентны.

19*. Сколько существует все классов нееквивалентных матриц с $\Delta=3, \Delta=4, \Delta=5, \Delta=10, \Delta=12$? Сколько средних сокращенных? Нарисуйте для каждой класса матрицы расположение узлов в соответствии со параллелограмме (как на рисунке 10).

20. Докажите, что для любой матрицы существенная эквивалентная ей матрица $(\begin{pmatrix} k & l \\ 0 & m \end{pmatrix})$, где $k \geq 0, m \geq 0, l \geq 0$ и $l < m$ при $m \neq 0$.

Другой возможный подход к задачам 3 и 5 — выяснить, какое вообще преобразование целочисленной решетки можно получить композициями операций $L, R, S$ (подобно тому, как в задаче 2 мы выяснили, какое вообще сdwги можно получить композициями сdwгов ±a, ±b). Оказывется, все эти преобразования решетки имеют вид $(x; y) \rightarrow (ax+by; cx+dy)$, где $a, b, c, d$ — целые числа и $|ad-bc|=1$. Но это уже — тема отдельной статьи, посвященной линейной алгебре.

31

Победители конкурса «Кванта»

В прошлом году редакция получила свыше 12 тысяч писем с решениями задач из Задачника «Кванта». Ниже публикуется список школьников — победителей нашего конкурса решения задач.

В соответствии с решением оргкомитета Всесоюзной олимпиады школьников победители получили право участвовать в четвертом (ресубликанском) туре Всесоюзной олимпиады 1979 года.

Математика

К. АБДУХАЛИКОВ — г. Алма-Ата, РФМШ, 10 кл.
А. АГАЕВ — с. Покровка АзССР, 9 кл.
В. АЙРИЯН — г. Ереван, РФМШ при ErГУ, 10 кл.
А. БАДАЛЯН — пос. Берд АрмССР, 10 кл.
А. БАЛИНСКИЙ — г. Львов, с. ш. № 11, 9 кл.
В. БОЛОТНИКОВ — г. Харьков, с. ш. № 27, 10 кл.
О. ГОРДИЕНКО — г. Павлодар, с. ш. № 3, 10 кл.
М. ГОРЕЛОВ — г. Белорец, с. ш. № 14, 10 кл.
Г. ГРАБАРНИК — г. Ташкент, с. ш. № 110, 10 кл.
В. ГУБА — г. Вологда, с. ш. № 8, 10 кл.
О. ДМИТРИЕВ — г. Саратов, с. ш. № 13, 10 кл.
Р. ИЗМАЙЛОВ — г. Баку, с. ш. № 134, 10 кл.
Ф. КАБДЫКАИРОВ — г. Алма-Ата, РФМШ, 10 кл.
А. КАПЛАН — г. Сумгаит, с. ш. № 11, 9 кл.
Г. КАРАГУЛЯН — г. Ереван, РФМШ при ErГУ, 10 кл.
А. КЕЛАРЕВ — г. Свердловск, с. ш. № 141, 9 кл.
С. КУЗНЕЦОВ — г. Ангарск, с. ш. № 10, 10 кл.
Е. КУЗЬМИН — г. Череповец, с. ш. № 4, 10 кл.
А. КУЛЕСКО — г. Донецк, шк.-инт. № 10, 10 кл.
Ю. ЛАПУСТА — г. Терноволь, с. ш. № 3, 10 кл.
Р. МЕШОЙРЕР — г. Москва, с. ш. № 444, 10 кл.
Д. МИНДЛИН — г. Ташкент, с. ш. № 5, 10 кл.
Б. НАДЕЖДИН — г. Москва, РФМШ № 18 при МГУ, 10 кл.
С. НОВИКОВ — г. Киев, РФМШ № 2 при КГУ, 9 кл.
А. ОПАРИН — г. Москва, РФМШ № 18 при МГУ, 10 кл.
А. ПОПЕЛЮХИН — г. Киев, РФМШ № 2 при КГУ, 9 кл.
М. СЕВРЮК — г. Москва, с. ш. № 2, 10 кл.
Ф. СУКОЧЕВ — г. Ташкент, с. ш. № 103, 10 кл.
О. ТАВГЕНЬ — г. Минск, с. ш. № 54, 10 кл.
К. ТАТАЛЯН — г. Ереван, с. ш. № 8, 10 кл.
В. УМАНСКИЙ — г. Баку, с. ш. № 134, 10 кл.
С. ХОСИД — г. Алма-Ата, РФМШ, 10 кл.

Физика

А. БАРЗЫКИН — пос. Черноголовка Московской обл.,с. ш. № 82,10 кл.
М. ГАВРИЛОВ — пос. Черноголовка Московской обл.,с. ш. № 82,10 кл.
К. ЖУКОВ — г. Москва, РФМШ № 18 при МГУ, 10 кл.
Е. ЗУДИН — г. Алексаандров, с. ш. № 4, 10 кл.
В. ЛАШКИН — г. Киев, с. ш. № 96, 10 кл.
Д. ЛЮДМИРСКИЙ — г. Киев, с. ш. № 145, 10 кл.
А. МОГИЛЬНЕР — г. Свердловск, с. ш. № 105, 10 кл.
И. ОМЕЛЯН — г. Львов, с. ш. № 11, 10 кл.
Т. ПАВЕЛКИНА — г. Киев, с. ш. № 145, 10 кл.
С. ПРЯДКИН — г. Киев, с. ш. № 145, 10 кл.
И. РОМАНОВСКИЙ — г. Лида, с. ш. № 1, 10 кл.
С. ШИШКОВ — г. Москва, с. ш. № 179, 9 кл.
М. ЭФРОИМСКИЙ — г. Ленинград, с. ш. № 30, 10 кл.

32

Задачи

M551—M555; Ф563—Ф567

M551. a) Какое наименьшее число точек достаточно отметить внутри выпуклого пятугольника, чтобы внутри любого треугольника с вершинами в верхинах пятугольника содержалась хотя бы одна отмечная точка?
6)* Тот же вопрос для выпуклого $n$-угольника.
Московская городская математическая олимпиада

M552. a) Найдите хотя бы одну пару $(p, q)$ целых чисел, отличных от нуля, для которого трехлены $x^2 + px + q$ и $x^2 + qx + p$ имеют целые корни.
6) Найдите все такие пары $(p, q)$.
Э Туркевич

M553*. Дан треугольник $ABC$, причем $|BC| < |AC| < |AB|$. На луках $BA$ и $CA$ отличены отрезки $BD$ и $CE$ также, что $|BD| = |CE| = |BC|$. Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника $ADE$, равен расстоянию между центрами окружности, описанной около треугольника $ABC$, и окружности, описанной в него.
С. Мейдман

M554*. Наозовем натуральное число $n$ хорошим, если существуют такие натуральные числа $a_1, a_2, \dots, a_k$ (не обязательно различные), что
$$a_1 + a_2 + \dots + a_k = n,$$
и
$$\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_k} = 1.$$

Известно, что все числа между 33 и 73 — хорошие. Докажите, что все числа, больше 73, — тоже хорошие.
Математическая олимпиада США (1978 г.)

M555. Расстояние пересечения
a) двух;
b) трех
цилиндров одинакового радиуса $r$, оси которых взаимно перpendикулярны и проходят через одну точку. Сколько плоскостей симметрины имеет это пересечение? Каков его объем?
С. Пухов

33

Ф563. Посередние барометрический трубки имеют стольик воздуха (рис. 1). Площадь секения трубки $s = 0,3 \text{ cm}^2$. При температуре $t = 0^\circ\text{C}$ длина стольника равна $l_0 = 10 \text{ cm}$. Какой станет длина этого стольника при $t = 20^\circ\text{C}$?

Ф564. Автомобиль движется по повороту дороги радиуса $R$. Внезапно водитель увидел на дороге преястствие и начал тормозить. Какое расстояние автомобиль пройдет до остановки, если его скорость равна $v_0$, коэффициент трения колес о дорогу $k$ и автомобиль тормозит с максимальной возможным постоянымускорением?

Рис. 1.

Рис. 2.

Ф565. На рисунке 2, взятом из работы Милликена, приведена зависимость задерживающего направления от частоты света в опытах по фотоэфекту. Определить из этого графика отношение постоянной Планки $h$ к заряду электрона $e$.

Рис. 3.

Ф566. Атом, движущийся со скоростью $v (v \ll c)$, испускает фотон под малым углом $\alpha$ к направлению свего движения. Доказать, что если $\omega_0$ — частота излучения покоящего атома, а $\omega$ — частота волны фотона, то для видимого света $\frac{\omega_0 - \omega}{\omega_0} \approx \frac{v}{\cos \alpha}$ (формула Доплера).

Ф567. На рисунке 3 приведена зависимость тока через автомобильную лампочку от направления на ней. Лампочку включают в цель, показанную на рисунке 4. Найти мощность, выделяяощуся на лампочке.

Рис. 4.

34

Решения задач
M504, M506, M507; Ф513, Ф516, Ф517

М504. На шахматную доску $n \times n$ клеток уложено $k$ плимок размером $2 \times 1$, причем мак, что положить $(k+1)$-ю плимку, не перемещая уже имеющих плимок, нельзя. Доказите, что свободных клеток осталось не более чем $a) (n^2+n+1)/3$;
$b) (n^2+2)/3$;
$c) n^2/3$.

Можно ли получить для некоторых $n$ еще более мощную оценку?

Рис. 1.

Рис. 2.

Эта клетка обязаетно свободная

Рис. 3.

Рис. 4.

Пусть свободных клеток $x$.

a) Сопоставим каждой свободной клетке, не лежащей на верхней горизонтали доски, плитку, «накрывающий» ее сверху (рис. 1). Ясно, что каждая плитка сопоставлена не более чем одной клетке (так что количество свободных клеток, не лежащих на верхней горизонтали доски, не больше одного количества $\frac{n^2-x}{2}$ плиток, уложенных так, как сказано в задаче). Пусть на верхней горизонтали доски $x_1$ свободных клеток; тогда $x_1 \leq \frac{n+1}{2}$. Имеем $x-x_1 \leq \frac{n^2-x}{2}$, то есть

$$3x \leq n^2+2x_1 \leq n^2+n+1,$$

откуда

$$x \leq (n^2+n+1)/3.$$

6. Обозначим через $x_1$ количество свободных клеток внутри доски, через $x_2$— количество свободных клеток на границе доски, не считая угловых клеток; наконец, через $x_3$ обозначим количество свободных угловых клеток доски. Тогда $x=x_1+x_2+x_3$. Через $y_1$ обозначим количество расположенных строгого внутри доски л и то к; через $y_2$— количество плиток, выходящих на края доски хотя одной клеткой; тогда $y_1+y_2 = \frac{n^2-x}{2}$.

Подсчитаем, сколько имеет пр. с свободная клетка — граница с ней плимка. С одной стороны, их $4x_1+3x_2+2x_3$. С другой стороны, поскольку плитки уложены так, что добавить ни одной уже нельзя, этих пар не более чем $4y_1+3y_2$ (каждая плитка, выходящая на края доски, граничит не более чем с третья клетками, а каждая плитка строгого внутри доски — не более чем с четырьмя). Позному

$$4x_1+3x_2+2x_3 \leq 4y_1+3y_2.$$

Поскольку две свободные клетки на границе доски разделяются плиткой, имеем

$$x_2+x_3 \leq y_2.$$

Складывая неравенства (1) и (2), получаем

$$4x_1+4x_2+3x_3 \leq 4(y_1+y_2),$$

или

$$x-\frac{1}{4}x_3 \leq \frac{n^2-x}{2}.$$

Но $x_3 \leq 4$; значит, $x \leq \frac{n^2-x}{2} + 1$ или $3x \leq n^2+2$, откуда $x \leq (n^2+2)/3$.

в) Заметим, что если неравенство (1) — строгое, то мы получим то, что надо в пункте в): строгое неравенство $x < \frac{n^2-x}{2} + 1$ равносильно таким путем:

$$x \leq \frac{n^2-x}{2}, \text{откуда } x \leq \frac{n^2}{3}.$$

Позному, если допустить, что $x > \frac{n^2}{3}$, то во всяком случае нужно, чтобы к каждой плитке обязаτεльно прилегало максимальное число свободных клеток. В частности, к любой стороне плитки длины 1, не управающейся в край доски, должна прилегать

35

Свободная клетка. Поэтому плитки должны располагаться «рядами» (рис. 2), причем «ряды» не могут ни упраться друг в другу, ни пересекаться друг с другом, поскольку и в том и другом случае возникнет картина, изобразенная на рисунке 3,— до тех пор, пока не достигнет края. Значит, все «ряды» должны быть параллельны, что возможно лишь тогда, когда $n$ делится на 3. В этом случае число плиток равно $n^2/3$ (соответствующий пример изображен на рисунке 4). Итак, для досок $n \times n$, где $n=3k$, оценка $\frac{n^2}{3}$ — точная.

C. Фомин

Не ограничивающая общности, можно считать, что $0 < a \leq b \leq c \leq d$. Сложив три очередных неравенства
$$a(a-b)(a-c)(a+2d) \geq 0,$$
$$a(a-b)(a+2c)(a-d) \geq 0,$$
$$a(a+2b)(a-c)(a-d) \geq 0,$$
получим
$$3a^4 - 3a^2(bc + bd + cd) + 6abcd \geq 0,$$
или
$$a^4 - a^2(bc + bd + cd) + 2abcd \geq 0.$$

С другой стороны, неравенство
$$b^4 + c^4 + d^4 - a^2(b^2 + c^2 + d^2 - bc - bd - cd) - b^2c^2 - b^2d^2 - c^2d^2 \geq 0$$
эквивалентно очередному
$$[(b+c)^2 - a^2](b-c)^2 + [(b+d)^2 - a^2](b-d)^2 + [(c+d)^2 - a^2](c-d)^2 \geq 0.$$

Сложив неравенства (1) и (2), получим утверждение задачи.
Приведем решение этой задачи, используем математический анализ. Нам понадобится следующая геометрическая оценная
Лемма. Если функция $f$ имеет неотрицательную произвольную в каждой точке луца $[x_0; +\infty[$, то она— неубывающая на этом луце.
Заметим, что если какое-то два из чисел $a, b, c, d$ совпадают, то доказывающее неравенство справедливо. В самом деле, пусть направим, $a = d$. тогда наше неравенство можно переписать так:
$$a^4 + 2(bc - b^2 - c^2)a^2 + b^4 + c^4 - b^2c^2 \geq 0.$$

Левая часть неравенства (3) — квадратный трехчлен относительно $a^2$ с неположительным дискрипиментом $-2bc(b-c)^2$, поэтому (3) справедливо.

Перепишем теперь требуемое неравенство в таком виде:
$$d^4 - (a^2 + b^2 + c^2)d^2 + 2abcd + a^4 + b^4 + c^4 - a^2b^2 - a^2c^2 - b^2c^2 \geq 0$$

и рассмотрим левую часть (4) как функцию от $d$; обозначим эту функцию через $f$. Нам нужно доказать, что $f(d) \geq 0$ при $d \geq c$ (и $0 < a \leq b \leq c$). Имеем:
$$f'(d) = 4d^3 - 2(a^2 + b^2 + c^2)d + 2abc,$$
так что $f'(c) = 2c^3 - 2(a^2 + b^2)c + 2abc \geq 0 (0 < a \leq b \leq c)$.
Далее,
$$f''(d) = 12d^2 - 2(a^2 + b^2 + c^2) \geq 0$$

при $0 < a \leq b \leq c$. Поэтому по лемме $f'(d) \geq f'(c) \geq 0$ при $d \geq c$. Используя то, что $f(c) \geq 0$ (см. замечание выше) и $f'(d) \geq 0$ при $d \geq c$, и снова применяя лемму, получим неравенство $f(d) \geq 0$ при $d \geq c$, которое и требовалось.

Интересное обобщение этого неравенства придумал Ф. Шлеёфер (Рязань): для любых $a_1, \dots, a_n$
$(n-1)(a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2) + n\sqrt{a_1^2 \cdot a_2^2 \cdot \dots \cdot a_n^2} \geq (a_1 + a_2 + \dots + a_n)^2$.

При $n=4$, $a_1=a^2$, $a_2=b^2$, $a_3=c^2$, $a_4=d^2$ получим утверждение нашей задачи.

В. Сендеров, Э. Туркевич

36

М507. Пусть $a_1 < a_2 < \dots < a_n < 2n$ — конечная последовательность натуральных чисел ($n \ge 6$).
a) Доказим, что
$$\min [a_i, a_j] \leq 6 \left( \left[ \frac{n}{2} \right] + 1 \right),$$
еще $[a_j, a_j]$ означает наименьшее общее кратное чисел $a_i$ и $a_j$, а минимум берется по всем параметры чисел $a_i, a_j$.
b) Доказим, что
$$\max (a_i, a_j) > \frac{38n}{147} - c,$$
еще $c$ не зависит от $n$, а $(a_i, a_j)$ означает наименьший общий делитель $a_i$ и $a_j$.
Оценки в задачах a) и b) нельзя улуцишь (мо есть коэффициент 6 заменить меньшим, а $\frac{38}{147} - \text{большим}$).

Ниже будет доказано более общее утверждение. Пусть $a_1 < a_2 < \dots < a_n \leq 2n$.
a) Докажем, что требуем неравенство выполняется при $n \ge 5$. Пусть среди элементов последовательности $a_1, a_2, \dots, a_n$ найдется число $a \leq n$. Если число 2a также принадлежит данной последовательности, то
$$\min [a_i, a_j] \leq [a, 2a] = 2a \leq 2n \leq 6 \left( \left[ \frac{n}{2} \right] + 1 \right),$$
что дает решение задачи. Если же 2a не принадлежит последовательности, то выбросим из нее число $a$ и заменим его на 2a. Ясно, что $\min [a_i, a_j]$ для новой последовательности не меньше, чем для исходной. Применив это же рассужение к каждому элементу $a \leq n$, мы приdem в конце концов к последовательности $n + 1, n + 2, \dots, 2n$, причем
$$\min [a_i, a_j]$$ для этой последовательности не меньше соответствующего минимума для любой другой последовательности, из которой она была получена, в частности — для исходной.
Докажем теперь, что для последовательности $n + 1, n + 2, \dots, 2n$ при $n \ge 5$ выполняется равенство
$$n + 1 \leq a < b \leq 2n$$
и
$$[a, b] = 6k + 6 = 6 \left( \left[ \frac{n}{2} \right] + 1 \right).$$

А теперь проверим, что для любой пары чисел $c, d$, удовлетворяющей условию $n + 1 \leq c < d \leq 2n$, выполняется неравенство $[c, d] \geq 6 \left( \left[ \frac{n}{2} \right] + 1 \right)$. Действительно, $[c, d] = pd = qc$, где $q > p > 1$. При этом либо $p = 2$ и $q \ge 3$, либо $q \ge 4$. В первом случае $c$ — число четное, тем самым $c \ge 2 \left( \left[ \frac{n}{2} \right] + 1 \right)$ и $[c, d] = qc \ge 3c \ge 6 \left( \left[ \frac{n}{2} \right] + 1 \right)$. Во втором случае $[c, d] = qc \ge 4 (n + 1) \ge 6 \left( \left[ \frac{n}{2} \right] + 1 \right)$. Этим завершается доказательство утверждения a).

6. Рассмотрим более общую задачу: пусть $a_1 < a_2 < \dots < a_k \leq B$ — последовательность натуральных чисел; пребуем оценить силу $max (a_i, a_j)$. Для этого полезно обратную задачу: пусть $A, B$ — положительные (не обязательное целое) числа; определить максимальное $k$, для которого найдется последовательность из $k$ различных натуральных чисел $a_1, a_2, \dots, a_k$ максим, что
   (1) какный элемент последовательности не превышает $B$;
   (2) $(a_i, a_j) \leq A$ для любых различных элементов $a_i, a_j$.
   Будем обозначать это максимальное количество через $k (A, B)$. Для решения исходной задачи нужно подобрать $A$ так, чтобы $k (A, 2n)$ примерно равнялось $n$. Действительно, если для каждого $A$
   $$k (A, 2n) < n,$$
   то для любой последовательности $a_1 < a_2 < \dots < a_n \leq 2n$ будет
   $$max (a_i, a_j) > A;$$
   если же $k (A, 2n) \ge n$, то найдется последовательность $a_1 < a_2 < \dots < a_n \leq 2n$ также, что
   $$max (a_i, a_j) \leq A.$$
   Пусть $a_1, \dots, a_k$ — последовательность, удовлетворяющей условиям (1) и (2). Если у какого-то элемента $a_i$ этой последовательности найдется с обстенены (то есть не совпадающий с $a_i$) делитель $d > A$, то в силу условия (2) $d$ не является элементом последовательности. Тогда, заменяя

37

$a_i$ на $d$, мы получим новую последовательность той же длины, также удовлетворяющий условиям (1) и (2). Поступая таким же образом, мы получим в конце концов последовательность, в которой никакой элемент не имеет собственных делительей, больших $A$. Такую последовательность называем неократимой.

Рассмотрим теперь множество $M$ всех натуральных чисел, которые не превосходят $B$ и не имеют собственных делителей, больших $A$. М является неократимой последовательностью, удовлетворяющей условиям (1) и (2), и любая другая неократимая последовательность содержится в $M$. Поэтому ясно, что $k(A, B)$ просто равно числу элементов $M$.

Чтобы подсчитать число элементов множества $M$, осуществляем отдельно число четырех элементов, число нечетных элементов, делящихся на 3, и т. д. Более точно, пусть $M_2$ состоит из всех четырех элементов множества $M$, $M_3$ состоит из всех четырех элементов из $M$, делящихся на 3, $M_5$ состоит из всех четырех элементов $M$, делящихся на 5, но не делящихся ни на 2, ни на 3. И вообще, для любого простого числа $p$ множество $M_p$ состоит из тех элементов множества $M$, которые делятся на $p$ и не имеют простых делителей, меньших $p$.

Подсчитаем число элементов множества $M_p$. Любой элемент из $M_p$ имеет вид $pc$, где $c \leqslant A$ (так как $M$ — неократимое множество), $pc \leqslant B$ и $c$ не имеет простых делителей, меньших $p$. Если $pA \leqslant B$, то условие $pc \leqslant B$ можно не применять во внимание, и число элементов $M_p$ равно количеству натуральных $c \leqslant A$, не имеющих простых делителей, меньших $p$ (такое число будем обозначать через $m_p(A)$). Если же $pA > B$, то число элементов $M_p$ равно $m_p\left(\frac{B}{p}\right)$ и не превосходит $m_p(A)$.

Зафиксируем простое число $p$. Множества $M_2, M_3, M_5, \dots, M_p$, вообще говоря, не исчерпывают множества $M$. Обозначим через $N$ множество всех оставшихся элементов $M$. Они не имеют делителей среди чисел 2, 3, 5, …, $p$, поэтому их количество не превосходит числа $m_q(B)$, где $q$ — следующее за $p$ простое число. Таким образом,

$$k(A, B) \leqslant m_2(A) + m_3(A) + \dots + m_p(A) + m_q(B).$$

Если $pA \leqslant B < qA$, то это неравенство превращается в равенство. Действительно, ясно, что каждое $M_r$ содержитровно $m_r(A)$ элементов. С другой стороны, каждое число $c \leqslant B$, которое не имеет делителей, меньших $q$, не имеет тем самым делителей, больших $A$ (если $c = df$, где $d > A$ и $c \leqslant B < qA$, то $f < q$), и поэтому входит в $N$; следовательно, $N$ содержит $m_q(B)$ элементов.

Теперь займемся оценкой чисел вида $m_r(C)$. Во-первых, $m_2(C)$ равно количеству всех натуральных $l \leqslant C$, то есть равно $[C]$, и отличается от $C$ меньше, чем на 1. Далее, $m_3(C) = m_2(C) - m_2\left(\frac{C}{2}\right)$ (количество всех $l \leqslant C$ меньше, чем на 1, то $m_3(C)$ отличается от $C$ $\left(1 - \frac{1}{2}\right)$ меньше чем на 2).

Рассудядя таким же образом, мы получим, что если $p$ и $q(p < q)$ — два соседних простых числа, то $m_q(C) = m_p(C) - m_p\left(\frac{C}{p}\right)$, откуда индикцией получается, что $m_q(C)$ отличается от числа $C\left(1 - \frac{1}{2}\right)\left(1 - \frac{1}{3}\right) \dots \dots \left(1 - \frac{1}{p}\right)$ меньше, чем на $2^{i-1}$, где $i$ — номер простого числа $q$. Иначе говоря, обозначив через $Z_q$ произведение всех чисел вида

38

$$\left(1 - \frac{1}{r}\right),$$
где $r$ — простое число, меньше $q$ (и положив $Z_2 = 1$), получим

$$|m_q(C) - C \cdot Z_q| < 2^{i-1}$$

($i$ — номер простого числа $q$). Таким образом, для числа $k(A, B)$ верны следующие оценки:

$$k(A, B) \leq m_2(A) + \ldots + m_p(A) + m_q(B) < A(Z_2 + Z_3 + \ldots + Z_p) + B \cdot Z_q + 1 + 2 + \ldots + 2^{i-1} = A(Z_2 + \ldots + Z_p) + B \cdot Z_q + (2^i - 1);$$

если же $pA \leq B \leq qA$, то

$$k(A, B) = m_2(A) + \ldots + m_p(A) + m_q(B) > A(Z_2 + \ldots + Z_p) + B \cdot Z_q - (2^i - 1).$$

(3)

Вернемся теперь к исходной задаче и выясним, при каких $A$ $k(A, 2n) < n$. Для этого достаточно решить относительно $A$ неравенство

$$A(1 + Z_3 + \ldots + Z_p) + 2n \cdot Z_q + (2^i - 1) \leq n.$$

Беря $p$ равным 3,5 или 7, мы получим, соответственно,

$$A \leq \frac{2}{9}n - \frac{14}{3}, \quad A \leq \frac{14}{55}n - \frac{90}{11},$$

$$A \leq \frac{38}{147}n - \frac{310}{21}.$$

При $p = 7$ появляется тиннстевенный множитель $\frac{38}{147}$, самый большой из трех. Брать $p \geq 11$ бессмысленно, так как $11 \cdot \frac{38}{147}n \geq 2n$, и неравенства для $k(A, 2n)$ будут менее точными. Итак, мы доказали, что при $n \geq 2$ для любой последовательности $a_1 < a_2 < \ldots < a_n \leq 2n$

$$\max(a_i, a_j) > \frac{38}{147}n - \frac{310}{21}.$$

Чтобы доказать, что коэффициент $\frac{38}{147}$ нельзя увечит, возьмем $A = \frac{38}{147}n + \frac{310}{21}$. Тогда при $n \geq 543$ будет $7A \leq 2n < 11A$, и, используя неравенство (3), получаем $k(A, 2n) \geq n$. Следовательно, при $n \geq 543$ всегда найдется последовательность $a_1 < a_2 < \ldots < a_n \leq 2n$, для которого

$$\max(a_i, a_j) \leq \frac{38}{147}n + \frac{310}{21}.$$

Если оценить $m_r(C)$ следует аккуратной, то можно получить более точные неравенства: при $n \geq 2$ для любой последовательности $a_1 < a_2 < \ldots < a_n \leq 2n$

$$\max(a_i, a_j) \geq \frac{38}{147}n - \frac{73}{49};$$

и, кроме того, существует последовательность $a_1 < a_2 < \ldots < a_n \leq 2n$, для которого

$$\max(a_i, a_j) \leq \frac{38}{147}n + \frac{73}{49}.$$

(замечательно то, что константу $\frac{73}{49}$ в этих неравенствах уменьшить уже нельзя).

Д. Берништейн