Квант 1979, №4 · Страницы

КЕАНМ
4
1979

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - MATEMATIЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

Эта «летающая тарелка» — близкий родственный многограничка, модель которого была показана на второй странице обложки «Квата» № 1. Подробнее см. четвертую страницу обложки этого номера.

В. Гамаюнов

Красивый муаровый узор на первой странице обложки получен с помощью ЭВМ.
Муаровые узоры возникают при наложении двух семейств линей, каждое из которых содержит близко расположенные непересекающей линей. При наложении линей двух семейств должны пересекаться под небо́льшим углам. Тогда расстояние между полосами будет существенно больше расстояний между линями семейства. В этих условиях от небольшего смесения линей одного из семейств положение полос узора может сильно измениться. Поэтому вычертить вручную муаровый узор очень сложно. Для этой цели лучше применить ЭВМ и управляемый от нее графопостроитель.

Воспроизведенный на обложке узор выполнен системой графического отображения АЛГРАФ. Однако из семейств линей — параллельные равномерно расположенные прямые, другое — дуги синусoid, амплитуда и длина волны которых меняются по квадратическому закону.

Ю. Котов

1

В номере:

М. Смолянский. Международные космические экипажки
Г. Балк, М. Балк, В. Болтянский. Метод малых шевелений
И. Белкин. О Ньютоновских законах движения. Сила

Лаборатория «Квант»
О. Кабардин, Н. Шефер. Самодельные диффраクционные решетки

Математический кругхок
И. Янматов. Коммутирующие многочлены

Задачик «Квант»
Задачи М556—М560; Ф568—Ф572
Решения задач М508 — М512; Ф515, Ф518 — Ф520
Список читателей, приславших правильные решения задач из Задачника «Квант» (32, 36, 51).

По страницам школьных учебников
В. Дубровский. Площадь поверхности по Минковскому «Квант» для младших школьников
Задачи
С. Гиндикин. Арифметика на клетчатой бумаге

Практикум абитуриента
В. Можаев. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях
Н. Розов Читатель советуют

Варианты вступительных экзаменов вузы в 1978 году
Казанский государственный университет им. В. И. Ульянова-Ленина
Ярославский государственный университет
Дальневосточный государственный университет (физический факультет)
Московский архитектурный институт

Рецензии, библиография
И. Клумова, М. Смолянский. Новые книги
В. Лешковцев. У истоковatomной энергетики

Ответы, указания, решения
Смеся (9, 16, 56)

© Главная редакция физico-matематической литературы издательства «Нука», «Квант», 1979

2

Международные космические экипажи

2 марта 1977 года навесeda войдет знаменательной датой в историю космонавтики. В этот день впервые на корабле «Союз-28» на космическую орбиту был выведен международный экипаж, состоящий из командира корабля летучка- космонавта СССР Героя Советского Союза Алексея Губарева и космонавта-исследователья гражданна ЧССР Владимира Ремека.

Запуском корабля «Союз-28» открылся новый этап в исследовании и исследовании космического пространства в мириных целях, проводимых социалистическими странами по программе сотрудничества «Интеркосмос».
Программа полега первого междунарного экипажа космонавтов была весна насыщенной — она предусматривала стыковку корабля «Союз-28» с орбитальным научно-исследовательским комплексом «Салют-6» — «Союз-27», пилотируемым космонавтами Ю. Романенко и Г. Гречко, и проведение на борту станции совместных исследований и экспериментов.

17 июня 1978 года в Советском Союзе был осуществлен запуск космического корабля «Союз-30», на борту которого находился второй международный экипаж в составе командира корабля дважды Героя Советского Союза летучка- космонавта СССР Петра Климука и космонавта - исследователья гражданна ПНР Мирославова Гермашевского.

Программа полега предусматривала стыковку с орбитальным научно-исследовательским комплексом «Салют-6» — «Союз-29», пилотируемым космонавтами В. Ковалёнком и А. Иваченковым, и проведение на борту станции совместных исследований и экспериментов.

26 августа 1978 года был осуществлен запуск космического корабля «Союз-31», пилотируемого третьим междунарным экппажем в составе командира корабля дважды Героя Советского Союза летучка- космонавта СССР Валерия Быковского и космонавта-исследователья гражданна ГДР Зигмунда Иена.

Программа полега предусматривала стыковку с орбитальным научно-исследовательским комплексом «Салют-6» — «Союз-29» и продолжение совместно с Ковалёнком и Иваченковым исследованием и экспериментов, начаты предыдущими экипажами.

Идея международных полегов космонавтов социалистических стран по программе «Интеркосмос» была вывидинута Советским Союзом еще в 1976 году. В июле и сентябре в Москве состоялось совещание представителей НРБ, ВНР, ГДР, ПНР, ресурсники Куба, МНР, СРР, СССР и ЧССР, на которых были обсуждены организации вопросы, связанные с подготовкой к междунарным пилотируемым космическим полетам. В конце 1976 года в Москве прибыли

В. Ремек (ЧССР), А. Губарев (ССР) на одной из тренировок.

А. Иваченков, В. Ковалёнок (ССР) в Центре подготовки космонавтов им. Ю. А. Гагарина.

3

ла первая группа кандидатов в космонавты — граждан ЧССР, ПНР и ГДР — и уже в декабре 1976 года они приступили к тренировкам и занятиям в Центре подготовки космонавтов имени Ю. А. Гагарина. Дружеская товарищеская помощь опытных советских специалистов и космонавтов позволила им в кратчайшие сроки получить необходимые теоретические и практические знания.

Эксперименты, проведенные в рамках этой программы, весна обширны. Они ведутся в русле таких важных направлений, как космическая физика, дистанционное зондирование Земли, космическая технологическая космическая биология и медицина.

В настоящее время в Центре подготовки космонавтов им. Ю. А. Гагарина тренируются кандидаты в космонавты — граждан НРБ, ВНР, МНР, ресурсники Куба и СРР, которые до 1983 года также совершат полеты на советских космических кораблях.

М. Смолянский
Фото А. Моклецова

А. Губарев (СССР), О. Пельчак, В. Ремек (ЧССР) у орбitalной станции «Салют-6».

Экппаж «Союз-30» П. Климук (СССР) и М. Гермашевский (ПНР) в Центре подготовки космонавтов им. Ю. А. Гагарина на одной из тренировок.

В. Быковский (СССР), З. Иен (ГДР) в Центре подготовки космонавтов им. Ю. А. Гагарина на одной из тренировок.

4

Метод малых шевелений

При использовании геометрических высказываний на правдополобие, при поиске контриримеров математик нередко рассуждает так:

— Возму случай, когда высказывание подтверждается, и «пошевелю» одну точку (или отрезок, или какое-либо другое множество точек). Не могу ли я таким способ получить такой случай, когда высказывание не подтверждается?

Рассмотрим простой пример:

Задача 1. Из точки P, расположенной внутри выпуклого многоугольника, опускаются перpendикуляры на его стороны или на их продолжения. Условимся основание макоzo перpendикуляра называть «прямным», если оно принадлежит стороне, и «непрямным» в противном случае. Верно ли, что всякая внутренняя точка любого многоугольника имеет по крайней мере две прямыные проекции?

Решение. Возьмем сначала в качестве исходного выпуклого многоугольника треугольник ABC. Если он остроугольный, то все проекции любой его внутренней точки — пряные. Пусть ΔABC типугольный. В этом случae внутри него легко выбрать такую точку P, у которой будет две пряные проекции (рис. 1). Тепер не трудно построить выпуклый четырехугольник и точку, лежащую на его контуре, так, чтобы эта точка имела только одну прят-

Рис. 1.

6

Рис. 4.

Задание 4а. Можно ли расположить в пространстве два конгузительных правильных метраэдра, так, чтобы при отроцальном проектировании их на некоторую — одну и ту же — плоскость проекция одного метраэдра лежала целиком (включая и ее границу) внутри проекции другого метраэдра?

Решение е. Расположим метраэдр $T'$ так, чтобы его грань $A'B'C'$ лежала в плоскости проекции $\alpha$ (рис. 4). Второй метраэдр $T$ расположим сначала так, чтобы проекция его грани $ABC$ на плоскость $\alpha$ совпала с треугольником $A'B'C'$. Теперь, шевеля метраэдр $T$, попытается достичь того, чтобы его проекция на плоскость $\alpha$ оказалась целиком внутри треугольника $A'B'C'$. Прежде всего поверхметра $T$ так, чтобы внутри треугольника $A'B'C'$ оказалась проекция вершины $C$. Это можно сделать, например, так: поверхметра $T$ вокруг ребра $AB$ до положения, в котором ребро $CD$ становится перpendикулярным плоскости $\alpha$. При этом проекцией метраэдра $T$ оказется равноведенный треугольник $A_1B_1C_1$, причем $|A_1B_1| = |A'B'|$ (рис. 5).

Пошевелим теперь метраэдр $T$ так, чтобы проекция ребра $AB$ оказалась короче отрезка $A'B'$. Для этого отметим середины $F$ и $K$ ребер $AB$ и $CD$ и поверхметра $T$ на малый угол вокруг прямой $FK$. После такого шевеления проекцией метраэдра $T$ на плоскость $\alpha$ оказется трапеция

Рис. 5.

$A_2B_2C_2D_2$ (рис. 6). Если угол поворота достаточно мал, то эта трапеция будет расположена в треугольнике $A'B'C'$, причем сторона $A_2B_2$ будет лежать на границе этого треугольника.

Чтобы трапеция оказалась целиком внутри треугольника $A'B'C'$, достаточно теперь подвергнуть метраэдр еще одному шевелению, а именно, сдвинуть метраэдр на малый вектор, колlinearный вектор $FK$ (рис. 7).

Мы видим, что метраэдры $T$ и $T'$ можно расположить в пространстве таким образом, чтобы проекция метраэдра $T$ на плоскость $\alpha$ оказалась лежащей целиком внутри проекции метраэдра $T'$ на ту же плоскость. Задание 4а решена.

Значит, возможно в метраэдре $T'$ просверлить отверстие, через которое проедет метраэдр $T$ (просверливать отверстие в $T'$ следует перепendlкулярно плоскости $A'B'C'$, причем так, чтобы проекций отверстия на плоскость $A'B'C'$ оказалась какая-либо фигура, содержащая внутри себя трапецию $A_3B_3C_3D_3$ и лежащая внутри треугольника $A'B'C'$.

Идею малых шевелений полезно привлечь и тогда, когда в каком-то множество фигуры требуется выбрать (построить, найти) ту, которая в том или ином смысле является «наилучший» (например, имеет наименший перimeter, наиболее шумную площадь и т.п.). В таких задачах основ-

7

Рис. 6.
ная трудность состоит в том, чтобы сначала угадать правильный ответ; для этого и может оказаться полезным метод малыхшевелений: возьмем сначала какую-то фигуру из данного множества и попробем малымшевелением ее улущить. Если это неудается, то правдополобно, что взятая фигура является искомой (за этим, разумется, должно последовать строое доказательство).

Задание 5. Внутри уела C, меньшего, чем развернутый, дана точка P. Указите способ построения прямой, проходящей через точку P и отсекающей от уела C треугольник наименьшего периметра.

Понск решения. Проведем через точку P произвольную прямую A’B’ (рис. 8), и пусть Γ — «вневписанная» окружность для ΔA’CB’, касающаяся стороны A’B’ и продолженной сторон CA’ и CB’. Представим себе сначала, что окружность Γ расположена «далеко» от точки C. Периметр 2p треугольника A’CB’ равен
2p = |A’C| + |CB’| + |A’B’| =
= |A’C| + |CB’| + |A’T| + B’T| =
= |A’C| + |CB’| + |A’M| +

• |B’N| = |CM| + |CN|.
  Будем приближать касательную окружность Γ к вершине C, уменьшая ее радиус. При этом будет уменьшаться отрезки CM, CN, а значит, и перimetр 2p = |CM| + |CN| треугольника A’CB’. Если точка P расположена в не окружности Γ, то мы можем пошевелить эту

Рис. 7.
окружность так, чтобы ее центр немного приблизился к вершине C, но чтобы точка P еще по-прежнему оставалась в не окружности Γ; при этом перimetр треугольника A’CB’ уменьшится.

Такая возможность — полученная наряду с данным треугольником другой треугольника с меньшим перimetром — исчезнет, как только точка P оказывается не в не окружности Γ, а на этой окружности. Поэтому правдополобно, что треугольник минимального перimetра получится тогда, когда прямая A’B’ будет касаться окружности, проходящей через точку P и касающейся сторон угла C.

Решение. Построим какую-либо окружность Γ’, вписанную в угол C; пусть O’ — ее центр. Далее, обозначим через P’ первую (считая от C) точку пересечения луча CP с построенной окружностью. При готовении с центром C и коэффициентом k = |CP| / |CP’| точка P’ перейдет в точку P, и потому окружность Γ’ перейдет в окружность γ, вписанную в угол C и проходящую через точку P. (Заметим, что окружность, обладающая этим свойствами, единственная; это также вытекает из сообщения готовения.) Через AB обозначим касательную к окружности γ, проведенную через точку P (точки A и B лежат на сторонах угла).

Доказем, что треугольник ABC — искомый. В самом деле, если

8

Рис. 8.

[АB] — какой-либо (отличный от [АВ]) отрезок с концами на сторонах угла, проходящий через точку P (рис. 9), то прямая AB не является касательной к окружности γ, т. е. пересекает ее в двух точках P и Q. Следовательно, внешняя окружность Γ* треугольника ABC получается из γ готовей с коэффициентом, больше и меньше. Но тогда ясно, что |CM*| + |CN*| > |CM| + |CN| (рис. 9), т. е. перimeter треугольника ABC больше и меньше perimeter треугольника ABC.

Идея малыхшевелий может оказаться полезной не только в геометрических задачах. Для примера рассмотрим следующую задачу («Квант», 1974, № 1, стр. 73):

Задача 6. Три друга — Алик, Боря и Вася — рассказали, что они будто бы однajкды сырали некоторое число партии в шахматы, причем каждой с каждой сырали одинаковое число партии. Помом, когда стали решать, кто лучше сырал и должен считаться победителем, Алик сказал своим movарицам: «У меня меньше, чем у каждого из вас, произрывей». Боря сообщил: «А у меня больше, чем у каждого из вас, вызрывей», а Вася заметил: «Я набрал больше всего очков» (вызрыв — 1 очко, ничья — 1/2 очка, произрыв — 0). Мод ли в действительности быт мурир с максимальным? Если нет, то доказите; если да, то приведите пример.

Решение е. Попытаемся конструкировать турир, который удовлетворял бы поставленным тем условием:

I. Алик должен иметь всего проигрывшей.

Рис. 9.

II. Боря должен иметь больше всего выигрышей.

III. Вася должен haben больше всего очков.

Будем его составлять из отдельных туров (в треи партии — каждый игрок играет с каждым другом одну партию). Например, может быть такой тур: Алик сырал с двумя другими игроками вничью, а Боря выигral у Васи. Или такой тур: Алик сырал с двумя другими игроками вничью, а Вася выигral у Бори. Пару таких туров называем двойным туром тира A («типа Алика»). В турнире, который состоит только из одного такого двойного тура, выполняется, очень удобно, условия I: у Алика меньше, чем у остальных, проигрывшей (нуль проигрывшей); при этом каждый игрок набрал по 2 очка. Турир, составленный из любого числа таких двойных туров типа A, будет обладаать свойствам I.

Пусть турир составлен из большого числа двойных туров типа A — скажем, из 100 таких туров. В нем каждый набрал по 200 очков, причем у Алика меньше всего проигрывшей — нуль проигрывшей (но и нуль выигрывшей), а Боря и Васи имеют по 100 выигрывшей и по 100 проигрывшей.

Теперь немного пощевелим турир. А именно, пусть сырано еще небольшое число туров (не обязательно «типа А»); тогда Алик будет иметь по-прежнему меньше проигрывшей, чем Боря и чем Васи (инначе говоря, при малыхшевелях турира свойство I «устойчиво»). Подберем этошевление так, чтобы выполнялось еще условия II. Для этой цели сначала вообразим себе двойной тур тира B («типа Васи»): в нем каждый

9

ингрок с каждым из остальных сыграл по две партии, причем Вася сделал 4ничных, а Алик и Боря имеют по одному выигрышу и по одному прингрышу; каждый из трех игроков набрал по 2 очка. Если (после указанных 100 двойных туров типа А) были сыграны, скажем, 10 двойных туров типа B, то в результате такого небольшего «шевления турира» Алик будет иметь 10 прингрышей, Боря — 110 прингрышей, а Вася — 100 прингрышей, т. е. свойство I сохраняется. В то же время Боря будет иметь 110 выигрышей — больше, чем Алик (10 выигрышей) и чем Вася (100 выигрышей). Значит, условие II тоже выполняется. Кроме того, в итоге каждой набрал по 220 очков (так что условия III пока не выполнено).

К новь полученному туриру примением еще одно малое шевление в виде какого-либо одного дополнительного типа; независимо от его исхода условия I и II останться выполнеными (эти условия устойчивые). Подберем этот дополнительный тур так, чтобы Вася набрал в нем больше очков, чем каждый из остальных игроков (например, Вася набирает в нем 2 очка, выигрывая у Алика и Бори, а Алик и Боря делают между собой ничью). Таким образом, мы сконструировали турир, в котором все три условия I, II, III выполнены, т. е. турир, о котором говорится в условиям задачи, возможен.

Уражнения

1. В четырехугольнике ABCD диагонали перpendикularны и конгрузенты и, кроме того, |AB| = |CD|.
2. В выпуклом притугольнике все стороны конгрузенты. Обязательно ли этот четырехугольник — квадрат?
3. В выпуклом притугольнике все стороны конгрузенты. Обязательно ли этот четырехугольник — квадрат?

Советуем купить!

1. Барабой В. А. и Куриинский Б. Р.* Ядерные излучения и жизни. 232 с. 77 к.
2. Белоусов А. С. * Счетчики элементарных частц. 156 с. 47 к.
3. Идельсон Н. И. Этюды по историческе

ной механики. 495 с. 1 р. 95 к.
4. Муратов М. В. * Проискождение материков и океанических вадин. 176 с. 1 р. 01 к.
5. Петрушов А. Человек и Земля*. 224 с. 72 к.
6. Физика на рубеже XVII—XVIII вв. * Сборник статей. 248 с. 85 к.
7. Черкасов И. И. Шварев В. В. Грунт Луны 140 с. 57 к.

3. В выпуклом притугольнике все диагонали конгрузенты. Обязательно ли этот притугольник правильный?

4. В выпуклом шестиугольнике противоположные стороны попарно параллельны, а диагонали, соединяющие противоположные вершины, конгрузенты. Обязательно ли этот шестиугольник правильный?

5. Около окружности описан четырехугольник, диагонали которого конгрузенты. Обязательно ли этот четырехугольник — трапец? (Указан и е. Начните с квадрат!

6. На плоскости данных 2n точек A1, …, An, B1, …, Bn. Доказите, что мальим шевлением этих точек можно добиться того, чтобы никакие два из отрезков A1B1, …, AnBn не были параллельны и никакие три не пересекались в одной точке.

7. В пространстве данных n точек A1, …, An. Доказите, что мальим шевлением этих точек можно добиться того, чтобы каждой четырехугольных индексов i, j, k, l точки Ai, Aj, Ak, Al не лежали в одной плоскости.

8 *. Дан выпукленный n-уговольник M. Доказите, что шевлением n — 5 вершин этого многоугольника можно добиться того, чтобы никакие три диагонали не пересекались в одной точке.

9. Дан многочлен
   $$x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_{n-1}x + a_n.$$

Доказите, что мальим «шевлением» свободного члена an можно добиться того, чтобы многочлен не имел кратных корней. (Указан и е. Число x0 тогда и только тогда является кратным корнем многочлена, когда оно одновременно является корнем этого многочлена и его произвольной.)

10. Внутри угла C, меньше, чем развернуть, дана точка P. Постройте прямую, проходящую через точку P и отсекающую от угла C треугольник наименьшей площади.

11. Если четырехугольник выпукленный, то сумма длины diагональной больше его полуперметра. Приведите контрипер, показывающий, что обратная теорема неверна.

*) См. также задачу M533 («Квант», 1978, № 11).

Советуем купить!

1. Барабой В. А. и Куриинский Б. Р.* Ядерные излучения и жизни. 232 с. 77 к.
2. Белоусов А. С. * Счетчики элементарных частц. 156 с. 47 к.
3. Идельсон Н. И. Этюды по историческе

ной механики. 495 с. 1 р. 95 к.
4. Муратов М. В. * Проискивание материков и океанических вадин. 176 с. 1 р. 01 к.
5. Петрушов А. Человек и Земля*. 224 с. 72 к.
6. Физика на рубеже XVII—XVIII вв. * Сборник статей. 248 с. 85 к.
7. Черкасов И. И. Шварев В. В. Грунт Луны 140 с. 57 к.

8. Штери М. И. * Космос — Земле. 182 с. 73 к.
9. Яздовский В. И. Искусственная биосфера. 322 с. 72 к.
   Заказы на книги направлять по адресу: 117192 Москва, Мицуринский проспект, 12, магазин № 3 «Книга — почтой» «Академика».
   *) Книги, отмещенные «звездочкой», имеются в ограниченном количестве.

10

И. Белкин

О Ньютоновских законах Движения. Сила

Слово «сила» в обусловной речи имеет много значений и допускает множество толкований. Говорят о покупательной силе денег и о силе привышки, о силе воли и о силе общественного мнения, о моральной силе и даже… о нечистой силе. В этих примерах и во множестве других сilos «сила» не имеет волне ясного и однозначного объяснения. Во всяком случае, это слово имеет в них совершенное различный смысл.

Но в механике сила определяется совершенное строю и однозначно. Как говорил Ф. Энгельс, в механике «…действительно знают, что означает сilosа». В этой статье и поддет речь о силе как механическом понятии и механической величины.

Взаимодействия и силы

В первой нашей статье о законах движения («Квант», 1979, № 2) уже упоминалось, что сила — это влияние одного тела на другое. Но мы видели, что влияние тела всегда взаимное — тела всегда взаимодействуют, то есть влияют друг на друга, и сообщают друг другуускорения. Значит, при взаимодействии двух тел к каждому из них приложена сила. Сила, приложенная к телу, — причина егоускорения. Ныотон так и определяет силу: «Приложенная сила есть действие, производимое над телом, чтобы изменить его состояние покоя или равномерно примолненной движения». В этом и состоит смысл понятия силы в механике. Но пока это только понятие. Нас же интересует сила как физическая величина, которую можно изменить, выразить числом.

Слова «влияние одного тела на другое» содержат нечто неясное, не-

11

определенное. Что значит влияние? Как оно происходит? Тело падает визс с укорением, потому что на него влияет Земля. Дверь, сабженная пружиной, движется с укорением, потому что на нее влияет пружина. Кусок железа движется с укорением под влиянием магнита. Но разве пожки одно на другое эти влияния? Ясно, что они совершенно различны по своей природе. Во времена Ньютона о природе всех этих влияний ничего не было известно. Но в механике этого, оказывется, можно и не знать. Важно только, что влияние на тело состоит в том, что телу сообщается укорение. А это значит, что совершенно различные по своей природе влияния (силы) можно сравнить между собой, если мы сумем их выразить числа. А для этого необходимо установить, как связаны силы с сообщаемыми имми укорениями.

Второй закон Ньютона
Эту связь и установил Ньютон из анализа опитных данных. Он формулировал ее в виде второго закона движения (второй закон Ньютона).

В изложении самого Ньютона этот закон гласит: «Изменение движения пропорционально приложенной движущей силы и имеет то направление, в котором эта сила действует».

В этой формулировке заключается основная идея механики: сила вызывает изменение движения, а не само движение, как думали до Ньютона (и как думают и теперь люди, не изучавшие механику). Однако слова «изменение движения» несколько загаданы: ведь движение — это процесс, а не величина; пропорциональными же друг другу могут быть только величины. Няясно также, откуда Ньютон узнал, что существует именно такой закон — закон пропорциональной между силой и изменением движения. Разумеется, закон этот установлен на основании опита или опитов. Но каких? Ньютон об этом не сообщает. Он просто «велит» телам вести себя так, а не иначе.

Мы можем теперь считать, что слова «изменение движения» ознакомлене, поскольку укорение представляет собой быстро изменяющую скорость движения тела, если масса его постоянна *). Что касается опыта, из которого может быть установлена связь между укорением и силой, то он должен состоять в том, чтобы различные тела (различные по массе) поддержались действию одной и той же силы; при этом надо изменять укорения, которые получают эти тела. Та величина, которая в этих изменениях оказывается одной и той же для всех тел, и будет служить мерой силы, приложенной к этим телам.

В природе существует одна-единственная сила, которая не зависит от того, к какому телу она приложена. Это — упругая сила деформированного тела, например пружины. Эта сила называется силой упругости. Особенность силой упругости состоит в том, что она зависит только от того, насколько деформированного тела. Так, сила упругости пружины зависит только от ее растяжения (или скатания) по сравнению с исходной длиной (во времена Ньютона этот факт был изучен). Поэтому, если поддерживать растяжение пружины постоянным (фиксированным), то она действует на любое прикрепленное к ней тело с одной и той же силой независяimo от того, какова масса этого тела (конечно, необходимо, чтобы масса силы пружины была преобразимо мала по сравнению с массой прикрепленного к ней тела).

Итак, опит, который позволяет связь между укорением и силой, может быть проведен только с использованием пружины. Такой опит описан в учебнике «Физика 8» (с. 85). Оказывется, пружина, скатая (или растяжая) на фиксированную длину, сообщает прикрепленным к ней телам укорения, направления которых всегда совпадает с направлением действия на тела силы упругости, а абсолотные значения различны для тела с разными массами.

*) В современных книгах обычно пишут, как бы «исправляя» Ньютона, вместе «изменение движения» — «изменение количества движения». Под количеством движения при этом понятно произведение массы тела на его скорость (телеря эту величины чаще называют импульсом). Нетрудно понять, что такое толкование слов Ньютона не противоречит принятому нами.

12

Но для всех тел остается одной и той же величины произведение массы $m$ тела на егоускорение $a$, то есть величина $ma$. Отсюда следует, что сила $F$ определяется уравнением
$$\vec{F} = ma.$$
Второй закон Ньютона так теперь и формулируется: сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на собственное этойускорение.

Ясно, что эта формулировка выполняе соответствует ньютоновской, поскольку из нее следует, чтоускорение («изменение движения» по Ньютону) пропорционально силе:
$$\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m}.$$
Итак, сила, о которой говорилось только, что она представляет собой меру влияния одного тела на другое, стала теперь физической величины, которая может быть выражена числом. Для нее можно установить единицу измерения. За единицу силы естественно принять силу, которая сообщает телу с массой, равной единице (1 кг),ускорение, равное единице (1 m/c²). Справедливо, что этой единице присвоено название «ньютон» (Н) в честь творца классического механики.

$$\vec{F} = ma - \text{уравнение движения}$$

Второй закон Ньютона — самый важный закон механики, потому что именно он позволяет решить любую задачу о движении тел. Дело в том, чтоускорение $a$, входяще в уравнение второго закона, представляет собой быстроизменения (по модулю и по направлению) скорости тела со временем:

$$\vec{a} = \frac{\Delta v}{\Delta t}.$$

13

Нужно помнить, что за этим векторным уравнением стоит три уравнения для проекций ускорения на оси координат:

$$a_x = \frac{\Delta v_x}{\Delta t}, \quad a_y = \frac{\Delta v_y}{\Delta t}, \quad a_z = \frac{\Delta v_z}{\Delta t},$$

где $\Delta v_x, \Delta v_y, \Delta v_z$ — изменения проекций скорости, $\Delta t$ — промежуток времени, за которым произошли изменения.

В свою очередь проекция скорости — это быстроа изменения координат тела со временем:

$$v_x = \frac{\Delta x}{\Delta t}, \quad v_y = \frac{\Delta y}{\Delta t}, \quad v_z = \frac{\Delta z}{\Delta t}.$$

Значит, за величины ускорения во втором законе Ньютона в действительности в сложном виде «скрывается» изменение координат со временем: быстроа изменения быстроы изменения координат (на языке высшей математики это приудливое словосочетание выражается проще: вторая произvodная координат по времени).

Решив уравнение $\vec{F} = ma$, мы получим выражение, показывающее, как координаты движения тела изменяются с течение времени. Следовательно, можем узнать положение движения тела в любой момент времени. А это и есть главная задача механики. Для этого и существует эта наука. Вот почему уравнение, выражающей втором законом Ньютона, называется уравнением движения.

Чтобы составить это уравнение и решить его, нужно знать силу, действующего на тело. Кроме того, нужно еще знать как называемые начальные условия — координаты тела и его скорость в некоторый начальный момент времени. Наоборот, если закон движения тела известен из опыта, уравнение движения (второй закон Ньютона) позволяет найти силу, приложенную к телу. Если, например, координата $x$ изменяется со временем по закону $x = x_0 + v_x t$, то есть тело движется вдоль оси $x$ с постоянной скоростью $v_x$, то, согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на тело (вдоль оси $x$), равна нулю. Если координата $x$ изменяется со временем по формуле

$$x = x_0 + v_x t + \frac{a_x t^2}{2},$$

тelo движется по оси $x$ с постоянным ускорением $a_x$. По второму закону это означает, что к телу приложена постоянная сила $\vec{F}_x$, направленная вдоль оси $x$ и равная по модулю $ma_x$.

Что значит «знать силу»?

Знать движение — это значит знать, как координаты тела зависит от времени. Этоясно из только что приведенных примеров. Но что значит «знать силу»?

Что ответить на этот вопрос, вспомним, что сила — всегда результат взаимодействия. Если на тело действует сила, то существует какое-то другое тело, от которого она «исходит». И сила зависит от взаимодействия взаимодействующих тел, от расстояния между ними. Это следует уже из того, что тела, бесконечно удаленные друг от друга, вовсе не взаимодействуют. Но при движении расстояние между взаимодействующими телами может изменяться. Поэтому могут изменяться и силы взаимодействия между этими телами. Значит, сила, приложенная к данному телу, зависит от положения движения тела относительно того тела, которое на него действует. Можно она зависит и от скорости движения тела относительно того тела, которое эту силу «создает».

Знать силу — это значит знать, как сила зависит от координат и скорости движения тела. И если вид этой зависимости известен, то соответствующие выражения и нужно подставить вместе $\vec{F}$ в формулу $\vec{F} = ma$.

А как узнать эту зависимость? Здесь как всегда, нужно обратиться к опиту.

Для сил, изучаемых в механике, взаимодействии от координат и скорости известны давно.

В 1678 году Роберт Гук (1635—1703) опытным путем установил, что сила пругостирирует пропорциональна ее удлининию. «Каково растяжение, такое сила» — такой короткой фразой объявил Гук об от-

14

крытом им законе. Телерь этот закон носит его имя. Выражают его формулой

$$F = -kx.$$

Здесь $k$ — коэффициент пропорциональноности, характерный для каждойружины: $x$ — удлинениеружины, то есть разность длины деформационной и недефорарованнойружины. Если встич отчет координаты свободного концаружины от положения этого конца при недефорарованнойружине, то $x$ — это координата концаружины. Следовательно, формула $F = -kx$ как раз и показывает, как сила упругости зависит от координаты.

Для другой важной механической силы — силы всемирного тяготения — вид зависимости от координат был установлен самим Ньютоном. Сила эта определяется формулой

$$F = \gamma \frac{m_1 m_2}{r^2}.$$

Здесь $r$ — расстояние между взимодействуошими телами, $m_1$ и $m_2$ — массы этих тел, $\gamma$ — коэффициент пропорциональноности. Расстояние $r$ и определяет координаты одного тела относительно другого. В земных условиях проявлением силы всемирного тяготения является сила тяжести, равная по модулю $m|\vec{g}|$, где $m$ — масса тела, $\vec{g}$ — ускорение свободного падения. В этой выражение координаты тела как будто не входят. Однако нужно иметь в виду, что значение $|\vec{g}|$ зависит от расстояния до тела от центра Земли, то есть от координат относительно этого центра. Так что и сила тяжести зависит от координат. (Только вблизи поверхности Земли ускорение $|\vec{g}|$ можно приближенно, хотя и с большой точностью, считать постоянным.)

Некоторые позже, уже в XVIII века, была изучена и третий механический силу — сила тяготения. Это единственная из механических сил, которая зависит от координат тела, к которой она принадлежена, а от относительной скорости тела и направлена против скорости.

Две из трех механических сил — сила упругости и сила тяготия — имеют как выяснились, электромагнитную природу. Природа электромагнитных сил, законы, которые они подчиняются, стали известны околоста лет назад. Природа механического сил — силы всемирного тяготения — была обясена всего шестьдесетят лет назад. А законами механики пользовются уже триста лет. Это связано с тем, что для механики природа сил не существует. Важно лишь знать, как зависит силы от координат и от скорости.

Силы складываются

Итак, опыт показывает, что механические силы зависит от координат и скоростей движениях тела. И опыт же показывает, что ни от чего другого они не зависит. В частности, сила, приложенная к телу, не зависит от того, действует ли она на тело «в одиночстве» или вместе с другими силами. Силы, приложенные к телу, не «мешают» друг друга сообщать ему ускорение. Конечно, о теле, к которой приложено несколько сил, нельзя сказать, что у него и ускорений несколько. У него одно ускорение, равное векторной сумме тех ускорений, которые сообщила бы ему каждой из сил, будь она единственной. Можно потому сказать, что и сила на тело действует одна, но она векторной сумме всех приложенных к телу

15

сил. И когда к телу приложено сразу несколько сил, в уравнение $\vec{F} = m\vec{A}$ под $\vec{F}$ нужно попять векторную сумму всех приложенных сил. Ее называют равноведействующей силой.

Третий закон Ньютона

О третьем закон Ньютона нам остается сказать очень мало. Не потому, что закон маловажный, не заслуживающий серверных погсенений. Наоборот, в нем содержится самая главная идея механики. А потому, что об этом закону у нас уже была речь и мы им уже пользовались.

В том законе движения, который в книге Ньютона значится под третьим номером и который сохраняет этот традиционный номер во всех книгах по механике от Ньютона до наших дней, говорится о том, что силы возникают при взаимодействии тел, что силы, действующие на каждого из участников взаимодействия, одинаковы по modulo и противоположны по направлению. Об этом мы уже говорили в предыдущей нашей статье. Там указалось, что при взаимодействии двух тел каждое из них получает ускорение; эти ускорения направлены в противоположные стороны и относение модели ускоренной равно обратному соотношению масс взаимодействующих тел. Все это может быть выражено формулой

$$m_1 a_1 = - m_2 a_2.$$

16

ЛИВЫ ДЛЯ ВСЕХ ДВИЖЕНИЙ ВСЕХ БЕЗ ИСКЛЮЧЕНИЯ ТЕЛ. ДЛЯ ДВИЖЕНИЙ БЫСТРЫХ И МЕДЛЕННЫХ, ДЛЯ ТЕЛ БОЛЬШИХ И МАЛЫХ.

И ТОЛЬКО В НАЧАЛЕ XX ВЕКА ВЫЯСНИЛОСЬ, ЧТО ЭТО NE ТАК. Механика Ньютона оказывается неверной, воверых, тогда, когда тела движутся со скоростью, близкими к скорости света. Это было установлено теорией относительнойности А. Эйнштейна в 1905 году. Связано это с тем, что взаимодействие между телами передается не мгновенно, как считалось раньше, а с определенной конечной скоростью. Эта скорость как раз и равна скорости света. Недвижительно, что когда скорость движения тела близка к скорости передачи взаимодействия, законы механики становятся иными. Но и в механике теории относительнойности (в релятивистской механике) мы имеем дело со знакомыми понятиями и величины — расстояниями и временем, скорости иускорениями, массами и силами. Но соответствия между ними совсем другие. В эти новые формулы всегда входит относение $\frac{v}{c}$ скорости тела $v$ к скорости света $c$. Когда это относение мало и его можно считать равным нулю, формулы сразу превращаются в формулы механики Ньютона. Поэтому появление теории относительнойности не привело ни к отказу от этой механики, ни к ее перемотру.

Во-вторых, механика Ньютона совершено неприменима к движением очень малых частц, из которых образованы atoms и молекулы. Здесь является описываются новый теорий, появившейся в физике пятьдесят лет назад. В этой теории даже привильные механические понятия, такие, как траектория, скорость,ускорение, сила, теряют свой общий «механический» смысл. Самое понятие движения здесь отличается от привьюного. Но и появление этой новой теории (ее называют квантовой механикой) не повлияет на механику Ньютона, которая остается незыблемой для тех движений, для которых она была создана.

17

Самодельные дифракционные решетки

Впервые дифракционные решетки для изучения спектров использовали в 1821 году немецкий физик Фраунгофер. Его решетки, изготовленные путем наматывания тончайшей проводки на два паралельных витта, содержали всего лишь несколько десктков проводок на одном миллиметре длины решетки. (Заметим, что хорошее современные решетки, представляющие собой произведение пластинки с нанесенным на них непрозрачными штириками, имеют до нескольких тысяч штириков на 1 мм.)

Попробуйте и вы изготовить простую дифракционную решетку. В домашних условиях это можно сделать, например, фотографическим способом.

Для этого нужно на листеватна плакатным пером начертить тушью системы паралельных полос одинаковой ширины. Расстояние между полосами можно выбрать равным их ширине. После фотографирования и проявления на негативе получится система светлых и темных полос, то есть чередование произчных и непрозрачных для света промежутков. Укрепив полученный негатив в рамках для диапазитовов, работу по изготовлению дифракционной решетки можно считать законченной.

Фотографирование лучше проводить при хорошем солнечном освещении или с подветкой лампой дневного света.

С одной шаблона можно получить дифракционные решетки с различными периодами, если фотографировать его с различных расстояний. Пусть, например, ширина $A$ светлых полос и ширина $B$ темных полос на шаблоне одна и та же и равна 3 мм; мы хотим получить решетку с постоянной $d = a + b = 0,05$ мм ($a = b = 0,025$ мм), формусное расстояние объектафа фотоаппарата $F = 50$ мм. Тогда расстояние $s$ до шаблона можно найти из выражения

$$\frac{s}{F} = \frac{A}{a},$$

откуда

$$s = F \frac{A}{a} = 6 \text{ м.}$$

Полученная после проявления решетка будет содержать на одном миллиметре

$$n = \frac{1}{d} = \frac{1}{0,05} = 20 \text{ штрихов},$$

то есть пример столбко же, сколько в первых решетках Фраунгофера.

Основное назначение дифракционной решетки как спектрального прибора — определяние длины световой волны. Из условия

$$d \sin \varphi = k\lambda$$

главных максимумов дифракционной картины, полученной с помощью решетки, следует, что чем меньше постоянная решетки $d$, тем под большим углом будет наблюдаться максимум, соответствующий длине волны $\lambda$, в спектре $k$-го порядка.

Это означает, что с уменьшением постоянной решетки (с увеличением числа штириков на единицу длины) увеличивается возможность разделять близко расположенные спектральные линии (как говорят, увеличивается дисперсия решетки)*). Кроме того, по мере увеличения общого числа штириков все больше света попадает в главные максимумы, и они становятся все более яркими.

В связи с этим желательно изготовить решетку с возможностью большим

18

общим числом штрихов $N$ и возможно меньшей постояной решетки $d$.

Выполнение первого требования определяется в основном терпении и аккуратностью. Нужно вычертить шаблоны на двух-трех листахватмана и затем склить их в один большой шаблон для фотографирования (или взять один листватмана и уменьшить ширину светлых и темных полос до одного миллиметра).

На второе требование накладывает ограничение разрешающего способность фотоэмульсини, обусловленная ее зернистым строением. Фотопленки с цветительностью 130—250 единиц ГОСТа обладают разрешающего способностью не более 75—70 штрихов на миллиметр, с понжением цветительности до 32 единиц ГОСТа разрешающего способностью возрастает до 115 штрихов на миллиметр.

Перiod $d$ полученной дифракционной решетки можно определить, изменив размер $C$ изображения листаватмана на негативе и разделив его на число $N$ черных линей, нанесенных на чертеж до фотографирования:

$$d = \frac{C}{N}.$$

После изготовления решетки можно приступить к экспериментам. На одном конце деревянной линейки длиной 40—50 см укрепите дифракционный решетку, а на другом — самодельную шкалу из миллиметровых бумаги, наклеенной на полоску картона со щелью. Расположите решетку так, чтобы штрихы были параллельны щелки, и направьте на щель свет от лампы накаливания. Поместив глаззи решетки, изменением взамного расположения экрана и

ламы добейтесь налучших условий видимости спектра.

Ход световых лучей при наблюдении спектра с помощью дифракционной решетки представляет на рисунке.

Использовая самодельную дифракционную решетку, можно оценить границы спектральной цветвителности глазза. Для этого нужно определить длину волны красного света на одном краю наблюдаемого спектра и длину волны филолетового света на другом краю спектра. Если известны период решетки $d$ и порядок спектра $k$, определение длины волны $\lambda$ свидетельствует к изменению угла $\varphi$ между нормалью к плоскости решетки и направлением на положение максимума, соответствующего изображению изображения экрана и

$$d \sin \varphi = k \lambda,$$

$$\lambda = \frac{d}{k} \sin \varphi.$$

Рассматривая щель в экране через дифракционную решетку, найдите положения красного и филолетового краев спектра 1-го порядка. По обе стороны от щели отсутствие расстояния $l_{кр}$ и $l_{\varphi}$ (см. рисунок) и найдите их средние значения. Измерив расстояние $s$ от щели до решетки, найдите тангенсы углов $\varphi_{кр}$ и $\varphi_{\varphi}$ (tg $\varphi = l s$), а по ним — синусы соответствующих углов. Знай период решетки, определите длины волн для красных и филолетовых лучей в спектре 1-го порядка.

Такие же изменения и вычисления проделяйте для спектра 2-го порядка.

19

И. Янматов

Коммутирующие многочлены

От редакции
Объчно математические задачи, предлагающееся школьникам, либо весма косвенно связанных с новыми результатами, либо касаются их отдельных деталей и не дают возможность увидеть картину в целом. Наверное, это произходит потому, что в математике все взаимосвязан и, как правило, для того, чтобы полностью разобраться даже во вполне элементарном вопросе, приходится привлекать сообщения из не-elementарных области математики.
Задача о коммутирующих многочленах, который посвязывается эта статья, — считальное исключение: здесь удается достаточно близко подойти к проблемке, имеющей общemathematical интерес, пользовать лишь элементарными средствами.
Нам эта задача стала известна из письма, присланого два года назад в «Квант» Э. Туркевичем, который принадлежат здесь первые результаты. Задача эта, дополнительная неокторыми пунктами, предлагалась на исследовательском type XI Всегоизной олимпиды и была помещена в Задачике «Кванта» (M455).

Формулировка задачи
Многочлены $P$ и $Q$ от одной переменной называются коммутирующими *), если $P(Q(x)) = Q(P(x))$. Выписанное равенство означает, что если в обеих частях равенства раскрыть все скобки и привести подобные члены, то получается одинаковые многочлены. Это эквивалентно тому, что для любого действительного числа $d$ выполняется численное равенство $P(Q(d)) = Q(P(d))$.

*) От латинского commutativus — меняющийся.

В задание M455 рассматривают только многочлены со старшим коэффициентом 1; такие многочлены мы будем называть унитарными. (Как мы увидим ниже, вопрос о произвольных коммутирующих многочленах можно свести к вопросу о многочленах со старшим коэффициентом, равным ±1.)

a) Для любого числа $\alpha$ найдите все многочлены степени не выше трех, коммутирующие с многочленом $P(x) = x^2 - \alpha$.

b) Доказите, что существует не более одного многочлена заданной степени, коммутирующего с данным многочленом $P$ степени два.

b) Найдем все многочлены степени 4 и 8, коммутирующие с данным многочленом $P$ степени два.

г) Доказите, что если два многочлена $Q$ и $R$ коммутируются с некоторым многочленом $P$ степени два, мои они коммутируются между собой.

d) Доказите, что существует массовость многочленов $P_1, P_2, \dots, P_h, \dots$, коммутирующих между собой, что степень многочлена $P_h$ равна $k$ и $P_2(x) = x^2 - 2$.

Решение задач a)—г)

a) Пусть $Q(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$. Распишем равенство $P(Q(x)) = Q(P(x))$:
$x^3 + ax^2 + bx + c)^2 - \alpha = (x^2 - \alpha)^3 + a(x^2 - \alpha)^2 + b(x^2 - \alpha) + c$.

Прежде чем раскрывать скобки, затем, что справа стоит только четыле степени $x$, а следа коэффициент при $x^5$ равен 2a. Значит, $a = 0$. Но тогда следа коэффициент при $x^3$ равен 2c, так что и $c = 0$. Поэтому $Q(x) = x^3 + bx$. Раскрыв скобки и приравнять коэффициенты, получаем систему
$$\begin{cases} 2b = -3\alpha, \\ b^2 = 3\alpha^2 + b, \\ \alpha = \alpha^3 + b\alpha. \end{cases}$$

Пусть $\alpha = 2\gamma$, тогда $b = -3\gamma$. Из 2-го уравнения $9\gamma^2 = 12\gamma^2 - 3\gamma$, то есть $\gamma^2 - \gamma = 0$. Значит, $\gamma = 0$ или $\gamma = 1$. Легко проверить, что оба эти решения подходят.

20

Таким образом, многочлен 3-й степени $Q$, коммутирующий с многочленом $P(x) = x^2 - \alpha$, существует только при $\alpha = 0$ ($P(x) = x^2$, $Q(x) = x^3$) и при $\alpha = 2$ ($P(x) = x^2 - 2$, $Q(x) = x^3 - 3x$).

Аналогично доказывается, что если степень $Q$ равна 2, то $Q = P$, а если она равна 1, то $Q(x) = x$.

Этот пункт очень простой. Он давался школьником на олимпиде, чтобы они лучше разобрались в условиях задачи и немного привыкли к ней. Кроме того, если вимательно разобраться в уравнениях, которые были выписаны, то возникает идея, как решать пункт 6) — один из ключевых пунктов задачи.

6. Пусть $Q(x) = x^k + a_1x^{k-1} + a_2x^{k-2} + \dots + a_{k-1}x + a_k$, $P(x) = x^2 + px + q$. Распишем равенство $(x^k + a_1x^{k-1} + \dots + a_k)^2 + p(x^k + \dots + a_k) + q - (x^2 + px + q)^k - a_1(x^2 + px + q)^{k-1} - \dots - a_k = 0$.

Приравнивая к нулю коэффициенты при $x^{2k}$, $x^{2k-1}$, …, $x$, $x^0$, мы получаем систему уравнений для $a_1$, $a_2$, …, $a_k$, $p$, $q$. Решить эту систему и даже просто выписать ее довольно трудно. Однако легко заметить, что коэффициенты $b_1$, $b_2$, …, $b_k$ при степенях $x^{2k-1}$, $x^{2k-2}$, …, $x^k$ имеют следующее форму:

$$b_1 = 2a_1 + R_1(p, q) = 0,$$
$$b_2 = 2a_2 + R_2(p, q, a_1) = 0,$$
$$b_k = 2a_k + R_k(p, q, a_1, \dots, a_{k-1}) = 0.$$

Здесь $R_i$ — некоторое алгебраическое выражение от $p$, $q$, $a_1$, …, $a_{i-1}$. Из первого уравнения вытекает, что $a_1$ выражается через $p$ и $q$; из второго — что $a_2$ выражается через $p$, $q$ и $a_1$, и значит, выражается через $p$ и $q$, … Итак, мы видим, что все коэффициенты $a_1$, …, $a_k$ выражаются через $p$ и $q$, то есть коэффициенты многочлен $Q$, коммутирующего с $P$, однозначно выражаются через $p$ и $q$, что и требовалось доказать.

Легко проверить, что аналогичное рассужждение можно проверить для любого многочлен $P$, лишь бы его степень была больше 1 (а $Q$ был унитарным), то есть утверждение пункта 6) верно для любого многочлена.

Пункт 6) является ключевым в задаче. Из него уже легко вытекают пункты в) и г).

в) Докажем, что многочлен $Q(x) = P(P(x))$ коммутирует с $P$. Действительно, $Q(P(x)) = P(Q(x))$. Многочлен $Q$ имеет степень четыре и в силу 6) является единственным многочленом такой степени, коммутирующим с $P$. Аналогично доказывается, что единственный многочленом степени 8, коммутирующим с $P$, является многочлен $R(x) = P(P(x))$.

г) Пусть $S(x) = Q(R(x))$ и $T(x) = R(Q(x))$. Поскольку $P$ коммутирует с $Q$ и $R$, то $P(S(x)) = P(Q(R(x))) = Q(P(R(x))) = Q(R(P(x))) = S(P(x));$ значит, $P$ коммутирует с многочленом $S$. Аналогично проверяется, что $P$ коммутирует с многочленом $T$. Кроме того, ясно, что $S$ и $T$ — унитарные многочлены одинаковой степени (если $Q$ и $R$ имеют степени $k$ и $l$, то степени многочленов $S$ и $T$ равны $kl$). Из 6) вытекает, что $S = T$, то есть $Q(R(x)) = R(Q(x))$, что и требоваюсь.

Так же, как и в пункте 6), утверждение остается верным, если $P$ — любой многочлен степени больше 1, а $Q$ и $R$ унитарны.

Многочлены Чебышева.
Решение пункта д)

Пункт d) намного сложнее остальных пунктов. Мы приведем несколько различных подходов к его решению.

Первый способ. Пусть $x = t + t^{-1}$. тогда легко проверить, что $x^k$ имеет вид

$$x^k = (t + t^{-1})^k = (t^k + t^{-k}) + a_1(t^k - 1 + t^{-(k-1)}) + a_2(t^k - 2 + t^{-(k-2)}) + \dots + a_{k-1}(t + t^{-1}) + a_k,$$

где $a_1$, …, $a_k$ — некоторые фиксированные числа. Индукцией по $k$ отсюда выводится, что $t^k + t^{-k}$ представляется в виде

$$x^k + b_1x^{k-1} + \dots + b_{k-1}x + b_k,$$

где $b_1$, …, $b_k$ — некоторые фиксированные числа. Обозначим многочлен $x^k + b_1x^{k-1} + \dots + b_k$ через

21

$P_k(x)$. По определению $P_k(t+t^{-1}) = t^k + t^{-k}$, так что $P_k(P_l(t+t^{-1})) = P_k(t^l + t^{-l}) = t^{kl} + t^{-kl} = P_{kl}(t + t^{-1})$. Таким образом, $P_k(P_l(x)) = P_{kl}(x) = P_l(P_k(x))$, то есть любые два из многочленов $P_k$ коммутируют. Поскольку $P_2(x) = x^2 - 2$, мы построили искому последовательность многочленов.

Второй способ. Приведем способ получения многочленов $P_k$ при помощи многочленов Чебышева $T_k$. Мы не будем давать прямого определения этих многочленов, но приведем соответствия, которые они удовлетворяют (и которые определяют их однозначно):

$$T_k(\cos t) = \cos kt.$$

Можно доказать, что $T_k$ — многочлен степени $k$. Легко проверить, что многочлены Чебышева коммутируют:

$$T_k(T_m(x)) = T_{km}(x) = T_m(T_k(x))$$

— дело сводится к тому, что $\cos k(mt) = \cos kmt = \cos m(kt)$. Но $T_k$ — не унитарный многочлен: его старший коэффициент равен $2^{k-1}$. Этот недостаток легко исправить, «растянув» с помощью замены переменной аргумент и значение многочлена в два раза, т. е. положив $P_k(x) = 2T_k(x/2)$. От такой процедуры коммутитивность не нарушится (проверьте это!). Замечательная последовательность многочленов Чебышева, появляющихся в самых разных вопросах анализа (особенно в теории приближения функций многочленами), оказывается последовательностью коммутирующих многочленов. Именно таким способом построил последовательность $P_k$ Э. Туркев и ч.

Оба описанных способа основаны на одной идее. Пусть имеется некоторая функция $f$, принимающая бесконечное число значений и такая, что для каждого натурального $n$

$$f(nt) = Q_n(f(t))$$

где $Q_n$ — многочлен. Тогда многочлены $Q_m$ и $Q_n$ коммутируют. Например, если $f(t) = e^t$, то получаем серийное коммутирующих многочленов $F_n(x) = x^n$. Если $f(t) = e^t + e^{-t}$, то получаем серийное многочленов $P_n$ (это — в точности наш первый способ построения многочленов $P_n$, только $t$ заменено здесь на $e^t$). Если $f(t) = \cos t$, то получаем серийное многочленов $T_n$. (Те, кто знаком с комплексными числами и формулой $\cos \varphi = (e^{i\varphi} + e^{-i\varphi})/2$, без труда найти適атное, почему функция $e^t + e^{-t}$ и cos $t$ приводят по существу к одной и той же, с точностью до расстояния вдвое, последовательности многочленов.)

Приведенные решения пункту д) очень красивы, но обладают одним недостатком: совершенно непонятно, как до них можно допустать. Мы приведем еще одно решение; оно будет менее коротким, но это будет ясно, как его придумали и как быстро выписывать многочлены $P_n$.

Третьий способ. Как вытекает из пункту б), может существовать только один многочлен $P_k$ степени $k$, коммутирующий с $P_2(x) = x^2 - 2$. Выпишем несколько первых таких многочленов:

$$P_1(x) = x,$$
$$P_2(x) = x^2 - 2,$$
$$P_3(x) = x^3 - 3x,$$
$$P_4(x) = x^4 - 4x^2 + 2,$$
$$P_5(x) = x^5 - 5x^3 + 5x,$$
$$P_6(x) = x^6 - 6x^4 + 9x^2 - 2$$

(здесь $P_4(x) = P_2(P_2(x))$, $P_6(x) = P_2(P_3(x))$, $P_5(x)$ находится также, как в пункту а)). Послерев на эту последовательность многочленов, можно заменить, что она удовлетворяет рекуррентной формуле $P_{k+1}(x) = xP_k(x) - P_{k-1}(x)$. Естественно предположить, что эта формула верна при всех $k > 1$.

Итак, определим последовательность многочленов $P_1, P_2, \dots, P_n, \dots$ по индуцини, считая, что

$$P_1(x) = x,$$
$$P_2(x) = x^2 - 2,$$

а при $k > 1$

$$P_{k+1}(x) = xP_k(x) - P_{k-1}(x).$$

Докажем, что все многочлены $P_k$ коммутируют с многочленом $P_2$; тогда они все коммутируют между собой (пункт г)).

Приведем доказательство по индуцини. Ясно, что многочлены $P_1$ и $P_2$ коммутируют с $P_2$; предположим, что все многочлены $P_1, P_2, \dots$

22

…, $P_k$ коммутируют с $P_2$, и докажем, что многочлен $P_{k+1}$ коммутирует с $P_2$.

Нам нужно показать, что
$$P_{k+1}(x^2-2)=(P_{k+1}(x))^2-2.$$

Подставляя в это равенство рекуррентную формулу для $P_{k+1}$, перепишем его в виде
$$(x^2-2)P_k(x^2-2)-P_{k-1}(x^2-2)$$
$$=(xP_k(x)-P_{k-1}(x))^2-2.$$

Тепер используем предположение индекции:
$$(x^2-2)(P_k(x)^2-2)-(P_{k-1}(x)^2-2)$$
$$=(xP_k(x)-P_{k-1}(x))^2-2.$$

Раскрывая скобки и приводные члены, получим такое равенство:
$$-2(P_k(x)^2-xP_k(x)P_{k-1}(x))+P_{k-1}(x)^2=2x^2-8$$

или
$$P_k(x)^2-xP_k(x)P_{k-1}(x)+P_{k-1}(x)^2=4-x^2.$$

Обозначим левую часть (*) через $S_k(x)$. Нам остается доказать, что $S_k(x)$ не зависит от $k$ (и равно $4-x^2$). Дейститьно, пусть $k>2$. тогда
$$S_k(x)=P_k(x)^2-xP_k(x)P_{k-1}(x)+P_{k-1}(x)^2=P_k(x)[P_k(x)-xP_{k-1}(x)]+P_{k-1}(x)^2$$
$$=-P_k(x)P_{k-2}(x)+P_{k-1}(x)^2=P_{k-2}(x)^2-xP_{k-1}(x)P_{k-2}(x)+P_{k-1}(x)^2=S_{k-1}(x),$$
т. е. $S_k(x)=S_{k-1}(x)$. Поскольку $S_2(x)=4-x^2$, $S_k(x)=4-x^2$ при всех $x \geq 2$. Таким образом, мы показали, что $P_k$ коммутирует с $P_2$ при любом $k$.

Задачи о коммутирующих многочленах

Мы хотим обсуждать задачи, связанные со следующей обещанием проблеем: описать все пары коммутирующих (не обязательно унитарных) многочленов $P$ и $Q$.

Задача 1. Докажите, что два многочлена $P$ и $Q$ первой степени коммутируют в том и только в том случае, когда либо $P(x)=x+\alpha$, $Q(x)=x+\beta$, либо существует $x_0$ такое, что $P(x_0)=Q(x_0)=x_0$ (общая «неподвижная» точка).

Задача 2. Решите общую проблеем для случая, когда степень одного из многочленов $P$, $Q$ равна 1.

В дальнейшем мы будем считать, что степени многочленов $P$ и $Q$ больше 1.

Пусть $P(x)=a_0x^k+a_1x^{k-1}+\cdots+a_{k-1}x+a_k$, $Q(x)=b_0x^e+\cdots+b_{e-1}x+b_e$. Прежде всего показем, что можно свести общую задачу к случайю, когда коэффициенты $a_1$ и $b_1$ равны 0 (многочлены такого вида называются приведенными). Для этого воспользуемся следующей операцией. Зафиксируем число $a$ и с его помощью построим из каждой многочлена $R$ новый, «свиднутый» многочлен $R^{(a)}$ по формуле $R^{(a)}(x)=R(x-a)+a$. Ясно, что многочлен $R$ восстанавливается по многочлену $R^{(a)}:R(x)=R^{(a)}(x+a)-a$.

Задача 3. a) Докажите, что если многочлены $P$ и $Q$ коммутируют, то $P^{(a)}$ и $Q^{(a)}$ тоже коммутируют.

6. Докажите, что любая пара коммутирующих многочленов $P$ и $Q$ степени больше 1 имеет вид $P=S^{(a)}$, $Q=T^{(a)}$, где $a$ — неокоторое число, а $S$ и $T$ — коммутирующие приведенные многочлены.

В дальнейшем мы будем считать, что многочлены $P$ и $Q$ приведены. Кроме того, мы будем считать, что они унитарны, то есть их старшие коэффициенты равны 1. Ясно, что это — наиболее интересный частный случай. Кроме того, рассуждая, аналогичные проведенным выше, показываются что можно свести общую задачу к случайю, когда старшие коэффициенты многочленов $P$ и $Q$ равны ±1, так что этот частный случай не сильно отличается от общого (в этих рассуждаях надо использовать операцию «растяжения», которая каждому многочлену $R$ сопоставляет многочлен $R^{\lambda}$ по формуле $R^{\lambda}(x)=\lambda R(x/\lambda)$). Опишем несколько серий коммутирующих многочленов:

1. Пусть $R$- многочлен степени $r$. Рассмотрим серий многочленов $P_0(x)=x$, $P_1(x)=R(x)$, $P_2(x)=R(R(x))$, $P_3(x)=R(R(R(x)))$ (вобщее $P_{i+1}(x)=P_i(R(x))$).

Ясно, что все многочлены $P_i$ коммутируют и степень многочлена $P_i$ равна $r^i$.

23

2. Серия многочленов $F_k(x) = x^k$. Все многочлены $F_k$ коммутируют и степень многочлена $F_k$ равна $k$.

3. $\{P_k\}$ — серия многочленов, построенная при решении пункта д) задачи М455. Эти многочлены определяются условием $P_k(t + t^{-1}) = t^k + t^{-k}$. Степень многочлена $P_k$ равна $k$.

4. Определим серию многочленов $H_1, H_3, H_5, \dots$ таким условием: $H_k(t - t^{-1}) = t^k - t^{-k}$ (к нечетно). Легко проверить, что такие многочлены существуют и однозначно определяются выписанным условием. Все эти многочлены коммутируют и степень многочлена $H_k$ равна $k$.

На самом деле, примеры 3 и 4 являются частными случаями слугами более общего примера. Чтобы описать этот общий пример, сделаем одно замечание о коэффициентах многочленов. Мы до сих пор считали, что эти коэффициенты — действительные числа. Однако в большинстве алгебраических вопросов лучше работать с комплексными числами. Поэтому давайте считать, что коэффициенты наших многочленов могут быть любые комплексные числа.

5. Фиксируем натуральное число $m$ и такое компликское число $\lambda$, что $\lambda^m = 1$ (для каждой $m$ существует $m - 1$ такое число, отличное от 1).

Рассмотрим такие пары чисел $(u, v)$, что $u.v = \lambda$, и положим $x = u + v$. Легко проверить, что $u^k + v^k = x^k + a_1x^{k-1} + \dots + a_k$, где $a_1, \dots, a_k$ — некоторые числа, зависит от $\lambda$. Положим $P_k(x) = x^k + a_1x^{k-1} + \dots + a_k$; многочлен $P_k$ характеризуется таким условием: $P_k(u + v) = u^k + v^k$, если $uv = \lambda$.

Пусть $l$ — число, дающее при делении на $m$ остаток 1. Тогда $u^lv^l = (uv)^l = \lambda^l = \lambda$, так что $P_k(u^l + v^l) = u^{kl} + v^{kl}$. Таким образом, если $k$ и $l$ дают при делении на $m$ остаток 1, то $P_k(P_l(u + v)) = u^{kl} + v^{kl} = P_l(P_k(u + v))$, то есть многочлены $P_k$ и $P_l$ коммутируют. Мы построили по числу $\lambda$ серию коммутирующих многочленов $P_1, P_{m+1}, P_{2m+1}$, …. Все эти многочлены унитарны, приведены и степень $P_k$ равна $k$.

При $m = 1$, $\lambda = 1$ мы получаем пример 3, при $m = 2$, $\lambda = -1$ — пример 4.

Примеры 1—5 исчерпывают все известные примеры коммутирующих многочленов, так что можно высказать гипотезу, что если $P$ и $Q$ — коммутирующие унитарные приведенные многочлены степеней больше 1 с комплексными коэффициентами, то они входят в одну из серий, построенных в примерах 1, 2, 5.

Можно, не решая общей проблемы, попытаться ответить на некоторые частиные вопросы:

1. При каких $\alpha$ многочлен $P(x) = x^2 - \alpha$ коммутирует с каким-нибудь многочленом нечетной степени.

2. Пусть $P$ — унитарный многочлен степени больше 1. Отметим степени всех унитарных многочленов $Q$, коммутирующих с $P$. Какое подмножество в натуральных числах при этом может получить?

Например, в примере 1 это — геометрическая прогрессия; в примере 5 — арифметическая.

3. Пусть $P, Q$ — коммутирующие унитарные многочлены степеней $k$ и $l$. Предположим, что $l$ делится на $k$. Верно ли, что $Q$ имеет вид $Q(x) = P(R(x))$, где $R$ — унитарный многочлен, коммутирующий с $P$?

Можно сформировать более общую проблуу — найти все коммутирующие рациональные функции $P$ и $Q$. В этом случае появляется много новых интересных примеров.

Здесь также годится общий способ, о котором мы говорили в решении пункта д) для многочленов. Пусть имеется функция $f$ (принимающая бесконечное число значений) такая, что

$$f(nt) = P_n(f(t)),$$

где $P_n$ — рациональная функция. Тогда для разных $n$ и $m$ функции $P_n$ и $P_m$ коммутируют.

Возникает интересный вопрос: для каких функций $f$ можно при любом $n$ подбрать такую рациональную функцию $P_n$, чтобы $P_n(f(t)) = f(nt)$. Например, легко проверить, что этому условию удовлетворяет функция $f(t) = tg t$.

Можно построить другие примеры функций $f$, используя теорию эллиптических функций. Поскольку это — не элементарная теория, мы не будем здесь описывать соответствующие построения.

Все эти примеры показывают, что задача об описании коммутирующих многочленов (и, более общо, коммутирующих рациональных функций) неосредственно связана с очень глубокими и красными математическими теориями. Решение этой задачи, видимо, откроет какие-то новые, неизвестные ранее факты. Короче говоря, это задача, которая стоит занимать.

24

Задачик
квана

М556—М560; Ф568—Ф572

М556. Обязательно ли конгрузить два остругольных равноведренных треугольника, имеющих равные по длине боковые стороны и равные радиусы вписанных окружностей?

А. Едоров

М557. Дано $n$ попарно взимно простых чисел, больших 1 и меньших $(2n-1)^2$. Доказите, что средние их обязательно встретиется простое число.

А. Колотов

М558. В круге расположено $k>1$ черных секторов, угол каждой из которых меньше $180^\circ/(k^2-k+1)$. Доказите, что круг можно повернуть вокруг центра $O$ так, что все черные секторы перейдет в белую часть круга.

В. Произвольов

М559. Доказите, что если $x, y, z$ — длины сторона треугольника, то

$$\left| \frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} - \frac{y}{x} - \frac{z}{y} \right| < 1.$$

А. Ermилов

М560. В дне ящика имеет два дырка. Нужно сделать выпуклую заслонку наименьшей площади, при любом положении которого на дне ящика дырка будет закрыта. Решите эту задачу, если:

a) дно ящика — квадрат $4 \times 4$, а дырка $1 \times 1$ расположена так, как показано на рисунке 1;

b) дно ящика — квадрат $n \times n$ (n нечетно), а дырка $1 \times 1$ расположена в центре (рис. 2);

b)* попробyte решить аналогичную задачу для каких-либо других случав, когда дно и дырка — выпуклы фигуры.

В. Батырев

Ф568. Приombardировке литевой мишени протонами с энергией не меньше 1,88 МэВ может проискодить ядерная реакция

$$7\mathrm{Li} + p \rightarrow 7\mathrm{Be} + n.$$

При какой энергии протонов образуются в реакции нейтроны могут лететь назад от литевой мишени?

25

Ф569. Электрическим кипятильником мощностью $W=500$ Вт нагревают воду в кастрюле. За две минуты температура воды увеличилась от $85^{\circ}\mathrm{C}$ до $90^{\circ}\mathrm{C}$. Затем кипятильник выключили и за одну минуту температура воды упала на один градус. Сколько воды находится в кастрюле? Удельная теплоемкость воды равна $4,19 \cdot 10^{3}$ Дж/(кг·К).

Е. Сурков

Ф570. Из-за наличия объемного заряда в межэлектроном пространстве плоского диода распределение потенциала $\varphi(x)$ между катодом и аномом имеет вид: $\varphi(x) = x^2 - 2x$ (x — в мм, а $\varphi$ — в волтах). Расстояние между катодом и аномом $d=10$ мм. Koордината $x$ совпадает с расстоянием до катода. Определить, при какой минимальной кинетической энергии электрон с поверхности катода сможет достичь анода. Каким будет максимальное ускорение электровок, которые достигут анода?

Ф571. Батареи и резисторы собирают в цепь двумя способами — как на рисунке 3, а как на рисунке 3, б. Определить точки, текущие через резисторы в обихх случаях. Сопротивлениями источников тока и соединительных проводов пренебречь. Как изменяется токи в случae $a$, если разрезать провода в точках $A$ и $B$?

Ф572. Перен исследовал зависимости от высоты числа шаровобразных части особой смоль — гуммигута во взвесе этих части в воде. Для части радиусом $r_1=0,212$ мкм он получил зависимости, график которого показан на рисунке 4 (n — концентрация части на высоте $h$, $n_0$ — их концентрация у дня кюветы). Такой же график получается для части с радиусом $r_2=0,106$ мкм, только картина растянуто по высоте в 8 раз. В то же время известно, что плотность кислорода в земной атмосфере убивает с высотой так, как показано на рисунке 5 (ρ — плотность кислорода на высоте $H$, $\rho_0$ — у поверхности кюветы). Определить массу молекулы кислорода.

Плотность гуммигута $\rho_r=1,194 \text{ г/cm}^3$.

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

Рис. 5.

26

Решения задач
M508—M512; Ф515, Ф518—Ф520

М508. Окружность касаемая трех полукружностей с диаметрами [AB], [BC] и [AC] (С∈[AB], рис. 1). Доказим, что радиус окружности ввода меньше расстояния от ее центра до пряной AB.

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Пусть $O_1$ — центр полукружности $\gamma_1$ с диаметром [AC], $O_2$ — центр полукружности $\gamma_2$ с диаметром [BC], $O_3$ — центр полукружности $\gamma_3$ с диаметром [AB], и, наконец, $O$ — центр окружности $\gamma$, касающей трех данных полукружностей (рис. 1). Обозначим длины радиусов окружностей $\gamma_1, \gamma_2$ и $\gamma$, соответствующего через $r$, $R$ и $x$. Тогда длина радиуса полукружности $\gamma_3$ равна $R + r$.

Рассмотрим треугольник $O_1OO_2$. Имеем: $|O_1O| = r + x$, $|OO_2| = R + x$, $|O_1O_2| = R + r$. Обозначим расстояние от центра $O$ до пряной AB через $h$. Записав площадь треугольника $O_1OO_2$ по формуле Герона и через длины основания $[O_1O_2]$ и высоты, опущенной из вершины $O$, получим уравнение

$$\sqrt{Rrx(R + r + x)} = \frac{1}{2}(R + r)h.$$

Аналогичное уравнение для треугольника $O_1OO_3$ имеет вид

$$\sqrt{rx(R + r)(R - r)} = \frac{1}{2}Rh.$$

Возвода левую и правую части общих уравнений в квадрат и затем вычитая из одного уравнения другое, получаем

$$rx[R(R + r + x) - (R + r)|(R - r)] = \frac{1}{4}h^2[(R + r)^2 - R^2],$$

откуда $x^2 = h^2/4$, то есть $x = h/2$, что и требовалось.

Эту задачу можно решить более изучно, если применить инверсию (об инверсии и ее свойства см. «Кваант» — 1974, № 1, с. 16, 1976, № 2, с. 34, 1977, № 6, с. 38).

Произведем инверсию $I$ относительно произвольной окружности с центром в точке $C$. При этой инверсии окружности $\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$ и $\gamma$ преобразуют так, как показано на рисунке 2: окружности $\gamma_1$ и $\gamma_2$ перейдет, соответствующего, в прямые $l_1$ и $l_2$, перпендикулярные [AB], а окружности $\gamma_3$ и $\gamma'$, соответствующей прямых $l_1$ и $l_2$, причем центра окружности $\gamma'$ принадлежит пряной AB (эта прямая на рисунках 1 и 2 выделена красным цветом).

Легко сообщить, что окружности $\gamma$ и $\gamma' = I(\gamma)$ готовятся с центром готовети $C$. Это видно из рисунка 3: проходящие через точку $C$ касательные к окружности $\gamma$ при инверсии $I$ переходит в себя и является касательными к окружности $\gamma' = I(\gamma)$. Обозначим радиус окружности $\gamma'$ через $x'$, а через $d$ — расстояние от центра окружности $\gamma'$ до пряной AB. Поскольку $\gamma$ и $\gamma'$ готовятся, имеем $h/d = x/x'$ (h — расстояние от центра окружности $\gamma$ до пряной AB, x — радиус $\gamma$). Но, очевидно, $x' = d/2$ (окружности $\gamma'$ и $\gamma'_3$ — одинакового радиуса, см. рис. 2), так что $x = h/2$, что и требовалось.

В. Сендеров, И. Шарьиц

М509. Решение в натуральных числах уравнения:
a) $2^x + 1 = 3^y$;
b) $z^x + 1 = (z + 1)^2$;
c) $z^x + 1 = (z + 1)^y$.

Нетрудно видеть, что уравнения a) и б) — частные случаи уравнения b) при $z = 2$ и $y = 2$ соответственно. Мы разберем случаи a) отдельно, а затем решим уравнение b).
a) Если $x = 1$, то и $y = 1$.
Пусть $x > 1$. Тогда $2^x + 1 \equiv 1$ (mod 4), откуда следует, что $y$ — четное число (если $y$ нечетно, то $3^y \equiv 3$ (mod 4), и раз-