Квант 1979, №11 · Страницы

11
1979

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - MATEMATIЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

На приведенной выше литографии «Репти-лии», созданной в 1943 году, заменаетный голландский художник Эшер, дав волю своему воображению, изображил необъявное событие.

…На покинутом художником столе в беспорядке среди кактусов, книг, сирает и спичек, модели додеказдра, бутылики и стакана, угольника лежит эскиз знаменитого рисунка Эшера «Яшерцы» (см., например, обложку «Кванта», 1977, № 3). И вдруг плоские яшерцы-узоры начинают приобретать объем, ожидают, сосредоточенно и зловеще ползут по столу и даже извергают пламень. Но вскоре возврашается и вовь расторяются в своем двумерном изображении, в способных и красивых закономерностях геометрии.

В НОМЕРЕ:

2 А. Кириллов, И. Клумова, А. Сосинский. Сюрреальные числа
10 Б. Новожилов. Тепловой взрыв

Лаборатория «Квант»
17 С. Шабанов, В. Шубин. О выходных колыхх

Математический кругхок
22 С. Адеев. Регулярное полимно

Задачик «Квант»
25 Задачи М591—М595; Ф603—Ф607
27 Решения задач. М538, М539; Ф547—Ф552

«Квант» для младших школьников
36 Задачи
37 П. Канаев. Олыты с водой на морозе

Практикум абитриента
41 Г. Бевз. Задачи можно решать проще

Искусство программирования
44 Заочная школа программирования. Урок 4

XIII Весоизоляная олимпиада школьников
48 Н. Розов, М. Смолянский. Олимпиада по математике
54 Т. Петрова, Л. Чернова. Олимпиада по физике
59 Призеры XIII Весоизной олимпиады школьников

Информация
61 С. Ващакмадзе. У истоков олимпиадного движения
63 Ответы, указания, решения

Смесь (с. 21, 40)

© Главная редакция физico-mатематической литературы изда-тельства «Нука»; «Квант», 1979

2

Сюреальные числа

А. Кириллов, И. Клумова,
А. Сосинский

Понятие действительного числа — одно из основных в математике. Не удивительно поэтому, что в настоящее время известно много способов построения строгой теории действительных чисел. Среди них выделяются простой и естественною аксиоматический метод. Он состоит в том, что мы отказываемся отчевать на вопрос «что такое число?», а определяем сразу все числа, описывая, какими свойствами они обладают. Свойства этих формулировки в виде аксиом. Оказывается, для аксиоматического задания действительных чисел достаточно 12 аксиом, приведенных на с. 9.

Конечно, нет никакой гарантии, что найдется объективы, удовлетворiousные этому набору требований. Поэтому в дополнение к аксиомам желательно иметь еще и модель — набор объектов, удовлетворiousных этим аксиомам. Однако такой модель действительных чисел вы хорошо знаете — это бесконечные десятичные дроби.

Сравнительно недавно английскому математике Джону Конвевею удалось «соорудить» очень интересную модель, которая содержит не только все действительные числа, но еще и многое другие — с интересными и необъывами свойствами. Эти числа — мы будем называть их К-числами, а Конвей называет их сорреальныеми (сверхвещественными) — удовлетворяют 11 из 12 упомянутых аксиом.

Кое-что об этих числах мы и расскажем в нашей статье. К сожалению, для построения всех К-чисел необходимо понятие трансфиктивного числа, которое не изучается в школе. Но заглянуть в их арифметике можно уже на школьном уровне.

Описание К-чисел

В арифметике Конвевя вместе привичных нам цифр.0, 1, 2, …, 9 используются всего два знака: ↑ — цр (вверх — англ.) и ↓ — down (вниз — англ.). Наборы из этих символов и являются К-числами.

Набор может вообще не содержать символов. Ниже мы увидим, что этот набор играет роль нуля, поэтому мы

3

заранее обозначим его через 0. Набор может быть любым конечным, например: ↓; ↑↑↓; ↓↑↑↓↑↓; может быть любым бесконечным: ↑↓↑↑↑↓ …, а может быть даже «более чем бесконечным» (см. последний раздел). Мы в основном будем оперировать с конечными наборами.

Если символы ↑ и ↓ рассматривать как указывающие направления движения я, то каждый набор «ир» и «допл» можно воспринять как «протокол понска» соответствует некоторому К-числу, причем разные «протоколы» соответствуют разных К-числам.

Сравним это с записью действительного числа в виде бесконечной десятичной дроби. Здесь тоже искомое число x строится путем последовательных приближений. Но при обычных последовательных десятичных приближениях числа мы подбираем к нему снизу, а не с двигустором, как у К-чисел (рис. 1). Кроме того, десятиная запись (в отличие от записи К-чисел) неоднозначна: 0,99999… ознакомлен то же, что 1,0000…

Объясним теперь, как сравнить К-числа по величины.

Отношение порядка

Чтобы сравнить два К-числа, нужно написать их одно под другим и по очереди сравнить символы, входящие в их запись (как при установлении порядка слов в словаре по алфавиту; такой порядок математики называют лексикографическим). Если первым из неодинаковых символов у числа x будет символ ↑, а у числа y — символ ↓, то x>y. Возможен еще случай, когда число x короче числа y

*) Что такое «больше — меньше» для К-чисел и почему 0 — простейшее К-число, мы обязываем в следующем разделе.

Рис. 1.

и составляет его начало. Тогда мы пишем x>y, если первым «лишним» символом y y будет символ ↓, и x<y, если этим символом будет ↑*). Например, справедливый неравенства ↓<0<↑↑<↑<↑↑↓.

Забегая вперед, скажем, что положительные (то есть >0) в К-аринетике будут все числа, начинающиеся с ↑, а отрицательными — все, начинающиеся с ↓.

Для К-чисел, кроме отношения порядка (>, =, <), имеется еще одно важное отношение; Конвей называет это отношение «равшие» и обозначает значком ←. Будем говорить, что К-число a равные К-числа b, если a встречает на пути к b из числа 0 (см. рис. 1). Иными словами, a ←b, если a можно получить из b «отрубанием хвоста» — части (с конца) стрелок ↑ и ↓. Например, ↑ равше, чем ↑ или ↑, а 0 по определенному считается самим ранним числом.

Заметим, что свойство «больше» не совпадает со свойством «больше»: например, число ↑ не равше числа ↑. Точно так же свойство «больше» не совпадает и со свойством «больше» или «больше»: например, оба числа ↑ и ↑ равше числа ↑, но первого из них больше ↑, а второе — меньше.

*) В частности, «пустой набор» 0 является началом любого К-числа.

4

Основная лемма
Пусть у нас есть два множества $K$-чисел: $A$ и $B$. Будем говорить, что множество $B$ лежит в шие множества $A$, если каждое число из множества $A$ меньше каждое число из множества $B$; обозначим это так: $A < B$. Скажем, что число $c$ разделяем множества $A$ и $B$, если $a < c < b$ для любых $a \in A$ и $b \in B$.

Основная лемма. Если $A < B$, то существует $K$-число $c$, разделяющее множества $A$ и $B$. Средние максимальные чисел есть самое раннее. (В дальнейшем самое раннее число, разделящее множества $A$ и $B$, будем обозначаться так: $\{A:B\}$.)

Эту лемму мы назвали основной потому, что она сыграет главную роль при определении правил действия на множестве $K$-чисел. Она верна для любых множества $K$-чисел $A$ и $B$. Но мы доказем ее только в предположении, что $A$ и $B$ — конечные множества конечных $K$-чисел.

Будем искать элемент, разделяющий множества $A$ и $B$, последовательно-но. Поскольку $0$ — самое раннее число, начнем с него.

Если $0$ разделяет множества $A$ и $B$, то все доказано. Если же нет, то по обе стороны (в смысле «больше — меньше») от $0$ найдет либо элементы из $A$, либо элементы из $B$. Пусть это — элементы из $A$. Тогда разделяющий элемент не может быть меньше $0$, т. е. он не может начинаться с $\downarrow$; значит, он начинается с $\uparrow$. Самое раннее число, начинающее с $\uparrow$, — это $\uparrow$. Рассуждаем, как выше: если $\uparrow$ разделяет $A$ и $B$, то все доказано. Если же нет, то снова по обе стороны от него найдет элементы из $A$ или из $B$; допустим теперь, что это — элементы из $B$. Тогда разделяющий элемент не может быть больше $\uparrow$; значит, он начинается с $\uparrow$. Берем $\uparrow$ и продолжаем с ним ту же процедуру и т. д. (рис. 2).

Мы предоставляем вам возможность убедиться в том, что этот процесс (в случае конечных множества $A$ и $B$, состоящих из конечных $K$-чисел) не может продолжаться бесконечно и, значит, приводит к разделяющему числу $c$.

Для доказательства можно, например, выделить наиболее число из $B$ и наиболее число из $A$ — тем самым доказательство теореми сводится к частному случаю, когда каждое из множества $A$ и $B$ состоит из одного числа.

Из самого способа построения видно, что $c$ равше любого из разделяющих чисел.

Этот же способ доказательства можно применить в обшем случае, но он приводит, вообще говоря, к бесконечному разделяющему $K$-числу, и строое доказательство того, что процесс «закончится» (что это такое для бесконечных процессов — еще надо определить!), требует сведений из теории трансфинитных чисел.

Определение сложения
Конвейз задает операции над $K$-числами, руководствуясь принципом орезедности и простоты. Он состоит в том, что правильная действия определяются не сразу для всех чисел, а постепенно: сначала для более ранних, а потом для более «поздних»; при

5

этом в качестве результат выбирается само раннее возможное число.

Определя, например, сумму двух каних-нибудь $K$-чисел, мы считаем, что для всех более ранних слагаемых суммы уже определены. После этого в силу вторя половина принципи. Чтобы показать, как этот принцип «работает», вычислим с его помощью несколько сумм. Разумеется, до тех пор, пока мы не придамим принцип четкой математической формулы, эти вычисления будут носить несколько нестрогий характер.

Поскольку 0 — само раннее число, «вычислим» первый делом сумму 0+0. Так как никаких результатов пока еще нет, ответом может быть любое $K$-число. Но из всех возможных ответов следует выбрать самый ранний. Это — 0. Итак, мы «доказали» равенство

$$0+0=0.$$ (1)

Попробуем теперь проверить, что 0 действительное имеет свойства нуля, указанные в аксиome C3 (см. с. 9), то есть что

$$0+x=x$$ (2)

для любого $K$-числа $x$.

Введем для этого неокоторые обозначения. Пусть $x$ — неокоторое $K$-число. Изовем средом $x$ (обозначение: $x$) множество всех $K$-чисел $y$ более ранних, чем $x$, то есть

$$x = \{y | y \in x\}.$$

Срез $x$ делится на нижний сред $x$ и верхний сред $x$ (обозначения: $x$ и $x$ соответственно). Нижний сред $x$ — это множество всех $y$ более ранних, чем $x$, и меньше $x$:

$$x = \{y | y \in x\}, y < x\},$$

а верхний сред — это множество всех $y$ более ранних, чем $x$, но большех $x$ (см. рис. 2):

$$\bar{x} = \{y | y \in x\}, y > x\}.$$

Например, сред $\bar{x}$ состоит из четырех чисел:

$$\bar{x} = \{0, \uparrow, \downarrow, \uparrow\},$$

причем нижний сред $\bar{x} = \{0, \uparrow, \downarrow\}$, а верхний сред $\bar{x} = \{0\}$. А вот и $\downarrow$ — это пустые множества; при этом $\bar{x} = \{0\}$.

Воспользовемся теперь очередно: будем считать, что для $K$-чисел более раннее число, чем $x$, равенство (2) верно (очевидно, любое число, которое равше $x$, принадлежит либо $x$ или $x$). Тогда сумма 0+x больше любого числа из $x$. Таким образом, число 0+x разделяет множество $x$ и $x$ (нижний и верхний сред $x$). Поскольку по принципу Конвеля нужно выбрать само раннее такое число, 0+x = $\{x\}: \bar{x}\}$. Но $\{x\}: \bar{x}\} = x$ (подумайте, почему), то есть 0+x=x.

Итак, мы почти обосновали обозначение 0 для пустого набора. Тепер оправданное сделанное выше утверждение о том, что в $K$-арфметике числа, начинающихся с $\uparrow$, играют роль положительных, а числа, начинающихся с $\downarrow$, — роль отрицательных.

Найдем теперь сумму $\uparrow + \uparrow$. Поскольку $\uparrow = \{0\}, \uparrow + \uparrow$ больше $\uparrow$. Самое раннее число, больше $\uparrow$, — это $\uparrow + \uparrow$. Поэтому

$$\uparrow + \uparrow = \uparrow + \uparrow.$$ (3)

У нас есть теперь опыт решения примеров на сложение: мы пониваем, что суммой $x+y$ должно быть само раннее число, которое разделяет суммы с недостатком (то есть объединение множества $x+y$ и $x+y$) и суммы с избытком (объединение множества $\bar{x}+y$ и $x+y$). (Относительно сумм с недостатком и сумм с избытком мы считаем, что уже уменьшен их определять.) Таким образом, принцип очередности и простоты приводит нас к такому определению суммы двух чисел:

$$x+y = \{(x|+y) \cup (x+y)\}.$$

(напомним, что элемент $\{A:B\}$, где $A < B$, существует и определяется однозначно).

Формула (4) является строгим выражением принципа Конвеля для суммы чисел. Для определения сложения к ней нужно еще присоединить наальные условия — формулу (1). На самом деле доказать ее нельзя — она является частью определения. С помощью формул (4) и (1) можно вычислить сумму любых $K$-чисел.

6

Теперь мы можем проверить, что в нашей модели выполняются аксиммы сложения (см. с. 9).

Проверим, например, что сложение, определяенное формулой (4), коммутативно.

В самом деле, возьмем первые два числа, для которых сложение некоммутативно *). Их сумма — это самое раннее число, отделящее суммы с недостатком от сумм с избытком. Суммы с недостатком и суммы с избытком были коммутативными (по предположению). Значит, и самое раннее число, которое их разделяет, тоже не зависит от порядка сложения — мы разделаем один и тот же набор множества и в общих случаях берем самое раннее число из разделющих (а оно определяется единственным образом—см. основную лемму). Значит, и сумма наших двух чисел не зависит от их порядка, вопроси предположению. Значит, сложение коммутативно.

В выполнения аксиммы С3 мы фактически убедились раныше. Аксимма С1 проверяется сложнее, чем аксимма C2; подумайте, как.

Найдем теперь сумму ↑+↓. Заметим, что ↑| и ↓| — пустые множества. Поэтому ответом должно быть самое раннее число, большее ↓ (поскольку ↑|={0}) и меньше ↑ (поскольку ↓={0}). Таким числом является 0.

Итак, ↑+↓=0 и ↓ является противоположным (в смысле аксиммы C4) элементом для ↑.

Обозначим через ↑n и через ↓n К-числа, состоящие из n подряд идущих соответствующих символов.

Задачи

1. Докажите, что ↑n + ↑m = ↑n+m, ↓n + ↓m = ↓n+m.
2. Докажите, что
   $$\begin{align*} \hat{n} + \hat{m} &= \begin{cases} \hat{n}-m, если n > m; \\ 0, если n = m; \\ \hat{m}-n, если n < m. \end{cases} \end{align*}$$

Из этих задач следует, что число ↑n можно отложить с обычным натуральным числом n*), а число ↓n — с противоположным числом (-n). Таким образом, числа Конверя содержат все общие целые числа!

Задача 3. Докажите, что если у данного K-числа все ↑заменить ↓, а все ↓— на ↑, то получится число, ему противоположное. (Например, ↑↑↓↓↓↓=0.)

Из задачи 3 вытекает, что в модели Конверя выполняется аксимма C4.

Есть ли доби?

Возьмем число ↑↓. Попробуем сложить его с самим собой. Что можно сказать о сумме ↑↓+↑↓? Она должна быть меньше, чем сумма ↑↓+↑, и больше, чем число ↑↓. Ночем равна сумма ↑↓+↑, мы не знаем. Мы нарушили наш главный принцип: двигататься от более ранних чисел к более поздним. Придется (никуда не денежся!) сосчитать сначала сумму ↑↓+↑.

Это число меньше, чем число ↑+↑=↑↑ (поскольку ↑|={↑}), и больше, чем число ↑+0=↑ (поскольку ↑|={0}), причем оно — самое раннее такое число. Самое раннее число, заключенное между ↑ и ↑↑, — это число ↑↑↓; поэтому ↑↑↓=↑↑↓.

Вернемся к сумме ↑↓+↑↓. Теперь мы знаем, что она заключена между чисlami ↑↓ и ↑↑↓. Самое раннее такое число — это ↑ (убедитесь в этом!).

Итак, в K-арфметике число ↑↓ играет роль «половинки». Аналогично установливается, что ↑↑↓ среди K-чисел — то же самое, что общное число $\frac{3}{2}$ среди действительных чисел.

Задачи
4. Найните суммы ↑↓↓+↑↓↓; ↑↓↓+↑↓↓; ↑↓↓+↑↓↓.
5. Каким обычно числом соответствует также K-числа:
a) ↑↓↓, ↑↓↓, ↑↑↓, ↑↑↑, ↑↑↑, ↑↑↑
b) ↓↑, ↓↑↑, ↓↑↑;
b) вообщше числа вида
$$\begin{align*} n \text{ «цр»} m \text{ «down»} \end{align*}$$

*) Если принять за единицу; ↑ действительно выполняет роль единицы в.arфметике Конверя, однако мы не смогем в этом убедиться, поскольку недаем в этой стране определения умножения.

7

Мы подскажем от в в задаче 5:
К-число ↑↓↓ — это то же самое, что $\frac{1}{4}$ в R, К-число ↑↓↑ — то же, что $\frac{3}{4}$, ↑↓↓ — это $\frac{1}{8}$, ↑↓↓ — это $\frac{3}{8}$, и т. д.

Задачи 4 и 5 позволяют дога-даться, каким обычно действительными числами соответствуют все вообщеские конечные наборы ↑ и ↓. Это — так называемые двойно-рациональные числа (то есть рациональные числа, знаменатель которых является степень двойки). Попробуйте доказать это утверждение.

Что же дальше?

Итак, мы выяснили, что среди К-чисел есть все обычные целые числа (это — либо конечные наборы одних только ↑, либо одних только ↓), а также все другие двойно-рациональные числа (им соответствует всевозможные конечные наборы, среди которых имеются комбинации ↑↓ или ↑↑).

Если К-числа изображать в виде «дерева» так, как на рисунке 3, то целые К-числа оказывается «по краям» этого дерева, а двойно-рациональные — внутри него.

А как же быть с остальным числами? Ведь мы обещали, что среди К-чисел оказывается все действительные числа, а пока неясно даже, как быть с рациональными числами, знаменатель которых не есть степени двойки. Все дело здесь в том, что мы пока не видим множество К-чисел целиком: мы ведь ограничились расстоянием лишь конечных наборов «цр» — «down», определяли для них сложение и научились решать простые задачи (на уровне 2—3 класса школи). А надо бы еще определить умножение, а вместе с тем и выяснить вопрос о существовании обратного элемента для любого отличного от нуля К-числа (см. аксиomy Y4). И вот оказавается, что уже для определения

9

не изменилось. Однако это не так: новый символ ↑ следует за всеми предыдущими (рис. 4!) Позтому ↑ и ↑— разные K-числа.
Задача 9. Что изобрадает запись ↑↓?
Ответ: $\omega$ ↑. Указание: вычислите сумму ↑↓↑.

Среди чисел «более длинных, чем бесконечные», встречаются довольно замысловые. Попробуйте, например, угадать, какая из записей в правой половине круга на рисунке 5 соответствует K-числом, стоящим в левой половине.

Если вас занитересовала аргумента K-чисел и вы хотите бы узнать о ней пользовше, напишите нам.

Приложение

I. Аксиомы сложения.
Для любых двух элементов $a \in R$, $b \in R$ определяем сумма $a+b \in R$, причем:
C1. $(a+b)+c=a+(b+c)$ (ассоциативность).
C2. $a+b=b+a$ (коммутиативность).
C3. Существует такой элемент 0, что для любых $a \in R$ выполняется соответствие $a+0=a$ (существование нуля).
C4. Для каждого элемента $a \in R$ существует такой элемент $(-a) \in R$, что $a+(-a)=0$ (существование произвольного элемента).
II. Аксиомы умножения.
Для любых двух элементов $a \in R$, $b \in R$ определяем произведение $a \cdot b \in R$, так что:
Y1. $(ab)c=a(bc)$ (ассоциативность).
Y2. $ab=ba$ (коммутиативность).
Y3. Существует такой элемент 1, что для любых $a \in R$ имеем место равенство $a \cdot 1=a$ (существование единицы).

У4. Для каждого элемента $a \in R$, отличное от нуля, существует такой элемент $a^{-1} \in R$, что $a \cdot a^{-1}=1$ (существование обратного элемента).

III. Аксиома, установливая связь сложения с умножением.
С—У. $a(b+c)=ab+ac$ (дистрибутивность).

Множество с определенными на нем операциями сложения и умножения, обладащими перечисленными свойствами, математики называют полем (см. «Квант», 1977, № 5, с. 45).

IV. Аксиомы порядка.
П1. Для каждого элемента $a \in R$ имеем место равно из соответствий $a>0$, $a=0$, $0>a$.

П2. Если $a>0$ и $b>0$, то $a+b>0$ и $ab>0$.

По определению полагают, что $a>b$ тогда и только тогда, когда $a-b>0$.

Поле, в котором выполены аксиомы П1 и П2 и относение порядка > определено формулой $a>b \Rightarrow a-b>0$, называется упорядоченным полем.

Последняя группа аксиом, определяющих действияные числа, состоит всего из одной аксиомы совсем иной природы.

V. Аксиома полотты.
Непустое множество действительных чисел, ограниченное сверхю грань.

Это означает, что если для непустого множества $A \subset R$ существует элемент, который больше (или равен) всех элементов этого множества, то среди таких элементов есть наиболееный.

Упорядоченное поле, для которого выполняется аксиом полотты, называется полным упорядоченным полем.

Доказано, что перечисленные 12 аксиом определяют множество действительных чисел однозначно. Таким образом, действительные числа — это единственное полное упорядоченное поле. К-числа не удовлетворяют последней аксиоме.

10

Б. Новожилов

Тепловой взрыв

В января 1953 года в Красном море взорвался и затонул винтовой пароход «Тиррення» водозмещением четыре тысячи тонн. В истории морского судоходства известны и более крупные катстрофы — взрывы и пожары на танкерах и судах, перевозащих боеприпасы. Но «Тиррення» шла, на первый взгляд, с безобидным во взрывоопасном отношении грузом — аммиачной селитрой. Если бы это был единственный факт, то причину взрыва можно было бы искать среди случайных obstояльств. Оdnako в Регистре судоходства Лойда, фиксирующим все достагоно крупные морские катстрофы, отмещено несколько десять пожаров и взрывов, связанных с аммиачной селитрой. Участлись они в сороковые — пятидесятье годы, когда темпы промышленного производства этого вещества резко возросли. Рекордным оказался 1947 год — в процессе погрузки судов в различных портах производства три мощных взрывов, что привело к большому числу человекских жертв.

Между тем аммиачная селитра (азотнокислый амmonий, или нитрат амmonия, NH₄NO₃) уже давно использовать в больших количеств в технике и сельском хозяйстве. Ежегодное производство ее составляет десяти миллионов тонн. Достаточно посмотреть на химическую формулу этого соединения, чтобы сообщить, где оно может применяться. Нитрат амmonия содержит много азота, причем связанного в два наболее хорошего усаиваемых растениями иона—ammичный и нитратный. Позтому аммиачная селитра — одно из наиболее ценных минеральных удобреней. А наличие большого количества кислорода обеспечивает второе, не всегда мироное применение нитрата амmonия в качестве окислителя при производстве порохов и взрывчатых веществ. Без примесейорганики, металлов нитрат-ammonия не взрывается. Он часто используется в демонстрационных химических опытах. Смеся же NH₄NO₃ с троплом или алюминем—сильное взрывчатое вещество.

Попробуем разобраться, почему совершенно безопасное mineralное удобренение — аммиачная селитра, которое годами в больших количеств может храниться на складах или под открытым небом, последующло причиной трагедий на море.

11

Взрывной процесс характеризуется очень быстро выделением большого количества энергии, что сопровождается резким изменением состояния вещества. Образовавшиеся при взрыве газы могут при своем распределении совершить значительную механическую работу.

Такие понятия, как «быстрый» и «большой», конечно, относительно. При странички kilogramма угля в воздухе выделяется около тридцати миллионов джойлей. Это тепла достаточно для нагрева продуктов горения до температуры во много тысяч градусов. Таким температуром при обычной плотности газа соответствует давления в сотни atmosфер. Таким образом, с энергетической точки зрения система уголь — кислород обладает достаточно запасом энергии для возникновения взрыва. Однако уголь не взрывается, а способно горит.

Дело в том, что в этом случае не выполняется второе условие взрыва — быстродата выделения энергии. Действительно, горение угля начинается с поверхности, слой, лежащие глубже, начинают гореть лишь после того, как они прогреются за счет тепла, выделившегося при реакции в поверхностном слое. Прогрев, а также подвод кислород проискдает настолько медленно, что продукты горения успевают расприиться, и существенно увеличения давления не возникает.

Однако есть также вещества, химические превращение которых возникло и без подвода окислителя извлечения. Примерами могут служить твердые ракетные топлива, динамит и т. п.

Одно из таких веществ — тринитрополуол — С₇H₅(NO₂)₃. Специалисты называют его обычно троплом или топом. Если тропил поджень с поверхности, он легко воспламеняется и горит. При этом внутренность вещества медленно проревается. И несмотря на то, что тепла страница этого вещества намного меньше, чем у обычных топлив (всего 4 МДж/кг), тропил может взорваться. Для этого нужно увеличить температуру во всем объеме вещества. Следать это можно разными способами, например, сжатием. При этом реакция идет во всем объеме и так быстро, что образуошнее газообразные продукты за время протекания реакции не успевают существенно расшириться. Занимая объем, применно равный объему исходного заряда, и будучи нагретыми до высокой температуры, эти газообразные продукты создают давление в десяти и сотни тысяч atmosфер. Последующое быстрое распределение газов приводит к разрушению окружаюшей среды — проискдит взрыв.

В этой статье мы хотим познакомить читателя с тепловым взрывом — самопроизвольным взрывным процессом, связанным с освобождением химического энергии.

Прежде всего нужно напомнить основные факты из учения о скорости химических реакций.

Первое, что бросается в глаза при исследовании химического превращения, — его малая скорость. Действительно, в газе, например, при нормальных условиях каждой молекул испытывается в среднем 10¹⁰ стольновейный в секунду. Если бы каждое столковение приводило к реакции, то она произошла бы мгновенно. Опыт не подтвержддает этого. Например, смесь водорода и кислорода (гремучий газ) при комнатной температуре можно хранить совершенной оказываться эффективной, то есть приводит к реакции.

Химический акт — превращение одних молекул в другие. При этом разрушают один связи между атомами и возникают новые. Если новые связи прочее старых, то реакция идет с выделением тепла (экзотермический процесс). Это, однako, не означает, что реакция должнаойти быстрее. Ведь прежде чем образовать новые связи (пустые даже и более прочные), нужно разрушить старые, то есть затратить энергию. Прочность любой составной системы (атома, молекулы, ядра) характеризуется энергейой связи. Она равна той работе, которую нужно совершить, чтобы разложить систему на составляющие ее части. Например, энергия связи молекулы водорода составляет 7,2×10⁻¹⁹ Дж. Такую энергию нужно затрактить, чтобы получить два атома водорода, и, наоборот,ровно столко

12

Энергии выделится при образовании молекулы водорода из атомов. Разность между энергиями связи продуктов и исходных веществ называется тепловым эффектом реакции (чаще всего внутренняя энергия молекул в результате реакции переходит в тепло). Пересчитанный на единицу массы или объема вещества тепловой эффект представляет собой теплотropy.

Если реакция сопровождается выделением тепла, это совсем неозначает, что она должна идти быстро. Это иллюстрирует рисунок 1. В процессе реакции A+B→C+D связи в молекулах A и B должны быть разрушены или по крайней мере существенно ослаблены. Для этого необходимо необходима неокоторая (вплоне определения для каждой реакции) энергия E. Она называется энергейой активции реакции. Ясно, что по порядку величины энергия активции должна быть близка к сумме $U_{AB}$ энергий связи молекул A и B. Таким образом, ход химического процесса в начальной стадии энергетической затруднен. Вступление в реакцию молекул должны обладать достаочной тепловой энергейой, чтобы предолеть барер величины E.

Разрушение или ослабление химических связей может произойти под действием теплового (поступательного или колебательного) движения атомов и молекул. Природа устроена так, что энергия теплового движения при умеренных температурах обычно много меньше энергии активции. Средняя энергия теплового движения порядка $kT$, то есть

$$\sim 4 \cdot 10^{-21} \text{ Дж},$$

в то время как энергия активции в сотни раз больше. В этом причина столбчюжного числа эффективных соударений. Химическая реакция идет лишь между теми молекулами, тепловая энергия которых намного превышает среднюю. А их очень мало.

Число молекул, обладающих энергейой теплового движения E при температуре T, выражается простой формулой:

$$y = e^{-E/kT}.$$

(Читательям придает принять эту формулу на веру — более или менее последовательный вывод ее уvelл бы нас далеко в сторону.) Качественный вид зависимости величины y от температуры T для различных значений

Рис. 2. Доля активных молекул при разных энергиях активции ($E_1 < E_2 < E_3$) в зависимости от температуры.

13

Энергии активизации $E$ приведен на рисунке 2.

Таким образом, скорость химического реакции, то есть количество веществ (в килogramмах, молях, числе частиц), прореагировавшего за единицу времени в единице объема, может быть записана в таком виде:

$$w = z e^{-E/kT},$$

где величины $z$ определяется либо числом стольновений (в газах), либо количеством молекулярных связей, разрыв которых приводит к химическому превращению (в конденсированных телах). (Размерность $w$ и $z$ одна и та же: $k r/(m^3 \cdot c)$, моль/(m$^3 \cdot c$) или $1/(m^3 \cdot c)$.) Для того чтобы вы могли «почувствовать», насколькорезка зависимости скорости химического реакции от температуры, мы предлагаем вам рассмотреть конкретный численный пример — решить задачу 1 (см. с. 16).

Тепер мы подготовлены к тому, чтобы объяснить явление теплового взрыва. Причина, приводящая к тепловому самовоспланению, очень проста. Если реакция идет с выделением теплла, то вещество нагревается. С нагревом возратает скорость химического реакции. Это, в свою очередь, должно привести к более интенсивному выделению энергии. Навозможность такого прогрессивно самоускоряющегося протекания химического реакции указывал еще в конце прошло века знаментийной голландский химик Вант-Гофф. Количество теплового взрыва была дана в 1928 году академиком Н. Н. Семеновым. Ее с полным правом можно отнести к классическим. Теория достагоно проста, чтобы ее можно было объяснить «на пальцах». С другой стороны, и сейчас, спустя полстолетия после создания теории, она остается основой для исследования и решения все новых и новых задач химического физики — научно о физических основах химического процесса.

Конечно, скоросленный вывод о том, что любая смесь, в которой происходит экзотермическая реакция, в конце концов взорвется, неверен. Ведь сосуд, в котором происходит реакция, ограничен и выделяется теплло может отводиться в окружающую среду. Конкуренная тепловыделения и отвода теплла приводит к очень свободному поведению химического самоускоряющегося системы.

Перейдем к количественной стороне явления. Пусть в некотором объеме $V$ идет реакция с теплотой сторания $Q$ Дж/кг. Количество теплла, выделяющегося ежесекундно во всем объеме, равно

$$P_+ = z Q V e^{-E/kT} (\text{Дж/c}),$$

где $T$ — температура реакциющего вещества в объеме $V$.

Пусть температура окружающей среды постоянна и равна $T_0$. Потери теплла из реакирующего объема пропорциональны разности $T - T_0$ и площади $S$ поверхности, ограниченной объемом $V$. Следовательно, ежесекундно реакирующее вещество отдает окружающую среде количественно теплла

$$P_- = \alpha S (T - T_0),$$

где $\alpha$ — так называемый коэффициент тепловодства. Естественно, эта величина должна содержать в себе характеристку способности вещества проводить теплло — коэффициент тепловодности $\lambda$ — и характерный размер тепла — $r$ (для шара, например, его радиус). Таким образом,

$$\alpha = K \lambda / r.$$

Коэффициент $K$ — некоторая константа для данного тела, которая характеризует влияние формы тела на величины тепловодания. Понятно, почему размер $r$ попал в знаменатель: при одной и той же разности температуры между двумя точками тела поток теплла (количество теплла, проходящо за единицу времени через единицу площадку) тем меньше, чем больше расстояние между этим точками.

На рисунке 3 изображена функция тепловыделения $P_+(T)$ и некоторую прямую тепловодства $P_-(T)$, отвечающих различим температуром окружающей среды. Обратим внимание на число точек пересечения $P_+$ и $P_-$, то есть на число корней уравнения

$$P_+(T) = P_-(T).$$

ИЗ-за сильной непленной функции тепловыделения таких точек может быть несколько. Так, для достагоно низких и высоких температур $T_0 \left( T_0^{(1)} \right)$ и $T_0^{(3)}$ есть только

14

Рис. 3. Зависимость тепловыделения $P_+$ и тепловода $P_-$ от температуры.

один корень; при некоторых же температурах окружающей среды (например, $T_0^{(2)}$) могут быть три точки пересечения. Равенство $P_+(T)$ и $P_-(T)$ отвечает условию теплового равновесия (стационарности) — все выделяющаяся энергия отводится из системы в окружающую среду. Проctым рассужdenем (задча 2) можно показать, что точки пересечения типа $a$ (кривая тепловода круче кривой тепловыделения) устойчивы, а точки типа $b$ неустойчивы.

Рассмотрим теперь поведение реагирующей системы во времени. Пусть в начальной момент $t=0$ вещество имел температуру $T_0^{(1)}$, равную температуре окружающей среды (точка $A$ на рисунке 3). Так как в этой точке $P_+ > P_-$, тело начинает нагреваться. На рисунке 4 этот процесс будет соответствовать движению системы по кривой 1. Видно, что рост температуры со временем замедляется. Это связано с уменьшением в процессе разогрева разности $P_+ - P_-$, которая и определяет рост температуры. Процесс нагрева окончится в точке $B$ (см. рисунке 3), которая устойчива. Подобная же зависимости (кривая 2 на рисунке 4) температуры от времени будет и для более высокой начальной температуры $T_0^{(2)}$. Система нагрева до несколько большей, чем в первом случае, конечной температуры и придет в устойчивое состояние.

Рис. 4. Изменение температуры во времени для подкритического (кривые 1 и 2) и надкритического (кривая 3) режимов.

Повышая температуру окружающей среды (и соответственно начальную температуру вещества), мы придем к качественной совершению иному режиму разогрева. Посмотрим, как протекает процесс нагрева при начальной температуре $T_0^{(3)}$ (кривая 3 на рисунке 4). В начале процесса зависимости $T(t)$ похожа на два предыдущих случая: разность $P_+ - P_-$ с течение времени уменьшается, поэтому рост температуры заменяется. Система очень долго проходит через узкую щель между кривыми тепловыделения и тепловода — на температурной зависимости $T(t)$ это соответствует почти горизонтальном участику. После того как разность $P_+ - P_-$ проijdет через минимум, начинается резкий (быстрее экспоненциального) рост температуры. Возникнет самоускоряющийся процесс выделения энергии. Такое тепловое самоускорение экстермического химического реакции и называется тепловым взрывом.

Нанболее замечательной стороны этого явления следует считать существование критического условия. Мы видим, что плавное изменение $T_0$ приводит к резkomу качественной изменению поведения системы. Temperature зависимости $T(t)$ может быть только двух типов — либо слабый разогрев, либо резкое (после некоторого плавного периода) возрасти температуры — взрыв.

15

Очевидно, что должа сущевовать неокоторая критическая температура $T_0^{(k)}$, которая отделяет эти два типа режимов. Конечно, читатель уже образил внимание на пунктуную кривую $P_-^{(k)}$ на рисунке 3, соответствующее температуре $T_0^{(k)}$. $T_0^{(k)}$ и есть критическая начальная температура. Кривые $P_+$ и $P_-$ имеют точку касания (точка $C$). Если начальная температура ниже только за счет изменения начальной температуры. Функции $P_+$ и $P_-$ содержат и другие параметры, изменение которых переводит систему из подкритического в надкритического состояние (этому вопросу посящена задача 3).

Перейдем теперь к математике, то есть получим количество критических взрывва. Он должен иметь характер неокоторая неравенства типа $T_0 > T_0^{(k)}$, в котором входили бы все параметры задачи. Мы хотим найти условие касания двух кривых, соответствующих функциям $P_+(T)$ и $P_-(T)$. Для старшеклассников, знакомых с дифференциальным исчислением, это подходящий случай проверить свои знания. Те же, кто не имеет дифференцирования, должны поверить в окончательный результат и понять его физический смысл.

Для того чтобы графики функций касались в данной точке, необходимо выполнение двух условий: во-первых, значения функций в этой точке должны быть равны, и во-вторых, значения произвольных функций в этой точке должны совпадать.

Эти два условия определяют критическую температуру, то есть ту температуру вещества, которая отделяет точке касания графиков $P_+(T)$ и $P_-(T)$:

$$T_k = T_0 + \frac{kT_0^2}{E}$$

(значение $T_0$ в этой формуле равно $T_0^{(k)}$).

Значение $T_k$ определяет критический теплового взрыва:

$$\frac{zQV}{\alpha S} \frac{E}{kT_0^2} e^{-E/kT_0} \geq \frac{1}{e}.$$

(Подстановка значения $T_k$ в равенство (**) дает условия критического режима; знак «больше» определяет взрывв.)

Таким образом, зная форму и размеры объема, содержащого вещество с известными физико-химическими свойствами, мы можем предсказать, произойдет взрыв или нет.

Тепер мы можем перейти к расследованному дела о взрывах судов, груженных аммиачной сельтрой. Уже говорилось, что при ее разложении выделяется теплло, а поскольку скорость химического реакции растет с температурой, то в принципиальном взрыввном интрата амmonия возможен. Однако возможность — это не необходимость. Только перейдя к численным оценкам, можно установить, произойдет ли тепловой взрыв или причины катстрофы следует искать в чем-то ином.

Перепишем формулу (**) в несколько ином виде. Очевидно, что отношение $V/\alpha S$ пропорционально квадрату линейного размера тела $r^2$. Поэтому критерией теплового взрыва можно записать в виде условия, определяющего критический размер тела $r_k$:

$$r_k = \left( \frac{C\lambda kT_0^2}{zQE} e^{E/kT_0} \right)^{1/2},$$

при $r > r_k$ — взрывв.

(Постоянная $C$ характеризует влияние формы тела.)

Значения параметров, входящих в выражение для $r_k$, известны с различной степенью точности. Теплога страна nitрата амmonия равна 1 МДж/кг; коэффициент теплопровод-

*) Тем, кто захочет самостоятельно получить значение $T_k$ и критерием теплового взрыва, мы хотим даить указание. Поскольку как уже говорилось, $kT/E \leq 1$, при вычислении $T_k$ выражение $\sqrt{1 - 4kT_0/E}$ можно заменить приближенно равным ему значением $1 - 2kT_0/E - 2(kT_0/E)^2$, а при нахождения критерия взрыва выражение $1/(1 + kT_0/E)$ можно заменить приближенно равным ему значением $1 - kT_0/E$

16

ности $\lambda=0,17$ Дж/(м·с·град). А вот точные значения кинетических constants $z$ и $E$ для интеграта аммония указаны нельзя. При современном состоянии науки о химических превращениях теоретически эти константы найти нельзя. Они измеряются, и такие изменения достаются труды и всегда связаны с ошибками. Поэтому в таблицах кинетических constants для $z$ и $E$ данные интегралы ихверятных значений: $z=(3\div 5)\cdot 10^{16}$ кг/(м$^3$·с), $E=(2,4\div 2,7)\cdot 10^{-23}$ Дж.

Таким образом, вопрос заключается не в вычислении кинетического значения $r_K$ размеров тела, а в определении области значений $r_K$ при изменении кинетических параметров в тех пределах, которые указаны выше.

Наноболее сильно влияют на кинетический размер энергия активции и температура среды — они входят в показатель экспоненты. На их фоне влияние других параметров несущественно. Избразим на графике зависимости $r_K(T_0)$ для различных значений энергии активции (рис. 5). Область выше кривой (большие $r$ и высокие температуры) соответствует взрыву. При уменьшении энергии активции кинетический размер падает.

Из графика видно, что характерные размеры грузовых отсеков судов (порядка десять метров) попадают в область $r_K$ в размерных пределах изменения энергии активции и начальной температуры. Как уже говорилось, серия взрывов началась в связи с ростом промышленного производства интеграм аммония. Ускорился технический процесс, который включает в себя охлаждение сельтиры, получаемой при нейтрализии азотной кислоты аммиаком. Вполне возникно, что погрузка продукта велась при несколько повышенной температуре. Кроме того, для предотвращения слеживания удобренной гранылы их покрывают воском, а упаковку производят в бумажные мешки. Лабораторные исследования показали, что добавка огранички снижения энергии активции. Эти факторы способствуют возникновению взрыва.

На этом мы и кончим с надеждой, что читатели почувствовали силу и

17

О вихревых колых

Как можно получить водяные и воздуханые вихревые колыса в лабораторных условиях? Какими свойствами они обладают? Возможно ли взаимодействие колцес с прерадами и между собой? На эти и многие другие аналогичные вопросы вы получите ответ, пройти предлагаемую статью.

Авторы статьи, еще будучи школьниками, обнаружили много интересных эффектов и особенностей поведения вихревых колцес. Почти все им удалось качественно обьясить.

Образование вихревых колцес

Для получения вLABораторных условиях вихревей в воздухе мы пользовались аппаратом Тэта (рис. 1). Он представляет собой цилиндр, один торц которого (memбрана) затягут каким-нибудь пругугм материалом(например, кожей), а в другом имеет круглое отверстие (диафрагма).

Внутри цилиндра находится два сосуда: один — с соляной кислотой (HCl), другой — с нашатырьным спиртом (NH₄OH). В результате в цилиндр

дре образуется густой туман (дым) из частичек хлористого амmonия (нашаатыря NH₄Cl).

Ударя по_memбране, мы сообщаем неоктору скорость приложающему к_memбране слово дыма. Придя в движение, этот слой вызовет уплотнение соседнего слоя, тот — следующее и так далее. Когда уплотнение doit до диафрагмы, дым вырвется из отверстия, приведет в движение ранее поконвшийся воздух и, благодаря слиам вззкого трения, сам закрутится в дымовой колцо.

Может быть, в образованнии вихревых колцес главную роль играют стратвердения? Проверим это. Вместо обычной диафрагмы поставим в аппарате Тэта решено. Если наша гипотеза верна, должно получиться много маленьких колцес. Однако опыт показывает, что это не так, — образуется одно большое вихревое колццо (рис. 2).

Очень важно, чтобы дым из аппарата выходил отдельными порциями, а не непрерывной струей. Если_memбрану заменить поршнем и перемешать его, из отверстия вместе колцес появится непрерывная струя дыма.

Вихри в воде можно получить с помощью объкновенной пипетки и чернил. Набрав в пипетку чернил, нужно их капать с высоты 2—3 см в аквариум с хорошего устоявшейся водой (в котором нет конвекционных потоков). В произвольной воде хорошего устоявшейся чернильные колцца (рис. 3).

Можно сделать немного по-друго-му: выпустить струю чернил из пипетки прямо в воду (рис. 4). В этом случае вихревые колцца получаются несколько больших размеров.

Рис. 1. Рис. 2

2 «Квант» № 11

18

Природа образования вихревых колцел в воде — такая же, как в воддухе; поведение чернил в воде аналогично поведению дыма в воддухе. В обихх случаях главную роль играют силы вязкого треня. (Правда, опыты показывают, что полная аналогия имеет место лишь в первый момент после образования вихрей. В дальнейшем поведение вихрей в воде и воддух оказывается различным.)

Движение среды вокруг вихревых колцел

Что происходит с окружающей средой после того, как образование вихрь? Ответить на этот вопрос нам помогли соответствующие опыты.

На расстоянии 2—3 м от аппарата Тэта поставим зажженную свечу. Дымовое колцело пустим с таким расчетом, чтобы оно не врезалось в пламя свечи, а прошло рядом. Пlamя либо погаснет, либо будет очень сильно колыхаться. Это говорит о том, что движется не только видимая часть колца, но и слой воздуха, прилегающие к колцу.

Как же они движутся? Возьмем две трипочки, одну смочим соляной кислотой, другую — нашатырьим спиртом и подвеским их на расстоянии

Рис. 3.

Рис. 4.

Рис. 5.

18

20

мерное расширение всего внешнего колыца.

Если же плоскость наклонить под некоторым углом к первоначальному положению, вихрь, налетая на плоскость, будет отталкивать от нее (рис. 8). Этот факт можно объяснить возникновением области повышенного давления в пространстве между колыцом и плоскостью.

Взаимодействие колец

Бесспорно, самыми интересными оказывается опыты по изучению взаимодействия внешних колес. Мы проводили эксперименты с колцами и в воде, и в воздухе.

Пусть каплю чернил с высоты 1—2 см в сосуд с водой, а через секунд пусть еще одну каплю, но уже с высоты 2—3 см. В сосуд образуется два вихря, движущиеся с разными скоростями: второй — быстрее, чем первый ($v_2 > v_1$). Когда колца оказывается на одной высоте, они начнут взаимодействовать друг с другом.

Оказывается, возможно три случая. Первый случай — второе колюц обгорает первое, не задевая его (рис. 9, a). При этом происходит следующие. Во-первых, потоки воды от обонх колцек как бы отталкивают колца друг от друга. Во-вторых, обнаруживается переatok чернил с первоюю колца на второе: водяные потоки второго колца более интенсивны, они и увлекают чернила за собой. Иногда часть этих чернил проходит через второе колюц, что влечет за собой образование нового небольшого колца. Затем колца начинают делаться, дальше ничего интересного нам заметить не удалось.

Второй случай — колюц 2 при обгорете задевает колцо 1 (рис. 9, б). В результате более интенсивные потоки второго колца разрушают первое. Как правило, из оставшегося от первого колца сгустка чернил образуется новые маленькие винри.

Рис. 9.

21

Как разбитъ квадрат

Можно ли квадрат разрезать на некоторое число меньше попарно неконгрузных квадратов? Долгое время математики (средние них и Гуго Штейнгауз) предполагали, что нельзя. Возможность такого разбиения впервые была установлена немецким геометром Р. Шпагом в 1939 году: ему удалось разбитъ квадрат на 55 попарно неконгрузных квадратов. Число 55 очень скоро было уменьшено: в 1940 году английские математики А. Стон и У. Татти установили, что квадрат можно разрезать на 28 попарно неконгрузных квадратов, причем это можно сделать двумя различными способами. Затем они же совместно с К. Смитом и Р. Бруком уменшили число 28 до 26.

Разбиение на 26 квадратов должно считать «самым экономным» из всех возможных разбиений. Однако в 1948 году английин Ф. Вилькоск построил разбиение квадрата на 24 неповторяющихся квадрата. Этот «рекорд» держался на протяжении тридцати лет. В 1978 году голландский математик Дьювесин указывает разбиение квадрата на 21 различный квадрат (см. Journal of Combinatorial Theory, 1978, V25, p. 240—243). Разбиение Дьювесина изобравено на нашей обложке (числами отмечены длины сторон квадратов разбиения, если длина стороны исходного квадрата — 112). Дьювесин доказал, что число 21 уже уменшить нельзя (ранее было доказано только, что число квадратов разбиения не меньше 14; см., например, с. 29 книги И. М. Яглома «Как разрезать квадрат?», М., «Наука», ФМ, 1969).

О. М.

22

С. Адеев

Регуляное полимино

Имя С. В. Голомба — американского ученого, специалиста в области теории информации и статистики — хорошо известно любительям занимаетельной математики. Голомб изобрел замечательную серию игр, который он дал общее название «полимино». Этот игр посвязывано множество публикаций в самых различных журнальных журналах. «Квант» также неоднократно обращался к этой теме, а в 1975 году в издательстве «Мир» вышла книга самого автора этого изобретения, содержащая много красивых и занимаательных математических задач *).

Вот пример «полиминошной» задачи (она была помещена в одном из номеров «Кванта»): Докажите, что из трех уголков и соответствующего числа плиток, но доказать это черезчайно трудно. Как правило, подобные задачи не могут исследовать метод перебора даже быстроеstruzione ЭВМ. Поэтому для их решения приходит到 весма хитроумные методы. Об одном из них, основном на раскрасках, рассказываясь в «Кванте» № 11 за 1972 год. В этой заметке мы рассекем о совсем другом подходе, связанном с … географией и игральнойкостью.

География на клетчатой бумаге и игральнаякость

Все дальнейшие события в нашей статье будут происходить на клетчатой бумаге, сабженной «географический ориентировкой» (рис. 2). По этой клетчатой бумаге мы будем перекатывать по определенным правилам обикновенную игральнуюкость — кубик с ребром единчной длины и пропумерованным гранями. Кубик всегда будет расположен на бумаге так, чтобы центр его нижней грани совпадал с узлом сетки, а боковые грани были параллельны линям сетки. Каждому положению кубика на клетчатой бумаге поставим в соответствии два числа — номера южной и верхней граней. Изовем эту пару чисел орientацией кубика.

Уражнение 1. Сколько существует различных ориентиций кубика?

Пусть задан путь Γ, соединяющий узлы A и B сетки. Мы, разумется, будем рассматривать пути, индические только по линям сетки. Если кубик стоит на узле A, то его можно

*) «Полимино» (М., «Мир», 1975)

Рис. 1.

Рис. 2.

23

перекатить вдоль пути Γ на узел B (рис. 3). При этом его начальная ориентация α заменится на некоторую ориентацию β. Будем записывать это следующим образом: β = Γ(α).

У разженние 2. Пусть зафиксированы узлы A и B и начальная ориентация α. Докажите, что, перекатывая кубик по всевозможным пути из A в B, можно получить не больше половины ориентации кубика. Убедитесь, что пользовну ориентацию получить всегда можно.

Если конец пути Γ₁ совпадает с началом пути Γ₂, то возникает путь Γ₂°Γ₁, составленный из этих двух путей (рис. 4). Кроме того, для каждой пути Γ естественно определяется «обратный» путь Γ⁻¹, получающийся заменой направления вдоль пути Γ на обратное. Легко убедиться (сделайте это), что (Γ₂°Γ₁)(α) = Γ₂(Γ₁(α)) и Γ⁻¹(Γ(α)) = α.

Назовем путь Γ резуллярным, если Γ(α) = α для некоторой ориентации α.

У разженние 3. Докажите, что a) если Γ — резуллярный путь, то Γ(β) = β для любой ориентации β;
б) если Γ — резуллярный путь, то и Γ⁻¹ — резуллярный путь;
в) если Γ₁ и Γ₂ — резуллярные пути и путь Γ₂°Γ₁ определяен, то и Γ₂°Γ₁ — резуллярный путь.

У разженние 4. Докажите, что всякий резуллярный путь имеет четную длину, и приведите пример нерезуллярного пути четной длины.

Регулярное полимно

Тепер вернемся к полимно. Напомним, что полимно — это много-

году гольник, составленный из одноклеточных квадратов, причем любой квадрат примыкает хотя бы к одному соседнему по стороне (то есть шахматная ладья может пройти с любой клетки полимно на любую другую). Общная задача из теории полимно формулируется так: можно ли из данного набора полимно сложить данную фигуру? Мы сумем решить целый класс таких задач. Будем рассматривать полимно как многоугольник, нарисованный на нашей клетчатой бумаге. Hazовем полимно регулярным в узле A, если регулярен путь, ищущий по его контуру с началом и концом в узле A, лежащем на этом контуре. Оказывается, это определение не зависит от выбранного узла.

У разженние 5. Если полимно регулярно в некотором узле его контура, то оно регулярно и в любом другом его узле. Докажите.

Упражнение 5 дает нам возможность говорить просто о регулярных полимно. Несколько таких полимно приведено на рисунке 5.

У разженние 6. Докажите, что эти полимно регуляры.

Оказывется, из регулярных полимно нельзя использовать негулярное полимно. Чтобы убедиться в этом, достаточно доказать следующее:

Теорема о сумме. Если полимно P и Q резуллярны и полимно T сложено из них, то оно может резуллярно.

Пояснения к доказательству этой теоремы даны на рисунке 6.

Можно доказать и теорему о разности: если полимно T, сложенное из полимно P и Q, резуллярно и полимно P резуллярно, то и полимно Q резуллярно.

У разженние 7. Докажите теорему о разности полимно.

У разженние 8. Докажите, что прямоугольное полимно регулярно тогда и только тогда, когда его площадь кратна четырем.

Из теоремы о сумме и упражнения 6 и 8 сразу вытекает решение задачи, похожей на задачу про узолки, — доказать, что из любого количества полимно, приведенных на рисунке 5, нельзя сложить прямоугольника с площадью, не кратной четырем.

25

Задачи

М591—М595; Ф603—Ф607

М591. Пусть $p$ и $q$ — натуральные числа, что
$$\frac{p}{q} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots - \frac{1}{1318} + \frac{1}{1319}.$$
Докажите, что число $p$ делится на 1979.

М592. Докажите, что для любого треугольника проекция диаметра описанной окружности, перпендикулярного одной стороны треугольника, на прямую, содержащую вторую сторону, равна по длине треугольника.
С. Овчинников

М593. Внутри окружности $\Gamma$ расположено $n$ кругов. Докажите, что длина границы объедининия этих кругов не превышает длину окружности $\Gamma$, если
a) $n = 2$;
б) центры всех $n$ кругов лежат на одном диаметре окружности $\Gamma$;
в) все $n$ кругов содержат центр окружности $\Gamma$.
Ф. Кабдыкаиров,
В. Пронзволов

М594*. Найдите все действительные числа $a$, для которых существует действительное неотрицательное число $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$, удовлетворяющие соотношениям
$$\sum_{k=1}^{5} kx_k = a, \sum_{k=1}^{5} k^3x_k = a^2, \sum_{k=1}^{5} k^5x_k = a^3.$$

М595. Пусть $A$ и $E$ — две противоположные вершины правильно восемNUгольника. В вершине $A$ находится лягушка. Из любой вершины восемNUгольника, кроме вершины $E$, лягушка может прыгнуть в любую из двух соседних вершин. Попав в вершину $E$, лягушка останавливается и остается там. Пусть $a_n$ — количество способов, которые лягушка может попасть из вершины $A$ в вершину $E$ровно за $n$ прыжков. Докажите, что
$$a_{2n-1} = 0, a_{2n} = \frac{1}{\sqrt{2}} (x^{n-1} - y^{n-1}),$$
$n = 1, 2, 3, \dots$, где $x = 2 + \sqrt{2}; y = 2 - \sqrt{2}$.

Ф603. Студент ездит в институт на метро по колъевой линии. Станция, на которой он садится, и станция, на которой он выходит, находится на противоположных концах диаметра колъца, так

что студенту безразлично, в какую сторону_exать.
Позному он садится в тот позд, который подойдет раныше. Количество поздов, индших по колыцу в разные стороны, одинаково. Однако студент заметил, что он чаще ездит на позде, индшем по часовой стрелке. Как это можно обьясить?

Ф604. В условиях неевесомости жидкости, помещенная в стеклянный цилиндрический сосуд с радиусом основания $R_1$, приняла форму, показанную на рисунке 1. Свободная поверхность жидкости имела форму сферы с радиусом $R_0$. Та же жидкость, помещенная в стеклянный сферический сосуд радиуса $R_2$, приняла форму, показанную на рисунке 2. Свободная поверхность жидкости была плоской. Определить высоту уровня жидкости в сферическом сосуде. Какую форму будет иметь жидкость в сферическом сосуде, если радиус сосуда больше $R_2$? менше $R_2$?

В. Скороваров

Ф605. Проволочный предохранитель перегорает, если напряжение на нем равно 10 В. При каком напряжение будет перегорать предохранитель, если его длину увеличить вдвое?

Ф606. Шайба соскальзывает без начальной скорости по наклонной плоскости с углом $\alpha$. Козффициент треня между шайбой и поверхностью наклонной плоскости изменяется с расстоянием $l$ от вершины по закону $\mu=kl$ ($k=\cos\theta$). На каком расстоянии от вершины надо поставить упор, чтобы после одного упругого соударения с упором шайба остановилась как можно выше?

В. Белонучкин

Ф607. Самолет летит по замкнутому маршруту $ABC$. Пунktы $A, B$ и $C$ лежат в вершинах правильного треугольника. В каком случае время, затраченое на перелет, будет меньше: если ветер дует в направлении вектора $\overrightarrow{AB}$ или если ветер дует в направлении вектора $\overrightarrow{BA}$?

Н. Кушинр, ученик 9 класса

27

Решения задач
M538, М539; Ф547—Ф552

М538. Множество всех натуральных чисел является обеденением двух непересекающих подмножества $f(1), f(2), \dots, f(n), \dots$}, $\{g(1), g(2), \dots, g(n), \dots\}$, $\exists f(1) < f(2) < \dots < f(n) < \dots, u g(n) = f(f(n)) + 1$ для всех $n \ge 1$. Определите $f(240)$.

Обозначим множество $f(n)$ и $\{g(n)\}$ через $F$ и $G$ (по условию $F \cap G = \emptyset$ и $F \cup G = N$). Начав с первых натуральных чисел 1, 2, 3, …, легко последовательно выяснить, к какому из множества $F$ или $G$ следует отнести очередное натуральное число и какому номеру $n$ оно соответствует в своей множестве: ясно, что $1 = f(1)$, поэтому $2 = f(f(1)) + 1 = g(1)$; далее, $3 = f(2), 4 = f(3), 5 = f(f(2)) + 1 = g(2)$, … (таблица 1). При этом мы получаем условим $g(n) = f(f(n)) + 1$ — очередное $g(n)$ ставим сразу после того, как поставлено $f(f(n))$.

Таким образом, $f(n)$ и $g(n)$ определяются однозначно, и в принципе можно решить задачу, просто доведя наш таблицу до 240-й строки. Однако это утомитель и неинтересно. Можно сэкономить время, подметив появляющиеся закономерности:

1°. разность $f(n+1) - f(n)$ равна всегда 1 или 2, причем

$$f(n+1) - f(n) = \begin{cases} 1, \text{ если } n \in G, \\ 2, \text{ если } n \in F \end{cases}$$

(если $n = f(k)$, то $f(n)+1 \neq g(k)$);

2°. $g(n) = f(n)+n$ при любом $n$. В самом деле, среди $g(n)$ чисел 1, 2, …, $f(f(n)), g(n)$ имеется $f(n)$ чисел $f(1), f(2), \dots, f(f(n))$ из $F$ и $n$ чисел $g(1), g(2), \dots, g(n)$ из $G$. Таким образом, $g(n) = f(n)+n$.

Свойства 1° и 2° дают нам возможность составить «ускоренную» таблицу 2. Телер остается, пользоваться свойством 1°, перейти от 234 к 240 (таблица 3). Еще проще, как договорался наш читатель А. Балинский, предусмотренно сделать лишиный шаг раныше (использовая равенство $f(f(n)) = f(n)+n-1$):

$$f(57) = 90+2 \quad (56 \in F), \quad f(92) = 92+56 = 148,$$

$$f(148) = 148+91,$$

$$f(239) = 239+147 = 386, \quad f(240) = 386+2 = 388 \quad (239 \in F).$$

Итак, ответ на конкретный вопрос задачи M538 получен: $f(240)=388$. Однако оказывается, что здесь можно продвинуться существенно дальше — найти заменательные простые формулы, сразу дающие ответ для любого $n$:

$$f(n) = \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} n \right], \quad g(n) = \left[ \frac{3+\sqrt{5}}{2} n \right]$$

(здесь $[x]$ — целая часть $x$). До формул () допумались несколько наших читателей, но не всем удалось их аккуратно доказать. Алгебраические доказательство довольного громоздко (хотя и не очень сложно); мы вместе не приведем наглadyную картинику, из которого будут ясны и формулы (), и ход построения последовательностей $f(n)$, $g(n)$. Но прежде обьясим «на пальцах», откуда в этой задаче появляется irrationalное число $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$.

Глядя на таблицу 1, естественно предположить, что последовательность $f(n)$ растет примерно как линейная функция от $n$: $f(n) \approx \gamma n$. Тогда при больших $n$ должны быть $g(n) \approx f(f(n)) \approx \gamma (\gamma n) = \gamma^2 n$. Но согласно 2°, $g(n) = f(n)+n$, так что $\gamma^2 n \approx \gamma n+n$, а это возможно лишь при $\gamma^2 = \gamma+1$, откуда (если $\gamma > 0$) $\gamma = (\sqrt{5}+1)/2$. Из дальнейшего будет видно, что наш множество $F$ и $G$ из первых $n$ натуральных чисел действительное содержат примерно по $n/\gamma$ и $n/\gamma^2$ чисел соответствующего (как говорят, они имеют полномости $1/\gamma$ и $1/\gamma^2$).

28

Число γ и его близкие «родственники»

$$\frac{1}{\gamma} = \gamma - 1 = \frac{(\sqrt{5} - 1)}{2}, \quad \gamma^2 = \gamma + 1 = \frac{(\sqrt{5} + 3)}{2}, \quad 1/\gamma^2 = \frac{(3 - \sqrt{5})}{2}$$

возникают в самых разнообразных задачах *), в частности, при исследовании чисел Фибоначчи 1, 2, 3, 5, 8, 13, …, $\Phi_{n+1} = \Phi_{n-1} + \Phi_n$, … (любо Pittsно, что эти числа на 1 меньше чисел $n$ из таблицы 2; подумайте, почему), в теории чисел, в геометрии. В частности, легко проверить, что при отрезании квадрата от прямого лыжи с «золотым» отношением длины сторона γ остается прямого лыжи, подобный первоначальному, — отсюда следует, что на рисунке 1, где такое отрезание проделано дважды, точки O, K и M лежат на одной прямой. Это свойство числа γ нам пригодится.

Приведем теперь простой способ построения чисел $f(n)$ и $g(n)$. На клетчатой бумаге как на координатной плоскости (рис. 2) проведем прямую $l$, определяемую уравнением $y = \gamma x$ — с «золотым» угловым коэффициентом $\gamma = \frac{(\sqrt{5} + 1)}{2}$. (Как это сделать с помощью циркуля и линейки?) Занутерум подряд все те «красные» клетки (рис. 2), которые пересекает прямая $l$, начиная с нулевой клетки, содержащей начало координат $O$. Поскольку γ играционально, $l$ не проходит через узлы сетки, то есть входит в очередную клетку, пересекая либо прямую $y = n$, либо прямую $x = n$ ($n \in \mathbb{Z}$). Заметим, что номер клетки $\{(x; y) : [x] = i, [y] = j\}$ равен $i+j$ (почему?). Мы утверждаем, что если номер клетки $m$, то соответственно либо $m = f(n)$, либо $m = g(n)$. Другими словами, если занутеровать по порядку отрезки координатных лучеей $Ox$ и $Oy$, то на д отрезком номер $n$ оси $x$ лежит клетка номер $g(n)$, а с права от отрезка номер $n$ оси $y$ лежит клетка номер $f(n)$. Проверьте это по таблице 1 и рисунку 2!

Доказательство, что построенные таким образом, с помощью клетчатой бумаги, числа $f(n)$ и $g(n)$ в самом деле, которые нам нужны, состоит в проверке того, что номера клеток удовлетворяют всем свойствам последовательности $f$ и $g$ из условия задачи. Тот факт, что мы получаем разбиение всего натурального ряда $N$ на две непересекающей возрастящие последовательности, ясен. Остатся проверить, что $g(k) = f(f(k)) + 1$. «Распространим» номерацию красных клеток на всю плоскость: каждой клетке плоскости $\{(x; y) : [x] = i, [y] = j\}$ присвоит номер $i+j$ (синние цифры на рисунке 2); при этом номера отрезков на осах совпадают с номерами содержащих их клеток.

Для произвольного $n$ отметим точки $K(n/\gamma; n)$ и $M(n/\gamma; n)$ пересечения прямой $l$ с прямыми $y = n$ и $x = n$ (рис. 3). Тогда левая клетка, содержащая точку $K$, имеет номер $f(n)$, а нижняя клетка, содержащая точку $M$, — номер $g(n)$. Отметим проекции $K'$ и $M'$ точки $K$ и $M$ на ось $y$. Заметим, что $K'KM' = 45^\circ$ (вспомните рисунок 1), поэтому клетки, содержащие точки $K$ и $M'$, имеют номер $f(n)$. В точке $M$, таким образом, прямая $f(f(n))$ в клетку номер $g(n)$, то есть $f(f(n)) + 1 = g(n)$.

*) Н. Н. Воробьев «Числа Фибоначчи» (М., «Наука», 1978); Г. С. М. Коксетер «Введение в геометрию» (М., «Наука», 1966), гл. «Золотое сечение и филлотаксис»; А. Д. Бендукдзе «Золотое сечение» («Квант», 1973, № 8, с. 22).

30

Заметим, что эта лемма верна и для любого точки $K$ пространства: если точка $K$ принадлежит над плоскостью рисуника 5 на расстояние $z$, то есть имеет координаты $(x; y; z)$, то к обеим частям (1) добавится $2z^2$.

Докажем теперь утверждение $2^\circ$. Согласно $1^\circ$, вершины $A_1, B_1$ и $C_1$ параллелепида — четвертые вершины прямого/libников $PBA_1C$, $PCB_1A$ и $PAC_1B$ (рис. 6) — лежат на расстоянии $\sqrt{2r^2-p^2}$ от точки $K$. Снова пользовается $1^\circ$: четвертая вершина $D$ прямого/libников $A_1CB_1D$, у которой $|A_1K|^2 = |B_1K|^2 = 2r^2 - p^2$, $|CK|^2 = r^2$, находится от точки $K$ на расстоянии

$$\sqrt{2(2r^2-p^2)}-r^2 = \sqrt{3r^2-2p^2}.$$

Итак, мы доказали, что вершина $D$ параллелепида лежит на сфере с центром $K$ и радиусом $\sqrt{3r^2-2p^2}$. Но, как в любой задаче на отыскание множества точек, нужно доказать и обратное: что любая точка этой сферы является вершиной неокторого параллелепида, удовлетворяющего условиям задачи. Про это заблину многое из читателей, приславших нам решение задачи М539. Между тем здесь дается аккуратное доказательство обратного утверждения далеко не так просто, как в плоском случае (там по заданным точкам $P$ и $D$ легко, построив окружность с диаметром $[PD]$, найти вершину $A$ и с помощью $1^\circ$ доказать, что четвертая вершина $C$ прямого/libника $PADC$ лежит на данной окружности). Возможно, это связано с тем, что в пространственной задаче больше свободы в выборе нужного параллелепида: для данных точек $P$ и $D$ их существует целое семейство. (Нам, конечно, достаточно построить один из них.)

В доказательстве обратного утверждения неокторые читатели использовали метод координат, другие — сообщения непрерывности. Мы же и здесь начнем с геометрических наблюдений, которые были сделаны при попытках решить эту задачу:

$$3^\circ. \text{Квадраты радиусов четырех сфера с центром } K, \text{ на коморых лежат точки } P; A, B \text{ и } C; A_1, B_1 \text{ и } C_1, D, \text{ образуют арифметическую прогрессию:}$$
$$p^2, r^2, 2r^2-p^2, 3r^2-2p^2.$$

Аналогичная закономерность есть и в плоском варианте (правда, там в программе всего три члена). В связи с этим указываем следующей логику доказываемого утверждения:

Если несколько концентрических окружностей, quadratiches которых составляют арифметическую прогрессию,

31

Рис. 8.

грессио, пересекают некоморую окружность γ, то общее (с γ) хорды этих окружностей паралельны и находятся на одинаковом расстоянии друge от друга (рис. 7).

Нам попадобится пространственный вариант этого утверждения, где вместо окружностей фигурирует сферы, вместе хорд — кругги и т. п. (он получается из плоского рисуна 7 вращением вокруг оси симметрины).

4°. Как легко доказать, плоскости ABC и A₁B₁C₁ пересекают диагональ PD параллелепеда в максимом точках M и M₁, которые делят ее на три одинаковых отрезка: |PM| = |MM| = |M₁D| — и является точками пересечения медиан треугольников ABC и A₁B₁C₁ (рис. 8). Середина Q диагонали PD служит центром симметрины параллелепеда.

5°. Чтобы получить пространственные рисунки 6 и 8, укажем еще следующие факты:

Проекция Q’ на плоскость ABC центра Q прямогоного параллелепеда попадает в центр окружности, описанной вокругtriangle ABC; проекция P’ вершины P параллелепеда — в ortоцентрtriangle ABC (точку пересечения высот), Отсюда и из 4° легко вывести теорему Эйлера: M∈[Q’P’] и |MQ’| : |MP’| = 2 (рис. 9) *). Теорель уже все готовы для окончания решения задачи M539.

Пусть |KP| = p и |DK| = √3r² - 2p²; Q — середина отрезка [PD], γ и γ₁ — окружности, по которым сфера с диаметром [PD] пересекает сферы радиусов r и √2r² - p² с центром K (см. рис. 8). Согласно 4°, плоскости этих окружностей делят [PD] на три одинаковые части: [PM], [MM₁], [M₁D]. Возьмем любую точку A∈γ и обозначим через A₁ симметрично ей относительно Q точку A₁∈γ₁.

Ясно, что PAD = PA₁D = 90°. Проведем через точки P и D плоскости, перепедикулярные отрезкам [PA] || [DA₁]. Точки пересечения этих плоскостей с окружностями γ и γ₁ дают нам вершины нужного прямогоного параллелепеда (см. рис. 8): в самом деле, середины E и E₁ отрезков AD и A₁P (рис. 10, 11) лежат в плоскости окружностей γ и γ₁ и служат центрами сечений сферы построенными плоскостями; следовательно, AC₁DB₁ и A₁CPB — прямогоники.

Н. Васильев

*) Правда, такое ее доказательство годится лишь для остругоного треугольника, потому что лишь такой треугольник может служить сечением (ABC) для прямогоного параллелепеда. Подумайте, нельзя ли переделать это доказательство для тупоугольного ΔABC.

32

Ф547. Фотоэрафини шаровых сгустков светящейся плазмы, летящих равнозамедленно до остановки, имеют вид полос длины l. Максимальная ширина полос d ≤ l. Расстояние между плазмой и объективом photoаппарата L, фокусное расстояние объектива F. Минимальное время «засветки», необходимое для того, чтобы на фотоэрафини появилась изображение, равно т. Определить ускорение сгустков. Объектив photoаппарата остается открытым до полной остановки сгустков.

Ф548. Реактивная мележка массы m описываем мертвую nemло по вертикальной круговой дорогке радиуса R с постоянной линейной скоростью v. Какая работа совершается силой претензии при перемещении мележки из самого нижнего положения в самое верхнее? Коэффициент претензии мележкой и дорогкой равен μ.

Рис. 12.

Максимальная ширина полосы, очевидно, определяется диаметром D сгустка. Если Γ = |$\frac{F}{F-L}$| – уvelичение фотоаппарата, то D = $\frac{d}{Γ}$. Чтобы избежать появления на пленке, необходимое, чтобы скорость v сгустка была такой, что за время t сгусток проелал бы расстояние не больше D. Если с момента появления изображения до полной остановки сгустка проелит время t, то в момент появления изображения скорость сгустка равна |v| = |a| t и удовлетворяет условиям

$$\frac{D}{|a| t} = \frac{d}{\Gamma |a| t} = \tau.$$ (1)

Do полной остановки сгусток проелит расстояние

$$L = \frac{l}{\Gamma} = \frac{|a| t^2}{2}.$$ (2)

Из уравнения (1) и (2) находим ускорение сгустка:

$$|\vec{a}| = \frac{d^2}{2\Gamma l\tau^2} = \frac{d^2}{2l\tau^2} \left| \frac{F-L}{F} \right|.$$

В. Серецевич

Рассмотрим два симметричных положения тележки, при которых радиус-векторы точек, в которых находится тележка, составляют с вертикальной один и тот же угол α (рис. 12). $\vec{N}_1$ и $\vec{N}_2$ – силы реакции дорогки в этих положениях, $\vec{F}_{T1}$ и $\vec{F}_{T2}$ – силы тягги, $\vec{F}_{Tp1}$ и $\vec{F}_{Tp2}$ – силы треня. Так как тележка скольит по дорогке, $F_{Tp1} = \mu N_1$ и $F_{Tp2} = \mu N_2$ (здесь $N_1 = |\vec{N}_1|$, $F_{Tp1} = |\vec{F}_{Tp1}|$ и т.п.).

Тележка движется по окружности со скоростью v; следовательно, сумма проекций всех сил, действующих на тележку, на направление радиуса равна $mv^2/R$, то есть (см. рис. 12)

$$N_1 - mg \cos \alpha = mv^2/R, \quad N_2 + mg \cos \alpha = mv^2/R.$$

Отсюда

$$N_1 = (mv^2/R) + mg \cos \alpha, \quad N_2 = (mv^2/R) - mg \cos \alpha$$

и

$$F_{Tp1} = \mu [(mv^2/R) + mg \cos \alpha], \quad F_{Tp2} = \mu [(mv^2/R) - mg \cos \alpha].$$

При повороте радиус-вектора на малый угол Δα, то есть при малом проекции тележки на Δl = R Δα с сильные треня $\vec{F}_{Tp1}$ и $\vec{F}_{Tp2}$ совершают работы $\Delta A_1 = F_{Tp1}R \Delta \alpha$ и $\Delta A_2 = F_{Tp2}R \Delta \alpha$.

Сумма работы сил $\vec{F}_{Tp1}$ и $\vec{F}_{Tp2}$ на малых участках Δl равна $\Delta A = (F_{Tp1} + F_{Tp2})R \Delta \alpha = 2\mu mv^2 \Delta \alpha.$

Значение ΔA не зависит от α. Это означает, что при повороте радиус-вектора тележки на малый угол Δα из любых двух симметричных точек (аналогичных I и 2) слияние совершает одну и ту же работу, пропорциональную Δα.

Перемещение тележки из нижней точки дорогки в верхнюю соответствует изменению α на π/2, то есть ΣΔα = π/2. Следовательно, работа силы треня при таком проекции равна

$$A = \sum \Delta A = 2\mu mv^2 \Delta \alpha = \pi\mu mv^2.$$

О. Савченко

33

Ф549. Два шарика с массами $m_1$ и $m_2$ соединены пружинкой жесткостями $k$; пружинка расположена Zo-zонным и не деформирована. Шарикам одноременно сообщаются скорости $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$, как показано на рисунке 13, причем $|\vec{v}_1| = |\vec{v}_2| = v$.
Найти максимальную высоту подвела системы и наиболее деформацию пружинки.

Рис. 13.

Центр масс системы (ц. м.) будет двигатся, как тело с массой $M = m_1 + m_2$, брошенное под углом к горизонту с начальным импульсом $\vec{p}_0$, равным сумме начальных импульсов шаров:

$$\vec{p}_0 = M \vec{u}_0 = m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2$$

($\vec{u}_0$ — начальная скорость ц. м.). Проекция импульса $\vec{p}_0$ на вертикальную ось $OY$ равна $m_2 v$, следовательно, проекция начальной скорости ц. м. на ось $OY$ равна $u_y = m_2 v / M$. Это означает, что максимальная высота центра масс системы равна

$$H = \frac{u_y^2}{2g} = \frac{v^2}{2g} \left( \frac{m_2}{m_1 + m_2} \right)^2.$$

Теперь найдем наиболее деформацию пружинки. Очевидно, в тот момент, когда деформация пружинки максимальная, в системе координат, движущейся со скоростью центра масс системы, шарики могут только враться в вокруг центра масс. Это означает, что энергию системы можно представить как сумму энергии $W_C$ системы как целого и внутренней энергии, которая равна сумме потенциальной энергии деформации пружинки $kx^2 / 2$ (х — величины деформации) и kineticской энергии врашения шариков $W_K = 1 / 2 \left[ m_1 (\omega l_1)^2 + m_2 (\omega l_2)^2 \right]$, где $\omega$ — угловая скорость врашения, а $l_1$ и $l_2$ — расстояния от соответствующих шариков до центра масс.

Обозначим через $l$ длину пружинки. Тогда $l_1 = lm_2 / M$, $l_2 = lm_1 / M$, так что

$$W_K = \frac{1}{2} \omega^2 l^2 \left( \frac{m_1 m_2^2}{M^2} + \frac{m_2 m_1^2}{M^2} \right) = \frac{1}{2} \omega^2 l^2 \frac{m_1 m_2}{M}.$$

Найдем $\omega$. Из закона сохранения момента импульса следует, что

$$m_1 (\omega l_1) l_1 + m_2 (\omega l_2) l_2 = m_1 \omega_0 l_{10}^2 + m_2 \omega_0 l_{20}^2,$$

где $l_{10}$ и $l_{20}$ — начальные расстояния от шариков до центра масс, $\omega_0$ — начальная угловая скорость. Очевидно, если начальная длина пружинки равна $l_0$, то

$$l_{10} = l_0 m_2 / M, \quad l_{20} = l_0 m_1 / M.$$

Позному мы можем записать

$$\left[ m_1 \left( \frac{m_2}{M} \right)^2 + m_2 \left( \frac{m_1}{M} \right)^2 \right] \omega l^2 = \left[ m_1 \left( \frac{m_2}{M} \right)^2 + m_2 \left( \frac{m_1}{M} \right)^2 \right] \omega_0 l_0^2.$$

Отсюда $\omega = \omega_0 (l_0 / l)^2$. Для того чтобы найти $\omega_0$, необходимо найти начальные скорости $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ шариков в системе центра масс. Так как скорость центра масс в начальной момент равна $\vec{u}_0 = \left( m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 \right) / M$, скорости шариков в системе центра масс соответствует

$$\vec{v}_1 = \vec{v}_1 - \vec{u}_0 = \frac{m_2}{M} \left( \vec{v}_1 - \vec{v}_2 \right),$$

$$\vec{v}_2 = \vec{v}_2 - \vec{u}_0 = \frac{m_1}{M} \left( \vec{v}_2 - \vec{v}_1 \right).$$

Угловая скорость $\omega_0$ шариков равна, например, проекции скорости $\vec{v}_0$ на ось $OY$, деленной на $l_{20}$, то есть

$$\omega_0 = \frac{v m_1 / M}{l_{20}} = \frac{v}{l_0}.$$

34

Таким образом,

$$W_K = \frac{1}{2} \omega_0^2 l_0^2 \frac{m_1 m_2}{M} = \frac{v^2}{2} \frac{m_1 m_2}{M} = \frac{m_1 m_2}{2M} v^2.$$

Тепер воскользуемся законом сохранения энергии. Полная энергия системы равна

$$\frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{M v^2}{2}.$$

Позтому

$$\frac{M v^2}{2} = W_C + \frac{k x^2}{2} + W_K.$$

Но, согласно закону сохранения энергии, для системы как целого

$$W_C = W_{co} = \frac{M u_0^2}{2} = \frac{M}{2} \left( \frac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2}{M} \right)^2.$$

Так как векторы $m_1 \vec{v}_1$ и $m_2 \vec{v}_2$ взимно перепределились,

$$\left( m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 \right)^2 = m_1^2 v_1^2 + m_2^2 v_2^2 = \left( m_1^2 + m_2^2 \right) v^2.$$

Позтому

$$W_C = \frac{m_1^2 + m_2^2}{2M} v^2,$$

и законом сохранения энергии можно перепписать в виде

$$\frac{M v^2}{2} = \frac{m_1^2 + m_2^2}{2M} v^2 + \frac{k x^2}{2} + \frac{m_1 m_2 v^2}{2M}.$$

Отсюда

$$x = v \sqrt{\frac{m_1 m_2}{k M}}.$$

И. Слободецкий

Рассстояние $h$ от центра алюминевой шайбы до вершины конуса определяется уравнением $\frac{h + a}{h} = \frac{R}{r}$ (рис. 14) и равно $h = a \frac{r}{R - r} = 3$ (см).

При нагревании алюминевая шайба расширяется больше, чем участок конуса, с которым она соприкается ($\beta_2 > \beta_1$), поэтому она сокальзывает вниз. Железная шайба «заклинивается» на конусе ($\beta_3 < \beta_1$) и смешается вместе с участком конуса, на котором она держится. При нагревании угол при вершине конуса не изменяется. Новое расстояние $h'$ от центра алюминевой шайбы до вершины конуса определяется уравнением $\frac{h'}{h} = \frac{r'}{r}$ и равно

$$h' = h \frac{r (1 + \beta_2 \Delta t)}{r} = h (1 + \beta_2 \Delta t).$$

Рассстояние между шайбами при нагревании увеличилось на

$$\Delta a = \left( H' - h' \right) - a = a \beta_1 \Delta t - h \left( \beta_2 - \beta_1 \right) \Delta t \approx 0,16 \text{ (мм)}.$$

Г. Комкин